Текст
физики
Справочник
по физике.
Формулы,
таблицы, схемы
Под ред. X. Штёкера
ТЕХНОСФЕРА
МИР
физики и техники
Справочник
по физике.
Формулы,
таблицы,схемы
ПОД РЕДАКЦИЕЙ X. ШТЁКЕРА
Перевод с немецкого Т.Н. Зазаевой
под редакцией к.ф.-м.н. К.В. Смирнова
ТЕХНОСФЕРА
Москва
2009
Под ред. X. Штёкера
Справочник по физике. Формулы, таблицы, схемы
Москва:
Техносфера, 2009. -1264 с. ISBN 978-5-94836-205-2
«Справочник по физике» был создан коллективом опытных преподава-
телей вузов, ученых и инженеров. Девиз книги — лаконичность и удобст-
во. В ней компактно собраны все важные формулы, таблицы и другой
инструментарий, рассмотрены способы их использования.
«Справочник по физике» представляет базовые знания, необходимые
поступающим в вузы, выпускникам средних специальных учебных заведе-
ний, студентам вузов; дополнительные знания для людей, занимающихся
углубленным изучением физики; прикладные знания по физике, которые
могут быть интересны инженерам и ученым.
Каждая глава является отдельным модулем и включает в себя понятия и
определения, формулы, правила и теоремы, примеры и способы практи-
ческого применения приведенного материала, указания на возможные
источники ошибок, подсказки и перекрестные ссылки, применяемые на
практике методы измерения, а также многочисленные таблицы физичес-
ких постоянных и свойств различных материалов.
© Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 2005
© 2009, ЗАО «РИЦ «Техносфера», перевод на русский язык,
оригинал-макет, оформление
ISBN 978-5-94836-205-2
ISBN 978-3-81711-720-8 (нем.)
СОДЕРЖАНИЕ
Авторы...................................................................24
Предисловие..............................................................26
Предисловие к пятому изданию.............................................28
Часть I
Механика
Глава 1. Кинематика......................................................29
1.1. Описание движения...........................................29
1.1.1. Системы отсчета.......................................29
1.1.2. Время.................................................34
1.1.3. Длина, площадь, объем.................................36
1.1.4. Угол..................................................38
1.1.5. Механические системы..................................40
1.2. Одномерное движение.........................................42
1.2.1. Скорость..............................................42
1.2.1.1. Средняя скорость...............................42
1.2.1.2. Мгновенная скорость............................44
1.2.2. Ускорение.............................................45
1.2.3. Простое движение в одномерном пространстве............47
1.3. Движение в нескольких измерениях............................51
1.3.1. Вектор скорости..................................... 52
1.3.2. Вектор ускорения......................................53
1.3.3. Свободное падение и движение тела, брошенного под углом
к горизонту...................................................56
1.4. Вращение....................................................59
1.4.1. Угловая скорость......................................59
1.4.2. Угловое ускорение.....................................61
1.4.3. Скорость точки, движущейся по окружности..............62
Глава 2. Динамика........................................................64
2.1. Основные законы динамики....................................64
2.1.1. Масса и импульс.......................................64
2.1.1.1. Масса..........................................64
2.1.1.2. Импульс........................................66
2.1.2. Законы Ньютона........................................67
2.1.2.1. Закон инерции (первый закон Ньютона)...........67
2.1.2.2. Основной закон динамики (второй закон Ньютона). . . 68
Содержание
2.1.2.3. Сила.......................................... 69
2.1.2.4. Принцип действия (третий закон Ньютона).........70
2.1.2.5. Силы инерции....................................71
2.1.2.6. Принцип Даламбера...............................72
2.1.2.7. Сложение сил....................................72
2.1.2.8. Разложение сил на составляющие..................74
2.1.3. Момент импульса.........................................76
2.1.4. Момент силы.............................................77
2.1.5. Основные законы динамики для вращательного движения ... 80
2.2. Силы.........................................................81
2.2.1. Сила тяжести............................................81
2.2.2. Сила упругости..........................................82
2.2.3. Силы трения.............................................84
2.2.3.1. Трение покоя....................................84
2.2.3.2. Трение скольжения...............................85
2.2.3.3. Трение качения..................................86
2.2.3.4. Трение между канатом и блоком...................87
2.3. Силы инерции во вращающейся системе отсчета..................88
2.3.1. Центростремительная и центробежная силы...............88
2.3.2. Кориолисова сила........................................90
2.4. Работа и энергия.............................................92
2.4.1. Работа..................................................92
2.4.2. Энергия.................................................94
2.4.3. Кинетическая энергия....................................95
2.4.4. Потенциальная энергия...................................97
2.4.4.1. Работа против силы тяжести......................97
2.4.4.2. Работа деформации и потенциальная энергия
пружины...................................................98
2.4.5. Работа сил трения......................................100
2.5. Мощность....................................................100
2.5.1. Коэффициент полезного действия.........................101
2.6. Удар........................................................102
2.6.1. Упругий прямой центральный удар........................105
2.6.2. Упругий косой центральный удар.........................106
2.6.3. Упругий косой удар с неподвижным телом.................107
2.6.4. Неупругий удар.........................................108
2.6.4.1. Частично неупругий удар........................108
2.6.4.2. Абсолютно неупругий удар.......................108
2.7. Движение ракеты.............................................109
2.7.1. Сила тяги..............................................109
2.7.2. Уравнения движения ракеты..............................111
2.8. Система материальных точек..................................112
2.8.1. Уравнения движения.....................................112
2.8.2. Закон сохранения импульса..............................114
2.8.3. Полный момент импульса.................................115
2.8.4. Закон сохранения энергии...............................116
2.9. Уравнение Лагранжа и Гамильтона.............................117
2.9.1. Уравнение Лагранжа и принцип Гамильтона................117
2.9.2. Канонические уравнения Гамильтона......................120
Содержание 5
Глава 3. Абсолютно твердое тело..........................................123
3.1. Кинематика..................................................123
3.1.1. Плотность.............................................123
3.1.2. Центр масс............................................124
3.1.3. Основные кинематические величины......................125
3.2. Статика.....................................................127
3.2.1. Сила как векторная величина...........................128
3.2.2. Вращающий момент......................................130
3.2.3. Пара сил..............................................131
3.2.4. Условия статического равновесия.......................132
3.2.5. Техническая механика..................................134
3.2.5.1. Реакции опор...................................134
3.2.5.2. Каркасная конструкция..........................135
3.2.6. Простые механизмы.....................................136
3.2.6.1. Рычаг..........................................136
3.2.6.2. Клин и винт....................................137
3.2.6.3. Блоки..........................................138
3.3. Динамика....................................................142
3.4. Момент инерции тела и момент импульса.......................142
3.4.1. Момент инерции тела...................................143
3.4.1.1. Теорема Штейнера...............................145
3.4.1.2. Моменты инерции геометрических тел............146
3.4.2. Момент импульса.......................................147
3.4.2.1. Равновесие при вращательном движении...........149
3.5. Работа, энергия и мощность..................................149
3.5.1. Кинетическая энергия..................................150
3.5.2. Потенциальная энергия упругой деформации..............152
3.6. Теория гироскопа............................................153
3.6.1. Тензор инерции........................................153
3.6.2. Нутация и прецессия...................................156
3.6.2.1. Нутация........................................157
3.6.2.2. Прецессия......................................158
3.6.2.3. Гироскопический момент.........................160
3.6.3. Применение гироскопов.................................160
Глава 4. Микромеханика...................................................162
4.1. Тонкопленочная техника......................................162
4.2. Методы экспонирования и травления...........................163
4.3. Применение..................................................165
4.3.1. Чувствительные элементы и датчики....................166
4.3.2. Исполнительные элементы..............................167
4.3.3. Техническое использование............................168
Глава 5. Гравитация и теория относительности.............................170
5.1. Гравитационное поле.........................................170
5.1.1. Закон всемирного тяготения...........................170
5.1.2. Движение планет......................................173
5.1.3. Планетная система.................................. 174
5.1.3.1. Солнце и планеты..............................174
5.1.3.2. Спутники......................................177
5.2. Специальная теория относительности..........................179
6 Содержание
5.2.1. Релятивистский принцип................................179
5.2.2. Преобразования Лоренца................................182
5.2.2.1. Сложение скоростей.............................186
5.2.3. Релятивистские эффекты................................187
5.2.3.1. Сокращение длины...............................187
5.2.3.2. Замедление времени.............................188
5.2.4. Релятивистская динамика...............................188
5.2.4.1. Релятивистское увеличение массы................189
5.2.4.2. Релятивистская кинетическая энергия............190
5.3. Общая теория относительности и космология...................192
5.3.1. Звезды и галактики....................................193
5.3.1.1. Развитие звезд.................................195
Глава 6. Механика деформируемого тела....................................197
6.1. Теория упругости............................................197
6.1.1. Напряжение........................................... 197
6.1.1.1. Растяжение, изгиб, сдвиг, кручение.............199
6.1.2. Упругая деформация....................................199
6.1.2.1. Растяжение (сжатие)............................200
6.1.2.2. Поперечное растяжение..........................202
6.1.2.3. Всестороннее сжатие............................203
6.1.2.4. Изгиб стержня (балки)..........................205
6.1.2.5. Сдвиг..........................................209
6.1.2.6. Кручение.......................................210
6.1.2.7. Энергия и работа при деформации................211
6.1.3. Пластические деформации...............................212
6.1.3.1. Области диаграммы при нагрузках на растяжение. ... 213
6.1.3.2. Продольный изгиб...............................215
6.1.3.3. Твердость......................................216
6.2. Гидроаэростатика...........................................217
6.2.1. Жидкости и газы......................................218
6.2.2. Давление.............................................218
6.2.2.1. Давление поршня................................219
6.2.2.2. Гидростатическое давление в жидкости...........220
6.2.2.3. Сжимаемость...................................222
6.2.2.4. Давление в газе под действием силы тяжести....223
6.2.2.5. Насосы........................................225
6.2.3. Выталкивающая сила...................................227
6.2.4. Когезия, адгезия и поверхностное напряжение..........230
6.2.4.1. Капиллярность.................................232
6.3. Гидродинамика и аэродинамика...............................234
6.3.1. Поле тока............................................234
6.3.2. Основные уравнения идеального потока.................235
6.3.2.1. Уравнение непрерывности.......................235
6.3.2.2. Уравнение Эйлера..............................239
6.3.2.3. Закон Бернулли................................239
6.3.2.4. Формула Торричелли............................242
6.3.2.5. Эффект увлечения газа движущейся струей жидкости. 244
6.3.2.6. Движение тел в жидкостях и газах..............245
6.3.3. Реальные потоки......................................246
6.3.3.1. Внутреннее трение.............................246
Содержание JTj
6.3.3.2. Уравнение Навье-Стокса.......................249
6.3.3.3. Ламинарный поток в трубе.....................249
6.3.3.4. Обтекание шара...............................251
6.3.3.5. Уравнение Бернулли...........................252
6.3.4. Турбулентные потоки.................................252
6.3.4.1. Коэффициент аэродинамического сопротивления . . . 253
6.3.5. Закон подобия.......................................255
6.3.5.1. Трение в трубе...............................258
6.3.6. Потоки с изменяющейся плотностью....................259
Глава 7. Нелинейная динамика, хаос и фракталы.........................261
7.1. Динамические системы и хаос..............................262
7.1.1. Динамические системы................................262
7.1.1.1. Пространство состояний и фазовое пространство. . . . 264
7.1.2. Консервативные системы..............................268
7.1.2.1. Теорема Лиувилля.............................269
7.1.2.2. Интегрируемость..............................269
7.1.3. Диссипативные системы...............................270
7.1.3.1. Странные аттракторы, детерминистский хаос....271
7.2. Бифуркации...............................................273
7.2.1. Логистическое отображение...........................274
7.2.2. Универсальность................................... 277
7.3. Фракталы.................................................277
Глава 8. Таблицы к разделу «Механика».................................280
Обозначения, принятые в разделе «Механика»............................280
8.1. Плотность................................................282
8.1.1. Твердое тело........................................282
8.1.1.1. Металлические сплавы........................283
8.1.1.2. Неметаллы...................................284
8.1.2. Жидкости............................................288
8.1.3. Газы................................................290
8.2. Упругие свойства.........................................290
8.3. Динамические свойства....................................295
8.3.1. Коэффициенты трения.................................295
8.3.2. Сжимаемость...................................... 297
8.3.2.1. Газы........................................297
8.3.2.2. Жидкости и твердые тела.....................300
8.3.3. Вязкость...........................................300
8.3.4. Аэродинамическое сопротивление.....................304
8.3.5. Поверхностное натяжение............................305
Часть II
Колебания, волновые процессы, акустика и оптика
Глава 9. Колебания....................................................307
9.1. Свободные незатухающие колебания консервативной системы .... 310
9.1.1. Пружинный маятник..................................310
9.1.2. Нитяной маятник....................................313
9.1.2.1. Колебание и круговое движение...............315
8 Содержание
9.1.3. Физический маятник................................316
9.1.4. Крутильные колебания..............................318
9.1.5. Жидкостный маятник................................319
9.1.6. Электрический колебательный контур................320
9.2. Затухающие колебания...................................321
9.2.1. Трение............................................322
9.2.1.1. Трение качения и трение скольжения.........322
9.2.1.2. Вязкое трение..............................323
9.2.1.3. Трение Ньютона ............................ 326
9.2.2. Затухающие колебания в электрическом колебательном
контуре..................................................326
9.3. Вынужденные колебания ................................ 328
9.4. Сложение колебаний.....................................330
9.4.1. Сложение колебаний одинаковой частоты.............331
9.4.2. Сложение колебаний разных частот................... . 332
9.4.3. Сложение перпендикулярных колебаний разных частот.334
9.4.4. Фурье анализ, разложение на гармоники.............335
9.5. Связанные колебания................................... 337
Глава 10. Волновые процессы.........................................340
10.1. Основные свойства волн...............................340
10.2. Поляризация..........................................346
10.3. Интерференция........................................347
10.3.1. Когерентность..................................347
10.3.2. Интерференция.................................348
10.3.3. Стоячие волны ................................. 349
10.3.3.1. Стоячие волны в стрежнях с односторонней
заделкой.........................................350
10.3.3.2. Стоячие волны в струнах................351
10.3.3.3. Стоячие волны в трубке Кундта..........352
10.3.4. Волны с различными частотами...................353
10.4. Эффект Доплера.......................................354
10.4.1. Волны Маха и ударные волны Маха................355
10.5. Преломление..........................................356
10.6. Отражение............................................357
10.6.1. Фазовые соотношения............................358
10.7. Дисперсия............................................358
10.8. Дифракция............................................359
10.8.1. Дифракция на узкой щели........................359
10.8.2. Дифракционные решетки..........................361
10.9. Модуляция волн.......................................362
10.10. Поверхностные волны.................................364
Глава 11. Акустика..................................................365
11.1. Звуковые волны.......................................365
11.1.1. Скорость звука.................................365
11.1.2. Параметры звука................................367
11.1.2.1. Амплитуда звуковых колебаний...........369
11.1.2.2. Скорость колебаний в волне и волновое
сопротивление....................................369
11.1.2.3. Плотность энергии акустической волны...370
Содержание 9^
11.1.2.4. Интенсивность и плотность потока энергии
звуковой волны........................................371
11.1.3. Относительные величины.............................372
11.2. Источники и приемники звука...............................374
11.2.1. Механические источники звука.......................374
11.2.1.1. Колеблющийся столб воздуха.................376
11.2.2. Электроакустический преобразователь................377
11.2.2.1. Приемник звуковых колебаний или микрофон. . . 379
11.2.3. Поглощение звука...................................381
11.2.4. Звукоизоляция......................................384
11.2.4.1. Реверберация...............................385
11.2.5. Потоковый шум......................................386
11.3. Ультразвук................................................386
11.4. Физиологическая акустика и слух...........................387
11.4.1. Восприятие звука...................................388
11.4.2. Нормированный уровень звука........................389
11.5. Музыкальная акустика......................................390
Глава 12. Оптика.........................................................393
12.1. Геометрическая оптика.....................................395
12.1.1. Оптические изображения — основные понятия..........397
12.1.2. Отражение . .......................................400
12.1.2.1. Плоское зеркало. ..........................401
12.1.2.2. Вогнутое зеркало...........................401
12.1.2.3. Выпуклое зеркало...........................405
12.1.3. Преломление........................................405
12.1.3.1. Показатель преломления.....................405
12.1.3.2. Закон преломления..........................406
12.1.3.3. Формулы Френеля............................407
12.1.3.4. Радуга.....................................408
12.1.3.5. Полное отражение...........................409
12.1.3.6. Световод...................................410
12.1.3.7. Преломление в призме.......................416
12.1.3.8. Преломление в плоскопараллельных пластинках. .418
12.1.3.9. Преломление на сферических поверхностях....419
12.2. Линзы.....................................................420
12.2.1. Толстые линзы......................................421
12.2.2. Тонкие линзы.......................................427
12.3. Системы линз..............................................427
12.3.1. Линзы с диафрагмой.................................428
12.3.2. Погрешности изображения............................429
12.3.2.1. Линзы с градиентным профилем показателя
преломления . . . .........................431
12.4. Оптические инструменты....................................432
12.4.1. «Дырочная» камера..................................433
12.4.2. Фотокамера.........................................433
12.4.3. Человеческий глаз..................................434
12.4.4. Глаз и оптические инструменты .................... 436
12.4.4.1. Лупа.......................................436
12.4.4.2. Микроскоп..................................437
12.4.4.3. Телескоп...................................438
10 Содержание
12.5. Волновая оптика.........................................441
12.5.1. Рассеяние света...................................441
12.5.2. Дифракция и разрешающая способность...............442
12.5.3. Преломление.......................................445
12.5.4. Интерференция.....................................446
12.5.5. Дифракционные оптические элементы.................451
12.5.5.1. Дифракционные решетки.....................451
12.5.5.2. Зонная пластинка Френеля..................451
12.5.5.3. Зонная линза Френеля......................452
12.5.5.4. Голограмма................................453
12.5.5.5. Компьютерная голограмма...................455
12.5.6. Дисперсия.........................................456
12.5.7. Спектральные приборы..............................458
12.5.8. Поляризация света.................................459
12.5.8.1. Поляризация при отражении.................461
12.5.8.2. Поляризация при преломлении...............461
12.6. Фотометрия..............................................465
12.6.1. Фотометрические величины..........................465
12.6.1.1. Источники излучения.......................467
12.6.1.2. Спектральные величины.....................470
12.6.1.3. Отражение, поглощение, пропускание........470
12.6.2. Световые величины.................................473
Глава 13. Таблицы к разделам «Колебания», «Акустика» и «Оптика»........478
Обозначения, принятые в разделах «Колебания», «Волновые процессы»,
«Акустика» и «Оптика»..................................................478
13.1. Таблицы к разделам «Колебания» и «Акустика».............480
13.2. Таблицы к разделу «Оптика»..............................485
Часть III
Электричество
Глава 14. Заряды и токи................................................490
14.1. Электрический заряд.....................................490
14.1.1. Закон Кулона.....................................492
14.2. Плотность электрического заряда.........................493
14.3. Электрический ток.......................................496
14.3.1. Закон Ампера.....................................498
14.4. Плотность электрического тока.......................... 499
14.4.1. Электрическое поле...............................501
14.5. Электрическое сопротивление и электрическая проводимость ... 501
14.5.1. Электрическое сопротивление......................501
14.5.2. Электрическая проводимость.......................502
14.5.3. Удельное сопротивление и электрическая удельная
проводимость.............................................503
14.5.4. Подвижность носителей заряда.....................504
14.5.5. Температурная зависимость сопротивления..........505
14.5.6. Переменное сопротивление.........................506
14.5.7. Включение сопротивления..........................507
Содержание Hj
Глава 15. Электрическое и магнитное поле. . ...........................509
15.1. Электрическое поле......................................509
15.2. Электростатическая индукция.............................510
15.2.1. Силовые линии электростатического поля.511
15.2.2. Напряженность электрического поля точечного заряда ... 514
15.3. Сила....................................................515
15.4. Электрическое напряжение................................516
15.5. Электрический потенциал.................................517
15.5.1. Эквипотенциальные поверхности.....................519
15.5.2. Напряженность поля и потенциал в случае некоторых
типов распределения заряда...............................519
15.5.3. Поток вектора напряженности.......................523
15.5.4. Вектор электрического смещения в вакууме..........525
15.6. Электрическая поляризация...................................527
15.6.1. Диэлектрик........................................528
15.7. Электроемкость..........................................530
15.7.1. Плоский конденсатор...............................531
15.7.2. Параллельное включение конденсаторов..............532
15.7.3. Последовательное включение конденсаторов..........532
15.7.4. Емкости простых систем проводников................532
15.8. Энергия и плотность энергии электрического поля.........533
15.9. Электрическое поле на границе раздела сред..............534
15.10. Магнитное поле.........................................536
15.11. Магнетизм..............................................536
15.11.1. Магнитные силовые линии........................537
15.12. Магнитная индукция.....................................539
15.13. Магнитный поток........................................541
15.14. Напряженность магнитного поля..........................543
15.15. Магнитное напряжение и магнитный контур.............544
15.15.1. Закон полного тока.............................546
15.15.2. Закон Био-Савара...............................548
15.15.3. Магнитное поле прямолинейного проводника с током. . 549
15.15.4. Магнитные поля некоторых систем распределения тока. 551
15.16. Вещество в магнитном поле..............................553
15.16.1. Диамагнетизм...................................554
15.16.2. Парамагнетизм..................................555
15.16.3. Ферромагнетизм.................................555
15.16.4. Антиферромагнетизм.............................558
15.16.5. Ферримагнетизм.................................559
15.17. Магнитное поле на границе раздела двух сред............559
15.18. Явление электромагнитной индукции......................560
15.18.1. Явление электромагнитной индукции в постоянном
магнитном поле.........................................561
15.18.2. Явление электромагнитной индукции в переменном
магнитном поле.........................................562
15.19. Явление самоиндукции...................................563
15.19.1. Индуктивность некоторых систем проводников.565
15.19.2. Магнитная проводимость.........................566
15.20. Взаимная индукция......................................567
15.20.1. Трансформатор..................................568
15.21. Энергия и плотность энергии магнитного поля.569
12 Содержание
15.22. Уравнения Максвелла......................................... 572
15.22.1. Ток смещения..........................................573
15.22.2. Электромагнитные волны................................574
15.22.3. Вектор Пойнтинга......................................575
Глава 16. Применение в электротехнике........................................577
16.1. Цепь постоянного тока.........................................578
16.1.1. Законы Кирхгофа для цепи постоянного тока...............579
16.1.2. Сопротивления в цепи постоянного тока...................580
16.1.3. Реальный источник напряжения............................582
16.1.4. Мощность и энергия цепи постоянного тока................583
16.1.5. Согласование по мощности................................585
16.1.6. Измерение тока и напряжения.............................585
16.1.6. Г. Измерение тока.................................585
16.1.6.2. Измерение напряжения............................586
16.1.6.3. Измерение мощности..............................586
16.1.7. Определение сопротивления компенсационным методом . 587
16.1.8. Зарядка и разрядка конденсатора.........................588
16.1.9. Ток при замыкании и размыкании А£-цепи..................590
16.2. Цепь переменного тока.........................................591
16.2.1. Переменные величины.....................................591
16.2.1.1. Среднее значение периодических функций....592
16.2.2. Изображение синусоиды на векторной диаграмме......594
16.2.3. Правила арифметических действий с комплексными
величинами................................................596
16.2.4. Основные понятия техники переменного тока...............599
16.2.4.1. Комплексное сопротивление.................599
16.2.4.2. Закон Ома в комплексной форме.............601
16.2.4.3. Комплексная проводимость..................601
16.2.4.4. Мощность в цепи переменного тока..........603
16.2.4.5. Представление мощности в комплексном виде. . . 604
16.2.4.6. Законы Кирхгофа для цепи переменного тока . . . 605
16.2.4.7. Последовательное включение комплексных
сопротивлений......................................606
16.2.4.8. Параллельное включение комплексных
сопротивлений......................................606
16.2.5. Основные элементы цепи переменного тока.................607
16.2.5.1. Омическое сопротивление.........................607
16.2.5.2. Емкость.........................................608
16.2.5.3. Индуктивность...................................609
16.2.5.4. Комплексные сопротивления простых
двухполюсников.....................................611
16.2.6. Последовательное включение сопротивления и емкости . . 611
16.2.7. Параллельное включение сопротивления и емкости....612
16.2.8. Параллельное включение сопротивления и индуктивности 613
16.2.9. Последовательное включение сопротивления
и индуктивности...........................................614
16.2.10. Последовательный колебательный контур................615
16.2.11. Параллельный колебательный контур....................617
16.2.12. Эквивалентные схемы последовательного
и параллельного включения...............................619
Содержание 13
16.2.13. Радиоволны......................................621
16.3. Электрические машины....................................622
16.3.1. Принципы функционирования.........................623
16.3.2. Машины постоянного тока...........................624
16.3.3. Машина переменного тока...........................627
16.3.3.1. Синхронная машина.........................627
16.3.3.2. Асинхронная машина........................628
Глава 17. Ток в жидкостях, газах и вакууме.............................631
17.1. Электролиз..............................................631
17.1.1. Количество вещества................................631
17.1.2. Ионы..............................................631
17.1.3. Электроды.........................................632
17.1.4. Электролиты.......................................632
17.1.4.1. Электрическая проводимость электролитов...633
17.1.4.2. Закон Фарадея.............................634
17.1.4.3. Электрический двойной слой................636
17.1.4.4. Уравнение Нернста....................... 637
17.1.5. Гальванические элементы...........................638
17.1.5.1. Электролитическая поляризация.............639
17.1.5.2. Топливный элемент.........................639
17.1.5.3. Аккумулятор...............................640
17.1.5.4. Включение гальванических элементов........641
17.1.6. Элекгрокинетический эффект........................641
17.1.6.1. Электрофорез..............................642
17.1.6.2. Электроосмос............................ 642
17.1.6.3. Потенциал течения....................... 642
17.2. Ток в газах.............................................642
17.2.1. Несамостоятельный газовый разряд..................642
17.2.1.1. Дрейфовая скорость ионов в газах..........643
17.2.1.2. Электрическая проводимость в газах........644
17.2.1.3. Рекомбинация..............................644
17.2.1.4. Вольт-амперная характеристика газов.......645
17.2.2. Самостоятельный газовый разряд....................646
17.2.2.1. Типы самостоятельных газовых разрядов.....646
17.2.2.2. Вольт-амперная характеристика газового разряда . 647
17.3. Электронная эмиссия.....................................648
17.3.1. Термоэлектронная эмиссия..........................648
17.3.2. Фотоэффект........................................649
17.3.3. Автоэлектронная эмиссия...........................649
17.3.4. Вторичная электронная эмиссия.....................650
17.4. Электронные лампы .................................. 650
17.4.1. Ламповый диод....................................651
17.4.2. Ламповый триод...................................652
17.4.2.1. Параметры лампы...........................653
17.4.3. Тетрод...........................................655
17.4.4. Катодные лучи....................................655
17.4.5. Каналовые лучи...................................656
Глава 18. Физика плазмы.................................................657
18.1. Свойства плазмы.........................................657
14 Содержание
18.1.1. Характеристики плазмы............................657
18.1.1.1. Коэффициент ионизации....................657
18.1.1.2. Функция распределения плазмы.............658
18.1.1.3. Энергоемкость плазмы.....................661
18.1.1.4. Электрическая проводимость плазмы........661
18.1.1.5. Теплопроводность плазмы..................663
18.1.1.6. Экранирование и длина (радиус) Дебая.....663
18.1.1.7. Частота колебаний плазмы.................665
18.1.2. Излучение плазмы.................................665
18.1.3. Плазма в магнитном поле..........................666
18.1.3.1. Движение заряженных частиц во внешнем поле . . 666
18.1.3.2. Движение носителей заряда в магнитном поле
с соударениями....................................668
18.1.3.3. Дрейф во внешнем электрическом поле.....668
18.1.3.4. Теории континуума........................669
18.1.4. Плазменные волны.................................669
18.1.4.1. Акустические волны в плазме..............670
18.1.4.2. Магнитогидродинамические волны...........670
18.1.4.3. Электромагнитные волны в плазме..........671
18.1.4.4. Затухание Ландау.........................672
18.2. Создание плазмы........................................672
18.2.1. Тепловой метод создания плазмы...................673
18.2.2. Создание плазмы методом компрессии...............673
18.2.2.1. Пинч-эффект..............................674
18.3. Получение энергии при помощи плазмы....................675
18.3.1. МГД-генератор....................................675
18.3.2. Термоядерный реактор.............................676
18.3.3. Синтез в случае магнитного удержания.............678
18.3.4. Синтез в случае инерционного удержания...........679
Глава 19. Таблицы к разделу «Электричество».........................681
Обозначения, принятые в разделе «Электричество».....................681
19.1. Металлы и сплавы......................................684
19.1.1. Удельное электрическое сопротивление............684
19.1.2. Ряд напряжений..................................687
19.2. Диэлектрики...........................................689
19.3. Практические таблицы по электротехнике................697
19.4. Магнитные свойства....................................700
19.5. Ферромагнитные свойства...............................703
19.5.1. Магнитная анизотропия...........................705
19.6. Ферриты...............................................707
19.7. Антиферромагнетики....................................707
19.8. Подвижность ионов.....................................708
Часть IV
Термодинамика
Глава 20. Равновесное состояние системы и его параметры.......................709
20.1. Системы, фазы и равновесное состояние.........................709
20.1.1. Системы.................................................709
Содержание IJ5j)
20.1.1.1. Изолированные или замкнутые системы.........709
20.1.1.2. Закрытые системы............................710
20.1.1.3. Открытые системы............................710
20.1.2. Фазы...............................................711
20.1.3. Равновесие.........................................712
20.1.3.1. Условия равновесия..........................714
20.2. Термодинамические параметры...............................714
20.2.1. Термодинамические параметры: определение понятий. . . . 714
20.2.1.1. Экстенсивные параметры состояния............715
20.2.1.2. Интенсивные параметры состояния.............716
20.2.1.3. Удельные и молярные величины................716
20.2.2. Температура........................................717
20.2.2.1. Единицы измерения температуры...............717
20.2.2.2. Реперные точки..............................719
20.2.2.3. Измерение температуры.......................719
20.2.2.4. Шкала Кельвина и точка абсолютного нуля.....722
20.2.3. Давление...........................................723
20.2.3.1. Единицы измерения давления..................724
20.2.3.2. Измерение давления........................ 725
20.2.4. Число частиц, количество вещества и число Авогадро. . . . 727
20.2.5. Энтропия...........................................730
20.3. Термодинамические потенциалы..............................731
20.3.1. Принцип максимальной энтропии — принцип
минимальной энергии........................................731
20.3.2. Внутренняя энергия как потенциал...................732
20.3.2.1. Внутренняя энергия идеального газа..........732
20.3.3. Энтропия как термодинамический потенциал...........733
20.3.3.1. Энтропия идеального газа....................733
20.3.4. Свободная энергия..................................734
20.3.5. Энтальпия..........................................735
20.3.5.1. Энтальпия идеального газа..................737
20.3.5.2. Энтальпия и фазовые переходы...............737
20.3.5.3. Энтальпия реакции и теорема Гесса..........737
20.3.6. Свободная энтальпия................................738
20.3.6.1. Химические реакции.........................739
20.3.6.2. Принцип Ле Шателье.........................740
20.3.7. Соотношения Максвелла..............................740
20.3.8. Термодинамическая устойчивость.....................741
20.4. Идеальный газ............................................742
20.4.1. Закон Бойля-Мариотта...............................742
20.4.2. Закон Гей-Люссака..................................744
20.4.3. Уравнение состояния................................745
20.5. Кинетическая теория идеального газа......................745
20.5.1. Давление и температура.............................745
20.5.1.1. Средняя квадратичная скорость..............747
20.5.2. Распределение Максвелла-Больцмана..................748
20.5.3. Степени свободы....................................749
20.5.4. Закон равномерного распределения энергии...........750
20.5.5. Явления переноса в газах...........................751
20.6. Уравнения состояния......................................754
20.6.1. Уравнение состояния идеального газа................754
16 Содержание
20.6.1.1. Газовая постоянная.........................754
20.6.1.2. Газовые смеси...............................756
20.6.1.3. Расчет величин с использованием уравнения
состояния идеального газа ...........................757
20.6.1.4. Барометрическая формула зависимости давления
от высоты............................................758
20.6.2. Уравнение состояния реального газа.................758
20.6.2.1. Вириальное уравнение состояния реального газа . 759
20.6.2.2. Уравнение Ван-дер-Ваальса..................760
20.6.2.3. Область сосуществования фаз................762
20.6.2.4. Критическая точка..........................762
20.6.2.5. Закон соответственных состояний............764
20.6.2.6. Уравнение Ван-дер-Ваальса как вириальное
разложение в ряд.....................................764
20.6.3. Уравнения состояния для жидкостей и твердых тел....766
20.6.3.1. Аномалия воды..............................768
Глава 21. Теплота, превращения энергии и изменение агрегатного состояния
вещества................................................................769
21.1. Формы энергии............................................769
21.1.1. Единицы измерения энергии..........................769
21.1.1.1. Внесистемные единицы измерения количества
энергии..............................................770
21.1.2. Работа.............................................770
21.1.3. Химический потенциал...............................772
21.1.4. Теплота............................................772
21.1.4.1. Удельная теплота...........................773
21.2. Превращение энергии......................................774
21.2.1. Превращение эквивалентной энергии в тепло..........774
21.2.1.1. Электрическая энергия......................774
21.2.1.2. Механическая энергия.......................775
21.2.1.3. Энергия сгорания...........................776
21.2.1.4. Энергия Солнца.............................778
21.2.2. Преобразование теплоты в другие формы энергии.......779
21.2.3. Эксэргия и анергия.................................779
21.3. Теплоемкость.............................................780
21.3.1. Полная теплоемкость................................780
21.3.1.1. Теплоемкость химических веществ............781
21.3.1.2. Тепловое значение калориметра..............782
21.3.2. Молярная теплоемкость..............................782
21.3.3. Удельная теплоемкость..............................783
21.3.3.1. Другие свойства удельной теплоемкости......785
21.3.3.2. Удельная теплоемкость смеси веществ........785
21.3.3.3. Удельная теплоемкость газов................785
21.3.3.4. Удельная теплоемкость в идеальном газе.....786
21.3.3.5. Показатель адиабаты........................788
21.3.3.6. Удельная теплоемкость жидкостей и твердых тел .788
21.4. Изменения состояния......................................789
21.4.1. Обратимые и необратимые процессы...................789
21.4.2. Изотермический процесс.............................790
21.4.3. Изобарный процесс..................................791
Содержание
21.4.4. Изохорный процесс..................................792
21.4.5. Адиабатный и изоэнтропийный процесс................793
21.4.5.1. Политропный процесс........................794
21.4.6. Равновесные состояния..............................795
21.5. Основные законы (начала) термодинамики....................796
21.5.1. Нулевое начало термодинамики.......................797
21.5.2. Первое начало термодинамики........................797
21.5.2.1. Эквивалентные формулировки первого начала
термодинамики.........................................799
21.5.2.2. Микроскопические аспекты первого начала
термодинамики . . ...................................799
21.5.3. Второе начало термодинамики........................800
21.5.4. Третье начало термодинамики........................801
21.6. Круговые процессы. Цикл Карно.............................801
21.6.1. Определение. Применение круговых процессов.........801
21.6.1.1. Этапы цикла Карно..........................802
21.6.1.2. Баланс энергии и коэффициент полезного
действия цикла Карно..................................804
21.6.2. Приведенная теплота................................805
21.7. Термодинамические машины..................................806
21.7.1. Прямой и обратный циклы............................806
21.7.2. Тепловые насосы и холодильные установки............807
21.7.3. Цикл Стирлинга.....................................808
21.7.4. Паровая машина.....................................809
21.7.5. Открытые системы...................................810
21.7.6. Двигатель внутреннего сгорания с принудительным
зажиганием и дизельный двигатель...........................811
21.7.6.1. Цикл Отто..................................811
21.7.6.2. Цикл Дизеля................................812
21.7.7. Газовые турбины.................................. 813
21.8. Сжижение газа.............................................814
21.8.1. Получение низких температур........................814
21.8.1.1. Охлаждающие смеси..........................815
21.8.1.2. Теплота растворения........................815
21.8.1.3. Тепловые насосы............................815
21.8.2. Эффект Джоуля-Томпсона............................815
21.8.2.1. Метод Линде................................817
21.8.2.2. Метод Клода................................817
Глава 22. Фазовые превращения, реакции, процессы переноса тепла.........818
22.1. Фаза и агрегатные состояния вещества.....................818
22.1.1. Фазы..............................................818
22.1.2. Агрегатные состояния..............................819
22.1.3. Изменение агрегатного состояния вещества..........819
22.1.4. Пар...............................................821
22.2. Классификация фазовых превращений........................822
22.2.1. Фазовый переход первого рода......................822
22.2.2. Фазовый переход второго рода......................823
22.2.3. Лямбда-переходы...................................824
22.2.4. Область сосуществования фаз ......................824
22.2.5. Критические индексы.............................. 825
18 Содержание
22.3. Фазовые переходы и газ Ван-дер-Ваальса...................826
22.3.1. Фазовое равновесие................................826
22.3.2. Правило Максвелла.................................826
22.3.3. Перегретая жидкость и переохлажденный пар.........829
22.3.4. Закон соответственных состояний................... 829
22.4. Примеры фазовых переходов................................830
22.4.1. Магнитные фазовые превращения.....................830
22.4.2. Превращение типа «порядок беспорядок».............831
22.4.3. Превращения кристаллических структур..............831
22.4.4. Жидкие кристаллы..................................833
22.4.5. Сверхпроводимость.................................834
22.4.6. Сверхтекучесть....................................834
22.5. Многокомпонентные газы...................................835
22.5.1. Парциальное давление и закон Дальтона.............836
22.5.2. Уравнение Эйлера и соотношение Гиббса-Дюгема......837
22.6. Многофазные системы......................................838
22.6.1. Фазовое равновесие................................838
22.6.2. Правило фаз Гиббса................................839
22.6.3. Уравнение Клаузиуса-Клапейрона....................839
22.7. Давление пара в растворах................................840
22.7.1. Закон Рауля.......................................841
22.7.2. Повышение температуры кипения и понижение
температуры отвердевания...................................841
22.7.3. Закон Генри-Дальтона..............................843
22.7.4. Паровоздушные смеси (влажный воздух)..............843
22.8. Химические реакции.......................................848
22.8.1. Стехиометрия......................................849
22.8.2. Правило фаз при химических реакциях...............850
22.8.3. Закон действующих масс............................851
22.8.4. Значение pH и произведение растворимости..........852
22.9. Выравнивание температуры................................854
22.9.1. Конечная температура при теплообмене между двумя
системами..................................................855
22.9.2. Обратимые и необратимые процессы..................856
22.10. Теплопередача..........................................857
22.10.1. Тепловой поток.................................857
22.10.2. Теплоотдача....................................858
22.10.3. Теплопроводность...............................860
22.10.4. Термическое сопротивление......................864
22.10.5. Общая теплопередача............................866
22.10.6. Тепловое излучение.............................872
22.10.7. Излучение на границе раздела сред..............872
22.11. Явления переноса теплоты и массы.......................875
22.11.1. Закон Фурье....................................875
22.11.2. Уравнение неразрывности........................875
22.11.3. Уравнение теплопроводности.....................876
22.11.4. Закон Фика и уравнение диффузии................877
22.11.5. Решение уравнений теплопроводности и диффузии .... 879
Глава 23. Таблицы к разделу «Термодинамика»............................880
Обозначения, принятые в разделе «Термодинамика»........................880
Содержание l^9jj
23.1. Характеристические температуры...........................884
23.1.1. Единицы измерения и опорные точки..................884
23.1.2. Точки плавления и точки кипения....................886
23.1.3. Температуры Кюри и Нееля...........................894
23.2. Характеристики реальных газов............................895
23.3. Термические свойства веществ.............................897
23.3.1. Вязкость...........................................897
23.3.2. Тепловое расширение, теплоемкость и термическая
проводимость...............................................897
23.4. Теплопередача.......................................... 904
23.5. Практические поправочные данные..........................906
23.5.1. Измерение давления.................................906
23.5.1.1. Пересчет на уровень моря..................906
23.5.1.2. Измерения ртутным барометром
(корректировка температуры)..........................909
23.5.2. Измерение объема — пересчет к нормальной температуре .910
23.5.2.1. Измерение объема с помощью стеклянных
измерительных приборов..............................911
23.6. Получение жидких низкотемпературных ванн.................912
23.7. Осушители................................................912
23.8. Давление пара............................................913
23.8.1. Растворы...........................................913
23.8.2. Относительная влажность............................914
23.8.3. Давление паров воды................................914
23.9. Удельная энтальпия.......................................916
Часть V
Квантовая физика
Глава 24. Фотоны — электромагнитное излучение и световые кванты........920
24.1. Закон излучения Планка...................................920
24.2. Фотоэффект...............................................923
24.3. Эффект Комптона..........................................925
Глава 25. Волны материи — волновая механика частиц.....................927
25.1. Волновая природа частиц..................................927
25.1.1. Основы квантовой механики.........................927
25.1.2. Корпускулярно-волновой дуализм....................928
25.2. Принцип неопределенности Гейзенберга....................929
25.3. Волновая функция и измеряемая величина..................930
25.4. Уравнение Шредингера....................................938
25.4.1. Ступенчатый потенциал.............................940
25.4.2. Гармонический осциллятор..........................945
25.4.3. Принцип Паули................................... 947
25.5. Спин и магнитный момент.................................948
25.5.1. Спин..............................................948
25.5.2. Магнитный момент..................................951
Глава 26. Атомная и молекулярная физика................................954
26.1. Основные понятия спектроскопии..........................955
20 Содержание
26.2. Атом водорода...........................................957
26.2.1. Постулаты Бора....................................958
26.3. Стационарные состояния и квантовые числа в центральном поле 963
26.4. Многоэлектронные атомы..................................968
26.5. Рентгеновское излучение.................................973
26.5.1. Использование рентгеновского излучения............975
26.6. Молекулярные спектры....................................976
26.7. Атомы во внешнем поле...................................980
26.8. Периодическая система элементов.........................983
26.9. Взаимодействие фотонов с атомами и молекулами...........986
26.9.1. Спонтанное и индуцированное излучение.............986
Глава 27. Физика элементарных частиц — стандартная модель..............989
27.1. Классификация видов взаимодействия......................989
27.1.1. Стандартная модель................................989
27.1.1.1. Гравитационное взаимодействие.............990
27.1.1.2. Электромагнитное взаимодействие...........991
27.1.1.3. Слабое взаимодействие.....................991
27.1.1.4. Сильное взаимодействие....................993
27.1.2. Кванты поля или калибровочные бозоны..............994
27.1.3. Фермионы и бозоны.................................996
27.2. Лептоны, кварки и векторные бозоны......................998
27.2.1. Лептоны...........................................998
27.2.2. Кварки............................................999
27.2.3. Адроны...........................................1001
27.2.4. Ускорители и детекторы...........................1007
27.3. Симметрия и законы сохранения..........................1009
27.3.1. Сохранение четности и слабое взаимодействие.....1009
27.3.2. Закон сохранения заряда и образование пар.......1011
27.3.3. Зарядовое сопряжение и античастицы..............1012
27.3.4. Инвариантность относительно обращения времени
и обратные реакции......................................1012
27.3.5. Законы сохранения............................. 1013
27.3.6. Стандартная модель с обратной стороны............1014
Глава 28. Ядерная физика..............................................1016
28.1. Составляющие ядра......................................1016
28.2. Основные величины атомного ядра........................1019
28.3. Нуклон-нуклонное взаимодействие........................1022
28.3.1. Феноменологический нуклон-нуклонный потенциал .... 1022
28.3.2. Потенциал обмена мезонами........................1023
28.4. Ядерная модель.........................................1024
28.4.1. Газ Ферми........................................1024
28.4.2. Материя ядра.....................................1025
28.4.3. Модель капли.....................................1025
28.4.4. Модель оболочки..................................1027
28.4.5. Коллективная модель ядра.........................1030
28.5. Ядерные реакции........................................1032
28.5.1. Каналы реакции и эффективное сечение реакции.....1032
28.5.2. Законы сохранения ядерных реакций................1035
28.5.2.1. Закон сохранения импульса и энергии.....1036
Содержание 2Tj
28.5.2.2. Закон сохранения момента импульса.......1037
28.5.3. Упругое рассеяние...............................1038
28.5.4. Ядерная реакция с образованием составного ядра..1039
28.5.5. Оптическая модель...............................1041
28.5.6. Прямая реакция..................................1042
28.5.7. Ядерные реакции с тяжелыми ионами...............1043
28.5.8. Ядерное расщепление.............................1047
28.6. Распад ядра............................................1049
28.6.1. Закон радиоактивного распада....................1050
28.6.2. а-распад........................................1054
28.6.3. р-распад........................................1055
28.6.4. у-распад........................................1058
28.6.5. Эмиссия нуклонов и нуклонных кластеров..........1059
28.7. Ядерный реактор........................................1059
28.7.1. Типы реакторов..................................1062
28.8. Ядерный синтез.........................................1064
28.9. Взаимодействие излучения с веществом...................1067
28.9.1. Ионизирующие частицы............................1067
28.9.2. у-излучение.....................................1070
28.10. Дозиметрия............................................1072
28.10.1. Методы измерения излучения....................1076
28.10.2. Радиоактивность окружающей среды..............1078
Глава 29. Физика твердого тела.......................................1081
29.1. Структура твердого тела................................1081
29.1.1. Некоторые основные понятия физики твердого тела .... 1081
29.1.2. Структура кристалла.............................1082
29.1.3. Решетка Браве...................................1085
29.1.3.1. Простые кристаллические структуры.......1088
29.1.4. Методы исследования структуры...................1089
29.1.5. Соотношения связей в кристаллах.................1091
29.2. Дефекты решетки........................................1096
29.2.1. Точечные дефекты................................1096
29.2.2. Одномерные дефекты..............................1097
29.2.3. Двумерные дефекты...............................1099
29.2.4. Аморфные твердые тела...........................1100
29.3. Механические свойства материалов.......................1101
29.3.1. Макромолекулярные твердые тела..................1101
29.3.1.1. Полимеры.............................. 1102
29.3.1.2. Термопласты.............................1104
29.3.1.3. Эластомеры..............................1104
29.3.1.4. Реактопласты............................1104
29.3.2. Композиционные материалы........................1105
29.3.3. Сплавы..........................................1105
29.3.4. Жидкие кристаллы................................1108
29.4. Фононы и колебания решетки.............................1109
29.4.1. Упругие волны...................................1109
29.4.2. Фононы и удельная теплоемкость..................1114
29.4.3. Модель Эйнштейна................................1115
29.4.4. Модель Дебая....................................1116
29.4.5. Теплопроводность...............................1118
22 Содержание
29.5. Электроны в твердых телах............................1120
29.5.1. Свободный электронный газ......................1121
29.5.2. Зонная модель..................................1127
29.6. Полупроводники.......................................1131
29.6.1. Примесная проводимость.........................1134
29.6.2. Полупроводниковые диоды........................1137
29.6.3. Транзисторы....................................1145
29.6.3.1. Биполярные транзисторы.................1145
29.6.3.2. Принципиальные схемы...................1148
29.6.3.3. Транзистор Дарлингтона.................1153
29.6.4. Полевые транзисторы............................1153
29.6.4.1. Полевой транзистор с р-л-переходом (полевой
транзистор с барьером Шоттки).....................1153
29.6.4.2. Полевой транзистор с изолированным затвором
(МДП-, МОП-транзисторы)...........................1155
29.6.5. Тиристор.......................................1156
29.6.5.1. Симметричный триодный тиристор.........1158
29.6.5.2. Запираемый тиристор....................1158
29.6.5.3. IGBT-тиристор..........................1159
29.6.6. Интегральные микросхемы........................1159
29.6.6.1. Изготовление интегральных микросхем....1159
29.6.6.2. Создание схемных структур..............1160
29.6.7. Операционный усилитель.........................1162
29.6.7.1. Операционный усилитель с отрицательной
обратной связью..................................1164
29.6.7.2. Инверторный усилитель . . . ...........1164
29.6.7.3. Суммирующий усилитель..................1165
29.6.7.4. Интегратор.............................1165
29.6.7.5. Дифференциатор.........................1166
29.6.7.6. Повторитель напряжения.................1167
29.6.7.7. Операционный усилитель с положительной
обратной связью..................................1167
29.6.7.8. Триггер Шмидта.........................1168
29.7. Сверхпроводимость....................................1168
29.7.1. Основные свойства сверхпроводников............1169
29.7.2. Высокотемпературные сверхпроводники...........1173
29.8. Магнитные свойства...................................1175
29.8.1. Ферромагнетизм................................1178
29.8.2. Антиферромагнетизм и ферримагнетизм...........1181
29.9. Диэлектрические свойства.............................1182
29.9.1. Параэлекгрики.................................1187
29.9.2. Ферроэлектрики................................1188
29.10. Оптические свойства кристаллов......................1189
29.10.1. Экситон и его свойства......................1189
29.10.2. Фотопроводимость............................1191
29.10.3. Люминесценция...............................1192
29.10.4. Оптоэлектронные свойства....................1193
Глава 30. Таблицы к разделу «Квантовая физика»......................1195
Обозначения, принятые в разделе «Квантовая физика»..................1195
30.1. Потенциалы ионизации.................................1202
Содержание 23j
30.2. Атомные и ионные радиусы элементов....................1209
30.3. Электронная эмиссия....................................1212
30.4. Рентгеновское излучение................................1216
30.5. Ядерные реакции........................................1216
30.6. Взаимодействие излучения и материи.....................1218
30.7. Эффект Холла...........................................1219
30.8. Сверхпроводники........................................1220
30.9. Полупроводники.........................................1222
30.9.1. Термические, магнитные и электрические свойства
полупроводников..........................................1222
Часть VI.
Приложение
Глава 31. Измерения и погрешности измерений..........................1225
31.1. Описание измерений.....................................1225
31.1.1. Величины и единицы измерения СИ.................1225
31.2. Вычисление погрешностей и статистическая обработка
результатов измерений........................................1229
31.2.1. Виды погрешностей...............................1229
31.2.1.1. Результат измерения.....................1229
31.2.1.2. Погрешность измерения...................1229
31.2.1.3. Расчет погрешности при косвенном измерении. .1231
31.2.2. Среднее значение ряда измерений.................1232
31.2.3. Рассеяние.......................................1234
31.2.4. Корреляция......................................1235
31.2.5. Аппроксимация, регрессия........................1236
31.2.6. Статистические распределения....................1236
31.2.6.1. Особые виды дискретных распределений....1239
31.2.6.2. Особые виды непрерывных распределений...1240
31.2.7. Надежность......................................1242
Глава 32. Векторное исчисление.......................................1245
32.1. Векторы и скаляры.....................................1245
32.2. Умножение вектора на скаляр...........................1246
32.3. Сложение и вычитание векторов.........................1247
32.4. Умножение векторов....................................1248
Глава 33. Элементы дифференциального и интегрального исчисления......1251
33.1. Элементы дифференциального исчисления.................1251
33.1.1. Правила дифференцирования.......................1251
33.2. Интегральное исчисление...............................1252
33.2.1. Правила интегрирования..........................1253
33.3. Производные и интегралы элементарных функций..........1254
Глава 34. Таблицы к разделу «Международная система единиц»...........1255
АВТОРЫ
Доктор Кристоф Бест, Neumann Institute of Computing, NIC, исследова-
тельский институт Юлих (механик),
Дипломированный инженер Гельмут Кутц, Mauserwerke AG, Оберндорф,
Профессор, доктор Рудольф Питка, Высшая школа, Франкфурт,
Доктор Кордт Грипенкерл, Университет г. Франкфурта, (разделы «Коле-
бания», «Волновые процессы», «Акустика» и «Оптика»),
Профессор, доктор Штефен Борман, Высшая техническая школа, Ман-
хейм,
Дипломированный физик Клаус Хорн, Высшая школа, Франкфурт,
Доктор Кристиан Гофман, Deutsche Bank (разделы «Электричество»,
«Магнетизм»),
Доктор Клаус-Юрген Лутц, Университет г. Франкфурта,
Профессор, доктор Рудольф Тауте, Высшая школа телекоммуникаций,
Берлин,
Профессор, доктор Георг Терлеки, Высшая школа Рейнланд-Пфальц,
филиал г. Кайзерслаутерн,
Профессор, доктор Кристоф Нартнак, Ecole de Mines et Subatech, Нант
(«Т ермодинамика»),
Дипломированный инженер-экономист (бакалавр) Йохен Гербер, Вы-
сшая школа, Франкфурт, и Артур Д. Литтл, Швальбах,
Доктор Людвиг Найзе, Университет г. Франкфурта,
Профессор, доктор Александр Андреев, бывш. Технический Университет
г. Дрездена, («Квантовая физика»),
Доктор Маркус Гофман, Университет г. Франкфурта и SUN Microsys-
tems,
Доктор Кристиан Шпилес, Университет г. Франкфурта и кредитный
банк восстановления.
Также в работе над книгой участвовали:
Профессор, доктор Ганс Бабовский, Технический Университет Ильме-
нау,
Доктор Гайнер Генг, Freudenberg & Со., Вайнхейм,
Дипломированный физик Франк Гейдер, Физический институт, г. Франк-
фурт,
Доктор Андре Янс, Университет г. Франкфурта,
Профессор, доктор Карл-Хайнц Камперт, Технический университет и
исследовательский центр, Карлсруэ,
Профессор, доктор Ральф Рюдигер Кориес, Высшая школа телекомму-
никаций, Лейпциг,
Дипломированный инженер химик Имке Крюгер-Видорн, Академия ес-
тественных и технических наук Иены и Бик-Гюлден,
Дипломированный физик Кристиан Лесны, Университет г. Франкфурта,
Профессор, дипломированный инженер Гольгер Лутц, Высшая школа
Гисен-Фридберг,
Профессор, дипломированный инженер Моника Лутц, Высшая школа
Гисен-Фридберг,
Доктор Рафаэль Матиелло, Университет г. Франкфурта,
Доктор Йорг Мюллер, Университет Теннеси, Кноксвил,
Доктор Юрген Мюллер, Denton Vacuum Inc. и APD Criogenics Inc.,
Франкфурт,
Профессор, доктор Готфрид Мюнценберг, Университет Гисен и GSI
Дармштадт,
Академик, высший советник, доктор наук Гельмут Ёшлер, Техническая
высшая школа, Дармштадт,
Профессор, доктор Роланд Райф, бывш. Технический Университет г.
Дрездена,
Академик, высший советник, доктор Йохим Рейнхардт, Университет г.
Франкфурта,
Доктор Ганс-Георг Ройш, Университет г. Мюнстера и Научный центр
Гейдельберга,
Доктор Матиас Розеншток, Nova Data,
Доктор Волфганг Шэфер, Bosch-Telekom, Париж,
Профессор, доктор Альвин Шемпп, Институт прикладной физики, Уни-
верситет г. Франкфурта,
Профессор, дипломированный инженер Хайнц Шмидт-Вальтер, Высшая
школа, Дармштадт,
Профессор, доктор Бернд Шюрманн, Siemens AG, Мюнхен,
Ассистент по физике и технике Астрид Стейдл, Академия естественных
и технических наук, Иены
Доктор Юрген Тейс, Infraserv,
Профессор, доктор Томас Вайс, Университет г. Дортмунда,
Профессор, дипломированный инженер Вольфганг Вендт, Высшая тех-
ническая школа, Эсслинген,
Доктор Михаэль Видорн, Объединенный институт Эссен и PSI Берн,
Доктор Бернд Вольф, Физический институт, Университет г. Франкфур-
та,
Дипломированный инженер Дитер Цетч, глава Daimler-Chrysler, Штут-
гарт.
Использованы материалы из учебников по физике
Профессора, почетного доктора Вальтера Грайнера, Университет г.
Франкфурта,
Профессора, почетного доктора Вернера Мартинсена, Физический ин-
ститут, Франкфурт.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Прикладная физика сегодня является неотъемлемой частью множества об-
ластей технических и фундаментальных наук. Обучение и практические зна-
ния приобретают все большую важность и позволяют применять основы
физики и современные методы измерения.
Справочник по физике был разработан коллективом опытных преподава-
телей вузов, ученых и занимающихся практической деятельностью инжене-
ров. Основной девиз книги — краткость и удобство, в ней в компактной фор-
ме собраны все важные формулы, таблицы и методы их использования.
В справочнике по физике объединены:
• базовые знания, необходимые поступающим в вузы, ученикам средне-
специальных учебных заведений, а также студентам первых курсов ву-
зов,
• дополнительные знания для лиц, занимающихся углубленным изучением
физики,
• прикладные знания по физике, которые могут быть полезны инженерам
и ученым, занимающимся практической деятельностью.
Справочник по физике является:
• превосходным источником для быстрого поиска информации при подго-
товке к контрольным работам и экзаменам,
• надежным пособием при решении задач и упражнений,
• современным справочным пособием для профессиональной практики.
Каждая глава является отдельным модулем и включает в себя:
▲ понятия и определения, формулы, правила и теоремы,
примеры и использование материала на практике,
> указания на возможные источники ошибок, подсказки и перекрестные
ссылки,
0 применяемые на практике методы измерения, а также многочисленные
таблицы физических постоянных и свойств различных материалов.
Достоинством справочника является наглядное описание и представле-
ние физических понятий и формул: для каждой физической величины в
компактной форме приведена вся необходимая информация, например, ме-
тоды измерения, важные законы, схожие величины, постоянные вещества,
единицы измерения в СИ, размерности, формулы для преобразования и
практические указания.
Пользователь быстро и легко сможет найти необходимую информацию
благодаря удобному оформлению книги:
• структурированное содержание,
• метки на полях, позволяющие быстро открыть необходимую главу, и
цветные закладки,
• подробный предметный указатель.
Справочник по физике — как и справочник по математическим форму-
лам и современным методам под редакцией X. Штёкера — подойдет в ка-
честве справочного пособия, дополняющего учебник и книгу для препода-
вателя «Физика. Основной курс», авторами которых являются Р. Питка,
Ст. Борман, X. Штёкер и Г. Терлеки.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Естественные науки не стоят на месте. Поэтому в 2004 году вышло уже 5-е
издание справочника.
Содержание было исправлено и переработано с учетом дополнений
и критических замечаний, в частности профессором Н. Лутцем и доктором
Н. Р. Киссенером. Также были учтены критические замечания читателей.
Справочник получил международное признание: французское издание
«Toute la Physique» и американское/английское издание «Handbook of Phy-
sics» пользуются заслуженным успехом во многих странах.
Сегодня существует и специальное предложение, наряду с книжным из-
данием. Это книга с прилагаемым к ней многоплатформным компакт-дис-
ком. На нем имеется полный текст справочника, удобная функция поиска,
цветные графики и новые Ява-аплеты, которые были разработаны профес-
сором П. Юнгласом. Дополнительно (начиная с 5-го издания) диск содер-
жит все справочные таблицы (в формате pdf).
Книга и компакт-диск окажут всестороннюю поддержку пользователям
в процессе обучения и, прежде всего, в профессиональной деятельности.
Соотношение цена—качество данного комплекта очень благоприятны.
Редактор, авторы и издательство будут благодарны читателям за крити-
ческие замечания и оценки данной книги.
Профессор X. Штёкер,
Издательство Harri Deutsch
Grafstr. 47
D-60486, Франкфурт-на-Майне,
Электронная почта: verlag@harri-deutsch.de
www. harri - deutsch. de/verlag
Часть I
МЕХАНИКА
ГЛАВА I
КИНЕМАТИКА
Кинематика — наука о движении тела. В кинематике рассматривается мате-
матическое описание движения тела безотносительно к тем причинам, кото-
рые вызывают это движение. Основными кинематическими характеристика-
ми являются положение, путь, время, скорость и ускорение.
1.1. Описание движения
Движение — это изменение положения тела в пространстве с течением вре-
мени. Для описания движения положению тела в системе координат при-
сваиваются определенные численные значения (координаты), изменение
которых во времени характеризует движение.
Равномерное движение — это такое движение, при котором тело за рав-
ные промежутки времени проходит одинаковые участки пути. Противопо-
ложностью является неравномерное движение.
1.1.1. Системы отсчета
1. Размерность пространства
Размерность пространства — это количество числовых координат, кото-
рые необходимы для определения положения тела в этом пространстве.
Пространство вдоль прямой является одномерным, так как для опреде-
ления положения тела в нем нужна только одна числовая координата;
плоскость является двумерным пространством с двумя числовыми коор-
динатами; пространство, в котором мы существуем, является трехмер-
ным, так как для определения положения тела в нем достаточно трех
числовых координат.
Любая точка на земной поверхности может быть определена указанием
ее географической долготы и широты. Размерность земной поверхно-
сти — 2.
Пространство, в котором мы движемся, является трехмерным. Движение
в плоскости является двумерным, движение по железнодорожным рель-
сам является одномерным. Для дальнейшего обобщения следует упомя-
нуть нульмерную точку и четырехмерный пространственно-временной
континуум (пространство Миньковского).
Глава 1. Кинематика
Рис. 1.1. Аффинная система ко-
ординат на плоскости. Коорди-
наты точки Р: ^i, Гц
> В условиях ограничения движения (например, при управляемом движе-
нии вдоль шины или плоскости) размерность пространства уменьшается.
2. Системы координат
Системы координат служат для математического описания движения.
Они присваивают каждому положению тела определенные числовые коор-
динаты. С их помощью движение можно описать математической функ-
цией, которая определяет координаты положения тела в пространстве в лю-
бой заданный момент времени.
Существуют различные системы координат (е,: единичный вектор в i-м
направлении):
а) Аффинная система координат, в дву-
мерном случае это две проходящие через
точку О прямые — оси координат (угол
между прямыми может быть любым,
рис. 1.1), в случае трех измерений — коор-
динатными осями являются три различные
прямые, не лежащие в одной плоскости и
проходящие через начало координат О. Ко-
ординаты т|, £ точки пространства опре-
деляются как проекции на оси координат,
проведенные параллельно трем координат-
ным плоскостям, образованным любой па-
рой координатных осей.
б) Декартова система координат, особый
случай аффинной системы координат, со-
стоит из расположенных друг к другу под
прямым углом координатных прямых. Ко-
ординаты х, у, z точки пространства Р явля-
ются перпендикулярными проекциями точ-
ки Р на эти оси (рис. 1.2).
Линейное элементарное приращение:
dr = dxex + dyey + dzez.
Элементарное приращение в плоскости
х,у:
dA = dxdy.
Элементарное приращение объема:
dK = dxdydz.
Правая прямоугольная декартова система
координат — это особое расположение коор-
динатных осей в трехмерном пространстве. Оси х, у и z соответствуют боль-
шому, указательному и среднему пальцу правой руки (рис. 1.3).
в) Система полярных координат на плоскости. Полярные координаты —
это расстояние г от начала отсчета и угол ср, который образует радиус-век-
тор с направлением отсчета (положительным направлением оси х) (рис. 1.4).
Рис. 1.2. Декартова система ко-
ординат в трехмерном про-
странстве. Координаты точки
Р' х, у, z
Линейное элементарное приращение: dr = drer + гскрёф.
Элементарное приращение в плоскости: dA = rdrdcp.
1.1. Описание движения
Рис. 1.3. Правая и левая системы
координат: а — правая система;
б — левая система
Рис. 1.4. Полярные ко-
ординаты на плоскости.
Координаты точки Р: г, ф
Рис. 1.5. Сферическая система ко-
ординат
Рис. 1.6. Цилиндрическая система
координат
г) Сферическая система координат —
обобщение полярной системы координат
в трехмерном пространстве. Сферически-
ми координатами являются расстояние г
от начала отсчета, угол 3, который образу-
ет радиус-вектор по отношению к оси z, и
угол ф, который образует проекция ради-
ус-вектора на плоскость х-у с положитель-
ным направлением оси х (рис. 1.5).
Линейное элементарное приращение:
dr = drer + МЭё0 + г sin £ккреф.
Элементарное приращение объема:
dK = г2 sin Sdrdlkkp.
Элементарное приращение телесного
угла:
dQ = sin 3d9d(p.
д) Цилиндрическая система коорди-
нат — смесь декартовой и полярной сис-
тем координат в трехмерном пространст-
ве. Цилиндрическими координатами яв-
ляются проекция радиус-вектора г на
ось z и полярные координаты (р, ф) в
плоскости, перпендикулярной оси г, т. е.
перпендикуляр р на ось г и угол, кото-
рый образует этот перпендикуляр с по-
ложительной осью х (рис. 1.6).
Линейное элементарное приращение:
dr = dpep + pd<pee(p + скеег.
Элементарное приращение объема:
dK = pdpdtpck.
32 Глава 1. Кинематика
3. Система отсчета
Система отсчета состоит из системы координат, определяющей относи-
тельное положение тела в механической системе, и часов для индикации
времени. Связь между системой отсчета и физической реальностью произ-
водится с указанием точек отсчета и/или направления отсчета.
В декартовой системе координат двух измерений необходимо задать на-
чало координат и направление оси х, для трехмерной системы координат
также необходимо задать направление оси у.
▲ Не существует никакой абсолютной системы отсчета. Любое движение
является относительным, т. е. оно зависит от выбранной системы отсче-
та. Определение абсолютного движения без указания системы отсчета не
имеет никакого физического смысла. Указание системы отчета для опи-
сания любого движения является обязательным условием.
> Одно и то же движение в разных системах отчета может быть описано
по-разному. Правильный выбор системы отсчета часто является предпо-
сылкой для существенного упрощения расчетов, связанных с движением.
4. Радиус-вектор и функция, описывающая движение тела
Радиус-вектор (г) — это вектор, соединяющий начало координат с точкой
пространства, имеющей координаты (х, у, z)- Радиус-вектор можно предста-
вить как матрицу, компонентами которой являются координаты точки:
г = у
И
(
Функция f(7) = у(/) описывает движение тела и определяет положение
z(t)
тела в любой момент времени t. Уравнения, однозначно описывающие за-
кон изменения пространственных координат точки с течением времени, на-
зывают также кинематическими уравнениями движения точки. С их помо-
щью движение тела может быть описано полностью и однозначно.
5. Траектория
Траекторией движения тела называется совокупность точек в простран-
стве, которые проходит тело при своем движении.
Траекторией материальной точки, которая закреплена на вращающемся
колесе радиуса R на расстоянии а < R от оси вращения, является окруж-
ность. Если колесо прямолинейно катится по плоскости, то точка дви-
жется по укороченной циклоиде (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Укороченная циклоида как сложение вращательного и поступатель-
ного движения тела
1.1. Описание движения
6. Уравнение траектории
Уравнение траектории в параметриче-
ской форме — это представление траекто-
рии точки как функции г(р) параметра р,
который может быть моментом времени t
или пройденным путем s. При увеличении
параметра материальная точка движется
по траектории в положительном направле-
нии (рис. 1.8).
> Используя только известную траекто-
рию и не зная зависящих от времени
кинематических уравнений движения
точки, ее скорость установить нельзя.
Рис. 1.8. Кривая, описывающая
траекторию как функцию r(f)
а) Пример: движение материальной точки по окружности. Рассмотрим
движение материальной точки по окружности радиусом R в плоскости х.у
трехмерного пространства. Параметром, определяющим траекторию, являет-
ся угол поворота ср в зависимости от времени t.
• в сферических координатах:
г = R, 0 = л / 2, ср = ф(0,
• в декартовых координатах:
х(/) = R • cos ф(0, ЯО = Л • sinф(/), z(f) = О
(рис. 1.9).
б) Пример. Точка на катящемся коле-
се. Траекторией точки, находящейся на
расстоянии a<R от оси вращения колеса
(где R — радиус колеса), которое катится
вправо с постоянной скоростью, является
укороченная циклоида. Параметром,
определяющим вид укороченной циклои-
ды в декартовой системе координат явля-
ется угол поворота <p(Z) (рис. 1.10):
x(t) = uZ - a sincp(Z),
y(t) = R-a cos ф(0.
7. Степени свободы
Степени свободы механической систе-
мы — это количество независимых вели-
чин, которые необходимы для однознач-
ного определения положения этой систе-
мы в пространстве.
Рис. 1.9. Движение по окружно-
сти радиусом R. Элементарное
приращение угла поворота: Дер,
элементарное приращение дуги
Дх = R • Дер
Рис. 1.10. Параметрическое пред-
ставление движения по укоро-
ченной циклоиде с помощью
угла поворота ф как функции от
времени t
Материальная точка в трехмерном
пространстве имеет три степени свобо-
ды (поступательное движение в трех
независимых друг от друга направле-
2—3814
Глава 1. Кинематика
ниях х, у и z)- Свободная система из N материальных точек имеет коли-
чество степеней свободы, равное 3 -7V.
Если движение системы из N материальных точек ограничено внешними
или внутренними дополнительными условиями, то есть между координата-
ми ц, г2,... существует к дополнительных уравнений связи:
ga(ri,r2,...,iW) =0,а = 1,2,...Л,
то система имеет f = 3 • N - к степеней свободы.
Для материальной точки, которая может двигаться только в плоскости
х,у (уравнение связи z = 0), остаются только две степени свободы. Мате-
риальная точка имеет только одну степень свободы, если ее движение
происходит только вдоль оси х (уравнения связи: у = 0, z = 0).
Система из двух материальных точек, связанных между собой твер-
дым стержнем, имеет 6-1 = 5 степеней свободы (уравнение связи:
(fi -г2)2 =/2, гьг2: радиус-векторы материальных точек).
Абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы: три поступате-
льные степени свободы и три вращательные степени свободы. Если абсо-
лютно твердое тело закреплено только в одной точке (гироскоп), то остают-
ся только три вращательные степени свободы. Абсолютно твердое тело, ко-
торое может вращаться вокруг неподвижной оси, является физическим ма-
ятником с одной единственной вращательной степенью свободы.
Способное к внутренней деформации непрерывное распределение мате-
риальных точек (пространственная модель упругого тела) имеет бесконечное
число степеней свободы.
1.1.2. Время
1. Определение и измерение времени
Время (/) служит для количественного определения изменяющихся со
временем процессов.
Периодические (повторяющиеся) процессы в природе используются для
определения единиц измерения времени.
Период (промежуток) времени (Д/) — это расстояние во времени между
двумя событиями.
@ Измерение времени с помощью часов основывается на периодических
(маятник, крутильное колебание) или равномерных (ранее использова-
лось горение свечи, водяные часы) процессах, происходящих в природе.
Гравитационный маятник имеет то преимущество, что его период Т за-
висит только от его длины / (и от величины ускорения свободного паде-
ния в данной местности g): Т = 2п^1 / g. Принцип действия механиче-
ских карманных часов основывается на периодическом вращательном
движении балансира часов, которое происходит под действием спираль-
ной пружины. Современные методы используют электрические колеба-
тельные контуры, частота которых стабилизируется с помощью резонан-
сной частоты кварцевого кристалла или физических процессов, происхо-
дящих внутри атома.
1.1. Описание движения
[м] Секундомер служит для измерения интервалов времени, часто использу-
ется совместно с механическим или электрическим датчиком сигналов
(выключатель, фотоячейка).
Типичная точность часов составляет около минуты в день для механиче-
ских часов, несколько десятых доли секунды в день для кварцевых часов
и около 10"14 (секунда за несколько миллионов лет) для атомных часов,
которые в том числе и в Германии служат первичным эталоном времени
(время устанавливается Федеральным управлением по физике и технике
в Брауншвайге).
2. Единицы измерения времени
Секунда (с) — это единица измерения времени, принятая в Междуна-
родной системе единиц (СИ). Секунда — одна из основных единиц и опре-
деляется как время 9 192 631 770 колебаний электромагнитного излучения
генератора на основе цезия 133 (относительная точность 10-14). Изначально
секунда определялась как 1/86400 часть средних световых суток, которые де-
лились на 24 часа, состоящие из 60 минут по 60 секунд. Длина дня оказа-
лась недостаточно постоянной, чтобы служить эталоном измерения време-
ни:
[Z] = с = секунда.
Другие единицы измерения:
1 минута (мин) = 60 с,
1 час (ч) = 60 мин = 3600 с,
1 сутки = (сут.) = 24 ч - 1440 мин = 86400 с,
1 год (год) = 365,2425 сут.
> Стандарт времени является доступным для всех посредством передавае-
мых по радио сигналов точного времени (в Германии — посредством
длинноволнового передатчика DLF77 во Франкфурте).
> Год по григорианскому календарю равен 365,2425 суток и имеет откло-
нение от тропического года в 3/10000 суток.
Кроме этого, время измеряется в неделях (7 суток) и в месяцах (от 28 до
31 суток) по григорианскому календарю.
3. Календарь
Календарь служит для деления времени на большие промежутки. Кален-
дарная система основывается на лунном цикле (примерно 28 суток) и сол-
нечном цикле (примерно 365— суток). Так как эти числа не являются крат-
4
ными, то возникла необходимость введения добавочного дня (в високосном
году).
В Германии действует григорианский календарь, который с 1582 года за-
менил действующий до этого юлианский календарь, при этом был изменен
порядок начисления добавочных дней для более правильного определения
столетия. С тех пор весеннее равноденствие попадает на 21 или 20 марта.
> Юлианский календарь использовался в восточно-европейских странах
частично до Октябрьской революции 1917 года. В настоящий момент он
отстает от григорианского календаря примерно на две недели.
Глава 1. Кинематика
Дополнительный день вводится один раз в четыре года (при этом номер
года должен быть кратным 4). Исключением являются полные столетия, ко-
торые не делятся на 400 (2000 год — високосный, 1900 — нет).
Календарная неделя. Год состоит из 52 или 53 недель. Первой календар-
ной неделей считается та, в которой содержится первый четверг года.
> Первым днем недели в обычной неделе считается понедельник, но в со-
ответствии с христианскими традициями — воскресенье.
В григорианском календаре летоисчисление ведется в возрастающей по-
следовательности. Даты до первого года обозначаются «до н. э.» (до нашей
эры) или (В. С.) (before Christ).
> Нулевого года не существует, после первого года до н. э. следует первый
год нашей эры (н. э.).
> Юлианский способ подсчета дней: временная шкала в астрономии.
Другие календарные системы. Также используются следующие календар-
ные системы: иудейский (луносолярный календарь, смесь лунного и солнеч-
ного календарей с годами различной длины и дополнительными месяцами,
летоисчисление ведется от 7 октября 3761 до н. э., так называемого «сотво-
рения мира», начало года — в сентябре или октябре, 1997 год соответствует
5758 году) и мусульманский календарь (чистый лунный календарь с допол-
нительным месяцем, летоисчисление начинается с побега Магомета из Мек-
ки 16 июля 622 г. н. э., 1418 год по мусульманскому календарю соответству-
ет 1997 году по григорианскому календарю).
1.1.3. Длина, площадь, объем
1. Длина
Длина (/) —- это расстояние (кратчайшая линия) между двумя точками в
пространстве.
Метр (м) — это единица измерения расстояния, принятая в СИ. Эта
основная единица измерений определяется как расстояние, которое прохо-
дит свет в вакууме за время, равное 1/299792458 секунды (относительная
точность 10~14). Изначально метр определялся как одна сорокамиллионная
часть охвата земного шара и представлялся в Международном бюро мер и
весов в Париже в виде исходного эталона из платиново-иридиевого сплава.
[/] = м = метр.
Другие единицы измерения см. в табл. 34.0/3.
2. Измерения длины
Измерение длины изначально проводилось с помощью задания и много-
кратного повторения единицы длины при измерении (например, эталонный
метр, измерительная лента, дюймовая линейка, измерительный винт, мик-
рометрический винт, часто с нониусными делениями для более точного
считывания результата).
Интерферометр: в этом приборе применяется оптический метод точного
измерения длины (см. 12.5.4, п. 8). В качестве масштаба используется длина
волны монохроматического светового излучения.
Сонар (ультразвуковой гидролокатор): акустический способ измерения
расстояния с помощью определения времени прохождения ультразвука. Ис-
пользуется на кораблях. Сегодня достаточно редко применяется, например,
для измерения расстояния в фотокамерах.
Радар служит для измерения расстояния с помощью определения време-
ни прохождения отраженного от объекта электромагнитного излучения.
Измерение длины возможно с относительной точностью до 10-14. С по-
мощью микрометрических винтов можно получить точность вплоть до
10-6 метра.
Триангуляция — геометрический способ измерения длины. В нем испо-
льзуется то свойство, что длину двух сторон треугольника можно рассчи-
тать, когда известна третья сторона и два утла этого треугольника. Исходя
из известной длины одной из сторон, с помощью дальнейшего измерения
углов посредством теодолитов, могут быть измерены практически любые
расстояния.
Параллакс — различие в направлении, в котором виден объект, если он
рассматривается из двух различных точек. Используется для измерения боль-
ших расстояний.
Рис. 1.11. Параллакс 0 при расстоянии между точками наблюдения / и уда-
лении от объекта d\ tg 0 = l/d или 0 « l/d для d > I
3. Площадь и объем
Площадь А и объем V являются производными величинами от длины.
Квадратный метр (м2) — единица измерения площади, принятая в СИ.
Квадратный метр — площадь одного квадрата с длиной боковой стороны
1 метр.
[Л] = м2 = квадратный метр.
Кубический метр (м3) — единица измерения объема, принятая в СИ.
Кубический метр — это объем куба с длиной ребра 1 метр.
[И] = м3 = кубический метр.
Другие единицы измерения см. в табл. 34.0/3 и 34.0/4.
|м] Измерение площади может производиться с помощью деления на про-
стые геометрические фигуры (прямоугольники, треугольники), стороны
и углы которых измеряются различными методами (например, с помо-
щью триангуляции), при этом результирующая площадь определяется
расчетным способом. Прямое измерение площади может производиться
подсчетом закрытых квадратов на измерительной решетке.
Аналогично объем полостей может быть определен путем заполнения
полостей геометрическими телами (куб, пирамида и т.д.).
Глава 1. Кинематика
[м] Для измерения объема жидкостей используются измерительные сосуды с
известным объемом. Объем твердого тела можно измерить путем погру-
жения его в жидкость (см. подраздел 6.2.3). При известной плотности р
для однородного тела объем V может быть определен с учетом массы т
по формуле V = т/р.
> Десятичные кратные приставки для единиц измерения объема и площади.
Кратные десятичные приставки основываются на единице измерения
длины, а не на единицах измерения площади или объема:
1 кубический сантиметр = 1 см3 = (1 см)3 = (1 • 10~2 м)3 = 1 • 10-6 м3.
У. У.4. Угол
1. Определение угла
Угол <р — это величина расхождения между двумя прямыми, лежащими
в одной плоскости. Угол образуется двумя прямыми (сторонами угла) и их
точкой пересечения (вершиной угла). Угол измеряется следующим обра-
зом: проводится окружность с центром в вершине угла, и измеряется дли-
на дуги окружности между точками ее пересечения со сторонами угла
(рис. 1.12).
Угол и дуга 1
/ ф =- г Символ Единица измерения Название
ф / г рад м м Угол Длина дуги Радиус
Рис. 1.12. Определение угла ф между прямыми g\ и g^
с помощью измерения длины дуги / и радиуса г, I - г-ф.
Здесь S — вершина угла
2. Единицы измерения угла
а) Радиан (рад) — единица измерения угла, принятая в СИ. Один ради-
ан — это угол, при котором длина дуги окружности между точками ее пере-
сечения со сторонами угла, равна радиусу окружности. Полный круг соот-
ветствует углу, равному 2л рад.
> Радиан (и градус), является основной единицей измерения углов в СИ и
имеет единицу измерения: 1 рад = 1 м /1 м.
б) Градус (°) — также основная единица для измерения углов. Градус
определяется как 1/360 часть полного круга. Расчет производится по следу-
ющим формулам:
. 360° ,о
1 рад =-----= 57,3 ,
2л
1° = -^ =0,0175 рад.
360° р
1 градус (°) = 60 угловых минут (') = 3600 угловых секунд (").
в) Гон (ранее град) — используемая в измерительной технике единица
измерения угла: 1 гон равен 1/100 прямого угла.
1 гон = 0,9° = 0,0157 рад,
1° = 1,11 гон,
1 рад = 63,7 гон.
[м] Измерение угла:
Измерение угла производится непосредственно по угловой шкале или
измерением хорды угла и расчетом при известном радиусе. При опреде-
лении расстояний с помощью триангуляции для измерения угла служат
теодолиты.
3. Телесный угол
Телесный угол (Q) определяется площадью некоторой сферы единично-
го радиуса, ограниченной конической поверхностью, в частности, трехгран-
ные или многогранные углы ограничены тремя или многими плоскими гра-
нями, сходящимися в вершине телесного угла, который является также цен-
тром сферы единичного радиуса (рис 1.13).
Телесный угол
Q = — г2 Символ Единица измерения Название
Q А г ср м2 м Телесный угол Площадь поверхности, вырезанной из сферы Радиус сферы
Рис. 1.13. Определение телесного угла Q с помо-
щью измерения площади поверхности А и радиу-
са г (Q = Л/г2)
Стерадиан (ср) — единица измерения телесного угла, принятая в СИ.
1 стерадиан равен такому телесному углу, который на сфере радиусом 1 метр
ограничивает поверхность площадью 1 квадратный метр. Эта поверхность мо-
жет быть любой формы или состоять из независимых друг от друга частей.
▲ Полный телесный угол равен 4л ср.
> Радиан и стерадиан имеют размерность 1.
Рис. 1.14. Определение единицы измерения радиана (рад) (а) и стерадиана
(ср) (б). Площадь части сферы А задается с помощью формулы:
А = 2nR’h
1.1.5. Механические системы
1. Материальная точка
Материальная точка, точечная масса — это идеальная модель тела, пред-
ставляемого математической точкой с бесконечно малыми размерами, но
конечной массы. Материальная точка не имеет вращательных степеней сво-
боды. При расчете движения тела модель материальной точки может быть
использована в случае, если в заданных физических условиях достаточно
рассматривать только движение центра масс тела без учета пространствен-
ного распределения его массы.
> Для математического описания движения твердого тела не совершающе-
го вращения всегда можно использовать модель материальной точки, по-
ложение которой соответствует центру тяжести данного твердого тела
(см. 3.1.2).
При описании движения планет в солнечной системе часто возможно
рассматривать планеты как материальные точки, так как их размеры ни-
чтожно малы по сравнению с расстояниями между солнцем и планетами.
2. Система материальных точек
Если система состоит из N отдельных материальных точек 1,2,...,7V, то ее
движение может быть описано через задание радиус-векторов ц, г2... rN как
функций времени t: ^(/), i = 1,2...N (рис. 1.15).
3. Силы, действующие в системе материальных точек
а) Внутренние силы — это силы, действующие между частицами данной
системы. Внутренними силами обычно являются силы взаимодействия меж-
ду двумя телами (парные силы), которые зависят от расстояний между дву-
мя телами (а также от их скоростей).
б) Внешние силы — силы, воздействующие на систему извне. Внешние
силы исходят от тел, которые не принадлежат этой системе.
в) Силы упругости, или силы реакции (на внешние силы), возникают
при внешнем воздействии на данную систему. При описании движения
взаимодействие между системой и источниками внешних сил заменяется
силами реакции. Силы реакции опоры ограничивают движение системы.
L1. Описание движения
Рис. 1.15. Механическая система: а — система из N материальных точек;
б — абсолютно твердое тело
Ограниченное (финитное) движение: движение тела подвешенного к за-
крепленной на одном конце нити, движение материальной точки на
плоской поверхности, движение точки вдоль прямой или вместе с вра-
щающейся шиной, движение пули в стволе.
4. Свободные и замкнутые системы
Свободная материальная точка или система материальных точек — это
такая точка или система, которая может следовать воздействию внешних
сил без ограничивающих движение сил упругости. Замкнутая система — это
такая система, на которую не действуют никакие внешние силы.
5. Абсолютно твердое тело
Абсолютно твердое тело — это такое тело, материальные точки в котором
всегда находятся на одном и том же расстоянии друг от друга, т.е. соединены
между собой твердыми связями. Для расстояний между всеми точками абсо-
лютно твердого тела /, j действительно: | rz(r) - г//) | = ^ = const (рис. 1.15).
6. Движение абсолютно твердого тела
Любое движение абсолютно твердого тела может быть представлено как
суперпозиция двух видов движения (рис. 1.16):
Рис. 1.16. Поступательное и вращательное движения абсолютно твердого
тела: а — поступательное движение, б — вращательное движение,
в — одновременно происходящие поступательное и вращательное
движения
Глава 1. Кинематика
а) Поступательное движение — каждая точка тела проходит равный путь
в одном и том же направлении. Движение всего тела может быть описано
движением только лишь одной материальной точки.
б) Вращательное движение — все точки тела движутся вокруг одной об-
щей оси. При этом, любая точка тела сохраняет свое расстояние от оси вра-
щения и движется по окружности.
7. Деформируемое тело
Деформируемое тело может изменять свою форму под воздействием
внешних сил. Это тело может быть представлено как:
• система дискретных материальных точек, которые связаны между собой,
или
• пространственная модель, в которой тело заполняет пространство без
пропусков.
1.2. Одномерное движение
В настоящем параграфе рассматривается движение по прямолинейной тра-
ектории. В качестве координаты выбирают расстояние х, на котором нахо-
дится тело от начала отсчета, выбранного на оси движения. Знак перед х
указывает направление, в котором тело движется или находится относитель-
но начала отсчета. Положительное направление по оси х выбирается для
большего удобства при рассчете.
График зависимости координаты тела от времени позволяет получить
графическое представление движения (+ функция траектории х(/)) материа-
льной точки в виде двумерного графика. На горизонтальной оси откладыва-
ется время Г, на вертикальной — координата х.
1.2.1. Скорость
Скорость — это величина, которая характеризует движение материальной
точки в каждый момент времени. Различают среднюю скорость их и мгно-
венную скорость их.
1.2.1.1. Средняя скорость
1. Определение средней скорости
Средняя скорость их в течение интервала вре-
мени Д/ * 0 равна отношению пройденного пути
Дх к затраченному на это времени Д/ (рис 1.17).
Рис. 1.17. Нахождение средней скорости их при одно-
мерном движении по графику зависимости координа-
ты тела от времени
1.2. Одномерное движение
Пройденный путь Средняя скорость = — Интервал времени LT 1
= Х_2 X, = /2 -t\ = х(?1 + Д/) - х(?1) = (6 + д/) - _ Дх Д/ Символ Единица измерения Название
Х1, х2 Х(0 ?i> h &К ы м/с м м с м с Средняя скорость Положение в момент времени tx или t2 Уравнение траектории Начальные и конечные моменты времени Пройденный путь Временной интервал
2. Единицы измерения скорости
Метр в секунду (мс-1) — единица измерения скорости, принятая в СИ.
1 метр в секунду — это скорость тела, которое в течение одной секунды
проходит расстояние в один метр. Другие единицы измерения скорости
см. в табл. 34.0/3.
Тело, которое в течение минуты проходит расстояние 100 м, имеет сред-
— Дх 100 м . ,
нюю скорость ох = — =--------= 1,67 м/с.
AZ 60 с
3. Измерение скорости
Измерение скорости может проводиться с помощью измерения времени
прохождения участка известной длины (фотоячейка). Часто измерение ско-
рости проводится с помощью преобразования поступательного движения во
вращательное движение. Тахометр используется для измерения скорости
транспортных средств. При этом вращательное движение колес передается с
помощью вала на измерительный прибор, стрелка которого отклоняется в
зависимости от величины, возникающей при вращательном движении цент-
робежной силы (центробежный тахометр).
В вихревом тахометре вращательное движение передается на закреплен-
ный в алюминиевом барабане магнит, на который установлена стрелка. При
этом возникают вихревые токи, и, следовательно, возникает вращательный
момент сил.
Электрический тахометр основан на импульсном датчике, который в со-
ответствии с частотой вращения генерирует последовательность импульсов
большей или меньшей частоты. Измерение скорости с использованием эф-
фекта Доплера (см. 10.4) возможно с помощью радаров (автомобильная тех-
ника, авиация, астрономия).
> Скорость может иметь положительные или отрицательные значения в
соответствии с направлением движения тела, совпадающего или проти-
воположно направленного относительно оси координат.
> Средняя скорость зависит, как правило, от времени измерения Дг, за
исключением движения с постоянной скоростью.
Глава 1. Кинематика
1.2.1.2. Мгновенная скорость
1. Определение мгновенной скорости
Мгновенная скорость — это предельная величина средней скорости при
стремлении интервала времени к 0 (производная, дифференциальное отно-
шение).
Мгновенная скорость LT1
4 4,)== dt dt Символ Единица измерения Название
«х(0 x(0 Дх м/с м с м Мгновенная скорость Положение в момент времени t Временной интервал Пройденный путь
Функция x(f) определяет координату х точки в любой момент времени /.
Мгновенная скорость их(/) на графике движения является тангенсом угла
наклона касательной к графику x(t) в точке, характеризуемой временем t
(рис 1.18).
Следует рассмотреть следующие случаи, учитывая, что интервал времени
At всегда имеет положительное значение:
их(0 > 0: Ах > 0 и поэтому x(t+ А/) > х(/). Тело движется в направлении, сов-
падающем с направлением оси координат, т.е. кривая x(t) является
возрастающей, производная графика положительная.
vx(z) = 0: Ах = 0 и поэтому x(t+ А/) = х(/). Величина Ах не меняется с течени-
ем времени и равна нулю. Тело (в данной системе координат) на-
ходится в состоянии покоя (может быть только в рассматриваемый
интервал времени), т. е. касательная к графику х(/) горизонтальна,
производная к графику х(/) равна 0.
их(/) < 0: Ах < 0, следовательно x(Z+ А/) < x(t). Тело движется в направлении,
противоположном оси координат, график х(/) является убывающей
функцией, производная к графику х(/) является отрицательной.
2. График зависимости скорости от времени
Графическое представление мгновенной скорости ux(Z) как функции вре-
мени t. Чтобы при заданном графике скорости их(0 определить уравнение
траектории движения тела х(0, необходимо разбить все движение на малень-
кие временные интервалы А/ (рис. 1.19). Разделим интервал от tx до Z2 на
N интервалов длиной А/ = (г2 _ Пусть — начало z-ro временного интер-
вала, a ox(/z) — средняя скорость в течение этого интервала. Тогда:
N-\
At 2) = Ah) + lim £ ux(/z) • M = xfa) + J
д/->о “Г* J
Z=1 Л
1.2. Одномерное движение
Рис. 1.18. Определение мгновенной ско-
рости их одномерного движения по гра-
фику зависимости координаты от вре-
мени в момент времени
Рис. 1.19. Зависимость скорости от вре-
мени при одномерном движении: ах —
среднее ускорение, ах — мгновенное
ускорение в момент времени
Путь = определенный интеграл от функции скорости по времени L
t х(/) = x(/i) + j h t2 x(t2) = X(6) + J \lt)dt 'i Символ Единица измерения Название
x(0 ?2 м м/с с Уравнение траектории Уравнение изменения скорости Начальный и конечный моменты времени
1.2.2. Ускорение
Ускорение служит для описания неравномерного движения, в процессе ко-
торого меняется скорость тела. Ускорение, как и скорость, может быть как
положительным, так и отрицательным.
> Как увеличение (положительное ускорение), так и уменьшение скорости
(замедление движения как следствие процесса торможения) связано с
наличием ускорения.
1. Среднее ускорение
ах — изменение скорости в течение некоторого интервала времени, де-
ленное на величину этого интервала времени.
Изменение скорости Ускорение = Интервал времени LT-2
_ Дих uX2 uxi ах = „ = ДГ Г2 - А Символ Единица измерения Название
dx Дих Ы Ох2, 22,fl м/с2 м/с с м/с с Среднее ускорение Изменение скорости Интервал времени Начальная и конечная скорости Начальный и конечный моменты времени
Глава Г Кинематика
Метр за секунду в квадрате (м/с2) — единица измерения ускорения, при-
нятая в СИ. Ускорение в 1 м/с2 равно такому ускорению тела, при котором
его скорость в течение 1 с увеличивается на 1 м/с.
Если заданы среднее ускорение и начальная скорость тела, то конечная
скорость может быть определена как:
их2 = и%1 + ах
Время, которое необходимо для изменения скорости от их1до их2при за-
данном среднем ускорении определяется следующим образом:
= Ух2 ~ У>х1
Ях
2. Мгновенное ускорение
Мгновенное ускорение — это предельная величина среднего ускорения
при стремлении интервала времени к нулю (Д/ -> 0).
Мгновенное ускорение LT2
ox(Z) = lim = д/^о Az dux d , ч = -^- = —Vx(0 dZ dt Символ Единица измерения Название
AZ Аих йД0 с м/с м/с2 м/с Интервал времени Изменение скорости Ускорение Скорость
Мгновенное ускорение ax(t) является первой производной скорости и,
соответственно, второй производной координаты
. ч dux(Z) . , ч d dx(0 d2x(Z) ..z ч
ax(t) = = ux(0 = у -y2 = ~y2 = Ш
dt dt dt dt2
Если ускорение представить наглядно, то оно будет являться тангенсом
утла наклона касательной на графике зависимости скорости от времени
(рис. 1.20). Следует рассмотреть следующие случаи:
Рис. 1.20. Зависимости координаты тела, скорости и ускорения от времени.
Тело на первом этапе движется с постоянным ускорением, далее с
постоянной скоростью и на заключительном этапе равномерно
тормозит
ах > 0: Дих > 0 и поэтому их2 > пх1. При их1 > 0 тело движется с увеличиваю-
щейся скоростью, т. е. на графике изменения скорости от времени
о(0 кривая возрастает.
ах = 0: Дих = 0 и поэтому их2 = их1. Скорость тела не изменяется с течением
времени (скорость постоянна).
ах < 0: Дих < 0 и поэтому их2 < их1. При их1 > 0 тело движется с уменьшаю-
щейся со временем скоростью.
3. Определение скорости тела по известному ускорению
Если ускорение задано функцией ax(f), то скорость можно определить с
помощью ускорения:
Скорость = интеграл от ускорения по времени LT1
t vx(x) = v>xOi) + |«х(т)<1т h ux02) = Vx(A) + f ax(t)dt Символ Единица измерения Название
h м/с м/с2 с Зависимость скорости от времени Зависимость ускорения от времени Начальный и конечный моменты времени
> Если тело имеет скорость их1 < 0 и положительное ускорение ах > 0, то мо-
дуль его скорости будет уменьшаться. Введенное понятие ускорения отно-
сится к движению в направлении, совпадающем с направлением оси х.
1.2.3. Простое движение в одномерном пространстве
В дальнейшем обсуждается равномерное и прямолинейное движение, как
самая простая форма движения и его физическое описание.
> При движении в одномерном пространстве можно опустить индекс х и
стрелочку вектора в обозначении скорости и и ускорения а. Но при этом
необходимо обратить внимание на то, что и и а могут быть положитель-
ными и отрицательными величинами, т. е. представлять собой не мо-
дуль, а быть компонентами векторов.
1. Равномерное движение
Равномерным называется движение, при котором скорость тела не изме-
няется с течением времени, т. е. их = их = const (рис. 1.21).
Рис. 1.21. Графики координаты и скоро-
сти при равномерном движении
f = const.
Глава 1. Кинематика
Законы равномерного движения
х(/) = х0 + vxt ЧХО = = UO ax(t) = 0 Символ Единица измерения Название
x(Z) *0 Ч Ч) t м м м/с м/с с Координата в момент времени t Начальное положение (/ = 0) Скорость равномерного движения Начальная скорость Время
▲ Тело движется равномерно, когда на него не действуют никакие силы.
> Траектория движения x(t) получается интегрированием зависимости ско-
рости ux(Z) = const по времени:
x(t) = х0 + J )df = х0 + ц/-
о
На графике зависимости скорости от времени их(/) является прямой ли-
нией, а рассматриваемый интеграл равен площади, ограниченной ux(Z) осью
времени, а также вертикальными прямыми, проходящими через точки 0 и t
на временной оси.
2. Равноускоренное движение
При равноускоренном движении ускорение является постоянным. При
этом ах -ах = ап
ux(Z) = at + ио,
где и0 — начальная скорость (рис. 1.22).
Отсюда можно получить уравнение траектории движения как интеграл
от скорости по времени:
t t
x(t) = j ox(f )d/' + x0 = | (at'+v^df + Xo = -t2 + u0/ + x0-
oo
Рис. 1.22. Графики координаты, скорости и ускорения при равноускоренном
движении
Этот результат можно получить и из графика изменения скорости от
времени: площадь под графиком складывается из прямоугольника площа-
дью vQ‘t и треугольника площадью afi/2 (высота at и катет t) (рис. 1.23).
Равноускоренное движение
x(z) = £ ?2 + Uo/ + x0 ux(t) = at + u0 ax (0 = a = const Символ Единица измерения Название
х(Г) ^x(') t ax,a ^0 Xo м м/с с м/с2 м/с м Координата в момент времени t Скорость Время Ускорение Начальная скорость Начальное положение
v(f)
Рис. 1.23. Графическое изображение пройденных участков пути при равноус-
коренном движении
▲ Тело движется равноускоренно, если на него действует постоянная сила.
С помощью несложных преобразований можно найти:
• При задании начальной и конечной скорости и0 и vx(f) можно найти ко-
ординату тела х(/):
v(t\ _ °0 + «х(0 f . „
Х(Г) - --------1 + х0.
• При известной начальной скорости и0 и положения тела х(/) можно най-
ти конечную скорость vx(t):
vx(0 = уЩ + 2ах(0.
• Особый случай: движение из состояния покоя (и0 = 0, Xq = 0):
и* (/) = at = y]2ax(i), x(t) =
V>x(ty _ О/2
2 2 ’
Глава 1. Кинематика
3. Равнозамедленое движение
Равнозамедленное движение или торможение (рис. 1.24) — это особый
случай равноускоренного движения. При равнозамедленном движении ско-
рость и ускорение имеют противоположные знаки, т. е. модуль скорости
уменьшается до тех пор, пока не будет компенсирована вся начальная ско-
рость и0. Необходимый тормозной путь sB определяется из начальной скоро-
сти и ускорения при торможении; при заданном значении тормозного пути
и известного ускорения можно определить начальную скорость тела.
Равнозамедленное движение
_Ы_ Ц) ‘в ~ ТТ “ Символ Единица измерения Название
1а1 а м Тормозной путь
ио с Время торможения
sb =тп 2|а| и0 = д/ 2|фв Vol м/с Значение начальной скорости
м/с2 Ускорение при торможении
Рис. 1.24. Зависимости скорости и коор-
динаты тела при равнозамедленном дви-
жении: хв — тормозной путь, tB — время
торможения
> Рассмотрение процесса торможения как равнозамедленного процесса
является идеальной моделью. Обычно торможение не является равно-
мерным.
Для автомобиля типичное ускорение при торможении может быть равно
|а| = 4 м / с2. Для скорости в 50 км/ч = 13,9 м/с тормозной путь равен:
_ (13,9 м / с)2 _ 24 м
2|а| 2 • 4 м / с2
> В автомобильной технике для оценки тормозного пути используется
формула:
Z Ч 2
I VO | о Vq
sB « --------- м + 3 •--------м.
ЦО км/ч/ 10 км/ч
При этом необходимо учитывать время реакции водителя, равное при-
мерно 1 с.
1.3. Движение в нескольких
1.3. Движение в нескольких измерениях
Движение в нескольких измерениях целесообразно представлять в вектор-
ной форме.
X. Траектория в трехмерном пространстве
Для определения положения точки в трехмерном пространстве требуется
задать три ее координаты или в декартовой системе координат радиус-век-
тор точки с компонентами x,y,z:
r(Z) =
pan
pa)J
Вектор г(0 описывает траекто-
рию точки или тела в пространст-
ве, так же называемую простран-
ственной траекторией (рис. 1.25).
Компоненты радиус-вектора опре-
деляют координаты x,y,z точки в
момент времени t.
Рис. 1.25. Траектория движения точки в
трехмерном пространстве
2. Касательная и нормаль
Касательная к пространствен-
ной кривой в определенной точке
М — это прямая линия, которая
имеет лишь одну точку соприкосновения (М) к пространственной кривой.
Аналитически она определяется с помощью производной пространственной
кривой по времени в данной точке. Тем самым, касательная определяет век-
тор скорости материальной точки. Наглядно положительное направление
касательной показывает направление движения в данный момент времени.
Нормалью к кривой в определен-
ной точке М является прямая, про-
ходящая перпендикулярно к каса-
тельной в данной точке. Она ори-
ентирована перпендикулярно к
мгновенному направлению движе-
ния (рис. 1.26).
Касательная к окружности рас-
положена перпендикулярно к
ее радиус-вектору. Нормаль
проходит вдоль радиус-вектора.
> В трехмерном пространстве че-
рез одну точку пространствен-
ной кривой можно провести
более одной нормали. Все нор-
мали, проходящие через точку
касания касательной, образуют
нормальную плоскость. Сопри-
Рис. 1.26. Касательная и нормальная
плоскости относительно траектории дви-
жения. Касательная и главная нормали
лежат в соприкасающейся плоскости, ко-
торая расположена перпендикулярно к
нормальной плоскости
Глава 1. Кинематика
касающаяся плоскость является плоскостью, которая проходит через
точку М и две соседние точки на траектории, которые расположены на
бесконечно малом расстоянии по разные стороны от точки М.
1.3.1. Вектор скорости
Вектор скорости (v) определяет направление и величину скорости матери-
альной точки.
Рис. 1.27. Графическое представле-
ние средней скорости v
X. Средняя скорость
Средняя скорость v в течение вре-
менного интервала Д/ определяется как
(рис. 1.27):
ДхЛ
Д/ ( л \
V = = Д£ = , Дг = д£ .
h~h Ы М ’ д^
Аг v 7
IaJ
2. Мгновенная скорость
Мгновенная скорость определяется
как предельная величина при стремле-
нии Д/ -> О (рис. 1.28):
Мгновенная скорость LT-1
ч .. г(7 + А/)-г(7) v(r) = lim — — = Д; dr • (Ш ’ = ^ = г(/)= j>(0 d/ UwJ Символ Единица измерения Название
V(O А/ t f(0 x, у, z м/с с с м м/с Вектор скорости Интервал времени Время Радиус-вектор Компоненты скорости
Рис. 1.28. Графическое представле-
ние мгновенной скорости v(r)
Компонентами вектора скорости v(Z)
являются производные функций коор-
динат %(/), y(t), z(t). Они находятся как
проекции скорости на оси x,y,z:
Ох = X, = у, ог = £.
3. Свойства вектора скорости
Величина вектора скорости v опре-
деляет путь, пройденный за единицу
времени.
▲ Вектор скорости v показывает на-
правление движения.
1.3. Движение в нескольких измерениях
> Вектор скорости у(/) указывает изменение радиус-вектора dr = vd/. Воз-
можен случай, когда направление радиус-вектора изменяется, но его ве-
личина остается постоянной (движение по окружности). При использо-
вании правил дифференцирования сложной функции можно получить
следующее выражение:
d|? | _ dji2 _ г • у
dt dt |r|
Модуль радиус-вектора остается постоянным в том случае, если г • v = О,
т. е. если вектор скорости направлен перпендикулярно радиус-вектору. Дви-
жение, при котором расстояние от точки отсчета или другой фиксирован-
ной точки остается неизменным, является движением по окружности (вра-
щательное движение).
Единичный касательный вектор (etan) — это вектор, длина которого рав-
на единице и который показывает положительное направление касательной
к данной кривой. С его помощью скорость можно представить как:
- V
v — ^etan? ®tan ~ “•
О
4. Пример: вращательное движение в плоскости
Вращательное движение в плоскости х,у с постоянной угловой скоро-
стью со = — (ср(/) = со/) задается посредством радиус-вектора (рис 1.29):
dt
r(Z) =
(
y(t)
U(oJ
У cos соГЛ
г sin со/
Единица измерения угловой скорости:
|со| = рад / с.
Следовательно, вектор скорости у равен:
v(z) = f(0 =
sin
rco cos со/
О
Его величина равна:
|у(/)| = ^Х2 + У2 + £2 = 7X0.
1.3.2. Вектор ускорения
1. Вектор ускорения
Вектор ускорения а — это производная по
времени от вектора скорости. Он определяет
изменение скорости в единицу времени (рис.
1.30). По аналогии со сказанным для скоро-
сти, средний вектор ускорения а в течение
временного интервала Д/ можно определить
следующим образом:
Рис. 1.29. Вращательное дви-
жение: и — модуль скорости
Рис. 1.30. Вектор ускорения
Глава 1. Кинематика
v(t + AZ) - v(Z)
Вектор мгновенного
когда Az -э 0:
ускорения определяется при предельном переходе,
lim У(/ + АГ) - у(/) = dv(r)
д/->о Д/ dr
( ЬАМ
Vy(f)
f Х'Л
хо
Компонентами вектора ускорения являются вторые производные функ-
ции координат по времени:
ах = х,ау = у, az = z.
2. Пример: вектор ускорения при движении по окружности
При движении по окружности с постоянной угловой скоростью со вектор
ускорения равен:
Л-гш sin coZ^
rco cos coZ
0
ГСО2 cos coZ^
-гео2 sincoZ
= -<o2r(Z).
^az
Вектор ускорения и радиус-вектор являются противоположно направ-
ленными векторами. Вектор ускорения направлен в центр. Величина уско-
рения равна:
|a(Z)| = д/х2 + у2 + £2 = гео2д/cos2 coZ + sin2 coZ + 0 = гео2.
3. Касательное и нормальное ускорение
Касательное (или тангенциальное) ускорение atann нормальное ускоре-
ние апогт — это проекции вектора ускорения на касательную к траектории
движения и расположенную перпендикулярно ей нормаль (рис. 1.31):
а а ^ап + a norm.
По правилу дифференцирования произведения двух функций получаем:
Рис. 1.31. Тангенциальное и норма-
льное ускорение atan,anorm
_ _ d(uetan) _ du detan
<• — — tan “To .
dZ dZ dZ
Первый член этого выражения явля-
ется тангенциальным ускорением,
_ do - _ .
a tan - "77 ^tan 5 ^tan ~ U.
dZ
▲ Величина тангенциальной компо-
ненты ускорения является измене-
нием величины (или модуля) скоро-
сти с течением времени.
Второй компонент является нор-
мальным ускорением:
а - г, tan
"norm ~ u .
dZ
1.3. Движение в нескольких измерениях
> Так как величина модуля |etan | единичного касательного вектора с тече-
нием времени остается неизменной и равной единице, справедливо вы-
ражение:
^(etan)2 =2etan .^an.=0.
at at
Производная по времени единичного вектора, направленного вдоль ка-
сательной, ориентирована перпендикулярно к вектору касательного ускоре-
ния. Таким образом, второй член выражения дает нормальную компоненту
ускорения. Проходящая через векторы etann detan / d/ плоскость является со-
прикасающейся плоскостью к данной траектории.
4. Движение по окружности
Для движения по окружности с постоянной угловой скоростью:
a(Z) =
—гео2 cos соГ
-гео2 sin со/
О
= —со2г(/),
т. е. вектор ускорения ориентирован антипараллельно относительно радиус-
вектора и, следовательно, является нормальным вектором и направлен в
центр кривизны траектории. Поэтому касательная компонента равна нулю:
a tan (0 = fl-
При этом нормальная компонента равна
/Л _ 9 °2
^norm(0 — Г® ~~
Г
Для получения последнего выражения было использовано выражение
для скорости
и = ГСО.
5. Кривизна траектории и ускорение
Нормальная компонента вектора ускорения зависит от кривизны траек-
тории движения тела. Радиус кривизны R в какой либо точке кривой — это
радиус окружности, которая имеет ту же кривизну, что и траектория в этой
точке. Такая окружность соприкасается в этой точке с траекторией.
▲ Нормальная компонента вектора ускорения равна
_ и2
^norm D >
К
где R — радиус кривизны траектории. Он направлен в центр изгиба (рас-
сматриваемую точку) траектории.
> Прямая имеет радиус кривизны, стремящийся к бесконечности R = оо.
Нормальное ускорение равно нулю при движении вдоль прямой линии.
> При неравномерном движении по окружности (рис. 1.32) кроме норма-
льного ускорения (центростремительного) аг также появляется тангенци-
альное ускорение а^:
v(Z) = гфёф, а(Г) = агег + афёф,
а г = -гф2 = -гео2, яф = гф = гео.
Глава 1. Кинематика
Рис. 1.32. Неравномерное дви-
жение по окружности, etan = ёф,
^norm —
6. Радиус-вектор, векторы скорости и
ускорения в различных системах координат
а) Декартова система координат:
г(/) = х(/)ёх + у(Оёу + г(Оёг,
v(0 = х(/)ёх + у(Оёу + г(/)ёг,
а(/) = х(/)ёх + ЯОёу + Ж-
б) Полярная система координат:
г(/) = гёг,
v(Z) = гёг + дрёф,
а(/) = (г - др2 )ёг + (др + 2др)ё<р.
в) Сферическая система координат:
Г(О = гёТ,
ёг = 0ё0 + sin 0фёф, ё0 = ф cos 0ёф - 0ёг,
ёф = -ф cos 0ё0 - sin 0фёг,
v(Z) = гёг + г0ё0 + г зтОфёф,
а(7) = (г - г02 - г sin2 0ф2 )ёг + (г0 + 2/6 - г sin 0 cos 0ф2 )ё0 +
+ (г sin 0ф + 2 sin 6/ф + 2г cos 00ф)ёф.
г) Цилиндрическая система координат:
г(/) = рёр + zlz ,.
ер фе<р5 Сф фер, ег — 0,
v(/) = рёр + рфёф + zez,
а(Г) = (р - рф2)ёр + (рф + 2рф)ёф + z^z.
1.3.3. Свободное падение и движение тела,
брошенного под углом к горизонту
Свободным падением тела называют одно- или двумерное движение под
действием силы земного притяжения. Такое движение описывается траекто-
рией:
г(Ц =
и вектором скорости:
Координата х указывает расстояние по горизонтали от нулевой точки от-
счета до движущегося тела, а координата у указывает высоту положения
тела. Вектор ускорения постоянен и равен вектору ускорения свободного
падения g:
1.3. Движение в нескольких измерениях
> Ускорение тела можно считать постоянным только в том случае, если
трение воздуха пренебрежимо мало, и если высота движения тела над
поверхностью земли является пренебрежимо малой по сравнению с рас-
стоянием от центра земли до движущегося тела.
1. Свободное падение
Пусть тело, изначально находящееся в покое, начинает движение в гра-
витационном поле с высоты й0 над поверхностью земли. Движение тела
описывается (при пренебрежении трения тела о воздух или при движении в
безвоздушном пространстве) координатой у (мгновенная высота), являю-
щейся функцией времени y(t) и скоростью падения и(0 = пу(Г) при началь-
ной высоте й0:
а/2
Х0=0, у(О=/!о-^-,
VA(O=O, vy(f) = -gt.
Длительность падения tF и скорость тела в момент падения н(/7?) рассчи-
тываются по формулам:
tF = v(tF) = 2Aog
2. Движение тела, брошенного вертикально вверх
Тело находится на начальной высоте Ло над поверхностью земли и бро-
сается со скоростью п0 вертикально вверх:
of 2
x(t) = 0, у(0 +vot -
vx(O=0, vy(t) = v0-gt.
Максимальная высота подъема тела Н будет достигнута в момент време-
ни Тн, когда скорость vy(t) станет равна нулю (рис. 1.33):
Рис. 1.33. Графики зависимостей координаты и скорости тела, брошенного
вертикально вверх
Глава 1. Кинематика
3. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Изначально тело получает не только скорость по направлению оси у (в
направлении вертикали), но еще и скорость по оси х (по горизонтали). Дви-
жение в горизонтальном направлении является равномерным движением,
так как сила гравитации действует перпендикулярно горизонтальной оси.
Движение, начинающееся при х - у = 0, описывается уравнениями:
ХО = vxOt, y(t) = vyOt - —,
Vx(0 = Vx0, Vy(t) = vy0 -gt.
Рис. 1.34. Движение тела, брошен-
ного под углом к горизонту
Компоненты начальной скорости
определяются углом а, под которым
было брошено тело (рис. 1.34):
о0 cos а
п0 sin а
Из условия hQ = 0 можно определить
время достижения телом максимальной
высоты подъема Тн и время полета тела
Т до падения на землю:
г Т гт 2dу0 2i)0 sin а
/ тт = - . / = -- = ---------.
При столкновении с землей тело имеет ту же самую скорость, что и в
начале движения.
Траекторией движения тела, брошенного под углом к горизонту, являет-
ся парабола:
р-
у(х) = х tan а-----------х2.
21)2 cos2 а
и2
Я = —
2g
Высота подъема тела Н и дальность полета L вдоль горизонтальной оси
определяются по формулам:
sin2 а 21)q sin a cos a sin 2a
2g g g
> Максимальная дальность полета (определяемая из условия — = 0) до-
da
стигается, если угол a равен 45°, и равна:
о2
L - -0-
ьтах ~
g
4. Движение тела в поле тяжести с учетом сил трения
В действительности траектория полета тела, брошенного под углом к го-
ризонту, несколько изменится под влиянием силы трения тела о воздух.
Скорость свободного падения тела не может нарастать неограниченно,
1.4,
а стремится к предельной скорости итах, при которой сила трения тела о
воздух становится равной силе земного притяжения:
^шах
2mg
рСц^А’
где т — масса тела, р — плотность воздуха, cw — коэффициент аэродинами-
ческого сопротивления, А — площадь поперечного сечения тела.
Траектория движения тела с учетом сил трения должна определяться с
помощью решения дифференциального уравнения.
1.4. Вращение
Вращение — это такое движение тела, при котором расстояние между всеми
точками тела, а также расстояние между точками тела и фиксированной
осью, называемой осью вращения, остаются постоянными. Такое движение
характеризуется углом поворота ф(/), кото-
рый определяет положение тела в любой мо-
мент времени t.
Вращение — это периодическое движе-
ние, период движения соответствует времени
полного оборота тела.
Движение по окружности — это движе-
ние материальной точки на постоянном рас-
стоянии от фиксированной оси вращения.
Это самый простой пример вращательного
движения (рис. 1.35).
Для описания вращательного движения
Рис. 1.35. Движение матери-
альной точки по окружности:
Ф — угол поворота, 5 = гф —
пройденный путь
используются следующие величины: угол по-
ворота, угловая скорость и угловое ускорение
точки, что возможно сопоставить координа-
те, скорости и ускорению при поступатель-
ном движении.
1.4.1. Угловая скорость
1. Определение угловой скорости
Угловая скорость (со) — это вектор, направленный вдоль оси вращения,
величина которого равна изменению угла поворота тела за единицу време-
ни. Направление угловой скорости определяется направлением вращения.
По аналогии со скоростью поступательного движения можно определить
среднюю угловую скорость за промежуток времени Дг:
i^i А(Р
со = —,
А/
При предельном переходе к бесконечно малым промежуткам времени
Д/ -> 0, можно найти мгновенную угловую скорость:
Глава 1, Кинематика
Элементарный угол поворота Угловая скорость = y-i Интервал времени
1 - I .. А<р d<p <в = lim —- = — = ф 1 1 Д/ d? Символ Единица измерения Название
со ф Аф А/ рад/с рад рад с Угловая скорость Угол поворота Изменение угола поворота Промежуток времени
Рис. 1.36. Определение направления угловой скорости при движении тела по
окружности
2. Единицы измерения угловой скорости
Единицей измерения угловой скорости, принятой в СИ, является радиан
в секунду, рад/с. 1 рад/с — это такая угловая скорость тела, при которой
угол поворота изменяется на 1 радиан (« 57,3°) в 1 секунду.
Земля совершает оборот вокруг своей оси за 24 часа. Ее угловая скорость
равна:
_ 2л рад _ 2л рад
Ю ” 24 ч “ 86400 с
« 7,27 • 10~5 рад/с.
3. Частота и период вращения
Частотой вращения или количеством оборотов п называется количество
полных оборотов, совершаемых телом за единицу времени. Она зависит от
угловой скорости:
со = 2 ля, п - —.
2л
Частота вращения измеряется в об./с (обороты в секунду) или в оборо-
тах в минуту. Периодом обращения тела Т называют промежуток времени, в
течение которого тело совершает полный оборот:
_ 1 _ 2л
п со
Т = 24 ч. Частота вращения равна:
2л
со = —,
Т
Период обращения Земли равен
1 1
п - — -----
Т 24 ч
= 1,157 -10~5 с-1.
4. Правило правой руки
Правило правой руки позволяет при заданном направлении вращения
определить направление вектора угловой скорости й:
▲ Угловая скорость й будет направлена таким образом, что большой палец
правой руки показывает направление й, если согнутые остальные пальцы
показывают направление вращения (рис. 1.37).
Рис. 1.37. Относительная ориента-
ция угловой скорости й, радиус-
вектора г и скорости v по правилу
правой руки
> Если смотреть в направлении вектора
угловой скорости, то вращение про-
исходит направо, по направлению ча-
совой стрелки.
> Угловая скорость, радиус-вектор и
скорость движения точки расположе-
ны как согнутые взаимно перпенди-
кулярно большой палец, указатель-
ный палец и средний палец правой
руки соответственно. Это определе-
ние принято для удобства.
> Если использовать левую руку, то на-
правление угловой скорости было бы
противоположным.
Земля вращается в восточном направлении. Таким образом, вектор угло-
вой скорости показывает в сторону Северного полюса.
5. Угловая скорость как аксиальный вектор
Вектор угловой скорости является аксиальным, т. е. при точечном отра-
жении на начало координат (инверсии) г -г, он не меняет свое направле-
ние, в отличие от полярного вектора (типа вектор скорости или вектор
ускорения):
г -г: v —> -v, Й —й.
> Перекрестное произведение двух полярных векторов является аксиаль-
ным вектором. Перекрестное произведение полярного и аксиального
векторов является аксиальным вектором.
1.4.2. Угловое ускорение
Угловое ускорение d характеризует изменение угловой скорости с течением
времени. Это аксиальная векторная величина. Если ось вращения остается
неизменной, то угловое ускорение направлено параллельно или антипарал-
лельно вектору угловой скорости. По аналогии с ускорением для поступате-
льного движения можно ввести формулу для среднего ускорения за проме-
жуток времени Д/,
Лй
а = —,
А/
и при условии Дг -» 0 можно определить мгновенное угловое ускорение:
Глава 1. Кинематика
Изменение угловой скорости Угловое ускорение = Интервал времени т-2
.. Ай йй а = lim — = — az—>0 АГ dr Символ Единица измерения Название
а й(г) АЙ А/ рад/с2 рад/с рад/с с Угловое ускорение Угловая скорость Изменение угловой скорости Интервал времени
Единицей измерения углового ускорения, принятой в СИ, является ра-
диан за секунду в квадрате, рад/с2. 1 рад/с2 — это такое ускорение, при ко-
тором угловая скорость за 1 секунду возрастает на 1 рад/с.
> Если ось вращения во время движения остается неподвижной, то вектор
углового ускорения всегда совпадает с осью вращения: при увеличении
угловой скорости направление углового ускорения совпадает с направле-
нием угловой скорости; при уменьшении угловой скорости или измене-
нии направления вращения угловое ускорение и угловая скорость на-
правлены противоположно. В общем случае угловое ускорение опреде-
ляется как изменением скорости вращения, так и изменением положе-
ния оси вращения.
1.4.3. Скорость точки, движущейся по окружности
1. Определение скорости точки
Скорость v произвольной точки тела, вращающейся по окружности — это
векторное произведение угловой скорости со и радиус-вектора г (рис. 1.38):
Скорость точки = Угловая скорость х радиус-вектор LT1
dr - - У- = СО X Г dr Символ Единица измерения Название
V г й м/с м рад/с Скорость точки Радиус-вектор Угловая скорость
▲ При вращательном движении вектор скорости направлен перпендику-
лярно к радиус-вектору и перпендикулярно к вектору угловой скорости,
если ось вращения проходит через начало координат.
2. Разложение радиус-вектора на компоненты
Вектор г может быть разложен на две компоненты: ?н — направленную
параллельно к оси вращения й и г±, перпендикулярную ей. При этом
й х Гц = 0, и, следовательно,
у=сохг=йхг±.
Таким образом, для определения линей-
ной скорости точки важно знать только дли-
ну перпендикуляра от данной материальной
точки до оси вращения.
Для определения величины линейной
скорости используется следующее выраже-
ние:
| v | =| а>11 F_l| = | й>| | г | sin а,
где а — угол между осью вращения и радиус-
вектором. Скорость точки пропорциональна
угловой скорости и расстоянию до оси вра-
щения. Для линейной скорости колеса радиу-
са R получаем:
в = 7?со = 2nRn =
Т
Рис. 1.38. Скорость точки v
как векторное произведение
угловой скорости (Ь и радиус-
вектора г.
где п — частота вращения, а Т — период вра-
щения.
3. Пример: скорость точки на земной поверхности
Земля имеет радиус R = 6380 км. Линейная скорость точек земли на эк-
ваторе равна:
и = соА = РаД • 6380 км = 464 м/с = 1670 км/ч.
24 ч
Линейная скорость в точке, расположенной на широте 45°, расстояние
от которой до оси вращения земли составляет
7?± = 7?/V2,
равна:
о = 1670/V2 км/ч = 1180 км/ч.
ГЛАВА 2
ДИНАМИКА
Динамика — это наука о силах, вызывающих или изменяющих движение
тел. Динамика описывает движение тела под влиянием внешних сил. В от-
личие от кинематики в динамике ставится вопрос о причинах движения
тела, и для описания тела вводятся понятия массы и силы.
2.1. Основные законы динамики
Силы являются причиной изменения движения тел. Законы Ньютона опи-
сывают соотношения между силами и кинематическими величинами — ско-
ростью и ускорением тела.
2.1 Л. Масса и импульс
2.1.1.1. Масса
1. Инертная и гравитационная масса
Инертная масса определяет, какое сопротивление тело оказывает внеш-
ним силам при изменении движения. Гравитационная масса показывает,
как сильно тело притягивается другими телами под воздействием гравита-
ционных сил (например, поле притяжения Земли).
▲ Инертная и гравитационная масса тела одинаковы.
> Это утверждение является эмпирической зависимостью, которая была
подтверждена высокоточными опытами. Это — постулат общей теории
относительности.
Масса т является элементарным свойством любого тела. Материальная
точка обладает только этим свойством. Объемное тело (абсолютно твердое
тело) характеризуется дополнительно моментом инерции (см. 3.4), момент
инерции твердого тела зависит от распределения массы внутри тела и от вы-
бора оси вращения.
2. Единицы измерения массы.
Единицей измерения массы, принятой в СИ является килограмм (кг).
Это одна из основных величин СИ. Один килограмм определяется массой
эталона килограмма, цилиндра из платиноиридиевого сплава, который хра-
нится в Париже. Относительная точность определения эталонной массы со-
ставляет 10-9.
[т] = кг = килограмм.
2.1, Основные законы динамики
3. Измерение массы
Определение массы производится с помощью весов, т. е. с помощью
сравнения веса тела с весом тела известной массы (весы с коромыслом в со-
ответствии с законом рычага, весы с подвижной гирей со сдвигаемым про-
тивовесом). Взвешивание — это измерение, которое может быть проведено
очень точно с применением достаточно простых средств.
В пружинных весах вес тела измеряется непосредственно с помощью
растяжения пружины (динамометр).
Для атомных частиц масса может быть измерена на основе их инерцион-
ности при отклонении в электрическом или магнитном поле (масс-спектро-
метры, масс-спектрографы).
> Масса и вес характеризуют различные качества. Вес зависит от действу-
ющей гравитационной силы. Тело массой 1 кг на Луне также имеет мас-
су 1 кг, но его вес равен 1/6 веса тела на Земле (см. 2.2.1).
4. Плотность
Полностью р называется отношение массы к объему однородного тела:
„ Масса Плотность = Объем ML3
т р_г Символ Единица измерения Название
р т V кг/м3 кг м3 Плотность Масса Объем
5. Единица измерения плотности
Единицей измерения плотности в СИ является килограмм на кубиче-
ский метр. Килограмм на кубический метр — это плотность такого однород-
ного тела, которое при объеме в 1 кубический метр имеет массу в 1 кило-
грамм.
[р] = кг/м3.
> Плотность обычно указывается в килограммах на кубический дециметр
(кг/дм3) или в граммах на кубический сантиметр (г/см3).
1 кг/дм3 = 1 г/см3 = 103 кг/м3.
Вода при температуре 20 °C имеет плотность 1 г/см3, металлы тяжелее ее
в несколько раз от: 3 (алюминий) до 20 (платина), бензин имеет плотность
около 0,7 г/см3 (см. табл. 8.1).
> Плотность зависит от температуры тела (коэффициент объемного рас-
ширения), для газов плотность также зависит от давления.
И Измерение плотности твердого тела производится с помощью весов
Мора посредством подъемной силы, действующей на тело, погруженное
в жидкость (см. 6.2.3).
3—3814
6. Плотность неоднородного тела
Для неоднородного тела с различным распределением массы в простран-
стве плотность варьируется в зависимости от места, характеризуемого ради-
ус-вектором г, р = р(г). При этом для определения плотности тело мысленно
Рис. 2.1. К нахождению
плотности р(г) неодно-
родного тела с непрерыв-
ным распределением мас-
сы: объем ДЕ; масса Д/и
разбивают на элементарные объемы ДР, в кото-
рых плотность является почти постоянной. Масса
элемента объемом ДР в точке г равна Д/л. Для
плотности элемента указанного объема справед-
ливо р = Дти/ДИ При непрерывном изменении
плотности по объему тела для ее нахождения в
точке г используется выражение:
Д/и d/л
р(г) = lim — = —,
дк^одр dP
d/л = p(f) dK.
Общая масса тела m определяется интегралом
по объему:
/л = j dm = j p(f)dK
2.1.1.2. Импульс
1. Определение импульса
Импульсом (или количеством движения) называют вектор, равный про-
изведению массы точки на ее скорость. Импульс, как и скорость, является
векторной величиной; его направление соответствует направлению движе-
ния тела. Импульс характеризует движение тела и зависит от выбора систе-
мы отсчета.
Импульс = масса-скорость MLT1
р = ту Символ Единица измерения Название
Р т V кгм/с кг м/с Импульс тела Масса тела Скорость тела
2. Единица измерения импульса
Единицей измерения импульса является килограмм-метр в секунду,
кгм/с. Килограмм-метр в секунду — это импульс тела массой 1 кг, которое
движется со скоростью 1 метр в секунду.
[j7] = ’м = Нс, Н = ньютон = кгм/с2 (см. 2.1.2.3, п. 1).
с
Тело массой 10 кг, которое движется со скоростью 3 м/с, имеет импульс:
р — ти = 10 кг-м/с = 30 Нс.
2.1. Основные законы динамики
Тело, тяжелее данного в два раза (с массой 20 кг), при равной скорости
обладает удвоенным импульсом:
р = гт = 20 кг-3 м/с = 60 Нс.
2.1.2. Законы Ньютона
Законы Ньютона представляют соотношения между силами (определение
понятия «сила» см. 2.1.2.3, п. 1) и изменениями импульса. Первый закон
Ньютона называют законом инерции, второй закон Ньютона выражает
принцип действия, третий — принцип противодействия.
2.1.2.1. Закон инерции (первый закон Ньютона)
1. Первый закон Ньютона (принцип относительности Галилея)
Закон описывает инерционность (или инерцию) тела:
Первый закон Ньютона: импульс тела, на которое не воздействуют внешние силы, не изменяется.
F = 0 => р = const m = const => v = const Символ Единица измерения Название
F P m у H кгм/с кг м/с Внешняя сила Импульс Масса Скорость
> Первый закон Ньютона действует так же в том случае, если масса m тела
не является постоянной величиной, например, в случае движения ра-
кеты (реактивный двигатель). В этом случае вывод m = const ==> v = const
не является правильным.
Отметим также, что понятие постоянной скорости тесно связано с вы-
бранной системой отсчета.
Пассажир, сидящий в самолете, совершающем трансатлантический пе-
релет, движется прямолинейно и с постоянной скоростью и = 0 относи-
тельно самолета, но относительно точки на земной поверхности он дви-
жется по дуге. Относительно точки, расположенной вне Земли, на вид
траектории движения и его скорость влияет также вращение Земли, а
для определения траектории и скорости движения человека относитель-
но солнца также необходимо учитывать вращение Земли вокруг Солнца.
Солнце, в свою очередь, движется через Млечный Путь, который также
движется относительно других галактик.
2. Инерциальные системы отсчета
Инерциальными системами отсчета называют такие системы, по отно-
шению к которым выполняется закон инерции (первый закон Ньютона).
Система отсчета, которая движется относительно какой-либо инерциальной
Глава 2. Динамика
Рис. 2.2. Относительное движе-
ние двух инерциальных систем
отсчета К и К' со скоростью v0.
f0(/) — радиус-вектор начала ко-
ординат системы отсчета К' от-
носительно системы отсчета К в
момент времени t
системы прямолинейно и равномерно, так-
же является инерциальной системой (рис.
2.2). Поэтому существует бесконечно боль-
шое число инерциальных систем, в которых
законы физики имеют одинаковую форму
(см. 5.2.1, п. 1.).
Тело, которое движется без приложения
какой-либо силы на горизонтально рас-
положенной абсолютно гладкой поверх-
ности, сохраняет свою скорость посто-
янной. Этот идеальный случай на прак-
тике не встречается, так как невозмож-
но полностью избежать трения тела о
поверхность другого тела или о воздух.
Движение в космическом пространстве
вдали от центров гравитации почти при-
ближается к идеальному случаю.
2.1.2.2. Основной закон динамики
(второй закон Ньютона)
Второй закон Ньютона (принцип действия) описывает, как изменяется дви-
жение тела при воздействии на него какой-либо силы (определение силы
см. в следующем разделе).
Второй закон Ньютона: если на тело воздействует какая-либо сила, то вызываемое ею изменение импульса пропорционально действующей на тело силе. Изменение импульса совпадает с направлением действия силы. MLT-2
dp = d(fflv) = - dt dt Символ Единица измерения Название
V р F m м/с кгм/с Н кг Мгновенная скорость Импульс Сила Масса
Рис. 2.3. Связь между силой F и из-
менением импульса р(/ + А/) - р(/)
Если масса тела в процессе движения
не меняется, то второй закон Ньютона
можно представить в следующем виде:
mi = F,
dv
где а — ускорение, а = —, единица изме-
d/
рения которого
[а] = мс-2.
2.1. Основные законы динамики
А Второй закон Ньютона является основным законом динамики.
Если сила воздействует на тело, масса которого в два раза больше массы
другого тела, то тело получает в два раза меньшее ускорение.
> Второй закон Ньютона выполняется также в том случае, когда масса
тела во время движения изменяется (ракета). В соответствии с правилом
дифференцирования произведения сложной функции закон Ньютона
принимает следующую форму:
> Если рассматривать длину, время и массу в качестве основных величин
движения (как в системе единиц СИ), то второй закон Ньютона позво-
ляет вывести единицу измерения силы. Если же в качестве основных ве-
личин заданы длина, время и сила, то можно определить единицу изме-
рения массы.
2.1.2.3. Сила
1. Определение силы
В международной системе единиц единица измерения силы определяет-
ся на основе второго закона Ньютона: сила — это произведение массы тела
и вызываемого данной силой ускорения тела. Сила является векторной ве-
личиной, и ее направление совпадает с направлением ускорения. Таким об-
разом, сила определяется как:
Сила = масса-ускорение MLT-2
F = та Символ Единица измерения Название
F m а н кг м/с2 Сила Масса Ускорение
2. Единица измерения силы
Единицей измерения силы, принятой в СИ, является ньютон, Н. 1 нью-
тон — это сила, которая придает телу массой 1 кг ускорение в 1 м/с2.
[ F\ = Н = ньютон = кгм/с2.
Внесистемные единицы измерения силы:
1 килограмм-сила (кгс) = 9,80665 Н,
1 дина = 10 мкН.
Массой называется коэффициент пропорциональности между силой и
ускорением: чем больше масса тела, тем меньше ускорение, вызываемое
действующей на это тело силой. Используя нижеприведенное соотношение,
можно определить массу как отношение действующей силы к ускорению:
|F|
т = 7ТГ7-
|а|
3. Импульс силы
Импульс силы — это произведение FAZ. Импульс силы равен изменению
импульса Ар = р2 “ Pi (рис 2.4).
Импульс силы = сила-время действия постоянной силы MLT1
Ар = m(y(t + А?) - v(t)) = FAZ Символ Единица измерения Название
Др А? V F кгм/с с м/с н Изменение импульса Интервал времени Скорость Сила
Рис. 2.4. Одномерное движение. Импульс
силы на графике изменения силы равен пло-
щади, ограниченной кривой F(t), осью абс-
цисс и вертикальными прямыми, проведен-
ными через начало и конец соответствующе-
го временного интервала
> Если сила в течение промежутка времени Д/ не является постоянной, то
для нахождения изменения импульса тела используется интеграл:
*2 _
Ар = | Fdr.
п
2.1.2.4. Принцип действия (третий закон Ньютона)
Третий закон Ньютона (принцип действия) можно сформулировать следую-
щим образом: при воздействии первого тела на второе с силой F возникает
сила F', приложенная к первому телу со стороны второго, равная исходной
силе по величине, но противоположно направленная (рис 2.5).
F = -F', действие = противодействие.
Третий закон Ньютона: два тела воздействуют друг на друга с противоположно направленны- ми, но равными по величине силами. МЕГ2
F = -F' Символ Единица измерения Название
F F' н н Сила, с которой тело 1 действует на тело 2 Сила, с которой тело 2 действует на тело 1
2. 1. Основные законы динамики
Два человека находятся в тележках, движу-
щихся без трения, и держат концы каната.
Если один из них потянет канат, чтобы на-
чать двигаться, то вторая тележка также при-
дет в движение.
> Силы F и F' являются равными по величи-
не, но тело с большей массой получит мень-
шее ускорение, чем тело с меньшей массой.
Действие
действие
Рис. 2.5. Принцип проти-
водействия
2.1.2.5. Силы инерции
1. Определение понятия «сила инерции»
Силы инерции — это вызываемые инерцией тела псевдосилы, действие
которых фиксирует наблюдатель, находящийся в системе отсчета, движу-
щейся с ускорением относительно инерциальной системы отсчета (рис 2.6).
В отличие от приведенных выше сил, эти силы являются не причиной, а
следствием ускоренного движения. При ускоренном поступательном движе-
нии силы инерции направлены противоположно ускорению, в качестве ко-
эффициента пропорциональности между ускорением системы и возникаю-
щей силой выступает масса тела.
При ускоренном поступательном движении неинерциальной системы отсчета возникает сила инерции, вызванная ускорением системы, ко- торая имеет противоположное ускорению направление. Величина силы инерции в неинерциальной системе отсчета равна величине действую- щей силы, которая вызывает ускорение этой системы отсчета. MLT’2
Fr = -ma. Символ Единица измерения Название
Fy т а Н кг м/с2 Сила инерции Масса Ускорение
Рис. 2.6. Сила инерции в системе отсчета К', которая движется равноуско-
ренно относительно системы отсчета К
2. Пример силы инерции
Материальная точка ш находится в состоянии покоя в системе отсчета
К(Е = 0). Вторая система отсчета К' движется относительно системы К в
плоскости х,у с постоянным ускорением а = dv / d/ ф 0 в направлении d
(рис. 2.6). Под влиянием силы инерции Fr = -тиа наблюдатель, находя-
щийся в системе К\ фиксирует равноускоренное движение материаль-
ной точки в направлении, противоположном вектору d(/) = ОСУ.
Тело массой 1 кт находится в тележке, которая движется с ускорением
3 м/с2. По измерениям, проведенным в данной тележке, на тело начинает
действовать псевдосила, равная FT = -та = -1 кг-3 м/с2 = -3 Н. Это — ве-
личина силы, которая необходима для придания телу ускорения 3 м/с2.
3. Силы инерции при вращательном движении
При вращательном движении силы инерции действуют по-другому (см. 2.3).
Наблюдатель, находящийся на вращающемся диске, увидит, что ускоре-
ние тела направлено по радиусу от центра вращения, поэтому в данном
случае силой инерции является центробежная сила.
2.1.2.6. Принцип Даламбера
Динамическое равновесие возникает тогда, когда действующая сила F ком-
пенсируется противодействующей ей силой инерции Fr (принцип Даламбе-
ра). Динамическое равновесие является выражением 3-го закона Ньютона.
Тело в динамическом равновесии
F + Fr — 0 F - ma = 0 Символ Единица измерения Название
F Fj- а н н м/с2 Действующая сила Сила инерции Ускорение
> В отличие от статического равновесия, существование динамического
равновесия означает то, что тело сохраняет свое состояние движения.
Появление сил инерции также предполагает появление ускорения.
> Это правило позволяет рассчитать движение тела при условии, что дей-
ствующая сила компенсируется силой инерции. Динамические процессы
в этом случае сводятся к проблемам статического равновесия.
2.1.2.7. Сложение сил
1. Равнодействующая сила
Равнодействующая сила F^ складывается из двух действующих на мате-
риальную точку сил Fj и F2. Она равна векторной сумме этих сил, которую
можно определить с использованием правила параллелограмма (рис. 2.7).
2.1. Основные законы динамики
Равнодействующая сила = векторная сумма отдельных сил MLT2
Гд = Fi + F2 Prx = cosai + F2 cos a 2 FRy = Fj Sinai + F2 sin a2 Fr =7^ +F22 + 2FxF2 cos cp F sin ai+F2 sin a 2 a = arctan Fi cosccj+F^ cos a 2 Символ Единица измерения Название
Fa Fi,F2 ^Rx’^Ry Ф «1 a2 a H H н рад рад рад рад Равнодействующая сила Векторы силы Компоненты равнодей- ствующей силы Угол между и F2 Угол между F\ и осью х Угол между F2 и осью х Угол между Fa> и осью х
2. Многоугольник сил
Благодаря правилу сложения двух сил
можно сложить любое количество сил, ко-
торые действуют на одну и ту же точку, и
найти их равнодействующую:
FA = F| + F2 + F3 + ....
Графически это можно сделать с помо-
щью правила многоугольника: векторы сил
посредством параллельного переноса (т. е.
Рис. 2.7. Сложение сил методом
параллелограмма
при соблюдении неизменности величины и
направления вектора силы ) сдвигаются так,
чтобы конец одного вектора совпадал с нача-
лом другого. Равнодействующая сила пред-
ставляет собой вектор, соединяющий начало
первой силы и конец последней (рис 2.8).
3. Нахождение равнодействующей силы
методом сложения компонент сил
Равнодействующая сила может быть
рассчитана с помощью сложения отдельных
компонент векторов сил (см. 32.3):
Рис. 2.8. Нахождение равнодей-
ствующей силы методом много-
угольника
JFrz )
> Если направление двух векторов совпа-
дает (ср =0), то:
IF/? | -1 Fi + F21 -1F] | +1F21.
> Если векторы направлены противоположно (ф = л), то:
|Fsl=|Fi +F2| = |F1|-|F2|.
> Если силы направлены перпендикулярно друг другу (ср = л/2), то:
IF^IT + F2| = 7|F1|2 +|F2|\
Глава 2. Динамика
2.1.2.8. Разложение сил на составляющие
1. Общее правило разложения сил
Разложение силы F на две составляющие силы Б\, F2, которые имеют за-
данное направление, производится с помощью формул скалярного произве-
дения сил или по правилу параллелограмма.
Разложение силы
F _ F sin(a2 -a) sin(a2 -cq) Символ Единица измерения Название
r sin(a -ai) F H Заданная сила
F2 = F —— — sin(a2 -eq) Fi,F2 H Вектора сил
F2 + F2 - F2 a рад Угол между осью х и F
ai = a - arccos — 2FF “i рад Угол между осью х и
F2 + F2 -F2 a 2 = a + arccos - — 1FF2 a2 рад Угол между осью х и F2
Рис. 2.9. Разложение вектора F на
две перпендикулярные друг другу
компоненты и F2
2. Тангенциальная и нормальная составляющие силы
Особым случаем разложения силы является разложение в двух перпен-
дикулярных друг другу направлениях. Его можно произвести посредством
скалярного произведения (рис. 2.9). Направление компоненты Fx силы F за-
дается единичным вектором (направле-
ние 1). Сила F{ является скалярным про-
изведением F и единичного вектора ё1:
Fx = F • ё] = F cos a,
a — угол между F и q.
Компонента F2 силы F, направленная
в направлении 2 (перпендикулярно на-
правлению 1), в! е2 = 0, определяется
как
F2 = F • е2 - F cos — - a = F sin a.
<2 )
Тангенциальная составляющая силы
(тангенциальная сила) — это сила, дейст-
вующая по касательной к траектории
движения материальной точки. Тангенциальная сила вызывает тангенциаль-
ное ускорение. При этом величина (числовое значение) вектора скорости v
изменяется, но не изменяется его направление:
®\ап - ТП'У ‘ С|ап .
Нормальная составляющая силы (нормальная сила) — это сила, действу-
ющая по нормали к траектории движения материальной точки. Нормальная
2.1. Основные законы динамики
сила вызывает нормальное ускорение, которое не изменяет величину скоро-
сти v, а изменяет только ее направление:
F - 1)2 -
-Г norm ~ Ш norm ?
R — радиус кривизны траектории, епогт — единичный вектор в направлении
нормали.
3. Центростремительная сила
При равномерном движении по окружности радиуса R тангенциальная
сила равна 0. Нормальная сила является центростремительной силой
Fr = -т — ег.
R
Именно эта сила вызывает постоянное, направленное в центр кривизны
траектории ускорение (центростремительное ускорение). Центростремитель-
ная сила является центральной силой.
4. Использование разложения силы на компоненты
Существуют несколько случаев, когда разложение сил является наиболее
удобным. Например, если тело находится в поле тяжести Земли и действует
с силой на какую-либо опору, опора (или плоскость) в свою очередь также
действует на тело с силой (называемой силой реакции опоры), которая име-
ет такую же величину, как и действующая в данном направлении сила. Сила
реакции опоры направлена перпендикулярно к поверхности опоры или
плоскости, по которой движется тело.
5. Применение разложения силы на компоненты при движении тела по на-
клонной плоскости
Наклонная плоскость: определим
компоненты силы тяжести , направлен-
ные перпендикулярно (нормальная сила
F\r) и параллельно наклонной плоскости
(движущая сила F#). Движущая сила вы-
зывает ускорение тела, в то время как
нормальная сила воздействует на плос-
кость (рис. 2.10).
При этом:
Движущая сила: FH = FG sin а = mg sin а,
Нормальная сила: FN - FG cos a = mg cos a.
Здесь a — угол наклона плоскости к го-
Рис. 2.10. Движение тела по на-
клонной плоскости. Разложение
силы тяжести на нормальную
силу F.v и движущую силу
ризонту.
Тело массой ш = 2 кг скользит по плоскости, наклоненной под углом
a = 30° к горизонту. Движущая сила равна
FH = F sin a = mg sin a = 2 кг • 9,81 м/с2 • 0,5 = 9,81 H.
Соответственно, ускорение равно
а = = 4,91 м/с2 =-g,
т 2
т. е. половине ускорения свободного падения.
Глава 2. Динамика
> При угле а = 45° коэффициент перед ускорением свободного падения
равен 1 / V2 « 0,707, а при а = 60° V3 / 2 « 0,866. Доля силы тяжести, ко-
торая действует на плоскость (т. е. сила, с которой тело давит на эту
плоскость), равна соответственно V3 / 2, 1 / V2 и 1/2. При наклоне в 45°
движущая сила и нормальная сила имеют одинаковую величину:
FH =Fn =^=Fg *WFg.
л/2
> Тангенс угла а равен отношению изменения высоты движущегося тела к
величине горизонтально пройденного пути и называется подъемом.
> В транспортной технике под подъемом понимается отношение h/l обыч-
ного перепада высот h к пройденному пути /, т. е. sin а.
При уклоне с соотношением h/l - 1:150 поезду массой 1000 т для прео-
доления силы земного притяжения необходимо развить усилие
FH = Fg sin а = mg - = 106 кг -9,81 м/с2 •— = 65,4 кН.
/ 150
2.1.3. Момент импульса
1. Определение момента импульса
Момент импульса (или момент количества движения) I — это векторное
произведение радиус-вектора г и импульса р = ту, где v — скорость матери-
альной точки (рис. 2.11).
Радиальным импульсом рг называется компонента импульса р материа-
льной точки, направление которой совпадает с радиус-вектором г:
Рг — (р )®Г 5
где ег — единичный вектор в направлении г.
Компонента вектора р, которая располагается в плоскости, образуемой
векторами г и р, перпендикулярно радиальному импульсу, определяется век-
тором -ег х (ёг х р). Эта перпендикулярная радиус-вектору компонента век-
тора р определяет момент импульса.
Момент импульса = радиус-вектор х импульс MPT1
I = f х р = ж х v / = г • т • о • sin а Символ Единица измерения Название
I г Р V т а кгм/с2 м кгм/с м/с кг рад Момент импульса Радиус-вектор Импульс Скорость Масса Угол между векторами риг
Единицей измерения момента импульса, принятой в СИ, является кило-
грамм-метр квадратный на секунду, кгм2/с.
2.1. Основные законы динамики
2. Свойства момента импульса
Момент импульса материальной точ-
ки — это вектор, который направлен
перпендикулярно направлению движе-
ния точки и перпендикулярно радиус-
вектору. Его величина определяется как
/ = г-р-since, где а — угол между радиус-
вектором и вектором импульса.
Момент импульса зависит от выбора
точки отсчета.
Момент импульса равен 0 в том случае,
если вектор импульса не имеет компо-
Рис. 2.11. Момент импульса I
материальной точки массой т
ненты, направленной перпендикулярно
радиус-вектору. Движение вдоль прямой, проходящей через начало ко-
ординат соответствует нулевому моменту импульса.
При движении по окружности линейная скорость v является векторным
произведением угловой скорости со и радиус-вектора f, v = со х г. Поэто-
му момент импульса при вращении равен
I = тг х (со х г) = тг2(Ь = J • й.
Величина J - т • г2 называется моментом инерции материальной точки.
> Направление момента импульса при вращении совпадает с направлени-
ем вектора угловой скорости, т. е. он направлен перпендикулярно траек-
тории.
3. Момент инерции материальной точки
При движении по окружности моментом инерции материальной точки
массой т называется произведение массы движущейся точки на квадрат
кратчайшего расстояния г от оси вращения до точки.
Момент инерции материальной точки ML2
J = тг2 Символ Единица измерения Название
J т г кгм2 кг м Момент инерции Масса Расстояние до оси вращения
> При вращательном движении момент инерции J и момент импульса
I = J • (Ь аналогичны массе т и импульсу р = т • v при поступательном
движении.
2.1.4. Момент силы
1. Определение момента силы
Моментом силы или вращающим моментом называют векторное произ-
ведение радиус-вектора г и силы F, которая приложена к точке, положение
которой определяется радиус-вектором г (рис. 2.12).
Глава 2. Динамика
Вращающий момент = радиус-вектор х сила ML2T2
М = г х F М - г • F • sin а Символ Единица измерения Название
м г F а Нм м Н рад Момент силы Радиус-вектор Сила Угол между радиус-векто- ром и вектором силы
М=г х F
Единицей измерения момента силы,
принятой в СИ, является ньютон-метр.
Один ньютон-метр равен такому моменту
силы, который вызывает сила в 1 ньютон,
приложенная перпендикулярно ради-
ус-вектору на расстоянии 1 метр от оси
вращения.
[ М ] - ньютон • метр = Нм = Н • м.
2. Свойства момента силы
▲ Вектор момента силы направлен пер-
Рис. 2.12. Момент М для силы F пендикулярно плоскости А, проходя-
щей через радиус-вектор г и силу F.
Величина момента силы является про-
изведением расстояния от точки приложения силы до точки отсчета (на-
чала координат) и компоненты силы, действующей перпендикулярно ра-
диус-вектору, проведенному в точку приложения силы.
> Момент силы будет максимальным, если г и F направлены перпендику-
лярно друг другу (since = 1). Так как момент силы увеличивает только
компонента сил, направленная перпендикулярно радиус-вектору, то
силы, действующие радиально относительно начала координат, F11 г, не
вызывают вращательного момента. Такие силы называют центральными
силами. Движение, которое происходит только под влиянием централь-
ных сил, называют центральным движением.
Ж Если при одной и той же силе удвоить расстояние от точки приложения
силы до точки отсчета, то момент силы увеличится в два раза. Использо-
вание: гаечный ключ.
Сила F = 5 Н приложена на расстоянии d - 20 см от оси вращения в га-
ечном ключе. Действующий вращающий момент равен
М = F • d = 5 Н • 20 см = 1 Нм.
3. Равнодействующий момент сил
Если на тело действует несколько силР/, i = 1,2,..., то отдельные момен-
ты сил Mz = fz х Fz можно заменить равнодействующим моментом вращения
с использованием правила векторного сложения.
2.1. Основные законы динамики
Сложение моментов сил ML2T-2
Мд =М1 +м2 + ... Символ Единица измерения Название
мд мьм2)... Нм Нм Равнодействующий момент сил Отдельные моменты сил
> В случае двух противоположно направ-
ленных сил (пара сил), F2 = —F], равно-
действующая сила равна нулю,
F( + F2 = 0. Равнодействующий момент
Мд напротив, не равен нулю, если силы
не приложены к одной и той же точке
(рис. 2.13):
Мд = fi х Fi + г2 х F2 = (fi - f2) х Fi.
4. Момент силы
Рис. 2.13. Момент пары сил
(направлен перпендикулярно
плоскости, проходящей через
г1 - г2 и FbF2)
При движении материальной точки из-
менение момента импульса I = г х р с тече-
нием времени можно определить, пользуясь
правилом дифференцирования произвеле-
ния двух функций:
di d(f х р) df _ _ dp
— =----------= — х mN + г x —.
dr dr dr dr
Первый компонент в правом выражении исчезает, так как df / dr = v
и векторное произведение параллельных векторов равно 0. Изменение им-
пульса dp / dr может быть заменено в соответствии со вторым законом Нью-
тона силой F.
▲ Изменение момента импульса с течением времени равно моменту дейст-
вующей силы (рис. 2.14).
Изменение момента импульса = вращающий момент ML2T2
— = г XF =М dr Символ Единица измерения Название
I г F М кгм2/с М Н Нм Момент импульса Радиус-вектор Действующая сила Момент силы
> Если момент силы направлен параллельно или антипараллельно момен-
ту импульса, то изменяется только величина импульса, в то время как
положение плоскости траектории в пространстве остается неизменно.
Если момент силы не коллинеарен моменту импульса, то также изменя-
Глава 2. Динамика
Рис. 2.14. Момент силы М и изме-
нение момента импульса Д1. Вели-
чина угловой скорости и положе-
ние оси вращения изменяются
ется направление вектора угловой
скорости, т. е. траектория поворачи-
вается.
> Если материальная точка движется
под воздействием центральной силы,
которая действует вдоль радиус-век-
тора ±г, то вращающий момент ра-
вен нулю. Момент импульса с точки
зрения величины и направления яв-
ляется инвариантной величиной.
> Сила тяжести является центральной
силой. Второй закон Кеплера (плос-
кое движение) для движения планет
по эллиптическим орбитам вокруг
Солнца следует из закона сохране-
ния момента импульса.
2.1.5. Основные законы динамики
для вращательного движения
Для вращательного движения тела с моментом импульса L = J • со и посто-
янным во времени моментом инерции /, dJ/dt = 0, действительно:
=/а =М.
dt dt
▲ Угловое ускорение а = со пропорционально моменту М действующей
силы. Коэффициентом пропорциональности является момент инерции J.
1. Основной закон динамики для вращательного движения
Этот закон определяет все типы вращательного движения:
Момент силы = момент инерции • угловое ускорение ML2T2
М =— = J a dt Символ Единица измерения Название
м J а L Нм кгм2 рад/м2 кгм2/с Момент силы Момент инерции Угловое ускорение Момент импульса
С помощью интегрирования получается:
‘2
f Md? = AL.
ч
▲ Импульс момента силы (интеграл момента силы по времени) равен из-
менению момента импульса.
2.2. Силы
2. Сопоставление поступательного и вращательного движений
Поступательное движение Вращательное движение
Радиус-вектор Элементарный путь Скорость Ускорение Масса Импульс Сила Кинетическая энергия Работа Мощность f dr _ dr v = — dz dv d2r a = — = dz dz2 m p = mN F = m& = p ^кин = wu2 dlT = Fdf P =Fv Угол Элементарный угол Угловая скорость Угловое ускорение Момент инерции Момент импульса Момент силы Кинетическая энергия Работа Мощность ф dcp бф _ d7'e“ dco d2<p _ а = — е„ dZ dZ2 J = mr2 L = /й M = Ja = L ^КИН = -/®2 dlK = Mdcp • ёю P = Мй
Равномерное движение
a = 0 и = Ug = const х = tV + %о со = 0 со = со0 = const Ф = со0/ + Ф о
Равноускоренное движение
a - aQ - const о = a$t + u0 X = t2 + VqZ + Xq (Ь = О>0 = const СО = (Oq/ + COg (On ~ ф = у t2 + CO0Z + Фо
2.2. Силы
Далее описываются наиболее часто встречающиеся виды сил.
2.2./. Сила тяжести
1. Определение силы тяжести
Сила тяжести (вес) — это сила притяжения Земли, которая воздействует
на все тела. Она пропорциональна массе тела.
Коэффициентом, связывающим действующую силу и массу тела, являет-
ся ускорение свободного падения g, которое в фиксированной точке посто-
янно для всех тел, независимо от их массы.
Сила тяжести = масса • ускорение свободного падения MLT'2
Fg = Символ Единица измерения Название
Fg т g д * а Сила тяжести Масса тела Ускорение свободного падения
> Используемая в данной формуле масса тела называется гравитационной
массой. Она всегда равна инерционной массе. Это высказывание прове-
рено высокоточными экспериментами и является исходной точкой для
общей теории относительности.
Ускорение, которое получает тело массой т в гравитационном поле, по
основному закону динамики равно:
Если из трубы выкачать воздух, то можно увидеть, что стальной шарик и
перо в такой трубе падают вниз с одинаковой скоростью. Обычное раз-
личие в скоростях их падения вызывается различием сопротивления воз-
духа падению пера и стального шарика.
2. Ускорение свободного падения
На тело массой 1 кг на земной поверхности действует сила FG = 1 кг-
•9,81 м/с2 = 9,81 Н. Ускорение, сообщаемое телу под действием этой
силы, равно:
Fg 9,81 Н Q01 /9
а = — =--------= 9,81 м/с2.
т 1 кг
На тело, которое имеет в два раза большую массу, действует удвоенная
сила 19,62 Н, но его ускорение также равно 19,62 Н/2 кг = 9,81 м/с2.
> Ускорение свободного падения зависит от географического места. Оно
зависит от высоты над уровнем моря, от широты (по причине вращения
земли и сплюснутости земного шара), а также в незначительной степени
от колебаний плотности земной коры. Нормальное ускорение свободно-
го падения составляет 9,81065 м/с2.
На других планетах ускорение свободного падения имеет другую величину.
▲ Все тела, расположенные в одном и том же месте, при воздействии на
них силы тяжести получают равное ускорение.
2.2.2. Сила упругости
1. Закон Гука
Если на пружину действует какая-либо сила, то вследствие упругости пру-
жины возникает сила, стремящаяся вернуть пружину в исходное положение.
Согласно закону Гука, эта сила пропорциональна деформации пружины. Ко-
эффициент пропорциональности называется жесткостью пружины (рис. 2.15).
2.2. Силы
Закон Гука: сила ~ деформация MLT-2
Fx = -кх Символ Единица измерения Название
Fx к X Н Н/м м Сила упругости Жесткость пружины Отклонение из состояния покоя
F..= ~кх e„
т
> Закон Гука действителен только при-
ближенно, для небольших отклонений
из состояния покоя. При больших де-
формациях сила возрастает нелинейно
с увеличением деформации; в конце
концов, пружина ломается.
На пружину жесткостью к = 100 Н/м
подвешен груз массой т = 1 кг. Де-
формация (растяжение) пружины d
равна
d = 1Л1 = mg =
к х
= —м/с2 = 0,0981 м = 9,81 см.
100 Н/м
л=0 ег х
-----------
Fa
Fx
Рис. 2.15. Сила упругости
2. Свойства пружин
Существуют следующие виды деформации пружин:
• Деформации растяжения, при которой пружина, стремясь сжаться в не-
деформированное состояние, оказывает тяговое усилие.
• Деформации сжатия, при которой пружина противодействует силой дав-
ления.
• Деформации кручения, при которых внешнему моменту сил противодей-
ствует направленный противоположно момент упругой деформации пру-
жины.
Если соединены несколько пружин, то они могут быть заменены одной
пружиной с равнодействующей жесткостью пружины. Любое количество со-
единенных вместе пружин может быть разложено на комбинацию из парал-
лельного и последовательного соединения пружин.
Параллельное соединение пружин: жесткости отдельных пружин скла-
дываются (рис. 2.16):
Ares = + £2 + ••••
Последовательное соединение пружин: складываются величины, обрат-
ные жесткостям отдельных пружин (рис. 2.17):
1 1 1
--- —---1-----к....
A:res ^2
84 Глава 2. Динамика
2
^2
Рис. 2.16. Параллельное
соединение пружин
ЗПЖ1ЖГ1
Рис. 2.17. Последовательное соеди-
нение пружин
[м| В соответствии с законом Гука пружины можно использовать для изме-
рения сил (динамометр). Один конец пружины фиксируется неподвиж-
но, на другой конец пружины воздействует измеряемая сила. Деформа-
ция пружины в этом случае пропорциональна действующей силе. Граду-
ирование можно произвести с помощью тела известной массы, и, соот-
ветственно, известной силы тяжести.
2.2.3. Силы трения
Сила трения — это сила, препятствующая движению, которая возникает в
том случае, если тело движется, соприкасаясь с другими телами или в жид-
кости (газе). Силы трения направлены параллельно плоскости касания.
Сухое трение — трение, которое возникает в плоскости касания твердых
тел.
> Сухое трение не зависит от величины плоскости поверхности касания.
> Силы трения в вязких жидкостях или газах зависят от скорости движу-
щегося в них тела.
Сухое трение подразделяют на трение покоя, трение скольжения и тре-
ние качения.
2.2.3. У. Трение покоя
1. Определение трения покоя
Трение покоя — это сила, которая препятствует скольжению тел и воз-
никает из-за неровности поверхности соприкасания тел. Трение покоя дей-
ствует, когда нет относительного движения соприкасающихся тел. Если на
тело действует внешняя сила, то движение начинается только тогда, когда
эта сила превысит силу трения покоя FH. Максимальная сила трения покоя
пропорциональна силе давления на опору (нормальной силе)
?Н ^Я,тах -
Коэффициент пропорциональности ц0, который определяет максималь-
ную величину силы трения покоя, называется коэффициентом трения по-
коя (рис. 2.18).
2.2. Силы
2. Свойство трения покоя
> Трение покоя не зависит от вели-
чины площади поверхности каса-
ния.
> Коэффициент трения покоя зави-
сит от материалов тел и свойств
поверхности (неровностей) (см.
табл. 8.3/3).
[м] Коэффициент трения покоя для
двух материалов можно опреде-
лить, положив тело массой т из
Рис. 2.18. Трение покоя
одного материала на наклонную плоскость, изготовленную из другого
материала, и увеличивать угол наклона а до тех пор, пока тело не начнет
скользить по поверхности. Скольжение начинается тогда, когда сила,
движущая тело вниз, F = mg sin а, становится больше силы трения покоя
FH. F = FH max. Угол, при котором это происходит, называется углом ско-
льжения. Для угла скольжения справедливо следующее выражение:
F = mg sin (р = ГЯтах = цо^я = Po^gcoscp.
Коэффициент трения покоя равен
Но = &Ф-
▲ Коэффициент трения ц0 равен тангенсу угла скольжения ср.
2.2.3.2. Трение скольжения
Трение скольжения появляется при относительном движении соприкасаю-
щихся тел. Сила трения скольжения направлена против скорости тела, и ее
величина пропорциональна величине нормальной силы (рис. 2.19).
Сила трения скольжения MLT-2
Fgr = P-Fn Символ Единица измерения Название
Fgr И Fn Н 1 н Сила трения скольжения Коэффициент трения скольжения Нормальная сила
Коэффициент пропорциональности ц называется коэффициентом тре-
ния скольжения (табл. 8.3/2).
Трение скольжения в общем случае меньше, чем максимальное трение
покоя (табл. 8.3/3).
Металлический блок весом 10 кг скользит по древесине. Коэффициент
трения покоя металл/дерево равен ц0 » 0,5, коэффициент трения сколь-
жения ц0 « 0,4. Для того чтобы привести металлический блок в движе-
ние, необходимо приложить силу, которая больше трения покоя:
^Я,тах = Цо^У = Po^g = 0,5 кг • 10 кг -9,81 м/с2 = 49 Н.
Рис. 2.19. Сухое трение. Трение покоя и трение скольжения
Как только этот металлический блок будет сдвинут, начнет действовать
только трение скольжения, равное
FGR = \xFN = [xmg = 0,4 • 10 кг • 9,81 м/с2 = 39 Н.
2.2.3.3. Трение качения
1. Определение трения качения
Трение качения возникает, если тело (например, колесо) не скользит по
поверхности опоры, а катится по ней. При качении каждая точка на ободе
колеса (радиуса R) движется относительно центра колеса с такой же скоро-
стью, с которой все колесо движется вперед (рис. 2.20):
Асо = о.
Рис. 2.20. Движения качения. Расстояние s, на ко-
торое переместилась ось, имеет ту же длину, что и
длина обозначенной на рисунке части окружно-
сти: 5 = Ra.
Линейная скорость точки касания обода с поверхностью, по которой ка-
тится колесо, равна 0, так как линейная скорость 7?(о, связанная с вращени-
ем, компенсируется линейной скоростью и поступательного движения коле-
са. Трение качения возникает из-за деформации колеса и поверхности каче-
ния. В результате деформации сила реакции опоры действует не в точке Рх
(мгновенная ось вращения), а в точке Р2, являясь равнодействующей норма-
льной силы Fn и силы FR(cwia трения качения). Колесо катится равномер-
но, если сумма силы реакции опоры, тяговой силы и силы тяжести равна
нулю (рис. 2.21). Вращающий момент тяговой силы по отношению к оси
вращения, проведенной через точку Р15 равен:
M=RFr,
тд$ R — радиус колеса.
2,2. Силы
2. Коэффициент трения качения
Коэффициент трения качения f является ко-
эффициентом пропорциональности между си-
лой, с которой колесо давит на поверхность FN
и вращающим моментом М, вызванным силой
трения:
M = f-FN.
Отсюда следует, что
Рис. 2.21. Трение качения
Трение качения зависит от нагрузки, диамет-
ра колеса, материалов колеса и поверхности качения.
> Сила трения качения с увеличением диаметра колеса становится меньше.
> Коэффициент трения качения имеет размерность длины. Он зависит от
скорости. При качении стали по стали значение коэффициента лежит в
пределах от 0,01 см при скорости 4 м/с до 0,05 см при скорости 30 м/с
(табл. 8.3/1).
2.2.3.4. Трение между канатом и блоком
1. Определение трения между канатом и блоком
При использовании каната и блока между ними возникает трение. Сила
F2 компенсирует при движении блока с постоянной скоростью силу нагруз-
ки Fx и силу трения FGR = F2 — F{ (рис. 2.22).
Трение между канатом и блоком MLT’2
Fgr = -1) = = /2(1 -е-моа) Символ Единица измерения Название
Fgr Л ^2 е Но а н н н 1 1 рад Сила трения скольжения Нагрузка Сила тяги Число Эйлера Коэффициент трения покоя Угол охвата канатом блока
> При поднятии сила Fx является нагрузкой и равна весу тела, F2 — под-
нимающая сила. При опускании сила F2 — нагрузка, F{ — удерживаю-
щая сила:
^подн = ^нагр >
допуск — & ^нагр •
> Эти формулы действительны, если цилиндр находится в покое, и канат
движется с постоянной скоростью, или если канат неподвижен, а ци-
линдр вращается с равномерной скоростью.
Рис. 2.22. При поднятии
нагрузки F\ посредством
силы трение между
канатом и блоком зави-
сит от угла охвата а
2. Свойства трения между канатом и блоком
> При трении между канатом и блоком коэффи-
циент трения скольжения зависит от скорости
каната и от радиуса блока.
▲ Канат неподвижен, если сила тяги слишком
мала, чтобы поднять нагрузку, или слишком
велика, чтобы дать нагрузке опуститься.
^нагре < F < ^нагр^^а •
▲ Если необходимо, чтобы при поднятии нагруз-
ки Fx силой F2 трос не двигался, то:
F2/Fi < ено«,
где ц0 — коэффициент трения покоя. При техни-
ческом применении (приводные ремни), где недо-
пустимо проскальзывание между катом и блоком, в расчетах необходимо
использовать коэффициент трения покоя.
> Величины коэффициентов трения даны в табл. 8.3/2 — 8.3/3.
2.3. Силы инерции во вращающейся
системе отсчета
Как при поступательном движении, так и при вращательном движении мо-
гут появится силы инерции. При определении сил инерции при вращатель-
ном движении его представляют как движение по окружности. Это движе-
ние не является равномерным прямолинейным движением, а, следователь-
но, является движением с ускорением, вызванным воздействием на тело ка-
кой-либо силы. Ускорение проявляется не обязательно в изменении
величины скорости, оно также вызывает изменение направления движения
(изменение направления скорости).
Уравнение движения материальной точки массой т в неинерциальной
системе, начало координат которой движется с ускорением а0 и вращается с
угловой скоростью со:
тг = F - wa0 - пйЬ х (со х г) - т(Ь х г - 2тлй х г.
Центробежная сила: Fz = -тлсо х (й х г).
Кориолисова сила: Fc = -2т(Ь х г.
2.3.1. Центростремительная и центробежная силы
Ускорение а, которое имеет материальная точка с радиус-вектором г, если
она движется с угловой скоростью со по круговой траектории, равно:
dv d ~
а = — = — (со х г).
dt dt
Производная векторного произведения равна:
do df
а - — х г + со х —.
dz dt
2.3. Силы инерции во вращающейся системе отсчета
Ускорение при вращении LT'2
a = ахг + йх(йхг) Символ Единица измерения Название
а a г й м/с2 рад/с2 м рад/с Ускорение Угловое ускорение Радиус-вектор Угловая скорость
Первый член описывает вклад углового ускорения d в величину ускоре-
ния. Второй член ускорения является центральным ускорением, которое
возникает под действием силы, удерживающей тело на его круговой траек-
тории.
1. Центростремительная сила
Центростремительное ускорение аг является ускорением, которое удер-
живает материальную точку при ее движении по окружности. Оно направле-
но к центру кривизны траектории и равно
аг =| й х (й х г)| = со2 • г • sin 0,
где 0 — угол между радиус-вектором и осью вращения. Если радиус-вектор г
направлен перпендикулярно оси вращения, то
аг = со2 • г.
В таком случае г — перпендикулярное расстояние от тела до оси враще-
ния. Согласно закону Ньютона центростремительное ускорение является
следствием силы:
центростремительная сила Fr — сила, которая вызывает центростремите-
льное ускорение, и тем самым удерживает тело на круговой траектории:
Центростремительная сила MLT'2
и и £ 8 о| - £ £ ьч II II Символ Единица измерения Название
Л- т “г со г о н кг м/с2 рад/с м м/с Центростремительная сила Масса Центростремительное ускорение Угловая скорость Расстояние до оси вращения Скорость
В векторной форме центростремительная сила равна:
Fr = -Frer = т& х (й х г).
Центростремительная сила направлена к центру кривизны траектории.
Вследствие своей инерционности наблюдатель, который вращается вместе с
системой, наоборот почувствует силу, которая направлена наружу от центра
кривизны траектории.
Глава 2. Динамика
2. Центробежная сила
Центробежная сила Fz — сила, которую воспринимает движущийся по
круговой траектории наблюдатель. Она направлена от центра кривизны тра-
ектории наружу и по величине равна центростремительной силе (рис. 2.23):
Fz = Frtr = -т(Ь х (й х г).
I
V I
[ ?r \
[ I Рис. 2.23. Центробежная сила. При вращательном движении
\ I наступает равновесие между центробежной силой Fz и центро-
\ / стремительной силой Fr, которая удерживает тело на круговой
---траектории
> Центробежная сила является силой инерции, т. е. она появляется только
в движущейся с ускорением системе отсчета и воспринимается только
находящимся в такой системе наблюдателем.
Автомобиль массой т = 800 кг, который совершает поворот радиусом г =
= 10 м со скоростью v = 30 км/ч, воспринимает центробежную силу
Z7 С С ТТ
Fz =-----« 5,5 кН.
г
Можно попытаться компенсировать эту силу путем наклона поворота.
Чтобы компенсировать эту силу полностью, необходим наклон а, равный:
Fv о2/г
tga = — =------» 0,7 => а » 35°,
Fg g
где Fg — сила тяжести, g — ускорение свободного падения.
Центробежный регулятор представляет собой два маятника, установлен-
ных на одной оси. Благодаря центробежной силе маятники при вращении
оси отклоняются наружу. Возникающую при этом силу можно использовать
для регулировки частоты вращения.
2.3.2. Кориолисова сила
1. Определение кориолисовой силы
Кориолисова сила Fc — это сила, воспринимаемая наблюдателем, кото-
рый, находясь на вращающемся диске, движется по радиусу от центра диска
наружу. Сила воздействует перпендикулярно направлению движения наблю-
дателя и перпендикулярно оси вращения.
Физическая причина кориолисовой силы — это увеличение скорости
движения наблюдателя по траектории, которая возрастает при увеличении
расстояния от точки нахождения наблюдателя до оси вращения.
В векторной форме кориолисова сила равна:
2.3. Силы инерции во вращающейся системе отсчета
Кориолисова сила MLT2
Fc = -2/псо х v Символ Единица измерения Название
₽с т й V н кг рад/с м/с Кориолисова сила Масса Угловая скорость вращения Линейная скорость точки во вращающейся системе
2. Тело на вращающемся стержне
Чем дальше материальная точка удалена от центра вращения, тем будет
больше ее момент инерции J = тг2. Это увеличение вызывает дополнитель-
ный момент сил, несмотря на постоянную угловую скорость вращения (рис.
2.24):
М = — = со • — = со • m — (г2) = 2тя • со • г • иг.
dt dt dt
Рис. 2.24. Направление силы Кориолиса для тела, которое движется по вра-
щающемуся стержню наружу
Этот момент сил должен быть компенсирован приводом, чтобы частота
вращения не изменилась. На тело массой т действует соответствующая
сила, величина которой равна:
Fc = 2/и - со • ог.
3. Примеры силы Кориолиса
Траектория тела, которое движется равномерно и прямолинейно в инер-
циальной системе отсчета, относительно вращающегося диска, является
спиралью (рис. 2.25).
Если тело, находящееся на земной поверхности, движется на север, то в
связи с вращением Земли со скоростью й на тело действует сила Корио-
лиса, которая в северном полушарии отклоняет его на восток, а в юж-
ном — на запад. Разница в направлениях объясняется тем, что тело в се-
верном полушарии при движении на север движется в области постоян-
но снижающейся линейной скорости, связанной с вращением земной
поверхности; в южном полушарии при движении на север, напротив,
тело движется в области с увеличивающейся линейной скоростью, свя-
занной с вращением Земли (рис. 2.26).
Рис. 2.25. Траектория тела, кото-
рое движется равномерно и пря-
молинейно в инерциальной систе-
ме отсчета, относительно вращаю-
щегося диска является спиралью
Рис. 2.26. Сила Кориолиса Fc на поверхно-
сти Земли. Тело, движущееся в северном по-
лушарии со скоростью v на север, отклоня-
ется на восток (в южном полушарии на за-
пад). 5 — угловая скорость вращения Земли
2.4. Работа и энергия
Работа и энергия являются основными величинами для описания физиче-
ских процессов. Энергия — инвариантная величина. Она имеет различные
формы, которые могут преобразовываться одна в другую.
2.4. У. Работа
1. Определение работы
Работа: сила F вдоль элементарного пути df равна:
dW = F(f, t) • df = F(r, t) cos adr,
где a — угол между силой и элементарным перемещением (рис. 2.27).
Работа = сила • путь ML2!2
dW = F-df = =| F| | dr | cos a Символ Единица измерения Название
dW F df a Дж = Нм Н м рад Работа Сила Элементарный путь a — угол между силой и эле- ментарным перемещением
2. Единица измерения работы
Единицей измерения работы, принятой в СИ, является джоуль: 1 джоуль
равен работе, которая совершается, если тело перемещается силой в 1 нью-
тон на расстояние 1 метр.
[JV] = джоуль = Дж = Н • м = j? м .
с2
Другие единицы измерения работы даны в табл. 34.0/3 и 34.0/5.
2.4. Работа и энергия
Рис. 2.27. Работа, совершаемая при перемещении тела от точки с радиус-
вектором ?! до точки с радиус-вектором г2
Внесистемные единицы измерения:
1 килограмм-сила-метр (кгс-м) = 9,80665 Дж,
1 эрг = 10"7 Дж,
1 электрон-вольт (эВ) = 1,602-10~19 Дж.
3. Свойство работы
> Знак работы можно определить следующим образом:
ёЖ> 0: Перемещение имеет компоненту в направлении действия силы
(cos ос > 0).
dJT< 0: Перемещение имеет компоненту, направленную против направле-
ния действия силы (cos а < 0).
Тело перемещается силой F = 10 Н на расстояние s = 20 см в направле-
нии действия силы. Совершенная при этом работа равна:
W=FS = 10 НО,2 м = 2 Дж.
Если путь, пройденный телом, в два раза больше (5 = 40 см), то работа
также удваивается:
W=FS = 10 Н-0,4 м = 4 Дж.
Величина работы также удвоится в том случае, если при том же самом
перемещении сила, действующая на тело, увеличится в два раза.
> Если сила действует не параллельно направлению движения тела, то на
величину работы влияет только та компонента силы, направление кото-
рой совпадает с направлением движения (т. е. проекция вектора силы на
направление движения). Сила, которая действует на тело перпендику-
лярно его перемещению, не совершает механической работы (cos ос = 0).
Работа будет максимальной в том случае, если перемещение происходит
в направлении действия силы (cos а = 1).
> Силы реакции опоры не совершают работу, так как они направлены па-
раллельно траектории движения тела.
Тело движется по рельсу, при этом сила, приложенная к телу, действует
под углом в 45° к направлению движения. Движущая сила равна:
F • cos 45° = -4= F.
V2
Глава 2. Динамика
4. Работа как интеграл
Полная работа, которая совершается при перемещении от точки, описы-
ваемой радиус-вектором гь до точки, описываемой радиус-вектором г2, рав-
на интегралу от силы вдоль всего пути.
Работа = интеграл силы вдоль пути ML2T’2
Г2 W = jF(r)df fl Символ Единица измерения Название
W F(f) f А Ъ Дж = Нм Н м м м Работа Вектор силы в точке г Радиус-вектор Начальное положение тела Конечное положение тела
Рис. 2.28. Одномерное движение. Ра-
бота является площадю под графиком
изменения силы F(x)
При этом радиус-вектор г прохо-
дит все значения от ц до г2 в соответ-
ствии с траекторией движения тела.
> При одномерном движении гра-
фическое изображение работы —
площадь под графиком изменения
силы F(x) (рис. 2.28),
х2
W = J F(x)dx.
Х1
2.4.2. Энергия
1. Определение и свойство энергии
Энергия — это величина, характерная для состояния тела (расположе-
ние, вид движения, температура, деформация и т.д.). Посредством работы,
которая совершается над телом, энергия тела увеличивается; работа, кото-
рую совершает тело, уменьшает его энергию. При этом работа вызывает из-
менение состояния, в котором находится тело (перемещение, ускорение, на-
грев, изменение формы и т.д.).
▲ Энергия — это мера того, сколько работы совершено над телом или со-
вершается им.
Единица измерения энергии, принятая в СИ, совпадает с единицей из-
мерения работы — джоуль.
> Энергия — это величина, зависимая от выбора системы отсчета. Поэто-
му энергия тела всегда рассматривается только относительно определен-
ной системы отсчета.
2.4. Работа и энергия
Если локомотив везет поезд в гору, то он увеличивает его потенциаль-
ную энергию. Если поезд затем едет под гору, то эта энергия преобразу-
ется в теплоту трения (торможения) или в энергию движения (кинетиче-
скую энергию).
Существуют различные формы энергии, которые могут преобразовывать-
ся одна в другую.
Электрическая энергия преобразуется локомотивом в кинетическую и
потенциальную энергию поезда, которая при торможении путем трения
преобразуется в тепло. Тепло также является формой энергии.
2. Сохранение энергии
В физических процессах энергия не может быть уничтожена, различные
виды энергии преобразуются один в другой.
Закон сохранения энергии: в замкнутой системе при любых физических процессах общая энергия системы остается постоянной. Энергия может преобразовываться в различные формы, части системы могут обмениваться энергией меж- ду собой. ML2T2
~ ^пот + ^кин +• • • — Const Символ Единица измерения Название
: J4 J4 1 3 ' Дж Дж Дж Дж Энергия вида z Потенциальная энергия Кинетическая энергия Другие виды энергии
3. Энергия как параметр состояния
Энергия — это свойство определенного состояния системы (например,
положения и скорости тела в гравитационном поле). Разница энергий меж-
ду двумя состояниями должна быть передана системе в форме работы, если
происходит переход от состояния с более низкой энергией в состояние с бо-
лее высокой энергией.
▲ Нулевую точку энергии можно выбрать произвольно, так как в физиче-
ских процессах речь идет только об изменении количества энергии. По-
этому абсолютное значение энергии произвольно.
Наряду с механическими формами энергии, существует энергия, связан-
ная с электромагнитнам полем. Теплота также является формой энергии;
энергия движения может преобразовываться путем трения в теплоту. Тепло-
вые машины преобразуют теплоту в механическую энергию (паровая маши-
на, двигатель внутреннего сгорания, см. 21.7).
2.4.3. Кинетическая энергия
1. Определение кинетической энергии
Работой сил ускорения называется работа, совершаемая при ускорении
тела массой т с ускорением а против сил инерции Fr = -mi, величина этой
работы = -wadf.
Глава 2. Динамика
Кинетическая энергия — это энергия движения, передаваемая телу рабо-
той сил ускорения, которая, например, при торможении, выделяется в виде
теплоты.
dWв = ~d^B = -Frdr = т — vdZ = mvdv = df— и2
dt 12
Работа ускорения ML2!2
dPK# = madf WB = |w(v2 --V2) Символ Единица измерения Название
т а df о Дж кг м/с2 м м/с м/с Работа сил ускорения Масса тела Ускорение Элементарный путь Конечная скорость Начальная скорость
Работа сил ускорения зависит кроме массы т только от начальной ско-
рости и конечной скорости тела. Кинетическая энергия материальной точки
массой т равна:
^кин — ~ 2 •
Она равна работе сил ускорения, которая необходима для того, чтобы
ускорить материальную точку, находящуюся в состоянии покоя (о0 = 0), до
конечной скорости и.
2. Кинетическая энергия и система отсчета
> Кинетическая энергия зависит от состояния движения тела и, следовате-
льно, от системы отсчета. Это свойство выражает произвольность выбо-
ра нулевой точки энергии. Тело со скоростью v в определенной системе
отсчета имеет кинетическую энергию
^КИН = 2 2 •
В системе, движущейся относительно другой системы со скоростью v0,
кинетическая энергия тела равна:
Якин =|w(u')2 = |м(и2 + 2yv0 +v02)-
Тело массой 5 кг, которое находится на высоте 2 м над уровнем пола,
имеет потенциальную энергию, равную 98,1 Дж (см. ниже). Если тело
падает вниз, то потенциальная энергия постепенно преобразуется в ки-
нетическую. При достижении пола вся потенциальная энергия преобра-
зуется в кинетическую. Скорость тела при этом равна:
\2Е^ /2-98,1 Дж .
V т \ 5 кг
2.4. Работа и энергия
2.4.4. Потенциальная энергия
Энергия, которая зависит только от положения тела и не зависит от его ско-
рости, называется потенциальной энергией.
2.4.4.1. Работа против силы тяжести
1. Работа подъема против силы тяжести
Работа подъема в гравитационном поле — это работа, совершаемая при
подъеме тела против постоянной силы тяжести FG = mg.
Работа подъема М12Т2
Жн = FGkh = mgkh Символ Единица измерения Название
£ bo<i Дж Н КГ м/с2 м Работа подъема Сила тяжести Масса поднимаемого тела Ускорение свободного падения Разница высот начального и конечного положения тела
Потенциальная энергия — это энергия, сообщенная телу работой подъе-
ма. Она зависит от положения тела (рис. 2.29).
> Эта формула действительна только тогда, когда сила тяжести может рас-
сматриваться как постоянная величина.
Рис. 2.29. Работа при подъеме тела в гравитационном поле
4—3814
Глава 2. Динамика
2. Свойства потенциальной энергии
Потенциальная энергия равна
-Е'пот = mgh.
Высота h измеряется от свободно выбранного начала отсчета.
> Потенциальная энергия зависит от выбранной нулевой точки отсчета
высоты, но разница между потенциальными энергиями для двух точек и,
следовательно, совершенная работа по подъему тела, не зависит от вы-
бора нулевой точки отсчета высоты.
Тело массой 5 кг должно быть поднято на высоту 2 м. Требуемая для
этого работа подъема равна:
WH = mgh = 5 кг • 9,81 м/с2 • 2 м = 98,1 Дж.
Если тело должно быть поднято на высоту, которая в два раза больше
указанной, или тело имеет удвоенную массу, то совершенная работа также
удвоится.
> Аналогично, производится работа при перемещении электрического за-
ряда против силы электрического поля (см. 15.5).
2.4.4.2. Работа деформации
и потенциальная энергия пружины
1. Работа деформации
Работой сил деформации называется работа, совершаемая при деформа-
ции тела. Работа сил деформации совершается при растяжении пружины на
длину х против сил, стремящихся вернуть пружину в исходное положение
(сил упругости Fx = -kx) (рис. 2.30).
Сила упругости не является постоянной, как сила тяжести, а при небо-
льшом растяжении пружины пропорциональна ее удлинению х. Поэтому ра-
бота внешней силы F = -Fx, совершаемая при растяжении пружины, равна:
^тах -К max
WF = j Fdx = j kxdx,
*min -^min
где растяжение пружины изменяется от х^ до хтах.
Работа сил деформации ML2T'2
Символ Единица измерения Название
wF к Y . •/vmin Y •^шах Дж Н/м м м Работа сил деформации Модуль упругости Начальная длина пружины Конечная длина пружины
Рис. 2.30. Работа сил деформации и энергия напряжения пружины
2. Энергия деформации
Энергией деформации EF называется потенциальная энергия деформи-
рованного тела, которая представляет собой работу, совершенную при де-
формации тела. Она зависит от состояния деформации тела и высвобожда-
ется, если тело принимает изначальную форму. Потенциальная энергия де-
формации Ef пружины равна:
£F = - кх2,
2
т.е. она равна работе, которая необходима, чтобы деформировать пружину
из недеформированного состояния (х = 0) в состояние с абсолютным удли-
нением х.
> Часть работы по деформации всегда преобразуется в теплоту посредст-
вом трения, поэтому сумма кинетической и потенциальной энергии то-
лько приблизительно постоянна. Подтверждением являются затухающие
колебания пружины, выведенной из состояния равновесия.
3. Пример: колебания пружины
При колебании пружины кинетическая и потенциальная энергии преоб-
разуются друг в друга. Общая энергия при пренебрежении трением равна:
Е = ^кин + ^пот =^mv2 + кх2 = const.
Поэтому скорость массы т при заданном удлинении х
v =
2Е к 2
------х2.
т т
Максимальное удлинение хмах будет достигнуто при о = 0:
•Х'шах
Глава 2. Динамика
При максимальном удлинении пружины вся энергия колебания перехо-
дит в потенциальную энергию. При х = О напротив, вся энергия переходит в
кинетическую:
Г 1 2
Е = -mv^x,
где итах — скорость при х = 0.
2.4.5. Работа сил трения
Работа сил трения — это работа, совершаемая против сил трения. Она пре-
образуется в теплоту.
> Энергия, преобразуемая работой сил трения в тепло в тепловых маши-
нах, не может быть полностью преобразована в механическую. Сила тре-
ния Fr является приблизительно постоянной и пропорциональна нор-
мальной силе (силе реакции опоры). Она действует против направления
движения. При одинаковых типах поверхностей тел скольжения сила
трения не зависит от величины поверхности касания.
Работа сил трения скольжения ML2P2
= FRdx = = [xFNdx Символ Единица измерения Название
Fr dx Ц fn Дж Н м 1 Н Работа сил трения Сила трения скольжения Элементарный путь Коэффициент трения скольжения Нормальная сила
Трение скольжения при сухих поверхностях в первом приближении не
зависит от скорости. При трении в газах и жидкостях сила трения зависит
от скорости (см. 6.3.3.1, п. 2).
2.5. Мощность
Мощность Р — это работа, совершенная в единицу времени. Она использу-
ется для описания непрерывно работающих машин и механизмов.
Работа Мощность = Время ML2T3
АЖ Д/ Символ Единица измерения Название
р ДЖ Д/ Вт Дж с Мощность Совершенная работа Время совершения работы
Единицей измерения мощности, принятой в СИ, является ватт (Вт).
Ватт — это мощность машины, которая за 1 секунду совершает работу в
1 джоуль.
ГП1 г> Дж КГ М2
[Р] = ватт = Вт = =------.
с с3
Другие единицы измерения даны в табл. 34.0/3.
Внесистемные единицы измерения:
1 лошадиная сила (л. с.) = 735,4988 Вт.
> Если мощность зависит от времени, то используют понятие мгновенной
мощности:
dt
Двигатель совершает в течение минуты работу в 6000 кДж. Его мощность
равна:
р = МГ а 600 кДж s 10 кВт
Д/ 60 с
> Мощностью часто обозначают совершенную работу. В физике и в техни-
ке напротив: мощность обозначает исключительно работу, совершенную
в физической системе за единицу времени.
2.5.1. Коэффициент полезного действия
Коэффициентом полезного действия ц любого механизма называют отно-
шение работы, совершаемой механизмом, к энергии, которую потребляет
механизм. Так как машины в общем случае выполняют работу непрерывно,
то коэффициент полезного действия чаще всего определяется как отноше-
ние выходной мощности к потребляемой.
Коэффициент полезная работа плпаэилгл = * — Выходная мощность Входная мощность 1
действия Подведенная работа
_ Т^вых И = = Р 1 вх Символ Единица измерения Название
р ~р ± вх 1 потерь П 1 Коэффициент полезного действия
^вх р Л вых Вт Выходная мощность
р _ । * потерь Р 1 вх р *- вх р J потерь Вт Вт Потребляемая мощность Мощность потерь
Коэффициент полезного действия имеет размерность 1, часто он указы-
вается в процентах.
Приводной вал двигателя должен обеспечить выходную мощность
40 кВт. Для этого на него подается мощность 50 кВт. Коэффициент по-
лезного действия равен:
= 40кВт = 0 8 = 8()%
50 кВт
Глава 2. Динамика
20 % затрачиваемой энергии теряется в виде потерь на трение и выделя-
ется в виде теплоты.
▲ Коэффициент полезного действия ц = 1 соответствует совершенно рабо-
тающей машине (без потерь).
▲ По причине закона сохранения энергии и невозможности избежать по-
терь коэффициент полезного действия всегда меньше единицы:
Г| < 1.
Общий коэффициент полезного действия нескольких последовательно
подключенных механизмов определяется умножением отдельных коэффи-
циентов полезного действия:
= П1
Поэтому общий коэффициент полезного действия всегда лежит в преде-
лах от 0 до 1, и он не может быть больше, чем коэффициент полезного дей-
ствия отдельного механизма.
2.6. Удар
Ударом называется кратковременное взаимодействие между двумя или не-
сколькими движущимися телами, которые представляют собой замкнутую
систему. Удар характеризуется очень большими, но кратковременно дейст-
вующими силами. Для описания ударов не требуется точного знания о дей-
ствиях сил, достаточно рассчитать обмен импульсами и энергией между час-
тями системы.
1. Кинематические отношения нри ударе двух тел
Удар двух тел — это столкновение двух тел, при котором кратковремен-
но действуют большие силы. Во время процесса удара энергия и импульс
между участниками удара передаются таким образом, что могут измениться
скорость, направление движения и внутренняя энергия тел. Вне области
взаимодействия соударяющиеся тела движутся без приложения к ним ка-
ких-либо сил (прямолинейно, равномерно).
Кинематические отношения при ударе двух тел:
Соударяющиеся тела: А, В
Масса соударяющихся тел: тА, тв
Скорости до удара: Уа, Ув
Скорости после удара: «л, иБ
Импульсы перед ударом: Рл = тЛУА, Рв = твув
Импульсы после удара: Рл = тАйА, р'в = твйв
Кинетическая энергия до удара: -с-кин - 2 ил + 2 &
Кинетическая энергия после удара: с” тА -> тв 1 •^кин - 2 иА + 2 иВ
Изменение внутренней энергии
соударяющихся тел: ДЖ
2.6.
2. Сохранение энергии и импульса
Сохранение импульса:
тАу А + тв^в = тАиА + твйв.
Сохранение энергии:
^кин ~ ^кин + АЖ•
APT > 0 (^кин < £’кин): эндотермический удар. Кинетическая энергии
преобразуется во внутреннюю энергию соударяющихся тел.
APT < 0 (Екин > ^кин): экзотермический удар. Внутренняя энергия соуда-
ряющихся тел преобразуется в кинетическую энергию.
По сохранению и не сохранению механической энергии системы при
ударе различают упругие и неупругие удары.
3. Упругий удар
Упругим называется удар, при котором общая механическая энергия и
общий импульс системы сохраняются.
ДЖ = 0, Екин = -Е'кин •
Рис. 2.31. Упругий удар: а — прямой удар; б — косой удар
Удар двух биллиардных шаров в очень хорошем приближении является
упругим.
В атомной физике удары между электронами происходят по причине ку-
лоновского взаимодействия. При пренебрежении распространением
электромагнитных волн эти удары являются упругими.
4. Неупругий удар
Во время процесса удара часть механической энергии удара преобразует-
ся в другие формы энергии (теплоту, энергию деформации). Общая энергия
сохраняется только тогда, когда наряду с кинетической энергией соударяю-
щихся тел до и после удара учитывается изменение их внутренних энергий
ДЖ (рис. 2.32.).
Опускание теннисного мяча на землю после многократного отскакива-
ния связано с потерей энергии (на трение), т. е. является неупругим.
Мяч подпрыгивает от Земли не упруго, вследствие чего его скорость
уменьшается.
Глава 2. Динамика
а)
б)
Рис. 2.32. Неупругий удар: а — частично неупругий удар; б — абсолютно не-
упругий удар
Абсолютно неупругим называется удар, при котором оба соударяющихся
тела после удара имеют одинаковые скорости, т. е. соединяются друг с другом.
Два снежка, которые сталкиваются друг с другом, соударяются абсолют-
но не упруго и склеиваются. Потерянная энергия идет на деформацию
снежков.
5. Виды ударов
По направлению удара при движении в нескольких измерениях разли-
чают:
Прямой удар — центры тяжести соударяющихся тел движутся до и после
удара по линии, соединяющей их центры масс. Для описания удара доста-
точно одной координаты (расстояния между центрами тяжести тел).
Косой удар — центры тяжести соударяющихся тел движутся в различных
направлениях.
Линия удара — направление, в котором при ударе действуют силы. Ли-
ния удара направлена перпендикулярно к плоскости удара, является общей
нормалью соударяющихся тел в точке их соприкосновения.
Для абсолютно твердых тел можно рассмотреть и другие типы удара,
различающиеся по возникновению вращающего момента сил:
Центральный удар, при котором линия удара в момент удара расположе-
на параллельно линии, соединяющей центры масс. При этом ударе не дей-
ствует вращающий момент сил (sin (р = 0, (р — угол между плечом силы и на-
правлением действия силы) (рис. 2.33 (а), см. 2.1.4).
Не центральный удар, при котором линия удара не проходит параллельно
линии, соединяющей центры тяжести тел. В таком ударе возникает вращаю-
щий момент сил. Тела начинают вращаться (рис. 2.33 (б)).
> Для материальной точки можно рассматривать только центральный удар,
так как вращаться могут только тела, имеющие пространственную про-
тяженность.
Рис. 2.33. Удар абсолютно твердого тела: а — центральный; б — не централь-
ный
2.6.1. Упругий прямой центральный удар
Два тела массой тА и тв движутся вдоль прямой, которую обозначим х. Об-
щая энергия и общий импульс в направлении движения являются при этом
инвариантными величинами (рис. 2.34).
Отсюда следует:
= + ^тви2,
тА\)А + mB\iB =mAuA +mBuB.
Преобразование и группировка чле-
нов по их принадлежности к телам А и
В дают:
тл(^А -u^) = mB(u2 -vj),
Рис. 2.34. Упругий прямой централь-
ный удар
тл(иА +«л)<ил = тв(ив + ~ид)
или
mA(s>A -uA) = mB(uB - vB).
Деление двух последних уравнений дает:
ил +ил = ив + ив.
Это уравнение можно решить относительно ив и подставить в выраже-
ние для определения импульса:
UB = + иА - .
После этого остается только одна неизвестная в уравнении для импуль-
са, а именно скорость иА- Таким же способом можно найти скорость тела В
после удара:
106 Глава 2. Динамика
тА -тв
иА = ------
тА + тв
2пгв
——-—vB,uB
тА + тв
2тл п
-------и л
тА + тв
| ™В ~тА
тА + тв
о л
1. Удар двух тел одинаковой массы
Если оба тела имеют одинаковую массу, то:
иА = vB,uB =
Соударяющиеся тела обмениваются своими скоростями.
2. Удар тяжелого и легкого тела
Пусть тело А значительно тяжелее, чем тело В. тА » тв. Тогда:
UA ~ ив « 2иА - ив.
Скорость тяжелого тела А практически не изменяется. Относительная
скорость второго тела после удара практически равна относительной скоро-
сти до удара, взятой с противоположным знаком:
иВ -иА « -<vВ -vA),
т. е. легкое тело практически отражается от более тяжелого тела.
2.6.2. Упругий косой центральный удар
Рис. 2.35. Упругий косой централь-
ный удар
Импульсы обмениваются только в на-
правлении линии удара (ось у); ком-
поненты импульса, перпендикулярные
линии удара (ось х) до удара и после
удара равны (рис. 2.35):
^а^Ах = ™aUax,
тв^вх = hibuBx.
Закон сохранения импульса в на-
правлении удара:
mAvAy ~mAuAy + mBusy.
Закон сохранения энергии:
^^Ах + +UAy) + ~(UBx + "Р
Компоненты скорости после удара:
НАх = ^Ах^НЦх ~ ^Вхч
_тА- тв 2тв
ИАу — VAy + Ujjfy ,
тА + тв тА + тв
_ ^а ,тв~тА
^Ву ~ Бу •
тЛ + тв тА + тв
2.6.3. Упругий косой удар с неподвижным телом
Рис. 2.36. Упругий удар тела А с не-
подвижным телом В
Различают следующие случаи:
Тело А с импульсом рл = mAvA ударяется о неподвижное тело В (рв = 0).
После удара тело А движется с импульсом р'л = тАйА, тело В получает об-
ратный импульс ря = твйв, Процесс удара не определяется полностью
уравнениями энергий и импульсов: для определения 6 компонент конечного
импульса имеется только 4 уравнения. Конечная точка р'л лежит на сфере
тв
импульса радиусом рА------------------------------------------, при
Ма + ™в
этом центр этой сферы делит импульс
рл в зависимости от отношения масс
соударяющихся тел (рис 2.36):
/ \2 z х2
т а _ ] ( тв _ i
Рл----------Рл = ------------Рл •
тА + тв ) + тв J
Вокруг оси рл существует симметрия
вращения, т.е. процесс удара характери-
зуется только полярным углом рассея-
ния 9.
тА > тв- существует максимальный угол рассеяния 9max, sin9max = тв/тА.
Возможный угол рассеивания лежит в интервале 0 < 9 < 0тах.
тА~тв- УГ°Л рассеяния лежит в интервале от нуля до л: 0 < 0 < л. Импуль-
сы после удара всегда образуют угол л/2 (теорема Тала).
тА < тв- возможны все углы рассеяния от нуля до л: 0 < 9 < л.
> При неупругом ударе радиус сферы импульса изменяется при неизмен-
ном центре. Радиус увеличивается (уменьшается) для AW < 0 (AW > 0).
> Неупругий удар с исчезающим радиусом сферы импульса переходит в
абсолютно неупругий удар.
Тело ударяется о стену, которая совпадает с осью у. Направление удара
является перпендикулярным к стене, т. е. изменяется только х-компо-
нента и его импульс. Процесс соответствует упругому удару с очень
твердым телом,
Рис. 2.37. Сфера импульса (т = тА + тв): а — тА > тв\ б — тА - тв; в
™А < тВ
Глава 2, Динамика
На этом примере показывается закон отражения при упругом ударе.
▲ Если тело упруго ударяется о твердую стену, то угол от-
ш / ражения 8' равен углу падения 8, и величина импульса
| Jy остается неизменной. Направления движения до и по-
I У* еле удара лежат в одной и той же плоскости (рис. 2.38).
j Уг \ е=£*
1 /
w/X. Рис. 2.38. Закон отражения при упругом ударе о стену: 8 —
I \ угол падения; г' — угол отражения
2.6.4. Неупругий удар
При неупругом ударе часть энергии движения теряется. Она преобразуется в
энергию деформации соударяющихся тел и в теплоту.
2.6.4. Т. Частично неупругий удар
Значение потери энергии ДИ^ лежит между значением потери энергии при
абсолютно неупругом ударе в качестве максимальной величины и нулем:
О < ДЖ < (ил -ив)2.
2(/пл + тв)
Насколько велика эта доля, зависит от характеристик деформации соу-
даряющихся тел.
2.6.4.2. Абсолютно неупругий удар
После удара ua = ub = и. Из закона сохранения импульса следует:
и, следовательно, тА • ол + тв • ид = (тА + тв)и, u = /ИЛОЛ + /ИдОд тА + тв
Кинетическая энергия до или после удара:
г 1 2 1 2
-Екин = -тАх>2А + -mBv2B,
Г' ™ Ъ,2 - 1 <тА»А + mBvB)2
-^кин — 2 + тв)и ~~ 2
тА + тв
Потери энергии равны ДЖ = Еыт - Екин при абсолютно неупругом ударе:
дЖ = )2.
2(тЛ+твУ А
2.7. Движение ракеты
Если тело ударяется о неподвижное тело (пБ = 0), то соотношение кине-
тической энергии до и после удара также зависит от масс:
^кин _ J
^кин тА + тв
Соотношение потерь энергии относительно изначально имеющейся ки-
нетической энергии ^(to) в этом случае (ув = 0):
APF _ тв < ।
^кин 0b) тА + тв
Одинаковая масса, тл = тв. половина кинетической энергии теряется.
Эта величина при макроскопических процессах преобразуется в энергию де-
формации и нагрев соударяющихся тел.
2.7. Движение ракеты
Принцип реактивного движения, следующий из закона сохранения импуль-
са, используется при создании двигателей ракет. В отличие от двигателей,
для успешной работы которых необходимо трении, ракеты могут функцио-
нировать в безвоздушном пространстве.
> Ракета используется для перемещения в космическом пространстве и
служит для перевозки полезной нагрузки, например, спутников (для пе-
редачи теле- и радиосообщений, наблюдения за погодой и состоянием
земной поверхности, научных исследований) и пилотируемых космиче-
ских кораблей. На Земле использование ракет ограничено. Летательные
аппараты с реактивным двигателем (реактивные самолеты) не являются
ракетами, так как они не несут с собой отбрасываемую массу (реактив-
ную массу), а всасывают и выбрасывают воздух.
2.7.7. Сила тяги
Ракета непрерывно выбрасывает поток горячих газов, которые возникают при
сжигании топлива с помощью окислительного средства, которое содержится
на борту ракеты. Поток горячих газов с высокой скоростью истечения выбра-
сывается назад и благодаря отдаче движет ракету вперед (рис. 2.39). Поэтому
масса ракеты непрерывно уменьшается в процессе ускорения. В отличие от
обычных реактивных двигателей, которые всасывают воздух из атмосферы и
выбрасывают его назад, ракета может функционировать в вакууме.
Рис. 2.39. Движение ракеты
Глава 2. Динамика
1. Ускорение ракеты
Для расчета ускорения, которое получает ракета, рассматривают малый
интервал времени Дг, в течение которого от ракеты отделяется масса Дтил со
скоростью v л, при этом скорость ракеты увеличивается от v до v + Av. При
записи закона сохранения импульса необходимо учитывать импульс ЬтДч а
истекающих газов. Изменение импульса системы из ракеты и истекающих
газов в течение этого промежутка времени равно:
Арл = [(т - АтА)(у + Av) + А/илул] - ту = wAv + А^л[ул -(v + Av)].
Если подставить скорость истечения газов
Vo = Ъ -V,
которая обозначает скорость истекающих газов относительно ракеты, и прене-
бречь произведением двух относительно малых величин, \тА • Av « О, то соглас-
но закону сохранения импульса (при отсутствии воздействия внешних сил):
Ар = mAv - Ашл v0 = 0.
2. Отдача
Разница импульсов называется отдачей. Отдача появляется всегда, когда
тело сталкивается с другим телом. Она является следствием третьего закона
Ньютона (действие равно противодействию).
При делении на Д/ и предельном переходе Д/ -> 0 получается:
dp Ар dv dm _ А
— = lim — = т-----------v0 =0.
dt д/->о az dt dt
3. Уравнение для силы тяги ракеты
Сила тяги ракеты MLT'2
- dm(t) _ -^тяги — j Vq — ОТ0 dz Символ Единица измерения Название
F А тяги Z m(t) т Vo н с кг кг/с м/с Сила тяги Время Масса в момент времени Z Скорость изменения массы Скорость истекающих газов
Если учитывать действие внешней силы Fa (например, силы притяжения
земли), то ее следует подставить вместо нуля в правой части уравнения для
Получается
dv dm. г г
™ — = “Г Vo + Fa = myQ + Fa,
dt dt
где первый член в правой стороне уравнения является силой тяги Етяги.
Ускорение ракеты а при учете внешних сил Ffl (гравитация, трение) рассчи-
тывается следующим образом:
dv 1 /F F \
— ~ ~ 7Т (^тяги + )•
dZ m(t)
2.7. Движение ракеты
Ракета «Сатурн V» имеет стартовую массу = 2,95 • 106 кг, время работы ре-
активного двигателя первой ступени tB = 130 с и масса ракеты в конце рабо-
ты первой ступени т^ =1,0-106 кг. Скорость изменения массы равена:
~ ™пуст 2,95 • 106 кг - 1,0 • 106 кг
т =---------— =-------------------------= 1,50 • 104 кг/с.
tB 130 с
При скорости истекающих газов о0 = 2220 м/с сила тяги равна:
^тяги = mvo = 1,50 • 104 кг/с • 2220 м/с = 3,3 • 107 Н.
2.7.2. Уравнения движения ракеты
1. Определение конечной скорости и высоты подъема ракеты
Для расчета конечной скорости ракеты необходимо проинтегрировать
ускорение ракеты по времени. Это относительно просто, если скорость ис-
текающих газов и0 и массовый поток т во время работы реактивного двига-
теля tB являются постоянными. Тогда для массы в момент времени t:
m(t) = - mt, если mQ — стартовая масса ракеты. Если учитывать в качестве
внешней силы только силы гравитации с постоянным ускорением свободно-
го падения, Fa = m(f)g, то ускорение ракеты равно:
a(t) = ----т- П0 ~ g-
т$ - mt
Интегрированием по времени можно найти скорость и в момент времени t
= v0 In f—- gt.
\т$ -mt)
Последующим интегрированием можно найти высоту h в момент времени t
= Vo(fflO - mt) /и0 _ ] _ 1п | ото
m mo -mt { т0 - mt
4s'2-
2. Общий вид уравнений движения ракеты
Через время tB полета ракеты ее скорость и высота полета равны:
Уравнения движения ракеты
I oq । —I Ью s ч 1 о Л’ S о I 5 g х Л й £ Л 11 о S 1 5 Р ° Н Е Н р 5» £ -04 S " и £ ~с т—। | гм э eq 1 1 X Символ Единица измерения Название
^0 /ии ^пуст т g h м/с м м/с кг кг кг/с м/с2 с Скорость ракеты через время tB после начала движения Высота полета ракеты через время tB после начала движе- ния Скорость истекающих газов Стартовая масса ракеты Масса ракеты через время tB после начала движения Скорость изменения массы Ускорение свободного падения Время полета
3. Свойства уравнений движения ракеты
> Эти уравнения действительны только при условии постоянного ускоре-
ния свободного падения, т. е. до тех пор, пока ракета находится вблизи
земной поверхности. Трение о воздух также не учитывается.
> Достижимая конечная скорость и высота полета зависят только от ско-
рости истекающих газов и логарифма отношения дио/^пуст стартовой мас-
сы ракеты mQ к массе ракеты через время tB после начала движения /ипуст.
Поэтому полезная нагрузка составляет только 10% от стартовой массы.
> Сохраненной в химическом топливе энергии не достаточно, чтобы выне-
сти топливо на околоземную орбиту. Для ракет большая часть сгоревше-
го топлива остается на земле или в атмосфере после того, как оно пере-
дало свою энергию ракете. Только по этой причине ракеты функциони-
руют на химическом топливе.
Для описанной выше ракеты «Сатурн V» скорость в конце работы пер-
вой ступени равна:
= 2,22-103 м/с In
^0
^пуст j
~&в =
2,95-106 кг
1,0 • 106 кг
-9,81 м/с2 -130 с = 1126 м/с2.
= Vq 1П
Высота полета в конце работы первой ступени равна hB = 45,6 км.
2.8. Система материальных точек
Рис. 2.40. Центр масс S
системы из двух матери-
альных точек пц и /и2
Система материальных точек — это система, со-
стоящая из N материальных точек (частиц),
1,...,7V, движение которых можно описать указа-
нием радиус-векторов r1?...,f^ как функции вре-
мени t.
fz(0, i=
Центром масс или центром тяжести системы
материальных точек называют такую точку в сис-
теме, радиус-вектор R которой связан с массами
гщ и радиус-векторами fz всех N точек системы
соотношением:
2.8.1. Уравнения движения
1. Силы в системе материальных точек
Внутренними силами называют силы, с которыми точки системы взаи-
модействуют друг с другом. Внутренние силы, как правило, равны сумме
сил взаимодействия между двумя точками F/jt, которые зависят от положе-
2.8. Система материальных точек
ния (и возможно от скорости каждой пары материальных точек (/‘Л))« В со-
ответствии с третьим законом Ньютона (принципом противодействия) сила
с которой материальная точка i воздействует на материальную точку к,
равна силе fki9 с которой материальная точка к воздействует на материаль-
ную точку i и имеет противоположное направление.
Внешними называются силы, воздействующие на систему извне. Внеш-
няя сила Fzext, воздействующая на точку z, не зависит от координат других
материальных точек (рис. 2.41).
Я* = ВДЛ), Я* F,ext =F/ext(^)-
Рис. 2.41. Внутренние и внешние силы в системе материальных точек. Внут-
ренние силы fik = -fki взаимно сокращаются
Свободной называется такая система материальных точек, которая мо-
жет следовать воздействию силы без ограничивающих условий реакции.
Замкнутой называется такая система материальных точек, на которую не
воздействуют внешние силы.
2. Законы динамики для системы материальных точек
Основные законы динамики для системы материальных точек
mjfj =F/, i = F/ = 1Л +F“ k*i =1 N _ pext - 5^ p ext i=l Символ Единица измерения Название
да,- fi F, F,-fc J? ext F(ext кг м Н Н Н Н Масса материальной точки i Радиус-вектор материальной точки Z Сила, воздействующая на материальную точку 1 Сила взаимодействия между точками z и к Полная внешняя сила Внешняя сила, действующая на материальную точку i
Уравнения движения для системы материальных точек являются связан-
ной системой дифференциальных уравнений второго порядка по времени
для радиус-векторов материальных точек. Связь уравнений происходит че-
рез зависимость сил от положения точек. Общее решение системы содержит
6N свободных переменных, которые необходимо определить таким образом,
чтобы выполнялись заданные начальные условия для положений и скоро-
стей материальных точек.
3. Импульс, момент импульса и энергия материальных точек
Общий импульс системы:
N У
р =
/=1 ;=1
Общий момент импульса системы:
N _ #
I ХР<)-
i=1 i =1
Общая энергия системы:
Е = ^кин + ^пот> ^кин = ^пот = ^2^(1 Ъ ~~ I ) + (ff- ).
Z=1 2 i<k=l /=1
> Потенциальная энергия системы равна сумме потенциалов внутренних и
внешних сил. Потенциал внутренней силы fik зависит только от расстоя-
ния rik =|fz- -fj между материальными точками z,/c, что следует из усло-
вия fik = -Fki. Общий потенциал внутренних сил определяется суммиро-
ванием всех пар сил (/,£). Потенциал J7zext внешней силы Fzext зависит то-
лько от положения частицы z.
2.8.2, Закон сохранения импульса
Изменение полного импульса р системы в течение определенного проме-
жутка времени в соответствии с основным законом динамики равно сумме
действующих сил. Согласно третьему закону Ньютона, внутренние силы по-
парно уничтожаются, т. е. на изменение импульса системы материальных
точек влияют только внешние силы.
1. Закон сохранения импульса
Изменение полного импульса в течение определенного промежутка времени = сумма внешних сил MLT2
dP -г dr ext Символ Единица измерения Название
р fext кгм/с Н Полный импульс системы Внешняя сила
Закон сохранения импульса: если на систему не воздействуют внешние
силы, то ее полный импульс не изменяется.
Полный импульс системы материальных точек, на которую не воздействуют внешние силы, является постоянным MLT-*
р = Z/р/ = const Символ Единица измерения Название
р р< кгм/с кгм/с Полный импульс системы Импульс материальной точки i
2. Закон движения центра масс
Из закона сохранения импульса системы, состоящей из N материальных
точек, следует закон движения центра масс.
Центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действу- ет сила, равная результирующему вектору всех внешних сил, прило- женных к системе. MLT’2
WR =Fext 1 N R = — У mji, N м = i=l Символ Единица измерения Название
mi fi M R j?ext кг м кг м Н Масса материальной точки i Радиус-вектор материальной точки i Полная масса системы Радиус-вектор центра масс системы Сумма внешних сил
2.8.3. Полный момент импульса
Производная по времени полного момента импульса I системы материаль-
ных точек равна:
jt N N N
= £(?, xF,) = xF;.ext) =
ш /=1 /=1 /=1
Вектор Mfxt — это момент, с которым
внешняя сила Fzext действует на материаль-
ную точку /.
Внутренние силы не изменяют полный
момент импульса системы, так как они на-
правлены вдоль линии, соединяющей мате-
риальные точки:
5 х Ги + г к х Ък =(•;- Гк) х Ffcl. - 0.
Рис. 2.42. Взаимно сокращаю-
щиеся моменты внутренних сил
Производная по времени полного момента импульса системы равна сум-
ме моментов внешних сил.
Полный момент импульса системы материальных точек остается посто-
янным, если на систему не действуют внешние силы.
Закон сохранения момента импульса: в замкнутой системе материаль- ных точек полный момент импульса остается постоянным ML2T-2
N _ 1=^1/ = const /=1 Символ Единица измерения Название
I 1 кгм2/с кгм2/с Момент импульса Момент импульса материаль- ной точки i
2.8.4. Закон сохранения энергии
Консервативные силы — это силы, которым возможно сопоставить значе-
ние потенциала. Необходимым и достаточным условием для существования
потенциала силы F является: rot F = 0. Работа консервативных сил вдоль
замкнутой траектории равна нулю.
Fdr = 0.
Диссипативные силы — это силы, которым не возможно поставить в со-
ответствие значение потенциала. Разложение силы F,, действующей на мате-
риальную точку z, на консервативную и диссипативную составляющие:
F = F- + F я-
г х , cons ~ х I, diss •
Производная по времени общей энергии материальной точки равна
мощности диссипативных сил:
dE _ d ч _ ve -
— , \-^кин + ^пот) — / ^Z.diss ’ I/•
dz dz ,=1
▲ Для диссипативных сил работа, совершаемая при перемещении от ради-
ус-вектора ?! до радиус-вектора г2, зависит от траектории между началь-
ным и конечным положениями.
> Силы трения, которые пропорциональны скорости, являются причиной
того, что система передает механическую энергию в окружающее про-
странство. Силы трения являются диссипативными силами. При переме-
щении тела от положения fj в положение г2 работа сил трения увеличи-
вается с увеличением длины выбранного пути.
Затухающие колебания отдельной материальной точки:
Уравнение движения:
тх + сх + цх = 0.
Энергия:
Е ~ -^кин + -^пот 5 ^кин ~ ~ ^пот = Т %•
2.9. Уравнение Лагранжа и Гамильтона
Изменение энергии:
d у-» d ✓ zw . к \ л
— Е = —(— х2 + — х2) = -их2 < 0.
dt dt 2 2
Сумма кинетической и потенциальной энергии маятника постоянно
уменьшается из-за наличия трения (ц > 0).
Полная энергия материальных точек остается постоянной, если дисси-
пативные силы равны нулю.
Закон сохранения энергии: Полная энергия материальных точек остается постоянной, если в системе не действуют диссипативные силы. ML2!'2
Е — Е jqih пот — const Символ Единица измерения Название
Е р -^кин F ^пот Дж Дж Дж Полная энергия Полная кинетическая энергия Полная потенциальная энергия
2.9. Уравнение Лагранжа и Гамильтона
2.9.7. Уравнение Лагранжа и принцип Гамильтона
1. Обобщенные механические величины
Обобщенными координатами qk заданной механической системы назы-
вают оптимально подходящие для этой системы координаты. Обобщенные
координаты могут иметь различные физические значения (длина, угол, и
т.д.). Количество обобщенных координат соответствует числу степеней сво-
боды системы.
qk(t), к = 1,.../,/— число степеней свободы системы.
Обобщенные координаты для
маятника: угол ф — отклонение от состояния покоя,
материальной точки на сферической поверхности: сферические коорди-
наты 0 и ф.
Обобщенными скоростями qk называют первые производные по време-
ни от обобщенных координат qk системы,
qk(t\ к = 1,.../,/ — число степеней свободы системы.
Обобщенные силы Qk определяются выражением
37V Яг
Qk
/=1 dqk
i = 1,...,37V — декартовы координаты системы из N материальных то-
чек.
2. Функция Лагранжа
Разница между кинетической энергией = Т и потенциальной энер-
гией Епот = V как функций обобщенных координат qk и обобщенных скоро-
стей qk, называется функцией Лагранжа.
Uqk,qk,t) = T(qk,qk)-V(qk,f).
> Функция Лагранжа имеет размерность энергии.
Функция Лагранжа простых механических систем:
Свободная материальная точка: L = Т ~ у г2 = у (х2 + у2 + t2).
Материальная точка в потенциальном поле Г(г): L = у г2 - Г(г).
Колебания пружины с модулем упругости к: Е = у х2 - х2.
Математический маятник, длина маятника /: L = у/2ф2 + mgl cos ср.
Физический маятник: L = уф2 + wg/coscp.
/ — расстояние от центра масс маятника до оси вращения, J — момент
инерции.
3. Уравнение Лагранжа
Уравнение Лагранжа — это система из f дифференциальных уравнений
второго порядка по времени для определения обобщенных координат qk как
функций времени:
d дЕ дЕ п . 1 г
-----------= 0, к = 1,.../.
d/ dqk dqk
Уравнения Лагранжа не содержат каких-либо дополнительных условий.
Решение содержит 2f постоянных интегрирования.
▲ Уравнение Лагранжа и второй закон Ньютона являются эквивалентными
формулировками в механике.
4. Пример использования уравнения Лагранжа
Одномерное движение материальной точки в потенциальном поле И(х),
декартова координата х:
Обобщенная координата: q = х. Обобщенная скорость: q - х.
Функция Лагранжа: £=Т-И=уХ2- И(х).
Уравнение Лагранжа:
dL . d dL
— = mx,------= mx,
dq dt dq
dL dv .. ar n
dq dx dx
Так как -dV/дх = Fx, то из уравнения Лагранжа следует уравнение дви-
жения Ньютона: mx = Fx для движения материальной точки под действием
силы Fx.
Движение в поле центральных сил И(г):
Обобщенные координаты: г,0. Обобщенные скорости: г, 9.
Функция Лагранжа: L =Т -V = у(г2 + г292) -И(г).
Уравнения Лагранжа:
dL . d dL .. dL dV
— = mr,------= mr, — = mrti2-----,
dr dZ dr dr dr
Уравнения движения:
mr = mrQ2 - — - mrB2 + F(r), — (mr2Q) = 0.
dr dt
F(r) — величина действующей центральной силы. Это уравнение заклю-
чает в себе закон сохранения импульса / = mr2 Q.
5. Виртуальное перемещение
Виртуальным перемещением называется мгновенное бесконечно малое
перемещение бг материальной точки при сохранении действующих для дви-
жения дополнительных условий, без изменения временных переменных:
г г + 8г при бг = 0.
Виртуальное перемещение является предполагаемым перемещением, ко-
торое не должно совпадать с действительной траекторией.
> При использовании обобщенных координат виртуальные перемещения
могут быть произвольными без учета дополнительных условий.
> Виртуальные перемещения системы из N материальных точек складыва-
ются из виртуальных перемещений всех отдельных материальных точек,
8fz, i = 1,...,7V.
Виртуальная траектория — это траек-
тория qk(t) между двумя фиксированными
точками qk(t^ и которая бесконеч-
но мало отклоняется от действительной
траектории qk(t) при учете виртуальных
перемещений bqk в фиксированный мо-
мент времени t (St = 0):
+ 8^(0-
6. Действие и принцип Гамильтона
Действие или интеграл движения W
есть интеграл функции Лагранжа
L(qk,qk, t) по времени:
W = ] L(qk(t),qk(t),t)dt.
t]
Рис. 2.43. Виртуальная траектория
^(0, — реально пройденная
траектория
> Действие имеет размерность энергии, умноженной на время.
Принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона): описываемая
механической системой траектория в течение определенного времени отли-
чается от всех других возможных траекторий тем, что интеграл движения
равен экстремуму (чаще всего минимуму):
h
W = j Z(^(/),^(Z),Z)dZ = экстремум.
о
> Принцип Гамильтона действителен независимо от выбора координат.
Принцип экстремума действителен как для уравнений движения соглас-
но законам Ньютона, так и для уравнений движения согласно функции
Лагранжа.
> Принцип экстремума в других областях физики: принцип Ферма крат-
чайшего пути в оптике, метод Ритца для приблизительного расчета энер-
гетических величин в квантовой механике.
2.9.2, Канонические уравнения Гамильтона
1. Обобщенный импульс
Обобщенный импульс рк определяется как производная функции Лаг-
ранжа L = Т — К по обобщенной скорости qk:
dL i 1 г
Л = —» к = 1,-Х
Sqk
где f — число степеней свободы
> Полученные таким образом величины qk и рк обозначаются как канони-
чески сопряженные.
При движении по окружности угол поворота ср является обобщенной ко-
ординатой. Канонически сопряженным импульсом является момент им-
пульса /.
2. Функция Гамильтона
Функция Гамильтона Я получается, если при описании движения обоб-
щенные скорости qk заменяются на канонически сопряженный импульс рк.
f
H(qk,pk,f) = ^qkpk - Uqk,qk,t).
к=1
> Функция Гамильтона зависит от обобщенных координат, канонически
сопряженных импульсов и возможно от времени. Если функция Гамиль-
тона зависит от времени, то она представляет собой полную энергию
(сумму из кинетической и потенциальной энергии). Полная энергия яв-
ляется инвариантной величиной движения:
дН =dH Q
dt dt
H=T+V=E = const.
3. Преобразование Лежандра
Переход от функции Лагранжа L(qk,qk) к функции Гамильтона H(qk, рк)
называется преобразованием Лежандра.
Функция двух переменных /(х,у) двух переменных х, у может быть пре-
образована в равнозначную функцию й, которая зависит от переменных х и
р - df /ду, с помощью
Кх, Р) = f(x, у) - ур.
Так как
ду ду
то функция h зависит от х и от р, но не зависит от у.
Преобразование Лежандра часто используется в термодинамике для пе-
ревода параметров состояния в другие переменные, характеризующие состо-
яния системы. Например, свободную энергию F получают как функцию
температуры Г, заменяя в функции внутренней энергии E(S,...) переменную
энтропии S переменной температуры Т = dU/dS\
А(Г,...) =(7(5,...)-Г5.
4. Уравнения Гамильтона
Производная по времени от обобщенной координаты и импульса,
8Н . дН . . f
Qk = ^>Рк =т—. к = h-/
дрк dqk
где f — число степеней свободы.
Уравнения Гамильтона являются системой из 2/ дифференциальных
уравнений первого порядка по времени. Решения содержат 2/ постоянных
интегрирования, которые могут быть выбраны произвольно (например, в
качестве начальных значений координат и импульсов). Уравнения Гамиль-
тона равнозначны уравнениям Лагранжа.
Одномерный гармонический осциллятор:
Функция Лагранжа: L = у х2 - х2.
Обобщенный импульс: р = mx.
дх
п2 к
Функция Гамильтона: Н = рх - L = — + — х2 = T(Z) + K(Z) = Е = const.
2m 2
. дН р . дН ,
Уравнения Гамильтона: х = — = —, р -----= -кх.
др m дх
Эти уравнения дают уравнения движения по Ньютону: mx = -кх.
5. Фазовое пространство
Циклическая координата — это обобщенная координата, от которой не
зависит функция Лагранжа:
dL А d dL d А
--- = 0 =>----= — р =0.
dcp dZ Эф dZ
Глава 2. Динамика
▲ Канонически сопряженный с циклической координатой импульс являет-
ся инвариантной величиной движения.
Конфигурационное пространство — это /-мерное пространство обоб-
щенных координат qk. Траектория в конфигурационном пространстве: qk(t),
Фазовое пространство — это абстрактное пространство с 2/ измерения-
ми, координатами которого являются обобщенные координаты qk и канони-
чески сопряженные импульсы рк. Траектория системы в фазовом простран-
стве: к = 1,.../.
> Для консервативной системы любая траектория в фазовом пространстве
характеризуется величиной функции Гамильтона (полной энергией). Пе-
риодическому движению в пространстве соответствуют замкнутые траек-
тории в фазовом пространстве.
Одномерный гармонический осциллятор в фазовом пространстве описы-
вает эллипс, который характеризуется энергией Е = уЛ2со2 (А — амп-
литуда, со — круговая частота).
Рис. 2.44. Траектория гармонического осциллятора в фазовом пространстве
ГЛАВА 3
АБСОЛЮТНО ТВЕРДОЕ ТЕЛО
Абсолютно твердое тело — это тело, отдельные
точки которого всегда находятся на равных рас-
стояниях друг от друга, т. е. твердо связаны
между собой. Можно представить, что абсолют-
но твердое тело состоит из материальных точек
(рис. 3.1). Для расстояния между всеми матери-
альными точками ij абсолютно твердого тела
выполняется условие: | rz (/) - г7(/)| = Гу = const.
Абсолютно твердое тело не деформируется.
Рис. 3.1. Абсолютно твер-
дое тело
3.1. Кинематика
3.1.1. Плотность
Плотностью р однородного тела называется отношение его массы m к объе-
му И:
m
Для неоднородного тела с непрерывным
распределением массы плотность варьируется в
зависимости от положения точки, описываемой
радиус-вектором г (рис. 3.2). Тело мысленно
разбивают на элементарные объемы ДИ, плот-
ность которых можно считать постоянной.
Масса элементарного объема ДИ в положении г
равна Дт. Для плотности элементарного объема
ДИ действительно: р = Am/ДИ. При непрерыв-
ном распределении массы для плотности в точ-
ке, характеризуемой радиус-вектором г:
.. Дт dm , ,TZ
p(r) = hm ----= —, dm = p(r) • dH.
ди^о ДИ dH
Рис. 3.2. Плотность p(r) не-
однородного абсолютно твер-
дого тела с непрерывным
распределением массы
Общая масса m тела определяется интегрированием по объему:
m = j dm = j p(r)dH.
3.1.2. Центр масс
1. Определение центра масс
Центр масс (центр инерции) — точка приложения результирующей
силы, которая складывается из сил тяжести всех элементов тела. Действие
силы тяжести на абсолютно твердое тело может быть заменено одной силой,
которая приложена к центру масс и равна:
Fg = mg,
где тп — общая масса тела.
▲ Для симметричного тела однородной плотности центр масс лежит на оси
симметрии.
Чтобы удержать тело в равновесии можно:
• поддерживать тело в центре масс,
• поддерживать тело в нескольких точках таким образом, чтобы результи-
рующая сила реакции опоры проходила через центр масс.
▲ Абсолютно твердое тело, на которое действует сила тяжести, находится в
равновесии, если оно поддерживается в центре масс.
> Сила тяжести тела, поддерживаемого в центре масс, не дает вращающего
момента.
2. Координаты центра масс
Радиус-вектор R центра масс определяется следующим образом:
Координаты центра масс L
m m = ZzAwz Символ Единица измерения Название
я •=» РО» м м кг кг Радиус-вектор центра масс Координаты i-ro элемента Масса z-го элемента Общая масса
Положение центра масс при непрерывном распределении массы в интег-
ральной форме рассчитывается по формуле:
j dm j p(r)dK
v
где p(r) — плотность тела, dV — элементарный объем.
Для однородного тела (р = const) получается:
3.1. Кинематика
3. К определению центра масс
[м] Графическое определение центра масс какой-либо поверхности.
Рассматриваемая поверхность делится на части, площади и центры масс
которых известны. К центру масс каждой части поверхности приклады-
вается сила, которая пропорциональна площади этой части, и имеет лю-
бое, но для всех частей поверхности одинаковое направление. Затем
определяется результирующая сила, действующая на поверхность, как
векторная сумма сил всех частей (см. 3.2.1, п. 4). То же самое повторяет-
ся с любым выбранным направлением. Точка пересечения линии дейст-
вия обеих определенных таким образом результирующих сил является
центром масс рассматриваемой поверхности.
Экспериментальное определение
центра масс пластины представлено на
рис. 3.3.
Пластина переменно подвешивается
в различных точках РХ,Р1У.„, которые не
лежат на одной и той же линии дейст-
вия силы тяжести. Различные линии
действия силы тяжести пересекаются в
центре масс S.
> Центр масс тела может лежать вне
объемов тела.
Рис. 3.3. Экспериментальное опре-
деление центра масс пластины
4. Закон движения центра масс
Движение центра масс не может
быть изменено внутренними силами, действующими в теле. Центр масс
движется как материальная точка с массой, равной массе всего тела, к кото-
рой приложена результирующая сила всех внешних сил.
Два тела массой тх = 1 кг и т2 = 3 кг соединены стержнем I = 2 м. Мас-
сой стержня пренебрегаем. Выберем систему координат таким образом,
чтобы первое тело лежало в начале отсчета, а второе располагалось по
оси х, тогда их координаты равны:
Центр масс имеет координаты:
£ = /Л!?! + /Л2Г2
гщ + т2
1,5 м
О
т. е. лежит на расстоянии 1,5 м от первого тела, и, следовательно, на рассто-
янии 0,5 м от второго тела.
3.1.3. Основные кинематические величины
1. Системы координат
Пространственная система координат К'— это система координат с фик-
сированным в пространстве началом координат и фиксированными в про-
странстве осями. Единичные векторы в направлении осей е^,е^,е'.
Системой координат К, связанной с телом, называется такая система, в
которой произвольная точка S абсолютно твердого тела выбирается в каче-
стве начала координат. Координатные оси жестко связаны с телом. Единич-
ные векторы в направлении осей: ex(Z), ey(t)9 Относительно фиксиро-
ванной в пространстве системы координат единичные векторы, как прави-
ло, изменяют свое положение с течением времени (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Система координат, связанная с телом (К), и пространственная си-
стема координат К'\ г- — радиус-вектор точки i в пространственной
системе координат К'\ — радиус-вектор точки i в системе коорди-
нат К, связанной с телом; г? — радиус-вектор начала отсчета систе-
мы координат К в пространственной системе координат К'\ ns —
скорость поступательного движения начала отсчета системы коор-
динат К в пространственной системе координат К'\ — скорость
точки i в пространственной системе координат К'\ vz — скорость
точки i в системе координат К, связанной с телом; со — вектор угло-
вой скорости вращения тела вокруг оси, проходящей через начало
отсчета системы координат К
Рис. 3.5. Перенос начала отсчета
системы координат, связанной с
телом, на вектор d (из точки S в
точку 5')
> В качестве начала координат системы,
связанной с телом, может быть выбран
центр масс абсолютно твердого тела.
Для гироскопа целесообразно выбирать
точку подвеса в качестве начала коор-
динат (рис. 3.5).
2. Соотношения между основными кине-
матическими величинами
Между величинами систем отсчета К и
К' действительны следующие соотношения:
Радиус-вектор: r/(Z) = r5(/) + rz(Z),
Скорость: n\(/) = v5 (Г) + со х fz (Г),
Ускорение: az(Z) = а5(/) - со х rz(Z) -
- 2й х rz (/) - со х (со х rz)
3.2. Статика
> Скорость поступательного движения v 5 зависит от выбора начала отсчета
S для системы координат, связанной с телом. Угловая скорость со не за-
висит от выбора этой точки отсчета, т. е. в системах отсчета, связанных с
телом, и имеющих различные точки начала отсчета, тело вращается с
одинаковой угловой скоростью вокруг параллельных друг другу осей.
3. Движение абсолютно твердого тела
складывается из поступательного движения точки начала отсчета S со
скоростью V5-(r) и вращения вокруг оси, проходящей через точку 5, с угло-
вой скоростью й(Г). Направление оси вращения и величина угловой скоро-
сти могут со временем изменяться.
Жесткой осью называется ось, походящая через твердое тело, которая
фиксируется внешними опорами.
Свободной осью называется ось вращения, направление которой в про-
странстве остается неизменным до тех пор, пока на тело не действуют ка-
кие-либо внешние силы.
Свободная ось не фиксируется внешними опорами.
> Для любого твердого тела существует взаимно перпендикулярные, про-
ходящие через центр масс тела оси, которые могут служить свободными
осями. Оси с максимальным и минимальным моментом инерции всегда
будут свободными осями. Третья ось располагается перпендикулярно
этим двум осям.
> Главные оси инерции твердого тела являются свободными осями.
Пример: движение гантели
Движение гантели можно разложить на вращение обеих масс вокруг
центра масс и поступательное движение центра масс. Если со — угловая ско-
рость вращения и v — скорость поступательного движения, то R описывает
поступательное движение центра масс:
R(Z) = Ro + v/
где Ro — положение центра масс в момент времени t = 0.
Относительные координаты Arz = rz - R описывают вращение:
Л? /А - / (COS юЛ /А _ 1 (COS €0/^1
Лг'(/) - Ч sin orf} ДГ2 (z) - ~h I Sin orf J’
где /j и /2 - расстояния от центра масс до первого и от второго тела соответ-
ственно; ibi2 — векторы от центра масс до первого и второго тела.
Общее движение гантели тогда можно описать двумя уравнениями:
?!(/) = R(0 + Дп(/) = Ro + Nt + h
r2(0 = R(Z) + Дг2(/) = Ro + vt - /2(^2)
3.2. Статика
Статика — это наука о равновесии тел. Она необходима при расчете сил,
которые действуют в строительных конструкциях, опорах, и балках (строи-
тельная статика).
3.2.1. Сила как векторная величина
1. Вектор силы и точка приложения
Силы в абсолютно твердом теле представляются с помощью векторов
сил. Они отличаются от обычных векторов тем, что включают в себя точку
приложения, которая показывает, на какую точку тела действует сила.
Вектор силы характеризуется своей величиной (длиной), своим направ-
лением (линией действия) и точкой приложения. С помощью стрелки, кото-
рая начинается из точки приложения, наглядно показывается направление
линии действия силы, а длина вектора указывает его величину (рис. 3.6).
▲ Сила, которая приложена к твердому телу, может быть сдвинута вдоль
линии действия произвольным образом (рис. 3.7).
Рис. 3.6. Вектор силы F, прило-
женной в точке Р, линия действия
силы g, компоненты силы Fx, Fy,
величина силы F = ^If^ + F^
Рис. 3.7. Сдвиг силы по ее линии
действия g из точки Ру в точку Р2
2. Сложение сил, лежащих в одной плоскости
Две силы Fi и F2, лежащие в одной
Рис. 3.8. Параллелограмм сил. Сло-
жение сил F] и F2 для нахождения
равнодействующей силы
плоскости и приложенные в одной и той
же точке, можно заменить одной равно-
действующей силой Б\, найденной с ис-
пользованием правила параллелограмма
(см. 2.1.2.7, п. 1). При этом вектор второй
силы параллельно сдвигается до конца
вектора первой силы. Линия, соединяю-
щая точку приложения первого вектора с
конечной точкой второго вектора, дает
равнодействующую силу Б\ (рис. 3.8).
Величина равнодействующей силы
определяется по теореме косинусов:
3.2. Статика
Равнодействующая сила = векторная сумма отдельных сил MLT2
Fa - Fj + F2 Символ Единица измерения Название
Fi, F2 <P н н рад Равнодействую- щая сила Векторы сил Угол между Fj и F2
] Fj?| = д/1 FjI2 +1 F2|2 + 2| Fj | F2| cos (р
3. Многоугольник сил
Повторяя вышеописанный процесс, любое число сил, приложенных к
одной и той же точке, можно заменить равнодействующей силой:
A F^ — F| + F2 + F3 +....
Графически это можно сделать с помощью многоугольника сил: векторы
сил путем параллельного сдвига (т. е. при соблюдении величины и расстоя-
ния) располагают последовательно друг за другом. Равнодействующая сила
равна вектору, начало которого совпадает с началом первого вектора, а ко-
нец — с концом последнего (см. рис. 2.8).
Равнодействующая сила может быть найдена сложением компонентов
отдельных сил:
Fffy
^Rzy
- Ft + F2
pix
F\y + Fly
^Flz + F2z ,
4. Силы, действующие в одинаковых или в противоположных направлениях
Если два вектора имеют одинаковое направление (<р = 0), то:
I₽aI=|Fi +f2|=|f1| + |f2|.
Если векторы имеют противоположные направления (<р = л), то:
IFsHFj +F2|=||F1HF2||.
Если векторы расположены перпендикулярно друг другу (ср = л/2), то:
IWF! +F2| = 7|F1I2 + |F2|2.
Чтобы сложить две силы, которые
приложены к твердому телу в двух раз-
личных точках, их сдвигают по их линиям
действия в точку их пересечения, и в этой
точке сложением векторов по параллелог-
рамму сил определяют их равнодействую-
щую (рис. 3.9).
Если обе силы действуют в одном и
том же направлении, то их линии дейст-
вия не пересекаются. Для этого к обеим
силам Fi и F2 направляют противополож-
Рис. 3.9. Сложение лежащих в од-
ной плоскости сил, действующих
на твердое тело
5—3814
Глава 3. Абсолютно твердое тело
Рис. 3.10. Сложение параллельных
сил, действующих на твердое тело
Рис. 3.11. Момент М силы F отно-
сительно точки вращения Р
но направленные вспомогательные силы
Ffl и -Fa, расположенные на одной и той
же линии действия. При сложении они
сокращаются, но это позволяет сдвинуть
силы к их общей точке приложения
(рис. 3.10).
3.2.2. Вращающий момент
1. Момент силы
Момент силы равен произведению ве-
личины действующей силы на длину пле-
ча — кратчайшее расстояние от направле-
ния действия силы до точки отсчета, во-
круг которой тело может вращаться
(центр вращения). Аналогично силе, ко-
торая вызывает поступательное движение
тела, вращающий момент для свободно
движущегося твердого тела вызывает вра-
щательное движение вокруг центра масс
тела (вращение см. 1.4) (рис. 3.11).
Момент силы ML2T2
М = Fd Символ Единица измерения Название
м F d Нм Н м Момент силы Приложенная сила Плечо силы
Единицей измерения момента силы, принятой в СИ, является ньютон-
метр. Один Нм — это момент, который производит сила в 1 ньютон, с пле-
чом в 1 метр.
1 Нм = 1 Н1 м.
> Плечо силы — это длина перпендикуляра от центра вращения до линии
действия силы.
> Если указана точка приложения силы, то плечо равно:
d = г sin а,
где г — радиус-вектор от центра вращения к точке приложения силы, и а -
угол между г и вектором силы F.
2. Свойства момента силы
Момент силы — это вектор, который направлен по оси вращения:
М = г х F, |M|=|r||F|sina = J|F|.
3.2. Статика
Векторное произведение:
М = г х F
также называют моментом силы F.
Сила F = 5 Н приложена на расстоянии d = 20 см к винту. Действующий
момент равен:
M=Fd=5 Н-20см- 1 Нм.
> Если линия действия силы проходит через центр вращения, то плечо
силы равно нулю, и момент силы также равен нулю.
▲ Если плечо силы удваивается, а действующая сила остается постоянной,
то момент силы удваивается. Использование: гаечный ключ.
3. Равнодействующий момент сил
Вызываемые силами F|,
F2,..., F„ моменты сил могут быть
сведены к равнодействующему
моменту сил МR (рис. 3.12),
Mr = Хл X F,-,
/=1
где г, — радиус-вектор точки
приложения силы Fz.
Рис. 3.12. Сложение моментов. Силы Fb F2 ле-
жат в одной плоскости. Моменты Мь М2 на-
правлены перпендикулярно плоскости рисунка.
Сложение моментов ML2!2
МЛ = Ml + м2 +... Символ Единица измерения Название
МА М1,М2 Нм Нм Равнодействующий момент сил Моменты сил
3.2.3. Пара сил
1. Пара сил и момент пары сил
Парой сил называют две равные, но противоположно направленные па-
раллельные силы Fi и F2, F2 = -Fi, которые приложены к различным точ-
кам твердого тела так, что их линии действия не совпадают. Пара сил не
может быть заменена одной силой. Для пары сил равнодействующая сила
равна нулю, F\ + F2 = 0, т. е. поступательное движение твердого тела не из-
менятся при воздействии на него пары сил. Равнодействующий момент сил
напротив не равен нулю. Момент пары сил зависит от величины сил и век-
торов расстояния до точек приложения сил (рис. 3.13):
М = (?! - г2) х Fi, М = Fj d,
где d — кратчайшее расстояние между линиями действия сил.
Рис. 3.13. Момент пары сил (FbF2):
d — кратчайшее расстояние между
линиями действия сил
Пара сил вызывает вращение тела.
Направление вращения определяется век-
торным произведением, так, чтобы ц - г2,
Fj и М образовывали правую тройку век-
торов. Момент пары сил не зависит от
точки отсчета. В отличие от сдвига векто-
ра силы вне его линии действия баланс
моментов сил для твердого тела не изме-
няется, если пара сил сдвигается в плос-
кости действия сил.
▲ Пара сил может быть сдвинута в
своей плоскости без изменения стати-
ческого действия на твердое тело.
▲ Вектор момента пары сил является свободным вектором.
2. Приведение плоской системы сил
Любая плоская система сил, действующая на твердое тело, может быть
приведена к равнодействующей силе и паре сил. Точка приложения равно-
действующей силы может быть при этом выбрана произвольно (рис. 3.14).
Параллельное перемещение силы. Сила F может быть сдвинута паралле-
льно своей линии действия из точки приложения Р в точку Р', если будет
введена дополнительная пара сил F,-F (рис. 3.15).
Рис. 3.14. Приведение сил Fb F2, лежащих
в одной плоскости, к равнодействующей
силе Fa и двум парам сил: (Fb-F'i) и
(F2,-F'2), моменты вращения которых мо-
гут быть заменены общим моментом сил
Рис. 3.15. Параллельный
сдвиг силы F путем вве-
дения дополнительного
момента силы М! = д х F
Момент силы Mj компенсирует изменения момента силы F вследствие
сдвига, Mj = Г] х F.
3.2.4. Условия статического равновесия
Тело находится в покое тогда, когда выполняются следующие условия
(рис. 3.16):
3.2. Статика
Равнодействующая всех сил равна нулю.
Сумма всех моментов сил равна нулю.
Первое правило гарантирует, что тело не начнет двигаться поступательно,
второе правило гарантирует, что тело не начнет вращаться.
F^ = Fi + F2 +... = О
Мд = Mt + м2 + ...= о
Рис. 3.16. Равновесие твердого тела: S — центр масс
> Если записать эти условия для отдельных компонентов силы, то два век-
торных уравнения дадут шесть скалярных уравнений:
F\x + ^2х+••• “ = + М2х +••• - ^i^ix =0,
F\y + Fiy+... = Fjy = QMXy +M2y+... = 'LjMjy = 0,
F\z + F2z+... = ^iFiz = 0MXz + M2z+... = ^iMiz =0.
> Если все силы приложены к одной точке, то условие равновесии выгля-
дит следующим образом:
Fj + F2 + ... = 0,
так как сумма моментов в этом случае равна нулю. Если все силы лежат в
одной плоскости, то из уравнений для компонент можно убрать компонен-
ту, перпендикулярную плоскости, в которой лежат все силы.
Тело находится в равновесии, если многоугольник сил, линии действия
которых пересекаются в одной точке, является замкнутым.
Из второго правила вытекает закон рычага: если две силы Fx и F2 прило-
жены на расстоянии dx и d2 от центра вращения твердого тела, то условие
равновесия выглядит следующим образом:
Fx: F2 = d2: dx.
1. Устойчивое равновесие
На тело, которое стоит на плоскости, действует сила реакции опоры,
компенсирующая его силу тяжести. Сила реакции опоры является равнодей-
ствующей всех сил, которые приложены к поверхности опоры тела.
▲ Тело, опирающееся на горизонтальную плоскость, находится в равнове-
сии, если вертикаль, проведенная через центр масс тела, проходит вну-
три или по границе площади опоры (рис. 3.17).
> Если под тело подложить опору, то тем самым расширяется граница
площади опоры до точки приложения опоры.
Глава 3. Абсолютно твердое тело
устойчивое
Рис. 3.17. Опрокидывание тела. Тело на-
ходится в устойчивом равновесии, если
вертикаль, проведенная через центр масс
тела, проходит внутри площади опоры.
Штрихпунктирной линией изображено
возможное положение опоры для созда-
ния устойчивого равновесия
Устойчивость тела тем выше, чем:
• больше горизонтальное расстояние от вертикали, проведенной через
центр масс, до границы площади опоры, т. е. чем ближе вертикаль, про-
веденная через центр масс к середине площади опоры,
• чем ниже расположен центр масс,
• чем больше вес тела.
Опрокидывающий момент — момент сил, который необходим для опро-
кидывания тела:
Опрокидывающий момент = расстояние по горизонтали от центра масс тела до границы площади опоры • сила тяжести М1?Т-2
М = d mg Символ Единица измерения Название
м d mg Нм м Н Опрокидывающий момент Расстояние по горизонта- ли от центра масс тела до границ площади опоры Масса тела
2. Пространственная статика
Пространственная статика рассматривает сложение и разложение сил, ли-
нии действия которых, как правило, в пространстве не пересекаются, т. е. ле-
жат на скрещивающихся прямых. Сложение по компонентам сил и моментов
сил дает равнодействующую силу F и равнодействующий момент сил М. Рав-
нодействующий момент сил М может быть представлен парой сил Fi, F2, ко-
торые сдвигаются до тех пор, пока сила Fi не совпадет с точкой приложения
силы F. Сложение F и Fi по правилу параллелограмма дает силу Fres. Остают-
ся силы: F2 = и Fres, линии действия которых лежат на скрещивающихся
прямых, вследствие чего силы не могут быть далее объединены.
3.2.5. Техническая механика
3.2.5.1. Реакции опор
Опора — точка, в которой поддерживается твердое тело, находящееся в ста-
тическом равновесии, на которое действует сила тяжести.
Силой реакцией опоры называется сила, действующая со стороны опоры
на тело. Она возникает благодаря силам, действующим на поддерживаемое
3.2. Статика
тело (обычно это силы тяжести), которые для выполнения условий статиче-
ского равновесия должны быть компенсированы.
1. Различные виды опор
Различают следующие виды опор:
Роликовая опора (качающаяся опора) компенсирует только силы, дейст-
вующие перпендикулярно опоре (например, плита, на которой лежит брев-
но).
Шарнирная опора (жесткая опора) — компенсирует также боковые
силы, но допускает вращение (например, вращающаяся ось).
Зажим, при котором невозможны ни перемещения, ни вращения и кото-
рый компенсирует как силы, так и вращающие моменты сил (например, ти-
ски).
Для свободного края тела действительны следующие условия:
▲ В точках тела, расположенных вне опоры, не должны возникать внут-
ренние силы и моменты сил.
2. Соединение твердых тел
Такое соединение передает действие силы от одного тела на другое. Раз-
личаются (рис. 3.18):
• Качающийся стержень — передает силы только параллельно направле-
нию стержня.
• Шарнир — передает силы параллельно и перпендикулярно направлению
стержня, но позволяет вращение.
• Поперечный шарнир — передает силы и вращающий момент сил парал-
лельно оси.
• Жесткое соединение — передает силы и вращающие моменты сил.
Рис. 3.18. Соединения
3.2.5.2. Каркасная конструкция
Каркасная конструкция служит для восприятия и распределения действую-
щих сил, в частности в зданиях. Каркас состоит из прямых стержней, кото-
рые шарнирно соединены своими концами (узлами). Они передают внеш-
ние силы, которые воздействуют только на узлы, по направлению стержня.
Плоская каркасная конструкция — конструкция, в которой как стержни,
так и все силы лежат в одной плоскости (рис. 3.19). Необходимо рассчитать
силы, действующие на все стержни, если заданы внешние силы и опоры.
Чтобы система была определенной, должно выполняться условие:
Плоская каркасная конструкция
2К = 5 + 3 Символ Единица измерения Название
К 1 Количество узлов
S 1 Количество стержней
F
Рис. 3.19. Плоская каркасная конст-
рукция
> Расчет действующих на балку сил
(см. главу 6).
3.2.6. Простые механизмы
▲ Золотое правило механики гласит:
ни один из простых механизмов не
дает выигрыша в работе: во сколько
раз выигрываем в силе, во столько
же раз проигрываем в расстоянии
(закон сохранения энергии).
3.2.6. У. Рычаг
1. Виды рычагов
Рычаг — это твердое тело, имеющее ось вращения, или вращающееся на
фиксированной оси. Две силы (сила) и F2 (нагрузка), линии действия ко-
торых проходят на расстояниях d{ и d2 от центра вращения, создают момен-
ты сил Мь = dx Fx и М2, М2 = d2 F2. Рычаг находится в равновесии, если
общий момент сил равен нулю:
М = Mi +М2 =0.
Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии дейст-
вия силы на рычаг.
Прямой рычаг — прямолинейный стержень, который вращается вокруг
опоры.
Односторонний прямой рычаг — рычаг, в котором нагрузка и сила дей-
ствует с одной и той же стороны от точки вращения.
Двухсторонний прямой рычаг — рычаг, в котором нагрузка и силы дей-
ствуют по разные стороны от центра вращения.
Угловой рычаг — рычаг, в котором часть его образует какой-либо угол
(рис. 3.20).
Рычаг используется для поднятия или перемещения нагрузки или для
выравнивания сил.
3.2. Статика
Рис. 3.20. Виды рычагов: а — двухсторонний прямой рычаг; б — односторон-
ний прямой рычаг; в — угловой рычаг
2. Закон рычага
Закон рычага: при равновесии рычага отношение сил равно обратному отношению длин плеч ML2T-
Ml =-м2 /i^i = F2d2 F\'F2 - Символ Единица измерения Название
Fx f2 M dx d2 н н Нм м м Сила, необходимая для удержания рычага в равновесии Нагрузка Момент силы Плечо силы Плечо нагрузки
> Закон рычага действителен также для углового рычага.
Весы используются для измерения неизвестной силы — веса. Весы могут
выравниваться либо путем изменения веса или перемещения противове-
сов (мостовые весы).
Тачка — это односторонний рычаг, плечо силы длиннее, чем плечо на-
грузки.
Метательная установка (катапульта) — плечо нагрузки длиннее, чем пле-
чо силы, таким образом, с помощью заданной достаточно высокой силы
(пружины) можно получить большое значение скорости нагрузки.
Нажимной рычаг (орехокол) — два шарнирно соединенных односторон-
них рычага, в которых плечо силы длиннее плеча нагрузки. Применяется
для увеличения силы. Два двухсторонних (соединенных рычага в сочета-
нии клином) используются как ножницы или кусачки.
3.2.6.2. Клин и винт
1. Клин
Клин преобразует действующую при забивании силу F в две перпенди-
кулярные боковым поверхностям клина силы (нормальные силы),
(рис.3.21). Согласно закону разложения сил получается:
Fn} = FN2 = -г~~—’
2 sin а
где а — угол, соответствующий половине угла при вершине клина.
2. Винт
Винт — аналог намотанной вокруг цилиндра наклонной плоскости.
Винт характеризуется высотой хода h (расстояние между двумя соседними
витками) и средним радиусом резьбы г. Если внешняя сила Fx действует на
расстоянии R от оси винта, то точка приложения силы при вращении про-
ходит путь b - 2лЛ, при этом винт перемещается вперед на величину h
(рис. 3.22). Соответственно, сила, с которой винт будет действовать в на-
правлении движения, F2 равна:
Fi = Fi
h
Трение в винтах отличается от силы трения, которая проявляется при
сверлении. Для винта сила, под действием которой он движется вперед, яв-
ляется силой реакции опоры, которая порождает достаточно высокую силу
трения. Последняя препятствует вращению и предотвращает выкручивание
винта. Для силы трения неважно, движется ли при этом винт вперед или
назад. Чтобы использовать это явление, винты вкручивают под напряжени-
ем, т. е. так, чтобы материал, в который вкручен винт, давил на него. При
силе F2, определенной в соответствии с вышеуказанным выражением, и ко-
эффициенте трения ц развиваемая на рычаге длиной R сила трения равна:
Z7 Z7
F\ = ^2 -г—-•
2nR
3.2.6.3. Блоки
1. Блок
Блок в сочетании с тросом, цепью, канатом, зубчатым колесом или кли-
новым ремнем используется для изменения направления или получения вы-
игрыша в силе. Обычно механизмы, основанные на блоках, состоят из од-
ного или нескольких блоков (возможно, различного диаметра), через кото-
рые перекинут канат. Внешняя сила Fx приложена к канату, в то время как
нагрузка закреплена на другом конце каната и действует на него с силой F2.
Если блоки одного механизма имеют различные диаметры или некоторые из
них являются свободными, то одинаковые моменты вращения, в случае дви-
3.2. Статика
жения нагрузки без ускорения, вызываются различными силами. Зачастую
задача при рассмотрении блоков сводится к определению силы Fx (с испо-
льзованием основных законов рычага), которую необходимо приложить,
чтобы компенсировать силу нагрузки F2.
2. Виды блоков
Неподвижный блок (рис. 3.23) — блок, через который перекинут канат,
при этом изменяется только направление действия силы, а ее величина
остается постоянной. За один конец каната тянут, на другом конце подве-
шена нагрузка. Статическое равновесие устанавливается при условии:
Л = е2.
Подвижный блок (рис. 3.24) — это блок, в котором канат закреплен на
одном конце, нагрузка подвешена к блоку. Если переместить канат на рас-
стояние то блок, и, следовательно, нагрузка, переместятся на d/2. В соот-
ветствии с законом рычага, условие статического равновесия равно:
F
^2 -у
Полиспаст (рис. 3.25) состоит из двух групп блоков — подвижных и не-
подвижных. Если полиспаст состоит из 2п блоков, через которые перекинут
канат, тогда статическое равновесие наступает при:
где п — количество блоков каждой группы или блоков, которые в середине
полиспаста расположены по одну сторону от каната (имеют одинаковые на-
правления движения).
Диаметр блоков в уравнении не учитывается.
Рис. 3.23. Неподвижный блок Рис. 3.24. Подвижный блок Рис. 3.25. Полиспаст
3. Передаточные механизмы
Передаточными механизмами называются приспособления для передачи
и преобразования сил, моментов сил. При этом передаточный механизм
приводится в действие моментом силы ЛГ15 подаваемым на ведущий враща-
ющий приводной вал с угловой скоростью <о15 и производит другой момент
сил М2 на выходном (ведомом) валу, вращающийся с другой угловой скоро-
Глава 3. Абсолютно твердое тело
стью со2. В идеальном передаточном механизме (без потерь на трение) дей-
ствует закон сохранения энергии:
Ру — Р2 s—= ^Л^2^2’
где Ру, Р2 — мощности; Му, М2 — моменты; <оь ш2 — угловые скорости.
Реальные передаточные механизмы теряют энергию из-за трения. Возника-
ющее тепло должно отводиться охлаждающим оборудованием. Потери могут
быть уменьшены с помощью смазки.
4. Тяговый передаточный механизм
В тяговом передаточном механизме два ролика жестко соединены с по-
мощью ремня. Так как ремень действует на оба ролика с одинаковой силой
F (рис. 3.26), то для моментов вращения можно записать:
Mi _ Fry _ Гу
М2 Fr2 г2
Если скорость ремня и, то для угловых скоро-
стей обоих роликов выполняется условие:
g>l _ Ц/n _ Ъ
С02 Wr2 Й
Рис. 3.26. Тяговый пере- Отношение моментов вращения равно отно-
даточныи механизм шению радиусов роликов, отношение угловых
скоростей обратно пропорционально отноше-
нию радиусов.
Клиновые ремни используются в двигателях, электрических приводах, в
которых небольшой электродвигатель с небольшим моментом вращения
развивает большую частоту вращения. Также цепной тяговый передаточ-
ный механизм используется в велосипедах и мотоциклах.
5. Колесный передаточный механизм
В колесном передаточном механизме действие
Рис. 3.27. Зубчатый пере-
даточный механизм
силы передается не с помощью ремня, а с помо-
щью непосредственного соприкосновения колес.
Особенно часто это явление используется в зуб-
чатых передаточных механизмах. Их коэффици-
ент полезного действия выше, а конструкция
компактнее, но требования на прочность матери-
ала достаточно высокие (рис. 3.27).
Используются в приводных валах автомоби-
лей, инструментальных станков, часов, для
переключения скоростей велосипеда.
6. Многоступенчатый передаточный механизм
Многоступенчатый передаточный механизм состоит из последовательно-
го подключения нескольких простых передаточных механизмов. Особенно
часто он используется в качестве коробки передач в автомобилях, так как
двигатель внутреннего сгорания рационально работает только при неболь-
ших частотах вращения. Благодаря перемещению зубчатых колес использу-
3.2. Статика
ется необходимая комбинация, чтобы получить различные передаточные со-
отношения. В современных коробках передач зубчатые колеса всегда враща-
ются и соединяются при переключении с используемым валом с помощью
кулачковой муфты. Синхронная передача использует дополнительное фрик-
ционное соединение, которое перед зацеплением с кулачковой муфтой син-
хронизирует оба колеса (бесшумное переключение).
7. Автоматический передаточный механизм (автоматическая коробка передач)
В автоматической коробке передач переключение производится автома-
тически, в зависимости от частоты вращения. Применяют или обычные ко-
робки передач, которые автоматически переключаются центробежным регу-
лятором, или используют планетарные передаточные механизмы. В послед-
них планетарная шестерня свободно движется между жестко закрепленным
на приводном валу зубчатым колесом и зубчатым ободом. Если зубчатый
обод останавливается, то планетарные шестерни вместе получают вращате-
льные движения (наряду с их собственным вращением), которое передается
на выходной вал. Если же зубчатый обод наоборот свободный, то он испо-
льзуется вместо выходного вала. Это упрощает переключение и делает воз-
можным торможение с помощью зубчатого обода.
8. Ступенчатый передаточный механизм
Ступенчатый передаточный механизм может быть выполнен как гидро-
динамическая передача (жидкостная). Передача сил происходит с помощью
вязкого потока жидкого масла: при низком числе оборотов масло вращает-
ся почти свободно, при более высоком числе оборотов трение становится
больше и, следовательно, сцепление жестче. Используется в автомобилях с
автоматическим переключением как автоматическое сцепление и для рас-
пределения моментов сил.
Бесступенчатый механический передаточный механизм использует кли-
новидные барабаны, в которых радиус привода и, следовательно, передаточ-
ное соотношение может выбираться путем изменения позиции клинового
ремня в зависимости от момента вращения. Используется в небольших ав-
томобилях.
9. Дифференциальный передаточный механизм
Дифференциальный передаточный механизм служит для распределения
вращательного момента сил. Частота вращения и вращающий момент сил
выходного вала не определяются однозначно. В зависимости от сопротивле-
ния выходного вала вращающий момент сил изменяется. Основа дифферен-
циального передаточного механизма — конический дифференциал, в кото-
ром используются четыре конических колеса.
> Другие виды передаточных механизмов: винтовой передаточный меха-
низм (преобразование вращательного движения в поступательное движе-
ние поршня) и гидравлический или пневматический передаточный меха-
низм (см. 6.2.2.1, п. 1).
10. Кривошипно-шатунный передаточный механизм
Кривошипно-шатунный передаточный механизм используется для пре-
образования периодического (колебательного) движения во вращение и об-
ратно (например, для привода вала с помощью поршня). Шатун длинной /
42 Глава 3. Абсолютно твердое тело
одной стороной соединен шарниром на расстоянии г от оси вращения с
вращающимся валом, другой конец скользит в направляющих, где соверша-
ет возвратно-поступательные движения между двумя мертвыми точками
(рис. 3.28). Зависимость между углом поворота а
и путем 5, пройденным в направляющих и изме-
Направля-j^^-^ ренным от верхней мертвой точки такова:
I.
।__\ J s = r(l + — sin2 a -cosа),
о 2
для X2 «IX может быть найдена как:
Рис. 3.28. Кривошипно-
шатунный передаточный X = г/I.
механизм
3.3. Динамика
Динамика твердого тела описывает движение тела под воздействием сил.
Механическое движение твердого тела описывается шестью дифференци-
альными уравнениями для поступательного движения центра масс тела с
радиус-вектором R под воздействием силы F и для изменения момента им-
пульса L тела с течением времени:
mR = F, — = М.
df
3.4. Момент инерции и момент импульса тела
По аналогии с силой, импульсом и массой в случае описания поступатель-
описания вращательного движения используются мо-
ного движения для
Рис. 3.29. Движение материаль-
ной точки т с мгновенной ско-
ростью v и угловой скоростью (Ь
по окружности. Ось вращения
и направление вращения опре-
деляется вектором со
мент силы, момент импульса и момент инер-
ции. Они связаны между собой основным за-
коном динамики вращательного движения.
Простейшей формой вращательного дви-
жения является движение материальной точ-
ки по окружности вокруг фиксированной оси
(рис. 3.29).
В дальнейшем сначала будет рассмотрено
вращательное движение вокруг оси. В теории
гироскопа будет описано вращательное дви-
жение вокруг подвижных осей.
Вращательное движение тела вокруг фик-
сированной оси может быть описано по ана-
логии с прямолинейным поступательным
движением. При этом угол ср, который опре-
деляет при вращении положение тела в опре-
деленный момент времени, используется
вместо координаты х.
3.4.1. Момент инерции тела
Момент инерции тела определяет, с каким ускорением тело реагирует на
действующий на него момент силы. Для твердого тела момент инерции от-
носительно оси зависит от распределения массы в теле, а также от положе-
ния оси. Момент инерции тела при вращательном движении играет ту же
роль, что и инерционная масса для поступательного движения. Он описыва-
ет сопротивление, которое тело оказывает изменению своего состояния дви-
жения (при вращении — угловой скорости).
1. Момент инерции относительно оси
Момент инерции тела J¥ относительно оси X является коэффициентом
пропорциональности между моментом силы вращения Мх относительно оси
X и достигнутым угловым ускорением ах вращения вокруг этой оси:
Вращательный момент силы = момент инерции тела • угловое ускорение ML2T~2
Му = Jy - ay Символ Единица измерения Название
Му Ь ax Нм кг-м2 рад/с2 Момент силы вращения Момент инерции тела Угловое ускорение
Единицей измерения момента инерции тела, принятой в СИ, является
килограмм-метр квадратный кг-м2: 1 килограмм на 1 метр квадратный —
это момент инерции тела, которую под действием вращающего момента в
1 ньютон-метр получает угловое ускорение в 1 рад/с2.
> Эта формула аналогична определению силы как массы, умноженной на
ускорение.
> Все величины относятся к оси вращения X. Различным осям вращения
одного и того же тела соответствуют различные моменты инерции.
Для расчета момента инерции тела его мысленно разделяют на элемен-
тарные массы, которые движутся вокруг той же оси на фиксированном рас-
стоянии.
2. Момент инерции материальной точки
Момент инерции материальной точки, которая движется с угловой ско-
ростью со по окружности радиуса г (рис. 3.30, а), определяют из основного
закона динамики:
о _ dv । ,-vi dco ?
M=rxF=rxw —, v = со х г, М = г • mr — - mrz(i.
dt dt
Следовательно:
Момент инерции материальной точки ML2
Jx = m 'Г2 Символ Единица измерения Название
h m г кг-м2 кг м Момент инерции материаль- ной точки относительно оси X Масса материальной точки Расстояние от материальной точки до оси X
Глава 3. Абсолютно твердое тело
▲ Момент инерции материальной точки равен произведению массы т на
квадрат кратчайшего расстояния г до оси вращения.
3. Момент инерции твердого тела
Момент инерции твердого тела определяется разделением тела на эле-
менты массы Д/л, находящиеся на определенном расстоянии от оси враще-
ния, и последующим суммированием по всем элементам (рис. 3.30, б):
Момент инерции твердого тела ML2
Jx = '£^г2 =JJJ r2dffI 7=1 d/л = pdK Символ Единица измерения Название
Jx Am, P dr ri кгм2 кг кг/м3 м3 м Момент инерции тела от- носительно оси X Масса z-го элемента тела Плотность тела Элемент объема тела Расстояние от f-го элемен- та тела до оси вращения X
▲ Момент инерции тела зависит от выбранной оси вращения.
инерции твердого тела является тензорной величиной
> Момент
(см. 3.6.1).
Рис. 3.30. Момент инерции тела: а
окружности; б — твердое
Тело с массой /и,
объемом V
б)
Элемент объема тела
массой d/и
— материальная точка, движущаяся по
тело
4. Момент инерции плоской фигуры
Экваториальные (или осевые) моменты инерции (рис. 3.31, а):
Jx = j y2cL4, Jy = j x2dA, dA = dxdy.
Полярный момент инерции (рис. 3.31, б):
Jp = f r2dA, г2 = x2 + у2, d4 = dxdy.
Зависимость между экваториальными и полярными моментами инерции:
Jp — J* + Jy
Рис. 3.31. Момент инерции плоской фигуры: а — экваториальный момент
инерции; б — полярный момент инерции
3.4.1.1. Теорема Штейнера
Теорема Штейнера устанавливает зависимость между моментом инерции
тела относительно оси Xs, которая проходит через центр масс тела, и любой
другой осью X, параллельной оси Xs (рис. 3.32):
▲ Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной
оси, минимальное расстояние от которой до центра масс тела составляет
rs, равен:
Теорема Штейнера ML2
Jx = mrj + Js Символ Единица измерения Название
Ьг m rs •Ь кг-м2 кг м кг-м2 Момент инерции тела относительно оси X Масса тела Расстояние от центра масс тела до оси X Момент инерции тела относительно оси, прохо- дящей через центр масс и параллельно оси X
> Вращение тела вокруг произвольной оси
может быть интерпретировано как вра-
щение тела вокруг оси, проходящей че-
рез центр масс тела и параллельно вы-
бранной оси вращения (момент инерции
Js) и одновременное вращение центра
масс тела вокруг выбранной оси враще-
ния. При этом полная масса тела мыс-
ленно концентрируется в точке, соответ-
ствующей центру масс тела (момент
инерции mrj).
Рис. 3.32. К теореме Штейнера
3.4.1.2. Моменты инерции геометрических тел
Вид Ось вращения Момент
Прямолинейный тонкий стержень (длина /) ; s t ' —“г 1 /2 — ml2 12 1 /7 - ml2 3
Прямоугольная пластина (стороны а,Ь,с) АЙ/ / а ~ m(a2 + b2) 1 2 — ma2 12
Тонкий круглый диск (радиус г) 1 2 — mr2 2 1 2 — mr2 4
Эллипсоид (полуоси аДс) ^m(a2 +.b2)
Тонкостенное кольцо (радиус г) mr2 1 2 — mr2 2
Параллелепипед (длины сторон а,Ь,с) с с а : । : р-S* Ня хь — m(a2 +b2) 12 /и(4а2 + b2)
Прямой цилиндр (радиус г, высота й) 1 2 — mr2 2 m{h2 + 3r2)
3.4.2. Момент импульса
По аналогии с импульсом при поступательном движении для вращательного
движения твердого тела вокруг фиксированной оси можно указать момент
импульса. Он также является векторной величиной и направлен по оси вра-
щения.
1. Определение момента импульса твердого тела
Момент импульса L— произведение момента инерции тела Jx относи-
тельно оси вращения X и угловой скорости й:
Момент импульса = момент инерции тела • угловая скорость MIZT1
L = J х • со Символ Единица измерения Название
L 4 со кг • м2/с кг-м2 рад/с Момент импульса тела Момент инерции тела Угловая скорость
Единицей измерения момента импульса, принятой в СИ, является кило-
грамм-метр квадратный в секунду. Один килограмм-метр квадратный в се-
кунду — это импульс тела с моментом инерции в 1 кг-м2, которое вращается
с угловой скоростью 1 рад/с.
> Это определение аналогично определению импульса для поступательно-
го движения: импульс = масса • скорость.
Глава 3. Абсолютно твердое тело
2. Основой закон динамики для вращательного движения
Для вращательного движения справедлив следующий закон: изменение
момента импульса в единицу времени равно вращающему моменту силы.
Изменение момента импульса в единицу времени = вращающий момент ML2T~2
Mi =f xF =М dr Символ Единица измерения Название
L г F М кг-м2/с м н Нм Момент импульса тела Расстояние от тела до центра вращения Действующая сила Действующий момент силы
> Если момент силы ориентирован параллельно или антипараллельно мо-
менту импульса, то изменяется только величина момента импульса и,
следовательно, угловая скорость. Если момент силы и угловая скорость
не являются коллинеарными векторами, то для движущегося твердого
тела изменяется также направление момента импульса и, следовательно,
положение мгновенной оси вращения.
3. Момент импульса как инвариантная величина
▲ Момент импульса является постоянной величиной, если вращающие мо-
менты сил равны нулю:
М = О, L = const (рис. 3.33).
Рис. 3.33. К закону сохранения момента
импульса: вертикальная компонента мо-
мента импульса является постоянной ве-
личиной. Так как она равна нулю на левом
рисунке, то находящийся на вращающемся
диске фокусник при поднятии оси колеса
начинает вращаться, при этом его момент
импульса компенсирует момент импульса
вращающегося колеса
Две массы по одному килограмму, находящиеся на концах рычага длин-
ной 100 см, вращаются вокруг общего центра масс с частотой два оборо-
та в секунду. Их момент инерции равен:
J = + /2 = 2 • 1 кг -(50 см)2 = 0,5 кг-м2.
Момент импульса системы равен:
L = /со = 0,5 кг • м24л рад/с = 6,28 кг • м2/с.
Если расстояние от масс до центра вращения уменьшить на 25 см, то
момент импульса при этом остается постоянным, в то время как момент
инерции уменьшается до:
J' = + J'l = 2 • 1 кг • (25 см)2 = 0,125 кг - м2 = 7/4.
3.5. Работа, энергия и мощность
Чтобы момент импульса остался неизменным, угловая скорость должна
измениться:
, L 6,28кг-м2/с
со = — =----------—
J' 0,125 кг-м2
= 50,27 рад/с = 4со.
Это соответствует восьми оборотам в секунду, т. е. 4-х кратному увели-
чению исходной частоты вращения.
3.4.2.1. Равновесие при вращательном движении
По аналогии с условием равновесия при поступательном движении (сумма
SZFZ = 0) для вращательного движения существует следующее условие равно-
весия:
▲ Тело вращается равномерно (особый случай — находится в покое), если
сумма всех действующих на него моментов сил равна нулю:
Статическое равновесие при вращательном движении ML2T2
Е,М,- xF,) =0
> Пусть Rs — радиус-вектор центра масс тела, a Afz — расстояние от z-й
точки приложения силы до центра масс. Тогда:
fz = Rs + Afz,
и условие равновесия:
xF,-) = Rs X + £(Д17 xF,.).
i i i
Если сумма внешних сил исчезает (ZzFz = 0), то условие равновесия:
£(?• ХГ) = £(Дг,- xF,),
i i
т. е. достаточно, чтобы сумма моментов сил относительно центра масс была
равна нулю.
3.5. Работа, энергия и мощность
Если в точке, характеризуемой радиус-вектором г, твердого тела приложена
сила F, то при повороте тела на элементарный угол Аср (вокруг оси враще-
ния X) эта сила совершает работу:
AFE = F • Аг = F sin arAcp = Т^-гАср,
где Аг = гАср — перемещение тела при повороте на угол Аср. Образуемый век-
торами г и F угол равен а, таким образом F, — компонента силы в направле-
нии вращения (тангенциальная компонента) (рис. 3.34). Так как момент
вращения относительно оси X задан как Мх = Ftr, то:
Глава 3. Абсолютно твердое тело
Работа = момент силы • элементарный угол ML2T2
ДИ^ = Мх • Лер Символ Единица измерения Название
ди7 Мх Дф Дж Нм рад Работа силы Момент силы относительно оси X Элементарный угол
Ближайшая к месту действия силы
Развиваемая приложенным моментом
силы средняя мощность в течение времени
Д/ равна:
Р = Мх = Мхй,
ы
где со —• средняя угловая скорость.
Совершает работу только та компонента
момента силы, направление которой совпа-
дает с осью вращения. Перпендикулярная
ей компонента вызывает только вращение
оси, работа при этом не выполняется.
Рис. 3.34. Работа при движении
по окружности
Моментом Мх обозначают компоненту вращения в направлении оси
вращения X, т. е. в направлении угловой скорости со. Поэтому в векторной
форме можно записать:
Мощность = момент вращения • угловая скорость ML2T-3
Р = Мй Символ Единица измерения Название
р м со Вт Нм рад/с Мгновенная мощность Вектор момента силы Угловая скорость
3.5.1. Кинетическая энергия
1. Кинетическая энергия твердого тела
Если за начало координат системы, связанной с телом, принят центр
масс S, то кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетической
энергии поступательного движения центра масс тела со скоростью v и кине-
тической энергии вращательного движения с угловой скоростью со вокруг
оси Xs, проходящей через центр масс:
где т — полная масса тела, — компоненты тензора момента инерции,
со,- — компоненты вектора угловой скорости со.
Матричная форма:
Е - 1
^КИН ' 2
(03х ® z ) J ух Jуу JyZ
сох
СОу
= -®тД
2
где бзт — транспонированный вектор для вектора-столбца со (вектор-строка).
В системе главных осей:
/7
^кин
— (</хсо2 + Jy(i^
2. Кинетическая энергия при фиксированной оси вращения
Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг фиксирован-
ной оси X:
Энергия вращения ML2T-2
^вр - -<О2 Символ Единица измерения Название
Д.р Jx (0 Дж кг-м2 рад/с Энергия вращения Момент инерции тела Угловая скорость
Кинетическая энергия вращательного движения пропорциональна квад-
рату угловой скорости.
3. Кинетическая энергия материальной точки
Если материальная точка движется по окружности радиусом г, то:
ЕЪХУ = -mv2 = -(w-r2)co2 = -/-оз2,
р 2 2 2
где J — момент инерции материальной точки (см. 3.4.1, п. 2).
> Согласно теореме Штейнера момент инерции тела относительно произ-
вольной оси, перпендикулярное расстояние от которой до центра масс
тела составляет rs, равен:
J = т • г2 + Js-
При этом Js — момент инерции относительно оси, проходящей через
центр масс тела, и параллельной исходной оси. Следовательно, энергия вра-
щения равна:
£вр = - Js * + - тг1 * оз2.
р 2 2 5
Первая компонента ± Js - со2 описывает кинетическую энергию враще-
ния тела вокруг оси, проходящей через центр масс; вторая компонента
^m(rs - со)2 = ти2 дает кинетическую энергию вращательного движения
центра масс вокруг исходной оси вращения.
Глава 3. Абсолютно твердое тело
Теорема Штейнера позволяет раскладывать движение на движение цент-
ра масс вокруг некоторой оси вращения и вращение тела вокруг оси, прохо-
дящей через центр масс. Оба вращательных движения для твердого тела
происходят с одной и той же скоростью О).
Полное движение твердого тела может быть представлено как поступа-
тельное движение центра масс и вращение вокруг осей, проходящих через
центр масс тела. Полная кинетическая энергия в этом случае может быть
1 э
разложена на энергию поступательного движения — m\y-s центра масс и
1 Т 2
энергию вращательного движения - J$ • со2:
^общ = ^кин + Дф — + — J5032 .
4. Потенциальная энергия твердого тела
Потенциальная энергия твердого тела — это энергия положения центра
масс,
^пот — >
где т — полная масса тела, g — ускорение свободного падения, hs — высота
центра масс над поверхностью отсчета.
5. Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии в механике при отсутствии трения также
справедлив для энергии вращения: сумма кинетической энергии поступате-
льного движения, кинетической энергии вращения и потенциальной энер-
гии является постоянной, если на тело не действуют диссипативные силы.
▲ Закон сохранения энергии в механике:
^кин + Дф + ^пот = Const.
3.5.2. Потенциальная энергия упругой деформации
Потенциальная энергия вращения проявляется в спиральных пружинах при
их деформации. При закручивании пружины вокруг ее оси симметрии на
угол ср развивается обратный вращающий момент М сил:
Закон Гука для спиральных пружин ML2!2
Символ Единица измерения Название
М = -Д„ф м Нм Момент силы
Нм Коэффициент упругости кручения
<Р рад Угол поворота из состояния покоя
Величина Dm, коэффициент упругости пружины при деформации круче-
ния, по аналогии с модулем упругости к для линейных деформаций пружин.
Потенциальная энергия спиральной пружины равна:
w =-D * о2
ПОТ 2 т '
По аналогии с потенциальной энергией потенциальной пружины х2
она пропорциональна квадрату деформации ср.
3.6. Теория гироскопа
Гироскопом называют симметричное твердое тело, которое вращается во-
круг какой-либо фиксированной точки. Ось вращения и, следовательно, на-
правление угловой скорости со гироскопа могут меняться (рис. 3.35).
Рис. 3.35. Гироскоп. Для того чтобы ось гироскопа могла свободно вращать-
ся, используют свободные карданные подвески
Движение гироскопа подчиняется основному закону динамики для вра-
щательного движения.
=м,
dt
где М — полный момент приложенных сил.
В этом уравнении момент импульса L следует рассматривать как изменя-
ющуюся векторную величину.
Момент сил реакции опоры — момент сил, который требуется для удер-
жания оси вращения гироскопа в определенном направлении или плоско-
сти. Сила реакции опор определяется из приведенных ниже уравнений дви-
жения свободного гироскопа, в предположении его фиксации.
3.6.1. Тензор инерции
1. Определение тензора инерции
Тензор инерции J — тензор второй валентности (или второго ранга), ко-
торый устанавливает соотношения между угловой скоростью со тела и его
моментом импульса L. Действительно следующее выражение:
Глава 3. Абсолютно твердое тело
Тензор инерции ML2
L = J • й Символ Единица измерения Название
St ^>(^1 кг-м2/с кг-м2 рад/с Момент импульса Тензор инерции Угловая скорость
Тензор инерции имеет ту же размерность, что и момент инерции, он от-
личается от него тем, что не привязан к какой-либо определенной оси.
2. Запись тензора инерции в матричной форме
Тензор инерции в матричной форме можно представить как:
( j J J А
XX d ху d XZ
Jyx Jyy J yz •
ZX^zyj zz >
Тензор инерции — это действительный, симметричный тензор:
Г _ Г* Т — [* Т _ г*
d ху ~ d ху у d XZ ~ d XZ’ d yz ~ d yz’
Jxy = Jyx ) JXZ ~ J zx ’ Jyz = J zy •
Он может быть охарактеризован только с помощью шести независимых
элементов. В компонентном представлении отношения между моментом
импульса и угловой скоростью выглядят так:
Jx = Jxx^x + Jху^у “I" Jxz^z^
Jy ~ Jyx^x Jyy^y + JyZ^Z">
Jz ~ Jzx^x + Jzy^y + Jzz^z'
Краткая запись:
Li =JijQ)j, ij = 1,2,3,...,
где ij = 1,2,3 для направлений x,y иг, и их необходимо суммировать под уд-
военным встречающимся индексом j (правило сокращенного суммирования
Эйнштейна).
3. Расчет тензора инерции
Расчет тензора инерции пространственного тела производят исходя из
тензоров материальной точки Д/л. Он имеет форму
'у2 + г2 -ху -xz
J = km -рс х2 + г2 -yz
-zy X2 + у2
где х,у и z — декартовы координаты материальной точки.
Диагональные компоненты (аксиальные моменты инерции) представля-
ют собой перпендикулярные расстояния до соответствующих осей враще-
ния, например:
Jxx = bm-r} = Am(y2 + z2),
где rx — перпендикулярное расстояние до оси х. Элементы вне диагоналей яв-
ляются отрицательными центробежными или девиационными моментами сил.
Тензор инерции пространственного тела определяется разложением тела
на элементы массы и последующим суммированием или интегрирова-
нием:
где xz, yh Zj — координаты z-ro элемента.
Для компонентов тензора инерции действительно:
Л/ ~xikxu\
i
Символ Кронекера (или дельта Кронекера): 5W= 1, если к = /, иначе ра-
вен нулю. В заданной системе координат компоненты тензора инерции
определяются распределением массы в теле.
> Суммирование по всем элементам массы Awz может быть записано в
виде интеграла:
Л/ = -xkxi)dm.
4. Пример: тензор инерции куба
Тензор инерции куба с длинной ребра а и массой т, характеризуемый
однородной плотностью р0, dm = pQdV = pQdxdydz, т = р0К В качестве точки
отсчета (начала координат) выбирается левый нижний угол куба. Таким об-
разом, объемный интеграл для всех направлений имеет пределы интегриро-
вания от 0 до а:
а а а ~
Л1 = Poff f (*2 + y2)dxdydz = - та2,
ООО ’
а а а
= —PoJ J f ХУ dxdydz = --та2.
ООО 4
Отсюда следует:
J = та2
( W
-1/4
1-1/4
-1/4
2/3
-1/4
-1/4Л
-1/4
2/3 J
5. Система главных осей
Вид тензора инерции зависит от выбранной системы координат. Но все-
гда возможно найти такую систему осей, в которой тензор имеет диагональ-
ный вид:
J = О
О
О о"|
jy О
О -М
Оси такой системы координат называются главными, или свободными
осями. Jx,Jy,Jz определяют моменты инерции относительно главных осей
(главный момент инерции).
Глава 3. Абсолютно твердое тело
6. Виды гироскопов
Различают:
несимметричный гироскоп: Jx ф Jy ф Jz,
симметричный гироскоп: Jx = Jy ф Jz или
Jy = Jz ф Jx или
Jx = Jz Jy?
сферический гироскоп: Jx = Jy = Jz.
> Для тел с осями симметрии последние совпадают с главными осями.
Для сферы любая ось, проходящая через центр, является главной. Для
квадрата главная ось проходит перпендикулярно боковой поверхности.
Для длинного цилиндра одна ось симметрии проходит вдоль оси цилин-
дра (меньший момент инерции), две других проходят перпендикулярно
ей и через центр масс цилиндра (больший момент инерции).
