Автор: Диментберг Ф.М. Люкшин В.С. Ниберг Н.Я. Обморшев В.Н. Плужников И.С. Серенсен С.В.
Теги: машиностроение
Год: 1956
Текст
с-?у/
СПРАВОЧНИК
МАШИНОСТРОИТЕЛЯ
В ШЕСТИ ТОМАХ
Том 3
Главный редактор тома
действ. член АН УССР С. В. СЕРЕНСЕН
Издание второе,
исправленное и дополненное
ГОСУДАРСТВЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОЙ литературы
Москва 1956
АВТОРЫ ТОМА
Л. Е. АНДРЕЕВА, канд. техн. наук. В. Л. БИДЕРМАН. канд. техн. наук.
С. В БОЯРШИНОВ, канд. техн. наук. А. С. ВОЛЬМИР, д-р техн, наук проф..
Ф. М. ДИМЕНТБЕРГ, канд. техн. наук. С. М. ЗАСЕДАТЕЛЕВ. инж.. Р. С. КИНА-
СОШВИЛИ, д-р техн. наук. проф.. А. Д. КОВАЛЕНКО, член-корр. АН УССР,
В. М. МАКУ ШИН, канд. техн. наук. Н Н. МАЛИНИН, канд. техн. наук.
С. Д. ПОНОМАРЕВ, д-р техн, наук проф., Н. И. ПРИГОРОВСКИЙ. д-р техн,
наук проф., С. В. СЕРЕНСЕН, действ, член АН УССР. И. М. ТЕТЕЛЬБАУМ,
канд техн, наук, И. И. ТРАПЕЗИН, канд. техн. наук. А. А. УМАНСКИЙ, д-р техн,
«аук проф., В. И. ФЕОДОСЬЕВ, д-р техн, наук проф.
Редактор канд. техн, наук И. И. Трапеза н
Редактор графических работ инж. В. Г. Карганов
Редакция справочной литературы
Зав. редакцией инж. Л1. £. Маркус
Адрес редакции: Москва, Третьяковский проезд, д. I, Машсиз
СОДЕРЖАНИЕ
Основные обозначения .............. 1
Глава I. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
(л-р техн, наук проф. Н. И. Пригорав-
скиЛ и канл. техн, наук И. И. Тра-
яезин) ........................ 5
Напряжения ................ 5
Деформации.......................11
Зависимости между напряжениями и де-
формациями в предела! упругости ... 13
Зависимости между напряжениями и де-
формациями при пластической деформа-
ции .............................17
Поле напряжений ............. 19
Глава II. РАСЧЕТ БРУСА.............21
Расчет прямых вру свев (л-р техн.
паук проф Н. И. Пригоровский)... 21
Центральное напряжение и сжатие .... 21
Сдвиг (срез и скалывание).......26
Кручение........................27
Геометрические характеристики сечения 33
Поперечные силы и изгибающие моменты
в олиопролетных балках...........50
Поперечные силы и изгибающие моменты
в многопролетных балках на упругом
основании при неподвижной нагрузке
(каид техн. наук Ф М. Диментберг) 66
Поперечные силы и нагибающие моменты
в балках при подвижной нагрузке
(Ф. М. Диментберг) . . . 78
Напряжения в балках и расчет их на проч-
ность 86
Энергия деформации изгиба ......96
Перемещения в балках ...........96
Сложное сопротивление.......... 101
Расчеткрияых ивитых брусьев
(л-р техн, наук проф. С. Д. Поно-
марей) .................112
Напряжения и деформации плоских кри
вых брусьев большой кривизны....112
Напряжения у винтовых брусьев круг-
лого поперечного сечения ....117
Расчет на изгиб стержней боль-
шой гибкости (ииж С. М. За-
седателев) .............. 119
Введение.......................119
«веское решение.............. > > .120
аналитическое решение.....121
Глава III РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
(д-р техн, наук проф. А. А. Уманский
и капа. техн, наук Ф. М. Димент
берг)..............................ИО
Расчет статически определимых ферм ... 110
Расчет статически определимых рам ... 149
Определение перемещений........160
Расчет статически неопределимых систем 166
I*
Глава IV. РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ
СТЕРЖНЕЙ (л-р- техн, наук проф
А. А. Уманский} ......... 169
Качественная характеристика тонкостенных
стержней............................ 169
Напряжения и деформации при свободном
кручепии стержня с открытым профилем 173
Напряжения и деформации при свободном
кручении стержня с замкнутым профилем 173
Сложное сопротивление тонкостенных
стержней.............................174
Короткий тонкостенный стержень, защем-
ленный одним или двумя концами .... 183
Устойчивость центрально и внецентренио
сжатых стержней с открытым тонкостен-
ным профилем ........................184
Общая устойчивость балок при попереч-
ном изгибе...................'.......186
Глава V. РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК (д-р техн.
наук проф. А. С. Воль мир)...... 190
Общие понятия..................190
Расчет пластинок на изгиб.... 191
Расчет толстых плит.................. 197
Расчет пластинок на устойчивость........193
Глава VI. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК (д-р техн.
наук проф. В. И. Феодосьев). . 4. . .200
Расчет симметричных тонких оболочек . . 203
Расчет на жесткость оболочек большой
гибкости (канл. техн, наук Л. Е. Андре
ева)........................... -'Ю
Глава VII. РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
АЛЕЙ, НАХОДЯЩИХСЯ ПО
СТВИЕМ ОСЕСИММЕТРИЧНО
НАГРУЗКИ (каид. техн. наук
С. В. Бояршинов).....................219
Толстостенный цилиндр при действии акут
реннего и наружного давления..........219
Расчет прессовых посадок при однилковой
длине сопрягаемых деталей ... 220
Графический способ определения напряже
ннй в толстостенных цилиндрах . . . . 221
Скрепленные н ввтоскрепленные цилиндры 222
Температурное напряжение и толстостен-
ном цилиндре .................... 224
Толстостенные цилиндры при действии
переменной по длине осесимметричной
нагрузки..............................228
Расчет прессовых посадок при различной
длине сопрягаемых детален.............227
Толстостенный шар. подвергнутый дей-
ствию давлений (д-р техн, наук проф
В. И. Феодосьев) .....................227
Глава VIII. РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ (д-р
техн, наук проф. С. Д. Пономарев
и канл. техн, неук Н. Н. Малинин) 229
Расчет движущихся стержней...........229
Расчет вращающихся винтовых цилиндри
ческнх пружни....................... 234
IV
СОДЕРЖАНИЕ
Напряжения в сплошных и полых вращаю
щихся валах ... . ...... 236
Расчет вращающихся дисков .........237
Расчет вращающихся оболочек........285
Глава IX. РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ
УПРУГОСТИ (кайл. техн, наук
Н. Н. Малинин) . ... 271
Расчеты деталей с учетом пластических
деформаций ................. ....... 271
Расчеты с учетом ползучести........289
Глава X. РАСЧЕТЫ На СТАТИЧЕСКУЮ
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ (ка.чд
техн, наук В. М. Макушин) .... ЗОЭ
Устойчивость сжатых прямолинейных стер
жней.................................ЗОЙ
Устойчивость прямолинейных естественно
завитых сжатых стержней............. 323
Устойчивость сжато скрученных стержней 32-1
Устойчивость круговых колец........324
Устойчивость плоской формы изгиба пря
молннейных и криволинейных балок . . 325
Устойчивость цилиндрических витых пру
жни сжатия...........................330
ГЛАВА XI. КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОН-
СТРУКЦИЙ (канл. техн. наук
И. М. Тетелъбаум).......... 333
Основные понятия и зависимости .... 333
Расчет элементов конструкций на колеба
иия............... . а......... 353
Экспериментальное исследование колеба-
ний ............................... 378
ГЛАВА XII. РАСЧЕТ НА УДАРНЫЕ
НАГРУЗКИ (канл. техн. наук
В. Л. Бидерман'' . . ......... 390
Введение . . ............’v . а .... 390
Соударение массивных тел ..........390
Улар жесткого груза по упругой системе
с весьма малой собственной массой ... 391
Удар по буферу...................-®2
Ударное нагружение системы с двумя сте
пенями свободы................. 393
Продольный удар по стержням с распре-
деленной массой . ..... 394
Волновой метод расчета усилий и дефор-
маций при ударе по цилиндрическим
винтовым пружинам .... . . 398
Упрощенные методы расчета на удар . 399
Упрощенный расчет удара упругого тела
о неподвижную преграду или соударс
ния двух упругих тел . ..... 401
Глава XIII. МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ (др
техн, наук проф. Н. И. Пригаров
с кий) ............................ 403
Концентрация напряжений ........ 403
Контактные напряжения.......... 418
Глава XIV. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
(действ, член АН УССР С. В. Се-
рвисен) ............. . 428
Основные понятия и характеристики 428
Прочность при статических напряжениях 438
Прочность прн переменных напряжениях 447
Прочность прн повторных перенапряже-
ниях . ....................... 472
Долговечность ...................481
Прочность прн ударной нагрузке....481
Прочность при' контактных напряжениях 481
Величины запасов прочности и допускае-
мых напряжений ............ 482
Глава XV. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕ-
ДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ, НАПРЯ-
ЖЕНИЙ И УСИЛИЙ (д-р техн, наук
проф. Н. И. Пригоровский) . ... . 483
Текзометрирование................439
Измерения упругих перемещений.....811
Полирнзациоино оптический метод иссле-
дования распределения напряжений . 519
ПРЕДМЕТНЫЙ АЛФАВИТНЫЙ УКАЗА-
ТЕЛЬ (С. Л. Хисьминский)...... 535
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А Я и Я — опорные реакции.
А — амплитуда вынужденных колебаний.
а — амплитуда свободных колебаний.
ан — ударная вязкость при надрезе образна, удельная (кГм)см*
нлн кГcmIcm*).
it и D — диаметр вала или отверстия (сл. мм).
Е — модуль продольной упругости (кЛсл2),
Ej — модуль упрочнения (кГ\см^).
F — площадь поперечного сечения (см11).
FHm — полезная площадь поперечного сечения (за вычетом ослаб-
ления).
/—стрела прогиба (см, мм): частота колебаний (сек_>, гц|.
G — модуль сдвига (кГ>см^).
h, b — размеры прямоугольного сечения детали, соответственно
высота и ширина.
J — осевой момент инерции сечения (см*).
Ji и —главные осевые моменты инерции сечения по отношению
к осям / н 2.
Jp— полярный момент инерции (см*).
I — радиус инерции сечения (сл).
kt — коэффициент, характеризующий влияние концентрации на
прочность при статической нагрузке.
е_.
kt —--------- эффективный коэффициент концентрации напряжений при
1«
переменных нормальных напряжениях.
Л, — ——----то же для касательных напряжений,
и
(kt)D — коэффициент, отображающий влияние концентрации нор-
мальных напряжений и абсолютных размеров, а также
влияние состояния поверхности и поверхностного слоя.
— то же для касательных напряжений.
L — внешний момент (кГсм, тм).
I, L — длина, пролет (ел).
М — изгибающий момент (кГсм. тм).
М* — крутящий момент (кГсм, тм).
N — число циклов.
Том 3
2
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
N. S. Р—продольное (осевое) усилие (кГ).
п — запас прочности.
Лу—запас устойчивости.
Р — сосредоточенная сила, внешняя нагрузка (кГ, т).
Ркр—критическая сила, критическая нагрузка.
р, q—нагрузка на единицу длины или поверхности, равнодей-
ствующая напряжения (кГ/см. т/м или кГ1см3, т1м3).
Q — нагрузка, вес, поперечная сила (кГ, т).
q — коэффициент чувствительности материала к концентра-
~ цни напряжений.
г, R, р—плечо, радиус.
г — —коэффициент асимметрии цикла.
° mix
s — истинное нормальное напряжение, касательная нагрузка на
единицу длины или поверхности.
5 — статический момент площади (см3).
— истинное сопротивление разрушению.
Г—время (сек.); период (сек.); кинетическая энергия (кГсм)
t — истинное касательное напряжение при деформировании за
пределом упругости (кГ/см*, кГ1мм3), время (сек.), темпе-
ратура.
1К — сопротивление срезу.
/. Ь — толщина.
U — потенциальная энергия деформации (кГсм, кГм).
и, V, w —линейные перемещения соответственно по осям х, у, z.
IF — момент сопротивления сечения при изгибе (см3).
— полярный момент сопротивления.
№бр—момент сопротивления сечения без учета ослабления.
(ГЖ(П — момент сопротивления сечения с учетом его ослабления.
х. у. I— координаты рассматриваемой точки, обозначения осей коор-
динат.
— — коэффициент концентрации нормальных напряжений в пре-
делах упругости.
'пи я
в, — — то же для касательных напряжений.
(I — коэффициент, характеризующий влияние состояния поверх-
ности н свойств поверхностного слоя на предел выносли-
вости.
у—относительный сдвиг.
д > <j 4- <2 4-— относительное изменение объема деформируемого эле-
мента.
*!• *»• >g—главные деформации в рассматриваемой точке.
1—относительная продольная деформация.
tu —истинная продольная деформация.
с; — интенсивность деформации.
—соответственно упругая и пластическая продольная дефор-
мации.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
3
е,. ет — коэффициенты, характеризующие влияние размеров сечения
на сопротивление усталости соответственно при действии
нормальных и касательных напряжений.
«г — коэффициенты, характеризующие изменение предела теку-
чести материала в зависимости от размеров сечения детали
«, — то же для предела прочности
« — скорость деформации.
• в — угол поворота поперечного сечения при изгибе;
в — момент инерции массы (кГ сек* см).
Ет
X — 1 —ТГ ~~ коэффициент разупрочнения; А — гибкость стержня.
— коэффициент Пуассона.
а—нормальное напряжение (кГ)см*, кГ]мм*).
«1. «г» as— главные напряжения в рассматриваемой точке; при этом
<4 > ’а > ’«
ан— номинальное нормальное напряжение.
а, — интенсивность напряжений.
[<т] — допускаемое нормальное напряжение.
|е)р — допускаемое напряжение при растяжении.
1°1сж —т0 же при сжатии.
(л|а —то же ПРН изгибе.
°лр — приведенное напряжение.
at — предел прочности (временное сопротивление).
— предел прочности при растяжении.
а веж — предел прочности при сжатии.
ави ~ предел прочности при изгибе.
аг—предел текучести (кГ1мм*. кГ/см*).
а02 ~ “редел текучести, соответствующий пластической деформа-
ции О.?0),,.
оТа — экстраполированный предел текучести.
о_1 — предел выносливости при изгибе с симметричным циклом
(кГ)мм* кГ)см*).
в-1р — предел выносливости при растяжении-сжатии с симме-
тричным циклом.
а0 —предел выносливости при изгибе для пульсирующего цикла.
9ос — предел выносливости при сжатии для пульсирующего цикла.
o_llt — предел выносливости для изгиба с симметричным циклом
при наличии концентрации напряжений.
’mu, Tmix — наибольшее напряжение цикла.
°nin> Tmin—наименьшее напряжение цикла.
’<n “ g|"*x^~g|nln — среднее напряжение цикла.
оа — ° mgx ’шт— амплитуда напряжений цикла.
— предел ползучести.
еяЧ — предел пропорциональности.
— предел длительной прочности.
— предел упругости.
4
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
I— касательное напряжение (кГ:смг, кГ(ммг}.
t„ — номинальное касательное напряжение.
|т| — допускаемое касательное напряжение.
|т|fp — допускаемое напряжение при срезе.
(т), — то же при кручении.
г,— предел прочности при кручении.
xtep — предел прочности при срезе.
гр — предел текучести при сдвиге.
t_| — предел выносливости при кручении с симметричным никлом.
х_1(Г — то же при концентрации напряжений.
rm = *шц — среднее касательное напряжение цикла.
ta — 'mti‘ 7 1|Я---амплитуда касательных напряжений цикла.
? — угол закручивания.
ф— относительное сужение плошали поперечного сечения при
разрыве.
2о_. — оц
ф0 —------------коэффициент, характеризующий влияние асимметрии цикла
«о
• на прочность при нормальном напряжении.
2^_( —Ч
ф, -----------— то же, при касательном напряжении.
<и— угловая скорость, угловая частота (сек-«).
ГЛАВА I
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
НАПРЯЖЕНИЯ
Отношение внутренней силы, дей-
ствующей на небольшую часть мысленно
проведенного сечения т — п (фиг. 1)
нагруженного тела, к величине площади
ДЕ этой части сечения приближается
к некоторому пределу, если эту пло-
щадь уменьшать до бесконечно малых
размеров, стягивая контур, ограничива-
ющий ее, к точке А. Предел этого отно-
шения называется напряжением н опре-
деляет интенсивность внутренних сил,
действующих на данную площадку в рас-
сматриваемой точке А тела. Напряжения
не только различны в различных точках
рассматриваемого тела, но различны в
одной и той же точке по различно на-
клоненным площадкам.
Полное напряжение в точке А с ко-
ординатами (х, у, г) на площадке с нор-
малью п
Pa- Hm . (I)
где ДР — элементарная сила, передаю-
щаяся от отброшенной части // тела на
рассматриваемую часть /.
„ сила
Раз черность напряжения-----------
r г площадь
(кГ|с.мг, кГ)ммгу
Нормальное напряжение равно
проекции рп на нормаль п:
’л- Рпи*(.рп. п). (2)
Касательное напряжение тл равно
проекции р„ на плоскость площадки ДР:
тя - рп sin (/>„, п). (3)
Компоненты напряжения. Напряже-
ние на любой площадке в рассматри-
ваемой точке может быть определено,
если известны в данной точке напряже-
ния на каких-либо трех взаимно перпен-
дикулярных площадках. Проекции на
координатные осн х, у н z напряже-
ний pt, pv, рг, действующих на пло-
щадки, перпендикулярные к этим осям,
обозначаются (фиг. 2) так:
PjA °х> ХХ1>
ру ау, ,
РА ’«• '**> х»у
Величины or, x,v. .... чп называются
компонентами напряжения в точке А
Первый индекс показывает, какой оси
перпендикулярна площадка действия
напряжения, второй — какой оси парад-
л
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
дельно напряжение. Например, напря-
жение ttJI—касательное напряжение,
параллельное оси у и действующее на
площадку, перпендикулярную к осн z.
Правило знаков для компонентов
напряжений. Если внешняя по отноше-
нию к рассматриваемой части тела
нормаль к площадке направлена в сто-
рону параллельной ей оси координат, то
положительными направлениями компо-
нентов напряжения считаются положи-
тельные направления координатных осей.
Согласно этому правилу нормальное
напряжение всегда положительно, если
оно растягивающее. На фиг. 2 все ком-
поненты напряжения положительны.
Свойство парности касательных
напряжений. Если на площадку /
(фиг. 3) действует касательное напря-
жение т1( то на площадку 2, перпендику-
лярную к Т], действует напряжение
Ч -1|. (4)
Согласно этому
сгу ” хух> xva “ “ xjri- (5)
Главные напряжения. Через каждую
площадку тела можно провести трн
взаимно перпендикулярные площадки,
на которых касательные напряжения
равны нулю. Эти площадки называются
главными площадками в рассматривае-
мой точке, а направление нормалей
к ним — главными направлениями. Дей-
ствующие на главных площадках нормаль-
ные напряжения называются главными
напряжениями и обозначаются через аь
oj н о8; при этом а]>ог>а8. Нормаль-
ные напряжения в данной точке дости-
гают на главных площадках экстремаль-
ных значений.
Положение главных площадок и вели-
чины главных напряжений определяются
по формулам табл. 1.
Таблица I
Формулы для напряжений по наклонным
площадкам для главных напряжений и дна
наибольших касательных напряжений
Направленна напряжений и углов поворота,
обозначенные на чертежах в тексте таблицы,
считаются положительг.ыми. Если при вычн
сленнях по приведенным формулам какая-либо
величина получаете» отрицательной, то ее
направление — обратное предположенному на
чертеже. Указанные напряжения действуют
на заштрихованную часть тела.
/. Линейное напряженное состояние
х
в = в сов1
1
Наибольшее н наи-
меньшее касательные
напряжение
’шах, mln“^ 7
(для всех площадок, имеющих нормаль пол
углом 45 и 135® к направлению о^)_
2. Плоское напряженное состояние. Чи-
стый сдвиг
«я-т,^1п.т; 1
(3)
’л---
Главные напряжений
•-’л» н
(при о = 45’ н в =135®).
Наибольшее н наимень-
шее касательные на-
пряжения
'шах, mln “ * 'лгу
(при ф — I или * — 90®). Этн значения каса-
тельных напряжений являются наибольшими
и наименьшими ала площадок, перпендику-
лярных к плоскости чертежа. &
& Плоское напряженное состояние; заданы
напряжения по главным площадкам о, а в,
% «*’• +
a, tin’
’в"Т(*‘"
— «О atn Jo.
(б)
Наибольшие и наи-
меньшие касательные
напряжения
’max, mln =
— ± -у (•. - •«) (в)
(при ф — 45® или » = 135°). Эти значения каса-
тельных напряжений являются наибольшими
и наименьшими ала плоша.юк, перпенди-
кулярных к плоскости чертежа. В случае,
если я, > н, наибольшее и наименьшее из
всех касательных напряжений будут иметь
место на площадках, наклонных под угломчб®
к плоскости напряжений, и равны
'max, mln “ 4 “ •
НАПРЯЖЕНИЯ
т
Прололжсиие табл. I
Продолжение табл. 1
4. Плоское напряженное состояние; про-
стое растяжение или сжатие с чистым
сдвигом
•п - у *х (1+ С01 + ’ху
’я «• у ях »1п 2» -т со» 2р. (7)
Главные напряжения на площадках, перпен-
дикулярных к плоскости чертежа,
•1,2 “ *у- ± у °х + ^'*'4 ' (8>
Углы о “ Ti и ♦ “ определяющие положе-
ние главных плошалок, находятся из формулы
ГУ>
С/ °г
16»/--у-----i. w
xr
где i — I или I.
Наибольшее и наи-
меньшее касательные
напряженка
•max, mln “
- ty/ "x+^xy (10)
действуют на площадках, расположенных пол
углом 45е к главным площадкам.
5. Плоское напряженное состояние. Общий
случай
«п =у (»л + •,) + -е^совфр +
+txylUn2’; *’*)
’я — у («х — вх> ,|п ~ ’жу сов
Главные напряжения на площадка^ перпен-
дикулярных к плоскости чертежа»
•1,2- <•,-•/+<> О’)
Углы о, и е, для главных площадок опреде-
ляются по формулам
-=- л Наибольшее и наи-
'е* меньшее касательное
g напряжение
I Г--------------Г
Sinx, mln “ * у у <•,- •/♦♦’ху <•«)
«ейстауют на площадках, расположенных под
углом 45“ к главным площадкам. В случае,
если «1> 0, то наибольшее из всех касатель-
ных напряжений будет иметь место на пло-
щадках, наклонных пол углом 45“ к плоско-
сти напряжений, и равно
’шах “
в. Плоское напряженное состояние. Общий
случай
Напряжения на площадке, параллельной на-
пряжению и наклоненной пол углом <|>
к плоскости згу.
Рфх = вх s,n 05)
Рфу--Тх/»1п4' (16)
расположены в плоскости, параллельной пло-
скости ху:
Рф Рфх+ д4у -}/ "х +^у«1пф. (1П
Нормальное напряжение
вф •» «х ф» (18)
Касательное напряжение
Хф —Bln 4 J// _!£ (1+ cos 2ф) + ?ху- О’)
7. Объемное напряженное состояние. За-
даны главные напряжения
Нормальаюе и касательное напряжения иа
площадке с нормалью ю
оя о, со»’ (л, л) + о, cos’ (л, у) +
4- о, со»’ (л, х); (20)
Яд — •! со»’ (л, д' + «I соя’ (л. у) +
+ •!«>»• (л,»)—[«, соа*(л, х)+о.со»’ (л,у)-)-
+ <а,соа’(л, »)]’• '21>
8
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
Продолжение табл. 1
Экстремальные еначения касательных на-
пряжений
Наибольшее касательное напряжение т, дей-
ствует иа площадке, перпендикулярной
ко второй главной площадке и делящей угол
между первой и третьей главными площад-
ками пополам.
в. Обьемное напряженное состояние. Общий
случай. Заданы компоненты напряжения
а рассматривав мой точке.
Нормальное напряжение на площадке с нор-
малью л
% “ *х соа'(я' + *у со’’ <"• у) +
4- о j со* (л, д) + 2тху соа (л, х) сое (л, у) 4-
+ 2xyj сое (л, у) cos (л, а) +
4" ?eJX сое (л, Г) соа (л, X). (22)
Составляющие напряжения на плотике с нор-
малью п, параллельные осям ж» у, I.
рях “ 'х со*(я’ж'+'ух со* <"• у) +
+ ’Jjr cos (л, я);
₽лу “ 'ху со* (я' я) + 9у со* <"•» +
+ чгу соа (л, а);
Рпг “ Ххг “* <*•х) + ’у» “•<"• у) + (Я)
+«, сов (л, X).
Полное напряжение на площадке с нор-
малью я _____________
pn-y^ р'пх^р\у^пя М
направлено к нормали л под углом », опреде-
ляемым равенством
РП
где полное касательное напряжение
'л-ИР«-’"- ,56)
Продолжение табл. I
Главные напряжения «„ в, и а, в рассматри-
ваемой точке равны трем корням уравнении
«J “ («х + «у + Од) «} +
+(охву+’у’я+’явж_ xxy~'yi~xix) в1~
- (“х’у’я+^ху'уя'ях-’х'Л—у^* “
-о/Гу)=0. (26)
Направляющие косинусы нормали каждой на
главных площадок определяются из системы
следующих уравнений:
(» , - ».) cos (л, х) + т соя (л, у) +
+ 'хх ““ (Я> г) “ °’
я cos (л, х) 4- (о - о.) cos (л,у) +
+ cyz cos (л, я) =» 0;
4xi cos (л. х) -ь туг сов (л, у) 4-
4" ("я — ’/) cos *”• “°*
сов1 (л. х) 4- cos’ (it, у) 4- cos1 (л, г) = I.
(27)
(28)
Из первых трех уравнений только два яв-
ляются независимыми.
Основные типы напряженных со-
стояний. Линейное (одноосное) напря-
женное состояние — два главных напря-
жения равны нулю (например, в точках
бруса при простом растяжении или при
чистом изгибе). На любой площадке,
параллельной отличному от нуля глав-
ному напряжению, нормальное и каса-
тельное напряжения равны нулю. Пло-
ское (двухосное) напряженное состоя-
ние — одно из трех главных напряжений
равно нулю (например, в точках пла-
стинки, нагруженной силами, лежащими
и ее срединной плоскости; в точках
ненагруженной поверхности детали). Для
плоского напряженного состояния глав-
ные напряжения обозначаются через at
и °а (®i > ®з)- Полное напряжение на
любой площадке параллельно плоскости,
в которой действуют главные напряже-
ния sj и а».
Объемное (трехосное) — все три глав-
ных напряжения отличны от нуля.
Всякое напряженное состояние можно
рассматривать как сумму двух напря-
женных состояний / и II. Компоненты
напряженного состояния /
®х “ °у ~~ “ ®> Тху> 'уд» 'хх
суть компоненты так называемого де-
виатора напряжений. Компоненты на-
пряженного состояния Ц
а; е; в; 0; 0; 0 (7)
суть компоненты шарового тензора
НАПРЯЖЕНИЯ
9
Здесь <?1 + <г2 + а8
о---------g----- (8)
(а — среднее нормальное напряжение).
Зависимости между напряжениями
в рассматриваемой точке. Напряжения
на любых площадках, проходящих через
рассматриваемую точку тела, вычи-
сляются по формулам табл. 1.
Зависимости между компонентами на-
пряжений в рассматриваемой точке,
отнесенными к осям х, у, z и х', у',г‘,—
инварианты напряженного состояния:
ах + ’у + аг = ях' + °у' + =
•= + »2+«я;
ст.г’у + »у<т, + Яг'х - ^У - St - -
= ах.ау, + + аг,ах. — т2 * 4 * * * * (у, -
— *у,г, — •%,*, = qa2 + 02aB + oaef,
’х’у’я — aJfTyt — ayTzx — 9гтху +
+ 2t.ryTy*x«jr = ях'яу,яг' — 9ж'ту'а' —
9y'xz'x' az,Tx'y' + ^xx'y’xy't'xt'x' “
— aiajSfr (9)
Интенсивностью напряжений в дан-
ной точке называется величина
Круговая диаграмма напряжений
(круг Мора). Круги напряжений вычер-
чиваются по известным напряжениям на
трех взаимно перпендикулярных пло-
щадках в рассматриваемой точке детали
и позволяют графически находить вели-
чины напряжений на различных пло-
щадках в этой точке.
Способы построения кругов напряже-
ний для основных случаев приведены
в табл. 2.
Эллипсоид напряжений применяется
для изображения напряженного состоя-
ния в рассматриваемой точке; уравнение
эллипсоида
Величины полных напряжений по на-
клонным площадкам представляются
радиусами-векторами, концы которых
лежат на поверхности эллипсоида; полу-
оси эллипсоида напряжений равны вели-
чинам О]. аг, а3. Эллипсоид напряжений
может быть в виде шара (»] — а2 — з3;
все площадки—главные), эллипсоида вра-
щения (два главных напряжения равны
между собой) и может переходить
/ (’х - »уЛ + (Ту - *т)4 + (*, - ^)’ + 6 + Ч» + £) “
- Py У (’I - + (’2 - а»)4 + (91 — ° а)4- (10)
Построение крутое напряжений для данной точки детали Таблица 2
Масштаб по оси « н т! 1 ем чертежа — m кГ/см'
Заданы
Графически
определяются
Построение, (см. пояснения)
I. Плоское напряженное
состояние. Главные
напряжения о, и а» и
главные площадки А и
В, на которых они дей-
ствуют
2. Плоское напряжен-
ное состояние. Напря-
жения о и т на
двух взаимно перттем-
дюсулярных площадках,
нормальных к площад-
кам, свободным от на-
пряжений
Напряжения ни
площадках, пер*
псндмкулярных к
площадке, сво-
бодной от напря-
жений (на пло-
щадках. перпен-
дикулярных к
плоскости чер-
тежа)
Главные напряже-
ния 0| и »| и по-
ложение главных
площадок
10
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
Продолжение табл. 2
Пояс пенна к табл. ‘2:
1. Проводятся взаимно перпендикулярные оси и тл и наносятся точки А н В, координаты кото-
рых равны напряжениям, действующим па главных площадках е, н о». На отрезке ВА. как па диаметре,
строится окружность с центром О,. Любая точка D окружности имеет_две координаты, равные нор-
мальному и касательному напряжениям и тд на наклонной площадке D, нормаль к которой образует
с направлением а, угол <р. Угол у получается между осью «л и прямой, соединяющей левую точку В
круга с точкой D. Если элемент, о котором рассматриваются напряжения, вычерчен так, что большее
(с учетом злака) главное напряжение о, параллельно оси «л, то прямая BD будет параллельна нор-
мали ~п к площадке, проведенной в элементе, на которой напряжения ад и тд равны координатам
точки D. Отрезок OD дает величину полного напряжения на площадке с наклсИом р.
Если а, = а* то круг напряжений переходит в точку, лежащую на оси ая.
2. Направляем ось вд по большему из заданных нормальных напряжений. Наносим точки D, (ау. т гу)
и О. (a*. На отрезке О,О„ как на диаметре, строим окружность. Точки А и В пересечения окруж-
ности с осью «я имеют абсциссы о, и е(. Угол нормали к главной площадке / с осью х равен
Из чертежа видно, что .
'У 2ро
3. От начала координат О по осн «л откладываем отрезки, равиые а„ а, и а, (получаем точки С,
В н А). На отрезках АС, АВ, ВС, как на диаметрах, строим окружности. Величины напряжений ол
и tfl, действующих на площадку, нормаль к которой составляет углы я, fi и у с главными напряже-
нками >„ " «в находим следующим построением. В точках С н А восставляем перпендикуляры
к осн а . Откладываем от этих перпендикуляров углы «ну так, как это показано на чертеже. Через
точки D, и D, пересечения сторон углов я и у с большой окружностью проводим дуги радиусами 0,0,
и O,Dt. Точка пересечения этих дуг М имеет координаты, равные и тл. Из чертежа видно, что
экстремальные значения касательных напряжений равны
ДЕФОРМАЦИИ
11
в плоский эллипс (плоское напряженное
состояние), отрезок прямой (линейное
напряженное состояние).
Сложение напряженных состояний
в рассматриваемой точке. Согласно
принципу независимости действия сил
(при упругих деформациях) результи-
рующее суммарное напряженное состоя-
ние находится алгебраическим сложе-
нием компонентов напряженных состоя-
ний, отнесенных к одним и тем же коор-
динатным площадкам.
Пусть а*, «j и а}1, а1, — главные на-
пряжения плоских напряженных состоя-
ний 1 и 11, соответственно, и у — угол
между направлениями я} и в,1. Величины
и углы наклона главных напряжений
суммарного напряженного состояния
к направлению а[ определяются фор-
мулами
соответственно в плоскостях ху. уг, гх.
Так, величина угу представляет собой
изменение прямого угла между линей-
ными элементами dx и dy, параллель-
ными до деформации осям х и у, про-
исшедшее в результате деформации
(фиг. 4); если > 0, то это означает.
’|.г“
4 [°! + aj +
-<^‘)cos2x
2<ро ± (»’' — ) cos2 (у - <р0)] ;
(12)
ДЕФОРМАЦИИ
Приведенные ниже зависимости при-
менимы для малых смещений и дефор-
маций (упругих и пластических). Зави-
симости при больших смещениях и
деформациях (в гибких элементах,
в сильно деформируемых материалах
типа резины, при технологических опе-
рациях)— см. [7].
Компоненты деформации в рассма-
триваемой точке
ди , dw,
()
до .ди . dw до *
” ~3х ~3у * 'lvt ~ ду "г Нг *
ди dw
+ 37-
(14)
Здесь и, v и w — смешения точек по
осям х, у и г, компоненты деформа-
ции Bjp «у и вг — относительные удли-
нения (или укорочения) линейных эле-
ментов. параллельных до деформации
осям ж, у и г; уху, ууг и — относи-
тельные сдвиги (угловые деформации)
что угол между элементами dx и dy
в результате деформации уменьшился;
в противном случае он увеличился.
Относительные деформации е и у вы-
ражаются отвлеченным числом или
в процентах.
Относительное изменение объема
(объемное расширение) в рассматривае-
мой точке
ди .до , dw ....
д».х+,у+,,-_+ — + _ (15)
Относительные линейные деформации
и относительные сдвиги в общем случае
различны не только в различных точ-
ках, но имеют свою величину для ка-
ждого направления и для каждой пары
взаимно перпендикулярных направлений
в рассматриваемой точке.
Главные направления деформации
в рассматриваемой точке —три взаимно
перпендикулярных направления, для ко-
торых угловые деформации равны* нулю.
Линейные деформации по главным на-
правлениям называются главными де-
формациями и обозначаются »Jt >g и «g;
при этом «| > »г > «а- Между главными
деформациями и линейными деформа-
12
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
днями по любым трем взаимно перпен-
дикулярным осям л, у и z в рассматри-
ваемой точке имеется зависимость
•х + *у + *» = 61 + ч + *j = Л, (16)
где Д — относительное изменение объема.
Основные типы деформаций. По
аналогии с линейным и плоским напря-
женным состоянием различают линей-
ное и плоское состояние деформации,
где две и соответственно одна главные
деформации равны нулю.
Всякое состояние деформации можно
рассматривать как сумму двух состоя-
ний деформации / и 11.
Компоненты деформации состояния /:
6ж _ в- е; - е; ’(№; Ьх (девиа-
тор деформации; изменение формы);
компоненты деформации состояния 11;
е; е; »; 0; 0; 0 (шаровой тензор; изме-
нение объема).
Здесь
*х+*/ + «х tj + ej + ej Д
‘ з--------------------з-------3
есть линейная деформация в направле-
нии. составляющем равные углы с глав-
ными деформациями; Д — относительное
изменение объема.
Здесь — изменение прямого угла
между взаимно перпендикулярными до
деформации направлениями rt и гг; Ц,
mt, nt— конусы, определяющие напра-
вление гр, /j, т^ nt — то же для гг.
Пример. Заданы »х, «^, . Выразигь «п в на-
правлении г„ расположенном в плоскости ху, со-
стаклаюшем угол <р, с осью х и слвиг между г,
и направлением г», перпендикулярным к напра-
влению г„ лежащим в плоскости ху, составляю-
щим С осью х угол ip — 90’.
Пользуясь первой из формул (11) табл. I, п. 5
н заменяя в ней а на • и т на X., н фор-
мулой (17). получаем
•г. “ т [(’х + *у) + (*х - *у) '°* +
+ тху4|п2’1:
ТЛ|Г1 = 2«x «1п » соя р — 2«v aln у сов о -(•
+ <- сов’р + Bln’«) Т
или
1г,г, - (‘х - 'у) I 2* “ ’ху «* 2?-
Угловая деформация между линией,
составляющей равные углы с направле-
ниями главных деформаций, и линией
действия октаэдрического касательного
напряжения называется октаэдрическим
сдвигом и равна
I = J |(*х —*/)* + Uy— «*)* + («Л—*х)! + 7 <7ху + 'lу: + Тдх> =
~ ~ *»)*+ (ч~*»)’ + (‘а— *1)’« 08)
Зависимости для деформаций по
разным направлениям в рассматри-
ваемой точке. Зависимости для линей-
ных деформаций по разным направле-
ниям могут быть получены из соответ-
ствующих зависимостей, приведенных в
табл. I для напряжений, если в послед-
них, сохраняя те же индексы, в заме-
нить на « и т заменить на (аналогия
между деформациями и напряжения-
ми). Нормали к площадке, на которую
действует напряжение, соответствует
направление, к которому относится де-
формация.
Угловые деформации для различных
направлений в рассматриваемой точке
можно определить по формуле
Tr.г, - 2«,Л]Л1 +
+ + т.1г) + (тхщ + прп^) у,, -f-
+ (ЛЛ + /1Л2)Т,Ж. (17)
Круги деформаций позволяют
графически находить зависимости между
составляющими деформаций в рассмат-
риваемой точке и могут быть построены
по известным деформациям для трех
взаимно перпендикулярных направлений
в рассматриваемой точке.
Фиг, 5. Круг деформаций. Направление г, рас-
положено к плоскости (X. у) И перпендикулярно г,.
Способ вычерчивания кругов дефор-
маций тот же. что и кругов напряжений
(см. табл. 2); при этом вместо а и т
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ
13
т
откладываются соответственно » и -% с
индексами, указывающими направления,
для которых рассматривается дефор-
мация.
Пример. Для двух взаимно перпендикулярных
направлений апланы относительные линейные де-
формации «ж и «у и относительный сдвиг тжу.
Определение главных деформаций а, и а, и нх на-
правлений выполняется аналогично построению
> и. 2 табл. 2 (фиг. 5).
Интенсивностью деформации назы-
вается величина в/, пропорциональная
октаэдрическому сдвигу:
я,- /2у. (19)
Для чистого сдвига (Ъ = |у"£1"
-7vi-7fx-0; 7ху*°>
**в "77? 7ху (19а)
Для простого одноосного растяжения
•х э* — Р*г> 7ху " 7у: “
- 7»х - 0.
где р—коэффициент Пуассона,
2
«/— у (1 + р) «л- (196)
Величина «( используется при состав
ленин условий пластичности (см. стр. 19).
Однородной называется деформация,
при которой все точки тела деформи-
руются одинаково. Перемещения и, v и
w являются линейными функциями ко-
ординат точек; компоненты деформации
не зависят от координат точек. В об-
щем случае деформация в пределах
малого объема может рассматриваться
как однородная.
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕ-
НИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ
В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
Упругостью называется свойство ма-
териала восстанавливать после снятия
нагрузки первоначальные размеры и
форму детали, выполненной из данного
материала. При нормальной температуре,
ограниченных скорости и продолжитель-
ности деформации деталь с достаточной
точностью можно считать упругой до
тех пор, пока возникающие в ней на-
пряжения не превзошли определенного
значения (предела упругости). При уп-
ругом состоянии имеется однозначная
зависимость между нагрузкой и дефор-
мациями. формулируемая в виде закона
Гука в общем виде так: деформация
пропорциональна нагрузке.
Упругие характеристики устанавли-
ваются путем механических испытаний
образцов из рассматриваемого материала
(см. т. 6, гл. I) и определяются двумя из
указанных в табл. 5 величинами.
Таблица 3
Зависимости между и о »фф и цис и там и
упругости для изотропного материала
Модуль продольной упругости £ - 2 (1 + |Ь) О
Модуль слинга О Р. ~ 2(1+ |О
Коэффициент Пуассона
Объемный модуль К С зи -ад“ _ 1. 2±в_0 3 1 - 2ц
Зависимости между напря-
жениями и деформациями в
пределах упругости для различных типов
напряженных состояний даны в табл. 4.
Построение кругов напряже-
ний по кругам деформаций —
см. [12].
Энергия упругих деформаций
Работа внешних сил при деформации
переходит во внутреннюю потенциаль-
ную энергию. Величина потенциальной
энергии при упругой деформации не за-
висит от порядка, в котором прилагались
нагрузки, а зависит от их конечной вели-
чины.
Общая потенциальная энергия U де-
формированного тела находится сумми-
рованием потенциальной энергии по
всем элементам объема тела:
(/«Jl/orfP. (20)
где (7о — потенциальная энергия элемен-
тарного объема, отнесенная к величине
этого объема; dV—элемент объема.
Формулы для Uq приведены в табл. 5.
14
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
Таблица I
Зависимости между напряжениями и деформациями в пределах упругости
(по закону Гука)
°х
Среднее нормальное напряжение о -----------5; средняя относительная линейная деформация
•д + ’у + •»
- -g--- ; относительное изменение объема Л = 31 я f i^ -j-£» О и pi — модуль про-
р
дол ь ко А упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона; У — объемный модуль.
Формулы ала главных напряжений и главных деформаций в пп. 3—5 получаются заменой при
она индексов ж, у, г на 1, 2. 3 и отбрасыванием членов, содержащих тку.
Тип напряженного состояния и обозначение действующих главных напряжений и главных Выражение напряжений через деформации Выражение деформаций через напряжения
деформаций
1. Линейное напряжен- нос состояние: о, и а, 0. б, Главное напряженке я, = вх - Евх = ЗК 4. Касательные напряжения по площадкам, не совпадающим с главными, “ °^п' где ря — относительный сдвиг для ятик площадок (см. табл. 1) Относительная продольная главная деформация , _ вх Относительная поперечная деформация (в направле- нии. перпендикулярном к главной деформации а, » — »х) Относительное изменение объема A-(l-2p)-i = -^ox; >.-4
*
1. Всестороннее равно- мерное растяжение или сжатие: в, = в, = о, = вд, = — % — ~ - Главные напряжения, одинаковые по всем направлениям, я-ЗА* Главные деформации, одина- ковые по всем направлен» ям. о Относительное изменение объема ‘“ТГ
t |C f\o,-e
J - t
У Vol
3. Плоское напряженное состояние (а плоско- сти хоу). Главные на- пряжения а деформа- ции в плоскости'. •1. е, и а„ а, (’х-’хх-’ул-0 м Sir1 X Компоненты напряжений; •х~ 1-р. («ж + ир; ’ху“°М Компоненты деформаций: •х - 4- (,х - “V •у Ё“<’у- ‘“х* ’ху f тху” о 5 Е <•* + •?• Относительное изменение объема 4- к.где я- 3
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ
15
Продолжение табл. 4
Тип напряженного состояния и обозначение лейстоующих главных напряжений и главных деформаций Выражение напряжений через деформации Выражение деформаций через напряжения
4. Плоская деформация (в плоскости ху). Глая- ние напряжения и де- формации я плоско- сти ху; •1. «г и а„ а, нхх*-ту»-0) V Г " 0, Задаииая компонентами a*, г у, tXy де- формация рассматривается состоящей кз двух: шарового тензора деформации (относительное изменение объема) и девиатора деформации (чистый сдвиг). Компоненты напряжений: вд. = ЗКа + 20 (ах - а); ,у-.ЗК.+ 2О(ау-а); +’у)! Первое слагаемое в формулах для вх и в соответствует объемной деформа- ций; второе — чистому сдвигу • Компоненты деформаций; •ж-Ц2 К»-*) »x~l«yl: •у - Цр- К* — «у — hJ: 'ху Ъу~~ Относительное изменение объема А 1г
5. Обычное напряжен-
ное состояние (общий
случай):
Задаииая компонентами а^, ау, а*.
у r деформация рассматривается
состоящей ив двух, как указано в ц. 4.
Компоненты напряжений:
Компоненты деформаций:
ЗКа 20 (а - а);
у (By-P^+BjPl:
оу = .Ш + 2О(ау-а);
1
ЗЛа 4- 20 (а - а);
‘ху-^ху^уд-^уг Vc = °T
Первое слагаемое а формулах для »г>
Оу, »г соответствует объемной дефор-
мации, второе — чистому сдвигу.
Зависимость между в н Д
о-КД.
Зависимость между интснснвиостью на-
пряжений о/ и интенсивностью дефор-
маций а.
•ТУ
Тху“ о
•уд
Ъ* о
Относительное изменение
объема:
30а
Ъ.г “ о
IR •'
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
1аблица б
Формулы для потенциальной энергии U„ единицы объема при упругой деформации
элементарного объема dV
Е, О и р — модуль продольной упругости, модуль слинга и коэффициент Пуассона; К —
= 5“i---<гт— объемный модуль.
О I — /р-)
Формулы для Uq в пп. 2 к 3 мписываются через главные напряжения или главные деформации
заменой при она индексов X» у, z cootbctctimmihij на I, 2, 3 и отбрасыванием членов, содержащих хит
Тип напряженного состояния н обозна- чение главных деформаций Величина £Л>. выраженная черед деформации I Величина У», выраженная через напряжения
1. Линейное напря- женное состояние: о» и а, Е,л 2£
2. Чистый сдвиг в одной плоскости: о, = - о, = т; о, - 0; >1= — «г — -J- ; «1 =11 °Т>у 2 хч ги
3. Плоское напри женное состояние в плоскости ху: «1» Gv — 0 И *»’ »’ •а — — («» + (т " т) + */+ + ° (‘х + <) + 4* Л» X ’ч п 1 “.V 4° + + В.Ч О -|Й
4. Объемное напря- женное состояние Юбший случай): «1. «> " •т. •и’ •» ’-т V 1-7 ° | *х + •*у+,д + + V^jZ “х + •♦ + •<’’+ + 4 ( ,'ху + Туг+ Т»х)| • U может быть представлена как сум- ма относительной энергии измене- ния объема: u.W-^ и относительной энергии изменения формы </<<♦»-у «^-эсг; ft-y + SGT*. Здесь а - + «у + (относитель- ное изменеине объема) Л’х - ’у)' + Су - ’г)’ + ("х - (октаэдрическое касательно.’ «апр ГСг-\Г + Су -•а)’ + (>-*)• + (октаэдрический сдвиг1 та* bv+oy+’i- “ сж + «у + »д»* + + ’(,AP+tW + lr)l- U, может быть представлена как сумма относительной энергии из менения объема' «Л и относительной янергки измене- ния формы: «.<•1 - Т V/ - т -ДГ • • 3 f у>“ иГ + ТйГ" Здесь <вх+°у+°Р (среднее нормальное напряжение) + 6 (’лу+',ул+ 'tx) жжение); 4 (1ху+Ту»+Хм )
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ |7
ЗАВИСИМОСТИ
МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ
И ДЕФОРМАЦИЯМИ
ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Пластичностью называется способ-
ность материала сохранять полностью
или частично получившуюся под дей-
ствием внешних сил деформацию по
прекращении действия этих сил. В зави-
симости от соотношения величин оста-
точной и упругой деформаций, получа-
емых перед наступлением разрушения,
материал считается пластичным или
хрупким. Однако пластичность и хруп-
кость не могут быть отнесены только
к материалу: одни и тот же материал
в зависимости от характера напряжен
кого состояния, температуры и скорости
деформирования может проявлять себя
как пластичный или как хрупкий (см.
гл. XI).
Стадии пластических деформаций:
а) начало текучести — пластические
деформации одного порядка с упругими;
о) пластическое состояние при ма-
лых деформациях — пластические де-
формации велики по сравнению с упру-
гими. но малы по сравнению с первона-
чальными размерами детали (при рас-
четах квадратами и произведениями
деформаций можно пренебречь по срав-
нению с их величинами);
в) пластическое состояние при боль-
ших деформациях (технологические
пластические деформации) — размеры
детали меняются значительно.
Расчет на прочность и жесткость про-
водится с применением теории малых
упруго-пластических деформаций.
Активная и пассивная деформации.
V. Различают деформации и нагружения
4J простые (при нагружении детали все
нагрузки изменяются в равной пропор-
пни) и сложные (в противоположном
случае) |3|. Простая деформация в дан-
О^ный момент называется активной, если
интенсивность деформации «, имеет
значение, превышающее все предшест-
вующие ее значения, в противоположном
. случае — пассивной. При простом нагру-
жении получается активная деформация,
при разгруженин — пассивная.
В случае активной упруго-пластиче-
ской деформации: I) направления глав-
ных деформаций и главных напряжений
совпадают; 2) объемная деформация
пропорциональна среднему нормальному
напряжению, т. е. А — Ко; 3) интенсив-
ность напряжений at связана с интен-
сивностью деформаций в, зависимостью
S/ = Ф (ez), устанавливаемой экспери-
ментально из испытания на растяжение
(см. стр. 18).
Зависимости между компонентами
напряжений и деформаций (при малых
упруго-пластических деформациях в
случае активной деформации):
2е». . О|
9 т - 9 - зг' <‘Ж - •)’
2’/ / г 91
~9 “зг,’л " л; ь».
, V, <4
(21)
Если материал несжимаем =
= —--Д Са -о) ,то уравнения (21).
соответственно, упрощаются.
При разгрузке (фиг. 6) зависимость
между и е, та же, что и при нагрузке
при (прямая разгрузки ВС
параллельна прямой нагрузки ОА в
упругой стадии), т. е.
а1 разг ~ разг’ (22)
Истинная, диаграмма деформиро-
вания. Она дает зависимость напря-
жения от деформации в условии ила
стичности и получается обычно из
опытов на простое растяжение. В истин
ной диаграмме растяжения (фиг. 7) по
ординатам откладываются напряжения л.
определяемые исходя из величины пло-
щади Fa в месте наибольшего сужения
(по шейке) образца, получаемой при
2 том 1
мйшсиТ
П/а
18
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
каждом данном значении растягивающей
силы Р:
S = T~
г и
б) Упрочнение по линейному закону
(фиг. 8. б):
при -ег
(истинное напряжение).
По оси абсцисс в истинной диаграмме
растяжения откладывается одна из сле-
ние
ное
на в
дующих величин: относительное суже-
р _ р.
в шейке <|> — -—в—- 100°/о; пол
г
относительное удлинение образ-
Ф
шейке 8 = Л ; истинное отно-
1 —Ф {
сительное удлинение еи <— In ~~ . Здесь
*о
F и Fx — первоначальная площадь по-
перечного сечения и площадь сечения
шейки при каждом значении Р; 10 и 1Х —
начальная длина образца и длина его
при каждом значении Р.
Для материалов, находящихся в пла
стнческом состоянии, прн расчете обычно
принимается, что истинные диаграммы
растяжения и сжатия совпадают. Мето-
ды построения истинных диаграмм де-
формирования см. т. 6, гл. 1.
Диаграммы деформирования. В со-
ответствии с формами кривых оии сво-
£«
(участок ВС).
дятся к трем нижеприведенным упро-
щенным схемам.
а) Упрочнение отсутствует
(фиг. 8, д):
ах - Ее, при е, < Ц- — »г (23)
(участок О А) ;
'х-'Т при «х>«г
(участок АВ); аг — предел текучести
материала; Е—модуль продольной уп-
ругости при растяжении и сжатии, чис-
ленно равный tg а.
(участок ОА);
ях = <гТ при ео>ех> tT <24)
(участок АВ);
ах—ат + Ет (ех — Eq) при «х > «о
(участок ВС); Ет в кГ/см* — модуль
упрочнения, численно равный tg fl.
Величина А— 1—называется
коэффициентом разупрочнения и харак-
теризует понижение напряжения за пре-
делом упругости по сравнению с его
значением по закону Гука.
Если горизонтальный участок теку-
чести диаграммы фиг. 8, б отсутствует,
то
<зх — Eix при ех < — ег;
аТ + Ет («ж — *г) ПРИ *jt > *Г- <24а)
в) Упрочнение по степенному закону
(фиг. 8, в):
Зависимость интенсивности на-
пряжений at от интенсивности де-
формаций «/. Эта зависимость строится
на основании формул
а, - ,х; (26а)
*' ~ ЗЁ [2 (1 + и) + 3 1 (26б>
где ах, е, и «р — соответственно на-
пряжение, упругая и пластическая де-
формации при одноосном растяжении
P — коэффициент Пуассона.
ПОЛЕ НАПРЯЖЕНИИ
19
При упрочнении по линейному за-
кону (фиг. 8,6) аналитическая зависи-
мость имеет вид
а, = De, при е, 2 (1 |Х>
где
°-57гЬг"30
(G — модуль сдвига);
’«-’г при е,iT<‘i<*i'O’
1—2р.
“Е°-----ЗЁ~ °т*
Oi-aT + D (t, — а/ 0) при е, > tt)0>
где
D---------=^-------.
(Ш)
Если материал несжимаем (а = 0) при
упругих и при пластических деформа-
циях, то график зависимости интенсив-
ности напряжений от интенсивности де-
формации совпадает с диаграммой растя-
жения материала.
Общую теорию малых упруго-пласти-
ческих деформаций, а также ряд ее
приложений см. [3].
Диаграмма сдвига (зависимость ка
сательиого напряжения тХу от угло-
вой деформации 7<„ при чистом сдвиге)
Диаграмма сдвига строится по диаграм-
ме растяжения по формулам
tjr* “ ~]Г5 * ^7а 1
7''-тЫ2(1+,1) + 3£]’'<27б)
Для диаграммы с линейным упрочпе
нием
- Glry при уХу <Гг (28)
(ту—предел текучести при сдвиге);
- хт при yr < yXJ) < уо -
./ту ।
- V3 ‘о---------£— ’г;
- ту 4- а (7ху - То) при т.г, > То. (29)
где
Gy-
Условня пластичности. Они дают
возможность по величине аг определить
момент перехода в пластическое состоя-
ние материала в данной точке при слож
ном напряженном состоянии. Применя-
ются следующие условия пластичности:
а) По теории интенсивности напря-
жений
Я1 “ °у- С3®’
Предел текучести при сдвиге ту свя-
зан при этом с пределом текучести
при растяжении зависимостью ту —
= 0.58g у.
б) По гипотезе Мора
®1 — *«в —’г.р. <31)
®т о
где k — ——------отношение пределов
аТ,сж
текучести при растяжении и сжатии:
при этом
а) По гипотезе наибольших каса-
тельных напряжений
°1 — ’I ®Г> (32)
при этом
ПОЛЕ НАПРЯЖЕНИЙ
Математическое решение задач рас-
пределения напряжений при плоском
и объемном напряженных состояниях —
см. |3), [4], [6). 17], |8], [10], |11|, (12).
Экспериментальные методы определения
напряжений — см. гл. XV. Концентрация
напряжений—см. гл. XIII.
Поле напряжений в детали опреде-
ляется напряженными состояниями во
всех ее точках; напряженные состояния
в различных точках детали в общем
случае оказываются различными. При
изображении напряженного состояния
влетали применяются следующие систе-
мы линий и эпюр.
Траектории главных напря-
жений (изостаты) состоят из двух
систем взаимно ортогональных кривых,
касательные к которым дают направ-
ления главных напряжений в точке
Ч*
20
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
'касания. Уравнение траектории в плос
кости Оху
Ненагруженный контур плоской ле-
тали совпадает с крайней траекторией;
напряжения вдоль этого контура увели-
чиваются пропорционально уменьшению
расстояния между траекториями возле
контура^ Изостаты могут быть полу-
чены экспериментально с применением
хрупких покрытий или геометрическим
построением по изоклинам. Направле-
ния главных напряжений на поверхно-
сти детали могут быть получены тен-
-ометрированнем.
Линии равных главных на-
пряжений представляют собой си-
стему кривых, соединяющих точки с
одинаковой величиной главных напря-
жений. Линин главных напряжений
можно рассматривать как горизонтали
поверхности главных напряжений.
Эпюры напряжений на кон-
туре .представляют собой график на-
пряжений на контуре. откладываемых в
некотором масштабе по нормали к коп-
или на его развертке.
п ю ры напряжений в попе-
речном сечении дают величины
составляющих напряжений, действующих
в точках. рассматриваемого сечения.
Обычно строятся эпюры нормальных и
касательных напряжений о и t, действу-
ющих на площадках поперечного сече-
ния.
Изоклины и изохроматиче-
ские линии, определяемые экспе-
римеитально, — см гл. XV.
ЛИТЕРАТУРА
1. Б е з у х о в Н. И., Введение в теорию уп-
ругости н пластичности. Стройизлат. 1950.
2. Б е л в е в Н. И., Соиротннленпе катерна
лов, ОГЦЗ, 1950.
3. Ильюшин А. А., Пластичность, Гостех-
кзлвт, 1948.
4. Лейбе изон Л. С.. Курс теории упру
ГОСТИ, ОГИЗ, 1947
5. Л е х и и и к и ft С. Г„ Теория упругости
.анизотропного тела. Гостехизхат, 1949.
6. М у с х е л н ш в и л и Н. И., Некоторые
.основные задачи математической теории упруго-
сти, АН СССР. 1949
7. П а п к о о и ч II. Ф.. Теория упругости,
Оборонена, 1939.
8. Пономарев С.Д., Билерма к Б. Л„
Л и к а р е в К. К.. .М а к у ш и и В. М., Мали
и и и Н. Н., Ф е о д о с ь е в В. И., Основы со
временных метоаов расчета на прочность в ма-
шиностроении, Машеиз, I960.
9. Работное Ю. Н„ Сопротивление мате-
риалов, изд. МГУ, 1950.
10. Соколовский В. В., Теория пластнч
кости. АН СССР. 1950.
11. Филоне к к о Б о р о л и ч М. М., Теория
упругости, Гостехизлат, 1947.
12. Энциклопедический справочник .Маши-
Построение*, т. 1, кн. 2-я, гл. IV, Мпшгиа,
1947.
ГЛАВА II
РАСЧЕТ БРУСА
РАСЧЕТ ПРЯМЫХ БРУСЬЕВ
Брус — тело, у которого один размер
(длина) велик по сравнению с двумя
другими (в плоскости поперечного се-
чения); иногда при растяжении и сжа-
тии брус называется также стержнем и
прн изгибе — балкой. Линия, соединяю-
щая центры тяжести поперечных сече-
ний бруса, называется его осью.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ
И СЖАТИЕ
Расчет на прочность и жесткость
Продольная сила N в поперечном
сечении стержня равна сумме проекций
на нормаль к рассматриваемому сечению
нагрузок, действующих по одну сторону
от этого сечения.
Эпюра продольных сил N предста-
вляет собой график величин этих усилий
для всех поперечных сечений стержня
Прямой стержень постоянного се-
чения (фиг. I). Z — длина стержня; F —
площадь поперечного сечения; Р — рас-
тягивающая или сжимающая сила, сов-
падающая с осью стержня и равномерно
распределенная по торцу на одном конце,
второй конец стержня закреплен (сила
обратного направления).
Продольная сила во всех поперечных
сечениях стержня постоянна: N — Р —
— const, если влиянием собственного
веса стержня можно пренебречь.
Напряжение в поперечном сечении
стержня
N
а — -р кПсмХ. (1)
Если сила Р сосредоточенная и при-
ложена в центре тяжести торца, то
в сечении на расстоянии от торца, рае
ном размеру h сечения, отклонение от
равномерного распределения напряжений
не превосходит 3% (см. фиг. I. е).
Распределение напряжений в местах
приложения сосредоточенной силы см.
гл. XIII.
В любой точке стержня на участке
равномерного распределения напряжений
Фиг. I. Простое растяжение: а — растягиваемый
стержень: 0 — рапщысйсгаукмцее напряженно ра
по площадке тт; « — составляющие и Х;
равнодействующего напряжение pf. ан а — пор
малыюе и касательное напряжения и
дейстпующне на выделенный элемент стержня;
е — распределение о по поперечным сечениям /,
И н ИГ возле горца, к которому приложена со
срехоточенная сила Р.
имеет место линейное напряженное со-
стояние.
Определение напряжений по косому
сечению см. гл. I. стр. 6, табл. I.
22
РАСЧЕТ БРУСА
Если стержень имеет ослабление (от-
верстие, выточка), то в ослабленном
сечении при центральном приложении
силы величина среднего напряжения,
называемая номинальным напряже-
нием. находится по формуле (1), где
вместо F берется полезная площадь
^нт = ^брутто ослаб
Определение действительных величин
наибольших напряжений по ослаблен-
ному сечению и в других случаях кон-
центрации напряжений см. гл. XIII.
Абсолютная продольная деформация 61
стержня длиной / при W = const, если
материал подчиняется закону пропор-
циональности между а и s (закон Гука),
(2)
£ СГ
(удлинение — при растяжении и укоро-
чение — при сжатии). При одном за-
крепленном конце величина 61 является
перемещением другого конца, к кото-
рому приложена нагрузка.
Таблица I
Значения £, О р. дли
некоторых аатерналоа
(при комнатной температуре)
Наименование материала Модуль продоль- ной упругости Е в к Псм' Модуль сдвига О в кГ г «г Коэффициент Пуассона н (отвле- ченное число)
Сталь малоуглеродистая и высоколеги- рованная Сталь с большим содержа мнем углерода Чугун серий, белый, ковкий Чугун модифицированный Мель техническая Брок та оловяннстая Бронза безоловянистая Латунь Алюминиевые сплавы Магниевые сплавы Цинк катаный .............. Свинец ........ .... Известняк, гранит Кладка нз кирпича ...... Бетон при пределе прочности 100—200 Железобетон обычный сжатые элементы Железобетон обычный, изгибаемые вле- менты Дерево вдоль волокон Дерево поперек волокон .... Фанера авиационная 1-го сорта, вдеть волокон рубашки .... Фанера авиационная 1-го сорта, поперек Фанере авиационная 1-го сорта, под углон 45*. Текстолит, фибра Гетивакс ................. Стекло Оргстекло .............. Бакелит без наполнителей Целлулоид Каучук ..... (2.0-2.1)-10* До 2.2- 10* (0,8+1,6)-10* (0,9+1.6).10* (1.1+1,3)-10* 0,9-10" 1,1-10» (0,9+1,4)-10* о,72-ю* 0,42-10* 2.0-10* 0,8-10* 0,2-10* (0,42+0,49)-10* (0,028+0,030). 10* (0,15+0.231-10» (0,18+0.43). 10» (0.11+О.И1-10* (9+14). 10* (0,4+1,0). 10* 13.10* 6,810* 3,0.10* (6-+1'1)-10* (10+18)-10* (80+60).10* (2+3)-10* (2+6)-10* (1,5+2,5)-Io- О.ООН-10* (7.8—8,0). 10* 8.5-10* 4,610* 4,9-10* (3,5+3,7). 10* 2.7-10* 1.6-10* 7,5.10* 3,2-10* 0,7-10* (4.5+6,5)-10* (4.5+6,5). 10* 8-10* 45.10* 22-10» 25-10* (21+23).10* (7+21)-10» (7+10). 10» 0,28 0,29 0,23-0.27 0,32—0,42 0,26-0,33 0,25-0,3 0,33 0,27 0,42 0.16-0,18 0,24-0,27 0,35-0,38 0,36-0.38 0.4 0.47
I Значения Е для конструкционных сталей
— Марка стали 'Модуль продоль- ной упругости £ Марке стали Модуль продоль- ной упру гости £| в кГ1см* Марка стали Модуль продоль- ной упругости £ в кГ/см’
10 26 38 40 46 1,96.10* 2,02-10* 2,01-10* 2,13-10» 2.15-10* 50 ЗОХГСА Э0ХМА 45ХА 12ХНЗА 2,20.10* 2.10-10» 2,20-10* 2,10-10* 2,04-10* 20ХНЗА 37XH3A 40ХС Я1Т 2,00.10* 2,00.10* 2,23-10* 2,00.10*
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
23
Относительная продольная деформа
ция « и относительная поперечная де-
формация
, = Т“Г: .' = -и = -и^, (3)
где Е — модуль продольной упругости,
у — коэффициент Пуассона (табл I).
Жесткость стержня постоянного се-
чения длиной / (величина силы на еди-
ницу продольной деформации)
C-*f. (4)
Потенциальная энергия деформации
для стержня длиной I
U-^NM-&Fl-^Fl. (5)
Стержень с меняющимся сечением.
Для клина постоянной толщины Ь (фиг. 2)
главные напряжения (без учета соб-
ственного веса клина)
. Рсоз»
где
*” —г—•
я 4- sin 2я
В поперечном и перпендикулярном
к нему сечениях
. Р соз< Й . Р sin-211
х bx v 4bx
bPsln2»sln2e
В клине и коническом стержне с уве-
личением я неравномерность распреде-
ления напряжений а, возрастает; при
а — (5° разность между наибольшим и
наименьшим значениями вх в сечении
клина составляет 13.5% средней вели-
чины, получаемой делением силы Р на
площадь по т — т.
Резкое изменение сечения приводит
к концентрации напряжений (см. гл. XIII)
Расчет на прочность. Проверка
прочности:
N
Онаиб - ё---< [я], (6)
'нт
где [я] — допускаемое напряжение на
растяжение (aj^ или на сжатие (я]сж
(в зависимости от знака N).
Определение размеров поперечного
сечения:
F"«-VT (7)
Определение допускаемой продоль-
ной силы в сечении:
Ndon “ Гнт (’)• (8)
Запас прочности по опасному сечению:
где Nnp — предельная сила, выдержи-
ваемая стержнем (см. гл. XIV); N — дей-
ствующая сила. Запас прочности по
напряжениям при статической нагрузке
п •= —(хрупкий материал); л = —(пла-
о о
стическнй материал), где я( и яг —со-
ответственно предел прочности и предел
текучести при растяжении или сжатии;
я—наибольшее возникающее напряже-
ние.
Если Р— сжимающая сила, то необ-
ходима проверка на устойчивость (см.
стр. X).
Определение допускаемых напряжений
и необходимых запасов прочности, а
также более полные данные по расчету
на прочность см. гл. XIV.
Учет собственного веса проишо-
днтся при значительной длине стержня
(канат, штанга).
Вертикальный стержень по
стоя пн ого сечения. Р — сила
приложенная на конце; F — площадь по-
перечного сечения; / — полная длина
стержня, т — удельный вес материала
стержня; Q — собственный вес стержня,
Е— модуль продольной упругости, [я) —
допускаемое напряжение.
24
РАСЧЕТ БРУСА
Для стержня постоянного сечения наи-
большее напряжение получается в месте
заделки:
+ по)
абсолютная продольная деформация
Стержень равного сопроти-
вления. Напряжения в каждом сече-
нии постоянны н равны допускаемому;
стержень имеет наименьший вес. Пло-
щадь поперечного сечения на расстоя-
нии х от свободного конца
т х
Fx-F^ . (12)
В стержне
меняемом для
вместо стержня
площадь первой
где Fo — j-j ; е— основание натуральных
логарифмов; Р— приложенная нагрузка.
ступенчатом, при-
простоты изготовления
равного сопротивления,
и л-й ступеней
_____________ Р Fn-i И
'1" 1°) — th я м - у/л ’
где Z3 и /„ — длины ступеней.
(13)
Основные случаи определения
напряжений и деформаций
в стержне от изменения температуры
Напряжения от изменения темпера-
туры возникают в том случае, если за-
крепления не позволяют стержню свобод-
но принять форму и размеры, соответ-
ствующие данному изменению темпера-
туры при отсутствии этих закреплений.
Обозначения: Д/ — изменение темпе-
ратуры, в °C (плюс при нагреве и ми-
нус при охлаждении); i — коэффициент
линейного расширения материала стерж-
ня; Е — модуль продольной упругости;
е—нормальное напряжение в попереч-
ном сечении (плюс прн растяжении и
минус при сжатии); Д/ — изменение
длины в рассматриваемом случае; I —
первоначальная длина стержня постоян-
ного поперечного сечения; 1 и 2 —
индексы, указывающие номера стержней.
I. Прямолинейный однород-
ный с т ер ж е и ь. закрепленный
с одного конца или свободно
лежащий на опорах; постоянное
М — по всему объему:
а — 0; Д/ — а/Д/.
2. Прямолинейный однород-
ный стержень, жестко закреп-
ленный по концам; Д< — по всему
объему:
а = — aEAt; Ы = 0.
3. Стержень 1 вставлен в
трубку 2 по оси; концы стерж-
ня и трубки жестко соедине-
ны между
опорных
объему:
собой и не имеют
закреплений; Д/ — по всему
°1 =
аг=-в1-^,
Д/j - Д/2 - а,Д</ +4?- Z.
Индексы 1 и 2 относятся, соответст-
венно к стержню и трубке.
4. Однородный стержень
прямоугольного сечения вы-
сотой li. незакрепленный. Раз-
ность температур верхних и нижних
волокон Д/ и температура между ними
распределяются по линейному закону:
t»0,
Ось стержня искривляется по дуге
h
круга радиуса Р = ^
5. С л у ч а й п. 4. но прн жест-
ком закреплении концов
стержня:
в
L- а£'Д/; Д/ - 0;
растяжение (плюс) на стороне с мень-
шей температурой, сжатие (минус) — на
противоположной стороне
Гибкая нить (фиг. 3)
В каждом сечении нити возникает
только растягивающая сила N кГ по ка-
сательной к нити; Н «Г—распор;/] и
/2— высота точек подвеса над низшей
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
25
точкой провеса нити; F — расчетная пло-
щадь поперечного сечения нити; [а) —
допускаемое напряжение при расчете
по площади F; L — полная длина нити;
у — провес нити на расстоянии х от
низшей точки.
Стрела / провеса мала по
сравнению с пролетом / нити
/,=/, = /. Погонная на-
грузка q нити принимается постоянной
на единицу длины пролета; нить рас-
полагается по квадратной параболе.
Расчетные формулы даны в табл. 2.
Таблица 2
Расчет гибко* нити
При рапных уровнях подвеса нити Уровни точек подвеса нити отличаются на величину Л
1 т
н qa' qb' v,~ V,
t Ча1 r‘~ 1Н q I I Hh 2П {2- ql ) ! ql)' q ( I , Hh\2 f iP 2Н| 2 ql )
SI- Sh 1 + 4- 1 1
Лп.«-’<ЯГ+77;- -+V'4> (возле точек полвеса1 imax “ V H' -)- B1 (возле более высокой точки подвеса)
о max в Лт«4-|в| max F '
'-'-4(4+4/ При Л » 277 и«нболее низкая точка инти сов- падает с одной из то- чен подвеса
Изменение температуры нити с 10 на t
изменяет ее длину из-за: I) температур-
ного расширения нити и 2) в связи с из-
менением натяжения нити. Если точка
подвеса нити на одинаковом уровне и
/о — стрела провеса нити при t0, то при
температуре I стрела провеса / опреде-
ляется из формулы
/а_ [л , ЗаП(<-/»> 3ql* U
' I7'1 8 64/ofFj7
-нгг-° <•«>
(а — температурный коэффициент линей-
ного расширения).
Натяжение Н при температуре I на-
ходится по f из формулы
<15>
Стрела / провеса велика по
сравнению с пролетом I нити
(/> -g- /) ! /j = fi=f- Нагрузка q рас-
сматривается как постоянная на единицу
длины нити; нить располагается по цеп-
ной линии
y=fch7T’ <16>
где распор
(17)
Наибольшее натяжение
sm«x - Н + qf.
Условие прочности
'вил - < 1’1- (18>
Нить нагружена сосредото-
ченным грузом Р. погонной на-
грузкой нити можно пренебречь и точки
подвеса находятся на одном уровне.
Наибольшее натяжение в нити полу-
чается при положении груза Р в сере-
дине пролета /:
^шаж — "у X
Х I7 1 +16// «Г 4//Л1 • (19>
1 з\7И 3\ / / ]
26
РАСЧЕТ БРУСА
Величины наибольшего натяжения
•$тах Ддя некоторых значений отноше-
ния пролета нити к ее провесу даны
в табл. 3.
Таблица 3
Величин* дли некоторых значений -у
1 7 Сосредоточен- ный груз Р Равномерно распределен- ный груз Р
20 4(36Р 2.55Р
. 25 5.43Р 3.16Р
30 6.49Я 3,78Р
СДВИГ (СРЕЗ И СКАЛЫВАНИЕ)
Сдвиг прн поперечном изгибе см.
стр. 87.
Обозначения: Q — поперечная сила
(усилие среза); F— площадь сечения,
воспринимающая эту силу; Е, G и —
модуль продольной упругости, модуль
сдвига и коэффициент Пуассона (см.
табл. 1).
В поперечном сечении бруса нор-
мальные напряжения отсутствуют или
ими можно пренебречь. Разрушение от
сдвига называется срезом (металл) или
скалыванием (дерево, бетон).
Касательные напряжения т
<ю сечению болтов, заклспок. шпонок
н т. п. принимаются равномерно распре-
деленными:
т-О-. (20)
В площадках, перпендикулярных к на
правлению т, возникают касательные
напряжения г' — т (закон парности
касательные напряжений). По другим
площадкам, перпендикулярным к пло-
скости, в которой действуют напря-
жения т и т', возникают и нормальные,
и касательные напряжения (см. гл. I,
табл. 1). В площадках, наклоненных под
углом 45° к площадкам чистого сдвига,
действуют наибольшие и наименьшие
нормальные напряжения (главные напря
женин):
°1,з " - * -у I Ч - °- (21)
Концентрацию напряжений при сдвиге
см. гл. XIII.
Фиг. 4.
s одного сечения
Деформация сдвига выражается в том,
что под действием касательных напряже-
ний прямые углы
элемента ACDB
(фиг. 4) искажают-
ся; элемент при-
нимает форму
AC'D'B.
Относительным
сдвигом у назы-
вается величина
перекоса прямого
угла. Абсолютным
сдвигом называется
величина смещения
(в его плоскости) по отношению к дру-
гому:
= (22)
Угол сдвига
(22а)
(закон Гука при деформациях в пре-
делах пропорциональности).
Продольные деформации в направле-
нии диагоналей квадрата ACDB являются
главными деформациями:
'1.3- ± 20 •
(23)
Изменение объема при чистом сдвиге
отсутствует.
Потенциальная энергия для
элемента стержня длиной а
.. 1 л 1 а<2»
°“7sQ“7 GF*
(24)
Расчет на прочность. Проверка
прочности:
’ “р’ < Мер- (25)
где [t]fp — допускаемое напряжение при
срезе; приближенно для стали —
(0,5 + 0,8) [e|^, где |в]д — допускаемое
напряжение прн растяжении (см. гл. XIV).
Определение необходимой площади
среза (скалывания)
F-Я-. (26)
Нср
Определение допускаемой перерезы-
вающей силы:
Qdoe - ? hlrp- С27)
КРУЧЕНИЕ
27
Запас прочности по усилию в сечении
где Q„p—предельное усилие по пло-
щади среза (скалывания); Q — действую-
щее усилие среза.
Запас прочности по напряжениям при
статической нагрузке:
п = —• (хрупкий материал);
л — — (пластический материал),
где тв и ту—соответственно предел
прочности и предел текучести при сдвиге
и т — наибольшее возникающее в детали
касательное напряжение.
Определение допускаемых напряже-
ний [г) и необходимых запасов прочности
см. гл. XIV.
Приведенные выше расчеты на проч-
ность являются условными, так как
при сдвиге (в болтах, заклепках и дру-
гих деталях) касательные напряжения в
сечении распределяются неравномерно
и, кроме того, возникают напряжения
смятия и изгиба.
КРУЧЕНИЕ
Кручение тонкостенных стержней —
см. гл. IV.
Чистое кручение —к концам прямого
стержня (вала) приложены в плоскости
гиба сечения. Центром изгиба является
точка поперечного сечения, через кото-
рую проходит плоскость действия попе-
речной нагрузки, не вызывающей скру-
чивания. Для сечения с двумя осями сим-
метрии центр изгиба совпадает с центром
тяжести сечения, при одной оси симмет-
рии — лежит на ней (см. табл. 22); опре-
деление центра изгиба для тонкостенных
профилей — см. гл. IV.
Передаваемый от каждого
шкива передачи момент в кГм
М - 716,20 — или М = 973,6 — . (29)
п п '
где N и К — мощность, передаваемая
шкивом, соответственно в л. с. и кет;
п — число оборотов шкива в минуту.
Эпюра крутящих моментов — график,
дающий моменты кручения для каждого
сечения вала по его длине.
Вал круглого поперечного сечения.
Поперечные сечения при скручивании
стержня из изотропного материала оста
ются плоскими, а радиусы — прямыми.
Поперечные речения поворачиваются
одно относительно другого, и при малых
деформациях расстояние между сече-
ниями не меняется.
Касательные напряжения тр
на расстоянии р от центра сечения
(фиг. 5, а)
поперечного сечения обратно направлен
ные пары сил (моменты); через каждое
сечение передается крутящий момент ЛС.
равный моменту пары, приложенной
к одному концу стержня.
Крутящий момент в общем случае
нагрузки и формы оси стержня равен
сумме моментов внешних сил, действую-
щих по одну сторону от рассматривае-
мого сечения по отношению к осн. пер-
пендикулярной к плоскости поперечного
сечения и проходящей через центр из-
где Jp— j p’rfF (сж«)— полярный момент
инерции круглого сечения. Здесь тр —
касательное напряжение в поперечном
сечении в направлении, перпендикуляр
ном к радиусу р. и т‘ — в долевом диа
метральном сечении вала в той же
точке.
Наибольшие касательные напряже-
ния при круглом поперечном сечении
(фиг. 5. б и в) возникают в крайних
28
РАСЧЕТ БРУСА
точках сечения (при р — г = d/2):
, -г'
та* max j 2
ных Л1К, G и Jр на длине I вала круг-
лого сечения
(31)
МК1
GJP*
О4>
Jp
d/2
(см*) — полярный
момент со-
противления. Значения J „ и IF„ —
см. табл. 4, 7—9.
Нормальные и касательные
напряжения для любой на-
клонной площадки в рассматри-
ваемой точке вала вычисляют по каса-
где GJp — жесткость на кручение
Для ступенчатого вала или при меняю-
щемся Мк по длине вала производится
суммирование по участкам:
|М">
тельным напряжениям ти< с помощью
формул табл. 1, гл. 1.
Главные напряжения в
ках поверхности вала
т о ч-
а|,з“ = (32)
(на площадках, перпендикулярных к по-
верхности вала и дающих углы 45°
с образующей поверхности);
«8 = 0 (32а)
(на площадке, совпадающей с поверх-
ностью вала).
Относительный сдвиг (фиг.6)
Ь - (33)
(закон Гука прн деформациях в преде-
лах упругости).
На фиг. 6 пунктиром показана форма
выделенного элемента до деформации,
сплошной линией — прн деформации;
Фиг. б.
Жесткость участка вала длиной /,
определяемая как величина момента
кручения при угле закручивания, равном
единице,
С=-^; (35)
значения С для различных конструк-
тивных элементов вала см. гл. XI.
Потенциальная энергия участка вала
длиной I с постоянными Л/х, G и Jр
II 1 м 0J^ /чл»
U-2M‘’f-2GTp---------2Г' (Э6>
Концентрацию напряжений в валах
см. гл. XIII.
Вал некругового поперечного се-
чения. Поперечные сечения и радиусы
искривляются, что приводит к более
сложному закону' распределения каса-
тельных напряжений в сечении, чем
в случае вала круглого сечения. Места,
наиболее удаленные от центра тяжести
сечения, не являются наиболее напря-
женными; см. (11. (4|.
Наибольшие касательные
напряжения и угол закручи-
вания выражаются формулами, подоб-
ными формулам (31) и (34) для вала
круглою сечения:
(37)
мд
(38)
деформация показана в увеличенном
масштабе; прямая О'О" совпадает с осью
вала.
Угол закручивания ? вала —
угол поворота в плоскости, перпендику-
лярной к оси вала, одного сечения по
отношению к другому. При постоян-
Значения WK (в еле8) и J„ (в см*) для
различных форм сечения даны в табл. 4.
Только для круглого сечения величины
RZX и JK равны соответственно 1Гр и Jp.
Наибольшее напряжение tmax направлено
по касательной к контуру и возникает
в точках, указанных в табл. 4.
КРУЧЕНИЕ
29
Таблица 4
Формулы для напряжений и угла закручивания при кручении |19|
Сечение бруса постоянное на длине I см. Крутящий момент М в кГсм, наибольшее касательное
напряжение в сечении т „ в kT'IcM’; полный угол закручивания бруса у в радианах; модуль сдвига
G а к1'1см'\ величина Wв сж*; жесткость на кручение OJ в кГсм’; размеры сечсиня в см.
Al, MJ.
max “ т “ OJ
I. Сплошное круговое сечение (см. табл. 7)
J р ~ поляриый момент инер-
ции сечения;
]6Мк Мк
'max “ rd' “ O^d*
(в точках возле контура сечения);
р ~ поляРиый момент сопротнвлепня
4. Круговое незамкнутое кольцо постоянной
толщины; 6 мало по сравнению с г
(средний радиус);
о
би- ч- i.w
(2ixrt)’ '
(в точках внутреннего и наружного круговых
контуроп сечения)
'2. Полое круговое сечение — (СМ.табл.8
и 9)
eD’ * Р
-jj-d-a*) - О,ID’ (1—в«);
полярный момент инерции
сечения;
* * о 16
5. Круговое сечение с круговым вырезом (по
А. И. Линнику);
J* - k'R*.
по таблице в зависимости
') - 0,2d»(l -•*);
16Лк м*
'max «О'(1 — «<) “ 0.2D* (1 — а’)
(в точках возле наружного контура сечения);
. d
r~d)2 “ Tmax-p-
(я точках возле внутреннего контура сечения)
“ „ — поляР,1Ы* момент сопротивления
& Круговое сечение с екецентричным итвер-
|6в'
(I — «*)(! — «<)
_±<°'_______да.
пП* 1
»‘) (в точке 7),
32а'
. 48«’ (1+2<.’-Н«‘+2«*)
(I - «•) (I - а’) (1 «) +
+ 64«’ (2tl2e»f 19я*4-28гЧ-Ш«»4-14«>^Зв'Ч
(по дну вырыв); U — по таблице в зависимости
г
<" -7Г
0 O.tlf, 0,10 0,20 0.40 0,60 0.41 1.1XJ 1.60
* 1.57 0.89 0.К2 0.81 0.76 0.66 0.62 0,38 0,14
1.67 1.66 1,66 1,46 1.22 0,92 0,63 0.38 0,07
0. Сечение вала с лыской (по вкспернментальным данным С. А. Енгалычева): 11 \“(г’в75“,)т»’ / / ’*£-• d*.
4-0,7 8 />^>Z7J 2)7 —0,0740’; J “'«-ft 8 3)7,-0,01860* (^)’,351 v _ ° /^.V’82 « 22,9 D J (в серел кие плоского среза) И !*/
РАСЧЕТ БРУСА
30
Продолжение тдОХ I
I. Сплошное эллиптическое сечение
А .
11. Сплошное прямоугольное сечение
b
ИЛИ
jaab1*
х[Ц-зЗв|(.
(в компе малой
Л1
max V
полуоси);
(в конце большой полуоси)
или
Л*аб* (более точно);
«'-.«’ST+TS
IF* — HatP (более точно);
ЛС
б. Полое эллиптическое сечение
*1 С —•>!
шах
(в серединах длинных сторон);
«и
(в серединах коротких сторон)
В углах касательное напряжение рвано нулю.
1,00 1.20 1,60 1.75 2.00 2,50
0,206 1,00 0,141 0,219 0,93 0,166 0,231 0,86 0,196 0,239 0,82 0,214 0,246 0,79 0,229 0,258 0,77 0,249
10,00
( конце меной полуоси)
5,00
6,00
8,00
3,00
4,00
*®х(а + в - 4)Х
0,267
0,75
0,263
0,282
0,74
0,281
0,299
0.74
0,299
0.291
0.74
0,291
0,63) »•;
10. Квадратное сечение
0,1406а';
max
0,312
0,74
0,312
0,307
0,74
0,307
9, Эллиптическое кольцо постоянной толщины.
Длина средней линии, обозначен-
ной пунктиром
(при малом 5 напряжения распределены равно-
мерно)
Г . - 0.208а*
(в серединах сторон). В углах
касательное напряжение равно
пулю
12. Вытянутый прямоугольник
Й точках
IMN И
0,63) О';
0,333
0,333
длинных сторон, исключав точки*
углам);
0,74 ’т.,
• шах
(в середине коротких сторон)
КРУЧЕНИЕ
31
Продолжение табл. 4
13, Полый прямоугольник
244, (о - 4)« (б - 4,)«
Г*
о» + Н, - 8> -
Л)
24, (а - 4)(» - 4.)
(в средней части длинной стороны);
|К. Кольцо тонкостенное произвольной формы
постоянной толщины; s — длина
средней линии, обозначенной
пунктиром; F — площадь внутри
средней дмнин
• «г - ’
(п средней части короткой стороны).
При малом радиусе р закругленна напряжения
во внутренних углах могут быть больше; коэф-
фициент концентрации
Мк
'max “"24?
(при малом 4 напряжения распределены равно
мерно)
1,74 .
р max
19. Колыю произвольной формы переменной
толщины 4; а и Г — см. п. 18
4/*
14. Равносторонний треугольник
. Узе*
“«Я- •
20Лж
‘max а* ~
(в серединах сторон). В углах касательное на-
пряжение равно нулю
15. Правильный шести- или восьмиугольник.
Площадь сечения F
JK - Л'Л'Л
Для шестиугольника *' — 0,133.
для восьмиугольника *' — 0,130.
. -2k
шал
la середине сторон). Для шестиугольника
4 — 0,217; для восьми угольника « — 0,223.
Непосредственно в самих углах касательное
напряжение равно нулю
14. Равнобочная трапеция (или треугольник);; С — центр тяжести трапеции. В отношении жесткости при кру- чении трапециеобразное(н тре- угольное) сечеиие может быть
О и яг приведено к прямоугольному сечению (показанному тонкой линией) той же высоты, даю- щему ту же величину 1 • ширину (б или а), входящую в формулу Jк для прямоуголь- ного сечеиия (см. n- II). нахо- дят построением, указанным на чертеже
17. Сечеиие а форме клина, а > 46,
(и- п)
—-------— 0,105 УС
Г2(б,-б,) Л
Г
в[» -» I », + »,
“ 12», (6, - »,) 0,105 £
(в точках длинных сторон ближе к широкому
основанию)
Напряжение в точках на линии ЛЯ
’ 24?'
наибольшее т том сечении А Я, гае I — или
меньшее
20. Сечеиие прокатных балок. Рассматривается
составленным из прямоугольников
т Г размерами причем
У* “ 3
Значения «а зависимости от формы сечении
£2 '.Л!>а>1,00. + а* КП
Наибольшее напряжение в средней части прямо
угольника, имеющего наибольшую ширину
’max'
тал’
Прн малом радиусе р закругленна напряжения
но входящем угле могут быть наибольшие;
коэффициент концентрации
(см п. 13 и гл. XIII)
1.74
Р
«
32
РАСЧЕТ БРУСА
Продолжение табл. 4
21. Вытянутое сечение, имеющее ось симметрии.
t — длина; } х — момеит инерции
по отношению к оси симметрии;
F — площадь сечеиии
24. Угольник н олиотавр с полкой постоянной
толщины. Величины г, D, о и 4. —
см. п* 25
А
I + lb
22. Вытянутое сечение любой формы; 8 —тол-
щина по нормали к средней ли-
нии; ds — элементарная длина по
средней линии; F — площадь сече-
ния
C-J 6>ds
(интеграл берется по всей длине s средней линии
от'начала до конца вытянутого профиля)
23. Сплошное сечение компактной формы беа
входящих углов; 1 — полярный
момент инерции селения по отно-
шению к центру тяжести; F —
площадь сечения
25. Двутавр с полками постоянной толщины;
г — радиус закругления. D — диа-
метр наибольшего вписываемого
круга;
4» б, если b < d;
4 — d, если d < b;
8, ж b, если Ь > d;
4, — d. если d > b;
с
Для сплошных сечений неправильной формы, указанных в пп. 21—25, возле точек ка-
сания вписанного в контур сечения круга наибольшего диаметра D и возле входящих углов
можно подсчитывать по формуле:
Если указанные точки на прямой или выпуклой части сечения, то
(£-£)]
Если точка касания вписанного круга иа входящей части контура, то
г — радиус закругленна контура в точке касания; F — площадь сечения; ф — угол в радианах,
ил который поворачивается касательная при обходе по входящей части контура
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЯ
33
Формулы (32), (34а), (35) и (36) при-
менимы для вала некруглого сечения
при замене в них Wр и Jр на W х и JK
из табл. 4.
Метод аналогии (мембранной,
гидродинамической) используется для
экспериментального и для расчетного
определения напряжений t и величин Jк
при сложной форме сечения [4].
С помощью мембранной аналогии
распределение касательных напряжений
определяется по форме, которую прини-
мает при малых прогибах мыльная пленка,
натянутая на плоском контуре, имеющем
очертание рассматриваемого сечения, и
подвергнутая с одной стороны равномер-
ному давлению р (натяжение мембраны q
постоянно) (фиг. 7, а): 1) горизонтали по-
верхности мембраны являются траекто-
риями касательных напряжений, так что
касательная t — t к горизонтали дает
направление напряжения т в соответ-
ствующей точке сечения; 2) объем V,
ограниченный мембраной и плоскостью
контура, пропорционален скручиваю-
щему моменту:
Мк - 2cV; (39а)
3) скат tgaraa поверхности мембраны
пропорционален величине т в соответ-
ствующей точке сечения:
т — с tg a; (396)
4) для определения JK используется
соотношение:
(39в)
JK ' Я
Использование мембранной аналогии
при расчете поясняется приводимым
ниже примером.
Пример. Сечение — длинный прямоугольник
рашерлмн Если влиянием короткой сто-
роны в пренебречь, то меление не площадь РАЛ
урлеиоаешипаетси вертикальными состанлающими
иапражениа у края (фиг. 7, б):
рАЛЭ — 2ДЛуо
тлх
Отсюда «га|и — и на основании формул
438а) и (Ж)
pt> к мк
'шах“гап>ах— е гц “ *
Сечение пленки дает параболу с высотой
в
ут — “ши(. Объем, учитывай уменьшение его
лю концам,
|'-т(тятлх)в<Л-0’63*»-
-т
Л Том 3
Отсюда
, мк
2q ‘max рг (ft — U,63i>) '
— М Э’СЛ-О.бЗЮ.
ср к к з
Расчет на прочность. Проверка
прочности:
Тнаий ““ уГ Iх! *• (40)
Определение размеров поперечного
сечения:
(41)
по значению WK находятся размеры
сечения на основании формул табл. 4
Фиг. 7.
или для круглых сечений по табл. 7—9.
Определение допускаемого крутящего
момента в поперечном сечении:
^к. дол “ к 1тк- • (42)
Запас прочности по опасному сече-
нию
"-тт*. <«>
/Ид*
где Л4Л. я_ — предельный момент, выдер-
живаемый скручиваемой деталью (см.
гл. IX н XIV); Мк — действующий скру-
чивающий момент.
Определение допускаемых напряже-
ний [т]х и необходимых запасов проч- ‘
ности л см. гл. XIV.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЯ
Формулы для геометрических харак-
теристик простейших сечений даны в
табл.5; численные значения см. табл. 6—9.
Данные для сортамента стали см. т.6,
гл. IV.
Положение центра тяжести, статиче-
ские моменты, моменты инерции и
34
РАСЧЕТ БРУСА
моменты сопротивления поперечного се-
чения не зависят от материала балки и
определяются формой и размерами ее
поперечного сечения.
В балках из разнородных материалов
вычисляются приведенная площадь, по-
ложение ее центра тяжести, приведен-
ные моменты инерции и моменты сопро-
тивления сечения; величины составляю-
щих поперечное сечение элементарных
площадок берутся умноженными на от-
ношения модулей упругости материала
балки для каждого из этих мест к мо-
дулю упругости того материала, к ко-
торому приводится сечение.
Вычисление моментов инерции
Координаты центра тяжести
сечения по отношению к выбранным
осям хну:
в /1У1 + /гУг + • +fn>'n .
Л+/» + •••"♦-/« ’
S
АГО-—------
/>*’1 + + ... + jnx„
h+fa + •••+ fn
Здесь J, и Sy — статиче-
ские моменты площади се-
чения по отношению к осям х
и У; /ь Л..... /л —пло-
щади отдельных площадок
1, 2..... л, на которые раз-
бивается поперечное сече-
ние; у), у,. .... у„ и ж,,
Хг.... х„ — координаты
(с их знаками) центров тяжести
док по отношению к осям х и
также т. I, стр. 359—364.
Осевой (экваториальный)
момент н н е р ц н н площади сечения
по отношению к оси х (фиг. 8), лежа-
щей в ее плбскости,
- \ y*dF см*. (45)
Интеграл берется ло всей рассматри-
ваемой площади сечения.
Центробежный моментинер-
ции площади сечения по отношению
к осям хну, лежащим в ее плоскости,
Jjcy = J xydF см*. (46)
Центробежный момент инерции по
отношению к осям, из которых хотя бы
одна является осью симметрии, равен
нулю.
Фиг. 9.
плоша-
у. См.
расположении* по отношению к треугольнику,
кок указано но фиг. 9, в, равен
Полярный момент ннерци1г
плошади по отношению к точке (по-
люсу) О. лежащей в ее плоскости,
Jp = f ftdF см\ (47)
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЯ
35
где р — расстояние от точки О до эле-
ментарной площадки dF.
Зависимость между поляр-
ными и осевыми моментами
инерции площади:
Jp-Jp + J* (48«)
где х и у — взаимно перпендикулярные
оси. проходящие через точку О, по от-
ношению к которой получается поляр-
ный момент инерции Jp.
Зависимость между осевы-
ми моментами инерции по отно-
шению к параллельным осям:
J, - j (в + у<)«dF = JXg + (486)
где JXc — момент инерции по отноше-
нию к оси хс, проходящей через центр
тяжести С сечения; Jx — момент инер-
ции по отношению к оси х, параллель-
ной оси хс; е—расстояние между ося-
ми хе и х; F— площадь поперечного
сечения.
Зависимость между центро-
бежными моментами инерции
по отношению к параллельным осям:
Лгу “ Jxryf + оbF, (48в)
где JXryr — центробежный момент инер-
ции по отношению ко взаимно перпен-
дикулярным осям хе н уе. проходящим
через центр тяжести сечения; Jxv— мо-
мент инерции по отношению к осям х
и у, параллельным осям хс н ус; вели-
чины а и b — координаты центра тяже-
сти фигуры по отношению к осям х и
у и берутся с их знаками; F—площадь
поперечного сечения.
Зависимость между поляр-
ными моментами инерции по
отношению к двум точкам О и С:
Jp “ (Jp)c "I" CqF, (48г)
где (Jp)e н Jp — полярные моменты
инерции по отношению к центру тяже-
сти С сечения и соответственно к точ-
ке О; с0 —расстояние от О до С; F —
площадь поперечного сечения
Момент инерции сечения
сложной формы определяется как
сумма моментов инерции отдельных со-
ставляющих площадок 1, 2...п. Осе-
вой момент инерции всего сечения по
отношению к оси х
Jjt - (Jpe)t + (.Jxr)t + • - - + (Jxe)„ +
+ *i/i + + • • • + ч2яfn> (48Д)
-I , •
гле (Jxe)v (ЛгД....('хЛ-моменты
инерции плошадок 1, 2,...,л, на кото-
рые разбивается сечение сложной фор-
мы, по отношению к осям хс, каждая
из которых проходит параллельно оси х
через центр тяжести С соответствую-
щей площадки; «j, е2..... е„ — расстоя-
ния между осью х и параллельными ей
осями хе; fi, ft.fa — величины пло-
щадок.
Центробежный момент инерции всего
сечения по отношению к осям хну
Jxy — (Jxeye)i + (.Jxe Ус)» +
+ ••• +(Лгеуе)я + «1^1/1 +
+ Otbifi + . ., + onbnfn, (48er
где (ЛсУсУг (^сУс)»....(Jxeye)n~ М0‘
менты инерции площадок I, 2, ...л по
отношению к центральным осям хе и vr
этих площадок; аь а2,.... а„ и
bi.....Ьп — координаты центров тяже-
сти площадок по отношению к осям хну.
Если одна из осей хе или уе каждой
составляющей площадки является осью
симметрии, то
Jyy “ a\b\f\ +aib}fi + • • • + OnbfJn ~
I
Вычисление статических
моментов и моментов инер-
ции для сечений со сложной
формой плавно меняющегося
контура производится следующим
способом. Статический момент относи-
тельно оси у площади может быть [16]
подсчитан по формуле
5у=_1^^у1 + у2 + ...4-у„^ -
- (y_l + y_j + -«-+У_ я^р (48*)
Здесь (см. фиг. 9. б) 2а —полный
наибольший размер рассматриваемой
фигуры в направлении осн х; y|t
У». •••. Уя « У_рУ—»••••! > я —
Т “Т .
размеры фигуры в направлении, парал-
лельном оси у соответственно по одной
и по другой стороне на равных расстоя-
ниях от оси у, проводимой в середине
размера 2а. Места фигуры, в , которых
3*
,36
РАСЧЕТ БРУСА
берутся размеры уь
У». •••. Уд. У-1.
2
У-2.....У Я.ата«*
“ 2
же знаки, с которыми
□ни вводятся в приве-
денную выше формулу
для Sy. определяются
по приводимой ниже
таблице в хтвисимо-
сти от общего числа п
Число « размерен фигуры, принимае- мое при подсчете 5 Места замера размеров фигуры (и их знаки), вводимые в формулу (4Вж) для <9
а а Ji
4 6 8 10 (-) 0,2701 1+) 0,2980 [—10.02J4 '-) 0.0677 ( + > 0.6034 (-) 0.5683 1 + ) 0,5821 (+) 0,1293 (+) 0,7703 1—) 0,7494 (+-) 0,7077 (+10,8544 (—) 0,8330 (4-) 0,8870
размеров, по кото-
рым производится подсчет Sy.
Координата центра тяжести находится
по формуле (44); знак, полученный по
формуле, определяет, в каком напра-
влении от оси у находится центр тяже-
сти фигуры.
Момент инерции сечения относительно
осн у. проходящей через середину раз-
мера сечения,
Ту — С |+ уг + ---+уя) +
+ (х_1+*_s + ••• + . (4Яз)
Здесь yb у2.....ул , y_j. y_2.....
2
у n — размеры фигуры, параллельные
оси у, которые берутся соответственно
на равных расстояниях хг.........х „
от оси у, определяемых по приводимой
ниже таблице в зависимости от л; С —
величина по таблице.
Число п р«.ч- мерой фигуры при подсчет* 1 * Значе- Места аамсра размеров фигуры ала подсчета Jy
иие С а а а
2 i' 3 0,7746 — —
4 /• 6 0,5815 0,9284 —
6 г V 0,5030 0,8133 0,9410
Для подсчета по приведенным форму-
лам S и J для профилей типа сечения
турбинной лопатки вполне достаточно
взять в формулах (48ж) и (48з) соот-
ветственно три и две пары ординат 116].
Анало1ично производится подсчет ста-
тического момента и момента инерции
но отношению к оси л, проведенной че-
рез середину размера сечения. Центро-
бежный момент инерции определяется
по осевым моментам инерции, найденным
для осей х. у и оси под ) глом 45° [см.
формулу (48и)].
Моменты инерции J„ и J„v п о
отношению к повернутым
осям и и v:
Ju = +
+ у (Jx — Jy) COS 2<f — JXy sin 2?;
Juv“ у (Л—Jy> sin2? +
+ cos 2<p, (48и)
где Jx, Jy, Jxy — моменты инерции рас-
сматриваемого сечения по отношению
к осям х и у, с которыми взаимно пер-
пендикулярные оси и и v пересекаются
в одной точке; положительный угол ?
отсчитывается от оси х до оси и про-
тив часовой стрелки
Главные оси сечения — две
взаимно перпендикулярные оси, прохо-
дящие через данную точку, по отноше-
нию к которым центробежный момент
инерции равен нулю; обозначаются циф-
рами 1 и 2. Моменты инерции J, и Jt
по отношению к главным осям назы-
ваются главными моментами инерции;
применяются при расчете напряжений
при изгибе. Ось симметрии и перпендн
кулярная к ней ось являются главными
осями. Главный момент инерции по от-
ношению к одной оси является наиболь-
шим Ut—Jma), по отношению к дру-
гой — наименьшим (Jg — Jmin) по срав-
нению с моментами инерции этого же
сечения по отношению к другим осям,
проходящим через данную точку. Глав-
ные оси, проходящие через центр тяже-
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЯ
37
сти сечения, называются главными цент-
ральными осями.
Величины главных моментов инерции
А и А находятся или непосредственным
подсчетом моментов инерции по отно-
шению к главным осям 1 и 2(если положе-
ние последних известно), или по момен-
там инерции Jjp Jy, Jjry по отношению к
взаимно перпендикулярным осям х и у,
проходящим через данную точку. В по-
следнем случае применяются формулы
7piax “ 'о Ur 4- А) ±
mln *
± 4 “ А)1 4-4J’y . (49)
Знак плюс берется для Jt = Jmax и
знак минус — для A "Ann- Угол на-
клона главной оси по отношению к оси
х определяется по формуле
2Ау
<g2fo = -j---, (49а)
7 У-
ИЛИ
А»
tg to--.----j----. (496)
JP 7max
mln
Формула (49a) или (496) дает два
угла, отсчитываемые против часовой
стрелки: у0 и — <pd -f- 90°. При поль-
зовании формулой (49а) для определе-
ния, какой из полученных двух осей
соответствует — Jt и какой /„щ —
— Jt, величина (или ?о) подставляет-
ся в формулу (48и) и получается соот-
ветствующая введенному углу величина
Ji или А (см. пример 3). При пользо-
вании формулой (496) для нахождения
угла <р0 для оси наибольшего момента
инерции в правую часть подставляет-
ся А — Jmul. а для осн наименьшего
момента, соответственно, А — Ain •
• Пример 2. Сечение в виде трапеции (фиг. 10. а)
может рассматриваться составленным из прямо-
угольника I и треугольника 2.
Плошали F, — 1440 сМ1. F.~TXl cjF, площадь
всего сечения F — 2160 ем1. Координаты центра
тяжести трапеции относительно осей х, и у„ про-
ходящих через центр тяжести прямоугольника 7,
*-
— 720-8
” ’ 2180" “
-2,7 СМ*.
5У, -720-25
F “ 2180
— -8,3 см.
Фиг. 10.
Осевые и центробежный моменты инерции тр!
пеции по отношению к ее центральным осам х.
и к (см. табл. 5, пример I, формулы (48л), (48е),
Л») и (496)|
А. “ v*+ +
4- 720-5,3» - 3994 СМ1;
, 48-30» , о . 48-30» ,
7У„- 12 4-7440-8,34--^ 4- _
4-720-18,7' — 4443 см‘;
, ..... О . < Э0»-48* ,
АцУ. “ 144)-8,3.2J 4---------
4-720-5,3-7,2- 1243 см».
38
РАСЧЕТ БРУСА
Главные центральные момент» инерции:
Л,2-у (3894 + «43)±
± у У (4443 — 3994)"+ 4-1248»;
J, — 5490 гм*: J, — 2950 см*:
* 1248 t
*0— «>’;
° 1?48 == •
'К’О- 4ЙГ=29Й-°’8Э6: ’О = «°-
Расположение главных центральных осей нане-
сено на фиг. 10, а.
Пример 3. Сечеиие состоит из лвух стандарт-
ных профилей (фиг. 10,6). Положение центра
тяжести и моменты инерции каждого профиля
находятся из таблицы сортамента сгали. Коорди-
наты центра тяжести сечевия по отношению
я осям, проходящим через центр швеллера.
Р 23,3 + 33,8 ' ’
х.-^-ЗЗ.З 2,36см.
Моменты инерции составного сечения относи-
тельно центральных осей х» и у0:
— 316 + 23,3 (10 - 3,33 - 2,72)» +
+ 1804 + 33,8 (2,72)» - 2734 см*;
Jft - 316 +23,3 (3,33 + 1+7 - 2Дб)> +
+ 129,6 + 33,8 (2,36)4 - 835 СМ*.
/Ж>У| угольника относительно собственных цен-
тральных осей находится на основании первой
формулы (48и) при ? — 45®:
/Х1У, - - -1 (316 + 316) + 130 - -186 см*.
Центробежный момент инерции всего сечения
7^- -186 + 3+5 (-2,94)233 +
+ 2+6 (-2,72) 33,8 = - 674 см*.
Главные центральные моменты инерции сече-
ния по формуле (49) J, — 2964 см; J, — 614 ем.
Наклон главных нейтральных осей по формула
|49а)
to-^4 -°>7>!
»* - 107*40'.
Из очертания фигуры без применения формул
«нано, что наибольший момент инерции соответ-
ствует pg — 17 “40'.
Пример 4. Сечение по фиг. 10, в разбивается
«а три прямоугольника 7, 2 и 3.
Координаты центра тяжести С сечения по фор-
мулам (44)
2.2-1 + 1-5-0+ +1,2-5» 2,5 21+
°= 2-2+1-5+1,2-5 “ 15,0 “
— 1,43 см;
2-2-7,2+1-5-3.7 + 1,2-5-0,6
%-----------------jt-j------------3.0R см.
Моменты инерции сечения по отношению к
центральным осям по формулам (48д) и (48е)
2-2"
'х, - Ух0). + Vx> + «гЛ- пг +
+ 4 (7,2 - 3,08)» + -^у- + 5 (3,7 - 3,06)» +
+ + 6 (3,06 - 0,6)» - 117,53 см*;
до Б» Г
/ya-Tr + «0.«-lX», + V +
+ 5(1,43 -0JP+- i^- + 6(2,5-1,431»-
4 л
— 26,17 см*.
- 4 (7,2 - 3.08) (- 1,43 + 1,0) +
+ 5 (3.7 - 3,08) (- 1,43 + 0,5) +
+6 (-3,08 + 0+) (2,5 — 1,43) - —26,04 См*.
Главные нейтральные моменты инерции и на-
клон главных центральных осей по формулам (49)
и (49а):
J. — у (117^3 + 26,17)+
+ у V (25,17 - 117+3)* -t- 4 (—2o,U4)< -
- 71,85 + 52,60- 124,45 CM*-.
1, - 71,85 - 52,60 -19,25 см*;
Чг.у<, 2 (-26,04)
-J, ” 26,17 - 117,53
Pq- 14*55'; у* = 104*55'.
=+0,571:
Углу 14*55' соответствует 7ти—Л.
Пример 3. Сечение турбинной лопатки имеет
размеры, приведенные на фиг. Ю, /. Для полсче-
та статического момента S рассматривается се-
чение 7 е контуром ЛЯСОЛ за вычетом сече-
ния 2 с контуром АВСЕА. Полные размеры се-
чений /и 2. 2а, — 2-8.6». гм и 2а, — 2-4,ЗЗо см.
Данные подсчета статических моментов сече-
ний I и 2 относительно осей х, и х„ проходящих
через середины наибольших размеров этих сече-
ний, записываются в таблице (таблица здесь не
Ж водится); размеры, принимаемые о расчете,
значены отрезками в левой части фигуры
11 лота ль АДСОЛ Площадь А ВСЕ А
л 1 2 3 1 2 3
т ж л т л п ” 7 0,2980-8,65 — — 2+8 27,56 -19,60 0,5683- 8,65 - -4,91 -31,12 16,10 0,7703-8,65 - -6,66 83,76 -12,40 0,2960-4,335 — — 1,29 29,36 -22,16 0,5663-4 Д15 — — 2,46 -31+0 17+0 0,7703-4 335 - -ЗД4 33.40 -13+0
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЯ
39
Суммируя величины таблицы, получаем по фор-
муле (48ж)|:
лля сечения ABCDA
17 ТЛ*
5, = 14.30 = 713,1 «лЛ
4 о
лля сечения АВСЕА
8.67*
SX1 = 13.60= 170,3 мк'.
Соответственно координаты центра тяжести
jp-SS-м» -
Центр тяжести сечения лопатки отстоит от
оси х на расстоянии
_ 396,0(8,65 - 1,80) - 209,6 (4.33 - 0,81)
166,4
= 10,59 мм
Данине подсчета момента инерции сечения
лопатки при л =• 4 приведены в таблице: разме-
ры. принимаемые в расчете, обозначены отрез
ками в правой части фигуры.
п 2 1 2
•1" 9ч 0,5815-8,65 - 5,03 0,9264-8,65 = 8,00
X л 2 3,23 0,86
h 1 «1» 15,96 7,12
Суммируя данные таблицы по формуле <48з),
получаем
J _ 2^. 27,16- 2934 мм'.
Д| и
Для нейтральной оси сечения лопатки
1. — 29 И - 186,4-1,94’ —2234 мм'
*• •
Момент сопротивления сечения лопатки при
изгибе в плоскости осн у
22)4
vx—W-21'-0—’-
Эллипс инерции применяется
для наглядного изображения моментов
инерции сечения по отношению к раз-
личным осям, проходящим через данную
точку (центр эллипса). Уравнение эл-
липса инерции
7+7-1- <»>
‘1 h
где * и у - координаты эллипса; /, и
главные радиусы инерции сечения.
Главные радиусы инерции it
и Z; сечения подсчитываются по главным
моментам инерции Jt и Jt сечения для
осей, проходящих через данную точку:
'з-
(51)
где F — площадь поперечного сечения
При вычерчивании эллипса инерции
величины /] и it откладываются в мас-
штабе сечения по перпендикулярам соот-
ветственно к осям / н 2 (фиг. 11, в). Гра-
фически, без подсчетов по формуле (4‘и),
Фиг. 11.
находится /и по отношению к любой
оси и. проходящей через центр эллипса:
проводится касательная к эллипсу, па-
раллельная оси и. и замеряется расстоя-
ние /0. по которому находится
(51а)
Круг для моментов инерции
дает зависимость между моментами ииер
пин рассматриваемою сечения по отно-
шению к различным осям, проходящим
через данную точку, и вычерчивается
по осевым и центробежному моментам
инерции по отношению к двум взаимно
перпендикулярным осям. Каждая точка
окружности дает осевой (по горизон-
тальной оси координат) и центробежный
(по вертикальной оси координат) мо
менты инерции сечения относительно
оси, параллельной прямой, соединяющей
эту точку окружности с левой точ-
кой окружности, и перпендикулярной
к ней оси сечения. Масштаб круга для
моментов инерции сечения: 1 см чер-
тежа — т см*. Круг для моментов инер-
ции аналогичен кругу напряжений (см
стр. 9).
На фиг. 11, б круг для моментов инер
цни вычерчен по найденным в примере 4
Л.-117.5 см*. J „—26,2 см*. Jr„ 26,0см*.
Jx + J„
при величине —g— — 71.8 см*,
40
РАСЧЕТ БРУСА
Таблица &
Площади F, положение центров тяжести, осевые моменты инерции У, моменты сопротивления
W и радиусы инерций 1 для основных форм селений (19]
Моменты ниерцин J ханы для главных центральных осей. Индекс при J, W и I указывает ось,
относительно которой лается рассматриваемая величина. Для сечений, имеющих по отношению ко всем
центральным осям одинаковые моменты инерции, номера осей не обозначены, и укатаны
W=W’,= IF>; Момент сопротивления Vt' — —, гае у — расстояние до соответствующих
крайних волокон. Радиус инерции I = 1/ ~.
1. Квадрат
6. Прямоуголь-
ник, сечение
балки ситвер-
стием
-о —
/—0,289а
2. Квадрат, на ребро
W, = V, - 0,118а’ •
7. Прямоугольник
повернутый
3. Квадрат с квад-
ратным отвер-
стием
, н*-
12 ’
г-
6/Z •
/ = 0,289///’ +Л»
4. Квадрат с квад-
ратным отверсти-
ем, на ребро
/?-//>-№;
, Н* - Л*,
12 1
Д'- 0,118
п
/..0,289 V М + Л';
f= b (Н - Л);
л =- л’>;
A-iLxi»’;
'* 12 •
* б ° .
I, = 0,289 Vti' + Hh + h' .
4 — 0.289»
F = bh-,
h cos « + ft »ln «
'•------------j---------;
bh
-- (Л1 cos’« + ft* sin’«);
0,289 VЛ’ cos’ .-)-» a In’ a
(для нижних волокон);
U7* —
24
(для верхних волокон);
/, — O,236h
/=-»Л;
, »Л’. , Л»*
Л-ту. Л—jj-.
Г,-
О О
/, - 0.289Л ; /, - 0,289»
9. Трапеция
»+
—2“*.
» + 2»'
(» + »')*•
Л* (Ь» + АЬЪ' - b'l) '
НА lh -L ЬП *
• Срез верхнего и нижнего углов увеличивает при срезке углов на диагонали
1о
величина И-', достигает max UP, — 0.124Л* (I — горизонтальиав ось).
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЯ
4»
Продолжение табл. 5
10. Правильный шестиугольник
16. Двутавр с различными полками
Я = 0,8664*.
Л — Л — 0,541/?* — 0 №.
V, = 0,625/?* - 0,124»;
IF, ~ 0,541/?*;
4 = 0,456/? = 0,2634
11. Правильный восьмиугольник
/*-0,8284*;
Л — 0,638/?* — 0,05474*;
IF, - 0,690/?* = 0,10964*;
4 = 0,2574
Р-Ьс. + а (» + *,) + Вс,
afP 4- Я,с* 4- ПН -
*" 2 (а« + Й,г + 4>,cJ '
у' - Я — у,;
Л - 4 (лу* - В.А* + Оу," - »,Л{)
12. Правильный многоугольник с л сторонами
р-он + 20(с, + с,):
й _ пн л. />ь-
- 4- [ t" - h> + h‘e‘ + т (fl‘ ~ “*>]
V,-Jg- р*(Н-Л) +А,а’ + 4-(Я*-<и|.
Наклон скосов в(дли стандартных дву-
тавров в 151 4 j
18. Угольник
Р-аН + «с;
Я=Л(2Н-Л);
Н> + hH - Л’
У‘“ 2 (2Н - М сов 45» * 1
Л —4 —
1, = -1 [2с* - 2 (*> - W + л(« - +
где с = у, соа <5*
42
РАСЧЕТ БРУСА
Продолжение табл, 5
19. Угольник с неравными стенками
F=H.a + bY,
cfl -f- М . ft’ -f- О! .