В системе главных осей действительны соотношения:
4 *^Х^Х’ У 2
Поэтому момент импульса и угловая скорость будут параллельны друг
другу в том случае, если они направлены параллельно главной оси. Если это
не так, то они могут иметь различные направления, при этом угол между
ними зависит от различия между главными моментами Jx, Jy и Jz.
▲ Только при вращении вокруг главной оси инерции угловая скорость со и
момент импульса L направлены параллельно.
▲ Гироскоп, подвешенный с одной стороны, устанавливается всегда так,
что он вращается вокруг свободной оси с максимальным моментом
инерции (рис. 3.36).
Рис. 3.36. Гироскоп, подвешенный с одной стороны, устанавливается вокруг
свободной оси
3.6.2. Нутация и прецессия
Осью динамической симметрии называется определяемая геометрическим
образом ось симметричного гироскопа. Мгновенная ось вращения показы-
вает направление угловой скорости.
3.6.2.1. Нутация
Нутация — колебание, при котором изменяется угол между осью собствен-
ного вращения тела и осью, вокруг которой происходит прецессия. Она по-
является в том случае, если главные моменты не одинаковы, а вращение
происходит не вокруг главной оси.
1. Уравновешенный симметричный гироскоп
Рассмотрим движение уравновешенного симметричного гироскопа
(Л ~ Л
Так как на гироскоп не действуют внешние силы и, следовательно, не
возникает момент сил вращения, то вектор момента импульса в пространстве
неподвижен, L = const. Мгновенная ось вращения и, следовательно, вектор
угловой скорости й образуют фиксированный угол с вектором момента импу-
льса, чья величина определяется по тензору инерции. Вектор й вращается с
постоянной угловой скоростью вокруг вектора момента импульса. При этом
образуется коническая поверхность, которая неподвижна в пространстве, а ее
центральная ось является вектором момента импульса (рис. 3.37).
2. Конус нутации
Ось динамической симметрии также может не совпадать с осью враще-
ния, а образовывать с ней и, следовательно, с вектором угловой скорости
фиксированный угол. Вследствие этого образуется другая сферическая по-
Рис. 3.37. Положение осей уравновешенного симметричного гироскопа
(Jx = Jy^ Jz). Вектор момента импульса L неподвижен в простран-
стве, ось динамической симметрии движется, образуя конус нута-
ции вокруг направления момента импульса. Угловая скорость со
(мгновенная скорость вращения) также образует коническую по-
верхность вокруг вектора момента импульса. Относительное поло-
жение осей определяется исходя из условия, что конические по-
верхности соприкасаются либо наружными поверхностями (Jx >
> Jz) (а) или своими внутренними поверхностями (Jx < J7) (б).
Глава 3. Абсолютно твердое тело
верхность, средняя ось которой является осью динамической симметрии и,
которая катится своей наружной поверхностью (Jx > /z) или внутренней по-
верхностью (/х < /z) по конической поверхности, образуемой мгновенной
осью вращения. Обе конических поверхности касаются именно по линии,
совпадающей с мгновенной осью вращения. Таким образом, движение ги-
роскопа можно описать как качение двух конусов друг по другу, при этом
вершины конусов совпадают с точкой подвеса гироскопа, а динамическая
ось симметрии образует конус нутации вокруг оси момента импульса.
> Вращающееся тело, точка опоры которого совпадает с центром тяжести,
является уравновешенным гироскопом, так как вращающий момент
силы тяжести равен нулю.
> Благодаря эффекту трения гироскоп всегда стремится к вращению вкруг
главной оси симметрии.
> Для несимметричного гироскопа конусы нутации не являются круговым
конусом. В этом случае коническая поверхность может быть также не-
замкнутой.
3.6.2.2. Прецессия
Тяжелый гироскоп — гироскоп, точка подвеса которого не совпадает с цен-
тром тяжести, т. е. на этот гироскоп действует момент силы тяжести.
1. Прецессия
Прецессией называется движение гироскопа под влиянием внешнего
вращающего момента сил, который действует перпендикулярно моменту
импульса. Момент импульса меняет свое направление, но не меняет свою
величину (вращающий момент, направленный параллельно импульсу вра-
щения, изменил бы только величину момента импульса).
Изменение момента импульса следует из основных законов динамики
вращательного движения. Вектор момента сил:
М = г х F,
при этом он направлен перпендикулярно к г, и, следовательно, к оси вра-
щения. Следовательно, изменение момента импульса AL = МА/ направлено
перпендикулярно к моменту импульса L, что приводит к повороту оси мо-
мента импульса. Вращение происходит в плоскости, перпендикулярной дей-
ствующей силе (рис. 3.38).
Рис. 3.38. Прецессия диска, вращающегося на оси
под воздействием силы земного притяжения FG.
Определяемая моментом импульса L ось вращения
начинает вращаться в горизонтальной плоскости
2. Скорость прецессии
Угловая скорость прецессии сор равна со^ = , если угол поворота Дер оси
момента импульса выражается через изменение Д£ вращающего момента:
л AZ М А
Дф = — = — ДЛ
L L
Следовательно, угловая скорость оэр (вращение момента импульса, а не
гироскопа), рассчитывается следующим образом:
Угловая скорость прецессии Т-1
м м со„ = — = — р L Символ Единица измерения Название
С0„ р М L J со рад/с Нм кгм2/с кг-м2 рад/с Скорость прецессии Вращающий момент сил Момент импульса Момент инерции Скорость вращения гироскопа
3. Частота прецессии
Часто вместо скорости прецессии используют частоту прецессии/р. Час-
тота прецессии показывает, сколько полных оборотов вокруг вертикальной
оси совершает ось вращения гироскопа в единицу времени:
f =^р_ М
р 2л 2tu7cd
Частота прецессии тем больше, чем больше действующий момент сил М
и тем меньше, чем меньше момент инерции J гироскопа и его скорость вра-
щения О).
4. Направление прецессии
Направление прецессии оси гироскопа вокруг вертикальной оси позво-
ляет определить следующее правило:
▲ Гироскопические силы стремятся совместить момент импульса L гиро-
скопа с направлением угловой скорости вынужденного поворота.
> При этом прецессия гироскопа происходит относительно главной оси
симметрии, J — момент инерции относительно этой оси. Если это не
так, то прецессия и нутация накладываются друг на друга.
Несимметрично подвешенный гироскоп — гироскоп, точка подвеса ко-
торого расположена на одной из сторон его горизонтальной оси враще-
ния. Сила тяжести действует не в точке подвеса и, следовательно, вызы-
вает вращающий момент сил. Несмотря на это ось вращения не повора-
чивается вниз, а поворачивается в горизонтальной плоскости.
3.6.2.3. Гироскопический момент
Гироскопический момент — это момент, образуемый силами реакции опор,
который должны компенсировать опоры неподвижного гироскопа. Он опре-
деляется следующим образом:
Гироскопический момент ML2T"2
М = L х (£>р Символ Единица измерения Название
М L <Ор Нм кг-м2/с рад/с Гироскопический момент Момент импульса Скорость прецессии
Горизонтально расположенная ось вращения вращающегося диска дол-
жна вращаться вокруг вертикальной оси. При этом вектор (Ьр направлен
вертикально, вектор L направлен горизонтально. На опоры действует
сила, которая стремится повернуть ось момента импульса к вертикали.
Эта сила должна компенсироваться опорами или подшипниками.
В случае с велосипедом, колеса служат как стабилизирующие гироско-
пы. Чтобы опрокинуть велосипед, необходимо приложить такой вращаю-
щий момент, который изменит направление вектора момента импульса ко-
лес; этот вращающий момент должен быть тем больше, чем больше ско-
рость вращения колес.
Дополнительно дестабилизирующее действие оказывает момент прецес-
сии на переднем колесе, который возникает, когда колесо наклоняется в
сторону при повороте (вращение вокруг продольной оси). Возникающий
момент поворачивает переднее колесо именно в направлении изгиба траек-
тории.
3.6.3. Применение гироскопов
1. Гироскопический компас
Гироскопический компас представляет собой гироскоп, ось вращения
которого может свободно двигаться в горизонтальной плоскости, но фикси-
рована относительно вертикальной оси с помощью подвеса. Благодаря вра-
щению Земли гироскоп начинает вращаться с угловой скоростью со£ и пыта-
ется изменить положение момента импульса в направлении этого вращения.
Угловая скорость вращения Земли всегда указывает на север, таким образом
гироскопический компас всегда устанавливается в северном направлении;
т.е. он может дополнить или заменить магнитный компас.
> Основная проблема гироскопического компаса состоит в том, что из-за
относительно медленной скорости вращения Земли можно измерить
только очень маленький эффект, который достаточно сложно защитить
от помех. Для этого используют очень быстро вращающийся гироскоп и
подшипники опоры с максимально низким коэффициентом трения (на-
пример, в жидкости).
> На корабле, движущемся вдоль меридиана, накладывается другое враще-
ние, которое ведет к отклонениям показаний гироскопического компаса.
Самолеты могут двигаться со скоростью большей, чем скорость враще-
ния Земли, что делает использование гироскопического компаса невоз-
можным.
> Вблизи полюса гироскопический компас отказывает так же, как и маг-
нитный, потому что ось вращения Земли проходит практически перпен-
дикулярно поверхности, и проецируемая в горизонтальной плоскости
компонента вращающего момента является очень маленькой.
2. Гироскопический горизонт
Гироскопический горизонт используется для определения линии гори-
зонта в самолете на основе сохранения момента импульса. Гироскоп начи-
нает вращаться на земле и при карданическом подвесе сохраняет свое ис-
ходное направление.
3. Гироскопический маятник
Улучшенный вариант гироскопического горизонта, которым в гироскопе
используется продольная прецессия. При этом используется тот эффект, что
прецессия происходит всегда в направлении вертикали. Гироскопический
маятник отличается от обычного отвеса или маятника очень малой частотой
колебаний, таким образом он не реагирует на кратковременные ускорения
при взлете самолета.
4. Курсовой гироскоп
Используется для измерения поворотной скорости автомобиля на основе
гироскопического момента и гироскопического момента прецессии, появля-
ющейся в процессе поворота. Гироскопический момент сил улавливается
опорами с помощью пружин, таким образом отклонение гироскопа пропор-
ционально скорости поворота.
6—3814
ГЛАВА 4
МИКРОМЕХАНИКА
Микромеханика занимается разработкой и конструированием трехмерных
механических систем с микронными размерами средствами полупроводни-
ковой техники (в частности, литографии и травления). Она открывает абсо-
лютно новые конструктивные возможности для микродатчиков, которые
могут быть встроены в кремниевый чип, а также для микродвигателей.
4.1. Тонкопленочная технология
1. Планарная кремниевая технология
Планарная кремниевая технология — основная технология для произ-
водства структур с характерными микронными размерами: тонкие пленки
материалов с различными свойствами послойно наносятся на монокристал-
лическую кремниевую подложку, а затем обрабатываются травлением или
литографией.
2. Методы тонкопленочной технологии
Метод осаждения пленок из молекулярных компонентов позволяет по-
лучать пленки толщиной от 0,1 нм до 10 мкм, что недоступно для производ-
ства пленок деформацией или резанием. С помощью этого метода стало
возможно производить материалы высокой чистоты определенной толщины
и с варьируемыми в широких диапазонах физическими и химическими
свойствами.
В качестве материалов для пленок наряду с кремнием используются его
оксиды (SiO2), силициды (соединения кремния с металлами), легкие метал-
лы (Al, Cr, Ni для пленочных сопротивлений), благородные металлы (Au,
Pt), оксиды металлов (для конденсаторных или газочувствительных слоев),
соединения металлов (NiFe, CoFeB, для магниточувствительных слоев), по-
лиамид (защитный слой), фталоцианин (газочувствительные органические
слои).
Важнейшими методами осаждения пленок также являются:
а) Газообразное напыление (Physical Vapor Deposition, PVD) — получе-
ние тонкопленочных слоев конденсацией полученных нагреванием паров
испаряемого материала на подложке в высоком вакууме.
б) Ионно-плазменное нанесение — осаждаемое вещество распыляется
плазмой, существующей в электрическом разряде. В отличие от простого
испарения энергия для расщепления атомов подводится к распыляемому ве-
ществу не посредством тепла, а с помощью ускоренных в электрическом
поле ионов плазмы.
в) Эпитаксиальное напыление с помощью молекулярного пучка.
В сверхвысоком вакууме в электронной пушке или эффузивной камере про-
4.2. Методы экспонирования и
изводится молекулярный пучок, который направляется на подложку. В от-
личие от простого напыления осаждаемое вещество не является газом, нахо-
дящимся в термодинамическом равновесии, а представляет собой поток мо-
лекул, которые движутся с практически одинаковой скоростью.
г) Технология ионно-кластерного пучка. Эта технология отличается от
эпитаксиального напыления с помощью молекулярного пучка тем, что мо-
лекулы дополнительно ускоряются в электрическом поле. Это возможно по-
тому, что при адиабатическом расширении паров возникают кластеры с ко-
личеством атомов до 1000, которые могут быть ионизированы в электриче-
ском поле.
д) Химическое напыление. Вещество осаждается на поверхности объекта
не конденсацией, а путем химического процесса, все другие остаточные
продукты реакции удаляются в виде газа.
е) Гальванотехника (гальваническое осаждение). Наносимый материал
гальваническим путем (т.е. восстановлением иона) осаждается из раствора.
Необходимый для этого электрический ток подается или снаружи или через
восстановитель в электролит.
ж) Ионная имплантация. Ионы ускоряются в ионном ускорителе до
энергии от 10 до 200 кэВ и направляются в кремниевую подложку. Обычно
используется для электрохимического легирования, благодаря высоким до-
зам ионов также можно получать различные химические вещества (оксиды).
з) Метод Spin-on используется для нанесения растворенных полимеров.
Раствор равномерно распределяется посредством вращения подложки, рас-
творитель испаряется.
и) Метод Ленгмюра-Блоджетта основан на возможности получения мо-
номолекулярной пленки вещества с помощью нанесения на поверхность
воды (по аналогии с масляной пленкой) и перенесением ее на подложку
«маканием».
3. Электрохимическое легирование
Электрохимическое легирование — введение примесных атомов в полу-
проводники для целенаправленного изменения их электрических свойств.
Производится диффузией, имплантацией ионного пучка или эпитаксией.
4.2. Методы экспонирования и травления
1. Литография
Литография (как и в принципиально схожем способе печатания) — об-
работка поверхности реактивом для травления, при которой те участки, ко-
торые должны быть сохранены, закрываются маской из устойчивого лака
(резиста) (рис. 4.1).
Различные методы литографии характеризуются достижимой разрешаю-
щей способностью — минимальным расстоянием между двумя точками, ко-
торые еще могут быть отделены одна от другой.
2. Фотолитография
Фотолитография — метод литографии, при котором маска отображается
на поверхности подложки с помощью ультрафиолетового излучения (длина
Глава 4. Микромеханика
Рис. 4.1. Этапы литографического производства микроструктур
волны от 200 до 400 нм). Для этого используют светочувствительный лак,
растворимость которого изменяется под действием света (фоторезист). При
последующем процессе проявления (перед травлением) засвеченные участки
освобождаются от лака. В качестве источника света применяется лампа, на-
полненная парами ртути (длина около 350 нм) или, в современном вариан-
те, эксимерный лазер (с длиной волны менее 300 нм).
По способу экспонирования различают:
а) Контактное экспонирование. Маска налагается непосредственно на
покрытую резистом подложку. Преимуществом этого метода является воз-
можность достижения высокого разрешения, недостатком — опасность по-
вреждения подложки и маски.
б) Экспонирование с микрозазором. При этом маска удерживается на
расстоянии от 10 до 30 мкм от подложки. Но из-за дифракции достигаемое
разрешение ограничено (примерно 3 мкм).
в) Проекционное экспонирование. Изображение маски проецируется на
подложку с помощью специального оборудования. Разрешение ограничива-
ется из-за проблем фокусировки (неровности подложки) и качеством опти-
ческой системы (примерно до 0,5 мкм).
На подложке, как правило, располагаются несколько одинаковых чипов.
Для достижения высочайшего разрешения сегодня используются установки
совмещения и последовательного шагового мультиплицирования на пласти-
ну. При этом чипы наносятся последовательно под промежуточным фото-
шаблоном (фототрафарет в масштабе 5:1 или 10:1).
Фототрафарет для экспонирования производится электронным образом
и переносится с помощью сканирующей электронной установки на лаковый
слой, чувствительный к электронным лучам, или с помощью генератора (с
электронно-управляемой, прямоугольной диафрагмой, которая движется
над светочувствительной подложкой фотошаблона изображений) переносит-
ся на подложку фотошаблона.
3. Рентгенолитография
В данном методе применяется рентгеновское излучение, благодаря мень-
шей длине волны которого может быть достигнуто более высокое разреше-
ние. Для этого используется излучение синхротрона, которое генерируется в
электронном накопительном кольце. Из-за малой дивергенции луча синхро-
трона возможно даже для очень толстых слоев резиста получить очень узкие
структуры. В качестве рентгеновской маски используются сильно поглоща-
ющие материалы, например, золото, так как его гальваническое нанесение
очень хорошо известно.
4. Электронно-лучевая литография
Здесь вместо электромагнитной волны (свет, рентгеновское излучение)
для засветки резиста используется электронный луч. Длина волны де Брой-
ля этого луча очень мала (около 0,01 мкм), но наряду с дифракцией проис-
ходит также и рассеивание электронов. Экспонирование также становится
возможным без маски благодаря сканирующей электронной установке. Но
из-за высоких затрат времени в промышленных масштабах этот метод не-
рентабелен.
5. Процесс травления
Следует сразу за экспонированием покрытой резистом подложки. В ка-
честве реактива для травления используется фтористоводородная, фосфор-
ная, уксусная кислота при температуре от 80 до 180 °C. Способ в целом
основан на различии скоростей травления маскировочного слоя (резиста),
нанесенного слоя и подложки. Соотношение скорости травления называет-
ся селективностью. Скорость травления часто зависит от направления осей
кристаллов (анизотропия).
6. Плазменные методы травления
При таких методах в качестве реактивов для травления используются по-
лучаемые в плазме ионы и радикалы. Травильное средство при этом подает-
ся в форме газа (сухой метод травления). При методе Barrel Etching в газо-
вом разряде при давлении около 100 Па радикалы, возникшие при расщеп-
лении кислорода, разрушают слой резиста. При методе Ion Beam Etching на
поверхность направляется пучок ионов (500 эВ), состоящий из ионов инерт-
ных газов.
7. Технология травления треков
Основана на бомбардировке поверхности тяжелыми ионами высокой
энергии (до 100 МэВ). При проникновении в слой ионы производят поры
диаметром около 10 нм, которые могут быть подвергнуты последующему
жидкостному химическому травлению.
8. Лазерно-индуцированное травление
Для этого используется лазер, который облучает находящуюся в травиль-
ном газе поверхность и вызывает химической процесс травления (благодаря
фотоиндуцированному расщеплению молекул травильного газа на радика-
лы). Так как лазер поддается фокусировке, то процесс травления может
производиться в том числе и без слоя резиста и предварительного экспони-
рования через маску. Схожим методом является фотоабляция органических
слоев, при которой ультрафиолетовое облучение разрушает химические сое-
динения непосредственно на поверхности слоя, что делает ненужным созда-
ние агрессивной атмосферы травления.
4.3. Применение
Представленными выше методами можно получить практически любые ме-
ханические структуры микронного масштаба.
Глава 4. Микромеханика
4.3.1. Чувствительные элементы и датчики
Датчики передают измеряемое значение физической величины в виде ана-
логовых колебаний напряжения или в виде колебаний частоты сигнала пе-
ременного тока. Для дальнейшей обработки эти сигналы преобразуются в
цифровую форму с помощью аналогово-цифровых преобразователей.
Особые преимущества микродатчиков — это очень высокая скорость из-
мерения и точность, отсутствие механических частей, следовательно, высо-
кая надежность, а также возможность встраивания в микроэлектронные
компоненты.
1. Датчики давления
Используются для измерения давления. Измеряемое давление воздейст-
вует на закрепленную мембрану, которая производится из кремния. Изме-
нение давления ведет к растяжению или сжатию, которое можно измерить в
виде изменения сопротивления (пьезорезистивный датчик давления). В ем-
костных датчиках давления мембрана образует с металлизированной пласти-
ной конденсатор, изменение емкости которого можно наблюдать, как изме-
нение частоты колебательного контура. Диапазон измерений примерно от
10 до 107 Па.
Миниатюрный микрофон — емкостной датчик давления с особо тонкой
мембраной (около 150 нм). Он работает как конденсатор, размер мемб-
раны примерно 1 мм2, воздушный зазор между мембраной и противопо-
ложным электродом составляет около 2 мкм (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Поперечное сечение миниатюрного микрофона. Оба алюминиевых
слоя служат емкостями, которые изменяются под воздействием зву-
кового давления
2. Тактильные датчики
Они изготовлены в виде матрицы чувствительных элементов и служат
для определения поверхности давления (по аналогии с осязанием кожи).
3. Датчики ускорения
Изготавливаются в виде свободных язычков (толщиной несколько мик-
рометров). Под воздействием ускорения язычок изгибается, что может быть
измерено пьезорезистивным или емкостным методом.
4. Датчики потока
Измеряют скорость потока жидкостей или газов, основаны на принципе
термоанемометрического проволочного анемометра (нагретая проволока ох-
лаждается тем быстрее, чем выше скорость движения окружающего возду-
4.3.
ха). Применяют кремниевый язычок, который попеременно нагревается и
охлаждается. Чем медленнее происходит нагревание и чем быстрее — ох-
лаждение, тем выше скорость газового потока. Точность измерений состав-
ляет 3 %, диапазон измерений от 2 до 30 м/с. Встроенный температурный
датчик (диод) компенсирует изменение температуры газа. Для измерения
скорости потока жидкости используют протравленные в поверхности кана-
лы и учитывают вязкость жидкости.
5. Радиационный датчик
Используется для измерения параметров инфракрасного излучения.
Основу конструкции составляет покрытый поглощающим материалом крем-
ниевый язычок, который нагревается под действием излучения.
6. Газовый датчик
Служит для измерения теплопроводности газов. Миниатюрная мембрана
нагревается посредством встроенного миниатюрного сопротивления, а теп-
лопроводность определяется по охлаждению температурного датчика, также
встроенного. Обычно используются для измерения давления в низком ваку-
уме и определения концентраций в газовых смесях.
7. Кварцевые датчики
Измеряют резонансную частоту кристалла кварца. На нее оказывают
влияние температура, воздействие внешних сил (давление, ускорение) и
распределение массы (газ, жидкость), т. е. на основании измеренной резо-
нансной частоты можно сделать выводы и об этих величинах.
8. Акустический элемент на поверхностных акустических волнах
Использует механические волны на поверхности подложки. Они генери-
руются пьезоэлектрическим методом, их время пробега измеряется в линии
задержки, состоящей из датчика и приемника с обратной связью. На время
пробега волн оказывают влияние механические величины, а также электри-
ческие и магнитные поля (при использовании магнитных материалов).
4.3.2. Исполнительные элементы
Исполнительные элементы — это элементы схемы, которые при воздейст-
вии могут совершить работу. Для этого используются следующие силы:
• электростатические силы между двумя электродами,
• пьезоэлектрические силы, которые возникают в пьезоэлектрических ма-
териалах под воздействием напряжения (см. 29.9.2, пункт 2),
• термомеханические силы вследствие термического расширения,
• shape memory allows (SPA) — сплавы с памятью формы, которые при на-
гревании вновь возвращаются в исходную форму и при этом вырабаты-
вают механические силы.
1. Микропереключатели
Движение язычка замыкает электрическую цепь. Так могут переключать-
ся токи до 1 А.
2. Микродиафрагмы
Микродиафрагмы (светомодуляторы) используются в качестве элементов
изображения с длительным сроком службы и коротким временем срабаты-
вания. Похожим образом работает кремниевое вращающееся зеркало для от-
клонения и позиционирования светового луча.
3. Микромеханические вентили
Используется свободнонесущая кремниевая мембрана, которая отклоня-
ется в электростатическом поле. Таким образом можно даже производить
насосы, приводимые в действие переменным напряжением (мощность —
несколько микролитров в минуту).
4. Элементы микропозиционирования
Основаны на пьезоэлектрическом эффекте, служат для позиционирова-
ния с микронной точностью (например, в растровом микроскопе с туннель-
ным эффектом). Применяются в микрооптике.
5. Микродвигатели
Электродвигатели, ротор которых имеет диаметр около 100 мкм и вы-
травлен на кремниевой подложке. Используются электростатические силы,
которые доминируют при малых расстояниях. Микродвигатели, возможно,
будут являться основой для создания микророботов (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Микродвигатели
4.3.3. Техническое использование
1. Оптические решетки
Оптические решетки — решетки, вытравленные на кремниевой поверх-
ности с высокой точностью. Они имеют более высокую эффективность и
стабильность, а также более широкий спектр свободно выбираемых пара-
метров по сравнению с обычными решетками.
2. Форсунки струйного принтера
Используются пьезоэлектрические элементы давления, которые создают
прижимное усилие, не позволяющее капелькам жидкости вылетать из фор-
сунки.
3. Микромеханические газовые хроматографы
Полностью изготавливаются на кремниевой подложке (разработаны в
1983 в Стэнфорде). В этом устройстве измеряется скорость, специфическая
для каждой компоненты газа, с которой она проходит через смоченные си-
Рис. 4.4. Этапы производства микродвигателя: а — нанесение слоев: оксид
кремния (SiO2) и нитрид кремния (Si3N4) для изоляции, поликрис-
таллический кремний (Poly-Si) для статора и ротора, фосфорно-си-
ликатное стекло (PSG) в качестве основы; б — ротор и статор вы-
травливаются. Ротор находится на изолирующем слое фосфорно-
силикатного стекла. Наносится следующий слой нитрида кремния;
в — в последнем слое нитрида кремния протравливается дистан-
ционный зазор для уменьшения трения.
ликоновым маслом капилляры (вследствие различной скорости абсорбции и
десорбции в силиконовом масле). Капилляр имеет прямоугольное сечение
шириной 200 и высотой 40 мкм при длине 1,5 м. В конце капилляра различ-
ные компоненты газа определяются газовым датчиком. Применяются, на-
пример, в медицине для быстрого анализа крови.
4. Вакуумная микроэлектроника
Заменяет традиционную ламповую технику. При этом вакуум реализует-
ся только в области размером несколько микрон на силиконовой подложке.
Микромеханические автоэмиссионные катоды в форме металлической иглы
с очень малым радиусом изгиба работают намного эффективнее, чем тради-
ционные электроды из проволоки. Эти схемотехнические элементы распо-
лагаются в виде матрицы.
ГЛАВА 5
ГРАВИТАЦИЯ И ТЕОРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
5.1. Гравитационное поле
5.1.1. Закон всемирного тяготения
1. Гравитация
Свойство тела в зависимости от своей массы притягивать другие тела на-
зывается гравитацией. В то время как для электрических сил взаимодейст-
вия между телами определяющими являются электрические заряды тел, а не
их масса, то силы гравитации (взаимного притяжения) определяются только
массами притягиваемых тел. Силы взаимного притяжения между двумя те-
лами всегда являются притягивающими, в отличие от кулоновских сил, ко-
торые в зависимости от знака заряда могут быть как притягивающими, так и
отталкивающими.
Закон всемирного тяготения MLT"2
Символ Единица измерения Название
=- г ГП\ГП2 42 S S С Н Нм2/кг2 кг м Сила тяготения Гравитационная постоянная Массы тел Расстояние между центрами масс двух тел
2. Свойство сил тяготения
Силы тяготения всегда направлены в направлении другого тела (рис.
5.1). В векторной форме можно записать, что сила, с которой тело 1 притя-
гивает тело 2, равна:
г12
' ТГПУ’
где г12 — радиус-вектор, проведенный в центр масс тела 1 из центра масс
тела 2.
Согласно теории потенциалов для расчета сил тяготения протяженное
тело можно рассматривать как материальную точку, масса которой сконцен-
трирована в центре масс этого тела.
> Выражение г/| г | (вектор разделить на его величину) является единич-
ным вектором в направлении вектора г. Действующая на тело 2 сила на-
правлена (учитывая знак минус!) от тела 2 к телу 1.
5.1. Гравитационное поле 17lj
Рис. 5.1. Сила тяготения. Сила, действующая на тело т2, направлена проти-
воположно кратчайшему вектору, соединяющему точки с массами
т\ и т2
▲ Сила тяготения всегда является притягивающей силой.
> Гравитационная постоянная G является фундаментальной физической
постоянной, она равна G = 6,6742-10-11 Нм2/кг2.
> Формула показывает как величину силы, которая действует от тела 1 к
телу 2, так и величину силы, которая действует от тела 2 к телу 1. Сила
тяготения всегда направлена в сторону притягиваемого тела.
▲ Сила тяготения между двумя телами пропорциональна массе каждого
тела и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Здесь можно увидеть сходство этого выражения с законом Кулона (си-
лой электростатического взаимодействия). Но материальные точки всегда
притягиваются, в то время как одноименные заряды отталкиваются друг от
друга. По аналогии с напряженностью электрического поля вводят понятие
напряженности гравитационного поля.
3. Напряженность гравитационного поля
Eg — векторная величина, которая для каждой точки пространства г
указывает силу, приходящуюся на единицу массы тела, которая воздействует
на тело вследствие сил тяготения:
Напряженность гравитационного поля Eg зависит только от массы М
притягивающего тела, которое находится в начале координат и рассматрива-
ется как источник гравитационного поля. Сила, действующая на пробное
тело т, равна F = тЁ g. Она направлена к притягивающему телу и определя-
ет ускорение пробного тела.
4. Потенциал гравитационного поля
Потенциал гравитационного поля Ф определяется работой, совершаемой
гравитационным полем.
Потенциал гравитационного поля L2T2
и. Ф = -G — г Символ Единица измерения Название
ф G М г Дж/кг = Нм/кг Нм2/кг2 кг м Потенциал гравитационного поля Гравитационная постоянная Масса притягивающего тела Расстояние между притягиваю- щимися телами
и теория относительности
Сила тяготения F рассчитывается по потенциалу гравитационного поля
Ф следующим образом:
Fg(f) = -mgradO(r).
> Потенциал силы тяготения равен: К(г) - тФ(г), Fg = -gradK(r).
Потенциальная энергия пробного тела массой т, характеризуемого ради-
ус-вектором г, в гравитационном поле тела массой М равна:
Епт = (г) = тФ(г).
Работа, которая необходима для перемещения пробного тела массой т
от точки fj против сил тяготения в точку г2, равна разности потенциальных
энергий в точках г2 и ц:
ИЪ = -J Fgdf = £пот(г2 ) - £ПОТ(Г!) = GmM f- - -1
F, И
5. Сила притяжения Земли
Весом тела называется сила, с которой Земля притягивает тело к своей
поверхности. Вес определяется по закону всемирного тяготения, в расчете
используется масса Земли, ее радиус и масса пробного тела.
Ускорение свободного падения g — почти постоянное ускорение, вызы-
ваемое силой притяжения Земли, которая действует на все брошенные тела:
g = 9,80665 м/с2. Это значение действительно для высоты на уровне моря и
географической широты примерно 45°.
> Ускорение свободного падения не является одинаковым на всей поверх-
ности Земли. Вследствие несферической формы Земли и центростреми-
тельных сил при вращении Земли оно зависит от географической широ-
ты, а также (вследствие закона всемирного тяготения) и от высоты над
уровнем моря, при котором производятся измерения. Колебания плот-
ности земной коры, концентрации масс изменяют как величину, так и
направление сил притяжения Земли. Этот эффект используется при по-
иске полезных ископаемых.
> Согласно закону всемирного тяготения для соотношения ускорений сво-
бодного падения gr при расстоянии г > R от центра Земли и g на поверх-
ности Земли действительно следующее выражение:
gr
g Г2 ’
где 7? — радиус Земли.
> Гипотеза «пятой силы», которая может быть описана компонентом Юка-
вы, где а характеризует интенсивность взаимодействия между телами,
X — радиус взаимодействия, введенный в виде дополнительных членов в
выражение для потенциала гравитационного поля,
K(r) = -G---(1 + ае-г/х),
г
позволяет вывести более эффективную гравитационную постоянную, ко-
торая зависела бы от расстояния г от пробного тела до притягивающей
массы М. Но эта гипотеза до сих пор не была подтверждена эксперимен-
тально.
5.1.2. Движение планет
Наряду с силой земного притяжения закон всемирного тяготения также
описывает движение планет. Оно было впервые описано эмпирически в
1609 году Иоганном Кеплером в виде законов Кеплера, которые можно вы-
вести из законов всемирного тяготения и законов Ньютона.
1. Первый закон Кеплера
Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов
которых находится Солнце.
> Эллипс описывается указанием большой или малой полуосей и его экс-
центриситета. У нашей солнечной системы орбиты планет являются
практически окружностями.
Эклиптика — плоскость земной орбиты. Она используется в качестве
астрономической системы отсчета. Перигелий — точка земной орбиты, рас-
положенная на минимальном расстоянии от Солнца. Афелий — точка зем-
ной орбиты, в которой расстояние от Земли до Солнца является максималь-
ным.
> Смена времен года на Земле происходит не из-за различного расстояния
до Солнца в перигелии или в афелии, а вызвана наклоном земного эква-
тора относительно плоскости земной орбиты при вращении вокруг
Солнца. Этот наклон является причиной того, что северное или южное
полушария оказываются более повернутыми к солнцу.
2. Второй закон Кеплера
Радиус-вектор планеты за равное время покрывает равные площади
(рис. 5.2).
Рис. 5.2. Второй закон Кеплера. F — фокус эллипса. Площади, покрываемые
векторами rmm и rmax, являются равными
> Это высказывание следует из закона сохранения момента импульса
I = г х р: Проходимая в течение времени d/ площадь d4 определяется как:
2 • cL4 = | г х df |, т.е. 2m • dA/dt = | г х р | = 111. Если момент импульса являет-
ся инвариантной величиной движения (| 11 = const), то проходимая в тече-
ние промежутка времени dt площадь dA для всех участков орбит является
одинаковой. Из этого следует, что мгновенная скорость в перигелии иР
выше, чем скорость в афелии иА, так как I = = ^тахЧ\ => Цр > иА.
3. Третий закон Кеплера
Отношение кубов больших полуосей и а2 двух орбит к квадратам пери-
одов их обращения Тх и Т2 для всех планет Солнечной системы одинаково:
Т2
Т2: Г2 = , ---= const.
12 1 2 а3
> Законы Кеплера описывают движение планет вследствие притяжения
Солнца. Они не учитывают притяжение планет друг к другу.
> Согласно общей теории относительности, вблизи Солнца происходит от-
клонение от третьего закона, которое проявляется, например, в медлен-
ном вращении перигелия Меркурия.
▲ Параболы и гиперболы также являются возможными траекториями не-
бесных тел, но они имеют такую форму только при движениях вблизи
центральных небесных тел. После этого небесные тела вновь удаляются
из планетной системы (пример: некоторые кометы).
5.1.3. Планетная система
5.1.3.1. Солнце и планеты
1. Солнце
Солнце — это центральная звезда Солнечной системы, которая состоит
из девяти планет и более мелких небесных тел (спутники, кометы, астерои-
ды). Некоторые из девяти планет Солнечной системы похожи на Землю по
своей величине и составу (Меркурий, Венера, Марс), другие являются газо-
выми гигантами (Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун).
Солнце
Радиус 696000 км = 109 радиусов Земли
Масса 1,99-1030 кг = 332000 масс Земли
Средняя плотность 1410 кг/м3
Ускорение свободного падения 273,7 м/с2 =27,9 ускорений свободного падения на земной поверхности
2. Планеты и солнечная система
Планета, в отличие от неподвижных звезд, не является самосветящимся
небесным телом. Планета видна только благодаря отражающемуся от нее
свету. Под влиянием сил притяжения центральной звезды планеты движутся
по эллиптическим орбитам вокруг них. Звезда может иметь несколько пла-
нет, которые вращаются вокруг нее на различных орбитах (планетные систе-
мы).
В солнечной системе существует девять планет.
> Сейчас неизвестно точно, существуют ли в солнечной системе другие
планеты. Так как отражаемый от возможных планет солнечный свет был
бы слишком малым, чтобы измерить его в настоящее время, то сущест-
вование других планет пытаются определить путем влияния гравитаци-
онных сил на другие планеты и появляющиеся вследствие этого откло-
нения в орбитах известных планет.
> Планеты могут быть открыты и вне нашей Солнечной системы.
Важнейшие данные о планетах в Солнечной системе.
Планета Большая полуось орбиты (106 км) Период обращения (год) Диаметр (км) Масса (в массах Земли) Период обращения
Меркурий 57,9 0,241 4840 0,053 59 сут
Венера 108,2 0,615 12400 0,815 243 сут
Земля 149,6 1,000 12756 1,000 23 ч 56 мин
Марс 227,9 1,881 6800 0,107 24 ч 37 мин
Юпитер 778 11,862 142800 318,00 9 ч 50 мин
Сатурн 1427 29,458 120800 95,22 10 ч 14 мин
Уран 2870 84,015 47600 14,55 10 ч 49 мин
Нептун 4496 164,79 44600 17,23 15 ч 40 мин
Плутон 5946 247,7 5850 Около 0,1 Неизвестно
3. Данные о планете Земля
Земля
Экваториальный радиус 6378,163 км = ЯА
Полярный радиус 6356,777 км =
Сплюснутость 0,00356 = (ЯА - ЯР)/ЯА
Масса 5,977 • 1024 кг
Средняя плотность 5517,0 кг/м3
Ускорение свободного падения 9,80665 м/с2
Параболическая скорость 11,19 кг/с
Параболическая скорость (также называемая второй космической скоро-
стью) — это минимальная скорость, которую нужно сообщить телу для того,
чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической, т.е. чтобы
тело преодолело притяжение Земли и превратилось в спутник Солнца.
> Период вращения Земли не равен точно 24 часам, а короче примерно на
4 минуты. Эти 4 минуты соответствуют разнице между солнечными и
земными сутками при движении Земли по орбите вокруг Солнца.
4. Закон Тициуса-Боде
Радиусы ап планетных орбит приблизительно образуют геометрическую
прогрессию:
&п ~ ^Земли^ ’
(^Земли — ^Венеры — — ^Меркурия — — ^Марса ~ ^Юпитера — ^Сатурна — 4,...).
> Отсутствующее значение п = 2 соответствует поясу астероидов между
Марсом и Юпитером.
> Причиной этого соотношения является воздействие планет друг на дру-
га, а также, предположительно, условия для существования стабильных
орбит.
5. Астрономическая единица
а. е. — это среднее расстояние от Земли до Солнца,
1 а. е. = 149,6-106 км.
Плутон — самая дальняя из известных планет — удален от Солнца при-
мерно на 40 а. е., Меркурий — самая близкая к Солнцу планета — на рас-
стояние примерно 0,4 а. е. Размеры Солнечной системы намного мень-
ше, чем расстояние до ближайшей звезды (Проксима Центавра, расстояние
4,3 св. г. = 272265 а. е.).
Световой год (св. г.) — это расстояние, которое свет преодолевает в те-
чение года:
1 св. г. = 9,4605-1012 км = 63240 а. е.
Парсек (сокращение от параллакс-секунда), пс — это расстояние до объ-
екта, годичный параллакс которого равен 1 секунде дуги:
1 пс = 3,262 световых года = 30,857-1012 км.
6. Измерение астрономических величин
0 Параллакс — сдвиг звезды (например, относительно других, более удален-
ных звезд) на небесном своде в течение одного года, вызванный движени-
ем Земли вокруг Солнца. Чем ближе звезда, тем больше ее параллакс.
Параллактическое измерение расстояния — это измерение расстояния до
звезд путем сравнения результатов измерения параллаксов, проведенных
в течение года для различных объектов. Сравнение подразумевает знание
расстояния до одного из объектов — звезда, которая удалена на расстоя-
ние один парсек, имеет параллакс в одну угловую секунду. Такой метод
можно применять для измерения расстояний до 100 световых лет. Для
больших расстояний также применяются другие непрямые методы изме-
рения (по сравнению яркости, эффект Доплера, и т.п.).
7. Спутник Луна
Спутником называется небесное тело, вращающееся вокруг планеты.
Диаметр спутника Земли Луны составляет около четверти диаметра Земли.
Многие планеты, особенно планеты-гиганты, имеют несколько спутников,
которые по величине могут приближаться к величине планеты. Со спутни-
ками схоже кольцо Сатурна, которое состоит из кружащих вокруг планеты
осколков каменных пород и пыли.
Луна — спутник Земли
Диаметр 3476,0 км = 27 % диаметра Земли
Масса 7,350 -1022 кг = 1,2 % массы Земли
Средняя плотность 3,342 кг/м3 = 61 % от средней плотности Земли
5.1. Гравитационное поле
Луна — спутник Земли
Ускорение свободного падения Параболическая скорость 1,620 м/с2 = 16,6 % от ускорения свобод- ного падения на земной поверхности 2,37 км/с
8. Вращение планет
Планеты, а также их спутники, вращаются вокруг собственных осей; пе-
риод вращения Земли составляет примерно 24 часа, Луны — 1 месяц (около
28 дней). В результате этого Луна всегда повернута к Земле одной и той же
стороной; другая сторона Луны постоянно невидима.
Экватор — воображаемая линия пересечения с поверхностью Земли
плоскости, перпендикулярной оси вращения планеты и проходящей через
ее центр. Наклон плоскости экватора относительно плоскости орбиты опре-
деляет изменение длины дня в течение года и вызывает смену времен года.
9. Астероиды и кометы
Астероиды, малые планеты, значительно меньше, чем любая из девяти
планет Солнечной системы. Большинство астероидов находится в так назы-
ваемом поясе астероидов между Марсом и Юпитером. Их диаметры дости-
гают от нескольких километров до 740 километров (Церера).
Комета — это объект, небесное тело, движущееся по очень вытянутой
эллиптической или по гиперболической орбите. Если последние приближа-
ются к Земле или Солнцу лишь однажды, то кометы, движущиеся по эллип-
тическим орбитам, приближаются к Земле или Солнцу периодически. Эти
промежутки времени могут составлять до 200 лет. Самой известной кометой
является комета Галлея с периодом обращения около 76 лет. Если комета не
находится вблизи Солнца (т.е. внутри орбит девяти планет), то она является
невидимой. Кометы имеют диаметр, величина которого составляет от одно-
го до 100 км. Замерзшие газы на поверхности кометы испаряются при при-
ближении ее к Солнцу и видны в виде шлейфа кометы.
Метеор, падающая звезда, является метеоритом, который попадает в
земную атмосферу и сгорает при трении о воздух. Их металлические остатки
иногда достигают земной поверхности.
5.1,3.2. Спутники
Спутник — тело, которое движется в гравитационном поле другого тела, как
правило, это планеты, которые движутся по своей орбите. Изначально это
понятие включало в себя только планеты-спутники, но сегодня сюда вклю-
чены и искусственные спутники.
▲ Для спутников первый закон Кеплера можно дополнить следующим об-
разом: спутники могут двигаться по орбитам, представляющим собой се-
чение конуса, т.е. по круговым, эллиптическим, параболическим или ги-
перболическим траекториям в зависимости от начальной скорости спут-
ника.
Параболические и гиперболические орбиты приводят к тому, что спутник
покидает гравитационное поле центрального объекта, создающего это поле.
1. Первая космическая скорость
Линейная скорость (первая космическая скорость) — это минимальная
скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы превратить его в спутник
Земли, обращающийся по круговой орбите (круговая скорость движения тела
вокруг Земли). Также эту скорость можно определить как минимальную ско-
рость, которую должен иметь спутник, чтобы не упасть на земную поверхно-
сть. Значение первой космической скорости является следствием из равнове-
сия центробежных сил и сил тяготения Земли, которые создают центростре-
мительные силы для сохранения кругового движения.
2. Вторая космическая скорость
Вторая космическая скорость vP — это минимальная скорость, которую
нужно сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть силу притяжения Земли
и превратилось в спутник Солнца (параболическая скорость). Космические
скорости для Земли равны (рис.5.3):
Космические скорости LT1
[GM / = J— =7912 м/с /э /2СМ Пр - - J - V = 11190 м/с Символ Единица измерения Название
ик Up G М R м/с м/с Нм2/кг2 кг м Круговая скорость Параболическая скорость Гравитационная постоянная Масса Земли Радиус Земли
> Для скоростей vK < о < vP орбиты являются эллиптическими. Гипербо-
лические орбиты достижимы только для г» > Пр.
Рис. 5.3. Орбиты спутников: Fz — центробежные силы; FG — сила тяготения
(центростремительная сила); R — радиус Земли; — первая кос-
мическая скорость; Ир — вторая космическая скорость
3. Третья космическая скорость
Третья космическая скорость — это минимальная скорость, которую
нужно сообщить телу для того, чтобы оно могло покинуть Солнечную сис-
тему. Эта скорость определяется по той же самой формуле, что и вторая
космическая скорость, при этом в формулу подставляется масса Солнца и
расстояние от Солнца до Земли:
и =
2СЛ/(^олнце
^Солнце-Земля
= 42,1 км/с.
> По соотношению g = GM/R1 скорости vK и vP можно выразить также че-
рез ускорение свободного падения g на земной поверхности.
5.2. Специальная теория относительности
1. Специальная теория относительности
Была разработана А. Эйнштейном (1905) для объяснения явления дви-
жения, скорость которого сравнима со скоростью света. Главной концеп-
цией специальной теории относительности является независимость (инва-
риантность) физических законов по отношению к системе отсчета, дви-
жущейся равномерно и прямолинейно, в частности, постоянство скорости
света в вакууме для всех инерциальных систем. Это ведет к новому опреде-
лению понятий времени и пространства в рамках пространственно-времен-
ного континуума.
2. Общая теория относительности
Общая теория относительности, также разработанная А.Эйнштейном
как дополнение к специальной теории относительности, включает в себя
релятивистский принцип для системы отсчета, движущейся с любым уско-
рением.
Общая теория относительности ведет к единому подходу к понятиям
гравитации и сил инерции посредством искривленного пространствен-
но-временного континуума и создает основу современной космологии.
3. Релятивистские эффекты
Различие между обычной, не релятивистской физикой и специальной
или общей теорией относительности возникает при скоростях, близких к
скорости света, а также при движении в окрестностях очень массивных объ-
ектов. В повседневной жизни эти эффекты, как правило, не наблюдаются.
Теория относительности находит физическое применение в физике эле-
ментарных частиц (ускоритель частиц), в атомной физике, а также в аст-
рономии и космонавтике. По причине возрастающей точности прецизи-
онных измерений релятивистские эффекты могут быть доказаны также в
макроскопических процессах на Земле (замедление времени в самолетах).
5.2.1. Релятивистский принцип
1. Инерциальная система
Инерциальная система — это система, в которой действуют законы
Ньютона, в частности, закон сохранения инерции. В инерциальной системе
тело, на которое не воздействуют никакие силы, сохраняет состояние своего
движения. Поэтому инерциальными являются любые системы, которые
движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно.
> Указание скорости системы невозможно без указания системы отсчета,
относительно которой измеряется эта скорость. Поэтому инерциальная
система не может быть определена как система, которая движется рав-
номерно и прямолинейно без указания другой системы отсчета, которая
в свою очередь также является инерциальной системой.
▲ Система, которая движется с постоянной скоростью б = const по отно-
шению к инерциальной системе отсчета, также является инерциальной
системой.
Событие в системе отсчета определяется указанием его временной коор-
динаты t и координаты положения х. Тем самым любому физическому со-
бытию в заданной системе отсчета соответствуют координаты (х,Г) в про-
странственно-временном континууме.
2. Преобразование Галилея
Это преобразование координат при переходе из одной инерциальной си-
стемы отсчета в другую без учета специальной теории относительности, х
или х' — это координаты движущейся точки в первой и второй системах от-
счета, t и f — временные координаты в этих двух системах. Предполагается,
что в начальный момент времени t = 0 начала координат обеих систем сов-
падали, а относительное движение происходит в направлении оси х
(рис. 5.4). Если вторая система движется со скоростью о относительно пер-
вой системы, то преобразование Галилея выглядит следующим образом:
Преобразование Галилея
х' = х - vt f= t Символ Единица измерения Название
X, xr t,f и м с м/с Координаты положения тела Временные координаты Относительная скорость системы отсчета
Второе соотношение, f = t показывает, что измерение времени (ход ча-
сов, движение маятника) не зависит от скорости, с которой движется при-
бор для измерения времени.
Рис. 5.4. Преобразование Галилея.
Начало координат О' системы отсчета
S' движется относительно начала ко-
ординат О системы отсчета S прямо-
линейно и равномерно со скоростью
v вдоль оси х. Траектория в системе S:
г(0 = г' (t) + Nt. В обеих системах пред-
полагается равная шкала времени
> Систему S' называют подвижной системой отсчета, если она движется
относительно системы S наблюдателя со скоростью v 0. И наоборот,
система S для наблюдателя, который находится в покое в системе У, бу-
дет казаться системой отсчета, движущейся со скоростью -v.
3. Траектория движения тела
Уравнение х(Г) характеризует движение тела массой т в заданной систе-
ме отсчета. Его траектория в системе S описывается следующим радиус-век-
тором:
f(Z) = г' (0 + V/.
В соответствии с преобразованием Галилея траектория движения точки
в системе S', движущейся со скоростью о в направлении оси х, определя-
ется уравнением:
х' (f) = х' (/) = х(0 - vt.
Тело, движущееся равномерно со скоростью и, имеет траекторию
х(0 = х0 + ~ координата в момент времени t = 0.
В системе координат, движущейся со скоростью о, уравнение траекто-
рии выглядит так:
х' (0 = х(0 - Щ = х0 + ut - vt = Хо + (и - v)t.
В преобразованиях Галилея скорость и' в движущейся системе S' опреде-
ляется сложением исходной скорости и тела и скорости и относительного
движения подвижной системы отсчета S':
и' = и — v, и = u'+v.
4. Релятивистский принцип классической нерелятивистской механики
Законы классической механики инвариантны в любой инерциальной си-
стеме отсчета.
Преобразование второго закона Ньютона:
Наблюдатель в 5: F = mt.
Наблюдатель в S': г = f'+v, v = 0,
f = г', F' = mt'.
Второй закон Ньютона для обоих наблюдателей имеет одну и ту же ма-
тематическую форму.
5. Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла описывают распространение электромагнитных
волн, следовательно, не попадают под действие приведенного выше реляти-
вистского принципа:
▲ Электромагнитные волны (свет) распространяются в вакууме со скоро-
стью с = 2,99792458 -108 м/с. Если бы эта скорость в соответствии с пре-
образованием Галилея могла бы быть трансформирована, то эта величи-
на могла бы действовать только в единственной системе отсчета, что
противоречит экспериментальным данным.
При распространении звука в газе скорость звука измеряется в той сис-
теме отсчета, в которой газ находится в покое. Движущийся с очень высо-
кой скоростью источник звука может в действительности двигаться даже
быстрее, чем испускаемый им звук. При этом возникает ударная волна.
Возникает вопрос: может ли наблюдатель, который движется быстрее
скорости света, определить испускаемый им свет?
6. Гипотеза о существовании эфира
По аналогии с распространением света и звука среду, в которой распро-
страняются электромагнитные волны, обозначают как эфир. Систему, в ко-
торой эфир находится в покое, следовало бы рассматривать как абсолютную
систему координат.
В этом случае скорость света была бы действительна только для той сис-
темы отсчета, в которой эфир находится в состоянии покоя.
[м) В частности, существование эфира привело бы к тому, что электромаг-
нитные волны в движущейся системе (по аналогии с распространением
звука) распространялись бы вперед (по направлению движения) и назад
(против направления движения) с различными скоростями. Эта гипотеза
впервые была проверена с помощью интерферометра Майкельсона в
опыте Майкельсона—Морли (1887). При этом проверялось, изменяется
ли скорость распространения света при вращении Земли. Подвижная си-
стема, в которой проводились измерения, представляла собой модель
Земли, вращающуюся по своей орбите. Этот эксперимент показал, что
свет распространяется с одинаковой скоростью, как в направлении вра-
щения Земли, так и перпендикулярно земной орбите.
7. Специальный релятивистский принцип
Все инерциальные системы равноправны между собой. Свет распростра-
няется во всех инерциальных системах во всех направлениях с одинаковой
скоростью, равной скорости света в вакууме.
> В отличие от гипотезы о существовании эфира (абсолютное движение)
согласно релятивистскому принципу существует только относительное
движение в выбранной системе отсчета, именно поэтому теория называ-
ется теорией относительности.
5.2.2. Преобразования Лоренца
1. Введение в преобразования Лоренца
Действительность релятивистского принципа обеспечивается заменой
преобразований Галилея другим преобразованием, называемым преобразо-
ванием Лоренца. Если в трехмерном пространстве координаты события от-
носительно системы координат S задаются координатами положения x,y,z и
координатой времени /, то координаты х', у', z', f этого же события в систе-
ме координат У, которая равномерно движется со скоростью о вдоль оси х
первой системы (рис. 5.5), рассчитываются следующим образом:
Преобразования Лоренца
' - * ~ д/1 - V2 /с2 У = У z! = Z (. и А \ t х 1 й 1 д/1 - v2 /с2 Символ Единица измерения Название
x,y,z t х' ,у’, Z’ t' О с м с м с м/с м/с Координаты положения тела в системе S Координата времени в системе S Координаты положения тела в системе S' Координата времени в системе S' Относительная скорость движения S' относительно 5 Скорость света
Рис. 5.5. Преобразования Лоренца на диаграмме Минковского. Наряду с
осями (x,cZ),(x',cZ') обеих систем на диаграмме изображена мировая
линия (= траектория в пространстве Минковского) светового им-
пульса, испускаемого при (х = x$,t = 0). Так как световой импульс в
обеих системах распространяется со скоростью света с, то можно
определить масштаб осей в системе S'
> Обратное преобразование Лоренца получают, изменяя знак перед скоро-
стью. Система S движется относительно системы S' со скоростью -и:
и Л
t + — х
x'+vt' _ у с2 )
2. Релятивистский множитель
у — множитель для преобразований Лоренца:
Для скоростей, которые намного меньше скорости света, действительно:
и « с => у « 1.
▲ Преобразования Лоренца для о « с переходят в преобразования Галилея.
Тем самым гарантируется, что преобразования Лоренца не противоречат
повседневному опыту, так как релятивистские эффекты становятся за-
метными только при очень больших скоростях, которые не встречаются
в нашей обычной жизни.
3. Диаграмма Минковского и мировая точка
Диаграмма Минковского служит для наглядного представления преобра-
зования Лоренца. На диаграмме наносят на абсциссе координату х и на ось
ординат — координату t (или с/), таким образом любому событию на диа-
грамме соответствует мировая точка (/,х) (рис. 5.6).
ci
Рис. 5.6. На диаграмме изображены оси х, ct и х\ ct' обеих систем, а также
гиперболы ct = ±Vx2 ± R2
Мировая линия — траектория частицы на диаграмме Минковского. Целе-
сообразно выбирать единицы измерения на осях таким образом, чтобы дви-
жение со скоростью света (x(Z) = ct) наносилось на прямой с наклоном в 45°,
для расстояния использовались световые секунды, а для времени — секунды.
Световая секунда — это длина пути, который свет проходит в течение
одной секунды: 1 св. с. « 3-108 м.
При преобразованиях Лоренца оси координат движущейся системы на-
носятся на диаграмме Минковского. Координатами нулевой точки (f = О,
х' - 0) являются (t = 0, х = 0), т.е. начало координат обеих систем лежат в од-
ной и той же мировой точке. Ось х' системы S' имеет уравнение:
Ч J С2
Это соответствует прямой, которая образует с осью х угол (р:
+ и
tan ф = —.
с
Соответствующим образом находят другой угол, но ось проводят в про-
тивоположном направлении для угла между осями ct’ и ct. В заключение
шкала на осях системы S' умножается на множитель у (> 1) относительно
системы S (см. 5.2.3).
> Для наблюдателя в системе S' кажется, что система S движется со скоро-
стью -о.
4. Сравнение с преобразованиями Галилея
Радикальные изменения преобразований Лоренца относительно преоб-
разований Галилея — это предположение о том, что координаты времени в
обеих системах не могут быть одинаковыми. Однако это является прямым
следствием постулата о постоянстве скорости света, и этого нельзя избе-
жать.
Два события, которые в одной системе отсчета произошли в один и тот
же момент времени, но в разных местах, для наблюдателя в другой сис-
теме отсчета кажутся неодновременными. Эта относительность понятия
одновременности является феноменом и связана с тем, что информация
о событии не может передаваться из одного места в другое со скоростью,
быстрее скорости света.
▲ Максимальной скоростью движения является скорость света.
Релятивистский множитель у для скорости о = с не определен (деление
на 0), а для скоростей о > с является мнимым. Поэтому для массивных тел
невозможно достижение в вакууме скоростей больше скорости света, о > с.
Это выражается теоремой сложения скоростей.
5. Тахионы
Тахионы — это гипотетические частицы, которые движутся быстрее ско-
рости света.
[м| Тахионы излучают свет в вакууме. Излучение возникает, если материаль-
ная частица движется в оптической среде с коэффициентом преломле-
ния п быстрее скорости cgr = с/п (где с — скорость света в вакууме, cgr —
групповая скорость).
5.2.2.1. Сложение скоростей
1. Сложение скоростей при преобразованиях Лоренца
Предположим, что тело движется со скоростью й' в системе отсчета 5',
которая в свою очередь движется относительно системы S со скоростью v.
Скорость тела и относительно системы S определяется не просто через век-
торное сложение скоростей й' и v, а в соответствии с преобразованиями Ло-
ренца и рассчитывается по формулам:
Теорема сложения скоростей
их + о «х = 1 -1 7/ Символ Единица измерения Название
Uy = — у\ Uz = Y С2 Х Uy (< о , 1 н — их \ С2 ) u'z (1 о , i 1 + -г чх ! с2 ) Ux^y^z Ux,Uy, uz о с Y м/с м/с м/с м/с 1 Скорость телав системе S Скорость тела в системе S' Относительная скорость движе- ния S' вдоль оси х системы S Скорость света Релятивистский множитель
> Обратное преобразование производится заменой знака перед относи-
тельной скоростью: о -> -и.
2. Вывод теоремы сложения скоростей
Эти выражения можно получить, если дополнить равномерное движение
частицы в подвижной системе координат S'
x' = uxt, y' = u'yt, z' = uzt
преобразованиями Лоренца, а полученные выражения рассматривать для
х(Г), У(0 и z(t) в системе S наблюдателя, находящегося в покое. Для этого
целесообразно рассматривать участки (dx,dy,dz), пройденные за короткий
промежуток времени dt. Согласно правилу дифференцирования получаем
формулу:
dx = ydx'+yvd/', dy = dy', dz = dz', dt = yd/'+ — dx'.
c2
В движущейся системе S' проходит другой промежуток времени d/', чем в
покоящейся системе S.
Скорость в системе 5:
dx'
_ dx _ ydx'+yudf _
X dt Л<г n j , v dx'*
yd/ +y — dx' 1 +-------
c2 c2 dt'
Таким же образом можно найти скорости иу и uz.
3. Следствие теоремы сложения скоростей
▲ Для небольших скоростей о « с релятивистское сложение скоростей со-
кращается до обычного, нерелятивистского векторного сложения скоро-
стей и = w' + н.
▲ Для скоростей, близких к скорости света, напротив и < и1 + о, т.е. полу-
ченная скорость меньше, чем простая векторная сумма.
В частности для их ® 5 и и » с согласно релятивистской теореме сложе-
ния скоростей получается:
и'х + v с + с
их = —--------»---------« с.
. v , 1 с
1 + — их 1 + — с
с2 с2
▲ Скорость тела не может превышать скорость света.
5.2.3. Релятивистские эффекты
Релятивистские эффекты — это эффекты, предсказанные с помощью преоб-
разований Лоренца.
5.2.3.1. Сокращение длины
1. Расстояние в движущейся системе
Расстояние между двумя точками, находящимися на оси х' системы S',
определяется как
Г = хг2-х\.
В системе S длину / измеряют, определяя координаты начальной и ко-
нечной точки х},х2 в момент времени /, при этом / = х2 - Согласно пре-
образованиям Лоренца получается:
= У(*1 - *2 = У<>2 - М
ИЛИ
Таким образом, расстояние в системе S короче на множитель 1/у.
2. Сокращение длины
Длина участка в движущейся системе кажется наблюдателю, находяще-
муся в неподвижной системе, уменьшенной на коэффициент:
1=
у V с2
> Релятивистский принцип ведет к очевидному парадоксу, что наблюда-
тель в системе S' воспринимает длину участка, находящегося в системе
S, также укороченным: Г = (1/у)/. Решение этого парадокса лежит в отно-
сительности скорости измерения в обеих системах.
Глава 5. Гравитация и теория относительности
5.2.3.2. Замедление времени
1. Временной интервал в движущейся системе
Если два события в движущейся системе S' происходят в точках х/ и х'2
в моменты времени t\ и /'2, то временной интервал Д/ между событиями в
покоящейся системе S определяется как:
& = h - h = у
с2
I д . D z ,
= У Д/'+ —(*2 -Х1) .
< с2 )
Если оба события в движущейся системе S' происходят в одном и том же
месте (х2 = Xi), то:
Д/ = уДЛ
2. Замедление времени
Временной интервал между двумя событиями в движущейся системе ка-
жется наблюдателю, находящемуся в неподвижной системе, удлиненным на
множитель у:
> Эта теорема также действительна в системе S': № = уД/. Любому наблю-
дателю временной интервал в другой системе кажется удлиненным. Из
этого следует, что два события, произошедших одновременно (А/' = 0) в
движущейся системе, для наблюдателя в неподвижной системе кажутся
неодновременными, если эти события произошли не в одном и том же
месте:
Ы = Y-r<x2 ~х{).
С2
3. Пример: космическое излучение
При проникновении в земную атмосферу первичное космическое излуче-
ние генерирует при соударениях с молекулами воздуха жесткое вторичное из-
лучение, которое состоит из мезонов высокой энергии. Образующиеся на вы-
соте примерно 30 км ц-мезоны в их неподвижной системе имеют продолжи-
тельность жизни около 2-10'6 с. При скорости ви = 0,9995 с(у~ 32) эти мезо-
ны без релятивистских эффектов смогли бы пройти участок только » 600 м,
т.е. их было бы невозможно наблюдать на земной поверхности. Учитывая эф-
фект замедления времени, продолжительность жизни ц-мезонов увеличивает-
ся до 32-2-10~6 с « 6- 10-5 с. Этого временного интервала достаточно, чтобы
пройти путь от места возникновения до земной поверхности. Таким образом,
ц-мезоны могут быть обнаружены и на земной поверхности.
5.2.4. Релятивистская динамика
Релятивистская динамика — это обобщение законов динамики для скоро-
стей, которые соизмеримы со скоростью света. В релятивистской динамике
учитывается релятивистское увеличение массы и объясняется эквивалент-
ность массы и энергии.
5.2.4.1. Релятивистское увеличение массы
1. Увеличение массы
Закон сохранения импульса при определении импульса как р = mv
вследствие теоремы сложения скоростей в теории относительности может
действовать только тогда, когда масса зависит от скорости (рис. 5.7).
Релятивистское увеличение массы м
m0 1 z- = 7mo I1- — С2 Символ Единица измерения Название
m(u) и с Y кг кг м/с м/с 1 Масса при скорости и Масса в состоянии покоя Скорость тела Скорость света Релятивистский множитель
> Релятивистская масса может стать бесконеч-
но большой, если скорость тела приближает-
ся к скорости света. По этой причине невоз-
можно ускорить тело путем приложения
силы или импульса до скорости света, так
как это потребовало бы бесконечно больших
затрат энергии.
2. Релятивистский импульс
Р
7 ч-
= m(u)v = —....-..
L v2
Рис. 5.7. Релятивистское
увеличение массы
= Y™oV-
Если это выражение подставить в выражение
импульса, то закон сохранения импульса и все следующие из него соотно-
шения будут действительны в неизменном виде и дальше.
3. Релятивистская сила
Для релятивистской силы действительно выражение:
F = ^ = l
dt dt
Различают два случая: если линия действия силы направлена параллель-
но или перпендикулярно к направлению движения: пусть v направлена па-
раллельно оси х. Тогда:
fnQax
(1 -1Р/с2)3/2
= wr3»*,
Глава 5. Гравитация и теория относительности
т^ау
= /1 2 / 2~ =
д/1 - П2/с2
'Z
= moyaz.
Здесь а — вектор ускорения.
▲ Для дальнейшего ускорения тела в направлении его движения таким
способом по сравнению с нерелятивистским случаем требуется сила,
увеличенная в у3 раза. Для ускорения перпендикулярно направлению
движения тела силу необходимо увеличить только в у раз.
5.2.4.2. Релятивистская кинетическая энергия
1. Релятивистская работа
Релятивистская работа — это работа, совершаемая при ускорении тела:
AH7 = FAs = mQy3a^s = ш0у3 — нА/ = т$у 3нАп,
А/
где F — действующая сила, As — пройденный участок пути, Av — изменение
скорости, А/ — временной интервал. Для ускорения из состояния покоя,
и = 0, до скорости и = о в результате интегрирования получается выражение
для релятивистской кинетической энергии:
и
И'Ч
о
ищи
Ли = т0с2
Ul-v2/c2
2. Релятивистская кинетическая энергия
Релятивистская кинетическая энергия ML2T-2
-^кин — = /и0с2(у -1) ... - 1 J1- — LV с2 Символ Единица измерения Название
^кин т0 и с Y Дж кг м/с м/с 1 Кинетическая энергия Масса покоя Скорость Скорость света Релятивистский множитель
> В нерелятивистском случае:
1 + — Е
1 ~ о > 73 кин
2 с2
^>1)2.
2
Это выражение совпадает с нерелятивистским выражением для величи-
ны кинетической энергии.
5.2. Специальная теория относительности
3. Эквивалентность массы и энергии
Так как нулевая точка отсчета энергии может быть выбрана произволь-
но, то для каждого тела можно указать полную релятивистскую энергию:
Е = /нс2, где масса зависит от скорости: т =
▲ Эквивалентность массы и энергии:
Полная релятивистская энергия Е тела массой т равна:
Е = /ис2.
Энергия покоящегося тела равна:
Eq = тос2.
Энергия может освобождаться только тогда, когда возможен переход
энергии покоя в другие формы энергии.
Использование теории относительности для элементарных частиц (реля-
тивистская теория квантового поля) ведет к тем же самым процессам. При
столкновении частиц и античастиц энергии покоя могут перейти в другие
формы энергии: в частности, в электромагнитное излучения (парная анни-
гиляция) и, наоборот, из излучения может образоваться пара частица-ан-
тичастица (образование пар).
4. Соотношение энергия-импульс для релятивистских частиц
Соотношение энергия-импульс
£2 = р2 + /И(?С2 с2 0 Символ Единица измерения Название
Е Р /и0 с Дж кг м/с кг м/с Полная релятивистская энергия Импульс Масса покоя Скорость света
Здесь вместо Е следует поставить полную релятивистскую энергию тс2.
5. Энергия центра масс
£цм (цм = центр масс) — это полная энергия обеих частиц при столкно-
вении, измеренная в системе центра масс, в которой он находится в состоя-
нии покоя:
Ецм = Лт2с4 + т2с4 + 2EiE2(1 - — —)cos6,
V с с
где £1? Е2 — релятивистская энергия частиц 1 и 2 в произвольной системе,
ц1?ц2 — их скорости в этой системе, 0 — угол между траекториями частиц.
Если частица 2 в лабораторной системе отсчета находится в покое, то
получается:
Еим = + /и2с4 + 2£1лаб/п2с2.
Энергия центра масс характеризует энергию, которая может быть высво-
бождена при столкновении элементарных частиц.
Скорость в системе центра масс равна:
цм _ Р 1лаб^
с £1лаб + т2с2’
где р 1лаб — импульс в лабораторной системе отсчета.
Релятивистский множитель равен:
_ £1Лаб + т2с2
Уцм -
^ЦМ
> В термодинамике давление и энтропия инвариантны по отношению к
преобразованиям Лоренца, в то время как температура и количество теп-
лоты зависят от состояния движения системы.
5.3. Общая теория относительности и космология
Общая теория относительности (ОТО) — расширенный вариант специаль-
ной теории относительности для произвольных (неинерциальных) систем
отсчета. В частности, здесь описывается гравитация с помощью математиче-
ских средств искривленного четырехмерного пространственно-временного
континуума.
1. Общий релятивистский принцип
Инерциальная система, находящаяся в гравитационном поле, эквивален-
тна системе отсчета в свободном от гравитации пространстве, которое (от-
носительно инерциальной системы) движется равноускоренно. Это значит,
что наблюдатель не сможет с помощью каких-либо элементов установить
свою принадлежность к одной или другой системе.
Космонавт находится в спускаемом аппарате, который затормаживается
трением о воздух с ускорением, равным 5/6 от ускорения свободного па-
дения, и падает вниз. Он воспринимает только оставшуюся 1/6 часть
ускорения и может подумать, что находится на Луне, сила притяжения
которой составляет 1/6 от силы притяжения Земли.
Искривление пространства наступает как следствие наличия массы и
выражается среди прочего в силе тяготения.
2. Подтверждение и проверка общей теории относительности
• Отклонение света в поле тяготения Солнца. Луч света от далекой звезды,
который проходит вблизи Солнца, отклоняется в пространстве на угол,
равный 1,75", поэтому кажется, что звезда меняет свое положение. Это
можно увидеть при солнечном затмении. В соответствии с законами
Ньютона, свет также отклоняется, но лишь в половину от величины,
рассчитанной согласно ОТО. Отклонение, как таковое, не является тес-
том для ОТО, но имеет вполне конкретные числовые значения.
• Вращение линии аспид (линия, которая соединяет афелий и перигелий)
для внутренних планет вследствие модификации ньютоновского закона
гравитации в сильных гравитационных полях. После учета влияния дру-
гих планет для Меркурия остается излишнее вращение, равное 43" за
столетие, которое было измерено.
• Красное смещение света звезд. Согласно общей теории относительности
свет также подвергается влиянию гравитации. Энергия, которую свет
тратит на то, чтобы покинуть гравитационное поле звезды уменьшает его
энергию, т.е. вызывает сдвиг спектральных линий в длинноволновый
(инфракрасный) диапазон. Красное смещение в гравитационном поле
также было предсказано ньютоновской теорией (это связано с законом
квантовой механики: Е = h-f).
Черная дыра — звезда, поле тяготения которой является настолько силь-
ным, что луч света не может его покинуть.
3. Свойства вселенной
Общая теория относительности предсказывает или бесконечную или ко-
нечную вселенную, в зависимости от имеющейся во всем космическом про-
странстве массы. Конечную вселенную можно сравнить с поверхностью
шара: у нее нет границ, но, однако, она конечна.
Эффект Хаббла — доказательство расширения вселенной. Спектры силь-
но удаленных звезд имеют сдвиг в инфракрасный диапазон, т.е. изучающие
объекты удаляются от нас. Красное смещение Хаббла (космологическое
смещение) является далекой аналогией оптического эффекта Доплера.
Постоянная Хаббла Н определяет прирост увеличения скорости расши-
рения вселенной: Я = от 50 до 100 км/с на мегапарсек (один мегапарсек =
= 3,26 млн. световых лет). В искривленном пространстве любой наблюдатель
видит, что все точки пространства удаляются от него (как точки на поверх-
ности воздушного шарика, когда его надувают).
От количества имеющейся во вселенной массы зависит, достигнет ли все-
ленная максимального расширения и будет после этого сокращаться (закры-
тая вселенная) или будет расширяться и далее (открытая вселенная). Большая
часть массы во вселенной содержится в форме темной материи, которая не
видна для всех видов телескопов. Исследование вращения галактик указывает
на то, что галактики в гало окружены темной материей.
Большой Взрыв. Предполагается, что около 1—2 1010 лет назад вселен-
ная возникла из одной точки (сингулярности) с очень высокой плотностью
энергии. После этого она быстро расширяется и при этом охлаждается.
Фоновое излучение с температурой 3 К — наблюдаемое очень холодное,
практически изотропное термическое излучение в космосе, которое и явля-
ется остатками излучения, возникшего в первые секунды после Большого
Взрыва.
5. 3.1. Звезды и галактики
1. Звезды и их классификация
Звезда — самоизлучающее небесное тело. В нем освобождается энергия
посредством процессов ядерного синтеза, которые протекают внутри звезды
при очень высоких температурах (« 106 К).
Классификация:
Звезды классифицируются по длине волны (цвету) испускаемого свето-
вого излучения, а также по их величине. Типичные расстояния между звез-
7—3814
дами в галактике — это несколько световых лет, между галактиками — мил-
лионы световых лет. Невооруженным глазом можно увидеть от 5 до 10 ты-
сяч звезд, с помощью небольшого телескопа — около 100 тысяч. Всего с по-
мощью астрономических инструментов можно увидеть около десяти
миллиардов отдельных звезд.
2. Каталоги звезд
Звезды обозначаются согласно каталогам звезд. Самые яркие звезды
имеют собственные имена на арабском или греческом языках. Большинство
видимых невооруженным глазом звезд называются согласно звездному атла-
су Байера (1603). Эти названия состоят из греческих букв, которые перечис-
ляются согласно порядку убывания звезд в каждом созвездии, и названии
созвездия. Если букв греческого алфавита не хватает, то дальше используют-
ся латинские буквы и числа. Самые слабые звезды обозначаются названием
звездного каталога, содержащем сведения о данной звезде, и номером, под
которым звезда в нем записана.
Самая яркая звезда в созвездии Кассиопея:
Название: Шидар
Название по каталогу Байера: а Кассиопея
Название по каталогу Боннера: BD+55°139.
3. Звездные величины и спектральные классы
Звездная величина указывает кажущуюся яркость звезды. Изначально
были введены звездные величины от 1™ до 6т (т — магнитуда с латинского
«величина»). Сегодня этот диапазон имеет пределы от яркости Солнца
(-27'") до звездной величины самой слабой фотографируемой звезды 23™.
Маленькие (отрицательные) числа обозначают более яркие звезды, любой
класс в 100’4 = 2,512 раз ярче, чем последующий.
Звездные величины Примеры
-21т -13'” -11т -5т до -1т до -2т 6т +14т +23™ Солнце Полная луна Полумесяц Ближние планеты Самые яркие звезды (Сириус, Вега) Предел наблюдения для глаз Плутон Фотографический предел наблюдения
Спектральный класс классифицирует спектр света, испускаемого звездой.
Спектр света звезды состоит из широких эмиссионных полос, на кото-
рых располагаются линии поглощения. Спектральные классы обозначаются
латинской заглавной буквой и числом.
Солнце имеет тип спектра G 2
▲ Спектральный класс связан с поверхностной температурой звезды.
4. Галактика
Галактика — это скопление звезд, имеющее форму диска или спирали
(диаметр 30000 парсек). Млечный Путь — спиралевидная галактика с общей
массой примерно 200 миллиардов масс Солнца, в одной из спиральных вет-
вей которой находится Солнце. На звездном небе видна как слабая полоса.
Она окружена звездными скоплениями. Галактики объединяются в группы
и скопления галактик (диаметром несколько миллионов световых лет).
5- 3.1.1. Развитие звезд
1. Источники энергии звезд
Звезды черпают свою энергию из процессов ядерного синтеза, который
проходит внутри звезд при температуре в несколько миллионов градусов
Цельсия. При этом углерод и азот выступают катализаторами в реакции
превращения водорода в гелий (цикл Бете-Вайцзекера или углеродно-азот-
ный цикл. Это «Н-сгорание» происходит относительно медленно.
Солнце за 4,5 миллиарда лет своего существования израсходовало только
3 % от своей массы. Для массивных звезд преобразование энергии про-
исходит значительно быстрее.
Когда весь водород израсходован, производство энергии в ядре звезды
ослабевает, вследствие этого звезда сжимается, так как силы гравитации на-
чинают преобладать. Во время процесса сжатия возрастает давление и тем-
пература в центральной области звезды, что делает возможным процессы
синтеза до углерода, производство общей энергии вновь увеличивается и
сжатие вследствие гравитации останавливается. На конечной стадии звезда
превращается в красный гигант, размеры звезды увеличиваются, а внутрен-
ние температуры достигают одного миллиарда градусов Цельсия.
Солнце достигнет этого состояния вероятно через 3,5 миллиарда лет.
Массивные звезды после израсходования «топлива» становятся нестаби-
льными и сначала образуют пульсирующие звезды, потом становятся но-
выми и сверхновыми, в конце концов, белыми карликами, нейтронными
звездами или черными дырами.
2. Особые состояния звезд
Двойной звездой называется система из двух звезд, которая связана
между собой силами гравитации.
Переменные звезды — звезды, изменяющие во времени свою яркость.
Переменные звезды возникают из двойных звезд, когда одна звезда загора-
живает другую, или из-за периодической нестабильности процесса сгора-
ния.
Новая (внезапно возникшая) звезда — звезда, которая, благодаря вне-
запно расширившейся газовой оболочке, в течение нескольких дней изме-
няет свою яркость на 7—10 звездных величин и после этого в течение не-
скольких месяцев или лет вновь охлаждается. При этом, сбрасывается толь-
ко незначительная масса звезды. Некоторые звезды переодически изменяют
свою яркость. В нашем Млечном Пути до настоящего времени наблюдалось
166 новых звезд.
Сверхновая — конечная стадия развития массивной звезды, сопровожда-
емая взрывом. Сверхновые звезды загораются намного реже, чем новые, но
увеличение их яркости достигает двадцати звездных величин (увеличение
силы свечения в 108 раз). С Рождества Христова в Млечном Пути произош-
ло от 7 до 10 взрывов сверхновых, некоторые из них наблюдались еще в
древности. После взрыва сверхновой от звезды чаще всего наряду с радио-
активным излучением остается только расширяющаяся газовая оболочка
(газовая туманность) и, возможно, звезда — белый карлик.
Пульсаром называется радиоисточник с периодически меняющейся ин-
тенсивностью. Длительность периода составляет от миллисекунд до неско-
льких секунд. Длительность импульса примерно равна 5% длительности пе-
риода. Пульсары, вероятно, могут быть быстро вращающимися нейтронны-
ми звездами с очень сильным магнитным полем.
Нейтронные звезды — остаток звезды после взрыва сверхновой. При
взрыве сверхновой звезда теряет большую часть своей энергии и под воздей-
ствием своих собственных гравитационных сил сжимается так сильно, что
более не состоит из обычной материи (атомное ядро + электронная оболоч-
ка), а из упакованных нейтронов, после того, как электроны оболочек по-
глощаются протонами ядра. Масса нейтронных звезд измеряется в массах
Солнца. Типичные радиусы равны примерно 10 км, плотность примерно
ЗЮ17 кг/м3 (плотность ядерного вещества). Радиоизлучение появляется
благодаря ускоренному в гравитационном поле плазменному облаку, перио-
дичность определяется вращением системы. При дальнейшем сжатии звезды
и наличии достаточной массы может возникнуть черная дыра.
ГЛАВА 6
МЕХАНИКА
ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
6-1. Теория упругости
Теория упругости рассматривает воздействие внешних (как правило, статич-
ных) сил на форму твердого тела.
Упругая деформация — это деформация, которая исчезает после прекра-
щения действия вызывающей ее силы. При упругой деформации тело после
прекращения действия силы вновь принимает свою исходную форму.
Пластическая деформация сопровождается необратимой перестройкой
кристаллической структуры тела, при этом после прекращения воздействия
внешней силы изменение формы тела сохраняется.
6.1.1. Напряжение
1. Определение и свойства напряжения
Напряжение — это мера внутренних сил, возникающих в деформируе-
мом теле под влиянием внешних воздействий. Действующее в теле напряже-
ние описывают разложением тела на малые элементы объема, на которые
воздействуют эти силы. В элементарных объемах под воздействием напря-
жения возникает изменение формы.
Напряжение (5) — это отношение силы к площади, на которую воздей-
ствует сила.
Нормальное напряжение о действует перпендикулярно поверхности.
Касательное напряжение т действует параллельно поверхности.
Напряжение ML_1T'2
Символ Единица измерения Название
_ AF о — S Н/м2 Вектор напряжения
АЛ о Н/м2 Вектор нормального напряжения
AF т Н/м2 Вектор касательного напряжения
5 = —- ЛА м2 Площадь
ЛА AF Н Действующая сила
ЛА AF„ Н Нормальная компонента действующей силы F
AF, Н Касательная компонента действующей силы F
Глава 6. Механика деформируемого тела
Рис. 6.1. Разложение силы AF,
действующей на площадку ЛА, на
нормальную компоненту AFW и две
перпендикулярные друг другу ка-
сательные компоненты AFn и AF/2
Единицей измерения напряжения,
принятой в СИ, является ньютон на квад-
ратный метр, Н/м2: 1 Н/м2 — это такое
напряжение, при котором на площадь в
1 м2 действует сила в 1 Н.
> Типичной размерностью напряжений
является МН/м2 = Н/мм2.
> При деформации сжатия напряжение
имеет знак минус.
> Предполагается, что поперечное сече-
ние при деформации не изменяется.
На проволоке диаметром d = 1 мм
подвешен груз массой т = 1 кг. На-
пряжение в проволоке равно:
F _ mg
~А ~ n(J/2)2
1кг-9,81м/с2 incTJ/ 7 ncwu/ 7
------------— = 12,5 Н/мм2 = 12,5 МН/м2.
л (0,5 мм)2
2. Тензор напряжения
Тензор напряжения т описывает напряженное состояние бесконечно ма-
лого параллелепипеда, выделенного около определенной точки. Напряжен-
ное состояние в общем случае может быть описано заданием девяти вели-
чин, при этом для каждой стороны этого параллелепипеда необходимо ука-
зать три компоненты силы (рис. 6.2). Если куб является бесконечно малым,
то на его противоположные стороны действуют равные силы. Таким обра-
зом, напряженное состояние может быть
описано элементами Ху тензора напряжения:
^ху
ХУУ = а
Рис. 6.2. Компоненты тензора
напряжения
т
ух
^xz
xyz
Т77 — СУ
У компонентов тензора напряжения пер-
вый индекс характеризует элемент пло-
щади, а второй — направление силы. Та-
ким образом, элемент тх>, определяет дей-
ствующее на элемент площади касатель-
ное напряжение; нормаль к площади
проведена в направлении оси х, а сила
действует в направлении оси у.
По диагонали стоят нормальные напря-
жения (компоненты напряжения в направлении перпендикуляров к плоско-
стям), вне диагонали располагаются касательные напряжения или тангенци-
альные напряжения (компоненты напряжения, перпендикулярные к норма-
ли плоскости, также называются напряжениями сдвига). Тензор напряже-
ния является симметричным:
т=т т = т т = т
'ху XZ LZX’ lyz
Поэтому т имеет только шесть независимых величин: три нормальных
напряжения и три касательных напряжения.
6.1. Теория упругости
6.1.1.1. Растяжение, изгиб, сдвиг, кручение
Существуют следующие виды простых деформаций:
Растяжение или сжатие — деформация, при которой касательные напря-
жения раны нулю, а сила воздействует равномерно на тело. Тело реагирует
продольным или поперечным растяжением (рис. 6.3 и 6.4).
Изотропное давление (гидростатическое давление) — давление, действу-
ющее равномерно на все стороны тела (рис. 6.5).
Рис. 6.3. Растяже-
ние
Рис. 6.4. Попереч-
ное растяжение
Рис. 6.5. Всестороннее сжатие
Изгибом называется такая деформа-
ция, при которой касательное напряжение
равно нулю, внешняя сила действует не-
равномерно и вызывает неравномерную
деформацию тела: в некоторых участках
тела появляется деформация растяжения,
а в других деформация сжатия (рис. 6.6).
Сдвигом называется такая деформа-
ция, при которой действует только каса-
тельное напряжение, т.е. сила действует
параллельно поверхности тела. Углы меж-
ду гранями тела при деформации сдвига
изменяются (рис. 6.7).
Кручением называется такая деформа-
ция, при которой действует только каса-
тельное напряжение, действующее в раз-
Рис. 6.6. Изгиб
F
Рис. 6.7. Сдвиг. Угол сдвига у
личных точках в различных направлениях, и, тем самым, вызывающее вра-
щающий момент. Это ведет к повороту оси тела.
Реальные деформации всегда можно описать в виде комбинации рас-
смотренных простых случаев деформации.
6.1.2. Упругая деформация
Упругая деформация рассматривается как изменение геометрии тела под
влиянием внешних сил.
Метод отдельных элементов. Для описания деформации тела рассматри-
вают бесконечно малый кубический элемент этого тела и вызванные дейст-
вием напряжения деформации. Деформация растянутого тела может быть
описана суммированием деформации отдельных элементов.
Различают два вида деформации куба. Удлинение с — длина одной или
нескольких сторон куба изменяется, но прямоугольный угол между ними
сохраняется:
Д/
8 = —,
I
где / и Д/ — изначальная длина и изменение длины соответственно.
> Сжатие является удлинением с обратным знаком.
Сдвигом у называется изменение одного или нескольких углов куба без
изменения длины сторон. Сдвиг у описывает отклонение рассматриваемого
угла от прямого (в радианах). На практике встречаются следующие 4 случая:
• растяжение,
• поперечное растяжение,
• всестороннее сжатие,
• сдвиг.
6.1.2.1. Растяжение (сжатие)
1. Свойство растяжения (сжатия)
Под воздействием внешней силы тело удлиняется в направлении дейст-
вующей нормальной силы или укорачивается вследствие внешней сжимаю-
щей силы. Изменение длины в области упругих деформаций происходит по
закону Гука, т.е. относительная деформация пропорциональна прилагаемо-
му напряжению (рис. 6.8, 6.13):
Напряжение = модуль упругости • относительное удлинение (Закон Гука) ML4-2
1 £ = —а Е о = Ее Символ Единица измерения Название
8 Е о 1 Н/м2 Н/м2 Относительная деформация Модуль Юнга Нормальное напряжение
Рис. 6.8. Закон Гука. Относительная
деформация г пропорциональна на-
пряжению о
2. Модуль и коэффициент упругости
Модуль упругости, или модуль Юнга, Е равен нормальному напряжению
о, которое возникает при относительной деформации, равной единице (при
деформации растяжения или сжатия относительная деформация соответст-
вует относительному изменению длины с = Д//7)- Е является характеристи-
кой материала. Единицей измерения модуля упругости Е в СИ является:
[Е] =
м2
Модуль упругости преимущественно указывается в Н/мм2 = МН/м2 или
ГН/м2. Коэффициент упругости сх обратно пропорционален модулю упруго-
сти и равен относительной деформации тела на единицу прилагаемого на-
пряжения:
1
а = —.
Е
Единицей измерения коэффициента упругости а, принятой в СИ, является:
м2
[а] = —.
Н
> Закон Гука действителен только для небольших относительных деформа-
ций. Для больших деформаций зависимость относительной деформации
от нормального напряжения нелинейна. Модуль упругости является по-
стоянной характеристикой материала, которая также зависит от темпера-
туры. Типичные значения лежат в пределах от 104 до 105 Н/мм2 (см.
табл. 8.2).
Модуль упругости золота равен 81000 Н/мм2. Чтобы сжать кубик из зо-
лота с длиной ребра I = 10 см на 1 % длины его ребра (е = -0,001), необ-
ходимо приложить напряжение:
(j = Ег = -81-109 н/м2 -0,001 = -81 Н/мм2,
т.е. на обращенную вверх плоскость куба необходимо приложить массу
т = - = = — = 82,6 103 кг = 82,6 т.
S g g
В общем случае относительное растяжение £ кубического элемента тела
является функцией е(о) от прилагаемого нормального напряжения о.
Модуль упругости при заданном нормальном напряжении показывает
изменение do нормального напряжения, необходимое для изменения отно-
сительного растяжения на de. Он равен:
До) =
de
Модуль упругости, таким образом, является производной функции о(е),
или на графике зависимости напряжения от относительной деформации
представляет собой тангенс угла наклона прямой.
Глава 6. Механика деформируемого тела
6.1.2.2- Поперечное растяжение
1. Определение поперечного растяжения
Поперечное растяжение — это изменение длины стороны куба перпен-
дикулярно действующей силе.
▲ Под воздействием растягивающего усилия тело становится длиннее, но
его толщина (площадь поперечного сечения) уменьшается.
Относительное изменение толщины (поперечное растяжение) пропорци-
онально продольному растяжению и нормальному напряжению:
Поперечное растяжение (поперечное сжатие) 1
Ad d 1 = —V • 8 = 8 = Ц V 1 = О = CJ Е \хЕ Символ Единица измерения Название
d Eq £ V Н Е а м м 1 1 1 1 Н/м2 Н/м2 Толщина Изменение толщины Поперечное растяжение Продольное растяжение Коэффициент поперечно- го расширения Коэффициент Пуассона Модуль упругости Нормальное напряжение
Коэффициент поперечного расширения v — это коэффициент пропор-
циональности между продольным и поперечным расширением.
2. Коэффициент Пуассона
Коэффициентом Пуассона ц называется величина, обратная коэффици-
енту поперечного расширения v; т.е. коэффициент Пуассона равен частному
относительного изменения толщины Ld/d и относительного изменения дли-
ны AZ/Z:
1 Kd/d
ц = - =------.
v А///
> Знак минус между eq и е показывает, что, например, диаметр цилиндри-
ческой проволоки при растяжении становится меньше, в то время, как
длина проволоки увеличивается.
> Типичные значения коэффициента поперечного расширения: v « 0,3 до
0,4; ц « 2 до 3.
Для приведенного выше примера с кубом из золота с длиной ребра / = 10 см
при воздействии массой в 82,6 тонны достигается сжатие в 1% (е = 0,001).
При этом куб становится шире на: eq = V8 = 0,42-0,001 = 0,42%.
6.1. Теория упругости
3. Изменение объема
Вследствие сжатия и продольного расширения изменяется объем стержня
с квадратным поперечным сечением. Изменение определяется по формуле:
АГ = Г'-И = (J +А</)2(/ +A/)-J2/,
где V\V' — объемы без воздействия и под воздействием напряжения, А К —
изменение объема, l.d — размеры стержня в ненапряженном состоянии,
А/ — изменение размеров в направлении напряжения, AJ — изменение раз-
меров перпендикулярно к направлению напряжения.
Для небольших изменений членами выражения, которые содержат квад-
раты AJ и А/, можно пренебречь:
АГ = d2A/ + 2d •/Ad.
Относительное изменение объема:
АГ А/ ~ Ad /1 х
---= — + 2 — = s(l - 2v).
V I d
> Для v = 0,5 объем остается практически неизменным. Для у < 0,5 объем
увеличивается. Значение v > 0,5 привели бы к уменьшению объема при
приложенном растягивающем усилии, что физически невозможно.
Куб из золота изменяет свой объем на:
АГ
у- = е(1 - 2у) = -0,001(1 - 2 • 0,42) = -0,16 %.
В абсолютном выражении:
АГ = -0,00016 • V = -0,00016 • 1000 см3 = 0,16 см3.
4. Тензор деформации
Тензор деформации ё полностью определяет состояние деформирован-
ного тела. Пусть материальная точка, определяемая радиус-вектором
г = (хь х2, х3), под воздействием деформации сдвинулась на вектор сдвига
s(f) в положение г + s(f):
dxz dxz + dsj = dxz + У ^-dxk.
k=id*k
Тогда, компоненты тензора деформации ё выражаются через частные
производные компонентов вектора сдвига s по координатам xz, i = 1,2,3:
1 < о £1 У12 Y13
8 = - Y21 ^2 Y 23 , 8
Z Ь31 Y 32 83 >
~ dSj dsk ds;
t y.k =Чк, = +
OX j C'Xj ox k
Тензор деформации является симметричным тензором.
6-1.2.3. Всестороннее сжатие
1. Свойства всестороннего сжатия
Всестороннее сжатие — это изменение объема тела без изменения его
формы под влиянием равномерно распределенных по всей поверхности тела
Глава 6. Механика деформируемого тела
сжимающих сил, в отличие от растяжения или поперечного растяжения,
при котором сила действует только в одном направлении.
Относительное изменение объема равно:
при этом необходимо учитывать коэффициент 3, который показывает, что
действует не одно, а три нормальных напряжения. Если вместо последнего
подставить:
о = -Др,
где А/? — внешнее давление, и использовать с = о/Д то:
а АК Е
-Ар =----------.
V 3(1 - 2v)
По аналогии с модулем упругости определяют коэффициент пропорцио-
нальности:
Давление = объемный модуль упругости • относительное изменение объема ML4-2
Л 17 -\р = К и Символ Единица измерения Название
Ду? К дг V S 2 Д Д > % II Д ч Давление Объемный модуль упругости или коэффициент всестороннего сжатия Изменение объема Объем тела
2. Объемный модуль упругости
Объемный модуль упругости К характеризует давление, при котором от-
носительное увеличение (уменьшение) объема равно единице.
Обычная единица измерения для К: Н/мм2 = МН/м2 или ГН/м2.
> Типичные значения коэффициента всестороннего сжатия лежат в преде-
лах от 100 до 200 ГН/м2:
(лед: К » 10 ГН/м2, свинец: К » 44 ГН/м2, см. табл. 8.3./4).
Коэффициент всестороннего сжатия меди равен 126000 Н/мм2. При ат-
мосферном давлении около 105 Па объем медного куба изменяется на:
— = -AL = 7,9 • 10-7 = 0,000079%.
V К
Объем медного параллелепипеда с объемом 1 м изменяется, таким обра-
зом, примерно на 0,8 см3.
Коэффициент всестороннего сжатия К и модуль упругости Е связаны
между собой через коэффициент поперечного расширения:
к =---——.
3(1-2v)
6.1. Теория упругости
В термодинамике при рассмотрении жидкостей и газов обычно вместо
коэффициента всестороннего сжатия К используют обратную величину —
сжимаемость к.
3. Сжимаемость
Сжимаемостью к называется величина, обратная коэффициенту всесто-
роннего сжатия (см. табл. 8.3/4):
1 АГ/И
к = — =-----.
К -Ар
Для газов
А
к =---------.
V(p + Рт)
Здесь А — характерная для газа, увеличивающаяся с температурой функ-
ция, V — объем, р — внешнее давление, рт — давление Ван-дер-Ваальса.
Для идеального газа А = 1 и рг = 0.
6.1.2.4. Изгиб стержня (балки)
1. Определение понятия изгиба
Изгиб встречается тогда, когда закрепленная в точке или лежащая на
опорах конструкция нагружается вне точек опоры. В дальнейшем будут рас-
смотрены случаи с балкой, которая ориентирована вдоль оси z и имеет по-
стоянное поперечное сечение (х,у). Нагружающая сила действует перпенди-
кулярно оси z.
Случаи нагрузки для изгиба:
• горизонтальный стержень с односторонним неподвижным закреплением,
нагрузка точечная (на свободном конце) или распределена вдоль оси z;
• стержень жестко закреплен с двух сторон, нагрузка точечная или распре-
деленная;
• одностороннее жесткое закрепление, другая сторона лежит на опоре;
• стержень двумя концами лежит на опорах.
В одной части поперечного сечения балки действует напряжение сжа-
тия, в другой части — напряжение растяжения. Между ними проходит ней-
тральная линия, которая проходит через центр тяжести поперечного сече-
ния балки (рис. 6.9).
2. Изгибающий момент
Изгибающим моментом Мь называется произведение силы F на плечо
силы /. Для односторонне закрепленного стержня длиною /, на свободный
конец которого действует нагрузка, плечом силы является расстояние от
свободного конца стержня до точки закрепления. Изгибающий момент вер-
тикального поперечного сечения, перпендикулярного оси балки z, на сво-
бодном конце равен нулю; изгибающий момент максимален в месте фикса-
ции стержня, A/^max = F -1.
Для стержня, жестко зафиксированного с одного конца, на который
действует несколько точечных (или протяженных) нагрузок, изгибающий
Глава 6. Механика деформируемого тела
Нагрузка
Нейтрал^5'
- “ “линия
^.^^ЗТИя
Напряжение
^г£астяжения
Рис. 6.9. Схематическое представление прогиба, распределение напряжения
сжатия и растяжения в балке, лежащей на двух опорах. Нейтраль-
ная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения S.
4 ~ расстояния до внешних сторон, испытывающих напряжение
сжатия или растяжения от нейтральной линии: а — продольное се-
чение; б — поперечное сечение
момент в свободно выбранном поперечном сечении балки равен сумме (ин-
тегралу) всех изгибающих моментов всех отдельных сил. Для стержня, оба
конца которого свободно лежат на опорах или жестко закреплены и на ко-
торый действует нагрузка, максимальный изгибающий момент действует в
точке приложения нагрузки.
Для балки, оба конца которой лежат на опорах или жестко закреплены и
на которую действует равномерно распределенная нагрузка (или множество
равноудаленных точечных нагрузок одинаковой величины), максимальный
изгибающий момент будет в середине балки.
Изгибающий момент ML2T2
Mb =^tFi - If Символ Единица измерения Название
Mb Fi Нм H м Изгибающий момент /-я действующая сила z-e плечо силы
Если действует несколько сил, то изгибающие моменты складываются.
Правовращающий и левовращающий моменты складываются с различными
знаками.
Момент инерции поперечного сечения 7, также называемый статиче-
ским моментом, характеризует форму и размер площади поперечного сече-
ния балки (см. рис. 6.9(6)).
Осевой момент инерции поперечного сечения относительно нейтраль-
ной линии:
Jx = J y2cL4, Jу = J x2dA, dA — элемент площади.
Полярный момент инерции поперечного сечения Jp относительно центра
масс:
Jp = j r2cL4 = j (x2 + y2)cL4 = Jx + Jy.
Осевой момент сопротивления: Wb.
W = х W = х
гг х,раст , х, сжат
^раст ^сжат
где ераст и есжат — расстояния до внешних линий на сторонах сжатия или
растяжения поперечного сечения балки от центральной линии (см. рис. 6.9).
Максимальное напряжение при изгибе (краевое напряжение) определя-
ется по формуле:
„ _МЬ
b — -'
Wb
3. Прогиб
Прогиб определяется геометрией опор и соотношением
F
EJa
т.е. отношением действующей силы F к произведению модуля упругости Е и
осевого момента инерции плоской фигуры Ja поперечного сечения балки.
Осевые моменты инерции доя круглого поперечного сечения диаметром d и
для прямоугольного поперечного сечения (ширина Ь, высота Л) равны:
/й,круг = « 0,049d4, Уа>прямоуг = « 0,083^3.
Максимальный осевой момент балки с прямоугольным поперечным се-
чением пропорционален ширине и третьей степени высоты балки.
4. Примеры: изгибающие моменты и прогибы для типичных случаев нагрузки
• Стержень с жестко фиксированным одним концом, точечная нагрузка F
на свободном конце стержня (рис. 6.10 (а)):
/з F
Fa = F s = -___-_ Мк = IF
1 ? 3 * „ , 1 iV1 b, max 11 •
3 EJa
• Стержень с жестко фиксированным одним концом, нагрузка F линейно
распределена вдоль стержня (рис. 6.10 (б)):
/з F I
Fa =F,s = — — ,Mbm2LX = -F.
А 8 EJa *’тах 2
• Оба конца стержня лежат на опорах, точечная нагрузка F действует в
точке, не симметричной относительно опор (рис. 6.10 (в)):
Fa =^F,a + b=l,FB
a2b2 F ,,
5 ~ •'^.max
3/ EJa
• Оба конца стержня лежат на опорах, нагрузка F линейно распределена
вдоль стержня (рис. 6.10 (г)):
Fa = Fb = F/2, s « , МЬ тах =Lf.
77 EJa 8
= -F,
I
Глава 6. Механика деформируемого тела
5. Пример: стальная балка
Стальная балка (модуль упругости 200 ГН/м2) с квадратным поперечным
сечением с длиной сторон 10 на 10 см и общей длиной балки 2 м нагружена
массой 1000 кг. Осевой момент инерции поперечного сечения Ja равен:
Ja = Ja,a„ = 0,083• (0,1 М) (0,1 м)3 = 8,3- 10’6 м4.
Из этого следует:
Рис. 6.10. Линии изгиба (в статическом состоянии балки): слева — точечная
нагрузка; справа — нагрузка линейно распределена вдоль балки;
сверху — стержень с жестко фиксированным одним концом; вни-
зу — оба конца стержня лежат на опорах
Для различных способов фиксации стальной балки и приложения на-
грузки можно определить следующие прогибы и нормальные напряжения:
Жесткая односторонняя фик- сация, нагрузка равномерно распределена вдоль балки /3 р s = = 5,9 мм 8 EJa Mb = -F =9810 Нм 2
Балка на двух опорах, нагруз- ка равномерно распределена вдоль балки /з F s = 0,6 мм 77 EJa Mb = -F = 2450 Нм 8
Жесткая односторонняя фик- сация, точечная нагрузка на свободном конце балки I3 F s = = 16 мм з EJа Mb = IF = 19620 Нм
Балка на двух опорах, точеч- ная нагрузка в середине балки s = (J/mi/2y F 31 EJa ' = 1 мм Mb=WnF = = 4900 Нм
По этим формулам видно:
• Если длину балки увеличить в два раза, то прогиб увеличится в восемь
раз, а максимальное напряжение удваивается.
• Если боковую сторону поперечного сечения балки уменьшить в два раза,
то момент инерции сечения снижается до 1/16 исходного момента, а
прогиб увеличивает в 16 раз.
6. Напряжение изгиба
оь, это напряжение, появляющееся при изгибе балки, равно частному от
момента изгиба Мь и момента сопротивления Wb.
°ь=^, ^,круг = = 0,09&/3, ЖМрямоуг = = 0,167^3.
W ь 32 о
Для последнего примера Wb = 1,67 • 10~4 м3.
Для максимальных напряжений можно получить:
Жесткая односторонняя фиксация, нагрузка равномерно распределена
вдоль балки: оь = 59 Н/мм2,
Балка на двух опорах, нагрузка равномерно распределена вдоль балки:
оь = 15 Н/мм2,
Жесткая односторонняя фиксация, точечная нагрузка на свободном
конце балки: оь = 118 Н/мм2.
Балка на двух опорах, точечная нагрузка в середине балки: оь = 3 Н/мм2.
Предел прочности при растяжении стали лежит в пределах от 400 до
1200 Н/мм2. Если длину стороны поперечного сечения уменьшить в два ра-
за, то момент сопротивления снижается до 1/8 от исходного значения, а на-
пряжение увеличивается в восемь раз.
6.1.2.5. Сдвиг
1. Свойства сдвига
Сдвигом называется такая деформация тела, при которой прямоуголь-
ный угол в небольшом элементе кубической формы изменяется на угол
сдвига у. Сдвиг наступает в том случае, когда сила воздействует параллельно
поверхности куба.
▲ Для малых углов сдвига угол сдвига пропорционален касательному на-
пряжению т.
Напряжение сдвига = модуль сдвига • угол сдвига ML1!2
т = Gy Символ Единица измерения Название
т G У Н/м2 Н/м2 рад Напряжение сдвига Модуль сдвига Угол сдвига
Глава 6. Механика деформируемого тела
2. Модуль сдвига
Модулем сдвига называется коэффициент пропорциональности, равный
касательному напряжению, вызывающему относительный сдвиг, равный
единице. Единицей измерения G в СИ является паскаль.
[G] = А = 1 Па.
м2
Так как касательное напряжение т прямо пропорционально углу сдвига
у, то модуль сдвига определяется как:
G = —.
dy
▲ Модуль сдвига G и модуль упругости Е связаны коэффициентом попе-
речного расширения г:
G = —
2(1 +v)
Из 0 < v < 0,5 следует:
Е . Г . Е
-- Ч LT --.
3 2
> В анизотропных материалах, которые не во всех направлениях ведут себя
одинаково, для каждого направления в пространстве могут действовать
различные постоянные материала.
6.1.2.6. Кручение
1. Кручение и напряжение кручения
При кручении касательные напряжения действуют в различных направ-
лениях, что вызывает вращающий момент, действующий на тело.
Напряжение кручения т равно отношению действующего вращающего
момента Mt к сопротивлению Wt при кручении тела:
Mt г т н
т = —-, Т =----•
Wt м2
▲ Момент сопротивления Wt зависит от геометрии тела.
Для кругового сечения диаметром d
Wt = —d3 = 0,196г/3, [IK,] = м3.
'16
При кручении стержня каждое поперечное сечение поворачивается на
определенный угол поворота ср, который зависит от положения сечения
вдоль стержня.
2. Относительный угол закручивания
ф характеризует для цилиндрического тела величину угла поворота ср на
единицу длины, \|/ = <р//, или у = dcp/dZ. Относительный угол закручивания
пропорционален вращающему моменту Mt и обратно пропорционален моду-
лю сдвига G (рис. 6.11):
6.1. Теория упругости
Относительный угол закручивания L1
<йр Wt Mt \и = = т = —— dl GJP GJp Символ Единица измерения Название
<р / wt Jp G T Mt рад/м рад м м3 м4 Н/м2 Н/м2 Нм Относительный угол за- кручивания Угол поворота Длина тела Момент сопротивления Полярный момент инер- ции сечения Модуль сдвига Напряжение при кручении Вращающий момент
Рис. 6.11. Кручение цилиндрического стержня, радиус
стержня R, длина стержня /, угол поворота (р. Сдвиг 5 на
краю торцевой поверхности: s = R • (р = I р
3. Полярный момент инерции сечения
Jp — полярный момент поперечного сечения отно-
сительно его центра тяжести:
Jр = j r2d4, г2 = х2 + у2, d4 = dxdy.
Для круглого сечения диаметром J:
J„ = — • J4 = 0,098г/4, [Л] = м4.
p 32 p
Для кольцевого сечения с внешним радиусом Rx и внутренним радиусом Л2:
/р=^(А4-А4).
> Если поперечное сечение тела не является круглым, то в формулу для
расчета абсолютного угла закручивания вместо полярного момента Jp
следует подставить крутящий момент Jt (Jt < Jp).
6.1.2.7. Энергия и работа при деформации
1. Работа при деформации
При упругой деформации тела совершается работа. Если рассматривать
только относительное растяжение г, то величину работы можно найти по
следующему правилу:
ДРЕ = FAI = <зА • /As = EoAs.
В интегральной форме получается:
Работа при деформации ML2T-2
W = cj(8)ds Символ Единица измерения Название
W V Де О А / Д/ Дж м3 1 Н/м2 м2 м м Совершенная работа Объем тела Изменение относительно- го растяжения Нормальное напряжение Площадь тела Длина тела Изменение длины тела
о(е) — это появляющееся в процессе деформирования нормальное напря-
жение в зависимости от достигнутого растяжения. Интегрирование произво-
дится от начального значения растяжения до конечного значения растяже-
ния. При нагрузках на сжатие о > 0 происходит уменьшение длины (Де < 0).
Совершенная работа равна:
АРИ = -ИуАе » 0.
При сжатии и растяжении тела должна совершаться работа.
2. Закон сохранения энергии при упругих деформациях
Если деформация полностью упругая, то совершенная при деформации
работа должна высвобождаться при прекращении воздействия на тело де-
формирующих сил.
> Абсолютно упругих деформаций не существует. Часть совершенной ра-
боты по термодинамическим причинам всегда теряется в виде тепловых
потерь.
Чтобы золотой куб, приведенный в примере выше, с длиной ребра 10 см
сжать на 1%, необходимо совершить работу:
A1F = КуАе = 1000 см3 -(-810 Н/мм?) -(-0,001) = 810 Дж.
6.1.3. Пластические деформации
1. Свойство пластической деформации
Пластическими называются деформации тела, которые полностью или
частично остаются после прекращения действия сил. При этом совершенная
в процессе деформации работа не может быть полностью возвращена об-
ратно.
Это иллюстрируется петлей гистерезиса пластической деформации. На
одной из осей откладывается приложенное напряжение о, на второй оси —
полученное растяжение е. Процессы растяжения й сжатия периодически
сменяют друг друга (рис. 6.12). Диаграмма напряжение — относительная де-
формация (оЕ-диаграмма): при полностью упругой деформации кривые рас-
тяжения и сжатия были бы идентичны. Пластическая деформация выража-
ется в появлении гистерезиса, т.е. кривые растяжения и сжатия не являются
6.1.
совпадающими; даже при исчезновении напряжения о остается или оста-
точное растяжение Cj или остаточное сжатие е2-
2. Потеря энергии при пластической деформации
Совершаемая при таком процессе работа пропорциональна площади, за-
ключенной между кривыми растяжения и сжатия:
Потеря энергии при пластической деформации мыт-2
Ж = rfode Символ Единица измерения Название
W V S £ Дж м3 Н/м2 1 Энергия потерь Объем Нормальное напряжение Относительная деформация
> Пластическая деформация играет важную роль в
обработке различных материалов (прессование,
прокат и т.д.).
Рис. 6.12. Петля гистерезиса при пластической деформа-
ции. Штрихпунктирная линия — кривая первоначального
напряжения. Закрашенная площадь — потеря энергии при
пластической деформации
6.1-3.1. Области диаграммы при нагрузках на растяжение
Поведение материала при нагрузках на растяжение проверяется на испыта-
тельном стенде и наносится на диаграмму напряжение — относительная де-
формация (рис. 6.13).
Напряжение сжатия
Область упругих
деформаций
Область Область текучести
упруго-пластичных
деформаций
Рис. 6.13. Диаграмма напряжение — относительная деформация
1. Области диаграммы нри нагрузках на растяжение
На диаграмме различаются следующие области:
а) область упругих деформаций, в которой растяжение (относительная
деформация) пропорциональна (в соответствии с законом Гука) напряже-
нию; деформация полностью исчезает после прекращения действия напря-
жения;
б) область упруго-пластичной деформации, в которой деформация после
исчезновения напряжения исчезает не полностью;
в) область текучести, в которой деформация большей частью остается и
без напряжения. График напряжение — относительная деформация в этой
области обычно становится плоским, для больших растяжений требуемое
напряжение снова уменьшается, так как внутренняя структура тела уже зна-
чительно изменена в процессе растяжения;
д) точка разрушения — такое растяжение, при котором тело ломается
(разрывается).
2. Параметры и свойства нагрузки на растяжение
[м] Измерения для построения диаграммы напряжение — относительная де-
формация производятся на испытательном стенде согласно DIN EN 10002
при определенных параметрах испытания (температура, скорость растяже-
ния и т.д.).
> Все характеристики материала зависят от состава вещества. Это играет
особую роль для различных сплавов.
а) Прямая Гука — касательная к графику напряжения-растяжения, про-
веденная в нулевой точке. Ее наклон равен модулю упругости Е тела для ма-
лых растяжений.
Границы между областями на диаграмме напряжение — относительная
деформация соответствуют критическим напряжениям.
б) Пределом текучести Rp или напряжением текучести о^ называется на-
пряжение, при котором часть деформации становится пластической. Обыч-
но указывается 0,2%-ный предел текучести Лр02, который находят, прово-
дя прямую, параллельную прямой Гука, которая пересекает ось абсцисс при
ег = 0,2%. Точка пересечения между этой прямой и графиком напряжение —
относительная деформация определяет условный предел текучести.
в) Предел прочности при растяжении Rm, или напряжение при разрыве
<jb — максимальное напряжение, присутствующее на диаграмме напряже-
ние — относительная деформация. Если на тело действует напряжение боль-
ше этого значения, то достигается точка разрушения, и тело разрывается.
> Типичные значения для металлов лежат в пределах от 10 до 20 Н/мм2,
для обычных сталей могут быть достигнуты от 400 до 1200 Н/мм2 . Для
самых прочных сталей предел прочности при растяжении может дохо-
дить до 4500 Н/мм2.
д) Предел текучести — та точка, после которой для дальнейшего растя-
жения можно не увеличивать растягивающую силу. Некоторые материалы
имеют не монотонный переход между областями упругой и пластический
деформации, т.е. напряжение в конце области упругих деформаций снижа-
ется, а потом обратно увеличивается. В этом случае различают верхний и
6.1. Теория упругости
нижний пределы текучести, которые соответствуют локальным минимумам
графика растяжения.
е) Предельное удлинение гв — величина растяжения, при котором тело
ломается.
> Типичные значения для предельных удлинений — 0,02 (медь), от 0,45
(сталь V2A) до 0,5 (алюминий и золото).
> При пластических деформациях в отличие от упругих деформаций не на-
ступает (или является очень незначительным) изменение объема. В соот-
ветствии с этим коэффициент поперечного расширения равен v « 0,5.
6-1.3.2. Продольный изгиб
1. Продольный изгиб и напряжение при продольном изгибе
Продольный изгиб появляется, если стержень, находя-
щийся под давлением, отклоняется в сторону (рис. 6.14).
Продольный изгиб появляется, если действующее напря-
жение сжатия о превышает напряжение при продольном
изгибе ок.
Рис. 6.14. Продольный изгиб стержня под воздействием силы F.
Благодаря деформации стержня напряжение сжатия превраща-
ется в напряжение изгиба, под воздействием которого стержень
ломается намного легче
Формула Эйлера для продольного изгиба:
Продольный изгиб: формула Эйлера ML'1!*2
2 Е <5к = п1 — к X2 Символ Единица измерения Название
Ок Е X Н/м2 Н/м2 1 Напряжение при продольном изгибе Модуль упругости Гибкость стержня
> При разработке деталей машин коэффициент запаса прочности прини-
мают равным от 5 до 10.
2. Гибкость стержня и коэффициент запаса прочности
Гибкость стержня X характеризует способность стержня сохранять устой-
чивость при продольном изгибе:
X = 1 Е
V/
где / — длина стержня, А — площадь поперечного сечения, Ja — момент
инерции сечения.
Глава 6. Механика деформируемого тела
Круглый стержень диаметром 1 см и длиной 1 м имеет момент инерции
сечения Ja\
Ja = --d4 = 0,049 • (1 см)4 = 490 мм4.
64
Следовательно, гибкость стержня равна
При модуле упругости, равном 200 ГН/м2, напряжение при продольном
изгибе равно:
2 200 ГН/м2 2
Пл = л2----------= 12,3 МН/м2.
k 4002
Это соответствует максимальной нагрузке
F - • А = 975 Н,
т.е. при коэффициенте запаса прочности, равном 8, стержень может нагру-
жаться 12 килограммами.
Коэффициент запаса прочности при конструировании — это соотноше-
ние предельного напряжения (напряжения текучести, напряжения разруше-
ния, напряжения при продольном изгибе) к имеющемуся напряжению. Его
типичные значения лежат в пределах от 1,5 до 3.
6.1.3-3- Твердость
1. Определение понятия твердость
Твердостью называется способность материала противостоять механиче-
скому проникновению через его поверхность другого тела (индентора). При
таком воздействии на небольшой площади тела возникают высокие напря-
жения, которые ведут к появлению локальной деформации.
Твердость материала определяется стандартизированными методами из-
мерения и характеризуется определенным значением. Все методы измерения
основываются на стандартизированном инденторе, который вдавливают в
поверхность тела с определенной силой в течение определенного времени
(рис. 6.15). По действующей силе, геометрии индентора и деформации мож-
но определить число твердости (см. табл. 8.2).
> Интерндор должен иметь более высокую плотность, чем проверяемый
материал, чтобы он сам не был деформирован.
2. Твердость по Бринеллю
При определении твердости по Бринеллю НВ (DIN
EN ISO 6506) индентор имеет форму шара. Твердость
Рис. 6.15. Измерение твердости. Измеряется глубина вдав-
ливания, т.е. площадь отпечатка (стандартизированного
зонда), который вдавливается в испытываемый образец с
определенной силой F в течение определенного времени
6.2. Гидроаэростатика
по Бринеллю — это соотношение действующей силы F к площади отпечат-
ка Л, умноженное на коэффициент 0,102:
НВ = 0,102
А
Коэффициент 0,102 связан с преобразованием единицы измерения силы
в СИ Н (ньютон) в единицу кгс (килограмм-сил а), которая использовалась
при определении твердости до введения системы СИ.
> Так как круглая поверхность не очень хорошо проникает в твердый мате-
риал, то этот метод может использоваться только для мягких материалов.
> Число твердости имеет смысл только тогда, когда диаметр отпечатка ле-
жит в пределах от 0,2 до 0,7 диаметра шара индентора.
3. Твердость по Виккерсу
HV (DIN ISO 6507), индентором является алмазная пирамида с квадрат-
ным основанием. В этом методе также определяется отношение действую-
щей силы к площади отпечатка, при этом последняя определяется по диаго-
нали d квадратного отпечатка:
HV = 0,102 — = 0,189 —.
A d2
> Твердости по Виккерсу и по Бринеллю имеют примерно одинаковые
значения. Метод Виккерса, однако, может использоваться также для
плотных материалов, поэтому он служит опорным методом.
> DIN 50 150 предусматривает связь между твердостью по Виккерсу и пре-
делом прочности при растяжении Rm для стали: Rm » 3,38 HV.
4. Твердость по Роквеллу
HR (DIN EN ISO 6508), в этом методе используются различные стандар-
тизированные инденторы (Роквелл-В: стальной шарик диаметром 1,59 мм
(1/16 дюйма), Роквелл-С: алмазный конус, угол конуса 120°). При этом из-
меряется глубина вдавливания при заданной силе (Роквелл-В: 883 Н, Рок-
велл-С: 1373 Н). Каждые 2 мкм глубины вдавливания соответствуют одной
единице твердости. Для лучшей сравнимости обоих методов предусмотрена
калибровочная сила в 98 Н. Измерение твердости по Роквеллу-В применя-
ется для среднетвердых материалов, по Роквеллу-С — для очень твердых
(закаленная сталь). Методы Роквелла позволяют проводить автоматизиро-
ванные методы проверки, но при этом менее точные.
> Значения твердости, измеренные различными методами, в определенных
пределах сравнимы между собой. Сравнительные таблицы приведены в
DIN 50 150.
6.2. Гидроаэростатика
Гидроаэростатика — раздел физики, в котором изучаются свойства жидко-
стей (газов), находящихся в состоянии покоя; в отличие от гидроаэродина-
мики, в которой изучают движение жидкостей и газов. При этом вводят по-
нятия «давление» и «гидростатическая подъемная сила», которая действует
на тело, погруженное в жидкость.
Глава 6. Механика деформируемого тела
6.2.1. Жидкости и газы
Жидкость — это состояние материи, в котором молекулы могут двигаться
по всем направлениям. Жидкости могут принимать любые формы, однако
между молекулами еще существуют значительные силы (силы когезии), ко-
торые проявляются в малой сжимаемости жидкости и в наличии сил повер-
хностного напряжения.
Газ — состояние материи, в котором между молекулами действует лишь
незначительные короткие силы при взаимном столкновении. Газы отлича-
ются высокой сжимаемостью (см. гл. «Термодинамика»), а также отсутстви-
ем поверхностного напряжения и когезии. Течение газов также может быть
описано законами гидродинамики, но при этом нужно учитывать высокую
сжимаемость газов и являющиеся следствием этого колебания плотности.
6.2.2. Давление
1. Определение понятия давления
Давление жидкости — это отношение действующей со стороны жидко-
сти на тело, погруженное в воду, силы к площади погруженного тела. Благо-
даря подвижности молекул жидкости, сила, приложенная в одном месте
жидкости, передается по всему объему и действует во всех направлениях.
Давление в жидкости одинаково во всех направлениях, а, следовательно, не
зависит от направления ориентации площадки, погруженной в жидкость
(изотропное давление, рис. 6.16). Однако это действительно только тогда,
когда можно пренебречь гидростатическим давлением жидкости под дейст-
вием силы тяжести. Касательное давление в жидкости не наблюдается.
Сила Давление = Площадь ML‘T2
II Символ Единица измерения Название
р Fn А Па Н м2 Давление Действующая нормальная сила Площадь, на которую действует сила
Рис. 6.16. Изотропное давление, силовое действие
которого на данном рисунке представлено стре-
лочками. Давление одинаково во всех направле-
ниях
6.2. Гидроаэростатика
2. Единицы измерения давления
Единицей измерения давления, принятой в СИ, является паскаль (Па).
1 Па — это давление, при котором на площадь, равную 1 м2 * *, действует сила
в 1 Н.
[р] = Па = паскаль = Н/м2.
> Изотропное давление не является векторной величиной, оно действует
во всех направлениях одинаково.
> Внимание! Для обозначения давления используется тот же символ р. что
и для обозначения импульса.
Атмосферное давление на уровне моря составляет примерно 1 бар = 105 Па.
3. Измерение давления
|м| Автоклав — напорный сосуд для создания очень высокого давления
(1000-10000 бар).
Вакуумный насос служит для достижения очень низкого давления (в на-
стоящее время до Ю-11 бар).
Метод измерения основан на измерении силы, которая при измеряемом
давлении действует на известную площадь. При этом уравновешиваю-
щая сила для манометров может быть различной природы: часто исполь-
зуется пружина, в амероидном барометре — деформация жестяного ко-
роба, из которого выкачан воздух, в трубке Бурдона — деформация труб-
ки, которая может быть непосредственно передана на стрелку. Ртутный
барометр измеряет давление путем сравнения неизвестного давления с
известным гидростатическим давлением жидкости. Современные методы
используют пьезоэлектрические элементы (см. гл. «Электротехника»), в
которых при воздействии силы на кристалл появляется напряжение.
6.2.2.1. Давление поршня
1. Определение давления поршня
Давление поршня — это давление, которое возникает в жидкости, если в
один из подключенных к сосуду цилиндров вдавливается подвижный по-
ршень (рис. 6.17). Давление р жидкости при статическом равновесии взаим-
но сокращает действие внешних сил и F2. Следовательно:
F{ = A#, F2 = А^,
т.е.:
р = = 4
А^ 7I2 F2 А2
▲ Давление поршня одинаково во
всей жидкости.
2. Гидравлический пресс
Гидравлический пресс является
оборудованием для усиления силы.
Малая внешняя сила Д воздействует
Рис. 6.17. Давление поршня в гидрав-
лическом прессе
Глава 6. Механика деформируемого тела
на малую площадь таким образом на большей площади Л2 можно полу-
чить и использовать большую силу:
f2 = ^.
4
> Из закона сохранения энергии следует, что ход поршня на большей пло-
щади будет в AJA2 раз меньше, чем на малой площади. То же самое сле-
дует и из свойств несжимаемости среды.
3. Гидравлика
Гидравлика рассматривает использование принципа поршня для передачи
и усиления сил в технике. Этот принцип часто используется в гидравлических
тормозах, подъемных платформах и преобразователях давления. Особым пре-
имуществом является возможность изменить направление действующей силы
без применения механических элементов типа рычага или блока.
Газы в отличие от жидкости очень сильно сжимаются. Совершенная при
сжатии газа работа сохраняется в газе как внутренняя энергия (см. гл. «Тер-
модинамика») и может быть использована в любом месте и в любое время.
Сжатые газы (сжатый воздух) служат как энергоносители, а также использу-
ются для управления машинами (пневматика).
6.2.2.2. Гидростатическое давление в жидкости
1. Определение гидростатического давления
Гидростатическим давлением жидкости под действием силы тяжести на-
зывается давление, которое возникает в жидкости из-за ее собственного
веса. Оно определяется силой, с которой столб жидкости высотой h и объе-
мом V = hA действует на площадь А:
Гидростатическое давление жидкости ML1!2
р1£ , P = --=hpg А Символ Единица измерения Название
р р V А h g Па кг/м3 м3 м2 м м/с2 Гидростатическое давление Плотность жидкости Объем столба жидкости Площадь основания столба жидкости Высота столба жидкости Ускорение свободного падения = 9,81 м/с2
Водяной столб высотой Юм создает давление, равное:
p = hpg = 10 м-1000 кг/м3-9,81 м/с2 = 9,81 • 104 Па.
Ртутный столб (плотность ртути 13600 кг/м3), создающий то же самое
давление, имеет высоту:
pg
9,81 -104 Па
13600 кг/м3 -9,81 м/ с2
= 735 мм.
6.2. Гидроаэростатика
Гидростатическое давление в жидкости под действием силы тяжести за-
висит от глубины, на которой оно измеряется. В жидкости изотропное дав-
ление на одной и той же глубине одинаково во всех направлениях, но раз-
личается на различной глубине измерения (рис. 6.18).
Рис. 6.18. Гидростатическое давление в жидкости. pext — внешнее давление
2. Гидростатический парадокс
Давление на дно сосуда зависит только от уровня жидкости, но не зави-
сит от формы сосуда и, следовательно, от количества жидкости (рис. 6.19).
Рис. 6.19. Гидростатический парадокс. Давление на дно площадью А при оди-
наковом уровне жидкости h не зависит от формы сосудов 1, 2, 3
3. Манометр
[м] Ртутный манометр — это измерительный прибор для измерения давле-
ния методом сравнения с гидростатическим давлением столба жидкости
ртути. На одной стороне манометра действует измеряемое давление р и
гидростатическое давление pgh{ (р — плотность, g — ускорение свобод-
ного падения, hx — высота), на другой стороне действует гидростатиче-
ское давление столба жидкости pg/z2 и сравниваемое давление р$. По
условиям равновесия:
Р -Ро = PgUh - ht>-
Разность давлений, таким образом, пропорциональна разности высот.
Чем тяжелее жидкость, тем может быть выше измеряемое давление, поэтому
для измерения давления воздуха используется ртуть. В самом простом ис-
полнении такой манометр состоит из запаянной сверху стеклянной трубы,
нижний конец которой погружен в ртуть. Сравниваемое давление, т.е. дав-
ление в возникающем в верхнем конце трубы пространстве, является давле-
Глава 6. Механика деформируемого тела
нием паров ртути и, следовательно, очень малым (вакуум). Это приспособ-
ления для измерения давления воздуха называется барометром. На рис. 6.20
представлен барометр Торричелли.
4. Сообщающиеся сосуды
В нескольких связанных между собой трубках жидкость поднимается до
одной и той же высоты, если во всех трубках действует одинаковое внешнее
давление (рис. 6.21). При этом капиллярный эффект не учитывается.
[м] Манометр на основе сообщающихся сосудов может использоваться для
измерения небольших разностей давления.
Рис. 6.20. Самая простая форма манометра: Рис. 6.21. Сообщающиеся сосуды
барометр для измерения давления воздуха
по Торричелли. Высота жидкости в трубке
пропорциональна атмосферному давлению
6.2.2.3. Сжимаемость
1. Определение сжимаемости
Сжимаемостью называется изменение объема жидкости при изменении
давления. Сжимаемость определяется как отношение относительного изме-
нения объема к изменению давления:
Сжимаемость М -‘LT2
дг к = VAp Символ Единица измерения Название
к AV V Ар 1/Па = м2/Н м3 м3 Па Сжимаемость Уменьшение объема Начальный объем Увеличение давления
Типичные значения сжимаемости составляют порядка 1() 9 1/Па (см.
табл. 8.3/4).
Сжимаемость воды при нормальных условиях (температура 0° С и давле-
ние 101,325 кПа) составляет 0,5 10-9 1/Па. При давлении в 1 атмосферу
(105 Па) объем 1 м3 воды изменяется на:
ДГ = кГД/7 = 0,5 IO’9 1/Па-1 мМО5 Па = 0,5 Ю’4 м3 = 50 см3.
6.2. Гидроаэростатика
2. Коэффициент объемного расширения
Коэффициент объемного расширения у описывает расширение жидко-
сти при увеличении ее температуры. Относительное увеличение объема
жидкости пропорционально повышению температуры, если оно относитель-
но мало по сравнению с исходной температурой.
Коэффициент объемного расширения 1
ЛК ЛА — = 7Лв Символ Единица измерения Название
ДК/Г Y де 1 1/К к Относительное изменение объема Коэффициент объемного расширения Изменение температуры
Единицей измерения коэффициента объемного расширения является
1/К. Его значения зависят от температуры материала и обычно указывается
для 0О = 0°С (273,15 К).
> Коэффициент объемного расширения воды у = 0,18-10-3 1/К при 20 °C.
Коэффициенты объемного расширения различных жидкостей могут от-
личаться в несколько раз. Для идеальных газов при этой температуре
Y = — = 3,4 • 10-31 К.
0о
6.2.2.4. Давление в газе под действием силы тяжести
1. Расчет давления в газах под действием силы тяжести
Для расчета этого давления необходимо учитывать сжимаемость газов.
Плотность р газа при давлении р определяется по формуле:
Р = Ро —,
Ро
где р0 — плотность при давлении pQ.
Изменение давления Др при увеличении высоты газового столба над
земной поверхностью на ДЛ определяется как:
Др =----— = -pgA/z,
А
где А — площадь поперечного сечения газового столба, Дт — масса слоя Дй,
g — ускорение свободного падения.
Это выражение можно записать в интегральной форме:
р Ф = _pi Pogdft
Jpo р JO ро
где pQ — давление на нулевом уровне, р} — давление на высоте hx.
Если в качестве пределов интегрирования использовать p=p^h = hb тогда:
1ПМ = _мА.
) Ро
2. Формула расчета барометрического давления в зависимости от высоты
На основе формулы для давления газов под действием силы тяжести
можно получить формулу для расчета барометрического давления в зависи-
мости от высоты.
Формула расчета барометрического давления в зависимости от высоты
Символ Единица измерения Название
Р = рое~СА С = — Ро р h С Ро Ро g Па м 1/м Па кг/м3 м/с2 Давление на высоте h Высота Постоянная Давление на нулевом уровне Плотность на нулевом уровне Ускорение свободного падения
Рис. 6.22. Зависимость давления от
высоты
Давление в столбе газа (в частности в
земной атмосфере) падает экспоненциаль-
но с увеличением высоты. Значение по-
стоянной С для воздуха равно:
С = 0,1256/км
для давления pQ = 101,3 кПа на поверхно-
сти Земли при температуре 0 °C.
▲ При увеличении высоты на каждые 8
км вблизи Земли давление воздуха
падает на 100 Па = 1 мбар.
3. Международная формула давления в
зависимости от высоты
В барометрической формуле для рас-
чета давления в зависимости от высоты не учитывается уменьшение темпе-
ратуры с увеличением высоты. Если учесть и этот фактор, то получается
международная формула расчета давления в зависимости от высоты:
(л 0,00651-й/м
р = 1--------------
I 288
5,255
•101,325 кПа.
Эта формула действительна до высоты в 11 км. Плотность воздуха равна:
0,00651-/г/м А4,255
288 J
• 1,2255—.
м3
4. Нормальное давление и нормальная плотность воздуха
Давление воздуха колеблется на ±10% в зависимости от погоды и темпе-
ратуры. Нормальное давление и нормальная плотность воздуха на уровне
моря при температуре 15 °C в среднем в течение года равны:
р^ = 101,325 кПа, р0 = 1,293 кг/м3.
(Ранее: 760 торр, 1 атм. = физическая атмосфера.)
Эти значения характеризуют нормальную атмосферу согласно DIN 5450.
6.2.2.5. Насосы
Насосы — это машины для транспортировки и подачи жидкостей и газов.
1. Виды насосов
а) Поршневой насос. При движении поршня через всасывающий клапан
всасывается жидкость, которая во время обратного хода поршня выталкива-
ется через напорный клапан (привод обычно осуществляется внешними ма-
шинами, часто состоит из двух цилиндров) (рис. 6.23).
Всасывающий клапан
---Подключение к реципиенту
Напорный клапан
Рис. 6.23. Принцип действия поршневого насоса. Совершающий возвратно-
поступательные движения поршень попеременно всасывает жид-
кость из реципиента и снова выталкивает ее наружу
б) В мембранном насосе вместо поршня используется мембрана (напри-
мер, в топливных насосах для едких жидкостей).
в) Поршневой насос с лопастями. Одна или несколько установленных на
цилиндре лопастей вместо поршня совершают возвратно-поступательные
движения. Напорные клапаны находятся в лопастях, всасывающие — во
всасывающей трубе (чаще всего используется при ручном приводе).
г) Шестеренчатый насос (один из видов роторных насосов). Входящие в
зацепление друг с другом зубчатые колеса выталкивают жидкость из одной
стороны в другую (самая распространенная конструктивная форма насосов
для подачи смазочных средств).
д) Лопастной насос, также называемый центробежным насосом. В нем
жидкость подается в середину, где подхватывается лопатками, ускоряется и
под действием центробежных сил устремляется наружу (водяные насосы бо-
льшой производительности, привод посредством электродвигателя для тур-
бонасосов) (рис. 6.24).
е) Водоструйный (или струйный) насос. Выте-
кающая из сопла струя воды всасывает воздух из
реципиента (см. также «Всасывающий эффект
движущихся жидкостей»).
ж) Пароструйный насос. Вытекающая струя
пара перемещает воду.
з) Диффузионный насос используется для
производства высокого вакуума. Рабочее вещест-
во испаряется в форвакууме (камера предвари-
тельного разряжения), давление повышается, при
этом молекулы отсасываемого вещества посредст-
вом диффузии втягиваются в струю пара рабочего
вещества и после конденсации на холодной стен-
Рис. 6.24. Лопастной на-
сос. Питающий трубопро-
вод подключен по оси
8—3814
226 Глава 6. Механика деформируемого тела
Подключение
к реципиенту
Охлаждаемая
поверхность
Рабочее
~ ^вещество
Нагрев
Рис. 6.25. Диффузионный насос
ке отводятся из сосуда (чаще всего
по такому принципу используются
ртутные диффузионные насосы)
(рис. 6.25).
и) Молекулярный насос — тур-
бонасос, в котором молекулы газа
переносятся в область повышенно-
го давления при помощи столкно-
вения с вращающимся диском.
к) Геттерный насос использует-
ся для получения сверхвысокого
вакуума. Всасывающее действие основано на адсорбции остаточных молекул
в дополнительном веществе (геттере).
2. Параметры и свойства насосов
Реципиент — сосуд, из которого откачиваются жидкость или газ.
Высота подачи (напор) Н — максимальная высота, на которую насос мо-
жет поднять жидкость. Это одна из основных характеристик насоса, которая
определяется из давления на выходе насоса, которое может уравновесить
давление столба жидкости данной высоты. Следовательно, эта характери-
стика является определяющей и для скорости течения жидкости, которой
можно достичь в трубах. В зависимости от конструкции напор насоса также
зависит от его подачи.
Подача Q — это объем жидкости, перекачиваемой насосом за единицу
времени. Она определяется размерами насоса и достигаемой скоростью по-
тока.
Характеристическая кривая насоса — диаграмма, на которой представле-
на зависимость напора от подачи. В общем случае характеристическая кри-
вая падает с увеличением подачи.
Производительность PQ характеризует работу по подъему жидкости, со-
вершенную насосом за единицу времени. Она равна произведению силы тя-
жести, действующей на объем pg, подачи Q и напора Н:
PQ = pgQH.
КПД насоса — соотношение достигнутой производительности PQ к за-
траченной механической мощности Ро:
3. Всасывающие и нагнетательные насосы
Всасывающие насосы используют атмосферное давление, создавая об-
ласть пониженного давления (например, увеличением объема при движении
поршня). В этом случае всасывающее действие возникает вследствие разни-
цы давления в окружающей атмосфере и внутри насоса. Таким образом,
максимальный напор насоса ограничен атмосферным давлением воздуха, а
максимальная высота подачи составляет для воды примерно 10 м.
Нагнетательные насосы работают независимо от давления атмосферного
воздуха, создавая давление непосредственно в рабочей среде.
6.2. Гидроаэростатика
4. Турбины
Турбины — это устройства, принцип действия которых противоположен
принципу действия насоса. В турбинах энергия потока преобразуется в
энергию механического движения (вращательного движения), например,
для привода генераторов- Вал турбины приводится в действие непосредст-
венно потоком.
Водяное колесо — самое древнее устройство для преобразования энер-
гии движущейся воды в механическую энергию. В верхненаливном водяном
колесе вода падает сверху на лопатки колеса, в нижненаливном — вода те-
чет под колесом, создавая давление на лопатки и, следовательно, вращая все
колесо. КПД 80-85%. Производительность:
Pq = pgHQ,
где g — ускорение свободного падения, р — плотность жидкости, Q — объ-
емный поток, Н — высота падения воды.
а) Водяная турбина — важнейшая гидросиловая машина для получения
энергии из движущейся воды. В турбине со свободным движением воды
струи воды ударяют по закрепленным на ходовом колесе лопаткам (в пово-
ротно-лопастной турбине Каплана и радиально-осевой турбине Френсиса
вода поступает снаружи через направляющие в лопатки аппарата турбины),
где отдает свою энергию движения. Максимальная производительность до
250 МВт.
б) Паровая турбина используется для получения энергии на тепловых
электростанциях. Сначала пар сжимается в неподвижных резервуарах турби-
ны (для водяных турбин из-за несжимаемости воды это невозможно), далее
ускоряется до высокой скорости, после чего приводит в действие одно или
несколько колес турбины. Различные конструкции характеризуются различ-
ной скоростью и давлением пара в турбине.
в) Газовая турбина приводится в действие газообразными продуктами
сгорания. Это комбинация из собственно турбины, которая вращается под
воздействием горячих отработавших газов процесса горения, и дополнитель-
но установленного перед горелкой устройства, которое сжимает газ в топоч-
ном пространстве. Применяется в самолетах как турбовинтовой двигатель,
при этом на валу также располагается пропеллер, и как реактивный двига-
тель без пропеллера; для привода генераторов, реже для привода автомоби-
лей. Преимуществом является простая конструкция и малое количество по-
движных частей, малый удельный вес на единицу мощности, высокая часто-
та вращения (до 20000 об./мин), КПД до 35% для многоступенчатых устано-
вок, дешевое топливо.
6.2.3. Выталкивающая сила
1. Выталкивающая сила
Эта сила направлена против сил земного притяжения и действует на все
тела, которые погружены в жидкость (или газ). Она определяется как раз-
ность сил давления жидкости на верхнюю и нижнюю грани тела, имеющие
Рис. 6.26. Выталкивающая сила.
Действие боковых сил F3 взаим-
но уничтожаются, сила F2 (сни-
зу) перевешивает силу F) (сверху)
одинаковую площадь А (рис. 6.26). Если
верхняя сторона тела находится на глубине
h{, а нижняя сторона на глубине Л2, то:
Fa = F2 - Fi = А(р2 - Pi) = Лрж^/г2 -hi),
где рж — плотность жидкости; рър2 — дав-
ление на высоте h2; FbF2 — сила, дейст-
вующая на верхнюю и нижнюю стороны
тела; FA — выталкивающая сила; g — уско-
рение свободного падения.
Величина Л(Л2 — йД — это объем жид-
кости V, вытесненной телом. Следова-
тельно:
Выталкивающая сила MLT2
и II " - ' о. йч II II II Символ Единица измерения Название
Fa Рж g V ^ВЫТ р Г6\ВЫТ Ртела FG н кг/м3 м/с2 м3 кг Н кг/м3 Н Выталкивающая сила Плотность жидкости Ускорение свободного падения Объем тела Масса вытесненной жидкости Вес вытесненной жидкости Плотность тела Вес тела
> Под плотностью тела подразумевается средняя плотность всего тела, т.е.
отношение общей массы к общему объему.
2. Закон Архимеда и свойства выталкивающей силы
Закон Архимеда — выталкивающая сила, т.е. сила, с которой жидкость
выталкивает тело, равна весу жидкости в объеме данного тела.
> Это правило действительно также для тел, погруженных в жидкость час-
тично.
Рассматриваются три возможности действия выталкивающей силы:
Fa < Fg\ Тело тонет. Его плотность больше плотности жидкости.
FA - Fg‘. Тело плавает в толще жидкости. Его плотность равна плотности
жидкости.
FA > Fg\ Тело плавает на поверхности, погружаясь в жидкость лишь час-
тично. Его плотность меньше плотности жидкости.
> Тело с плотностью, меньшей плотности жидкости, останется на дне со-
суда в том случае, если в пространство между дном сосуда и телом не
сможет проникнуть жидкость.
6.2. Гидроаэростатика
Плотность железа в 7,8 раз больше плотности воды. На тело из железа
действует выталкивающая сила:
Fa =-2~Fg =2-Fg =Q,\3Fg,
Ртела ' *
т.е. равная 13% от его веса. Под водой эффективный вес железа равен 87%
от его реального веса.
Эффективный вес, который имеют погруженные в жидкость тела, равен
действительному весу, уменьшенному на выталкивающую силу:
F „ = Fr - Fa = 1 - Рж Fr
1 eff ± G J А 1 I J G •
\ Ртела )
На тело, находящееся в воздухе, так же действует выталкивающая сила,
которая равна весу воздуха в объеме, вытесненном телом.
3. Воздушный шар
Воздушный шар — это летательный аппарат, который удерживается в
воздухе посредством выталкивающей силы. Выталкивающая сила реализует-
ся посредством наполнения воздушного шара газом, который легче воздуха
в земной атмосфере (нагретый воздух, гелий, ранее — водород).
4. Измерение плотности с помощью весов Мора
Выталкивающая сила может использоваться для измерения плотности
твердых тел ртела. Для этого измеряют силу (£ж), которая необходима для
удержания весов в равновесии, если тело весом FG находится в жидкости
(весы Мора, рис. 6.27). В этом случае разница между весом тела и Гж равна
разности выталкивающих сил:
Fg F& — FA^ Fa ^&sk — (Рж Рвозд)^ ~ Рж^>
где Fa ж — выталкивающая сила в жидко-
сти; 7^,возд ~ выталкивающая сила в возду-
хе; рж — плотность жидкости; рвозд — плот-
ность воздуха; К — объем тела; g — ускоре-
ние свободного падения.
В общем случае плотностью воздуха от-
носительно плотности жидкости можно
пренебречь. Если поделить обе чести фор-
мулы на:
FG = Ртела =
Рис. 6.27. Измерение плотности
весами Мора.
где т — масса тела, то получается:
_ Рж
Ртела ~ г- •
। ' ж
mg
Определение плотности таким способом возможно только в том слу-
чае, если тело не плавает, т.е. его плотность больше, чем плотность жидко-
сти.
Глава 6. Механика деформируемого тела
> Если плотность тела меньше, чем плотность жидкости, то к телу добав-
ляют вспомогательный вес, и заменяют уравновешивающую силу в жид-
кости разностью FBCn0M — Гж, где FBCnOM — уравновешивающая сила
для вспомогательного тела, находящегося в жидкости, а Гж — уравнове-
шивающая сила для вспомогательного тела вместе с исследуемым телом,
находящимися в жидкости:
р =__________в*______
Ртела р _ г *
| _ гвспом гж
mg
Преобразование этой формулы позволяет определить плотность жидко-
сти по известной плотности тела. После преобразования приведенной выше
формулы получается:
Рж — Ртела
F
| _ 1 ж
mg
Если уравновешивающие силы Гжд и 2 весов при погружении одного
и того же тела в две жидкости различной плотности Pi и р2 известны, то со-
отношение плотностей жидкостей выглядит так:
j -^ж,1
Pi mg
Р2 । _ ^ж,2
mg
5. Определение плотности по глубине погружения
Другой метод для определения плотности жидкости основан на опреде-
лении глубины погружения плавающего тела. Если площадь поперечного
сечения тела А, высота Н и тело погружается на глубину А, то баланс сил
(при постоянной площади поперечного сечения) выглядит так:
° = FA - Fg = - Я4рТела?.
Из этого следует:
Рж — 7 Ртела •
П
Плотность плавающего тела таким образом можно определить по формуле:
-Л
Ртела ~ Рж •
п
6.2.4. Когезия, адгезия и поверхностное напряжение
1. Когезия
Когезией называется сцепление между собой частей одного тела (жидко-
го или твердого). Когезия обусловлена химической связью и межмолекуляр-
ным взаимодействием. Причины этого взаимодействия лежат в неодинако-
вом распределении заряда (поляризации) в молекулах и возникающем
6.2.
вследствие этого электростатическим напряже-
нием (см. силы Ван-дер-Ваальса). Силы коге-
зии в газах намного меньше чем в жидкостях.
Подъемник (рис. 6.28). Как только жид-
кость перельется через высочайшую точку
трубки, то под действием силы тяжести она
будет переливаться на другую половину
трубки. Когезия способствует тому, что
струя жидкости не разрывается. В газе это
невозможно: плотность газа в трубе умень-
шается в соответствии с барометрической
формулой для определения давления в за-
висимости от высоты.
Рис. 6.28. Подъемник. Бла-
годаря когезионным силам
и действию силы тяжести
жидкость выливается из со-
суда
Рис. 6.29. Поверхностное на-
тяжение. Когезионные силы
взаимно уничтожаются толь-
ко внутри жидкости
2. Поверхностное натяжение
Причиной поверхностного натяжения яв-
ляется сила, действующая изнутри жидкости
(рис. 6.29) на ее поверхности. Внутри жидко-
сти силы когезии действуют во всех направле-
ниях одинаково, так как каждая молекула в
любом направлении равномерно окружена
другими молекулами. На поверхности, наобо-
рот, результирующая когезионная сила на-
правлена внутрь, а ей противодействует давле-
ние изнутри жидкости.
Поверхностная энергия — это потенциаль-
ная энергия, являющаяся результатом поверх-
ностного натяжения.
Поверхностное натяжение стремится предотвратить увеличение площади
поверхности. Чтобы увеличить поверхность на величину ДЛ, необходимо со-
вершить работу ДИ< Соотношение работы ДИ7 к увеличению площади ДЛ
называется поверхностным натяжением о:
Поверхностное натяжение мт-2
дик о = АЛ Символ Единица измерения Название
о ДЖ ДЛ Дж/м2 = кг/с2 = Н/м Дж м2 Поверхностное натяжение Совершенная работа Увеличение площади
> Типичные значения поверхностного натяжения: 0,02 Н/м для углеводо-
родов, 0,07 Н/м для сильнополяризованных молекул типа воды или гли-
церина, экстремальный случай для ртути: 0,49 Н/м. Поверхностное натя-
жение зависит от температуры материала. Оно очень чувствительно к за-
грязнениям жидкости различными веществами (детергентами).
Глава 6. Механика деформируемого тела
Рис. 6.30. Измерение по-
верхностного натяжения.
С помощью проволочно-
го хомутика вытягивает-
ся пленка жидкости и
измеряется сила F
> 3. Измерение поверхностного натяжения
[м| Измерение поверхностного натяжения произ-
водится с помощью проволочного хомутика
длиной d (рис. 6.30), который погружается в
жидкость и при вытягивании на величину As
образует тонкую жидкую пленку площадью
АА = 2d As. Если проволочный хомутик вытяги-
вается из жидкости с силой F, то работа, необ-
ходимая для вытягивания жидкой пленки,
равна APE = FAs. Следовательно:
AW _ FAs _ F
АА 2dAs 2d
4. Свойство поверхностного натяжения
Поверхностное натяжение равно силе, действующей на единицу длины
краевой линии.
▲ Сила Fo, которая по причине поверхностного натяжения действует на
краевую линию длиной /, равна:
= fo.
> Система постоянно стремится принять состояние с минимальной потен-
циальной энергией. По этой причине поверхность жидкости всегда стре-
мится стать минимальной, т.е. поверхность жидкости заданного объема
стремится к минимальной площади.
Тело с минимальной площадью поверхности при заданном объеме явля-
ется сферой. Если нет воздействия других сил, то капля воды принимает
форму сферы. Частный случай: мыльные пузыри.
6.2.4.1. Капиллярность
1. Адгезия
Под адгезией понимают силу притяжения между молекулами двух раз-
личных веществ. В отличие от когезии (между молекулами одного и того же
вещества) она может возникать между твердыми, жидкими и газообразными
веществами. В частности, при касании жидкости (капли) с твердым матери-
а) б)
Рис. 6.31. Касание капли воды с
твердой поверхностью: а — смачива-
ние, краевой угол (р< л/2; б — не-
смачивание, краевой угол ср > тс/2
алом (подложкой) различают следую-
щие случаи в зависимости от соот-
ношения сил когезии и адгезии
(рис. 6.31):
• Силы адгезии превышают силы ко-
гезии: жидкость растекается по по-
верхности (смачивание).
• Силы когезии превышают силы ад-
гезии: жидкость стягивается в кап-
лю (несмачивание).
6.2. Гидроаэростатика
Краевой угол ср — угол, который образует поверхность жидкости в точке
касания с подложкой. Для смачивающих жидкостей 0 < ср < л/2, для несма-
чивающих жидкостей величина краевого угла л /2 < ср < л.
2. Капиллярность
Капиллярностью называют явление, когда жидкость поднимается по уз-
кой трубочке (капилляру) (рис. 6.32). Причина этого лежит в поверхностном
натяжении краевой линии жидкости и возникающей вследствие этого силы
= о/ =о-2лг (/ - длина окружности). Эта сила уравновешивается ве-
сом столба жидкости FG = mg = р • h • лг2 (m - масса столба жидкости). Из
Fg = Fo следует:
Высота подъема жидкости в капилляре L
, 2о h = Символ Единица измерения Название
h о Р g г м Н/м кг/м3 м/с2 м Высота подъема Поверхностное натяжение Плотность жидкости Ускорение свободного падения Внутренний радиус капилляра
а)
б)
Рис. 6.32. Капиллярность: а — подъем жидкости в капилляре в случае смачи-
вания; б — опускание жидкости в капилляре в случае несмачивания
В капилляре с внутренним диаметром 1 мм вода (поверхностное натяже-
ние 0,07 Н/м, плотность 1000 кг/м3) поднимается до высоты:
, 2о 2-0,07 Н/м _
п ----=-------------------------------= 29 мм.
gpr 9,81 м/с2 -1000 кг/м3 -0,5 мм
> Высота подъема для заданного материала зависит только от радиуса тру-
бочки.
> По капиллярному подъему (понижению) можно определить поверхност-
ное натяжение жидкости.
Энергия смачивания (Омачивания) ~ мера силы адгезии. Энергия смачива-
ния освобождается при смачивании поверхности площадью А. Ее можно
рассчитать по краевому углу ср и поверхностному натяжению о:
^смачивания = ^4гг(1 + COS ф).
Глава 6. Механика деформируемого тела
6.3. Гидродинамика и аэродинамика
Настоящий раздел физики изучает движение потоков жидкостей (гидроди-
намика) и газов (аэродинамика). Он описывает перенос материи вследствие
разницы давления и внешних сил, а также с учетом внутреннего трения в
жидкости. Здесь газы также отличаются от жидкостей своей высокой сжи-
маемостью.
Центральным понятием гидроаэродинамики является поле тока.
6.3.1. Поле тока
1. Определение понятия «поле тока»
Любая материальная частица текущей жидкости имеет в заданный мо-
мент времени определенную скорость, которая характеризуется величиной и
направлением. Основным предположением в гидродинамике является то,
что средняя скорость частиц в небольшом объеме примерно одинакова. Та-
ким образом, любому положению жидкости можно соотнести среднюю ско-
рость v материальных частиц, которые находятся в элементе объема в дан-
ном месте. Возникающее пространственное и временное распределение ско-
ростей называется полем скоростей v(x, у, г, /)• По аналогии вводят поня-
тие поле давления />(x,y,z,t), поле температур T(x,y,z,t) и поле плотности
p(x,y,z,t)-
> Эти описания действительны только при локальном термодинамическом
равновесии (см. 20.1.3). Только в этом случае определение давления и
температуры имеет смысл и может быть представлено в виде уравнений
состояния. Описание потоков, которые не находятся в состоянии лока-
льного термодинамического равновесия, является предметом кинетиче-
ской теории (теории переноса).
2. Свойство поля скоростей
Поле скоростей является векторным полем, его величина v(x, у, z, t) ука-
зывает среднюю скорость частицы, которая в момент времени t находится в
малой окрестности точки (x,y,z). Различают независимое от времени (стаци-
онарное) и зависимое от времени (нестационар-
ное), а также зависящее от места (неоднород-
ное) и независящее от места (однородное) тече-
ние жидкости. Для стационарного течения жид-
кости действительно выражение:
v = v(x, у, zY — = 0.
dt
Линия тока служит для визуализации поля
тока. Линия тока совпадает в заданный момент
времени с вектором скорости, т.е. проведенная
к линии тока касательная указывает направле-
ние скорости частиц в этой точке (рис. 6.33).
Линию тока следует отличать от траектории, ко-
Рис. 6.33. Линия тока. Век-
тор скорости v(r) является
касательнем в точке г к ли-
нии тока
6.3. Гидродинамика и аэродинамика
торая показывает реальное движение материальной частицы в заданный
промежуток времени.
▲ Для стационарного течения жидкости линии тока и траектории совпадают.
Математическое описание течения жидкости производится средствами
векторного анализа.
3. Пример изображений линий тока
На изображении линий тока их линей-
ная плотность п (п — число линий тока,
которые пересекают элемент площади) ха-
рактеризует скорость потока: я ~ | v |.
Трубкой тока называют поверхность,
образованную линиями тока, проведен-
ными через все точки малого заданного
контура. При стационарном течении
жидкость не пересекает стенки трубки
тока.
Рис. 6.34. Поле тока жидкости, об-
текающей пластину
Рис. 6.35. Поле скорости. Линии
тока в трубке тока с поперечными
сечениями АиА'
п, о маленькие
Рис. 6.36. Линейная плотность п
линий тока в трубке с переменным
поперечным сечением
6.3.2. Основные уравнения идеального потока
Идеальной называется жидкость, которая не сжимается и в которой отсутст-
вует внутреннее трение. В идеальной жидкости не возникают вихри, rofv = 0.
Как показывает название, речь идет о физически недостижимой идеализа-
ции. Идеальный поток — несжимаемый поток, в котором нет действия сил
трения.
> Идеальным газом называется газ, сжимаемость которого изменяется со-
гласно закону идеального газа. Поток реального газа не является идеаль-
ным потоком.
6.3.2. У. Уравнение непрерывности
1. Вывод уравнения непрерывности
Уравнение непрерывности выражает собой закон сохранения массы в
гидроаэродинамике. Для этого рассматривают (рис. 6.37) трубку с площадью
Рис. 6.37. Поток в жидкости с поперечным сечением А
поперечного сечения А, через которую протекает жидкость. Масса Ат всех
частиц, которые в течение времени Д/ протекают сквозь площадь А, опреде-
ляется произведением площади, временного интервала, плотности жидкости
р и скорости жидкости v:
Ая/ = риЛАЛ
В другом месте трубы, со значениями площади поперечного сечения А и
скоростью У, за единицу времени должно протечь то же количество массы,
если масса не может уничтожиться или сгенерироваться (закон сохранения
масс). Отсюда следует:
pvA = р' и' А.
Для несжимаемой жидкости р = р' получается:
Уравнение непрерывности для несжимаемой жидкости IZF1
vA = о' А Символ Единица измерения Название
V, и' А, А' м/с м2 Скорости Площади поперечных сечений
▲ Чем меньше поперечное сечение трубки, тем выше скорость протекаю-
щей в ней жидкости.
Сила потока — обозначение для величины Q - vA, [2] = м3/с, это объем
жидкости, который протекает за единицу времени в трубе с площадью попе-
речного сечения А. Плотность потока — вектора j = pv.
> Аналогичное уравнение непрерывности действительно и для сохранения
электрического заряда при протекании электрического тока в электроди-
намике. В общем случае уравнение непрерывности всегда выражает за-
кон сохранения какой-либо физической величины.
2. Уравнение непрерывности в дифференциальной форме
▲ Объем жидкости, который в течение определенного интервала времени
втекает в малый, фиксированный в пространстве куб, равен объему жид-
кости, вытекающей их этого куба в течение того же интервала времени.
Из этого утверждения можно получить дифференциальную форму урав-
нения непрерывности: объемный поток (2втекл через торцевую поверхность
6.3. Гидродинамика и аэродинамика
прямоугольного параллелепипеда, перпендикулярного направлению оси х,
определяется по формуле:
0втек,х = ' ДУ ’
Здесь Дх,Ду,Аг — длины ребер прямоугольного параллелепипеда. Объем-
ный поток через противоположную грань равен:
бвытек.х = VX(X + АХ) • Aj • AZ.
Согласно теореме Тейлора:
пх(х + Ах) » пх(х) + — Ах.
дх
Те же выражения для оси у и z создают общий объемный поток через
параллелепипед:
_ (Эщ avv dv7
AQ = —- + —— +-------- • Ах • Ay • А^.
дх ду dz )
Величина в скобках называется дивергенцией векторного поля v:
div v =
+ —
dz
С ее помощью уравнение непрерывности можно сформулировать в диф-
ференциальной форме:
Уравнение непрерывности в дифференциальной форме LT1
div v = 0 Символ Единица измерения Название
V м/с Поле скорости
3. Потенциал скорости, уравнение Лапласа и уравнение Пуассона
Решение уравнения непрерывности производится введением понятия
потенциала скорости или потенциала потока Ф. Потенциал скорости явля-
ется скалярным полем. Линии тока расположены перпендикулярно площади
Ф = const. Градиент Ф является векторным полем, которое в любой точке
показывает в направлении самого крутого возрастания Ф. Градиент потен-
циала скорости Ф является полем скорости v:
gradO =
ЭФ ЭФ ЭФ
дх ’ ду ’ dz
= v.
После подстановки Ф уравнение непрерывности выглядит так:
Ф = 0.
Это уравнение называется уравнением Лапласа. Если в правую часть
уравнения вместо нуля подставить конечную плотность истока q, то получа-
ется уравнение Пуассона:
f а2 а2 а2 V л
[дх2 ду2 dz2 J
Глава 6. Механика деформируемого тела
Оператор Лапласа, скалярное произведение оператора Набла V на само-
го себя равен сумме всех вторых частных производных,
- - а2
А = VV = — +
ах2
а2 | а2
ду2 dz2
Для решения уравнения Лапласа при заданных граничных условиях су-
ществует множество аналитических и числовых методов.
4. Условие Гельмгольца
Представление потока с помощью потенциала Ф возможно только тогда,
когда течение жидкости не образует вихри, т.е. в жидкости нет замкнутых
линий тока. Для установившегося поля потока это обозначает, что ни одна
частичка жидкости не движется по замкнутой траектории. Вихревые свойст-
ва поля потока могут быть выражены в векторном анализе с помощью рото-
ра rot v поля скоростей:
z dvz диу л
ду dz
, 6uv dvz
rot v = —--------- .
dz дх
д\Лу д\^х
удх ду
Если ротор поля скоростей равен нулю, то поток будет безвихревым,
rot v = 0.
Это уравнение называется условием Гельмгольца.
5. Истоки и стоки
Истоки или стоки — это области в пространстве, в которых линии тока
начинаются (исток) или заканчиваются (сток). Количество линий тока, ко-
торые проходят через площадь истока (стока), не всегда равно количеству
линий тока, которые исходят из этой поверхности. Дивергенция поля ско-
рости в этом случае равна:
div v = q, q — плотность истока, q > 0: исток, q < 0: сток.
Рис. 6.38. Дивергенция поля скоростей: а — поток, свободный от истоков;
б — исток q > 0; в — сток q < 0
6.3. Гидродинамика и аэродинамика
6.3.2.2. Уравнение Эйлера
Уравнение Эйлера описывает движение несжимаемой лишенной вязкости
жидкости. Оно основано на законе изменения импульса:
р • | (v • grad)v + — I = р • — = F - grad р.
V dt) dt
В правой части уравнения стоит действующая на единицу объема жидко-
сти силаЁ, например, сила тяжести, и градиент давления, в направлении ко-
торого действует сила давления. С левой стороны стоит производная поля
скоростей по времени:
dv Sv
— = (v • grad)v + —.
dt dt
Она показывает изменение скорости малого элемента объема относите-
льно системы отсчета, движущейся вместе с жидкостью. Следовательно, в
левой части уравнения стоит ускорение, а в правой стороне — действующие
силы:
• внешняя сила, действующая на единицу объема F,
• сила давления на единицу объема, направленная вдоль градиента давле-
ния -grad р.
> в случае движения вязкой жидкости уравнение Эйлера переходит в урав-
нение Навье-Стокса (см. 6.3.3.2).
6.3.2.3. Закон Бернулли
1. Закон Бернулли
Закон Бернулли выражает зависимость между поперечным сечением тру-
бы и давлением в ней. Различают:
• Статическое давление, которое направлено как перпендикулярно пото-
ку, так и в направлении потока, и действует во всех направлениях оди-
наково.
• Давление под действием силы тяжести (геодезическое давление), кото-
рое соответствует гидростатическому давлению в столбе жидкости.
• Динамическое давление — дополнительное давление, обусловленное по-
током жидкости. Динамическое давление зависит от скорости потока.
> В движущейся жидкости, следовательно, давление в различных направле-
ниях имеет различную величину. Оно не изотропно. Статическое давле-
ние является единственной изотропной компонентой общего давления.
▲ Закон Бернулли:
Сумма статического и динамического давления в установившемся пото-
ке является постоянной.
2. Вывод уравнения Бернулли
Закон Бернулли следует из закона сохранения энергии. Если малый объ-
ем жидкости ДЕ, находящийся в трубе с поперечным сечением А, имеет ки-
нетическую энергию (р — плотность жидкости, о — скорость потока), а в
другом месте той же трубы с поперечным сечением А имеет кинетическую
энергию - рДРи'2, то разница между ними
должна быть вызвана разницей давлений и разницей потенциальных энер-
гий - Л') этих объемов (здесь Л,Л' — соответствующие высоты).
Работа Wp (связанная с изменением давления), которую необходимо со-
вершить, чтобы объем жидкости ДИ поместить в трубу при давлении р:
Wp = pAAs = /?АИ.
Следовательно:
АРИкпн = AV(p - р') + APpg(/z - h'),
т.е. получается
Уравнение Бернулли ML1!2
1 , , р + - pt>2 + pgh = const Символ Единица измерения Название
р р о g h Па кг/м3 м/с м/с2 м Статическое давление Плотность Скорость потока Ускорение свободного падения Высота
Первый член уравнения — это статическое давление, второй — динами-
ческое давление, третий — давление, вызванное давлением силы тяжести
(рис. 6.39).
> Уравнение Бернулли действительно для установившегося, лишенного
трения потока, и, следовательно, является идеализацией.
Рис. 6.39. К выводу уравнения Бернулли
6.3. Гидродинамика и аэродинамика
3. Методы измерения по закону Бернулли
Сопло — сужение канала в направлении потока для увеличения скоро-
сти потока. Основное вспомогательное средство для преобразования энер-
гии давления в кинетическую энергию. Применяется в турбинах, реактив-
ных соплах.
Диффузор — расширение канала, действие, обратное действию сопла:
кинетическая энергия текущей жидкости преобразуется в энергию давления.
Используется в лопастных насосах.
Уравнение непрерывности и уравнение Бернулли являются основой
многих методов измерения давления (рис. 6.40):
|м) Датчик давления используется для измерения статического давления. Он
устанавливается в отверстие в оболочке трубы и проводит измерения с
помощью сообщающихся сосудов или других элементов.
И Контрольная трубка используется для измерения статического и дина-
мического давления. Давление возникает в выходном отверстии трубки,
направленной против направления потока.
|м| Гидрометрическая трубка Прандтля. Объединяет в себе контрольную
трубку и датчик давления. Измеряет динамическое давление как разницу
общего и статического давлений. При известной плотности р из динами-
ческого давления ps можно рассчитать скорость потока и, и = y/2ps /р.
Рис. 6.40. Методы измерения давления на основе закона Бернулли: а — дат-
чик давления (статическое давление); б — контрольная трубка
(статическое и динамическое давление); в — гидрометрическая
трубка Прандтля (динамическое давление)
4. Труба Вентури
Труба Вентури — устройство для определения расхода жидкости или газа
(объемного потока Q) по принципу Вентури (см. п. 6.3.2.5). При этом испо-
льзуется труба переменного сечения и измеряется разница статических дав-
лений в широком и узком сечениях трубы. Статическое давление тем мень-
ше, чем быстрее течет жидкость (рис. 6.41):
2 = 4- I 1---------~. ЕЕ = 4 . I 1 ... - . /2^д/г,
\(4М2)2 -М р Ш/Л)2 -1 v
где А{ — площадь поперечного сечения трубы, А2 — площадь поперечного
сечения трубы узкого диаметра, Ар — разница давлений, р — плотность
жидкости, g — ускорение свободного падения, ДА — разница высот жидко-
сти в измерительной трубке.
Глава 6. Механика деформируемого тела
Рис. 6.41. Труба Вентури для измерения объемного потока в соответствии с
уравнением Бернулли
> Для реального потока необходимо учитывать трение. На практике это
происходит введением корректирующего множителя, который определя-
ется в процессе выверки.
6- 3.2.4. Формула Торричелли
1. Скорость истечения
Скорость истечения жидкости из малого отверстия в стенке сосуда под
воздействием силы тяжести определяется по уравнению Бернулли. Пусть
малый объем жидкости в верхней точке сосуда высотой имеет нулевую
скорость истечения, а малый объем жидкости на высоте й2, скорость истече-
ния о. Тогда в соответствии с уравнением Бернулли и с учетом атмосферно-
го давления pQ получим:
Pg^l + Ро = pghl + | U2 + Ро-
Следовательно:
Скорость истечения ~ Vвысота LT1
и = Jlgh Символ Единица измерения Название
о g h м/с м/с2 м Скорость истечения Ускорение свободного падения Высота столба жидкости над выпускным отверстием
2. Закон истечения Торричелли
Скорость истечения столба жидкости высотой hx над выпускным отвер-
стием равна скорости падения тела с высоты hx (рис. 6.42).
Горизонтальное расстояние L от точки падения струи с высоты h2 до
стенки сосуда:
L = 2д/А] • Л2.
Если выпускное отверстие находится в дне сосуда высотой Л, то ско-
рость истечения равна
и = y/2gh.
Рис. 6.42. Закон истечения Торричелли. Скорость истечения и зависит от
высоты hx — уровня жидкости над выпускным отверстием
Если на поверхность действует дополнительное давление pext, то для ско-
рости истечения:
Pexl |
Р J
3. Скорость истечения из трубы
Тем же самым методом можно найти скорость истечения из трубы, в ко-
торой имеется избыточное давление р относительно внешнего окружения:
Скорость истечения из трубы LT1
Символ Единица измерения Название
V р р м/с Па кг/м3 Скорость истечения из трубы Избыточное давление Плотность
> При таких рассуждениях трением жидкости (см. «Вязкость») пренебрега-
ют. Его можно учитывать введением коэффициента скорости (р (для
воды ср «0,97). Также при истечении жидкости происходит сужение
струи, которое учитывается коэффициентом сжатия а (для выпускного
отверстия с острыми краями а « 0,61). Произведение этих множителей
называется коэффициентом истечения ц. Рассчитанную по приведенным
выше формулам величину скорости истечения и и расстояния L необхо-
димо умножить на коэффициент истечения ц, чтобы учесть вязкость
жидкости и характеристики выпускного отверстия.
4. Перепад
Перепад — это поток жидкости через край препятствия, например, в
шлюзах на реке (рис. 6.43). При этом расход жидкости равен:
где h — высота потока жидкости над препятствием, b — ширина потока, g —
ускорение свободного падения.
тела
к = 0,615 1 +
Рис. 6.43. Перепад. Течение жидко-
сти через край препятствия
Коэффициент сжатия к согласно
международным стандартам может быть
найден как:
--------- (1 + 0,5——),
1,6 + 1000А J Я2
h в метрах.
Данное выражение действительно для
высоты напора Н- h > 0,3 м, Н > 2А
и высоты потока h = 0,025 ... 0,8 м.
6.3.2.5. Эффект увлечения газа
движущейся струей жидкости
Согласно закону Бернулли, статическое давление в движущейся жидкости
меньше, чем статическое давление в неподвижном газовом окружении. Это
вызывает эффект всасывания газа при движении потока жидкости:
▲ Принцип Вентури: из-за уменьшения поперечного сечения трубы и по-
являющегося в результате этого ускорения потока жидкости, статическое
давление в трубе может стать меньше, чем окружающее атмосферное
давление, что приведет к эффекту всасывания окружающего газа.
а) Водоструйный насос используется для откачки газовых сосудов с по-
мощью жидкостей (рис. 6.44). Протекающая с высокой скоростью через
Рис. 6.44. Водоструйный
насос
Рис. 6.45. Распылитель
сопло жидкость (вода) характеризуется малым зна-
чением статического давления, благодаря чему газ
увлекается жидкостью и откачивается из сосуда
реципиента. Парортутный насос такой конструк-
ции обычно используется в вакуумной технике, с
его помощью можно достигнуть давления до 1 Па
= 10-5 бар. Получаемое давление ограничивается
парциальным давлением паров жидкости.
б) Распылитель. Служит для всасывания жид-
кости в поток воздуха (рис. 6.45). Кончик распы-
лителя находится в потоке воздуха. Так как его
статическое давление меньше, чем действующее
на жидкость давление неподвижного воздуха, это
вызывает всасывание жидкости.
в) Гидродинамический парадокс: текущая жид-
кость или текущий газ могут притянуть располо-
женную непосредственно на выпускном отверстии
пластину (рис. 6.46). Это происходит, если скорость
истечения жидкости настолько велика, что внешнее
давление становится больше, чем статическое дав-
ление жидкости, текущей между выпускной трубой
и пластиной. Вследствие этого эффекта притягива-
ются два близко едущих друг от друга автомобиля.
6.3. Гидродинамика и аэродинамика
6.3.2.6. Движение тел
в жидкостях и газах
1. Выталкивание тел в потоке жидкости
или газа
Выталкивание тел в потоке возни-
кает как следствие закона Бернулли и
наблюдается, если скорость потока на
различных сторонах тела имеет раз-
личные значения. При этом на сторо-
не с более высокой скоростью образу-
ется пониженное давление, а на дру-
гой стороне — избыточное давление.
Эффектом Магнуса (рис. 6.47) на-
зывают явление, когда на вращаю-
щийся в текучей жидкости цилиндр
начинает действовать сила, направ-
ленная перпендикулярно потоку.
Вследствие вращения скорость потока
на одной из сторон цилиндра умень-
шается, на другой — увеличивается,
при этом возникают различные стати-
ческие давления на обеих сторонах
цилиндра.
2. Подъемная сила
Крыло — обтекаемое тело, находя-
Рис. 6.46. Гидродинамический пара-
докс. Пластина всасывается струей,
выбрасываемой из трубы
Рис. 6.47. Эффект Магнуса
щееся в поле потока, и имеющее та-
кую форму, что скорость обтекания на верхней стороне больше, чем на
нижней. Возникающая при этом разница давлений оказывает на тело вытал-
кивающее действие, которое называется динамической подъемной силой.
Динамическая подъемная сила MLT2
Fa =са Символ Единица измерения Название
FA Са Р X) А н 1 кг/м3 м/с м2 Динамическая подъемная сила Коэффициент динамической подъемной силы Плотность жидкости Скорость потока Максимальная площадь проекции крыла
Подъемная сила пропорциональна квадрату скорости (сравн. сила тре-
ния) и максимальной площади проекции крыла на любую плоскость
(рис. 6.48).
Рис. 6.48. Подъемная сила дей-
ствующая на крыло, находящееся в
потоке. Объемная сила и сила
сопротивления складываются в
результирующую силу Fres.
> Коэффициент подъемной силы
определяется в аэродинамической
трубе. Типичные значения лежат в
пределах от 0,02 до 0,05.
> Для расчета самолетов наряду с
подъемной силой также следует учи-
тывать силу аэродинамического со-
противления Fw,
Fw = cw 2
где cw — коэффициент аэродинамиче-
ского сопротивления.
Из этого получают результирующую
силу Fres, которая имеет некий угол с вертикалью, отличный от 90°. Точка
приложения этой силы называется точкой давления. Точку давления можно
определить в аэродинамической трубе по вращающему моменту, действую-
щему на крыло и зависящему от угла атаки. Горизонтальную составляющую
рассматриваемой силы компенсирует сила тяги двигателя самолета.
6.3.3. Реальные потоки
Реальные потоки отличаются от идеальных потоков наличием трения. Раз-
личают:
• ламинарный поток — отличается от потока идеальной жидкости в
основном изменением скорости в пределах сечения,
• турбулентный поток, в котором в фиксированной точке пространства
направление и скорость движения жидкости беспорядочно изменяются.
6.3.3. У. Внутреннее трение
Внутреннее трение — это силы, вызванные когезионными силами притяже-
ния между молекулами жидкости или газов. Из-за трения кинетическая
энергия жидкости теряется, что выражается в нагревании жидкости.
1. Ламинарный поток
Ламинарный поток — это поток, в котором отдельные слои жидкости ко-
нечной толщины скользят друг относительно друга с различными скоростя-
ми, без взаимного перемешивания, как, например, слои жидкости в потоке
между двумя движущимися относительно друг друга пластинами (рис. 6.49).
Жидкость во всем рассматриваемом таким образом объеме движется в
одинаковом направлении, но отдельные слои движутся с различными ско-
ростями. При скольжении слоев возникают силы трения, которые ведут к
равномерному уменьшению скорости вдоль профиля сечения (рис. 6.50).
Противоположность ламинарному потоку — турбулентный поток.
6.3. Гидродинамика и аэродинамика
Рис. 6.49. Слои жидкости при ламинарном по- Рис. 6.50. Профиль скорости для
токе между двумя движущимися пластинами ламинарного потока между дву-
мя движущимися относительно
друг друга пластинами
Градиентом скорости dv/dx называется
отношение разницы между скоростями
двух соседних слоев к толщине слоя. Если нанести скорость слоя относите-
льно его позиции в потоке, то получается профиль скорости о(х), первая
производная которого dv/dx дает градиент скорости.
2. Закон вязкости Ньютона
Закон вязкости Ньютона описывает величину сил трения между сосед-
ними слоями в ламинарном потоке. Сила, которая воздействует на такой
слой, пропорциональна пощади слоя и градиенту скорости относительно со-
седних слоев:
Закон вязкости Ньютона MLT-2
г л du Fr = М — dx Символ Единица измерения Название
Fr n А dv/dx н Пас = Нс/м2 м2 1/с Сила трения Динамический коэффи- циент вязкости Площадь слоя Градиент скорости
Коэффициент пропорциональности ц называется динамическим коэф-
фициентом вязкости (динамическая вязкость). Единица измерения динами-
ческого коэффициента вязкости — паскаль-секунда (Па-с). Чем больше
вязкость жидкости, тем большая сила требуется, чтобы сдвинуть слои отно-
сительно друг друга. Типичные значения ц: от 10~5 Па-с для газов, 10-3 Па-с
для воды, от 0,1 до 0,01 Па-с (в зависимости от температуры) для смазочных
масел.
|м] Действие вязкости непосредственно проявляется при вытягивании плас-
тины из узкого сосуда. Если расстояние между пластинкой и стенкой со-
суда достаточно мало, то вязкость становится заметной и проявляется в
виде препятствующей силы.
Внесистемная единица динамического коэффициента вязкости: пуаз (по
имени физика Пуазейля)
1 Пуаз = 0,1 Па-с.
Глава 6. Механика деформируемого тела
3. Текучесть и кинематическая вязкость
Текучесть (р — величина, обратная коэффициенту динамической вязкости:
Кинематическим коэффициентом вязкости (кинематической вязкостью)
v называется отношение динамической вязкости т| к плотности р жидкости:
ц м2
V =-, М = —•
Р с
Не используемая больше единица динамической вязкости:
1 Стокс = 1 Ст = 10-4 м2/с.
Типичные значения кинематической вязкости: 10-6 м2/с для воды,
10~4 м2/с для воздуха и от одного до нескольких сотен м2/с для моторных
масел.
В то время как динамическая вязкость выражает собой силу, которая
действует на слой жидкости, то кинематическая вязкость учитывает плот-
ность жидкости и, следовательно, массу Ат = рДИ = рЛДх слоя жидкости.
Кинематическая вязкость показывает действующее ускорение:
/д Fr Av
а = — = —— = v-------,
Ат рЛДх (Л^)2
где а — действующее ускорение, Ат — масса слоя, FR — сила трения, А —
площадь, Дх — толщина слоя, v — кинематическая вязкость, Ди — разница
скорости.
> Вязкость — это постоянная вещества, которая сильно зависит от темпе-
ратуры и давления. Зависимость от температуры приблизительно описы-
вается как:
г| = Ась/Т,
где А и Ь постоянные, характерные для данного вещества, т.е. вязкость уме-
ньшается при увеличении температуры. Особенно важной является вязкость
и ее изменение для смазочных материалов.
Динамическая вязкость газов намного меньше, чем у жидкостей (у воз-
духа 1,7• 10~5 Па-с, у воды 1,8• 10 3 Па с при 0°С).
Вязкость растворов и жидких смесей сильно зависит от их концент-
раций.
> Неньютоновскими называют вещества, для которых закон вязкости
Ньютона не действует. Сюда в частности относятся полимерные вещест-
ва (жидкие искусственные материалы) и дисперсии (жидкости, в объеме
которых твердые тела или другие жидкости распределены в виде малень-
ких капелек; в зависимости от их размера также обозначаются как сус-
пензии или коллоидные растворы).
6.3.3.2. Уравнение Навье-Стокса
1. Уравнение движения реального потока
Уравнение непрерывности, действительное также и для реальных пото-
ков, преобразуется в уравнение Навье-Стокса:
dv
р • (v • grad)v + — = р — = F - grad р + р • Ду.
V dt J dt
В левой части уравнения находится производная поля скорости. В пра-
вой части наряду с внешней силой, действующей на единицу объема F, и
силой давления на единицу объема -gradp находится еще одна силовая ком-
понента:
р • Ду = р •
d2v + 52v + б2^
дх2 ду2 dz2 J
Она зависит от нарушения распределения скоростей и выражает собой
силы трения. Д обозначает оператор Лапласа.
Уравнение Навье-Стокса является основным уравнением в гидродина-
мике вязкой жидкости. Совместно с уравнением непрерывности оно может
описывать все потоки несжимаемых жидкостей, в частности, также турбу-
лентные потоки. Для его решения существует множество числовых методов.
2. Особый случай реальных потоков
Различают следующие особые случаи:
• Поток, трением в котором можно пренебречь (р « 0). Уравнение Навье-
Стокса переходит в этом случае в уравнение Эйлера (см. 22.5.2).
• Установившиеся потоки. Производная по времени равна нулю.
• Ползучие потоки при очень большой вязкости: р оо. Правой частью
уравнения Навье-Стокса можно пренебречь; поток определяется равно-
весием между градиентом давления и трением.
• Вихревые потоки при наличии турбулентности. Вместо непосредствен-
ного решения уравнения изменение силы вихрей в элементе объема вы-
ражают через потери вследствие трения. С помощью этого можно эф-
фективно описать турбулентные потоки.
6.3.3.3. Ламинарный поток в трубе
1. Моделирование ламинарного потока в трубе
Ламинарный поток в цилиндрической трубе с внутренним радиусом R
можно рассматривать как поток, состоящий из многих полых цилиндров
толщиной Дг, в которых жидкость движется с одинаковой скоростью. Внеш-
ний полый цилиндр касается стены и поэтому находится в покое (эффект
прилипания). Скорость других полых цилиндров определяется из равнове-
сия сил трения FR, которые могут быть описаны в соответствии с законом
вязкости Ньютона, и силой давления Fp. Если отдельно рассмотреть ци-
линдр радиусом г около средней линии трубы длиной /, то действующая на
него сила давления (А — площадь поперечного сечения) равна:
Fp = рА = пр г2.
Сила трения, оказывающая сопротивление силе давления, равна:
г .До п . До
Fr = -М — = -т|2лг/ —.
Дг Дг
При равновесии она равна силе давления. Таким образом, для градиента
скорости получается:
До _ рг_
hr 2г[1
Градиент скорости увеличивается с возрастанием давления и уменьшает-
ся с возрастанием вязкости, а также с увеличением длины трубы. Он возрас-
тает линейно с увеличением расстояния от оси трубы.
2. Вывод закона Хагена-Пуазейля
Ели перейти от отношения До/Дг к отношению дифференциалов do/dr и
разделить переменные в полученном дифференциальном уравнении, то по-
лучается:
, 2ц/
гаг =------ do.
Р
Интегрирование этого дифференциального уравнения дает:
, 4т1/
г2 =------ о + С,
Р
где С — постоянная интегрирования, которую определяют исходя из требо-
вания, что около стенки (г = R) скорость о должна равняться нулю, следова-
тельно С = R2. Преобразование этого выражения дает закон для ламинарного
потока в трубе:
Закон Хагена-Пуазейля LT1
о(г) = /-(7?2 -г2) 4г|/ Символ Единица измерения Название
о(г) г р П / R м/с м Па Па с м м Профиль скорости Расстояние от средней линии Давление Динамическая вязкость Длина трубы Внутренний радиус трубы
Профиль скорости является параболой (рис. 6.51). Жидкость течет быст-
рее всего в середине трубы, скорость пропорциональна давлению и квадрату
радиуса трубы (и, следовательно, площади поперечного сечения) и обратно
пропорциональна вязкости и длине трубы.
3. Свойства ламинарного потока в трубе
Давление р определяет падение давления между двумя концами трубы.
Таким образом, при заданной скорости падение давления пропорциональ-
но длине трубы. Если рассматривать скорость
и0 = г>(0) в середине трубы, то получается сле-
дующее соотношение между падением давле-
ния и скоростью потока:
4г|/
Р - —“ и0.
Я2
Объемный поток AP/AZ, т.е. объем АГжид-
кости, который протекает в трубе за единицу
времени Дг, определяется интегрированием
скорости по поперечному сечению трубы:
Рис. 6.51. Закон Хагена-Пуа-
зейля. Профиль скорости ла-
минарного потока в трубе
АГ _ лЯ4
AZ 8г|/
> Таким образом, объем жидкости, протекающей по трубе за единицу
времени, проще увеличить путем увеличения площади поперечного се-
чения трубы, чем путем увеличения давления.
> При заданном объемном потоке падение давления равно:
8т|/ ДГ
лЯ4 AZ
|м| Вследствие этого измерения вязкости можно производить, используя со-
отношение между давлением и объемным потоком. Для этого измеряет-
ся время, которое необходимо, чтобы определенное количество жидко-
сти при постоянной высоте столба жидкости вытекло через отверстие
воронки. Действующее давление получается из плотности жидкости и
высоты столба жидкости над отверстием воронки.
6. 3.3.4. Обтекание шара
Если аналогичным образом рассмотреть шар, то можно определить силы,
которые действуют на шар, обтекаемый ламинарным потоком жидкости.
Получается:
Формула Стокса MLT2
Fr = блЦПЗ Символ Единица измерения Название
п г о н Пас м м/с Сила трения Динамическая вязкость Радиус шара Скорость потока
Таким образом, сила трения пропорциональна диаметру шара, скорости
потока и динамической вязкости жидкости.
И Вискозиметр Кеплера используется для измерения динамической вязко-
сти р на основании закона Стокса и посредством определения скорости
погружения и шара радиусом г. Последняя определяется из равновесия
между силой трения FR и силой тяжести FG, уменьшенной на величину
выталкивающей силы FA:
4
Fr = 6лг|ги = Fg - Fa = - яг3з(ртела - рж),
где ртела — плотность шара, рж — плотность жидкости.
Скорость погружения равна:
— ^^^(Ртела ~ Рж )
9т|
и динамическая вязкость равна:
_ 2^Т^(ртела ~ рж )
Л ‘ 9и
6- 3.3.5. Уравнение Бернулли
Для случая реального потока при наличии трения закон Бернулли необхо-
димо преобразовать:
▲ Закон Бернулли: суммы статического и динамического давлений, изме-
ренные в двух различных точках трубы, отличаются на величину падения
давления, рассчитываемого согласно закону Хагена-Пуазейля:
1 2 7
Л + - Р^1 + р^1
1 2
Р2 + - Р^2 + PSh2
= &Р,
где р2 — давления, п2 — скорости жидкости, йь h2 — высота обеих то-
чек измерения, Др — падение давления.
Падение давления будет положительным, если первая точка измерения
располагается ниже по течению потока, чем вторая точка.
Высота потерь /zv — это высота, на которую необходимо поднять приток
трубы, чтобы уравновесить трение:
р£
6.3.4. Турбулентные потоки
1. Характеристика турбулентных потоков
Турбулентный поток — поток, в котором в фиксированной точке про-
странства направление и скорость движения жидкости беспорядочно изме-
няются. Такой поток не является стационарным. Но если проводить измере-
ния в течение промежутка времени, который намного больше типичного
турбулентного изменения, то получается среднее распределение скоростей.
Если оно не зависит от времени, то такой турбулентный поток рассматрива-
6.3. Гидродинамика и аэродинамика
ют как стационарный, пытаются учесть эффект турбулентности с помощью
введения соответствующего коэффициента трения.
2. Образование вихрей
Вихри образуются вследствие трения при срывах слоев жидкости. При
обтекании шара идеальной жидкостью давление будет максимальным в тех
точках, где поверхность шара располагается перпендикулярно потоку («спе-
реди» и «сзади»), так как там скорость в = 0; давление будет минимальным,
а скорость максимальной в тех точках, где поверхность шара параллельна
потоку («сверху» и «снизу»). Частицы жидкости, которые обтекают шар,
сначала уменьшают свою скорость, затем снова ускоряются, а при вливании
в поток вдали от шара вновь затормаживаются. Благодаря силам трения уве-
личивается только торможение частиц. Таким образом, частицы приобрета-
ют нулевую скорость еще до попадания на ось симметрии шара, в точку, где
поверхность шара перпендикулярна потоку. Благодаря этому возникают
вихри, которые по закону сохранения импульса образуются парами.
3. Число Рейнольдса
Число Рейнольдса — это безразмерная величина, которая определяет веро-
ятность образования вихрей. Если число Рейнольдса большое, то вихри образу-
ются спонтанно от малых возмущений (рис. 6.52). Турбулентный поток являет-
ся примером нелинейной динамики (см. главу 7) протяженной системы.
Рис. 6.52. Переход от ламинарного потока
вихрей малого возмущения
к турбулентному. Образование
Из-за трения частиц жидкости в вихре расходуется энергия, которая по-
глощается потоком жидкости и действует как дополнительная сила трения.
▲ Сила трения в турбулентном потоке больше, чем сила трения в ламинар-
ном потоке.
6.3.4.1. Коэффициент аэродинамического сопротивления
1. Сила сопротивления
На тело, находящееся в турбулентном потоке, действуют две силы со-
противления (рис. 6.53):
а) б) в)
Рис. 6.53. Сопротивление при обтекании тел: а — сопротивление трения при
ламинарном потоке; б — напорное сопротивление, действующее
на пластинку при турбулентном потоке; в — трение сопротивле-
ния и напорное сопротивление при обтекании шара
• Сопротивление трения FR — сила, действующая согласно закону трения
между жидкостью и поверхностью тела в области ламинарного потока.
• Напорное сопротивление FD — разница давления, дополнительно дейст-
вующая в турбулентном потоке до и после находящегося в потоке тела.
Эта разница давлений возникает из-за образования вихрей на задней
стороне тела. В вихрях жидкость движется очень быстро, таким образом,
согласно уравнению Бернулли, статическое давление там меньше, чем на
передней стороне.
Обе компоненты вместе дают силу сопротивления :
Гж -Рд +F/)-
2. Коэффициент аэродинамического сопротивления
Коэффициент аэродинамического сопротивления характеризует величи-
ну сил сопротивления:
Сила сопротивления MLT-2
Fw = cw ^Av2 Символ Единица измерения Название
Fpjz p A и н 1 кг/м3 м2 м/с Сила сопротивления Коэффициент сопротивления Плотность жидкости Площадь поперечного сече- ния тела Скорость потока
Коэффициент аэродинамического сопротивления является безразмерной
величиной. Он сильно зависит от формы тела.
▲ Сила аэродинамического сопротивления пропорциональна площади по-
перечного сечения тела и квадрату скорости потока.
> Типичные значения коэффициентов аэродинамического сопротивления
лежат в пределах от 0,055 (тело обтекаемой формы) до 1,1—1,3 (для пла-
стины).
[м] Коэффициент аэродинамического сопротивления определяется прямым
измерением сил сопротивления в аэродинамической трубе. Вследствие за-
кона подобия возможно проводить измерения на уменьшенной модели.
6.3. Гидродинамика и аэродинамика
3. Тело обтекаемой формы
Тело обтекаемой формы имеет форму капли, что приводит к максималь-
но низкому коэффициенту сопротивления. Падение давления вдоль тела об-
текаемой формы происходит настолько медленно, что вихри не образуются.
Это используется, в частности, при создании постепенно сужающейся хвос-
товой части движущихся тел.
> Силы сопротивления тела в атмосфере появляются преимущественно
из-за образования вихрей. Поэтому с помощью шлиц и направляющих
пластин возможно сделать так, чтобы вихри образовывались как можно
дальше от тела, а поток вдоль тела оставался ламинарным.
Мощность Р, которая должна быть потрачена на движение тела в турбу-
лентном потоке, определяется в соответствии с Р = как:
Р =cw
2
При увеличении скорости в два раза затрачиваемая мощность должна
увеличиться в восемь раз.
4. Давление ветрового потока
Ветровая нагрузка на строительные конструкции проявляется в виде из-
быточного давления или разряжения (на подветренной стороне, также под-
нимание крыши). Ветровая нагрузка характеризуется шкалой Бофорта
(см. сила ветра, табл. 34.0/6).
Давление воздуха внутри дома при наличии ветра больше, чем давление
над крышей (см. 6.3.2.3).
▲ Давление ветрового потока pw увеличивается пропорционально скорости
ветра:
- CpV1 2, [pw] = Па = паскаль.
Типичные числовые значения коэффициента ср = 1,0 кг/м3.
Типичная ветровая нагрузка на строительные конструкции
Высота над поверхностью земли Скорость ветра (м/с) Скоростной напор (кПа)
До 8 м 30 0,5
От 8 до 20 м 36 0,8
От 20 до 100 м 24 1Д
Более 100 м 46 1,3
6.3.5. Закон подобия
1. Виды подобия
Закон подобия описывает соотношения между механическими свойства-
ми уменьшенной модели и ее оригинала в потоке. Модель должна соответ-
ствовать обоим условиям подобия:
• Геометрическое подобие: с точки зрения геометрических размеров и
свойств поверхности, модель должна быть уменьшенной копией ориги-
нала.
• Гидродинамическое подобие: плотность, вязкость, скорость жидкости и
силы аэродинамического сопротивления при моделировании должны
находиться в определенных соотношениях с теми же величинами для
оригинала.
2. Число Рейнольдса
Re, описывает гидродинамическое подобие
Число Рейнольдса 1
Zpu Lv Re = —— = — Г| V Символ Единица измерения Название
Re L Р V n V 1 м кг/м3 м/с Па с м2/с Число Рейнольдса Характеристическая длина Плотность жидкости Скорость потока Динамическая вязкость Кинематическая вязкость
Число Рейнольдса является безразмерной величиной. L описывает ти-
пичный размер рассматриваемого тела, например, диаметр шара или длину
ребра куба. Число Рейнольдса является мерой для отношения силы инерции
объема жидкости к силе сопротивления. Поведение потока определяется
комбинацией этих двух величин. Число Рейнольдса зависит от температуры.
▲ Закон подобия:
коэффициенты сопротивления двух геометрически подобных тел совпа-
дают, если числа Рейнольдса в обоих случаях равны.
> Этот закон является основой для проведения измерений коэффициентов
аэродинамического сопротивления на моделях в аэродинамических трубах.
▲ Для соблюдения гидродинамического подобия необходимо для умень-
шенной модели соответствующим образом пропорционально увеличить
скорость или уменьшить кинематическую вязкость. Вязкость, в свою
очередь, можно уменьшить снижением динамической вязкости или уве-
личением плотности.
3. Критическое число Рейнольдса
ReKpHT ~ это критерий перехода от ламинарного потока к турбулентному.
Если число Рейнольдса для потока превышает значение критического числа
Рейнольдса, Re > ReKpilT, то поток становится турбулентным (рис. 6.54).
> Критическое число Рейнольдса сильно зависит от геометрии потока.
В гладкой трубе значения лежат в пределах от 1000 до 2500. Переход от
ламинарного потока к турбулентному происходит не скачкообразно и
также зависит от наличия нарушений в потоке.
6.3. Гидродинамика и аэродинамика
Рис. 6.54. Образование вихрей и переход к турбулентному потоку при увели-
чении числа Рейнольдса
В частности, турбулентность наступает только после превышения опре-
деленной минимальной скорости. По этой причине вихри при обтекании
тела образуются на его задней стороне, где жидкость вновь сливается в один
поток, и при этом возникают осевые и радиальные ускорения.
Ламинарный пограничный слой образуется при обтекании тела реальной
жидкостью. В ней вследствие трения на поверхности тела скорость потока
достаточно мала. В этом случае значение числа Рейнольдса ниже критиче-
ского. Только вне этого граничного слоя образуются вихри (рис. 6.55).
Рис. 6.55. Ламинарный и турбулентный граничные слои
Числом Фруда Fr называется критерий подобия, который учитывает дей-
ствие земного притяжения: динамическое подобие требует также равного
соотношения сил инерции и силы тяжести. Число Фруда имеет значение
при описании поверхностной волны (например, при обтекании кораблей):
где о — скорость потока, L — характеристическая длина, g — ускорение
свободного падения.
В идеальном случае при моделировании должны были бы совпадать как
число Фруда, так и число Рейнольдса для моделей и оригиналов. Но вслед-
ствие различных зависимостей от L это невозможно. При исследовании по-
9—3814
тока в трубах и т.п., где силы земного притяжения оказывают только незна-
чительные влияния на внутреннее движение жидкости, выдерживают число
Рейнольдса для исследования потока, действующего на дно корабля, где ве-
лико влияние поверхностной волны, или при исследовании истечения и об-
разования струи ориентируются на число Фруда.
6.3.5.1. Трение в трубе
1. Закон трения в трубах
Закон трения в трубах описывает пропорциональность между высотой
потерь (см. 6.3.3.5) и длиной I трубы:
где d — диаметр, I — длина трубы, и — скорость потока, g — ускорение сво-
бодного падения.
Коэффициент пропорциональности X называется коэффициентом тре-
ния в трубе. Для гладких труб коэффициент трения выражается эмпириче-
скими формулами, которые действительны для различных значений чисел
Рейнольдса:
• Ламинарный поток: Re < ReKpHT,
л. И.
Re
• Формула Блазиуса: ReKpiIT < Re < 105,
, _ 0,3164
• Формула Никурадзе: 105 < Re < 108,
0 221
X = 0,0032 +
Reo,237
• Формула Киршмера-Прандтля-Кармана: fe > ReKpiIT
Эти уравнения являются определяющими уравнениями, которые дол-
жны решаться графическим или числовым методом.
2. Шероховатость
Коэффициент трения в трубе с шероховатой поверхностью зависит от
средней высоты шероховатости к. Типичные значения высоты шероховато-
стей над поверхностью приведены в таблице:
6.3. Гидродинамика и аэродинамика
Вид трубы Высота неровностей к
Пластиковая труба Стальная труба Ржавая стальная труба Чугунная труба Бетонный канал Штукатурный канал » 0,007 мм 0,05 мм От 0,15 до 4 мм От 0,1 до 0,6 мм От 1 до 3 мм От 3 до 5 мм
> Идет ли речь о гладкой или шероховатой трубе, зависит от относитель-
ной шероховатости:
^rel — ,>
а
где d — диаметр трубы и числа Рейнольдса.
Если
Re- - > 1300,
d
то говорят о шероховатой трубе, при значениях до 65 труба считается глад-
кой, между этими значениями расположена смешанная область.
6.3.6. Потоки с изменяющейся плотностью
Потоки с изменяющейся плотностью встречаются в газах; в жидкостях из-
менением плотности практически всегда можно пренебречь. Главным фено-
меном при этом является распространение малого изменения давления
(звук) и большого изменения давления (ударной волны). Изменения плот-
ности также должны учитываться для потоков с высокой скоростью (сопла)
и для потоков в атмосфере (метеорология).
Уравнения движения для потоков сжимаемых жидкостей включают в
себя дополнительное уравнения состояния среды, которое связывает давле-
ние, плотность и температуру.
1. Звук
Звуком называется распространение небольших изменений давления. Он
распространяется в виде звуковой волны (см. 11.1), которая распространяет-
ся с постоянной скоростью звука с, зависящей от вида среды, ее температу-
ры и давления. Для идеального газа скорость звука равна:
с = JkRT/M,
где к — показатель адиабаты, R — универсальная газовая постоянная, Т —
температура, М — молярная масса.
▲ В неподвижном, однородном газе распространение звука происходит в
виде сферической волны, центром которой является источник звука. Эта
волна распространяется равномерно (изотропно) во все стороны со ско-
ростью звука.
Если источник звука движется относительно наблюдателя (приемника),
то движение источника звука накладывается на движение звуковой волны.
2. Конус Маха
Конус Маха описывает распространение звука от источника звука, кото-
рый движется со скоростью vq, большей скорости звука с. Источник звука
удаляется от посылаемой звуковой волны, vqt > ct. В различные моменты
времени звуковые волны накладываются друг
на друга таким образом, что получается кониче-
ский фронт волны с максимумом повышения
давления, образующим боковую поверхность
конуса (рис. 6.56). Наблюдатель, мимо которого
проходит фронт волны, регистрирует звуковой
удар.
Угол Маха сс равен половине утла раствора
конуса Маха:
Рис. 6.56. Конус Маха. Ис- где vq — скорость источника звука, с — ско-
точник звука движется со рость звука, М — число Маха.
сверхзвуковой скоростью
vq > с. а — угол Маха.
Число Маха М показывает, во сколько раз
скорость движения источника звука больше
скорости распространения звука.
3. Ударная волна
Ударная волна — значительное, но не постоянное изменение давления,
которое распространяется со сверхзвуковой скоростью. Увеличение давле-
ния в такой волне происходит на расстоянии нескольких длин волн (т.е. в
микронном диапазоне). Постоянная волна большой амплитуды преобразует-
ся в ударную волну, так как звук в области высокого давления (а, следовате-
льно, и высокой температуры) распространяется быстрее, чем в области
низкого давления.
> Ударная волна появляется и распространяется при взрыве.
ГЛАВА 7
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА,
ХАОС И ФРАКТАЛЫ
Нелинейная динамика рассматривает движение, в уравнениях которого при-
сутствуют нелинейные члены, вызванные комплексными феноменами, в ча-
стности, детерминистский хаос.
1. Пример: осцилляторы и колебания с нелинейным затуханием.
Осцилляторы с нелинейным затуханием и/или возвращающей силой.
Такие осцилляторы имеют широкий спектр резонансных частот, который
изменяется с амплитудой (зависимость амплитуды от резонансной частоты)
и при некоторых условиях являются самовозбуждающимися.
Колебания в колебательной системе являются приблизительно линейны-
ми только при малых амплитудах. При больших отклонениях напротив по-
являются искажения колебаний, которые в некоторых случаях могут приве-
сти к неожиданному разрушению материала.
Электронные схемотехнические компоненты почти всегда имеют нели-
нейные характеристики. Поэтому электронные усилители при большой мо-
дуляции искажают входящую информацию (нелинейные искажения).
2. Силы взаимодействия между планетами
Силы взаимодействия между планетами зависят от расстояния, точнее
они пропорциональны величине, обратной квадрату расстояния, и, следова-
тельно, изменяются нелинейно. И если для двух тел эти уравнения движе-
ния еще как-то могут быть решены, то для нескольких тел проблемой явля-
ется уже нахождение общего решения для простейшего случая сил взаимо-
действия между двумя частицами.
При движении планет доминирующими являются силы взаимодействия
между планетой и Солнцем, однако силы притяжения других планет вызы-
вают искривление их орбит. Нелинейная динамика исследует стабильность
планетных орбит при наличии таких внешних воздействий.
3. Завихрения
Завихрения в жидкостях или газах — это примеры пространственных не-
линейных процессов. Для них характерно то, что они появляются только в
том случае, если превышено критическое значение определенного парамет-
ра (в данном случае число Рейнольдса, см. 6.3.5, п. 3). Это явление называ-
ется бифуркация.
Завихрения в атмосфере определяют погоду. Они наглядно иллюстриру-
ют зависимость развития динамических процессов от начальных условий:
некоторые атмосферные вихри (диаметром в несколько сотен километров)
могли бы быть предсказаны при точном знании начальных условий. Такие
системы изначально являются детерминистскими, однако предсказать их
поведение невозможно (детерминистский хаос).
Глава 7. Нелинейная динамика, хаос и фракталы
4. Стадионный бильярд
Бильярд — это пространство, ограниченное отражающими стенками, в
котором свободно движутся частицы. Если стенки изогнуты (стадионный
бильярд), то в общем случае движение частицы сильно зависит от началь-
ных условий. В этом случае нельзя предсказать, покинет ли частица это
пространство через отверстие в стенке или нет (рис. 7.1).
Рис. 7.1. Прямоугольный и стадионный бильярд. В стадионном бильярде две
изначально близкие траектории все больше расходятся друг от друга
7.1. Динамические системы и хаос
Динамика занимается общими вопросами эволюции системы во времени.
Основа динамики — это понятие «динамическая система». Различают кон-
сервативные системы (механическая энергия системы не зависит от време-
ни) и диссипативные системы (механическая энергия переходит в другие
виды энергии и со временем теряется). Для консервативных систем исследу-
ют вопросы интегрируемости, для диссипативных — долговременные про-
цессы, существование аттракторов и зависимость от начальных условий, ко-
торая ведет к странным аттракторам и детерминистскому хаосу.
7.1.1. Динамические системы
1. Динамическая система
Динамическая система — абстрактный способ описания какого-либо
процесса (физического, химического, экономического, экологического и
т.д.). Состояние динамической системы представляется в виде ряда пере-
менных, которые описывают физическую ситуацию и изменяются во време-
ни.
2. Пример динамической системы
Математический маятник (см. 9.1.2) описывается с помощью отклоне-
ния от положения покоя. Переменной является угол отклонения 0. Из-
менение его во времени определяется посредством дифференциального
уравнения маятника:
d20 2 . Q
---= со2 sin 0,
d/2
где со = .yj-g/l — циклическая частота колебаний при малых отклонениях,
I — длина маятника, g — гравитационная постоянная.
Нелинейность (ангармоничность) в этой простой системе выражается
появлением более высоких степеней 0 при разложении синуса в ряд.
7.1. Динамические системы и хаос
Другие примеры динамических систем — движение тела в классической
механике, течение тока в электрической цепи, протекание химических
реакций, изменение экономических параметров, изменение популяции в
биологии.
3. Обратный пример динамической системы
Противоположность динамической системы — термодинамическое рав-
новесие, которое рассматривается в термодинамике (см. 20.1.3, п. 3). Оно не
описывает изменение во времени, а дает информацию о стационарном со-
стоянии системы в зависимости от окружающих условий. Кинетическая те-
ория представляет взаимосвязь между динамической системой (молекуляр-
ное движение) и условиями равновесия.
4. Детерминистские системы
Детерминистские системы — такие системы, изменение которых в будущем
может быть определено на основе знаний из настоящего (или прошлого).
Каждая классическая механическая система является детерминистской:
движение определяется уравнениями движения Ньютона, достаточно
информации о положении и импульсе в некоторый момент времени,
чтобы определить развитие системы на все оставшееся время.
Недетерминистскими являются стохастические системы, где действуют
факторы, о которых известна только вероятность их появления. Это мо-
лекула газа в термодинамике и ее кинетическая энергия, броуновское
движение, квантовая система и модели из экономии и биологии, в кото-
рых с помощью стохастических членов (шумов) моделируются случай-
ные изменения.
5. Непрерывные системы
Непрерывная система — такая система, значения переменных в которой
изменяются непрерывно, т.е. для любого момента времени t может быть
определено соответствующее состояние системы. Изменение во времени
может быть определено с помощью системы дифференциальных уравнений,
которые показывают, как быстро изменяются значения переменных при за-
данном состоянии системы.
Движение тел в классической механике и протекание тока в электриче-
ском контуре описываются непрерывными переменными (положение,
токи).
6. Дискретная система
Это такая система, переменные в которой от одного момента времени tn
пошагово изменяются к следующему моменту времени tn+i9 а система не при-
нимает никаких промежуточных состояний. Изменение во времени определя-
ется с помощью отображения, которое показывает, какие значения принима-
ют переменные в момент времени /Л+1, если заданы их значения в момент вре-
мени tn и возможно в другие, более ранние моменты времени tn_2-
Дискретные системы встречаются в математических моделях, например,
при моделировании экономических процессов (валовой национальный
продукт за различные годы) и при описании непрерывных систем с по-
мощью сечений Пуанкаре.
7. Линейные системы и принцип суперпозиции
Линейной называется система, в которой причина и следствие пропор-
циональны друг другу и поэтому могут быть описаны с помощью линейного
уравнения.
Гармонический осциллятор: квазиупругая сила пропорциональна откло-
нению X,
X = —СО2Х,
где со — циклическая частота колебаний.
▲ Принцип суперпозиции:
Если известны два решения Х](/) и х2(/) линейной системы, то линейная
суперпозиция или линейная комбинация
х(7) = охД/) + рх2(/),
где а и (3 — любые коэффициенты, также будет решением этой системы.
В частности, свойства системы при больших значениях переменных
можно определить посредством масштабирования.
Частота гармонического осциллятора не зависит от амплитуды.
Уравнение движения гармонического осциллятора имеет два элементар-
ных решения, например, колебания по закону синуса или косинуса, ко-
торые отличаются друг от друга только сдвигом фаз. Линейная комбина-
ция элементарных решений позволяет получить решение с любой амп-
литудой и фазой.
Вследствие принципа суперпозиции для линейной системы достаточно
знать несколько фундаментальных решений уравнений, описывающих эту
систему.
8. Нелинейная система
Нелинейной называется система, в которой причина и следствие не про-
порциональны друг другу и поэтому не могут быть описаны с помощью ли-
нейного уравнения.
В системе действуют нелинейные квазиупругие силы и/или затухание,
что изменяет свойства осциллятора и его амплитуду. Такой осциллятор
может иметь несколько резонансных частот, значения которых зависят
от амплитуды возмущений.
Математический маятник: при больших отклонениях квазиупругая сила
увеличивается непропорционально углу отклонения, а его синусу, т.е.
квазиупругая сила меньше, чем в линейном случае. При малых отклоне-
ниях система совершает колебания вокруг положения покоя, при боль-
ших отклонениях возможно опрокидывание.
7.1.1.1. Пространство состояний и фазовое пространство
1. Конфигурационное пространство
Конфигурационное пространство — это «-мерное пространство с числом
измерений, равным числу п степеней свободы системы, вводимое для услов-
7.1. Динамические системы и хаос
ного представления движения всей системы как движения некоторой точки
в этом пространстве.
▲ Изменение во времени динамической системы описывается с помощью
указания траектории в конфигурационном пространстве, т.е. каждому
моменту времени t соответствует точка х(/) в конфигурационном про-
странстве.
а) Примеры траекторий
Траектория материальной точки в классической механике; конфигура-
ционное пространство в данном случае является трехмерным простран-
ством, в котором происходит движение.
Ряд Фибоначчи в виде динамической системы описывается последова-
тельностью:
= хп_х + хп_2
с начальными условиями х0 = хх = 1. Конфигурационное пространство — ве-
щественная ось, траектория — ряд (xQrKirK2...).
[м] х-/-самописец служит для представ-
ления движения системы. На верти-
кальной оси откладываются одна
или несколько переменных систем,
на горизонтальной — время.
б) Пример математического маятника:
График х—t математического маятни-
ка при малых отклонениях является си-
нусоидой.
2. Пространство состояний
Чтобы рассчитать дальнейшее разви-
тие системы, в общем случае не доста-
точно знать только состояние системы в
настоящий момент времени. Необходимо
знать скорость изменения (производную
по времени) переменных.
Для математического маятника наря-
ду с отклонением необходимо также
знать мгновенную скорость маятника.
Рис. 7.2. 0-Г-диаграмма маятника.
При малых амплитудах колебания
гармонические, при больших от-
клонениях форма и частота колеба-
ний изменяются
Пространство состояний — пространство, в котором представлены все
величины, знание которых в определенный момент времени необходимо для
расчета дальнейшего развития системы. Каждая точка в пространстве состо-
яний однозначно характеризует настоящее и будущее состояние системы
(фазовая точка).
а) Примеры пространства состояний
Чтобы определить дальнейшее развитие ряда Фибоначчи, необходимо
знать его текущий член хп и предыдущий член хп_х. Таким образом, каж-
дая точка в пространстве состояний представляется двумя числами.
Глава 7. Нелинейная динамика, хаос и фракталы
Пространство состояний для систем в классической механике является
фазовым пространством (см. 2.9.2, п.5), в котором каждая точка описы-
вается обобщенной координатой положения и импульса.
Для математического маятника фазовое пространство описывается пере-
менными в и скоростью изменения угла отклонения 0.
б) Траектория в фазовом пространстве
> Понятие фазовое пространство также часто используется для других сис-
тем и обозначает в этом случае пространство состояний.
Фазовая траектория — изменение состояния системы, которое отобра-
жается траекторией фазовой точки в фазовом пространстве: каждому мо-
менту времени соответствует точка в фазовом пространстве (рис. 7.3). ।
@ х-/-самописец служит для представления движения системы в фазовом
пространстве: на каждой оси откладывается координата фазового про-
странства.
в) Пример: математический маятник: При малых отклонениях фазовая траек-
тория является эллипсом.
Рис. 7.3. Фазовая траектория
гармонического осциллятора
(эллипс, периодическое движе-
ние) и затухающего маятника
(спираль)
Рис. 7.4. Фазовая траектория математиче-
ского маятника. При малых амплитудах 0
траектория соответствует траектории гармо-
нического осциллятора, при больших от-
клонениях появляются искажения, что в
конечном итоге приводит к опрокидыванию
г) Свойства фазовых траекторий
▲ Замкнутая фазовая траектория соответствует периодическому движению.
В детерминистской системе положение системы в фазовом пространстве
в любой момент времени определяет дальнейшую траекторию, т.е. все буду-
щее развитие системы.
▲ Фазовые траектории не могут пересекаться между собой.
В противном случае в точке пересечения траекторий было бы неясно, по
какой из двух траекторий последует система.
> Сингулярность — точка в фазовом пространстве, к которой стремится
множество траекторий, и в которой система перестает изменяться или к
которой асимптотически приближается. В такой точке система теряет
информацию о том, по какой из траекторий он попала в эту точку.
7.1. Динамические системы и хаос
3. Сечение Пуанкаре
а) Сечение Пуанкаре — это простая возможность наглядного представле-
ния поведения системы. При этом рассматривается не все фазовое про-
странство, а только некоторое подпространство (гиперповерхность), которая
содержит п-1 фазовых координат. Каждый раз, когда все другие фазовые ко-
ординаты принимают заранее установленные значения, точкой отмечается
значение той фазовой координаты, которая рассматривается на данном се-
чении.
Сечение Пуанкаре — подпространство фазового пространства, определя-
емое тем, что одна из фазовых координат принимает определенное значе-
ние. На этом сечении рассматривают его точки пересечения с фазовыми
траекториями.
> Этот способ следует отличать от проекции фазового пространства, кото-
рую получают, непрерывно нанося значения рассматриваемой фазовой
координаты. На сечении систему рассматривают только в те моменты,
когда одна из фазовых координат принимает определенные значения.
б) Пример сечения Пуанкаре для ангар-
монического осциллятора. Переменная, по
которой строится сечение, — фаза внеш-
него возбуждения sin со/ = 0. Технически
это можно реализовать с помощью стро-
боскопа. На рис. 7.5 показана соответст-
вующая фазовая траектория.
в) Пример маятника. Для маятника в
качестве сечения Пуанкаре можно ис-
пользовать нулевую линию отклонения
0 = 0. Каждая траектория пересекает его в
двух различных точках: один раз при дви-
жении маятника слева направо (0 > 0) и
второй раз при движении в обратном на-
правлении (0 < 0). Сечение Пуанкаре —
это прямая, на которой нанесена коорди-
ната 0 и отмечены обе эти точки.
Альтернативно в качестве сечения
Рис. 7.5. Сечение Пуанкаре ангар-
монического осциллятора (осцил-
лятор Дуффинга)
можно рассматривать нулевую линию
скорости 0=0. На него наносят значения 0, когда 0 равно нулю. Это будут
точки для ±0тах, т.е. точки максимального отклонения.
г) Свойства сечения Пуанкаре
▲ Каждая точка сечения Пуанкаре точно соответствует точке фазового
пространства.
> В отличие от сечения для проекции спроецированную координату боль-
ше нельзя восстановить.
Поэтому точка на сечении Пуанкаре точно определяет траекторию, ко-
торая проходит через нее, и, следовательно, следующую точку пересечения
траектории с сечением Пуанкаре.
Глава 7. Нелинейная динамика, хаос и фракталы
4. Отображение Пуанкаре
Отображением Пуанкаре называют зависимость координат хронологиче-
ски соседних точек в сечении. Оно позволяет свести динамику системы к
вопросу, в какой из точек фазовая траектория в следующий раз пересечет
сечение Пуанкаре.
▲ Отображение Пуанкаре сокращает непрерывную динамическую систему
до дискретной динамической системы.
Сечение Пуанкаре позволяет идентифицировать периодическую систему.
• Периодическая или квазипериодическая фазовая траектория пересекает
сечение Пуанкаре в конечном числе точек, относящихся к одной кривой.
• Хаотическая фазовая траектория пересекает сечение Пуанкаре в беско-
нечном числе хаотически распределенных точек.
Рис. 7.6. Визуализация траектории в фазовом пространстве с помощью ото-
бражения Пуанкаре (схематически). Рассматривается последователь-
ность точек х = (#,р), в которых траектория пересекает плоскость p,q
вертикально вверх или вниз: а — отображение Пуанкаре хп хл+1;
б — периодическая траектория; в — регулярная траектория (точки
пересечения лежат на инвариантной кривой); г — хаотическая траек-
тория (точки пересечения хаотически распределены по плоскости)
7.7.2. Консервативные системы
Консервативная или замкнутая система — система, в которой энергия со
временем не изменяется. Характерным для такой системы является сущест-
вование энергетической функции, в которой каждой точке фазового про-
странства соответствует величина энергии. В этом случае система движется
по эквипотенциальной энергетической поверхности.
Механическая система без трения является консервативной системой,
так же как и электрический колебательный контур без омического со-
противления.
Движение планет без учета гравитационного притяжения Солнца и пла-
нет между собой — это пример нелинейной консервативной системы.
Проблема двух тел (Солнце + планета) еще может быть решена аналити-
чески, проблема нескольких тел (Солнце + несколько планет) — уже нет.
7-1.2.1. Теорема Лиувилля
Поведение замкнутой системы в фазовом пространстве характеризуется тео-
ремой Лиувилля. Для этого в фазовом пространстве рассматривают траекто-
рии, которые проходят через несколько точек, расположенных близко друг
к другу.
> Фазовое пространство охватывает не только переменные координаты по-
ложения, но и импульсы. Поэтому близость точек в фазовом простран-
стве означает подобные положения и подобные скорости.
Теорема Лиувилля:
Эволюция системы во времени представится как движение фазовой точ-
ки в 2-мерном пространстве. Если в начальный момент времени фазо-
вые точки непрерывно заполняли некоторую область в фазовом про-
странстве, а с течением времени перешли в другую область этого про-
странства, то, согласно теореме Лиувилля, соответствующие фазовые
объемы равны между собой (рис. 7.7).
> Если в фазовом пространстве рас-
сматривать квадратную поверхно-
сть, то, согласно теореме Лиувилля,
точки этого квадрата в процессе
эволюции системы закроют поверх-
ность равной величины. О форме
этой поверхности, однако, не гово-
рится ничего. Она может быть вы-
тянутым прямоугольником, но так-
же принять и любую нерегулярную
форму или фрактал (см. 7.3, п. 3).
Теорема Лиувилля накладывает
сильное ограничение на динамику
консервативной системы.
Рис. 7.7. Теорема Лиувилля. Величи-
на фазового объема в процессе эво-
люции системы не изменяется. За-
крашенные поверхности имеют оди-
наковую площадь
7.1.2.2. Интегрируемость
1. Пример: консервативная система — гармонический осциллятор
Классический пример консервативной системы — гармонический осцил-
лятор (см. 2.9.2, п. 4) и системы связанных гармонических осцилляторов. Их
движение всегда является квазипериодическим, т.е. оно может быть описано
с помощью наложения гармонических колебаний различной частоты:
х(/) = Cj sin (оу Г + (pi) + с2 sin(co2Z + ср2)+...
Здесь с1?с2 — постоянные, со1,со2 — циклические частоты колебаний, фцф 2 —
начальные фазы.
Глава 7. Нелинейная динамика, хаос и фракталы
Движение связанного маятника может быть описано как суперпозиция
исходных колебаний:
/ \ j • (coi + со2 Сод — g>2
х, (t) = A sin —---1 cos —------1 L
I 2 ) V 2 )
/ \ j • (COi — co? ГсО1 + co? Л
x2 (0 = A sin I ———-1 I cos I ———— 11.
Если в качестве переменных Z\ и г2 выбрать сумму или разность х{ и х2,
то получается:
Zi(t) = x^t) - х2(/) = А} sin(aV + <Р1),
Z2(0 = ^1(0 + x2(f) = А2 sin(co2z + <р2).
2. Интегрирование динамических систем
Для интегрирования уравнений движения заданной динамической сис-
темы пытаются найти такую координату, изменение которой описывает гар-
монические колебания. При этом возникает вопрос, может ли любая кон-
сервативная системы быть сведена к одному или нескольким гармониче-
ским осцилляторам с помощью надлежащего переноса координат?
а) Интегрируемая система — система, которая с помощью надлежащего
выбора переменных может быть описана как наложение гармонических
осцилляторов. Она характеризуется постоянной движения (интегралом дви-
жения), т.е. величиной, которая не изменяется в процессе эволюции системы
(как энергия и циклическая частота колебаний cOi). Знание всех постоянных
движения полностью характеризует его вплоть до определения фазы cpz.
Все линейные системы являются интегрируемыми.
Проблема двух тел (движение одной планеты и Солнца) может быть ин-
тегрирована.
б) Неинтегрируемая система — система, движение которой не является
периодическим или квазипериодическим, и поэтому с помощью надлежа-
щего переноса координат не может быть описана как гармонический осцил-
лятор. Поведение неинтегрируемых систем может быть периодическим в од-
ной части фазового пространства, в то время как в другой части оно будет
хаотическим. В частности, такие системы имеют сильную зависимость от
начальных условий и хаос (см. 7.1.3, п. 6).
Проблема нескольких тел (движение двух и более планет вокруг Солнца)
не может быть интегрирована. Существуют определенные стабильные
орбиты, другие орбиты являются нестабильными и ведут к отклонению
планет от своих траекторий и/или распаду системы.
7.1.3. Диссипативные системы
1. Определение диссипативной системы
Диссипативная система — система, которая в процессе эволюции теряет
свою энергию.
Классический маятник с затуханием, электрический колебательный кон-
тур с омическим сопротивлением — примеры диссипативных систем.
7.7. Динамические системы и хаос
Для диссипативной динамической системы теорема Лиувилля не дейст-
вительна:
А В диссипативной системе фазовый объем ансамбля уменьшается в ходе
эволюции системы.
Характерным для диссипативной системы является существование ат-
тракторов и предельных циклов, которые определяют ее долговременное по-
ведение.
2. Точка покоя и предельный цикл
Точка покоя — точка, в которой система застывает, т.е. больше не изме-
няется, если эта точка достигнута. Это может быть конечная точка одной
или нескольких фазовых траекторий или изолированная точка.
Предельный цикл — периодическое движение, которое начинает совер-
шать система после того, как затухают переходные процессы. Система, ко-
торая имеет предельный цикл, при большом количестве начальных условий
достигает его через достаточно большой промежуток времени и не изменяет
его более. При этом информация о начальных условиях полностью теряется.
> Согласно теореме Лиувилля для консервативной системы такое поведе-
ние невозможно.
3. Аттракторы
Точки покоя и предельные циклы являются простейшими примерами
аттракторов.
Аттрактор — область в фазовом пространстве, к которой стремятся все
траектории, и которую, однажды достигнув, система уже не покидает.
Бассейн аттрактора — все точки фазового пространства, проходя через
которые траектории попадают в аттрактор.
Знание аттрактора системы и бассейна аттрактора позволяют описать
диссипативную систему. Задачей нелинейной динамики диссипативных сис-
тем является нахождение и определение характеристик этих аттракторов,
которые описывают долговременное поведение системы.
7.1.3.1. Странные аттракторы, детерминистский хаос
Простейшие аттракторы — это точечные аттракторы (система достигает
определенного состояния и застывает в нем) и предельные циклы (система
совершает периодические движения). Их знание позволяет полностью пред-
сказать поведение системы после достаточно долгого времени. Однако су-
ществуют и другие аттракторы, которые позволяют предсказать только то, в
какой части фазового пространства будет находиться система. Они характе-
ризуются тем, что фактическое движение системы можно предсказать толь-
ко тогда, когда точно известны начальные условия. Любая неточность в на-
чальных условиях усиливается настолько, что через какое-то время прогно-
зирование состояния системы становится невозможным.
1. Сильная зависимость от начальных условий
Имеется в том случае, если очень малое изменение в начальных услови-
ях через достаточно долгое время приводит к тому, что система принимает
полностью другое состояние.
Глава 7. Нелинейная динамика, хаос и фракталы
Отображение Бернулли описывается формулами:
[2хл, если хп лежит в интервале [0; 0,5]
Хл + 1 = 1
\2хп - 1, если хп лежит в интервале [0,5; 1]
Вещественные числа хп лежат в интервале от 0 до 1. Если знание началь-
ной величины х0 не имеет точного значения, то невозможно предсказать, ле-
жит ли значение хп в верхней или нижней половине интервала.
Если х0 записать в двоичной системе, х0 = с двоичными циф-
рами = 0 или 1, то отображение Бернулли записывается после запятой
вправо, т.е. xl = ().b2b3b4. . . и т.д. Если Ь2 = 0, то это число принадлежит
нижней половине интервала. Иррациональное число имеет бесконечно мно-
го случайных двоичных цифр bv т.е. поведение системы будет предсказуе-
мым только в том случае, когда достаточно точно известны начальные усло-
вия.
2. Эргодичность
Эргодичность — свойство движения, при котором траектория с течением
времени может сколь угодно близко подходить к любой заданной точке из
множества достижимых фазовых точек. Эргодичное движение пронизывает
все множество фазовых точек.
3. Экспонента Ляпунова
X, характеризует быстроту нарастания малого возмущения:
| /(х + Дх, /) - /(х, 0| = Дхе_Д
для достаточно больших промежутков времени t и достаточно малых рассто-
яний Дх.
4. Пример: осциллятор Дуффинга
Осциллятор Дуффинга — нелинейный осциллятор, который может быть
представлен с помощью уравнения движения:
тх = -Дх - Дх2 - Дх3 -bx + F sin со/.
Д — модуль упругости линейной части системы, в то время как Д и Д
описывают нелинейные модификации силы упругости, которые становятся
заметны при больших отклонениях (рис. 7.8), b — (линейная) сила трения.
Рис.7.8. Осциллятор Дуффинга. Колебания заметно отклоняются от гармо-
нической формы, фазовая траектория деформирована. Но, не смот-
ря на это, поведение еще остается регулярным
С помощью этих четырех постоянных можно определить нелинейное пове-
дение системы.
Член Fsin со/ описывает периодическую внешнюю силу с амплитудой F
и циклической частотой со, которая воздействует на осциллятор.
5. Хаотическая система
Хаотическая система — система с сильной зависимостью от начальных
условий, которая движется только в ограниченной области фазового про-
странства.
> Сильную зависимость от начальных условий могут иметь и линейные
системы, например, при экспоненциально расходящихся траекториях.
Хаотическая система имеет еще дополнительное свойство — движение
остается ограниченным в конечной области фазового пространства.
6. Детерминистский хаос
Так как начальные условия никогда не известны точно, то поведение си-
стемы не может быть предсказано на достаточно долгое время, хотя ее пове-
дение и остается строго детерминистским. Система остается детерминист-
ской, однако непредсказуемой.
7. Странный аттрактор
Странный аттрактор — аттрактор, в котором система имеет сильную за-
висимость от начальных условий. Хоть система и движется внутрь аттракто-
ра, однако ее движение является хаотическим (рис. 7.9).
Рис. 7.9. Осциллятор Дуффинга в хаотической области. График x-t показы-
вает хаотическое поведение в окрестности нулевой линии. Фазовая
траектория находится в странном аттракторе
7.2. Бифуркации
Бифуркация — внешний параметр, одна из величин, характеризующих сис-
тему в виде целого, который задается извне, например, экспериментатором.
Это могут быть массы тел при исследовании проблемы нескольких тел,
модуль упругости и затухание осциллятора. Параметры могут, в частно-
сти, определять степень нелинейности, например, изменением характе-
ристики пружины осциллятора.
Теория хаоса исследует вопрос, при каких значениях параметров систе-
мы ее поведение будет хаотическим.
7.2.1. Логистическое отображение
1. Определение логистического отображения
Логистическое (или квадратичное) отображение — это дискретная дина-
мическая система с переменной х, которая определяется отображением
Хп+1 = ™„(1 - хп),
где хп,хп+1 — это значения переменной в двух следующих друг за другом ша-
гах, г — параметр. Логистическое отображение — это простейший пример
нелинейной дискретной динамической системы.
2. Граф логистического отображения
На рис. 7.10 изображены графы хп-хп+х логистического отображения. На
горизонтальной оси нанесено значение хп9 по вертикальной оси определяют
относящееся к нему последующее значение.
Графы хп-хп+х могут использоваться для наглядного представления дина-
мики логистического отображения. Для этого начинают мысленное движение
в заданной точке хп на горизонтальной оси, затем идут вертикально вверх до
точки пересечения с кривой и оттуда влево, где находят следующее значение
хл+1. Из этой точки снова горизонтально назад до начерченной диагонали, а
затем вертикально вниз до пересечения с горизонтальной осью, но уже в точ-
ке хп+ъ и затем процесс повторяется снова, как описано выше.
Рис. 7.10. Шаги итерации логистического уравнения при различных значе-
ниях параметра г, который определяет крутизну параболы
> Конфигурационное пространство логистического отображения является
вещественной осью, на которую нанесены значения переменной х. Так
как для нахождения будущих значений не нужна никакая дополнитель-
ная информация, кроме текущего значения х, то пространство состоя-
ний также является вещественной осью.
На рис. 7.10 показаны некоторые из итераций при различных значениях
параметра г.
3. Свойства логистического отображения для различных значений параметра г
• Точка покоя, к которой стремится система, является аттрактором. Сис-
тема при большинстве начальных условий стремится к точке покоя, т.е.
точке х, для которой
х = /х(1 - х) => хп+1 - хп = х.
• При больших параметрах г, который определяет форму параболы, преде-
льный цикл наступает на втором периоде. Если переходный процесс за-
тухает, то система «прыгает» между двумя значениями.
• Если увеличить крутизну параболы еще больше, то предельный цикл на-
ступает на четвертом периоде, т.е. имеет место удвоение периода. После
четвертого шага система вновь достигает такого же состояния, как и пе-
ред первым шагом.
• Для еще больших значений г предельный цикл находится в еще более
поздних периодах (8, 16, 32, ...). Расстояния между различными значени-
ями гп, в которых находятся последующие максимальные количества пе-
риодов, становятся все короче.
• Начиная с определенного критического значения период становится
бесконечным, а система — апериодической.
4. Траектория логистического отображения
Траектория логистического отображения состоит из всех точек хп, кото-
рые могут быть достигнуты исходя из начального значения х0. Если убрать
влияние переходных процессов, например, начиная наносить траектории с
сотой итерации, то траектория состоит в случае наличия точки покоя только
из этой точки покоя (и возможно ее ближайших окрестностей). Для преде-
льного цикла второго периода траектория состоит из двух точек, а именно
обоих значений, которые принимает переменная х; для предельного цикла
/7-го периода — из п различных точек. В апериодической области в конце
концов появляется бесконечное количество точек, и закрашивается целый
участок оси.
5. Бифуркации логистического отображения
Из траектория получают бифуркационную диаграмму.
Бифуркационная диаграмма — диаграмма, на горизонтальной оси кото-
рой откладывается параметр г, а на вертикальной — значения хп, а именно в
виде траектории: для каждого значения г берут все значения хп, которые по-
лучаются из определенного начального значения при этом значении г. При
этом переходные процессы в начале пропускаются (рис. 7.11).
Глава 7. Нелинейная динамика, хаос и фракталы
1 I Г
3 3.5 4
Контрольный параметр г
Рис. 7.11. Бифуркационная диаграм-
ма логистического уравнения (схема-
тически). Для каждого значения па-
раметра г закрашены те значения х,
которые соответствуют какому-либо
значению хп, принимаемому при
этом параметре (переходные процес-
сы не показаны)
• г < Гр Система имеет точку покоя, для каждого значения г закрашивает-
ся только одна единственная точка покоя, на бифуркационной диаграм-
ме возникает единственная ветвь кривой.
• гх < г <г2: Система находится в периодическом предельном цикле, закра-
шены две точки, на бифуркационной диаграмме возникают две ветви
кривой.
• При дальнейшем увеличении г появляются все возрастающие периоды и
соответствующее количество ветвей кривой.
• В конечном итоге динамика становится апериодической, закрашивается
вся область.
Поэтому на бифуркационной диаграмме видна кривая, которая при
определенном значении г разделяется на две ветви. Такое разделение проис-
ходит все быстрее до тех пор, пока при превышении критического значения
rf не разделится на бесконечное число ветвей.
6. Бифуркация
В общем случае качественное изменение поведения системы (переход от
точки покоя к периоду 2, затем к периоду 4 и т.д., в конечном итоге — к
апериодическому движению) при малом изменении параметра (параметр г).
Особая роль логистического отображения состоит в том, что отображе-
ние Пуанкаре (см. 7.1.1.1, п. 3) многих динамических систем имеют подоб-
ную структуру и проходят тот же ряд бифуркаций. Говорят, такие системы
достигают хаотического движения по сценарию дерева Файгенбаума.
▲ Системы, которые достигают хаотического движения по сценарию дере-
ва Фейгенбаума, характеризуются последовательностью удвоений перио-
да до наступления хаоса.
> Для наступления хаоса существует и другой путь: не все системы следу-
ют сценарию дерева Фейгенбаума.
7.3.
7.2.2. Универсальность
Универсальность появляется из того факта, что сечения Пуанкаре многих
систем имеют похожую форму, что и логистические отображения, т.е. систе-
ма также проходит последовательность удвоений периода.
Фейгенбауму в 1979 году удалось вывести универсальные свойства этих
систем:
▲ Если через гп обозначить значение параметра г при п-м удвоении перио-
да, а гх, - значение при наступлении хаотического движения, то рассто-
яния гу — гп образуют геометрическую прогрессию (первый закон Фей-
генбаума):
Г» ~гп =С5~п,
где С — постоянная, зависящая от системы, однако число б является уни-
версальным — оно имеет одно и то же значение для всех систем, следующих
этому сценарию:
б = 4,669201... — первая постоянная Фейгенбаума
Значения параметров, при которых наступает удвоение периода, нахо-
дятся в простой зависимости между собой, что можно проверить экспери-
ментально. То есть хаотическое движение ни в коем случае не обозначает,
что нельзя ничего сказать о свойствах движения.
> Два других закона Фейгенбаума описывают дальнейшие универсальные
свойства, в частности положение элемента аттрактора хп.
7.3. Фракталы
1. Размерность фрактала
Размерность фрактала D — размерность множества, которую определя-
ют, измеряя множество с помощью определенного масштаба. Для прямой
таким масштабом будет являться отрезок фиксированной длины /, на плос-
кости — квадрат с длиной стороны /, в пространстве — куб с длиной ребра /.
Берут этот масштаб и измеряют, сколько масштабных единиц потребуется,
чтобы полностью перекрыть множество. Если масштабную единицу умень-
шить, то это число N(l) в D-мерном пространстве увеличится пропорциона-
льно D-й степени:
Wo) UJ ’
где /0 — исходный масштаб, / — новый масштаб.
Если длину боковой стороны квадрата в двумерной плоскости умень-
шить в два раза, то потребуется в 22 = 4 раза больше меньших квадратов,
чтобы покрыть такую же площадь. При трехмерном пространстве потре-
буется соответственно в 23 = 8 раз больше кубов.
2. Объекты с дробной фрактальной размерностью
Существуют объекты, для которых количество необходимых масштабных
единиц возрастает не с целым значением числа Дас дробным по экспоненте.
Глава 7. Нелинейная динамика, хаос и фракталы
а) Множество Кантора — подмножество интервала от 0 до 1 одной раз-
мерности. Из интервала вырезают среднюю треть, затем из оставшихся двух
третей опять вырезают средние трети и т.д. Если такое множество попытать-
ся покрыть масштабными единицами, то для его размерности D получается:
D = — » 0,63.
1пЗ
Если размер масштабной единицы уменьшить в два раза, то понадобится
примерно в 20’63 » 1,55 раз больше масштабов, чем ранее.
б) Карта морского побережья. Если измерить длину морского побережья
на карте с большим масштабом, то получится меньшее значение, чем при
измерении на карте с высоким разрешением, на которой показано больше
маленьких бухт и изгибов берега.
в) Кривая Коха и снежинка Коха. Кривая Коха получается следующим
образом: сначала берут участок длиной /, затем среднюю часть заменяют
двумя отрезками длиной //3, расположенными под углом 60° друг к другу,
с получившимися четырьмя отрезками действуют далее по аналогии
(рис. 7.12). Размерность кривой Коха:
D = — » 1,262.
1пЗ
Снежинка Коха получается из равностороннего треугольника, если его
стороны заменяются кривыми Коха. С каждым шагом итерации периметр
фигуры увеличивается в 4/3 раза, площадь, напротив, остается конечной
(рис. 7.13).
Рис. 7.12. Первый шаг для
получения кривой Коха
Рис. 7.13. Первые 4 шага
Коха
для получения снежинки
г) треугольник Серпинского получается из одностороннего треугольника с
помощью последовательного удаления подобного треугольника, уменьшен-
ного в два раза, углы которого касаются средних точек сторон треугольни-
ков, получившихся в результате предыдущей итерации. При каждом шаге
итерации площадь треугольника уменьшается в 3/4 раза (рис. 7.14). Размер-
ность треугольника Серпинского:
D = — » 1,585.
In 2
3. Фрактал
Фрактал — объект с дробной размерностью, в отличие от таких объек-
тов, как прямая линия, плоскость, объемное тело, размерность которых рав-
на целому числу.
Рис. 7.14. Первые шаги для получения треугольника Серпинского и последу-
ющие итерации. Линейная шкала варьируется
Самоподобие — свойство, при котором фрактальное множество при уве-
личении выглядит так же, как и исходное множество.
Для множества Кантора каждая треть ин- -----------
тервала выглядит так же, как и сам ин- ---- ------
тервал (рис. 7.15). ----------
▲ Все известные странные аттракторы яв- Рис 7 15 Множество КантоРа
ляются фракталами.
> Множество всех точек в фазовом про-
странстве, принадлежащих аттрактору, имеет фрактальную размерность.
Это — центральная связь между нелинейной динамикой и фрактальной
геометрией.
Другие фрактальные множества появляются
при нахождении парамет-
ров, при которых поведение системы становится хаотическим.
4. Множество Мандельброта
Множество Мандельброта — один из са-
мых известных фрактальных объектов, мно-
жество всех точек ц комплексной плоскости,
получаемое при условии, что итерация про-
водится по выражению
z -> Z2 -ц
(начало при z0 = 0) не уходит в бесконеч-
ность. Это множество («яблочный челове-
чек», рис. 7.16) является самоподобным и
ограничено фрактальной кривой.
Рис. 7.16. Яблочный человечек
ГЛАВА 8
ТАБЛИЦЫ К РАЗДЕЛУ
«МЕХАНИКА»
Обозначения, принятые в разделе «Механика»
Символ Единица измерения Название
а рад/с2 Угловое ускорение
а 1 Коэффициент удлинения
У 1 Релятивистский множитель
€ 1 Относительная деформация
1 Коэффициент полезного действия
V Пас Динамический коэффициент вязкости
К 1/Па Сжимаемость
р 1 Коэффициент трения скольжения
Ро 1 Коэффициент трения покоя
р 1 Коэффициент Пуассона
V 1 Коэффициент поперечного сжатия
V м2/с Кинематическая вязкость
р кг/м3 Плотность
а Н/м2 Нормальное напряжение
а Н/м Поверхностное натяжение
т Н/м2 Касательное напряжение
Ф Дж/кг Гравитационный потенциал
<Р рад Угол
Ч> м2/Нс Текучесть
а) рад/с Угловая скорость
А м2 Площадь
а м/с2 Ускорение
с м/с Скорость света
1 Коэффициент подъемной силы
1 Коэффициент аэродинамического сопротивления
Dtn Нм Коэффициент упругости кручения
d м Расстояние, плечо рычага
Е Дж Энергия
Е Н/м2 Модуль упругости
J 1 Единичный вектор
Символ Единица измерения Название
е 1 Число Эйлера
F H Сила
f 1/C Частота
f м Коэффициент трения качения
Fr 1 Число Фруда
G H • м2/кг2 Гравитационная постоянная
G Н/м2 Модуль сдвига
g м/с2 Ускорение свободного падения
HB 1 Твердость по Бринеллю
HR 1 Твердость по Роквеллу
HV 1 Твердость по Виккерсу
h, H м Высота
J м4 Момент инерции сечения
J кг-м2 Момент инерции тела
J кг-м2 Тензор инерции
К Н/м2 Объемный модуль упругости
к Н/м Модуль упругости
L кг • м2/с Момент импульса
I кг • м2/с Момент импульса
/ м Длина
M Нм Вращающий момент сил
m кг Масса
P Вт Мощность
P Па Давление
Рл P кг-м/с Импульс
Q м3/с Объемный поток
Re 1 Число Рейнольдса
r м Радиус
f м Радиус-вектор
r(t) м Зависимость радиус-вектора от времени
S Н/м2 Напряжение
s м Путь
t с Время
At с Интервал времени
V м3 Объем
W Дж Работа
V м/с Скорость
X, y, Z м Пространственные координаты
Глава 8. Таблицы к разделу «Механика»
8.1. Плотность
8.1.1. Твердое тело
Плотность твердых тел указывается при температуре 293,15 К = 20 °C.
8.1/1. Простые металлы
Вещество p (103 кг/м3) Вещество p (103 кг/м3)
Алюминий А1 2,707 Осмий Os 22,480
Барий Ва 3,510 Палладий Pd 12,080
Бериллий Be 1,850 Платина Pt 21,450
Ванадий V 5,960 Плутоний Pu 19,84
Висмут Bi 9,800 Полоний Po 9,320
Вольфрам W 19,350 Празеодим Pr 6,773
Гадолиний Gd 7,900 Протактиний Pa 15,37
Галлий Ga 5,904 Радий Ra 5,500
Гафний Hf 13,300 Рений Re 20,530
Германий Ge 5,350 Родий Rh 2,400
Гольмий Ho 8,795 Ртуть (жидк.) Hg 13,546
Диспрозий Dy 8,550 Рубидий Rb 1,520
Европий Eu 5,243 Рутений Ru 12,300
Железо Fe 7,897 Самарий Sm 7,520
Золото Au 19,320 Свинец Pb 11,373
Индий In 7,28 Селен Se 4,81
Иридий Ir 22,420 Серебро Ag 10,500
Иттербий Yv 6,965 Скандий Sc 2,989
Иттрий Y 4,469 Стронций Sr 2,630
Кадмий Cd 8,648 Сурьма Sb 6,684
Калий К 0,851 Таллий T1 11,860
Кальций Ca 1,540 Тантал Ta 16,690
Кобальт Co 8,830 Тантал (порошок) Ta 14,401
Лантан La 6,145 Теллур Те 6,250
Литий Li 0,530 Теллур (аморфный) Те 6,00
Лютеций Lu 9,840 Тербий Tb 8,229
Магний Mg 1,746 Титан Ti 4,540
Марганец Mn 7,210 Торий Th 11,7
Медь Cu 8,954 Тулий Tm 9,321
Молибден Mo 10,200 Уран U 18,700
Мышьяк As 5,727 Хром Cr 7,190
Натрий Na 0,971 Цезий Cs 1,878
Неодим Nd 7,004 Церий (гекс.) 6,757
Нептуний Np 20,45 Церий (куб.) Ce 6,657
Никель Ni 8,906 Цинк Zn 7,144
Ниобий Nb 8,570 Цирконий Zr 6,520
Олово (белое) Sn 7,304 Эрбий Er 9,006
Олово (серое) 5,75
8.1. Плотность
8.1.1.1. Металлические сплавы
8.1/2. Конструкционные материалы
Вещество Состав p (103 кг/м3)
Алюминиевые сплавы
Дюралюминий А1 (0,5 % Си) 2,787
Алюминиевая бронза * 2,7
AlCuMg * 2,8
AlMg 5 % Mg 2,6
Литой алюминий (Si) 12 % Si 2,65
Медные сплавы
Дельта-металл 56 % Си, 40 % Zn, 2 % Fe, 1 % Pb 8,6
Латунь (катаная) 30 % Zn 8,522
Литая латунь * 8,4
Фосфористая бронза 4,5 % Sn, 0,2 % P 8,91
Бронза 25 % Sn 8,666
Манганин 12 % Mn, 2 % Ni 8,5
Мельхиор 15 % Ni, 22 % Zn 8,618
Железные сплавы
Чугун Fe+0,4 % C 7,272
Инвар 36 % Ni 8,7
Сталь
0,5 % C 7,833
1,0 %C 7,801
1,5 %C 7,753
St304, St316, St347 8,0
St410, St414 7,7
Хромистая сталь 3%Cr 7,7
Томпак 6...20 % Sn 8,7...8,9
Никелевые сплавы
Хромоникелевая сталь 24 % Fe, 16 % Cr 8,250
Нихром V 20 % Cr 8,410
Монель-металл 32 % Си, 1 % Mn 8,9
Глава 8. Таблицы к разделу «Механика»
8.1/3. Электрические функциональные материалы
Вещество Состав р (103 кг/м3)
Сплавы для изготовления сопротивлений
Манганин 86 % Си, 12 % Мп, 2 % Ni 8,5
Изабеллин 70 % Си, 10 % Мп, 20% Ni 8,0
Константан 55 % Си, 1 % Мп, 44 % Ni 8,8
Никелин 67 % Си, 3 % Мп, 30 % Ni 8,8
Сплавы для изготовления контактов
Алюминиевая пудра 1...7 % Ag, 0,2 % Cd, остаток Си 8,9... 9,2
Твердое серебро 3...4 % Си, остаток Ag 10,4
Серебро-кадмий 5...20 % Cd, остаток Ag 10,1
8.1/4. Магнитные функциональные вещества
Вещество Состав р (103 кг/м3)
Трафоперм Сталь с 2,5...4,5 % Si 7,57...7,7
Перменорм Сталь с 36...40 % Ni 8,15
Мю-металл Ni-Fe-Сплав с 50 % Ni 8,6
AlNiCo 9/5 11...13 % Al, < 5 % Со, < 1 % Ti, 2...4 % Си, 21...28 % Ni, остаток Fe 6,8
AlNiCo 18/9 6...8 % Al, 24...34 % Со, 5...8 % Ti, 3...6 % Си, 13... 19 % Ni, остаток Fe 7,2
SECo 112/110 Сплав редкоземельных металлов и кобальта 8,1
8.1.1.2. Неметаллы
8.1/5. Ферриты
Вещество Состав р (103 кг/м3)
SIFERRIT DB SIFERRIT DS MAGNETOFLEX 35 SIFERRIT U 60 STFERRIT К SIFERRIT М SIFERRIT N 15 % ВаО, 85 % Fe2O3 16 % SrO, 84%Fe2O3 52 % Со, 13 % V, 35 % Fe окись железа, Ва, Со окись железа, Ni, Zn окись железа, Ni, Мп, Zn окись железа, Ni, Мп, Zn 5 4,4...4,6 8,1 4,8 4,2...4,4 4,5...4,6 4,7...4,8
8.1. Плотность
8.1/6. Стекло
Вещество р (103 кг/м3) Вещество р (103 кг/м3)
Алюмосиликатное стекло 2,53 Бутылочное стекло 2,6
Бариткронглас (светлое; оптическое) 2,90 Флинтглас (легкий) 2,5...3,2
Бариткронглас (темное; оптическое) 3,56 Флинтглас (тяжелый) 3,5...5,9
Свинцовое стекло 2,89 Стекловолокно (текстиль) 2,46
Боросиликатное стекло 2,23 Стекловолокно (фибергласс) 2,53
Оконное стекло 2,48 Кварцевое стекло 2,2
8.1/7. Керамика
Вещество р (103 кг/м3) Вещество р (103 кг/м3)
Фарфор 2,3...2,6 Стеатит 2,7
Рутил 3,7 Титанат бария 5
Корунд 3,8 А1203 3,9
ZrO2 5,5 SiC 3,2
Si3N4 3,2 Алмаз (спеченный) 3,5
8.1/8. Искусственные материалы
Вещество Состав р (103 кг/м3)
Термореактивные пластмассы
Фенопласты Бакелит Бакелит Фенолальдегид Фенолальдегид с древесной мукой Фенолальдегид с асбестом 1,27...1,35 1,35...1,45 1,7...2,1
Аминопласт Анилин Мочевина с древесной мукой Меламин с древесной мукой Меламин с асбестом 1,2...1,25 1,45...1,5 1,45...1,55 1,7...2,0
Полиэфирная смола Со стеклянной тканью 1,7...1,9
Глава 8. Таблицы к разделу «Механика»
Вещество Состав р (103 кг/м3)
Термопласты
Производные целлюлозы Целлюлоза А, мягкая 1,32
Ацетат целлюлозы А, средний 1,33
Ацетат целлюлозы А, твердый 1,34
Ацетобутират целлюлозы 1,20
Нитрат целлюлозы 1,38
Этилцеллюлоза 1,14
Бензилцеллюлоза 1,22
Производные этилена Полиэтилен высокого давления 0,92
Полиэтилен низкого давления 0,94
Полипропилен 0,90...0,91
Полистирол 1,05
Стирол/бутадиеновый сополимер 1,06
Стирол/акрилонитрил 1,08
Полимер на основе эфира акриловой кислоты 1,18
Поливинилхлорид (PVC) 1,38
Поликарбонат 1,2
Протеины Полиуретан 1,21
Белковый пластик 1,35
Полиамид (ультрамидА) 1,15
Полиамид (рислан) 1,04
Полиамид (вестамид) 1,02
Фтористые карбонаты Полихлортрифторэтилен 2,1...2,2
(тефлон) Политетрафторэтилен 2,2
Силиконы Силиконовый каучук 1,2...2,3
Силиконовая смола 1,65
Эластомеры
Неопрен Полихлорбутадиен 1,24
Буна S Бутадиен/стирол-сополимер 1,2
Пербунан Бутадиен/сополимер на основе акрилонитрила 1,2
8.1. Плотность
8.1/9. Полупроводники
Вещество p (103 кг/м3) Вещество p (103 кг/м3)
Элемент- Ge 5,32 AiyB\] PbS 7,50
полупроводник Si 2,33 PbSe 8,15
Se 4,79 PbTe 8,16
Те 6,24 AjiiBjv BN 2,25
AnBiv ZnS 4,09 BP 2,97
ZnSe 5,26 A1P 2,38
ZnTe 5,70 Al As 3,79
CdS 4,84 AlSb 4,26
CdSe 5,74 GaP 4,13
CdTe 5,86 GaAs 5,32
HgSe 8,26 GaSb 5,60
HgTe 8,20 InP 4,78
AjvBiv SiC 3,22 InAs 5,66
InSb 5,77
8.1/10. Строительные материалы
Примечание: различают объемную плотность и чистую плотность р. Объ-
емная плотность определяется как рд = масса/общий объем. Чистая плот-
ность учитывает объем пор и определяется следующим образом р = мас-
са/объем твердого вещества. В таблице приведена объемная плотность.
Материал р (103 кг/м3) Материал р (103 кг/м3)
Искусственный камень Природный камень
Полнотелый кирпич 1,0...2,2 Гранит, сиенит 2,6...2,8
Клинкер 1,6...2,2 Базальт, диабаз 2,9...3,9
Пустотелый кирпич 0,8...2,0 Мрамор, диорит 2,6...2,8
Газобетонный кирпич 0,5...0,8 Песчаник 2,6...2,7
Шамотный кирпич 0,8...2,1 Пемза 0,2...1,3
Керамика 2,0...2,5 Сланец 2,6...2,7
Древесина 15% влажность Гипсовый камень 2,0...2,2
Ель, пихта 0,43...0,49 Асбест 2,5...2,6
Сосна 0,48...0,56 Кварц 2,65
Лиственница 0,55...0,63 Известняк 2,4...2,8
Дуб 0,63...0,72 Серая вакка 2,6...2,7
Бук 0,66...0,76 Гнейс 2,6...2,9
8.1/11. Сыпучие материалы
Примечание: указывается плотность засыпки рыхлых сыпучих материалов.
Она равна отношению массы к объему и включает как поры засыпки, так и
поры в отдельных зернах материала.
Сыпучий материал р (103 кг/м3) Сыпучий материал р (103 кг/м3)
Хлопковая вата (воздушносухая) 0,080 Песок 1,2...1,6
Горох 0,700 Снег (свежий) 0,08...0,19
Сено 0,050 Снег (старый) 0,2...0,4
Известь 0,500 Цемент 0,9...1,2
Картофель 0,670 Гравий 1,8
Маис 0,750 Полистирол 0,015
8.1.2. Жидкости
Плотность зависит от температуры. В дальнейшем плотность указывается
при температуре 293,15 К = 20 °C. Плотность при другой температуре Т
(если фазовое состояние вещества не изменяется) можно определить по
ж Р
формуле рт ------------------.
1 + у(Т - 293,15К)
8-1/12. Жидкости при нормальных условиях
Вещество р (103 кг/м3) Вещество р (103 кг/м3)
Ацетон 0,792 Раствор едкого натра (40 %) 1,43
Спирты Пентан 0,626
Пентанол 0,814 Керосин 0,81
Этиловый 0,789 Кислоты
Бутиловый 0,810 Уксусная 1,049
Глицерин 1,260 Азотная (50 %) 1,31
Изобутиловый 0,801 Азотная (100%) 1,502
Изопропиловый 0,785 Соляная (40 %) 1,195
Метиловый 0,793 Серная (50 %) 1,40
Пропиловый 0,804 Серная (100%) 1,834
8.1. Плотность
Вещество р (103 кг/м3) Вещество р (103 кг/м3)
Бромэтан 1,430 Масла
Этилацетат 0,901 Нефть 0,73...0,94
Йодэтан 1,933 Мазут 0,95...1,08
Бензин (автом.) 0,68...0,72 Машинное 0,90...0,92
Безин (авиац.) 0,72 Оливковое 0,91
Бензол 0,921 Парафиновое 0,87...0,88
Трихлорметан 0,879 Пищевое растительное 0,87
Хлорбензол 1,066 Силиконовое 0,76
Диэтиловый эфир 0,714 Скипидар 0,86
Фторбензол 1,024 Трансформаторное 0,87
Глицерин 1,26 Вазелиновое 0,8
Керосин (очищенный) 0,82 Толуол 0,867
Ксилен 0,88 Т етрахлорметан 1,595
Морская вода 1,01...1,05 Вода 1,003
Молоко 1,03 Тяжелая вода 1,1
8.1/13. Плотность некоторых
металлов в жидком состоянии
Вещество ТСС) р (103 кг/м3) Вещество ТСС) p (103 кг/м3)
660 2,380 100 0,928
А1 900 2,315 Na 400 0,854
1100 2,261 700 0,780
300 10,03 409 6,834
Bi 600 9,66 Sb 574 6,729
962 9,20 704 6,640
Fe 1530 7,23 400 10,51
1100 17,24 Pb 600 10,27
Au 1200 17,12 1000 9,81
1300 17,00 960,5 9,30
К 64 0,82 Ag 1092 9,20
Hg 100 12,875 1300 9,00
10—3814
Глава 8. Таблицы к разделу «Механика»
8.1.3. Газы
Плотность газов сильно зависит от температуры. Для реальных газов эта
температурная зависимость нелинейна.
В таблице приведена плотность р0 при То = 273,15 К (и нормальном дав-
лении р0 = 1,0132-105 Па). Если газ считать идеальным, то плотность р при
других значениях температуры и давления можно рассчитать по формуле
Р = Ро -(p/Ро) -(Тц/Т\
Газ р0 (кг/м3) Газ р0 (кг/м3)
Азот* 1,2504 Метан 0,7167
Аммиак 0,7708 Неон* 0,900
Аргон* 1,783 Озон 2,14
Ацетилен 1,1715 Оксид углерода* 1,2502
Бутан 2,70 Пропан 2,01
Водород* 0,08988 Радон* 9,73
Воздух, сухой 1,2928 Светильный газ « 0,58
Гелий* 0,1785 Сероводород 1,54
Диоксид серы 2,931 Сероуглерод 3,40
Диоксид углерода* 1,9768 Фреон 5,51
Изобутан 2,67 Хлор 3,17
Кислород* 1,429 Хлороводород 1,639
Колошниковый газ 1,28 Этан 1,355
Криптон* 3,68 Этилен 1,2611
Ксенон* 5,85
Эти газы ведут себя как «идеальные» при температуре Т < 1000 К.
8.2. Упругие свойства
В следующей таблице приведены напряжение текучести су — оно также
обозначается как сопротивление деформации kf или приведенное напряже-
ние ov, модуль упругости Е, модуль сдвига G и коэффициент продольного
удлинения v. Кроме этого указаны величины, характеризующие твердость
материалов, т.е. предел прочности при растяжении ов твердость по Бринел-
лю НВ. Все эти величины сильно зависят от обработки материала, поэтому
их следует рассматривать как ориентировочные.
8.2/1. Упругие свойства
Металл E (IO10 Па) G (IO10 Па) V
Ag (закаленный) 8,05 2,59 0,38...0,407
А1 (закаленный) 6,85 2,45 0,359...0,369
Au (литой) 8,06 2,91 0,422
Bi (литой) 3,19 1,2 0,33
Cd (литой) 4,99 1,92 0,3
Со (закаленный) 19,6...20,6 - 0,34
Си (катаный) H,2 4,15 0,358...0,378
Сг 27,9 11,5 -
Fe (литой) 10...13 3,5...5,3 0,23...0,31
Fe (сварка) 21 7,7 0,28
In 5,2 - -
Ir 5,2 - 0,44
Mg (литой) 15,6 0,35 0,31
Mn 15,7 - -
Мо (литой) 30900 11810 0,324
Nb (закаленный) 15,6 3,8 0,38
Ni (закаленный) 20,2 7,7 0,300
Os 55,5 - -
Pb (литой) 1,62 0,562 0,446
Pd (литой) 11,3 5,11 0,393
Pt (закаленный) 14,7 6,09 0,387
Rh (закаленный) 27,5 - 0,32
Ru (закаленный) 42,2 - -
Sb 7,8 - 0,33
Sn (литой) 12,7 1,8 0,33
Та (закаленный) 18,3 6,9 0,39
Ti 11,6 4,4 -
U 16,6 8,3 0,21
V (закаленный) 14,8 - -
W (закаленный) 34,2...40 8,8...21,5 -
Zn (литой) 4,06...5,86 1,64...4,78 0,33
Zr 7,4 - -
Глава 8. Таблицы к разделу «Механика»
8.2/2. Критические напряжения*
Металл oz(107 Па) (107 Па) НВ (107 Па)
Ag (закаленный) - 13,5 20,6
А1 (закаленный) 5,63...6,44 8,96...10,75 18,4
Au (литой) - 12,4 18,9
Bi - - 7
Са - 6,0 41,6
Cd - 6,3 19,6
Со (закаленный) - 48,6 129,1
Сг (закаленный) - 8 68,8
Си (катаный) 6,85 20 ...25 52
Fe (литой) - 1,84...22,5 -
In 3,0 5,05 0,98
1г - 22 212
La - 13 40
Mg (литой) 11,2 29,4 4,4
Мо (литой) 29,4 30,8 134
Nb (закаленный) - 32,2...40,6 73,5
Ni (закаленный) 20,5 34,5...56,1 90...120
Os - - 348,7
Pb (литой) 0,49...0,98 1,47...1,76 3,75...4,18
Pd (литой) - 18,2 31
Pt (закаленный) - 14,0 29,9
Rh (закаленный) - 55 54
Ru (закаленный) - - 179,5
Sn (литой) - 2,94...3,92 29,2...44,1
Та (закаленный) - 31...44,7 44,1...122,4
Ti (закаленный) 7,5 29,6 102,8
и - 38,6 -
V (закаленный) 52,5 56,5 74,2
W (закаленный) 10,8 69,9...80,9 196...245
Zn (литой) 1,17 1,47...2,4 4,8...5,2
Zr 11,3 24,7 33,3
*Вместо напряжения текучести су также может указываться предел проч-
ности при растяжении Rp, вместо предельного напряжения при разрыве ов
может указываться сопротивление разрыву Rm.
8.2. Упругие свойства
8.2/3. Проволока*
Материал Е (ГПа) ив (ГПа)
Сталь 196 3,4
Be 290 1,52
W 400 2,75
8.2/4. Вискер*
Материал Е (ГПа) (ГПа)
Графит 980 20,5
А12О3 410 1,08...17,6
ВеО 410 19
SiC 450 3,05
В4С 450 9,8
*Вместо напряжения текучести оу также может указываться предел проч-
ности при растяжении Rp, вместо предельного напряжения при разрыве ов
может указываться сопротивление разрыву Rm.
8.2/5. Сталь
Модуль упругости Е = (195...206) ГПа, модуль сдвига G = (79...89) ГПа, коэф-
фициент Пуассона v = 0,23...0,31 для всех сортов сталей отличаются незначи-
тельно. Существенно различаются предельное напряжение при разрыве ов
(сопротивление разрыву Rm), напряжение текучести су (предел прочности при
растяжении Rp), а также твердость (например, твердость по Бринеллю).
Сорт стали Состав (пример) ив (108 Па) uf (108 Па) НВ (108 Па)
Сталь профилей широкого применения « 0,25% С « 4,7 2,5 « 13
Пружинная сталь » 0,47% С, «1,65% Si, « 0,65% Мп 14 12,2 41
Рельсовая сталь 0,55% С, 0,2% Si, 0,8% Мп « 7,5 « 4 20
Проволока для обмотки рояльных струн 0,9% С, 0,15% Si, 0,4% Мп < 36 - -
Сталь-серебрянка 0,9% С, 0,33% Si, 0,4% Мп, 0,1% W 9 4,5 25
Сталь для напильников 1,3% С, 0,25% Si, 0,35% Мп 6 - 17
Сталь V2A <0,1%С, 0,4% Si, 0,3% Мп, 18% Сг, 8%Ni « 6,5 > 2,7 « 16,5
Листовая сталь для транс- форматорных пластин 0,07% С, 3,7% Si, 0,2% Мп < 12 - -
Стальное литье 0,1% С, 0,3% Si 0,4% Мп 3,8 1,8 11
Твердый сплав 6%С, 88% W, 6% Со - - 160
Глава 8. Таблицы к разделу «Механика»
8.2/6. Керамические материалы
оьв — предельное напряжение при разрыве при нагрузке на изгиб, Е — мо-
дуль упругости
Материал Химическая формула чьв (МПа) E (ГПа)
Оксид алюминия А12О3 400 400
Оксид циркония ZrO2 600 240
Карбид кремния SiC 440 440
Нитрид кремния Si3N4 700 210
Алмаз (спеченный) - 300 900
8.2/7. Искусственные материалы и пластики
ов — предельное напряжение при разрыве (сопротивление разрыву Rm),
GdB ~ предельное напряжение при разрыве при нагрузке на сжатие, не-
соответствующее предельное напряжение при разрыве при нагрузке на из-
гиб, б обозначает относительное удлинение при разрыве в процентах
Материал Е (ГПа) gb MPa МПа ^ьв МПа ЯЛ ГПа 6 %
Полиамид 1,5...3,2 60...90 93...98 93...98 147...176 6...12
усиленный стекловолокном 10...18 120...220 108 122...147 274 ...294 4...6
Поликарбонат 2...3,5 55...75 78...88 78 147...157 5...7
усиленный стекловолокном 3,5...9,5 70...140 130 171...219 - 2...5
Полистирол 3...3.6 45...65 98 98 137...147 2...4
усиленный стекловолокном 5...10 96...117 103...130 - 3
Полиэтилен высокого давления 0,4...1,5 20 ...35 24,5 21,6 44...57 12...20
Полиэтилен низкого давления 0,15...0,6 8...20 12,3 11,8...16,7 - 8...11
Полипропилен 0,65...1,4 18...38 59 78 61,7 10...20
усиленный стекловолокном 2,5...6 40...75 48 69 - 7...70
Поливинилхлорид (твердый) 2,9...3,6 50...80 - - - 3...4
Поливинилхлорид (мягкий) 0,45...0,6 15...30 - - - 50...300
Политетрафтор- этилен 0,45...0,75 9...12 - - - 250...500
8.2/8. Волокнистые материалы
Материал 0В МРа 6 % Материал (JB MPa 6 %
Ацетатный шелк 176...215 25 Стекло 2100 -
Бамбук 345 - Шелк 410 -
Вискоза 265...440 15...24 Шерсть 156...172 -
Нейлон 490...635 15...35 SiO2 1380...1480 -
8.3. Динамические свойства
8.3.1. Коэффициенты трения
Трение покоя и скольжения сильно зависит от адгезионных свойств поверх-
ностей разных материалов. Поэтому данные о коэффициентах трения ко-
леблются в определенных пределах. Приведенные в последующих таблицах
данные следует рассматривать как ориентировочные. Многие значения яв-
ляются усредненными. Для точных расчетов значение коэффициентов тре-
ния в каждом отдельном случае следует определять экспериментально.
8.3/1. Трение скольжения
Вещество По веществу /(см)
Резина Асфальт 0,10
Резина Бетон 0,15
Древесина Древесина 0,5...0,8
Сталь Сталь (закаленная) 0,005...0,01
Сталь Сталь (мягкая) 0,05
8.3/2. Коэффициент трения скольжения
Вещество По веществу Коэффициент трения скольжения ц
Сухое трение Смазка
Вода Густая смазка
Бронза 0,20 0,10 0,06
Бронза Серый чугун 0,18 0,08
Сталь 0,18 0,07
Дуб Дуб=* 0,20...0,40 0,10 0,05...0,15
Дуб±* 0,15...0,35 0,08 0,04...0,12
Серый чугун 0,31 ОД
Серый чугун Медь 0,25
Древесина 0,35 0,25
Вещество По веществу Коэффициент трения скольжения ц
Сухое трение Смазка
Вода Густая смазка
Резина Асфальт Бетон Серый чугун 0,5 0,6 0,4...0,5 0,3 0,5 0,2 0,3
Кожаный ремень Дуб Металл 0,4 0,28 0,25 0,12
Сталь Дуб Лед Сталь Тормозная накладка Полиэтилен Тефлон Полиамид Хостафлон 0,2...0,5 0,1...0,3 0,5...0,6 0,4...0,5 0,03...0,5 0,3...0,5 0,35...0,45 0,26 0,014 0,02...0,1 0,02...0,08 0,1
Полиэтилен Полиэтилен 0,5...0,7
Тефлон Тефлон 0,035...0,055
Полиамид Полиамид 0,4...0,5
* = — соответствует движению вдоль волокон; ± — соответствует движе-
нию поперек волокон.
8.3/3. Коэффициент трения покоя
Вещество По веществу Коэффициент трения покоя ц0
Сухое трение Смазка
Вода Густая смазка
Бронза Бронза Сталь 0,19 0,11 0,10
Дуб Дуб=* Дуб±* 0,40...0,60 0,50 0,18
Серый чугун Серый чугун 0,16
Пеньковый канат Древесина 0,5
Кожаный ремень Дуб Металл 0,5 0,6 0,25 0,62
Сталь Дуб Лед Сталь 0,5...0,6 0,15...0,3 0,03 0,11 0,1
* = — соответствует движению вдоль волокон; ± — соответствует движе-
нию поперек волокон.
8.3. Динамические свойства
8.3.2. Сжимаемость
Сжимаемость вещества выражается через модуль объемной упругости
(1VAH п ATZ
к = ~ “ • При этом ДИ — изменение объема при изменении давления
7 7 Аг)
на Др. Модуль объемной упругости зависит как от температуры, так и от
давления. Для газов: к =-------, где А — функция, возрастающая с уве-
V(p + рт)
личением температуры, р — внешнее давление, рт — давление Ван-дер-
Ваальса при температуре Т.
8.3.2.1. Газы
В последующих таблицах приведена сжимаемость некоторых газов, выра-
женная через величину к + —.
Р
8.3/4. Гелий
Давление (МПа) Г 1 АК | 1 Др р 1 (103 Па1)
-253 °C -208 °C -183 °C -150 °C -100 °C -50 °C 0 °C 50 °C
0-0,1 0 10,34 8,97 6,57 4,67 3,62 2,47 2,1
0,1-1 -0,74 8,88 7,09 5,56 4,13 3,21 2,57 2,17
1-5 22,2 9,43 7,12 5,56 4,1 3,19 2,55 2,16
5-10 29,6 9,29 7,21 5,51 4,07 3,14 2,49 2,12
8.3/5. Азот
Давление (МПа) Г1 дк t 1 Др р (103 Па1)
-130 °C -100°С -50 °C 0°С 50 °C 100°С 200 °C 400 °C
0-0,1 -33,1 -17,9 -6,65 -2,47 0 1,08 1,71 1,80
0,1-1 -36,4 -18,5 -6,96 -2,14 0 1,12 1,96 2,11
1-2 -43 -18,9 -6,66 -1,84 0,21 1,22 2,04 2,11
2-4 -60,7 -20,7 -6,09 -2,1 0,5 1,4 2,08 2,12
4-6 -83,1 -20,7 -5,17 0 0,872 1,62 1,56 2,15
6-8 - -17,4 -3,93 -0,05 1,22 1,84 2,84 2,17
8-0 - -8,67 -2,29 0,7 1,58 2,07 2,33 2,17
10-20 - - 2,87 2,41 2,59 2,29 2,69 2,29
20-40 - - 6,73 4,36 3,83 3,15 2,85 2,17
40-60 - - 5,94 5,15 3,95 3,41 2,72 2,03
60-80 - - 4,7 4,7 3,53 3,12 2,54 1,93
80-100 - - 3,78 3,43 3,07 2,78 2,34 1,81
Глава 8. Таблицы к разделу «Механика»
8.3/6. Водород
Давление (МПа) < 1 АГ t 1 Др р (103 Па1)
-208 °C -183 °C -150°С -50 °C 0 °C 50 °C 100 °C 200 °C
0-0,1 -33,2 -4,49 1,09 3,11 3,63 2,96 2,92 2,53
0,1-1 -15 -3 1,7 3,28 3,28 3,06 2,82 2,48
1—2 -15,2 -1,96 2,07 7,14 3,29 3,08 2,81 2,51
2—4 -11,7 -0,28 2,76 1,63 3,38 3,10 2,77 2,47
4—6 -0,93 1,96 3,52 3,72 3,45 3,09 2,74 2,45
6-8 6,87 4,24 4,31 3,96 3,51 3,12 2,71 2,46
8-10 - 6,41 10,2 4,51 3,58 3,1 2,7 2,45
8.3/7. Метан
Давление (МПа) Др - + - I (103 Па1) р)
-70 °C -50 °C -25 °C 0 °C 25 °C 50 °C 100 °C
0-0,1 -29,9 -23,6 -16,8 -11,8 -9,03 -5,83 -2,88
0,1-2 -35,2 -25,1 -17,3 -12,2 -8,75 -6,32 -3,36
2-4 -51,8 -30,1 -18,7 -12,5 -8,56 -6,05 -2,94
4-6,1 -107 -40,8 -20,6 -12,8 -8,36 -5,75 -2,60
6,1-8,1 -67,4 -46,2 -21,0 -12,3 -7,88 -4,97 -2,06
8,1-10,1 23,0 -29,0 -113 -10,8 -6,54 -4,15 -1,51
10,1-12,1 30,5 0,60 84,0 -8,32 -5,36 -3,27 -2,09
12,1-14,1 26,4 И,7 -3,38 -4,93 -3,27 -2,13 1,94
14,1-16,2 25,1 16,6 3,80 -0,99 -1,38 -0,95 -0,19
16,2-18,2 22,2 -17,2 7,83 1,99 0,27 0,24 0,47
18,2-20,2 20,4 50,6 9,55 4,91 2,47 1,66 1,33
20,2-30,4 16,0 14,1 10,8 7,66 5,32 3,91 2,72
30,4-40,5 11J 10,8 9,51 8,15 6,59 5,45 3,92
40,5-50,6 9,18 8,64 7,88 6,99 6,27 5,54 4,32
50,6-60,8 7,48 7,19 6,72 6,20 5,70 5,11 4,15
60,8-81,1 5,93 5,74 5,44 3,22 4,77 4,49 3,86
81,1-101,3 4,63 4,47 4,29 8,9 4,05 3,73 3,35
8.3. Динамические свойства
8.3/8. Моноксид азота
Давле- ние Л 1 АГ 1 1 Др р I (103 Па1)
(МПа) -70 °C -50 °C 25 °C 0°С 25 °C 50 °C 100 °C 150С
0-0,1 -6,64 -6,04 -5,43 -3,45 0 0 0 0
0,1-2,5 -11,4 -6,66 -3,19 -2,27 -0,94 -0,35 1,2 2,64
2,5-5 -н,з -7,31 -3,79 -2,01 0,17 1,29 1,5
5-7,5 -9,75 -6,05 -3,18 -1,21 0 0,83 1,56 1,99
7,5-10 -5,38 -3,5 -0,92 -0,20 0,18 1,16 1,55 2,09
10-15 0,64 0,54 0,80 1,51 2,16 1,96 2,29 2,35
15-20 6,77 4,75 4,02 2,76 2,64 2,95 2,71 2,65
20-30 9 6,67 5,53 4,54 3,99 3,63 3,26 2,99
30-40 8,34 7,82 6,02 5,41 4,65 4,19 3,49 3
40-61 6,69 6,17 5,53 5,03 4,45 4,09 3,51 3,11
61-81 5,09 4,85 4,51 4,18 4,98 3,63 3,16 2,86
81-101 4,08 1,15 3,71 3,51 2,32 3,09 2,82 2,58
8.3/9. Диоксид углерода
Давле- ние (МПа) дк f Др р 1 (103 Па1)
ОС 10 °C 20 °C 30 °C 40 °C 50 °C 60 °C 80 °C
0-5 -160 -158 -44,9 -35,7 -30,0 -25,3 -21,8 -16,9
5-7,5 73,4 68,2 -230 -221 -61,8 -41 -30,9 -20,5
7,5-10 54,5 52,5 47,3 30 -132 -47,3 -24,6
10-15 36,9 36,3 34,5 29,9 19,6 -15,6 -30,3 -24,3
15-20 26,1 25,6 24,6 23,6 21,3 17,4 И,1 -3,09
20-30 18,3 17,8 17,4 17 16 14,8 13,2 8,85
30-40 12,9 12,7 12,4 12 11,7 11,3 10,8 9,38
40-50 15,1 9,8 9,64 9,43 9,09 8,9 8,66 7,97
50-60 2,85 7,95 7,84 7,79 7,68 7,42 7,16 6,79
60-71 6,82 6,81 6,65 6,57 6,46 6,34 6,22 5,9
71-81 5,85 5,84 5,83 5,73 5,64 5,52 5,43 5,15
81-91 5,2 5,13 5,02 5,93 4,88 4,82 4,75 4,58
91-101 4,58 4,47 4,42 4,25 4,25 4,23 4,12 4,01
8.3.2.2. Жидкости и твердые тела
8.3/10. Температурная зависимость сжимаемости
Т (°C) к (ТПа1)
Ацетон Тетрахлор- метан Бензол Трихлор- метан Этиловый спирт Метиловый спирт Вода
0 820 898 809 866 987 1070 500
10 1100 970 870 918 1040 1140 478
20 1250 1035 945 1000 1110 1215 458
30 1334 1128 1020 1090 1185 1295 446
40 1500 1220 1100 1185 1265 1385 441
50 1600 1326 1185 1295 1360 1476 440
8.3/11. Сжимаемость жидкостей
при нормальных условиях
8.3/12. Сжимаемость твердых
тел при О °C
Вещество к (ТПа-1)
Оливковое масло 630
Парафиновое масло 626,7
Ртуть 40
Керосин 696
Вещество к (ТПа1) Вещество к (ТПа1)
А1 13,8 Si 3,24
Au 6,17 Мо 4,7
Cd 21,3 Си 7,4
Fe 5,97 PI 3,85
8.3.3. Вязкость
8.3/13. Вязкость жидкостей при нормальном давлении
и 20 °C
Вещество ц (мк Па-с) Вещество ц (мк Па-с)
Ацетон 330 Скипидар 1490
Этиловый спирт 1192 о-ксилен 807
Метиловый спирт 591 ш-ксилен 615
Бензол 649 р-ксилен 643
Дисульфид углерода 367 Ртуть 1550
Простой эфир 234 Керосин 1460
Глицерин 141,2-104 Толуол 585
Азотная кислота 1770 Смола ЗЮ13
Серная кислота 22103 Тяжелая вода 1260
8.3/14. Вязкость криогенных жидкостей
при давлении насыщенных паров
Водород Азот Кислород Аргон
Т(К) Л (мк Па-с) т (К) т] (мк Па-с) Т(К) т] (мк Па-с) Т(К) т] (мк Па-с)
15 217 60 60 5800 85 2720
16 197 70 2200 70 3580 90 2300
17 178 80 1410 80 2500 95 1970
18 161 90 1040 90 1890 100 1970
19 147 100 850 100 1520 105 1540
20 134 ПО 760 ПО 1280 ПО 1410
8.3/15. Вязкость водных растворов глицерина (мПа-с)
при нормальном давлении
Глицерин (масса %) Температура (°C)
0 20 40 60 80 100
20 2,44 1,76 1,07 0,731 0,635
40 8,25 3,72 2,07 1,3 0,918 0,668
60 29,9 10,8 5,08 2,85 1,84 1,28
80 255 60,1 20,8 9,42 5,13 3,18
90 1310 219 60,0 22,5 11,0 6,00
95 3690 523 121 39,9 17,5 9,08
100 12070 1412 284 81,3 31,9 14,8
8.3/16. Вязкость воды при различных температурах
Т (°C) т] (мк Па-с) Т (°C) ц (мк Па-с)
0 1793 60 469
10 1309 70 406
20 1006 80 357
30 800 90 315
40 657 100 284
50 550
Глава 8. Таблицы к разделу «Механика»
8.3/17. Вязкость как функция температуры
при нормальном давлении
8.3/18. Вязкость газов при нормальном давлении и 20 °C
Вещество т] (мк Па-с) Вещество т] (мк Па-с) Вещество т] (мк Па-с)
Воздух 18,1 Водород 9,5 Оксид азота 18,6
Аммиак 10,8 Сероводород 13 Азот 18,4
Оксид углерода 18,4 Хлор 14,7 Кислород 20,9
Диоксид 16 Метан 12 Диоксид 13,8
углерода серы
8.3/19. Вязкость газов при нормальном давлении
и То = 273,15 К
Вещество л (мк Па-с) Вещество л (мк Па-с) Вещество л (мк Па-с) Вещество л (мк Па-с)
n2 16,65 С5Н10 6,65 со2 13,67 С3Н6 7,84
NO 18,00 с4н10 6,89 С2Н6 12,23 С3Н7ОН 7,15
NH 9,35 С5Н12 6,38 С2Н4 8,55 H2S 11,79
Аг 20,85 С3Н7ОН 7,20 С3Н6О2 6,85 cs2 9,20
Н2 8,40 с3н4 8,08 С2Н2 9,55 SH4 10,76
Н2О 8,83 С5Н10 6,65 С6Н6 6,93 С5Н10 6,39
(пар) СН3Вг 12,32 Вг2 13,90 СС14 9,06
Воздух 17,08 СН2С12 9,16 С3Н10 6,82 c2n2 9,33
Не 18,60 СН3ОН 8,70 с4н10 6,90 HCN 6,72
О2 19,10 СН3С1 10,84 НВг 17,10 С6Н12 6,53
Кг 23,30 NOC1 9,89 HI 17,00 С3Н6 8,08
Хе 21,10 со 11,32 НС1 13,20 С12 12,45
сн4 10,28 ОДо 6,23 РНЗ 10,72 снс13 9,33
Ne 29,75 С3Н8 7,50 с6н14 6,00 С4Н8О2 9,60
so2 11,58 QHio02 7,40 (СН3)2О 8,70 С2Н5ОН 7,75
со 16,62 (СН5)2О 6,80 С2Н5С1 9,11
8.3/20. Температурный коэффициент поправки
для вязкости
Для газов зависимость вязкости от абсолютной температуры может быть
описана формулой:
П = Пто
1 + —
___
1+с
т
Температурный коэффициент С слабо зависит от температуры.
Вещество С СО о (°C) Вещество С (°C) еСО Вещество C (°C) 9 (°C)
N2 103,9 25-280 (С2н5)2о 404 122-309 с3н6 312,6 20-120
NO 128 20-250 С5Н10 368 20-120 С3Н7ОН 515,6 122-273
NH 503 20-300 с4н10 368 20-120 so2 306 300-825
Ar 142 20-827 С3Н7ОН 459,9 119-308 H2S 331 0-100
С2Н2 198,2 20-120 ь 568 106-523 cs2 499,5 114-310
C3H6O2 541,5 119-306 HI 390 0-100 C4H4S 467 20-245
с6н6 447,5 130-313 02 126,6 20-280 PH3 290 0-100
Вг2 533 190-600 125 15-630 co2 254 25-280
НВг 375 0-100 Кг 188 0-100 213 300-824
С3Н10 377,4 20-120 Хе 252 0-100 co 101,2 22-277
Воздух 106,8 20-280 СН4 162 20-500 CC14 335 128-315
111 16-825 СН3Вг 276 20-120 365,4 128-315
н2 73 20-200 СН3ОН 486,9 111-312 Cl2 351 20-250
86 100-200 СН2С12 425 22-309 HC1 360 0-250
105 200-250 СН3С1 441 20-308 CHC13 373 121-308
234 713-822 H3AS 300 0-100 C2H2 330 0-100
Водяной пар 673 100-350 Ne 61 20-100 HCN 901 20-330
Не 83 100-200 с5н10 382,8 122-306 C3H6 372 20-120
95 200-250 С3Н8 278 20-250 C6H12 350,9 122-306
173 682-815 290 25-280 C2H6 252 20-250
С2Н4 225 20-250 c4H8o2 504 128-314
Глава 8. Таблицы к разделу «Механика»
8.3.4. Аэродинамическое сопротивление
8.3/21. Коэффициент аэродинамического сопротивления
Форма тела cw Форма тела cw
1,1 R : г = 2 1,22
о ОО — Tf -и II II II II о S3 S3 S3 S3 1,1 1,19 1,29 1,4 -в о о П - П II II II II "^3 "S3 "S3 "S3 0,2 0,06 0,083 0,094
-с Без дна (парашют) Без дна 1,33 0,34 С дном С дном 1,17 0,4
Re < 2 -105 Re = 106 0,45 0,13 С дном а = 60° а = 30° 0,51 0,34
Re > 105 I: d = 1,8 Re < 4,5 • 105 I: d = 0,75 Re > 5,5-105 I: d = 0,45 0,1 0,6 0,2 -в Re « 8 • 104 h : d = 1 1 : d = 2 1 : d = 5 1 : d = 10 0,63 0,68 0,74 0,82
Re « 5 -105 I: d = 30 0,78 Re « 106 1 : d = 5 1 : d = 8 1 : d = 18 0,08 0,1 0,2
к)—сП 0,4...0,55 ZZQ 0,3...0,4
4^2^) 0,23 0,6...0,7
8.3.5. Поверхностное натяжение
8.3/22. Поверхностное натяжение жидкостей и растворов
Жидкость a (IO 3 Нм1) Жидкость a (10‘3 Н м1)
Ацетон 23,7 Оливковое масло 33
Этиловый спирт 22,3 Парафиновое масло 26
Метиловый спирт 22,6 Скипидар 27
Анилин 43 Вода
Бензол 28,9 Вода при 5°С 74,92
Хлороформ 27,2 Вода при 10°С 74,22
Глицерин 64 Вода при 20°С 72,75
Ртуть 475 Вода при 30°С 71,18
Растворы
Серная кислота (конц.) 55 Азотная кислота 41
На 1% веса к значению для чистой воды необходимо прибавить следующую величину
Хлорид кальция 0,29 КОН 0,32
Сульфат меди 0,11 Хлорид натрия 0,28
Хлорид калия 0,19 NaOH 0,5
Часть II
КОЛЕБАНИЯ,
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ,
АКУСТИКА И ОПТИКА
Колебания — периодически изменяющиеся во времени состояния системы
(осциллятора), которые всегда появляются в том случае, если:
• существует внешнее воздействие, которое выводит систему из состояния
механического, электрического или термического равновесия,
• на систему действуют силы, которые вновь стремятся вернуть ее в состо-
яние равновесия.