2(a + »): 3'‘",2(Л + <1):
+ ay; - d (y, - 8)’];
y=4 [«te-Xi)’*
+ M-»U,-«)•];
abdM
Jry *(a + b)
Осн x и у проходят через вен гр тяжести
яс/1
20. Kpyi
^•сзО.ОМ*;
«Г Лал 1
(см. также табл. 7)
Л ™ [в — &ln а соя а|
21. Круге экс-
центричным
кру голым
отверстием
J - (1 - «♦) « 0&D* (1 - «•):
я=£1 |Г-^(1-«•)«0.1D’(l-««);
D ~ d
Прн малом j) см. п.
(см. также табл. 9)
25. Неполный круг и сегмент
26. Половина полого круглого течения
•/Л •
22. Полукруг F—^-; у, -0,2122rf; у'=О,2878<Л
J, > 0,00064*;
Л- -^-ва<Д0254«;
1*0
UZ, — 0,2587г* (для нижних
волокон). 1Г, -0,1908г*
(для верхних волоком);
23, Тонкое кольио
W-^-8; /-0Д53О
(см. гакжя табл. 8)
/> 2. (О _ <Г);
2 D< + dD 4- <Г
а? —Л + й—5
Л . 0,00686(0' -&)-
O.OlTTd'D' (D-d)
“ и+ d
При малой толщине стенки Доз0,0338
'П. Часть тонкого кольца
b(d-ty
В
2 Bin’s
•In а сов в — — ' '
/| — 8 (tf Г 8'‘ (« — Bin « со» «)
О
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЯ
31. Полый вллипс
Продолжение табл. 5
28. Сектор кольца
F-а
2 (R*—г*) »1п «.
У* " 3 ((?’ - И) s ’
₽• — г*
-----— (« + sin « со» «):
J, — 4 (« — sin « СО» в)
Величины J, и Л могут находиться с помощью
приводимого ниже графика.
Л —
.. R'-P.
*•---2—
Л = к.
29. Круговой сегмент
F— — (2а — »1п 2а),
4 R »fir’ а
У‘ “ 3 2а — sin 2а '
fW Г 2 «In1 а со» « ]
4 | — sin а cos а] ’
1-4 1
3 а — sin я СО» а j
30. Сплошной вллипс
Р = ^-(оР-о.О,);
64 (аЧ> - а}»,);
Z*“ "бГ 1 ' аЛ* — а,о;):
^“3^( а'» — а}»,):
W'= 326 ^at>* —
32. Сечение волнистого железа. Волны составле-
ны из параболических луг; Р. J, IF на 10U см
ширины
F«4t<U + 6* M>:
'“15Г (**»-М,’).
гае О, - -1(* + 2,«);
Ai“*y (• + *)> А, — —-(Л — 3).
2/
Приближенно IF, «и——Ц
33. Сечение балочного волнистого железа. Волна
имеет форму душ круга; Р, J, W на 100 см
ширины
34. Сечение железнодорожного рельса с обыч
ным отношением между размерами сечения.
Высота рельса ft о саг.
Приближенные формулы: F —ОД38Л»; max 2—
— ОДК32Л*; max IF — о,иб4Л>
44
РАСЧЕТ БРУСА
Продолжение тайл, $
35. Сечение прокатных балок стандартных размеров. Высота сечения Л в см. См. т. 6, гл. IV.
Приближенные формулы:
двутавр на ребро
иг=(Л±2Гед„
51 '
корытный профиль на ребро
81
30. Сечение любой формы. Следующие формулы могут быть использованы только для ориен-
тировочной оценки величин J и W относительно центральной осн:
для сплошного сечения
С ошибкой
до - 15%
для полого сечения
J. Ph Г, | f <»-*>] J;
<>* I >>h J С ошибкой
для полого симметричного сечения до — 25%
Здесь F — плошаль внутри наружного контура сечении; Л и b — высота и ширина сечения;
s и 5 — длина периметра и толщина стенки (для полого сечения).
последняя определяет положение центра
круга. Величина Jxr взятая с обратным
знаком, откладывается от конца отрезка
J t>Jy. Тогда наклон линии, соединяющей
левую точку окружности с точкой D,
дает направление для оси /, соответ-
ствующей точка D берется на
окружности со стороны Jx > Jv.
Графическое определение моментов
инерции
Рассматриваемое поперечное сечение
площадью F разбивается на полоски.
как показано на фиг. 12, силовой и ве-
ревочный многоугольники (см. т. I.
стр. 364).
Вели полюсное расстояние Н взято
равным — Р, то площадь Ft (пло-
щадь ABCDEGA), ограниченная вере-
вочной кривой, крайними лучами и
осью дг, будет равняться квадрату ра-
диуса инерции 1Х заданной фигуры по
отношению к оси х, т. е.
Jx _ FjF - i^F. (52)
Построение силового и веревочного
многоугольников см. т. I, стр. 364.
параллельные заданной оси. Площади АЛ
полосок принимаются за силы, и строятся,
Определение моментов инерции может
вестись с помощью интеграторов.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЯ
45
Прямоугольное сечение
, bh‘
Момент инерции J = -уу.
М*
Момент сопротивления W — -у.
Таблица 6
Радиус инерции сечеин»
I - -0.289Л.
При ширине заданного сечения, отличной от b — I
таблице величины Р, W, J умножаются на аадаиное
Зиачеине Р, W, J и 1 дани а таблице аляб-1 см.
см, пеличниа I остается той же, а имеющиеся
Если высота h сечения п 10я (л — 1, 2,3...) раз больше (или меньше) указанной к таблице,
то величины Р, П7, J и I умножаются (или делятся) соответственно на 10я. IO2”, 1<РЯ и 10я
h в мм 10F В СМ* 10>1Г в см* 10V в слР 101 веж h я мм 10/= в СМ* 10HF в сж‘ 10*2 в гж* 1CN в см
1 1 0.167 0,063 0.28S 46 46 352,7 8 111 13,29
2 2 0,667 0,667 0,578 47 47 368,2 8 652 13,58
3 3 1,500 2,250 0.867 48 48 384,0 9 216 13,87
4 4 2,667 5,333 1.1.56 49 49 400,2 9 804 14,16
5 5 4,167 10,417 1,445 50 50 416,7 10 417 14,45
6 6 6,0(» 18,000 1.734
7 7 8,167 28,58.1 2,023 51 . 51 433,5 11 064 14,74
8 8 10,667 42.667 2,312 52 52 450,7 11 717 15,03
9 9 13,500 60,750 2,601 53 53 468,2 12 406 15,32
10 10 16,67 83,33 2,89 64 54 486,0 13 122 15,61
55 55 50-4,2 13 865 15,90
11 11 20,17 110,92 3,179 56 56 522,7 14 635 16,18
12 12 24,00 144ДО 3,468 57 57 541,5 15 433 16,47
13 13 28,17 183,06 3,757 58 58 560.7 16 259 16,76
14 14 32.67 228.67 4,0-16 59 59 580.2 17 115 17,05
18 15 37,50 .'81,25 4,335 60 60 600.0 18 оо:> 17,34
16 16 42.67 341,3 4,624
17 17 48,17 409,4 а ,913 61 61 620,2 18 915 17.63
1В 18 54,00 482,0 5,202 62 62 640,7 19 853 17,92
19 19 60,17 571,6 5,491 63 63 661,5 20 833 18,21
20 20 66,67 >66,7 5,780 64 64 682 7 21 845 18,50
55 65 704,2 22 885 18,79
21 21 73ДО 772 6,069 66 66 726,0 23 958 19,07
22 22 80,67 887 6,358 67 67 748,2 25 064 19.36
23 23 88,17 1014 6,647 63 6В 770,7 26 203 19,65
24 24 96 ДО 1152 ’ 6,936 69 69 793,5 27 377 19,94
25 25 104.2 1302 7,225 70 70 816,7 28 583 20,23
26 26 112,7 1465 7,514
27 27 1213 1640 7.803 71 71 840,2 29 826 20,52
28 28 130,7 1829 8,092 72 72 864,0 31 104 20,81
29 29 140,2 2032 8,381 73 73 888,2 32 418 21,10
30 эо 150,0 2250 8,670 74 74 912,7 33 769 21,39
75 75 937 5 35 156 21,68
31 31 160,2 2483 8,969 76 76 962,7 36 581 21,96
32 32 170,7 2731 9,248 п 77 988,2 38 044 22,25
33 33 181,5 2995 9,537 78 7В 1014 39 546 22,54
34 34 192.7 3275 9.826 79 79 1040 41 <Ж7 22,83
35 35 204,2 3573 10,115 . 80 80 1067 42 667 23,12
36 36 . 216,0 3888 10,40
37 37 728.2 4221 10.69 81 81 I01M 44 287 23,41
38 38 240,7 4573 10,98 82 82 1121 45 948 23,70
39 39 253,5 4943 11,27 83 83 1145 47 649 23,99
40 40 266,7 5333 11,56 84 84 1176 49 392 24,28
85 85 1204 51 17/ 24,57
41 41 280,2 5743 11,85 86 86 1233 53 005 24,85
42 42 294,0 6174 12,14 87 87 1262 54 875 25,14
43 43 308,2 6626 12,43 83 8В 1291 86 889 25,471
44 44 322,7 7099 12,72 89 89 1320 58 747 25,72
46 45 337,5 7594 • 13,01 90 90 1350 60 750 26 01
46
РАСЧЕТ БРУСА
Продолжение табл. б
Л в мм ЮЛ в СМ' 104F в см? 10*7 В СМ* 10* в см I ft II мм ЮЛ в см1 lO’W' в см* IW в см' В СМ
91 91 1зяо 62 798 26,32 125 125 2604 162 760 36,13
92 92 1411 64 891 26,59 135 135 3038 205 031 39,02
93 93 1442 «7 030 26,88 145 145 3504 254 052 41,91
94 94 1473 «9 215 27,17 155 155 4004 310 323 44,80 '
95 95 1504 71 448 27,46 165 165 4537 374 344 47,69
96 96 1536 73 728 27,74 175 175 5104 446 580 50,53
97 97 1568 76 056 28,03
9В 98 1601 78 433 28,32 185 185 5704 627 635 53,47
99 99 1637 80 858 28,61 195 195 6338 617 905 56,36
103 100 1667 83 330 28,90 205 205 700-1 717 930 59,24
105 105 1833 96 467 30,35 215 215 770-1 828 147 62,13
115 115 2204 126 740 33,24 225 225 8437 949 218 66,02
Круглое сечение Iаблица Т
nd* .«> erf* - __ - с
осеней момент инерции; —-=х—осеней момент сопротивление. Л —
64------------------------------32
Td' d
= —-------площадь сечения; ~ Р’лиус инерции сечения.
Полярный момент инерции Jр = ‘2J; полярный момент сопротивления tPp=2W
d в мм 10»Л в сМ> Ю*И7 в СМ? 10*7 в см* d в мм 10*Л в слб 10» W в см? 10*7 в СМ'
1 0,785 0,0982 • 0,049 41 1320 6 766 1 138 719
2 3.142 0,7854 0,785 42 1 38.5 7 274 152 745
3 7,069 2,651 3,976 43 1 452 7 ЯИб 167 820
4 12,566 6,283 12,57 44 1 520 8 363 183 984
5 19,635 12,27 30,68 45 1599 8 946 201 289
6 28,27 21,21 «3.62 46 1 661 9 5-56 219 787
7 38.48 33,67 117,9 47 1734 10 193 239 531
8 50,27 50,27 201,1 «кН 1809 10 857 260 576
9 63,62 71,57 322,1 49 1 885 11 550 282 979
10 78,54 96,17 490,0 50 1963 12 272 306 796
11 96,03 130,7 718,1 51 2 043 13 023 332 ОВД
12 113,10 169,6 1 018 52 2 123 13 804 358 908
13 132,73 . 215,7 1 402 63 2 206 14 «16 387 323
14 153,9-4 269,4 1886 54 2 290 15 450 417 393
15 176,7 331,3 2485 55 2376 16 334 449 14)
16 201’1 402,1 3 217 56 2463 17 241 482 750
17 227,0 482,3 4Ю0 57 2 552 18 181 518 166
18 264,5 572,6 5153 58 2 642 19 155 555 497
19 283,5 673,4 6397 59 2 734 20 163 594 810
20 314,2 785,4 7 854 60 2 827 21 203 636 172
21 346,4 909,2 9 547 61 2922 22 284 679 651
22 380,1 1045 11 499 62 3 019 23 398 725 332
23 415,5 1 194 13 737 63 3 117 24 548 773 272
24 452,4 1357 16 286 64 3217 25 736 823 550
25 490,9 1534 19 175 65 3 318 26 961 876 240
26 530.9 1726 22 432 66 3 421 28 225 931 420
27 572,6 1932 26 087 67 3 525 29 527 989 166
2В . 615,8 2155 30 172 68 3 632 30 869 1 049 556
29 660,5 2 394 34 719 69 3 739 32 251 1 112 660
30 706,9 2 651 39 761 70 3 848 .33 674 1 178 588
3! 754,8 2925 45333 71 3 969 35 138 1 247 393
32 804,2 3 217 51 472 72 4 072 36 644 1 319 167
33 855,3 3 528 58 214 73 4 185 38 192 1 393 995
34 907,9 3 859 65 597 74 4 301 39-783 1 471 963
35 962.1 4 209 73 662 75 4 418 41 417 1 553 156 ।
36 1 017,9 4 580 82 448 76 4 Мб 43 096 1 637 662
37 1 074,2 4 973 91 998 77 4 657 44 820 1 725 571
38 1 134,1 5 387 102 354 7В 4 778 46 589 1 816 972
39 1 194,6 5 824 113 561 79 4 902 48 404 1 911 967
40 1 256,6 6 283 125 664 80 5027 50 265 2 010 619
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЯ 47
Продолжение табл. 7
d а мл 10* Г в CJF 10* IF в см' 10*7 в гл* d в мм 10«Л в см' 10* W' в ГЛ* 10V в гл*
81 5153 52 174 2113 061 116 10 568 153 241 8 837 968
И 5 281 54 130 2 219 343 117 10 751 157 238 9 196 425
83 5 410 56 135 2 329 605 118 10 936 161 304 9 516 955
М 5542 58 189 2 443 920 119 1) 122 165 440 9 843 689
85 5 675 60 292 2 662 392 120 11 310 169 648 10 173 600
86 5 809 62 445 2 685 120
87 5 945 64 648 2 812 205 121 11 499 173 923 10 622 320
88 6032 66 903 2 943 748 122 11 690 178 271 10 874 501
89 6 221 69 210 3 079 853 123 11 ЮЗ 182 690 11 235 453
90 6 362 71 569 3 220 623 124 12 076 187 182 11 606 811
125 12 272 191 748 11 984 229
01 6 504 73 992 3 366 165 126 12 469 196 387 12 372 350
92 6 648 76 448 3 516 586 127 12 668 201 100 12 769 821
93 6 793 78 968 3 671 982 123 12 868 205 837 13 176 799
94 6 94!) 81 542 3 832 492 129 13 070 210 750 13 593 424
95 7 088 84 173 3 996 193 130 13273 215 690 14 019 852
96 7 238 86 859 4 169 220
97 7 390 89 601 4 345 671 131 13 478 220 706 14 456 235
98 7 543 92 401 4 527 664 132 13 685 225 799 14 М2 727
99 7 698 95 259 4 715 315 133 13 893 230 970 15 359 483
100 7 854 96175 4 903 738 134 14 103 235 216 15 826 658
135 14 314 241 547 16 304 411
101 8 012 101 1.50 5 108 055 136 14 527 246 954 16 792 899
102 8 171 104 184 5 313 378 137 14 741 252 412 17 292 282
103 8 332 107 278 5 524 830 138 14 957 258 010 17 802 721
101 8 495 110 433 5 742 532 139 15175 263 660 18 324 378
105 8 659 113 650 6 966 601 140 15 394 269 392 18 857 413
11'6 8 825 116 928 6 197 171
107 8 992 130 268 6 434 357 141 15 615 275 205 19 401 999
108 9161 123 672 6 678 287 142 15 837 281 101 19 9«9 294
109 9 331 127 139 6 Я» 087 143 16 061 2S7 083 20 526 466
ПО 9 503 130 671 7 185 846 141 16 286 2М 148 21 106 684
145 16 513 299 298 21 699 116
111 9 677 134 28? 7 451 813 146 16 742 305 533 22 303 933
112 9 852 137 929 7 723 997 147 16 972 311 855 22 921 307
113 10 029 141 656 8 013 571 148 17 203 318 262 23 551 409
114 10 207 14 5 450 8 290 666 149 17 437 324 757 24 194 411
115 10 387 149 312 8 585 417 150 17 8П 331 340 24 850 496
Таблица 3
Сечения круглых труб
F — плошадь поперечного сечения; J— осевой момент инерции; IF — осевой мо-
мент сопротивления; полярный момент инерции J ^2}', полярный момент сопроти-
вления IF^=21F.
Веся цв кГ)м относятся к глалким стальным трубам; вес 1 м“ стали принят
>850 кГ. Для хлораля значения q. взятые нз таблицы, необходимо умножить на 0,363
D в мм 1 в мм F в с л* J в гл* 1F и ГЛ* и кПм D в мм в в мм F в сл< J в гл* IF в гл* Я в кГ1м
3 0,5 0,0093 0,00032 0,0021 0,081 9 1.5 0,3535 0,02585 0.0572 0,277
Б 1 ,Б 0,1649 0,00299 0,0120 0,1295 9 1 0,2514 0,17204 0,0.153 0,197
Б 1 0.1254 0.00267 0,0108 0,0985 10 2 0,5027 0,0427 0,0854 0,395
Б 0,5 0,0707 0,00181 0,0072 0,0555 10 1 0,2827 0.0290 0,0580 0,222
6 1.5 0,2129 0,0058 0,0193 0,1665 10 0Л 0.1492 0.0И.88 0.0338 0,117
11 2 0.5655 0.0601 0.1093 0,444
6 1Х> 0,1571 0,0051 0.П17Х 0,1235 11 1.5 0,4476 0X1518 0,0942 0Л51
6 0Л 0,0864 0.00329 0,0109 0,0678
7 1.5 0,2391 0Д11053 0.0331 0,203 11 1 0,3141 0.0397 0,0722 0,247
7 1 0,1884 0.00872 0,0249 0,149 12 3 0,8482 0.0954 0,1591 0,666
8 2 0,3770 0,01885 0,0472 0.296 12 2 0,6283 0X1617 0,1361 0,493
8 1 0,2199 0,0137 0,0342 0,173 12 0,75 0.2650 0.0-121 0,0702 0.201
8 ОЛ 0,1178 0,00832 0,0208 0,0924 12 0,3 0,1103 0,0189 0.0315 0.086
9 2 0,4398 0X12911 0,0648 0,0345 13 1.5 0,5419 0.0911 0,1401 0,423
4S
РАСЧЕТ БРУСА
Продолжение табл. 8
D в мм 8 в мм F в с Л1 J в сж* V в еж* к?}м D в мм а и мм F В ГЛГ 2 в см* в гж* Q ъ кГ\м
13 1 0,3770 0,0683 0,1052 0,296 40 3 3,487 6.С06 3,003 2,735
14 3 1,037 0,1685 0,2407 0,814 40 2 2,388 4,327 2,164 1,874
14 2 0,7540 0,1395 0,1993 0,592 40 1 1,225 2,331 1,166 0,981
14 0,75 0,3121 0,0688 о.оадз 0,245 45 2Л 3,338 7,563 3.360 2,620
14 0,3 0,1201 0,0!03 0,0433 0,101 45 14 2,050 4,854 2,157 1,610
15 2,5 0,9818 0,1994 0,2659 0,771 45 1 1,382 3,347 1,488 1,034
15 1,5 II,№2 0,1'167 0,1957 0,499 48 3 4,241 10,783 4,493 3,33
15 0,5 0,2278 0,0599 0,0799 0,179 48 2 2,890 7,659 3,191 2,27
16 3,0 1,2252 0,2726 0,3408 0,961 48 1 1,477 4,079 1,703 1,160
16 2,0 0,8796 0,2199 0,2749 0,690 50 4 5,781 15,405 6,162 4.62
16 1.0 0,4712 0,1331 0,1664 0,370 50 3 4,430 12,291 4,912 3,480
16 0,5 0,2134 0,0732 0,0915 0,191 50 2 3,016 8,701 3,480 2.386
18 3,0 1,4137 0,4135 0,4596 0,109 50 1 1,539 4,622 1,848 1.208
18 2 1,0053 0,3267 0,3630 0,789 55 <4 • 7,139 22,939 8,341 5 60
18 1.0 0,5341 (1,1936 0,2151 0,419 55 34 5,663 18,864 6,850 4,445
18 0,5 0,2749 0,1363 0,1170 0,216 55 24 4,123 14,240 5,185 2,612
20 3 t,622O 0,5968 0,5968 1,273 55 14 2,521 9,027 3,280 1,980
20 2.0 1,1310 0,4637 0,4637 0.885 55 1 1,697 6,186 2,250 1,332
20 1,0 0,5969 0,2701 0,2701 0,469 60 4 7,037 27,726 9,212 5,52
20 0,5 0,3063 0,1457 0,1457 0,240 60 3 5,372 21,83 7,30 4,22
22 3,0 1.7907 0,8282 0,7529 1,405 60 2 3,664 15,34 5.11 2,86
22 2 1,2570 0,6346 0,5765 0,986 60 1 1,854 8,068 2,69 1,455
22 1.0 0,6597 0,3645 0,3310 0,518 65 5.5 10,281 45,835 14,12 8,07
22 0.5 0,3377 0,1952 0,1774 0,265 65 4,5 8,553 39,349 12,11 6,715
24 3 1,979 1,1133 0,9275 1,553 65 3,5 6,762 32,07 9,870 5,31
24 2 1,382 0,8432 0,702 1,084 65 2,5 4,909 24,01 7,390 3,85
24 1 0,7226 0,4787 0,399 0,567 65 14 2,922 15,09 4,645 2,374
26 3,0 2,168 1,458 1,121 1,700 65 1 2,012 10,30 З.П 1,578
26 1 0.7854 0,6146 0,472 0,617 ТО 5 10,240 54,241 15,497 8,01
28 З.о 2.366 1,8673 1,334 1,850 70 4 8,291 45,326 12,960 6,51
2В 2 1/6336 1,3886 0,992 1.282 70 3 6,315 35,50 10,130 4,96
28 1 0,8483 0,774 0,553 0,666 70 2 4,273 24,717 7,063 3,355
28 0.5 0,4320 0,4066 0,292 0,339 70 14 3,228 18,942 5,411 2,533
30 4 3,267 2,826 1,884 2,065 75 3.5 7,862 50,36 13,43 6,17
30 3 2,545 2,348 1,564 1,99В 75 2,5 5,695 37,467 9,99 4,47
30 2,0 1,7593 1,733 1,156 1,390 75 1.5 3,464 23,399 6,24 2,92
30 1.0 0,9111 0,9589 0,639 0,715 НО 5 11,781 83.201 20,80 9,25
30 0.5 0,4634 0,5042 0,3(16 0,364 80 4 9,551 09,145 17,28 7,50
32 5 4,241 3,997 2.499 3,33 Ж> 3 7,257 53,87 13,17 5,70
32 3 2,733 2,904 1,815 2,145 80 2 4,901 37,296 9,32 3,85
32 2 1,885 2,130 1,330 1,480 80 14 3.699 28,508 7,12 2,905
32 1J0 0,9739 1,171 0,732 0,765 90 4 10,807 100,13 22,25 8,48
32 0,5 0,4948 0,614 0,384 0,398 90 3 8,200 77,67 17,26 6,44
34 2,0 2,011 2,584 1,519 1,578 90 2 5,529 53,55 11,90 4.34
34 1,0 1,037 1,412 0,831 0,814 90 14 4,171 40,34 9.08 3,27
38 3 3,299 5,088 2,680 2,590 100 5 14,922 168,81 33,80 11,71
38 2,0 2,262 3,676 1,934 1,775 100 4 12,064 139,22 27,84 9,46
38 1 1,162 1,990 1,047 0,911 100 3 9,142 1С7.63 21,53 7.18
40 4 4.524 7 419 3,710 3,55 1П0 2 6,158 73,95 14,79 4,83
, Круглое кольцевое сечение Таблица О
F — плошаль поперечного сечения; ) — осевой момент инерции. W — осевой момент
сопротия-тсиня; полярный момент инерции — 2/; полярный момент сопротивления
Г — 21F; 4- ; d -. В — 24.
р I
Веса q в кГ\м относятся к гладким чугунным трубам; вес I At* чугуна принят 7250 кГ•
Для стали значения Q, взятые на таблицы, необходимо уииожитъ на 1,083
D п мм ь в мм Л в см* J в сж* V в сж* р в кПм О в м м н ЛЛ Л в СМ* J в см* «Z в см* а */'1Ж
80 { 10 12 22,0 25,8 13? 153 34,2 38,2 16,0 18,8 90{ 14 16 33,4 37,2 W3 257 55,6 59,3 24,2 27,0
00 1 14 10 29,0 25,1 165 204 41,2 45,3 21,0 18,2 100 / 10 12 28,3 33,2 291 327 58,2 65,4 20,5 24,1
90 | 12 29,4 229 50,9 21,3 14 37,8 359 71,8 27,4
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЯ
49
Продолжение тебл. 9
D мм 1 9 ММ F и CJ& J в СМ* W в гж* в «?"/ж D В ММ 4 в мм F в см* J а см1 V в см* У я кГ\м
16 42,2 385 77.0 30,6 16 91.5 4 619 440 70,7
18 46,4 409 81,8 33,6 18 109 5 047 481 78,7
20 119 5 448 519 86,6
10 34,6 527 87,8 25,1 22 130 5 819 554 94,2
12 40.7 601 100 29.5 210 24 140 6 166 587 101.6
14 46,6 666 111 33,8 26 150 6 438 618 109,0
120 16 52,3 724 121 37,9 28 160 6 786 646 116,1
18 57,7 773 129 41,8 30 170 7 062 673 123.0
20 62,8 817 136 45,5
16 103 5 342 486 74,3
Ю 37,7 683 105 27,3 18 114 5 873 534 82.8
130 1 12 44,5 782 120 32,3 20 126 6 346 577 91.1
14 51,0 871 134 37,0 22 137 6 789 611 99.2
16 57,3 9-49 146 41.5 220 24 148 7 203 655 107,2
18 62,3 1 019 157 45.9 26 158 7 589 690 114,9
20 59,1 1 080 166 50.1 28 169 7 949 723 122,5
30 179 8 282 753 1'29.8
12 18,3 997 142 35.0
И 55,4 1 114 159 40.2 16 109 6 207 540 78,0
140 16 62,3 1218 174 45,2 18 120 6 789 587 86,9
1В 68,9 1 311 187 50,0 20 132 7 341 638 <15,6
20 75,4 1 395 199 .54,7 22 144 7 862 68-1 104.3
230 24 155 8 351 726 112,6
12 52,0 1 243 166 37,7 26 167 8 809 766 120,8
14 59,8 1239 186 43.4 28 178 9 233 803 123,8
16 67,4 1 534 205 48,9 S3 189 9637 838 137,6
130 18 74.7 1 656 221 54,1
20 81,7 1 766 235 59,2 18 126 7 785 649 91.0
22 88.6 1 866 249 64,2 20 138 8 434 703 100,2
24 95,0 1 955 261 68,9 22 161 9 042 753 109,3
240 24 163 9 616 801 118,1
14 64,2 1 727 216 46,5 26 175 10 154 846 1'26,7
16 72,4 1899 237 52.5 28 186 10 659 888 135,2
18 80.3 2 056 257 58,2 30 198 11 133 928 143,5
160 20 88,0 2200 275 63,8
22 95,4 2 329 291 69.2 18 131 8 .за. 710 95,1
24 102,5 2 445 306 74,3 250 ) 22 158 10 334 827 114,3
26 183 11 633 931 132,7
14 68,3 2 104 244 49,7 30 207 12 778 1 022 150,8
16 77.7 2 320 273 56.1 34 231 13 790 1 103 167,3
18 85,9 2 517 296 62,4
I/O 20 94,3 2 699 318 68.3 18 137 10 073 775 99.2
22 102 2 863 337 74.2 22 164 11 746 904 119,3
24 110 3 013 354 79,8 260 26 191 13 243 1019 138,5
30 217 14 577 1 121 157,2
14 73,0 2 534 282 52,9 34 241 15 691 1 207 175,0
16 82,4 2 798 311 59,7 1
18 91,6 3 042 338 66,4 18 143 11 369 842 103,3
180 20 101 3 268 363 72,9 22 171 13 286 984 124.3
22 109 3 475 386 79,2 770 । 26 199 15000 1 ill 144,5
24 118 3 663 407 85,3 30 226 16 539 1 2X5 164,0
34 252 17 914 1327 182.8
14 77.4 3 017 318 56.1
16 87,5 3 338 351 63,4 18 146 12 774 912 107,4
18 97,3 3 636 383 70,5 22 178 14 947 1 068 129.3
190 20 107 3 914 413 77,4 290 । '26 207 16 909 1 '208 150,4
22 116 4 168 439 84,2 30 236 18 674 1 334 170.8
34 125 4 401 463 90.8 34 263 20 257 1 447 190,5
18 92,5 3 944 304 67,1 18 154 14 289 986 111.5
18 юз 4 308 430 74,6 22 185 16 743 1 155 134,3
20 из 4 638 464 82,0 290 । '26 216 18 970 1 зов 156,3
22 123 4 948 496 89,2 30 24j 20 983 1 447 177,6
200 24 133 5 231 523 96,4 34 273 22 798 1573 198,2
26 142 5 499 550 103,0
28 151 5 743 574 109.7 •20 176 17330 1 155 1'27.5
30 160 5 968 597 116.1 24 208 19 966 1331 150,9
- 1 •
4 Том 3
50
РАСЧЕТ БРУСА
Продолжение табл. 9
D
300
320
340
360
380
а и мл р в елг J 11 сж4 W |> слР а кГ,м
28 239 22 363 1491 173.5
32 269 24 535 1636 195.3
36 299 26 479 1765 216.5
40 327 28 262 1884 236,9
20 188 21 302 1331 136.7
24 223 24 558 1535 161.8
28 267 27 580 1724 186.3
32 290 30 390 1900 209,9
36 321 32 906 2057 232.9
.40 362 35 186 2199 255.1
20 201 25 838 1520 145.8
24 239 29 912 1759 172.8
28 274 33 665 19Ю 190.9
32 310 37 115 218.1 224,5
3« 344 40 277 2389 249.3
40 377 43 165 2539 273,3
20 214 30 977 1721 154.9
24 253 35 935 1996 183.6
28 292 40 526 2251 211.7
32 330 44 773 2487 239.0 ।
36 366 48 689 271*4 265.6
40 402 52 276 2904 291.5
44 437 55 582 3088 316,4
20 226 37 765 1935 164.0
24 270 42 718 2248 194,6
28 308 48 262 2540 224,5
32 346 53 400 2811 253,6
D
380
400
Прн
d
раанус инерции
размер ядра сечения
а мм 7= в CJO J В СМ* UZ в cjP вПм
36 383 58 379 3073 282.1
40 418 62 593 3294 309,8
44 463 66 671 3509 336,8
20 239 43 210 1160 173,1
24 284 50 304 2515 205.5
28 .328 56 927 2846 237,2
32 370 63 103 3156 268.3
36 412 68 852 3443 290.5
40 452 74 194 3710 327.7
44 492 79 154 3958 356.8
48 131 83 744 4187 384.8
D и
внутреннем диаметрах
внешнем
d
W D (1 + «>)
f ~ i
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ
И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ
В ОДНОПРОЛЕТНЫХ БАЛКАХ
Устойчивость балок — см. гл. X.
Поперечный изгиб балки вызывается
внешними моментами, действующими в
плоскости осн балки, или внешними
силами, перпендикулярными к оси. Про-
стой (прямой) изгиб получается, если
изгибающий момент действует й пло-
скости, заключающей в себе главную
ось поперечного сечения балки (главная
плоскость балки). Косой изгиб полу-
чается, если изгибающий момент дей-
ствует в плоскости, не содержащей
главной осн сечения, и может рассма-
триваться как сочетание изгибов в
двух главных плоскостях. Чистым из-
гибом на участке балки называется из-
гиб, при котором во всех сечениях
участка балки изгибающий момент имеет
постоянное значение (поперечная сила
отсутствует).
Условия возникновения скручивающих
моментов прн действии поперечной на-
грузки и изгиба при действии момента
кручения см. стр. 101 и гл. IV. Продольно-
поперечный изгиб — см. стр. 106.
Нормальные напряжения з и касатель-
ные т в поперечном сечении вызываются
соответственно изгибающим моментом М
и поперечной (перерезывающей) силой Q.
Для определения з и т по известным
внешним нагрузкам сначала находят М
н Я-
Ось балки направляется по оси х;оси
совмещаются с главными осями сечения у
(вертикальная) и z (горизонтальная).
Обозначения внешних нагрузок: сосре-
доточенные силы Р в кГ или т\ сосре-
доточенные моменты L в кГсм или тм;
интенсивность сплошной нагрузки р(х)
в кГ1м, где х — координата сечеиия бал-
ки. Проекции сил и нагрузок, направлен-
ных вниз, считаются положительными,
и наоборот. Опорные реакции (силы и
моменты) после их определения рас-
сматриваются как внешняя нагрузка.
Поперечная сила Q (х) в поперечном
сечении с координатой х равна алгебраи-
ческой сумме всех внешних сил, дей-
ствующих по одну сторону от рассма-
триваемого сечения (слева или справа)
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ В БАЛКАХ
51
Она считается положительной, если рав-
нодействующая левых (правых) сил на-
правлена вверх (вниз), н наоборот.
Изгибающий момент М (х) в сечении
с координатой х равен алгебраической
сумме моментов внешних нагрузок, дей-
ствующих по одну сторону от рассма-
триваемого сечения (слева или справа)
по отношению к ею главной централь-
ной оси. Считается положительным, если
момент внешних левых (правых) сил на-
правлен по (против) часовой стрелке, и
наоборот; иначе, изгибающий момент
положительный, если балка изгибается
выпуклостью вниз, и наоборот.
Дифференциальные зависимости между
р(х). Q(x). М (хХ
/>(*)- с53)
Эпюрой поперечных сил и эпюрой из-
гибающих моментов называется график
значений Q (х) и соответственно Л1(х)
для поперечных сечений по длине балки.
Правило знаков для эпюр: положитель-
ные Q (х) и Л! (х) откладываются вверх,
и наоборот; таким образом, эпюра момен-
тов строится на сжатых волокнах.
Эпюры Q и М для основных случаев
балок — см. табл. 10
Статически определимые балки
Аналитический метод построения
эпюр Q w М. Общий случай. Урав-
нения Q(x) и М(х) составляются по
известной внешней нагрузке
Q (х) — Q (0) — j р (и) Ли,
V
М (х) - М (0) + f Q (и) Ли.
(54)
Обозначения и правило знаков для р,
Q и М—см. Фиг. 13, а. Уравнения
для Q(x) и Л1(х) составляются отдельно
для каждого участка балки последова-
тельным интегрированием эпюр р (х)
и Q(x) по формулам (54). За участок
балки принимается каждая ее часть
между соседними сосредоточенными си-
лами и моментами, имеющая одни закон
сплошной нагрузки р(х). Начальные па
раметры Q (0) и М (0) — значения Q
и М в сечении х-0 (или на границах
участков); опорные реа к ци и определ я юте ч
с помощью уравнений статики (см. т. I,
гл. XVIII, стр. 352).
4*
При составлении уравнений изгибаю-
щих моментов в случае сложной нагрузки
удобно начало координат для всех уча-
стков брать в крайней левой (правой)
точке балки и применять в уравнениях
вертикальную черту с индексом, даю-
щим координату конца участка, для ко-
торого должны быть в уравнении взяты
слагаемые, стоящие левее этой черты
(запись по проф. И. Г. Бубнову). При
такой записи дифференцирование и ин-
тегрирование уравнения для Л1 ведется
обычным путем без раскрытия скобок
двучленов, содержащих х (с тем чтобы
постоянные интегрирования для всех
участков были одинаковые), и постоян-
ные интегрирования записываются вна-
чале (относятся ко всем участкам). Для
сложной нагрузки (фиг. 13, б)
M(x)-jM (0)4-Q(0)x +
+ |£— | Р(л —«₽)—>
Ч иР
'р и"
Q(x)-^ -Q(0)-
(54а >
- | Р— | р [х — ир)-
иР “р
".
52
РАСЧЕТ БРУСА
Эпюры Q(x) и М (X) вычерчиваются
на основании составленных уравнений
по точкам, получаемым для ряда значе-
ний х.
Экстремальные значения Q(x) и М (х)
ч применяемые для проверки общие за-
висимости в эпюрах (фиг. 14):
а) на основании уравнений (53) Q(x)
(или М (х)[ имеет максимум или мини-
мум в том сечении, где р (х) — 0 (или
Q (х) - 0|;
б) линия, ограничивающая эпюру Q (х)
(или М (х)], имеет точку О перегиба
гам, где р (х) [или Q (х)] имеет макси-
мум или минимум;
в) тангенс угла наклона к оси х. ка-
сательной к линии Q (х) (или М (х)(, ра
вен р (х) [или Q (х)[ в сечении, где
взята точка касания: tga—р(х) (или
<g ? - Q (•*)];
г) при последовательном переходе
от р (х) к Q (х) и от Q (х) к Л1 (х) сте-
пень X в уравнениях повышается на
единицу (при алгебраическом зако-
не р (х)(.
Пример. Балк* го сплошной неравномерной
нагрузкой по закону треугольника (фиг. IS). За-
ком нагрузки:
Р (Х|) — х,
(при -j- > л, > о) и
р(ж,)-2р (| - -^-) »
(при <>х,>у).
Опорные реакции:
По формулам (54)
(J (ж,) - Q (0) - f'р 1а,} аи, — А -
При поелелонательноы вычерчивании эпюр
р (ж). Q (X) н М (х) соблюдается условие (53):
ордината лает величину тангенса наклона ала по-
следующей вторы.
Балка с сосредоточенными
силами. На участке между двумя со-
седними сосредоточенными силами попе-
речная сила остается постоянной, а из-
гибающий момент меняется по закону
прямой. Для построения эпюр Q (х) и
М (х) удобно делать подсчет ряда от-
дельных значений Q и М для всех сече-
ний, расположенных на бесконечно ма-
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ В ВАЛКАХ
53
лых расстояниях левее и правее то-
чек приложения сосредоточенных сил;
скачки в эпюре Q равны внешним со-
средоточенным силам Р]. Ръ . .
Пример. Балки иа двух опорах с сосредоточен-
вымн силами по фиг. 16. Сначала определяются
Р,с, + Р,‘‘, + Р/, + Р.с'. .
А---------- ——j ,
В « + Р*> + р*
Проверка:
внешних сосредоточенных моментов,
если балка — на шарнирных опорах
(фиг. 17, б), то возникающие реактивные
силы дают поперечные силы, и эпюра
Далее находятся отдельные значения Q н М;
Qa“ л (точка a); Q, = А (точка J); Q* — А — р,
(точка /') it.il;
4fe=0; Л, » м' — Ас,
Л1>= М, «• Ас, — Р, (с, — е,)
и т. л. Эти значения откладываются в выбранном
Масштабе как ординаты; для получении эпюр
концы ординат последовательно соединяются пря-
мыми.
Наибольший изгибающий момент — под внеш
ней силой о том сечении, гда Q меняет знак.
Балка с сосредоточенными
моментами. При приложении только
сосредоточенных моментов поперечная
сила на всем протяжений между опорами
остается постоянной. Если балка—в виде
консоли (фиг. 17,о), то поперечная сила
равна нулю, и изгибающий момент
остается постоянным по отдельным уча-
сткам балки между местами приложения
изгибающих моментов состоит по отдель-
ным участкам балки из параллельных
прямых. Скачки в эпюре моментов равны
внешним сосредоточенным моментам L\
и L*
Балка с любым направле-
нием сосредоточенных сил.
перпендикулярных к оси. Ка-
ждую силу раскладывают на составляю-
щие в главных плоскостях балки (или
в горизонтальной и вертикальной пло-
скостях V и Н) и вычерчивают для
обеих групп сил отдельные эпюры Q1^',
Af1 , Геометрическое сло-
жение для отдельных сечеиий значений
Q(|Z\ и соответственно М^1'
дает полную величину поперечных сил
и моментов для этих сечений (эпюры
суммарных Q и Л1).
Фиг. 18.
Пример. Ня вал (фиг. 18) действуют силы, при
ложемные касательно к окружностям шкивов I.
2, 3. Равнодействующие Р натяжений N ремня
54
РАСЧЕТ БРУСА
переносятся и* ось вяла О. Составляющие по вер
шкальному и горизонтальному направлениям втих
равнодействующих
V, «= Р, в1п о,; V, = Pi sin <: И, = Р, sin
Н, — Р, cos я,; Hi e Pt СОВ а,; Н,— Р, сова,.
К нагрузкам V прибавляются веса О шкивов.
От вертикальных н горизонтальных нагрузок от.
дельно определяются опорные реакции А у, By,
А^. &Н н СТРОЯТСЯ зпюры изгибающих моментов
Л1 у и Л1
Гипотенуза г, построенная по значениям Му~с
и М = А, хак по катетам, мет в рассматривае-
мом сечении вала величину суммарного изгибаю-
щего момента
Аналогичио могут находиться Qcrtp
Сложение эпюр. Используется
принцип наложения. Эпюры Q (х) и
М (х) могут быть построены отдельно
от сосредоточенных сил, сосредоточен-
<t>Hi. 19.
пых моментов и от сплошной нагрузки
(фиг. 19). Путем алгебраического сло-
4ШШ1 орднна) эикю для отдельных на-
грузок (см, таблицу 10) получаются
эпюры Q (х) и М (х) заданной сложной
нагрузки.
Графо-аналитический метод. Ин-
тегралы правой части формул (54) рас-
сматриваются как плошади 11р х и Uqх
части эпюр р (х) и Q (х) между началом
координат н сечением х*.
Q(x)-Q(0)—Qpx; |
44(x)-AK0) + Uq<x. | (М)
Правило знаков см. стр. .50—51.
Пример 1. Для балки фиг. 20
_ l.< + W+<-l-0.5 . м „.
I 2
аналогичио В —3,1 т.
Подсчет Q и М ведется в таблице:
Сечеиня балки р (ж) в пцм Зр. х в т । Сумме сосре- доточенных сил слева от сечения ЪРвт н :Г О' П S Н <> 01 Сумма сосре доточенных моментов сле- ва от сечевня v L в тм н СУ а 11 + Зи 3-1
а 0 0 23 2Л 0 —1,4 -1.4
1 0 0 2Д 2Л 2.8 -1.4 +1.4
р 4.0 0 ОД 0.6 2,8 -1.4 +1.4
2 4.0 2.0 ОД -1.4 2,6 -1.4 +1.2
b 4.0 4.0 0,6 —1,4 1 1.4* —1,4 0
1 Равняется - в. « Равняется - L.
В точке О линии, огряиичипающей эпюру М,
имеет место перелом в соответствии со скачком
в эпюре Q: |г0,-+2,8; te 0,' -= +0,6 (-^)-
Ссчеиие, имеющее max М, находится по раз-
меру с, определяемому из подобия треугольников
в эпюре Q:
с— х °*8.— — 0.15 ж;
е 8,4 +ОД
max М « 1,4 +11,8 1 - « 1,445 тм.
Графический метод Для заданных
внешних сил Р строится силовой много-
угольник и соответствующий ему вере-
вочный многоугольник (см. т. 1, стр Зо4).
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ В БАЛКАХ
55
Изгибающий момент в каком-либо сече-
нии балки (фиг. 21)
М (х) — QAr =. тпуН (тм),
где у — отрезок прямой, параллельной
равнодействующей QA левых сил и про-
ходящей через рассматриваемое сечение,
между замыкающей ab и лучом, взятый
в масштабе (1 см чертежа равен тм);
Н — полюсное расстояние, измеренное
в масштабе плана сил (1 см чертежа
равен пт).
Эпюра М образуется отрезками у ме-
жду замыкающей и лучами (заштрихо-
ванная площадь на фиг. 21). Масштаб
эпюры М: 1 см чертежа равен тпН тм.
Эпюра получается графическим перено-
сом соответствующих ординат из сило-
вого многоугольника (см. нижнюю часть
фиг. 21.0). Масштаб эпюры Q: 1 см чер-
тежа равен пт. ,
Если балка имеет сплошную на-
грузку, то последняя заменяется рядом
сосредоточенных сил /, 2. 3... (фиг.
21.8). По ним строится веревочный мно-
гоугольник. и в него вписывается вере-
вочная кривая.
Защемленные балки
Для разрешения статической неопре-
делимости балки обычно находят изги-
бающие моменты от защемления.
Балка сдвумя жестко за ще-
мленными концами А и В. Мо-
менты заделки при постоянном сечении
балки (EJ = const)
2
Мд —-----— (2Аф — Вф);
2
Мд —-----у- (2Вф — Я^).
(56а)
Здесь Аф и Вф — фиктивные опор-
ные реакции (см. табл. И), равные ум-
ноженным на EJ значениям углов пово-
рота над опорами Я и В для балки при
шарнирных опорах с заданной нагрузкой.
Опорные реакции:
л-л. + Л«=^;
в_во+
где Ао и Во —реакции при шарнирных
опорах балки при той же нагрузке.
Балка с одним жестко за ще-
мленным концом (опора Я) и
другим шарнирно опертым
(опора В) (при EJ — const):
ЗЛл)
---Мв-0. (566)
Опорные реакции:
Л-Я,—В-Вл + У+.
Формулы для опорных реакций,
Q(x) и М(х).
Для основных случаев нагрузки стати-
чески определимых и защемленных балок
формулы даны в табл. 10. Более слож-
ный случай нагрузки может рассматри-
ваться как наложение простейших слу-
чаев. рассмотренных в табл. 10.
515
РАСЧЕТ БРУСА
Гоблина Ю
Опорные реакции, усилия и перемещения в однопролетных и консольных балках
Р — сосредоточенная сило нлн полная нагрузка в кГ; р — интенсивность сплошной нагрузки в кПсм;
L — внешний изгибающий момент в кГсм; Q—поперечная сила в кГ; М—изгибающий момент в хГси;
v — прогиб в см в сечении с координатой х в см\ О — угол поворота поперечных сечений на компе
балки в радианах; / — ’’щах ~ ст₽сло прогиба в с. и; Е — модуль продольной упругости в кГ^сМ1 мате-
риала балки. Предполагается, что горизонтальная ось. провелешгая в поперечном сечении через его
центр тяжести, совпадает с главной осью сечения; по отношению к ней момент инерции обозначен J в ела*;
max (—Af) обозначен отрицательный момент с наибольшим абсолютным значением.
Правило знаков. Реакции, направленные вверх, поперечная сила Q и нагибающий момент Л!,
действующие на правую часть балки соответственно вверх и по часовой стрелке, считаются положи-
тельными; прогиб вниз и угол поворота по часовой стрелке считаются положи гельными. Эпюры М
отложены со стороны сжатых волокон
Схема балки и нагрузки. Эпюры Q и М Опорные реакции и поперечные сиды, уравнение изгибающего момента, величина и место наибольшего изгибающего момента Уравнение упругой линии, стрела прогиба, углы поворота торцевых плоскостей балки
Статически определимые балки
(формулы для опорных реакций, поперечных сил и изгибающих моментов применимы
также в случае балок переменного сечения)
1. Ко Р 0 ° «соль. Сида на —Ч копие ♦—* 1 В-P'. Q-=-P. М = —Рх; шах М 0; шах (- М) - -Р1 (в В) РР . рг . е ц.' + =' ч|- 1 ;
Г 1
Q' лР44
2. Консоль. Сплошная равно- мерная нагрузка Р-Р1 • В-Р-рГ, Q- pjtt М в — ”21* * • 0; Pl max (-М) - - (а В) •
0 Й - f РР v"‘2iEj „ РР . 1 1 - 1 ч*
-—’"‘Tf
6EJ
'WI- £1
8. Консоль. Сплошная на- грузка по треугольнику B-P-^-t Q -£-Л Л — -у- у Л шах Л-0; шах(-Л) — -?РЦвВ) РР ь“бо77 , Р1‘ /•" TFF7 ч|- 1 <о 1. 1 * -* — • Л>
0 А JJ-X В EjJ га.* t
в'’“мМШ •
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ В БАЛКАХ
57
Продолжение табл. 10
Сдеие балки и нагрузки. Эпюры Q и М Опорные реакции и поперечные силы, уравнение изгибающего момента, величина и место наибольшего изгибающего момента Уравнение упругой линии, стрела прогиба, углы поворота торцевых плоскостей балки
4. Кои 0- соль. Момент на конце Л-0: Q—0; М - -L; шах (—7И) — -L lor А до В) ,«^,6
^7 (* Л): < Л)
Г 1 *’
Н il!l'
АГ
£. Балка, свободно опертая по концам. Сила в середине пролета л-в-4; Q — -у (от Л до /); р » — (3 — — 4 —1 48Е/ ( Р )
л Т’З
Ь—< г у Q- - у (от 7 до В); М = -i- Рх (от А до 7); Л1 -= -J- Р (1 — jr) (от 1 до В); (от А до /); РР ^4§ЁТ‘В,’: рр *“ 16ЁТ 'в
.. Р1 / . / \ в шах Л! — —г при X "т1
L___d-7
б. Балка, свободно опертая по „_₽«ЧН/ .г х дг*\
концам. Сила в пролете Q — Р -j- (от А до 7); Q — — Р у (от 1 Д° Я); м **р 4 х (°т л *о о; М - Р 4 (7 - х) (от 1 до В); шах М = Ру- (в 7) 6ВУ ПД в + б а’б J (от А до 7); . РаЬ
Я _ ►— (7- А ri. 7 “ ПЁЛ (“ + V За (а 4-24) при х — ув(я+34)
(когда а > 4) или приближенно
РЬ /й,48Ё7(ЗЛ_,и>*): . Р7> 7 4 4* \ . *“ бэ(т--к) ( А);
. РР /24 , 4* 34> \ •—wfr+ (в В)
7. Балка, свободно one концам. Сплошная мерная нагрузка P-pl пая по раено- Р в_, Р‘ ~т р р Л“Т’ *“Т* р1‘ / л „ X* . аг* \ ®“ЯК7 1 Т-2ТГ + "F •
Pl т !!!11ПИ11!1111П1!1 Q-yP О-Т-)5
• i -1 2 1 ) Л*”^г(т~4): тахЯ-^прн дг = -1) °“2^Г (* Л)
58
РАСЧЕТ БРУСА
Продолжение ибл. 10
Схема балки и нагрузки.
Эпюры Q и М
Опорные реакции н поперечные
силы, уравнение нагибающего
момента, величина и место
наибольшего изгибающего момента
Уравнение упругой лини н, стрела
прогиба, углы поворота ториевых
плоскостей балки
А. Балка, свободно оперта! но
концам. Снлошнаа равно
мсрнаа нагрузка р части
пролета
л-»+у
А“Сг(#+Тг)!
в “7 (“ + Т е\’
Q — А (от А до /):
Q — А — р (х — о) (от 1 до 2);
Q — —В (от 2 до В);
М — Ах (от А до 7);
М — Ах — р’——-
(от 1 до 2);
М — Ах — рс^х — а--j- с j
(от 2 до В);
,, d cd \
max Af =. рс у la-|-— j
ca
при *= a + -j-.
9. Балка, свободно опертаи по
концам. Нагрузка но тр«
max М = 0,128Р( при д=0Д771
/ — 0,01304 ^-при X— 03IW;
7РР
•~жю<-д’=
10. Болка, свободно опертап
по концам. Нагрузка по тре-
угольнику '
(от 7 до ВЧ
жг <•
(от А до 7);
м-4[з('—
(от I до В);
max М -= 4г Р1 (в 7)
О
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ В БАЛКАХ
59
Схема балки и нагрузки.
Эпюры Q и М
Продолжение табл. 10
Опорные реакции и поперечные силы, уравнение изгибающего момента, величина и место наибольшего изгибающего момента Уравнение упругой линии,стрела прогиба, углы попорота торцевых плоскостей балки
II. Балка, свободно опертая по
концам. Момент нал опорой
(Г
6EJ\ I Р Т Р )'
Lt1
/ —0.0542 bL пр„ х-0,4222;
в“П7(в А);
й>
12. Балка, свободно опертая
по концам. Момент и про-
лете
М — Аж (от А до /):
M-L^l-yj (от/до В);
max М — Аа + L ,справа от /)!
max (—АС * Аа (слева от /)
6EJ ( Р ( /
13. Свободно опертая балка
с одной консолью, нагру-
женной на конца
а--* ;
Q — —А (от А до Я);
Q — Р tnpn 0 < ж, < сХ
М — — <<" л 10 в);
М — —РЖ\ (при 0 < л, < с);
max М “ 0;
max (—М) — — Рс (в В)
(при 0 < х, < е);
/ — 0.0М2 при ж - 0,5781;
Р (l + Of
Л"ЕГ з----------
60
РАСЧЕТ БРУСА
Продолжение табл. 10
Схема балки и нагрузки. Эпюры Q и М Опорные реакции и поперечные силы, уравнение изгибающего момента, величина и место наибольшего изгибающего момента Уравнение упругой линии,стрела прогиба, углы поворота торцевых плоскостей балки
14. С ЛИ) На ме НЯ1 15.0 Ж ооболло опертая балка с ш! равными консолями, грузка сплошная равно- рная. Расстояние X при о от точки О р Q — —px при х <с; Q — р при /4-с>лг>с; AI — - при х < г, ж — 2 о а О’) при (14- г) > х > к шах Л1 — (2Z — а); О шах (—Ж) — — Опасное сечение в А и В (при с > 0,207а) и в середине пролета 1 (при с < 0,207а) постоянного селения с жестко1 A“WP- Я“ЛТР- Жв““^ГР,: Q — Р (от Д до /); Q шш — -Н- Р (от / до Л); Уравнение упругой линии может быть составлено путем сложе- ния прогибов для случаев пп. 2, 7 и 11. Точка перегиба упругой линии при
J г Ь- ° [ т-Ч Г I
V К М
а Л <Р т-са заделкой ’“rarf8 Т“Нг) (от А до /); *'”5йя[8Т +
От //. Балке хим конец свободно оперт, гой жестко защемлен. и в середине пролета t а •
Л -
в~1 А. S^_ L— Л1 — — Рх (от А до /); Ж - “ 'П'-*) (ог ' " В>: шах М — Р1 (в 1); шах (-Ж)-- -^г Р1 (а В) + 1в(т“т)’“#т] (от / до ВУ, Р1* 0,0093 при ж—0,447/; РЛ Л>
hr Г" !• л
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ В ВАЛКАХ
61
Продолжение табл. 10
Схема балки и нагрузки. Эпюры Q и М Опорные реакции и поперечные силы, уравнение изгибающего момента, величина и место наибольшего изгибающего момента Уравнение упругой линии,стрела прогиба, утлы поворота ториевых плоскостей балки
16.О1ИН конец свободно оперт, другой жестко вашемлен. Сила в пролете Р „ Р /д*+ЯвР-ЗаЧ\ ИВ- 2 р "J (достигает наибольшей величины при а ~ 0,423/); 'чи[д(’т-т)- -«¥] (от А до 1); Pt f. х х*\
л 1 л|»
1 1 Т Г" Л Q « А (от А до Г); Q — А — Р (от 1 до Я); М — Ах (от А до Л: AI — Ах - Р (х -1 -4- о) (от 1 до В); max М — Ab (в /); при a — 0,6341 получается наи- большее значение, равное U.174P1. шах (—Л) — -'Мд (• при а — 0,423/ получается наи- большее значение, равное 0.193PI °” 6Е/(Л (3Т"Т)" Г1а¥1(т-тЛ}
При в « 0,6861 наибольший прогиб в точке /.
!д РР
17. Один конец свободиооперт, яругой жестко защемлен. Сплошная равномерная на- грузка Р-р! а-4**; О в мв~-Г₽,; РР /„ X* , X' . х\
Р 1!!Н1!11!!111!1П1111 «а ₽“4Ш[’ Т-Зтг+т)!
а- . —М Г " ЛГ о—р (4- — -т-1;
"—в р 1 к max М — гДп PI: 1ло / — 0,0064 при к — 0,4211; РВ *"48Ё7 Л*
• Р1 max (—Af) — (в В) о
18. Один коней свободно оперт, другой жестко защемлен. Момент нал свободной опорой 1 . 3 1 • я 3 L А • — -у , О " -у -у «
1 — 1 ' — Ум, 0 2 <?—4т- * шах Л( — 4 (в А): . LP 1 '~71Ю вр" Х“Т! *" 4^ (В А*
-4; шах <—АО —— -Li (в в)
62
РАСЧЕТ БРУСА
Продолжение табл. IU
Схема балки и иагрукки. Эпюры Q и М Опорные реакции и поперечные силы, уравнение изгибающего момента, величина и место наибольшего изгибающего момента Уравнение упругой линии, стрела прогиба, углы поворота торцевых плоскостей балки
19. Ол> Хм ние МОНС обоз и конец свободк ой жестко 301 еит в пролете. точки / прил пта L от левой качено а □ оперт, цемлен. ’асстоя- ожсиия опоры У л—в—4т(1-4-)= л1в-4д(1-34): Q «< А (от А до ВУ М = Ах (от А до /); М «= Ах + L (от 1 до ву, и , Г, За (Л- и*) I щах М-4 1- 2/, j (в / справа); LP Г Р- а' ( х* ,х\ V~EJ [ АР (-F-3t) + , l-а л) + ! <| (от А до 4): LP (Р — а* (х> „ х \ , V~EJ [ АР ( В -3 /) + +4-‘!Lw£-] <от'доа):
Ък -1
— ~Т шах (—.И) — — М& (в В\ при а < 0,2751; max (—At) —= Ла (в 1 слева | прн а > 0,275/ . LI {а 1 3 \ (в А)
20. Об леиы лета ^4 а конца жестко . Сила и серели а I 8 зашеи- не про- Н-л р* А - B--J- Р; МЛ “ МВ “ ТГ : Q--j-(ot А до I): Q ——-у (от 1 до в); Al — -g- Р (4л — fl (от А до 0; М - -L Р (3/ - 4дг) (от / до В); max М — -д' pl ( шах (—Л1) — — 4- FI О (В Л в В) РР /_ д’ . х»\ ’-48®(3-Г -<Т)! РР {*п •
г?! К.
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ В БАЛКАХ
63
Продолжение табл. 10
Сх< ма балки и нагрузки. Эпюры Q к М Опорные реакции и поперечные силы, уравнение изгибающего момента, величина и место наибольшего изгибающего момента Уравнение упругой линии, стрела прогиба, углы поворота торцевых плоскостей балки
21. Об ылен а конца жестко заше- ы. Сила в пролете рм Л-*£(*« + *); РаР в-^г + об> д’/> МЯ^Р~. А Р о р
V Q — А (от А до /); Pab' ( х Ь ТУ ШУ|3'3Т “ «Т) (от А до Г); , 2 Р <РЬ' Т ^7 (За + ЛЯ 2аХ п₽и * •* а. г'7 <если а > ‘Ш +> о 2 Р а'Р
V -—'~в -t —г X Q = А — Р (от 1 до В); дЛ» ,М ~ — Р — 4- Ах (от А до /); Л1 - - + Ах - Р(х-а)
7? 111 (от / до В);
V max Л1 — — Р + АаН /); пах (— .И) — — Ма (если а < 0); наибольшее значение равно -0,1 4»Р1 1 , при а — 1; max (—М) — — Мд (если а > ») 3 HJ (3$ + ЯР 2Ы при л-(~ fo.f.a («’“ «<»>
22. Оба конца жестко заще- млены. Сплошная равномер- ная нагрузка Р-ц р Р1 А-В-у ; мд-Мв-^- Л Р (, 1х \ °" 2 1 РхЧ / л* лг \
llllllinilllllini р 4/V. м-£(х X-4-/V ’-24ЁУ ТГ-’Т+Ф
ж --Ц4Г- -J- в . РР 1 Z“-3M£j "₽И ЖвТ
,,4 ^в\ 1 “1 К" L „ Pi 1 max М при л •• — , Р1 max(-Af)« - -JJ (в А и В)
1
РАСЧЕТ БРУСА
Продолжение табл. 10
Схема балки и нагрузки. Эпюры Q и М Опорные реакции и поперечные силы, уравнение изгибающего момента, величина и место наибольшего изгибающего момента Уравнение упругой линии, стрела прогиба, углы поворота торцевых плоскостей балки
23. Оба конца жестко защем-
лены. Момент н пролете на
расстоянии а от левой опоры
А1
max Al
— (7-Н
0(а! - а«);
-p (Ila — ЗсР);
Q-A;
-MA + Ax (от А до I);
-MA + Ax + L (от 1 до Я);
“t^T-9
(справа от /);
max (—AO —
. « 0 e’ j n o’
4 T“9—+в.—
(слева от Л
p.-'Lx* =>^1
o/J р 5 J
(от А до 7):
наибольший по величине
прогиб вверх (вина)
2Л*Д I
при х — , если а > -
2М„
ри х —/-----, если п<
3
III. влияние
смещения опор и изменения температуры
24. Олин конец свободно оперт,
другой жестко защемлен.
Осадка свободной опоры 1см
Г'-1
1 ' V >1 L-— в' — t -1
Гх
"л
1 t [
о' Л ><П 1
3EJ 3EJ
л ——: й-^г =
3EJ 3EJ ,
'п-ПТ- 0“--=-’
ifj
м~—тг *• ши А<—о:
, ". 3eJ
max (—AO — — —g-
/-1 ( А)
д-(а А): »-О (в в)
3
2Ь. Один коней свободно оперт,
другой защемлен. Поворот
защемленного конца А на
угол, равный I радиану
3EJ
3EJ
Р
зк/
МА-^Т-
М-^(1~х):
пах М — —г- (в А)
3
0,1931 при * — U,«П1;
0-1 (вА);-
7 (» В)
I
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ В БАЛКАХ
65
Продолжение табл. 1')
Схема балки и нагрузки. Эпюры Q м. Л! Опорные реакции н поперечные силы, уравнение изгибающего момента, величина и место наибольшего изгибающего момента Уравнение упругой линии,стрела прогиба, углы поворота торцевых плоскостей балки
26. Оба конца лены. Пов кого конца > |— а —« жестко Эрот 3 на угол а затем- щемлен- 1 радиан гЛ А В--7Г. «£/... МЛ МА “ ~Г- мв ~Г‘ / И Jf \
max М и —j— (в А); , ... 2Л7 , шах (— М)= р (в В) ||- -|» с о. 1 ° - о 1. - 1 1 7 S*
г-М,
27. Оба конца не поворачи-
ваются. Осадка левой опоры
иа 1 см
26. Один коней закреплен на
подвижной шарнирной опоре,
а другой жестко защемлен,
приращение температуры п
верхних и нижних волок-
нах соответственно /, и
Изменение температуры по
высоте сечения по закону
прямой: в — коэффициент
линейного расширения
\1Е) „ I2JEU. А- j;-; В--р~.
6EJ
МА~ МВ“ ~F~‘
q 7г(а Т -3)+‘:
„ 6EJ I, „ * \. у-l (В А);
max М — (в ЛК 0 - ) (в А и В)
6EJ
шах (— Л)) р- 1в В)
„х
ift
Л-* Я“ 2Л7 х(т-2т + ir);
.. ЗвЩ- <,)£/. **В” 2ft 1 кривизна — —
Q-А; М- 2ft/ 1 я » 1 —*» 1
За (/. - 7а) EJ шах Л1 — IB В); /»-0,066 Д<<| ~6> 7>
шах (— Л1) — 0 (в Al
"₽М * “ ~
5 Том 3
66
РАСЧЕТ БРУСА
Продолжение табл. 10
Схема балки и нагрузки.
Эпюры Q и М
Опорные реакции и поперечные
силы, уравнение изгибающего
момента, величина и место
наибольшего изгибающего момента
Уравнение упругой линии,стрела
прогиба, углы поворота ториевых
плоскостей балки
29. Оба конца не поворачи-
каются; приращение темпе-
ратуры в верхних и нижних
волокнах соответственно t,
и t,. Изменение температу-
ры по высоте сечения по
закону прямой; в— коэффи-
циент линейного расширения
Н - а (Г, - 4) ЕЛ;
„ «(Л-А)ЕУ
М ------------— const;
Л
m.xAf-
(от А до В)
v — 0 (от А до В);
f-0
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ
И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ
В МНОГОПРОЛЕТНЫХ БАЛКАХ
И БАЛКАХ НА УПРУГОМ
ОСНОВАНИИ ПРИ НЕПОДВИЖНОЙ
НАГРУЗКЕ
Для расчета неразрезной балки при-
нимаются за неизвестные изгибающие
моменты над опорами.
Для балки постоянного сечения
неизвестные определяются из следую-
щего уравнения трех моментов:
Ма—Jп + 2Л1Л (ln ~Wn-|-i) +
Балки на жестких опорах. Нераз-
резная балка по фиг. 22 имеет одну
шарнирно неподвижную опору и ряд
шарнирно подвижных опор. Число лиш-
них неизвестных в такой балке равно
Фиг. 22.
числу промежуточных опор. Неразрез-
ная балка по фиг. 23 имеет по концам
зашемляющие (одну неподвижную, дру-
гую подвижную) опоры и ряд промежу-
точных шарнирно подвижных опор. В та-
кой балке число лишних неизвестных
'"л-Нл-Н
^л-ьА-Н
— — 6(В„ф + (57)
где А1я_1, М„, Л(я+| — моменты на опо-
рах п — 1, п и n + 1; /я, /я^_| — длины
двух последовательных пролетов л и
п +1 (фиг. 24); Сяля, Q„+tb„+|- ста-
тические моменты относительно (л—1)-й
Фиг. 23.
равно числу промежуточных опор плюс
по одной неизвестной на каждую заще-
мляющую опору.
Нл-1 ”п Мп»!
<£ ~П
п! п П ™ П'!
Фиг. 24.
и (л-}-1)-й опор, площадей эпюр изги-
бающих моментов л-го и (л + 1)-го про-
летов, рассматриваемых как однопролет-
ные балки, от заданной нагрузки, т. е.
статические моменты эпюр, построенных
J 4 S
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И И31ИБЛЮЩИЕ МОМЕНТЫ
6/
Таблица Н
Грузовые члены уравнения трех моментов [EJ — const)
О». 8а
t— длина пролета, О — площадь «поры моментов простой балки: А^ — -т-2 н Вр “ -г-2 —
ф *л 1л
левая и правая фиктивные реакции
в-т!;Л#“тг1‘+*,: в*-^г“+а’ ВФ “ 135 Q₽
J р р Д1±1 а. в. с 1 1 %” «Н ’ 5- «15 ли tai • в-л^ + в^ в^-^Р’(1+р>-еч; t с a b
1—- а —1- е - .. Я" х.|« г 1 1 t J JL у S|a 2|« “ i i ♦ -5 4 °o
taj— O-A^ + e*. QeM r . p(l +»)- (istb+ann. 10p Г , t a b E--j.; ,a--; ,--j.
ftl-e р ЛФ “ вф “ гГ
1 llllllllliill.ilil
£> А
ts k- * * в 1 1 1 af? г|§ O>|o ? ? t * * i । । 3 Э 3 -
С»£“$^е •J s|« 1
ЛК O’ e. «18 » 1 «15 % « *? Cl 1 ta4r\-t tS X % % о 1 1 1 2jc£|r- -le ? 7 t a i ?
68
РАСЧЕТ БРУСА
без учета действия надопорных момен-
тов (фиг. 25); Аф и Вф—фиктивные
опорные резкими простой балки (см.
стр. 99).
Если схема неразрезной балки соот-
ветствует фиг. 22, то число уравнений
равно числу промежуточных опор, если
фиг. 23, то число уравнений равно числу
всех опор. В последнем случае первое
уравнение трех моментов имеет вид
2Л10/, + A^Zi---- 6А1ф. (58)
Правые части уравнений называются
грузовыми членами, и их значение для
различных нагрузок можно определить
по табл. 11.
Для балки, имеющей постоянное
сечение в пределах одного пролета,
уравнение трех моментов имеет вид
Jn
+ 2Л,"(/я~ЗГ + '"<•»)+A4"+'Z"+i “
— _ 6Слая. Jn+' 6^-1-Al4-1 _
----С[Вя*:^2 + Л(я+,>*]’ (59>
где J„ и Jn+i — моменты инерций се-
чений л-го и (л + 1)-го пролетов.
Для балки переменного сечения урав-
нение трех моментов принимает следую-
щий вид:
₽дЛ<л-1 4- (°£ + ал4-1) мп +
+ WU,-“(*« +<м)-
где углы ₽„, ₽л+1, я*, я“+|, и .
входящие в это уравнение, показаны на
фиг. 26. Эти величины для каждого про-
лета определяются отдельно графо-ана-
литическим или графическим способом.
После реше-
ния системы
уравнений трех
моментов все
опорные мо-
менты известны
и каждый про-
лет рассматри-
вается как про-
стая балка, на-
ходящаяся под
совокупным
воздействием
нагрузки и
опорных момен-
тов.
Для случая,
когда одна
или несколько
опор получают
осадку, вели-
чина которой
известна (фиг. 27),
Фиг. 28.
уравнение трех мо-
ментов принимает вид:
а) для балки постоянного сечения
^я—А + 2Л1Л (/„ + /л^_1) +
+ Л1л+А+1 - ~ (вл - 0я+,). (61)
где Е — модуль упругости; J — момент
инерции сечения балки;
б) для балки с сечением, меняющимся
от пролета к пролету,
+ 2Л1Я (/„ ^±1 + /л+1) +
+ Мя1„ - + 6£J„+1 (9„ -вя<_1). (62)
в) для балки переменного сечения
Рп^л-1 + Ч,(а* + ап4-1)
+ ^+1^+1-f63»
Здесь 0л и 0л_|_| — углы поворота
линий, соединяющих концы л-го и
(л + 1)-го пролетов, вызванные осадкой.
Совместное влияние нагрузки и осадки
опор учитывается по принципу нало-
жения.
Для расчета неразрезных балок по-
стоянного сечения с равными пролетами
даны табл. 12 и 13.
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ
69
§
8
'— npvruow в пролете 0,00520 0,00906 0,00915 n m 'jm 1 0,01470 i о
Опорные реакции tt1 J I О о 1 к 5 1 । > с 1 ► 0,6667 -0,1667
<? 1,2500 0,6250 1,3750 0,6875 2,6667 1 1
о? i 1 о о* 0,3125 0,4063 § с [ 1 э
Наибольшие моменты в пролете Во втором пролете Мп 0,0703 в « 0,1563 1 1 1
В первом пролете Ж| 1 0.0703 0.0957 В I о с 1 0,2222 0,2778
1 О моменты М & -0,1250 -0,0625 5 1 ! f 1 [ 1 1 f 7
ияБ.<а:рн цеьХ1*э 1 1 «г JI ' 1 w 1
Продожшжа* ra&i. U
б) Три равных пролета
Случай на груз»» Опорные моменты Наибольшие моменты в пролете Опорные реакции Наибольшие прогибы в пролете
*В МС Ml M|f *А СВ ₽с о3 Л /||
-0.1000 -0,1000 0,0800 0,0250 0,4010 1,1000 1,1000 0,4000 0,0068 0,0005
4 -0,0600 -0,0500 — 0,0750 -0,060с 0,5500 0,5500 -0,0600 — 0,0068
—«,□500 -0,0600 0,1013 — 0,4500 0,5500 0,6500 0,4500 0,0099 —
FHIiHiir-» -0,1167 -0.0333 — - 0,3833 1,2000 0,4500 -0,0333 — -
-0,0667 0.0167 0,4333 0,6500 -0,1000 0,0167 0,0088 —
-0.1500 -0,0750 -0,1500 -0,0750 0,1750 0,1000 0,1750 0,3500 -0.0750 1,1500 0,6750 1,1500 0,5760 0,3500 0.0П5 0,0021 0,0115
X V —0,0750
~ г г -0,0750 -0,0750 0,2125 — 0,4250 0,5750 0,5750 0,4250 0,0162 —
д< 2 '. -0,1750 -0,0600 * — 0,3253 1,3000 0,4250 -0,0600 — —
-0.1000 0,0250 — - 0.4000 0,7250 -0,1500 0,0250 0,0146 —
лр. -0,3667 -0,2667 0,24-М 0.0667 0,7333 2,2667 2,2667 0,7333 0,0188 0,0021
• л -0,1333 -0.1333 0,2000 -0,1333 0.8667 1,1333 1,1333 1,8333 1,3833 -0,1383 0,8667 0,0189
„И. УУ -0,1333 -0,1333 0,2889 0,0272
л л
/с . ~ -0,3111 -0,0680 — 0,6889 2,6333 0,8667 -0,0889 — —
-0,1778 0,0444 - - 0,8222 1,4000 -0,2667 0,0444 0,0244 1
РАСЧЕТ БРУСА
Продолжение табл. 12
а) Четыре ранам пролета
Опорные моменты Наибольшие моменты в пролете Опорные реакции Наибольшие прогибы в пролете
Случай на груши МВ МС Afr> D *1 *п‘ MIV А В С D £ л /II /III
-0,1071 -0,0636 -0,1206 -0,0714 -0,0357 -0,0180 -0,1071 0,0771 0,0996 0,0720 0,0364 0,0364 0,0807 0,0771 0,3929 0,4464 0,3795 1,1428 0,5715 1,2232 0,9286 0,4642 0,3573 1,1428 0,5715 0,5980 0,3929 0,0063 0,0096 0,0019 0,0074
ЯЧ. —в , ,,.1Г|Л_г^ —п — I -0,0580 0,0790 0,0977 —0,0536 0,4420
р -0,0357 -0,1071 -0,0357 0.0561 0,0661 -0,0357 0,4643 1,1428 0,4643 -0.0357 —
-0.0669 0,0178 -0,0045 0,0938 0,4331 0,6516 -0,1070 0,0267 -0,0045 0.0088
-0,0491 —0,0634 0,0134 — 0,738 — — -0,0491 0,5448 0,571! -0,0802 0.0134 — 0,0066 —
У. f. < t\ -0,1607 -0,1072 -0,1607 0.1697 0,2098 0,1161 0,1161 0,1830 0.1697 0,3393 0,4196 1,2143 0,6072 0,8928 0,4464 1,2143 0,6072 0,3393 0,0109 0,0159 0,0041 0,0125
з* —4),0536 —O.Q8O4 —
~У < ' е_ -0,1806 -0,0268 -0,0871 0,1597 0,1462 0,2065 0,3192 1,3348 0,2858 0.6472 -0,4130 —
- ~ Н1' и~ —0.0636 —0.1607 -0,0636 0,1428 0,1428 —0,0636 0,4464 0,7276 1,2143 -0,1607 0.4464 0,0402 -0.0636 -0,0067
1 ~ ~ -0,1004 0,0147
; v 1 ; 0,0268 —0,0067 0,1998 — — — 0,3996 — —
-0,0737 -0.0804 0,0201 — 0,1730 — — -0,0737 0,5670 0,6072 -О,120о 0,0201 — 0,0113 —
У?н.4.н. -0,2867 -0,1905 -0,2857 0,2381 0,1111 0,1111 0,2381 0,7143 2,3810 1,8094 2,3810 0,7143 0,0177 0.0057 -
-0.1429 -0,0962 -0,1429 0,2857 0,2222 0,8573 1,1906 0,9043 1.1906 —0 14И 0,0266 0,0206
'л‘ п
лб.._л -0,3214 -0.0480 -0,1547 0,2263 0,1942 — 0,2818 0,6788 2,5960 0,6190 1.2618 0,8454 — — —
; „.Иуг ~ -0,0962 -0,2857 -0,095'. 0,2222 0,2222 -0,0952 0,9056 2,3792 0,9056 -0.0952 — —
л - :; -0,1784 0,0475 -0,0119 0,2738 0,8216 1,4043 -0,2853 0,0713 -0,0119 0,0244
-Л : \ 0,0183
-O.13U9 -0,1424 0,0367 0,1986 —0,1309 1,1194 1,1896 —0,2138 0,0367 — —
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ
г) Много равных пролетов
Продолжение табл. 12
Случ>в нагрузки Опорные моменты Наибольшие моменты в пролете Опорные реакции
Мд мс Мщ—1 51 гл М| *11 м „ т «А РН RC г т
«7 ifL й >й л—*—r Г=^Р-*д -0.1057 -0.0670 0.0473 -0,0774 -0,0180 -0,0539 -0,0833 -0,0528 -0.0670 -0,0833 -0,0528 -0,1056 0,0778 0.0938 0,0339 0,0744 0,0417 0,0722 0,0394 0,3943 0,4333 -0,0473 1,1340 0,6514 0,5407 0,9641 0,5749 1,0000 0,5670 1,1340
X л _ г г, ' _ л я «- -ж Z I , и jX л . , . г. г. -0,1585 -0,1005 -0,0710 -0,1161 0,0270 -0.0804 -0,1250 -0,0792 -0.1006 -0.1250 -0.0792 -0,1584 0,1708 0,1830 0,1127 0,1743 0,1250 0,1708 0,1206 0,3415 0,3995 -0,0710 1,2009 одно 0,5616 0,9464 0,6114 1,0000 0.6005 1,2010
р ,р р р JI.H, .н.п. У _ _ - -_ - л ,Г|, . И' ; ; ; у у -0.2819 -0,1787 -0.1261 -0.2064 0,0480 -0.1437 -0.22» -0.1408 -0.1787 . 0,2222 -0,1408 -0,2816 0.2393 0.2737 0,1017 0,2013 0,1111 0,1925 0,1203 0,7181 0,8213 -0.1261 2,3574 1.4054 1,1065 1,9045 1,1997 2,0000 1,1785 2,3570
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ
73
Неразрезпые балки с консолями • Таблица П
её 0,018 у 1 +1,28бу Р
X сё . ! -0.107 у 1 + 1,20 у — 1.714 у Р
=f M Ф 41 3 Q. О e с? у V»’ V £х‘о 0,429-j а 4- 8 1 7 н 3 О. э
О ОЁ V (— Ч I— ч. |— 5 ?- § । । 7 -3,00 у 8. 1 1- 1
5*
|— а О.
1 г к‘1 I-* i в 3.
+ + + W I +-1 J +1 ет*х Л
3 H m Ж 0.0179 ' 7 rodu xadNia ЯС»?П
O) X о s Ф 3 a Ж —0.0667 —0.0711 7 0,20 ь Hdu ни»хз
ё Ж 8 I U 8. 8 J.385В Pc •горой 1
L ДЛЯ
Число oxarodo мы M, = 0;
0
1 г 1 1 ** 1 I 3 - 1
ж* • II 7 ж
-6
где
Балки на упруго оседающих
опорах
Перемещение опор в вертикальном
направлении считается пропорциональ-
8 о.
ным давлению на опору е = . Здесь
А
« — коэффициент податливости опоры;
8 — перемещение опоры; R — давление
на опору.
Для определения изгибающих момен-
тов над опорами составляется система
уравнений пяти моментов.
Для балки с равными пролетами,
равной жесткостью пролетов и равной
податливостью опор уравнения пяти
моментов имеют вид
^п-га + Мл_1 (1 —4а) +
+ М„ (4 + 6а) + Л<Я|г (I - 4») +
+ ^a+2“ =
/» * I*/
QEJ
Р *’
/?„. /?Я4-1 — опорные давления на
(п— 1). л и (л 4-1) опорах, рассчитан-
ные в предположении, что балка раз-
резана на опорах.
Расчет балок на жестких
и на упруго оседающих опорах
по методу начальных параметров
Параметрами перемещений и усилий
для сечения х являются прогиб о(х),
угол поворота 0 (х). изгибающий мо-
мент А4(х) и поперечная сила Q(x)
в этом сечении. Начальными называются
параметры v (0), 0(0). М (0). Q (0) для
сечения, принимаемого за начальное.
Метод разработан трудами советских
ученых [3]. [6]. [13); он отличается
общностью и применим к различным
случаям расчета.
Для балки постоянной жесткости по
формулам (54) и (104) (см. фиг. 13, б)
о (х) - о (0) + 0 (0) х —М (0) Х-—
х» v L(x—ul)*
-Q(O)6£J-£ 2£J ~ +
r-«p)» ЧГ\Р(Х-ир)*
GE J + Zl 24£J +
yife(x — u,)».
2л VMEJ •
4- ;
74
РАСЧЕТ ВРУСА
e{x) = 8(0)-A<(0)A.-Q(0)^7-
---EJ--+ 2j----2EJ--+
Y , v*(*—«<)«.
GEJ T Zj 24£J ’
Л1(;г)-Л1(0) + (?(0)ж +
+ Si-Sp(jc-“p)-
_ yi P(x—upP y, k(x — uK)* e
<?W-Q(O)—£/>-£;» (x-«,)-
_ <65>
В формулах (65) члены, учитываю-
щие ту или иную внешнюю нагрузку,
вводятся только для сечений, лежащих
правее точки приложения соответствую-
щей нагрузки. Кроме того, предпола-
гается, что сплошная равномерная на-
грузка р приложена на участке от ир
(левый конец участка) до и'р > х (пра-
вый конец участка). Если х > ар, то в
формулы (65) вводится слагаемое от
нагрузки— р. прилагаемой справа от
сечения ир < х. Аналогично учитывает-
ся нагрузка по закону треугольника.
Начальные параметры определяются
по условиям закрепления балкн, после
чего могут быть вычислены параметры
любого сечения балки.
Метод начальных параметров исполь-
зуется при расчете многопролетных ба-
лок на жестких или упругих опорах.
Применение метода к определению
прогибов балок см, стр. 96.
При расчете мног опролегных балок
реакции лишних опор причисляются к
внешней нагрузке; по формулам (65)
параметры сечения х выражаются в
функции начальных параметров, неиз-
вестных реакций и заданной внешней
нагрузки. Неизвестные реакции и началь-
ные параметры определяют из гранич-
ных условий.
UpuMtp. Ьалка постоянного сечения жестко
защемлена с одного конца и оперта на лее опори,
на которых одна неподвижная, а друган — упруго
осеааюшла. Коэффициент осадки а. Нагрузка
сплошная равномерней и равна о (фиг. 28). Поме
стив начало координат в заделке, имеем v (0) —
«1 (0) -О. Далее,
ЕЛ(х)--М(0)£- <?(0)
л о
6 + 24 •
« W - М (0) -j- Q (О) X + Р, (х - а) - .
«<») = <? (О)+М -рл.
Граничные условна: о (Г) =. 0; о (в) —
М (Г) — 0; Q(Z) = — р, или
£/о(0--Л (0)у - Q(0) -£ (/~а)*4-
EJv(a)--M (0)£-Q(0) £ + ЕЛЯ.;
I о л
-----------I — "I
Фиг. 28.
л ю <= М (0) + Q(0) I + /?,(/ -Я) - -О;
<? (0 - Q (0) + Я. - Pl - —
Из этих четырех уравнений определяются
М (0), Q (0) реакции опор Р. н Р»
Балки на сплошном упругом
основании
Сплошным упругим основанием под
балкой называется основание, упруго
деформирующееся и создающее реакцию,
распределенную непрерывно по длине
балки. Во многих технических задачах,
в частности в расчетах труб и резер-
вуаров, играет роль основание, реакция
которого в любой точке имеет интен-
сивность, пропорциональную прогибу
в этой точке*. При таком основании
интенсивность реакций g (х) связана
с прогибом и(х) зависимостью
q (х) — kv (х). (66)
где k — постоянная, называемая коэффи-
циентом упругого основания, отнесен-
ная ко всей ширине балкн и имеющая
размерность кГ]см. Связь балки с осно-
ванием предполагается двусторонней,
г. е. существующей при любом напра-
влении прогиба (вверх или вниз).
* Упругое основание, реакции которого обу-
словлены не только прогибами, ио и поворотный
сечений балки (номе дтные реакции). Кроме
того, упругое основание иногда рассматривается
как сплошное упругаа среда (упругая полупло-
скость, упругое полупространство).
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ
75
Дифференциальное уравнение упру-
гой линии балки постоянного сечения,
лежащей на сплошном упругом основа-
нии и находящейся под действием
сплошной нагрузки р (х) (фиг. 29), имеет
вид
EJt/ v (х) + kv (х) - р (х), (67)
где EJ — жесткость балки; р (х) — не-
прерывная функция или функция с раз-
рывами первого рода.
-/
Фиг. 29.
Общее решение уравнения (67) без
правой части имеет вид
V (х) — (Д cos £ с + В sin fix) +
+ е~“ (Ceosрх + D sin₽х), (68)
где
Решение (68) содержит четыре по-
стоянные А, В, С и D, которые опре-
деляются из условий на концах балки.
Балка имеет бесконечную длину
и нагружена одной сосредоточенной
силой Р (фиг. 30)- Для этого случая
имеем следующие значения величин про*
р
>‘0
Фнг. 30.
гиба, угла наклона касательной, изги-
бающего момента и поперечной силы:
v (Л) — *-М (COS Рж + Sin fix) —
-g<e(M;
dv P$l . u
— —------в ₽ sin 3x —
dx «
- -
Al(x) —(cos fix — sin fix) =
Q (X) — — -y a_₽4r cos fix —
----------------у e (fix). (70)
На бесконечно длинную балку дей-
ствует один сосредоточенный момент
L (фиг. 31). Те же величины имеют выра-
жения:
о (х)--^-С (fix);
м (X) -
Q (х) — — -у- (Зх).
L
х-0
Фиг. 31.
Полубесконечная балка с силой Р
и моментом L в точке х —0 (фиг. 32).
v(х) — в(₽х) — Ф (fix);
rfv 2Р? ,
+ ^«(₽х);
(72)
Л1(х)--у С(М+ 4т(М>5
Q(x) --Рф(₽х)-2£К(М-
Численные значения функций • (fix).
Ф(₽Ж). в(₽х) и С(М даны в табл. 14.
Р
Фи1. 32.
Графическое изображение функций ? (0х)
и ф (fix) нано на фш. 33.
76
РАСЧЕТ БРУСА
Габлаца 14
Значения функций у, ф, в и С
ей •₽ ♦ 0 с
0.0 1,0000 1.0000 1 СиОО 0
0.1 0,9907 0,8100 0.9003 0.0903
0.2 0.9651 0.6398 0,8024 0,1627
0.3 0,9267 0,4888 0.7077 0.2189
0.4 0.8784 0,3564 0 6174 0,2610
0,5 0,8231 0,2415 0,5323 0,2908
0.6 0,7628 0,1431 0,4530 0,3099
0.7 0,6997 4-0.0699 0.3798 0,3199
0.8 0.6354 -0.0093 0.3131 0,3223
0.9 0,5712 —0.0657 0,2527 0.3185
1.0 0,5083 -0,1108 0,1968 0.3096
1.1 0,4476 -0,1457 0,1510 0,2967
1.2 0.3899 -0,1716 0,1091 0,2807
1.3 0,3355 -0,1897 0,0729 0,2626
1.4 0,2849 -0,2011 0.0419 0.2430
1.5 0,2394 —0.2068 +0.0158 0,2226
1.6 0.1959 -0.2077 -0.0059 0.201В
1.7 0.1576 -0.21147 -0.0235 0.1812
1.8 0.1234 — 0.198.5 -0,0376 0.1610
1.9 0.0902 -0.1899 -0,0484 0,1415
2.0 0,0667 —0.1794 -0,0563 0.1230
2.1 0.0439 -0.1675 -0,06)8 0,1057
2,2 0.0244 -0,1548 -0,0662 0.089л
2,3 +о.оаки -0,1416 -0,0668 0,0748
2.4 —0.00.56 -0,1282 -0.0669 0,0613
2.5 -0.0166 -0,1149 -0,0658 0,0492
2.6 -0,0254 -0,1019 -0.0636 0,0383
2,7 —0,0020 -0,0895 -0.0608 0,0287
2.8 -0.0369 -0,0777 -0,0673 0.0204
2.9 -0.0403 -0,0666 -0.0534 0,0132
3.0 -0.0423 -0,0663 -0.0493 0,0070
3.1 -0,0431 -0,0469 -0.0450 1-0,0019
3.2 - 0.0431 —0,0383 -0,0407 -0,0024
3.3 -0,0422 —0,0306 —0,0364 -0,0058
3.4 -О.ОЮЙ -0,0237 —о.озгз —0,0085
3.5 -0.0389 -0.0177 -0,0283 -0.0106
3.6 -0,0366 —0,0124 -0,0245 -0,0121
3,7 -0.0041 -0,0079 -0,0210 -0.0131
3.8 -0.0314 -0.00*» -0.0177 -0.0137
3,9 —0.0286 -о.ооов -0,0147 -0.0140
4.0 -0.О258 +0.0019 -0,0120 -0,0139
4.1 -0.0231 0.0040 -0,0095 -0,0136
4,2 -0,0204 0,0057 -0,0074 -0 0131
4.3 -0,0179 0,0070 -0.0054 -0.0125
4.4 -0.0155 0,0079 -0 0038 -0,0117
4.5 -0,0132 0,0085 —0,0023 -0.0108
4.6 -0.0111 0.0089 -0,0011 -0,0100
4,7 -0,0092 0,(1090 441,0001 -0,0091
4.8- —0,0075 0,0089 44), 0007 -0,0082
4.9 -0.0059 0,0087 0,1X114 -0,0073
5.0 -0.0046 0,0084 0,0019 —0,01)65
5.1 -0,0033 0,0080 0,0023 -0,0057
5.2 -0.0023 0.0075 0,0026 -0.0049
5.3 -0.0014 0,0069 0,0028 -0,0042
5.4 -0,<ХЮ« 0.СКЖ4 0,0029 -0,0035
5,5 0,0000 0,0058 0.0029 -0,0029
5,6 +0,0005 0,0062 0,0029 -0,0023
5.7 0,0010 0,0046 0,0028 -0,0018
5,8 0,0113 0,0(41 0,0027 -0,0014
5,9 0.0015 о.ооу, 0,0026 -0,0010
6,0 0,0017 0.0031 0,0024 —0,0007
6,1 0.0018 0,0'26 0,0022 -0,0004
6.2 0.0019 0,0022 0.0020 -0,0002
6.3 0,0019 0,0018 0,0018 +0,0001
6.4 0,0018 0.0015 0.0017 -о.оооз
6.5 0.0О18 0.0012 0,1X115 0,о004
6,6 0,0017 0.<ХЮ£» 0.0013 0,0006
6,7 0.0016 0,0006 0,0011 О.ООоб
6,8 0,0015 0,0004 0,0010 0,0006
6.9 0.0014 0.0002 0,01X18 0,0006
7.0 0.0013 0,0001 0.0007 0,0006
На бесконечную балку действует
несколько грузов А. А. А- • • (фиг. 34).
Для определения в какой-нибудь точке
А расчетных величин, т. е. прогиба, угла
поворота, изгибающего момента или
поперечной силы, нужно суммировать
г-0 ч *1 5 я
О, ' Г — ♦иг. 34.
л
действия этих грузов, рассматривая
каждое из них по схеме случая 1 н
используя формулы (70). Таким образом,
(73)
+ Т [Р-аг)] + <f |₽(ж-а,)|...
и т. д.
На бесконечную балку действует
на некотором участке распределен-
ная нагрузка р(х) (фиг. 35). Рас-
четные величины в некоторой точке А
определяются путем интегрирования эле-
ментарных воздействий по фиг. 30:
л—а
«(*)- J
о
—jp(?)f|P(x-8)l«. (74)
и
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ
77
что дает решение уравнения (67) с
правой частью.
В частном случае, когда интенсив-
ность нагрузки р постоянна, для точки А,
лежащей вне загруженного участка,
v (х) = ~ (,е~^ cos — е~ cos (16 ) =
—^ !•(►)—•(₽«]. (75)
где b и с — большее и меньшее рас-
стояния точки А от концов участка.
То же самое для точки Й, лежащей
внутри загруженного участка:
w (х) = -^ (2 — *_?ecos pi—е~ ^cos £с ) =
-£Р“’(Ю-»(МК (76)
Комбинируя случаи 4 и 5 со слу-
чаями 1 и 2. можно получить расчетные
величины для балки, имеющей ограни-
ченную длину, при наиболее часто встре-
чающихся в практике нагрузках.
Для балки ограниченной длины,
нагруженной произвольно, применя-
ют следующий общий способ (12]. Балка
рассматривается как часть бесконечно
длинной балки, нагруженной теми же
силами, что и заданная, а кроме того,
сосредоточенными силами и моментами
в точках, соответствующих концам задан-
ной балки. Эти дополнительные силы
и моменты подбираются так. чтобы были
удовлетворены условия на концах задан-
ной балки; в таком случае решение для
бесконечно длинной балки будет одно-
временно и решением для ограниченной
балки, если им пользоваться в пределах
длины последней.
Для упрощения решения целесооб-
разно заданную нагрузку представить
как сумму симметричной и антисимме-
тричной нагрузок и для каждой из по-
следних решать задачу отдельно, а затем
результаты сложить.
Пример. Болка длиной I нагружено сосре
доточешюй силой Р на расстояниях а и 6 от ком-
пов (фиг 36). Вместо эалаииой схемы нагруяок
IP
Й I
в
'ддалли
6-----
юл дал:
«•в
Фнг. 36.
рассматриваем две следую-
щие схемы: а) симметрич-
ную и 0| антисимметрич-
ную; сумма этих нагрузок
составляет заданную.
Симметричная на-
грузка (фнг. 37, -). Про-
должим валку в обе сто-
роны до бесконечности
<фнг. 37, в) и приложим н точках А и В симме-
тричные силы Ра и моменты которые, оче
видно, не нарушат симмюрии нагиба валки.
Изгибающие моменты в точках А н В беско-
нечно длинной балки будут одинакоиы, а попереч-
ные снлы — отличаться знаком. Для точки В иа
основании формул (70) н (71) будем иметь сле-
дующие выражения для изгибающего момента и
поперечной силы от действия двух грузов и до-
полнительных возаействий Ра н
А1(В)=-^-(ф(06) + ф(₽а,1-
- I* <0) + * (ЭП4 + -у- (в (0) + «(30);
<?(В)---у [6 (₽в)+»(йа))_
- -у1» (0) - 8 (00) + (9 (0) - ф(9П).
По условиям на концах короткой балки »тн
величины должны быть равны нулю; кроме того,
Фиг. 37. Фиг. 38.
f (0) =- ф (0) — • (0) — 1; следовательно, имеем два
уравнения для определения Р, н L„:
П + Ф 001 Ра - [1 + « (₽О1 La -
- -^- If (01) -f- ф Оо)) -
— [1 — 6 (30) -)-0 [1 — Ф (01)1 Д, —
- -у- (8 (06)+« (MN.
Антисимметричная нагрузка
(фнг. 38, о). Продолжив балку в обе стороны до
бесконечности (фиг. 38, б), приложим в точках А
и В антисимметричные схемы сил Р, и иомен
тов Lt. которые сохранят антисимметричную
форму изгиба балки. Изгибающие моменты в точ
ках А п В будут отличаться знаком, а поперек
ные силы — одинаковы. Для точки В иа основании
формул (70) и (71) будем иметь
М (В) - -£ |ф (06) - Ф (0а)) +
+ ур (Ф (0) - Ф (Ml - -у (’ (0) - О (JI));
Q (В) “ —-у (8 (06) — 8 (₽о)| +
4- -у (• (0) + • (0|)| - (♦ (0) + * (0/)|,
откуда получаются два уравнения для он ре деле
ння Р9 и t0:
--JJ-И - + ОТ) р. + (1 - 8 (01)1 La-
--ф 1Ф(?6)- ф(0в)|;
|1 + »(М)Л-0(1 +ф(01)| t,-
--у 1’ (М)-ММ|.
Суммируя реакции от симметричного нагруже
иия с таковыми от антисимметричного нагружения,
получаем реакции от заданной нагрузки. После
78
РАСЧЕТ БРУСА
•того можно определить все расчетные величины
ала бесконечно длинной балки; предела! А — В
оии действительны и дли короткой балки.
При задании конкретны! значений величии на-
грузок, размеров балки и коэффициента упругого
основание задача решается п численном виде.
В общем случае действия нагрузок
на балку любой длины применяется
общее решение, данное акад. А. Н. Кры-
ловым (3):
о(х)-А1У1(рх) + АгУ1(?х) +
+ Л8У8 (₽л) + А4У4 (₽х) + Ф (Рх); (77)
М
ф<3*) “"fJ* —
и
где У, (рх), У8(₽х). Г8(рх) н Г«(Рх)-
фундаментальные функции Крылова,
имеющие выражения:
У] (рх) — ch рх cos рх;
У8 (?х) — -j (ch рх sin Рх + sh рх cos рх);
Уя (Рх) = sh рх sin Рх; (78)
У4 (?*) “ (ch Vх sin рх— sh рх cos рх).
Слагаемое Ф (рх) представляет собой
частное решение дифференциального
уравнения (67) при наличии правой ча-
сти. Для различных нагружений оно
равно:
а) для сплошной равномерной на-
грузки р, начинающейся от х — а.
|| f {1-У, |р(х-«))};
б) для сосредоточенного груза Р
точке х — а
j| ^У<[Р(х-«)];
в) для сосредоточенного момента L
в точке х — а
и*
k
Г. IP (* — «)]-
Символ || обозначает, что это сла-
гаемое вводится для х > а.
Для определения постоянных At, Л8.
А3 и А4 необходимо удовлетворить усло-
виям на концах балкн.
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ
И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ
В БАЛКАХ ПРИ ПОДВИЖНОЙ
НАГРУЗКЕ
Эпюра наибольших изгибающих
моментов в простой балке
от подвижной нагрузки
Определяется наибольший изгибаю-
щий момент (и поперечная сила), полу-
чаемый при невыгоднейшем для рас-
сматриваемого сечения расположении
подвижной нагрузки. Огибающая эпюр
моментов, построенных для всевозмож-
ных положений подвижной нагрузки,
является эпюрой наибольших изгибаю-
щих моментов М.
Наибольшая величина М в эпюре
наибольших изгибающих моментов на-
зывается абсолютным наибольшим из-
гибающим моментом (max М) для
данной балкн.
Два подвижных груза Р\ и Р*
находящихся на постоянном
расстояниид — С1-|-С2 один от дру-
гого (давление крановой тележки.фиг.39).
Абсолютный наибольший изгибающий мо-
мент получается под большим грузом
при таком положении грузов, когда
середина пролета делит пополам рас-
стояние между большим грузом и рав-
нодействующей обоих грузов: х — 0,5ci
(при Pj>P2 расстояние х берется от
середины пролета до Pi).
Опорные реакции и изгибающие мо-
менты для балки с двумя равными гру-
зами приведены в табл. 15.
Таблица 16
Опорные реакции А изгибающие моменты
М в зависимости or ail
а :1 шах А max А!, /М, дли 1
0 0.1 0,2 о.а 0.4 0.5 0.588 2.0Р 1,9Р I.8P 1.7Р 1,6Р I.5P I.4I4P 0.S00PI 0.4ЫР1 0.405PI 0.Э61Р1 0.330Р1 0.281/4 0.250Р1 0.500Р1 0.446Р1 0.385Р1 0.3I6P1 0.240Р1 0.156Р1 0.079/4
Если а : 1 — 0,586, то абсолютное паиболь- pl шее значение М, равно — (груз Р в середине пролета).
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ ПРИ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКЕ 79
При Pi — Рг — Р
max Afj — max Мг —
= max Af=—y) ПРИ x —-^.(79a)
Момент под грузом
7?) • (80а)
При
р
maxAfj-(/-С|)’, (796)
где Р - Рх л pt.
Момент под большим грузом
^ = т(4 + х~ с’)(4~л)- (80б)
Опорная реакция
Эпюра наибольших изгибающих мо-
ментов строится по уравнениям (80а)
и (806) или, как показано на фиг. 39,
вычерчиванием двух квадратных пара-
бол, симметричных относительно верти-
калей с ординатами
р
max Л1,= ^ ((—q)»
и
р
тахА4г— (J — cj*.
На участке между опорой и сечением,
отстоящим от нее на расстоянии а,
эпюра идет по прямой, если один груз
сходит с балки.
Общий случай нагрузки.
Под грузом Р/ передвижной группы
грузов (см. фиг. 40) изгибающий момент
р
fl(*-e)-х]х-Я*. (81)
где R — равнодействующая всех сил;
Rn — равнодействующая грузов, распо-
ложенных справа от Pt.
Построенная на фиг. 40 графически
эпюра М/ действительна при таких по-
ложениях грузов, пока они все нахо-
дятся на балке. Эпюра наибольших из-
гибающих моментов для всей балки
получается как общая огибающая эпюр,
построенных в виде аналогичных пара-
бол для моментов под каждым из гру-
зов.
Линии влияния для расчета
простых балок
Линия влияния есть диаграмма, изо-
бражающая изменение какой-нибудь ве-
личины (изгибающего момента, попе-
речной силы, прогиба и т. п.), вызван-
ное движением единичного груза по-
стоянного направления. Для балок рас-
сматривается действие груза, перпенди-
кулярного к оси балки.
Если уравнение линии влияния для
какой-нибудь величины S есть у—у (х),
то при действии одного груза Р эта
величина выражается формулой S = Py.
где у — ордината линии влияния под
грузом. Если на балку действуют п
80
РАСЧЕТ БРУСА
грузов Рь Рг,.... Р„, то величина S
выражается формулой
s-/Vi+Pty» + ...+
+ РпУп - У, Рйь
(82)
при а <х<1;
Прн действии сплошной нагрузки
постоянной интенсивности р величина S
выражается формулой
S - pQ. (83)
где С — площадь линии влияния на
участке действия нагрузки.
При действии сплошной нагрузки
переменной интенсивности р = р (х) ве-
личина 6' выражается формулой
S - Jp (х) у (х) dx, (83а)
где интеграл распространяется на уча-
сток нагрузки (фиг. 42).
Консоль. Для сечения консоли
изгибающий момент и поперечная сила
Фнг. 43.
на расстоянии а от
конца (фиг. 43. а), вы-
званные действием
груза Р-1 на рас-
стоянии х от конца,
выражаются уравне-
ниями
М (л, х} — — (л —х);
Q(a,x) —— 1
для 0 < х <а;
Л1(а, х) — Q (а, х) — О
для х>л.
Линии влияния даны на фнг. 43, б и а.
Балка на двух опорах
(фиг. 44, а). Опорные реакции, вызван-
ные действием груза Р — 1 на расстоя-
нии х от левой опоры.
а (х) - —; В (х) — ~ .
Изгибающие моменты и поперечные
силы для сечения балки на расстоянии
а от левой опо-
ры при дей-
ствии груза Р=
= 1 на расстоя-
нии х от левой
опоры:
Q(a,x)~—B----
прн 0 < х< а;
\ л 1 —х
Q (а. х) - Л = —j—
при а < х < I.
Линии влияния даны на фиг. 44, б,
виг.
Линии влияния для расчета
статически неопределимых
балок
Линии влияния для расчета нераз-
резных балок при подвижной нагрузке
даны в табл. 16. Линии влияния для
балки с одним и двумя защемленными
концами приводятся в табл 17.
Построение линий влияния. Чтобы
построить линию влияния в какой-
нибудь точке статически неопредели-
мой балки для какого-нибудь обобщен-
ного усилия (изгибающего момента,
поперечной силы и опорной реакции),
необходимо балку разрезать в этой
точке и сообщить ей обобщенное пере-
мещение в направлении силы, равное
единице. Полученная упругая линия
представит собой линию влияния для
искомого обобщенного усилия. Так.
например, если требуется построить
линию влияния для поперечной силы
в точке х — а (фнг 45, а), то следует
разрезать балку в точке х — а и раз-
двинуть концы левой и правой частей
на величину, принимаемую за единицу.
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ ПРИ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКЕ 81
Ординаты линий алиями! дли нсриэреаных билон с дяумя, тремя и четырьмя пролетим
а> Дю равных пролета
6 Том 3
Продолжение табл. 16
б) Три раенмх прилета
Груз 1 в точке Ординаты линии влияния
Изгибающие моменты в точна! Поперечные силы Опор- ная ре- акция
7 3 < 6 » 9 я,
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1,00000 0 0
1 0.1318 0.0967 0.0618 0,0267 -0,0083 -0.0432 -0.0342 -0.0252 - 0.0162 0.7901 0.0540 0,2639
2 0,0980 0,1960 0,1273 0,0585 -0,0102 -0,0790 -0.0625 -0.0461 -0.0296 0.5877 0.0987 0.5110
3 0.0667 0,1333 0,2000 0,1000 0.0000 -0,1000 -0,0792 —0,0583 -0,0375 0.4000 0,1250 0,7250
4 0.0391 0,0782 0.1174 0,1565 0,0289 -0,0987 -0,0782 -0,0576 -0,0370 0,2346 0.1234 0,8888
5 0.0165 0,0329 0,0495 0.0659 0.0626 -0.0677 -0,0536 -0.0395 -0.0254 0 0990 0.0816 0,9656
в 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ♦ 1,0000 1,0000
7 -0.0096 -0,0190 -0,0285 -0,0379 -0,0474 -0.0569 0,0872 0,0644 0,0418 -0,0569 0,8639 0,9208
» -0.0132 -0.0263 -0,0395 -0.0526 0.0658 ,0,0789 0,0364 0,1516 0,1002 -0,0789 0,6913 0,7702
9 -0.0125 -0.0250 -0,0375 -0,0500 -0,0625 - 0,07® 0,0083 0,0917 0,1750 -0,0750 0.5000 0,5750
10 -0.0090 -0,0181 -0,0271 -0,0362 —0,0452 -0,0543 -0,0028 0,0487 -0,0643 0.3067 0.3630
11 -0,0044 —0,0088 -0,0131 -0,0175 -0,0219 -0,0263 -0,0036 0,0191 -0,0263 1>Ив1 0,1624
12 0 0 0 0 ° 0 0 0 0 • 0 0
13 0,0028 0,0057 0,0085 0,0113 0,0141 0,0169 0,0028 -0,0113 0,0169 -0,0846 -0.1015
14 0.0041 0,0082 0,0123 0,0165 0,0206 0,0247 0,0041 -0,0165 0.0247 -0.1234 -0,1481
13 0.0042 0,0083 0,0125 0,0167 0.0206 0,0250 0,0042 -0,0167 0.0250 —0,1250 -0.1500
и 0,0033 0.0066 0,0099 0,0132 0,0165 0,0197 0.0033 -0,0132 0,0197 -0,0987 -0,1184
1? 0,0018 0.0036 0,0054 0,0072 0,0090 0,0106 0,0018 -0,0072 0,0106 -0.0540 -0.0648
1» Орлииа! 0 гы линии вл 0 | 0 аяния моментов яолжны 0 | 0 | 0 быть умножены на пролет 1. • 0 ° ° 0 0
РАСЧЕТ БРУСА
Продолжение табл. 16
I) Четыре раекых пролета
V Ординаты линии влияния
г о Изгибающие моменты точках Поперечные силы Опорные реакции
1 2 3 4 3 6 1 * 9 10 11 12 Qe-Q. Q.-Qa /?. /?.
0 0 0 ' 0 0 0 0 0 0 0 0 ° 1,0000 0 0
1 2 3 4 S 0,1318 мт 0,0666 0.0391 0.0164 0.0966 0.1958 0,1332 о,«т 0,0328 0.0617 0.1271 0,1998 0,1172 0,0494 0,0266 0,0582 0,0977 0,1562 0,0657 - -п,г>::«.| -0,0106 -0,0004 +0,0285 4-0,0023 -0,0434 -0.0793 -0,1004 —0.0992 -0,0681 -0,0343 -0,0626 -0,0792 -0,0782 -0,0637 -0.0251 -0,0459 -0.0580 —0,0573 -0,0393 -0,0159 -0,0291 -0,0368 -0.0364 -0,0249 -0,0063 -0,0124 —0,0156 -0,0154 -0,0106 0,0024 0,0044 0,0056 0.0055 0,0038 0,0116 0,0212 0,0268 0.0265 0,0182 0,7899 0.5874 0,3996 0.2341 0.0986 0,0650 0,1005 0.1272 0.1257 0,0863 0,2631 0,5131 0,7276 0,8916 0,9877 -0,0695 -0,1270 -0,1607 -0.1588 -0,1090
6 0 0 0 0 0 0 0 о 0 0 0 V 0 1.0000 1.0000 0
7 в 9 10 11 -0,0094 -0,0130 -0,0123 -0,0068 -0,0042 -0,0188 —0 0260 -0,0246 -0,0176 -0,0064 -0.0283 -0,0390 -0.0369 -0,0265 -0,0127 -0,0377 —0,0520 -0,0491 -0.0853 —0,0169 -0,0471 -0,0650 -0,0614 -0,0441 -0,0211 -0,0565 -0,0780 -0,0737 -0,0629 -0,0253 +0.0872 441.0365 +0,0085 -0,0026 -0,0035 0,0640 0,1509 0,0907 0,0477 0,0183 0,0411 0,0987 0,1730 0,0981 0,0403 0,0179 0,0464 0.0685 0,1483 0,0620 -0.0051 -0,0059 40.0041 +0,0318 +0,0840 -0,0281 -0,0582 -0.0804 —0.С846 -0,0610 -0,0565 -0,0780 -0,0737 -0,0529 -0,0253 0,8617 0,6865 и. 4935 0.3016 0,1310 0,9182 0,7645 0,5870 0,3545 0,1563 0,1734 0,3862 0,6372 0,8042 0,9453
12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,0000
13 14 16 16 17 0,0026 0,0035 0,0034 0.0024 0,0012 0,0051 0,0071 0,0067 0,0049 0,0024 0,0077 0,0106 0,0101 0,0073 0,0035 0,0102 0,0141 0,0134 0.КО7 0,0047 0.0128 0,0171 0.0168 0.0121 0.0059 0,0153 0,0212 0,0201 0,0145 0,0070 0,0025 0.0036 0,0034 0.0024 0,0012 -0,0101 -0,0141 -0,0134 -0,0097 -0,0047 -0,0229 -0,0317 -0,0302 -0.0218 -0,0106 -0,0356 —0,0493 -0,0469 -0,0339 -0,0164 -0,0483 0,0670 0,0637 0,0461 0,0223 0.0153 0,0212 0,0201 0,0145 0,0070 -0.0763 -0.1058 -0,1005 -0,0727 -0,0351 -0,0916 —0,1270 —0,12Гб -0.0872 —0,0421 0,9453 O.8U42 0.6072 0,3862 0,1734
16 1 0 0 0 0 0 0 0 0 и 0 0 0 • 0 0 ° 0
19 10 21 22 23 -о.оосв -0,0011 -0,0011 -0.tt.O9 -0,0066 -0 0015 -0,0022 -0,0022 -0,0018 -0,0010 -0,0024 -0,0033 -0,0034 -0,0026 -0,0015 -0,0030 -0.0044 -0,0045 -0,0035 -0,0019 -0,0038 -0,0055 —0,0056 -0,0044 -0,0024 -0.0045 -0,0066 -0,0067 -0,0063 -0,0029 -0.0005 -О.ООЦ -0,0011 -0,0009 -0,0005 о.осзо 0,0044 0,0045 0.0035 0,0019 0,0068 0.0099 0.0101 0,0079 0,0043 0,0106 0.0154 0,0156 3,0123 0,0068 0,0144 0,0209 0,0212 0,0168 0,0092 -0.0045 -0,0066 -0,0067 —0,0058 -0,0029 0,0227 0.0331 0,0335 0,0265 0.0145 0,0272 0,0397 0,0402 0,0323 0.0174 -П.10И0 -0,1588 -0,1607 -0,1270 -0,0695
24 | 0 | 0 | 0 Ординаты линии влияния понев 0 0 гтоа должны быть 0 | 0 | 0 умножены на пролет 1. • 0 0 0 0 0 о • 1
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ ПРИ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКЕ 83
84
РАСЧЕТ БРУСА
Таблица П
Ординаты липиЯ влияния для одиопролетных статически неопределимых балок
О
Схема Б
Олиопролетная балка с одним защемленным концом (схема А)
а) Изгибающие моменты
Сачеиие ~Г Положение груза -у ,
0.1 0,2 0.8 0.4 0,6 ол 0,7 0.8 0,9
0.0 -0,0885 -0,144 -0,1785 —0,192 -0,1876 -0,168 -0,1366 -0,096 -0,0495
0.1 >0,0131 -0,0495 —0,0907 -0.1128 -0,1188 -0,1112 -0.0925 —0.0665 —0,0345
0.2 +0.0116 +0,045 -0,0028 -0,0336 -0.060 -0,0545 -0,0490 -0,0368 -0,0196
0,3 +0,0102 +0,039 +0.085 +0,0457 +0,0188 +0,0025 -0.0055 -0,0072 —0,0046
0.4 +0,0087 +0,0335 +0,073 4 0,1249 +0.0675 +0,0592 +0,0381 + 0,0224 +0,0103
0.6 +0,0073 +0,0230 +0,0605 +0,104 +0,1563 +0,116 +0.0818 +0.0620 +0,0252
0.6 +0,0058 +0.0224 +0,0485 +0,0832 +0,125 +0,1728 +0,1254 +0,0816 +0,0302
0.7 +0.0044 +0,0168 +О.СЭ65 +0,0624 +О.СО37 +0,1296 +0.1691 40,1112 +0,0552
0.8 4-0,<029 +0,0112 +0,0243 +0,0416 +0.0625 +0,0864 +0.1127 +0,1408 +0,0701
0.9 +-0,0014 +0,0056 +0.0121 +0.0208 +0,0312 +0,0432 +0,0664 +0,0704 +0.0850
Ординаты линии влияния моментов должны быть умножены на пролет I.
б) Поперечные силы
Положение
груза -р
0,0
0.1
о,2
О.з
0.4
0.5
0.6
0.7
0.6
0.9
1.0
Верхняя
линяв
Нижняя
линия
1.000
0.986
0,944
-0.014
0,879
-0,121
0.792
0.688
0.568
0,436
0.296
0,149
-0,312
-0.564
-1.00
о
0
Для поперечной силы левее сечения следует взять ординату нижней линии, для поперечной
силы правее сечения — ординату верхней линии.