Колебания могут появиться практически во всех физических системах.
Волна — распространяющееся в веществе или поле возмущение состоя-
ния этого вещества или поля, которое всегда появляется в том случае, если:
• система состоит из подсистем, в каждой из которых могут наступить ко-
лебания,
• подсистемы могут попеременно взаимодействовать друг на друга таким
образом, что энергия системы может переходить от одной подсистемы к
другой,
• минимум одна подсистема путем внешнего воздействия выводится из
состояния механического, электрического или термического равновесия.
В этом случае энергия передается от одной подсистемы в другую, но при
этом не происходит перенос масс.
Звуком называют распространяющееся в упругой среде слабое возмуще-
ние — механические колебания с малыми амплитудами; свет — обозна-
чение электромагнитных волн определенного частотного диапазона.
ГЛАВА 9
КОЛЕБАНИЯ
1. Периодические процессы
Колебанием, или колебательным движением называют периодически
повторяющиеся во времени или пространстве процессы. Если процесс все-
гда повторяется через один и тот же промежуток времени, то он называется
периодическим во времени. Если положение системы колеблется возле
фиксированной точки в пространстве, то такое колебание называется пери-
одическим в пространстве.
2. Длительность колебаний
Период колебаний Т — это наименьший промежуток времени, по исте-
чении которого повторяются значения всех физических величин, характери-
зующих колебательное движение:
u(t + Т) = u(t).
Секунда с — единица измерения периода колебаний в СИ. Период коле-
баний определяется параметрами системы.
Частота колебаний f — число полных колебаний, совершающихся за
единицу времени (секунду),/ = 1/Т.
Герц Гц — единица измерения частоты, принятая в СИ. 1 Гц = 1/с.
Частота в 1 Гц обозначает, что процесс повторяется один раз в секунду.
Сетевое напряжение в России равно 50 Гц, т.е. напряжение меняет свою
полярность 100 раз в секунду.
3. Осциллятор
Осциллятор — система, в которой могут наступить колебания.
Механическим осциллятором является, например, маятник — подве-
шенная на нити масса. Электрический колебательный контур является
примером электрического осциллятора.
Состояние покоя — это состояние
колебательной системы до того, как на
нее подействует внешнее возмущение,
т.е. состояние механического, электриче-
ского или термического равновесия.
4. Гармонические колебания
Гармонические колебания — это
простейший тип колебаний, который
можно описать функцией синуса или
косинуса (рис. 9.1). Обе функции отли-
чаются друг от друга фазовым сдвигом
на л/2.
Рис. 9.1. Гармонические колебания
Глава 9. Колебания
Гармонические колебания
w(0 = A cos(2ti/Z + ср) = = A sin + ср + Символ Единица измерения Название
и А f t Ф Гц С рад Состояние системы Амплитуда Частота Время Начальная фаза
При этом функция u(t) описывает состояние системы в момент времени Л
Физическое значение и зависит от рассматриваемой системы (координата по-
ложения или угла, напряжение, электрическое или магнитное поле и др.).
Для пружинного маятника и является удлинением пружины, для элект-
рического колебательного контура и обозначает электрическое напряже-
ние (или электрический заряд). Размерность и выбирается в соответст-
вии с рассматриваемой системой.
5. Фаза и амплитуда
Фаза, фазовый угол — аргумент функции синуса или косинуса, 2u/Z + ср, —
определяет положение системы в данный момент времени.
Начальная фаза ср — значение фазы при t = 0, описывает положение сис-
темы в начальный момент времени.
Амплитуда А — максимальное значение функции u(t).
6. Частота, циклическая частота, период колебаний
Циклическая частота = 2л • частота Т-1
со = 2л/ Символ Единица измерения Название
f (0 Гц рад/с Частота Циклическая частота
Гармонические колебания описываются функцией
u(t) = A cos(cbZ + ср).
Зависимость между периодом колебаний, частотой и циклической часто-
той выглядит следующим образом:
Период колебаний = обратная величина частоты т
Т = 1//= 2л/со Символ Единица измерения Название
т f со с Гц рад/с Период колебаний Частота Циклическая частота
Глава 9. Колебания
> В природе всегда присутствуют силы трения. Колеблющееся тело всегда
возвращается в состояние покоя, если энергия, которую это тело затра-
чивает на трение, не подводится к нему извне. По этой причине ни один
процесс не может быть точно описан как гармоническое колебание, так
как согласно этому уравнению периодический процесс повторяется бес-
конечно.
> Синусоидальная функция описывает колебания, которые начались бес-
конечно давно (t - оо). В природе колебания начинаются тогда, когда
колебательной системе сообщается энергия, т.е., например, когда какое-
либо тело ударяет по маятнику. Состояние системы до начала колебаний
является таким же, как то, в которое она возвращается после затухания
колебаний, т.е. когда вся подведенная энергия к системе будет потеряна
на трении.
Собственная частота — частота, зависящая только от свойств колебатель-
ной системы, если на нее не воздействует какая-либо внешняя сила.
7. Виды колебаний
Различают следующие виды колебаний:
• Свободные колебания — это такие колебания, которые возникают в сис-
теме, не подверженной действию переменных внешних сил в результате
какого-либо начального отклонения этой системы от состояния устой-
чивого равновесия. Частота колебаний является постоянной и определя-
ется свойствами системы.
• Затухающие колебания — колебания в системе, в которой действует сила
трения. При этом осциллятор непрерывно теряет энергию.
• Вынужденные колебания — колебания системы, происходящие под дей-
ствием внешней периодической силы. Если осциллятор совершает коле-
бания с частотой внешней силы, которая равна частоте собственных ко-
лебаний осциллятора, то такая система называется резонатором.
Комбинация двух последних случаев: вынужденные затухающие колеба-
ния. Внешняя периодическая сила поддерживает колебания затухающего
осциллятора; колебания не прекращаются, так как внешнее воздействие по-
стоянно подводит энергию к осциллятору.
Колебания Свободные Вынужденные
Незатухающие Нет трения Нет внешнего воздействия Энергия постоянна Нет трения Есть внешнее воздействие Постоянный приток энергии Возможен резонанс и разру- шение
Затухающие Трение Нет внешнего воздействия Потери энергии Трение Есть внешнее воздействие Приток и потери энергии Возможен резонанс
Электрические колебания в передающей антенне являются примером
применения вынужденных электромагнитных колебаний, в которых поте-
ря энергии происходит вследствие излучения электромагнитной волны.
Глава 9. Колебания
9.1. Свободные незатухающие колебания
консервативной системы
Свободные незатухающие колебания — это колебания, происходящие без
внешнего воздействия и без трения. Они точно описываются гармонической
функцией (синусом или косинусом). Амплитуда и частота не зависят от вре-
мени.
9.1.1. Пружинный маятник
1. Определение пружинного маятника
Система пружина — массивное тело, пружинный маятник — это тело,
которое закреплено на спиральной пружине.
Тележка, одна из сторон которой прикреплена к пружине, движущаяся
без трения по горизонтальной плоскости (рис. 9.2).
Рис. 9.2. Пружинный маятник. Квазиупругая сила F и скорость v
Состояние покоя: верхний рисунок, пружина не напряжена.
Возмущение: внешняя сила сжимает (или растягивает) пружину на дли-
ну х, система выводится из состояния устойчивого равновесия.
Отклонение х показывает, на сколько система удалилась от состояния
своего устойчивого равновесия, т.е. как сильно пружина была растянута или
сжата.
> Описание системы будет простым, если начало координат выбрать сов-
падающим с центром масс тела и в случае недеформируемой пружины.
В последующим система координат всегда будет выбираться таким об-
разом.
2. Сила упругости
Квазиупругая сила — сила, которая стремится вернуть систему в состоя-
ние равновесия.
Линейный закон силы, закон Гука: квазиупругая сила пропорциональна
смещению пружины и направлена в противоположном направлении, явля-
ется основной предпосылкой для гармонических колебаний:
Сила упругости = — модуль упругости пружины • смещение MLT2
F = —сх Символ Единица измерения Название
F с X кг-м/с2 кг/с2 м Квазиупругая сила Модуль упругости пружины Смещение
> Сила действия пружины пропорциональна смещению только для не-
больших смещений. Поэтому приведенное выше уравнение с достаточ-
ной точностью действительно только для этих смещений.
Если тележка выведена из состояния равновесия, то она ускоряется под
действием квазиупругой силы. Вследствие своей инертности она проскаки-
вает через положение равновесия и удлиняет или сжимает пружину. Сила
пружины снова воздействует на тележку, но на этот раз в противоположном
направлении.
3. Уравнение движения пружинного маятника
Уравнение движения следует из второго уравнения Ньютона
F = та = тх при подстановке квазиупругой силы:
Уравнение движения и решение для пружинного мятника
с X = X т х(7) = A cos(co/ + ф) x(Z) = -Лео sin(cor + ф) х(0 = -Лео2 cos(co/ + ф) Символ Единица измерения Название
X X X с т t А со f <Р Т м м/с м/с2 кг/с2 кг с м рад/с Гц рад с Смещение Скорость Ускорение Модуль упругости пружины Масса маятника Время Амплитуда Циклическая частота Частота Начальная фаза Период колебаний
Рис 9.3 показывает изменение во времени величин х(/)5 х(Г) и х(Г).
Глава 9. Колебания
> Колеблющееся тело достигает своей максимальной скорости | отах| = Лео
при прохождении через положение равновесия. Ускорение будет макси-
мальным в крайних точках траектории | ятах | = Лео1 2.
Представленный на рис. 9.2 макет соответствует горизонтально движу-
щемуся осциллятору, совершающему колебания в горизонтальной плоско-
сти. Если груз подвешен вертикально, то необходимо учитывать то, что пру-
жина в состоянии равновесия системы уже имеет предварительное удлине-
ние из-за постоянно действующей силы тяжести. Это можно учесть, напри-
мер, с помощью того, что начало координат совмещается с положением
центра масс груза в положении устойчивого равновесия системы. Тогда
уравнения колебаний имеют приведенную выше форму.
4. Энергия пружинного маятника
Энергия пружинного маятника равна в сумме кинетической и потенци-
альной энергии системы (рис. 9.4):
Энергия пружинного маятника ML2T'2
Г /А _ _ ^kinV) - “ _ т??Л2со2 sin2(o)Z + Ср) 2 сх 2 ^pot(/)=^|- = _ тЛ2со2 cos2(со/ + ср) 2 W0 + £pot(0 = = с А2 , = = const 2 Символ Единица измерения Название
Wkin wpot т х А со t Ф с Дж Дж КГ м м рад/с с рад кг/с2 Кинетическая энергия Потенциальная энергия Масса груза Отклонение Амплитуда Циклическая частота Время Начальная фаза Модуль упругости пружины
Рис. 9.3. Отклонение х(/), скорость
о = x(t) и ускорение а = x(t) пру-
жинного маятника:
1 — x(t) = Tcosco/;
2 — x(t) = -Aosincot = и;
3 — x(t) = -A(o2cosco/ = a;
Рис. 9.4. Кинетическая энергия Ekin(t),
потенциальная энергия Epot(/) и общая
энергия Е пружинного маятника:
1 — Epot = ^СЛ2 cos2 (со/);
2 — £kin = Га2 sin2 (со/)
• Кинетическая энергия £kin — энергия движения груза.
• Потенциальная энергия £pot — энергия деформации, накопленная в рас-
тянутой или сжатой пружине.
И кинетическая, и потенциальная энергия системы зависят от времени.
Однако общая энергия системы постоянна во времени и при заданном мо-
дуле упругости пружины определяется квадратом амплитуды.
9.1.2. Нитяной маятник
Нитяной маятник — это тело, повешенное на нити, на которое действует
сила тяжести. Нитяной маятник отклоняется в сторону и затем отпускается.
Начало системы координат удобно выбирать в точке подвеса маятника.
1. Математический маятник и характеристики его движения
Математический маятник — это идеализированный нитяной маятник со
следующими допущениями:
• нить является нерастяжимой и ее массой можно пренебречь,
• в подвесе маятника отсутствует трение,
• груз маятника может рассматриваться как точечное тело.
Описание производится через длину нити / и массу m маятника, угол от-
клонения a(Z) от вертикали в момент времени t и горизонтального отклоне-
ния х(Г) нитяного маятника в момент времени t:
x(t) = I sin a(Z).
Возвращающая сила F вызывает движение маятника в направлении со-
стояния покоя (рис. 9.5):
Возвращающая сила, действующая на маятник MLT-2
F = -mg sin a Символ Единица измерения Название
F m g a н кг м/с2 рад Возвращающая сила Масса нитяного маятника Ускорение свободного падения Угол отклонения
Рис. 9.5. Нитяной маятник с длинной нити Г. a —
угол отклонения, х — горизонтальное отклонение,
Fg — сила тяжести, FG = mg, F — возвращающая
сила, F = -wg sin a, F' — сила натяжения нити ма-
ятника
a=0 (Gleichgewicht)
Глава 9. Колебания
2. Линейные уравнения движения
Уравнение движения можно привести к линейному виду, если рассмат-
ривать лишь малые углы отклонения и использовать приближение: sin а « а:
Линейное уравнение движения математического маятника
1 ig 11 d -S II и ig II -к -О S 1 X II II II 11 2 q Q £ II Символ Единица измерения Название
F т I X о а а а d g н кг м м м/с м/с2 рад рад/с рад/с2 м/с2 Сила Масса Длина нити Горизонтальное отклонение Скорость Ускорение Угол отклонения Угловая скорость Угловое ускорение Ускорение свободного падения
> Такое приближение, при котором синус заменяется первым членом раз-
ложения в ряд Фурье, используется для описания многих колебательных
процессов. Только в этом случае для описания движения возможен ана-
литический путь.
> При приближении х « 1а необходимо учитывать, что единицей измере-
ния угла а является радиан, а не градус.
3° градуса соответствуют 3° • (2л/360°) = 0,052 рад. При длине нити
0,5 м горизонтальное отклонение х « 1а = 0,5 м • 0,052 рад = 0,026 м.
3. Решение линейного уравнения движения математического маятника
Решение линейного уравнения движения математического маятника
x(t) = A cos(co/ + ф) Символ Единица измерения Название
х(/) t А 1 (0 g f Ф Т м с м м рад/с м/с2 Гц рад с Отклонение Время Амплитуда, максимальное отклонение Длина нити Циклическая частота Ускорение свободного падения Частота Начальная фаза Период колебаний
▲ При мальве отклонениях период колебаний нитяного маятника зависит
от длины нити и ускорения свободного падения, но не зависит от его
массы и от амплитуды колебаний.
> Для больших отклонений маятника период Т необходимо умножить на
корректирующий множитель (см. табл. 13.1/1).
> Все гармонические системы, в которых происходят свободные колеба-
ния, удовлетворяют дифференциальному уравнению формы х = -чо2х.
Постоянная со2 задается параметрами системы.
9.1.2.1. Колебание и круговое движение
▲ Колебательное движение тесно связано с круговым движением: проек-
ция кругового движения дает функцию зависимости положения от вре-
мени гармонического колебания.
Если вращающаяся с постоянной угловой скоростью св в плоскости х-у
стрелка длиной R выполняет полный оборот за время Т, то проекция поло-
жения стрелки на ось у (ось х) является синусоидой (косинусоидой):
y(t) = R sin(co/ + ср), со = —,
x(Z) = R cos(co/ + ср), св = —.
При этом ср — угол стрелки с осью х в момент времени х = 0 (рис. 9.6).
Часто целесообразно колебания или вращательное движение представ-
лять в комплексном виде (рис. 9.7):
y(t)-R sin(©f±0)
Рис. 9.6. Параллельная проекция кругового
движения на ось у
Рис. 9.7. Комплексное представле-
ние кругового движения стрелки
x(Z) + jy(O = 2?(cos(coZ + ср) + j sin(coZ + ср)) = Re № + (j2 = -1).
Часто комплексную запись используют для решения уравнений движе-
ния осциллятора. Это возможно, так как действительная и мнимая части яв-
ляются решением линейного дифференциального уравнения.
Глава 9. Колебания
9.1.3. Физический маятник
1. Определение физического маятника
Рис. 9.8. Физический ма-
Физический маятник — абсолютно твердое
тело, совершающее колебания под действием силы
тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси
А, не проходящей через его центр тяжести.
Стержневой маятник — подвешенный стер-
жень, который может вращаться вокруг верх-
него конца (рис. 9.8).
Вращающий момент М и момент импульса L
маятника направлены перпендикулярно плоско-
сти колебаний.
2. Уравнение движения физического маятника
Уравнение движения: вращающий момент
силы тяжести относительно оси вращения А со-
гласно основному закону динамики вращательно-
го движения равен произведению момента инер-
ции JA и углового ускорения а.
ятник: S — центр тяже-
сти, Fg — сила тяжести
Момент импульса и вращающий момент относительно оси А
L = JA а М = L - JAd М - -Img sin а Символ Единица измерения Название
L М 1 m g а Ja Нмс Нм м кг м/с2 рад кгм2 Момент импульса Вращающий момент сил Расстояние от оси до центра тяжести Масса маятника Ускорение свободного падения Угол отклонения Момент инерции относительно оси А
Для малых углов a (sin а » а) действительно:
Уравнение движения и его решение для физического маятника
Img а = а Ja а(0 = а max cos(®z + ф) -ж Символ Единица измерения Название
а а 1 m g Z4 рад рад/с2 м кг м/с2 кгм2 Угол отклонения Угловое ускорение Расстояние от оси до центра тяжести Масса маятника Ускорение свободного падения Момент инерции маятника относительно оси А
Уравнение движения и его решение для физического маятника
2л V JA Т =2л ЕГ V mgl Символ Единица измерения Название
а ^тах (D f t <р Т рад рад/с Гц с рад с Максимальная амплитуда Циклическая частота Частота Время Начальная фаза Период колебаний
|м] Момент инерции JA любого твердого тела можно определить, подставляя
результаты измерений т, I и Т в приведенные выше уравнения.
3. Приведенная длина маятника
Приведенная длина маятника — это такая длина математического маят-
ника, который имеет тот же период колебаний, что и рассматриваемый фи-
зический маятник.
Приведенная длина маятника L
/' = — ml Символ Единица измерения Название
1 г т м м кг кг м2 Расстояние от оси до центра тяжести Приведенная длина маятника Масса физического маятника Момент инерции маятника относи- тельно оси А
▲ Согласно теореме Штейнера, момент инерции JA вращения вокруг оси А
можно заменить на
= Л +
Здесь Js — момент инерции вращения вокруг оси, параллельной оси А и
проходящей через центр масс S. Тем самым в формуле приведенной длины
маятника момент инерции JA можно заменить моментом инерции /s относи-
тельно центра тяжести:
ml
4. Пример: однородный стержень
Центр тяжести стержня массой т и длиной L находится в середине стер-
жня / = Z/2. Момент инерции стержня относительно оси вращения, прохо-
дящей через конечную точку, определяется по формуле:
JA = -тЬг.
А 3
Для приведенной длины маятника /' получается:
1 2 2
l' = -mL^ — = -L.
3 mL 3
Глава 9. Колебания
Момент инерции стержня относительно оси вращения, проходящей
рез центр тяжести, равен:
че-
Js - — mL2.
5 12
Для приведенной длины маятника получается то же значение:
1t L L 2 Т
Г = — + — = - L.
6 2 3
9.1.4. Крутильные колебания
1. Определение крутильных колебаний
Кручение (см. 6.1.2.6) ведет к появлению момента сил М со стороны ко-
лебательной системы, который пропорционален, но противоположно на-
Рис. 9.9. Крутильное
колебание. Диск мас-
сой m подвешен на ме-
таллической полоске,
которая скручивается
правлен внешнему первоначальному моменту сил,
вызывающему кручение. Для малого угла кручения
а действительна формула М = -D*oc.
Жесткость при кручении стержня D* — коэффи-
циент пропорциональности между М и а.
Крутильные колебания появляются, если тело
поворачивается под действием внешнего вращающе-
го воздействия, т.е. выводится из состояния механи-
ческого равновесия, и затем отпускается. При этом
тело колеблется вокруг своей оси (рис. 9.9).
Крутильный маятник — это система, в которой
происходят крутильные колебания.
2. Уравнение движения крутильного колебания
Уравнение движения следует из закона Ньютона
М = JAa (М — вращающий момент, d — угловое
ускорение):
Уравнение движения и их решения для к| эутильных колебаний
D* а = а Ja а(0 - а max COS(cor + (р) 2n\JA Символ Единица измерения Название
а а D* ®max (D f t Ф T рад рад/с2 Н • м/рад кгм2 рад рад/с Гц с рад с Угол поворота Угловое ускорение Жесткость стержня при кручении Момент инерции Амплитуда колебаний Циклическая частота Частота Время Начальная фаза Период колебаний
3. Кинетическая и потенциальная энергия крутильного маятника
£kin = \Ja -a2, £pot =|^‘а2-
@ Момент инерции можно определить, измеряя период колебаний:
а
а
Ja =~D*
Т2
4 тс2
Жесткость стержня при кручении D* можно определить, измеряя угол
закручивания а и соответствующий вращающий момент М, или измеряя пе-
риод колебаний Т при известном моменте инерции (круглый диск, вращаю-
щийся вокруг центра).
9.1.5. Жидкостной маятник
1. Определение жидкостного маятника
Жидкостной маятник состоит из
трубки tZ-образной формы, жидкость в
котором выведена из состояния равно-
весия и колеблется вокруг состояния
покоя (рис. 9.10). В состоянии покоя
уровень жидкости в обеих частях тру-
бы одинаковый.
Возвращающая сила является резу-
льтатом силы тяжести той части столба
жидкости, уровень которого выше, чем
уровень жидкости в другой части труб-
ки. Если уровень сдвинуть на ±у из со-
стояния равновесия, то при площади
поперечного сечения А трубы получа-
ется:
Рис. 9.10. Жидкостный маятник. Сила
тяжести той части столба жидкости,
которая находится выше, чем уровень
жидкости в другой части трубы (на
рисунке выделено темным), действует
подобно квазиупругой силе
Квазиупругая сила для жидкостного маятника MLT-2
F = -2уЛр^ Символ Единица измерения Название
F У А Р S Н м м2 кг/м3 м/с2 Возвращающая сила Высота столба жидкости относительно уровня жидкости при равновесии Площадь поперечного сечения трубы Плотность жидкости Ускорение свободного падения
Глава 9. Колебания
2. Уравнения движения жидкостного маятника
Уравнения движения и их решения для жидкостного маятника
my = -2Лр£у у(/) = В cos(co/ + (р) 2Apg [2g (£> = , = J V m \ I f = co = 1 /2g 7 2л 2л V I T = 2л — bs m - lAp Символ Единица измерения Название
У У m A P В co f cp t T I S м м/с2 кг м2 кг/м3 м рад/с Гц рад с с м м/с2 Высота столба жидкости отно- сительно уровня жидкости при равновесии Ускорение Масса жидкости Площадь поперечного сечения Плотность жидкости Амплитуда колебаний Циклическая частота Частота Начальная фаза Время Период колебаний Длина столба жидкости Ускорение свободного падения
> т — общая масса жидкости в обеих частях трубы, т = Мр, где I — длина
столба жидкости. В этом случае у описывает изменение уровня жидкости
в одной части трубы, в то время как уровень в другой части трубы опи-
сывается как -у.
9.1.6. Электрический колебательный контур
Простейший электрический колебательный контур состоит из катушки и
конденсатора, которые соединены в замкнутую цепь (рис. 9.11).
Отклонение из состояния покоя для маятника в данном случае соответст-
вует зарядке конденсатора с помощью приложенного постоянного напряже-
ния ?7exf В начальном состоянии (максимальная электростатическая энергия
— аналогия потенциальной энергии) напряжение конденсатора является мак-
симальным, ток через катушку не протекает. При разрядке конденсатора про-
текающий ток генерирует в катушке магнитное поле (аналогия кинетической
энергии). После полной разрядки конденсатора (аналогия прохождения маят-
Рис. 9.11. Параллельный колебательный контур с катуш-
кой (индуктивность L) и конденсатором (емкость Q.
UQXt — приложенное через переключатель S постоянное
напряжение для вывода системы из начального состоя-
ния равновесия
9.2. Затухающие колебания
ника через положение равновесия; в этот момент времени магнитная энергия
максимальна), магнитное поле вновь уменьшается. Существующий ток вновь
заряжает конденсатор с напряжением обратного знака. Общая энергия коле-
бательной системы передается от конденсатора катушке и обратно.
Уравнения колебательного контура: так как электрическая цепь замкну-
та, то напряжение на катушке UL и конденсаторе Uc при сложении должны
давать 0:
Незатухающие колебания электрического колебательного контура
и + 4 о'° + > II 7 II :О о ~~ 1 е К " Д II -1" 7 || Ь 11 О II 11 О о Д 3 § Символ Единица измерения Название
Q UL Uc t А (0 f Ф L С Т I Кл В В с Кл рад/с Гц рад Вс/А А-с/В с А Заряд конденсатора Напряжение на катушке Напряжение на конденсаторе Время Амплитуда, максимальный заряд конденсатора Циклическая частота Частота Начальная фаза Индуктивность катушки Емкость конденсатора Период колебаний Ток
Электростатическая энергия Ее1 и магнитная энергия £magn колебательно-
го контура:
Ее' 4ct/2’ £magn Ч£/2'
> Колебательный контур является важным элементом в электротехнике и
используется, например, для генерации электромагнитных колебаний в
передающих антеннах.
9.2. Затухающие колебания
При затухающих колебаниях энергия осциллятора
не является постоянной, а передается с течением
времени в окружающую среду.
В механических осцилляторах такие потери
энергии происходят из-за трения при движе-
нии осциллятора в окружающей среде. Сила
трения направлена против движения осцилля-
тора. Таким образом, осциллятор через опреде-
ленное время вновь возвращается в состояние
покоя (рис. 9.12).
Рис. 9.12. Затухающие ко-
лебания. Массивный ма-
ятник в масляной ванне
11—3814
Глава 9. Колебания
В маятнике всегда есть трение. Из-за трения точка подвеса маятника на-
гревается, и часть энергии переходит в тепловую энергию системы.
Приведенные ниже уравнения колебаний учитывают дополнительную
силу трения FR.
Уравнения колебаний при наличии трения MLT2
mx = F = —сх + Fr Символ Единица измерения Название
F т X X с Fr н кг м м/с2 кг/с2 Н Полная сила Масса Отклонение Ускорение Коэффициент возвращающей силы (в случае пружинного маятника — модуль упруго- сти пружины) Сила трения
9.2.1. Трение
В зависимости от вида трения (см. 2.2.3) уравнения колебаний принимают
различную форму. Лишь для некоторых видов трения уравнения движения
можно решить аналитическим путем.
9.2.1.1. Трение качения и трение скольжения
1. Кулоновское трение
Кулоновское трение, трение твердых тел, FR — трение, величина которо-
го не зависит от скорости и направлена против направления движения
(см. 2.2.3.2). При движении в направлении оси х:
Fr = -sgn(vx)pFjV.
Нормальная сила FN — сила, с которой тело давит на опору. Если кроме
сил земного притяжения на тело больше не действует никакая вешняя сила,
то Fn — нормальная компонента силы тяжести FG = mg.
Уравнение колебаний:
mx + сх + sgn(ux )ц/> = 0.
2. Свойства решений уравнений колебаний для трения скольжения
• Частота и, следовательно, период, остаются постоянными, период равен
периоду затухающих колебаний.
• Амплитуда уменьшается с течением времени.
• Колебания могут остановиться при отклонении, отличном от нуля.
• Период колебаний является конечным.
9.2. Затухающие колебания
• Амплитуда колебаний уменьшается в течение периода на 4х0. Амплитуды
образуют арифметическую прогрессию.
• Положение равновесия соответствует положению смещения от х0 до -х0.
• Колебания останавливаются, когда отклонения после полупериода мень-
ше чем х0.
Рис. 9.13. Затухающие колебания при
наличии трения, не зависящего от ско-
рости. Максимальное отклонение ли-
нейно уменьшается с течением времени
В течение определенного проме-
жутка времени колебания можно за-
дать графически (рис. 9.13).
При этом х0 — отклонение, для
которого возвращающая сила равна
силе трения, т.е. система должна
быть отклонена больше, чем на х0,
чтобы вообще возникли колебания.
Колебания при трении скольжения L
х(/) = -(Дх - х0) • sin(atf + - х0 Т для 0<Г< — 2 х(Г) = -(Дх - Зх0) • sm(co/ + у) + х0 Т для — 2 х0 _ с Символ Единица измерения Название
X Дх х0 О) t Т с FN ц м м м рад/с с с кг/с2 Н 1 Отклонение Начальное отклонение Конечное отклонение Циклическая частота Время Период колебаний Коэффициент воз- вращающей силы Нормальная сила Коэффициент трения
9.2.1.2. Вязкое трение
1. Уравнения колебаний при вязком трении
Вязкое трение, трение Стокса, по величине пропорционально скорости
и направлено противоположно движению:
Fr = -bv = -bx.
Коэффициент трения b — постоянная пропорциональности между силой
вязкого трения и скоростью.
Глава 9. Колебания
Уравнение колебаний:
Уравнение колебаний для вязкого трения MLT2
тх + Ьх + сх - 0 Символ Единица измерения Название
т X X X с b кг м м/с м/с2 кг/с2 кг/с Масса Отклонение Скорость Ускорение Коэффициент возвраща- ющей силы Коэффициент трения
2. Решение уравнения колебаний для вязкого трения
Колебания при наличии вязкого трения
11 X to « II pH II ° 1 II S 1+ S У il 8 । о ОО II Символ Единица измерения Название
X А ®о t б D b т м м 1/с с 1/с 1 кг/с кг Отклонение Начальная амплитуда Циклическая частота Время Коэффициент затухания Степень затухания Коэффициент трения Масса
Собственная циклическая частота незатухающих колебаний определяет-
ся массой осциллятора т и коэффициентом возвращающей силы с\
со0 = у/с/т.
Затухание d равно удвоенной величине степени затухания:
d = 2D = b/y[mc.
Добротность Q — это величина, обратная затуханию d\
3. Затухающие крутильные колебания при наличии вязкого трения
Затухающие крутильные колебания при наличии вязкого трения
Jacl + ba + = 0 Символ Единица измерения Название
а b Л D* рад кгм2/с кгм2 кгм2/с2 Угол закручивания Коэффициент трения Момент инерции, ось вращения А Жесткость при кручении
9.2. Затухающие колебания
4. Различные виды колебаний в зависимости от степени затухания
Различают следующие случаи в зависимости от степени затухания D
(рис. 9.14):
• Колебания, D < 1 (со0 > б), слабое затухание:
со' = ^<о2 -82 = со0 Vi -D2, со' < со0 действительная,
x(t) = cos^со2 -82/ + срJ
Циклическая частота со' затухающих колебаний меньше, чем циклическая
частота со0 незатухающих колебаний. Амплитуда колебаний уменьшается эк-
споненциально, период колебаний остается постоянным. Огибающая коле-
баний является экспонентой.
• Медленное возвращение, Д > 1 (со0 < б):
Частота затухания: со' = j^82 - со2, со' — мнимая.
I —5 + ^82 — cog и j —3 — -J§2 — coq и
х(?) = Де< J + Л2е< > .
Здесь вообще не начинаются колебания. Выведенная из состояния по-
коя система медленно возвращается в состояние покоя по экспоненциаль-
ному закону.
• Граничный случай — апериодическое затухание, D = 1 (со0 = б):
со' = со0 = 8, х(/) = (Д + Л2/)е-5/.
Решение уравнений в случае медленного возвращения и граничном случае
апериодического затухания не является затуханием в собственном смысле
этого слова, так как система после вывода из состояния покоя, возвращается
в него, не проходя это состояние несколько раз, как в случае колебаний.
|м| Граничный случай апериодических колебаний очень важен для практи-
ки, так как при этом состояние равновесия после возмущения системы
достигается быстрее всего. В измерительных приборах индикаторные ин-
струменты конструируются именно таким образом, например, в балли-
стическом гальванометре.
Рис. 9.14. Затухающие колебания: а — колебания;
ние; в — апериодическое колебание
б — медленное возвраще-
Глава 9. Колебания
5. Основные характеристики колебаний при наличии вязкого трения
Основные характеристики колебаний п] эи наличии вязкого трения
®о = F V m Символ Единица измерения Название
D 6 ®0 co' d Q b A m c 1 1/с 1/с 1/с 1 1 кг/с 1 кг кг/с2 Степень затухания Коэффициент затухания Циклическая частота собственных колебаний Циклическая частота затухающих колебаний Затухание Добротность Коэффициент трения Логарифмический декре- мент затухания Масса Коэффициент возвраща- ющей силы
f I С / Ь х'-) V m 2m 5 = — 2m рЛЛ _L coo 2 4mc d = 2D = — = -L= COo VwC Q = - = — d 2D A = ln(x(r)/x(z‘ + T)) = 8T
Логарифмический декремент А — натуральный логарифм отношения ам-
плитуд колебаний двух следующих друг за другом периодов:
= In
^x(t + T) J
= 8Т.
9.2.1.3. Трение Ньютона
Сила трения FR пропорциональна квадрату скорости, т. е.
Fr = -bv2.
Такая сила трения появляется при движении в вязких средах, если тело
движется с определенным значением скорости, которое зависит от вязкости
вещества. Таким образом, появляется нелинейное дифференциальное урав-
нение, которое в общем случае уже нельзя решить аналитически:
тпх + сх + Ьх2 = 0.
9.2.2. Затухающие колебания в электрическом
колебательном контуре
1. Затухающие колебания в электрическом колебательном контуре
При этом дополнительно к конденсатору С и ка-
тушке L подключается омическое сопротивление R
(рис. 9.15).
Рис. 9.15. Затухающие колебания в электрическом колеба-
тельном контуре, из конденсатора С, катушки L и омиче-
ского сопротивления R
9.2. Затухающие колебания
Затухающие колебания в электрическом колебательном контуре
+ и .Л Liu ’LL Z7T й -о g* Lb । L - L о Lb № h s и 11 J1 Q) О о 3 4 Символ Единица измерения Название
Q UL Uc UR I t R L C co0 co' 6 D Кл В В В А с Ом В-с/А А-с/В рад/с рад/с 1/с 1 Заряд конденсатора Напряжение на катушке Напряжение на конден- саторе Напряжение на сопро- тивлении Ток Время Сопротивление Индуктивность Емкость Циклическая частота собственных колебаний Циклическая частота затухающих колебаний Коэффициент затухания Степень затухания
2. Аналогия между механическими и электромагнитными затухающими ко-
лебаниями
Характеристика Механические колебания Электромагнитные колебания
Уравнение колебаний тх + Ьх + сх = 0 Li + RI +-I = 0 С
Циклическая частота собст- венных колебаний со0 I Й
Циклическая частота затуха- ющих колебаний со' 1с ( ь у V т \2т) Н / 7? у \ LC UL
Коэффициент затухания б ь 2т R 2L
Степень затухания D = б/ со0 b у тс Л (С 2
Добротность Q 4тс ь 1 fl R\C
Здесь т — масса, L — индуктивность, с — коэффициент возвращающей
силы (модуль упругости пружины и т.п.), С — емкость, b — коэффициент
трения, R — омическое сопротивление.
Глава 9. Колебания
9.3. Вынужденные колебания
1. Определение вынужденных колебаний
Вынужденные колебания — колебания, которые происходят в осцилля-
торе под воздействием внешней силы Fext. После первого колебания осцил-
лятор совершает колебания с частотой, которая равна частоте внешней вы-
нуждающей силы.
Уравнение колебаний для Fext = В cos(coextZ) и при наличии вязкого трения:
Уравнение вынужденных затухающих колебаний
Символ Единица измерения Название
F H Сила
F = тх - m кг Масса осциллятора
X м/с2 Ускорение
= -СХ - Ьх + В COS(cOextO X м Отклонение
х(/) = Л(а»ей) sin(oW + <p(®ext )) A м Амплитуда
c кг/с2 Коэффициент воз- вращающей силы (модуль упругости
л/ \
\ ext / I ~
V<mfi)ext “С)2 +Z,2®ext пружины)
—hay b кг/с Коэффициент трения
<P(®ext) = arctan ext В н Амплитуда вынужда- ющей силы
®ext рад/с Циклическая частота вынуждающей силы
9ext рад Фазовый сдвиг
t с Время
2. Свойства решения уравнений колебания
Решение состоит из наложения общего решения однородного уравнения
(без внешней силы Fext; это соответствует свободным затухающим колебани-
ям с циклической частотой со0 = ^с/т) и особого решения неоднородного
уравнения. Решение является функцией синуса с циклической частотой вы-
нуждающей силы coext, а также амплитудой и фазой, которые зависят от coext.
▲ Амплитуда колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы
и зависит от частоты внешней силы. Для больших циклических частот
возмущающих колебаний амплитуда независимо от трения стремится к
нулю, Л -> 0, для coext оо (рис. 9.16).
Резонансная циклическая частота o)res, — это циклическая частота внеш-
ней вынуждающей силы, при которой результирующая амплитуда становит-
ся максимальной. Определяется из минимума знаменателя функции H(coext)
для положительных (Dext.
Резонансная амплитуда Лтах — амплитуда колебаний при резонансной
циклической частоте. Она определяется подстановкой резонансной частоты
cores вместо coext в выражение для Л(соех1).
9.3. Вынужденные колебания
Рис. 9.16. Вынужденные колебания. Норми-
Л(согес) .
рованная амплитуда —как функция
В/с
^res/^o Для различных степеней затухания D
Рис. 9.17. Вынужденные колеба-
ния. Фазовый сдвиг ср как функ-
ция от coext/a>o для различных сте-
пеней затухания D
Фазовый сдвиг (р — разность фаз между вынужденным колебанием и вы-
нуждающей силой (рис. 9.17).
▲ Для coext = со0 получается ср = -л/2.
Рассмотренные характеристики можно также использовать для опреде-
ления понятия резонанса.
3. Резонанс при вынужденных колебаниях
Характеристики резонанса
I с Ь2 ™res — у л 9 ~ V т 4m2 Символ Единица измерения Название
= ®OV1 - 2Z>2 А * ^max ~ I - — bl- -(—)2 у т 2т = В 2cDjl - D1 ср = arctan( 2S(°ext ) D = 2т(£>о ®0 = JX 8 = у- V m 2m ®res A В c m b 6 D co0 рад/с м Н кг/с2 кг кг/с 1/с г рад/с Резонансная цикличе- ская частота Резонансная амплитуда Амплитуда вынуждаю- щей силы Коэффициент возвраща- ющей силы (модуль упругости пружины) Масса Коэффициент трения Коэффициент затухания Степень затухания Циклическая частота свободных колебаний
Глава 9. Колебания
А С увеличением затухания колебаний максимум резонанса сдвигается в
сторону меньших частот (см. рис. 9.16).
4. Характеристики резонанса
а) Усиление при резонансе — значение амплитуды колебаний при резо-
нансной частоте (рис. 9.18):
Рис. 9.18. Вынужденные колебания. По-
луширина Acoext/(Oo и усиление при резо-
нансе 4™.
В/с
А
^тах
В/с ’
б) Полуширина — диапазон ре-
зонанса, диапазон частот вынужда-
ющей силы Acoext между цикличе-
скими частотами с амплитудой
Дпах А/2 (см. рис. 9.18):
A®extM-
в) Резонанс — явление, наступа-
ющее при малом трении, b - 0, в
предельном случае Acoext -> со0: амп-
литуда колебаний становится беско-
нечно большой.
В технике явление резонанса
часто является нежелательным, так
как оно может привести к повреж-
дению осциллятора. Чтобы предот-
вратить его появление, машина
должна работать при частотах, ко-
торые намного меньше резонансной частоты, или резонансная частота при
включении и выключении машины должна проходить достаточно быстро,
если машина должна работать на частотах выше частоты резонанса со0. При
строительстве зданий, мостов, сооружений в областях высокой сейсмологи-
ческой активности явление резонанса по возможности должно быть предот-
вращено или скомпенсировано.
9.4. Сложение колебаний
Закон суперпозиции действует вследствие линейности уравнений для гармо-
нических колебаний:
Л Гармонические колебания налагаются друг на друга без взаимного влия-
ния.
Если в системе происходит одновременно несколько колебаний, то для
каждого колебания может быть решено соответствующее уравнение колеба-
ний. Мгновенное отклонение осциллятора определяется суммой отклоне-
ний, которые рассчитываются как результат решения уравнений отдельных
колебаний.
9.4. Сложение колебаний
9.4.1. Сложение колебаний одинаковой частоты
Из двух гармонических колебаний, описываемых уравнениями
%! (О = А\ cos(co/ + <Pi), *2 (0 - ^2 cos(co/ + ф2), Дф = Ф1 “ ф2 >
получают согласно теореме сложения тригонометрических функций резуль-
тирующее гармоническое колебание с той же частотой, что и исходные ко-
лебания (рис. 9.19):
Сложение колебаний одинаковой частоты
%i(Z) = А1 cos(co/ + ф1) х2(0 = Л2 COS((1V + ф2) Дф =Ф1 -ф2 *1 + 2(0 = *1(0 + X2(t) = — А[ + 2 COS(coZ + ф 1 + 2 ) Символ Единица измерения Название
*1(0, *2(0 *1+2<0 Л1, а2 ^1+2 0) t Ф1,Ф2 Дф Ф1 + 2 рад/с с рад рад рад Колебания 1, 2 Результирующее колебание Амплитуды 1, 2 Результирующая амплитуда Циклическая частота Время Начальные фазы Разность фаз Результирующая начальная фаза
4 + 2 = yjAf + + 2А[А2 cos Д<р tQ„,„ _ 4 sinep! + л2 sinq>2 Д СО8ф1 + л2 СО8ф2
Амплитуда результирующего колебания максимальна, если: Дер = О, Л1+2 =
— *+* у42.
Сложение колебаний одинаковой амплитуды (Д = А2 = А):
Al + 2 = 2А cos(A<p/2), (р1 + 2 = ^1—
• Амплитуда результирующего колебания максимальна, если: Лер = О,
Л1+2 = 2Я.
• Амплитуда результирующего колебания минимальна и равна нулю, если:
Дф = л, Л1+2 = 0 (рис. 9.20).
х(0
a:M2=2/3
Дф=-я/3
Рис. 9.19. Сложение колебаний Xj(Z) (1), х2(0 (2) одинаковой частоты со с
разностью фаз Дер для некоторых значений Я1/Л2 и Дер: 3 — х1+2(0
Глава 9. Колебания
Рис. 9.20. Сложение колебаний xt(0 (1), х2(/) (2) одинаковой частоты со: а —
амплитуда результирующего колебания максимальна (Дер = 0); б —
амплитуда результирующего колебания минимальна (Аф = л); 3 —
х1+2<0
9.4.2. Сложение колебаний разных частот
Рассмотрим уравнения колебаний Xj(Z) и х2(Г),
хЦ/) = cos(oV + Ф1)> *2(0 - ^2 cos((o2Z + (р2),
предположив для упрощения, что cpj = (р2 = 0, Д = Л2 = А, и получим, ис-
пользуя теорему сложения тригонометрических функций, уравнение резуль-
тирующих колебаний:
Сложение колебаний разных частот т
хЦ/) = A cos coi/ х2(/) = A cosco2/ *1 + 2(0 = ~ А ((01 — (02 f (01 + (02 А = 2 A cos — - / cos — -1 I 2 J I 2 ) Символ Единица измерения Название
Xi, x2 Xl+2 A (01, (02 t рад/с с Колебание 1, 2 Результирующее колебание Амплитуда Циклическая частота 1, 2 Время
1. Биения
Появляются тогда, когда разница частот налагаемых колебаний является
малой, со2 = св! + Дсо, | Асо|« coi. Результат можно интерпретировать как ко-
лебание с циклической частотой (о^ + со2)/2, амплитуда которого изменяет-
ся медленно и периодически с частотой | (coi - со2)|/2 (рис. 9.21).
2.Частота и период биений
Период биений Ts — определяется как временной промежуток между
двумя нулевыми значениями амплитуд колебаний. Исходя из условия, что
тс (со! -(о2)|Т5 /2 получается Ts = 2тг/|((01 — со2 )|.
9.4. Сложение колебаний
Рис. 9.21. Биения. Наложение колебаний хДО, х2(Г) с малой разностью час-
тот Дсо. 7\, Т2 — периоды колебаний,fs — период биений, Т1+2 —
период результирующего колебания
Частота и период биений
fs =1/1 -Л 1 1 = _1 1_ Ts / Т2 Символ Единица измерения Название
fs f,fl Ts К т2 с-1 с-1 с с Частота биений Частота колебаний 1, 2 Период биений Периоды колебаний 1, 2
В музыке биения в обычном случае являются нежелательными. Они по-
являются тогда, когда два звука, основные частоты которых отличаются
лишь незначительно, звучат одновременно. Человеческое ухо восприни-
мает возникающий звук как диссонанс и распознает колеблющуюся ам-
плитуду результирующего биения.
3. Частота и период в общем случае
Частота и период результирующего колебания
а>1 + 2 - - f /1 + fi гр 2л П + 2 = = ю1 + 2 _ 4л _ Т\Т2 СО] + со2 Т\ + Т2 Символ Единица измерения Название
®1+2 COj, <Х>2 /1+2 /1>/2 К т2 тм рад/с рад/с с-1 сч с с Циклическая частота результирующего колебания Циклическая частота колебаний 1, 2 Частота результирующего колебания Частота колебаний 1, 2 Период колебаний 1, 2 Период результирующего колебания
> Для большой разницы частот Дсо накладываемых колебаний результиру-
ющее колебание в общем случае не является гармоническим (рис. 9.22).
Глава 9. Колебания
x2(f)
Аш=9
Рис. 9.22. Наложение колебаний х^/), х2(/) с большой разностью частот Дсо
9.4,3. Сложение перпендикулярных колебаний
разных частот
1. Фигуры Лиссажу
Если два колебания, совершаемые в различных направлениях (напри-
мер, в направлении осей х и у) накладываются друг на друга, то результат
сложения удобно рассматривать в прямоугольной системе координат:
х(/) = Ах sin(coxZ + (рх),
y(t) = Ау sin(coy/ + фу).
Представление результирующего колебания в полярных координатах:
г(Г) = д/х(Г)2 + у(/)2 , а(0 = arctan
где г — длина результирующего вектора, а — угол между вектором и поло-
жительным направлением оси х, измеренный против движения часовой
стрелки.
Вектор г = (х(0, у(0) описывает фигуры Лиссажу, вид которых определя-
ется соотношением Ах и Ау, отношением (ох к о)у и разностью начальных фаз
Дф = фх -фд, (рис. 9.23).
Свойства: фигура Лиссажу является периодической кривой в двухмер-
ном пространстве.
Рис. 9.23. Фигуры Лиссажу
9.4. Сложение колебаний
х(/) = A cos(cor), y(t) = A sin(coZ):
г описывает окружность
х(0 = Ах cos(coZ), y(t) = Ау cos(coO-
^4
получается уравнение прямой у(Г) = — х(/).
А
> Фигуры Лиссажу можно увидеть с помощью осциллографа, настроив от-
клонение луча в направлении оси х и у с соответствующей амплитудой и
частотой. Благодаря некоторому времени свечения экрана после снятия
воздействия луча и возможности работать с высокими частотами можно
добиться того, что наблюдатель увидит неподвижную фигуру.
2. Двумерный гармонический осциллятор
Уравнение движения двухмерного гармонического осциллятора:
тх = -сх, ту = -су. со =
Их решение:
х(/) = Ах cos(co/ + cpi),y(t) = Ау cos(co/ + ср2 )•
Амплитуды Ах, Ау и фазовые углы (р1? ср 2 определяются начальными усло-
виями.
Траектория определяется исключением времени t из уравнений:
х2 2 cos ср у2 . э
- ~ , + Ту = sin2 ф, <р = <pi -<р2.
А2
Траектория является эллипсом. Для <р = тс/2 полуоси этого эллипса сов-
падают с координатными осями:
= 1.
А2 А
9.4.4. Фурье анализ, разложение на гармоники
Так как сложение гармонических колебаний также является колебанием,
т.е. периодическим процессом, то можно и наоборот, любой периодический
процесс представить как сложение гармонических колебаний. Это называет-
ся теоремой Фурье.
▲ Разложение Фурье: любая периодическая функция может быть представ-
лена как сумма (при необходимости — как бесконечная) гармонических
колебаний различных частот и амплитуд. Частоты Фурье являются целы-
ми кратными основной частоты.
1. Ряд Фурье
Ряд Фурье — математическое представление периодической функции
х(/) с периодом Т как сложение гармонических колебаний,
ХО = “ + • cos(& • at) + bk sin(£ св/)),
2 k=i
Глава 9. Колебания
с коэффициентами Фурье
2 Г
ак = — j х(0 • cos(Axo/) dt, к = 0,1,2,3, •..
о
и
2 Т
bk = — j x(t) • dt, к - 1,2,3,...,
T о
при этом со = 2л/ Т. Коэффициенты Фурье указывают, насколько сильно от-
дельные частоты представлены в периодической функции x(t).
к= 1: основное колебание (первая гармоника высшего порядка).
к = 2: первая высшая гармоника (вторая гармоническая составляющая
высшего порядка).
к=3: вторая высшая гармоника (третья гармоническая составляющая
высшего порядка).
2. Анализ Фурье
Анализ Фурье — это исследование, которое позволяет определить, из ка-
ких гармонических компонентов составлена заданная периодическая функ-
ция. Анализ показывает, какие частоты и с какими амплитудами представ-
лены в данной функции.
Спектр Фурье — способ представления анализа Фурье в виде амплитуд-
но-частотной диаграммы, на которой наносят амплитуду членов ряда Фурье,
встречающихся в сумме, на соответствующих частотах в виде вертикальных
линий (рис. 9.24).
Синтез Фурье — составление комплексного временного сигнала из не-
скольких гармонических функций различных частот и амплитуд.
3. Комплексное представление ряда Фурье
Ряд Фурье можно представить в следующем виде:
к = ^
с коэффициентами
1 Т/2
ск = - J х(1) • e~>*'dr, к =...,-2-1,0,1,2,....
Т -Т/2
Здесь Т — период колебаний анализируемого сигнала.
9.5. Связанные колебания
> Зависимость между коэффициентами ап, Ьп и сп\
ап = сп + с_п,п> О,
ьп = &п -с_„),п>0.
В акустике свойство звуковой волны исследуется с помощью анализа
Фурье. Тоны, в которых присутствует только один коэффициент Фурье, зву-
чат как «синтетические». Впечатление от звука определяется по виду и амп-
литуде различных смешанных компонентов.
В синтетической музыке (в синтезаторе) все виды инструментов и голо-
сов могут быть воспроизведены с помощью синтеза Фурье.
9.5. Связанные колебания
1. Колебание системы связанных между собой тел
Связанные колебания — колебания, которые возникают в системе, со-
стоящей из нескольких взаимно влияющих друг на друга колеблющихся тел.
Части системы могут обмениваться энергией между собой.
В дальнейшем связь будет рассматриваться на примере двух маятников,
связанных между собой спиральной пружиной (рис. 9.25).
Рис. 9.25. Связанные маятники: а — синфазное колебание; б — противофаз-
ное колебание
Предположения при рассмторении связанных колебаний:
• Оба маятника имеют одинаковую массу т и одинаковую длину нити /,
следовательно, равные коэффициенты возвращающей силы с и периоды
колебаний Т.
• Слабая связь — такая связь между осцилляторами, которая намного сла-
бее, чем возвращающие силы самих осцилляторов.
> Система только с одним осциллятором имеет постоянную частоту, с ко-
торой колеблется свободный осциллятор. Если несколько связанных
между собой осцилляторов колеблются, то, как правило, возникают раз-
личные виды колебаний (моды колебаний).
2. Фундаментальные колебания
Фундаментальные колебания — такой вид колебаний связанной систе-
мы, когда осцилляторы не обмениваются энергией между собой. Фундамен-
тальные колебания двух связанных маятников могут быть:
Глава 9. Колебания
• Однонаправленными или синфазными колебаниями. В этом случае оба
маятника синхронно совершают одинаковые колебания.
• Противоположно направленными, или противофазными колебаниями.
В этом случае маятники колеблются синхронно в противоположных на-
правлениях.
Отклонение только одного осциллятора ведет к затуханию его колеба-
ний, в то время как второй начинает колебаться. Затем затухают колебания
второго маятника, а первый начинает колебаться снова. Общая энергия по-
стоянно переходит от одного маятника к другому.
3. Уравнения движения связанных идентичных осцилляторов
Уравнения движения связанных маятников
mxx(t) = —схх -Ci2(xi -х2) ZHX2(0 = -СХ2 -<Л2(%2 ~*1) /л(Х1 - х2) = -(с + 2С12 )(Х1 - х2) m(xj + х2) = -с(Х] + х2) X! (/) = A sin {-С°-/ + • cos [ —— 12 ) 2 ) х2 (t) = A sin f ~Ю// / • cos f ^ + <°" / СО/ = = co V m „ Is + 2c12 = Л V m Сим- вол Единица измерения Название
m c c12 X], x2 *1,2 A “iji t кг кг/с2 кг/с2 м м/с2 м 1/с с Масса маятни- ков Коэффициент возвращающей силы отдель- ного маятника Коэффициент упругости свя- зывающей пружины Отклонение маятника 1, 2 Ускорение ма- ятника 1, 2 Амплитуда Циклическая частота фунда- ментальных колебаний Время
При этом с12 — коэффициент упругости связывающей пружины меж-
ду двумя маятниками. Данное решение получают, рассматривая отношение
(Fx — F^/m и + F^/m. решают эти уравнения для новых переменных
Xj — х2 и xt + х2 и рассчитывают, в свою очередь, хх и х2.
> Каждый осциллятор совершает биения. Биения обоих маятников сдви-
нуты относительно друг друга по времени.
Фундаментальные колебания содержатся в решениях х^/) и х2(/):
• Синфазные фундаментальные колебания xx(t) = x2(t):
Уравнения для F{ и F2 сокращаются до двух несвязанных уравнений для
свободного маятника. Решение дифференциальных уравнений дает цик-
9.5. Связанные колебания
лическую частоту со/ = со = jc/m свободных колебаний несвязанных
осцилляторов.
• Противофазные фундаментальные колебания, %](/) = -x7(t):
Решение дает циклическую частоту со// = ^(с + 2cl2)/m для каждого из
этих двух осцилляторов.
4. Циклическая частота фундаментальных колебаний
Циклическая частота coj синфазных фундаментальных колебаний равна
циклической частоте колебаний отдельного маятника со, так как связь в этом
случае не действует и, следовательно, не влияет на колебания маятника:
со/ = со = yjc/m.
При противофазных фундаментальных колебаниях возвращающая сила
действует иначе, чем при отсутствии связи. Приблизительное описание про-
цесса колебаний с помощью линейного выражения для возвращающей силы
отдельного осциллятора возможно с введением изменяемого коэффициента
возвращающей силы:
г , t mg
F = с х где с ф с = —,
следовательно,
СО// =
С + 2(?i2
т
Биения появляются в колебаниях обоих маятников в том случае, если в
системе не происходит одного из названных выше фундаментальных коле-
баний: из состояния покоя выводится только один маятник и затем отпус-
кается. Он полностью передает свою энергию другому маятнику и заставля-
ет его совершать колебания. Затем второй маятник полностью передает
свою энергию первому и т.д.
Возникающие биения являются результатом сложения обоих фундамен-
тальных колебаний.
Коэффициент связи К для. двух идентично колеблющихся систем опреде-
ляется как
СО? — СО?г
К=~2------Г’
COJ + С0|7
где coj, соп — фундаментальные частоты. Для слабой связи К « 1,со/ « со//.
> На кораблях принцип связи двух осцилляторов используется в успокои-
тельных цистернах, чтобы уменьшить колебания корабля. Колебания ко-
рабля передаются воде, которая находится в корпусе судна. Колебания
же воды сильно ослабляются благодаря специально подбираемой форме
цистерны. Таким образом, энергия корабля, в конце концов, преобразу-
ется в тепловую энергию.
ГЛАВА IО
ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
Волнами называют распространяющиеся в веществе или поле периоди-
ческие возмущения состояния этого вещества или поля, при которых пере-
нос энергии происходит без одновременного переноса массы.
Система, в которой распространяются волны, может быть мысленно
представлена из бесконечного числа связанных между собой осцилляторов.
Состояние одного осциллятора зависит от положения и времени. Энергия
постоянно перераспределяется между отдельными осцилляторами.
Свободная волна возникает тогда, когда на систему не действуют внеш-
ние силы и отсутствуют потери энергии (например, на трение и нагрева-
ние). Распространение волны происходит благодаря связи соседних осцил-
ляторов.
Механическая реализация волны. Волна может быть представлена, на-
пример, с помощью конечного числа маятников, которые с помощью пру-
жин слабо связаны с соседними маятниками. За исключением периодиче-
ского отклонения маятника из положения равновесия, все колеблющиеся
тела остаются на своем месте, происходит только передача энергии между
маятниками (см. 9.5, п. 1).
Волновые процессы описываются с помощью функции вида fir.t), где
f — отклонение иг — положение осциллятора в момент времени t.
> Ударная волна — непериодическая волна большой амплитуды, которая
может быть связана с переносом массы. Скорость распространения при
этом зависит от амплитуды (нелинейная волна). Для ударных волн прин-
цип суперпозиции не действует.
10.1. Основные свойства волн
1. Описание волновых процессов с помощью волнового уравнения
Волновое уравнение — линейное дифференциальное уравнение второго
порядка для функции /(г,/), зависящей от положения и времени. Оно опи-
сывает распространение волны во времени и пространстве:
1 а2Ж0 = а2 ж г) + а2Ж0 + а2Ж0 1 а2жо
с2 а/2 дх2 ду2 dz2 с2 dt2
Самое общее решение волнового уравнения — это сложение волн, кото-
рые распространяются с одинаковой скоростью с в направлении ez,
t I c J
10.1. Основные свойства волн
> При математическом описании волновых процессов в общем случае лег-
че рассматривать бесконечно протяженные волны. В природе, как пра-
вило, встречаются только ограниченные в пространстве волны. Это огра-
ничение проявляется в образе решения волнового уравнения, которое
должно решаться при соответствующих краевых условиях.
2. Фаза и фронт волны
Фаза волны — аргумент функции / записанный в форме со/ - кг + (р. Это
величина, которая описывает состояние колебания в данной точке про-
странства.
Волновой поверхностью или фронтом вол-
ны называют геометрическое место точек сре-
ды, в которых в рассматриваемый момент вре-
мени t фаза волны имеет одно и то же значение
(рис. 10.1).
> Так как волна в пространстве является пе-
риодической, то число фронтов волны бес-
конечно велико.
По форме волновых поверхностей различа-
ются:
Рис. 10.1. Фронт волны, луч
волны й, волновое число к,
вектор распространения ё,
ДИ — элемент объема
• плоская волна,
• цилиндрическая волна,
• сферическая волна.
> Внутри достаточно малой области пространства любой фронт волны мо-
жет рассматриваться как плоский.
Луч волны — нормаль к волновой поверхности, по которой происходит
распространение волны в однородной изотропной среде.
3. Волновой вектор и волновое число
Волновой вектор, волновое число, к — это присутствующий в решении
волнового уравнения постоянный вектор. Его значение определяют, рас-
сматривая значение функции /(со/ - кг + (р) при t = 0. Тогда /имеет одинако-
вое значение для всех точек г с к г = const, т.е. для точек, г, которые лежат в
плоскостях, перпендикулярных к. Плоскости одинаковой фазы движутся па-
раллельно друг другу со скоростью с в направлении к. Вектор к = -к • п та-
ким образом указывает направление распространения волны (см. рис. 10.1).
к = -к • п, где п — единичный вектор луча волны.
Волна, которая распространяется в противоположном направлении,
имеет волновое число -к.
Вектор распространения е,к — это нормированный на 1 волновой вектор,
е = к = к/к.
Волновое число к — величина волнового вектора | к |.
4. Фазовая скорость, частота и длина волны
Фазовая скорость с — скорость движения фронта волны. Для звука с
равна скорости звука, для света — скорости света в соответствующей среде.
Период Т — временной промежуток, через который в фиксированной
точке пространства повторяется состояние колеблющейся среды.
Частота f — количество повторений колебания в фиксированной точке
пространства за секунду.
Циклическая частота со — определяется по аналогии с колебаниями, со =
= 2л/.
Длина волны X — расстояние между двумя следующими друг за другом
фронтами волны, имеющими одинаковую фазу. Частота характеризует про-
странственную периодичность. Соотношение между волновым числом и
длиной волны:
j 2л , 2л
X к
Периодичность во времени: со-Т=2л, периодичность в пространстве:
к-к = 2л. Для фазовой скорости получается
Фазовая скорость LT1
со X Л г с = — = — = |k| т Символ Единица измерения Название
с СО к Т f X м/с рад/с 1/м с Гц м Фазовая скорость Циклическая частота Волновой вектор Период Частота Длина волны
5. Фазовая скорость различных волн
а) Продольные волны в жидкостях
с = д/ЛГ/р, К — модуль объемной упругости, р — плотность,
б) Продольные волны в газах
с = д/тф/р, к — показатель адиабаты, р — давление, р — плотность.
Рис. 10.2. Частота f и длина X гармонической волны; с — фазовая скорость
/(М)
f=const. cos(cof-kx+0)
10.1. Основные свойства волн
мость, цо — абсолютная магнитная
проницаемость, цг — относительная магнитная проницаемость, 8Г — отно-
сительная диэлектрическая проницаемость.
6. Плоская и сферическая волны как частные случаи решения волнового
уравнения
а) Плоской называется волна, волновые фронты которой являются плос-
костями, расположенными перпендикулярно направлению распространения
(рис. 10.4).
Плоская волна
/(г, /) = A cos(o)/ - kf + <р) к2 = — с2 X =1^- |к| Символ Единица измерения Название
ЖО А (О t к г <Р с X рад/с с 1/V м рад м/с м Отклонение в точке г в момент времени t Амплитуда Циклическая частота Время Волновой вектор Положение Начальная фаза Фазовая скорость Длина волны
Глава 10. Волновые процессы
б) Сферическая волна — сферически симметричное решение волнового
уравнения. Фронты волны представляют собой концентрические сфери-
ческие поверхности, центры которых совпадают с источником волны г = О
(к • г = кг) (рис. 10.5).
Сферическая волна
д /(г, г) = -—- cos (к\ Г |-(£>t + ф) 1 г | Символ Единица измерения Название
А <0 t к г ср с X рад/с с 1/V м рад м/с м Отклонение в точке г в момент времени t Амплитуда Циклическая частота Время Волновой вектор Положение Начальная фаза Фазовая скорость Длина волны
Рис. 10.4. Волновой фронт
плоской волны
Рис. 10.5. Волновой фронт
сферической волны
7. Комплексное представление волны
Плоская волна:
/(f, t) =
Сферическая волна:
• посылаемая из точки г = 0
f(j,t) = e-'^~kr\
• приходящая в точку г = 0
f(j,t) = е~^ + кгГ
8. Принцип суперпозиции и принцип Гюйгенса
Принцип суперпозиции: линейные волны накладываются друг на друга
без взаимного влияния. Результирующее отклонение в точке г в момент вре-
мени t является суммой отклонений отдельных волн.
10.1. Основные свойства волн
> Принцип суперпозиции не дейст-
вует для нелинейных волн (удар-
ной волны, поверхностной волны).
Принцип Гюйгенса — принцип
конструирования фронта волны при
ее распространении (рис. 10.6).
▲ Каждая точка фронта волны явля-
ется источником вторичной вол-
ны. Фронт волны в последующий
момент времени определяется как
огибающая фронтов всех вторич-
ных волн, которые исходят от за-
данного волнового фронта.
▲ Вторичные волны являются сфе-
рическими волнами. Если вторич-
ная волна имеет начало в момент
прошествии временного интервала
Рис. 10.6. Распространение фронта вол-
ны по принципу Гюйгенса: а — плос-
кая волна; б — сферическая волна
времени Z, то ее волновой фронт по
А/ имеет радиус г = с • А/. При предпо-
ложении, что направление распространения волны совпадает с направ-
лением нормали к первоначальному фронту волны, следуют, что вторич-
ные волны взаимно уничтожаются при интерференции во всех других
направлениях.
9. Векторная волна
Многие физические величины, например, напряженность магнитного
или электрического полей, являются векторными и описываются с помо-
щью векторного волнового уравнения,
1 a2g(f,z) a2g(f,/) a2g(r,/) a2g(r,г) i a2g(r,/)
Ag(r, t)-----------—----------1----------1---------------------- U,
c2 dt2 dx2 dy2 dz2 c2 dt2
с векторными величинами g(r, 0. Функция g (и, следовательно, волновое
уравнение) можно разложить на отдельные компоненты gx(f,r) gy(f,Z)
g^(r, 0, для которых также действительно приведенное выше решение.
В электродинамике функция g используется, например, для векторов
магнитного потока В или напряженности электрического поля Е, кото-
рая также удовлетворяет векторному волновому уравнению.
Векторная волна — решение векторного волнового уравнения, напри-
мер, плоская волна,
— — — ГА 2
g(f, 0 = A cos(co/ - kr + <р), к2-= 0.
с2
Вектор А кроме амплитуды волны, | А |, задает также направление коле-
бания осциллятора, А = А/Л.
> Векторы g(f, t) и А в декартовой системе координат можно разложить на
их компоненты gx, g gz и Ах, Ау, Az. Эти компоненты являются решения-
ми соответствующих скалярных волновых уравнений.
10. Продольная волна
Продольной называется волна, для которой вектор распространения
волны к и колебания отдельных осцилляторов А параллельны между собой
(рис. 10.7),
А =| А | к.
Если ударить по концу лежащей на плоскости спиральной пружины, то
вызванное ударом сжатие распространится вдоль всей пружины. При
этом отдельные участки колеблются в направлении оси пружины. В том
же направлении распространяется и волна сжатия.
> Звук — пример продольной волны, при которой в среде распространя-
ются колебания давления и следующие из этого колебания плотности.
т -
ft
Рис. 10.7. Распространение продольной волны
11. Поперечная волна
Волну называют поперечной, если частицы среды колеблются в плоско-
стях, перпендикулярных к направлению вектора распространения волны,
кА = 0.
Если конец троса резко дернуть вверх, а потом вниз, то гребни и впади-
ны волны будут распространяться вдоль троса. Таким образом, отдель-
ные участки троса будут колебаться перпендикулярно оси троса, в то
время как волна будет распространяться вдоль его оси.
> Электромагнитные волны являются поперечными. В них напряженности
магнитного и электрического поля расположены перпендикулярно на-
правлению распространения волны.
10.2. Поляризация
Поляризация — ориентация волнового вектора к относительно направления
колебания волны А.
Продольная поляризация — волновой вектор направлен параллельно на-
правлению колебаний в волне.
Поперечная поляризация — волновой вектор направлен перпендикуляр-
но направлению колебаний в волне.
10.3. Интерференция
Рис. 10.8. Поляризация поперечной волны: а — линейная поляризация, б —
круговая поляризация
Различают следующие виды поляризации поперечных волн в зависимо-
сти от поведения вектора колебания:
• Линейная поляризация, вектор отклонения А колеблется в одном на-
правлении, перпендикулярном к.
• Эллиптическая поляризация, вектор отклонения А вращается в плоско-
сти, перпендикулярной к. Конец вектора А описывает эллипс в рассмат-
риваемой плоскости.
• Круговая поляризация, вектор отклонения А вращается в плоскости,
перпендикулярной к. Конец вектора А описывает окружность в этой
плоскости. Это особый случай эллиптической поляризации.
Если к направлен в направлении оси z системы координат, то А будет
лежать в плоскости х-у. Вращение А можно представить как наложение
двух колебаний в направлениях осей х и у, x(t) = A sin(co/ -(рх) и
y(t) = В sin(co/ - (ру).
10.3. Интерференция
Интерференция — явление наложения волн. Интерференция осуществима
только при наложении когерентных волн.
10.3.1. Когерентность
Две волны называют когерентными, если разность их фаз не зависит от вре-
мени.
Лазеры являются источником когерентного монохроматического света.
С помощью отражения сфокусированного светового пучка на полупро-
зрачном зеркале или на плоскопараллельной пластине можно из обыч-
ного немонохроматического света получить когерентные волны.
Две волны с зависимой от времени разностью фаз являются некогерент-
ными.
Поляризованные перпендикулярно друг другу волны являются некоге-
рентными.
Волновой цуг — ограниченная в пространстве и времени волна, состоящая
из бесконечного числа волн с различными частотами и фазовыми сдвигами.
Когерентность — способность волновых цугов к интерференции, т.е.
возникающий при их наложении эффект может быть обнаружен экспери-
ментально.
Для волновых цугов интерференция возникает тогда, когда они налагают-
ся друг на друга, а возникающие при этом минимумы и максимумы интен-
сивности не меняют свое положение в пространстве и с течением времени.
Длина когерентности / — максимальная разность хода двух волновых цу-
гов, при которой еще может быть обнаружена интерференция. Если волно-
вой цуг излучается за время т, то:
Длина когерентности L
1 = ст Символ Единица измерения Название
/ с т м м/с с Длина когерентности Скорость распространения Время излучения цуга
10.3.2. Интерференция
Для волн действует принцип суперпозиции.
▲ Мгновенное отклонение в результирующей волне в данной точке про-
странства складывается из сложения мгновенных отклонений всех со-
ставляющих волны в этой точке пространства.
1. Пример интерференции
Наложение двух волн одинаковой амплитуды А и циклической частоты
со, но с различной фазой ср и одинаковой скоростью распространения.
Первая волна:
Ух (х, t) = A cos(co/ - кх + (pi).
Вторая волна
у2 (х, t) = A cos(g)/ - кх + (р 2).
По теореме сложения косинусов для результирующей волны получается
/ X / X 7 X Ъ < ( 7 ф 1 + ф Э Дф
Уобщ(*> 0 = У1(х> t) + *) = 2Л cos I со/ - кх + -—I • cos I I,
где Д<р = (pi - ф2 — разность фаз.
2. Разность хода и интенсивность при интерференции
Разность хода б для заданной разности фаз Д<р определяется как
Разность хода L
5=^Л 2л Символ Единица измерения Название
8 Д«р Л м рад м Разность хода Разность фаз Длина волны
10.3. Интерференция
Интенсивность I — обозначение для квадрата амплитуды волны.
Выражение для интенсивности результирующей волны выглядит так:
I — 2т4 (1 + C0S(Oj — Ф2 )) j Ф1 — СО] t + ф], Ф2 = СО2/ + <Р2*
Если две волны с частотами j\ и /2 накладываются друг на друга, то ин-
тенсивность имеет период Т (см. 9.4.2, п. 2):
_1___1_
/1 Л ’
Если длительность наблюдения существенно больше Г, то во время экс-
перимента можно определить среднее значение интенсивности:
7 = 2И2 =Z] + /2,
т.е. член, описывающий интерференцию, 2Лсо8(Ф] - Ф2) выпадает. То же са-
мое действительно и для наложения некогерентных волн или волновых цугов:
▲ При наложении некогерентных
волн интерференция отсутствует,
складывается только интенсив-
ность волн.
3. Особые случаи интерференции
• Конструктивная интерференция,
усиление, S = и2, п — целое число.
Налагающиеся волны одинаковой
амплитуды усиливаются максима-
льно, амплитуда результирующей
волны в два раза больше исходной.
• Деструктивная интерференция, га-
шение, д = (2п + 1)2/2, п — целое
число. Волны взаимно гасят дейст-
вие друг друга. Результирующая
волна имеет нулевую амплитуду.
• д = (п + 1/4)2, п — целое число. Ре-
зультирующая амплитуда л/2Л, фаза
результирующей волны сдвинута
так, что ее нулевые точки располо-
жены между исходными волнами.
10.3.3. Стоячие волны
Стоячие волны возникают при нало-
жении двух волн с одинаковыми час-
тотами, амплитудами, фазой, но рас-
пространяющиеся в противоположных
направлениях. Волновые векторы (к,
-к) равны по величине и противопо-
ложно направлены.
Рис. 10.9. Интерференция. Наложе-
ние двух волн у], У2 (штриховые ли-
нии) различной частоты и амплитуды
в фиксированный момент времени
как функция пространственной ко-
ординаты х. Результирующая волна у
показана непрерывной линией.
Рис. 10.10. Стоячая волна. Отклоне-
ние у в положении х в различные мо-
менты времени
Глава 10. Волновые процессы
Математическое описание:
У! (г, /) = A cos (k г - со/),
у 2 (f, t) - A cos(-k • г - со/),
у(Г, Г) = У! (г, Г) + у2 (г, /) = -2A cos(coZ) cos(k • f).
А Минимумы и максимумы стоячей волны неподвижны.
Узел стоячей волны — точка в пространстве, в которой отклонение в
стоячей волне минимально.
Пучность стоячей волны — точка в пространстве, в которой отклонение
в стоячей волне максимально.
10.3.3.1. Стоячие волны в стрежнях
с односторонней заделкой
Если волна распространяется в стержне длиной /, то она отражается от дру-
гого конца стержня. Заделанный конец стержня является неподвижным
(рис. 10.11). Образуются стоячие волны, и если длина волны то:
Стоячая волна в стрежнях с односторонней заделкой L
2п + 1 Символ Единица измерения Название
4 / п м м 1 Длина волны Длина стержня Число узлов
Рис. 10.11. Собственные колебания стержня с односторонней заделкой
Эти стоячие волны обозначаются как собственные колебания стержня.
Волны того же типа появляются и на конце открытой трубки. Число узлов п
( > 0) соответствует числу узлов стоячей волны, при этом узел на закреплен-
ном конце не считается.
Основные колебания — стоячая волна с п = 0. Длина этой волны:
Ло = 41.
Основная частота, /0, — частота основных колебаний,
z. _ с _ с
Xq 4/
где с — фазовая скорость распространения волны в стержне.
10.3. Интерференция
Высшая гармоника — стоячая волна с отличным от нуля количеством
узлов п.
[м] Колебания вызываются в стержне, если его ударить поперек или вдоль
оси. Колебание стрежня является сложным и содержит много частот.
Колебания с частотами, не соответствующими собственным колебаниям
стержня, затухают намного быстрее, чем колебания с собственной часто-
той стержня.
10.3.3.2. Стоячие волны в струнах
Струна — упругое тело нитевидной формы, длина которого значительно
больше его диаметра.
Пусть в закрепленной с обоих концов натянутой струне возбуждаются
поперечные колебания. На концах струны происходит отражение. При соот-
ветствующей длине волны образуются стоячие волны, которые обозначают-
ся как собственные колебания струны (рис. 10.12).
Если длина волны Лп, то условие для стоячей волны:
Стоячая волна в струне с двухсторонней заделкой L
X - 2/ " п + 1 Символ Единица измерения Название
4 / п м м 1 Длина волны Длина стержня Число узлов ( > 0)
n~Q
Рис. 10.12. Собственные колебания в струне с двухсторонней заделкой
Основные колебания — стоячая волна для случая п = 0. Длина этой волны:
Хо = 2/.
Основная частота, /0, — частота основных колебаний,
г _ с _ с
'° ~ I? ~ 2/’
где с — фазовая скорость распространения волны в струне.
Высота звука (частота основного тона) уменьшается с увеличением диа-
метра струны (струны рояля).
Глава 10. Волновые процессы
10.3.3.3. Стоячие волны в трубке Кундтв
|м| Трубка Кундта — приспособление, с помощью которого можно сделать
видимыми стоячие волны. Оно состоит из стеклянной трубы, которая
ограничена с одной стороны колеблющейся мембраной (громкоговори-
тель), а на другом конце — передвигаемой заглушкой. На дне трубки на-
ходится пробковая мука.
Колебания мембраны возбуждают колебания в столбе воздуха, располо-
женного в трубе. Длина воздушного столба может регулироваться с по-
мощью изменения положения заглушки. От заглушки волна отражается,
как от закрепленного конца, таким образом образуются стоячие волны.
В точках узлов колебаний пробковая мука неподвижна, в то время как в
точках пучностей распределяется перпендикулярно оси трубки.
> С помощью изменения положения заглушки может регулироваться дли-
на воздушного столба, и, следовательно, может быть проверено условие
для образования стоячей волны.
> Распределение давления вдоль воздушного столба может быть продемон-
стрировано с помощью похожего приспособления, трубки Рубенса.
Условие для длины волны \п (рис. 10.13)
Стоячая волна в трубе с двумя открытыми концами L
X - 2/ П + 1 Символ Единица измерения Название
к 1 п м м 1 Длина волны Длина трубы Целое, неотрицательное число
Основные колебания — стоячая волна с п = 0. Длина этой волны:
Хо - 2/.
Основная частота /0 — частота основных колебаний,
г _ с _ с
fo ~ I? ~ тг
при этом с — фазовая скорость волны в воздухе (скорость звука).
Рис. 10.13. Собственные колебания в трубке Кундта с двумя открытыми кон-
цами
10.3.4. Волны с различными частотами
1. Наложение двух гармонических волн
Две гармонические волны
уДх, t) = A cos(coi/ - к\х),
у2(х, t) = A cos(co2/ - к2х)
с различными частотами и волновыми числами, но равной амплитуды, при
наложении дают волну, описываемую уравнением
у(х, 0 = yi(x, t) + у2(х, 0 = 2A cos(co/ - кх) cos (Дсп/ - ДАх),
в котором
® = CD1 + со2 = fr + к2 Аю = «>i-g>2 м =
2 2 2 2
Это соответствует волне с циклической частотой со, амплитуда которой
модулирована с частотой Асо.
Огибающая волны:
cos(Aco/ - ДАх).
Групповая скорость ugI. — скорость, с которой движется огибающая волна:
_ ДСО _ COj — со2
81 ДА; к\ - к2
2. Волновой пакет
Группа волн — ограниченная в пространстве (локализованная) волна,
которая может быть получена наложением бесконечно большого числа гар-
монических волн с непрерывным распределением с(к) волновых векторов
(синтез Фурье):
/(f, 0 = j c(k) cos(coZ - kf)d3k, к = £(со)е,
е — единичный вектор вдоль распространения волны.
С помощью выбора распределения с(к) можно сгенерировать огибающую
волнового пакета любой формы.
dco
Групповая скорость волнового пакета в среде ugr определяется как —.
dk
Групповая и фазовая скорости в среде (одномерное движение) LT 1
. du и2Г = U - Л — s dX dco Ugr = s dA Символ Единица измерения Название
Ugr и X к CD м/с м/с м 1/м 1/с Групповая скорость в среде Фазовая скорость в среде Длина волны Волновое число Циклическая частота
Групповая и фазовая скорость отличаются, если имеется дисперсия, т.е. если
скорость распространения волны в среде зависит от длины волны (см. 10.7).
Передача энергии (в общем случае и информации) посредством волно-
вого пакета происходит с групповой скоростью.
12—3814
10.4. Эффект Доплера
Эффектом Доплера называют зависимость частоты и длины волн, воспри-
нимаемых приемником, от скоростей движения источника и наблюдателя
по отношению к среде, относительно которой распространяется волна, и
относительно друг друга.
Высота сигнала движущегося по направлению к наблюдателю автомоби-
ля кажется ему выше, чем высота сигнала неподвижного автомобиля.
Рис. 10.14. Эффект Доплера. Волно-
вой фронт движущегося со скоро-
стью vq источника в системе отсчета
покоящегося наблюдателя В, В'. Ль,
к'ь — измеренная наблюдателем дли-
на волны
Количество волновых фронтов, ко-
торые достигают наблюдателя в тече-
ние определенного временного интер-
вала, изменяется в зависимости от
того, удаляется ли источник или при-
ближается к нему (рис. 10.14).
1. Различные случаи эффекта Допле-
ра при распространении волн в среде
При рассмотрении эффекта Допле-
ра при распространении волн в среде
взаимосвязь между частотой fb и дли-
ной волны \ь в неподвижной системе
наблюдателя зависит от того, движется
ли источник, наблюдатель или они
движутся оба.
Эффект Доплера: движущийся источник, покоящийся наблюдатель
f - 7 J Ь - Z X 1 ! VQ 1 И + — l С ) с ( Vq Ь =-^ 1 + -1- fq к с ) Символ Единица измерения Название
/ь Л ч ч с Гц Гц м м м/с м/с Частота при движении источника в системе по- коящегося наблюдателя Частота при неподвиж- ном источнике Длина волны при движе- нии источника в системе покоящегося наблюдате- ля Длина волны при непо- движном источнике Скорость источника в среде Фазовая скорость в среде
> В приведенных выше формулах ставится знак «плюс», если источник
удаляется от наблюдателя, и «минус», если источник приближается к на-
блюдателю.
10.4. Эффект Доплера
Эффект Доплера: покоящийся источник, движущийся наблюдатель
Символ Единица измерения Название
fb =л[ \ь = — л ч С ) 1 fl±< 1 с Л Л к с Гц Гц м м м/с м/с Частота при движении наблю- дателя Частота при неподвижном на- блюдателе Длина волны при движении наблюдателя Длина волны при неподвиж- ном наблюдателе Скорость наблюдателя в среде Фазовая скорость в среде
> В приведенных выше формулах ставится знак «плюс», если наблюдатель
приближается к источнику, и «минус», если наблюдатель удаляется от
источника.
2. Эффект Доплера для электромагнитных волн без дисперсии
Определяет частоту f в движущейся системе отчета для различных слу-
чаев.
а) Поперечный эффект Доплера: наблюдатель движется со скоростью и
относительно источника перпендикулярно направлению распространения
электромагнитной волны,
б) Продольный эффект Доплера: наблюдатель движется со скоростью и
относительно источника
• при этом источник удаляется от наблюдателя
ft _ \с “
V с + и’
• источник приближается к наблюдателю
[м] Эффект Доплера используется в радарах контроля скорости, при этом
электромагнитная волна отражается от движущегося автомобиля.
10.4.1. Волны Маха и ударные волны Маха
Волны Маха, имеющие волновой фронт в форме конуса, вершина которого
совпадает с источником волны, образуется, если источник движется в среде
со скоростью которая больше скорости распространения волны с в этой
среде. Половину угла раствора а конуса Маха рассчитывают, используя
формулу Маха:
Угол Маха а 1
с sin а = — Vg Символ Единица измерения Название
а с "д рад м/с м/с Половина угла раствора конуса Маха Скорость звука в среде Скорость источника в среде
При переходе на сверхзвуковую скорость слышен звуковой удар.
Излучение Черенкова для электромагнитных волн, движение заряженно-
с 1
го тела со скоростью и > - в среде с показателем преломления и > 1.
п
Число Маха М показывает, во сколько раз скорость источника vq больше
скорости звука с.
Пассажирские самолеты обычно движутся со скоростью и < 1000 км/ч,
М < 1. Лайнер «Конкорд» достигает М > 2.
Ударные волны Маха появляются тогда, когда скорость звука в среде, в
которой движется источник, зависит от плотности среды. Как правило, ско-
рость звука в среде увеличивается пропорционально увеличению ее плотно-
сти. Скорость звука вблизи источника является максимальной, так как его
движение вызывает компрессию. Фронты максимальной плотности затем
отклоняются от конической формы из-за типичного искривления. Формула
Маха всегда действительна и в следующем смысле: если касательную сдви-
нуть вдоль искривленного фронта, то касательная совпадет с рассчитанным
по формуле Маха конусом в месте расположения источника, т.е. ударный
фронт Маха находится внутри этого конуса.
10.5. Преломление
1. Определение преломления
Рис. 10.15. Преломление волны: г, г' —
угол между направлением распростране-
ния волны и перпендикуляром к поверх-
ности раздела до и после преломления
Преломление — изменение на-
правления распространения волны
на границе двух сред, если скорости
распространения волны в этих сре-
дах различны.
Преломление можно интерп-
ретировать с помощью принципа
Гюйгенса для вторичных волн: от
каждой точки поверхности раздела
двух сред, на которую попадает
фронт волны, исходит вторичная
волна с соответствующей скоро-
стью распространения. Затем вто-
ричные волны образуют новый
волновой фронт (рис. 10.15).
> Преломление можно также объяснить с помощью принципа Ферма, со-
гласно которому распространение света между двумя точками происхо-
дит по кратчайшему оптическому пути, т.е. по тому геометрическому
пути, на преодоление которого свет затрачивает наименьшее количество
времени. При этом необходимо учитывать, что скорость распростране-
ния света зависит от показателя преломления среды (который также мо-
жет зависеть от места). Таким образом, определение оптического пути
является вариационной задачей.
2. Закон преломления
▲ Если скорость волны в первой среде сь во второй среде с2 и угол паде-
ния £, то для угла преломления (рис. 10.16):
Закон преломления
sine _ Q sin е' с2 Символ Единица измерения название
с г' Ci, с2 рад рад м/с Угол падения Угол преломления Скорость волны в среде 1, 2
• Возникающие на границе раздела
вторичные волны распространя-
ются также и в той среде, из кото-
рой приходит исходная волна.
Если волна падает на границу раз-
дела двух сред, то часть волны
преломляется, а другая часть —
отражается.
10.6. Отражение
• Угол падения равен углу отраже-
ния.
• Отраженный луч лежит в одной
плоскости с падающим лучом и
нормалью к поверхности раздела
двух сред, проведенной в точке
падения (рис. 10.17).
Рис. 10.16. Закон преломления: г —
угол падения, е' — угол преломления,
Q, с2 — скорость волны в среде 1, 2
Рис. 10.17. Закон отражения: г — угол
падения, — угол отражения
Глава 10. Волновые процессы
Угол падения равен углу отражения
8 = 8Г Символ Единица измерения Название
8 8Г рад рад Угол падения Угол отражения
10.6.1. Фазовые соотношения
1. Изменение фазы при отражении
При отражении фаза волны изменяется в зависимости от типа поверхно-
сти раздела, от которой отражается волна:
▲ Если волна отражается от поверхности раздела, за которой находится
среда, где скорость распространения волны выше, чем до поверхности
раздела, то фаза отраженной волны не изменяется.
▲ Если волна отражается от поверхности раздела, за которой находится
среда, где скорость распространения волны ниже, чем до поверхности
раздела, то фаза отраженной волны изменяется на л.
Если свет распространяется в вакууме и падает на поверхность раздела
из стекла, то он отражается со сдвигом по фазе, равным л.
2. Фазовые отношения для механических волн
• Отражение на свободном конце. Точка,
в которой происходит отражение, по-
движна: сдвиг фаз отсутствует.
• Отражение на закрепленном конце.
Если точка, в которой происходит отра-
жение, неподвижна, то сдвиг фаз ра-
вен л.
Если конец спиральной пружины за-
крепить в неподвижной стене и пустить
по пружине продольную или попереч-
ную волну, то конец, закрепленный в
стене, является неподвижным.
Если конец пружины прикреплен к сте-
не с помощью тонкой длинной нити, то он
является практически свободным (рис.
10.18).
а)
б)
Рис. 10.18. Изменение фазы при
отражении: а — отражение на
закрепленном конце; б — отра-
жение на свободном конце
10.7. Дисперсия
Дисперсия — зависимость фазовой скорости волны от ее длины.
а) Нормальная дисперсия: фазовая скорость о с увеличением длины вол-
ны X становится больше:
d° А
--- » 0, Ogr
d/_
и.
Групповая скорость = о -X — (см. 10.3.4, п. 2) меньше фазовой ско-
dX
рости V.
б) Аномальная дисперсия: фазовая скорость и с увеличением длины вол-
ны X становится меньше:
gr
^<0,
dX
Групповая скорость = и -Х^ больше фазовой скорости и.
в) Отсутствие дисперсии: фазовая скорость о волны не зависит от ее
длины X:
du п
— =0, u„r = и
dX 8
Групповая скорость ugr равна фазовой скорости волны и.
10.8. Дифракция
Дифракция — отклонение направления распространения волны от прямоли-
нейного. Объясняется с помощью вторичных волн Гюйгенса, которые исхо-
дят от каждой точки предмета, который встречается на пути волны.
Тень — область за предметом, которая с точки зрения геометрической
оптики является недосягаемой для волн, исходящих от источника. При
дифракции волна проникает также в зону геометрической тени за предме-
том. Параметры дифракционного явления зависят от соотношения длины
волны и геометрических размеров предмета.
Рис. 10.19. Проникновение плоской волны длиной X в область геометриче-
ской тени позади щели шириной d. Дифракция увеличивается с
уменьшением отношения ширины щели к длине волны.
10.8.1. Дифракция на узкой щели
1. Дифракция плоской волны на узкой щели
Плоская волна падает перпендикулярно ширме с узкой щелью шириной
d. Волновые фронты в этом случае проходят параллельно плоскости экрана.
Каждая точка в плоскости щели является исходной точкой для вторичных
волн (волн Гюйгенса) (рис. 10.20). Волны, падающие на экран, находящий-
ся за ширмой, в зависимости от угла дифракции а, на который изменяется
направление распространения, будут иметь следующие интенсивности /а:
Интенсивность при дифракции на узкой щели 1
. т ( nd sin a А Символ Единица измерения Название
sm2 т _ т V J 7a - Л) 2 Г nd sina^ I X J a Ia h d A, рад 1 1 м м Угол дифракции Интенсивность при a Интенсивность при сх = 0 Ширина щели Длина волны
> Эта формула действительна только в том случае, когда расстояние от
ширмы до экрана намного больше ширины щели.
Эта формула распределения интенсивности объясняется тем, что исхо-
дящие от различных точек щели вторичные волны в зависимости от угла а
имеют различную разность хода Д, и, следовательно, исходящие от половин
щели вторичные волны могут взаимно компенсироваться или усиливаться
путем интерференции (рис. 10.21).
Рис. 10.20. Дифракция на узкой
щели: X — длина волны, d — ширина
щели, Д — разность хода, сх — угол
дифракции
Рис. 10.21. Дифракция на уз-
кой щели шириной d. Распре-
деление интенсивности как
функция х = p/d sin(a)/X
2. Максимумы и минимумы интенсивности при дифракции на узкой щели
Минимумы интенсивности прошедшей волны будут характеризоваться
следующими углами дифракции ап:
sina„ = ±п—, п = 1,2,3....
d
Максимумы интенсивности соответствуют углам дифракции ссЛ:
। 1 А к
sina„ = ±\п + - —, п = 1,2,3....
I 2d
> Основной максимум дифракции — максимум при угле дифракции ап = 0.
▲ При дифракции на круглом отверстии диаметром d первый минимум
интерференции определяется как
sin ос = 1,22 —.
d
Из-за дифракции на круглом отверстии оптические инструменты могут
показать две близко расположенные точки как раздельно стоящие тогда,
когда они видны под углом зрения г, для которого
е > 1,22
d
Это ограничение обозначается как разрешающая способность.
10.8.2. Дифракционные решетки
Рассмотрим случай падения плоской волны на решетку с шириной щели d и
расстоянием между щелями g. Количество щелей q (рис. 10.22).
Постоянная решетки g — характеризует пространственную периодич-
ность решетки, т.е. расстояние между соседними щелями (штрихами) ре-
шетки.
Распределение интенсивности на экране за решеткой также можно объ-
яснить как наложение вторичных волн Гюйгенса, которые исходят от щелей
решетки. Исходящие от различных щелей решетки вторичные волны накла-
дываются с зависимой от угла дифракции о разностью хода следующим об-
разом:
Интенсивность при дифракции на дифракционной решетке 1
• т sm2 - erf sin a A Символ Единица измерения Название
I a If) k A ( nd sin a 2 a Ax A d S q X рад 1 1 м м 1 м Угол дифракции Интенсивность при угле дифракции сс Интенсивность при угле дифракции a = 0 Ширина щели Постоянная решетки Количество щелей Длина волны
sin2 ( qng sin о < J
I
sin2! Л ng sin a 2
Углы дифракции ссн, при которых наблюдается максимум интенсивности:
sinoc„ = ±п —9 п - 0,1,2,...
g
Рис. 10.22. Дифракция на
решетке с постоянной ре-
шетки g: к — длина волны,
а — угол дифракции
Рис. 10.23. Распределение интенсивности при диф-
ракции на двойной щели (решетка с q = 2) как
функция от х = Tig sin(a)/X: X — длина волны, a —
угол дифракции, g — постоянная решетки
10.9. Модуляция волн
Волны могут использоваться в качестве носителей информации, если при их
генерации накладывается информация, которая может быть снята при полу-
чении этих волн.
Модуляция — процесс накладывания информации на волну при ее от-
правлении.
Демодуляция процесс считывания информации с волны при ее получе-
нии.
Адресация — выбор получателя сигнала, чаще всего производится по-
средством выбора специальной частоты несущей волны.
Модуляция для передачи информации играет большую роль, прежде все-
го, для электромагнитных волн.
1. Амплитудная модуляция
Амплитудная модуляция (AM) — изменение амплитуды высокочастот-
ной несущей волны в соответствии с передаваемым низкочастотным сигна-
лом. Модулирующий сигнал: ДЛ sin(Q/).
Временная зависимость отклонения у амплитудно-модулируемой волны
в определенной точке пространства определяется следующим образом:
y(t) = (Л + ДЛ sin(Q/)) sin(coZ),
где со —- циклическая частота несущей волны, Q — циклическая частота сиг-
нала (рис. 10.24).
Амплитудная модуляция (AM) используется в AM-радиоприемниках для
длинноволнового, средневолнового и коротковолнового диапазонов.
2. Частотная модуляция
Частотная модуляция (FM) — изменение частоты высокочастотной несу-
щей волны в соответствии с передаваемым низкочастотным сигналом. Мо-
Дсо .
дулирующии сигнал: — sin(QZ).
10.9. Модуляция волн
Временная зависимость отклонения у частотно-модулируемой волны в
определенной точке пространства определяется следующим образом:
у(/) = A sin cos(QZ) J
где со — циклическая частота несущей волны, Q — циклическая частота сиг-
нала (рис. 10.25).
Рис. 10.24. Амплитудная модуляция.
Пример: 6Л = 0,25Л, Q = 0,1со
Рис. 10.25. Частотная модуляция.
Пример: Дсо = 0,5со, Q = 0,17со
В УКВ-радиоприемниках и для передачи звука в телевизорах использу-
ется частотная модуляция (FM) электромагнитных волн.
Фазовая модуляция — изменение фазы несущей волны в соответствии с
передаваемым низкочастотным сигналом.
> Фазовая и частотная модуляции являются идентичными, если модуля-
ция производится посредством гармонического колебания.
3. Импульсная модуляция
Импульсная модуляция (ИМ) — изменение
• амплитуды, частоты или фазы импульсной функции,
• длительности импульса.
Рис. 10.26. Способы импульсной модуляции: а — импульсно-амплитудная
модуляция; б — импульсно-частотная модуляция; в — модуляция
длительности импульса
10.10. Поверхностные полны
Поверхностные волны — волны, образующиеся на свободной поверхности
жидкости или на поверхности раздела двух несмешивающихся жидкостей
или жидкости и газа.
▲ Поверхностные волны не являются продольными или поперечными вол-
нами в чистом виде.
Рис. 10.27. Дисперсия поверхност-
ной волны (h > 0,5 X): h — глуби-
на жидкости, X — длина волны
Частицы жидкости одновременно со-
вершают продольные и поперечные коле-
бания, описывая при этом эллиптические
и более сложные траектории. Поверхно-
стные волны на границе раздела жид-
кость-газ имеют зависящую от длины
волны скорость распространения (дис-
персия, рис. 10.27):
Плотность жидкости должна быть бо-
льше плотности газа. Глубина жидкости
должна быть больше 0,5 X.
Для меньшей глубины жидкости (h <
< 0,5 X):
uo =
Фазовая скорость поверхностной волны LT1
Оо = , Символ Единица измерения Название
gX + 2лсг 2п Хр ^0 g X о Р м/с м/с2 м Н/м кг/м3 Фазовая скорость Ускорение свободного падения Длина волны Поверхностное натяжение Плотность жидкости
В данной таблице приведены различные виды волн на поверхности воды.
Название Период Причина
Капиллярная волна Обычная поверхностная волна Зыбь, штормовое волнение при ослабевающем ветре Стоячая волна Приливно-отливная волна (волна с большим периодом) Трансокеаническая приливно-отливная волна До 1 с 1...« 12 с 0,5...5 мин От 5 мин до не- скольких часов 12, 24 ч > 24 ч Ветер Ветер Обычная поверхностная волна, ветер Землетрясение, ветер и из- менение давления воздуха Луна, Солнце Луна, Солнце, ураганы
ГЛАВА I I
АКУСТИКА
Акустика — наука о колебаниях и волнах в упругих средах. В более уз-
ком смысле акустика рассматривает слышимые частоты в диапазоне от 19
Гц до 20 кГц. Физиологические и психические проблемы с восприятием
звука также относятся к акустике.
Упругая среда — это, например, воздух, вода или твердые тела типа ме-
таллов, бетона и древесины.
11.1. Звуковые волны
Звуковой волной называется распространение колебаний давления в упру-
гих средах.
▲ В твердых упругих средах встречаются как продольные, так и попереч-
ные волны.
▲ При продольных волнах частицы среды колеблются в направлении рас-
пространения волны.
Ж В газах и значительной части жидкостей отсутствует вязкость сдвига.
Поэтому там встречаются только продольные волны, которые не могут
быть поляризованы.
Продольные волны распространяются в упругой среде как фронты раз-
режения и уплотнения.
Фронт разряжения — совокупность всех соседних точек с минимальным
давлением.
Фронт уплотнения — совокупность всех соседних точек с максимальным
давлением.
▲ В вакууме звук отсутствует.
1 У. 1.1. Скорость звука
От идеального точечного источника, расположенного в однородной трехмер-
ной изотропной среде, звук распространяется в форме сферической волны.
Скорость звука с — скорость распространения звуковой волны в среде.
Метр в секунду (м/с) — единица измерения скорости звука, принятая в
СИ. Скорость звука составляет 1 м/с, если звук за 1 с распространяется на 1 м.
[с] = м/с.
> При больших амплитудах звуковой волны ее скорость зависит от ампли-
туды.
1. Скорость звука в газах
Скорость звука в газах зависит от показателя адиабаты к (см. 21.3.3.5) и
температуры Т или давления р газа:
Скорость звука в газах LT1
CG = J— = JkRST N Р Символ Единица измерения Название
CG р к р т Rs м/с Па 1 кг/м3 К Дж/(К-кг) Скорость звука Давление Показатель адиабаты Плотность газа Температура Универсальная газовая постоянная
Скорость звука во многих технических газах лежит в диапазоне с « 200—
300 м/с, т.е. в диапазоне средних молекулярных скоростей.
▲ Скорость звука в газах сильно зависит от температуры.
В воздухе температурная зависимость скорости звука в диапазоне от -20
до 40 °C приблизительно линейна:
cL = (331,5 + 0,6- Т) м/с (Т измеряется в градусах Цельсия),
(см. табл. 13.1/2 и 13.1/3, скорость звука в различных газах).
2. Скорость звука в жидкостях
Скорость звука в жидкостях зависит от модуля объемной упругости К
(см. 6.1.2.3, п.2) и плотности р жидкости:
Скорость звука в жидкостях LT1
Сп=л Символ Единица измерения Название
СН Р К м/с кг/м3 Н/м2 Скорость звука Плотность Модуль объемной упругости
сл лежит в диапазоне 1100—2000 м/с (вода при 20 °C : cw = 1480 м/с).
Скорость звука в жидкостях: вода (20 °C) 1480 м/с, бензол (20 °C)
1330 м/с, метиловый спирт (20 °C) 1156 м/с, бензин (25 °C) 1295 м/с,
трансформаторное масло (32,5 °C) 1425 м/с (см. табл. 13.1/6 и 13.1/7).
3. Скорость звука в твердых телах
Скорость звука в твердых телах зависит от модуля Юнга Е (см. 6.1.2,
п. 2) и плотности р твердого тела:
ILL Звуковые волны
Скорость звука в твердых телах (стержнях) LT1
Ci ** II •оДсч] Символ Единица измерения Название
pfk Р Е м/с кг/м3 Н/м2 Скорость звука Плотность Модуль Юнга
> Звуковые волны в твердых телах могут быть как продольными, так и по-
перечными.
> Для анизотропных твердых тел скорость звука зависит от направления
распространения.
> При использовании ультразвука волны ограничены областью тела. Ско-
рость звука при этом определяется как
с= I £(l-v)
Vp(l + v)(l-2v)’
где v — коэффициент поперечного сжатия.
сR лежит в диапазоне 1200 — 6000 м/с (бетон: с = 3100 м/с, железо: с =
= 5000 м/с)
Скорость звука в твердых телах: железо 5000 м/с, свинец 1200 м/с, оло-
во 2490 м/с, ПВХ (мягкий) 80 м/с, ПВХ (твердый) 1700 м/с, бетон
3100 м/с, древесина бука 3300 м/с, пробка 500 м/с (см. табл. 13.1/9,
13.1/11, 13.1/11).
11.1.2. Параметры звука
1. Звуковое давление
Звуковое давление р — давление, накладываемое на равновесное давле-
ние (например, давление воздуха), которое связано с уплотнениями и
разрежениями среды, р имеет синусоидальную зависимость от места и вре-
мени. При возбуждающей частоте f в одномерном пространстве зависимость
для р выглядит следующим образом:
Гармоническое звуковое давление ML-42
р(х, f) = pcos[2nf(t - -)] С Pges = РО + Pt*, t) Символ Единица измерения Название
р Ро Pges Р f t X с Па Па Па Па 1/с с м м/с Звуковое давление Статическое давление Общее давление Амплитуда давления Частота Время Координата Скорость звука
Эффективное звуковое давление ре^ — аналог эффективному значению
переменного тока:
n _ Р
^eff " VT
• В трехмерном случае звуковое давление уменьшается с увеличением рас-
стояния от источника звука (рис. 11.1):
Точечный источник: р = Дг0)~»
г
Линейно-протяженный: р = р(г$)
Рис. 11.1. Амплитуда звукового давления зависит от расстояния до источни-
ка: а — точечный источник; б — линейно-протяженный источник;
г0 — удаление от источника звука
2. Длина звуковой волны
Длина звуковой волны X равна расстоянию между двумя ближайшими
точками среды, для которых разность фаз волны равна 2л. Длина волны об-
ратно пропорциональна ее частоте:
Длина волны = скорость звука / частота L
I и Символ Единица измерения Название
X с f м м/с Гц Длина звуковой волны Скорость звука Частота
При возбуждающей частоте f - 300 Гц длина волны в воздухе составляет
примерно X « 1 м.
3. Частота звука
Частотные диапазоны звука:
инфразвук — звук с частотами f < 16 Гц,
слышимый звук — звук с частотами в пределах слышимого диапазона,
16 Гц </< 20 кГц,
ультразвук — звук с частотами /> 20 кГц.
ILL Звуковые волны
Летучие мыши издают звуки в ультразвуковом диапазоне.
Свисток Гальтона — свисток с изменяемой длиной волны, издает высо-
кие звуки до ультразвукового диапазона (< 30 кГц).
М Ультразвук используется для измерения расстояния и передачи сигнала,
для проверки качества материалов и изделий, очистки и подводного
ориентирования (сонар).
Гиперзвук — звук с частотами f > 10 ГГц генерируется пьезоэлектриче-
ским возбуждением кварцевых кристаллов.
[м] Гиперзвук используется в фотонной спектроскопии и молекулярной ди-
намике.
Частота Дебая — верхняя предельная частота звуковых колебаний. До-
стигается, когда длина волны попадает в область удвоенных межмолекуляр-
ных расстояний.
В железе расстояние между атомами составляет 2,9 • 1010 м. При скорости
звука с 5 • 103 м/с по формуле f = c/L получаем частоту Дебая « 1013 Гц.
11.1.2.1. Амплитуда звуковых колебаний
Амплитуда звуковых колебаний, смещение у(х, t) — наибольшее отклонение
колеблющейся частицы из положения равновесия:
У(х, t) = /у — Р sin Ьл/1 -
2л/ рс [ \ с J
▲ Амплитуда звуковых колебаний у для плоской поступательной волны
сдвинута по фазе на л/2 относительно звукового давления р.
11.1.2.2. Скорость колебаний в волне
и волновое сопротивление
1. Скорость колебаний в волне
и, — скорость колеблющейся частицы среды в звуковой волне:
, ч dy(x, Г)
п(х,Г =^-^.
dr
Зависимость скорости о(х, Г) от координаты и от времени описывается
следующей формулой:
о(х, Г) = cos[2n/(r - —)].
р • с с
Амплитуда скорости ц пропорциональна амплитуде давления р. Инверс-
ным коэффициентом пропорциональности является удельное волновое со-
противление Z:
Амплитуда колебательной скорости LT1
<±> и ^3> II "О I 1 ^3> Символ Единица измерения Название
б р р с Z м/с Па кг/м3 м/с кг/(м2с) Амплитуда скорости колебаний в волне Амплитуда давления Плотность Скорость звука Удельное волновое сопротивление
> На практике вместо амплитуды скорости колебаний в волне б чаще ука-
зывается ее эффективное значение ^eff = V / V2.
2. Волновое сонротивление
Удельное волновое сопротивление Z — параметр, описывающий распро-
странение волн в среде. Оно равно произведению плотности среды р и ско-
рости звука с. Удельное волновое сопротивление — это одна из постоянных
вещества:
Z = — = р • с.
г)
[Z] = кг/(м2 • с) — единица измерения волнового сопротивления в системе СИ.
Удельное волновое сопротивление (в кг/(м2 • с) при нормальных условиях
(рп,Тп\ воздух 427, вода 1,4-106, бетон 8-106, стекло 13-106, сталь 39-106.
> Если две среды имеют одинаковое удельное волновое сопротивление, то
при переходе звука через границу раздела этих двух сред отражение от-
сутствует (см. 10.6).
Порог слышимости — нижняя граница при частоте f = 1000 Гц, т.е. то
минимальное значение эффективного звукового давления, при котором звук
еще воспринимается органами слуха.
Условный порог звукового давления />efr o — звуковое давление при поро-
ге слышимости, согласно DIN 45630 принимается равным
Рел,о ~ 2 -10-5 Па.
11.1.2.3. Плотность энергии звуковой волны
Плотностью энергии звуковой волны (w) называют предел отношения энер-
гии Д1Е среды, заключенной в объеме ДЕ, к этому объему при условии
ДЕ-> 0:
dIE r Д1Е
dE дг->о ДЕ
Для звуковой волны плотность энергии пропорциональна квадрату амп-
литуды скорости колебаний в волне б или квадрату амплитуды звукового
давления р:
11.1. Звуковые волны
Объемная плотность энергии акустической волны МТ-2!-1
1 р2 1 А2 W = = - V2 • р 2 ре2 2 Символ Единица измерения Название
р р с и Дж/м3 Па кг/м3 м/с м/с Плотность энергии Амплитуда давления Плотность Скорость звука Амплитуда скорости колебаний в волне
Звуковая энергия W в объеме V определяется интегрированием плотно-
сти энергии w по всему объему V:
W = J wdV.
V
11.1.2.4. Интенсивность и плотность потока
энергии звуковой волны
1. Интенсивность звуковой волны
Интенсивность звуковой волны (сила звука) I — количество энергии W,
переносимое волной за единицу времени сквозь поверхность площадью А,
нормальную к направлению распространения волны. Сила звука также рав-
на произведению объемной плотности энергии w на скорость звука с:
Интенсивность акустической волны мт-3
т 1 dW2 1 - = w • с A d? Символ Единица измерения Название
I W с W t А Вт/м2 Дж/м3 м/с Дж с м2 Интенсивность звуковой волны Плотность энергии Скорость звука Энергия Временной интервал Площадь
Ватт на квадратный метр (Вт/м2) — единица измерения интенсивности
звука I в системе СИ.
[7] = Вт/м2.
Если выразить интенсивность звука через амплитуды скорости колеба-
ний в волне о и звукового давления Д то получается следующая формула:
т 1 _ 1 1 Р2
1 = -vp = - реп2 ------.
2 2 2 ре
Через эффективные значения звукового давления и скорости колебаний
в волне сила звука выражается следующим образом:
Т - п п -
Параметры звука при 20 °C на расстоянии г = 3 м от источника звука,
который при мощности звука Р = 1 • 10-3 Вт издает звук с частотой f = 440 Гц:
интенсивность звука I = Р/4пг2 = 8,85 -10~6 Вт/м2, рс = 408 кг/(м2-с),
скорость колебаний в волне б = ^21 /(рс) = 2,08 • 10-4 м/с, амплитуда
звуковых колебаний у = v/(2nf) = 0,75 • 10-7 м, звуковое давление р =
- у/2/рс = 0,85 • 10-2 Па, относительное колебание давления р/р$ = 10-7.
2. Плотность потока энергии звуковой волны
Плотность потока энергии звуковой волны (мощность звука) через зам-
кнутую поверхность О, расположенную вокруг источника звука, определяет-
ся интегрированием интенсивности звука I по всей этой поверхности:
Мощность звука М1?Т-3
р = рал О Символ Единица измерения Название
р I dA О Вт Вт/м2 м2 м2 Мощность звука Интенсивность звука Элемент площади Замкнутая поверхность
Ватт (Вт) — единица измерения мощности звука Р в системе СИ.
[Р] = Вт.
• Мощность звука некоторых источников: разговор — 10~5 Вт, труба —
0,1 Вт, крик — 10-3 Вт, орган — до 10 Вт.
11.1.3. Относительные величины
1. Определение относительных величин
В акустике и технике связи часто используются безразмерные величины.
Это может быть относительная величина (безразмерное отношение физиче-
ской величины к одноименной физической величине, принимаемой за ис-
ходную), например, коэффициент отражения или коэффициент полезного
действия, логарифмическая величина (логарифм безразмерного отношения
одноименных физических величин), например уровень звукового давления.
Децибел (дБ) — для безразмерных величин М пропорционально десяти-
чному логарифму частного двух физических величин XQ,X{ одинаковой раз-
мерности.
• Для отношения линейных величин х1?х2:
М = 201g дБ.
*2
11.1, Звуковые волны
• Для отношения квадратичных величин Хх ,Х2:
М = 101g дБ.
2. Относительные величины, характеризующие звуковую волну
Уровень звукового давления £р — логарифмический масштаб для звуко-
вого давления:
Lp =101g^- дБ = 201ё^дБ.
£eff,0
Условное пороговое значение звукового давления:
£eff,0 = ’ Ю-5 Па.
Уровень громкости звука Lw — логарифмический масштаб для относите-
льной мощности звука:
Lw = 101g ДБ.
Л)
Условное пороговое значение громкости звука:
Ро = 1012 Вт.
Уровень интенсивности звука:
Ц = 101g дБ.
Условное пороговое значение интенсивности звука
/0 = 10“12 Вт/м2.
Эффективное звуковое давление pQff =3 • 10-3 Па соответствует уровню
звукового давления в
Lp = 201g IПа дБ = 20 lg(l,5 • 102) дБ = 43;5 дБ.
2 • 10~5 Па
3. Сложение уровней звука
Относительные интенсивности звука от п источников могут быть сложе-
ны в относительную общую интенсивность звука по формуле:
где £Ik — уровень интенсивности звука источника к.
Общий уровень звука LG определяется как
Lg =101g^ дБ = 1018(5210^/10) дБ.
А) /=1
▲ Два уровня звука складываются нелинейно.
Для Lx = 70 дБ и L2 = 80 дБ
Lg = 101g( 107+108) дБ = 80,4 дБ.
Для Lx = 0 дБ и L2 = 0 дБ получается LG - 3 дБ.
Глава 11. Акустика
Рядом с громко работающим грузовым автомобилем чирикание мелких
птиц не слышно.
Два одинаково мощных источника звука по 100 дБ каждый объединяют-
ся в один источник звука, мощность которого всего на 3 дБ выше, чем
исходных источников: LG = 103 дБ. Два источника звука по 0 дБ каждый
вместе дают: 0 дБ + 0 дБ = 3 дБ.
▲ Уровень звука двух источников может быть подсчитан с помощью опре-
деленной добавки Lz и разности уровней звука источников Д£, =
= Lx - L2, если прибавлять их последовательно — начиная с большего
уровня Z1? т.е.:
Lg - Ц + Lz.
Д£ = 0 дБ Z/Z — 3 дБ ДЛ = 7 дБ Лг = 0,8 дБ
ДЛ = 3 дБ Xz — 1,8 дБ ДЛ = 10 дБ £z = 0,4 дБ
ДЛ = 5 дБ Lz = 1,2 дБ ДЛ > 20 дБ £z = 0 дБ
11.2. Источники и приемники звука
Источник звука — колеблющееся в среде тело, от которого периодически
исходят фронты разряжения и уплотнения, т.е. волны.
11.2.1. Механические источники звука
1. Струны
Стержни и струны представляют собой линейные источники звука.
Собственные колебания образуются при возбуждении стоячих волн, час-
тота которых определяется размерами колеблющегося объекта.
Струны используются во многих музыкальных инструментах (пианино,
скрипка, гитара).
При жесткой заделке обоих концов струны или стержня длиной I длина
волны собственных колебаний \п\
Длина волны для собственных колебаний струны (при жесткой заделке обоих концов) L
1 с _ 2/ г ~ ! fn п + 1 п = 0,1,2,3,... Символ Единица измерения Название
к п fn с м 1 Гц м/с Длина волны Количество узлов Частота Скорость звука
Высота звука струны при фиксированной длине зависит от продольного
напряжения (настройка инструмента).
11.2. Источники и приемники звука
Основное колебание (1-я гармоника) /0 для п = 0.
Высшая гармоника fn для п > 1.
1-я высшая гармоника (2-я гармоника): j\ = 2/0.
2-я высшая гармоника (3-я гармоника): /2 = 3/0.
2. Мембрана
Мембрана — чаще всего круглая, закрепленная по краям пластинка,
двухмерное подобие натянутой струны.
Собственные колебания мембраны обозначаются двумя целыми числами
(и, т).
Музыкальные инструменты с мембраной — барабан, литавры.
Длина волны \тл собственных колебаний круглой мембраны радиусом R:
Длина волны собственных колебаний круглой мембраны L
У _ 2nRc 1 р ~ я лк "т,п \ & р Символ Единица измерения Название
•О Q te П а м м м/с 1 Н/м2 кг/м3 Длина волны Радиус мембраны Скорость звука Нули цилиндрической функции Бесселя Поверхностное напряжение Плотность мембраны
> oF необходимо измерять при неподвижной мембране.
Основное колебание: вся поверхность мембраны колеблется в одной
фазе.
Высшая гармоника — образование узловой линии на мембране соответ-
ствует узлам на струне.
Сегменты мембраны, ограниченные узловыми линиями, колеблются в
противофазе.
Классификация формы колебаний производится в зависимости от поло-
жения узлов:
• совпадение узловых линий с диаметрами мембраны,
• узловые линии в форме окружностей, центр которых совпадает с цент-
ром мембраны,
• комбинация узловых линий из названных выше случаев.
Пластина или колокол — это двух- или трехмерные аналоги колеблюще-
гося стержня. Формы колебаний такие же, как у мембраны.
® Фигуры Хладни — картина распределения узлов и пучностей, которая
(по аналогии с фигурами Кундта в звуковой трубе) образуется, если ко-
леблющуюся мембрану посыпать корковой мукой. Мука собирается
вдоль узловых линий. Так можно наглядно увидеть моду колебаний мем-
браны.
11.2.1.1. Колеблющийся столб воздуха
а) Сирена состоит из вращающегося круглого диска с концентрически нане-
сенными рядами отверстий и форсунки, из которой на диск подается воз-
дух. При этом возникает периодическое освобождение и прерывание воз-
душного потока. Вследствие этого появляются изменения давления воздуха,
которые воспринимаются как звук.
Частота звука увеличивается пропорционально скорости вращения диска.
б) Режущий генератор звука состоит из острой кромки или тонкой про-
волоки, обдуваемой потоком воздуха.
На кромке образуются вихри, которые периодически отрываются от нее
и вызывают периодические колебания давления.
Частота f генерируемого звука зависит от расстояния d между форсункой
и кромкой или проволокой и скорости потока воздуха vs.
Режущий генератор звука Т-1
г U с f=4 Символ Единица измерения Название
f Y d Гц 1 м/с м Частота Постоянный коэффициент пропорциональности Скорость потока Расстояние между форсункой и кромкой
Шум работающего пропеллера вертолета возникает потому, что кромки
винта действуют по принципу режущего генератора звука.
Когда ветер «свистит», то это также режущий звук, образующийся на уг-
лах домов, препятствиях и т. д.
При соединении кромки или проволоки с резонатором частота отрыва-
ния вихрей определяется резонансной частотой резонатора. Резонатором
чаще всего является труба, в которой образуются стоячие волны.
В бутылке или колпачке карандаша образуются стоячие волны, если в
них подуть. В этом случае получается свист.
Свистки и флейты функционируют по принципу генерирования режу-
щих звуков.
в) Рог.
По этому принципу работают все медные духовые музыкальные инстру-
менты.
Когда губы сжаты, создаваемое мускулатурой живота давление воздуха
возрастает в полости рта до тех пор, пока напряжение губ не будет превы-
шено, и губы не разомкнутся. Воздух освобождается, при этом в полости
рта давление падает. Из-за своего напряжения губы вновь сжимаются. Этот
процесс периодически продолжается и ведет к появлению периодических
колебаний давления в музыкальном инструменте, в которых образуются
11.2. Источники и приемники звука
стоячие волны при наступлении резонанса, т.е. напряжение губ соответству-
ет длине инструмента.
г) Деревянные музыкальные инструменты — за исключением флейт и
свистков (дудочек, свирелей) — имеют упругую пластинку, которая начина-
ет колебаться при обдувании и таким образом модулирует поток воздуха и
давление.
11.2.2. Электроакустический преобразователь
Электроакустический преобразователь — прибор для преобразования элект-
рический энергии в звуковую и наоборот.
Излучатель звуковых колебаний — механическая система, в которой с
помощью механической, электрической или магнитной силы возбуждаются
колебания.
Громкоговоритель чаще всего состоит из звуковой мембраны, располо-
женной в поле постоянного магнита. Если приложить переменное на-
пряжение, то это вызывает колебания в мембране, которая при этом ге-
нерирует звуковую волну.
1. Электрические излучатели звуковых колебаний
а) Электромагнитные излучатели звуковых колебаний. В этих устройст-
вах металлическая мембрана расположена в поле постоянного магнита.
По такому принципу работают громкоговорители, некоторые сирены,
телефонные трубки (электромагнитные).
б) Электродинамические излучатели звуковых колебаний состоят из ко-
лебательной катушки с мембраной.
Громкоговорители: коэффициент искажений существенно меньше, чем
для электромагнитных систем. Могут излучаться без искажений более
высокие мощности. Более высокий коэффициент полезного действия
достигается за счет раструба экспоненциальной формы.
в) Пьезоэлектрические излучатели звуковых колебаний содержат пьезоэ-
лектрический элемент, размеры которого изменяются при приложении к
нему электрического напряжения. При подаче переменного напряжения по-
верхность осциллирует и генерирует звуковую волну. Применяется чаще
всего в ультразвуковом диапазоне.
> Пьезоэлектрические кристаллы (кварц, сегнетова соль) совершают дви-
жения, если на обкладках, расположенных на параллельных, вырезанных
в предпочтительном направлении поверхностях, изменяется электриче-
ский заряд (и наоборот).
Кристаллический звукоприемник, кристаллический микрофон, динамик
для высоких звуков.
г) Термическое генерирование звука — преобразование тепла в звуковую
энергию.
Искровая звуковая волна, термофон, передатчик в виде электрической
дуги.
д) Магнитострикционный излучатель звуковых колебаний
генерирование ультразвуков.
е) Конденсаторный микрофон
2. Электроакустический коэффициент передачи
Электроакустическим коэффициентом передачи для излучателя звука Bs
называется величина для указания частотного диапазона, который может
передавать реверсивный электроакустический преобразователь. Для источ-
ника звука (например, динамика) электроакустический коэффициент пере-
дачи Bs определяется как отношение излучаемого звукового давления рг на
расстоянии 1 м от источника к подаваемому на преобразователь напряже-
нию U:
Электроакустический коэффициент передачи L-3TI
BS s и Символ Единица измерения Название
Bs Рг и Па/В Па В Электроакустический коэф- фициент передачи излучателя Звуковое давление рг на рас- стоянии 1 м Напряжение
Условный электроакустический коэффициент передачи для источника
звука BSQ определяется как BSQ = 0,1 Па/В.
3. Электроакустическая постоянная передачи
Электроакустическая постоянная передачи для излучателя звука Gs часто
указывается вместо Bs, пропорциональна десятичному логарифму отноше-
ния электроакустического коэффициента передачи Bs к условному электро-
акустическому коэффициенту передачи В^:
Электроакустическая постоянная передачи 1
Gs =20 1gf^ Bsv Символ Единица измерения Название
Gs Bs AsO дБ Па/В Па/В Электроакустическая посто- янная передачи Электроакустический коэф- фициент передачи излучателя Условный электроакустиче- ский коэффициент передачи
4. Чувствительность громкоговорителя
Ек — величина, характеризующая динамик, определяется как произведе-
ние коэффициента передачи Bs, определенного для частотного диапазона
11.2. Источники и приемники звука
f - 0,25—4 кГц, квадратного корня из сопротивления Z громкоговорителя и от-
ношения расстояния до громкоговорителя г к условному расстоянию r0 = 1 м.
Чувствительность громкоговорителя
N| Символ Единица измерения Название
Ёк Bs Z г Го Па/VB • А Па/В Ом м м Чувствительность гром- коговорителя Среднее значение коэф- фициента передачи Сопротивление Расстояние до громкого- ворителя Условное расстояние до громкоговорителя
5. Дальность действия громкоговорителя
г определяется как произведение чувствительности громкоговорителя Ек
и квадратного корня из потребляемой электрической мощности Р, деленное
на звуковое давление р'.
Дальность действия громкоговорителя L
Ек Ек 4Р Г = = ^-== • — Га Bs -JZ р Символ Единица измерения Название
Г Ёк Bs Z Р Р г0 м Па/л/В • А Па/В Ом В-А Па м Дальность действия громкоговорителя Чувствительность гром- коговорителя Среднее значение коэф- фициента передачи Сопротивление Потребляемая мощность Звуковое давление Условное расстояние до громкоговорителя
11.2.2.1. Приемник звуковых колебаний или микрофон
Приемник звуковых колебаний или микрофон преобразует звуковую энер-
гию в электрическую.
1. Виды микрофонов
а) Пьезоэлектрический преобразователь. Его принцип действия обратен
принципу действия пьезоэлектрического источника звука. Состоит из пье-
зоэлектрического элемента, поверхность которого реагирует на колебания
Глава И. Акустика
давления, которые образуются за счет падающей на элемент звуковой вол-
ны. В пьезоэлектрическом элементе возникает напряжение, пропорциональ-
ное звуковому давлению.
Применение: микрофоны для создания звуковых волн в твердых телах,
гидрофоны.
б) Принцип действия пьезорезистивного преобразователя основан на из-
менении сопротивления пьезорезистивного элемента, возникающего при из-
менении давления. Модуляция тока посредством изменения сопротивления.
Применяется в телефонных аппаратах.
в) Магнитострикционный преобразователь состоит из ферромагнитного
элемента, длина которого изменяется как функция приложенного магнит-
ного поля. Посредством переменного магнитного поля можно также генери-
ровать звуковую волну.
Применяется в экспериментах с ультразвуком.
г) Электростатический преобразователь, одной из пластин которого яв-
ляется металлическая мембрана. Звук вызывает деформацию мембраны и,
следовательно, изменение электрического сопротивления.
Используется в конденсаторных микрофонах в студиях и в ручных мик-
рофонах. Обратное преобразование даст источник звука, используемый,
прежде всего, в наушниках.
д) В электродинамическом преобразователе звуковое давление деформи-
рует мембрану. Мембрана двигает катушку, расположенную в поле постоян-
ного магнита. Благодаря этому в катушке индуцируется электрический ток.
Применяется в ручных маленьких микрофонах и наушниках.
е) В биоакустическом преобразователе звуковая энергия индуцирует
биологические процессы. Важнейшим примером является человеческое ухо,
которое посредством чисто механических или химических процессов преоб-
разует звук в информацию для головного мозга.
2. Электроакустический коэффициент передачи приемника звука
ВЕ — соотношение воспринимаемого звукового давления р к генерируе-
мому электрическому напряжению U.
Электроакустический коэффициент передачи РТ-Ч-1
Ьо см II ъ |С! Символ Единица измерения Название
ВЕ р и В/Па Па В Электроакустический коэффициент передачи приемника звука Воспринимаемое звуковое давление Электрическое напряжение
Условный электроакустический коэффициент передачи приемника звука
ВЕ() определяется как BEQ =10 Па/В.
IL2. Источники и приемники звука
3. Электроакустическая постоянная передачи приемника звука
Электроакустическая постоянная передачи 1
Ge =20 -1g вЕ0 Символ Единица измерения Название
Ge Be Вео 1 В/Па В/Па Электроакустическая посто- янная передачи приемника Электроакустический коэф- фициент передачи Условный электроакустиче- ский коэффициент передачи приемника
4. Чувствительность микрофона
Ем — аналог чувствительности громкоговорителя:
Чувствительность микрофона dB
Е м ~ Р Символ Единица измерения Название
Ем Р Р VBA/Па В А Па Чувствительность микрофона Потребляемая электрическая мощность Звуковое давление
5. Стереосигналы
Дифференциальный сигнал: D - L — R
Суммарный сигнал: S = L + R
Левый сигнал: S + D = L + R + L — R = 2L
Правый сигнал: S — D = L + R — L + R = 2R
Частоты при стереопередаче:
Частота основного сигнала (стерео, моно):/м= 30 Гц...15 кГц
Вспомогательная несущая частота: /Н = 38 Гц
Дополнительная стерео-частота: fs=fn±fM
Верхняя граница полосы частот: fso^fn+fM- 38,03 ... 53 кГц
Нижняя граница полосы частот: fSu = fH — fM = 23 ... 37,97 кГц
11.2.3. Поглощение звука
1. Помехи распространению звука
Помехи распространению звука возникают благодаря:
• отражению звука,
• дифракции звуковых волн,
• преломлению звука,
• интерференции звуковых волн,
• поглощению звука.
2. Поглощение звука
Затухание звука — потери энергии при распространении звуковой волны
вследствие
• внутреннего трения,
• изоэнтропического сжатия,
• возбуждения внутренних степеней свободы (типа вращения молекул)
среды, которая переносит звуковую волну.
Экспоненциальное падение интенсивности звука I с увеличением рас-
стояния г от источника звука описывается формулой:
/(г) = /(гок_а(г-го),
I(rQ) — интенсивность звука на относительном расстоянии г0 от источника.
3. Коэффициент ослабления звука
Коэффициент ослабления звука а зависит от частоты источника звука и
абсорбционных свойств среды (см. табл. 13.1/4 и 13.1/8).
[ а] = м-1. Метр в минус первой степени (м-1) является единицей измере-
ния коэффициента ослабления звука а в системе СИ.
Значение коэффициентов ослабления звука в см-1 для 20 °C в некото-
рых жидкостях: вода 23,28 (307 МГц), 55,3 (482 МГц), 172 (843 МГц),
бензол 771,5 (307 кГц), 1150 (482 кГц), тетрахлорметан 492 (307 кГц),
1115,2 (482 кГц), 3269 (843 кГц) (см. табл. 13.1/8).
Звукопоглощающие материалы — материалы, имеющие звукоизоляцион-
ные свойства.
Техническая реализация:
• Однородный или пористый материал, преобразующий звуковую энергию
в тепловую благодаря деформации материала или трению.
• Резонаторы преобразуют звук с частотами в окрестностях своей резонан-
сной частоты в тепло посредством потерь в потоке и на трение.
4. Коэффициент звукоотражения
Коэффициент звукоотражения р — отношение интенсивности отражен-
ной звуковой волны к интенсивности падающей волны, если направление
падение волны перпендикулярно отражающей поверхности:
Коэффициент звукоотражения 1
1г Символ Единица измерения Название
р 4 4 1 Вт/м2 Вт/м2 Коэффициент звукоотражения Интенсивность звука падаю- щей волны Интенсивность звука отражен- ной волны
11.2. Источники и приемники звука
5. Коэффициент звукопоглощения
а [а] = 1, безразмерная величина для характеристики поглощающих спо-
собностей тела, а указывает нормированную разность интенсивностей пада-
ющей и отраженной волн:
Коэффициент звукопоглощения 1
Л - Л а = —- 1е Символ Единица измерения Название
а 4 4 1 Вт/м2 Вт/м2 Коэффициент звукопоглощения Сила звука падающей волны Сила звука отраженной волны
> Коэффициент звукопоглощения а, [а] = 1 не следует путать с приведен-
ным выше коэффициентом ослабления звука а, [а] = 1/м.
Коэффициент звукопоглощения некоторых строительных материалов
для различных частот: легкий бетон 0,07 (125 Гц), 0,22 (500 Гц), 0,10
(2000 Гц), деревянная дверь 0,14 (125 Гц), 0,06 (500 Гц), 0,10 (2000 Гц),
деревянные панели 0,25 (125 Гц), 0,25 (500 Гц), 0,08 (2000 Гц) (см. табл.
13.1/16).
|м| Измерение коэффициента звукопоглощения производится с помощью
трубки Кундта.
6. Коэффициент прохождения звука
т — отношение интенсивности преломленной звуковой волны Id к ин-
тенсивности падающей волны I:
I е Ре
Коэффициент рассеивания звука б равен отношению поглощенной стен-
ками интенсивности звука 1а к интенсивности падающей звуковой волны 1е\
1 е 1 е
▲ Для звуковой волны, падающей на по-
верхность раздела двух сред, выполня-
ется закон сохранения энергии:
р + т + б = 1, р + а = 1.
Коэффициенты отражения (р), абсорб-
ции (а) и прохождения (т) в случае паде-
ния волны перпендикулярно поверхности
раздела могут быть выражены через удель-
ные акустические сопротивления Z15 Z2
обеих сред:
Отраже-
ние (р)
Абсорб-
ция (а)
Рассеи-
вание (б)
Прохож-
дение (т)
Рис. 11.2. Отражение, абсорбция,
рассеивание и прохождение зву-
ковой волны
fz2 -z,y T _ 4Z,Z2 a-1
\Z^ + Z\ J (Zj + Z2)2 \Zz + Zy J
В случае Zx = Z2 отраженная волна отсутствует.
11.2.4. Звукоизоляция
Звукоизоляция — ограничение распространения звука при отражении звука
от препятствий, в частности, при отражении от границы раздела двух сред с
различными акустическими свойствами.
Коэффициент отражения звука по давлению г — безразмерная величина,
равная соотношению амплитуды давления отраженной волны рг к амплиту-
де давления падающей волны ре.
Коэффициент отражения звука по давлению 1
г _ А _ Z^ - Z\ Ре Z\ + z2 Символ Единица измерения Название
г z15 z2 Ре Рг 1 кг/(м2с) кг/(м • с2) кг/(м • с2) Коэффициент отражения звука по давлению Удельное акустическое сопротивление сред 1, 2 Амплитуда давления па- дающей волны Амплитуда давления от- раженной волны
При г = 0 отражение отсутствует, г = ± 1 — полное отражение.
Зависимость между коэффициентами отражения по интенсивности р и
по давлению г следующая:
▲ Максимальная изоляция достигается применением отражающих матери-
алов, для которых удельное волновое сопротивление максимально отли-
чается от этого же параметра той среды, из которой приходит падающая
волна.
Звукопоглощение R стены 1
R = 101g = ц - l2 1 т Символ Единица измерения Название
R 1е ^1 z2 дБ Вт/м2 Вт/м2 дБ ДБ Звукопоглощение Интенсивность звука до стены Интенсивность звука за стеной Уровень звука до стены Уровень звука за стеной
11.2. Источники и приемники звука
Техническая реализация:
• Воздушный шум (звук, распространяющийся по воздуху) заглушается
использованием разделительных перегородок из максимально тяжелых и
твердых материалов.
• Корпусный шум — звук в твердых телах, лучше всего заглушается при-
менением мягких звукоизоляционных слоев с малым удельным акусти-
ческим сопротивлением.
• Ударный шум (шаговый) — шум, вызванный в зданиях при хождении
людей по перекрытиям. Ударный шум распространяется по межэтажным
перекрытиям. Изолируется с помощью плавающего бесшовного пола,
который наносится не непосредственно на бетонное перекрытие, а на
мягкую подложку, или с помощью подвесных потолков.
11.2.4,1. Реверберация
Реверберация — чаще всего экспоненциальное затухание звука после пре-
кращения действия источника звука.
Время реверберации TN— промежуток времени, в течение которого объ-
емная плотность энергии звуковых волн уменьшается на 60 дБ, т.е. в 106 раз
по сравнению с ее исходным значением (рис. 11.3).
Время реверберации т
TN =0,163 — а А Символ Единица измерения Название
TN V А а с м3 м2 1 Время реверберации Объем пространства Поглощающая поверхность Коэффициент звукопоглощения
Типичное время реверберации зала объемом V= 500 м3 составляет TN= 1 с.
Рис. 11.3. Время реверберации в дрезденской церкви богоматери в зависимо-
сти от частоты (определенной по звукозаписи): а — пустое поме-
щение, б — в присутствии 4000 человек
13—3814
11.2.5. Потоковый шум
Жидкости при течении, обтекании препятствий или изгибах течения произ-
водят потоковые шумы, которые возникают из-за колебания давлений в
вихревом поле потока.
Их можно избежать с помощью:
• использования оболочки для труб,
• водяных звукопоглотителей,
• акустических многозвенных фильтров (низкочастотных фильтров) в зву-
коизоляции вентиляционных каналов или выхлопных труб автомобилей.
Другие потоковые шумы — это узкополосные ударные тоны, широкопо-
лосные шумы при взрыве пузырьков пара и шумы очень широкого диапазо-
на, которые возникают при втекании струи газа в покоящийся газ.
11.3. Ультразвук
1. Свойства ультразвука
Ультразвук — частоты /> 20 кГц.
Гиперзвук — частоты f> 10 ГГц = 1010 Гц.
Длина волны ультразвука в воздухе при средней скорости звука с & 330 м/с:
^возд < СМ.
Ультразвуковые волны могут быть сфокусированы. Также возможно об-
разование параллельных ультразвуковых пучков. Их распространение пря-
молинейно с небольшими отклонениями вследствие эффекта дифракции.
Для генерирования ультразвука применяют магнитострикционные излу-
чатели.
|м| Измерение скорости и затухания ультразвука:
метод «звук вокруг»,
принцип «импульс-эхо»,
метод реверберации.
2. Применение ультразвука
а) Ультразвуковая диагностика в медицине, терапии, микрохирургии.
б) Дефектоскопия твердых тел:
исследование упругих свойств материала.
в) Ультразвук в электронике и микроэлектронике:
ультразвуковые замедляющие системы,
ультразвуковой фильтр поверхностных волн,
ультразвуковой микроскоп,
ультразвуковая сварка.
г) Гидроакустика:
подводная звуколокация, SONAR (sound navigation and ranging — ультра-
звуковой гидролокатор),
эхолот для определения глубины,
подводная коммуникация.
11.4. Физиологическая акустика и слух
д) Управление производственными процессами с помощью ультразвука:
измерение уровня,
расходометры,
наблюдение за химическими процессами,
определение концентрации,
контроль качества (определение размеров с точностью до 10-4 м).
е) Мощный ультразвук в диапазоне « 20...40 кГц:
сверление отверстий,
очистка ультразвуком,
ультразвуковая сварка.
11.4. Физиологическая акустика и слух
Слух — один из органов человеческих чувств, который регистрирует звуко-
вые волны и анализирует громкость и частоту. Слух — пример биоакустиче-
ского преобразователя.
• Ушная раковина — плоская воронка, которая собирает звук и передает
его далее в слуховой проход.
• Слуховой проход — соединительный ход между ушной раковиной и ба-
рабанной перепонкой.
• Барабанная перепонка — воронкообразная мембрана размером около
0,5 см2, которая начинает колебаться под воздействием звуковых волн.
• Молоточек, наковальня (ушная косточка) и стремечко — три слуховые
косточки, на которые передаются колебания мембраны. Они действуют
как система рычагов, которая согласует друг с другом различные сопро-
тивления наружного уха (воздуха) и внутреннего уха (в основном воды).
• Окно преддверия (овальное) и окно улитки (круглое) — две мембраны
между средним ухом и находящимся за ним внутренним ухом. Стремеч-
ко передает колебания на эти мембраны, которые еще раз усиливают ко-
лебания давления в 20—30 раз.
• Внутреннее ухо — разделенное на две части пространство позади средне-
го уха, наполненное несжимаемой жидкостью, богатой ионами натрия.
Именно оно является истинным биоакустическим преобразователем.
• Стержень улитки разделяет внутреннее ухо на две части, наполненные
жидкостью, богатой ионами калия. При этом возникает электрическая
разность потенциалов между жидкостями в стержне улитки и внутрен-
ним ухом.
• Базальная пластинка — мембрана, находящаяся на стержне улитки, на
которую через жидкость во внутреннем ухе через колебания окон пред-
дверия и улитки передаются механические деформации.
• Волосковые клетки органа Корти расположены на базальной пластинке.
Движения базальной пластинки вызывают в них изменение электриче-
ского потенциала, который передается в мозг по слуховому нерву в виде
импульсных токов раздражающего действия.
Глава И. Акустика
11.4.1. Восприятие звука
1. Диапазон слышимых звуковых частот
Диапазон слышимых звуковых частот — диапазон от 16 до 20000 Гц, в
пределах которого колебания и волны в упругих средах еще воспринимают-
ся человеческим ухом (рис. 11.4).
• Частотный диапазон речи: « 10 Гц... 10 кГц.
• Внятная речь: « 300 Гц...З кГц.
Рис. 11.4. Кривые одинаковой силы звука. Закрашен диапазон слышимых
человеческим ухом звуковых частот
> С возрастом диапазон слышимых частот становится меньше. При пере-
грузке кроме этого многие диапазоны частот могут выпасть из восприя-
тия на длительное время (склеивание волосковых клеток).
▲ Одинаковые уровни звука с различными частотами воспринимаются как
звуки разной громкости.
2. Уровень громкости
Закон Вебера-Фехнера: изменение восприятия звука АГ пропорциональ-
но логарифму соотношения интенсивностей звука:
A£~lg/2//i.
Уровень громкости Ls — мера субъективного восприятия звука человече-
ским слухом, зависящая от частоты. Выбирается таким образом, чтобы при
частоте звука в 1 кГц значение уровня громкости равнялось уровню звуко-
вого давления:
Ls =101gW =201§4дБ-
vo) "о
Условная интенсивность звука:
/0 = 10-12 Вт/м2
соответствует порогу слышимости уха при 1 кГц.
11.4. Физиологическая акустика и слух
Фон — единица уровня громкости Ls. Фон является безразмерной вели-
чиной.
▲ Порог слышимости по DIN равен 4 фон (соответствует /0 = 10-12 Вт/м2)
Человеческое ухо имеет очень большой динамический диапазон: воз-
можности слуха перекрывают 12 порядков интенсивности с амплитудами
отклонения от 10-11 м (1/10 радиуса атома) до 10 мкм.
> 0 фон соответствует не зависящему от частоты нормальному порогу слы-
шимости по DIN!
> Разность в AZV = 1 фон еще может быть воспринята человеческим ухом.
А Болевой порог лежит при 120 фон (соответствует I« 1 Вт/м2).
А При f = 1000 Гц уровень звукового давления равен уровню громкости,
Zp = Zs, при/ = 1 кГц.
Таким образом, при f = 1000 Гц уровень звукового давления в 40, 80,
120 дБ соответствует уровню громкости 40, 80, 120 фон.
А Интенсивности звука суммируются,IG = Ц +12 + /3+...
А Уровни звука суммируются с помощью прибавки к уровню звука (см.
11.1.3, п. 3).
11.4.2. Нормированный уровень звука
Нормирующая кривая A (DIN) учитывает комплексную взаимосвязь между
физическим спектром уровня звука и человеческим восприятием звука.
[м| К измеренному и зависящему от частоты уровню звука добавляется
зависящий от частоты нормирующий коэффициент А* (в дБ).
Нормированный по А уровень звука:
п Л
£=101g ^10<£+д’0/ю дБ.
// Гц 90 220 400 1000 3000 60000
д:/дб -20 -10 -5 0 +2 0
Громкость S — физиологическая величина для субъективного сравнения
источников звука. Громкость определяется таким образом, что удвоение ее
величины соответствует удвоению субъективно воспринимаемой громкости:
5 ~ 20,1(£5-40) Соне.
Соне — безразмерная величина, единица измерения громкости.
> Удвоение громкости соответствует изменению уровня громкости в &LS =
= 8—10 фон.
Громкость 5=1 соответствует силе звука Ls = 40 дБ.
Глава И. Акустика
11.5. Музыкальная акустика
Человеческий слух оценивает звук по громкости и частотному спектру.
Любой звук может быть представлен в виде наложения синусоидальных
изменений давления с различными частотами и амплитудами (разложение в
ряд Фурье).
Частотный диапазон музыки: » 16 Гц — 16 кГц.
Классификация слуховых впечатлений:
• Музыкальный тон — монохроматическое синусоидальное изменение
давления с одной единственной частотой (гармоническое колебание,
рис. 11.5 (а)). Чисто синусои-
дальное колебание не может
быть получено с помощью тра-
диционных музыкальных инст-
рументов, генерируется с помо-
щью электронных устройств.
Рис. 11.5. Спектр частот (схематически):
а — музыкальный тон; б — шум; в — треск
• Сложный звук — наложение
звуков различных частот и ам-
плитуд, при которых частоты
находятся друг к другу в цело-
численных отношениях (рис.
11.5 (б)).
• Шум — наложение звуков большого спектра частот. Шум не является
периодическими колебаниями.
• Треск — наложение звуков большого спектра частот и почти одинаковой
интенсивности (рис. 11.5 (в)).
1. Диатоническая гамма
Гамма — ступенчатая классификация звуков внутри октавы.
Сложные звуки классифицируются на:
• Благозвучие, консонанс: соотношение частот музыкального тона /2//1
можно выразить через целые числа Nx, N2, которые не больше восьми.
• Дисгармония, диссонанс — если это невозможно.
> Эти определения консонанса и диссонанса являются чисто субъектив-
ными и соответствуют западно-европейскому восприятию звука.
Интервал — обозначение для соотношения частот двух тонов.
Таблица обозначений интервалов:
Соотношение частот Интервал Восприятие
1:1 Прима Консонанс
16:15 Малая секунда Диссонанс
10:9,10:8 Большая секунда Диссонанс
6:5 Малая терция Консонанс
5:4 Большая терция Консонанс
11.5. Музыкальная акустика
Соотношение частот Интервал Восприятие
4:3 Кварта Консонанс
3:2 Квинта Консонанс
8:5 Малая секста Консонанс
5:3 Большая секста Консонанс
9:5,16:9 Малая септима Диссонанс
15:8 Большая септима Диссонанс
2:1 Октава Консонанс
▲ Октава соответствует удвоению частоты.
А = ПО Гц, а = 220 Гц, а1 = 440 Гц, а2 = 880 Гц, а3 = 1760 Гц.
▲ Октавы делятся на 12 полутонов (малых секунд).
Полный тон — обозначение большой секунды.
Обозначение музыкального звука (ноты) с увеличением частоты с (до),
cis (до диез), des (ре бемоль), d (ре), dis (ре диез), es (ми диез), е (ми), f (фа),
fis (фа диез), ges (соль бемоль), g (соль), gis (соль диез), as (ля-бемоль ма-
жор), а (ля), ais (ля диез) или b (си бемоль), h (си) и с (до).
Камертон а1 (ля первой октавы) — нормированный звук с частотой f -
= 440 Гц.
2. Хроматическая гамма
Хроматическая гамма: 12 полутонов в хорошо темперированной (равно-
взвешенной) настройке.
▲ Соотношение частот на каждый интервал полутона:
1:4/2 =1:1,059463.
▲ Соотношение частот на каждый интервал полного тона:
1: V2 =1:1,1222462.
Высота тона — обозначение частоты тона.
Сила тона — обозначение амплитуды интенсивности тона.
Основной тон: традиционные музыкальные инструменты никогда не из-
дают чистый синусоидальный тон, их звук является наложением синусои-
дальных тонов, смешанных в соотношении, зависящем от вида инструмента
и высоты его тона. Если, говоря об инструменте, упоминают его тон, то
имеют в виду тон, соответствующий минимальной частоте в его спектре.
Как правило, основной тон имеет максимальную амплитуду.
Тоны, соответствующие остальным (более высоким) частотам спектра,
называют обертонами.
Гармонические колебания:
Основное колебание /1 Первая гармоника
1-я высшая гармоника Л = 2/, Вторая гармоника
2-я высшая гармоника /з = зл Третья гармоника
Глава 11. Акустика
Музыкальные звуки с одним и тем же основным тоном могут отличаться
тембром. Тембр определяется составом обертонов, их частотами и амплиту-
дами, а также характером нарастания амплитуд в начале звучания и их спа-
дания в конце звучания.
Различные музыкальные инструменты отличаются по тембру.
Звуковым диапазоном музыкального инструмента называется диапазон
частот между основными тонами самого высокого и самого низкого звука,
который может быть получен на этом инструменте. Наряду с тембром зву-
ковой диапазон является одной из характеристик музыкального инструмен-
та (рис. 11.6).
Рис. 11.6. Спектр частот струнных инструментов: а — виолончель; б —
скрипка
Так как звуковой диапазон многих инструментов и музыкальных голосов
очень сильно зависит от умения музыканта, то этим понятием ограни-
ченно обозначается требование к голосу или инструменту в классиче-
ской музыке.
Звуковой диапазон музыкальных инструментов и голосов:
Инструмент или голос Самая низкая частота (Гц) Самая высокая частота (Гц) Инструмент или голос Самая низкая частота (Гц) Самая высокая частота (Гц)
Скрипка 200 3000 Орган 16 1600
Рояль 30 4000 Бас 100 350
Флейта 250 2500 Баритон 150 400
Виолончель 70 800 Тенор 150 500
Контрабас 40 300 Альт 200 800
Туба 50 400 Сопрано 250 1200
Труба 200 1000
ГЛАВА 12
ОПТИКА
Оптика изучает свет — электромагнитное излучение, диапазон длин волн
которого может восприниматься человеческим глазом. Этот диапазон со-
ставляют волны с длиной от X = 380 нм до X = 780 нм (1 нм = 10’9 м). В об-
щем случае рассматривается электромагнитное излучение и за пределами
видимого диапазона.
В оптике рассматриваются процессы распространения света в прозрач-
ных средах.
1. Основные характеристики света
Скорость распространения света зависит от среды, в которой он распро-
страняется.
Скорость света в вакууме — одна из основных физических постоянных:
с = 2,99792458 -108 м/с.
▲ Скорость света в любой среде меньше скорости света в вакууме.
Скорость света в воде составляет 2,24-108 м/с, в стекле (1,82±0,25) • 108 м/с,
в алмазе 1,22-108 м/с.
Длина волны X и частота f связаны со скоростью распространения света
следующим образом:
Скорость света = частота • длина волны
с = fk , 2л к = — к f =- Т со = = 2л/ = ск Символ Единица измерения Название
к X со с f т 1/м м рад/с м/с 1/с с Волновое число Длина волны Циклическая частота Скорость света Частота Период
2. Виды электромагнитного излучения
Частота f (Гц) Длина волны X (м) Обозначение
> 1019 < 3-10-11 у-излучение
> 1017 < 3-Ю9 Рентгеновское излучение
1015...1017 3-10-7...3-10-9 Ультрафиолетовое излучение
~ 0,5 1015 ~ 6 10-7 Видимый свет
1О13...1О14 3 • 1O-5...3 • ю-6 Инфракрасное излучение
Глава 12. Оптика
Частота f (Гц) Длина волны X (м) Обозначение
109...1013 0,3...3-10-4 5 Микроволны
~108 * * 3 Ультракороткие волны
~107 30 Короткие волны
~106 300 Средние волны
~105 3000 Длинные волны
Более подробное деление ультрафиолетового диапазона приведено в
табл. 13.2/8.
3. Спектральные цвета и диапазоны
Цвет Частота (1012 Гц) Длина волны (10-9 м)
Фиолетовый 659...769 455...390
Синий, голубой 610...659 492...455
Зеленый 520...610 577...492
Желтый 503...520 597...577
Оранжевый 482...503 622...597
Красный 384...482 780...622
4. Теоретические модели света
Волновая теория — модель для объяснения оптических явлений с помо-
щью представления света в виде волнового процесса.
Корпускулярная теория — модель для объяснения оптических явлений с
помощью представления света в виде потока корпускул (от лат. — частица),
которые движутся прямолинейно без взаимодействия с материей.
Корпускулярно-волновой дуализм: определенные эксперименты могут
быть объяснены только с помощью волновой теории, другие — только с по-
мощью корпускулярной. Необходимость использовать для объяснения сово-
купности явлений две противоречащие друг другу модели обозначается как
корпускулярно-волновой дуализм.
> Классическая волновая теория всегда перестает действовать тогда, когда
необходимо объяснить опыты, в которых свет попеременно взаимодей-
ствует с атомными частицами. Примеры таких опытов — это фотоэлект-
рический эффект (фотоэффект) и эффект Комптона. Также волновая те-
ория не может корректно описать феномен теплового излучения (закон
излучения Планка).
5. Разделы оптики
• Классическая оптика описывает процессы оптики с помощью моделей
классической физики.
• Геометрическая или лучевая оптика — раздел классической оптики.
Описывает взаимодействие света с объектами, размеры которых значи-
тельно больше длины световой волны.
12.1. Геометрическая оптика
• Волновая оптика — раздел классической оптики. Описывает взаимодей-
ствие света с объектами, которые имеют размеры того же порядка, что и
длины световых волн.
• Квантовая оптика — описывает процессы оптики методами квантовой
механики. При этом, в частности для описания взаимодействия света и
вещества, переходят к представлению света как потока частиц.
Электронная оптика, ионная оптика — получение изображений с помо-
щью электронного (ионного) излучения с помощью отклонения пучков в
комбинации неоднородных электрических и магнитных полей, которые дей-
ствуют как светооптические конструктивные элементы.
12.1. Геометрическая оптика
Геометрическая или лучевая оптика описывает взаимодействие света с объ-
ектами, размеры которых значительно больше длины световой волны.
В геометрической оптике рассматривается взаимодействие света с линза-
ми, зеркалами, призмами, диафрагмами.
Световой путь, оптическая длина пути X — это произведение геометри-
ческой длины пути / светового луча и показателя преломления п среды, в
которой распространяется луч,
X = 1-п.
1. Принцип Ферма
Принцип экстремума, из которого можно вывести все основные законы
геометрической оптики:
▲ Путь распространения реального светового луча между двумя точками А
и В есть такой путь, для прохождения которого свету требуется экстре-
мальное время Т (чаще всего минимальное) по сравнению со временем
прохождения любых других путей между этими двумя точками.
Другими словами, свет распространяется между двумя точками по пути,
требующему минимальное время. Так как скорость распространения света
зависит от среды, то световой путь между двумя точками, лежащими в раз-
личных средах, не всегда совпадает с кратчайшей геометрической соедини-
тельной линией.
2. Свойства световых лучей
Принцип Ферма базируется на концепции световых лучей (рис. 12.1):
• Свет может быть описан с помощью отдельных световых лучей — ли-
ний, вдоль которых распространяется световая энергия. Луч, подобно
траектории частицы в пространстве без силового воздействия, в одно-
родной среде описывает прямую линию. В неоднородной среде световые
лучи могут изгибаться.
• Лучи ориентированы ортогонально к волновым поверхностям соответст-
вующей волны.
• Пучки световых лучей могут пересекаться, не интерферируя, и распро-
страняться после пересечения независимо друг от друга.
Глава 12. Оптика
• Направление световых лучей обратимо.
• На границе раздела двух сред, скорость распространения света в которых
различна, направление светового луча изменяется.
> Правило, по которому лучи не действуют друг на друга, соответствует
принципу суперпозиции в волновой теории.
> Лучи являются вспомогательным средством для описания распростране-
ния света, которое в определенных границах позволяет делать упрощен-
ные высказывания о световых процессах.
Рис. 12.1. Волновые фронты (штрихпунктирные линии) и лучи (стрелки):
а — плоской волны; б — сферической волны
3. Виды лучей
• Пучок лучей — совокупность световых лучей в пространстве.
• Плоский пучок лучей — совокупность световых лучей, лежащих в одной
плоскости. Является частью обычного пучка, получаемой, например,
пропусканием света через узкую щель.
• Дивергентные (расходящиеся) лучи — лучи, которые исходят из одной
точки (например, при распространении сферической волны, рис. 12.2, а).
• Конвергентные (сходящиеся) лучи — лучи, сходящиеся в одной точке
(например, при распространении сферической волны в центр сферы,
рис. 12.2, б).
• Параллельные лучи — все лучи проходят параллельно друг другу. Это со-
ответствует плоской волне (рис. 12.2, в).
• Гомоцентрические лучи — более широкое понятие для обозначения ди-
вергентных, конвергентных и параллельных лучей.
Рис. 12.2. Световые пучки: а — дивергентный; б — конвергентный; в — па-
раллельный; г — диффузный
12.1. Геометрическая оптика
• Диффузные (рассеянные) лучи — такая совокупность лучей, в которой
отдельные лучи расположены хаотично друг к другу (рис. 12.2, г), в от-
личие от гомоцентрических лучей. Образуются, например, при отраже-
нии параллельных лучей от шероховатой поверхности.
12.1.1. Оптические изображения — основные понятия
Оптическое изображение — преобразование исходящего из одной из точек
объекта гомоцентрического пучка в другой гомоцентрический пучок, цент-
ром которого является оптическое изображение точки.
Точка объекта О, точка предмета G — каждая точка, из которой исходит
свет.
Оптическое изображение точки В — центр пучка лучей, который при оп-
тическом изображении выходит из точки объекта.
1. Реальные и мнимые изображения
Изображение называется действительным, если световые лучи пересека-
ются в точке, т.е. являются конвергентными (рис. 12.3, д).
Изображение называется мнимым, если в точке пересекаются продолже-
ния лучей, проведенные в направлении, обратном направлению распростра-
нения света, т.е. если лучи являются дивергентными.
Виртуальное оптическое изображение точки В' — точка пересечения
продолжений лучей при мнимом изображении (рис. 12.3, а—г).
2. Оптические элементы и их характеристики
Оптическими элементами являются линзы, зеркала, диафрагмы, плас-
тинки, призмы и т.д., а также их объединения в функциональные группы.
Такими объединениями являются объектив, окуляр, конденсор и обора-
чивающая оптическая система.
Рис. 12.3. Оптические изображения (схематически): а—г — мнимые изобра-
жения; д — реальное изображение; е — изображение в бесконеч-
ности; ж — реальное изображение мнимой точки объекта О', по-
лученное в точке О''
Глава 12, Оптика
Оптическая ось — ось симметрии оптического элемента (ось вращения
для сферических и плоских элементов), например, линия, соединяющая
центры кривизны преломляющих поверхностей оптической системы.
Оптическая система, образованная сферическими (в частности плоски-
ми) поверхностями, называется центрированной, если центры кривизны
всех поверхностей лежат на одной прямой.
Прямую, на которой лежат все центры кривизны преломляющих поверх-
ностей, называют оптической осью системы.
3. Фокусы оптических элементов
Передний фокус оптической системы F — такая точка, вышедшие из
которой лучи после преломления в системе проходят параллельно оптиче-
ской оси.
Задний фокус оптической системы F' — точка, в которой после прелом-
ления в системе пересекаются лучи, изначально параллельные оптической
оси.
Главные плоскости: при получении изображения вместо чаще всего иск-
ривленных в действительности поверхностей оптических элементов вводят
плоские поверхности, на которых должно происходить изменение направле-
ния светового луча. Эти плоскости располагаются перпендикулярно оптиче-
ской оси; их позиция определяется таким образом, чтобы полученное с их
помощью изображение совпадало с реальным изображением, которое полу-
чается после преломления на искривленной поверхности.
> Главные плоскости являются вспомогательным инструментом для упро-
щения расчетов и графической аппроксимации прохождения лучей при
получении изображения. Действительное изменение направления проис-
ходит на граничных поверхностях линз, призм или зеркал.
Главными точками называются точки пересечения главных плоскостей с
оптической осью системы.
Линзы имеют две поверхности, на которых происходит преломление.
Соответственно вводятся две главные плоскости и две главные точки:
• Передняя главная точка Н — главная точка, находящаяся в полупро-
странстве предмета.
• Задняя главная точка Н' — главная точка, находящаяся в полупростран-
стве изображения.
4. Фокусные расстояния и расстояние до предмета (рис. 12.29)
Передним фокусным расстоянием / называется расстояние от передней
главной точки Н до переднего фокуса F.
Задним фокусным расстоянием fi называется расстояние от задней глав-
ной точки Н' до заднего фокуса F'.
> До оптического изображения часто доходит только малая часть исходя-
щих от объекта лучей, а именно те лучи, которые действительно попада-
ют через отверстие в оптическом инструменте. Чем меньше угол наклона
луча относительно оптической оси, тем большее упрощение можно по-
лучить при преломлении.
12.1. Геометрическая оптика
Расстояние до объекта а — расстояние от передней главной точки до
осевой точки предмета, а = НО.
Расстояние до изображения д’ — расстояние от задней главной точки до
осевой точки изображения, а’ = Н' О’.
Фокусное расстояние до объекта z — расстояние от плоскости объекта
до переднего фокуса оптической системы, z = FO.
Фокусное расстояние до изображения z' — расстояние от плоскости
изображения до заднего фокуса системы, z' = F' О'.
Соотношения:
Z=a-f,z' = d-f'.
Отрезки 5,5' — расстояния вдоль оптической оси линзы до предмета и
изображения, соответственно, измеренные от преломляющей поверхности
линзы.
Уравнение изображения — зависимость между сопряженными величина-
ми предмета и изображения (например, между расстояниями до предмета и
изображения).
Размер предмета у — линейный размер объекта.
Размер изображения у' — размер реального изображения предмета.
Параксиальная область, околоосевое пространство — это пространство,
в котором лучи образуют с осью настолько малый угол а, что sin а и tg а
можно с достаточной точностью заменить на сс. Благодаря этому, расчеты
изображения существенно упрощаются.
Параксиальная область не может быть определена в общем случае, а за-
висит от точности, требуемой в каждой конкретной задаче.
Гауссова оптика — обозначение лучевой оптики в параксиальной области.
> Гауссова оптика является первым приближением для определения
основных свойств оптической системы и для анализа за пределами па-
раксиальной области.
В дальнейшем будут рассматриваться в основном центрированные систе-
мы в параксиальной области.
5. Правила знаков (по DIN 1335)
• Свет падает в направлении справа налево.
• Используются ориентированные отрезки. Направление считается поло-
жительным, если отрезок отложен вправо от точки отсчета (в направле-
нии падения света), и отрицательным, если отрезок отложен влево.
• Положительное направление для у — снизу вверх.
• Радиус кривизны (линзы, зеркала) считается положительным, если
центр кривизны (Q расположен справа от наивысшей точки линзы (5),
и отрицательным, если С расположен слева от S.
• Сопряженными (соответствующие друг другу величины в пространстве
предмета и пространстве изображения) называются величины, которые
могут быть выражены одна через другую; они обозначаются идентичны-
ми буквами. Величины в пространстве изображения маркируются штри-
хом в верхнем правом углу буквы.
• Величины, которые встречаются парами, но которые не могут быть вы-
ражены одна через другую, маркируются линией над буквенным обозна-
Глава 12. Оптика
чением, например, F (характеристика объекта) и F' (характеристика
изображения).
• Для измерения углов определена базовая сторона. Угол считается поло-
жительным в том случае, если другую его сторону до совпадения с базо-
вой стороной нужно повернуть против часовой стрелки, в противном
случае угол считается отрицательным. Стрелка угла указана от базовой
стороны.
> На изображении часто указывают знак величины, записывая его в скоб-
ках перед величиной: (-)/ обозначает, что f является отрицательным.
6. Обозначения в формулах и на рисунках
Величины, относящиеся к предмету, могут быть преобразованы в вели-
чины, характеризующие изображение; поэтому эти величины считаются
сопряженными друг с другом и обозначаются у и у'.
Символ Обозначение
С, С’ S,S' d п а (также g), а'(также Ь) f,f у (также G) у' (также В) F,F' Н, Н' О s, s' i ₽' Г' Центры кривизны Вершины Толщина линзы Показатель преломления Расстояние до предмета, расстояние до изображения от соответствующей главной плоскости Переднее фокусное расстояние, заднее фокусное расстояние Размер предмета Размер изображения Передний фокус, задний фокус Передняя, задняя главные точки Точка на оптической оси Расстояние на оптической оси до предмета и изображения, отсчитываемые от поверхности раздела Расстояние между главными плоскостями Масштаб изображения Увеличение
12.1.2. Отражение
Зеркалом называется плоская или изогнутая поверхность, шероховатость ко-
торой мала относительно длины волны падающего светового излучения.
Для геометрического описания отражения светового луча необходимо
провести нормаль к поверхности зеркала в точке падения луча (рис. 12.4).
Угол падения е — угол между нормалью в точке падения луча и падаю-
щим лучом.
12.1. Геометрическая оптика
Угол отражения ег — угол между нормалью в
точке падения луча и отраженным лучом.
Закон отражения (см. 10.6):
▲ Угол падения равен углу отражения:
£ = гг.
А Отраженный луч лежит в одной плоскости с па-
дающим лучом и нормалью к поверхности раз-
дела двух сред, проведенной в точке падения.
> Отражение не зависит от длины волны (цве-
та). Поэтому в данном случае, в отличие от
преломления (получения изображения в лин-
зах), не происходит хроматической аберрации.
Рис. 12.4. Закон отраже-
ния. Угол падения е, угол
отражения ег, нормаль в
точку падения луча
12.1.2.1. Плоское зеркало
Зависимость между положением точек объекта и предмета:
▲ Мнимое изображение точки и точка предмета лежат на одинаковом рас-
стоянии от зеркала и на одной и той же нормали.
Возникающее в плоском зеркале мнимое изображение вертикально, но
его правая и левая части меняются местами. Размер изображения равен раз-
меру предмета (рис. 12.5).
> Так как лучи являются вспомогательным средством для построения
изображений, то из каждой точки объекта можно провести любое коли-
чество лучей в любом направлении. Все падающие на плоское зеркало
лучи образуют то же самое мнимое изображение (искажение изображе-
ния отсутствует).
Рис. 12.5. Получение изображения на плоском зеркале: Р — точка объекта,
Р' — точка мнимого изображения, у — объект, у' — изображение.
Гомоцентрический пучок создает изображение согласно закону
отражения. В зависимости от положения глаза отфильтровывается
та часть пучка, которая ведет к восприятию мнимого изображения
12.1.2.2. Вогнутое зеркало
Вогнутое зеркало — общее обозначение для зеркала, которое собирает па-
раллельные друг другу световые лучи.
Глава 12. Оптика
Важнейшие типы сферических зеркал имеют форму полусферы (сфери-
ческое зеркало) или образуются при вращении параболы (параболиче-
ское зеркало) или других конических сечений вокруг оси симметрии.
1. Характеристики вогнутых зеркал
Вершина 5 зеркала — точка пересечения оптической оси с поверхностью
зеркала.
Фокус вогнутого зеркала — по определению это точка, в которой после
отражения пересекаются параксиальные лучи.
Фокусное расстояние f — расстояние между фокусом и вершиной зер-
кала.
> Для зеркала главные плоскости Н и Н' совпадают с плоскостью, прохо-
дящей через вершину S.
Фокусное расстояние сферического зеркала = половина радиуса сферы L
<-)/='7 Символ Единица измерения Название
7 Г м м Фокусное расстояние Радиус зеркала
Согласно правилу знаков, вогнутое зеркало имеет отрицательный радиус
искривления и отрицательное фокусное расстояние.
▲ Для сферического вогнутого зеркала фокусы F и F’ совпадают. Переднее
фокусное расстояние равно заднему:
f = f’.
> В действительности отражение происходит не на главной плоскости, а
на поверхности зеркала. В параксиальной области (см. 112.1.1, п. 4) этим
различием можно пренебречь.
Рис. 12.6. Сферическое вогнутое зеркало: С — центр кривизны, S — верши-
на, F — фокус; а — радиус кривизны г и фокусное расстояние /;
б — катакаустик (огибающая отраженных лучей) и сферическая
аберрация
12.1. Геометрическая оптика
2. Конструирование изображений на вогнутом зеркале
▲ Построение изображения производится с помощью двух лучевых линий
(рис. 12.7). Это:
Фокусный луч, который падает на зеркало, проходя через фокус, и отра-
жается параллельно оптической оси.
Параллельный луч, который падает параллельно оптической оси и отра-
жается, проходя через фокус.
Лучи, проходящие через центр кривизны, при отражении в вогнутом
зеркале отражаются сами в себя.
Рис. 12.7. Конструирование изображений на вогнутом зеркале: а — предмет
находится за удвоенным фокусным расстоянием; б — предмет на-
ходится в пределах фокусного расстояния
3. Уравнение и масштаб изображения для вогнутого зеркала
Уравнение изображения вогнутого зеркала:
Уравнение изображения вогнутого зеркала L1
-к II -ч 1 « + — 1 О Символ Единица измерения Название
а а' г м м м Расстояние от главной плоскости до предмета Расстояние от главной плоскости до изображения Фокусное расстояние
> Уравнение изображения получается непосредственно с помощью при-
менения теоремы распространения лучей при конструировании изобра-
жения.
Глава 12. Оптика
Масштаб изображения, линейное увеличение, £' вогнутого зеркала:
,« - - Размер изображения Масштаб изображения = Размер предмета 1
и и 1 а |Ч Символ Единица измерения Название
р У' У а а' 1 м м м м Масштаб изображения Размер изображения Размер предмета Расстояние от главной плоскости до предмета Расстояние от главной плоскости до изображения
> По правилу знаков масштаб изображения считается положительным (от-
рицательным) если возникает прямое (перевернутое) изображение.
Изображения в вогнутом зеркале в зависимости от расстояния от пред-
мета до главной плоскости а\
Расстояние от главной плоскости до предмета а Расстояние от главной плоскости до изображения а' Изображение Масштаб изображения
-со < о < 2/' 2/' 2f'<a<f’ f'<a<0 о 8 Л Л / to Л Ч Ч cj Л /Л /Л 8 > Действительное, уменьшен- ное, перевернутое Действительное, реального размера, перевернутое Действительное, увеличенное, перевернутое Мнимое, увеличенное, прямое -1 < Р < 0 -1 -сю< Р < -1 1 < Р < со
Рис. 12.8. Получение
пучка параллельных лу-
чей с помощью парабо-
лического зеркала
4. Случай непараксиальных лучей
• В случае сферического зеркала, чем дальше па-
раллельно падающие лучи удалены от оптической
оси, тем дальше расположена точка пересечения
отраженных лучей с оптической осью от фокуса.
С точки зрения гауссовой оптики этот феномен
является погрешностью изображения, который на-
зывают сферической аберрацией (см. рис. 12.6, б).
Отраженные лучи имеют совпадающие огибаю-
щие поверхности, называемые катакаустик.
• Параболическое вогнутое зеркало образуется при
вращении параболы у1 - 2сх вокруг оси х (опти-
ческой оси, рис. 12.8). Коэффициент с является
радиусом кривизны параболы в ее вершине.
12.1. Геометрическая оптика
> С точки зрения гауссовой оптики, параболическое зеркало с параболи-
ческим коэффициентом с и сферическое радиусом г = с равны между со-
бой. В частности, они имеют одно и то же уравнение изображения.
Все параллельные оптической оси лучи пересекаются в фокусе парабо-
лического зеркала. Поэтому в таком типе зеркала нет аберрации для па-
раксиальных лучей. Однако аберрация изображения даже для параллель-
ных лучей, которые лишь незначительно отклоняются от оптической
оси, очень велика (кома).
12.1.2.3. Выпуклое зеркало
Выпуклое зеркало — выгнутая наружу
сферическая или другая поверхность
вращения, отражающая лучи наружу
(рис. 12.9).
• Параллельно падающий свет не
собирается, а рассеивается.
• Согласно правилу знаков, выпук-
лое зеркало имеет положительный
радиус кривизны и положитель-
ный фокус:
<+)/=
Рис. 12.9. Построение изображения на
выпуклом зеркале с помощью луча,
проходящего через центр кривизны, и
луча, проходящего через фокус
На выпуклых зеркалах изображе-
ние всегда мнимое, уменьшенное
и перевернутое.
12.1.3. Преломление
Преломление (см. 10.5) — изменение направления луча при прохождении
его через границу раздела двух сред.
> Во вторую среду попадает не все количество света, часть отражается от
поверхности раздела.
12.1.3.1. Показатель преломления
Показатель преломления п — одна из постоянных характеристик вещества,
описывающая преломляющую способность среды при проникновении в нее
света из вакуума.
▲ Если две среды имеют общую поверхность раздела, то оптическую среду,
показатель преломления в которой больше, называют оптически более
плотной. Если показатель преломления второй среды меньше, чем пока-
затель преломления первой, то ее называют оптически менее плотной.
Глава 12. Оптика
Показатель преломления вакуума равен 1, показатель преломления воз-
духа, воды и алмаза равен 1,0003, 1,333 и 2,417 соответственно. Для раз-
личных видов стекла значения показателя преломления лежат в пределах
от 1,4 до 1,9 (например, кварцевого стекла 1,46, боратного оптического
стекла 1,51, флинтгласа 1,61, тяжелого флинтгласа 1,76).
Показатели преломления других веществ приведены в табл. 13.2/2.
Коэффициент преломления и скорость распространения 1
£вакуума среды ~ среды Символ Единица измерения Название
и ‘среды с '•'вакуума ^среды 1 м/с м/с Показатель преломления Фазовая скорость в вакууме Фазовая скорость в среде
Показатель преломления в общем случае зависит от длины волны (см. 10.7).
> В технической оптике в качестве показателя преломления используется
п' = ^воздуха /Ссреды • Показатели преломления п и п' отличаются лишь
незначительно. Для сухого воздуха при нормальных условиях ri = 1 и
п = 1,0003.
Угол падения 8 — угол между нормалью в точке падения луча и падаю-
щим лучом. Угол преломления s' — угол между преломленным лучом и нор-
малью в точке падения.
12.1.3.2. Закон преломления
Закон преломления, также называемый законом Снеллиуса, описывает со-
отношение углов падения и преломления (рис. 12.10):
Закон преломления Снеллиуса
sin s _ п2 _ q sin s' п} с2 Символ Единица измерения Название
п со. СО рад рад 1 м/с Угол падения Угол преломления Показатель преломления среды 1, 2 Фазовая скорость в среде 1, 2
▲ Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления является по-
стоянным и зависит только от свойств обеих сред.
▲ Угол падения, нормаль в точке падения и преломленный луч лежат в од-
ной плоскости, отраженный луч лежит в той же плоскости.
▲ При переходе в оптически более плотную среду < п2, > с2) световой
луч преломляется в направлении нормали, при переходе в оптически ме-
нее плотную среду > пъ сх < с2) световой луч еще больше отклоняется
от нормали.
Рис. 12.10. Закон преломления Снеллиуса: е — угол падения, г' — угол пре-
ломления; а — пх < п2, сх > с2, преломленный луч приближается к
нормали; б — пх > п2, q < с2, преломленный луч отклоняется от
нормали
При переходе из воздуха в стекло световой луч преломляется в направ-
лении к нормали. Для световой волны длиной X = 632,8 нм для углов
падения е = 10°, 30°, 60°, 80° углы преломления соответственно равны
s' = 6,5°, 19,0°, 35,0°, 40,0°.
Относительным показателем преломления называется отношение пока-
зателей преломления п2/пх обеих сред.
12.1.3.3. Формулы Френеля
При любом отражении интенсивность отраженного луча падает (за исклю-
чением случая полного отражения):
• при отражении от металлического слоя из-за малой абсорбции в метал-
лическом слое (рис. 12.11),
• на границе раздела двух сред с различными показателями преломления
отражается только часть луча.
1. Общие формулы Френеля для интен-
сивности света
Формулы Френеля определяют количе-
ственное распределение интенсивности
между отраженным и прошедшим в другую
среду преломленным лучом при отражении
в зависимости от поляризации света (см.
рис. 12.11). Формулы рассматриваются для
случая падения линейно поляризованной
плоской волны, в которой вектор электро-
магнитного поля колеблется в плоскости
падения (p-волна, знак ||), и волны, в ко-
торой вектор поля колеблется в плоскости,
перпендикулярной плоскости падения
(5-волна, знак 1). Они вытекают из урав-
нений Максвелла в термодинамике:
Рис. 12.11. Коэффициент отра-
жения в зависимости от поляри-
зации и угла падения на поверх-
ности раздела стекло-воздух
Глава 12. Оптика
Формулы Френеля для интенсивности света 1
R _ tan2 (9,- -9,) 11 tan2(9,+9z) R _ sin2 (9, -9,) 1 sin2 (9, +9,) Символ Единица измерения Название
of c< c< рад рад 1 1 Угол падения Угол преломления Коэффициент отражения ДЛЯ /7-ВОЛНЫ Коэффициент отражения ДЛЯ 5-ВОЛНЫ
Доля прошедшего в среду света определяется по формулам:
7|1 =1-%71 = 1-7?±
2. Формулы Френеля для нормального падения световой волны
Позволяют определить долю отраженного и прошедшего света для угла
падения 0Z = 0.
1 Л
И — 1 j ? _ 4п
п + 1J (п + I)2
П = П2 /П\.
> Из-за того, что график кривой на рис. 12.11 достаточно плоский, часто
бывает достаточно проведения расчета по этим упрощенным формулам.
На границе раздела воздух-стекло отражается минимум 4 %-ной интен-
сивности, поэтому линзы в оптических приборах должны быть просвет-
ленными. Пример: объектив из трех групп линз (шесть границ раздела)
без просветления терял бы почти 25 % света.
> При определенном угле, угле Брюстера (0Д доля 7?ц = 0. Отраженная
часть падающего под этим углом неполяризованного света становится
линейно поляризованной (см. 10.2).
Угол Брюстера: tan QB = п2/щ.
12.1.3.4. Радуга
Радугой называется оптическое явление, появляющееся в атмосфере при
преломлении и отражении света в капельках воды, взвешенных в воздухе.
Радуга имеет форму дуги, центр которой расположен на линии, соединяю-
щей солнце и наблюдателя на стороне, повернутой в сторону от солнца.
При простом m-кратном отражении внутри капелек угол отклонения 6, равен:
8 = 2(s - s') + т(п ~ 2s').
При этом £ — угол падения, е' — угол преломления при проникновении луча
в капли воды (рис. 12.12).
При показателе преломления п минимальное отклонение определяется
по формуле:
58 п \п* -1
де у п + 2т
Рис. 12.12. Ход лучей в радуге: а — основная радуга; б — вторичная радуга
Основная радуга имеет радиус 42,5° и ширину 1,5°. Она возникает при
двукратном преломлении и однократном отражении света водяными капля-
ми. Из-за дисперсии происходит разложение света в спектр — полосы с по-
следовательностью цветов красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой,
синий, фиолетовый, расположенные изнутри наружу.
Вторичная радуга имеет радиус 52° и ширину 3°. Она возникает при дву-
кратном преломлении и двукратном отражении света водяными каплями.
Последовательность цветов вторичной радуги обратна последовательности
основной радуги.
> Образование радуги связано с явлением интерференции, которая зави-
сит от размеров водяных капель. Интерференция выражается в чередова-
нии темных и светлых колец и нерегулярной последовательности цветов
вторичной радуги.
12.1.3.5. Полное отражение
Полное отражение происходит тогда, когда свет из оптически более плотной
среды падает на границу раздела с оптически менее плотной средой под уг-
лом, который превышает или равен предельному углу полного отражения.
Предельный угол полного отражения — такой угол падения, для кото-
рого угол преломления равен л/2, если луч падает из оптически более плот-
ной среды в оптически менее плотную среду (рис. 12.13).
Предельный угол полного отражения 1
sin£„ = — «1 Символ Единица измерения Название
«1, Л2 рад 1 Предельный угол полного отражения Показатель преломления среды 1, 2
Предельный угол полного отражения для некоторых веществ на границе
раздела воздух—окружающая среда.
Вещество % Вещество £g Вещество
Алмаз 23° Сероводород 38° Глицерин 43°
Тяжелый флинтглас 34° Легкий кронглас 40° Вода 49°
Глава 12. Оптика
Рис. 12.13. Предельный угол полного
отражения (щ > n^Y Преломление
для е < £g (линия из коротких штри-
хов), предельный случай е = Eg (сплош-
ная линия), полное отражение е > sg
(линия из длинных штрихов)
Предельные углы для других ма-
териалов могут быть рассчитаны по
табличным показателям преломления
(табл. 13.2/2).
Показатель преломления воздуха
равен 1,0003, льда — 1,310. Если
свет проходит через лед и попада-
ет на границу раздела лед-воздух,
то предельный угол полного отра-
жения равен:
. ^воздуха . 1,0003
s g = arcsin------= arcsin —----=
Л льда U Ю
= 0,868851 рад = 49,78°.
Лучи, падающие на поверхность раздела под углом г > 49,78°, будут пол-
ностью отражаться.
> Полное отражение используется в призмах для изменения направления
луча.
Порропризменная система — набор призм для обращения изображения
посредством полного четырехкратного отражения (рис. 12.14).
Рис. 12.14. Изменение направления луча с помощью призм полного отраже-
ния: а — отклонение на л/2; б — отклонение на л; с - порроприз-
менная система (обращение изображения)
12.1.3.6. Световод
Световод — система из зеркал или полностью отражающих поверхностей,
которые ограничивают распространение света в определенном направлении
(вдоль оси симметрии).
12.1. Геометрическая оптика
Труба со светоотражающими внутренними стенками.
Важнейшее применение: стекловолокно для оптической передачи данных.
> Существует прямая аналогия с волноводами в микроволновой технике.
1. Принцип действия световодов
а) Строение и свойства световодов: световод состоит из сердечника с по-
казателем преломления п{ и оболочки с показателем преломления п2, п2< пх
(рис. 12.15).
Если угол 0! достаточно мал, то луч полностью отражается от границы
раздела сердечника и оболочки и может покинуть сердечник только через
конечную торцевую поверхность, где оболочка отсутствует.
Предельный угол полного отражения 0! на границе раздела сердечника и
оболочки определяется из уравнения:
щ sin (90° - 0i) = «2 => cos 01 = ni /п\ •
На поверхности вхождения луча действует закон преломления
«о sin 0о = щ sin 0!. Оба отношения вместе позволяют определить числовую
апертуру ALW волновода:
«о sin0О = п\71 - cos2 01 = «171 ~(«2 Ai)2 =
= 7^2 — ^2 = сердечника “ оболочки =
> Только те световые лучи, для которых sin 0О меньше или равны ALW,
могут передаваться по волноводу. Для углов падения больше 0О условие
полного отражения не выполняется.
> Эти рассуждения действительны только для приближения лучевой опти-
ки, т.е. для таких размеров волновода, которые существенно больше
длины волны используемого света. В важном случае одномодового вол-
новода это условие не выполняется, здесь рационально указание число-
вой апертуры, и оно должно заменяться параметрами собственной моды
световода (например, 1/е — ширина гауссова приближения).
Принцип волновода был впервые продемонстрирован в 1870 году в Лон-
доне Джоном Тиндалем на примере водяной струи (сердечник, п = 1,33 м)
в воздухе (оболочка, п - 1,00).
▲ Если волновод изгибается, то для части лучей нарушается условие пол-
ного отражения, и они теряются. Чем больше разность между показате-
лями преломления сердечника и оболочки, тем меньше чувствитель-
ность световода к потерям при искривлении.
Глава 12. Оптика
б) Краевое условие волновой оптики: если длина когерентности исполь-
зуемой световой волны больше, чем толщина d сердечника волновода, то
дополнительно должно выполняться краевое условие волновой оптики:
▲ После двукратного отражения на границе раздела, волновой фронт с еще
не отраженной его частью должен интерферировать и давать максимум
(рис. 12.16), т.е. разность хода т \ должна в целое число т раз превы-
шать длину волны X (поляризацией и фазовым сдвигом пренебрегают).
В этом случае
• Л г" Л
п\ smOj = —
2d
= >R -«2
Самое большое целое число, для которого выполняется это условие, —
это число разрешенных направлений луча. Если условие выполняется толь-
ко в случае N = 0, то говорят об одномодовом волноводе.
Рис. 12.16. Квантовое представление луча, распространяющегося по волно-
воду: волновой фронт должен интерферировать конструктивно
(давать максимум при интерференции) с еще не отраженной ча-
стью волны
▲ Качественное описание волноводов с малым количеством углов распро-
странения и особенно одномодовых волноводов производится решением
уравнений Максвелла при заданном краевом условии. Вместо угла рас-
пространения в лучевой оптике получают (собственные) моды волново-
да. Они представляют собой разрешенное распределение магнитных и
электрических полей. Существует тесная аналогия с функцией вероятно-
И--6pm
Рис. 12.17. Поперечное сечение
и распределение интенсивности
для обычного одномодового во-
локна: М — оболочка (п = 1,455),
К — сердечник (п = 1,46)
стного распределения квантово-механи-
ческой частицы в потенциальной яме.
> Рассчитанное по уравнениям Максвел-
ла распределение интенсивности в од-
номодовом волноводе с хорошим при-
ближением может быть описано с по-
мощью кривой нормального распреде-
ления Гаусса (рис. 12.17).
2. Применение световодов
Самый простой световод может быть
изготовлен из шланга диаметром в не-
сколько миллиметров с отражающими
свет внутренними стенками. Применя-
ется, например, чтобы направить ульт-
12.1. Геометрическая оптика
рафиолетовый свет в труднодоступные места, где необходимо ультрафи-
олетовое отверждение (стоматология).
Важные области применения: эндоскопия, устройства на переменном
сигнале, оптико-волоконные пластины для преобразователей изображения и
для ограничения утла обзора мониторов (банкоматы), а также оптико-воло-
конные датчики (см. ниже), волокно для оптической передачи данных.
а) Оптическая передача данных — основная область применения стекло-
волокна, применяемого вместо электрического соединения. Преимущества:
• высокая пропускная способность и низкое затухание,
• очень высокая защита от подслушивания,
• нечувствительность к радиопомехам (электромагнитной интерферен-
ции).
> С 1988 года используются трансокеанические подводные стекловолокон-
ные кабели, проложенные по дну Тихого океана (ТРС-3) и по дну Ат-
лантического океана (ТАТ-8).
Дисперсия сигнала — важный параметр, который указывает степень
«расходования» сигнала. Чем меньше дисперсия, тем быстрее можно посы-
лать следующие друг за другом импульсы. Дисперсия сигнала вызывается
дисперсией в материале и модовой дисперсией.
Дисперсия в материале описывает зависимость показателя преломления
и, следовательно, скорости света в среде от длины волны.
> Дисперсии света не получится избежать за счет использования «моно-
хроматического» источника света. Так как принцип неопределенности
энергия-время связывает ширину линии и длину когерентности, то для
действительно монохроматического источника условием была бы беско-
нечная длина когерентности. Для передачи данных в диапазоне несколь-
ких ГГц (или Гбит) в секунду необходимы импульсы длиной < 1 нс, со-
ответствующие цугу волн с максимальной длиной волны 20 см (при п =
1,5) и соответствующими ширинами линий излучения квантового пере-
хода.
По этой причине дисперсию в материале волокна пытаются снизить с
помощью использования специальной геометрии и особого материала (од-
номодовое оптоволокно с минимальным смещением длины волны за счет
легирующих добавок (dispersion-shifted fiber) или сплющенное одномодовое
оптоволокно (dispersion-flattened-fibre)).
Модовая дисперсия возникает потому, что световые лучи с различными
углами распространения проходят по волокну за неодинаковое время.
▲ Модовая дисперсия — это важнейший отличительный признак различ-
ных типов стекловолокна.
Многомодовое волокно применяется исключительно для коротких сое-
динений, так как модовая дисперсия быстро принимает неприемлемые зна-
чения.
Одномодовое волокно принципиально не имеет модовой дисперсии, его
пропускная способность ограничивается дисперсией в материале. Но из-за
Глава 12. Оптика
малого диаметра сердечника затраты на монтаж очень высокие (юстировка с
точностью в несколько мкм).
б) градиентно-индексное волокно (GRIN-волокно, GI-волокно) имеет
сердечник с непрерывно снижающимся к внешним слоям показателем пре-
ломления. Оно соответствует ряду линз с градиентным профилем показате-
ля преломления (стержневые линзы, линзы SELFOC™) с очень малым диа-
метром (рис. 12.18).
Оптические разности хода для графика показателя преломления
п(г) - ^(1 - аг2)
минимальны. По этой причине градиентно-индексные волокна с точки зре-
ния пропускной способности занимают промежуточную позицию между
многомодовым и одномодовым волокном со ступенчатым изменением пока-
зателя преломления.
Рис. 12.18. Градиентно-индексное волокно как последовательность линз со
ступенчатым изменением показателя преломления
в) Оптоволоконный датчик, датчик уровня — световод, в котором вмес-
то оболочки с низким показателем преломления используется воздух, погру-
жаемый в сосуд (рис. 12.19). Если к нему подсоединен источник света, то,
несмотря на искривление, свет почти не теряется и попадает на детектор
(фотодиод), находящийся на другом конце сердечника. Если сосуд наполня-
Рис. 12.19. Простейший пример
оптоволоконного датчика — дат-
чик уровня
ких решеток очень точно может
ется жидкостью настолько, что в нее по-
гружается сердечник световода, то жид-
кость начинает играть роль оболочки.
Из-за уменьшения разности показателей
преломления теряется много света, и вы-
ходной сигнал на детекторе изменяется.
С помощью структурирования по-
верхности раздела (решетки Брэгга) меж-
ду сердечником и оболочкой чувстви-
тельность такого датчика можно мно-
гократно увеличить, и, например, с его
помощью определять присутствие опре-
деленных молекул. Также с помощью та-
быть измерено удлинение волокна (давле-
ние, растяжение, температура). Измеряемой величиной в данном случае бу-
дет не полное светопропускание, а изменение фаз и поляризации, а также
абсорбция и отражение в очень узких диапазонах длин волн.
г) Ввод светового излучения в световод: эффективность ввода — соотно-
шение введенной в световод световой мощности к мощности, отдаваемой
источником света.
12.1. Геометрическая оптика
Рис. 12.20 показывает, что в случае максимального введения должно вы-
полняться условие:
В = D~ < d и < Awl .
g
Рис. 12.20. Ввод света галогеновой лампы LQ в волновод WL
Для источника света, который излучает во всех направлениях (галогено-
вая лампа, дуговая лампа, светодиод) это условие не выполнимо. Кроме это-
го, произведение площади светящейся поверхности и телесного угла, кото-
рый улавливает линза, является константой оптического изображения. Из
этого следует, что для оптического изображения, которое уменьшает светя-
щуюся поверхность, телесный угол будет увеличиваться.
▲ По этой причине эффективный ввод излучения в стекловолокно возмо-
жен только с помощью лазера, так как в них свет по определению запол-
няет минимально возможный элемент фазового пространства.
> Для лазерных диодов подгонка к волокну с показателем преломления 1,5
достигается с помощью увеличения светящейся поверхности и уменьше-
ния телесного угла. Дополнительно используют анаморфотную систему
изображения, чтобы из эллиптического профиля луча сделать луч с круг-
лым поперечным сечением.
Оценка эффективности ввода:
_ * ^WL \2
Для более точного рассмотрения необходимо рассчитать интеграл пере-
крытия функций между собственной модой А(х,у) волновода и комплексной
амплитудой В(х.у) светового излучения, падающего на торцевую поверхность:
2
j j Л(х, у)5*(х, y)dxdy
Tj = ----------!=-----------------------d------------
j j Л(х, y)A*(x, y)dxdyj j B(x, y)B*(x, y)dxdy
> Для большинства практических расчетов функции А(х,у) и В(х,у) могут
______________________________________________X 2
быть приближенно заменены функцией Гаусса (--).
о2
Глава 12. Оптика
Оценка порядка эффективности ввода для различных комбинаций ис-
точников света и волноводов:
Галогенная лампа Короткодуговая лампа Светодиод Лазер
Волновод 10 мм 1 1 1 1
Искусственное волокно 1 мм 0,001 0,01 1 1
Многомодовое волокно 50 мкм 10-5 10-4 0,01 1
Одномодовое волокно 6 мкм 10-8 10-7 10-5 1
д) Интегрированная оптика — структура из волноводов, предназначен-
ная для выполнения определенных функций типа разделения, объединения,
переключения света и т.д. (рис. 12.21).
Рис. 12.21. Примеры интегрированного оптического элемента: а — разветви-
тель 1x4; б — соединитель в форме звезды 4x4; в — электроопти-
ческий переключатель
▲ Волноводы производятся на подложке (по аналогии с интегрированны-
ми логическими ячейками в микроэлектронике) литографическим спо-
собом (см. 4.2). Основные материалы: стекло, ниобат лития и полимеры.
Дополнительно могут наноситься электроды, нагревательные и другие
элементы.
Переключение света между двумя волноводами производится с помо-
щью изменения показателя преломления (посредством электрического
поля или температуры).
Различают:
Активные компоненты типа переключателей, модуляторов,
Пассивные компоненты типа соединителей в форме звезды, разветвите-
лей и т.д.
12.1.3.7. Преломление в призме
Призмой называют конструктивный элемент, изготовленный из прозрачных
материалов, минимум две плоские стороны которого находятся под углом
друг к другу и образуют преломляющее ребро.
12.1. Геометрическая оптика
В трехгранной призме (рис. 12.22)
свет проходит через две поверхности
раздела, при этом луч дважды прелом-
ляется. Показатель преломления приз-
мы пъ показатель преломления окру-
жающей среды п2, п2 < пх.
Рис. 12.22. Преломление в трехгранной
призме при симметричном прохождении
луча: 6 — преломляющий угол призмы;
Ej — угол падения; е'2 — угол выхода; у —
угол отклонения
1. Угол отклонения
у характеризует отклонение выходящего из призмы луча относительно
падающего луча : у = si + е'2-8.
Угол отклонения в призме 1
у = Si - 8 + arcsin Символ Единица измерения Название
Y Ymin £.i «1 «2 6 рад рад рад 1 1 рад Угол отклонения Мин. угол откло- нения Угол падения Показатель пре- ломления призмы Показатель пре- ломления окру- жающей среды Преломляющий угол призмы
1 ( Л2 < sin 8 — - sin2 8i - cos 8 sin 8i > ~ • (n\ • 8^1 ~ Ymin = 2 arcsm — sm - - 8 \Jl2 2 J
▲ Угол отклонения у минимален при симметричном прохождении луча
8i - 8'2 ,8х! = 82.
Если учитывать зависимость показателя преломления пх от длины вол-
ны, то угол отклонения у также зависит от длины волны (см. 10.7): свет раз-
лагается призмой в спектр (рис. 12.23).
[м] С помощью измерения ymin можно определить показатель преломления:
/22
щ sin(8/2)
Так как таким методом показатель преломления можно измерить очень
точно, то этот способ подходит также и для определения зависимости пока-
зателя преломления от частоты (см. 10.7).
14—3814
Оптика
Рис. 12.23. Разложение света в спектр при преломлении на призме: Q — ис-
точник света; В — диафрагма; L — линза; В', В" — изображение
диафрагмы
2. Линии Фраунгофера
Так называются линии спектра поглощения в спектре Солнца, которые
образуются из-за различных элементов в фотосфере (и в некоторых случаях
в земной атмосфере). Самые сильные линии обозначаются заглавными ла-
тинскими буквами (см. табл. 13.2/9).
Так как линии Фраунгофера возникают благодаря поглощению, то в
спектре солнечного света они видны в виде черных линий, так как энергия
волн соответствующей длины поглощается различными элементами. Суще-
ствует несколько сотен линий Фраунгофера.
Коэффициент Аббе ve — величина, которая характеризует дисперсию
оптического материала:
пе -1
Ve = ---,
nF> -пС'
где ле — показатель преломления ртутной е-линии (X = 546,07 нм); nF<, пс> —
показатели преломления кадмиевых линий (X = 480,0 нм); С' (X = 643,8 нм)
(см. табл. 13.2/9).
Коэффициент Аббе vx для длины волны X можно рассчитать, если в вы-
ражении для ve показатель преломление пе заменить показателем преломле-
ния и(Х) для спектральной линии с длиной волны X.
12.1.3.8. Преломление в плоскопараллельных пластинках
▲ При прохождении луча сквозь плоскопараллельную пластинку толщиной
d угол падения и угол выхода лучей после двукратного преломления рав-
ны друг другу. Пластинка смещает луч света параллельно самому себе на
расстояние б (рис. 12.24).
▲ При прохождении пучка лучей происходит аксиальный сдвиг центра
пучка на расстояние Д. Наблюдателю кажется, что предмет сдвинут на
соответствующее расстояние (рис. 12.25).
12.1. Геометрическая оптика
Рис. 12.24. Боковое смещение б
луча на плоскопараллельной
пластинке толщиной d
Рис. 12.25. Аксиальное смещение Д
центра пучка лучей на плоскопа-
раллельной пластинке
Параллельный сдвиг на плоскопараллельной пластинке
g _ d SU1(£ - £' ) cos s' sins _ n2 sin s' n{ A J Л П\ Д = a 1 —- при малом s I n2 J Символ Единица измерения Название
£ £' 6 d «1 «2 Д рад рад м м 1 1 м Угол падения Угол преломления Боковое смещение луча Толщина пластинки Показатель преломления воздуха Показатель преломления пластинки Смещение центра пучка
Для определения 6 сначала по заданному углу падения 8 согласно закону
преломления рассчитывают угол преломления s' и затем подставляют их в
формулу.
> Величина Д важна для переворачивающих линз. Она должна учитывать-
ся при конструировании изображения.
12.1.3.9. Преломление на сферических поверхностях
Линзы чаще всего имеют сферические поверхности раздела. Поэтому пре-
ломление на сферических поверхностях имеет принципиальное значение.
Пусть задана сферическая поверхность раздела радиусом R и центром С.
Показатели преломления внутри и вне сферы равны п2 и пх соответственно.
Рассмотрим световой луч, падающий из точки О вне сферы на любую
точку А на поверхности раздела. Продолжим преломленный луч до пересе-
чения его в точке О' с оптической осью ОС (рис. 12.26).
Отрезок АС — перпендикуляр к касательной плоскости, проведенный в
точке падения луча на поверхность раздела.
Вершина 5 — точка пересечения оптической оси со сферической по-
верхностью.
Глава 12. Оптика
Рис. 12.26. Преломление на сфе-
рической поверхности радиусом R
Отрезки 5 и s' — расстояния от точек
пересечения падающего или преломлен-
ного луча с оптической осью О или О' до
вершины S. При этом в направлении све-
та (вправо) они считаются положитель-
ными, а влево — отрицательными.
/ и Г — расстояния от точек пересече-
ния О или О' до точки Л, в которой луч
падает на поверхность раздела. Расстоя-
ния от сферической поверхности счита-
ются вправо положительными, а влево —
отрицательными.
Нулевой инвариант Аббе
s - R s'-R ni Г = п^ г Символ Единица измерения Название
«1 «2 R S s' 1 Г 1 1 м м 1 1 м Показатель преломления воздуха Показатель преломления пластинки Радиус сферы Расстояние SO Расстояние SO' Расстояние АО Расстояние АО'
12.2. Линзы
Линза — прозрачное для световых лучей тело с двумя поверхностями разде-
ла, из которых в общем случае минимум одна является искривленной. Лин-
за изменяет направление проходящих через нее лучей.
Сферической называют линзу, поверхности раздела которой являются
частями сферы.
Частные случаи: плоскопараллельная пластинка, мениск (линза с одной
вогнутой и одной выпуклой стороной).
Другие формы линз: асферические, цилиндрические, линзы Френеля,
корректирующие пластинки в зеркале Шмидта.
В общем случае, линзы состоят из оптически более плотного вещества,
чем окружающая среда (чаще всего воздух). Поэтому:
• Собирающие линзы в середине толще, чем по краям,
• Рассеивающие линзы в середине тоньше, чем по краям.
Очки для близоруких являются выпукло-вогнутыми рассеивающими
линзами (рис. 12.27, е).
> Для минимизации погрешностей изображения форма и направление ис-
пользуемой собирающей или рассеивающей линзы должно выбираться
таким образом, чтобы проходящие сквозь линзу лучи на обеих поверхно-
стях раздела преломлялись примерно одинаково.
12.2. Линзы
Рис. 12.27. Формы линз: а — двояковыпуклая линза (i\ > 0, г2 < 0,/'> 0); б —
плосковыпуклая линза = оо, г2 < 0, f> 0); в — вогнуто-выпуклая
линза (>1 < г2 < 0, f > 0); г — двояковогнутая линза < 0, г2 > 0,
f'< 0); д — плосковогнутая линза = оо, г2 > 0, f'< 0); е — выпук-
ло-вогнутая линза (()< r2 < rbf'< 0); а—в — собирающие линзы;
г—е — рассеивающие линзы
▲ Более изогнутая поверхность линзы должна соответствовать пространст-
ву с параллельным пучком.
12.2.1. Толстые линзы
Толстой называют линзу, преломление в которой в параксиальной обла-
сти может быть описано преломлением на двух главных плоскостях, т.е. на
передней и задней главных плоскостях. При таком методе конструирования
изображения луч между двумя главными плоскостями проходит параллельно
оптической оси.
1. Характеристики толстых линз
Расстояние до объекта а — расстояние от передней главной плоскости
до предмета.
Расстояние до изображения а' — расстояние от задней главной плоско-
сти до изображения. Направление считается положительным в направлении
падения света и отрицательным в противоположном направлении.
Меридиональное сечение — сечение оптической системы, которое прохо-
дит через оптическую ось и не лежащую на ней точку предмета (рис. 12.28).
Меридиональные лучи — это лучи, лежащие в меридиональной плоскости.
Сагиттальное сечение проходит перпендикулярно меридиональной плоско-
сти. Оптическая ось проходит наклонно к сагиттальному сечению (см. рис. 12.28).
Сагиттальные лучи — это лучи, лежащие в сагиттальной плоскости.
Фокус F’ или F — это точка на оптической оси, в которой собираются
лучи, падающие параллельно оптической оси.
Фокусные расстояния f или f — расстояния между передней (задней)
главной плоскостью и передним (задним) фокусом линзы.
Фокальные плоскости — плоскости, проходящие перпендикулярно оп-
тической оси, в которых лежат передний и задний фокусы.
2. Особый случай: толстая сферическая линза
Сферической называют линзу из материала с показателем преломления
и, преломляющие поверхности которой являются частями сферических по-
верхностей. Расстояния (например, расстояние до объекта или до предмета
от соответствующих главных плоскостей) отсчитываются влево как отрица-
тельные и вправо — как положительные.
Глава 12. Оптика
Рис. 12.28. Меридиональная и сагиттальная плоскости
Для двояковыпуклой линзы для радиусов г15 г2 сфер действительны усло-
вия гх > 0 г2 < 0 (см. рис. 12.27, а).
▲ Фокусные расстояния f и расстояния до изображения а' и до предме-
та а измеряются от соответствующей ближайшей главной плоскости.
Толщина в центре, d, — расстояние между вершинами линзы.
▲ Величины фокусных расстояний f и /' будут различными, если показа-
тели преломления на обеих сторонах линзы не равны между собой:
f = _ п_
Г п’
Если линза с обеих сторон окружена одной и той же средой, то переднее
фокусное расстояние равно заднему:
f =
3. Формулы для расчетов толстых линз
Если толстая (сферическая) линза со всех сторон окружена воздухом, то
для расчета фокусного расстояния расстояния sH от передней главной
точки Н до вершины в пространстве объекта 5, расстояния s'h от задней
главной точки Н' до вершины в пространстве изображения S’, а также для
определения расстояния i между обеими главными плоскостями использу-
ются следующие формулы (рис. 12.29):
Формулы для расчетов толстых линз L
р = ВД (п -1)Иг2 -л) + (й -ад rd sH = - «(Л - ^2 ) - (« - 1)^ s' , = Г2^ Н «(л -r2)-(n- l)d . = (л - r2 - d)(n - 1)J «<Л -r2)-(n- l)d Символ Единица измерения Название
г п г2 d SH s'h' i м 1 м м м м м Фокусное расстояние Показатель прелом- ления линзы Радиус сфер 1, 2 Толщина в центре Расстояние SH Расстояние S’ Н' Расстояние НН’
12.2. Линзы
Рис. 12.29. Построение изображения для толстой собирающей линзы с двумя
главными плоскостями
|м] Для обычных стеклянных линз, окруженных воздухом, расстояние между
главными плоскостями составляет примерно треть толщины линзы (рас-
стояния между вершинами).
4. Построение изображения для толстой линзы
Для построения изображения точки используются три луча:
• Луч, параллельный оптической оси, проводится из исходной точки до
задней главной плоскости и далее до заднего фокуса системы.
• Луч, проходящий через центр линзы, проводится от исходной точки до
точки пересечения передней главной плоскости с оптической осью
(главной точки) и далее до задней главной плоскости параллельно опти-
ческой оси. После этого он продолжается параллельно лучу между точ-
кой объекта и передней главной плоскостью.
• Луч, проходящий через фокус, от исходной точки проводится линия че-
рез передний фокус линзы до пересечения с передней главной точкой.
После пересечения луч проходит параллельно оптической оси.
Все три луча, идущих из исходной точки, пересекаются в точке изобра-
жения.
5. Уравнение линзы и оптическая сила линзы
Зависимость между фокусным расстоянием расстоянием до предмета
а (ОН) и расстоянием до изображения a' (О' Н’) выражается с помощью
уравнения линзы:
Уравнение линзы L-i
X = 1 1 Г а! а Символ Единица измерения Название
/' а а’ м м м Фокусное расстояние Расстояние до предмета Расстояние до изображения
Глава 12. Оптика
Другая формулировка этого уравнения называется также уравнением лин-
зы Ньютона. Здесь расстояния до предмета и изображения, измеренные от
соответствующих главных плоскостей, заменяются расстояниями до предме-
та и изображения, измеренными от соответствующих фокусов, z = а - /,
г' =
Z‘Z' =
или так как f = то
z • z' = -f'2.
Оптическая сила линзы или системы линз, В, определяется как:
„ 1 Оптическая сила = Фокусное расстояние L1
в = — г Символ Единица измерения Название
в 1/м м Оптическая сила Фокусное расстояние
Единицей измерения оптической силы является диоптрия. 1 дп = 1/м.
6. Собирающие линзы
На рис. 12.30 представлены линзы со следующими свойствами:
• Луч, падающий параллельно оптической оси на тонкую собирающую
линзу, пройдет через задний фокус F и даст действительное изображение.
• Луч, проходящий через передний фокус, после прохождения линзы бу-
дет идти параллельно оптической оси (обращение хода луча).
• Пучок параллельных лучей, проходящих наклонно к оптической оси в
параксиальной области, соберется в одну точку, лежащую в фокальной
плоскости.
• Заднее фокусное расстояние f является положительной величиной.
В зависимости от расстояния до предмета а собирающая линза дает раз-
личные изображения:
• а > /, предмет находится между главной плоскостью и фокусом. Получа-
емое с помощью линзы изображение — увеличенное, мнимое и прямое.
Внутри этого диапазона для расстояний до предмета функционирует
лупа.
• 2/ < а < /, предмет находится на удалении от одного до двух фокусных
расстояний. Изображение действительное, перевернутое и увеличенное.
Внутри этого диапазона для расстояний до предмета функционируют
различные виды проекторов.
• а < 2/, расстояние от предмета до главной плоскости более чем в два раза
превышает фокусное расстояние. Изображение действительное, перевер-
нутое и уменьшенное. Внутри этого диапазона для расстояний до пред-
мета функционирует подзорная труба.
> Максимальное достижимое увеличение оптической системы определяет-
ся техническими возможностями, так как фокусное расстояние линзы
нельзя уменьшать бесконечно.
12.2. Линзы
Рис. 12.30. Построение изображения для собирающей линзы: а — предмет
располагается дальше удвоенного фокусного расстояния, изобра-
жение уменьшенное, перевернутое, действительное; б — предмет
располагается на расстоянии не далее двух, но не ближе одного
фокусного расстояния, изображение увеличенное, перевернутое,
действительное; в — предмет располагается не далее одного фо-
кусного расстояния, изображение увеличенное, прямое, мнимое
7. Рассеивающая линза
Рассеивающая линза обладает следующими свойствами (рис. 12.31):
• Лучи, падающие на тонкую рассеивающую линзу параллельно оптиче-
ской оси, преломляются таким образом, что преломленные лучи кажутся
исходящими из одной точки, мнимого фокуса F'.
• Лучи, проходящие через фокус, после преломления в линзе проходят па-
раллельно оптической оси (обратимость хода лучей).
• Уравнение изображения (уравнение линзы) имеет тот же вид, что и для
собирающих линз, однако заднее фокусное расстояние /' отрицательно.
Следовательно, оптическая сила рассеивающей линзы также является
отрицательной величиной.
8. Система из нескольких линз одинаковой оптической силы
В систему могут быть объединены несколько линз различной формы, но
одинаковой оптической силы. Расчет может быть упрощен: если для одной
Рис. 12.31. Построение изображения в
тонкой рассеивающей линзе. Изобра-
жение уменьшенное, прямое и мнимое
линзы заданы фокусное расстояние
/' и показатель преломления п, то
для произвольно выбранного радиуса
кривизны всегда можно определить
радиус кривизны г2 и толщину линзы
d таким образом, чтобы выполнялись
начальные условия.
Этот метод используют, выбирая
при заданном фокусном расстоянии
и показателе преломления значения
величин (r15r2,J) таким образом, что-
бы погрешности изображения были
минимальны.
Две группы изогнутых собираю-
щих и рассеивающих линз представ-
лены на рис. 12.32.
Рис. 12.32. Изогнутые линзы. Вследствие изгиба главные плоскости могут
быть полностью выведены за пределы линз. Фокусное расстояние
при этом не изменяется.
9. Обобщение свойств толстых линз
Расстояние до объекта а Расстояние до изображения а' Изображение Увеличение |3
Собирающая линза
< « < 2/ Г < а' <2,f Действительное, умень- шенное, перевернутое 0 < р < 1
2/ < а < f 2f < а' < /со Действительное, увели- ченное, перевернутое 1 < Р < сю
f <а<0 -сю < а' < 0 Мнимое, увеличенное, прямое -00 < р < -1
Рассеивающая линза
1 8 /Л Ci Л О /'<«'<0 Мнимое, уменьшенное, прямое -1 < р < 0
12.3. Системы линз
12.2.2. Тонкие линзы
Линза называется тонкой, если ее толщина d мала по сравнению с радиуса-
ми кривизны гх и г2. В этом случае:
«(/*2 - й ) + (« - IX ® - й ), й - г2 - d « Г1 - г2.
Формулы для расчета линз упрощаются следующим образом:
Формулы для расчетов тонких линз L
f,= ЛГ2 <п-\){г2 — й) nd sH = ! «(й ~йг) , r2d SH' = «(й ~й>) n -1 , i = d n Символ Единица измерения Название
f n r\> r2 d 5H s'h' i м 1 м м м м м Фокусное расстояние Показатель преломления линзы Радиус сфер 1, 2 Толщина в центре Расстояние SH Расстояние S' Н’ Расстояние НН'
Для бесконечно тонкой линзы толщиной d можно пренебречь.
Формулы для расчета упрощаются еще больше:
ЙЙ!
(и-1)(г2 - л)
sH = s'H' =i = о.
12.3. Системы линз
Системой линз называют несколько линз, расположенных на одной оптиче-
ской оси. Чаще всего систему используют для корректировки погрешностей
изображения, возникающих в отдельной линзы.
▲ Оптическое изображение для системы линз может быть получено, если
известно расположение главных плоскостей линз и общий фокус систе-
мы. Если заданы только две главные плоскости, то изображение строит-
ся по тому же принципу, что и для толстых линз.
Для системы из двух линз с фокусными расстояниями и /2 (или опти-
ческой силой Вх и В2) и расстоянием а между двумя средними главными
плоскостями Нп и Н2Х общее фокусное расстояние оптическая сила В и
положение главных плоскостей Нх и Н2 всей системы рассчитываются по
следующим формулам:
Расчет общего фокусного расстояния системы линз L-i
tc 4t?|- 11 II tq + + ю to с 7 и и ю -1 а. 1 to to Символ Единица измерения Название
г fi fi d Bx, B2 м м м м 1/м Общее фокусное расстояние Фокусное расстояние линзы 1 Фокусное расстояние линзы 2 Расстояние между двумя средними главными плоско- стями Оптическая сила линз 1, 2
Глава 12. Оптика
В случае очень близкого расположения главных плоскостей (J мало), по-
следним членом можно пренебречь. Тогда оптические силы линз из одина-
кового материала суммируются:
В — В^ +
> Систему, состоящую из большего количества линз, рассчитывают анало-
гично, последовательно сокращая ее до системы из двух линз.
Рис. 12.33. Построение изображения для системы двух толстых линз
12.3.1. Линзы с диафрагмой
Диафрагмой называется устройство для ограничения светового пучка.
Зрачок глаза, отверстие объектива также являются примерами диафрагмы.
Входным отверстием объектива называется изображение, полученное на
апертурной диафрагме оптической системы со стороны объекта.
Выходным отверстием объектива называется изображение, полученное
на апертурной диафрагме оптической системы со стороны изображения.
> Зрачок человеческого глаза с точки зрения технической оптики является
апертурной диафрагмой.
> Апертурная диафрагма оптической системы должна выбираться таким
образом, чтобы выходное отверстие объектива совпадало по размерам со
зрачком человеческого глаза. Ее положение должно совпадать с пози-
цией глазного зрачка.
> Для лиц, носящих очки, предусмотрены специальные окуляры (для мик-
роскопов, телескопов и т.д.), в которых выходное отверстие объектива
сдвинуто назад.
Также для оптических систем справедливы следующие условия:
▲ Все лучи, проходящие через входное отверстие объектива, должны прой-
ти и через выходное отверстие.
В эксперименте всегда имеется минимум одна диафрагма, а именно
оправа линзы. Диаметр линзы определяет, какая часть лучей, исходящих
от предмета, достигнет изображения.
▲ Размер диафрагмы определяет яркость изображения.
12.3. Системы линз
Диафрагма поля зрения определяет размер изображения.
Демонстрация действительного изображения обычно производится с по-
мощью экрана. Размер и обрамление экрана в данном случае определяют
размер изображения, а обрамление играет роль диафрагмы поля зрения.
12.3.2. Погрешности изображения
Искажение изображения или аберрация возникает при отклонении реально-
го хода лучей от идеального.
а) Апертурное искажение или сферическая аберрация возникает, если
луч попадает в систему линз параллельно оптической оси, но не достаточно
близко к ней. В дальнейшем эти лучи уже не собираются идеально в фокус
(рис. 12.34, а).
Следствие: одновременное применение приосевых лучей и лучей, уда-
ленных от оси, расширяет фокус из точки до некоторой области.
Коррекция: для собирающих линз коррекция производится комбиниро-
ванием с рассеивающими линзами и наоборот. Однако коррекция возможна
только для заданного расстояния до предмета.
б) Астигматизм проявляется при изображении неаксиальных точек объ-
екта, так как показатель преломления сферической поверхности в меридио-
нальной плоскости отличается от показателя преломления перпендикуляр-
ной ей сагиттальной плоскости (рис. 12.34, б).
Следствие: фокус превращается из точки в овал, изображение нечеткое.
Коррекция: изменение положения диафрагмы и комбинация линз раз-
личной формы из различных материалов.
Анастигмат — это оптическая система, в которой отсутствует явление ас-
тигматизма.
в) Кома или ассиметричное искажение появляется при изображении
точки, которая лежит сбоку от оптической оси, при этом падающий под уг-
лом к оптической оси пучок параллельных лучей ограничивается диафраг-
мой. Фокус превращается в овал с изменением контура в виде хвоста коме-
ты. Искажение сильно зависит от положения и формы диафрагмы.
Следствие: нечеткое изображение.
Коррекция: соответствующее позиционирование диафрагмы, использо-
вание дополнительных линз.
г) Искажение цвета или хроматическая аберрация возникает, если при-
меняемые для получения изображения цвета составляются из волн с различ-
ными частотами, а в системе линз наступает дисперсия, т.е. зависимость
преломления от частоты волн (рис. 12.34, г).
Следствие: каждый цветовой луч собирается в собственном фокусе.
Изображение нечеткое и имеет цветные контуры.
Коррекция: собирающие линзы комбинируются с рассеивающими лин-
зами из материала с другими дисперсионными свойствами (например, из
флинтгласа и кронгласа).
Использование различных сортов стекла и систем из нескольких линз
позволяет добиться идеальной коррекции.
матизм при прохождении наклонного пучка сквозь линзу; в —
хроматическая аберрация; г — искривление поля изображения
д) При искривлении поля изображения оно появляется не на плоскости,
перпендикулярной оптической оси, а на искривленной поверхности. Такое
искажение появляется при изображении протяженных объектов. Отклоне-
ние искривленной поверхности от плоскости, как правило, увеличивается с
увеличением расстояния от оптической оси (рис. 12.34, г).
Следствие: Изображение, получаемое на экране, становится все более
нечетким с увеличением расстояния от оптической оси.
Коррекция: изменение положения диафрагмы и комбинирование линз
различной формы и из различных материалов, а также изгиб проекционной
поверхности (например, пленки).
е) Дисторсия или аберрация формы возникает в том случае, когда поло-
жение диафрагмы выбирается неправильно.
Следствие: объект и изображение более не являются геометрически по-
добными.
Коррекция: выбор положения диафрагмы объектива в плоскости линзы,
прогиб линз.
ж) Рассеивание света появляется, если в материале линзы присутствуют
включения (неоднородности).
Следствие: изображение становится нечетким.
Коррекция: применение максимально чистых сортов стекла.
12.3. Системы линз
12.3.2.1. Линзы с градиентным профилем
показателя преломления
В линзах с градиентным профилем показателя преломления отклонение све-
тового луча непрерывно изменяется согласно зависимости показателя пре-
ломления.
Градиенты показателя преломления могут быть легко получены в газах
(при разнице температур и давлений в отдельных частях), а также в жидко-
стях (разница температур, различие в концентрациях). Световые лучи всегда
отклоняются в сторону более высокого показателя преломления.
Эффект перепада показателей преломления проявляется в дрожании
изображения, если смотреть на него сквозь восходящие потоки нагрето-
го воздуха.
Дрожание изображения также появляется при нагревании или смешива-
нии жидкостей.
При заходе солнце еще можно наблюдать, даже когда геометрически оно
скрыто за линией горизонта. Различная плотность слоев атмосферы иск-
ривляет ход лучей, а солнечный диск кажется деформированным.
Перепады давления и температуры в атмосфере ограничивают разреша-
ющую способность астрономических телескопов.
1. Стержневые линзы
Стержневые линзы имеют форму цилиндров, показатель преломления
которых уменьшается по параболической зависимости в радиальном на-
правлении от центра наружу (рис. 12.35).
Питч — это характеристика, которая указывает как объект, находящийся
около передней поверхности, будут отображен на задней поверхности:
Питч Изображение на задней поверхности
1 Прямое (соответствует двукратному отображению с помощью обычной линзы)
0,5 Зеркальное (соответствует однократному отображению)
0,25 Трансформация Фурье (отображение объекта в со)
Линзы производителей GRIN-ROD
или SELFOC применяются, прежде все-
го, в копировальных аппаратах, скане-
рах, факсах, а также в оптической техни-
ке для передачи информации.
> Задаваемая для стержневых линз
числовая апертура относится к цент-
ру входной поверхности и уменьша-
ется по направлению от центра на-
ружу.
Рис. 12.35. Стержневая линза с
питчем 0,5
Глава 12. Оптика
2. Линза Люнеберга, «рыбий глаз» Максвелла
Линза Люнеберга, «рыбий глаз» Максвелла — это линзы с градиентным
профилем показателя преломления, имеющие его особое распределение.
Эти линзы представляют теоретический интерес, так как они являются иде-
альными решениями для двух основных проблем оптики. Однако реализо-
вать присущую им зависимость показателя преломления (прежде всего для
трехмерного случая) достаточно сложно.
«Рыбий глаз» Максвелла, отображение точки в точке:
«(г) ----? п г таковы, что n(r) > 1.
1 +(r/r0)2
Линза Люнеберга используется для фокусировки параллельного пучка лу-
чей в точку:
п(г) = д/2 - (r/го)2 , таково, что /?(г) > 1.
12.4. Оптические инструменты
Оптическое стекло, некристаллическое и в значительной степени более од-
нородное производится из расплава неорганической смеси, в нем отсутству-
ют свили и пузырьки. Оптическое стекло характеризуется показателем пре-
ломления и формулой дисперсии. В диапазоне видимых волн различные
виды стекол обладают высоким коэффициентом пропускания.
Коэффициент Аббе \е определяется как
v е ~
nF> -пС'
Главный показатель преломления пе — это показатель преломления для
е-линии ртути (X = 546,07 нм, желто-зеленый).
Главная дисперсия nF> -пс — это разность показателей преломления
для кадмиевых линий F' (X = 480,0 нм, голубой) и (X = 643,8 нм, красный).
Кронглас — сорт стекла с ve > 55.
Флинтглас — сорт стекла с ve < 55.
> Коэффициент Аббе пх для длины волны X определяют, заменяя показа-
тель преломления пе показателем преломления и(Х) для спектральной
линии с длиной волны X.
> В инфракрасной и ультрафиолетовой области оптические стекла не об-
ладают достаточной светопроницаемостью. В этих спектральных облас-
тях в качестве оптических элементов используют синтетические моно-
кристаллы.
> В повседневных оптических приборах, к которым не предъявляются вы-
сокие требования по точности, для изготовления отображающих элемен-
тов используются пластики типа полистирола (соответствует флинтгла-
су) и полиметилметакрилата (соответствует кронгласу). Оптические
стекла из органических материалов дешевые, однако имеют высокий ко-
эффициент температурного расширения и низкую твердость.
12.4.1. «Дырочная» камера
«Дырочная» камера (камера-обскура), прообраз фотоаппарата (рис. 12.36),
состоит из:
• ящика с матовым стеклом в качестве задней стенки,
• маленького отверстия (диафрагмы) или собирающей линзы в передней
стороне ящика.
Лучи, падающие от предмета через
отверстие или линзу, создают на мато-
вом стекле перевернутое действитель-
ное изображение. Если лучи от различ-
ных точек предмета падают в одну и ту
же точку, то изображение становится
нечетким.
В такой камере маленькое отвер-
стие обеспечивает то, что только лучи
из небольшой области предмета попа-
дают в точку изображения.
Недостаток: чем меньше отверстие,
тем меньше освещенность изображения
Рис. 12.36. Принцип действия «ды-
рочной» камеры
12.4.2. Фотокамера
Фото- и видеокамера — это оптические инструменты для получения фото-
графии по принципу камеры-обскуры.
В камере для получения изображения используется собирающая линза.
Современные фото- и видеокамеры имеют также и другие линзы для кор-
рекции искажений изображения. В фотокамере изображение фиксируется
на светочувствительной пленке, в цифровой видеокамере или цифровом фо-
тоаппарате — регистрируется с помощью электронных световых сенсоров.
Адаптация камеры для различных расстояний до предмета производится с
помощью регулирования расстояния между пленкой и линзой.
Для изменения масштабов изображения посредством изменения фокус-
ного расстояния используются:
• дискретно: широкоугольный объектив, нормальный объектив, телеобъ-
ектив,
• непрерывно: объектив с переменным фокусным расстоянием.
Ирисовая диафрагма используется для регулирования общего количества
падающего света.
Относительное отверстие объектива — мера для количества падающего
света, согласно DIN определяется как соотношение диаметров входного от-
верстия объектива DEP к фокусному расстоянию камеры /.
Диафрагменное число к — более часто используемая на практике вели-
чина для характеристики количества падающего света, обратное значение
относительного отверстия объектива:
Глава 12. Оптика
„ , Фокусное расстояние Диафрагменное число = Диаметр входного отверстия объектива 1
Дер Символ Единица измерения Название
к ^ЕР 1 м м Диафрагменное число Фокусное расстояние Диаметр входного отверстия объектива
12.4.3. Человеческий глаз
Глаз — это орган чувств человека и животных, отвечающий за восприятие
света.
1. Глаз с хрусталиком
Глаз с хрусталиком — это самый мощный из имеющихся в природе ти-
пов глаза, встречается у позвоночных (включая людей) и головоногих (на-
пример, каракатиц). Основными частями такого глаза в основном являются:
• Склера — окружающая глаз стабильная кожистая оболочка.
• Роговица — прозрачная часть склеры, расположенная перед хрусталиком и
поэтому невидимая снаружи; эластичная, показатель преломления п « 1,38.
• Хрусталик — деформируемая двояковыпуклая линза, состоящая из не-
скольких слоев с различными показателями преломления.
• Цилиарная (ресничная) мышца — кольцевидная мышца, на которой за-
креплен хрусталик. Сокращение мышцы вызывает расслабление подве-
шивающего аппарата хрусталика, который при этом становится сфери-
ческим, а показатель преломления хрусталика увеличивается.
• Зрачок — округлая диафрагма перед хрусталиком. Диаметр отверстия
может варьироваться от 2 до 8 мм.
• Сетчатка или ретина — оболочка, состоящая из светочувствительных
клеток. Они преобразуют световой сигнал в колебания электрического
тока, которые по зрительному нерву передаются в мозг.
2. Свойства нормального глаза
Состояние покоя глаза: цилиарная мышца полностью расслаблена, хрус-
талик максимально вытянут, радиусы сферических поверхностей макси-
мальны, показатель преломления минимален. Лучи, приходящие от беско-
нечно удаленных точек, фокусируются на сетчатке.
Рис. 12.37. Строение человеческого глаза
12.4. Оптические
Расстояние наилучшего зрения ав — это минимальное расстояние, на
которое глаз может настраиваться на длительное время и без усталости. Это
расстояние является статистической величиной и для лиц с нормальным
зрением составляет ав = 25 см.
Аккомодация — изменение показателя преломления хрусталика посред-
ством сокращения цилиарной мышцы для получения изображения не очень
далеких предметов. Это вызывает сплющивание хрусталика вдоль оптиче-
ской оси и, следовательно, увеличение оптической силы, т.е. уменьшение
фокусного расстояния.
Адаптация — изменение условий зрения посредством изменения диамет-
ра зрачка.
> Основная часть преломления происходит на границе раздела между воз-
духом и роговицей. По этой причине при нахождении под водой глаз не
может видеть четко без использования вспомогательных средств, так как
это превышает аккомодационную способность хрусталика.
> В глазах на сетчатке возникает только действительное изображение. При
использовании лупы или зеркала мнимое промежуточное изображение
преобразуется в действительное изображение на сетчатке.
Угол зрения г — это угол, вершина которого расположена внутри глаза,
а стороны охватывают предмет.
Увеличение о оптического прибора — это отношение тангенса угла зре-
ния 8 предмета, рассматриваемого с помощью оптического инструмента к
тангенсу угла зрения 80 того же предмета, рассматриваемого невооруженным
глазом, при этом расстояние до глаза равно 25 см (расстояние наилучшего
зрения).
Увеличение оптического инструмента 1
tan 8 8 о « — tan 8о во Символ Единица измерения Название
и 8 ео 1 рад рад Увеличение Угол зрения с оптиче- ским инструментом Угол зрения без оптиче- ского инструмента
Замена тангенсов самими углами возможна только для малых углов 8 и е0.
3. Аметропия и ее коррекция для человеческого глаза
Наиболее часто встречающимися расстройствами зрения у людей явля-
ются:
• Близорукость, при этом оптическая сила глаза слишком велика. Изобра-
жение предметов, находящихся в бесконечности, нечеткое, так как оно
получается до сетчатки, а не на ней.
Коррекция: очки с рассеивающими линзами снижают общую оптиче-
скую силу системы.
Глава 12. Оптика
• Дальнозоркость, при этом оптическая сила глаза слишком мала, изобра-
жение предметов, находящихся вблизи, нечеткое. Фокус системы распо-
ложен за сетчаткой.
Коррекция: очки с собирающими линзами повышают общую оптиче-
скую силу системы.
• Старческая дальнозоркость, при этом из-за ослабления цилиарной мыш-
цы хрусталик не может быть достаточно сильно искривлен, чтобы полу-
чить четкое изображение близко расположенных предметов.
• Астигматизм, при этом оптическая сила глаза вдоль меридиональной
плоскости отличается от оптической силы вдоль сагиттальной плоскости.
Коррекция: очки с линзой, которая в различных направлениях имеет
различный радиус кривизны.
Расстояние наилучшего зрения ав — расстояние 25 см от глаз, при кото-
ром человек с нормальным зрением может четко видеть предметы, без уси-
лия аккомодации (расстояние для чтения), ав - 25 см.
Ближайшая точка ясного видения — минимальное расстояние, при ко-
тором глаз еще может получить четкое изображение. Для детей и молодых
людей оно составляет около 10 см и увеличивается к старости.
12.4.4. Глаз и оптические инструменты
Кажущаяся величина предмета зависит от угла зрения и, следовательно, от
расстояния до предмета. Максимальную видимую величину при одновре-
менно четком изображении предмет имеет около ближайшей точки ясного
видения. Дальнейшее увеличение возможно только с помощью оптических
инструментов типа лупы и микроскопа. Если расстояние до находящихся
вдали предметов нельзя существенно изменить, например, при наблюдении
планет, то используют телескопы и подзорные трубы.
12.4.4.1. Лупа
Рис. 12.38. Получение изображения с
помощью лупы
Лупой называется собирающая линза с
минимум трехкратным увеличением.
В очках для чтения используется
линза с менее чем трехкратным увели-
чением.
Лупа и очки для чтения дают мни-
мое, прямое и увеличенное изображе-
ние (рис. 12.38).
Нормальное увеличение лупы,
Г£, — определяется как увеличение
лупы в случае, когда предмет находит-
ся в фокусе лупы, а глаз аккомодиро-
ван (настроен) на рассматривание бес-
конечно удаленного предмета. Тогда:
12.4. Оптические инструменты
_ Расстояние наилуч шего зрения Нормальное увеличение лупы = । Фокусное расстояние
•р' а в Символ Единица измерения Название
а п " to ' 1 м м Нормальное увеличение лупы Расстояние наилучшего зрения Фокусное расстояние лупы
Расстояние наилучшего зрения ав = 25 см.
12.4.4.2. Микроскоп
1. Конструкция микроскопа
Микроскоп превосходит максимальное увеличение, которое технически
достижимо посредством лупы с помощью соответствующей комбинации
линз. В микроскопе получается мнимое, увеличенное, перевернутое изобра-
жение объекта (рис. 12.39).
Рис. 12.39. Ход лучей в микроскопе
Основными частями микроскопа являются:
• Объектив — система линз со стороны объекта типа собирающей линзы с
очень маленьким фокусным расстоянием. Дает увеличенное, переверну-
тое действительное промежуточное изображение.
• Окуляр — система линз со стороны глаза типа собирающей линзы. Дей-
ствует как лупа, с помощью которой рассматривается получаемое объек-
тивом промежуточное изображение.
• Оборудование для освещения или конденсор используется для освеще-
ния предмета в микроскопе широкими пучками света.
Окуляр чаще всего состоит из:
• Коллектива — линзы в положении реального промежуточного изображе-
ния, которое преломляется со стороны падающих лучей в окуляре. Из-
менение направления пучка лучей вызывает увеличение поля зрения без
изменения увеличения прибора.
Глава 12. Оптика
• Глазного окуляра (видоискателя) — собирающей линзы, в которой уве-
личивается изображение, получаемое от объекта на коллективе.
Оптическая длина / — это расстояние F\ F2 между соседними фокальны-
ми плоскостями объектива и окуляра.
2. Увеличение микроскопа
Общее увеличение микроскопа Гм равно:
Общее увеличение микроскопа 1
Гм - Гбь • Гбк - 1 ав fob f QY Символ Единица измерения Название
Гм Гоь Гок /оь /ок / ав 1 1 1 м м м м Общее увеличение микроскопа Увеличение объектива Увеличение окуляра Фокусное расстояние объектива Фокусное расстояние окуляра Оптическая длина Расстояние наилучшего зрения - = 0,25 м
Ближнее поле — пространство на расстоянии от эмитирующего объекти-
ва, которое меньше длины волны X.
В сканирующем микроскопе по методу затемненного ближнего поля на-
правление наблюдения перпендикулярно к направлению освещения объекта
и наблюдаются не прямые, а рассеянные микрочастицами лучи света. Экран
с отверстием, размеры которого меньше длины волны X, помещается над
изображаемым объектом на расстоянии меньше X. Через это отверстие пада-
ет свет. Если отверстие движется над всем объектом, а отраженный от объ-
екта свет собирается в обычном микроскопе, то можно получить подробное
изображение, детали которого по размерам меньше длины волны. С помо-
щью оптического микроскопа можно получить разрешение меньше 50 нм
(примерно Х/10), т.е. наблюдать форму и размеры отдельных молекул.
12.4.4.3. Телескоп
Телескоп или подзорная труба — это оптический инструмент, который ис-
пользуется для рассматривания удаленных предметов.
Основными частями телескопа в большинстве случаев являются:
• объектив — линза или система линз со стороны предмета,
• окуляр — линза или система линз со стороны глаза.
Характеристики телескопа:
• Поле зрения — поле предмета, изображение которого получается в теле-
скопе. Указывается в виде отрезка, находящегося на расстоянии 1000 м.
• Эффективный диаметр объектива определяется как диаметр входного от-
верстия объектива Z)EP. Эта величина показывает, сколько света может
попасть в телескоп и тем самым ограничивает яркость изображения.
12.4. Оптические инструменты
• Относительное отверстие объектива — это отношение диаметра объекти-
ва к его фокусному расстоянию.
• Светосила объектива — это соотношение диаметра объектива к увеличе-
нию телескопа.
• Увеличение телескопа vF. Если изображение рассматривается глазом без
усилия аккомодации, то:
Увеличение телескопа 1
,, ^оъ ^ЕР и р = = /' Д\Р J Ok Символ Единица измерения Название
г J Ob f J Ok ^EP A\P 1 м м м м Увеличение телескопа Фокусное расстояние объектива Фокусное расстояние окуляра Диаметр входной диафрагмы Диаметр выходной диафрагмы
Это соответствует отношению тангенсов угла раствора при наблюдении
предмета с телескопом и без него.
• Сумеречное число Z — это мера сумеречной мощности телескопа:
Z = 7 | Пуг| Dep •
Сумеречное число полевого бинокля 7 х 50 равно Z = • 50 = 18,7.
1. Астрономический телескоп
Астрономический телескоп, труба Кеплера, дает перевернутое зеркаль-
ное изображение (рис. 12.40). Его основными частями являются:
• Объектив — длиннофокусная собирающая линза со стороны предмета,
которая дает действительное уменьшенное перевернутое промежуточное
изображение удаленного предмета (планеты) в своей фокальной плоско-
сти F' .
оь
• Окуляр — короткофокусная собирающая линза со стороны глаза, перед-
няя фокальная плоскость которого FOk совпадает с задней фокальной
Рис. 12.40. Ход лучей в астрономическом телескопе или трубе Кеплера
Глава 12. Оптика
плоскостью объектива FOb. Изображение объектива является предметом
для окуляра, которое рассматривается в лупу.
Увеличение трубы Кеплера является отрицательным. Ее длина соответ-
ствует сумме фокусных расстояний объектива и окуляра:
L = /оь +| /ок I-
Труба Кеплера применяется для астрономических наблюдений.
2. Наземный телескоп
Наземный телескоп также применяется для астрономических наблюде-
ний. Находящаяся в нем между объективом и окуляром собирающая линза
(обращающая линза) зеркально переворачивает промежуточное зеркальное
изображение. Получаемое в конечном итоге изображение прямое и незерка-
льное (рис. 12.41).
Рис. 12.41. Ход лучей в наземном телескопе
> Обращение изображения может быть также произведено и с помощью
обращающей призмы (порро-призменная система в призменном поле-
вом бинокле).
В зеркальном астрономическом телескопе объектив заменен параболиче-
ским вогнутым зеркалом. Преимуществом по отношению к комбинации
линз является больший угол зрения и отсутствие хроматической аберрации.
В конструкции Кассегрена с помощью выпуклого улавливающего зеркала
Рис. 12.42. Зеркальный теле-
скоп Кассегрена: Ок — линза-
окуляр; Н — параболическое
вогнутое зеркало; F — выпук-
лое улавливающее зеркало
увеличивается фокусное расстояние основ-
ного зеркала. Возникающее за главным зер-
калом изображение рассматривается сквозь
отверстие, снабженное линзой-окуляром
(рис. 12.42).
Зеркало Шмидта — это телескоп-реф-
лектор со сферическим вогнутым зеркалом,
фокусное расстояние которого в два раза
меньше радиуса его кривизны. Он также со-
держит тонкую стеклянную пластинку для
коррекции погрешностей изображений, по-
лучаемых с помощью удаленных от оси лу-
чей. Корректирующая пластинка располо-
жена в центре кривизны вогнутого зеркала.
12.5. Волновая оптика
Изображение получается на сферической поверхности в середине между
корректирующей пластинкой и зеркалом. С помощью телескопа Шмидта
также можно получать изображения больших звездных полей без таких ис-
кажений, как кома и астигматизм.
3. Труба Галилея
Голландский телескоп, труба Гюйгенса, труба Галилея дает прямое не-
зеркальное изображение (рис. 12.43).
Его основными частями являются:
• Объектив — собирающая линза со стороны предмета.
• Окуляр — рассеивающая линза со стороны глаза, фокальная плоскость
которой FOk совпадает с задней фокальной плоскостью объектива FQb.
Здесь не образуется промежуточного изображения. Увеличение трубы
Галилея является положительным. Ее длина L соответствует разности фо-
кусных расстояний объектива и окуляра,
= /оь /°к I*
Небольшая длина конструкции является преимуществом трубы Галилея
и применяется во всех театральных биноклях.
Рис. 12.43. Ход лучей в трубе Галилея
12.5. Волновая оптика
Волновая оптика объясняет явления, связанные с дифракцией, интерферен-
цией и поляризацией, на основе представлений, что свет является попереч-
ной электромагнитной волной.
12.5.1. Рассеяние света
О диффузном рассеянии говорят, если свет падает на неровную поверхно-
сть, состоящую из плоских элементов, имеющих различную ориентацию в
пространстве. В этом случае преломление и отражение света происходит в
различных направлениях. Из пучка параллельных лучей при таком рассея-
нии получается диффузный пучок (рассеянный свет).
Глава 12. Оптика
Центр рассеяния — согласно волновой картине Гюйгенса — это отдельная
точка, из которой исходит сферическая волна, образующая рассеянный свет.
Рассеяние Релея — это рассеяние света на сферических частицах, радиус
которых очень мал по сравнению с длиной световой волны. Интенсивность
рассеянного излучения растет пропорционально четвертой степени частоты,
это означает, что доля излучения, которая рассеивается частицами, увеличи-
вается с уменьшением длины волны.
И Небо кажется голубым, так как внутри видимого диапазона голубой цвет
имеет самую короткую длину волны и поэтому рассеивается молекулами
и атомами воздуха сильнее всего.
Человеческое восприятие объекта зависит от того, как на нем рассеива-
ется или отражается свет. Для улучшения этого восприятия при обработке
графических данных используются различные подходы.
Метод radiosity (излучательности), техника моделирования световых по-
токов, целью которого является максимально быстрое построение и визуа-
лизация максимально реалистичных трехмерных изображений пространства.
Для этого поверхности пространства воспринимаются в диффузном, т.е.
рассеивающем свете, так как в этом случае их вид не зависит от их положе-
ния. Таким образом, не нужно пересчитывать и создавать абсолютно новое
изображение при изменении положения наблюдателя.
Ray-Tracing (трассировка лучей)— это альтернативный метод представ-
ления реалистичных изображений, в котором поверхности воспринимаются
как отражающие. Этот метод требует нового пересчета при изменении поло-
жения наблюдателя, т.е. много больших расчетных мощностей по сравне-
нию с методом radiosity.
12.5.2. Дифракция и разрешающая способность
Дифракция (см. 10.8.1) — это изменение направления распространения све-
та при огибании препятствий, когда свет проникает в область геометриче-
ской тени препятствия, а на экране вследствие интерференции возникает
дифракционная картина. Явление объясняется с помощью элементарных
волн Гюйгенса, которые исходят от каждой точки пространства, находяще-
гося на пути волны, и накладываются друг на друга.
1. Виды дифракции
Дифракцией Фраунгофера называется дифракционное явление, вызыва-
емое параллельными лучами света (рис. 12.44).
Дифракцией Френеля называется дифракционное явление, вызываемое
расходящимися лучами света.
Дифракция на узкой щели (рис. 12.45, 12.46):
. а ( nd sin а
sin2-------
Интенсивность: /а = /0--------^-4
( nd sin а
I J
X
Минимумы интенсивности: sinan = +п —, п = 1,2,3,....
d
12.5. Волновая оптика
Рис. 12.44. Дифракция Фраунгофера
Рис. 12.45. Дифракция на узкой
щели: X — длина волны; d — ширина
щели; а — угол дифракции
Рис. 12.46. Распределение ин-
тенсивности падающей волны
при дифракции на узкой щели
как функция х = лd sin(a)/X
( Ox
Максимумы интенсивности: sinап = ±\п + - —, п = 1,2,3,....
\ 2 ) d
Дифракция на решетке (рис. 12.47):
. ? ( лd sin а А • 7 ( Wig sin а
sin2-------sm2-----------
Интенсивность: 1а = /0---------—— ------------г-
(nd sinay sin?| ^sincO
I X J I X J
Максимумы интенсивности: sina„ = ±n — n = 1,2,3,....
g,
Рис. 12.47. Дифракция на решетке: X — длина волны,
d — ширина щели, a — угол дифракции, g — посто-
янная решетки, Iq — интенсивность при a = 0, q —
количество щелей решетки, 1а — интенсивность при
угле дифракции a
Глава 12. Оптика
2. Дифракция на кристаллической решетке
Дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решетке может
быть представлена как отражение на атомных плоскостях кристаллической
решетки.
Условие Вульфа-Брэгга: для возникновения дифракционных максиму-
мов необходимо, чтобы волны, отражаемые всеми параллельными атомны-
ми плоскостями, усиливали друг друга при интерференции. Это выполняет-
ся только при таких соотношениях между длиной X дифрагирующей волны
и углом 0 ее падения (угол брэгговского отражения, угол скольжения), кото-
рые удовлетворяют формуле:
Id sin 0 = к • к, к = 1, 2, 3...
d — расстояние между соседними атомными плоскостями, X — длина волны
рентгеновского излучения (рис. 12.48).
Разность хода лучей, отраженных двумя соседними плоскостями, состав-
ляет А = 2d sin 0.
Рис. 12.48. Условие брэгговского отражения для
дифракции на кристаллической решетке: d —
расстояние между соседними атомными плоско-
стями; А — разность хода соседних лучей; 0 —
угол падения относительно атомной плоскости
3. Влияние дифракции на оптическое изображение
Для каждого оптического изображения оправа линзы или диафрагма яв-
ляются препятствиями для электромагнитных волн. То есть изображение
точки, полученное с помощью телескопа, уже не будет точечным, как это
принимается в геометрической оптике, а возникнет дифракционное изобра-
жение. Оно состоит из максимума интенсивности (светлый диск, центру ко-
торого соответствует точечное изображение в геометрической оптике) и не-
скольких побочных максимумов (см. рис. 12.46). При отображении двух рас-
положенных близко друг к другу точек их дифракционные картины накла-
дываются. Если исходные точки объекта лежат слишком близко друг к
другу, то максимумы дифракционной картины больше не воспринимаются
как отдельные.
Дифракционным пятном называется размытое изображение точки, полу-
чающееся в результате дифракции.
4. Разрешающая способность
Разрешающей способностью оптического прибора называют минималь-
ное расстояние между двумя точками объекта, изображения которых еще
могут быть получены как отдельные.
Не существует какого-либо объективного критерия того, что дифракци-
онные пятна воспринимаются как отдельные. Часто для этого используется
критерий Релея.
Критерий Релея: изображение двух близких самосветящихся точек еще
можно считать раздельными, если центр дифракционного пятна, соответст-
вующего одной точке, совпадает с первым дифракционным минимумом
12.5. Волновая оптика
второй точки. Для углового расстояния 6 между двумя несовпадающими то-
чечными источниками, действительна формула:
Критерий Релея 1
sin 5 > 1,22 - b Символ Единица измерения Название
6 ь рад м м Угловое расстояние Длина волны Диаметр входной диафрагмы
Для малых углов б синус угла можно заменить величиной угла, выражен-
ной в радианах.
Разрешающая способность призмы спектрального прибора равна произве-
дению длины основания b и дисперсии |d«(Z)/dZ|,
_Z_ -ь |d^X)|
AZ * dZ
Призма из флинтгласа (|d«/dZ| = 1500 мм-1) с длиной основания b = 1 см
может различить натриевые линии ZD1 = 589,6 нм и ZD2 = 589,0 нм. Приз-
ма из кронгласа с той же длиной основания (| d/i/dZ| « 55 мм-1) не облада-
ет требуемой разрешающей способностью.
Разрешающая способность спектрального прибора с дифракционной ре-
шеткой равна произведению порядка максимума к и количества N штрихов
решетки:
Спектральный прибор с дифракционной решеткой, имеющей N - 105
штрихов, может при дифракции первого порядка различить волны, раз-
ница длин которых составляет лишь AZ = 10"5Z.
Разрешающая способность микроскопа характеризуется величиной xmin
наименьшего расстояния между двумя точками предмета, видимыми на
изображении раздельно,
Z
Xmin = — , Л = И • SHI ОС.
А
Здесь п — абсолютный показатель преломления среды, находящейся
между предметом и объективом, а — угол, равный половине угла открытия
светового конуса, вершина которого совпадает с точкой объекта и который
улавливается объективом. Величина А также обозначается как числовая
апертура объектива.
12.5.3. Преломление
Преломление — изменение направления распространения волны на границе
двух сред, в которых скорости распространения волны различны. При пере-
ходе в другую среду частота волны остается неизменной, меняется только
длина волны.
Глава 12. Оптика
Это явление можно наглядно представить и объяснить с помощью вто-
ричных волн Гюйгенса (рис. 12.49). Если фронт волны падает под углом, от-
личным от 90° на границу раздела двух сред, имеющих разные показатели
преломления, то каждая точка границы раздела станет исходной точкой для
Рис. 12.49. Преломление волны на гра-
нице раздела двух сред
вторичной волны Гюйгенса (сфери-
ческой). Каждая вторичная волна
проникнет в обе среды, т.е. до и по-
сле границы раздела (отраженная
часть волны не показана). Так как
волновой фронт достигает границы
раздела в разные моменты времени,
то элементарные волны также возни-
кают в разное время. На рисунке для
некоторого момента времени пред-
ставлены максимумы отдельных вто-
ричных волн, а также получающийся
при их наложении плоский волновой
фронт (см. 10.1, п. 2).
12.5.4. Интерференция
Для возникновения интерференции двух электромагнитных волн необходи-
мо, чтобы налагаемые волны были когерентными (см. 10.3.1), т.е. они дол-
жны исходить из одной и той же области источника света. Когерентные све-
товые лучи могут быть получены разделением исходного светового пучка с
помощью зеркал или частично прозрачных пластин (светоделители).
Если накладываемые волны некогерентны во времени и в пространстве,
то интерференция наблюдаться не будет, так как в фиксированной точке
пространства будут постоянно сменяться гашение и усиление налагаемых
волн.
> Лазер отличается высокой когерентностью испускаемого им света.
В термических источниках света отдельные элементы поверхности испу-
скают волновые цуги без определенных фазовых отношений. Разность фаз
изменяется случайным образом, поэтому интерференционную картину от
таких источников света можно наблюдать только тогда, когда налагаемые
волновые цуги приходят от одного и того же элемента площади. Это дости-
гается использованием диафрагм в виде отверстия или узкой щели.
1. Условие когерентности
Интерференция наступает в том случае, если для утла а, под которым
виден элемент площади источника света, имеющий линейный размер b
(рис. 12.50), выполняется условие:
X
п sm а « —,
2Ь
где X — длина волны излучения, п — показатель преломления среды.
12.5. Волновая оптика
Рис. 12.50. Когерентные волны: Q — источник света; S, — зеркала; а —
в точке Р когерентность отсутствует; б — временная когерент-
ность в точке Р выполнена
Длиной когерентности I немонохроматической волны называют сред-
нюю длину волны отдельного волнового цуга.
Временем когерентности т немонохроматической волны называют вре-
мя, которое требуется волне для прохождения расстояния, равного длине
когерентности:
I = С’Т.
Временная когерентность обеспечивается, если полуширина Д/'спектраль-
ной линии с частотой f удовлетворяет условию:
1 7 с
т « —, / ~ —.
¥ ¥
Длина когерентности спектральной лампы составляет порядка / = 1 -10-1 м
при ширине диапазона частот Д/* = 1 ГГц. Длина когерентности гелий-
неонового лазера достигает значений / = 150 м и Д/= 2 МГц.
2. Интерференция в тонких пленках
Интерференция в тонкой пленке будет наблюдаться, если:
• световой луч падает на пленку, показатель преломления которой отлича-
ется от показателя преломления исходной среды,
• часть падающего света отражается от границы раздела между пленкой и
окружающей средой, в то время как другая часть света проникает в пленку.
При каждом падении луча на обе границы раздела между пленкой и
окружающей средой луч делится на две части, из которых одна отражается,
а другая проходит через поверхность раз-
дела (рис. 12.51).
• Луч 1, падающий на границу раздела в
точке А, частично отражается — луч Г.
• Другая часть луча в точке А проникает в
пленку и частично отражается в точке В.
Этот отраженный луч в точке С снова
проходит через границу раздела и поки-
дает пленку (луч Г). Этот луч будет ко-
герентным с лучом Г.
Рис. 12.51. Интерференция на
тонкой плоскопараллельной пла-
стинке толщиной d
Глава 12. Оптика
Остальные лучи на изображении соответствуют многократному отраже-
нию внутри пластинки, а также световым лучам, проходящим сквозь плас-
тину на ее обратную сторону.
3. Разность хода при интерференции в тонких пленках
Пусть свет с длиной волны X падает на плоскопараллельную пластинку с
толщиной d. показателем преломления л, отличающимся от показателя пре-
ломления окружающей среды (окружающей среда—воздух, п ~ 1). Тогда в
точке С разность хода Д лучей Г и 2, обусловленная разницей показателей
преломления слоя и окружающей среды, будет равна
Разность хода при интерференции в тонких пленках L
Д = - sin2 s - — 2 Символ Единица измерения Название
д d п £ X м м 1 рад м Разность хода Толщина пластинки Показатель преломления пластинки Угол падения Длина волны
Член —Х/2 обусловлен отражением от более плотной оптической среды,
находящейся под тонкой пленкой. Если интерферируют лучи 1 и 2, то в за-
висимости от разности хода Д интерференция будет давать максимумы ин-
тенсивности, т.е. являться конструктивной (светлые полосы) или минимумы
интенсивности света, т.е. деструктивной (темные полосы).
4. Условие максимумов интерференции
Для максимумов интенсивности (конструктивной интерференции) дол-
жно выполняться условие:
Условие максимумов интенсивности
Idlin'1 - sin2 в = | т + - । X 1 2J т = 0,1,2, ... Символ Единица измерения Название
d п £ X м 1 рад м Толщина пластинки Показатель преломления пластинки Угол падения Длина волны
При нормальном падении луча (sin с = 0) максимум интерференции (вза-
имное усиление интенсивностей волн) будет наблюдаться при
2nd
т + -
2
12.5. Волновая оптика
5. Условие минимумов интерференции
Для минимумов интенсивности (деструктивной интерференции) должно
выполняться условие:
Условие минимумов интенсивности
2d^n2 - sin2 s = (m + 1)Х т = 0,1,2,... Символ Единица измерения Название
d п £ X м 1 рад м Толщина пластинки Показатель преломления пластинки Угол падения Длина волны
При нормальном падении луча минимум интерференции (взаимное
ослабление интерферирующих волн) будет наблюдаться при
. 2nd
к —-----.
т + 1
Наблюдаемые на плоскопараллельных пластинах интерференционные
полосы соответствуют определенным фиксированным углам падения луча
(полосы равного наклона).
Масляная пленка на поверхности воды кажется цветной. Из-за интерфе-
ренции в тонком слое масла (или нефтепродуктов) вследствие различной
толщины слоя каждый раз максимально усиливаются волны определен-
ной длины (цвета), в то время как волны другой длины при интерферен-
ции дают минимумы.
6. Просветляющие покрытия
На интерференции в тонких пленках основывается метод уменьшения
отражения от поверхности оптической системы. На поверхность материала с
показателем преломления пх наносят слой вещества с показателем прелом-
ления п2 < п{. Показатель преломления слоя п2 и его толщина подбираются
таким образом, чтобы при выбранной длине волны X отраженные волны га-
сили друг друга.
Взаимное гашение волн не ограничивается определенной длиной волны,
а происходит в пределах некоторого диапазона, т.е. например, внутри види-
мого диапазона можно «перекрыть» диапазон волн зеленого цвета. Тонкие
слои используются для оптического просветления линз, которые имеют сла-
бые пурпурные блики, так как красный и фиолетовый цвета не могут быть
погашены полностью.
Полосы Физо — интерференционные полосы, возникающие на равном
расстоянии в двух наклоненных друг к другу плоских поверхностях, между
которыми находится воздушный клин. Наблюдаемые полосы параллельны
ребру клина и возникают в местах, где толщина клина одинакова (интерфе-
ренционные полосы равной толщины, рис. 12.52).
15—3814
Глава 12. Оптика
Рис. 12.52. Интерференция в слое
клиновидной формы: L — линза,
5 — экран
7. Кольца Ньютона
Система полос Физо в виде концент-
рических светлых и темных колец, кото-
рые возникают при интерференции света
в воздушном зазоре между плоским чер-
ным зеркалом и плотно прижатой к нему
плосковыпуклой линзой радиуса R, назы-
ваются кольцами Ньютона. Центры колец
совпадают с точкой соприкосновения
линзы и зеркала.
Радиусы темных колец:
rmin = jRkk, k = 1,2,3,....
Радиусы светлых колец:
Гтах = J^fk + fc = 0,1,2,3, ••••
Рис. 12.53. Принцип действия ин-
терферометра Майкельсона. Q —
источник света, Р2 — пластин-
ки, S2 — зеркала, d — сдвиг
зеркала /ц
8. Интерферометрия
Подобласть прецизионной измерительной техники, в которой для опре-
деления физических величин используется явление интерференции волн.
Интерферометр Майкельсона — оптический прибор, который может рас-
сматриваться как основа конструкций прочих интерферометров (рис. 12.53).
Свет из источника Q с помощью полупрозрачной пластины Рх делится на от-
раженный луч 2 и проходящий сквозь пластину луч 1, которые отражаются на
двух плоских зеркалах и S2. Отраженные лучи после дальнейшего деления
пластинкой Р{ накладываются друг на друга в зрительной трубе F. (Чтобы
сделать ход лучей симметричным, т.е. чтобы лучи проходили материал с от-
личным от среды показателем преломления одинаковое количество раз, на
пути луча 2 устанавливается дополнительная пластинка Р2.) При соблюдении
условий временной и пространственной когерентности будут наблюдаться
интерференционные полосы равного наклона (концентрические круги). Если
зеркало поворачивается, то наблюдаются
интерференционные полосы равной тол-
щины (полосы Физо).
Если луч проходит обратно по геомет-
рическому пути Sj или 52, то соседним
максимумам интерференции соответству-
ет разность хода
n(s2 - 51) = fc • X,
если показатель преломления в обеих час-
тях пути равен п. Если зеркало сдвига-
ется на расстояние, равное половине дли-
ны волны, d = Х/2, то через поле наблю-
дения проходит точно одна интерферен-
ционная полоса. По этой причине с
помощью интерферометра Майкельсона
возможно очень точно измерять измене-
ние линейных расстояний.
12.5. Волновая оптика
12.5.5. Дифракционные оптические элементы
Принцип действия дифракционных оптических элементов (ДОЭ) основан
на дифракции световой волны в структурах с характерными размерами,
сравнимыми с длиной волны излучения. При этом необходимо описание
принципа их действия с точки зрения волновой оптики, в отличие от реф-
рактивных оптических элементов, которые могут быть описаны с помощью
преломления световых лучей.
Дифракционные решетки, голограммы, линзы Френеля являются приме-
рами дифракционных оптических элементов.
> «Классические» оптические элементы являются либо «рефрактивными»
(линзы, призмы), либо «рефлективными» (зеркала).
> Более точное рассмотрение рефрактивных элементов показывает, что в
них также присутствуют дифракционные эффекты. Например, край лин-
зы действует как ограничивающая диафрагма, на которой наступает
дифракция. Такие дифракционные эффекты ограничивают разрешаю-
щую способность оптических инструментов.
Дифракционные эффекты являются доминирующими, если типичные
размеры структуры элемента имеют тот же порядок, что и длина используе-
мой волны.
Поэтому размеры структур ДОЭ составляют несколько микрометров
(10’6 м). Производство ДОЭ, которые являются более сложными, чем про-
стые дифракционные решетки, было освоено только в середине 20 века.
12.5.5.1. Дифракционные решетки
Дифракционные решетки расщепляют световой луч в спектр (дифракцион-
ный спектрограф) или отклоняют монохроматический луч в одном или не-
скольких направлениях (см. 10.8.2).
Любой компакт-диск представляет собой отражающую дифракционную
решетку.
12.5.5.2. Зонная пластинка Френеля
Зонная пластинка Френеля состоит из концентрических прозрачных и не-
прозрачных колец, ширина которых уменьшается к внешнему краю. На ко-
герентный свет эта пластинка оказывает фокусирующее действие (рис.
12.54).
Радиус прозрачных колец выбирается таким образом, чтобы оптическая
длина пути света, испускаемого соседними зонами, до фокуса отличалась
точно на длину волны, и световые волны интерферировали бы в фокусе
конструктивно.
Средний радиус г{ первого прозрачного кольца:
/1 = л/</+^)2 -/2 * да дая х«/.
Глава 12. Оптика
Рис. 12.54. Зонная пластинка Френеля
Радиус /i-го прозрачного кольца:
гп * у[2п)/.
Такой элемент хоть и действует как фокусирующий, но имеет низкую
световую эффективность (50% потерь на темных полосах, а также потери на
дифракцию высшего порядка). Однако он играет большую роль для тех диа-
пазонов длин волн, для которых не имеется преломляющих материалов, из
которых можно было бы сделать нормальную линзу (рентгеновский микро-
скоп для микрорадиографических исследований).
12,5.5.3. Зонная линза Френеля
Зонная линза Френеля также является элементом фокусирующего действия.
Форма поверхности соответствует линзе, из которой удалили лишнее стекло.
Зонная линза Френеля не является чисто дифракционным элементом,
напротив, она представляет собой переходное звено между рефрактивным и
дифракционным элементом (рис. 12.55, 12.56).
Киноформ — это оптический элемент, который нарушает принцип рав-
ной длины оптического пути всех лучей при получении оптического изобра-
жения.
Поэтому в некогерентном свете качество изображения плохое. Однако
зонные линзы Френеля используются там, где важно иметь тонкий и легкий
элемент.
Сначала киноформы использовались как коллиматоры для сигнальных
огней, маяков и т.д. Для подвижных линз диаметром до 1 м экономия за
счет уменьшения веса особенно важна.
Сегодня чаще всего применяются в качестве коллиматоров для проекто-
ров, а также «рыбьих глаз» для задних автомобильных стекол.
Рис. 12.55. Переход от нормальной линзы к зонной линзе Френеля
12.5. Волновая оптика
Для когерентного света ступени линзы выбираются таким образом, что-
бы длина оптического пути между соседними зонами отличалась точно на
длину волны, т.е. части волны интерферировали бы конструктивно. Благо-
даря этому дополнительному условию из области волновой оптики зонная
линза Френеля становится дифракционным элементом (рис. 12.57); харак-
терные высоты линзы Френеля лежат в микрометровом диапазоне. В этом
случае можно добиться такого же качества изображения, что и с нормаль-
ной линзой.
> При некогерентном освещении разрешающая способность зонной линзы
Френеля определяется диаметром самой внутренней зоны, при когерент-
ном освещении — полным диаметром.
Рис. 12.57. Зонная линза Фре-
неля, в которой длина опти-
ческого пути между соседни-
ми ступенями отличается на
целое число длин волны: h —
высота структуры
Рис. 12.56. Зонная линза Френеля строго говоря
не является дифракционным элементом, так как
ее принцип действия основан на преломлении
световых лучей
12.5.5.4. Голограмма
Голограмма — оптический элемент, в котором сохраняется не только рас-
пределение интенсивности (как при фотографировании), но и относитель-
ное распределение фаз.
▲ Фотографический метод записи изображения (пленка, зрительные трубы,
фотоэлементы) регистрируют только интенсивность, т.е. значение комп-
лексной амплитуды; содержащаяся в волновом поле фазовая информа-
ция теряется. При использовании когерентного света фазовая информа-
ция также может быть сохранена. Для этого свет, отраженный или исхо-
дящий от предмета, должен интерферировать с опорной волной. Полу-
чаемая интерференционная картина записывается, и по ней исходная
волна может быть реконструирована почти в исходном виде (рис. 12.58).
Пусть о (х, у) = | о(х, у) | — комплексная амплитуда светового пучка,
исходящего от предмета, а г(х,у) — комплексная амплитуда опорной волны в
плоскости голограммы (х,у). Тогда без учета опорной волны можно записать:
Глава 12. Оптика
Рис. 12.58. Запись (слева) и наблюдение (справа) голограммы: 5 — полупро-
зрачное зеркало; Н — голограмма; В — наблюдатель
оо* = | о | | о | = |о|2,
а с опорной волной:
(о + г)(о + г)* = оо* + гг* + or* + го* =|о|2 + |г |2 + or* + го*.
Если этот результат вновь сложить с опорной волной г, то получится:
I о + г|2 • г =| о |2 г +1 г |2 г + о | г |2 + О*Г2 .
При использовании в качестве опорной волны г плоской волны,
| r\2 - const., получается исходящий от объекта волновой фронт о. Наблюда-
тель видит мнимое изображение объекта, при изменении своего положения
он воспринимает его с различных углов зрения.
• Из реконструированной волны о может быть получено нормальное изоб-
ражение.
• Если голограмму разбить на части, то можно из каждого кусочка голог-
раммы получить изображение всего объекта, пусть и с разных углов зре-
ния.
• Для записи голограммы требуется особо мелкозернистая пленка (вели-
чина зерна порядка длины волны, например, бихромат желатина), а так-
же лазер с достаточной мощностью и длиной когерентности.
> Такое простое описание действительно только для пропускающей голог-
раммы и когерентного освещения при реконструкции. Однако могут
быть изготовлены и отражательные голограммы, а условие когерентного
освещения при реконструкции может быть не очень строгим.
Радужная голограмма на кредитных картах является отражательной. Из-
менение угла зрения воспринимается только при горизонтальном движе-
нии головы. Другое направление движения (вверх — вниз) необходимо,
чтобы разложить свет на спектральные составляющие. Их видно тем
лучше, чем больше длина когерентности используемого источника света
(чем он меньше и чем дальше расположен). Хорошо подходят, напри-
мер, низковольтные галогенные лампы. Однако эта отражательная голог-
рамма записывается не фотографически, а генерируется компьютером.
12.5. Волновая оптика
12.5.5.5. Компьютерная голограмма
С помощью компьютера рассчитывается структура голограммы, необходи-
мая для получения определенного изображения, и затем производится мето-
дами микроструктурной техники (литографии). Сегодня с помощью лито-
графических методов можно получить структуры размером в области длин
световой волны.
Голограмма используется для защиты от подделок кредитных карт, банк-
нот, печатей, а также для формирования луча при лазерной обработке
материалов.
Основой для расчета компьютерных голограмм является расчет распро-
странения световой волны с помощью преобразования Фурье.
Также используется дифракция Фраунгофера (дифракция в параллель-
ных лучах), приблизительный расчет дифракционной картины в дальнем
поле (расстояние от дифракционного элемента до дифракционной картины
много больше длины световой волны). Принцип Гюйгенса (см. 10.1, п. 8):
каждая точка волнового фронта может рассматриваться как исходная точка
вторичной сферической волны. Распространение волнового поля описыва-
ется наложением этих сферических волн. Геометрия дифракционной проб-
лемы представлена на рис. 12.59.
Рис. 12.59. Геометрия дифракционной проблемы
Пусть дифракционный объект лежит в плоскости Z\ = 0 и освещается слева
плоской волной и(хъухУ например, расширенным лазерным лучом. Светопро-
ницаемость элемента описывается функцией О(хх,ухУ для щели О(хх,ух) = 1
в месте прозрачного участка и О(х1,у1) = 0 в непрозрачных участках.
Комплексная амплитуда в плоскости дифракционного изображения:
«(х2, У2) = j cbq f ) - ехр[/к • rjdyi.
Приближение для параксиальной области: (х2 -Xi)2 + (У2 ~ У1)2 «
ведет к приближению Фраунгофера. Отсюда получается:
и(х2,У2) ~ f dxj JO(xi,yi)exp
-2 га
А.^2
(х2*1 + У2У1)
Ф1-
Это и есть двумерное комплексное преобразование Фурье.
Глава 12. Оптика
Дифракционное изображение — это квадрат величины | w|2 = ww*, поэтому:
▲ В области применимости приближения Фраунгофера дифракционное
изображение, за исключением постоянных множителей перед экспонен-
той, равно квадрату величины комплексного преобразования Фурье
дифракционного элемента.
Это высказывание имеет большое значение, так как:
• Преобразование Фурье обратимо. С помощью обратного преобразования
из желаемого дифракционного изображения может быть рассчитан необ-
ходимый дифракционный элемент.
• Математическое описание с помощью преобразования Фурье разрешает
применение соответствующих теорем, в частности теоремы свертки.
• Для реализации преобразования Фурье в компьютере имеются очень эф-
фективные алгоритмы (быстрое преобразование Фурье, БПФ).
> В действительности построение голограмм встречает дополнительные
трудности, так как по техническим причинам в основном должны про-
изводиться или чисто амплитудные голограммы (фазовая часть OOcj,}^)
постоянна) или фазовые голограммы (величина |О(х1,у1)| постоянна),
разрешение которых, кроме того, ограничено. Из этого вытекают допол-
нительные краевые условия. Для этого фаза в плоскости дифракционно-
го изображения выбирается произвольно. Чтобы учесть это условие, ис-
пользуются итерационные алгоритмы (например, алгоритм Герхберга-
Сакстона).
> Принцип Гюйгенса эквивалентен выбору сферической волны как функ-
ции Грина для решения уравнения Гельмгольца. Этот способ по истори-
ческим причинам еще представлен во многих учебниках (интегралы
Френеля-Кирхгоффа и Релея-Зоммерфельда). Разложение на плоские
волны напротив делает возможным намного более простой математиче-
ский расчет и предотвращает ненужные приближения. Поэтому такое
математическое выражение приобретает растущее значение в современ-
ной оптике (оптика Фурье).
12.5.6. Дисперсия
Дисперсией (см. Ю.7) называют зависимость фазовой скорости от длины
волны (или от частоты волны). Среды, в которых происходит дисперсия,
называются диспергирующими.
Так как показатель преломления определяется отношением скорости
распространения волны в вакууме к скорости распространения волны в сре-
де, то зависимость показателя преломления от длины волны обратно про-
порциональна зависимости скорости распространения волны от ее длины
(см. 10.1, п. 2).
• Нормальная дисперсия:
^<0.
dX
Показатель преломления среды с увеличением длины волны X уменьша-
ется. Угол преломления с уменьшением длины волны увеличивается (приз-
менный спектральный прибор).
12.5. Волновая оптика
• Аномальная дисперсия:
dn
dX
0.
Показатель преломления среды с увеличением длины волны X увеличи-
вается. Угол преломления с увеличением длины волны увеличивается.
• Отсутствие дисперсии:
Пример: электромагнитные волны в вакууме.
> За некоторыми исключениями все
встречающиеся в природе среды де-
монстрируют нормальную диспер-
сию или отсутствие дисперсии во-
обще. На рис. 12.60 представлены
графики дисперсии некоторых оп-
тических материалов.
Видимый белый свет является нало-
жением электромагнитных волн с раз-
личными длинами волн, которые по
отдельности воспринимаются наблюда-
телем как различные цвета.
Цвета спектра — это цвета, содер-
жащиеся в свете белого цвета. Их по-
следовательность соответствует умень-
шению длины волны: красный, оран-
жевый, желтый, зеленый, голубой, си-
ний, фиолетовый.
Спектром называется совокупность
цветов спектра, расположенных в соот-
ветствии с длиной волны.
Разложение в спектр — это разло-
жение излучения на компоненты, от-
носящиеся к волнам различной длины.
Рис. 12.60. Дисперсия некоторых
оптических материалов: а — флинт-
глас; б — кварц; в — плавиковый
шпат; г — NaCl; д — КВг
[mi Призмы часто используются для пространственного разделения компо-
нентов белого света. Преломление компонентов, относящихся к волнам
различной длины, из-за отличной от нуля дисперсии dz?(X)/dX на гранях
призмы происходит под различным углом. Для разрешающей способно-
сти спектрального прибора с призмой, длина основания которой равна
Ь, действительно выражение:
X k dz?(X)
— = b ----- .
АХ dX
Ахроматическая призма — это призма, в которой в первом приближении
происходит только преломление, но нет дисперсии. Падающий свет прелом-
ляется, но не разлагается в спектр. Она состоит из двух покрытых замазкой
призм из флинтгласа и кронгласа.
Глава 12. Оптика
Дисперсию невозможно скомпенсировать одновременно для всех цветов,
не потеряв оптическую силу системы.
Ахроматом называется система из собирающих и рассеивающих линз, в
которой устранена хроматическая аберрация для двух длин волн.
Апохроматом называется система, состоящая из трех линз, изготовлен-
ных из специально подобранных сортов стекла, в которой хроматическая
аберрация устранена для трех длин волн.
Т2.5.7. Спектральные приборы
Спектральный анализ — это анализ спектров испускания и поглощения для
определения качественного и количественного состава вещества.
Спектральные приборы — это оптические приборы для разложения в
спектр полихроматического электромагнитного излучения:
• Спектроскоп используется для визуального наблюдения спектра.
• Спектрометр применяется для определения дайны волны спектральной
линии посредством сравнения с подходящей шкалой длин волн.
• Спектрограф служит для полной регистрации спектра на фотопластинке
и сравнения с эталонным спектром.
• Монохроматор позволяет выделить узкий диапазон длин волн из широ-
кой области спектра для получения почти монохроматического излуче-
ния.
• Спектрофотометр — это комбинация спектрального прибора и фотометра
(используется для определения спектральных характеристик материала).
В качестве оптических элементов, дающих изображение на входной
щели, используются вогнутые зеркала и линзы.
К спектральным приборам предъявляются следующие требования:
• Высокая светосила. Этот параметр определяет яркость спектра и важен
для источников низкой интенсивности.
• Высокая разрешающая способность, которая определяет минимальную
разницу длин волн между соседними спектральными линиями, которые
могут быть представлены с помощью этого прибора в виде отдельных
линий.
• Широкая область дисперсии, которая определяет ширину диапазона
длин волн, которые могут быть охвачены при однократном наблюдении.
Призменный спектральный прибор производит разложение в спектр по-
лихроматического излучения с помощью призмы вследствие зависимости
показателя преломления от длины волны.
Оптическая решетка — регулярное расположение дифракционных эле-
ментов (штрихов решетки). Характеризуется расстоянием между штрихами
(постоянная решетки) и их профилем (решетка-эшелле).
Светопропускающая решетка состоит из параллельных непрозрачных ца-
рапин на стеклянной пластине.
Светоотражающая решетка состоит из параллельных канавок, которые
процарапаны на поверхности стеклянной пластины. С помощью выбора
12.5. Волновая оптика
подходящей формы канавок дифрагирующий свет можно в значительной
степени концентрировать в дифракционной картине одного порядка.
Дифракционный спектральный аппарат производит разложение в спектр
полихроматического излучения с помощью решетки вследствие зависимости
положения максимумов интенсивности от длины волны.
> Призменные спектральные приборы, как правило, имеют более широ-
кую область дисперсии и меньшую разрешающую способность, чем
дифракционные. Дифракционные спектральные аппараты со светоотра-
жающей решеткой имеют более высокую светосилу, чем аппараты со
светопропускающей решеткой.
12.5.8. Поляризация света
1. Виды поляризации
Так как электромагнитные волны являются поперечными, поляризация
световых волн может иметь обычные, известные из волновой теории, фор-
мы поляризации (см. 10.2):
• Линейно-поляризованный свет — электромагнитная волна, вектор на-
пряженности электрического поля Ё и вектор распространения которой
образуют неподвижную в пространстве плоскость поляризации колеба-
ний.
• Свет с круговой поляризацией — электромагнитная волна, вектор напря-
женности электрического поля Ё которой описывает винтовую линию во-
круг вектора распространения. В проекционной плоскости, расположен-
ной перпендикулярно вектору распространения, вектор Ё описывает
окружность. В зависимости от направления вращения вектора Ё различа-
ют левую круговую поляризацию (вращение против часовой стрелки) и
правую круговую поляризацию (вращение по часовой стрелке).
• Эллиптически поляризованный свет — электромагнитная волна, вектор
напряженности электрического поля Ё которой описывает винтовую ли-
нию вокруг вектора распространения. В проекционной плоскости, рас-
положенной перпендикулярно вектору распространения, вектор Ё опи-
сывает эллипс. В зависимости от направления вращения вектора Ё раз-
личают левую эллиптическую поляризацию (вращение против часовой
стрелки) и правую эллиптическую поляризацию (вращение по часовой
стрелке).
2. Причины поляризации
У естественного солнечного света вектор напряженности электрического
поля Ё колеблется в направлении, перпендикулярном направлению распро-
странения, при этом нет какого-либо предпочтительного направления. Все
возможные направления колебаний имеют одинаковую вероятность. Естест-
венный свет является неполяризованным. Свет является частично поляри-
зованным, если одно из направлений колебаний преобладает над другими
направлениями. Если в луче имеется только одно фиксированное в про-
странстве направление колебаний, то свет является полностью линейно по-
Глава 12. Оптика
ляризованным. Это направление колебаний называют направлением поля-
ризации. Линейно поляризованный свет может быть разложен на две ком-
поненты равной частоты и с одинаковым направлением распространения,
которые колеблются перпендикулярно друг другу с одинаковой частотой и
фазой. Изменение соотношений фаз и амплитуд между этими компонента-
ми ведет к тому, что поляризация света становится правой или левой круго-
вой (компоненты одинаковой амплитуды с разностью фаз л/2), или правой
или левой эллиптической (разность фаз (2п + 1) • ъ/%п = 1,2,3,... и различные
амплитуды).
▲ Две световых волны, поляризованных перпендикулярно друг другу, не
могут при интерференции давать нулевую интенсивность.
3. Поляризатор
Поляризаторами называют приборы, которые получают поляризованный
свет из естественного света. Эти приборы свободно пропускают компоненту
колебаний, параллельную так называемой плоскости поляризатора, и пол-
ностью или частично задерживают колебания, перпендикулярные этой
плоскости.
Анализатор — это поляризационный светофильтр, сконструированный
таким образом, что его направление пропускания, как правило, перпенди-
кулярно направлению пропускания поляризатора. Анализатор не пропускает
свет, если между поляризатором и анализатором плоскость поляризации
света не повернута. Если направления колебаний поляризатора и анализато-
ра составляют угол ср, то анализатор пропустит только ту компоненту, кото-
рая соответствует его направлению колебаний. Амплитуда пропущенной
волны будет меньше в cos ср раз.
4. Оптическая активность
Оптической активностью называют способность вещества поворачивать
направление поляризации линейно поляризованного света, при этом угол
поворота зависит от толщины слоя. Различают правовращающие и левовра-
щающие вещества. Оптическая активность наблюдается как у изотропных,
так и у анизотропных веществ.
И Кварц является оптически активным веществом. Эффект наблюдается,
если поляризованный свет проходит сквозь кристалл в направлении оп-
тической оси, так как при этом отсутствует двойное лучепреломление.
> Принцип действия жидкокристаллических дисплеев базируется на вра-
щении плоскости поляризации с помощью нематических жидких крис-
таллов.
Эффект Фарадея —это вращение плоскости поляризации света в магнит-
ном поле. Оптически неактивные вещества приобретают способность вра-
щать плоскость поляризации, если свет распространяется с вектором рас-
пространения к в магнитном поле с напряженностью Н. Угол поворота
плоскости поляризации а определяется по формуле:
a=Vl Н,
где / — путь, проходимый светом в веществе (толщина слоя), V — постоян-
ная Верде или удельное магнитное вращение, параметр материала, который
зависит от длины волны, Н — напряженность магнитного поля.
12.5. Волновая оптика
Угол поворота меняет свой знак, если меняется полярность магнитного
поля.
▲ Свет, отраженный или преломленный средой, является частично поля-
ризованным.
12,5.8,1. Поляризация при отражении
Углом Брюстера, углом поляризации ар называется угол падения луча, при
котором падающий луч, отражаясь от поверхности, линейно поляризуется в
направлении, перпендикулярном плоскости падения (рис. 12.61). ар опреде-
ляется при условии, что преломленный и отраженный луч перпендикулярны
друг другу:
sina^ = п sin(rc/2 - ap) = п cos ар.
При угле падения, равном углу Брюстера, преломленная волна без по-
терь проходит сквозь среду, так как коэффициент светопропускания т равен
единице.
Отражающими называются поляри-
заторы, которые используют этот за-
кон для получения поляризованных
лучей.
Поляризаторы также используются
в фотоаппаратах, чтобы отражаю-
щие помехи на стеклянных поверх-
ностях не попали на изображение.
При этом используется то свойст-
во, что отраженный свет поляризу-
ется и может быть отфильтрован с
помощью поляризаторов. В этом
случае поляризатор выполняет
функции анализатора.
Рис. 12.61. Поляризация при отраже-
нии и пропускании в случае, когда
угол падения равен углу Брюстера <лр
12.5.8.2, Поляризация при преломлении
1. Двойное лучепреломление
При прохождении света через все
прозрачные кристаллы, за исключени-
ем принадлежащих к кубической сис-
теме, наблюдается явление, получив-
шее название двойного лучепреломле-
ния. Это явление заключается в том,
что упавший на кристалл луч разделя-
ется на два луча, распространяющиеся
с разными скоростями и в различных
направлениях (рис. 12.62).
Рис. 12.62. Двойное лучепреломление
в оптическом одноосном кристалле
Глава 12. Оптика
Один из этих лучей, который подчиняется обычному закону преломле-
ния Снеллиуса, называется обыкновенным. Показатель преломления и0 для
обыкновенного луча не зависит от его направления в кристалле. Для другого
луча, называемого необыкновенным, показатель преломления иао зависит от
направления распространения в среде.
В кристаллах двойное преломление наступает, если структура кристалла
анизотропна. Такая анизотропия может быть получена искусственно с по-
мощью внешней деформации, при механических нагрузках, приложением
электрического напряжения или наложением электромагнитных полей.
В жидкости двойное преломление может быть получено в потоке (двойное
лучепреломление в потоке жидкости).
Оптической осью кристалла называется направление, вдоль которого
волна распространяется так же, как и в анизотропной среде, т.е. обыкновен-
ный и необыкновенный лучи распространяются не разделяясь и с одинако-
вой скоростью. В направлении оптической оси nQ = иао, в направлении пер-
пендикулярном оптической оси |и0 -лао| будет максимальным.
2. Оптические кристаллы
Одноосными называются кристаллы, которые имеют одну оптическую
ось (моноклинные, триклинные или ромбические кристаллы).
Двуосными называются кристаллы, которые имеют две оптические оси
(тетрагональные, гексагональные и тригональные кристаллы).
Главной плоскостью или главным сечением называется любая плос-
кость, проходящая через оптическую ось. Обычно пользуются главной плос-
костью, проходящей через световой луч.
Различают следующие виды двойного преломления:
• Линейное двойное лучепреломление, при котором различаются фазовые
скорости перпендикулярно поляризованных компонент линейно поля-
ризованной волны.
• Циркулярное двойное лучепреломление, при котором различаются фазо-
вые скорости волн с левой и правой круговой поляризацией.
Примеры двухосных кристаллов: известковый шпат, кварц, турмалин.
Показатель преломления обыкновенного луча в известковом шпате ра-
вен по = 1,66, необыкновенного луча иао = 1,49.
3. Распространение поляризованного света в кристалле
В обыкновенном луче волновой вектор колеблется перпендикулярно
главной плоскости; в необычном луче волновой вектор колеблется паралле-
льно главной плоскости. Обыкновенный луч распространяется во всех крис-
таллографических направлениях с одинаковой скоростью, волновые фронты
всех вторичных волн являются сферическими. Скорость распространения
необыкновенного луча зависит от направления, волновые поверхности вто-
ричных волн представляют собой поверхность эллипсоида вращения. Если
обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются вдоль оптиче-
ской оси, то их скорости совпадают; сфера и эллипсоид вращения соприка-
саются в направлении оптической оси (рис. 12.63).
В зависимости от того, скорость распространения какого луча больше,
различают:
12.5. Волновая оптика
Рис. 12.63. Ход поляризованных лучей при нормальном падении согласно
принципу Гюйгенса; а — оптическая ось (штрихпунктирная ли-
ния) проходит под углом к поверхности кристалла; направление
необыкновенного луча более не является перпендикулярным па-
дающему волновому фронту; б — оптическая ось параллельна по-
верхности кристалла; разделение лучей отсутствует, но скорости
распространения обыкновенного и необыкновенного лучей раз-
личны; в — оптическая ось перпендикулярна поверхности крис-
талла. Обыкновенный и необыкновенный луч не разделяются.
положительные одноосные кристаллы: обыкновенный луч распространя-
ется быстрее, чем необыкновенный луч (рис. 12.64). Сфера охватывает
эллипсоид вращения, с0 >сао, по <пао.
отрицательные одноосные кристаллы: обыкновенный луч распространя-
ется медленнее, чем необыкновенный луч (рис. 12.64). Эллипсоид вра-
щения охватывает сферу, со < сао, п0 > пао.
Рис. 12.64. Волновые поверхности вторичных волн: а — положительные од-
ноосные кристаллы; б — отрицательные одноосные кристаллы
Глава 12. Оптика
Дихроизмом называют явление, при котором в кристаллах один из лучей
поглощается сильнее другого. Если кристалл освещается линейно поляризо-
ванным светом, то в зависимости от направления поляризации он будет ка-
заться разного цвета.
А Двойное лучепреломление ведет к линейной поляризации света. Направ-
ления поляризации обыкновенного и необыкновенного лучей перпенди-
кулярны друг другу.
4. Призма Николя
Призма Николя — это поляризатор, используемый для получения ли-
нейно поляризованного света посредством двойного лучепреломления. Со-
стоит из разрезанных соответствующим образом, а затем вновь соединенных
друг с другом с помощью канадского бальзама (л = 1,54) кристаллов извест-
кового шпата (рис. 12.65). Обыкновенный луч отделяется по причине пол-
ного отражения на поверхности раздела, канадский бальзам является для
обыкновенного луча оптически более плотной средой. Необыкновенный луч
проходит сквозь поверхность раздела и покидает призму в виде полностью
линейно поляризованного света. Направление поляризации лежит в плоско-
сти рисунка.