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ И ИЗГИБАЮЩИЕ МОМЕНТЫ ПРИ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКЕ 85
Продолжение табл. 1?
f
Одиопролетная балка с двумя защемленными концами (схема Б) а) Изгибающие моменты
Сечение Т г. . X Положение груза
о,1 0.2 0,3 0.4 0.5 0,6 ' 0,7 0.8 0.9
0.0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 -0,061 +0.0162 +0,0124 +0.0096 +0,0078 +0.006 -0,128 -0.0384 +0,0612 +0.0406 +0.0304 4-0.020 -0,147 -0.0G86 +0.0096 4-0,0882 +0.0666 +0.045 -0.144 -0.0792 +0.0144 4-0,0504 +0,1152 4-0.080 -0.125 -0.075 +0,0250 4-0,0250 +0,0750 +0.125 -0,096 -0,060В -0.0256 +0.0096 4-0,0448 +0,080 -0.063 -0.0414 -0,0196 +0,0018 4-0.0234 +0,045. -0,032 -0.0218 -0,0112 -0,0008 +0,0095 +0,020 -0.009 -0,0062 —0.0034 -0,0006 +0.0022 1-0,006
Ординаты линии мияния моментов должны быть умножены на пролет 1.
б) Поперечные силы
Положение груза -j- 0.0 0,1 0,2 0.3 0,4 0.5 0.6 0.7 0,8 0.9 1.0
Верхняя линия Нижняя линия 1.000 0 0,972 -0.028 0,896 -0,104 0,784 -0,216 0,648 —0,352 0,500 -0,500 0.352 -0.648 0,216 -0.784 0,104 -0.896 0.028 -0.972 0 -1,000
Для поперечной силы левее сечения следует взять ординату нижней линии, х<я поперечной силы правее сечения — ординату верхней линии.
Указанное перемещение есть обобщен-
ное перемещение, отвечающее обобщен-
ной силе, линии влияния которой опре-
деляется, т. е.
поперечной си-
ле в точке х —
— а; вся упру-
гая линия в це-
лом есть иско-
мая линия влия-
ния. Если тре-
буется найти
линию влияния
«7
Фиг. 45.
для опорного
момента на
третьей опоре в
той же балке,
то нужно ввести
шарнир над
этой опорой
балки и повер-
нуть концы бал-
ки на угол, рав-
ный единице;
упругая линия представит собой линию
влияния левого опорного момента.
Чтобы получить ЛИНИЮ ВЛИЯНИЯ ДЛЯ
прогиба или угла поворота сечения «
какой-нибудь точке (статически опре-
делимой или статически неопределимой
балки), необходимо в этой точке при-
ложить силу или соответственно пару,
равную единице. Полученная упругая
линия представит собой линию влияния
для прогиба или угла поворота в данной
точке (фиг. 45, б).
Невыгоднейшее положение
системы грузов (линия влияния —
треугольник): 1) По крайней мере один
из грузов (называемый критическим)
находится над вершиной линии влияния.
2) Критический груз выбирается по сле-
дующему признаку: если он расположен
слева от вершины, то средняя погонная
нагрузка левого участка превышает
правую, а при расположении его справа
от вершины — наоборот. 3) Равномерно
распределенная нагрузка располагается
над всей площадью линии влияния од-
ного знака. Графический прием опреде-
ления критического груза для треуголь-
ной линии влияния показан на фиг. 46:
86
РАСЧЕТ БРУСА
откладываются от точки В все силы Рь
Ръ Рз. • • • в порядке их расположения
от fl к Д соединяются Л и С и прово-
дится DflMC; точка Е располагается
на критическом грузе.
6 Ъ 6 Я ₽>
Г I I I ’1
При криволинейной линии влияния
определение наивыгоднейшего положе-
ния нагрузки производится путем проб.
НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ
И РАСЧЕТ ИХ НА ПРОЧНОСТЬ
Определение напряжений при пласти-
ческих деформациях см. гл. IX. Брус
большой кривизны (при отношении ра-
диуса кривизны р оси бруса к высоте h
сечения бруса
Тонкостенные балки см. гл. IV. Ко-
сой изгиб см. стр. 104.
б':6ми
см. стр. 112.
0“-вям
АММ
Фнг. 4/.
Балкн постоянного
сечения
Нормальные напря-
жения а в поперечном
сечении определяются по
изгибающему моменту М.
При поперечном изгибе
балки существует про-
дольный слой волокон,
сохраняющих свою длину
(нейтральный слой). Пе-
ресечение этого слоя с
поперечным сечением
балки образует ней-
тральную линию, которая отделяет
в сечении растянутую часть от сжатой.
Размеры сечения, перГе тдикулярного и
параллельного нейтральной линии, назы-
ваются соответственно высотой и шири-
ной сечения.
Основные принимаемые допущения:
1) поперечное сечение остается пло-
ским и перпендикулярным к оси балки при
ее изгибе (гипотеза плоских сечении);
2) напряжения о пропорциональны
относительной деформации е.
Считается, что главная центральная
ось поперечного сечения лежит в пло-
скости действия изгибающего момента
(прямой изгиб).
Относительная деформация
е (у) волокна балки (фиг. 47)
где dx — бесконечно малое расстояние
между двумя поперечными сечениями,
образующими при изгибе между собой
угол db; р—радиус кривизны оси бал-
ки при деформации.
Нормальные напряжения
а (у) в поперечном сечении при
стоянном Е
а (у) ы. Ei (у) — Е —у
Р
по-
(85)
ИЛИ
°(У) e -j-y.
(86)
где
y’dF — мо-
мент инерции попе-
речного сечения веж4
по отношению к ней-
тральной линии; у —
расстояние от ней-
тральной линии пло-
щадки поперечного сечения, для которой
определяется напряжение а(у); М—изги-
бающий момент в рассматриваемом
сечении.
Точки поперечного сечения, в кото-
рых о (у) — 0 (нейтральная линия), рас-
полагаются на прямой у—0, проходя-
щей через центр тяжести сечения.
Наибольшие нормальные
напряжения в поперечном сечении
возникают в наиболее удаленных от ней-
тральной линии точках сечения:
М , М
О ! О в —
1Г, ’ 1Г,
(87)
НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ И РАСЧЕТ ИХ НА ПРОЧНОСТЬ
87
(при Л ¥ Ут);
° =’ 1г
(при у, = У2- у У
Моменты сопротивления
в с и® для растянутого и для
волокон
сечения
сжатого
W2~
J
У?
(при у, + Уг);
|Г,-1Г,= (87а)
V
(при У1 = у2 - Ау
Подсчет моментов инерции и момен-
тов сопротивления сечений см. стр. 34.
Учет дополнительных нормальных на-
пряжений, возникающих в тонкостенных
балках в связи с кручением, см. гл. IV.
Касательные напряжения т в попе-
речном сечении определяются по по-
перечной силе Q. Приводимые ниже
формулы составлены для случая, когда
Фиг. 48.
поперечная сила совпадает с осью сим-
метрии сечения; если поперечная сила
действует в направлении главной оси
сечения, не являющейся осью симметрии
сечения, то приводимые ниже формулы
используются как приближенные. В каж-
дой точке, расположенной на расстоя-
нии у от оси (фиг. 48, п и б), возникают
касательные напряжения х (у) по пло-
щадке. совпадающей с поперечным
сечением, и т' (у) — т (у) по пло-
щадке. параллельной нейтральному слою
/закон парности касательных напря-
жений).
При изгибе напряжения т распреде-
ляются в поперечном сечении неравно-
мерно и имеют наибольшую величину
на нейтральной линии. Сумма йсех каса-
тельных усилий в поперечном сечении
приводится к поперечной силе Q, т. е
( xdF - Q.
F
Сечение, составленное из
прямоугольников со сторо-
нами, параллельными ней-
тральной оси. Напряжения т (у) на
расстоянии у от нейтральной оси па-
раллельны Q и постоянны по ширине
балки:
OS
* (У) •= jy (88)
(формула Журавского).
Здесь J — момент инерции всего сече-
ния по отношению к нейтральной линии;
S = Foyo — статический момент по от-
ношению к нейтральной линии части
сечения, отсекаемой прямой, параллель-
ной нейтральной линии и проведенной
от нее на расстоянии у; Ь — ширина
сечений балки на расстоянии у от н :й-
тральноЙ линии.
Сечение, ограниченное кри-
волинейным контуром (или
наклонными линиями). Касательное на-
пряжение у контура направлено вдоль
контура; приближенно для сечений вы-
пуклой формы
'(,) “ в • (88а)
где О — угол наклона по отношению
к направлению Q касательной к контуру
в рассматриваемой точке; b — ширина
сечения в месте определения т(8).
Распределение касательных напряже-
ний при изгибе для основных форм
сечения приведено в табл. 18.
Распределение касательных напряже-
ний в сечении при изгибе может быть
найдено экспериментально по методу
аналогии — см. [4].
88
РАСЧЕТ БРУСА
Таблица Ш
Касательные напряжения в поперечном сечении при изгибе
Q — поперечная сила по оси, прохолящей через центр тяжести; тта1 — наибольшее касательное напря-
жение п сечении; Р~ площадь сечеиия; р — коэффициент Пуассона
1. Лрялтоуголаиик, Q а направлении стороны Л
При р — 0,3:
среднее на нейтральной липни
16Q
’ср — ’
на окружности пол углом в (касательно к кон-
туру)
______________________________________________на диаметре, перпендикулярном к нейтральной
J. Квадрат на ребро-. Q — в направлении диа-
гонали
max
б. Эллипс; Q — н направлении оси а; р — 0,3
Наибольшее напряжение
9.0Q / _ о» + 0,230’ \
’шах ” ’’ ~ eab За1 б1 J
3 л »(*+*)
Т Q ВН> - bh'
7. Равнобедренный треугольник; поперечная
сила по осн у
4. Тонкостенное кольцо
5. Кру/
2 (3-4- 2у) Q /
(1+Ю«* I
<Л-
4 0
на нейтральной линии
» расстоянии дг от центра
Наибольшее напряжение
(в центре; при рв>0,3)
6.1 Q.
НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ И РАСЧЕТ ИХ НА ПРОЧНОСТЬ
89
Пример 1. Касательные напряжения т по пло-
тике м между отверстиями в прокатном дву-
тавре (фнг. 49, а) находятся на основании условия
равновесия элемента 12лт балки:
-flt = ,V -N =
пр л
1 ПР I * J
Отсюда
Qt
J ai
Здесь F, и yo — площадь и координата центра
тяжести части сечения, расположенного выше тп.
Пример 1. Напряжения х среза в поясных за-
клепках балки (фнг. 49,6). J — момент инерции
сечения балки; t — шаг поясных заклепок диа-
Фиг. 49.
метром d; F, н Ft — площадь соответственно ли-
стов и угольников одного пояса; у, и у0—рас-
стояния от нейтральной линии до центра тяжести
сечения листов и до центра тяжести сечения
пояса (листов и угольников). Для двухрядных
вертикальных одяосрезных заклепок, прикрепляю-
щих листы пояса к угольникам,
2=т
для горизонтальных двухсрезных заклепок (на
фигуре не видны), прикрепляющих пояс к стенке,
+ '’>*“
Здесь тл 11 тя — касательные напряжении в
да кленках.
Главные напряжения и нх напра-
вления определяются по нормальным
и касательным напряжениям в попереч-
ном сечении по формулам табл. 19.
Направления главных напряжений для
различных точек внутри контура балки
изображаются с помощью траекторий
напряжений (см. стр. 19). Приведенные
в табл. 19 зависимости достаточно точны
для участков балок, удаленных от зон
концентрации напряжений и местных
нагрузок.
Влияние на напряженное состояние
балки j концентрации напряжений см.
Расчет на прочность Проверку на
устойчивость см. гл. X.
1. Проверка прочности по
наибольшему нормальному напряжению
в крайних волокнах:
М
®шдх “ [®1«> (89а)
здесь [а]и — допускаемое напряжение
на изгиб; М — изгибающий момент,
определяемый по нагрузке с помощью
эпюры моментов; IF — момент сопроти-
вления. определяемый по форме и раз-
мерам сечения.
В случае хрупкого материала при
статической нагрузке
М , . . М . .
'С Нраст И -С 1’1слс-
где IFj и UZj — моменты сопротивления
для определения напряжений в крайних,
соответственно, растянутых и сжатых
волокнах; и [о]сж — допускае-
мые напряжения на растяжение и сжатие.
Условие прочности по касательному
напряжению
'шах < 14 (896)
где |т] — допускаемое касательное напря-
жение; тгом находится по поперечной
силе с помощью формул табл. 18 и 19.
При полной проверке прочности для
любого элемента балки, расположенного
в поперечном сечении на расстоянии у
от нейтральной линии, находится приве-
денное напряжение
±4- V|a(>)lt+4[T(y)p<[9]u (90а)
&
90
РАСЧЕТ БРУСА
(по теории прочности наибольших нор-
мальных напряжений);
»«₽“ / 1<»(У))«+4 Ь(У)]*<[«]» (906)
(по теории прочности наибольших каса-
тельных напряжений).
В приведенных формулах я (у) и т (у)—
нормальное и касательное напряжения
по площадке поперечного сечения рас-
сматриваемого элемента балки. Формулы
для приведенных напряжений по другим
теориям прочности см. табл. 25 и
гл. XIV.
Полная проверка прочности необхо-
дима в точках, где ау и с имеют одно-
временно большую величину, например
для двутавра в месте резкого изменения
ширины сечения.
2. Определение размеров се-
чения. По изгибающему моменту в
рассматриваемом сечении Л1 и допу-
скаемому напряжению (я]и на изгиб
Таблица 19
Напряженное состояние балки
• (у) и т (у) — нормальное и касательное напряжения в поперечном сечении балки иа расстоянии у от
нейтральной линии; о, и а, — главные напряжения по плошалкам. перпендикулярным к плоскости
изгиба балки
Напряжения ПО площадке поперечною Главные площадки и сечения и параллельно нейтральному слою ОМ I ММ г | о’м | 2 главные напряжения ffj(-) j
Oct болен , в, с,- /\лГ
! 1 О'М V > 1 0,М
Точки И ТИП НЗПрЯ жягаюго состояние Напряжения по площадкам поперечного сечения и параллельным ней- тральному слою Главные напряжения н наклон главных площадок
Точки 1 и У, наиболее удаленные от ней- тральной линии. Линейное напряжен- ное состояние . м . м • “ж! * “IF,' хс, - — ; irz, - — V. У, о, » в'; о, — о, — 0 (точка /); ,, а ,, "0; о. — о* (точка 2). Главные площадки: в поперечном сечении, параллельно нейтральному слою, перпенди- кулярно к первым двум
Точка 3 (на нейтраль- ной линии). Чистый сдвиг •-« (см. табл. 18) в, ж 4-т; о, ж 0; ^-±45», третья главная площадка совпадает с пло- скостью изгиба
Точка 4 (обший слу- чай). Плоское на- пряженное состоя- ние .. м ’ (у> - — у; <?«у (см. табл. 18) •Ы - * 4И ’’W-H* (У>: а, — 0 (по площадке н плоскости изгиба): ..«ь-М- Наибольшие касательные напряжения
НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ И РАСЧЕТ ИХ НА ПРОЧНОСТЬ
91
подсчитывается величина момента со-
противления:
1Г-Д
По подсчитанной величине 1Г для
выбранной формы сечения находятся
его размеры с помошью табл. 5—9 или
путем подбора.
Частные случаи
Сечение круглое сплошное. Диаметр
сечения
я ,3/32 М~
d "V — -г-г- « 2,17
Г к |«]и
Сечение круглое полое. Наружный
диаметр сечения
\Г ** (91а)
D-
32 м
V я (I—а«)[о]и Л
«в 2.17
М
(I-««)[»]«’
(916)
где а = — отношение внутреннего
диаметра к наружному.
Сечение прямоугольное. Высота сече-
ния (размер сечения а плоскости из-
гиба)
ft -
1/^ 4n'=31'82V< -ГГ. (91в)
У a fol„ У « а '
Ь
где а — —— отношение ширины сече-
ния к высоте.
Подбор сечений клепаных и сварных
балок см. т. 4, гл. XIX.
3. Определение допускае-
мой нагрузки на балку по на-
пряжениям в крайних волок-
нах:
МАоя - 1Г [о]„. (92)
По Мд0„ с помошью эпюры М нахо-
дится величина допускаемой нагрузки.
4. Запас прочности по опасному
сечению
где Мпрел — предельный, выдерживае-
мый балкой (см. гл. IX и XIV), и Л4—дей-
ствующий изгибающий момент в данном
сечении.
Определение допускаемых напряже-
ний [о] и |т| и необходимых запасов
прочности п, а также более полные
данные по расчету на прочность см.
гл. XIV.
Балка со значительной высотой
сечения
(h > h—высота сечений, /—пролет^.
Так как гипотеза плоских сечений
при й > -4- нарушается, то формулы
4
(84) — (88) могут быть использованы
лишь как грубо приближенные для
определения значений напряжений. Ве-
личины напряжений могут быть най-
дены методами теории упругости [4]
или путем применения эксперименталь-
ных методов (см. гл. XV).
Для балки прямоугольного се-
чения со сплошной равномерной нагрузкой р
при А — 1; Ч, и числе опор л > 5 распреде-
ление напряжений я в поперечном сечении в сред-
ней части длины балки дано на фиг. 50: а — в се
чении нал опорой. 6 — в середине пролета. При Л
значительно большем I напряжение о о сечении
над опорой в крайних со стороны опертого кран
(нижннх) подокнах балки приближенно равно на-
грузке ру отнесенной и ширине ба тки.
9'2
РАСЧЕТ БРУСА
Балка переменного сечения
Приведенные ниже формулы могут
быть использованы как приближенные.
Более точно.и для различных очерта-
ний контура детали и отверстий в ней
напряжения находятся эксперименталь-
ными методами (см. гл. XV).
Балка в виде клина. В балке по
фиг. 51, а. имеющей форму клина по-
стоянной ширины Ь, одно главное на-
пряжение при нагрузке силой Р на конце
направлено по радиусу г, а второе
равняется нулю:
2 Рсоэв
°' 2^ sin 2а 1Г' ( )
Наибольшие нормальные и касатель-
ные напряжения при 9 — ± a
„ 4-й М Л •
“шах- mln х P~j 9- >
• ттах, mln= Т ~р * (94а)
bh*
где J = yj; F — bh; М = Рх и коэф-
фициенты ? и у берутся в зависимости
от угла a
«.......6° 10* IS’ 20е
3...... 1,00 0,97 0,95 0,91
7......8,00 2,91 2,84 2,72
Балка конической формы. В балке
по фиг. 51,6 наибольшие напряжении
в поперечном сечении определяются по
следующим формулам (коэффициент
Пуассона ц —0,3):
а) от сосредоточенной с и -
л ы Р, приложенной в вершине конуса:
а 2,6/3sln у (1cos у)
m“ ка»(1 — cos у) (2 + 0.6 cos 7) ' " '
Приведенные формулы применимы
для сечений, удаленных от вершины.
Для случая нагрузки, указанной на
фиг. 51, в, напряжения находятся по при-
веденным выше формулам путем соче-
тания нагрузок Р и L — — Рс.
При наличии малого круглого отвер-
стия вдоль оси вала напряжения t™,,.
найденные по формулам (956) и (95i),
должны быть удвоены.
Балка равного сопротивления имеет
во всех поперечных сечениях одинако-
вую величину наибольшего напряжения
в крайних волокнах, равную допускае-
мому напряжению [в)и. Условие
IF«4-(,— (96)
№
(в верхних и нижних волокнах);
_ 0,4Р(1 + cosy)
тт»х = 2пв2 cos у(2-|- 0.6 cos 7)
(в центре сечения);
б) от сосредоточенного мо-
мента L".
(956)
определяет IF; по величине IF находятся
размеры для каждогопоперечногосечения
балки; М (х)—изгибающий момент в сече-
ниях при действии заданной постоянной
нагрузки. При наличии подвижной на-
грузки (см. стр. 78)jW (х) в формуле (96)
_ 3Z (1 4- соя 7)» (8,6 cos 7 — 0,8)
’mix “ кв3 [(5 () _ cos* у) -|-2,6 cos у (2 -г cos у)»|
(в верхних и нижних волокнах);
________________9Z (1 + cosy)* sin у___________
'mix ” na3Cos»y [6 (1 — cos» у) -f- 2.6 cos у (2 + cos у)»]
(в центре сечения).
берется равным наи-
(95в) большему изгибаю-
щему моменту в се-
чении при наиболее
неблагоприятном по-
,д, . ложеннн подвижных
Р"’1' грузов для этого се-
чения, Основные слу-
чаи см. табл. 20.
НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛКАХ И РАСЧЕТ ИХ НА ПРОЧНОСТЬ
93
Таблица 20
Балин рваного сопротивления изгибу
|е]и — допускаемые напряжения на изгиб; /— стрела прогиба
Продольный разреа и поперечное сечение балки Изменение поперечного сечение по длине балки Форма контура продольного разреза балки Формула для расчета размеров поперечных сечений и стрелы про- гиба
I. Калка защемлена одним концом. Сосредоточенная сила Р на конце балки
1— лг
Л ' L— л Прямоугольное постоянной ши- рины b к лере и симой высоты у а) Верхнее очерта- ние— прямая, ниж- нее — квадра гная парабола б) Квадратная пара- бола 6Р * _ »!•)/'
у _ _ f— я —
ед
* :
Прямоугольное
постоянной вы-
соты Л и пере-
менной шириныу
Прямые линии
= 6Р
у Л'НИ
. 6Pt
“ М<>]
Упругая линия—луга круга
Ж- _ 1 Круглое днаме гром у Кубическая парабола
- у Г~ Х
л
, ' 32Р
*
3/ 32PI
Ы - ’ '
Полная нагрузка pl
И. Палка защемлена одним концом. Нагрузка р, равномерно
распределенная по длине балки
Прямоугольное
постоянной ши-
рины н перемен-
ной высоты у
Прямые линии
Наименьший размер сечения у кон-
цов балки, где изгибающие моменты
приближаются к нулю, определяется из
условия прочности по касательным на-
пряжениям:
(балка прямоугольного сечения с раз-
мерами Ь и h);
|6М|
bh
3Qmtx
2 1т)ср
(96а)
(балка круглого сечения диаметром rf).
94
РАСЧЕТ ВРУСЛ
Здесь Qmlx— наибольшая поперечная
сила у концов; [т]Гр—допускаемое на-
пряжение на срез.
Балкн со ступенчатым изменением
сечений. Вместо балок равного сопроти-
вления практически применяются балки
со ступенчатым изменением сечения. Для
получения ступенчатого вала намечается
между диаметром <4 = 4I/ оЯ'”? —
3/“ ДОЛЛ
и наибольшим dmu — 1/ ——**
' * 1®1«
несколько промежуточных диаметров <4,
rfj,..., rfmax и вычисляются соответ-
ствующие диаметрам моменты сопроти-
вления
do
32
ченных длин участков окончательно устанавливается
форма вала. Эпюра допускаемых моментов М,1о„ не
должна пересекать эпюру моментов М от нагрузки.
Произведение этих моментов сопроти-
вления на допускаемое напряжение |а|„
дает величину допускаемого момента
для каждого участка вала. На эпюре
моментов проводится ряд горизонталь-
ных линий с ординатами, равными
^•Мв. ^l(°Je.--- ^max Mui точки
пересечения этих линий с эпюрой мо-
ментов определяют требуемые положе-
ние и длины участков вала дизмет-
Р’МИ .........rfmax
Аналогично устанавливаются места
обрывов листов клепаной и сварной ба-
лок (см. т. 4, гл. XIX).
Пример. Вал переменного сечение: 1= 120 ем;
о — 70 см: а— 50 см; Р= 5000 кГ; |«| =
- 400 кГ)сМ>; — 250 к Г/см' (фнг. 52); “
,_=£>_»«, .г;
. _ _3/32.2100-70 ....
‘'т«"У ' п.'ЮГ “ 15,5 °16 ел'
. А f 2900 . .
Принимал из условия нагревания диаметры
цапф равными 10 см, можно диаметры для участ-
ков вала взять равными dt—10 см; d, ~ 12 см;
d, = 14 см; d_„ = 16 см.
гаях
Для каждого из этих диаметров находятся вели-
чины W (3Ju—'wf)„n и проводятся горизонтали на
•пюре изгибающих моментов. Округлением полу-
Балка из разнородных материалов
Разнородные элементы, из которых
составлена балка, должны' быть соеди-
нены так. чтобы обеспечивалась их
совместная работа. В таком случае по-
перечные сечения балки при чистом
изгибе остаются плоскими. В приводи-
мых формулах предполагается, что пло-
скость симметрии сечения совпадает
с плоскостью действия изгибающею
момента Л1 и поперечной силы Q. Сече-
ние балки из разнородных материалов
приводится к сечению однородной балки
путем умножения площади каждой рабо-
тающей части сечения на отношение
модуля продольной упругости ее мате-
риала к модулю упругости, выбираемому
за основной.
Балка из разнородных мате-
риалов, расположенных слоя-
м и. Обозначаются: F — площадь /-Й
части поперечного сечения, имеющей
материал с модулем продольной упру-
гости Et; S, и Jt — статический момент
и момент инерции ее по отношению к
нейтральной линии; Еу—модуль упру-
гости для материала части балки, распо-
ложенной на расстоянии у от нейтраль-
ной линии; by— ширина сечения на
расстоянии у.
При работе всех частей балки в пре-
пропорциональности координата
тяжести приведенного сечения,
который проходит нейтральная
делах
центра
через
линия,
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В БАЛКАХ
95
Нормальные н касательные напряже-
ния в сечении на расстоянии у от ней-
тральной линии.
МЕу
я (у) <= —---у.
Q^l част, пл
’О')
(97)
by S
Ось полосы искривляется по дуге круга радиуса
= Ah
= («,— <ч) nt '
л-тЬ+Л-й+Ду]-
Суммы составляются по всем I пло-
щадкам, кроме величины "^.ErSl4acm ял.
которая подсчитывается для части се-
чения, расположенной выше (или ниже)
слоя балки, находящегося на расстоя-
нии у. Если сечение не имеет плоскости
симметрии, то определяются главные
оси приведенного сечения и находятся
напряжения по правилам расчета на
косой изгиб.
Приведенные формулы применимы и
для балок из одного материала, имею-
щего различные модули упругости на
растяжение и сжатие.
ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ИЗГИБА
Энергия деформации от
действия изгибающего мо-
мента на участке от х = 0дох«с
/И(х)
при а — —j— у равна
U~2 j
Пример. Для сечения балки из пластмассы,
«Гмироваиной стальным прутком (фиг. 53), опре-
делить изгибающий момент М так, чтобы вепря-
Фиг. S3.
женив ве превосходили
предела пропорциональ-
ности. Модули упруго-
сти ЕСт — 1-\^кГ]см'
^пластмассы “
кГ/см' и пределы про-
порциональности оп„ —
— 3000 кГ/см* (сталь) и
—300 к Г/см* (пласт-
"Ц .
масса).
Моменты инерции ио
отношению к нейтрал).
ной ливни: стальной
где J—момент инерции сечения; М(х)~
изгибающий момент в сечении с коор-
динатой х.
Если нейтральная линия не совпадает
с главной осью сечення (косой изгиб),
то необходимо полный изгибающий мо-
мент разложить в двух главных пло-
скостях балки и действие обеих соста-
вляющих рассматривать отдельно.
Поперечная сила. Энергия де-
формации
части Jem = 0,167 см'.
части из пластмассы 1пмстяассы - 1,833 см'.
Полный изгибающий момент при напряжении,
х*=с
радием пределу пропорциональности:
для стальной части
3000(2.10*.0,1674-6-10*.1,833)
*сж“ 2-Ю»-0,5
— 133U кГсм'.
и
(98а)
для части из пластмассы
300 (2-109.0,167 -f-6-10*. 1,833)
м пластмассы “ в-10*-1,0
- 2220 кГсм.
Искомый момент М — 1330 к Гем.
Изгибаемая биметал-
лическая полоса
Общая толщина А из полос с толщинами Л, и Л,;
постоянное А/ — по исему объему. Наибольшее
напряжение — в точках соединенна двух материа-
лов; для полосы, отмечаемой индексом 1, напря-
жется О) равно
rM я,-D,£,(«,
(3-Г,Й,)-Ь (1 + с,^)2
где Р — площадь поперечного сечения;
Q (дг)—поперечная сила в сечении с коор-
динатой х Для круглого и прямоуголь-
ного сечений k — 1,2; для двутавра и
швеллера F — площадь сечения стенки.
Полная величина U при изгибе равна
сумме величин, получаемых по уравне-
ниям (98) и (98а).
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В БАЛКАХ
(Расчет на жесткость)
Теория и расчет больших перемеще-
ний при изгибе и других видах дефор-
маций см. (8), (14]. а также стр. 119.
96
РАСЧЕТ БРУСА
Наибольшие прогибы балки, отнесен-
ные к величине пролета, а также наи-
большие углы поворота балки характе-
ризуют ее жесткость под заданной
нагрузкой. В зависимости от условий
работы деталей производится поверка
их на жесткость путем сопоставления
возникающих перемещений с их допу-
скаемыми значениями.
Полный прогиб опом в каком-либо
сечении складывается из прогиба о,
вызванного нормальными напряжениями
изгиба (от изгибающих моментов), про-
гиба от касательных напряжений
(от поперечных сил) и смещения о0 от
осадки опор:
«лолм - V + Vq + Wo-
Ниже приводятся формулы для рас-
чета v (обычно основная часть общего
прогиба) и для оценки влияния попе-
речной силы на прогиб. Расчет осадки
опор производится в соответствии с их
конструкцией: см. также гл. ХШ.
Основные зависимости и формулы
для определения перемещений
Приведенные ниже уравнения соста-
влены для случаев малых деформаций
I tg в яа в) и когда плоскость действия
изгибающих моментов совпадает с глав-
ной плоскостью бруса, в которой лежат
главные оси поперечных сечений. Рас-
чет перемещений при несовпадении
плоскости действия изгибающих момен-
тов с главной плоскостью бруса см.
стр. 104.
Основные зависимости. Ось балкн,
первоначально прямая, при деформации
балки, не удлиняясь, располагается по
кривой и(х), называемой упругой ли-
нией (см. фиг. 13). Величина и (х) на-
зывается прогибом в сечении х, наи-
больший прогиб — f — стрелой
прогиба. Два поперечных сечения с
координатами х и т + dx, до деформа-
ции между собой параллельные, в ре-
зультате деформации, оставаясь перпен-
дикулярными к оси балки, образуют
между собой угол 40; плоскости сече-
ний пересекаются в центре О кривизны.
В сечении х радиус кривизны оси обо-
значается р (х). Относительная продоль-
ная деформация волокна на расстоянии
у от нейтральной линии
При деформациях в пределах упру-
гости кривизна в сечении х
<"а>
где М (х)—изгибающий момент; EJ(x) —
жесткость на изгиб в сечении X.
Геометрические зависимости для упру-
гой линии
d9x = (100х
dx dx1
(при малых прогибах);
(100а)
(при больших прогибах).
Дифференциальное уравнение упругой
линии при малых прогибах и учете
лишь деформации от изгибающего мо-
мента
Л4(х) (Ю1)
dx* EJ (х)'
Дифференциальные зависимости для
интенсивности р (х) сплошной нагрузки,
поперечной силы Q (х), изгибающего
момента М (х), угла 6(х) поворота се-
чения в радианах и прогиба v(x) в см
в сечении х:
EJ (х) ^d? —м (JC) “ EJ (х) S’:
X м (х) - Q (X) - - £ |еУ(л) ~] ;
^,И(х)-А0(х)-
<102)
Правило знаков: положитель-
ными считаются М (х) при выпуклости
балкн вниз, 6 (х)—при повороте сечения
по часовой стрелке, v (х) — при прогибе
вниз; правило знаков для р (х), Q (х),
М (х) см. стр. 50.
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В БАЛКАХ
97
Угол 9(х) и прогиб о(л) связаны
с изгибающими моментами М (х) балки
зависимостями
V (х) — — J dx J dx + Cx+D. (102a)
Если жесткость балки постоянна, то
EJ в уравнениях (102а) выносится из-под
знака интеграла. Кривизна —г —
Р (х)
— 0 (р —со) получается в сечении,
имеющем М — 0.
Формулы для v н в основных слу-
чаев балок постоянной жесткости.
Формулы приводятся в табл. 10; гра-
фик для расчета о и б балки переменной
ширины дается на фиг. 54. Значения о
Фиг. 54.
и в для более сложных случаев нагру-
зок могут быть найдены сложением ве-
личин v и в, полученных по табл. 10 для
отдельных составляющих заданной на-
грузки.
Пример. Задана свободно оперта» на двух опо-
рах байка посгоонной жесткости EJ пролетом I,
нмеющаа слева консоль длиной а со сплошной
равномерной нагрузкой р. Определить стрелу про-
гиба па конце консоли.
Прогиб ид конце жестко защемленной коисолн
рд*
«лучей 2, табл. 10) /, — . Вертикальное пере-
мещение конца консоли в свези с поворотом на
угол О сечение нал левой опорой (случай 11 табл. 10)
л"*в“Т-ЕГ4'
Полный прогиб на конце консоли
/ -Л +/. - -jgy (у + у).
Дополнительные влияния на про-
гиб. Дополнительный прогиб
от поперечной силы необходимо
учитывать при высоте сечения порядка
’/ц пролета балки или большей. Диффе-
ренциальное уравнение упругой линии
с учетом деформаций изгиба и сдвига
яРи М (х) , k , , .1П-.
-----ЪГ+ор^' (103’
где р (х) — интенсивность сплошной на-
грузки; М (х) - изгибающий момент в
сечении х; EJ — жесткость на изгиб;
GP — жесткость на сдвиг; G — модуль
сдвига; Р — площадь поперечного сече-
ния балки; k коэффициент учитываю-
щий неравномерность сдвигов по сече-
нию. Для круга А — 1,1, для прямоуголь-
ника k — 1,2; для двутавра А от 2 до 2,9.
Частный случай — консоль длиной I
с силой Р на конце, высотой прямо-
угольного сечения Л и жесткостью на
изгиб EJ: стрела прогиба с учетом
сдвигов
, Pl* /1 . **\
f~3E]\l+c ~i>) •
для стали с — 0,75 и для дерева с — 6.0.
Дополнительный прогиб от
местных деформаций, вызванных
сосредоточенной силой, см. [4], [11].
Частный случай — балка прямоуголь-
ного сечения на двух опорах: дополни-
тельный прогиб от местной деформации,
вызванной силой, приложенной в сере-
дине пролета,
0.7S« (1-038-1);
Ли/ — высота сечения и пролет балки;
Е — модуль продольной упругости.
Методы определения перемещений
Метод единичной силы см.
гл. 111.
Метод ортогональных фоку-
сов см. [7|.
Метод моментов высоких
степеней см. |2].
Формулы для перемещений в бал-
ках при изгибе получаются путем инте-
грирования дифференциального уравне-
ния (101) при заданных нагрузках и
граничных условиях в местах закрепле-
ния балки.
При интегрировании уравнения (101)
по отдельным участкам балки необхо-
7 Том з
98
РАСЧЕТ БРУСА
димо для обеспечения условий со-
пряжения участков балки определять
2(п —1) постоянных интегрирования
(п — число участков). По более простому
и общему методу интегрирования диф-
ференциального уравнения изгиба акад.
А. Н. Крылова |3( в любом случае балки
определяется всего лишь два постоян-
ных интегрирования по условиям за-
крепления концов балки.
Ниже приводятся наиболее часто при-
меняемые методы для составления урав-
нений прогибов и углов поворота сече-
ний балки и для подсчета их величин.
Расчет по методу начальных пара-
метров (см. стр. 51 и 73). Общие уравне-
ния упругой линии при сложной нагрузке
для балки постоянной жесткости (см.
фиг. 13.6):
V (л) = V (0) + В (0) х — М (0) —
-Q(0)6£j“ 2EJ+
P(x-up)» VI P(x-up)*
6EJ + Zi 24EJ
V *(*—M6 .
’ £ 120£J ’
e (л) - В (0) - м (0) ~ - q (0)^. _
24(x-«t) ^\P(x-uP)t
EJ Zl 2EJ +
v p(x-up)*
Zj----6ZJ— +
v(0), 6(0). M (0) и Q(0)-прогиб,
угол поворота, изгибающий момент и
поперечная сила в сечении х-0, прини-
маемом за начальное {начальные
параметры).
Здесь uL, up, ир и ик — расстояния
от начала координат балкн, расположен-
ного в крайнем левом (или правом)
конце балкн. соответственно до мест
приложения внешних моментов, сосре-
доточенных сил, до начал участков со
сплошной равномерной нагрузкой или
со сплошной нагрузкой по закону на-
клонной прямой (см. формулу (54а )1.
Величина А считается положительной,
если интенсивность направленной вниз
сплошной нагрузки возрастает с увели-
чением х.
В формулах (104) члены, учитываю-
щие ту или иную внешнюю нагрузку,
вводятся только для сечений, лежащих
правее точки приложения соответствую-
щей нагрузки. Кроме того, предпола-
гается, что сплошная равномерная на-
грузка р приложена на участке от ир
(левый конец участка) до и'р^х (пра-
вый конец участка); если х>ир, то
в формулы (104) вводится слагаемое от
нагрузки, равной— р н прилагаемой спра-
ва от сечения ир < х. Аналогично учи-
тывается нагрузка по закону наклонной
прямой.
Начальные параметры определяются
по условиям закрепления балки, после
чего могут быть вычислены параметры
любого сечения балкн. Применение фор-
фул (104) к балкам переменного сечении
поясняется примером 3.
Промер!, Консоль £J = const; нагрузка по
фиг. 55.
На участке от г = и и т = с
о(х) = р(0) + «(0)х--^;
на участке от х = с жо ж •= I
о (л) - V (0) + о (0) X - 4- .
1(0) и о(0) находятся по последним уракненнаы
их условий: Ч (0 — О: о (I) — 0.
Фиг. 55.
Протер ?. Жестко защемленная с двух концов
балка постоянною сечении пролетом I, к которой
приложена сосредоточенная сила Р (фиг. ЭД.
Начало координат помещается в левой заделье.
Из четырех начальных параметров о (О)»О и
О (0) _ 0 (дли х — 0) и v (ft -- I (0 — 0 (для х — 0.
Отсюда по формулам (1М) получаем два уровне
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В ВАЛКАХ
99
иня для определения двух других начальных пара
метроп Л( (0) и Q (0):
Ы»(Т) = - ..И(0)^-<!(0)^+рЦ^-0;
л О О
ЕЛ (П = - м (0) I - Q (0) у -I- P(t~ — - □
Пример 3. Требуется составить формулы для
угла поворота на левой опоре и прогиба в точке
С (под силой Р) для ступенчатого свободно опер-
Вал приводится к балке постоянной жесткости.
Для «того вал разрезаем на участки п местах cry
пеичатого изменения поперечных сечений и при-
лагаем к концам каждого участка действующие
на него нагрузки и внутренние усилия Q и М
(фиг. 57, б). Далее, жесткости всех участков при-
нимаем одинаковыми, например равными меньшей
жесткости EJ,. н для сохранения деформации на-
грузку и усилия каждого участка уменьшаем в от-
ношении действительной и приведенной жестко-
стей. как указано на фиг. 67, а.
Для вала, якенвалентиого заданному по дефор-
мации (фнг. 57, z), v (0) » 0. Для определения 9 (О)
составляем о (х) пл я последнего участка вала:
” 1ж>5а > х> 4а"* (°) X — gg +
Ра (х-а)'
+ “ГТЮГ +
Ра (л—2а)1 , Р (х - 2а)*, Р {pt-laY I
5 2£А +1 6ЁТ, * 10 6EJ, +
С
, Р (X - За)' 9аР (х - 4а)' ,
+ ~ ~~йЁ7,-------5Г~2ЁЛ +
»Р (х - 4а)'
т 20 6EJ,
(>
и
Отсюла для х =» 5а
• «х-5а - • (0)-5а - g - 0
(61
(по часоиой стрелке).
Прогиб пол силой Р я точке С находим,
дуясь пергыми шестью членами уравнения
поль-
(«) и
полсти пл я а и него пол ученное знаке
иие 0 (0):
, , ,247 Ра‘
" (л>х=3а — ис I- зоу
(прогиб внизу,
Графо-аналитический ме-
тод основан на совпадении диф-
ференциальных уравнений, свя-
зывающих р(х) с М(х) и
— с v (х) [см. уравнения
(102». Благодаря этому вычис-
М
ленне v по pj ведется так
же, как М по р.
При применении метода орди-
наты эпюры М, поделенные на
EJ, рассматриваются для каж-
дого значения х как фиктивная
нагрузка:
^(х)-^-; (Ю5)
тогда угол поворота 9 и про-
гиб v равны соответственно по-
перечной силе Цф и изгибаю-
щему моменту Мф в рассма-
триваемом сечении от фиктив
ной нагрузки рф фиктивной
балки:
6 (х) — (}ф (х); v (X) — Мф (х). (106)
Длина участков фиктивной балки та
же, что действительной, но опоры в
фиктивной балке выбираются так, чтобы
удовлетворить условиям деформации
действительной балки; схема фиктивной
балки, соответствующая заданной дейст-
вительной. берется по табл. 21. Значения
фиктивных реакций для простой балки
см. табл. 11.
Правило знаков. А1 (х) (+) дает
фиктивную нагрузку рф (л) (+). на-
правляемую вниз. При определении
(^ф(х) и Afy (х) по Рф(х) применяется
правило знаков для действительных Q
и М; Q^(x) (+) и Л1#(х) (+)
дают соответственно в(х) (4-) (поворот
сечення по часовой стрелке) и о(х)( + )
(прогиб вниз).
7
100
РАСЧЕТ БРУСА
Гайлица 21
Схемы действительной и соответствующей
ей фиктивной балки
Схема действительной
балки
Схема соответствую
шей ей фиктивной
балки
Балка опор не имеет4
• Фиктивная нагрузка уравновешивается
без фиктивных реакций (условна деформации
для заданной балки с жестко защемленными
компами).
Пример 1. Сила Р приложена в середине про-
лета балки с консолью, имеющей Е! — conat
(фиг. 68).
Положительней эпюра действительных момен
too М дает положительную фиктивную нагрузку
Рф — -gj . направлаемую вниз. В соответствия
С тем что прогибы действительной балки в точках
А и b равны нулю, фиктивнее балка имеет с отит
точках шарниры
Угол поворота и стрела прогиба на кенце кон
трлн (фмг. 58. в)
ял
ЛоЕ)
(поворот против часовой стрелки),
РР
'r-^.e-V = --i6E
(прогиб вверх).
Пример 2. Балка, свободно опертая на двух
опорах со сплошной равномерной нагрузкой р;
El «» const. Определяются прогиб х> (х) и угол по-
ворота 6 (ж) в сечении х (фиг. 59. о).
Строится эпюра нзгибаюшид моментов М (л>
(фиг. 59,6). выбирается соответствующая фиктив.
пая балка (табл. 21) и прилагается к вей фиктиа
ная нагрузка
1X1 “ТТ"'“
(фиг. 59, в).
Равнодействующая фиктивной нагрузки, как
площадь эпюры р&. и фиктивные опорные реакции
. 2 , PV pF
ф“ = -з' — “-iW
ЛФ~°Ф
Или любого сечения на расстоянии х от опоры
(один и тот же закон нагрузки на всей алии,
балки):
угол поворота сечения
u*) du
ф («)«“
прогиб
о (л) — Мф (аг) — АфХ - I Р^(») <* — «) ои -
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
НН
ФОРМУЛЫ ДЛЯ *Ut) « О (X) МОГУТ бЫТЬ COCTS-
меяы без выполяепмя интегрирования, если вос-
пользоваться готовыми формулами (см. т. 1, стр.
360) для коорликвты центра тяжести с и плошали
Фг части епюры фиктивной нагрузки р^. огра-
аичениой в рассматрилаеыом примере киааратной
параболой:
• р(Я)-Афя -Ф^с.
Графический метод. Решение диф-
ференциальных уравнений
ЛМ(ЛГ) **
~aJfi-------Р(Х)'
выполняется графическим построением
двух веревочных многоугольников. За-
мыкающая проводится в зависимости от
условий закрепления балки.
Масштаб построения. Если
линейный масштаб дает на 1 см чер-
тежа т см натуры, а силовой — на 1см
чертежа N кГ, то при полюсном рас-
стоянии Н| силового многоугольника,
равном Л] см чертежа, вертикальный
отрезок между замыкающей и веревоч-
ной кривой в I см дает изгибающий
момент М — h\Nm кГсм\ 1 еж* площади
«той эпюры принимается за фиктивную
нагрузку кГсмЧкгсм2. Если при
вычерчивании второго веревочного
многоугольника принять 1 см чертежа
Zlj/nW ..
равным и полюсное расстояние Нг
равным hi см чертежа, то вертикальная
ордината второго веревочного много-
угольника в I см дает прогиб
—mhi см.
EJ
Отсюда по заданному масштабу орди-
нат упругой линии находится необхо-
димая величина й2 полюсного расстояния
Пример. Ввд со ступеичптым изменением се
пения (фиг. 60). Обозначения: J и W — моменты
кмерцин и моменты сопротивления сечений вала-,
(•) — допусклемое напряжение на изгиб.
Заштрихованная япюра фиктивных нагруэои
получена, как показано иа фиг. СО, с, по впюре
нагибающих моментов Ж. Принятый при построе-
нии масштаб указам в нижней части фиг. 60.
Стрела прогиба по построенному веревочному
ниогаугольиику (фиг. 60, е)
Нуш«“
- 5^571Э(4,1 см х “° кГX
х (3.4 см X ю cmIcmI — 0,034 см.
Зхесь в расчет введены масштаб фиктин
иых сил: 1 см — S00 кГ^сМ1 и масштаб алии:
I см — 10 см.
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Сложное сопротивление получается
при сочетании простых видов дефор-
маций: растяжения или сжатия, сдвига,
кручения, изгиба.
Общий случай сложного сопро-
тивления. В общем случае действия
нагрузок в поперечном сечении детали
(фиг. 61) могут быть шесть внутренних
усилий: N. Qt, Qz, Мк, Му, Al-.
Для определения усилий в рассматри-
ваемом сечении проводят три оси сече-
ния: главные оси сечения / и 2. прохо-
дящие через его
центр тяжести, и /'"S'V'l
ось О. перпендику- f' А
ЛЯрНуЮ К ПЛОСКО-
сти рассматривав-
мого сечения и | t Т’1
проходящую через I
центр изгиба сече- \—^Фиг. «1,
ния (точка попе-
речного сечения, через которую проходит
плоскость действия поперечной нагрузки,
не вызывающей напряжений скручива-
ния; если сечение имеет две оси сим-
метрии. то центр изгиба совпадает с цен-
тром тяжести сечения (см. также стр. 27).
Положение центра изгиба для основ-
ных сечений дано в табл. 22; определение
центра изгиба для тонкостенных профи-
лей см. гл. IV.
102
РАСЧЕТ БРУСА
Положение центра изгиба
О — центр тяжести сечения. С — центр изгиба; р — коэффициент Пуассона
Центр изгиба тонкостенных профилей различной формы см. гл. IV
Таблица !1
Форма сечения
Положение центра изгиба
Форма сечения
Положение центра изгиба
ст,
б. Симметричное сплошное сечение
1. Сектор круга
r-fm
Приближенно
где коэффициент с — из
приведенной ниже таблицы
в зависимости от у и
О II Як X Сж. с 1 X в. е X Q. е
3 0.129 0,168 0,19-1
4.5 0,125 0,158 0,180
7.5 0,014 П.13Э 0,155
12 0,09-1 0.109 0,119
13 0,067 0.075 0.180
22.5 0,048 0,063 0,056
fl(хг ха*
[ /• (*) д<tx
2. Равнобедренный
треугольник
I*
3. Прямоугольный
треугольник
При I
Л-х
2h » - Пу.
i+p
при малом f
2 h . r . 2Л 1 4-3р.
-fTA<jrr<TrnT
J/* (x) dx 4- 3 j/« U) I/ ’ U)P **
пределы интегрирования от x, до xt)
7. Симметричное сплошное сечение, удлиненное 71 ММ где _ f /*w-rdx //*(X) dx (пределы интегрирование от х, до х, — по всему контуру)
8. Тонкостенный про-
филь, у которого
средние линии пря-
мых полок пересе-
каются в одной
точке
Центр изгиба в точке
пересечения средних
линий полок
1 ь-
- ' : - аут _т*
„ i + 3p
15
4. Полукруг
10. Угольник
Л>»)
в. Сегмент квадратной
параболы
три
Укороченный
15к 14"И
Удлиненный
з« TT7
35 I
Л' .
ч И о'
С
9. Сектор тонкого кругового трубча- того сечения *с- ъ х (к — р) 4- slop СОВр Л Х((п - p)cosp4- alnpi Для трубы с разрезом (р -0) xf-2r
с“ТЛ‘
1 ь Уу' 1
>f “ 2 ' Jy, I t Jy. II
моменты инерции прямо-
угольников I м II по отно-
шению к нх центральным
осям, соответственно, х„
У, и х„ у,. При малых
о, и Р, точка С на пере-
сечении осей у, к х|
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
103
Продолжение тайл. 22
Форма сечения Положение центра изгиба Форм, сечения Положение иенгрз изгиба
Шр»
14. Зетовое се некие
с равными палками
Центр изгиба совпадает
с центром тяжести
сечения
J— центробежный мо-
мент инерции половины
сечення по отношению
к осям хну; J х — мо-
мент инерции полной
плошали по отношению
И* Швеллер
Л > 5ft)
При О, = b х
12. Тавр
-j- (Л. + ».) X
X
15. Составное сече-
ние. Главные цен-
тральные оси со-
ставляющих пло-
щадок между собой
параллельны
13. Двутавр
Л
/| и У» - моменты инер-
ции полок / и 2 по от-
ношению к горизонталь-
ной оси
Еп-^
кулъ продольной упру-
гости для материала
площадок /, 2, . , п;
J,, момен-
ты инерини площадок
/, 5, . . л по отно-
шению к горизонталь-
ным
Л 2.
I + E'J'xc, 2 +
EJ, 4- ЕР, +
главным осям
, л
+ ^п^пхе, п
па
Продольное усилие И. вызывающее
равномерное растяжение или сжатие в
сечении, равняется сумме проекций на
ось U (брус) нагрузок, приложенных к
детали по одну сторону (например,
слева) от рассматриваемого сечения.
Момент кручения Мк находится по
сумме моментов указанных нагрузок по
отношению к оси О. перпендикулярной
к плоскости рассматриваемого сечення
н проходящей через центр изгиба
Поперечные силы Qt и Qt равны про-
екциям соответственно на осн / н 2 в
рассматриваемом сечении нагрузок, при-
ложенных к детали по одну сторону
(например, слева) от рассматриваемого
сечения.
Изгибающие моменты Mt и М2 равны
суммам моментов указанных нагрузок
соответственно по отношению к осям
I н 2. Для N. Мк, Qj, Q., Mj и Мг в отдель-
ности определяются с помощью формул,
относящихся к данному виду сопротив-
ления. соответствующие им напряжения
и сечении; полученные напряжения скла-
дываются ал1 ебраическп (о) или геомет-
рически (Т).
Усилие N и моменты М2 и Мг вызы-
вают в поперечном сечении нормальные
напряжения aN,aM и усилия Qt.
Qa и момент Мк вызывают касательные
напряжения и
Полное нормальное напряжение acv.M
в какой-либо точке сечения
ясум - ± «N ± ’.и, ± ’Лк <107)
Полное касательное напряжение тГу„
в точке сечения находится как геомет-
рическая сумма касательных напряжений,
получаемых отдельно от Qb Qz и Л1К.
На контуре сечения касательные напря-
жения от поперечной силы и момента
кручения совпадают с касательной к
контуру и складываются алгебраически
(см. фиг. 62):
хеум - ±*мк± XQ, (,08«)
(в точке Л);
хсум “ ± хмк ± "q, (1086)
(в точке В).
104
РАСЧЕТ БРУСА
В выходящих углах -eVM = 0. Знак плюс
или минус выбирается в зависимости от
направления действующих усилий и поло-
жения рассматриваемой точки в сечении.
Пример эпюр напряжений для прямо-
угольнрго сечения показан на фиг. 62.
ной центральной осью / сечения, связаны
зависимостью
tg “ - -71 <g
где J\ и Jt—главные центральные мо-
Значения коэффициентов k и kt для
прямоугольного сечения см. табл 4.
В точках поперечного сечения полу-
чается плоское напряженное состояние.
Главные напряжения в общем случае
определяются по формулам
eg — 0.
Расчет на прочность ведется по наи-
большему приведенному напряжению:
<109)
Подсчет япр производится по формулам
табл. 25. Выбор величин [а] и уточ-
нение расчета на прочность см гл. XIV.
Косой изгиб (сочетание двух изги-
бов, по отношению к обеим главным
осям).
Плоскость действия полного изгиба-
ющего момента М пересекает плоскость
поперечного сечения балки по прямой,
которая проходит через центр изгиба,
но не совпадает с главной центральной
осью сечения 1 или 2 (фиг. 63). Нейт-
ральная линия проходит через центр
тяжести сечения и неперпенднкулярна
плоскости действия изгибающего мо-
мента (си. фиг. 64).
Угол в, образуемый плоскостью дей-
ствия изгибающего момента и главной
центральной осью 2 сечения, и угол а,
образуемый нейтральной линией с глав-
Нормальные напряжения о в сечении
находятся как алгебраическая сумма
напряжений я' и я" в рассматриваемой
точке, получаемых отдельно от каждого
составляющего момента и Мг. дейст-
вующих по отношению к главным цен-
тральным осям / и 2 сечения:
в — я' + я" — ± Я ±
<(’]«• (НО)
Здесь Mi — М cos в; Л!2 — М sin 6; М —
полный изгибающий момент в сечении;
[а]и— допускаемое напряжение на изгиб.
В случае хрупкого материала допу-
скаемое напряжение на изгиб для рас-
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
105
тянутой и сжатой зон принимается
равным соответственно [а]раст и [о]глс.
Для сечений, имеющие эллипс инерции
в виде круга (круглое и квадратное
поперечные сечения), напряжение
может находиться по формуле (86)
непосредственно по полному изгибаю-
щему моменту М; момент инерции J
берется по отношению к центральной
оси, перпендикулярной к плоскости дей-
ствия М.
Распределение суммарных нормальных
напряжений н сечении подчинено закону
плоскости (фиг. 64):
а - ± М и. (110а)
у J] COS2 а + Уз sin2 а
Наибольшие напряжения возникают в
точках Л| и At сечения, наиболее уда-
ленных от нейтральной линии (при
и •= Н| и при а — иг).
Уравнение нейтральной линии
5!^, + £^у_0. <Ц1)
Общий случай. Нормальные на-
пряжения в точке А сечения т — пт
(фиг. 65)
а
Р . . Рег
или
’ “ у ГI ±-у уЛ (П3>
(сложение напряжений, соответствующих
центральной продольной силе N = Р »
где л и у — координаты точек нейт-
ральной линии по отношению к осям
I и 2.
Касательные напряжения в
рассматриваемой точке поперечного се-
чения находятся по формулам табл. 18
отдельно от составляющих Qj и Qt по--.
перечной силы по главным осям / и 2
сечения.
Полное касательное напряжение в
точке поперечного сечения равно геоме-
трической сумме составляющих напря-
жений, полученных от Qt и Qj.
Прогиб балки происходит в на-
правлении, перпендикулярном к нейт-
ральной линии. Полный прогиб / нахо-
дится как геометрическая сумма про-
гибов /] ивызываемых изгибающими
моментами в главных плоскостях 1 н 2
балки (см. фиг. 64):
двум изгибаю-
щим моментам
” Pei И
Л1г— Pei). Здесь
₽! и — коор-
динаты по отно-
шению к цен-
тральным осям
1 и 2 точки С
пересечения ли-
нии действия
силы Р с плоскостью се-
чения т — т; у2 и у2 —
расстояния в направле-
нии осей / и 2 точки, в
которой определяются
Фиг. 66.
напряжения; Z,
Ч — у -р----радиусы инерции сечения
для главных центральных осей 1 и 2
Точки сечения, в которых нормальное
напряжение равно нулю, образуют нейт-
ральную линию. Уравнение нейтральной
линии
’+4 *+4у-°.
‘1 >3
(114)
/-//1 + /’; (,12>
где х и у — ее координаты по отно-
шению к осям / и 2.
Для построения нейтральной линии
вычисляются отрезки ej и а2, отсекае-
мые ею на осях / и 2:
/’ I2
aj •«—— а»——-J-. (П5)
ej ei
Растяжение или сжатие с изгибом
(внецентренное действие, продольной
силы)
Проверка на устойчивость при сжатии
см. гл. X.
Расчет бруса малой жесткости см
стр. 119.
Нейтральная линия расположена по
другую сторону центра тяжести сечения,
чем точка С. через которую в сечении
проходит линия действия продольной
силы. Касательные к контуру сечения,
параллельные нейтральной линии, дают
на контуре две точки, в которых воз-
никают наибольшие растягивающие и
сжимающие напряжения. Если точка
iog
РАСЧЕТ БРУСА
приложения силы перемешается по не-
которой прямой, то нейтральная линия
вращается вокруг некоторой точки.
симметричное
моугольник, двутавр.
сечение (пря-
круг) с силой,
лежащей в пло-
скости симме-
трии. Сила Р в
сечении т — т
(фиг. 66) прохо-
дит через точ-
ку В. лежащую
на главной оси?
так, что сила
имеет эксцен-
триситет е в на-
правлении оси 2.
Полное напря-
жение в край-
них точках се
чения
|а]р н на сжатие [о],ж. то проверка проч-
ности ведется по формулам
-(^“<1’1- 018а>
гнт Меж w нт
(сжатие с изгибом);
N 191в . М
Рц/n 191р
<|»1«(П8б)
(растяжение с изгибом).