Если выбрать подходящую поверхность сечения ромбоэдра из известко-
вого шпата, то можно добиться того, что падающий луч будет перпендику-
лярен торцевым поверхностям кристалла (призма Глена-Томпсона).
Рис. 12.65. Получение поляризованного света с помощью призмы Николя
5. Напряженная оптика
Напряженная оптика используется для исследования механических на-
пряжений в нагруженных конструктивных элементах с использованием
двойного лучепреломления. Для этого изготавливается модель конструктив-
ного элемента, например, крюка из плексигласа, которая затем подвергается
нагрузке, как и настоящий крюк. В зависимости от механических напряже-
ний свет в различных местах модели будет поляризован по-разному. Эту по-
ляризацию можно выявить с помощью анализатора и локализовать места с
максимальной нагрузкой.
Эффект Поккельса. В электрическом поле напряженностью Е пьезоэлек-
трические кристаллы без центра симметрии (дигидрофосфат калия KDP,
ниобат лития) становятся двоякопреломляющими. Разность показателей
преломления обыкновенного (л0) и необыкновенного (лао) лучей пропорци-
ональна напряженности приложенного электрического поля:
\Пао -«J~ Е.
12.6. Фотометрия
Эффект Керра. В поперечном электрическом поле напряженностью
106 В/м оптически изотропное вещество (сероуглерод, бензол) становит-
ся двоякопреломляюгцим. Разность показателей преломления обыкновенно-
го (и0) и необыкновенного (иао) лучей пропорциональна квадрату напряжен-
ности приложенного электрического поля:
I ^ао — ~ Е^ .
> Ячейка Керра используется для безинерционной модуляции интенсив-
ности света.
12-6. Фотометрия
Фотометрией называется раздел оптики, занимающийся измерением свето-
вых потоков и величин, связанных с такими потоками (фотометрических
величин).
Различаются:
• Объективная фотометрия — измерение фотометрических величин с по-
мощью инструментов, которые не учитывают особые свойства восприя-
тия человеком электромагнитных волн (света).
Обозначение измеряемых величин в формулах: индекс е используется
для энергетических величин.
• Субъективная фотометрия — измерение фотометрических величин с уче-
том субъективного восприятия человеческого глаза, например, при срав-
нении яркости.
Обозначение измеряемых величин в формулах: индекс и используется
для визуальных величин.
12.6.1. Фотометрические величины
1. Энергия излучения и плотность энергии
Энергия излучения Qe — это энергия, которая переносится электромаг-
нитной волной.
Плотность энергии w электромагнитного излучения, равная количеству
энергии в единице объема, определяется по формуле:
Плотность энергии электромагнитной волны МТ-2!/1
w =|(Ё D + H В) Символ Единица измерения Название
Ё D В Н Дж/м3 В/м Кл/м2 Тл А/м Плотность энергии Напряженность электрического поля Диэлектрическое смещение Магнитная индукция Напряженность магнитного поля
Глава 12. Оптика
Полное количество энергии в пространственной области определяется
объемным интегрированием по области пространства.
2. Измерение энергии излучения
Измерение энергии излучения производится с помощью ее преобразова-
ния в другие формы, например:
• Термоэлемент, в котором при облучении появляется электрическое на-
пряжение. На основании получаемого напряжения рассчитывается энер-
гия. Прежде всего, таким способом измеряется инфракрасное излучение.
• Болометр — полупроводник или элекролитически черненая платиновая
проволока или пленка, для которой измеряется изменение сопротивле-
ния вследствие нагревания при поглощении излучения. Болометры реа-
гируют, прежде всего, на инфракрасное, т.е. тепловое излучение.
• Полупроводник, здесь изменяется сопротивление при облучении вслед-
ствие внутреннего фотоэффекта.
• Фотодиод, в данном элементе измеряется ток, протекающий сквозь него
при облучении.
• Фотоэмульсия — это поверхность, покрытая светочувствительными хи-
мическими соединениями. Падающий свет окрашивает эту поверхность,
энергия излучения напрямую преобразуется в химическую энергию.
3. Поток излучения или лучистый поток
Потоком излучения, лучистым потоком Фе называют энергию излуче-
ния, которая переносится электромагнитной волной за единицу времени.
Мощность излучения ML2T3
фе =^~ dt Символ Единица измерения Название
Фе Qe t Вт Дж с Мощность излучения Энергия излучения Время
Показываемый измерительным прибором поток излучения при заданном
источнике излучения зависит от:
• площади чувствительного элемента измерительного прибора,
• расстояния от чувствительного элемента до источника электромагнитно-
го излучения,
• ориентации чувствительного элемента относительно источника электро-
магнитного излучения,
• спектральной чувствительности чувствительного элемента.
Протяженное тело любой формы может рассматриваться как точечный
источник, если расстояние до него достаточно велико. Если тело нельзя
считать точечным источником, то рассматривают достаточно малые плоские
элементы на поверхности тела, для которых действительно соответствующее
приближение. Значение измеряемой величины суммируется по этим эле-
ментам.
12.6. Фотометрия
Чаще всего поверхность чувствительного элемента является плоской, т.е.
не располагается в виде сферической оболочки вокруг излучателя. Если рас-
стояние от чувствительного элемента до излучателя достаточно велико, то в
хорошем приближении поверхность чувствительного элемента (чаще всего
плоскую) можно заменить элементом сферической поверхности. Однако
при условии, что поверхность чувствительного элемента направлена в сто-
рону излучателя.
4. Фотометрическое предельное расстояние
Минимальное расстояние, при котором согласно DIN приведенное
выше условие считается выполненным: расстояние между чувствительным
элементом и излучателем должно быть минимум в 10 раз больше максима-
льного поперечного размера чувствительного элемента или излучателя. Если
это условие соблюдается, то замена в расчетах элемента сферической по-
верхности плоским элементом дает ошибку менее 2 %.
▲ Получаемая чувствительным элементом энергия пропорциональна телес-
ному углу, соответствующему его площади, если излучение равномерно
распределено по поверхности.
5. Сила излучения
Силой излучения /е называется коэффициент пропорциональности меж-
ду телесным углом и мощностью излучения:
„ Мощность излучения Интенсивность излучения = Телесный угол ML2T-3
аФе = iedn Т - аф* е dQ Символ Единица измерения Название
е Вт Вт/ср ср Мощность излучения Сила излучения Телесный угол
Лучистый поток в телесном угле Q определяется по формуле:
Фе = J 4dQ.
12.6,1.1 . Источники излучения
Для неточечного источника излучения измеряемая сила излучения зависит от:
• площади излучателя А5,
• относительной ориентации (расположения) поверхностей чувствитель-
ного элемента и излучателя.
1. Характеристика направленности
Характеристика направленности источника света g(a) представляет со-
бой функцию зависимости силы излучения от угла а, под которым виден
излучатель.
Глава 12. Оптика
Зависимость интенсивности излучения от угла ML2T3
4(a) = Le(a)Asg(a) Символ Единица измерения Название
4(a) g(a) a 4(a) Вт/ср 1 рад Вт/(м2 ср) м2 Сила излучения Характеристика направ- ленности Угол между нормалями к поверхностям источника излучения и чувствитель- ного элемента Энергетическая яркость Площадь излучателя
Энергетическая яркость Le характеризует свойства излучателя. Среди
прочего она зависит от материала, свойств поверхности и температуры излу-
чателя.
2. Излучатель Ламберта
Излучателем Ламберта называется излучатель с пространственной харак-
теристикой g(a) = cos(a). При всех углах наблюдения ос излучатель кажется
одинаково ярким, так как As cos(a) равно проекции площади в направлении
наблюдения, и, следовательно, отношение силы излучения к видимой под
углом а эффективной площади остается постоянным,
4(a) = 4 (“44 cos(a) = £
Aeff As cos(a)
Большинство термических источников излучения в некотором прибли-
жении являются излучателями Ламберта.
Необходимые условия для излучателя, являющегося ламбертовским:
• отсутствие фазовых корреляций волновых полей, которые испускаются
соседними элементами площади излучателя,
• материал излучателя должен быть оптически плотным, т.е. должен быть
в состоянии также поглощать излучение, испускаемое его поверхностью.
Закон Ламберта для приведенной выше характеристики направленности:
g(a) = cos(a).
3. Характеристика Гаусса и облученность
Характеристика Гаусса — это характеристика направленности, выражен-
ная в форме
g(a) = e~a2/Y2.
При этом у является константой, характеризующей источник излучения.
С уменьшением значения у распределение g становится все более пологим,
излучение сильнее концентрируется в определенном направлении. Характе-
ристика Гаусса реализуется в лазерах.
12.6. Фотометрия
Энергетической светимостью Ме называется характеристика излучателя,
определяемая как:
Энергетическая светимость = Мощность излучения Площадь излучателя мт-3
С1фе Ме = —- Символ Единица измерения Название
05* Вт/м2 Вт м2 Энергетическая светимость Поток излучения Площадь излучателя
Облученностью Ее называется поток излучения, падающего на единицу
площади поверхности чувствительного элемента АЕ.
Мощность излучения j о л V4 е и и о с ть = - Площадь чувствительного элемента мт-3
F <1Фе £е = - Символ Единица измерения Название
Ее Фе ^Е Вт/м2 Вт м2 Облученность Поток излучения Площадь чувствительного элемента
Величина эффективной площади чувствительного элемента равна проек-
ции его площади Л£, напрямую соединяющую чувствительный элемент и
источник излучения:
Ае = A cosp,
где Р — угол между прямой, соединяющей чувствительный элемент и источ-
ник излучения, и нормалью к АЕ.
4. Фотометрический закон расстояний
Облученность Ее зависит от расстояния г до источника излучения. Закон
действителен при условии сферической симметрии и отсутствии отражения
и поглощения.
Фотометрический закон расстояния мт-3
Ее =^^COSpQ0 г2 Символ Единица измерения Название
Ее Г Вт/м2 м Облученность Расстояние между чувствительным элементом и источником излучения
Количество облучения Не равно количеству энергии, падающей на еди-
ницу площади в течение заданного временного промежутка от t{ до /2. Оно
определяется интегрированием облученности по времени:
Глава 12. Оптика
Количество облучения мт-2
t2 Не = J Ee(f)dt Л Символ Единица измерения Название
Не Ее t Дж/м2 Вт/м2 с Количество облучения Облученность Время
12.6.1.2. Спектральные величины
Спектральные фильтры используются для изменения спектрального распре-
деления энергии проходящего сквозь него излучения. Их действие, базиру-
ющееся на поглощении, интерференции и полном отражении, представля-
ется в виде спектрального коэффициента светопропускания как функции от
длины волны. По виду характеристик фильтры классифицируются на крае-
вые фильтры (высокочастотные или низкочастотные), полосовые фильтры,
узкополосные или линейные фильтры.
Если излучение состоит из волн различной длины, то доли отдельных
компонент можно исследовать с помощью фотометрических величин, от-
фильтровывая отдельные диапазоны длин волн и затем измеряя соответству-
ющие им фотометрические величины.
> В то время как ультрафиолетовый фильтр-пробка отфильтровывает (не
пропускает) УФ-излучение, синий светофильтр является прозрачным
только для синего света, а красный — только для красного. Однако эти
названия условны.
▲ Доля излучения из определенного диапазона длин волн dk в фотометри-
ческой величине Хе определяется как
^dX.
ах
Спектральная величина — это обозначение производной фотометриче-
ской величины по длине волны. Спектральная величина маркируется ин-
дексом X.
Производная силы излучения по длине волны, равная
_die
л “ --,
’ дк
называется спектральной плотностью излучения.
И наоборот, расчет общей силы излучения по спектральной плотности
излучения производится интегрированием по длине волны:
Li Q Li Q
12.6.1.3. Отражение, поглощение, пропускание
При прохождении электромагнитного излучения сквозь слой вещества (сре-
ды) оно отражается, поглощается и проходит сквозь среду. Только часть па-
дающего лучистого потока Фе пройдет сквозь слой и будет зарегистрирована
12.6. Фотометрия
в виде потока Фг Отражение и погло-
щение зависят от материала слоя и от
длины волны X излучения (рис. 12.66).
1. Спектральные коэффициенты от-
ражения и поглощения
Спектральный коэффициент отра-
жения р(Х) — это отношение общего
отраженного лучистого потока Фг к
падающему лучистому потоку Фе:
да=5Ж
®да
Общий отраженный поток излуче-
ния, как в случае с пластинкой, может
образовываться при отражении от не-
скольких поверхностей. Коэффициент
отражения сильно зависит от свойств
Рис. 12.66. Отражение, поглощение и
пропускание при прохождении элект-
ромагнитного излучения сквозь плас-
тинку толщиной d
поверхности материала.
Коэффициент отражения снега равен 0,93, алюминия 0,69, черной бума-
ги 0,05.
Спектральный коэффициент поглощения, спектральная поглощающая
способность, а(Х), равна соотношению поглощенного лучистого потока Фа
к падающему лучистому потоку Фе:
а(Х) -
Фа(М
Фе(Х)‘
Коэффициент поглощения слабо зависит от температуры Т материала,
а(Х) = а(Х,Т).
Поглощение света в веществе описывает закон Бугера-Ламберта: лучи-
стый поток внутри слоя экспоненциально уменьшается с увеличением глу-
бины х проникновения в слой:
Ф(х) = Фее-^)%.
Линейный коэффициент поглощения или натуральный показатель по-
глощения света веществом а(к) указываемый в м-1, характеризует поглоща-
ющий материал.
2. Средняя дальность излучения и коэффициент пропускания
Средняя дальность излучения хт — это глубина проникновения, при ко-
торой падающий лучистый поток уменьшается в 1/е раз:
1
а
Спектральный коэффициент пропускания т(Х) — это соотношение про-
шедшего сквозь среду лучистого потока Ф, к падающему лучистому потоку Фе:
да =
фда
Коэффициент пропускания является мерой проницаемости слоя вещест-
ва для излучения.
Согласно закону сохранения энергии
р(Х) + а(Х) + т(Х) = 1.
Абсолютный спектральный коэффициент поглощения а/Х) получают
следующим образом: поглощенный в слое лучистый поток Ф1п — Фех делит-
ся не на общий падающий поток, а на часть потока, прошедшую через гра-
ницу раздела Фь = Фе - Ф^ •
„ /П_ФтМ-Фех(М
^/(Х) —
OinW
Если отражением на поверхности раздела можно пренебречь, то ц(Х) = а(Х).
Абсолютный спектральный коэффициент пропускания т^Х), равен соот-
ношению лучистого потока Фех непосредственно перед границей раздела
при выходе из вещества к лучистому потоку Ф1П сразу же после границы
раздела при проникновении излучения в вещество:
,, w =
Лучистый поток Фех делится на поток Ф(г2), отразившийся от поверхно-
сти раздела при выходе из вещества, и прошедший сквозь слой поток Фг
Действительно следующее выражение:
аД) + т/Х) = 1.
3. Черное тело
Черным телом называется объект, который для всего диапазона длин
волн электромагнитного излучения имеет коэффициент поглощения, рав-
ный 1. В природе нет материала, удовлетворяющего этому условию, однако
концепция черного тела имеет большое значение в теории теплового излу-
чения.
▲ Закон Кирхгофа: спектральная плотность излучения Le х любого тела с
температурой Т при длине волны X равна произведению коэффициента
поглощения тела при этой температуре и длине волны и спектральной
плотности излучения £черн абсолютно черного тела при той же темпера-
туре и длине волны.
Закон Кирхгофа ML1!3
ЬеД = а(Х, Г) • £черн Символ Единица измерения Название
а(Х,7) у^черн е,Х Вт/(м3 ср) 1 Вт(м3 ср) Спектральная плотность излучения Коэффициент поглощения Спектральная плотность излучения черного тела
12.6.
Пользуясь законом Кирх-
гофа, можно выразить спект-
ральную плотность излуче-
ния любого тела через спект-
ральную плотность излуче-
ния черного тела £чеРн
(формула излучения Планка):
2^черн _ 2hc2 1
V Qhc/XkT _f
где с — скорость света в ваку-
уме, h — постоянная Планка,
к — постоянная Больцмана.
Рис. 12.67. Спектральная плотность излучения
черного тела для различных температур как фун-
кция энергии излучения, f — частота излучения
12.6.2. Световые величины
Световые величины основываются на оценке излучения с помощью челове-
ческого зрения. Они описывают излучение таким образом, что передают
ощущение яркости, и, следовательно, являются решающим фактором для
светотехники.
▲ Световая величина У, как правило, получается из оценки энергетической
величины Хе с помощью человеческого глаза.
1. Относительная и абсолютная чувствительность
Чтобы описать оценку энергетической величины, получаемую с помо-
щью произвольно выбранного приемника (и, следовательно, человеческого
глаза), а также исследовать зависимость чувствительности от длины волны
X, вводят следующие величины:
Относительная и абсолютная чувствительность
Символ Единица измерения Название
siel(X) = — 5(Х0) X х0 5(Х) Y К м м 1 Произвольная длина волны Длина волны Абсолютная спектральная чувст- вительность Относительная спектральная чув- ствительность Энергетическая входная величина Спектральная энергетическая входная величина Выходная величина Спектральная выходная величина
Глава 12. Оптика
Если лучистый поток ёФе = ФД dX падает на приемник и вызывает в
нем ток dJ, то Фе соответствует энергетической входной величине Хе, a J
соответствует выходной величине К ФеХ соответствует спектральной
энергетической входной величине ХеК, а Д соответствует спектральной
выходной величине Ух.
С помощью этих величин излучение может быть оценено также в том
случае, если оно состоит из наложенных друг на друга световых волн с дли-
нами из диапазона [Х15Х2]. В этом случае оцениваемую выходную величину Y
получают с помощью сверки спектральной энергетической входной величи-
ны со спектральной чувствительностью. Отношение полученной таким об-
разом выходной величины к входной величине называется абсолютной чув-
ствительностью :
Абсолютная чувствительность
II X II н II ль н 1 о 3. р, II Символ Единица измерения Название
Y X Хц Х1 х2 5(Х) srei(X) S м м м м 1 Выходная величина Длина волны Длина волны Нижняя граница диапазона длин волн Верхняя граница диапазона длин волн Спектральная энергетическая входная величина Абсолютная спектральная чувствительность Относительная спектральная чувствительность Абсолютная чувствительность
Рис. 12.68. Зависимость от-
носительной спектральной
чувствительности И(Х) глаза
от длины волны при днев-
ном свете (кривая видности)
> В формуле, определяющей s, вместо Хе за-
писано X, так как эта формула действитель-
на и для неэнергетических величин.
Видностью называют относительную спект-
ральную чувствительность глаза. При оценке с
помощью глаза выбирают:
• для ХеХ спектральный лучистый поток ФеХ,
• для ^(Х) относительную спектральную
чувствительность глаза К(Х) при дневном
свете (рис. 12.68),
• для 5(Х0) абсолютную спектральную чувст-
вительность глаза при Хо = 555 нм.
12.6. Фотометрия
2. Световой поток
Световым потоком Ф называют мощность светового (видимого) излуче-
ния, оцениваемую по его воздействию на нормальный глаз. Вследствие за-
висимости относительной спектральной чувствительности И(Х) глаза от дли-
ны волны световой поток определяется интегрированием.
Определение светового потока J
780 нм ф = к(х0) /Фли(Х)са 380 нм Символ Единица измерения Название
ф V X ф 1 лм 1 м кд/м Световой поток Спектральная светочувст- вительность Длина волны Спектральный лучистый поток
Люмен (лм) — единица измерения светового потока Ф, принятая в СИ.
Световой поток некоторых источников света: ртутная лампа 125000 лм,
люминесцентная лампа 2300 лм, лампа накаливания 730 лм, светодиод
0,01 лм.
Силой света источника называют /, равную световому потоку дФ, излу-
чаемому в телесный угол dQ.
Кандела (кд) — единица измерения силы света, принятая в СИ. Кандела
является одной из основных величин СИ (наряду с кг, м, с, А), т.е. она не
может быть выражена через другие величины.
▲ 1 кандела равна силе света такого источника излучения, который испу-
скает в заданном направлении монохроматическое излучение частотой f
= 540 ТГц (X = 555 нм), и Ov^cvpOPv^p^o излучения которого в этом на-
правлении составляет (1/683) Вт/ср.
Таким образом, 1 лм = 1 кд ср.
> Ранее 1 кд определялась по яркости черного тела при температуре за-
твердевания платины.
Яркостью L называют поверхностную плотность силы света в заданном
направлении, равную отношению силы света к площади проекции светя-
щейся поверхности на плоскость, перпендикулярную к этому направлению:
dL4s cos а
Освещенностью Е поверхности называют отношение приходящегося на
нее светового потока дФ к ее площади cL4:
г dO
дЛ
Глава 12. Оптика
Люкс (лк) является единицей измерения освещенности, принятой в СИ.
1 лк = 1 лм/м2.
Освещенности: солнце (летом) 70000 лк, солнце (зимой) 5500 лк, днев-
ной свет (пасмурно) 1000—2000 лк, полная луна 0,25 лк, граница свето-
восприятия 3 лк.
Сравнение энергетических характеристик и световых величин излучения
Энергетические характеристики излучения Световые величины
Лучистый поток Фе Вт Световой поток ф лм (кдср)
Сила излучения Л _ аФе _-сю~ Вт/ср Сила света ~ dQ кд
Энергетиче- ская яркость Le = ал (145 COS О Вт/(м2ср) Яркость L = d/ dAs cos a кд/м2
Облученность Ее _ dOe “ал? Вт/м2 Освещен- ность г dO d^£ лк (лм/м2)
As — площадь излучающей поверхности, АЕ — площадь чувствительного
элемента, а — угол наблюдения.
ГЛАВА 13
ТАБЛИЦЫ К РАЗДЕЛАМ
«КОЛЕБАНИЯ»,
«ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ»,
«АКУСТИКА» И «ОПТИКА»
Обозначения, принятые в разделах «Колебания»,
«Волновые процессы», «Акустика» и «Оптика»
Символ Единица измерения Название
а рад Угол отклонения
а рад/с Угловая скорость
а рад/с2 Угловое ускорение
б 1/с Коэффициент затухания
Аф рад Разность фаз
к м Длина волны
А 1 Логарифмический декремент
Ц 1 Коэффициент трения
Ф рад Сдвиг фаз
(0 рад/с Циклическая частота
a м/с2 Ускорение
А Амплитуда
b кг/с Обобщенный коэффициент затухания
с кг/с2 Коэффициент квазиупругой силы
с м/с Фазовая скорость
D 1 Степень затухания
d 1 Коэффициент потерь
f Гц Частота
F кг-м/с2 Квазиупругая сила
fn н Нормальная сила
Fr Н Сила трения
g м/с2 Ускорение свободного падения
k 1/м Волновое число
к 1/м Волновой вектор
m кг Масса
Q 1 Добротность
T с Период
Ts с Период биений
V м/с Фазовая скорость
vgr м/с Групповая скорость
Символ Единица измерения Название
а 1 Коэффициент звукопоглощения
X 1 Показатель адиабаты
(О рад/с Угловая скорость
Bs Па/В Электроакустический коэффициент передачи
С м/с Скорость звука
cFk м/с Скорость звука в твердых телах
CF\ м/с Скорость звука в жидкостях
CG м/с Скорость звука в газах
Е Н/м2 Модуль упругости
Ек Па/В • А Условная чувствительность
Ем Пад/В^А Чувствительность громкоговорителя
Gs дБ Электроакустическая постоянная передачи
I Вт/м2 Интенсивность звука
К Н/м2 Модуль объемной упругости
Р Па (Звуковое) давление
Р Вт Мощность звука
Ро Па Статическое давление
г 1 Коэффициент отражения звука
R дБ Звукопоглощение
Дж/(К-кг) Удельная газовая постоянная
т К Температура
т с Время реверберации
V см/с Скорость при колебании
W Дж/м3 Плотность энергии
Z кг/(м2 • с) Удельное волновое сопротивление
Z Ом Кажущееся сопротивление
Символ Единица измерения Название
ag рад Предельный угол полного отражения
р 1 Масштаб изображения
а м Расстояние от передней главной точки до осевой точки предмета
а" м Расстояние от задней главной точки до осевой точки изображения
ав м Расстояние наилучшего зрения
А (к, Т) 1 Поглощающая способность
В 1/м Оптическая сила
Ее Вт/м2 Облученность
f м Переднее фокусное расстояние
Г м Заднее фокусное расстояние
Не Дж/м2 Количество облучения
1е Вт/ср Интенсивность излучения
к 1 Диафрагменное число
Le Вт/(м2 • ср) Плотность излучения
Вт/(м3 • ср) Спектральная плотность излучения
Ме Вт/м2 Энергетическая светимость
Ф КД Световой поток
Фе Вт Мощность излучения
ФеХ кд/м Спектральный поток излучения
Qe Дж Энергия излучения
S Абсолютная чувствительность
s(k) Абсолютная спектральная чувствительность
^rel(^) 1 Относительная спектральная чувствительность
V 1 Увеличение
V 1 Спектральная чувствительность
У м Размер предмета
у" м Размер изображения
13.1. Таблицы к разделам «Колебания» и «Акустика»
13.1/1. Поправочный коэффициент для периода
при больших отклонениях маятника
Угол (°) Угол (рад) Поправочный коэффициент
1 0,017453 1,00002
5 0,087266 1,00048
10 0,174533 1,00191
30 0,523599 1,01741
45 0,785398 1,03997
13.1 /2. Скорость звука в газах
Газ с / (м-с-1) Газ с / (м-с"1)
при 0 °C при 20 °C при 0 °C при 20 °C
Аммиак 415 428 Аргон 319 321
Диоксид углерода 259 258 Светильный газ 453 450
Хлор 206 - Кислород 316 324
Азот 334 348 Водород 1284 1300
Гелий 965 1020 Этилен 317 329
Метан 430 - Неон 435 453
13.1/3. Скорость звука в воздухе
Газ с / (м-с1)
0 °C 10 °C 20 °C 30 °C
Воздух 332 338 344 350
13.1/4. Коэффициент ослабления звука в газах
Газ Т / (°C) //кГц р / МПа а / см1
Азот 19,9 598,9 0,097 0,0484
Водород 19,9 598,9 од 1,284
Гелий 17,5 598,9 0,099 1,061
Оксид азота 16,3 598,9 0,095 0,656
Диоксид углерода 18,7 304,4 0,085 2,073
Кислород 19,6 598,9 0,099 0,602
13.1/5. Характеристики звукового поля в воздухе
при температуре 20 °C
Звуковое давление (Па) Скорость колебаний (см • с1) Сила звука (р Вт/см2)
0,01 2,42 Ю-5 2,42-10-9
0,05 1,21 • 10‘4 6,05-Ю'8
0,10 2,42 -Ю’4 1,42-10’7
0,50 1,21-Ю’3 6,05-10’6
1,00 2,42-10’3 2,42-10-5
13.1/6. Скорость звука в маслах и нефтепродуктах
Вещество Т, °C с, (м-с-1) Вещество Т, °C с, (м-с1)
Бензин 25 1295 Керосин 34 1295
Льняное масло 31,5 1772 Оливковое масло 32,5 1381
Парафиновое масло 33,5 1420 Таловое масло 31 1468
Скипидар 27 1280 Трансформаторное масло 32,5 1425
Эвкалиптовое масло 29,5 1276 Горчичное масло 31,5 1825
13.1/7. Скорость звука в жидкостях
при температуре 20 °C
Жидкость С (м-С"1) Жидкость с (м-с1) Жидкость с (м-с1)
Бензол 1330 Анилин 1656 Ртуть 1460
Вода 1480 Глицерин 1920 Ацетон 1192
Тяжелая вода 1399 Морская вода 1470 Метиловый спирт 1156
Керосин 1451 Этиловый спирт 1165
13.1/8. Коэффициент ослабления звука в жидкостях
Жидкость Т,°С /, кГц а, см’1 Жидкость Т, °C f, кГц а, см-1
Ацетон 20 307 25,6 Бензол 20 307 711,5
20 482 56 20 482 1150
20 843 167,7 Бензин 1 0,0096
Вода 20 307 23,28 Трихлорметан 20 307 344
20 482 55,3 20 482 720,2
20 843 172 20 843 1748
Толуол 20 307 71,9 Тетрахлорметан 20 307 492
20 482 182,4 20 482 1115,2
20 843 575,6 20 843 3269
Глицерин 32,8 30 12,69 Льняное масло 20,5 3,1 0,141
Оливковое масло 21 1 0,0125 Касторовое масло 21,4 15,7 5,18
16—3814
13.1/9. Скорость звука в металлах
Вещество с, м-с-1 Вещество С, М-С"1
Алюминий 5200 Никель 4973
Свинец 1200 Сталь 5050
Железо 5000 Цинк 2680
Иридий 4900 Олово 2490
Медь 3500 Серебро 3650
Латунь 3400 Титан 6070
13.1/10. Скорость звука в искусственных материалах
и стекле (тонкие стержни)
Вещество с, м*с-1 Вещество с, м-с-1
Полистирол 1800 Плексиглас 1840
ПВХ мягкий 80 Флинтглас 3720
ПВХ твердый 1700 Боратное стекло 4540
Поликарбонат 1400 Кронглас 5300
Полиэтилен 540 Кварцевое стекло 5400
Нейлон 1800 Фарфор 4880
13.1/11. Скорость звука в строительных материалах
Вещество с, м-с-1 Вещество с, м-с-1
Бетон 3100 Кирпич 3600
Мрамор 3810 Дубовая древесина 4100
Гранит 3950 Пробка 500
Сосновая древесина 3600 Древесина бука 3300
Еловая древесина 3320 Каменная стена 3500...4000
13.1/12. Коэффициенты звукоизоляции
для строительных материалов (средние значения)
и требования к исполнению строительной конструкции
Строительный материал дБ Конструкция Требуемый коэффициент звукоизоляции
Одинарное окно 15 Каменная кладка 50
Двойное окно (воздушная прослойка 12 см) <30 Окна 25
Одинарная деревянная дверь 20 Двери 30
Строительный материал дБ Конструкция Требуемый коэффициент звукоизоляции
Двойная деревянная дверь (воздушная прослойка 12 см) <40 Разделительные стены в квартирах 40
Соломенная рогожа, 5 см 38 Разделительные стены в школах 42
Мат из древесной шерсти, 8 см 50 Разделительные стены между квартирами 48
Бетонная стена, 10 см 42 Наружные каменные стены 48
Бетонная стена, 20 см 48 Стены комнат в больницах 50
Каменная кладка, оштукатуренная 12 см 45 Потолочные перекрытия в комнатах 52
13.1/13. Ослабление звука в воздухе в дБ/(100 м)
при нормальном давлении
Т, °C Относительная влажность, % Частота, Гц
125 250 500 1000 2000 4000
10 0,09 0,19 0,35 0,82 2,6 8,8
20 0,06 0,18 0,37 0,64 1,4 4,4
30 30 0,04 0,15 0,38 0,68 1,2 3,2
50 0,03 0,10 0,33 0,75 1,3 2,5
90 0,02 0,06 0,24 0,70 1,5 2,6
10 0,08 0,15 0,38 1,21 4,0 2,5
20 0,07 0,15 0,27 0,62 1,9 6,7
20 30 0,05 0,14 0,27 0,51 1,3 4,4
50 0,04 0,12 0,28 0,50 1,0 2,8
90 0,02 0,08 0,26 0,56 0,99 2,1
10 0,07 0,19 0,61 1,9 4,5 7,0
20 0,06 0,11 0,29 0,94 3,2 9,0
10 30 0,05 0,11 0,22 0,61 2,1 7,0
50 0,04 0,11 0,20 0,41 1,2 4,2
90 0,03 0,10 0,21 0,38 0,81 2,5
10 0,10 0,30 0,89 1,8 2,3 2,6
20 0,05 0,15 0,50 1,6 3,7 5,7
0 30 0,04 0,10 0,31 1,08 3,3 7,4
50 0,04 0,08 0,19 0,60 2,1 6,7
90 0,03 0,08 0,15 0,36 1,1 4,1
13.1/14. Сила звука в дБ
Нижний порог слышимости 0 Пишущая машинка 50...70
Тиканье карманных часов 10 Громкое уличное движение 70
Шорох листьев 20 Крик 80
Шепот 20 Громкая сирена 90
Тихая беседа 40 Мотоцикл 70...100
Тихая музыка 40 Рок-музыка 105
Разрывание бумаги 40 Отбойный молоток НО
Речь 40...50 Болевой порог 130
13.1/15. Шум, вредный для здоровья
Реакция Уровень звука, дБ
Психическая (раздражение, досада) >30
Вегетативная (потеря концентрации, снижение работоспособности) >65
Повреждение слуха (повреждение внутреннего уха, неизлечимо) >80
Механические повреждения (глухота) > 120
13.1/16. Коэффициент звукопоглощения
Коэффициент звукопоглощения а различных строительных материалов
Материал а при
125 Гц 500 Гц 2000 Гц
Штукатурка на каменной кладке 0,02 0,02 0,03
Известковая штукатурка 0,03 0,03 0,04
Легкий бетон 0,07 0,22 0,10
Штукатурный намет 0,03 0,03 0,07
Звукоизоляционная легкая строительная
плита толщиной 2,5 см
на расстоянии 3 см 0,25 0,23 0,74
непосредственно на массивную стену 0,15 0,23 0,73
Звукоизоляционные плиты толщиной 2 см
непосредственно на массивную стену 0,13 0,19 0,24
на расстоянии 3 см 0,15 0,23 0,23
на расстоянии 3 см со стекловатой 0,33 0,44 0,37
Деревянные двери 0,14 0,06 0,10
Паркет 0,05 0,06 0,10
Фанера, 3 мм, расстояние 2 см 0,07 0,22 0,10
Фанера, 3 мм, расстояние до стены 0 0,07 0,05 0,10
Деревянные панели 0,25 0,25 0,08
13.2. Таблицы к разделу «Оптика»
13.2/1. Важнейшие типы волокон
для оптической передачи сигнала
Материал Искусственное вещество Стекло Стекло Стекло
Типа ММ, SI ММ, SI ММ, GI SM, SI
Диаметр стержня (мкм) 200-600 50, 62,5, 200, ... 50, 62,5, 85, ... 4-10
Диаметр оболочки (мкм) 500-1000 125,900 125 125
Числовая апертура * 0,5 0,15-0,5 0,2- 0,3
Затухание (дБ/км) 50-1000 (650 нм) 5 (850 нм) 0,5 (1300 нм) 5 (850 нм) 0,5 (1300 нм) 0,4 (1300 нм) 0,2 (1550 нм)
Пропускная способность 1-10 МГц-км6 10 МГц-км 1 ГГц-км 10-100 ГГц-кмв
а ММ: (multi-mode) — мультимодовое, SM: (single-mode) — одномодовое,
SI: ступенчатое изменение показателя преломления, GI: — градиентный профиль
показателя преломления.
6 Из-за высокого затухания участок передачи ограничен несколькими метрами.
в В принципе не ограничен из-за дисперсии мод. Достижимая пропускная спо-
собность определяется из дисперсии материала и ширины линии применяемого ис-
точника света. Реальная пропускная способность лежит в пределах 10—50 ГГц км.
13.2/2. Показатель преломления nd при А = 589,3 нм
(желтая натриевая линия)
Вещество Вещество nd
Газы при 0 °C и 1013 гПа Твердые вещества при 20 °C
Воздух 1,00029 Алмаз 2,417
Азот 1,00030 Сапфир(А12О3) 1,769
Кислород 1,00027 Хлорид лития 1,662
Диоксид углерода 1,00045 Хлорид натрия 1,544
Аммиак 1,00038 Хлорид калия 1,490
Водород 1,00014 Фторид лития 1,392
Гелий 1,000035 Бромид лития 1,784
Неон 1,000067 Йодид лития 1,955
Аргон 1,000283 Плавиковый шпат (CaF2) 1,434
Криптон 1,000429 Лед (при 0°С) 1,310
Ксенон 1,00071 Кварцевое стекло 1,459
Жидкости при 20°С SCHOTT ВК1 1,51009
Вода 1,333 SCHOTT ВК7 1,51680
Метиловый спирт 1,329 SCHOTT F2 1,62004
Этиловый спирт 1,362 SCHOTT SF6 1,80518
Ацетон 1,359 SCHOTT FK3 1,46450
Глицерин 1,455 Оконное стекло « 1,51
Бензол 1,501 Плексиглас(РММА) « 1,49
Сероуглерод 1,628 Полистирол (PS) * 1,59
Бромистый нафталин 1,658 Поликарбонат (PC) « 1,59
Льняное масло 1,486 Некоторые двоякопреломляющие вещества
Кедровое масло 1,505 Кварц (SiO2) 1,544/1,553
Известковый шпат (СаСО3) 1,658/1,486
Фторид магния 1,389/1,377
Некоторые вещества, прозрачные для инфракрасных лучей, и полупроводники при различной длине волны
Сульфид цинка (X = 3 мкм/10,6 мкм) 2,27/2,19
Германий (X = 3 мкм/10,6 мкм) 4,05/4,00
Кремний (X = 3 мкм/10,6 мкм) 3,43/3,42
Арсенид галлия(Х = 3 мкм/10,6 мкм) 3,32/3,28
13.2/3. Важнейшие типы лазеров
Тип лазера Важнейшие линии, нм
Гелий-неон Гелий-кадмий Аргон-ионы Диоксид углерода Эксимер (XeF, KrF, ArF) Краситель Nd: YAG Полупроводник (напр., InGaAs) 632,8, 543, 594, 612 и далее в ИК-диапазоне 442, 325 488, 514 10,6 мкм 351, 248, 193 регулируемая УФ-ИК 1064 (532 с удвоением частоты) регулируемая ок. 660—1550
13.2/4. Длина когерентности
некоторых источников света
Источник света Длина когерентности (исходные данные)
Солнце (видимая область спектра) 1 мкм
Светодиод 20 мкм
Ртутная лампа 0,5 мм
Лазерный диод мм—см
HeNe-лазер (простой) 0,2 м
Стабилизированный лазер > 100 м
13.2/5. Освещенность
Источник света Освещен- ность, лк Источник света Освещен- ность, лк
Солнце, летом Солнце, зимой Дневной свет, облачность Полная луна Звезды, ясно, без луны 70000 5500 1000-2000 0,25 0,001 Освещенность рабочего места Освещенность жилой комнаты Предел световосприятия Уличное освещение 1000 120 3 1-16
13.2/6. Световой поток
Источник света Световой поток, лм Источник света Световой поток, лм
Светодиод Лампа накаливания 60 Вт Лампа накаливания 100 Вт 0,01 730 1380 Люминесцентная лампа Ртутная лампа 60 Вт Ртутная лампа 100 Вт 2300 5400 125000
13.2/7. Светочувствительность
к / НМ V/ I к / нм И/1 к / нм V /1 к / нм К/1
380 0 490 0,208 590 0,757 700 0,0041
390 0,0001 500 0,323 500 0,631 710 0,0021
400 0,0004 510 0,503 610 0,503 720 0,105
410 0,0012 520 0,710 620 0,381 730 0,000052
420 0,0040 530 0,862 630 0,265 740 0,000025
430 0,0116 540 0,954 640 0,175 750 0,000012
440 0,023 550 0,995 650 0,107 760 0,000006
450 0,038 555 1 660 0,061 770 0,000003
460 0,060 560 0,995 670 0,032 780 0,0000015
470 0,091 570 0,952 680 0,017
480 0,139 580 0,870 690 0,0082
13.2/8. Ультрафиолетовая область спектра
Длина волны к, IO 7 м Обозначение Воздействие
3,80...3,15 3.15...2,80 2,80...2,00 < 2,00 Длинноволновое УФ-излучение Средневолновое УФ-излучение Коротковолновое УФ-излучение Вакуумное УФ-излучение Немедленная пигментация Покраснение кожи Бактерицидное действие Озонирование
13.2/9. Линии Фраунгофера
Обозначение Элемент Длина волны, нм Обозначение Элемент Длина волны, нм
А О2 759,3 F Н 486,1
В О2 686,7 f Н 434,0
С н 659,3 G Fe, Ti 430,8
Е>1 Na 589,6 h Н 410,2
d2 Na 589,0 Н Са+ 396,8
Е Са, Fe 527,0 К Са+ 393,3
Часть III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО
Электричество — раздел физики, изучающий стационарные и движущиеся
электрические заряды, их взаимодействие, а также взаимодействие наведен-
ных электрических и магнитных полей.
Знания об электричестве применяются в следующих областях:
• электротехника, например, техника постоянного тока, переменного
тока, трехфазного тока, при расчете параметров электрических цепей и
конструкций генераторов и двигателей,
• электрохимия, в частности, перемещение электрических зарядов в элект-
ролитах, а также изготовление батарей,
• электроника, например, разработка и применение электронных деталей
в аналоговой и цифровой электронике, развитие компьютерной техники,
• физика плазмы, к примеру, получение света, переработка материалов,
получение энергии и ионного излучения из ионных источников,
• физика ускорителей, в частности, перемещение и ускорение ионов и
электронов,
• информационная техника, обработка информации, обработка сигналов.
Также учение об электричестве применяется в других областях:
• атомная физика,
• физика твердого тела.
Этот раздел физики описывает электромагнитное взаимодействие между
атомными ядрами и электронами, электронами и фотонами, а также заря-
женными частицами и твердыми телами.
ГЛАВА 14
ЗАРЯДЫ И ТОКИ
Электрические заряды связаны с материей. Заряженные тела могут взаимо-
действовать друг с другом на большом расстоянии. Взаимодействие двух то-
чечных зарядов описывается при помощи закона Кулона.
Электрический ток возникает, если электрические заряды движутся.
Токи могут взаимодействовать друг с другом на больших расстояниях. Взаи-
модействие двух тонких проводников с током описывается при помощи за-
кона Ампера.
14.1. Электрический заряд
Электрический заряд Q — свойство тел оказывать силовое воздействие друг
на друга при помощи электрического поля. Заряд связан с материей.
Кулон (Кл) — единица измерения электрического заряда Q, принятая в
СИ. 1 Кл — это заряд, проходящий за 1 секунду через поперечное сечение
проводника при силе тока в 1 Ампер.
[Q] = 1 Кл = 1 Ас.
1. Отрицательные и положительные заряды
Существует два вида электрических зарядов:
Отрицательные заряды — стоки электрического поля.
Электроны
Анионы — отрицательные ионы, т.е. атомы, принявшие дополнительные
электроны, отрицательно заряженные элементарные частицы.
Положительные заряды — источники электрического поля.
Катионы — положительные ионы, т.е. атомы, отдавшие электроны.
Дырки в полупроводниках — вакансии электронов в решетке твердого
тела. Не следует путать дырки с позитронами.
Положительно заряженные элементарные частицы — это протоны
(Н+-ионы) и позитроны (античастицы электрона).
▲ Одноименные заряды отталкиваются, разноименные — притягиваются.
2. Элементарный заряд и сохранение заряда
Электрический заряд является квантованной величиной. Заряд состоит
из суммы элементарных зарядов. Элементарный заряд — наименьшая встре-
чающаяся в природе мера электрического заряда.
14.1. Электрический заряд
Элементарный заряд TI
е0 = 1,60217653-10~19 Символ Единица измерения Название
е0 Кл Элементарный электрический заряд
Сохранение заряда: общий заряд в замкнутой системе остается неизмен-
ным; сумма положительных и отрицательных зарядов остается постоянной,
= const.
Протон имеет заряд е0, электрон имеет заряд -е0. Заряд ядра урана равен
92е0 Единица измерения заряда 1 Кл соответствует приблизительно
6,24-1018 элементарных зарядов.
3. Проводники и диэлектрики
Электрический проводник — материал, который содержит в себе свобод-
но движущиеся носители заряда. Проводники имеют низкое электрическое
сопротивление (см. 14.15.1).
Электрический диэлектрик, изолятор — материал, в котором нет свобод-
но движущихся носителей заряда. Диэлектрики имеют очень высокое элект-
рическое сопротивление.
> В диэлектриках можно произвести перенос заряда электрическим полем
на атомарном уровне.
4. Электростатическая индукция и поляризация
Электростатическая индукция — перемещение электрического заряда в
проводнике, внесенном в электрическое поле.
Поляризация — образование диполей внутри диэлектрика посредством
перераспределения заряда в молекулах или атомах диэлектрика.
Разделение зарядов в проводнике возникает благодаря электростатиче-
ской индукции и приводит к тому, что в какой-либо области проводника
преобладает положительный или отрицательный заряд. При этом сам про-
водник остается электрически нейтральным.
> Благодаря поляризации заряды могут оказывать силовое воздействие на
диэлектрик.
5. Измерение заряда
|м| Заряд может быть измерен посредством своего силового воздействия, че-
рез разность потенциалов либо через импульс тока, возникающего при
стекании заряда.
Измерение заряда через напряжение U между двумя проводниками при
определенной емкости С в соответствии с расположением проводников
друг относительно друга производится согласно следующей формуле:
Q= CU.
Измерение заряда через отклонение стрелки баллистического гальвано-
метра, вызванное импульсом тока, который возникает при стекании заряда
через гальванометр, производится по следующей формуле:
т
Q = J
0
где 1(f) — сила тока в момент времени Л
Время длительности импульса тока должно составлять меньше 1% от
времени периода колебания стрелки гальванометра.
и Опыт «масляных капель» Милликена использовался для измерения эле-
ментарного заряда. Заряженные масляные капли помещались между го-
ризонтально расположенными пластинами конденсатора. Напряжение в
конденсаторе изменялось до такой величины, при которой сила гравита-
ции, действующая на капли, уравновешивалась силовым воздействием
электрического поля в конденсаторе. После этого становилось возмож-
ным определить заряд капель масла через напряжение на конденсаторе.
При этом было установлено, что заряд всегда является величиной, цело-
численно кратной определенному значению — значению элементарного
заряда.
Существование долей элементарного заряда пытались подтвердить с по-
мощью других, очень дорогостоящих методов. Разумеется, результаты
таких измерений вплоть до сегодняшнего дня доказываются отрицатель-
ными.
14.1.1. Закон Кулона
1. Сила взаимодействия двух точечных зарядов
Закон Кулона описывает силу, которая возникает при воздействии друг
на друга двух точечных зарядов:
▲ Сила F12 взаимодействия двух точечных зарядов Qx и 02 прямо пропор-
циональна произведению этих зарядов и обратно пропорциональна
квадрату расстояния г12 между ними. Эта сила является центральной: она
направлена вдоль прямой, соединяющей заряды (рис. 14.1).
Рис. 14.1. Закон Кулона: а — одноименные заряды Q{ и £?2; б — разноимен-
ные заряды qx и q2
Сила, действующая со стороны заряда Ql на заряд 02, выражается следу-
ющим образом:
14.2. Плотность электрического
Закон Кулона MLT2
р 1 Q1Q2 ?12 -м2 — 4та0 г£ г12 F12 = -F2i ?12 - *2 “ Ч Символ Единица измерения Название
F12^21 21^2 Г12 г12 s0 н Кл м м Кл/(Вм) Сила взаимодействия между зарядами Заряд 1, 2 Радиус-вектор между зарядами Расстояние между зарядами Электрическая постоянная
В качестве коэффициента пропорциональности служит электрическая
постоянная.
Электрическая постоянная Ь-зтмм-Ч2
е0 = 8,85418782 • 10~12 —- Вм Символ Единица измерения Название
So Кл/(Вм) Электрическая постоянная
2. Примеры использования закона Кулона
Заряд Q - 10-5 Кл, находящийся на расстоянии г = 1 от заряда Q = 5 • 10-5 Кл,
действует на него с силой:
Г 1 10-5 Кл - 5 • 10-5 Кл Л/1пи
F =------------------------= 4,49 Н.
4ле0 1м2
В классическом представлении атома водорода протон действует на
электрон с силой, которая выражается следующим образом:
1 в2
F=—— -5--ё, F = 8,24-10-8 Н.
4л8о
При этом е0 — это элементарный заряд (^(протона) — е0, ^(электрона) —
-е0), и г — 0,529-10-10 м — радиус Бора классической атомной орбиты, кото-
рая соответствует основному состоянию электрона в атоме водорода.
Единичный вектор е направлен от протона к электрону. Отрицательный
знак силы указывает на то, что сила Кулона является силой притяжения.
14.2. Плотность электрического заряда
Плотность электрического заряда позволяет описывать распределение заряда.
В то время, как величина Q показывает, что определенное количество
заряда находится в ограниченной области пространства, плотность электри-
ческого заряда определяет величину заряда в бесконечно малом объеме в
окрестности любой точки пространства. Распределение заряда представляет
собой больше информации о системе, чем общий заряд. Плотность заряда
является скалярной функцией координат.
Глава 14. Заряды и токи
1. Объемная плотность электрического заряда
Объемная плотность электрического заряда р определяется как отноше-
ние электрического заряда AQ, находящегося в объеме А К в окрестности
точки с радиус-вектором г, к величине объема (рис. 14.2, а). Если плотность
заряда является величиной, зависящей от координат, то величину объема
А К уменьшают до тех пор, пока заряд нельзя будет рассматривать как равно-
мерно распределенный. Такой процесс называют нахождением предельного
значения:
Плотность электрического заряда = Заряд Элемент объема L-3TI
p(r) = to ди—>о АГ аг Символ Единица измерения Название
р dQ г dr Кл/м3 Кл м м3 Плотность электрическо- го заряда Заряд в объеме dV Радиус-вектор Элемент объема в точке с радиус-вектором г
Кулон на кубический метр — единица измерения объемной плотности
электрического заряда р, принятая в СИ.
[р] = Кл/м3.
Плотность заряда при равномерном распределении его в объеме:
2. Поверхностная плотность заряда
Поверхностная плотность заряда описывает распределение заряда на по-
верхности (рис. 14.2, б) и представляет собой отношение электрического за-
ряда AQ на поверхности АЛ в окрестности точки с радиус-вектором г, к ве-
личине площади поверхности. При этом величину площади поверхности АЛ
уменьшают до тех пор, пока заряд нельзя будет рассматривать как равно-
мерно распределенный. Такой процесс называют нахождением предельного
значения:
„ Заряд Поверхностная плотность электрического заряда — Элемент площади L'2TI
AQ d£ ст(г) = hm — = — ад—>о АЛ dA Символ Единица измерения Название
о dG г dA Кл/м2 Кл м м2 Поверхностная плотность заряда Заряд на поверхности ал Радиус-вектор Элемент площади в окрестно- сти точки с радиус-вектором г
14.2. Плотность электрического
Рис. 14.2. Плотность электрического заряда: а — объемная плотность заря-
да р; б — поверхностная плотность заряда о; в — линейная плот-
ность заряда X
Кулон на квадратный метр — единица измерения поверхностной плот-
ности электрического заряда, принятая в СИ,
[о] = Кл/м2.
Поверхностная плотность заряда при равномерном распределении его на
поверхности:
= Q
А
3. Линейная плотность заряда
Линейная плотность заряда X описывает распределение электрического
заряда вдоль проводника в виде провода (рис. 14.2, в) и представляет собой
отношение электрического заряда Д(2, распределенного вдоль проводника
длиной Av в окрестности точки с радиус-вектором г, к длине. При этом дли-
ну проводника As уменьшают до тех пор, пока заряд нельзя будет рассмат-
ривать как равномерно распределенный. Такой процесс называют нахожде-
нием предельного значения:
тт „ Заряд Линейная плотность электрического заряда = 52 Элемент длины LJT1
/.(г) = lim — = — &->o As ds Символ Единица измерения Название
X ае г ds Кл/м Кл м м Линейная плотность заряда Заряд вдоль длины ск Радиус-вектор Приращение длины в окрестно- сти точки с радиус-вектором г
Кулон на метр — единица измерения линейной плотности электриче-
ского заряда, принятая в СИ.
[X] = Кл/м.
Линейная плотность заряда при равномерном распределении вдоль про-
водника длиной 5:
S
Глава 14. Заряды и токи
4. Средняя плотность заряда
Средняя плотность заряда определяется следующими выражениями:
средняя объемная плотность заряда р = ^ = -^ j p(f)dF,
_ Q Ip
средняя поверхностная плотность заряда о = — = — p(r)dA,
Л А\
средняя линейная плотность заряда X =
- = - J p(r)ds.
14.3. Электрический ток
1. Электрический ток
Электрическим током называется направленное движение заряженных
частиц в проводящих средах. Электрический ток может служить причиной
нагревания материала, электрохимических процессов, а также намагничи-
вания.
Элемент сопротивления в электрической цепи нагревается за счет проте-
кающего через него тока.
На электродах в химических растворах субстанции отделяются вследст-
вие обмена зарядами.
Катушка с протекающим по ней током окружена магнитным полем.
Вследствие этого кусок железа, помещенный внутрь катушки, намагни-
чивается.
2. Сила тока I
Сила тока / — количество заряда, протекающего через поперечное сече-
ние проводника А за интервал времени А/ (рис. 14.3). Если ток изменяется в
течение интервала времени А/, то интервал А/ уменьшают до тех пор, пока
ток нельзя будет рассматривать как постоянную величину.
^Отрицательный Положительный”*’
полюс полюс
Рис. 14.3. Ток как направленное движение носителей заряда и техническое
направление тока
Сила тока изменяющегося во времени потока электронов в проводнике
в момент времени t определяется количеством заряда dQ, который протекает
через поперечное сечение данного проводника за бесконечно малый проме-
жуток времени dt:
14.3. Электрический ток
~ Заряд Сила тока = Единица времени I
г Г AG d£) I = lim — = — д/-»о А/ dr Символ Единица измерения Название
I dQ dt А Кл = Ас с Сила тока за время t Переносимый заряд Интервал времени
При стационарном переносе заряда справедливо выражение:
Q = It.
3. Единица измерения электрического тока в системе СИ
Ампер — единица измерения электрического тока / в системе СИ, явля-
ется одной из основных единиц измерения. Сила тока в проводнике состав-
ляет 1 ампер в том случае, если через поперечное сечение проводника за
временной интервал Д/ = 1 с проходит количество заряда Д(2 = 1 Кл.
[7] - А = Кл/с
А Определение единицы измерения ам-
пер: сила тока I равна 1 А, если два
прямолинейных, расположенных на
расстоянии г = 1 м друг от друга про-
водника бесконечной длины с прене-
брежимо малым диаметром попереч-
ного сечения с протекающим по ним
постоянным во времени током I рав-
ной величины действуют друг на дру-
га с силой F = 2 10'7 Н на каждый
метр длины (рис. 14.4).
Рис. 14.4. К определению ампера,
как единицы измерения силы тока
▲ Техническое направление тока соответствует направлению движения по-
ложительных зарядов. В металлическом проводнике техническое направ-
ление тока противоположно направлению движения отрицательных но-
сителей заряда, т.е. электронов (см. рис. 14.3).
В электрической цепи движение электронов осуществляется от отрица-
тельного полюса источника напряжения к положительному. Однако техни-
ческое направление тока обозначают от положительного полюса (+) источ-
ника напряжения к отрицательному (-).
4. Постоянный ток
Это ток, величина I и направление которого постоянны во времени.
Протекающее за временной интервал Д/ через поперечное сечение провод-
ника количество заряда Д(2 пропорционально Д/:
г Д0
I = — = const.
А/
Глава 14. Заряды и токи
5. Переменный ток
Это ток, величина и направление которого периодически меняются во
времени.
Действия электрического постоянного и переменного тока приведены в
табл. 19.3/7.
Если в электрическом проводнике через заданное поперечное сечение за
период времени Аг = 60 с переносится количество заряда Д(2 = 3 Кл, то
это соответствует току
AQ _ 3 Кл
= 50 мА.
А/ 60 с
6. Измерение силы тока
Измерение силы тока происходит при помощи действия электрического
тока:
Электрические весы (используется механическое действие тока): провод-
ники с протекающими по ним токами оказывают друг на друга силовое воз-
действие посредством магнитного поля. Силу воздействия при помощи ве-
сов можно сравнить с силой тяжести.
Амперметр с нагреваемой нитью (тепловое воздействие): провод нагрева-
ется за счет текущего по нему тока и удлиняется. Удлинение можно измерить.
Электролиз (химическое воздействие): количество веществ, образующихся
за фиксированный интервал времени при электролизе пропорционально току.
Амперметр магнитоэлектрической системы: катушка с током отклоняет-
ся в магнитном поле. Отклонение тем больше, чем больше сила тока в ка-
тушке.
14.3.1 . Закон Ампера
Закон Ампера — проводники с током окружены магнитными полями, по-
средством которых они оказывают друг на друга силовое воздействие.
▲ Сила, с которой два проводника с током воздействуют друг на друга,
пропорциональна произведению токов Г{ и /2, проходящих через про-
водник, длине проводника I и обратно пропорциональна расстоянию
между проводниками (рис. 14.4).
Закон Ампера LT-2M
р _ Цо 2л г Ро = 4л • 10-7 Символ Единица измерения Название
F 1 г Но н А м м В-с/(А-м) Сила Сила тока 1, 2 Длина проводника Расстояние между проводниками Магнитная постоянная
> Закон Ампера применяется для определения единицы измерения силы
тока.
14.4. Плотность электрического тока
14.4. Плотность электрического тока
1. Определение плотности электрического тока
Плотность электрического тока J позволяет описывать распределение
электрического тока в пространственном проводнике. Плотность электриче-
ского тока является векторной величиной, направление которой соответст-
вует направлению движения положите-
льных носителей заряда. Модуль плот-
ности тока рассчитывается как сила
тока А/, которая проходит через попе-
речное сечение проводника, перпенди-
кулярное направлению движения носи-
телей заряда АЛ±, деленная на площадь
сечения (рис. 14.5). Если сила тока из-
меняется в зависимости от координат,
то плотность тока определяется с помо-
щью дифференциального отношения:
Рис. 14.5. К определению плотно-
сти тока J
Плотность тока = сила тока/приращение площади L"2I
Т .. AZ dZ J = lim = д^±->одл± d/lL Символ Единица измерения Название
J дл± д/ dXj. dZ А/м2 м2 А м2 А Плотность тока Элемент площади Ток, проходящий через Бесконечно малое приращение площади Ток, проходящий через cL4j_
Ампер на квадратный метр, А/м2 — единица измерения плотности тока
7, принятая в СИ. Плотность тока составляет 1 А/м2, если через перпенди-
кулярную к направлению тока поверхность площадью = 1 м2 течет ток
силой в 1 ампер.
[ J] = А/м2.
2. Свойства плотности тока
В то время как сила тока является величиной, показывающей количест-
во заряда, переносимое через заданное поперечное сечение, плотность элек-
трического заряда позволяет определить направление переноса заряда, а
также величину переносимого заряда в каждой точке пространства.
Если ток /, проходящий через поверхность А±, в каждой точке простран-
ства постоянен, то плотность тока определяется следующим выражением:
Ток I - 2 А, протекающий по металлическому проводу с поперечным се-
чением А = 2,5 мм2, соответствует плотности тока
Глава 14. Заряды и токи
I _ 2 А
А 2,5 мм2
2 А
2,5*10-6 м2
= 8*105 А/м2.
Плотность тока J определяет направление, противоположное движению
электронов, т.е. техническое направление тока.
3. Определение плотности тока через произведение
Плотность тока определяется как произведение объемной плотности за-
ряда р и локальной усредненной скорости v носителей заряда (рис. 14.6):
J = р • V.
Рис. 14.6. Плотность тока как произведение объемной плотности заряда р и
скорости носителей заряда v: ДК= Д/-А — элемент объема
4. Сила тока как интеграл произведения плотности тока и площади
Сила тока может быть выражена как произведение компоненты плотно-
сти тока J cos а, направленного перпендикулярно поверхности ДЛ, и площа-
ди поверхности ДЛ:
I = J cos а • ДА
Если плотность тока на поверхности ДЛ не постоянна, тогда применяют
дифференциальную форму:
d/ = J -dA- cos а = J • dA.
Ток через любую поверхность А задается интегралом:
Ток = интеграл плотности тока по площади I
I =| JdA А Символ Единица измерения Название
/ J dA А А А/м2 м2 м2 Сила тока Плотность тока Бесконечно малый элемент площади Общая площадь
Вектор dA направлен по нормали к поверхности, а его модуль равен пло-
щади поверхности dA.
5. Первый закон Кирхгофа
▲ Как следствие закона сохранения заряда сумма всех токов, протекающих
через замкнутую поверхность, равна нулю:
j) J • dA = 0, первый закон Кирхгофа.
А
14.5. Электрическое сопротивление и
14.4.1. Электрическое поле
1. Электрическое поле и линии тока
Электрическое поле определяет плотность электрического тока в каждой
точке пространства.
Если электрическое поле неизменно во времени, то оно называется ста-
ционарным электрическим полем. Плотность тока в этом случае является
постоянной величиной во времени, однако она может изменяться в про-
странстве. В стационарном электрическом поле количество заряда, проходя-
щего за единицу времени через поверхность, остается постоянным.
Линии тока служат в качестве наглядного пояснения понятия «плот-
ность электрического тока».
Для линий тока справедливы следующие утверждения:
• Линии тока совпадают с траекториями движения положительных носи-
телей заряда.
• Касательная к линии тока в точке совпадает с направлением вектора
плотности тока в этой точке.
2. Свойства линий тока
• Плотность линий тока пропорциональна силе тока.
• Линии тока непрерывны, так как направление движения носителей за-
ряда в каждой точке определено однозначно.
Линии тока в длинном прямолинейном проводе проходят параллельно
оси провода.
Линии тока от точечного источника тока в пространственной проводя-
щей среде проходят радиально источнику. Плотность тока убывает по
квадратичному закону с ростом расстояния между источниками.
Линии тока металлического цилиндра в пространственной проводящей
среде проходят радиально наружу перпендикулярно к оси цилиндра.
Линии тока кругового проводника представляют собой концентрические
окружности в проводящей области, параллельные согнутой центральной
оси провода.
14.5. Электрическое сопротивление
и электрическая проводимость
14.5.1. Электрическое сопротивление
1. Определение электрического сопротивления
Электрическое сопротивление проводника определяет величину силы
тока при заданном напряжении на концах проводника. Сопротивление R
равно отношению напряжения U к силе тока I.
Напряжение Сопротивление = Ток 1?Т'МГ2
R-4 I Символ Единица измерения Название
R и I Ом = В/А В А Электрическое сопротивление Напряжение Сила тока
Глава 14. Заряды и токи
Ом — единица измерения электрического сопротивления, принятая в
СИ. Проводник имеет сопротивление 1 Ом, если по нему протекает ток си-
лой в 1 А, а к его концам прикладывается напряжение 1 В.
[Л] = В/А.
2. Закон Ома
В омическом проводнике напряжение U пропорционально силе тока I.
Коэффициентом пропорциональности является омическое сопротивление R.
Напряжение = сопротивление-ток (закон Ома) РТ-ЗМ!1
и =RI Символ Единица измерения Название
R и I Ом = В/А В А Электрическое сопротивление Напряжение Сила тока
3. Вольт-амперная характеристика —
графическое представление взаимосвязи между током и напряжением.
Линейное сопротивление — омическое сопротивление, сопротивление с
линейной вольт-амперной характеристикой (рис. 14.7, а).
Рис. 14.7. Вольт-амперная характе-
ристика: а — линейное сопротивле-
ние; б — нелинейное сопротивление
Нелинейное сопротивление —
вольт-амперная характеристика не яв-
ляется прямой линией (рис. 14.7, б).
Металлический проводник при по-
стоянной температуре имеет линейную
вольт-амперную характеристику. Ток,
протекающий через металлический
проводник, нагревает его. Соотноше-
ние между током и напряжением при
большом токе перестает быть линей-
ным.
Вольт-амперная характеристика диода не линейна.
14.5.2. Электрическая проводимость
Электрическая проводимость G — величина, обратная электрическому со-
противлению, равная отношению тока I к напряжению U.
1 Ток Проводимость = Сопротивление Напряжение Ь^ГМ1!2
и II Символ Единица измерения Название
G R и I См Ом В А Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Напряжение Сила тока
Сименс (См) — единица измерения электрической проводимости G,
принятая в СИ. Если электрическое сопротивление проводника R = 1 Ом,
то электрическая проводимость G равна 1 См.
[С] = См = 1/Ом = А/В.
14.5.3. Удельное сопротивление
и электрическая удельная проводимость
Удельное сопротивление р — величина, зависящая от материала и не зави-
сящая от геометрии проводника.
Электрическая удельная проводимость х — величина, обратная значе-
нию удельного сопротивления.
1. Сопротивления провода
R пропорционально длине провода и обратно пропорционально его по-
перечному сечению А. Коэффициентом пропорциональности является уде-
льное сопротивление р (рис. 14.8).
Рис. 14.8. Сопротивление провода в зависимости от его длины / и попереч-
ного сечения А
_ Длина Сопротивление = удельное сопротивление Площадь L2T3MI2
>3 11 Х|- II Л 11— X 1 — Символ Единица измерения Название
R Р к / А Ом Ом-м См-м м м2 Сопротивление Удельное сопротивление Удельная проводимость Длина провода Площадь поперечного сече- ния провода
2. Единицы измерения удельного сопротивления и удельной проводимости
Ом на метр (Ом-м) — единица измерения удельного сопротивления р.
[р] = Ом-м.
Глава 14. Заряды и токи
> Удельное сопротивление и плотность поверхностного заряда имеют оди-
наковое символьное обозначение р.
> Удельное сопротивление не зависит от массы, однако является величи-
ной, определяемой свойствами материала в отличие от сопротивления,
определяемого в молекулярной физике.
Сименс на метр (См/м) — единица измерения удельной проводимости к,
принятая в СИ.
[к] = Смм.
Удельное сопротивление золота 2,04-10-2 Ом-мм2/м, платино-родиевого
сплава (10%) 20-10~2 Оммм2/м, графита 800-10-2 Оммм2/м.
Удельное сопротивление материалов указано в табл. 19.1/1, некоторых
сплавов — в табл. 19.1/4, некоторых сплавов высокого сопротивления — в
табл. 19.3/1. Удельное сопротивление диэлектриков приведено в таблицах
19.2/5 и 19.2/6.
Для медной проволоки длиной / = 2 м с поперечным сечением А = 1 мм2
удельное сопротивление р = 0,0178 Оммм2/м. Сопротивление этой про-
волоки составляет:
R = р - = 0,0178 Ом • мм2 /мм = 0,0356 Ом.
А 1 мм2
14.5.4. Подвижность носителей заряда
1. Подвижность носителей заряда
b определяет среднюю дрейфовую скорость и носителей заряда в элект-
рическом поле напряженностью Е.
Средняя скорость Подвижность = Напряженность Т2М '1
ca- ll I Cl II 1 Символ Единица измерения Название
b и Е 1 и м2/(В-с) м/с В/м м В Подвижность Средняя скорость дрейфа Напряженность электрического поля Длина Падение напряжения
Квадратный метр на вольт-секунду, м2/(В-с) — единица измерения по-
движности в системе СИ:
[/>] = м2/(В-с).
В случае линейного сопротивления средняя дрейфовая скорость пропор-
циональна электрической напряженности.
Удельная электрическая проводимость равна произведению плотности
заряда и подвижности носителей заряда:
к = р • Ь.
Удельная электрическая проводимость очищенного золота:
45,7 Ом-1 м-мм-2.
Удельная электрическая проводимость некоторых материалов для элект-
рических контактов приведена в табл. 19.3/3.
2. Пример решения задачи по определению подвижности электронов
К концам металлического провода длиной 1 м приложено напряжение
U = 5 В. Средняя скорость дрейфа электронов в проводе составляет
б = 50 мкм/с = 5-10“5 м/с. Значит, подвижность электронов равна:
, и / 5-Ю"5 м/с-1м 1П s 9//п ч
b =---=-----------------= 10~5 м2 /(В • с).
U 5В
Плотность заряда электронов в металле составляет р = 1,36-1010 Кл/м3.
Теперь можно найти удельную электрическую проводимость металлического
провода:
к= р-b = 1,36 1010 Кл/мМО-5 м2/(В-с) = 1,36 105 См/м.
Удельное сопротивление провода равно:
р = 1 = 7,35-10-6 Ом м.
К
14.5.5. Температурная зависимость сопротивления
Удельное сопротивление р, следовательно, и электрическое сопротивление
R проводника зависят от температуры. Во многих случаях зависимость со-
противления от температуры принимают линейной. В этом случае достаточ-
но указать значение сопротивления при определенной температуре (как
правило, сопротивление при комнатной температуре 0О = 293,15 К) и темпе-
ратурного коэффициента.
1. Температурный коэффициент —
постоянный коэффициент пропорциональности, характеризующий от-
носительное изменение сопротивления &R/R при изменении температуры
на ДО = 1 К.
Сопротивление как функция температуры L2T3MI2
Я(0) = /?о(1 + «АО) р(6) = ро(1 + аДО) Символ Единица измерения Название
Р,Ро де а Ом Омм К 1/К Сопротивление Удельное сопротивление Изменение температуры Температурный коэффициент
Глава 14. Заряды и токи
Кельвин в минус первой степени — единица измерения температурного
коэффициента, принятая в СИ.
[сх] = 1/К.
2. Свойства температурного коэффициента
Для многих проводников температурный коэффициент лежит в области
Ю“3 = 1/К, например, для золота а = 4-10~3 1/К.
Значения температурного коэффициента для различных проводников
указаны в табл. 19.1/1, для сплавов в табл. 19.1/4 и сплавов высокого сопро-
тивления в табл. 19.3/1.
Если сопротивление в зависимости от температуры меняется нелинейно,
тогда для описания изменения сопротивления используют степенной ряд:
i
и вводят соответствующее число коэффициентов ccz, i = 1,..., п.
Постоянное сопротивление в переключательной схеме не должно менять
свое значение с изменением температуры.
PTC (Positive Temperature Coefficient) — резистор с положительным тем-
пературным коэффициентом, его сопротивление растет с ростом температу-
ры, температурный коэффициент такого проводника положительный. РТС
изготавливают из металлической проволоки. Применяется в качестве термо-
стата, датчика температуры и токового стабилизатора.
NTC (Negative Temperature Coefficient) — резистор с отрицательным тем-
пературным коэффициентом, его сопротивление растет со снижением тем-
пературы, температурный коэффициент такого проводника отрицательный.
NTC изготавливают из полупроводниковых сплавов. Применяются в качест-
ве датчиков температуры и стабилизаторов напряжения (рис. 14.9).
Рис. 14.9. Температурная зависимость сопротивле-
ния термисторов с положительным температурным
коэффициентом (а < 0) и с отрицательным темпе-
ратурным коэффициентом (а > 0): 0 — температура;
РТС — термистор; NTC — термистор
> Электрическое сопротивление металлов также может зависеть от давле-
ния. Аналогом температурного коэффициента в этом случае является ко-
эффициент давления (1/р) dp/d/?. Значения коэффициента давления для
некоторых металлов приведены в табл. 19.2/1.
14.5.6. Переменное сопротивление
Переменный резистор изменяет свое сопротивление в зависимости от внеш-
них воздействий.
Наряду с резисторами, зависящими от температуры и от давления, суще-
ствуют следующие виды резисторов:
• Настраиваемый резистор, потенциометр — изменяет свое сопротивление
при ручной настройке. Линейно регулируемый резистор применяется в
качестве делителя напряжения, логарифмически регулируемый — в каче-
стве регулятора звука.
• Фоторезистор, LDR (Light Dependent Resistance) — изменяет свое сопро-
тивление в зависимости от интенсивности падающего света, применяет-
ся в качестве измерителя освещения.
• Зависимый от напряжения резистор, VDR (Voltage Dependent Resistance),
варистор изменяет свое сопротивление при изменении приложенного
напряжения. Применяется в качестве стабилизатора напряжения.
Рис. 14.10. Последовательная схема включения сопротивления
14.5.7. Включение сопротивления
1. Последовательное включение п сопротивлений
Сила тока I во всех резисторах одинакова. Общее падение напряжения
U, которое состоит из суммы напряжений Ц = • I на каждом элементе Rh
можно выразить через общее сопротивление:
U = U{ + и2+---+ип,
U — ^общ ‘ I •>
^общ = Л + ^2 4--•
Выражение для общей проводимости имеет вид:
бобщ G2 G3 Gn
2. Параллельное включение п сопротивлений
Напряжение U во всех ветвях цепи одинаково. По каждой ветви проте-
кает ток /z =U/Rj, из которого, складывается общий ток /:
I = + 12 + 13+--*+1П9
I
I
Рис. 14.11. Параллельное включение сопротивлений
Общее сопротивление 7?общ меньше, чем любое из сопротивлений цепи
Ri. Общая проводимость Собщ — это сумма проводимостей каждой отдель-
ной ветви цепи С/,
бобщ - G5! + Gi + £?з . .+Gn.
3. Включение потенциометра
Потенциометр служит для разделения общего напряжения на меньшие
напряжения, причем делитель напряжения нагружен на внешнюю нагрузку
Ra. Для ответвленного напряжения справедливо выражение:
иа=и--------.
R\R^ + Ra(R\ +^2)
В случае малой нагрузки (Ra »Л1Л2/(А1 + А2)) током, текущим через
внешнее сопротивление можно пренебречь, в этом случае формула упроща-
ется:
и а =и-
Я| + r2
Рис. 14.12. Включение потенциометра
ГЛАВА 15
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ
И МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Источниками электрических полей являются электрические заряды
и/или переменные во времени магнитные поля.
Источниками магнитных полей служат постоянные магниты или токи,
т.е. движущиеся электрические заряды.
Вокруг движущегося электрического заряда возникает как электриче-
ское, так и магнитное поле. В состоянии покоя электрический заряд порож-
дает только электрическое поле; магнитное поле отсутствует.
Электрическое и магнитное поля являются векторными.
Векторное поле V(f) в каждой точке пространства с координатами
г = (х, у, z) характеризуется вектором:
V = V(f).
Скалярное поле /(г) — это функция, которая в каждой точке простран-
ства г = (х, у, z) характеризуется числом:
f = /(f)-
Электрическое поле является векторным полем. В каждой точке про-
странства г существует напряженность электрического поля Ё(г).
Электрический потенциал представляет собой скалярное поле. Каждая
точка пространства г характеризуется числом, потенциалом <р(г).
> Несмотря на то, что существует зависимость характеристик магнитного
и электрического полей от координат, обычно аргумент г в скобках по-
сле характеристики не указывают, как, например, и в случае с электри-
ческим полем точечного заряда.
15.1. Электрическое поле
Электрическое поле — свойство пространства вокруг электрического заряда.
Электрическое поле является векторным полем. Каждая точка пространства
характеризуется напряженностью электрического поля, которая пропорцио-
нальна величине электрического заряда.
1. Напряженность электрического поля
Напряженность электрического поля, Е, —- это вектор, модуль которого
определяет силу, а ориентация — направление электрического поля, в кото-
ром ускоряется положительный пробный заряд. Электрическая напряжен-
ность определяется силой F, действующей на пробный заряд Q со стороны
электрического поля, и величиной пробного заряда:
Т1 Сила Напряженность = Пробный заряд LT3MI1
41 11 А 'gl Символ Единица измерения Название
Ё F Q В/м н Кл Напряженность электрического поля Сила, действующая на пробный заряд Пробный заряд
Вольт на метр, В/м — единица измерения напряженности электрическо-
го поля Ё в системе СИ. В точке пространства с радиус-вектором г напря-
женность электрического поля равна Е = 1 В/м, если на заряд Q - 1 Кл в
точке г действует сила F = 1 Н,
[Ё] = В/м = Н/Кл.
> Взаимное действие положительных и отрицательных зарядов приводит к
тому, что электрические поля перекрываются. В отличие от электриче-
ского поля гравитационное поле не может быть скомпенсировано.
2. Пробный заряд
Пробным называется заряд, который вносится в электрическое поле,
чтобы определить модуль и направление напряженности поля. Заряд должен
быть настолько мал, чтобы оказывать незначительно малое воздействие на
первоначальное поле. В теоретическом рассмотрении пробный заряд прини-
мают бесконечно малым, даже несмотря на то, что существует минималь-
ный или элементарный заряд.
Если на заряд Q = -10-9 Кл действует сила F = 10-5 Н, то напряженность
электрического поля в точке нахождения пробного заряда равна Е = 104 В/м.
Направление напряженности противоположно направлению силы.
3. Однородное электрическое поле
Модуль и направление напряженности в каждой точке рассматриваемого
пространства постоянны. На пробный заряд Q в каждой точке пространства
действует одинаковая сила F:
При рассмотрении плоского конденсатора электрическое поле между
пластинами конденсатора можно считать однородным, если расстояние
между ними намного меньше их площади.
15-2. Электростатическая индукция
1. Электрический проводник
Электрическим проводником называют материал, в котором присутству-
ют заряды, которые могут свободно двигаться.
Металлы являются проводниками. Движущимися зарядами в них явля-
ются электроны проводимости.
15.2. Электростатическая индукция
Солевые растворы также являются проводниками. Движущиеся заряды в
растворах — это положительные и отрицательные ионы.
Плазма — проводник, в котором в роли подвижных зарядов выступают
электроны, а также атомы без электронной оболочки.
Одноименные заряды отталкиваются. Некомпенсированные одноимен-
ные заряды удаляются друг от друга до тех пор, пока расстояние между
ними не становится максимально возможным.
▲ Электрический заряд находится на поверхности заряженного проводни-
ка. Поле внутри металлического проводника равно нулю. В противном
случае на свободные носители действовали бы силы, вследствие чего
происходило бы их движение.
2. Индукция
Движение подвижных электронов в проводнике в случае его внесения в
электрическое поле называется электростатической индукцией.
Если между пластинами заряженного конденсатора поместить металл, то
свободные электроны сдвинутся в сторону положительно заряженной
пластины. Между оставшимися атомами, отдавшими электроны (поло-
жительные заряды), и ушедшими электронами (отрицательные заряды)
возникает электрическое поле, которое противодействует первоначаль-
ному полю конденсатора. Движение электронов продолжается до тех
пор, пока эти электрические поля не скомпенсируют друг друга.
> В диэлектриках пространственное перераспределение зарядов в атомах
или молекулах (образование диполей) называют поляризацией.
15.2.1. Силовые линии электростатического поля
1. Силовые линии
Силовые линии — это воображаемые линии силового воздействия поля
в пространстве.
Приняты следующие утверждения:
• Направление силовых линий в точке соответствует направлению элект-
рической напряженности, т.е. силе, действующей на положительный за-
ряд в этой точке.
• Силовые линии электростатического поля начинаются на положитель-
ных зарядах (источники поля) и заканчиваются на отрицательных заря-
дах (стоки поля).
Из этого следует:
• В электростатике нет замкнутых электрических силовых линий. Элект-
ростатическое поле — невихревое.
• Силовые линии непрерывны; направление электрических силовых ли-
ний в каждой точке однозначно.
• Чем выше плотность силовых линий, тем сильнее электрическое поле.
▲ В случае металлического проводника силовые линии перпендикулярны
его поверхности.
Глава 15. Электрическое и магнитное поле
Если бы существовала компонента напряженности поля, тангенциальная
к поверхности проводника, то носители заряда двигались бы до установле-
ния силового равновесия. А это означало бы, что тангенциальная составля-
ющая электрической напряженности поля исчезла.
2. Клетка Фарадея
Клетка Фарадея (или «щит Фарадея») — это металлическое ограждение
пространства, свободного от электрического поля. Клетка Фарадея служит
для того, чтобы в пространство не проникали никакие электрические поля
(экранирование).
Во время грозы, например, автомобиль в качестве клетки Фарадея защи-
щает пассажиров от удара молнии (если пассажиры сидят глубоко вну-
три машины, и внутренняя обшивка служит изолятором).
3. Силовые линии в случае различных распределений заряда
а) Точечный заряд — заряд, размеры которого пренебрежимо малы. Си-
ловые линии электростатического поля положительного точечного заряда по
определению направлены радиально от него (рис. 15.1, а). Электрические
силовые линии отрицательного точечного заряда направлены радиально к
нему (рис. 15.1, б). Электрическое поле вокруг точечного заряда изотропно.
Рис. 15.1, в и г иллюстрирует силовые линии системы из двух зарядов.
Рис. 15.1. Электрические силовые линии: а — положительный точечный за-
ряд; б — отрицательный точечный заряд; в — два одинаковых од-
ноименных заряда; г — два одинаковых разноименных заряда
б) Точечный заряд и проводящая пластина: рис. 15.2 демонстрирует рас-
положение силовых линий точечного заряда, который находится вблизи
проводящей пластины.
в) Плоский конденсатор — две плоские заряженные пластины, располо-
женные друг против друга на определенном расстоянии. Электрические сило-
вые линии между пластинами представляют собой линии, параллельные друг
другу и перпендикулярные поверхности пластины (без учета краевых облас-
тей, рис. 15.3, а). Электрическое поле внутри конденсатора однородно.
Рис. 15.3, б иллюстрирует расположение силовых линий шарового кон-
денсатора.
4. Электрический диполь
Электрическим диполем называются два точечных заряда +Q и -Q, рас-
стояние между которыми равно d. Положительный заряд находится в точке
с радиус-вектором г+, а отрицательный — в точке с радиус-вектором г_.
15.2. Электростатическая индукция
Рис. 15.2. Электрические сило-
вые линии. Точечный заряд
вблизи проводящей пластины
Рис. 15.3. Электрические силовые ли-
нии: а — плоский конденсатор; б —
шаровой конденсатор
Электрический дипольный момент р ра-
вен произведению заряда Q и вектора рассто-
яния между зарядами d:
р = C(r+ + f.) = Qd.
Оба точечных заряда называются полюса-
ми. Линия, соединяющая полюсы, — диполь-
ная ось. Дипольный момент р — вектор, ле-
жащий на дипольной оси, который по опре-
делению направлен от отрицательного заряда
к положительному.
Рис. 15.4. Электрический ди-
поль: р — дипольный момент
5. Диполь в электрическом поле
▲ Снаружи диполь нейтрален.
Потенциальная энергия в электрическом поле Ё:
-^пот ~ ~Р * Е •
В однородном электрическом поле Ё на диполь действует вращающий
момент М (рис. 15.5, а),
М = р х Ё = Q • (d х Ё).
Рис. 15.5. Диполь в электрическом поле Е: а — силы и вращающий момент в
однородном электрическом поле; б — сила, действующая на ди-
поль в неоднородном электрическом поле (F_>F+)
17—3814
Глава 15. Электрическое и магнитное поле
Вращающий момент поворачивает диполь в направлении электрического
поля.
В неоднородном электрическом поле Ё на диполь воздействует сила F,
которая перемещает его в область более высоких значений напряженности
поля (рис. 15.5, б),
F = (₽• — ^Ё.
I Зг)
Молекула водорода Н2О обладает постоянным дипольным моментом
6,17-10-30 Клм.
6. Электрическое поле на большом расстоянии от диполя
Электрическое поле диполя представлено на рис. 15.6, а.
Распределение заряда, которое не имеет дипольного момента, может об-
ладать постоянным квадрупольным моментом. Электрическое поле такой
системы зарядов показано на рис. 15.6, б.
Рис. 15.6. а — электрическое поле диполя; б — электрическое поле квадру-
поля
15.2.2. Напряженность электрического поля
точечного заряда
1. Напряженность электрического поля точечного заряда
Ё — это направленная величина. Модуль напряженности определяется
интенсивностью электрического поля точечного заряда Q на расстоянии г от
самого заряда; напряженность направлена радиально от положительного за-
ряда к отрицательному; она убывает обратно пропорционально квадрату
расстояния.
.. Заряд Напряженность электрического поля ~ Квадрат расстояния ЬТ-ЗМГ1
Ё = —-—- 4л8()Г2 г Символ Единица измерения Название
Ё Q г Со Н/Кл = В/м Кл м Кл/(В-м) Напряженность электрического поля заряда Q Заряд — источник поля Вектор расстояния Электрическая постоянная
15.3. Сила
Заряд Q = IO-6 Кл на расстоянии г = 1 м создает электрическое поле
Е = —— = 10 6 101 = 8988 В/м.
4л£о^2 4л£о -(1м)2
Напряженность электрического поля направлена радиально от точечного
заряда.
2. Напряженность электрического поля нескольких зарядов
Напряженность электрического поляЁ, создаваемого N точечными заря-
дами в точках пространства с радиус-векторами fz складывается по принци-
пу суперпозиции из напряженностей электрических полей Ё/ всех точечных
зарядов:
Ё(г) = ХЁ1(й) =
/=1
1 у Qi
4ле0 “f|f-i;-|2 | f - 17 Г
3. Напряженность электрического поля при распределении пространствен-
ного заряда
Напряженность электрического поля Е при распределении пространст-
венного заряда р(г') выражается интегралом:
Ё(г) =
1
4ле0
г р(г') f - г'
J,|f-r'|2 |f-f'|
dr.
15.3. Сила
Сила, действующая на электрический пробный заряд Q в электрическом
поле, равна произведению величины заряда Q и вектора напряженности
поля Ё. Сила является направленной величиной. В случае положительного
заряда ее направление совпадает с направлением электрического поля, в
случае отрицательного — сила и напряженность имеют взаимно противопо-
ложные направления.
Сила = пробный заряд • напряженность электрического поля LT2M
f = е-Ё Символ Единица измерения Название
F Q Ё н Кл Н/Кл = В/м Сила, действующая на электрический заряд Электрический заряд Напряженность электри- ческого поля
В электрическом поле напряженностью Е = 200 В/м на отрицательный за-
ряд Q - -10-6 Кл действует сила, равная F = 10-6 Кл-200 В/м = 2 -10-4 Н.
Сила F и напряженность поля Ё имеют взаимно противоположные на-
правления.
15.4. Электрическое напряжение
1. Определение напряжения
Электрическое напряжение U между точками А и В — это величина, равная
отношению работы электрического поля по перемещению пробного заряда
по непрерывному пути s из точки А поля в точку В к величине этого заряда
(рис. 15.7). При перемещении на заряд со стороны поля действует силаЕ = 0Ё.
Рис. 15.7. Перемещение заряда в электрическом поле: а — перемещение за-
ряда вдоль элемента пути Ду; б — перемещение заряда вдоль лома-
ной из точки А в точку В; в — перемещение заряда вдоль кривой 5
из точки А в точку В
Если силаЕ вдоль всего перемещения является постоянной величиной, то
напряжение, а следовательно работа Д1Кпо перемещению заряда будет равна:
тт AJV FAvcosa .
U =--------------------------=----------= Е • As,
Q Q
где о — угол между направлениями силы и перемещения.
2. Выражение напряжения через интеграл
Для любого пути s из точки А в точку В проводят разбиение пути на малые
прямые As,. В этом случае электрическое напряжение UАВ между точками А и
В представляет собой сумму напряжений на каждом отдельном элементе пути:
иАВ =
i i
Если произвести разбиение на отрезки бесконечно малой длины, то сум-
му можно заменить интегралом:
Работа Напряжение = РТЗМН Пробный заряд г iV±1
^=^=jE-ds А Символ Единица измерения Название
и АВ Wab Q Ё ds В = Н-м/Кл Вт = Н м Кл В/м м Напряжение между точками А и В Совершенная работа Пробный заряд Напряженность электриче- ского поля Элемент пути
15.5. Электрический потенциал
Вольт (В) — единица измерения электрического напряжения в системе
СИ. Напряжение равно 1 В, если совершаемая работа по перемещению за-
ряда Q = 1 Кл равна W = 1 Дж,
[U] = В = Дж/Кл.
▲ Интеграл напряженности электрического поля по замкнутому контуру s
равен нулю:
ds =0.
5
Это утверждение вытекает из закона сохранения энергии. Следствием
этого выражения является правило контуров или второй закон Кирхгофа.
3. Электрическое напряжение между двумя пластинами конденсатора
равно произведению напряженности электрического поля Е и расстоя-
ния d между пластинами конденсатора:
Напряжение = напряженность поля • расстояние между пластинами L2T3MI-'
и = Ed Символ Единица измерения Название
и Е d В = Нм/Кл Н/Кл = В/м м Электрическое напряжение Напряженность электрического поля Расстояние между пластинами
Сила, действующая на заряд со стороны поля конденсатора, постоянна.
Электрическое поле Ё однородно. Напряженность электрического поля равна:
U
d
15.5. Электрический потенциал
1. Определение и свойства потенциала
Электрический потенциал фА точки А электрического поля — это напря-
жение между точкой А и фиксированной точкой отсчета Р. Электрический
потенциал фА определяется работой W'A, совершаемой силой F' =-QE, по
перемещению заряда Q из точки Р в точку А.
В качестве точки отсчета Р в большинстве случаев выбирают точку в
бесконечности, в которой потенциал принимают равным нулю фр = фда = 0.
▲ В этом случае потенциал будет зависеть только от точки А. Таким обра-
зом, потенциал является скалярной функцией координат.
Работа WA определяет потенциальную энергию Е^А) заряда Q в элект-
рическом поле Ё:
^пот(^) — Q ’ фД ^пот(°°) — 0.
„ Работа Потенциал = Пробный заряд РТ-ЗМГ1
m - £пот(Я) _ е q = -/Ё<В 00 Символ Единица измерения Название
Фа Q Ё ds у ^ПОТ В = Нм/Кл Вт = Н м Кл Н/Кл = В/М м Дж Потенциал в точке А Работа при перемещении заряда Q Пробный заряд Напряженность электриче- ского поля Бесконечно малый элемент пути Потенциальная энергия
2. Потенциал и напряженность электрического поля
Разностью потенциалов фл - называют напряжение между точками А
и В\
А Л В Л В
Фл - У в = “J Ё • ds - -j Ё • ds = j Ё • ds = UAB.
Компонента напряженности электрического поля Ё в направлении осей
координат х, у и z определяется убыванием потенциала в этих направлениях:
Е =-^ Е =-^ Е =-^
dx ’ У dy ’ z dz
В трехмерном пространстве напряжение поля Ё выражается через гради-
ент электрического потенциала:
a<₽ g . 6 (р g . 5(р g
-- Су 1---vv 1---L
дх ду dz )
Ё =
Здесь ёх, еу, ег — единичные векторы по направлениям осей координат х, у и z-
> Напряженность электрического поля не зависит от выбора начала коор-
динат.
3. Уравнение Пуассона
Потенциал можно выразить через распределение плотности объемного
заряда р(г) следующим образом:
4ле0 J | г - г |
Уравнение Пуассона — дифференциальное уравнение для расчета элект-
рического потенциала ф через плотность заряда р( г):
Дф =
а2 + а2 + а2
дх2 ду2 dz2 J
Ф=-^
£о
15.5-1. Эквипотенциальные поверхности
Эквипотенциальные поверхности — поверх-
ности равного электрического потенциала.
Эквипотенциальные поверхности непрерыв-
ны и не имеют точек пересечения или каса-
ния. Напряженность электрического поля
всегда ортогональна эквипотенциальным по-
верхностям (рис. 15.8).
Поверхность проводника представляет со-
бой эквипотенциальную поверхность. Если
бы компонента напряженности была направ-
лена вдоль поверхности проводника, это при-
вело бы к перемещению заряда по поверх-
ности.
Рис. 15.8. Эквипотенциальные
поверхности (р = const и на-
пряженность электрического
поля Е пространственного рас-
пределения заряда
15.5.2. Напряженность поля и потенциал
в случае некоторых типов распределения заряда
1. Точечный заряд
Потенциал ср точечного заряда в трехмерном пространстве обратно про-
порционален расстоянию г от заряда до точки наблюдения. Напряженность
электрического поля убывает обратно пропорционально квадрату расстоя-
ния г.
Напряженность и потенциал точечного заряда
4л£о г2 1 Г I Q 1 Ф = Л 4лео г Символ Единица измерения Название
Ё <Р Q г ЕО В/м В Кл м Кл/(Вм) Напряженность в точке с векто- ром г Потенциал в точке с вектором г Точечный заряд Q Радиус-вектор Электрическая постоянная
2. Диполь
На большом расстоянии от диполя (|r|»|d|) потенциал диполя стре-
мится к нулю обратно пропорционально квадрату расстояния г. На малых
расстояниях и в случае неточечных зарядов происходит перекрытие потен-
циальных полей высших мультиполей, которые затухают тем быстрее, чем
больше расстояние от диполя, так что на больших расстояниях учитывают
только поле диполя.
Глава 15. Электрическое и магнитное поле
Напряженность и потенциал диполя
р 1 (3(р • г)г р А 4лёо г5 г3) 1 р Г ф = 4л£0 г3 P-Gd d = f f Символ Единица измерения Название
Ё Ф Q Р Г+ г_ d £о В/м В Кл Клм м м м Кл/(Вм) Напряженность в точке с вектором г Потенциал в точке с век- тором г Заряд Дипольный момент Радиус-вектор положите- льного полюса Радиус-вектор отрицатель- ного полюса Вектор расстояния между полюсами Электрическая постоянная
3. Заряженная полая сфера
Электрическое поле внутри однородно заряженной полой сферы радиу-
сом R равно нулю. Электрический потенциал в этой области является по-
стоянной величиной. Потенциал ср снаружи шара (г > R) обратно пропорци-
онален расстоянию г от его центра. Напряженность электрического поля
убывает обратно пропорционально квадрату расстояния г.
Напряженность и потенциал вне полой сферы
Ё- Q 1г Символ Единица измерения Название
4ле0 г2 | г| Q 1 ф " Л 4ле0 г Ё Ф Q г £0 В/м В Кл м Кл/(Вм) Напряженность поля на расстоянии г Потенциал поля на расстоянии г Заряд полой сферы Расстояние от центра сферы Электрическая постоянная
4. Однородно заряженный шар
Электрическое поле внутри шара линейно возрастает с ростом расстоя-
ния от центра шара. Потенциал внутри шара растет пропорционально квад-
рату расстояния.
Напряженность и потенциал внутри шара
1 и' ОО I II ° 1 8 Z" ° 1 03 >3 1 Символ Единица измерения Название
Ё Ф Q г R £о В/м В Кл м м Кл/(Вм) Напряженность поля на расстоя- нии г Потенциал поля на расстоянии г Заряд шара Расстояние до центра шара Радиус шара Электрическая постоянная
Напряженность электрического поля Ё вне шара убывает обратно про-
порционально квадрату расстояния г, а потенциал обратно пропорциональ-
но расстоянию.
Напряженность и потенциал вне сферы
4я£0 Г2 |f| Q 1 Ф = л 4л£о г Символ Единица измерения Название
Ё Ф Q г £о В/м В Кл м Кл/(Вм) Напряженность поля на расстоянии г Потенциал на расстоянии г Заряд шара Расстояние до центра шара Электрическая постоянная
5. Заряженный полый цилиндр
Внутри полого цилиндра с тонкими стенками, радиусом основания R и
постоянным поверхностным зарядом о электрическое поле отсутствует.
Потенциал внутри цилиндра является постоянной величиной. Электри-
ческая напряженность поля Ё снаружи длинного (£ » R) полого цилиндра
убывает обратно пропорционально расстоянию г от оси цилиндра. Потенци-
ал убывает по логарифмическому закону.
Напряженность и потенциал снаружи полого цилиндра
р о R _ Е = ер е0 г О „I Г Г <р = R In — Со W Символ Единица измерения Название
Ё Ф а R г Ео В/м В Кл м м Кл/(Вм) Напряженность поля в точ- ке с вектором г Потенциал в точке с векто- ром г Поверхностная плотность заряда полого цилиндра Радиус полого цилиндра Радиус-вектор Электрическая постоянная
ер — единичный вектор в направлении радиуса цилиндра.
6. Однородно заряженный цилиндр
Напряженность электрического поля Ё внутри цилиндра с постоянной
пространственной плотностью заряда р линейно возрастает с увеличением
расстояния от оси цилиндра. Потенциал растет квадратично.
Напряженность и потенциал внутри однородно заряженного цилиндра
। -I ^7^ ’S' 1 Q_ Й £ 11 п “ О- к тг 1 II 9- Символ Единица измерения Название
Ё Ф Р R г £0 В/м В Кл/м3 м м Кл/(Вм) Напряженность в точке с радиус-вектором г Потенциал в точке с радиус- вектором г Пространственная плотность заряда Радиус основания цилиндра Радиус-вектор Электрическая постоянная
Напряженность электрического поля Ё снаружи цилиндра имеет обратно
пропорциональную зависимость от расстояния. Потенциал ср убывает по ло-
гарифмическому закону.
Напряженность и потенциал снаружи однородно заряженного цилиндра
Ё=-^*7ё 2л8о г Р Q 1 г (D = 1П — 4tU8o R Символ Единица измерения Название
Ё Ф Р R г ЕО В/м В Кл/м3 м м Кл/(В-м) Напряженность поля в точке с радиус-вектором г Потенциал в точке с радиус- вектором г Пространственная плотность заряда Радиус основания цилиндра Радиус-вектор Электрическая постоянная
ёр — единичный вектор в направлении радиуса цилиндра.
7. Однородно заряженная бесконечная пластина
На небольшом расстоянии от пластины, которая расположена в плоско-
сти х = 0, поле однородно: напряженность и потенциал пропорциональны
поверхностной плотности заряда о = Q/А. Потенциал пропорционален рас-
стоянию х, представляющему собой длину отрезка, перпендикулярного пла-
стине. Напряженность электрического поля является постоянной величи-
ной.
Напряженность и потенциал бесконечной пластины
и И ГФ I w О I w 1 сч сч +1 1+ II II ВД 9- Символ Единица измерения Название
Ё Ф О X ^0 В/м В Кл/м3 м Кл/(Вм) Напряженность поля в точке с радиус-вектором г Потенциал в точке с радиус-век- тором г Поверхностная плотность заряда Расстояние до пластины Электрическая постоянная
ex — единичный вектор, направленный вдоль оси х ортогонально плас-
тине. Верхний (нижний) знак в формуле используется для х > 0 (х < 0).
15.5.3. Поток вектора напряженности
1. Определение потока вектора напряженности
Пластина квадратной формы площадью ДЛ находится в однородном
электрическом поле напряженностью Ё.
Потоком вектора напряженности ф называют величину, характеризую-
щую общее электрическое поле, проходящее через поверхность ЛА. Поток
вектора напряженности равен произведению напряженности поля и площа-
ди поверхности ДЛ, а также косинуса угла а между вектором напряженности
и нормалью к поверхности:
А\|/ = Ё • ДА = Е ЛА cos а.
Любую поверхность Л, находящуюся в неоднородном электрическом
поле Ё, необходимо разбить на плоские элементы так, чтобы вектор напря-
женности, проходящий через каждый элемент площади, можно было счи-
тать постоянным. Полученные таким образом потоки вектора напряженно-
сти могут быть просуммированы (рис. 15.9). Этот процесс соответствует ин-
тегрированию по поверхности.
Поток = интеграл напряженности поля по поверхности L3T3MI1
v = |Ё dA А Символ Единица измерения Название
Я» Ё dA А Вм В/м м2 м2 Поток вектора напряженности Напряженность электрического поля Направленный элемент площади Общая площадь
Глава 15. Электрическое и магнитное поле
Рис. 15.9. Поток вектора напряженно-
сти ф через поверхность А и через на-
правленный элемент поверхности ДА.
Вольт на метр (Вм) — единица
измерения потока векора напряжен-
ности ф в СИ. Поток вектора напря-
женности однородного электрическо-
го поля равен 1 Вм, если напряжен-
ность электрического однородного
поля составляет 1 В/м, а площадь
перпендикулярной полю проекции
поверхности равна А = 1 м2.
[ф] = Вм.
2. Свойства потока вектора напряженности
Поток вектора напряженности не зависит от направления нормали к по-
верхности А. Если плоскость поворачивается так, что нормаль меняет свое
направление на противоположное, то поток вектора напряженности меняет
свой знак.
В однородное электрическое поле напряженностью Е = 100 В/м вносят
квадратную пластину площадью А = 1 дм2, нормаль к поверхности плас-
тины составляет угол а = 30° с вектором напряженности электрического
поля. Поток вектора напряженности через поверхность равен:
V = Е • А • cos а = 100 В/м • 0,01 м2 - cos 30° = 0,866 В • м.
Поток вектора напряженности через сферическую поверхность Л, цент-
ром которой является точечный заряд Q, равен потоку вектора напряженно-
сти через сферическую поверхность окружающую заряда величины Q с лю-
бым пространственным распределением:
\|/ = £>Ё • dA = ——— • 4лг2 = —.
1 471£0Г2 £о
Для любой замкнутой поверхности в электрическом поле справедливы
утверждения:
▲ Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность пропорцио-
нален величине заключенного внутри поверхности заряда. Коэффициент
пропорциональности 1/е0:
£о
▲ Если внутри объема, ограниченного замкнутой поверхностью А в одно-
родном электрическом поле, отсутствует заряд, то через различные эле-
менты поверхности проходит разный поток вектора напряженности. Об-
щий поток равен нулю, так как внутри поверхности нет заряда.
Поток ф через сферическую поверхность, в центре которой находится
заряд Q = 10~6 Кл, равен:
Q _ 10-16 Кл
£0 " 8,854 -КН2 Кл/(В м)
= 1,13 • 105 В м.
15.5.4. Вектор электрического смещения в вакууме
1. Разделение электрических зарядов. Индукция
Если две одинаковые квадратные проводящие пластины площадью АА на-
ложить друг на друга и внести в однородное электрическое поле таким обра-
зом, что силовые линии будут направлены перпендикулярно поверхности
пластин, а потом извлечь их из поля, то на пластинах возникнет нескомпен-
сированный о заряд, характеризуемый поверхностной плотностью заряда о
(рис. 15.10). Разделение зарядов на пластинах называется индукцией.
Рис. 15.10. Разделение зарядов. Индукция
2. Электрическое смещение,
называемое также электрической индукцией D, представляет собой век-
торную величину. Вектор электрического смещения определяет количество
разделенных зарядов на элемент площади. Модуль электрического смеще-
ния равен поверхностной плотности заряда о. В вакууме направление векто-
ра электрического смещения совпадает с направлением вектора напряжен-
ности поля.
Если отношение количества разделенных зарядов AQ к площади АА не
является постоянной величиной, например, в случае изогнутой поверхности
или диэлектрика, то модуль электрического смещения равен отношению
дифференциалов:
Количество заряда Электрическое смещение = _ Площадь L2TI
П r AQ 6Q D = 1ш1 —— = — = о дл->о дЛ cL4 Символ Единица измерения Название
D dQ dA о Кл/м2 Кл м2 Кл/м2 Модуль вектора электрическо- го смещения Заряд на элемент площади dA± Бесконечно малое приращение площади Поверхностная плотность заряда
Кулон на квадратный метр (Кл/м2) — единица измерения электрическо-
го смещения D, принятая в СИ. Электрическое смещение равно 1 Кл/м2,
если силовые линии поля направлены перпендикулярно поверхности, пло-
щадь которой составляет 1 м2, а заряд при этом равен Q = 1 Кл.
[D] = Кл/м2.
3. Свойства электрического смещения
Вектор электрического смещения зависит от ориентации поверхности в
электрическом поле. Смещенный заряд пропорционален косинусу угла меж-
ду нормалью к поверхности и вектором напряженности электрического
поля.
> Если нормаль к поверхности перпендикулярна вектору напряженности
поля, то вектор электрического смещения равен нулю.
▲ Интеграл электрического смещения по замкнутой поверхности А равен
заряду, находящемуся внутри объема, ограниченного этой поверхностью:
j>D-dA = Q.
А
4. Связь электрического смещения с напряженностью поля
▲ Вектор электрического смещения пропорционален напряженности
внешнего электрического поля.
Электрическая постоянная (абсолютная диэлектрическая проницае-
мость) £0 в вакууме представляет собой коэффициент пропорциональности
между электрическим смещением и напряженностью поля. В каждой точке
пространства, также в неоднородном электрическом поле, справедливо вы-
ражение:
Электрическое смещение ~ напряженность поля L2TI
’Ы с? II tQ Символ Единица измерения Название
D Ео Ё Кл/м2 Кл/(В-м) В/м Электрическое смещение Электрическая постоянная Напряженность электрического поля
Наличие среды усложняет соотношение между электрическим смещением
и напряженностью поля. В этом случае в выражение добавляется характери-
зующая среду величина, которая изменяется в зависимости от частоты, тем-
пературы и других физических факторов. В частности, зависимость диэлект-
рической постоянной от напряженности внешнего электрического поля мо-
жет приводить к возникновению нелинейных эффектов, а также к изменению
направления векторов электрического смещения и напряженности поля.
Электрическое смещение однородного поля напряженностью Е = 400 В/м
равно:
D = £0 Е = 8,854-10-12 Кл/(В-м)-400 В/м = 3,54-10 9 Кл/м2.
15.6. Электрическая поляризация
Две металлические сложенные вместе пластинки площадью А = 1 см2
внесены в электрическое поле так, что силовые линии направлены перпен-
дикулярно их поверхности. Угол между нормалью к поверхности и вектором
напряженности а = 0°. Тогда заряд на пластинах равен:
Q= D A cos а =3,54-10-9 Кл/м2 -КН м2 cos 0° = 3,54 • ПН3 Кл.
15.6. Электрическая поляризация
1. Поляризация диэлектриков
Если между пластинами конденсатора поместить диэлектрик, то при
постоянном напряжении изменится количество заряда на пластинах кон-
денсатора, а вместе с ним и емкость. Это происходит из-за изменения элек-
трического поля. Внесенный в поле материал поляризуется. Благодаря поля-
ризации возникает электрическое поле Ё пол, которое направлено противо-
положно первоначальному полю Ё. Таким образом, электрическое поле кон-
денсатора ослабевает.
Различают следующие виды поляризации:
Поляризация смещения — смещение электрических зарядов в атомах,
соответственно в молекулах, друг относительно друга. Электрическое поле
индуцирует электрический дипольный момент (рис. 15.11, а).
Ориентационная поляризация изменяет направление уже имеющегося
в среде постоянного дипольного момента вдоль электрического поля
(рис. 15.11, б).
Рис. 15.11. Поляризация: а — поляризация смещения; б — ориентационная
поляризация
На торцевых поверхностях объема dK= d cL4 диэлектрика между пласти-
нами плоского конденсатора возникают связанные заряды ±d£)n0JI, являю-
щиеся причиной появления дипольного момента
| dp | = d • Op cL4 = <зр • dK,
где Op — поверхностная плотность связанных зарядов.
2. Вектор поляризации
Вектор поляризации Р равен плотности электрических диполей на еди-
ницу объема в диэлектрике. Он характеризует плотность связанных зарядов
на поверхности диэлектрика. Поляризация Р является вектором, направле-
Глава 15. Электрическое и магнитное поле
ние которого совпадает с направлением дипольного момента связанного за-
ряда, который направлен от отрицательного заряда к положительному. Мо-
дуль вектора поляризации Р равен плотности поверхностных связанных за-
рядов ор.
Р = -^, |Р| = СТ
аг р
Вектор поляризации Р и вектор напряженности электрического поля Ё
имеют одинаковое направление. Силовые линии поля связанного заряда со-
здают электрическое поле напряженностью Ё пол, направленное от положи-
тельного к отрицательному заряду на поверхности диэлектрика; силовые ли-
нии этого поля направлены противоположно линиям поляЁ (рис. 15.12).
Рис. 15.12. Поляризация диэлектрика: ±d(2n0JI — свя-
занный заряд; Jp — электрический дипольный мо-
мент связанных зарядов; Ёпол — электрическое поле
связанного заряда; Ё — первоначальное электриче-
ское поле
В случае поляризации смещения справедливо выражение:
Р = иаЁ,
где п — число частиц на единицу объема, а — электрическая поляризуе-
мость атомов или молекул в диэлектрике. Поляризуемость является молеку-
лярным параметром.
15.6.1 . Диэлектрик
Рассмотрим диэлектрик или изолятор, внесенный в электрическое поле.
1. Относительная диэлектрическая проницаемость
ег — безразмерная величина, зависящая от материала. Она характеризует
уменьшение напряженности электрического поля при внесении материала
(диэлектрика) в электрическое поле.
[М = 1.
Относительная диэлектрическая проницаемость вакуума гг - 1. Для воз-
духа эту величину принимают приближенно равной единице.
ег для большинства диэлектриков принимает значения от 1 до 100. Су-
ществуют диэлектрики с до 10000.
Диэлектрические проницаемости воды, целлюлозы и полистирола равны
соответственно 81, 4,5 и 2,5.
2. Абсолютная диэлектрическая проницаемость
Абсолютная диэлектрическая проницаемость с равна произведению элек-
трической постоянной и относительной диэлектрической проницаемости.
С= £0 • £г
Кулон на вольт-метр, Кл/(Вм) — единица измерения абсолютной ди-
электрической проницаемости с, принятая в СИ.
И = Кл/(Вм).
Электрическая поляризация Р в диэлектрике выражается следующим об-
разом:
Р = (Ег - 1)£оЁ = Хе^оЁ.
Электрическая восприимчивость определяется относительной диэлек-
трической проницаемостью:
Хе = е, - 1-
3. Вектор электрического смещения в диэлектриках
D выражается следующими уравнениями:
Вектор электрического смещения = = диэлектрическая проницаемость • напряженность поля L-2TI
D = 8Г8ОЁ = 8Ё D = 8(jE + Р Р =(ег -1)£0Ё = Хе^оЁ Символ Единица измерения Название
D Ё £ £г ЕО Р Хе Кл/м2 В/м Кл/(Вм) 1 Кл/(Вм) Кл/м2 1 Вектор электрического сме- щения Напряженность электриче- ского поля Диэлектрическая проницае- мость Относительная диэлектри- ческая проницаемость Электрическая постоянная Электрическая поляризация Электрическая восприим- чивость
Рис. 15.13. Векторы D и Ё в плоском конденсаторе, частично заполненном
диэлектриком
Относительная диэлектрическая проницаемость чистой воды равна ег = 81.
Если воду внести в однородное электрическое поле, напряженность поля
из-за наличия связанных зарядов в воде ослабевает до 1/81 своего перво-
начального значения.
Относительная диэлектрическая проницаемость некоторых веществ: ге-
лий 1,0055; сера 3,5; конденсаторная бумага от 4 до 6; глицерин 43, кера-
мика (NDK) от 10 до 200.
Значения относительной диэлектрической проницаемости ег различных
материалов представлены в табл. 19.2/1 и 19.2/6. Значения ег для разных ви-
дов керамики приведены в табл. 19.2/2, стекла — в табл. 19.2/3, полиме-
ров — в табл. 19.2/4.
Электрострикция — изменение формы и объема диэлектрика в электри-
ческом поле, встречается в любом агрегатном состоянии вещества. В случае
твердых диэлектриков линейная и объемная деформация (сжатие) в общем
случае пропорциональна квадрату напряженности электрического поля:
ДК 179
--- ~ £Г2,
V
где ДР/V — относительное изменение объема, £ — диэлектрическая прони-
цаемость, Е — напряженность электрического поля.
15-7- Электроемкость
Электроемкость С системы из проводников является скалярной величиной
и показывает, какое количество заряда может накапливаться в этой системе
при заданном напряжении U.
Конденсатор — система двух изолированных друг от друга проводников,
которые имеют различный электрический потенциал.
Емкость = —Заряд — Напряжение LWF
II Символ Единица измерения Название
с Q и Кл/м2 В/м Ф Емкость конденсатора Заряд конденсатора Приложенное напряжение
Фарад (Ф) — единица измерения емкости С в СИ. Конденсатор обладает
емкостью С = 1 Ф в том случае, если при напряжении U = 1 В на пластинах
конденсатора накапливается заряд Q = 1 Кл.
[С] = Ф = Кл/В.
> 1 Ф — это очень большая величина. Типичная емкость конденсаторов
составляет от 1 пкФ до 1 мФ. Для низких напряжений конструируют
конденсаторы, емкость которых составляет 10 Ф.
15.7.
15.7.1. Плоский конденсатор
1. Свойства плоского конденсатора
Размеры пластин конденсатора должны быть намного больше расстоя-
ния между ними, чтобы избежать появления краевых эффектов. Емкость С
пропорциональна площади поверхности А и обратно пропорциональная рас-
стоянию:
С =^-,Ег =1.
d
> Емкость конденсатора возрастает, если между пластинами конденсатора
поместить диэлектрик. Для диэлектрика с диэлектрической проницаемо-
стью с емкость выражается следующим образом:
г _ &А _ &Q&rA
d d
Конденсатор с пластинами из фольги, площадь которых равна А = 10 см2,
а расстояние между ними d = 0,1 мм, имеет емкость, равную:
С = = 8,854 -10~12 Ф/м -10-3 м2 = 10-ц ф 90 пф
d 10-4 м
Если между слоями конденсаторной бумаги поместить диэлектрик с от-
носительной диэлектрической проницаемостью гг= 4, то емкость возрастает
вчетверо:
С « 360 пФ.
> Если к пластинам конденсатора приложить слишком большое напряже-
ние, это приведет к пробою, а, следовательно, и к разрушению конден-
сатора.
> Заряженный конденсатор со временем разряжается, так как диэлектрик
между его пластинами имеет конечное сопротивление.
2. Применение специальных видов конденсаторов:
Области применения конденсаторов:
• разделение постоянного и переменного тока, выпрямление пульсирую-
щего постоянного тока,
• в схемах замедления в качестве составляющей RC-цепочки,
• сохранение заряда,
• согласование колебательных контуров в системах передачи и приема
сигнала.
Некоторые конструктивные формы конденсаторов:
• электролитический конденсатор — поляризованный конденсатор. При
подключении должна соблюдаться полярность напряжения. Обладает
высокой емкостью. Применяется для сохранения заряда, например в фо-
товспышке, лазерах.
• Регулируемый конденсатор, конденсатор переменной емкости или трим-
мер. Одна группа пластин конденсатора зафиксирована (статор), другая
группа, напротив, свободно подвижна (ротор). Регулируемый конденса-
тор применяется при согласовании колебательных контуров.
Глава 15. Электрическое и магнитное поле
15.7.2. Параллельное включение конденсаторов
В случае параллельного включения п конденсаторов ко всем конденсаторам
приложено одинаковое напряжение, накапливающие заряд конденсаторные
поверхности суммируются (рис. 15.14). Общая емкость при параллельном
включении конденсаторов равна сумме отдельных емкостей:
^общ — C’j + С*2 +.. .
О +Qz +Q.
С “ L— Г1 —1 С
— С2 —
О -Qi -Q2 -Q„
Рис. 15.14. Параллельное включение конденсаторов
15.7.3. Последовательное включение конденсаторов
При последовательном включении конденсаторов заряды на каждой кон-
денсаторной пластине равны (рис. 15.15). При этом величина, обратная зна-
чению общей емкости, равна сумме обратных величин отдельных емкостей:
1 _ 1 1 1
---- — — Н-----К. .4--.
^общ Q Сз сп
Рис. 15.15. Последовательное включение конденсаторов
15.7.4. Емкости простых систем проводников
Рис. 15.16. Цилиндрический конденсатор
1. Цилиндрический конденсатор
Емкость такого конденсатора
прямо пропорциональна его длине
/ и обратно пропорциональна лога-
рифму отношения радиусов внеш-
него R и внутреннего г цилиндров:
С = 2та-------.
1п(А/г)
15.8. Энергия и плотность энергии электрического поля
2. Двухпроводная линия
Емкость двухпроводной линии пропорциональна длине проводника I и
обратно пропорциональна логарифму отношения расстояния между провод-
никами d к радиусу их сечения г (рис. 15.17):
С = пг---------- (d » г).
ln(d/r)
3. Сферический конденсатор — две концентрических полых сферы
Емкость такого конденсатора пропорциональна произведению внутрен-
него и внешнего радиусов г, Ли обратно пропорциональна разности между
ними (рис. 15.18):
„ Л К' г
С = 4 ле-
R-r
При 7? -> оо емкость отдельной сферы по отношению к бесконечно уда-
ленному электроду равна С = 4 лег.
4. Два шара равного радиуса
Емкость двух шаров одинакового радиуса г, находящихся друг от друга
на расстоянии d, выражается следующим образом:
С = 2пег <L_±E_!—L для J » г.
d(d2 -г2)
е
Рис. 15.19. Емкость двух
одинаковых шаров
Рис. 15.17. Двухпроводная линия
Рис. 1.18. Шаро-
вой конденсатор
/
15.8. Энергия и плотность энергии
электрического поля
1. Плотность энергии электрического поля
— это отношение энергии электрического поля ДРИе к объему ДК
Если распределение энергии в пространстве неравномерно, то плотность
энергии определяется следующим выражением:
ДИ/ dW
we = lim =^- = дже = w .^у,
ди—»о ДГ dr
Глава 15. Электрическое и магнитное поле
Плотность энергии электрического поля L Ч 2М
we = -Ё D 2 Символ Единица измерения Название
Ml ©I з Дж/м3 Кл/м2 В/м Плотность энергии Электрическое смещение Напряженность электриче- ского поля
2. Энергия электрического поля
We в объеме V задается интегралом плотности энергии по объему:
We = J wedV = -|Ё DdK.
к 2 v
Энергия We заряженного плоского конденсатора пропорциональна квад-
рату напряжения между пластинами конденсатора.
Энергия плоского конденсатора L2T2M
we = -си2 = -05 2 2 С Символ Единица измерения Название
Q С и Дж Кл Ф В Энергия Заряд Емкость Напряжение
Энергия We однородно заряженного шара пропорциональна квадрату ве-
личины заряда Q и обратно пропорциональна радиусу R.
Энергия однородно заряженного шара L2T2M
w, .-L301 4л£о 5 R Символ Единица измерения Название
we Q R ЕО Дж Кл м Кл/(Вм) Энергия Заряд Радиус шара Электрическая постоянная
15.9. Электрическое поле на границе раздела сред
При переходе из среды с диэлектрической проницаемостью в среду с ди-
электрической проницаемостью с2 на границе раздела происходит измене-
ние вектора напряженности электрического поля и вектора электрического
смещения.
1. Изменение вектора напряженности электрического поля
Тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического
поля при переходе через границу не изменяется (рис. 15.20):
Eti = Et2 или —— =
81 s2
Нормальная составляющая вектора изменяется скачком.
2. Изменение вектора электрического смещения
При переходе через границу раздела двух сред нормальная составляющая
вектора электрического смещения не меняется (рис. 15.21):
Dni = Dn2 или Еп1-Е1 = Еп2е2.
Тангенциальная составляющая вектора электрического смещения изме-
няется скачком.
Рис. 15.21. Вектор электрического сме-
щения D на границе раздела двух сред
Рис. 15.20. Напряженность электрическо-
го поля Ё на границе раздела двух сред
3. Преломление вектора напряженности электрического поля и вектора
электрического смещения на границе раздела двух сред
Если угол между перпендикуляром (нормалью к поверхности) и направ-
лением вектора напряженности электрического поля в первой среде обозна-
чить как аь а во второй среде как а2, то тангенсы этих углов относятся друг
к другу так же, как диэлектрические проницаемости двух сред:
Электрическое поле на границе раздела двух с] ред
Символ Единица измерения Название
tan di = It — «1, d2 1 Углы в средах 1, 2
tan а 2 ^2 sr2 81, £2 Кл/(В-м) Диэлектрические проницае- мости сред 1, 2
^r2 1 Относительные диэлектриче- ские проницаемости сред 1, 2
При переходе из среды с меньшей диэлектрической проницаемостью в
среду с большей диэлектрической проницаемостью вектор напряженно-
сти электрического поля изменяет свое направление, сдвигаясь от нор-
мали.
При переходе из среды с большей диэлектрической проницаемостью в сре-
ду с меньшей диэлектрической проницаемостью вектор напряженности
электрического поля изменяет свое направление, сдвигаясь к нормали.
15.10. Магнитное поле
Магнитостатика рассматривает постоянные во времени магнитные поля и
магнитные явления, которые создаются постоянными магнитами или стаци-
онарными токами.
Магнитное поле постоянного магнита можно объяснить наличием маг-
нитного момента на атомарном уровне.
Проводник с током окружен магнитным полем, которое оказывает сило-
вое воздействие на другие проводники. Это магнитное поле обладает опре-
деленным энергетическим потенциалом.
Материалы различают по их поведению внутри магнитного поля.
Переменные во времени магнитные поля возникают в том случае, если
есть проводник с током, зависящим от времени. Магнитные поля вокруг
проводника индуцируют напряжение в других проводниках. Проводники ха-
рактеризуются индуктивностью. Для создания магнитного поля необходимы
определенные затраты энергии, которые сохраняются в магнитном поле в
виде энергии поля. Магнитные поля находят применение, например, в тех-
нике переменного тока, при конструировании двигателей и генераторов, в
технике трехфазного тока и при проектировании трансформаторов.
Простейшим магнитным элементом в рамках рассматриваемого материа-
ла является катушка.
15.11. Магнетизм
1. Магнит
Постоянные магниты состоят из магнитного железняка или других маг-
нитных материалов. Они оказывают силовое воздействие друг на друга, на
железо, никель, кобальт, а также на различные сплавы.
Материалами для постоянных магнитов служат сплав AlNiCo, стронцие-
вые или бариевые ферриты, сплавы CoPt или FePt с упорядоченной
структурой.
Электромагниты представляют собой проводящие ток катушки с желез-
ным сердечником.
Магниты, как электрические диполи, обладают двумя полюсами, кото-
рые называются
• северный магнитный полюс и
• южный магнитный полюс.
▲ При разделении постоянного магнита образуется два магнита, каждый
из которых имеет северный и южный полюсы.
15.11. Магнетизм
2. Магнитный диполь
Нет магнитов, имеющих только один полюс. Каждый элементарный маг-
нит представляет собой магнитный диполь. Дипольная ось является линией
связи между северным и южным полюсом. Магнитный дипольный момент
m — это вектор, лежащий на дипольной оси и направленный в сторону север-
ного полюса. Магнитный момент тела определяется вращающим моментом,
создаваемым внешним магнитным полем по отношению к этому телу.
Как и в случае электрического диполя, справедливо следующее:
А Одноименные полюса двух магнитов отталкиваются, разноименные —
притягиваются.
Магнитные силы действуют на удаленных расстояниях, даже если маг-
нит находится в вакууме.
Магнитное поле — это область силового воздействия магнита или про-
водника с током на другой магнит.
15.11.1 . Магнитные силовые линии
Рис. 15.22. Магнитное по-
ле стержневого магнита
1. Магнитные силовые линии
являются аналогом силовых линий электрического поля и служат для
наглядного представления магнитного поля. Для магнитных силовых линий
приняты следующие утверждения:
• Вне магнита магнитные силовые линии на-
правлены от северного к южному полюсу
(рис. 15.22).
• Касательная к магнитной силовой линии за-
дает направление, в котором бы расположил-
ся пробный магнит.
Магнитные линии имеют следующие свойства:
• Силовые линии всегда замкнуты. В природе
не существует магнитных зарядов (магнитов с
одним полюсом).
• Плотность магнитных силовых линий являет-
ся мерой магнитной индукции.
• Силовые линии представляют собой концент-
рические окружности вокруг прямолинейного проводника с током. На-
правление линий определяется с помощью правила правой руки.
• В однородном магнитном поле силовые линии проходят параллельно
друг другу.
> При помощи железных опилок магнитное поле можно сделать видимым.
Металлические частицы располагаются в цепочку и образуют картину
магнитного поля.
2. Магнитное поле Земли
Из-за процессов, происходящих в ионосфере и на Солнце, магнитное
поле Земли совершает кратковременные, квазипериодические, частично
и магнитное поле
апериодические колебания длительностью от одной секунды до одного дня.
По этой же причине происходит длительное смещение полюсов. Так как
земная кора намагничена неравномерно, магнитное поле Земли многократ-
но варьируется в различных точках по сравнению с нормальным значением.
Компасная стрелка задает направление магнитного поля Земли по каса-
тельной к поверхности Земли. Подвешенный в магнитном поле Земли маг-
нит располагается таким образом, что
его северный и южный полюсы ука-
зывают направление соответственно
северного и южного магнитных полю-
сов Земли. Так как разноименные по-
люсы притягиваются, магнитный юж-
ный полюс Земли находится вблизи
географического северного полюса, а
магнитный северный полюс вблизи
географического южного (рис. 15.23).
Деклинация (магнитное склоне-
ние) — отклонение направления маг-
нитного поля Земли от географическо-
го меридиана. Для Германии деклина-
ция составляет 2° отклонения на запад.
Рис. 15.23. Магнитное поле Земли
Изогоны — линии, соединяющие точки с одинаковым магнитным скло-
нением.
Инклинация — угол между горизонталями и направлением магнитного
поля Земли.
Изоклины — линии, соединяющие точки одинаковой инклинации.
> Компасная стрелка может применяться так же для того, чтобы опреде-
лить направление магнитного поля вокруг электрического тока.
3. Магнитное поле проводника с током
Магнитные силовые линии расположены концентрически вокруг про-
водника. Направление магнитного поля задается при помощи правила бу-
равчика или правила правой руки:
▲ Большой палец указывает направление тока, остальные пальцы направ-
лены в сторону вектора магнитной индукции, т.е. в направлении магнит-
ных силовых линий (рис. 15.24).
Рис. 15.24. Правило правой руки для определения направления
магнитных силовых линий вокруг проводника с током. Правая
рука охватывает провод, большой палец указывает направление
тока в проводнике, остальные пальцы указывают направление
магнитного поля
15.12. Магнитная индукция
15.12. Магнитная индукция
1. Магнитная индукция
В является векторной величиной. Модуль вектора В характеризует ин-
тенсивность магнитного поля. Направление вектора магнитной индукции
совпадает с направлением пробного магнита, т.е. от южного полюса к север-
ному. На движущийся заряд действует сила, пропорциональная магнитной
индукции.
Тесла (Тл) — единица измерения магнитной индукции В в СИ.
[В] -Тл-Вс/м2.
Измерение магнитной индукции сводится к измерению магнитного по-
тока, который может быть определен с помощью индукционной катушки
(см. измерение магнитного потока).
Эффект Холла (см. 29.5.1, п. 4): в проводящей ток пластине, в которой
присутствует магнитное
Рис. 15.25. Эффект Холла
поле, возникает напряжение UH — напряжение
Холла, пропорциональное магнитной индукции
Bz в направлении оси z (рис. 15.25):
VH =
п -ео - а п • е0
где Ix = Jx -b • d — ток в направлении оси х,
проходящий через проводник толщиной d со
стороной b. Jx — плотность тока, п — концентра-
ция носителей заряда, е0 — элементарный элект-
рический заряд. Для зонда Холла использовался
полупроводниковый материал, так как концент-
рация носителей заряда п в нем достаточно мала,
а напряжение Холла велико.
2. Сила Лоренца
Это сила, действующая на движущийся в магнитном поле заряд. Модуль
силы F определяется скоростью носителей заряда и, величиной заряда Q,
магнитной индукцией В и углом между вектором скорости частиц v и векто-
ром магнитной индукции В. Сила Лоренца F направлена перпендикулярно
векторам В и v.
Вектор силы Лоренца определяется как векторное произведение:
Сила Лоренца LT2M
F = G(v х В) F = Q • и • В sin а Символ Единица измерения Название
F Q V В а н Кл м/с Тл = В с/м2 1 Сила Лоренца Электрический заряд Скорость заряда Магнитная индукция Угол между векторами В и v
▲ Правило нахождения направления силы Лоренца. Если большой палец
правой руки направлен в сторону движения положительных носителей
зарядов, указательный палец направлен в сторону вектора магнитной
индукции, то средний палец укажет направление силы, которая действу-
ет на носители заряда (рис. 15.26).
Рис. 15.26. Правило нахождения направления силы Ло-
ренца. Большой палец направлен в сторону движения по-
ложительных зарядов, указательный — в сторону вектора
магнитной индукции, направление вектора силы указыва-
ет средний палец
> При определении направления силы, действующей на отрицательные
носители заряда, используют левую руку!
Сила Лоренца, действующая на заряд Q, принимает максимальное значе-
ние Fmax в том случае, если скорость частиц v направлена перпендикулярно
магнитной индукции В:
^гпах ~Q * В.
При максимальном силовом воздействии можно вычислить магнитную
индукцию:
, , Максимальная сила Магнитная индукция = Заряд * скорость T-2MI1
F р _ 7 max Q и Символ Единица измерения Название
F max Q о В н Кл м/с Тл = В с/м2 Максимальная сила Лоренца Электрический заряд Скорость заряда Магнитная индукция
3. Свойства силы Лоренца
Сила Лоренца изменяет только направление скорости v, но не ее модуль.
В однородном магнитном поле В, которое направлено перпендикулярно
плоскости движения, частицы массой ш и зарядом Q движутся по окружно-
сти радиуса R\
7? = —.
QB
Радиус траектории обратно пропорционален магнитной индукции и пря-
мо пропорционален импульсу частиц.
Если частица движется еще и в электрическом поле Ё, то общее силовое
воздействие на заряд описывается следующим выражением:
F = Q Ё +Q(vxB).
15.13. Магнитный поток
Если электрическое и магнитное поле ориентированы параллельно друг
другу, то траектория частиц представляет собой винтовую линию вокруг на-
правления полей.
На прямолинейный проводник длиной / с протекающим в нем током /,
который находится в магнитном поле В, действует сила:
F = 1(1 х В).
1 — вектор с модулем / и направлением, совпадающим с направлением
тока. Сила F направлена перпендикулярно плоскости, содержащей векторы
В и 1. Модуль силы равен:
F = I • I • В • sin а,
где а — угол между векторами В и Т. Сила достигает максимального значе-
ния, когда вектор тока и вектор магнитной индукции перпендикулярны друг
другу.
15.13. Магнитный поток
1. Магнитный поток
Ф — скалярная величина, поток вектора магнитной индукции, проходя-
щей через плоскость, помещенную в магнитное поле. В случае плоской по-
верхности в однородном магнитном поле магнитный поток Ф равен произ-
ведению модуля вектора магнитной ин-
дукции В и площади поверхности ДЛ, а
также косинуса угла между векторами В и
ДА (рис. 15.27). Если вектор нормали к
плоскости перпендикулярен вектору маг-
нитной индукции, то магнитный поток
равен нулю. Если направления нормали к
плоскости и вектора индукции совпада-
ют, то магнитный поток равен произведе-
нию модуля вектора магнитной индукции
на площадь поверхности ДЛ:
Рис. 15.27. Магнитный поток че-
рез поверхность
Ф = В • ДЛ • cos а = В • ДА.
Для любой неплоской поверхности Л в неоднородном магнитном поле
площадь поверхности разделяют на малые элементы площади ДА/ такие,
чтобы вектор магнитной индукции, проходящий через эти элементы, можно
было рассматривать как постоянную величину. Общий магнитный поток
определяется как сумма потоков отдельных элементов:
Ф = £ДФ,- = £В, - ДА,-.
/ i
2. Поток магнитной индукции как интеграл магнитной индукции
В случае разбиения на бесконечно малые элементы площади, общий
магнитный поток соответствует интегралу от магнитной индукции:
Поток = интеграл магнитной индукции по поверхности MUT'O’1
Ф = jBdA А Символ Единица измерения Название
ф в dA А Вб = В-с Тл = В • с/м2 м2 м2 Магнитный поток Магнитная индукция через поверхность А Бесконечно малое прираще- ние площади Общая площадь
Вебер (Вб) — единица измерения магнитного потока Ф, принятая в СИ.
1 Вб — сила магнитного потока через поверхность площадью А = 1 м2, если
индукция магнитного поля равна В = 1 В-с/ м2.
[ф] = Вб = Вс.
3. Отсутствие источников магнитного потока
Магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю:
Ф = f B dA = 0, divB = 0.
А
Магнитные силовые линии замкнуты; в природе не существует магнит-
ных зарядов (магнита с одним полюсом).
Это утверждение иллюстрирует одно из уравнений Максвелла (см. 15.22).
4. Определение магнитной индукции
Модуль вектора магнитной индукции (плотности магнитного потока)
представляет собой магнитный поток ДФ, проходящий через элемент по-
верхности ЛА, перпендикулярный магнитному потоку. Если магнитный по-
ток является функцией координат, то площадь поверхности ЛА уменьшают
до тех пор, пока магнитный поток нельзя будет рассматривать как постоян-
ную величину в пределах этой площади. Для нахождения магнитной индук-
ции вычисляют предел:
п г ДФ 6Ф
В = lim ----=------.
ая±-^0АЛ± 6Л±
> Пусть магнитный поток Ф = 0,2 Вб проходит через поверхность площа-
дью А = 6 см2, перпендикулярную магнитному потоку. Тогда магнитная
индукция равна:
D Ф 0,2 Вб
В = — —
А
= 333,3 Вб.
6-Ю-4 м2
Измерение магнитного потока можно произвести с помощью катушки
индуктивности с определенным числом витков п. При внесении катушки в
магнитное поле В в ней индуцируется скачок напряжения j Udt, пропорцио-
нальный проходящему потоку:
т
J ^инд^ = пФ = п В • А.
о
15.14. Напряженность магнитного поля
Кроме того, если известна площадь А катушки индуктивности, то можно
определить магнитную индукцию. Если катушку индуктивности извлечь из маг-
нитного поля, то индуцируется скачок напряжения с обратной полярностью.
15.14. Напряженность магнитного поля
1. Напряженность магнитного поля
Н — это векторная величина, используемая для характеристики магнит-
ного поля. В изотропных магнитных материалах вектор Н пропорционален
вектору магнитной индукции В.
тт Магнитная индукция Напряженность магнитного поля = — Магнитная постоянная L4
Н = ^ Цо Символ Единица измерения Название
Н В Ио А/м Тл = В-с/м2 В-с/(Ам) Напряженность магнит- ного поля Магнитная индукция Магнитная постоянная
Ампер на метр (А/м) — единица измерения напряженности магнитного
поля Н, принятая в СИ.
[Н] = А/м.
> Примечание относительно единиц измерения:
Напряженность магнитного поля связана с током: А/м.
Напряженность электрического поля связана с напряжением: В/м.
2. Магнитная постоянная
Магнитная постоянная LT-2MI2
Но = 4л • IO-2 = А-м = 1,257-6 А м Символ Единица измерения Название
Но В-с/(А-м) Магнитная постоянная
> С самого начала стоит обратить внимание на то, что напряженность маг-
нитного поля Н является аналогом напряженности электрического поля
Ё — первоначальной причины поля, а магнитная индукция В — анало-
гом электрического смещения D. Эти величины могут быть выведены из
соответствующих величин. Однако стоит учесть, что наличие электриче-
ского и магнитного полей и их силовое воздействие на (движущийся) за-
ряд экспериментально доказаны, но в формулах по расчету силового
воздействия участвуют напряженность электрического поля и магнитная
индукция, но не напряженность магнитного поля.
3. Векторный потенциал
А — векторная величина, используемая при расчете магнитной индукции
В. Так как в природе не существует источников магнитного поля, то магнит-
ная индукция может быть вычислена как ротор векторной величины А:
divB = О, В = rotA.
Векторный потенциал А можно определить из распределения токов 5(г)
как решение дифференциального уравнения
ДА = -цо 5(f),
т.е.
А = — f J(r,) dV'.
4л J If - f'|
Вектор магнитной индукции запишется следующим образом:
в - « f irr,)x|?-f,idv.
4л |f - f'|3
Потенциалы ф и А могут быть определены из взаимно связанных диффе-
ренциальных уравнений, если известны пространственная плотность заряда
р и плотность тока J = pv как функция координат г и времени Z:
а!/- ч 52A(f,t) - ч А _ ч а2ф(г,f) р(г,О
АА(г, /) - цО£о ——— = -Но Л г, О, Аф(г, 0 - Цо^о —— = - -------•
dt2 dt2 8о
> Для частиц массой т, зарядом Q и импульсом р = тч электромагнитное
поле записывается в виде функций Лагранжа и Гамильтона:
L = - и2 + QvA - <?ф, Н = (P~Q^)2 + 0ф.
2 2т
15.15. Магнитное напряжение и магнитный контур
1. Магнитное напряжение —
VAB между точками А и В определяется интегралом напряженности маг-
нитного поля Н вдоль пути 5:
Магнитное напряжение = интеграл напряженности магнитного поля по пути I
в VAB = jHds А Символ Единица измерения Название
Vab И ds А А/м м Магнитный потенциал Напряженность магнитного поля Элемент пути
Ампер (А) — единица измерения магнитного напряжения К
[Ц = 1 А.
[м| Катушка Роговского или магнитный пояс — гибкая, длинная, тонкая ка-
тушка для измерения магнитного напряжения. В катушке присутствова-
ло магнитное поле. При включении и выключении магнитного поля ка-
тушка создает импульс напряжения, пропорциональный магнитному на-
пряжению на ее концах.
2. Магнитный контур и магнитное сопротивление
Про магнитный контур (магнитную цепь) говорят в том случае, когда
магнитный поток проходит один за другим материалы с различным магнит-
ным сопротивлением.
Магнитное сопротивление равно отношению магнитного напряжения
V к магнитному потоку Ф:
ж я Магнитное напряжение Магнитное сопротивление = Магнитный поток L2T2M Ч2
>3 3 II е 1^ Символ Единица измерения Название
V ф А/Вб А Вб Магнитное сопротивление Магнитное напряжение Магнитный поток
Ампер на вебер (А/Вб) — единица измерения магнитного сопротивления
Лм, принятая в СИ.
[7?т] = А/Вб = А/(Вс).
3. Правило контуров и правило узлов для магнитной цепи
Для магнитной цепи по аналогии с законами Кирхгоффа для контура с
током действительны следующие соотношения:
Правило контура для магнитной цепи: сумма всех магнитных напряже-
ний контура в магнитной цепи равна полному потокосцеплению 0:
Еобщ - V1 +Г2+...+ Гл = 0.
Правило узлов для магнитной цепи: сумма всех магнитных потоков в
узле магнитной цепи равна общему потоку:
Фобщ = Ф1 +Ф2+ ...+ ФЛ.
Отсюда следуют похожие правила для последовательного и параллельно-
го включения магнитного сопротивления, расчет производится аналогично
расчетам электрической цепи.
4. Последовательное включение магнитных сопротивлений
Магнитный поток проходит один за другим материалы с различным маг-
нитным сопротивлением Rmi9,.,9Rmn (рис. 15.28). Отсюда получаем общее
магнитное сопротивление:
^общ ~ Rfril ^т2 ^тп •
18—3814
a)
Рис. 15.28. Общее магнитное сопротивление при последовательном включе-
нии: а — железный сердечник с воздушным зазором; б — эквива-
лентная схема
5. Параллельное включение магнитных сопротивлений
Магнитный поток в магнитной цепи разделяется на различные ветви,
которые обладают магнитным сопротивлением Rmi, Обратные значе-
ния магнитных сопротивлений складываются, в результате получается об-
ратное значение общего сопротивления:
1 1 1
— к. я .
^общ----------^т\-&тп
6. Расчет магнитной цепи
Правила, описанные в пунктах 3, 4 и 5, применяются при расчете маг-
нитной цепи, в которой магнитный поток проходит один за другим различ-
ные материалы.
В случае магнитной цепи, состоящей из железного сердечника и воздуш-
ной щели (рис. 15.28), общее магнитное сопротивление выражается сле-
дующим образом:
А^(общее) = ^(железо) + ^(воздушная щель).
15.15.1. Закон полного тока
1. Полный ток
0 задает ток через поверхность, ограниченную траекторией s в виде ин-
теграла напряженности магнитного поля Н вдоль замкнутого контура s.
Для расчета полного тока траекторию s разделяют на малые прямоли-
нейные элементы Ду. Тогда полный ток равен произведению компоненты
напряженности магнитного поля по направлению элемента траектории и
длины элемента траектории:
Н • Ду • cos ос = HAs.
Направление векторного элемента траектории As совпадает с направле-
нием самой траектории s. Суммирование по всем элементам дает в результа-
те полный ток:
=&,
где Hz — компонента вектора Н в направлении элемента As,.
Для любого искривленного пути в неоднородном магнитном поле траек-
торию делят на малые элементы до тех пор, пока каждый такой элемент не-
льзя будет рассматривать как прямой отрезок в однородном магнитном
поле. Из этого следует закон полного тока:
▲ Интеграл напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура ра-
вен полному току через поверхность, ограниченную этим контуром.
Полный ток = интеграл напряженности магнитного поля вдоль контура I
0 = jjfids = = p-dA А Символ Единица измерения Название
0 Н ds S J dA А А А/м м м А/м2 м2 м2 Полный ток Напряженность магнитного поля Бесконечно малое приращение пути Общая траектория Плотность тока Бесконечно малое приращение площади Площадь, ограниченная конту- ром 5
Ампер, А — единица измерения полного тока 0, принятая в СИ,
[0] = А.
2. Следствия закона полного тока
Если траектория полностью окружает ток, результат не зависит от фор-
мы траектории. Если траектория окружает прямолинейный проводник с то-
ком, то полный ток 0 равен протекающему по проводнику току /,
0 =/.
Если траектория ограничивает пучок из N прямолинейных проводников
с током, то полный ток 0 равен сумме токов 1п каждого проводника:
N
п=1
Если траектория окружает N витков катушки индуктивности, то полный
ток 0 равен току катушки /, умноженному на число витков катушки:
Q = NI.
Если траектория ограничивает распределение тока, который характери-
зуется плотностью тока J, то полный ток 0 равен интегралу плотности тока
по поверхности Л, ограниченной этой траекторией:
0 = | J • dA.
А
Последнее выражение может также быть записано в дифференциальной
форме:
rotH = J.
> С помощью закона полного тока можно рассчитывать напряженности
магнитных полей в некоторых частных случаях распределения тока.
15.15.2. Закон Био-Савара
1. Закон Био-Савара
Этот закон позволяет осуществлять расчет напряженности магнитного
поля прямолинейного проводника любой геометрии.
Рис. 5.29. Закон Био-Савара
Часть проводника с током ds
вносит вклад в магнитное поле,
пропорциональный току I и обрат-
но пропорциональный квадрату
расстояния г. Направление напря-
женности магнитного поля, вы-
званного элементом тока провод-
ника ds, задается векторным про-
изведением вектора расстояния г и
вектором ds (рис. 15.29).
Общая напряженность магнит-
ного поля равна сумме всех вкла-
дов от отдельных элементов про-
водника (интеграл по ds):
Закон Био-Савара L4
н,| г /d s х г Символ Единица измерения Название
н / ds г А/м А м м Напряженность магнит- ного поля Ток через проводник Элемент проводника Вектор расстояния
' 4лг3
2. Магнитный момент при стационарном распределении плотности тока
J(f) определяется следующим выражением:
m = | j г х J(f)dK
Магнитное поле равно:
В = ц0 Г3(т ♦ f)f _ т_
4л г5 г3
▲ Магнитное поле при стационарном распределении плотности тока экви-
валентно электрическому полю диполя.
3. Примеры применения закона Био-Савара
а) Замкнутый проводник с током (виток). По замкнутому проводнику,
ограничивающему на плоскости площадку А. протекает ток /. Вращающий
момент М этого витка с током в магнитном поле В равен:
М = ДА х В).
Так как магнитный момент m определяется векторным произведением
М = m х В, то для его нахождения справедливо следующее выражение:
m = I А.
б) Заряд, движущийся по круговой траектории. Пусть частицы массой т,
с зарядом Q и импульсом р движутся по круговой траектории. Круговой ток
и магнитный момент в этом случае равны:
- Q т f -
m = I, I = г х р.
2т
Магнитный момент m пропорционален орбитальному моменту I.
4. Сила и энергия магнитного момента
Тело с магнитным моментом m в однородном магнитном поле В обладает
вращающим моментом М:
М = m х В.
На тело с магнитным моментом m в неоднородном магнитном поле В
действует сила F:
F = (m • — 'l В.
I Sr J
Потенциальная энергия £пот тела с магнитным моментом m определяет-
ся следующим выражением:
-^ПОТ = — m * В*
5. Виды магнитных моментов
Магнитный момент стержневого магнита определяется произведением
магнитного потока Ф и мнимым расстоянием между полюсами d\
m = Ф й.
Вектор Й направлен от южного полюса к северному.
Магнитный момент Кулона вычисляется по формуле шс = ФЙ.
Магнитный момент Ампера можно найти по формуле:
пи = тс/цо = ФЙ/ро-
15.15.3. Магнитное поле прямолинейного
проводника с током
1. Напряженность магнитного поля проводника с током
Магнитное поле прямолинейного проводника с током прямо пропорци-
онально току проводника и обратно пропорционально расстоянию от него.
Направление магнитного поля задают концентрические окружности вокруг
проводника (правило правой руки, см. рис. 15.24).
и Ток Напряженность магнитного поля = 2л расстояние L4
Я = — 2лг Символ Единица измерения Название
н I г А/м А м Напряженность магнитного поля Ток через проводник Расстояние до проводника
> Через прямолинейный проводник течет ток 4 А. Магнитное поле на рас-
стоянии г = 1 м составляет:
4 А
Н =----— « 0,64 А/м.
2л • 1 м
При увеличении расстояния вдвое напряженность магнитного поля уме-
ньшается в два раза Н 0,32 А/м.
2. Силовое воздействие на проводник с током
Магнитное поле действует на проводник с током с определенной силой.
Эта сила используется для определения единицы измерения силы тока ам-
пер (см. рис. 14.4).
Сила F между двумя прямолинейными, параллельными проводниками
одинаковой длины /, находящимися на расстоянии а друг от друга, в кото-
рых протекают токи 1Х и /2? равна:
F
2тш
Если направления токов совпадают, то проводники притягиваются, если
направления токов противоположны, проводники отталкиваются (рис. 15.30).
Рис. 15.30. Магнитные силовые линии и силовое воздействие в случае пря-
молинейных проводников с током: а — уединенный проводник;
б — двухжильный провод с параллельными жилами, параллель-
ные токи; в — двухжильный провод с параллельными жилами,
антипараллельные токи
15.15.4. Магнитные поля некоторых систем
распределения тока
Закон Био-Савара, как и закон полного тока, позволяет осуществлять рас-
чет магнитного поля некоторых простых систем распределения тока.
1. Магнитное поле провода
Напряженность магнитного поля Н длинного, прямолинейного провод-
ника с током с сечением круглой формы (радиуса R) при силе тока /, равна:
Область вне проводника (г > R)
Н(г) = Символ Единица измерения Название
н I г А/м А м Напряженность магнитно- го поля вне проводника Ток через проводник Расстояние
Область внутри проводника (г < R)
Н(г) = —г 2тсЯ2 Символ Единица измерения Название
н I г R А/м А м м Напряженность магнитно- го поля Ток через проводник Расстояние Радиус проводника
Напряженность магнитного поля линейно возрастает внутри проводника
от точки на окружности с радиусом г до точки на поверхности проводника с
радиусом R и убывает вне проводника по закону 1/г до нуля.
2. Напряженность магнитного поля в центре кругового витка с током
Напряженность магнитного поля в центре контура с током радиуса R
равна отношению силы тока / к диаметру контура 27?.
и Ток Напряженность поля = 2 радиус L4
Н = — 2R Символ Единица измерения Название
н I R А/м А м Напряженность магнитно- го поля Круговой ток Радиус
На большом расстоянии от плоскости протекания кругового тока
(г » R) для поля на оси витка справедливо выражение:
2лг3 ’
где А — плоскость, ограниченная проводником.
Эта формула верна для плоского витка проводника любой формы, так
как на большом расстоянии форма проводника не играет никакой роли.
3. Магнитное поле длинной цилиндрической катушки
Напряженность магнитного поля длинной цилиндрической катушки с
током (соленоида) (R I » R) равна произведению тока катушки I на чис-
ло витков п, деленному на длину катушки /. Магнитное поле внутри катуш-
ки однородно, вне катушки оно сильно неоднородно и равно полю стержне-
вого магнита.
тт Число витков • ток Напряженность поля = Длина L1!
Н = - 1 Символ Единица измерения Название
н I 1 п А/м А м 1 Магнитное поле внутри катушки Ток катушки Длина катушки Число витков
4. Напряженность магнитного поля на оси короткой цилиндрической катушки
Напряженность магнитного поля в центре короткой, цилиндрической
катушки с током (длина I -» 0) равна произведению тока катушки I на число
витков п, деленному на удвоенный радиус катушки, т. е. напряженности от-
дельного витка проводника, умноженной на п\
Число витков • ток Напряженность поля = ~ 2 • радиус катушки L4
Н = — 27? Символ Единица измерения Название
н п I R А/м 1 А м Магнитное поле внутри катушки Число витков Ток катушки Радиус катушки
Напряженность магнитного поля на оси цилиндрической катушки с то-
ком радиуса R длиной / внутри катушки равна:
Н = - = .
4Р + 47?2
15.16. Вещество в магнитном поле
При внесении вещества в магнитное поле напряженностью Н, магнитная
индукция В изменяется из-за взаимодействия магнитного поля с электрона-
ми вещества. Изменение магнитной индукции при внесении вещества в
поле зависит от свойств этого вещества.
1. Относительная магнитная проницаемость
щ равна отношению магнитной индукции В в веществе к магнитной ин-
дукции в вакууме при одинаковых напряженностях магнитных полей Н:
Значения щ для некоторых сплавов приведены в табл. 19.4/3.
Абсолютная магнитная проницаемость ц равна произведению магнитной
постоянной ц0 и относительной магнитной проницаемости щ:
ц =Ц0‘Нг
▲ В изотропных магнитных материалах магнитная индукция В пропорцио-
нальна напряженности магнитного поля Н. Коэффициентом пропорцио-
нальности является магнитная проницаемость.
Магнитная индукция = магнитная проницаемость • • напряженность магнитного поля Т2МГ!
В = цН = цг - Цо -Й Символ Единица измерения Название
в н Но Иг н В -с/м2 1 А м А/м Магнитная индукция Магнитная проницаемость Магнитная постоянная Относительная магнитная проницаемость Напряженность магнитного поля
2. Магнитная восприимчивость
вещества равна разности относительной магнитной проницаемости цг
вещества и относительной магнитной проницаемости вакуума щ = 1:
Х/и — Мт 1 •
является безразмерной величиной: [%] = 1.
Магнитная восприимчивость некоторых веществ:
диамагнетики: медь — 1-10-5, висмут — 1,5-10 4, вода — 7-10-6,
парамагнетики: А1 — 2,4 10~5, О2 (газообразный) — 3,6 -10-3,
ферромагнетики: Fe — 104, AlNiCo-сплав — 3, феррит (твердый) — 0,3.
Молярная магнитная восприимчивость для некоторых элементов приве-
дена в табл. 19.4/1, для некоторых неорганических соединений — в
табл. 19.4/2.
3. Магнитная поляризация
Jm — это разность магнитной индукции в веществе Bw и магнитной ин-
дукции в вакууме Во. Эта величина также может быть выражена через маг-
нитную восприимчивость среды хт и магнитную индукцию в вакууме Во:
Jm “ ^т ~ = (Hr — 1) ‘ ®0 = Хт ' ®0 = Х/иЦО ’Н.
Вольт-секунда на метр квадратный (В с/м2) — единица измерения маг-
нитной поляризации, принятая в СИ:
[J] = В-с/м2.
4. Намагниченность
М — равна произведению магнитной восприимчивости и напряжен-
ности магнитного поля Н.
о
М=—^--Н=(цг -1) Н=х™ Н.
Цо
Ампер на метр (А/м) — единица измерения намагниченности М, приня-
тая в СИ:
[М] = А/м.
Для многих веществ намагниченность М пропорциональна напряженно-
сти магнитного поля Н.
Зависимость магнитной индукции В от напряженности магнитного поля
Н графически представляют в виде кривой намагничивания.
15.16.1. Диамагнетизм
Диамагнетизм — это свойство всех материалов. Явления диамагнетизма
можно наблюдать лишь в том случае, если они не перекрываются другими
видами магнетизма.
▲ Если диамагнитное вещество поместить в неоднородное магнитное поле,
то оно сместится в область меньшей напряженности магнитного поля.
Диамагнитные явления наблюдаются в веществах с замкнутой электрон-
ной оболочкой. При внесении диамагнитных веществ в магнитное поле
происходит индуцирование внутриатомных круговых токов, которые по пра-
вилу Ленца направлены противоположно внешнему магнитному полю (см.
15.18). В веществе образуются магнитные диполи, северный и южный по-
люсы которых совпадают соответственно с северным и южным полюсами
внешнего магнитного поля. Таким образом, магнитное поле ослабляется,
вещество выталкивается магнитным полем.
▲ Относительная магнитная проницаемость диамагнитных веществ мень-
ше единицы, магнитная восприимчивость отрицательна:
цг <1,Х„ < 0 (-10-4 <1т <-10-9).
15.16. Вещество в магнитном поле
> Вектор напряженности магнитного поля Н и вектор намагниченности М
ориентированы навстречу друг другу. Плотность силовых линий магнит-
ного поля В в веществе ниже, чем вне вещества.
А Диамагнитные свойства почти не зависят от температуры.
К веществам с диамагнитными свойствами относятся: Си, Bi, Au, Ag, Н2.
15.16.2. Парамагнетизм
Парамагнетизм возникает благодаря тому, что в веществе появляются не-
скомпенсированные магнитные моменты электронов. Это происходит в том
случае, если электронные оболочки атомов являются незаполненными. Во
внешнем магнитном поле изначально произвольно ориентированные маг-
нитные моменты упорядочиваются (рис. 15.31, а).
▲ Относительная магнитная проницаемость парамагнетиков больше еди-
ницы, магнитная восприимчивость положительна:
>1, Zm >0(10-6 <Xm <10-4).
> Направления вектора напряженности магнитного поля Н и вектора на-
магниченности М совпадают. Плотность силовых линий магнитного
поля В в веществе выше, чем вне вещества.
Закон Кюри описывает зависимость магнитной восприимчивости от
абсолютной температуры Т для парамагнетиков:
С
X™ - у,?
здесь С — величина, зависящая от материала.
К веществам с парамагнитными свойствами относятся: Al, О2, W, Pt, Sn.
15.16.3. Ферромагнетизм
1. Ферромагнетизм
Ферромагнетизм возникает благодаря упорядочиванию векторов намаг-
ниченности доменов в направлении магнитного поля. Кривая намагничива-
ния ферромагнитного вещества нелинейна (рис. 15.31, б).
Рис. 15.31. Структура магнитных веществ: а — парамагнетики (произвольная
ориентация магнитных моментов); б — ферромагнетики (упоря-
доченная ориентация магнитных моментов внутри магнитных до-
менов, разделенных стенками Блоха); в — антиферромагнетики
(две подрешетки с одинаковыми антипараллельными магнитны-
ми моментами); г — ферромагнетики (две подрешетки с неодина-
ковыми антипараллельными магнитными моментами)
Глава 15. Электрическое и магнитное поле
Рис. 15.32. Гистерезисные кривые: а —
магнитомягкие вещества; б — магни-
тотвердые вещества
Магнитный домен — область кристалла с одинаковой намагниченностью
размером от 10 мкм до 1 мм, в отсутствии магнитного поля домен ориенти-
рован, как правило, так, что результирующая намагниченность равна нулю.
Стенки Блоха — зоны перехода между магнитными доменами с разной
намагниченностью. Намагничивание ферромагнитных веществ происходит
благодаря обратимым и необратимым сдвигам стенок Блоха.
▲ Относительная магнитная проницаемость ферромагнетиков зависит от
напряженности магнитного поля и представляет собой величину, много
большую единицы, магнитная восприимчивость ферромагнетиков поло-
жительна:
Цг » Х/И > 0- ~
> Вектор напряженности магнитного поля Н и намагниченности М на-
правлены в одинаковом направлении. Плотность силовых линий маг-
нитного поля В в веществе выше, чем вне вещества.
2. Гистерезисная кривая
Это кривая намагничивания ферромагнитных веществ. Площадь фигу-
ры, ограниченной гистерезисной кривой, равна энергии намагничивания,
которая необходима для того, чтобы упорядочить магнитные домены. Кри-
вая намагничивания зависит от исходного состояния ферромагнетика. Гис-
терезисная кривая симметрична от-
носительно начала координат. Этому
соответствует симметрия при поворо-
те вектора магнитного поля.
Магнитотвердое вещество — фер-
ромагнетик с широкой гистерезисной
кривой. Для его перемагничивания
необходимы большие затраты энер-
гии (рис. 15.32, б).
Магнитомягкое вещество — фер-
ромагнетик с узкой гистерезисной
кривой. Для его перемагничивания
достаточно небольших затрат энергии
(рис. 15.32, а).
Магнитотвердые вещества подходят для изготовления магнитов, так как
они способны стабильно поддерживать сильное магнитное поле даже
при наличии помех (наводимых, например, другим магнитным полем)
(запоминающий магнит).
Магнитомягкие вещества используются в качестве трансформаторных
сердечников, так как, с одной стороны, они обладают высокой магнит-
ной индукцией, с другой, затраты энергии на перемагничивание доста-
точно малы (звуковая головка).
3. Кривая первоначального намагничивания и индукция насыщения
Кривая первоначального намагничивания. В случае отсутствия магнит-
ного поля Н магнитная индукция В равна нулю. При увеличении напряжен-
ности магнитного поля В-Н-диаграмма пробегает значения кривой первона-
чального намагничивания (рис. 15.33).
15.16. Вещество в магнитном поле
> Если вещество уже намагничено, то диа-
грамма не проходит участок первоначально-
го намагничивания.
Индукцией насыщения Bs называется маг-
нитная индукция, при которой все магнитные
моменты ферромагнетика упорядочены. При
увеличении магнитного поля через точку насы-
щения магнитная индукция изменяется про-
порционально напряженности поля.
4. Остаточная магнитная индукция и коэрци-
тивная сила
Остаточной магнитной индукцией BR назы-
вается магнитная индукция при выключении
Рис. 15.33. Гистерезисная
кривая с участком первона-
чального намагничивания
внешнего магнитного поля.
Коэрцитивная сила Нс — величина противодействующего поля, которое
нужно приложить к ферромагнетику для его размагничивания. Для магнито-
мягких веществ коэрцитивная сила Нс лежит в пределах от 0,1 А/м до 103 А/м,
для магнитотвердых веществ от 103 А/м до 105 6 7 А/м.
Остаточная магнитная индукция и коэрцитивная сила для хромистой
стали: BR = 1,1 Тл, Нс = 5200 А/м.
Значения остаточной магнитной индукции и коэрцитивной силы для не-
которых магнитных сплавов приведены в табл. 19.4/3.
5. Температурная зависимость свойств ферромагнетиков
С ростом температуры ферромагнитные свойства вещества ослабевают.
Ферромагнетики превращаются в парамагнетики.
Закон Кюри-Вейса описывает температурную зависимость восприимчи-
вости хт в ферромагнитных веществах (рис. 15.34):
С
^7 ГТ1 ГГ1 ?
7 -1С
где Тс — температура Кюри ферромагнитного вещества, а С — константа,
зависящая от вещества.
Температура Кюри для некоторых ферромагнетиков: Fe — 1042 К, Со —
1400 К, Ni - 631 К, Dy - 87 К.
▲ Если температура превышает температуру Кюри, вещество превращается
в парамагнетик.
В табл. 19.5/1, 19.5/2, 19.5/3 приведены значения температуры Кюри для
некоторых ферромагнитных элементов, а также двойных железных и нике-
левых сплавов.
Вещества с ферромагнитными свойствами: Fe, Со, Ni, Gd.
6. Магнитострикция
Магнитострикцией называется упругая деформация ферромагнитного ве-
щества вследствие смещения или вращения стенок Блоха, при этом наблюда-
ется как положительное, так и отрицательное относительное удлинение.
Рис. 15.34. Температурная зависимость магнитной восприимчивости; Tq —
температура Кюри; TN — температура Нееля; а — парамагнетик;
б — ферромагнетик; в — антиферромагнетик; г — ферромагнетик
Объемная магнитострикция — изменение размеров тела при сохранении
формы.
Магнитострикция Джоуля — изменение формы тела при сохранении
объема. В общем случае магнитострикция Джоуля намного больше объем-
ной магнитострикции.
Магнитоупругий эффект — изменение намагниченности образца при де-
формации.
15.16. 4. Антиферромагнетизм
Причина антиферромагнетизма заключается в том, что в кристалле присут-
ствуют две подрешетки, где магнитные моменты одинаковой величины на-
правлены антипараллельно друг другу (рис. 15.31, в).
▲ Относительная магнитная проницаемость антиферромагнетика больше
единицы:
Нг> 1.
Закон Нееля описывает температурную зависимость магнитной воспри-
имчивости антиферромагнетика:
С
T + TN’
где TN — температура Нееля, С — константа, зависящая от материала.
15.17. Магнитное поле на
Температура Нееля для некоторых антиферромагнитных веществ: FeO —
198 К, NiF2 - 73,2 К, CoUO4 - 12 К, СоО - 328 К.
В табл. 19.7/1 приведены значения температуры Нееля, а также молярная
магнитная восприимчивость некоторых антиферромагнетиков.
Вещества с антиферромагнитными свойствами: СоО, NiCo, FeO, CoF3,
FeF3.
15.16. 5. Ферримагнетизм
Причиной ферримагнетизма является наличие в кристалле двух подрешеток,
каждая из которых содержит неодинаковые по величине магнитные момен-
ты, что ведет к образованию результирующего момента (рис. 15.31, г). От-
сюда следует, что ферримагнетики обладают свойствами как ферромагнети-
ков, таким как гистерезис, так и антиферромагнетиков.
Ферриты — это ферромагнитные вещества, ионные кристаллы. Благода-
ря высокому удельному электрическому сопротивлению ферриты имеют
низкие потери на вихревые токи. Ферриты в виде керамических материалов
применяются как сердечники катушек высоких частот, например, в качестве
ферритовых антенн.
Магнитные свойства некоторых ферритов представлены в табл. 19.6/1.
К веществам с ферримагнитными свойствами относятся: NiFeO3,
CoFe2O3, гексагональные ферриты BaO-6Fe2O3, PbO Fe2O3, гранаты
ЗСе2О3, 3Sm2O3-5Fe2O3.
15.17. Магнитное поле на границе раздела
двух сред
При переходе через границу, свободную от поверхностных токов, из среды с
магнитной проницаемостью щ в среду с магнитной проницаемостью ц2 век-
торы напряженности и магнитной индукции поля изменяются.
1. Изменение вектора напряженности магнитного поля
Тангенциальная компонента вектора напряженности Нх при переходе
через границу не изменяется:
=Я/2.
Нормальная компонента вектора напряженности поля изменяется скач-
кообразно (рис. 15.35).
2. Изменение вектора магнитной индукции
Нормальная компонента вектора магнитной индукции Вп при переходе
через границу раздела не изменяется:
Bni =ВП2-
Тангенциальная компонента вектора магнитной индукции изменяется
скачкообразно (рис. 15.36).
Глава 15. Электрическое и магнитное поле
Рис. 15.35. Напряженность магнитного
поля Н на границе раздела двух сред
Рис. 15.36. Магнитная индукция поля
В на границе раздела двух сред
3. Соотношения углов для вектора напряженности магнитного поля на гра-
нице раздела
Если угол между перпендикуляром (нормаль к поверхности раздела) и
направлением вектора напряженности магнитного поля обозначить а, тогда
тангенсы углов ctj в первой среде и а2 во второй среде относятся друг к дру-
гу так же, как магнитные проницаемости щ и ц2 и> соответственно, как от-
носительные магнитные проницаемости сред цг1 и цг2:
tan eg = pi =
tan а 2 Р2 Цг2
При переходе из среды с меньшей магнитной проницаемостью щ в среду
с большей магнитной проницаемостью ц2:
eg < eg.
Вектор напряженности магнитного поля при переходе через границу
сдвигается в сторону от нормали.
При переходе из среды с большей магнитной проницаемостью щ в среду
с меньшей магнитной проницаемостью ц2:
сц > сс2.
Вектор напряженности магнитного поля при переходе через границу
сдвигается в сторону к нормали.
15.18. Явление электромагнитной индукции
Явление электромагнитной индукции — возникновение напряжения на
концах проводника или витка из проводящего материала при изменении
магнитной индукции в проводнике или в витке.
▲ Индуцированное напряжение [7ИНД равно произведению изменения пото-
ка магнитной индукции Ф во времени на число п проводников либо
число витков проводника:
изменение потока Индуцированное напряжение = число витков т 2т-змт-1 временной интервал ь 1 1V11
тт _ ^инд — п . а/ Символ Единица измерения Название
^инд t/Ф Ф п в Вс с 1 Индуцированное напряжение Изменение магнитного потока Бесконечно малый временной интервал Число витков проводника
Различают два вида индукции:
• движение проводника в постоянном магнитном поле,
• нахождение проводника в переменном магнитном поле.
15.18.1. Явление электромагнитной индукции
в постоянном магнитном поле
1. Индукция в постоянном магнитном поле
Индукция в этом случае происходит за счет движения проводника в по-
стоянном магнитном поле В. Зная площадь АА, занимаемую проводником,
можно судить об изменении магнитного потока:
ДФ = В • ДА,
а, следовательно, и об индуцированном напряжении:
приращение площади Напряжение ~ магнитная индукция временной интервал РГ’МГ1
тт dA 5 ^инд — п ~Т~ ' В а/ Символ Единица измерения Название
3 'тЗ -о iCQ е в м2 С В • с/м2 1 Индуцированное напряжение Приращение площади Бесконечно малый интервал времени Магнитная индукция Число витков проводника
Магнитный поток, проходящий через виток проводника в однородном
магнитном поле, пропорционален косинусу угла а между вектором маг-
нитной индукции В и нормалью к поверхности А (рис. 15.37). Если вра-
щать виток проводника с постоянной угловой скоростью со, то на кон-
цах витка проводника возникает переменное напряжение, частота кото-
рого равна f = со/(2л). Тогда индуцированное напряжение равно:
С/инд(/) = А ’ В • со sin со/ = минд • sin со/.
минд ~ амплитуда переменного напряжения.
Глава 15. Электрическое и магнитное поле
В*0
В*0
A=const.
A=const.
б) в)
Рис. 15.37. Явление электромагнитной индукции при движении витка с то-
ком в постоянном магнитном поле
B=const. .
А*0
а)
> Работа генераторов напряжения базируется на индукции, возникающей
при движении проводника в постоянном магнитном поле.
2. Вихревой ток
Вихревой ток — это индуцированный ток широкого проводника в пере-
менном магнитном поле. Линии тока образуют замкнутые вихревые линии.
Тормоз, работающий на вихревых токах. Посредством движения провод-
ника в магнитном поле в проводнике создаются вихревые токи. На эти
токи в магнитном поле действует сила, которая направлена против дви-
жения проводника. Таким образом, вращающийся металлический диск
при включении поперечного магнитного поля затормаживается.
3. Скин-эффект
Явление, при котором переменный ток высокой частоты (f> 107 Гц) рас-
пределяется по сечению проводника не равномерно, а только в тонком при-
поверхностном слое проводника (поверхностный эффект). Переменное во
времени магнитное поле индуцирует внутри проводника напряжение, кото-
рое противодействует приложенному напряжению и затухает ближе к по-
верхности. Поэтому плотность тока J ближе к поверхности возрастает. Для
высоких частот справедлива следующая приближенная формула:
j(r fl « ' А) . ,е-(Л-Г)/8еу(«>г-(Л-Г)/8-Зя/4) /- > О
2л • R • 5 V Г
8 = I- - - ,
у со • ц • к
где R — радиус проводника, г — расстояние от оси проводника, /0 — ампли-
туда тока, б — глубина проникновения, ц — магнитная проницаемость про-
водника, к — проводимость проводника.
15.18.2. Явление электромагнитной индукции в
переменном магнитном поле
В этом случае изменение магнитного потока ДФ определяется изменением
магнитного поля ДЛ:
ДФ = ДЛ • A cos а,
где а — угол между направлением магнитного потока и нормалью к поверх-
ности проводника.
15.19. Явление самоиндукции
тт изменение магнитной индукции Напряжение ~ — площадь временной интервал РТ-ЗМГ1
тт dB Т ^ИНД — # J ’А dt Символ Единица измерения Название
^инд ав dt А п В м2 с В -с/м2 1 Индуцированное напряжение Изменение магнитной индукции Бесконечно малый интервал времени Площадь Число витков проводника
Явление возникновения напряжения при нахождении проводника в пе-
ременном магнитном поле используется в трансформаторах.
Пробная катушка находится внутри большой катушки с током. Этот ток,
а вместе с ним и магнитное поле выключаются. При этом пробная ка-
тушка производит импульс напряжения.
Потери на вихревые токи возникают в трансформаторе при изменении
потока через железный сердечник. Эти потери можно уменьшить, если же-
лезный сердечник заменить металлическими пластинками, изолированными
друг от друга слоями лака.
Включение и выключение тока катушки приводит к генерации высоких
импульсов напряжения.
▲ Правило Ленца: магнитное поле индуцированного тока противодейству-
ет изменению внешнего магнитного поля.
15.19. Явление самоиндукции
1. Самоиндукция
Изменение тока I в катушке из п витков приводит к изменению магнитного
потока через катушку и к индуцированию в катушке напряжения. Индуциро-
ванное напряжение пропорционально изменению тока в единицу времени.
Индуктивность L — коэффициент пропорциональности между индуци-
рованным напряжением и изменением тока в единицу времени. Индуктив-
ность определяется свойствами самой катушки.
▲ Индуцированное напряжение по правилу Ленца противодействует при-
ложенному напряжению.
т> изменение потока Наведенное напряжение = число витков временной интервал L2T3MI]
, d/ ^ИНД ~ * j dt Символ Единица измерения Название
^инд di dt L в А с Гн = Вс/А Индуцированное напряжение Приращение силы тока Бесконечно малый интервал времени Индуктивность
Глава 15. Электрическое и магнитное поле
Генри (Гн) — единица измерения индуктивности Z, принятая в СИ.
[L] = Гн = Вс/А.
1 Гн — очень большая величина. Обычно значение индуктивности лежит
в пределах от 1 мкГн = 10-6 Гн до 1 Гн.
> Индуктивность катушки равна произведению квадрата числа витков п на
магнитную проводимость Лт:
L =п1 -\т
2. Поток самоиндукции
4 через катушку равен произведению магнитного потока Ф и числа вит-
ков катушки п. Поток индукции пропорционален току катушки /. Коэффи-
циентом пропорциональности является индуктивность L:
Поток самоиндукции = индуктивность-сила тока ьч^мг1
у = L • I = п Ф Символ Единица измерения Название
L I п ф Вб = Вс Гн = Вс/А А 1 Вб = Вс Поток самоиндукции Индуктивность катушки Сила тока в катушке Число витков катушки Магнитный поток через катушку
Вебер (Вб) — единица измерения потока самоиндукции ф, принятая в СИ.
[ф] = Вб = Вс.
3. Последовательное включение элементов, обладающих индуктивностью
При последовательном включении элементов, обладающих индуктивно-
стью, общая индуктивность £общ равна сумме отдельных индуктивностей це-
пи Д,...,£дг (рис. 15.38):
^общ - А + L2+...+LM.
4. Параллельное включение элементов, обладающих индуктивностью
При параллельном включении элементов, обладающих индуктивностью,
величина, обратная общей индуктивности £общ, равна сумме величин, об-
ратных отдельным индуктивностям цепи А,...,£у (рис. 15.39):
Рис. 15.38. Последовательное включение
элементов, обладающих индуктивностью
Рис. 15.39. Параллельное включение эле-
ментов, обладающих индуктивностью
15.19. Явление
15.19.1. Индуктивность некоторых систем проводников
а) Простой проводник (рис. 15.40, а):
3
4
L =
г — радиус проводника, / — длина проводника, ц — магнитная проницае-
мость.
б) Двухпроводная линия с круглым сечением (рис. 15.40, б):
pj Г (сГ\
L = — In -
71 |_ \Г )
1
+ —
4
г — радиус проводника, d — расстояние между проводниками, I — длина
проводника.
в) Двухпроводная линия с прямоугольным сечением (рис. 15.40, в):
L а « b, d«b,
n а + Ь
2ц/ ( а \ , j и
L = — In 1 +-----, d « a, d « b,
п < а + b )
a,b — стороны сечения проводника, / — длина проводника, d — расстояние
между проводниками.
г) Кольцевая шина:
L = цЯ
1
+ —
4
г — радиус проводника, R — радиус кольца.
д) Коаксиальный проводник (рис. 15.40, д):
1>1лЫ
2л < ri J
i\ — радиус внутреннего проводника, г2 — радиус внешнего проводника, / —
длина проводника.
е) Длинная цилиндрическая катушка / » г (рис. 15.40, г):
L
I
I — длина катушки, А — площадь поперечного сечения катушки, п — число
витков катушки.
ж) Короткая катушка, однослойная обмотка:
L = f — AnI 2, f »—-—
I 1 + r/l
I — длина катушки, A — площадь поперечного сечения катушки, г — радиус
катушки, п — число витков катушки, f — коэффициент, зависящий от фор-
мы катушки.
Рис. 15.40. Индуктивность различных систем проводников; а — простой
проводник; б — двухпроводная линия с круглым сечением; в —
двухпроводная линия с прямоугольным сечением; г — кольцевая
катушка; д — коаксиальный кабель; е — цилиндрическая катуш-
ка; г — радиус проводника или катушки; R — радиус кольца; / —
длина проводника или катушки; d — расстояние между провод-
никами; А — площадь поперечного сечения катушки; ц — маг-
нитная проницаемость среды
Vwgsmsi
15,19.2, Магнитная проводимость
Магнитная проводимость \т — величина, зависящая от геометрии провод-
ника и магнитной проницаемости вещества. На сердечнике катушки маг-
нитная проводимость указывается производителем.
Генри (Гн) — единица измерения магнитной проводимости Лт, приня-
тая в СИ.
[AJ = Гн = Вс/А.
Магнитная проводимость кольцевой катушки без сердечника определя-
ется площадью сечения катушки Л, через которую проходит магнитное
поле, средней длиной силовых линий поля I и магнитной постоянной ц0:
А А
Л/и — Цо ~-
Магнитная проводимость кольцевой катушки с железным сердечником
рассчитывается, если известны площадь сечения катушки А, через которую
проходит магнитное поле, средняя длина силовых линий поля /, магнитная
проницаемость железа цг, а также магнитная постоянная ц0:
А А
Лт = ц0 -Цг - у.
Магнитное сопротивление Rm является обратной величиной магнитной
проводимости:
15.20. Взаимная индукция
Магнитное сопротивление используют при расчетах магнитных цепей.
Катушка с железным сердечником, магнитная проводимость которого
Aw = 5 мкГн, состоит из 40 витков. Индуктивность такой катушки равна:
L = /72 • Кт = 402 • 5 • 10-6 Гн = 8 • 10-3 Н = 8 мГн.
15.20. Взаимная индукция
1. Индуктивная связь
Появляется между двумя катушками, если через обе катушки проходит
одинаковый магнитный поток Ф (рис. 15.41 и 15.42).
Рис. 15.41. Индуктивная связь двух ка-
тушек с однонаправленной обмоткой
Рис. 15.42. Индуктивная связь двух
катушек со встречной обмоткой
М
При изменении магнитного потока через одну из индуктивно связанных
катушек вторая катушка индуцирует напряжение.
Исходя из того, что ток первой катушки 1Х вызывает магнитный поток
Ф15 вводят следующие обозначения:
Потокосцепление Фн — часть магнитного потока, которая пронизывает
вторую катушку:
Фдг = К Фр
Коэффициент связи кх характеризует часть магнитного потока, который
пронизывает вторую катушку.
Магнитный поток рассеяния ФБ — теряемый магнитный поток:
ф5 =ф1 -Фдг = (1-^)^.
В реальных трансформаторах часть магнитного потока теряется в виде
магнитного потока рассеяния.
2. Коэффициент взаимной индукции
М характеризует поток самоиндукции в обеих катушках, который вызван
протеканием тока 1Х через обмотку первой катушки. Коэффициент взаим-
ной индукции равен произведению числа витков первой и второй катушек
пх и п2, магнитной проводимости первой катушки и коэффициента связи кх.
Глава 15. Электрическое и магнитное поле
Взаимная индукция L2T-2MI2
М = /Г1Л1л1м2 Символ Единица измерения Название
г? Гн Гн 1 1 Коэффициент взаимной индукции Магнитная проводимость Число витков катушек 1, 2 Коэффициент связи
Генри (Гн) — единица измерения коэффициента взаимной индукции М,
принятая в СИ.
[М] = Гн.
▲ Исходя из условия постоянства магнитной проницаемости, можно сде-
лать вывод, что взаимная индукция двух связанных катушек одинакова.
15.20.1. Трансформатор
1. Трансформатор
Преобразует низкое напряжение в высокое и наоборот. Трансформатор
состоит из первичной и вторичной обмоток, через которые проходит одина-
ковый магнитный поток (рис. 15.43).
Рис. 15.43. Трансформатор
Первичная обмотка характеризует ка-
тушку, к которой прикладывается транс-
формируемое (первичное) напряжение.
Вторичная обмотка характеризует ка-
тушку, с которой напряжение снимается.
Идеальный трансформатор — это
трансформатор без потерь мощности.
Коэффициент полезного действия реа-
льного трансформатора в лучшем случае
составляет около 95%.
▲ Если к первичной обмотке трансформатора приложено переменное на-
пряжение, то магнитный поток через вторую катушку также изменяется.
Благодаря этому на вторичной обмотке возникает напряжение.
2. Коэффициент трансформации
и определяет отношение напряжений на первичной и вторичной обмот-
ках. Если коэффициент и больше единицы, то напряжение понижается,
если и меньше единицы, то напряжение на выходе увеличивается.
Сдвиг фаз между входным и выходным напряжением составляет 180°
(правило Ленца).
Для идеального трансформатора отношение напряжений равно отноше-
нию числа витков первичной и вторичной обмоток:
С/i щ
—- = и = —,
U 2 «2
а отношение токов обратно пропорционально этой величине:
Л п2
— = —, Иь «2 — число витков в обмотках.
Л П\
▲ Отношение напряжений на первичной и вторичной обмотках обратно
пропорционально отношению токов в первичной и вторичной обмотках.
> Если трансформируемое напряжение содержит постоянную составляю-
щую, то она не трансформируется; индуцированное на вторичной об-
мотке напряжение содержит только переменную составляющую. Транс-
форматор используют также для того, чтобы отделять постоянную со-
ставляющую напряжения от переменной. Этот принцип используют, на-
пример, в усилительных схемах.
3. Пример расчета трансформатора
Первичная обмотка трансформатора содержит пх = 100 витков, вторич-
ная п2 = 250 витков. Напряжение на первичной обмотке составляет Ux = 12 В.
Тогда напряжение на вторичной обмотке равно:
и2 =t^-Ul = —12 В = 30 В.
«! 100
Если к вторичной обмотке подключено сопротивление потребителя R =
= 300 Ом, то через него течет ток 12 = 0,1 А. В этом случае ток на вторичной
обмотке составляет:
Ц = = — • 0,1 А = 0,25 А.
«1 100
15.21 . Энергия и плотность энергии
магнитного поля
1. Плотность энергии магнитного поля
Равна магнитной энергии ДИ^ поля, отнесенной к объему А К Если
энергия в этом объеме распределена неравномерно, то объем ДЕуменыпают
до тех пор, пока энергию в нем нельзя будет считать постоянной в про-
странстве:
wm = lim ------— =-------
дк—>о ДЕ dE
В общем случае плотность энергии представляет собой интеграл напря-
женности магнитного поля Н по магнитной индукции В:
^тах
W/n = jH-dB.
о
Если магнитная индукция В изменяется линейно в зависимости от на-
пряженности поля Н, тогда плотность магнитной энергии wm пропорциона-
льна произведению Н и В:
Глава 15. Электрическое и магнитное поле
Плотность магнитной энергии = 1 = - магнитная индукция • напряженность магнитного поля 2 ML'T2
=1в И Символ Единица измерения Название
w,r, в н Дж/м3 В • с/м2 А/м Плотность магнитной энергии Магнитная индукция Напряженность магнитного поля
энергии пропорциональна заштрихованной площади на
Плотность
рис. 15.44.
Рис. 15.44. Плотность энергии магнитного
поля wm: а — линейная кривая намагничива-
ния; б — работа намагничивания под гисте-
резисной кривой; Bs, Н$ — индукция насы-
щения, напряженность насыщения
Гистерезисные потери возникают потому, что энергия, затрачиваемая на
намагничивание, больше той, которая необходима для размагничивания.
Разница энергий переходит в тепловую энергию. Площадь фигуры, ограни-
ченной гистерезисной кривой, характеризует потери энергии за один цикл.
2. Энергия магнитного поля
Wm определяется интегралом плотности энергии по объему К, занимае-
мому магнитным полем. Для магнитного поля в среде, для которой В изме-
няется линейно в зависимости от напряженности поля Н, энергия магнит-
ного поля равна:
Wm = J wmd7=|jH-BdK.
V 2 V
Энергия поля катушки Wm пропорциональна квадрату силы тока катуш-
ки Г.
Энергия ~ индуктивность • ток2 L2T2M
Символ Единица измерения Название
W ТГ т L I Дж Гн А Энергия магнитного поля Индуктивность Ток в катушке
3. Сопоставление электрических и магнитных величин
Электрическое поле Единица измерения Магнитное поле Единица измерения
Электрическая постоянная £0 = 1/(Ц0С2 ) А-с/(В-м) Магнитная постоянная Цо = 1/(еос2) Вс/(Ам)
Напряженность электри- ческого поля „ dU Е = ds Вм Напряженность магнитно- го поля н = -^ dv А/м
Электрическое напряжение в и АВ = J Eds А В Магнитное напряжение в Vab = f Hds А А
Сила тока / = d<? dz А Индуцированное напря- жение тт 6Ф U — —п d/ В
Электрический заряд Q = J Wt Ас Магнитный поток Ф = j BdA Вс
Абсолютная диэлектриче- ская проницаемость £ — £()£г Ас/(Вм) Абсолютная магнитная проницаемость Ц = ЦоНг Вс/(Ам)
Относительная диэлектри- ческая проницаемость £г 1 Относительная магнитная проницаемость Цг 1
Электрическое смещение D = £Ё А-с/м2 Индукция магнитного поля В = цН В с/м2
Электрическая сила F =0Ё Н Магнитная сила F = 0(v х В) Н
Электрический диполь- ный момент p = ei А-с-м Магнитный дипольный момент ш = Ф1 Всм
Емкость с = ° и Ф Индуктивность L = -—^— dl/dt Гн
Плотность электрической энергии we = —DE = -еЁ2 2 2 Вт•с/м3 Плотность магнитной энергии wm =-ВН = -рН2 2 2 Вт-с/м3
Электрическая энергия конденсатора We = -CU2 2 Дж Магнитная энергия ка- тушки Дж
Глава 15. Электрическое и магнитное поле
15.22 . Уравнения Максвелла
В настоящем разделе рассмотрены уравнения Максвелла:
1. Из электростатики известно, что электрическое поле — это поле заря-
да, т.е. существуют источники поля. Электрический ток через замкнутую
поверхность А равен заряду в занимаемом объеме:
Q = j pdK =£0$Ё -dA = fD-dA.
V А А
2. В природе до сегодняшнего дня не было найдено магнитных зарядов.
Поэтому можно предположить, что магнитное поле не имеет источников.
Общий магнитный поток через замкнутую поверхность А равен нулю:
f В • dA = 0.
А
> Это уравнение изменится, если будет доказано существование магнит-
ных зарядов. В правой его части появится аналог электрического заряда,
где под знаком интеграла будет стоять магнитная плотность заряда.
3. Из закона электромагнитной индукции следует, что при изменении
магнитного потока через виток проводника на концах витка образуется на-
пряжение. Если концы проводника закоротить, то по нему потечет ток. За-
кон электромагнитной индукции может быть записан в общей форме:
f>E ds = . dA.
A A dZ
Изменение во времени магнитной индукции В, проинтегрированное по
поверхности А, равно интегралу напряженности электрического поля Ё
вдоль замкнутого контура s, в котором заключена эта поверхность.
▲ Любое переменное во времени магнитное поле порождает вихревое
электрическое поле (рис. 15.45, б).
4. Последнее уравнение Максвелла получают введением тока смещения:
I + Г— dA = [fj + — La = f>H-ds.
idz 11 dzJ 1
▲ Любое переменное во времени электрическое поле порождает магнитное
поле (рис. 15.45, а).
Рис. 15.45. а — переменные во времени электрические поля вызывают маг-
нитные поля; б — переменные во времени магнитные поля вызы-
вают вихревые электрические поля
15.22.1. Ток смещения
Из магнитостатики известно, что магнитное поле является вихревым. Про-
суммированное вдоль контура s магнитное поле Н равно току I, окруженно-
му контуром s:
I = j j . dA = [ Н • ds.
A s
Ток / равен интегралу плотности тока J по поверхности А, ограниченной
контуром.
1. Ток смещения
Определяет изменение во времени вектора электрического смещения D.
В электрической цепи, в которую включен конденсатор, ток протекает до тех
пор, пока конденсатор не зарядится. Проводник с током окружает магнитное
поле. В то время, пока конденсатор заряжается, между конденсаторными пла-
стинами изменяется напряженность электрического поля. Если между плас-
тинами находится диэлектрик, то в нем происходит смещение электрических
зарядов (поляризация). Это смещение зарядов порождает магнитное поле.
Последнее уравнение Максвелла содержит ток смещения:
/ + f — dA = Г f J + — 1 dA = £Й • ds.
> 11 d'J t
> Благодаря введению тока смещения (дополнение Максвелла) система
уравнений Максвелла становится полной.
2. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах
Уравнения Максвелла можно записать как в интегральной, так и в диф-
ференциальной формах:
Уравнения Максвелла в различной форме
Значение Интегральная форма Дифференциальная форма
Отсутствие источников магнит- ного поля f BdA =0 О divB = 0
Электрическое смещение через поверхность равно заключенно- му внутри поверхности заряду ^DdA = Q О divD = p
Закон Фарадея электромагнит- ной индукции: переменное во времени магнитное поле по- рождает электрическое поле -ds = -- [В-dA У dt J s .к 5B rotE = dt
Закон Ампера, дополненный Максвеллом: переменное во времени электрическое поле порождает магнитное поле ЬЙ-ds = - [б -dA + I r dtJ s rotH = — + J dt
15.22.2. Электромагнитные волны
Из уравнений Максвелла следует, что проводник, в котором заряды совер-
шают колебания, окружен переменными электрическим и магнитным поля-
ми. Переменные во времени электрические поля порождают магнитные
поля, которые, изменяясь во времени, образуют электрические поля.
1. Электромагнитные волны
Электромагнитной волной называется распространение электрических и
магнитных полей в пространстве. Электромагнитные волны — это решения
уравнений Максвелла. Электромагнитные волны переносят энергию. Элект-
ромагнитные волны охватывают диапазон от длинных радиоволн до свето-
вых волн и у-излучения, образующегося при распаде ядра или присутствую-
щего в спектре космического излучения (см. таблицу в п. 16.2.13).
> Электромагнитные волны в диапазоне длинных радиоволн создаются
при помощи колебательного контура.
2. Волновое уравнение и его решение
Волновое уравнение (см. 10.1, п. 1) для полей Ё и Н в вакууме
(р = 0, J = 0):
АТ? 52Ё п ап 52Н п
ДЕ - цО£о = 0, АН - цО£о -т-т- = 0.
dt1 dt1
Монохроматическое решение:
• распространяющаяся в направлении к плоская волна:
Ё =Ёое_-’(°*"кг), Н = Ное--Кю/-кг),
• исходящая из точки г = 0 (в формулах — знак минус) или приходящая в
точку г = 0 (в формулах — знак плюс) сферическая волна:
Ё = Ёое-^ю/+^), Н = H0e-j<coZ+^).
Векторы Ёо, Но определяют направление поляризации электромагнитной
волны.
3. Скорость света в вакууме
Скоростью света в вакууме с0 является скорость распространения элект-
ромагнитной волны в вакууме. с0 является физической постоянной. Ско-
рость света в вакууме связывает электрическую постоянную е0 и магнитную
постоянную ц0:
Скорость света в вакууме LT1
с0 = 2,99792458-Ю8 м/с 1 со = I д/£0 • Цо Символ Единица измерения Название
Со Со Но м/с Ас/(В-м) Вс/(А-м) Скорость света в вакууме Электрическая постоянная Магнитная постоянная
15.22. Уравнения Максвелла
4. Скорость света в среде
с — скорость распространения электромагнитной волны в среде. При
расчете скорости электрическая постоянная заменяется на диэлектрическую
проницаемость 8 = 80 -£г, а магнитная постоянная — на магнитную прони-
цаемость ц = цо • цг:
Скорость света в среде LT-1
1 1 с = 1 = / ‘ со Vе -Ц д/8г -Цг Символ Единица измерения Название
С г Н 8Г Цг Со м/с А-с/(В-м) Вс/(Ам) 1 1 мс Скорость света в среде Абсолютная диэлектриче- ская проницаемость Абсолютная магнитная проницаемость Относительная диэлектри- ческая проницаемость Относительная магнитная проницаемость Скорость света в вакууме
5. Закон сохранения энергии в электродинамике
Из уравнений Максвелла следует закон сохранения энергии электроди-
намики:
аГЁб + нв"!
— --------- + div(E х Н) = -JE.
9/1 2
Первый член левой части уравнения описывает изменение во времени
плотности энергии w электромагнитного поля:
ED + HB
w = +' =---------.
Второй член в левой части уравнения — дивергенция плотности потока
энергии S (вектор Пойнтинга) электромагнитного поля:
S =Ё хН.
Выражение в правой части уравнения
электромагнитной энергии в другие формы
единице объема.
характеризует преобразование
энергии за единицу времени в
15.22.3. Вектор Пойнтинга
Вектор Пойнтинга S определяет модуль и направление переноса энергии
электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга в любой точке пространства ра-
вен векторному произведению напряженностей электрического Ё и магнит-
ного полей Н в этой точке. Вектор Пойнтинга имеет размерность плотности
потока энергии.
и магнитное поле
Вектор Пойнтинга = напряженность электрического поля х х напряженность магнитного поля т-3м
Символ Единица измерения Название
S =Ёхй S Вт/м2 Вектор Пойнтинга
Ё В/м Напряженность электрического поля
Н А/м Напряженность магнитного поля
Ватт на квадратный метр (Вт/м2) — единица измерения вектора Пой-
нтинга S, принятая в СИ. Модуль вектора Пойнтинга в точке пространства
равен 1 Вт/м2, если в этой точке напряженность электрического поля равна
Е = 1 В/м, напряженность магнитного поля составляет Н = 1 А/м, а векторы
напряженностей направлены перпендикулярно друг другу.
[S] = Вт/м2.
Энергия Ж, переносимая через поверхность А за время dz, равна интег-
ралу вектора Пойнтинга по поверхности А:
Для электромагнитных волн справедливо следующее:
▲ Модуль вектора Пойнтинга равен половине произведения плотности
энергии электромагнитной волны и скорости света:
S' = ~(we + wm),
we = -ED,
2
=|ВН
ГЛАВА 16
ПРИМЕНЕНИЕ
В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
1. Электрическая цепь
Электрическая цепь состоит из источника тока и потребителя, которые
связаны друг с другом таким образом, что по цепи может протекать элект-
рический ток.
В электрической цепи источником создается электрическое поле, кото-
рое приводит в движение электрические заряды, происходит перенос заряда
через проводники и потребители от области с более высоким потенциалом к
области с низким потенциалом. В общем случае электрические цепи описа-
ны в теории цепей.
В теории цепей источники и потребители обобщены как элементы, ко-
торые по числу внешних точек подключения делятся на двухполюсники, че-
тырехполюсники и т. д.
Двухполюсник — элемент цепи с двумя внешними точками подключения.
Активный двухполюсник — двухполюсник, который содержит источник
энергии.
Пассивным называется двухполюсник, который не содержит источник
энергии.
Омическое сопротивление — это пассивный двухполюсник (рис. 16.1, а).
Источники тока и напряжения представляют собой активные двухпо-
люсники.
Емкости и индуктивности в своем большинстве являются пассивными
двухполюсниками. Конденсатор при разрядке является источником на-
пряжения, индуктивность после выключения тока — источником тока
(рис. 16.1, в, б).
i JL, I I н
и и и
а) б) в)
Рис. 16.1. Обозначения на схемах: а — сопротивление; б — индуктивность;
в — емкость
Четырехполюсник — элемент сети с четырьмя внешними точками под-
ключения — парами входных и выходных клемм.
2. Источники тока и напряжения
Источники тока и напряжения подразделяются на идеальные и реальные
источники.
19—3814
Глава 16. Применение в электротехнике
Идеальный источник напряжения создает напряжение, не зависящее от
выбранного тока.
▲ Внутреннее сопротивление идеального источника напряжения равно
нулю.
Идеальный источник тока создает ток, не зависящий от приложенного
напряжения.
▲ Внутреннее сопротивление идеального источника тока равно бесконеч-
ности.
В общем случае, понятия идеальных источников тока и напряжения яв-
ляются приближенными. В реальных источниках тока и напряжения необ-
ходимо учитывать конечное внутреннее сопротивление.
Схематические изображения идеальных источников тока и напряжения
приведены на рис. 16.2, а.
На выходе источника постоянного
Рис. 16.2. Схематические изобра-
жения: а — идеальные источники
тока и напряжения; б — источник
постоянного напряжения; в — ис-
точник переменного напряжения
напряжения существует постоянное во
времени напряжение. Схематическое
изображение источника постоянного на-
пряжения представлено на рис. 16.2, б.
На выходе источника переменного
напряжения существует переменное во
времени напряжение (переменное напря-
жение). Схематическое изображение ис-
точника переменного напряжения пред-
ставлено на рис. 16.2, в.
По виду источников определяют цепи
постоянного и переменного тока.
16.1. Цепь постоянного тока
1. Постоянное напряжение и постоянный ток
Постоянное напряжение постоянно во времени по модулю и полярности.
Постоянное напряжение отличается от выпрямленного переменного на-
пряжения тем, что полярность последнего постоянна во времени, однако
значение напряжения колеблется. Постоянство направления напряжения
достигается за счет выпрямительной схемы.
Постоянный ток представляет собой ток, направление и модуль которо-
го постоянны во времени.
Создание постоянного тока происходит за счет электрохимических реак-
ций, например, в аккумуляторах и гальванических элементах.
▲ Напряжение U обозначается стрелкой, направление которой указывает
от большего потенциала к меньшему.
▲ Ток в проводнике течет от положительного (от плюса) к отрицательному
(к минусу) полюсу источника напряжения (в соответствии с определени-
ем технического направления тока).
16.1. Цепь постоянного тока
В потребителе направление тока и напряжения одинаковы.
Поэтому мощность потребителя положительна:
Pv =U I > 0.
В источнике направление тока и напряжения противоположно.
Поэтому мощность (потребляемая) источника отрицательна:
PQ = U • I < 0.
2. Электродвижущая сила и напряжение на зажимах
Электродвижущая сила (э. д. с.) UQ характеризует напряжение идеально-
го источника.
Напряжение на зажимах определяет напряжение, потребляемое на-
грузкой от источника напряжения. Из-за внутреннего сопротивления источ-
ника его значение меньше, чем значение э. д. с.
t/к, < UQ.
Идеальный источник напряжения — это источник, при подключении к
которому потребителя значение напряжения на зажимах не изменяется.
Внутреннее сопротивление такого источника равно нулю.
▲ В случае идеального источника напряжение на зажимах равно э. д. с.
3. Электрическая цепь
Электрической цепью называется
соединение электрических элементов
(рис. 16.3). Компонентами цепи явля-
ются:
• узел — соединение как минимум
трех проводников,
• ветвь — соединение элементов меж-
ду двумя узлами,
• контур — замкнутый элемент цепи.
Рис. 16.3. Электрическая цепь: кон-
тур, ветвь и узел
16.1.1. Законы Кирхгофа для цепи постоянного тока
Законы Кирхгоффа позволяют рассчитывать цепи постоянного тока.
1. Первый закон Кирхгофа
▲ Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю:
1\ + 11 + ••• + In — 0.
При этом считается, что вытекающие из узла токи положительны, а вте-
кающие — отрицательны.
> Первый закон Кирхгофа следует из закона сохранения заряда.
2. Второй закон Кирхгофа
▲ Алгебраическая сумма всех напряжений в контуре равна нулю:
Ui + и\ + Uт, + ... + =0.
Напряжения в направлении обхода входят в уравнение с положительным
знаком, напряжения против направления обхода — с отрицательным знаком.
> Напряжение определяет работу пробного заряда. Второй закон Кирхгофа
является следствием закона сохранения энергии (см. 15.4, п. 2).
16.1.2. Сопротивления в цепи постоянного тока
Законы Кирхгофа позволяют вычислить общее сопротивление цепи, если
известны значения отдельных сопротивлений при последовательном или па-
раллельном их включении.
1. Последовательное включение сопротивлений
На рис. 16.4 изображено последовательное подключение N сопротивле-
ний. Через каждое сопротивление течет одинаковый ток /; согласно второму
закону Кирхгофа, падения напряжения на каждом сопротивлении скла-
дываются в общее напряжение U.
Рис. 16.4. Последовательное включение сопротивлений и эквивалентная схема
▲ Общее сопротивление в схеме с последовательным включением равно
сумме отдельных сопротивлений.
Последовательное включение сопротивлений 1ЛГ-ЗМГ2
^общ - Ri + Ri + R3 + • • • + Rn Символ Единица измерения Название
D Лобщ Я, Ом Ом Общее сопротивление Элементы сопротив- лений цепи
N сопротивлений Я, можно заменить одним общим.
Деление напряжения
▲ Отношение падения напряжения Ц на отдельном элементе к общему на-
пряжению цепи U равно отношению сопротивления отдельного элемен-
та к общему сопротивлению Аобщ:
и i __ Ri
U ^общ
16.1. Цепь постоянного тока
А Падения напряжения на отдельных элементах Ul и U} относятся друг к
другу как сопротивления этих элементов Rt и R}\
Cj_ _
иj Rj'
Делитель напряжения — схема последовательного включения омическо-
го сопротивления, к которой приложено напряжение U. Сопротивления вы-
бираются таким образом, чтобы желаемое напряжение на отдельном эле-
менте можно было измерить.
2. Параллельное включение сопротивлений
Параллельное включение N сопротивлений показано на рис. 16.5. Паде-
ние напряжения на каждом из сопротивлений равно U. Согласно первому
закону Кирхгофа токи, проходящие через каждое отдельное сопротивление,
суммируются в общий ток I. N сопротивлений можно заменить общим
сопротивлением Лобщ.
▲ Величина, обратная значению общего сопротивления цепи, равна сумме
обратных величин отдельных сопротивлений.
Параллельное включение сопротивлений L2T3M1!2
Символ Единица измерения Название
1111 1 — + + + ... + D 7Хобщ Ом Общее сопротивление
^общ ^2 *3 &N R, Ом Сопротивление отдельного элемента
^общ - + С?2 + Сз + ... + а U О См См Общая проводимость Проводимость отдельного элемента
Рис. 16.5. Параллельное включение сопротивлений и эквивалентная схема
То же уравнение может быть записано через проводимость (величина,
обратная сопротивлению):
▲ Общая проводимость в схеме с параллельным включением сопротивле-
ний равна сумме проводимостей отдельных элементов.
При параллельном включении двух сопротивлений общее сопротивление
цепи равно:
_ 7?! Л2
общ Rx + Т?2
Глава 16. Применение в электротехнике
Существуют следующие правила деления тока:
▲ Отношение тока /2, протекающего через сопротивление Rh к общему
току I прямо пропорционально отношению проводимости отдельного
элемента С, к общей проводимости Собщ:
Ii Gj -^общ
I ^общ
▲ Токи через два сопротивления 7, и относятся друг к другу как проводи-
мости соответствующих элементов:
Ij Gj Л ‘
16.1.3. Реальный источник напряжения
1. Реальный источник напряжения
Обладает конечным внутренним сопротивлением ф 0 (рис. 16.6).
Рис. 16.6. Источник напряжения и потребитель: а — идеальный источник
напряжения; б — реальный источник напряжения
Сила тока в цепи определяется сопротивлением потребителя Аа и внут-
ренним сопротивлением источника тока R;.
Ла + R{
▲ Напряжение на зажимах источника изменяется при подключении к нему
нагрузки. Напряжение на зажимах равно напряжению источника UQ,
умноженному на отношение сопротивления нагрузки Ra к сумме сопро-
тивления нагрузки и внутреннего сопротивления источника 7?z:
2. Ток короткого замыкания и напряжение холостого хода
Ток короткого замыкания /кз — ток в цепи, внешнее сопротивление Аа
которой равно нулю (рис. 16.7, а). Он равен отношению напряжению источ-
ника UQ и внутреннего сопротивления R{:
I
кз к
16.1. Цепь постоянного тока
Ток короткого замыкания при данном источнике напряжения зависит
только от его внутреннего сопротивления.
Напряжение холостого хода и** возникает, когда к источнику напряже-
ния подключена нагрузка (рис. 16.7, б), при этом сопротивление нагрузки
бесконечно, а ток равен нулю:
u^=uQ.
Рис. 16.7. Реальный источник напряжения: а — короткое замыкание; б — хо-
лостой ход
[м| Измерение тока короткого замыкания и напряжения холостого хода позво-
ляет определить внутреннее сопротивление реального источника напряже-
ния, если Rj не зависит от тока. Так как все измерительные приборы обла-
дают конечным сопротивлением, значения тока короткого замыкания и на-
пряжения холостого хода можно определить только приближенно.
16.1.4. Мощность и энергия цепи постоянного тока
1. Мощность цепи постоянного тока
Мощность потребителя в цепи постоянного тока, к которому приложено
напряжение U и через который протекает ток I, равна:
Мощность = напряжение-сила тока L2T’3M
Р =и I Символ Единица измерения Название
р и I Вт В А Мощность Напряжение Сила тока
Если сопротивление потребителя равно R, то на основе закона Ома (см.
14.5.1, п. 2) можно вывести следующие соотношения:
P=RP = -U2.
R
2. Энергия цепи постоянного тока
Энергия W, вырабатываемая или потребляемая за определенный интер-
вал времени Д/, пропорциональна мощности, а также величине интервала
времени Д/:
Энергия = мощность-интервал времени L2T-2M
W = Р А/ = и • I • А/ Символ Единица измерения Название
W р At и I Дж Вт с В А Энергия Мощность Интервал времени Напряжение Сила тока
Энергия может быть выражена через закон Ома (см. 14.5.1, п. 2):
Ж =7? /2 А/ = - [/2 АЛ
R
На омическом сопротивлении мощность выделяется в виде тепла.
> При нагревании резистор может быть разрушен. Поэтому допустимая
нагрузка сопротивления, как правило, задается с помощью цветового
кода.
Если потребитель подключен к ис-
точнику напряжения, то в цепи выде-
ляется мощность. Часть этой мощно-
сти забирает потребитель, другая часть
уходит в виде потерь в самом источни-
ке (рис. 16.8).
3. Полезная мощность, мощность
потерь и мощность короткого замыкания
Мощность потребителя, полезная
мощность Ра — мощность, потребляе-
мая нагрузкой:
л =------------U1.
Рис. 16.8. Мощность от источника
напряжения частично потребляется
нагрузкой (Ра), частично уходит в
виде потерь на внутреннем сопротив-
лении источника (Рм)
(Яа+Я.)2 V
Мощность потерь Pv — мощность, потребляемая внутренним сопротив-
лением источника напряжения:
________U2
(Аа+^)2 Q-
Баланс мощностей: мощность источника напряжения PQ равна сумме
мощности потерь Pv и полезной мощности Ра:
Pq = Д + Ру.
Мощность короткого замыкания Рк возникает, когда внешнее сопротив-
ление Ла равно нулю, т.е. клеммы источника напряжения замкнуты нако-
ротко.
▲ Мощность короткого замыкания представляет собой самую большую
мощность, которую может производить источник напряжения. Мощ-
ность короткого замыкания является исключительно мощностью потерь.
Потребляемая энергия выделяется в виде тепла.
4. Коэффициент полезного действия
т| — отношение полезной мощности Ра к мощности источника PQ:
Полезная мощность Коэффициент полезного действия = „ Мощность источника энергии 1
Pq Ра + Ру Ra + R[ Символ Единица измерения Название
п ра PQ Ру R. R, 1 Вт Вт Вт Ом Ом Коэффициент полезного действия Полезная мощность Мощность источника Мощность потерь Сопротивление потребителя Внутреннее сопротивление источ- ника напряжения
16.1.5. Согласование по мощности
Согласование по мощности означает то, что источник и потребитель в цепи
постоянного тока подбираются таким образом, чтобы потребитель забирал
максимум энергии от источника напряжения. Это условие выполняется,
когда сопротивление потребителя равно внутреннему сопротивлению источ-
ника:
Максимальная мощность потребления Ра тах при согласовании по мощ-
ности равна четверти мощности короткого замыкания Ркз:
р
1 a, max — ~ . 1 кз •
4 Ra 4
Коэффициент полезного действия
ставляет:
при согласовании по мощности со-
2Л.
= 50%.
16.1.6. Измерение тока и напряжения
16.1.6.1. Измерение тока
|м| Прибор для измерения тока или амперметр включается в электрическую
цепь последовательно. Чтобы прибор не вышел из строя, внутреннее со-
противление R; должно быть как можно меньше по сравнению с осталь-
ным омическим сопротивлением цепи.
Увеличение диапазона измерений. Если нужно измерить ток Z, значение
которого выходит за пределы диапазона измерений прибора, то к цепи парал-
Глава 16. Применение в электротехнике
дельно подключают дополнительное шунтирующее сопротивление Rn для уве-
личения диапазона. Это сопротивление должно быть такой величины, чтобы
значение тока /z, протекающего через амперметр, лежало в диапазоне измере-
ний прибора. Тогда ток I можно будет вычислить, зная шунтирующее сопро-
тивление Rn и внутреннее сопротивление амперметра R{ (см. 16.1.3, п. 1):
Увеличение диапазона измерений амперметра I
I = (1 + . I. 1 Rn) Символ Единица измерения Название
I I. к Rn А А Ом Ом Ток Ток через амперметр Внутреннее сопротивление амперметра Шунтирующее сопротивление
16.1.6.2. Измерение напряжения
[м] Прибор для измерения напряжения или вольтметр подключают парал-
лельно к двухполюснику, напряжение на котором хотят измерить. Внут-
реннее сопротивление измерительного прибора должно быть как можно
больше по сравнению с омическим сопротивлением двухполюсника.
Увеличение диапазона измерения. Если нужно измерить напряжение U,
значение которого находится вне диапазона измерения вольтметра, то по-
следовательно с вольтметром в цепь включают дополнительное сопротивле-
ние Rn (последовательное включение). Последовательное сопротивление
должно быть выбрано таким образом, чтобы падение напряжения на
вольтметре соответствовало диапазону измерения прибора. Тогда напряже-
ние U можно рассчитать, зная последовательное сопротивление Rn и внут-
реннее сопротивление Я, (см. 16.1.2, п. 1):
Увеличение диапазона измерений вольтметра ГЛГ^МГ1
II z 1—1 + s Символ Единица измерения Название
и и, R, Rn в в Ом Ом Напряжение Напряжение на вольтметре Внутреннее напряжение вольтметра Последовательное сопротивление
16.1.6.3. Измерение мощности
При измерении мощности, как и при определении сопротивления и снятии
вольт-амперных характеристик при помощи амперметра и вольтметра, су-
ществуют следующие возможности подключения измерительных приборов.
16.1. Цепь постоянного тока
Метод вольтметра. Амперметр последовательно включается в схему с па-
раллельно подключенными вольтметром и резистором. Так как через вольт-
метр течет часть тока А/, амперметр измеряет ток /, который представляет
собой величину, большую, чем ток, протекающий через сопротивление. Для
этого метода применяют вольтметр с высоким внутренним сопротивлением.
В этом случае напряжение будет измерено правильно (рис. 16.9).
Рис. 16.9. Метод вольтметра
Рис. 16.10. Метод амперметра
Метод амперметра. Вольтметр измеряет падение напряжения на сопро-
тивлении и амперметре. Так как амперметр обладает (низким) внутренним
сопротивлением, на котором существует падение напряжения АС/, вольтметр
показывает напряжение, большее, чем напряжение на сопротивлении. При
этом необходимо выбрать амперметр с маленьким внутренним сопротивле-
нием. В этом случае ток будет измерен правильно (рис. 16.10).
16.1.7. Определение сопротивления
компенсационным методом
Наряду с методами амперметра и вольтметра для определения сопротивле-
ния используют компенсационный метод.
Компенсационный метод осуществляется путем сравнения неизвестного
сопротивления Rx с известным Ад^при помощи мостовой схемы (рис. 16.11).
Ч Мостик Уитстона. Изменяемое сопротивление RN выбирается таким об-
разом, что через гальванометр не течет ток: производится уравновешива-
ние. Мостик (6) обесточен.
Неизвестное сопротивление Rx можно вычислить, зная сопротивления
Rj, Т?2 и Rn:
Определение сопротивления при помощи мостика Уитстона L2T-3MI'2
Rx Ri Символ Единица измерения Название
Rx rn R^Ri Ом Ом Ом Неизвестное сопротивление Эталонное сопротивление Известное сопротивление
Глава 16. Применение в электротехнике
Рис. 16.11. Схема мостика Уитстона: а — блок-схема; б — практическое при-
менение с реостатной проволокой
Эталонный резистор является прецизионным резистором с малой допус-
тимой погрешностью, так что с его помощью можно устанавливать величи-
ну любого сопротивления.
0 Так же можно выбрать сопротивление RN постоянным и изменять значе-
ния сопротивлений RY и Т?2. На практике применяют реостатную прово-
локу D со скользящим контактом и перемещают его до тех пор, пока из-
мерительный мостик не будет обесточен. Так как сопротивления R{ и R2
являются фрагментами одинаковой и однородной по всей длине прово-
локи длиной а и Z>, то сопротивление 7?х может быть вычислено при по-
мощи значений длин а и Ь:
п _ л _ л
Лх — -- • Лм — — -Лм.
R2 ь
> Для точного определения сопротивления величина Rx не должна сильно
отличаться от величины RN
16.1.8. Зарядка и разрядка конденсатора
Напряжение на конденсаторе пропорционально временному интегралу тока
зарядки и разрядки /(/):
Постоянная времени т — интервал времени, в течение которого напря-
жение на конденсаторе падает до значения 1/е « 1/3 своей первоначальной
величины. Постоянная времени равна произведению емкости конденсатора
С на сопротивление R, через которое конденсатор заряжается или разряжа-
ется:
т - R C.
Конденсатор емкостью С = 1 мФ заряжается через сопротивление R = 1 кОм.
Постоянная времени равна:
т = 1 кОм -1 мФ = 1 с.
16.1. Цепь постоянного тока
1. Зарядка конденсатора
Конденсатор емкостью С через сопротивление R подключен к источнику
напряжения UQ. Согласно второму закону Кирхгофа напряжение на сопро-
тивлении UR(f) и конденсаторе Uc(f) складываются в напряжение [70:
Uo = Uc(t) + иR(t)= 1J + I(t) R.
Отсюда получаются дифференциальные уравнения относительно тока
зарядки:
^=-1дО,ДО) = ^ = /о.
dt т R
Ток зарядки /(/) и напряжение на конденсаторе Uc(t) определяются по
формулам (рис. 16.12, а):
/(О = /0 = UQ = RC.
▲ Ток зарядки экспоненциально затухает в течение времени т при началь-
ном значении /0 = UQ/R.
▲ Напряжение на конденсаторе возрастает за то же время т до значения Z70.
2. Разрядка конденсатора
Конденсатор емкостью С разряжается через сопротивление R. Согласно
второму закону Кирхгофа сумма напряжений на конденсаторе Uc(t) и со-
противлении UR(t) равна нулю:
О = Uc(t) + Us(t) = 1 J + ДО R.
Рис. 16.12. а — зарядка конденсатора; б — разрядка конденсатора, S — ключ,
постоянная времени т = RC.
Процесс зарядки,
положение ключа 1
Процесс разрядки,
положение ключа 2
Глава 16. Применение в электротехнике
Отсюда получаются дифференциальные уравнения относительно тока
разрядки:
= --/(/), ДО) = ^ = /о-
dr т R
Ток в момент времени 11(f) и напряжение на конденсаторе Uc(f) опреде-
ляются по формулам (рис. 16.12, б):
I(t) = IQ‘e-^/\ uc(t) =UQ т=7?С.
▲ Ток разрядки экспоненциально убывает от начального значения Io = UQ/R
до нуля.
▲ Напряжение на конденсаторе экспоненциально убывает от первоначаль-
ного значения UQ до нуля.
16.1.9. Ток при замыкании и размыкании RL-цепи
Напряжение на катушке пропорционально скорости изменения тока 1(f) в
момент замыкания или размыкания цепи:
UL(t) = L^l.
at
Постоянная времени т — интервал времени, в течение которого ток в
катушке уменьшается до значения 1/е « 1/3 своей первоначальной величи-
ны. Постоянная времени равна отношению индуктивности L катушки и со-
противления Л, через которое протекает ток:
L
т = —.
R
Катушка индуктивностью L = 100 мГн закорочена на сопротивление R =
= 10 Ом. Постоянная времени в этом случае равна:
L 100 мГн
т = — =-------= 0,01 с.
R 10 Ом
1. Ток при замыкании цепи
К катушке индуктивностью Z, включенной в цепь последовательно с со-
противлением А, приложено напряжение <70. Согласно второму закону Кирх-
гофа, сумма напряжений на катушке UL(t) и сопротивлении UR(f) равна на-
пряжению UQ:
Uo = UL(f) + UR(t) = L^- + R- I(t).
at
Из этого выражения следуют уравнения:
^2 = , до) = о.
dr т £
Для тока катушки 1(f) и напряжения на катушке UL(t) получается:
Z(r) = Z0 (f)=U0 =
R
16.2. Цепь переменного тока
А Ток катушки I(t) возрастает асимптотически до значения /0 = U$/R.
А Напряжение на катушке UL(f) экспоненциально убывает от начального
значения UQ.
2. Ток при размыкании цепи
Катушка индуктивности L после выключения источника напряжения за-
корочена на сопротивление R. По второму закону Кирхгофа напряжение на
катушке UL(t) равно напряжению на сопротивлении UR(t):
О = UM + UM = L^- + R- /(/).
at
Отсюда можно получить уравнения для тока катушки /(/):
at т
Тогда для тока катушки /(Г) и напряжения на катушке f7L(Z) можно запи-
сать выражения:
М = 10-е-"\ UM=U0-e~>/\ т=^.
R
А Ток катушки /(/) убывает экспоненциально от своего первоначального
значения /0 = UQ/R до нуля.
А Напряжение на катушке UL(t) падает от первоначального значения t70 до
нуля.
> Возникновение высокого напряжения при включении тока в цепи с ка-
тушкой индуктивности может привести к искрообразованию на контак-
тах и выводу из строя электронных элементов схемы.
16.2. Цепь переменного тока
Наука о технике переменного тока занимается изучением характеристик со-
противлений, емкостей и индуктивностей при прохождении через них пере-
менного тока или приложении к ним переменного напряжения. Перемен-
ный ток и переменное напряжение являются переменными величинами.
Переменные величины могут быть представлены в виде комплексных
чисел, которые позволяют облегчить расчет физических величин цепи пере-
менного тока.
Их можно наглядно представить в виде векторов на комплексной плос-
кости или с помощью векторных диаграмм.
16.2.1. Переменные величины
Переменной называют величину, которая описывается функцией, периоди-
ческой во времени.
1. Характеристика переменных величин
Мгновенное или текущее значение — это значение переменной величи-
ны в любой момент времени t.
Период Т — интервал времени, в течение которого переменная величина
х принимает все возможные значения в одинаковой последовательности.
Для функции с периодом Т справедливо следующее выражение:
x(t + Т) = x(t).
Частота f — это величина, обратная периоду Т:
f = -.
т
Простейшими периодическими функциями являются функции синуса и
косинуса.
2. Синусоидальные переменные величины
Переменные величины, меняющиеся по закону синуса можно полно-
стью описать следующими характеристиками:
• Амплитудой х — максимальным значением, которое может принимать
величина х.
• Круговой или угловой скоростью — частотой, умноженной на 2л: со = 2л/
• Начальной фазой, т.е. фазой в момент времени t = 0: ср0.
3. Переменное напряжение и переменный ток
Переменное напряжение u(t) записывается следующим образом:
Рис. 16.13. Период и начальная
фаза синусоидальной функции
u(t) = й sin(coZ + (р и),
здесь й — амплитуда, срм — начальная фаза
переменного напряжения (рис. 16.13).
Переменный ток z(0 записывают в виде:
z(Z) = i sinCco/ + (р/),
здесь z — амплитуда, (pz — начальная фаза
переменного тока.
Сложную периодическую функцию мож-
но представить в виде суперпозиции (ли-
нейной комбинации) функций синуса и ко-
синуса (ряд Фурье).
16.2.1.1 . Среднее значение периодических функций
1. Среднее значение переменной величины
Среднее значение переменной величины х(/) позволяет использовать ее
значение, не зная точного поведения функции во времени.
Существует несколько способов расчета средних значений величин:
Среднее арифметическое 1 Т х = — j x(z‘)dz‘ 0
Абсолютное среднее значение 1 Т 1 X1 = - j 1 х(Г) 1 dt 1 0
Эффективное или среднее квадратичное значение h т х = LU x(r)2 dr Го
16.2. Цепь переменного тока
Коэффициент амплитуды — отношение амплитуды к среднему квадра-
тичному значению:
Коэффициент формы — отношение эффективного значения к абсолют-
ному среднему значению:
2. Среднее значение синусоидальной величины
Средние значения, а также коэффициент формы и амплитуды определя-
ются следующим образом:
Среднее ариф- метическое Абсолютное среднее значение Среднее квадратичное Коэффициент амплитуды Коэффици- ент формы
х = 0 Й =-Х » л » 0,637х X = -^х » V2 « 0,707х ks = 1,414 kf = 1,111
Средние значения и коэффициент амплитуды для других переодических
функций приведены в справочной литературе.
Коэффициент нелинейных искажений характеризует отклонение пере-
менной величины от синусоидальной формы.
3. Тепло, выделяемое на омическом сопротивлении в цепи переменного тока
Чтобы рассчитать тепловую нагрузку омического сопротивления в цепи
переменного тока, необходимо вычислить эффективное значение напряже-
ния или тока. Напряжение и ток в омическом сопротивлении совпадают по
фазе. Часть потребляемой мощности с нулевой частотой в ряде Фурье со-
ставляет:
р — U — / 2 . р
2 “ 2R ~ R
Потребляемая мощность в цепи переменного тока равна потребляемой
мощности в цепи постоянного тока в случае равенства омических сопротив-
лений цепей и в случае, если постоянное напряжение равно эффективному
значению переменного напряжения, а величина постоянного тока равна эф-
фективному значению переменного тока в цепях постоянного и переменно-
го токов, соответственно.
4. Измерение переменного напряжения и тока
[м] Переменный ток и переменное напряжение могут быть измерены при
помощи измерительного прибора с подвижной катушкой, последовате-
льно с которым включен выпрямитель. Измерительный прибор градуи-
рован, как правило, таким образом, что отображает эффективное значе-
ние синусоиды. В случае несинусоидальных переменных величин ото-
бражаемую величину пересчитывают при помощи поправочных коэффи-
циентов на эффективное значение.
Глава 16. Применение в электротехнике
Бытовое напряжение обычно измеряется при помощи вольтметра с по-
движной катушкой и составляет 230 В. Амплитуда переменного напря-
жения в этом случае равна:
и = V2 U = V2 • 230 В = 325 В.
16.2.2. Изображение синусоиды
на векторной диаграмме
А Переменная величина, изменяющаяся по закону синуса, может быть
представлена на векторной диаграмме.
Если точка Р в координатной плоскости х-у пробегает окружность ради-
уса г с центром в начале координат в положительном направлении с посто-
янной угловой скоростью, то проекция радиус-вектора точки Р на ось у бу-
дет меняться по закону синуса, а на ось х — по закону косинуса (рис. 16.14).
Математическое положительное направление вращения — вращение
против часовой стрелки.
Рис. 16.14. Взаимосвязь между вращающимся вектором на комплексной
плоскости и синусоидой
1. Вектор
Радиус-вектором называется направленный отрезок, начало которого сов-
падает с началом координат, а конец — с точкой Р на комплексной плоско-
сти. Вектор полностью определяется координатами а (ось х) и b (ось у).
▲ Вектор можно представить в виде комплексного числа на комплексной
плоскости.
2. Алгебраическое представление комплексного числа
В алгебраической форме комплексное число может быть представлено в
виде пары действительных чисел а и b (рис. 16.15, а):
a + ]Ь,
где j — мнимая единица, часто обозначаемая буквой i.
Действительная и мнимая части комплексного числа могут быть пред-
ставлены в виде декартовых координат точки Р на координатной плоскости
х—у: Р = Р(а. Ь). Действительное число х является комплексным числом z
с нулевой мнимой частью:
Z= X + j • 0.
16.2. Цепь переменного тока
Комплексное число 3 + j-4 имеет действительную часть а = 3 и мнимую
й = 4.
Комплексное число можно рассматривать как вектор в двухмерном про-
странстве. Произведение двух комплексных чисел также является комплекс-
ным числом. С комплексными числами также можно производить опера-
цию деления.
3. Экспоненциальное представление комплексного числа
Комплексная экспоненциальная функция может быть выражена форму-
лой Эйлера:
Формула Эйлера
ея> = cos ф + j зтф Символ Название
ф j = V-T Фаза Мнимая единица
> Комплексная экспоненциальная функция имеет период, равный 2л/.
Экспоненциальное представление комплексного числа (рис. 16.15, б):
г = г -е^,
где г — длина вектора, фаза ф — угол между положительной х-полуосью и
вектором, в положительном направлении вращения.
Рис. 16.15. Представление комплексного числа: а — алгебраическое пред-
ставление на комплексной плоскости; б — экспоненциальное
представление
4. Переход от одного представления комплексного числа к другому
Для перехода от одного представления комплексного числа к другому
используют формулы:
а = г cos ф, b - г sin ф,
г = yja2 + b2, ф = arctan -
I а
Глава 16. Применение в электротехнике
5. Векторная диаграмма и векторная характеристика
Векторная диаграмма — изображение вектора на комплексной плоскости.
▲ Длина вектора равна амплитуде переменной величины.
Вектор определяется:
• Физической величиной, которая может быть представлена в виде векто-
ра. Формульное обозначение такое же, как для вектора,
• Модулем физической величины, длиной вектора. Выбирают изображе-
ние амплитудного или эффективного значения.
• Начальной фазой ф0, направлением вектора относительно действитель-
ной оси в момент времени t = 0.
• Угловой скоростью со вектора, круговой частотой изображаемой вели-
чины.
> Комплексную величину обозначают подчеркиванием под буквой.
Переменный ток /(/) обозначается символом /(/), который соответствует
изображению величины на комплексной плоскости.
6. Преобразование переменной величины в комплексное число
Преобразование от переменной величины и обратно на комплексной
плоскости: функция синуса, которая описывает переменную величину,
определяет мнимую часть комплексного числа; действительную часть комп-
лексного числа определяет косинус:
х(/) = х sin(co/ + фо) “> *(0 = * cos(co/ + ф0) + Jx sin(coZ + ф0) = хе^^+Фо).
Переменный ток
/(/) = /(<0/ + ф/)
преобразуется в комплексную величину
/(/) = +
Переменное напряжение
u(f) = й sin(co/ + ф„)
преобразуется в комплексную величину
«(/) = йе^^ + фи).
Математические операции с комплексными величинами зачастую проще
и нагляднее, чем с угловыми функциями (см. ниже).
16.2.3. Правила арифметических действий
с комплексными величинами
1. Сложение комплексных чисел
При сложении комплексных чисел складывают соответственно вещест-
венные и мнимые части:
Сложение комплексных чисел
5j + 52 = + j • Ь\ ) + ("2 + j • b2 ) = = (fli + ai) + j' • (&1 + b2) = Z Символ Название
51 = Й1 + М 52 = а2 + j-b2 Z Первое слагаемое Второе слагаемое Сумма
Сумма двух комплексных чисел zx = 3 + j • 4 и z2 = 2 + j • 5 представляет
собой следующее число:
Z = + Z2 = (3 + j • 4) + (2 + j • 5) = (3 + 2) + j • (4 + 5) = 5 + j • 9.
Результирующий вектор на комплексной плоскости имеет действитель-
ную часть а = 5 и мнимую часть b = 9.
2. Вычитание комплексных чисел
Вычитание производится покомпонентно по действительной и мнимой
частям:
Вычитание комплексных чисел
51 “52 = + J • b\) -(а2 + J -Ь2) = = («1 - а2) + j • (Z>i - b2) = z Символ Название
5i = ai + J • b\ 52 = a2 + j • b2 z Уменьшаемое Вычитаемое Разность
От вектора zx = 3 + j • 4 вычитают вектор z2 = 2 + j • 5. Результирующий
вектор равен:
Z = Z. ~Z2 =3 + j.4-(2 + y.5)=(3-2) + j.(4-5) = l-j.
Действительная и мнимая части результирующего вектора равны соот-
ветственно а = 1 и b = -1.
3. Умножение комплексных чисел
Умножение векторов соответствует операции умножения комплексных
чисел.
Умножение двух векторных величин легче всего производить в экспо-
ненциальном виде. При этом складываются фазы комплексных чисел, а мо-
дули перемножаются.
Умножение комплексных чисел
51 • 52 = rie^i • г2ел>2 = = Г] • + <₽2) = Символ Название
1?М 1^4 1?ч II II л* <т> -- S’ “ Первый множитель Второй множитель Произведение
Глава 16. Применение в электротехнике
4. Деление комплексных чисел
Делению векторов отвечает деление комплексных чисел
Так же как и умножение, деление двух векторных величин проще произ-
водить в экспоненциальном виде. При этом находят разность фаз и отноше-
ние модулей комплексных чисел.
Деление двух комплексных чисел
Z] ле-^ л х —L — _L ej(q>i - ч>2) = z2 г2е7<₽2 гг Символ Название
1?Ч l<N bN II II о ?. Делимое Делитель Частное
5. Комплексно сопряженное число
Комплексно сопряженными числами Z* и z называют числа, равные по
абсолютной величине и с противоположными фазами:
Z* =| z | е_^Р является комплексно сопряженным для z =| z\ -е^.
В алгебраическом представлении комплексно сопряженные числа запи-
шутся как:
г* = а - jb для z = а + jb.
▲ Комплексно сопряженный вектор можно получить отображением перво-
начального вектора относительно вещественной оси.
Двукратно комплексно сопряженный вектор (отображение зеркального
отражения) равен первоначальному вектору.
(ГГ = z-
6. Инверсия векторной величины
Инверсия — частный случай деления комплексных чисел. Если модуль
первоначального вектора z равен | z\, то модуль обратного ему вектора 1 / z
равен 1/| 4 Как и в случае комплексно сопряженного вектора, фаза изменя-
ет свой знак:
1 - _11_
z I42
Для экспоненциальной формы:
— = - е_лр для z = .
г г
Для алгебраического представления:
1 а~ jb .k
- = —---— для Z = а + jb.
Z а2 + b2
Если дано комплексное сопротивление Z, тогда при помощи инверсии
можно определить комплексную проводимость У и наоборот:
16.2. Цепь переменного тока
7. Дифференцирование векторной величины
Дифференцирование вектора соответствует операции дифференцирова-
ния комплексной функции. Дифференцирование происходит по времени.
Пусть комплексная величина z задается модулем z, начальным сдвигом
фазы ср и циклической частотой со:
£(0 = ^е-^ + ф).
Тогда производная по времени примет вид:
d£ . jfo>r+(p+^|
— = даел^+ф) = j($z = соге v 2Л
d/
▲ Производная по времени имеет смысл растяжения с поворотом. Поворот
происходит на комплексной плоскости на угол, равный л/2 в математи-
чески положительном направлении.
8. Интегрирование комплексной величины
Интегрирование вектора соответствует операции интегрирования комп-
лексной функции. Интегрирование производится по времени. Комплексная
величина определяется модулем z, начальной фазой ср и циклической часто-
той со:
г(0 = ге-Я^+ф).
Тогда интеграл по времени принимает вид:
г 1 . 1 1 j f СО/ + ф - — 1
I z(/)dz = — • ^е^ю1+Ф) = — z = — ге I 2).
J jco JCO со
▲ Интегрирование имеет смысл растяжения с поворотом. Поворот осуще-
ствляется на комплексной плоскости на угол -л/2.
16.2.4. Основные понятия техники переменного тока
16.2.4.1. Комплексное сопротивление
1. Определение комплексного сопротивления
Комплексное сопротивление Z определяется
• отношением амплитуды напряжения к амплитуде тока или отношением
эффективных значений напряжения и тока, а также
• сдвигом фаз между напряжением и током.
Комплексное напряжение Комплексное сопротивление = Комплексный ток PT-3MI’2
7 _ Ж) ~ 1(1) Символ Единица измерения Название
Z и(С) ?(0 Ом В А Комплексное сопротивление Комплексное напряжение Комплексный ток
Глава 16. Применение в электротехнике
Ом — единица измерения комплексного сопротивления Z, принятая в
СИ.
[Z] = Ом.
▲ Если ток и напряжение имеют одинаковую временную зависимость, то
сопротивление не зависит от времени.
2. Арифметическая форма комплексного сопротивления
Z складывается из:
• действительного сопротивления, активного сопротивления R, действите-
льной части комплексного сопротивления,
• реактивного сопротивления X, мнимой части комплексного сопротивле-
ния.
Арифметическая форма комплексного сопротивления L2T'MI2
Символ Единица измерения Название
Z = R + jX Z Ом Комплексное сопротивление
R Ом Активное сопротивление
X Ом Реактивное сопротивление
▲ Активное сопротивление равно омическому сопротивлению электронной
схемы или двухполюсника.
3. Экспоненциальная форма комплексного сопротивления
Z определяется:
• Полным сопротивлением или импедансом Z, модулем комплексного со-
противления:
z =\z\ = 4r2 + х2,
• углом сдвига фаз ср z, арктангенсом отношения реактивного X и активно-
го сопротивлений R:
+ X
ср z - arctan —.
Экспоненциальная форма комплексного сопротивления Ь2Т-ЗМГ2
Z = Z ewz Символ Единица измерения Название
6 NIN N Ом Ом 1 Комплексное сопротивление Импеданс Сдвиг фаз
Полное сопротивление равно отношению амплитуды напряжения й и
амплитуды тока i (или отношению эффективного напряжения U к эффек-
тивному току 7), без учета сдвига фаз:
Z = - =-
I Г
16.2. Цепь переменного тока
Сдвиг фаз cpz представляет собой разность начальных фаз напряжения
Ф„ и тока ф/
Фг =^и ~Ф/-
4. Вектор сопротивления
Вектор сопротивления используется для
изображения комплексного сопротивления на
комплексной плоскости сопротивлений (рис.
16.16).
Комплексное сопротивление равно
Z = (50 + j • 22) Ом. Тогда импеданс состав-
ляет
Z = >/7?2 + Л"2 = л/502 + 222 Ом = 54,6 Ом,
а фазовый сдвиг
f X 22 0м
Ф z = arctan — = arctan-----= 23,7°.
R 50 Ом
Рис. 16.16. Изображение
комплексного сопротивле-
ния: R — активное сопро-
тивление, X — реактивное
сопротивление, Z — полное
сопротивление (имеданс)
16.2.4.2. Закон Ома в комплексной форме
▲ На омическом сопротивлении комплексный ток z пропорционален комп-
лексному напряжению и. Коэффициентом пропорциональности является
омическое сопротивлобие (активное сопротивление) R.
Комплексное напряжение = омическое сопротивление • • комплексный ток РТ'ЗМГ1
u(t) = R • /(/) Символ Единица измерения Название
«(0 R iXt) в Ом А Комплексное напряжение Омическое сопротивление Комплексный ток
▲ Ток и напряжение на омическом сопротивлении совпадают по фазе:
Ф? = Ф« -ф/ =0-
16.2.4.3. Комплексная проводимость
1. Комплексная проводимость
Комплексная проводимость Y определяется
• отношением амплитуды тока к амплитуде напряжения (или отношением
эффективных значений этих величин) и
• сдвигом фаз между током и напряжением.
Глава 16. Применение в электротехнике
Комплексная проводимость является величиной, обратной комплексно-
му сопротивлению:
Y = х = = ?(0
- Z Z2 u(f)
где Z* — число, комплексно сопряженное комплексному сопротивлению.
2. Алгебраическая форма комплексной проводимости
У складывается из
• значения действительной проводимости, активной проводимости G —
действительной части комплексной проводимости и
• реактивной проводимости В — мнимой части комплексной проводимо-
сти.
Алгебраическая форма комплексной проводимости L2T3M42
Y = G + jB Символ Единица измерения Название
Y G В См См См Комплексная проводимость Активная проводимость Реактивная проводимость
Сименс (См) — единица измерения комплексной проводимости У, при-
нятая в СИ.
[У] = См.
3. Экспоненциальная форма комплексной проводимости
Определяется:
• полной проводимостью (иммитанс) У — модулем комплексной проводи-
мости:
У НII = VG2 + 52,
• сдвигом фаз (рг, арктангенсом отношения реактивной проводимости В к
активной проводимости G\
Ф у = arctan —.
Экспоненциальная форма комплексной проводимости L-2T3M42
У = У • ewr Символ Единица измерения Название
Y Y Фу См См См Комплексная проводимость Иммитанс Фазовый сдвиг
Полная проводимость У равна отношению амплитуды тока i к амплитуде
напряжения й (или отношению действующих значений тока I и напряжения
Z7), без учета сдвига фаз:
у = £ = /
й U
16.2. Цепь переменного тока
Сдвиг фаз фг равен разности начальных сдвигов фаз тока ф, и напряже-
ния ф„:
фу =ф/ ~Ф«
4. Вектор проводимости
Вектор используется для изображения про-
водимости на комплексной плоскости (рис.
16.17).
Комплексная проводимость является вели-
чиной, обратной величине комплексного со-
противления. Из этого следует:
▲ Положительное значение реактивной про-
водимости В соответствует отрицательному
значению реактивного сопротивления X.
▲ Фаза комплексной проводимости равна
фазе комплексного сопротивления с обрат-
Рис. 16.17. Представление
комплексной проводимости
ным знаком.
▲ Полная проводимость Y равна обратному
значению полного сопротивления Z.
Комплексная проводимость составляет Y = (12 + j • 27) См. Тогда полная
проводимость и угол сдвига фаз соответственно равны:
Y = VG2 + 52 = V122 + 272 См = 29,5 См,
Фу = ф/ -= arctan — = arctan--------------= 66°.
G 12 См
Ток опережает напряжение на 66°.
16.2.4,4. Мощность в цепи переменного тока
1. Мощность в цепи переменного тока
/?(/) равна произведению тока i(t) на напряжение w(/):
Мощность = ток-напряжение L2T-3M
АО = /(0 • АО Символ Единица измерения Название
р(0 /(/) «(0 Вт А В Мощность Ток Напряжение
▲ Мощность в цепи переменного тока в общем случае зависит от времени.
В случае синусоидального тока с циклической частотой со
/(О = / sin со/
и напряжения, сдвинутого относительно тока на угол ф,
«(/) = u sin(co/ + ф)
Глава 16. Применение в электротехнике
мощность равна сумме слагаемых, первое из которых не зависит от времени,
а второе изменяется во времени с удвоенной циклической частотой:
p(t) =U I • cos ср - U • I • cos(2co/ + ср).
Эффективные значения напряжения и тока равны соответственно
и = ы/л/2; I = i/JL
2. Активная и реактивная мощность
Активная (действительная) мощность Р — это независящая от времени
часть мощности при токе и напряжении синусоидальной формы:
Р =U • I cos ср
Коэффициент при определении мощности coscp — косинус угла сдвига
фаз между током и напряжением.
Для омического сопротивления cos <р = 1, тогда активная мощность равна:
Р = UI.
Для индуктивности или емкости cos ф = 0, активная мощность при этом
исчезает:
Р= 0.
Реактивная мощность — часть мощности, зависящая от времени. Для
тока и напряжения синусоидальной формы она равна:
Q =U • Г • sin <р.
Реактивный коэффициент sin ф — синус угла сдвига фаз ф между током
и напряжением.
Полная мощность S — произведение эффективных значений тока Г и на-
пряжения U.
s=и I = д/р2 + е2 •
16.2.4.5. Представление мощности в комплексном виде
1. Комплексная мощность
S равна произведению комплексного напряжения и и комплексно сопря-
женного тока i :
5 = и • i .
Комплексная мощность складывается из:
• активной мощности Р — действительной части комплексной мощности,
• реактивной мощности Q ~ мнимой части комплексной мощности.
2. Алгебраическая форма комплексной мощности
Алгебраическая форма комплексной мощности L2T3M
S=P + jQ Символ Единица измерения Название
S р Q Вт Вт Вар Комплексная мощность Активная мощность Реактивная мощность
Ватт (Вт) — единица измерения комплексной мощности S, принятая в
СИ.
[5] = Вт.
Помимо единицы измерения мощности ватт также используются и другие.
Вольт-ампер реактивный, вар — единица измерения реактивной мощно-
сти Q:
[0] = Вар = В А,
Вольт-ампер (ВА) — единица измерения полной мощности S:
[5] = ВА = ВА.
3. Экспоненциальная форма комплексной мощности
Экспоненциальная форма комплексной мощности L2T’3M
S = Sei'f’s Символ Единица измерения Название
S S <P.S' Вт Ва 1 Комплексная мощность Полная мощность Фазовый сдвиг
Коэффициент мощности cos ф5 характеризует отношение активной Р и
реактивной S мощностей:
Р
COS(ps = -.
Угол фазового сдвига ср5, а, следовательно, и коэффициент мощности
cos ф5 в электромоторах зависят от нагрузки. Коэффициент мощности в
маркировке указывают только для полной нагрузки.
16.2.4.6. Законы Кирхгофа для цепи переменного тока
1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме
Сумма всех втекающих в узел и вытекающих из него комплексных токов
равна нулю:
h + Il + - 0.
Если на векторной диаграмме представить в виде двумерных векторов
токи в одном узле так, чтобы начало каждого последующего вектора явля-
лось концом предыдущего, то в результате получится замкнутая ломаная ли-
ния (рис. 16.18, б).
2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме
Сумма всех напряжений вдоль одного контура рана нулю:
«1 + «2 + У:3 + •••+ “п = 0-
Если на векторной диаграмме представить в виде двумерных векторов
напряжения вдоль одного контура так, чтобы начало каждого последующего
вектора являлось концом предыдущего, то в результате получится замкнутая
ломаная кривая (рис. 16.18, а).
Рис. 16.18. Сложение векторов: а — ломаная напряжений контура; б — лома-
ная токов узла
16.2.4.7. Последовательное включение
комплексных сопротивлений
Через все элементы схемы протекает одинаковый ток.
Общее комплексное сопротивление равно сумме отдельных комплекс-
ных сопротивлений:
+ — 3 + • • • + —п '
Рис. 16.19. Последовательное включение комплексных сопротивлений
16.2.4.8. Параллельное включение
комплексных сопротивлений
Ко всем элементам схемы приложено одинаковое напряжение.
Общая комплексная проводимость равна сумме отдельных комплексных
проводимостей:
Y = Y + У2 + К3 + ... + У«-
Рис. 16.20. Параллельное включение комплексных сопротивлений
16.2. Цепь переменного тока
16.2.5. Основные элементы цепи переменного тока
Двухполюсник (см. 16, п. 1).
Сопротивление, емкость и индуктивность
В цепи переменного тока обладают характеристическим различным ком-
плексным сопротивлением, являющимся функцией частоты. Комплексное
сопротивление емкости и индуктивности зависят от частоты переменного
напряжения.
Амплитудно-частотная характеристика устанавливает зависимость комп-
лексной величины от частоты на комплексной плоскости. В таком представ-
лении легко посчитать комплексное сопротивление. При помощи векторной
диаграммы можно быстро определить сдвиг фаз между током и напряжени-
ем, как угол между векторами тока и напряжения.
16.2.5.1. Омическое сопротивление
Комплексное сопротивление Z омического сопротивления является чисто
действительной величиной, не зависящей от частоты переменного тока.
Амплитудно-частотная характеристика омического сопротивления на
комплексной плоскости изображается в виде точки (рис. 16.21, б).
▲ Реактивное сопротивление X равно нулю.
Комплексное сопротивление Полное сопротивление Активное сопротивление Реактивное сопротивление
Z = R Z = R R Х= 0
Комплексная проводимость Y омического сопротивления также является
чисто действительной и частотно независимой величиной.
▲ Реактивная проводимость В равна нулю.
Комплексная проводимость Полная проводимость Активная проводимость Реактивная проводимость
-1*; II ^1 Y = - R и >з|ь- 5 = 0
▲ Ток и напряжение в случае омического сопротивления находятся в фазе.
Фаза комплексного сопротивления равна нулю:
Фг = фи -ф/ =0-
На векторной диаграмме (рис. 16.21, в) вектор тока и напряжения имеют
одинаковое направление.
▲ Комплексная мощность при омическом сопротивлении цепи является
чисто действительной величиной.
Комплексная мощность Полная мощность Активная мощность Реактивная мощность
S =и I S = UI Р= UI е = о
R ReZ
Рис. 16.21. Сопротивление цепи переменного тока: а — обозначение; б —
амплитудно-частотная характеристика комплексного сопротивле-
ния; в — векторная диаграмма тока и напряжения
16.2.5.2. Емкость
Емкость в цепи переменного тока. Напряжение «(/) равно интегралу по вре-
мени тока i(t), текущего через емкость, деленному на величину емкости С:
«(О = J i(t' )&'•
с о
1. Комплексное сопротивление емкости
Комплексное сопротивление Zc емкости С (рис. 16.22, б) является чисто
мнимым и представляет собой величину, обратную частоте f = со/(2л).
▲ Реактивное сопротивление отрицательно.
▲ Активное сопротивление равно нулю.
Полное сопротивление обратно пропорционально частоте f и емкости С
и при малых частотах стремится к бесконечности.
Комплексное сопротивление Полное сопротивление Активное сопротивление Реактивное сопротивление
z = соС Z = — соС Я = 0 X = - — соС
При постоянном напряжении, т.е. когда частота переменного напряже-
ния f - 0 Гц, сопротивление конденсатора бесконечно высоко.
> Конденсатор при высоких частотах переменного напряжения можно
рассматривать как элемент с нулевым полным сопротивлением.
На векторной диаграмме векторы тока и напряжения перпендикулярны
друг другу (рис. 16.22, в).
▲ Ток опережает напряжение на 90°:
<Pz = <pu -<Pi = -90°.
2. Комплексная проводимость емкости
Комплексная проводимость Ус является чисто мнимой и представляет
собой величину, пропорциональную частоте f = со/(2л) и емкости С.
А Активная (действительная) проводимость равна нулю.
▲ Реактивная проводимость положительна.
Im Z
(0 = 00
Re Z
о-* 0
a) 6)
Рис. 16.22. Емкость в цепи переменного тока: а — обозначение; б — ампли-
тудно-частотная характеристика комплексного сопротивления;
в — векторная диаграмма тока и напряжения
Полная проводимость пропорциональна частоте f и емкости С.
Комплексная проводимость Полная проводимость Активная проводимость Реактивная проводимость
Г = ;<йС У=<оС <7 = 0 В = (оС
▲ Комплексная мощность в цепи с конденсатором является чисто мнимой
величиной.
▲ Реактивная мощность отрицательна.
Комплексная мощность Полная мощность Активная мощность Реактивная мощность
5 = -jU I S = UI Р = 0 Q = -U I
16.2.5.3. Индуктивность
Индуктивность в цепи переменного тока. Напряжение u(t) равно произведе-
нию значения индуктивности L на производную тока i(t) по времени:
dt
1. Комплексное сопротивление индуктивности
Комплексное сопротивление ZL (рис. 16.23, б) индуктивности L являет-
ся чисто мнимым и представляет собой частотно зависимую величину.
▲ Активное сопротивление R равно нулю.
▲ Реактивное сопротивление X положительно.
Полное сопротивление Z£ пропорционально частоте f и равно нулю при
/= 0 Гц.
Комплексное сопротивление Полное сопротивление Активное сопротивление Реактивное сопротивление
Z = jcoZ Z= (о£ R = 0 Х = шЬ
20—3814
Глава 16. Применение в электротехнике
Идеальную катушку (R = 0) в цепи постоянного напряжения можно рас-
сматривать как элемент с нулевым полным сопротивлением.
> Катушка на высоких частотах переменного напряжения обладает беско-
нечно большим полным сопротивлением.
На векторной диаграмме (рис. 16.23, в) векторы тока и напряжения на-
правлены перпендикулярно друг другу.
▲ Напряжение опережает ток на 90°:
<Pz =<Р« -ф<- =90°.
ReZ в)
Рис. 16.23. Индуктивность в цепи переменного тока: а — обозначение; б —
амплитудно-частотная характеристика комплексного сопротивле-
ния; в — векторная диаграмма тока и напряжения
2. Комплексная проводимость индуктивности
Проводимость Yl является чисто мнимой величиной, обратно пропор-
циональной частоте f = <о/(2л) и индуктивности L:
▲ Активная проводимость равна нулю.
▲ Реактивная проводимость отрицательна.
Полная проводимость обратно пропорциональна частоте f = <о/(2л) и
индуктивности L:
Комплексная проводимость Полная проводимость Активная проводимость Реактивная проводимость
Y = со£ Y =-L coZ (7 = 0 В = —— coZ
▲ Комплексная мощность в цепи с индуктивностью является чисто мни-
мой величиной.
▲ Реактивная мощность положительна.
Комплексная мощность Полная мощность Активная мощность Реактивная мощность
£ = JU • I S = UI Р = 0 Q = UI
16.2.5.4. Комплексные сопротивления
простых двухполюсников
Величина Сопротивление R Емкость C Индуктивность L
Z-R + jX R J_ J aC jcoL
R R 0 0
X 0 1 coC 1 coC (i>L
Z = ^R2 + X2 R (oL
(pz = arctan(Jf/7?) 0 -л/2 л/2
Y=G + JB j_ R jwC . 1 -J — coZ
G j_ R 0 0
В 0 j_ R coC x coZ 1 coZ
Y = jG2 + B2 (£>C
<py = arctan(5/G) 0 л/2 -л/2
16.2.6. Последовательное включение
сопротивления и емкости
Последовательное включение сопротивления и емкости представлено на
рис. 16.24.
Расчет комплексного сопротивления вытекает из второго закона Кирхго-
фа: общее комплексное напряжение равно сумме отдельных комплексных
напряжений на сопротивлении и емкости.
Рис. 16.24. Последовательное включение сопротивления и емкости в цепи
переменного тока: а — обозначение; б — амплитудно-частотная
характеристика комплексного сопротивления; в — векторная диа-
грамма ток-напряжение
Глава 16. Применение в электротехнике
Общее комплексное сопротивление Z равно (рис. 16.24, б):
Комплексное сопротивление при последовательном включении R и С L2T'3MI’2
Z = R-J- соС Символ Единица измерения Название
Z R (0 С J Ом Ом с-1 ф 1 Комплексное сопротивление Омическое сопротивление Циклическая частота Емкость Мнимая единица
Активное сопротивление равно омическому сопротивлению R.
Реактивное сопротивление равно реактивному сопротивлению емкости С:
Полное сопротивление при последовательном включении сопротивления
и емкости равно:
Z = Я2 +
1
соС
2
▲ Фазовый сдвиг (рис. 16.24, в) лежит в интервале от 0° до -90°. При вы-
соких частотах он стремится к 0°, при низких частотах стремится к -90°.
+ 1
<Pz = Ф« -ф/ ^-arctan—-.
(ПАС
16.2.7. Параллельное включение
сопротивления и емкости
Параллельное включение сопротивления и емкости представлено на рис. 16.25.
Расчет комплексного сопротивления вытекает из первого закона Кирх-
гофа: общий комплексный ток равен сумме отдельных комплексных токов,
протекающих через сопротивление и емкость.
Общая комплексная проводимость Y равна (см. рис. 16.25, б):
Комплексная проводимость при параллельном включении R и С LWP
Y = - + jaC ~ R Символ Единица измерения Название
Y R со С j См Ом с-1 ф 1 Комплексная проводимость Омическое сопротивление Циклическая частота Емкость Мнимая единица
Рис. 16.25. Параллельное включение сопротивления и конденсатора: а — обо-
значение; б — амплитудно-частотная характеристика комплексной
проводимости; в — векторная диаграмма ток-напряжение
Активная проводимость равна обратному значению омического сопро-
тивления R:
G = -.
R
Реактивная проводимость равна реактивной проводимости емкости С:
В = о)С.
Полная проводимость при параллельном включении равна:
Y = J—+ (соС)2.
▲ Фазовый сдвиг (рис. 16.25, в) лежит в интервале от 0° до -90°. При вы-
соких частотах он стремится к -90°, при низких частотах стремится к 0°,
<р =<ри -<р( = -arctan (uRC.
16.2.8. Параллельное включение
сопротивления и индуктивности
Параллельное включение сопротивления и индуктивности представлено на
рис. 16.26.
Расчет комплексного сопротивления вытекает из первого закона Кирх-
гофа: общий комплексный ток равен сумме отдельных комплексных токов,
протекающих через сопротивление и индуктивность.
Общая комплексная проводимость Y (рис. 16.26, б) равна:
Комплексная проводимость при па] >аллельном включении R и L L2T3M1!2
1^ и Символ Единица измерения Название
Y R (О L J См Ом с-1 Гн 1 Комплексная проводимость Омическое сопротивление Циклическая частота Индуктивность Мнимая единица
Рис. 16.26. Параллельное включение сопротивления и индуктивности: а —
обозначение; б — амплитудно-частотная характеристика комплек-
сной проводимости; в — векторная диаграмма ток-напряжение
Активная проводимость равна обратному значению омического сопро-
тивления R:
Реактивная проводимость равна реактивной проводимости индуктивно-
сти L:
в = —-
со£
Полная проводимость равна:
\R2 )
▲ Фазовый сдвиг (рис. 16.26, в) лежит в интервале от 0° до 90°. При высо-
ких частотах он стремится к 0°, при низких частотах стремится к 90°:
Ф = Ф« - ф/ = arctan —.
со£
16.2.9. Последовательное включение
сопротивления и индуктивности
Последовательное включение сопротивления и индуктивности представлено
на рис. 16.27.
Расчет комплексного сопротивления следует из второго закона Кирхго-
фа: общее комплексное напряжение равно сумме отдельных комплексных
напряжений на сопротивлении и индуктивности.
Общее комплексное сопротивление Z равно (рис. 16.27, б):
Комплексное сопротивление при последовательном включении R и L 17Т-ЗМГ2
Z = R + j&L Символ Единица измерения Название
Z R со L J См Ом с-1 Гн 1 Комплексное сопротивление Омическое сопротивление Циклическая частота Индуктивность Мнимая единица
Рис. 16.27. Последовательное включение сопротивления и индуктивности: а —
обозначение; б — амплитудно-частотная характеристика комплекс-
ного сопротивления; в — векторная диаграмма ток-напряжение
Активное сопротивление равно омическому сопротивлению R.
Реактивное сопротивление равно реактивному сопротивлению индук-
тивности L:
X = ®L.
Полное сопротивление равно:
Z = ф?2 + (со£)2.
▲ Фазовый сдвиг (рис. 16.27, в) лежит в интервале от 0° до 90°. При низ-
ких частотах он стремится к 0°, при высоких частотах стремится к 90°:
ср = (pw - Ф/ = arctan —.
16.2.10. Последовательный колебательный контур
1. Последовательный колебательный контур
Последовательный колебательный контур состоит из последовательно
включенных сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 16.28). Расчет
комплексного сопротивления производится согласно второму закону Кирх-
гофа.
Комплексное сопротивление (рис. 16.28, б) равно:
Комплексное сопроти колебательного конту вление последовательного ра L2T3MP2
Z = R + j \ (£>L —— | Ч coCj Символ Единица измерения Название
Z R (£> L С J Ом Ом с-1 Гн Ф 1 Общее комплексное сопротивление Омическое сопротивление Циклическая частота Индуктивность Емкость Мнимая единица
Глава 16. Применение в электротехнике
Рис. 16.28. Последовательный колебательный контур: а — обозначение; б —
амплитудно-частотная характеристика комплексного сопротивле-
ния; в — векторная диаграмма ток-напряжение
Активное сопротивление равно омическому сопротивлению R.
Реактивное сопротивление равно сумме реактивных сопротивлений ем-
кости и индуктивности:
X = со£ - —.
соС
Реактивное сопротивление зависит от частоты f = со/(2л), оно равно
нулю в случае, когда частота является резонансной (см. ниже).
Полное сопротивление равно:
I 7 1V
Z = JR2 + со£-— •
у < соС)
Фазовый сдвиг равен:
fcoZ - 1/(соС)Л
(pz = arctan --------- .
R )
2. Резонанс
Явление резонанса наступает, когда реактивные сопротивления емкости
и индуктивности взаимно уничтожаются. Общее сопротивление в этом слу-
чае равно омическому сопротивлению. Ток принимает свое максимальное
значение при данном общем напряжении.
Последовательный резонанс возникает в последовательном колебатель-
ном контуре.
Резонансная частота характеризуется определенными значениями индук-
тивности L и емкости С:
При резонансной частоте сила тока в последовательном колебательном
контуре максимальна, а фазовый сдвиг изменяется на 180° (рис. 16.29).
▲ В случае резонанса общее сопротивление цепи минимально и является
чисто действительным.
▲ При частотах ниже резонансной частоты общий ток опережает общее
напряжение, при частотах выше резонансной общее напряжение опере-
жает общий ток.
Рис. 16.29. Последовательный колебательный контур: а — векторная диа-
грамма ток-напряжение при резонансе; б — амплитуда тока; в —
фазовый сдвиг для конечной добротности
▲ При резонансной частоте ток и напряжение находятся в фазе.
Добротностью последовательного колебательного контура QR называется
отношение реактивного сопротивления емкости или индуктивности при ре-
зонансе Хо = Хс = XL к активному сопротивлению R последовательной цепи:
0
е«--.
▲ Чем ниже добротность, тем быстрее происходит затухание колебаний в
колебательном контуре; колебания угасают тем сильнее, чем шире мак-
симум резонансной кривой z(co).
Коэффициент затухания последовательного колебательного контура
— величина, обратно пропорциональная добротности QR.
16.2.1 У. Параллельный колебательный контур
1. Параллельный колебательный контур
Параллельный колебательный контур состоит из параллельно включен-
ных сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 16.30). Расчет комплекс-
ной проводимости производится в соответствии с первым законом Кирхгофа.
Комплексная проводимость равна:
Комплексная проводимость параллельного колебательного контура L2T3M1!2
К = —+ ДсоС-—) R aL Символ Единица измерения Название
Y R Щ L С j См Ом с-1 Гн Ф 1 Комплексное сопротивление Омическое сопротивление Циклическая частота Индуктивность Емкость Мнимая единица
Рис. 16.30. Параллельный колебательный контур: а — обозначение; б — амп-
литудно-частотная характеристика комплексной проводимости;
в — векторная диаграмма ток-напряжение
Активная проводимость равна проводимости омического сопротивления:
Реактивная проводимость равна сумме реактивных проводимостей емко-
сти и индуктивности:
В = fcoC-— 1
\ &L)
Реактивная проводимость зависит от частоты f = со/(2л) и равна нулю
при резонансной частоте fr (см. ниже).
Полная проводимость равна:
Фазовый сдвиг комплексной проводимости равен:
( R
Фу = arctan соЛС-----.
V (f)L J
2. Резонанс
Явление резонанса наступает, когда реактивные сопротивления индук-
тивности и емкости взаимно уничтожаются.
▲ При резонансной частоте общая проводимость является чисто действи-
тельной и равна величине, обратной омическому сопротивлению.
Параллельный резонанс — это резонанс, возникающий в параллельном
колебательном контуре.
Резонансная частота fr — частота, при которой наступает резонанс:
При резонансе в параллельном колебательном контуре ток принима-
ет свое наименьшее значение, угол фазового сдвига изменяется на 180°
(рис. 16.31).
4~Ur~4c-Ul
<Pz
+90°-
i(O_ co
-90°-
Рис. 16.31. Параллельный колебательный контур: а — векторная диаграмма
ток-напряжение; б — амплитуда тока; в — угол фазового сдвига
для конечной добротности
▲ При резонансе общее сопротивление максимально и действительно.
> Параллельный колебательный контур действует как заграждающий кон-
тур.
▲ При частотах ниже резонансной частоты напряжение опережает ток.
При частотах выше резонансной ток опережает напряжение.
▲ При резонансной частоте ток и напряжение находятся в фазе.
Добротность параллельного колебательного контура QP равна отноше-
нию реактивного сопротивления индуктивности или емкости при резонансе
Уо = Yc = Yl к активной проводимости G параллельной схемы:
Чем меньше добротность, тем быстрее затухают колебания в параллель-
ном колебательном контуре; колебания угасают тем сильнее, чем шире ми-
нимум резонансной кривой /(<*>).
Коэффициент затухания параллельного колебательного контура dP — ве-
личина, обратно пропорциональная добротности ОР.
16.2.12. Эквивалентные схемы последовательного и
параллельного включения
1. Эквивалентные преобразования
Схема последовательного включения, состоящая из омического и реак-
тивного сопротивления (индуктивность или емкость) для определенной
циклической частоты со, может быть представлена как схема параллельного
включения (рис. 16.32).
▲ Последовательная и параллельная схемы равнозначны, если комплекс-
ное сопротивление обеих схем одинаково.
Глава 16. Применение в электротехнике
Рис. 16.32. Эквивалентные преобразования последовательной и параллель-
ной схем фиксированной частоты со
▲ Эквивалентность схем действительна только при определенной частоте
со. При других частотах комплексное сопротивление параллельной и по-
следовательной схем различно.
▲ Эквивалентность действительна только при синусоидальной форме тока
и напряжения.
2. Преобразование параллельной схемы в эквивалентную последовательную
схему
Параллельная схема => последовательная схема L2T’3MI2
п _ R Gj+Bj, у _ Bp R G}+B} Символ Единица измерения Название
Br Xr GP Bp Ом Ом См См Активное сопротивление последовательной схемы Реактивное сопротивление параллельной схемы Активная проводимость последовательной схемы Реактивная проводимость параллельной схемы
3. Преобразование последовательной схемы в эквивалентную параллельную
схему
Последовательная схема => параллельная схема L^M-1!2
GP =— ВР = —X*— + ч Символ Единица измерения Название
GP Вр Br Xr См См Ом Ом Активная проводимость последовательной схемы Реактивная проводимость параллельной схемы Активное сопротивление последовательной схемы Реактивное сопротивление параллельной схемы
16.2.13. Радиоволны
1. Генерирование и прием электромагнитных волн
Колебательный контур служит для генерации и приема электромагнит-
ных волн. Излучение волн, так же как и прием, производится с помощью
антенны.
Принцип действия:
Линейный осциллятор, называемый также осциллятор Герца или диполь
Герца, — это колеблющаяся система зарядов, которая создает вокруг себя
электромагнитные поля. Чередование этих электромагнитных полей (рис.
16.33) описывается с помощью уравнений Максвелла (см. 15.22). Уже на
расстоянии, меньшем длины волны от колеблющегося диполя, это поле
представляет собой поперечную волну.
> Диполь Герца можно получить, как бы разгибая последовательный коле-
бательный контур с индуктивностью катушки в один виток и емкостью
конденсатора в виде двух концов одного провода.
Электромагнитные колебания на высоких частотах затухают, в частно-
сти, из-за электромагнитных потерь на излучение. Они могут быть воспол-
нены подводом энергии с периодом, равным периоду колебаний.
f=0 t=T/4
Рис. 16.33. Чередование электромагнитных полей в случае колебаний диполя
Герца
Резонансная частота линейного осциллятора обратно пропорциональна
длине осциллятора:
п 1 Резонансная частота ~ Длина проводника Т-1
f = - 2/ Символ Единица измерения Название
f с / Гц = 1/с м/с м Резонансная частота Скорость света Длина проводника
2. Электромагнитные волны: распространение и применение
Свойства распространения и применения электромагнитных волн силь-
но зависят от длины волны.
Глава 16. Применение в электротехнике
Длина волны Частота Обозначение, применение
Высокие частоты
30 км ... 2 км 10 кГц ... 150 кГц Сверхдлинные волны, СДВ (very low frequency) подводная радиосвязь
2000 м ... 600 м 150 кГц ...500 кГц Длинные волны, ДВ, радиосвязь
600 м ... 200 м 500 кГц ... 1,5 МГц Средние волны, СВ, радиосвязь
100 м ... 10 м 3МГц ... 30 МГц Короткие волны, КВ, радиосвязь, радиолюбительство
10 м ... 1 м 30 МГц ... 300 МГц Ультракороткие волны, УКВ, СВЧ, (very high frequency), радиосвязь, те- левизионный сигнал, радиостанции, воздушная навигация
1 м ... 10 см 300 МГц ... 3 ГГц Дециметровые волны, УВЧ (ultra high frequency), телевизионный сиг- нал, направленная радиосвязь
10 см ... 1 см 3 ГГц ... 30 ГГц Сантиметровые волны, направлен- ная радиосвязь, радары
10 мм ... 1 мм 30 ГГц ... 300 ГГц Миллиметровый диапазон
Световые волны
1 мм ... 1 мкм 760 нм 589 нм 527 нм 486 нм 100 нм ... Юнм 3-Ю11 Гц ... 3-1014 Гц 3,95 Ю14 Гц 5,09-Ю14 Гц 5,70-Ю14 Гц 7,65-Ю14 Гц 3-Ю15 Гц ...3-Ю16 Гц Инфракрасный диапазон, тепловое излучение красный желтый зеленый фиолетовый ультрафиолетовый
Рентгеновское излучение
1 нм ... 100 пм 3-Ю17 Гц ...З Ю19 Гц
Г амма-излучение
100 пм ...0,1 пм 3-Ю19 Гц ...3-Ю22 Гц
> Рентгеновский и гамма-диапазон длин волн накладываются друг на дру-
га. Рентгеновское и гамма-излучение отличаются друг от друга способом
возникновения (переходы между энергетическими уровнями в электрон-
ных оболочках атомов или в атомных ядрах).
16.3. Электрические машины
Электрические машины служат в качестве преобразователя одного вида
энергии в другой. Чтобы привести в действие генератор или двигатель, ис-
пользуют закон электромагнитной индукции или силу Лоренца.
16.3. Электрические машины
Двигатель потребляет электрическую энергию и преобразует ее в энер-
гию вращения.
Генератор преобразует энергию вращения в электрическую энергию.
▲ Каждая электрическая машина может функционировать согласно прин-
ципу превращения энергии в приводе двигателя или приводе генератора.
> Преобразование энергии посредством электрических машин имеет то
преимущество, что потери в этом случае особенно малы. КПД достигает
более 99%.
16.3.1. Принципы функционирования
1. Подвижный виток проводника в магнитном поле
При вращении витка из электропроводящего материала в магнитном
поле в витке возникает напряжение {7ИНД. При возникновении напряжения в
проводнике начинает протекать ток, тогда на проводник будет действовать
сила F (Лоренца), направленная противоположно направлению движения
проводника.
Ток нагрузки I протекает в витке из проводящего материала, если концы
проводника соединены через сопротивление.
Техническое применение: виток из проводящего материала и магниты,
имеющие круглую форму, вращаются в противоположных направлениях.
Магниты могут свободно вращаться внутри фиксированной системы про-
водников или витки из проводника могут вращаться между магнитами.
Статор — неподвижная часть машины.
Ротор — подвижная, вращающаяся часть машины.
Якорь — в зависимости от строения машины обмотка для нагрузочного
тока несущей части.
> Генераторы из-за простого токосъема изготавливаются в большинстве
случаев в виде машин с внутренними полюсами, так что статор является
якорем.
Магнитный поток Ф£ проходит через узкий воздушный зазор между ста-
тором и ротором в сердечнике и создается благодаря протекающему через
катушку току возбуждения 1Е.
2. Индуцированное напряжение и вращающий момент
Индуцированное напряжение (7ИНД прямо пропорционально потоку воз-
буждения Ф£ и числу оборотов п.
Индуцированное напряжение ~ поток возбуждения-число оборотов РТЗМ!1
^ind — ^1 * Фе ’ п Символ Единица измерения Название
t^ind ф£ п в 1 Вб = Вс мин-1 Индуцированное напряжение Постоянная машины Поток возбуждения Число оборотов
Глава 16. Применение в электротехнике
Постоянная машины характеризует все конструктивные особенности
машины.
Сила Лоренца воздействует на витки катушки ротора, вследствие чего
возникает вращающий момент.
Вращающий момент прямо пропорционален току нагрузки и потоку
возбуждения Ф£. Коэффициент пропорциональности к2 — другая постоян-
ная машины.
Вращающий момент ~ ток нагрузкипоток возбуждения L2T2M
М = к2 • I • ФЕ Символ Единица измерения Название
М ^2 I Нм 1 А Вб = Вс Вращающий момент Постоянная машины Ток нагрузки Поток возбуждения
> Представленные два уравнения можно отнести к различным видам ма-
шин — двигателю и генератору.
16.3.2. Машины постоянного тока
На рис. 16.34 изображено сечение четырехполюсной машины постоянного
тока в приводе двигателя.
Внешний статор имеет главный полюс с обмоткой возбуждения и четыре
добавочных полюса. Под полюсами движется уложенная в пазы ротора ра-
бочая обмотка. При переходе катушки якорной обмотки из зоны действия
главного полюса в зону действия противоположного полюса направление
тока в якоре меняется на противоположное за счет коммутатора.
Коммутатор, коллектор или реверсор.
Все катушки соединены с изолированными друг от друга контактными
пластинами, которые приводятся в движение вместе с роторным валом.
Вал вращения
Направление
вращения
Паз якоря
Добавочный полюс
Обмотка добавочных полюсов
Щетка
Обмотка возбуждения
Главный полюс
Вал
Якорь, ротор
Рис. 16.34. Устройство машины постоянного тока в приводе двигателя
16.3. Электрические машины
В области нейтральной зоны между полюсами ток, проходящий через ком-
мутатор, подводится благодаря закрепленным в пространстве угольным щет-
кам.
Добавочные полюса в отличие от главного полюса возбуждаются от
якорного тока.
Они облегчают изменение направления тока на противоположное под
щетками.
Изменение числа оборотов двигателя постоянного тока происходит сле-
дующим образом. При увеличении напряжения на зажимах или умень-
шении потока возбуждения Ф£ число оборотов п увеличивается:
Число оборотов двигателя постоянного тока т1
и 1 о и Символ Единица измерения Название
п Ц Ra ^1 мин-1 В А Ом 1 Вб = Вс Число оборотов Напряжение на зажимах Ток якоря Внутреннее сопротивле- ние якоря Постоянная машины Поток возбуждения
> Если число оборотов достигнет слишком высокого значения при потоке
возбуждения, равном нулю, возникнет опасность выхода машины из
строя. Для этого вводят понятие разноса двигателя.
1. Запуск двигателя постоянного тока
Для запуска двигателя постоянного тока необходимо, чтобы ток возбуж-
дения 1Е принял свое максимально допустимое значение, чтобы создать до-
статочный пусковой момент. Так как токовая цепь якоря имеет низкое внут-
реннее сопротивление, при включении напряжения на зажимах в цепи прак-
тически протекает ток короткого замыкания. Чтобы ограничить импульс тока
при включении, в цепь якоря предварительно включают пусковое сопротив-
ление, после разгона двигателя цепь является короткозамкнутой.
2. Схемы двигателей постоянного тока
В зависимости от схемы двигатели постоянного тока различаются по эк-
сплуатационным свойствам:
а) Двигатель параллельного возбуждения. Цепь возбуждения (£1? Е2) и
якорная цепь (Л15 В2) подключены параллельно к источнику сетевого напря-
жения (UCQT) (рис. 16.35, а).
б) Двигатель с внешним возбуждением. Питание цепи возбуждения (Fb
F2) происходит от источника напряжения (UE) (рис. 16.35, б).
Двигатель параллельного возбуждения и двигатель с внешним возбужде-
нием имеют одинаковые эксплуатационные свойства. Число оборотов этих
двигателей можно изменять регулятором возбуждения. Для установленной
величины число оборотов при нагрузке снижается незначительно.
Рис. 16.35. Схемы двигателей постоянного тока: а — двигатель параллельно-
го возбуждения; б — двигатель с внешним возбуждением; в —
двигатель последовательного возбуждения
в) Двигатель последовательного возбуждения или сериесный двигатель.
Цепь возбуждения (Z>15 Z>2) включается последовательно с якорной цепью (Л1?
Л2) (рис. 16.35, в). С ростом нагрузки усиливается поле возбуждения, а вместе
с ним и вращающий момент, однако число оборотов при этом снижается.
При снятии нагрузки число оборотов резко возрастает (до разноса двигателя).
> Двигатель последовательного возбуждения можно вводить в действие
только в том случае, если выполнены условия эксплуатации при холо-
стом ходе!
Этот тип двигателя применяется в стартерах автомобилей, приводах по-
ездов и крановых электродвигателях.
г) Компаундный двигатель или двигатель со смешанным возбуждением.
Комбинация двигателей параллельного и последовательного возбуждения с
разделенной обмоткой возбуждения в параллельном и последовательном
включениях.
Изменение величины нагрузки влечет за собой незначительное измене-
ние числа оборотов, как в двигателе последовательного возбуждения. Разно-
са на холостом ходу удается избежать благодаря фиксированному числу обо-
ротов на холостом ходу последовательного включения.
3. Схема перемены направления вращения
Направление вращения машины постоянного тока можно изменить,
если поменять полярность поля или тока в обмотке возбуждения. Так как в
машине последовательного возбуждения обмотка якоря и обмотка возбуж-
дения включены последовательно, перемена полярности действует одновре-
менно на направления обоих полей, при этом не происходит перемены на-
правления вращения.
16.3. Электрические машины
> Отсюда следует, что машина последовательного возбуждения может по-
треблять однофазный ток, что приводит к принципу двигателя однофаз-
ного переменного тока или универсального двигателя.
16.3.3. Машина переменного тока
Машины переменного тока подразделяют на синхронные и асинхронные
(машина трехфазного тока), в зависимости от того, синхронны или асинх-
ронны частоты вращения якоря и частота сети.
16.3.3.1. Синхронная машина
1. Принцип действия синхронной машины
Обмотка якоря жестко встроена в статорный сердечник, ротор является
индуктором. Такое устройство имеет преимущество по сравнению с машиной
постоянного тока. Оно заключается в том, что сравнительно высокие нагру-
зочные токи якоря проходят через жестко закрепленные зажимы, а малый ток
возбуждения при неизменном направлении тока в обмотке возбуждения про-
ходит только через два контактных кольца роторного вала (рис. 16.36).
Обмотка якоря разделена на три ветви для подключения к сети трехфаз-
ного тока. Сдвиг фазных э. д. с. в случае трехфазной обмотки якоря состав-
ляет 120°. Произведенные отдельными ветвями обмотки переменные поля
накладываются на вращающееся с частотой сети поле, которое заставляет
двигаться ротор с частотой сети (синхронно).
Статор (якорь)
Полюсный сердечник
Обмотка возбуждения
Полюсный наконечник
Демпферная обмотка
Рис. 16.36. Устройство синхронной машины
2. Уравнение частоты вращения
Синхронная машина имеет определенную скорость вращения «sync, кото-
рая определяется частотой сети /, деленной на число полюсов р машины:
Глава 16. Применение в электротехнике
Частота сети Частота вращения = тт Число полюсов т1
/•60 ^sync — р Символ Единица измерения Название
п "sync f р мин-1 Гц 1 Частота вращения Частота сети Число полюсов
Если синхронная машина (рис. 16.36) имеет две пары полюсов и вращает-
ся при частоте сети 50 Гц, то частота вращения равна /?sync = 1500 мин-1.
> Следует обратить внимание на то, что основное расположение ветвей
обмотки статора должно соответствовать числу полюсов ротора. Выраже-
ние для частоты вращения магнитного поля также показывает, что в от-
личие от машины постоянного тока изменение тока возбуждения не
оказывает влияния на скорость вращения магнитного поля.
Перевозбуждение — возбуждение синхронной машины с избытком мощ-
ности намагничивания. При перевозбуждении ток якоря опережает напря-
жение на зажимах, и машина действует как емкостная нагрузка.
Недовозбуждение вызывает запаздывание тока якоря и, следовательно,
машина действует на сеть как индуктивная нагрузка. При сильном недовоз-
буждении и одновременной нагрузке условие синхронности частот индукто-
ра и сети не выполняется, и машина прекращает синхронный ход.
3. Применение синхронной машины
▲ В качестве генератора синхронная машина может присоединяться к сети
или параллельно к другим генераторам, если выполняются три условия
синхронизации:
• равенство напряжений,
• равенство частот,
• равенство фаз.
▲ В качестве двигателя синхронная машина может функционировать толь-
ко при замкнутой накоротко обмотке возбуждения, чтобы избежать ме-
ханических потерь, вызванных внезапным ускорением или высоким на-
пряжением, индуцированном в обмотке возбуждения.
> Работа в асинхронном режиме возможна только через короткозамкнутую
обмотку в полюсных наконечниках.
16.3.3.2. Асинхронная машина
1. Способ функционирования асинхронной машины
Статор асинхронной машины (рис. 16.37 для четырехполюсной машины)
имеет такое же строение, как и в синхронной машине с тремя ветвями об-
мотки, подключенными к сети трехфазного тока.
Трехфазная обмотка производит вращающееся поле, которое вращается
с частотой сети и проходит через ротор. Ротор состоит из железных листов,
Рис. 16.37. Конструкция асинхронной машины
уложенных слоями в форме барабана, и содержит в качестве обмотки корот-
козамкнутую цепь. Вращающееся поле в стержне обмотки ротора образует
напряжение, которое является причиной появления тока и активных полей,
производимых ротором. Это поле ротора отстает от вращающегося поля на
90° и ускоряет ротор, который стремится двигаться за вращающим полем.
Если таким образом ротор приближается к числу оборотов, которое со-
ответствует частоте сети, тогда благодаря вращающемуся полю возникает
индукция и вместе с тем ускорение ротора.
> Поэтому ротор вращается немного медленнее, чем вращающееся поле —
асинхронно, со скоростью вращения п.
2. Синхронная частота вращения
или частота вращения вращающегося поля wsync определяется числом по-
люсов р обмотки статора, как и в случае синхронной машины
Частота сети Частота вращения магнитного потока = т> Число полюсов Т-1
/•60 ^sync - р Символ Единица измерения Название
^sync f р мин-1 Гц 1 Частота вращения магнитного потока Частота сети Число полюсов
3. Проскальзывание
s — мера зависимого от нагрузки запаздывания ротора относительно
вращающегося поля.
При номинальной нагрузке величина проскальзывания лежит в интерва-
ле от 0,5 до 10 %.
▲ Проскальзывание s определяется разностью фактической частоты враще-
ния и и частоты вращения вращающегося поля «sync, отнесенной к flsync:
Проскальзывание асинхронной машины 1
^sync П < П S = — = 1 ^sync ^sync Символ Единица измерения Название
S и п "sync 1 мин-1 мин4 Проскальзывание Фактическая частота вращения ротора Частота вращения магнитного поля
> Так как ротор асинхронной машины выполнен в форме барабана с неяв-
но выраженным полюсом, номинальная частота вращения задается толь-
ко обмоткой статора. Изменение полярности обмотки статора по схеме
Даландера позволяет осуществлять изменение скорости вращения в пре-
делах двух фиксированных скоростей.
Чтобы ограничивать высокий пусковой ток асинхронной машины, об-
мотка статора часто включается соединением звезда-треугольник.
▲ Пусковой момент асинхронной машины лежит ниже, чем ее номиналь-
ный вращающий момент. Поэтому в случае больших машин пуск обес-
печивается при помощи ротора с вытеснением тока или создаваемого
дополнительно контактными кольцами в цепи ротора пускового сопро-
тивления.
▲ Преимущество асинхронного двигателя: он меньше подвержен помехам
и почти не требует обслуживания.
Асинхронный двигатель часто используется в качестве приводного дви-
гателя.
ГЛАВА 17
ТОК В ЖИДКОСТЯХ,
ГАЗАХ И ВАКУУМЕ
В отличие от твердых тел перенос тока в жидкостях и газах производится не
только при помощи электронов, но и с помощью отрицательных и положи-
тельных ионов.
17.1, Электролиз
17.1.1. Количество вещества
Количество вещества п — числовая мера числа частиц из множества одина-
ковых частиц (атомы, молекулы или ионы), не зависящая от их массы.
Количество вещества = число частиц/постоянная Авогадро N
N п = Мл МА = 6,02221415-1023 моль’1 Символ Единица измерения Название
п N мА моль 1 1/моль Количество вещества Число частиц Постоянная Авогадро
Моль — единица измерения количества вещества, принятая в СИ. 1 моль —
это количество вещества, которое содержится в 0,012 кг углерода 12С.
Числом Авогадро или постоянной Авогадро, обозначаемым как Аа, на-
зывается число частиц в одном моле вещества.
17.1.2. Ионы
1. Ионизация и ионы
Ионизацией называется отщепление одного или более электронов от
нейтрального атома или присоединение одного или нескольких электронов
к нейтральному атому, в результате чего образуется электрически заряжен-
ная структура.
Ионами называются атомы или молекулы, не являющиеся электрически
нейтральными.
• Ионы могут быть как положительно, так и отрицательно заряженными.
• Ионы содержат один или несколько нескомпенсированных элементар-
ных зарядов.
Глава 17. Ток в жидкостях, газах и вакууме
• Ионы возникают при перемещении электронов, например, при расщеп-
лении полярной молекулы (Н2О -> ОН- + Н+: диссоциация).
• Положительно заряженные ионы часто образуются при ионизации ато-
мов металлов.
• Отрицательно заряженные ионы зачастую принадлежат к неметалличе-
ским молекулярным группам.
Катионы — положительные ионы: Na+, Са++(металлы); Н+ (неметалл).
Анионы — отрицательные ионы: SO^-, CL-, NO^.
2. Свойства ионов
При приложении напряжения анионы начинают движение в сторону
анода, катионы движутся к катоду.
> Соли состоят из ионных кристаллов. При растворении солей в воде об-
разуются отдельные ионы (NaCl Na+ + Cl-).
Заряд иона z — излишек положительного или отрицательного заряда
иона, выраженный в единицах элементарного заряда.
Li+ z = 1
Li2+ г = 2
Cl- г = -1
[792+ ^ = 92
> Заряд иона z нельзя путать с зарядом ядра атома Z, которое обозначает
число протонов в ядре, независимо от количества электронов в оболочке.
17.1.3. Электроды
Электродом называется элемент твердого проводника, предназначенный для
проведения электрического тока в вакууме, жидкости, газе или по поверх-
ности твердого тела.
Электрохимический электрод — двухфазная система, которая состоит из
комбинации элемента (например, медного стержня) с раствором его ионов
(например, раствором сульфата меди).
Стандартный водородный электрод — платиновый электрод, погружен-
ный в электролит, омываемый струей газообразного водорода.
Анод — положительный электрод.
Катод — отрицательный электрод.
▲ Аноды принимают электроны, катоды отдают электроны.
▲ Анионы восстанавливаются на аноде, катионы — на катоде.
17.1.4. Электролиты
Электролитом называется жидкость, проводящая ток. Большей частью она
состоит из подвижных ионов.
> Чистая вода является плохим проводником, так как очень малая ее часть
диссоциирует. Небольшое добавление соли способно значительно повы-
сить проводимость воды.
Гидратация — свободное присоединение растворенных в облаке из поля-
ризованных частиц растворителя ионов как, например, вода при ион-дипо-
льном взаимодействии.
Электроотрицательностью называют свойство атома притягивать к себе
электроны.
Фтор и кислород обладают наибольшей, а рубидий и цезий наименьшей
электроотрицательностью в периодической системе.
> Благодаря специфической форме молекулы и различным значениям
электроотрицательности водорода и кислорода вода обладает дипольным
моментом и является полярной молекулой.
17.1.4.1. Электрическая проводимость электролитов
1. Подвижность ионов в электролитах
Если к электролиту приложить внешнее электрическое поле Ё, то ионы
начнут дрейф через электролит с постоянной скоростью (рис. 17.1).
Дрейфовой скоростью udr ионов электролита называется средняя ско-
рость ионов электролита в электрическом поле Ё.
Дрейфовая скорость ионов в электролите LT1
Vdr = Ц-Е1 Символ Единица измерения Название
^dr И Е м/с м2/(Вс) В/м Дрейфовая скорость Подвижность ионов Напряженность электри- ческого поля
Катод Анод
▲ В зависимости от знака ионного заряда
ионы движутся параллельно или антипарал-
лельно направлению локального электриче-
ского поля.
Рис. 17.1. Движение ионов
электролита во внешнем
электрическом поле
Подвижность ионов зависит как от вида
ионов, так и от среды. Подвижность ионов в
электролите приблизительно в четыре раза ме-
ньше подвижности ионов в газе.
Потери энергии на столкновение движущих-
ся ионов с окружающими молекулами электролита компенсируются получе-
нием энергии от внешнего электрического поля. При этом устанавливается
средняя дрейфовая скорость.
2. Электрическая проводимость электролита
у — электрическая проводимость на единицу длины в электролите
(рис. 17.2):
Электрическая проводимость электролита L-3T3M-42
у = де0(Ц+«+ + Ц-«-) Символ Единица измерения Название
Y Z ео н± п± См/м 1 Кл м2/(В-с) 1/м3 Электрическая проводимость Заряд иона Элементарный заряд Подвижность ионов Концентрация ионов
Рис. 17.2. Электрическая проводимость H2SO4 в воде (схематично)
В электрический ток через электролит вносят свой вклад как положите-
льные, так и отрицательные ионы; их подвижность зависит от заряда ионов
и от их радиуса.
Эквивалентная электрическая проводимость Л выражается следующим
образом:
Л = 1,
с
где с — концентрация количества вещества, т. е. число молей количества ве-
щества на единицу объема.
> Электрический ток в электролите приводит к химической реакции в сре-
де и на электродах, которая может привести к разрушению электродов.
Электролизом называется процесс распада вещества при приложении
электрического напряжения.
При приложении напряжения к двум электродам вода распадается на га-
зообразный водород и газообразный кислород.
17.1.4.2. Закон Фарадея
Закон Фарадея формулирует правило количественной связи между электри-
ческим током в электролите и количеством вещества, выделившемся на
электродах.
1. Первый закон Фарадея
Масса выделившегося вещества пропорциональна переносимому коли-
честву заряда.
Масса выделившегося вещества = заряд/постоянная Фарадея м
MQ т = —— zF Символ Единица измерения Название
т М Q Z F кг кг/моль Кл 1 Кл/моль Масса выделившегося вещества Молярная масса Переносимый заряд Число элементарных неском- пенсированных зарядов на мо- лекулу Постоянная Фарадея
2. Постоянная Фарадея
Коэффициент пропорциональности между перенесенным количеством
вещества и перенесенным зарядом равен произведению двух физических
постоянных е0 и NA, заряда электрона и числа Авогадро:
Постоянная Фарадея ITN1
Г = еодгл = 9,64853383-103 4 Символ Единица измерения Название
Кл/моль Кл 1/моль Постоянная Фарадея Элементарный электри- ческий заряд Постоянная Авогадро
Постоянная Фарадея некоторых веществ (Кл/моль): водорода 96364, ни-
келя 96515, олова 96482.
3. Перенос и осаждение вещества
Переносимое вещество выделяется на электродах в виде газа или металла.
▲ Масса переносимого вещества не зависит от геометрии катода или кон-
центрации электролита.
> Независимость количества выделившегося вещества от внешних условий
до 1948 года служила определением единицы измерения кулона (1 Кл =
1 Ас).
Ток I = 1 А, который протекает за 1 с в растворе нитрата серебра
(AgNO3) осаждает п - 1/96485 моль = 1,036 10-5 моль серебра. Это соот-
ветствует 1,118 мг серебра.
Часто для очистки металла используется электролитическая ванна, на-
пример для получения электролитной меди.
Микромеханика (см. гл. 4) занимается микроскопическими механиче-
скими элементами, которые могут управлять механическими устройства-
ми малых размеров: микродвигатели, микроактиваторы, микросенсоры.
Микромеханические элементы производятся при помощи гальваниче-
ских технологий (технология LIGA).
4. Электрохимический эквивалент
А — масса электролита, выделившаяся на электроде при заданном на-
пряжении.
Электрохимический эквивалент МТ1!1
л m А = — Q Символ Единица измерения Название
А m Q кг/Кл кг Кл Электрохимический экви- валент Масса выделившегося ве- щества Переносимый заряд
Эквивалентное определение через молярную массу:
Электрохимический эквивалент (в 10~3 г/Кл): водород 0,01046, кислород
0,08291, никель 0,30415, платина 0,50588, серебро 1,11817.
5. Второй закон Фарадея
Отношение масс выделившихся веществ при прохождении одинаковых
электрических зарядов через электролит равно отношению электрохимиче-
ских эквивалентов.
Второй закон Фарадея 1
m\ _ Ai т2 А2 Символ Единица измерения Название
от,. 4 кг Кл/кг Массы выделившихся веществ Электрохимические эквиваленты
17.1.4.3. Электрический двойной слой
Электрический двойной слой возникает на поверхности соприкоснове-
ния между материалами с различной концентрацией носителей заряда
(рис. 17.3, а). Электрические двойные слои локально выравнивают разность
потенциалов, обусловленную разностью концентраций.
Электрические двойные слои возникают при контакте твердых тел
(электризация при трении), между металлами и электролитами, а также
между электролитами с различной ионной концентрацией.
Рис. 17.3. а — электрический двойной слой на границе раздела электролит-
электрод; б — стандартный водородный электрод
17.1.4.4. Уравнение Нернста
Скачок потенциала на границе раздела двух электролитов, содержащих
ионы различных концентраций, пропорционален логарифму отношения
концентраций.
Уравнение Нернста: скачок потенциала PT-3MI1
тг кТ. Ci \U In — е0 с2 Символ Единица измерения Название
к Т ео Ci в Дж/К К Кл моль/кг Разность потенциалов Постоянная Больцмана Температура Элементарный заряд Концентрации ионов
1. Абсолютная разность потенциалов
Абсолютной разностью потенциалов называется равновесное напряжение
между металлом и электролитом, содержащим однонормальную концентрацию
(в 1 л 1 молярная масса эквивалента растворенного вещества) ионов металла.
|м| Для измерения абсолютной разности потенциалов необходимо наличие
второго электрода; при измерении можно определить только разницу аб-
солютных разностей потенциалов обоих электродов.
2. Стандартный водородный электрод
Электрод с покрытием для измерения напряжения. Он состоит из плати-
новой пластины в однонормальном растворе ионов Н3О+, насыщается газо-
образным водородом (рис. 17.3, б).
Потенциал стандартного водородного электрода принято считать рав-
ным нулю.
> Стандартный водородный электрод используется для измерения абсо-
лютной разности потенциалов неметаллов и других аналогичных ве-
ществ.
Глава 17. Ток в жидкостях, газах и вакууме
3. Электрохимический ряд напряжений
Электрохимический рад напряжений представляет собой расположение
абсолютных разностей потенциалов металлов в кислом растворе. Отрицате-
льные напряжения означают способность вещества отдавать электроны, по-
ложительные — способность принимать электроны.
Элементы электрохимического рада (напряжение в В): Li/Li+ -3,02,
Mg/Mg2+ -2,38, Zn/Zn2+ -0,76, Pb/Pb2+ -0,126, Cu/Cu+ +0,35, Pt/Pt2+ +1,2.
> Атом по отношению к различным ионам может обладать различной аб-
солютной разностью потенциалов.
Au относительно Аи+ обладает абсолютной разностью потенциалов +1,42 В,
а относительно Аи3+ разность потенциалов составляет +1,5 В.
17.1.5. Гальванические элементы
Если два различных металла вступают в контакт с одним и тем же электро-
литом, между ними образуется разность потенциалов, которая соответствует
разности абсолютных напряжений (рис. 17.4).
В кислый раствор погружаются медный и цинковый электроды. Между
ними возникает напряжение U:
U= (0,35 - (-0,76)) В = 1,11 В.
Прибор для измерения напряжения
Рис. 17.4. Гальванический элемент
Если электроды соединить проводом,
через него потечет ток.
Благородные металлы, которые в
электрохимическом ряду занимают более
высокие позиции, принимают электроны
от стоящих ниже металлов (неблагород-
ных). Благородный металл образует анод,
металл с более низким напряжением —
катод.
Электрическая цепь в электролите за-
мыкается благодаря потоку ионов.
В случае двух металлов катод распа-
дется за время, в течение которого на
аноде происходит выделение благородно-
го металла, это происходит до тех пор,
пока он еще присутствует в растворе в виде иона. Это выделение представ-
ляет собой способ получения металлов в чистом виде.
Гальванический элемент производит необратимое преобразование хими-
ческой энергии в электрическую.
Из-за химических изменений в электродах напряжение со временем
убывает.
Емкость К гальванического элемента, измеренная в ампер-часах (Ач):
величина, определяющая время (в часах), в течение которого гальваниче-
ский элемент способен переносить ток (в амперах).
17.1.5.1. Электролитическая поляризация
Электролитической поляризацией называется снижение напряжения гальва-
нического элемента за счет создания вторичного гальванического элемента
на электродах.
На двух платиновых электродах, к которым приложено внешнее напря-
жение в водяном солевом растворе благодаря процессу электролиза воды
образуются двойные слои Pt-O2 и Pt-H2, которые со своей стороны
представляют собой гальванические элементы и уменьшают напряжение
между электродами.
Электрокинетический потенциал U представляет собой разность потен-
циалов между обеими частями двойного слоя. Электролитические продукты
реакции на электродах могут быть вновь растворены химически.
Постоянный гальванический элемент — гальванический элемент, напря-
жение на котором посредством химической реакции во избежание электро-
литической поляризации поддерживается постоянным.
Сухая батарея — это постоянный гальванический элемент с нежидкими
электролитами.
Угольно цинковая батарея — это сухая батарея, состоящая из угольного
стержня и цинкового покрытия цилиндрической формы, заполненная
Положитель-
ный полюс
(угольный
стержень)
Деполяризатор
(МпО2)
Отрицательный Электролитная паста
полюс (цинк) (NH4C1)
Рис. 17.5. Угольно-цинковая батарея
электролитической пастой (рис. 17.5).
Вокруг угольного стержня располо-
жен пиролюзит (МпО2), который
окисляет водород, образующийся на
угольном стержне, и таким образом
удаляет его. Напряжение снижается
по мере использования цинка.
Истечение срока действия батареи —
разрушение угольно-цинковой батареи
из-за электролитического распада цин-
ка. При использовании вышедших из
строя батарей электрические приборы
подвергаются коррозии.
17.1.5.2. Топливный элемент
Топливным элементом называют гальванический элемент, в котором энер-
гия реакции окисления горючего вещества (водорода, углерода) кислородом
или воздухом непрерывно преобразуется в электрическую энергию
(рис. 17.6). В качестве продукта сгорания образуется вода. Топливный эле-
мент состоит из пористого анода, на котором восстанавливается подводи-
мый горючий материал (Н2) (Н2 —> 2Н+ + 2е~), и пористого катода, на кото-
ром происходит окисление (О2) (2Н+ + 2е~ + |О2 -» Н2О). Электроды разде-
лены электролитом, который разрешает перенос ионов (Н+) от анода к като-
ду, но препятствует электронному току. Электроны проходят по внешней
Глава 17. Ток в жидкостях, газах и вакууме
ски водород распадается на
цепи к катоду как полезный ток. Без
потребления тока напряжение элемен-
та достигает значения до 1 В. Топлив-
ный элемент обладает благоприятной
вольт-амперной характеристикой, вы-
сокой мощностью на единицу массы и
хорошим энергетическим коэффици-
ентом полезного действия.
Платиновые электроды, которые
омываются струями водорода и кисло-
рода и связаны друг с другом, погружа-
ются в разбавленную серную кислоту.
На водородном электроде каталитиче-
Электроны движутся по проводнику к
другому электроду, где вместе с водородными ионами, переносимыми элек-
тролитом, и серной кислотой подвергаются холодному горению:
О2 + 4Н+ + 4е- -> 2Н2О.
Выделяющаяся энергия 286,2 кг-Дж/моль может быть использована как
электрическая.
> КПД такого прямого преобразования химической энергии в электриче-
скую в настоящее время составляет около 60%. Единственным продук-
том выхода этой экологичной технологии является чистая вода.
17.1.5.3. Аккумулятор
Перезаряжаемый гальванический элемент, в котором применяется электри-
ческая поляризация для сохранения электрической энергии является вто-
ричным элементом.
Свинцовый аккумулятор — вторичный элемент, состоящий из свинцо-
вых электродов и серной кислоты. Свинцовые электроды в серной кис-
лоте покрываются слоем сернокислого свинца (PbSO4). При зарядке на
аноде образуется оксид РЬО2, на катоде — металлический свинец:
Анод:
Катод:
PbSO4 + 2ОН- -» РЬО2 + H2SO4 + 2е-,
PbSO4 + 2Н+ +2е- -> Pb + H2SO4.
Полученный таким образом вариант гальванического элемента передает
напряжение от 2,02 В. При потреблении тока обе обратимые реакции проте-
кают до тех пор, пока не восстанавливается почти первоначальное состоя-
ние.
> Около 75% сохраненной химической энергии может быть преобразовано
в электрическую.
17.1.
17.1.5.4. Включение гальванических элементов
При параллельном включении катоды отдельных элементов связаны друг
с другом. То же самое происходит с анодами.
▲ Напряжение при параллельном включении равно напряжению на от-
дельных элементах, а емкость К представляет собой сумму емкостей от-
дельных элементов Ке.
Напряжение и емкость при параллельном включении
Символ Единица измерения Название
и в Напряжение при параллельном включении
и = ие К=пКе к А-ч Емкость при параллельном включении
п 1 Количество элементов
ие В Напряжение на отдельном элементе
ке А-ч Емкость отдельного элемента
Такая схема применяется в стартовом ускорителе.
При последовательном включении анод гальванического элемента свя-
зан с катодом последующего элемента.
▲ Общее напряжение представляет собой сумму напряжений на каждом
отдельном элементе.
Напряжение и емкость при последовательном включении
Символ Единица измерения Название
« * II " и в Напряжение при последователь- ном включении
к А-ч Емкость при последовательном включении
п 1 Количество элементов
ие В Напряжение на отдельном элементе
Ке А-ч Емкость отдельного элемента
17.1.6. Электрокинетический эффект
Заряженные частицы в жидкости приводятся в движение внешним электри-
ческим полем. При этом электрические заряды частиц уже существуют, но
могут быть также индуцированы двойным слоем.
21—3814
17.1.6.1. Электрофорез
Электрофорез — направленное движение взвешенных заряженных частиц в
непроводящей жидкости под воздействием внешнего электрического поля.
Заряд взвешенных частиц влияет на облако противоположно заряжен-
ных ионов, которое окружает частицы. Отсюда следует, что сила, воздейст-
вующая на частицы, зависит не только от их заряда, но и от концентрации
ионов растворенного агента.
Это явление используется при сушке стен зданий.
[м] Бумажный электрофорез — электрофорез молекулярной суспензии на
бумажном носителе, к которому приложено постоянное напряжение в
несколько киловольт; отдельные компоненты суспензии разделяются
благодаря различной скорости миграции.
17.1.6.2. Электроосмос
Электроосмос — движение жидкости через пористые твердые тела под влия-
нием внешнего электрического поля. В пограничном слое жидкость—твер-
дое тело образуется двойной слой, жидкая часть которого отслаивается и
приводится в движение электрическим полем. Вследствие внутреннего тре-
ния начинает двигаться весь объем жидкости.
> При электроосмосе движутся только заряды одного знака, в то время
как при электрофорезе движутся заряженные частицы обоих знаков.
17.1.6.3. Потенциал течения
Потенциал течения — явление, обратное явлению электроосмоса. При про-
хождении воды через пористое твердое тело благодаря отделению части
электрического двойного слоя вдоль направления течения проходит элект-
рический ток.
17-2. Ток в газах
Разреженный нейтральный газ плохо проводит ток, как и вакуум. При вне-
сении носителей заряда проводимость разреженного газа увеличивается.
При этом электроны, как и ионы, могут служить в качестве носителей заря-
да. Плотные газы также, как и жидкости, обычно являются изоляторами,
хотя, определенное количество ионов все время создается космическим из-
лучением и природной радиоактивностью.
Газовым разрядом называют прохождение тока в газах (в большинстве
случаев низкого давления).
17.2.1. Несамостоятельный газовый разряд
Несамостоятельный газовый разряд — газовый разряд, при котором носите-
ли заряда создаются под влиянием внешних воздействий. Источниками за-
ряженных частиц являются:
17.2. Ток в газах
• горячие пламенные газы,
• нагретые металлические поверхности,
• космическое излучение,
• источники ионов,
• электронные пушки,
• коротковолновое электромагнитное излучение (например, ультрафиоле-
товое или рентгеновское излучение),
• излучение радиоактивных нуклидов.
Тихий разряд — газовый разряд при очень низкой плотности тока и ма-
лом разрядном напряжении, которых недостаточно для появления независи-
мого разряда. В большинстве случаев он может поддерживаться только при
постоянной ионизации при помощи внешнего источника излучения.
Тихий разряд обеспечивает лишь очень слабый проблеск света в газе. Он
возникает при плотности тока J < 10-9 А/м2.
Во внешнем электрическом поле ионы в газе движутся равномерно, так
как поступление энергии от внешнего электрического поля компенсируется
столкновением молекул.
17.2.1.1. Дрейфовая скорость ионов в газах
Дрейфовая скорость vdr — направленная скорость ионов в газе при наличии
внешнего электрического поля Е.
Дрейфовая скорость ионов в газах LT1
^dr = Символ Единица измерения Название
Udr и Е м/с м2/(В-с) В/м Дрейфовая скорость Подвижность ионов Напряженность электри- ческого поля
▲ В зависимости от знака заряда ионов они передвигаются по направле-
нию электрического поля или против него.
Подвижность ионов зависит как от вида ионов, так и от среды, в которой
они передвигаются. Подвижность ионов в газах примерно в четыре раза боль-
ше, чем подвижность ионов в электролитах. При этом дрейфовая скорость
ионов в большинстве случаев намного меньше тепловой скорости ионов.
Подвижность ионов ц в воздухе при нормальных условиях: водород
5,7 10-2 м2/(В м) для положительных ионов и 8,6 10~2 м2/(В м) для от-
рицательных ионов, азот 1,29 10-2 м2/(В м) для положительных ионов,
1,82-10-2 м2/(В м) для отрицательных ионов.
В воздухе при нормальных условиях в электрическом поле напряженно-
стью Е = 1 кВ/м движется ион Н+ со скоростью udr = 5,7-10~2 м2/(В-с)-
• 1000 В/м = 57 м/с по направлению к катоду.
17.2.1.2. Электрическая проводимость в газах
Электрическая проводимость в газах у — проводимость на единицу длины
газового столба.
Электрическая проводимость в газах L-зтзм-Ч2
У = ге0(ц+и+ + Ц-И-) Символ Единица измерения Название
Y Z ^0 Н± п+ См/м 1 Кл м2/(В-с) 1/м3 Электрическая проводимость Заряд иона Элементарный заряд Подвижность ионов Плотность числа ионов
Вклад в электрический ток в газе вносят как положительные, так и от-
рицательные ионы; их подвижность, однако, различна.
В околоземном пространстве воздух имеет проводимость у = 1 • 10~14 См/м.
17.2.1.3. Рекомбинация
Рекомбинацией называется процесс, обратный процессу ионизации, т.е. со-
единение электронов и ионов в нейтральные атомы и молекулы.
Рекомбинация в газах происходит главным образом благодаря тепловым
соударениям.
Время жизни ионов т — среднее время жизни иона в окружении других
ионов.
Коэффициент рекомбинации а, — это коэффициент пропорционально-
сти между величиной, обратной времени жизни ионов, и их плотностью.
Коэффициент рекомбинации преимущественно зависит от температуры,
давления и вида ионов.
Время жизни ионов т
1 т = Символ Едини ца измер ения Название
т а,- «0 с м3/с 1/м3 Время жизни ионов Коэффициент рекомбинации Плотность ионов при t = 0
Это выражение справедливо только в том случае, если во время распада
не образуется никаких новых ионов.
17.2. Ток в газах
17.2.1.4. Вольт-амперная характеристика газов
Закон Ома в газах справедлив только при малых приложенных напряжениях.
В зависимости от величины напряжения различают три области вольт-ампер-
ной характеристики (в соответствии с ростом напряжения, рис. 17.7).
Рис. 17.7. Вольт-амперная характеристика
несамостоятельного газового разряда: I —
область рекомбинации; II — область насы-
щения; III — область пропорциональности,
далее следует переход к самостоятельному
газовому разряду
1. Характеристика различных областей напряжения
Область рекомбинации — область характеристики, в которой ток растет
приблизительно пропорционально приложенному напряжению. Справедлив
закон Ома в следующем виде:
Ток в области рекомбинации I
II Символ Единица измерения Название
I Y А d и А См/м м2 м В Ток Электрическая проводимость Сечение электрода Расстояние между электродами Напряжение
Область насыщения — область вольт-амперной характеристики, в кото-
рой почти все ионы достигают электрода. Ток I почти не зависит от напря-
жения U.
Рекомбинационные потери в области насыщения пренебрежимо малы.
Область пропорциональности — область характеристики, в которой энер-
гии ионов и электронов достаточно, чтобы ионизировать нейтральные атомы
и молекулы. Ток ионизации / растет пропорционально напряжению U.
2. Устройства для измерения ионизирующего излучения
[м] Ионизационная камера — система для измерения интенсивности иони-
зирующего излучения. В сосуде, заполненном газом, находятся два изо-
лированных электрода. Напряжение выбирается таким образом, что об-
разующиеся в объеме прибора ионы вносят непосредственный вклад в
измеряемый ток. Камера ионизации работает в области насыщения.
Время запаздывания — время, которое должно пройти с момента регист-
рации события до того момента, пока детектор ионизации не будет готов
снова регистрировать следующие события. Этот временной интервал, в те-
Глава 17. Ток в жидкостях, газах и вакууме
чение которого счетчик не воспринимает ионизирующее излучение, опреде-
ляется скоростью миграции ионов. Время запаздывания устанавливает вре-
менную разрешающую способность детектора.
|м] Счетная трубка Гейгера-Мюллера — это измерительный прибор для об-
наружения отдельных ионизирующих частиц. Отдельные ионизирующие
частицы образуют в заполненном газом сосуде посредством ударной
ионизации ионную лавину (газовое усиление), которая может быть из-
мерена как разрядный импульс (рис. 17.8, область II). Время задержки в
трубке Гейгера-Мюллера составляет несколько сотен миллисекунд.
Пропорциональный счетчик. Напряжение в этом счетчике выбирается
так, чтобы счетчик мог работать в области пропорциональности вольт-
амперной характеристики. Число вторичных носителей заряда пропор-
ционально числу вторичных носителей (рис. 17.8, область I). Разрядный
импульс пропорционален потерям энергии ДЕ частиц. Пропорциональ-
ный счетчик обладает высоким пространственным разрешением и по-
этому подходит для измерения высоких плотностей импульсов.
Рис. 17.8. Рабочие области детектирования ионизации: U — напряжение де-
тектирования; I — ток ионизации; I — область пропорционально-
сти, II — область разрешения
/7.2.2. Самостоятельный газовый разряд
Самостоятельным газовым разрядом называют газовый разряд, при котором
носители заряда возникают при помощи приложенного напряжения.
17.2.2.1 .Типы самостоятельных газовых разрядов
1. Тлеющий разряд
Светящийся разряд при средней плотности тока (10-9 А/м2 < J < 1(Н А/м2).
Попадающие на катод ионы выбивают электроны, бегущие к аноду.
Из-за различной подвижности положительные и отрицательные носите-
ли заряда образуют между электродами зоны различного пространственного
заряда. Поэтому свечение газа между катодом и анодом неравномерно.
Люминесцентная лампа — это лампа, которая достигает высокой свето-
вой отдачи благодаря газовому разряду в газе-наполнителе при низких
17.2. Ток в газах
давлениях. Возникающее ультрафиолетовое излучение посредством спе-
циального покрывающего слоя преобразуется в видимый свет. Специа-
льный люминесцентный слой на внутренней стороне трубки создает из-
лучение дневного света.
2. Дуговой разряд
Ярко светящийся разряд при плотности тока J > 10-4 А/м2. Катод, нагре-
вающийся за счет попадающего на него тока, выпускает электроны посред-
ством термоэлектронной и туннельной эмиссии.
Угольная дуговая лампа — это лампа, в которой используется излучение
электрического разряда между угольными электродами. Световая точка
находится на катоде.
Выпрямительная ртутная лампа — это лампа интенсивного светового по-
тока. Между двумя металлическими электродами дуговой разряд горит в
парах ртути при высоком давлении.
3. Искровой разряд
Самостоятельно прекращающийся дуговой разряд.
Напряжение зажигания искрового разряда зависит от формы электродов
и расстояния между ними, а также от давления газа между электродами.
> Свечение различных газовых разря-
дов возникает из-за возбуждения
атомов газа при столкновении их с
электронами.
Коронный разряд — светящийся
разряд при высоком давлении в элект-
рическом поле высокой напряженности.
Он окружает кабель высокого напряже-
ния или появляется в виде кистевого
электрического разряда.
17.2.2.2. Вольт-амперная
характеристика газового
разряда
Напряжение зажигания — напряжение,
при котором тихий разряд переходит в
тлеющий.
Самостоятельные газовые разряды
имеют убывающую характеристику со-
противления и даже отрицательные зна-
чения сопротивления di7/d/. Поэтому
добавочное сопротивление (электриче-
ский ограничитель) в газовом разряде
является необходимым — в случае пере-
менного тока, например, в форме реак-
тивной катушки.
Рис. 17.9. Типы газовых разрядов:
I — тлеющий разряд; II — дуговой
разряд; III — искровой разряд
Рис. 17.10. Вольт-амперная характе-
ристика газового разряда: Uz — на-
пряжение зажигания; I — тихий
разряд; II — тлеющий разряд; III —
дуговой разряд
Глава 17. Ток в жидкостях, газах и вакууме
17.3. Электронная эмиссия
Электронная эмиссия в металлах лежит в основе принципа работы различ-
ных технических устройств, таких как электронные трубки или фотоэлект-
ронные умножители.
Металлы или другие твердые тела испускают электроны во внешнее про-
странство при подаче энергии из внешних источников.
Работа выхода WA — это энергия, которую нужно подвести к металлу,
чтобы электрон проводимости покинул металл в вакууме.
Работа выхода лежит в пределах от 1 до 5 эВ. Она зависит от типа метал-
ла и представляет собой наименьшую величину в случае щелочных метал-
лов.
При комнатной температуре тепловая энергия электрона проводимости
составляет порядка 1% работы выхода 1УА. Тем не менее, некоторые элект-
роны превосходят этот порог.
17.3.1. Термоэлектронная эмиссия
Термоэлектронная эмиссия — это испускание электронов накалившимся
металлом. Доля электронного газа в металле на верхнем уровне распределе-
ния по скоростям, энергия которого превосходит работу выхода WA, возрас-
тает с температурой Т пропорционально T2e~w^/W>.
▲ Зависимость плотности тока J эмитированных электронов от температу-
ры Т и работы выхода У/л описывается уравнением Ричардсона:
Уравнение Ричардсона IL2
J = АТ2е квт Символ Единица измерения Название
J А wA kB Т А/м2 А/(м2К2) Дж Дж/К К Плотность электронного тока Постоянная Ричардсона Работа выхода Постоянная Больцмана Температура
Постоянная Ричардсона — коэффициент пропорциональности в уравне-
нии Ричардсона:
А«6-105 А-м-2К-2.
▲ Постоянная Ричардсона одинакова для всех чистых металлов с равно-
мерно испускающей поверхностью.
[м] Термокатод используется для уменьшения работы выхода WA. Состоит
из нагреваемого прямым или косвенным способом металла-основы, по-
крытого оксидом ВаО или слоем щелочного металла. Применяется в ка-
честве катода в электронных лампах.
17.3. Электронная эмиссия
17.3.2. Фотоэффект
Фотоэффект — высвобождение электронов квантами света достаточной
энергии (см. 24.2).
Уравнение Эйнштейна определяет значение кинетической энергии эми-
тированных электронов в зависимости от частоты падающего излучения и
работы выхода (рис. 17.11):
Уравнение Эйнштейна ML2T2
^кин “ hf Символ Единица измерения Название
F ^кин h f WA Дж Дж-с 1/с Дж Кинетическая энергия эми- тированных электронов Постоянная Планка Частота фотона Работы выхода
Рис. 17.11. Зависимость ки-
нетической энергии фото-
электронов от частоты па-
дающего излучения
Энергия фотоэлектронов не зависит от ин-
тенсивности падающего излучения. От интен-
сивности зависит количество высвобожденных
электронов за единицу времени, так называе-
мый фототок.
Внешний фотоэффект — эмиссия электро-
нов из облучаемой поверхности во внешнее
пространство.
[м] Фотоэлемент (фотоячейка) — измеритель-
ный прибор для измерения освещенности. В
фотоэлементе находятся два электрода,
один из которых освещают. Выходящие из
электрода электроны регистрируются как
ток между обоими электродами.
Внутренний фотоэффект — освобождение электронов (переход электро-
нов из связанных в свободные) внутри вещества. В случае полупроводника
этот эффект приводит к изменению электрической проводимости.
Полупроводниковый фотоэлемент обладает сопротивлением, зависимым
от освещенности.
17.3.3. Автоэлектронная эмиссия
Автоэлектронная эмиссия — испускание электронов материалом под воз-
действием сильного внешнего электрического поля.
Для автоэлектронной эмиссии необходимо электрическое поле напря-
женностью порядка 109 В/м. Таких высоких значений можно добиться на
тонком заряженном острие.
[м] Автоэлектронный микроскоп — электронный микроскоп для увеличения
атомарных структур тонкого острия.
В вакуумной трубке в качестве электрода, противоположного металличе-
скому кольцу, выступает тонкое острие. При подаче напряжения в не-
сколько киловольт на сильно искривленной поверхности острия возни-
кает высокая напряженность электрического поля, которая вызывает
движение электронов от острия — мимо анодного кольца — на светя-
щийся экран. Наряду с атомарными структурами острия видимыми мо-
гут также становиться атомы газа-наполнителя. Максимальное увеличе-
ние микроскопа составляет 106.
[м] Растровый туннельный микроскоп — микроскоп для увеличения атомар-
ных структур поверхностей.
Между поверхностью и тонким электродом в виде иглы протекает тунне-
льный ток, значение которого сильно зависит от расстояния между
ними. За счет стабилизации расстояния от поверхности до игольчатого
электрода поверхность исследуется с точностью настройки до 10-11 м.
17.3.4. Вторичная электронная эмиссия
Вторичная электронная эмиссия — испускание электронов материалом при
бомбардировке материала заряженными частицами. Молекулы вещества
ионизируются за счет ударов, вследствие чего освобождаются электроны,
которые могут отделяться электрическими или магнитными полями от мо-
лекул материала.
При последующих столкновениях освободившиеся электроны, получив-
шие ускорение и обладающие достаточной энергией, могут в свою очередь
ионизировать молекулы вещества, образуя электронные лавины.
|м| Усилитель фототока — устройство для усиления слабых электронных то-
ков. Попадающие на первый электрод электроны за счет ударной иони-
зации выбивают несколько электронов, которые за счет ускорения в
электрическом поле достигают следующих электродов — динодов. Там
каждый электрон выбивает некоторое количество вторичных электро-
нов, так что последовательность динодов может усиливать ток на неско-
лько порядков.
Фотоэлектронный умножитель — устройство для измерения слабой ин-
тенсивности света. К усилителю фототока подключается фотоэлектрод,
который при попадании на него фотонов вырабатывает первичный ток,
впоследствии усиливаемый.
17.4. Электронные лампы
Электронная лампа — вакуумная колба со встроенными электродами.
Управляя потенциалом электродов, можно управлять электронным током.
17.4. Электронные лампы
1. Катоды и аноды электронных ламп
Катод — отрицательный электрод в лампе, испускающий электроны за
счет термоэлектронной эмиссии. Его нагревание происходит либо прямым,
либо косвенным способом.
Катоды в большинстве случаев покрыты оксидом щелочно-земельного
металла, чтобы снизить работу выхода и повысить электронный выход.
Анод — положительный электрод относительно катода.
> В электронных лампах создают вакуум для того, чтобы как можно силь-
нее сократить столкновения электронов с молекулами газа и избежать
окисления катода. Тем не менее, со временем вакуум за счет испарения
катодного материала становится хуже.
Анодное напряжение Ua — напряжение между катодом и анодом.
Анодный ток /а — ток между анодом и катодом.
> Сложные лампы помимо катода и анода содержат еще дополнительные
электроды.
2. Сопротивление лампы и характеристические кривые
Сопротивление лампы Я, — внутреннее электрическое сопротивление
электронной лампы.
По аналогии с омическим сопротивлением определяется следующим об-
разом:
Сопротивление лампы I7T-3MI-2
R‘=T 1 а Символ Единица измерения Название
к ил ц Ом В А Сопротивление лампы Анодное напряжение Анодный ток
> Сопротивление лампы в общем случае зависит от условий ее эксплуата-
ции.
Характеристические кривые — это диаграммы электрических характери-
стик ламп.
Лампы все больше заменяются полупроводниковыми устройствами. Се-
годняшние области применения ламп — это специальные лампы (кинескопы,
рентгеновские трубки), лампы для больших электрических и механических
нагрузок, лампы высокой мощности, как, например, генераторная лампа.
> Лампы в отличие от полупроводниковых приборов являются невоспри-
имчивыми к перенапряжению и излучению частиц.
17.4Л. Ламповый диод
Ламповый диод — простейший вид лампы, состоящей из катода и анода.
Так как электроны могут двигаться только от катода к аноду, то ламповый
диод служит выпрямителем.
Рис. 17.12. Характеристика лампового диода
Рис. 17.13. Ламповый диод
Пусковой ток — ток, который течет в ламповом диоде без внешнего на-
пряжения.
> При нагревании катода эмитированные электроны также создают ток
между катодом и анодом без внешнего приложенного напряжения. Ток
прекращается только при приложении достаточно большого напряжения
обратной полярности.
77.4.2. Ламповый триод
Ламповый триод — сложная лампа для усиления напряжения. В ламповом
триоде между анодом и катодом находится сетка. Сетка может управлять си-
лой анодного тока за счет разности потенциалов между сеткой и катодом.
На сетке почти нет тока, поэтому управление происходит без потребления
мощности.
Прикладываемый к сетке сигнал напряжения усиливается триодом.
Лампы с дополнительными сетками (тетроды, пентоды,...) обнаруживают
качественно похожее поведение, что и триод.
Рис. 17.14. Характеристики лампового трио-
да; характеристики отличаются разными зна-
чениями постоянного анодного напряжения
Рис. 17.15. Ламповый триод; при
отрицательном напряжении на
сетке электроны тормозятся
17.4. Электронные лампы
17.4.2.1. Параметры лампы
1. Напряжение на сетке и крутизна характеристики
L Напряжение на сетке J7g — напряжение, прикладываемое к сетке для
управления анодным током.
Крутизна характеристики S — рост вольт-амперной характеристики при
постоянном анодном напряжении.
Крутизна характеристики L 2T3 * *M Ч2
$ di % ~ MJ~ диъ ’ при Ua = const Символ Единица измерения Название
5 4 иЛ А/В А В В Крутизна характеристики Анодный ток Напряжение на сетке Анодное напряжение
Крутизна характеристики определяется постоянным анодным напряже-
нием Ua. Эта формула справедлива только для линейной области. В общем
случае получается:
5 = Ua = const.
dt/g
Для максимального усиления сигнала лампы необходимо, чтобы крутиз-
на характеристики S была как можно больше.
2. Внутреннее сопротивление и проницаемость
Внутреннее сопротивление триода jRz — обобщение сопротивления лампы:
„ At/a D dUa тт
R} =------, Ri = —-, U„ = const.
AZa дЦ 8
Проницаемость лампы D — реакция анодного напряжения Ua на измене-
ние сеточного напряжения Ug.
Проницаемость 1
п Д[Л Л dU„ D = D = — ДС7а dUa при 1а = const Символ Единица измерения Название
D иа 1 в в А Проницаемость Сеточное напряжение Анодное напряжение Анодный ток
3. Управляющее напряжение
Управляющее напряжение решетки Us — эффективно действующее на-
пряжение на сетке:
Глава 17. Ток в жидкостях, газах и вакууме
Управляющее напряжение Ь2Т-ЗМГ»
At7s = A (7g + D • А(7а Символ Единица измерения Название
Us D Ua в в 1 в Управляющее напряжение на сетке Сеточное напряжение Проницаемость Анодный ток
Управляющее напряжение Us и анодный ток Ia связаны соотношением:
А/а = S • AUS = S(AUg + D • Д(7а).
4. Уравнение Баркгаузена
связывает друг с другом крутизну S, проницаемость D и внутреннее со-
противление Az.
Уравнение Баркгаузена 1
SDR, =1 Символ Единица измерения Название
S D К А/В 1 Ом Крутизна Проницаемость Внутреннее сопротивление
5. Коэффициент усиления лампы
V — отношение переменного анодного напряжения Д(7а к переменному
сеточному напряжению АЦ.
Коэффициент усиления лампы 1
у _ a Символ Единица измерения Название
V и, 1 в в Коэффициент усиления лампы Переменное анодное напряжение Переменное сеточное напряжение
Коэффициент усиления V лампы зависит от нагрузочного сопротивле-
ния в цепи анода Ra\
Усиление лампового усилителя 1
у _ о Яа+tfi 1 7?а = D Ra + SR, 1 + SDR, Символ Единица измерения Название
V s R. К 1 A/В Ом Ом Коэффициент усиления лампы Крутизна Сопротивление анодной цепи Внутреннее сопротивление лампы
17.4. Электронные лампы
Для высокого коэффициента усиления вольт-амперная характеристика
должна иметь как можно большую крутизну.
17.4.3. Тетрод
Тетрод — сложная лампа с двумя сетками между анодом и катодом. Разли-
чают два типа тетрода:
• Лампа с экранирующей сеткой — тетрод с дополнительной сеткой между
анодом и управляющей сеткой; эта сетка уменьшает проницаемость D и
увеличивает коэффициент усиления.
• Лампа с сеткой в пространственном заряде — тетрод с дополнительной сет-
кой между катодом и управляющей сеткой увеличивает крутизну S ВАХ.
17.4.4. Катодные лучи
Катодные лучи — электронные пучки в вакууме, которые после прохожде-
ния напряжения между катодом и анодом выходят через отверстие в аноде.
Катодные лучи распространяются в пространстве в отсутствие поля пря-
молинейно и отклоняются в электрическом или магнитном полях.
Катодными лучами можно возбуждать стекло, минералы и специальные
светящиеся краски для флуоресценции.
Лампа Брауна — устройство, при помощи которого катодные лучи на-
правляются на светящийся экран посредством электрических или маг-
нитных полей. Применяется в качестве экрана в телевизорах и осциллог-
рафах.
Скорость электронов катодного луча определяется ускоряющим полем
между катодом и анодом.
Скорость катодных лучей LT1
/2е0£/ п = —— V Символ Единица измерения Название
и *0 и те м/с Кл В кг Скорость катодных лучей Элементарный электри- ческий заряд Напряжение между като- дом и анодом Масса электрона
> Это выражение справедливо только при условии и « с.
При напряжении между катодом и анодом U = 50 В скорость катодных
лучей составляет и = 4,19-106 м/с. Это соответствует 1,4 % скорости света.
Глава 17. Ток в жидкостях, газах и вакууме
17.4.5. Каналовые лучи
Каналовыми (или положительными) лучами называются положительно за-
ряженные пучки ионов газа, которые ускоряются электрическим полем,
движутся к катоду и проходят через него по каналам по причине инертности
(рис. 17.16).
Рис. 17.16. Образование каналовых лучей в газовом разряде
Скорость каналовых лучей LT1
v = -jlzeoU/mi Символ Единица измерения Название
V Z «0 и Ш! м/с 1 Кл В кг Скорость каналовых лучей Заряд иона Элементарный электриче- ский заряд Напряжение между анодом и катодом Масса иона
При напряжении между анодом и катодом U = 50 В скорость каналовых
лучей составляет и = 9,78 -104 м/с для протонов и и = 1,85-104 м/с для
ионов N+. Эта скорость из-за большой массы ионов очень мала по срав-
нению со скоростью электронов (при одинаковой энергии ускорения).
ГЛАВА 18
ФИЗИКА ПЛАЗМЫ
Плазма — газообразная смесь свободных электронов, ионов и электрически
нейтральных частиц — атомов, молекул и свободных радикалов. Все состав-
ные части смеси обладают большой кинетической энергией и не всегда на-
ходятся друг с другом в тепловом равновесии. Электромагнитное взаимодей-
ствие между отдельными составными частями вносит существенный вклад в
поведение системы.
Подавляющая часть видимой материи Вселенной находится в состоянии
плазмы, как, например, Солнце.
18.1. Свойства плазмы
Наряду с обычными термодинамическими свойствами газов, таких как тем-
пература и давление, плазма обладает особенностями, которые обусловлены
ее характером как смеси заряженных частиц в различных возбужденных со-
стояниях.
Квазинейтральность — основное свойство плазмы: плазма с макроско-
пической точки зрения в пространственной и временной среде является
нейтральной. Каждый элемент объема содержит почти равное количество
положительных и отрицательных носителей заряда.
> Кинетическая энергия частиц плазмы больше, чем потенциальная энер-
гия, вызванная локальным зарядом.
18.1.1. Характеристики плазмы
Поскольку плазма состоит из множества взаимодействующих друг с другом
различных типов частиц, для их описания необходимо большое количество
величин, которые в физике классического агрегатного состояния не являют-
ся необходимыми.
18.1.1.1. Коэффициент ионизации
Коэффициентом ионизации хг называют долю ионов с зарядом ядра Z в
плазме, состоящей из атомов и положительно заряженных ионов, которые
ионизированы минимум г раз.
Глава 18. Физика плазмы
Коэффициент ионизации 1
1—। V/ sT sif N| Ji ] J? II К Символ Единица измерения Название
xr ni Z 1 моль/м3 1 Коэффициент ионизации r-й степени Концентрация ионов z-й степени ионизации Заряд ядра
> Часто коэффициентом ионизации называют величину %! первой степени
ионизации, г = 1 или просто коэффициентом ионизации х.
Вследствие условия нейтральности для концентрации электронов спра-
ведливо следующее выражение:
z
Не =
1=1
Если плазма также содержит отрицательно заряженные ионы, уравнение
должно быть дополнено соответствующим членом.
Плазму классифицируют согласно значению коэффициента ионизации х/.
• слабо ионизированная плазма: коэффициент ионизации х} « 1.
• частично или полностью ионизированная плазма: коэффициент иониза-
ции » 1.
> Так же плазму классифицируют согласно значению отношения плотности
носителей заряда и длины экранирования или отношения кинетической
и потенциальной энергий частиц. Плазму при температуре Т < 105 К
(Г > 106 К) называют холодной (горячей). Процессы ядерного синтеза
возможны только в плазме при температуре Т > 108 К.
18.1.1.2. Функция распределения плазмы
Возможно несколько вариантов распределения энергии в плазме. Наряду с
обычным возбуждением молекул газа (возбуждение вращательного и колеба-
тельного уровней) в большой мере встречается также электронное возбуж-
дение.
1. Полное термодинамическое равновесие
ПТР — идеальное состояние плазмы:
▲ При ПТР все функции распределения характеризуются единственной ве-
личиной — температурой Т.
▲ Принцип детального равновесия говорит о том, что любой процесс
встречается так же часто, как и обратный ему процесс.
В частности, справедливо следующее:
• возбуждение и релаксация электрона являются равновероятными про-
цессами,
18.1. Свойства плазмы
• вероятность ионизации атомов равна вероятности рекомбинации ионов
и электронов,
• все возможные химические процессы находятся в равновесии (согласно
закону действующих масс),
• прямые и обратные реакции (например, тепловые диссоциации) проис-
ходят с равной частотой.
2. Функции распределения плазмы при полном термодинамическом равновесии
а) Электромагнитное излучение плазмы соответствует излучению абсо-
лютно черного тела (см. 24.1).
Закон излучения Планка описывает распределение энергии фотонов hf
при температуре излучения Т:
Спектральное распределение энергии излучения плазмы МТ'3
Le f(T) = 1 ’7 с2 е(АЛ/(*вГ) -1 Символ Единица измерения Название
h f кв Т с Вт/м2 Джс 1/с Дж/К К м/с Интенсивность испускае- мого спектрального излу- чения Постоянная Планка Частота излучения Постоянная Больцмана Температура плазмы Скорость света в вакууме
б) Распределение частиц по скоростям описывается распределением
Максвелла (ионы, электроны при одинаковой температуре Т):
Распределение плазмы по скоростям при полном термодинамическом равновесии 1
4 /(и)=-^и2 • / д 3/2 . ——\ е-т^/(2квТ) [2квТ J Символ Единица измерения Название
f о m кв Т 1 м/с кг Дж/К К Число частиц со ско- ростями в интервале о, и + dv Скорость частиц Масса частиц Постоянная Больцмана Температура плазмы
> Различные типы частиц из-за разных масс при одинаковой температуре
обладают различным распределением по скоростям.
> Часто квантово-механическим вырождением электронов пренебречь нель-
зя, поэтому при описании электронной плазмы в металлах и холодных
звездах (белые карлики) используется распределение Ферми-Дирака.
Глава 18. Физика плазмы
в) Распределение Больцмана характеризует населенность возбужденного
электронного состояния.
Распределение электронного возбуждения 1
Il = ^Le-Ej/(kBT) п go Символ Единица измерения Название
nJ п Sj go Ej kB T 1 1 1 1 Дж Дж/К К Число частиц в j-м воз- бужденном состоянии Общее число частиц Статический вес возбуж- денного состояния j Статический вес основно- го состояния Энергия возбуждения j-ro возбужденного состояния Постоянная Больцмана Температура плазмы
Стоящая в знаменателе сумма приближенно равна ее первому члену g0.
Для каждого отдельного коэффициента ионизации справедливо свое рас-
пределение.
3. Формула Саха
Формула Саха 1
х2 = 2 (2стге)3/2 gi 1 - X Йз goP •(М5/2е-£1^вг> Символ Единица измерения Название
X те h gi Р kB Т 1 кг Джс 1 Н/м2 Дж Дж/К К Коэффициент ионизации Масса электрона Постоянная Планка Число частиц в z-м воз- бужденном состоянии Давление плазмы Энергия ионизации Постоянная Больцмана Температура
Формула Саха в простой форме справедлива только при условии равно-
весия между основным состоянием и первой степенью ионизации. При уче-
те других состояний ионизации получается система уравнений Саха, кото-
рые решаются одновременно. Появляющиеся суммы состояний заменяются
их первыми членами. Уменьшением энергии ионизации из-за плазмы мож-
но пренебречь.
18.1. Свойства плазмы
4. Реальная плазма
В реальной плазме в большинстве случаев не выполняется условие пол-
ного теплового равновесия. Несмотря на то, что некоторые условия тепло-
вого равновесия частично не выполняются, отдельные высказывания ПТР
остаются справедливыми.
> В химически реактивной плазме учитывается равновесие химических ре-
акций. При полном тепловом равновесии химические реакции протека-
ют в соответствии с законом действующих масс.
Локальное тепловое равновесие — частичное равновесие системы, при
котором отсутствует равновесие оптических процессов. В случае достаточно
высокой концентрации электронов (ne > 1023 м-3) процессы соударения пе-
ревешивают процессы поглощения и эмиссии, влияние которых на баланс
частиц уменьшается.
В состоянии локального теплового равновесия плазма описывается дву-
мя параметрами — температурой материи Тт и температурой излучения Ts.
Отклонения от равновесия требуют введения различных температур для
описания различных элементарных процессов, а также для различных видов
частиц.
18.1,1.3. Энергоемкость плазмы
В плазме за счет разнообразия взаимодействий частиц друг с другом различ-
ные формы энергии переходят одна в другую:
• энергия электрического и магнитного поля,
• энергия ионизации,
• энергия превращения нейтральных частиц и заряженных частиц,
• энергия диссоциации и химической связи,
• энергия электронного возбуждения,
• энергия вращения и колебания,
• энергия излучения,
• энергия коллективного движения (колебания и волны в плазме).
Установление теплового равновесия между отдельными видами энергии
определяется связью между ними.
> За счет столкновений частиц с одинаковыми массами значения средней
кинетической энергии атомов и ионов быстро выравниваются. Между
ионами и электронами выравнивание, напротив, происходит значитель-
но дольше, так как при столкновении они обмениваются небольшой ки-
нетической энергией.
18.1.1.4. Электрическая проводимость плазмы
1. Дрейф носителей заряда в плазме во внешнем поле
Во внешнем электрическом поле носители заряда плазмы дрейфуют с
постоянной скоростью параллельно силовым линиям поля.
Глава 18. Физика плазмы
Скорость дрейфа ионов меньше, чем скорость дрейфа электронов, по-
этому электронная проводимость является доминирующей (рис. 18.1, а).
Кулоновский логарифм — характеристический параметр плазмы для
описания отношения температуры плазмы к плотности электронов.
Рис. 18.1. а — электрическая проводимость о; б — теплопроводность х азот-
ной плазмы
Кулоновский логарифм 1
In Л = In —- - У л/^е > Символ Единица измерения Название
1пЛ а Т пе 1 (Км)"3/2 К 1/м3 Кулоновский логарифм Постоянная пропорцио- нальности Температура Плотность электронов
Значение коэффициента пропорциональности а приближенно равно
а « 107 (Км)-3/2. В большинстве случаев в плазме 1пЛ « 15...20.
Электрическая проводимость плазмы
е2лете о = Символ Единица измерения Название
а «о «е те См/м Кл 1/м3 с кг Электрическая проводимость плазмы Элементарный заряд Плотность электронов Среднее время пролета между столкновениями Масса электронов
2. Свойства электрической проводимости плазмы
В зависимости от коэффициента ионизации электрическая проводи-
мость различных процессов определяется по-разному.
18.1. Свойства плазмы
В слабо ионизированной плазме среднее время пролета ограничивается
столкновением электронов и нейтральных частиц; те не зависит от плотно-
сти электронов и проводимость о ~ пе
В полностью ионизированной плазме столкновения между заряженными
частицами являются решающим фактором. В этом случае справедливо сле-
дующее: время пролета те ~ 1/пе, а проводимость о не зависит от пе.
Формула Спитцера определяет электрическую проводимость в полно-
стью ионизированной тепловой плазме с учетом электронно-ионных столк-
новений. При учете электрон-электронных столкновений значение прово-
димости о снижается вдвое.
Формула Спитцера I2L3M >Т3
64д/2те2 (£вТ)3/2 СТ = I 1 1 А е2 д/We In А Символ Единица измерения Название
о Е0 *0 те кв Т 1пА См/м Кл2 Дж-1 м-1 Кл кг Дж/Кл К 1 Электрическая проводимость Электрическая постоянная Элементарный заряд Масса электрона Постоянная Больцмана Температура плазмы Кулоновский логарифм
Экспериментально измеренное значение проводимости азотной плазмы
при температуре Т = 104 К составляет о = 3000 См/м.
18.1.1.5. Теплопроводность плазмы
Перенос тепловой энергии происходит в плазме двумя способами:
• перенос за счет передачи энергии поступательного движения частиц
плазмы,
• передача тепла химической реакции — перенос энергии за счет передачи
энергии возбуждения, диссоциации и ионизации.
Механизм передачи тепла химической реакции состоит в том, что в об-
ласти высоких температур тепловая энергия используется для возбуждения
или диссоциации. Продукты реакции диффундируют в более холодные об-
ласти и снова отдают там тепловую энергию за счет обратных процессов
(рис. 18.1, б).
18.1.1.6. Экранирование и длина (радиус) Дебая
1. Распределение потенциала вокруг заряженных частиц в плазме
Распределение потенциала вокруг заряженных частиц в плазме значите-
льно отличается от распределения в вакууме. Вокруг положительной части-
цы образуется облако отрицательных частиц, которые значительно снижают
дальность действия потенциала.
Глава 18. Физика плазмы
Поэтому на обычный кулоновский потенциал накладывается экраниро-
ванный потенциал:
Экранированный электрический потенциал I *ML2T-3
ф(г) = ^Lg-r/^D 4л8о Г Символ Единица измерения Название
ф г Со XD в м Кл2 Дж-1 м-1 Кл м Электрический потенциал Расстояние от носителя заряда Электрическая постоянная Элементарный заряд Длина Дебая
Данный потенциал действителен для плазмы с Z = 1, в любой точке ко-
торой выполняется условие е0И « к^Т.
2. Длина Дебая
XD — характеристическая длина, описывающая экранирование потенци-
ала. На расстоянии, равном длине Дебая, потенциал уменьшается на вели-
чину \/е.
Длина Дебая L
= 1 Символ Единица измерения Название
Q о L о << w st м Кл2 Дж-1 м 1 Дж/Кл Кл Кл 1/м3 Длина Дебая Электрическая постоянная Постоянная Больцмана Температура Элементарный заряд Плотность электронов
/Мв?1 2е^ие
В водородной плазме при температуре Т = 104 К и электронной плотно-
сти пе = 1023 см-3 длина Дебая составляет XD « 2-10-5 м.
3. Классификация плазмы по длине Дебая
Длину Дебая можно использовать для классификации плазмы:
• Идеальная плазма — плазма, в которой в сфере с радиусом, равным дли-
не Дебая, содержится много носителей заряда. Потенциальная электри-
ческая энергия значительно ниже тепловой энергии.
• Неидеальная плазма — плазма, в которой сфера с радиусом, равным
длине Дебая, и центром в виде носителя заряда, содержит лишь неболь-
шое число других носителей заряда. Неидеальная плазма проявляет ха-
рактеристические аномалии (фазовые переходы, аномальные электриче-
ские проводимости).
Плотность плазмы в большинстве случаев представляет собой плотность
неидеальной плазмы.
18.1. Свойства плазмы
18.1.1.7 . Частота колебаний плазмы
Частота колебаний плазмы определяется колебаниями объемного заряда,
обусловленными коллективным движением плазмы. При этом сила обрат-
ного действия создается полем объемного заряда при перемещении носите-
лей заряда.
Ленгмюровская частота — собственная частота колебаний плазмы:
Ленгмюровская частота электронных колебаний Т-1
„ |е0«е ®Ре = л y£0We Символ Единица измерения Название
О ° ° 2? о Si w S: рад с"1 Кл 1/м3 Кл2 Дж-1 м-1 кг Ленгмюровская частота Элементарный заряд Плотность электронов Электрическая постоянная Масса электрона
> В случае колебаний ионов масса электронов те должна быть заменена
массой ионов
18.1.2. Излучение плазмы
Благодаря высокой кинетической энергии частиц и большому числу возбуж-
денных атомов и ионов плазма испускает электромагнитное излучение в
диапазоне от микроволн до жесткого рентгеновского излучения (в случае
высокоионизованных металлов).
Излучение плазмы может происходить при различных видах переходов:
• линейные переходы между связанными состояниями,
• свободно-свободные переходы в континууме (тормозное излучение), т.е.
переходы между несвязанными состояниями,
• свободно-связанные переходы электронно-ионной рекомбинации,
• связанно-свободные переходы с диссоциацией на нижнем уровне.
> Последние три вида переходов приводят к непрерывным эмиссионным
спектрам.
2. Характеристические величины плазменного излучения
Излучение, испускаемое плазмой, возникает благодаря спонтанной и
индуцированной эмиссии и поглощению внутри плазмы.
Спектральная плотность излучения — величина, описывающая энер-
гию излучения на интервал частоты, выходящую из единицы объема.
Коэффициент эмиссии еу — коэффициент, определяющий энергию из-
лучения на единицу объема и единицу времени, испускаемого в пределах
частотного интервала.
Глава 18. Физика плазмы
> Коэффициент эмиссии учитывает только спонтанную, а не индуциро-
ванную эмиссию. Он не зависит от спектральной плотности излучения в
данной точке, но зависит от частоты.
Эффективный коэффициент поглощения к' описывает поглощение, рас-
сеяние и индуцированную эмиссию в среде.
Оптическая глубина т — величина, которая определяет прозрачность
среды для излучения. Она равна интегралу эффективного коэффициента по-
глощения вдоль некоторого объема:
Оптическая глубина 1
/ т — J к' (x)dx 0 Символ Единица измерения Название
т / к' X 1 м м-1 м Оптическая глубина Длина столба вещества Эффективный коэффи- циент поглощения Координата вдоль столба
При прохождении слоя материала оптической глубины т = 1 плотность
оптического излучения убывает в 1/е раз.
18.1.3. Плазма в магнитном поле
18.1.3.1. Движение заряженных частиц во внешнем поле
1. Силовое воздействие внешнего поля на частицы плазмы
Чтобы проанализировать поведение плазмы во внешнем поле, нужно ис-
следовать движение отдельных частиц.
Частицы с зарядом q и скоростью v подвергаются в электрическом поле
Ё и магнитном поле В воздействию силы Лоренца:
Fl = q(y х В) + F.
Сила F включает в себя все внешние силы, в том числе силу со стороны
электрического поля #Ё. Движение можно разложить на два отдельных дви-
жения:
• вращение — равномерное движение по окружности вокруг (локальной)
оси магнитного поля,
• перемещение центра окружности с переносной скоростью v F.
Радиус вращения rG и частота вращения определяются следующим
образом:
18.1. Свойства плазмы
Радиус и частота вращения
nV 1 rG ~~qB йс = - —В т Символ Единица измерения Название
rG йс т q В м 1/с кг м/с Кл Тл Радиус вращения Частота вращения Масса частицы Скорость частицы, пер- пендикулярная оси маг- нитного поля Заряд частицы Магнитная индукция
Магнитный момент вращения остается постоянным; он определяется
следующей формулой:
В
ц = -т - — —.
2 В2
> Движение частицы можно рассматривать как два независимых движения
только в случае однородного и постоянного во времени магнитного поля
при F = 0.
2. Частные случаи внешнего поля
Существуют следующие частные случаи:
• Магнитное поле В постоянно во времени и пространстве, F = 0.
Частица вращается по спирали вокруг магнитных силовых линий поля,
переносная скорость равна скорости частиц вдоль магнитного поля.
При росте магнитного поля В радиус вращения rG уменьшается, так что
частицы все ближе прижимаются к силовым линиям поля.
• Магнитное поле В постоянно во времени и пространстве, F 0.
Помимо движения по спирали частицы начинают дополнительно двигать-
ся перпендикулярно полю В и компоненте вектора силы F±, перпендику-
лярной полю В. Тогда для переносной скорости справедливо выражение:
F± хВ
у F = —---.
qB2
• Магнитное поле В постоянно во времени, но не постоянно в пространст-
ве, F = 0.
Градиентный дрейф — дрейф частиц в неоднородном магнитном поле,
градиент которого направлен перпендикулярно направлению магнитного
поля. Для переносной скорости справедлива формула:
=
2В
VLB
В неоднородном поле, градиент которого направлен параллельно оси
магнитного поля, происходит преобразование продольной кинетической
энергии в энергию вращения.
Глава 18. Физика плазмы
Зеркальный эффект — изменение знака переносной скорости в неодно-
родном магнитном поле, градиент которого направлен параллельно оси
магнитного поля.
Благодаря зеркальному эффекту ионы удерживаются внутри цилиндри-
ческого, неоднородного магнитного поля (магнитная бутылка).
• Магнитное поле В переменно во времени и в пространстве.
При увеличении во времени магнитного поля радиус вращения rG уме-
ньшается, при уменьшении поля он возрастает.
Охватываемый частицами при вращательном движении магнитный по-
ток почти постоянен.
18.1.3.2. Движение носителей заряда
в магнитном поле с соударениями
За счет соударений происходит удаление заряженных частиц от магнитных
линий, вокруг которых они вращаются, после чего частицы переходят на
другую силовую линию магнитного поля, так что дрейфовое движение на-
правлено поперек магнитного поля.
Подчиняющиеся статистике столкновения могут быть представлены в
виде дополнительно введенной эффективной вероятностной силы, такой
как сила трения.
Уравнение Ланжевена — уравнение, которое описывает движение частиц
в магнитном поле с учетом столкновений при наличии дополнительной
внешней силы.
Уравнение Ланжевена MLT-2
dv — -* m — = * В) + F - nfim ш Символ Единица измерения Название
m V t <1 В F f Vm кг м/с с Кл Тл Н 1/с м/с Масса частицы Скорость частицы Время Заряд частицы Магнитная индукция Внешняя сила Масса частицы Средняя скорость
18.1.3.3. Дрейф во внешнем электрическом поле
Во внешнем электрическом независимом от времени поле дрейфовое дви-
жение вследствие связанных полей определяется с помощью усредненного
уравнения Ланжевена. Магнитное поле в направлении оси z задается для от-
дельных направлений в пространстве (ось х ориентирована таким образом,
что компонента Еу = 0):
18.1. Свойства плазмы
• В направлении магнитного поля компонент Ez создает дрейф, не завися-
щий от магнитного поля.
• Компонента Ех, перпендикулярная вектору магнитной индукции В, со-
здает дрейф в направлении оси х, правда с меньшей подвижностью:
=1+(Ю2е//е2)Иг’
— частота вращения электронов, fe — частота соударений электронов.
• В направлении оси у дрейфу способствует компонента Ех, несмотря на
то, что Еу = 0.
•Дт-
•?!
18.1.3.4. Теории континуума
При росте взаимодействия между частицами модель отдельных частиц мо-
жет быть заменена моделью непрерывной среды. Для этого существует две
возможности:
• магнитогидродинамика — связь гидродинамики и электродинамики,
• плазмодинамика — гидродинамика с применением модели различных
жидкостей из электронов, ионов и нейтральных частиц.
Аналогичные переменные водятся для описания гидродинамических
процессов.
Магнитное давление — дополнительное давление плазмы, возникающее
благодаря взаимодействию плазмы и магнитного поля. Магнитное давление
в постоянном во времени поле:
В2
Рт — ~ —•>
2цо
Цо ~ магнитная постоянная.
18.1.4. Плазменные волны
За счет различных видов взаимодействия, особенно в том случае, если суще-
ствует сильное отклонение от равновесия, в плазме возникает множество
всевозможных волн. Следующие величины позволят описывать волновые
колебания:
• напряженность электрического поля Е,
• плотность пространственного электрического заряда р,
• магнитная индукция В,
• концентрация носителей заряда и нейтральных частиц,
• температура ионов и электронов,
• скорость дрейфа частиц.
Для описания плазменных волн необходимо одновременное решение сис-
темы уравнений Максвелла и уравнения переноса для заряженных частиц.
Глава 18. Физика плазмы
18.1.4.1. Акустические волны в плазме
1. Электронно-плазменные волны
Электронно-плазменные волны, ленгмюровские волны — это продольные
волны, связанные с ленгмюровскими колебаниями электронной плотности.
Электронно-плазменные волны не встречаются в холодной плазме.
Вдоль направления распространения волны на нее не оказывает влияние
магнитное поле.
Соотношение дисперсии ленгмюровских волн Т-2
< >2 к2 - со2 + <в2е = 0 Символ Единица измерения Название
<ие> к со м/с 1/м 1/с 1/с Средняя скорость элект- ронов Волновое число Круговая частота волны Ленгмюровская круговая частота электронов
2. Ионно-плазменные волны
Дополнительные продольные волны, возникающие на малых частотах
(со « сое), так как в этом случае наряду с колебаниями электронной плотно-
сти в создание волн вносят вклад колебания ионной плотности. Ионно-
плазменные волны не подвержены дисперсии.
Скоростью ионного звука называют скорость распространения ионно-
плазменной волны.
Скорость ионного звука LT1
Символ Единица измерения Название
CS =< v1 > 1 + Zk 1 V Cs <v;> те T\ м/с м/с К К Скорость ионного звука Средняя скорость ионов Температура электронов Температура ионов
Скорость ионного звука зависит как от температуры электронов, так и
от температуры ионов.
18.1.4.2. Магнитогидродинамические волны
Магнитогидродинамические волны — смешанные гидродинамические и
электромагнитные волны, на которые существенно влияет движение заря-
женных частиц.
Волны Альвена — магнитогидродинамические волны в магнитном поле,
параллельном их распространению. Они не подвержены дисперсии, их фа-
зовая скорость cPh составляет:
18.1. Свойства плазмы
Фазовая скорость волн Альвена LT1
с С° Cph _ ..... __ L + Ц0% Pm V + В2 Символ Единица измерения Название
CPh со Ро Pm Ba м/с м/с Вс/Ам кг/м3 Тл Фазовая скорость Скорость света в вакууме Магнитная постоянная Плотность плазмы Внешнее магнитное поле
Волны Альвена можно рассматривать как электромагнитные волны, рас-
пространяющиеся в среде с высокой относительной диэлектрической посто-
янной:
18.1.4,3. Электромагнитные волны в плазме
Распространение электромагнитных волн в плазме отличается от их распро-
странения в вакууме из-за наличия в плазме носителей заряда. При со оо
электромагнитные волны ведут себя как волны в вакууме, так как при этом
нет движения заряженных частиц вместе с волнам, в то время как при со « соРе
и со » coGe (coGe — частота вращения электронов) наблюдаются сильные от-
клонения. Для волн с круговой поляризацией, которые распространяются в
магнитном поле параллельно его оси, наблюдаются простые дисперсные со-
отношения.
Обыкновенная волна — электромагнитная волна с круговой поляриза-
цией, вектор Е которой вращается в сторону, противоположную направле-
нию вращения электронов.
Необыкновенная волна — электромагнитная волна с круговой поляриза-
цией, в которой направление вращения вектора Ё совпадает с направлением
вращения электронов.
Дисперсное соотношение электромагнитных плазменных волн Т2
0)2 elk2 - со2 + —— = 0 ! ± a>Ge со Символ Единица измерения Название
£ о 3 3 3 м/с м-1 с-1 с-1 с-1 Скорость волны в вакууме Волновое число Циклическая частота волны Ленгмюровская цикличе- ская частота электронов Циклическая частота вра- щения электронов
Знак плюс соответствует обыкновенной волне, знак минус — необыкно-
венной.
Глава 18. Физика плазмы
В плазме, в которой не действует внешнее магнитное поле, для показа-
теля преломления п справедливо соотношение Экклза:
Соотношение Экклза для показателя преломления 1
п = J Символ Единица измерения Название
з I е i п соРе со 1 С"1 с-1 Показатель преломления плазмы Ленгмюровская цикличе- ская частота электронов Частота волны
> Волны с частотой, равной со = соРе, отражаются при попадании в плазму.
18.1.4.4. Затухание Ландау
Наряду с обыкновенным затуханием за счет соударений между частицами
плазмы энергия движения плазмы переходит в энергию электромагнитных
волн.
Затухание Ландау — затухание волн в плазме за счет передачи энергии
электромагнитным волнам, возникающим в плазме. Частицы с более высо-
кой скоростью, чем фазовая скорость волны, замедляются, частицы с более
низкими скоростями ускоряются. Если распределение частиц по скоростям
подчиняется распределению Максвелла, то затухающая часть преобладает
(убывающая ветвь), так что, в общем, волны забирают энергию.
> При определенном распределении по скоростям также возможно усиле-
ние волны.
18.2. Создание плазмы
Для создания плазмы необходимо подвести снаружи достаточное количест-
во энергии, чтобы сообщить молекулам и атомам вещества минимальное
количество энергии, которая необходима для их ионизации. Для этого ис-
пользуют два механизма:
• Сообщение системе энергии за счет подведения к ней тепла. Подводи-
мая энергия распределяется по степеням свободы системы; происходят
ударная ионизация и фотоионизация. Состояние создавшейся плазмы,
как правило, близко к тепловому равновесию.
• Сообщение энергии системе за счет направленного потока энергии (из-
лучение или электрический ток) при постоянной температуре. Иониза-
ция происходит напрямую при передаче подведенной извне энергии ато-
мам и молекулам вещества. Состояние плазмы, получившейся таким
способом, далеко от состояния равновесия (Те >> Tz).
18.2. Создание плазмы
18.2.1. Тепловой метод создания плазмы
Плазменная печь — устройство для нагревания газа посредством контакта с
раскаленными стенами. Плазменные печи производят плазму в состоянии
теплового равновесия, которое соответствует формуле Саха. Ионизация
ограничена максимально возможным пределом температуры (Т< 3500 К).
Газоразрядное устройство производит тепловую плазму повышенной
степени ионизации посредством контакта атомов газа с электронами, выше-
дшими с электродов; при этом энергия ионизации газа должна быть мень-
ше, чем работа выхода из электрода. Возникающая плазма в форме цилинд-
ра содержит продольное магнитное поле; максимальный коэффициент
ионизации составляет 50 %.
> Наряду с машинным нагревом также может применяться энергия хими-
ческих или ядерных реакций. В то время как нагревание с помощью
пламени и взрывов приводит к созданию плазмы низкой температуры
(Т < 104 К), при помощи ядерных реакций можно добиться фузионной
плазмы (Г « 109 К).
Воспламенение плазмы в водородной бомбе происходит за счет взрыва
атомной бомбы в центре некоторого объема водорода.
18.2.2. Создание плазмы методом компрессии
При адиабатическом сжатии газ нагревается до такой высокой температуры,
что наступает ионизация и появляется плазма. При этом сжатие может про-
исходить как при внешнем влиянии — поршень или ударная волна, так и
при магнитном сжатии проводящего газа или плазмы.
Ударная труба — труба в форме цилиндра, в которой при разрушении
мембраны между областями высокого и низкого давления высвобождается
ударная волна. Благодаря сильному нагреву газа при прохождении через
него ударной волны в нем происходит ионизация (рис. 18.2).
Ударная волна возникает также при быстром нагревании объема газа за
счет импульсного разряда или возрастающего во времени магнитного поля
(индуктивно-гидродинамическая ударная труба, рис. 18.3). В то время как
при электрическом импульсном разряде ударная волна высвобождается иск-
лючительно за счет быстрого нагревания, при использовании магнитного
поля магнитогидродинамические свойства в процессе создания плазмы яв-
ляются причиной увеличения температуры и конечной степени ионизации.
Подача
Рис. 18.2. Механическая удар-
ная труба
22—3814
Рис. 18.3. Индуктивно-гидро-
динамическая ударная труба
Глава 18. Физика плазмы
18.2.2.1. Пинч-эффект
Пинч-эффектом называется сжатие заряженной жидкости и газа в магнит-
ном поле, которое — в зависимости от геометрии — возникает при прохож-
дении через газ или жидкость больших токов или магнитного поля. При
сжатии происходит нагрев плазмы.
1. Z-ПИНЧ
Такое название получил пинч-эффект, при котором через столб плазмы
течет аксиальный ток. За счет разряда между двумя электродами протекает
ток, образуя вдоль оси пинча азимутальное магнитное поле В0, в котором на
носители заряда действует направленная радиально внутрь сила f = Jz хВе
Рис. 18.4. z-пинч
Рис. 18.5. 0-пинч
(рис. 18.4). Jz — плотность тока
в направлении оси z. Сила, дей-
ствующая в направлении оси
пинча, представляет собой элек-
тродинамическую силу Лоренца.
При достаточно большой
плотности тока плотность силы
превосходит давление плазмы и
сжимает столб плазмы, которая
при этом отделяется (эффект
сжатия) от стенок сосуда.
Уравнение Беннетта опреде-
ляет величину тока, необходи-
мого для сжатия плазмы в
г-пинче:
Уравнение Беннетта I2
2 тт /2 = — ^/kBT Но Символ Единица измерения Название
I Но N кв Т А Вс/Ам 1/м Дж/К К Разрядный ток Магнитная постоянная Плотность носителей за- ряда на единицу длины Постоянная Больцмана Температура плазмы
Чтобы сжать столб фузионной плазмы (Т « 109 К) радиусом г = 15 см и
концентрацией п = 1022 м-3, необходим ток величиной I = 2,1 • 107 А.
2. 0-пинч
0-пинч — пинч, при котором внешней катушкой создается возрастающее
во времени аксиальное магнитное поле, формирующее в столбе плазмы ази-
мутальный ток, который приводит к появлению аналогичной, направленной
радиально внутрь плотности силы (рис. 18.5).
Из-за нестабильности длительность жизни пинч-плазмы ограничена
(т~ 10 мкс). Более длительное время требует другой геометрии системы, на-
пример тороидальной.
18.3. Получение энергии при помощи плазмы
Плазма как проводящий газ может быть ограничена магнитным полем и та-
ким образом блокирована от окружающих ее поверхностей. На основе этого
можно сделать соответствующие выводы:
• Тепловой двигатель может работать при более высоких температурах,
чем те, которые технически достижимы в камере горения (магнитогид-
родинамический генератор).
• Фузионная плазма может быть удержана в отсутствии контакта, так что
фузионный реактор в камере применяется для контролируемого получе-
ния энергии.
18.3.1. МГД-генератор
МГД-генератор (магнитогидродинамический генератор) — непрерывный
тепловой двигатель, который сочетает в себе работу турбины и генератора
на основе одного рабочего тела (рис. 18.6).
Плазма устремляется через форсунку из камеры горения в камеру, где
перпендикулярно оси потока действует внешнее
рующая сила Лоренца приводит к разделению
зарядов (электронов и ионов), которые движут-
ся от двух электродов перпендикулярно оси
магнитного поля и потока.
> Для того, чтобы добиться достаточного ко-
эффициента ионизации при типичных тем-
пературах горения Т = 2000...3000 К, в
горящий газ необходимо добавить атомы
щелочного элемента. Это добавление газа
также снижает внутреннее сопротивление
магнитное поле. Результи-
Рис. 18.6. МГД -генератор
генератора, которое ограничивает макси-
мально возможную мощность.
МГД-генератор связывает друг с другом принцип действия турбины и
генератора обычного теплового двигателя в рабочем процессе. Максималь-
ный КПД системы ограничивается значением КПД Карно:
При достижении высоких температур Th, которые из-за магнитного вли-
яния не могут проникать сквозь стенки системы, теоретически возможно
добиться значительно более высокого КПД, чем при использовании обыч-
ных тепловых двигателей; тем не менее, технические проблемы создания та-
кого двигателя еще до сих пор не решены.
Глава 18. Физика плазмы
18.3.2. Термоядерный реактор
При синтезе легких ядер атомов высвобождается энергия величиной 10 МэВ
за одну реакцию. Чтобы запустить реакцию ядерного синтеза, необходимо
подвести к реагентам энергию, достаточную для преодоления сил кулонов-
ского отталкивания. На термоядерных электростанциях нужно применять
энергию синтеза для того, чтобы реализовать другие реакции.
1. Ядерная реакция при ядерном синтезе
В ядерном реакторе принимаются в расчет следующие ядерные реакции:
2D+ ЗТ -> *Не+ *п4-17,60 МэВ
^D+ |Не+ *п + 3,27 МэВ
^D+ рЧ |Н+4,04 МэВ
з!л+ 2D^24He+22,4 МэВ
^Вч- }Н -> 3* Не+ 8,47 МэВ
Возникающая энергия равномерно распределяется между получившими-
ся продуктами реакции.
> Вероятности реакциий распределяются согласно их эффективному сече-
нию при заданной температуре. Дейтериево-тритиевый реактор требует
самых незначительных технических издержек, однако из-за жесткого
нейтронного излучения и объема содержащегося в нем трития представ-
ляет собой опасность.
2. Плотность мощности
Плотность мощности реакций синтеза выражается следующим образом:
Плотность мощности реакций синтеза L-1MT3
Р = ЩП2 < ПО > 8 Символ Единица измерения Название
Р ni <гю> 8 Вт/м3 1/м3 м3/с Дж Плотность мощности Концентрация реагентов Усредненная скорость для данного типа реакции Энергия реакции
3. Время удержания
т — время удержания горючей смеси, например, внешним магнитным
полем.
> Благодаря высокой кинетической энергии частиц и, как следствие, давле-
нию излучения плазма синтеза обладает чрезмерным давлением, которое
может выравниваться в зависимости от плотности только на несколько
наносекунд.
4. Критерий Лавсона
Критерий, связывающий необходимый объем плотности топлива в плаз-
ме со временем удержания.
Для того чтобы в реакторе самостоятельно поддерживалась цепочка ре-
акций, высвобождаемая энергия синтеза должна быть равна минимально
необходимой тепловой энергии плазмы. Для плазмы, состоящей из одина-
ковых частей, справедливо следующее:
— п2 < оо > ет > Зпкт>Т.
4
Таким образом, определяется минимальное значение произведения пт.
Критерий Лавсона L3T
ПкъТ пт > 5— < ПСУ > £ Символ Единица измерения Название
п т кв т <гю> £ 1/м3 с Дж/К К м3/с Дж Концентрация топлива Время удержания Постоянная Больцмана Температура плазмы Усредненная скорость для данного типа реакции Энергия реакции
Для дейтерий-тритиевой реакции ит > 51019 см-3, для дейтерий-дейтери-
евой реакции пт > 1021 см-3.
5. Потери энергии в синтезированной плазме
Отток энергии, которая может быть сбалансирована за счет высвобожда-
ющейся энергии синтеза:
• тормозное излучение,
• линейное излучение за счет примеси чужеродных атомов — особенно
критическое в случае примеси элементов с высокими порядковыми но-
мерами,
• синхротронное излучение (в случае тороидального удержания),
• отвод тепла,
• потеря частиц.
6. Процесс удержания
Для выполнения критерия Лавсона в плазме существует два метода:
• Магнитное удержание. В магнитном поле плазма с низкой плотностью
удерживается сравнительно долгое время, нагреваясь при этом за счет
внешней индуктивности для получения необходимой тепловой энергии.
• Инерциальное удержание. При подводе энергии топливо сжимается, так
что за счет своей инертности может удерживаться в течение короткого
времени. При этом плазма обладает высокой плотностью.
Глава 18. Физика плазмы
18.3.3. Синтез в случае магнитного удержания
1. Варианты подключения магнитного поля
Существует две возможности для того, чтобы долгое время полностью
удерживать плазму высокой плотности в магнитном поле:
• Магнитное зеркало — линейный 0-пинч, на концах которого магнитное
поле возрастает настолько, что падающие туда частицы отражаются. Од-
нако за счет ион-ионных столкновений в плазме повышается температу-
ра, и применение магнитного зеркала в реакторах в настоящий момент
является спорным.
В Национальной Лаборатории Лоуренс Ливермор в США с помощью
зеркальной машины 2XIIB достигли времени удержания плазмы t = 1 мс
при температуре ионов Tt = 9 кэВ (для = 1) плотностью 1020 м-3.
• Удержание тороидальной плазмы — 0-пинч, согнутый в форме тора.
Простой согнутый в виде тора пинч не может обеспечить стабильного
удержания плазмы, так как результирующий, направленный наружу компо-
нент силы действует на носители заряда в плазме. За счет введения допол-
нительного меридионального магнитного поля носители заряда начинают
двигаться по спиралевидным траекториям вокруг оси тора.
2. Варианты создания магнитного поля
Меридиональное магнитное поле может быть получено несколькими
способами:
• Токамак. Трансформатор наводит внутри плазмы ток, который порожда-
ет меридиональное магнитное поле. Так как индуцироваться может толь-
ко импульсный ток, это приводит к сложностям в стационарной эксплу-
атации.
Токамак JET — самое современное испытательное оборудование для
магнитного синтеза, изобретенное в Великобритании.
• Стелларатор. Производит продольно-поперечное магнитное поле за счет
ассиметричной формы катушки. Диффузионные потери ограничиваются
устройством катушки, так что стационарная эксплуатация в принципе
возможна.
Стелларатор Венделыптейна — испытательное оборудование для маг-
нитного синтеза в институте плазменной физики Макса Планка в
Мюнхене.
Нагрев плазмы до температуры свыше 108 К происходит за счет индук-
ции или высокоэнергетичных частиц. Наряду с энергетическими потерями
на излучение нужно учитывать также потери на диффузию — движение пер-
пендикулярно оси магнитного поля. При этом столкновения между заря-
женными частицами не могут представлять собой «чистые» столкновения
двух частиц, а за счет дальнего кулоновского взаимодействия являются со-
вокупностью соударений многих частиц. За счет этих соударений длитель-
ность существования плазмы в механическом равновесии значительно сни-
жается.
18.3.4. Синтез в случае инерционного удержания
В случае синтеза при инерционном удержании плазмы небольшой, сжатый
в шарообразную таблетку объем топлива имплозией после внешнего облу-
чения сжимается многократно до плотности твердого тела. За счет сжатия
топливного материала резко увеличивается температура, так что в центре
начинается реакция синтеза и распространяет термоядерный фронт на-
ружу.
Для удержания плазмы не нужно никакое техническое средство, так как
внутренняя плазма сдерживается внешними слоями таблетки на время про-
должения горения (несколько сотен пс).
1. Создание топливных таблеток
Топливная таблетка состоит из нескольких слоев внутри пустой сферы.
Самый глубокий слой топлива образуется из замороженной смеси дейтерия
и трития. В окружающем его абсорбере внесенная энергия сохраняется та-
ким образом, что внешняя часть (темпер) испаряется наружу, в то время как
внутренняя часть (пушер) за счет отдачи уходит радиально внутрь. При этом
топливо сжимается внутри пустого пространства (рис. 18.7).
Ионное излучение
Темпер
Депонирование
энергии
Пушер
Пустое
пространство
Рис. 18.7. Синтез в случае инерционного удержания: а — структура топлив-
ной таблетки; б — взрыв топливной таблетки
2. Варианты компрессии
Чтобы зажечь топливную таблетку, энергия депонируется снаружи, как
можно более симметрично; для этого существуют различные возможности:
• Воздействие лазерным излучением. Лазерные лучи обладают хорошей
фокусировкой и одновременно высокой плотностью энергии. Из-за
мгновенного образования слоя плазмы снаружи твердой поверхности
таблетки, которая поглощает лазерное излучение, соединение не очень
эффективно. Далее степень эффективности лазера невысока.
> Благодаря лазерному излучению возникают экстремально горячие элект-
роны, которые могут проникать в общее тело таблетки. Таким предвари-
тельным нагреванием необходимая работа сжатия сильно повышается.
Глава 18. Физика плазмы
• Воздействие ионными лучами. Ионные лучи обеспечивают сильно лока-
лизованное в пространстве (пик Брэгга в профиле депонирования энер-
гии) и эффективное соединение лучей и таблетки. Фокусировка, особен-
но в случае тяжелых ионных лучей, представляет собой тяжелый техни-
ческий процесс, и поэтому системная величина ограничена.
Непосредственное взаимодействие таблетки с ионными лучами сегодня
не является достаточным для эффективного воспламенения горючего веще-
ства, так как асимметрия при депонировании энергии и гидродинамическая
нестабильность (нестабильность Релея-Тейлора на границе поверхностей
двух усиливающих друг друга субстанций различной плотности) ограничива-
ет максимально достижимую компрессию.
Косвенное прессование таблетки — метод для выравнивания асиммет-
рии излучения. Ионное или лазерное излучение направляется на таблетку
не напрямую, а встречается с конвертером из золота, который преобразовы-
вает достаточно большой процент пришедшего излучения в мягкие рентге-
новские лучи, которые поглощаются свободным пространством и снова
эмитируются на таблетку. От этого процесса можно ожидать намного луч-
шей симметрии, тем не менее, необходимая для воспламенения энергия
возрастает на два порядка.
ГЛАВА 19
ТАБЛИЦЫ К РАЗДЕЛУ
«ЭЛЕКТРИЧЕСТВО»
Обозначения, принятые в разделе «Электричество»
Символ Единица измерения Название
а 1/К Температурный коэффициент
ai м3/с Коэффициент рекомбинации
у, о См/м Проводимость
г Кл/(В-м) Абсолютная диэлектрическая проницаемость
£ Дж Энергия реакции
Кл/(Вм) Электрическая постоянная
ег 1 Относительная диэлектрическая проницаемость
X См Проводимость
X Кл/м Линейная плотность заряда
Хр м Длина Дебая
Лщ В-с/А Магнитная проводимость
И Вс/(Ам) Абсолютная магнитная проницаемость
И м2/(В • с) Подвижность ионов
Но Вс/(А-м) Магнитная постоянная
Иг 1 Относительная магнитная проницаемость
р Омм Удельное сопротивление
р Кл/м3 Объемная плотность заряда
о Кл/м2 Поверхностная плотность зарядов
т 1 Оптическая глубина
0 А Намагничивающая сила
Ф Вб Магнитный поток
Ф В Электрический потенциал
1 Магнитная восприимчивость
Вм Электрический поток
гр Вб Поток самоиндукции
1/с Частота вращения
Символ Единица измерения Название
^Ge 1/с Частота вращения электрона
^Ре 1/C Ленгмюровская частота электрона
G)Pe рад/с Ленгмюровская частота
А Кг/Кл Электрохимический эквивалент
А А/(м2-К2) Постоянная Ричардсона
Ь м2/(В • с) Подвижность
В См Реактивная проводимость
в Дж/м2 Излучаемая лучистая энергия
в Тл Магнитная индукция
с ф Емкость
с м/с Скорость света в веществе
со м/с Скорость света в вакууме
Ci моль/кг Концентрация ионов
Cs м/с Ионная скорость звука
D 1 Проницаемость
dp 1 Коэффициент затухания
D Кл/м2 Электрическое смещение
со Кл Элементарный электрический заряд
Ё В/м Напряженность электрического поля
f 1/с Частота излучения
f 1/с Частота фотона
F Кл/моль Постоянная Фарадея
G См Проводимость
h Дж-с Постоянная Планка
H А/м Напряженность магнитного поля
I А Сила тока
la А Анодный ток
J А/м2 Плотность тока
Дж/К Постоянная Больцмана
In A 1 Логарифм Кулона
L Гн Индуктивность
M Гн Взаимная индукция
M кг/моль Молярная масса
>ne кг Масса электрона
Символ Единица измерения Название
м А/м Намагниченность
N 1 Число частиц
п моль Количество вещества
Na 1 /моль Число Авогадро
Q Кл Заряд
Q Вт Реактивная мощность
Qp 1 Добротность
R Ом Электрическое сопротивление
Ra Ом Сопротивление анодного контура
Rt Ом Внутреннее сопротивление лампы
Rm m А/Вб Магнитное сопротивление
rG м Радиус вращения
s 1 Скольжение
S Вт Полная мощность
S А/В Крутизна характеристической кривой
T К Температура
и 1 Коэффициент трансформации
U В Электрическое напряжение
u в Напряжение
Ua в Анодное напряжение
ug в Сеточное напряжение
Us в Управляющее сеточное напряжение
<vo> м3/с Усредненная скорость реакции
<ve> м/с Средняя скорость электронов
V 1 Коэффициент усиления лампы
Vdr м/с Дрейфовая скорость
w Дж Энергия связи электронов
Дж Работа выхода
X Ом Реактивное сопротивление
X 1 Коэффициент ионизации
Y См Полная проводимость
Z Ом Полное сопротивление
z 1 Число заряда иона
Глава 19. Таблицы к разделу «Электричество»
19.1. Металлы и сплавы
19.1.1. Удельное электрическое сопротивление
19.1/1. Металлы при комнатной температуре
Элемент Т, К p/Ю’8, Ом-м 1 dp р ат’ io-3 к1 Элемент Т, К р/IO’8, Ом-м 1 dp par’ ю-3 к1
Сурьма 273 39,0 Празеодим 290-300 70,0
Висмут 273 107 4,45 Прометий 290-300 75,0
Кадмий 273 6,8 4,26 Протактиний 273 17,7
Церий 290-300 82,8 Рений 273 17,2 3,1
Кобальт 273 5,6 6,58 Родий 273 4,3 4,57
Диспрозий 290-300 92,6 Рутений 273 7,1 3,59
Эрбий 290-300 86,0 Самарий 290-300 94,0
Европий 290-300 90,0 Скандий 290-300 56,2
Гадолиний 290-300 131,0 Тербий 290-300 115
Галлий 273 13,6 Таллий 273 15 5,2
Гольмий 290-300 81,4 Торий 273 14,7 3,3
Индий 273 8,0 5,1 Тулий 290-300 67,6
Иридий 273 4,7 4,9 Олово 273 11,5 4,63
Лантан 290-300 61,5 Титан 273 39 5,5
Лютеций 290-300 58,2 Уран 273 28 3,4
Ртуть 273 94,1 0,89 Иттербий 290-300 25,0
Неодим 290-300 64,3 Иттрий 290-300 59,6
Ниобий 273 15,2 2,28 Золото 273 2,06 4,5
Осмий 273 8,1 4,2 Платина 273 9,81 3,93
Полоний 273 40
19.1. Металлы и сплавы
19,1/2, Зависимость от давления
Электрическая проводимость металлов, как правило, повышается при при-
ложении внешнего гидростатического давления. Мерой величины этого дав-
ления является коэффициент давления (l/p)(dp/dp) удельного электрическо-
го сопротивления.
Металл Т, К Давление, 102 МПа Металл Т, К Давление, 102 МПа
0 10 30 0 10 30
j. dp Р dp’ 10‘5 N [Па1 1 dp Р dp’ 10-5 М [Па1
Литий 303 -7,00 -7,52 -9,0 Родий 299 1,65 1,62 1,56
Бериллий 298 1,77 1,63 1,46 Палладий 299 2,10 2,04 1,93
Натрий 303 58,8 23,6 4,04 Серебро 303 3,48 3,28 2,60
Магний 298 5,40 4,67 3,81 Индий 296 1,25 1,09 0,85
Алюминий 301 4,29 4,06 3,6 Цинк ||с 303 10,0 9,0 6,1
Калий 303 134,4 30 0,88 Цинк ±с 303 9,24 8,26 5,61
Кальций 303 -9,48 -12,2 -20,7 Сурьма 303 -9,84 -14,8 -2,80
Титан 296 1,19 1,12 1,02 Барий 303 7,2 1,2 -13,6
Хром 298 22,2 17,3 8,96 Церий 297 -4,1 - 1,6
Железо 303 2,42 2,26 1,90 Празеодим 297 1,36 1,20 1,02
Кобальт 297 0,96 0,90 0,80 Неодим 297 1,57 1,32 1,03
Никель 298 1,77 1,82 1,73 Тантал 302 1,62 1,62 1,55
Медь 303 1,92 1,80 2,42 Вольфрам 302 1,33 1,31 1,25
Цинк ||с 303 9,68 8,76 6,72 Иридий 296 1,39 1,37 1,33
Цинк ±с 303 5,28 4,40 2,84 Платина 296 1,92 1,88 1,78
Рубидий 303 157,0 14,4 -28,8 Золото 303 3,02 2,84 2,44
Стронций 303 -45,3 -59,0 -118,8 Ртуть (жидк.) 303 23.1 17,0 -
Цирконий 299 0,32 0,33 0,22 Свинец 303 13,7 11,6 6,96
Ниобий 297 1,40 1,37 1,30 Висмут 303 -14,8 -18,5 -
Molybdan 300 1,31 1,29 1,24 Уран 293 4,88 4,56 4,10
19.1/3. Относительное изменение в точке плавления
Металл т к 'плав.!1 Ржидк / Ртверд Металл т к -'плавл’ Ржидк / Ртверд
Литий 453 1,68 Кадмий 594 1,89
Натрий 370 1,46 Индий 388 2,12
Магний 924 1,63 Олово 505 2,11
Алюминий 934 1,82 Сурьма 904 0,71
Калий 337 1,55 Теллур 722 2,00
Железо 1808 1,09 Цезий 303 1,66
Медь 1357 2,07 Золото 1336 2,28
Цинк 693 2,И Ртуть 234 3,36
Галлий 303 0,47 Свинец 601 1,98
Рубидий 312 1,61 Висмут 544 0,47
Серебро 1234 1,9
19.1/4. Сплавы
Сплав Р, 10-6 Ом-м IO 3 К1 pd7 Сплав Р, 10'6 Ом-м IO’3 К1 р АТ
Хром-золото 0,33 0,001 Никелин 0,43 0,2
Графит 8,00 -0,2 Новоконстантан 0,45 0,04
Изабеллин 0,50 0,02 Платиноириди- евый (20 %) 0,32 2,0
Уголь для щеток 40 - Платинородие- вый (10 %) 0,20 1,7
Константан 0,50 0,03 Резистин 0,51 0,008
Манганин 0,43 0,02 Красная латунь 0,127 1,5
Нихром (80 Ni, 20 Сг) 1,12 0,2 Мельхиор 0,30 0,4
19.1. Металлы и сплавы
19.1.2. Ряд напряжений
19.1/5. Электрохимический ряд напряжений
Указанные значения исходного напряжения UQ относятся к водороду в каче-
стве электрода сравнения и действительны для однонормального раствора.
Материал Валентность г0,в Материал Валентность £А0, В
Фтор 1 +2,87 Кадмий 2 -0,40
Золото 1 +1,69 Железо 2 -0,45
Хлор 1 +1,35 Сера 2 -0,48
Золото 3 +1,40 Галлий 3 -0,55
Бром 1 +1,07 Хром 2 -0,91
Платина 2 +1,18 Цинк 2 -0,76
Ртуть 2 +0,80 Теллур 2 -1Д4
Серебро 1 +0,80 Марганец 2 -U9
Графит 2 +0,75 Алюминий 3 -1,66
Йод 1 +0,54 Уран 3 -1,80
Медь 1 +0,52 Магний 2 -2,37
Полоний 4 +0,76 Бериллий 2 -1,85
Кислород 2 +0,39 Натрий 1 -2,71
Медь 2 +0,34 Кальций 2 -2,87
Мышьяк 3 +0,23 Стронций 2 -2,90
Висмут 3 +0,31 Барий 2 -2,91
Сурьма 3 -0,51 Калий 1 -2,93
Олово 4 +0,02 Рубидий 1 -2,98
Водород 1 ±0,00 Литий 1 -3,04
Железо 3 -0,04 Сталь (оцинкованная) -0,53...-0,72
Свинец 2 -0,13 Мягкая сталь -0,21...-0,48
Олово 2 -0,14 Чугун -0,18...-0,42
Никель 2 -0,26 Латунь +0,26...+0,05
Кобальт 2 -0,28 Бронза +0,36...+0,03
Индий 3 -0,34 Нихром +0,75...-0,05
Глава 19. Таблицы к разделу «Электричество»
19.1/6. Термоэлектрический ряд напряжений
Указанные значения термоэлектродвижущей силы Uo действительны, если в
качестве второго металла выбраны платина или медь, а разность температур
составляет 100 К.
Материал UQ, мВ / 100 К Материал Го, мВ / 100 К
Платина Медь Платина Медь
Теллур +50 +49 Цезий +0,5 -
Кремний +44,8 +44 Свинец +0,44 -0,31
Сурьма +4,75 +4,0 Олово +0,42 -0,33
Нихром +2,2 +1,45 Магний +0,42 -0,33
Железо +1,88 +1,08 Тантал +0,41 -0,34
Молибден +1,2 -0,45 Алюминий +0,39 -0,36
Латунь +1,1 +0,35 Уголь +0,30 -0,45
Кадмий +0,9 +0,15 Графит +0,22 -0,53
Вольфрам +0,8 +0,05 Ртуть ±0 -0,75
У2А-Сталь +0,8 +0,05 Платина ±0 -0,75
Медь +0,75 ±0 Торий -0,1 -0,85
Серебро +0,73 -0,02 Натрий -0,2 -0,95
Золото +0,7 -0,05 Палладий -0,5 -1,25
Цинк +0,7 -0,05 Никель -1,5 -2,25
Марганец +0,7 -0,05 Кобальт -1,7 -2,45
Индий +0,66 -0,09 Константан -з,з -4,05
Родий +0,65 -0,10 Висмут -6,5 -7,25
19.1/7. Термическое напряжение
используемых термоэлементов
Исходная температура 0 °C
19.1/8. Используемые термопары
Диапазон температур Термопара
-200 - 600 °C Си-константан
-200 - 800 °C Fe-константан
0 - 1200 °C NiCr-Ni
0 - 1600 °C PtRh-Pt
19.2. Диэлектрики
19.1/9. Коэффициент Пельтье Р для различных металлов
Стрелка показывает направление электрического тока.
Гальванический элемент T, °C P, мкДж/К Гальванический элемент T, °C P, мкДж/К
As—> Pb 20 3,81 Fe Hg 18,4 1,1644
Bi|| Bi± 20 15,03 99,64 1,388
Cd|| —> Cd± 20 0,85 182,3 1,511
Cd -> Ni 15 6,40 Fe-> Ni 15 2,288
Cu -> Ag 0 0,0703 Fe Константан 0 3,10
Cu-> Al 14 1,70 Pb-> Bi 20 5,16
Cu -» Au 0 0,3403 Pb -> Константан 0 7,95
Cu-> Bi 18 16,12 100 11,43
Cu-> Ni 0 7,95 200 15,07
14,4 5,80 300 18,42
Cu-> Pd 0 0,588 Sb-> Bi 20 44,79
Cu-> Pt 0 0,238 Sb-э Pb 20 0,78
Cu —> Константан 15,5 2,436 Zn—> Ni 15 6,42
Fe -> Cu 0 0,664 Zri|| Zn± 20 0,53
Графит Cu 20 2,94
19.2. Диэлектрики
В последующих таблицах eR — диэлектрическая проницаемость, б — угол
потерь, J7d — напряжение пробоя.
19.2/1. Диэлектрическая проницаемость
Данные значения приведены для комнатной температуры.
Вещество Формула Частота, МГц
Алюминия оксид А12О3 1 10
Аммония бромид NH4Br 100 7,1
Аммония хлорид NH4C1 100 7,0
Апатит (± опт. оси) 300 9,5
Вещество Формула Частота, МГц
Апатит (|| опт. оси) 300 7,41
Асфальт < 1 2,68
Бария хлорид ВаС12 60 11,4
Бария хлорид (2 Н2О) 60 9,4
Бария нитрат Ba(NH3)2 60 5,9
Бария сульфат BaSO4 100 11,4
Берилл (± опт. оси) Be3Al2Si6O]8 0,01 7,02
Берилл (|| опт. оси) Ве3А1251бО18 0,01 6,08
Кальцит (± опт. оси) СаСО3 0,01 8,5
Кальцит (|| опт. оси) СаСО3 0,01 6,08
Ацетамид C2H5NO 400 4,0
Уксусная кислота (2 °C) С2Н4О2 400 4,1
Кальция карбонат СаСО3 1 6,14
Кальция фторид CaF2 0,01 7,36
Кальция сульфат (2 Н2О) CaSO4 0,01 5,66
Кассерит (1 опт. оси) SnO2 106 23,4
Кассерит (|| опт. оси) SnO2 106 24
Меди оксид Cu2O 100 18,1
Меди олеат Cu(C18H33O2)2 400 2,8
Меди сульфат CuSO4 60 10,3
Меди сульфат (2 Н2О) 60 7,8
Алмаз C 100 5,5
Доломит (± опт. оси) CaMg(CO3)2 100 8,0
Доломит (|| опт. оси) CaMg(CO3)2 100 6,8
Железа оксид Fe3O4 100 14,2
Свинца ацетат Pb(C2H3O2)2 1 2,6
Свинца карбонат PbCO3 100 18,6
Свинца хлорид PbCl2 1 4,2
Свинца моноксид PbO 100 25,9
Свинца нитрат Pb(NO3)2 60 37,7
Свинца олеат Pb(C18H32O2)2 400 3,27
Свинца сульфат PbSO4 1 14,3
Свинца сульфид PbS 1 17,9
Малахит Cu2(OH)2(CO3) 106 7,2
19.2. Диэлектрики
Вещество Формула Частота, МГц
Ртути хлорид Hg2Cl2 1 3,2
HgCi2 1 9,4
Нафтален СюН8 400 2,52
Фенол (10 °C) С6н6о 400 4,3
Фосфор красный р4 100 3,6
Калинит KA1(SO4)212H2O 1 3,8
Калия карбонат КНСО3 100 5,6
Калия хлорат КСЮ3 60 5,1
Калия хлорид КС1 0,01 5,03
Калия хромат К2СгО4 60 7,3
Калия йодид KI 60 5,6
Калия нитрат KNO3 60 5,0
Калия сульфат K2SO4 60 5,9
Кварц (1 опт. оси) SiO2 30 4,34
Кварц (|| опт. оси) 30 4,27
Рутил (± опт. оси) TiO2 100 86
Рутил (|| опт. оси) 100 170
Селен Se 100 6,6
Серебра бромид AgBr 1 12,2
Серебра хлорид AgCl 1
Серебра цианид AgCN 1 5,6
Цинка карбонат (± опт. оси) ZnCO3 106 9,3
Цинка карбонат (|| опт. оси) 104 9,4
Натрия карбонат Na2CO3 60 8,4
Натрия карбонат (10 Н2О) 60 5,3
Натрия хлорид NaCl 0,01 6,12
Натрия олеат NaC18H38O2 400 2,75
Натрия перхлорат NaC104 60 5,4
Сахар 300 3,32
Сера S - 4,0
Таллия хлорид T1C1 1 46,9
Турмалин (1 опт. оси) 0,01 7,10
Турмалин (|| опт. оси) 0,01 6,3
Цирконий Zr 100 1 12 1
19.2/2. Керамика
Вещество eR ran 6 Ufa кВ/мм
Фарфор 6...7 0,035 20...28
Стеатит 6...6,5 0,002 20...25
Конденсаторная керамика
ZrTiO4 28...30 2,5...5,5-10'4 32
TiO2 78...88 4...5,5 10"4 27
CaTiO3 150...165 2...4 10"4 22
(SrBi)TiO3 900... 1000 5...10 10"4 28
(BaTi03)o>9' (BaZrO3)0j075 2700...3000 1...2-10~2 13
19.2/3. Стекло
Тип стекла er 10"4 tan 5
Стекло пирекс 4,1...4,6 45...130
Кварцевое стекло 3,75 1...2
Корнин стекло 4,0 6
19.2/4. Электрические свойства полимеров
Свойство Поли- этилен Тефлон пвх Поли- стирол Полиметил- метакрилат Эпоксидная смола
Термостойкость/0 С 100 260 60-70 65-96 68-88 140
р/Ом • м 1015-1017 1О15-1О16 1014-1016 1017-1018 1014-1016 1013-1014
er (1 МГц) 2,3 2 3-5 2,45-2,65 3,5-4,5 3,7
tan б (1 МГц) 2-10-4 2-10-4 0,03-0,08 (1-4) Ю"4 0,04-0,06 0,019
^(кВ/мм) 18-20 20-30 14-20 20-35 18-35 18
19.2/5. Удельное электрическое сопротивление
изоляционных материалов
Изоляционный материал р, Ом*м Изоляционный материал р, Ом*м
Бакелит ю14 Плексиглас ю13
Бензол ю15 Полиэтилен 1О1о...1О13
Янтарь > ю16 Полистирол 1О15...1О16
19.2. Диэлектрики
Изоляционный материал р, Ом-м Изоляционный материал р, Ом-м
Целлулоид 1О8...1О10 Поливинилхлорид до 1013
Слоновая кость 2 106 Фарфор 5 • 1012
Почва, влажная > 106 Кварцевое стекло 5 1016
Флинтглас 3 • 108 Шеллак 1014
Галалит ® 1014 Шифер 106
Стекло > 1011 Сургуч 8 1013
Слюда 1013....1015 Кремний 8 • 107
Гуттаперча « 4-107 Силиконовое масло 1013
Эбонит 1О13...1О16 Трансформаторное масло Ю10...Ю13
Древесина, сухая 1О9...1О13 Вазелин 1О1о...1О13
Мрамор 1О7...1О8 Вулканизованная фибра 1О1о...1О13
Каучук 6-Ю14 Вода, дистиллированная (1...4)-104
Канифоль 5-Ю14 Речная вода 10...100
Бумага 1О15...1О16 Морская вода 0,3
Парафин 1О14...1О16 Мягкая резина (2...14)-10"
Парафиновое масло 1014 Полиэфирная смола (8...14) 1011
Керосин 1О1о...1О12
19.2/6. Электрические свойства
изоляционных материалов
Материал р, Ом-м £ 10“3 tan б ий, кВ/мм
50 Гц 800 Гц 50 Гц 800 Гц
Фенопласты
чистая литьевая смола 1О9...1О14 - 8 - 75 10
чистая прессо- вочная смола ю13 - 4,3 - 47 8
Фенол- формаль- каменная мука ю9... ю11 - 10 - 100 5...10
дегидная асбестовое волокно 1О9...1Он 12 6...20 — 30...300 5...15
смола древесная мука ю10...ю12 - 9 - 70 15...20
бумажные обрезки 1О9...1О12 - 6...10 - 40...100 8...15
бумажные ленты ю19 - 6 - 100 1,5...5,2
тканевые ленты ю9 5...7 - 50...600 100 -
Материал р, Ом*м е IO-3 tan б ил, кВ/мм
50 Гц 800 Гц 50 Гц 800 Гц
Феноло- минералы 109...10н - 4,8 - 40...150 1,6...2,4
фурфу- рольная смола древесная мука ткань 1О1О...1О12 109...10n - 4,5...80 405...6 100...150 80...200 1...2 1...2
Аминопласты
Мочевина древесная мука 1013...1014 6,6 - 20...34 20...30 2,8...2,9
Меланин целлюлоза 1012...1014 6,2...7,6 6,2...7,5 32...60 13...100 10
Меланин асбест ю11 6,4...10,2 9 70...117 70 -
Анилин прессовочная смола 1012 3...4 — 10...20 — 1
Производные целлюлозы
Целлюлоза мягкая 1015 - 5,5 - 21 17
Целлюлозы ацетат средний ю15 - 5,4 - 23 17
Целлюлозы ацетат твердый ю15 - 5,3 , - 22 18
Целлюлозы ацетат высокий ю16 - 4,3 - 20 19
Целлюлозы ацетобутират 1016 - 3,5 - 10 21
Целлюлозы нитрат 1О12...1О13 - 4...9 - 10 30
Этилцеллюлоза 1013...1014 - 2,5...3,5 - 5...25 60...100
Бензилцеллюлоза 1014 — 3,5 — 50 40
Производные этилена
Полиэтилен высокого давления 1016 2,3 2,3 0,4 0,4 60
Полиэтилен низкого давления 1016 - 2,3 - 0,5...1 60
Полипропилен 1013 - 2,3 - 0,5 70
Полистирол 101б...Ю17 - 2,5 - 0,2...0,7 50...55
Полистирол (Стирол) 1014 - 2,8 - 4 40
Полистирол (акрилонитрил) 1014 3 - 10 40
Сложный эфир полиметакри- ловой кислоты 1015 3,5...4,5 3,5...3,5 40...60 30...50 15
Сложный эфир полиакрило- вой кислоты ю15 - 3,5 - 40 15
Поливинилхлорид 4 3,4 20...40 20...40 50
Поликарбонат 1015 3,5 3,2 0,5 1,65 100
Протеины
Полиуретан тип Ц, 1014 4 з,з 10 10 -
Полиуретан тип U3Q ю14 - 4,1 - 37 -
19.2.
Материал р, Ом*м £ 10“3 tan б иЛ, кВ/мм
50 Гц 800 Гц 50 Гц 800 Гц
Полиамид 6 1012 - 6 300 20 1,14
Полиамид 6+ GV 1012 - 6,8 - 220 25
Полиамид 66 ю12 - 5,5 - 200 28
Полиамид 66+ GV 1012 - 5,6 - 160 28
Полиамид 11 1014 3,7 3,7 50 50 20
Полиамид 11+ GV 1015 3,8 3,8 30 30 20
Полиамид 12 1013 4,2 4,2 90 90 31
Полиамид 12+ GV 1012 4,2 4,2 120 120 31
Галалит 105 — 6 — 140 1...5
Фтористые карбонаты
Полифтормонохлорэтилен ю16 2,3 2,8 15 24 20...30
Политетрафторэтилен ю15 2 2 0,2...0,5 0,2...0,5 20...60
Силиконы
Силиконовая смола 1015 3 3 0,5...1 - 20...70
Силиконовый каучук 1014 2,5 2,5 20 — 20...30
Эластомеры
Неопрен 105 - 7,5 - 19 14
Буна-каучук S 103 - 4...5 - 5 25
Пербунан 103 — 18 — 17 —
Модифицированные природные материалы
Вулканизованная фибра 108 4 4 80 80 6
Эбонит 1012 2,5...5 2,8...5 50 50 3
19.2/7. Электрические свойства
трансформаторного масла
Свойство Трансформаторное масло Касторовое масло
р / Ом-м er (1 МГц) tan б (1 МГц) Ud / (кВ/мм) 1О14...1О15 2,1...2,3 0,002...0,005 20 5 • 1010...5 • 1012 4,0...4,4 0,01...0,03 14...16
Глава 19. Таблицы к разделу «Электричество»
19.2/8. Некоторые свойства электретов
Состав Точка Кюри Точка плавления, ° С Плотность, г/см3 Спонтанная поляризация, мкКл/см2
NaKC4H4O6-4H2O ТС1 = 258 К; ТС2 = 295,5 К 58 1,775 0,25
КН2РО4 123 К 252,6 2,34 4,7
NH4H2PO4 147,9 К 190 2,311 4,8
KH2AsO4 95,6 Тс 288 2,85
NH4H2AsO4 216,1 300 1,803
(CN2H6)AL(SO4)212H2O 473 — — 0,35
(CH2NH2COOH)3H2SO4 320...323 — — —
19.2/ 9. Сегнетоэлектрики с кислородно-октаэдрической
структурой
Соединение Формула Структура Тс, °C £r
Бария титанат ВаТЮ3 перовскит 120 1700...2000 (при Тс 8...10-103)
Лития танталат ЫТаО3 ильменит > 450
Натрия ниобат NaNbO3 перовскит 640; 518; 480; 360 антисегнетоэлектрик; 350
Свинца гафниат РЬНГО3 перовскит 215; 163 антисегнетоэлектрик; 100; при 215 °C: 1000
Свинца ниобат PbNb2O3 кубическая 570 280;
Свинца танталат РЬТаО6 кубическая 260 300...400; при 260 °C: 1100
Свинца титанат PbTiO3 перовскит 500 200; при 500 °C: 3500
Свинцы цирконат PbZrO3 перовскит 235 антисегнетоэлектрик; 250; при 235 °C: 3750
Стронция титанат SrTiO3 перовскит -250
19.3. Практические таблицы по электротехнике 69
19.3. Практические таблицы по электротехнике
19.3/1. Сплавы, используемые для сопротивлений
Сплав р/й-ММ2’М-1 а/К’1 Макс, рабочая температура, °C
Никелин (67 % Си, 30 % Ni, 3 % Мп) 0,4 0,0003 300
Манганин (86 %Си, 12 % Мп, 2 % Ni) 0,43 0,00001 300
Константан (54 % Си, 45 % Ni, 1 % Мп) 0,5 ±0,00003 400
Нихром 1,0...1,2 0,00003 1000
Мегапир (65% Fe, 30% Сг, 5% А1) 1,4 -0,00006 1300
Канталь 1,45 0,00006 1300
19.3/2. Напряжение нормальных элементов Вестона
Температура, °C Напряжение, В Температура, °C Напряжение, В Температура, °C Напряжение, В
11 1,01874 17 1,01843 23 1,01817
12 1,01868 18 1,01839 24 1,01812
13 1,01863 19 1,01834 25 1,01807
14 1,01858 20 1,01830 26 1,01802
15 1,01853 21 1,01826 27 1,01797
16 1,01848 22 1,01822 28 1,01792
19.3/3. Материалы для электрических контактов
Материал Проводимость, м-Ом‘Емм-2 Температура плавления,°C Свойства
Е-медь 56 1085 Электрическая дуга образует плохо проводящий оксидный слой, дешевый материал
Чистое серебро 60 960 Проводящий оксидный слой, малая твердость, неустойчиво по отношению к кислотам, ма- лое переходное сопротивление
Чистое золото 45,7 1063 Химически устойчиво; мягкое; контакты легко залипают
Материал Проводимость, мЮм’^мм'2 Температура плавления, °C Свойства
Вольфрам 18,2 3370 Малая окалина, очень твердый
Ртуть 1,04 -38,9 Не требует ухода, долгий срок службы, химически устойчива, ядовита!
Уголь 0,03...12 - Нет оксидного слоя, не подда- ется сварке, самосмазываю- щийся, применим до 400 °C
Алюминиевая пудра 30...50 700...1100 Хорошие упругие свойства
Твердое серебро 52...56 920 Устойчиво к электрической дуге, твердое
Серебро-кадмий 16 880 Cd гасит электрическую дугу
19.3/4. Диапазоны напряжений в электротехнике
Обозначение Диапазон напряжений, В Использование
Малое напряжение Низкое напряжение Среднее напряжение Высокое напряжение Сверхвысокое напряжение 0< U< 42 о< и< 1000 1000 < и< 30000 1000< и< 110000 110000< и< 5-106 Электромеханические игрушки Промышленные сети всех типов Воздушные высоковольтные линии Воздушные высоковольтные линии Линии электропередачи сверхвысо- кого напряжения
19.3/5. Ориентировочные значения
некоторых напряжений
и9 В и, В
Антенное напряжение (5...40) -10-6 Трамваи, внеуличная го- родская железная дорога 500...800
Нервный импульс (0,5...5)10-2 Свеча зажигания (5...15)-103
Свинцовый аккумулятор 2 Контактное напряжение на железной дороге 15 Ю3
велосипедный генератор 6 Рентгеновская трубка до 2 -105
Бытовое напряжение 230 или 400 Ленточный электростати- ческий генератор до 5 • 106
19.3. Практические таблицы по
19.3/6. Газопроницаемость х некоторых кварцевых стекол
Коэффициент газопроницаемости указывает количество газа в мм3, которое
при нормальном давлении и при разности давления в 1,33-102 Па проходит
за 1 с через стекло площадью 1 см2 и толщиной 1 мм.
Гелий Водород Неон Азот Аргон
Т, °C X Т, °C X Т, °C X Г, °C X Т, °C X
78 21013 200 2-Ю’12 500 1,4-10'11 600 6,5 1012 800 1,6 Ю-12
0 6-1012 300 1011 600 2,8-IO’11 700 1,32-IO’11 900 5,8 IO’11
100 6-ю11 400 3,7-1011 700 4,2 • 10-11 800 4,3-10’11
200 2-Ю-10 500 1,25 -10-10 900 1,18-1010 900 1,19-КГ10
400 io-9 700 2,52-Ю’10
800 5- IO9 900 6,4-1010
19.3/7. Воздействие электрического тока
на человеческий организм
Дна- пазон Реакция Переменный ток, 15...200 Гц, эффектней, знач. Постоянный ток
I Повышение артериаль- ного давления, отсутствие влияния на частоту биения сердца, нет влияния на прово- дящую систему Небольшие мышеч- ные сокращения в пальцах 0,4...4 мА 1...20 мА
Нервное потрясение до предплечья 0,8...4,5 мА 25...40 мА
Отбрасывание элект- рода еще возможно 6...22 мА 40...60 мА
Отбрасывание элект- рода уже не возможно 8,5...30 мА 60...90 мА
II Еще нет бессознатель- ного состояния, повы- шение артериального давления, нерегулярная сердечная деятельность Обратимая остановка сердца при высокой силе тока, частично уже бессознательное состояние 25...80 мА 80...300 мА
III Мерцание желудочков сердца, бессознатель- ное состояние 80 мА... 8А 250 МА...8А
IV Как и в диапазоне II аритмия, остановка сердца, повышение ар- териального давления Эмфизема легких, ожоги, бессознатель- ное состояние > 3 А >3 А
19.4. Магнитные свойства
19.4/1. Магнитная восприимчивость элементов
В таблице приведена молярная магнитная восприимчивость хт = % • М в еди-
ницах измерения в СИ. М — молекулярная масса вещества. Эти значения
действительны только для нормальных условий.
Элемент Xm IO ’ Элемент Xm IO'9 Элемент Xm IO’’ Элемент Xm IO'9
Ag -19.5 Dy +98000 Mo +89,0 Sm +1860,0
Al +16,5 Er +48000 Na +16,0 Sn (белое) +3,1
Am +1000 Eu +30900 Nd +5930 Sn (серое) -37,0
Ar -19.6 Gd +185000 Ne -6,74 Sr +92,0
As (a) -5,5 Ga -21,6 Nb +195 5(a) -14,9
As(₽) -23.7 Ge -76,84 n2 -12,0 5 (P) -15,4
As (y) -230 Hf +75,0 Os +9,9 Ta +154,0
Au -28,0 He -1,88 o2 +3449,0 Tc +270,0
Ba +20,6 Hg -33,44 O3 +6,7 Те -39,5
Be -9,0 Ho +72900 Pd +567,4 Tb +170000
Bi -280,1 H2 -3,98 P (красный) -20,8 T1 -50,9
В -6,7 In -107,0 P (черный) -26,6 Th +132
Br2 -56,4 I -88,7 Pr +5530 Tm +24700
Cd -19.8 Ir 25,6 Pt +201,9 Ti +153,0
Ca +40,0 К +20,8 Pu +610,0 w +59,0
С (алмаз) -5,9 Kr -28,8 Re +67,6 и +409,0
С (графит) -6,0 La 95,9 Rb +17,0 V +255,0
Се (P) +2500 Pb -23,0 Rh +111,0 Xe -43,9
Ce (y) +2270 Li +14,2 Ru +43,2 Yb +67
Cs +29,0 Lu > 0,0 Sb -99,0 Y +187,7
Cl2 -40,5 Mg 13,1 Se -25,0 Zn -H,4
Cr + 180 Mn (a) +529,0 Sc +315 Zr -122,0
Cu -5,46 Mn (P) +483,0 Si -3,9
19.4/2. Магнитная восприимчивость
неорганических соединений
Соединение Xm Ю-’ Соединение Xm IO’9 Соединение Xm Ю-’ Соединение Xm IO"’
A12O3 -37,0 CdBr2 -87,3 CsBr -67,2 CuCl -40,0
ai2(S04)3 -93,0 CdCO3 -46,7 CsBrO2 -75,1 CuCl2 +1080
19.4. Магнитные свойства
Соединение Xm IO’9 Соединение xm 10-’ Соединение Xm IO’9 Соединение Xm IO'9
NH3 -18,0 CdCl2 -68,7 Cs2CO3 -103,6 Cu2O -20,0
NH4C2H3O2 -41,1 CdCrO4 -16,8 CsO2 +1534,0 CuO +238,9
(NH4)2SO4 -67,0 CdF2 -40,6 Cs2S -104,0 Cu3P -33,0
ВаСО3 -58,9 CdO -30,0 Cr(C2H3O2)3 +5104 CuP2 -35,0
Ba(BrO3)2 -105,8 CdS -50,0 CrCl2 +7230 CuSO4 +1330
BaO -29,1 CaCO3 -38,2 CrCl3 +6890 Dy2O3 +89600
BaO2 -40,6 CaCl2 -54,7 Cr2O3 +1960 Dy2(SO4)3 +91400
ВеС12 -26,5 CaF2 -28,0 CrO3 +40,0 Dy2S3 +95200
Ве(ОН)2 -23,1 Ca(OH)2 -22,0 Cr2(SO4)3 +11800 Er2O3 +73920
ВеО -11,9 CaO -15,0 Co(C2H3O2)2 +11000 Er2S3 +77200
Bi2O3 -83,0 CaO2 -23.8 CoBr2 +13000 Eu2O3 +10100
BiCl3 -26,5 co2 -21,0 CoCl2 +12660 EuSO4 +25730
Bi2(CrO4)2 +154,0 co -9,8 Co2O3 +4560 EuS +23800
Bi2(SO4)3 -199,0 CeCl3 +2490 Co3O4 +7380 Gd2O3 +53200
BiPO4 -77,0 CeO2 +26,0 Co3(PO4)2 28110 Gd2S3 +55500
GaCl3 -63,0 MgCl2 -47,4 RbBr -56,4 T13PO4 -145,2
Ga2O -34,0 MgO -10,2 Rb2CO3 -75,0 T12SO4 -112,6
Ga2S -36,0 MgSO4 -50,0 RbCl -76,0 Th(NO3)4 -108,0
GaS -23,0 MnBr2 +13900 RbO2 +1527,0 ThO2 -16,0
Ga2S3 -80,0 MnCO3 +11400 Rb2SO4 -88,4 Tm2O3 +51444
GeCU -72,0 MnO +4850 RuCl3 +1998,0 SnCl4 -115,0
GeO -28,8 Mn2O3 +14100 RuO2 +162,0 SnO -19,0
GeO2 -34,3 Mn3O4 +12400 Sm2O3 +1988,0 SnO2 -41,0
GeS -40,9 MnSO4 +13660 Se2Br2 -113,0 TiC +8,0
GeS2 -53,3 Hg2o -76,3 Se2Cl2 -94,0 TiCl2 +570,0
AuCl3 -112,0 Hg2SO4 -123.0 SeO2 -29,6 TiCl3 +1110,0
AuF3 +74,0 MoBr3 +525,3 SiC -12,8 TiCl4 -54,0
AuP3 -107,0 MoBr4 +520,0 SiO2 -29,6 Ti2O3 +125,6
HfO2 -23,0 Mo3Br6 -46,0 AgBr -59,7 TiS +432,0
Ho2O3 +88100 Mo2O3 -42,0 Ag2CO3 -80,9 WC +10,0
Ho2(SO4)3 91700 Mo3O8 +42,0 AgCl -49,0 WO2 +57,0
HC1 -22,6 Nd2O3 +10200 Ag2O -134,0 wo3 -15,8
InBr3 -107,0 Nd2(SO4)3 +9990 AgMnO4 -63,0 uf4 +3530,0
In2O -47,0 NiCl2 +6145,0 Ag3PO4 -120,0 UF6 +43,0
In2O3 -56,0 NiO +660,0 NaBr -41,0 uo +1600,0
In2S -50,0 NiSO4 +4005,0 Na2CO3 -41,0 uo2 +2360,0
InS -28,0 NiS +190,0 NaCl -30,3 uo, +128,0
Соединение Xm Ю-’ Соединение Xm IO*’ Соединение Xm IO"’ Соединение Xm IO’9
In2S3 -98,0 N2O -18,9 NAOH -16,0 VC12 +2410,0
IrCl3 -14,4 NO +1460 Na2O -14,5 VC13 +3030,0
1г02 +224,0 OsCl2 +41,3 Na2O2 -28,1 VO2 +270,0
FeBr2 +13600 PdCl2 -38,0 Na2HPO4 -56,6 V2O3 +1976,0
FeCO3 + 11300 PdH + 1077 Na2SO4 -52,0 V2O5 +128,0
FeCl2 + 14750 Pd4H +2353 SrBr -86,6 vs +600,0
FeO +7200 Pt2O3 -37,70 SrCO3 -47,0 H2O -12,97
FePO4 +11500 PuF4 +1760,0 SrCl2 -63,0 H2O (лед) -12,65
FeSO4 +10200 PuF6 +173,0 SrO -35,0 D2O -12,76
La2O3 -78,0 PuO2 +730,0 SrO2 32,3 D2O (лед) -12,54
Pb(C2H3O2)2 -89,1 K2CO3 -59,0 SrSO4 -15,5 Yb2S3 +18300
PbCO3 -61,2 KC1 -39,0 SO2 -39,8 Y2O3 +44,4
PbCl2 -73,8 K3Fe(CN)6 +2290,0 H2SO4 -39,8 ZnCO3 -34,0
PbO -42,0 K4Fe(CN)6 -130,0 Ta2O5 -32,0 ZnCl2 -65,0
PbS -84,0 KO2 +3230,0 Tb2O3 +78340 ZnO -46,0
LiC2H3O2 -34,0 KO3 +1185 TIBr -63,9 ZnSO4 -45,0
Li2CO3 -61,2 K4MnO4 +20,0 T12CO3 -101,6 ZnS -25,0
LiH -10,1 PrO2 +1930,0 T1C1 -57,8 ZrC -26,0
MgBr2 -72,0 ReO2 +44,0 T1CN -49,0 Zr(NO3)4- •5H2O -77,0
MgCO3 -32,4 ReO3 +16,0 T12O3 +76,0 ZrO2 -13,8
19.4/3. Технические магнитные сплавы
Материал Состав без доли железа Остат. магн. индукция Вг, Тл Коэрцитив- ная сила Нс, А/м Магнитная проницае- мость цг
Магнитно-твердые металлы
Углеродистая сталь 1 % С 1...2 4000 -
Хромистая сталь 5,8 % Сг; 1,1 % С 0,992 5200 -
Вольфрамистая сталь 6 % W 1,1 4800 -
Кобальтистая сталь 36 % Со; 4,8 % Сг 0,93 18160 -
Викаллой 3,5 % Мп; 1,1 % С; 30...40% Со; 14 % V 0,97 24000 -
KS-высококоэрцитив- ная сталь 9 % W; 1,5...3 % Сг; 0,4...0,8 % С 1 19200 -
Тромалит 25 % Ni; 13 % Al 0,4 60000 —
19.5. Ферромагнитные свойства
Материал Состав без доли железа Остат. магн. индукция Вг, Тл Коэрцитив- ная сила Нс, А/м Магнитная проницае- мость цг
Магнитно-мягкие । металлы
Е-железо (1хзакаленное) - 1,08 30,4 14600
Е-железо (2хзакаленное) - 0,085 12 4900
Е-железо 3,5 % Si; распл. в вакууме 0,3 7,68 19400
Пермаллой 78,5 % Ni; 3 % Мо - < 8 100000
Никалой 40 % Ni 1,4 24 10000
Супермаллой 50 50 % Ni 1,5 6,8 28000
Мю-металл 76 % Ni; 5 % Си; 2 % Со 0,8 5 100000
19.5. Ферромагнитные свойства
В приведенных таблицах используются следующие обозначения:
Тс температура Кюри,
(Js удельная, отнесенная к единице массы намагниченность насыщения
при комнатной температуре,
о0 удельная намагниченность насыщения, экстраполированная к 7 = О К,
пв эффективное число магнетонов, определяемое как пв = оо~~^Нв,
Na
(здесь Мо — молекулярная масса, NA — число Авогадро и цв — магнетон
Бора).
19.5/1. Ферромагнитные элементы
Z Тс, °C as, IO 7 Тлм3/кг н0, 10-7 Тл-м3/кг «в
26 Fe 770 218,0 221,9 2,219
21 Со 1120 161 162,5 1,715
28 Ni 358 54,39 57,5 0,604
64 Gd 20 0 253,5 7,55
65 Tb -50 0 173,5 9,24
66 Dy -186 0 235 10,20
67 Но -253 0 290 10,34
68 Ег -253 - - 8,0
69 Tm -235 - - 7,0
19.5/2. Двойные ферросплавы
Эле- мент Конц, ат-% ТС, °C 10‘7 Тл*м3/кг «в / атом Эле- мент Конц. ат-% TC, °C aS’ 10‘7 Тл*м3/кг «В / атом
А1 7,1 756 207 2,05 Os 8,1 - 158 1,97
19,7 664 164 1,74 12,5 — 50 0,69
24,9 441 134 1,29 Pd 5,5 754 203 2,19
26,0 494 149 1,40 40,0 — 129 1,89
Au 6,2 767 174 2,08 74,8 « 250 45 0,97
10,5 768 154 2,02 Pt 8,1 — 191 2,36
Со 20 950 236 2,42 12,4 - 177 2,43
33 970 238 2,52 24,8 164 104 2,23
50 980 233 2,42 50,0 — 32 0,75
75 870 203 2,14 Rh 10,0 - 209 2,32
80 910 184 1,94 25,0 714 192 2,39
Сг 17,7 678 196 1,70 40 624 161 2,26
47,5 483 90 0,98 Ru 7,0 660 200 2,18
68,8 268 35 0,53 12,5 — 105 1,17
1г 4,0 750 200 2,25 Sn 2,3 768 208 2,18
15,0 — 120 1,67 6,0 768 197 2,16
Ni 10 750 217 2,26 Si 8,3 720 204 2,00
20 720 209 2,22 15,9 653 174 1,67
40 330 152 1,82 23,5 587 141 1,32
60 560 136 1,45 V 5,9 815 204 2,09
80 560 98 1,04 10,6 805 184 1,91
19.5/3. Двойные никелевые сплавы
Эле- мент Конц. ат-% Тс, °C 10“7 Тл*м3/кг «в / атом Эле- мент Конц. ат-% Тс, °C IO 7 Тл*м3/кг «в / атом
Al 2,0 293 47,1 0,54 Si 3,7 234 40,3 0,48
Au 3,4 321 46,0 0,58 6,8 117 23,7 0,36
Cr 1,7 298 49,8 (-123 °C) 0,53 8,8 19 — 0,28
6,7 72 25,4 (-123 °C) 0,30 Sn 2,7 234 401 0,49
Mo 1,9 266 42,3 0,51 9,0 225 9,9 0,30
4,2 120 23,1 0,37 Та 3,6 — — 0,41
Mn 251 470 90 1,02 6,3 — — 0,28
Pd 12,1 330 - 0,60 Ti 4,8 207 34,5 0,43
45,2 217 — 0,57 10,3 30 — 0,22
19.5. Ферромагнитные свойства
Эле- мент Конц, ат-% ТС, °C 10“7 Тл*м3/кг «в / атом Эле- мент Конц. ат-% Тс, °C IO 7 Тл-м3/кг «в / атом
91,3 -11 6 - - W 2,1 270 39,2 0,49
Pt 9,1 245 37,7 0,55 3,9 150 19,9 0,34
25,0 86 16,4 0,44 Y 5,5 67 15,3 0,29
45,0 -71 — 0,25 Zn 4,1 300 45,3 0,52
Sb 7,5 23 12,6 0,24 10,8 157 25,4 0,37
1 Аморфный
19.5.1. Магнитная анизотропия
Магнитная анизотропия определяется работой намагничивания. В различных
направлениях кристалла она различна. Ось самого легкого намагничивания
определяется минимумом работы намагничивания. Работа намагничивания в
важнейших кристаллических системах выглядит следующим образом.
а) кубические кристаллы
Еа = + а^а2 + а|а}2) + А^а^а^а2 + АГз(ос2а,2 +а|а| + а 2а2)+...;
ара2,а3 — направляющие косинусы по отношению к осям элементарной
ячейки.
б) гексагональный кристалл
Еа = К\ sin2 (р + К2 sin4 (р + К3 sin6 ср + sin6 <р sin6 у + ...;
ср — угол между направлением намагниченности и осью [001];
ф — угол между осью намагниченности и осью с.
в) тетрагональный кристалл
Еа = К\ sin2 0 + К2 sin4 0 + К3 cos2 a cos2 р+...;
0 — угол между осью намагниченности и тетрагональной осью [001];
аир — углы между осью намагниченности и тетрагональными осями [100]
и [010], соответственно.
Коэффициент анизотропии зависит от температуры.
19.5/4. Коэффициенты анизотропии К1 и К2
для сплавов Fe-Со-, Fe-Ni- и Fe-Co-Ni-
Состав 20 °C 200 °C 300 °C 380 °C
Ат-% *1 х2 *1 Кг «1 Кг К, К2
Fe Со Ni 102 Дж/м3
100 70 60 30 40 420 102 45 150 160 -ПО 300 22
23—3814
Состав 20 °C 200 °C 300 °C 380 °C
Ат-% *1 К2 *1 К2 К2 К, /и
Fe Со Ni 102 Дж/м3
50 50 -68 -390
30 70 -433 50
50 50 33 -180 25 -82 18 -7
35 65 15 -70 12 -40 10 -32
30 70 7 -17 2 -4 0 0
10 90 -7 -23 -2 -10 0 -8
100 -34 53 5 20
65 35 -258 150
40 60 -108 -40
20 80 -4 8
10 90 16 -40
3 97 -10 9
50 10 40 61 -160 19 4 1 -60
25 25 50 4 16 4 2 -3 22
20 15 65 9 -НО -1 -18 -3 -2
15 25 60 -26 34 -10 -45 -3 -15
10 40 50 -72 -4 -54 41 -9 -102
10 30 60 -38 -80 -17 -50 -12 -37
10 20 70 -29 17 -25 70 -14 29
10 10 80 -2 -39 -2 -20 -2 6
19.5/5. Направление легкого, среднего и тяжелого
намагничивания в кубических кристаллах
*1 + + + — — —
К2 - 9 4 К, 4 -OO...-9XJ -co. 4 ^|Ki|...9|Ki| 4 9|X1|...+oo
Легкое [100] [100] [111] [111] [110] [HO]
Среднее [НО] [111] [100] [110] [111] [100]
Тяжелое [111] [110] [НО] [100] [100] [111]
19.6. Ферриты
19.6/1. Магнитные свойства некоторых ферритов
со структурой типа шпинели
Параметр Fe3O4 MgFe2O4 MnFe2O4 CuFe2O4 CoFe2O4 NiFe2O4 Li0,5Fe2,5O4
Плотность Рент- гена, г/см3 5,24 4,52 5,0 5,25 5,29 5,37 4,75
Температура Кюри, °C 585 440 300 455 520 585 670
Магнитный момент, молекула /(цв) 4,1 1,1 4,6 2,3 (куб.) 1,3 (тетраг.) 3,94 2,3 2,6
Удельн. намаг- ниченность насыщения, 10-7 Тл-м3/кг 92 27 80 25 80 50 65
Постоянная анизотропии , 102 Дж/м3 -10,7 -2,5 -2,8 -6,3 290 -6,2 -8,4
Постоянная анизотропии К2, 102 Дж/м3 -2,8 — -0,2 — — -3 -0,2
19.7. Антиферромагнетики
19.7/1. Свойства некоторых антиферромагнетиков
В последующих таблицах приведены температуры Неля фазовых переходов,
температура Кюри Тс и молярная магнитная восприимчивость для некото-
рых антиферромагнитных соединений.
Вещество TN,K тс, к Хм IO'3, см3/моль Вещество TN,K Тс, к Хм 10’3, см3/моль
Ti2O3 248 2000 0,24 aVS 1040 3000 0,066
VO2 343 13,60 0,66 LaCrO3 295 600 1,9
MnO 120 610 6 p - MnS 165;110 528 6
MnS2 48; 20 592 7,1 MnSe2 75 483 6,6
MnF2 72 113 25 MnF3 47 -8 75
MnCO3 32 64,5 43 LaMnO3 131; 100 -40 48,4
RbMnF3 54 190 17,7 MnUO4 12 8 200
Вещество TN,K Tc, К Хм 1°'3> см3/моль Вещество 7N, К тс, к Хм I”'3, см3/моль
FeO 198; 186 190 8 FeS « 597 917 2,2
FeCl2 23 -48 320 FeBr2 11 -6 160
FeP2 250 17 1,18 FeSn2 380 230 1,95
FeTiO3 68; 56 -17 61 YFeO3 643 - 2,2
FeSO4 * 22 30,5 78,5 Fe2SiO4 65 150 20,4
CoF2 37,7 52,7 50 CoCl2 24,9 -20 60
12 52 62 CoUO4 12 52 62
NiF2 73,2 100 20 NiCl2 52 -67 110
NiSO4 37 82 15 CuSO4 34,5 77,5 12
GdP 15 2 480 GdAg 145 82 40
a — KSe 163 2570 0,62 FeCO3 35; 20 14 17
ZnCr2Se4 22 115 340 LaFeO3 738 480 12
MnSe 247 740 19 CoO 328; 291 280 5,3
MnTe2 « 80 528 6,8 KCoF3 114; 109 125 8,5
MnAu3 145 -200 77,5 Nb2Co4O9 30; 27 10 133
KMnF3 88,3 238 17,7 NaTiO3 23 55 23,4
Mn2SiO4 50 163 18,8 EuTe H; 9,7 7 440
FeF2 78 15,9 117 Gdln 28 66 73,5
Fel2 10 23 85
19.8. Подвижность ионов
19.8/1. Подвижность ионов в воздухе
при температуре 18 °C и нормальном давлении
Газ |1 В 10“2 м2/В-с
положительные ионы отрицательные ионы
Водород 5,7 8,6
Гелий 5,1 6,3
Аргон 1,37 1,7
Кислород 1,33 1,8
Азот 1,29 1,82
Этин 0,71 0,86
Бензол 0,18 0,21
Часть IV
ТЕРМОДИНАМИКА
ГЛАВА 20
РАВНОВЕСНОЕ СОСТОЯНИЕ
СИСТЕМЫ И ЕГО ПАРАМЕТРЫ
Задачей термодинамики является описание макроскопических свойств мате-
рии с помощью подходящих физических величин и вывод общих зависимо-
стей между этими величинами.
20.1. Системы, фазы и равновесное состояние
20.1.1. Системы
Термодинамической системой называют любую совокупность макроскопи-
ческих объектов (тел и полей), свойства которой могут быть полностью и
однозначно описаны с помощью указания определенных параметров состо-
яния (объем, энергия, количество частиц и т.д.).
> В общем случае эта материя отделена от окружающей среды с помощью
стенок. Также возможны другие способы ограничения, например, горя-
чая плазма в сильном магнитном поле.
20.1.1.1. Изолированные или замкнутые системы
Термодинамическую систему называют замкнутой, если отсутствует ка-
кое-либо взаимодействие этой системы с окружающей средой. Сосуд (стен-
ки) должны быть абсолютно непроницаемы для любых форм энергии и ма-
терии (рис. 20.1, а).
> Это условие не может быть абсолютно реализовано, например, любая
ограждающая поверхность является теплопроводной. Удержание плазмы
с помощью магнитного поля также позволяет перенос тепла посредством
излучения.
▲ Общая энергия Е в замкнутой системе (механическая, электрическая)
является постоянной.
> Энергия и количество частиц являются инвариантными величинами и
представляют собой микроканоническую совокупность.
Количество частиц N и объем V наряду с энергией являются типичными
параметрами для описания замкнутой системы.
Сосуд Дьюара — это двустенный зеркальный сосуд с вакуумным проме-
жуточным слоем, который в очень хорошем приближении выполняет требо-
вания, предъявляемые к замкнутой системе.
Термосы функционируют по этому же принципу.
> Для экспериментов при очень низких температурах для хранения охлаж-
дающей жидкости могут применяться несколько помещенных один в
другой сосудов.
20.1.1.2. Закрытые системы
Термодинамическая система называется закрытой, если между ней и окру-
жающей средой разрешен только обмен энергией и нет обмена веществом
(обмена массой или веществом) (рис. 20.1, б).
> Энергия не является инвариантной величиной, количество частиц, одна-
ко, является постоянным: каноническая совокупность.
Энергия системы изменяется с течением времени благодаря обмену
энергии с окружающей средой. В равновесном состоянии закрытой системы
с окружающей средой все же устанавливается определенное среднее количе-
ство энергии, которое может зависеть от температуры системы или окружа-
ющей среды.
Для характеристики макросостояния наряду с количеством частиц N и
объемом V можно использовать температуру.
20.1.1.3. Открытые системы
Термодинамическая система называется открытой, если в ней разрешен как
обмен энергией, так и обмен веществом с окружающей средой (рис. 20.2). Ни
энергия, ни количество частиц не являются инвариантными величинами.
> Если открытая система находится в равновесии с окружающей средой,
то в ней устанавливаются определенные средние значения энергии и ко-
личества частиц: макроканоническая совокупность.
Рис. 20.2. Открытые термодинамические систе-
мы: а — принцип резервуара частиц; б — прин-
цип проточной системы
Рис. 20.1. Термодинамические
системы: а — замкнутая систе-
ма; б — закрытая система в на-
гревателе
По аналогии с соотношением между средней энергией и температурой,
можно ввести соотношение между средним количеством частиц и величи-
ной, называемой химическим потенциалом ц.
Температура Т и химический потенциал ц могут использоваться для ха-
рактеристики открытой термодинамической системы.
20.1.2. Фазы
1. Гомогенные и гетерогенные системы
Гомогенной называют термодинамическую систему, внутри которой нет
поверхностей раздела, отделяющих друг от друга макроскопические части
системы, различающиеся по своим свойствам и составу.
Сосуд с (сухим) воздухом при нормальных условиях представляет собой
гомогенную систему.
Гетерогенной называют термодинамическую систему, свойства которой
из-за наличия поверхностей раздела изменяются скачкообразно.
Сосуд с водой, водяным паром и воздухом представляет собой гетеро-
генную систему.
2. Фазы и поверхности раздела фаз
Фазой называется гомогенная часть гетерогенной системы. Фазы отделя-
ются друг от друга поверхностями раздела фаз.
В закрытом сосуде с водой, водяным паром и воздухом поверхность
воды представляет собой поверхность раздела фаз. Существуют газовая
фаза (пар и воздух) и жидкая фаза (вода).
> В некоторых случаях макроскопические свойства системы зависят от ве-
личины (и формы) поверхностей раздела фаз.
Сосуд с водой, водяным паром и воздухом. Система имеет различные
макроскопические свойства, если вода собирается в виде жидкости на дне
сосуда или распределена в объеме в виде маленьких капелек (тумана).
3. Поверхностное натяжение на границе раздела фаз
Поверхностное натяжение на границе раздела фаз стремится уменьшить
площадь поверхности раздела. Оно обусловлено различным межмолекуляр-
ным взаимодействием на поверхности раздела и внутри фазы. Поверхност-
ное натяжение на границе раздела жидкости относительно газовой фазы
обозначается как поверхностное натяжение.
4. Случайные поверхности
Случайными поверхностями называют поверхности раздела в двухфаз-
ной системе с очень малым или исчезающим поверхностным натяжением на
границе раздела фаз, форма которых очень быстро меняется. Поведение
случайных поверхностей определяется упругой энергией изгиба и жестко-
стью вещества на изгиб.
> Статистика случайных поверхностей имеет большое значение для термо-
динамического описания микроэмульсий и теплового движения клеточ-
ных мембран.
20.1.3. Равновесие
1. Равновесное состояние
Равновесным называется такое макроскопическое состояние замкнутой
системы, которое спустя достаточное время ожидания устанавливается са-
мостоятельно, а его неизменность во времени не обусловлена протеканием
какого-либо внешнего по отношению к системе процесса (рис. 20.3, а).
▲ В равновесном состоянии макроскопические параметры состояния (тер-
модинамические параметры) не изменяются с течением времени.
> Термодинамические параметры состояния можно определять и измерять
только в равновесном состоянии.
> Часто имеет смысл говорить о термодинамическом равновесии также в
том случае, если параметры состояния изменяются, но достаточно мед-
ленно.
Солнце постоянно теряет энергию благодаря излучению, поэтому его со-
стояние не является равновесным. Однако использование термодинами-
ческих параметров состояния имеет смысл, так как изменение происхо-
дит очень медленно.
Глобальное равновесное состояние требует, чтобы параметры состояния
во всех фазах системы не изменялись во времени.
Локальным термическим равновесием системы называется состояние си-
стемы, которая не находится в глобальном равновесии, но объемы всех час-
тей системы остаются такими же, как у системы, находящейся в равнове-
сии. В этом случае изменяющиеся переменные определяются локально.
Локальное термическое равновесие рассматривается для звезд, различ-
ные зоны которых имеют различную температуру; для земной атмосфе-
ры с различными погодными зонами.
2. Стационарное состояние
Состояние системы называют стационарным, если макроскопические
параметры состояния хоть и не изменяются во времени, однако имеется
приток или отток энергии (рис. 20.3, б). При этом стационарная система яв-
ляется закрытой. Следовательно, стационарное состояние не является рав-
новесным.
Сосуд находится на электрической плите, сохраняющей тепло. Через ка-
кое-то время установится стационарное состояние, при котором темпе-
Рис. 20.3. Термодинамическая система: а — равновесное состояние; б — ста-
ционарное состояние
20.1. Системы, фазы и равновесное состояние
ратура содержимого сосуда изменяться не будет. Однако необходим не-
прерывный подвод электрической энергии, чтобы предотвратить остыва-
ние сосуда, который непрерывно отдает тепло (энергию) в окружающую
среду.
3. Термическое равновесие
Термическое равновесие устанавливается, если в замкнутой системе две
подсистемы, каждая из которых находится в равновесном состоянии, так
долго находятся в энергетическом контакте (без обмена веществом), что об-
мена энергией больше не происходит. Изменение параметров состояния
происходит до тех пор, пока спустя достаточно длительное время вновь не
установится новое равновесное состояние:
Т1 = Т2.
4. Нулевой принцип термодинамики
Эмпирическая формула, описывающая термическое равновесие: все сис-
темы, которые находятся в термическом равновесии с данной системой, на-
ходятся в термическом равновесии и между собой.
> Этот закон лежит в основе определения температуры.
5. Механическое равновесие
Механическое равновесие устанавливается в системах с неподвижными
границами, если силы, действующие на границу раздела обеих систем, рав-
ны между собой. Из этого следует, что давление в обеих системах также
одинаково:
Pi
Если системы не находятся в механическом равновесии, то изменения
объема обеих систем будут происходить до тех пор, пока давление в обеих
системах не станет одинаковым.
6. Химическое равновесие
Химическое равновесие системы с изменяющимся числом частиц харак-
теризуется тем, что количество вновь образующихся в системе частиц точно
равно количеству частиц, покидающих систему.
Как и при термическом равновесии, понятие химического равновесия
необходимо отличать от стационарного состояния системы, например, сис-
темы, в которой имеется поток частиц.
В химическом равновесии химические потенциалы систем одинаковы:
Hi = Ц2-
Часто условия химического и механического равновесия связаны между
собой из-за парциального давления.
Если систему из диоксида углерода и воды поместить под давление, то
диоксид углерода будет растворяться в воде до тех пор, пока давление
пара растворенного диоксида углерода не станет таким же, как и давле-
ние газообразного диоксида углерода. Одновременно с уравниванием ко-
личества частиц происходит выравнивание давления.
20.1.3.1. Условия равновесия
Равновесие характеризуется особыми условиями. В зависимости от вида
внешних условий определяющим для равновесного состояния является:
Замкнутое изохорное равновесное состояние <=> Максимум энтропии 5,
Изобарно-изотермное равновесное состояние <=> Максимум свободной
энтальпии G,
Изохорно-изотермное равновесное состояние <^> Минимум свободной
энергии F,
Изобарно-адиабатное равновесное состояние <=> Минимум энтальпии Н,
Термодинамический потенциал ML1 2T-2
Символ Единица измерения Название
U(S, V, N) = TS - pV + pN F(T, V,N)=U -TS H(S, p,N)=U + pV G(T, p,N)=U + pV -TS и F H G P V T s N Дж Дж Дж Дж Па м3 К Дж/К Лж 1 Внутренняя энергия Свободная энергия Энтальпия Свободная энтальпия Давление Объем Температура Энтропия Химический потенциал Количество частиц
20.2. Термодинамические параметры
20.2.1. Термодинамические параметры:
определение понятий
1. Термодинамические параметры
Термодинамические параметры, также называемые параметрами состоя-
ния, — это физические величины, совокупность которых максимально од-
нозначно характеризуют макроскопические свойства системы.
К термодинамическим параметрам относятся температура, давление, хи-
мический потенциал, заряд, дипольный момент, показатель преломления,
вязкость, химический состав, размер поверхностей раздела фаз и т.д.
К параметрам состояния не относятся величины, характеризующие мик-
роскопические свойства системы, например, положение или импульс частиц.
▲ Термодинамические параметры состояния можно определять и измерять
только в равновесном состоянии.
2. Уравнение состояния
Уравнением состояния системы называется закономерность, которая
связывает между собой различные параметры состояния системы.
20.2. Термодинамические параметры
Уравнение состояния в термодинамике должно быть определено эмпи-
рически. Для этого часто в качестве переменных величин состояния исполь-
зуют полиномы, вириальные коэффициенты которых определяются экспе-
риментальным путем. Полученные эмпирическим путем уравнения состоя-
ния дают достаточное соответствие с экспериментами только в очень огра-
ниченном интервале значений переменной состояний.
Уравнение состояния идеального газа (см. 20.4) можно использовать для
предсказания поведения реального газа только при очень низкой плот-
ности последнего. Для более высоких плотностей используют модифи-
цированные отношения, например, уравнение Ван-дер-Ваальса или ви-
риальное разложение.
3. Переменные состояния
Переменной состояния (фазовой переменной) называется термодинами-
ческий параметр состояния, который изменяется в системе.
▲ Для однозначного описания термодинамического состояния необходимо
иметь значения только переменных состояния. Оставшиеся параметры
состояния в этом случае принимают определенные значения, которые
зависят от выбранных переменных состояния.
> Количество необходимых для описания системы переменных состояния
зависит от количества фаз системы (см. 22.6).
В общем случае различают две категории параметров состояния: экстен-
сивные и интенсивные величины.
20.2.1.1. Экстенсивные параметры состояния
Экстенсивными параметрами состояния системы называют величины, кото-
рые зависят от количества (массы) вещества в системе.
Объем, общая энергия, общая масса являются экстенсивными парамет-
рами состояния.
▲ Если количество вещества увеличивается в четыре раза, то значения всех
экстенсивных величин увеличивается в четыре раза.
Параметр состояния будет экстенсивным и в том случае, если он про-
порционален всем другим параметрам, признанным экстенсивными. Эта
пропорциональность действительна до тех пор, пока все не экстенсивные
параметры состояния остаются постоянными.
Произведение экстенсивной и интенсивной величины является экстен-
сивной величиной.
Общий заряд равен произведению плотности заряда (интенсивная вели-
чина) и объема (экстенсивная величина).
Гетерогенная совокупная система: экстенсивные параметры состояния
совокупной системы аддитивно складываются из соответствующих экстен-
сивных свойств отдельных фаз системы.
Объем сосуда с водой, паром и воздухом складывается из объемов жид-
кой и газовой фазы.
Наиболее характерным экстенсивным параметром состояния в термоди-
намике и статистической механике является энтропия.
20.2.1.2. Интенсивные параметры состояния
Интенсивными называются параметры состояния, которые не зависят от
количества (массы) вещества и не складываются друг с другом для отдель-
ных фаз системы. Интенсивные параметры состояния могут принимать раз-
личные значения в каждой отдельной фазе системы, однако это условие не
является обязательным.
Плотность, давление, температура, показатель преломления являются
интенсивными параметрами состояния.
Произведение двух интенсивных величин является интенсивной величи-
ной. Частное двух экстенсивных величин является интенсивной величиной.
Плотность является частным при делении общей массы на общий объем.
Интенсивные величины могут определяться локально, т.е. они могут
быть переменными в пространстве.
Плотность земной атмосферы непрерывно уменьшается с увеличением
высоты над уровнем моря. Давление воды в океане увеличивается с рос-
том глубины.
Определение пространственной зависимости интенсивных переменных
состояния требует или дополнительных определяющих уравнений (например,
из гидродинамики), или эта зависимость должна быть учтена в дополнитель-
ном уравнении состояния (без точного понимания его возникновения).
20.2.1.3. Удельные и молярные величины
1. Удельная величина
Удельной называется интенсивная величина состояния g, определяемая
как частное экстенсивной величины G и массы ш:
g = G/m.
Удельная теплота q выражает количество теплоты на килограмм.
> Во многих химических и физических справочниках под удельной вели-
чиной понимается частное из параметра состояния и молярного количе-
ства вещества. Это определение соответствует приведенному ниже поня-
тию молярной величины.
▲ Удельные величины обозначаются строчными буквами.
Большинство экстенсивных величин обозначается прописными буквами,
а относящиеся к ним удельные величины обозначаются соответствующими
строчными буквами.
Экстенсивная величина Удельная величина
Количество теплоты Q Удельная теплота Q
Теплоемкость С Удельная теплоемкость с
Энтропия S Удельная энтропия S
Объем V Удельный объем V
Энтальпия н Удельная энтальпия h
20.2. Термодинамические параметры
2. Молярная величина
Молярной называется величина состояния, Gmol, определяемая как част-
ное экстенсивной величины G и молярного количества вещества п\
Gmol = G/n.
Молярная теплоемкость сто1 равна количеству теплоты на один моль ко-
личества вещества.
В этом учебнике молярные величины обозначаются индексом «шо1».
Связь молярных и удельных величин:
П т AS AS Ш
Gmoi = g ' — = g • М, М =---молярная масса.
п п
> В технических учебниках часто используется индекс т или М.
Во многих химических и физических справочниках, в которых вместо
молярных величин используется понятие удельных величин, эти величи-
ны также приводятся и без указания индекса.
20.2.2. Температура
Температурой называют физическую величину, характеризующую степень
нагретости тела, т.е. общее интенсивное свойство систем, находящихся друг
с другом в термодинамическом равновесии. Системы, не находящиеся в со-
стоянии термодинамического равновесия друг с другом, могут иметь различ-
ную температуру.
Кельвин, К — единица измерения температуры, принятая в СИ.
Температура зависит от средней энергии движения, которой обладают
отдельные частицы вещества.
В газах средняя скорость молекул находится в непосредственной зависи-
мости от температуры.
В твердых телах интенсивность колебаний частиц вокруг узлов кристал-
лической решетки зависит от температуры.
> Колебания электронов вызывают, например, термические шумы и огра-
ничивают работоспособность высокочувствительных измерительных
приборов.
> Понятие температуры можно отнести и к тем системам, которые как со-
вокупность не находятся в термическом равновесии. Это возможно, если
общую систему можно разложить на подсистемы, в которых определяет-
ся локальная (зависимая от места) температура.
20.2.2. /. Единицы измерения температуры
Обычно для обозначения температуры используется символ Т.
> В технической литературе согласно DIN 1304 для температуры, измеряе-
мой в кельвинах, используется символ Г; для температуры, измеряемой
в градусах Цельсия, используются символы t и 0.
а) Кельвин — физическая единица измерения температуры. Символ:
1 кельвин = 1 К.
▲ Кельвин равен 1/273,16 части разности температур между тройной точ-
def
кой воды и точкой абсолютного нуля Го = О К.
б) Градус Цельсия, символ °C, наиболее часто употребляемая в повсед-
невной жизни единица измерения температуры.
Она определяется по точке плавления льда (О °C) и температуре кипения
воды (100 °C) при нормальных условиях (1013,25 Па).
Шкала Цельсия сдвинута относительно шкалы Кельвина на 273,15 гра-
дуса.
> Тройная точка воды лежит при температуре 0,01 °C.
Перевод кельвин — градус Цельсия 0
0/°С = Т/К - 273,15 Т/К = 0/°С + 273,15 Символ Единица измерения Название
9 Т °C к Температура в градусах Цельсия Температура в кельвинах
▲ Разница температур, выраженных в градусах Цельсия и кельвинах, будет
одинаковой:
(01 -е2)/°с = (т1 -т2)/к.
в) Градус Реомюра, символ °R, делит разность температур между точка-
ми плавления льда и кипения воды (при нормальном давлении) на 80 еди-
ниц ((Г (температура плавления) = 0 °R, Т (температура кипения) = 80 °R).
0/° С = Т/К - 273,15 - 1,2577° R, Т/° R = 0,80/° С.
г) Градус Фаренгейта, символ °F, еще используется во многих англоязыч-
ных странах, в частности в США. В качестве опорных точек используются
температура охлаждающей смеси (воды, льда и нашатыря, 0 °F -17,8 °C)
и температура человеческой крови (100 °F ® 37,8 °C):
9 5-
r/°F =|е/°С + 32, е/°С = ^T/°F-17,7,
9 5 -
Т/° F = | Т/К - 459,67, Т/К = | Т/° F + 255,372.
д) Шкала Ранкина — это шкала Фаренгейта, нулевая точка которой по
аналогии со шкалой Кельвина сдвинута в точку абсолютного нуля:
9 9 5
Т/R = |Т/К = |б/° С + 491,67, Г/К = |Г/Л.
> В атомной и ядерной физике часто используется постоянная Больцмана
к = 1, а температура указывается в электрон-вольтах. Тогда:
1 эВ = 11604 КЛ 1 К = 8,617-IO 5 эВД.
20.2. Термодинамические параметры
20.2.2.2. Реперные точки
Реперные точки используются для определения температурной шкалы. Они
зависят от температурных свойств веществ (тройная точка, температура ки-
пения или затвердевания при определенном давлении).
Постоянные точки — это принятые на международной конференции мер
и весов постоянные точки Международной практической температурной
шкалы (IPTS-90). Они приведены в табл. 20.1.
Точки кипения и точки затвердевания (кроме точки кипения водорода,
обозначенной *) указаны при нормальном давлении 1013,25 гПа.
Другие характеристические температуры, применяемые в качестве репер-
ных точек, приведены в табл. 23.1/1.
Таблица 20.1. Постоянные точки термодинамической шкалы IPTS-90
Постоянная точка термодинамической шкалы Вещество Т, К 0, °C
Тройная точка Водород 13,81 -259,34
Точка кипения* Водород 17,042 -256,11
Точка кипения Водород 20,28 -252,87
Точка кипения Неон 27,10 -246,05
Тройная точка Кислород 54,36 -218,79
Точка кипения Кислород 90,19 -182,96
Тройная точка Вода 273,16 0,01
Точка кипения Вода 373,15 100,00
Точка затвердевания Цинк 692,73 419,58
Точка затвердевания Серебро 1235,08 961,93
Точка затвердевания Золото 1337,58 1064,46
* При давлении 333,306 Па
Нормальная температура установлена равной
7> 273,15 К = 0°С.
Нормальные условия определяются нормальной температурой и норма-
льным давлением 1013,25 гПа,
Тп = 273,15 К = 0 °C, рп = 1013,25 гПа = 1,01325 бар.
20.2.2.3. Измерение температуры
1. Способы измерения температуры
Способы измерения температуры основываются на том, что система,
термическое равновесие которой однозначно зависит от легко наблюдаемого
параметра состояния, приводится в состояние термического равновесия с
измеряемой системой.
Термометром называется система, в которой могут быть измерены свой-
ства, зависящие от температуры.
> Способы измерения температуры связаны с уравнением состояния, а
именно с зависимостью наблюдаемой величины от температуры.
Параметры состояния, которые можно наблюдать:
• объем жидкости (жидкостный термометр, рис. 20.4, а),
• объем газа (газовый термометр),
• различное расширение двух металлических полосок (биметаллический
термометр, рис. 20.4, в),
• расширение керамических стержней, например, регулирующих стержней
муфельной печи,
• деформация керамических конусов в металлургии (конус Зегера, пиро-
скоп),
• в диапазоне милликельвинов — ориентация ядерных спинов 60Со в мо-
нокристалле и, следовательно, анизотропия гамма-излучения,
• напряжение, которое появляется в точке соединения пары проводов из
разных металлов (термоэлемент, рис. 20.4, г),
• цвет светового потока, испускаемого твердым телом или газом (пиро-
метр),
• сопротивление определенных проводников (термометр сопротивления,
рис. 20.4, б) с положительным температурным коэффициентом (РТС)
или с отрицательным температурным коэффициентом (NTC) (см. ч. III,
Электричество, температурная зависимость сопротивления).
Рис. 20.4. Схематическое представление различных типов термометров: а —
жидкостной термометр (изменение объема жидкости); б — термо-
метр сопротивления (проводник, сопротивление которого зависит
от температуры); в — биметаллический термометр (различное теп-
ловое расширение металлов); г — термоэлемент (различное напря-
жение на контактах)
2. Область применения термометров
На следующей схеме представлены области применения (температура
вдоль оси абсцисс) различных термометров (рис. 20.5). Измеряемая темпе-
ратура отложена вдоль оси абсцисс, вдоль оси ординат термометры сгруппи-
рованы по принципу действия:
20.2. Термодинамические параметры
.............- Стержневой термометр
.......—....> - - • Биметаллический термометр
-----—— .........-......- - - Жидкостный термометр
Жидкостный пружинный термометр
—.........Газовый термометр
.......... Паровой манометрический термометр
Конус Зегера ................— ......—.. —...
•---------------------------------—- Термочувствительная краска
-----------------. Термочувствительная пленка
1 Жидкий кристалл
-----------------►— - Pt ЮО Термоэлементы
- Ni 100
Си
---*......-.............. NTC-термисторы
•* РТС-термисторы
Кварцевый термометр
Пирометр с исчезающей нитью
/ субъективное
/ измерение
объективное _
измерение
Логометрический пирометр
в)
г)
Д)
Пирометр полного излучения
0 500 1000 1500 2000 К
-200 0 500 1000 1500 2000 °C Т
Рис. 20.5. Области применения различных термометров
а) механические термометры,
б) специальные конструкции механических контактных термометров,
в) электрические контактные термометры,
г) специальные конструкции электрических контактных термометров,
д) радиационный термометр (пирометр).
3. Поверка термометров
Для поверки термометров между реперными точками используются сле-
дующие приборы:
Платиновый термометр сопротивления с особой спецификацией для
диапазона температур от 13,81 до 903,89 К.
Диапазон разделен на пять поддиапазонов, в которых предусмотрены
специальные интерполяционные полиномы для расчета температуры на
основании величины сопротивления.
Платинородиевый термоэлемент, в котором термопара образуется плати-
новым и платинородиевым проводами (10% родия). Диапазон измерения
температур от 903,89 до 1337,58 К.
Отношение между температурой и термическим напряжением интерпо-
лируется с помощью квадратного уравнения.
Спектральный пирометр используется при температурах выше 1337,58 К.
Здесь применяется закон излучения Планка.
20.2.2.4. Шкала Кельвина и точка абсолютного нуля
Разряженный газ также демонстрирует зависимость объема от температуры.
Объем определенного количества такого газа при определенном давлении
можно использовать в качестве меры для температуры, и поверять другие
термометры.
1. Термодинамическая температура
Т определяется с помощью объема разряженного газа (см. 20.6.1),
(рис. 20.6),
Давление и количество частиц должны оставаться неизменными.
2. Шкала Кельвина
В шкале Кельвина в качестве реперной точки используется тройная точ-
ка воды. Давление при этом равно 619,6 Па, значение температуры в трой-
ной точке воды приравнивается к 273,16 К. Деление на градусы производит-
ся по образцу более ранней шкалы Цельсия.
Шкалы Кельвина и Цельсия легко пересчитываются друг в друга:
Т/К = 0/° С+ 273,15.
3. Точка абсолютного нуля
Точка абсолютного нуля определяется экстраполяцией отношения тем-
пературы и объема при объеме V = 0 (рис. 20.7). Допущение о том, что объ-
ем разреженного газа может бесконечно уменьшаться при уменьшении тем-
пературы, важно для обсуждения идеального газа. Но на практике при очень
низких температурах объем газа больше нельзя измерить экспериментально,
так как вещество переходит из газообразного состояния в жидкое.
В точке абсолютного нуля замирает движение атомов и молекул. Значе-
ние температуры составляет Т = 0 К = -273,15 °C.
Рис. 20.6. Газовый тер-
мометр (схема)
-273.15 -100 0 100 200 Т (°C)
Рис. 20.7. К-Г-диаграмма разрежен-
ного газа. Воздух сжижается при
80 К, Н2 при 20К, Не при 4,2 К
20.2. Термодинамические параметры
А Точка абсолютного нуля недостижима. Невозможно изготовить систему,
в которой температура точно равнялась бы О К.
> Это соответствует формулировке третьего основного закона (или начала)
термодинамики (см. 21.5.4)
20.2.3. Давление
Давлением называют физическую величину р, равную отношению нормаль-
ной силы, действующей на измерительную площадку А к величине площади
(см. 6.2.2, п. 1).
_ Нормальная сила Давление = Площадь поверхности ML ’Т 2
Fi Символ Единица измерения Название
р А Па Н м2 Давление Нормальная компонента силы Площадь
Точнее говоря, давление равно действующей перпендикулярно площадке
компоненте вектора силы F, т.е. скалярному произведению вектора силы F
и вектора п^, нормального к площадке Л, разделенной на площадь Л,
F йл
А
Микроскопически давление объясняется тем, что ча-
стицы вещества соударяются с поверхностью, при этом
они отражаются и передают поверхности определенный
импульс. Давление на стенку в этом случае равно сред-
нему импульсу, передаваемому за единицу времени на
единицу площади.
Макроскопически давление зависит от плотности и,
следовательно, обратно пропорционально занимаемому
объему (см. 20.4.1).
[м] Манометр Мак-Леода — это ртутный манометр, ис-
пользуемый для измерения малого давления в газах
(рис. 20.8.), работает именно по этому принципу.
В манометр всасывается небольшое количество газа
из измеряемой системы, его объем уменьшается и
измеряется разница давления между сжатым объе-
мом и исходной системой.
К вакуумной
системе
Рис. 20.8. Мано-
метр Мак-Леода
20.2.3.1. Единицы измерения давления
1. Единицы измерения давления системы СИ
Паскаль (Па) — единица измерения давления, принятая в СИ (см. 6.2.2, п. 2).
1 Па = — = 1 .
м1 2 * * м-с2
На практике часто встречаются давления около 105 Па (примерно равные
нормальному давлению воздуха), поэтому вводят более удобные величины.
1 бар равен 105 Па.
> В метеорологии раньше часто использовались единицы измерения мил-
либар, сегодня вместо них используются идентичные единицы измере-
ния СИ гектопаскаль.
1 Па = IO-5 бар, 1 бар = 105 Па = 10—.
СМ2
2. Давление и плотность энергии
Давление имеет ту же размерность, что и плотность энергии.
▲ Часто давление имеет простую зависимость от плотности энергии.
Для идеального газа действительно следующее выражение
2
Р = Г’
где е = Pn WKml - средняя кинетическая плотность энергии, которая зависит
от плотности частиц pv и средней кинетической энергии W^.
3. Другие внесистемные единицы измерения давления
Следующие единицы измерения хоть и не входят в систему СИ, но часто
используются в устаревших технических руководствах и в повседневной
жизни.
Техническая атмосфера (ат) соответствует давлению, которое оказывает
тело массой 1 кг при нормальном ускорении g = 9,80665 м/с2 (см. 2.2.1, п. 1)
на
поверхность площадью 1 см2.
Более не используемая сегодня единица измерения килограмм-сила (кгс)
равна весу тела массой 1 кг при нормальном ускорении свободного па-
дения.
1 ат = 1 = 1 — g = 98066,5 Па = 0,980665 бар, 1 бар = 1,02 ат.
СМ 2 см2
1 ат соответствует давлению водяного столба высотой 10 м.
Избыточная атмосфера (ату) — это превышение давления над нормаль-
ным атмосферным давлением. В общем случае
р/ату = р/ат — 1.
Миллиметры водяного столба (мм вод. ст.) указывают высоту водяного
столба, давление которого равно заданному давлению:
1 мм вод. ст. = 10-4 ат = 9,80665 Па.
Физическая атмосфера (атм.) равна среднему давлению воздуха на уров-
не моря.
Topp — единица измерения давления, равная 1 мм рт. ст., находящегося
в запаянной стеклянной трубке с откачанным из нее воздухом:
1 атм. = 760 торр = 101325 Па.
1 торр = 133,35 Па = 1 мм рт. ст.
1 бар = 0,987 атм. = 750,06 торр.
4. Нормальное давление и нормальные условия
▲ Нормальное давление равно одной физической атмосфере:
рп = 101325 Па = 1 атм. = 760 торр.
Точки плавления и кипения, как правило, указываются при нормальном
давлении.
Нормальные условия подразумевают нормальную температуру (Т =
= 273,15 К = 0 °C) и нормальное давление рп = 1013,25 гПа.
20.2.3.2. Измерение давления
1. Приборы для измерения давления
Как правило, измерение давления производится путем измерения силы,
действующей на поверхность с известной площадью.
Ареометр и поршневой манометр измеряют силу, которая действует на
поршень, находящийся в полом цилиндре. Противодействующая сила про-
изводится весом или пружиной.
Жидкостные манометры применяются преимущественно в диапазоне
малых давлений. В качестве запирающих жидкостей используются спирт,
вода, ртуть или специальные жидкости с максимально низким давлением
пара, максимально независящей от температуры плотностью и максимально
хорошими капиллярными свойствами.
Рис. 20.9. Схематическое представление принципа действия приборов для
измерения давления: действующее на подвижный поршень давле-
ние компенсируется противодействующей силой. Величина проти-
водействующей силы может быть определена с помощью отклоне-
ния сжимаемой пружины (а), углового отклонения стрелки, за-
крепленной на спиральной пружине (б), распрямления закручен-
ной манометрической трубки (в) или по высоте поднятия столба
жидкости (г)
Термовакуумные трубки или манометр Пеннинга используют термиче-
скую или электрическую проводимость газов для измерения давления в ва-
куумном диапазоне.
2. Классификация диапазонов давления, применение измерительной техники
На рисунке 20.10 схематически представлены различные диапазоны дав-
лений. Области применения различных измерительных приборов показаны
параллельно оси абсцисс. Диапазоны измерения грубо разделяются следую-
щим образом:
а) сверхвысокий вакуум,
б) технический вакуум,
в) вакуум,
г) низкое давление,
д) среднее давление,
е) техническое давление,
ж) сверхвысокое давление.
3. Локальное давление
Давление может быть также измерено локально, т.е. в малой части сис-
темы.
[м] Для измерения локального давления в систему вводят малую измери-
тельную площадку (единичной площади) и измеряют силу, с которой
система действует на эту площадку. При этом другая сторона измерите-
льной площадки должна быть механически изолирована от системы.
Пусть на изолированную от системы поверхность площадки действует
известное давление р0. Разница давлений р - между системой и внут-
ренним давлением в манометре вызывает действие эффективной силы
на измерительную площадку.
Манометр Пирани Манометр Мак-Леода Угольный датчик давления Газометр Угольный датчик Вакуумметр *. > давления сопротивления Компрессионный вакуумметр
Микро- манометр ВЫ( Ртутный манометр зокого давления г Дифференциальный < ► манометр Каскадный манометр
Кольцевой
Микро- мини-
*-------------►
аэрометр аэрометр
Пневма- Порш- Аэрометр
тический невой высокого
аэрометр манометр давления
Ионизационный
вакуумметр
Деформационный
вакуумметр”
_____Мембранная____^Пластинчатая _
пружина____________пружина
^Кварцевая стеютянная ^Металличе- ^тальнаядруб-
трубчатая пружина ская трубчатая чатая пружина
пружина
I---1----1----1---!---1----1----1----1---1---1----1----1----1---1----1---1---►
ю’12 ю'10 ю“8 io’6 ю"4 ю“2 ю° ю2 io4 бар
а) б) в) г) д) е) ж)
Рис. 20.10. Область применения приборов для измерения давления
20.2. Термодинамические параметры
20.2.4. Число частиц, количество вещества
и число Авогадро
1. Число частиц
Число частиц N — это безразмерная величина, которая описывает имею-
щееся в системе количество частиц.
> Согласно DIN, для обозначения числа частиц может использоваться сим-
вол X, в частности, если рассматриваются смеси частиц различных видов.
> Так как значение N для макроскопической системы очень велико, то ис-
пользуют числа, кратные числу Авогадро.
2. Число Авогадро
Постоянная Авогадро Аа — это мера количества вещества в макроскопи-
ческой системе.
▲ Число Авогадро характеризует точное число частиц, содержащихся в од-
ном моле вещества,
Na^-= 6,0221415 • 1023 моль-1.
ан
3. Атомная единица массы
Используется для характеристики массы отдельных частиц вещества
(атома, молекулы) (см. 28.2, п. 3). За 1 а. е. м. принята 1/12 часть массы изо-
топа углерода с массовым числом 12 — 12С:
1 а.е.м. = — m i2c = 1,661 • 10~27 кг.
12 с
Эта единица измерения особенно удобна, так как сегодня атомная масса
очень точно измеряется посредством масс-спектрометра, и ее можно легко
поверять с помощью соединений углерода.
Для различных применений, например, для стехиометрических расчетов
в химии, достаточно выражать массу атома через его атомную массу или
массовое число (количество протонов и нейтронов, оно указывается в пери-
одической системе).
Масса молекулы кислорода /я(О2) = m(2 16О) = 2-16 а. е. м. = 32 а. е. м.
4. Количество вещества и молярный объем
Количество вещества п (единица измерения в СИ — моль) описывает
количество частиц числом, кратным числу Авогадро
Моль — единица измерения количества вещества, принятая в СИ. Один
моль содержит Аа частиц (атомов, молекул) определенного вещества (или
соединения).
▲ Моль является основной единицей измерения количества вещества: ко-
личество вещества в системе равно 1 моль, если система содержит в себе
столько же частиц (молекул), сколько атомов содержится в 0,012 кг изо-
топа углерода 12С.
Молярный объем — это объем, который занимает один моль вещества
при нормальных условиях (температура 0 °C и давление 1,01325 бар).
Молярный объем 1 л газа при нормальных условиях составляет 22,4 л.
5. Число Лошмидта
Число (постоянная) Лошмидта равно количеству частиц идеального газа,
приходящихся на молярный объем при нормальных условиях.
Число Авогадро Число Лошмидта = , к Молярный объем L3
Nl = 2,68675-1025 м-з L у у т Символ Единица измерения Название
Vm м-3 моль-1 м3/моль Число Лошмидта Число Авогадро Молярный объем
6. Молярная масса
Молярная масса равна массе одного моля вещества.
Молярная масса = число Авогадро • масса частицы MN-1
АТ т М - N л • mN = — п Символ Единица измерения Название
£ £ е кг/моль моль-1 Кг Кг Моль Молярная масса Число Авогадро Масса частицы Общая масса Количество вещества
а) Молярная масса смеси рассчитывается по формуле
м _ ^смеси _т} +т2 + т3+...
смеси —
«смеси «1 +«2 + «з+---
Она может быть рассчитана на основании молярных масс z-й компо-
ненты:
Af смеси = +»зА/3+--- = + %2^2 + х3М3+....
Щ + Л2 + «з+...
(Молярная доля xz будет рассмотрена ниже).
Молярная масса воздуха составляет Л/возд = 28,96 г/моль. Основным ком-
понентом воздуха является азот с MN2 = 28 г/моль и кислород с
Mq2 = 32 г/моль.
б) Молярная масса элемента указывается в периодической системе.
Молярная масса некоторых элементов (в г/моль): водород 1,00797, кис-
лород 15,9994, никель 58,71, серебро 107,87, платина 195,09.
> Правило: количество нуклонов равно молярной массе в граммах.
в) Молярная масса соединения может быть рассчитана сложением мо-
лярных масс компонентов (атомов)
М(А0В*Сс) = аМ(А) + Ш(В) + сМ(С).
20.2. Термодинамические параметры
Молярная масса серной кислоты (H2SO4) равна
М = 2-1 г/моль + 32 г/моль + 4-10 г/моль = 98 г/моль.
Молярные массы некоторых газов см. табл. 23.2/2.
7. Количество вещества
Это количество вещества, выраженное в молях.
г Количество частиц Количество вещества = — Число Авогадро N
N п = Na т п = — М Na = 6,0221415 ДО23 моль4 Символ Единица измерения Название
п N М А\ т моль 1 кг/моль МОЛЬ"1 кг Количество вещества Количество частиц Молярная масса Число Авогадро Общая масса
8. Универсальная газовая постоянная
Равна произведению числа Авогадро и постоянной Больцмана.
Универсальная газовая постоянная = число Авогадро • • постоянная Больцмана MPHO-'V1
R = k-NA k = 1,3806505-10-23 Дж/К Символ Единица измерения Название
R na k Дж/(м • Коль) моль-1 Дж/К Универсальная газовая постоянная Число Авогадро Постоянная Больцмана
Значение R равно
R = 8,314 ДжДмоль К).
9. Молярная доля
Молярная доля xt — это безразмерная величина, которая характеризует
долю отдельного вида частиц i в общем количестве частиц:
А/ 1
X/ = -------------, > = 1.
N1 + N2+...+Nn “
▲ Сумма всех молярных долей всегда равна единице.
> Согласно DIN для обозначения молярных долей используется строчная
буква х/5 в то время как Xj обозначает общее число частиц вещества дан-
ного вида.
Молярная доля является интенсивной переменной и может в различных
фазах принимать разные значения.
10. Весовая доля
Весовая доля — это безразмерная величина, которая равна соотноше-
нию общей массы частиц одного вида к общей массе всех частиц в смеси.
Она равна произведению молярных долей или отношению молярной массы
частиц одного вида i и молярной массы всей системы:
/77/ Mi
—— = Xi ——•
^obx ^obx
20.2.5. Энтропия
1. Энтропия как экстенсивная функция состояния
Энтропия S — единица измерения в СИ джоуль на кельвин. Это экстен-
сивная функция состояния, которая описывает «неупорядоченность» в сис-
теме (см. 20.3.3).
Изменение энтропии (при малом изменении температуры) может быть
определено по отношению количества теплоты, сообщенного системе, к ее
температуре (см. 21.5.4).
тт Изменение теплоты Изменение энтропии = Температура ML2!-2®1
Д5 = ле = слг т т Символ Единица измерения Название
5 Q Т С Дж/к Дж К Дж/К Энтропия Количество теплоты Температура Теплоемкость
Вследствие этого можно определить только разность энтропии в различ-
ных состояниях системы, но не абсолютное значение последней.
Определение абсолютного значения энтропии возможно с учетом третье-
го начала термодинамики (см. 21.5.4).
▲ Энтропия в точке абсолютного нуля равна нулю:
$т= о = 0.
2. Микроскопическое рассмотрение
Макросостоянием называется состояние, характеризуемое общими свой-
ствами системы.
Микросостоянием называется состояние, характеризуемое свойствами
отдельных частей системы.
Если определенное количество шаров необходимо распределить между
двумя сосудами, то макросостояние определяется количеством шаров в
каждом сосуде, а микросостояние будет характеризоваться тем, какой
шар в каком сосуде находится.
20.3. Термодинамические потенциалы
Для каждого макроскопического термодинамического состояния сущест-
вует большое количество микроскопических возможностей реализации.
В системе из трех частиц с постоянными различными скоростями состо-
яние, при котором частица 1 имеет максимальную скорость, а частица
3 — минимальную и состояние, при котором частица 1 имеет минималь-
ную скорость, а частица 3 — максимальную, микроскопически различ-
ные. Но макроскопически оба эти состояния одинаковы.
▲ Состояние с самой большой возможностью реализации называется са-
мым вероятным состоянием.
Рассмотрим сосуд, наполненный газом. Если поставлен вопрос, нахо-
дится ли частица газа в левой или правой части сосуда, то состояние,
при котором все частицы находятся слева хоть и возможно энергетиче-
ски, но имеет только одну возможность реализации. Равномерное рас-
пределение частиц между правой и левой частями сосуда имеет очень
много возможностей реализации и поэтому является самым вероятным.
▲ Равновесное состояние — это состояние с максимумом возможностей
реализации.
> Так как с увеличением количества возможностей реализации энтропия
возрастает, то в состоянии равновесия энтропия является максимальной.
3. Зависимость между энтропией и количеством микросостояний
Энтропия = постоянная Больцмана • In (возможности реализации) ML2!2© 1
S = k In Q к= 1,3806505-10-23 Дж/К Символ Единица измерения Название
5 к Й Дж/К Дж/К 1 Энтропия Постоянная Больцмана Количество микросостояний
20.3. Термодинамические потенциалы
20.3.1. Принцип максимальной энтропии —
принцип минимальной энергии
Замкнутые системы стремятся к состоянию равновесия, которое характери-
зуется максимумом энтропии. Это состояние имеет максимум возможностей
реализации.
> Это высказывание является следствием второго основного закона (нача-
ла) термодинамики (см. 21.5.3).
▲ Все происходящие в замкнутой системе процессы (необратимые) увели-
чивают энтропию, максимум которой достигается в состоянии равнове-
сия.
В механике и электродинамике незамкнутые системы стремятся к умень-
шению своей энергии.
Механические системы стремятся к локальному минимуму потенциаль-
ной энергии.
▲ Незамкнутая система с постоянной энтропией стремится к минимальной
энергии.
Оба принципа совпадают с началами термодинамики.
20.3.2. Внутренняя энергия как потенциал
Внутренней энергией U, единица измерения в СИ джоуль (Дж), называется
экстенсивная переменная, которая характеризует общую энергию системы.
В замкнутой системе эта переменная является центральной.
Внутренняя энергия описывается как функция натуральных экстенсив-
ных переменных (см. 20.2.1.1): энтропии 5, объема Vи количества частиц N.
Если известна зависимость внутренней энергии U(S, Г, JV,...) от других пере-
менных, то гарантируется знание всех термодинамических величин.
Дифференциальное представление внутренней энергии:
d£7 = TdS-pdV + |id7V+....
Интенсивные переменные температура Т, давление р и химический по-
тенциал ц могут быть описаны как функции натуральных экстенсивных пе-
ременных.
Интенсивные переменные описываются как частные производные по
экстенсивным переменным, при этом другие переменные принимаются по-
стоянными.
Температура, давление и химический потенциал как частная производная от U
АТТ Символ Единица Название
т & измерения
~ ~8S и Дж Внутренняя энергия
dU т К Температура
Р ~ dV S Дж/К Энтропия
р Па Давление
dU V м3 Объем
ц = — dU S V н Дж Химический потенциал
N 1 Количество частиц
▲ Внутренняя энергия U для изохорно-адиабатной системы имеет мини-
мум, dU < 0 для V = const, 5 = const.
20.3.2.7. Внутренняя энергия идеального газа
Для идеального газа, не имеющего степеней свободы вращения, действи-
тельно выражение:
.и = - NkT.
2
20.3. Термодинамические потенциалы
При изохорном изменении состояния:
Внутренняя энергия ~ температура ML2T2
U = СутТ Символ Единица измерения Название
и cv m Т Дж Дж/(К-кг) кг К Внутренняя энергия Удельная теплоемкость при постоянном объеме Масса Температура
20.3.3. Энтропия как термодинамический потенциал
Энтропия S — единица измерения в СИ джоуль на кельвин. Как и внутрен-
няя энергия замкнутой системы, является центральной переменной. Она
описывает микросостояние системы.
Дифференциальное представление энтропии:
d5 = - dU + dK - (LV-.
т т т
Если известна зависимость энтропии S(U\ V, N,...) от переменных U, V,
то гарантируется знание всех термодинамических величин.
Внутренняя энергия, давление и химический потенциал как производная от 5
1 = 55 Символ Единица измерения Название
I I С СО Ц и т S р V ц N Дж К Дж/К Па м3 Дж 1 Внутренняя энергия Температура Энтропия Давление Объем Химический потенциал Количество частиц
▲ Энтропия S изохорной системы с постоянной внутренней энергией име-
ет максимум, cLS = 0 для V = const, U = const.
20.3.3.7. Энтропия идеального газа
Энтропия идеального газа, не имеющего степеней свободы вращения, равна
5(Г, р) = Nk <sq(Tq, pq) + In
Зависимость от N, V, U имеет следующий вид:
S(JV, V, U) = Nk\s0(N0, V0U0) + In
ГМ5/2[ДС|3/2( П
IN J Uo J U j
На основании этих уравнений все уравнения состояния идеального газа
могут быть получены частным дифференцированием.
Производная по внутренней энергии дает:
dS
dU Niv
13 1 3
-F =-Nk-=>U =-NkT,
T 2 U 1
Производная по объему дает уравнение состояния:
dS
dV N,u
P.=Nk~^ pV = NkT.
T V
20.3.4. Свободная энергия
1. Свободная энергия
Свободная энергия F, также называемая потенциалом Гельмгольца, еди-
ница измерения в СИ джоуль (Дж), имеет большое значение, прежде всего,
при описании процессов, которые протекают при постоянной температуре
(изотермических).
Свободная энергия равна разности между внутренней энергией и произ-
ведением температуры и энтропии,
F =U -TS = -pV + pN.
Это соответствует преобразованию Лежандра от функции энтропии
(внутренней энергии) к функции температуры (свободной энергии).
Полный дифференциал F равен
dF =-SdT -pdV + vdN+....
Изменение свободной энергии:
т2
F = W + | SdT.
Ъ
2. Свободная энергия как функция параметров состояния
Свободная энергия описывается как функция температуры, объема и ко-
личества частиц. Знание зависимости свободной энергии F(T, V, TV,...) от
других переменных гарантирует полное знание всех термодинамических ве-
личин.
Оставшиеся параметры могут быть получены в виде частных произ-
водных.
20.3. Термодинамические потенциалы
Энтропия, давление и химический потенциал как производная от F
= — ЭТ v,N,... = dF_ 3V T,N... dF ц — — dN Символ Единица измерения Название
F Т S Р V ц N Дж к Дж/К Па м3 Дж 1 Свободная энергия Температура Энтропия Давление Объем Химический потенциал Количество частиц
3. Свободная энергия и изотермические процессы
Изменение свободной энергии dFCMC системы при постоянной температу-
ре (изотермические процессы) для обратимого процесса равно работе, со-
вершенной системой или над системой.
Изотермическое протекание процесса, при котором система может об-
мениваться с окружающей средой только теплотой, но не работой, стремит-
ся к минимуму свободной энергии, т.е. одновременно к минимальной внут-
ренней энергии и максимальной энтропии.
▲ Изотермические и изохорные процессы спонтанно протекают в направ-
лении, в котором их свободная энергия уменьшается.
Изотермические процессы, которые непосредственно увеличивают внут-
реннюю энергию, могут протекать только при подводе энергии, однако мо-
гут происходить и спонтанно, если при заданной температуре приток энер-
гии TdS больше, чем отток энергии dU. При этом энергия поступает от на-
гревателя. Без такого притока энергии процессы протекают спонтанно толь-
ко в обратном направлении.
20.3.5. Энтальпия
1. Энтальпия,
Н, единица измерения в СИ джоуль (Дж), имеет большое значение при
описании процессов, протекающих при постоянном давлении (изобарных
процессов).
Химические процессы часто протекают на практике при постоянном
давлении.
Работа расширения равна произведению давления и объема.
Энтальпия равна сумме внутренней энергии и работы расширения,
Н = U + pV = TS + pTV.
Энтальпия описывается как функция энтропии, давления и количества
частиц. Знание зависимости энтальпии H(S, р, от других переменных
гарантирует полное знание всех термодинамических величин.
Полный дифференциал энтальпии выглядит так:
АН = dtf + pAV + VAp = TAS + VAp + \xAN.
▲ Энтальпия H в адиабатической, изобарной системе (Д(? = 0, р = const)
стремится к минимуму АН - 0.
2. Определение параметров состояния из энтальпии
Если известна энтальпия Я(5, p,N,...\ то остальные параметры состоя-
ния могут быть получены частным дифференцированием.
Температура, объем и химический потенциал как производная от Н
т = — v = dJL др S,N,... дн н = — dNs, Р„„ Символ Единица измерения Название
н т S р V н N Дж К Дж/К Па м3 Дж 1 Энтальпия Температура Энтропия Давление Объем Химический потенциал Количество частиц
3. Изобарные и адиабатные процессы
Принципиально энтальпия может указываться для любой системы. Од-
нако особое значение она имеет для изобарной (р = const, Ар = 0) и адиабат-
ной (Д(9 = 0) систем. Такие системы не обмениваются теплотой с окружаю-
щей средой (Д(? = 0), но при расширении могут совершать работу против
постоянного внешнего давления (рис. 20.11). Для изобарного изменения со-
стояния изменение энтальпии равно количеству тепла, которым система об-
менялась с окружающей средой, плюс прочая работа, которая не содержит в
себе работу расширения против постоянного давления.
Техническая работа Wt (единица измерения в СИ джоуль, Дж) — это об-
щая работа, которую (теоретически) совершает машина,
Рис. 20.11. Термодинамическая
система: а — изотермно-изобар-
ная система; б — адиабатно-изо-
барная система
Р1
W, = | Vdp.
Р\
▲ В предоставленной самой себе изобар-
ной адиабатической системе необрати-
мые процессы, уменьшающие энталь-
пию системы, протекают до тех пор,
пока в состоянии равновесия не будет
достигнут минимум энтальпии.
20.3.5.1. Энтальпия идеального газа
Энтальпия равна сумме внутренней энергии и работы расширения.
Энтальпия ~ температура ML2T2
Н = сршТ Символ Единица измерения Название
н СР m Т Дж Дж/(К-кг) кг К Энтальпия Удельная теплоемкость при постоянном давлении Масса Температура
Энтальпия идеального газа микроскопически (без степеней свободы вра-
щения):
Н(Т, P,N) = ^ NkT.
20.3.5.2. Энтальпия и фазовые переходы
При фазовых переходах, которые протекают при постоянном давлении (изо-
барно) и постоянной температуре (изотермически) изменение энтальпии ве-
щества равно скрытой теплоте, которая принимается (при плавлении, суб-
лимации, кипении) или отдается системой (при затвердевании, десублима-
ции и конденсации):
Htf = ЯтверД S •
Энтальпия плавления ДЯ5 — это количество теплоты, необходимое для
плавления.
Энтальпия затвердевания ДЯ5 — это количество теплоты, освобождаю-
щееся при затвердевании.
Энтальпия парообразования ДЯК равна по величине энтальпии конден-
сации -&HV.
Энтальпия сублимации ДЯSub = ЛЯ5 + ЛЯv, равная по величине энта-
льпия десублимации, -ДЯ5иЬ.
Энтальпийная диаграмма Молье — график, на котором представлена эн-
тропия на единицу массы по отношению к энтальпии на единицу массы
(й,^-диаграмма).
Аналогично можно использовать графики изменения других величин,
например, концентрации, относительно энтальпии (й,х-диаграмма).
20.3.5.3. Энтальпия реакции и теорема Гесса
Энтальпия реакции характеризует количество теплоты, которое освобожда-
ется или поглощается в ходе химической реакции.
> Многие химические реакции протекают в открытых сосудах при посто-
янном давлении.
24—3814
▲ Решение о том, будет ли химическая реакция протекать спонтанно без
внешнего притока энергии, может быть принято на основании баланса
энтальпии:
A ТТ _ ТТ _ Ы
11 продуктов 11 исх. веществ*
Если баланс отрицательный, ДЯ < 0, то спонтанная реакция проходит
экзотермически.
▲ Теорема Гесса: Полная разница энтальпий между продуктами и исход-
ными веществами реакции не зависит от протекания реакции.
Баланс энтальпий в основном сильно зависит от давления и температу-
ры окружающей среды. Часто для начала реакции необходимо подвести
энергию активации.
Водород и кислород могут смешиваться при комнатной температуре. Не-
смотря на отрицательную энергию образования воды, реакция не начи-
нается спонтанно. При добавлении катализатора или открытого пламени
протекает взрывная реакция (гремучая смесь).
Катализатором называется вещество, которое делает возможным реак-
цию других веществ или как минимум ускоряет ее, но при этом не расходу-
ется само.
Металлическая платина является хорошим катализатором для многих ре-
акций.
Экзотермической называется реакция, при которой выделяется теплота.
Эндотермической называется реакция, при которой поглощается теплота.
С В химии измерение энтальпии реакции производится посредством изме-
рения с помощью калориметра, полученного в результате реакции коли-
чества тепла согласно формуле:
ДЯ = AQ|P.
20.3.6. Свободная энтальпия
1. Свободная энтальпия
Также называется потенциалом Гиббса G (единица измерения в СИ джо-
уль, Дж). Это величина, введенная Дж. В. Гиббсом (1875), которая исполь-
зуется для описания систем при заданной температуре и заданном давлении:
G = U - TS + pV = цЯ.
Свободная энтальпия на одну частицу совпадает с химическим потенци-
алом.
Однако это высказывание действительно только для систем, содержащих
один вид частиц, которые не могут обмениваться с окружающей средой дру-
гими видами энергии (например, электрической).
Полный дифференциал свободной энтальпии равен:
dG = -SAT + VAp + pdTV.
▲ Для изобарно-изотермной системы (р = const, Т = const) свободная эн-
тальпия имеет минимум, dG < 0.
2. Свободная энтальпия как функция параметров состояния
Свободная энтальпия описывается как функция температуры, объема и
количества частиц. Знание зависимости свободной энтальпии G(T, р,
от других переменных гарантирует полное знание всех термодинамических
величин.
Если функция G(T, р, N) известна, то оставшиеся параметры могут быть
получены в виде частных производных.
Энтропия, объем и химический потенциал как производная от G
„ _ 8G о — от Символ Единица измерения Название
p,N,... G Дж Свободная энтальпия
tz dG Т к Температура
у = S Дж/К Энтропия
up Р Па Давление
dG V м3 Объем
ц = — dN u Дж Химический потенциал
N 1 Количество частиц
Изменение свободной энтальпии равно работе, совершенной системой
при изотермически и изобарно обратимом процессе, без учета объемной ра-
боты против постоянного внешнего давления.
▲ В предоставленной самой себе изотермной изобарной системе необрати-
мые процессы протекают до тех пор, пока не будет достигнут минимум
свободной энтальпии.
20.3.6.1. Химические реакции
Свободная энтальпия имеет большое значение для описания медленно про-
текающих реакций.
Экзергонической называется реакция, которая протекает с освобождени-
ем свободной энтальпии.
Эндергонической называется реакция, идущая с поглощением свобод-
ной энтальпии.
Закон действующих масс определяет соотношение между исходными и
конечными продуктами химической реакции:
Q\ + #2 ^2 ^1-^1 ^2-^2 +• • • ?
= К(Р,Т).
Параметр Дб® является характеристической постоянной реакции. Посто-
янная равновесия К(р,Т) определяется с помощью разницы свободных эн-
тальпий ДО0.
▲ При К > 1 равновесие лежит на стороне конечных продуктов, при К < 1 —
перевешивает начальное состояние.
Для важнейших реакций, например, для окислительно-восстановитель-
ных или реакций диссоциации, постоянные равновесия приведены в спра-
вочных таблицах по химии.
20.3.6.2. Принцип Ле Шателье
Принцип Ле Шателье — это принцип смещения равновесия при воздейст-
вии внешних условий.
▲ Если на систему, находящуюся в состоянии устойчивого равновесия,
производится внешнее воздействие (изменение температуры, давления
или концентрации), то равновесие смещается в том направлении, при
котором эффект внешнего воздействия ослабевает.
Например, при уменьшении объема равновесной однокомпонентной си-
стемы жидкость-пар происходит конденсация части пара, в результате
чего объем уменьшается.
20.3.7. Соотношения Максвелла
Соотношения Максвелла связывают между собой частные производные раз-
личных термодинамических потенциалов:
дТ = -др dS = дР
dV S ds 'v ЗИ т дТ V
дТ = _ау = аг
др S dS р др т " дТ р
> В основном рассматриваются системы с постоянным числом частиц
(cLV = 0), благодаря чему существенно сокращается число отношений.
Если же, напротив, в системе добавляются другие переменные состоя-
ния, связанные, например, с магнитным полем или магнитным диполь-
ным моментом (см. 15.11, п. 2), то добавляются новые соотношения.
Термодинамический четырехугольник — это вспомогательная схема,
которая наглядно представляет
Рис. 20.12. Термодинамический
четырехугольник для N = const
потенциалы и переменные и позволяет бы-
стро составить соотношения Максвелла
(рис. 20.12).
Этот четырехугольник составлен специ-
ально для системы с постоянным количест-
вом частиц и без других переменных состо-
яния.
Переменные V/I\p,S образуют углы че-
тырехугольника, • представленного на рис.
20.12. На гранях нанесены потенциалы, ко-
торые зависят от относящихся к углам пе-
ременных, например, F(V,T).
20.3. Термодинамические потенциалы
▲ Производная потенциала по переменной (в углу) задается с помощью
переменной, лежащей диагонально напротив. Обе стрелки на диагоналях
обозначают знак.
Термодинамический четырехугольник помогает быстро составить необ-
ходимые расчетные выражения.
Производная F по V дает минус (см. направление стрелок) р\ dF/dV = -р.
Отношения Максвелла можно считывать следующим образом: производ-
ные переменных, которые лежат вдоль стороны четырехугольника (напри-
мер, dV/dS), при остающейся постоянной переменной в диагонально проти-
воположном углу (р) равны соответствующим производным на противопо-
/ fsrV о
ложной стороне (здесь - — ). Знаки также расставляются в соответствии
Ws
с направлением диагоналей.
20.3.8. Термодинамическая устойчивость
1. Различные виды равновесных состояний
Равновесное состояние характеризуется максимумом энтропии или ми-
нимумом одного из различных термодинамических потенциалов.
Замкнутое изохорное состояние в равновесии характеризуется максиму-
мом энтропии S.
Изотермно-изобарное состояние в равновесии характеризуется миниму-
мом свободной энтальпии:
G = U + pV -TS.
Изотермно-изохорное состояние в равновесии характеризуется миниму-
мом свободной энергии:
F=U-TS.
Адиабатно-изобарное состояние в равновесии характеризуется миниму-
мом энтальпии:
Н = U + pV.
Адиабатно-изохорное состояние в равновесии характеризуется миниму-
мом внутренней энергии U.
Дифференциальное представление термодинамических потенциалов
Символ Единица измерения Название
dt/ = -pdV + TdS dF = -pdV - SdT dH = Vdp + TdS dG = Vdp-SdT и F H G P V T s Дж Дж Дж Дж Па м3 К Дж/К Внутренняя энергия Свободная энергия Энтальпия Свободная энтальпия Давление Объем Температура Энтропия
2. Обзор различных условий равновесия
Система... изотермная изобарная изохорная адиабатная замкнутая
Энтропия 5 максимальна dV= 0 dU = 0
Внутренняя энергия U максимальна dV= 0 Д0 = О
Свободная энергия F минимальна <ХТ = 0 dK= 0
Энтальпия Н минимальна dp = 0 де = о
Свободная энтальпия G минимальна dT= 0 dp = 0
▲ Если система находится в устойчивом равновесии, то все спонтанные
изменения параметров должны вызывать процессы, которые возвращают
систему в состояние равновесия, т. е. противодействуют этим внезапным
изменениям.
> Это утверждение следует из принципа Ле Шателье.
20.4. Идеальный газ
Идеальным газом называют газ, частицы которого можно рассматривать как
точки согласно законам классической механики, т.е. без учета межмолеку-
лярного взаимодействия. Идеальный газ является простой моделью реально-
го газа с тем допущением, что частицы имеют пренебрежимо малые размеры
и очень мало взаимодействуют между собой. Приближение тем лучше, чем
сильнее разряжен газ.
При нормальных условиях воздух, водород и инертные газы могут рас-
сматриваться как идеальные.
▲ Для описания реальных газов необходимо учитывать следующее:
• собственный объем частиц,
• силы взаимодействия между частицами.
20.4.1. Закон Бойля-Мариотта
Закон Бойля-Мариотта был открыт в 1664 г. Р. Бойлем и немного позже
(1676) независимо от него Е. Мариоттом. Он описывает общую зависимость
между давлением и объемом газа при постоянной температуре.
20.4. Идеальный газ
▲ При постоянной температуре произведение давления и объема газа оста-
ется постоянным.
Давление • объем = const
Символ Единица измерения Название
рК = Т = const р Па Давление
Р Vq Р аг V м3 Объем
— = — = —, T,N = const Ро V Ро т К Температура
р кг/м3 Плотность
N 1 Число частиц
Если при постоянной температуре объем цилиндра уменьшить в два раза,
то давление газа внутри цилиндра увеличится в два раза (рис. 20.13).
р- V-диаграмма — это диаграмма, на которой давление представлено как
функция объема. Часто используется для описания изменений состояния и
термодинамических машин.
Если на диаграмму нанести давление и объем при постоянной темпера-
туре (рис. 20.14), то получатся гиперболы для идеального газа,
р = 0,1 МПа
и= к0
р = 0,2 МПа
V= 1/2 Го
Рис. 20.13. Зависимость между дав-
лением и объемом. Приток допол-
нительной жидкости (справа) повы-
шает давление, объем уменьшается
Рис. 20.14. р- V-диаграмма для 1 моля
идеального газа. Изотермы имеют фор-
му гипербол: 1 — 100 К; 2 — 300 К; 3 —
500 К; 4 - 800 К; 5 - 1200 К
Принцип действия манометра Мак-Леода основан на законе Бойля-Ма-
риотта.
20.4.2. Закон Гей-Люссака
1. Закон Гей-Люссака
В 1802 г. Гей-Люссак исследовал зависимость объема газа от его темпе-
ратуры:
К(0) = Го(1 + уО), Vq — объем при 0О = 0 °C.
▲ При изменении абсолютной температуры газа в цилиндре при постоян-
ном давлении объем газа изменяется пропорционально температуре.
Относительное изменение объема ~ изменение температуры L3
AF = уА/ К) р = const Символ Единица измерения Название
V Y Т Р м3 1/К К Па Объем Коэффициент объемного расширения Температура Давление
При записи закона с использованием разницы температур разность тем-
ператур может записываться как в кельвинах, так и в градусах Цельсия.
Коэффициент объемного расширения у, единица измерения в СИ кель-
вин в минус первой степени, характеризует относительное изменение объе-
ма при изменении температуры
Коэффициент объемного расширения почти для всех разреженных газов
примерно одинаковый. Для идеального газа действительно:
у = 0,003661К-1 = 27315 Кпо отношенИ1° к объему при 0 °C.
Данное уравнение идентично определению абсолютной температуры.
2. Преобразование закона Гей-Люссака
При постоянном давлении объем идеального газа изменяется пропорци-
онально температуре:
Соотношение объемов = соотношение температур
Символ Единица Название
г Го т измерения
= —, р = const V м3 Объем
т К Температура
р Па Давление
При постоянном объеме давление идеального газа изменяется пропор-
ционально температуре:
Соотношение давления = соотношение температур
Символ Единица Название
р т измерения
= —, V - const То V м3 Объем
Ро т К Температура
р Па Давление
20.4.3. Уравнение состояния
Уравнение состояния идеального газа описывает зависимость между величи-
нами pq,Vq,Tq (давление, объем и температура) любого начального состояния
и соответствующих величин р.ТУ конечного состояния (см. 20.2.1).
Уравнение состояния идеального газа
гг.рл = № т То Символ Единица измерения Название
V м3 Объем
pV = NkT т р К Па Температура Давление
к = 1,3806505 -10~23 Дж/К N 1 Число частиц
к Дж/К Постоянная Больцмана
Эти уравнения получают, проводя два последовательных процесса под-
чиняющихся законам Бойля-Мариотта и Гей-Люссака.
Альтернативную запись можно найти в разделе уравнения состояния,
подраздел «Идеальный газ» (см. 20.6.1).
20.5. Кинетическая теория идеального газа
Каждая частица газа имеет определенную скорость v.
Распределение скоростей характеризуется функцией распределения ско-
ростей частиц газа в системе.
А В равновесном состоянии распределение скоростей системы не изменя-
ется. Естественно, скорости отдельных частиц могут изменяться.
20.5.1. Давление и температура
1. Микроскопическая интерпретация давления
Давление описывается как импульс, который передается стенке сосу-
да при ударе частиц газа за единицу времени на единицу поверхности
(рис. 20.15).
Рис. 20.15. Схема для расчета давления. Учитывает-
ся только та компонента импульса, которая перпен-
дикулярна стенке сосуда
Основное уравнение газовой теории описы-
вает зависимость между давлением и общей ки-
нетической энергией.
Давление • объем = 2/3 • кинетическая энергия М1?Т2
2 ^ = 1^ Символ Единица измерения Название
р V W гг кин Па м3 Дж Давление Объем Общая кинетическая энергия
2. Средняя кинетическая энергия
Средняя кинетическая энергия на одну частицу гкин — единица измере-
ния в СИ джоуль. Равна общей кинетической энергии (см. 2.4.3), разделен-
ной на количество частиц:
Р _ _ 1 у /и,и?
кин W 2 ’
При использовании законов идеального газа температурная зависимость
общей энергии и средней кинетической энергии выглядит так:
Кинетическая энергия ~ число частиц • температу] ра ML2T2
И'кин =^NkT екин = 2 к = 1,3806505-10-23 Дж/К Символ Единица измерения Название
W тг кин N к Т р ^кин Дж 1 Дж/К К Дж Общая кинетическая энергия Число частиц Постоянная Больцмана Температура Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну частицу
▲ Средняя кинетическая энергия частиц пропорциональна температу-
ре. Микроскопически температура является мерой средней энергии сис-
темы.
20.5.1.1. Средняя квадратичная скорость
1. Средняя квадратичная скорость
Равна корню квадратному из среднего значения квадратов скоростей Vи2.
> Также используется символ (rms = англ: root mean square, средне-
квадратическая скорость).
При условии, что массы всех частиц одинаковы, средняя квадратичная
скорость равна удвоенной средней кинетической энергии, разделенной на
массу частиц т,
V2
Для идеального газа
Средняя квадратичная скорость в идеальном газе LT1
гу 13кТ л/и2 = = y]3RsT V m k= 1,3806505-IO’23 Дж/К Символ Единица измерения Название
k T m Rs м/с Дж/К К кг Дж/(К-кг) Средняя квадратичная скорость Постоянная Больцмана Температура Масса частицы Универсальная газовая постоянная
2. Средняя скорость
й равна среднему арифметическому значению скорости (без учета на-
правления).
> Средняя скорость зависит от принятого распределения скоростей (см.
20.5.2, п. 1).
3. Средний вектор скорости
(v) — это вектор, компоненты которого равны средним значениям ком-
понент векторов скоростей:
"у
При отсутствии потока величина среднего вектора скорости равна нулю,
так как любое направление движения встречается одинаково часто.
А Среднеквадратичная скорость, средняя арифметическая скорость и вели-
чина среднего вектора скорости являются абсолютно разными величи-
нами.
20.5.2. Распределение Максвелла-Больцмана
1. Распределение частиц по скоростям
Распределением скоростей называется функция, которая показывает, с
какой относительной частотой определенное значение скорости представле-
но в системе.
Вероятность обнаружения частицы со скоростью в диапазоне от о! до v2
определяется интегралом:
< и < и2) =-----1 = I /(v)d3u
Л/Тлпттт» J
Интеграл по всем скоростям дает единицу
=°°
j /(v)d3v = 1.
U] =0
2. Распределение Максвелла-Больцмана
Распределение Максвелла-Больцмана описывает распределение частиц
по скоростям для идеального газа (рис. 20.16):
/(v) =
1 dN
N do
= 4 ли2
[inkTJ
kT
е<
Рис. 20.16. Распределение частиц по скоро-
стям Максвелла-Больцмана для различных
газов и различных температур: на оси орди-
нат — % молекул со скоростью о в диапазо-
не 10 м/с около заданной скорости; 1 — О2
(273 К); 2 - О2 (373 К); 3 - Н2 (273 К)
Член 4ло2 добавляется при допущении зависимости распределения от
направления, /(v) -> /(о). В этом случае:
| /(o)doxdoydo^ = j /(о) • v2 sinOdOdcpdo = j 4m)2/(u)du
Член (m/2nkT)3/2 появляется при нормировании функции на единицу:
j /(v)d3u = 1.
3. Множитель Больцмана
Множителем Больцмана называется экспоненциальный член. Член в
числителе показателя экспоненциальной функции равен кинетической
энергии:
Е _т\)2
Q~~kT = С~~кТ .
В общем случае множитель Больцмана задается посредством экспонен-
циального множителя с отрицательной экспонентой, энергией в числителе и
температурой (умноженной на постоянную Больцмана) в знаменателе.
А Распределение частиц по скоростям зависит от температуры и массы ча-
стиц.
Молекулы кислорода при одинаковой температуре имеют меньшую
среднюю скорость, чем легкие молекулы водорода (см. рис. 20.16).
4. Наиболее вероятная и средняя скорость
Наиболее вероятной скоростью отах или uw называют скорость, наиболее
часто встречающуюся в распределении. uw — это скорость в максимуме
функции распределения.
Наиболее вероятная скорость ~ д/температура
12/сТ — Л/ V m к = 1,3806505 • 10-23 Дж/К Символ Единица измерения Название
к Т m м/с Дж/К К кг Наиболее вероятная скорость Постоянная Больцмана Температура Масса частиц
Средняя скорость о для распределения Максвелла-Больцмана равна:
Ее значение лежит в пределах от ow до Vo2. Также действительны следу-
ющие выражения:
20.5.3. Степени свободы
Степень свободы частицы описывает возможность частицы принимать энер-
гию и преобразовывать ее в движение. При этом речь может идти о поступа-
тельном, вращательном или колебательном движении.
Числом степеней свободы f называется безразмерная величина, которая
описывает количество независимых форм движения.
При поступательном движении существуют три степени свободы, в соот-
ветствии с направлениями движений вдоль осей х, у и z.
а) Одноатомная молекула имеет только три степени свободы поступатель-
ного движения.
Молекулы инертных газов (Не, Ne, Аг, Кг, Хе, Rn) являются одноатом-
ными.
Рис. 20.17. Степени свободы вра-
щательного движения двухатом-
ной молекулы. Оси вращения
расположены перпендикулярно
соединительной оси.
Двухатомные молекулы имеют пять
степеней свободы, три — поступательного
движения, и две — вращения вокруг двух
различных осей, перпендикулярных соеди-
нительной линии (рис. 20.17).
Вращение вокруг самой молекулярной
оси в данном случае не является степенью
свободы, так как соответствующий момент
инерции J очень маленький (для идеально-
го газа равен точно нулю), и поэтому
для возбуждения этого вращения пона-
добилась бы очень большая энергия
(Е = L1 /(2J), L — момент импульса).
Большинство молекул в воздухе, типа N2 и О2, являются двухатомными.
в) Многоатомные молекулы чаще всего имеют три оси вращения и, сле-
довательно, шесть степеней свободы.
Сюда относятся молекулы диоксида серы (SO2), аммиака (NH3) и мно-
гих газообразных углеводородов (метан СН4, ...).
Колебательная степень свободы в газах чаще всего появляется только
при высоких температурах. Поэтому число степеней свободы в области вы-
соких температур сильно зависит от температуры.
В твердых телах поступательные степени свободы (f= 3) и колебательные
степени свободы (f = 3) в сумме дают шесть степеней свободы.
20.5.4. Закон равномерного распределения энергии
Закон равномерного распределения энергии или принцип равномерного
распределения описывает равное распределение энергии по различным сте-
пеням свободы системы.
▲ Тепловая энергия распределяется по степеням свободы статистически
равномерно. Любая степень свободы обладает в среднем одинаковой
энергией.
Средняя энергия на частицу (молекулу газа) равна:
Средняя энергия ~ степени свободы • температура ML2T2
W = — кТ 2 к = 1,3806505 • 10-23 Дж/К Символ Единица измерения Название
W f к Т Дж 1 Дж/К К Средняя энергия частиц Число степеней свободы Постоянная Больцмана Температура
Средняя энергия одноатомных газов на частицу равна:
W =-кТ.
2
Соответственно, средняя энергия двухатомных газов на частицу:
W =-кТ.
2
Молекулы, состоящие из трех и более атомов, в общем случае имеют
среднюю энергию на частицу:
W = ЗкТ.
20-5-5. Явления переноса в газах
В реальных газах молекулы взаимодействуют друг с другом посредством мо-
лекулярных потенциалов. Молекулы газа сталкиваются, обмениваются импу-
льсами и энергией и разлетаются дальше с различными скоростями. Эти
ударные процессы имеют большое значение для переноса энергии и материи.
1. Характеристика ударных процессов в газах
Средняя длина свободного пробега / часто обозначается как X, единица
измерения в СИ — метр, указывает длину пути частицы газа (атома, молеку-
лы или электронов в металлах), который она проходит между соударениями
с другими частицами.
Среднее время столкновения т, единица измерения в СИ — секунда,
обозначает временной промежуток между двумя соударениями.
Частота столкновений /, единица измерения в СИ — секунда в минус
первой степени, показывает среднюю частоту столкновений за единичный
временной интервал.
При температуре 293 К и давлении 1,0-105 Па молекулы воздуха имеют
среднюю длину свободного пробега / = 6,4-10~8 м. Средняя длина сво-
бодного пробега увеличивается с уменьшением давления. При давлении
100 Па значение I = 6,4-10 5 м.
Время столкновения и частота столкновений связаны со средней скоро-
стью о частиц, определяемой из распределения частиц по скоростям, и
средней длиной свободного пробега следующим образом:
Средняя длина 1 свободного пробега Время столкновения = = Частота столкновений Средняя скорость т
1 1 т = — = — f V Символ Единица измерения Название
т f 1 и с Гц м м/с Время столкновения Частота столкновений Средняя длина свободного пробега Средняя скорость
2. Эффективное сечение
Под эффективным поперечным сечением соударения о понимается пло-
щадь поверхности, проходя которую частица испытывает отклонение от
первоначального направления движения (рис. 20.18).
Рис. 20.18. Геометрическое представление эффективного
поперечного сечения соударения. Частицы, которые прохо-
дят по серой площади, участвуют в столкновении
Средняя длина свободного пробега связана с эф-
фективным сечением соударения следующим образом:
Эффективное сечение = Плотность Средняя длина свободного пробега L2
1 СУ = /рдг Символ Единица измерения Название
О 1 Pw м2 м 1/м3 Эффективное сечение Средняя длина свободного пробега Плотность частиц
Барн — используемая в атомной и ядерной физике единица измерения
эффективного поперечного сечения соударения:
1 барн = 10-28 м2.
3. Теплопроводность
X, единица измерения в СИ — ватт на кельвин метр, определяет способ-
ность системы к передаче энергии.
Теплопроводность (микроскопически) MLT-3©1
. 1 X = - и/рск Символ Единица измерения Название
X и 1 р cv Вт/(мК) м/с м кг/м3 Дж/(К-кг) Т епл опроводность Средняя скорость Средняя длина свободного пробега Плотность Удельная теплоемкость при посто- янном объеме
> В данной формуле вместо произведения плотности и удельной проводи-
мости также можно использовать произведение молярной плотности и
молярной теплоемкости или произведение плотности частиц и удельной
теплоты на одну частицу.
4. Теплопроводность одноатомных газов
Для одноатомных газов справедлива следующая формула:
Теплопроводность одноатомных газов MLT-30 1
X = - kvlpN Символ Единица измерения Название
X к и / Ру Вт/(м-К) Дж/К м/с м ДжДКкг) Теплопроводность Постоянная Больцмана Средняя скорость Средняя длина свободного пробега Плотность частиц
5. Теплопроводность различных материалов
Теплопроводность различных материалов приведена в табл. 23.3.
Теплопроводность X некоторых металлов (Вт см-1 -К-1): медь 4,01; золото
3,17; свинец 0,353; титан 0,219.
Теплопроводность X некоторых жидкостей и газов (Втм-1 • К-1): вода 0,60;
бензин 0,13; воздух 0,025; водород 0,171; водяной пар 0,016; хлор 0,0081.
Теплопроводность X некоторых строительных материалов (Вт м-1-К-1):
чугун 58, латунь 113, песчаник 2,3; древесина ели 0,14; оконное стекло 0,81;
стекловата 0,04; ПВХ 0,16.
6. Коэффициент диффузии
Коэффициент диффузии 7), единица измерения в СИ — квадратный метр
в секунду, описывает передачу материи (см. неравновесные процессы — диф-
фузия).
Коэффициент диффузии (микроскопически) РТ1
D = -vl 3 Символ Единица измерения Название
D V 1 м2/с м/с м Коэффициент диффузии Средняя скорость Средняя длина свободного пробега
Коэффициент диффузии D некоторых систем газ-газ (в см2/с): Н-Не 2,35;
Н-Н2 0,184; Не-О2 0,45; Аг-О2 0,167; Кг-Хе 0,081.
7. Динамическая вязкость
Т|, единица измерения в СИ — 1/(метр-секунда), характеризует внутрен-
нее трение.
Вязкость (микроскопически) L1!1
1 П = ~ vlpN Символ Единица измерения Название
п V / Ру 1/(м с) м/с м 1/м3 Вязкость Средняя скорость Средняя длина свободного пробега Плотность частиц
Динамическая вязкость различных материалов приведена в табл. 23.3.1.
Экспериментально было подтверждено в хорошем приближении, что
X Сту 3 .
— = —— = - к = const,
Г| М 2
здесь СтУ — удельная молярная теплоемкость при постоянном объеме.
20.6. Уравнения состояния
20-6.7- Уравнение состояния идеального газа
Уравнение состояния идеального газа описывает взаимодействие между ве-
личинами Pq, Vq, Tq (давление, объем, температура) любого начального со-
стояния и соответствующими величинами р, V, Т конечного состояния:
рУ_
т
= const = Nk.
Го
Давление и температура являются интенсивными величинами, объем —
экстенсивной величиной. Произведение экстенсивной и интенсивной вели-
чин является экстенсивной величиной (см. 20.2.1.1 и 20.2.1.2) и поэтому
пропорционально количеству частиц N.
Определение плотности частиц:
▲ Давление равно произведению плотности частиц pN = N/V, температу-
ры и коэффициента пропорциональности к, постоянной Больцмана.
Давление ~ плотность • температура ML1!2
р = pNkT к = 1,3806505 10~23 Дж/К Символ Единица измерения Название
р P/V т к Па NT3 К Дж/К Давление Плотность частиц Температура Постоянная Больцмана
Такое определение более не содержит никаких экстенсивных переменных.
20.6.1.1. Газовая постоянная
1. Постоянная Больцмана и универсальная газовая постоянная
Постоянная Больцмана к — это постоянный коэффициент пропорцио-
нальности в формулах, описывающих законы идеального газа:
к = 1,3806505 ± 0,0000024-10-23 Дж/К.
Универсальная газовая постоянная R равна произведению числа Авогад-
ро и постоянной Больцмана.
20.6. Уравнения состояния
Универсальная газовая постоянная = постоянная Больцмана • число Авогадро
R = k-NA TVA = 6,0221415-1023 моль-' Символ Единица измерения Название
R na к Дж/(м • Коль) моль-1 ДЖ/К Универсальная газовая постоянная Число Авогадро Постоянная Больцмана
Значение универсальной газовой постоянной равно Л = 8,314 Дж/(моль К).
2. Уравнение состояния идеального газа
Основной закон идеального газа:
Уравнение состояния идеального газа (универсальная газовая постоянная)
= nR = Nk Т pv = nRT = NkT k = 1,3806505-IO"23 Дж/К Символ Единица измерения Название
p V T n R N к Па м3 К моль Дж/(м-Коль) 1 Дж/К Давление Объем Температура Количество вещества Универсальная газовая постоянная Число частиц Постоянная Больцмана
Недостатком при использовании этого уравнения является то, что коли-
чество вещества, как правило, не может быть определено напрямую.
В теоретической теплотехнике часто используется следующее уравнение
состояния:
Уравнение состояния идеального газа (удельная газовая постоянная)
— = mRs Т pV = mRsT Символ Единица измерения Название
р V т тп Rs Па м3 К кг Дж/(К-кг) Давление Объем Температура Масса газа Удельная газовая постоянная
3. Удельная газовая постоянная
Удельная газовая постоянная Rv а также индивидуальная газовая посто-
янная Rt являются зависящими от вещества коэффициентами пропорциона-
льности в уравнениях состояния, часто используемых в теоретической теп-
лотехнике.
> В теоретической теплотехнике удельная газовая постоянная часто обо-
значается только символом R, Индекс s приводится здесь только для
предотвращения путаницы с универсальной газовой постоянной. Для
различных веществ к удельной газовой постоянной часто добавляется
индекс, зависящий от материала: Л1? Я2,...
Удельная газовая постоянная зависит от материала.
Х7 Универсальная газовая постоянная Удельная газовая постоянная = £ т 2t-2q-i Молярная масса
D R nR — — М т 7? = 8,314 Дж/(м-Коль) Символ Единица измерения Название
л R М п т Дж/(К-кг) Дж/(м • Коль) кг/моль моль кг Удельная газовая постоянная Универсальная газовая постоянная Молярная масса Количество вещества Масса
4. Представление давления с помощью удельной газовой постоянной
Представление давления через плотность газа:
▲ Давление равно произведению плотности р = m/V, температуры и удель-
ной газовой постоянной.
Давление = плотность • удельная газовая постоянная • температура ML1!'2
р = pRsT Символ Единица измерения Название
р р Т Rs Па кг/м3 К ДжДК-кг) Давление Плотность Температура Удельная газовая постоянная
20.6.1.2. Газовые смеси
Газовая смесь — это система, состоящая из частиц нескольких видов, с
Л^2,..., Nn частиц i = 1,...,и-го вида.
Молярная доля xi равна доле частиц каждого сорта в общем количестве:
X; = --------------, У X; = 1.
N{ + N2+...+Nn ~
Молярная доля указывает процентный состав системы. Она является ин-
тенсивной величиной, и может для различных фаз принимать различные
значения.
20.6. Уравнения состояния
Удельная газовая постоянная газовой смеси RG может быть определена
по формуле:
D +7к2АИ2+-..+ _ i
R(j “ ~ у-'' •
ГЩ + ГП2+... rrii
20.6.1.3. Расчет величин с использованием
уравнения состояния идеального газа
Формулы перерасчета
R = N Ак R = MRS т = pV т = пМ N =nNA N =pNV n = ртИ Р = ртм к= 1,3806505-10-23 Дж/К R = 8,314 Дж/(м- Коль) Na = 6,0221415 -1023 моль-1 Символ Единица измерения Название
R Rs к М т п na N Р Pn Рт Дж/(м • Коль) Дж/(К-кг) Дж/К кг/моль кг моль моль-1 1 кг/м3 м-3 моль/м3 Универсальная газовая постоянная Удельная газовая постоянная Постоянная Больцмана Молярная масса Масса газа Количество вещества Число Авогадро Число частиц Плотность Плотность частиц Молярная плотность
Давление в идеальном газе:
nRT NkT mRsT DT, DT,
P = —— = -p- = ~ t ~ = P^r = P^T = pRsT.
Объем в идеальном газе:
IZ nRT NkT mRsT n N m
у =--=---=---i— = — = — = —.
PPP Pm PN P
Температура в идеальном газе:
= pV_ _ рИ _ рк _ р = _£_ р
nR Nk mRs pmR p^R pRs
Плотность в идеальном газе:
р _рМ _ рМ
УТ ~~RT ~ N^kT
м .. м
= Pn ~ PmM ~ PN
Na Na
20.6.1.4. Барометрическая формула
зависимости давления от высоты
Барометрическая формула описывает изменение давления воздуха как фун-
кцию от высоты над земной поверхностью, при этом ускорение свободного
падения принимается постоянным.
Барометрическая формула лежит в основе размышлений, что вес объема
газа компенсируется разностью давлений на верхней и нижней стороне объ-
ема. Из этого получается дифференциальное уравнение:
Ф = _
dz kTР'
Решение этого дифференциального уравнения является экспоненциаль-
ной функцией:
Барометрическая формула давления в зависимости от высоты
mgz P(z) = рое кт к = 1,3806505-Ю"23 Дж/К Символ Единица измерения Название
р Ро Z m g к Т Па Па м кг м/с2 Дж/К К Давление Давление при z = 0 Высота Масса частиц газа Ускорение свободного падения Постоянная Больцмана Температура
▲ Давление земной атмосферы уменьшается экспоненциально с увеличе-
нием высоты. При этом предполагается, что температура остается посто-
янной (изотермическая атмосфера).
При использовании уравнения состояния р = pNkT при удельной плот-
ности р = m • рдг с помощью замены величин р$ и р0 получается:
PQgZ
Ptz) = Pv-e = pQ-e^, Zq=—
Peg
Значения поправочных коэффициентов по давлению приведены в табл. 23.5.1.
20.6.2. Уравнение состояния реального газа
Уравнение состояния реального газа действительно только в предельном
случае очень низкой плотности, при этом дополнительно необходимо учи-
тывать следующие свойства реального газа:
• молекулы газа имеют конечный объем,
• молекулы взаимодействуют между собой.
20.6. Уравнения состояния
20.6.2.1. Вириальное уравнение
состояния реального газа
Вириальным разложением называют дополнение уравнения состояния с по-
мощью включения дальнейших членов, возникающих при представлении
давления (или плотности) газа в виде многочлена. Обычно для этого испо-
льзуют разложение по полиному. Коэффициенты, входящие в разложение,
являются температурно-зависимыми величинами. Обычное представление
вириального разложения:
Вириальное разложение уравнения состояния реального газа
^M0Jlb=^fi+w + cp+_j \ 'МОЛЬ 'МОЛЬ ) V = — г моль п R = 8,314 Дж/(м- Коль) Символ Единица измерения Название
р V г моль V п R Т В(Т) С(Т) Па м3/моль м3 моль Дж/(м • Коль) К моль/м3 моль2/м6 Давление Молярный объем Объем Количество ве- щества Универсальная га- зовая постоянная Температура Второй вириаль- ный коэффициент Третий вириаль- ный коэффициент
Вириальный коэффициент — это используемый в вириальном разложе-
нии температурно-зависимый коэффициент перед степенью интенсивной
величины (рис. 20.19).
Вириальные коэффициенты зависят от вещества и могут быть взяты в
справочных таблицах. Они позволяют сделать выводы о взаимодействии
между частицами. Часто достаточно разложения до второго члена (5(7)).
Рис. 20.19. Вириальные коэффициенты различных газов (точки) по сравне-
нию с расчетами (линии): — — расчет; • — Аг; ° — N2
20.6.2.2. Уравнение Ван-дер-Ваальса
1. Предположения для вывода уравнения Ван-дер-Ваальса
Уравнением Ван-дер-Ваальса называют уравнение состояния реального
газа, выведенное ученым Ван-дер-Ваальсом в 1873 году. Для него действите-
льны следующие оговорки:
• Учитывается только имеющийся в наличии свободный объем. Из общего
объема газа вычитается собственный объем частиц.
• Преимущественно притягивающее взаимодействие частиц уменьшает газ в
объеме. При этом давление на ограничивающие газ стенки уменьшается.
2. Собственный объем и внутреннее давление
Собственным объемом называется объем, занимаемый N частицами. Его
необходимо вычесть из объема сосуда. Поправка объема пропорциональна
количеству частиц,
V нэ V - Nbf.
Внутреннее давление — это сила, действующая по направлению внутрь
на единицу площади поверхности. Это происходит оттого, что частицы под-
вергаются влиянию взаимных притягивающих сил, которые взаимно унич-
тожаются внутри объема газа, но ощущаются на его границе (рис. 20.20).
Рис. 20.20. Наглядная схема для объяснения понятия «внутреннее давление».
Частицы газа на границе объема ощущают силы межмолекуляр-
ного взаимодействия только внутри полусферы
3. Вывод уравнения Ван-дер-Ваальса
Как правило, притягивающие силы рассматриваются как дипольное
взаимодействие. В этом случае потенциал пропорционален минус шестой
степени расстояния между частицами. Снижение давления зависит от коли-
чества частиц на поверхности (пропорционально плотности частиц) и сред-
него расстояния между частицами (т.е. также примерно пропорционально
плотности частиц).
Это уменьшение давления необходимо прибавить к реальному (измеряе-
мому) давлению, чтобы получить давление идеального газа:
,(N
р нэ р + а' —
I V
20.6. Уравнения состояния
Если число Авогадро включить в константу, то удобно использовать мо-
лярную плотность:
Р Н> т> + др£оль-
После подстановки собственного объема и внутреннего давления урав-
нение Ван-дер-Ваальса выглядит следующим образом:
Уравнение Ван-дер-Ваальса
/ / \2 А р+ - a (V-nb)=nRT X ' J R = 8,314 Дж/(м- Коль) Символ Единица измерения Название
р п V а Ь R Т Па моль м3 Нм4/моль2 м3/моль Дж/(м • Коль) К Давление Количество вещества Объем Постоянная внутрен- него давления Постоянная собст- венного объема Универсальная газо- вая постоянная Температура
Постоянные а и b для внутреннего давления и собственного объема при-
ведены в табл. 23.2/3.
4. Уравнение Ван-дер-Ваальса для теоретической теплотехники
В технической теплотехнике часто для расчетов используется масса газа,
поэтому постоянные а и b соответствующим образом пересчитываются.
Формулы пересчета молярных постоянных в удельные
а °5 bs = — М Символ Единица измерения Название
а М ь5 ь Н • м4/кг2 Н • м4/моль2 кг/моль м3/кг м3/моль Удельная постоянная внутреннего давления Молярная постоянная внутреннего давления Молярная масса Удельная постоянная собственного объема Молярная постоянная собственного объема
Постоянные также часто называются как а и Ь, обозначения as и b5 (s -
удельная) используется здесь для различия.
5. Давление в соответствие с уравнением Ван-дер-Ваальса
nRT п2
р =-------а---.
V-nb К2
Рис. 20.21. Изотермы Ван-дер-Ваальса при различных температурах на pV-
диаграмме: выделено серым — область сосуществования фаз; с —
критическая точка (седловая точка); Тс — критическая изотерма;
рс, К ~ давление и объем в критической точке; 1 — 0°С; 2 —
20°С; 3 - 31°С; 4 - 40°С
Давление как функция объема (при постоянной температуре) определя-
ется разницей гиперболы и квадратичной гиперболы (рис. 20.21).
> Расчет объема по давлению в общем случае более не является однознач-
ным.
▲ Для высоких температур и низких плотностей уравнение Ван-дер-Вааль-
са переходит в уравнение идеального газа.
Изотермой называется кривая постоянной температуры.
20.6.2.3, Область сосуществования фаз
Для низких температур и определенных объемов давление согласно уравне-
нию Ван-дер-Ваальса будет отрицательным. Кроме этого, при положитель-
ном давлении также существуют области, для которых давление при умень-
шении объема становится меньше. В этих областях система не может быть
стабильной, а сама по себе уплотняется до минимального объема (сжимает-
ся). Эти нестабильные области описывают фазовый переход газ-жидкость.
Газообразная и жидкая фазы существуют одновременно.
Областью сосуществования фаз называется область, в которой одновре-
менно могут существовать две фазы (см. 22.2.4).
Правило Максвелла — это метод, при котором изотермы в области от-
сутствия равновесия в области сосуществования фаз заменяются горизонта-
льными участками (рис. 20.22).
20.6,2,4. Критическая точка
Критической изотермой называется кривая при температуре Тс, при которой
функция зависимости давления от объема имеет одну седловую точку.
20.6. Уравнения состояния
Рис. 20.22. Правило Максвелла для изотермы Ван-дер-Ваальса. Площади меж-
ду кривыми и замещающей прямой должны быть одинаковыми
Критическая температура Тс — это значение температуры, принадлежа-
щее критической изотерме.
Критическая температура (уравнение Ван-дер-Ваальса) 0
Т - — с ~ 27Rb R = 8,314 Дж/(К-моль) Символ Единица измерения Название
Т а b R К Н • м4/моль2 м3/моль Дж/(Кмоль) Критическая температура Молярная постоянная внутреннего давления Молярная постоянная собственного объема Универсальная газовая постоянная
Критической точкой называют седловую точку критической изотермы.
Ниже критической температуры можно провести горизонтальную кривую,
выше производная dp/dK всегда отрицательна.
Критическое давление рс — это давление в критической точке.
Критическое давление (уравнение Ван-дер-Ваальса) ML1!2
а Рс = 2762 Символ Единица измерения Название
Ре а b Па Н • м4/моль2 м3/моль Критическое давление Молярная постоянная внутреннего давления Молярная постоянная собственного объема
Критический молярный объем пс равен объему одного моля в критиче-
ской точке.
Критический молярный объем = 3 • молярная постоянная собственного объема PN-1
ис = 3£> Символ Единица измерения Название
ч ь м3/моль м3/моль Критический собственный объем Молярная постоянная собственного объема
20.6.2.5. Закон соответственных состояний
Приведенные переменные — это представление переменных состояния в
единицах величины, измеренных в критической точке:
5=-.
Ре Т,
Закон соответственных состояний, выведенный Ван-дер-Ваальсом, гово-
рит о том, что все простые газы выполняют условие уравнения Ван-дер-Ваа-
льса для приведенных переменных.
Простым газом называется газ, частицы которого имеют малый электри-
ческий дипольный момент, и атомы и молекулы которого в том числе и в
жидкой фазе не сильно коррелированны.
Инертные газы N2, О2, Н2, также СО, СН4 являются простыми газами.
Уравнение Ван-дер-Ваальса в форме приведенного уравнения состояния
выглядит так:
р + ^Лзи-1) = 8Т.
о2 )
20.6.2.6. Уравнение Ван-дер-Ваальса
как вириальное разложение в ряд
1. Приближение для уравнения Ван-дер-Ваальса
Приближение для уравнения Ван-дер-Ваальса получают заменой моляр-
ной плотности n/V в члене внутреннего давления на величину, характерную
для идеального газа, n/V « p/RT\
£
(RT)2
а (К -nb) = nRT,
R = 8,314 Дж/(К- моль).
Представление в виде разложения:
pV = ——— + pnb.
1 +
(RT)2
При использовании постоянных, нормированных по числу частиц
а' = Na = 6,0221415• 1023 моль’1
N2 Na
получается следующая формула:
(р + —— а' )(К -Nb') = NkT,
(кТ)2
к= 1,3806505-10~23 Дж/К.
Представление в виде разложения:
Pv =
NkT КТ,
------+ pNb.
pa
'{кТУ
2. Представление приближения с удельными постоянными
Если для теоретической теплотехники используются удельные постоян-
ные, то действительны следующие зависимости:
Формулы пересчета молярных постоянных в удельные
Символ Единица измерения Название
as H • м4/кг2 Удельная постоянная внутреннего давления
Cl Os a Н • м4/моль2 Молярная постоянная внутреннего давления
bs = ±- M кг/моль Молярная масса
M Rs = ± bs м3/кг Удельная постоянная собственного объема
M R = 8,314 Дж/(К-моль) b м3/моль Молярная постоянная собственного объема
R Дж/(К-моль) Универсальная газовая постоянная
К Дж/(К-кг) Удельная газовая посто- янная
Представление уравнения состояния с помощью удельных величин:
p2 I
P + ZD TT> _ mbs) = mRsT-
\R$1) J
Разложение в ряд при малой плотности и высокой температуре:
pV = nRT + п\ b—— |/? + ....
I RT
20.6.3. Уравнения состояния для жидкостей
и твердых тел
Жидкости и твердые тела, как и газы, расширяются при нагревании во всех
направлениях. Однако необходимо учитывать аномалию воды в интервале
от 0 до 4 °C. С микроскопической точки зрения изменение макроскопиче-
ских размеров тела, связанное с температурой, происходит из-за изменения
потенциальной и кинетической энергии, и, следовательно, изменения рас-
стояний между атомами и молекулами.
1. Уравнения состояния для жидкостей и твердых тел
описывает зависимость объема от температуры и давления.
▲ Изменение объема твердого тела или жидкости в первом приближении
линейно зависит от изменения давления и температуры.
Эта зависимость действительна в широких пределах.
Уравнения состояния жидкостей и твердых тел
Символ Единица измерения Название
V м3 Объем
V(T, р) = т К Температура
= К0{1 + У(Т-Т0)-к(р-д))} р Па Давление
Y к-1 Температурный ко- эффициент объем- ного расширения
к Па-1 Сжимаемость
Ко = V(Tq9 Д)) является любым начальным состоянием. Разность темпера-
тур Т — То может указываться как в К, так и в °C.
2. Удельные коэффициенты уравнения состояния
Температурный коэффициент объемного расширения у, единица изме-
рения в СИ 1/Кельвин, описывает зависимое от температуры объемное рас-
ширение при постоянном давлении.
Представление с помощью частных производных:
дт^о Г0ДТ Ио дТ P=PQ
Сжимаемость к, описывает зависимое от давления изменение объема при
постоянной температуре. Представление с помощью частных производных:
ХЁК
К Ф
т=т0
Модулем объемной упругости К называется величина, обратная сжимае-
мости:
20.6. Уравнения состояния
> В ультразвуковой технике модуль объемной упругости К обозначается
также как Св.
[м] Сжимаемость можно измерить статически (непосредственно) посредст-
вом измерения изменения объема при известной силе и площади по-
верхности, а также динамически ультразвуковым способом. В последнем
случае, строго говоря, определяется модуль объемной упругости.
Температурные коэффициенты объемного расширения различных мате-
риалов приведены в табл. 23.3.
Температурные коэффициенты объемного расширения различных мате-
риалов лежат в пределах:
• для твердых тел у « 10-5 К-1,
• для жидкостей на один-два порядка больше (10-3 — 10-4 К-1).
Значения сжимаемости приведены в табл. 23.3. Для твердых тел и жид-
костей они составляют порядка х « 10-6 бар-1.
> Сжимаемость твердых тел и жидкостей намного меньше сжимаемости
газов.
Небольшие изменения температуры вызывают похожие изменения объе-
ма, что и при большом изменении давления. Следствием этого является то,
что даже небольшие температурные изменения при заданном постоянном
объеме могут вызвать очень большие изменения давления.
Если бы вода не обладала свойством сжимаемости, то уровень мирового
океана был бы на 30 м выше, а многие пустыни оказались бы под водой.
3. Температурный коэффициент линейного расширения
а описывает изменение длины при изменении температуры,
L2 — Ц + + a.L\^T — Д(1 + схЛТД
Описание при помощи частных производных
1 dL
а =-----
L дТ P=PQ
> Линейное расширение тел, вызываемое колебаниями температуры, обя-
зательно должно учитываться при конструировании.
Например, мосты имеют одну неподвижную опору и одну катковую опору.
[м] Дилатометры измеряют линейное расширение испытываемого образца
по изменению емкости измерительной ячейки, которая зажимается или
наклеивается на испытываемый образец.
Линейное расширение при изменении температуры может использовать-
ся для измерения температуры.
На таком методе измерения работает ртутный термометр.
В биметаллических термометрах используется различное температурное
расширение двух металлических полосок.
По этому же принципу работают регулирующие стержни в муфельных
печах.
4. Температурный коэффициент плоскостного расширения
[3 описывает изменение площади при изменении температуры:
Л 2 = + ЛА — А[ + рЛ^АТ — Aj (1 + (ЗА/7).
Если изменение длины является малым по сравнению с общей длиной,
то для коэффициентов линейного, плоского и объемного расширения а, р и
7 действительны следующие соотношения:
Р = 2а, у = За.
20.6.3.1. Аномалия воды
Почти все вещества во всем температурном диапазоне имеют положитель-
ный температурный коэффициент расширения, т.е. их объем монотонно
увеличивается с увеличением температуры.
Аномалия воды — это особое свойство воды, коэффициент температурно-
го расширения которой положителен не во всем температурном диапазоне.
▲ Температурный коэффициент расширения воды в диапазоне от 0 до 4 °C
является отрицательным. При 4 °C 7 = 0.
▲ Плотность воды при 4 °C максимальна.
Литр воды при температуре 4 °C тяжелее воды в точке замерзания. Кро-
ме этого происходит скачкообразное увеличение объема при застывании.
Поэтому лед плавает по поверхности воды.
На рис. 20.23 показано объемное расширение воды в диапазоне от -10
до 50 °C. Можно увидеть два важнейших свойства:
• При низких температурах температурный коэффициент расширения яв-
ляется отрицательным.
• При высоких температурах возрастание также нелинейно. Температур-
ный коэффициент расширения не является постоянным, а зависит от
температуры.
Рис. 20.23. Расширение воды при
изменении тепературы. Минимум
кривой лежит при 4 °C
Аналогичным образом вода ведет себя
и при изменении давления.
▲ Под воздействием давления лед пла-
вится и превращается в воду.
Равнозначным является высказыва-
ние, что при достаточно высоком давле-
нии вода не сможет превратиться в лед.
Океан не замерзает именно по этой
причине.
Аномалия воды имеет большое значе-
ние для многих биологических процессов.
ГЛАВА 21
W?r'
ТЕПЛОТА,
ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ
И ИЗМЕНЕНИЕ АГРЕГАТНОГО
СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА
21.1. Формы энергии
Общая энергия Е системы — это макроскопическая величина, которая игра-
ет важную роль в термодинамике. Общая энергия равна произведению сред-
ней энергии частиц и количества частиц. Энергия отдельной частицы и точ-
ное распределение общей энергии Е по отдельным частицам имеют намного
меньшее значение.
▲ Первое начало термодинамики: общая внутренняя энергия системы яв-
ляется инвариантной величиной. Энергию нельзя произвести или унич-
тожить, ее можно только передать из одной системы в другую.
Энергия может иметь различные формы, передача энергии может произ-
водиться различными способами. Формы энергии могут частично перехо-
дить одна в другую.
При торможении движущегося тела из-за трения выделяется теплота. В
генераторах механическая энергия превращается в электрическую.
Коэффициент полезного действия (КПД) превращения энергии — это
соотношение количества полученной после превращения энергии к количе-
ству затраченной энергии (см. 2.5.1). Оставшаяся энергия не теряется, а пе-
реходит в другие формы энергии.
В двигателе внутреннего сгорания химическая энергия частиц переходит
в механическую работу и частично преобразуется в тепло.
21.1.1. Единицы измерения энергии
Чаще всего используются следующие единицы измерения количества энергии:
• ньютон-метр, Н м, преимущественно применяется для измерения меха-
нической работы,
• джоуль, Дж, преимущественно применяется для измерения количества
теплоты,
• ватт-секунда, Вт-с, преимущественно применяется для измерения элект-
рической работы.
▲ Единицы измерения эквивалентны друг другу:
1 Н • м = 1 Дж = 1 Вт • с = 1 В • А • с = 1 2.
С2
25—3814
Для протекания тока в 1 А при напряжении в 6 В каждую секунду необ-
ходимо такое количество энергии, которое нужно затратить на подъем
груза весом 6 Н на высоту 1 м.
21.1 ЛЛ. Внесистемные единицы
измерения количества энергии
Эрг — в 10-7 раз меньше джоуля.
1 Дж = 107 эрг.
Калория (кал) старая внесистемная единица, определяемая как количе-
ство теплоты, необходимое для нагревания 1 г воды с температуры 14,5 °C
на один градус:
1 кал = 4,187 Дж, 1 Дж = 0,239 кал.
Британская тепловая единица или б.т.е. — внесистемная единица изме-
рения, применяемая в англоязычных странах:
1 б.т.е = 1055,06 Дж.
Электрон-вольт — применяемая в атомной и ядерной физике величина,
которая описывает работу, совершаемую при прохождении элементарным
зарядом разности потенциалов в 1 В.
> Используя h = с = 1 вместо he « 197,32 МэВ-фм энергию в квантовой
механике можно также представлять в виде инверсной длины в фемто-
метрах (= 10-15 м).
1 эВ = 1,602-10-19 Дж = 5,063-10-9 фм-1 he, 1 Дж = 6,242-1018 эВ.
21.1.2. Работа
1. Работа в термодинамических системах
Работа в термодинамике соответствует механическому определению ра-
боты: работа, совершаемая системой, оценивается как положительная, а ра-
бота, совершаемая над системой, считается отрицательной.
Работа И7, единица измерения в СИ ньютон-метр (Н-м), равна произве-
дению силы, действующей вдоль пути, на длину этого пути:
Работа = сила • путь ML2T2
АРЕ = -F • As, S2 ^2 = -J F • ds Si Символ Единица измерения Название
w F s Нм Н м Работа Сила Участок пути
Работа равна скалярному произведению двух векторов.
▲ Сила, направленная перпендикулярно пути, не совершает работы.
2. Работа сжатия
совершается против сил внутреннего
давления при сжатии газа (рис. 21.1).
Объем цилиндра, заполненного га-
зом, уменьшается.
Работа равна произведению давле-
ния и изменения объема. Изменение
объема может происходить (например, в
газовой поршневой машине) при сдвиге
поверхности, ограничивающей опреде-
ленный объем.
Рис. 21.1. Работа сжатия. Совершае-
мая работа соответствует произведе-
нию внутренней силы и пути или
давлению и изменению объема.
Работа = давление • площадь поверхности • перемещение ML2!2
ДЖ = рЛДз Символ Единица измерения Название
W Р А As Нм Па м2 м Работа Давление Площадь поверхности Перемещение
▲ Перемещение считается положительным, если приводит к уменьшению
объема.
Вследствие этого определения ДКи Д? имеют различные знаки:
ДИ = -ЛАз.
Поэтому работа рассматривается как отрицательная величина произведе-
ния давления и изменения объема. Изменение объема при увеличении по-
ложительно, а при уменьшении — отрицательно.
Работа = — давление • изменение объема ML2T2
ДЖ = -pbV Символ Единица измерения Название
ДЖ р дк Нм Па м3 Работа Давление Изменение объема
▲ Совершаемая механическая работа ДРИ зависит не только от пределов
интегрирования, т.е. от начального и конечного состояния системы, но
также и от пути, который система проходит от начального до конечного
состояния. С точки зрения математики это означает, что dlF - Fds не
является полным дифференциалом.
21.1.3, Химический потенциал
Химический потенциал ц, единица измерения в СИ джоуль, обозначает ко-
личество работы, которую необходимо совершить при изменении числа час-
тиц системы, находящейся в термодинамическом равновесии.
Подведенная работа Химический потенциал = „ Изменение числа частиц М12Т2
ц = АЛ2 Символ Единица измерения Название
и W N Дж Дж 1 Химический потенциал Работа Число частиц
Таким образом, работа, полученная или потраченная при добавлении
Д/V частиц, равна
АРИ = ц • ДУ.
Энергия необходима, так как подводимые частицы не могут быть введе-
ны в систему «холодными». Чтобы быть в термическом равновесии с систе-
мой, частицы должны получить энергию, равную средней энергии имею-
щихся частиц.
21.1.4. Теплота
Теплота — это особая форма энергии, которая связана с изменением темпе-
ратуры вещества. Поглощение теплоты вызывает увеличение температуры.
Связь между поглощением теплоты и увеличением температуры определяет-
ся особым параметром вещества, так называемой теплоемкостью С.
> При фазовом превращении также может поглощаться или выделяться
теплота (например, при плавлении или испарении), при этом не будет
происходить изменения температуры. Однако в этом случае теплоем-
кость не является бесконечной, и использование приведенного выше
определения невозможно.
1. Количество теплоты
Теплота Д(2, единица измерения в СИ джоуль (Дж). Это количество
энергии, которое поглощается при увеличении температуры на ДТ:
Количество теплоты = теплоемкость • разность температур ML2T’2
AQ = САГ Ъ <21,2 = J CdT л dQ = CdT Символ Единица измерения Название
Q С т Дж Дж/К К Количество теплоты Теплоемкость Температура
Дифференциальное представление будет математически строгим только
в том случае, когда более не совершается никакой химической или механи-
ческой работы. Иначе dQ более не будет являться полным дифференциалом.
2. Измерение количества теплоты
Измерение количества теплоты в калориметрах производится с помощью
определения изменения температуры при известной теплоемкости Ск конст-
рукции калориметра. Однако при этом необходимо учитывать некоторые
тепловые потери:
AQ = С к • ДГ + тепловые потери.
Калориметр используется для измерения количества теплоты. Наиболее
часто используемые конструкции:
Жидкостный калориметр — самый распространенный тип. Реакционный
сосуд вносится в теплоизолированный снаружи сосуд с жидкостью.
Металлический калориметр особенно хорошо подходит для больших
диапазонов температур. В нем металлический блок (серебро, медь, алюми-
ний) ограждают зону реакции.
Калориметр сгорания используется при быстрых реакциях горения. При-
мерами конструкции являются:
калориметрическая бомба Вертело (для твердых веществ и жидкостей),
обменный калориметр (также называемый мокрый калориметр, для газов),
калориметр смешения (сухой калориметр, также для газов).
> Теплообмен при химических реакциях можно точно определить следую-
щим методом. Принцип измерения: на кремниевую полоску длиной 0,4 мм
и толщиной 1,5 мкм с одной стороны напылен слой алюминия толщиной
0,4 мкм. При нагревании система работает как биметаллический элемент.
Величина изгиба определяется по углу отражения лазерного луча.
Медная колодка (массой 200 г) и теплоемкостью 76,6 Дж/К нагревается
с 17 до 23 °C. Поглощенное количество теплоты равно (при отсутствии
потерь):
Д0 - С-ДГ = 76,6 Дж/К-(23 - 17) °C = 459,6 Дж.
21.1.4.1, Удельная теплота
Удельная теплота q, единица измерения в СИ джоуль на килограмм, опреде-
ляет количество теплоты на единицу массы вещества.
Количество теплоты Удельная теплота = Масса L2T2
II S |о Символ Единица измерения Название
S Дж/кг Дж кг Удельная теплота Количество теплоты Масса вещества
Удельная теплота также имеет значение при фазовых превращениях
(удельная теплота плавления и т.п.), для растворов (например, удельная теп-
лота растворения) и при химических реакциях (выделяющаяся удельная теп-
лота).
> В некоторых книгах по термодинамике понятие удельной теплоты ис-
пользуется вместо понятия удельная теплоемкость, иногда также для мо-
лярной теплоемкости. Это может привести к путанице понятий.
21.2. Превращение энергии
Формы энергии могут переходить одна в другую.
С помощью электрической энергии можно поднять вес. В генераторе
механическая работа превращается в электрическую энергию.
В принципе, это превращение может происходить полностью.
▲ При реальных превращениях энергии всегда происходят ее потери.
Но эти потери не означают, что эта энергия теряется, просто только
часть энергии переводится в желаемую форму.
При превращении механической энергии часть может перейти в тепло
из-за терния.
▲ Общая энергия является инвариантной величиной. Энергия не может
исчезнуть.
Следует заметить, что не все формы энергии могут полностью перехо-
дить одна в другую.
▲ Тепло не может быть полностью преобразовано в механическую или
электрическую энергию.
> Это высказывание соответствует второму началу термодинамики.
Однако возможно полное превращение механической или электриче-
ской энергии в тепло.
21.2.1. Превращение эквивалентной энергии в тепло
Тепловую энергию можно получать различными способами. Например, из
механической энергии (посредством трения) или электрической энергии.
21.2.1.1. Электрическая энергия
Электрическая энергия может быть без потерь преобразована в тепловую в
омическом сопротивлении электрического проводника. Тепловая энергия,
напротив, не может быть полностью преобразована в электрическую.
21.2. Превращение энергии
Теплота = напряжение • сила тока • время ML2T-2
Q=UIt Q = Pt Символ Единица измерения Название
Q и I t р Дж В А с Вт Количество теплоты Электрическое напряжение Сила электрического тока Время Мощность
Электрический погружной кипятильник (напряжение сети 230 В, токо-
потребление 4,5 А) нагревает воду в течение 1 мин. Электрическая энер-
гия полностью переходит в тепловую. Полученное количество теплоты
равно:
Q = Же1 = Ре1 • t = U • I • t = 230 В • 4,5 А • 60 с = 62100 Вт • с = 62,1 кДж.
Этого количества теплоты было бы достаточно, чтобы нагреть стакан
воды (200 мл) на 75 °C.
На основании закона Ома количество теплоты, выделяемое в сопротив-
лении, равно:
„ (Напряжение)2 „ Количество теплоты = — • Время Сопротивление ML2T-2
0 = ™ R Q = I2Rt Символ Единица измерения Название
Q и t R I Дж В с Ом А Получаемая теплота Напряжение Время Электрическое сопротивление Сила тока
Падение напряжения на сопротивлении (А = 4,7 кОм) составляет 5 В. Со-
противление нагревается в течение одного часа.
772 (5 В)2
Q = — t = v '............ 3600 с = 19,15 Дж.
R 4,7 кОм
21.2.1.2. Механическая энергия
Механическая энергия так же, как и электрическая, может быть полностью
преобразована в тепловую. Однако полное превращение тепловой энергии в
механическую невозможно. При этом механическая энергия может быть как
в форме кинетической энергии (движение), так и в форме потенциальной
энергии (напряжение деформации).
Количество теплоты = кинетическая энергия + потенциальная энергия ML2T2
AQ — AWKHH + AWn0T Символ Единица измерения Название
де ДИ'кин Д^пот Дж Нм Нм Полученное тепло Кинетическая энергия Потенциальная энергия
Шарик массой 5 г падает со скоростью 150 м/с в песок и останавливает-
ся. Кинетическая энергия полностью преобразуется в тепловую. Выделя-
ющаяся теплота равна:
11 ( V
Q = = -mv2 = -0,005 кг- 150- =56,25 Нм = 56,25 Дж.
V кин 2 2 < с)
21.2.1.3. Энергия сгорания
Энергия сгорания — это важнейшая форма превращения химической энер-
гии в теплоту. При этом преимущественно окисляются вещества, содержа-
щие углерод и водород.
Нефть и природный газ преимущественно состоят из углеводородных
цепочек (преимущественно алканов) различной длины. При их сгорании
выделяются диоксид углерода (СО2) и вода (Н2О), но из-за наличия за-
грязнений также и другие вещества, например, диоксид серы (SO2) или
оксиды азота (NOX).
1. Удельная теплота сгорания
Удельная теплота сгорания Н жидкости или твердого вещества, единица
измерения в СИ джоуль на килограмм, характеризует количество теплоты,
освобождающееся при сгорании единицы массы вещества, если получаемый
в результате реакции водяной пар не конденсируется.
Количество теплоты Удельная теплота сгорания - ,, г Масса вещества L2T2
Н =0- т Символ Единица измерения Название
н Q т Дж/кг Дж кг Удельная теплота сгорания Полученное тепло Масса сгоревшего вещества
Аналогичным образом удельная теплота сгорания определяется и для га-
зообразных веществ. Однако в данном случае вместо массы, которую доста-
точно сложно измерить, используется объем газа
21.2. Превращение энергии
> Так как давление и объем газа зависят от температуры, то используется
стандартный объем при нормальных условиях (р = 101,325 кПа, Т =
= 273,15 К = 0°С).
2. Удельная теплота сгорания газа
Удельная теплота сгорания газообразных веществ Hg, единица измерения
в СИ джоуль на кубический метр, характеризует количество теплоты, полу-
ченное из единицы объема вещества при нормальных условиях.
т Количество теплоты Удельная теплота сгорания газа = Объем ML1!2
Hg= — V г п Символ Единица измерения Название
Hg Q Уп Дж/м3 Дж м3 Удельная теплота сгорания газа Количество теплоты Объем при нормальных условиях
Удельная теплота сгорания некоторых веществ приведена в таблице 23.9.
Удельная теплота сгорания большинства твердых (сухих) веществ лежит
в пределах 20—50 МДж/кг, нефти около 40—50 МДж/кг, газа около 10—
130 МДж/м3.
3. Теплотворная способность
Теплотворная способность Яо вещества характеризует количество тепло-
ты, непосредственно полученное при сгорании единицы массы вещества.
Но часть этой энергии используется для испарения воды, образующейся
при сгорании водорода. Эта энергия может использоваться вновь при кон-
денсации водяного пара.
> Теплота сгорания и теплотворная способность отличаются на количество
теплоты, которое требуется для испарения получаемой воды.
4. Высшая и низшая удельная теплота сгорания
Высшей теплотой сгорания Яо раньше называлась теплотворная способ-
ность, которая учитывала теплоту конденсации водяного пара.
Низшая теплота сгорания Ни не учитывает теплоту конденсации водяно-
го пара.
Конденсационный котел. В старых технических установках количество
полученной тепловой энергии определялось только низшей теплотой сгора-
ния. Современные установки конструируются и эксплуатируются таким об-
разом, что продукты сгорания газов имеют температуру ниже точки росы,
что позволяет получить энергию конденсации водяных паров. Благодаря
этому теплотворная способность может быть использована полностью, что
повышает КПД, например, газового отопления приблизительно на 10 %.
Количество полученной при сгорании теплоты определяется по фор-
муле:
Количество теплоты = масса • теплота сгорания ML2T'
Q = mH Q = Vn Hg Символ Единица измерения Название
Q т Н Vn Дж кг Дж/кг м3 Дж/м3 Полезное количество теплоты Масса (твердого или жидкого вещества) Удельная теплота сгорания (жидкого или твердого вещества) Объем газа при нормальных условиях Удельная теплота сгорания (газа)
Было сожжено 300 г угля для гриля. Количество полученной теплоты
равно:
Q = т • Н = 0,3 кг • 31 ^3^ = 9,3 МДж.
КГ
27.2.7.4. Энергия Солнца
Солнечная энергия передается на Землю посредством излучения. Это излу-
чение также преобразуется в теплоту. При этом необходимо учитывать ко-
эффициент поглощения облучаемых объектов, а также угол между направле-
нием солнечного излучения и нормалью к облучаемой поверхности.
Количество теплоты ~ площадь поверхности • • коэффициент поглощения • cos (угла) ML2T’2
Q = qs • A a • / • cos ср Символ Единица измерения Название
Q Qs А a t Ф Дж Вт/м2 м2 1 с 1 Количество теплоты Солнечная постоянная Облучаемая площадь Коэффициент поглощения Время Угол падения излучения
Солнечная постоянная — это среднегодовое значение мощности солнеч-
ного излучения на единицу площади земной поверхности:
. ~~ кВт
qs = 1,37 —
м2
Солнечная постоянная является нормированной величиной, не учитыва-
ющей влияние облаков, смога и т.д. Приблизительно половина энергии, па-
дающей на землю, рассеивается в атмосфере.
Пластина размером 50 х 50 см в течение часа располагалась на солнце
под углом (к нормали) 30°. При значении коэффициента поглощения 35 %
(включая поглощение воздуха), количество полученного тепла
21.2.
Q = qs • A -a t • cos cp =
= 1,37 — • 0,25 м2 • 0,35 • 3600 c • cos 30° ~ 374 кДж.
M2
21.2.2. Преобразование теплоты в другие формы энергии
Превращение тепловой энергии в другие формы производится, как правило,
в тепловой машине, которая работает по принципу цикла Карно (см. 21.6).
Основной принцип заключается в том, что различные процессы измене-
ния состояния проходят в такой последовательности, что система попере-
менно соприкасается с нагревателем и холодильником, передавая тепло и
совершая при этом механическую работу, которая может быть преобразова-
на в другие формы энергии.
КПД превращения энергии ц — это безразмерная величина, равная от-
ношению полученной механической работы к потребленной системой энер-
гии (теплоте).
Коэффициент полезного действия всегда меньше единицы,
Г| < 1.
▲ Тепловую энергию нельзя полностью преобразовать в другие формы
энергии.
Коэффициент полезного действия тепловой машины сильно зависит от
температуры холодильника и нагревателя, между которыми происходит теп-
лообмен.
т> - тлтттт . Температура холодильника Идеальный КПД = 1 ——— ( Температура нагревателя
-3 п II 1 ^1^ Символ Единица измерения Название
Пс К Th 1 к к Идеальный КПД Температура холодильника Температура нагревателя
21.2.3. Эксэргия и анергия
Существуют формы энергии, которые можно полностью преобразовать в
другие виды энергии, и такие, которые полностью преобразовать нельзя.
Механическая энергия может быть (почти) полностью преобразована в
электрическую и наоборот. Но невозможно тепловую энергию полно-
стью превратить в механическую или электрическую.
1. Классификация форм энергии
Формы энергии можно классифицировать следующим образом:
• Эксэргия Ех, единица измерения в СИ джоуль, так называется доля энер-
гии, которую можно без ограничений преобразовать в другие формы.
• Существуют формы энергии, которые можно преобразовать в эксэргию
только в ограниченном объеме.
• Анергия В, единица измерения в СИ джоуль, так называется доля энер-
гии, которую вообще нельзя преобразовать в другие формы.
Неограниченно преобразуемыми формами (эксэргией) являются механи-
ческая и электрическая энергии.
Ограниченно преобразуемыми являются тепловая и внутренняя энергии,
энтальпия. Они содержат долю анергии.
2. Разложение общей энергии
Общую энергию можно разложить на два компонента, на механически
полезную и неиспользуемую энергию.
▲ Общая энергия состоит из анергии и эксэргии:
^общ - Ех + В.
> Конечно же, один из компонентов может равняться нулю.
3. Принцип превращения энергии
Для превращения энергии действительны следующие утверждения:
• Эксэргия может быть преобразована в анергию.
• Анергия не может быть преобразована в эксэргию.
Это находится в прямой зависимости со вторым началом термодинамики.
▲ Процессы, в которых эксэргия преобразовывается в анергию, являются
необратимыми.
▲ В обратимых процессах не происходит преобразования эксэргии в анергию.
21.3. Теплоемкость
21.3.1. Полная теплоемкость
1. Теплоемкость
Теплоемкостью С, единица измерения в СИ джоуль на кельвин, иногда
называемой полной теплоемкостью, является свойство вещества любого
тела изменять свою температуру при определенном подведении теплоты.
Теплоемкость тела зависит от количества вещества.
Количество теплоты Количество теплоты = — Разность температур МРТ-2©1
С.^ м с = ае dT Символ Единица измерения Название
Q С т Дж Дж/К К Количество теплоты Теплоемкость Температура
21.3. Теплоемкость
Разность температур может задаваться как в кельвинах, так и в градусах
Цельсия, это не требует преобразования формул.
Теплоемкость вещества при фазовом переходе формально может стано-
виться бесконечной, так как здесь теплота поглощается без изменения тем-
пературы.
2. Измерение теплоемкости
Теплоемкость неизвестного вещества может определяться с помощью
изменения температуры при известном количестве подведенной теплоты.
Поступление теплоты при превращении электрической энергии может быть
измерено очень точно посредством измерения силы тока, напряжения и
времени нагрева. Но при этом необходимо учитывать КПД нагрева и тепло-
емкость топлива или нагревателя (водный эквивалент).
C=^-Q,
ДТ
т| — КПД, Ск — водный эквивалент
Жидкость нагревается погружным кипятильником (1000 Вт) в течение 15 с.
Повышение температуры составляет 7,18 К. Теплоемкость равна:
с = = 1 5 кДж = 209 кДж/K
ДТ 7,18 К
3. Представление теплоемкости как произведения
Теплоемкость может быть описана как произведение удельной (моляр-
ной) теплоемкости и общего количества вещества. Благодаря этому данное
свойство любых используемых тел можно разложить на величину, завися-
щую от материала, и легко измеряемое количество вещества в данном теле.
Теплоемкость = удельная теплоемкость • общая масса ML2!2®’1
С — /?смоль С = тс Символ Единица измерения Название
С п т с имоль С Дж/К МОЛЬ кг Дж/(Кмоль) ДжДК-кг) Теплоемкость Количество вещества Общая масса Молярная теплоемкость Удельная теплоемкость
Поллитра воды (500 г) с удельной теплоемкостью с = 4,182 кДж/(К кг)
имеет общую теплоемкость:
С = т • с = 0,5 кг • 4,182 кДж/(К-кг) = 2,091 кДж/К.
21.3.1.1. Теплоемкость химических веществ
Полная теплоемкость смеси различных веществ равна сумме теплоемкостей
отдельных компонентов:
С = Q + С2 + С*з + ...
21.3.1.2. Тепловое значение калориметра
При изменении температуры жидкостей (а также твердых тел) необходимо
использовать теплоемкость сосуда и измерительной аппаратуры (например,
термодатчика). Эта теплоемкость называется водным эквивалентом или теп-
ловым значением калориметра и обозначается как Ск.
w =СК =mk -ck.
Общая теплоемкость системы определяется выражением:
Общая теплоемкость = теплоемкость + тепловое значение ML2!2©1
С’общ - С + W Символ Единица измерения Название
{""общ с Дж/К Дж/К Дж/К Общая теплоемкость Теплоемкость вещества Тепловое значение калориметра
[м] Для определения теплового значения калориметр наполняется опреде-
ленным количеством воды, подводится определенное количество тепла и
измеряется увеличение температуры.
21.3.2. Молярная теплоемкость
Молярной теплоемкостью смоль, единица измерения в СИ джоуль на кель-
вин-моль, называется теплоемкость одного моля вещества.
1. Определение молярной теплоемкости
Молярная теплоемкость равна количеству теплоты, необходимому для
повышения температуры на один градус одного моля вещества.
Молярная _ Количество теплоты теплоемкость Количество вещества • разность температур ML2T 2® ‘N1
с = -^- моль п\Т ~ ^моль^^-^ Символ Единица измерения Название
с имоль де дг п Дж/(Кмоль) Дж К МОЛЬ Молярная теплоемкость Количество теплоты Разность температур Количество вещества
Разность температур может задаваться как в кельвинах, так и в градусах
Цельсия, это не требует преобразования формул.
2. Молярная теплоемкость как свойство вещества
Молярная теплоемкость является свойством вещества, которое может
быть определено как частное общей теплоемкости и молярного количества
вещества.
21.3. Теплоемкость
Молярная теплоемкость равна теплоемкости одного моля вещества.
> В некоторых книгах по термодинамике приведенная здесь молярная теп-
лоемкость обозначается как удельная теплоемкость или удельная тепло-
та. Это может привести к путанице.
Теплоемкость Молярная теплоемкость — Количество вещества ML2T 20 'N 1
_ с Смоль — п с L моль — , т N NA = 6,0221415 -1023 моль4 Символ Единица измерения Название
^то! С п N na Дж/(К • моль) Дж/К моль 1 моль-1 Молярная теплоемкость Теплоемкость Количество вещества Число частиц Число Авогадро
Для твердых тел при температурах выше 200 К молярная теплоемкость
3R = 24,9 Дж/(К-моль). Это следует из закона Дюлонга-Пти (см. 21.3.3.6).
3. Связь молярной и удельной теплоемкостей
Недостатком определения молярной теплоемкости является то, что сна-
чала необходимо определить молярное количество рассматриваемого веще-
ства. Молярная теплоемкость связана с легко определяемой удельной тепло-
емкостью и молярной массой.
Молярная теплоемкость = удельная теплоемкость • * молярная масса МРТ-2©^-1
Смоль — С ’ А/ Символ Единица измерения Название
с емоль С м Дж/(К • моль) ДжДК’Кг) кг/моль Молярная теплоемкость Удельная теплоемкость Молярная масса
Молярная масса воды 18 г/моль, удельная теплоемкость 4,182 кДж/(кг К).
Молярная теплоемкость равна:
смоль = с • М = 4,182 кДж/(кг К) • 0,018 кг/моль = 75,28 Дж/(К-моль).
21.3.3. Удельная теплоемкость
1. Удельная теплоемкость
с, единица измерения в СИ джоуль на кельвин-килограмм, равна коли-
честву теплоты, необходимому для повышения температуры на один градус
одного килограмма вещества.
Количество теплоты Удельная теплоемкость = w к Масса • разность температур L2T-20-i
т&Т l\Q = ст&Т Символ Единица измерения Название
с дг т Дж/(К-кг) Дж К КГ Удельная теплоемкость Количество теплоты Разность температур Общая масса
Разность температур может задаваться как в кельвинах, так и в градусах
Цельсия, это не требует преобразования формул.
2. Представление в виде частного
Удельная теплоемкость может быть представлена в виде частного тепло-
емкости и массы или молярной теплоемкости и молярной массы.
> В некоторых книгах по термодинамике под понятием «удельная тепло-
емкость» понимается молярная теплоемкость. Ранее удельная теплоем-
кость также обозначалась как удельная теплота. Это может привести к
путанице.
(Молярная) теплоемкость Удельная теплоемкость = (Молярная) масса РТ-2©1
с с = — т С с = п • т _ Смоль м Символ Единица измерения Название
С с .моль С п М т Дж/(Ккг) Дж/(К • моль) Дж/К моль кг/моль кг Удельная теплоемкость Молярная теплоемкость Теплоемкость Количество вещества Молярная масса Общая масса
[м] Измерение удельной теплоемкости производится посредством измерения
общей теплоемкости и массы рассматриваемого вещества.
▲ Удельная теплоемкость зависит от материала.
Удельная теплоемкость некоторых веществ приведена в табл. 23.3.
Значения с лежат в пределах 0,1-3 кДж/(кг К), воды около 4,2 кДж/(кг К).
Кусок металла массой 250 г имеет теплоемкость 224 Дж/К. О каком ме-
талле идет речь?
С 224 Дж/К ч
с = — = ——-------= 896 Дж/(К • кг).
т 0,25 кг
Это значение равно удельной теплоемкости алюминия.
21.3. Теплоемкость
21.3.3.1. Другие свойства удельной теплоемкости
• В общем случае удельная теплоемкость зависит от температуры.
• Удельная теплоемкость при фазовом переходе первого рода или при
k-переходе становится бесконечной. Поэтому для этих случаев указыва-
ют теплоту плавления или парообразования.
• Удельная теплоемкость при фазовом переходе второго рода имеет анома-
лию в критической точке.
• Удельная теплоемкость всех веществ в точке абсолютного нуля Т = О К
стремится к нулю: ст_^0 = О-
21.3.3.2. Удельная теплоемкость смеси веществ
Удельная теплоемкость смеси веществ равна сумме отдельных теплоемко-
стей, разделенных на общую массу:
_ С т{с{ + m2c2 + m3c3+...
m гщ + m2 + m3+...
Смесь 30 г NaCl (с = 867 Дж/(К-кг)) и 5 г КС1 (с = 682 Дж/(кг К)) имеет
удельную теплоемкость:
_ ni]Ci + m2c2 _
my + m2
0,03 кг-867 Дж/(К-кг) + 0,005 кг-682 Дж/(К кг) ОЛ1 //ТЛ ч
= —----------——-------<----1--------------------L ~ 841 Дж/(К • кг).
0,03 кг + 0,005 кг
21.3.3.3. Удельная теплоемкость газов
Удельная теплоемкость может измеряться как при постоянном давлении
(изменение объема при изменении температуры), так и при постоянном
объеме (изменение давления при изменении температуры).
Обозначения:
cv — объем остается постоянным, давление изменяется.
ср — давление остается постоянным, объем изменяется.
Аналогичным образом могут быть определены полные (Ск, Ср) и моляр-
ные (сИмоль, ср моль) теплоемкости при постоянном объеме и при постоянном
давлении.
Удельная теплоемкость при постоянном давлении больше, чем удельная
теплоемкость при постоянном объеме,
Ср > Су.
Подводимое при постоянном давлении количество теплоты AQ не толь-
ко нагревает систему, но и увеличивает ее объем, т.е. совершает работу рас-
ширения против внешнего (атмосферного) давления.
▲ Подводимое количество теплоты расходуется не только на нагревание,
но и на работу против внешнего давления.
Теплообмен при постоянном давлении ML2T2
cpm&T - cvm\T + p\V Символ Единица измерения Название
ср си m ДГ Р ДГ Дж/(К-кг) ДжДК-кг) кг К Па м3 Уд. теплоемкость при по- стоянном давлении Уд. теплоемкость при по- стоянном объеме Общая масса Изменение температуры Давление Изменение объема
21.3.3.4. Удельная теплоемкость в идеальном газе
1. Представление удельных теплоемкостей
Для газа с f степенями свободы молярная или удельная теплоемкости
при постоянном давлении определяются следующим образом:
Молярная и удельная теплоемкость идеального газа
cv = R • - ¥МОЛЬ 2 CV = Rs R = 8,314 Дж/(К-моль) Символ Единица измерения Название
С К моль СИ f R Дж/(К-моль) Дж/(К-кг) 1 Дж/(Кмоль) Дж/(К-кг) Молярная теплоемкость при постоянном объеме Уд. теплоемкость при постоянном объеме Количество степеней свободы Универсальная газовая постоянная Удельная газовая постоянная
Для идеального газа действительно pV = nRT => p&V = nR^T при постоян-
ном давлении. Замена на p&Vдает
СуШ&Т - СуШ&Т + nRAT.
2. Разность удельных теплоемкостей
▲ Разность удельных теплоемкостей является постоянной величиной, ха-
рактерной для каждого вещества, и равняется удельной газовой постоян-
ной Rs.
21.3. Теплоемкость
Разность удельных теплоемкостей L2T 20 !
П D Ср -CV = —R = т = — = Rs м R = 8,314 Дж/(К- моль) Символ Единица измерения Название
СР Су п т М R Rs Дж/(К-кг) Дж/(К-кг) МОЛЬ кг кг/моль Дж/(К • моль) Дж/(К-кг) Уд. теплоемкость при постоянном давлении Уд. теплоемкость при постоянном объеме Количество вещества Общая масса Молярная масса Универсальная газовая постоянная Удельная газовая постоянная
▲ Для молярной теплоемкости идеального газа действительно выражение:
^рмоль ^Умоль —
Удельная газовая постоянная, индивидуальная газовая постоянная Rs —
это используемый в теоретической теплотехнике характерный для вещества
коэффициент пропорциональности в уравнении состояния идеального газа.
Универсальная газовая постоянная R — это независящий от вещества
коэффициент пропорциональности в уравнении состояния идеального газа
(см. 20.4.1),
R = 8,3145
К • моль
Работа, совершаемая при расширении, может быть описана с помощью
сжимаемости и коэффициента линейного расширения.
3. Соотношение между удельными теплоемкостями
Соотношение между удельными теплоемкостями L2T-20 1
, Т а2 Ср + 2 кр Символ Единица измерения Название
ср СУ Т Р ОС к Дж/(К-кг) ДжДКкг) К кг/м3 к-' Па-1 Уд. теплоемкость при постоянном давлении Уд. теплоемкость при постоянном объеме Температура Плотность Коэффициент линейного расширения Сжимаемость
21.3.3.5. Показатель адиабаты
Показатель адиабаты, к, — это безразмерная величина, равная частному
удельных теплоемкостей идеального газа:
ср
Су
> Есть вероятность спутать показатель адиабаты с сжимаемостью х. Одна-
ко последняя, в отличие от показателя адиабаты, не является безразмер-
ной величиной.
2 Показатель адиабаты = 1 + >т „ г Число степеней свободы 1
1 2 к = 1 + — f Символ Единица измерения Название
к f 1 1 Показатель адиабаты Число степеней свободы
21.3.3.6. Удельная теплоемкость жидкостей
и твердых тел
Для жидкостей и твердых тел почти всегда указывают значение удельной
теплоемкости при постоянном давлении ср9 которое измерить легче.
> Жидкости имеют разные зависимости давления и температуры.
Закон Дюлонга-Пти — это простое правило для определения удельной
теплоемкости металлов:
▲ Все металлы в широком диапазоне температур обладают постоянной мо-
лярной теплоемкостью, равной ср » 25 Дж/(К моль).
Для удельной теплоемкости действительно выражение:
z ч 25 Дж(К • моль) Удельная теплоемкость (при пост, давлении) ® Молярная масса 17Т-20-1
1 Dj с « — • 25 р М К моль Символ Единица измерения Название
ср м ДжДКкг) кг/моль Уд. теплоемкость при постоянном давлении Молярная масса
> Рассмотренное выражение несправедливо при температурах, которые на-
много ниже 200 К. При Т 0, согласно третьему началу термодинами-
ки, с -э 0.
21.4. Изменение состояния
21.4. Изменение состояния
21.4.1. Обратимые и необратимые процессы
1. Равновесное состояние
Равновесным называется состояние, которое система принимает сама,
спустя достаточное время.
▲ Согласно общему опыту, процессы в замкнутой системе самостоятельно
продолжаются до тех пор, пока не установится равновесное состояние.
2. Необратимый процесс
Необратимым называется процесс, который не может произойти само-
стоятельно в обратной последовательности (рис. 21.2, б).
> Все процессы, при которых осуществляется переход из неравновесного в
равновесное состояние, являются необратимыми.
Две металлические пластины разной температуры накладываются друг
на друга. Их температура выравнивается.
Необратимые процессы проходят через неравновесные состояния.
▲ Необратимые процессы повышают микроскопическую неупорядочен-
ность (энтропию) системы.
3. Обратимый процесс
Обратимым называется процесс, который происходит только в состоя-
нии равновесия (рис. 21.2, а).
Обратимый процесс является идеализацией, которой, строго говоря, нет
в природе, так как если система находится в равновесии, то переменные со-
стояния принимают значения, независящие от времени, и, с макроскопиче-
ской точки зрения, не происходит ничего.
Но обратимые изменения состояния можно приблизительно моделиро-
вать с помощью малых (бесконечно малых) изменений переменных состоя-
ния, при которых равновесие нарушается лишь незначительно. Если эти из-
менения происходят достаточно долго, то система имеет соответствующее
количество времени, чтобы снова вернуться в состояние равновесия.
Квазиобратимый процесс — это процесс, при котором происходят толь-
ко очень малые изменения состояния (рис. 21.2, в).
Рис. 21.2. Изменения состояния: а — обратимый процесс; б — необратимый
процесс; в — квазиобратимый процесс
790 Глава 21. Теплота, превращения энергии и изменение агрегатного состояния
4. Особое значение обратимых процессов
Значение обратимых изменений состояния состоит в том, что на любом
этапе процесса присутствует равновесное состояние с определенными зна-
чениями параметров состояния, так что полное изменение параметров со-
стояния можно определить интегрированием бесконечно малых обратимых
этапов.
> При необратимых процессах это невозможно.
Изотермическое расширение, например, расширение газа в нагревателе.
При обратимом процессе происходит медленное вытягивание поршня.
При необратимом процессе движение поршня происходит толчками.
21.4.2. Изотермический процесс
1. Характеристики изотермического процесса
Изотермическим называют процесс, проходящий при постоянной тем-
пературе.
Изотермами называются гиперболы идеального газа, лежащие в плоско-
сти p-V:
p-V = const, Т = const.
При изотермическом расширении давление уменьшается, а при изотер-
мическом сжатии — увеличивается (как 1/Р). Это соответствует закону Бой-
ля-Мариотта (рис. 21.3).
20-
Нагреватель Т
Рис. 21.3. Изотермы: а — идеальный газ; б — система в нагревателе; 1 — 100 К;
2 - 300 К; 3 - 500 К; 4 - 800 К; 5 - 1200 К
Измерение внутренней энергии при постоянной температуре (Т = const)
равно нулю.
21.4. Изменение состояния
Внутренняя энергия постоянна ML2T-2
Д£/ — Су\Т = 0 Д{7 = Д0 + ДЖ \Q = -ДЖ Символ Единица измерения Название
и Су т AG ДЖ Дж Дж/К К Дж Дж Внутренняя энергия Теплоемкость Температура Теплота Работа
▲ Приток теплоты при изотермическом процессе равен работе расширения
газа.
> Это следует из первого начала термодинамики. Знак минус означает, что
при поглощении тепла система совершает работу.
2. Изотермические процессы: совершенная работа и изменение энтропии
При изменении состояния газа при постоянной температуре (Г = const)
совершаемая им работа равна:
( JA f ГО ( Ко ( К
^12 - Р\У\ 1П — - РтУг In — = яЛПп — = — .
И1) И1J И1J И1J
При использовании давления:
Wn =/^1111-^-1 = р2И2 1п| —| = лЛГ1п|= «Л^1п| —
[Р2 J \Р2 ) \Р2 ) \Р2 )
Изменение энтропии равно:
Д5 = С„1п| tl| + CK Inf —
U1J \Р1
21.4.3. Изобарный процесс
1. Характеристики изобарного процесса
Изобарным называется процесс, проходящий при постоянном давлении.
Изобарами являются прямые линии (р - const), лежащие в плоскости
p-V (рис. 21.4, а).
Объем увеличивается, если температура повышается, т.е. система пере-
ходит от более низкой изотермы к более высокой.
> Линейная зависимость между объемом и температурой соответствует за-
кону Гей-Люссака.
Работа расширения при изобарном процессе равна:
РГ12 - V2\
2. Изобарный процесс: изменение теплоты и энтропии
Для р = const количество потребляемой теплоты (?12 определяется по
формуле:
Изменение теплоты ~ разность температур ML2!2
II II (О ъ II 11 1 е и Символ Единица измерения Название
Q m п ср Ср с моль т Дж кг моль Дж/(К-кг) Дж/К Дж/(К • моль) К Теплота Масса газа Количество вещества Уд. теплоемкость при постоянном давлении Теплоемкость Молярная теплоемкость Температура
При р = const изменение энтропии определяется по формуле:
AS = С„ 1п| —|=С„ Ш В.
' W Hi)
21.4.4. Изохорный процесс
1. Характеристика изохорного процесса
Изохорным называется процесс, проходящий при постоянном объеме
(рис. 21.4, б).
Изохоры являются вертикальными прямыми (И = const), лежащими в
плоскости р- И.
Давление увеличивается с увеличением температуры, т.е. система пере-
ходит от более низкой изотермы к более высокой.
> Линейная зависимость между объемом и температурой соответствует за-
кону Гей-Люссака.
Из-за V = const работа расширения равна нулю,
АРЕ = pbV = 0.
2. Изохорный процесс: изменение теплоты и энтропии
При V = const изменение теплоты соответствует изменению внутренней
энергии.
Рис. 21.4. Изменения состояния: а — изобарный процесс; б — изохорный
процесс; для изобарного расширения или изохорного увеличения
давления Т\ = Гк (холод) Т2 = Th (тепло).
21.4. Изменение состояния
Изменение теплоты ~ разность температур ML2T2
Символ Единица измерения Название
Q2 = mcy(T2 -71) = = CV(T2 -71) = = ПСУмоль(Т2 — 71) = = \и Q m п cv Су Су моль т и Дж кг моль ДжДКкг) Дж/К Дж/(К- моль) К Дж Теплота Масса газа Количество вещества Уд. теплоемкость при постоянном объеме Теплоемкость Молярная теплоемкость Температура Внутренняя энергия
При V = const изменение энтропии определяется по формуле:
bS =CV Inf^ -Cv Inf—^1.
I Ti J Pl J
I..
21.4.5. Адиабатный и изоэнтропийный процесс
1. Характеристика адиабатного и изоэнтропийного процесса
Изоэнтропийным называется процесс, при котором энтропия остается
постоянной.
Адиабатным называется процесс, при котором не происходит теплооб-
мена с окружающей средой.
Реакции в замкнутых системах (типа сосудов Дьюара) являются адиабат-
ными.