В случае хрупкого материала проверка
прочности производится но наибольшим
напряжениям для растянутой и сжатой
зон при допускаемых напряжених |o|pafm
“ 1п|гж-
Проверку на устойчивость
см. гл. X.
Продольно-поперечный изгиб (из-
гиб происходит в главной плоскости). В
гибком брусе прогибы v соизмеримы с
размерами поперечного сечения и на-
чальным эксцентриситетом е — v0 и дают
дополнительный эксцентриситет про-
дольной силы N из-за изгиба (фиг. 67).
Полный изгибающий момент AI в сече-
нии х при деформации складывается из
В случае прямоугольного поперечного
сечения, имеющего размер сечения h.
параллельный эксцентриситету в.
(Цба)
Фкг. 67.
Проверка на прочность при
изгибе в двух главных плоскостях:
9 “-р-± ± (Н7)
где N — продольное усилие; и А42 —
изгибающие моменты по отношению к
главным осям / и 2 сечения; F. и Jt—
площадь и главные моменты инерции
сечения нетто; yi и yj—расстояния рас-
сматриваемой точки от осей / и 2.
Уточнения расчета на прочность см.
гл. XIV.
При изгибе в одной главной плоскости
/УМ
F— * ~W—
гнт "'нт
(118)
Если Допускаемое напряжение |а)и
на изгиб значительно отличается от до-
пускаемого напряжения на растяжение
изгибающего момента от поперечной на-
грузки и момента от продольной силы:
М - Мпоп ± N (е + V). (119)
где е—начальный эксцентриситет силы N.
Нормальные напряжения в попереч-
ном сечении в крайних волокнах в пло-
скости изгиба
N М N
’ - ~Г ± iF “ Т ±
± +--~. (120)
где Мпоп — изгибающий момент в рас-
сматриваемом сечении от поперечной
нагрузки (при N — 0); F и (Г-площадь н
момент сопротивления сечения. Продоль-
ная растягивающая силауменьшаст.а сжи-
мающая увеличивает напряжения изгиба
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
107
от поперечной нагрузки. Как следует
из формулы (120), при продольно-попе-
речном изгибе напряжения оказываются
не пропорциональными нагрузкам.
Прогибы v определяются по приво-
димым ниже приближенным или точным
формулам для одновременного действия
поперечной н продольной нагрузок.
Приводимые формулы относятся к бру-
сьям, имеющим малые прогибы и углы
поворота и малую высоту сечения по
сравнению с радиусом искривления. Из-
гиб тонких брусьев в общем случае см.
стр. 119.
Оценка необходи мост и у чета
момента Nv от продольной
силы. Находят ояот от действия попе-
речных нагрузок и подсчитывают при-
ближенную величину напряжений от из-
гиба. вызванных продольной силой:
апрой. им ' (120а)
Если аПрод.изг < ’ то напряжения от
изгиба, вызванные продольной силой,
можно не учитывать; здесь
. N , ^«ол + Ne
F + (Г •
Приближенный метод опре-
деления Л1. Наибольший прогиб / от
одновременного действия поперечных и
продольных нагрузок находится по при-
ближенной формуле
<121>
•Де /0 — наибольший прогиб от попе-
речных нагрузок и момента We; а —
W .
— о-----отношение продольной силы N
и критической Рк„ для данного бруса.
Знак минус при N сжимающей и плюс
прн W растягивающей.
Полный изгибающий момент при одно-
временном действии заданных попереч-
ных и продольных сил
^ти * Мноя + We + ^®-г (121а)
I + в*
Приближенные формулы (121) и (121а)
дают ошибку <2®/о при N <0.5РА„
(для — W) и при N<\0PKp (для + W)
(при постоянном знаке кривизны по
длине бруса).
В случае совместного действия раз-
личных видов поперечной нагрузки из-
гибающий момент (а также поперечные
силы и прогибы) находится как сумма
изгибающих моментов, получающихся
при данной продольной силе N от
действия каждой из поперечных нагрузок
в отдельности.
Точный метод определения М
заключается в решении дифференциаль-
ного уравнения упругой линии для из-
гиба прн одновременном действии попе-
речной и продольной нагрузок (см
стр. 119, а также |5). |8)).
Изгибающие моменты для основных
случаев продольно-поперечного изгиба
могут быть на основании точного ре-
шения подсчитаны по формулам табл. 23.
Графический метод определе-
ния изгибающих моментов прн про-
дольно-поперечном изгибе разработан
Н. Г. Ченцовым (см. (.111).
Проверка на прочность
’ - А+< 1’1- <1й)
Гнт wнт
где /Мт1х — наибольший изгибающий
момент, определяемый указанным выше
методом; FHm и полезные площадь
и момент сопротивления сечення; (cr|u—
допускаемое напряжение на изгиб (см
гл. XIV). Запас прочности при продольно-
поперечном изгибе падает непропорцио-
нально увеличению нагрузки в связи
с нелинейной зависимостью между на-
пряжениями и приложенной нагрузкой,
Проверка на устойчивость в плоскости,
перпендикулярной к поперечной на-
грузке. производится по продольной
силе N без учета поперечной нагрузки
(см. гл. X).
Изгиб и кручение
Общий случай (поперечное
сечение не является к р у •
г о ы). Суммарный изгибающий мо-
мент М и поперечная сила Q в
сечении разлагаются на составляющие
и Мъ О, и Qs по главным осям / и 2
сечения. Отдельно от Л1(. Мъ Qb О, и
момента кручения Мк находятся соот-
ветствующие им нормальные (от и Mj)
и касательные (от Qp м*) напря-
жения в сечении. Напряжение от Мг
и Мж находятся по формулам
/И, М}
°Л “77У1:’Л’,”'А
ХЛ). (123)
108
РАСЧЕТ БРУСА
Таблица 33
Изгибающие моменты дли основных случаев пролольно-аэперечного изгиба
I — пролет балки или ллинп к< жми
31
N
Поперечное сечение постоянное
Схеме брусе и уреепение изгибающего
момента
Схема бруса и уравнение нагибающего момента
„ Р I aln А» sin Аж , , . . ,1
* <0 - Т [------+ -"»<*- «)]
(при х < а последний член в кваератпых скобках
отбрасывается^
. 1 _____ sin 2«
max М при ж — — егссое -д —
Р.
1Ш1Ш111НЧ!
N
Х-0
м ,д _ Z. *»"**
Хе/ *•<?
Al 1X1 — t0J'n соз А (I — ж)
Значения уч (в) см. табл. 24
Mrnax-F^Al(l-CO,W-Wi,n *П
(при л — П
Р [cos Al-со» А (1-о) к_
М U1) - IP [------iWAJ------** ~
— cos Ax + 1 j:
— cob kx + cos A (x —o)l
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
109
Продолжение табл. 33
Схема бруса к уравнение изгибающего момента
11. л
Я К
Начало ««-if—5®?)- координат в середине пролета
12. -ми?
V. — начальный прогиб; л. .1 №"• — 2" • .
2 1+-$. ' '
13. .. 1 £ к
2 Sv'v S JT-0 *«/
(при х < а последний член в квахратных скобках отбрасывается)
14. N L xaaf N
*’0 х>1 м ._. _ . »н * « — X) L M^~L ,hju M|T)-rars
Схема бруса и уравнение изгибающего момента
1Д_ .. ю
Значения ** ~о **'<№ X.0.SI М (и) - - VQ (и) Pq (U) см. табл. 24
“ । Г_х
X’l х.о ,, Р *Ь *Х Ж W “ fc ch kl
17. g
№/ ^0 Л1 <xi = . ., ch * (I — xi ГП ЛГ
18. p
£ ПППИШГШШПШЖМ*’
' х-l х-0 "max" Wrt"‘ (при г — 7)
Таблица 24
Значении р, (и) («, дли продольно-поперечного нагиба к табл. 23)
a «« (a) a ’* W a T»(»< , a »*(•)
0 1.000 0 1,000 1,00
0,10 1,001 0,5 0,905 1,10 1,704 5,0 0,079
0,20 1,^16 1,0 0,704 1.Ю 1,98» 6.0 0,065
0,30 1,038 1.5 0,511 1,30 2,441 7.0 0,041
0,40 1,073 2,0 0,367 1,40 3,240 8.0 0,031
0,60 1,117 2.5 0.268 1.45 4.938 9.0 0,025
0.60 1,176 3.0 0,200 1.50 6,940 10,0 0,020
0,70 1.255 3.5 0,153 11,60 11,0 0,017
0,80 1,361 4.0 0,120 oo 12,0 0,014
0,90 1,504 4.5 0,097
110
РАСЧЕТ БРУСА
Напряжения от Qi и Q3 находятся с по-
мощью табл. 18.
Величины напряжений зависят как от
формы и размеров сечення. так и от
положения точки в сечении, для которой
они находятся. Для точек сечения,
в которых напряжения от каждого
из усилий достигают наибольшей вели-
чины. находятся алгебраические суммы а
нормальных напряжений и геометри-
отсутствии концентрации напряжений рас-
чет на прочность производится по прив-.-
денному моменту Л4ярнли приведенному
напряжению п„р, определяемым по фор-
мулам табл. 25. Для подсчета а„р может
быть использован график фиг. 68,
дающий коэффициенты а и ? в зависи-
мости от
бающего моментов н применяемой
отношения крутящего и нзгн-
мг
ческие суммы t касательных напряжений
(см. стр. ЮЗ).
Для точек сечения, где а и г имеют
наибольшие значения, определяются ве-
личины приведенных напряжений а„р по
формуле табл. 25.
По условию прочности должно быть
< 1«1-
Выбор величины допускаемого напря-
жения |в|, а также уточнения расчета
•на прочность см. гл. XIV.
Поперечное сечение кру-
говое (сплошное или полое). Расчет
может вестись по приведенному мо-
менту М„р
Суммарный изгибающий момент
Ма - j/’+ (124)
где и Л1г — изгибающие моменты по
отношению к любым двум взаимно пер-
пендикулярным центральным осям сече-
ния / и 2. Для кругового попереч-
ного сечения при изгибе и кручении и при
гипотезы прочности I, II, III, IV (см.
табл. 25)
Условие прочности:
Мпр
И. <125)
где 117 — — осевой момент сопротив-
ления круглого сечення.
Диаметр d сплошного вала
ляется по формуле
опреде-
Наружный диаметр D сечения по-
лого вала определяется по формуле
32 Мар а
I/ к (1 — а«)[е|: D
D
где d — внутренний диаметр сечения.
Прямоугольное сечение. Рас-
чет ведется по приведенному напряже-
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
111
Гоблина ?Д
Формулы для приведенных напряжений яПр и приведенных моментов МПр
вне— напряжения п поперечном сечении; е„ о,, о, — главные напряжения; а — относительная
/“о 2
продольная деформация; Ма = 1/ Л<‘ 4- М? — суммарный изгибающий момент; М* — крутящий мо-
мент в сечении; Е и р — модуль продольной упругости и коэффициент Пуассона материала; вр ту
и о eg — пределы текучести и пределы прочности соответственно при растяжении и кручении.
Уточнения расчета на прочность — см. гл. XIV.
Гипотезы прочности и состояние мяте* риала • Приведенные напряжения Привел синие моменты
через главные напряжения через 11»прнження на площадке попереч- ного сечения
Гипотеза наибольших нормальных напря- жений; хрупкое (1) «пр - та* 1«1 (—«1 или О.) -HWV Я* + 4т1 Л1Яр = 0.5Д1и 4- +°Л|/' м’+л»2
Гипотеза наибольших удлинений; хруп- кое (11) ‘пр- Е mu • = е Р («1 4" о,) •при IT, в направлении шах •) . _LzJ&,+ пр 2 + + v 0* + «”• При и ™ ОД: %p-°-3Sa + 4-0,66 У»> + 4т> Мпр = 2 Л1и + 4-Ц4/ л«2+лт2. При р = ОД: МЯ<,°ММ»В + 4-0,65)/ М^4-М2
Гипотеза наибольших касательных напря женнй; пластиче- ское (III) »в, - в. °пр Мпр--/<^Мк
Гипотеза касатель- ных октаэдрических напряжений; пла- стическое (IV) ’лр" •ир-^, + 3“ Мпр=/
Гипотеза Мора; для пластического со- стояния я — 2’г и для хрупкого ла «лл-О-О *4- 4-к/о'4-4т> M„-U-O3«at 4-«]/ +
нию апр. Если плоскость изгибающего
момента и плоскость действия попереч-
ной силы направлены параллельно длин-
ной стороне h прямоугольника (фиг. 69).
то наибольшие нормальные напряжения а
получаются на коротких сторонах пря-
моугольника. а наибольшие касательные
напряжения т на нейтральной линии
. 3 Q;
2 *л,( 26)
где А1| — изгибающий момент по отно-
шению к главной оси /; М„ — момент
Фиг. 69.
кручения; Qt — поперечная сила в глав-
ной плоскости, содержащей ось 2-, k -
коэффициент из табл. 4. Распределение
112
РАСЧЕТ БРУСА
ло сечению напряжений, вызванных
кручением, см. табл. 4.
Для точек сечения, в которых а и г
имеют максимальные значения, вычисля-
ются приведенные напряжения по фор-
мулам табл. 25.
Проверка прочности производится по
наибольшей величине олр:
опр < («1-
Выбор величины допускаемого напря-
жения [а], а также уточнения расчета
на прочность см. гл. XIV.
Изгиб и кручение при наличии
продольной силы
Вал кругового и некругового сече-
ния рассматривается как в общем слу-
чае сложного сопротивления (см. стр.ЮЗ)
РАСЧЕТ КРИВЫХ И ВИТЫХ БРУСЬЕВ
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
ПЛОСКИХ КРИВЫХ БРУСЬЕВ
БОЛЬШОЙ КРИВИЗНЫ
Ось кривого бруса лежит в плоскости
действия внешних сил.
Сечения бруса симметричны относи-
тельно той же плоскости (фиг. 70).
При отношениях-у-<5, где р — ра-
диус кривизны оси бруса, ай— размер
поперечного сечения бруса в направле-
нии радиуса р, в расчетах следует учи-
тывать влияние кривизны бруса.
Внутренние силы. В поперечных
сечениях бруса (фиг. 70) внутренние
силы упругости приводятся, вообще го-
воря, к изгибающему моменту /И, дей-
ствующему в плоскости кривизны, нор
шальной силе N, направленной по каса-
тельной к оси бруса, и поперечной
силе Q. направленной по оси симметрии
сечения.
Изгибающий момент и поперечная
сила связаны зависимостью
(127)
где ds — дифференциал длины оси бруса.
Условились считать изгибающий мо-
мент М положительным, если при изгибе
кривизна осн бру-
са в рассматривае-
мом сечении уве-
личивается.
Знак поперечной
силы Q устанавли-
вается из соотно-
шения (127). Нор-
мальная сила W
считается положи-
тельной, если она
является растяги-
вающей.
Напряжения
при чистом
изгибе
(Л1 / 0; Q — 0;
ЛГ = О)
В поперечном сечении бруса (фиг. 71. а
и tf) возникают только нормальные на-
пряжения
а _ М(и-г) М-у
Fu (р — г) Fe (г + у) ’
а > 0 соответствует напряжению растя-
жения; F — площадь поперечного сече-
ния бруса; и — расстояние любой точки
поперечного сечения бруса от оси КК,
проходящей через центр кривизны и
параллельной нейтральной оси 00
(фиг. 71. б):
У-и —Г, е~р-г,
г — радиус кривизны нейтральных во
локон;
(,2!"
’ J и
Значения г для сечения различной
формы приведены в табл. 26.
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ БРУСЬЕВ
113
Напряжение в точках сечения на
внешних (наружных) волокнах
Таблица X
Значения радиус» кривизны нейтрального
слоя для сечений различной формы
М(ин — г)
* Fu„(p—r) ’
(131)
Значения ut и цм см. на фиг. 71, б
(в тех случаях, когда центр тяжести се-
чения расположен близко к внутренним
волокнам бруса, | ан | > | ав |).
При предварительных расчетах на
прочность кривых брусьев прямоуголь-
ного и круглого поперечного сечения
можно пользоваться формулами [2]
Для прямоугольного сечення
Для круглого сечення
W
к(Р
32
(132)
Значения коэффициентов k, и кн при-
ведены в табл. 27.
Таблица 27
Значения козффициентоя и Л*
Подсчет г r числах должен прово-
диться самым тщательным образом,
так как в формулу (128) входит раз-
ность двух численно близких величин
риг.
Изменение нормальных напряжений
по высоте поперечного сечения h пред-
ставлено эпюрой на фиг. 71, в. Кривая
ab — гипербола.
Наибольшее напряжение, как правило,
развивается в точках поперечного сече-
ния, ближайших к центру кривизны
(внутренних):
М (и, - г)
• Fu, (р - г) ’
(130)
Приближенно для сечений прямо-
угольной формы при-£->1
Л
e-L-j
----;----; (133)
6-L-3
8 тон з
114
РАСЧЕТ БРУСА
для сечений круглой формы при > 1
si-,
л,---“----
8-L-,
(134)
Для сечений сложного очертания по-
ложение нейтральной линии следует
определять графо-аналитическим спосо-
бом А. С. Орлина [5] (фиг. 72).
Если найти приведенную площадь
Р 0- Г £—^-dP
J и
(135)
и положить
то
тогда
1-f ’
(136)
(137)
где й0 — р— ut— расстояние центра тя-
жести сечення от внутреннего волокна
бруса (фиг. 72, а).
Расстояние нейтрального слоя от оси
бруса (см. фиг. 71)
, ^»о—РФ
1-4-
(133)
Для вычисления интеграла (135) се-
чение разбивается на узкие полоски
равной ширины (фиг. 72, а). По сред-
ней длине х каждой полоски подсчиты-
вается приведенная длина
Л' „ * (“ ~
и
Приведенная площадь
f0 ~ V х'.
Отрезки х' удобно строить графически
(фиг. 72, б). Соединяем, например, точку п
контура сечения с центром кривизны К.
Луч из точки В, параллельный Кп.
отсечет на горизонте тп отрезок
-j-.
Откладывая от оси симметрии ВН
отрезок mN — 2mt — х', наносят точки N
контура BNH. ограничивающего приве-
денную площадь Fo. Таким построе-
нием находится любая точка контура
BNH. Площадь р^, заштрихованная на
фиг. 72, б, определяется в этом случае
планиметром. Расчет кривого бруса гра-
фическим способом см. [5].
Методами теории упругости изучен
чистый изгиб плоского кривого бруса
прямоугольного И круглого поперечного
сечения (I|, [6J.
Напряжение при изгибе плоского
кривого бруса в общем случае
(M/0; Л/у.0; Q/0)
Нормальные напряжения в попереч-
ном сечении бруса
° “ *м + eN< (139)
где ал вычисляется по формуле (128):
N
'N-jf. (140)
Условие прочности: о < [а], где [«] —
допускаемое напряжение.
Касательные напряжения в попереч-
ном сечении бруса распределяются при-
мерно так же, как в поперечном сечении
прямого бруса при его изгибе. Уточне-
ние вопроса см. [4]. При исследовании
напряженного состояния и определении
главных напряжений следует руковод-
ствоваться теми же приемами, что и
в случае прямого бруса.
Примгр. Рама клепальной машины (фиг. 13)
подвергается действию сил Р — 5 т. Определить
напряжение в точках А и В сечения Ав.
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ БРУСЬЕВ
115
Изгибающий момент в сечении АВ
М — -5000 (100 + 18 + 12) = -650 000 кГСМ.
Нормальная сила в сечения АВ
N = 5000 к Г.
Площадь сечения АВ
F —2-4-10 + 2-16 = 112 сМ>.
Радиус кривизны р = 30 см. Высота сечення
Л — 24 см.
Расчет следует вести по формулам для кривого
бруса большой кривизны.
Фиг. 73.
По формуле табл. 26 для двутаврового сече-
ния
------22 38 ----^2 ’ ЭТ<<3 СЯ-
1О1п^21пй + ,О,"35
Расстоямне нейтрального слоя от центра
жести сечения
тя-
С - р - г = 30 - 27.43 = 2,57 см.
По формуле (130)
— 650 000 (18 — 27,43) . , „
*» = 112-18(30 - 27,43)| “ +18° </1мЛ
По формуле (131)
- 650000 (42 - 27,43)
(12-42 (30-27,43) “ ~ 780 «ЛслЛ
По формуле (140)
1 5000 .. _
“N “ТЙГ “® 15 *Г|глЛ
По формуле (139) полное напряжение в точке А
ссчеиия АВ (фиг. 73)
ел — 4-1180 4- 45 - 1226 «ГДО.
Полное напряжение в точке В
•в - -780 4- 45 - -735 кГ)см<.
Потенциальная энергия. Потен-
циальная энергия U деформированного
кривого бруса, ось которого имеет
длину 8,
у Г / APds №ds ,
U 2j J \2EFtf + 2EF +
kQ*ds MNds\
+ ^gf- + ~eft)' (,41)
В формулу (141) M и N вносятся со
своими знаками- Е и О — модуль нор-
мальной упругости и модуль сдвига.
8*
Коэффициент k зависит от формы по-
перечного сечения: для прямоугольного
сечения к « 1,2; для круглого к а 1,1.
Вычисление перемещений. Для пло-
ского кривого бруса большой кривизны
перемещение точки его оси равно
. V С f мм^ j. NN>ds .
“Zd J \ EFef + EP +
kQQids (AW, 4- MMi) rfs\ .a.
' GF + EFp ) • 1 '
где /Ид, Ni и Qi— внутренние силовые
факторы в сечениях бруса от единичной
нагрузки, приложенной в точке, переме-
щение которой определяется по напра
влению искомого перемещения 5.
Если радиус кривизны бруса p>5h
то расчет перемещений ведется по
формуле
3
Если перемещение &, подсчитанное по
формуле (142) или (142а), окажется
отрицательным, то это означает, что пере-
мещение направлено в сторону, про-
тивоположную единичной нагрузке.
Угловое перемещение поперечного
сечения определяется по тем же фор-
мулам (142) и (142а), но /Ид, Ад и Q,
в этом случае будут внутренними сило-
выми факторами, возникающими от еди-
ничной пары, приложенной в том сече-
нии, перемещение которого определяется,
Напряжения в плоских кривых
брусьях круглого и прямоугольного
поперечного сечення при нагрузке,
действующей в плоскостях, нормаль-
ных к плоскости кривизны (фнг. 74)
Внутренние силы в сечении приво
дятся к центру тяжести и расклады-
ваются по осям /, п, b (фиг. 74). / — орг
касательной к оси. направлен по внеш-
ней нормали к поперечному сечению
бруса; п — орт главной нормали осн.
116
РАСЧЕТ БРУСА
направлен к центру кривизны; Ь — орт
бинормали, перпендикулярен_ плоскости
кривизны и образует с t и п правосто-
роннюю систему.
В общем случае в поперечном сече-
нии бруса возникают изгибающий мо-
мент Л1л, действующий в плоскости tb-,
крутящий момент Mt (Afz>0, когда со
стороны конца вектора t он направлен
против стрелки часов); поперечная
сила Qb — параллельная оси b (Q* > 0,
когда сила направлена вдоль осн о).
Напряжения в кривом брусе
круглого поперечного сече-
ния диаметра d (фиг. 75) по исследо-
ваниям Н. А. Чер-
нышева [7].
В точках А нор-
мальные и каса-
тельные напряже-
ния с достаточной
степенью точности
могут быть вычнс-
для прямого бруса
Mt
Фиг. 75.
лены по формулам
М„
U-^-n и
-re-
п., nrf®
где (Fn “ ’32-
Расчет на прочность должен вестись
по приведенному напряжению (см.
табл. 25).
В поперечном сечении бруса |вд|
является наибольшим нормальным на-
пряжением.
Наибольшее касательное напряжение
в поперечном сечении возникает в точке В
(фиг. 75), ближайшей к центру кри-
визны оси бруса:
ь Mt , Qa .
— kt + kb ~p »
4 ’
(143)
Условие прочности: т< [т], где [т] —
допускаемое касательное напряжение.
Значения коэффициентов А/ и kb при
коэффициенте Пуассона р — 0,3 приве-
дены в табл. 28.
Нормальное напряжение в точке В
равно нулю (ев — 0).
Напряжение в кривом брусе
прямоугольного поперечного
сечения (фиг. 76) по исследованиям
С. П. Демидова [3].
Таблица 23
Значение коэффициентов kt и
с достаточной степенью точности может
5 -
Фиг. 76.
быть вычислено, как для прямого бруса:
„ М*
’A W.
a/>2 ,
где «'я — -jr- (фиг. 76).
Касательное напряжение в точке .4
. Mt
А wK-
При коэффициенте Пуассона р — 0,3 в
- 0,33 0,5 0,8 1.0 1,2-5 1,5 2.0 3.0
Л = 1,32 1,26 1,09 1.0 0,92 0,86 0,80 0.75
М7, - чаЧ.
где ч находится в зависимости от вели-
b
чины отношения —:
-^— — 0,33 0Л ОД 1,0 1,25 1Д 2,0 ЭД
3 — 0,107 0,155 0,193 ОДСв 0,221 0,231 0,246 0,261
Наибольшее нормальное напряжение
в поперечном сечении развивается во
внутренних угловых его точках С
(фиг. 76):
М.
'c~k'wn-
Значения коэффицента k„ при коэффи-
циенте Пуассона р — 0,3 приведены
в табл. 29.
НАПРЯЖЕНИЯ У ВИНТОВЫХ ВРУСЬЕВ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ 117
Таблица 29
Значения коэффициента
р а Z>|a
0.33 0.5 0.8 1 1.25 1.5 2 3
2 1.21 1.22 1.28 1.34 1.40 1.43 1,45 1.47
2.5 1.17 1.18 1.22 1.27 1.32 1.34 1,37 1.38
3 1.14 1.15 1,19 1.23 1.26 1,28 1.31 1.32
3,5 1,12 1.13 1.16 1.19 1,23 1.24 1.26 1.27
4 1.11 1.11 1.14 1.17 1,20 1.21 1.23 1.24
5 1,09 1.09 1.П 1.14 1.1Б 1.17 1.18 1.19
Касательные напряжения в угловых
точках прямоугольного поперечного
сечения, как известно, равны нулю
(’с - 0).
Наибольшее касательное напряжение
в поперечном сечении возникает, как
правило, в середине внутренней его сто-
роны. т. е. в точке В (фиг. 76):
(,43а)
(F = ab).
Принимая коэффициент Пуассона
р — 0,3, имеем
у-ОДЗ ол ОД 1 1,25 1Д 2 а
*^-2Д? 2,19 1,83 1,72 1,64 1,81 1,56 1.53
Значения коэффициента приведены
табл. 30.
Таблица 30
9
Значения коэффициента
р Ь)а
а 0,33 0.5 0.8 1 1.25 1.5 2 3
1 1.28 1,23 1,18 1.14 1.11 1.10 1,08 1.05
2.5 1.22 1.19 1.18 1.11 1.10 1.08 1,06 1.04
а 1,18 1.16 1.11 1.09 1.06 1.07 1.05 1.03
8,5 1.16 1.13 1.09 1.08 1.07 1,06 1.06 1.03
4 1.14 1.12 1.08 1,07 1.06 1,06 1.04 1.02
1 1.П 1.09 1.07 1.05 1.05 1,04 1.03 1,02
Нормальное напояжение в точке В
равно нулю (яв — 0).
НАПРЯЖЕНИЯ У ВИНТОВЫХ
БРУСЬЕВ КРУГЛОГО
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Уравнения оси винтового бруса в ци-
линдрических координатах (фиг. 77)
х — R cos ?; у — R $1 п у; z — ?,
где R — радиус образующего цилиндра;
? — полярный угол; h — шаг винтовой
линии;
Й = 2z/? tg а,
где » — угод подъема винтовой линии.
Система кординат хуг для правой
винтовой линии выбирается правой.
Кривизна осн
1 COS5 а
Г“ R
(144)
(₽—радиус кривизны оси винтового
бруса).
Кручение оси
= slnacosa. (145)
К
Фиг. 77.
Кривизна и кручение оси пинтового
бруса постоянны во всех ее точках.
Кривизна бруса
характеризуется
отношением. —,
г
где г—радиус кру-
гового сечения. В
р
случае — > 10 ч-
•+• 12 прн расчете
винтового бруса с
достаточной сте-
пенью точности
можно пользовать-
ся формулами, раз-
работанными для
прямого бруса.
Внутренние си-
лы. В общем слу-
чае нагружения
силы упругости
приводятся к главг
ному вектору, который принято относить
к центру тяжести сечения. Главный мо-
мент и главный вектор раскладываются
по_осям t, и, Ь (фиг. 77).
t — орт касательной к оси, направлен
моменту и глав-
в сторону возрастания дуги s, отсчиты-
118
РАСЧЕТ БРУСА
ваемой по оси бруса; л — орт главной
нормали, направлен к центру кривизны;
6 — орт бинормали, перпендикулярен t и
п (система координат t, п, b выбирается
правой для правой винтовой линии
и наоборот); Л1я и Мь— изгибающие
моменты относительно осей л и b; Mt —
крутящий момент; Qn и Qb — составляю-
щие поперечной силы по осям л и Ь;
N— нормальная сила (составляющая по
оси Г)-
Внутренние силы Qn. Qb и N, при-
ложенные к части бруса, содержащей
начало отсчета дуги s (т. е. точку А
на фиг. 77), положительны, если они
направлены вдоль осей t, п, Ь в этом
сечении.
Моменты внутренних сил Mt, Мп. Мь,
приложенные к части бруса, содержа-
щей начало отсчета дуги (точку Я на
фиг. 77), положительны, если они .вра-
щают’ оси соответственно от t к л,
от п к Ь и от b к t по кратчайшему
расстоянию.
Напряженное состояние
(при отсутствии нагрузок,
распределенных по длине бруса)
Исследование напряженного состояния
в рассматриваемом случае проведено
методами теории упругости Н. А. Чер-
нышевым [7].
Наиболее напряженными являются
точки на внутреннем волокне бруса
(ближайшем к оси Z образующего ци-
линдра).
Значения компонентов напряжений
фиг. 78) в опасной точке К при коэф-
фициенте Пуассона р. — ОД
Для винтового бруса, нагруженного
по торцам силой Р, направленной по оси
образующего цилиндра (ось Z), имеем
в опасной точке К при ц — 0,3
. PR.
abb “ "ЬР 1
®М “ щ I
PR
ХЬ1 ” xtb = kP ifT •
(147)
Значения коэффициентов kbP, ktP и kp
приведены в табл. 31 в зависимости от
значений отношения ~ и угла «.
Сила Р, растягивающая винтовой брус,
вносится в формулы (147) со знаком
плюс.
Сила обратного направления вносится
со знаком минус.
~ V (0>1М'М® (у) + (°-246Л<ь - 0.096Л4, tg а -0,070рЛГ) (у)*] 5 (146)
’«-----[*f»+(0,87l>Mb-0,250pN)^J-|-(0,642A4b4-0.032Af,tga-0,074pN) (у/] ;
1
'нормальные напряжения а > 0 являются
растягивающими).
Формулы (147) находят применение
прн расчете винтовых цилиндрических
пружин растяжения-сжатия (см. т. 4.
гл. XVIII).
Для винтового бруса, нагруженного
по концам парами Мо, в плоскости, пер-
ВВЕДЕНИЕ
119
Таблица 31
Значения коэффициентов k^p. и *р
г *»р *Р
а • а
0* 15« 30° 0» 15’ 30* 0» 15» 33"
а 0 0,023 0,033 0 0.368 0,673 1.314 1,441 1,341
4 0 0,015 0.028 0 ОДП 0,625 1Л67 1.303 1,136
а 0* 0,008 0.013 0 од» 0,581 1,233 1,112 1,039
а 0 о,ооа 0,009 0 0,296 0,860 1,170 1,124 0,993
10 0 0,005 0,007 0 0,288 0,547 1,134 1,091 0,966
Га 1лица 31
Значения коэффицненгои *4(Я. */т *т
R г ^Ът *т
ж Ж Ж
0е 15’ 30’ 0» 15’ 30° О’ 15е 30’
а 0,079 0,069 0,045 1,362 1,288 1.098 0,000 0,314 0,585
4 0.054 0,047 0,062 1.258 1,196 1,028 0,000 о дю 0,562
а 0,033 0,029 0,020 1,163 1,112 0,968 0,000 0,286 0,541
а 0,023 0,021 0,014 1,119 1,073 0,942 0.000 0,279 0,531
10 0,016 0,016 0,011 1,094 1,050 0,926 0,000 0,275 0,624
пендикулярной к осн Z образующего
цилиндра (закручивающей парой), имеем
в опасной точке К при р. 0,3
. М9,
abb = Rbm уу »
ь М».
att и Rtm ург •
. М0
'bl — 'tb “ *m даГ •
(148)
Значения коэффициентов fcftni, ktm и
km приведены в табл. 32 в зависимости
от значений у- и угла а.
Момент Мл закручивающий винтовой-
брус, вносится в формулы (148) со зна-
ком плюс; момент, раскручивающий вин-
товой брус, — со знаком минус. Фор-
мулы (148) находят применение при
расчете винтовых пружин кручения
(см. т. 4, гл. XVIII).
Расчет на прочность ведется по при-
веденному напряжению (см. табл. 25).
РАСЧЕ1 НА ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ БОЛЬШОЙ ГИБКОСТИ
ВВЕДЕНИЕ
Большие перемещения при плоском
изгибе стержня характеризуются тем,
что взаимные перемещения двух точек
оси стержня имеют тот же порядок, что
и длина отрезка стержня между этими
сочками; угловые перемещения 8 столь
значительны, что при расчетах нельзя
принимать sin 8 о 8 и соз8 es 1.
В задачах изгиба в больших переме-
щениях искомыми величинами обычно
являются уравнение изогнутой оси стер-
жня, упругое перемещение какой-либо
точки стержня при заданной нагрузке,
напряжения, потенциальная энергия.
120
РАСЧЕТ БРУСА
упругая характеристика, т. е. зависи-
мость углового или линейного переме-
щения выбранной точки стержня в задан-
ном направлении от величины нагрузки,
траектория движения данной точки при
изгибе стержня и т. п.
При больших перемещениях не-
применимы принципы неизменности на-
чальных размеров и независимости дей-
ствия сил, а направление действия сил
и место их приложения к стержню могут
изменяться в процессе изгиба.
Аналитическое решение задач отно-
сительно громоздко; более просто за-
дачи решаются графически или графо-
аналитически.
Для двух наиболее часто встречаю-
щихся схем нагружения стержней на
фиг. 79 и 80 приведены результаты точ-
ного решения в виде графиков прогиба,
горизонтального смещения и угла пово-
рота конца стержня в зависимости от
величины силы Р. длины I и жесткости EJ
стержня на изгиб (Е — модуль упру-
гости материала, J — осевой момент инер-
ции поперечного сечення стержня).
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ [17], [18]
В основе атого метода лежит графи-
ческое построение формы изогнутой оси
стержня.
Ниже рассматривается построение изо-
гнутой оси стержней, начальная форма
которых прямая, дуга окружности или
ломаная линия и которые нагружены
сосредоточенными силами и моментами.
Поперечное сечение должно быть по-
стоянно по длине и иметь ось симметрии
в плоскости изгиба.
Деформации материала при изгибе
стержня могут и нс следовать закону Гука,
а также могут быть и упруго-пластиче-
скими. Изменение при изгибе кривизны
стержня может быть сколь угодно боль-
шим. Растяжение или сжатие стержня
не учитывается.
Решение в случае изменяюще-
гося по длине стержня попереч-
ного сечения и при наличии рас-
пределенной нагрузки (но при
упругих деформациях) см. [17].
Построение изогнутой оси стер-
жня, получающейся после
разгрузки благодаря наличию пла-
стических деформаций, см. [18].
Для построения формы изогнутой оси
стержня необходимо иметь график за-
висимости кривизны А — — (р — радиус
кривизны изогнутой оси) от величины
изгибающего момента М.
Эта зависимость при упругих дефор-
мациях определяется по формуле k —
— yiy М (Е — модуль упругости мате-
риала при растяжении, J — момент инер-
ции сечения), а при пластических дефор-
мациях получается при испытании на
изгиб образца стержня или строится по
диаграмме растяжения (диаграмме а —»).
Построение графика А — М
по диаграмме растяжения * — «
Это построение применимо, если ма-
териал имеет одинаковые характеристики
при растяжении и сжатии, а поперечное
сечение стержня симметрично относи-
тельно нейтральной оси.
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
121
Начальный участок графика до мо-
мента Mf= syW (ay— предел текучести
материала, W — момент сопротивления
поперечного сечення), при котором на-
чинаются пластические деформации, —
прямая, проводимая по уравнению k —
At (фиг. 81). Дальнейшая криво-
линейная часть графика строится по
Фнг. 81.
точкам. Для этого следует задаться ря-
дом значений кривизны k и определить
для каждого значения кривизны вели-
чину момента следующим построением
(фиг. 82).
Девее и ниже диаграммы а — «в про-
извольном масштабе вычерчивается по-
перечное сечение стержня так, чтобы
нейтральная ось была параллельна оси ».
По формуле «шм — -у А подсчиты-
вается деформация «т„ при выбранном
значении k (h — высота сечення). Вели-
чина «шах откладывается на осн «, и
полученная точка соединяется с точкой п
пересечения нейтральной оси с продол-
жением оси а.
На сечении стержня проводится на
произвольном расстоянии от нейтраль-
ной оси ряд линий, параллельных оси «,
через точки пересечения этих линий
с наклонной прямой mmajt проводятся
прямые, параллельные оси а, и на них
в произвольном масштабе откладываются
от оси в отрезки, пропорциональные
произведению ab (а — напряжение в не-
которой точке сечения, а b — ширина
поперечного сечения стержня в этом
месте).
По полученным точкам строится кри-
вая sb — i и затем по формуле М —
2
= .„ 5 подсчитывается момент, coot-
s'*
ветствующий принятой кривизне k (S —
статический момент относительно оси а
площади, ограниченной кривой ab и
осью «; для вычисления его площадь под
кривой аb делится на ряд полосок, па-
раллельных оси я, и подсчитывается
сумма произведений площади каждой
полоски на расстояние от центра тяжести
полоски до оси =).
Построение изогнутой осн
стержня'
Наиболее просто производится по-
строение изогнутой оси для стержня,
закрепленного одним концом и нагру-
женного на другом конце силой, нор-
мальной к осн стержня (фиг. 83, а—г).
Момент в произвольном сечении г
стержня равен произведению силы Р на
плечо z. Поэтому график k — М пред-
ставляет собой также график изменения
кривизны k по координате г (фиг. 83, а).
(Масштаб по оси г равен масштабу мо-
мента в графике k — М, деленному на
величину силы Р.)
Интегрированием графика k—i полу-
чается график, sin ? —х (фнг. 83, б), где
<1> — угол наклона касательной в произ-
вольной точке стержня.
Это интегрирование выполняется гра-
фически (см. т. I. стр. 183) или путем под-
счета площади под кривой и умножения
ее на масштабы построения по осям Анх.
При упругих деформациях материала
график sin? —я может быть построен
по формуле sin <р — г*.
Кривая sinf —X по тригонометри-
ческим таблицам перестраивается в кри-
вую tg ? — х (фиг. 83, в), а графическое
интегрирование последней дает изогну-
тую ось стержня в прямоугольной
системе координат уОх (фиг. 83, г).
Вблизи точки сжатия А построение
изогнутой оси затруднительно, так как
здесь tg <р -* со. На этом участке изо-
гнутая ось вычерчивается, как дуга
окружности радиуса R, определяемого
122
РАСЧЕТ БРУСА
кривизной при координате Z* (коорди-
ната z* соответствует значению sin ? — 1).
Длина л изогнутой оси до точки
с координатой z (фнг. 84, а) опре-
деляется следующим
построением.
«Я*
У'
О
Фиг. 85.
По
Фиг. М.
(фиг. 84, б)
(фиг. 84. а),
СЫр
ии f—Z
Фнг. 83.
кривой
строится кривая
интегрирование которой дает кривую
» — г (фнг. 84, г).
В том случае, когда сила Р соста-
вляет с осью стержня угол, отли-
чающийся от прямого на величину ?0
8иг. 85, а), кривая графика sin -f
иг. 85. а) поднимается или опускается
в зависимости от знака «ро на величину
sin <f0 (фиг. 85, б). Зависимость направ-
ления переноса кривой sln<f от направ-
ления угла <f0 указана на фиг. 85. Даль-
нейшие построения производятся так
же, как и в предыдущем случае.
Если до нзпбл стержень представляет
собой дугу окружности (фиг. 86, в —
тонкая линия), то кривая графика k — г
поднимается или опускается в зависи-
мости от знака кривизны на величину
начальной кривизны кнач (фиг. 86, а),
после чего построения производятся
аналогично первому случаю (кривизна
к < 0, если изогнутая ось обращена
выпуклостью в сторону оси у).
Изогнутая ось стержня, нагружен-
ного силой Р и моментом М, строится
так же, как для стержня, нагруженного
только силой Р, но имеющего начальную
кривизну кН1ч (эта кривизна опреде-
ляется по графику к — М).
При построении изогнутой оси
стержня, состоящего из участка»
различного поперечного сечения,
на графике k — z наносятся кри-
вые для каждого участка. Сначала
строится изогнутая ось по кри-
вой k — z для первого участка.
затем определяется конец первого участ-
Так же по участкам строится изогну-
тая ось стержня, нагруженного несколь-
кими силами. После построения оси на
первом участке и определения коордн-
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
123
наты zj конца его сила Р приводится
к началу второго участка, где опреде-
ляется равнодействующая R сил Р\ и Р2.
, Затем строится
Фиг. 87.
изогнутая ось для
второго участка,
который рассма-
тривается как стер-
жень, нагружен-
ный силой R и
моментом PjzJ
(фиг. 88).
Для стержней,
состоящих из
отрезков прямых,
соединенных под
углом, или дуг
окружностей, изо-
гнутая ось строит-
ся также по участ-
кам.
После построе-
ния изогнутой оси
первого участка и определения коорди-
наты Zj (фиг. 89) стыка первого и вто-
рого участков кривая sin? для второго
участка поднимается или опускается
(в соответствии со знаком угла?* между
первым и вторым участком) на величину
синуса этого угла. Затем по этой изме-
ненной кривой sin? строится изогнутая
ось второго участка, определяется коор-
дината г? стыка второго и третьего
участков и т. д.
124
РАСЧЕТ БРУСА
Для построения изогнутой оси стержня,
начальная форма которого — произволь-
ная кривая (см. фиг. 90, а), следует эту
кривую заменить ломаной, состоящей из
отрезков прямых линий (фиг. 90, б) или
прямых и дуг окружностей (фиг. 90, «).
В последнем случае точность построения
будет выше.
Применение построения
изогнутой оси
для решения задач
Решение конкретных задач с исполь-
зованием графического построения изо-
гнутой оси производится методом после-
довательных приближений. Это объяс-
няется тем, что, как правило, для
деформированного состояния стержня
неизвестно направление приложенных
к нему сил, а в тех случаях, когда за-
дана величина деформаций, приходится
задаваться значениями нагрузок. Прак-
тически достаточная точность решения
обычно получается уже при втором при-
ближении.
Пример !. Определить прогиб / ьонсольиой
балки под действием приложенной к ее концу
еилы Р постоянного направления (фиг. 91).
Так как к деформированном состоянии балки
угол между еа осью и линией действия силы неиз-
вестен, построение изогнутой лнини удобнее начать
с заделанного конца, задавшись величиной реак-
тнвиого момента .М-. Построение проводится
только до того значения координаты г — г', при
котором кривизна * — 0.
Проведя решение, следует сравнить принятую
величину A1fco значением момента Ре' и повто-
рить построение, приняв новую уточненную вели-
чину Проверка решения может быть пронэ-
Примр 3. Определить прогиб / балкн, лежа-
щей на опорах и нагруженной вертикальной си-
лой Р по середине пролета (фиг. 92).
Как и предыдущая, вта задача решается мето-
лом последовательных приближений.
Задаемся углом 0 поворота балкн на опоре.
При изгибе балка скользит по опоре, н между
ними возникает трение; поэтому сила R реакции
опоры составляет с нормалью к осн балки угол %,
равный углу трения. Величина силы R опреде-
ляется из условия равенства ее вертикальной
проекции половине силы Р, т. е.
Р
2 СОЗ (в — Ф,)
Ход построения изогнутой линии (фиг. S3) ана-
логичен построению, приведенному на фиг. 85.
Далее на графике изогнутой оси откладывается
прямая ВО и прямая ОА (до пересечения с изо-
гнутой линией). Затем определяется значение
координаты г' точки А приложения силы Р и по
кривой sin » находится величина угла у*.
Сравнивая углы р* и в, следует уточнить зна-
чение р* и еще раз пронести решение.
ГРАФО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ
РЕШЕНИЕ |8)
(Метод упругих параметров,
по Е. П. Попову)
Основные ограничения *
1. Стержень нагружен сосредоточен-
ными силами и моментами только по
концам.
2. Форма стержня до нагружения —
прямая или дуга окружности.
Стержень, имеющий до деформации,
форму дуги окружности радиуса R,
эквивалентен прямому стержню, изогну-
тому моментом М — Гс— жесткость
• Общий метол Е. П. Попова приводится здесь
только для задач,удовлетворяющих перечисляемым
ниже огряниченням.
ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
125
при изгибе; для стержней С •• EJ, для
тонких полосок (пластинчатых пружин)
EJ < С < т----=; J — осевой момент
1 — Г
инерции поперечного сечения стержня;
Е — модуль упругости материала при
растяжении; ц—коэффициент FlyaccoHaj.
3. Поперечное сечение стержня по-
стоянно по всей его длине и имеет в
Методы приведения задач к условиям
основного класса, а также решение за-
дач, не сводящихся к основному классу
(распределенная нагрузка, произвольно
искривленная начальная форма и пр.),
см. [8]. Там же дан аналитический метод
решения задач.
При решении задач графо-аналити-
ческим методом необходимо прндер-
Фиг. М.
плоскости изгиба ось симметрии и наи-
меньшую жесткость.
4. Стержень нерастяжнм, но при из-
гибе длина расчетной части его осн
может изменяться, например, за счет
проскальзывания в опорах (фиг. 94, б н
ж) или перемещения точки приложения
нагрузки (фиг. 94, г).
5. Изменение кривизны оси стержня
при изгибе может быть сколь угодно
большим, но при этом напряжения в
любой точке стержня не должны пре-
восходить предела пропорциональности,
Стержни, отвечающие перечисленным
условиям, называются стержнями основ-
ного класса.
Примеры, иллюстрирующие изгиб та-
ких стержней в больших перемещениях,
см. на фиг. 94, а — в. На фиг. 94, ж — м
показаны стержни, состоящие из не-
скольких участков.
Если каждый участок отвечает усло-
виям основного класса, то при решении
задач участки рассматриваются как от-
дельные стержни основного класса, а на
стыках они связываются силовыми и
«еометрическими краевыми условиями.
живаться определенных правил выбора
координат, знаков, отсчета углов и ли-
нейных величин, а также пользоваться
рядом специфических приемов, понятий
и терминов, которые ниже и излагаются
перед примерами решения задач. После-
довательность расчета см. стр. 135.
Выбор координат, правила отсчета
и знаков
Один конец стержня (фиг. 95) выби-
рается начальным (точка О}, а другой —
концевым (точка L). В недеформнрован-
ном состоянии стержень изображен
12G
РАСЧЕТ БРУСА
пунктиром, а в деформированном (изогну-
том)—сплошной линией. Всем величинам
(момент, кривизна и пр.), связанным
с начальной точкой стержня, присваи-
вается индекс О, а с концевой L.
Отсчет длины дуги s до произвольной
точки Т оси стержня производится от
начальной точки О- Положительное на-
правление касательной принимается по
направлению отсчета дуги s.
Длина всего стержня обозначается
буквой I.
Помимо произвольно выбираемой не-
подвижной системы координат- хО'у
вводится вспомогательная система ко-
ординат х'О'у', ось х' которой прово-
дится параллельно линии действия
силы Р, приложенной в начальной
точке О, и в направлении этой силы
Если в процессе изгиба стержня напра-
вление линии действия силы Р изме-
няется, то соответственно поворачи-
вается и ось х'.
Наклон оси х к оси х' измеряется
углом 6. При правой системе координат
положительное направление отсчета 8 —
против часовой стрелки.
Координаты произвольной точки Т оси
недеформированного стержня обозна-
чаются X, К, а той же точки, но на
изогнутой оси — х, у.
Углы & и С наклона касательной и
координаты произвольной точки изогну-
той оси в системах координат хО'у и
х'О'у' связаны соотношениями 8— С—8;
х — х' cos 8 + у' sin 8; у — у' cos 8 —
— х' sin 8.
В начальной точке О изогнутой оси
значения углов 6 и С берутся в интер-
валах 0 <90 < я илн0>80> —я и 0<
<Со< я или 0 > Со> — я, а затем вдоль
изогнутой осн углы & и С меняются непре-
рывно (фнг. 96).
Знак кривизны — определяется в
этом графо-аналитическом методе зна-
ком производной
JL- — —
р “ ds ds ‘
Изгибающий момент в произвольном
сечении стержня подсчитывается как
,И = p(y'L — у') -j- AfL
и считается положительным, если он
увеличивает положительную кривизну
или уменьшает отрицательную.
Условия геометрического подобия
стержней •
Две кривые геометрически подобны,
если соответственные угловые размеры
их равны, а линейные—пропорциональны.
Достаточным условием подобия изо-
гнутых осей стержней является соот-
ветственное равенство любых трех из
пяти так называемых коэффициентов по-
Г р
добия'. силового р -= / V уг. момент-
М9 + ~
ных — в начальной точке шп — —
С У
^ + 4-
и концевой точке <>» =• —==— (знаки
Крс
<>0 и «£ совпадают со знаками кривизны
в точках О и L) и угловых — в началь-
ной точке Со — &0 + 8 ив концевой
Q “ + *•
Три из этих коэффициентов подобия
могут быть найдены из граничных усло-
вий задачи.
форма изогнутой оси
Изогнутая ось стержня может иметь
характерные точки (фиг. 97) сжатия
(фиг. 97) сжатия
(т. с.).
(/я. л.).
Фнг. 97.
растяжения (т. р.) и перегиба
Кривизна -у- и угол С в этих
ГРАФО АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
127
точках принимают следующие значения:
v—0; =
“т.л
|—*—J - mln; Cm p - (2л4- l)n
(n — целое).
Нормаль к изогнутой оси, проведен-
ная в т. с. или т. р., является осью
перегиба, относится к перегиб кому роду,
а имеющая точки растяжения — к беспе-
регибному роду.
Если на изогнутой оси стержня пет
ни точек перегиба, ни точек растяжения,
то она может относиться или к перегиб-
ному, или к бесперегибному роду. В этом
случае ее род может быть определен
по соотношениям абсолютных значений
коэффициентов подобия для начальной
к концевой точек стержня:
“о I * I2 cos 1 и | | •
Фиг. 98.
изогнутой оси; т. п. является центром
симметрии. Точки перегиба и растяже-
ния не могут одновременно иметь места
на изогнутой оси стержня основного
класса. Изогнутая ось, имеющая точки
Следует также иметь в виду, что при
изгибе первоначально прямого стержня
только силой изогнутая ось будет пере-
гибного рода (точка перегиба находится
в месте приложения силы). Если, кроме
128
РАСЧЕТ БРУСА
этой силы, прикладывать еще посте-
пенно увеличивающийся момент, то изо-
гнутая ось сначала будет перегибного
рода (но точек перегиба на ней может
и не быть), а затем, по мере увеличе-
ния момента, она перейдет в форму
бесперегибного рода. Если же первона-
чально прямой или кривой стержень
нагружен некоторым моментом и посте-
пенно увеличивающейся силой, то изог-
нутая ось будет вначале бесперегиб-
ного рода, а затем, по мере увеличения
силы, она перейдет в форму перегиб-
iioro рода.
Периодические упругие кривые
Изогнутая ось стержня основного
класса при любых величинах и соотно-
шениях нагрузок принимает форму, по-
добную некоторому участку так назы-
ваемой периодической упругой кривой.
Бесконечное множество форм периоди-
ческих кривых разделяется на девять
видов. На фиг. 98 показана форма пе-
риодических кривых нечетных видов,
т. е. видов обозначенных на фиг. 98
нечетными номерами (/, 3, 5, 7,
9 и 9а). Каждый из четных видов
(2, 4, 6, 8 и 8а) имеет бесчислен-
ное множество форм, являющихся про-
межуточными в пределах форм соответ-
ствующих нечетных видов. На фиг. 98
для каждого четного вида показана одна
из возможных форм. Точки А, С, Е, ...
периодической кривой — точки сжатия.
В, D, F,..., АГ... — точки перегиба на
кривых видов 1—6 — кривых перегиб-
ного рода и точки растяжения на кри-
вых видов 8, 9 и 8а, 9а — кривых бес-
перегибного рода. Кривая вида 7 — пе-
реходная между кривыми перегибного
и бесперегибного рода, она не имеет
ни точек растяжения, ни точек перегиба.
Все ветви (WA АВ, ВС, CD. DE,
EF, ...) какой-либо периодической кри-
вой имеют одинаковые размеры и форму.
Ветвь АВ называется главной ветвью.
Периодические кривые построены
в безразмерных координатах 5, т).
Начало координат помещается в на-
чале главной ветви (точка Л); ось т)
проведена по нормали к периодической
кривой.
Связь изогнутой осн стержня
с периодической кривой
Безразмерные величины отрезка OL
периодической кривой, подобного изо-
гнутой оси стержня OL (фиг. 99), свя-
заны с размерными величинами этой
изогнутой оси следующим образом:
1) координаты 5 и 1 с координатами
х' и у' — формулами
2) длина дуги s от начала О до про-
извольной точки Г изогнутой оси OL
связана с безразмерной длиной X от на-
Фнг. 99.
чала А до соответствующей точки Т
периодической кривой соотношением
s = -—jj—- I (или X •- Хф -|- > (150)
длина отрезка OL периодической кри-
вой, являющегося подобием изогнутой
оси OL, равна силовому коэффициенту
подобия:
Хд-Ае-Р; (150а)
3) кривизна ш произвольной точки
периодической кривой равна моментному
коэффициенту подобия, вычисленному
для соответствующей точки изогнутой
оси:
М + ~R 4 Л Л
4) углы С в соответствующих точках
изогнутой оси и периодической кривой
равны.
Упругие параметры
Координаты 5 и Г| произвольной точки
главной ветви обозначаются и т)', а если
начало координат находится в конце
ГРАФО АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
129
главной ветви (в точке В) и оси коор-
динат имеют обратное направление,
то с' и т]* (см. фиг. 100). Длина дуги X,
отсчитываемая до произвольной точки
главной ветви от точки А, обозна-
чается к', а от точки В обозначается )Д
Е', у и, V для точки В обознача-
ются Sgo, %) и k^j, а 6", ц* и К' для
точки А обозначаются Ео, ти и Хр.
Имеют место соотношения Е* — Ео —Е';
*Г — ъ — <; X' — Х^ — к' и Е' — Е^> — Е';
т,' = 4)90 — т|*; к' — к9() — к', а также Едд—
= ^0 • ’Ию = ’к» > ^9о “ •
Кривизна ш и угол С для точек глав-
ной ветви обозначаются ш' и С'.
Величины Е'. т)', к', и', С', Е', rf и X*
называются упругими параметрами
точки периодической кривой.
Для произвольной точки любой ветви
периодической кривой величины Е. т|. X,
С и ь> могут быть выражены через упру-
гие параметры соответственной точки
главной ветви (соответственными назы-
ваются точки, совпадающие при нало-
жении ветвей друг на друга, например
точки Т, Г,, Тг и Г3 на фиг. 100). Так,
например, для
точки Г8 вели-
чина X может
быть вычислена
как X = 2X90+X'
или X—ЗХдд —X*,
величина т;
как т, - +
+ т' ИЛИ Т) —
-ат/,,,—п'ит.д.
Формулы пе-
рехода К упру- Фиг. 100.
гнм параметрам
для различных ветвей периодической
кривой даны в таблице перехода к упру-
гим параметрам (табл. 33). Для пользо-
вания этой таблицей надо сначала найти
ту ветвь периодической кривой, на ко-
торой расположена начальная точка
отрезка периодической кривой, подоб-
ного изогнутой оси стержня.
Таблица 3J
Переход к упругим аяряметрям
Характер кривых Пара- метры Ветвь периодической упругой кривой (фнг. 100), на которой лежит даныли точка
NA АВ ВС CD DE EF и т. л.
Все кривые X- -X' 4 X' ®i>-v 2Х^ + Х« я
Е- -Е' + *' «io-V <о+»' . . о
Криеые перегибкого рола 4“ + ч' + ч' 2^-4' ^г,90 “ + ч’ + ч'
с- — с* +«' -С' -С' +<* • •
•о • — о/ (У* +-' • ♦
Кривые беспере гибкого рода положительной кривизны ч — г,' + ч' + ч' + ч' + ч' + ч' . я
с — — С' к* 2» -V 2« + С’ Чя —С* «•+<»
а» « +-' +•’ + •' +»'
отрицательной кривизны ч- - ч' -ч' - Ч' - ч' -ч' - ч'
с - 21« + С» Зя-С' +«' -С' — (2к—С') -<2«+С'> •
W — — w' - в» — 0>* - «I* — •' - «' • -
9 Том 3
130
РАСЧЕТ БРУСА
Линии ц'-const --Линии
Фиг. 101.