▲ В общем случае понятия «адиабатный» и «изоэнтропийный» применяют-
ся равнозначно.
> Однако в области низких температур при размагничивании кристаллов
адиабатные и изоэнтропийные процессы могут протекать по-разному.
Изэнтропы и адиабаты проходят на р- V-диаграмме более наклонно, чем
изотермы (рис. 21.5), а именно согласно
pVK = const, к > 1.
2. Показатель адиабаты
Показатель адиабаты к — это пока-
затель экспоненты объема в уравнении
адиабаты. Он равен частному (удель-
ных) теплоемкостей при постоянном
давлении и постоянном объеме:
СР
Cv
Ср _ ^Рмоль
Ст/ Су
¥ ¥ МОЛЬ1
Рис. 21.5. Изменения состояния: а —
изобарный, изотермный и адиабатиче-
ский процесс; б — замкнутая система
▲ Для идеальных одноатомных газов х = 5/3.
▲ Значения удельных теплоемкостей ср и си отличаются друг от друга на
величину удельной газовой постоянной Rs:
Ср — Су Rs.
▲ Аналогично значения молярных теплоемкостей различаются на величи-
ну универсальной газовой постоянной R:
£рмоль ~ ^-Умоль — R'
Изменение энтропии и теплоты в адиабатном процессе равно нулю.
А0 = О Д5 = 0.
3. Адиабатный процесс: изменение внутренней энергии
Работа расширения равна изменению внутренней энергии.
Работа ~ разность температур ML2T2
1Г12 = mcv{T2 -7]) = = СК(Т2 -7]) = \U Символ Единица измерения Название
^12 m cv Си Т и Дж кг Дж/(Ккг) Дж/К К Дж Работа Масса газа Уд. теплоемкость при постоянном объеме Теплоемкость Температура Внутренняя энергия
21.4.5.1, Политропный процесс
1. Характеристики политропного процесса
Политропным называется процесс, при котором произведение pV*1 оста-
ется постоянным.
Политропное уравнение
Символ Единица измерения Название
р Vn = const p Па Давление
Т • Vn -1 = const V м3 Объем
n 1 Показатель политропы
T К Температура
Показатель политропы п — это показатель экспоненты объема в полит-
ропном уравнении.
Политропный процесс является обобщением описанных выше случаев.
21.4. Изменение состояния
Частные случаи политропного процесса
п = 0 п = 1 п = к п —> 00 р = const pV = nRT = const pVK = const pl/coy = const. Изобарный процесс Изотермный процесс Адиабатный процесс Изохорный процесс
Чаще всего ограничиваются случаями 1 < п < к, описывающими систе-
мы, в которых хоть и происходит теплообмен с окружающей средой, но это
не приводит к полному обмену теплом.
Сюда относятся процессы, которые очень быстро протекают в неизоли-
рованных системах.
Относящиеся к 1 < п < к политропы проходят на р- V-диаграмме более
наклонно, чем изотермы, но более плоско, чем изэнтропы, а именно в соот-
ветствии с pV^ = const.
2. Политропный процесс: изменение параметров состояния
Работа расширения:
HZ PiV-i -Pi^i
^12 =-------;---•
п -1
Количество поглощенной теплоты определяется по формуле:
Изменение теплоты ~ разность температур ML2T2
<2i2 = mcv(T2 = п -1 = СУ(Т2 -7])^ п -1 Символ Единица измерения Название
Q т си Си Т п к Дж кг Дж/(К-кг) Дж/К К 1 1 Теплота Масса газа Уд. теплоемкость при постоянном объеме Теплоемкость Температура Показатель политропы Показатель адиабаты
Изменение энтропии:
AS = Cv In
п -1
т\)
21.4.6. Равновесные состояния
Равновесным называется состояние, которое система принимает сама, спус-
тя достаточное время.
Равновесие характеризуется особыми условиями. В зависимости от вида
внешних условий определяющим для равновесного состояния является:
Замкнутое изохорное равновесное состояние: максимум энтропии S.
Изобарно-изотермное равновесное состояние: максимум свободной энта-
льпии G = U + pV - TS.
Изохорно-изотермное равновесное состояние: минимум свободной энер-
гии F =U - TS.
Изобарно-адиабатное равновесное состояние: минимум энтальпии
Н = U + pV.
Изохорно-адиабатное равновесное состояние: минимум внутренний
энергии U.
Дифференциальные термодинамические потенциалы ML2T2
dU = -pdV + TdS dF = -pdV -SdT dH = Vdp + TdS dG = Kdp-SdT Символ Единица измерения Название
и F H G P V T s Дж Дж Дж Дж Па м3 К Дж/К Внутренняя энергия Свободная энергия Энтальпия Свободная энтальпия Давление Объем Температура Энтропия
Обзор различных условий равновесия
Система... изотермная изобарная изохорная адиабатная замкнутая
Энтропия S максимальна dV= 0 dU = 0
Внутренняя энер- гия U максимальна dV = 0 де = о
Свободная энер- гия F минимальна dT = 0 dK= 0
Энтальпия Н минимальна dp = 0 де = о
Свободная энталь- пия G минимальна dT = 0 dp = 0
21.5. Основные законы (начала) термодинамики
Началом (основным законом) термодинамики называется фундаментальная
взаимосвязь между параметрами состояния, которая эмпирически действи-
тельна для всех известных систем.
Первое начало термодинамики гласит о том, что никакая энергия и ни в
какой форме не может быть уничтожена или создана.
21.5.1. Нулевое начало термодинамики
Равновесным называется такое макроскопическое состояние замкнутой сис-
темы, которое она принимает сама спустя достаточное время.
▲ В равновесном состоянии макроскопические параметры состояния не
изменяются со временем.
Если две системы соприкасаются, то процессы обмена продолжаются до
тех пор, пока интенсивные параметры систем (давление, температура, хими-
ческий потенциал) не выровняются.
При приближении к состоянию термического равновесия теплообмен про-
должается до тех пор, пока температура обеих систем не станет одинаковой.
Нулевое начало термодинамики описывает эквивалентность термических
систем:
▲ Все системы, находящиеся с определенной системой в термическом рав-
новесии, находятся в термическом равновесии и между собой.
> На этом законе основан принцип действия термометров.
21.5.2. Первое начало термодинамики
Инвариантной величиной называется параметр состояния, который не из-
меняется в данной системе. Инвариантные величины могут использоваться
для характеристики макроскопического состояния.
Общая энергия Е в замкнутой системе (см. 20.1.1.1) является инвариант-
ной величиной.
В физике закон сохранения энергии имеет первостепенное значение.
▲ Все опыты подтверждают предположение, что этот закон действителен
как в макроскопических, так и в микроскопических системах.
> Наряду с работой, которую совершает система или которая совершается
над системой, необходимо учитывать также и теплообмен с окружающей
средой.
Внутренняя энергия U равна энергии, скрытой во всех степенях свободы
газа. В замкнутой системе внутренняя энергия идентична общей энергии
системы.
1. Формулировка первого начала термодинамики
Первый закон термодинамики гласит: полный обмен энергии системы
происходит посредством обмена теплотой и работой.
▲ Изменение внутренней энергии при произвольном (обратимом или необра-
тимом) изменении состояния в этом случае определяется как сумма работы
ДЖ и теплоты AQ, которыми система обменялась с окружающей средой.
Внутренняя энергия = работа + теплота ML2T-2
AU = AW + AQ Символ Единица измерения Название
и W Q Дж Дж Дж Внутренняя энергия Работа Количество теплоты
• При ДЖ < О работа совершается системой.
• При ДЖ > О работа совершается над системой.
> В литературе часто встречается и обратное определение.
Количество работы и теплоты, которыми система обменивается с окру-
жающей средой, зависит от вида протекания процесса. Например, это важ-
но при химических реакциях для их анализа.
> Работа и теплота не являются полными дифференциалами, поэтому
здесь для отличия изменение записывается как Д.
2. Работа при обратимом процессе
Работа = — давление • изменение объема ML2T2
AH^ev = ~P^V V2 = -f pdV Символ Единица измерения Название
w p V Дж Па м3 Работа Давление Объем
> Для необратимых процессов, например, может быть ДЖ1гг = 0.
3. Теплота при обратимом процессе
Теплота = температура • изменение энтропии ML2T 2
AQrev = TAS s2 Qkn = J TdS Si Символ Единица измерения Название
Q T s Дж R Дж/К Теплота Температура Энтропия
> Эта формула действительна только для обратимого процесса.
Представление с помощью теплоемкости Си при постоянном объеме
действительно только для обратимого процесса:
Теплота = теплоемкость • изменение температуры ML2T2
A0rev =СКАТ т2 Qxw = j Cp/dT Ту Символ Единица измерения Название
Q Си т Дж R Дж/К Теплота Теплоемкость при постоянном объеме Температура
▲ Хотя приведенные выше формулы действительны только для обратимых
процессов, первое начало термодинамики действительно во всех случаях.
21.5.2.1. Эквивалентные формулировки
первого начала термодинамики
Ниже приведены различные формулировки первого начала термодинамики,
которые являются равнозначными:
▲ В балансе энергии системы количества работы и теплоты, которыми си-
стема обменялась с окружающей средой, в сумме дают полное измене-
ние энергии системы.
Эта формулировка была предложена Робертом Майером (1814-1878) и
Джеймсом Прескоттом Джоулем, которые с помощью своих точных экс-
периментов смогли доказать, что теплота является частной формой
энергии.
▲ Внутренняя энергия U системы является функцией состояния. Это озна-
чает, что полная энергия системы после повторного принятия одного и
того же состояния всегда принимает то же значение.
▲ Вечного двигателя первого рода не существует.
Вечным двигателем первого рода обозначают машину, которая постоян-
но производит энергию, не получая ее из окружающей среды.
▲ Изменение внутренней энергии при любом бесконечно малом измене-
нии состояния является полным дифференциалом.
Изменение внутренней энергии зависит только от начального и конеч-
ного состояния системы, но не от промежуточных состояний.
21.5.2.2. Микроскопические аспекты
первого начала термодинамики
Если к системе не подводятся ни работа, ни тепло, то средняя кинетическая
1
энергия молекул - mv2 не изменяется.
Если система подогревается от стенок цилиндра, но при этом не совер-
шается работа, то кинетическая энергия молекул увеличивается при соуда-
рении со стенкой сосуда (рис. 21.6, а). При соударениях энергия передается
от стенки к молекулам газа. Система нагревается, стенки остывают. Если
система совершает работу расширения, т.е. поршень выталкивается наружу,
то молекулы теряют кинетическую энергию при соударении с отодвигаю-
щимся поршнем. Частицы начинают двигаться медленнее, и система осты-
вает (рис. 21.6, в).
Туристический газовый патрон остывает при вытекании из него газа.
Если поршень движется внутрь, т.е. над системой совершается работа
сжатия, то частицы при соударении с движущимся поршнем получают до-
полнительный импульс, который также увеличивает кинетическую энергию
(рис. 21.6, б).
> В реальных газах при необратимом сжатии наступает эффект Джоуля-
Томпсона (см. сжижение газа — эффект Джоуля-Томпсона), который в
зависимости от инверсионной температуры приводит к охлаждению или
нагреву.
Рис. 21.6. Измерение средней скорости молекул при сжатии (б) и расшире-
нии (в) исходной системы (а)
21.5.3. Второе начало термодинамики
▲ Все эксперименты подтверждают, что энтропия в состоянии равновесия
максимальна:
5 = 5тах в равновесном состоянии.
1. Формулировка второго начала термодинамики
В природе не существует процессов, в которых уменьшается общая энт-
ропия.
Все необратимые процессы в замкнутой системе связаны с увеличением
энтропии. После изменения состояния система должна снова вернуться в
равновесное состояние, при этом энтропия увеличивается,
Д5> 0.
В подсистемах может быть Д5 < 0. Но это может быть только в случае
совершения работы. Система, которая совершает эту работу, соответственно
увеличивает свою энтропию.
Обратимые процессы: энтропия остается постоянной:
d5 = 0.
Необратимые процессы: энтропия увеличивается:
d5> 0.
2. Эквивалентные формулировки второго начала термодинамики
▲ Не существует вечного двигателя второго рода.
Вечным двигателем второго рода называется машина, в которой не проис-
ходит ничего иного, кроме совершения работы при охлаждении теплового
резервуара, при этом машина бы стопроцентно преобразовывала бы тепло-
ту в работу. Всегда нужен второй резервуар, который нагревают извне.
▲ Не существует процессов, которые превращают энергию в эксэргию.
Теплота не может быть полностью преобразована в механическую рабо-
ту, можно использовать только эксэргетичную долю теплоты.
▲ Каждая замкнутая макроскопическая система стремится принять наибо-
лее вероятное состояние.
Это то состояние, которое характеризуется наибольшим количеством
возможностей микроскопической реализации, т.е. максимальной энтро-
пией (неупорядоченностью).
21.6. Круговые процессы. Цикл Карно
21.5.4. Третье начало термодинамики
Любое твердое тело при конечной температуре обладает количеством тепло-
ты, соответствующим внутренней энергии возбуждения.
Колебания кристаллической решетки являются зависящими от темпера-
туры внутренними возбуждениями.
В точке абсолютного нуля тела не имеют энергии возбуждения.
Все колебания решетки останавливаются. Несмотря на это, кинетиче-
ская энергия при Т = 0 не равна нулю, так как атомы совершают кванто-
во-механические колебания нулевого уровня.
1. Третье начало термодинамики
Третье начало термодинамики определяет значение абсолютной энтро-
пии в точке абсолютного нуля.
▲ Энтропия любого тела в точке абсолютного нуля равна нулю.
5=0 при Т = 0 К.
> Исключением является волокнистое стекло.
2. Эквивалентные формулировки третьего начала термодинамики
▲ Удельная теплоемкость всех веществ в точке абсолютного нуля исчезает:
ст = о = 0.
▲ Точка абсолютного нуля является экспериментально недостижимой.
> Любое малое количество теплоты (энергии) вызывает конечное повыше-
ние температуры.
21.6. Круговые процессы. Цикл Карно
21.6.1. Определение. Применение круговых процессов
1. Круговой процесс
Круговым называется периодически повторяющийся процесс, в котором
после ряда изменений состояний система вновь возвращается в исходное
состояние (рис. 21.7, а).
Циклом Карно называют предложенный в 1824 г. Н. Л.С. Карно обрати-
мый круговой процесс, состоящий из двух изотермических и двух изобар-
ных процессов, в котором в качестве рабочего тела используется идеальный
газ (рис. 21.7, б).
Цикл Карно делает возможным получение работы при теплообмене
между холодной и горячей средой.
2. Тепловой двигатель и холодильная установка
Тепловым двигателем называется машина, в котором рабочее тело, полу-
чая энергию в форме теплоты в результате теплообмена, часть этой энергии
отдает в форме работы.
26—3814
изменение агрегатного состояния
Рис. 21.7. Круговой процесс (схематическое представление): а — общий кру-
говой процесс; б — цикл Карно
Тепловыми двигателями являются двигатели внутреннего сгорания, па-
ровые машины, турбины.
> Также возможен и обратный процесс, подогрев горячего тела с помощью
холодного тела с применением работы.
Холодильной установкой или тепловым насосом называется машина, в
которой рабочее тело, получая энергию в форме работы, осуществляет пере-
дачу энергии в форме теплоты от холодного тела к телу, более нагретому,
т.е. еще больше охлаждает холодное тело.
Холодильными установками являются холодильники, климатические
установки, тепловые насосы.
Выбор обозначения «холодильная установка» или «тепловой насос» зави-
сит от того, представляет ли больший интерес нагревание горячей части си-
стемы или охлаждение холодного тела.
Машины, работающие на основе цикла Карно, могут использоваться для
непрерывного получения очень низких температур, в том числе и для
сжижения небольших количеств воздуха (см. 21.8 «Сжижение газа»).
▲ Идеальный цикл Карно является технически реализуемым в первом при-
ближении.
21.6.1.1. Этапы цикла Карно
Цикл Карно состоит из следующих друг за другом обратимых этапов (рис. 21.8):
• изотермическое расширение при высокой температуре Th (I),
• адиабатное расширение, при котором происходит охлаждение до Tk (II),
• изотермическое сжатие при низкой температуре Tk (III),
• адиабатное сжатие, при котором происходит нагревание до Th (IV).
Рабочие тела (среды) имеют температуры Th (горячее тело, нагреватель)
и Тк (холодное тело, холодильник).
21.6.
Резервуар с телом
^высокой температуры
Машина совершает работу
Резервуар с телом
^низкой температуры j
Работа совершается над машиной
V
Изотермическое
расширение
расширение
Рис. 21.8. Этапы цикла Карно
V
Адиабатное
сжатие
1. Первый этап: изотермическое расширение
от объема в объем V2 при постоянной температуре Th. Для изотермы
действительно следующее соотношение:
И = А
V, р2'
Энергия идеального газа при постоянной температуре не изменяется:
At// = ДИ^/ + AQ/ = 0.
Л0, = = NkTh In —
2. Второй этап: адиабатное расширение
изолированного рабочего тела от объема V2 до объема V3 с охлаждением
до температуры холодного тела:
/ \3/2
Совершаемая газом работа равна:
ДЖП = At/n = C,(Tk - Th).
Из-за Д0П = 0 (адиабатный процесс) работа совершается при расшире-
нии за счет внутренней энергии.
3. Третий этап: изотермическое сжатие
Системы при температуре Гк от объема И3 до объема К4.
Аналогично этапу I, количество теплоты, которым обменялась система,
равно:
Дй„ = -АЖш =NkTkln^~.
Г3
Газ потерял это количество теплоты.
4. Четвертый этап: адиабатное сжатие
от объема И4 до объема Vx при нагревании до температуры Th.
Система вновь возвращается в исходное состояние.
Совершаемая газом работа равна:
ДРГр/ = A<7IV = Cv =(Th - Тк).
В плоскости Г-5-цикл Карно описывается прямоугольником, который
ограничен прямыми Т = const (изотермы) на этапах I и III и А = const (адиа-
баты) на этапах II и IV (рис. 21.9).
Рис. 21.9. Цикл Карно на р-V-диаграмме и на Г-5-диаграмме
21.6.1.2. Баланс энергии и коэффициент
полезного действия цикла Карно
Общее изменение внутренней энергии:
AC/totai - AQi + АИ7! + AIKn + AQni + АРИщ + АРКщ = 0.
I и ш IV
▲ Внутренняя энергия не изменяется (первое начало термодинамики).
Произведенная за время цикла работа:
\W=-Nk(Th -Т,)1п^- = -Д0.
И
Количество преобразованной теплоты имеет соответствующее значение с
обратным знаком.
Коэффициент полезного действия равен отношению произведенной ра-
боты к теплоте, переданной рабочему телу от нагревателя.
21.6. Круговые процессы. Цикл Карно
Коэффициент полезного действия = 1 Температура нагревателя Температура холодильника 1
Символ Единица измерения Название
и I и | п 1 Коэффициент полезного действия
к Температура холодильника
Th к Температура нагревателя
Оставшаяся доля является теплотой, которую нельзя преобразовать (см.
21.2.3).
21.6.2. Приведенная теплота
Приведенной теплотой называется частное теплоты и температуры.
> Это определение вытекает непосредственно из определения понятия эн-
тропии.
Сумма приведенной теплоты к цикле Карно равна нулю:
^Qi + AQin _ q
Th Tk
Приведенная теплота процессов II и IV равна нулю (адиабаты).
▲ Для любых малых круговых процессов выполняется условие, что приве-
денная теплота в замкнутом обратимом процессе остается постоянной.
▲ Любой замкнутый процесс может быть разложен на циклы Карно (рис.
21.10).
Из сохранения приведенной теплоты в круговом процессе следует, что
приведенная теплота не зависит от траектории:
г =0
У т
Это является вторым началом термодинамики.
> Приведенная теплота AQrev/T образует полный дифференциал.
Рис. 21.10. Разложение кругового процесса: а
Т-5-диаграмма
/2-К-диаграмма; б —
Приведенная теплота непосредственно включает в себя энтропию:
AS = ^0™-, Si - So = |
Т о Т
21.7. Термодинамические машины
21.7.1. Прямой и обратный циклы
1. Прямой цикл
Прямым циклом называют круговой процесс, который на р- V-диаграмме
проходит в направлении по часовой стрелке (см. рис. 21.9).
Описание цикла Карно в предыдущем разделе приведено для прямого
цикла.
▲ При прямом цикле нагреватель отдает теплоту, т.е. система совершает
работу.
Сумма количеств теплоты, подведенных к системе в ходе этапов процес-
са и отведенных от нее, является отрицательной, совершенная системой ра-
бота — положительной:
Д<2 <0, Д1К> 0.
Тепловые двигатели работают по прямому циклу.
2. Обратный цикл
Обратным циклом называют круговой процесс, который на р- V-диаграм-
ме проходит в направлении против часовой стрелки (рис. 21.11, а).
▲ При обратном цикле система затрачивает работу, чтобы подвести тепло
к нагревателю.
Сумма количеств теплоты, подведенных к системе в ходе этапов процес-
са и отведенных от нее, является положительной, совершенная системой ра-
бота — отрицательной:
де > 0, Д1Г< 0.
Тепловые насосы и холодильные установки работают по обратному циклу.
Рис. 21.11. Обратный цикл: а — р- V-диаграмма; б — Т-5-диаграмма
21.7.2. Тепловые насосы и холодильные установки
1. Тепловые насосы
Тепловыми насосами называются термодинамические машины, работа-
ющие по обратному циклу, которые, за счет совершения работы, передают
теплоту от холодного тела системы к горячему. Это могут быть как холоди-
льные установки, используемые для получения низких температур (см.
21.8.1 «Получение низких температур»), так и тепловые насосы для обогрева
помещения при низкой температуре окружающей среды.
Устанавливаемые в домах тепловые насосы могут использоваться зимой
для отопления, а летом для кондиционирования помещения. В обоих
случаях расходуется эксэргия.
2. Коэффициент мощности теплового насоса
Коэффициентом мощности теплового насоса ен/ называется безразмер-
ная величина, равная отношению отданной горячему телу теплоты к затра-
ченной работе.
Коэффициент мощности теплового насоса 1
Е w W р - - 1 i-li'.C - - Th ~Tk т]с Символ Единица измерения Название
£w Q w £H',C Th Tk Пс 1 Дж Дж 1 К К 1 Коэффициент мощности теплового насоса Отданная теплота Затраченная работа Коэффициент мощности цикла Карно Температура нагревателя Температура холодильника Коэффициент полезного действия цикла Карно
▲ Коэффициент мощности е^в цикле Карно всегда больше единицы.
▲ Коэффициент мощности Е^тем больше, чем меньше разница температур.
3. Холодильные установки и их коэффициент мощности
Холодильные установки работают по принципу тепловых насосов, в ко-
торых теплота забирается у холодного тела и передается холодному.
> Тепловые насосы и холодильные установки отличаются только областью
применения. В тепловых насосах интерес представляет нагрев горячего
тела (нагревателя), в холодильных установках — охлаждение холодного.
Коэффициентом мощности холодильной установки (холодильным ко-
эффициентом) называется безразмерная величина, равная отношению коли-
чества теплоты, отбираемого у охлаждаемого тела, к затрачиваемой на это
работе:
и изменение агрегатного состояния
Коэффициент мощности холодильной установки 1
Символ Единица измерения Название
|О| ск 1 Коэффициент мощности
о _ 1 1 к W Q Дж холодильной установки Отданная теплота
р т_± W Дж Затраченная работа
ек,с - „ _ £к,с 1 Коэффициент мощности
Л J к Th К цикла Карно Температура нагревателя
Tk К Температура холодильника
▲ Коэффициент мощности гк в цикле Карно всегда больше единицы.
▲ Коэффициент мощности гк тем больше, чем меньше разница температур.
21.7.3. Цикл Стирлинга
1. Цикл Стирлинга
Циклом Стирлинга называют круго-
вой процесс, изображенный на рис. 21.12,
состоящий из двух изотермических и двух
изохорных этапов.
▲ Термодинамический коэффициент
полезного действия цикла Стирлинга
равен коэффициенту полезного дей-
ствия цикла Карно.
Коэффициент полезного действия
цикла Стирлинга определяется по фор-
муле:
Рис. 21.12. Цикл Стирлинга. Эта-
пы цикла: I — изотермическое
сжатие, II — изохорное нагрева-
ние, III — изотермическое расши-
рение, IV — изохорное охлаждение
Коэффициент полезного действия цикла Стирлинга 1
Символ Единица измерения Название
, Тк п = 1 - Th п 1 Коэффициент полезного действия
Тк к Температура нагревателя
Th к Температура холодильника
2. Двигатель Стирлинга
В двигателе Стирлинга используется круговой процесс, при котором
фиксированное количество газа движется между двумя тепловыми резервуа-
рами (рис. 21.13).
21.7.
Рис. 21.13. Двигатель Стирлинга
Изотермическое сжатие и расширение:
• рабочий поршень сдвигается,
• вытесняющий поршень неподвижен.
Изохорное нагревание и охлаждение:
• рабочий поршень неподвижен,
• вытесняющий поршень движется.
В двигателе Стирлинга имеется два по-
ршня, вытесняющий и рабочий, которые
движутся с фазовым сдвигом 90° относи-
тельно друг друга.
Этапы работы двигателя Стирлинга:
Изотермическое сжатие. Вытесняющий поршень остается в верхней точ-
ке и предотвращает контакт с нагревателем, в то время как рабочий по-
ршень сжимает газ.
Изохорное нагревание. Вытесняющий поршень двигается вниз, в то вре-
мя как рабочий поршень остается в верхней точке. Газ вытесняется вниз и
входит в контакт с нагревателем.
Изотермическое расширение. В то время как вытесняющий поршень за-
мирает в нижней мертвой точке, рабочий поршень движется вниз. Газ рас-
ширяется.
Изохорное охлаждение. Рабочий поршень остается в нижней мертвой
точке, вытесняющий поршень движется вниз. Газ вытесняется из горячей
зоны в холодную.
При практическом использовании двигателя Стирлинга возникают проб-
лемы из-за неполной теплопередачи во время вытеснения.
Улучшение достигается с помощью установленных в вытесняющем по-
ршне регенераторов из металлической стружки, которые поддерживают
нагревание и охлаждение проходящего сквозь них воздуха.
27.7.4. Паровая машина
Цикл Клаузиуса-Ренкина — это круговой процесс в области одновременно-
го сосуществования жидкой и газообразной фаз (рис. 21.14), состоящий из
двух изоэнтропийных и двух изобарных этапов:
• изоэнтропийное (адиабатное) сжатие (I),
• изобарный подвод теплоты (II),
• изоэнтропийное расширение (III),
• изобарная отдача тепла (IV).
> Изобарный подвод или отдача тепла ведут не к изменению температуры,
а уходят в теплоту конденсации и изменяют доли жидкой и газообразной
фаз.
▲ Коэффициент полезного действия ц сильно зависит от энтальпии пара
до (Н2) и после (Н3) расширения.
При этом индексы относятся к указанным на рисунке 21.14 точкам.
Рис. 21.14. Цикл Клаузиуса-Ренкина: а — р- V-диаграмма; б — Г-5-диаграмма
КПД паровой машины 1
Я3 Я2 - Н4 я2 Символ Единица измерения Название
Т] Я 1 Дж Коэффициент полезного действия Энтальпия
Рис. 21.15. Паровая машина (схема)
Паровая машина работает по
принципу Клаузиуса-Ренкина.
Газ высокого давления поступает
через впускное отверстие (слева), газ
высокого давления выталкивается
через выпускное отверстие (малень-
кий кружок, в середине слева). По-
ршень и вентиль работают со сдви-
гом по фазе.
21.7.5. Открытые системы
1. Закрытая система
Закрытой называется система, в которой в рабочем процессе принимает
участие фиксированное количество вещества.
Двигатель Стирлинга является закрытой системой.
> Двигатели внутреннего сгорания в закрытых системах не могут брать го-
рючий газ в качестве рабочего вещества. Горючий газ используется в ка-
честве рабочего вещества только в открытых системах.
21.7. Термодинамические машины
2. Открытая система
Открытой называется система, которую за единицу времени покидает
определенное количество частиц, и определенное количество частиц вновь
поступает в систему (см. 20.1.1.3). Однако общее количество частиц в систе-
ме остается постоянным.
в две с принудительным зажиганием поступает смесь бензина и возду-
ха, а отработанные газы удаляются через выхлопную трубу.
В качестве замены чаще всего рассматривают систему, которая во время
процесса содержит количество частиц, превосходящее пределы системы.
В начале эта система содержит все частицы, которые в ходе процесса посту-
пят в систему, а в конце — все частицы, которые в ходе процесса были уда-
лены из системы. Такие системы, используемые вместо исходной, до и по-
сле процесса могут иметь различные плотности, объемы и температуры.
Для баланса энтальпии действительно выражение:
Баланс энтальпии открытой системы ML2T2
Символ Единица измерения Название
ДЯ = AlFext + Д(2 н ^ext Q Дж Дж Дж Энтальпия Внешняя работа Подведенное количество теплоты
Если скорости потока и потенциальные энергии поступающих в систему
и покидающих ее частиц различны, то необходимо учесть соответствующие
разности энергий:
ДЯ + дц/потока + AlKot = APText + Q.
kin Р01 ехг
3. Техническая работа
Техническая работа — это общая работа, которую машина (теоретиче-
ски) совершает за время одного цикла. Она включает в себя:
• заполнение системы частицами,
• изменение объема,
• соударения частиц.
Техническая работа может быть определена как интеграл:
Р2
wt = j Vdp.
Pl
21.7.6. Двигатель внутреннего сгорания
с принудительным зажиганием и дизельный двигатель
21.7.6.1. Цикл Отто
1. Цикл Отто
Цикл Отто — это круговой процесс в открытой системе, который состоит
из двух изоэнтропийных (адиабатных) и двух изохорных этапов (рис. 21.16):
• изоэнтропийное (адиабатное) сжатие,
• изохорное нагревание,
• изоэнтропийное расширение,
• изохорное охлаждение.
Коэффициент полезного действия ц, в зависимости от объемов в сжатом
и расширенном состоянии, определяется следующим образом:
Коэффициент полезного действия ДВС с принудительным зажиганием 1
, 1 Символ Единица измерения Название
П с Коэффициент полезного действия Степень сжатия
У2 к V Показатель адиабаты Объем
2. Двигатель внутреннего сгорания с принудительным зажиганием
Двигатель внутреннего сгорания с принудительным зажиганием работает
по циклу Отто. В однородной топливно-воздушной смеси с помощью при-
нудительного зажигания (свечи зажигания) циклически начинается быстрая
реакция сгорания топлива.
Этапы работы ДВС с принудительным зажига-
нием (см. рис. 21.16):
• ab: всасывание топливно-воздушной смеси,
• Ьс: такт сжатия,
• cd: зажигание топливной смеси, нагрев газооб-
разных продуктов сгорания,
• de: рабочий такт,
• е: открытие выпускного вентиля,
• Ьа: такт выпуска.
> Специальные присадки к бензину помогают
избежать самовозгорания.
27.7.6-2- Цикл Дизеля
1. Цикл Дизеля
Цикл Дизеля — это круговой процесс в открытой системе, который со-
стоит из двух изоэнтропийных (адиабатных) и одного изохорного и одного
изобарного этапов (рис. 21.17):
• изоэнтропийное (адиабатное) сжатие,
• изобарное нагревание,
• изоэнтропийное расширение,
• изохорное (адиабатное) охлаждение.
21.7. Термодинамические машины
Этапы работы дизельного двигателя (см.
рис. 21.17):
• ab: всасывание воздуха,
• Ьс: такт сжатия,
• ; cd: впрыскивание топлива и его сжигание,
• de: рабочий такт,
• е: открытие выпускного вентиля,
• Ьа: такт выпуска.
2. Коэффициент полезного действия дизельно-
го двигателя
Коэффициент полезного действия дизельно-
го двигателя т| в зависимости от объемов в сжа-
том (V3 > К2) и расширенном состоянии (К0,
определяется следующим образом:
Рис. 21.17. Цикл Дизеля
Коэффициент полезного действия дизельного двигателя
Символ Единица измерения Название
П 1 Коэффициент полезного действия
к 1 Показатель адиабаты
V м3 Объем
Дизельный двигатель работает по циклу Дизеля. Топливо впрыскивается
в сжатый воздух. Сжигание топлива происходит циклически благодаря са-
мозажиганию.
> Хотя дизельный двигатель имеет меньший КПД при почти одинаковом
значении степени сжатия, чем ДВС с принудительным зажиганием, он
может достигать намного больших степеней сжатия, что значительно
улучшает КПД дизельного двигателя.
27.7.7. Газовые турбины
1. Цикл Джоуля
Цикл Джоуля — это открытый круговой процесс, который используется,
например, в самолетных реактивных двигателях. Состоит из двух изоэнтро-
пийных и двух изобарных этапов (рис. 21.18, а):
• изоэнтропийное (адиабатное) сжатие (I),
• изобарное нагревание (II),
• изоэнтропийное расширение (III),
• изобарное охлаждение (IV).
Коэффициент полезного действия ц, в зависимости от температуры до
(7\) и после (Т2) сжатия, определяется следующим образом:
и изменение агрегатного состояния
!_
г2
2. Цикл Эриксона
Цикл Эриксона — это закрытый круговой процесс, состоящий из двух
изотермических и двух изобарных этапов (рис. 21.18, б):
• изотермическое сжатие (I),
• изобарное нагревание (II),
• изотермическое расширение (III),
• изобарное охлаждение (IV).
Рис. 21.18. Круговые процессы: а — цикл Джоуля; б — цикл Эриксона
Коэффициент полезного действия ц, в зависимости от температур:
1 Тк
n = = Пс-
1h
▲ Коэффициент полезного действия при идеальных условиях может рав-
няться коэффициенту полезного действия цикла Карно с теми же харак-
теристическими температурами.
21.8. Сжижение газа
Сжижение газа при температурах ниже критической точки может произво-
диться непосредственно с помощью сжатия.
Аммиак (NH3), диоксид серы (SO2) и хлор (С12) являются газами, крити-
ческая температура которых выше комнатной температуры.
Остальные газы сначала должны быть охлаждены до температуры ниже
критической.
21.8.1. Получение низких температур
Низкие температуры можно получить с помощью:
• теплообмена в холодильных установках,
• теплопоглощения при растворении веществ,
• охлаждения тепловым насосом,
• использования эффекта Джоуля-Томпсона.
21.8. Сжижение газа
21.8.1.1. Охлаждающие смеси
Охлаждающие смеси — это обычно комбинированная система, содержащая
твердое и жидкое вещества, которая используется как резервуар для получе-
ния постоянных низких температур. Только сначала эти смеси должны быть
охлаждены до соответствующих низких температур каким-либо другим спо-
собом.
Применяют системы в точке плавления, так как здесь колебания коли-
чества теплоты не ведут к колебаниям температуры, а вызывают колебания
относительного соотношения жидкой и твердой фаз.
Температурные смеси представлены в табл. 23.6.
21.8.1.2. Теплота растворения
Теплота растворения — это теплота, которая необходима для растворения
определенного количества вещества в жидком веществе.
Если вещество растворяется в жидкости, то для этого используется теп-
лота, содержащаяся в жидкости.
▲ При этом температура может опуститься даже ниже точки плавления
чистого растворителя (см. 22.7.2, п. 2 «Точка замерзания»), но система
не замерзнет.
Посыпание улиц солью для предотвращения образования наледи осно-
вано именно на этом принципе.
> Поэтому охлаждающие смеси на основе растворов состоят из раствори-
теля в твердой фазе (типа льда = замерзшей воды) и жидкой фазы с рас-
творенным в ней веществом (например, солевого раствора).
21.8.1.3. Тепловые насосы
Охлаждение системы может производиться с помощью обратного цикла.
При этом от холодильника отводится теплота при затрачивании на это рабо-
ты (см. 21.7.2, п. 1).
▲ При таком процессе согласно второму началу термодинамики всегда
должна нагреваться вторая система.
Тепловые насосы используются для получения небольших количеств
жидкого воздуха или гелия.
> Систему можно охлаждать также с помощью прямого процесса, но до
тех пор, пока другая система холоднее, чем охлаждаемая.
21.8.2. Эффект Джоуля-Томпсона
Газы, находящиеся в сосуде при высоком давлении, охлаждаются при выте-
кании. Так как при расширении не совершается внешняя работа (AIF = 0), и
расширение происходит так быстро, что нет теплообмена с окружающей
средой (Д0 = 0), то речь идет о необратимом адиабатном расширении реаль-
ного газа.
F,
Дроссель
Изменение температуры происходит толь-
ко в реальном газе (газе Ван-дер-Ваальса), но
не в идеальном газе. Для контроля адиабатно-
го расширения вытекающего газа замедляется
с помощью дросселя (рис. 21.19).
Коэффициент Джоуля-Томпсона б опреде-
ляется по кривой инверсии:
Рис. 21.19. Эффект Джоуля-
Томпсона
Коэффициент Джоуля-Томпсона М ЧЛ-0
8 = — (Та -1) = сР _ Та -1 СрР Символ Единица измерения Название
6 V СР т А р К/Па м3 Дж/К К 1/К Дж/(К-кг) кг/м3 Коэффициент Джоуля-Томпсона Объем Теплоемкость при постоянном давлении Температура Изобарный коэффициент линей- ного расширения Уд. теплоемкость при постоян- ном давлении Плотность
Рис. 21.20. Кривая инверсии
Кривая инверсии — это график зави-
симости температуры от давления, для
которого б стремится к нулю (рис. 21.20).
Температурой инверсии называется
температура, ниже которой необрати-
мое расширение газа ведет к его охлаж-
дению.
> При значениях температуры выше
температуры инверсии необратимое
расширение ведет к нагреванию.
Температура инверсии газа Ван-
дер-Ваальса:
Температура инверсии = 6,75 • критическая температура 0
Tj = — = 6,75Т. Rb Символ Единица измерения Название
т\ Тс а b R К К Н ♦ м4/моль2 м3/моль Дж/(Кмоль) Температура инверсии Критическая температура Молярная постоянная внутреннего давления Молярная постоянная собственного объема Универсальная газовая постоянная
21.8. Сжижение газа
Это значение является максимальным. Температура инверсии 7] зависит
от давления.
> Вместо молярных постоянных а, b и R здесь также могут использоваться
удельные постоянные.
21.8.2.1. Метод Линде
Метод Линде используется для сжижения
воздуха по принципу Джоуля-Томпсона
(рис. 21.21).
Для понижения температуры газа,
сжатого до высокого давления, в процессе
сжижения воздуха используется теплооб-
менник по принципу противотока. В этом
теплообменнике расширившийся охлаж-
денный газ по системе трубопроводов тер-
мически контактирует с газом высокого
давления, при этом сжатый и охлажден-
ный газ текут навстречу друг другу.
Рис. 21.21. Метод Линде (схема)
▲ Этот метод пригоден только для газов, температура инверсии которых
при заданном давлении компрессора выше комнатной температуры.
Воздух, СО2, N2 могут быть сжижены таким способом.
> Для водорода и гелия необходимо предварительное охлаждение, так как
температура инверсии (водород 7] -80 °C) ниже комнатной температуры.
Жидкий водород может использоваться для предварительного охлажде-
ния гелия. Но из-за опасности взрыва и высоких затрат такой метод сегодня
обычно не используется.
При обратимом расширении реального газа всегда происходит пониже-
ние температуры, так как газ при этом должен совершать внешнюю работу.
Достоинством такого метода адиабатного расширения (см. 21.6.1.1, п.2) яв-
ляется высокий коэффициент полезного действия, поэтому он используется
для сжижения гелия.
21.8.2.2. Метод Клода
Метод Клода используется для сжижения воздуха, при котором дросселиро-
вание частично замещается адиабатным расширением. Благодаря расшире-
нию увеличивается выход жидкого воздуха. В дальнейшем часть затрачен-
ной работы возвращается.
ГЛАВА 22
ФАЗОВЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ,
РЕАКЦИИ, ПРОЦЕССЫ
ПЕРЕНОСА ТЕПЛА
22.1. Фаза и агрегатные состояния вещества
22.1.1. Фазы
Гомогенной называется система, все части которой обладают одинаковыми
свойствами.
Сосуд с воздухом (сухим) при нормальных условиях представляет собой
гомогенную систему.
Гетерогенной называют термодинамическую систему, свойства которой
из-за наличия поверхностей раздела изменяются скачкообразно.
Сосуд с водой, водяным паром и воздухом представляет собой гетеро-
генную систему.
Фазой называется гомогенная часть гетерогенной системы.
Фазы отделяются друг от друга поверхностями раздела фаз.
В закрытом сосуде с водой, водяным паром и воздухом поверхность
воды представляет собой поверхность раздела фаз.
Существуют газообразная фаза (пар и воздух) и жидкая фаза (вода).
Теплота
парообразования
Лед плавится
(теплота плавления)
---!-------[-------!------->
1000 2000 3000 Q (kJ)
Рис. 22.1. Повышение температуры при
подводе тепла
Фазовым переходом называют
переход вещества из одной фазы в
другую. Фазовые переходы проис-
ходят при определенных темпера-
турах.
При нагревании воды после до-
стижения определенной темпе-
ратуры она начинает кипеть.
Дальнейший подвод тепла не
вызовет увеличения темпера-
туры, а будет способствовать
превращению воды в пар
(рис. 22.1).
22.1.2. Агрегатные состояния
Агрегатным состоянием вещества называют фазу вещества с определенными
свойствами и внутренней структурой.
Существует четыре агрегатных состояния вещества.
Твердое: тело имеет фиксированную внутреннюю структуру, например,
кристаллическую решетку, с очень сильным внутренним взаимодействием
частиц. Тело обладает постоянной формой и определенной поверхностью
раздела. Занимает постоянный объем, который изменяется только при силь-
ном давлении.
Жидкое: жидкое тело не имеет фиксированной внутренней структуры,
однако силы внутреннего взаимодействия достаточно выражены. Жидкость
не сохраняет фиксированную форму, однако имеет определенную поверхно-
сть раздела. Занимает фиксированный объем, который изменяется только
при сильном давлении.
Газообразное: газообразное тело не имеет внутренней структуры и лишь
очень слабое внутреннее взаимодействие частиц. Оно не принимает опреде-
ленной формы и не имеет поверхности раздела, полностью занимает предо-
ставленный объем.
Плазма: состояние образуется при очень высоком значении энергии час-
тиц; атомы вещества ионизируются и распадаются на заряженные частицы.
Плазма не имеет фиксированной внутренней структуры, однако частицы
обладают внутренним электромагнитным взаимодействием (см. 18.1).
▲ При подводе энергии тело может перейти из твердого состояния в жид-
кое, из жидкого в газообразное.
22.1.3. Изменение агрегатного состояния вещества
1. Испарение и конденсация
Испарение вещества — это превращение жидкости в газ. Испарение ве-
щества происходит тогда, когда давление паров вещества больше чем давле-
ние окружающей среды.
Теплота парообразования характеризует количество теплоты, которое
необходимо для превращения жидкости в пар.
Удельная теплота парообразования показывает, сколько энергии необхо-
димо для превращения 1 кг вещества (жидкости) в пар.
Теплота парообразования Удельная теплота парообразования = Масса L2T2
m Символ Единица измерения Название
Q m Дж/кг Дж кг Удельная теплота паро- образования Теплота парообразования Масса
[м| Для определения теплоты парообразования (теплоты конденсации) пар
конденсируют в калориметрах специальной конструкции и измеряют ко-
личество теплоты, полученное калориметром.
Точка кипения — это температура, при которой вещество превращается
в пар без дальнейшего увеличения температуры. Кипение несколько отлича-
ется от испарения, которое может происходить практически при любой тем-
пературе.
Точка кипения зависит от внешнего давления. Температуры кипения не-
которых веществ приведены в табл. 23.1.2.
Температуры кипения некоторых элементов (°C): алюминий 2467, сви-
нец 1740, ртуть 356,58, кислород (О2) -182,96, водород (Н2) -252,8, азот
(N2) -195,8.
Конденсацией называется процесс превращения пара в жидкость.
Вещество может конденсироваться при температурах выше или ниже
точки кипения (см. 22.3.3).
Теплота конденсации характеризует количество теплоты, которое осво-
бождается при конденсации. Ее числовое значение равно теплоте парообра-
зования.
2. Плавление и кристаллизация
Плавлением называется превращение твердого тела в жидкое.
Точка плавления — это температура, при которой твердое вещество пла-
вится. Температура плавления зависит от внешнего давления. Температуры
плавления некоторых веществ приведены в табл. 23.1.2.
Температуры плавления некоторых элементов (°C): алюминий 660,4,
свинец 327,5, железо 1535, золото 1064,4, ртуть -38,87, кислород (О2)
-218,4, водород (Н2) -259,34, азот (N2) -209,86.
Теплота плавления характеризует количество теплоты, которое необхо-
димо подвести для плавления твердого тела.
Удельная теплота плавления показывает, сколько энергии необходимо
для плавления 1 кг твердого вещества.
Теплота плавления Удельная теплота плавления = Масса L2T2
т Символ Единица измерения Название
q AQ т Дж/кг Дж кг Удельная теплота плавле- ния Теплота плавления Масса
Кристаллизацией называется процесс превращения жидкости в твердое
тело. Кристаллизация происходит при той же температуре, что и плавление.
Теплота кристаллизации характеризует количество теплоты, которое
освобождается при кристаллизации. Ее числовое значение равно теплоте
плавления.
Сублимацией (возгонкой) называется процесс прямого превращения
твердого тела в газообразное (без жидкой фазы). Десублимация — обратный
процесс.
Теплота сублимации характеризует количество теплоты, которое необхо-
димо подвести для сублимации твердого тела.
> Теплота сублимации равна сумме теплоты плавления и теплоты парооб-
разования.
22. У.4. Пар
Влажным или насыщенным паром называют пар при одновременном суще-
ствовании жидкой и газообразной фазы, находящихся в динамическом рав-
новесии.
Давлением насыщенного пара pD, единица измерения в СИ паскаль (Па),
называют максимальное давление пара при заданной температуре. Величина
этого давления экспоненциально зависит от температуры.
Кривая давления пара ^D(7) представляет давление насыщенного пара
двухфазной системы как функцию от температуры (рис. 22.2).
Рис. 22.2. Кривая давления пара
Ненасыщенным называется пар, который не находится с жидкостью в
равновесном состоянии.
> Со временем жидкость испаряется, это происходит до тех пор, пока не
установится равновесие жидкость-пар, или пока вся жидкость не испа-
рится.
Тройной точкой называется температура, при которой твердая, жидкая и
газообразная фаза находятся в равновесии между собой (рис. 22.3). Давле-
ние рТг и температура ТТт определяются в тройной точке (см. 22.6.1).
Для воды температура тройной точки равна 273,16 К, давление тройной
точки равно 610,6 Па.
> Тройная точка хорошо подходит в качестве реперной точки при опреде-
лении температурной шкалы.
Рис. 22.3. Фазовая диаграмма воды с указанием тройной точки ТТг и крити-
ческой температуры Ткрит: I — кривая давления при сублимации;
II — кривая давления при плавлении и кристаллизации; III —
кривая давления насыщенного пара
22.2. Классификация фазовых превращений
Изменение энтропии: благодаря теплоте, выделяемой или поглощаемой при
фазовом превращении, изменяется энтропия (разупорядоченность) системы,
которая у одной из фаз выше, чем у другой.
тт Поглощение (выделение) теплоты Изменение энтропии = Температура ML2!'2®*1
45.^2 Г Символ Единица измерения Название
S Q т Дж/К Дж К Энтропия Количество теплоты Температура
22,2.1. Фазовый переход первого рода
Фазовым переходом первого рода называют фазовый переход, который свя-
зан с выделением или поглощением теплоты. Вследствие этого:
▲ Скачкообразное изменение энтропии на S- Т-диаграмме (рис. 22.4, а)
определено дополнительным поглощением или выделением теплоты при
фазовом переходе.
Переходы между различными агрегатными состояниями, кроме перехо-
дов в критической точке, являются фазовыми переходами первого рода.
Зависимость между количеством подведенной или (поглощенной) тепло-
ты Д(2 и температурой ДТ:
AQ = CAT, С — теплоемкость тела.
▲ Так как температура во время фазового перехода остается постоянной,
теплоемкость при фазовом переходе первого рода стремится к бесконеч-
ности:
С —> оо.
График изменения объема на р- V-диаграмме также является ступенчатым.
▲ Сжимаемость вещества при фазовом переходе первого рода стремится к
бесконечности:
V др т
г Т = const
Характеристики фазового перехода первого рода:
• скачкообразное изменение энтропии,
• теплоемкость становится бесконечной,
• сжимаемость становится бесконечной.
22,2.2. Фазовый переход второго рода
Фазовый переход второго рода характеризуется изломом кривой температу-
ры (или энтропии) на Г-5-диаграмме (рис. 22.4, б).
Рис. 22.4. Фазовые переходы: а — фазовый переход первого рода; б — фазо-
вый переход второго рода
S-So >
> График энтропии Г(5) не имеет скачков, Д5 = 0, производная энтропии
по температуре резко изменяется в точке перехода.
Фазовые переходы в критической точке являются фазовыми переходами
второго рода.
Характеристики фазового перехода второго рода:
• излом кривой энтропии,
• конечный прыжок теплоемкости,
• сжимаемость становится бесконечной.
22.2.3. Лямбда-переходы
Лямбда-переход (Х-переход) характеризуется:
• энтропия, как функция температуры Т, не имеет изломов, но при темпе-
ратуре касательная к графику вертикальна;
. dS
• производная энтропии по температуре становится бесконечной,--> оо;
АТ
• теплоемкость становится бесконечной, С > оо.
Кривая теплоемкости имеет своеобразную форму в виде буквы X (рис. 22.5).
о —.——*
-1 о 1
(Г-А) (мК)
Рис. 22.5. Лямбда-переход. Слева направо — по оси абсцисс откладываются
все меньшие диапазоны температуры около лямбда-перехода
Переход в состояние сверхтекучести 3Не и 4Не является Х-переходом, так
же как и некоторые превращения кристаллических структур в бинарных
сплавах.
22.2.4. Область сосуществования фаз
В области сосуществования две фазы могут существовать одновременно.
В области сосуществования температура для изобар является постоян-
ной.
Область сосуществования характеризуется скачком энтропии на T-S-
диаграмме и скачком объема на р- V-диаграмме. Область сосуществования
двух фаз с увеличением давления и увеличением температуры уменьшается
(рис. 22.6), пока не исчезнет в критической точке.
Критическая точка — это место на фазовой диаграмме, в которой об-
ласть сосуществования фаз сокращается до точки.
▲ Выше критической точки фазовые переходы не происходят.
> Выше критической точки больше не имеет смысла говорить о различных
фазах.
Рис. 22.6. Область сосуществования двух фаз (схема): а — ^-К-диаграмма;
б - 5-Т-диаграмма; 1 - О °C; 2 - 20 °C; 3 - 31 °C; 4 - 40 °C
22.2.5. Критические индексы
В критической точке не существует границы раздела двух фаз.
> Вблизи критической точки наблюдается критическая опалесценция —
сильное рассеивание света, вызванное оптической неоднородностью ве-
щества, связанной с сильными колебаниями плотности.
▲ Прозрачное вещество скачкообразно становится непрозрачным. Образу-
ется мелкий туман.
В критической точке значения термодинамических параметров становят-
ся бесконечными.
Для описания поведения дивергентных величин вблизи критической
точки используют разложение в степенной ряд.
Критические индексы характеризуют экспоненты этого разложения.
Для фазового перехода из жидкого состояния в газообразное необходимо
шесть критических индексов, для которых были введены стандартные обо-
значения а, а', р, у, у', 8.
Разность плотностей между жидкостью и газом, z — P/i - pg • При Т Тс
она исчезает:
fl rf
Z = P/1 - Pg ~ 1-— •
Удельная теплоемкость при критическом объеме Си= Ис для Т -» Тс мо-
жет определяться по-разному, в зависимости от того, с какой стороны при-
ближаются к критической температуре:
Су = ус ~ *
|р«Рс
1-31
т
1 с.
если Т\ < Тс.
'р~рс с
’826 Глава 22. Фазовые превращения, реакции, процессы переноса тепла
Сжимаемость демонстрирует похожее поведение:
если Т > Тс,
если Т < Тс.
Критическая изотерма:
Р-Рс ~|р-Рс|8
для Т -Тс.
Простые газы демонстрируют схожее поведение относительно критиче-
ских индексов.
22.3. Фазовые переходы и газ Ван-дер-Ваальса
22.3.1. Фазовое равновесие
Представленная на рис. 22.7 зависимость — это график, на котором изобра-
жена зависимость давления насыщенного пара двухфазной системы как
функция температуры.
Рис. 22.7. Трехмерная фазо-
вая диаграмма p(V,T). Кривая
давления пара р(Т) и р-V-диа-
грамма являются проекциями
на плоскости р-Т или p-V
▲ Давление пара pg(T) является функцией
температуры и не зависит от объема пара
V. Изменение объема пара изменяет толь-
ко его количество.
> Избыточный пар вновь конденсируется в
жидкость. При слишком малом количест-
ве пара жидкость испаряется до тех пор,
пока не будет достигнуто насыщение.
В равновесном состоянии между паром и
жидкостью устанавливается определенное
давление пара pg, которое может быть рассчи-
тано по уравнению Клаузиуса-Клапейрона.
Условиями равновесия являются:
pfl = pg механическая стабильность,
Tjj= Tg термическая стабильность,
Цуу (/>,7) = Hg(p,7) химическая стабильность.
22.3.2. Правило Максвелла
1. Уравнение состояние Ван-дер-Ваальса
Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса для реального газа учитывает соб-
ственный объем молекул и силы взаимодействия (притяжения) между моле-
кулами. Оно позволяет провести приближенный расчет для реальных газов,
но для жидкостей является очень неточным.
Уравнение Ван-дер-Ваальса ML2T’2
( ( А2 р+ - а (И -nb)=nRT k v ' / R = 8,314 Дж/(м- Коль) Символ Единица измерения Название
Р п V а b R Т Па моль м3 Н • м4/моль2 м3/моль Дж/(м • Коль) К Давление Количество вещества Объем Молярная постоянная внутреннего давления Молярная постоянная собственного объема Универсальная газовая постоянная Температура
Это уравнение состояния допускает метастабильные и неустойчивые об-
ласти.
• В метастабильных областях производная давления по объему отрица-
тельная, следовательно, сжимаемость положительна. Они могут быть до-
стигнуты во время изменения состояния (см. 22.3.3).
• В области неустойчивости производная давления по объему положитель-
на, следовательно, сжимаемость отрицательна. Эта область не может
быть достигнута при обратимом изменении состояния.
2. Правило Максвелла
Правило Максвелла — это построение, при котором часть изотермы
реальных газов, построенные по уравнению Ван-дер-Ваальса, заменяется
горизонтальным участком.
При построении для областей, ограниченных внешними точками пере-
сечения кривой и горизонтальной линии (рис. 22.8) должно выполняться
условие:
▲ На р- V-диаграмме площади, ограниченные
кривыми, должны быть одинаковыми.
Точки пересечения между кривой и пря-
мой должны выбираться таким образом, что-
бы площади, ограниченные кривой сверху и
снизу и прямой, были одинаковыми.
▲ Внешние точки пересечения кривой и
прямой определяют область сосущество-
вания фаз.
о v2 vx v
Рис. 22.8. Правило Максвелла
Кривая Ван-дер-Ваальса в этой области
имеет метастабильную и неустойчивую обла-
сти, которые, однако, не включаются в уравнение. Но при изменении систе-
мы метастабильные области могут быть достигнуты (см. 22.3.3).
тепла
Длина горизонтальных участков с увеличением температуры становится
все меньше. Следовательно, с увеличением температуры уменьшается и об-
ласть сосуществования фаз. Длина горизонтального участка в критической
точке стремится к нулю.
3. Критическая точка и критическая температура для правила Максвелла
Критической точкой называется место, в котором область сосуществова-
ния фаз сжимается в точку.
Критическая изотерма — это изотерма, проходящая через критическую
точку.
Температуру, давление и молярный объем в критической точке можно
рассчитать:
▲ Критическая точка является седловой точкой на изотерме Ван-дер-Ва-
альса.
> Критической является единственная изотерма Ван-дер-Ваальса, которая
имеет седловую точку.
Критическая температура Тс — это значение температуры, принадлежа-
щее критической изотерме.
Критическая температура (уравнение Ван-дер-Ваальса) 0
Т - с ~ 27Rb R = 8,314 Дж/(м-Коль) Символ Единица измерения Название
Т 7 с а b R к Н • м4/моль2 м3/моль Дж/(м-Коль) Критическая температура Молярная постоянная внутреннего давления Молярная постоянная собственного объема Универсальная газовая постоянная
4. Критическое давление для правила Максвелла
Критическое давление рс — это давление в критической точке.
Критическое давление (уравнение Ван-дер-Ваальса) ml’t2
а Рс 27 Символ Единица измерения Название
Рс а b Па Н • м4/моль2 м3/моль Критическое давление Молярная постоянная внутреннего давления Молярная постоянная собственного объема
Выше критической температуры построение по правилу Максвелла не-
возможно. Жидкость и газ становятся в этом случае неразличимыми.
▲ Для процессов, которые на фазовой диаграмме не пересекают область
сосуществования фаз, две фазы могут перейти одна в другую, но фазо-
вый переход при этом не произой-
дет. К одному из таких процессов
необходимо подходить через крити-
ческую точку.
Изотермическое сжатие газа при
температуре ниже критической ведет
к фазовому переходу. Нагрев жидко-
сти до температуры выше критиче-
ской с последующим изотермиче-
ским расширением и изохорным ох-
лаждением (рис. 22.9) превращает
жидкость в газ без фазового пере-
хода.
Рис. 22.9. Схема замкнутого круго-
вого процесса только с одним ви-
димым фазовым переходом
22.3.3. Перегретая жидкость и переохлажденный пар
Неравновесное состояние метастабильных областей (с отрицательной про-
изводной давления по объему) изотермы Ван-дер-Ваальса не может быть ре-
ализовано экспериментально.
Если газ сжимают изотремически очень осторожно (избегая встряхива-
ния и ядер конденсации), то изотерму можно продолжить через точку
пересечения с горизонтальным участком почти до максимума кривой.
Задержка конденсации — это явление, когда пар не конденсируется,
хотя температура понизилась ниже температуры конденсации.
Задержка кипения — это явление, когда жидкость не кипит, хотя темпе-
ратура повысилась выше температуры кипения.
Перегретой называется жидкость, которая с помощью изохорного нагре-
вания введена в метастабильное состояние.
Переохлажденным паром называется пар, который с помощью изохор-
ного охлаждения введен в метастабильное состояние.
> Метастабильная система уже при незначительных помехах скачкообраз-
но переходит в состояние стабильного сосуществования фаз.
> На практике стараются избегать таких нестабильных областей, помещая
в жидкость пористый материал для поддержания равномерного кипения
или вводя в пар центры конденсации.
Аналогичное явление происходит и при фазовом переходе из твердого
состояния в жидкое.
22.3.4. Закон соответственных состояний
Приведенные переменные — это представление переменных состояния в
единицах величины, измеренных в критической точке:
р - и Т
Р=—, и =—, Т = —.
Рс 1>с Г:
▲ Приведенные переменные р. и, Т являются безразмерными.
Простым газом называется газ, частицы которого имеют малый электри-
ческий дипольный момент, и атомы и молекулы которого в том числе и в
жидкой фазе не сильно коррелированны.
Инертные газы N2, О2, Н2, также СО, СН4 являются простыми газами.
Закон соответственных состояний, выведенный Ван-дер-Ваальсом,
утверждает:
▲ все простые газы выполняют условие уравнения Ван-дер-Ваальса для
приведенных переменных.
Уравнение Ван-дер-Ваальса в форме приведенного уравнения состояния
выглядит так:
(р + Т|(3и -1) = 8Т.
22.4. Примеры фазовых переходов
22.4.1. Магнитные фазовые превращения
Парамагнетикам для намагничивания до насыщения требуется намного
большая напряженность поля, чем ферромагнетикам.
1. Температура Кюри
После выключения внешнего поля в ферромагнетиках сохраняется по-
стоянный магнитный дипольный момент, величина которого сильно зави-
сит от механической и термической обработки материала.
> Свойством ферромагнетизма чаще всего обладают твердые тела с четко
определенной кристаллической структурой. Исключением являются
аморфные ферромагнетики.
Температура Кюри характеризует температуру перехода от ферромагне-
тизма к парамагнетизму. Ферромагнетизм проявляется только при темпера-
турах ниже температуры Кюри.
Такие элементы как железо, кобальт и никель при температуре ниже
температуры Кюри проявляют ферромагнитные свойства.
Температура Кюри различных металлов приведена в табл. 23.2.3.
2. Магнитные домены и стенки Блоха
В немагнитном ферромагнетике атомные векторы намагниченности ори-
ентированы не произвольно, а в больших областях размером до нескольких
десятых долей миллиметра направлены параллельно друг другу. Такие обла-
сти имеют микроскопический дипольный момент.
Магнитным доменом называют область с параллельным направлением век-
торов намагниченности. В ненамагниченном ферромагнетике направления
векторов намагниченности отдельных доменов направлены произвольно
(рис. 22.10). Поэтому результирующая намагниченность всего тела равна нулю.
Самопроизвольная (спонтанная) намагниченность непрерывно изменя-
ется между отдельными магнитными доменами в области, состоящей из
примерно 300 атомов.
Станками Блоха называют поверхности раз-
дела между магнитными доменами.
А Благодаря внешнему магнитному полю маг-
нитные домены с одинаковым направлени-
ем векторов намагниченности увеличивают-
ся до тех пор, пока все области не будут
иметь одинаковое направление (намагни-
ченность насыщения).
Рис. 22.10. Магнитный до-
мен (схема): m — вектор
намагниченности
22.4,2. Превращение типа «порядок — беспорядок»
При превращениях такого типа низкотемпературная фаза имеет определен-
ный порядок атомов или молекул, который теряется при температуре выше
температуры перехода.
> В принципе к этим фазовым переходам относятся и переходы твердое
тело—жидкость и твердое тело—газ. По договоренности в эту категорию
включают только фазовые переходы твердое тело—твердое тело.
Дальним порядком называется расположение атомов или молекул в кри-
сталлической решетке.
> При фазовом переходе типа «порядок — беспорядок» речь может также
идти об изменении расположения атомов в узлах кристаллической ре-
шетки.
Фазовый переход в Р-латуни (CuZn) при Т = 465 °C: в низкотемператур-
ной фазе латунь имеет структуру, при которой атомы меди и цинка упо-
рядоченно располагаются между различными узлами решетки. При бо-
лее высоких температурах они располагаются
Порядок ориентации описывает ориентацию
носительно друг друга.
Галогениды аммония NH4C1, NH4Br NH4J. В
этих соединениях тетраэдр NH+ может при-
нимать в кристаллической решетке два раз-
личных положения (рис. 22.11). При темпе-
ратурах выше критической оба положения
встречаются одинаково часто, при темпера-
турах ниже Тс = 256 К в NH4C1 все тетраэд-
ры имеют одинаковую ориентацию, в то
время как в NH4Br при температурах ниже
Тс тетраэдры принимают чередующуюся
ориентацию.
хаотично.
определенных молекул от-
Рис. 22.11. Возможная ори-
ентация тетраэдров NHJ в
NH4C1:o - N;o- Н; ♦ - Cl
22.4.3. Превращения кристаллических структур
1. Фазовые переходы типа твердое тело—твердое тело
Твердые фазы многих веществ в зависимости от давления и температуры
(для сплавов также в зависимости от состава) могут принимать различные
кристаллические структуры.
832 Глава 22. Фазовые превращения, реакции, процессы переноса тепла
Для льда при давлении до 8000 бар известны пять различных модифика-
ций (лед I, II, III, IV, V), из которых обычный лед при р « 1 бар является
лишь одним из вариантов.
> Некоторые неметаллы при сверхвысоких давлениях могут даже перехо-
дить в металлическую фазу.
Таким свойством обладают углерод и водород.
При отсутствии подходящего катализатора фазовые переходы твердое
тело—твердое тело иногда могут происходить очень медленно.
В действительности алмаз при атмосферном давлении является нестабиль-
ным (рис. 22.12). Однако этот фазовый переход происходит очень и
очень медленно, поэтому алмаз практически стабилен.
2. Структуры углерода
На сегодняшний день известны три важнейшие стабильные формы твер-
дого углерода.
а) Графит — стабильная фаза, имеющая
планарную (плоскую) сотовую структуру,
имеет проводимость, схожую с металлом.
Три валентных электрона используются для
установления связи с соседними атомами в
плоскости. Четвертый электрон свободно
передвигается в этой плоскости (sp1 2-rn6-
рид), что является основой проводимости
графита. Отдельные плоскости не связаны
между собой химическим взаимодействием
р(Ра)
8 Металл
10 Жидкость
Алмаз
Графит
1 2 3 4 5 Т(103К) и поэтому легко сдвигаются относительно
друг друга (использование графита в качест-
ве смазочного средства).
Рис. 22.12. Фазовые диаграммы
12С (без фуллеренов)
б) Алмаз — очень твердая, при нормаль-
ном атмосферном давлении метастабильная
(но практически стабильная) фаза со структурой в форме тетраэдра, изоля-
тор. Химически устойчивый материал с малым коэффициентом трения и
высокой теплопроводностью. Все четыре валентных электрона используются
для установления простых связей с соседними атомами. Используется в ка-
честве покрытия для инструментов, в антикоррозионных слоях, для созда-
ния износоустойчивых поверхностей и в качестве пассивного материала в
микроэлектронике. Алмазные слои в виде поликристаллов высокой степени
чистоты могут быть синтезированы путем осаждения из газовой фазы.
в) Фуллерены — сферические замкнутые углеродные структуры. Три ва-
лентных электрона используются для установления связи с соседними ато-
мами, четвертый направлен на внешнюю сторону сферической оболочки.
Полупроводниковый материал, растворяемый в некоторых органических
растворителях, мягкость примерно как у графита. Производится испарением
графита в электрической дуге при низком давлении в атмосфере инертного
газа (метод Хаффмана-Кретчмера). Может использоваться для батарей (при-
нятие электронов), сверхпроводимости (смеси фуллеренов и щелочей), в
фотохимии (фотосенсибилизатор), в качестве микропроводника, оптическо-
го схемотехнического блока.
22A.
г) Важнейшие типы фуллеренов
• Фуллерены Бакминстера С60 — самая известная и стабильная модифика-
ция в форме футбольного мяча, состоящая из 12 пятиугольников и 20
шестиугольников. Основной продукт метода Хаффмана-Кретчмера.
• С70 — вторая по частоте модификация в форме дыни.
• Малые фуллерены —- нестабильные структуры С32, С^, С50 и С58 почти
сферической формы.
• Большие фуллерены — нестабильные большие структуры С240, С540, С960.
д) Фуллереноподобные структуры
• Нанотрубки — структуры трубкообразной формы, схожая с графитом
макромолекула длины порядка микрона с микроскопическим диаметром
(несколько нанометров). Используется в электротехнике (молекулярные
провода).
• фуллеренные луковицы — многооболочечные структуры, похожие на лу-
ковицу, состоящие из вложенных друг в друга сферических фуллеренов.
Использование еще не известно, предполагается высокий предел проч-
ности на сжатие.
-ы.
22.4.4. Жидкие кристаллы
В некоторых органических веществах с высокой массой и растянутой фор-
мой молекул дальний порядок при плавлении не нарушается. Молекулы та-
кого типа в жидкой фазе также имеют определенное направление и поэтому
не изотропны.
Жидкие кристаллы могут появляться в различных структурах, например,
в смектической или нематической фазе (см. 29.3.4).
> Некоторые вещества с увеличением температуры могут образовывать
жидкие кристаллы нескольких форм. В этом случае они имеют несколь-
ко температур превращения.
Жидкие кристаллы чаще всего образуются сложными органическими ве-
ществами, которые имеют несколько температур превращения и точек плав-
ления в диапазоне около 100 °C.
> Жидкие кристаллы стали интересны с технической точки зрения после
того, как удалось найти вещества с температурами превращения, равны-
ми нескольким градусам Цельсия.
Оптическая анизотропия жидких кристаллов ведет к сильному рассея-
нию света.
> При фазовом переходе к изотропным жидкостям рассеяние исчезает.
В жидких кристаллах с достаточно большим электрическим дипольным
моментом светопроницаемость и отражательную способность можно регули-
ровать почти без усилий с помощью наложения электрических полей.
Действие LCD-мониторов (liquid-crystal-displays) основано именно на
этом принципе.
27—3814
22.4.5. Сверхпроводимость
Сверхпроводимостью называют явление исчезновения (т.е. обращения в
нуль) удельного электрического сопротивления некоторых веществ при их
охлаждении ниже некоторой температуры Тс, характерной для каждого ве-
щества. Носителями заряда являются не отдельные электроны, а куперов-
ские пары электронов. Вещества, обладающие таким свойством, называют
сверхпроводниками, а температуру Тс — критической температурой перехо-
да в сверхпроводящее состояние. Ее значение для большинства металличе-
ских сверхпроводников составляет от 1 до 10 К.
Высокотемпературные сверхпроводники — это керамические сверхпро-
водники на основе оксида меди с высокой критической температурой пере-
хода в сверхпроводящее состояние.
> Для высокотемпературных сверхпроводников в качестве охлаждающего
средства достаточно использовать жидкий азот, в то время как для ох-
лаждения обычных сверхпроводников необходим намного более дорогой
жидкий гелий. Однако высокотемпературные сверхпроводники из-за
температурной подвижности линий магнитного потока имеют относите-
льно высокое электрическое сопротивление, которое с уменьшением
температуры также уменьшается. Это — наряду с нестабильностью мате-
риала — является значительным ограничением для их технического при-
менения.
Эффект Мейсснера заключается в экранировании внешнего магнитного
поля, проходящего через проводник, до достижения критической напряжен-
ности поля, при котором сверхпроводник переходит в обычное состояние
(см. «Физика твердого тела», «Сверхпроводники»). До достижения критиче-
ской напряженности магнитного поля Нс магнитное поле не может проник-
нуть внутрь сверхпроводника.
В основном сверхпроводники используются для передачи тока без по-
терь и для изготовления магнитных катушек для получения высоких
плотностей магнитного потока.
22.4.6. Сверхтекучесть
Сверхтекучестью называют способность жидкости подниматься по стенкам
сосуда и преодолевать потенциальные барьеры.
Если погрузить стакан в такую сверхтекучую жидкость так, чтобы дно
стакана находилось ниже уровня жидкости, а край был выше, то сверх-
текучая жидкость будет подниматься по стенкам стакана и переливаться
внутрь стакана до тех пор, пока уровень жидкости в стакане не будет ра-
вен уровню жидкости за его стенками.
Для сверхтекучей жидкости:
• вязкость стремится к нулю т| —> 0,
• теплопроводность бесконечна, X —> оо.
В жидкости отсутствует градиент температур, так как все без исключе-
ния тепловые колебания сразу же выравниваются.
22.5. Многокомпонентные газы
Гелий II — это сверхтекучая фаза, находящаяся в наиболее упорядочен-
ном состоянии. При давлении меньше 25 бар жидкий гелий II не кристал-
лизуется в твердый гелий при сколь угодно низких температурах. Переход
жидкого гелия в гелий II при нормальном атмосферном давлении происхо-
дит при температуре 2,2 К.
• Гелий II обладает сверхвысокой теплопроводностью.
• Гелий II не кипит, как другие жидкости, образуя пузырьки. Пузырьки
газа не образуются в объеме жидкости, а молекулы испаряются с поверх-
ности.
Вязкость гелия II может принимать сверхмалые значения.
Гелий II может пройти через капилляры, диаметр которых настолько
мал, что через них не проходит даже газообразный гелий.
22.5. Многокомпонентные газы
Многокомпонентным называется газ, состоящий из частиц различного вида
(компонентов).
Молярная доля, xz — это безразмерная величина, которая характеризует
долю отдельного вида частиц z в общем количестве частиц:
Молярная доля = Количество частиц одного вида Общее количество частиц 1
Ni Xj - —- N Символ Единица измерения Название
Xi N> N 1 1 1 Молярная доля z-ro вещества Количество частиц z-ro вида Общее количество частиц
Сумма всех молярных долей всегда равна единице:
к к к
;-1 7V
N
N
Концентрацией с, называют количество z-ro вещества на единицу объема
или массы.
Для описания концентрации существуют различные определения (см.
22.8.1, п. 2). Используемое здесь понятие концентрации растворов — отно-
шение количества растворенного вещества к объему растворителя:
V'
Весовая (массовая) доля — это безразмерная величина, которая равна
соотношению общей массы частиц одного вида к общей массе всех частиц в
смеси. Она равна произведению молярных долей или отношению молярной
массы частиц одного вида z к молярной массе всей системы:
_ Общая масса z-ro вещества Весовая доля = —— Общая масса всех частиц 1
= ^2 общ м,- х‘ Мобщ Символ Единица измерения Название
11 «1 ^общ *1 М, >бщ 1 кг кг 1 кг/моль кг/моль Весовая доля Общая масса z-ro вещества Общая масса всех частиц Молярная доля Молярная масса z-го вещества Молярная масса смеси
> В некоторых книгах массовая доля обозначается как xh а молярная доля
как
22.5.1. Парциальное давление и закон Дальтона
Общее давление р смеси разреженных газов, единица измерения в СИ пас-
каль (Па) равно отношению суммы всех сил F, передаваемых посредством
импульсов на поверхность площадью А, к величине поверхности:
Парциальное давление р{ частиц вещества одного вида равно отношению
суммы всех сил F, передаваемых посредством импульсов частицами опреде-
ленного вида на поверхность площадью А, к величине поверхности:
„ Сумма сил Парциальное давление = — Площаль ML4-2
*4 Символ Единица измерения Название
Pi fi А Па Н м2 Парциальное давление z-ro вещества Сумма сил, перпендикулярных поверхности и вызываемых z-м веществом Площадь
Закон Дальтона:
Сумма всех парциальных давлений газа, состоящего из различных ком-
понентов, равна общему давлению:
к к
1=1 1=1
А
Компоненты газа распределяются по общему объему независимо друг от
друга. Каждый компонент ведет себя так, как будто других компонентов нет
вообще.
А Каждый компонент распределяется равномерно по всему объему.
А В равновесном состоянии парциальное давление компонента одинаково
по всему объему.
Отношение парциального давления р{ к общему давлению р равно мо-
лярной доле Xi газа:
PL-^L-x
p~ N “
22.5.2. Уравнение Эйлера и соотношение Гиббса-Дюгема
Уравнение Эйлера — это представление внутренней энергии U(T\ 5, р, V, щ
Ni) как функции от других переменных.
Уравнение Эйлера ML2!2
U = TS - pV + ^V4Ni i Символ Единица измерения Название
и т s p V Н/ Дж к Дж/К Па м3 Дж 1 Внутренняя энергия Температура Энтропия Давление Объем Химический потенциал z-го вещества Количество частиц /-го вещества
Соотношение Гиббса-Дюгема записывается в дифференциальной форме:
сопряженные с экстенсивными переменными 5, К N\, ...,Nk интенсивные пе-
ременные Т,р, щ,..., р* могут быть неполностью независимы друг от друга:
к
О = SdT - Vdp + Y NjdUi.
Дифференциальное представление внутренней энергии:
к
dU = TdS - pdV + £n,d#,-.
> Такое представление совпадает с соотношением Гиббса-Дюгема, если
образуется полный дифференциал уравнения Эйлера:
dU = TdS -pdV + ^ HidNi +SdT -Vdp + Y .
Температура, давление и химический потенциал (интенсивные перемен-
ные) являются производными внутренней энергии по экстенсивным пере-
менным энтропии, объему и количеству частиц:
ди т ди ди
— = т,— =-р,---------= ш, /=1,...,К.
ds dv dNt
22.6. Многофазные системы
Гетерогенной называют термодинамическую систему, свойства которой
из-за наличия поверхностей раздела изменяются скачкообразно.
Сосуд с водой, водяным паром и воздухом представляет собой гетеро-
генную систему.
Фазой называется гомогенная часть гетерогенной системы.
Фазы отделяются друг от друга поверхностями раздела фаз.
В закрытом сосуде с водой, водяным паром и воздухом поверхность во-
ды представляет собой поверхность раздела фаз. Существуют газовая фа-
за (пар и воздух) и жидкая фаза (вода).
22.6.1. Фазовое равновесие
В системе, состоящей из Р фаз, (z) = 1,2,...,Р, и К компонентов / = 1,2,...,JC
для каждой фазы выполняется условие:
к
= 7W> - p^dV(‘) + i = 1, 2, P.
l=\
> Для полного описания системы достаточно К + 2 экстенсивных пере-
менных состояния.
Если система находится в состоянии термодинамического равновесия,
то для интенсивных параметров состояния Р фаз и К компонентов можно
записать:
= термическое равновесие,
^(1) = р(2) -_ р{Р) механическое равновесие,
pz(1) = ц^2) =...= ц<Р), 1=1,2, ..., К химическое равновесие
Для системы жидкость—газ в состоянии равновесия можно записать:
7/7 - Tg, Pfi — Pg, Ц/7 = Pg.
Если термическое равновесие отсутствует, то энергообмен происходит до
тех пор, пока температура Т не станет одинаковой. Аналогично при отсутст-
вии химического равновесия обмен частицами продолжается до тех пор,
пока химические потенциалы ц; каждого сорта частиц не выровняются. При
отсутствии механического равновесия происходит перераспределение объе-
ма, пока давление не выровняется.
22.6. Многофазные системы
В закрытом сосуде вода испаряется до тех пор, пока не будет достигнуто
давление насыщенного пара. Для открытого сосуда окружение необходи-
мо включить в систему. Вода при ненасыщенном воздухе испаряется
полностью, если до этого не может быть достигнуто равновесие.
22.6.2. Правило фаз Гиббса
Правило фаз Гиббса описывает количество F интенсивных переменных (сте-
пеней свободы), которые необходимы для полного описания системы.
Степени свободы = компоненты + два — число фаз
Символ Единица измерения Название
F = К + 2-Р F 1 Число степеней свободы
К 1 Число компонентов
Р 1 Число фаз
> Используемое здесь понятие степеней свободы не следует путать с чис-
лом микроскопических степеней свободы /, которыми обладают молеку-
лы при своем движении.
Для закрытого сосуда с водяным паром с К = 1 для полного описания
системы необходимо три экстенсивных переменных, например, S, V, N.
Но одна из них (например, Г) определяет только размер системы. Интен-
сивные свойства полностью описываются с помощью 77=1 + 2— 1 = 2
интенсивных переменных, например, давлением и температурой.
Кривая давления пара pD(T) представляет давление насыщенного пара
двухфазной системы как функцию от температуры.
Согласно F = К + 2 — Р = 1 + 2 — 2=1 (однокомпонентная) двухфазная
система имеет только одну степень свободы. Давление и температура зави-
сят друг от друга.
Тройной точкой однокомпонентной системы называется температура,
при которой твердая, жидкая и газообразная фаза находятся в равновесии
между собой. При этом Р=1 + 2 — 3 = 0.
▲ Все интенсивные переменные определяются в тройной точке.
Для воды ТТт = 273,16 К и рТг = 610,6 Па.
> Тройная точка хорошо подходит в качестве реперной точки при опреде-
лении температурной шкалы.
В тройной точке переменным является только относительное соотноше-
ние количества вещества, находящегося в различных фазах. Тройные точки
различных веществ приведены в табл. 23.1/1.
22.6.3. Уравнение Клаузиуса-Клапейрона
Уравнение Клаузиуса-Клапейрона — это дифференциальное уравнение для
давления пара в зависимости от температуры р(Т).
Уравнение Клаузиуса-Клапейрона ML1!2®1
dp _ sg sfi _ dT og - оу? - - -Vfl ' Q Символ Единица измерения Название
p T sfl’ sg Q Па К Дж/К м3 Дж/(К кг) м3/кг Дж Давление Температура Энтропия жидкости, газа Объем жидкости, газа Удельная энтропия жидкости, газа Удельный объем жидкости, газа Теплота парообразования
> Под Vg и подразумевается не весь объем жидкой и газообразной фазы,
а изменение объема этих фаз.
> Вместо удельных величин можно также использовать молярные величины.
В большинстве случаев Vg » поэтому действительно следующее при-
ближение:
dp ~ _0_
dT ~ VgT
> Конечно же, это приближение недействительно в окрестностях критиче-
ской точки.
Представление с помощью удельных величин:
_ Удельная теплота парообразования • плотность Разность давления = Температура ML1!2®1
Ф ~ dT ~ Т Символ Единица измерения Название
р Т q Vg Па К Дж/кг кг/м3 Давление Температура Удельная теплота парообразова- ния Плотность газа
22.7. Давление пара в растворах
Кривая давления пара pD(T) представляет давление насыщенного пара двух-
фазной системы как функцию от температуры.
> При этом подразумевается давление насыщенного пара в состоянии рав-
новесия.
При кипении вещества давление пара равно давлению окружающей среды.
При отвердевании вещества давление сублимации ниже, чем давление пара.
22.7. Давление пара в
22.7.1. Закон Рауля
t—
Закон Рауля описывает понижение давления пара растворителя при раство-
рении в нем труднолетучего вещества.
А Относительное понижение давления пара пропорционально молярной
доле растворенного вещества.
Понижение давления пара _ молярная доля (растворенного вещества) 1
Исходное давления пара
Символ Единица измерения Название
Др _х АП st А? Р(Т) %st Па Па 1 Понижение давления пара Исходное давление пара Молярная доля растворен- ного вещества
> Этот закон действителен только для очень малых концентраций (рис. 22.13).
Рис. 22.13. Сравнение закона Рауля с результатами эксперимента
22.7.2. Повышение температуры кипения
и понижение температуры отвердевания
При растворении вещества давление пара растворителя над раствором уме-
ньшается. Благодаря этому система достигает давления пара, соответствую-
щего давлению окружающей среды, только при более высоких температурах.
1. Повышение температуры кипения
▲ При растворении вещества температура кипения повышается пропорци-
онально количеству растворенного вещества.
Эбуллиоскопической постоянной Е, единица измерения в СИ кельвин,
называется коэффициент пропорциональности между повышением темпера-
туры кипения и молярной долей растворенного вещества.
Повышение температуры кипения ~ молярная доля 0
АТ — Е • Храств. в-ва Символ Единица измерения Название
дг Е X •Л,раств. в-ва к к 1 Повышение температуры кипения Эбуллиоскопическая постоянная Молярная доля
Значения эбуллиоскопической постоянной приведены в табл. 23.8/2.
2. Понижение температуры отвердевания
Понижение температуры отвердевания происходит потому, что кривая
давления пара пересекает кривую сублимации при более низких температу-
Рис. 22.14. Повышение темпера-
туры кипения и понижение
температуры отвердевания
рах (рис. 22.14).
Зимой дороги посыпают солью для
того, чтобы понизить температуру за-
мерзания воды и предотвратить обра-
зование льда.
▲ Температура плавления раствора по-
нижается пропорционально количест-
ву растворенного вещества.
Криоскопической постоянной К, еди-
ница измерения в СИ кельвин, называет-
ся коэффициент пропорциональности
между понижением температуры отверде-
вания и молярной долей растворенного
вещества.
Понижение температуры отвердевания ~ молярная доля 0
АТ К • храств в_ва Символ Единица измерения Название
дг к X •^раств. в-ва к к 1 Понижение температуры отвердевания Криоскопическая посто- янная Молярная доля
Значения криоскопической постоянной приведены в табл. 23.8/2.
> Для электролитических растворителей также необходимо учитывать дис-
социацию. Она изменяет молярную долю.
22.7.3. Закон Генри-Дальтона
Закон Генри-Дальтона:
Давление газа над раствором пропорционально концентрации х раство-
ренного газа при известной опорной точке р0, х0:
Р
Pg'
Закон в хорошем приближении также действителен и для парциального
давления нескольких газов.
В закрытой бутылке минеральной воды устанавливается равновесие между
растворенным СО2 (который образует углекислую кислоту) и газом.
• Закон Генри-Дальтона описывает давление паров газа, который раство-
рен в жидкости.
• Закон Рауля касается растворения тяжелолетучих веществ, а пар, о дав-
лении которого идет речь, образуется растворителем.
Рис. 22.15. Сравнение данных законов Рауля и Генри-Дальтона с данными
экспериментов:-----------------закон Генри-Дальтона;----------экспери-
менты; ---------------— закон Рауля
22.7.4. Паровоздушные смеси (влажный воздух)
Паровоздушные смеси имеют большое значение при получении энергии и в
климатической технике.
Примерами паровоздушных смесей являются смесь паров бензина и воз-
духа в двигателе внутреннего сгорания или смесь водяного пара и возду-
ха в климатической установке.
Осушение газа — это процесс удаления из него паров воды с помощью
различных химических реактивов, молекулярного сита, вымораживания, на-
грева или смешивания с сухим воздухом. Чаще всего используются сикка-
тивные средства (осушители).
Осушителями являются силикагель, оксид фосфора (V) и серная кислота.
Увлажнение газа производится с помощью орошения водой, охлаждения
или смешивания с влажным воздухом.
1. Влажность воздуха
Абсолютной влажностью f называется отношение содержащейся в газе
массы воды mw (в форме жидкости или газа) к объему воздуха VL\
Влагосодержание, влажность, х — это отношение массы воды массе
воздуха mL\
f =^,[х\ = 1.
Относительной влажностью воздуха ср называется безразмерная величи-
на, которая описывает отношение парциального давления водяного пара pD
к давлению насыщенного пара ps при данной температуре.
Относительная влажность Абсолютная влажность
Максимальная влажность 1
<р = — Символ Единица измерения Название
Ф 1 Относительная влажность
Ps Pd Па Парциальное давление
Ps Па Давление насыщенного пара
Относительная влажность чаще всего указывается в процентах:
• ненасыщенный пар ср < 100 %,
• насыщенный пар ср = 100 %.
> Комфортная для помещений влажность составляет около 50 %.
। \1; Гигрометр — это прибор для измерения относительной влажности воздуха.
Принцип действия волосяного гигрометра основан на изменении линей-
ных размеров волоса при изменении влажности.
Действие конденсационного гигрометра основано на определении точки
росы.
Аспирационный гигрометр измеряет возникающее испарении воды при
понижении температуры.
Психрометр измеряет влажность с помощью сравнения результатов изме-
рения температуры термометром при ср = 100 % и термометром при влаж-
ности помещения (см. табл. 23.8/3).
Электронные гигрометры измеряют, например, изменение емкости кон-
денсатора.
▲ Относительная влажность воздуха увеличивается с охлаждением паро-
воздушной смеси. Это связано с уменьшением давления водяного пара с
уменьшением температуры (рис. 22.16).
22.7. Давление пара в растворах
Рис. 22.16. Плотность водяного пара
как функция от температуры
. Если температура снижается ниже
точки росы, то происходит образова-
ние конденсата:
Pd = Рз-
I
j" 2. Насыщенный пар
Насыщенным сухим паром называ-
ют пар, для которого ср = 100 %. Насы-
щенный пар очень нестабилен, даже
незначительный отток тепла может
привести к образованию тумана.
Перенасыщенный пар появляется
при температуре ниже точки росы. При
этом не образуются капельки воды, ко-
торые осаждаются в виде тумана.
Центрами конденсации являются
маленькие твердые частицы, на которых образуются маленькие капельки
воды, благодаря чему конденсация ускоряется.
Туман возникает при образовании маленьких капелек воды на центрах
конденсации.
Облака образуются при поднимании влажной воздушной массы и ох-
лаждении ее на большой высоте.
Десублимация ведет при очень низких температурах к образованию твер-
дой воды (кристаллы льда, снег) на центрах конденсации, находящихся в
атмосфере земли.
Град образуется, если жидкая вода (капли дождя) охлаждается в холод-
ном воздухе до температуры ниже 0 °C.
Влажным паром называется двухфазная смесь из насыщенного пара и
жидкости при температуре кипения. Поднимающиеся из кипящей жидкости
пузырьки водяного пара могут захватывать с собой небольшое количество
воды.
Масса влажного пара складывается из массы насыщенного пара и массы
воды:
^вл. пара ^нас. пара ^водьг
Паросодержанием (сухостью пара) хпара называется соотношение массы
сухого насыщенного пара к массе влажного пара.
Влагосодержанием хводы называется соотношение массы воды к массе
влажного пара.
нас. пара _ ^воды
•^пара — ? ХВ0ДЬ1 —
вл. пара вл. пара
Перегретым паром называют пар, температура которого выше, чем тем-
пература, соответствующая состоянию насыщения.
▲ Перегретый пар является ненасыщенным.
3. Плотность влажного воздуха
Плотность влажного воздуха определяется как сумма удельной плотно-
сти сухого воздуха и удельной плотности пара.
Плотность влажного воздуха ML3
_ 1 Рсух. возд Т^пара Рвл. возд. — ~ ~ * ^сух. возд ^пара ) Рсух. созд — Рвл. возд. -Рпара Лух. возд = 287 Дж/(кг-К) Япара = 462 ДжДкг.К) Символ Единица измерения Название
р т Рвл. возд. Рсух. возд. Т^пара /vcyx. возд. о /vnapa кг/м3 К Па Па Па Дж/(кгК) ДжДкг-К) Плотность Температура Давление влажного воздуха Давление сухого воздуха Давление пара Удельная газовая постоянная сухого воздуха Удельная газовая постоянная пара
Уравнение давления для сухого воздуха (вторая строка) следует из зако-
на Дальтона (см. 22.5.1).
▲ Влажный воздух тяжелее сухого.
4. Удельная энтальпия влажного воздуха
▲ Энтальпия влажного воздуха равна сумме энтальпии сухого воздуха и
энтальпии пара.
Удельная энтальпия влажного воздуха равна сумме удельной энтальпии су-
хого воздуха и удельной энтальпии пара, умноженной на степень влажности:
Удельная энтальпия влажного воздуха L2T2
h = h + xh вл. возд. /fcyx. возд. ' -^^пара Символ Единица измерения Название
^вл. возд. ^сух. возд. ^пара X Дж/(кг-К) Дж/(кг-К) Дж/(кг-К) 1 Уд. энтальпия влажного воздуха Уд. энтальпия сухого воздуха Уд. энтальпия водяного пара Степень влажности
Изменение удельной энтальпии определяется изменением температуры и
удельной теплоемкостью при постоянном давлении. Для пара сюда добавля-
ется удельная энтальпия парообразования Айпарообр (см- табл. 23.8/6).
22.7. Давление пара в растворах
Изменение удельной энтальпии L2T2
дь —С А Т ^'сух. возд. р сух. возд. А^пара — Ср параДТ + Д^парообр. Символ Единица измерения Название
h вл. возд. ^пара АЛ ^'*парообр. т с ^р сух. возд. с ^р пара ДжДкг-К) ДжДкг-К) Дж/(кгК) К Дж/(кг-К) Дж/(кг-К) Уд. энтальпия сухого воздуха Уд. энтальпия водяного пара Удельная энтальпия парообразования Температура Удельная теплоемкость сухого воздуха Удельная теплоемкость пара
5. Энтальпийная диаграмма Молье
Диаграмма Молье — это графическое представление зависимости между
влажностью, относительной влажностью воздуха, температурой и удельной
энтальпией.
й,х-диаграмма — точное обозначение диаграмм такого типа, по которым
можно определить зависимость удельной энтальпии h от степени влажности
воздуха х (рис. 22.17).
> Чаще всего на оси абсцисс наносят степень влажности х, на оси орди-
нат — температуру Т. Точки с одинаковой удельной энтальпией образу-
Рис. 22.17. Представление й,х-диаграммы по Молье: горизонтали обозначают
равные температуры; вертикали — равные степени влажности;
наклонные линии — равную энтальпию; проходящие вправо кри-
вые — одинаковую относительную влажность воздуха
ют наклонные прямые, точки с равной относительной влажностью воз-
духа образуют идущие вверх изогнутые вправо кривые.
Линией насыщения называется линия при относительной влажности
Ф = 100 %, которая является нижней границей диаграммы.
▲ й,х-диаграмма действительна только для определенного общего давления
(диапазона давлений).
Парциальное давление пара является переменным и пропорционально
степени влажности. Поэтому существуют альтернативные способы представ-
ления, в которых удельная энтальпия зависит от давления пара, или на ри-
сунке представляется зависимость давления пара от степени влажности.
22.8. Химические реакции
Химической реакцией называется процесс, при котором частицы одного ве-
щества реагируют с частицами другого вещества, образуя при этом новое ве-
щество (вещества). Такое превращение записывается в форме уравнения хи-
мической реакции.
Две молекулы водорода и одна молекула кислорода в результате реакции
образуют одну молекулу воды:
2Н2 +О2 2Н2О.
Уравнение реакции описывает исходные и конечные продукты реакции
и их количество.
Используется следующий способ записи уравнения реакции, в которой
исходные вещества А1? А2,...преобразуются в конечные продукты В1? В2,...:
Уравнение химической реакции
а^А| + а2А2 + ... — » Ь|В| + Ь2В2 + ... Символ Единица измерения Название
а1> а2 Ьь ь2 1 1 Стехиометрический ко- эффициент исходного вещества 1, 2 Стехиометрический ко- эффициент конечного продукта 1, 2
Стехиометрические коэффициенты az,bz описывают, сколько частиц ка-
кого вида участвуют в реакции.
В приведенной выше реакции aj частиц вида А! и а2 частиц вида А2 об-
разуются bt частиц вида В! и т.д.
> Значок означает, что обратная реакция также возможна. Соотношение
обеих реакций между собой определяется с помощью закона действую-
щих масс (см. 22.8.3).
22.8.1. Стехиометрия
Стехиометрия — это учение о количественном соотношении между массами
веществ, вступающих между собой в химическую реакцию.
1. Массовые соотношения веществ при химической реакции
Чтобы реакция
a^Aj + а2А2 + ... + Ь2В2 + ...
прошла максимально эффективно, должны выполняться следующие соотно-
шения масс:
Массовое соотношение ~ соотношение молярных масс
гщ _ а}М} т2 я2М2 Символ Единица измерения Название
т{, т2 аи а2 М2 кг 1 кг/моль Общая масса веществ 1, 2 Стехиометрический коэффи- циент веществ 1, 2 Молярная масса вещества 1, 2
2. Растворы
Концентрацией с2 называют количество z-ro вещества на единицу объема
или массы.
Для описания концентрации существуют следующие альтернативные
определения:
• Весовая (массовая) доля равна отношению общей массы частиц рас-
сматриваемого вещества к общей массе:
И mi М;
= --— = •
^общ Мобщ
• Весовая концентрация может указываться в процентах (процент по массе):
Процент по массе = • 100% = - mi • 100%.
77/общ
• Соотношение массы z-ro вещества к остаточной массе тяост:
гщ = rtij =
771 ост ^общ 1 —
Такой способ указания концентрации особенно хорошо подходит для
составления растворов.
• Молярность с определяет количество молей вещества на один литр рас-
творителя.
• Масса вещества на единицу объема растворителя. Такой способ указа-
ния концентрации очень практичен для производства растворов.
• Процент по объему равен соотношению объема рассматриваемого веще-
ства к общему объему:
К-
Процент по объему = —1— -100%.
^общ
Это определение имеет смысл только при смешивании жидкостей.
Приведенное здесь понятие концентрации раствора использует моляр-
ность:
п< количество вещества (молей)
с. - — _----------------------------.
V объем растворителя
0,5-молярный раствор NaCl содержит 0,5 моля NaCl в одном литре
воды.
Для составления раствора с желаемой молярностью с необходимо:
Масса растворяемого вещества м
т = cVM Символ Единица измерения Название
т с V М Г моль/л л г/моль Масса растворяемого вещества Молярность Объем растворителя Молярная масса растворяемо- го вещества
Для получения 250 мл 0,1-молярного раствора NaF необходимо:
т = 0,1 моль/л • 0,25 л -42 г/л = 1,05 г.
Нормальной концентрацией называется число реактивных одновалент-
ных реакционных групп на один литр растворителя.
> Важен одинаковый заряд одномоментных реакционных групп. Так, в
растворе NaOH считают не обе группы Na+ и ОН-, а только одну группу.
1-молярный раствор НО образует Н3О+ С1- и также является 1-нормальным.
1-молярный раствор H2SO4 образует 2Н3О+ SO^- и является 2-нормальным.
22.8.2. Правило фаз при химических реакциях
Расширенное правило фаз Гиббса описывает число степеней свободы с уче-
том химических реакций:
Число степеней свободы = число компонентов + + два — число фаз — число реакций
Символ Единица измерения Название
F=К + 2 -Р F 1 Число степеней свободы
- R К 1 Число компонентов
Р 1 Число фаз
R 1 Число уравнений реакции
Общее число экстенсивных переменных равно (К - R + 2).
22.8.3. Закон действующих масс
Пусть протекает химическая реакция:
ajA| + а2А2 + ... + ^2В2 •••
1. Закон действующих масс
Описывает концентрации исходных и конечных продуктов химической
реакции в состоянии равновесия:
Закон действующих масс
Символ Единица измерения Название
Y jr ^2 а1, а2 Ь1, ь2 1 1 Стехиометрический коэффи- циент исходного вещества 1, 2 Стехиометрический коэффи-
- Д2~" = К(р, Т) Л2 •” xAl, хА2 1 циент конечного продукта 1, 2 Молярная доля исходного
Хв, , Хв2 К 1 1 вещества 1, 2 Молярная доля конечного продукта 1, 2 Термодинамическая константа равновесия
> Вместо молярной доли также можно использовать и абсолютную кон-
центрацию веществ. Однако значение термодинамической константы
равновесия должно быть выбрано соответствующим образом,
▲ В законе действующих масс в знаменателе стоят исходные вещества,
возведенные в степень, соответствующую их стехиометрическому коэф-
фициенту, а в числителе стоят конечные продукты, возведенные в сте-
пень, соответствующую их стехиометрическому коэффициенту.
2. Следствия закона действующих масс
Термодинамическая константа равновесия К(р.Т) описывает положение
равновесного состояния и тем самым определяет доминирование прямой
или обратной реакции.
К > 1: Равновесное состояние лежит на стороне конечных продуктов.
Концентрация конечных продуктов в равновесном состоянии преобладает.
При одинаковой концентрации конечных и исходных продуктов доминиру-
ет прямая реакция.
К < 1: Равновесное состояние лежит на стороне исходных продуктов.
При одинаковой концентрации конечных и исходных продуктов доминиру-
ет обратная реакция.
А Для направления реакции важно произведение концентраций в числите-
ле и знаменателе, а не отдельные концентрации.
Если концентрации изменяются таким образом, что произведение кон-
центраций остается постоянным, то конечная концентрация не изменя-
ется, например: хс = хс = к хА хв 0,5ха 2хв
Это имеет значение в том случае, когда термодинамическая константа
равновесия мала.
Вещество Р должно быть произведено из дорогого сырья Т и дешевого
сырья В. Схема реакции выглядит так:
Т + В Р, = к.
хт -хв
При неполной реакции (значение К очень мало) можно достичь опти-
мального использования доли дорогого вещества, если добавить дешевого
вещества в избытке. При удвоенной концентрации дешевого вещества необ-
ходима только половина дорогого вещества, чтобы произвести такое же ко-
личество конечного продукта.
3. Термодинамическая константа равновесия
связана с химическим потенциалом веществ, участвующих в реакции,
следующим образом:
К(р,Т)=е
Также ее значение зависит от давления и температуры.
Описание с помощью баланса свободной энтальпии:
Термодинамическая константа равновесия
Символ Единица измерения Название
к 1 Константа равновесия
К(р, Т) = е 1 кТ ) G Дж Свободная энтальпия
к Дж/К Постоянная Больцмана
Т К Температура
Для важнейших реакций, например, окислительно-восстановительных, ре-
акций диссоциации, значения константы равновесия приведены в таблицах.
> Часто в значении константы учитываются концентрации, остающиеся
постоянными, например концентрации растворителя (типа воды Н2О).
22.8.4. Значение pH и произведение растворимости
Для диссоциации (разложения) воды
2Н2О Н3О+ +ОН-
22.8. Химические реакции
согласно закону действующих масс можно записать:
хн3о+ ‘ хон- _ „ сн3о+ ‘ сон- _
X 2
ЛН20
f 2
Н20
Остающаяся постоянной концентрация воды учитывается в константе.
Для воды действительно выражение:
сн3о+ *сон- = Ю"14 моль2/л2 (при Т = 22СС).
Из концентрации в воде Н3О+ можно сделать вывод о концентрации ОН~.
1. Значение pH и рОН
Значение pH равно отрицательному значению десятичного логарифма
концентрации Н3О+:
pH = -1g
СН3О+
1 моль/л
Значение рОН равно отрицательному значению десятичного логарифма
концентрации ОН~:
pvil — 1g ------- I.
моль/л)
> Сумма обеих величин равна 14,
pH + рОН = 14.
• Кислотные растворы имеют высокую концентрацию ионов Н3О+ и мале-
нькое значение pH.
• Щелочные растворы имеют низкую концентрацию ионов Н3О+ и высо-
кое значение pH.
• В нейтральных растворах концентрация ионов Н3О+ и ОН" одинакова,
pH = рОН = 7.
> Точной термодинамической взаимосвязи между активностью ионов во-
дорода и величиной pH не существует. Традиционные pH-шкалы реали-
зуются с помощью буферных растворов.
Концентрацию ионов Н3О+ и ОН~ можно изменить добавлением кислот
или щелочей.
Соляная кислота практически полностью диссоциирует в воде
НС1 + Н2О -> Н3О+ С1-.
Возникающий при этом избыток Н3О+ ведет к уменьшению значения
pH, которое определяется по формуле:
СН3О+ _ Г ^кисл. ^дисс.
1 моль/л J 1^1 моль/л
pH = -1g
при этом для концентрации действительно:
(^кисл. + ^дисс.) * ^дисс. = Ю I4 МОЛЬ2/л2.
Глава 22. Фазовые превращения, реакции, процессы переноса тепла
2. Постоянная кислоты и постоянная основания
Постоянная кислоты Ks описывает диссоциацию кислот.
Постоянная основания Кв описывает диссоциацию оснований.
> Степень диссоциации кислот и оснований для разбавленных растворов
выше, чем для концентрированных кислот и оснований.
pKs или рКв равны десятичному логарифму постоянных кислот и осно-
ваний, взятому с обратным знаком:
Pks - -lg^5, Ркв = “Ig^B •
3. Произведение растворимости
Произведение растворимости L реализует закон действующих масс для
растворенных солей. Оно описывает концентрацию ионов в насыщенном
растворе.
> Не растворившаяся соль оседает на дне сосуда и не должна учитываться
в расчете. Таким образом, остаются только член в числителе.
Определим произведение растворимости AgCl. Диссоциация хлорида се-
ребра
AgCl (донный осадок) <=± Ag+ + Cl" (насыщенный раствор)
при растворении в воде определяется произведением растворимости,
4. Эффективные концентрации
Эффективные концентрации, также называемые концентрациями актив-
ности, а, учитывают взаимодействие между ионами. Они подставляются в
закон действующих масс вместо определяемых аналитически количествен-
ных концентраций веществ.
[м] Можно измерить только средний коэффициент активности /, равный
среднему геометрическому коэффициентов активности анионов и ка-
тионов.
Активностью а называется эффективная концентрация растворителя,
а = f -с.
22.9. Выравнивание температуры
Тепло само по себе может передаваться только от системы с большей темпе-
ратурой к системе более холодной. При этом система с большей температу-
рой охлаждается и нагревает холодную систему.
В ходе этого процесса общая энтропия возрастает.
Теплообмен происходит благодаря прямому контакту двух веществ, име-
ющих разную температуру.
Конечная температура 7} — это температура систем после полного теп-
лообмена.
22.9. Выравнивание температуры
22.9.1. Конечная температура при теплообмене
между двумя системами
1. Правило смешения Рихмана
Конечная температура при теплообмене между двумя системами опреде-
ляется с помощью полных теплоемкостей веществ.
Правило смешения Рихмана
CA(Tf -ТА) = = СВ(ТВ -Tf) Символ Единица измерения Название
СА, Св ТА, Тв Tf Дж К К Теплоемкость вещества Л, В Начальная температура вещества А, В Конечная температура системы
Исходят из того, что обмен теплом или механической работой с окружа-
ющей средой отсутствует, процесс является необратимым: AS > 0.
Внутренняя энергия U общей системы остается постоянной. Общий ба-
ланс количеств теплоты также остается постоянным, так как отданное од-
ной частью системы количество теплоты переходит к другой части системы.
Однако значение энтропии увеличивается.
тл Сумма (теплоемкость температура) Конечная температура смешения = — — Сумма теплоемкостей 0
7 = С а?а + СВТВ _ С А + Св = с^гпаТ^ +_свгпвТв^ сам а + свтв Символ Единица измерения Название
Tf Св ТА, Тв СА, СВ тА, тв к Дж/К К Дж/(К кг) КГ Конечная температура сис- темы Теплоемкость вещества Л, В Начальная температура ве- щества Л, В Удельная теплоемкость ве- щества Л, В Масса вещества Л, В
2. Системы с одинаковой удельной теплоемкостью
▲ При одинаковой удельной теплоемкости сА = св температура смешения Tf
зависит только от масс систем шА и тв.
т __ гпаГа + твТв
f mA + mB
ДЛЯ СА — Св.
Для системы с одинаковыми массами, mA = тв, температура смешения
равна средней температуре систем:
ТА + Тв г
Tf = для СА = Св.
Если одна система намного больше другой (тв»тА для сА = св или
Св » СА), то температура смешения приблизительно равна температуре боль-
шей системы:
Tf ^ТА+ТВ ® 7д, для Сг » Сл).
^В
Нагреватель (тепловая ванна) с фиксированной температурой должен
иметь намного большую теплоемкость, чем нагреваемая в нем система. Бла-
годаря своей высокой теплоемкости вода особенно хорошо подходит в каче-
стве теплоносителя в нагревателе.
3. Несколько систем с различными удельными теплоемкостями
Если процесс теплообмена происходит между несколькими системами,
то конечная температура определяется по формуле:
т C]Ti + С2Т2 +С3Т3+... С\ГП\Т\ + c2m2T2 + С3ГП3Т3...
if—-----------------------=---------------------------.
+ С*2 + С3+... С\Ш\ + (^2^2 4-Сз^З***
22.9.2. Обратимые и необратимые процессы
В случае необратимого процесса (непосредственный контакт) конечная тем-
пература равна:
? _ сАт + свтв
f СА+СВ
В этом случае для всей системы выполняется условие Д(7 = Д(? = 0.
Если между системами А и В подключена тепловая машина, то процесс
является обратимым, и тогда
Д5 - kSA + ASB = 0.
Конечная температура равна:
1_
Tf =(.Т^АТ^в)сл+св _
• Для обратимого процесса при подстановке Сл, Св получается средневзве-
шенное геометрическое ТА и Тв.
• Для необратимого процесса при подстановке СА, Св получается средне-
взвешенное арифметическое значение ТА и Тв.
Для обратимого случая формула с безразмерными величинами в основа-
нии и в показателе степени выглядит так:
Tf = ТА (1 + Г»—^-)СА+Се .
Та
Для очень малой разницы температур для обратимого процесса выраже-
ние со степенью можно разложить в ряд. В приближении первого порядка
получается формула для необратимого процесса.
22.10. Теплопередача
▲ Конечная температура в обратимом процессе меньше, чем конечная тем-
пература при необратимом процессе:
Т rev Т irr
В обратимом случае совершаемая тепловой машиной работа равна:
AJT = AU=CA(Tf -TA) + CB(Tf -Тв).
22.10. Теплопередача
Теплопередача может осуществляться тремя различными способами.
а) Конвекция. Тепловая энергия переносится потоком среды (жидким
или газообразным веществом).
Примером конвекции можно назвать поток теплой морской воды из
тропиков в северное полушарие (Гольфстрим), охлаждение моторов с
помощью вентиляторов.
б) Тепловое излучение. Тепловая энергия переносится путем испускания
или поглощения электромагнитного излучения. Любое тело с конечной тем-
пературой испускает тепловое излучение.
Тепловое излучение Солнца, инфракрасные лампы.
в) Теплопроводность. Эта форма передачи энергии требует прямого кон-
такта между двумя телами. Частицы одного тела при соударении передают
энергию частицам другого тела.
Посредством теплопроводности осуществляется перенос тепла через сте-
ны и окна, стенки кастрюли на плите и т.д. Теплопроводность имеет
большое значение для многих физических и химических процессов.
При экзотермической химической реакции должно отводиться тепло для
обеспечения надежности и безопасности реакционных установок (пред-
отвращения «разноса» химической реакции). При эндотермической хи-
мической реакции тепло необходимо подводить для ее поддержания.
22.10.1. Тепловой поток
Тепловым потоком Ф, единица измерения в СИ ватт (= джоуль в секунду),
называется количество теплоты, переносимое за единицу времени. Диффе-
ренциальная запись вводится при бесконечно малом временном интервале.
_ Количество теплоты Тепловой поток = — Временной интервал ML2T3
ф=е t ~ Г Д<2 dQ Ф = hm — = — а—» о д/ d? Символ Единица измерения Название
ф Д<2 Д/ Дж/с = Вт Дж с Тепловой поток Количество теплоты Временной интервал
Тело охлаждалось медленно и равномерно. В течение 15 с в окружаю-
щую среду было отдано количество теплоты, равное 90 Дж. Тепловой
поток равен:
, AQ 90 Дж п
Ф = — = —— = 6 Вт.
А/ 15 с
[м| Тепловой поток может быть определен по закону теплопередачи
(см. 22.10.5). Для этого в месте теплового контакта устанавливают снаб-
женный термодатчиком маленький мат с известным коэффициентом
теплопроводности (см. 22.10.3, п. 1) и измеряют разницу температур на
обеих сторонах мата. Преимуществом этого метода является то, что не
нужна какая-либо точная информация о свойствах вещества в месте
контакта. Недостаток состоит в том, что такой метод измерения влияет
на тепловой поток и поэтому может обеспечивать только ограниченную
точность.
22.10.2. Теплоотдача
1. Теплоотдача
Теплоотдачей называется процесс теплообмена, происходящий между
веществами с различной температурой через поверхность раздела. Обычно
Среда
Рис. 22.18. Теплоотдача
Тм
Вещество
рассматривают теплоотдачу между жид-
ким или твердым телом и газом или
окружающим воздухом. В этом процессе
одновременно участвуют теплопровод-
ность, конвекция и тепловое излучение
(рис. 22.18).
▲ Количество теплоты, участвующей в
теплообмене, пропорционально про-
изведению площади, разницы темпе-
ратур и длительности процесса.
2. Коэффициент теплоотдачи
Коэффициент теплоотдачи сх, единица измерения в СИ ватт на квадрат-
ный метр-кельвин (Вт/(м2 К)) — это коэффициент пропорциональности,
который характеризует интенсивность теплоотдачи.
Количество теплоты ~ площадь • разность температур • время ML2T2
AQ = а • А -(Т - Тм) - At Символ Единица измерения Название
де а А Т Тм Lt Дж Вт/(м2-К) м2 К К С Количество отданной теплоты Коэффициент теплоотдачи Площадь контакта Температура вещества Температура среды Временной интервал
22.10. Теплопередача
Временной интервал Д/ не должен быть слишком большим, так как в
ходе теплообмена также изменяются температуры вещества и среды.
Так как здесь речь идет о разности температур, то она может указывать-
ся в градусах Цельсия.
Нагретый до 70 °C железный куб с длиной стороны 30 см остывает при
комнатной температуре (температура воздуха 20 °C). Охлаждением ниж-
ней опорной грани (дна) можно пренебречь, т.е. в теплообмене участву-
ют только 5 граней.
А = 5-(30 см)2 = 0,45 м2.
Потери тепла в течение 30 с равны:
Вт
Q = aAt(TA -Tg)=5,8 - -0,45 м2 • 30 с • 50°C = 3,915 кДж.
м2 • К
▲ Очень важна для процесса охлаждения скорость потока теплоотводящей
среды. Значения коэффициентов теплоотдачи приведены в табл. 23.4/3.
Значения коэффициентов теплоотдачи лежат в широком диапазоне. На-
пример, для неподвижного газа значения составляют порядка 10 Вт/(м2 К),
для очень подвижного газа примерно 100 Вт/(м2 -К), для воды от нескольких
сотен до нескольких тысяч Вт/(м2К), а для конденсирующегося пара более
10000 Вт/(м2К).
3. Тепловой поток
Тепловой поток при теплоотдаче:
Тепловой поток ~ площадь поверхности • разность температур ML2T’2
Ф = ^=а.Л(Т-Тм) а/ Символ Единица измерения Название
ф а А Т тм Дж/с Вт/(м2-К) м2 К К Тепловой поток Коэффициент теплоотдачи Площадь контакта Температура вещества Температура среды
4. Изменение температуры при охлаждении посредством теплопередачи
График изменения температуры в стационарном случае является экспо-
ненциальной функцией. Скорость охлаждения зависит от поверхности кон-
такта и теплоемкости охлаждаемого/нагреваемого вещества. Так как тепло-
вой поток, равный изменению отданного количества теплоты, с течением
времени пропорционален температуре, то изменение разности температур
Td = ^в-ва ~ ^среды описывается дифференциальным уравнением, решение
которого является экспоненциальной функцией:
тепла
Изменение температуры при охлаждении 0
dTd -а Л л с т‘ -~t T(t)=(T0-TM)e С +тм Символ Единица измерения Название
т То Тм а А С t к к к Вт/(м2К) м2 Дж/К с Температура вещества Начальная температура Температура среды Коэффициент теплоотдачи Площадь контакта Теплоемкость вещества Прошедшее время
▲ Теплоемкость теплоотводящей среды должна при этом быть намного бо-
льше, чем теплоемкость охлаждаемого/нагреваемого вещества.
22.10.3. Теплопроводность
1. Теплопроводность
Теплопроводностью называют процесс передачи тепла внутри вещества,
происходящий в форме передачи энергии в результате ударных процессов
между соседними молекулами. Теплопроводность в покоящейся среде не
включает в себя конвекцию. В подвижной среде наряду с теплопроводно-
стью теплообмен происходит также и благодаря конвекции.
rz Площадь Количество теплоты ~ разница температур • время Толщина ML2T'2
\Q = X---(Ta s Символ Единица измерения Название
де х А S At тА, тв Дж Вт/(м-К) м2 м с К Количество теплоты Коэффициент теплопро- водности Площадь контакта Толщина стены Временной интервал Температуры
Определение с помощью теплового потока
m ~ Площадь Тепловой поток ~ разница температур Толщина ML2T3
ф = — = d/ = -тв) S Символ Единица измерения Название
ф X А S тА, тв Дж/с Вт/(мК) м2 м К Тепловой поток Коэффициент теплопроводности Площадь контакта Толщина стены Температуры
22.10. Теплопередача
Потери тепла за 1 с через стеклянную стену толщиной 5 мм (площадью
1 м2) при разнице температур 20 К составляют:
s м • К
---------20 К = 4 кВт.
0,005 м
2. Характеристики теплопроводности
Термическая проводимость, коэффициент теплопроводности X, единица
измерения в СИ ватт на метр-кельвин, описывает способность вещества
проводить тепло.
Теплопроводность определяется внутренними свойствами материала.
При этом важны плотность вещества, удельная теплота, средняя скорость и
средняя длина свободного пробега частиц, участвующих в теплообмене.
Значение коэффициентов теплопроводности различных материалов при-
ведены в табл. 23.3.
Значения коэффициента теплопроводности металлов составляют не-
сколько сотен Вт/(м-К), жидкостей — порядка 0,1 — 1 Вт/(м -К), газов —
около 0,02 Вт/(мК).
3. Микроскопическое описание теплопроводности
В газах молекулы соударяются друг с другом, обмениваются импульсом
и энергией и разлетаются с измененными скоростями далее. Такие ударные
процессы имеют большое значение при переносе энергии и материи.
Средняя длина свободного пробега / характеризует длину участка, кото-
рый частица (атом, молекула или электрон в металлах) проходит между дву-
мя соударениями с другими частицами.
Средняя скорость, средняя арифметическая скорость и определяется как
среднее арифметическое значение скоростей (без учета направления).
Для распределения Максвелла-Больцмана (см. 20.5.2) справедливо выра-
жение:
» = J---- =Лк- Jv2.
у TimN V Зя
Коэффициент теплопроводности X характеризует способность системы
проводить тепло.
Теплопроводность (микроскопически) МЕТ3©1
, 1 Л = - VlpCy Символ Единица измерения Название
X и / р cv Вт/(мК) м/с м кг/м3 Дж/(К-кг) Коэффициент теплопровод- ности Средняя скорость Средняя длина свободного пробега Плотность Удельная теплоемкость при постоянном объеме
> В данной формуле вместо произведения плотности и удельной проводи-
мости также можно использовать произведение молярной плотности и
молярной теплоемкости или произведение плотности частиц и удельной
теплоты на одну частицу.
Для одноатомных газов (f = 3) справедлива следующая формула:
Теплопроводность (одноатомных газов) MLT-3© 1
Символ Единица измерения Название
л = - kvlpN X Вт/(мК) Коэффициент теплопро- водности
2 к Дж/К Постоянная Больцмана
к = 1,3806505 • 10-23 Дж/К V м/с Средняя скорость
/ м Средняя длина свободного пробега
Pw 1/м3 Плотность частиц
4. Теплопроводность газовых смесей
Для смеси газов общая теплопроводность смеси приблизительно получа-
ется при сложении теплопроводностей, умноженных на относительную кон-
центрацию газов в смеси:
Общий коэффициент теплопроводности смеси газов MLT3©1
«1 *1 = ^1 + ^2 +• • • Символ Единица измерения Название
X *1 Х1 «1 Вт/(мК) 1 Вт/(мК) моль Общий коэффициент тепло- проводности Молярная доля газа 1 Коэффициент теплопровод- ности газа 1 Количество частиц газа 1
> Измерение теплопроводности газов является важным методом газоана-
лиза, в частности, для определения наличия в газах посторонних приме-
сей (газовая хроматография).
[м] Измерение теплопроводности газов с целью анализа посторонних при-
месей производится с помощью сравнения с контрольным образцом
газа, не содержащим посторонних примесей (рис. 22.19). Измеряемый
газ (М) и контрольный образец газа (И) помещаются в измерительные
камеры и там нагреваются посредством нитей накала. Нити накала уста-
новлены в схему моста Уитстона (см. мост Уитстона), который настроен
на ноль. При измерении концентрации измеряемого газа изменяется и
его теплопроводность и, следовательно, теплоотдача нити накала. Из-за
этого изменяется температура нити накала и ее электрическое сопротив-
ление. Измерительный прибор показывает падение электрического на-
пряжения, которое пропорционально изменению теплопроводности и,
следовательно, пропорционально концентрации посторонних примесей.
22.10. Теплопередача
5. Тепловой поток через несколько
стенок с одинаковой поверхностью
Тепловой поток через несколько
стенок с толщинами 51? 52,... с одинако-
вой площадью и одинаковой теплопро-
водностью:
Ф = - — (Та -Тв).
5} + 52 • •
Тепловой поток при различных ко-
эффициентах теплопроводности и оди-
наковой толщине:
Ф =-------------—
1 1 1
----1- —I----
Xi Х2 ^3
Рис. 22.19. Измерение теплопровод-
ности: мостовая схема Уитстона с
измеряемым газом (М) и контроль-
ным газом (И)
--(Та -Тв).
1 5
Тепловой поток при различных коэффициентах теплопроводности и раз-
ной толщине:
______1______
i + i + i+...
М Х2 Хз
А(Та
-Тв\
Ф =
Позади стеклянной стенки толщиной 5 мм площадью 1 м2 располагается
деревянная панель толщиной 2 см равной площади (X = 0,2 Вт/(м-К)).
При разнице температур 20 °C потери тепла в 1 с составляют:
ф_ А(Та-Тв)
5i /Xi + 52 /Х2
(0,005 м/(1 Вт/(м • К))) + (0,02 м/(0,2 Вт/(м • К)))
6. Тепловой поток через однослойную трубу
_ 2л длина трубы Тепловой поток ~ - (соотношение диаметров) ML2T'3
2 л/ Ф = -^_Х(ТЛ -Тв) = In pl J 2 л/ = - , - тЧТА -Тв) , [ d[ + 2s ) In ~ I di J Символ Единица измерения Название
Ф dI dA s I X T Вт м м м м Вт/(мК) К Тепловой поток Внутренний диаметр трубы Наружный диаметр трубы Толщина стенки трубы Длина трубы Коэффициент теплопро- водности Температура
Рис. 22.20. Тепловой поток через стенку трубы: а — труба без оболочки; б —
труба в оболочке
Тепловой поток через стенки трубы длиной 3 м, толщина стенки 4 см
(внутренний диаметр 40 см) при разнице температур 25 °C составляет:
ф = 2л/--- ЦТА -Тв)= - 2л • 3 м--------- . 1 -Bz_ . 25°C, = 2,6 кВт.
. | dj + 2s | , f 0,4 м +0,08 Mj м-К
In —------ In —------------
dj ) 0,4 м J
Тепловой поток через стенки многослойной трубы:
1
2л/Х.[
1
2л/^2
In
<d2 ,
-1
(ТА
-Тв) =
1 (cL1 + 2s{
———In
2п1к\ d{
I dJ + 2s\ + 2s 2
-------In _д-----------------
2л/Х,2 + 2si }
TB).
Диаметры труб должны быть согласованы между собой, т.е. наружный
диаметр первой трубы должен быть равен внутреннему диаметру второй тру-
бы, dyA = d[.
▲ Воздушный зазор между отдельными трубами должен учитываться в рас-
чете как труба с коэффициентом теплопроводности воздуха.
22.10.4. Термическое сопротивление
1. Определение понятия термическое сопротивление
Термическим сопротивлением Rth, единица измерения в СИ кельвин на
ватт, называется коэффициент пропорциональности между тепловым пото-
ком и разностью температур.
Разность температур Термическое сопротивление = Тепловой поток М Чг2т30
и в 1 Ьз Символ Единица измерения Название
^th ТА, тв ф К/Вт К Вт Термическое сопротивление Температуры Тепловой поток
22.10.
▲ Термическое сопротивление зависит от коэффициента теплопроводно-
сти, толщины стенки и площади поперечного сечения.
Термическое Толщина стенки сопротивление Коэффициент теплопроводности • площадь M^L2!3©
*th = — хл Символ Единица измерения Название
Rfh S X А к/вт м Вт/(м-К) м2 Термическое сопротивление Толщина стенки Коэффициент теплопроводности Площадь поверхности
2. Аналогии к законам электротехники
Электрическое сопротивление вызывает изменение силы электрического
тока при заданной разности напряжений.
Аналогии между термодинамическими и электрическими величинами:
разница температур тепловой поток дт ф соответствует соответствует разности потенциалов (= напряжению) электрическому току и I
термическое сопро- тивление &th соответствует электрическому сопро- тивлению R
коэффициент тепло- проводности последовательно рас- положенные стенки X соответствует соответствуют электрической проводи- мости последовательности элек- трических сопротивлений X
▲ Аналогично электрическому сопротивлению термическое сопротивление
зависит от поверхности и длины сопротивления (толщины стенки) и
(удельной) проводимости.
3. Закон Ома для термодинамики
Взаимосвязь между температурой, тепловым потоком и термическим со-
противлением может быть формально описана с помощью законов Ома.
Разность температур Тепловой поток = Термическое сопротивление ML2T3
, 7^4 -Тв Ф = -43 £_ &th Символ Единица измерения Название
ф ^th Вт К Вт/К Тепловой поток Температуры Термическое сопротивление
28—3814
4. Последовательная схема из нескольких термических сопротивлений
Если несколько стенок (термических сопротивлений) расположены друг
за другом, то расчет ведется по аналогии с расчетом последовательного под-
ключения электрических сопротивлений (рис. 22.21).
Общее сопротивление = сумма отдельных сопротивлений МЛ;1 2!3®
Л>бщ - + Т?2 + ^3 + •• *1 = —, хм, R2 = -^— х2л2 Символ Единица измерения Название
D 7Хобщ 7?i, Л2,... 5], s2,... Xq, Х2,... Л1, Л2,... К/Вт К/Вт м Вт/(мК) м2 Общее сопротивление Сопротивление стенки 1, 2,... Толщина стенки 1, 2,... Коэффициент теплопровод- ности стенки 1,2,... Площадь поверхности 1, 2,...
Рис. 22.21. Термическое сопротивление: а — последовательное подключение
термических сопротивлений; б — эквивалентная электрическая
схема
_ w Разность температур Общий тепловой поток = —— Сумма отдельных сопротивлений ML2T'3
Ф . Jk.- т. В[ + А2 +... Символ Единица измерения Название
ф ТА, Тв Rx, R2 Вт К К/Вт Тепловой поток Температуры Сопротивление стенки 1, 2
22,10.5. Общая теплопередача
1. Теплопередача
Общая теплопередача характеризует теплообмен между двумя жидкими
или газообразными веществами А и В, которые разделены стенкой (или не-
сколькими стенками, рис. 22.22).
22.10. Теплопередача
Общий процесс теплопередачи включает в себя следующие этапы
(рис. 22.23):
• теплоотдача вещества А первой стенке: коэффициент теплоотдачи cq;
• теплопроводность через стенку 1 толщиной коэффициент теплопро-
водности Хр
• теплопроводность через последующие стенки;
• теплоотдача последней стенки: коэффициент теплоотдачи а2.
Термоокнами называются окна с максимально низкими потерями тепла.
Общая теплопередача состоит из теплоотдачи от воздуха к внутреннему
стеклу, теплопроводности через внутреннее стекло, газовую смесь, сле-
дующее стекло и теплоотдачи наружному воздуху.
Рис. 22.22. Теплопередача: а — через
одну стенку; б — через несколько стенок
Рис. 22.23. Теплопередача через много-
слойную стенку: а — расположение сло-
ев; б — график температуры
2. Тепловой поток и термическое сопротивление
Зависимость теплового потока от термического сопротивления выглядит
следующим образом:
_ w Разность температур Тепловой поток = Сумма отдельных сопротивлений ML2T-3
ф = RA + RB + R[ + T?2 “Ь* • • Символ Единица измерения Название
Ь? а? а? О а? а? Вт К К/Вт К/Вт Тепловой поток Температуры Термическое сопротивле- ние сред А, В Термическое сопротивле- ние стенок 1, 2
Термическое сопротивление среды до или после стены определяется по
формуле:
Термическое _ | сопротивление Общий коэффициент теплопередачи • площадь M'L2T30
la |а и и Символ Единица измерения Название
До Rb а2 А К/Вт Вт/(м2-К) м2 Термическое сопротивление сред А, В Коэффициент теплоотдачи среды 1, 2 Площадь поверхности контакта
Термическое сопротивление стены равно:
Термическое _ Толщина стенки сопротивление Коэффициент теплопроводности • площадь M'L2T30
= — r2 = Х2Л Символ Единица измерения Название
Ri,R2 51, 52 Х|, Х2 А К/Вт м Вт/(м-К) м2 Сопротивление стенки 1, 2 Толщина стенки 1, 2 Коэффициент теплопроводности стенки 1, 2 Площадь поверхности стенки 1, 2
После подстановки в формулу тепловой поток равен:
ф =-------------------
_L + _L + i + i
Ct i OI2 ^4 ^-2
л(тА -Тв),
Межкомнатная стена состоит из двух рядов кирпичной кладки толщи-
ной 9 см, между которыми находится воздушная прослойка толщиной 5
см. Потери тепла на квадратный метр в секунду при разнице температур
в 15 °C равны:
Q =МТа -Тв)=
1 /ос। + 1 /ОС2 + 5] /Xj + 52/Х2 ~1"5з/Хз
1 м2 -1 с-15 °C
" 2 (1/(8,1 Вт/(м2 К))) + 0,05 м/(0,026 Вт/(м • К)) + 2 • 0,09 м/(0,6 Вт/(м • К)) ~
= 6,07 Дж.
22.10. Теплопередача
3. Коэффициент теплопередачи
Коэффициент теплопередачи к, единица измерения в СИ ватт на квад-
ратный метр-кельвин, описывает общую теплопередачу между двумя среда-
ми, разделенными стенкой. Для многих систем (например, стены здания с
фиксированной толщиной) значения коэффициента теплопередачи приве-
дены в таблицах 23.4/1 и 23.4/2.
Тепловой поток ~ площадь • разность температур ML2T-3
Ф = кА(ТА -Тв) Символ Единица измерения Название
ф к А тА, тв Вт Вт/(м2-К) м2 К Тепловой поток Коэффициент теплопередачи Площадь поперечного сечения Температуры
Расчет коэффициента теплопередачи
1 = 1 Коэффициент теплопроводности М‘Т3®
Коэффициент теплопередачи 1
Коэффициент теплоотдачи
11 1 5i S2 — = + + — + — + ... к Ct 1 Ct 2 к2 Символ Единица измерения Название
к аи а2 51, S2 Xj, Х2 Вт/(м2К) Вт/(м2К) м Вт/(м-К) Коэффициент теплопе- редачи Коэффициент теплоот- дачи Толщина стенки 1, 2 Коэффициент тепло- проводности стенки 1, 2
Взаимосвязь с общим сопротивлением:
Термическое 1 M1L-2T3®
сопротивление Коэффициент теплопроводности • площадь
R - — - Символ Единица измерения Название
общ " кА " R К/Вт Термическое сопротивление
~ + А + ^2 +• • • к Вт/(м2-К) Коэффициент теплопередачи
А м2 Площадь контакта
4. Теплопередача сквозь стенки трубы, не имеющей оболочки
Зависимость теплового потока от термического сопротивления выглядит так:
w Разность температур Тепловой поток = Сумма отдельных сопротивлений ML2T3
— ТВ ф - d £ RA + RB + + J? 2 • • Символ Единица измерения Название
to to Вт/(м2-К) Вт/(м2-К) м Вт/(мК) Тепловой поток Температуры Термическое сопротивле- ние среды Л, В Термическое сопротивле- ние трубы 1, 2
Термическое сопротивление среды определяется выражением:
1
леимические cuiiuuтиьлешк: — . . ivi L i vy Коэффициент теплоотдачи • площадь
Символ Единица измерения Название
RA = 7 / • ndf • оц RB = - I • ndAa2 Ra’ Rb а,, а2 I dA К/Вт Вт/(м2-К) м м м Термическое сопротивление среды Л, В Коэффициент теплоотдачи среды 1, 2 Внутренний диаметр трубы 1 Длина трубы Внешний диаметр наружной трубы
Термическое сопротивление стенки трубы определяется по формуле
(рис. 22.24).
Термическое _ In (соотношение диаметров трубы) сопротивление Коэффициент теплопроводности • площадь M'L2!3©
1 dxA R =—— In -Ь 2л/Х1 Ц7 J 1 (di Rz = In Ц- 2я/л2 J^7 J Символ Единица измерения Название
R2 <4 м / К/Вт м м Вт/(м-К) м Сопротивление трубы 1, 2 Внутренний диаметр трубы 1 Наружный диаметр трубы 2 Коэффициент теплопровод- ности трубы 1 Длина трубы
22.10.
Рис. 22.24. Теплопередача через трубу, состоящую из нескольких стенок: а —
строение трубы; б — график температур
Наружный диаметр внутренней трубы всегда равен внутреннему диамет-
ру следующей трубы:
d\A = d{>d2 =db--
> Если между двумя трубами имеется воздушный зазор, то он должен быть
учтен в расчетах как труба с коэффициентом теплопроводности воздуха.
Сопротивление теплоотдаче, выраженное через толщины труб:
1 М’Е2Т30
a vpivinnctnuc vviipu 1 пиление — Коэффициент теплоотдачи • площадь
Ra = I • 71 • d • di Rb = I • 71 • (d + 2$1 + 252 ) ’ a 2 Символ Единица измерения Название
а? а . а? о ~~ К/Вт Вт/(м2К) м м м Сопротивление среды 1, 2 Коэффициент теплоот- дачи 1, 2 Толщина стенок труб 1, 2 Внутренний диаметр трубы 1 Длина трубы
Термическое сопротивление стенок трубы:
Термическое _ In (соотношение диаметров трубы) сопротивление Коэффициент теплопроводности • длина трубы M-1L'2T30
Rx =—!—Inf —+-2,М 2л/Х! d ) D 1 . (d + 251 + 252 Л2 = — In 1 - 2л/Л2 d + 2sx ) Символ Единица измерения Название
R\i Ri Xi «1 d I К/Вт Вт/(мК) м м м Сопротивление трубы 1, 2 Коэффициент теплопро- водности трубы 1 Толщина стенки трубы 1 Внутренний диаметр трубы 1 Длина трубы
Общее сопротивление:
D 1 1 1 1 (d + 2^1 _
щ /лб/ои /л(б/ + 25! +252)а2 2л/Х! I d )
+ 1 In f + + 2^2 +
2л/Х2 d + 2^i J
> Для труб также формально можно указывать коэффициент теплопереда-
чи. Но при этом больше смысла имеет то, чтобы вместо указания вели-
чины, которая умножается на площадь, указывать величину, которая ум-
ножается на длину трубы. Соответствующие данные можно найти в спе-
циализированной справочной литературе.
22.10.6. Тепловое излучение
Тепловым излучением называется электромагнитное излучение, испускае-
мое любым телом с конечной температурой Т ф О К.
Закон Стефана-Больцмана описывает зависимость между тепловой энер-
гией, испускаемой телом площадью А и температурой Т за единицу време-
ни, и температурой тела:
▲ Мощность испускаемого излучения возрастает пропорционально четвер-
той степени температуры.
Постоянная Стефана-Больцмана, постоянная излучения черного тела, о:
о = 5,67-КН Вт/м2 К4.
Коэффициентом излучения, коэффициентом черноты 1, называется
безразмерная величина, которая сильно зависит от материала и свойств по-
верхности лучеиспускающего тела, а также от его температуры.
Частотная зависимость теплового излучения описывается законом излу-
чения Планка (см. 24.1, п. 3).
Благодаря тепловому излучению солнечная энергия передается на Землю.
Количество энергии, поглощаемое единицей поверхности за единицу време-
ни, называется солнечной постоянной. Ее значение нормируется в DIN:
qs = 1,37 кВт/м2.
Согласно стандартам Международной Комиссии по Освещению (МКО)
qs = 1,35 кВт/м2.
22.10.7. Излучение на границе раздела сред
При передаче теплоты энергия излучения не может быть потеряна. Если из-
лучение попадает на какую-либо поверхность, то возможны следующие про-
цессы (рис. 22.25):
• Поглощение (абсорбция): излучение поглощается и преобразуется в дру-
гие виды энергии.
• Пропускание: излучение без препятствий проходит через материал.
• Отражение: излучение отражается назад.
22.10.
Эти три эффекта не являются альтер-
нативой друг другу, а проявляются одно-
временно.
Часть излучения поглощается, часть
проходит сквозь препятствие, часть отра-
жается обратно. Соответствующие доли от
общего излучения описываются относя-
щимися к ним коэффициентами.
Рис. 22.25. Излучение на границе
раздела сред: а — поглощение;
б — пропускание; в — отражение
1. Коэффициент поглощения
а, безразмерная величина, которая характеризует долю поглощенного
излучения.
тл . . Мощность поглощенного излучения Коэффициент поглощения = Общая мощность излучения 1
а= — Фо Символ Единица измерения Название
а Фа Фо 1 Вт Вт Коэффициент поглощения Мощность поглощенного излучения Общая мощность излучения
Коэффициент поглощения зависит от длины волны излучения, а также
от температуры.
Красное стекло поглощает излучение с длинной волны всех других цве-
тов, отличных от красного. Листья деревьев кажутся зелеными, так как
из всего потока белого света они отражают волны, прежде всего, зелено-
го диапазона.
> Запись спектра поглощения вещества, сделанная с помощью ультрафио-
летового спектрометра, может использоваться для анализа свойств мате-
риала.
2. Абсолютно черное тело
Абсолютно черным телом или полным излучателем называется тело с
коэффициентом поглощения равным 1, а = 1.
Такое свойство технически не может быть реализовано полностью.
Солнечные коллекторы изготавливаются черного цвета, чтобы погло-
щать как можно больше светового излучения.
3. Закон Кирхгофа
Коэффициент поглощения равен коэффициенту излучения (см. 24.1).
4. Коэффициент пропускания
т, безразмерная величина, которая характеризует долю прошедшего
сквозь препятствие излучения.
, Мощность прошедшего излучения Коэффициент пропускания = — Общая мощность излучения 1
Фо Символ Единица измерения Название
т ф/ Фо 1 Вт Вт Коэффициент пропускания Мощность прошедшего излучения Общая мощность излучения
Также как и коэффициент поглощения, коэффициент пропускания за-
висит от длины волны и температуры.
5. Коэффициент отражения
р, безразмерная величина, которая характеризует долю отраженного от
препятствия излучения.
ТЛ . . Мощность отраженного излучения Коэффициент отражения = Общая мощность излучения 1
Фо Символ Единица измерения Название
р Фг Фо 1 Вт Вт Коэффициент отражения Мощность отраженного излучения Общая мощность излучения
Также как и коэффициенты поглощения и пропускания, коэффициент
отражения зависит от длины волны и температуры.
▲ Мощность излучения не может исчезнуть (это следует из закона сохра-
нения энергии). Доли поглощенного, прошедшего сквозь препятствие и
отраженного излучения в сумме должны быть равны исходной мощности
общего излучения.
Поглощение + пропускание + отражение = 1
Символ ЕДиниЦа измерения Название
а + т + р = 1 а 1 т 1 Р 1 Коэффициент поглощения Коэффициент пропускания Коэффициент отражения
22.11. Явления переноса теплоты и массы
22.11. Явления переноса теплоты и массы
Плотностью теплового потока qth, единица измерения в СИ ватт на квадрат-
ный метр, называется предельное значение тепловой энергии, проходящее
за единицу времени Д/ через единицу площади ЬА\
Г г А2 d2e
gth = lim lim -------=------.
az-»o дя->о Д/ДЛ d/cL4
Вектор плотности теплового потока q^ имеет значение #th и направле-
ние, идентичное направлению переноса теплоты. При этом вектор направ-
лен вдоль самого сильного падения температуры.
22.11.1. Закон Фурье
Закон Фурье говорит о том, что тепловой поток направлен вдоль макси-
мального падения температуры:
4th = -X VT.
Коэффициентом теплопроводности X называют зависящий от материала
коэффициент пропорциональности в законе Фурье.
> Он идентичен коэффициенту пропорциональности в законе теплопро-
водности (см. 22.10.3, табл. 23.3).
Общий тепловой поток определяется как интеграл вектора теплового по-
тока, направленного перпендикулярно поверхности, по этой поверхности:
Ф = ^ = - f q;A -пал = -\(qxnx + qyny + ^лг)Ф4.
dt J J
поверх -
ность
Здесь n — единичный вектор, направленный нормально к поверхности. Знак
минус говорит о том, что тепло передается от более теплой области в более
холодную область.
22.11.2. Уравнение неразрывности
1. Вектор плотности теплового потока
Тепловой поток с помощью вектора плотности как интеграла по площа-
ди сечения потока описывается следующим образом:
Ф = -J • ЙФ4 = -J Г+
J J [дх ду
dqA
dz J
dV.
Эквивалентная форма записи:
, dQ f л - - jtz
Ф = — = “I divqfAdK.
dt J
Преобразование производится с помощью интегральной теоремы Гаусса.
Удельное количество теплоты на объем е — это термический аналог к
плотности электрического заряда:
е = Q = [ edV.
dV J
Это выражение можно подставить в описание теплового потока,
Ф = у j edC = divqfAdK.
2. Уравнение неразрывности в термодинамике
является инвариантным уравнением для «тепловой плотности».
А Изменение удельного количества теплоты может производиться только
посредством притока или оттока теплоты в виде теплового потока:
де _ Л
— + divq,A = 0.
dt
Это уравнение получают из определения теплового потока, подставляя
под интеграл произвольный объем.
▲ Уравнение неразрывности, как и его предыдущие производные, действи-
тельно только для случая, когда теплота при выравнивании температуры
передается дальше и над системой или системой самой не производится
работа.
Если работа W совершается, то согласно первому началу термодинамики:
де ,. _ а2Ж Ар
— + divq/Zz =-------------------------= —.
dt AVAt At
При этом предполагается, что работа W задается интегралом давления р
во время изменения давления на dK:
ДЖ = -J pdK.
Если рассматривать изменение давления как написано выше, то его
можно рассматривать как источник теплоты или потерь тепла. Любое другое
изменение энергии также должно учитываться.
22.11.3. Уравнение теплопроводности
1. Закон теплопроводности
Количество теплоты = теплоемкость • разность температур ML2T'2
AQ = Су АТ = с m АТ Символ Единица измерения Название
де Су АТ с m Дж Дж/К К Дж/(К кг) КГ Количество теплоты Теплоемкость при постоянном объеме Разность температур Удельная теплоемкость Масса
Уравнение теплопроводности описывает количество теплоты, передан-
ное через единицу объема за единицу времени:
ср — - X div grad Т = —,
dt dt
дТ X d2T d2T d2T\ 1 dp
—-----------_|----------_-------,
dt cp\dx2 dy2 dz2 J ср dt
Это уравнение получают, используя закон Фурье, уравнение неразрыв-
ности и определение количества теплоты с помощью теплоемкости.
2. Температурная проводимость
х, единица измерения в СИ метр квадратный в секунду, — это постоян-
ная пропорциональности, которая определяет пространственную разницу
температуры.
_ Коэффициент теплопроводности Температурная проводимость = Удельная теплоемкость • плотность РТ1
X к = — ср Символ Единица измерения Название
к X с р М2/с Вт/(мК) Дж/(К-кг) кг/м3 Температурная проводимость Коэффициент теплопроводности Удельная теплоемкость Плотность
> Вместо произведения плотности и удельной теплоемкости можно также
использовать произведение молярной плотности и молярной теплоемко-
сти или произведение плотности частиц и удельной теплоты на частицу.
Уравнение теплоемкости без члена, описывающего источники, в крат-
кой форме выглядит так: 5Т а гр п кАг = 0. dt
Здесь Д — оператор Лапласа.
22.11.4. Закон Фика и уравнение диффузии
1. Основное уравнение при переносе массы
Разность концентраций можно описать подобно разности теплоты.
Вектором плотности распределения частиц j называют вектор, который
ориентирован вдоль направления сильнейшего падения плотности частиц и,
следовательно, определяет концентрацию pv, при этом модуль вектора ра-
вен изменению количества частиц за единицу времени.
▲ Закон Фика описывает взаимосвязь между вектором плотности распре-
деления частиц и плотностью частиц:
j = -Dgradptf.
Коэффициент диффузии D характеризует концентрационный градиент в
системе.
▲ Уравнение неразрывности в этом случае описывает взаимосвязь между
потоком и плотностью частиц:
—— + div j = w.
dt
Стоящее в правой части выражение w включает в себя изменение общего
количества частиц, которое, например, может быть вызвано при изменении
химического потенциала.
Если w = 0, то действительно утверждение, что количество частиц может
изменяться только там, где баланс между втекающими и вытекающими по-
токами не выровнен.
▲ Уравнением диффузии называется уравнение, которое описывает изме-
нение плотности частиц во времени:
- 7)Др N = w.
Здесь Д — оператор Лапласа.
Уравнение диффузии получают из закона Фика и уравнения неразрыв-
ности.
> Уравнение диффузии может быть составлено не только для плотности
частиц, но и для молярной плотности.
2. Микроскопическое описание
Средняя длина свободного пробега / указывает длину пути частицы газа,
который она проходит между соударениями с другими частицами.
Средняя скорость о равна среднему арифметическому значению скоро-
сти (без учета направления).
Для распределения Максвелла-Больцмана справедливо утверждение
(см. 20.5.2):
V пт N \ Зп
Коэффициент диффузии D описывает передачу материи.
Коэффициент диффузии (микроскопически) РТ1
D = -и/ 3 Символ Единица измерения Название
D и / м2/с м/с м Коэффициент диффузии Средняя скорость Средняя длина свободного пробега
22.11.5. Решение уравнений теплопроводности
и диффузии
Уравнение диффузии имеет при трех измерениях следующее решение:
Г7 i лЗ x2+y2 + z2
р(х, у, z, Г) = J —— е 4Dt .
у V 4л£>Г)
Эта функция описывает с помощью пространственных координат x,y,z
распределение плотности или концентрации р как функцию Гаусса с цент-
ром в начале системы координат. Ширина кривой определяется знаменате-
лем в показателе экспоненциальной функции 4Z>r. Ширина функции возрас-
тает со временем. Одновременно с течением времени из-за отрицательной
степени Г3/2 в множителе перед экспонентой значение функции в центре
уменьшается.
▲ Описание диффузионного процесса действительно только в том случае,
если нет дополнительных потоков (или вихрей). Дополнительные макро-
скопические потоки (например, перемешивание растворяемого вещества
в растворителе) может в значительной степени изменить процесс.
Если рассматривать точку, в которой плотность составляет с-ю часть от
плотности в центре (0 < с < 1),
Pi = с-Ро
Р1 = р(Х] ,0,0,0
р0 = р(о,о,о,о,
то с изменением по времени координаты этой точки будут определяться по
формуле:
х = д/-(1пс) • 4Dr.
Скорость распространения со временем уменьшается:
_ dx I (In c)D
° dr V Г
Пространственно-временная зависимость, пропорциональная квадратно-
му корню из времени, х ~ Dt типично для диффузионных процессов.
Фронты распределения (с — очень мала) распространяются наружу быстрее,
чем области с большими значениями с.
Наглядное обозначение:
Изначально высокая концентрация (например, капля краски в жидко-
сти) с увеличивающейся скоростью уменьшается при ее увеличении. Капля
бледнеет. Однако общее количество частиц при этом остается постоянным.
> Интеграл р по объему не зависит от времени:
г Г 1~7 1 А3 *2+т2 + г2
J pdV = j J I —I е dxdydz = 1.
ГЛАВА 23
ТАБЛИЦЫ К РАЗДЕЛУ
«ТЕРМ О ДИ НАМ И КА»
Обозначения, принятые в разделе «Термодинамика»
Символ Единица измерения Название
а 1 Коэффициент поглощения
а Вт/(м2-К) Коэффициент теплоотдачи
а 1/К Температурный коэффициент линейного расширения
₽ 1/К Температурный коэффициент плоского расширения
1/К Температурный коэффициент объемного расширения
£ 1 Степень сжатия
ekin Дж Средняя кинетическая энергия частицы
П 1/(Па*с) Вязкость
П 1 Коэффициент полезного действия
Пс 1 Коэффициент полезного действия цикла Карно
9 сС Температура в градусах Цельсия
X м2/с Температурная проводимость
X 1 Показатель адиабаты
X Па1 Сжимаемость
X Вт/(м-К) Коэффициент теплопроводности
и Дж Химический потенциал
1 Весовая доля
р 1 Коэффициент отражения
р кг/м3 Плотность
Pw моль/м3 Молярная плотность
Pn 1/м3 Плотность частиц
О м2 Эффективное сечение
о Вт/(м2-К4) Постоянная Стефана-Больцмана
т с Среднее время столкновения
Символ Единица измерения Название
т 1 Коэффициент пропускания
ф 1 Относительная влажность
ф Дж/с = Вт Тепловой поток
а Н ♦ м4/моль2 Молярная постоянная внутреннего давления
as Н • м4/моль2 Удельная постоянная внутреннего давления
А м2 Площадь
b м3/моль Молярная постоянная собственного объема
Ь; м3/кг Удельная постоянная собственного объема
в Дж Анергия
В(Т) моль/м3 Второй вириальный коэффициент
с моль/л Молярность
с Дж/(Ккг) Удельная теплоемкость
^моль Дж/(К-моль) Молярная теплоемкость
СР ДжДК-кг) Удельная теплоемкость при постоянном давлении
ДжДК-кг) Удельная теплоемкость при постоянном объеме
С Дж/К Теплоемкость
С(Т) моль2/м6 Третий вириальный коэффициент
d м Диаметр
D м2/с Коэффициент диффузии
Е к Эбуллиоскопическая постоянная
Е Дж Общая энергия
Ех Дж Эксэргия
f 1 Количество степеней свободы
f кг/м3 Абсолютная влажность
f Гц Частота столкновений
/max кг/м3 Максимальная влажность
F Дж Свободная энергия
F н Сила
G Дж Свободная энтальпия
h м Высота
h Дж/кг Удельная энтальпия
H Дж Энтальпия
Символ Единица измерения Название
Н Дж/кг Удельная теплота сгорания
Hg Дж/м3 Удельная теплота сгорания газов
Но Дж/кг Высшая теплота сгорания
J 1/(м2-с) Плотность потока частиц
к Дж/К Постоянная Больцмана
к Вт/(м2К) Коэффициент теплопроводности
К К Криоскопическая постоянная
К 1 Постоянная равновесия (закон действующих масс)
1 м Длина трубы
1 м Средняя длина свободного пробега
т кг Общая масса
mN кг Масса частицы
М кг/моль Молярная масса
п 1 Показатель политропы
п моль Количество вещества
N 1 Количество частиц
na моль1 Число Авогадро
nl М"3 Постоянная Лошмидта
Р Па Давление
Рс Па Критическое давление
Pd Па Парциальное давление
Pn Па Нормальное давление
Ps Па Давление насыщенного пара
Р Вт Мощность
Q Дж/кг Удельная теплота
Qth Вт/м2 Плотность теплового потока
Qs Вт/м2 Солнечная постоянная
Q Дж Количество теплоты
R Дж/(Кмоль) Универсальная газовая постоянная
Л Дж/(К-кг) Удельная газовая постоянная
Rth К/Вт Термическое сопротивление
1 м Толщина стенки
Символ Единица измерения Название
5 ДжДКкг) Удельная энтропия
s Дж/кг Энтропия
t с Время
т К Температура
Tc К Критическая температура
Th К Температура нагревателя
Ti к Температура инверсии
Tk к Температура холодильника
Tn к Нормальная температура
и Дж Внутренняя энергия
V м3/кг Удельный объем
и м/с Средняя скорость
ис м3/моль Критический молярный объем
^*ms м/с Средняя квадратичная скорость
м/с Наиболее вероятная скорость
V м3 Объем
Vm м3/моль Молярный объем
Vn м3 Объем при нормальных условиях
w rr КИН Дж Общая кинетическая энергия
w Дж Средняя энергия
X 1 Степень влажности
*i 1 Молярная доля вида i
z ш Высота
Физические постоянные и их значения
к 1,3806505 -10"23 Дж/К Постоянная Больцмана
6,0221415-1023 моль-1 Число Авогадро
2,686777-1023 м-3 Постоянная Лошмидта
Рп 101325 Па Нормальное давление
Qs 1,37 кВт/м2 Солнечная постоянная
R 8,314 Дж/(К • моль) Универсальная газовая постоянная
Т 1 п 273,15 К Нормальная температура
О 5,670400 • IO’8 Вт/(м2-К4) Постоянная Стефана-Больцмана
23.1. Характеристические температуры
23.1.1. Единицы измерения и реперные точки
23.1/1. Реперные точки температурных шкал
Вещество Точка Температура
Формула Название Т, К 9, °C
4Не Гелий-4 Х-точка 2,18 -270,97
4Не Гелий-4 Точка кипения 4,21 -268,94
р-н2 Параводород Тройная точка 13,81 -259,34
п - Н2 Водород (обычный) Тройная точка 13,97 -259,18
Р - Н2 Параводород Точка кипения 20,27 -252,88
п - Н2 Водород (обычный) Точка кипения 20,39 -252,76
Ne Неон Тройная точка 24,56 -248,59
Ne Неон Точка кипения 27,07 -246,08
n2 Азот Фазовый переход 35,5 -237,65
о2 Кислород Фазовый переход 43,7 -229,79
02 Кислород Тройная точка 54,36 -218,79
n2 Азот Тройная точка 63,14 -210,01
n2 Азот Точка кипения 77,35 -195,80
о2 Кислород Точка кипения 90,18 -182,97
С5Н12 Изопентан Точка плавления 113,5 -159,65
С7Н14 Метилциклогексан Точка плавления 146,85 -126,30
С4Н10О Диэтиловый эфир Точка плавления 156,85 -116,30
cs2 Углеводород Точка плавления 161,55 -111,60
С7Н8 Толуол Точка плавления 178,05 -95,10
со2 Диоксид углерода Точка плавления 194,65 -78,50
снси Трихлорметан Точка плавления 209,65 -63,50
Hg Ртуть Точка плавления 234,28 -38,87
Н2О Вода Точка плавления 273,15 0,00
Н2О Вода Тройная точка 273,16 0,0100
С12Н10О Дифениловый эфир Тройная точка 300,03 26,88
Вещество Точка Температура
Формула Название Т, К 0, °C
Na2SO410 Н2О Сульфат натрия Фазовый переход 305,43 32,38
Н2О Вода Точка кипения 373,15 100,00
С7нбо2 Бензойная кислота Тройная точка 395,51 122,36
In Индий Точка плавления 429,76 156,61
QoHg Нафтален Точка кипения 491,15 218,0
Sn Олово Точка плавления 505,05 231,9
С14Н10О Бензофенон Точка кипения 579,05 305,9
Cd Кадмий Точка плавления 594,05 320,9
Pb Свинец Точка плавления 600,65 327,50
Hg Ртуть Точка кипения 629,73 356,58
Zn Цинк Точка плавления 692,73 419,58
S Сера Точка кипения 717,82 444,67
Sb Сурьма Точка плавления 903,65 630,5
Au Золото Точка плавления 1338 1064,43
Cu Медь Точка плавления 1356 1083
Ni Никель Точка плавления 1728 1455
Ag Серебро Точка плавления 1235 961,93
Al Алюминий Точка плавления 934 660,37
Co Кобальт Точка плавления 1768 1495
Pd Палладий Точка плавления 1827 1554
Pt Платина Точка плавления 2045 1772
Rh Родий Точка плавления 2239 1966
Ir Иридий Точка плавления 2683 2410
W Вольфрам Точка плавления 3683 3410
23.1.2. Точки плавления и точки кипения
23.1 /2. Точки плавления и точки кипения
различных элементов
Элемент Точка плав- ления 0, °C Точка кипе- ния 0, °C Элемент Точка плав- ления 0, °C Точка кипе- ния 0, °C
Актиний 1050 3200 ± 300 Радон -71 -61,8
Алюминий 660,37 2467 Рений 3180 5627
Америций 994 ± 4 2607 Родий 1966 ± 3 3727 ± 100
Сурьма 630,5 1750 Рубидий 38,89 686
Мышьяк 817 при 613 суб- Рутений 2310 3900
2,8 МПа лимация Ртуть -38,87 356,58
Барий 725 1640 Самарий 1074 1794
Бериллий 1275 ± 5 2970 Кислород (О2) -218,4 -182,962
Свинец 327,502 1740 Скандий 1541 2836
Бор 2300 2550 Галлий 29,78 2403
Бром (Вг2) -7,2 58,78 Германий 937,04 2830
Цезий 28,40 ± 0,01 669,3 Золото 1064,43 2808 ± 2
Церий 798 3443 Гафний 2227 ± 20 4602
Хлор (С12) -100,98 -34,6 Гольмий 1474 2700
Хром 1857 ± 20 2672 Индий 156,61 2080
Диспрозий 1412 2467 Иридий 2410 4130
Железо 1535 2750 Йод (J2) 113,5 184,35
Европий 822 1527 Кадмий 320,9 765
Фтор -219,62 -188,14 Кальций 839±2 1484
Гадолиний 1313 3273 Кобальт 1495 2870
Осмий 2700 > 5300 Калий 63,25 760
Палладий 1554 2970 Углерод Сублимация
Фосфор 590 при при 3652
(красный) 4,3 МПа Криптон -156,6 -152,30 ±0,10
Фосфор 44,1 280 Медь 1083,4 ± 0,2 2567
(желтый)
Лантан 918 3464
Платина 1772 3827 ± 100
Литий 180,54 1342
Плутоний 641 3232
Магний 648,8 1107
Полоний 254 962
Марганец 1244 ± 3 1962
Празеодим 931 3520
Молибден 2610 5560
Прометий 1042 (3000)
Протактиний < 1600 Натрий 91,81 ± 0,03 882,9
Радий плл Неодим 1021 3074
700 < 1140
Элемент Точка плав- ления 9, °C Точка кипе- ния 0, °C Элемент Точка плав- ления 0, °C Точка кипе- ния 0, °C
Нептуний 630 ± 1 Таллий 303,5 1457 ± 10
Никель 1455 2730 Торий
Ниобий 2468 ± 10 5127 Тулий 1545 1950
Селен 217 684 ± 1,0 Титан 1660 ± 10 3287
Серебро 961,93 2212 Водород (Н2) -259,34 -252,8
Кремний 1410 2355 Висмут 271,3 1560 ± 5
Азот (N2) -209,86 -195,8 Вольфрам 3410 ± 20 5660
Стронций 769 1384 Уран 1132,3 ± 0,8 3818
Сера (ромб.) 112,8 444,674 Ванадий 1890 ± 10 3380
Сера (монокл.) 119,0 Ксенон -111,9 -107,1 ± 3
Тантал 2996 5425 ± 100 Итттербий 819 1196
Теллур (ромб.) 452 1390 Цинк 419,58 907
Теллур (а.) 449,5 ± 0,3 989,8 ±3, 8 Олово (куб.) 231,9681 2270
Тербий 1356 3230 Циркони 1852 ± 2 4377
23.1/3. Температуры превращений
неорганических соединений
Вещество Точка плав- ления 0, °C Точка ки- пения 0,°С Вещество Точка плав- ления 0, °C Точка ки- пения 0,°С
Алюминия стабилен дисс. 2200 Антимония -88 17,1
карбонат до 1400 тригидрид
Алюминия 2072 2980 Антимония 656 1550
оксид оксид
Алюминия 1100 субл. 1500 Бария 3,77 дисс. 200
сульфит перманганат
Алюминия > 1500 Бария оксид 1918 ок. 2000
фосфат Бериллия 490 ± 10 520
Аммиак -77,7 -33,35 бромид
Аммония субл. 340 520 Бериллия 405 520
хлорид хлорид
Аммония 169,6 210 Бериллия йодид 510 ± 10 590
нитрат Бериллия оксид 2530 ± 30 ок. 3900
Аммония тиоцианат 149,6 дисс. 170 Свинца бромид 373 916
Антимония 96,6 280 Свинца фторид 855 1290
бромид Свинца йодид 402 954
Антимония 2,8 79 Борная кислота 236 ± 1
хлорид Бора карбид 2350 > 3500
Вещество Точка плав- ления 0, °C Точка ки- пения 0,°С Вещество Точка плав- ления 0, °C Точка ки- пения 0,°С
Бора оксид 45 ± 2 ок. 1860 Натрия 318,4 1390
Цезия бромид 636 1300 гидроксид
Цезия хлорид 645 1290 Натрия йодид 661 1304
Цезия фторид 682 1251 Кальция фторид 1423 ок. 2500
Цезия йодид 626 1280 Кальция йодид 784 ок. 1100
Цезия карбид 1980 3800 Кальция оксид 2614 2850
Хрома оксид 2266 ± 25 4000 Кальция карбид стаб. 25-447 2300
Диспрозия 881 1480 Лития оксид > 1700
бромид Ртути бромид 236 322
Диспрозия 718 1500 Ртути хлорид 276 302
хлорид Ртути йодид 259 354
Диспрозия фторид 1360 > 2200 Озон -192,7±2 -111,9
Диспрозия йодид 955 1320 Ортофосфор- ная кислота 73,6 дисс. 200
Железа оксид 1594 ± 5 Радия бромид 728 субл. 900
Эрбия фторид 1350 2200 Рубидия бромид 693 1340 1390
Эрбия йодид 1020 1280 Рубидия хлорид 718
Кобальта ок. 1200 1400 Рубидия фторид 795 1410
фторид Сероводород -85,5 -60,7
Меди хлорид 620 993 Серная кислота 10,36 330 ± 0,5
Меди йодид 605 1290 (100%)
Индия 535 Т етрахл орсилан -70 57,57
антимонид Т етрафторсилан -90,2 -86
Индия арсенид 943 Кремния тетра- -185 -111,8
Индия фосфид 1070 гидрид (силан)
667 Европия бромид 677 1880 > 2000
Индия теллурид
Магния хлорид 714 1261 1412 Европия хлорид Европия 727 1380
> 2400
Магния фторид 2239 фторид (EuF2)
Магния оксид 2852 3600 Европия 1390 2280
Натрия амид 210 400 фторид (EuF3)
Натрия 966 1434 Европия йодид 527 1580
метаборат (EuI2)
Натрия бромид 747 1390 Фтора диоксид -223,8 -144,8
Натрия хлорид 801 1413 Фтороводород -83,1 19,54
Натрия цианид 563,7 1496 Галлия арсенид 1238
Натрия 993 1695 Галлия 164 535
фторид 1 дихлорид
23.1. Характеристические температуры
Вещество Точка плав- ления 9, °C Точка ки- пения 0,°С Вещество Точка плав- ления 0, °C Точка ки- пения 0,°С
Галлия 77,9 ± 0,2 201,3 Тербия 1172 2280 (?)
трихлорид фторид
Гольмия бромид 914 1470 Тербия йодид 946 > 1300
Гольмия хлорид 718 1500 Таллия бромид 480 815
Гольмия йодид 989 1300 Таллия хлорид 430 720
Гольмия фторид 1143 > 2200 Тория карбид 2655 ± 25 ок. 5000 (?)
Кадмия бромид 567 863 Тория 566 839
Кадмия хлорид 568 960 тетрайодид
Кадмия фторид 1100 1758 Тория оксид 3220 ± 50 4400
Кадмия йодид 387 796 Тулия бромид 952 1440
Кадмия оксид > 1500 субл. 1559 Тулия фторид 1158 > 2200
Кадмия 1121 1091 Тулия йодид 1015 1260
теллурид Титана карбид 3140 ± 90 4820
Калия бромид 734 1435 Титана фторид 1200 1400
Калия хлорат 356 дисс. 400 Титана дийодид 600 1000
Калия перхлорат 610 ± 10 дисс. 400 Титана нитрид 2930
Калия 360,4 ± 0,7 1320-1324 Титана диоксид 1830-1850 2500-3000
гидроксид Титана 1750 > 3000
Кальция бромид 742 1815 моноксид
Кальция 1339 дисс. 898,6 Ванадия 2810 3900
карбонат карбид
Кальция хлорид 782 > 1600 Ванадия 1967
Водорода -89,6 70,7 диоксид
дисульфид Ванадия 690 дисс. 1750
Вода тяжелая 3,82 101,42 (У)-оксид
Висмута бромид 218 453 Ванадия (Ш)-оксид 1970
Висмута селенид Висмута сульфид 710 дисс. 685 дисс. Водорода перекись Вольфрама -0,41 150,2
1610 2870 ± 50 6000
Кремния диок- сид (кварц) 2230 карбид Вольфрама 2860 6000
Стронция 875 1250 дикарбид
хлорид Иттербия 677 1800
Стронция фторид 1473 2489 бромид Иттербия 702 1900
Стронция оксид 2430 ? 3000 хлорид
Теллура бромид 210 339 Иттербия 1052 2380
Тербия бромид 827 | 1490 фторид
23.1 /4. Точки плавления и точки кипения
органических соединений
Соединение Общая формула Точка плавления 9, °C Точка кипения 0, °C
Алканы (предельные углеводороды)
Метан СН4 -182,48 -161,49
Этан СН3СН3 -183,27 -88,62
Пропан СН3СН2СН3 -187,69 -42,07
Бутан СН3(СН2)2СН3 -138,35 -0,5
Пентан СН3(СН2)3СН3 -129,72 36,07
Гексан СН3(СН2)4СН3 -95,35 68,74
Гептан СН3(СН2)5СН3 -90,61 98,42
Октан СН3(СН2)бСН3 -56,8 125,66
Нонан СН3(СН2)7СН3 -53,52 150,79
Декан СН3(СН2)8СН3 -29,66 174,12
Изобутан (СН3)2СНСН3 -159,6 -11,73
Изопентан (СН,)2СНСН2СН3 -159,9 27,85
Алкены (олефины)
Этилен сн2 = сн2 -169,15 -103,71
Пропилен СН2 = СНСНз -185,25 -47,7
Циклогексен СН2(СН2)3СН = сн -103,7 83,2
Алкины (ацетиленовые углеводороды)
Этин сн = сн -80 -83,4
Пропин СН3С = сн -102,7 -23.22
Ароматические углеводороды
Бензол од6 5,53 80,1
Нафталин СОД 80,29 217,95
Толуол СбН5СН3 -94,99 110,63
Этилбензол С6Н5СН2СН3 -94,98 136,19
Пропилбензол С6Н5(СН2)2СН3 -99,5 159,22
о-ксилен С6Н4(СН3)2 -25,18 144,41
Стирол С6Н5СН = сн2 -30,63 145,2
Амины
Метиламин ch3nh2 -93,49 -6,33
Диметиламин (CH3)2NH -92,19 6,88
Триметиламин (CH3)3N -117,3 2,87
Соединение Общая формула Точка плавления 0, °C Точка кипения е, °с
Этиламин CH3CH2NH2 -81 16,58
Пропиламин ch3ch2ch2nh2 -83 48,5
Анилин c6h5nh2 -63 184,13
Органические галогенные соединения
Метилхлорид СН3С1 -97,72 -24,22
Метилбромид СН3Вг -93,6 3,56
Метилйодид СН31 -66,45 42,43
Дихлорметан СН2С12 -95,14 39,75
Трихлорметан СНС13 -63,49 61,73
Т етрахл орметан СС14 -23.02 76,54
Т етрабромметан СВг4 92 190
Тетрайодметан С14 171 135
Этилхлорид СН3СН2С1 -136,4 12,27
Этилбромид СН3СН2Вг -117,6 38,35
Хлорбензол С6Н5С1 -45,58 131,7
Бромбензол С6Н5ВГ -30,82 156,06
Йодбензол С6Н51 -30,63 145,2
Спирты
Метанол СН3ОН -97,68 64,51
Этанол СН3СН2ОН -114,1 78,32
Пропанол-1 СН3СН2СН2ОН -126,2 97,2
Бутанол-1 СН3(СН2)2СН2ОН -89,3 117,73
Пропанол-2 СН3СНОНСН3 -88,5 82,5
Пентанол-1 СН3(СН2)3СН2ОН -78,2 138,35
Этиленгликоль СН2ОНСН2ОН -13,56 197,3
Глицерин СН2ОНСНОСН2СН3 18,6 290
Циклогексанол СН2(СН2)4СНОН 25,15 161,5
Простые эфиры
Диметиловый эфир СН3ОСН3 -141,49 -24,84
Диэтиловый эфир СН3СН2ОСН2СН3 -116,3 34,55
Метилфениловый эфир С6Н5ОСН3 -37,3 154
Альдегиды
Формальдегид нсно -92 -19,1
Ацетальдегид СН3СНО -123 20,4
Соединение Общая формула Точка плавления о, °с Точка кипения 0, °C
Пропионовый альдегид СН3СН2СН2СНО -80 48
0 Бутаналь СН3СН2СН2СНО -96,4 74,8
Изобутерольный альдегид (СН3)2СНСНО -65 64,1
Бензойный альдегид С6Н5СНО -26 178
Кетоны
Ацетон СН3СОСН -94,7 56,29
Этилметилкетон СН3СН2СОСН3 -86,69 79,64
Ацетофенон С6Н5СОСН3 19,65 202
Карбоновые кислоты
Муравьиная кислота нсоон 8,4 100,56
Уксусная кислота СН3СООН 16,63 117,9
Пропионовая кислота СН3СН2СООН -20,8 140,99
Масляная кислота СН3СН2СН2СООН -4,26 163,53
Хлоруксусная кислота С1СН2СООН 63 189,5
Дихлоруксусная кислота С12СНСООН 10,8 192,5
Трихлоруксусная кислота С13ССООН 56,3 197,55
Глицин NH2CH2COOH 234 286
Молочная кислота СН3СНОНСООН 18 56
Щавелевая кислота СО2НСООН 157 189,5
Адипиновая кислота СО2Н(СН2)4СООН 152 267
Бензойная кислота С6Н5СО2Н 121,7 249
Дериваты карбоновых кислот
Ацетил хлорид СН3СОС1 -112 51
Ацетилбромид СН3СОВг -96 76,7
Ацетилйодид CH3COJ 0 108
Ацетамид CH3CONH2 82,15 221,1
Метиловый эфир муравьиной кислоты НСО2СН3 -99 32
Метиловый эфир уксусной кислоты СН3СО2СН3 -98,05 56,9
Этиловый эфир уксусной кислоты СН3СО2СН2СН3 -39,5 77,1
Ангидрид уксусной кислоты (СН3СО)2О -73,05 140
Другие вещества
Мочевина NH2CONH2 132,75 Разлагается
23.1. Характеристические температуры
23.1/5. Точка плавления Tf и точка кипения Ts масел
Вещество Tf, °C Ts, °C Вещество Tf, °C Ts, °C
Дизельное топливо -5 60...300 Газойль -30 200...300
Котельное топливо -5 200...350 Льняное масло -15 316
Машинное масло -5 380...400 Керосин -70 150...300
Деготь -15 300 Скипидар -10 160
Трансформаторное масло -5 175 Бензин -30...-50 67...100
23.1/6. Температуры плавления
высокотемпературной керамики
Вещество 0пл,°С Вещество 0ПЛ, °C Вещество 0ПЛ, °C Вещество ^ПЛ9 C
HfC 3890 ± 150 NbB4 2900 WB(a) 2400 ± 100 Be3N5 2205
ТаС 3880 ± 150 VC 2810 UB2 2385 BaS 2205
ZrC 3530 HfO2 2790 VN 2360 Be3N2 2200
NbC 3480 W2B 2770 ± 80 MoB 2350 Ti2B 2200
HfB2 3250 ± 100 W2C 2730 ± 15 UC 2315 CrB2 2200 ± 50
TiN 3205 uo2 2730 La2O3 2310 TaSi2 2200
TiC 3147 wc 2720 yc2 2300 ± 50 Nd2S3 2200
TaB2 3100 MoC 2700 W2B5 2300 ± 50 GeB6 2190
TaN 3087 ± 50 ZrO2 2700 BeB6 2300 WSi2 2165
NbB2 3000 ZrBi2 2680 YB6 2300 ThB6 2150
HfN 2982 YN 2670 CaC2 2300 ZrSi 2150
ZrN 2982 ThC2 2656 ± 75 Th2S 2300 Mo2B 2140
TiB2 2980 ScN 2650 Th4S7 2300 NdS 2140
ThO2 2950 UN 2650 ± 100 NbB 2280 Ti5Si3 2120
ThN 2630 ± 50 BeO 2440 ScB2 2250 GdB6 2100
CoO 2603 Cr2O2 2400 Mo3B4 2250 Th3N4 2100
NbB6 2540 Nb5Si3 2440 VB 2250 MoB2 2100
SmB6 2540 TaB 2430 Zr5Si3 2250 La2S3 2100
LaB6 2530 ThS 2425 uc2 2250 V3B2 2070
Ta4Si 2510 TaS 2425 SrB6 2235 A12O3 2050
MgO 2500 Nb2N 2420 UB12 2235 CrB 2050
Ta5Si3 2500 Y2O3 2410 CaB6 2230 Ce3S4 2050 ± 75
UB4 2495 AIN 2400 BaB6 2230 MoSi2 2030
SrO 2460 U2C 2400 Ba3N2 2220 TiO 2020
CeS 2450 VB2 2400 ± 50 ThB4 2210 A12O3 • BaO 2000
23.1/7. Температуры плавления легкоплавких сплавов
в эвтектической точке
Вещество 0пл, °C Вещество 0пл, °C
(92,2 % Hg; 2,8 % Na) -48,2 (90 % К; 10 % Na) 17,5
(94,5 % Cs; 5,5 % Na) -30 (56 % Na; 44 % K) 19
(93 % Cs; 7 % N) -28 (85,2 % Na; 14,8 % Hg) 21,4
(78 % K; 22 % Na) -11,4 (60 % Na; 40 % K) 26
(80 % K; 20 % Na) -10 (70 % Na; 30 % K) 41
(91,8 %Rb;8,2 % Na) -4,5 (50 % Na; 50 % Hg) 45
(70 % K; 30 % Na) -3,5 (70 % Hg; 30 % Na) 55
(60 % K; 40 % Na) 5 (80 % Na; 20 % K) 58
(50 % K; 50 % Na) 11 (60 % Na; 40 % Hg) 60
23.1.3. Температуры Кюри и Нееля
23.1/8. Ферромагнитный фазовый переход —
температура Кюри
Вещество TC,K Вещество TC,K Вещество TC,K
Co 1400,15 Ni 627,15 Алперм (16 Al) 673,15
Dy 105,15 ГЬ 221 Пермаллой (78,5 Ni) 873,15
Er 29,15 Tm 22(?) Суперпермаллой (78,5 Ni) 673,15
Fe 1033,15 FeRh 675 Хайперник (50 Ni) 773,15
Gd 289,15 CrO7 380,15 Пермендур (50 Co) 1253,15
Ho 29,15 UH3 180,15 Перминвар (25 Co, 45 Ni) 988,15
MnSb 587,15 Кремний- железо (4 Si) 963,15 Перминвар (7 Co, 70 Ni) 923,15
23.1/9. Антиферромагнитные фазовые переходы —
температура Нееля
Вещество к Вещество Вещество Вещество
Ce 125 Eu 87 Mn 103,15 Sm 15
CoCl2 521,45 FeCO3 57,15 MnF2 66,45 Tb 229
CoO 274,93 FeCl2 23,45 MnO 122,15 TiCl2 103,15
Cr 473,15 FeF2 78,35 Nd 7,5 Tm 51-60
Cr2O3 305,95 FeO 198,15 NiCl2 49,55
Dy 178,5 FeRh 350 NiO 523,15
Er 85 Ho 131,55 Pr < 1,5
23.2. Характеристики реальных газов
23.1/10. Ферроэлектрические и антиферроэлектрические
переходы — температура Кюри
Вещество Тип пере- хода тс,к Вещество Тип пере- хода тс,к Вещество Тип пере- хода Tc, К
ВаТЮ3 F 193,15 КН2РО4 F 123,15 NaTaO3 AF 748,15
F 278,15 KNbO3 F 708,15 PbTiO3 F 763,15
F 393,15 КТаО3 F 13,15 PbZrO3 AF 506,15
CsH2PO4 F 160,15 (NH4)H2PO4 AF 148,15 RbH2PO4 F 147,15
KD2PO4 F 216,15 NaNbO3 AF 793,15 WO3 AF 1010,15
23.2. Характеристики реальных газов
23.2/1. Величина температуры, давления и плотности
в критической точке
Газ Тс, К Рс’ МПа Рс’ 102 кг/м3 Газ Тс, К Рс, МПа Рс’ 102 кг/м3
Кислород 155 5,06 4,1 Этан 305 4,88 2,03
Азот 126 3,39 з,п Пропан 370 4,24 2,20
Водород 33 1,29 0,31 Бутан 425 3,78 2,28
Гелий 5 0,23 0,69 Изобутан 408 3,64 2,21
Неон 44 2,72 4,84 Аммиак 405 ИД 2,35
Аргон 151 4,85 5,31 Сероводород 374 8,98 3,49
Хлор 417 7,69 5,73 Этилен 283 5,10 2,27
Монооксид углерода 133 3,48 3,01 Ацетилен (этин) 309 6,22 2,31
Диоксид углерода 304 7,36 4,68 Двуокись азота 310 7,24 4,59
Диоксид серы 431 7,86 5,24 Монооксид азота 180 6,56 5,20
Метан 191 4,62 1,62 Дифтордихлор- метан 385 4,10 5,55
Воздух 132 3,77 Трифторметан 471 4,36 5,54
23.2/2. Молярная масса, удельная газовая постоянная
и плотность газов
Плотность указывается для нормальных условий Т = 273,15 К, р = 101325 Па.
Газ М, ГМОЛЬ-1 U а а вЧ1 h £ Газ М, ГМОЛЬ-1 Rs, Дж-К'1 кг'1 S ь с£
Воздух 28,96 286,91 1,293 Аммиак 17,03 487,9 0,771
Хлор 70,91 117,19 3,214 Монооксид углерода 28,01 296,67 1,250
Метан 16,04 517,97 0,717 Диоксид углерода 44,01 188,81 1,977
Этан 30,07 276,35 1,357 Кислород 32,00 259,69 1,429
Этилен 28,05 296,21 1,260 Азот 28,02 296,61 1,250
Этин 26,04 319,14 1,175 Монооксид азота 30,01 276,93 1,340
Пропан 44,10 188,45 2,010 Водород 2,02 4122,0 0,0899
Пропилен 42,08 197,48 1,915 Водяной пар 18,02 461,25 0,804
23.2/3. Постоянные Ван-дер-Ваальса
Газ а, Н*М4МОЛЬ-2 Л, 10-6 м3-моль-1 Газ а, Н-м4моль-2 10-6 м3-моль-1
Ацетон 1,58 98,5 Неон 0,21 17,1
Аммиак 0,422 37,2 Пропан 0,92 84,5
Аргон 0,136 32,3 Пропанол-1 1,5 101
Этанол 1,22 84 Кислород 0,138 31,8
Гелий 0,0035 23.8 Азот 0,141 39,2
Криптон 0,234 39,9 Вода 0,555 30,5
Метан 0,228 27,1 Водород 0,0245 26,6
Метанол 0,95 67 Ксенон 0,415 51
23.2/4. Давление и температура в тройной точке
Вещество к А’ гПа Вещество Т„ к Гл гПа
Аммиак 195,5 60,6 Неон 24,56 431
Диоксид углерода 216,56 5180 Параводород 13,81 70,4
Кислород 543,6 1,5 Вода 273,16 6,1
Азот 63,14 12,53
23.3. Термические свойства веществ
23.3.1. Вязкость
Вязкость указывается при температуре 0°С или 20°С и при нормальном дав-
лении.
23.3/1. Динамическая вязкость газов
Газ л(о °C)/ (10-6 Па с) Л (20 °C)/ (IO 6 Па с) Газ л(0 °C)/ (10-6 Па с) Л (20 °C)/ (IO 6 Па с)
Аммиак 9,3 10,2 Воздух 17,2 18,4
Хлор 12,3 13,5 Метан 10,2 11,0
Этилен 9,4 10,3 Диоксид серы 11,6 12,8
Ацетилен (этин) 9,5 10,4 Кислород 19,2 20,7
Монооксид углерода 16,6 18,0 Азот 16,5 17,8
Диоксид углерода 13,7 15,0 Водород 8,4 9,0
23.3/2. Динамическая вязкость жидкостей
Вещество л (0 °C)/ (10-6 Па с) Л (20 °C)/ (IO 6 Па с) Вещество л (0 °C)/ (10-6 Па с) Л (20 °C)/ (10-6 Па с)
Ацетон 395 322 Метанол 820 587
Бензол 910 648 Пентан 282 232
Трихлорметан 700 570 Ртуть 1685 1554
Этанол 1780 1200 Толуол 768 585
Гептан 517 409 Вода 1792 1002
23.3.2. Тепловое расширение, теплоемкость
и термическая проводимость
В приведенных ниже таблицах указаны следующие данные:
• температурный коэффициент линейного расширения а при 25 °C,
• удельная теплоемкость ср при постоянном давлении при 25 °C,
• термическая проводимость X при 27 °C.
29—3814
Глава 23. Таблицы к разделу «Термодинамика»
23.3/3. Термические свойства чистых металлов
Металл 1-Я 9-01 'i- * J’ s aS <4 Металл a, IO 6 К1 ь А 1, Вт-м^-К1
Алюминий 23,1 0,897 237,0 Ниобий 7,3 0,265 53,7
Сурьма 11,0 0,207 24,3 Осмий 5,1 0,130 87,6
Барий 20,6 0,204 18,4 Палладий 11,8 0,244 71,8
Бериллий 11,3 1,825 200,0 Платина 8,8 0,133 71,6
Свинец 28,9 0,129 35,3 Плутоний 46,7 6,74
Кадмий 30,8 0,232 96,8 Полоний 20,0
Цезий 0,242 35,9 Празеодим 6,7 0,193 12,5
Кальций 22,3 0,647 200,0 Прометий 11 15,0
Церий 5,2 0,192 11,3 Ртуть 0,140 8,34
Хром 4,9 0,449 93,7 Рений 6,2 0,137 47,9
Кобальт 13,0 0,421 100,0 Родий 8,2 0,243 150,0
Диспрозий 9,9 0,173 10,7 Рубидий 0,363 58,2
Железо 11,8 0,449 80,2 Рутений 6,4 0,238 117,0
Эрбий 12,2 0,168 14,5 Самарий 12,7 0,197 13,3
Европий 35 0,182 14,0 Скандий 10,2 0,568 15,8
Гадолиний 9 0,236 10,5 Серебро 18,9 0,235 429,0
Галлий 0,371 40,6 Стронций 22,5 0,301 35,3
Золото 14,2 0,129 317,0 Тантал 6,3 0,140 57,5
Гафний 5,9 0,144 23,0 Технеций 50,6
Гольмий 11,2 0,165 16,2 Тербий 10,3 0,182 ИД
Индий 32,1 0,233 81,6 Таллий 29,9 0,129 46,1
Иридий 6,4 0,131 147,0 Торий 11,0 0,113 54,0
Калий 0,757 102,4 Туллий 13,3 0,160 16,9
Медь 16,5 0,385 401,0 Титан 8,6 0,523 21,9
Лантан 12,1 0,195 13,4 Висмут 13,4 0,122 7,87
Литий 46 3,582 84,7 ВольфрахМ 4,5 0,132 174,0
Лютеций 9,9 0,154 16,4 Уран 13,9 0,116 27,6
Магний 24,8 1,023 156,0 Ванадий 8,4 0,489 30,7
23.3. Термические свойства веществ
Металл ч© О S ср, Дж-Н-К1 к, Втм^К1 Металл l-я 9-ОХ Ср, Дж г^ к1 £
Марганец 21,7 0,479 7,82 Иттербий 26,3 0,155 38,5
Молибден 4,8 0,251 138,0 Иттрий 10,6 0,298 17,2
Натрий 71 1,228 141,0 Цинк 30,2 0,388 116,0
Неодим 9,6 0,190 16,5 Олово 22,0 0,228 66,6
Нептуний 6,3 Цирконий 5,7 0,278 22,7
Никель 13,4 0,444 90,7
23.3/4. Термические свойства конструкционных
и строительных материалов
Материал a, IO 6 К1 ср, Дж г ^К1 к, Вт-м^-К1
Металлы
Сталь, V2A 16,0 0,51 14
Сталь, нелегированная И...13 0,49 47...58
Чугун 10,5 0,532 58
Алюминий-бронза 24 0,435 128
Бронза 17,5 0,37 64
Константан 15 0,410 23,3
Латунь 18 0,385 113
Монель-металл 14 0,43 19,7
Мельхиор 18,36 0,398 48
Фосфористая бронза 18,9 0,36 110
Бетон
Нормальный бетон (1:2:4) 12 0,88 1,4...1,5
Железобетон 10...15 0,88 0,39...1,6
Древесина
Дуб « 3 2,4 0,17
Клен « 3 1,6 0,16
Береза « 3 1,9 0,142
Бук « 3 2,1 0,17
Материал a, IO 6 К1 Ср, Джг’-К1 1, Втм^К1
Ольха « 3 1,4 0,17
Ясень « 3 1,6 0,16
Сосна « 3 1,4 0,14
Ель « 3 2,1 0,14
Строительные материалы
Кирпич 6 0,92 1
Песчаник 7...12 0,71 2,3
Шамота 5 0,8 « 1,2
Шифер 0,76 « 0,5
Мрамор « 11 0,84 2,8
Стекло
Оконное стекло 7,9 0,84 0,81
Кварцевое стекло 0,6 0,73 0,81
Стекловата 0,84 « 0,04
23.3/5. Термические свойства газов
Вещество СР’ 1 Джг с«’ 4.К1 х, Втм-^К1 Вещество ср’ | Джт’1 ст>’ •к1 х, Вт-м^-К1
Этилен 1,47 1,173 0,017 Воздух, сухой 1,005 0,718 0,02454
Аммиак 2,056 1,568 0,022 Метан 2,19 1,672 0,030
Аргон 0,52 0,312 0,016 Неон 1,03 0,618 0,046
Ацетилен 1,616 1,300 0,018 Пропан 1,549 1,360 0,015
Хлор 0,473 0,36 0,0081 Кислород 0,909 0,649 0,024
Хлороводород 0,795 0,567 0,013 Углеводород 0,582 0,473 0,0069
Колошниковый газ 1,05 0,75 0,02 Диоксид серы 0,586 0,456 0,0086
Гелий 5,20 3,121 0,143 Сероводород 0,992 0,748 0,013
Диоксид углерода 0,816 0,627 0,015 Азот 1,038 0,741 0,024
Монооксид углерода 1,038 0,741 0,023 Водород 14,05 9,934 0,171
Криптон 0,25 0,151 0,0088 Водяной пар (100°С) 1,842 1,381 0,016
Светильный газ 2,14 1,59 Ксенон 0,16 0,097 0,0051
23.3/6. Термические свойства жидких веществ
Вещество Ср? Дж-г’^К1 к, Втм^К1 Вещество Ср» Дж-Н-К’1 к, Вт-м^-К1
Диэтиловый эфир 2,298 0,13 Ртуть 0,138 10
Этиловый спирт 2,38 Сурепное масло 1,97 0,17
Ацетон 2,22 0,16 Азотная кислота, КОНЦ. 1,72 0,26
Бензин 2,02 0,13 Смазочное масло 2,09 0,13
Бензол 1,70 0,15 Серная кислота, КОНЦ. 1,42 0,47
Дизельное топливо 2,05 0,15 Трансформа- торное масло 1,88 0,13
Глицерин 2,37 0,29 Трихлорэтилен 0,93 0,12
Котельное топливо 2,07 0,14 Толуол 1,67 0,14
Льняное масло Керосиновый эфир 1,88 1,76 0,17 0,14 Вода 4,187 0,60
23.3/7. Термические свойства искусственных материалов
Материал а, 10 б К’1 ср, Дж г ^К1 к, Вт-м^-К1
Акрил 90 1,5
Поливинилхлорид (ПВХ); гибкий 240 1...2 0,16
Поливинилхлорид (ПВХ); твердый 50 0,9 0,16
Полиэтилен 2,3
Полистирол 70 1,3
Полиэстер 80 2,1 0,23
Полиэстер, 70 % стекловолокна 12 0,17
Бакелит (с древесной мукой) 50 1,5 0,34
Бакелит (с Асбестом) 30 1,3 0,60
Резина (легко вулканизированная) 220 2,1 0,15
Резина (с сажей) 160 1,6 0,17
23.3/ 8. Теплопроводность и удельная теплоемкость
твердых веществ
Материал Ср? Джт’^К"1 к, Втм-^К1 Материал Ср? Дж-г^К”1 Втм-^К1
Асбест 0,816 Смола 0,13
Базальт 0,86 1,67 Фарфор « 1 «1
Лед 2,09 2,33 Кварц 0,80 9,9
Гипс 1,1 0,81 Сажа 0,84 0,07
Слюда 0,87 0,35 Песок, сухой 0,80 0,58
Графит 0,71 168 Наждак 0,96 11,6
Эбонит 1,42 0,17 Снег 4,187
Древесный уголь 0,84 0,084 Карбид кремния 0,67 15,2
Известняк 0,909 2,2 Каменный уголь 1,02 0,24
Котельная накипь 0,80 1,2...3 Говяжий жир 0,88
Канифоль 1,30 0,317 Томпак 0,381 159
Пробковая корка « 2,0 « 0,05 Глина, сухая 0,88 « 1
Мел 0,84 0,92 Торфяная пыль, сухая 1,9 0,08
Кожа, сухая « 1,5 0,15 Вулканизиро- ванная фибра 1,26 0,21
Бумага Парафин 1,336 3,26 0,14 0,26 Воск 3,34 0,084
23.3/9. Теплопроводность теплоизоляционных материалов
Материал х, Вт-м^-К1 Материал х, Вт-м^-К1
Гибкий материал в лагах Навалочный материал
Войлок 0,038 Минеральная вата 0,037...0,042
Бальзамическая шерсть 0,039 Стекловата 0,042
Сукно, 75 % шерсть, 25 % лен 0,039 Пробковый гранулат 0,043...0,045
Сукно, 50 % шерсть, 50 % лен 0,038 Гипсовый порошок 0,075...0,086
Льняное волокно между слоями бумаги 0,04 Опилки 0,059...0,061
Термофильц (лен и асбест) 0,053 Древесный уголь 0,052...0,056
23.3. Термические свойства веществ
23.3/10. Теплопроводность при различных температурах
Вещество к, ОТ/Вт м ’ К1 1, ЗО’С/Вт м ’ К-1 1, 100°С/Втм -1-К-1
Асбест 0,15 0,18 0,195
Ацетон 0,17 0,16 0,15
Анилин 0,19 0,177 0,167
Этанол 0,188 0,177 -
Касторовое масло 0,184 0,177 0,172
Пенобетон 0,11 0,11 0,13
Вода 0,551 0,648 0,683
23.3/11 .Коэффициент объемного расширения воды
при различных температурах
0, °C у, IO’4 К1 ф п у, 104 К1
5-10 0,53 20-40 3,02
10-20 1,50 40-60 4,58
20 2,07 60-80 5,87
23.3/12. Объемное расширение жидкостей
Значения коэффициента объемного расширения жидкостей указаны для
температуры 18 °C.
Вещество у, IO'4 К1 Вещество у, 10'4 К1
Ацетон 14,3 Керосин 10,0
Анилин 8,5 Метанол 11,9
Трихлорметан 12,8 Пропанол-1 9,8
Диэтиловый эфир 16,3 Ртуть 1,8
Этанол 11,0 Азотная кислота 12,4
Нефть 9,2 Скипидар 9,4
Глицерин 5,0 Толуол 10,8
Глава 23. Таблицы к разделу «Термодинамика»
23.4. Теплопередача
23.4/1. Коэффициент теплопередачи к в ——
(ориентировочные значения) м2 К
Материал Толщина стенки, см
0,3 1 2 5 10 12 15 20 25
Стекло Деревянная стена Бетон с гравием Шлаковый кирпич Железобетон 5,8 5,6 3,8 4,1 2,4 3,5 4,2 3,7 1,7 3,1 2,7 2,8 3,3 2,9 1,7
23.4/2. Коэффициент теплопередачи к в ——
для строительных материалов м • “
Материал Толщина стенки, см
Внутренняя стена Наружная стена
9 19 24 24 30 39 49
Полнотелый кирпич 2,56 1,94 1,73 2,00 1,78 1,45 1,22
Кирпич с продольными пустотами 2,00 1,63 1,36 1,50 1,28 1,10 0,87
Кирпич с вертикальными пустотами 2,36 1,69 1,49 1,69 1,48 1,19 1,00
Клинкер 2,73 1,99 2,35
Силикатный кирпич
Пустотелый кирпич 2,24 1,88 1,62 1,85 1,57 1,37 1,10
Полнотелый кирпич 2,52 2,19 1,94 2,28 1,97 1,74 1,43
Высокопрочный кирпич 2,56 2,23 2,02 2,35 2,04 1,80 1,49
Шлакобетонные камни 2,24 1,88 L60 1,81 1,57 1,37 1,10
Газобетон
600 кг-м-3 1,64 1,28 1,04 1,12 0,94 0,80 0,62
800 кг-м-3 1,77 1,41 1,15 1,26 1,06 0,91 0,71
1000 кг-м-3 1,90 1,52 1,26 1,38 1Л7 1,01 0,79
Легкобетонные полнотелые блоки
1200 кг-м-3 2,00 1,63 1,36 1,50 1,30 1,10 0,87
1400 кг-м"3 2,17 1,81 1,52 1,72 1,48 1,29 1,02
600 кг-м-3 2,36 1,99 1J1 _ 1,97 1,71 1,50 1,21
Легкобетонные пустотелые блоки
1400 кг-м"3 1,30 1,45 1,27
1600 кг-м-3 1,42 1,59 1,38
23.4/3. Коэффициент теплоотдачи a
(ориентировочные значения)
Условия а, Вт’м"2-К-1
Воздух вдоль плоской полированной поверхности:
скорость воздуха о < 5 м с1 5,6 + М - С’1
скорость воздуха и > 5 м с-1 / \0,78 7,12 -f—1 ^М -С'1 J
Воздух вдоль плоской железной поверхности:
скорость воздуха о < 5 м с1 5,8+ -4lJ- М -С’1
скорость воздуха о > 5 м-с1 Z \0,78 7,141 \ М - С’1 J
Воздух вдоль плоской каменной кладки:
скорость воздуха о < 5 м с"1 4Т 4>2v 6,2 + — М - С’1
скорость воздуха о > 5 м с"1 Z \0,78 7,52-f—— ^м - с1)
Воздух перпендикулярно металлической стене
неподвижный 3,5...35
слабо движущийся 23...70
сильно движущийся 58...290
Вода в трубе
неподвижная 350...580
'Т'О т/ч гттто сг 350 -4- 9100 ——U
i скущая V м-с-1
Вода в котлах 580...2300
Вода в котлах, перемешиваемая 2300...4700
Кипящая вода в трубах 4700...7000
Кипящая вода на металлической поверхности 3500...5800
Конденсирующийся водяной пар 11600
23.5. Практические поправочные данные
23.5.1. Измерение давления
р0 и р0 обозначают давление и плотность воздуха на уровне моря при темпе-
ратуре 15°С.
23.5/1. Нормальная атмосфера в относительных единицах
Высота, м Р/Ро Р/Ро 0, °C Высота, м Р/Ро Р/Ро О ф
0 1 1 15 5000 0,533 0,601 -17,5
1000 0,887 0,907 8,5 6000 0,465 0,538 -24
2000 0,784 0,822 2 7000 0,405 0,481 -30,5
3000 0,692 0,742 -4,5 8000 0,351 0,428 -37
4000 0,608 0,669 -11 10000 0,261 0,337 -50
23.5/2. Давление воздуха р как функция от высоты h
в абсолютных единицах
А, м р, гПа А, м р, гПа А, м р, гПа А, м р9 гПа
0 1013,25 700 931,9 2000 795,0 6000 471,8
100 1001,3 800 920,8 2400 756,3 8000 356,0
200 989,5 900 909,7 2800 719,1 10000 264,4
300 977,7 1000 898,8 3200 683,4 12000 193,3
400 966,1 1200 877,2 3600 649,2 15000 120,4
500 954,6 1400 856,0 4000 616,4 17500 81,2
600 943,2 1600 835,3 5000 540,2 20000 54,75
23.5.1.1. Пересчет на уровень моря
Данные по давлению, как правило, указываются для уровня моря. Для этого
необходима корректировка табличных данных. Должны учитываться высота
измерительной площадки над уровнем моря и разница температур между
измерительной площадкой и уровнем моря. Влияние географической широ-
ты, как правило, перекрывается неточностями температуры воздушного
столба. Корректировка данных производится следующим образом: из пер-
вой таблицы берется коэффициент, который учитывает высоту и температу-
ру воздуха. Потом из второй таблицы берется значение поправки, соответст-
вующее данному коэффициенту, которое необходимо прибавить к измеряе-
мой величине. Применяемая единица измерения является внесистемной:
торр = 1 мм рт. ст.
23.5/3. Коэффициент, учитывающий
температуру и высоту
Высота, м Температура воздушного столба, °C Высота, м Температура воздушного столба, °C
-16 0 16 28 -16 0 16 28
2000 1,2 1,1 1,0 1,0 3500 172,6 162,3 152,5 145,9
2100 11,5 10,8 10,2 9,7 3600 184,1 173,1 162,7 155,6
2200 23,0 21,6 20,3 19,5 3700 195,6 183,9 172,9 165,3
2300 34,5 32,5 30,5 29,2 3800 207,1 194,7 183,1 175,0
2400 46,0 43,3 40,7 38,9 3900 218,6 205,5 193,2 184,8
2500 57,5 54,1 50,9 48,6 4000 230,1 216,3 203,4 194,5
2600 69,0 64,9 61,0 58,3 4100 241,6 227,1 213,5 204,2
2700 80,6 75,7 71,2 68,1 4200 253,1 237,9 223,7 213,9
2800 92,1 86,5 81,4 77,8 4300 264,6 248,8 233,9 223,6
2900 103,6 97,4 91,5 87,5 4400 276,1 259,6 244,0 233,4
3000 115,1 108,2 101,7 97,3 4500 287,6 270,4 254,2 243,1
3100 126,6 119,0 111,9 107,0 4600 299,1 281,2 264,4 252,8
3200 138,1 129,8 122,0 116,7 4700 310,6 292,0 274,5 262,5
3300 149,6 140,6 132,2 126,4 4800 322,1 302,8 284,7 272,2
3400 161,1 151,4 142,4 136,2 4900 333,6 313,6 294,9 282,0
23.5/4. Аддитивный поправочный коэффициент
при измерении давления
К-т, учитыв. темпе- ратуру и высоту Величина, измеренная барометром в мм рт. ст. К-т, учитыв. темпе- ратуру и высоту Величина, измеренная барометром в мм рт. ст.
780 760 740 720 700 760 740 720 700 680 660
1 0,9 0,9 0,9 0,8 0,8 40 35,8 34,9 33,9 33,0 32,0 31,1
5 4,5 4,4 4,3 4,2 4,0 45 40,4 39,3 38,3 37,2 36,2 35,1
10 9,0 8,8 8,6 8,3 8,1 50 45,0 43,8 42,7 41,5 40,3 39,1
15 13,6 13,2 12,9 12,5 12,2 55 49,7 48,4 47,1 45,8 44,5 43,1
20 18,2 17,7 17,2 16,8 16,3 60 - 52,9 51,5 50,1 48,6 47,2
25 22,8 22,2 21,6 21,0 20,4 65 - 57,5 55,9 54,4 52,8 51,3
30 27,4 26,7 26,0 25,3 24,6 70 - 62,1 60,4 58,7 57,1 55,4
35 - 31,2 30,4 29,6 28,8 75 - 66,7 64,9 63,1 61,3 59,5
Глава 23. Таблицы к разделу «Термодинамика»
К-т, учитыв. темпе- ратуру и высоту Величина, измеренная барометром в мм рт. ст. К-т, учитыв. темпе- ратуру и высоту Величина, измеренная барометром в мм рт. ст.
720 700 680 660 640 680 660 640 620 600
80 69,5 67,5 65,6 63,7 61,7 125 105,3 102,2 99,1 96,0 92,9 -
85 74,0 72,0 69,9 67,9 65,8 130 109,8 106,6 103,3 100,1 96,9 -
90 78,6 76,4 74,2 72,1 69,9 135 114,3 111,0 107,6 104,3 100,9 -
95 83,2 80,9 78,6 76,3 74,0 140 118,9 115,4 111,9 108,4 104,9 -
100 87,9 85,4 83,0 80,5 78,1 145 123.5 119,9 116,3 112,6 109,0 -
105 - 89,9 87,4 84,8 82,2 150 128,2 124,4 120,6 116,9 113,1 -
ПО - 94,5 91,8 89,1 86,4 155 - 128,9 125,0 121,1 117,2 -
115 - 99,1 96,3 93,4 90,6 160 - 133,5 129,4 125,4 121,4 -
120 - 103,7 100,7 97,8 94,8 165 - 138,1 133,9 129,7 125,5 -
125 - 108,3 105,3 102,2 99,1 170 - 142,7 138,4 134?0 129,7
640 620 600 580 560 620 600 580 560 540
170 138,4 134,0 129,7 125,4 121,1 215 174,1 168,5 162,9 157,3 151,7 -
175 142,9 138,4 133,9 129,5 125,0 220 178,7 172,9 167,2 161,4 155,7 -
180 147,4 142,8 138,2 133,6 129,0 225 183,3 177,4 171,5 165,6 159,7 -
185 151,9 147,2 142,4 137,7 132,9 230 188,0 181,9 175,8 169,8 163,7 -
190 153,5 151,6 146,7 141,8 136,9 235 192,6 186,4 180,2 174,0 167,8 -
195 161,1 156,1 151,0 146,0 141,0 240 - 191,0 184,6 178,2 171,9 -
200 165,7 160,5 155,4 150,2 145,0 245 - 195,5 189,0 182,5 176,0 -
205 170,4 165,0 159,7 154,4 149,1 250 - 200,1 193,4 186,8 180,1 -
210 - 169,6 164,1 158,6 153,2 255 - 204,7 197,9 191,1 184,3
215 - 174,1 168,5 162,9 157,3 260 - 209,4 202,4 195,4 188,4
580 560 540 520 560 540 520 500 480
260 202,4 195,4 188,4 181,5 - 305 235,6 227,2 218,8 210,3 201,9 -
265 206,9 199,8 188,4 181,5 - 310 240,2 231,6 223,0 214,4 205,9 -
270 211,5 204,2 196,9 189,6 - 315 244,8 236,0 227,3 218,6 209,8 -
275 216,0 208,6 201,1 193,7 - 320 249,4 240,5 231,6 222,7 213,8 -
280 220,6 213,0 205,4 197,8 - 325 254,1 245,0 236,0 226,9 217,8 -
285 225,2 217,5 209,7 201,9 - 330 - 249,6 240,3 231,1 221,8 -
290 229,9 222,0 214,0 206,1 - 335 - 254,1 244,7 235,3 225,9 -
295 - 226,5 218,4 210,3 - 340 - 258,7 249,1 239,6 230,0 -
300 - 231,0 222,8 214,5 - 345 - 263,3 253,6 243,8 234,1 -
23.5. Практические поправочные данные
23.5.1.2. Измерения ртутным барометром
(корректировка температуры)
Причиной этой корректировки является термическое расширение ртути, а
также измерительной шкалы.
23.5/5. Барометрические измерения
с помощью латунной шкалы
Значения, приведенные в таблице, должны быть вычтены из измеряемой ве-
личины. Промежуточные значения могут быть получены с помощью линей-
ной интерполяции.
Температура 9, °C Измеряемая величина, мм
620 630 640 650 660 670 680 690 700
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0,51 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,56 0,57
10 1,01 1,03 1,04 1,06 1,08 1,09 1,11 1,13 1,14
15 1,52 1,54 1,56 1,59 1,61 1,64 1,66 1,69 1,71
20 2,02 2,05 2,08 2,12 2,15 2,18 2,21 2,25 2,28
25 2,52 2,56 2,60 2,64 2,68 2,72 2,77 2,81 2,85
30 3,02 3,07 3,12 3,17 3,22 3,27 3,32 3,36 3,41
35 3,52 3,58 3,64 3,69 3,75 3,81 3,86 3,92 3,98
710 720 730 740 750 760 770 780 790
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0,58 0,59 0,60 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,64
10 1,16 1,17 1,19 1,21 1,22 1,24 1,26 1,27 1,29
15 1,74 1,76 1,78 1,81 1,83 1,86 1,88 1,91 1,93
20 2,31 2,34 2,38 2,41 2,44 2,47 2,51 2,54 2,57
25 2,89 2,93 2,97 3,01 3,05 3,09 3,13 3,17 3,21
30 3,46 3,51 3,56 3,61 3,66 3,71 3,75 3,80 3,85
35 4,03 4,09 4,15 4,21 4,26 4,32 4,38 4,43 4,49
Глава 23. Таблицы к разделу «Термодинамика»
23.5/6. Барометрические измерения
с помощью стеклянной шкалы
Значения, приведенные в таблице, должны быть вычтены из измеряемой ве-
личины. Промежуточные значения могут быть получены с помощью линей-
ной интерполяции.
Температура 8, °C Измеряемая величина, мм
700 710 720 730 740 750 760 770 780
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0,060 0,061 0,062 0,063 0,064 0,064 0,065 0,066 0,067
10 0,121 0,122 0,124 0,126 0,127 0,129 0,130 0,132 0,134
15 0,181 0,184 0,186 0,189 0,191 0,193 0,196 0,198 0,201
20 0,242 0,245 0,248 0,252 0,255 0,258 0,261 0,264 0,268
25 0,303 0,307 0,311 0,315 0,319 0,323 0,327 0,331 0,335
30 0,363 0,368 0,373 0,378 0,383 0,387 0,392 0,397 0,402
23.5.2. Измерение объема — пересчет к нормальной
температуре
23.5/7. Корректировка температуры для водяных
растворов
Часто данные для водных растворов относятся к стандартной температуре
20 °C. Но измерение объема, однако, производится при других температу-
рах. В следующей таблице приведена аддитивная поправка к измеренному
значению объема по отношению к нормальному объему при 20 °C. Значение
коэффициента объемного расширения стекла предполагается равным
0,000025 на градус.
Температура 0, °C Объем при 20 °C
2000 1000 500 400 300 250 150
15 -1,54 -0,77 -0,38 -0,31 -0,23 -0,19 -0,12
16 -1,28 -0,64 -0,32 -0,26 -0,19 -0,16 -0,10
17 -0,99 -0,50 -0,25 -0,20 -0,15 -0,12 -0,07
18 -0,68 -0,34 -0,17 -0,14 -0,10 -0,08 -0,05
19 -0,35 -0,18 -0,09 -0,07 -0,05 -0,04 -0,03
21 0,37 0,18 0,09 0,07 0,06 0,05 0,03
22 0,77 0,38 0,19 0,15 0,12 0,10 0,06
23 1,18 0,59 0,30 0,24 0,18 0,15 0,09
23.5. Практические поправочные данные
Температура 0, °C Объем при 20 °C
2000 1000 500 400 300 250 150
24 1,61 0,81 0,40 0,32 0,24 0,20 0,12
25 2,07 1,03 0,52 0,41 0,31 0,26 0,15
26 2,54 1,27 0,64 0,51 0,38 0,32 0,19
27 3,03 1,52 0,76 0,61 0,46 0,38 0,23
28 3,55 1,77 0,89 0,71 0,53 0,44 0,27
29 4,08 2,04 1,02 0,82 0,61 0,51 0,31
30 4,62 2,31 1,16 0,92 0,69 0,58 0,35
23.5.2.1. Измерение объема с помощью
стеклянных измерительных приборов
23.5/ 8. Корректировка температуры при измерении
объема с помощью стеклянных измерительных приборов
В следующей таблице приведены значения аддитивной поправки, которые
необходимо вносить из-за термического расширения стекла по отношению
к 20 °C.
Температура 0, °C Измеренный объем, мм
2000 1000 500 400 300 250
15 -0,25 -1,12 -0,06 -0,05 -0,04 -0,031
16 -0,20 -0,10 -0,05 -0,04 -0,03 -0,025
17 -0,10 -0,08 -0,04 -0,03 -0,02 -0,019
18 -0,10 -0,05 -0,02 -0,02 -0,02 -0,12
19 -0,05 -0,02 -0,01 -0,01 -0,01 -0,006
21 0,05 0,02 0,01 0,01 0,01 0,006
22 0,10 0,05 0,02 0,02 0,02 0,012
23 0,15 0,08 0,04 0,03 0,02 0,019
24 0,20 0,10 0,05 0,04 0,03 0,025
25 0,25 0,12 0,06 0,05 0,04 0,031
26 0,30 0,15 0,08 0,06 0,04 0,038
27 0,35 0,18 0,09 0,07 0,05 0,044
28 0,40 0,20 0,10 0,08 0,06 0,050
29 0,45 0,22 0,11 0,09 0,07 0,056
30 0,50 0,25 0,12 0,10 0,08 0,062
23.6. Получение жидких низкотемпературных ванн
Для получения постоянной низкой температуры используются смеси жид-
кого и твердого вещества при температуре плавления. Содержимое этой
ванны должно перемешиваться. Охлаждение в зависимости от требуемой
температуры производится с помощью сухого льда (-78 °C) или жидкого
воздуха (-190°С). Для приготовления охлаждающих ванн используются ве-
щества, приведенные в следующей таблице (Тк — точка плавления, Ts —
точка кипения).
23.6/1. Жидкие ванны для низких температур
Вещество тк, “С Ts,°c Вещество тк,°с Ts, °с
Изопентан -159,9 27,85 Этилацетат -84 77
Метилциклопентан -142,4 71,8 Сухой лед + ацетон -78 -
Аллилхлорид -134,5 45 р-цимен -67,9 177,1
Пентан -129,7 36,1 Трихлорметан -63,5 61,7
Аллиловый спирт -129 97 N-метил ан алии -57 196
Этиловый спирт -117,3 78,5 Хлорбензол -45,6 132
Дисульфид углерода -110,8 46,3 Анизол -37,5 155
Изобутиловый спирт -108 108,1 Бромбензол -30,8 156
Ацетон -95,4 56,2 Тетрахлорметан -23 76,5
Толуол -95 110,6 Бензонитрил -13 205
23.7. Осушители
Осушение газов может производиться как с помощью абсорбции (химиче-
ское действие), так и с помощью адсорбции (физическое воздействие).
23.7/1. Эффективность химического осушения
Вещество Остаточная вода в мг/л в воздухе Вещество Остаточная вода в мг/л в воздухе
Р2О5 < мг в 40000 л NaOH распл. 0,16
Mg(C104)2 ангид. - СаВг2 0,18
ВаО 0,00065 СаС12 распл. 0,34
КОН распл. 0,002 Ва(С1О4)2 0,82
СаО 0,003 ZnCl2 0,85
H2SO4 0,003 ZnBr2 1,16
CaSO4 ангид. 0,005 СаС12 гранул. 1,5
А12О3 0,005 CuSO4 ангид. 2,8
23.8. Давление пара
23.7/2. Эффективность физического осушения
Осушители расположены в порядке увеличения эффективности:
Окись алюминия (сжигаемая при низких температурах)
Асбест
Древесный уголь
Глина
Фарфор (сжигаемый при низких температурах)
Стекловата
Кизельгур
Силикагель
Вымораживание
23.8. Давление пара
23.8.1. Растворы
23.8/1. Давление насыщенного пара при 20 °C
Вещество гПа Вещество Pd- гПа
Ацетон 240 Метанол 129
Бензол 100 Пентан 565
Трихлорметан 213 Т етрахл орметан 121
Диэтиловый эфир 584 Толуол 29,3
Этанол 587 Вода 23,4
23.8/2. Криоскопическая (К)
и эбуллиоскопическая (Е) постоянные
Вещество К/К £/К Вещество К/К Е/К
Аммиак 1320 340 Уксусная кислота 3900 3070
Бензол 5070 2640 Этанол - 1070
Диэтиловый эфир 1790 1830 Т етрахл оруглерод 29800 4880
Т етрахл орметан 4900 3800 Вода 1860 520
Глава 23. Таблицы к разделу «Термодинамика»
23.8.2. Относительная влажность
23.8/3. Психометрия
Определение относительной влажности производится на основании разно-
сти температур Д0, измеренных двумя термометрами, из которых один изме-
ряет температуру при 100%-ной влажности воздуха (0/), а другой — при
влажности помещения (0/?). При Д0 = О относительная влажность ср = 100 %.
Qr, °с (р в % при ДО, °C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 100 81 63 45 28 11 - - - - -
2 100 84 68 51 35 20 - - - - -
4 100 85 70 56 42 28 14 - - - -
6 100 86 73 60 47 35 23 10 - - -
8 100 87 75 63 51 40 28 18 7 - -
10 100 88 76 65 54 44 34 24 14 4 -
12 100 89 78 68 57 48 38 29 20 11 -
14 100 90 79 70 60 51 42 33 25 17 9
16 100 90 81 71 62 54 45 37 30 22 15
18 100 91 82 73 64 56 48 41 34 26 20
20 100 91 83 74 66 59 51 44 37 30 24
22 100 92 83 76 68 61 54 47 40 34 28
24 100 92 84 77 69 62 56 49 43 37 31
26 100 92 85 78 71 64 58 50 45 40 34
28 100 93 85 78 72 65 59 53 48 42 37
30 100 93 86 79 73 67 61 55 50 44 39
23.8.3. Давление паров воды
23.8/4. Давление паров воды при низких температурах
0, °C гПа 9, °C До- гПа 9, °C Рр, гПа 0, °C Р», гПа
0 6,0 10 12,1 20 23,4 30 43,2
2 7,0 12 13,8 22 27,0 32 48,6
4 8,0 14 15,8 24 30,5 34 54,3
6 9,2 16 18,6 26 34,3 36 60,6
8 10,5 18 21,1 28 38,6 38 67,6
23.8.
23.8/5. Давление пара и удельная энтальпия воды
Температура 0, °C Плотность р, кг-м-3 Уд. объем v, 10-3 м3-кг-1 Давление пара pD9 бар Уд. энтальпия А, кДж-кг-1
5 1000 1,0 0,0087 21,0
10 1000 1,0 0,0123 42,0
15 999 1,001 0,0170 62,9
020 998 1,002 0,0234 83,9
25 997 1,003 0,0317 104,8
30 996 1,004 0,0424 125,7
40 992 1,008 0,0738 167,4
50 988 1,012 0,1234 209
60 983 1,017 0,1992 251
70 978 1,023 0,3116 293
80 972 1,029 0,4736 335
90 965 1,036 0,7011 377
100 958 1,044 1,013 419
120 943 1,061 1,985 504
140 926 1,080 3,614 589
160 907 1,102 6,181 675
180 887 1,128 10,03 763
200 864 1,157 15,55 852
250 799 1,251 39,78 1085
300 712 1,404 85,93 1345
350 574 1,741 165,35 1672
Следующая таблица важна для описания насыщенного и влажного пара.
Индексы «D» или «W» относятся к пару или воде (кипящей), р — давление
пара, 0 — температура, h — удельная энтальпия.
23.8/6. Удельный объем и удельная энтальпия
водяного пара
р9 бар 9, °C v^9 10-3 м3-кг-1 Vp, м3-кг-1 h^, кДж-кг’1 hp, кДж-кг’1
0,01 6,98 1,0001 129,2 29,34 2514
0,02 17,53 1,0012 67,01 73,46 2533,6
0,04 28,98 1,0040 34,80 121,41 2554,5
0,06 36,18 1,0064 23,74 151,50 2567,5
р, бар 0, °C 10"3 м^кг"1 Гр, М3*КГ“Х Ии, кДж-кг"1 hp, кДж-кг"1
0,08 41,53 1,0084 18,10 173,86 2577,1
0,1 45,83 1,0102 14,67 191,83 2584,4
0,2 60,09 1,0172 7,650 251,45 2609,9
0,4 75,88 1,0265 3,993 317,65 2636,9
0,6 85,95 1,0333 2,732 359,93 2653,6
0,8 93,51 1,0387 2,087 391,72 2665,8
1,0 99,63 1,0434 1,694 417,51 2675,4
1,4 109,3 1,0513 1,236 458,42 2690,3
2,0 120,23 1,0608 0,8854 504,70 2706,3
3,0 133,54 1,0735 0,6056 561,43 2724,7
4,0 143,62 1,0839 0,4622 604,67 2737,6
5,0 151,84 1,0928 0,3747 640,12 2747,5
6,0 158,84 1,1009 0,3155 670,42 2755,5
8,0 170,41 1,1150 0,2403 720,94 2767,5
10,0 179,88 1,1274 0,1943 762,61 2776,2
12,0 187,96 1,1386 0,1632 798,43 2782,7
15,0 198,29 1,1539 0,1317 844,67 2789,9
20,0 212,37 1,1766 0,09954 908,59 2797,2
30,0 233,84 1,2163 0,06663 1008,4 2802,3
40,0 250,33 1,2521 0,04975 1087,4 2800,3
50,0 263,91 1,2858 0,03943 1154,5 2794,2
23.9. Удельная энтальпия
23.9/1. Удельная теплота сгорания Ни (средние значения)
Твердое вещество Ни, МДж-кг'1 Жидкое вещество Ни, МДж-кг-1 Газообразное вещество Ни, МДж-кг"1
Антрацит 33,4 Этиловый спирт 26,9 Ацетилен 85,99
Бурый уголь 9,6 Бензол 40,2 Бутан 124
Бурый уголь, тверд. 17 Диэтиловый эфир 34 Природный газ, влажн. 29
Бурый уголь, брикет 20 Нефть 41 Этан 64,5
Жирный уголь 31,0 Дизельное топливо 42,1 Природный газ, сухой 43,9
23.9. Удельная энтальпия
Твердое вещество Ни, МДж-кг'1 Жидкое вещество Ни, МДж’кг-1 Газообразное вещество Ни, МДж-кг’1
Кокс 29,2 Котельное топливо 41,8 Колошниковый газ 5
Древесина, сухая 13,3 Бензин 42,5 Метан 35,9
Тощий уголь 31,0 Метиловый спирт 19,5 Пропан 93,4
Торф, сухой 14,6 Керосин 40,8 Городской газ 20
Доменный кокс 30,1 Спирт (95%) 25,0 Водород 10,8
Древесный уголь 31 Каменноуголь- ная смола 34 Пропилен 88,0
23.9/2. Удельная энтальпия плавления
и парообразования чистых металлов
Металл Уд. энтальпия плавл., Ahs, кДж-кг’1 Уд. энтальпия парообр., Ahv, кДж-кг1 Металл Уд. энтальпия плавл., Ahs, кДж’КГ1 Уд. энтальпия парообр., Ahv, кДж-кг’1
Алюминий 397 10900 Иридий 117 3900
Сурьма 167 1050 Неодим 49,5 -
Барий 56 1100 Никель 303 6480
Бериллий 1390 32600 Ниобий 334 7492
Висмут 52,2 725 Осмий 289 -
Свинец 23,0 860 Палладий 157 -
Кадмий 56 890 Платина 111 2290
Цезий 16,4 496 Празеодим 48,9 -
Кальций 216 3750 Ртуть 11,8 285
Церий 39 2242 Рений 178 3797
Хром . 280 6700 Родий 218 -
Кобальт 275 6503 Рубидий 25,7 880
Диспрозий 68,1 - Рутений 193 -
Железо 277 6340 Самарий 57,3 -
Эрбий 119 - Скандий 314 6785
Европий 60,6 - Серебро 105 2350
Гадолиний 63,6 - Стронций 94 1585
Галлий 80,8 3640 Тантал 199 4162
Металл Уд. энтальпия плавл., Ahs, кДж-кг"1 Уд. энтальпия парообр., Ahv, кДж-кг"1 Металл Уд. энтальпия плавл., Ahs, кДж-кг"1 Уд. энтальпия парообр., Ahv, кДж-кг"1
Золото 65,7 1650 Тербий 67,9 -
Гафний 146 3703 Таллий 20,6 794,6
Гольмий 103 - Торий 59,5 2344
Индий 28,5 1970 Туллий 99 -
Лантан 81,3 2880 Титан 324 8990
Литий 603 20500 Уран 36,6 1731
Лютеций 126 - Ванадий 452 8998
Калий 59,6 1980 Вольфрам 192 4350
Медь 205 4790 Иттербий 44,3 -
Магний 368 5420 Иттрий 128 4421
Марганец 266 4190 Цинк 111 1755
Молибден 290 5610 Олово 59,6 2450
Натрий 113 390 j Цирконий 219 6382
23.9/3. Относительное изменение объема при плавлении
Вещество АГ/ V Вещество АК/ V Вещество AF/ V Вещество ДК/ V
Алюминий 0,066 Литий 0,015 Галлий -0,03 Серебро 0,05
Сурьма -0,0094 Магний 0,042 Золото 0,0519 Вода (лед) -0,083
Свинец 0,036 Натрий 0,025 Индий 0,025 Цинк 0,069
Кадмий 0,047 Ртуть 0,036 Калий 0,024 Олово 0,026
23.9/4. Температурная зависимость
теплоты парообразования
Вещество 0 °C 20 °C 60 °C 100 °C 140 °C 180 °C 220 °C
Метанол 1220 1190 изо 1030 906 743 472
Этанол 927 925 894 827 717 584 370
Пропанол-1 - - - 688 598 488 358
Диэтиловый эфир 388 367 329 287 234 134 -
Уксусная кислота - 352 376 387 385 368 344
23.9. Удельная энтальпия
23.9/5. Удельная энтальпия плавления ДНа
и удельная энтальпия парообразования ДНУ
Вещество Ahs, кДж* кг1 Ahv, кДж-кг'1 Вещество Ahs, кДж-кг1 кДж-кг'1
Ацетон 98 525 Криптон 19,52 108
Алюминия оксид 1069 4730 Метан 58,62 510
Муравьиная кислота 276 432 Метанол 92 1100
Аммиак - 1370 Метилацетат - 406
Аргон 29,44 163 Нафталин 148 314
Бензол 128 394 Натрия хлорид 500 2900
Бор 2055 50000 Неон 16,58 91,2
Бром 67,8 183 Нитробензол 94,2 397
Бутан 80,34 385 Октан 181 299
Бутиловый спирт 121,35 616 Озон - 316
Хлор 90,48 290 Пентан 116 360
Трихлорметан 75 279 Пентанол-1 - 502
Хлороводород - 443 Фенол 122 510
Дейтерий 98,5 304 Фосфор, белый 21,0 400
Диэтиловый эфир - 384 Фосфора тригидрид 33,33 430
Уксусная кислота 192 406 Пропан 57,36 426
Этан 95,23 489 Пропанол-1 86,5 750
Этанол 108 840 Пропилен 71,48 438
Этилен 119,68 483 Пиридин 105 450
Этил хлорид - 382 Сахар 56 -
Фтор 81,9 172 R Кислород 13,87 213
Фтороводород - 375 Сера 42 290
Фреон 11 (CC13F) 50,24 182 Сероуглерод 57,8 352
Фреон 12 (CC12F2) 34,27 162 Серная кислота 109 -
Фреон 21 (CHC12F) - 242 Серы диоксид 115,64 390
Фреон 22 (CHC1F2) 47,68 234 Селен 68,6 1200
Глицерин 201 - Кремний 164 14050
Гептан 141 318 Азот 25,74 198
Гексан 152 332 Толуол - 364
Йод 124 172 Вода 334 2265
Калия хлорид 342 2160 Вода, тяжелая 318 2072
Калия нитрат 107 - Ксенон - 99,2
Углерода диоксид 180,7 136,8 Ксилен 109 343
Углерода монооксид 29,86 216
Часть V
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
ГЛАВА 24
ФОТОНЫ -
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ
ИЗЛУЧЕНИЕ
И СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ
Корпускулярный характер света проявляется в трех явлениях: тепловое из-
лучение, фотоэффект и рассеяние Комптона.
24.1. Закон излучения Планка
Существенным толчком к отказу от классической физики послужило изуче-
ние явления теплового излучения (Планк, 1900). Согласно теории Эйнштей-
на (1905) электромагнитное излучение носит квантовый характер и рассмат-
ривается как поток фотонов.
1. Фотоны и постоянная Планка
Для обозначения энергии фотона обычно используют символ у, который
характеризует квант энергии электромагнитного поля.
Энергия фотона EPh пропорциональна частоте /или циклической частоте
со = 2nf. Как правило, она измеряется в единицах электрон-вольт (эВ):
£рь = hf = йсо.
2л
Импульс фотона pPh пропорционален волновому вектору к (где | к| = —,
X
X — длина волны электромагнитного излучения):
pPh = Йк, | pPh| = ЙА: = ЙХ.
Вектор к показывает направление распространения электромагнитной
волны.
Постоянная Планка — это универсальная физическая постоянная:
й = 6,260693 • 10"34 Дж-с,
й
Й = — = 1,05457168 -10~34 Дж-с = 6,58211915-10-22 МэВ-с.
2л
2. Тепловое излучение абсолютно черного тела
Тепловым или температурным излучением называется электромагнитное
излучение тела конечной температуры. Одновременно с излучением каждое
24.1. Закон излучения Планка
Рис. 24.1. Модель аб-
солютно черного тела
тело поглощает часть теплового излучения, испуска-
емого окружающей средой. Из этого следует посто-
янный обмен энергией между телом и окружающей
средой, который приводит, в конечном счете, к теп-
ловому равновесию.
Черным телом называется тело с нулевой отра-
жательной способностью. Черное тело поглощает
любое падающее на него излучение (рис. 24.1).
Модель абсолютно черного тела представляет
собой полое тело с маленьким отверстием. Стенка
тела непроходима для излучения изнутри (идеальное
отражение) и обладает определенной температурой. Вероятность того, что
фотон попадет внутрь полого тела через отверстие в стенке и после много-
кратного отражения от внутренних стенок снова выйдет наружу, пренебре-
жимо мала (коэффициент поглощения а = 1). Поэтому, отверстие выглядит
как абсолютно черное.
Излучение абсолютно черного тела — это тепловое излучение, выходя-
щее из полого тела. Картина спектральной плотности энергии излучения аб-
солютно черного тела зависит от температуры полого тела.
> Согласно закону Кирхгофа (см. 22.10.7, п. 3) спектральную плотность
мощности излучения Lej любого теплового излучателя можно свести к
спектральной плотности излучения черного тела.
Для излучения полого тела справедливо выражение:
Плотность энергии излучения ML1!2
и Символ Единица измерения Название
и Q V Дж/м3 Дж м3 Плотность энергии излучения Энергия излучения Объем
3. Закон излучения Планка
Закон излучения Планка описывает температурную и частотную зависи-
мости спектральной плотности энергии излучения абсолютно черного тела:
Спектральная плотность энергии излучения ML"1!1
uf(f, Т) = 7 с3 ehf/^kT> -1 Символ Единица измерения Название
«/(АП С f h k Т Дж • с • м-3 м-с-1 с-1 Дж-с Дж-К-1 К Спектральная плотность энергии излучения Скорость света Частота Постоянная Планка Постоянная Больцмана Температура
Этот закон отражает связь между классической картиной непрерывного
излучения и поглощения электромагнитных волн и теорией квантованного
электромагнитного излучения, представленного в виде фотонов.
> Расчет плотности энергии uf через плотность излучения Lej неполяризо-
ванного, однородного и изотропного излучения абсолютно черного тела:
uf = 2fdQ =8п—.
J с с
4. Взаимосвязь между плотностью энергии излучения и частотой
Зависимость спектральной плотности энергии излучения абсолютно чер-
ного тела от циклической частоты со и, соответственно, от длины волны X
выглядит следующим образом:
П = «/(/, Т) • У- = f • uf(f, Т),
иа((£>, Т) =
fi со3 1
Л2С3 еПа/(кТ) _f
«х(Х,Т)=М/(/,Т)-
П
С
Ux(k,T) =
$7lhc 1
V ehc/{kXT} _f
[м| Закон излучения Планка служит основой оптической пирометрии для
измерения высоких температур.
5. Закон смещения Вина и предельный случай формулы Планка
Рис. 24.2. Спектральная плотность энер-
гии излучения для различных
температур согласно закону излучения
Планка: штрихпунктирная линия — за-
кон Релея-Джинса; 1 — Т = 2000 К; 2 —
Т= 4000 К; 3 - Т= 6000 К
▲ Закон Вина для случая, когда
hf » кТ\
С3
▲ Закон Релея-Джинса для слу-
чая, когда hf « кТ:
8nf2
uf(f, Т) = —— кТ.
с3
▲ Закон смещения Вина: макси-
мум спектральной плотности
энергии излучения иfU\T)
сдвигается с ростом температу-
ры в сторону более высокой
энергии фотонов, а значит в
сторону более высоких частот
(более коротких длин волн)
(рис. 24.2):
24.2. Фотоэффект
Закон смещения Вина L
X. -- Лтах - у, Ь = 2,8978-10-3 м-К Символ Единица измерения Название
^тах ь т м м-К К Длина волны в макс. ФУНКЦИИ Uf(f, Т) Постоянная Вина Температура
6. Закон Стефана-Больцмана
Интеграл спектральной плотности энергии излучения по всем частотам
дает общий поток излучения Фобщ, пропорциональный четвертой степени
температуры Т.
Общий поток излучения ~ температура4 М1?Т3
Фобщ = о • А • Т4 а = 5,670400-10"8 Вт/(м2-К4) Символ Единица измерения Название
в ю о G о Вт м2 Вт/(м2-К4) К Общий поток излучения Площадь Постоянная Стефана- Больцмана Температура
24.2. Фотоэффект
Фотоэффектом называется испускание электронов веществом под действи-
ем фотонов.
1. Свойства фотоэлектронов
Фотоэлектронами называют электроны, вышедшие из вещества под дей-
ствием фотоэффекта.
Фотоэлектрический ток или фототок возникает, когда между излучаю-
щим телом и анодом существует определенная разность потенциалов. Выби-
ваемые из вещества электроны движутся по направлению к аноду.
Фотоэлектрическое уравнение Эйнштейна определяет кинетическую
энергию электронов, вышедших в результате облучения из материала:
Кинетическая энергия фотоэлектронов ML2T2
^кин — hf ~ Wа Символ Единица измерения Название
F ^кин h f wA Дж Дж-с с-1 Дж Кинетическая энергия Постоянная Планка Частота Работа выхода
Кинетическая энергия фотоэлектронов зависит от частоты падающего
излучения и не зависит от его интенсивности. Интенсивность излучения
определяет только силу фототока.
2. Работа выхода
Работой выхода WA называется минимальная энергия, необходимая, что-
бы выбить электрон из вещества. Работа выхода обычно составляет несколь-
ко электрон-вольт (см. табл. 30.3).
Работа выхода WA некоторых веществ (в эВ): К — 2,30, Na — 2,75, Hg —
4,49, Ge - 5,0.
Для каждого материала существует порог фотоэффекта (красная грани-
ца). При частоте излучения ниже граничной частоты/0 фотоэффект прекра-
щается (рис. 24.3):
Химическую структуру и характер поверхности определяет работа выхода
WA, а также граничная частота /0. Фотоэффект можно объяснить при помо-
щи модели фотона электромагнитного излучения.
Рис. 24.3. а — схема установки для измерения фотоэффекта; б — зависи-
мость кинетической энергии фотоэлектронов от частоты /падаю-
щего излучения
3. Использование фотоэффекта как способа измерения
Рис. 24.4. Фототок I как функ-
ция приложенного напряже-
ния U для различных интен-
сивностей I падающего напря-
жения
[м] При приложении обратного напряжения
фототок пропадает при запирающем на-
пряжении UG, который взаимосвязан с
максимальной скоростью имакс фотоэлект-
ронов, eUG =#Щмакс/2. Измеряя частоту
падающего излучения /и запирающее на-
пряжение UG, можно рассчитать постоян-
ную Планка h. При измерении получается
линейная зависимость обратного напря-
жения, при котором фототок становится
равным нулю, от частоты (рис. 24.4). На-
клон прямой позволяет получить выраже-
ние для постоянной Планка h = edUG /df.
[м] Внутренним фотоэффектом называют изменение электрической прово-
димости в полупроводниках. Используется для измерения параметров
излучения при помощи полупроводникового фотодиода.
24.3. Эффект Комптона
1. Рассеяние фотонов на электронах
Эффектом Комптона называют изменение длины волны (а также часто-
ты) света при упругом рассеянии фотонов на свободных электронах, кото-
рое увеличивается с ростом угла рассеяния и не зависит от длины волны па-
дающего излучения:
Изменение длины волны излучения при эффекте Комптона L
h АХ = (1 - cos (р) mQc Символ Единица измерения Название
АХ h те с Ф м Дж-с КГ м-с-1 1 Изменение длины волны излучения Постоянная Планка Масса электрона Скорость света Угол рассеяния фотонов
2. Законы сохранения при рассеянии
Сохранение импульса и энергии в процессе рассеяния (релятивистские):
Г 2
тес2 + hf = + hf’,
JO7
Й k = + Й k',
VO7
। г । 2л o о
где I k I = —, p = -.
X c
• Перед реакцией электроны находятся в состоянии покоя.
• к — волновой вектор, который показывает направление распространения
фотона.
• Величины со штрихами описывают состояния после столкновения.
> Несмещенная линия в спектре рассеянного излучения соответствует рас-
сеянию фотонов на сильно связанных электронах. Перенос импульса к
атому в этом случае очень мал, так что длина волны при этом практиче-
ски не меняется (томсоновское рассеяние).
3. Длина волны Комптона
Для электрона Хс — коэффициент пропорциональности в формуле для
комптоновского рассеяния:
h
Хс = — = 2,426310238 • 10"12 м.
тес
Рис. 24.5. Эффект Комптона: а — схема опытной установки; б — кинематика
рассеяния фотон-электрон; в — интенсивность I рассеянного из-
лучения в зависимости от длины волны X' рассеянного излучения
для различных углов рассеяния <р; X — длина волны падающего
излучения
Часто комптоновскую длину волны также обозначают как
Й
кс = — = 3,861592678 • 10-13 м.
тес
Эффект Комптона может встречаться при рассеянии любых электриче-
ски заряженных частиц. Тогда в формулу необходимо подставить массу час-
тицы, чтобы узнать комптоновскую длину волны:
^протона = ц2141.10-15m ~ 1 фм>
4. Давление излучения
или давление света — это передача импульса телу при отражении элект-
ромагнитной волны (изменение импульса фотона при отражении). Давление
излучения солнечного света на зеркало составляет порядка 10-11 бар и не
имеет практического значения. Так как давление излучения на маленькие
частицы может достигать величины силы гравитации, то оно оказывает вли-
яние на астрофизические процессы. Например, явление, при котором хвост
кометы всегда направлен в сторону от Солнца, является следствием давле-
ния излучения.
> Спутник шарообразной формы Vanguard 1 (диаметр 16 см) в результате
светового давления сместился со своей орбиты на 1600 м за 28 месяцев.
> Лазерное излучение обладает высокой интенсивностью 1018 Вт/см2. При
помощи такого излучения на поверхности плазмы можно получить дав-
ление порядка 100 Мбар, которое приведет к компрессии плазмы. Таким
образом, в физике плазмы можно освоить новые области давления и
температур.
ГЛАВА 25
ВОЛНЫ МАТЕРИИ -
ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА
ЧАСТИЦ
Квантовая механика — это наука, которая изучает законы движения частиц
на уровне атомов (линейные размеры < 10-8 м).
> В случае, когда скорости частиц сравнимы со скоростью света и « с, где
с — скорость света в вакууме, для описания явлений необходимо прини-
мать за основу теорию релятивистской квантовой механики.
25.1. Волновая природа частиц
25.1.1. Основы квантовой механики
В основе квантовой механики лежат две гипотезы.
1. Квантовая гипотеза Планка
При излучении и поглощении электромагнитного излучения атомами
энергия может поступать только отдельными порциями (квантами).
Энергия фотона ML2!2
1 II II II uq 3 « Символ Единица измерения Название
Е со f h Дж рад с-1 с-1 Дж-с Энергия Циклическая частота Частота Постоянная Планка
В атомной физике за единицу энергии чаще всего принимают элект-
рон-вольт.
1 электрон-вольт соответствует энергии 1,60217653-10’19 Дж.
Волновой вектор к — вектор, показывающий направление распростране-
ния электромагнитной волны. Модуль волнового вектора равен:
2л
Т’
где X — длина волны электромагнитного излучения.
Импульс фотона пропорционален волновому вектору к.
волновая механика частиц
Импульс фотона MLT1
р = Й- к, . 2л . h к = —, Й = — X 2л Символ Единица измерения Название
к Р Р м-1 Дж-с КГ-м/с Волновой вектор Постоянная Планка Импульса
2. Волны материи
Любую свободную частицу можно связать с волной де Бройля, которая
обратно пропорциональна импульсу частицы.
Длина волны де Бройля L
II Символ Единица измерения Название
X h Р м Дж-с кг-м/с Длина волны Постоянная Планка Импульс
Электрон с параметрами
т — 9,1093826-10-31 кг (масса электрона)
е-----1,60217653-10-19 Кл (заряд электрона)
после прохождения ускоряющего напряжения U имеет длину волны
7 _ /
-j2m\ е\ U
.1О-10 М
и
(единица измерения напряжения U — вольт).
Длина волны де Бройля (в метрах): электрон (1 эВ) 1,23 • 10“9, электрон
(102 эВ) 0,12-10-9, а-частица (102 эВ) 1,4-10"12, термические нейтроны
(0,025 эВ) 0,18-10-9, мячик для гольфа (и = 25 м/с) 5,8 • 10’34.
25.1.2. Корпускулярно-волновой дуализм
Корпускулярно-волновой дуализм — свойство микрочастиц (фотонов, элек-
тронов, нуклонов, атомов, молекул) проявлять себя (при излучении и по-
глощении или при столкновениях) как в качестве частиц с определенными
значениями энергии и импульса, так и в качестве волн (при распростране-
нии, дифракции или интерференции).
[м] Дифракция электронов — дифракция электронного излучения на перио-
дических структурах. В результате такой дифракции за образцом образу-
ется интерференционная картина, которая является доказательством
волновых свойств электронов.
Электронная дифракция применяется для исследования структуры по-
верхностей или тонких слоев (принцип исследования представлен на
рис. 25.1).
Рис. 25.1. Электронная дифракция: а — принципиальный макет; б — интер-
ференционная картина
[м] Электронный микроскоп (Э. Руска, Нобелевская премия 1986 г.) устроен
на основе использования малых длин волн ускоренных электронов. Раз-
решение электронного микроскопа в 1000 раз лучше, чем разрешение
оптического микроскопа.
25.2. Принцип неопределенности Гейзенберга
Понятие траектории частицы, т.е. задание координат частицы как функ-
ции времени, теряет в квантовой механике всякий смысл. Частицы не могут
больше находиться в определенном месте и обладать точным значением им-
пульса. Плоская волна с определенным волновым вектором к, который со-
ответствует постоянному импульсу свободной частицы р, бесконечно рас-
ширяется: частица перестает быть локализованной в пространстве.
Принцип неопределенности Гейзенберга устанавливает взаимосвязь
между неопределенностью Арх в качестве определения величины проекции
импульса рх и неопределенностью Дх как одновременного определения ко-
ординаты частицы х.
Неопределенность координат • неопределенность проекций импульса > мт 2т_! > приведенная постоянная Планка/2 1
Дх • &рх > - Символ Единица измерения Название
Дх А?х Й(= й/(2л)) м кг-м/с Дж-с Неопределенность координат Неопределенность проекции импульса Приведенная постоянная Планка
В случае микрочастиц измерительный процесс неизбежно связан с влия-
нием на измеряемую величину. Всякое уменьшение отклонений измеряемой
величины по координате приводит к увеличению отклонений измеряемой
величины по импульсу. Это является не следствием неточности применяе-
мого метода измерения, а принципом природы.
> Компонент импульса ру и координата х могут быть одновременно и точ-
но измерены.
30—3814
волновая механика частиц
Принцип неопределенности справедлив также для других канонически
сопряженных величин, произведение которых имеет размерность постоян-
ной Планка. Для угла ср и момента импульса /: Дер • А/ > Й/2; для энергии Е и
времени t: АЕ • А/ > Й/2.
25.3. Волновая функция и измеряемая величина
1. Волновая функция и вероятность локализации
Волновая функция ф(х,у,^,/) — комплексная функция, при помощи ко-
торой можно полностью описать квантово-механическое состояние части-
цы. Она является математическим вспомогательным средством и не может
быть определена экспериментально.
▲ Волновая функция описывает поведение физических величин в кванто-
во-механической системе.
Плотность вероятности локализации: вероятность dw(x,y,^,Z) того, что
частица находится в момент времени t в точке г = (х, у, z) в объеме dK, опре-
деляется как квадрат модуля волновой функции:
Плотность вероятности локализации = | волновая функция |2 1
dw(x, у, z, f) = = lv(x, У, Z,t)\2 dV Символ Единица измерения Название
w dK 1 M-У2 м3 Плотность вероятности локализации Волновая функция Элемент объема
▲ Волновая функция имеет значение амплитуды вероятности.
Нормирование волновой функции — интеграл плотности вероятности
локализации по всему объему должен равняться единице, так как вероят-
ность обнаружить частицу в любой точке равна единице (достоверность).
| |у(х, у, z, 012 dK = 1.
▲ Волновая функция всегда нормируема.
2. Волновая функция частиц
Свободные частицы описываются плоской гармонической волной:
Волновая функция частиц L-3/2
= а = Z[(pr)-£(p)r] И = а - е Символ Единица измерения Название
а j со t к г р Е(р) И’3/2 1 рад-с-1 с м*1 м И’3/2 кг-м/с Дж Амплитуда Мнимая единица Циклическая частота Время Волновой вектор Радиус-вектор Волновая функция Импульс Энергия
<— Дх —►
Рис. 25.2. Схематическое изображение
волнового пакета
3. Волновой пакет
Волновым пакетом называется наложение нескольких плоских волн с
близкими частотами. При одномерном перемещении в направлении оси х
волновой пакет имеет форму (рис. 25.2):
у(х,/) =— [ f(k)e^k'x-^k>ddk.
2п Д
Амплитудная функция (спектра-
льная функция) f(k) характеризует
распределение вкладов плоских волн
различных частот. В результате веро-
ятность локализации частицы не
равна нулю только в ограниченной
области пространства: частица локализована. Возникновение нескольких
различных частот в волновой функции также указывает на большую величи-
ну импульса: из-за ограничения отклонений измеряемой величины по коор-
динате возрастает неопределенность импульса.
Спектральная функция f(k) также характеризует неопределенности коор-
динаты и импульса в начальный момент времени. В течение времени центр
волнового пакета движется со средней скоростью, заданной функцией f(k).
Неопределенность импульса Др сохраняется, в то время как неопределен-
ность по координате Дх растет: волновой пакет расплывается (рис. 25.3).
Рис. 25.3. Расплывание волнового пакета: |(р(р, Г)|2,|у (х, /)|2 — плотность веро-
ятности импульса р и координаты х; р0,х0 ~ средняя величина им-
пульса и координаты в момент времени t = 0; и — средняя ско-
рость (групповая скорость); Др(/),Дх(0 — неопределенности им-
пульса и координаты в момент времени t
4. Измеряемая величина
Измеряемой величиной О называется физическая величина, которую мож-
но измерить при выполнении определенных условий проведения измерений.
Энергия, координата, импульс, орбитальный момент, спин.
В квантовой механике каждой измеряемой величине О соответствует
оператор О, который воздействует на волновую функцию ф.
волновая механика частиц
▲ Время в квантовой механике не является оператором, оно представляет
собой параметр волновой функции.
При переходе к квантовой механике классические величины принимают
вид операторов.
Компоненты классического орбитального момента в декартовых коорди-
натах 1 = г х р
lx = yPz -%>уЛу = zpx - xpz,lz = хру - урх
при переходе к квантовой механике заменяются операторами
которые аналогичным образом выражаются оператором радиус-вектора г
и оператором импульса р:
!х = ypz - &уЛу = ZPx -xpz,lz = хру -урх.
Подставляя в выражения для орбитального момента операторы коорди-
наты и импульса, выраженные в декартовых координатах, получаем:
4 = У -J — - z -j й — L 1У = z -j й — - х -j И — L
dz) у ду) дх) dz)
Оператор орбитального момента является векторным оператором с
г =(1х,1УллЛ2 =1} + /> + ^.
5. Некоторые измеряемые величины
Физическая величина Символ Оператор
Компоненты координаты z Xj x„ i = 1,2,3
Компоненты импульса i Pxt — = 1,2,3 dXi
Компоненты орбитального момента импульса:
ось X lx j d + Q d sin cp ctgO • cos <p SO Sep)
ось у ty -j -n ( 8 . n • 8 ' cos ep ctgO • sm ep SO Sep
ось z k • *8 op
Квадрат орбитального момента импульса h -Й2 A0><p
Энергия H й2 . IZ A + V 2m
25.3. Волновая функция и измеряемая величина
Координаты в декартовой системе обозначаются индексом i = 1,2,3.
Компоненты оператора орбитального момента импульса выражаются в сфе-
рических координатах.
Угловая часть оператора Лапласа Д в сферических координатах:
1 52
sm 0 — +
50J
г2 sin2 0 5(р2
л 1 д
0,<р г2 sin0 50
Оператор координаты х, действующий на волновую функцию ф, равен
произведению волновой функции и пространственной координаты х.
Оператор импульса рх, действующий на волновую функцию ф, равен ча-
стной производной волновой функции по х, умноженной на -]Й.
6. Собственная функция
ф„ оператора б — это воздействие оператора б на собственную функцию
ф„, равное произведению собственной функции на ее собственные значения
ап, где индекс п обозначает различные собственные функции и соответству-
ющие им собственные значения:
Оф п — ап\у п — 1,2,3,....
Одномерное перемещение свободной частицы с импульсом р в направ-
лении оси х описывается плоской волной. Пространственная часть вол-
новой функции записывается следующим образом:
ярх
ф(х) = = е
При воздействии оператора импульса рх на волновую функцию ф полу-
чается выражение:
РхЧ>(х) = ф(*) = РЧ>(х)-
J дх
Плоская волна является собственной функцией оператора импульса с
собственным значением р.
> Плоская волна также является собственной функцией оператора энер-
гии (оператор Гамильтона) Н = р2/(2т) с собственным значением
Е = р2/(2т).
Вырождение — явление, при котором одному и тому же собственному
значению ап соответствуют несколько собственных функций фй1,Фл2>—
= ЯлУль = an\fnN, А^-кратное вырождение.
Четность л волновой функции характеризует поведение функции \|/(г)
при отображении относительно начала координат г -> -г (рис. 25.4),
у(-f) = +\|/(г), л = +1 функция четная
\|/(-г) = —\р(г), л = -1 функция нечетная.
7. Общая собственная функция
Общей собственной функцией называется функция ф, являющаяся соб-
ственной функцией одновременно для семейства операторов Q,..., бк:
01 v ...,6ку =аку.
— волновая механика частиц
V(x)
71 = 4-1
симметричная
Рис. 25.4. Четность волновой функции ф(х): а — л = +1 — четная функция,
симметричная; б — л = -1 — нечетная функция, антисимметричная
Общая собственная функция операторов 12, lz представляет собой функ-
цию 7^(0, ср) (в сферических координатах):
Z 2
12Г^(0,ф) =Й /(/ + 1)Г/”(6,ф),
4Г/”(0,ф) =Й/яГД9,ф).
Рис. 25.5. Векторная модель ор-
битального момента 1: простран-
ственное квантование I = 2
Возможные квантовые числа орбиталь-
ного момента импульса / = 1,2,3,... В рас-
сматриваемой векторной модели модуль ор-
битального момента импульса имеет строго
определенное значение I Т | = Й д//(/ + 1). Для
каждого квантового числа / существует 2/+1
значений магнитного квантового числа т,
которое строго определяет возможные ори-
ентации (проекции) вектора орбитального
момента импульса относительно оси z (про-
странственное квантование), т = -1, -Z+1,
..., О,... /-1,7 (рис. 25.5). Для угла а меж-
ду осью квантования и вектором момента
импульса справедливо выражение cos а =
> Не существует функции, которая явля-
лась бы, сверх того, собственной функ-
цией для операторов других компонент орбитального момента импульса 1Х
или 1у. В состоянии момента импульса, характеризуемом квантовым чис-
лом /, эти компоненты орбитального момента импульса не имеют строго
определенного значения. Математическое ожидание равно нулю.
Квантовые числа орбитального момента импульса: I = 2т, т = -2, -1,
О, 1, 2.
8. Собственные величины операторов и их значения
▲ Собственные значения операторов, которые представляют в квантовой
механике измеряемые величины, являются действительными числами и
равны я* = ап.
▲ Собственные значения оператора О представляют собой возможные зна-
чения измеримых величин О. После измерения рассматриваемой вели-
чины О с результатом в виде собственного значения ап система находит-
ся в состоянии гр„:
Состояние \|/ —измерение —измеренное значение ап, состояние уп.
▲ Полный набор нормированных собственных функций оператора О по-
зволяет разложить любую волновую функцию гр в ряд:
V = ZC«V«-
Волновая функция ф нормирована, если:
Zkl2=i-
Коэффициенты разложения с„ определяют вероятность |с„|2 нахождения
значения ап при измерении величины О в системе с состоянием гр.
Результаты повторных измерений величины О в системе с собственным
состоянием гр„ всегда показывают, что ап принимают одинаковые значения,
а отклонение от результатов индивидуальных измерений равно нулю. При
повторных измерениях величины О системы в любом состоянии гр, которое
не является собственной функцией оператора О , отклонение результатов
измерения колеблется около величины математического ожидания.
9. Математические ожидания_измеримых величин
Математическое ожидание О измеримой величины О в состоянии гр —
это среднее значение величины О в системе с состоянием гр.
0=1 \fOydV = £|с„|2 ап.
п
Математическое ожидание, в общем случае, зависит от времени.
При движении частицы в направлении оси х возможные значения изме-
ряемой координаты лежат в пределах [-со, +со], это значит, что оператор
х обладает непрерывным спектром собственных значений. Если система
находится в состоянии гр, то весовая функция, при помощи которой
усредняются возможные измеренные значения при оценке математиче-
ского ожидания, задается плотностью вероятности локализации на от-
резке dx по координате х:
dw(x, Г) =|\|/(х, /)|2 dx.
Для вычисления математического ожидания координаты используют
формулу:
+00 +00 +00
х = j xdw(x, /) = j х|\[/(х,/)|2 dx = j \|/(x,/)* x\|/(x,/)dx.
Математическое ожидание компоненты импульса рх в состоянии гр:
+оо ,2
г * Й d
Рх = I V • — — \|/.
t J dx
волновая механика частиц
10. Матричная форма операторов
Матричная форма оператора О, заданная с помощью функции cpz, i = 1,
2, 3, ....
Oik = J<p’O<pAdC, i,k =
▲ Измеримые величины в квантовой механике задаются в виде эрмитовых
матриц:
= oki.
ik
Квадратная матрица преобразовывается в диагональ, если в качестве ба-
зиса используются собственные функции
Опт ~ J V пбу — ат J /тД Е ~ ttm&nm •
В качестве диагональных элементов выступают собственные значения
ат, т. е. наиболее вероятные значения.
Если две измеримые величины O1?O2, операторы которых имеют собст-
венные функции измеряют одну за другой, то второе измерение, в
общем случае, изменяет состояние, порожденное первым измерением.
Состояние v —измерени-е0| > ——?ение°2 > Ьт,у№
11. Коммутаторы операторов
Коммутатором Q операторов Q и б2 называют оператор, полученный по
следующей формуле:
с = [Oi,o2] =д1д2 -б2д[.
Два оператора называются коммутативными, если их коммутатор равен
нулю:
c = [di,o2]=o.
Отсюда следует:
A(O2v) =O2(OiV)-
Коммутирующие операторы Q, б2 имеют общую собственную функцию
^пт с собственными значениями ап, Ьт:
= ап ^/7/И’ б2 ,
▲ Коммутирующие операторы выражают совместные измерения:
Состояние v измерение°[ > {ап,^пт} измерение°2 > {Ь„,упт}.
Состояние, порожденное измерением Оь не изменяется измерением О2;
это соответствует только состоянию т.
а) Коммутирующие соотношения для операторов координаты и импуль-
са: произведение операторов координаты и импульса (/ = 1,2,3) выглядит
следующим образом:
[X/, А] = А • Рк - Рк Xi = j -ft-Sik,
Это коммутирующее соотношение подтверждает справедливость прин-
ципа неопределенности Гейзенберга для импульса и координаты (см. 25.2).
б) Коммутирующие соотношения операторов орбитального момента им-
пульса:
11х,1у] = 4 -4 -ly -lx =
[iy,iz] = iy -iz-iz -iy =M,
[4,41 = 4 -4 -4 -4 =М.
Оператор квадрата орбитального момента импульса коммутирует с опе-
раторами всех компонентов:
[i\ix] = [i\iy] = [i\iz] = o.
Каждое семейство операторов, компоненты которых удовлетворяют та-
ким коммутирующим соотношениям, представляют собой момент импульса.
12. Оператор Гамильтона и оператор эволюции
Оператор Гамильтона Н — это оператор общей энергии квантово-механи-
ческой системы. Он определяет развитие во времени состояния системы гр.
л Р^
Свободная частица массой т\ Н = —.
2т
Частица массой т в потенциальном поле V: Н = — + И(г).
2т
Частица массой т совершает одномерное движение в потенциальном
/ х тт РХ э -э
поле (осциллятора): Н = — + — со2*2.
2т 2
л р2 е2
Электрон в атоме водорода: Н ---------.
2т г
Оператор эволюции U(t, tQ) описывает временное развитие системы ф с
момента времени tQ до Г.
V(0 =[/(/,/оWo), CWo) = l, U(t,t0) = e
13. Теории Шредингера и Гейзенберга
Теория Шредингера представляет собой формулировку квантовой меха-
ники, в которой оператор 0s не зависит от времени, а состояние системы
xps зависит от времени:
90s А d\\Js j и ттт
—-— = 0, —|— = -- H\\js (Z) — уравнение Шредингера.
Теория Гейзенберга — это формулировка квантовой механики, в кото-
рой оператор Он зависит от времени, а состояние системы фн — нет.
—— = о, ——— = + т [#> — уравнение Гейзенберга.
dt dZ Й
волновая механика частиц
Связь между обеими теориями: соответствие величин в момент времени
V5(0 =U(t,tQ)v^ OH(t) =t/-L(/,ro)OW/o).
▲ Теории Шредингера и Гейзенберга являются эквивалентными формули-
ровками квантовой механики. Они дают описание одинаковых физиче-
ских величин (математические ожидания измеримых величин).
25.4. Уравнение Шредингера
▲ Электромагнитные волны в вакууме (скорость света с) и материальные
волны свободных частиц соответствуют различным дисперсионным со-
отношениям со = со(А:). Электромагнитные волны: со(А;) = с-к, материаль-
,7Ч тос2 fik2
ные волны: сак) = —-— +--.
Й 2т0
Различные дисперсионные соотношения соответствуют различным диф-
ференциальным уравнениям распространения волн.
1. Дифференциальное уравнение для волновой функции (уравнение Шредин-
гера)
Уравнение Шредингера — это дифференциальное уравнение для волно-
вой функции, согласно которому микрочастицы рассматриваются в нереля-
тивистском краевом случае, аналогично тому, как уравнение движения
Ньютона определяет движение классической материальной точки. Уравне-
ние Шредингера представляет собой частично дифференциальное уравне-
ние, линейное и однородное, первого порядка по времени и второго поряд-
ка по координате. Решениями уравнения Шредингера являются комплекс-
ные функции.
Зависящее от времени уравнение Шредингера для частицы массой т в
потенциальном поле К(г):
Зависящее от времени уравнение Шредингера ML1/2!'2
j St ~ pt н=^- + Г(г) 2т Й <Эц/( Г, 0 Й 2 . z_ . „,_ч ~ = п Д\|/(г,/) + И(г)у(г,0 j at 2т . а2 а2 а2 А — + + дх2 ду2 dz2 Символ Единица измерения Название
4» j т Д И(г) Й Я’3/2 1 КГ М“2 Дж Дж-с Волновая функция Мнимая единица Масса частицы Оператор Лапласа Потенциал Постоянная Планка
▲ Оператор Гамильтона квантово-механической системы характеризует ее
развитие во времени.
25.4. Уравнение Шредингера
> Временное развитие состояния системы в соответствии с зависящим от
времени уравнением Шредингера следует отличать от изменений состоя-
ния, которые происходят за счет влияния аппаратуры. После проведения
измерения величины О, за счет которого определяют значения ап, систе-
ма находится в состоянии
Свободная частица описывается уравнением плоской волны. Если эту
волновую функцию подставить в уравнение Шредингера и продиффе-
ренцировать по времени, то получится множитель й/, а после примене-
h2k2
ния оператора Лапласа получится результат --------. Общий множитель
8л2ш
^еЛ2я/г-(к-г)] в уравнении Шредингера сокращается:
Ь2^2 п2
hf = Г К(Г) = ^— + К(г).
8л2т 2т
Это закон сохранения энергии, где hf представляет собой энергию кван-
та с частотой f
2. Нормировка волновой функции
Нормировка волновой функции соответствует утверждению о том, что
вероятность найти частицу в какой либо точке пространства в любой мо-
мент времени t равна единице:
j | волновая фунцкция |2 • элемент объема =1 j
| dw(x, у, z, f) = V = j 1 z,/)l2 dK =1 V Символ Единица измерения Название
dK "s £ Волновая функция Элемент объема
▲ Решение уравнение Шредингера может быть истолковано как амплитуда
вероятности только тогда, когда оно может быть нормировано.
> Плоская волна не нормируема. Нормированной волновой функцией для
свободной частицы является волновой пакет.
3. Стационарное состояние
Стационарное состояние — это состояние, при котором плотность веро-
ятности локализации частицы не зависит от времени. Волновая функция в
стационарном состоянии выражается следующим образом:
v(f, /) = е Ф(г), Яф(г) = £ф(г), Iу(г,/)|2 =|ф(г)|2.
Стационарное уравнение Шредингера — это уравнение движения части-
цы, вероятность локализации которой в точке пространства не зависит от
времени:
й2
Н <р = £Ф, АФ + (Е - Е(г))ф = 0.
8л2т
волновая механика частиц
Условие нормировки функции \|/(г, /):
со
J|<p(f)2|dr =1.
О
Собственные функции энергии — это решения стационарного (не зави-
сящего от времени) уравнения Шредингера. Эти решения существуют толь-
ко при определенных собственных значениях энергии Е.
Собственные значения энергии — значения энергии, которые существу-
ют для решений стационарного уравнения Шредингера.
Спектр энергии частицы (или системы) — совокупность всех собствен-
ных значений энергии Е.
Если потенциал И(г) является монотонно возрастающей функцией и
lim К(г) = 0, то собственные значения энергии в области Е < 0 образуют дис-
кретный спектр. Для области Е > 0 значения энергии образуют континуум.
25.4.1. Ступенчатый потенциал
Ступенчатый потенциал — это одномерный потенциал, имеющий конечный
потенциальный скачок.
Общее математическое выражение решения независящего от времени
уравнения Шредингера для частицы массой m и энергией Е в постоянном
потенциальном поле И
У = 0:
ф(х) = А ki = I Е = —,
АЙ m
где знак ± соответствует плоской волне, бегущей справа налево или наобо-
рот, kY — волновое число, — импульс частицы.
Го > 0 Е > Го:
<р(х) = А + В e-ikix^ = | _ Kq) = £1
Й m
Волна с амплитудой А (при движении волны направо), с амплитудой В (при
движении налево), волновое число к2, импульс частицы р2.
Е< У.:
ф(х) = А • е+к^х + В • е~к^х, к2
-Е).
Возрастающая или убывающая экспоненциальная функция, в классическом
понятии невозможно никакое движение.
> Согласно условию нормировки волновые функции, которые возрастают
по экспоненциальному закону (х->±оо), исключаются из решения.
На потенциальном барьере частица, в общем случае, с определенной ве-
роятностью отражается, с некоторой вероятностью проходит через барьер,
даже если общая энергия больше, чем скачок потенциала.
25.4. Уравнение Шредингера
И(х) =
Коэффициент пропускания Т равен отношению проходящего потока ча-
стиц к падающему потоку.
Коэффициент отражения R равен отношению отраженного потока час-
тиц к падающему потоку.
Так как других вероятностей движения частицы нет, то действительно
выражение: R = 1-Т.
1. Потенциальная ступенька
Математическое выражение потенциала:
О, для х < О
Vq > 0, для х > О*
Общая энергия Е < Ко: R = 1, Т = 0.
Общая энергия Е > Ио: R = [ ———У , Т = —1^2—.
+М (^1 + М2
> Согласно законам классической механики в случае Е < Уо для х > 0 дви-
жения частицы не существует, так как кинетическая энергия отрицате-
льна. В квантовой механике вероятность локализации частицы в этой
области отлична от нуля, так как ее локализация в классической гранич-
ной точке х = 0 соответствует неопределенности импульса, что соответ-
ствует энергии, равной энергии потенциального барьера. В соответствии
с соотношением неопределенностей энергии и времени энергия &Е мо-
жет сохраняться только в течение конечного интервала времени А/, так
что падающую слева частицу нельзя наблюдать при х-^+оо. Плотность
вероятности локализации в классическом представлении затухает в за-
прещенной области; частица с достоверностью отражается.
Рис. 25.6. Потенциальная ступенька: а — распределение потенциала; б —
плотность вероятности локализации | ср(х)|2 для областей Е < Ко и
Е > Ио; в — коэффициент отражения R и коэффициент пропуска-
ния Т в зависимости от отношения Е/У§
волновая механика частиц
2. Потенциальный барьер
Математическое выражение потенциального барьера:
О, для |х| > а
Ко > 0, для |х| < а
Т= 1 + —------------sin h2 (2^3)
t Г02-(2£-К0)2
E>V0: Т = 1 + —--------2-------sin2(2aA:2)
L Г02-(2£-К0)2 2'J
Коэффициент отражения R = 1 — Т.
Приближение для Е < Ко и 1а • ky » 1:
Ikiks
+ к} J
Т «
е-4^ ® е-4^з, а * кт> » 1.
> Потенциальную ступеньку можно представить в виде потенциального
барьера бесконечной ширины. В этом случае не может иметь место тун-
нельный эффект (см. ниже) (Т = О, R = 1).
▲ В случае Е < Ко коэффициент пропускания монотонно возрастает с рос-
том энергии Е, коэффициент отражения соответственно убывает. При
фиксированном значении энергии Е < Ко коэффициент пропускания
возрастает, если ширина 2а потенциального барьера уменьшается.
▲ В случае Е > Ио на потенциальном барьере нет отражения (R = О, Т = 1),
если энергия Е совпадает с энергией резонанса, тогда:
2ак2 = ил, п = 1,2,....
При а-распаде тяжелых атомных ядер освобождаются а-частицы с кине-
тическими энергиями, значения которых лежат далеко от максимальной
энергии потенциального барьера, равной сумме потенциальных энергий
кулоновских столкновений и ядерных притяжений. Для 212Ро: высота
потенциального барьера составляет около 30 МэВ, энергия распада а-ча-
стиц 8,9 МэВ. Эти энергетические соотношения и их взаимосвязь со
временем жизни распадающегося ядра можно объяснить только туннель-
ным эффектом.
Туннельным эффектом называется преодоление потенциального барьера
высотой Vq и шириной 2а частицей с энергией Е < Vo. Такой процесс в
классической механике невозможен. При локализации частицы в классиче-
ской механике в граничной точке волновая функция содержит компоненты
импульса, которые соответствуют энергии выше энергии потенциального
барьера. Согласно соотношению неопределенности для энергии и времени
частица сохраняет в течение некоторого промежутка времени Д/ энергию
АЕ, которой достаточно, чтобы преодолеть потенциальный барьер конечной
ширины (рис. 25.7).
Туннельный микроскоп представляет собой металлическую иглу, кото-
рая движется на расстоянии нескольких нанометров от поверхности иссле-
25.4.
Рис. 25.7. Туннельный эффект: а — разделение падающего волнового пакета
на отраженные и проходящие волны (решение зависящего от вре-
мени уравнения Шредингера); б — плотность вероятности локали-
зации |(р(х)|2 (стационарное решение уравнения Шредингера); в —
зависимость коэффициента пропускания Т и коэффициента отра-
жения R от отношения £/К0
дуемого образца. При изменении расстояния между иглой и образцом с по-
мощью пьезокристалла туннельный ток поддерживается постоянным. Реги-
стрируемое управляющее напряжение позволяет получать картину структу-
ры поверхности образца.
3. Потенциальная яма
Математическое выражение потенциальной ямы:
V(x\ = 1°’ ДЛЯ |х| < а
> 0, для |х| > а
Е < VQ: дискретный спектр, связанные состояния.
Е > Ио: непрерывный спектр, наблюдаются рассеяние, отражение и про-
пускание.
Уравнение, определяющее условия связанных состояний:
К2 - к2 + 2kKctg2ka = О,
к2 = ^Е, К2 =^(К0 - Е).
Й2 Й2
> Уравнение для определения собственных значений энергии можно ре-
шить графическим способом.
▲ Количество и положение связанных энергетических уровней зависит от
величины И0я2. Для И0я2 < л2Й2/(8тл) существует только один связанный
энергетический уровень.
▲ Расстояние между соседними собственными значениями энергии возра-
стает с ростом энергии возбуждения.
волновая механика частиц
Г(х) =
▲ Связанная частица с известной вероятностью находится также вне гра-
ничной точки классического движения.
▲ Волновая функция основного состояния — четная.
▲ В спектре следующие друг за другом энергетические функции имеют
различную четность.
4. Бесконечно глубокая потенциальная яма
Математическое выражение бесконечно глубокой потенциальной ямы:
, для |х| < а/2
>, для |х| > а/2'
▲ Волновая функция равна нулю при | х | > а/2. Она удовлетворяет краево-
му условию ср(-я/2) = <р(а/2) = 0.
В этой точке волновая функция имеет изгиб (разрыв производной).
▲ В бесконечно глубокой потенциальной яме существуют только связан-
ные состояния.
▲ Расстояние между соседними собственными значениями энергии возра-
стает с ростом энергии возбуждения.
▲ Волновая функция основного состояния — четная.
▲ В спектре следующие друг за другом энергетические функции имеют
различную четность.
Собственные значения энергии:
тг 2 £ 2
Еп = —^—П2, п = 1,2Д4,....
2та2
Энергия основного состояния (нулевая энергия):
Рис. 25.8. Бесконечно глубокая потенциальная яма: а — схематический
Е2
спектр энергетических значений Еп -------«2, л — четность соб-
2та2
ственных функций; б — собственные функции срЛ(х)
25.4. Уравнение Шредингера
Собственные функции положительной четности:
z ч пюс . 0 с
фя(х) = J- cos-----•> п = 1,3,5,....
V а а
Собственные функции отрицательной четности:
z х ГГ . плх ~ л ,
фЛ(х) - - sm-------------------------, п = 2,4,6,....
V а а
25.4.2. Гармонический осциллятор
Гармоническим осциллятором называют частицу массой т, которая совер-
шает колебания с определенной собственной частотой под воздействием
пропорциональной смещению от положения равновесия возвращающей
силы, направленной вдоль одного или нескольких направлений колебаний.
1. Не зависящее от времени уравнение Шредингера
Одномерный гармонически осциллятор с циклической частотой со:
d2 z ч та)2 z ч Л
—— ср(х) + —— Е - —— X2 ф(х) = 0.
dx2 h2 у 2 )
▲ Энергетические состояния гармонического осциллятора квантованы:
п =1,2,3...,
Г г ( П
Еп = п со \п + - ,
I 2/
Eq = Йсо/2 — это нулевая энергия. Не
существует состояний с асимптоти-
кой к состоянию с нулевой энер-
гией.
▲ Энергетические уровни гармониче-
ского осциллятора эквидистантны:
АЕ = Еп+[ - Еп = Йсо.
▲ Частица с известной вероятностью
находится также вне граничной точ-
ки классического движения.
▲ Волновая функция основного состо-
яния — четная.
▲ В спектре следующие друг за другом
Рис. 25.9. Гармонический осцилля-
тор. Спектр собственных значений
энергии &Е = Йо)
энергетические уровни имеют раз-
личную четность.
2. Собственные функции гармонического осциллятора
Собственные функции гармонического осциллятора выглядят следую-
щим образом:
фя(х) = (/о)1/4 j-—^’'°х2/2Я„(л/^2с),
V2««! Vtt
где го = тт/Л — параметр осциллятора, Н„ — полином Эрмита (рис. 25.10):
Я0(г) = 1, = 2г Я2(г) = 4г2-2, Я3(г) = 8г3 - 12г, ...
волновая механика частиц
Рис. 25.10. Гармонический осциллятор: собственные функции энергии фп(х):
1—/? = 0;2 — тг=1;3 — тг = 2;4 — /1 = 3;5 — « = 4
А В соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга импульс (а
также энергия) частицы, локализованной в точке минимального потен-
циала, не равен нулю. Существуют основные состояния гармонического
осциллятора, которые не совпадают с точкой минимального потенциала.
Нулевая энергия — это энергия основного состояния, наименьшая энер-
гия гармонического осциллятора:
> Гармонический осциллятор служит в качестве модели нескольких видов
возбуждения:
• колебание в молекулах и атомных ядрах,
• колебания решетки кристаллического твердого тела.
Рис. 25.11. Гармонический осциллятор: плотность вероятности локализации
| фл(х)|2: 1—й = 0;2 — и=1;3 — w = 2;4 — й = 3;5 — л = 4
25A
Фононом называют квант энергии гармонического осциллятора с
Е = hf = Йсо. Если подвести такую энергию к гармоническому осциллятору,
то он переходит в ближайшее более высокое энергетическое состояние.
3. Принцип соответствия Бора
Принцип соответствия Бора: классическое описание механической сис-
темы следует из квантово-механического описания как предельный случай
для больших квантовых чисел.
Для больших квантовых чисел п состояние плотности вероятности лока-
лизации квантово-механической частицы в одномерном потенциале
осциллятора соответствует вероятности локализации классической час-
тицы: максимум в окрестности классической граничной точки (скорость
частицы минимальная) и минимум в области прохождения через точку
состояния равновесия (скорость частицы становится максимальной).
Рис. 25.12. Плотность вероятности локализации частицы в собственном со-
стоянии гармонического осциллятора с высоким квантовым чис-
лом: zbq — граничная точка классического движения; пунктирная
линия — классическая вероятность локализации частицы
25.4.3. Принцип Паули
Фермионы — частицы с получисленным спином.
Электроны и нуклоны (нитроны, протоны) являются фермионами со
спином s = у.
▲ Для фермионов справедлив принцип Паули. Волновая функция системы
из одинаковых фермионов является антисимметричной относительно
перестановок двух любых частиц.
Антисимметричная волновая функция для двух частиц:
Та(1,2) = -^(у„(1) • Vm(2) - V„(2) • ym(D),
n и m обозначают любое полное семейство квантовых чисел.
волновая механика частиц
Функция Фа(1,2) нормирована. Она меняет знак, если частицы 1 и 2 ме-
няются местами.
Фа(2,1) = — Фа(1,2).
Принцип Паули: если оба фермиона одинаковы, и квантовые числа п и
т совпадают, то функция Фа = 0, т.е. вероятность локализации двух частиц в
одном и том же состоянии равна нулю. Два тождественных фермиона не
могут находиться в одном квантовом состоянии (принцип исключения).
> При помощи принципа Паули можно объяснить структуру электронной
оболочки атома и атомного ядра.
25.5. Спин и магнитный момент
25.5. У. Спин
Спин — внутренний момент количества движения (собственный момент
импульса) элементарной частицы. Спин имеет характерное для каждого сор-
та элементарных частиц определенное неизменное значение. В отличие от
орбитального момента импульса спиновое квантовое число также принима-
ет получисленное значение.
1. Экспериментальное доказательство существования спина
Опыт Штерна-Герлаха (1921): пучок атомов серебра проходит через неод-
нородное магнитное поле. Орбитальный момент импульса отдельного элект-
рона, определяющего общий вращающий момент импульса атома в электрон-
ной оболочке атома Ag, равен нулю. Поэтому магнитный момент атома может
быть вызван только наличием спина электрона. Согласно классической тео-
рии, выходящий луч должен распределиться непрерывно в виде широкой по-
лосы, так как любая проекция магнитного момента относительно магнитного
поля должна быть возможна. Тем не менее, опыт показал расщепление луча
на два компонента, что и доказывало наличие у электрона спина s = Г с двумя
возможными значениями магнитного момента ms = ±1/2 (рис. 25.13).
Рис. 25.13. Эксперимент Штерна-Герлаха как доказательство существования
электронного спина
Опыт Раби (1938) позволил осуществить измерения спина ядра при по-
мощи последовательно расположенных магнитных полей различной ориен-
тации.
25.5. Спин и магнитный момент
2. Математические операции со спином и их свойства
Оператор спина частицы со спином (собственный момент импульса) —
векторный оператор с декартовыми компонентами sx,sy,sz (рис. 25.14):
S = (sx, Sy, S^), S2 = 52 + $2 +5^
Соотношения коммутативности спинового опера-
тора соответствуют соотношениям коммутативности
оператора момента импульса:
[4,§у] = sx -sy -sy • sx = jfisz,
[sy , Sz ] = Sy • Sz — Sz ‘Sy = j Й sx,
[*?£ 5 $X ] ~ ’ $X ~ $X ’ $Z — Sy .
А также
[i2,ix] =[S2,5j =[32Л] = 0.
Рис. 25.14. Векторная
модель спина элект-
рона s (5 = 1 /2)
3. Спиновые матрицы Паули
<5x.,Gy,,(5z — представление операторов спиновых компонентов в виде
матриц 2x2:
д Й ~
s - — о, ст
2
0 П
1 0’
о -f1 0
О ’ г 1о -1
о
j
Спиновая собственная функция %sms — общая собственная функция
оператора z-компоненты спина с собственным значением ±hms и оператора
3
квадрата спина с собственным значением s(s + 1)Й2 = — Й2,
4
s^sm, =Jtms^sms,ms =+-,
S2%sms = Й2 s(5 + , 5 =
Собственное состояние c ms = +1/2: спин ориентирован в положитель-
ном направлении г.
Собственное состояние ms = -1/2: спин ориентирован в отрицательном
направлении z-
Представление собственной функции спина матрицей-столбцом:
sms
X
sms
£
2
2
(Pi
1 J-
Любое нормированное спиновое состояние:
X = «X 1 + *х
sms =— stns =
2 =1.
Здесь |л|2,(|й|2) — вероятность измерения спиновых компонентов ms = +1/2,
(-1/2) в направлении оси z>
— волновая механика частиц
Ориентация спина в направлении 0, (р:
а = cos(0/2)e \ Ь = sin(0/2)e7 2.
Общая волновая функция частицы со спином | является двухкомпонент-
ной:
\|/(f, 5, О
V-(r, 0/
I\|/ + (f, f)I2 dV (|y_(f, 012 dK) ~ вероятность нахождения частицы в мо-
мент времени t в элементе объема бИв окрестности радиус-вектора г с ори-
ентацией спина в положительном (отрицательном) направлении оси z-
4. Общий момент импульса
Общий момент импульса j электрона выражается суммой векторов орби-
тального момента импульса 1 и спина s:
j = 1 + s, jz =iz +sz.
Возможные значения квантовых чисел j2 и jz:
j = I + у , J = / - +J-
Состояние момента импульса j принимает только 2J + 1 значений проек-
ции на ось квантования.
Рис. 25.15. Состояния общего момента импульса j = 1 + s при I - 2; т} —
магнитное квантовое число полного момента импульса j
/=3/2
т;=±3/2, ±1/2
25.5. Спин и магнитный момент
25.5.2. Магнитный момент
1. Орбитальный магнитный момент
Р/ выражается через оператор орбитального момента 1:
Оператор орбитального магнитного момента
- е0 т 1 Н/ = ~gi =-g№ - 2те п g/ = 1 Символ Единица измерения Название
-*>5^ 2? ?»> Дж Тл-1 1 Кл кг Дж Оператор орбитального магнитного момента G-фактор орбитально- го момента Элементарный заряд Масса электрона Оператор орбитального момента
Магнетон Бора — это универсальная физическая постоянная:
= 5,788381804 • Ю-U МэВ/Тл = 9,27400949 • 10*24 Дж/Тл.
2 • те
2. Спиновый магнитный момент
выражается через оператор спина s:
Оператор спинового магнитного момента
<1<л | РЗ zi. ь? I СО и 8 <1СЛ <О 'Г II <t=L Символ Единица измерения Название
t0 ся О <1=1 ОО Si <1СЛ Дж Тл*1 1 Кл кг Дж Оператор спинового магнитного момента G-фактор спина Элементарный заряд Масса электрона Оператор спина
Гиромагнитный фактор g характеризует отношение магнитного момента
электрона к моменту импульса:
g/ =1, gs«
> Из релятивистской квантовой теории следует, что гиромагнитный фак-
тор спина лишь приближенно равняется 2:
=(1159,652193+ 0,000010)-10-6.
> Спиновый магнитный момент электрона соответствует, например, орби-
тальному магнитному моменту при моменте импульса 1=1.
▲ Магнитный момент и момент импульса, как для орбитального, так и для
спинового моментов имеют противоположные направления.
волновая механика частиц
Рис. 25.16. Связь между орбиталь-
ным I и спиновым s моментом и об-
щим моментом импульса j с магнит-
ными моментами pb р5,р = Мт + Ms
3. Общий магнитный момент
ц — электрона в атоме представляет
собой сумму магнитных орбитального
и спинового моментов:
Ц =ib +й1 =--^-(i + 2-s).
2те
▲ Общий магнитный момент ц элект-
рона в векторной модели одинако-
во направлен с общим моментом
количества движения j = I + s.
4. Потенциальная энергия магнитно-
го поля
Потенциальная энергия Епот несвя-
занного электрона в однородном маг-
нитном поле В = (0,0, Bz) в направлении оси z выражается следующим образом:
^ПОТ — М$ ’ В “ §S - $Z ‘
2тР
Как следствие, из этого выражения в собственном состоянии с z-компо-
нентой спинового оператора с проекцией квантового числа ms = ±1/2 потен-
циальная энергия равна:
^пот ~ gs Z ’ ^z — g.sMВ * * Bz .
2me
Аналогично для электрона, движущегося по орбите, потенциальная
энергии равна:
^пот = gi =gi\iB т-В,.
2те
Потенциальная энергия атома в состоянии с квантовыми числами J.Mj
полного момента импульса и его проекций на ось г, L — полного орбиталь-
ного момента и 5 — полного спинового момента в однородном магнитном
поле В = (0,0, Bz) в направлении z, потенциальная энергия равна:
Потенциальная энергия магнитного поля ML2T2
Дтот — Ц в - = &L,S,JVvb -Mj В Символ Единица измерения Название
г ^ГЮТ Mj g(L,S,J) Иб В Дж 1 1 Дж Тл Потенциальная энергия Квантовое число проекции общего момента импульса Фактор Ланде Магнетон Бора Магнитная индукция
25.5. Спин и магнитный момент
Фактор Ланде g(L,SJ) описывает зависимость гиромагнитного отноше-
ния от квантовых чисел терма:
„и v п 1 Л/ + 1)-Д£ + 1) + Я? + 1)
g[L, о, J) = 1 +--------------------.
2/( J + 1)
Прецессия Лармора — вращение вектора магнитного момента в атомар-
ной системе во внешнем магнитном поле В с постоянной угловой скоростью
вокруг направления поля.
Частота Лармора — частота прецессии Лармора, выраженная через орби-
тальный магнитный момент:
В
Й
Спиновый магнитный момент ядра возникает благодаря магнитному мо-
менту ядра атома как следствие ядерного спина.
|м) Спиновый магнитный момент ядра применяется для охлаждения тела до
температуры порядка микрокельвинов. Внешнее магнитное поле задает
ориентацию магнитного момента ядер атомов охлаждаемого материала.
После выключения магнитного поля ядра атомов стремятся снова прий-
ти в статически неупорядоченное состояние. Этот процесс является
адиабатическим (А(? = 0)- Понижение степени упорядоченности, которое
соответствует повышению энтропии, связано со снижением темпера-
туры. Самая низкая температура образца достигает примерно 5-Ю-6 К
(научный центр г. Юлих); самая низкая температура, которую удалось
измерить в настоящее время в системе атомов меди составляет около
50Л0-9 К.
ГЛАВА 26
АТОМНАЯ
И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Атомы — это наименьшие частицы химических элементов, обладающие хи-
мическими свойствами. Электрически нейтральный атом состоит из поло-
жительно заряженного ядра, заряд которого равен Z, и Z отрицательно заря-
женных электронов (оболочка), которые движутся в кулоновском поле ядра.
Атомный номер или порядковый номер элемента Z равен числу прото-
нов, из которых состоит атомное ядро.
▲ Атом электрически нейтрален. Сумма электронов атома равна числу
протонов атомного ядра.
Радиус атома RA составляет порядка 10~10 м (ранее используемая единица
измерения: 1 ангстрем = А = 10-10 м). Ядро атома по сравнению с этой вели-
чиной имеет радиус порядка только 1 фм = 10-15 м.
Радиусы атомов и ионов различных элементов приведены в табл. 30.2.
Значения зависят от способа измерения и их можно рассматривать только в
качестве ориентировочных величин. Кривая атомных радиусов с порядко-
выми номерами представлена на рис. 26.1.
Рис. 26.1. Радиус атома RA в зависимости от порядкового номера элемента Z
(приближенные значения)
26.1. Основные понятия спектроскопии
Радиусы атомов некоторых элементов (в нм): Не — 0,122, Li — 0,155, О —
0,056, Fe - 0,126, Rb - 0,248, U - 0,153.
Ионы — электрически заряженные частицы, которые образуются в ре-
зультате того, что атом отдает или принимает электрон (см. 17.1.2).
Заряд иона указывается вверху справа от обозначения атома: Н+ (одно-
кратно положительно заряженный ион водорода), С1_ (однократно отрица-
тельно заряженный ион хлора).
Энергия ионизации Ei или работа ионизации — это энергия, которую
необходимо затратить, чтобы вывести электрон из стационарного, связанно-
го с атомом состояния.
Рис. 26.2. Энергия ионизации £z в зависимости от порядкового номера эле-
мента Z
26.1. Основные понятия спектроскопии
Уровни энергии — стационарные состояния атома с определенной энер-
гией. Обозначаются следующими квантовыми числами: полный орбиталь-
ный момент £, полный спиновый момент S и полный момент импульса J.
Основное состояние — стационарное состояние с наименьшей энергией.
Возбужденное состояние — состояние с энергией большей, чем энергия
основного состояния.
Уровневая схема — графическое представление энергий стационарных
состояний атома.
Спектроскопией называется наблюдение и анализ испускаемого или по-
глощаемого атомами излучения.
Спектр — это зависимость интенсивности испускаемого или поглощае-
мого атомами, молекулами, ядрами и т. д. излучения от частоты или длины
волны.
Глава 26. Атомная и молекулярная физика
1. Спектр излучения
Распределение частот излучаемого веществом излучения. Спектры излу-
чения наблюдают при переходе атома из возбужденного состояния в основ-
ное или другое энергетически более низкое состояние.
[м] Возбуждение образца для возникновения излучения происходит посред-
ством электронных столкновений или газового разряда в высокочастот-
ной плазме, а также благодаря искровому разряду в электрической дуге
или термически, посредством разогрева. Измерение спектров излучения
происходит таким образом, что испущенное возбужденными атомами
излучение при помощи спектрографа разделяется на компоненты с раз-
личными длинами волн.
▲ Спектр излучения атома водорода — линейчатый.
2. Линейчатая форма спектра
Линейчатая форма спектра — изменение интенсивности /(со) в узком ча-
стотном диапазоне в окрестности спектральной линии со0, которая соответ-
ствует спонтанному переходу из стационарного состояния i в стационарное
состояние /:
(Асо)/2
/(со) ~--------------------------.
(со - со0)2 + (Асо)2 /4
Действительной шириной линии спектра Асо называется разность значе-
ний частот, при которых кривая интенсивности принимает значения, рав-
ные половине максимума /тах (рис. 26.3).
Рис. 26.3. Ширина спектральной ли-
нии Асо
▲ Ширина линии Асо соответствует
неопределенности энергии первона-
чального состояния, Е = ЙАсо, кото-
рое согласно отношению неопреде-
ленности Гейзенберга связано со
средним временем жизни т первона-
чального состояния i следующим
образом:
А£ ~ Й/т.
Уширение линии — увеличение экс-
периментально наблюдаемой ширины
спектральной линии по сравнению с
действительной шириной. Это явление
обусловливает эффект Доплера, завися-
щий от давления столкновения атомов,
и взаимодействие излучения с полями.
Средняя продолжительность жизни возбужденного атомного состояния
лежит, в общем случае, в пределах от 10-7 до 10~8 с. Отсюда получается
ширина линии излучения квантового перехода до Асо « 108 Гц.
> Переходы из метастабильных состояний с высоким временем жизни
(т « 10-3 с) имеют узкую ширину линии (Асо » Ю3 Гц).
26.2. Атом водорода
▲ Спектр излучения и поглощения молекул состоит из серии спектральных
линий, которые при небольшом разрешении спектрального прибора вы-
глядят как бесструктурные полосы (полосатый спектр).
▲ Испускаемое телами тепловое излучение представляет собой электромаг-
нитное излучение с непрерывным спектром.
3. Спектр поглощения
Спектром поглощения называется распределение частот падающего и
ослабленного образцом излучения. Спектры поглощения соответствуют пе-
реходам атомов из основного состояния в возбужденное состояние.
[м] Спектры поглощения можно наблюдать, если пропускать белый свет че-
рез «холодный» пар или «холодный» газ. При этом поглощенные длины
волн проявляются в виде черных линий.
Резонансная спектроскопия — это определение поглощения падающего
на образец излучения с определенной длиной волны в зависимости от
внешнего параметра (температура, давление, магнитное поле).
---------1-------[----------1-------(—
1600 1400 1200 1000 800
600 400 к/ст
Рис. 26.4. Спектр поглощения SiO2 в инфракрасном излучении: к — волно-
вое число: I — интенсивность излучения
26.2. Атом водорода
Атом водорода является электрически нейтральным, состоит из одного
электрона и одного протона, связанных электростатическим взаимодействи-
ем. Энергия связи в основном состоянии составляет около 13,6 эВ, радиус
атома равен примерно 0,5 А.
Электронами называются элементарные частицы с отрицательным заря-
дом -е (е — элементарный заряд) и массой покоя те\
е = 1,60217653-10-19 Кл,
те = 9,1093826-10~31 кг.
Протонами называются элементарные частицы с положительным заря-
дом е и массой покоя « 1836те:
тр = 1,67262171 • 10-27 кг.
Дейтроном называется атомное ядро, состоящее из протона и нейтрона.
Нейтрон электрически нейтрален и тяжелее протона примерно на 2,5 массы
электрона.
Дейтерий — тяжелый водород. Ядро атома дейтерия состоит из дейтрона.
Глава 26. Атомная и молекулярная физика
Водородоподобными системами называются системы, состоящие из ядра с
зарядом Ze и одного электрона. К ним принадлежат ионы Не+, Li2+, Ве3+, ... U91+.
На накопительном кольце тяжелых ионов ESR общества по исследова-
нию тяжелых ионов (Дармштадт) впервые было проведено расщепление
сверхтонкой структуры 209Bi82+.
Атомы щелочных металлов Li, Na, К, Rb, Cs, Fr имеют сходство с ато-
мом водорода: ядро вместе с внутренними электронами представляет собой
положительно заряженный центр, вокруг которого передвигается слабо свя-
занный с ним валентный электрон.
Атомы Ридберга — это сильно возбужденные атомы водорода или водо-
родоподобных веществ (главное квантовое число п > 100). Они имеют ради-
усы до ~ 5 • 10-7 м, это соответствует величине молекулы вируса.
26.2.1, Постулаты Бора
1. Формулировка постулатов Бора
Первый постулат Бора (постулат стационарности состояния):
Атомы могут находиться в определенном стационарном состоянии, не
излучая при этом энергию. Эти стационарные состояния согласно классиче-
скому представлению соответствуют стационарным «орбитам вращения», по
которым электроны движутся подобно планетам. Несмотря на то, что двига-
ясь по орбитам вращения они обладают радиальным ускорением, они не из-
лучают электромагнитных волн.
Второй постулат Бора (постулат о квантовании орбит):
Орбитальный момент электрона, находящегося в стационарном состоя-
нии и двигающегося по круговой орбите, принимает значение, кратное ве-
личине Й. коэффициент пропорциональности при этом число Й:
h
1п = гп • mevn - п -h, Й = —, п = 1,2,3,...,
2л
где гЛ — радиус я-й орбиты; п — натуральное число, п > 0.
В стационарном состоянии п атом водорода обладает энергией
г Z2e*me 1
Еп =------f----,
8й282 п2
где 80 — диэлектрическая постоянная.
Третий постулат Бора (правило частот):
Атом излучает (поглощает) квант электромагнитного излучения (фотон),
если электрон переходит с орбиты с числом m на орбиту с меньшим (боль-
шим) числом п.
Энергия фотона равна разности энергий электрона, которыми он обла-
дает до и после перехода:
Е = = hf = Em - Еп.
Постулаты Бора позволяют не обращаться к классической физике. Объяс-
нение дает только квантовая механика. Введенное в атомной модели Бора по-
нятие электронной орбиты в атоме вследствие волновой природы электрона и
соотношения неопределенностей Гейзенберга является лишь условным.
26.2. Атом
> Постулаты Бора позволяют объяснить закономерности линейчатого
спектра атома водорода.
2. Радиус Бора
Радиус Бора гп выражается из условия равновесия центробежной силы и
силы Кулона на классической круговой орбите и из второго постулата Бора:
Радиус орбиты Бора L
Ze2 и2 г = те ' — 4ле0г„2 гп r„ -mevn = п-П л п2 гп = 4л80 meZe2 Символ Единица измерения Название
Z е ео Гп те 1 Кл Кл-В-'-м-1 м кг м/с Порядковый номер элемента Элементарный заряд Диэлектрическая постоянная Радиус орбиты Бора Масса электрона Орбитальная скорость
Радиус Бора гх также часто обозначается как а0 или а^, это радиус орби-
ты с номером п = 1,
= 0,5291772108- IO’10 м « 0,5 А.
[м] Опыт Франка-Герца в 1913 г. подтвердил постулаты Бора доказательст-
вом дискретной отдачи энергии ускоренных электронов атомов ртути в
вакуумной триодной лампе.
3. Частоты спектра водорода
Частоты водородного спектра Т-1
f D ( 1 И fnm = с^н -7 г п < т \п2 т2) RH = 1,096775810 Ю-i M-i Символ Единица измерения Название
Е * Ч ч® о °? с с-1 м с-1 м-1 1 Частота Скорость света Постоянная Ридберга для атома водорода Натуральные числа
Длины волн водородного спектра L
. _ 1 ( п2 т2 У ^тп “ D ~ э ~П2 ) RH = 1,096775810-10 п < т -1 м-1 Символ Единица измерения Название
X RH п,т м м-1 1 Длины волн Постоянная Ридберга для атома водорода Натуральные числа
Главное квантовое число п — дискретные значения последовательности
п = 1,2..., описывающие энергетический спектр атома водорода.
Глава 26. Атомная и молекулярная физика
4. Серии и формулы серий в спектре водорода
Схема серий представлена на рис. 26.5.
А В формулах серий считается, что главные квантовые числа удовлетворя-
ют соотношению т > п.
Серия Лаймана (п = 1) соответствует ультрафиолетовому частотному диа-
пазону, серия Бальмера (п = 2) видимому, серия Пашена (п = 3) ближнему
Серия
Пашена
Ближний
ИК-диапазон
V hf/
нм эВ
п
00
4
3
2
а)
UV
М hf/
нм эВ
Серия
б) Лаймана
400-
450-
500-
550-
600
650-
Видимый
свет
V hf/
нм эВ
350
з.о
900
820.8
1.51
1000-
-2.5
2.0
Серия
Бальмера
1100
1200 -
- 1.2
1300 -
1400 -
1500
1600-
1700 '
1800
1900
Серия
Пашена
1
Серия
Брекета
Дальний
ИК-диапазон
V hf/
нм эВ
>1.4
1.3
-1.0
0.9
- 0.8
-0.7
0.6
Серия
Брекета
Рис. 26.5. Серии линейчатого спектра атома водорода: а — схема термов и
переходов, п — главное квантовое число; б — длина волны X и
энергия hf
26.2. Атом водорода
инфракрасному, серия Брекета (п = 4) и серия Пфунда (и = 5) — дальнему
инфракрасному.
Терм Тп выражается как:
гр _ cRH
1п ~ ? •
п2
А Линии спектра водорода могут быть представлены в виде разности тер-
мов.
Определенная в спектроскопии постоянная Ридберга RH незначительно
отличается от рассчитанной постоянной Ридберга Ra:
Постоянная Ридберга Rx (при предположении бесконечно тяжелого центра):
Rx = = 1,09737315683(4) -107 м-1.
8е^/г3 - с
При расчете RH следует обратить внимание на то, что масса протона тр
принимает конечное значение по сравнению с массой электрона те (приве-
денная масса ц = трте/(тр + те)):
П
Rh = ;---------•
1 + те/тр
Границей серии называется наибольшее значение частоты линии в се-
рии. Для т-^оо энергия граничной частоты /Gr = f^n в атоме водорода равна:
Еп =hfGr =
hRHc
п2
▲ Основное состояние атома водорода наступает при Ех = -13,595 эВ.
▲ Благодаря переходам между состояниями континуума и дискретными
состояниями атома возможно наличие других частот, больших, чем гра-
ничная частота.
5. Вырождение спектра водорода
Полный момент импульса j электрона в атоме водорода является век-
торной суммой орбитального момента импульса 1 и спинового момента s:
j = I + s. Для I > 0 квантовое число у, которое определяет величину полного
момента импульса, принимает возможные
значения j = I ± -Г
Случайное вырождение в атоме водоро-
да — это характерное для кулоновского по-
тенциала (~ 1/г) вырождение энергетиче-
ских уровней.
▲ Энергия стационарных состояний атома
водорода зависит только от главного
квантового числа п. К энергетическому
состоянию Еп также относятся волно-
вые функции с квантовыми числами
орбитального момента импульса I = 0, 1,
2, ..., /7-1.
E/eV
0
-0.85
-1.51
Рис. 26.6. Случайное вырожде-
ние состояний атома водорода
по квантовому числу I орбиталь-
ного момента импульса
31—3814
Глава 26. Атомная и молекулярная физика
Вырождение атома водорода в энергетическом спектре:
Ех п = 1 I = 0 основное состояние,
Е2 п = 2 I = 0, 1 первое возбужденное состояние,
£3я = 3/ = 0, 1,2 второе возбужденное состояние,
Еа п = 4 / = О, 1,2,3 третье возбужденное состояние.
> В основном состоянии п = 1 момент импульса равен нулю: /и=1 = 0.
> Общая зависимость собственных значений энергии от главного кванто-
вого числа характерна для всех водородоподобных систем, если прене-
бречь магнитным взаимодействием между орбитальным движением и
электронным спином.
6. Тонкая структура спектра водорода
При учете связи между орбитальным и спиновым моментами в атомах
водорода и водородоподобных веществ, можно наблюдать наличие тонкой
структуры в энергетическом спектре. Энергия стационарных состояний в
атоме водорода зависит в этом случае только от квантового числа j полного
момента импульса. Состояния остаются частично вырожденными по кван-
товому числу I орбитального момента импульса: уровни с набором кванто-
вых чисел I = j — 1/2 и / = j + 1/2 обладают одинаковой энергией.
Тонкое расщепление уровней в атомах водорода и водородоподобных ве-
ществ вызвано релятивистскими эффектами, такими как электронный спин
(рис. 26.7).
Формула тонкой структуры Зоммерфельда ML2T’2
F __RxhZ^ ^nj - 9 И2 Г / у 1 + Z2 -а2 п _ 3 л2 .+1 4 L V 2 JJ а = 1/137,03599911 Символ Единица измерения Название
j а Z h п Дж Дж-с 1 м-1 1 Дж-С 1 Собственное значение энергии Полный момент импульса Постоянная тонкой структуры Постоянная Ридберга Заряд ядра Постоянная Планка Главное квантовое число
Н-атом 3rf5Z„ ЗЛ/2
3 Р 3 / 2' ^^3/2
3pi/2/ 3$1/2
2^3/2
2$1/2, 2р1/2
1S1 /2
Рис. 26.7. Тонкая структура в спектре атома водорода.
Классификация состояний квантовыми числами nly п —
главное квантовое число, / — квантовое число орбиталь-
ного момента импульса, j — квантовое число полного
момента импульса
26.3. Стационарные состояния и квантовые числа в центральном поле
Постоянная тонкой структуры а — это отношение «орбитальной скоро-
« /г г / г £о ‘ № \
сти» на первой орбите Бора (радиус Бора гх =-------) к скорости света с.
2л • пге -е2
в2
а = —— = 1/137,03599911.
2е0йс
> Расщепление уровней / = j ± 1/2, которое при термах 2s1/2 и 2д/2 со-
ставляет всего 4,375-10"6 эВ (лэмбовский сдвиг), можно объяснить при
помощи квантовой электродинамики.
26.3. Стационарные состояния
и квантовые числа в центральном поле
Потенциальная энергия электрона в поле атомного ядра с учетом экраниро-
вания кулоновского поля внутренними электронами при введении эффек-
тивного порядкового номера элемента 2* < Z равна:
г — расстояние от электрона до центра ядра.
Воздействуя оператором I2 на волновую функцию фл/, которая характе-
ризуется квантовым числом орбитального момента импульса / (/ = 0, 1, 2,...),
получаем:
I2V,/ = Й2/(/ + 1)¥,/.
Центробежный потенциал — дополнительный потенциал электрона, ко-
торый находится в состоянии, когда I ф 0:
Центробежный потенциал, по аналогии с движением планет, стремится
вытеснить электрон в состоянии с большим моментом импульса, т.е. дальше
от центра ядра.
1. Эффективный сферически симметричный потенциал в многоэлектронном
атоме
Эффективный потенциал (г) — это сферически симметричный по-
тенциал, представляет собой сумму экранированного кулоновского потен-
циала ядра атома и центробежного потенциала:
V^(r) = Vc(r) + (г).
Глава 26. Атомная и молекулярная физика
Эффективный сферически симметричный потенциал ML2T’2
IZ(/)Z ч 1 ZV2 Keff = Л + 4л£о г | /г2 /(/ + 1) 2те г2 Символ Единица измерения Название
е С? К - £ 4g Дж 1 Кл-В-'м-1 м Дж-С кт Дж-с Потенциальная энергия Эффективный порядко- вый номер элемента Диэлектрическая прони- цаемость Расстояние электрон-ядро атома Орбитальное квантовое число Масса электрона Приведенная постоянная Планка
Центробежный потенциал
V(r)
а)
/
/ Кулоновский потенциал
Рис. 26.8. Эффективный потенциал (г) (схематически): а — кулоновский
потенциал (-1(1 +1)/г2) и центробежный потенциал (~1/г)\ б — об-
щий потенциал; rbr2 — граничная точка классического движения
частицы с энергией Е < О
2. Волновая функция частицы и радиальное квантовое число
Волновая функция частицы в сферически симметричном потенциале в
сферических координатах (г, 0, <р) в радиальной и угловой частях может быть
разделена:
ЧЧ,/т = —^""(0, ср), Г I M„r/(r)|2 dr = 1.
у •'U
Угловую часть образуют шаровые функции Y™.
> Это выражение справедливо не только для кулоновского потенциала, но
также для любого сферически симметричного потенциала Е(г), незави-
симо от конкретного радиального направления.
Радиальное квантовое число пх — число решений радиальной волновой
функции unri(r\ кроме тривиальных решений г = 0 и г = оо. Возможные зна-
чения пх\ пх = 0,1,2,....
Рис. 26.9. График радиальной волновой функции иПг/(г) (схематичный): а —
волновая функция, не имеющая узлов, с несколькими орбиталь-
ными волновыми числами / (пг- 0, 1—/152 — /2>/1);б — волно-
вая функция с одним узлом (nr = 1); тривиальные решения функ-
ции w(r) при г = 0 и г —> се не учитываются
3. Квантовые числа орбитального момента импульса и магнитного момента
Квантовое число орбитального момента импульса / — это число, прини-
мающее целочисленные значения, характеризующее состояние орбитально-
го механического момента импульса частицы. Значения, которые принимает
/, равны I = 0,1,2,....
В спектроскопии различные значения квантового числа орбитального
момента импульса принято обозначать буквами:
значения, характеризующее проекцию орбитального момента импульса час-
тицы на ось квантования (ось z). Значения, которые принимает т при за-
данном значении /: т = -Ц -I + 1,..., 0,..., /—1, /.
▲ Проекция орбитального момента импульса на ось квантования момента /
принимает 2/+1 возможных значений.
Четность л волновой функции у Пг1т определяется поведением шаровой
функции при отображении относительно начала координат 0 —> л - 0,
<р —> ср + л:
Г™(0, ср) -у - 0, (р + л) = (-1/ • Г™(0, ср), л = (-1)'.
При / = 0, 2, 4,... функция четная: л = +1,
При / = 1, 3, 5,... функция нечетная: л = -1.
▲ Собственные значения энергии частицы в сферически симметричном
потенциале зависят только от радиального квантового числа пг и от
квантового числа орбитального момента импульса /, Е = ЕПг1.
4. Вырождение уровней в сферически симметричном потенциале
Вырождением уровня называется свойство системы, при котором при
заданном собственном значении существует несколько квантово-механиче-
ских состояний с различными квантовыми числами.
Глава 26. Атомная и молекулярная физика
▲ В стационарном состоянии частицы в сферически симметричном потен-
циале при собственном значении Епр наблюдается (2/+1)-кратное вы-
рождение уровней относительно магнитного квантового числа т.
Случайное вырождение в атоме водорода — это характерное для куло-
новского потенциала (~ 1/г) вырождение энергетических уровней. Энергия
состояния атома водорода зависит только от главного квантового числа п\
п = пТ+ 1+1.
▲ К энергетическому состоянию Еп относятся волновые функции с
квантовым числом орбитального момента импульса: / = О, 1, 2,..., п — 1.
> Единственность зависимости собственных значений энергии только от
главного квантового числа справедлива для всех водородоподобных сис-
тем лишь в том случае, когда можно пренебречь спин-орбитальным
взаимодействием.
5. Состояния с положительной энергией: состояния рассеяния
Состояния рассеяния — это решения уравнения Шредингера для поло-
жительных значений энергии Е = р2/2т. Собственный спектр является не-
прерывным. При больших расстояниях от потенциала рассеяния с осевой
симметрией, который в этом случае убывает быстрее величины 1/г, волно-
вая функция состоит из падающей плоской волны с волновым вектором к и
исходящей сферической волны с амплитудой рассеяния /- (0):
eJ^r
y(f) -> е^кг Е(0)------для г —> оо.
к г
Квадрат модуля амплитуды рассеяния | /-(9)12 определяет вероятность
рассеяния частицы под углом 0 к направлению падения, которое задается
направлением вектора к.
6. Плотность вероятности электронов
Электронная плотность w(r) в атоме определяется величиной:
w(r) =Mf)|2.
Радиальная плотность вероятности H^(r)dr = 4л|\|/|2 r2dr — это вероят-
ность нахождения электрона в шаровом слое, заключенном между концент-
рическими сферами с радиусами г и г + dr, центром которых является ядро
атома (рис. 26.10). Положение максимума функции PK(r) определяет вероят-
ность удаленности электрона от ядра.
Только s-электроны (/ = 0) имеют в точке атомного ядра (г -> 0) отлич-
ную от нуля вероятность локализации w(f).
Распределение по направлениям электронной плотности определяется
квантовым числом орбитального момента импульса и квантовым числом
проекции орбитального момента импульса на заданную ось г.
Правилами отбора называются условия, определяющие способность
электрона в атоме переходить с одного уровня на другой при поглощении
или испускании фотона. При электрических дипольных переходах кванто-
вые числа магнитного и орбитального момента импульса могут изменяться
лишь на Д/ = ±1, Д/л = 0, ±1.
Главные квантовые числа уровней перехода влияют на интенсивность
излучения.
7. Структура электронной оболочки
Электронной оболочкой называется совокупность электронов атома, ко-
торые находятся в состоянии с одинаковым главным квантовым числом п.
Рис. 26.10. Радиальная плотность вероятности электронов s-, р- и d-состоя-
ний в атоме водорода: п — радиус Бора; 1—л=1;2 — и = 2;3 —
п = 3
Рис. 26.11. Зависимость направления электронной плотности s-, р- и d-со-
стояний: осью квантования является ось z
В спектроскопии электронные оболочки классифицируют по главным
квантовым числам:
п 1 2 3 4
к L м N
26.4. Многоэлектронные атомы
1. Векторная модель атома
▲ Принцип Паули: в одноуровневой атомарной системе, которая харак-
теризуется квантовыми числами и, /, т, согласно двум возможным ори-
ентациям спина ms = ±1/2 могут находиться только два электрона
(см. 25.4.3).
Векторная модель атома — это модель, в которой орбитальный момент
электрона характеризуется вектором 1 , а спиновый момент — вектором s.
Эти векторы могут принимать только определенные ориентации относите-
льно оси z (пространственное квантование).
Векторная модель применяется для систематизации сложных спектров
многоэлектронных атомов и для исследования тонкой структуры спектров.
Пространственное квантование — это свойство момента импульса элект-
рона, при котором проекции векторов 1 и s в определенном направлении в
пространстве (например, внешнее магнитное поле) принимают только диск-
ретные значения. Это направление называют осью квантования. Проекция
вектора Т в направлении оси квантования может принимать (в единицах из-
мерения Й) лишь (21 + 1) целочисленных значения /, / — 1,...,0,..., -/+1,
Вектор s , напротив, имеет проекции, равные (в единицах измерения Й) то-
лько +1/2 и -1/2 вдоль оси квантования.
2. Полный момент импульса в векторной модели
Вектор полного момента импульса МРТ1
Символ Единица измерения Название
N-' С—(1 II II лГ"* И— 1 + + J т S Jz 4 sz Дж-С Дж-с Дж-С Дж-с Дж-с Дж-с Полный момент импульса Орбитальный момент импульса Спин г-проекция полного момента импульса г-проекция орбитального мо- мента импульса z-проекция спина
26.4. Многоэлектронные атомы
Полный момент импульса электрона с орбитальным моментом I при
квантово-механическом сложении векторов принимает значения только j =
= 1/2 (для I = 0), у = I + 1/2, I — 1/2 (для I > 0). Вектор j имеет 2у + 1 проек-
ций на ось z. Проекции спинового и орбитального векторов суммируются:
nij — mj 4- ms.
3. Спин-орбитальное взаимодействие
Спин-орбитальное взаимодействие — это взаимодействие спинового и
орбитального магнитного моментов, выражается следующим образом:
Спин-орбитальное взаимодействие
Ze2 1 7 _ К = - 1 • s 2т2с2 г3 Символ Единица измерения Название
Z е те С 1 S 1 Кл кг м/с Дж-с Дж-с Порядковый номер элемента Заряд электрона Масса электрона Скорость света Орбитальный момент импульса Спин
Из-за магнитного взаимодействия между спиновым и орбитальным мо-
ментами импульса энергия электрона в атоме зависит от относительной
ориентации спина и орбитального момента импульса. Состояния, в которых
орбитальный момент 1 и спин s ориентированы параллельно или антипарал-
лельно относительно друг друга, различаются энергетически. Уровень с
квантовым числом I расщепляется на два подуровня с квантовыми числами
j = / + 1/2 и j = I — 1/2, так что образуется тонкая структура спектральных
линий.
Ls \
/=7-1/2
б)
/=/+1/2
Рис. 26.12. Спин-орбитальное взаимодействие: а — схема спин-орбитального
взаимодействия; б — спин-орбитальное расщепление уровней с
орбитальным моментом импульса I
4. 25-взаимодействие
25-взаимодействием называется такое слабое спин-орбитальное взаимо-
действие, при котором сначала орбитальные моменты импульсов учтенных
электронов атома суммируются в полный орбитальный момент L:
Глава 26. Атомная и молекулярная физика
N
L = £T, при |L| = S7Z(£ + 1),
/=1
а затем также суммируются спины электронов в атоме в полный спиновый
момент S:
N
S = £s, при |S| = Й^/5(5 + 1).
1=1
Полный момент импульса J атома представляет собой векторную сумму
полного орбитального момента импульса L и полного спинового момента S:
J = L + S при | J| = Й + 1).
Квантовое число J может принимать следующие значения:
J = L + S,L + 5-l,...,|Z -51+1,|Z -4
J имеет 2S + 1 значений, если Z > S, и 2Z + 1 значений, если Z < S.
▲ ZS-взаимодействие является удобной исходной точкой для приближен-
ных решений, если спин-орбитальное взаимодействие слабо препятству-
ет движению электронов. Оно применяется преимущественно при ана-
лизе спектров легких атомов.
s
J=L+2
IL-SI < J < L+S
Mf=ML+Ms
Рис. 26.13. /^-взаимодействие при L > S и S = 2 (схематично)
5. jj-взаимодействие
jj-взаимодействием называется такое сильное спин-орбитальное взаимо-
действие, при котором орбитальный I, и спиновый % моменты электрона в
атоме суммируются в полный момент импульса электрона:
1 = I + S/ •
Полный момент импульса J атома равен сумме полных моментов импуль-
са отдельных электронов:
j = X1 при IJI = Й + 1).
i =1
26.4. Многоэлектронные атомы
А ^’-взаимодействие является удобной исходной точкой для приближенных
решений, если спин-орбитальное взаимодействие является сильным. Оно
применяется преимущественно при анализе спектров тяжелых атомов.
> В аналитическом изложении с применением уравнения Шредингера век-
торы момента импульса заменяются соответствующими операторами.
6. Мультиплетность в структуре энергетических уровней
Мультиплетом называется группа энергетических уровней (термов), ко-
торые характеризуются различными значениями квантовых чисел J полного
момента импульса атома.
Мультиплетность равна числу принадлежащих к одному мультиплету
энергетических уровней:
S < L — мультиплетность 25+1, S > L — мультиплетность 2L + 1.
5=0: мультиплетность 1, сингулетная система,
S = мультиплетность 2, дублетная система,
5=1: мультиплетность 3, триплетная система.
▲ Для характеристики терма много электронной системы принято следую-
щее спектроскопическое обозначение:
мультиплетность доддЫ Й МОМСНТ ИМПуЛЬСЯ полный орбитальный момент
Символ Единица измерения Название
5 1 Квантовое число полного спина
ls+xLj L 1 Квантовое число полного орби- тального момента импульса
J 1 Квантовое число полного момента импульса
7. Правило Хунда
Электроны с учетом принципа Паули занимают квантовые состояния
согласно следующим условиям:
1. Максимальный полный спин 5.
2. Максимальный полный орбитальный момент импульса L.
3. Максимальный полный момент импульса J = L — 5 для меньше, чем на-
половину заполненных электронных оболочек;
максимальный полный момент импульса J - L + 5, для больше, чем напо-
ловину заполненных электронных оболочек.
Правила отбора выражают соотношения между квантовыми числами
двух стационарных состояний атома, которые должны выполняться, чтобы
был возможен дипольный излучательный переход:
Д5= 0, Д£ = ± 1, Д/= 0, ±1 (но не 0 -> 0) ДЛ/j = 0, ±1.
Глава 26. Атомная и молекулярная физика
8. Пример: атом гелия
В атоме гелия (заряд ядра Z = 2) связь спинов обоих электронов дает 5=0
(синглет) или S = 1 (триплет). Существует две системы термов: парагелий
(S = 0) и ортогелий (S = 1). При этом при инверсии частиц спиновая функ-
ция в синглете антисимметрична, а спиновая функция в триплете — сим-
метрична. Самые нижние энергетические состояния появляются, если элек-
троны занимают самые низшие одноуровневые состояния в кулоновском
потенциале:
Электрон 1 Электрон 2 Конфигурация Орбитальный момент импульса
15 15 (Ь)2 L = 0 (5)
15 25 (15,25) L = 0 (5)
15 35 (15,35) L = 0 (5)
15 2р (15,2/)) L = 1 (Р)
15 3/> (15,3/0 L = 1 (Р)
15 3d (15,3J) L = 2 (Р)
Рис. 26.14. Атом гелия: а — парагелий (спин-синглет, 5 = 0) и ортогелий
(спин-триплет, 5 = 1); б — структура терма (схематически);
— электронная конфигурация (п — главное квантовое чис-
ло, / — орбитальный момент импульса); 25 + xLj — классификация
термов в спектроскопии по полному спину (5), по полному орби-
тальному моменту импульса (£) и полному моменту импульса (</)
26.5. Рентгеновское излучение
Терм в парагелии: {Pj = i> xDj = i-
Терм в ортогелии: 3Sj = 15 3Pj=q^2> 3Dj = 1,2,3-
Расщепление терма на тонкую структуру 25 + XL при возможных значени-
ях момента импульса J в атоме гелия предельно мало.
> Согласно принципу Паули, ортогелий имеет электронную конфигура-
цию (И)2, так как и функция пространственных координат, и спиновая
функция должны быть симметричны относительно инверсии частиц.
Полная функция должна быть антисимметрична при изменении всех пе-
ременных (координата, спин).
Сравнимые состояния в ортогелии связаны сильнее, чем в парагелии
(положительная энергия обмена в симметричных состояниях координат).
9. Изотопический сдвиг
Изотопическим сдвигом называется появляющееся в смеси изотопов
смещение мультиплета в сверхтонкой структуре спектральных линий. Он
обусловлен:
• различием постоянных Ридберга изотопов при учете совместного движе-
ния ядра (различные массы ядер изотопов),
• различными отклонениями кулоновского поля атомного ядра от куло-
новского поля точечного заряда (различные квадрупольные моменты
различных изотопов).
26-5. Рентгеновское излучение
1. Характеристическое рентгеновское излучение
Характеристическое рентгеновское излучение возникает в случае элект-
ронных переходов из внешней оболочки атома во внутреннюю с малым
главным квантовым числом п. Возбуждение характеристического рентгенов-
ского излучения возможно облучением металлического электрода. При
этом, на внутренних электронных оболочках образуются вакансии, в кото-
рые переходят электроны с внешних электронных оболочек с большим глав-
ным квантовым числом т. При этих переходах происходит излучение рент-
геновского кванта (фотона) с энергией:
hf тп — Рт ~ Р'п •
▲ Рентгеновские кванты (англ. Х-лучи) принадлежат энергетическому диа-
пазону в несколько кэВ. Спектр характеристического рентгеновского из-
лучения состоит из отдельных четких линий.
Главные линии характеристического рентгеновского спектра некоторых
элементов приведены в таблице 30.4/1.
Первичным излучением называется характеристическое рентгеновское
излучение, которое возникает благодаря ионизации посредством электрон-
ных столкновений.
Флуоресцентное излучение — это рентгеновское излучение, возникаю-
щее благодаря фотоионизации, т. е. за счет поглощения рентгеновских фо-
тонов атомом.
Рис. 26.15. Характеристическое рентгеновское излучение и тормозное излу-
чение быстрых электронов (и/с < 1) при столкновении с атом-
ным ядром
Если удалить электрон из К-оболочки (п = 1), то тогда будут возможны
переходы на освободившееся место с L- (п = 2) и М-оболочек (п = 3). Толь-
ко когда все состояния атома снова будут заняты электронами благодаря
электронному захвату, процесс будет завершен, и атом снова станет элект-
рически нейтрален.
К-серия — это спектральные линии при переходе электронов с внешней
оболочки на К-оболочку. Аналогично существуют L-, М-серии и т. д.
Линии серии обозначают греческими буквами (Ка, Кр, Ку,...).
Ка] — это рентгеновское излучение при переходе электрона из состоя-
ния 2р3/2 с L-оболочки в 181/2-состояние К-оболочки. Кр соответствует
переходу с М-оболочки на К-оболочку. Ку соответствует переходу с
N-оболочки на К-оболочку и т. д.
2. Закон Мозли для характеристических частот
Закон Мозли 1
Символ Единица измерения Название
а fnm R с Z о 1 С~1 м-1 м-с-1 1 1 Константа Частота Постоянная Ридберга Скорость света Порядковый номер элемента Постоянная экранирования
Постоянная а зависит от квантовых чисел оболочки, между которыми
происходит переход.
Постоянная экранирования о — это величина, которая учитывает экра-
нировку поля ядра внутренними электронами и возмущения со стороны
других электронов. Для a-линий элемента с порядковым номером Z соглас-
но закону Мозли:
fKa =^cR(Z-iy,
26.5. Рентгеновское излучение
fLa ^cR(Z-l,W.
JO
3. Тормозное излучение
Тормозным излучением называется непрерывный рентгеновский спектр,
который возникает за счет отклонения электронов в кулоновском поле ядра.
Спектр тормозного излучения ограничен определенным значением наи-
меньшей длины волны Хмин.
▲ Энергия рентгеновских квантов не может быть больше кинетической
энергии электронов Wk, которыми они возбуждаются:
— eU§ — hfмакс — йс/Хмин.
Граничная длина волны L
ch ° ^мин =—*1,24 А е/70 для Uq = 104 В Символ Единица измерения Название
Амин С h е и0 м м/с Дж-с Кл В Предельная длина волны Скорость света Постоянная Планка Элементарный заряд Ускоряющее напряжение
|м| Определение коротковолновой границы спектра тормозного излучения
дает очень точное значение величины h.
26.5.1. Использование рентгеновского излучения
|м| Рентгеновские лучи за счет своей высокой энергии имеют большую глу-
бину проникновения в материалы, это технически используется для из-
мерения толщины, измерения уровня, испытания материала и управле-
ния качеством продукции.
1. Поглощение рентгеновского излучения
Коэффициентом поглощения, линейным коэффициентом ослабления ц
называется величина, обратная глубине проникновения, при которой ин-
тенсивность излучения уменьшается в е (е « 2,718) раз. Коэффициент погло-
щения рентгеновских лучей веществом падает с ростом ускоряющего напря-
жения Uq (частотой рентгеновских квантов).
Массовый коэффициент ослабления ц/р для рентгеновского излучения
приведен в таблице 30.6/1.
Края полосы поглощения прерывают монотонную зависимость коэффи-
циента поглощения на частотах, для которых энергия рентгеновских кван-
тов является достаточной, чтобы освободить электроны с К-, L-, М-оболо-
чек атома. При таких значениях энергии коэффициент поглощения увели-
чивается скачкообразно (рис. 26.16)
Рис. 26.16. Края полосы поглощения
для коэффициента ослабления рент-
геновского излучения
2. Оже-эффект
Оже-эффект представляет собой
двухступенчатый процесс. Сначала про-
исходит возбуждение атома за счет по-
глощения рентгеновского кванта; при
этом освобождается электрон с нижней
оболочки (преимущественно с К-обо~
лочки). Дырка заполняется электроном
с более высоких оболочек (L-, М-,...).
За счет освободившейся энергии ДЕ
происходит освобождение следующего
электрона (оже-электрона) с внешней
оболочки атома. Речь при этом идет о
безизлучательном переходе.
й Рентгеновские кванты можно наблюдать, используя их способность
ионизировать и диссоциировать. Рентгеновские кванты ионизируют ато-
мы и молекулы в объеме газа, которые, ускоряясь в электрическом поле,
вызывают возникновение импульса тока (счетчик заряженных частиц).
Их наличие может быть подтверждено фотографически почернением
рентгеновской пленки.
Детекторы емое тело
Рис. 26.17. Блок-схема компьютер-
ного томографа
|м| Компьютерная рентгеновская томо-
графия — это процесс получения
изображения разреза тела. Прин-
цип основан на зависимости коэф-
фициента поглощения от направле-
ния проходящего излучения. То-
мограмма отображает неоднород-
ность просвечиваемого тела (рис.
26.17). В математическом раскладе
распределение неоднородности (в
большинстве случаев — это неодно-
родность плотности) вычисляется в
трехмерном виде на основе изме-
ренного в различных направлениях
ослабления интенсивности.
[м| Позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ). Благодаря внутренним
у-источникам (позитронный эмиттер) можно наблюдать динамические
процессы, протекающие в теле. Принцип наблюдения основан на тех же
процессах, что и в компьютерной рентгеновской томографии.
26.6 . Молекулярные спектры
Молекулярные спектры состоят из последовательности линий, полос и
групп полос. Они возникают благодаря:
• электронным переходам и вызываемому излучению инфракрасного, ви-
димого и ультрафиолетового спектрального диапазона,
26.6. Молекулярные спектры
• колебательным переходам, которые порождают излучение инфракрасно-
го диапазона,
• вращательным переходам, являющимся источником излучения дальнего
инфракрасного диапазона.
Рис. 26.18. Связь ионов в молекуле
NaCl. Потенциальная энергия V как
функция расстояния между ионами г,
расстояние между ионами, соответст-
вующее положению равновесия гд «
« 2,5 • ПН0 м
1. Колебательный спектр
Колебательное возбуждение возникает за счет колебаний атомов молеку-
лы вдоль оси связи, при этом центр молекулы находится в покое, электрон-
ное состояние не изменяется.
Потенциал Ленарда-Джонса — модель потенциала двухатомной молеку-
лы (рис. 26.18):
г6
Константы а и b характеризуют ма-
териал и сильно зависят от температу-
ры. Сила отталкивания становится эф-
фективной в соответствии со степенью
второго члена только при сильном
сближении частиц.
Значения энергии диссоциации
двухатомных молекул приведены в
таблице 30.1/6.
Для малой амплитуды колебания
действует гармоническое приближе-
ние:
K(r) = const-(г — г0)2.
Колебательный спектр двухатом-
ной молекулы возникает при перехо-
дах между колебательными состояния-
ми молекулы. В аппроксимации малой
амплитуды колебаний колеблющиеся
вдоль оси связи атомы молекулы образуют на расстоянии положения равно-
весия г0 гармонический осциллятор с эквидистантным энергетическим
спектром:
Квантово-механический осциллятор ML2T’2
fv>b + / \1/2 г 1 m f = - л — 2 W v = 0,1,2,... Символ Единица измерения Название
^vib h f о k Дж Дж с с-1 1 Кг/с2 кг Энергия Постоянная Планка Частота Колебательное квантовое число Силовая постоянная Приведенная масса
▲ Колебательные спектры распознают по эквидистантности энергетиче-
ских уровней.
> В молекуле NaCl известно около 20 колебательных уровней. Расстояние
между уровнями составляет 0,04 эВ.
2. Вращательный спектр
Вращательный спектр двухатомной молекулы возникает при электромаг-
нитном переходе между вращательными энергетическими уровнями молеку-
лы. Вращение молекулы происходит как вращение одного целого вокруг
оси, перпендикулярной оси молекулы, без изменения расстояния между
атомами или как вращение отдельных частей друг относительно друга (внут-
реннее вращение).
Жесткий ротатор: расстояние между атомами двухатомной молекулы не
изменяется во время вращения (модель гантели). Энергия жесткого ротатора
определяется только моментом инерции I и моментом импульса J:
Квантово-механический ротатор ML2!2
й2 ^Rot(/)=^/(/ + D Символ Единица измерения Название
ч, Ч, Is- fcq 1 Дж Дж-с 1 кг-м2 Энергия Постоянная Планка Вращательное квантовое число Момент инерции при г0
▲ Вращательный спектр распознают по следующему признаку: расстояния
между соседними энергетическими уровнями с ростом квантового враща-
тельного числа линейно возрастают:
Й2
A£ = £Rot(/)-£Rot(J-l) = ^-J.
V(r)
Непрерывный
энергетический спектр,
соответствующий
диссоциированному
состоянию
г
5
4
3
2
Рис. 26.19. Колебательный спектр
двухатомной молекулы: в — коле-
бательное квантовое число
Рис. 26.20. Вращательно-колебательные со-
стояния двухатомной молекулы и разрешен-
ные переходы: о — колебательное квантовое
число, J — вращательное квантовое число
26.6.
> Величина Й2//для типичных молекул принимает значения от 10-4 до 10-2 эВ.
Расстояние между соседними вращательными уровнями меньше, чем
расстояние между колебательными уровнями. В молекуле NaCl сущест-
вует около 40 вращательных уровней.
> Для определенного колебательного состояния существует последователь-
ность вращательных состояний.
Правило отбора для переходов между колебательными состояниями:
Ди = ±1.
Правило отбора для переходов между вращательными состояниями:
Д/=±1.
Колебательно-вращательные энергетические полосы представляют собой
группу спектральных линий, характеризующих переходы между вращатель-
ными состояниями, которые основываются на различных колебательных со-
стояниях.
Непрерывный энергетический спектр, соответствующий диссоциирован-
ному состоянию — спектр, лежащий выше границы диссоциации, которая
относится к полосам коротковолнового спектрального диапазона. Он соот-
ветствует диссоциации молекулы на составные части в свободном состоянии.
> Колебательные и вращательные спектры двухатомных молекул являются
следствием только движения ядер. Кроме того, существуют также пере-
ходы между различными электронными конфигурациями молекулы,
энергия которых лежит в пределах от 1 до 10 эВ. С изменением элект-
ронного состояния меняется также и потенциальная энергия связи
ионов или атомов молекулы, так что расстояние положения равновесия,
момент инерции и частота колебаний, а вместе с этим и энергия возбуж-
дения колебательных и вращательных состояний претерпевают измене-
ния.
Электронный спектр поглощения — комплексный линейчатый спектр,
причина возникновения которого заключается в существовании множества
переходов, при которых одновременно изменяются электронное, вращатель-
ное и колебательное состояния.
3. Спектры Рамана
Спектры Рамана возникают за счет неупругого рассеяния фотонов на
молекулах. В случае рассеяния Рамана наряду со спектральными линиями
первичных источников возникают также сдвинутые симметрично относите-
льно них дополнительные линии, слабо выраженные на малых и больших
частотах (рис. 26.21):
й/0 + Д -> hfr + Ех (а) линии Релея,
й/0 + —> hfs + Е2 (б) линии Стокса,
hf^ + Е2 hfa + Ех (в) антистоксовые линии.
Ех и Е2 — это энергии колебательных и вращательных состояний моле-
кулы, на которой происходит рассеяние.
Глава 26. Атомная и молекулярная физика
Рис. 26.21. Спектры Рамана: воз-
буждение возможных подуровней
(пунктирные линии); а — линии
Релея; б — линии Стокса; в —
антистоксовые линии
Линии Релея — линии, при которых
частота рассеяния /г равна частоте перво-
начального излучения/0 (процесс а):
/г=/о-
Линии Стокса — линии, при которых
частота рассеяния /s меньше, чем частота
первичного излучения/0 (процесс б):
Фотон отдает энергию молекуле.
Антистоксовые линии — линии, при
которых частота рассеяния /а больше час-
тоты первоначального излучения /0 (про-
цесс в):
Фотон поглощает энергию колебаний и вращения возбужденной молекулы.
[м] Спектр Рамана позволяет утверждать, что, зная частоты собственных ко-
лебаний, можно определить момент инерции и форму молекулы.
26.7. Атомы во внешнем поле
1. Электрон в магнитном ноле
Оператор Гамильтона электрона в магнитном поле Bz ± плоскости х,у:
н + (ру + т<£>сх)2),
2т
eBz
где сос =--.
т
Переход от классического импульса к оператору импульса:
Й к
При подстановке получаем: q = (х - х0) = х + ——
т(&с
Уравнение Шредингера в направлении х:
Й2 д2 1 2 7 / \ Г / \
— -—+-mo)2q2 у(х, у) = Еу(х, у).
2т дх2 2
26.7. Атомы во внешнем поле
> Это дифференциальное уравнение имеет вид, похожий на уравнение гар-
монического осциллятора (см. 2.9.2, п. 4). Энергетические уровни обра-
зуют эквидистантный спектр:
Еп =1го)с
Циклотронная частота — циклическая частота (ос:
> Эти уравнения справедливы также для свободных электронов в твердом
теле и для нуклонов в ядре. Поскольку свободное движение изменяется
из-за потенциала в среде, массу частицы необходимо заменить на так
называемую «эффективную массу» т*.
2. Эффект Зеемана
Расщеплением Зеемана называется расщепление спектральных линий в
магнитном поле, обусловленное сдвигом энергетических уровней атома
вследствие взаимодействия его магнитного момента с внешним магнитным
полем. Расщепление пропорционально величине магнитной индукции В.
Поперечный эффект Зеемана — наблюдение испускания света перпен-
дикулярно направлению магнитных силовых линий.
Продольный эффект Зеемана — наблюдение испускания света вдоль на-
правления магнитных силовых линий.
Нормальный эффект Зеемана — поперечное расщепление линии на час-
тоте f в триплет, состоящий из одной несдвинутой центральной и двух сдви-
нутых относительно центральной боковых линий/±Д/(рис. 26.22). Существу-
ет только в случае синглетной системы (S = О, J= L). Магнитный момент ато-
ма в этом случае определяется орбитальным моментом. Терм L расщепляется
на 2L + 1 терма, энергия между которыми равна Д£ = цв В, ц5 — магнетон
Бора. Независимо от L согласно правилам отбора ДМ = 0, ±1 происходит рас-
щепление на три линии.
Аномальный эффект Зеемана — сложное расщепление спектральных ли-
ний в магнитном поле. Этот эффект наблюдается, если термы, участвующие
в переходах, не являются синглетными, и спин не равен нулю (рис. 26.23).
Рис. 26.22. Нормальный эффект Зеемана
Рис. 26.23. Аномальный эффект Зеемана — расщепление основного состоя-
ния (2s 1/2) и двух первых возбужденных состояний (2pi/2, 2р3/2)
атома Na в магнитном поле В: g — фактор Ланде; стрелками по-
казаны разрешенные переходы (правило отбора ДЛ/j = 0, ±1)
3. Энергетическое расщепление в магнитном поле
Энергетическое расщепление в магнитном поле ML2T2
ДЕ -= g(L,S,J) mj цв В Символ Единица измерения Название
ДЕ g(L,S,J) В Дж 1 1 Дж/Т т Энергетическое расщепле- ние Квантовое число проекции полного момента импульса Фактор Ланде Магнетон Бора Магнитная индукция
Фактор Ланде описывает зависимость гиромагнитного отноше-
ния от набора квантовых чисел терма:
,т „ п . /(/ + !)-£(£ + 1) + 5(5 + 1)
g(£, о, J) = 1 +--------------------.
2/(7 + 1)
При аномальном эффекте Зеемана в спектре натрия линия D{ (переход
2р1/2 -> 2s1/2) и линия /)2 (переход 2р3/2 -> 2s1/2) расщепляются на четыре
или шесть линий.
Парамагнитный электронный резонанс — выборочное поглощение элек-
тромагнитного излучения атомом вещества, которое соответствует перехо-
дам между уровнями Зеемана во внешнем магнитном поле.
[м] Электронный спиновый резонанс: исследуемый материал вносится в
магнитное поле, которое снимает вырождение спина. Энергия слабого
высокочастотного поля поглощается и позволяет измерить затухание ко-
лебаний осциллятора как функцию частоты. При совпадении частоты
радиочастотного излучения с частотой перехода между уровнями Зеема-
на затухание становится максимальным.
26.8. Периодическая система элементов
4. Эффект Штарка
Эффектом Штарка называется расщепление спектральных линий под
влиянием электрического поля. Это расщепление является слабым даже в
очень сильных полях от 103 до 106 В/см. Для наблюдения этого эффекта тре-
буются приборы с высоким разрешением.
Квадратичный эффект Штарка — расщепление имеет квадратичную за-
висимость от напряженности электрического поля. Квадратичный эффект
Штарка наблюдается у атомов, которые в основном состоянии не имеют по-
стоянного магнитного дипольного момента. Во внешнем электрическом
поле Е атомы поляризуются. Пропорциональный величине Ё индуцирован-
ный дипольный момент d в электрическом поле Ё обладает потенциалом
-d • Ё ~ Ё2. Квадратичный эффект Штарка связан с электрической поляри-
зуемостью атома.
Линейный эффект Штарка встречается в атомах водорода и водородопо-
добных веществ. При этом эффекте существует вырождение состояний с
одинаковым главным квантовым числом п по орбитальному моменту им-
пульса, так что состояния различной четности (например, / = 0и/=1) сме-
шиваются.
▲ В атоме водорода, находящемся в основном состоянии (п = 1, I = 0),
нельзя наблюдать линейный эффект Штарка.
Е=0
ЕгО
Рис. 26.24. Линейный эффект Штарка в атоме водорода
26.8. Периодическая система элементов
1. Основные предположения периодической системы элементов
а) Модель независимых частиц. Каждый электрон атома движется неза-
висимо от других электронов в эффективном потенциальном поле. Столк-
новение электронов друг с другом приводит только к слабому остаточному
взаимодействию. Эта модель объясняет с помощью принципа Паули перио-
дическую систему элементов.
▲ Принцип Паули: в системе одинаковых частиц с полуцелым спином (см.
25.4.3) не может находиться больше одной частицы в одном и том же со-
стоянии (п I mtmy
В применении к атому это означает, что в атоме каждый электрон обла-
дает собственным набором квантовых чисел п, I, mh ms, которые отличаются
от набора квантовых чисел любого другого электрона.
б) Электронные оболочки — совокупность электронов, которые находят-
ся в состоянии с одинаковым главным квантовым числом п.
Подоболочка снимает существующее в атоме водорода вырождение по
орбитальному квантовому числу /, в общем случае представляющему собой
сферически симметричный потенциал, отличающийся от потенциала Куло-
на. Характеризуемые квантовым числом I энергетические уровни оболочки
соответственно образуют подоболочки. Образование оболочек в атоме пред-
ставляет собой группирование энергетических уровней: энергетическое рас-
стояние между подоболочками меньше, чем энергетическое расстояние
между главными оболочками.
▲ Принцип Паули: в многоэлектронной системе на оболочке с главным
квантовым числом п не может находиться более 2п2 электронов.
Электроны первых десяти элементов занимают следующие состояния
(стрелками схематически показана ориентация спинов):
Порядковый номер элемента Элемент Состояние оболочки к 1s 2s м 2р Энергия ионизации, эВ
1 н т 13,6
2 Не ТТ 24,6
3 Li U - 5,4
4 Be U тг 9,32
5 В U тг т 8,296
6 С ТТ тг тт 11,256
7 N тг тг ттт 14,545
8 О U тг тттг 13,614
9 F тг тттгг 17,418
10 Ne тг тг тттггг 21,559
2. Заполнение электронных состояний
Последовательность заполнения электронных состояний в оболочке, а
также в подоболочке, отличающейся квантовым числом орбитального мо-
мента импульса /, соответствует последовательности энергетических уровней
с заданными квантовыми числами п и /:
в оболочке первоначально заполняется состояние / = 0, затем состояния
с большими квантовыми числами от / до / = п — 1.
26.8. Периодическая система элементов
В подоболочке заполнение происходит таким образом, что момент им-
пульса всегда максимален.
Орбиталью называют состояние, характеризующееся квантовыми числа-
ми п и /.
Валентные электроны определяют химические и оптические свойства
атома. Они принадлежат к состояниям s- и р-подгрупп оболочки с наиболь-
шим значением квантового числа п атома.
а) Атомы инертных газов — атомы с полностью заполненными оболоч-
ками. По этой причине они являются химически инертными. Энергия
ионизации у таких атомов очень большая.
б) Переходные металлы — элементы, у которых изменена последователь-
ность заполнения. Энергетически более выгодно заполнять сначала элект-
ронные состояния с более высоким главным квантовым числом п + 1, но с
меньшим квантовым числом орбитального момента импульса /. Это отно-
сится к состояниям (я + l)s и (и + 1)р по сравнению с состояниями лб и nf.
в) Трансурановые элементы — элементы с порядковым номером выше
Z = 92. Атомные ядра этих элементов не стабильны. В природе они не встре-
чаются.
О наименованиях трансуранов с порядковыми номерами 104—109 долгое
время спорили. Теперь они окончательно утверждены: резерфордий (104),
дубний (105), сиборгий (106), борий (107), гасий (108), мейтнерий (109).
Сегодня самыми тяжелыми элементами считаются элементы, искусст-
венно созданные за счет индуцированных тяжелыми ионами ядерных реак-
ций (подтверждены на ускорителе Ship в исследовательском центре тяжелых
ионов (GSI) в Дармштадте):
Борий юуВй (назван в честь Нильса Бора): реакция получения 209Bi+54Cr.
Принадлежит к 66-переходным металлам. Оболочки 5f, 6s, 6р и 7s заполне-
ны. Оболочка 66 заполнена наполовину пятью электронами. Имеет такие же
химические свойства как марганец и рений. До начала 1993 года было син-
тезировано в общей сложности 38 атомов этого элемента.
Гасий 108Hs (назван по месту открытия — Гессен, GSI): реакция получе-
ния 208Pb+58Fe. Этот элемент принадлежит к 6б-переходным металлам со
свойствами, похожими на свойства железа, осмия и рутения. Оболочки 5f, 6s,
6р, 7s заполнены. Оболочка 66 заполнена шестью электронами. До 1993 года
было получено 4 атома этого элемента.
Мейтнерий 109Mt (назван в честь Лизы Мейтнер): реакция получения
209Bi+58Fe. Этот элемент также принадлежит к 66-переходным металлам и
обладает свойствами, похожими на свойства кобальта, родия и иридия.
Оболочки 5f, 6s, 6р, 7s заполнены. На оболочке 66 находится семь элект-
ронов. На сегодняшний день доказано существование двух атомов этого
элемента.
г) Супертяжелые элементы — элементы с порядковым номером Z > 110,
впервые в 1996 году наблюдали элемент с Z= 112. В 1999 году были открыты
элементы с Z = 114, 116, 118. Они до сих пор не имеют названий.
3. Магнитный момент атома
Магнитный момент атома определяется спиновым моментом и величи-
ной не полностью заполненных подоболочек.
▲ В заполненном s-состоянии магнитные моменты электронов скомпенси-
рованы.
▲ В заполненных р-, d- и f-подгруппах в дополнение к спиновым момен-
там скомпенсированы также орбитальные магнитные моменты. Магнит-
ный момент такого атома равен нулю.
Диамагнетизм — свойство, которым обладают все элементы с заполнен-
ными подобол очками.
Парамагнетизм — свойство элементов с незаполненными подоболочка-
ми. Эти атомы обладают отличным от нуля магнитным моментом.
4. Потенциал ионизации и атомный радиус
Значения потенциала ионизации приведены в таблице 30.1/1, радиусы
атомов и ионов — в таблице 30.2.
26.9. Взаимодействие фотонов
с атомами и молекулами
26.9.1. Спонтанное и индуцированное излучение
Поглощение — явление, при котором фотон поглощается атомом. Атом пе-
реходит при этом в более высокое энергетическое состояние (рис. 26.25).
Поглощение
/г/=Е1—Ео
Излучение
Е^Е^Ео
Индуцированное излучение
Е>Е1-Е0
hf=E.-EQ
Рис. 26.25. Схема поглощения и излучения фотонов
1. Спонтанное и индуцированное излучение
Спонтанное излучение — излучение фотонов возбужденным атомом
(молекулой), без жесткого фазового условия между фотонами, которые ис-
пускаются различными одинаково возбужденными атомами (молекулами).
Индуцированное излучение — излучение фотонов с энергией ///возбуж-
денным атомом или молекулой под влиянием электромагнитного поля той
же частоты /. В этом случае поглощаемый и испускаемый фотон имеют оди-
наковую фазу. За счет этого процесса число фотонов с частотой / в поле из-
лучения увеличивается на 1.
> Свойство когерентности фотонного излучения используется в квантовых
генераторах, лазерах и мазерах (ligh/microwave amplification by stimulated
emission radiation).
26.9. Взаимодействие фотонов с атомами и
Населенностью уровней Nx называется число атомов в определенном
энергетическом состоянии Ех. Эта величина зависит от температуры. Насе-
ленность уровней изменяется излучением и поглощением.
Отношение населенностей уровней характеризуется распределением Бо-
льцмана при определенной температуре в условии термического равновесия
(см. 18.1.1.2, п. 4):
Распределение Больцмана 1
-—L = е кт n2 Символ Единица измерения Название
к Т 1 Дж Дж/К К Населенность Энергия состояния Постоянная Больцмана Температура
При термическом равновесии преобладает населенность уровня с мень-
шей энергией.
2. Инверсия населенности
Инверсией населенности называют процесс, при котором за счет подво-
да энергии верхний энергетический уровень заполнен большим количеством
электронов, чем нижний.
Трехуровневая схема лазера: существует метастабильное состояние с от-
носительно долгим временем жизни (т » 10-3 с) (рис. 26.26). Обычная
длительность времени жизни возбужденного атома составляет т « 10 8 с,
за метастабильным уровнем расположен следующий уровень, который
возбуждается, например, интенсивным коротковолновым излучением
(Ех Е3). Рабочая среда лазера выбирается таким образом, что переходы
Е3 —> Е2 становятся предпочтительнее переходов Е3 -э Ел. Из-за разной
длительности времен жизни вероятности переходов различаются таким
образом, что населенность уровня 2 превосходит населенность уровня
1 W2 > М).
накачки
Безизлучательные
переходы
| ^2 Метастабильный
уровень
Рис. 26.26. Трехуровневая схема лазера
Оптический резонатор — это система зеркал, которая ограничивает вы-
ход индуцированного квантового излучения. За счет этого лавинообразно
нарастает число когерентных световых квантов.
Глава 26. Атомная и молекулярная физика
Mi Гелий-неоновый лазер относится к группе газовых лазеров (рис. 26.27).
Возбуждение происходит благодаря электронным столкновениям в газо-
вой разрядной трубке. Рабочая температура лазера устанавливается через
капилляры. В смеси газов (Не—Ne; рНе : pNe = (5... 10) : 1) посредством
электронных столкновений атомы через промежуточный уровень 25 эВ
переходят в метастабильное состояние 21s. Возбужденные атомы гелия
полностью передают свою энергию за счет столкновений метастабиль-
ным уровням 23s и 3*s неона. За счет этого образуется инверсия населен-
ности. Благодаря стимулированным переходам на уровни 2р и Зр стано-
вится возможным лазерное излучение. При правильном выборе резона-
торных зеркал, как правило, спектральные линии, находящиеся в инф-
ракрасном диапазоне, подавляет линия с длиной волны X = 632,8 нм.
Основное состояние
Зеркало
Рис. 26.27. Гелий-неоновый лазер: а — принцип действия; б — конструкция
(схема)
> Возможная мощность лазера составляет 10 ГВт, однако излучение при
этом представляет собой короткие импульсы длительностью до 10-9 с.
ГЛАВА 27
ФИЗИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ЧАСТИЦ - СТАНДАРТНАЯ
МОДЕЛЬ
27.1. Классификация кидов взаимодействия
27.1.1. Стандартная модель
Стандартной моделью называется теоретическая модель в физике элемен-
тарных частиц, описывающая их взаимодействие. Стандартная модель
основана на теории электромагнитного, сильного и слабого взаимодействий.
1. Фундаментальные частицы —
Фундаментальными называются 12 фермионов (частиц со спином 1/2):
• шесть кварков и
• шесть лептонов,
которые в свою очередь по возрастанию массы подразделяются на три поко-
ления. Из этих частиц и их античастиц состоят все виды материи:
Кварки Q/e Лептоны Q/e
Первое d (down) -1/3 Электрон-нейтрино ve 0
поколение « (up) +2/3 Электрон e~ -1
Второе 5 (strange) -1/3 Мю-мезон-нейтрино 0
поколение c (charme) +2/3 Мю-мезон ц -1
Третье b (bottom) -1/3 Тау-нейтрино vT 0
поколение t (top) +2/3 Тау-лептон т -1
2. Фундаментальные взаимодействия
Универсальность — это наблюдение того, что семейства частиц различа-
ются только массой, но не их взаимодействием.
Четыре фундаментальных взаимодействия полностью описывают про-
цессы, происходящие в природе (рис. 27.1):
• гравитационное,
• электромагнитное,
• сильное,
• слабое.
Рис. 27.1. Типы взаимодействий: а — гравитационное; б — электромагнит-
ное; в — сильное; г — слабое
Тип взаимо- действия Силы (отно- сительное значение) Дальность действия Взаимодействие между Кванты поля (калибровоч- ные бозоны)
Сильное 1 « ю-15 Цветовое взаимодейст- вие между кварками Глюоны g
Электро- магнитное 1(Н оо Электрическими заря- дами Фотоны y
Слабое 10-14 « 2-10’18 Лептонами и адронами И*-, 2°-бозоны
Гравита- ционное Ю-38 00 Всеми частицами Гравитоны
Четыре взаимозаменяемые частицы, векторные бозоны, осуществляют
взаимодействие:
• гравитон,
• фотон у,
• глюон g,
• заряженные и нейтральные бозоны Z0.
27,1.1.1. Гравитационное взаимодействие
Гравитационное взаимодействие — взаимодействие притяжения между тела-
ми, обладающими массой. Это взаимодействие происходит на основе обме-
на гипотетическими квантами поля, гравитонами, со спином, равным 2, и
массой, равной нулю (см. 27.1.1.4).
„ масса, • масса2 Сила гравитации = константа * — расстояние2 MLT-2
Р — _Q . . Г г2 г G = 6,6742- Ю-i' Н м2 кг-2 Символ Единица измерения Название
FG G мх,м2 г Н Н-м2- кг-2 кг м Сила гравитации Гравитационная постоян- ная Массы Вектор расстояния между центрами масс
Гравитационное взаимодействие имеет бесконечную дальность действия
и не может быть экранировано.
> Гипотеза пятой силы, которая может быть описана как добавочный член
Юкава с параметром интенсивности а и параметром дальности действия
к в дополнение к гравитационному потенциалу Ф:
Ф(г) = -(? —(1+ае-'А),
Г
позволила бы получить значение гравитационной постоянной, которая за-
висит от расстояния между телами г и от массы притягивающего тела М. Но
эта гипотеза до сих пор не имеет экспериментального подтверждения.
27.1.1,2. Электромагнитное взаимодействие
Электромагнитное взаимодействие — взаимодействие между электрически-
ми зарядами, токами и магнитными моментами. Происходит за счет обмена
квантами поля, фотонами со спином, равным 1 и массой, равной нулю.
jr заряд! заряд2 Сила Кулона = константа расстояние2 MLT-2
F = 1 . Q 02 Г е1 4л£о г2 г £0 = 8,854187817-10-12 Кл-В-'м-1 Символ Единица измерения Название
Fel 61,62 Ео Г н Кл Кл-В-'-м-' м Сила Кулона Заряды Диэлектрическая постоянная Расстояние между зарядами
Отношение гравитационной силы и силы Кулона двух протонов состав-
ляет:
г
— = G 4л£0 • « 0,83 • Ю-зб.
Электростатическое взаимодействие между протонами примерно в 1036
раз сильнее, чем гравитационное при одинаковом расстоянии между ними.
27.1,1.3. Слабое взаимодействие
1. Слабое взаимодействие
Взаимодействие, в случае которого при распаде тяжелых лептонов и
кварков образуются более легкие частицы. Этот распад происходит благода-
ря заряженным И*- и нейтральным Z0 векторным бозонам со спином 1. Эти
бозоны обладают большой массой, за счет чего дальность слабого взаимо-
действия этих частиц достаточно мала.
Свободные нейтроны за счет слабого взаимодействия со средним време-
нем жизни
т = (889,1 ± 2,1) с
распадаются на три частицы: п -» р + е~ + ve: протон, электрон и нейт-
ральный электронное антинейтрино. Продолжительность жизни нейтро-
на в 1027 раз больше, чем характеристическое время слабого взаимодей-
ствия, составляющее 10-23 с.
Рис. 27.2. Диаграмма кварковых линий: а — слияние ядер водорода, б — рас-
пад нейтрона
2. Свойства слабого взаимодействия
• Сила слабого взаимодействия значительно меньше, чем сила сильного
взаимодействия и при низких уровнях энергии также меньше электро-
магнитного взаимодействия. Однако она больше, чем сила гравитацион-
ного взаимодействия.
• Максимальная дальность действия слабого взаимодействия очень мала,
меньше, чем 10-17 м.
• При слабом взаимодействии не существует связанных состояний.
Причина короткой дальности действия слабого взаимодействия заключа-
ется в том, что заряженные и нейтральные бозоны Z0 обладают большой
массой покоя. Согласно принципу неопределенности обмен виртуальны-
ми бозонами должен удовлетворять условию kE &t > Й. При этом величина
Д£ = mwc2 является энергией покоя бозонов. Такой бозон может проходить
расстояние не больше, чем
Rq « - — » 200 МэВ • Фм = 2 • 10-18 м,
mwc 100-103 МэВ
даже если он будет двигаться со скоростью света в вакууме. Это соответству-
ет одной тысячной дальности действия ядерных сил.
> Для фотонов справедливо wPh = 0 и поэтому Ло = оо: электромагнитное
поле обладает бесконечной дальностью действия.
Виртуальными называют частицы, энергия и импульс которых не удов-
летворяют соотношению связи энергии и импульса для свободных частиц:
F2
—-р2 т2с2.
▲ Виртуальные частицы существуют только очень короткое время (для пе-
редачи взаимодействия).
27.1.1.4. Сильное взаимодействие
Сильное взаимодействие — взаимодействие, которым обусловлена связь со-
ставляющих ядра, а вместе с тем и его стабильность. Сильное взаимодействие
между кварками, как составляющими адронов и мезонов, происходит благо-
даря обмену квантами поля, глюонами со спином 1 и массой, равной нулю.
▲ Свойства сильного взаимодействия:
• Сильное взаимодействие является притягивающим для расстояний от
г «2-10~15 м и отталкивающим для г < 10-15 м.
• Оно обладает короткой дальностью действия (~ 10-15 м).
• В пределах дальности действия сильное взаимодействие в 100—1000 раз
сильнее электромагнитного взаимодействия.
• С ростом числа нуклонов происходит насыщение энергии связи на нуклон.
• Сильное взаимодействие не зависит от пространственных координат.
Взаимодействие между двумя нуклонами зависит от относительной ори-
ентации спинов нуклонов, от изотопического спина Т (изоспин) двух-
нуклонной системы и от орбитального момента импульса относительно-
го движения.
• Сильное взаимодействие не зависит от заряда. В системе нуклон-нуклон
с изоспином Т = 1 независимо от состояния заряда пары нуклонов дей-
ствует сила V(n -п) - V(p - р) = V(p - п). Взаимодействие в состоянии с
изотопическим спином Т = 0 отличается от взаимодействия в состоянии
с Т = 1.
Механизм сильного взаимодействия основывается на действии цветовой
силы, т. е. на обмене квантами поля, обладающими цветовым зарядом —
глюонами, не имеющими массы, со спином, равным 1.
Сильное взаимодействие может быть описано также обменом мезонами
между нуклонами для достаточно больших расстояний.
Потенциал Юкавы позволяет получить приблизительное значение доли
притягивающей части потенциала между двумя нуклонами:
Потенциал Юкавы MLT-2
VK =Ио Г Символ Единица измерения Название
VK Го го Г Дж/м Дж м м Потенциал Юкавы Сила взаимодействия Дальность действия Расстояние между нуклонами
32—3814
27. A.2. Кванты поля или калибровочные бозоны
1. Калибровочные бозоны
или кванты поля — частицы, за счет которых происходит передача взаи-
модействия (бозоны с целочисленным спином).
Гравитон, спин равен 2 — калибровочный бозон (передатчик) гравита-
ционного взаимодействия. Считается, что гравитон не имеет ни массы, ни
заряда. Существование гравитона до сих пор не имеет экспериментального
подтверждения.
Фотон, спин равен 1 — калибровочный бозон электромагнитного взаи-
модействия в квантовой электродинамике (КЭД). Эта теория объясняет
квантовый характер электромагнитного поля и точно описывает экспери-
ментальные отклонения от описания потенциалов (сила Кулона, уравнения
Максвелла).
▲ Масса покоя и заряд фотона равны нулю ту = 0, qy - 0.
Свободные фотоны образуют кванты энергии света, виртуальные фото-
ны передают электромагнитное взаимодействие.
Заряженные и нейтральные бозоны, спин равен 1, представляют собой
кванты поля слабого взаимодействия:
• с массой m = 80,22 ± 0,26 ГэВ,
• Z0 с массой m - 91,173 ± ,020 ГэВ.
Z-бозоны обусловливают отталкивание нейтрино от электронов и квар-
ков.
2. Электрослабое взаимодействие
Ученые Салам и Вайнберг разработали унифицированную теорию элект-
ромагнитного и слабого взаимодействия. В рамках этой теории было пред-
сказано существование частицы Z0.
> Еще одно предположение — существование частиц Хиггса с массой тлн ®
» 300 ГэВ до сих пор не получило экспериментального подтверждения.
3. Кванты поля сильного взаимодействия
Глюон (от англ, glue = клей), со спином 1 — квант поля сильного или
цветного взаимодействия (квантовая хромодинамика). Они осуществляют
взаимодействие между кварками. Предположительно существует восемь раз-
личных глюонов, которые различаются своим цветом (квантовое число).
Они, как и фотоны, не имеют массы покоя. В отличие от фотонов, которые
могут распространяться бесконечно в неограниченном пространстве, глюо-
ны движутся в пространстве, диаметр которого составляет 1015 м, так как
они сами переносят заряд, связанный с цветом, и поэтому сильно взаимо-
действуют друг с другом. Свободные кварки или глюоны являются предпо-
ложительными частицами и пока не были обнаружены, так как сила между
кварками возрастает с ростом расстояния между ними (возрастание линей-
ного потенциала системы кварк-кварк К(г) = Вг, В > 0).
Глюболы — частицы, состоящие только из глюонов. Уже существуют эк-
спериментальные предпосылки подобной связанной системы квантов поля.
Элементарные частицы
Кварки Лептоны
I :
Адроны j т, ц?
Нуклиды Электроны
Атомы ——
Взаимодействие Передатчик
Сильное Глюоны
Сильное Глюоны
Электромагнитное Фотоны
Электромагнитное Фотоны
Гравитационное Гравитоны
Молекулы
I
Солнечная система
Рис. 27.3. Ступени развития материи и соответствующие действующие силы
м. Глюоны образуются, например, при аннигиляции высокоэнергетичной
пары позитрон-электрон. При этом возникают кварк и антикварк. Если
энергии электрона и позитрона достаточно велики, то при разделении
пары кварк-антикварк может образоваться один или более глюонов.
Кварк, антикварк и глюон в качестве отдельных частиц не могут при-
близиться друг к другу на расстояние большее, чем 10~15 м, так как при
таком сближении происходит дальнейшее образование частиц. Так обра-
зуются характеристические струи адронов.
4. Теоретические выражения физики элементарных частиц
Калибровочная теория — математическая формулировка взаимодейст-
вий, вытекающая из принципа симметрии: основное уравнение при этом
является инвариантным при определенных видах трансформации волновой
функции.
Электрослабая теория и квантовая хромодинамика являются калибро-
вочными теориями. Ученые надеются сформулировать унификацию
взаимодействия, под которую было бы возможно подвести теорию гра-
витации на основе калибровочной теории.
Константы связи gi ,g2 ,g3 — параметры электромагнитного, слабого и
сильного взаимодействий. Они определяют относительную величину сил
взаимодействия между частицами. Постоянные связи зависят от передачи
импульса и энергии в процессе взаимодействия (рис. 27.4).
Асимптотическая свобода — постоянная связи g3 сильного взаимодейст-
вия, уменьшающаяся при передаче большого импульса или на малых рас-
стояниях между частицами. Кварки становятся при этом квазисвободными
частицами. При этом возможно применение теории возмущений.
Невылетание кварков — предполагаемая, но точно не доказанная гипо-
теза квантовой хромодинамики, согласно которой кварк нельзя рассматри-
вать в качестве свободной частицы. Следствием свойства взаимодействия в
системе кварк-кварк посредством обмена взаимодействующими между со-
бой глюонами является предположение, что для больших расстояний между
кварком и антикварком, представляющими собой составляющие мезона,
энергия пары кварк-антикварк возрастает пропорционально расстоянию,
так что образуются новые пары кварков и антикварков, которые объединя-
ются в бесцветный мезон.
Рис. 27.4. Невылетание кварков: а — силовые линии поля электрического
диполя; б — конфигурация поля глюонов между кварком q и ан-
тикварком #; в — образование пар кварков q и антикварков (мезо-
нов) при разрыве силовых трубок
27.1.3. Фермионы и бозоны
Элементарные частицы, подразделяющиеся согласно значению спина на два
больших класса: фермионы и бозоны.
1. Фермионы
К ним относятся элементарные частицы
с полуцелым спином (1/2, 3/2, 5/2,...). Они
подчиняются статистике Ферми и для них
справедлив принцип Паули (см. 25.4.3).
Статистика Ферми-Дирака — квантовая
статистика системы, состоящей из фермио-
нов и находящейся в равновесии.
Распределение Ферми задает среднее
число п, не взаимодействующих друг с дру-
гом фермионов в состоянии i с энергией Е;.
Рис. 27.5. Распределение Ферми
Распределение Ферми 1
—г1— е кт +1 g = 2s + 1 Символ Единица измерения Название
«/ g Et Ц к Т S 1 1 Дж Дж Дж/К К 1 Число частиц Весовой коэффициент Энергия z-ro состояния Химический потенциал Постоянная Больцмана Температура Спин частицы
Химический потенциал ц определяется условием:
= N (общее число фермионов).
2. Бозоны
К ним принадлежат элементарные частицы с целочисленным спином.
Они подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и для них не справедлив
принцип Паули.
Статистика Бозе-Эйнштйна описывает статистическое распределение
неразличимых частиц с целочисленным спином (0, 1, 2,...) согласно прин-
ципам квантовой механики.
> Сколь угодно большое количество бозонов может находиться в состоя-
нии /.
Распределение Бозе-Эйнштейна описывает среднее число не взаимодей-
ствующих друг с другом частиц nh с целочисленным спином, находящихся в
состоянии i с энергией Д.
Распределение Бозе-Эйнштейна 1
И,- = г - е кт -1 g = 2s + 1 Символ Единица измерения Название
«/ g И к Т S 1 1 Дж Дж Дж/К К 1 Число частиц Весовой коэффициент Энергия z-ro состояния Химический потенциал Постоянная Больцмана Температура Спин частицы
Весовой коэффициент g бозона с нулевым спином равен 1, если спин
бозона равен 5 = 1, то весовой коэффициент составляет g = 3. Для фермио-
нов со спином 5=1/2 весовой коэффициент равен g = 2. Общая формула ве-
сового коэффициента g = 2s + 1.
▲ Все фундаментальные частицы обладают спином, не равным нулю.
▲ Калибровочные бозоны, кванты поля фундаментальных взаимодействий
имеют следующие значения спинов: спин фотонов, заряженных и неза-
ряженных бозонов и глюонов равен 1, спин гипотетического гравитона
равен 2.
▲ Бозоновый характер фотонов имеет значение для принципа работы лазе-
ра: в одной точке может находиться сколь угодно большое число фото-
нов и такое же число энергетических состояний с одинаковой фазой.
3. Конденсация Бозе-Эйнштейна
Переход системы невзаимодействующих частиц, которая подчиняется
статистике Бозе-Эйнштейна, в состояние, в котором все частицы обладают
наименьшей энергией. Предположительно конденсация Бозе-Эйнштейна
наблюдается при высоких плотностях частиц п и/или низких температурах
Т, если расстояние меду частицами (массой т) сравнимо с длиной волны
де-Бройля X частиц в тепловом движении:
«X3 > 2,612, X = ^7г2(2дагА:Т),
(к — постоянная Больцмана). Конденсация Бозе-Эйнштейна нарушается
межатомным взаимодействием: при больших силах взаимодействия молекул
вместо конденсата Бозе-Эйнштейна образуется обыкновенная жидкость.
Конденсация Бозе-Эйнштейна слабо взаимодействующей системы бозо-
нов была подтверждена в 1995 году для газа атомов рубидия благодаря при-
менению методов лазерного охлаждения газа и охлаждения газа при испаре-
нии (газ помещался в магнитную ловушку). При помощи предварительного
лазерного охлаждения в магнито-оптической ловушке образовывалось хо-
лодное, плотное облако атомов рубидия, которое в конечном итоге помеща-
лось в магнитную ловушку, где оно посредством охлаждения паром охлаж-
далось до температуры 170 нК и плотности З-IO12 см3. В центре ловушки
происходила конденсация Бозе-Эйнштейна приблизительно 2000 атомов,
которая проявляла себя в характерном изменении распределения координат
и импульса частиц, в то время как в окрестности конденсата существовала
вторая несконденсированная часть газа.
Паровое охлаждение — избирательное удаление частиц с высокой энер-
гией из системы. После термализации система обладает меньшей средней
энергией.
> Доказательство конденсации Бозе-Эйнштейна было проведено также
при помощи атомов лития, притягивающихся за счет слабого взаимодей-
ствия Ван-дер-Ваальса.
27.2. Лептоны, кварки и векторные бозоны
27.2.7. Лептоны
Лептоны — класс частиц, которые подчиняются электромагнитному, но не
подчиняются сильному взаимодействию.
▲ Лептоны, обладающие спином 1/2, также являются фермионами.
▲ Существует шесть видов лептонов и соответствующих им античастиц.
▲ Все лептоны являются бесструктурными и представляют собой точечные
частицы.
Свойства лептонов:
Название Масса т, МэВ/с2 Заряд Q, е
Электрон е Электронное нейтрино ve 0,510998918 ± 0,000000044 < 7,3-10-6 -1 0
Мюон ц Мюонное нейтрино 105,6583692 ± 0,0000094 < 0,27 -1 0
Тау-лептон т Тау-нейтрино vT 1776,99 ± 0,29 < 31 -1 0
Название Дипольный момент Продолжительность жизни
магн. ц/ц5 электр. J/(c-cm)
Электрон е Электронное нейтрино ve 1,001159652193 ± ± 0,000000000010 < 1,08 • 10~9 (-0,3 ± 0,8) • 10-26 т > 3,8 • 1023 с r/mVe > 300 с/эВ
Мюон ц Мюонное нейтрино (1,001165923 ± ± 0,000000008) < 7,4 • IO’6 (+3,7 ± 3,4)-10-19 т = (2,19703 ± ± 0,00005)-10 6 с x/mv^ > 15,4 с/эВ
Тау-лептон т Тау-нейтрино vT < 4 • 10-6 т = (0,305 ± ± 0,006)-10~12 с
Лептонный заряд, лептонное число Z, как и барионный заряд В, пред-
ставляет собой квантовое число, характеризующее заряд.
▲ В случае системы элементарных частиц лептонные и барионные заряды
суммируются отдельно.
▲ Лептонный заряд после любой ядерной реакции сохраняется.
▲ Все лептоны обладают лептонным зарядом L - ± 1.
▲ Все лептоны обладают барионным зарядом В = 0.
Лептонный заряд электрона +1, лептонный заряд позитрона -1.
Барионный и лептонный заряды фотона у равны нулю В = 0, L = 0.
Позитрон — это античастица электрона.
27.2.2. Кварки
Адроны — все частицы, которые подчиняются сильному взаимодействию.
Они обладают внутренней структурой. Барионы и мезоны являются адрона-
ми. Каждый барион состоит из двух кварков. Каждый мезон состоит из
пары кварка и антикварка.
▲ Лептонный потенциал любого адрона L = 0.
Кварки — частицы, введенные в качестве гипотезы, чтобы доказать и
объяснить схожесть барионных и мезонных мультиплетов.
▲ Кварки не имеют структуры и имеют точечную форму. Существует
шесть кварков и шесть антикварков, также как шесть видов лептонов и
антилептонов. Кварк q и антикварк q обладают барионными числами |
1
и, соответственно,
стандартная модель
Свойства кварков:
Название м, МэВ/с2 Q,e I X s Л 5 charm bottom top
down d 5...15 1 X X X +
up u 2...8 3 2 + - 3 2 X 2 2 X 2 2 X 2 + - - - -
strange s 100...300 1 3 0 0 1 2 + -1 - - -
charm c 1300...1700 2 + - 3 0 0 x 2 + - +1 - -
bottom b 4700...5300 1 3 0 0 x 2 + - - -1 -
top t 174000 ± 17000 2 + - 3 0 0 x 2 + - - - +1
Q — заряд, I — изоспин, Iz — проекция изоспина, 5 — спин, л — чет-
ность, S — странность.
▲ Из-за относительно длительного времени жизни состоящих из кварков
с/с, b/b и t/t мезонов и адронов им приписывают новые квантовые чис-
ла: с-кварку: charm, 6-кварку bottom, /-кварку top.
Тор-кварк. Тор-кварк (истинный кварк) t был подтвержден в 1994 году.
Энергия сталкивающейся протон-антипротонной пары в системе центра
масс составляет 1,8 ТэВ. В этом процессе сталкиваются легкий кварк прото-
на с легким антикварком антипротона, что служит причиной образования
//-пары. Тор-кварк / распадается почти всегда на 6-кварк и И^-мезон, кото-
рый в свою очередь распадается (в 67%) на два кварка (и (или с) и d (или J))
(адронный распад) или (в 33%) на е+ + ve или ц+ + уц (лептонный распад).
Аналогично / -кварк распадается на b -кварк и IF--мезон, с последующим ад-
ронным или лептонным распадом И^-мезона. Нейтрино проявляет себя как
недостающее слагаемое в балансе энергии восстановленного события. Квар-
ки и антикварки инициируют образование адронных струй (jets), возникаю-
щие при этом за счет 6-кварков частицы оставляют след, который можно
охарактеризовать тем, что он исходит не из точки взаимодействия, а из
установленного максимума, //-пара может быть подтверждена событием, для
которого характерно существование двух заряженных лептонов и минимум
двух струй. Масса /-кварка составляет (174 ± 17) ГэВ/c2. Следовательно, она
в 35 раз больше, чем масса 6-кварка. Тор-кварк является самой тяжелой из
всех известных на сегодняшний день частиц.
Барионный заряд, барионное число В — это квантовое число, характери-
зующее заряд, приписываемый элементарной частице. Барионный заряд,
как и электрический заряд, является аддитивной скалярной величиной.
▲ Все кварки обладают барионным зарядом В = ± - и лептонным зарядом
£ = 0.
▲ Все барионы обладают лептонным числом L = 0.
▲ Барионное число во всех процессах преобразования частиц остается не-
изменным.
▲ Этот закон сохранения означает, что число частиц и античастиц, при-
надлежащих к одному семейству, не изменяется. Барионное число про-
тонов и нейтронов +1. Барионное число электронов и позитронов 0.
1. Ароматы (flavors): странность (strangeness), очарование (charm), прелесть
(bottom), истинность (top)
▲ Адроны состоят из кварков. Шесть видов кварков называются ароматами.
▲ Мезоны состоят из одного кварка и одного антикварка. Этим определя-
ется барионное число 0.
▲ Барионы состоят из трех кварков, их барионное число равно 1.
▲ Сильное взаимодействие не чувствительно к ароматам, т. е. оно не зави-
сит от аромата частицы.
▲ Изменение аромата обусловлено слабым взаимодействием.
Все барионные декуплеты и октеты могут быть построены из нижних
(down), верхних (up) и странных (strenge) кварков.
Три вершины барионного декуплета противоречили бы принципу Паули,
если бы не существовало новой степени свободы, характеризующей кварк.
2. Цвет
▲ Цвет — новая степень свободы, которая приписывается кваркам и глюо-
нам. Новое свойство имеет характер цветного заряда, оно отвечает за
цветное взаимодействие.
▲ По договоренности кварки бывают трех цветов: красные г, синие b и зе-
леные g,
▲ Антикварки имеют комплементарные цвета (антикрасный г, антисиний
b и антизеленый g).
▲ Все адроны бесцветны (белые).
Барионы: три кварка имеют различные цвета, которые в сумме дают
ноль (белый цвет).
Мезоны образуются парами qq противоположных цветов rr, bb и gg.
▲ Глюоны, являющиеся передатчиками цветного взаимодействия, сами яв-
ляются цветными: в отличие от фотонов они являются электрически
нейтральными, однако они имеют «цветовой заряд». Существует восемь
различных комбинаций цветов глюонов: rb,rq,qb,qr,(rr + qq -2ЬЬ)/4в,
(rr -qq)/>l2.
27.2.3. Адроны
Адроны — элементарные частицы, которые подчиняются сильному взаимо-
действию и распространяются в пространстве (см. 27.2.2). В соответствии со
значением спина различают мезоны и барионы.
стандартная модель
Мезоны — элементарные частицы, состоящие из пары кварк-антикварк,
подчиняющиеся сильному взаимодействию и обладающие целочисленным
спином.
▲ Барионное число мезонов равно нулю В = 0.
Барионы — состоящие из трех кварков частицы, которые подчиняются
сильному взаимодействию и обладают полуцелым спином. Они относятся к
фермионам.
▲ Барионное число барионов равно В = ± 1.
1. Странность и тяжелые барионы
Странностью (strangeress) S называется свойство определенных элемен-
тарных частиц образовываться благодаря слабому взаимодействию и распа-
даться за счет сильного взаимодействия. Странность S — новое квантовое
число, которое описывает свойство и взаимодействие частиц и передается
от кварка странному кварку.
▲ В сильном и электромагнитном взаимодействии странность сохраняется.
При слабом взаимодействии это число равно нулю.
▲ Если при распаде элементарной частицы не выполняется закон сохране-
ния, то процесс затухает, что соответствует продлению времени жизни
частицы.
Рис. 27.6. Диаграмма линий кварков: а — дельта-распад, б — лямбда-распад
2. Гипероны и каоны
Гипероны — частицы с полуцелым спином s и массой больше массы
нуклона. Они принадлежат к семейству барионов и обладают странностью
(5^0).
К-мезон или каон — нестабильная элементарная частица семейства ме-
зонов. Странность каона равна 5 = ± 1, а время жизни т составляет от 10~8
до 10*10 с. Это очень большое время по сравнению с характеристическим
временем сильного взаимодействия. 10*10 с — время, типичное для процес-
сов, протекающих под влиянием слабого взаимодействия. Существует четы-
ре вида К-мезонов К+, К0, К0 К*.
▲ Гипероны и К-мезоны зачастую образуются как пара.
27.2. Лептоны,
|м| На рис. 27.7 схематически показана реакция:
л+ + р -4- Л° + К0 + л+ + л+
Л° -> л~ + р
К0 -> л+ + л~
А°-гиперон — нейтральная элементарная
частица, которая как и каждая нейтральная
частица не видна на снимке пузырьковой ка-
меры. Она распадается на протон и л~-мезон с
характерным временем 2,6 • 10“10 с.
К°-мезон — нейтральный К-мезон, также
невидимый на снимке пузырьковой камеры.
К°-мезон имеет продолжительность жизни
10~10 с и распадается на л+-мезон и л~-мезон.
Рис. Т1.7. Схема снимка пу-
зырьковой камеры: л+-мезон
встречается с покоящимся,
невидимым протоном
3. Таблица мезонов со спином 1 (векторные мезоны)
Название Символ т, МэВ/с2 Q, е 5 Г, МэВ Аромат кварка
Ро-мезон р+ 768,1 ± 0,5 1 0 151,5 ± 1,2 ud
р° 768,1 ± 0,5 0 0 151,5 ± 1,2 (ий - dd)/42
Р" 768,1 ± 0,5 -1 0 151,5 ± 1,2 du
Омега-мезон со 781,95 ± 0,14 0 0 8,43 ± 0,10 (ий + dd)/V2
Фи-мезон ф 1019,413 ± 0,008 0 0 4,43 ± 0,06 55
Каон К*+ 891,59 ± 0,24 1 1 49,8 ± 0,8 us
К*0 896,10 ± 0,28 0 1 50,5 ± 0,6 ds
К’- 891,59 ± 0,24 -1 -1 49,8 ± 0,8 us
К*о 896,10 ± 0,28 0 -1 50,5 ± 0,6 ds
4. Таблица мезонов со спином 0 (псевдоскалярные мезоны)
Название Символ т, МэВ/с2 Q,e 5 т, с Аромат кварка
Заряжен- ный пион л1 139,5679 ± ± 0,0007 ±1 0 (2,6030 ± ± 0,0024)-10’8 ud du
Нейтраль- ный пион л° 134,9743 ± ± 0,0008 0 0 (8,4 ± ± 0,6) ю-’7 (ий - dd)/V2
Эта-мезон П 547,45 ± ± 0,19 0 0 ® 0,55 10-18 (ий + dd - 255)/д/6
п' 957,75 ± ± 0,14 0 0 « 0,33 -io-20 (ий + dd + 55)/д/3
Название Символ т, МэВ/с2 Q,e 5 т, с Аромат кварка
Каон к± 493,646 ± ± 0,0009 ±1 ±1 (1,2371 ± ± 0,0029) • 10-8 US US
Нейтраль- ный каон к° 497,671 ± ± 0,031 0 1 50 %K°S, 50 %К® ds
К0 497,671 ± ± 0,031 0 -1 50 %K°S, 50 %К0 ds
К-короткий М 497,671 ± ± 0,031 0 - (0,8922 ± ± 0,0020)-10’10 -
К-длинный КО 497,671 ± ± 0,031 0 - (5,17 ± ± 0,04) • 10-8 -
Символы в таблице означают: т — масса, Q — электрический заряд, 5 —
странность, т — среднее время жизни.
▲ Величина ширины распада Г = h/т эквивалентна величине времени жиз-
ни т.
5. Классификационная схема семейства мезонов
Компонент изоспина /3
Рис. 27.8. Классификационная схе-
ма семейства мезонов со спином О
(псевдоскалярные мезоны)
Другие мезоны состоят из кварков
с-(ё -) и b-(b -):
• D- и £>*-мезоны с очарованием С = ±1,
• D$- и D$ - мезоны с очарованием и
странностью С = S = ±1,
• В- и Б*-мезоны с прелестью В = ±1.
6. Кварконий
Кварконий — состояние кварк-ан-
тикварк (= мезон) из тяжелых кварков.
• Чармоний (сс): например, J/ф с мас-
сой т = 3096,93 ± 0,09 МэВ/с2.
• Боттоний (bb): например, Y с массой
т = 9460,32 ± 0,22 МэВ/с2.
> Название частиц происходит анало-
гично названию позитрониум, свя-
занному с состоянием е+ — е~.
Состояния возбуждения очень похожи на схему термов в атомной физи-
ке (рис. 27.9).
7. Барионы со спином 1/2
Барионный октет содержит частицы со спином S. Классификационная
схема барионов со спином 1/2 изображена на рис. 27.10. В обзорной табли-
це указаны масса т, заряд Q, среднее время жизни т, магнитный дипольный
момент ц, электрический дипольный моменте d и странность 5:
Рис. 27.9. Спектр масс состояния чармония со спином S, орбитальным мо-
ментом импульса L и полным моментом импульса J
Название Символ т, МэВ Q, е т, с
Протон Нейтрон Лямбда Сигма Хи р п А 2? 2° S- “0 938,272029 ± 0,000080 939,565360 ± 0,000081 1115,63 ± 0,05 1189,37 ± 0,07 1192,55 ± 1,10 1197,43 ± 0,06 1314,90 ± 0,6 1321,32 ± 0,13 1 0 0 1 0 -1 0 -1 > 1031 лет 889,1 ± 2,1 (2,632 ± 0,020) • 10-10 (0,799 ± 0,004) • Ю-10 (7,4 ± 0,7) -10-20 (1,479 ± 0,011) )-1О-20 (2,90 ± 0,09) • 10-10 (1,639 ± 0,015)-10-10
Название Символ Ц/Цд, d, е-см А Аромат кварка
Протон Нейтрон Лямбда Сигма Хи (U [I] М М М > 3 Ъ 1 О | о + 2792847351 ± 2,8 -10~8 -1,91304273 ±4,5-10’7 -0,613 ± 0,004 2,42 ± 0,05 -1,160 ± 0,025 -1,250 ± 0,014 0,6507 ± 0,015 (-4 ± 6)-1023 < 12 10-26 < 1,5 -10~16 0 0 -1 -1 -1 -1 -2 -2 uud udd sdu SUU sdu sdd ssu ssd
— стандартная модель
8. Барионы со спином 3/2
Барионный декуплет содержит частицы со спином 3/2. Классификаци-
онная схема барионов со спином 3/2 представлена на рис. 27.11.
Похожие мультиплеты принадлежат к антибарионам.
Компонент изоспина /3
Рис. 27.10. Схема бариона со спином
1/2
Компонент изоспина /3
Рис. 27.11. Структура барионного де-
куплета со спином 3/2 из трех кварков
> Для компонента изоспина 13 = 0 и странности -1 существует два состоя-
ния, которые различаются изоспиновым квантовым числом 7: I = 0: Л°,
1=1: Х°.
Семейство барионов со спином 3/2
Название Символ т, МэВ/с2 Q, е т, с 5 Аромат кварка
Омега Q- 1672,43 ± 0,32 -1 (0,822 ± 0,012) -10-10 -3 555
Хи 2*о 1531,80 ± 0,32 0 Г = 9,1 ±0,5 МэВ -2 55W
я— 1535,0 ± 0,6 -1 Г = 9,9 ± 1,8 МэВ -2 ssd
Сигма Г+ 1382,8 ± 0,4 1 Г = 35,8 ± 0,8 МэВ -1 SUU
£*- 1387,2 ± 0,5 -1 Г = 39,4 ±2,1 МэВ -1 sdd
2*0 1383,7 ± 1,0 0 Г = 36 ± 5 МэВ -1 sdu
Дельта Д++ 1232 2 Г = 115 - 125 МэВ 0 uuu
Д+ 1232 1 Г = 115 - 125 МэВ 0 uud
Д° 1232 0 Г = 115 - 125 МэВ 0 udd
д- 1232 -1 Г = 115 - 125 МэВ 0 ddd
27.2.4. Ускорители и детекторы
Субатомные структуры можно распознавать при помощи высокоэнергетич-
ных бомбардирующих частиц. Длина волны X излучения материи согласно
формуле (см. 25.1.1, п. 2)
Р
уменьшается с ростом импульса, это означает, что тонкие структуры всегда
могут быть прозондированы.
Чтобы могла образоваться новая пара частиц массой т. необходима по-
роговая энергия
Е = 2тс2.
Новые сведения можно получить при увеличении энергии с помощью
разработки улучшенного ускорителя.
1. Ускоритель
Линейный ускоритель — ускоритель частиц, в котором высокочастотные
участки ускорения расположены друг за другом так, что бомбардирующий
луч проходит сквозь них только один раз, прежде чем достигнет мишени.
Циклотрон — циклический ускоритель, в котором частицы в магнитном
поле циклично движутся по спиралевидным траекториям за счет ускоряю-
щего, высокочастотного напряжения.
Синхротрон — циклический ускоритель с переменным во времени маг-
нитным полем. Траектория частицы представляет собой кольцо, которое
бомбардирующий луч проходит циклично.
Накопительное кольцо — устроенный по принципу синхротрона ускори-
тель, в котором два направленных навстречу друг другу потока бомбардиру-
ющих частиц встречаются под небольшим углом. При одинаковой интен-
сивности лучей в точке их пересечения возникает рост энергии, как во всех
традиционных ускорителях.
Примерами накопительных колец являются электрон-протонное нако-
пительное кольцо HERA в DESY в Гамбурге с длиной орбиты 6,3 км
(электронный пучок с энергией 30 ГэВ, протонный пучок с энергией 820
ГэВ) и электрон-позитронный коллайдер LEP в Европейском центре
ядерных исследований (CERN) в Женеве с длиной орбиты 26,7 км и с
энергией пучков 60 + 60 ГэВ. С помощью протон-антипротонного кол-
лайдера CERN в 1983 году впервые были обнаружены Z- и РК-бозоны,
носители слабого взаимодействия (Нобелевская премия 1984, К. Руббиа,
С. Ван-дер-Меер).
В настоящее время происходит строительство протон-протонного кол-
лайдера LHC CERN с энергией пучка 8 ТэВ.
Светимость £* = 7Vs/a, единицы измерения с-1 см-2 — важная характери-
стика накопительного кольца, определяющая число реакций определенного
типа 7VS в секунду, подразделяется по эффективному сечению реакции о.
Линейный коллайдер — установка, состоящая из двух направленных на-
встречу друг другу линейных ускорителей. Прежде чем встретиться, частицы
проходят ускоряющие участки только один раз. Так как частицы не должны
стандартная модель
отклоняться, необходимо уменьшить до минимума огромные потери излуче-
ния накопительного кольца. В настоящее время для этого запланированы
несколько 0,5 ТэВ е+ е~-коллайдеров: TESLA (длина 20 км, частота 1,3 ГГц)
и s-band (25 км, 3 ГГц), оба в DESY, CLIC (6,25 км, 30 ГГц) в CERN и не-
которые другие.
2. Детекторы
• Ядерная фотопластинка — фотографическая эмульсия, которая помогает
детектировать частицу благодаря почернению ее трека.
• Пузырьковая камера — раньше зачастую использовалась для обнаружения
элементарных частиц. Под давлением в большой камере находится жид-
кость, близкая к закипанию. При резком уменьшении давления жидкость
перегревается. Заряженная частица, обладающая высокой энергией, обра-
зует след, в окрестности которого происходит закипание жидкости. При
этом меняется показатель преломления, и след частицы может быть сфо-
тографирован в проходящем или отраженном свете. Чувствительность пу-
зырьковой камеры после понижения давления сохраняется примерно в
течение 10 мс. Заряженные частицы отклоняются магнитными полями
(сила Лоренца). По кривизне трека можно определить заряд и скорость
частицы, а по плотности ионизации — энергию частиц. В качестве рабо-
чей жидкости используются жидкий водород или пропан.
• Стримерная камера — детектор, в котором проходящая через установку
частица за счет подачи высоковольтного импульса напряжения создает
светящиеся заряды вдоль трека, которые регистрируются фотографиче-
ски.
• Ионизационная камера — детектор, в котором детектирование происхо-
дит благодаря созданной частицей первичной ионизации. Она работает
при помощи газа для наполнения счетчика в электрическом поле.
• Счетчик Черенкова — детектор, в котором частицы движутся через ве-
щество с большим показателем преломления со скоростью, большей,
чем фазовая скорость света, образуя при этом сферическую волну. По
углу излучения света можно найти скорость частиц. Новое применение в
детекторах колец черенковского излучения (Ring Imaging Cherenkov-Co-
unter, RICH).
• Полупроводниковый счетчик определяет ионизацию Д£/Дх, а также,
возможно, внесенную энергию Е.
• Кремниевый детектор состоит из полос бора, помещенных на монокрис-
талл кремния, ^-«-переход заперт; при прохождении заряженной части-
цы свободные электроны попадают на анод полосы.
• Сцинтилляционный счетчик — выявление частицы происходит посред-
ством флуоресценции светового кванта при прохождении частицы через
сцинтиллятор. Усиление светового сигнала осуществляется электронным
умножителем. Высокая временная разрешающая способность позволяет
распознавать среднее число импульсов за единицу времени. Прибор об-
ладает низкой пространственной разрешающей способностью.
• Пропорциональная камера состоит из плоскостей из параллельных анод-
ных проволок (толщина 50 мкм, расстояние около 1 мм), расположен-
ных между катодными плоскостями. Смесь аргона со спиртом применя-
ют в качестве рабочего газа. Прибор обладает высокой точностью про-
странственной локализации траектории.
• Времяпроекционная камера (time projection chamber) — детектор, в кото-
ром при учете времени дрейфа за счет процесса ионизации свободных
электронов воспроизводится траектория частицы. Благодаря сотням
анодных проволок можно определить временную и пространственные
координаты частицы.
27.3. Симметрия и законы сохранения
Однородность времени выражается в том, что законы природы со временем
не изменяются. Физические величины однородных во времени систем зави-
сят не от времени /, а от разности времен Д/. Это одна из основных причин
закона сохранения энергии.
Однородность пространства выражается в том, что законы природы не
зависят от координаты. Физические величины однородных в пространстве
систем не изменяются при перемещении (поступательном движении)
г -> г + Дг. Это одна из основных причин закона сохранения импульса.
Изотопия пространства — это равноценность направлений в пространст-
ве. Свойства системы не изменяются при вращении. Следствием простран-
ственной изотопии является закон сохранения момента импульса.
Теорема Нетер:
Каждой симметрии физической системы соответствует некоторый закон
сохранения. Инвариантность интеграла действия в теории поля относитель-
но постоянной группы трансформации с «-параметрами имеет как следст-
вие п законов сохранения.
27.3.1. Сохранение четности и слабое взаимодействие
Зеркальная симметрия мира указывает на то, что существует зеркальное
отображение любого реально существующего объекта.
Закон сохранения четности характеризует зеркальную симметрию мира в
квантовой механике. Он справедлив в тех случаях, когда реакцию обуслов-
ливают сильное или электромагнитное взаимодействие.
Возбужденные атомы при отсутствии поля излучают изотопные электро-
магнитные волны. Если атом внести в магнитное поле кольцевого тока,
то атомные уровни расщепляются на различные проекции момента им-
пульса относительно направления поля (эффект Зеемана). Характеристи-
ка излучения зеркально симметрична относительно плоскости кольцево-
го тока. Она не изменится, если поменять направление тока в противо-
положную сторону (рис. 27.12).
Оператор четности Р — оператор отображения волновой функции в
пространстве: А|/(г) = \р(—г).
Несохранение четности происходит в случае некоторых ядерных реак-
ций, например, при p-распаде. Рис. 27.13 схематически иллюстрирует несо-
хранение четности при Р-распаде.
Рис. 27.13. Схематичное изо-
бражение несохранения чет
ности
Рис. 27.12. Электромагнитное
излучение при эффекте Зее-
мана, сохранение четности
р-излучатель (например, источник 60Со) находится в однородном маг-
нитном поле при низкой температуре. Магнитные моменты ядер 60Со
полностью поляризуются. Среднее число импульсов за единицу времени
Р-детектора (например, кристалл антрацена) измеряется как функция
времени нагревания образца. Одновременно регистрируется у-излучение
от источника. При высоких температурах поляризация выравнивается за
счет теплового движения. Асимметрия равна нулю. При втором измере-
нии магнитное поле меняет полярность (рис. 27.14).
у-Кванты
§5 0.8- iHundHl
О ? I ( । 1 । '
2 6 10 14 18 f/min
| р-Асимметрия
1.2- •
1.0- •* ' .••••: :
0.8-• ’
Ч----Г—т-----1----1------1
2 6 10 14 18 f/min
Рис. 27.14. Результаты измерения Р-распада
напряженность магнитного поля
в случае источника 60Со. Н —
Асимметрия эмиссии Р-частиц зависит от направления вектора напря-
женности магнитного поля Н и при этом зеркально не симметрична. Асим-
метрия у-квантов, напротив, не зависит от направления магнитного поля.
▲ При слабом взаимодействии закон сохранения четности не выполняется.
Как следствие несохранения четности:
▲ Спины электрона и нейтрино ориентированы всегда противоположно
направлению распространения (отрицательная спиральность). Направле-
ние спинов позитрона и антинейтрино, напротив, всегда совпадает с на-
правлением распространения (положительная спиральность).
▲ Протону и нейтрону соответствует четность = л/? = +1. Электрону так-
же соответствует четность ле = +1. Система из двух частиц А и В обладает
четностью
л =(-!)/ЛЛ - Яд,
где / — квантовое число орбитального момента импульса относительного
движения. Четность представляет собой мультипликативное квантовое
число.
27.3.2. Закон сохранения заряда и образование пар
▲ В ходе реакций с элементарными частицами и ядерных реакций общий
заряд не изменяется: электрический заряд, барионный и лептонный за-
ряд суммируются раздельно и сохраняются во всех реакциях.
Примером сохранения электрического заряда является реакция аль-
фа-распада:
4N + Ше-> Ш+ 17О.
/ Z 1 о
' 9 ' 9
Образование пары — реакция, при которой электромагнитное излучение
(у-квант) превращается в частицу и античастицу. Примером образования
электрон-позитронной пары может послужить следующая реакция:
у -> е+ + е~,
С учетом законов сохранения энергии и импульса образование е+ е"-па-
ры может происходить только во внешнем поле третьей частицы (например,
ядра атома). Образование пары представляет собой пороговую реакцию.
Ввиду того, что масса покоя электрона и позитрона принимает конечное
значение (те-с2 * 511 кэВ) эта реакция встречается только при энергии
у-излучения, равной 1,022 МэВ.
Уничтожение пары — процесс, при котором частица и античастица (с
общим нулевым моментом импульса) сливаются в электромагнитное излу-
чение. Согласно закону сохранения импульса должно образоваться мини-
мум два фотона:
е+ + —> 2у.
Античастица — элементарная частица, у которой квантовое число заря-
да — а у фермионов также четность — имеет знак, противоположный знаку
соответствующей частицы, при равных модулях.
> С точки зрения закона сохранения электрического заряда преобразова-
ние у-излучения в электрон и протон возможно. Однако такую реакцию
нельзя обнаружить, поскольку в этом случае не выполнялось бы сохра-
нение барионного и лептонного чисел.
Антипротон — античастица протона. Электрический заряд антипротона
равен = -1е барионное число В~ = -1 и четность Лр = -1.
Преобразование у-кванта в протон и антипротон согласно вышеупомя-
нутому закону сохранения возможно. Пороговая энергия для такой реакции
составляет около
0пор > 2 • тр -с2 = 2-938,2796 МэВ/с2.
В следующей таблице приведены значения квантового числа заряда не-
которых элементарных частиц.
Элементарная частица Электрический заряд Барионный заряд Лептонный заряд
Протон +1 +1 0
Нейтрон 0 +1 0
Электрон -1 0 +1
Позитрон +1 0 -1
л+, л°, л~-мезоны +1, 0, -1 0 0
Фотон 0 0 0
Нейтрино 0 0 +1
Антипротон -1 -1 0
Антинейтрон 0 -1 0
Антинейтрино 0 0 -1
27.3.3. Зарядовое сопряжение и античастицы
Операция зарядового сопряжения С переводит частицы в античастицы. За-
рядовое сопряжение связано с дискретной трансформацией. В случае такой
трансформации частицы заменяются античастицами.
▲ Для каждой частицы существует античастица. Они обладают одинаковы-
ми массами и временем жизни, однако их квантовые числа заряда раз-
личны.
> Согласно зарядовому сопряжению вселенная должна быть не только аб-
солютно электрически нейтральна, но и содержать одинаковое число ча-
стиц и античастиц. Все прежние наблюдения указывают на асимметрию
вселенной.
С-оператор — оператор, осуществляющий переход частица-античастица.
Если этот оператор применить дважды, то в результате получится исходная
частица.
27.3.4. Инвариантность относительно
обращения времени и обратные реакции
Инвариантность относительно обращения времени — симметрия физиче-
ских явлений относительно обращения времени.
Т-оператор — оператор, действующий на обращение времени, т.е. заме-
няющий t на —t.
27.3. Симметрия и законы сохранения
При неупругом столкновении частиц А и В в конечной стадии возника-
ют частицы С и D. Вероятность перехода системы из начального состоя-
ния i в конечное состояние f обозначается символом Вероятность об-
ратного процесса (начальное состояние f переходит в конечное состоя-
ние /*) обозначается символом Инвариантность относительно обра-
щения времени требует:
В следующей таблице приведены отношения физических величин отно-
сительно обращения времени Т, зарядового сопряжения С и пространствен-
ной инверсии Р.
Величина Операторы симметрии
f С Р
Импульс р -р Р -Р
Спин J -л J Л
Напряженность электрического поля Ё Ё Ё -Ё
Напряженность магнитного поля Н -Н Й Н
Дипольный момент (электрический) J • Ё -ЛЁ ЛЁ -ЛЁ
▲ Инвариантность относительно обращения времени подтверждается реак-
циями, которые подчиняются сильному или электромагнитному взаимо-
действию.
▲ Симметрия взаимодействия при С-, Р- и Т-трансформации в целом не
представляет собой универсальный закон природы.
▲ Электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия являются инвари-
антными для применения всех операций в любой последовательности.
> Экспериментально проверенным выводом СРТ-инвариантности является
равенство средних времен жизни, масс и модулей магнитных моментов
частиц и античастиц. До сегодняшнего дня не было поставлено экспери-
мента, опровергнувшего СРТ-инвариантность.
27.3.5. Законы сохранения
Законы сохранения и симметрии взаимодействия тесно связаны между собой:
Закон сохранения/ квантовое число Взаимодействие
сильное электро- магнитное слабое гравита- ционное
Энергия Е + + + +
Импульс р + + + +
Момент импульса J + + + +
Закон сохранения/ квантовое число Взаимодействие
сильное электро- магнитное слабое гравита- ционное
Квантовое число заряда: электрический заряд Q + + + +
барионный заряд В + + + +
лептонный заряд L + + + +
Спиновое квантовое число: спин S + + + +
изоспин / + - - -
проекция изоспина Iz + + - -
Странность S + + -
Закон сохранения Физическая предпосылка Тип закона сохранения
Энергия Импульс Момент импульса СР-инвариантность Т-инвариантность Электрический заряд Барионный заряд Лептонный заряд Странность Однородность времени Однородность пространства Изотопия пространства Право-левая симметрия пространства Симметрия времени (/, -t) Неизвестна Неизвестна Неизвестна Неизвестна Г еометрический Г еометрический Г еометрический Г еометрический Г еометрический Заряд Заряд Заряд
27.3.6. Стандартная модель с обратной стороны
|м| Время жизни протона согласно утверждению элегантной великой теории
объединения (Grand Unified Theory, GUT) Джорджи и Глэшоу составля-
ет т = 4,5-1029 ± f7 года (т. е. на несколько порядков больше, чем возраст
Вселенной). В ходе различных экспериментов было установлено, что
нижняя граница времени составляет от 1031 до 5-1032 лет. Эксперименты
проводят в соляных рудниках, в золотых жилах и других пещерах, чтобы
экранировать космическое излучение.
Суперсимметричная модель (SUSY) — модель объединения, постулирую-
щая серию новых элементарных частиц, которые известны под названиями:
Нейтралино, чарджино, снейтрино, сэлектрон, смюон, скварк и глюино.
27.3. Симметрия и законы сохранения
Рис. 27.15. Зависящие от энергии константы связи g\ (электромагнитное из-
лучение), #2 (слабое взаимодействие), (сильное взаимодейст-
вие) и #gut (великого объединения (GUT))
Предположительно масса легчайших суперсимметричных частиц состав-
ляет т > 15 ГэВ/c2. Существование ни одной из частиц не было подтверж-
дено экспериментально. Спектр масс можно будет измерить в будущем на
установках протон-накопительного кольца LHC или SSC, а также на уста-
новке элекгрон-протонного линейного ускорителя.
Магнитный монополь — в унифицированной теории изолированный
элементарный магнитный заряд. Его существование нарушило бы инвари-
антность относительно обращения времени, что не является принципиаль-
ной ошибкой, так как в случае нейтральных каонов нарушение этой сим-
метрии уже наблюдалось.
[м] Магнитные монополи, несмотря на усиленные поиски, так и не были
обнаружены: при полетах на воздушных шарах детектировалось косми-
ческое излучение и исследовалась лунная порода. В 1975 году было объ-
явлено об открытии магнитных монополей, вероятно, их перепутали с
экстремально тяжелыми ядрами. Магнитные монополи по расчетам дол-
жны быть в 1016 раз тяжелее протона.
Нейтрино Майорана или массивный нейтрино — нейтрино с массой
mv * 0. Согласно обычной электрослабой теории mv = 0. Конечная величина
массы покоя нейтрино имела бы значительные следствия для теории: на-
пример, не сохранялось бы лептонное число.
ли Экспериментальная верхняя граница массы электронного нейтрино со-
ставляет около 7 эВ/с2. Измеренная в экспериментах фактическая вели-
чина т2 электронного нейтрино частично отрицательна.
Верхняя граница массы нейтрино описывает взрыв звезды, произошед-
ший 165000 лет назад: разница времен в прибытии нейтрино и света
сверхновой звезды (SN1987A), которая наблюдалась в 1987 году, допус-
кает вывод о том, что т < 7 эВ/с2.
Масса Планка М = ^~hc/G « 1,2-1019 ГэВ/c2 (G — гравитационная постоян-
ная) — это масса или энергия, начиная с которой согласно общей теории отно-
сительности физику элементарных частиц в основном определяет гравитация.
ГЛАВА 28
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
28.1. Составляющие ядра
Ядро атома — это связанная система А нуклонов.
Нуклон — собирательное понятие нейтрона и протона.
Протон — положительно заряженная частица со спином 1/2. Модуль
электрического заряда протона соответствует элементарному заряду.
Нейтрон — нейтральная элементарная частица со спином 1/2.
1. Основные характеристики атомного ядра
Порядковый номер элемента или заряд ядра Z — число протонов в ядре
атома, а также число электронов в оболочке нейтрального атома.
Число нейтронов N — число нейтронов в атомном ядре.
Массовое число А — общее число нуклонов в ядре:
A = N + Z.
Обозначение: порядковый номер Z элемента X пишется слева внизу зна-
ка элемента, массовое число А указывается слева сверху, число нейтронов N
записывается справа внизу:
А V жг
Различают:
Четно-четное ядро — ядро, состоящее из четного числа протонов и чет-
ного числа нейтронов.
Четно-нечетное ядро — ядро, состоящее из четного числа протонов и
нечетного числа нейтронов
Нечетно-четное ядро — ядро, состоящее из нечетного числа протонов и
четного числа нейтронов.
Нечетно-нечетное число — ядро, состоящее из нечетного числа прото-
нов и нечетного числа нейтронов.
2. Изотопы, изобары, изотоны
Изотопы — атомные ядра с одинаковым порядковым номером Z, но раз-
личным числом нейтронов N.
уХдг и A+)XN+i являются изотопами. Например, изотопы углерода 12С,
13С и 14С.
> Изотопы в своей основе схожи по химическим свойствам. Однако про-
цессы, зависящие от массы, протекают по-разному с участием разных
изотопов (различие в физико-химическом равновесии, по скорости диф-
фузии, изотопический сдвиг в атомных спектрах, резонансные частоты
молекул, критические сопротивления сверхпроводников). Эти явления
называются изотопическими эффектами.
28.1.
Изобары — атомные ядра с одинаковым массовым числом Л, но с раз-
личным количеством протонов Z. Изобары являются различными химиче-
скими элементами.
и z^n-\ являются изобарами. Например, 14С и 14N.
Изотоны — атомные ядра с одинаковым числом нейтронов N, но с раз-
личным порядковым номером Z. Изотоны являются разными химическими
элементами.
и являются изотонами.
3. Изоспин и обобщенный принцип Паули
Изоспин t — это оператор изоспина, обладающий всеми математически-
ми свойствами оператора спина § = 6/2 (в единицах измерения Й),
* =(tX9iy9iz), i=x/2, /=1/2, м, = ±1/2.
Протон и нейтрон можно рассматривать как два состояния нуклона с
различной ориентацией изоспина mt (третий компонент изоспина):
mt - +1/2: протон, mt - -\/Т. нейтрон.
Оператор заряда q — нуклона обладает собственными значениями энер-
гии 0 (нейтрон ) и е (протон):
q = |(1 + тг), е — элементарный заряд.
В векторной модели сумма изоспинов t1?t2 равна полному изоспину
атома Т с квантовым числом Т, Мт = mh + mt2:
Изоспиновый синглет: Т = О, Мт = 0 нейтрон-протонная система,
Изоспиновый триплет: Т= 1, Мт= 1 протон-протонная система,
Мт = 0 нейтрон-протонная система,
Мт = -1 нейтрон-нейтронная система.
Симметрия изоспиновой функции двухнуклонной системы при обмене
изоспиновыми координатами обоих нуклонов:
Т = 0: антисимметричная изоспиновая функция,
Т = 1: симметрическая изоспиновая функиця.
Зависимость ядерной силы от заряда: силы между парами частиц (рр),
(рп) и (пп) в состоянии изоспинового триплета одинаковы, если пренебречь
электромагнитным взаимодействием. Сила взаимодействия двух частиц
изоспинового синглета отличается от изоспинового трипелта.
Обобщенный принцип Паули — при одновременном обмене спинами,
изоспинами и пространственными координатами система двух любых нук-
лонов описывается антисимметричной волновой функцией.
Основные состояния дейтрона — это состояния изоспинового синглета
(Г= 0, Мт= 0, антисимметричная изоспиновая функция) и изоспинового
триплета (5=1, симметричная изоспиновая функция) нейтрон-протонной
системы. Согласно обобщенному принципу Паули, функция пространст-
венных координат симметрична при обмене координатами частиц, так что
квантовое число L орбитального момента импульса относительного дви-
жения принимает только целочисленные значения L = 0,2,4,...
4. Таблица фундаментальных свойств нуклонов
Свойство Протон Нейтрон
Масса 1,67262171 • 10-27 кг 1,67492728-10-27 кг
Заряд +1,60217653 ± ± 0,00000014 1019 Кл 0
Время жизни > 1031 а (889 ± 2,1) с
Спин (в единицах Й) 1/2 1/2
Магнитный момент (+2,792847351 ± ± 0,000000028)-рк (-1,91304273 ± ± 0,00000045)-рк
Гиромагнитное отношение 5,585694701 -3,82608546
Проекция изоспина +1/2 -1/2
5. Ядерный магнитный резонанс
Магнитный момент атомных ядер принято измерять в ядерных магнетонах:
цк = eft/(2zwproton) = 3,15245166(28)-10-14 МэВ Т1.
|м Спин протона можно измерить посредством ядерного магнитного резо-
нанса (ЯМР, англ, nuclear magnetic resonance): магнитный момент цр
протона в магнитном поле В может принимать строго определенные на-
правления (пространственное квантование). Эти направления соответст-
вуют различным энергиям. Если образец находится (например, вода) в
магнитном поле, то происходит поляризация спина протонов водорода.
Если высокая частота f достигает значения, которое соответствует энер-
гетическому переходу из одного спинового состояния в другое, то коле-
бания контура, в котором находится катушка, затухают (рис. 28.1).
> ЯМР применяется в анализе структур органических молекул и в медици-
не (ядерно-спиновая томография).
Рис. 28.1. а — принципиальная схема установки ЯМР; б — ЯМР-измерение
спина нейтрона посредством среднего числа импульсов за едини-
цу времени N как функции частоты f
28.2. Основные величины атомного
6. Магнитный момент нуклона
Нейтрон и протон обладают магнитным моментом.
Магнитный момент нейтрона равен:
|iw = -(1,91304273 ± 0,00000045)-цк.
[м] Измерение магнитного момента нейтрона лучше всего производить с по-
мощью установки ядерно-магнитного резонанса: поток нейтронов (Еп &
« 25 мэВ) поляризуется, проходя через поляризатор, попадая затем в од-
нородное магнитное поле, на которое накладывается высокочастотное
поле. После прохождения магнитного поля нейтронный поток попадает
в анализатор. При этом применяется магнитное рассеивание за счет маг-
нитного момента нейтрона в насыщенной поверхности ферромагнетика.
Если поляризация совпадает с направлением намагничивания анализа-
тора, то рассеивание максимально. С помощью такого анализатора опре-
деляется частота высокочастотного поля, при которой опрокидывается
магнитный момент.
Магнитный момент протона:
цр = +(2,792847351 ± 0,000000028)-цк.
Поскольку нейтрон является электрически нейтральным, он не должен
обладать магнитным моментом. Магнитный момент протона значительно
отличается от ядерного магнетона. Измеренные значения магнитных момен-
тов протона и нейтрона доказывают, что нуклоны не являются точечными
частицами.
▲ Нуклоны являются пространственными объектами с внутренней струк-
турой. Протоны и нейтроны состоят из составляющих кварков, глюонов
и виртуальных пар кварк-антикварк.
> Опыт, в ходе которого проводились попытки измерить электрический
дипольный момент нейтрона, на сегодняшний день не увенчался успе-
хом. Новые эксперименты посредством установок ЯМР в итоге показа-
ли, что электрический дипольный момент нейтрона при условии своего
существования должен составлять 4-10-25 е-см.
28.2. Основные величины атомного ядра
Форма атомного ядра в большинстве случаев деформирована относительно
аксиальной оси, в области нуклонной оболочки имеет сферическую форму.
Радиус атомного ядра R можно оценить по формуле:
R = Гд-Л1/3, г0 « 1,2 фм = 1,2 -10-15 м, А = массовое число.
1. Распределение числа нуклонов и плотности массы
Плотность распределения нуклонов р0 — количество нуклонов на едини-
цу объема — для всех ядер является приблизительно постоянной величиной:
р0 = 0,17-1045 нуклонов/м3 = 0,17 нуклонов/фм3.
Этой величине соответствует плотность массы атомного ядра около
2,7 • 1017 кг/м3. Наибольшая плотность макроскопического твердого тела со-
1020 Глава 28. Ядерная физика
Рис. 28.2. Распределение плотности
масс в атомном ядре: R — радиус
ядра; а — параметр поверхности; b —
поверхностный слой; ро — плотность
нуклонов в центральной части ядра
ставляет р = 22570 кг/м3 для металла
осмия. Ядерная плотность превышает
плотность твердого тела при нормаль-
ных условиях на 13 порядков.
Распределение плотности масс р(г) —
плотность атомного ядра как функция
расстояния г от центра ядра (рис. 28.2)
определяется эмпирически:
р(г) =----~-----•
1+е('-л)/а
Параметр а характеризует толщину
b поверхностного слоя, в котором плот-
ность ядра снижается с 90 до 10 % от
плотности нуклонов в центральной ча-
сти ядра: b = 4,4л, а « 0,6 фм.
М Распределение заряда в ядре измеряется рассеянием заряженных частиц
(е_, р, а-частиц) (рассеяние Резерфорда, рис. 28.3, а). В случае тяжелых
ядер распределение плотности масс вследствие избытка нейтронов мо-
жет незначительно отличаться от распределения заряда. При заданной
подходящей форме распределения заряда из параметров рассеяния мож-
но определить радиус ядра R и параметр радиуса г0.
2. Энергия связи и дефект масс
Энергия связи В — энергия, которая должна быть подведена к ядру для
того, чтобы образовались свободные нуклоны. Единицей измерения в систе-
ме СИ энергии связи является джоуль (Дж), однако обычно для ее измере-
ния применяют МэВ:
1 МэВ = 1,6022-КН3 Дж.
▲ Масса стабильного атомного ядра меньше, чем сумма масс составляю-
щих нуклонов.
Дефектом масс ДИК(Л,7) называют разность между суммой масс всех
нуклонов и массой ядра /як(Л,2):
LW(A,Z) = Z-mp + (А — Z)-mn — mK(A,Z).
Дефект масс ДРИ и энергия связи ядра В эквивалентны:
В = ДЖ(Л,7)-с2, 1 МэВ/с2 = 1,7827 -Ю'30 кг.
[м] Атомные массы можно определить в масс-спектрографе по отклонению
ионов в электрических и магнитных полях. Разность энергий связи
атомных ядер выражается также из энергии распада при p-распаде или
энергии Q ядерной реакции.
3. Атомная единица массы
1 а. е. м. равна 1/12 массы атома изотопа углерода 12С:
1 а.е.м. = — nine = = 1,66053886 • 10~27 кг (NA — число Авогадро).
28.2. Основные величины атомного ядра
Рис. 28.3. а — экспериментально измеренное распределение заряда в ядрах ато-
мов 58Ni (1) и 208РЬ (2); г — расстояние от центра ядра; б — энер-
гия связи на нуклон В/А в МэВ как функция массового числа А
Использование этой единицы в ядерной физике целесообразно, так как
массы атомных ядер удобно мерить целыми числами в приближении крат-
ными а. е. м.
Величина Символ Значение Погрешность
Атомная единица массы а. е. м 931,494043 МэВ/с2 0,000080
Масса электрона те 0,510998918 МэВ/с2 0,000044
Масса мюона 105,6583692 МэВ/с2 0,0000094
Масса протона тр 938,272029 МэВ/с2 0,000080
Масса нейтрона тп 939,565360 МэВ/с2 0,000081
Постоянная Планка й 6,58211915-10-22 МэВ с 0,00000056-10-22
4. Энергия связи нуклона
Энергия связи нуклона В/А — мера стабильности атомного ядра. Сред-
нее экспериментальное значение: В/А » 8 МэВ.
▲ Ядра связаны энергией, приблизительно равной 1% от их массы.
В случае легких ядер энергия связи нуклона растет с ростом массового
числа. Самое стабильное атомное ядро — это ядро атома железа (56Fe) с
энергией связи « 8,8 МэВ. Для массовых чисел А > 56 энергия связи на
один нуклон с ростом числа нуклонов падает (рис. 28.3, б). Поэтому для по-
лучения энергии может служить либо слияние легких ядер, либо расщепле-
ние тяжелых ядер.
> Причина локальных максимумов энергии связи в области легких ядер
(например, в ядре атома *Не) заключается в заполненных нейтронных и
протонных оболочках (см. 28.4.4), по аналогии с сильно связанными
электронными оболочками в инертных газах.
Насыщение ядерных сил методом приближенного постоянства энергии
связи на нуклон составляет около 8 МэВ.
▲ Величина энергии связи ядра определяет его стабильность.
28.3. Нуклон-нуклонное взаимодействие
28.3.1. Феноменологический нуклон-нуклонный
потенциал
Потенциал К12 взаимодействия между двумя нуклонами определяется упру-
гим нуклон-нуклонным взаимодействием при помощи анализа фазы рассея-
ния и достигает энергии порядка 300 МэВ. Потенциал взаимодействия оце-
нивают в ходе измерений дифференциального сечения взаимодействия в эк-
спериментах однократного рассеяния и зависящих от спина величин (поля-
ризация, деполяризация) в экспериментах многократного рассеяния с
поляризованными лучами частиц или/и поляризованными мишенями.
Общее выражение:
И2 = + ^в(г)(^1 *^2) + '^2) + ^м(г)(51 ’б2)(?1 ’ Т2) + ^Т^12 + Hs(L S).
Сила Вигнера — центральная сила, зависящая только от расстояния г.
1. Обменные силы
Обменная сила — зависящая от расстояния центральная сила, величина
и знак которой (притяжение или отталкивание) зависят от симметрии спи-
новой функции (общий спин 5=0 или 5=1), изоспиновой функции (об-
щий изоспин Т = 0 или Т = 1) и функции координат (орбитальный момент
импульса L = 1,2,4,... или L = 1,3,5,...).
Сила Барлета ~ -б2 — обменная сила, отличающаяся спиновыми со-
стояниями 5 = 0 и 5 = 1.
Сила Гейзенберга ~ Ti ~ обменная сила, отличающаяся изоспино-
выми состояниями Т = 0 и Т = 1.
Сила Майорана ~ (oi -с^Хи -т2) — обменная сила, отличающаяся со-
стояниями с четным или нечетным орбитальным импульсом.
В случае взаимодействия, состоящего из сил Вигнера и Барлетта, пол-
ный потенциал равен:
к12 = J'w — 3 ’ Пь дая s = о,
Г12 = rw + 1. VB для 5=1.
2. Тензорные силы и спин-орбитальное взаимодействие
Тензорная сила 512 — статическая нецентральная сила, зависящая от
ориентации нуклонных спинов s15 s2 относительно вектора связи г обоих
нуклонов (рис. 28.4, s = Йб/2):
(Si f)(d2 r) - -
O12 “ 3------------(Ji -02-
Г2
Тензорная сила воздействует на электрический квадрупольный момент
дейтрона.
Рис. 28.4. Тензорная сила
512 между двумя нуклона-
ми 7V197V2- 81,82 — спины
нуклонов
О Р
S„
О п
S12=+2
Рис. 28.5. Тензорная сила 512
в случае особых конфигура-
ций нейтрон-протонной сис-
темы
Спин-орбитальное взаимодействие ~ L • S —
зависящая от скорости нецентральная сила,
которая зависит от взаимной ориентации век-
торов полного спинового момента S и орбита-
льного момента L относительного движения.
3. «Твердая сердцевина» (hard-core)
Потенциал «твердой сердцевины» — бес-
конечно высокий потенциал отталкивания,
зависящий от расстояния между нуклонами,
выраженный компонентами нуклон-нуклон-
ного потенциала. Два нуклона не могут сбли-
зиться на расстояние меньшее, чем расстоя-
ние гс, гс « 0,6 фм (рис. 28.6). Потенциал
«твердой сердцевины» вносит вклад в процесс
удержания нуклонов в ядре.
Рис. 28.6. Потенциал «твер-
дой сердцевины» с минима-
льным радиусом сближения
нуклонов гс: г — расстояние
между нуклонами
28.3.2. Потенциал обмена мезонами
Потенциал обмена мезонами — испускание виртуальных мезонов конечной
массы одним нуклоном и поглощение его другим нуклоном, приводящее к
изменению состояния импульса нуклонов, которое может быть интерпрети-
ровано как воздействие одной силы. Дальность действия R этой силы обрат-
но пропорциональна массе мезонов т\
R ~ Й/(тлс).
1. Потенциал Юкавы
Нуклон-нуклонный потенциал, который возникает благодаря обмену от-
дельными пионами (тпс2 « 140 МэВ) (однопионный обмен, рис. 28.7, а).
Потенциал Юкавы содержит центральные силы обменного характера и да-
льнодействующую тензорную силу. Зависимость от расстояния выражается
следующим образом:
Гу = е"^7(цг), ц =
1024 Глава 28. Ядерная физика
Рис. 28.7. Обмен виртуальными мезонами между двумя нуклонами Nx, jV2:
а — однопионный обмен; б — 2л-обмен; в — 2л-обмен при вирту-
альном возбуждении резонанса А(1232) в нуклоне
Потенциал однопионного обмена позволяет провести удовлетворитель-
ное описание нуклон-нуклонного взаимодействия для расстояний между
нуклонами г > 2 фм.
> Некоррелированный обмен двумя пионами может быть приближенно
смоделирован в виде обмена одним мнимым скалярным мезоном — о-ме-
зоном с массой около 400 МэВ/c2. о-мезон является частью притягиваю-
щей нуклон-нуклонной силы при средних расстояниях (рис. 28.7, б).
2. Потенциал обмена бозонами
Потенциал обмена бозонами — это нуклон-нуклонный потенциал, кото-
рый возникает благодаря скореллированному многопионному обмену в виде
тяжелых мезонов с целочисленным спином (рис. 28.7, в).
2л-канал: изовекторный р-мезон (спин I = 1, изоспин Т = 1),
Зл-канал: изоскалярный со-мезон (спин I = 1, изоспин Т = 0).
Обмен бозонами описывает нуклон-нуклонное взаимодействие при ма-
лых расстояниях (но г > гс).
> Спин-орбитальное взаимодействие в нуклон-нуклонном потенциале
обусловлено обменом векторными мезонами. Это взаимодействие явля-
ется короткодействующей силой.
28.4. Ядерная модель
28.4.1. Газ Ферми
Газ Ферми — модель, при которой атомное ядро рассматривают как ан-
самбль А нуклонов, движущихся не взаимодействуя друг с другом в ограни-
ченной области пространства, которая соответствует объему ядра. В основ-
ном состоянии с ростом энергии происходит распределение нуклонов по
импульсу. Наивысшим импульсом является импульс Ферми pF, который
определяется плотностью ядра р:
V/3
pF=hkF, kF =(-л2р «Цбфм"1.
Энергия Ферми — максимальная кинетическая энергия нуклона в газе
Ферми:
eF = — к2 «37 МэВ.
2т F
28.4.2. Материя ядра
Материя ядра — гипотетическая модель ядра, при которой ядро атома рас-
сматривают как бесконечную нуклонную систему (число нуклонов А^> оо,
У -> оо) с определенной плотностью частиц р при температуре Г = 0:
г А
lim — = р = const.
Л, И-»оо V
В этой модели не учитывается разница масс между нейтроном и прото-
ном, а также кулоновское взаимодействие между протонами. Нуклоны взаи-
модействуют посредством силы, которой соответствует выведенный из сво-
бодного нуклон-нуклонного рассеяния реальный потенциал. Энергия связи
на нуклон В/А в приближении независимой пары рассчитывается как функ-
ция плотности частиц р. Для малых плотностей кинетическая энергия нук-
лонов превосходит энергию связи. С ростом плотности возрастает влияние
нуклон-нуклонного взаимодейст-
вия притяжения, обусловливаю-
щего связь составляющих. Одна-
ко такому взаимодействию про-
тиводействуют возрастающие не
дальнодействующие компоненты
отталкивания. Эта согласован-
ность дает в итоге минимальную
энергию связи на нуклон в зави-
симости от плотности ядра. Ми-
нимум кривой соответствует ве-
личине насыщения плотности и
энергии связи в ядре, где соот-
ветствующее величине В/А значе-
ние сравнимо с элементом объе-
ма в формуле Бете-Вайцзеккера
(см. ниже).
Рис. 28.8. Материя ядра. Энергия связи на
нуклон В/А в зависимости от плотности
частиц р (схематично): pg — плотность на-
сыщения; (В/Л)о — энергия связи на нук-
лон при плотности насыщения; (к^)0 —
импульс Ферми при плотности насыщения
для соответствующего волнового числа
28.4.3. Модель капли
Модель капли — это модель, при которой нуклоны рассматривают как мо-
лекулы несжимаемой заряженной капли жидкости.
Основное состояние — самое низкое энергетическое состояние в ядре.
33—3814
1. Формула Бете-Вайцзеккера
Характеризует энергию связи атомных ядер в основном состоянии на
основе модели капли:
Энергия связи = объемная + поверхностная + кулоновская + + симметричная + спаривания энергии М1?Т2
£в =«v А -ао -Л2/з - Z2 U-2Z)2 de А1/3 А Символ Единица измерения Название
01 й а а й Со О О - МэВ МэВ МэВ МэВ МэВ 1 Объемная энергия Коэффициент поверх- ностной энергии Коэффициент кулонов- ской энергии коэффициент симметрии Энергия спаривания Массовое число
Значения постоянных:
Постоянные «V ао «с «5 ЕР
£/МэВ 15,85 18,34 0,71 23,22 0 или ± 11,46 /л/Л
2. Свойства составляющих энергии связи
Объемная энергия (Еу ~ R3 ~А) является следствием короткой дальности
действия ядерных сил. Ядерная сила может воздействовать только на сосед-
ние нуклоны. Объемная энергия соответствует энергии связи в граничном
случае большого массового числа А при N = Z, если пренебречь кулоновски-
ми силами между протонами. Линейная зависимость объемной энергии от А
выражает насыщение ядерных сил.
2
Поверхностная энергия (Ео ~ R2 ~ Аз) является следствием того, что
при конечном ядре поверхностные нуклоны не могут взаимодействовать со
своими соседями. За счет поверхностной энергии уменьшается связь ядра.
Кулоновская энергия (Ес ~ R~x ~ А з) обусловливается электрическими
столкновениями протонов. Кулоновская энергия уменьшает связь ядра.
Энергия симметрии (Es ~ (N — Z)2/A) рассматривает тенденцию особен-
ной стабильности ядра при N = Z для маленьких массовых чисел А. Легкие
ядра становятся нестабильными, если член | N - Z\ возрастает.
Энергия спаривания — выделяющаяся энергия б при образовании пары
нейтронов или протонов с полным спиновым моментом 5=0. Энергия спа-
ривания — это эмпирическая коррекция чистой модели жидкости (см.
29.7.1), которая обеспечивает более сильную связь нейтронов и протонов в
ядре, если их число четное.
8,
8 = < О,
N — четное, Z — четное,
N — нечетное, Z — четное, или наоборот, 8 = 11,46/Va МэВ,
N — нечетное, Z — нечетное.
3. Линии бета-стабильности
Линии на плоскости N—Z, определяющие группу стабильных атомных
ядер (рис. 28.9).
> Легкие ядра особенно стабильны при Z = N. Дважды магический изотоп
олова с Z = N = 50 является самым тяжелым ядром с одинаковым числом
протонов и нейтронов, которое доступно экспериментальным исследова-
ниям. Более тяжелые ядра с N = Z распадаются за счет спонтанной про-
тонной эмиссии.
Рис. 28.9. Линии ^-стабильности на N— Z-диаграмме. Стрелками отмечены
линии, в направлении которых расположены специальные нукли-
ды. Магические числа характеризуют заполненность оболочек для
протонов и нейтронов
28.4.4. Модель оболочки
Модель оболочки — описание движения нуклонов в качестве невзаимодей-
ствующих друг с другом частиц в среднем потенциале, созданном самими
нуклонами.
Это описание движения нуклонов в ядре соответствует описанию движе-
ния электронов в электронной оболочке атомного ядра. В то время, как
электроны движутся в кулоновском потенциале ядра как во внешнем задан-
ном поле, в модели оболочки ядра возникающая между двумя нуклонами
сила взаимодействия в хорошем приближении заменяется эффективным
средним ядерным потенциалом. Остаточное взаимодействие двух частиц
между нуклонами является слабым.
▲ Модель оболочки довольно хорошо описывает энергетический спектр
легких ядер и ядер в приближении заполненных оболочек (магические
нуклонные числа) с учетом остаточного взаимодействия двух частиц
между нуклонами.
В качестве описания среднего потенциала используют потенциал осцил-
лятора или потенциал с радиальной зависимостью распределения плотности
масс ядра. В области массовых чисел, в которой форма ядра отличается от
сферической, используют деформируемый средний потенциал. Для среднего
потенциала характерно сильное спин-орбитальное взаимодействие (г)(1 • s),
одночастичное состояние при этом различается параллельностью или антипа-
раллельностью спина s и орбитального момента импульса Т.
1. Одночастичные состояния в модели оболочки
Средний потенциал используется для расчета одночастичных состояний
(энергетические уровни) нуклонов в ядре. Квантовые числа одночастичных
состояний:
• п = 0,1,2,...
радиальное квантовое число, число узлов радиальной волновой функции,
• / = 0,1,2,...
квантовое число орбитального момента импульса,
• ; = /±1/2
квантовое число полного момента импульса j = Т + s,
• mj = ml + ms, =
квантовое число проекций полного момента импульса д = lz + sz. т1 и
ms — квантовые числа проекций орбитального и соответственно спино-
вого моментов импульса нуклона.
Привычная спектроскопическая классификация одночастичного состоя-
ния: (П + 1)/у.
Значения энергии одной частицы е зависят только от квантовых чисел л,
= м-
2. Структура оболочки энергетических уровней
Одночастичные состояния в среднем потенциале энергетически сгруп-
пированы в оболочки: расстояние между энергетическими уровнями внутри
оболочки значительно уже, чем расстояние между энергетическими оболоч-
ками (рис. 28.10).
Рис. 28.10. Структура оболочки одночастич-
ных состояний в среднем потенциале И(г) мо-
дели оболочки (схематически); £л/у- — энергии
одночастичных состояний; п — радиальное
число узлов; / — квантовое число орбиталь-
ного момента импульса; j — квантовое число
полного момента импульса
28.4. Ядерная модель
3. Конфигурация нуклонов
Конфигурация нуклонов — конфигурация, при которой А нуклонов за-
нимает одночастичные состояния атомного ядра:
(«14 71 >^(«2/2/2)^ <nflfjf)Nf, Nx + N2 + ... + Nf=A.
Одночастичное состояние (nlj) может быть занято максимум 2j + 1 ней-
тронами и протонами. Конфигурация: (nljyj+ L
4. Магические ядра
Магические числа — число протонов или нейтронов атомного ядра, ко-
торое является стабильным относительно соседних ядер:
N,Z 2,8,20,28,50,82,126 и N= 184.
Ж У магических ядер нуклонные оболочки заполнены полностью.
▲ В случае магических нейтронных чисел существует особенно много ста-
бильных элементов.
Дважды магическое ядро — атомное ядро, у которого число протонов и
нейтронов равно магическому числу.
«Не2, 1|О8, *>Са20, 28°28РЬ126.
▲ Дважды магические ядра являются особенно стабильными и появляются
в природе чаще, чем их соседи.
Рис. 28.11. Одночастичные состояния
в среднем потенциале модели обо-
лочки. Спектроскопическая класси-
фикация: (п + l)lj, п — число узлов
радиальной функции, / — орбиталь-
ные момент импульса, j — полный
момент импульса, а — потенциал
осциллятора; б — центральный по-
тенциал конечной глубины с радиа-
льной формой Вудса-Саксона; в —
центральный потенциал конечной
глубины со спин-орбитальным вза-
имодействием (Нильсон). Числа в
скобках — максимальное число за-
нятых вакансий одним сортом нук-
лонов, числа в кружках — магиче-
ские числа
и 2/2/2
Hi/Ji -------
(«Ль)2
Ш2 (8)
lg9/2 (10)
2Pi/2
Ч5/2
^Рз/2
V7/2 (Ю
1^3/2 (1)
2s1/2 (2)
1^5/2 (6)
1Р1/2 (2)
1Рз/2 (4)
ОЙ<о0 Is
7t=+l
^OSZ ^WS
(a) (b)
50
CD
------ ls1/2 (2)
N
(c)
*-*
(и 2Z2J2)
-----X---------
-----x---------
(«1/1/1) (^2^2/2)
Рис. 28.12. Двухчастичные конфигурации в случае двухчастичных состояний
(«1/1/1) (п2Ш
Рис. 28.13. Относительная распростра-
ненность элементов в космосе: N, Z —
магические числа
Рис. 28.14. Элементарное возбуждение
в оболочечной модели: а — одночас-
тичное возбуждение (nlf) -> (п'Г/); б —
возбуждение типа частица-дырка
(whWh)
5. Роль остаточного взаимодействия
Смешанная конфигурация образу-
ется за счет остаточного взаимодейст-
вия между нуклонами вызванного со-
стояния, в котором волновые функ-
ции различных нуклонных конфигу-
раций накладываются друг на друга.
Если остаточное взаимодействие
представляет собой двухчастичную
силу, то оно может связывать только
те конфигурации, которые в одночас-
тичном состоянии отличаются от вы-
сших состояний двух частиц.
6. Возбужденные состояния в обо-
лочечной модели
Одночастичное возбуждение —
переход одного отдельного нуклона
из одного одночастичного состояния
(nlj) в энергетически более высокое
одночастичное состояние (л' Г f).
Возбуждение типа частица-дыр-
ка — возбуждение отдельного нуклона
в полностью заполненной оболочке.
Переход из конфигурации 0Vh/h)2y+1
в конфигурацию («hVh)-1 («//₽) *•
28.4.5. Коллективная модель ядра
Коллективная модель описывает нуклоны не как отдельные, независимые
частицы, а как ансамбль сильно взаимодействующих частиц, которые совер-
шают когерентное движение. Релевантными степенями свободы являются
координаты, которые описывают колебание поверхности ядра и вращение
ядра.
Возбуждение колебаний и вращения аналогично процессам в молекуле.
1. Колебания поверхности ядра
Колебания поверхности ядра — гармонические колебания поверхности
ядра с круговой частотой со7 вокруг равновесной формы ядра. Колебания ха-
рактеризуются моментом импульса / (мультипольность) и числом rij квантов
возбуждения (фононы). Для каждого значения момента импульса I в воз-
бужденном состоянии в гармоническом приближении существует эквиди-
стантный спектр EIni+x - EIni
Возбуждение колебаний ML2T2
Ein, =^nj +£)-Й(О/ Символ Единица измерения Название
ЕIn! й I ni Дж Дж-С рад-с4 1 1 Энергия возбуждения приведенная постоянная Планка Циклическая частота Квантовое число орбитального момента Квантовое колебательное число
Е/keV f
798 -------------OS
671 ------------4+।----------2Йсо2
606 ------------ 2+J
266 ------------ 2+ ---------
ОЙсо2
Рис. 28.15. Возбуждение квадру-
польных колебаний (I = 2) в ядре
атома платины 188Pt: Е — энергия
возбуждения; Йа>2 — энергия воз-
буждения квадрупольного фонона;
Jn — спин и четность уровня
В случае, когда число нейтронов рав-
но числу протонов N = Z, в ядре возника-
ют квадрупольные колебания (/ = 2) как
самое низкое колебательное возбуждение.
Если возбудить два квадрупольных коле-
бательных кванта (п2 = 2), то получится
коллективная модель трех вырожденных
состояний с полным моментом импульса
(спин ядра) J = 0,2,4. Благодаря взаимо-
действию фононов вырождение в реаль-
ном ядре отсутствует: в уровневой схеме
рассматривают триплет, который сгруп-
пирован близко к энергии двухфононного
состояния 2-Йсо2 (рис. 28.15).
2. Электрический квадрупольный момент
Qo характеризует ядра, которые в ос-
новном состоянии обладают деформиро-
ванным распределением заряда:
Qq = - Ze(b2 -а2), b и а — полуоси эллипсоида, Z — заряд ядра атома.
3. Вращение ядра
Вращательное возбуждение — вращение ядра с постоянной деформацией
в основном состоянии с моментом импульса J вокруг оси, перпендикуляр-
ной оси симметрии, без возбуждения внутреннего нуклонного движения.
Энергия возбуждения состояний вращения определяется моментом инерции
© ядра. Во вращательном спектре возрастает расстояние между соседними
состояниями с ростом момента импульса вращения.
Вращательное возбуждение ML2T-2
й2 Ej = —J(/ + l) 20 Символ Единица измерения Название
Ej h J 0 Дж Дж-С 1 кг-м2 Энергия возбуждения Приведенная постоянная Планка Квантовое число момента импульса Момент инерции
Е/keV f
1417 --------------------14+
1078 ----------------------- 12+
777 ------------------------ 10*
518.7------------------------ 8+
307.6 ----------------------- 6+
148.2------------------------ 4+
44.7 ....................... 2+
238 \Q+
Рис. 28.16. Возбуждение вращательных состояний в атомном ядре: а — мо-
мент импульса J вращения вокруг оси, перпендикулярной оси
симметрии; М — проекция момента импульса на ось z (ось кван-
тования); б — вращательный спектр ядра 238U
В случае аксиально-симметричного ядра, чья форма инвариантна отно-
сительно поворота на л вокруг оси, перпендикулярной оси симметрии, вра-
щательное квантовое число J на основании симметрии принимает только
четные значения J = 0,2,4 ...
> Момент инерции ядер приблизительно на два порядка меньше, чем мо-
мент инерции неподвижного массивного тела той же формы и плотности.
28.5. Ядерные реакции
28.5.1. Каналы реакции
и эффективное сечение реакции
Ядерной реакцией называют преобразование атомного ядра за счет взаимо-
действия (столкновения) с другим атомным ядром, адроном, лептоном или
гамма-квантом. Уравнение реакции выгладит следующим образом:
a + А —> b + В, A(a,b)B.
ст. падающая частица (снаряд),
Ь: вылетающая частица,
Типы ядерных реакций:
Упругое рассеяние:
Неупругое рассеяние:
Радиационный захват:
Реакция перераспределения:
Многочастичная реакция:
Синтез:
Вынужденное расщепление ядра:
А: ядро мишени,
В: оставшееся ядро.
a + А -> a + А.
a + А —> а'+А .
a + А -» В + у.
a + А b + В, atb.
Q + А —> В + Ьу + ••••
a + А С*.
a + А —> By + В^>
28.5.
1. Характеристика каналов реакции
Канал реакции а — разделение X числа нуклонов N на две группы
+ N2 = N, которые находятся друг от друга на большом расстоянии,
при этом их внутреннее состояние определяется энергией возбуждения,
спином /1?/2, четностью л1?л2 и возможными квантовыми числами х15х2:
Индекс канала: а = {Х,/1,/2,л1,л2,х1,х2}, X = (A^A^), N= N{+ N2
Радиус канала Ra — минимальное расстояние группы нуклонов N\,N29 при
котором между обоими ядрами еще не возникает сильного взаимодействия.
Область взаимодействия — область конфигурационного пространства, в
котором для всех подразделений X центры масс обоих ядер находятся друг
от друга на расстоянии R < Ra.
Входной канал — канал реакции, в котором система находится в началь-
ный момент времени t -э — оо (начальное состояние).
Выходной канал — канал реакции, в котором система находится в мо-
мент времени t -> + оо (конечное состояние).
Открытый канал — канал реакции, в котором движение участников ре-
акции разрешено законом сохранения энергии.
Закрытый канал — канал реакции, в котором движение участников ре-
акции запрещено законом сохранения энергии.
2. Спин канала и полный момент импульса
Спином канала Si называют полный спиновый момент Sz, представляю-
щий собой векторную сумму спинов 1а и 1А падающей частицы и соответст-
венно мишени А во входном канале.
Спин канала = спина + спинл МРТ1
1 к. СО» — /Л 11 <Г" /л + + Символ Единица измерения Название
Si L Ia Дж Дж-с Дж-с Спин канала Спин снаряда а Спин мишени А
Аналогично вычисляется спин выходного канала Sf.
+ Is - $/, \h ^в\ h + h.
Сумма спина канала S и орбитального момента L дает в результате пол-
ный момент импульса J соответствующего канала:
L + S = J, \L-S[<J<S+L.
Полный момент импульса = спин канала + + орбитальный момент импульса MPT1
J = S + L Символ Единица измерения Название
J Дж-с Полный момент импульса
S Дж-с Спин канала
L Дж-с Орбитальный момент импуль- са относительного движения
3. Пример: ядерная реакция лития
Ядерная реакция при бомбардировке протонами 3 Li с входной энергией
около нескольких МэВ:
Входной канал: р + ?Li,
Выходной канал: р + ?Li, р'+ ^Li*, п + ?Ве,
а + а, а + а + у, а + t + р.
4. Относительные системы координат
Лабораторная система координат — относительная система координат, в
которой точкой отсчета является ядро мишени в начальном состоянии.
Система центра масс — относительная система координат, в которой за
точку отсчета принимают центр масс снаряда и мишени.
▲ В случае, когда масса центра рассеяния намного больше массы падаю-
щей частицы, лабораторная система и система центра масс идентичны.
5. Тепловой эффект
Количество теплоты Q при ядерной реакции — это разность значений
кинетической энергии выходного f (после реакции) и входного i каналов
(перед началом реакции) Ef соответственно Д в системе центра масс:
Q = Ef — Е,
Количество теплоты Q ядерной реакции, при которой легкая частица а
(массой та) с кинетической энергией Еа падает на покоящуюся мишень А
(массой АД), в результате чего образуется ядро В (массой Af§) с кинетиче-
ской энергией Ев и легкая частица b (массой ть) с кинетической энергией
Еь под углом реакции 0, равно:
Q = Ев + Еь + Еа = (та + МА -Мв -ть)-с2 =
= ЕЬ (1 + _ Е -L cos е.
V Мв) Мв) мв
Экзотермическая реакция — реакция с выделением количества теплоты
Q> 0.
Эндотермическая реакция — реакция с поглощением количества тепло-
ты Q < 0. Учитываются значения только выше пороговой энергии.
^Не + «-э4Не + 2
т3не = 3,0392471 а.е.м.
+ тп = 1,00866497 а. е. м.
S = 4,047912 а. е. м. тп4не = 4,002603256 а.е. м.
Масса атома 4Не меньше, чем масса двух слагаемых первой суммы. Зна-
чит, реакция проходит с выделением количества теплоты.
юВ + п _>7Li + 4Не + Q
тЮВ + тп = = 10,01293800 а.е.м. 1,00866497 а. е. м OT7l, "»4Не = 7,01600450 а.е.м. = 4,002603256 а.е.м.
2 = 11,02160297 а. е. м. 2 = 11,01860775 а. е. м.
Масса слагаемых второй суммы меньше, чем масса слагаемых первой
суммы. Реакция с выделением количества теплоты.
28.5. Ядерные реакции
6. Эффективное сечение ядерной реакции
Эффективное сечение о — величина, характеризующая вероятность, с ко-
торой система при взаимодействии перейдет из входного канала в выходной.
Число реакций в единицу времени
ст —-------------------------------------------------------------.
Число падающих частиц в единицу времени через единицу поверхности
Единицей измерения эффективного сечения в атомной и ядерной физи-
ке является барн b (1 b = 10-28 м2).
Эффективное сечение зависит от комбинации снаряд-мишень и входной
энергии.
Дифференциальное эффективное сечение do/dQ — эффективное сече-
ние ядерной реакции, при котором вылетающая частица оказывается в эле-
менте объема dQ = sinG d0 .
Двойное дифференциальное эффективное сечение d2o/(dQdE) — эффек-
тивное сечение реакции, при котором вылетающая частица оказывается в
элементе объема dQ в интервале энергии АЕ.
Полное эффективное сечение otot — интеграл дифференциального эф-
фективного сечения, взятый по полному телесному углу:
J dQ J
Суммарным эффективным сечением называется сумма полных эффек-
тивных сечений по всем открытым каналам реакции а':
°" §es ~ аа' *
Эффективные сечения различают согласно типам реакции:
• Упругое сечение рассеяния о5 — эффективное сечение упругого рассея-
ния падающей частицы на ядре мишени.
• Неупругое сечение рассеяния о/л — эффективное сечение неупругого
рассеяния падающей частицы на ядро мишени.
• Сечение реакции ааЬ — эффективное сечение перехода из входного кана-
ла а в выходной канал Ь.
• Сечение поглощения ос — эффективное сечение, в котором падающая
частица поглощается образцом. В случае нейтронов такое сечение часто
называют сечением захвата.
28.5.2. Законы сохранения ядерных реакций
▲ В ядерных реакциях помимо энергии, импульса и момента импульса так-
же сохраняется барионное число (число нуклонов) и электрический заряд.
▲ В процессах, которые подчиняются сильному взаимодействию, сохраня-
ется четность л, в процессе особого двухчастичного взаимодействия так-
же сохраняется изоспин Т:
• ПА (~Y)L‘ =пь -пв
Та + Тл = Тй + Тд.
28.5.2.1. Закон сохранения импульса и энергии
Рис. 28.17. Сохранение импульса
при упругом столкновении (лабо-
раторная система). ра — импульс
перед столкновением, рь + Рв —
импульс после столкновения
Кинематика ядерной реакции определяется законами сохранения импульса
и энергии (рис. 28.17). Оба закона сохранения являются универсальными,
т.е. они действительны для всех видов взаимодействия. Они являются ис-
ходной точкой для расчета кинематики процессов столкновения.
Если частица с кинетической энергией
Дои/л) сталкивается с покоящейся мише-
нью А = 0), то закон сохранения
импульса и энергии для реакции A(a,b)B с
выделением количества теплоты Q при
угле реакции 6b,QB записываются в виде:
^кин(«) = ЕкинСй) + Е^В) - Q,
2ma 2mb 2тв
Рд = Р/> + Ря
Решение этой системы уравнений от-
носительно частицы b дает следующий ре-
зультат:
Е^Ь) = Екин(«) - Е^В) + Q, рь = 72m* •£kinW. sin Qb = — • sin0B,
Pb
Jlma • £bn(a) • cos QB
J2ma cos 6 B
2Е^\д)(ть -^Пд^+^О^Ч
Пороговая энергия — энергия, необходимая для того, чтобы запустить
ядерную реакцию. Эта пороговая энергия возникает при эндотермической
реакции (Q < 0)
Ekin(a, порог) = - та + тл q ПрИ q < о.
р+р^»р+р + л
В ходе этой реакции образуется л-мезон. Количество теплоты ядерной
реакции Q равно произведению массы л-мезона и квадрату скорости
света в вакууме с:
2 = -^л-с2«-140 МэВ.
Пороговая энергия: —--- • тп -с2 « 2 • 140 МэВ.
тр
28.5.2.2. Закон сохранения момента импульса
Прицельный параметр b — максимальное расстояние, при котором в про-
цессе столкновения еще происходит попадание частиц на мишень. Прице-
льный параметр при заданной энергии £кт(л) = Pa /(2та) определяет орби-
тальный момент импульса L относительного движения обоих участников ре-
акции L = ра-Ь (рис. 28.18).
▲ В связи с конечной дальностью действия R ядерных сил энергия падаю-
щих частиц определяет возможные проекции орбитального момента им-
пульса, которые могут возникнуть в ходе реакции (рис. 28.19):
~ Ра '
Рассеяние 5-волн — рассеяние частиц на атомном ядре, при этом орбита-
льный момент частиц, попадающих в эффективное сечение равен нулю L = О
(центральное столкновение).
> В случае низкоэнергетичного нуклон-нуклонного рассеяния можно пре-
небречь орбитальным моментом L > 1. Рассеяние 5-волн преобладает
также при рассеянии на ядре медленных нейтронов (Е « 1 эВ).
Рассеяние /?-волн — рассеяние частиц с орбитальным моментом L = 1,
наблюдающееся при рассеянии нейтронов на ядре, когда значение их энер-
гии достигает 1 МэВ в эффективном сечении.
> При рассеянии нейтронов с энергией 14 МэВ на ядрах при расчете эф-
фективного сечения и углового распределения необходимо учитывать
орбитальный момент импульса, который составляет примерно L ® 14.
▲ Сохранение момента импульса: полный момент импульса во входном ка-
нале i равен полному моменту импульса в выходном канале /:
«I/ — S/ + Lz- = Sy+Ly’ = J/.
▲ Сохранение полного момента импульса соответствует преобразованию
орбитального момента в начальном состоянии в спиновый момент ко-
нечного состояния.
Рис. 28.18. Прицельный па-
раметр b и угол рассеяния 0
траектории с орбитальным
моментом L = ра-Ь, ра — им-
пульс частиц-участников
Рис. 28.19. Вероятность локализации частиц-
участников в зависимости от расстояния от
частицы до центра рассеяния для различных
значений орбитального импульса L парциаль-
ных волн: X — длина волны де Бройля
> Больших значений орбитального момента (L « 100 Й) можно добиться в
ходе ядерных реакций, вызванных тяжелыми ионами, при помощи боль-
ших энергий, приблизительно от 10 МэВ/нуклон.
28.5.3. Упругое рассеяние
1. Рассеяние Резерфорда
Рассеяние заряженных частиц в кулоновском поле заряженного ядра.
Рис. 28.20. Рассеяние Резерфорда а-частиц на ядре, — минимальное рас-
стояние при центральном столкновении
2. Формула рассеяния Резерфорда
Формула рассеяния Резерфорда L2
Символ Единица измерения Название
dCTR _ fZ-Z'<?2>l dQ 4E0 J 1 [ Г sin4 (0/2) l^neo, 2 2 daR dQ Z Z' 0 e б/ср 1 1 Дж рад Кл КлВ-1м-1 Дифференциальное эффек- тивное сечение рассеяния Заряд ядра снаряда Заряд ядра мишени кинетическая энергия снаряда Угол рассеяния Элементарный заряд Диэлектрическая постоянная
▲ При центральном столкновении расстояние dQ между бомбардирующей ча-
стицей с энергией EQ и ядром мишени достигает наименьшего значения.
При кинетической энергии от 15,8 МэВ d0 при рассеянии а-частиц на
тяжелых ядрах составляет около 1,2-10"15 м.
28.5. Ядерные реакции
3. Рассеяние Мотта
Рассеяние очень высокоэнергетичных частиц (скорость о сравнима со
скоростью света в вакууме с). Теория рассеяния Мотта учитывает влияние
спина взаимодействующих частиц и вносит релятивистскую поправку в
формулу расчета эффективного сечения Резерфорда —
doM _ doR cos2 (0/2)
~dfT “"do" l + 2-(u/c)2 -sin2(0/2)
28.5.4 . Ядерная реакция
с образованием составного ядра
Ядерная реакция с образованием составного ядра — модель реакции, при
которой атомное ядро представляется в виде капли ядерной жидкости (см.
28.4.3). Кинетическая энергия падающей частицы и энергия связи, высво-
бождающаяся при ее захвате мишенью, становятся статистическими, как
при подводе тепла к жидкости — разделяются на все степени свободы нук-
лона. Образуется сильно нагретое составное ядро С с энергией возбуждения,
которая выражается суммой пороговой энергии Екин(я) и энергии связи
Ев(а) частицы а в ядре В:
а+А-+С*, Е(С) = Е^(а) + Ев(а).
1. Вероятность образования и распада составного ядра
Вероятность образования составного ядра велика в том случае, если
энергия возбуждения совпадает с энергией уровня составного ядра. С дру-
гой стороны, составное ядро обладает длительным временем жизни, так как
оно снова распадается только тогда, когда за счет столкновений между нук-
лонами энергия, превышающая энергию связи, концентрируется на нуклоне
или группе нуклонов:
С* -» b + В.
При захвате медленных нейтронов
с пороговой энергией от 1 эВ в яд-
рах со средним массовым числом
за счет энергии связи высвобожда-
ется примерно 8 МэВ.
▲ Образование и распад составного
ядра являются независимыми про-
цессами. Эффективное сечение
ядерных реакций, которые проте-
кают в высокоэнергетичных дол-
гоживущих состояниях составного
ядра, имеет резонансную структу-
ру, в которой резонансы располо-
жены близко друг к другу, и ши-
рина этих резонансов невелика
(рис. 28.21).
Рис. 28.21. Ядерная реакция составно-
го ядра а + Л С* b + В (схемати-
чески): Г — полная резонансная ши-
рина, <5% — эффективное сечение при
образовании составного ядра в зави-
симости от кинетической энергии
£кин(я) с резонансом в квазистацио-
нарном состоянии составного ядра С
> Продолжительность жизни состояния составного ядра составляет при-
мерно 10"18 с. Это значение во много раз больше времени пролета бом-
бардирующей частицы через ядро.
В тяжелых ядрах ширина нейтронных резонансов составляет 10-2 эВ при
расстоянии между ними около 50 кэВ.
2. Эффективное сечение составного ядра А{а^Ь)В\
Gab =<уС .рь,рь = D.,r = ^2Г;, i = a,b,c,...,
где с>£ — эффективное сечение при образовании составного ядра; Рь — ве-
роятность распада составного ядра при испускании частицы Ь; — парци-
альная ширина распада С* -> b + В; Г — полная ширина уровня составного
ядра.
▲ С ростом энергии возбуждения составного ядра расстояние между сосед-
ними резонансами уменьшается, ширина резонансов возрастает, т.е. ре-
зонансы накладываются друг на друга.
Составное ядро
Входные каналы Выходные каналы
Рис. 28.22. Реакции с образованием
составного ядра 51Сг через различ-
ные входные каналы, с распадом в
различных выходных каналах
1/п-закон сечения захвата медленных
нейтронов с энергией Е:
и: скорость нейтронов.
о
Энергия каналов образования и рас-
пада составного ядра 51Сг* проиллюстри-
рована на рис. 28.22.
3. Формула Брейта-Вигнера
Описывает зависимость энергии эф-
фективного сечения составного ядра
А(а,Ь)В вблизи резонанса (рис. 28.23):
Формула Брейта-Вигнера L2
ст(«, b, Е) = Г • Г = о(а, Ег) — - {Е-ЕГУ + [1г) Символ Единица измерения Название
<j(a,b,E) Ег Е а(а,Ег) Г Г, м2 МэВ МэВ м2 МэВ МэВ Эффективное сечение реакции а -> b Энергия резонанса Энергия частицы Сечение образования составного ядра Полная ширина резо- нанса составного ядра Парциальная ширина конечного канала b
28.5. Ядерные реакции
Спектр испарения — распределение энергии частиц из высокоэнергетич-
ных составных ядер. Спектр соответствует расширенному распределению
Максвелла (рис. 28.24). Для числа N(E)dE эмитированных частиц в интерва-
ле энергии от Е до Е + dE справедливо:
N(E) dE ~ Е e~E/'{kT} dE, Т: температура ядра.
Рис. 28.23. Резонансная кривая
Брейта-Вигнера с полушириной
Г: Ег — энергия резонанса
Рис. 28.24. Спектр испарения для
нейтронов и протонов (схематич-
но): 1 — нейтроны; 2 — протоны
▲ Угловое распределение продуктов реакции с образованием составного
ядра, вообще говоря, однородно.
Нейтронные резонансные реакции имеют большое практическое значе-
ние при использовании ядерных реакций. Они оказывают влияние на
перенос нейтронов и приводят к нежелательным нейтронным потерям.
28.5.5 . Оптическая модель
В оптической модели атомное ядро рассматривается как преломляющая и
поглощающая среда. Эта модель рассматривает рассеяние и поглощение
бомбардирующих частиц из канала. Оптическую модель применяют в случае
взаимодействия нейтронов, протонов, комплексных легких частиц (дейтро-
ны, а-частицы), тяжелых ионов и мезонов с ядрами.
Оптический потенциал U(r) — функция расстояния г бомбардирующих
частиц от центра мишени, состоящий из комплексного сферического потен-
циала и члена, характеризующего спин-орбитальное взаимодействие:
U(r) = - jP^(r) + Г&(г)(54).
Часто используемые форм-факторы:
/(г) = i--
1 + Q(r-R)/a
R — радиус ядра, а,Ь — параметр поверхности.
Форм-фактор /(г) действительной части соответствует радиальному рас-
пределению плотности массы в ядре (потенциал Вудса-Саксона, рис. 28.25).
Форм-фактор g(r) мнимой части оптического потенциала характеризует по-
глощение поверхностью. Параметры интенсивности V и W зависят от вели-
чины пороговой энергии (рис. 28.26).
Рис. 28.25. Форм-факторы оптического по-
тенциала: /(г) — действительная часть (по-
тенциал Вудса-Саксона); g(r) — мнимая
часть (потенциал Гаусса)
Рис. 28.26. Зависимость параметра
интенсивности оптического потен-
циала от пороговой энергии Е: 1 —
V; 2-Wv
▲ В зависимости от пороговой энергии, рассчитанные при помощи опти-
ческой модели эффективные сечения отображают резонансы шириной в
несколько МэВ.
28.5.6. Прямая реакция
Прямая реакция отличается от реакции с образованием составного ядра тем,
что:
• время реакции (« Ю 22 с) сравнимо со временем пролета налетающей ча-
стицы через мишень,
• происходит непосредственный переход из входного в конечный канал
без образования промежуточного квазистационарного состояния общей
системы,
• степени свободы нуклонов принимают участие в реакции,
• процесс реакции протекает преимущественно на поверхности ядра,
• график энергетического спектра эффективного сечения отображает ши-
рокие гигантские резонансы.
Реакция срыва — прямая реакция, в ходе которой при периферийном
взаимодействии снаряда с ядром-мишенью нуклон снаряда вырывается яд-
ром мишени и переходит в одночастичное состояние со средним потенциа-
лом.
Реакция подхвата — прямая реакция, в ходе которой при периферийном
взаимодействии снаряда с ядром-мишенью нуклон подхватывается снаря-
Рис. 28.27. Прямые реакции (схематичная иллюстрация): к — волновой век-
тор; а — колебательное возбуждение; б — вращательное возбуж-
дение; в — реакция срыва Л(р,б)Д захват нейтрона ядром мише-
ни и его переход в одночастичное состояние (nlj); г — реакция
подхвата Л(р,с1)2?
дом и удаляется из одночастичного состояния среднего потенциала ядра-
мишени.
> Прямые реакции такого типа используются для исследования одночас-
тичного состояния ядра.
Прямое неупругое рассеяние — процесс столкновения частиц, в котором
возбуждаются преимущественно колебательные и вращательные состояния
ядра-мишени.
Промежуточные процессы — это реакции, в ходе которых образуется
промежуточное состояние общей системы, распад которого происходит в
выходном канале, прежде чем наступит полное равновесие. Спектры и угло-
вые распределения продуктов реакции отображают как признаки составного
ядра, так и признаки прямой реакции.
28.5.7. Ядерные реакции с тяжелыми ионами
Ядерные реакции с тяжелыми ионами — реакции, в которых ядра атомов с
высоким порядковым номером Z > 2, А > 4 применяются в качестве бомбар-
дирующих частиц.
1. Кулоновская потенциальная энергия и кинетическая энергия нуклона
Кулоновская потенциальна энергия Тс — минимальная энергия, кото-
рую необходимо сообщить бомбардирующей частице для ее перехода в об-
ласть действия ядерных сил:
Кулоновская потенциальная энергия ML2T2
_ Z\ - Z2 -в2 1 С“ (7?!+А2) 4л£0 Символ Единица измерения Название
Тс Z15Z2 е Дж 1 м Кл КлВ-Ьм-1 Кулоновская потенциальная энергия Порядковый номер элемента Радиус ядра Элементарный заряд Диэлектрическая постоянная
В случае ядерной реакции атомов 20 Си 20 и кулоновская потен-
циальная энергия составляет примерно 211 МэВ, т.е. 5,3 МэВ на нуклон.
Удельная энергия е — кинетическая энергия на нуклон:
F
g -^кин
А
Классификация реакций с тяжелыми ионами по удельной энергии е:
е < 10 МэВ/Л — низкоэнергетичные реакции с тяжелыми ионами,
10 МэВ/Л < е < 100 МэВ/Л — реакции с тяжелыми ионами при средних
энергиях,
100 МэВ/Л < £ < 10 ГэВ/Л — релятивистские реакции с тяжелыми ионами,
е > 10 ГэВ/Л — ультрарелятивистские реакции с тяжелыми ионами.
2. Особенности реакций с тяжелыми ионами
• Оба участника реакции обладают большой массой, так что значительная
часть кинетической энергии связана с энергией движения центра масс.
• Оба участника реакции обладают большим зарядом, поэтому в процессе
реакции большое значение имеют кулоновские эффекты, и многие явления
представляют собой результат согласования кулоновских и ядерных сил.
• В области взаимодействия образуются промежуточные состояния из
300—400 нуклонов, так что при описании системы стоит учитывать мак-
роскопические эффекты.
• В случае периферийных столкновений происходит ядерно-ядерное взаимо-
действие посредством парциальных волн, которые соответствуют большому
орбитальному моменту импульса относительного движения (L > 100Й).
• Длина волны де Бройля в случае релятивистского движения мала по
сравнению с характеристическими геометрическими размерами системы,
так что при релятивистском движении классический метод рассмотре-
ния основывается на параметрах столкновений и траекториях.
▲ В реакциях с тяжелыми ионами возбуждаются ядерные состояния с
очень большим спином.
В случае реакции ^Са2о -> РЬ126 орбитальный момент импульса при
кулоновской потенциальной энергии достигает величины МОЙ. Таким
высоким моментом импульса обладают сверхдеформированные ядра, ко-
торые имеют форму сигары.
28.5. Ядерные реакции
Ионам 2о^а2о с энергией 10 МэВ на нуклон соответствует длина волны
де Бройля X = 0,5 фм.
3. Типы реакций с тяжелыми ионами
В зависимости от параметров соударений в случае низкоэнергетичных
ядерных реакций различают следующие их типы (рис. 28.28):
▲ Кулоновский процесс — упругое рассеяние Резерфорда и кулоновское
возбуждение коллективных состояний ядра мишени и/или снаряда при
больших параметрах соударений, при которых ядерные силы становятся
незначительными (L » Lgn Lgr — момент импульса при захвате).
▲ Квазиупругие реакции — прямые реакции с параметрами столкновения,
которые соответствуют захвату ядра (L « Zgr). Маленькое время реакции
« 10-22 с обусловливает возбуждение лишь немногих степеней свободы
ядра, обмен нуклонами и энергией между снарядом и мишенью еще не-
значителен.
▲ Глубоко неупругие реакции — реакции со средними параметрами соуда-
рения (£крит < L < Zgr), которые протекают с образованием относительно
долгоживущей двуядерной системы с временем жизни 10-21 с, в которой
возбуждается много степеней свободы, без образования составного ядра.
В этом случае происходит интенсивный обмен энергией и нуклонами
между снарядами и мишенями.
▲ Термоядерная реакция — образование сильно возбужденного составного
ядра с временем жизни от « 10-18 с для малых параметров столкновения
Кулоновские
процессы
Прямые
(квазиупругие)
реакции
Рис. 28.28. Классификация низкоэнергетичных реакций с тяжелыми ионами
+ А2 по параметрам столкновения (орбитальный момент им-
пульса L): Lgr — орбитальный момент при ядерно-ядерном взаи-
модействии; Lkrit — орбитальный момент при синтезе
Глубоко-неупругие
реакции
(L > £крит). Составное ядро распадается благодаря эмиссии частиц или
гамма-излучению, а также расщеплению ядра.
В эффективном сечении реакции 40Аг(379 МэВ) + 232Th наряду с квази-
статическим максимумом вблизи пороговой энергии наблюдается второй
относительный максимум при энергетических потерях от « 160 МэВ, ко-
торый соответствует глубоко-неупругому процессу.
При глубоко-неупругой реакции у Кг (515 МэВ) + 166Ег обнаруживаются по-
хожие на снаряд продукты реакции с зарядом ядра между Z = 28 и Z = 45.
> В ходе реакций с тяжелыми ионами образуются нуклиды, далеко отстоя-
щие от характеристики устойчивости.
Острова стабильности — области на Z— TV-плоскости, стабильность кото-
рых обусловлена магическим числом Z и числом нейтронов N. Такие атом-
ные ядра обладают большим временем жизни по сравнению с нуклидами в
соседних областях Z-N-диаграммы. Такой остров стабильности согласно
расчетной модели обладает порядковым номером Z = 114 или 120 и числом
нейтронов N = 184.
Сверхтяжелые элементы — элементы с порядковым номером Z> ПО.
> Тяжелые трансурановые элементы борий (107Bh), гасий (108Hs) и мейтне-
рий (l09Mt) также как элементы Z = 110,111,112,114,116,118 живут пора-
зительно долго (т « мс). Продолжительное время жизни свидетельствует
об оболочечном строении ядра.
Рис. 28.29. Схематическое разделение эффек-
тивного сечения низкоэнергетичных реак-
ций с тяжелыми ионами: Zgr — орбитальный
момент импульса ядерно-ядерного взаимо-
действия; £krit — орбитальный момент им-
пульса ядерного синтеза; 1 — синтез; 2 —
глубоко-неупругие реакции; 3 — квазиупру-
гие реакции
4. Высокоэнергетичные ядерные реакции с тяжелыми ионами
Множественная фрагментация — распад высокоэнергетичной сжатой
нуклонной системы за счет столкновения тяжелых ядер со средней энергией
на многочисленные фрагменты с широким распределением массы и заряда,
где играет роль ядерный фазовый переход жидкость-газ.
Релятивистские соударения тяжелых ионов: в научных лабораториях
CERN (Женева) и AGS (Брукхейвен) были проведены реакции с тяжелыми
ионами с экстремально высокой пороговой энергией, в ходе которых были
получены новые состояния материи:
• Резонансное состояние материи — обогащение нормальной ядерной ма-
терии возбужденными, нестабильными состояниями нуклонов (А- и
№-резонанс).
• Антиматерия — материя, состоящая из античастиц нуклонов: p,n,d (ан-
ти-дейтрон), а...
• Сверхядро или сверхматерия — материя, состоящая из нуклонов и гипе-
ронов (Л-, 2" и Е_-частицы).
• Кварк-глюонная плазма — фаза ядерной материи, в которой кварки и
глюоны являются почти свободными, вместо того, чтобы быть связан-
ными в барионах и мезонах. Такой деконфайнмент наблюдается только
при очень больших плотностях барионов и энергии (1-3 ГэВ/фм3).
28.5.8. Ядерное расщепление
Ядерное расщепление — процесс разложения тяжелых атомных ядер на два
примерно одинаковых элемента (продукты расщепления) и несколько ней-
тронов (нейтроны расщепления). Ядерное расщепление может осуществ-
ляться захватом нейтронов или фотонов ядром.
235U + л—>X + Y+wz + 200 МэВ, v — число нейтронов расщепления.
За один акт расщепления в среднем образуется у = 2,43 ± 0,07 нейтронов
со средней энергией от 2 МэВ.
1. Причина ядерного расщепления
> Ядерное расщепление можно объяснить в рамках жидкокапельной и
оболочечной моделей атомного ядра. При малых энергиях возбуждения
ядро осуществляет поверхностные колебания малой амплитуды около
равновесной формы в основном состоянии. Поверхностное напряжение
образует при этом потенциальный барьер, который обусловливает ста-
бильность ядра по сравнению с сильно деформированным ядром. Если
энергия возбуждения возрастает, то этот барьер деления может быть
преодолен: деформация ядра увеличивается до тех пор, пока ядро не су-
жается и, наконец, не образуется два отдельных элемента, которые раз-
летаются под воздействием кулоновского отталкивающего потенциала.
Барьер деления, который за счет потенциального барьера препятствует
самопроизвольному расщеплению ядра:
Ядро Энергия связи нейтрона Барьер деления
235U 6,5 МэВ 236U: 6 МэВ
238U 6 МэВ 239U: 7МэВ
> Так как энергия связи нейтронов в ядре атома 235U превосходит барьер
деления, 235U является основным топливом в тепловых ядерных реакциях.
2. Спонтанное расщепление и изомерия расщепления
Спонтанное расщепление — расщепление ядер, удовлетворяющих усло-
вию: 7?/А > 17 из основного состояния, в котором барьер деления преодоле-
вается за счет туннельного эффекта. Период полураспада спонтанного рас-
щепления больше, чем период полураспада а-частиц.
235U: а- распад: 7\ - 7,1 • 108 лет, спонтанное расщепление 1\ = 1,8 • 1017 лет.
2 2
Изомерия расщепления — появление второго, обусловленного оболочеч-
ными эффектами минимума ядерного потенциала как функции расстояния
между продуктами расщепления. При расщеплении, вызванном нейтрона-
Рис. 28.30. Временной процесс расщепления ядра урана
ми, ядро переходит сначала в возбужденное состояние первого потенциаль-
ного минимума, которое связано с состоянием второго минимума. В состоя-
ния второго минимума ядро подвергается расщеплению за счет туннельного
эффекта.
Примером является реакция:
160 + 238U 251Fm* + 3
Возбужденное ядро фермия 25 Фт* расщепляется со временем полураспа-
да от Т\ «0,014с.
2
> С малой вероятностью также встречается троекратное расщепление тя-
желых ядер.
▲ Кинетическая энергия продуктов расщепления составляет практически
всю высвобождающуюся энергию расщепления.
▲ Продукты расщепления, как правило, радиоактивны.
▲ Разложение продуктов распада происходит, главным образом, за счет
эмиссии п частиц, а также за счет распада у- и р-частиц.
3. Нейтроны расщепления и распределение масс
Быстрые нейтроны — испускаемые одновременно с расщеплением ней-
троны.
Медленные нейтроны — испускаемые продуктами расщепления после
непосредственного процесса нейтроны.
Это замедление эмиссии составляет типично 0,2 и 60 с.
> Медленные нейтроны играют значительную роль в ходе управляемых
цепных реакций.
Распределение масс в расщеплении — функция распределения продук-
тов расщепления.
▲ Распределение масс, как правило, ассиметрично (массовое соотношение
продуктов расщепления «3:2).
В случае ядра атома 235U симметричное расщепление в 600 раз реже, чем
ассиметричное расщепление.
Рис. 28.31. Ядерное расщепление. Потенци-
альная энергия V и форма ядра в зависимо-
сти от расстояния г продуктов расщепления
N/%
80 100 120 140 180 A
Рис. 28.32. Перевод теста от-
сутствует
28.6. Распад ядра
Радиоактивный распад — спонтанный распад нестабильных нуклидов под
воздействием эмитированных частиц или фотонов либо образование стаби-
льных ядер после последовательных радиоактивных распадов.
Радионуклид — нуклид, подверженный радиоактивному распаду.
Радиоактивные изотопы — радионуклиды с одинаковым зарядом ядра.
Радиоактивность — свойство нуклидов или макроскопического количе-
ства вещества (атмосфера, вода, породы, строительный материал) испускать
радиоактивное излучение.
Природная радиоактивность — радиоактивность, которая встречается в
природе.
Искусственная радиоактивность — радиоактивность, которая возникает
благодаря тому, что нуклиды вступают в ядерную реакцию.
Виды радиоактивности:
Тип распада Изменение
заряда ядра &Z числа нейтронов A7V массового числа ДЛ
а-распад (эмиссия ядер атомов Не) -2 -2 -4
Р-распад (эмиссия е+ или е~) ±1 ±1 0
у-распад (эмиссия фотонов) 0 0 0
Захват электрона -1 +1 0
Эмиссия фотонов -1 0 -1
Эмиссия нейтронов 0 -1 -1
Радиоактивность кластера _7 ^cluster -V 1 ’cluster —(^clucter“*”^cluster)
Спонтанное расщепление «-Z 2 «-N 2 ~Ла 2
▲ Радиоактивный распад представляет собой статистический процесс.
28.6.1. Закон радиоактивного распада
1. Постоянная распада
Постоянная распада X описывает вероятность определенного вида радио-
активного распада. Она не зависит от места и времени и является свойством
ядра.
Число распадов = -постоянная распада • число ядер • время 1
d#=-X-N-dt Символ Единица измерения Название
dAr X N dt 1 С"1 1 с Число распадов Постоянная распада Число радиоактивных ядер Временной интервал
Радиоактивный распад соответствует экспоненциальному закону распада
(рис. 28.33).
Закон радиоактивного распада 1
МО = No^‘ Символ Единица измерения Название
МО No X t 1 1 с-1 с Число радиоактивных ядер в момент времени t Число ядер в момент времени t = 0 Постоянная распада Время
Среднее время жизни т (единица измерения в системе СИ: секунда, с)
радиоактивного ядра — величина, обратная постоянной распада:
Рис. 28.33. Экспоненциальный за-
кон распада: к — постоянная рас-
пада; т — среднее время жизни;
Т\ — период полураспада
2
2. Период полураспада
7\ (единица измерения в системе СИ:
2
секунда, с) — период времени, за кото-
рый первоначальное количество радиоак-
тивных ядер уменьшается в два раза:
Т] = — = In 2 • т.
2
Парциальная постоянная распада Кк —
вероятность особого вида распада к.
28.6. Распад
Для радиоактивных изотопов, которые распадаются на несколько видов,
справедливо выражение:
X =
3. Радиоактивность к
А — число распадов на единицу времени:
Радиоактивность Т-1
А = X • N = X • Noe~^-< = = х т^А М Символ Единица измерения Название
м т N na X кг/моль кг 1 моль-1 с-1 Молярная масса вещества Масса вещества Число радиоактивных ядер Число Авогадро Постоянная распада
Беккерель (Бк) — единица измерения радиоактивности в системе Си:
1 распад
1 Бк = —------.
с
Удельная радиоактивность As — радиоактивность вещества на единицу
массы:
А А
As = —, т: масса.
т
4. Радионуклиды в окружающей среде
Типичные концентрации некоторых радионуклидов в окружающей среде:
Вещество Радионуклид Период полураспада Т\ /а 2 Концентрация 10-3 Бк/10-3м3
Грунтовая вода Зн 12,232 20-100
40к 1,26-109 4-400
238U 4,51 -109 1-200
Поверхностная вода Зн 12,232 40-400
40К 1,26-109 40-2000
238U 4,51 -109 -40
Питьевая вода Зн 12,232 20-70
40К 1,26-109 200
238JJ 4,51 •109 -40
5. Цепочки распада
Возникают за счет того, что образующийся в ходе радиоактивного распа-
да нуклид тоже является радиоактивным.
Рис. 28.34. Цепочка распада (схематично)
Материн- Дочерний
ский нуклид нуклид
Ж Для определения радиоактивных материнских и дочерних нуклидов в
определенный момент времени t справедлив следующий закон распада:
Изменение числа дочерних нуклидов „ = скорость генерации — скорость распада Единица времени Т-1
&N Т Л АТ л ЛГ - Хм • NM кт NT at Символ Единица измерения Название
NT NM t 'ky. 1 1 с С'1 с1 Число дочерних нуклидов Число материнских нук- лидов Время Постоянная распада до- чернего ядра Постоянная распада мате- ринского ядра
Закон распада дочернего нуклида 1
Символ Единица измерения Название
NT N^O) t к?1 Км 1 1 с с-1 с*1 Число дочерних нуклидов Число материнских нукли- дов в момент времени t = 0 Время Постоянная распада дочер- него ядра Постоянная распада мате- ринского ядра
28.6. Распад
Радиоактивное равновесие — стационарное состояние дочернего изотопа
с одинаковым числом реакций образования и распада за определенный ин-
тервал времени:
dr
В равновесии справедливо:
Т\
N Lm
Nm' I'-m = NT- hT, .
Nt T'-N
2
NM — число материнских нуклидов, NT — число дочерних нуклидов, Т] —
— М
ГТ.
период полураспада материнского нуклида, — период полураспада до-
чернего нуклида 21
6. Пример. Радиоактивный ряд уран-радий
(рис. 28.35) — в ряде урана для радия справедливо:
=0,36 10-6.
L Ли
Для того чтобы получить один грамм радия, необходимо обработать тон-
ну урана.
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 Z
Рис. 28.35. Радиоактивный ряд уран-радий
28.6.2. а-распад
а-распад — эмиссия ядер Не с массовым числом А = 4 и зарядом ядра Z = 2
(рис. 28.36).
Уравнение распада:
уХдг 2-2^^-2 + 2а2-
2^Poi28 -> 28°28Pbi26 + 1а2.
▲ Эмитированные частицы при а-распаде обладают линейным спектром в
отношении их кинетической энергии £а. Типичные энергии а-частиц
лежат в пределах от 4 до 9 МэВ.
212Ро: Еа = 8,9 МэВ, 232Th: Ea = 4,1 МэВ.
▲ Период полураспада многих а-частиц достаточно велик, так как а-рас-
пад основан на туннельном эффекте. Потенциальный барьер, который
образуется на поверхности ядра при наложении притягивающего ядер-
ного потенциала и отталкивающего кулоновского потенциала, выше,
чем кинетическая энергия эмитированных а-частиц. а-частица должна
пройти сквозь потенциальный барьер за счет туннелирования, чтобы
оторваться от ядра (см. 25.4.1, п. 2, рис. 28.37).
Закон Гейгера-Неттола — экспериментально найденная взаимосвязь
между постоянной распада X и кинетической энергией Еа а-частицы:
1пХ = к{ + к2 • 1п£а.
Константы к{ и к2 характеризуют отдельные цепочки распада.
Коэффициент прозрачности D кулоновского потенциального барьера:
5~
3"
1“
4+
2+
0+
228 ,
90Th
514 кэВ
396 кэВ
327 кэВ
187 кэВ
56 кэВ
232 U
92 U
(0.3 %)
(32 %)
(68 %)
а4 (слабое)
а3(слабое)
«1
ао
а5 (слабое)
Рис. 28.37. а-распад за счет тунне-
лирования через кулоновский по-
тенциальный барьер
Рис. 28.36. а-распад. При распаде ядер
атомов 292U14o в 28920Th138 образуется шесть
a-групп с различной кинетической энер-
гией и интенсивностью, которые соответ-
ствуют разным состояниям возбуждения
конечного ядра
Коэффициент прозрачности потенциального барьера 1
to ь * II II II 11 Na л ° <. * N toTto] L 2 S * В * 1* to to % g СЛ 1 1 to 1 Символ Единица измерения Название
D R У.в В е ео Е Z Z т h 1 м м Дж Кл - А с Кл/(В-м) Дж 1 1 кг Дж с Коэффициент прозрачно- сти барьера Радиус ядра Длина волны де Бройля Высота потенциального барьера Элементарный заряд Диэлектрическая посто- янная Кинетическая энергия ча- стицы Электрический заряд ядра Электрический заряд эмитированной частицы Масса Постоянная Планка
Это соотношение справедливо для всех заряженных частиц.
28.6.3. fi-распад
Р-распад охватывает все формы ядерных преобразований, причиной кото-
рых является слабое взаимодействие:
• Р--распад — распад нестабильного атомного ядра с испусканием элект-
рона.
• Р+-распад — распад нестабильного атомного ядра с испусканием позит-
рона.
• Захват электрона — захват электрона ядром из оболочки.
Р±-распад представляет собой трехчастичный распад:
и —> р + е~ + ve, р -» n + е+ + ve.
Нейтрино v — гипотетическая частица, впервые введенная Паули (1931)
для подтверждения законов сохранения энергии и момента импульса в слу-
чае Р-распада. Нейтрино не обладает электрическим зарядом и предположи-
тельно не имеет массы покоя, однако его спин равен s = 1/2, а лептонное
число ±1.
Электроны, позитроны и нейтрино существуют в ядре не как упорядо-
ченные составные части. Они образуются только при распаде за счет слабо-
го взаимодействия между нуклонами.
Уравнение радиоактивного распада:
/ X N Z ± 1X т 1 + в + +
)
Захват электрона, е-захват — захват электрона ядром из оболочки с пре-
вращением протона в нейтрон.
Уравнение распада:
£ + l •
К-захват — захват электрона из К-оболочки. Представляет собой самый
интенсивный переход, так как вероятность нахождения электрона внутри
ядра К-оболочки наибольшая.
> Вакансия, остающаяся в К-оболочке, заполняется за счет перехода в
оболочку электрона эмитированного рентгеновского излучения или
оже-электрона.
1. fl-стабильность
(3-стабильность — свойство устойчивости изотопов по отношению к
[3-распаду.
▲ Все существующие в природе нуклиды располагаются на Z-N-диаграмме
в «долине стабильных изотопов».
₽~-распад на Z— TV-диаграмме изобар отображает нуклиды, расположен-
ные на «левом склоне».
|3+-распад отображает нуклиды, лежащие на «правом склоне».
[3-распады изобар с массовым числом А = 41 показаны на рис. 28.38, а.
▲ Энергетический спектр эмитированных электронов в случае [3-распада
непрерывен до верхней границы Eq (рис. 28.38, б).
> Распад ядра на нуклид и (3-частицу должен иметь дискретный спектр со-
гласно законам сохранения энергии и импульса.
Если бы нейтрино обладал отличной от нуля массой покоя (нейтрино
Майорана), то распределение энергии на вышеупомянутом рисунке должно
было бы иметь перегиб в граничной точке энергии и принимать ход штри-
ховой линии синхронно с вертикальной касательной к конечной точке.
15 16 17 18 19 20 21 22 Z
Р S С1 Аг К Са Sc Ti
Tt : Is 34s 1.83h lO^a 596ms 80ms
6)
Рис. 28.38. a — (3-распад нуклидов с массовым число А - 41. При заданном
значении энергии связи В, типе распада ((3+, (3~ или захват элект-
рона е) и периоде полураспада 73; б — энергетический спектр в
2
случае |3-распада. Eq — граничная энергия. Штриховая линия —
график энергии в случае конечной массы нейтрино
2. График Ферми
также называемый графиком Кюри — представление экспериментально-
го P-распределения энергии на диаграмме в виде:
График Кюри Р-спектра 1
Символ Единица измерения Название
С(е) = 1 М11) Vr(Z,n)n2 n = -^- тос Е £ = тос2 С(8) Мп) р п Е £ С 1 1 1 кг-м с-1 1 кг-м-с-2 1 кг м-с4 Функция Кюри Число электронов Функция Ферми Импульс Импульс /(/лос) Энергия Энергия/( тос) Масса электрона Скорость света
3. Функция Ферми
F(Z,y\) учитывает искажение волновой функции электронов и позитро-
нов ф в ядре за счет кулоновского поля:
F(Z,n) =
I V(0) Coulomb 12
lv(0)freil2
Функция Ферми сильно зависит от элемента.
Рис. 28.39. p-распад и захват электрона: — граничная энергия р-спектра;
а — схема Р"-распада для ядра атома ^Cs; б — схема Р+-распада
для ядра атома ^Na
4. Правило отбора для Р-переходов
В случае P-переходов между ядерными состояниями действуют правила
отбора относительно спина и четности.
34—3814
Разрешенные переходы — график Ферми [3-спектра представляет собой
прямую.
Запрещенные переходы — график Ферми |3-спектра отклоняется от фор-
мы прямой.
Величина ft представляет собой характеристику классификации [3-распа-
да, связанную с экспериментально определенным периодом полураспада 1\ :
2
ft значение ~ период полураспада 1
е0 ft = T1|/’(Z,s)sa/s2 -1 (е0 -£)2de 2 1 Символ Единица измерения Название
F(Z,£) е «=0 тк 2 1 1 1 с Функция Ферми Энергия/(/иос) Максимальная энергия/(тос) Период полураспада
Сверхразрешенные переходы ft ® 3,5.
Разрешенные переходы//« 5.
Запрещенные переходы// = 9 ... 18.
28.6.4. у-распад
у-распад — 0 спускание фотона возбужденным ядром. Возбуждение можно
произвести, например, посредством а- или (3-распада, ядерной реакции или
неупругого столкновения с другим ядром. По аналогии с электронной обо-
лочкой атома, ядра атомов также имеют дискретные уровни, испускают из-
лучение и обладают характерными линейными спектрами.
Уравнение распада:
+у.
Рис. 28.40. Схема распада ядра
атома ^Со
Ядро атома Со выступает в качестве
источника у-излучения:
(3-распад ядра атома ^Со (73 =5,21 лет)
приводит ядро атома ^Ni в2возбужден-
ные состояния £* = 2,505 МэВ, = 4+
(99,9%) и Г = 1,332 МэВ, 7Л = 2+
(0,1%). Соответствующие граничные
значения энергий (3-распада составляют
314 кэВ и 1480 кэВ соответственно.
В случае переходов 4+ —> 2+ и 2+ —> 0+
(основное состояние) происходит испу-
скание у-кванта ядром атома Ni с энер-
гией 1,173 или 1,32 МэВ (рис. 28.40).
28.7. Ядерный реактор
Ядерная изомерия — наличие долгоживущих возбужденных состояний,
обусловленных, например, большим различием спинов уровней возможных
переходов.
Ядерная резонансная флуоресценция — реабсорбция у-кванта после ис-
пускания его ядром того же вида. Резонансное поглощение подавляется по-
терями энергии отдачи и эффектом Доплера: энергия, которая затрачивает-
ся на повторное возбуждение ядра, меньше, чем энергия ДЕ, необходимая
для того, чтобы возбудить изотоп. Тепловое собственное движение ядра
приводит к уширению линии спектров испускания и поглощения.
[м] Эффект Мессбауэра (Роберт Мессбауэр, Нобелевская премия, 1961) —
усиление резонансного поглощения в кристаллах при низких температу-
рах без отдачи. Ширина резонанса в этом случае настолько мала, что
энергетические спектры могут быть измерены с разрешением до 10~9 кэВ.
28.6.5. Эмиссия нуклонов и нуклонных кластеров
Эмиссия медленных нуклонов — эмиссия нуклонов в согласовании с радио-
активным распадом (например, Р-распадом), который приводит в возбуж-
денное состояние дочернее ядро, чья энергия возбуждения Е* больше, чем
энергия связи нуклонов Е^ (рис. 28.41).
Рис. 28.41. Схема распада
медленной нуклонной эмис-
сии: Е*-энергия возбужде-
ния; £^-энергия связи ней-
тронов
> Также существует эмиссия медленных
а-частиц.
Спонтанное испускание нуклонов — рас-
пад нуклидов, которые образуются в ходе ядер-
ной реакции и находятся за границей стабиль-
ности (стремящаяся к нулю энергия связи нук-
лонов при достаточном расстоянии от линии
стабильности) благодаря спонтанному испу-
сканию нуклонов (испускание протонов при
нехватке нейтронов, испускание нейтронов
при высоком переизбытке нейтронов).
Распад кластера — распад атомных ядер за
счет испускания кластеров (12С, 14С и других
ядер). Такой распад свидетельствует о полном
заполнении оболочки стабильных ядер.
28.7. Ядерный реактор
Цепная реакция — единичные реакции ядерного расщепления, поддержива-
емые за счет освобождения достаточно большого количества нейтронов за
один акт расщепления. Количество нейтронов поддерживается постоянным
(реактор) либо взрывообразно нарастает (атомная бомба) (рис. 28.42).
1. Характеристика цепных реакций
Коэффициент размножения к характеризует число нейтронов, которые
освобождаются в ходе цепной реакции и участвуют в ходе дальнейшего рас-
щепления.
▲ Условием цепной реакции является к > 1.
Продукты расщепления I Продукты расщепления
Рис. 28.42. Схема цепной реакции
Подкритическая сборка — устройство ядерного расщепления, в котором
коэффициент размножения меньше единицы. Для поддержания процесса
расщепления требуется внешний источник нейтронов. Критическая сборка,
управляемая цепная реакция — устройство для расщепления ядер, в кото-
ром происходит регулирование коэффициента размножении так, что он ра-
вен единице.
В надкритической сборке коэффициент размножения больше единицы.
Цепная реакция бесконтрольно возрастает. Следствием этого является
взрыв.
Среднее число нейтронов расщепления v — среднее число освободив-
шихся быстрых нейтронов за один акт расщепления. В реальной сборке это
число уменьшается за счет радиационного захвата нуклидами топлива и
примесей, а также утечки нейтронов из активной зоны.
Коэффициент размножения на быстрых нейтронах с — увеличение числа
нейтронов вследствие освобождения дополнительных нейтронов за счет рас-
щепления ядер 238U и 235U быстрыми нейтронами.
Коэффициент резонансного поглощения ф — величина, характеризую-
щая утечку нейтронов за счет их поглощения в интервале энергии, в кото-
ром эффективное сечение урана при резонансном захвате принимает наибо-
льшее значение.
Вероятность избежания резонансного захвата р — вероятность избежать
резонансного захвата:
р = 1 — г|>.
Вероятность расщепления f — отношение сечения расщепления к пол-
ному сечению поглощения.
Интенсивность утечки L — вероятность избежать выхода нейтронов из
реакции через поверхность реактора.
2. Баланс нейтронов
Баланс нейтронов 1
к = v-zp-f'L Символ Единица измерения Название
к V Е Р f L 1 1 1 1 1 1 Коэффициент размножения Среднее число нейтронов на один акт расщепления 235U Коэффициент размножения на быстрых нейтронах 238U Вероятность избежания резо- нансного захвата Вероятность расщепления Интенсивность утечки
▲ Избыточная реактивность:
б = к - 1 > 0.
Необходимо соблюдать это условие, чтобы компенсировать расход топ-
лива и «отравление» топлива продуктами распада, производящими за-
хват нейтронов.
Регулирующий стержень — стержень из сильно поглощающего нейтроны
материала для регулирования избыточной реактивности.
Медленные нейтроны — испускаемые продуктами расщепления нейтро-
ны. Они увеличивают время регулирования до нескольких секунд.
3. Замедлители и нейтронный спектр
Замедлитель — это материал с небольшим массовым числом (H,D,B,C,
О) и малым сечением нейтронного поглощения, который используется для
термализации быстрых нейтронов расщепления (средняя энергия « 2 МэВ).
Торможение происходит главным образом за счет упругого столкновения с
ядром замедлителя до тех пор, пока нейтрон не окажется в интервале энер-
гии, в котором сечение расщепления достаточно велико.
В тепловых реакторах в качестве замедлителя часто используется вода.
Нейтронный спектр — энергетический спектр нейтронов. На рис. 28.43
изображен нейтронный спектр нейтронов, созданных за один акт расщепле-
ния в реакторе с замедлителем.
Тепловые нейтроны находят-
ся в тепловом равновесии с за-
медлителем. Их распределение
по скоростям описывается рас-
пределением Максвелла. Наи-
более вероятными значениями
скорости и кинетической энер-
гии являются о = 2200 мс-1, Е -
= 0,0253 эВ.
Рис. 28.43. Нейтронный спектр теплового
реактора
28.7.1. Типы реакторов
Классификация реакторов производится согласно следующим критериям:
• энергия нейтронов, участвующих в расщеплении, и тип расщепляемого
материала,
• тип теплоносителя,
• тип замедлителя.
В тепловых реакторах ядерное расщепление происходит главным обра-
зом за счет тепловых нейтронов (Еп & 0,025 эВ).
В быстрых реакторах ядерное расщепление происходит преимуществен-
но посредством быстрых нейтронов (Еп >0,1 МэВ).
В качестве делящегося материала используются ядра U235 (в большинст-
ве случаев слабо обогащенного), U233 (производимого из Th232) и Ри239 (про-
изводимого из U238), а также смеси этих веществ.
В качестве замедлителя часто служит вода, тяжелая вода или графит, в
качестве теплоносителя — вода, газы (СО2, Не), в реакторах с расширенным
воспроизводством ядерного топлива (см. ниже) — жидкий натрий.
1. Реактор, охлаждаемый водой под давлением
Тепловой реактор, в котором используется обогащенный уран с 5%-ным
содержанием изотопа 235U. В качестве замедлителя и теплоносителя приме-
няется вода. При повышении давления (15,8 МПа) температура кипения по-
нижается.
Рис. 28.44. Схема реактора, охлаждаемого водой под давлением
> Содержание изотопа 235U в природной смеси урана составляет 0,72%.
Первый контур — контур с теплоносителем, который проходит непосред-
ственно через активную зону реактора. Этот контур является замкнутым.
Активная зона — область реактора, в которой находится топливо и про-
исходит ядерное расщепление.
Второй контур служит для охлаждения первого контура и непосредст-
венно приводит в действие генераторы.
Выгоревший твэл — топливный элемент, который перестает содержать до-
лю изотопа 235U, достаточную для поддержания цепной реакции (< 0,8 % 235U).
28.7.
2. Реактор с кипящей водой
Тепловой реактор с обогащенным ураном в качестве топлива, в котором
теплоноситель (вода) протекает снизу вверх через активную зону. Часть воды
испаряется. Водяной пар (температура пара 286 °C, давление около 7 МПа)
используется непосредственно в качестве двигателя турбины. Выходящий из
турбины пар в конденсаторе преобразуется в жидкость и снова закачивается в
активную зону.
3. Процесс расширенного воспроизводства и реактор-размножитель
Расширенное воспроизводство ядерного топлива — получение нуклидов
топлива за счет теплового расщепления 233 U и 239 Ри в реакторах, функцио-
нирующих на основе захвата нейтронов в ядрах 2^20Th и 292U.
n+ 232Th^ 233Th^ 233Ра^ 233U.
Коэффициент воспроизводства равен отношению вновь образующихся
расщепляемых ядер к числу расщепленных ядер.
▲ Если коэффициент воспроизводства больше единицы, то реактор вос-
производит топлива больше, чем потребляет.
Реактор-размножитель — реактор, коэффициент воспроизводства в ко-
тором больше единицы.
Быстрый реактор-размножитель — реактор, в котором в качестве топли-
ва применяется уран в природном изотопном составе и плутоний (примерно
80 % UO2; 20% РиО2). В качестве экрана служит UO2, обогащенный изото-
пом 235U. Воспроизводство ядерного топлива происходит по следующему
процессу:
238U + П -> 239U ------> 239Np --------- > 29иРи.
92 92 23,5 мин 93 р-; 2,36 дней 94
В качестве теплоносителя применяется жидкий натрий. Использование
замедлителя в этом реакторе нецелесообразно. Возникающий в активной
зоне 2^Na находится в первом контуре в зоне безопасности реактора.
Рис. 28.45. Схема быстрого реактора-размножителя
28.8. Ядерный синтез
Ядерный синтез — это слияние двух атомных ядер. При синтезе легких ядер
высвобождается энергия (см. 28.2).
Некоторые реакции синтеза легких ядер:
D + D -> Т + р + 4,04 МэВ,
D + 4Не + л + 17,6 МэВ,
Т+ Т-> 4Не + 2п + 11,3 МэВ.
Другие возможные реакции синтеза см. в табл. 30.5/2.
> Солнце и неподвижные звезды вырабатывают энергию путем термоядер-
ного синтеза.
Сгорание водорода — это процесс соединения четырех протонов за счет
многочисленных промежуточных реакций в стабильную а-частицу, при ко-
тором выделяется около 26,7 МэВ энергии.
При сгорании одного грамма водорода выделяется примерно 6-Ю11 Дж
энергии.
Сгорание гелия — процесс соединения трех а-частиц в ядро изотопа уг-
лерода 12С.
1. Протон-протонный цикл
Водородный цикл — процесс сгорания водорода, при котором в цепных
реакциях в качестве ядерных катализаторов также участвуют легкие ядра Li,
Be и В. Цепные реакции I, II, III, различаются, прежде всего, энергией, ко-
торая уносится нейтрино (рис. 28.46). Цепная реакция I называется дейте-
риевым циклом.
Протон-протонный цикл
р+р —* d+e +v!
d+p -* 2Не+у
Я 3 4
2Не+ 2Не — 2Не+2р
2Не+ 42Не
7 „
4Ве+у
7 7
4Ве+е~~* 3Li+ve
7т . 4
3Li+p—*2 2Не
7 „
4Ве+р —
эВ-
84Ве-
Цепная реакция III
8 +
4Ве+е +ve
2 2Не
Цепная реакция I
Цепная реакция II
Рис. 28.46. Цепная реакция протон-протонного цикла
2. Цикл CNO
Протекающий на Солнце процесс сгорания водорода, в котором в каче-
стве катализатора выступают легкие ядра C,N и О (рис. 28.47).
Рис. 28.47. Цикл CNO. Двойной цикл, определяемый разветвлением реакций
15N(p,a)12C и 15N(p,y)16O
3. Углеродно-азотный цикл
CN-цикл, предложенная Бете цепная реакция для объяснения проис-
хождения солнечной энергии (рис. 28.48).
Цикл Сальпетер — двухступенчатый процесс объединения трех а-частиц
в ядро изотопа 12С:
4Не + 4 * * *Не + 95 кэВ -> 8Ве + у, 8Ве + 4Не -> 12С + у + 7,4 МэВ.
Для слияния двух ядер необходимо преодолеть кулоновский барьер. Для
цикла водорода необходимая для этого энергия составляет 0,5 МэВ. Это со-
ответствует температуре около 5,8 ДО9 К. Для углеродно-азотного цикла
температура должна быть в четыре раза выше, чем для дейтериевого цикла.
Углеродно-азотный цикл
12 _ 1 13хт В+ 13 „ +
6С+ 1Р— 6С+е +ve
13„ 1 14.,
6С+ ,р — 7N+y
I
14.т 1 15 р 15кт +
7N+ 1Р — 8О — 7N+e +ve
I
15 1 12 4
7N+ 1P — 6C+ 2He
Рис. 28.48. CN -ЦИКЛ
4. Термоядерный реактор
Ядерный реактор, в котором протекает управляемый процесс ядерного
синтеза. В качестве топлива используется плазма. Необходимая кинетиче-
ская энергия участников реакции соответствует температуре плазмы около
108 К.
Плазма — газообразная смесь свободных электронов, ионов и электри-
чески нейтральных частиц.
Рис. 28.49. Схема термоядерного реактора с инертным удержанием плазмы и
поджиганием топливной таблетки лазерным излучением
Конфайнмент — удержание плазмы в ограниченном объеме. Из-за высо-
кой температуры камера для удержания плазмы не может состоять из обыч-
ного материала. Кроме того, для того чтобы добиться получения энергии в
термоядерном реакторе, высокотемпературную плазму необходимо удержи-
вать в камере достаточно долгое время.
Магнитная ловушка позволяет удерживать плазму в магнитном поле осо-
бой конфигурации при малых плотностях топливного вещества в течение
длительного времени.
Инерциальное удержание плазмы происходит за счет подведения энер-
гии лазерного или электронного излучения, а также излучения тяжелых
ионов так, что плазма удерживается благодаря собственно инертности на
короткое время при высокой плотности.
5. Критерий Лоусона
Уравнение баланса для поддержания процесса горения в плазме (условие
безубыточного процесса):
Критерий Лоусона ML2T2
(EF + Ер + Еу) • (Т) + е) = = Ер + Еу Символ Единица измерения Название
Дж Дж Дж 1 1 Энергия синтеза Тепловая энергия плазмы энергия тормозного излучения Клд преобразования энергии Эффективность подведения энергии
В 1993 году в реакторе Joint European Torus (JET) смогли приблизиться к
критерию Лоусона на порядок величины.
28.9. Взаимодействие излучения с веществом
28.9.1. Ионизирующие частицы
Ионизирующие частицы — все заряженные частицы; за счет столкновений с
электронами атомных оболочек они создают положительные ионы и сво-
бодные электроны.
Ионизация — образование свободного электрона и положительного
иона при соударении падающей частицы с атомом за счет кинетической
энергии падающей частицы.
1. Ионизационные потери
Уменьшение кинетической энергии падающей частицы за счет процесса
ионизации.
Тормозное излучение — излучение энергии вследствие ускорения пада-
ющей заряженной частицы в кулоновском поле атомного ядра.
Потеря на излучение — уменьшение кинетической энергии падающей
частицы за счет создания тормозного излучения при электромагнитном
взаимодействии с атомным ядром.
▲ В случае тяжелых заряженных частиц
жимо малы по сравнению с потерями
на тормозное излучение значительны
только для энергий > ш0с2 (для прото-
нов > 103 МэВ).
▲ Из-за потерь на тормозное излучение
замедление электронов резко возрас-
тает при энергиях > 1 МэВ (релятиви-
стское увеличение).
▲ Тяжелые заряженные частицы имеют
зависящую от магнитных свойств ко-
нечную длину пробега R.
2. Длина пробега и пик Брэгга
Средняя длина пробега R — глубина
проникновения, при которой поток пада-
ющих частиц уменьшается в два раза
(рис. 28.50).
Экстраполированная длина пробега
/?ех — расстояние от начала координат до
точки пересечения касательной в точке
изгиба зависимости относительной плот-
ности потока от глубины проникновения
с осью Ох.
Максимум Брэгга, пик Брэгга — рез-
кое возрастание плотности ионизации в
конце пробега тяжелых заряженных час-
тиц (рис. 28.51).
потери на излучение пренебре-
на ионизацию. Потери энергии
Рис. 28.50. Длина пробега заря-
женной частицы в веществе: х —
глубина проникновения; R — сред-
няя длина пробега; Аех — экстра-
полированная длина пробега
dN/dx
Рис. 28.51. Удельная ионизирую-
щая способность djV/dx тяжелых
заряженных частиц как функция
глубины проникновения х
U Применение излучения тяжелых ионов, в том числе и протонного излу-
чения, в технике и медицине: благодаря пику Брэгга можно очень точно
управлять глубиной проникновения подводимой энергии (±1 мм) в твер-
дых телах (ионная имплантация, легирование), а также в органических
тканях (терапия опухолей).
3. Соотношение энергии и длины пробега
Взаимосвязь кинетической энергии Е^ проникающей частицы (заряд Z)
и ее длины пробега R в среде выражается следующим образом:
v«c,
X ~ /Z2, и = с.
Длина пробега а-частиц с энергией £ - 5 МэВ в воздухе равна 3,5 см.
В алюминии длина пробега а-частиц составляет 23 мкм.
Длину пробега а-частиц в разных средах см. табл.30.6/3.
▲ В отличие от траекторий тяжелых заряженных частиц траектории элект-
ронов не прямолинейны. Поэтому не существует единой длины пробега
для электронов.
> Фотоны также не обладают определенной длиной пробега в веществе.
4. Тормозная способность
S, дифференциальные потери энергии dE вдоль элемента пути dx:
с _ dE
о —-------------------------------.
dx
▲ Тормозная способность имеет квадратичную зависимость от заряда пада-
ющей частицы.
> Также величина S в дозиметрии называется линейной передачей энергии
(ЛПЭ)
Тормозная способность для тяжелых заряженных частиц с энергией
Е « mQc2 хорошо описывается с помощью уравнения Бете-Блоха:
Уравнение Бете-Блоха MLT2
S а Z S г ; s „ 5 ’•> (No N ё ОС Д II Со ? Символ Единица измерения Название
S Z Z NA /я, Ео те г -^кин МА I р е МэВ/см 1 1 моль-1 кг Кл В-1 м-1 кг Дж г/моль Дж кг/м3 А с Тормозная способность Порядковый номер атома мишени Заряд ядра снаряда Число Авогадро Масса снаряда диэлектрическая постоянная Масса покоя электрона Кинетическая энергия сна- ряда Молярная масса вещества мишени Средняя энергия ионизации Плотность Элементарный заряд
5. Тормозная способность электронов
Тормозная способность электронов
MLT-2
5= Ze4-^ -p. 8ле2тен2 M A . ( 4mev2Evin ./r>4 •1П — + /(B) ^2/2(1 _p2)J Символ Единица измерения Название
s z Na nij Eo me F ^КИН MA I и ₽ ЛР) p e МэВ/см 1 моль-1 кг Кл В-1 м-1 кг Дж г/моль Дж м/с 1 Дж/м кг/м3 А с Тормозная способность Порядковый номер атома мишени Число Авогадро Масса снаряда диэлектрическая постоянная Масса покоя электрона Кинетическая энергия сна- ряда Молярная масса ядра Средняя энергия иониза- ции Скорость электронов \)/с Релятивистская поправка Плотность Элементарный заряд
Способности электронов к ионизации
примерно в 1000 раз меньше, чем у
а-частиц.
6. Массовая тормозная способность и
удельная ионизация
Массовая тормозная способность Sm —
отношение тормозной способности S к
плотности р вещества мишени:
v _ 1 d£
р dx
|м| Эта величина позволяет посредством
взвешивания массовых долей соответ-
ствующих компонентов определить
массовую тормозную способность гете-
рогенных веществ.
Рис. 28.52. Проникновение элек-
тронов в вещество: х — глубина
проникновения; N(x) — число
частиц на расстоянии х
Удельная ионизация j — отношение массовой тормозной способности Sm
и энергии ионизации /:
j=Sm/L
Образованное на отрезке траектории dx число ионных пар dA выражает-
ся формулой:
d A = j • dx.
Частицы с одинаковым зарядом и одинаковой энергией, но различными
массами можно различить по удельной ионизации.
Электрон с энергией Екии = 105 эВ создает в воздухе на отрезке в 1 см
траектории около 200 пар ионов. Протон с такой же энергией на том же от-
резке траектории образует примерно 104 ионных пар.
28.9.2. у-излучение
Ослабление у-лучей в слое материала толщиной d и плотностью р можно
выразить экспоненциальной зависимостью:
Ослабление у-лучей L"2T'*
(р = фое“ Символ Единица измерения Название
ф Фо Н d м-2 с-1 М-2 С"1 м-1 м Плотность потока частиц по- сле поглощающего материала Плотность потока частиц пе- ред поглощающим материалом Линейный коэффициент ослабления Толщина слоя
Массовый коэффициент ослабления цм = ц/р (единица измерения в сис-
теме СИ м2/кг), коэффициент, соотнесенный с линейным коэффициентом
ослабления.
1. Фотоэффект
Производит вторичные электроны за счет взаимодействия фотонов со
связанными электронами. Эмиссию вторичных электронов см. табл. 30.3/5.
▲ Фотоэффект преобладает как вид взаимодействия при энергиях <
< 0,5 МэВ.
Массовый коэффициент ослабления фотоэффекта т/р (единица измере-
ния в системе СИ м2/кг) увеличивается с ростом порядкового номера эле-
мента Z и уменьшается с ростом энергии фотонов (см. 26.5.1, п. 1):
т ~ Z4
р (¥)3’
2. Эффект Комптона
Описывает упругое столкновение фотонов со свободными электронами.
Массовый коэффициент ослабления эффекта Комптона о/p (единица
измерения в системе СИ м2/кг) почти не зависит от порядкового номера Z и
обратно пропорционален энергии у-излучения:
о 1
р ¥
▲ Эффект Комптона преобладает в области средних энергий фотонов
(Н2О: 30 кэВ < hf < 25 МэВ; РЬ: 500 кэВ < hf < 5 МэВ).
3. Образование пары
Образование электронно-позитронной пары в кулоновском поле атомно-
го ядра. Порог реакции находится в области энергии Л/= = 1,022 МэВ
(см. 27.3.2).
Массовый коэффициент ослабления образования пар к/p (единица изме-
рения в системе СИ м2/кг) пропорционален порядковому номеру элемента Z
и возрастает с ростом энергии у-излучения по логарифмическому закону:
Р
4. Полный коэффициент ослабления
ц (единица измерения в системе СИ м2/кг) представляет собой сумму
коэффициентов ослабления фотоэффекта т, эффекта Комптона о и образо-
вания пар х:
ц = т + о + х.
Линейный коэффициент ослабления ц' равен произведению массового ко-
эффициента ослабления и плотности (единица измерения в системе СИ м1):
ц' = ц • р, р — плотность.
Фотоэффект
Образование пары
а)
Электрон
Рис. 28.53. а — взаимодействие у-излучения с веществом; б — линейный ко-
эффициент ослабления у-излучения в свинце; 1 — ц(РЬ); 2 —
о(РЪ); 3 - т(РЬ); 4 - х(РЬ)
28.10. Дозиметрия
Дозиметрия — совокупность методов измерения ионизирующего излучения,
рентгеновского излучения, у-излучения и нейтронов.
1. Определение активности
Активностью А называют характеристику скорости распада радионукли-
да. Она не учитывает различную биологическую эффективность видов излу-
чения.
_ Число распадов Радиоактивность = Время Т-1
л А = dt Символ Единица измерения Название
А N t Бк 1 с Активность Число распадов Время
Беккерель является единицей измерения активности в системе Си:
И) . Бк - 1Р™.
С
> Используемая ранее единица измерения 1 Кюри = 1 Ки возникла исто-
рически и соответствует числу распадов 1 грамма 226Ra в секунду:
1 Ки = 3,7 -1010 Бк.
2. Поглощенная доза излучения
(сокращенно доза) D является характеристикой физического действия
облучения:
„ Поглощенная энергия излучения Поглощенная доза излучения = Масса L2T2
Ат Символ Единица измерения Название
D ДЖ Дти Гр Дж КГ Поглощенная доза излучения Поглощенная энергия излучения Масса
Грэй является единицей измерения дозы излучения в системе СИ:
[D] = Гр = Ж
КГ
> До 1985 года в качестве единицы измерения использовался «рад».
1 рад = 10-2 Гр.
> В органической ткани или воде доза излучения 1 Гр соответствует повы-
шению температуры на величину 0,00024 К. Отдача энергии происходит
через тончайший пучок. Поэтому существует опасность разрушения
жизненно важных молекул.
А При оценке дозы облучения необходимо учитывать биологическую эф-
фективность разных видов излучения.
3. Эквивалентная доза ионизирующего излучения
Н учитывает различную эффективность разных видов излучения:
Эквивалентная доза излучения = оценочный коэффициент * • доза излучения РТ2
Символ Единица измерения Название
Н = q-D н Зв Эквивалентная доза излучения
D Гр Доза излучения
<1 1 Оценочный коэффициент
Зиверт — единица измерения эквивалентной дозы излучения в системе СИ:
[Я] = Зв = Ж
кг
> До 1979 года единицей измерения служил «рем»:
1 рем = 1 Зв.
4. Оценочный коэффициент
q — фактор оценки биологического эффекта определенной дозы излуче-
ния. Он равен произведению коэффициента качества Q, характеризующего
вид излучения, и коэффициента N, отражающего пространственное и вре-
менное распределение излучения:
q = QN.
При облучении тела снаружи коэффициент N = 1.
Коэффициент качества Q связан с линейной передачей энергии (ЛПЭ)
при неограниченной передаче. Коэффициент качества установлен согласно
договоренности (точно установленные значения коэффициента качества
приведены в постановлении для защиты от облучения, изд. VII, 1989).
Средний коэффициент качества Q для различных видов излучения при-
веден в следующей таблице:
Вид излучения Q Вид излучения Q
Рентгеновское, у 1 Быстрые нейтроны 20
Электроны, позитроны 1 а-частицы 10
Тепловые нейтроны 2,3 Тяжелые ионы 20
Уровень радиации — величина, равная отношению эквивалентной дозы
излучения к единице времени:
. Зв Зв Зв
в —, ------, —.
ч мин с
5. Плотность потока частиц и энергии
Спектральная угловая плотность потока ионизирующих частиц рЕ — от-
ношение плотности ионизирующих частиц к телесному углу и энергии:
Ре(г) = Фе(?Д, Е, Q), единица измерения — с-1 Дж-1 стер-1, м-2.
Спектральная плотность потока ионизирующих частиц (рЕ — интеграл
спектральной угловой плотности ионизирующих частиц по телесному углу:
Фе(г,/, Е) = j jOE(r)dQ.
Перенос (флюенс) ионизирующих частиц Ф определяется интегралом
спектральной плотности потока ионизирующих частиц по кинетической
энергии и времени:
Перенос ионизирующих частиц L2
ф(г) = f j J №(f)dQd£dz = Z1 0 0 _ ON cL4_l Символ Единица измерения Название
Ф(г) Ре (г) Q Е t N Ai м-2 1/(с Дж ср м2) стер Дж с 1 м2 Перенос ионизирующих частиц Спектральная угловая плотность потока частиц Телесный угол Энергия Время Число частиц Площадь
▲ Перенос ионизирующих частиц — это число частиц, которые за опреде-
ленное время проходят через элемент площади сферической поверхно-
сти в направлении нормали к поверхности в окрестности источника.
Плотность потока ионизирующих частиц ср представляет собой перенос
частиц в единицу времени:
Плотность потока частиц = плотность частиц • скорость L-2!-1
/- \ Ф(г) ф(Г, t) = = П -V Символ Единица измерения Название
ф(г, 0 Ф(г) t п п м-2 с-1 м-2 с м-3 м с-1 Плотность потока частиц Перенос частиц Время Плотность частиц Скорость частиц
28.10.
Спектральный поток энергии ф равен произведению плотности потока
частиц и энергии:
V = Е • <рЕ(г, Г, Е).
Плотность потока энергии 1Е представляет собой интеграл произведения
плотности потока частиц и энергии по энергии:
Ie = J Е -Фе(гЛ ЕУЬЕ.
Перенос энергии — это интеграл по времени плотности потока энергии.
6. Закон ослабления
Определяет ослабление пучка лучей в определенном веществе толщи-
ной ск:
Ослабление L2!-1
dv = "V • ц • ск Символ Единица измерения Название
dtp Н dz М-2 С"1 М“2 с-1 м-1 м Ослабление спектральной плотности потока энергии Спектральная плотность потока энергии Линейный массовый ко- эффициент ослабления Толщина материала
При интегрировании вышеупомянутого выражения получается закон
ослабления:
W(z) =
Этот закон справедлив только для узкого пучка лучей и из-за сильной
зависимости массового коэффициента ослабления от энергии только для
моноэнергетического излучения.
Толщина половинного ослабления 5 — толщина материала, при которой по-
ловина падающих квантов излучения вступает во взаимодействие с материалом:
In 2
5 = --.
Ц
7. Коэффициент переноса энергии
Коэффициент преобразования энергии, линейный коэффициент перено-
са энергии определяет перенос энергии излучением в ослабляющий слой:
Линейный коэффициент переноса энергии L1
-± d^in Ж dz Символ Единица измерения Название
Ий- Ж dz м-1 Дж Дж м Линейный коэффициент переноса энергии Полная энергия излучения Кинетическая энергия вторичных электронов Толщина слоя
8. Керма
(kinetic energy released per unit mass) К — величина, описывающая пер-
вую ступень взаимодействия косвенно ионизирующего излучения (напри-
мер, нейтронов):
Косвенно ионизирующее излучение L2T2
г 1 d£,r Л = р dV Символ Единица измерения Название
Q. Гр кг/м3 Дж м3 Керма Плотность вещества Кинетическая энергия сво- бодных заряженных частиц Объем
> В данных кермы необходимо указывать материал, с которым происходит
взаимодействие.
9. Относительная биологическая эффективность
(ОБЭ) вида излучения х для биологически конечной точки а (например,
заданной вероятности жизни определенного вида клеток) определяется в
сравнении с референсной дозой:
ОВЕа
Референсная доза оказывает одинаковый биологический эффект как и
величина Dx.
В качестве референсной дозы в большинстве случаев принимают 60Со-
у-излучение или рентгеновское излучение с энергией 250 кэВ.
28.10.1. Методы измерения излучения
Индивидуальная дозиметрия — измерение дозы на участке тела, подвержен-
ном облучению.
\Т Ионизационная камера — газовый счетчик с газовым усилением 1, пред-
назначенный для измерения дозы в области от мкГр до 103 Гр. При раз-
рядке цилиндрического конденсатора измеряется заряд. Остаточный за-
ряд представляет собой меру дозы излучения (рис. 28.54, б).
Ионизационные камеры находят применение в индивидуальной дози-
метрии, так как предоставляют быстрые и достаточно точные данные.
Ионизационная камера представляет собой интегрирующий дозиметр.
Усиление газа — размножение посредством вторичной ионизации сво-
бодных носителей заряда, первоначально образовавшихся в электрическом
поле ускоренных ионов.
Рис. 28.54. а — блок-схема пропорционального счетчика; б — принципиаль-
ная схема ионизационной камеры
> Ионизационные камеры находят применение в индивидуальной дози-
метрии, так как предоставляют быстрые и достаточно точные данные.
Ионизационная камера представляет собой интегрирующий дозиметр.
[м] Пропорциональный счетчик — газовый счетчик с коэффициентом газо-
вого усиления до 104.
Величина импульса тока пропорциональна энергии падающего излуче-
ния. Число импульсов является характеристикой числа падающих кван-
тов излучения (рис. 28.54, а).
[м] Счетчик Гейгера-Мюллера — счетчик заряженных частиц с коэффици-
ентом газового усиления 108. Величина импульса тока не зависит от
энергии падающего излучения. Такие дозиметры применяются для ис-
следования локальных доз и измерения мощности излучения.
Локальная доза — эквивалентная доза для мягких тканей в определен-
ной точке поля за определенный период времени.
@ Пленочный дозиметр — устройство регистрации излучения, основанное
на эффекте почернения фотографической пленки за счет падающего из-
лучения. Оно применяется для регистрации излучения от 0,1 мЗв до 1 Зв
и энергии фотонов от 20 кэВ до 3 МэВ. Пленочный дозиметр является
интегрирующим дозиметром, накапливающим информацию. Его приме-
няют в индивидуальной дозиметрии, в частности для контроля людей,
подверженных излучению на рабочих местах. Применение преобразовате-
лей излучения (например, кадмиевый экран для у-излучения) делает та-
кой дозиметр универсальным. Он является интегрирующим дозиметром.
V Термолюминесцентный дозиметр — преобразовывает энергию падающе-
го излучения, сохраненную в твердом теле посредством нагревания в
свет. Такой способ измерения энергии основывается на радиационном
эффекте в твердом теле (см. 29.10.3).
Токсичность радиоактивного излучения — вред, наносимый радионук-
лидами человеческому телу из-за испускаемого излучения.
Период полувыведения — время, в течение которого активность радио-
нуклида в человеческом организме снижается за счет выделений в два раза.
Нуклид Период полураспада Период полувыведения Критический орган
1 класс токсичности радиоактивного излучения 3,7 кБк
90Sr 28,1 лет 11 дней Кости
210РЬ 22 года 730 дней Кости
210ро 138 лет 40 дней Селезенка
233U 1,63 • 105 лет 300 дней Кости
2 класс токсичности радиоактивного излучения 37 кБк
22Na 2,58 года 19 дней Все тело
,37Cs 26,6 года 100 дней Мышцы
144Се 285 дней 330 дней Кости
1311 8,0 дней 180 дней Щитовидная железа
3 класс токсичности радиоактивного излучения 370 кБк
14С 5570 лет 35 лет Жировая ткань
24Na 15 часов 19 дней Все тело
,05Rh 1,54 дней 28 дней Почки
109Cd 1,3 года 100 дней Печень
4 класс токсичности радиоактивного излучения 3,7 МБк
Зн 12,6 лет 19 дней Все тело
238U 4,5 • 109 лет 300 дней Почки
28.10.2. Радиоактивность окружающей среды
Космическое излучение — это излучение, попадающее на Землю из космоса.
Космическое первичное излучение состоит преимущественно из протонов и
а-частиц, которые взаимодействуют с ядрами молекул воздуха (14N, !|О).
Компонентами вторичного излучения являются частицы р, п, л, ц, К, е, у, v.
В основе возникновения потока нейтрино лежит слабое взаимодействие,
поток нейтрино не оказывает влияния на дозу облучения человечества.
> Средняя мощность космических лучей на высоте над уровнем моря, на-
пример, в Гамбурге, составляет примерно 3-10-4 Зв/год.
> В космическом излучении наблюдались отдельные события, которые по-
зволяют сконцентрировать внимание на частицах с энергией > 1020 эВ.
Природа (новые экзотические частицы, высокоэнергетичные фотоны
или атомные ядра) и происхождение (внегалактические источники, ней-
тронные звезды, фронт ударной волны в Гало нашей Галактики) этих ча-
стиц до сих пор не ясны.
Земное излучение — это излучение природных радиоактивных нуклидов
с очень длинным периодом полураспада и их дочерние продукты.
Космическое излучение является причиной появления радиоактивных
изотопов трития jHh 14 С.
Земные дозы облучения различных географических точек ФРГ и преде-
льных значений за ее пределами приведены в таблице:
Место/земля Эквивалентная доза /10-5 Зв/год
Шлезвиг- Г ольштейн 14
Везерская горная страна/Брауншвейг 58
Гарц/Шпессарт 102
Баварский Лес 146
Катценбукель/Баден-Вюртемберг 630
Индия/Керала <2700
Бразилия/Атлантическое побережье <8700
Нуклиды, образованные в высокой атмосфере благодаря седиментации,
осадкам или конвекции попадают на поверхность Земли.
1963 1963/1964 1979
/(Бк/кг(Н2О))
Осадки в средней Европе (среднегодовое количество) 740 222000 9250
Осадки европейского западного побережья (среднегодовое количество) 296 92500 2960
Грунтовые воды средней Европы 444 166500 7400
Поверхностная вода Северной Атлантики 22,2 1850 555
Наряду с радиоактивным водородом, тритием и радиоактивным углеро-
дом в воздухе в большом количестве содержится радон со своими про-
дуктами распада. Радон улетучивается из щелей земной коры и вместе с
ключевой водой выносится на поверхность Земли.
Радиоактивные осадки (fall out) — увеличение радиоактивности, в осо-
бенности содержания трития, на поверхности Земли вследствие надземного
испытания атомной бомбы в шестидесятых годах.
Собственное излучение человеческого тела возникает за счет изотопов,
которые попадают в человеческий организм с пищей или при вдыхании.
▲ Естественное собственное излучение составляет примерно 3-10~4 Зв/год.
Природное излучение представляет собой сумму трех компонентов: кос-
мического, земного и собственного излучения.
Глава 28. Ядерная физика
▲ Величина естественного излучения приблизительно равна 1,1 • 10~3 Зв/год.
Отдельные части тела подвергаются значительной дозе облучения от
вдыхаемых продуктов радиоактивного распада.
Например, излучение в легких составляет 1,2 • 10~2 Зв/год.
Техногенное излучение — доза излучения, возникающая за счет деятель-
ности человека. К этому относятся:
• атомные электростанции,
• медицинская диагностика,
• строительные материалы.
Активность различных строительных материалов составляет:
Строительный материал 226Ra (излучатель а-частиц) 232Th (излучатель а-частиц) 40К (излучатель Р-частиц)
/Бк/кг
Строительный кирпич 52,5 49,2 652
Силикатный кирпич 11,5 4,1 273
Бетон 26,3 21,8 437
Газобетон 16,7 25,5 343
▲ Рентгеновская диагностика и лучевая терапия являются значительными
факторами излучения.
Устройство Мощность излучения /Зв/ч (на расстоянии 10 см)
Учебная рентгеновская трубка < 0,01
Цветной телевизор 0,6 Ю*6
Мониторы 5-Ю-6
Осциллографы 1-106
Экран радара 4-Ю’6
Техногенное влияние
Естественное влияние
составляющих излучения
500
Рентгеновская
диагностика
3 часа полета на
реактивном самолете
Ядерная энергия
Телевизор
1000 мкЗв/год
Космическое
Земное
Собственное
Рис. 28.55. Сравнительные диаграммы техногенной и естественной радиоак-
тивности
ГЛАВА 29
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
29.1. Структура твердого тела
29.1.1. Некоторые основные понятия
физики твердого тела
Твердое тело, ниже ТТ, представляет собой материю в твердом состоянии.
Твердое тело согласно порядку составляющих структуры твердого тела мож-
но разделить на два класса:
• Кристаллическое ТТ (кристалл) — твердое тело с периодической струк-
турой. Во всех трех направлениях пространства существует строго перио-
дическое последовательное расположение атомов.
• Аморфное ТТ — твердое тело, не обладающее дальним порядком в рас-
положении атомов и молекул. В аморфном теле нет периодически по-
вторяющейся структуры элементов.
Щелочные металлы обладают кристаллической структурой. Алмаз пред-
ставляет собой кристаллический углерод. Поваренная соль (хлорид на-
трия, NaCl) имеет кристаллическую структуру.
Сплавы и гели представляют собой аморфные тела.
Многие материалы (например, стекло или полимеры) не подходят под
эту схему. Полимеры частично обладают периодической системой. Сущест-
вуют твердые тела с микрокристаллической структурой.
Согласно реакциям ТТ на физическое воздействие различают:
• Изотропные ТТ — твердые тела, свойства которых одинаковы по всем
направлениям. Реакция ТТ на воздействие не зависит от направления.
▲ Аморфные ТТ в своем большинстве являются изотропными.
• Анизотропные ТТ — твердые тела, свойства которых зависят от направ-
ления. Реакция твердого тела на воздействие зависит от направления.
▲ При изготовлении кристалла периодическую структуру выращивают в
предпочтительном направлении.
Монокристалл — идеализированное ТТ, в котором периодическая струк-
тура распространяется на весь объем. Ориентация кристаллографических
осей в каждой точке тела в отличие от координатной системы, характеризу-
ющей ТТ, почти одинакова.
Соли, выкристаллизовывающиеся из растворов, часто представляют со-
бой монокристаллы.
[м] Выращивание монокристаллов производится из сплавов (однокомпонент-
ный метод), из растворов (многокомпонентный метод) или из газовой
фазы.
Рис. 29.1. Схема метода
Чохральского: 1 — рас-
плав; 2 — нагрев; 3 —
растущий монокристалл
Рис. 29.2. Схема метода
Бриджмена: 1 — рас-
плав; 2 — нагрев; 3 —
растущий кристалл; 4 —
охлаждение
[м| Метод выращивания кристалла по Чохральско-
му: кристалл выращивается непосредственно из
расплава (рис. 29.1).
Метод Бриджмена: кристалл наращивается в
тигле, который перемещается с постоянной
скоростью сверху вниз от горячей области к хо-
лодной (рис. 29.2).
Вышеописанные методы имеют недостаток, ко-
торый заключается в том, что кристалл загряз-
няется атомами кислорода, проходящими через
стенки тигля.
Метод зонной плавки: примесный материал
расплавляется тонким нагревательным устрой-
ством, которое медленно передвигается вдоль
образца. За расплавленной зоной образуется
монокристалл. Кристалл очищается от приме-
си, которая растворяется лучше в жидкой фазе.
Дефект решетки — отклонение от идеальной
структуры строгой пространственной периодично-
сти за счет нарушений порядка атомов или ионов
в структуре решетки (примеси, вакансии, дефекты
группирования и т. д.).
▲ Тип и количество дефектов решетки сущест-
венно влияют на физические свойства ТТ.
Поликристаллические твердые тела — твердые
тела, состоящие из отдельных кристаллов (крис-
таллитов), размер которых составляет несколько
микрометров. В поликристаллическом ТТ реализуется статистическое рас-
пределение ориентации кристаллитов.
Кристаллы, выращенные из расплавов, в большинстве случаев являются
поликристаллами.
Кристаллическое зерно — область монокристалла в твердом теле.
Граница зерна разделяет области монокристаллов в поликристалличе-
ском ТТ.
Текстура — распределение ориентации зерен в поликристаллическом ТТ.
29.1.2. Структура кристалла
Кристаллическая решетка — периодическая трехмерная система расположе-
ния атомов, молекул или ионов, вид и геометрическая структура которых
определяет внешний вид и физические свойства кристалла.
Пространственная решетка — математическое представление кристалли-
ческой решетки в виде пространственной периодической системы точек,
которые соответствуют узлам кристаллической решетки. Типом атомов или
молекул в такой модели пренебрегают.
° ° ° ° о0 о0 о ° о °
О О О О
О О О О
° ° ° ° „о _о _о „о _о
о о о о о
о о о о о о о о
о о о о
о о о о о о о о
о о о о
Пространственная решетка + базис = кристаллическая структура
Рис. 29.3. К определению понятия кристаллической структуры
Базис — совокупность атомов или молекул, соответствующих каждому
узлу решетки, соответственно каждому элементарному параллелепипеду.
1. Кристаллическая структура
Определяет структурную симметрию, параметры решетки (линейные
размеры и углы) и координаты точек, в которых находятся ассиметричные
единицы элементарных ячеек, а также заполнение ячеек атомами, молекула-
ми или ионами.
Элементарная ячейка — элемент кристаллической решетки, параллельные
переносы которого позволяют построить всю кристаллическую решетку.
Асимметричная единица — наименьшая часть объема элементарной
ячейки, из которой можно получить полную ячейку путем применения опе-
рации симметрии.
Параллельный перенос — сдвиг элементарной ячейки в пространстве на
величину вектора трансляции Т.
2. Примитивные векторы кристаллической решетки и кристаллографиче-
ские оси
Примитивными векторами или векторами кристаллической решетки а, Ь, с
называют векторы, которые образуют кристаллическую решетку при трансля-
ции Т = а«! + Ья2 + вдоль векторов, кратных примитивным векторам.
Вектор г — вектор любой точки пространства. Если вектор г' можно
представить в виде:
г' = г + + п2Ъ + п3с,
где п{, п2, п3 — целые числа, то крис- таллическая решетка в точке г' эквива- лентна кристаллической решетке в точке г. Примитивные векторы а, Ь, с образуют параллелепипед. ▲ Примитивные векторы (векторы крис- таллической решетки) а, Ь,с однознач- но определяют узел решетки. Направление кристаллографических осей определяется примитивными векто- рами а, Ь, с. Na Cl W T г Ну—4—у—|—у— Т=а + Ьи2 + си3 Рис. 29.4. К определению поня- тия вектора трансляции
Постоянные кристаллической решетки — величины, характеризующие
расстояние между атомами вдоль кристаллографических осей, зависящие от
модулей примитивных векторов а, b и с.
3. Элементарная (примитивная) ячейка
Элементарная ячейка — наименьший объем в заданной структуре решет-
ки. Элементарная ячейка содержит только один узел решетки.
> Примитивный параллелепипед в каждой своей вершине имеет узел ре-
шетки, однако эти узлы необходимо разделить на восемь элементарных
ячеек, которые содержатся в параллелепипеде.
На рис. 29.5 изображены примитив-
ные векторы, на которых построена эле-
ментарная ячейка.
> Бывают случаи, когда размер элемен-
тарной ячейки отличается от наи-
меньшего значения, так как такой вы-
бор не всегда целесообразен. На сле-
дующем рисунке элементарные ячей-
ки вольфрама и меди лучше выражают
кубическую симметрию.
Рис. 29.5. Примитивная элемен-
тарная ячейка
4. Кристаллическая система и типы решеток
Кристаллические системы подразделяют на семь групп по следующим
критериям:
• Наличие равенства кристаллических постоянных.
• Углы между кристаллографическими осями.
Типы решеток:
• Примитивная решетка: все узлы находятся в вершинах элементарной
ячейки.
• Гранецентрированная решетка: дополнительные атомы находятся в точ-
ке пересечения диагоналей на гранях элементарной ячейки.
Рис. 29.6. Элементарная ячейка: а — медь (кубическая гранецентрированная
решетка); б — вольфрам (кубическая гранецентрированная решетка)
• Базоцентрированная решетка по сравнению с примитивной решеткой
содержит два дополнительных атома в точках пересечения диагоналей
двух противоположных граней.
• Объемно-центрированная решетка помимо атомов в вершинах элемен-
тарной ячейки содержит также дополнительный атом в точке пересече-
ния диагоналей элементарной ячейки.
29.1.3. Решетка Браве
1. Типы решеток Браве
Решетка Браве — обозначение отдельного типа решетки. В трехмерном
пространстве существует 14 различных видов решеток Браве:
а = р = у = 90°
Рис. 29.7. Кубическая решетка Браве: а — при-
митивная; б — объемно-центрированная; в —
гранецентированная
a = b с', а = р = у = 90°
Рис. 29.8. Тетрагональная
решетка Браве
a * b * с\ a = p = Y = 90°
Рис. 29.10. Орторомбическая решетка Браве
atb/c; a = у = 90° * р
Рис. 29.9. Моноклинная
решетка Браве
a * b с; a - b = с; a = b с;
a^p^y a = р = y < 120°, * 90° a = Р = 90°, у = 120°
а) б) в)
Рис. 29.11. Решетка Браве: а — триклинная; б — ромбоэдрическая; в — гек-
сагональная
В металлах играют роль только:
• кубическая гранецентрированная решетка (КГЦ; англ, fee),
• кубическая объемно-центрированная решетка (КОЦ, англ, bee),
• гексагональная плотноупакованная решетка (ГПУ, англ. hep).
> Тип решетки важных элементарных кристаллов указан в периодической
системе элементов.
2. Плотноупакованная элементарная ячейка
Плотнейшая шаровая упаковка — упорядоченное расположение шаров
одинакового размера с минимальным
Рис. 29.12. Плотнейшая шаровая упаковка
промежуточным пространством между
ними. Существуют гексагональная
и гранецентрированная плотней-
шая упаковка. На рис. 29.12 изоб-
ражен слой плотноупакованных
шаров, центром которых является
плоскость А.
Если следующий слой распо-
ложен в плоскости В (или в рав-
позначной плоскости С), т.е. два
возможных расположения упаков-
ки третьего слоя:
• Шары третьего слоя могут располагаться прямо над шарами первого
слоя А. Результатом будет являться порядок упаковки ABABA... (гексаго-
нальная структура).
• Шары третьего слоя располагаются над шарами слоя С. В этом случае
порядок упаковки имеет структуру АВСВС... (кубическая гранецентриро-
ванная структура).
▲ В плотнейшей упаковке каждый шар в плоскости касается шести шаров
в той же самой плоскости и 2 • 3 шаров соседних плоскостей.
Плотность упаковки — заполнение объема элементарной ячейки шарами.
• В обеих структурах плотнейшей упаковки коэффициент заполнения про-
странства составляет 74%.
• Для сравнения: коэффициент заполнения пространства в кубической
гранецентрированной решетке равен 68%.
Координационное число — количество ближайших соседей атома.
3. Кристаллографические плоскости и индексы Миллера
Кристаллографическая плоскость — любая плоскость решетки. Плос-
кость однозначно определяется тремя точками, не лежащими на одной пря-
мой. Для задания кристаллографической плоскости используются точки пе-
ресечения плоскости с кристаллографическими осями. Индексы Миллера —
сокращенное обозначение кристаллографических плоскостей при заданных
осях кристалла. Они присваиваются следующим образом:
• Отрезки, отсекаемые плоскостями по кристаллографическим осям, зада-
ющимся примитивными векторами a, b, s, измеряются в единицах посто-
янных решетки (рис. 29.14).
Плоскость: (310)
Зх + у = а
Рис. 29.13. Кристаллографическая
плоскость перпендикулярна оси z,
узлы решетки в плоскости ху.
Рис. 29.14. Схема образо-
вания индексов Миллера:
пример (h,kj) = (2,1,2)
• Обратные величины полученных таким образом чисел приводятся к об-
щему знаменателю.
• Числители получившихся дробей представляют собой индексы Миллера
кристаллографической плоскости.
• Заключенные в скобки индексы Миллера (Л£/) являются характеристи-
кой плоскости.
• Если точка пересечения плоскости с кристаллографической осью лежит
в бесконечности, то соответствующий индекс равен нулю.
Плоскость отсекает отрезки размером 6, 2, 3, обратными величинами яв-
ляются числа 1/6, 1/2, 1/3. Приводя к общему знаменателю, получаем:
1/6, 3/6, 2/6. Индексы Миллера равны (132).
• Если плоскость пересекает одну или несколько кристаллографических
осей в точке, находящейся на отрицательной полуоси, то индекс поме-
чается верхней ^ертой.
Обозначение (ЛЙ) показывает, что ось b пересекается в отрицательной
части.
За направление кристалла принимают направление вектора в базисе
примитивных векторов, компоненты которого представляют собой целые
числа (рис. 29.16).
Рис. 29.15. Некоторые плоскости кри-
сталла кубической решетки
Рис. 29.16. Направление крис-
талла
Эти целые числа заключаются в квадратные скобки: [йЩ-
> В кубических кристаллах направление [hkl\ всегда перпендикулярно
плоскости (hkl) с теми же индексами. В других системах кристаллов этот
принцип не всегда действует.
Координаты атомов u,v,w определяют расположение узлов решетки в
элементарной ячейке. Они задаются составляющими постоянных решетки
а, Ь, с в направлении кристаллографических осей.
29.1.3.1. Простые кристаллические структуры
1. NaCI
Кристалл а/нм Кристалл а/нм
L1H 0,408 АгВг 0,577
NaCI 0,563 MgO 0,420
КС1 0,629 MnO 0,443
PbS 0,592 ио 0,492
Рис. 29.17. Структура кристал-
лической решетки NaCI (а —
постоянная решетки)
Решетка Браве: КГЦ, базис: 1 атом натрия
и 1 атом хлора (расстояние: - диагонали куба),
число базисных единиц/элементарных ячеек: 4, координационное число: 6.
Координаты атомов:
Na: ООО; --0; — 00 —
222 2 22
С1: - - 00 —; 0 - 0 — 00.
2 2 2 2
2. CsCl
Кристалл а/нм Кристалл а/нм
CsCl 0,411 AgMg 0,328
TIBr 0,397 LiHg 0,329
TH 0,420 AlNi 0,288
NH4C1 0,387 BeCu 0,270
Рис. 29.18. Структура кристал-
лической решетки CsCl (а —
постоянная решетки)
Решетка Браве: простая кубическая, ба-
зис: 1 атом цезия и 1 атом хлора (расстояние: диагонали куба), число базис-
ных единиц/элементарных ячеек: 1, координационное число: 8.
Координаты атомов:
Cs: ООО; С1:---
2 2 2
29.1.4. Методы исследования структуры
1. Дифракция рентгеновских лучей
Наиболее часто используемый метод структурного исследования. Он
основывается на дифракции рентгеновских лучей на атомах решетки. Длина
волны фотона (с энергией £):
нм.
нм.
1,24
7 Еу/кэВ
Дифракция происходит на электронах атомов. Поэтому интенсивность
дифракции сильно зависит от порядкового номера элемента Z.
Рентгеновский структурный анализ является мало чувствительным в слу-
чае элементов с малым порядковым номером. Расположение атомов кисло-
рода или водорода с трудом можно установить при помощи метода дифрак-
ции рентгеновских лучей. Кроме того, трудно отличить друг от друга эле-
менты с соседними порядковыми номерами.
2. Дифракция электронов
Дифракция электронов происходит на атомных ядрах, отсюда следует,
что чувствительность метода зависит от порядкового номера элемента. Дли-
на волны электрона (с энергией Ее):
Электроны — это заряженные частицы приблизительно в 2000 раз легче
нейтронов. Они обладают сильным электромагнитным взаимодействием с
материей и поэтому не могут глубоко проникать в кристалл. Из этого следу-
ет, что дифракция электронов имеет особенное значение при исследовании
приповерхностной структуры и тонких слоев.
3. Дифракция нейтронов
Метод дифракции нейтронов основывается на свойствах нейтронных
волн при дифракции на периодических структурах. Дифракция в кристалли-
ческой решетке наблюдается в том случае, если длина волны де Бройля для
нейтрона (с энергией Еп) сравнима с расстоянием между плоскостями крис-
таллической решетки. Длина волны нейтрона составляет:
. 0,028
Лп = — нм.
ТДТ^в
Когерентное рассеяние нейтронов происходит на ядрах атомов структур-
ных элементов. Интенсивность дифракции зависит от эффективного сече-
ния рассеяния нейтронов на ядрах атомов. В экспериментах по структурно-
му анализу можно использовать тепловые нейтроны (Еп 0,025 эВ).
Дифракция нейтронов позволяет определять расположение элементов с
малым порядковым номером, а также различать соседние элементы в перио-
дической системе.
Магнитное рассеяние нейтронов — рассеяние нейтронов на атомах за
счет взаимодействия магнитных моментов атомов с магнитным моментом
Нейтронов.
35—3814
4. Условие Брэгга
Условие получения конструктивной интерференции или максимума при
отражении излучения, падающего на кристаллографическую плоскость кри-
сталла. Если это условие не выполняется, то интерференция является дест-
руктивной.
Условие Брэгга L
пк = 2d • sin 0 Символ Единица измерения Название
п d 0 1 м м рад Целое число Длина волны Расстояние между кристалло- графическими плоскостями Угол скольжения
> Длина волны должна лежать в области, заданной структурой кристалла,
позволяющей произвести измерения отражений Брэгга.
Рис. 29.19. Длины волн фотонов
рентгеновского излучения, ней-
тронов и электронов в зависимо-
сти от энергии: 1 — Е7/кэВ; 2 —
Еп/0,01 эВ; 3 - Ее/100 эВ
Рис. 29.20. Условие Брэгга. 0 — угол
скольжения. Угол падения относительно
нормали к кристаллографической плос-
кости равен л/2 — 0, Л, В — волновые
фронты, АВС — разность хода 2d sin©
5. Методы рентгено- и нейтронографии
а) Метод Лауэ: в случае этого метода неподвижный монокристалл про-
свечивается рентгеновским или нейтронным излечением с непрерывным
«белым» спектром. Условие Брэгга выполняется только для определенных
длин волн. При некоторых значениях угла появляется конструктивная ин-
терференция, приводящая к точечным отражениям. Рисунок интерференци-
онной картины обусловлен структурой кристалла. Такой метод позволяет
быстро установить симметрию кристалла и определить параметры кристал-
лографических осей. Однако такой метод мало подходит для исследования
структуры кристалла.
29.1. Структура твердого тела
б) Метод вращающегося кристалла: монокристалл вращается в рентге-
новском или нейтронном излучении с определенной длиной волны вокруг
фиксированной оси. При определенных углах вращения выполняется усло-
вие Брэгга, вследствие чего возникает точечная конструктивная интерфе-
ренционная картина.
в) Метод Дебая-Шерера: этот метод применяют для исследования по-
рошков. Образец порошка просвечивается излучением с определенной дли-
ной волны. Кристаллиты статистически ориентируются в образце. Прелом-
ленные лучи выходят из кристаллитов, которые случайно ориентированы в
пространстве таким образом, что первичное излучение падает на некоторые
кристаллографические плоскости под таким углом, при котором выполняет-
ся условие Брэгга.
Рис. 29.21. Метод вращающегося кри-
сталла: 1 — первичное излучение; 2 —
рассеянное излучение; 3 — вращаю-
щийся монокристалл; 4 — пленка
Рис. 29.22. Метод Дебая-Ше-
рера: 1 — поликристалл; 2 —
рассеянное излучение; 3 —
пленка
Метод Дебая-Шерера применяется для исследования изменений посто-
янной решетки при изменении температуры или вариаций состава сплавов.
Преимущество метода заключается в том, что для эксперимента не нужно
использовать монокристалл.
29.1.5. Соотношения связей в кристаллах
1. Обзор типов связей в кристаллах
Тип связи Ионная (гетеро- полярная) Ковалентная (гомо- полярная) Металлическая Ван-дер- Ваальса
Свойства Изолятор при низких темпе- ратурах, ион- ный проводник при высоких температурах, пластически де- формируемый Изолятор, полупровод- ник, хруп- кий, высо- кая темпера- тура плавле- ния Электрический проводник, хо- роший провод- ник тепла, плас- тичный, боль- шая способность отражения в ИК- и видимом диа- пазоне Изолятор, низкая тем- пература плавления, легко сжима- ем, пропус- кает излуче- ние в даль- нем УФ
Тип связи Ионная (гетеро- полярная) Ковалентная (гомо- полярная) Металлическая Ван-дер- Ваальса
Взаимо- действие ( С1 ° ) (сГ М сг) (п jL п ) п JL ( п /С п ) (v?) : (С)
Примеры Щелочные галогениды Органиче- ские молеку- лы; С; Si; InSb Металлы, спла- вы Кристаллы инертных га- зов, Н2, О2, полимеры, молекуляр- ные кристал- лы
Энергия свя- зи (эВ/атом) 6-20 1-7 1-5 10-2-1 о-1
Энергия решетки — разность энергий свободных атомов и кристалла.
▲ Кристалл является стабильным в том случае, если его полная энергия
меньше, чем полная энергия свободных атомов или молекул, из которых
он состоит.
2. Ионная связь
Причиной ионной связи является притягивающая кулоновская сила
между ионами с различными зарядами.
И Поваренная соль Na+Cl~ представляет собой типичный ионный крис-
талл.
Энергия ионной связи М1?Т2
Р Q2 а 4л£о г Символ Единица измерения Название
Ев Q Со г а Дж Ас А с/(В м) м 1 Энергия связи Заряд Диэлектрическая постоянная Расстояние Постоянная Маделунга
Силы ионной связи обладают значительной дальностью действия. Зачас-
тую не только соседние, но и более удаленные соседи подвергаются их вли-
янию.
Постоянная Маделунга о характеризует силу ионной связи с учетом уда-
ленных зарядом ионов.
Постоянная Маделунга 1
х-! +/? а = X — Символ Единица измерения Название
R м Расстояние между сосед-
j rJ ними ионами
rJ м Расстояние между иона- ми до /-го иона
В случае отрицательного исходного
иона возле положительного иона ставится
знак плюс, а возле отрицательного — знак
минус .
Таблица типичных значений постоян-
ной Маделунга о:
Рис. 29.23. К расчету постоянной
Маделунга
Структура NaCl CsCl ZnS (кубическая)
сх 1,747558 1,747558 1,6381
Отталкивающее взаимодействие вызвано кулоновской силой и принци-
пом Паули (см. 25.4.3). Оно возникает в случае, если два атома сближаются
на маленькое расстояние и их электронные оболочки перекрываются.
• При низких температурах ионные кристаллы представляют собой изоля-
торы.
• При высоких температурах в кристаллах возникает ионная проводи-
мость. Ионные кристаллы пластически деформируемы.
3. Металлическая связь
Обусловлена электромагнитным взаимодействием валентных электронов
атомов с любым положительным атомом, лишенным электронных оболочек
кристалла. Участники связи не имеют жесткой связи, так как валентные
электроны обладают высокой подвижностью и не локализованы.
Натрий, алюминий, железо.
Переходные металлы — металлы с незаполненной d-оболочкой (3d-, 4d-,
5d-) — это все металлы периодической системы, кроме элементов восьмой
главной группы (см. 26.8). Они отличаются высокой энергией связи. Допол-
нительные силы связи создаются за счет взаимодействия между внутренни-
ми d-оболочками.
Медь, серебро, золото.
Металлическая связь слабее ионной. Поэтому энергия решетки кристал-
лов щелочных металлов значительно меньше энергии кристаллов ионных
Щелочных галогенидов.
Пример: NaCL: 8,1 эВ/атом, Na: 1,1 эВ/атом.
[м| Кристаллы с металлической связью являются электрическими проводни-
ками и хорошими проводниками тепла. Они пластически деформируемы.
Хорошо отражают излучение инфракрасного и видимого диапазонов.
4. Ковалентная связь
Гомополярная связь — образование электронных пар за счет обменного
взаимодействия. Этот тип связи преобладает в случае элементов третьей и
пятой главных групп периодической системы. Незаполненные оболочки ва-
лентных электронов при помощи валентных электронов соседних атомов
создают замкнутую электронную конфигурацию, похожую на конфигура-
цию благородных газов.
Многие углеродные соединения связаны ковалентной связью, в частно-
сти алмаз и органические молекулы.
Обмен электронами — общая принадлежность электронной пары к двум
соседним атомам.
Обменное взаимодействие — ковалентная связь, сила, способствующая
обмену электронами между атомами. Спины электронов антипараллельны
(синглетное состояние), так что согласно принципу Паули существует сим-
метричная волновая функция координат обоих электронов. При симметрич-
ной волновой функции в пространстве координат в случае антипараллель-
ных спинов вероятность локализации в центре между участниками связи
выше, чем в случае антисимметричной волновой функции при параллель-
ных спинах (триплетное состояние). По сравнению с разделенными атома-
ми, синглетная конфигурация обусловливает вклад энергии, которая приво-
дит к связи атомов.
Рис. 29.24. Потенциал связи в зависимости от межатомного расстояния г
электронной пары с антипараллельным спином (связь) (а) и па-
раллельным спином (состояние рассеяния) (б). Справа схемати-
чески изображен контур электронной плотности: несмотря на об-
менную силу, электроны остаются вблизи атома
▲ Ковалентные связи представляют собой связи между отдельными ней-
тральными атомами. Конфигурация, в которой спины обоих электронов,
участвующих в обмене, имеют параллельную ориентацию, не приводит к
связи атомов.
▲ Важными примерами ковалентной связи являются полупроводники с
ковалентной связью.
▲ Кроме связи ионизации и ковалентной связи существуют кристаллы со
смешанным типом связи.
5. Связь Ван-дер-Ваальса
Связью Ван-дер-Ваальса называется слабо притягивающее диполь-дипо-
льное взаимодействие. Оно встречается, когда в атомах или молекулах крис-
талла образуются мгновенные индуцированные дипольные моменты. Взаи-
модействие благодаря этим индуцированным дипольным моментам (ди-
поль-дипольное взаимодействие) приводит к возникновению слабых элект-
рических притягивающих сил.
Энергия связи Ван-дер-Ваальса ML2T2
г6 Символ Единица измерения Название
Цг) С г Дж Дж-м6 м Потенциал связи Постоянная взаимодействия Расстояние
▲ Постоянная взаимодействия С составляет порядка 10-77 Дж-м6.
▲ Силы Ван-дер-Ваальса являются важнейшим притягивающим взаимо-
действием в кристаллах инертных газов и между органическими молеку-
лами.
> Для точного описания экспериментальных данных необходимо учиты-
вать еще слабый, отталкивающий потенциал типа твердой сердцевины
(hard core) ~ г-12.
Наряду с потенциалом Ван-дер-Ваальса существует также потенциал
Леннарда-Джонса:
Потенциал Леннарда-Джонса ML2T2
Гх Х12 X хб £/(г) = 4е|-| -М V г J \Г J С = 4СО6 Символ Единица измерения Название
Q СО Дж м Дж м Потенциал связи Расстояние Параметр Параметр
с новыми параметрами с и о, где С = 4ЕО6.
Таблица величин е, о и С для инертных газов:
Инертный газ Не Ne Аг Кг Хе
е/10-23Дж 14 50 167 225 320
е/10-10 м 2,56 2,74 3,40 3,65 3,98
С = 4га6/10-77 Дж м6 0,016 0,085 1,032 2,128 5,088
29.2. Дефекты решетки
Дефектами решетки называют отклонение от идеальной структуры строгой
пространственной периодичности за счет нарушений порядка атомов или
ионов в структуре решетки (примеси, вакансии, дефекты группирования и
т. д.).
А Тип и количество дефектов решетки существенным образом изменяют
механические, электрические, магнитные и оптические свойства твердо-
го тела.
29.2.1. Точечные дефекты
1. Вакансии
Вакансия — отсутствие атома в узле кристаллической решетки.
Дивакансия — две соседние вакансии.
Энергия образования вакансий Ev — энергия, необходимая для того,
чтобы вырвать атом из решетчатой связи и вынести его на поверхность.
Плотность вакансий в равновесии L3
п - N • е къТ Символ Единица измерения Название
п N Ev Т м-3 М~3 Дж Дж К”1 К Плотность вакансий Плотность частиц Энергия образования вакансий Постоянная Больцмана Температура
Рис. 29.25. Кристаллографичес-
кая плоскость двухатомной ре-
шетки с вакансиями: 1 — ва-
кансия; 2 — дивакансия
• При комнатной температуре & 1017.
При 1000 К концентрация возрастает до
— «10А
N
• В ионном кристалле энергетически вы-
годным является состояние, когда число
катионных вакансий равно числу анион-
ных.
|м| Определение концентрации вакансий: концентрация вакансий может
быть вычислена из разности относительного линейного расширения
ДЛ/Z при нагревании и относительного изменения решетки Дя/я, опре-
деляемой при помощи рентгеновской дифракции. Вакансия почти не
влияет на дифракцию; однако длина образца увеличивается, если атомы
из глубины кристалла выходят на поверхность.
IM Концентрация вакансий уже два десятилетия определяется при помощи
позитронной аннигиляционной спектроскопии (ПАС). В твердом теле за
счет столкновений с атомами решетки термализированные позитроны,
выходящие из позитронного источника (например, 22Na), попадают в ва-
кансии. Вакансии относительно окружающих атомов образуют отрицате-
льно заряженную ячейку. Попавшие в такую ячейку позитроны имеют
аннигилляционную характеристику, отличную от характеристики движу-
щихся позитронов.
2. Пара по Френкелю, примесные центры и центры окрашивания
Атомы примеси в междоузлии — дополнительные атомы, которые вне-
дряются в решетку между постоянными узлами.
Пара по Френкелю состоит из атома в междоузлии и находящейся рядом
с ним вакансии, в которую попадет атом. Между атомом в междоузлии и ва-
кансией существует притягивающее взаимодействие.
▲ Наиболее частым точечным дефектом в галогенидах серебра являются
пары по Френкелю.
Примесные центры или примесные атомы образуются
• в постоянных узлах решетки (замещение) или
• в междоузлиях (промежуточное образование).
▲ Примесные центры в полупроводниках играют роль доноров или акцеп-
торов.
Центр окраски — дефекты кристалла, поглоща-
ющие свет видимого диапазона.
▲ Центры окраски встречаются в ионных кристал-
лах. Они обусловливают окраску кристаллов,
как правило, прозрачных для излучения види-
мого диапазона спектра.
F-центр является самым простым центром окра-
ски. Он состоит из анионной вакансии и связанно-
го с этой вакансией избыточного электрона.
Рис. 29.26. F-центр
29.2.2. Одномерные дефекты
Дислокации — линейно упорядоченные точечные дефекты.
▲ Дислокации создают вокруг себя поле напряжений.
Краевая дислокация — кристаллографическая плоскость, имеющая кли-
новидную форму в кристалле.
Уже незначительные внешние напряжения могут перемещать дислока-
ции, если силы связи не имеют никакого преимущественного направления.
Плоскостью скольжения называется кристаллографическая плоскость,
делящая кристалл на две части, которые скользят одна относительно другой.
▲ В случае краевых дислокаций направление плоскости скольжения пер-
пендикулярно линии сдвига (обозначается символом ±).
Силы от 1 Н/см2 иногда достаточно для того, чтобы переместить дисло-
кацию.
Глава 29. Физика твердого тела
Рис. 29.27. Краевые дислокации
Рис. 29.28. Плоскость скольжения
Винтовая дислокация проиллюстрирована ниже: она получится, если
разрезать кристалл приблизительно до середины, затем сместить берег раз-
реза параллельно линии разреза на одно межатомное расстояние.
▲ Кристаллическая решетка расположена параллельно линии дислокации
вокруг кристаллографической плоскости.
Вектор Бюргерса b вместе с вектором смещения s характеризует геомет-
рические свойства смещения. Вектор Бюргерса представляет собой прими-
тивный вектор Ь.
s Scherung
Рис. 29.29. Схема образо-
вания винтовой дислока-
ции: s — вектор смеще-
ния; b — вектор Бюргерса
а)
о О Q Q Q Q Q
Q О Q Q Q Q
О О О О О О О
10 11 12
О О Q Q Q О О
б)
Рис. 29.30. Вектор Бюргерса b краевой дислокации:
а — обход вектора в области нарушенного кристалла;
б — обход вектора в области ненарушенного кристал-
ла. Последовательность шагов пронумерована
• Вокруг линии дислокации последовательно от атома к атому проходит
замкнутая линия обхода векторов по всей области ненарушенного крис-
талла.
• Если эту линию обхода, начинающуюся в том же самом атоме, перенес-
ти на идеальный кристалл без дислокаций, то в этом случае линия не бу-
дет больше замкнутой.
• Отсутствующий вектор в замкнутой линии обхода и будет являться век-
тором Брюгерса Ь.
▲ В случае краевой дислокации вектор Брюгерса направлен перпендику-
лярно линии смещения.
▲ При винтовой дислокации вектор Брюгерса направлен параллельно ли-
нии смещения.
Рис. 29.31. Вектор Бюргерса b винтовой дислокации: а — обход вектора в об-
ласти нарушенного кристалла; б — обход вектора в области нена-
рушенного кристалла. Последовательность шагов пронумерована
Плотностью дислокации называют количество линий дислокации на
элемент площади.
В сильно деформированном металлическом кристалле плотность дисло-
каций составляет примерно 1011—1012 см-2.
Пластичность — величина, характеризующая способность твердого тела
сохранять деформации при воздействии внешней деформирующей силы.
▲ Чем больше дислокаций присутствует в кристалле, тем больше его плас-
тичность.
[м] Дислокации можно протравливать при помощи предназначенных для
этих целей щелочей и кислот. Скорость травления нарушенных дислока-
циями участков больше, чем ненарушенных областей кристалла. Возни-
кающие канавки травления можно исследовать при помощи светового
или электронного микроскопа.
29-2.3. Двумерные дефекты
Границей зерен называют границу между мо-
нокристаллическими участками.
Малоугловые границы зерен — это явле-
ние, при котором границы кристаллитов, об-
разующиеся за счет искажения кристаллита,
расположены друг к другу под углом, состав-
ляющим всего лишь несколько угловых гра-
дусов. На рис. 29.32 схематически изображе-
ны малоугловые границы зерен, которые об-
разуются благодаря расположенным друг за
другом краевым дислокациям.
Дефект упаковки — сдвиг кристаллогра-
фических плоскостей в одной плоскости друг
относительно друга на вектор, который не
является примитивным вектором.
Рис. 29.32. Схематичное пред-
ставление малоугловой грани-
цы зерен: 1 — кристалл 1; 2 —
кристалл 2; 3 — граница зе-
рен; 4 — краевые дислокации
29.2.4. Аморфные твердые тела
Аморфное тело — твердое тело, которое не обладает дальним порядком.
Определенный приближенный порядок соседей-атомов может существовать
в аморфном теле.
▲ Аморфные твердые тела возникают благодаря охлаждению веществ с
беспорядочной структурой.
▲ Аморфное состояние является метастабильным состоянием, т.е. при долгом
хранении (иногда годами) превращается в рекристаллизованное вещество.
М После тепловой обработки аморфное твердое тело возвращается к крис-
таллическому состоянию.
Металлические стекла — аморфные сплавы с металлическими свойствами:
• при высоком механическом напряжении обладают упругостью,
• обладают магнитными свойствами,
• являются хорошими проводниками тепла,
• а также проводниками электричества
и свойствами стекол:
• механически прочны,
• коррозионноустойчивы.
Для изготовления аморфных металлов необходима скорость охлаждения
от 106 К/с и выше. При помощи обычного металла нельзя создать стабиль-
ное аморфное вещество. Сплав наряду с металлом должен содержать так на-
зываемый стеклообразователь (бор или фосфор). Металлические стекла
Рис. 29.33. Схема метода центри-
фугирования расплава: 1 — плави-
льный тигель; 2 — охлаждающая
жидкость; 3 — аморфная лента
Рис. 29.34. Схема нанокристалли-
ческого материала
можно изготовлять только в виде пленок
толщиной не более 50 мкм. При более
толстых пленках скорость охлаждения
значительно снижается.
|м| Центрифугирование расплава — наи-
более частый метод получения метал-
лических стекол (рис. 29.33).
Металлические стекла применяют в
качестве
• трансформаторной листовой стали
из-за незначительных потерь на вих-
ревые токи,
• прочного материала головки звукос-
нимателя из-за быстрого размагничи-
вания,
• магнитного накопителя.
Нанокристаллические материалы —
твердые тела, на 50% состоящие из дефек-
тов решетки (рис. 29.34). Нанокристалли-
ческие материалы изготавливаются за счет
локального подвода энергии и связанных
с этим посредством создания высокой
плотности дефектов решетки.
29.3. Механические свойства материалов
29.3. Механические свойства материалов
Механическое напряжение о представ-
ляет собой отнесенную к площади по-
перечного сечения силу, которая воз-
никает в твердом теле как противодей-
ствие внешней деформации.
Закон Гука выражает линейную за-
висимость напряжения от относитель-
ного удлинения (см. 2.2.2, п. 1).
Область упругости — область, в ко-
торой справедлив закон Гука.
Рис. 29.35. Диаграмма напряжение—
продольная деформация: 1 — область
упругости; 2 — область пластичности
Закон Гука: напряжение ~ деформации ML1!2
о = Ei е = М/1 Символ Единица измерения Название
о Е Е 1 д/ Нм2 Нм 2 1 м м Напряжение Модуль упругости Относительное удлинение Длина Изменение длины
Закон Ньютона: вязкое или пластичное поведение вещества пропорцио-
нально скорости деформации.
Закон Ньютона: напряжение ~ скорости деформации ML-1!-2
ds Д/ с = По s = — dz / Символ Единица измерения Название
а По dz/dt 1 Д/ НМ"2 Н • м-2с С'1 м м Напряжение Динамическая вязкость Скорость деформации Длина Изменение длины
Ползучесть — свойство, ярко выраженное в полимерах, но также встре-
чающееся и в других веществах. Ползучесть характеризует пластическую де-
формацию твердого тела под воздействием механического напряжения.
29.3.1. Макромолекулярные твердые тела
Макромолекулярное твердое тело — твердое тело, состоящее из очень длин-
ных молекул.
▲ Молекулы в макромолекулярных твердых телах взаимодействуют посред-
ством ковалентной связи и сил Ван-дер-Ваальса.
А Макромолекулярные тела могут быть как аморфными, так и кристалли-
ческими.
29.3.1.1. Полимеры
Мономер — молекула, которая представляет собой основной активный эле-
мент строения полимера.
Полимеры — макромолекулы, образующиеся из мономеров в ходе хими-
ческих реакций (переход мономера в активное состояние посредством раз-
рушения связей, рост цепи макромолекулы за счет соединения мономеров,
обрыв цепи за счет присоединения молекулы). Процесс, в ходе которого мо-
номеры объединяются в длинную цепочку, называется полимеризацией.
а)
Рис. 29.36. Схема полимеризации полиэтилена: а — мономер (этилен); б —
полимер (полиэтилен)
1. Характеристики полимеров
Молекулярно-массовое распределение — колебание молекулярной мас-
сы из-за различной длины цепочки.
▲ Молекулярно-массовое распределение определяет поведение вещества.
▲ Чем шире молекулярно-массовое распределение, чем больше область ко-
лебаний молекулярных масс, тем шире температурный диапазон, в кото-
ром размягчаются полимеры.
Средняя относительная молекулярная масса — степень полимеризации
Мп характеризующая длину макромолекулы.
Средняя относительная молекулярная масса Мг 1
Мг =^- И Символ Единица измерения Название
мг тм и 1 кг кг Средняя относительная молекулярная масса Молекулярная масса Масса мономера
> Область колебаний средних относительных молекулярных масс состав-
ляет от 103 до 106.
▲ Средняя относительная молекулярная масса является характеристикой
вязкости вещества. Вязкость возрастает с ростом молекулярной массы.
Л Не существует полимеров в газовой фазе.
Морфология полимеров бывает:
• статистическая (скрученность) или
• паракристалличность (направленные друг к другу в определенном поряд-
ке цепные молекулы).
29.3. Механические свойства материалов
к Предел прочности полимерных материалов сильно зависит от температуры.
▲ Твердые полимеры представляют собой вязкие, пластичные субстанции.
> Теоретическое описание морфологии полимеров можно произвести при
помощи методов теории поля, первоначально создававшихся для маг-
нитных систем (Пьер Жиль де Жен, Нобелевская премия 1991).
2. Упругость и пластичность полимеров
Упругость — это свойство твердого тела полностью восстанавливать
свою форму при внешних деформациях.
Пластичность — способность материала получать необратимые деформа-
ции и сохранять их в последствии.
Резина абсолютно эластична, пластилин пластичен.
t
Рис. 29.37. Вязко-упругий процесс: а —
приложение нагрузки; б — упругая де-
формация; в — пластичная деформа-
ция; г — вязко-упругая деформация
Вязко-упругими свойствами об-
ладает материал, в котором после
приложения к нему постоянного на-
пряжения появляется небольшая
упругая деформация, за которой сле-
дует пластичная деформация. После
снятия нагрузки снова появляется
упругое растяжение, пластическая
деформация сохраняется (рис.
29.37).
▲ Вязко-упругое поведение обу-
словлено сдвигом макромолекул
(цепных молекул) по отношению
друг к другу.
Скоростью нагружения do/dr на-
зывают скорость, с которой изменяет-
ся механическое напряжение детали.
Скорость деформации de/dr —
скорость, с которой тело реагирует
на нагрузку деформацией.
Модель Максвелла вязко-упругого процесса:
Модель Максвелла Т1
ds 1 do о — 4- — dr G dr г| Символ Единица измерения Название
de/dz G о n с-1 Нм-2 Нм-2 Н-М-2-С Скорость деформации Модуль сдвига Напряжение Динамическая вязкость
▲ При очень незначительной скорости сдвига полимер можно рассматри-
вать как вязкую жидкость.
▲ При крайне высоких скоростях сдвига (например, при ударе) полимер
можно рассматривать как упругое твердое тело.
29.3.1.2. Термопласты
Термопласт — легкоплавкий полимерный материал с высокой степенью на-
бухания и хорошей растворимостью. Возможно повторное использование
при незначительных энергозатратах.
В Полиэтилен (Пэ), поливинилхлорид (ПВХ), полистирол (ПС), полиамид
(нейлон, перлон), полиэстер (тревира), полиакрилнитрил (дралон), по-
ликарбонат (макролон).
29.3.1.3. Эластомеры
Эластомеры — почти полностью упругие полимеры.
Эластомеры являются не плавкими, тяжело растворимыми веществами с
высокой степенью набухания.
Рис. 29.38. Восстановление
полимера (схематично)
▲ Упругий процесс в эластомерах возникает
из-за редкой сетки поперечных связей мак-
ромолекул.
Вулканизация — процесс сшивания макро-
молекул после формирования. Степень вулкани-
зации молекул служит характеристикой эластич-
ности материала.
В Эластомеры: искусственный каучук, нео-
прен, полиуретан, силиконовый каучук.
Релаксацией называется поведение полиме-
ра, деформация которого после снятия нагрузки
стремится к нулю.
Модель релаксации Кельвина-Войта 1
< < А с(/) = 1-е т 4 J после включения £(/) = — е т Е после выключения Символ Единица измерения Название
г Е т t 1 Нм-2 Н-М-2 С с Относительное удлинение Модуль упругости Напряжение Время релаксации Время
29.3.1.4. Реактопласты
Реактопласт (термореактопласт) — очень плотно сшитый, очень прочный
неэластичный полимер.
А Реактопласты не являются плавкими, степень набухания и растворимо-
сти равна нулю.
S Реактопласты: бакелиты, формальдегидные и эпоксидные смолы.
29.3.2. Композиционные материалы
Композиционные материалы — это материалы, состоящие из комбинации
различных материалов.
О Железобетон, армированный стекловолокном полиэстер и текстолит.
Композиционный слоевой материал — композиционный материал, созда-
ваемый методом укладывания слоев отдельных компонентов друг на друга.
Биметалл — композиционный металл, состоящий из двух видов матери-
ала (металлов) с различным тепловым расширением, часто используется
в качестве температурного выключателя.
Упрочненный частицами композит — материал, состоящий из матриц,
заполненных маленькими частицами.
Рис. 29.39. Принципиальная
схема датчика давления: 1 —
проводящий эластомер; 2 —
проводящие пластины
Дисперсное упрочнение — ввод в мягкую
матрицу прочных частиц, например, карбидов,
оксидов, силицидов. Такая структура обеспе-
чивает повышение прочности материала за
счет предотвращения перемещения дисло-
каций.
В Дисперсно-упрочненные сплавы находят
применение в изготовлении турбинных ло-
пастей.
▲ Металлические частицы в матрице из элас-
томеров, способные проводить электриче-
ский ток, называются проводящими элас-
томерами.
Волокнистый композит — материал, в матрицу которого введены очень
длинные (бесконечное волокно) или короткие (короткое волокно) металли-
ческие или неметаллические волокна.
▲ Высокопрочные волокна забирают на себя часть нагрузки.
Нитевидные монокристаллы — однокристальные волокна с предельно
высоким значением предела прочности.
ВД Волокнистые композиты применяются для создания тонкостенных кон-
струкций поездов и самолетов.
29.3.3. Сплавы
1. Основные свойства сплавов
Сплавами называют материалы, состоящие из нескольких металлов.
Граничные случаи:
9 Гетерогенные сплавы. В таких сплавах компоненты не перемешаны. Они
всегда состоят из различных видов кристаллов.
£ Медь-свинец.
• Смешанные кристаллы — компоненты смешиваются в компонентных
соотношениях. Возникает гомогенный сплав. Такой сплав содержит
только один вид кристалла.
В Медь-никель.
Интерметаллические соединения — при определенном составе компонен-
ты образуют связи, которые характеризуются кристаллической решеткой.
ffl Fe3Al
2. Зависимая от температуры деформация сплавов
Эффект памяти формы сплава — способность сплавов изменять свою
форму в зависимости от температуры.
▲ Эффект памяти формы вызван мартенситным фазовым превращением,
бездиффузионным, обратимым фазовым преобразованием, характеризу-
ющимся связанным смещением атомов на расстояния, малые по сравне-
нию с межатомным расстоянием. Происходит видимая деформация.
▲ Сплавы с эффектом памяти обладают различными как по величине, так
и по знаку коэффициентами расширения в различных направлениях.
Они на 3 — 4 порядка выше, чем у обычных металлов.
▲ Объем детали возрастает при нагревании.
Свойства сплавов с эффектом памяти:
• сверхупругое поведение,
• высокая демпфирующая способность.
Однонаправленный эффект — эффект памяти, при котором деталь при
нагревании восстанавливает форму, которую она имела до деформации, и
сохраняет ее при охлаждении.
Нагревание
0ZZZZZD
Исходная форма Деформация
(EZZZZZD
Охлаждение
Рис. 29.40. Сплав с эффектом памяти. Однонаправленный эффект
Двунаправленный эффект — обнаруживается при дополнительном пере-
мещении дислокаций и обусловливает необратимую деформацию. При на-
гревании до температуры, большей температуры фазового преобразования,
возникает высокотемпературная деформация, а при охлаждении — соответ-
ствующая деформация при низкой температуре.
▲ Такое преобразование очень часто повторяется.