ГРАФО АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ' 131
Й*
132
РАСЧЕТ БРУСА
ГРЛФО АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
133
134
РАСЧЕТ БРУСА
Это производится по табл. 34 соот-
ветственно знаку в начальной точке
изогнутой оси стержня кривизны
и угла Сд.
Так, например, стержень OL (фиг. 99)
в начальной точке О имеет отрицатель-
ную кривизну < 0^ и отрицатель-
ный угол (0 > Со > —*). и из табл. 34
следует, что начальная точка О отрезка
OL периодической кривой, подобного
изогнутой линии стержня, лежит на
ветви CD.
Определение ветви периодической кривой
Знак кривизны началь- ной точке О изогнутой оси Знак угла в начальной точке О изогнутой осн Ветвь периодиче- ской упругой кривой,на которой лежит отображе- ние начальной точки О изогнутой осн
Н).>« -« < Со < 0 0<Со< + » ЛА АВ
(!).<• + к>С,>0 0>Са> -« ВС CD
Диаграммы упругих параметров
Значения упругих параметров для
различных точек главной ветви перио-
дических кривых подсчитаны и све-
дены в диаграммы упругих параметров
(фиг. 101 — 104).
На этих диаграммах в некоторых
координатах а—<р проведены линии
одинаковых значений упругих параме-
тров.
Каждой величине 'а соответствует
определенная форма периодической кри-
вой (для вида / а — 0°, вида 2 0° < а <
<45°, вида 3 а — 45° и т. д.). Верти-
каль а — 90° делит диаграммы пополам.
Упругие параметры для периодических
кривых перегибного рода даны на левой
половине диаграмм, а для периодических
кривых бесперегибного рода на правой
половине.
Различные значения <f соответствуют
разным положениям точки на главной
ветви. В начальной точке Л f - 0°, а
в конце ветви (точка в) у —90°.
Отображение изогнутой оси
стержня на диаграмме
упругих параметров
Главная ветвь периодической кривой
на диаграмме упругих параметров ото-
бражается вертикалью АН (фиг. 105),
а отрезок OL главной ветви — верти-
кальным отрезком OL диаграммы.
Отрезок периодической кривой, рас-
положенный на двух ветвях, отобра-
жается на диаграмме упругих параме-
тров двойной линией. (Так, например.
Таблица 34
отрезок ODL (см. фиг. 99) отображается
линией ODL (фиг. 106); линии диа-
граммы, отображающие участки кривой,
симметричные относительно точки пере-
гиба D. накладываются друг на друга.]
Для определения в
положения на диа-----------~
грамме упругих па-
раметров любой
точки отрезка пе- *
риодической кри-
вой, подобно! о 9
изогнутой оси 1——
стержня, надо Фиг. 106
знать, к какому
роду (перегибному или бесперегнбному)
относится изогнутая ось, и найти вели-
чину любых двух упругих параметров
для данной точки. (Для определения
положения характерных точек доста-
точно знать величину одного упругого
параметра, так как точкам сжатия отве-
чает ось абсцисс (<f — 0°) диаграммы
упругих параметров, точкам перегиба —
левая половина (левее в — 90°) верхней
горизонтали (<f — 90°), а точкам рас-
тяжения — правая половина (правее
а — 9Э°) верхней горизонтали.] После
нахождения на диаграмме упругих пара-
метров положения одной точки любая
последующая точка определяется вели-
чиной только одного упругого пара-
метра, так как первая точка уже дала
положение вертикали, отображающей
отрезок периодической кривой.
ГРАФО АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
135
Применение периодической
упругой кривой
и упругих параметров
для решения задач
Решение любой задачи сводится
к отысканию на диаграмме упругих па-
раметров отображения отрезка периоди-
ческой кривой, подобного изогнутой
оси стержня.
Найденное на диаграмме положение
точек, отображающих начальную, кон-
цевую и какие-либо иные точки изогну-
той оси стержня, дает для каждой точки
величину всех восьми упругих параме-
тров, зная которые можно вычислить,
пользуясь табл. 33. величины 5, т;, К. ш
и С, а затем по этим величинам в соче-
тании с- условиями задачи решить все
вопросы задачи, т. е. найти, например:
уравнение изогнутой оси (в параме-
трической форме)
x — Jto+|-l(e—50)cosb +
+ (’>-’») «М; (152)
У = Уо + 4" cos* —
— (6 — ?o)sin4:
угол наклона касательной к оси х
в произвольной точке изогнутой оси
»-( - 8; (153)
связь между силой Р, длиной I стержня
и его жесткостью С (хотя бы одна из
атих величин должна быть задана
в условии задачи)
(154,
момент в произвольной точке
Л1--£-(₽<«--±); (155)
напряжение в произвольной точке
о —
I Л4|
(156)
(W— момент сопротивления сечення);
потенциальную энергию деформаций
V-PI
(шд — кривизна в точке А периодиче-
ской кривой);
уравнения (параметрические) для по-
строения упругих характеристик:
а) силовой: сила Р — проекция q вза-
имного перемещения.концов стержня на
линию действия силы:
С
Р=Р±--, 9-= № - Хо) соз8я —
- (П. - Го) sin», - (JL - Jo) ~ (1.58a)
(s« —угол между осями x и x' в на-
чальный момент деформации стержня);
б) моментной для начальной точки:
момент Л1„ в начальной точке — угол Со
ее поворота;
Л<0 = -----; С#; (1586)
в) моментной для концевой точки:
момент Ml в концевой точке — угол Сд
ее поворота:
Alt ——(158в)
траекторию произвольной точки стер-
жня [строится по уравнениям (152)]
и т. д.
Схема и порядок решения задач
Решение любой задачи проводится по
следующей схеме:
а) определяются величины коэффи-
циентов подобия по заданным условиям
задачи;
б) для начальной и концевой точек
отрезка периодической кривой, подоб-
ного изогнутой оси стержня, определя-
ются величины некоторых упругих пара-
метров и по их значению отыскивается
отображение изогнутой оси на диаграмме
упругих параметров;
в) соответственно значениям упругих
параметров, найденных по диаграммам,
определяются по формулам (152) —(158)
все искомые величины.
Целесообразно придерживаться сле-
дующего порядка решения задач:
1. Составить схему закрепления и на-
гружения стержня и убедиться в том.
что рассматриваемый стержень нахо-
дится в условиях, соответствующих
основному классу стержней (см. .Основ-
ные ограничения*, стр. 124).
2. Наметить в соответствии с данными
задачи примерную форму изогнутой осн.
136
РАСЧЕТ БРУСА
3. Отметить начальную и концевую
(О и L) точки стержня, выбрать начало
координат (точка О') и провести оси
координат ху и х'у' (положение отно-
сительно стержня точки О' и осей ху
произвольно и определяется только сооб-
ражениями удобства решения задачи).
О направлении осей х'у' см. .Выбор
координат, правила отсчета и знаков",
(стр. 125).
4. Подсчитать значения или соотно-
шения тех коэффициентов подобия, ко-
торые могут быть вычислены из условий
задачи.
5. Определить род (перегибный или бес-
перегнбный) изогнутой оси (см. .Форма
изогнутой оси*, стр. 126).
6. Установить знаки углов % и и знак
кривизны (см. .Выбор координат,
правила отсчета и знаков*, стр. 125).
7. По табл. 34 определить ветвь пе-
риодической кривой, на которой лежит
начальная точка отрезка периодиче-
ской кривой, подобного изогнутой оси
стержня.
8. Пользуясь формулами (149)—(151)
(см. .Связь изогнутой оси стержня с пе-
риодической кривой*, стр. 128). выразить
значения или соотношения безразмерных
величин 6, т), X, С и «о через коэффи-
циенты подобия н заданные условия
задачи.
9. По табл. 33 определить величину
или соотношения упругих параметров
точек главной ветви, соответственных
начальной и концевой точкам отрезка
периодической кривой, подобного изо-
гнутой оси стержня (см. .Упругие пара-
метры*, стр. 128).
10. Найти на диаграмме упругих пара-
метров отображение изогнутой оси
стержня (см .Отображение изогнутой
осн стержня на диаграмме упругих
параметров*, стр. 134).
11. По формулам (152) — (158) (см.
.Применение периодической упругой
кривой и упругих параметров для реше-
ния задач*, стр. 135) вычислить все
искомые величины задачи, выразив с по-
мощью табл. 33 безразмерные вели-
чины 5, т), X, С и ш в этих формулах
через упругие параметры. Значения
последних взять из диаграмм упругих
параметров.
Пример I. Прямой стержень длиной / н жест-
костью С одним конном заделан, а на другом на-
гружен силой Р, направленной под постоянным
углом Ф к первоначальной оси стержня (фиг. 107).
Найти вертикальное и горизонтальное смете*
низ и угол поворота конца стержня, определить
момент п заделке н подсчитать потенциальную
анергию изгиба.
Решение.
1. Ограничения для стержней основного класса
(см. стр. 12-1) выполняются условиями задачи.
2. Намечаем форму изогнутой осн (фиг. 107).
Приняв заделку за начальную точку О,
3. Приняв заделку за начальную точку О,
а свободный копен стержня за концевую L, про-
ведем через точку О оси координат х. у, напра-
вив ось X по стержню. Из той же точки О про-
ведем оси -г', у' вспомогательной системы коор-
динат (фиг. 107), направив ось х' под углом 8 = ф
к оси х (см. стр. 126).
4. Поскольку кривизна в концевой точке L
равна нулю, а стержень до нагружения прямой,
моментный коэффициент подобия для точки L ра-
вен нулю, т. е.
кн О угловой коэффициент подобия С« равен
углу 8, но из условия задачи 8 — ф и, следова-
тельно, Со •• ф.
Так как значения силы ₽, длины I и жестко-
сти С стержня заданы, то величина силового
коэффициента подобия может быть вычислена:
&. Изогнутая ось стержня — перегибиого рола!
концевая точка L - точка перегиба, так как конец
первоначально прямого стержня нагружеи только
силой (см. стр. 127).
6. При принятом направлении осей х' и у'
кривизна и угол С в начальной точке положи-
7. По табл. 34 устанавливаем, что точка О ле-
жит на главной ветви; концевая точка L является
первой точкой перегиба и, следовательно, совпа-
дает с концом главной ветви — точкой В (см.
фнг. 108).
8. По величине трех коэффициентов подобия fl,
и Сп Определяем (см. стр. 124) для начальной
и концевой точек отрезка OL периодической крн-
ГРАФО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
137
вой, подобного изогнутой о«и стержня, безразмер-
ные величины ш. — 0 н Со-=ф н соотношение
9. В соответствии с табл. 33 устанавливаем:
10. По значениям мух упругих параметров для
точки О: С, — ♦ » Ч “ 3 находим отображение
этой точки на диаграмме упругих параметров (см.
фиг. 108). Отображение точки L должно лежать
иа вертикали, проходящей через отображение
точки О, а так как точка L — точка перегиба, то
ее отображение лежит на верхней горизонтали.
Вертикальный отрезок OL диаграммы упругих
параметров является отображением отрезка OL
периодической кривой (см. фиг. 106).
11. Теперь можно найти величины всех упру-
гих параметров для точек О н 4, а зная их по
формулам (152), (153), (135) н (157) колучим ответы
на все вопросы задачи:
1) вертикальное перемещение конца стержня
yL = у (\ со> Ф - I* sin ф);
2) горизонтальное перемещение
- у (f еовф+ т£ aln ф);
3) угол поворота конца
•t-4-Ф;
4) момент п заделке
зИ.« И;
5) потенциальная энергия деформаций
(здесь мд — параметр ш'. взятый для точки А (си.
фиг. 108)1.
Hpuntp 2. При включении фрикционной муфты
колодки I прижимаются к оболу 2 ленточными
пружинами 3. В ненапряженном состоянии (штри-
ховая линия па фиг. 109) пружина имеет форму
дуги окружности радиуса Я.
Определить рабочее усилие, развиваемое одной
пружиной во включенном положении, наибольшее
усилие, которое должно быть приложено к вклю-
чающему кольну 4 для включения муфты, усилие,
удерживающее кольцо во включенном положении,
и наибольшее напряжение в пружине.
Материал пружин — никелекрсмиистая пру-
жинная сталь ЫС2Н2А (£ — 1,96-10* кГ1млР,
— 175 кИмм1, « 16Э кГ)ммЦ.
Размеры пружины и элементов муфты:
/? — 160 мм, » — 30 мм, А — 0,8 мм, / - 130 мм,
s, — 48 мм, 12 мм.
Решение.
1. Пружина представляет собой гибкий стер-
жень, удовлетворяющий основным ограничениям
2. Составим схему закрепления, нагружения и
деформации пружины (фиг. 110). Сила Г - проек-
ция силы Р-.включающая- сила. Нормаль, проие
денная в середине пружины, является осью сим
метрик. При решении удобно рассматривать
половину пружины, считая пружину закрепленной
в середине (фиг. 111\
Фиг. 109.
3. Выберем начальную точку О в заделке,
а концевую 4 иа нагруженном конце пружины ж
проведем осн х' и у' (фиг. 111).
Силовой коэффициент подобия
(Длина пружины
138
РАСЧЕТ БРУСА
Так как О <а 37,5Л, то жесткость С подсчитаем
«к> формуле
r Е ЬН‘
с—Г=^Г’ТГ-
Припаи коэффициент Пуассона р — 0,3 и под-
ставив числовые значение, получим I — 67 мм
и С - 27 400 кГ|жж«.)
6. Начальна! форма пружины — бесперегиб-
«ого роде, ио при увеличении нагрузки она может
перейти в форму перегибного рода (см. стр. 126).
6. 7. Начальная точка О лежит в начале глав
•ой ветви периодической кривой, так как при
выбранном направлении осей ж' и у' j >0,
а С» — 0 (см. табл. 34).
8, 9. Так как точка О совпадает с началом
главной ветви, а точка L лежит но главной ветви,
то 1,-0; X, •=? и <в, — в», |см. формулу (160а)
и табл. 33].
10. Задаваясь несколькими значениями силы Р,
определим числовую величину параметров Х^ и
и по диаграммам найдем величины упруги! пара-
метров l'L и 1)2.
Таблица 33
Результаты вычислений
Р в кГ 3 4 5 6 7 8
£• вЦлит* 1.095-10-< 1,46-10—* 1,825-10“* 2,19-10“* 2,555-10-* 2,92-10—*
в Ильи* 0,01092 0,01209 0,0135 0.01481 0,01588 0,01708
Х>(1 0,731 0,81 0,906 0,9925 1.063 1,144
t 0,672 0.517 0,463 0,422 0,3935 0.366
4 0,7 0,766 0,85 0,925 0,975 1,025
t ч 0,194 0.235 0,28 0,33 0.382 0,47
1 т 91,2 82.7 74.1 67,5 63.0 58,5
x'L в мм 63.85 63,35 63 62,45 61,5 60
VL В мм 17,7 19,45 20,75 21.8 24,05 ’ 27.5
и 1> мм 2,3 3.3 * 6.1 7 10
5 В ММ 8.3 12,5 15.7 21.6 37,39 —
Г в кГ 0,755 0,906 1,032 1,025 0,486 —
ГРАФО АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
139
П. По формулам 4 - ---J- <
определим координаты конца L стержня.
Результаты вычислений сведены в табл. 35.
В этой же таблице дана величина и сближения
концов пружины, вычисленная по формуле
и — 2(Х'-л'),
где X = -у (см. фиг. 110 и 111).
В предпоследней графе таблицы помещена
величина л перемещения включающего кольца,
вычисленная по формуле
Для получения отпетое на вопросы задачи
построим графики зависимости сил Р и Т от вели-
чины л (фнг. 112).
По этим графикам находим рабочее усилие,
развиваемое пружиной, Рпа6 = ’> кГ, наибольшее
усилие включения Гшах = 1.06 кГ (для одной
пружины) и удерживающую силу — 0,625 кГ.
Наибольшее напряжение в пружине опреде-
ляется как
₽шахжта;
“max = од! •
i = — -а/ 4+“* —
<см. фиг. ПО), а я последней графе — величина
включающей силы Г, определенная как
а/ г’ + U’ — 2/?н
Т — Р aln Ф — Р -----------------------
где Рюах ~ наибольшее усилие, определяемое по
графику фиг. 112. Ртах = 7,2 кГ, а — коор-
дината конца L пружины прн усилии Р — Ртах
(см. фиг. 111); л^ах«25 мм.
Подстановка чисел дает ошах — 56,4 кГ1мМ\
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
1. Б е л я е в Н. М., Сопротивление материа-
лов. Гостехиэдат, 1953.
2. Глушков Г. С., Инженерные методы
расчета на прочность и жесткость. Машгиз, 1949.
3. Крылов А. Н„ О расчете балок вл упру-
гом основании, изд. АН СССР. 1931.
4. Пап кович П. Ф., Теория упругости.
Оборонена, 1939.
5. И а п к о в и ч П. Ф., С1роительная меха
«ика корабля, ч. I—III, Гостехиздат, 1941, 1947.
6. П о и о м а р е в С. Д., Бидерман В. Л.,
Л и х а р е в К. К., М а к у ш и и В. М., Мали-
мин, Н. Н.. Ф е о л о с ь е в В. И., Основы со-
временных методов расчета на прочность в ма-
шиностроении, Машгиз, ч. 1 и II, 1950 и 1952.
7. П о п о в А. А.. Сопротивление материалов,
Машгиз. 1953.
8. ПоповЕ. П., Нелинейные задачи статики
тонких стержней, ОГИЗ, 1948.
9. Р а б о т и о о Ю. Н„ Сопротивление мате-
риалов. изд. МГУ, I960.
10. Сиверцев И. Н., Давыдов В. В.,
Маттес Н. В., Учебный справочник по проч-
ности судов внутреннего плавания, изд-во Мии.
речфлота, I960.
11. Справочная книга по расчету самолета иа
прочность, Оборонгиз, 1954.
12. Тимошенко С. П., Сопротивление
материалов, ч. I и II, Гостехиздат, 1934.
13. Уманский А. А., Специальный курс
строительной механики, ч. 1, Гостехиздат, 1935;
ч. 11, Стройизлат, 1940.
14. Феод ось ев В. И„ Упругие элементы
точного приборостроения, Обороигиз, 1949.
15, ‘Ф и л о не и к о-Б о р о д и ч М. М., И аю-
мов С. М., Олисов Б. А., Кудряв-
ц е в И. Н., М а л ь г и н о в Л. И., Курс сопро-
тивления материалов, ч. I н II, Гостехиздат, 1949.
16. Я > о в с к и й М. И., Конструирование
и расчет на прочность деталей паровых машин,
изд-во АН СССР, 1447.
17. Тихомиров Е. Н., Применение гра-
фических методов для задач малой жесткости при
переменном поперечном сечении бруса, .Техника
воздушного флота* № 9, 1940.
18. Заседателев С. М., Графический
метод решения некоторых задач упруго-пласти-
ческого изгиба стержней о больших перемеще-
ниях. МВТУ, сборник .4 26, Машгиз, 1953.
19. Roark R., formulae for stress and
attain, New York, 1943.
Расчет кривых и витых брусьев
1. Головни X., Одна из задач статики
упругого тела. .Известия Петербургского техно-
логического института*, 1880.
2. Д а в и д е н к о в Н. Н., К расчету кривых
брусьев, .Прикладная математика и механика*,
т. 1, вып. 2, 1933.
3. Демидов С. П„ Расчет на прочность
плоского кривого бруса прямоугольного попереч-
ного сечения. нагруженного силами, перпендику-
лярными к плоскости кривизны, сб. .Расчеты иа
прочность элементов машиностроительных кон-
струкций*, МВТУ, вып. 31. Машгиз, 1965.
4. Пономарев С. Дм К вопросу об опре-
делении касательных напряжений прн изгибе
плоского кривого бруса большой кривизны,
.Вестник инженеров и техников* М 9, 1936.
5. П о п о в А. А., Орлих А. С., Поно-
марев С. Д., Расчет кривого бруса, ГТТИ,
б. Т и м о ш е и к о С. П„ Теория упругости,
ГТТИ, 1934.
1. Черныши Н. А., Напряженное состоя-
ние и деформация цилиндрических пружин, сви-
тых из круглого прутка, сб. .Динамика и проч-
ность пружин*, изд. АН СССР. 1950.
ГЛАВА 111
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
Общие сведения
Отличие фермы от других стержневых
конструкций состоит в том. что она
остается неизменяемой, если во всех уз-
ловых точках (узлах) считать соединения
шарнирными, т. е. допускающими свобод-
ное вращение примыкающих стержней
{геометрическая неизменяемость).
Практически узловые соединения ме-
таллических ферм выполняются жест-
кими (клепаными или сварными). Однако
при узловой нагрузке напряженное со-
стояние правильно центрированных
стержней в основном определяется про-
дольными усилиями, которые с достаточ-
ной точностью могут быть найдены в
предположении шарнирных узлов. Учет
дополнительных напряжений изгиба,
обусловленных жесткостью узлов, мо-
жет потребоваться лишь в исключи-
тельных случаях, в частности при зна-
чительной динамической нагрузке ферм
из материала с малой пластичностью.
Фиг. 1.
Фермы имеют широкое применение
в грузоподъемных машинах (краны,
транспортеры) и в других типах машин
(фиг. 1. а—д).
Типы ферм. По характеру расположе-
ния стержней и направлений действую-
щих внешних сил фермы могут быть
разделены на плоские, т. е. такие, в кото-
рых оси всех стержней и направления
действующих внешних сил, включая
опорные реакции, лежат в одной пло-
скости, и пространственные, в которых
оси стержней не ограничены условием
расположения в одной плоскости.
Опоры и опорные реакции. Опора
фермы есть устройство, соединяющее
ферму с основанием и налагающее связи
на ее перемещения. Ферма прикре-
пляется к основанию отдельными узлами
(точками), поэтому опора может налагать
на перемещения фермы три, две или одну
связь.
В плоских фермах опора может со-
держать две связи (фиг. 2. а) или одну
связь (фиг. 2. б)
Опорная реакция есть равнодействую-
щая системы сил, заменяющих действие
опоры на ферму.
Опорные реакции определяются внеш-
ней нагрузкой на ферму и зависят от
устройства опор.
Правильно образованная (геометри-
чески неизменяемая) ферма, не содер-
жащая лишних стержней, одновременно
является статически определимой.
Плоские фермы
Образование плоских ферм. Пра-
вильное образование простейшей
ферменной конструкции (неизменяемой
свободной фермы) достигается последова-
тельным присоединением узлов к преды-
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
141
душим узлам, начиная от концов исход-
ного стержня, каждый раз двумя стерж-
нями, не лежащими на одной
прямой. Решетка получается в виде
•системы треугольников.Такая ферма обя-
зательно имеет хотя бы один узел, при-
соединенный только двумя стержнями
к предыдущим, и может быть расформи-
рована последовательным отбрасыванием
двухстержневых узлов.
Путем перестановки одного или
нескольких стержней из простейшей
•фермы получается преобразован-
н а я. не имеющая узлов, в которых схо-
дятся всего два стержня. Преобразован-
ные фермы всегда следует контролиро-
вать на мгновенную изменяе-
мость (малую подвижность), делающую
•ферму непригодной для практического
использования. Ферм, близких к мгно-
венно изменяемым, следует избегать, так
как при произвольной нагрузке в стерж-
нях получаются весьма большие усилия.
Неподвижное соединение двух жест-
ких плоских тел требует трех стержней.
Два стержня эквивалентны шарниру в
точке пересечения.
Проверка на мгновенную изменяе-
мость плоских сооружений в практи-
чески важных случаях достигается кон-
тролем соблюдения двух правил: I) три
стержня, взаимно прикрепляющие два
тела, не должны пересекаться в одной
точке и не быть параллельными; 2) три
шарнира, попарно соединяющие между
собой три плоских тела, не должны
лежать на одной прямой. В отдельных
случаях следует учитывать эквивалент-
ность двух стержней и шарнира.
11а фнг. 3, а мгновенная изменяемость
обусловлена расположением трех то-
чек — шарнира С и двух точек пересе-
чения стержней А и в на одной пря-
мой, на фиг. 3, б — пересечением трех
стержней в одной точке О-
Расчет усилий в плоских фермах
при неподвижной нагрузке Поря-
док расчета: 1) вычерчивание рас-
четной схемы; 2) определение нагрузок;
3) определение опорных реакций и сил
взаимодействия в шарнирах между
отдельными фермами; 4) определение
усилий в стержнях; 5) подбор сечений
элементов в соответствии с указаниями
гл. II.
Нагрузки определяются на осно-
вании фактических весовых, проектных
или нормативных данных.
Реакции опор определяются
аналитически из уравнений равновесия
или графически непосредственным раз-
ложением сил, либо при помощи вере-
вочного многоугольника. Если ферменная
конструкция представляет совокупность
нескольких соединенных между собой
ферм, то каждая из частей может быть
отделена и рассматриваема самостоя-
тельно, но в точках, где произведено
отделение, к этой части должны быть
приложены силы, характеризующие дей-
ствие на нее других частей. Эти силы
определяются также, как и реакции (см.
т. 1, стр. 364—365).
Аналитическое определение
реакций производится путем составле-
ния уравнений равновесия сил (см. т. 1,
гл. XVIII. стр. 352-357).
Пример I. Конструкция перегружателя
(фиг. 4) представляет совой жесткое целое; уело
вин опирания—как у простой балки. Нагрузки—
вертикальная сила Р, и горизонтальная сила Рг
(торможение). Реакция Н д определяется из урав-
нения £Х — 0, откуда
"д-Л-0; Нд-Р„
реакция Ид —из уравнения равновесия моментов
относительно шарнира В;
-Р, (» + /) - PJl + V А1 - 0;
Ид--|-(Л(» + П + /У1).
Ферма состоит из двух частей: фермы DC и
фермы ЕС АВ'. Ферма DC отделяется от фермы
ЕС АВ' в шарнире С, и наклонный стержень DE
выбрасывается; в точке С на ферму DC будет
действовать реакция с горизонтальной н верти-
кальной составляющими н а а точка
D — ciuni A'pf под углом в к горизонтали, рае-
142
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
и»я усилию отброшенного стержни DE. Дли опре-
делении Нс Ис и Npg можно применить ур«й-
нении моментов и проекций сил. Риссмитривля
рлеиовесне фермы DC, имеем уравнения момен-
тов относительно точки С:
+ NDE~P' 7'
Уравнения проекций на горизонтальную и вер-
тикальную оси дают
-₽. + hc + ndeco»« = 0:
—Яд •= Nde со» « — ₽i — Р, -у соа и — Р>:
-Р, + Ис + *ог»1п«-0:
Vc - -Ndb sin . + Р, - Р. Л - -у ат и).
Таким образом, силы, действующие и» ферму
DC со стороны фермы ЕСАВ', найдены. Прикла-
дывая к ферме ЕС АВ' в точках С и Е силы Н^.,
Vc и Nde, направленные противоположно най-
денным, получаем необходимые данные для рас-
чета этой фермы.
Пример 1. Стропильная ферма (фиг. 5, о).
Расчет начинается с определения реакции Vв из
Фиг. 5.
уравнения ХМ д—0, реакции Н д— из уравнения
tX — О и реакции Ид — из уравнения SP — 0.
Если брус DE не нагружен внешними си-
лами (усилия на брус DE передаются только
в шаринуа»), то он играет роль стяжки, и
усилие в нем Npg определяется из уравнения
равновесия моментов сил, действующих на часть
фермы СЕВ относительно шафшрз С. Если
же брус DE несет нагрузку, то четыре реак-
ции в шарнирах D и Е (фиг. б, б) определяются
из указанного уравнения вЛ1 с •—0 и трех уравне-
ний равновесия бруса DE а таком порядке: сперва
находим Ир как реакцию простой балки, точно
так же V g, затем Hg из уравнения ХМд — О
для части СЕВ и, наконец, Яр из урааа1ения
ZX — 0 для бруса DE. Реакции и шарнире С
благодаря присутствию нагрузки в «том узле
будут различными по велнчние для пястей ACD
м СЕВ н обозначаются повтому Ид и , Яд
И (фиг. 5, я). Они определяются из уравнений
IX — 0 и S Y — 0, соста пленных отдел ьио для обеих
частей, после того как определены реакции
бруса DE. Можно ограничиться определением
V д • ^С н найти при помощи урав-
нений SX*0, ЕЕ — О для вырезанного шар-
нира С.
Графическое определение реак-
ции основано на двух случаях уравно-
вешивания сил «а плоскости.
Первый случай. Требуется уравно-
весить заданную силу Р двумя силами,
линии действия которых / и 2 заданы
и пересекаются на линии Р (фиг. 6\
Фиг. 6.
Решение. Строится замкнутый тре-
угольник ОаЬО, у которого стороны Оа,
ab и ЬО параллельны направлениям Р,
I и 2. Отрезки ab •= Рх и ЬО «= Р2
суть искомые силы.
Направление сил определяется обхо-
дом силового треугольника по напра-
влению известной силы Р.
Второй случай. Требуется уравно-
весить заданную силу Р тремя силами,
не пересекающимися в одной точке и
не параллельными, линки деПстння ко-
торых 1. 2 и 3 заданы (фиг. 7). Сна-
чала уравновешивается сила Р двумя
силами: первая направлена по осн /.
а вторая — по прямой АВ, где А — точка
пересечения Р с 1, а В — точка пере-
сечения прямых 2 и 3, что приводит
к первому случаю. С этой целью строит-
ся замкнутый треугольник сил ОаЬ,
где Оа — Р, ab — составляющая вдоль
прямой АВ и ЬО — составляющая вдоль
прямой I. Далее Ьа уравновешивается
двумя силами ас и cb, направленными
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
143
вдоль прямых 2 и 3. Обходя четырех-
угольник равновесия по направлению
силы Р, получаем направления трех
уравновешивающих сил.
Пример I. Ферма с цилиндрической непо-
движной опорой слева и цилиндрической по-
движной опорой справа. Рлвиодейслвующм ив-
грузке Р действует наклонно (фнг. 8).
Реакция ₽д опоры В перпендикулярна к ли-
нии. вдоль которой возможно движение опоры.
Линия действия редкими /?д опоры А проходит
через центр опоры. Через fl проводки прямую
действия реакции до пересечения с Р, затем точ-
ку пересечения соединяем с А, что определяет
направление левой реакции. После этого силу Р
уравновешиваем двумя силами, направления ко-
торых известны, что выполняется с помощью
силового треугольника (1-й случай).
Если сила Р параллельна направлению реак-
ции R&, 10 о6е рввииии параллельны силе Р
н определяются при помощи уравнений моментов.
Пример 2. Ферма, имеющая три опорных
стержня I, 2, 3 (фиг. »). Уравновесив силу Р.
действующую на ферму, тремя силами, линии
Фнг. 9.
действия которых направлены по осям опорных
стержней, находим опорные реакции, в данном
случае усилия опорных стержней. Задача сводится
ко 2-му случаю.
Пример 3. Грех шарнирная арка (фнг. 10, а).
Реакции опор А и fl определяем отдельно для на-
грузки Р„ действующей на левой половине, пола гая
Фиг. 10.
правую половину иена груженной, н отдельно
для нагрузки Pt, действующей на правой по-
ловине. полагая левую половину нена>ружейной
(фиг. 10, б). В каждом случае нагруженная поло-
вина арки рассматривается как отдельная ферма,
а иеиагружеиная — как опорный стержеиь. Реак-
ции и Пв при нагрузках Р, и Р,. действую-
щих совместно, получаем геометрическим сложе-
нием реакций, определенных для Р, и Р, раз-
дельно.
Применение веревочного многоуголь-
ника к определению реакций — см. т. 1,
стр. 365.
Усилия в стержнях могут быть
определены аналитически или графиче-
ски путем построения диаграммы Макс-
велла-Кремоны.
Аналитическое определение
усилий в стержнях основано на пользо-
вании уравнениями равновесия отдель-
ных вырезанных узлов [метод узловых
сечений) или уравнениями равновесия
отрезанных частей фермы (метод сквоз-
ных сечений).
Составляя для всех узлов в отдель-
ности пары уравнений равновесия
± Р cos (Р, х) ± SjAZ cos (N, х) — 0;
± Р cos (Р, у) ± cos (IV, у) — О,
где I — число стержней, сходящихся
в узле, можно определить усилия во всех
стержнях, включая опорные.
Практически этим методом поль-
зуются лишь для двухстержневых узлов
и для трехстержневых, когда два из трех
стержней вытянуты в одну прямую.
В последнем случае усилие в третьем
(так называемом дополнительном)
стержне определится из уравнения рав-
новесия проекций на ось, перпендику-
лярную к общему направлению двух
стержней:
_ cosap
Ndon — ± Р а ° •
c<>s “Лол
где ар — угол узловой нагрузки Р с осью
проекций; аАоа — угол дополнительного
стержня с той же осью.
Если узел не нагружен, то усилие
дополнительного стержня равно нулю.
Если Р направлено вдоль дополнитель-
ного стержня, то усилие в нем по аб-
солютной величине равно узловой на-
грузке Р.
Метод сквозных сечений
в большинстве случаев позволяет опре-
делить каждое усилие из одного уравне-
ния с одним неизвестным.
Проводят (если это возможно) сквоз-
ное сечение через три стержня, в числе
которых находится и определяемый
(фиг. 11). Составляют уравнение момен-
тов всех сил, действующих на остав-
шуюся часть фермы относительно
точки пересечения двух других стерж-
ней:
±W-r±Mp-0
(эта точка в дальнейшем называется
точкой моментов для усилия).
144
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Здесь N—искомое усилие; г—плечо
усилия относительно точки моментов;
Мр - сумма моментов внешних сил от-
носительно точки моментов.
Знак ставится в зависимости от на-
правления вращения, например + по
часовой стрелке, причем
/4—-L гР предварительно усилие N
считается растягиваю-
щую} «П щим, т. е. направленным
л. /с от узла. Если в резуль-
тате Д' окажется положи-
Фиг. и. тельным, то усилие дей-
ствительно растягиваю-
щее, если N — отрицательное, то оно
сжимающее.
Если два из трех стержней, попадаю-
щих в сквозное сечение, параллельны
(точка моментов уходит в бесконеч-
ность), то вместо уравнения моментов
пользуются уравнением равновесия про-
екций всех сил, действующих на часть
фермы, на ось а, перпендикулярную к
двум параллельным стержням:
± N cos (N, и) ± Up = О,
где Up — сумм а проекций внешних сил
на ось и.
Если не удается провести сквозное
сечение, пересекающее три стержня, то
проводят несколько сечений и опреде-
ляют усилия в стержнях из системы
уравнений.
Графическое определение уси-
лий в стержнях состоит в построении
диаграммы Максвелла-Кремоны (фиг. 12)
Диаграмма дает изображение усилий
всех стержней. Построение основано на
рассмотрении равновесия узлов (первый
случай уравновешивания, стр. 142). Спо-
соб изложен на примере расчета фермы.
1) Определяют внешние силы — узло-
вые нагрузки и опорные реакции.
2) Поля между внешними силами
обозначают буквами, поля между стерж-
нями — цифрами, тогда каждая сила
и каждый стержень (или усилие) обозна-
чаются двумя буквами, двумя цифрами
или буквой и цифрой.
3) Обходя внешние поля фермы в
одном направлении (обычно по часовой
стрелке), строят в определенном мас-
штабе многоугольник внешних сил. Вер-
шины многоугольника отмечают соот-
ветствующими буквами полей.
4) Построение диаграммы начинают
от узла, в котором сходятся два стержня.
Чертят силовой треугольник, проводя
через концы вектора нагрузки прямые,
параллельные стержням узла. Система
обозначений дает один определенный
треугольник равновесия из возможных
двух, отличающихся расположением. Для
левого опорного узла нагрузка изобра-
жается отрезком п—а. Через точку п про-
ведена прямая, параллельная стержню
п — 7, через точку а — прямая, парал-
лельная стержню а — 1. На пересечении
поставлена точка 7.
5) Переходят к узлу, в котором схо-
дятся только два стержня с неизвест-
ными усилиями. Нагрузкой узла является
вектор, концы которого имеют обозна-
чения полей, примыкающих снаружи
к двум стержням с неизвестными уси-
лиями. Через эти точки проводят пря-
мые, параллельные указанным стержням.
Точку пересечения обозначают одно-
именно с полем, лежащим между двумя
стержнями. Таким узлом является узел
!2тп. Через точку 7 проведена прямая,
параллельная 7—2, через точку «—пря-
мая, параллельная т — 2. Точка пере-
сечения отмечена цифрой 2.
Далее процесс продолжается, как
указано. Следующий узел аЬ321. Не-
известные усилия Ь—3 и 3—2. Через Ъ
проведена прймая, параллельная Ь—3,
через точку 2 — прямаяг параллельная
2—3. На пересечении ставят цифру 3
и т. д.
6) Контролем правильности построе-
ния служит замыкание диаграммы: в по-
следнем (опорном) узле равнодействую-
щая усилий должна' быть равна найден-
ной ранее опорной реакции.
7) Нагрузка и усилия каждого узла
образуют на диаграмме замкнутый
многоугольник.Знаки усилий определяют
путем обхода многоугольника в приня-
том направлении (по часовой стрелке)
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
145
и мысленного переноса течения сил на
чертеж фермы: силы, направленные от
узла, соответствуют растяжению,к узлу—
сжатию. Например, обходя левый* верх-
ний узел в порядке аЬ321, получаем
t—а. b—3—сжатие. 3—2. 2 — 1—растя-
жение.
8) Если отсутствует двухстержневой
(начальный) узел млн в процессе по-
строения нельзя перейти к узлу, имею-
щему лишь два неизвестных усилия,
то одно из усилий (или два. три,...)
определяют независимо от построения
диаграммы, например, методом сече-
ний.
9) В случае неузловой нагрузки (на-
грузка в пределах панели) для построе-
ния диаграммы нагрузку панели следует
заменить статически эквивалентной "си-
стемой из двух сил, действующих в уз-
лах по концам панели; в добавление к
растяжению — сжатию панель будет ис-
пытывать изгиб как балка.
10) Если нагружен внутренний узел, то
силу следует перед расчетом .вывести
наружу*, проще всего разложив ее по
направлениям любых двух стержней,
сходящихся в данном узле, и приложить
найденные компоненты к наружным уз-
лам. Окончательные усилия в этих двух
стержнях получаются суммированием
компонентов и усилий, полученных из
расчета фермы.
Расчет усилий в плоских фермах
при подвижной нагрузке Для сужде-
ния о невыгодном в отношении данного
усилия или другой расчетной величины
расположении подвижной нагрузки, а
также для вычисления производимого
любой нагрузкой эффекта применяются
линии влияния. Линией влияния назы-
вается диаграмма, последовательные
ординаты которой дают переменную
величину усилия при движении единич-
ного безразмерного груза (Р—I) вдоль
загружаемого пояса.
На фиг. 13 даны линии влияния для
балочной фермы. Линин влияния опор-
ных реакций Уд и Уд представляют
собой треугольники без переломов с ор-
динатой над исследуемой опорой, равной
единице, и другой опорной ординатой,
равной пулю. Линин влияния реакций
являются исходными для построения всех
остальных линий влияния, так как каждое
усилие может быть выражено из усло-
вий равновесия левой либо правой "отде-
ленной разрезом части фермы через одну
левую либо правую реакцию без введе-
ния в расчетную формулу самого единич-
10 Том з
кого груза. Когда груз правее разреза,
то рассматривается равновесие левой
части, когда он левее разреза — равно-
весие правой части.
Линин влияния усилий состоят из двух
ветвей — правой и левой, пересекаю-
щихся под точкой моментов для усилия.
Если точка моментов лежит между опо-
рами, то при ферме, имеющей стойки,
линия влияния имеет форму треуголь-
ника. Если точка моментов за пределами
пролета. — линия влияния состоит из
двух треугольников разного знака, при-
чем вершины треугольников лежат иа
вертикалях концов разрезанной панели
нагруженного пояса. Левая опорная ор-
дината продолжения правой ветви равна
отношению плеча левой опорной реак-
ции относительно моментной точки дан-
ного усилия к плечу самого усилия. Ана-
логично правая опорная ордината про-
должения левой ветви равна отношению
плеча правой реакции относительно той
же точки моментов рассматриваемого
усилия к плечу самого усилия.
Правило остается в силе, если мо-
ментная точка уходит в бесконечность:
указанное отношение плеч в этом случае
х 1
заменяется величиной ——. где а—угол
sin я
стержня с направлением параллельных
поясов. Знак отдельных участков линии
влияния определяется по направлению
вращения отрезанной части фермы отно-
сительно моментной точки. На фиг. 13 мо-
ментная точка для раскоса 1—2' обо-
значена через Di, плечо левой реак-
ции — через а, плечо усилия раско-
са — через р. Левая опорная ордината
правой ветви равна —, правая опорная
ордината левой ветви соответственно —
— -. Средний участок линии влияния
определяется проектированием узлов
I и 2 разрезанной панели на левую и
правую ветви. Для установления знаков
ставим груз правее разрезанной панели
и рассматриваем равновесие левой части.
Реакция Уд вращает относительно мо-
ментной точки против часовой стрелки,
следовательно, усилие раскоса, дей-
ствующее на узел /. должно вращать
против часовой стрелки, т. е. направлено
от узла (растяжение). Итак, при грузе
правее разреза раскос растянут. Ставим
знак плюс на правой ветви и знак минус
на левой.
146
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Стойка 2—2' является так называе-
мым дополнительным стержнем. Она ра-
ботает только от нагрузки в пределах
панелей 1—2 и 2—3. Средняя ордината
ее линии влияния равна единице.
Фиг. 13.
Установка подвижной на-
грузки в опасное положение.
Усилие в стержне от действия сосре-
доточенных нагрузок выражается фор-
мулой N — где Pi—грузы, у,—
ординаты линии влияния под грузами.
Крановые нагрузки состоят из одного
или двух сосредоточенных грузов. При
двух грузах (тележка) величины их
обычно неодинаковы. Опасное положе-
ние нагрузки соответствует установке
более тяжелого груза над вершиной с
наибольшей ординатой. При линии влня-
ния с участками разного знака следует
произвести две установки нагрузки для
определения наибольшего положитель-
ного и наибольшего отрицательного зна-
чения усилия.
Усилие от равномерно распределенной
нагрузки равно N — рш, где р — погон-
мая интенсивность нагрузки, «>- площадь
загружаемого участка линии влияния.
Пространственные фермы
Образование пространственных
ферм. Образование простейшей прикре-
пленной фермы — последовательное на-
ращивание каждого из узлов при по-
мощи трех стержней, не лежащих в од-
ной плоскости. Например, ферма крана
j (фиг. 14) образована в порядке нумера-
-i ции узлов 1-2—3- 4. Число стержней
прикрепленной фермы равно утроенному
числу узлов, причем узлы, принадлежа-
щие .земле", в счет не входят.
При расчете на узловую нагрузку со-
единения стержней в узлах считаются шар-
нирными (шаровые шарниры без трения).
Расчет усилий ведется в порядке,
обратном образованию, начиная от узла,
в котором сходятся три стержня. Стерж-
ни, принадлежащие к ненагруженным
трехстержневым узлам, имеют нулевые
усилия и мысленно отбрасываются.
Аналитический расчет со-
стоит в решении системы троек урав-
нений равновесия узлов
SZ-0.
Для узла 4 уравнения равновесия буду г:
>) — Nn cos (M,j) — cos Р‘4,-т) —
— cos (3-4,jr) = 0;
2) - cos (1-4,y) - cos (2-4.y) +
+ N34cos - °i
3) - /Vj.4 cos (1-4,1) — 4 cos (2-4.1)
— N3-4 cos (3-4,X) — P — 0,
для узла 3
4) + W3-4 со’ С3'4-*) ~
— W3.J cos (3-2,х) — Wj.j cos (3-1,л) » 0
и далее таким же образом.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ
147
Косинусы, ранные отношению проек-
ции стержня на данную ось к истинной
длине стержня, следует брать по абсо-
лютной величине. Усилия N вводятся
в уравнения со знаком, соответствующим
знаку проекции на ось. причем все не-
известные усилия считаются растягиваю-
щими. направленными от узла. Одно и
то же усилие входит в два уравнения
равновесия проекций на одну и ту же
ось (для двух узлов)—один раз со зна-
ком плюс, другой раз — со знаком минус.
Этот же способ применяется для пре-
образованных ферм, но решение
уравнений усложняется, так как система
не распадается на последовательно ре-
шаемые тройки. Расчет часто упро-
щается применением правила: если все
стержни узла, кроме одного, лежат в
одной плоскости, то усилие в выходя-
щем из плоскости стержне определяется
независимо от остальных из уравнения
равновесия проекций на нормаль к ука-
занной плоскости; если узел не нагру-
жен, то усилие в выходящем
стержне равно нулю.
Способ удобен для ферм, у которых
большое число стержней лежит в пло-
скостях, параллельных координатным;
при произвольном расположении стерж-
ней следует применять графические ме-
тоды.
Графический способ расчета
простейших ферм состоит в последова-
тельном разложении сиды иа три напра-
вления в ортогональных проекциях. В от-
дельных случаях цепь разложений осу-
ществляется без повторений в отклады-
вании усилий — в виде непрерывной
диаграммы. Все графические операции
основаны на положении: если система
сил находится в равновесии, то и про-
екции их на любую плоскость- также
уравновешиваются-
Разложение известной силы в узле на
три направления (фнг. 15): проводится
плоскость через силу Р и один из стерж-
ней (например, 1). Определяется в плане
прямая gm пересечения этой плоскости
с плоскостью стержней 2 и 3. Сила Нр
в плане раскладывается по направле-
ниям (/) и (gm) при помощи силового
треугольника (фиг. 15, б). Горизонталь-
ная проекция Нр равнодействующей уси-
лий 2 и 3 раскладывается по направле-
ниям 2 и 3. Силовой многоугольник об-
ходят по течению известной Силы Нр.
Горизонтальные проекции Нр Нг, Нл
усилий и направления вертикальных
проекций определяют и истинные вели-
ГО*
чины усилий Np N3, N3 (см. построение
для на фнг. 15, а около точки 2).
Фнг. 15.
В случае вертикальной нагрузки узла
в первую очередь определяются верти-
кальные проекции усилий Vlt Vp V3.
Построение ясно из фнг. 16.
Фиг. 16. Фиг, 17,
Графо-аналитический способ.
Первой операцией является определение
проекций ZpZiи Z3 усилий на вертикаль-
ную ось (так называемых вертикалов)
из уравнений равновесия моментов сил,
приложенных в их горизонтальных сле-
дах. Задача эквивалентна определению
усилий в трех вертикальных опорных
стержнях, поддерживающих твердое тело
(неизменяемую ферму), нагруженное вер-
тикальной силой ZP. равной вертикалу
148
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
силы Р и приложенной в ее следе на
горизонтальной плоскости (фиг. 17). Zt
находится из уравнения моментов от-
носительно горизонтальной оси 2 — 3;
Zj — из уравнения моментов относи-
тельно оси /—3 и т. д. Имея верти-
калы Z, определяют графически проек-
ции V на вертикальную плоскость, а по
ним и на горизонтальные проекции W;
истинные величины усилий N “
= KZ* + № .
Прикрепление твердого
тела к земле или другому телу осуще-
ствляется шестью стержнями (связями).
Усилия в стержнях определяются из
шести уравнений равновесия твердого
тела:
2Z-0; 2Г-0; £Z = 0;
SAf.t = 0; 2^=.°; SA12 = 0.
В отдельных случаях усилия опреде-
ляются сразу из независимых уравнений
равновесия моментов относительно осей,
пересекающих пять стержней, либо уси-
лия определяются в последовательности,
позволяющей избежать решения системы
совместных уравнений.
На фнг. 18 показано прикрепление
гела. обладающее плоскостью симме-
трии. Нагрузка Р раскладывается на со-
ставляющие Up. перпендикулярную к пло-
скости симметрии, и Vp, лежащую в этой
плоскости. Первая заменяется тремя па-
раллельными составляющими Ц, U* U»
в точках пересечения попарно симме-
тричных стержней и дает при разложе-
нии по их направлениям одинаковые по
величине, но противоположные по знаку
усилия. Вторая заменяется тремя соста-
вляющими У|, Vit лежащими в пло-
скости симметрии и одновременно в пло-
скостях попарно симметричных стерж-
ней. Разложение по направлениям стерж-
ней дает в них одинаковые по величине
и по знаку усилия. Статически неопре-
делимые случаи прикрепления твердого
тела более чем шестью стержнями
см. [8]. Другие способы расчета ста-
тически определимых пространствен-
ных ферм см. [4]. (5|, (6J. [7J, [8].
Расчет спаренных плоских ферм [8|
В пространственной системе, состоящей
из двух плоских ферм, неизменяемым об-
разом закрепленных в своих плоскостях
и связанных между собой стержнями,
образующими зигзаг, эти связи пере-
дают нагрузки, перпендикулярные к пло-
скостям ферм, на опоры. Стержни опор,
перпендикулярные к плоскостям ферм,
называются упорными стержнями. Кон-
струкция статически определима, если
от любого узла можно только одним
способом, следуя по зигзагу связей,
прийти к упорному стержню. Если
имеется один упорный стержень, то зиг-
заг связей должен быть непрерывным,
по незамкнутым. При нескольких упор-
ных стержнях число отдельных зигзагой,
открытых на одном конце и оканчиваю-
щихся упорным стержнем, должно быть
равно числу этих стержней.
Для изображения конструкций, со-
стоящих из двух одинаковых ферм,
обычно достаточно пользоваться фаса-
дом передней фермы. В каждом узле
предполагается распорка связей. Раскос
связей изображается линией, параллель-
ной стержню главной фермы, причем
соединительная черточка отмечает узел
передней фермы, в котором к ней при-
мыкает данный раскос связей. На
фнг. 19 приведены примеры простейших
статически определимых конструкций
с упорными стержнями, отмеченными
Фнг. 19.
кружками. Сила, перпендикулярная к чер-
тежу, изображается кружком с точкой,
если она действует к наблюдателю, и
кружком с крестиком, если она дей-
ствует от него.
Нагрузка от связей на ферму (пе-
реднюю) представляет собой цепочку
сил, начало которой совпадает с нагру-
женным узлом, а конец — с узлом, где
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ
149
помешен упорный стержень. Цепочкой
называется силовой многоугольник, сто-
роны которого могут быть совмещены
с линиями действия сил (фиг. 20). Мас-
штабное число, на которое надо умно-
жить отрезки контура фермы, снабжен-
р
кого связями, равно q — —, где Р—
сила, перпендикулярная к плоскости
фермы. Л—расстояние между фермами.
Усилие в упорном стержне равно Р.
Определение усилий в двух упорных
стержнях при непрерывном'зигзаге свя-
зей между ними представляет собой
статически неопределимую задачу.
Для определения реакции н усилий
в стержнях основных ферм используется
свойство силовой цепочки, согласно ко-
торому момент ее относительно полюса 0
равен Л1 = qQ, где 2 —удвоенная пло-
щадь сектора с полигональной дугой АВ
и полюсом 0. Применение этого правила
показано ниже в примере 2.
Пример 1 (фиг. 21). Ферменная конструкция
ямсе г связи во всех панелях, кроме правой ниж-
ней (фиг. 21, а). Последняя диагональ связей упи-
рается в неподвижный пятовой шарнир. ловтому
отдельный упорный стержень не изображен.
Сила Р напрягает все елементы связей между
силой н упорным шарниром.
На фиг. 21. б показано изображение конструк-
ции по указанному выше способу и дана нуме-
рация полей, а на фиг. 21, в — взаимная диаграм-
ма усилий для передней фермы. Силовой масштаб
равен —. Нагрузки задней фермы в данном
п
случае смещены на одну панель от упорного
стержня и имеют обратное направление.
Пример 2 (фиг. 22). Пролетное строение
с открытым нижним поясом, часто встречающееся
в крановых конструкциях. Второй упорный стер-
жень делает систему 1 раз статически неопреде-
лимой. За неизвестную принято усилие X, в пра-
вом упорном стержне (фнг. 22, о).
На фиг. 22, 6 показаны силовые цепочки от Р
(погонам интенсивность “ 01 X, (**•
тснснвпость «у, •» | .
Для расчета усилий в ферме необходимо найти
опорные реакции. Из уравнения ХЛ(д=0 полу-
чаем
VB------£{Р* + Х‘а>'
где вм — удвоенная площадь трапеции, здштрнхо
ванной на фнг. 22, б; Й — удвоенная площадь
Фнг. 22.
всего фасада фермы; V.— —(из уравне
иия XX— 0):
»А-ТГ*+тЬ
где 4 — длина первой паиелн. Далее определяются
усилия всех стержней отдельно от Р и X, — 1 и
методом сил из уравнения Xi,, + — 0 опре-
деляется величина -Y,. Очень часто довольствуются
приближенным решением, распределяя силу Р
на упорные стержни по закону рычага.
Теорию н примеры расчета спаренных ферм
(бн конструкций) см. |8|.
Динамический расчет ферм см [9], [10].
Расчет ферм с учетом пластических
деформаций см. [28], [29], [30], [32].
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ
Рамой называется стержневая систе-
ма, в которой для обеспечения неизме-
няемости стержни соединены между со-
бой во всех или в некоторых узлах
жестко и которая теряет неизменяемость,
150
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
если жесткие узлы предположить шар-
нирными (фиг. 23, а).
Жесткость узла выражается в том,
что касательные к упругим линиям
стержней в узле после
деформации образуют
между собой тот же
угол/что оси стержней
до деформации (фиг
23, б).
Рамы могут быть ста-
тически определимыми
и статически неопреде-
лимыми.
Статически определи-
мые рамы рассчитыва-
ются как кривые или
ломаные брусья. Расчет
статически определимых
рам является основой
для расчета статически
рам (см. стр. 156—162).
рамы, нагружен-
плоскости. При
О
Фиг. 23.
неопределимых
Плоские
пыевсвоей'
заданной нагрузке усилия М. Q, N опре-
деляются в зависимости от устройства
опор либо непосредственно, либо после
предварительного определения опорных
реакций.
Для определения усилий в сечении
производится мысленный разрез; часть,
расположенная по одну сторону сече-
ния, отбрасывается и действие прило-
женных к ней сил заменяется эквива-
лентной системой в виде изгибающего
момента, М. поперечной силы Q и про-
дольной силы N (см. гл. II).
Построение эпюр моментов, про-
дольных и поперечных сил. Для из-
гибающих моментов вместо правила зна-
ков устанавливается следующее правило:
ординаты эпюры откладываются со сто-
роны растянутого волокна изогнутого
стержня. В случае необходимости ввести
шак момента стержни рамы уподобля-
ются балкам и отмечается нижнее и
верхнее волокно. Положительным счи-
тается момент, вызывающий растяжение
в нижнем волокне. Продольная сила
считается положительной, если она вы-
зывает растяжение, отрицательной, —
если вызывает сжатие.
Поперечная сила счи-
тается положительной
или отрицательной в
зависимости от схемы
(фиг. 24,а или соответ-
ственно 24, б). Если
рама имеет свободный конец, то построе-
ние эпюр начинается от этого конца.
©
Фиг. 21.
Если свободного конца нет, то сперва
определяются опорные реакции, а затем
строится эпюра.
На фиг. 25, а показаны эпюры изгибающих
моментов, поперечных н продольных сил для лома-
ной консоли. Усилия определяются последовательно,
начиная от свободного конца. В раме на фиг. 25. б
предварительно определяются реакции опор, как
для прямой балкн, являющейся горизонтальной
проекцией данной рамы. На фиг. 25, а показаны
Фиг. 25.
ьпюры изгибающих моментов дли однопролетной
рамы при различных воздействиях силы и момента;
здесь также предварительно из условия равнове-
сия определяются реакции опор. На фиг. 25, а
покатаны япюры моментов для наклонных прямых
стержней. На впюрах фиг. 25, б н г изгибающие
моменты отложены от сжатого волокна, как ото
принято для балок.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Определение перемещений произво-
дится; а) для проверки жесткости кон-
струкции; б) при составлении системы
уравнений для определения усилий в
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
151
брусьях статически неопределимой кон-
струкции; в) для выяснения влияния не-
точностей в размерах элементов или тем-
пературных удлинений на форму кон-
струкции. Все деформации и обусловлен-
ные ими перемещения считаются величи-
нами весьма малыми по сравнению с
исходными геометрическими элементами
конструкции, поэтому размеры и углы
вводятся в расчеты без учета их изме-
нения вследствие деформации и влияние
отдельных факторов на величину окон-
чательных усилий или перемещений мо-
жно суммировать. В этом состоит прин-
цип сложения действия сил для доста-
точно жестких конструкций.
Перемещения плоской стержневой
системы
Плоская система нагружена н де-
формируется в своей плоскости (фор-
мула Максвелла-Мора). Перемещение
равно
+ j jpNds +
+ J <4CflNds 4- 2 ? M + S TiQ •
Обозначения: ds — элемент длины
бруса (интегрирование ведется по длине
всех брусьев); М, N. Q—ординаты эпюр
усилий в заданном (фактическом) со-
стоянии системы; EJ,EF. GF— изгибная.
продольная и поперечная жесткости
сечений брусьев, в общем случае пере-
менные по длине; Л—коэффициент, вво-
димый для учета неравномерности рас-
пределения касательных напряжений по
высоте бруса при изгибе.