Исходная форма
Деформация
Нагревание
Охлаждение
Рис. 29.41. Сплав с эффектом памяти. Двунаправленный эффект
Круговой эффект встречается в сплавах никелида титана (NiTi) со спе-
циальной обработкой. Исходный материал деформируется, после чего под-
вергается термической обработке. Следствием такой обработки после сни-
жения температуры будет деформация детали с противоположным знаком
радиуса кривизны.
▲ Такое преобразование очень часто повторяется.
Исходная форма
Нагревание
Охлаждение
Рис. 29.42. Сплав с эффектом памяти. Круговой эффект
3. Применение эффекта памяти
• В космической технике при помощи данных технологий изготавливают-
ся антенны в виде компактной обмотки из тонкой проволоки. Они рас-
ширяются за счет солнечного тепла, приобретая форму колец диаметром
в несколько километров.
• Холодная сварка, соединение труб. Из сплава с эффектом памяти изго-
тавливается муфта с внутренним диаметром, на несколько процентов
меньшим внешнего диаметра соединяемых изделий. При температуре
жидкого азота муфта расширяется до тех пор, пока ее диаметр не стано-
вится больше внешнего диаметра труб. При нагревании до комнатной
температуры муфта сжимается и вытягивается в направлении осей, бла-
годаря чему возникает прочное герметичное соединение.
Т = -196°С
Комнатная температура
Рис. 29.43. Холодная сварка
• Такие сплавы применяются для сращивания костей: зажим с пружиной
заданного размера и формы расширяется при низкой температуре. Его
концы закрепляются в отверстия с обеих сторон перелома. Сплав выби-
рается так, чтобы зажим при температуре тела мог принимать исходную
форму и одновременно переходить в сверхупругое состояние. При срас-
тании костей остаточная деформация постепенно ликвидируется и, не-
смотря на это, поддерживается постоянное напряжение сжатия.
Рис. 29.44. Диаграмма напряжение-
деформация в случае сверхупругого
материала
4. Сверхупругость
Свойство определенных сплавов
сохранять упругость за областью упру-
гости. При снятии нагрузки после до-
стижения 10%-ного удлинения кривая
разгрузки проходит немного ниже ли-
нии нагрузки, но почти параллельно
ей. В результате не остается остаточ-
ных деформаций.
29.3.4. Жидкие кристаллы
1. Виды жидких кристаллов
Жидкие кристаллы в определенной температурной области или в опре-
деленной области концентраций растворителя обнаруживают свойства жид-
кости и кристаллического тела одновременно. Жидкие кристаллы образуют-
ся из вытянутых молекул в большинстве случаев с ароматической связью.
Нематические жидкие кристаллы — жидкие кристаллы, в которых в
среднем продольные оси молекул внутри больших или малых областей име-
ют одинаковый ориентационный порядок. Однако молекулы могут непре-
рывно сдвигаться в направлении этих осей, вращаясь вокруг них.
Смектические жидкие кристаллы — жидкие кристаллы, в которых про-
дольные оси молекул расположены параллельно, однако при этом молекулы
располагаются в слоях.
Во времени и пространстве параллельное направление продольных осей
наблюдается только в отдельных небольших областях.
▲ Внешние поля приводят к идеальному случаю: параллельной ориентации
всех молекул большой области.
Холестерические жидкие кристаллы — частный случай нематических
жидких кристаллов. Молекулы упорядочены как обычные молекулы нема-
тических жидких кристаллов, однако направления продольных осей меняет-
ся от слоя к слою.
Рис. 29.45: а — смектическая фаза; б — нематическая фаза; в — холестериче-
ская фаза
2. Свойства жидких кристаллов
Упругость ориентации — свойство продольных осей молекул запоминать
ориентацию под воздействием внешних помех. После исчезновения помех
состояние молекул восстанавливается.
29.4. Фононы и колебания решетки
Оптическое двойное лучепреломление — оп-
тическая анизотропия, встречается в большин-
стве случаев в холестерической фазе.
Выборочное полное внутреннее отражение.
В случае выборочного полного внутреннего от-
ражения только определенные длины волн ис-
пытывают отражение. Это свойство присуще хо-
лестерическим жидким кристаллам, построен-
ным на основе скрученных нематических струк-
тур. Оно зависит от изменений давления и
температуры, а также электрических и магнит-
ных полей.
магическая структура
▲ Отраженные длины волн зависят от высоты хода витка и среднего пока-
зателя преломления жидкого кристалла.
3. Применение жидких кристаллов
• Жидкие кристаллы используются для измерения температуры поверхно-
сти тела в медицинской диагностике. Участок освещают белым светом.
Цвет отраженного света соответствует температуре поверхности тела.
• Жидкокристаллический дисплей LCD (Liquid Crystal Display): между
двумя электродами находится слой нематической жидкости толщиной
10—20 мкм, молекулы которого вследствие специальной подготовки
электродов расположены друг к другу под прямым углом. Электроды
прозрачны. Если на скрученную нематическую фазу падает линейно по-
ляризованный свет параллельно преимущественному направлению, то
направление поляризации при прохождении через ячейку вращается на
л/2. При включение отдельных сегментов электродов с напряжением
10—20 В первоначальное упорядочивание молекул жидкости нарушается,
так как молекулы ориентируются теперь по направлению приложенного
электрического поля. Расположенный за ячейкой анализатор, направле-
ние пропускания которого по отношению к направлению поляризатора
повернуто на л/2, распознает, был ли активирован сегмент электрода
или нет: активированный элемент электрода становится темным.
• Несмотря на высокое напряжение, потребление мощности жидкокри-
сталлических дисплеев невелико, так как для упорядочивания молекул
необходимо совсем немного энергии.
29.4. Фононы и колебания решетки
29.4.1. Упругие волны
1. Колебания решетки
Колебания решетки — это колебания структурных элементов кристалли-
ческой решетки n, n + 1 и т. д. возле их положения равновесия.
▲ При малых отклонениях справедлив закон Гука (гармонические колеба-
ния решетки).
Упругая постоянная Сп — силовая постоянная между плоскостями, рас-
стояние между которыми равно п-а, при этом а — постоянная решетки.
Уравнение движения атома в элементарной ячейке MLT2
.zd2ws р М = Fs = d/2 ~ (^S +/7 ~ "s) п Символ Единица измерения Название
Сп Us 4,s + п м Fs t кг с~2 м м кг кг • м • с~2 с Упругая постоянная Отклонение плоскости 5 Отклонение плоскости с расстоянием п • а Масса атома Сила Время
2. Упругие волны
Решения us уравнения движения:
Упругая волна L
и5(г,о ~ Символ Единица измерения Название
«5 к (0 г t м м-1 рад/с м с Отклонение Волновой вектор Циклическая частота Радиус-вектор Время
3. Дисперсия упругих волн
Дисперсия со(к) — зависимость циклической частоты со упругих волн от
волнового вектора к.
Для одноатомной кубической решетки, в которой атом взаимодействует
только с ближайшим соседом (п = 1), направление распространения парал-
лельно направлениям [100], [101] и [111] (упрощение — одномерная задача
для одномерной линейной волны):
Дисперсия т1
| 4Cj . (ка\ со = J —L sm — V М 1 2 ) Символ Единица измерения Название
со к а Q м рад/с М"1 м кг с-2 кг Циклическая частота Волновое число Постоянная решетки Упругая постоянная Масса атома
4. Фононы
Первая зона Бриллюэна — область значе-
ний волнового вектора к (рис. 29.47). Фазо-
вый интервал ка [-л ... +л] охватывает все
независимые величины со. Фраза о том, что
два соседних атома находятся вне фазы более
чем на л не имеет физического смысла, так
как существует физически идентичная фаза
со значением, заключенным внутри интерва-
ла [-л ... +л].
Рис. 29.47. Первая зона Брил-
люэна
▲ Волновое число лежит в пределах интервала, ограниченного значениями
-л/а < к< +п/а.
Фонон — квант энергии упругой волны. Аналогично фотону, который
обозначает квант энергии электромагнитной волны.
▲ Упругая энергия решетки квантована.
▲ Распространение фононов описывается волновым вектором к и законом
дисперсии со(к).
▲ Фононы взаимодействуют с частицами или полями, как если бы они об-
ладали квазиимпульсом П к.
Квазиимпульс фонона Й к — величина с размерностью импульса, реально
не существующего в кристалле. Однако для разрешенных переходов между
квантовыми состояниями правило отбора было бы схожим с законом сохра-
нения импульса.
5. Методы измерения фононов
Фононный спектр — распределение энергии упругих волн в твердом теле.
[м] Неупругое нейтронное рассеяние представляет собой важнейший метод
для измерения фононного спектра твердого тела. Из-за нулевого заряда
нейтроны не подвержены влиянию кулоновского поля атомного ядра.
Они взаимодействуют непосредственно с атомными ядрами кристалли-
ческой решетки.
В кинематике нейтронное рассеяние определяется законами сохранения
энергии и импульса.
Закон сохранения импульса и энергии нейтронного рассеяния
Ef = Е, + Й- со pz = р, ± й к Символ Единица измерения Название
со к Р/,Р/ Й рад/с м-1 Дж КГ м с-1 Дж с Частота фононов Волновой вектор Энергия падающего или вылетающего нейтрона Импульс падающего или вылетающего нейтрона Постоянная Планка
Знак «+» соответствует процессу рассеяния, при котором фонон исчеза-
ет, а знак «-» — процессу, при котором фонон возникает. Если скорость
звука равна us, то со = vs-fc.
[м] Для определения закона дисперсии, а вместе с тем, упругой постоянной
необходимо измерить потери энергии или избыток энергии рассеянного
нейтрона как функцию направления рассеяния ру - pz.
6. Типы фононов
Продольные фононы — соответствуют колебанию среды в направлении
распространения упругой волны.
Поперечные фононы — кванты энергии колебаний среды перпендику-
лярны направлению распространения волны. Точная параллельность или
ортогональность встречаются только для определенных направлений сим-
метрии кристалла или граничного случая однородных сред.
Акустические фононы — атомы примитивных элементарных ячеек ко-
леблются в одном направлении (по аналогии с колебаниями в фазе связного
осциллятора). Всегда существует три акустические ветви. При малых волно-
вых числах справедливо приближенное линейное соотношение со « ск, кото-
Рис. 29.48. Схематическое изображение
закона дисперсии со(А;) в граничном
случае длинной волны: 1 — акустиче-
ские фотоны; 2 — оптические фотоны
рое представляет собой выражение
для скорости звука.
Оптические фононы: если при-
митивная элементарная ячейка со-
держит N > 1 атомов, то наряду с
акустическими фононами дополни-
тельно встречаются 37V - 1 «оптиче-
ских» ветви, где различные атомы
элементарной ячейки совершают
встречные колебания (по аналогии с
колебаниями в противофазе связан-
ного осциллятора). Собственные ча-
стоты оптических фононов выше,
чем фононов акустических ветвей.
В случае двухатомной решетки
встречные колебания.
(например, NaCl) атомы совершают
Рис. 29.49. Колебательные состояния поперечной фононной волны: а — аку-
стическая ветвь; б — оптическая ветвь
7. Уравнение движения упругой волны
Уравнение движения упругих волн в кристаллах с двумя атомами на
одну элементарную ячейку в приближении взаимодействия только с бли-
жайшими соседями (для направлений распространения волн, совпадающих
с направлениями симметрии, при которой кристаллографические плоскости
содержат только один сорт атомов):
Уравнение движения с двумя атомами на элементарную ячейку MLT'2
Л/1 - C1(«2i + 2 + «21 2u2( +1) at1 ^2 , , - Q («21+1 + «21-1 2м21) ш2 Символ Единица измерения Название
«1 м{,мг м кг-с-2 кг Отклонение z-й плоскости решетки Упругая постоянная Массы атомов
▲ Система связанных дифференциальных уравнений только тогда имеет
решение, когда выполняется следующее дисперсионное соотношение:
п2-Н 1 4- 1 Кг ( 1 4. 1 4sin2(£-fl)
м2) м2) мх-м2
▲ Для малых к, соответственно, для очень длинных волн (X » а) справед-
ливо выражение:
со2 « 2Ci --+---- — оптическая ветвь,
М2)
со2 «--------к2а2 — акустическая ветвь.
Мх + М2
8. Скорость фононов
т- dco ,
Групповая скорость и „г =— упругой волны является скоростью фононов.
dk
Для одноатомной решетки (масса атома М, межплоскостное расстояние
решетки а) выполняется следующее соотношение дисперсии:
С\а2 ка
—-— cos —.
М 2
Ogr —
▲ В пределах зоны Бриллюэна (ка = ±л) групповая скорость волн всегда
равна нулю. Поэтому эти упругие волны являются стоячими.
▲ Упругая постоянная С] и модуль упругости Е пропорциональны друг
другу:
С\= а-Е, а — межплоскостное расстояние решетки.
> В ионных кристаллах оптические фононы вызывают сильную электриче-
скую поляризацию, так что этот тип колебаний можно очень эффектив-
но вызывать при помощи фотонов, или, соответственно, электромагнит-
ных полей.
Энергетическая щель — диапазон отсутствующих частот в фононном
спектре, заключенный между акустической и оптической ветвями. Кристал-
лы в этом диапазоне частот не имеют собственных колебаний, так что элек-
тромагнитные волны распространяются с сильным затуханием: поэтому от-
ражательная способность в этом частотном диапазоне очень высока.
Глава 29. Физика твердого тела
Рис. 29.50. Схематическое представление энергетической щели в плотности
состояний Z>(cd) фононного спектра: 1 — оптические частоты; 2 —
акустические частоты
[м] Дисперсия ионных кристаллов используется в призмах для ИК-спектро-
скопии.
29.4.2. Фононы и удельная теплоемкость
Согласно утверждениям классической механики, каждый колеблющийся
структурный элемент решетки твердого тела имеет три поступательных сте-
пени свободы. Эквивалентное представление свидетельствует, что при ко-
нечных температурах Т > 0 в решетке возбуждаются фононы. Температурная
зависимость возбуждения степеней свободы обнаруживается как термодина-
мическая величина — удельная теплоемкость С(7).
Теплоемкостью Су называется величина, характеризующая изменение
внутренней энергии при изменении температуры при постоянном объеме:
г (би}
Удельная теплоемкость су — это отношение теплоемкости Су к массе ве-
щества т:
Су =-^~.
ГП
Молярная теплоемкость Смоль — отношение теплоемкости Cv к количест-
ву вещества n = m/M, М — молярная масса:
С = —
'''МОЛЬ
П
Закон Дюлонга-Пти: молярная теплоемкость всегда постоянна.
Это справедливо в области комнатных температур почти для всех твер-
дых тел:
Закон Дюлонга-Пти МРТ-2©1
Смоль — 37Vдкв ~ = 24,9 Дж моль • К Символ Единица измерения Название
с ^моль Na кв Дж К-1 моль-1 моль-1 Дж К-1 Молярная теплоемкость Число Авогадро Постоянная Больцмана
29.4. Фононы и колебания решетки
Низкие температуры (Г -> 0): удельная теплоемкость стремится к нулю
как функция температуры с кубической зависимостью в диэлектриках Гис
линейной зависимостью в металлах Г:
СГ3 изоляторы
[Г металлы
для Т 0.
Распределение Бозе-Эйнштейна — распределение вероятностей д(со,7)
нахождения энергии Йсо в тепловом равновесии при температуре Т:
Т) = —----.
п о
е^т -1
Плотность состояний Z)(co) — распределение колебательных состояний
по частотам. — это число собственных колебаний в диапазоне час-
тот от со до со + dco.
Внутренняя энергия U кристалла:
Внутренняя энергия кристалла с плотностью состояний />(ю) ML2T2
и = J Й со(со, Т)Дсо) dco 0 Символ Единица измерения Название
и со 7)(со) «(со, Г) Т Й Дж рад/с с-рад-1 1 К Дж-с Внутренняя энергия Циклическая частота осциллятора Плотность состояний Функция распределения Бозе-Эйнштейна Температура Постоянная Планка
29.4.3. Модель Эйнштейна
Все N атомов решетки совершают гармонические однородные независимые
друг от друга колебания около положения равновесия с одинаковой цикли-
ческой частотой со£:
Плотность состояний в модели Эйнштейна:
Дсо) = N • 8(со - со£).
где 8(со - со£) — дельта-функция,
5(ю - а>Е) = | 2, , J 8(со - со£) dco = 1.
1 —> 00 При (0 ~ С0£ J
Внутренняя энергия N осцилляторов в модели Эйнштейна ML2T’2
гт f-Nfia и = П (Л еквТ -1 Символ Единица измерения Название
Дж 1 рад/с Дж-К-' К 1 Внутренняя энергия Число осцилляторов Циклическая частота осцилляторов Постоянная Больцмана Температура Число степеней свободы
Теплоемкость:
Рис. 29.51. Сравнение измеренных значений молярной теплоемкости алмаза с
построенной кривой согласно модели Эйнштейна для параметра
ТЕ = — = 1320 К
кв
Из модели Эйнштейна можно вывести закон Дюлонга-Пти, где моляр-
ная теплоемкость представляет собой граничное значение при высоких тем-
пературах. При очень низких температурах эта модель предсказывает малые
значения теплоемкости Си
29.4.4. Модель Дебая
Модель Дебая — плотность состояний квадратично возрастает с ростом со до
граничной частоты goD. При частоте Дебая соп плотность состояний резко
снижается до нуля.
29.4. Фононы и колебания решетки
Плотность состояний в модели Дебая т
Дсо) = J®2 /“в при ® с “в [ 0 при СО > СО д со^ = 6n2v]N/V. со = 'к Символ Единица измерения Название
(0 Ч к N V с-рад-1 рад-с-1 рад-с"1 мс-1 м-1 1 м3 Плотность состояний Циклическая частота Частота Дебая Скорость звука Волновое число Число осцилляторов Объем
Скорость звука является константой с со = vs-k. Групповая скорость в
модели Дебая заменяется скоростью звука.
Рис. 29.52. Плотность состояний в модели
Дебая для простой кубической решетки:
заштрихованная площадь — интеграл по
сфере Дебая; штриховая линия — интег-
рал по первой зоне Бриллюэна
Рис. 29.53. Дисперсия в моделях
Эйнштейна и Дебая: 1 — оптиче-
ская ветвь; 2 — акустическая
ветвь; 3 — модель Дебая; 4 —
модель Эйнштейна
Температура Дебая TD определяется частотой Дебая со^:
Температура Дебая 0
Т _ hap _ /гщ (6л:2-/уУ/3 D " кв " кв 1 V J Символ Единица измерения Название
(Од Ч N V кв Й TD рад с-1 М-С“* 1 м3 Дж-К-1 Дж-С К Частота Дебая Скорость звука Число осцилляторов Объем Постоянная Больцмана Постоянная Планка Температура Дебая
N — общее число частиц в объеме V.
Внутренняя энергия при очень низких температурах Т « TD для любого
направления решетки:
Внутренняя энергия в модели Дебая М1?т-2
з (т У U = - ^NkBT\ — 5 W Символ Единица измерения Название
и N кв Т TD Дж 1 Дж-К-1 К к Внутренняя энергия Число осцилляторов Постоянная Больцмана Температура Температура Дебая
Закон Дебая Т3 для температур Т « TD:
Закон Дебая для Т « TD 17т-2@-1
12 ( Т У Cv ~ — n4N -кв — 5 VJ Символ Единица измерения Название
Е*ч Дж-К-1-кг-1 1 Дж-К'1 К к Теплоемкость Число осцилляторов Постоянная Больцмана Температура Температура Дебая
Рис. 29.54. Удельная теплоемкость
су твердого тела согласно модели
Дебая. Закон 73 соответствует об-
ласти T/TD < 0,1 (Дж-моль’1 • К-1)
Рис. 29.55. Удельная теплоемкость ср
кремния и германия (кал моль-1-К’1)
29.4.5. Теплопроводность
1. Диэлектрики
Теплопроводность в диэлектриках — передача энергии посредством дви-
жения фононов в твердом теле.
Свободный фононный газ — модель, в которой фононы, как молекулы в
идеальном газе, движутся свободно и независимо друг от друга.
29.4. Фононы и колебания решетки
▲ Фононы распространяются в твердом теле со скоростью звука. Однако
осуществляемая фононами передача тепла происходит значительно мед-
леннее, так как фононы сталкиваются друг с другом и частицами приме-
сей и при этом изменяют направление движения.
Средняя длина свободного пробега фонона Aph — средняя длина пути,
проходимого частицей между двумя последовательными столкновениями.
▲ Теплопроводность в диэлектрике может представлять собой модель фо-
нонного газа.
Теплопроводность к в диэлектриках МЫ3©1
— 3 ^AphCphpph Символ Единица измерения Название
X и Aph Cph Pph Вт/(м-К) м/с м Дж-К"1 м-3 Т епл опровод ность Средняя скорость фононов Средняя длина свободного пробега фонона Теплоемкость фононного газа Плотность фононов
> Среднюю групповую скорость и удельную теплоемкость можно оценить,
исходя из модели Дебая. Средняя длина свободного пробега не может
быть выведена при помощи модели Дебая. В рамках этой модели средняя
длина свободного пробега должна была бы быть бесконечно большой.
▲ При низких температурах средняя длина свободного пробега определяет-
ся в основном рассеянием фононов на дефектах решетки.
Плотность теплового тока jq — величина, характеризующая тепло, пере-
данное через единицу площади за единицу времени при заданной разности
температур.
Плотность теплового тока L jq мт-3
. _. AT Jq “ * Ах Символ Единица измерения Название
л X ДГ/Дх Вт • м-2 Вт/(мК) К-м-1 Плотность теплового тока Т еплопроводность Градиент температуры
> Теплопроводность — не стационарный процесс. Очень маленький эле-
мент объема зачастую рассматривается как элемент объема, находящий-
ся в термодинамическом равновесии.
2. Металлы
Теплопроводность в металлах отличается от теплопроводности в диэлек-
триках дополнительным переносом энергии свободными электронами.
Глава 29. Физика твердого тела
Электронная теплопроводность Хе1 в металлах МЕТ3©1
^е! — 33 el Л el Cei Pel Символ Единица измерения Название
Хе1 Xi Q1 Pel Вт • м • К м/с м Дж/К М’3 Теплопроводность электронов Средняя скорость электронов Средняя длина свободного про- бега Теплоемкость электронного газа Плотность электронного газа
> Теплоемкость электронного газа значительно меньше, чем теплоемкость
фононной системы. Средняя скорость электронов, напротив, намного
больше средней групповой скорости (скорость звука) фононов. Также
средняя длина свободного пробега электронов превышает длину пробега
фононов.
▲ В металлах тепло переносится в основном за счет электронного газа.
Закон Видемана-Франца: теплопроводность в металлах прямо пропорци-
ональна электрической проводимости к.
Закон Видемана-Франка MLT3©-1
, Z 1 \2 ле1 = —I I Тк 3 1 е ) Символ Единица измерения Название
X кв е к Т Втм-1 К-1 Дж-К4 Кл Ом-1 м-1 К Т еплопроводность Постоянная Больцмана Элементарный заряд Электрическая проводимость Температура
29.5. Электроны в твердых телах
Электрическая проводимость к металла — отношение плотности тока к ди-
электрической проницаемости. Эта величина обратно пропорциональна
удельному электрическому сопротивлению р:
1
к = —.
р
> Единица измерения электрической проводимости в системе Си (Ом-м)-1.
Удельное электрическое сопротивление р варьируется в твердых телах от
10-8 Ом до 1013 Ом.
Вещества подразделяются на группы согласно их удельному сопротивлению:
© Проводники р < 10-5 Ом-м <=> к > 105 (Ом м)-1 (например, Си 5,88-107,
Ag 6,21 -107, Аи 4,55-107),
29.5. Электроны в твердых телах
• Полупроводники 10-5 Ом-м < р < 107 Ом-м «
< 105 (Ом-м)’1,
• Диэлектрики р > 107 Ом-м <=> х < 10-7 (Ом-м)-1.
10"7 (Ом-м)-1 < х <
29.5.1. Свободный электронный газ
Идеальный газ Ферми — многочастичное состояние свободных, невзаимо-
действующих частиц, подчиняющихся принципу Паули.
1. Собственные функции и собственные значения свободных электронов
Волновой функцией свободных электронов в стационарном состоянии
является плоская волна:
Ф = -^=е^? нормировка по 6-функции.
д/2л
Так как электроны в твердом теле заключены в области твердого тела,
вероятность локализации их за его пределами равна нулю. Если твердое тело
приближенно представляет собой куб с длиной ребра L с периодическим
краевым условием, то компоненты волнового вектора вдоль ребра представ-
ляют собой число, кратное 2n/L:
Компоненты волнового вектора L1
7 2л 7 2л кх = — • пх, к,, = — • nv L у L у 7 2л kz = nz ' L Символ Единица измерения Название
xk,ky,kz L м-1 1 м Компоненты волнового вектора Целые числа Длина ребра нормиро- ванного объема
▲ Свободные электроны в твердом теле могут принимать дискретные зна-
чения энергий:
Собственные значения энергии свободных электронов твердого тела ML2T-2
Д 2 F = — к2 = 2т = (ni +ni + ni) mil У 1 Символ Единица измерения Название
Js ъ N Дж КГ м 1 Энергия электрона Масса электрона Длина ребра куба Целое число
▲ Принцип Паули нарушается в случае, если все электроны находятся в
основном состоянии (пх = пу = nz = 1). Каждое энергетическое состояние
может быть занято только двумя электронами с противоположно на-
правленными спинами.
36—3814
Рис. 29.56. Энергетические уров-
ни (штриховая линия) и волно-
вые функции (ср) электронного
газа в кубе с длиной ребра L
2. Характеристики газа Ферми
Координатное пространство, конфигура-
ционное пространство — пространство, на-
тянутое на радиус-векторы г. Точка в коор-
динатном пространстве имеет декартовы ко-
ординаты (x,y,z).
Импульсное пространство — это про-
странство, натянутое на вектор импульса р.
Точка импульсного пространства характеризу-
ется декартовыми координатами (рх,рур^).
^-пространство — натянутое на волно-
вой вектор к пространство. Точка А;-про-
Рис. 29.57. Сфера Ферми
странства определяется декартовыми коор-
динатами кх, ку, kz.
Частица с импульсом р = Йк в £-про-
странстве имеет координаты (кх,ку,к^) =
= ^~l<PX,Py,Pz)-
Основное состояние — состояние с наи-
меньшей энергией. Оно образуется за счет
того, что в многочастичной системе с N час-
тицами постепенно, начиная с самого низкого
уровня энергии, частицы заполняют все воз-
можные состояния с наименьшей энергией,
до тех пор, пока не распределятся полностью.
Уровень Ферми — максимальная энер-
гия занятого уровня в основном состоянии
системы фермионов.
Ферми-сфера — объем в импульсном
пространстве, занятый электронами невзаи-
модействующего электронного газа (газ Ферми) в основном состоянии.
Импульс Ферми pF. Импульс ферми — это максимальный импульс час-
тицы массой т в газе Ферми pF-tikF - ^2mEF.
Скорость Ферми vF — скорость частицы (электрона ) с массой т на по-
верхности сферы Ферми:
vF = tikF/m.
Энергия Ферми EF — энергия уровня Ферми, поверхность сферы Ферми.
Взаимосвязь между энергией и импульсом Ферми ML2!2
P2F Л2 к2 Ef = — = — 2т 2т Символ Единица измерения Название
EF Pf kF т Й Дж кг м/с м-1 кг Дж с Энергия Ферми Импульс Ферми Волновое число на поверхности Ферми Масса частицы Приведенная постоянная Планка
29.5. Электроны в твердых телах
Только при температуре Т - 0 электронный газ находится в основном
состоянии. При конечных температурах электроны из-за тепловой энергии
обладают импульсом большим, чем hkF и покидают сферу Ферми: поверхно-
сть сферы ферми «размывается».
3. Электронная плотность газа Ферми
Элементарный объем в ^-пространстве:
v =f—1 .
I L )
▲ В элементарном объеме находятся два электрона с противоположно на-
правленными спинами.
Для трехмерного электронного газа сфера Ферми имеет объем:
VF = — k2
F 3 F
Число частиц в сфере Ферми с радиусом kF.
N = 2 • — = — Ц
Vk Зя2 F
УЦ
Зя2 ’
где фактор «2» характеризует все возможные спиновые состояния на одно
состояние системы; V = L3 — объем координатного пространства.
Волновое число и энергия Ферми TV-электронной системы
, <Зл27У?/3 Кг = 1 £3 ) „ П2 ГЗл2ЛП2/3 ef = — 2т\ L2 ) Символ Единица измерения Название
м-1 Дж м кг 1 Волновое число на поверхно- сти Ферми Энергия Ферми Ширина потенциальной ямы Масса электрона Число электронов
▲ Плотность числа электронов п определяет положение уровня Ферми, т.е
величину импульса Ферми:
п =
N
L3
Импульс Ферми возрастает, если при одинаковом числе частиц N объем
К, в котором заключен газ Ферми, уменьшается.
4. Экспериментальное определение электронной плотности
Плотность электронов можно определить экспериментально при помо-
щи эффекта Холла. Через проводящие пластинки шириной b и толщиной d
в направлении х протекает электрический ток плотностью Jx = nevx, где
п — плотность электронов, vx — скорость дрейфа и е — элементарный заряд.
На электроны действует сила Лоренца,
вызванная магнитным полем, перпендику-
лярным проводящей плоскости Вг.
Рис. 29.58. Эффект Холла
Fl =-evxBz.
Эта сила сдвигает электроны перпенди-
кулярно первоначальному направлению
тока ех и перпендикулярно направлению
поперечного магнитного потока. Между
точками А и В возникает разность потенци-
алов (напряжение Холла):
Uh = BZvxb = —— jxBzb = RHjxBzb.
n e
Коэффициент Холла RH = —(см. табл.30.7/1).
n e
5. Квантовый эффект Холла
При очень низких температурах (жидкий гелий, Т « 4 К) и очень силь-
ных магнитных полях (сверхпроводниковая катушка) сопротивление Холла
Rh~ Uh/Ix предельно тонкой (двухмерной) пластинки квантовано и связано
с постоянной Планка h и элементарным зарядом е выражением:
Ru = — = 25812,807 Ом.
С2
При вариации магнитного поля или тока наблюдаются только сопротив-
ления Холла:
D 1 h
^Haii =----, n — целое число.
n e2
В первый раз этот эффект в 1977 году наблюдал Клаус фон Клитцинг
при исследовании эффекта Холла на кремниевом транзисторе с эффектом
поля (Нобелевская премия 1985).
> Благодаря высокой точности при определении сопротивления Холла
7?На11 квантовый эффект Холла можно использовать для определения эта-
лона сопротивления.
[м] Постоянную тонкой структуры а можно измерить при помощи кванто-
вого эффекта Холла с очень высокой точностью:
1 е2 1
ОС =-------= ----/ /?На11 •
2£0с h
6. Таблица некоторых параметров уровней Ферми в различных металлах:
Щелочные металлы Переходные металлы
Li Na К Си Ag Аи
Концентрация электронов п в 1022 см-3 4,6 2,5 1,34 8,5 5,76 5,9
Щелочные металлы Переходные металлы
Li Na К Си Ag Аи
Энергия Ферми EF в еВ 4,7 3,1 2,1 7,0 5,5 5,5
Волновое число на поверх- ности Ферми kFB 1010 м-1 1,1 0,9 0,73 1,35 1,19 1,20
Скорость Ферми vF в 106 м/с 1,3 1,1 0,85 1,56 1,38 1,39
7. Плотность состояний систем Ферми
Плотность состояний D(E) — число энергетических состояний на едини-
цу объема в интервале энергии dE:
Плотность состояний на единицу объема и энергии M-'L^T2
/)(£) = 1 И dE Символ Единица измерения Название
W dE dN V м-3-Дж-1 Дж 1 м3 Плотность состояний Рассматриваемый интер- вал энергии Число состояний в интер- вале энергии dE Объем
Плотность состояний в основном состоянии при Т = 0 M^L-ST2
( У/2 /)0(£) = -L — -ЕЁ 2тг2 й2 V. J Символ Единица измерения Название
D^E) m Й Е \г2-Джч кг Дж-С Дж Плотность состояний Т = 0 Масса электрона Приведенная постоянная Планка Энергия электронного газа
8. Функция распределения Ферми-Дирака
f(E,T) — распределение вероятности того, что в свободном электронном
газе при температуре Т квантовое состояние с энергией Е будет занято:
/(Д Д =
1
e-ef
е квт + 1
▲ При температуре Г > 0 плотность состояний Ео нужно умножить на рас-
пределение Ферми чтобы получить плотность состояний D{E,T)
(рис. 29.59).
Плотность состояний при Т > 0 м-члг2
w)=/(£,w) = г У/2 1 2m Jp 2л2 й2 < ) е квт +1 Символ Единица измерения Название
R р Щ г г о txj со hq tq м-3-Джг‘ м-З-Джг1 1 кг Дж-С Дж-К1 К Дж Дж Плотность состояний при Т > 0 Плотность состояний при Т = 0 Распределение Ферми Масса электрона Приведенная постоянная Планка Постоянная Больцмана Температура Энергия Ферми Энергия электрона
Рис. 29.59. Плотность состояний D
газа Ферми в зависимости от энер-
гии Е: штриховая линия — плот-
ность занятых состояний при ко-
нечной температуре Т (квТ « Ер)',
заштрихованная площадь — плот-
ность занятых состояний при Т = О
> При повышении температуры от 0 до Т
электроны из области ниже энергии
Ферми возбуждаются и переходят в об-
ласть выше энергии Ферми. В твердом
теле электроны вблизи уровня Ферми
могут забирать энергию фононов.
9. Температура Ферми и теплоемкость
Температура Ферми TF при энергии
Ферми Ef\
TF = Ер/кв.
> Температура Ферми TF является не
физической температурой системы, а
служит как опорная величина энер-
гии Ферми с температурой.
▲ Только электроны на поверхности сфе-
ры Ферми подвижны и вносят вклад в
удельную теплоемкость. Это соответст-
вует доле всех электронов T/TF.
Теплоемкость электронного газа Се линейно зависит от температуры.
Внутренняя энергия и теплоемкость электронного газа
и К N(kBT)E Ч Се ^2kBN ~ 1F Символ Единица измерения Название
и Се N т TF кв Дж Дж-К"1 1 К к Дж-К-1 Внутренняя энергия Теплоемкость электронного газа Число электронов Температура Температура Ферми Постоянная Больцмана
29.5.2. Зонная модель
1. Теорема Блоха и модель почти свободных электронов
Теорема Блоха: решения уравнения Шредингера ук(г) для. периодиче-
ского потенциала И(г) = K(f + Т) имеют следующую форму:
Функция Блоха L-з/2
Vjt(r) = «t(r)eJkr uk(f + Т) = uk(r) Символ Единица измерения Название
V*(f) «*(г) f k М-З/2 NI'3/2 м М’1 Функция состояний Периодическая функция Радиус-вектор Волновой вектор
АТ — фундаментальный вектор трансляции (см. 29.1.2, п. 2) кристалличе-
ской решетки.
Модель Кронига-Пенни: атомы без электронной оболочки описываются
б-функцией.
А Модель Кронига-Пенни описывает запрещенные зоны.
Почти свободные электроны — модель, описывающая механизм прово-
димости в металлах, основывающаяся на приближении, что электроны взаи-
модействуют очень слабо, однако могут рассеиваться в узлах решетки со-
гласно условию Брэгга.
2. Условие отражения Брэгга и стоячие электромагнитные волны
Условие отражения Брэгга — условие отражения волны в кристалличе-
ской решетке: заданные длины волн могут отражаться только при опреде-
ленном угле 0 (угол падения л/2 — 0).
Справедливо следующее:
Условие отражения Брэгга L
2a sin 0 = nk Символ Единица измерения Название
a 0 X п м рад м 1 Постоянная решетки Угол скольжения Длина волны Целое число
Одномерное условие Брэгга
1 Л,л — п j .2л , пп С к„ = ± — = ± — кп в Символ Единица измерения Название
a к кп п м м м_| 1 Постоянная решетки Длина волны Волновое число Целое число
Стоячие электромагнитные волны в кристалле образуются благодаря
конструктивной интерференции электронных волн, рассеивающихся в узлах
решетки.
При отражении Брэгга возникают стоячие волны (п = 1):
\|/(+) = е + e_J^x = 2 cos I — 1,
I a )
\|/( —) - “ е~й1* = 2j sin I —
I a )
Вероятность локализации стоячих электронных волн
Р(+) = lv(+)l2 ~ COS2 — а р(~) =lv(-)l2 ~ sin2 — а Символ Единица измерения Название
р(+),р(-) X а М“3 м м Плотности вероятности Координата Постоянная решетки
Рис. 29.60. а — схема потенци-
альной энергии; б — вероят-
ность локализации стоячих
волн; 1 — |v(-)|2; 2 — |v(+)l2
В зависимости от вида интерференции
электроны будут преимущественно распола-
гаться следующим образом:
• вблизи атомов без электронных оболочек
(х = 0, а, 2а,..., максимум р(+))
или
• будут удаленными от них (х = а/2, За/2,...,
максимум р(-)).
Оба состояния имеют различные энергии.
> Математическое ожидание потенциаль-
ной энергии бегущей, не подчиняющейся
условию Брэгга волны, больше, чем в со-
стоянии ф(+), или меньше, чем в состоя-
нии ф(-). В рамках модели бегущие волны не могут забирать межуровне-
вую энергию.
3. Энергетические зоны и запрещенные зоны
Энергетическая зона — синоним ограниченного, но непрерывного энер-
гетического интервала.
Запрещенная зона Eg — запрещенный интервал энергий между разре-
шенными зонами.
Если энергия Ферми находится внутри разрешенного энергетического
интервала, то электроны при температуре Т > 0 могут, не преодолевая энер-
гетический барьер, уже при очень малых температурах занимать более высо-
кие энергетические состояния. Если уровень Ферми лежит в запрещенной
зоне, то электронам нужно сообщит энергию, равную энергии запрещенной
зоны, для того, чтобы перевести их в возбужденное состояние.
• Валентная зона — разрешенная зона, в которой при температуре Т - 0
все электронные состояния являются занятыми.
29.5. Электроны в твердых телах
Рис. 29.61. Зонная схема с валентной
зоной, зоной проводимости и запре-
щенной зоной: 1 — незанятая зона
проводимости; 2 — запрещенная
зона Eg, 3 — занятая валентная зона
заполнена не полностью и
• Зона проводимости — разрешенная
энергетическая зона, соответствую-
щая самой высокой энергии.
▲ Электроны в зоне проводимости
вносят вклад в проводимость мате-
риала.
▲ В основном состоянии (Т = 0) зона
проводимости заполнена не полно-
стью.
4. Металлы, диэлектрики, полупро-
водники
Металлы — вещества, у которых
уровень Ферми находится в середине
разрешенной зоны. Разрешенная зона
представляет собой зону проводимости. Существует примерно столько же
свободных, сколько и занятых состояний, так что многие электроны облада-
ют подвижностью в зоне проводимости даже при низких температурах.
Диэлектрики — вещества, в которых уровень Ферми находится в запре-
щенной зоне. Тепловой энергии не достаточно для того, чтобы достаточно
большое количество электронов перевести из полностью заполненной ва-
лентной зоны в свободную зону проводимости.
Полуметаллы — плохо проводящие металлы; в этих веществах энергия
Ферми находится вблизи верхней или нижней границы разрешенной зоны.
Если уровень Ферми расположен возле нижней разрешенной зоны, то со-
всем немного электронов сможет принять энергию электрического поля и
принять участие в процессе проводимости. Если уровень Ферми, напротив,
лежит вблизи верхней границы разрешенной зоны, то число электронов до-
статочно, однако число разрешенных свободных состояний незначительно.
Полупроводники обладают узкой запрещенной зоной (Eg » 1 эВ), в кото-
рой лежит энергия Ферми. За счет теплового возбуждения при температуре
Т > 0 электроны из полностью занятой зоны валентности переходят в сво-
Рис. 29.62. Зонная схема различных материалов: а — металл; б — полуме-
талл; в — диэлектрик; г — полупроводник
5. Энергия Ферми и оптические свойства
Оптические свойства твердых тел сильно зависят от положения уровня
Ферми. Видимый свет лежит в энергетическом диапазоне 1,6 эВ < Е < 3,2 эВ.
Запрещенная зона диэлектрика равна примерно 4 эВ. Энергии видимого све-
та недостаточно, чтобы перевести электрон на следующий более высокий
уровень.
▲ Все идеальные диэлектрики прозрачны для видимого спектра. Непро-
зрачность многих диэлектрических минералов связана с примесями.
▲ Металлы обладают достаточным количеством свободных электронов и
свободными разрешенными энергетическими состояниями, чтобы хоро-
шо поглощать кванты света. Поэтому металлы не прозрачны для света.
С другой стороны электрон может потерять энергию, за счет которой
образуется фотон соответствующей энергии. Оба процесса равновероят-
ны. Поэтому металлы хорошо отражают.
Предпосылкой для высокой степени отражения или поглощения служит
чистая поверхность. Окисление зачастую приводит в образованию диэ-
лектрических поверхностных слоев.
Обычные зеркала отражают свет от металлического слоя, напыленного
на обратную сторону стекла (например, серебра).
▲ Полупроводники с запрещенной зоной от 1 эВ могут поглощать свето-
вые кванты. Электрон при помощи энергии фотона может преодолеть
запрещенную зону между зоной валентности и зоной проводимости (фо-
тоток).
6. Населенность уровней и уравнение движения
Населенностью уровней называют число электронов, которые занимают
разрешенную зону. В изолированных атомах населенность энергетических
состояний, которые характеризуются главным квантовым числом п и орби-
тальным квантовым числом 1, определяется формулой 2(2/ + 1).
▲ Разрешенные зоны описываются теми же квантовыми числами, что и
изолированный атом.
Атом лития имеет три электрона. Два электрона находятся на самом
низком энергетическом уровне (уровень 1s), который за счет этого пол-
ностью занят. Оставшийся электрон находится в состоянии 2s, которое
обладает большей энергией. Если атомы лития образуют кристалл, то
возникает расщепленное энергетическое состояние (энергетическая
зона) 1s и лежащая над ним энергетическая зона 2s. Каждый атом лития
отдает два электрона в энергетическую зону, соответствующую 1s состо-
янию, которая за счет этого полностью заполняется. Третий электрон
уходит в зону 2s. Эта зона заполнена только наполовину. Поэтому литий
является металлом.
Аналогично поведение других щелочных металлов Na, К, Rb, Cs и Fr.
Рис. 29.63: а — энергетические уровни атома лития; б — Энергетическая
зона (2s) и энергетическая зона 1s в кристалле лития
Уравнение движения электрона в твердом теле под влиянием сил крис-
таллической решетки:
Уравнение движения электрона MLT'2
к II II 3 » |н- pj- сх 1 St II 41 Символ Единица измерения Название
F к т* Vgr е(Л) Й КГ • М • С"2 м-1 кг м/с Дж Дж-С Сила Волновое число электрона Эффективная масса электрона Групповая скорость электрон- ной волны Дисперсия электрона Приведенная постоянная Планка
Эффективная масса гп учитывает зависимость энергии электрона от вол-
нового числа (дисперсия).
Эффективная масса электрона в твердом теле м
, п2 т а2с с!А2 Символ Единица измерения Название
/71* й £ к кг Дж-С Дж м-1 Эффективная масса Приведенная постоянная Планка Энергия электрона Волновое число
▲ Узкие разрешенные зоны соответствуют большим эффективным массам.
Na: В натрии зона 3s наполовину заполнена. Движение электронов про-
исходит почти свободно:
— «1.
т
Fe, Со, Pt: Зб-переходные металлы. В этих атомах в первую очередь за-
полняется зона 4s.
Все s-зоны очень узкие, следовательно, эффективная масса гп велика:
— «10.
т
29.6. Полупроводники
Полупроводником называют диэлектрик с малым межзонным расстоянием
(запрещенная зона между зонами валентности и проводимости).
Элементарные простые полупроводники — элементы IV группы перио-
дической системы с четырьмя валентными электронами.
К элементарным простым полупроводникам относятся: С, Si, Ge, Sn
(свойства см. в табл. 30.9/1).
Полупроводники смешанного типа — химические соединения со свойст-
вами полупроводников (см. табл. 30.9/2).
Собственная проводимость полупроводника возникает, если за счет теп-
лового возбуждения или возбуждения падающим светом электроны перехо-
дят из валентной зоны в зону проводимости.
Незаполненным электронным уровнем или дыркой называют вакансию
электрона, который необходим для полного заполнения валентной зоны.
Среди отрицательных электронов дырки ведут себя как положительно заря-
женные частицы.
▲ В случае полупроводников с собственной проводимостью электроны и
дырки всегда возникают парами.
1. Электронная плотность и проводимость в полупроводниках
Плотность свободных элекгронов= плотности дырок L-3
п = р Символ Единица измерения Название
п р М"3 м-3 Плотность свободных электронов Плотность дырок
Проводимость к равна произведению подвижности ц и числа свободных
носителей заряда я, р.
Проводимость полупроводника РТ3М !L-3
к = е(ц„ -п + Цр р) Символ Единица измерения Название
к е Ни НР п р Ом-1 -м-1 Кл м2/(В-с) м2/(В-с) м-3 _\г3 Проводимость Элементарный заряд Подвижность электронов Подвижность дырок Плотность свободных электронов Плотность дырок
Электронная плотность в зоне проводимости L-3
El ~Ef п =nL • е квТ Символ Единица измерения Название
п El Ef nL кв Т М"3 Дж Дж м-3 Дж-К-1 К Плотность свободных электронов Нижняя граница зоны проводимости Энергия Ферми Эффективная электронная плотность в зоне проводимости Постоянная Больцмана Температура
Рис. 29.64. Плотность состояний D, функция распределения f и плотность
носителей п, р полупроводника. Еу — верхняя граница зоны ва-
лентности, El — нижняя граница зоны проводимости, Ер —
энергия Ферми, Eg — запрещенная зона
Плотность дырок в валентной зоне L3
Символ Единица измерения Название
р м-3 Плотность дырок
Е f — Еу Ev Дж Верхняя граница валентной зоны
р = пу • е квТ Ef Дж Энергия Ферми
nv 1 Эффективная плотность дырок в валентной зоне
кв Дж-К"1 Постоянная Больцмана
Т К Температура
> Подвижность электронов цл и дырок цр сильно зависит от материала по-
лупроводника.
▲ Подвижность электронов чистого полупроводника имеет не ярко выра-
женную температурную зависимость:
( Т
м(П = цо
3/2
Собственная (внутренняя) плотность носителей заряда щ — плотность сво-
бодных носителей заряда полупроводников с собственной проводимостью.
Собственная плотность носителей заряда п{ L-3
Е8 ni = -JnLny е 2квт Символ Единица измерения Название
Л4 4J4 3 -? bo Ь* Ъ: м~3 м-3 Дж К Дж/К Собственная плотность носи- телей заряда Эффективная плотность со- стояний в зоне валентности и проводимости соответственно Энергия запрещенной зоны Температура Постоянная Больцмана
> Собственная проводимость о очень мала. При комнатной температуре
квТ « — эВ.
40
В случае запрещенной зоны с энергией Eg « 1 эВ собственная проводи-
мость равна
о » 10-8 Ом-1м_1.
'! Температурную зависимость сопротивления полупроводника R(T) можно
использовать для измерения низких температур согласно выражению:
~Eg
R(T) «Л)
В этом выражении 7?0 — это постоянная, характеризующая материал.
2. Свойства важнейших элементарных полупроводников Ge, Si
Ge Si
Кристаллическая структура
Структура Алмаз Алмаз
Постоянная решетки a 0,564613 нм 0,543095 нм
Плотность атомов п 4,42-1022 см"3 0,5-1022 см-3
Электрические свойства
Запрещенная зона Eg 0,66 эВ 1,11 эВ
Плотность собственных носителей заряда и,- 2,24-1013 см"3 1,14-1010 см-3
Относительная диэлектрическая проницаемость 16 11.8
Подвижность ц„ 3900 см2 В-1 с-1 1350 см2-В’1-с-'
Подвижность 1900 см2-В-1 с-’ 480 см2-В-1-с*-1
Эффективная плотность состояний
Зона проводимости nL 1,04-1019 см-3 3,22-1019 см-3
Валентная зона nv 6,03 -1018 см-3 1,83-10'9 см-3
29.6.1. Примесная проводимость
Атомы примеси, вводимые в чистые полупроводники, значительно изменя-
ют удельное сопротивление.
> Уже при концентрации атомов примеси 10~6 проводимость возрастает
более, чем в 10 раз.
1. Доноры
Донором называется примесный атом с большим числом валентных элек-
тронов, чем атомы решетки чистого полупроводника. Излишние, не образую-
щие связей в решетке электроны, легко оторвать от атома с незначительными
затратами энергии.
▲ В зонной модели эти электроны об-
разуют локализованные уровни не-
посредственно под зоной проводи-
мости.
Для элементарных полупроводников
IV группы (например, Ge) элементы
V группы будут являться донорами.
Донорный атом фосфора в кристал-
ле германия: не задействованный в свя-
зях электрон пятивалентного атома
фосфора удерживается у положительно-
го иона фосфора, наподобие электрона
в атоме водорода. Энергия связи такой
системы составляет всего 0,01 эВ для
германия и 0,03 эВ для кремния.
2. Акцептор
Акцептором называется примесный
атом с меньшим числом валентных
электронов, чем у атомов решетки.
Дырка предоставляет глубокий энерге-
тический уровень электрону в зоне
кристалла. Так как при заполнении од-
ной вакансии образуется другая, то
дырки могут передвигаться по кристал-
лу. Это явление называется дырочной
проводимостью.
▲ В зонной модели дырки образуют
локализованные уровни плотно над
уровнем зоны валентности.
Для элементарных полупроводников
IV группы акцепторами являются
элементы III группы.
Рис. 29.65. Примесный атом фосфо-
ра в кристалле германия (схематич-
но): а — беспримесный кристалл
германия; б — кристалл германия с
примесным атомом фосфора
Донорные уровни Акцепторные уровни
Рис. 29.66. Зонная схема локализо-
ванных электронных уровней: а —
донорные уровни; б — акцепторные
уровни
3. Легирование полупроводников
Легирование полупроводников — введение примесных атомов в чистый
полупроводник (доноры, акцепторы) с числом валентных электронов, от-
личным от их числа для атомов полупроводника.
Локализованные уровни различных проводников см. в табл. 30.9/3 и
30.9/4.
Основным носителем заряда называют носитель заряда, дающий боль-
ший вклад в электрическую проводимость.
Рис. 29.67. Свойства легированных
полупроводников: а — /?-«-переход;
б — концентрация доноров и акцеп-
торов; в — плотность носителей за-
ряда; г — область пространственно-
го заряда с шириной dn в «-области
и dp в p-области; д — разность по-
тенциалов между п- и /7-областями
Легирование донорной примесью —
легирование донорами, при котором
преобладает электронная проводимость.
Легирование акцепторной примесью —
легирование акцепторами, при котором
преобладает дырочная проводимость.
Полупроводник «-типа, где п > /7,
доминирующей является электронная
проводимость.
Полупроводник 7)-типа, где р > «,
доминирующей является дырочная
проводимость.
> Без приложенного напряжения
электроны из-за переизбытка в п-
области и недостатка в /7-области
диффундируют из «-слоя в /7-СЛОЙ,
где доминирует нейтральность заря-
да, однако имеют место свободные
узлы кристаллической решетки.
Область пространственного заряда —
на границе слоев образуется положи-
тельный заряд в «-области и отрица-
тельный в /7-области.
Контакты из полупроводников р- и
«-типов: /7-«-переход возникает в моно-
кристалле, который имеет две легиро-
ванные области. В области, легирован-
ной акцепторной примесью, основными
носителями заряда являются дырки, в
области, легированной донорной при-
месью, — электроны.
Ширина областей отрицательного
или положительного пространственного
заряда dn и dp из-за нейтральности заря-
да выражается формулой:
Ширина областей пространственного заряда L
II Q S2 Символ Единица измерения Название
ПА м м-3 Ширина отрицательной или положительной области пространственного заряда Плотность основных носи- телей заряда
29.6. Полупроводники
> Области пространственного заряда аналогично заряду между пластинами
конденсатора создают градиент потенциала, диффузионное напряжение.
Диффузионное напряжение UD — разность потенциалов между п- и
^-областями:
Диффузионное напряжение на /7-и-переходе I/Г-ЗМГ1
е п? Символ Единица измерения Название
UD "а "D ni е кв Т в м-3 м-3 м-3 Кл Дж-К"1 К Диффузионное напряжение Концентрация акцепторов Концентрация доноров Плотность собственных но- сителей заряда Элементарный заряд Постоянная Больцмана Температура
Для ширины области пространственного заряда справедливо следующее
выражение:
Ширина области пространственного заряда L
d = Па + пр е nA-nD Символ Единица измерения Название
d Lr Eq uD nA nD e м 1 Кл/(В-м) В м*3 м~3 Кл Ширина области простран- ственного заряда Относительная диэлектриче- ская проницаемость Диэлектрическая постоянная Диффузионное напряжение Концентрация акцепторов Концентрация доноров Элементарный заряд
29.6.2. Полупроводниковые диоды
Диод — элемент радиосхемы, который проводит ток только в одном направ-
лении, а в другом запирает ее.
Полупроводниковый диод — элемент радиосхемы с //-и-переходом.
1. Основные характеристики полупроводниковых диодов
Анод — электрод в /7-слое диода.
Катод — электрод в /7-слое диода.
Рис. 29.68. Р-и-переход, внешнее напряжение; а — ноль; б — отрицательное
(запирающее направление); в — положительное (направление
пропускания)
Рис. 29.69. Энергетические уров-
ни зонной модели /?-«-перехода
Запирающее напряжение U3an — отри-
цательное напряжение между р- и и-слоя-
ми, приводящее к расширению области
объемного заряда: носители заряда вытал-
киваются электрическим полем, и ток
прекращается, область объемного заряда
действует как запирающий слой.
Лавинный пробой — очень резкое воз-
растание тока диода в случае превышения
максимального отрицательного напряже-
ния, которое обычно составляет около 6 В.
Эффект Зенера — разновидность ла-
винного пробоя, однако резкое возраста-
ние тока наступает при значительно мень-
ших напряжениях (ниже 6 В).
Напряжение пробоя, напряжение Зе-
нера Uz — отрицательное напряжение,
при котором наступает лавинный пробой
или пробой Зенера.
> В случае превышения напряжения
пробоя диод разрушается.
Положительное напряжение между р- и п- переходами усиливается про-
цессом диффузии из п- в /7-слой: электроны ускоряются электрическим по-
лем в направлении, противоположном направлению поля. Ток возрастает
экспоненциально вместе с напряжением (формула Шокли).
Формула Шокли I
1 =1^и/ит -1) ZSp ~ e~Es/kBr UT=kBT/e Символ Единица измерения Название
4Р Eg ит и I кв Т е А эВ В В А Дж К-1 К Кл Обратный ток Запрещенная зона Температурное напряжение Напряжение /7-л-перехода Ток в направлении р-п Постоянная Больцмана Температура Элементарный заряд
29.6. Полупроводники
▲ Электрические свойства диода сильно зависят от геометрии, степени ле-
гирования и температуры.
> Свойства материала и геометрические свойства характеризует величина
Л)бр.
> Температурное напряжение UT часто выражается тепловой энергией квТ,
которая измеряется в эВ.
Рис. 29.70. Характеристики типичных гер-
маниевого и кремниевого диодов: UF —
напряжение в направлении пропуска-
ния; UR — напряжение в запирающем
направлении; Uz — напряжение Зенера;
^обр —обратное напряжение; 1р — пря-
мой ток; IR — обратный ток
Рис. 29.71. Обозначение катода на детали
(слева) и схемное обозначение (справа)
Запирающее направление — по-
тенциал анода отрицателен относи-
тельно потенциала катода.
Обратный ток /обр — остаточ-
ный ток в запирающем направле-
нии ^-«-перехода. Обратный ток
обусловлен электронами р- слоя и
дырками «-слоя, т.е. неосновными
носителями заряда, которые дви-
жутся за счет сил ускоряющего по-
ля через запирающий слой.
Направление пропускания —
анодный потенциал положителен
относительно потенциала катода.
Обратное напряжение /7обр — по-
ложительное напряжение, при пре-
вышении которого диод становится
низкоомным и проводит ток. С/Обр по
причине крутого, но постоянного
подъема тока с ростом напряжения
не может быть установлено точно.
На практике переход часто из запи-
рающего в проводящее состояние
происходит скачкообразно.
Время восстановления т — длительность времени, в течение которого
^-«-переход в момент перемены полярности напряжения, переходит из за-
пирающего состояния в проводящее.
Вольт-амперная характеристика — графическое описание зависимости
тока от напряжения элемента радиосхемы.
Существуют различные типы диодов, которые различаются, прежде все-
го, степенью легирования обоих слоев. Это сказывается на величине пара-
метров диода, а также на его вольт-амперной характеристике.
> Катод диода, как правило, имеет маркировку в виде выдавленного кольца
на детали и условное изображение в виде вертикальной черты на схеме.
2. Переключательный диод
Быстрый диод. В направлении прямого тока диод обладает низким со-
противлением, в то время как в направлении обратного тока диод имеет бо-
льшое сопротивление. Переключательные диоды широко распространены
вследствие наличия их разнообразного применения и низкой себестоимости
производства.
Типичные параметры: — мало (Si: 0,7 В,
Ge: 0,3 В); Uz - 50-100 В; IF - 50-200 мА;
IR — ~ 1 нА; т — 2—20 нс.
Рис. 29.72. Схемное обозначе-
ние переключательного диода
Универсальный диод для
включения, ограничения, разъединения и ло-
гических схем.
3. Диод Шоттки
Очень быстрый, предназначенный для высокочастотных цепей диод. Он
обладает не />-я-переходом, а переходом металл-полупроводник, что обу-
словливает вклад в проводимость только основных носителей заряда. Диод
Шоттки очень быстро реагирует на изменение напряжения, так что токи
могут точно переключаться даже в области гигагерцовых частот. Вольт-ам-
перная характеристика сравнима с характеристикой переключательного дио-
да, в области пропускания она возрастает с
—^2----- небольшой крутизной.
Типичные параметры: /7обр — 0,3—0,4 В;
Рис. 29.73. Схемное обозначе- Uz — 50—100 В; IF — 0,1—1 мА; т — 10—
ние диода Шоттки Ю0 нс
Применение: в высокочастотных схемах (до 40 ГГц).
4. Выпрямительный диод
В отличие от диода Шоттки обусловливает высокую допустимую мощ-
ность потерь и устойчивость импульсов тока. Последнее особенно важно в
схемах постоянного тока, которые располагаются непосредственно в элект-
росетях, так как в полосе пропускания встречаются очень высокие токи
(> 10 А). По причине высоких напряжений, из-за которых в сетях присутст-
вуют сетевые выпрямители, обратные токи должны быть очень маленькими,
так как в ином случае появляются дополни-
тельные потери. Характеристика этого типа
диода соответствует характеристике переклю-
чательного диода.
Типичные параметры: UF — < 1 В; Uz — до
500 В; IR — « 50 мкА; т — примерно 1 мкс (в
высокочастотных выпрямителях очень мало).
Если напряжение UE положительно, то через диоды Dx и D2 течет ток
при нагрузочном сопротивлении RL. Диоды D3 и D4 в этом случае запер-
ты. В течение следующего полупериода проводящими являются диоды
D4 и Z>3, в то время как диоды Dx и D2 заперты. Через сопротивление RL
протекает ток в том же направлении. Преимуществом данной схемы по
сравнению с выпрямителями с одним диодом является тот факт, что в
течение отрицательного полупериода ток протекает через нагрузочное
сопротивление. Уровень напряжения в такой схеме очень сильно колеб-
лется. Эти колебания можно уменьшить за счет параллельного подклю-
чения зарядного конденсатора С к нагрузочному сопротивлению RL.
Рис. 29.74. Схемное обозначе-
ние выпрямительного диода
Мостовой выпрямитель:
о-
Рис. 29.75. Схема мостового выпрямителя
5. Полупроводниковый стабилитрон
Сильно легированный смещенный диод с обратным смещением. При
прямом и обратном смещениях он ведет себя, как переключающий диод,
однако обладает значительно меньшим, свойственным этому типу диода
очень точным специфицированным напряжением Зенера Uz (благодаря вы-
сокой степени легирования напряженность поля граничного слоя значите-
льно возрастает, вследствие чего скачком увеличивается скорость образова-
ния электронно-дырочных пар, которые в качестве носителей заряда вносят
вклад в электрический ток). В отли-
—рз------------------ чие от переключательного диода
пробой в полупроводниковом ста-
Рис. 29.76. Схемное обозначение полу- билитроне не приводит к выходу
проводникового стабилитрона прибора из строя
Полупроводниковый стабилитрон применяется для ограничения напря-
жения и его стабилизации.
6. Симметричный диодный тиристор
или динистор (Diode Alternating Current switch) в отличие от всех прочих
типов диодов состоит из двух ^-«-переходов и становится проводящим, на-
чиная с определенного значения напряжения.
В принципе речь идет о двух последовательно включенных навстречу друг
другу диодах, так что при приложении напряжения один диод включен в пря-
мом смещении, а второй — в обратном. При этом в цепи протекает только небо-
льшой остаточный ток I < 100 мкА,
Рис. 29.77. Схемное обозначение и по-
следовательность слоев динистора
Рис. 29.78. Вольт-амперная характеристи-
ка симметричного диодного тиристора
до тех пор, пока напряжение /?-л-пе-
рехода не достигнет значения напря-
жения пробоя Зенера Uz. После это-
го динистор скачкообразно стано-
вится низкоомным и ток сильно
возрастает, в то время как напряже-
ние падает. Если приложенное на-
пряжение снова уменьшить, то ток
через динистор прекратится до тех
пор, пока не будет преодолен по-
рог удерживаемого напряжения UH.
Из-за симметрии слоев полярность
динистора не играет никакой роли.
Динистор применяется в тех случаях, когда необходимы короткие задан-
ные импульсы тока, чтобы безопасно включить (электронный) переключа-
тель при точно заданном напряжении.
7. Фотодиод
Меняет свое сопротивление в прямом смещении в зависимости от ин-
тенсивности падающего на диод света, смещен в обратном направлении.
> Фотодиоды смещены в обратном направлении и работают при напряже-
ниях, меньших напряжения пробоя (маленькая барьерная емкость для
короткого времени отклика). Обратный ток в большой мере значительно
зависит от интенсивности излучения (« 0,1 мкА/люкс) и слабо зависит
от запирающего напряжения, причем зависимость линейная.
Рис. 29.79. Схемное обозначение и вольт-
амперная характеристика фотодиода
В легированном кристалле фото-
диода связанные частицы за счет
энергии падающего излучения пере-
ходят из валентной зоны в зону
проводимости (фотоэффект, образо-
вание пар электрон-дырка). Энер-
гия светового кванта
Eph ~ hf
должна быть больше энергии связи
носителей заряда в узлах решетки, где h — постоянная Планка, а / — частота
света (см. табл. 30.9/5).
> Если частота излучения слишком мала, а длина волны слишком велика, то,
несмотря на высокую интенсивность света, носители заряда не образуются
(спектральный диапазон: Si-диоды 0,6—1 мкм, Ge-диоды 0,5—1,7 мкм).
Фотоэффект наблюдается также и в обычном ^-«-переходе. В фотодиоде
этот эффект оптимизируется при помощи конструкции устройства и леги-
рования кристалла.
8. PIN-диод
Используется как токозависимое омическое сопротивление в цепях высоко-
частотных переменных сигналов. Такой диод смещен в прямом направлении.
Между р- и «-слоями в PIN-диоде располагается нелегированный изоли-
рующий слой (z-слой), в котором почти нет носителей свободного заряда.
В запирающем направлении слой с собственной проводимостью изолирует
Рис. 29.80. Конструкция, схемное обо-
значение и вольт-амперная характери-
стика PIN-диода: i — нелегированный
изолирующий слой
частицы, при прямом смещении но-
сители заряда перетекают из легиро-
ванной в нелегированную область,
так что возникает электрическая
проводимость.
▲ PIN-диод является токозависи-
мым омическим сопротивлением
в цепях высокочастотных пере-
менных сигналов.
29.6. Полупроводники
Переменный высокочастотный ток перекрывается управляющим посто-
янным током Id, который устанавливает величину сопротивления. Таким
образом, PIN-диод представляет собой омическое сопротивление R.
PIN-диод находит применение в управляемых с помощью тока схемах
высокочастотных сигналов.
9. Диод с накоплением заряда
(step-recovery-diodes) ток в запирающем слое резко прерывается при пе-
ремене направления с прямого на обратное.
> В принципе все диоды проявляют
этот эффект, но в случае диода с на-
коплением заряда он особенно ярко
выражен за счет высокой степени ле-
гирования.
Применение: получение импульсов с
коротким временем нарастания, ум-
ножители частоты в области до не-
скольких ГГц.
Рис. 29.81. Схемное обозначение и
ток диода с накоплением заряда
при синусоидальном напряжении
10. Туннельный диод
Туннельный эффект — квантово-механический эффект, при котором ча-
стица способна преодолеть высокий, но достаточной тонкий потенциаль-
ный барьер с определенной вероятностью, зависящей от высоты и ширины
барьера, несмотря на то, что в классическом рассмотрении энергии для пе-
рехода частицы недостаточно.
Туннельный диод — германиевый диод с очень высокой степенью леги-
рования. Степень легирования настолько высока, что область перехода меж-
ду слоями представляет собой очень тонкий запирающий слой. В этом слу-
чае проявляется волновой характер электронов, которые могут преодолевать
этот тонкий потенциальный барьер за счет туннельного эффекта, хотя сил
поля, вообще говоря, для этого недостаточно. Этот эффект при малых на-
пряжениях />-и-перехода вызывает нетипичное для диодов линейное возрас-
тание тока (туннельные токи от р- к «-области и наоборот взаимно уничто-
жаются при U = 0, при возрастании напряжения ток увеличивается пропор-
ционально напряжению). При дальней-
шем возрастании напряжения остается
все меньше энергетических уровней, в
которые могли бы туннелировать элект-
роны, так что рост тока становится все
меньше, до тех пор, пока, наконец, ток
не достигнет максимального значения и
не перейдет на спадающую ветвь вольт-
амперной характеристики. При высоких
напряжениях в этом случае будет снова
преобладать нормальный диффузионный
ток. При отрицательных напряжениях
Рис. 29.82. Схемное обозначение и
вольт-амперная характеристика тун-
нельного диода
^-«-перехода туннельный диод снова становится проводящим. Этот эффект
используют в обращенных диодах. Для туннельных диодов является характе-
ристическим очень быстрое переключение, время переключения составля-
ет примерно 100 нс. Это позволяет примененять диод в технике высоких ча-
стот.
Применение: очень быстрые динисторы, высокочастотные осцилляторы,
уменьшение затухания в колебательных контурах.
11. Обращенный диод
Обладает более низкой степенью легирования по сравнению с туннель-
ным диодом, а вместе с тем, и менее ярко выраженным токовым пиком
Рис. 29.83. Схематичное обозначение и
вольт-амперная характеристика обра-
щенного диода
вольт-амперной характеристики при
положительном напряжении, со-
храняя, тем не менее, проводи-
мость при отрицательных напряже-
ниях. Это приводит к тому, что об-
ращенный диод функционирует
прямо противоположно нормально-
му диоду. При обратном смещении
обращенный диод проводит ток
при отрицательных напряжениях и
запирается при положительных до
сравнительно малого запирающего
напряжения.
Применение: высокочастотный выпрямитель при невысоких напряжениях
12. Варикап
Играет роль зависящей от напряжения емкости, смещен в обратном на-
правлении.
Запирающий слой варикапа действует как конденсатор, площадь поверх-
ностей которого остается постоянной, в то время как расстояние между по-
Рис. 29.84. Схемное обозначение и вольт-
амперная характеристика варикапа
верхностями, а вместе с тем и ем-
кость меняются за счет приложен-
ного напряжения. Этот эффект
проявляется во всех диодах. Вари-
капы отличаются большим значе-
нием отношения наибольшей (5—
3000 пФ) и наименьшей (1—5 пФ)
возможных емкостей, маленьким
внутренним сопротивлением и вы-
сокой добротностью.
Применение: настройка передатчика в теле- и радиоустройствах.
13. Светодиод
Источник светового излучения с частотой, зависящей от материала. Ин-
тенсивностью светового излучения можно управлять при помощи тока, сме-
щенного в прямом направлении ^-«-перехода.
29.6. Полупроводники
Если «-слой легирован намного сильнее 72-слоя, то ток проводимости со-
стоит преимущественно из электронов, и лишь в незначительной степени в
его состав входят дырки. При прямом смещении достигнувшие /?-слоя элек-
троны рекомбинируют с находящимися там дырками. При этом высвобож-
дается энергия в виде света инфракрасного или видимого диапазона, в зави-
симости от материала. Если излучение, которое в большей или меньшей
степени встречается в каждом диоде, выходит наружу, то такие диоды назы-
ваются светоизлучающими или светодиодами.
> Светодиоды изготавливаются не из кремния или германия, а из соединения
GaAsP (соединений III-V групп периодической системы элементов). КПД
светодиодов в инфракрасном диапазоне составляет порядка нескольких
процентов, в остальных случаях меньше 0,1%.
Ahxj к Красный, желтый — GaAsP (арсенид-фосфид
ч галлия); зеленый — GaP (фосфид галлия); голу-
бой — SiC (карбид кремния); инфракрасный —
Рис. 29.85. Светодиоды GaAs (арсенид галлия), GaAlAs (арсенид алюми-
ния-галия)
▲ Частота испущенного излучения определяется количеством энергии ре-
комбинации.
Светодиоды находят применение в сигнальных лампах, в бытовой радио-
электронной аппаратуре, в оптопарах, в стекловолоконных системах.
29.6.3. Транзисторы
Транзистор — полупроводниковый прибор, как минимум с двумя ^-«-пере-
ходами, главным образом предназначенный для управления и усиления сиг-
налов, а также применяемый в качестве переключателя.
Различают биполярные и полевые транзисторы (эффект поля). Биполяр-
ные транзисторы управляют током, полевые — напряжением. Это означает,
что полевые транзисторы потребляют значительно меньше мощности, чем
биполярные, вот почему сегодня они все больше вытесняют биполярные
типы транзисторов, прежде всего, в микроэлектронике интегральных схем с
высокой степенью интеграции.
29.6.3.1. Биполярные транзисторы
Биполярный транзистор состоит в большинстве случаев из двух ^-«-перехо-
дов, причем последовательность, в которой эти переходы расположены,
определяет название транзистора (npn-или рпр-транзистор).
прп-транзистор — биполярный транзистор с последовательностью рас-
положения слоев прп.
рпр-транзистор — биполярный транзистор с последовательностью рас-
положения слоев рпр, во многих случаях заменяется прп-транзистором.
База В — подключенный к среднему слою электрод, к которому прикла-
дывается управляющий сигнал.
с
с
с
с
Рис. 29.86. Схемное обозначение при- и рпр-транзистора, соответственно
старый (в кружке) и новый тип обозначения
Коллектор С — подключенный к одному из внешних слоев электрод.
В общем, потенциал коллектора положителен в случае прп-транзистора и
отрицателен в случае рпр-транзистора относительно
Эмиттера Е — электрода, подключенного ко второму внешнему слою.
▲ Как правило, транзисторы выполнены не симметрично. Коллектор и
эмиттер не могут меняться.
> Правило для запоминания: коллектор (англ, to collect) собирает основ-
ные носители заряда среднего слоя и отдает их на эмиттер (англ, to
emit — испускать). Электрический ток базы основных носителей заряда
протекает от коллектора к эмиттеру.
> Поскольку чаще всего применяется тип прп-транзисторов, в дальнейшем
речь пойдет о них. рпр-транзистор функционально эквивалентен, техни-
чески противоположен и в большинстве случаев может быть заменен
прп-транзистором.
Предположим, между коллектором С и эмиттером Е приложено положи-
тельное напряжение UCE. Если теперь на базу В подается отрицательное от-
носительно Е напряжение, то ток не может протекать к коллектору С, так
как оба диода ВС и ЕВ включены в запирающем направлении. Если потен-
циал В, напротив, положителен относительно Е, то диод BE включен в пря-
мом направлении и электроны попадают из ^-области в ^-область. Если
средняя длина свободного пробега электронов до рекомбинации с дефекта-
ми решетки велика и /?-слой достаточно тонок, то электроны диффундируют
Рис. 29.87. Конструкция и принцип
действия биполярного транзистора,
электронные ТОКИ 1Ее, 1ве> ^Ее
до 5С-перехода, где за счет положите-
льного напряжения UCE они собираются
коллектором: ток течет.
Обозначения в схеме транзистора:
1С — ток коллектора, UB — ток базы,
1Е — ток эмиттера, UCE — напряжение
коллекгор-эмиттер, UBE — напряжение
база-эмиттер, UBC — напряжение база-
коллектор
> В случае рпр-транзистора база по
отношению к эмиттеру должна быть
отрицательна.
▲ Транзистор усиливает ток: за счет
маленького тока базы можно полу-
чить большой ток коллектора.
Четырехквадрантное семейство характеристик — возможность компактного
представления зависимостей всех входных и выходных токов и напряжений.
Входная характеристика — зависимость IB = IB(UBE) при UCE = const (тре-
тий квадрант). В принципе, речь идет о характеристике диода база-эмиттер.
Выходная характеристика — зависимость Ic =IC(UCE) с параметром 1В
(первый квадрант).
Область насыщения — область выходных характеристик, в которой силь-
но возрастает ток коллектора 1С вместе с напряжением l/CE (UCE мало).
Активный участок — участок выходной характеристики, в которой ток
коллектора 1С незначительно, а ток базы 1В существенно зависит от напря-
жения UCE, Транзисторы в схемах усиления работают на этом участке.
Характеристика коэффициента усиления по току или характеристика ко-
эффициента передачи — зависимость Ic = 1С(1В) при UCE = const (второй
квадрант).
Характеристика обратной связи — обратная связь выходного напряже-
ния UCE по входному напряжению UBE = UBE(UCE,I^) (четвертый квадрант).
На активном участке обратная связь « 0, следовательно, напряжение UBE не
зависит от UCE.
Статическая характеристика совмещает входную и выходную характери-
стики коэффициента усиления по току Ic = IC(UB^) при UCE = const.
Предельные параметры — максимально допустимые значения парамет-
ров при эксплуатации транзистора. В случае превышения этих параметров
транзистор может выйти из строя. Особенно чувствителен транзистор к вы-
сокому напряжению и току базы, так как при высоких значениях этих пара-
метров очень тонкий средний слой подвергается опасности повреждения.
Также к повреждению может привести потребление высокой мощности в
выходной цепи. Информацию о предельных параметрах можно узнать в пас-
порте устройства.
Рис. 29.88. Четырехквадрантное семейство характеристик прп-транзистора в
схеме с общим эмиттером. Точками А отмечены рабочие точки
линейных участков вольт-амперных характеристик
Глава 29. Физика твердого тела
Рабочая точка определяет область семейства характеристик, в которой
работает транзистор. В аналоговой технике транзистор часто выступает в
роли усилителя переменного тока и напряжения. Для того чтобы транзистор
не искажал сигнал, эти параметры должны лежать на линейном участке
вольт-амперных характеристик. Так как характеристики в области нуля не
являются линейными, сигнал необходимо перенести на линейный участок в
рабочую точку (точка А в семействе характеристик). Это происходит при
внешнем включении, где постоянное напряжение перекрывается сигналом
переменного тока.
Коллекторное сопротивление — сопротивление коллектора. Аналогично
существуют сопротивление эмиттера и сопротивление базы.
Нагрузочная прямая служит для того, чтобы определить рабочую точку
вольт-амперной характеристики и характеризуется коллекторным сопротив-
лением Rc (в схеме с общим эмиттером). Это сопротивление выражает зави-
симость между током 1С и напряжением UCE в соответствии с законом Ома:
Т Us -иСЕ
Rc
который должен выполняться в дополнение к заданному транзистором соот-
ношению Ic = IC(UCE). При заданном токе базы Гв устанавливается положе-
ние рабочей точки.
> Выбор рабочей точки является самым важным моментом в каждой тран-
зисторной схеме и имеет большое значение для правильного ее функци-
онирования. При этом всегда необходимо учитывать предельные пара-
метры транзистора.
29.6.3.2. Принципиальные схемы
Принципиальные схемы — фундаментальные схемы транзистора. Существу-
ет три различных фундаментальных схемы биполярных транзисторов в зави-
симости от того, какой из трех электродов является общей исходной точкой
для входного и выходного сигналов. Различают схемы с общим эмиттером,
общей базой и общим коллектором. Схема с общим эмиттером — наиболее
часто используемая схема для усиления напряжения.
В схеме с общим эмиттером эмиттер является исходной точкой для
входного и выходного сигналов.
Рис. 29.89. Принципиальная схема с общим эмиттером: Ue = UBE — входное
напряжение; Ua= UCE — выходное напряжение
29.6. Полупроводники
Параметры транзистора в схеме с общим эмиттером
Символ Единица измерения Название
n дЦ_ВЕ КвЕ = ят д!в В-ВЕ Ом Дифференциальное вход- ное сопротивление
р = dU ВЕ Ч 1 Коэффициент обратной связи по напряжению
dUсе Р 1 Коэффициент усиления малого сигнала по току
К:Е Ом Дифференциальное вы-
5/в ходное сопротивление
п дУсЕ_ Ке = „ Ube В Напряжение база-эмиттер
Усе В Напряжение коллектор-
SIC h А эмиттер Ток базы
А Ток коллектора
Четырехполюсник — группа соединений, внутренней структурой и
принципом действия которых пренебрегают и учитывают только функцио-
нальную связь между входными и выходными величинами.
Уравнения четырехполюсника — определяющие уравнения четырехпо-
люсника. Они связывают входные и выходные характеристики четырехпо-
люсника.
Транзистор можно рассматривать как четырехполюсник. При этом элек-
трод на входе и выходе четырехполюсника общий (Е в случае схемы с об-
щим эмиттером). При помощи уравнений четырехполюсника можно рас-
считать коэффициент передачи через транзистор входных величин UBE и 1В.
Для схем с общим коллектором и общей базой существуют аналогичные со-
отношения.
Уравнения четырехполюсника транзистора в схеме с общим эмиттером
At/BE = RbE^B +VrAUcE Me =РД/^ + ——MJCE RjE Символ Единица измерения Название
щ ш < <i о <i <=< cs; в A В A Ом Ом Изменение напряжения на базе Изменение тока базы Изменение выходного напряжения Изменение коллекторно- го напряжения Дифференциальное вход- ное сопротивление Дифференциальное вы- ходное сопротивление
При помощи дифференциальных величин можно установить параметры:
„ A U be
Re =---— входное сопротивление,
AZ^
D С
В = —~ усиление по току,
AZ#
D \Uср
Ra =---— выходное сопротивление.
А/с
На активном участке дифференциальные и интегральные величины на-
ходятся в достаточно хорошем соответствии.
Характеристики схемы с общим эмиттером
Коэффициент усиления по напряжению: _ _ Р Ас 11 ^се и Ц &BE &ВЕ vu * -100 ... -200 Входное сопротивление: D D Uе 40 мВ Ке ~ КВЕ = ~ 1В 1 в Выходное сопротивление: Ra = RcE 11 Rc Символ Единица измерения Название
Re Ra Rc 3 Rbe UT II <4 Ом Ом Ом 1 Ом В 1 Входное сопротивление Выходное сопротивление Коллекторное сопротив- ление Коэффициент усиления малого сигнала по току Входное сопротивление в рабочей точке Температурное напряжение Параллельное включение Коэффициент усиления тока по напряжению
> Знак минус перед величиной ии указывает на фазовый сдвиг выходного
сигнала относительно входного, равный 180°. Коэффициент усиления vu,
разумеется, ограничивается коэффициентом обратной связи по напря-
жению и сопротивлением RCE и не может повышаться сколь угодно дол-
го простым увеличением Rc.
Рис. 29.90. Схема с общим эмит-
тером с отрицательной обратной
связью по напряжению
Отрицательная обратная связь — ме-
тод, при котором в усилительной схеме
входной и выходной сигналы находятся в
противофазе, т.е. обладают противополож-
ными знаками. Вследствие этого, коэф-
фициент усиления схемы всегда снижает-
ся, однако стабилизирует рабочую точку,
поскольку эта схема саморегулируемая.
Вольт-амперная характеристика становит-
ся линейной.
Отрицательная обратная связь по на-
пряжению — отрицательная обратная
29.6.
связь, при которой выходное напряжение при по-
мощи делителя напряжения отправляется на вход.
Коэффициент усиления транзисторного каскада не
зависит от характеристик транзистора и определя-
ется внешними параметрами.
Коэффициент усиления по напряжению:
Ri + Ao
п «--------
Входное сопротивление:
Рис. 29.91. Схема с об-
щим эмиттером
1 =_1_ 1 Уи
Re R\ Rbe ^2
« RBE -
Выходное сопротивление:
Ra =(Rc\\Rce)—-
За счет слабого усиления также стабилизируется рабочая точка согласно
выражению &UCE = y^UBE, где коэффициент усиления по дрейфовому току
1 Ri
Обратная связь по току — обратная связь, при которой созданное выход-
ным током напряжение направляется на вход в противофазе.
Коэффициент усиле- Входное Выходное Коэффициент
ния по напряжению сопротивление сопротивление усиления по току
в ~ Re - Rbe + $Re » Rbe Ra « Rc P
Re
> Большое входное сопротивление при усилении имеет смысл, для того
чтобы уменьшить нагрузку источника сигнала.
Из-за высокого выходного сопротивления схема с общим эмиттером с
отрицательной обратной связью по току подходит для использования в
качестве источника стабилизированного тока.
Ж Усилительный каскад в схеме с общим эмиттером: входной конденсатор
Сх предотвращает короткое замыкание смещения базы через генератор
сигналов. Выходной конденсатор С2 отделяет сопротивление нагрузки от
коллекторного напряжения постоянным напряжением. Эмиттер-конден-
сатор СЕ шунтирует Re переменным током.
Схема с общим коллектором — принципиальная схема, в которой коллек-
тор является общей исходной точкой для входного и выходного сигналов.
> Транзисторный каскад в схеме с общим коллектором часто называют
эмиттерным повторителем.
Рис. 29.92. Усилительный каскад в схеме с
общим эмиттером
Рис. 29.93. Схема с общим
коллектором
Коэффициент усиле- Коэффициент Выходное Входное
ния по напряжению усиления по току сопротивление сопротивление
„ Rap + R; ~
Ra=^±-—- « RBE Re*$RE
Рис. 29.94. Схема с общей
базой
• Из-за высокого входного и низкого выходно-
го сопротивления схемы с общим эмиттером
часто применяют в качестве преобразователя
полных сопротивлений, то есть согласующе-
го элемента между высокоомными источни-
ками сигналов и низкоомными потребите-
лями.
• Схема с общей базой — принципиальная
схема, в которой база является общей исход-
ной точкой для входного и выходного сигна-
лов.
Коэффициент усиле-
ния по напряжению
Коэффициент
усиления по току
Входное
сопротивление
Выходное
сопротивление
V =
" Rbe
Uj ® 1
Re =
Р
Усиление по напряжению такое же, как в схеме с общим эмиттером. Од-
нако, выходной сигнал находится в фазе со входным сигналом, вследствие
чего отрицательная обратная связь по напряжению отсутствует. Вход и вы-
ход полностью разъединены потенциалом базы.
Схема с общей базой обладает очень высокой предельной частотой и
вместе с тем шириной полосы намного большей, чем схема с общим
эмиттером.
29.6. Полупроводники
29.6.3.3. Транзистор Дарлингтона
Транзистором Дарлингтона называется последова-
тельное включение двух транзисторов. Полный ко-
эффициент усиления соответствует произведению
отдельных коэффициентов усиления по току. Ис-
пользуется как отдельный транзистор с очень вы-
соким усилением.
Такое высокое усиление ((3 > 1000) бывает не-
обходимо для того, чтобы согласовать высоко-
омные источники напряжения с низкоомными
потребителями.
Рис. 29.95. Схема тран-
зистора Дарлингтона
29.6.4. Полевые транзисторы
Полевой транзистор — управляемый напряжением и при этом почти не по-
требляющий мощности транзистор, в большинстве случаев заменяющий со-
бой биполярный транзистор.
Подложка — легированный полупроводниковый блок, в который для
функционирования полевого транзистора методом диффузии вводят необхо-
димые /7-«-переходы.
В то время как биполярный транзистор обладает двумя видами носите-
лей заряда, электронами и дырками, которые вносят вклад в общую прово-
димость, полевой транзистор состоит из подложки, в которой присутствуют
только основные носители заряда, либо электроны, либо дырки. На носите-
ли заряда оказывает свое влияние внешнее приложенное поле, вследствие
чего происходит управление электрическим током. Управление происходит
без потребления мощности.
29.6.4.1. Полевой транзистор с р-п-переходом
(полевой транзистор с барьером Шоттки)
Полевой транзистор с /7-«-переходом состоит из легированного кристалла
кремния в качестве подложки, в который введена зона в форме канала (тол-
щиной » 1 мкм) с инверсным легированием. В зависимости от легирования
канала различают п- и /7-канальные полевые транзисторы. На рисунке пред-
ставлен полевой транзистор с проводимостью «-типа.
Сток D и исток S — связанные с каналом проводимости электроды по-
левого транзистора. На D и S подается управляющий сигнал.
Затвор G — электрод, соединенный с тонкой /j-зоной. К нему прикла-
дывается управляющее напряжение.
Объемный канал В, присутствующий только в МОП-транзисторах, —
это электрод, помещенный в подложке. В во многих случаях изнутри связан
с истоком.
Если между D и У приложить напряжение UDS, то через «-канал протекает
электронный ток, как через омическое сопротивление. Если затвор G отрица-
телен относительно истока S (UGS < 0), то /7-«-переход между S и G заперт.
37—3814
Рис. 29.96. а — устройство и принцип действия полевого транзистора с про-
водимостью л-типа запирающего слоя, IDe — электронный ток;
б — схемное обозначение полевых транзисторов с л- и р-прово-
димостью
• Название «полевой транзистор с ба-
рьером» появилось потому, что для
эксплуатации запирающий слой рас-
полагался между управляющим элек-
тродом и каналом с проводимостью
и-типа.
Рис. 29.97. Характеристика запира- В граничном слое образуется обед-
ющего слоя полевого транзистора ненная носителями заряда область, кото-
рая с ростом управляющего напряжения
UGS все больше распространяется в и-ка-
нал. При этом сечение канала уменьшается и сопротивление растет: сопро-
тивлением канала можно управлять напряжением затвора.
МОП-транзистор со встроенным каналом [с обеднением канала] управ-
ляет током сток-исток без приложения напряжения затвора.
МОП-транзистор с индуцированным каналом [с обогащением канала]
запирает без приложения напряжения затвора.
> Запирающий слой полярного транзистора является транзистором со
встроенным каналом.
В отличие от биполярных транзисторов запирающий слой полярных
транзисторов во многих случаях выполняется симметричным, D и S могут
меняться местами.
> При отрицательном затворе ток затвора составляет от 1 пА до 1 мкА.
Если напряжение затвора, наоборот, положительно UGS, то ^-«-переход
между затвором и ^-каналом становится проводящим. В этом случае
мощность полевого транзистора возрастает.
29.6.
29.6.4.2. Полевой транзистор с изолированным затвором
(МДП-, МОП-транзисторы)
МОП-технология (металл-оксид-полупроводник), (принцип изготовления
полевых транзисторов), в случае которой затвор с тонким, но высококачест-
венным изоляционным слоем (в большинстве случаев металл-оксид) отде-
лен от р-n-перехода.
Полярный транзистор МОП — изготовленный по технологии МОП-
транзистор, преимуществом которого является отсутствие тока при положи-
тельном напряжении затвора.
Обогащенный тип канала — полярный транзистор МОП с обогащением
канала. Различают p-и «-типы канала. В случае «-канала в подложку />-типа
встроены две и-легируемые области, исток и сток. Между стоком и истоком
не может протекать ток, если приложено напряжение UDS, так как независи-
мо от направления, напряжение запирает ^-«-переход. На поверхность нане-
сен изолирующий слой, на который напыляется металлический слой в каче-
стве электрода — затвора G. Подложка либо содержит собственный объем-
ный электрод В либо внутри соединяется с истоком. Такое соединение
очень влияет на мощность транзистора. Если затвор положителен относите-
льно истока, то основные носители заряда ^-области, электроны за счет
электростатического притягивания очень плотно приближаются к изолиру-
ющему слою, так что между 5 и D возникает канал с «-проводимостью.
Рис. 29.98. а— конструкция полярного МОП-транзистора с индуцированным
каналом; б — схемное обозначение канала «-типа
> В случае обогащенного типа канала основные носители заряда в под-
ложке между областями с «-проводимостью обогащаются и образуют
электроны проводимости, которые вносят вклад в ток.
Чем выше напряжение затвора, тем больше число электронов в канале
DS и тем меньше становится сопротивление канала.
Обедненный тип канала — аналогичен запирающему слою МОП-транзи-
стора со встроенным каналом. Здесь между обогащенными областями рас-
положен тонкий, например, с проводимостью «-типа, канал, который явля-
ется токопроводящим без приложения напряжения затвора: транзистор со
встроенным каналом. Если напряжение затвора отрицательно, то основные
носители заряда в «-канале будут выталкиваться из него, меньше электро-
нов останется в канале, за счет чего увеличится сопротивление канала. Осо-
бенностью такого транзистора является тот факт, что при положительном
напряжении затвора электроны проводимости обогащаются за счет основ-
ных носителей заряда подложки, вызывая тем самым увеличение тока стока.
о
Рис. 29.99. а —устройство полевого МОП-транзистора со встроенным кана-
лом; б — схемное обозначение канала р- и и-типа
> Если объемный канал и исток связаны изнутри, то такое соединение
имеет следующее схемное обозначение:
Рис. 29.100. Схемное обозначение канала с «-типом проводимо-
сти МОП-транзистора со связанными объемным электродом и
истоком
Полевой транзистор является необходимым элементом интегрированных
схем благодаря управлению без потребления мощности и короткому вре-
мени переключения при малых площадях подложки.
Двухзатворный полевой транзистор соответствует нормальному полевому
транзистору, однако обладает двумя электродами-затворами б\ и G2, распо-
ложенными друг за другом над проводящим каналом. Независимое включе-
ние обоих затворов влияет на величину тока, независимо друг от друга, до
тех пор, пока затвор полностью не изолирует ток.
Применение: регулируемый усилитель в высокочастотных схемах. Один
затвор управляет полезным сигналом, другой крутизной транзистора.
29.6.5. Тиристор
Тиристор — это диод с четырехслойной р-и-р-л-структурой, т.е. тремя запи-
рающими слоями насыщенного проводника. Как и обычный диод, тиристор
Рис. 29.101. а — слоистая структура;
б — схемное обозначение тиристора
может проводить ток только в одном
направлении.
Анод и катод, как и в обычном
диоде, обозначают соответствен-
но внешний р- и соответственно п-
слой.
Затвор — электрод, соединенный
с внутренним p-слоем, при положи-
тельном напряжении которого отно-
сительно катода тиристор становится
проводящим.
29.6. Полупроводники
Область блокирования тиристора, область напряжений до максимально-
го положительного напряжения U[)RM. которое нельзя превышать. В этой об-
ласти тиристор блокируется посредством запирающего слоя.
> Если напряжение, приложенное к тиристору, превышает максимально
допустимое, то наступает так называемый прямой пробой, при котором
тиристор мгновенно становится проводящим. Это может привести к вы-
ходу прибора из строя.
Ток блокировки — остаточный ток, который возникает в области блоки-
ровки тиристора.
Область пропускания — участок вольт-амперной характеристики тири-
стора, в которую положительное напряжение затвора смещает рабочую точ-
ку тиристора.
Отпирающий ток iG — ток затвора, который протекает через средний за-
пирающий слой с носителями заряда и отпирает тиристор, т.е. тиристор на-
чинает проводить ток.
Запирающая область — участок отрицательного напряжения между ано-
дом и катодом. В области запирания тиристор не может проводить, так как
оба запирающих слоя блокируют ток.
Максимальное запирающее напряжение — максимальное отрицательное
напряжение URRM, при котором тиристор еще может проводить ток.
Обратный ток — остаточный ток iR в несколько мкА через тиристор в
области запирания.
> При превышении максимального запирающего напряжения URRM обратный
ток нарастает лавинообразно, так что тиристор может выйти из строя.
Ток удержания iH — сила тока (обычно
между 10 и 100 мА), выше которой открытый
тиристор, несмотря на отсутствие напряжения
затвора, остается проводящим. Если для до-
статочно высокого тока добиваются пропуска-
ния, то достаточно короткого импульса отпи-
рания на затворе, чтобы продлить проводи-
мость тиристора.
Отпирающий импульс — импульс напря-
жения на затворе, переводящий тиристор в
проводящее состояние, до тех пор, пока в от-
пертом состоянии протекает обогащающий
ток удержания.
Время отпирания — промежуток времени,
который необходим тиристору для того, чтобы перейти из состояния блоки-
ровки в состояние проводимости. Оно зависит от крутизны отпирающего
импульса.
Система импульсно-фазового управления: при помощи коротких перио-
дических импульсов тока на затворе тиристор за счет подходящего фазо-
вого соотношения импульсов с управляющим переменным напряжением
может ослаблять определенные фазовые импульсы переменного сигнала.
Система функционирует только в течение положительной полуволны, так
Область
пропускания
Область
блокировки
Рис. 29.102. Вольт-амперная
характеристика тиристора
как отрицательные напряжения запирают тиристор. Если тиристор в ходе
положительной полуволны становится отпертым благодаря импульсу тока,
то падение напряжения на нем остается равным нулю до тех пор, пока
значение переменного напряжения отличается от удерживающего.
> Тиристоры работают при напряжениях в несколько кВ и токах до несколь-
ких кА. Область применения ограничивается частотами в несколько кГц.
29.6.5.1. Симметричный триодный тиристор
Триак (Triode Current switch) функционирует, как два навстречу включен-
ных тиристора и часто называется симметричным триодным тиристором.
Он может управлять как положительной, так и отрицательной полуволной
переменного напряжения.
Рис. 29.103. а — конструкция; б — вольт-амперная характеристика, в —
схемное обозначение триака
29.6.5.2. Запираемый тиристор
Запираемый тиристор (GTO, Gate Turn Off Thyristor) отпирается положи-
тельным импульсом затвора и запирается снова отрицательным. При этом
существуют запираемые тиристоры, как с симметричной, так и с антисим-
метричной запирающей способностью.
Для получения синусоидальных форм выходного напряжения из посто-
янного напряжения используется транзисторный импульсный инвертор.
Рис. 29.104. а — конструкция; б — вольт-амперная характеристика; в —
схемное обозначение запираемого тиристора
29.6.
29.6.5.3. IGBT-тиристор
IGBT-тиристор представляет собой комбинацию между транзистором на
основе МОП-технологии и биполярным транзистором. Для включения и
выключения необходимы небольшие мощности; пропускное сопротивление
незначительно.
Рис. 29.105. а — конструкция; б — вольт-амперная характеристика; в —
схемное обозначение IGBT-тиристора
29.6.6. Интегральные микросхемы
Интегральная микросхема (IC, Integrated Circuit) — электронная схема, вы-
полненная из нескольких транзисторных элементов на единой полупровод-
никовой подложке по возможности с наименьшей площадью.
29.6.6.1. Изготовление интегральных микросхем
Плата — кремниевая подложка, на которую наносятся необходимые струк-
турные элементы для производства ИС.
[м] Эпитаксиальное выращивание из газовой фазы: процесс нанесения сло-
ев кремния на плату. В топливной камере из газов с содержанием крем-
ния при помощи химических реакций получают атомы кремния, кото-
рые затем осаждаются на плате.
При температуре 1250 °C хлорид кремния SiCl4 вступает в реакцию с во-
дородом Н2, продуктами которой являются кремний Si и соляная кисло-
та HCL. Соляная кислота HCL выводится, в то время как кремний Si
осаждается.
> Слои могут быть легированы, причем водород Н2 может быть выведен
при помощи боросодержащих (р-легирование) или фосфоросодержащих
(и-легирование) газов.
Окисление — нанесение слоя SiO2 на плату с целью:
• изоляции,
• защиты от загрязнений р-и-перехода,
• создания структуры схемы.
29.6.6.2. Создание схемных структур
Общие методы (рис. 29.106):
а) Нанесение оксида кремния SiO2 на кремниевую подложку.
б) На оксид наносится слой светочувствительного материала.
в) Фотолитография: маскирование (покрытие) областей, с которых необхо-
димо удалить слой SiO2 и облучение их ультрафиолетовым светом (изме-
няет химические свойства освещенных и неосвещенных областей свето-
чувствительного материала).
г) Проявление в соответствующем химическом растворе очищает необлучен-
ные области от светочувствительного материала до оксида кремния SiO2.
д) Стравливание SiO2 очищенных областей.
е) Удаление светочувствительного материала.
Рис. 29.106. Создание ИС при помощи фотолитографии. Пояснение см. текст.
Легирование
]м] В атмосфере, обогащенной атомами бора или фосфора, кремний Si на-
гревается до температуры примерно 1000°С, так что атомы кремния раз-
рывают решеточные связи и освобождают узлы решетки, в которые ато-
мы бора или фосфора оседают (вводятся диффузионным способом), в
результате кремний легирован либо атомами бора (р-проводимость) либо
атомами фосфора (л-проводимость).
▲ Глубина проникновения диффузии зависит от времени и от температуры
процесса.
Атомы фосфора могут проникать в подложку из кремния на расстояния
до 1 мкм, если подложка в течение одного часа нагревалась до темпера-
туры 1000 °C.
> Скорость диффузии в оксиде кремния SiO2 значительно меньше скоро-
сти в чистом кремнии. Нанесенные за счет фотолитографии структуры
определяют, какие области будут легированы.
29.6. Полупроводники
а)
б)
в)
г)
Д)
>
Создание электронных конструктивных элементов
Транзистор и диод (рис. 29.107):
Нанесение «-легированного слоя на р-легированную подложку. Часть
этого слоя станет коллектором.
Окислением и фотолитографией добиваются состояния (б).
Введение диффузией атомов акцепторов в очищенный л-слой: эта об-
ласть соответствует базе.
После последующего окисления и фотолитографии в часть p-слоя диф-
фузионным методом вводится л-слой: эта область является эмиттером.
Еще одно окисление и открытие третьего окна над коллектором, базой и
эмиттером и напыление слоя алюминия создает электроды (контакты).
При создании диодов отпадают шаги (г) и (д).
Рис. 29.107. Создание транзисторного элемента. Пояснение см. в тексте
Маска для А1
Эмиттер
База
Коллектор
Д)
Сопротивление: в л-легированный слой вводится узкий р-легированный
слой, так что один из возникающих р-л-переходов смещен в запертом на-
правлении и за счет этого создает сопротивление. Величина сопротивления
зависит от длины p-канала, площади поперечного сечения и степени леги-
рования.
> Из-за высокой проводимости Si очень трудно получить высокое омиче-
ское сопротивление, не занимая много места. Зачастую сопротивление
заменяется транзистором, и величина сопротивления определяется то-
ком базы.
Конденсатор: конденсатор состоит преиму-
щественно из двух проводящих, разделенных
изолятором электродов. Электрод создается в
большинстве случаев за счет высоколегирован-
ной и хорошо проводящей р- или л-области.
На этот слой наносится изолирующий слой
SiO2. Второй электрод изготавливается посред-
ством напыления тонкой алюминиевой пленки
и окисления.
Рис. 29.108. Конденсатор на
кремниевом чипе
▲ Интегрированные схемы в большинстве случаев выполняются по техно-
логии МОП из-за малых затрат мощности отдельных транзисторных эле-
ментов, чтобы предотвратить сильное нагревание структурного элемента.
> В случае интегрированных схем с предельно высокой интеграцией появ-
ляется проблема отвода тепла. В этом случае для конструктивных эле-
ментов должны быть предусмотрены системы охлаждения.
[м] На практике охлаждение ИС производится тем, что конструктивный
элемент приводится в контакт с теплопроводящей средой, как прави-
ло, медью. Новые научные данные утверждают, что алмаз (98,9 % 12С и
1,1 % 13С) за счет уменьшения части 13С на 0,001% и охлаждения до 80 К
(жидкий азот) обладает теплопроводностью X > 2000 Вт см-1 К-1 (для
сравнения: медь X = 4,01 Вт см-1-К-1), что позволяет добиваться увели-
чения мощности в 500 раз.
29.6.7. Операционный усилитель
Операционный усилитель — многоступенчатый усилитель с высоким коэф-
фициентом усиления, который через внешнее подключение может осущест-
влять определенное усиление или математические операции.
> Вертикальное подключение обозначает (симметричный) источник пита-
ния операционного усилителя и, как правило, не отмечается.
Инвертирующий вход — входной сигнал усиливается с инвертированием.
Неинвертирующий вход — входной сигнал усиливается без инвертирования.
Дифференциальный усилитель — основной компонент операционного
усилителя. Он состоит из двух максимально идентичных транзисторов.
|м] Если к обоим входам приложить одинаковые напряжения, то напряжение
Ua = 0. На практике этого не происходит, всегда Ua ф 0. Исходя из этого,
можно сделать вывод об идентичности транзисторов и сопротивлений,
что обусловливает несимметричность дифференциального усилителя.
• Операционный усилитель всегда усиливает разницу напряжений на обо-
их входах.
> оо
Выходы
Источник
постоянного
тока
Рис. 29.110. Дифференциаль-
ный усилитель
Рис. 29.109. Схемное обозначение опера-
ционного усилителя: а — стандартизиро-
ванное; б — устаревшее; «-» — инвертиру-
ющий вход; «+» — неинвертирующий вход
Рис. 29.111. Операционный усилитель: а — подключение; б — вольт-ампер-
ная характеристика
Выходное напряжение операционного усилителя
Символ Единица измерения Название
иа в Выходное напряжение
Ua = A(UP -Un) = AUD UP в Напряжение на неинвер- тирующем входе
ип в Напряжение на инверти- рующем входе
UD в Дифференциальное напряжение
А 1 Усиление
▲ Операционный усилитель может работать только с небольшими измене-
ниями напряжений (порядка милливольт).
Линейная область — область дифференциальных напряжений UD. в кото-
рой операционный усилитель обладает усиливающим действием (до ±1 мВ).
Область насыщения — дифференциальные напряжения вне линейного
участка. Выходное напряжение больше не изменяется с ростом напряжения
UD и остается постоянным на уровне напряжения питания « ± Us.
Идеальный операционный усилитель — операционный усилитель со сле-
дующими свойствами:
Идеальный Реальный
Усиление холостого хода А 00 103 ... 106
Входное сопротивление Re (на обоих входах) оо ® 1 МОм
Выходное сопротивление Ra 0 ® 100 Ом
> Все данные операционного усилителя всегда относятся к данным иде-
ального операционного усилителя. На практике эти данные имеют не-
значительные отклонения.
29.6.7.1. Операционный усилитель
с отрицательной обратной связью
▲ При усилении на линейном участке вольт-амперной характеристики
операционного усилителя необходимо выбрать стабильную рабочую точ-
ку, чтобы не попасть в область насыщения. Эта задача реализуется так
же, как и у транзисторного усилителя — посредством отрицательной об-
ратной связи.
Отрицательная обратная связь — выходной сигнал Ua операционного
усилителя подается на инвертирующий вход (в противофазе). Отклонение от
рабочей точки приводит к отрицательному знаку сигнала, а вместе с тем к
его ослаблению.
29.6.7.2. Инверторный усилитель
Рис. 29.112. а — инверторный усилитель; б — неинвертирующий усилитель;
Z и Z' обозначают (действительное или комплексное) сопротив-
ление
Усиление инвертирующего усилителя 1
^a(jco) = _ Z' (jco) ^p(jco) Символ Единица измерения Название
J7e(jco) Z(jco) 1 + ^P(jco) Ua в Выходной сигнал
Z'(jco) Ue в Входной сигнал
Z(jco) Z(j®), Ом Комплексное
Z'(jco) сопротивление
p(jco) ~ Z(jco) + Z'(j®) A 1 Усиление холостого хода
P(j®) 1 Множитель Тейлера
▲ Усиление инвертирующего усилителя для достаточно высокого усиления
холостого хода — независимо от структуры операционного усилителя и
определяется только внешним подключением.
▲ Выходной сигнал инвертирующего усилителя равен произведению Ue(jw)
на Z'(/o))/Z(/co).
29.6. Полупроводники
> На основе операционного усилителя удается реализовать неинвертирую-
щий усилитель (рис. 29.112, б) с усилением:
^=1 + ^1
Ue R\
29.6.7.3. Суммирующий усилитель
Рис. 29.113. а — суммирующий усилитель; б — сумматор и вычитатель
▲ Сопротивления Ry,...Rn определяют множители, с которыми входные на-
пряжения должны сравниваться. Выходное напряжение соответствует
сумме сравненных входных напряжений, для которых предусмотрен по-
стоянный множитель, определяемый сопротивлением обратной связи
Характеристики суммирующего усилителя
Ua =-^(Ul+..AUn) К ДЛЯ R = R{ = ... = Rn Символ Единица измерения Название
ua Uy, ..., un Ro Rn В В Ом Ом Выходной сигнал Входной сигнал Сопротивление обратной связи Весовые коэффициенты
Вычитатель — устройство, аналогичное сумматору, которое подает на
неинвертирующий вход вычитаемый уровень напряжения.
> Сложение и вычитание может проводиться одновременно несколькими
усилителями.
29.6.7.4. Интегратор
При гармонических сигналах f7₽(jco) с циклической частотой со сопротивле-
ние переменному току Zc(j(D) конденсатора с емкостью С равно:
ZC(W>) =
jcoC
Рис, 29.114. Схема интегратора
Используя Z(j(o) = R и Z'(jco) = Zc(jco) получается
Принцип действия интегратора
jco.RC RC J Символ Единица измерения Название
Ua Ue R C в в Ом Ф Выходной сигнал Входной сигнал Сопротивление Емкость
Суммирующий интегратор — интегратор, в котором ток заряда анало-
гично суммирующему усилителю выражается отдельными сопротивлениями
Rb..,Rn:
Ua(t) = ~
dt.
29.6.7.5. Дифференциатор
Рис. 29.115. Схема дифференциатора
С Z(jco) = l/(ja)Q и Z'(jco) = R для инвертирующего усилителя получается:
29.6. Полупроводники
Принцип действия дифференциатора
Ua(jo>) = j®7?C -?7e(jco) U0(f) = dt Символ Единица измерения Название
Ua ue R C в в Ом Ф Выходной сигнал Входной сигнал Сопротивление Емкость
> Дифференцирование реализуется на практике хуже, чем интегрирование:
• Для высоких частот о приближения идеального операционного усилите-
ля выполняются все хуже, так как усиление холостого хода А —> A/(jwRC)
снижается, и условие А —> оо больше не выполняется.
• Высокочастотные шумовые компоненты особенно сильно усиливаются
на входе.
• Для величины со и вместе с тем низкой величины l/(jo)C) внутреннее со-
противление становится существенно заметнее.
[м] Применение: аналоговый счетчик.
С помощью операционного усилителя можно решать математические за-
дачи, например, интегральные или дифференциальные уравнения.
29.6.7.6. Повторитель напряжения
Повторитель напряжения — полное выходное напряжение подается на ин-
вертирующий вход (100%-ная отрицательная обратная связь): выходной сиг-
нал следует за входным сигналом:
Ue ~ ’
▲ Выходное сопротивление очень низкоом-
ное, в то время как входное сопротивле-
ние очень велико.
Повторитель напряжения часто исполь-
зуется как преобразователь полных со-
противлений.
Рис. 29.116. Повторитель на-
пряжения
29.6.7.7. Операционный усилитель
с положительной обратной связью
Положительная обратная связь — выходной сигнал подается на неинверти-
рующий вход. По причине усиленного действия операционного усилителя
это происходит в состоянии насыщения.
Бистабильная ячейка — схема с двумя устойчивыми состояниями. Бис-
табильная ячейка производит прямоугольный сигнал.
29.6.7.8. Триггер Шмидта
Триггер Шмидта — бистабильная ячейка, которая при превышении двух
определенных порогов входного сигнала переходит в другое состояние. Пе-
реход между двумя состояниями происходит очень быстро.
Рис. 29.117. Триггер Шмидта: а — схема; б — принцип действия
При превышении /7ВХ схема переключается в состояние «вкл.», при пре-
вышении ?7ВЫХ схема переключается в состояние «выкл.». Справедливо:
иг = —— и™1,
7?! + R2
U"ta =
р
—— и™х
7?! + R2
Гистерезис переключения — разность t/BbIX -t/BX. Устанавливается под-
ключением и не может быть сколь угодно мал:
вых - С/вх = (U™x - и™п) —------------— I « - U™n) —---------.
1^7?! + Т?2 А) Т?2 + Т?2
▲ R\/(R\ + Т?2) должно всегда быть больше А~1.
29.7. Сверхпроводимость
Сверхпроводимость — состояние упорядоченности материи, которым обладают
многие металлы и соединения с металлической проводимостью. Исключение
составляют металлы и соединения с магнитным упорядочиванием структуры.
Магнитные корреляции разрушают свойство сверхпроводимости (рис. 29.118).
Для сверхпроводников имеют особенное значение два эффекта:
• Удельное электрическое сопротивление р(7) снижается при охлаждении
ниже характеристической температуры Тс до значения р = 0, что имеет
экспериментальное подтверждение.
• При температурах Т < Тс и магнитных полях В < ВсХ вещества представ-
ляют собой идеальные диамагнетики (эффект Мейснера-Оксенфельда).
Таблица характеристических физических величин некоторых сверхпро-
водников приведена в приложении.
29.7.1. Основные свойства сверхпроводников
29.7. Сверхпроводимость
1. Эффект Мейснера Оксенфельда
Также называемый эффектом Мейснера — идеальное диамагнетическое
поведение сверхпроводников в слабом магнитном поле. Если сверхпровод-
ник в магнитном поле (В < Вс1) охлаждается ниже температуры перехода Тс,
то магнитные силовые линии поля вытесняются из внутренней части сверх-
проводника. При этом в тонком поверхностном слое образца протекает ин-
дуцированный экранирующий ток, магнитное поле которого компенсирует
внешнее поле. Идеальный диамагнетизм не имеет отношения к идеальной
проводимости.
Рис. 29.118. Температурная зави-
симость электрического сопро-
тивления сверхпроводника (1) и
нормального проводника (2)
Рис. 29.119. Альтернативный процесс на фазо-
вой диаграмме В-Тдля сверхпроводника и иде-
ального проводника. Конечное состояние (С)
идеального проводника зависит от траектории.
В сверхпроводнике С не зависит от траектории
(термодинамическое стабильное состояние)
> Ниже температуры Тс (в состоянии сверхпроводимости) термодинамиче-
ские величины и некоторые физические величины переноса большинст-
ва сверхпроводников обладают экспоненциальной температурной зави-
симостью. Это означает возникновение запрещенных энергетических
уровней в спектре сверхпроводника в сверх-
проводящем состоянии.
А Магнитная восприимчивость идеального
сверхпроводника I рода равна:
X = (система СГС), х = -1 (система СИ).
4л
А Удельная теплоемкость обладает Х-аномалией
при температуре перехода Тс.
При Т < Тс проявляется экспоненциальная
температурная зависимость.
Рис. 29.120. Состояния для
траектории 1 и 2 для иде-
ального проводника
> Затухание ультразвука, как величина перено-
са, в сверхпроводящем состоянии ведет себя
подобно удельной теплоемкости.
[м] Температурная зависимость коэф-
фициента затухания ультразвука,
пропорционального числу нор-
мально проводящих электронов,
впервые нашла экспериментальное
подтверждение в БКШ-теории.
Рис. 29.121. Состояния для траекто- 2. Теория сверхпроводимости
рии 1 и 2 для сверхпроводника I рода БКШ-теория (по фамилиям ученых
Бардина, Купера, Шрифера) является
основной микроскопической теорией сверхпроводимости. Она описывает
связь двух электронов с противоположными спинами и импульсами посред-
ством фононной теории.
Притягивающая кулоновская сила между электроном и ионом создает
локальную мгновенную деформацию. Из-за большой массы атомов решетки
и связанной с этим инерции эта деформация решетки не ликвидируется
сразу посредством теплового движения. Второй электрон находится в сило-
вом поле положительного заряда и притягивается. Вследствие этого между
электронами возникает притягивающее взаимодействие благодаря решеточ-
ной деформации. Эта связь энергетически выгодна, если спины и импульсы
обоих электронов направлены антипараллельно.
Таким образом, из двух электронов при помощи фонона возникает но-
вая квазичастица, так называемая куперовская пара. Каждый электрон с об-
разованием новой пары получает энергию EG/1, кроме того, возникает за-
прещенная зона шириной EG в распределении электронов на уровне Ферми.
Эта запрещенная зона определяет физические свойства БКШ-сверхпровод-
ника. Так как ее ширина меняется по экспоненциальному закону с пониже-
нием температуры, все физические характеристики твердого тела, которые
связаны с электронами проводимости, также обладают экспоненциальной
температурной зависимостью.
Куперовская пара — квазичастица БКШ-теории. Ее спин является цело-
численным, так что принцип Паули для куперовской пары не выполняется.
Куперовские пары подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.
▲ Куперовские пары могут находиться в самых низких квантовых энерге-
тических состояниях (конденсат Бозе-Эйнштейна). Они все состоят в
жестких фазовых соотношениях, благодаря чему квантовые эффекты на-
чинают проявляться на макроскопическом уровне.
▲ Не существует процессов неупругих столкновений куперовских пар до
тех пор, пока потери энергии меньше ширины запрещенной зоны.
3. Изотопический эффект и эффект Джозефсона
Изотопический эффект — зависимость температуры перехода Тс от мас-
сы М изотопа сверхпроводника:
Ма- Тс = const, а « 0,5.
[Mj Параметр а зависит от ряда изотопов. Наиболее часто получаемое экспе-
риментально значение приблизительно равно 1/2. Такая величина пред-
полагалась БКШ-теорией. Изотопический эффект использовался для
подтверждения БКШ-теории и участия колебаний решетки в образова-
нии куперовских пар.
29.7.
Эффект Джозефсона — туннелирование куперовских пар через тонкий
изолирующий слой между двумя сверхпроводниками. Этот эффект обуслов-
лен жесткой фазовой связью электронов друг с другом (фазовая когерент-
ность, макроскопические квантовые состояния). Туннельный ток протекает
без приложения внешнего напряжения. Между обоими сверхпроводниками
в ходе туннелирования происходит скачкообразное изменение фазы каждой
куперовской пары.
|м| Эффект фазовой когерентности в сверхпроводниках имеет большое зна-
чение в измерительной технике для определения слабых магнитных по-
лей. Такие системы называются сверхпроводящими квантовыми интер-
ферометрами SQUID (superconducting quantum interferometer device). Об-
ласть применения: физика твердого тела, геофизика, особенно: биофи-
зика, медицина.
4. Критическая плотность тока
Плотность тока, при которой сверхпроводник переходит из состояния
сверхпроводимости в нормальное состояние, называется критической плот-
ностью тока. Причиной являются возможные энергетические потери, боль-
шие, чем запрещенная зона при неупругом рассеянии.
Плотность тока равна j = 2env. п — число куперовских пар, v — скорость
дрейфа куперовской пары. Рассмотрим кристаллическую решетку мас-
сой М, содержащую дефекты. Решетка движется с относительной скоро-
стью v навстречу электронному газу. Если в процессе столкновения
энергия возбуждения г передается решетке, то должен выполняться за-
кон сохранения энергии и импульса:
- Mv2 = - Mv'2 + е, Mv = Mvf + Й k.
2 2
Из этого следует:
а ъГ- Й2 к2
О = п kv +----+ е.
2М
Если масса кристалла очень велика (М оо)5 тогда справедливо выражение:
где ис — скорость для энергии £ = Eg. Существование интервала запре-
щенных энергий Eg препятствует неупругому рассеянию при скоростях v
< vc. Для больших скоростей неупругое столкновение возможно.
5. Критическая магнитная индукция
Вс — следствие критического тока. Выше критической напряженности
магнитного поля состояние сверхпроводимости пропадает.
Техническим применением сверхпроводников наряду с SQUID-система-
ми является, прежде всего, конструирование магнитов высокой напря-
женности. При этом критическая плотность тока используемых материа-
лов является решающим параметром. В настоящее время изготавливают
проволоку из сплавов ниобия Nb, встраиваемую в медные матрицы.
Максимальная индукция такого магнита составляет 20 тесла.
Центры пиннинга — закрепление магнитного вихря в сверхпроводнике
второго рода в определенной точке проводника. Создание центров пиннин-
га необходимо, так как сила Лоренца между магнитными вихрями при про-
текании тока приводит к смещению вихрей, что связано с тепловыделением.
Материалы с закрепленными магнитными вихрями называются твердыми
сверхпроводниками. Они имеют высокую критическую плотность тока и
применяются в строительстве магнитов.
Центры пиннинга — точки, в которых зафиксированы магнитные вихри
сверхпроводников второго рода. Такие центры пиннинга могут представлять
собой дислокации, границы зерен или примеси, т.е. дефекты кристалличе-
ской решетки.
6. Сверхпроводники I и II рода
Сверхпроводники I и II рода — сверхпроводники двух видов. Достаточно
сильное магнитное поле разрушает сверхпроводимость и идеальные диамаг-
нитные свойства образца. Сверхпроводники I и II рода ведут себя в магнит-
ном поле по-разному.
• Сверхпроводники I рода (мягкие сверхпроводники): с ростом напряжен-
ности магнитного поля до значения Н = Нс наблюдается скачкообразный
переход из состояния сверхпроводимости в нормальное состояние. Эк-
ранирующие токи протекают в тонком приповерхностном слое толщи-
ной X (глубина проникновения Лондона). Величина Нс слишком мала,
для того чтобы проводники I рода можно было использовать в качестве
сверхпроводниковых магнитных катушек.
• Сверхпроводники II рода (чаще всего сплавы или переходные металлы с
большим электрическим сопротивлением в нормальном состоянии, т.е.
с маленькой средней длиной свободного пробега электронов в нормаль-
ном состоянии). Переход от сверхпроводимости к нормальному
состоянию происходит не скачкообразно, а при росте напряженно-
сти магнитного поля в интервале от величины Нс[ до Нс2. при Hci < Нс
поле начинает проникать в образец в виде магнитного вихря нормальной
проводимости. Исходные точки магнитных вихрей можно увидеть в
электронный микроскоп при помощи маленьких ферромагнитных час-
Рис. 29.122. Кривая намагничивания М(Н) сверхпроводника: а — сверхпро-
водник I рода; б — сверхпроводник II рода; 1 — состояние
сверхпроводимости; 2 — смешанное состояние; 3 — состояние
нормальной проводимости. Знак минус перед М соответствует
диамагнитному поведению
29.7. Сверхпроводимость 1173
тиц; они образуют упорядочен-
ные структуры. Магнитный мо-
мент вихря квантован. Только
при напряженности поля > Нс2
сверхпроводимость полностью
исчезает.
Квант индукции — элементар-
ная величина потока индукции.
Она составляет:
Рис. 29.123. Вихревая решетка магнитно-
го вихря сверхпроводника II рода
Фо = — = 2-IO"15 В-с.
2е
> Двойка в знаменателе появляется вследствие двойного заряда куперов-
ской пары.
7. Глубина проникновения Лондона и параметр Гинсбурга-Ландау
Глубина проникновения Лондона в большинстве случаев обозначается
буквой X. Она определяет глубину проникновения магнитного поля в сверх-
проводник.
Длина когерентности обозначается буквой Эта величина соответствует
пространственному распространению куперовской пары. Отношение X к £
называется параметром Гинсбурга-Ландау к, различным для сверхпроводни-
ков I и II рода.
Параметр Гинсбурга-Ландау:
• Сверхпроводник I рода: к < —=.
V2
• Сверхпроводник II рода: к >
[м] Благодаря свойству выталкивания магнитного поля из сверхпроводника
для экранирования электромагнитных полей помех используют сверх-
проводящие материалы.
29.7.2. Высокотемпературные сверхпроводники
Высокотемпературные сверхпроводники (ВТСП) — сверхпроводящие спла-
вы с оксидом меди с температурой перехода Тс > 80 К. При кристаллизации
они имеют тетрагональную структуру перовскита. Это приводит к анизотро-
пии сверхпроводниковых свойств.
> ВТСП обнаруживают значительное остаточное сопротивление, причина
которого заключается также в тепловом движении магнитных силовых
линий.
> Высокотемпературные сверхпроводники имеют большое значение в тех-
ническом применении сверхпроводимости. Для достижения состояния
сверхпроводимости больше не нужно использовать дорогостоящий гелий;
этого состояния уже можно достичь при температуре жидкого азота.
В настоящее время лучше всех исследована ВТСП-система YBa2Cu3O7.
В зависимости от степени содержания кислорода в образце температура пе-
рехода составляет 60—93 К.
> Такие сверхпроводники являются керамическими и при отсутствии
поля (В = 0 Тл) обнаруживают относительно невысокую плотность кри-
тического тока при Т = 77 К.
1. Сверхпроводящие материалы и их свойства
В следующей таблице приведены важнейшие семейства высокотемпера-
турных сверхпроводников:
Обозначение Формула Максимальная Tc
123—ВТСП (Y,Eu,Gb,)Ba2Cu3O7 92 (YBCO)
Висмут-22(и - 1)п Bi2Sr2Can_ j CunO2n+4 90 (Bi-2212) 122 (Bi-2223) 90 (Bi-2234)
Таллий-22(и - 1)я Tl2Ba2Can_ j CunO2n+4 НО (Tl-2212) 127(71-2223) 119 (Tl-2234)
Таллий-12(и - 1)п Tl( Sr, Ba) 2Can_ ] CunO2n+3 90 (TI—1212) 122 (Tl-1223) 122 (Tl-1234) ПО (Tl-1245)
▲ Во всех высокотемпературных сверхпроводниках присутствует опреде-
ленное число слоев Cu-О, между которыми находятся слои ионов Y-или
Са, расположенные друг над другом. Проводящие слои СиО разделены
изолирующими слоями (слоями BaO, SrO или ТсО).
▲ Свойства сверхпроводимости у ВТСП обладают сильной анизотропией
(]С,ЯС121| слою СиО в 5—10 раз больше, чем jc,Hcl 2l СиО).
▲ Многие границы зерен в керамических ВТСП являются барьерами для
куперовских пар и уменьшают критический ток.
2. Технологический процесс изготовления слоев ВТСП
Эпитаксиальные пленки ВТСП создаются пленочным наращиванием на
монокристальной подложке. За счет этих монокристальных слоев увеличи-
вается анизотропия ВТСП. Возрастает jc. В качестве подложки используются
соединения SrTiO3 LaHCO3, а также А12О3
Текстурирование — еще один метод увеличения критической плотности
тока. Беспорядочное распределение кристаллитов посредством управляемой
кристаллизации преобразовывается в ориентированное распределение крис-
таллографических осей в заданном направлении.
> Метод текстурирования применяется в случае компактных керамических
ВТСП.
Сверхпроводящие резонаторы: за счет запрещенного интервала энергий
ВТСП в частотном диапазоне ниже 100 ГГц имеют значительно меньшие
высокочастотные потери, чем нормальные проводники (рис. 29.125).
Миниатюризация антенн нижнего частотного диапазона ГГц и милли-
метровых антенн. Они имеют значительно меньшие потери, чем нор-
мальные проводники (рис. 29.124).
Рис. 29.124. Модель антенны из слоев
ВТСП
Рис. 29.125. Модель резона-
тора из YBa2Cu3O7
Проводники многоамперного тока в слабых магнитных полях: в качестве
сверхпроводника используется фаза Bi—2223. Керамический порошок на-
сыпается в серебряные трубки. Эти трубки растягиваются или вальцуют-
ся и проходят термическую обработку. В этом случае удается получить
критическую плотность тока (при Т = 77 и 0 Тл) до 13000 А/см2.
> Керамические ВТСП имеют ряд недостатков:
• высокую хрупкость,
• высокую нестабильность к восстановительным реакциям.
29.8. Магнитные свойства
Магнетизм — квантово-механический феномен, упорядочивание материи,
встречающееся в проводниках и диэлектриках в различных видах. Упорядо-
чивание структуры металлических систем наблюдается при низких темпера-
турах и имеет либо характер сверхпроводимости, либо магнитный характер.
Намагничивание М определяется как отношение магнитного момента к
объему образца. М зависит от интенсивности внешнего магнитного поля и
температуры.
Определение:
Система СГС: В' = Ва + 4лМ,
Система СИ: В = Bfl + ц0М.
В/. магнитная индукция внешнего магнитного поля.
Магнитная восприимчивость xw — отношение модуля намагничивания
| М | к модулю напряженности магнитного поля | Й |,
М _ дМ
я’ Хт дН
Размерность: согласно уравнению В = ц0Н + 1 = ц0(Н + М), определению
магнитной поляризации I = цоХтиЙ, а также материальному уравнению (м0:
абсолютная магнитная проницаемость, цг: относительная магнитная прони-
цаемость, ц = цгц0: магнитная проницаемость) магнитная восприимчивость
является безразмерной величиной и в однородной среде связана с относи-
тельной магнитной проницаемостью выражением:
Х/л Мт 1 •
Числовые значения восприимчивости в системах СИ и СГС отличаются
друг от друга множителем 4л.
1. Типы магнетизма
В случае парамагнитных веществ у^т > О (М, Н параллельны),
в случае диамагнетиков xw < О (М, Н антипараллельны),
в случае ферромагнетиков восприимчивость зависит от процесса на-
магничивания.
Рис. 29.126. Магнитные весы
[м] Магнитную восприимчивость можно опре-
делить при помощи магнитных весов, зная
силу F, действующую на образец со сторо-
ны магнитного поля Н:
Fx ~ V Н —.
dx
Предпосылкой является то, что как напря-
й dH
женность поля Н, так и величина — , практи-
чески не изменяются с изменением объема об-
разца. Этот метод позволяет измерить измене-
ние магнитной восприимчивости с точностью
до 10~10.
2. Диамагнетизм
Явление, связанное со стремлением электрического заряда экранировать
среду от внешнего магнитного поля.
> Аналогией является правило Ленца в электродинамике.
Диамагнитная молярная восприимчивость по Ланжевену:
Диамагнитная восприимчивость по Ланжевену Рмоль1
N AZe2 Xd = -Не , <Г2 > (СИ) 6m NAZe2 , Td = < г2 > 6mc2 Символ Единица измерения Название
Id Не Z е т с 1 А м2 1 Кл моль-1 кг м с-1 Диамагнитная вос- приимчивость Магнитный момент электрона Порядковый номер элемента Элементарный заряд Число Авогадро Масса электрона Скорость света
В этом выражении < г2 > обозначает среднее квадратичное расстояние
от электрона до ядра.
Типичные значения молярной восприимчивости:
Не Ne Аг Кг Хе
(10-12 м3/моль) -1,9 -7,2 -19,4 -28,0 -43,0
> Формула, приведенная выше, справедлива для случаев, когда направле-
ние поля и осей симметрии системы совпадают. Во многих молекулах
это условие не соблюдается.
▲ Сверхпроводники первого рода ведут себя так же, как идеальные диамаг-
нетики.
3. Парамагнетизм
Наблюдается у следующих веществ:
• атомов, молекул, вакансий кристаллической решетки с нечетным чис-
лом электронов. Полный спин в этом случае не равен нулю;
• свободных атомов и ионов с частично заполненными внутренними обо-
лочками, например, у переходных металлов, редкоземельных элементов
и актиноидов.
> Строение этих атомов в кристаллической решетке не обязательно дол-
жно быть связано с парамагнитным поведением твердого тела в целом.
• некоторых веществ с четным числом электронов,
• металлов.
4. Уравнение Ланжевена и закон Кюри
Намагничивание моля вещества с магнитным моментом атома ц описы-
вается уравнением Ланжевена:
М = Na ц • £(х), X =
кв Т
Функция Ланжевена £(х) задается выражением:
£(х) = cthx - —.
х
ц, Н
При высоких температурах Т » -—, х « 1 функцию гиперболическо-
кв
го котангенса можно представить в виде ряда:
Цх) «
Зависимость магнитной восприимчивости от температуры в этом при-
ближении выражается законом Кюри:
_ М _ NлЦ2 _ Ср
Величина Ср - Nлц2 /(3&в) зависит от вещества.
[Ml с 1 I/
Благодаря зависимости восприимчивости от температуры — закон Кюри
находит применение для измерения низких температур (Г < 1 К) с помо-
щью парамагнитных солей. Парамагнетизм электронов проводимости
.. гг
возникает за счет спинового момента электрона. Для —— « 1 справед-
квТ
либо:
Хл/ = , ", Нв; магнетон Бора.
квТ
Магнетон Бора цв в системе СГС равен eh/(2mc), в системе СИ —
ей/(2тя). Практически это соответствует магнитному спиновому моменту
электрона.
Только электроны проводимости вблизи уровня Ферми вносят вклад в
парамагнитную восприимчивость. Этот вклад характеризует отношение
Т/Тр. Вклад электронов в парамагнитную проводимость выражается следую-
щим образом:
Т_ _
yi, d У tn гр, j гр
TF kBTF
▲ Парамагнитная восприимчивость не имеет температурной зависимости
от электронов проводимости в случае высоких температур.
▲ При низких температурах спины электронов направлены параллельно
направлению поля.
29.8.1. Ферромагнетизм
1. Возникновение ферромагнетизма
Ферромагнитные материалы содержат спонтанно упорядоченные объемы
вещества с одинаковым направлением намагничивания. Эти области назы-
ваются доменами. Ферромагнетизм обусловлен незаполненными внутренни-
ми электронными оболочками атомов вещества.
Обменный интеграл I определяет энергию взаимодействия E[nt соседних
атомов через диполь-дипольное взаимодействие спинов электронов s,, sz + J
(М+1: соседние звенья линейной спиновой цепочки):
г _ 21 ~ ч
^int “ ’ S/ + l)-
Й2
Обменный интеграл I зависит от перекрытия вероятностей локализации
электронов в обоих атомах. Поэтому взаимодействие ограничивается непо-
средственно соседними атомами.
▲ При пренебрежении электронными столкновениями электроны с анти-
параллельными спинами притягиваются (Z > 0).
▲ Чистое диполь-дипольное взаимодействие не может быть причиной упо-
рядоченных объемов.
▲ Электроны проводимости оказывают влияние на состояние спинов элек-
тронов соседних атомов.
▲ Ферромагнетизм обусловлен электронами проводимости. Поэтому это
явление встречается только в металлах.
Рис. 29.127. Ориентация ато-
марных диполей под влия-
нием центрального диполя
Рис. 29.128. Обменное взаимодействие между
соседними атомами при помощи электронной
проводимости: 1 — электроны проводимости;
2 — атомы
2. Уравнение Ланжевена для ферромагнетиков
Молекулярное поле — модель поля, возникающая из-за спонтанного на-
магничивания:
Н МОЛ. ПОЛЯ ~~ ’ М.
Атомные магнитные моменты находятся под влиянием внешнего поля Н
и этого молекулярного поля. Намагничивание в этом случае равно:
хт 1 Цв(^ + AJW)
Без учета внешнего поля:
квТ
Рис. 29.129 иллюстрирует графические решения этого уравнения и их
температурную зависимость.
Уравнение не имеет решений, если градиент функции больше или
равен 1. Тогда намагничивание исчезает. Это происходит при температурах
выше температуры Кюри Тс\
NA^
т > тс = в
^в
Закон Кюри-Вейса описывает намагниченность при температурах Т > Тс:
„ Тс Н С
М = —-------, .
КТ-Тс) т-Тс
3. Магнитный гистерезис
Гистерезис — зависимость физического состояния в твердом теле от
предшествующих состояний.
Магнитный гистерезис — зависимость магнитной индукции от напря-
женности магнитного поля. Наблюдается у всех ферро- и ферримагнитных
веществ.
Кривая первоначального намагничивания — процесс намагничивания,
не подвергавшегося ранее воздействию внешнего поля образца как функция
приложенного магнитного поля.
Намагниченность насыщения Ms возникает тогда, когда все атомарные
диполи упорядочены параллельно друг другу. Целый образец состоит из од-
ного домена.
Остаточная магнитная индукция BR — остаточное намагничивание, ко-
торое наблюдается после насыщения, когда магнитное поле снова снижает-
ся до нуля.
Коэрцитивная сила Нс — напряженность магнитного поля, которая дол-
жна прикладываться противоположно к первоначальному направлению маг-
нитного поля, чтобы свести намагниченность М до нуля.
▲ Площадь фигуры, ограниченной петлей гистерезиса, характеризует энер-
гию потерь, т.е. поглощение магнитной энергии в материале при размаг-
ничивании.
▲ При малых изменениях напряженности поля домены обратимо сдвига-
ются.
Эффект Баркгаузена — необратимое движение доменных стенок и их
вращение при более сильных магнитных полях.
Рис. 29.130. Ферромагнитный гистерезис: Ms —
намагничивание насыщения; BR — остаточная
магнитная индукция; Нс — коэрцитивная сила
Рис. 29.131. Скачок Барк-
гаузена
На рис. 29.131 представлен участок гистерезисной петли в увеличенном
масштабе.
Мягкие магниты — магниты с узкой и неглубокой петлей гистерезиса.
Они обладают маленькой коэрцитивной силой и маленькой остаточной маг-
нитной индукцией.
Твердые магниты — магниты с петлей гистерезиса в виде прямоугольно-
го треугольника с большой коэрцитивной силой и большой остаточной маг-
нитной индукцией.
Ферромагнитные материалы имеют большое значение в техническом
применении. Магнитомягкие вещества используются в трансформаторах,
в электромагнитах или в качестве магнитного экранирования. Магнитот-
вердые материалы используют в качестве постоянных магнитов в генера-
торах и двигателях. Очень важно их применение как носителей инфор-
мации (например, аудио- и видеопленки, жесткие диски, стримерные
пленки).
29.8.2. Антиферромагнетизм и ферримагнетизм
Антиферромагнетизм и ферримагнетизм — существование областей крис-
таллической решетки с противоположно направленной намагниченностью.
В случае антиферромагнетизма намагничивание частично компенсирует-
ся, так как антипараллельно ориентированные магнитные моменты струк-
♦♦♦♦♦♦
+ + ♦ t 11
♦♦♦♦♦♦
+ i It 4 ♦
б)
Рис. 29.132. а — антиферромагнетик; б — ферримагнетик
турных элементов одинаковы по величине. Результирующее намагничива-
ние равно нулю, если в веществе нет доменов. Вещество ведет себя как диа-
магнетик. Температура Нееля TN — температура, выше которой все атомные
моменты из-за теплового движения принимают хаотичное расположение.
Материал становится парамагнетиком. Восприимчивость при температуре
Т > TN равна:
С
W гр гр ?
7 + 1N
где TN — температура Нееля.
Оксид магния (МпО) является примером антиферромагнетика.
В случае ферримагнетизма магнитные моменты областей решетки час-
тично компенсируются, так как антипараллельные магнитные моменты со-
седних структурных элементов решетки имеют различные значения модуля.
Вещество ведет себя как слабый ферромагнетик.
Рис. 29.133. Сравнение восприимчивости парамагнетика (а); ферромагнети-
ка (б) (со сложным поведением в заштрихованной области); ан-
тиферромагнетика (в); Тс — температура Кюри; TN — темпера-
тура Нееля
Оксид железа Fe2O3 представляет собой ферримагнетик. Атом железа в
этом соединении встречается в двухвалентной и трехвалентной форме. В
соответствии с этим существует два различных по величине атомных
магнитных момента.
> Трактовка антиферромагнетизма и ферримагнетизма проводится анало-
гично трактовке ферромагнетизма при помощи метода молекулярного
поля. Молекулярные поля обеих решеток имеют исключительно проти-
воположные знаки.
29.9. Диэлектрические свойства
Диэлектрик — это кристалл, проводимость которого примерно в 20 раз ме-
ньше, чем проводимость металлов. Емкость конденсатора увеличивается,
если между его пластинами поместить диэлектрик.
Поляризация Р — электрический дипольный момент твердого тела на
единицу объема.
Дипольная поляризация — ориента-
ция молекулы в электрическом поле.
Распределение заряда молекулы при
этом не меняется.
Поляризация смещения — смеще-
ние электрических зарядов в диэлект-
рике под влиянием электрического
поля Ё. Нейтральные молекулы превра-
щаются в диполи.
> В обоих случаях поляризация при-
водит к разделению заряда.
Рис. 29.134. Поляризация смещения:
1 — образованные за счет локально-
го поля El диполи; 2 — заряды, со-
зданные полем электризации EN
Индуцированные или постоянные диполи упорядочиваются электриче-
ским полем.
1. Электрическое смещение в диэлектриках
Электрическое смещение D характеризует электрическое поле в диэлект-
риках:
Электрическое смещение D ITL2
D = е0Ё + Р Символ Единица измерения Название
D Ё Р ЕО Кл -м~2 В-м-1 Кл-м-2 Кл-В-^м-1 Электрическое смещение Напряженность электриче- ского поля Электрическая поляризация Диэлектрическая постоянная
2. Разделение заряда в диэлектрике
Диэлектрическая восприимчивость х — величина, характеризующая спо-
собность диэлектриков к поляризации, х описывает макроскопические диэ-
лектрические свойства вещества.
> При слабых электрических полях электрическая поляризация пропор-
циональна напряженности электрического поля:
Р = £оХЁ ,
где х ~ диэлектрическая восприимчивость, Ё — напряженность электри-
ческого поля и с0 — диэлектрическая постоянная.
Есть некоторые исключения, когда в формуле появляется дополнитель-
ный член (например, сегнетоэлектрики).
Для небольших напряженностей электрического поля справедлива фор-
мула:
84 Глава 29. Физика твердого тела
Электрическое смещение D слабых электрических полей ГП/2
D = £0Ё + Sq/Ё = £О£ГЁ Ег = 1 + X Символ Единица измерения Название
D Ё X Кл -м-2 В кг1 1 Кл-В^м1 1 Электрическое смещение Напряженность электриче- ского поля Диэлектрическая восприим- чивость Диэлектрическая постоянная Диэлектрическая проницае- мость
> При помощи лазерного излучения создается настолько сильное электри-
ческое поле, что в этом случае нельзя пользоваться приближением ли-
нейной зависимости между поляризацией и напряженностью электриче-
ского поля. Поляризация раскладывается в степенной ряд:
Р = 8(Л + ^ + х'^2
Е
▲ В анизотропных веществах диэлектрическая проницаемость представля-
ет собой тензор.
▲ Диэлектрическая проницаемость зависит от частоты.
3. Поляризуемость и локальное поле
Поляризуемость сх, — величина, характеризующая способность частиц
приобретать дипольный момент р, под влияние электрического поля,
Р / — СС / ’ Е ь/ 5
где Ё и — напряженность локального электрического поля в точке i. Поляри-
зуемость является атомарной величиной и зависит от структуры ьфисталла.
Локальное поле Ё L — результат перекрытия внешнего поля Ё ext с полем
Ё РгоЬе диполя образца:
El — Е ext + Е рг0Ье •
> Как правило, ограничиваются геометрически простой формой образца,
такой как эллипсоид, сфера или шайба.
Диэлектризация Ё N — поле, созданное поверхностными зарядами образ-
ца (например, эллипсоид), зависящее от внешнего противоположно направ-
ленного поля и геометрии образца. Справедливо выражение:
Ё - Ё ext + Ё N
' 1
1
Ёд, = J-AT; N = ] 3
£0 1
О
эллипсоид
шар
шайба 1Ё ext
шайба 11Ё ext
29.9. Диэлектрические свойства
Поле Лоренца Е,- — электрическое поле в мнимом пространстве внутри
поляризованного диэлектрика:
N -
Ez = -Е^ =-—•₽.
£о
N определяется геометрической формой внутреннего пространства.
4. Поле диполя в кристаллической решетке
Поле диполя Е р(г) — электрическое поле на расстоянии г от точечного
диполя, находящегося в точке г = 0 с дипольным моментом р:
Электрическое поле диполя LT-ЗМГ1
ЁдГг)ЛГ-г)-г-^р 4л8оГ3 Символ Единица измерения Название
Ёд(г) г р £о В/м м Клм Кл/(Вм) Поле диполя Радиус-вектор Дипольный момент Диэлектрическая постоянная
Поле диполя в кристаллической решетке:
Ёр = ЕЁ Z)(r/).
i
> Поле диполя Ё D зависит от структуры решетки.
> Для всех решеток с кубической симметрией поле, обусловленное близ-
кими молекулами, равно нулю, т.е. дипольное поле равно нулю Ё D = 0.
Для решеток с тетрагональной структурой перовскита (-> высокотемпе-
ратурные сверхпроводники) это не так.
Локальное поле для кубических типов решетки в случае сферического
тела выгладит следующим образом:
Ё£ =Eext
£0 Э80
Это локальное поле создает локальную поляризацию атомов решетки.
▲ Для Nv одинакового типа атомов кристаллической решетки на единицу
объема поляризация образца выражается формулой:
Р = £07УКаЁ£ = 8о^Иа(Ё + • Р).
3s0
Поляризация сферического тела ITL2
Р = £о%Ё TVi/Oc Х= х 1 -~Nva 3 Символ Единица измерения Название
р X Ё Nv а Кл-м~2 1 Вм_| 1 1 Поляризация Диэлектрическая восприимчивость Напряженность электрического поля Плотность атомов в решетке Поляризуемость
38—3814
> Если кристалл состоит из различных сортов атомов различной поляризу-
емости, тогда эти атомы нужно просуммировать.
Диэлектрическая восприимчивость 1
^Niai Символ Единица измерения Название
X 1 Диэлектрическая воспри- имчивость
1 Число атомов i
0Ц 1 Поляризуемость атомов i
5. Электронная и ионная поляризация
Электронная поляризация — деформация и смещение электронных об-
лаков атома относительно практически точечного положительно заряженно-
го ядра атома (рис. 29.135).
> Электронная поляризация наблюдается всегда.
> В поле электромагнитного излучения электронная поляризация является
статической величиной. Она колеблется в такт электромагнитным вол-
нам. Ускоренные заряды излучают энергию: вынужденные колебания
электронного заряженного облака затухают. Поляризуемость cxi? а вместе
с ней и восприимчивость / являются комплексными числами. Диэлект-
рическая проницаемость гг также представляет собой комплексную вели-
чину.
▲ В диэлектрике, находящемся в электромагнитном переменном поле,
между оптическим параметром — показателем преломления п и коэффи-
циентом поглощения х, а так же диэлектрической восприимчивостью /
существует взаимосвязь:
Диэлектрическая проницаемость гг 1
гг = 1+ % = (/7 + JX)2 Символ Единица измерения Название
X п X j 1 1 1 1 Диэлектрическая прони- цаемость Диэлектрическая воспри- имчивость Показатель преломления Коэффициент поглощения Мнимая единица
Ионная поляризация встречается в ионных кристаллах. Положительные
и отрицательные ионы по-разному отклоняются в электрическом поле.
Полная поляризация представляет собой сумму ионной и электронной
поляризации.
29.9. Диэлектрические свойства
Рис. 29.135. Электронная поляризация в элект-
рическом поле Е. Заштрихованная площадь —
электронное заряженное облако; а — распреде-
ление заряда в атоме при нулевом поле; б — рас-
пределение заряда в атоме в присутствии поля
Рис. 29.136. Ионная поляриза-
ция в электрическом поле Е
29.9.1. Параэлектрики
Параэлектриками называют твердые тела, в которых присутствуют электри-
ческие диполи при нулевом внешнем электрическом поле.
Ориентационная поляризация aorient яв-
ляется функцией частоты и вследствие зату- ।
хания комплексной величиной: " * Z *
a - 030
orient — 1
1 -J®T
т — характеристическая постоянная времени
Рис. 29.137. Ориентационная
поляризация в параэлектрике
— время релаксации; ос0 — статическая поля-
ризуемость при приложении постоянного
электрического поля (постоянное во време-
ни поле).
Ориентационная поляризация встречается в жидких кристаллах.
> Диэлектрическая проницаемость ег = 1 + / при приложенном постоян-
ном электрическом поле (со = 0) для воды при комнатной температуре
равна 81.
В диапазоне видимого света эта величина составляет только 1,77. Поэто-
му вода прозрачна для света. Разница диэлектрических постоянных для по-
стоянного электрического поля и видимого света обусловлена ориентацион-
ной поляризацией. При высоких частотах затухание ориентационной поля-
ризации практически исчезает.
Диэлектрические потери w возникают при приложении электрического
поля за счет сопротивления поляризации:
w = Im(x) • £2со,
где Im(x) — мнимая часть комплексной электрической восприимчивости.
29.9.2. Ферроэлектрики
1. Электреты
Ферроэлектрические кристаллы также без внешнего электрического
поля обнаруживают внутреннюю спонтанную поляризацию.
Электреты — ферроэлектрические кристаллы с постоянным дипольным
моментом. На их поляризацию нельзя повлиять внешним магнитным полем.
> Электреты имеют аналогию с парамагнитными материалами.
Примерами электретов являются нейлон и воск.
А Как правило, ферроэлектрические кристаллы, как и ферромагнитные ве-
щества, имеют гистерезис.
> В случае электретов гистерезис представляет собой практически прямо-
угольный треугольник.
Рис. 29.138. Ферроэлектрический ги-
стерезис: Ps — спонтанная поляриза-
ция; Ес — коэрцитивная сила
Рис. 29.139. Влияние ионизирую-
щего излучения на распределение
заряда в электретах
Ферроэлектрическая температура Кюри Тс — температура, выше кото-
рой кристалл теряет свои ферроэлектрические свойства.
[м] Для изготовления электретов применяют тепловые или фотоэлектриче-
ские методы. Образец нагревается до температуры выше точки Кюри и в
этом состоянии вносится в сильное электрическое поле. Ориентирован-
ные в поле диполи замораживаются посредством охлаждения. Однако
это состояние не является состоянием теплового равновесия. В тепловое
равновесие образец переходит по прошествии времени релаксации т.
Для электретов время релаксации составляет годы.
▲ Ионизирующее излучение создает внутри электрета носители заряда. За
счет этого изменяется поверхностный заряд. Внутреннее поле меняет на-
правление.
Электреты находят применение в качестве детекторов излучения.
2. Пьезоэлектричество
Свойство диэлектрика поляризоваться при механических деформациях,
и наоборот, деформироваться под влиянием электрического поля (электро-
стрикция). Причиной пьезоэлектричества является различие модулей упру-
гости внутренних подрешеток из положительных и отрицательных ионов.
ООО
< •' •
ООО
0*0*0
а-&а
Рис. 29.140. Пьезоэлектричество (схематично): а — кристалл без механиче-
ского напряжения; б — кристалл с механическим напряжением
о; ДР — индуцированная механическим напряжением пьезоэ-
лектрическая поляризация
▲ Ионные кристаллы проявляют пьезоэлектрические свойства. Необходи-
мым условием для этого является отсутствие центров симметрии.
Преобразование давления в электрическое напряжение:
• пьезоэлектрические зажигалки для газа,
• пьезоэлектрические микрофоны.
Преобразование электрического напряжения в деформацию и обратно:
• кварцевый резонатор.
> Пьезоэлектрики не обязательно должны быть ферроэлектриками. При-
мер: кварц.
Доменами называются области ферроэлектриков, в которых поляриза-
ция имеет одинаковые направления для всех элементов структуры. Сосед-
ние домены имеют различную ориентацию.
▲ Размер доменов составляет несколько микрометров.
> До сих пор нет удовлетворительного объяснения ферроэлектричества с
микроскопической точки зрения.
29.10. Оптические свойства кристаллов
▲ Кристаллы, которые при комнатной температуре ведут себя как электри-
ческие изоляторы, обычно прозрачны.
▲ Бесцветные кристаллы в видимом спектральном диапазоне не имеют
возбужденных электронных и колебательных состояний.
> Длины волн в видимом спектральном диапазоне принимают значения от
360 до 740 нм. Этот диапазон длин волн соответствует энергиям от 3,4 до
1,7 эВ.
29.10.1. Экситон и его свойства
Экситон — это связанное состояние электрон-дырка. При образовании эк-
ситона высвобождается энергия связи Ев. Если для создания несвязанной
пары электрон-дырка необходима энергия, равная минимум энергии запре-
щенной зоны Е, то для создания связанной пары нужна меньшая чем Eg—
Ев энергия.
> Экситоны могут передвигаться по кристаллу. Они переносят энергию
возбуждения, но не переносят заряд.
Глава 29. Физика твердого тела
Рекомбинация — распад экситона. Электрон переходит обратно в неза-
нятое состояние (дырка). Энергия возбуждения высвобождается и в виде из-
лучения выходит из кристалла.
> Пару электрон-дырка можно рассматривать по аналогии с парой позит-
роний-атом (связанная система е+ е~).
Уровень энергии экситона для слабо связанных экситонов (экситоны
Мотта-Ванье), относительно верхней границы зоны валентности, выражает-
ся следующей формулой:
Энергия экситона Мотта-Ванье ML2T-2
Символ Единица измерения Название
En Дж Энергия экситона
Es Дж Запрещенная зона
Е - Е - U кг Приведенная масса системы
электрон-дырка
Oil Gq G г II Ш* кг Эффективная масса электрона
1 1 1 * кг Эффективная масса дырки
— — + * * e Кл Элементарный заряд
JJL ill Q iiij^ h Дж-С Постоянная Планка
Кл2Н-'- Диэлектрическая проницае-
м2 мость кристалла
eo А-с/(В-м) Диэлектрическая постоянная
n 1 Главное квантовое число
Оксид меди Си2О представляет собой кристалл, спектр поглощения ко-
торого при низких температурах описывается возбуждением экситонов
вышеприведенным уравнением.
[м] Спектры поглощения измеряются посредством устройства, изображен-
ного на рис. 29.142.
Рис. 29.141. Спектр поглощения Си2О
Экситон Френкеля — локализиро-
ванная на атоме кристаллической ре-
шетки связанная экситонная пара
электрон-дырка. Идеальный экситон
Френкеля перемещается в виде волны
по всему объему кристалла, электрон
и дырка всегда остаются друг возле
друга.
▲ В кристаллах галогенидов щелоч-
ных металлов экситоны с наимень-
шей энергией локализуются на от-
рицательных ионах галогенов.
▲ Чистые кристаллы галогенидов
щелочных металлов в видимой ча-
29.10. Оптические свойства кристаллов
Рис. 29.142. Оптический спектрометр: 1 —
W-спиральная нить накала; 2 — линза; 3 —
образец; 4 — дьюар; 5 — входная щель;
6 — фотоумножитель; 7 — круг Роуланда;
8 — вогнутая дифракционная решетка
Рис. 29.143. Схематическое
представление экситона
Френкеля, локализованно-
го на атоме кристалла гало-
генида щелочного металла
сти спектра прозрачны. Поглощение в ультрафиолетовом диапазоне об-
наруживает значительное структурирование.
29.70.2. Фотопроводимость
Фотопроводимость — рост электрической проводимости электрически изо-
лированного кристалла под влиянием излучения за счет перехода электрона
из валентной зоны в зону проводимости (в валентной зоне образуется дыр-
ка) вследствие фотонного поглощения.
▲ Как дырки, так и электроны вносят вклад в электронную проводимость.
Временное изменение концентрации электронов п в рамках простой мо-
дели (пары электрон-дырка одинаковой формы образуются по объему всего
кристалла; рекомбинация происходит при непосредственном уничтожении
пар электрон-дырка) выражается балансовым уравнением: В
Изменение концентрации электронов L3T 1
— = L - Ли2 dr Символ Единица измерения Название
« L А о Г? —1 СО £ о £ Концентрация электронов Вероятность поглощения Характеристика вероятно- сти рекомбинации
В стационарном состоянии — =0 справедливо выражение:
dr
Глава 29. Физика твердого тела
Постоянная времени t0 определяет уменьшение количества носителей
заряда после выключения источника света. Справедливо выражение:
п=^.
1 + -
k
В момент времени tQ концентрация носителей заряда уменьшается до nQ/2.
Чувствительность G — отношение фототока I к вероятности поглощения:
G = —-—, d — толщина образца.
L • d • е
Ловушки — дефекты кристалла, образующие энергетические уровни
между зоной валентности и зоной проводимости, тем самым создавая воз-
можность захвата электрона или дырки между энергетическими уровнями.
Ловушки влияют решающим образом на временное поведение фотопро-
водящей ячейки в экспонометре или люминесцентном слое электронно-
лучевой трубки.
29.10.3. Люминесценция
Люминесценция — поглощение энергии материей и следующее за тем по-
вторное испускание света в видимом спектральном диапазоне или соседних
диапазонах спектра.
> Тип возбуждения не играет никакой роли.
Люминофоры — кристаллические твердые тела, способные люминесци-
ровать.
Флуоресценция — испускание света во время возбуждения или в период
очень короткого времени порядка 10-8 с после возбуждения.
> Временной интервал 10~8 с соответствует приблизительно времени жиз-
ни атомарного энергетического состояния разрешенных электрических
переходов в видимом диапазоне.
Фосфоресценция — остаточное свечение в течение короткого промежут-
ка времени после выключения возбуждения.
> Время задержки может варьироваться в широких пределах: люминофоры
на основе земельно-щелочных соединений, сульфида цинка и силиката
цинка в зависимости от состава обладают длительностью остаточного
свечения от микросекунд (экран телевизора) до нескольких минут (све-
товые циферблаты).
> Многие твердые тела имеют небольшой КПД для преобразования других
форм энергии в излучение.
Активаторы — материалы, которые при введении в небольших количест-
вах в кристаллическую решетку тел значительного увеличивают КПД преоб-
разования энергии в излучение.
29.10.4. Оптоэлектронные свойства
Оптоэлектроника изучает явления, наблюдаемые при преобразовании элект-
рической энергии в оптическую и наоборот.
▲ Важнейшим конструктивным элементом оптоэлектронных устройств яв-
ляется полупроводниковый />-«-переход.
Светодиод (light emitting diode, LED) или люминесцентный диод выпол-
нен на основе /?-«-перехода.
Рис. 29.144. Схематичное представление р-n-перехода светодиода: 1 — ^-об-
ласть; 2 — «-область
При подаче напряжения в прямом направлении изгиб энергетических
зон уменьшается. Теперь для того, чтобы перейти из «-области в /^-область
электронам необходима энергия e(Ud — СТ). То же самое в обратном направ-
лении справедливо для дырок. Вблизи перехода электроны рекомбинируют
с дырками и испускают энергию запрещенной зоны Eg в виде фотонов.
▲ Светодиоды испускают почти монохроматический, но в общем случае
некогерентный свет с длиной волны
(Eg в эВ). Цвет светодиода определяется шириной запрещенной зоны.
▲ Заданная мощность излучения пропорциональна току.
▲ Светодиоды имеют долгий срок службы.
Лазерный диод выполнен на основе ^-«-перехода с очень высокой степе-
нью легирования nD « 1019 см (вырожденный полупроводник).
▲ Лазерные диоды создают когерентное излучение.
▲ Электроны заполняют зону проводимости в «-области. Дырки заполня-
ют валентную зону.
Инверсия населенности в лазерных диодах: энергетически высоко рас-
положенные уровни зоны проводимости заполняются электронами, в то
время как нижние состояния (область перехода активной зоны) остаются
свободными.
▲ Этим определяется основное условие вынужденного излучения лазера.
Резонаторные зеркала, необходимые для возникновения обратной связи,
образуют границы поверхностей полупроводникового кристалла. Зеркаль-
ные конечные плоскости представляют собой плоскости спайности кристал-
ла, которые расположены без наклона строго параллельно друг другу. Благо-
даря высокому показателю преломления полупроводников резонаторные
зеркала хорошо отражают.
Спонтанное излучение (см. главу «Атомная физика») наблюдается уже
при малых силах тока.
Пороговый ток /th — сила тока, больше силы тока спонтанного излу-
чения.
Продольные колебательные лазерные моды — стоячие волны, которые
представляют собой линии спектра. Из-за конечной длины L лазерного дио-
да (расстояние между отражающими плоскостями) могут образовываться
стоячие волны с длинами волн
« т L 1 л о
X =-----; т = 1,2,3,...
п 2
где п — показатель преломления кристалла.
ТАБЛИЦЫ К РАЗДЕЛУ
«КВАНТОВАЯ ФИЗИКА»
ГЛАВА 30
Обозначения, принятые в разделе «Квантовая физика»
Символ Единица измерения Название
сх Кл-м2Вт-1 Поляризуемость
ОС 1 Постоянная тонкой структуры
сх 1 Постоянная Маделунга
₽ 1 Усиление малых сигналов тока
г МэВ Ширина распада
д 1/м2 Оператор Лапласа
Е 1 Энергия/(т0с2)
£ 1 Деформация
£ 1 Эффективность подвода энергии
Е 1 Коэффициент умножения
Е Дж Энергия электрона
Е Дж Параметр Леннарда-Джонса
Дж Энергия пары
^0 А-с/Вт-м Диэлектрическая постоянная
dz/dt С"1 Скорость деформации
П 1 Импульс/(тос)
П 1 Коэффициент полезного действия (КПД)
По Н • м 2 • с Динамическая вязкость
е, о рад Угол
Od К Температура Дебая
х/р м2/кг Массовый коэффициент ослабления пары
X 1 Коэффициент поглощения
X Ом1 •м1 Электрическая проводимость
X 1/с Постоянная распада
X Вт/(м-К) Т еплопроводность
X м Длина волны
Символ Единица измерения Название
Л м Средняя длина свободного пробега
И 1/м Линейный коэффициент ослабления
ц кг Приведенная масса
Ц Дж/Тл Магнитный момент
И Дж Химический потенциал
Ив Дж/Тл Магнетон Бора
Нк Дж/Тл Ядерный магнетон
Дж/Тл Оператор магнитного момента
Нп м2/(В • с) Подвижность электронов
Цр м2/(В-с) Подвижность дырок
V 1 Среднее число нейтронов
л 1 Четность
р м-3 Плотность частиц
о/р м2/кг Массовый коэффициент ослабления Комптона
а барн (б, бн) Эффективное сечение
G Дж/(м2-К4) Постоянная Стефана-Больцмана
а Нм-2 Напряжение
о 1 Постоянная экранирования
G м Параметр Леннарда-Джонса
т/р м2/кгс Коэффициент массового ослабления в случае фотоэффекта
т с Среднее время жизни
т с Время релаксации
Ф(г) 1/м2 Флюенс частиц
ф(г, 0 1/(м2-с) Плотность потока частиц
Фобш Вт Полный поток излучения
Ф 1/(м2-с) Плотность потока частиц после абсорбера
Ф рад Угол рассеяния
X 1 Электрическая восприимчивость
Xd 1 Динамическая восприимчивость
Xm 1 Магнитная восприимчивость
Хц м-1 Молекулярная восприимчивость
4> M-V2 Волновая функция
Vi(f) М-V2 Функция состояния
ш D рад/с Частота Дебая
Обозначения, принятые в разделе «Квантовая
Символ Единица измерения Название
0) рад/с Круговая частота
Q ср Телесный угол
а м Постоянная решетки
ас МэВ Коэффициент кулоновской энергии
ао МэВ Коэффициент поверхностной энергии
МэВ Коэффициент симметрии
av МэВ Объемная энергия на нуклон
А бк Радиоактивность
А м3*с-1 Вероятность рекомбинации
А 1 Массовое число
А 1 Усиление
b м-К Постоянная Вина
В 1 Барионное число
в 1 Квантовое число прелесть
в Дж Энергия связи
в Тл Магнитная индукция
с м/с Скорость света
cv Дж/(кг*К) Теплоемкость
С Ф Емкость конденсатора
с Дж*м6 Постоянная взаимодействия Ван-дер-Ваальса
с 1 Квантовое число очарование
с 1 Оператор сопряженного заряда
Се Дж К"1 Теплоемкость электронного газа
сп кг*с-2 Упругая постоянная
Cel Дж К1 Теплоемкость электронного газа
Qh Дж* К-1 Теплоемкость фононного газа
d м Расстояние между плоскостями
dn м Ширина области отрицательного пространственного заряда
dp м Ширина области положительного пространственного заряда
D грей Поглощенная доза излучения
D А*с*м-2 Электрическая плотность смещения
7)(co) с Плотность состояния
e Ас Элементарный заряд
£ Нм2 Модуль упругости
Символ Единица измерения Название
Е Дж Энергия
dE Дж Интервал энергии
Ё B-м’1 Напряженность электрического поля
Ев Дж Энергия связи
ED(f) В/м Поле диполя
Ef Дж Энергия Ферми
Ег Дж Энергетический дефицит
Ei Дж Энергия ионизации
Е ькин Дж Кинетическая энергия
El Дж Нижняя граница зоны проводимости
en Дж Энергия экситона
Ev Дж Энергия образования вакансий
Ev Дж Верхняя граница валентной зоны
f 1/с Частота
f 1 Число степеней свободы
f 1 Вероятность расщепления
1 Распределение Ферми
F н Сила
1 Функция Ферми
Ps кг • м •с-2 Сила деформации
G Н • м2/кг2 Гравитационная постоянная
G Нм-2 Модуль упругости при сдвиге
g 1 Фактор Ланде
gi 1 Весовой коэффициент
gs, gi 1 g- фактор
h Дж-с Постоянная Планка
h Дж-с Приведенная постоянная Планка (А/2л)
H зиверт (Зв) Эквивалентная доза ионизирующего излучения
H Дж Оператор Гамильтона
I кг-м2 Момент инерции
I Дж Средняя энергия ионизации
I 1 Квантовое число изоспин
1,1 J Дж-с Полный момент импульса
Jsd А Запирающий ток диода
Символ Единица измерения Название
Д/в А Изменение тока базы
Д/с А Изменение тока коллектора
j 1 Мнимая единица
Ja Вт • \г2 Плотность теплового тока
J 1 Вращательное квантовое число
J, J 1 Квантовое число момента импульса
к Дж/К Постоянная Больцмана
к 1 Коэффициент размножения
к М’1 Модуль волнового вектора
к, К м-1 Волновой вектор
кв Дж-К’1 Постоянная Больцмана
kF м-1 Импульс Ферми
К м-1 Волновое число
К грей Керма
i,l Дж-с Орбитальный момент импульса
L 1 Интенсивность натекания
L 1 Лептонное число
L с-1м-3 Вероятность поглощения
L, 1 1 Квантовое орбитальное число
4,у(П Вт-с/(м2-ср) Спектральная плотность излучения
т КГ Масса частицы
т* КГ Эффективная масса
те КГ Масса электрона
mi 1 Магнитное квантовое число
тм КГ Масса молекулы
М КГ Атомная масса
М кг/моль Молярная масса
м. 1 Средняя относительная масса молекулы
п м-3 Плотность вакансий
п м-3 Плотность свободных электронов
п, т 1 Главное квантовое число
д(со, Т) 1 Функция распределения Бозе-Эйнштейна
"А м3 Концентрация акцепторов
"р м3 Концентрация доноров
Символ Единица измерения Название
Hi м3 Внутренняя плотность носителей заряда
nL м-3 Эффективная плотность электронов в зоне проводимости
Пу 1 Эффективная плотность дырок
N м-3 Плотность частиц
#i,TV2 1 Населенность
Na 1 Число Авогадро
p М’3 Плотность дырок
p 1 Вероятность избежания резонансного захвата
p кг м/с Импульс
p, d Кл м Электрический дипольный момент
p Ас-м-2 Электрическая поляризация
P£<r) 1/(Дж-с-ср-м2) Спектральная радиация частиц
p 1 Оператор зеркального отображения
Q Ас Заряд
Q Дж Энергия излучения
Q Дж Количество теплоты ядерной реакции
Rbe Ом Дифференциальное входное сопротивление
Rce Ом Дифференциальное выходное сопротивление
rn м Радиус орбиты Бора
R^ 1/м Постоянная Ридберга для бесконечно тяжелого ядра
Rc Ом Сопротивление коллектора
Rh 1/м Постоянная Ридберга для атома водорода
s,S Дж-с Спин
5 МэВ/см Замедляющая способность
5 1 Квантовое число странность
S, s 1 Спиновое квантовое число
T К Температура
f 1 Оператор обращения времени
TF К Температура Ферми
Tin с Период полураспада
Tc Дж Кулоновский порог
и Дж/м3 Плотность энергии излучения
и КГ Атомная единица массы
Рк м Сдвиг k-Й плоскости кристаллической решетки
Символ Единица измерения Название
uk(f) М-З/2 Периодическая функция
uv(v,T) Дж • с/м3 Спектральная плотность энергии излучения
Us м Сдвиг ПЛОСКОСТИ 5
Us+1 м Сдвиг плоскости, отстоящей на расстоянии п а
U Дж Внутренняя энергия
U(R) Дж Энергия связи
u0 В Ускоряющее напряжение
Ua в Выходное напряжение
UD в Дифференциальное напряжение
UD в Диффузное напряжение
Ue в Входное напряжение
un в Входное напряжение
Un в Напряжение на инвертирующем входе
u„ в Напряжение на неинвертирующем входе
UT в Температурное напряжение
в Изменение напряжения базы
Д^СЕ в Изменение выходного напряжения
V м3 Объем
Г(г) Дж Потенциал
V 1 Колебательное квантовое число
V м/с Средняя скорость фононов
*41 м/с Средняя скорость электронов
м/с Групповая скорость электронных волн
Vr 1 Коэффициент обратной связи по напряжению
W 1 Вероятность локализации
WA Дж Работа выхода
Дж Работа ионизации
z 1 Порядковый номер элемента
z Ом Комплексное сопротивление
z" 1 Эффективный порядковый номер элемента
39—3814
30.1. Потенциалы ионизации
30.1/1. Энергия ионизации элементов
В приведенной ниже таблице указаны энергии ионизации £( в эВ для эле-
ментов и различных заряженных состояний.
Z Степень ионизации
1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10+ 11+ 12+
1 н 3,598
2 Не 24,587 54,416
3 Li 5,392 75,638 122,451
4 Be 9,322 18,211 153,893 217,713
5 В 8,298 25,154 37,930 259,368 340,217
6 С 11,260 24,383 47,887 64,492 392,077 489,981
7 N 14,534 29,601 47,448 77,472 97,888 552,057 667,029
8 О 13,618 35,116 54,934 77,412 113,896 138,116 739,315 871,387
9 F 17,422 34,970 62,707 87,138 117,240 157,161 185,182 953,886 1103,89
10 Ne 21,564 40,962 63,45 97,11 126,21 157,93 207,27 239,09 1195,797 1362,164
11 Na 5,139 47,286 71,64 98,91 138,39 172,15 208,47 264,18 299,87 1465,091 1648,659
12 Mg 7,646 15,035 80,143 109,24 141,26 186,50 224,94 265,90 327,95 367,53 1761,802 1962,613
13 Al 5,986 18,828 28,447 119,99 153,71 190,47 241,43 284,59 330,21 398,57 442,07 2085,983
14 Si 8,151 16,345 33,492 45,141 166,77 205,05 246,52 303,17 251,10 401,43 476,06 523,50
15 P 10,486 19,725 30,18 51,37 65,023 230,43 263,22 309,41 371,73 424,50 479,57 560,41
16 S 10,360 23,33 34,83 47,30 72,68 88,049 280,93 328,23 279,10 447,0,9 504,78 564,65
17 Cl 12,967 23,81 39,61 53,46 67,8 98,03 114,193 348,28 400,05 455,62 529,26 591,97
18 Ar 15,759 27,629 40,74 59,81 75,02 91,007 124,319 143,456 422,44 478,68 538,95 618,24
19 К 4,341 31,625 45,72 60,91 82,66 100,00 117,56 154,86 175,814 503,44 564,13 629,09
20 Ca 6,113 11,871 50,908 67,10 84,41 108,78 127,70 147,24 188,54 211,270 591,25 656,39
21 Sc 6,54 12,80 24,76 73,47 91,66 111,1 138,0 158,7 180,02 225,32 249,832 685,89
22 Ti 6,82 13,58 27,491 43,266 99,22 119,36 140,8 168,5 193,2 215,91 265,23 291,497
23 V 6,74 14,65 29,310 46,707 65,23 128,12 150,17 173,7 205,8 230,5 255,04 308,25
24 Cr 6,766 16,50 30,96 49,1 69,3 90,56 161,1 184,7 209,3 244,4 270,8 298,0
25 Mn 7,435 15,640 33,667 51,2 72,4 95 119,27 196,46 221,8 248,3 286,0 314,4
26 Fe 7,870 16,18 30,651 54,8 75,0 99 125 151,06 235,04 262,1 290,4 330,8
27 Co 7,86 17,06 33,50 51,3 79,5 102 129 157 186,13 276 305 336
Степень ионизации
Z 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10+ 11+ 12+
28 Ni 7,635 18,168 35,17 54,9 75,5 108 133 162 193 224,5 321,2 352
29 Cu 7,726 20,292 36,83 55,2 79,9 103 139 166 199 232 266 368,8
30 Zn 9,394 17,964 39,722 59,4 82,6 108 134 174 203 238 274 310,8
31 Ga 5,999 20,51 30,71 64
32 Ge 7,899 15,934 34,22 45,71 93,5
33 As 9,81 18,633 28,351 50,13 62,63 127,6
34 Se 9,752 21,19 30,820 42,944 68,3 81,70 155,4
35 Br 11,814 21,8 36 47,3 59,7 88,6 103,0 192,8
36 Kr 13,99 24,359 36,95 52,5 64,7 78,5 111,0 126 230,39
37 Rb 4,177 27,28 40 52,6 71,0 84,4 99,2 136 150 277,1
38 Sr 5,695 11,030 43,6 57 71,6 90,8 106 122,3 162 177 324,1
39 Y 6,38 12,24 20,52 61,8 77,0 93,0 116 129 146,52 191 206 374,0
40 Zr 6,84 13,13 22,99 34,84 84,5
41 Nb 6,88 14,32 25,04 38,3 50,55 102,6 125
42 Mo 7,099 16,15 27,16 46,4 61,2 68 126,8 153
43 Tc 7,28 15,26 29,54 43 59 76 94 161 183 185
44 Ru 7,37 16,76 28,47 46,5 63 81 100 119 192 216
45 Rh 7,46 18,08 31,06 45,6 67 85 105 126 147 225
46 Pd 8,34 19,43 32,93 48,8 66 90 110 132 155 178
47 Ag 7,576 21,49 34,83 52 70 89 116 139 162 187
48 Cd 8,991 16,904 4405 550 73 94 115 146 170 185
49 In 5,785 19,86 28,0 58 77 98 120 144 178 204
50 Sn 4,332 14,63 30,7 46,4 81,1 103 126 150 176 213
51 Sb 8,64 16,7 24,8 44,1 63,8 107,6 132 157 184 211
52 Те 9,01 18,8 30,6 37,9 66 83 137,1 164 192 220
53 I 10,44 19,0 31,4 41,7 71 83 104 169,9 200 229
54 Xe 12,127 21,2 32,1 45,5 57 89 102 126 204,3 238
55 Cs 3,893 25,1 34,6 45,5 62 74 108 122 150 256
56 Ba 5,210 10,01 37 48,8 62 80 93 106 144 158
57 La 5,61 11,43 19,17 52 66 80 100 114 151 165
58 Ce 6,91 12,3 19,5 36,7 70 85 100 122 137 172
59 Pr 5,76 10,55 21,62 39,95 57,45
60 Nd 5,49 10,72
z Степень ионизации
1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10+ 11+ 12+
61 Pm 5,55 10,90
62 Sm 5,63 11,07
63 Eu 5,67 11,25
64 Gd 6,14 12,1
65 Tb 5,85 11,52
66 Dy 5,93 11,67
67 Ho 6,02 11,80
68 Er 6,10 11,93
69 Tm 6,18 12,05 23,71
70 Yb 6,254 12,17 25,2
71 Lu 5,426 13,9 19
72 Hf 7,0 14,9 23,3 33,3
73 Ta 7,89 16,2 22,3 33,1 45
74 W 7,98 17,7 24,1 35,4 48 61
75 Re 7,88 16,6 26 37,7 51 64 79
76 Os 8,7 17 25 40 54 68 83 99
77 Ir 9,1 17,0 27 39 57 72 88 104 121
78 Pt 8,96 18,54 28,5 41,1 55 75 92 109 127 146
79 Au 9,223 20,5 30,5 43,5 58 73 96 114 133 153
80 Hg 10,434 18,761 34,21 46 61 77 94 120 139 159
81 TI 3,106 20,42 29,8 50,7 64 81 98 116 145 166
82 Pb 7,415 15,03 31,93 42,3 69,73 84 103 122 142 173
83 Bi 7,287 19,3 25,6 45,3 56 94,42 107 127 148 169
84 Po 8,2 19,4 27,3 38 61 73 112 132 154 176
85 At 9,2 20,1 29,3 41 51 78 91 138 160 183
86 Rn 10,745 21,4 29,4 43,8 55 67 97 111 166 190
87 Fr 3,98 22,5 33,5 43 59 71 84 117 133 197
88 Ra 5,277 10,144 34,3 46,4 58,5 76 89 103 140 156
89 Ac 6,89 11,5 - 49 62 76 95 109 123 164
90 Th 6,95 11,5 20,0 28,7 65 80 94 115 130 145
91 Pa - - - - - 84 100 115 138 154
92 U 6,2 - - j - - 104 121 |137 126
30.1/2. Энергия ионизации соединений азота
Молекула Ej, эВ Молекула Ej, эВ Молекула Eb эВ Молекула Еь эВ
NH 13,10 c2h5nh2 9,32 c5n 12,0 NH3 10,3
nh2 H,4 c2h3cn 10,75 c6h7n 7,70 CH3N3 9,5
NH3 10,15 c2h5cn 11,85 c7h9n 7,34 NF 12,0
ND3 11,52 C3N 14,3 n2 15,51 nf2 12,0
CN 15,13 C3HN 11,6 N? 50 NF3 13,2
HCN 13,86 CH3CHCN 9,76 n2h2 9,85 ch2fcn 13,0
CH3NH2 9,41 C3H5NH2 9,6 n2h3 7,88 n2f4 12,04
ch5n 8,97 n - C3H7NH2 9,17 n2h4 9,56 CNC1 12,49
c2n 12,8 (CH3)3N 8,32 CH3N - NH2 5,07 CH2C1CN 12,2
ch2cn 10,87 c4n 12,3 c2n2 13,8 CNBr 11,95
CH3CN 11,96 (CH3)2CCN 9,15 (CH3)2N - nh2 8,12 CNI 10,98
c2h5n 9,94 n - C4H9NH2 9,19 (ch3)3n2 4,95
(CH3)2NH 8,4 (C6H5)2NH 8,44 NCC = CCN H,4
30.1/3. Энергия ионизации углеводородных соединений
Молекула эВ Молекула Д, эВ
Н2 15,427 С5Н2= С(СН3) - сн = сн2 8,85
Графит 3,8 СН3СН2ССН3= сн2 9,12
СН2 11,82 СН3СН2СН2СН = сн2 9,50
сн 9,86 С5Н12 10,37
CD3 9,95 С6н4 10,23
СН4 12,99 С6Н6 9,245
cd4 13,25 СН2 = С(СН3 - С)СН3 = сн2 8,72
с2н2 11,41 С6Н10 8,945
С2Н3 9,45 С4Н9СН = сн2 9,46
С2Н4 10,516 (СН3)2СНСН = снсн3 8,30
(С4н8)4 9,23 С6Н12 9,08
С2н5 8,80 С6Н14 10,17
С2Н6 11,65 С7Н7 7,73
С3Н3 8,25 С7Н8 8,820
С3НС = сн 10,34 СН3С6Нн 9,86
Молекула £;, эВ Молекула эВ
СН3СН = сн2 9,73 С7Н16 10,06
С3Н8 11,08 С6Н5СН = сн2 8,86
сн = с - с = сн 10,73 (СН3)2С6Н4 8,56
сн2 = сн - сн = сн2 9,07 С6Н5СН2СН3 8,76
СН3С = ссн3 11,46 С6Н13СН = сн2 9,52
СН3СН2СН = сн2 9,58 С8Н18 10,24
(СН3)2С = сн2 9,23 С6Н5С3Н7 8,72
СН3С3Н5 9,88 С9Н20 1021
с4н10 9,08 СюН8 8,12
с5н6 8,58 Ci4H10 7,38
30.1/4. Энергия ионизации галогенных соединений
Молекула эВ Молекула £„ эВ Молекула £„ эВ Молекула Ei9 эВ
HF 15,77 c6f5ch3 9,6 c2H3ci 9,995 СНё2Вг2 10,8
f2 15,83 HC1 12,74 C12C = сн2 9,79 C2H3Br 9,80
CF 13,81 C1F3 13,0 zykl — C1HC - CHC1 9,67 zykl - BrHC-CHBr 9,69
cf2 13,30 Cl2 11,48 C2F2C12 10,0 C2HBr3 9,27
chf2 9,45 CC1 12,9 c2f3ci 10,4 C2H5Br 10,29
CF3 10,10 CC12 13,10 C2C14 9,5 CH3-C = CBr 10,1
CH3F 12,85 CH2C1 9,70 C2H5C1 10,97 C6H5Br 9,41
cf7 17,8 CC12 8,78 CH3C = CC1 9,9 HI 10,38
c2h3f 10,37 CH3C1 11,28 HBr 11,62 IF5 13,5
H2C = cf2 10,30 CF3C1 12,92 c6H5ci 9,07 IC1 10,4
c2hf3 10,14 CC1F 13,13 Br2 10,55 IBr 10,3
C2H4 10,12 CC12F 8,96 BrCl H,1 I2 9,28
c2h5f 12,00 CC13 7,92 CBr 10,11 CH3I 9,51
CH2= CHCF3 10,9 CC14 11,1 CH2Br 8,34 CF3I 10,0
c6h4f 10,86 CH2C12 П,4 CHBr2 8,13 C2H5I 9,33
c6h5f 9,197 CF2C12 11,8 CH3Br 10,54 fl-C3H7I 9,41
c6cif5 10,4 CHC13 11,42 CHBrF2 12,1 CH2-C4H9 9,19
C6BrF5 9,6 C2HC13 9,47 CF3Br j 12,3 C6H5I 9,10
30.1/5. Энергия ионизации соединений кислорода
Молекула Е„ эВ Молекула Ej, эВ Молекула Et, эВ
он 13,18 о2 14,01 FO 13,0
Н2О 12,60 0+ 50 F2O 13,7
со 14,01 но2 11,53 (CF3)2C = О 11,82
со+ 43 Н2О2 1092 СЮ 10,4
СН2О 10,90 со2 13,79 СОС12 11,77
СН3О 9,2 нсоо 9,0 СН2С1СОСН3 9,91
СН2ОН 8,2 соон 8,7 СНС12СОСН3 10,12
СН3ОН 10,95 нсоон 11,05 С1О2 ИД
СН2 = С = О 9,60 HFC = О 11,4 С1О3 11,7
С2Н5О 9,2 сносно 9,48 C1O3F 13,6
С2Н4ОН 7,0 (Н2СО)2 10,51 NO 9,25
С2Н5ОН 10,25 СН3СООН 10,38 nh2hc = о 10,16
(СНз)2О 10,00 НСООСНз 10,82 n2o 12,63
п - С3Н7ОН 10,42 СН3СОСНО 9,60 no2 9,78...12,3
п - С4Н9ОН 10,30 С2Н5СООН 10,47 ch5ono 10,7
(С2Н5)2О 9,53 СН3СООСН3 10,27 CH3NO2 11,34
С6Н5ОН 8,50 п - С3Н7СООН 10,2
(С6Н5)НС = О 9,51 Оз 11,7
30.1/6. Энергия диссоциации двухатомных молекул
Моле- кула Ed, эВ Моле- кула Ed, эВ Моле- кула Ed, эВ Моле- кула Ed, эВ Моле- кула Ed, эВ
Ag2 1,8 ВО 7,45 CsBr 4,3 I2 1,54 NaK 0,61
AgBr 3,1 BaBr 2,8 CsCl 4,4 IBr 1,82 n2 9,76
AgCl 3,4 BaCl 2,7 CsF 5,0 IC1 2,15 NBr 2,9
AgH 2,36 BaF 3,8 CsH 1,9 IF 2,9 NF 2,6
Agl 2,6 BaH 1,8 Csl 3,6 IO 1,9 NH 3,6
AgO 2,5 BaO 4,7 Cu2 0,2 K2 0,51 NO 3,5
AgSn 2,55 BaS 2,4 CuBr 3,4 KBr 3,95 NS 5,0
AlBr 4,6 BeCl 4,8 CuCl 3,7 KC1 4,4 O2 5,1
A1C 1,9 BeF 7,0 CuF 3,0 KF 5,1 OH 4,4
A1C1 5,1 BrCl 2,23 CuH 2,9 KH 1,86 p2 5,0
A1F 7,65 BrF 2,4 Cui 3,0 KI 3,33 Rb2 0,48
A1H 2,9 BrO 2,4 CuO 4,8 Li2 1,1 RbBr 4,0
All 3,84 CaBr 2,9 d2 4,55 LiBr 4,4 RbCl 4,4
A1O 5,0 CaCl 2,8 f2 1,6 LiCl 4,8 RbF 5,4
AIS 3,5 CaF 3,1 FO 1,9 LiF 6,0 RbH 1,8
AsN 6,6 CaH 1,7 H2 4,48 LiH 2,4 Rbl 3,3
AsO 5,0 Cal 2,8 HD 4,51 Lil 3,6 S2 4,3
Au2 2,28 CaO 5,0 HT 4,52 LiO 3,43 SF 2,8
AuAl 3,1 CaS 3,0 HBr 3,75 MnBr 3,2 SH 3,5
AuCl 3,1 c2 6,2 HC1 4,43 MnCl 3,9 SO 5,3
AuCr 2,2 CC1 2,8 HF 5,9 MnF 5,0 Tl2 4,59
AuCu 2,4 CF 4,7 HI 3,05 MnH 2,2 TIBr 3,4
AuH 3,1 CH 3,47 Hg2 0,06 MnO 3,4 T1C1 3,8
AuMg 2,7 CN 8,4 HgBr 0,7 Na2 0,7 T1F 4,7
AuSn 2,55 CO H,1 HgCl 1,0 NaBr 3,8 T1H 2,0
BBr 4,5 Cl2 2,48 HgF 1,8 NaCl 4,2 TH 2,8
BC1 5,2 C1F 2,6 HgH 0,38 NaF 5,0 ZnCl 2,6
BF 8,1 CIO 2,8 Hgl 0,36 NaH 2,1 ZnH 0,85
BH 3,0 Cs2 0,45 HgS 2,8 Nal 3,1 Znl 1,4
30.2. Атомные и ионные радиусы элементов
Атомные и ионные радиусы элементов зависят от метода измерения. Поэто-
му приведенные в следующей таблице данные атомных и ионных радиусов
следует рассматривать как ориентировочные значения.
30.2/1. Атомные и ионные радиусы элементов
Поряд- ковый номер Эле- мент За- ряд Радиус, нм Поряд- ковый номер Эле- мент За- ряд Радиус, нм Поряд- ковый номер Эле- мент За- ряд Радиус, нм
1 Н -1 0,154 16 S -2 0,184 28 Ni 0 0,121
0 0,46 0 0,095 +2 0,069
2 Не 0 0,122 4-2 0,219 +3 0,035
3 Li 0 0,155 +4 0,037 29 Си 0 0,128
+1 0,068 +6 0,030 +1 0,096
4 Be 0 0,113 17 С1 -1 0,181 4-2 0,072
+1 0,044 0 0,089 30 Zn 0 0,139
+2 0,035 +5 0,034 +1 0,088
5 В 0 0,091 4-7 0,027 +2 0,074
+1 0,035 18 Аг 0 0,192 31 Ga 0 0,139
+3 0,023 +1 0,154 +1 0,081
6 С -4 0,260 19 К 0 0,236 +3 0,062
0 0,077 +1 0,133 32 Ge -4 0,272
+4 0,016 20 Са 0 0,197 0 0,139
7 N -3 0,171 +1 0,118 4-2 0,073
0 0,071 +2 0,099 +4 0,053
+3 0,016 21 Sc 0 0,164 33 As -3 0,222
+5 0,013 +3 0,073 0 0,148
8 0 -2 0,132 22 Ti 0 0,146 4-3 0,058
-1 0,176 +1 0,096 4-5 0,046
0 0,056 +2 0,094 34 Se -2 0,191
+1 0,022 +3 0,076 -1 0,232
+6 0,009 +4 0,068 0 0,160
9 F -1 0,133 23 V 0 0,134 4-1 0,066
0 0,053 +2 0,088 +4 0,050
4-7 0,007 +3 0,074 4-6 0,042
Поряд- ковый номер Эле- мент За- ряд Радиус, нм Поряд- ковый номер Эле- мент За- ряд Радиус, нм Поряд- ковый номер Эле- мент За- ряд Радиус, нм
10 Ne 0 0,160 +4 0,063 35 Вг -1 0,196
+1 0,112 +5 0,059 0 0,105
11 Na 0 0,189 24 Сг 0 0,127 +5 0,047
+1 0,097 +1 0,081 +7 0,039
12 Mg 0 0,160 4-2 0,089 36 Кг 0 0,198
+1 0,082 +3 0,063 37 Rb 0 0,248
+2 0,066 +6 0,052 +1 0,147
13 Al 0 0,143 25 Мп 0 0,130 38 Sr 0 0,215
+3 0,051 4-2 0,080 4-2 0,112
14 Si -4 0,271 +3 0,066 39 Y 0 0,181
-1 0,384 +4 0,060 4-3 0,089
0 0,134 +7 0,046 40 Zr 0 0,160
+1 0,065 26 Fe 0 0,126 +1 0,109
+4 0,042 4-2 0,074 4-2 0,074
15 P -3 0,212 +3 0,064 41 Nb 0 0,145
0 0,130 27 Со 0 0,125 4-1 0,100
+3 0,044 4-2 0,072 4-4 0,074
+5 0,035 +3 0,063 +5 0,069
42 Mo 0 0,139 +1 0,139 77 Ir 0 0,135
+1 0,093 +3 0,106 4-4 0,068
+4 0,070 +4 0,090 78 Pt 0 0,138
+6 0,062 58 Се 0 0,183 4-2 0,080
43 Tc 0 0,136 +1 0,127 +4 0,065
+7 0,098 +3 0,103 79 Au 0 0,144
44 Ru 0 0,134 +4 0,092 +1 0,137
+4 0,067 59 Рг 0 0,182 +3 0,085
45 Rh 0 0,134 +3 0,101 80 Hg 0 0,160
+3 0,068 +4 0,090 +1 0,127
+4 0,065 60 Nd 0 0,182 4-2 0,110
46 Pd 0 0,137 +3 0,099 81 TI 0 0,171
+2 0,080 61 Pm 0 — +1 0,147
+4 0,065 +3 0,098 +3 0,095
47 Ag 0 0,144 62 Sm 0 0,181 82 Pb 0 0,175
+1 0,126 +3 0,096 4-2 0,080
Поряд- ковый номер Эле- мент За- ряд Радиус, нм Поряд- ковый номер Эле- мент За- ряд Радиус, нм Поряд- ковый номер Эле- мент За- ряд Радиус, нм
+2 0,089 63 Ей 0 0,202 +4 0,065
48 Cd 0 0,156 +2 0,109 83 Bi -4 0,213
+1 0,114 +3 0,095 0 0,182
+2 0,097 64 Gd 0 0,179 +1 0,098
49 In 0 0,166 +3 0,094 +3 0,096
+1 0,130 65 Tb 0 0,177 +5 0,071
+3 0,081 +3 0,092 84 Ро +6 0,067
50 Sn -4 0,294 +4 0,084 85 At 4-7 0,062
-1 0,370 66 Dy 0 0,177 87 Fr 0 0,280
0 0,158 +3 0,091 +1 0,180
+2 0,093 67 Но 0 0,176 88 Ra 0 0,235
+4 0,071 +3 0,089 +2 0,143
51 Sb -3 0,245 68 Er 0 0,175 89 Ac 0 0,203
0 0,161 +3 0,088 +3 0,118
+3 0,076 69 Tm 0 0,174 90 Th 0 0,180
+5 0,062 +3 0,087 +4 0,102
52 Те -2 0,211 70 Yb 0 0,193 91 Pa 0 0,162
-1 0,250 +3 0,081 +3 0,113
0 0,170 71 Lu 0 0,174 +4 0,098
+1 0,082 +3 0,085 +5 0,089
+4 0,070 72 Hf 0 0,159 92 U 0 0,153
+6 0,056 +4 0,078 +4 0,097
53 I -1 0,220 73 Ta 0 0,146 +6 0,080
0 0,124 +5 0,068 93 Np 0 0,150
+5 0,062 74 W 0 0,140 +3 0,110
+7 0,050 +4 0,070 +4 0,095
54 Хе 0 0,218 +6 0,062 +7 0,071
55 Cs 0 0,268 75 Re 0 0,137 94 Pu 0 0,162
+ 1 0,167 4-4 0,072 +3 0,108
56 Ba 0 0,221 +7 0,056 +4 0,093
+1 0,153 76 Os 0 0,135 95 Am 4-3 0,107
4-2 0,134 +4 0,088 +4 0,092
57 La 0 0,187 +6 0,069
212 Глава 30. Таблицы к разделу «Квантовая физика»
30.3. Электронная эмиссия
30.3/ 1. Работа выхода !/Ид электронов
из чистых элементов
В таблице приведены значения для различных методов измерения. Для их
обозначения применяются следующие символы: Т: термическая ионизация;
Р: фотоэмиссия, CDP: контактная разность потенциалов, F: эмиссия под
действием поля. Для монокристаллических образцов задается кристаллогра-
фическое направление, в котором измеряется работа выхода. Данные, выде-
ленные курсивом, являются относительно неточными (неопределенный ме-
тод измерения, неопределенная подготовка образца).
Элемент эВ Направление в кристалле Метод Элемент WA, эВ Направление в кристалле Метод
Ag 4,26 Р 4,55 (332) P
4,64 (100) Р Na 2,75 P
4,52 (110) Р Nb 4,3 P
4,74 (111) Р 4,02 (001) P
Al 4,28 Р 4,87 (ПО) P
4,41 (100) Р 4,36 (111) T
4,06 (НО) Р 4,63 (112) T
4,24 (111) Р 4,29 (ИЗ) T
As 3,75 Р 3,95 (П6) T
Au 5,1 Р 4,18 (ЗЮ) T
5,47 (100) Р Nd 3,2 P
5,37 (110) Ni 5,15 P
5,31 (111) 5,22 (ЮО) P
В 4,45 Т 5,04 (ПО) P
Ba 2,7 Т 5,35 (П1) P
Be 4,98 Р Os 4,83 T
Bi 4,22 Р Pb 4,25 P
C 5,0 CPD Pd 5,12 P
Ca 2,87 Р 5,6 (111) P
Cd 4,22 CPD Pt 5,65 P
Ce 2,9 Р 5,7 (HI) P
Co 5,0 Р Rb 2,16 P
Cr 4,5 Р Re 4,96 T
Cs 2,14 Р 5,75 (1011) F
Cu 4,65 Р Rh 4,98 P
30.3. Электронная эмиссия
Элемент WA, эВ Направление в кристалле Метод Элемент WA, эВ Направление в кристалле Метод
4,59 (100) P Ru 4,71 Р
4,48 (ПО) P Sb 4,55 (аморф. ) —
4,94 (111) P 4,7 (100) —
4,53 (112) P Sc 3,5 Р
Ей 2,5 P Se 5,9 Р
Fe 4,5 P Si (n) 4,85 CPD
4,67 (ЮО) P Si (p) 4,91 (100) CPD
4,81a (Hl) P 4,60 (111) Р
4,70a P Sm 2,7 Р
4,62/5 P Sn 4,42 CPD
4,68y P Sr 2,59 Т
Ga 4,2 CPD Ta 4,25 Т
Ge 5,0 CPD 4,15 (100) Т
4,80 (Hl) P 4,80 (110) Т
Gd 3,1 P 4,00 (111) Т
Hf 3,9 P Tb 3,0 Р
Hg 4,49 P Те 4,95 Р
In 4,12 P Th 3,4 Т
Ir 5,27 T Ti 4,33 Р
5,42 (HO) F TI 3,84 CPD
5,76 (Hl) F U 3,63 P&CPD
5,67 (100) F 3,73 (100) P&CPD
5,00 (210) F 3,90 (110) P&CPD
К 2,30 P 3,67 (113) P&CPD
La 3,5 P V 4,3 Р
Li 2,9 F w 4,55 CPD
Lu 3,3 CPD 4,63 (100) F
Mg 3,66 P 5,25 (ПО) F
Mn 4,1 P 4,47 (111) F
Mo 4,6 P 4,18 (113) CPD
4,53 (100) P 4,30 (116) Т
4,95 (HO) P Y 3,1 Р
4,55 (Hl) P Zn 4,33 Р
4,36 (П2) P 4,9 (0001) CPD
4,50 (114) P Zr 4,05 Р
30.3/2. Работа выхода для поглощающих поверхностей
Адсорбент Адсорбат WA, эВ Адсорбент Адсорбат WA, эВ
Be Cs 1,94 Pt 0 6,55
С Cs 1,37 Pt Na 2,10
Ti Cs 1,32 Pt К 1,62
Cr Cs 1,71 Pt Rb 1,57
Fe Cs 1,82 Pt Cs 1,38
Ni Cs 1,37 Pt Ba 1,9
Cu Ba 3,35 Pt Ba 3,28
Ge Ba 2,2 Au 0 6,46
Zr Cs 3,93 Au 0 5,66
Mo Cs 1,54 Au Ba 2,3
Mo Th 2,58 Au Ba 3,35
Ag Ba 1,56 WO Na 1,72
Hf Cs 3,62 WO К 1,76
Ta Cs 1,1 Сталь Cs 1,41
Ta Cs 1,6 Сталь (304) Cs 1,52
W Li 2,18 Ag2O Cs 0,75
W 0 6,20 NbC Cs 1,2
W Ba 1,75 ZrC Cs 1,60
W La 2,2 Mo2C Cs 1,45
W Th 2,63 Ta2C Cs 1,4
Re Cs 1,45 MoSi2 Cs 1,75
Re Th 2,58 WSi2 Cs 1,47
30.3/3. Свойства термоэлектронной эмиссии
вольфрамового катода
Основными свойствами термокатода являются: плотность тока эмиссии jT;
скорость испарения uv активированного материала поверхности. По ним
можно рассчитать эффективность термокатода: т| = jT /иу-
T, К ir> A/cm2 vp, г/см2-с T, к jp, A/cm2 v„, г/см2-с
2100 3,9-10-3 2,0-10-’3 2600 7,0-Ю’1 3,9- IO9
2200 1,3 - io-2 2,1-IO’12 2700 1,6 l,8-10-8
2300 4,1-ГО’2 1,8-IO’11 2800 3,5 7,4-10-8
2400 1,2-10-’ 1,2-IO-’0 2900 7,3 2,8-IO*7
2500 3,0-10-’ 7,6-10-’° 3000 14,0 9,5-107
30.3/4. Фотокатоды из щелочных антимонидов
Фотокатод Квантовая чувстви- тельность электроны Предельная длина волны Хо, нм Чувстви- тельность, мкА/лм Энерге- тическая щель, эВ Тип Терм, шумы, А/см2
фотоны
K3Sb 0,07 550 12 1,4 Р —
K2CsSb 0,3 660 100 1,0 Р 10-‘7
K2CsSb(O) 0,35 780 130 1,0 Р 10-!6
Na3Sb 0,02 330 ? 1,1 п —
Na2KSb 0,30 600 60 1,0 р 10-16
Rb3Sb 0,10 580 25 1,0 р —
Cs3Sb 0,15 580 25 1,6 р 10-16
Cs3Sb на MgO 0,20 650 80 1,6 р 10-15
(Cs)Na2KSb 0,30 870 300 1,0 р IO’15
30.3/5. Основные свойства
вторичной эмиссии электронов
Выход вторичных электронов 6 — это число эмитированных электронов на
число бомбардирующих электронов. Максимальное значение бтах и необхо-
димая для этого энергия первичного электрона Етах для некоторых элемен-
тов приведены в следующей таблице. Кроме этого, указаны значения энер-
гии первичных электронов, которые ведут к выходу 1.
Элемент ^max An ах’ ЭВ эВ Элемент ^max An ax’ эВ эВ £п, эВ
Ag 1,5 800 200 >2000 Mg 0,95 300 — —
Al 1,0 300 300 300 Мо 1,25 375 150 1200
Au 1,4 800 150 >2000 Na 0,82 300 — —
В 1,2 150 50 600 Nb 1,2 375 150 1050
Ва 0,8 400 — — Ni 1,3 550 150 > 1500
Bi 1,2 550 Pb 1,1 500 250 1000
Be 0,5 200 — — Pd > 1,3 >250 120
С (алмаз) 2,8 750 > 5000 Pt 1,8 700 350 3000
С (графит) 1,0 300 300 300 Rb 0,9 350 — —
С (сажа) 0,45 500 — — Sb 1,3 600 250 2000
Cd 1,1 450 300 700 Si 1,1 250 125 500
Элемент ^max Дпах’ Еь эВ ^ц, эВ Элемент ^max Дпах’ E19 эВ £и, эВ
Со 1,2 600 200 Sn 1,35 500
Cs 0,7 400 — — Та 1,3 600 250 >2000
Си 1,3 600 200 1500 Th 1,1 800
Fe 1,3 400 120 1400 Ti 0,9 280 — —
Ga 1,55 500 75 TI 1,7 650 70 > 1500
Ge 1,15 500 150 900 w 1,4 650 250 > 1500
К 0,7 200 — — Zr 1,1 350
Li 0,5 85 — —
30.4. Рентгеновское излучение
30.4/1. Основные линии характеристического
рентгеновского спектра некоторых элементов (К-серия)
Элемент Длина волны X, ди-12 Элемент Длина волны X, ди-12
«2 «1 р “2 «1 р
Свинец 17,0 16,5 14,6 Марганец 210,6 210,2 191,0
Хром 229,4 229,0 208,5 Никель 166,2 165,8 150,0
Железо 194,0 193,6 175,7 Селен 110,9 110,5 99,2
Германий 125,8 125,4 112,9 Кремний 712,8 712,5 676,8
Золото 18,5 18,0 15,9 Уран 13,1 12,6 11,1
Кобальт 179,3 178,9 162,1 Вольфрам 21,4 20,9 18,4
Медь 154,4 154,1 139,2 Цинк 143,9 143,5 129,5
30.5. Ядерные реакции
30.5/1. Эффективное сечение для рассеяния нейтронов
на различных элементах
Элемент Быстрые нейтроны ^ПОЛН’ Ь Термические нейтроны
«S’ Ь аАЬ’ Ь ®А’ Ь
Н 0,9 38(Н2) 0,33
Не 1,4 0,8
А1 1,7 1,4 0,23 0,23
30.5. Ядерные реакции
Элемент Быстрые нейтроны ^ПОЛН’ b Термические нейтроны
aS’ b «АЬ, Ь ®А’ b
Fe 3,0 11,4 2,53 0,003
Ni 3,2 17,5 4,6 0,03
Си 3,2 7,8 3,7 0,64; 2,9
Ge 3,4 9 2,4 0,002; 0,02; 0,2; 0,6
Cd 4,3 7 2600 0,1; 0,3; 0,04
Hg 4,8 21 380 0,025; 1,0
Pb 4,7 11,4 0,17 0,0003
232Th 7,2 12,6 7,4 7,4
238U 5,2 8,3 7,68 2,73; 0,76
238U 1,3 687 107; 580 (деление)
239pu 2,0 1065 315; 750 (деление)
30.5/2. Реакции ядерного синтеза
Реакции Энергия реакции Q, МэВ Реакции Энергия реакции Q, МэВ
[Н+jH —> 4Не + J,n 17,61 i,4n + ;н -> ро+у 7,3
|Н + |Н -> ^Не+ {,п 3,27 |5О —> 15N +е+ 1,7
2Н + 2Н^3Н+[р 4,03 PN + >Н -» 12С+4Не ' 1 О 2 4,9
2Н + ^Не-» 4Не + [р 18,35 2Н+ }Н -> ^Не+у 5,4
|р+ |>В-> 3-24Не 8,7 2Н + 2Н -> 24Не + у 23,8
'2С + }Н -> ^N + y 1,9 ^Н+ }Н -> ^Не + е+ 18,7
PN -> РС + е+ / О 1,2 ^Н + |Н -> £Не+ 2Н 14,3
>3С + }Н -> “N 1,9
30.6. Взаимодействие излучения и материи
30.6/1. Массовый коэффициент ослабления р/р
в 10'1 м2/кг для рентгеновского излучения
Элемент Длина волны к, нм
0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
Ag 5,4 37 17 39 71 120 174 250 354 436
Al 0,27 1,05 3,3 7,3 14,0 24 36 55 79 106
С 0,167 0,243 0,40 0,80 1,40 2,5 3,9 5,8 7,9 10,0
Си 1,45 10 32 71 134 218 42 60 85 119
Fe 1,06 7,1 23,5 50,7 95 170 270 390 61 78
N 0,177 0,34 0,73 1,51 2,6
0 0,183 0,336 0,730 1,53
Pb 4,6 33 77 147 77 128 180 258 360
30.6/2. Массовый коэффициент ослабления
для электронов в алюминии
Энергия 7?, кэВ р, / р, М2КГ-1 Энергия £, кэВ р / р, М2КГ-1
0,9 2,5 105 100,0 13
5,8 1,5 104 200,0 2,9
10,5 3,5-103 460,0 0,9
46,6 7,4-101 660,0 0,6
30.6/3. Длина пробега а-частиц в воздухе,
биологических тканях и алюминии
Энергия £, МэВ Воздух, 7?, см Ткани, 7?, мкм Алюминий, 7?, мкм
4,0 2,5 31 16
5,0 3,5 43 23
6,0 4,6 56 30
7,0 5,9 72 38
8,0 7,4 91 48
9,0 8,9 НО 58
10,0 10,6 130 69
30.7. Эффект Холла
30.7/1. Коэффициенты Холла для металлов
Коэффициенты Холла указаны для температуры между 0 и 30 °C.
Металл RH, IO10 м3/Кл Металл RH, 1010 м3/Кл
Li -1,7 Ag (технич.) -0,897
Be (99,5 %) +7,7 Ag (99,9 %) -0,909
Na -2,1 Cd (99,9 %) +0,531
Mg -0,83 In -0,073
Al (99,5 %) 0,33 Sn -0,022
К -4,2 Cs -7,8
Са (99 %) -1,78 La (99,8 %) -0,8
Ti (99,91 %) -0,26 Ce (99,88 %) +1,81
Ti (99,87 %) +0,10 Pr (99,9 %) +0,709
V +0,82 Nd (99,98 %) +0,971
V (99,63 %) +0,79 Sm -0,21
Сг (99,9 %) +3,63 Sm fe* =17,3^1 <P4,2X J -0,5
Мп (99,99 %) +0,84 Tm -1,5
Си -0,536 Yb +3,7
Zn (технич.) +1,04 Lu -0,53
Ga -0,63 Lufe* fe <P4^7C )
Rb -4,2 H||c -2,6
Y (99,2 %) -0,770 H ± c +0,4
Yfe* =fe lP4,2X ) Hf (99,4 %) +0,42
H||c -1,72 Ta (99,8 %) +0,971
H ± c -0,47 W +1,18
Y (£2ZM.= 16) P4,2£ Re +3,15
H||c +1,5 Refe* =27^1 <P4,2tf ) + 1,6
H 1 c +0,4 Ir +0,402
Металл RH, IO10 м3/Кл Металл RH, IO'10 м3/Кл
Zr (97,3 % Zr; 2,4 % Hf) +1,385 Pt -1,27
Zr ГР273/С = VP+2tf J +2,15 Pt (99,9 %) -0,214
Nb +0,88 Au . -0,705
Mo +1,80 Hg <0,02
Ru +2,2 T1 +0,24
Rh (99,5 %) +0,505 Th -1,2
Pd -0,845 U +0,34
30.8. Сверхпроводники
30.8/1. Некоторые свойства сверхпроводящих элементов
Основными свойствами сверхпроводников являются критическая темпера-
тура перехода в сверхпроводящее состояние Тс и критическая напряжен-
ность поля Нс.
Эле- мент Тс, К Hc, А/м Эле- мент Тс, К Hc, A/m
W 0,0154 ± 0,0005 91,51 ± 2,39 Pa 1,4
Be 0,026 Re 1,697 ± 0,006 15915,49 ± 397,89
Lu 0,1 ± 0,03 27852,115 ± 3978,87 Tl 2,38 ± 0,02 14164,79 ± 159,15
Ir 0,1125 ± 0,001 1273,24 + 3,97 In 3,408 ± 0,001 22401,06 ± 159,15
Hf 0,128 1010,63 Sn 3,722 ± 0,001 24271,13 ± 159,15
U 0,2 W) 3,949 26976,76
Ti 0,40 ± 0,04 4456,34 ^g(a) 4,154 ± 0,001 32706,34 ± 159,15
Ru 0,49 ± 0,015 5490,85 ± 159,15 Ta 4,47 ± 0,04 65969,72 ± 477,46
Cd 0,517 ± 0,002 2228,17 ± 79,58 La(a) 4,88 ± 0,02 63661,98 ± 795,77
Zr 0,61 ± 0,15 3740,14 V 5,40 ± 0,05 112045,08
Zr(co) 0,65; 0,95 Gd^) 5,9; 6,2 44563,38
Os 0,66 ± 0,03 5570,42 MP) 6,00 ± 0,1 87216,91; 127323,95
Zn 0,85 ± 0,01 4297,18 ± 23,87 Gd(y) 7 75598,60
Mo 0,915 ± 0,005 7639,44 ± 238,73 Pb 7,196 ± 0,006 63900,71 ± 79,57
Gd 1,083 ± 0,0001 4639,37 ± 15,92 Tc 7,8 ± 0,1 112204,23
Al 1,175 ± 0,002 8347,68 ± 23,87 Gtf(A) 7,85 64855,63
Th 1,38 ± 0,02 j 127,32 ± 238,73 Nb 9,25 ± 0,02 163929,59
30.8. Сверхпроводники
30.8/2. Сверхпроводящие соединения
и сплавы с Тс > 10 К
Вещество Тс, К Вещество Тс, к Вещество Тс, К
А12СМо3 10,0 CNb 11,5 Mo^Pbo ,9S7;5 15,2
CW 10 c3y2 11,5 Bo,iSio,9V3 15,8
Nbo?i8ReOj82 10 B4LuRh4 11,7 MoTc3 15,8
B2LuRu 10 Mo0,3SiV2?7 11,7 Co,iSiO,9V3 16,4
Iro,4Nbo,6 10 A1V3 11,8 Nb2SnTa 16,4
RhTa3 10 М°0,зТс0)7 12,0 Nb3Sn2 16,6
CMOxNbbx 10,2 (max) CMo2 12,2 GaV3 16,8
CTa 10,3 Mo6Se8Tl 12,2 Со,ббТЬо,13Уо>21 17
NbTc3 10,5 Nb2SnTa05V0?5 12,2 PbTa3 17
« 0.6()Re0,395 10,6 Во,озСо,51Мо0?47 12,5 SiV3 17,1
Mo3Ru 10,6 Mn3Si 12,5 Nb25SnTa0?5 17,6
NZr 10,7 Alo,5Geo,5Nb 12,6 Nb2?75SnTaOj25 17,8
Cui?8Mo6S8 10,8 Mo3Os 12,7 AlNb3 18,0
NbSnTa2 10,8 Nb0,3SiV2?7 12,8 (Ca,La)2CuO4 18
Nb0>75Zr0?25 10,8 BaBi0 2O3Pb0 8 13,2 Nb3Sn 18,05
Nbo,66^ro,33 10,8 SiV2jZr03 13,2 Nb3Si 19
Nb3Pt 10,9 LiO4Ti2 13,7 Al ~ 0,8Ge » o,2Nb3 20,7
SiTi0,3V2>7 10,9 Br2Mo6S6 13,8 GeNb3 23,2
C3La 11,0 No,93Nbo585ZrO)15 13,8 (Ba,La)2CuO4 36
GeV3 11 InV3 13,9 Cu(La,Sr)2O4 39
M°o,52^0,48 11,1 Mo057Re0<43 14,0 Ba2Cu3LaO6 80
B4Rh4Y 11,3 Geo,iSio,9V3 14,0 Ba2Cu3O7Y 90
Cro,3$iV2j7 11,3 CMo 14,3 Ba2Cu3O7Tm 101
Ge0,5Nb3Sn0,5 и,з GaNB3 14,5 Bi2CaCu2O8Sr2 110
LaMo6Se8 11,4 ^lo. i ^io.9 V3 14,5 Ba2CaCu2O8Tl2 120
AuNb3 11,5 Mo3Tc 15
30.9. Полупроводники
30.9.1. Термические, магнитные
и электрические свойства полупроводников
30.9/1. Элементарные полупроводники
Приведенные в таблице значения действительны только при нормальных
условиях.
Веще- ство Энтальпия образования, кДЖ’МОЛЬ"1 Диэлектриче- ская прони- цаемость Показатель прелом- ления п Энергетиче- екая щель Eg, эВ Подвижность |1, см2-В-1’С-1
элек- тронов дырок
С 714,4 5,7 2,419 5,4 1800 1400
Si 324 11,8 3,99 1,107 1900 500
Ge 791 16 3,99 0,67 3800 1820
a-Sn 267,5 0,08 2500 2400
30.9/2. Композиционные полупроводники
Вещество Энтальпия образования, кДж*моль-1 Диэлектрическая проницаемость £,. Показатель преломления п Энергетическая щель Eg, эВ Подвижность ц, см^В’^с"1 Применение
элек- тронов дырок
ZnS 477 8,9 2,356 3,54 180 Люминесцирующие
ZnSe 422 9,2 2,89 2,58 540 28 материалы
ZnTe 376 10,4 3,56 2,26 340 100
CdTe 339 7,2 2,5 1,44 1200 50
HgSe 247 2,12 20000
AlAs 627 10,9 2,16 1200 420
AlSb 585 11 3,2 1,60 200-400 550
GaP 635 11,1 3,2 2,24 300 150 СИД (зеленый); ИК-диоды
GaAs 535 13,2 3,30 1,35 8800 400 СИД; FET; ИК-диоды
GaSb 493 15,7 3,8 0,67 4000 1 1400
30.9.
Вещество Энтальпия образования, кДж-моль'1 Диэлектрическая проницаемость Показатель преломления п Энергетическая щель Eg, эВ Подвижность ц, см^В’^с1 Применение
элек- тронов дырок
1пР 560 12,4 3,1 1,27 4600 150 Диоды Ганна
In As 477 14,6 3,5 0,36 33000 460 Генератор Холла, RH = 100 см3/А-с
InSb 447 17,7 3,96 0,163 78000 750 Генератор Холла, RH - 400 см3/А-с
Bi2Te3 — — - 0,15 800 400 Электр, охладитель
PbTe 393 280,0 — 0,21 1600 750 ИК-детектор
PbS 435 — — 0,37 800 1000 Фотосопротивление, ИК-детектор
30.9/3. Легирование Si
Энергия Д донорного уровня D указывает расстояние от дна зоны проводи-
мости; энергия Д акцепторного уровня А равна расстоянию от края валент-
ной зоны.
А1 As Au в Bi Cu Fe Ga
Тип А D A A D A A A
Еь эВ 0,057 0,049 0,35; 0,67 0,046 0,069 0,24; 0,72 0,4; 0,66 0,065
In Li 0 P S Sb T1 Zn
Тип А D D D D D A A
Еь эВ 0,16 0,033 0,03-0,06 0,044 0,18; 0,37 0,039 0,26 0,31; 0,66
30.9/4. Легирование Ge
Энергия Ej донорного уровня D указывает расстояние от дна зоны проводи-
мости; энергия Е{ акцепторного уровня А равна расстоянию от края валент-
ной зоны.
А1 Ag As Au в Be Bi
Тип А D D A A A D
Eh эВ 0,0102 0,13; 0,5; 0,7 0,0127 0,16; 0,59; 0,75 0,0104 0,07 0,012
Cd Co Cr Cu Fe Ga In
Тип А A A A A A A
Ej, эВ 0,05; 0,15 0,09; 0,25; 0,48 0,07; 0,12 0,4; 0,33; 0,53 0,35; 0,52 0,0108 0,0112
Li Mn Ni 0 P Pt S
Тип D A D D D A D
Ej, эВ 0,0093 0,16; 0,42 0,22; 0,49 0,01 0,012 0,04; 0,20; 0,67 0,18
Sb Se Те TI Zn
Тип D D D A A
Ej, эВ 0,0096 0,014; 0,28 0,11; 0,30 0,01 0,03; 0,09
30.9/5. Воздействие ионизирующего излучения
на полупроводниковые материалы
В последующей таблице приведены энергии ионизации при образовании
пары электрон-дырка, а также плотность пар g0, произведенная при энергии
излучения, соответствующей 10-2 Дж/кг.
Материал Доп’ ЭВ So, см'3
Кремний 3,6 10-1013
Кремния диоксид « 18 « 8-Ю12
Галлия арсенид « 4,8 ^7-1013
Германий 2,8 1,2-1014
Часть VI
ПРИЛОЖЕНИЕ
ГЛАВА 31
ИЗМЕРЕНИЯ И ПОГРЕШНОСТИ
ИЗМЕРЕНИЙ
Статистические методы позволяют при определенных условиях оценить ма-
тематическое ожидание (среднее значение) и рассеяние (отклонение от
среднего значения) рассматриваемой случайной величины (например, при
выборочном контроле или при проведении одного или рада измерений), а
также выявить корреляцию между случайными величинами. С помощью
статистических методов возможно также провести оценку погрешности от-
носительно действительного значения измеряемой величины.
31.1. Описание измерений
Измерением называется количественное определение физической величины
с помощью эксперимента путем сравнения ее с единицей измерения данной
величины.
Измеряемой величиной или измеряемой переменной называют свойство,
которое должно быть определено с помощью измерения, статистических дан-
ных, выборочной пробы или проведения случайного эксперимента.
Различают дискретные измеряемые величины
Цифры от 1 до 6 на сторонах игрального кубика, две стороны монеты
(орел или решка).
Непрерывные измеряемые величины
Измеряемые значения емкости конденсатора или значения сопротив-
ления.
31.1.1. Величины и единицы измерения СИ
Физические процессы могут быть описаны с помощью математических объ-
ектов (чисел, векторов, функций) и отношений между ними (уравнений).
Целью физики является экспериментальное воспроизведение и максималь-
но точное описание природных процессов и установление законов, лежащих
в их основе.
Физическая величина служит для описания физических состояний и
процессов. Физическая величина должна быть измеряемой с помощью
определенного метода измерения и соответствующих измерительных прибо-
ров, т.е. должна иметься возможность преобразовать эту измеряемую вели-
чину с помощью физического процесса в явление, воспринимаемое челове-
ком (например, отклонение стрелки измерительного прибора).
Единицей измерения называется согласованное значение, с помощью
которого можно проводить количественную оценку физической величины.
Например, за единицу измерения массы принята масса международного
эталона килограмма, т.е. все массы измеряются как кратное или часть этой
эталонной массы. Установление единицы измерения производится с помо-
щью задания такого физического явления, которое воспроизводит эту еди-
ницу измерения (или определенное значение) физической величины (масса
эталона килограмма, длина пути, проходимого светом в вакууме за опреде-
ленное время, определенное значение температуры в тройной точке воды и
т.д.). Единицы измерения имеют название (например, килограмм), которое
в формулах записывается в виде определенного сокращения (кг).
▲ Любая физическая величина задается с помощью указания числового
значения (числовой меры) {G} и единицы измерения этой величины [G]:
G = {G}-[G].
Система единиц измерения позволяет провести количественную оценку
всех измеряемых физических величин. Основные величины системы единиц
измерения с соответствующими основными единицами измерения выбира-
ются таким образом, чтобы из них можно было вывести единицы измерения
всех измеряемых величин.
Единицы измерения СИ (Международной или Интернациональной сис-
темы единиц измерения) используются во многих странах. Как правило, ис-
пользование единиц измерения, их названия и обозначения в каждом языке
регламентированы соответствующими государственными стандартами.
Определения основных величин приведены в табл. 34.0/1, единицы из-
мерения, принятые в СИ, — в табл. 34.0/3.
> СИ была разработана Международным бюро мер и весов (г.Севр, Фран-
ция), основанном 20 мая 1875 г. и в настоящее время насчитывающем
47 стран. Наряду с International Standardization Organization (Междуна-
родная организация по стандартизации, ISO) и International ‘Union of
Pure and Applied Physics (Международный союз теоретической и при-
кладной физики, ШРАР) Международное бюро мер и весов составляет
рекомендации по использованию системы единиц измерения, которые
на национальном уровне закреплены в Германских промышленных
стандартах (DIN) и ГОСТ.
Наряду с единицами измерения СИ существуют также некоторые единицы,
применение которых в Германии законодательно допустимо в некоторых обла-
стях (например, карат как единица измерения массы драгоценных камней, ди-
оптрия как единица измерения преломляющей силы) (см. табл. 34.4/4).
> Все единицы измерения, которые не относятся к СИ или не узаконены
иным образом, применяться не должны. Это касается в частности сис-
31.1. Описание
тем мер на основе килограмм-силы или дина, а также системы СГС —
«сантиметр — грамм — секунда».
Различные системы отличаются друг от друга не только выбором основ-
ных единиц измерения, но также и методом определения основных и произ-
водных единиц измерения. Если в СИ масса является основной единицей
измерения, а сила — производной, то в системе КГС масса выводится из
единицы измерения силы.
> Названия единиц измерения должны писаться так, как это определено в
СИ (или соответствующих национальных стандартах), т.е. метр, кратко
м, а не мт; квадратный сантиметр — см2, а не кв. см, К для обозначения
кельвина, а не °К (но °C для градуса Цельсия); километр в час (км/ч), а
не километр за час и т.д. Единицы измерения всегда отделяются от чис-
лового значения пробелом, т.е. 35 мм-пленка, не 35-мм или 35-мм-плен-
ка (исключения: символы °, ' и " для обозначения градуса, минуты и се-
кунды).
Производная (составная) единица измерения определяется по уравне-
нию и представляет собой произведение различных степеней основных еди-
ниц. Так, единица измерения скорости в СИ метр в секунду (м/с) получает-
ся делением основных единиц измерения метра (м) и секунды (с). При этом
также могут использоваться степени.
1 мм = 1 м2.
Отрицательные степени могут записываться с целью наглядности вместо
штриха деления, при этом необходимо расставлять скобки, чтобы не допус-
тить неправильного толкования:
1 кг/(м-с2) = 1 кг м-1 с-2.
▲ Любая производная единица измерения независимо от выбранной систе-
мы единиц характеризуется тем, какие основные единицы и в каких сте-
пенях в ней представлены.
Размерностью физической величины, независимо от выбранной едини-
цы измерения, называют выражение в виде произведения степеней основ-
ных величин. В данной книге размерности приведены в правом верхнем
углу таблиц с формулами (см. табл. 34.0/1).
Единица измерения динамической вязкости равна
1 Па-с = 1 Н/(м2-с) = (1 кг-м/с2)/(м2-с) = 1кг/(м-с) = 1 кг-м-1-с-1.
Размерность записывается независимо от выбора системы:
ML-1?’1.
> Названия составных единиц измерения произносятся так, чтобы умножа-
ющиеся единицы следовали друг за другом, а единицы измерения, на ко-
торые производится деление, отделялись от них предлогами «в» или «на».
Пример: кг-м/с2 = килограмм-метр на секунду в квадрате.
Произнести кг/ч как «километр в час» будет правильно, «километр-
час» — не корректно и может привести к неправильному пониманию.
> Некоторые составные единицы измерения имеют специальные названия,
например, герц (1 Гц = 1/с), ньютон (1 Н = кг-м/с2) и другие, которые
применяются вместо составных названий.
Безразмерными величинами называют величины с размерностью 1, т.е.
числовое значение которой не зависит от выбранной системы единиц. Сюда
относятся процентные показатели, т.е. данные относительно другой величи-
ны и углы.
Формулы для пересчета используются для сравнения величин, выражен-
ных в разных единицах измерения. Пересчет производится подстановкой в
формулу единицы измерения соответствующего коэффициента пересчета и
другой единицы измерения. Например, для пересчета старой единицы изме-
рения килограмм-сила в новую единицу измерения ньютон используется
следующая формула пересчета:
1 кгс = 9,80665 Н.
Унция на кубический дюйм равна
1 ... 1 унция
1 oz/in3 = —------
(1 дюйм3)
0,02835 кг _ 0,02835 кг
(0,025 м)3 “ 0,02543 м3
= 1730 кг/м3.
Десятичные приставки используются для образования десятичных крат-
ных и дольных частей от основных единиц измерения. Для приставок, обо-
значающих множитель больше 106, используются большие буквы, остальные
обозначаются маленькими буквами (см. табл. 34.0/2). Пример:
1 км = 1 километр = 103 м = 1000 м.
> Перед единицей измерения допустимо использовать только одну при-
ставку.
> Исключение: по историческим причинам дольные единицы килограмма
(кг) образуются добавлением соответствующих приставок к корню
«грамм» (= 10-3 кг), миллиграмм ((= 10-6 кг) и т.д.
> Степень также относится и к десятичной приставке:
1 см2 = 1 квадратный сантиметр = 1 (см2) = 1(10~2 м)2 = 10-4 м2.
Фундаментальной физической постоянной называется параметр опреде-
ленного явления природы, который согласно опыту во всех физических про-
цессах имеет фиксированное значение, как, например, гравитационная по-
стоянная или скорость света в вакууме. Некоторые из них используются для
определения основных величин, так как они могут быть измерены независи-
мо; поэтому их значения в системе единиц измерения являются точными.
> Значения фундаментальных физических постоянных определяются с по-
мощью измерений. При этом на основании выравнивающих переходных
(регрессивных) вычислений определяется то значение, при котором ре-
зультаты измерений меньше всего противоречат друг другу. В данной
книге использованы значения постоянных, утвержденные Комитетом
данных для науки и техники (CODATA) в 1986 г.
> Значения некоторых постоянных для технического применения регла-
ментированы в национальных и отраслевых стандартах.
Постоянная материала обозначает свойство, специфическое для опреде-
ленного материала. Ее значение может зависеть от состава материала и
внешних воздействий, типа давления, напряжения и т.д.
Напротив, значение фундаментальных физических постоянных может
быть определено с любой точностью, которая ограничивается только точно-
стью измерительной аппаратуры.
> Числовые значения фундаментальных физических постоянных зависят
от выбранной системы единиц измерения. И наоборот, система единиц
измерения определяется с помощью указания этих числовых значений.
Некоторые фундаментальные постоянные имеют единицу измерения 1
(как, например константа тонкой структуры (см. 26.2, п. 6) а = 1/137) и
следовательно, их значения равны во всех системах измерения.
31.2. Вычисление погрешностей и статистическая
обработка результатов измерений
31.2.1. Виды погрешностей
Результат измерения физической величины всегда содержит погрешность,
т.е. он отклоняется от истинного значения.
31.2.1.1. Результат измерения
Результатом измерения, измеренным значением, фактическим значением
называют значение или несколько переменных значений, полученных в ре-
зультате измерения. В общем случае их нельзя воспроизвести точно, их зна-
чения при повторяющихся измерениях колеблются вокруг среднего или ис-
тинного значения.
Например, это может быть длина винта при промышленном изготовле-
нии, результат числового генератора случайных чисел, энергия частицы
реального газа или появление осадков в виде дождя в течение 24 часов.
Ряд измерений образуется из совокупности нескольких результатов из-
мерений. Из них составляется таблица полученных в результате измерения
(еще необработанных) значений.
31.2.1.2. Погрешность измерения
Погрешностью измерения называют отклонение результата измерения от
истинного значения измеряемой величины. По причинам возникновения
различают систематическую и случайную (статистическую) погрешности.
Систематической погрешностью называется погрешность, характерная
для метода измерения, которая обусловлена измерительным прибором или
процессом проведения измерения (например, неправильной калибровкой
измерительного прибора); при изменении схемы измерения может быть
устранена лишь частично.
Статистической или случайной погрешностью называется отклонение,
которое появляется из-за человеческого фактора (например, погрешность
считывания) из-за неконтролируемых помех (влияние температуры, измене-
ние давления воздуха и т.д.) или из-за случайности результата, который ис-
следуется в данном эксперименте (например, радиоактивный распад).
Точность измерения, полученного в результате эксперимента, определя-
ется систематической и случайной погрешностями.
Истинная погрешность бх/и, — это отклонение результата f-го измерения
от «истинного» значения измеряемой величины х„. 6xiw чаще всего неизве-
стна, так как неизвестно xw:
дХ[^< — Xj Хц>.
Абсолютной погрешностью называют отклонение отдельного результата
измерения от среднего измеренного значения.
Ожидаемой абсолютной или наиболее доверительной погрешностью на-
зывают отклонение результата измерения xz от среднего арифметического
значения х как приближенного значения истинной величины:
Uz = X/ - х.
Средняя абсолютная погрешность, линейное рассеяние — это среднее
значение модуля абсолютной погрешности при количестве измерений, рав-
ном п:
1 п
dx =U,- = -£|х,- — х |.
«/=1
Относительная погрешность иге1 является безразмерной величиной, рав-
ной абсолютной погрешности, деленной на среднее значение измеряемой
величины.
П, X/ - х
v rel = .
X X
Относительная погрешность может быть выражена и в процентах,
о% = пге1 -100%.
Наибольшая абсолютная погрешность бгтах — это верхний предел по-
грешности величины z -f(x,y), зависящей от содержащих погрешности фак-
торов х у:
&£тах
/(х, у)8х
дх
Лх, у)8у
Наибольшая относительная погрешность 8<:тах/г равна максимальной
абсолютной погрешности, деленной на среднее значение измеряемой вели-
чины.
Проволока (длина £, радиус R) растягивается под действием силы F (на-
пряжение о) на Д£. По результатам измерения L, R, F и Д£ необходимо
определить модуль упругости Е проволоки. Согласно закону Гука
Д£ 1 F л D2
LE А
Так как
F L
tiR2 ' AL’
то максимальную относительную погрешность для величины Е на осно-
вании погрешностей измерения б£, 67?, 6F, б(А£) для отдельных измере-
ний можно определить по следующей формуле:
6Е
Е
max
8F
F
+ 2^
R
8L
L
8(AZ)
AZ
Погрешность измерения радиуса попадает в выражение для определения
максимальной относительной погрешности модуля упругости с коэффи-
циентом 2.
Средняя погрешность отдельного измерения, 8х
= 8х =
п
^(х,- -х)2,
х — среднее арифметическое значение результатов измерения.
Средняя погрешность среднего значения, 5х
<зп =8х =
1 п
--i--У(х, -х)2,
л(л-1)й
х — среднее арифметическое значение результатов измерения.
▲ Средняя погрешность 8х среднего значения х равна средней погрешно-
сти отдельного измерения xz, деленной на квадратный корень из числа
измерений:
31.2.1.3. Расчет погрешности при косвенном измерении
Прямыми называют измерения, целью которых является определение изме-
ряемой величины. Косвенными называют измерения, по результатам кото-
рых вычисляют искомую величину, связанную с измеренными величинами
заданной функциональной зависимостью. При этом если проводятся пря-
мые измерения величин х0,у0,... и из них косвенно может быть получена фи-
зическая величина Дх0,у0,...), то погрешность последней может быть опреде-
лена на основании погрешностей величин xQ,yQ.
Погрешность при отдельном измерении
д/(х,у)
ду
8у.
*о,уо
Закон изменения погрешностей Гаусса позволяет определить погреш-
ность среднего значения измеряемой величины:
погрешности измерений
8/(хо, Уо)
Плотность р шара определяется косвенно по результатам измерения мас-
сы шара т и радиуса шара R, р = p(m,R). Погрешность измерения плот-
ности определяется на основании погрешностей измерения массы и ра-
диуса.
31.2.2. Среднее значение ряда измерений
Среднее арифметическое значение (арифметическое среднее), эмпирическое
математическое ожидание — это приближенное значение истинного значения
ряда, состоящего из п отдельных измерений. Часто указывается средневзве-
шенное значение из п результатов измерения, содержащих погрешности:
1« 1 к к
х = -Ёх/ = -•х; =
П i=l П j=l j=l
т.е. п результатов измерения распределены по к < п различным значениям
с частотой Hj.
▲ Свойство центра распределения: сумма отклонений измеренных значе-
ний из таблицы необработанных данных от среднего арифметического
этих значений по определению равна нулю:
п
£(х/ — х) = 0.
i
▲ Линейность арифметического среднего
(ах + Ь) = ах + Ь,
здесь а, b — константы, х — измеряемая переменная.
▲ Свойство минимума квадратичных отклонений: сумма квадратов откло-
нений всех измеренных значений xz от среднего значения х является ми-
нимальной:
п
^(xz — х)2 = минимум.
i
> Это свойство является основным инструментом при определении функ-
циональной зависимости между взаимосвязанными величинами с помо-
щью выравнивающего исчисления.
▲ При объединении измерений среднее значение совокупности из п изме-
рений равно сумме средних значений отдельных серий измерений, ум-
ноженных на относительную долю измеряемых значений от общего чис-
ла измерений = гц /п,
X = - =^Xi /£«/•
п
31.2. Вычисление погрешностей и статистическая обработка результатов 1233
▲ Если ряд результатов измерений представлен в виде распределения с
определенной частотой, то
к
1
х =
Здесь X; — середина интервала Kj (z = 1,...,&).
Квантиль или процентиль р-го порядка — это измеренное значение, кото-
рое меньше доли р всех измеренных значений из таблицы необработанных
результатов и больше доли р - 1 результатов. Эта характеристика используется
для описания положения отдельных результатов измерения между собой.
Медианой, центральным значением называется особый случай процен-
тили, х. Это такое значение, которое делит пополам общее количество из
представленных в таблице п результатов измерения, расположенных в по-
рядке возрастания.
Медиана для четного количества результатов измерения:
Медиана для нечетного количества результатов измерения:
х = х^.
2
> Медиана преимущественно используется в следующих случаях:
а) отсутствуют группы по краям соответствующей таблицы необработан-
ных результатов измерений;
б) встречаются экстремальные (резко выпадающие) значения, которые
могут исказить результат обработки вычислений;
в) изменение результата измерения до или после среднего значения не
должно влиять на его значение.
▲ Сумма модулей отклонений всех результатов измерения xz от медианы х
меньше, чем сумма отклонений от любого другого значения а:
п п
Ё|х< - х| < £|Xi -а|
f=l i=\
для всех а * х если п нечетное,
для всех хп < а < хп если п четное.
- -+I
2 2
Среднее квадратичное значение
-^quad
Среднее геометрическое значение
= (%1 -X2-...-Xny/n.
> Среднее геометрическое значение используется для тех величин, законо-
мерность которых имеет вид геометрической прогрессии.
40—3814
Средний темп роста или скорость приращения временных процессов
(радиоактивный распад, срок службы конструкции) определяется по
формуле:
X = (Xi • Х2 •.. .'Хп , xz- > 0.
▲ Логарифм среднегеометрического значения равен арифметическому
среднему логарифмов всех результатов измерения:
1п х = - (In X! +...+ In хп).
п
Темп роста, средний процентный прирост от хп к хл+1 (указывается в
процентных долях от общего количества А), равен:
w =П -100%.
Скорость приращения — средний процентный прирост на R процентов,
R = ^-1^100%.
> Если нет процентного прироста, то вместо х15 хп можно использовать аб-
солютные значения аг = хгЛ, ап - хп'А.
Среднее гармоническое значение определяется по формуле:
/=1 хп
▲ Теорема Коши: существует следующая последовательность средних зна-
чений xquad, хА, х и х:
^min Xh
-X'quad -^max*
31.2.3. Рассеяние
Рассеяние, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, среднеквадратич-
ная погрешность характеризует отклонение результата измерения от истин-
ного значения измеряемой величины.
Диапазон рассеяния, размах вариации равен разности между максималь-
ным и минимальным результатом измерения,
^max — -^тах -^mirr
Среднее абсолютное отклонение от величины С определяется выражением:
= -221х/- -С|.
”i=\
> Обычно вместо С используется С = х (медиана) или С = х (среднеариф-
метическое).
> Если имеется таблица с частотным распределением по классам (интервалам),
то в качестве измеряемой величины xz используются середины интервалов.
Среднее квадратичное отклонение, среднеквадратичная погрешность,
эмпирическое рассеяние равно:
а„ = д/(ох)2 = л ~Ц “ х)2 •
V« -1 /=1
▲ Если ряд результатов измерений представлен в виде частотного стати-
стического распределения, то
= 7(М2 = J—-х)2Я(х,), п = Y.HtXi).
V 1 / =1 /
> В случае распределения по интервалам вместо неизвестных результатов
измерения часто используются середины интервалов.
Эмпирическая дисперсия равна квадрату среднеквадратичного откло-
нения.
Эмпирическое рассеяние о„ является несмещенной оценкой рассеяния
взятой за основу функции вероятности по генеральной совокупности.
Относительная дисперсия, коэффициент вариации — это указание дис-
персии в процентах от среднего арифметического значения:
(§Х)2ге1 = • Ю0%.
X
31.2.4. Корреляция
Ковариантностью двух измеряемых величин х,у, cov(x,y), называется мате-
матическое ожидание произведения отклонений текущих величин от их
средних значений:
cov(x, у) = (х - х)(у - у).
Коэффициент корреляции х,у рх>, равен ковариантности х,у, разделенной
на произведение средних квадратичных отклонений ох,оу:
• Если х и у являются статистически независимыми величинами, то pvv = 0;
х и у не являются коррелированными величинами.
• Зависимость между х и у будет линейной, у = ах + b (а, b — целые числа)
в том случае, если pXJ =±1.
• Знак перед коэффициентом корреляции указывает, является ли корреля-
ция положительной или отрицательной:
положительная корреляция: увеличение (уменьшение) х вызывает увели-
чение (уменьшение) у,
отрицательная корреляция: увеличение (уменьшение) х вызывает умень-
шение (увеличение) у.
31.2.5. Аппроксимация, регрессия
Регрессией называется оптимальный подбор выбранной соответствующим
образом параметрической кривой регрессии (кривой выравнивания)
У - f(x,a,b,...)no п точкам измерения (xj, yi)(х2, У2), • • •,(хп, уп) двух корре-
лированных случайных величин.
Сумма квадратичных погрешностей равна сумме квадратов разностей
между измеренным значением у, и значением функции /, описываемой кри-
вой регрессии, в точке xz:
п
-Ж.аЛ...)]2.
/ =1
Принцип наименьших квадратов позволяет найти параметрическое вы-
ражение а,Ь,..., для которого кривая регрессии лучше всего приближается к
заданным точкам измерения. Для этого сумма квадратичных погрешностей
должна принимать минимальное значение (принцип минимума Гаусса):
п
£[у( -/(х, )]2 = min.
/=1
Линейная регрессия — это вычисление, где в качестве кривой регрессии
используется прямая:
у = ах + Ь.
Линейная регрессия часто применяется, если корреляция между двумя
случайными величинами является приблизительно линейной.
у
4-
з- * * •
2- • * .
Г
О -----1----Г-----1-----г—►
О 1 2 3 4 х
Рис. 31.2. Подгонка прямой к за-
данным точкам измерения согласно
принципу наименьших квадратов
Рис. 31.1. Приблизительно
линейно коррелированные
точки измерения
31.2.6. Статистические распределения
Обычно необработанные результаты измерения оформляются в виде таблиц,
при этом результаты измерения могут повторяться.
При производстве п конденсаторов номинальной емкостью С = 100 мкФ
значение емкости каждого конденсатора, как правило, составляет не
точно 100 мкФ, а колеблется вокруг этого значения. Значение подчиня-
ется характеристическому распределению вокруг номинального значения
С = 100 мкФ. Чтобы точнее понять тип этого распределения и природу
лежащих в его основе вероятностных процессов, определяют так называ-
емое относительное статистическое распределение и сравнивают его со
специальными вероятностными функциями, которые могут быть выве-
дены из известных вероятностных структур. (Например, гипергеометри-
ческое распределение может быть сведено к очень простой и наглядной
модели урны с шарами).
В приведенном выше примере отдельной измеряемой величиной являет-
ся емкость каждого конденсатора. Результаты этих измерений представ-
ляются в виде таблицы:
Конденсатор № 1 2 3 4 5 6 п
Емкость, мкФ 101,1 99,6 101,4 103,3 98,0 99,5 ... Сп
Классом называют множество из нескольких элементов (результатов
измерения), принадлежащих одной таблице, с определенными свойствами,
которые могут быть обобщены под индексом i.
При ежедневном производстве п конденсаторов с заданной емкостью С
классификацию можно проводить с помощью распределения емкостей
на N = 8 интервалов (N = 8 классов).
Класс Границы интервала Класс Границы интервала
Kl С < 92,5 к5 100,0 < С < 102,5
К2 92,5 С С < 95,0 к6 102,5 < С < 105,0
Ку 95,0 < С < 97,5 К7 105,0 < С < 107,5
к4 97,5 < С < 100,0 К. 107,5 < С
> Нет необходимости всегда определять классы. При дискретных, повто-
ряющихся в таблице результатах измерения х = Xt эти значения могут
рассматриваться как отдельные классы X,- =
Серединой интервала называется среднее арифметическое из верхней и
нижней границы интервала.
> Целесообразно подсчитывать среднее арифметическое всех измеренных
значений внутри каждого интервала. Однако отдельные значения могут
быть при этом неизвестны или от их определения отказываются из-за
затрат времени при сборе очень большого количества сведений. Поэтому
середина интервала является, как правило, приближенным значением.
Частотой = Н(К{) называют количество результатов измерений из таб-
лицы, которые попадают в интервал К^
> Для результатов измерений, которые повторяются в таблице, дискретное
измеренное значение может считаться отдельным классом (интервалом).
В таблице распределения по частотам рядом с каждым классом указано
количество (частота) попавших в него значений измерений.
Таблица распределения по частотам для дневной выработки конденсато-
ров, распределенная по классам емкости, могла бы выглядеть следую-
щим образом:
Ki Ki К2 К3 к4 к5 к6 X? к* Сумма
133 43789 189345 281321 255128 206989 26923 155 1003783
Частотное распределение, частотная диаграмма — это графическое пред-
ставление таблицы частот.
П По приведенной таблице частот построена столбчатая диаграмма, пока-
занная на рис. 31.3. Для наглядного представления также используются
и другие виды диаграмм, например, круговая диаграмма.
Рис. 31.3. Представление таблицы частот: а — столбчатая диаграмма; б —
круговая диаграмма; в — распределение с тремя скоплениями
в)
Относительная частота характеризует долю отдельного класса Kt в общем
количестве измерений п:
hi =
п
Относительное частотное распределение или нормированное частотное
распределение
Yhi=1-
Относительная частота может быть графически определена по гистог-
рамме.
▲ При делении (относительной) частоты на постоянный множитель с сред-
нее арифметическое сохраняется:
Н{х^/с
£я(хг)/с
Модальной величиной, модой хт называется наиболее часто встречаю-
щийся результат измерения в их последовательности.
> Для ряда измерений с несколькими скоплениями существуют также не-
сколько модальных значений. Каждое скопление должно рассматривать-
ся отдельно.
Модель урны. Из урны, в которой находят-
ся N шаров, из которых М черные, a N—M бе-
лые, вынимаются п шаров. Если р — вероят-
ность вытащить черный шар, то вероятность
вытащить белый шар равна 1 — р. Необходимо
найти вероятность, что среди вытащенных п
шаров, к шаров будут определенного цвета
(или другими словами, вероятность того, что
при я-кратном повторении эксперимента опре-
деленное событие произойдет к раз).
При этом шары могут выниматься с воз-
Рис. 31.4. Модель урны
вратом, т.е. после подсчета их возвращают в
урну, или без возврата.
Единичной вероятностью Р(к) называют вероятность, с которой случай-
ная дискретная величина при единичном измерении примет значение к.
31.2.6.1. Особые виды дискретных распределений
• Гипергеометрическое распределение
Р(к) =
pN\fN(l-p)\
к Д п - к )
I w J
p-N: целое число.
Математическое ожидание: п-р.
Дисперсия: о2 = п • р(1 - p)[(N - ri)/(N -1)].
• Биномиальное распределение
Математическое ожидание: пр.
Дисперсия: ст2 = п р(1 - р).
• Распределение Пуассона
Р(£) = Де-с, к = 0,1,2,...; с > 0.
Математическое ожидание: с
Дисперсия: о2 = с.
▲ Гипергеометрическое распределение соответствует модели урны без воз-
врата вытащенных шаров. Биноминальное распределение соответствует
модели урны с возвратом вытащенных шаров.
Рис. 31.5. а — биноминальное распределение; б — распределение Пуассона
▲ Биноминальное распределение получается из гипергеометрического,
если количество шаров в модели урны очень велико (N -> оо), а объем
выборочной пробы п остается малым.
▲ Распределение Пуассона получается из биноминального распределения,
если в модели урны число вытащенных шаров п очень велико, а марки-
рованная доля р очень мала, но конечна, п -> оо, р 0.
Плотностью вероятности Дх) называют плотность распределения непре-
рывной случайной величины или идеализированную аналитическую функ-
цию для распределения вероятностей дискретной случайной величины.
31.2.6.2. Особые виды непрерывных распределений
• Распределение Гаусса, нормальное распределение
Дх) = -----------------------------------------1---е-(х->и)2/(2сг2).
Математическое ожидание: т
Дисперсия: о2.
• Стандартное нормальное распределение, нормальное распределение
Гаусса — это частный случай нормального распределения с т = 0, о = 1.
• Экспоненциальное распределение
/(х) =Хе-^, X > 0, х > 0.
Математическое ожидание: 1/Х.
Дисперсия: о2 = 1/Х2.
• Распределение Вейбулла
/ у-1
/(х) = - ——— e-((x-a)/PV, х > a.
₽l ₽ )
Математическое ожидание: £ Г(1 + 1/у) + а.
Дисперсия:
о2 = р2{Г(1 + 2/у) — [Г(1 + 1/у)]2}, — гамма функция.
Х2-распределение со степенью свобо-
ды п — это распределение, которое
получается для измеряемой величины
X2 = Yn = х2 + х2 + ... + х^, если от-
дельные результаты измерения подчи-
нены нормальному распределению xz
(z = 1,..., «):
fx =-----------------У„(и / 2) -1 e - J'n / 2.
2"/2Г(л/2)
Рис. 31.6. Нормальное распреде-
ление: максимум — М = 1/(од/2л);
точки перегиба — (гп ± а); полу-
ширина — b
Математическое ожидание: n.
Дисперсия: о2 = 2п.
• Z-распределение, распределение Стью-
дента — это распределение, которое
получается для измеряемой величины
Тп = x/j Yn/n, если х подчинено
стандартному нормальному распреде-
лению, a Yn соответствует /х(Ул;л)-рас-
пределению:
ft =(Тп;п) =
П(и + 1)/2)
л/йлГ(и/2)
1
2 ч-(и + 1)/2
+ —
П J
Рис. 31.7. Экспоненциальное рас-
пределение
Математическое ожидание: О
Дисперсия: о2 = п/(п — 2).
Нормальное распределение симмет-
рично относительно своего максимума в
точке х = т. Максимальное значение фун-
кции /(х) равно 1/(cfV2tt). Нормальное рас-
пределение имеет две точки перегиба в
точках х = т ± о. Среди результатов изме-
рения примерно 99,7 % лежат в интервале
х = т ± Зо, примерно 95,5 % в интервале х
= т ± 2g и примерно 68 % в интервале х =
т ± о. Дисперсия о2 может быть подсчита-
Рис. 31.8. Распределение Вейбулла
Рис. 31.10. /-распределение
на на основе полуширины b кривой, т.е. ширины кривой на середине высоты
от максимального значения, о2 = 0,18-й2. При конечном числе из п измерений
среднее арифметическое результатов измерений х является наилучшей оцен-
кой математического ожидания т.
Нормальное распределение нормировано на единицу:
00
j /(x)dx = 1.
Центральная предельная теорема: сумма из п независимых, но принадле-
жащих одному и тому же распределению случайных величин с возрастанием
п всегда стремится к нормальному распределению.
▲ Из-за многократного наложения источников ошибок погрешности изме-
рения, как правило, имеют нормальное распределение.
31.2.7. Надежность
Зависимые от времени события (например, радиоактивный распад, отказ
компонента электрической сети) могут быть описаны с помощью специаль-
ных величин.
Сроком жизни называется временной промежуток между отказами объ-
ектов. Распределение отказов по времени может быть чисто случайным (не-
стареющие объекты) или, например, изменяться под воздействием внешних
условий (стареющие объекты).
Нестареющими называются объекты с конечным сроком жизни, отказ
которых является чисто случайным и подчиняется распределению, которое
основывается на чисто комбинаторном случайном принципе (модель урны,
распределение Пуассона, экспоненциальное распределение). Такие объекты
не подвержены процессу старения, как, например, объекты, которые изна-
шиваются в процессе эксплуатации.
В хорошем приближении электронные компоненты типа сопротивлений,
конденсаторов, интегральных схем (в допустимых условиях применения,
т.е. при отсутствии чрезмерных нагрузок под действием слишком высо-
кого тока или напряжения) являются нестареющими объектами.
В нетехнической области также существуют объекты с конечным «сро-
ком жизни». Например, инфицирование редкой болезнью в хорошем
приближении подчиняется распределению Пуассона, временные проме-
жутки между заболеваниями несколькими инфекциями подчиняется эк-
споненциальному распределению.
▲ Отказ нестареющих объектов по времени подчиняется распределению
Пуассона. Временные промежутки между отказами подчиняются экспо-
ненциальному распределению.
Стареющими называются объекты с конечным сроком жизни, которые
подвержены процессу старения. На старение могут налагаться чисто случай-
ные процессы разрушения и тем самым изменять распределение отказов
(см. распределение Вейбулла).
31.2. Вычисление погрешностей и статистическая
Типичными примерами стареющих объектов являются двигатели, по-
крышки, инструменты.
▲ Отказ стареющих объектов более не подчиняется распределению Пуас-
сона. Для описания временных промежутков между отказами должна ис-
пользоваться специальная форма распределения. Часто их можно опи-
сать с помощью наложения нескольких экспоненциальных распределе-
ний. Срок жизни стареющих объектов в некоторых случаях можно также
описать с помощью распределения Вейбулла.
Экспоненциальное распределение и распределение Вейбулла являются
особыми случаями надежности.
Надежностью Z(t) называют среднее количество деталей N(f), функцио-
нирующих спустя время Г, разделенное на исходное количество деталей NQ.
Обычно для описания процессов старения как функции времени использу-
ется выражение:
N(t) "j
Z(O = -^=eo
No
Z(t) — это вероятность того, что деталь спустя время t еще не вышла из
строя.
Вероятность отказа F(r) равна среднему количеству отказавших спустя
время t деталей 7V0 - N(f), разделенному на исходное количество деталей 7V0:
F(r) = l-Z(r).
F(t) характеризует вероятность того, что деталь спустя время t вышла из
строя.
Плотность распределения отказов р равна среднему количеству отказов
за единицу времени в момент времени Г, разделенному на исходное количе-
ство деталей NQ:
at at
> Интеграл по плотности распределения равен доле отказов относительно
исходного количества деталей NQ:
j p(f )df = -f dr = -(Z(/) - Z(0)) = 1 - Z(Z) = F(t).
о о d?
Интенсивность отказов равна среднему количеству отказов за единицу
времени, разделенному на количество еще функционирующих частей N(t):
___1 dN(t) _ 1 dZ(r) _ р(Г)
U N(t) dr Z(r) dr Z(r)‘
Среднее время до отказа (Mean Time To Failure, MTTF):
MTTF = | Z(Z)dZ.
0
▲ Вероятность того, что спустя время t система, состоящая из нескольких
частей, еще функционирует, равна произведению надежностей отдель-
ных частей системы:
^общ = . Zn .
Для нестареющих объектов:
X общ — М + ^2 + ...+ Хл.
▲ При приближенном рассмотрении интенсивности отказов, при условии,
что интенсивность \ и время t малы, \ определяется как частное, числи-
телем которого является количество отказов, а знаменателем — произве-
дение исходного количества деталей на время эксплуатации:
X « 1 ~ __Количество отказов
No • t Исходное количество • срок эксплуатации
▲ Для нестареющих объектов Z(Z) является экспоненциальным распределе-
нием (X = const), а время отказов соответствует 1/Х.
Некоторые интенсивности отказов (X выражена в количестве отказов за
109 ч):
Вращающееся соединение 0,0025
Слюдяной конденсатор 1
Высокочастотная катушка 1
Металлопленочный резистор 1
Бумажный конденсатор 2
Транзистор 200
Светодиод (потеря 50 % светимости) 500
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ГЛАВА 32
32.1. Векторы и скаляры
Вектором называется величина, которая характеризуется как числовым зна-
чением, так и направлением. Вектор обозначается стрелкой, начинающейся
в точке его определения, и длина которой соответствует числовому значе-
нию вектора.
Скорость, импульс, напряженность электрического поля являются век-
торными величинами, так же как и радиус-вектор, который соединяет
начало координат с определенной точкой.
Векторы отличаются своим поведением при вращении координатной си-
стемы. Так как векторы имеют направление, которое измеряется относите-
льно системы координат, то они так же изменяются (т.е. изменяют свое на-
правление, а не числовое значение) при вращении системы координат.
В отличие от векторов скалярные величины не изменяют свое значение
(действительные или комплексные числа).
Время, масса, заряд, температура являются скалярными величинами.
Как скалярные, так и векторные величины имеют единицы измерения,
которые необходимо указывать дополнительно. Для векторов единица изме-
рения характеризует его числовое значение.
> Хотя числовое значение вектора наглядно представляется с помощью
длины стрелки, оно может иметь любую единицу измерения. Например,
единицей измерения вектора силы является ньютон.
Представление вектора в виде составляющих (компонент) характеризует
числовое значение и направление вектора в декартовой системе координат.
Чтобы наглядно представить любой вектор, его начало помещают в начало
координат системы отсчета и указывают координаты конечной точки в виде
вектора столбца:
47х
а = а у
i а?
~ь ау Су 4" 47-е^,
где ёх,ё^,ёг — единичные векторы в направлении осей координат. Компо-
ненты вектора имеют те же единицы измерения, что и сам вектор,
kJ = kj = kl = [а].
Модулем вектора называется длина стрелки вектора в определенном
масштабе. Если вектор представлен в виде компонент, то его длина опреде-
ляется по теореме Пифагора:
| а | = Ja? + .
Для единицы длины также выполняется условие:
[|a I ] = [а].
Рис. 32.1. Представле-
ние вектора а в виде
компонент в трехмер-
ной декартовой сис-
теме координат
Рис. 32.2. Поведение вектора при вра-
щении системы координат. Указаны
компоненты (Fx,Fy) и (Fx>yFy) вектора
F в двух системах координат, распо-
ложенных под углом а друг к другу
32.2. Умножение вектора на скаляр
Вектор можно умножить на действительное или комплексное число (ска-
ляр).
При умножении вектора на скалярную величину каждая компонента ум-
ножается на действительное или комплексное число а:
аа =
аау
Длина вектора увеличивается в | а | раз: | аа | = | а 11 а |; если а < 0, то полу-
чившийся вектор имеет противоположное направление.
Противоположный вектор или инверсный вектор получают умножением
исходного вектора на -1. Он имеет ту же длину, что и исходный вектор, од-
нако его направление противоположно направлению исходного вектора.
а) б)
Рис. 32.3. Векторное исчисление: а — умножение вектора а на скалярную ве-
личину а; б — противоположный вектор -а
32.3. Сложение и вычитание векторов
Векторы могут складываться и вычитаться в том случае, если они имеют
одну и ту же единицу измерения.
При сложении векторов складываются их отдельные компоненты:
а + b =
@х + &х
(2у 4~ Ьу
^az + bz
при этом а и b могут быть любыми векторами, если они имеют одну и ту же
единицу измерения. Если на векторах а и Ь, проведенных из одной точки,
построить параллелограмм, то диагональ параллелограмма, проведенная из
начала ветора а или b будет является результирующим вектором суммы век-
торов а и Ь.
Тот же результат можно получить, совместив начало одного вектора с
концом другого. В этом случае начало результирующего вектора совпадает с
началом первого вектора (началом координат), а конец — с конечной точ-
кой второго вектора (правило треугольника).
Вычитание векторов — это операция, при которой к первому вектору
прибавляется вектор, противоположный второму:
а - b = а + (-1) Ь.
Вектор а - b называется разностью векторов; он направлен от конечной
точки вектора b к начальной точке вектора а.
Рис. 32.4. Векторное исчисление: а — сложение векторов; б — вычитание
векторов а и Ь
Единичным вектором в направлении а называется вектор, длина которо-
го равна единице и направление которого совпадает с направлением вектора
а. Его получают делением вектора а на его длину:
а
|а |
Единичные векторы часто используются для указания направления.
32.4. Умножение векторов
Существует два вида умножения векторов.
1. Скалярное произведение
Значением скалярного произведения а • b является действительное число,
т.е. скалярная величина. Скалярное произведение двух векторов равно про-
изведению их модулей на косинус угла между ними; если угол а между век-
торами больше 90°, то скалярное произведение будет отрицательным.
Скалярное произведение векторов
а • Ь = | а 11Ь | cos а = = ахЬх + ауЬу + azb7 Символ Единица измерения Название
а,Ь ах,Ьх,... а Любая Любая Рад Векторы Компоненты Угол между а и b
Скалярное произведение подчиняется коммуникативному закону:
a b = b а
Рис. 32.5. Скалярное произведе-
ние двух векторов а и Ъ
Рис. 32.6. Компоненты (ах,ау) вектора а
в направлении осей, определяемых еди-
ничными векторами ёх,ёу
Скалярное произведение возможно использовать для нахождения проек-
ции вектора на ось другого вектора. Также с его помощью можно разложить
заданный вектор на его компоненты:
+ ауеу + azez,
ах = а ёх, ау = аё},, az = аё,,
если ех, ёу и ez — единичные векторы в направлении осей декартовой сис-
темы координат.
32.4. Умножение векторов
С помощью скалярного произведения можно проверить перпендикуляр-
ность двух векторов друг другу:
▲ Скалярное произведение двух перпендикулярных друг другу векторов
равно нулю.
Длина вектора равна корню квадратному из скалярного произведения
вектора самого на себя:
| а | = Va а.
Она всегда больше или равна нулю.
Угол а между векторами а и Б также можно определить с помощью ска-
лярного произведения по формуле:
cos а =
а Б
2. Векторное произведение
Векторным произведением двух векторов а х Б называют вектор, распо-
ложенный перпендикулярно векторам а и Б, длина которого равна произве-
дению длин обоих векторов на синус угла между ними.
Векторное произведение
|а х Б | =| а 11 Б| sin а _ @ybz ~ by&z а х Б = azbx - bzax ^ахЬу ~ bxdy у Символ Единица измерения Название
а,Б (7Х,ЬХ,... а Любая Любая Рад Векторы Компоненты Угол между векторами а и Б
Векторное произведение образует вектор, который расположен перпен-
дикулярно двум заданным векторам. Векторы а, Б и результирующий вектор
а х Б, указанные в этой последовательности, образуют правую систему, т.е.
их направления совпадают с направлениями большого, указательного и
среднего пальцев правой руки.
> Различие между скалярным и векторным произведениями: векторное
произведение является вектором, скалярное произведение является дей-
ствительным числом. Скалярное произведение будет максимальным,
если два вектора сонаправлены, векторное произведение (т.е. модуль ре-
зультирующего вектора) максимально в том случае, если векторы распо-
ложены перпендикулярно друг другу.
Важнейшие свойства векторного произведения:
▲ а х а = 0: Векторное произведение вектора самого на себя равно нулю.
▲ а х Б = -Б х а: При перестановке сомножителей меняется знак векторно-
го произведения.
Глава 32. Векторное исчисление
▲ Между единичными векторами декартовой системы координат сущест-
вуют следующие соотношения:
ёх х еу = cz; ёу хёг =ёх; ёг хёх =ёу.
Векторное произведение между двумя единичными векторами равно
нулю:
ёх х ёх = ё3. х ё, = ёг х ёг = о.
▲ Смешанным произведением называется скалярное произведение вектора
с с векторным произведением векторов а и Ь:
(а х Ь) • с.
Смешанное произведение определяется только в трех измерениях. Оно
равно скаляру, абсолютная величина которого равна объему параллеле-
пипеда (пространства), образуемого векторами а,Ь,с.
Рис. 32.7. Векторное произведение двух век-
торов а и Ь. Результирующий вектор а х b
расположен перпендикулярно векторам а и b
Рис. 32.8. Смешанное произ-
ведение
Вектор, являющийся результатом двойного векторного произведения
а х (Ь х с), лежит в плоскости, образуемой векторами Ь и с:
а х (Ь х с) = Ь(а • с) - с(а Ь).
ГЛАВА 33
ЭЛЕМЕНТЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
33.1. Элементы дифференциального исчисления
Рис. 33.1. Производная функ-
ции /(/): t — касательная; 5 —
секущая
Производная функции у = /(х) в точке х определяется как наклон касатель-
ной к графику функции в точке х.
Частное:
Ду = ¥(х) = Дх) - Дх0)
Дх Дх х - Хр
равно наклону секущей, проходящей через
точки Р(х,у) и Рр(хо,уо).
Производная f'(x) равна предельному зна-
чению указанного частного при Р —> Ро, Дх -> О,
dy . .. Ду .. Дх + Дх)-Дх)
— = Д(х) = lim — = hm — ---------------.
dx Дх—>0 Ах Дх—>0 Дх
Производная функции в точке Ро соответ-
ствует наклону графика функции в точке
f’(x) = tana.
33.1,1. Правила дифференцирования
Производная постоянной функции с равна нулю:
с' = 0.
Постоянный сомножитель с можно вынести за знак производной:
(с-Дх))' = c-f'(x).
Производная степенной функции равна произведению ее показателя на
основание в степени, на единицу меньшей:
— х" = п Xя-1.
dx
Производная суммы функций равна сумме производных этих функций:
(Дх) ± g(x))’ = Д(х) ± g'(x).
Производная произведения двух функций равна сумме произведений
производной первой функции на вторую и первой функции на производную
второй:
(/(х) • g(x))' = /(х) • g' (х) + /' (х) • g(x),
(/(х) • g(x) • h(x))' = /(х) • g(x) • h'(х) + /(х) • g' (х) • й(х) + /' (х) • g(x)/z(x).
Производная отношения двух функций равна деленной на квадрат зна-
менателя разности произведений производной числителя на знаменатель и
числителя на производную знаменателя:
f Лх)"! _ g(x)-/,(^)-/(x)-g'(x)
lg(*)J g2U)
' i Y = -g'(x)
4gO)J g2(x)’
Производная сложной функции равна произведению производных фун-
кций, из которых она составлена:
ШУ = g' (х) • /(g(x))', = С
dx dx dg
df dg
-----внешняя производная,-------внутренняя производная.
dg dx
Производная от логарифма функции у, если у > 0, равна:
(In у)' =
У
33.2. Интегральное исчисление
Интегрирование — операция, обратная дифференцированию, т.е это отыс-
кание функции, производная которой равна подынтегральному выражению.
Первообразной, интегральной функцией Дх) функции Дх) называют
функцию, производная которой F' (х) равнаДх) и определяется в том же ин-
тервале, что и Дх).
Интегрированием функции Дх) называется нахождение первообразной
функции Дх) от Дх), производная которой равна исходной функции Дх).
▲ Для любой интегрируемой функции можно найти бесконечное множест-
во первообразных Дх) + С, которые отличаются между собой так назы-
ваемой постоянной интегрирования С. Все первообразные при фиксиро-
ванном значении х имеют одинаковый наклон.
Неопределенным называется интеграл /, в котором значение постоянной
интегрирования С неопределенно:
I = | /(x)dx = F(x) + С.
Определенным называется интеграл, имеющий
определенные верхний и нижний пределы. Опре-
деленный интеграл имеет числовое значение, рав-
ное
г b
А= f(x)dx = Г(Ь) - Г(а).
Ja
А Определенный интеграл А соответствует пло-
щади, ограниченной функцией f(x), осью абс-
цисс х, а также прямыми х = а и х = Ь. Если в
пределах интегрирования функция Дх) прини-
мает, в том числе и отрицательные значения,
то определенный интеграл равен разности
площадей над и под осью х.
Рис. 33.2. Определенный
интеграл А функции Дх)
33.2.1. Правила интегрирования
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
j с • /(x)dx = с • j /(x)dx.
Интеграл суммы нескольких функций равен сумме интегралов от этих
функций:
J (Дх) + g(x))dx = j /(x)dx + j g(x)dx.
Интеграл степенной функции:
f Х« + 1
x"dx =----, п ф -1
J п + 1
Правило перестановки пределов интегрирования: знак определенного ин-
теграла при замене пределов интегрирования меняется на противоположный:
b a
j /(x)dx = -j /(x)dx.
a b
Если верхний предел интегрирования совпадает с нижним пределом, то
интеграл равен нулю:
j /(x)dx = 0.
a
Определенный интеграл можно разложить на сумму интегралов по час-
тичным интервалам:
Ь с Ь
j /(x)dx = j /(x)dx + j /(x)dx.
a a c
Интегрирование по частям: правило обратно правилу дифференцирова-
ния произведения двух функций:
J f(x) • g'(x)dx = Дх) • g(x) - | f'(x) g(x)dx.
Правило замещения:
J /(g(x)) g’txjdx = j Яг)ск, Z = g(x).
Логарифмическое интегрирование:
fZ3^dx = ln|/(x)| + C.
J f(x)
33.3. Производные и интегралы
элементарных функций
Af
В таблице указаны функция Дх), ее производная f'(x) = — и первообразная
dx
J /(x)dx = Дх) + С.
f(x) /'(X) Дх) Дх) /'(X) Дх)
с 0 ex 0х ex 0х
X 1 — X2 2 ax axln(a) ax ln(a)
X3 ax3”1 xa+1 (2 + 1 ln(x) J_ X xlnx — X
j_ J_ ln| x| loga(x) 1 x In x - X
X X2 x ln(o) 1 ln(a)
sin(x) cos(x) -cos(x) arcsin(x) xarcsin(x) + Vl - x2
71 -x2 -1
cos(x) -sin(x) sin(x) arccos(x) xarccos(x) - Vl - x2
71-x2
tg(x) 1 — ln| cos(x)| arctg(x) _1_ xarctg(x) - ~ ln(l + x2)
cos2(x) 1 + X2
ctg(x) -1 ln| sin(x)| arcctg(x) -1 xarccos(x) + i ln(l + x2)
sin2(x) 1 + X2 □
sh(x) ch(x) ch(x) Arsh(x) xArsh(x) - Vx2 + 1
7x2 +1 1
ch(x) sh(x) sh(x) Arch(x) xArch(x) - Vx2 - 1
7x2 -1
th(x) 1 ln(ch(x)) 1 xArth(x) + ln(l - x2)
ch2(x) Arth(x) 1 -x2
cth(x) -1 ln| sh(x)| Arch(x) 1 xArch(x) + ln(x2 - 1)
sh2(x) 1 -x2
ТАБЛИЦЫ К РАЗДЕЛУ
« М ЕЖДУ НАРОД НАЯ
СИСТЕМА ЕДИНИЦ»
ГЛАВА 34
34.0/ 1. Международная система единиц (СИ):
основные единицы физических величин
Название Сокра- щение Описание Размер- ность
Метр м Метр — единица длины — это расстояние, проходи- мое в вакууме плоской электромагнитной волной за 1/299792458 долю секунды L
Килограмм кг Килограмм — единица массы, равная массе между- народного прототипа килограмма — цилиндра из платиноиридиевого сплава, который хранится в Международном Бюро Мер и Весов в Севре М
Секунда с Секунда — единица времени, равная продолжитель- ности 9 192 631 770 периодов излучения, соответст- вующего переходу между двумя сверхтонкими уров- нями основного состояния атома цезия 133Cs Т
Ампер А Ампер — единица силы тока, равная силе постоян- ного тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и бесконечно малого кругового сечения, расположен- ным на расстоянии 1 м друг от друга в вакууме, вы- звал бы между этими проводниками силу, равную 2- КУ7 Н на каждый метр длины I
Кельвин К Кельвин — единица термодинамической температу- ры, равная 1/273,16 части термодинамической трой- ной точки воды О
Моль моль Моль — единица количества вещества, равная тако- му его количеству, в котором содержится столько же структурных элементов, что и в 0,012 кг изотопа углерода 12С N
Кандела кд Кандела — единица силы света, равная силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540-1012 Гц, энергетическая сила света которого в этом направ- лении составляет 1/683 Вт/ср J
34.0/2. Десятичные приставки
система единиц»
Приставка Множитель Сокращение Приставка Множитель Сокращение
йокто 10~24 и дека 101 да
зепто 10-21 3 гекто 102 г
атто 10-18 а кило 103 к
фемто 10-15 Ф мега 10б М
ПИКО 10-12 п гига 109 Г
нано 10-9 н тера 1012 т
микро 10-6 мк пета ю15 п
мили 10~3 м экза ю18 э
санти 10'2 с зета 1021 3
деци ю-1 д йотта 1024 и
34.0/3. Производные единицы измерения СИ
Название Символ Определяющее уравнение Единица измерения Название единицы измерения
1. Длина
Угол а, ср,.... рад радиан
Телесный угол Q ср стерадиан
Длина S, 1,... м метр
Площадь А А = s2 м2
Объем V А = s3 м3
2. Время и скорость
Время t с секунда
Период колебаний Т т = время с
количество колебаний
Частота f /=1/Г Гц = 1/с герц
Скорость V v - ds/dt М-С"1
Угловая скорость (0 cd = da/dt рад-с"1
Ускорение а а = d2s/d/2 М-С"2
Угловое ускорение а а = cPy/dt1 рад • с"2
Название Символ Определяющее уравнение Единица измерения Название единицы измерения
3. Механика
Масса т кг килограмм
Плотность Р р = m/V КГМ"3
Сила F F = та Н = кг • м • с-2 ньютон
Момент инерции J J = Z imp? кгм2
Момент сил М M=rx F Нм
Импульс Р р = m-v кг-мс-1
Давление Р ? = F/A Па = Нм"2 паскаль
Работа, энергия W W = JF-ds Дж = Н • м джоуль
Мощность р P= dW/dt Вт = Н • м • с-1 ватт
Поверхностное натяжение о о = dW/dA Нм1
Модуль упругости Е E = аг Нм"2
Сжимаемость К K=-Vdp/dV Нм-2
Динамическая вязкость П j] = (FR/A)dd/dv Па-с
Кинетическая вязкость V V = n/p м2-с-1
Коэффициент полезного действия П Л = -^эфф/Рвх 1
4. Электричество и магнетизм
Эл. заряд Q Q = I/t Кл = Ас кулон
Эл. напряжение и U = W/Q В = Дж-Кл1 вольт
Напряженность эл. поля Ё Ё =F/Q НКг^Вм-1
Эл. сопротивление R R= U/I Ом = В-А"1 ом
Эл. проводимость G G = I/R См = Ом-1 сименс
Удельное эл. сопротивление Р p = RA/l Омм
Удельная эл. проводимость X * = 1/P Ом-1 м’1
Эл. емкость С C=Q/U Ф = Кл-В-1 фарад
Абсолютная диэлектриче- ская проницаемость е e = D/E Фм-1
Магнитный поток Ф Ф = JtTdZ Вб = Вс вебер
Индуктивность L L = Ф// Гн = Вс-А-1 генри
Название Символ Определяющее уравнение Единица измерения Название единицы измерения
Магнитная индукция В В = ВФ/dA Тл = Вбм-2 тесла
Напряженность электрического поля Н Н = dl/ds Am-1
Абсолютная магнитная проницаемость И v = B/H Гнм-1
5. Термодинамика
Температура Т к кельвин
Количество теплоты Q (форма энергии) Дж джоуль
Теплоемкость С С = SQ/ST Дж К'1
Удельная теплоемкость с с = С/т Дж-К"1-кг-1
Теплопроводность X к = IdQ/AtdT Вт-К-'-м’1
Энтропия 5 S = Q/T Дж-К-1
Удельная теплота сгорания Н H=Q/m Дж-кг"1
Внутренняя энергия и и 2 § О' Дж
Свободная энергия F Г= и- TS Дж
Энтальпия Н Н= U + pV Дж
Свободная энтальпия G (7 = U + pV — TS Дж
6. Физическая химия
Количество частиц N 1
Концентрация частиц п n-N/V м-3
Количество вещества п n = N/Na моль моль
7. Свет
Сила света I кд кандела
Световой поток ф Ф = pdQ лм люмен
Энергия светового потока Q Q = J Ф& лм-с
Световая энергия L L = dI/(dAcosQ) КД-М’2
Освещенность Е E = (d&/dA)cos& лк = лм • м-2 люкс
Световая экспозиция Н H = J £dz лк с
Поток излучения Фе Фе = d»7d/ Вт
Название Символ Определяющее уравнение Единица измерения Название единицы измерения
Энергетическая сила света 4 /е = Вт-ср1
Энергетическая яркость ве Ве = d/e/(cL4cos0) Втм-2-ср-1
Энергетическая светимость Ее Ее = (^Фе/^)СО50 Вт • м-2
Энергетическая экспозиция Не Не = j Eedt Дж-м-2
Фокусное расстояние f \/f= \/а + 1//> м
8. Ядерные реакции
Постоянная распада X X = -dN/(Ndt) с-1
Период полураспада 2 7\ = 1п2/Х 2 с
Активность нуклида А _ распад время Бк = с-1 беккерель
Удельная активность а а - А/ш Бк кг-1
Поглощенная доза излучения D D = W/m Гр = Дж-кг”1 грей
Скорость поглощения излучения D Ь = dD/dt Гр-с-1
Эквивалентная поглощен- ная доза излучения Dg = qND^ Зв = Дж кг-1 зиверт
Эффективное сечение о -6N о = nNds м2
9. Акустика
Звуковое давление Р Па
Уровень звукового давления Lp Lp = 201og10(/?/p0) дБ децибел
Уровень силы звука Ln Ln = 201og10(p/po) фон
34.0/4. Внесистемные единицы,
допускаемые к применению
В таблице приведены единицы измерения, которые допускаются к примене-
нию, и формулы их пересчета в единицы СИ.
Величина Единица измерения Сокра- щение Пересчет в единицы СИ
Единицы измерения, используемые повсеместно
Плоский угол Объем Время Масса Давление секунда минута градус литр минута час сутки год тонна бар п t о Л МИН ч д г т бар г '= (1/60') Г= (1/60°) 1° = (л/180) рад 1 л = 10-3 м3 1 мин = 60 с 1 ч = 60 мин = 3600 с 1 д = 24 ч = 86400 с 1 г = 365 д = 8760 ч 1 т = 103 кг 1 бар = 105 Па
Единицы измерения, используемые в специальных областях
Расстояние (длина) в астрономии Расстояние (длина) в морской навигации Длина в атомной физике Скорость в морской навигации Оптическая сила линзы Площадь земельных участков Объем жидкостей Плоский угол в геодезии Линейная плотность в тек- стильной промышленности Масса драгоценных камней и жемчуга Масса в атомной физике Энергия в атомной физике световой год парсек астрономиче- ская единица морская миля ангстрем узел диоптрия гектар сотка литр гон текс карат атомная едини- ца массы электрон-вольт св. год ПК а.е. миля А УЗ дптр га сотка л гон текс кар а.е.м. эВ 1 св. год = 9,4605 • 1015 м 1 пк = 3,0857 • 1016 м = - 3,26 св. года 1 а.е. = 1,4959787-1011 м 1 миля = 1852 м 1 А = ю-10 м УЗ = 1 миляч-1 = = 0,514444 м с’1 1 дптр = м-1 1 га = 104 м2 1 а = 102 м2 1 л = 1 дм3 = 10-3 м 1 гон = (л/200) рад 1 текс = 10-6 кг-м-1 1 кар = 0,2 г 1 а.е.м. = 1,66053886-10-27 кг 1 эВ = 1,60217653-10-19 Дж
34.0/5. Таблица пересчета единиц измерения энергии
эрг Дж кВт-ч
1 эрг 1 ю-7 2,7778-Ю-14
1 Дж 107 1 2,7778 -10-7
1 кВтч з,б-ю13 3,6-106 1
1 кгсм 9,8066-107 9,8066 2,72-Ю'6
1 ккал 4,1868-Ю10 4,1868-103 1,16-10~3
1 эВ 1,6021-Ю"12 1,6 ю-19 4,45-10’26
кгс-м ккал эВ
1 эрг 1,0197 10-8 2,3884-IO41 6,2419-Ю11
1 Дж 1,10197-10"1 2,3884 -10-4 6,2419-1018
1 кВтч 3,6709-105 8,6001-102 2,25-1025
1 кгсм 1 2,3427-Ю’3 2,6126-1019
1 ккал 4,2685-102 1 2,6126-1022
1 эВ 1,634-1О-20 3,8276- IO’23 1
34.0/6. Сила ветра (измерения следует
проводить на высоте 10 м)
Градус Бофорта Скорость Давление Наименование/Обозначение
3 3,4 - 5,3 м/с ок. 0,017 кН/м2 Слабый бриз/колышутся листья деревьев
6 9,9 - 12,4 м/с ок. 0,08 кН/м2 Сильный ветер/колышутся толстые ветки, завывание
9 18,3 - 21,5 м/с ок. 0,25 кН/м2 Шторм/перекатываются камни
12 более 30 м/с более 0,5 кН/м2 Ураган/движутся тяжелые предметы
34.0/7. Англо-американские единицы измерения
Величина Единица измерения Сокра- щение Пересчет в единицы СИ
Длина дюйм in 1 дюйм = 0,254 м
фут ft 1 фут = 12 дюймов = 0,3048 м
ярд yd 1 ярд = 3 фута = 0,9144 м
миля уставная (сухопутная) mile 1 миля = 1760 ярдов = 1609,34 м
миля морская n mile 1 морская миля = 1852 м
Площадь квадратный дюйм in2 1 кв. дюйм = 6,452-10"4 м2
квадратный фут ft2 1 кв. фут = 144 кв. дюйма = 0,0929 м2
квадратный ярд yd2 1 кв. ярд = 9 кв. футов = 0,8361 м2
квадратная миля миля2 1 кв. миля = 2,59-106 м2
акр a 1 акр = 4046,86 м2
Объем кубический дюйм in3 1 куб. дюйм = 1,63871 • 10'5 м3
кубический фут ft3 1 куб. фут = 0,02832 м3
кубический ярд yd3 1 куб. ярд = 0,76456 м3
галлон gal 1 галлон = 3,78541 • 10“3 м3
регистертон RT 1 RT = 100 куб. футов = 2,832 м3
Скорость миля в час mph 1 миля в час = 1,609 км/ч = 0,447 м/с
Масса гран grain 1 гран = 6,4799-10-5 кг
драм dram 1 драм = 1,77184-10-3 кг
унция oz 1 унция = 2,83495-10"2 кг
фунт lb 1 фунт = 0,45359 кг
длинный центнер long cwt 1 длинный центнер = 50,8023 кг
длинная тонна long tn 1 длинная тонна = 1016,05 кг
короткая тонна sh tn 1 короткая тонна = 907,185 кг
Давление фунт на квадратный дюйм lbf/in2 (psi) 1 фунт на квадратный дюйм = = 6.8947-103 Па
фунт на квадратный фут lbf/ft2 1 фунт на квадратный фут = 47,88 Па
тонна на квадратный фут tonf/ft2 1 тонна на квадратный фут = = 107, 252-Ю3 Па
Энергия фут-фунт ft Ibf 1 фут-фунт = 1,3558 Дж
британская термаль- ная единица Btu 1 британская термальная единица = = 1055,06 Дж
Мощность лошадиная сила hp 1 л. с. = 745,7 Вт
в магазинах:
КНИГИ ИЗДАТЕЛЬСТВА "ТЕХНОСФЕРА" МОЖНО ПРИОБРЕСТИ:
Торговый дом "Библио-Глобус", м. Лубянка, ул. Мясницкая, д.6
тел.: 781-19-00, 624-46-80
"Московский дом книги", м. Арбатская, ул. Новый Арбат, д.8
тел.: 789-35-91
"Дом технической книги", м. Ленинский проспект, Ленинский пр-т, д.40
тел.: 789-35-91
"Молодая гвардия", м. Полянка, ул. Б. Полянка, д.28
тел.: 238-50-01
"Дом книги на Ладожской", м. Бауманская, ул. Ладожская, д.8, стр.1
тел.: 267-03-01
"Дом Медицинской Книги", Комсомольский проспект, д.25
тел.: 789-35-91
ДК Фолиант, Ш. Энтузиастов, д. 60, к.1
тел.: 789-35-91
ДК Студент, Калужская пл., д.1, стр.1
тел.: 789-35-91
ДК Новый, Ш. Энтузиастов, д.24/43
тел.: 789-35-91
в городах России:
ЧЬ г. Санкт-Петербург
"Санкт-Петербургский дом книги", Невский пр., д.62
"Дом технической книги", Пушкинская пл., д.2
"Новая техническая книга", Измайловский пр., д.29
ISfc г. Екатеринбург
сеть магазинов "Дом Книги" http://www.domknigi-online.ru
ЧЙ! г. Новосибирск
сеть магазинов "Топ книга" www.top-kniga.ru
ЧЙ г. Ростов-на-Дону
сеть магазинов "Магистр" http://www.booka.ru
наложенным платежом:
(заказы принимаются по e-mail, по почте)
по безналичному расчету:
(заказы принимаются по e-mail,
по факсу с указанием полных реквизитов юридического лица)
ИНФОРМАЦИЯ О НОВИНКАХ^
ЗАКАЗ КНИГ: sales@technosphe
Тел.: (495) 234-0110, факс: (495) &
ОСФЕРА
Заявки на книги присылайте по адресу:
125319 Москва, а/я 91
Издательство «Техносфера»
e-mail: knigi@technosphera.ru
sales@technosphera.ru
факс: (495) 956 33 46
В заявке обязательно указывайте
свой почтовый адрес!
Подробная информация о книгах на сайте
http://www.technosphera.ru
Справочник по физике.
Формулы, таблицы, схемы
Под редакцией Хорста Штёкера
Компьютерная верстка — В.Ю. Кознов
Корректор — Н.И. Кононенко
Дизайн книжных серий — С.Ю. Биричев
Дизайн — И.А. Куколева
Выпускающий редактор — А.Ю. Филатова
Ответственный за выпуск — В.М. Макарцев
Формат 70x100/16. Печать офсетная.
Гарнитура Ньютон
Печ.л. 79. Тираж 1500 экз. Зак. № 3814.
Бумага офсет №1, плотность 60 г/м2.
Издательство «Техносфера»
Москва, ул. Краснопролетарская, д.16, стр.2
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ООО ПФ «Полиграф-Книга»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, д. 3.
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75
и техники
X. ШТЁКЕР
Справочник по физике.
Формулы, таблицы, схемы
КОМПАКТНО СОБРАНЫ ВСЕ
ВАЖНЫЕ ФОРМУЛЫ, ТАБЛИЦЫ,
ПРАВИЛА И ТЕОРЕМЫ, ПРИМЕРЫ
И СПОСОБЫ ПРАКТИЧЕСКОГО
ПРИМЕНЕНИЯ
ТЕХНОСФЕРА
ISBN 978-5-94836-205-2
мир
физики
ДОКТОР ХОРСТ ШТЕКЕР -
ПРОФЕССОР КАФЕДРЫ
ТЕОРЕТЙЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
В УНИВЕРСИТЕТЕ ИМ. ИОГАННА
ВОЛЬФГАНГА ГЕТЕ,
Г. ФРАНКФУРТ-НА-МАЙНЕ.
ОБЛАСТЬЮ ИССЛЕДОВАНИЙ
АВТОРА ЯВЛЯЮТСЯ ФИЗИКА
ТЯЖЕЛЫХ ИОНОВ, ФИЗИКА
ЯДЕРНОГО ВЕЩЕСТВА
И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ,
А ТАКЖЕ МНОГОЧАСТИЧНАЯ
ТЕОРИЯ
интернет-магазин
□zaN.ru
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
85232269