Значения А для употребительных се-
чений: прямоугольник 1,2, круг 1,1,
двутавр прокатный 2,0—2,3, двутавр
клепаный 2,3 —2,9, двутавр с топкой
стенкой и массивными поясами k •=
р
— -. в»**0* ; а—коэффициент линейного
''стенки
расширения; 1Н и температуры ниж-
него и верхнего волокон бруса (ниж-
ним считается волокно, растянутое поло-
жительным изгибающим моментом); tcp—
приращение температуры оси бруса по
отношению к температуре сборки; f.k.r;—
сосредоточенные деформации — угловая,
знак плюс, если
Фиг. М.
продольная и поперечная (сдвиг) (фиг. 26),
им приписывается
характер деформа-
ции соответствует
упругой деформа-
ции от положи-
тельных М, N, Q;
Л4. /?, Q —ордина-
ты эпюр от единич-
ной обобщенной си-
лы, соответствую-
щей искомому пе-
ремещению. Если
определяется про-
гиб в сечениит, бе-
рется безразмер-
ная сосредоточен-
ная сила — 1 в направлении искомого
прогиба. Если определяется угол пово-
рота сечения т. берется безразмерный
сосредоточенный момент Lm = 1.
Три первых слагаемых формулы (1)
дают упругое перемещение соответ-
ственно' от изгиба, от продольной и от
поперечной деформации; следующие два
слагаемых дают температурное переме-
щение соответственно от неравномер-
ного и равномерного нагрева; три по-
следних слагаемых дают перемещение
от наперед заданных неупругих сосре-
доточенных деформаций. При вычисле-
нии перемещения вводятся только те
слагаемые, которые соответствуют учи-
тываемой деформации.
Если отдельные стержни имеют по-
стоянное сечение, то в формуле (1) жест-
кости EJ, EF, GF выносятся за знак
интеграла и интеграл по длине всех
стержней вычисляется как сумма интегра-
лов, взятых по длине каждого стержня.
Для стержней, работающих только
на продольную силу, имеющих F — const,
N = const, N — const, имеем
f Д' г., V NNl
J EF “ 2j EF '
См. также ниже случай ферменной
конструкции.
Для балочных и рамных кон-
струкций с прямолинейными стержнями,
сечение которых подобрано по изгибу,
относительное влияние продольной и
поперечной деформаций незначительно,
поэтому учитывается только деформация
изгиба. Эпюра М состоит из прямоли-
нейных участков. Значение \ gj Mds
152
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
на протяжении прямолинейного участка
эпюры А1 равно произведению площади
гМ TJ
эпюры на ординату эпюры Л1
под центром тяжести этой пло-
щади — правим Верещагина.
При постоянной жесткости на
протяжении отдельных участков
формула для упругого перемеще-
ния будет
(2)
силы Р. Эпюры, соответствующие нагрузке и еди-
ничной силе в направлении перемещение, изобра-
/Зг/ТГггтг-^
Фиг. 27.
жены ни фиг. 27, б и и. Перемещение опреде-
ляется ио правилу Веренигпиа:
MMds.
Для вычисления интегралов вида
j MtMKds прн заданных эпюрах Mt и Ла-
дана табл. 1. Случай переменной жест-
кости стержней см. 122].
Пример. Определить горизонтальную соста-
вляющую перемещении конца А рамы, изображен-
ной иа фиг. 27. а, находящейся под действием
Выражение интегралов f ДГ(гМА
Ре й, , Рай, 2й, -й,
А/а“-2£Л ----5----
Ра Гай* , й,(2Л,- ft,)]
“згрг+ л ]•
Перемещения консольного кругового
бруса в некоторых случаях нагруже-
ния даны в табл. 2.
Таблица I
s. (Основание всех площадей s)
Эпюра Мк Эпюры Mj
^<ГТТТ А2 ^рТТТПТк
. sb. sh,ht 3
Ттъ-в Shth^ б ГЛ/ ~6~ Лг(^+Л^ 0
ь ГГГП* Fl Bf (2/i^ +hj) и -hz^+hj) 0 + h3hs + Л4Лу]
* feu sflhl 12 Wz 12
Л <е S^~(3h6 + hs)
м 3 sjhi 3 ^(^Лб)
ЙЙ .j [..Ь ~hl(2h7+k2) о 7^^ + A-j] -^[ЛуА/ +4eh7+ + Лу*2]
Усялия я перемещения консольного кругового Ярус»
М, N, Q — итпЛаютиЛ момент, провальная и поперечная сила в произвольном сечении:
г, а, I — вертикальное и горизонтальное поремешенпя к угол поворота конпа
Таблица 2
Схема м N Q V 0 4
’**•**.. — Pr sin у — Р sin у Р cos е PP I я sin 2s\ EJ ( 2 4 ) PP (1 — cos «)• FJ ' 2 Pr* -gj-O-cos.)
/| р — Рг (1 — COS у) Р COS <Р Р sin » PP (1 - cos a)' FJ 2 Zr* EJ 3 'em 2«\ ^T,-!sm.+ —)
f ц -L 0 0 -gj (1 “ 'OS a) (я - sin K) l.r EJ •
i -ри(1 - cose) - дг(1 - cos •) pr sin e pP (I — cos «)• FJ 2 pr* EJ (3« „ , . sin 2<\
— лгЧ» — sin е) ЛГ Sin с тс (1 — cos »} гр Г . йГ ,ln* + , sin 2я « 1 + — __«cos«j EJ ’<P . L sin*«] __«.ln. + __j I
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
Усилия и перемещения консольного кругового бруса под нагрузкой, перпендикулярной к его плоскости
Таблица 3
Отношение жесткостей нэгиба н кручения X — —-
; GJK — жесткость при кручении
Схе м а Момент изгиба перпендикуляр- но плоскости ху М Крутящий момент .M Перемещение, перпендику- лярное к плоскости ху Угол поворота вокруг осн х Угол поворота вокруг оси у
z Pr 5tn ? Pr (I — cos 9) РР /1+31 2 * + 4 sin 2а — 21 sin a j [Ц1В1П2« + + >+l.-i.iB.] • РР П Г —j-J sin' a + X (1 — cos a)]
•д L sin 9 — L cos * Д'* R - 1 . . +li-l« —XslnaJ Lr /1+1 . X—1 , . \ г, (4-‘+—81п21) Дг Х-1 , , —,1О.«
>4 L cos я L sin p LP fl — 1 , , £7[-5-SUI.a + + X (1 - cos a) j Дг X - 1 , • Ё7-— ‘1D’* 4 EJ /1 + Х X —1 , _ (4-« r UO2. )
pr' (1 - cos f ) pr> (» — Sin 9) |(1 - cos .)• + + X (a-sin яр] J(X + l)(l-cosa)- — * ~ 1 (1 — COS 2a) — Xa sin a | рР_ EJ [(Х-1-1) ^sln«--|-j 4 1 Sin 2a — Ха cos a 4-
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИИ
155
Плоская система нагружена н де-
формируется перпендикулярно своей
плоскости. В этом случае формула
Максвелла-Мора имеет вид
++ + о)
Здесь M — изгибающие перпенди-
кулярно плоскости системы моменты;
Q — поперечные силы; Мк — крутящие
моменты; <р — сосредоточенная угловая
деформация типа изгиба; <fK — то же
типа скручивания; т; — сосредоточенная
поперечная деформация.
Перемещения консольного кругового
бруса см. в табл. 3.
Пространственная стержневая си-
стема. Правая часть общей формулы
для перемещения Дт получается в виде
суммы правых частей формул (1) и (3).
При этом изгибающие моменты М в фор-
муле (1) относятся к изгибу в одной из
главных плоскостей инерции, в фор-
муле (3) моменты М относятся к изгибу
в другой главной плоскости.
Определение перемещений фер-
менных конструкций. Аналитиче-
ский способ. Перемещение /и-го
узла фермы Д,я вычисляется в следую-
щем порядке:
а) определяются удлинения стерж-
ней упругие удлинения по формуле
температурные по формуле
(4)
б) независимо от заданного состоя-
ния фермы рассматривается второе
(иначе, воображаемое) состояние, когда
в узле т приложена в направлении ис-
комого перемещения сила, численно
равная единице (фиг. 28).
Усилия в стержнях в этом состоянии
обозначаются Д/. Искомый прогиб равен
Ьп - (5)
Перемещение равно сумме произве-
дении фактических удлинений на уси-
лия в стержнях от единичной силы,
соответствующей по направлению ис-
комому перемещению. Суммирование
распространяется на псе стержни.
Этим способом определяется прогиб
в заданном направлении, иначе говоря,
проекция полного прогиба на заданную
ось, например, вертикальную. Для опре-
деления вектора полного прогиба дан-
ного узла следует взять геометрическую
сумму прогибов по двум направлениям,
например, по вертикали и по горизон-
тали.
Для определения изменения расстоя-
ния между узлами т и т' берутся
две противоположные единичные силы
(фиг. 28,б).
Фиг. 28.
Для определения угла поворота стержня
берется пара сил с моментом, равным
единице, причем составляющие пары,
равные прикладываются к узлам
*т
стержня перпендикулярно^ оси стержня
(фиг. 28, в). Усилия N в этом слу-
чае имеют размерность см~ *. Для опре-
деления приращения угла ат берутся
две противоположные единичные нары
(фиг. 28, г).
Графический метод (метод
Вильо) дает возможность построить диа-
грамму полных перемещений всех узлов
фермы, если известны удлинения от-
дельных стержней.
Если требуется найти перемещение
узла I, в котором сходятся два стержня
(фиг. 29, а), удлинения которых известны,
то для каждого из стержней отклады-
вается от произвольной точки О отрезок,
равный удлинению стержня и параллель-
ный его направлению, а затем через
концы этих отрезков проводятся пер-
пендикуляры до их взаимной встречи
в точке I.
156
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Вектор 01 изобразит перемещение
узла. Если заданы, кроме того, переме-
щения концов а и b стержней (фиг. 29, б),
Фиг. 29.
то сначала от точки О откладываются
»ти отрезки, а затем выполняется ука-
занное выше построение.
Зная удлинения отдельных стержней,
можно построить перемещения всех уз-
лов фермы.
Пример. Олни узел прщщмдется неподвиж-
ный, з идпрднлегше одного из ирнныхиюших
к нему стержней неизменным. В вашем примере
•а неподвижные приняты узел 5 (фиг. 30, о) и на-
Фнг. 30.
правление стержни 5 — 2. Начиим от узла 5 н пе-
рехода к узлам 2, /, 3, . . ., строим диаграмму
относительных перемещений, соответствующую
пунктирному изображению деформированной фер
мы на фиг. 30, и. Чтобы удовлетворить опорным
условиям, а именно неизменности положения левой
опоры н расположению прямой опоры на прямой
АВ после деформации, необходимо произвести
дополнительное смешение всей фермы в целом
а ее плоскости.
Сначала перемещаем А' в А (поступательное
перемещение всей фермы), что соответствует
переносу полюса О диаграммы в точку а. Затем
вращаем ферму вокруг А до тех пор, пока точка
В' не упадет на прямую АВ, что на диаграмме
изобразятся картиной вращения фермы, предста-
вляющей фигуру, подобную ферме и повернутую
иа 90°. Перемещение любого узла в результате
только одного врашениа лается вектором, соеди-
няющим точку а' с изображением втого узла на
картине вращения. Окончательное перемещение
любого узле представляется вектором, соединяю-
щим соответствующие данному узлу точки картины
вращения и диаграммы относительных перемеще-
ний (например, 2'— 2, З'—З и т. д.).
По диаграмме перемещений строим линию про-
гибов пояса (фиг. 30, а).
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Всякая статически неопределимая си-
стема может быть сведена к геометри-
чески неизменяемой системе с мини-
мальным числом связей (т. е. статически
определимой) путем перерезывания или
отбрасывания избыточных (лишних)
связен в виде стержней, опор, жестких
заделок и замены их усилиями. Полу-
ченная таким образом система назы-
вается основной системой.
Усилия лишних связен называются
лишними неизвестными. Их число на-
зывается степенью статической неопре-
делимости.
Для заданной статически неопредели-
мой системы можно разнообразными спо-
собами, нарушая те или иные связи, вы-
брать основнуюсистему. Примеры выбора
основной системы и назначения лишних
неизвестных см. на фиг. 31.
Принимается, что конструкции явля-
ются жесткими, перемещения их весьма
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
157
малы по сравнению с размерами. Для
таких систем имеет место принцип сло-
жения действия сил: напряженное и
деформированное состояние системы от
нескольких нагрузок может быть полу-
чено суммированием состояний от дей-
ствия каждой нагрузки в отдельности.
Например, при действии заданной на-
грузки, обозначаемой буквой Р, и трех
неизвестных сил A'i, A's. Л> изгибающий
момент и прогиб в определенном сече-
нии т выражаются в общем виде так:
^т“ (6)
“ &тР + + A'a%„1S. ((>')
Первое слагаемое выражает действие
нагрузки Р; Мт1. Мт2, Mmi — моменты
в сечении т соответственно от Xt = 1,
Х2 — 1, Х8= 1; точно так же В-,, 8„,г.
5тз ~ прогибы в сечении т от л. = Г,
А з - 1, Х8 = 1.
Порядок расчета. 1. Анализируя
структуру системы, устанавливают сте-
пень статической неопределимости (чи-
сло избыточных связей).
2. Выбирают основную систему и
назначают лишние неизвестные.
3. Составляют систему канонических
уравнений, число которых равно числу
лишних неизвестных:
1) ^1*11 + ^18 + • • • + 'Vln +
+ “ °;
2) Л]Ц| -f- A'jijj +... + Х„Ъ2„ +
+ &!р “ 0;
(7)
п) А']ВИ1 -f- А^лтЧ--'- + -’СЛл +
+ Длд = °-
Первое уравнение выражает, что пе-
ремещение (обобщенное) основном си-
стемы по направлению неизвестной силы
(обобщенной) A'i от действия сил Х2,
А8, А'3,... и заданной нагрузки (или дру-
гих заданных факторов) равно нулю.
Второе уравнение выражает равенство
пулю перемещения основной системы
по направлению неизвестной силы Х%.
третье — по направлению Х2 и т. д.
4. Вычисляют коэффициенты и сво-
бодные члены системы уравнений (7).
С этой целью определяют усилия—строят
эпюры ЛТ], Л12. Af3. ... (в отдельности
от A\ — 1, A's » 1, А8 — 1 ...) и, кроме
того, строят эпюру Мр от заданной на-
грузки основной системы, если задана не
нагрузка, а деформация (например, тем-
пературная), то строят эпюры погонной
деформации.
При учете только деформации изгиба
(плоская рама) коэффициенты даются
формулами:
главные коэффициенты, расположен-
ные на диагонали из левого верхнего
угла в правый нижний угол матрицы
уравнений (7) и имеющие одинаковые
индексы
4
побочные коэффициенты (с неодннако
вымн индексами)
f M,Mkds
Побочные коэффициенты с персста- '
пленными индексами равны друг другу
(теорема взаимности единичных упру-
гих перемещений).
Свободные члены
Д1р- Ai,rfs- (9)
Таким образом, коэффициенты опре-
деляются, как упругие перемещения.
Свободные члены в общем случае могут
•быть перемещениями упругими, темпе-
ратурными и от наперед заданных сосре-
доточенных деформаций.
В случае необходимости учета де-
формации от N и Q, а также темпера-
турного эффекта и действия наперед
заданных сосредоточенных деформаций
перемещения определяют с помощью
формул (1), а в случае фермы — форму-
лы (5).
5. При небольшом числе неизвестных
(до трех включительно) уравнения ре-
шают по формулам теории определите-
лей (см. т. I, стр. 115). При большем
числе уравнений применяют схему
Гаусса (см. т. 1, стр. 128). Если число
уравнений велико и главные коэффи-
циенты значительно больше побочных
(по абсолютной величине), то применяют
метод последовательных приближений.
6. Определив неизвестные из уравне-
ний. строят окончательные эпюры уси-
лий. суммируя ординаты эпюры от на-
грузки с ординатами эпюр от единичных
неизвестных, умноженных на найденные
величины неизвестных согласно форму-
ле (6). По окончательных: эпюрам М, N,
1.58_______________________________
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Q производят проверку прочности от-
дельных брусьев.
7. Проверка окончательной эпюры.
Перемещение по направлению любой
лишней неизвестной равно нулю. Пусть
.И —ординаты окончательной эпюры.
Л<1 — ординаты эпюры от Х\ = 1 (для
основной системы), тогда должно быть
J -jj Я ds = 0;
(Ю)
точно так же
j^jAhds-O (II)
И т. д.
в. Расчет на жесткость. Перемещения
статически неопределимой системы опре-
деляют по формуле
Д/р = Ё7 + j е/z rfs +
S J
4-j-^Q,^, (12)
s
где Q’ — ординаты окончательных
эпюр; Mt, Nb Qt — ординаты эпюр, по-
строенных для любой статически опре-
делимой основной системы от действии
единичной силы в направлении искомого
перемещения. Пример расчета рамы с
одной лишней неизвестной см. стр. 159.
Построение линий влияния. Ка-
ждая линия влияния (перемещения или
усилия в сечении) может быть по-
строена, как эпюра прогибов по напра-
влению движущегося груза от соответ-
ствующего фактора, действующего в
исследуемом сечении. Если строится
линия влияния перемещения (обобщен-
ного), то система нагружается силой
(обобщенной), равной единице, соответ-
ствующей искомому перемещению. На-
пример, для построения линии влияния
вертикального прогиба в сечении т для
вертикальной нагрузки достаточно на-
грузить систему вертикальной силой
Рт — 1 и построить эпюру прогибов
пояса по направлению движущегося
груза т. е. в данном случае по верти-
кали. Если строится линия влияния уси-
лия, то систему следует нагрузить соот-
ветствующей сосредоточенной деформа-
цией, равной единице. Для построения
линии влияния изгибающего момента М
берется деформация f — 1, для линии
влияния N берется Л = 1 и для линии
влияния Q берется т) — 1. Таким обра-
зом, построение каждой линии влияния
требует решения статически неопреде-
лимой задачи от соответствующей на-
грузки или сосредоточенной дефор-
мации с тем, чтобы можно было осу-
ществить построение эпюры прогибов.
Упрощение канонических 'уРавне'
ннй симметричной системы. В случае
симметричной конструкции (фиг. 32, д)
следует основную систему выбирать сим-
Фнг. 32.
метрнчпой и заменить нагрузки симме-
тричными и антисимметричными сило-
выми группами, в совокупности эквива-
лентными заданным нагрузкам (фиг. 32, б
и в). В первом состоянии лишние неиз-
вестные также представляются симме-
тричными обобщенными силами (Xt и Х2).
а во втором состоянии —антисимметрич-
ными (в данном случае одной обобщен-
ной силой Лд). Расчет как бы приво-
дится к исследованию двух конструкций
половинного пролета (фиг. 32, г и б). Си-
стема трех уравнений с тремя неизвест-
ными в каждом заменяется двумя
уравнениями, содержащими Xt и л*, и
одним независимым уравнением, содер-
жащим Хг.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
1Г9
Окончательное состояние системы по-
лучается суммированием отдельных со-
стояний.
В случае наличия двух осей симме-
трии конструкции (фиг. 33) расчет за-
мкнутой рамы с тремя неизвестными
заменяется расчетом трех рам с одной
неизвестной каждая и одной статически
определимой.
Расчет плоских рам с одной лиш-
ней неизвестной является простейшим
частным случаем расчета рам мето-
дом сил, требующим составления и ре-
шения одного'канонического уравнения.
Схема расчета: 1) удаляется лишняя
связь, и ее действие заменяется неизвест-
ной силой — усилием или реакцией 2Q;
2) определяются составляющие переме-
щения рамы в направлении удаленной
связи, вызванные действием: а) нагрузки,
изменения температуры (Д]р) и б) неиз-
вестной силы, предварительно принимае-
мой равной единице (6П); 3) составляется
уравнение, выражающее условие, что
полная составляющая перемещения, вы-
званная совместным действием указан-
ных факторов а) и б), в действитель-
ности равна нулю: &iP-Ь Х^ц « 0.
Из составленного уравнения опреде-
ляется неизвестная сила, т. е. лишняя
неизвестная Х>.
После определения лишней неизвест-
ной изгибающие моменты, продольные
и поперечные силы определяются, как
в статически определимой рамё.
Пример. Построить эпюры изгибающих момен-
тов, продольных н поперечных сил или рамы, изо-
браженной на фиг. 34, а. P.J const.
Фиг. 31.
В опоре В удаляем одну снять — опоре сооб-
щаем подвижность в горизонтальном напрян-генин.
В полученной основной системе вместо удаленной
связи прикладываем неизвестную силу X|*t,
Эпюра изгибающих моментов от нагрузки изобра-
жена иа фнг. 34. б; эпюра от горизонтальной силы
действующей в точке В вдоль прямой ВЛ,-
ка фнг. 34, а. Ординаты эпюр отложены от растя-
нутого волокна.
Перемещения в направлении отброшенной связи
от нагрузки и от силы А'. = 1 определяем перемно-
жением эпюр (см. стр. 152). Получаем:
а) перемещение от нагрузки
. 1 1Р<р а .Ра> а \ Ра‘
41₽“_Ё7(Т- Т +
б) перемещение от силы X, — I
. I /а* 2 , . \ 5 а4
‘"“©(Уз e,2 + *°)“ye7-
Горизонтальное перемещение опоры В от на-
грузки н от силы X, в статически неопределимой
рвме должно быть равно нулю, что выражается
следующими уравнениями:
А1Р + Х»м-О; --ду +4'
откуда Х,-^Р.
Окончательная эпюр» изгибающих моментов —
см. фиг. 34, г.
Поперечная сила Q в про-
извольном стержне АВ определяется по
формуле
Q _
‘АН
где Мд и Мв — изгибающие моменты
на концах А и В; Qo — поперечная сила
в стержне, принимаемом за свободно
опертую балку.
Продольные силы опреде-
ляются из условий равновесия.
В некоторых случаях расчет рамы,
имеющей несколько лишних неизвестных,
может быть приведен к расчету рам с
одной неизвестной. Это достигается при-
менением метода аналогий (метода уп-
ругого центра, или графо-аналитическо-
го метода).
Формулы для расчета однопролетных
рам даны в табл. 4.
Формулы для расчета плоских колец
даны в табл. 5.
Расчет плоских одноконтурных рам
по методу аналогий
Нагрузка в плоскости рамы.Строится
эпюра изгибающих моментов Л1° основ-
ной системы.
Ординаты эпюры ЛР делятся на соот-
ветствующие жесткости EJ и принимают-
ся за распределенную фиктивную на-
грузку, перпендикулярную к плоскости
рамы и направленную к наблюдателю,
если ординаты эпюры М° снаружи
контура. Всю фиктивную нагрузку можно
объединить в одни результирующий
1Г.0
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таблица 4
Формулы для расчета однопролетнмя рам
(Положительные моменты выбывают
растяжение е внутренней стороны рамы)
Продолжение табл. 4
1 п ¥| 1 М _Л1 3EJ^ МВ Л,С h.V
* = А. A; N-»+l
Г I’1-*-' ’“Т = Pa? (1 4-9). МВ ~ 2.V ' Мр- (Ра + Мя)?
Pl1 Л,В““ 8>Г
Haipei 3EJ,*t л 4-в» ЧВ” hN ~
N-3* + <
г 1 г т: Раз (14- 3). МЛ~ N • МЙ--2А1Д; Мр- (Ра + Мд) 9
р 1 4 • Р“Т: „ Ра» 3 (1 - 9) » . МВ~- h- N • РаЬ 33*4-2(14-3). Л,А- - h • А/ “• Л1р-^4-9Л<д4- + 0-3) Мд
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
161
Продолжение табл. 4
II Той S
Продолжение табл. 4
1(7
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Продолжение табл. 4
Продолжение та^л. 4
«-(2+*) + -j-(3 + 2*); |1-Ц-в»+ m
(.ППЙЦЬ
+ „j ±
» Нагрузка на элементе CD
мл-мв—е!- 'Т:
б) Нагрузка на элементе АО
мл~мв~^ я ^т;*-
«с-ло—
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ
Таблица 1
у' I Формулы для расчета колец
L12 '**" Qi. Л, N и Q положительны, если они направлены, как указано на чертеже.
\Уд4* Обозначении: £—козуль упругости; У—момент инерции сечения; a —sine; а = соз •;
। з “ aln в; с «• соа в; л — sin »; е — со» v; 6* и 4у — увеличения лиаметрз кольца в
fl # 1 направлениях * и у.
1Р М - Рг{ 0,3183 - -J- « ) так (4- ЛЦ — 0,3183Рг при а — 1
4 А \р *--4Л р.-4 Ри 1 max (— Л1) — 0.1811Рг при «“4 РР * РР вж -+0,137^- 4у 0,149
(0 < « < 0) Л1 = Pr [0,1183 (з - св + ь ив — азе) — и + с] Л = Р [О,3183и (в - зе) - и] (в < 1 < «| Л1 ~ Рг (03183 (3 - св 4- ав — uscK N -Р |0,3183и (9 - зс)| <? - Р(0,3183а (зс -0)| 3-св)+ 4(ЗС-в)1
а -Р'* *х“-Е7 г*1 0^6Эбб(
4 ’у" Т7 0,6366(з-с«) +с+ 4 ** -1 |
(о < в < - г) “1- л X м
Ж - 4 (о,6366а - 4 j Ж-4 (о,6366а + 4)
ZV (0 < « < я) Ж — 0.6366 — и О — - -0,6366— 3 *х“° 4у—□
Г max (+ Л!) — +4Ь max (— Ж) «• — 4 L
(0 < я < 9> М - 4 р.3183 (2аз + в) - 1| (в < в < и) М -L (0,3183 (2u3-f-ty
и... X Л/-—0,63664^ г /V - — О,б36в«х Г
Q - - — 0,6366м Q - - 4~ 0,6366м
4 "4 4Ж - (0,6366 в - Л »У-^4 (0,6366»+с-1)
(°<«<|) (т<в<ж)
РГ ту М - Рг (0,3183а + г - N - Р (0,3183а + х) Q _ р (и - 0Д183х) • 0^183) S- •у- М -PrQ'WH (-0,3183а) N - 03183PU Q - - 0,3183Рз РР - 0,1366 C.J Рг* 0,1488
II
164
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Продолжение тябл. 5
(О < в < 8)
Л1 -= Рг (0,3183 (лв 4- с + us> - 1) -
- t + х|
Л = Р m,3iB3us> + г)
Q^p(u- 0.3163W1)
(" -у" + 0.63“ (a»+c-l)j
\--gy [у <“ + *> +0,6366(Л + с- 1) —*
М - Pr |O,318?(rt+ с + иР - 1)1
N — O,3I83««V>
Q —0,3183иг»-Р
(О < » < в)
Л1 — у Рг (у----~ max (+ М) — у Рг (у — у) при х—0,28. <9 и т. л.
max N «у Ру; шах(— Ж) — — у Pr (-j-------ctg sj пол каждым грузом
Радиальные перемещения точки приложения груза
РР Г 1 ( в , sc \ 11
2£/ + т) - т],в*₽ужу)
Радиальное перемещение в точках а —0, 29, 48 и т. а.
Эллиптическое кольпо
М. — kPa
k — коэффициент, зависящий от отношения а : t>
а __ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2,14 2.20 2,30 2,40 2,50
* — 0Д18 0,296 0,274 0.266 0,240 0,227 0,216 0,206 0.1Й5 0,186 0,175 0,187 0,161 0,155 0,150 0,146
фиктивный груз R®, найдя его положе-
ние по правилам сложения параллель-
ных сил:
R*-(£ ^-ds-(13)
Фиктивной конструкцией для за
минутой рамы (фиг. 35. а) или рамы с
заделанными пятами является абсолютно
жесткий брус, свободно лежащий на
у тц угон основании, параллельном пло-
скости рамы (фнг. 35. б).
Основание имеет следующую форму:
средняя линия совпадает с осью рамы,
а ширина подошвы, предполагаемой
весьма узкой (тонкий профиль), равна
гибкости в данном сечении действитель-
ной рамы (фнг. 35. б):
б* -
1
EJ'
х, у—координаты точек оси рамы
в главных центральных осях инерции
фиктивного профиля; л*, у* — коорди-
наты результирующего фиктивного груза
относительно главных центральных осей.
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
165
F*. ^х> —площадь и моменты инер-
ции фиктивного профиля для главных
осей его.
Полный изгибающий момент в любом
сечении действительной рамы опреде-
ляется по формуле
Л1 — Л1° + Л1‘ —Л1° —
/?* , . Я*л* \
i» ~i*~
(М)
Здесь /И® — момент в основной системе
от нагрузки; М* — момент от лишних
неизвестных.
Выражение в скобках, представляю-
щее собой момент ат лишних неиз-
вестных, вычисляется, как нормальное
напряжение в точках средней линии
фиктивного профиля при внецентрен-
ном сжатии фиктивной нагрузкой
Частные случаи. Если рама
имеет шарнир, то F& =ео, и центр тя-
жести фиктивного профиля совпадает с
шарниром. Трехчленная формула для Л1*
заменяется двухчленной.
Если рама двухшарнирная. то одна
из главных центральных осей (х) пере-
секает оба шарнира,причем F^—J^—oo;
формула для Л1* становится одночлен-
ной. Если пятовое сечение рамы имеет
упруго вращающуюся опору с угловой
податливостью -т—\/кгем. то фик-
м
тнвный профиль приобретает здесь со-
средоточенную площадку AF^ =t.
Консольные отростки рамы при по-
строении фиктивного профиля во вни-
лншь
*, поскольку передают свою
мание не принимаются и влияют
на эпюру /И0,--------- —------
нагрузку основной системе.' *
Нагрузка перпендикулярна пло-
скости рамы. Расчет начинается с по-
строения эпюры изгибающих момен-
тов АР и крутящих Л1* для основной
системы.
Интенсивность распределения фиктив-
ной нагрузки от крутящих и изгибающих
моментов
Чф
М/f ф Мп
аГ,’ р ~ТТ
Фиктивные нагрузки лежат в пло-
скости рамы, причем действует по
касательной, а р$ — по нормали к осн
рамы.
Общие формулы для крутящего и из-
гибающего моментов в любом сечении
Мк - + Л1*; М - ЛР + М*.
Крутящий и изгибающий моменты
М*к и М“ от лишних неизвестных вычис-
ляются как касательные напряжения t,
и tj в фиктивной тонкостенной короткой
ребристой оболочке, имеющей толщину
стенок bf — ду- и приведенную тол-
* ]
щину ребер «— -pj. Для случая круг-
лого или трубчатого сечения стержней
JK~ Jр — 2J при G — ОДД имеем
8.f - (X88f.
Расчет тонкостенной короткой обо-
лочки см. стр. 183.
Графо-аналитический расчет сложных
рам см. [22].
Практический расчет статически
неопределимых рам со многими
лишними неизвестными
Определение числа лишних неиз-
вестных плоской рамы. Число Л лиш-
них неизвестных определяется по фор-
муле
Л-ЬК-Ш + Св-3. (15)
где К—число замкнутых контуров ра-
мы; Ш— число внутренних шарниров*;
Со — число опорных стержней.
Число /< определяется по минималь-
ному числу разрезов, которое нужно
сделать, чтобы уничтожить замкнутые
контуры; Со = 2 для цилиндрической
неподвижной опоры и Со — 1 для цилин-
дрической подвижной опоры.
Для расчета рам со многими неиз-
вестными (каркасы многоэтажных зда-
ний и т. п.) разработай ряд методов
(метод перемещений, метод моментов,
метод фокусов и др.). Ниже приводятся
основы метода, предложенного Н. М. Вер-
надским в 1929 г. [271 и являющегося
одним из наиболее эффективных.
Метод распределения узловых
моментов (27]. (33] распадается на два
этапа: I этап — расчет прн неподвижных
* Имеется виду, что каждый из шарниров
вводит ому добавочную подвижность. Если одни
шарнир является общим для л стержней, то его
следует считать за п — I шарниров.
166
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
узлах; Н этап — учет перемещений узлов.
Для систем, узлы которых не могут сме-
щаться. второй этап отпадает.
7 этап расчета
1) Мысленно вводятся закрепления,
препятствующие линейному переме-
щению узлов. Число закреплений равно
числу степеней свободы той кинемати-
ческой цепи, которая получится, если
все жесткие узлы рамы заменить шар-
нирными.
2) В системе с неподвижными узла-
ми временно вводятся во всех узлах
моментные связи, препятствующие по-
вороту узлов. Этим каждый стержень
превращается в отдельную балку, за-
щемленную по концам (если на одном
конце стержня шарнир, то она превра-
щается в балку, защемленную на одном
конце и шарнирную на другом). Опре-
деляются моменты защемления таких
балок от нагрузки. Расчет начинают
с какого-нибудь узла А. в котором схо-
дится ряд стержней, из которых неко-
торые загружены, определяют алге-
браическую сумму моментов защемле-
ния в данном узле. Моменты считаются
положительными, если они действуют
на узел по часовой стрелке. Найденная
алгебраическая сумма есть неуравнове-
шенный момент &МА узла А, восприни-
маемый введенной моментной связью
3) Введенная временно моментная
связь уничтожается, для чего к узлу
прикладывается момент, равный по ве
личине и противоположный по знаку
неуравновешенному моменту (фиг. 36, а).
Этот момент распределяется между все-
ми стержнями, сходящимися в узле А,
пропорционально погонным жесткостям v
стержней, так что на долю /-го стержня
приходится часть неуравновешенного
момента (с противоположным знаком)
М* - &МАъ - ЬМА 2£_. (16)
где ч)—погонная жесткость данного
стержня; S*—сумма погонных жестко-
стей всех стержней, сходящихся в узле А
Распределение охватывает также и те
стержни, от нагрузки которых образо-
вался неуравновешенный момент. Мно-
житель р/ называется коэффициентом
распределения. Значения > следующие:
а) для стержня, присоединенного к
противоположному узлу жестко,
J
’“Т1
б) для стержня, присоединенного к
противоположному узлу шарнирно,
Возникающие на противоположных
концах стержней моменты равны
у (фиг. 36,0). Эти моменты ал-
гебраически складываются с неуравно-
вешенными моментами узлов, смежных
с узлом А. и являются вторичными по
отношению к ним.
Далее рассматривается смежный узел,
например В, на котором повторяется
операция распределения неуравновешен-
ного момента с обратным знаком, после
чего на узел А от В через стержень В А
перейдет вторичный неуравновешенный
момент, который при повторном цикле
снова распределяется, как и первый.
Распределение неуравновешенных мо-
ментов как начальных так и вторичных
выполняется для всех узлов рамы
С увеличением числа циклов абсо-
лютная величина неуравновешенных мо-
ментов убывает. Распределение прекра-
щается, когда абсолютная величина не-
уравновешенных моментов становится
достаточно малой. Вычисления ведутся
в табличной форме.
4) После суммирования всех отдель-
ных моментов по схеме защемленного
стержня и от всех распределений мо
ментов получаются окончательные изги-
бающие моменты стержня, а затем эпю-
ра изгибающих моментов для рамы
5) Определяются реакции в за-
креплениях, введенных для придания
неподвижности узлам
II этап расчета
1) Уничтожаются последовательно по
одному все закрепления, введенные для
придания неподвижности узлам Раме
сообщаются перемещения ставшие воз-
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
167
ножными в результате снятия каждого
закрепления; число таких независимых
перемещений равно числу введенных ра-
нее закреплений. Для каждого переме-
щения строится эпюра изгибающих мо-
ментов по методу, не отличающемуся
от указанного выше (I этап), с той
только разницей, что роль нагруженных
защемленных стержней играют стержни,
смещаемые без поворота концов; на-
чальные неуравновешенные моменты по
концам таких стержней равны CBJ/Z
(или 3BJ/Z при одном шарнирном конце),
где 6 — перемещение узла, перпендику-
лярное к стержню (фиг. 36, б). Величина 8
берется произвольной, например такой,
чтобы начальный неуравновешенный мо-
мент был равен единице.
2) Определяются силы Ли. Rn.£лл.
действующие взамен отброшенных за-
креплений и возникающие при каждом
из указанных перемещений (Я/* — сила
вдоль i-го закрепления при А-м пере-
мещении).
3) Ищется такая линейная комбина-
ция указанных выше перемещений рамы,
при которой силы Rlk, будучи алгебраи-
чески сложены с реакциями Rtp закре-
плений рамы по схеме 1 этапа расчета,
дают нули.
Допустим, что система имеет две
степени подвижности и в I этале введе-
ны два закрепления. Пусть реакции в
этих закреплениях no I этапу будут Rlp
и RJp. силы, соответствующие переме-
щениям по II этапу: а) при первом пере-
мещении сила вдоль 1-й отброшенной
связи Ru и реакции 2-й связи /?а;
б) при втором перемещении — реакция
1-й связи К12 и сила вдоль 2-й отбро-
шенной связи Ягз- Условие для опреде-
ления указанной линейной комбинации
(т. е. условие обращения в нуль всех
реакций добавочных связей) будет
Rip + Rub + Rvflt — 0; I /17)
Rtp + Яэта1 + Rnb “ 0, /
откуда определяются множители «j и »2.
4) Окончательно изгибающие момен-
ты. продольные и поперечные силы М,
Л' и Q выразятся формулами
М Л1р 4* ojAlj 4- ®2Л42;
N — Rp А- aiN> +
Q “ Qp + °iQi + ®aQ«,
(18)
тле Mp, Np, Qp — изгибающие момен-
ты. продольные и поперечные силы ра-
мы с неподвижными узлами; 2,
Q, 2 — то же при перемещениях, сооб-
щенных раме при удалении закреплений
Примгр. Построить эпюру изгибающих момеи
топ рамы, изображенной на фнг. 37, а.
Фнг. 37.
Для устранения подвижности узлов временно
вводим добавочную опору а узле Е, в умах В
и С — неуравновешенные моменты чашемлення
4-1250 и —1250 кГсм, отвечающие работе стержня
2 как балкн, защемленной обоими копиями; эти
моменты распределяем на стержни (I »tau>.
Схема первого никла распре юления показана
иа фнг. 38.
После ряха повторных циклов распределение
получается зпюра изгибающих моментов (атана I)
(фнг. 37. б).
Опорные реакции н рр получаются из
равновесия
/?0 - (Alf - Aff) : а + (Ж£ - Atf) : -
- (1 ,52 4 177,9): 100 4- (1707,6 4- 714,8) : 50 -
-50,21 кГ.
Ре - (- 50,21-186,6 + 100 (50 4- 86,6)j i 86,6 -
- 49,50 кГ.
1СЬ
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таким образом, реакция вспомогательной опоры
равна 49,50 кг. Теперь надо вообразить, что
к узлу £ приложена произвольная сила, вызываю-
щая смешение узлов рамы (фиг. 37, а). Предвари-
тельно считаем, что изогнулись только стержни
2 и 4, полагая их гашемленнымн п узлах В, С
и сооттетстьенио £, D. при этом будут иметь
место неуравновешенные моменты, которые при-
мем произвольно равными ±1000 кгем. После
этого по принятой схеме распределяем эти момен-
ты по стержням рамы (11 этап). Ряд циклов рас-
пределения даст эпюру моментов (фиг. 37, г).
Реакция /?0 и сила /?^, вызывавшие смешение
узлов, определяются из равновесия
Rd = [(571 + 523,8): 1<Ю| 2 — 21,90 кг.
Re = - (21,90*186,6): 86,6 — -47,20 кг.
Следовательно, найденная эпюра II вызывается
силой, приложенной к узлу £, равной 47,2 кг
и действующей вниз. Если мы теперь эпюру II
умножим иа отношение 49,5:47,2 и сложим с эпю-
рой 7, то на узел £ не будет действовать никакая
сила (т. е. вспомог ательиая опора уничтожится) и,
следовательно, суммарная эпюра будет искомой
эпюрой изгибающих моментов рамы (фиг. 87, tf).
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
1. Ж у р а в с к и й Д. И., О мостах раскос-
ной системы Гау, СПБ 1855.
2. Рабинович И. М., Кинематический
метод в строительной механике, 1928. К теории
винтовых ферм, 1924. К теории статически не-
определимых ферм, 1933.
3. Ясинский Ф. С., Собрание сочинений,
1899.
4. С и м и и с к и й К. К., Пространственные
фермы. 1911.
5. Подольский И. С., Пространствен
ные фермы, 1931.
6. I о р б у и о о Б. Н. нУмансккй А. А.,
Старика пространственных систем, Стройиздат,
7. Д и м е н т б е р г Ф. М., Общий метод
пространственной графостатики, основанный на
изображении в одной плоскости. Известия От-
деления технических наук АН СССР, J4 7, 1939.
8. У м а и с к и й А. А., Пространственные
системы, Стройихдат, 1948.
9. Б е р н hi т е й н С. А., О работе метал-
лических мостов по* динамической нагрузкой.
Трвисжелдориздат, 1931. Основы динамики соору-
жений, Госстройнздат, 1941.
10, И л ь я с е в и ч С. А., Основы динамиче-
ского расчета балочных металлических мостов,
Трансжеллориздат, 1931.
II. Го л ь д е и б л а т И. И., Динамическая
устойчивость сооружений. Стройиздат, 1948.
12. Прокофьев И. 11., Теория сооруже-
ний, ч. I и II. Траисжеллоркздат, 1948.
Прокофьев И. П. н Смирнов А. Ф.,
Теория сооружений, ч. Ill (Устойчивость и дина-
мика), Трансжелдориэдат, 1948.
13. Р а 6 и н о и и ч И. М., Курс строительной
механики стержневых систем, Стройизлат. ч. I,
I960, ч. II, 1954.
14. С и м и н с к и й К. К.. Статика сооруже-
ний. 1930.
15. Б о г у с л а в с к и й П. Е., Строительная
механика крановых металлоконструкций, Машгиз.
16. Ростовцев Г. Г., Строительная меха-
ника самолета, ч. I н II, ОНТИ, 1936.
17. У м а н с к и й А. А., Курс строительной
механики самолета, вып. 1, 2, 3, нзд. ВВИЛ
имени Жуковского, 1948—1951.
18. Кирпичей В. Л., Основания графиче-
ской статики, изд. 3-е, 1914, Лишние неизвестные
в строительной механике, изд. 2-е, ГТТИ, 1904.
19. Г а л е р к н н Б. Г.. К расчету безраскос-
ных ферм и жестких рам, ГТТИ, 1925.
20. Гвоздев А. А., Общий метод расчета
статически неопределимых систем. Траисжелдор-
кэдат, 1927.
21. Ерохин И. П. в М а л и е в А. С.,
Формулы для расчета сложных рам методом
расчленения. 1935.
22. У м а п с к и й А. А., Специальный курс
строительной механики, Стройиздат, ч. I. 1935,
ч. 2. 1940.
23. Же мочки н Б. Н.. Расчет статически
неопределимых систем. Метод угловых деформа-
ций, 1927, Расчет рам. Госстройнздат, 1933.
24. Филоненк о-Б о р о д нч М. М., Основы
теории работы упругих сил в плоских систе-
мах, 1932.
25. Б е з у х о в Н. И., Строительная меха-
ника, Госстройздат, 1931.
26. Горбунов Б. Н. и Кротов Ю. В.,
Расчет пространственных рам, 1936,
27. Б е р и а л с к и й II. ,4., Символический
расчет жестких стержневых систем, Труды
Среднеазиатского опытного научно-нсследов. инсти-
тута водного хозяйства, сер. В, вып. 3)13. 1929.
28. Г в о з д е в А. А.. Расчет несущей спо-
собности конструкций по метолу предельного
равновесна, Стройиздат, 1949.
29. Ж у д и н Н. Д.. Р в с ч е т стальных кон-
струкций с учетом пластических деформаций.
Сборник трудов КСИ. вып. 2. 1935.
30. Р ж а н н ц ы н А. Р., Расчет сооружений
с учетом пластических свойств материалов.
Стройиздат, 1955.
31. К о р н о у х о в Н. В., Прочность и устой-
чивость стержневых систем, Стройиздат, 1949.
32. П р о т а с о в К. Г„ Расчет статически не-
определимых мостовых ферм, Трансжелдоркэлат.
1947.
33. Р о г и цк и й С. А., Расчет рам, Машпи,
19-18.
34. Бер и штейн С. А..Основы расчета стати-
чески неопределимых систем, ГосстроПшдат. 1936.
35. 3 а в р и е в К. С., Сопротивление сооруже-
ний, Тбилиси, 1939.
36, Д а р к о н А. В. и Кузнецов В. И.,
Статика сооружений, Трансжслдорвздат, 1951.
ГЛАВА IV
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
КАЧЕСТВЕННАЯ
ХАРАКТЕРИСТИКА
ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Стержень считается тонкостенным,
если отношение ширин стенок к их
толщинам > 5-ь 10.
6
Определения. Поперечное сечение
тонкостенного стержня называется его
профилем. Линия, делящая пополам
толщину стенки профиля, называется
средней линией. По виду средней линии
профили делятся на открытые и за-
мкнутые. Средние линии стенок откры-
того профиля могут пересекаться в од-
ной точке, образуя пучок (примеры —
угольник, крест, тавр), могут не иметь
одной общей точки (швеллер, зетобраз-
ный профиль) и быть разветвленными
(двутавр) (фиг. 1, а). Замкнутые про-
фили, имеющие более одной ячейки,
L+XJU
Фиг. 1.
называются многосвязными (фнг. I б,
справа).
Профиль считается жестким в своей
плоскости, в чем состоит отличие тонко-
стенного стержня от оболочки, для ко-
торой существенным является изгиб
стенки от местной нагрузки.
Различают две категории открытых
профилей: недепланирующие профили —
стенки профиля образуют пучок, при
кручении сечение профиля остается пло-
ским; депланирующие профили — стенки
не образуют пучка, пересекаясь по край-
ней мере в двух точках, при кручении
плоскость сечения искажается, проис-
ходит депланация профиля, средняя
линия из плоской ломаной (или кривой)
превращается в пространственную
(фиг. 2). При этом проекция средней ли-
Фиг. 2.
нин на первоначальную плоскость сече-
ния не искривляется, а только повора-
чивается.
Особенности открытых профилей
в зависимости от жесткости круче-
ния QJK. Основное свойство стержней
с открытым профилем — слабое сопро-
тивление свободному (иначе, чистому)
кручению. Так называется скручивание
двумя равными и противоположными
парами, приложенными в плоскостях
торцов стержня, причем депланация
торцов ничем не стеснена и нормаль-
ные напряжения в поперечных сечениях
не возникают. При весьма тонких стен-
ках (у > 15-ь20—авиапрофили, от-
170
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
крытые цилиндрические оболочки,
фиг. 1, в) сопротивление свободному
скручиванию практически исчезает
(GJ^O).
Крутящие моменты в стержнях сдепла-
нирующнм, например двутавровым, про-
филем при GJK -♦ 0 могут быть воспри-
няты поперечными силами в
плоскостях полок. Одновременно
появляются и нормальные на-
пряжения изгиба полок, что
можно объяснить также несвободной
(стесненной) депланацией поперечных
сечений. Такое восприятие крутящих
моментов называется стесненным, или
изгибным кручением. Напряжения типа
стесненного, или изгибного, кручения
возникают от действия как крутящих
моментов, так и от продольных сил и
пар, поскольку они при некоторых ус-
ловиях вызывают деформацию кручения.
Стесненное кручение прокатных
профилей. Прокатные строительные и
судостроительные профили сравнительно
с авиационными имеют значительно бо-
лее толстую стенку Поэтому пренебре-
жение жесткостью GJ„ при исследова-
нии стесненного кручения для таких
профилей ведет к большим неточностям.
При кручении прокатных профилей су-
щественную роль играют две системы
касательных напряжений —
свободного и стесненного кручения.
Устойчивость тонкостенных стерж-
ней с открытым профилем. Сжа-
тые тонкостенные стержни с открытым
профилем теряют общую устойчивость
не только изгибаясь, но и закручиваясь,
и в некоторых случаях, особенно при
эксцентричном приложении сжимающей
силы, критическая сила оказывается на-
много ниже эйлеровой. Возможна также
потеря устойчивости от изгиба и от рас-
тягивающей силы. При большой ширине
полок необходима проверка на местную
устойчивость по формулам для пласти-
нок с одним свободным и другим за-
щемленным продольным краем.
Замкнутые профили. Замкнутые
(трубчатые) профили обладают несрав
ценно большей (в десятки и сотни раз)
крутильной жесткостью, чем открытые
профили той же конфигурации, и эта
разница тем резче, чем стенка тоньше.
Напряжения стесненного кручения игра-
ют в них второстепенную роль и учиты-
ваются только при вытянутой форме про-
филя например в несущей конструкции
крыла самолета, рассматриваемого, как
оболочка, подкрепленная поперечными
диафрагмами и продольным набором. В
смысле общей устойчивости при сжатии
стержни с замкнутым профилем не от-
личаются от массивных. Если ширина
плоской стенки больше 40Ь. необходима
проверка местной устойчивости.
Конструктивные рекомендации.
Конструкции из стержней с замкнутым
профилем при той же затрате металла
значительно жестче в случае простран-
ственной работы, чем конструкции из
стержней с открытым профилем. Жест-
кость открытых профилей можно повы-
сить, применяя решетку или планки.
Стержень с достаточно часто приварен-
ными планками по своим качествам бли-.
зок к замкнутому (фиг. 3, а). При кон-
струировании следует отдавать предпо-
чтение таким решениям, при которых
тонкостенные стержни открытого про-
филя - не испытывают кручения либо
крутящие моменты передаются на опоры
специально поставленными связями.
Чем тоньше стенка, тем большее
значение приобретает обеспечение жест-
кости поперечного сечения, в особен-
ности при наличии сосредоточенной по-
перечной нагрузки. Повышение попе-
речной жесткости достигается постанов-
кой диафрагм (фиг. 3, б). Диафрагмы
следует ставить также и при замкнутом
профиле.
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
ПРИ СВОБОДНОМ КРУЧЕНИИ
СТЕРЖНЯ С ОТКРЫТЫМ
ПРОФИЛЕМ
Характер траекторий касательных
напряжений показан на фнг. 4. Распре-
деление касательных напряжений по тол-
щине, за исключением небольших участ-
ков у коротких сторон. — линейное. На
средней линии т — 0, на краю
М„ х
'--£1
Максимальное касательное напряжение
М„ ,
хшлх “ 1 °п>ах-
J к
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ СВОБОДНОМ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ 171
Опасная точка — по середине края
наиболее толстой стенки.
Фиг. 4.
При
Так называемый
.момент инерции при
кручении*
yj|d(s)1’rfs
/
При б — const
4 е*
3 ’
здесь а —периметр
средней линии.
нескольких стенках постоянной
толщины в пределах стенки
4 -
Суммирование распространяется на
все стенки. Относительный (погонный)
угол закручивания
здесь а — экспериментальный поправоч-
ный коэффициент, равный 1.2 для про-
катных двутавров и 1,12 для швел-
леров
Величины JK для двутавров и швел-
леров, подсчитанные с учетом уклона
полок и закруглений и не требующие
введения поправочного коэффициента,
приведены в табл. I и 2.
Эпюра единичной депланацни при
свободном кручении. Эта эпюра ис-
пользуется при расчетах на стесненное
кручение. Проекция полного перемеще-
ния точки средней линии на продольную
ось стержня называется депланацией
в данной точке.
Приращение депланацни Wg в точке В
по отношению к депланацни шд в
точке А (фиг. 5) при кручении вокруг
оси, след которой (полюс) в точке Р,
Wg — WA — —
где ш — удвоенная площадь сектора с
вершиной в Р и дугой АВ.
7 аблица I
Геометрическае характеристика прокатных двутавров (ОСТ 10016-39) |29J
cj ЩР* cj Ль, Бимомеит инерции в cut Ордината эпюры о» для крайней точки профиля в слГ Биномен! сопротнвлг- кия в глг Момеи I инерции при свободном кручении Jк в сж* Характери- стика л / а/_ *“У ЁЦ а сж-1
io 644,3 15,25 42,26 2,873 0,04122
12 1 353 20,10 67,33 4,243 0,03457
14 2560 25,54 100.23 5,911 0,02966
16 4 879 32,25 151,30 8,4i)6 0,02562
18 8 219 38,90 211,28 11,37 0,02295
а 13 121 46,15 284,31 14,81 0,00074
ел) 6 13 857 47.05 2М.Ю 17.85 0,02215
М а 22 773 55.91 407,33 20,32 0,01844
t> 23 930 66.90 420,55 24,08 0,01968
а 33 799 64.48 524.15 25,57 0.01698
24 t> 35 426 65.57 540,25 30,12 0,01800
а 52 987 76.68 690.99 31.93 0,01515
11 ь 55 414 77,92 711,21 37,60 0,01608
’ а 76 704 88,38 867,93 38.83 0,01389
♦ 30 • ь ВО 114 89,75 892,60 45,78 0,01475
*• с 83 612 91,13 917,50 55,23 0,01587
1 а 107 160 1C0.69 1064,3 46.19 0.01281
33 111 780 102,21 1093,6 54,49 0,01363
\ с 116 520 11X3.73 1123,3 65,74 0,01466
( а 154 820 115.19 1344,0 56,85 0,01183
Зв 161 21) 116,8.5 1379,6 66,72 0,01256
‘ с 167 760 118,51 1415,6 79,99 0,01348
1 <* 228 900 134,13 17116.6 68.75 0,01070
40 о 237 950 136,00 1749,6 80.68 0,01137
1 е 247 210 137,85 1793.3 96.55 0,01291
172
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Таблица 3
Геометрические характеристики прокатных швеллеров (ОСТ 10017-39) |29|
Координата центра изгиба jr в см а ИПСр Бкмомекты сопротивления = 5 -Г “Ч
|$'ч% Момент инерш нонт
в еле в еле
Бнмомснт 9 a mf чип d е‘ I X
к в см~1
«, в слП в сдП
1.06 24,91 2,70 4.26 9,22 5.85 1 ,350 0,1431
6.5 1,15 64.88 3,86 6.36 16,80 10,21 1 ,497 0.09375
1.22 141,8 5.15 8,75 27,57 16,20 1 ,940 0,07219
К 1.34 354,8 7.19 12,71 49,35 - 27,92 2.727 0,06411
И 1.48 768,3 9.54 17,31 80.61 44,39 3.634 0,04245
а 1.58 1 512 12.03 22.63 125,74 66,85 4.815 0,03183
14 b 1.39 1 711 11,46 23,85 149,32 71.75 6.248 0,03733
а 1.68 2760 14,74 28,63 187.23 96.40 6,306 0,02950
16 b 1.48 3 099 14,03 30,09 220,87 103.00 8.227 0,03180
а 1.83 4 745 17,68 35,32 268.41 134.34 8.128 0(02S56
ь 1.57 5 292 16.83 37,02 314.50 142,95 10.50 0,02749
а 1.94 7 698 21,27 42.46 361,95 181 .'28 9,84 0,02207
20 b 1,73 8 560 20,24 44,45 422,87 192,57 12,50 0.02359
а 2,07 И 593 24,84 49.60 466,69 233,73 11.66 0,01958
22 b 1.86 12 863 23,63 51.88 544,42 247,95 14.60 0,02079
а 2,10 15 326 27,43 55,21 557,74 277,59 13.21 0.01812
24 ь 1,88 17 007 26,10 57.75 651,56 294.50 16.47 0,01921
• с 1.67 18 640 24,91 60.09 748,3.5 310.21 21.31 0,02087
а 2.14 24 337 31.85 66.46 764.11 366.19 16.25 0.01595
27 ь 1.91 26 683 30,23 69.39 889,34 387.42 2П.З-1 0,01696
с 1,70 2» 355 28,82 72,10 1018,6 407.14 26,34 0,01848
( а 2,26 36 6'15 37,21 76,54 964.87 478,78 20,39 0,01456
30 0 2,00 40 436 35.23 79.98 1147.8 505,61 25.01 0.01535
1 с 1,80 44 104 33.59 83.06 1313,0 530,97 31,75 0.01666
Примечание к табл. 1 н 2. При вычислении * приняты О—800000 кцеМЦ Д—2 100 000ла/сл*.
Величина ш называется единичной
депланацией, а относительный угол за-
кручивания 8 — мерой депланацин ••
Для построения эпюры депланации
w(s) или ш (s) необходимо задать по-
люс Р и точку, где w известно, в част-
ности, равно нулю (так называемую ну-
левую точку Н). Ординаты эпюры и (8)—
функции дуговой координаты з —
равны удвоенной площади, сметаемой
подвижным радиусом-вектором, вращаю-
щимся вокруг полюса. Приращения <о (з)
считаются положительными при враще-
нии радиуса-вектора против часовой
стрелки.
При изменении полюса и нулевой
точки к ординатам эпюры ы (з) приба-
вляется линейная функция координат
точек средней линии (фиг. 6):
»(з) — — 8 (»(з) + ал(з) — by(s) + К) =
— — 8ы' (з),
где К — константа.
Изменение полюса эквивалентно из-
менению плоскости, от которой отечн-
* Мере депланацин иногда приписывается
аиак, обратный знаку 0 (11].
тываются
линии профиля.
депланацин в
точках средней
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПРИ СВОБОДНОМ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ 173
В случае профиля-пучка эпюра ш при
полюсе в центре пучка имеет нулевые
ординаты. При всяком другом полюсе
профиль также остается плоским.
Числовой пример построения эпюры
ш(а) показан на фиг. 7. Полюс — Р.
нулевая точка — Н
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
ПРИ СВОБОДНОМ КРУЧЕНИИ
СТЕРЖНЯ С ЗАМКНУТЫМ
ПРОФИЛЕМ
Касательные напряжения считаются
распределенными равномерно по тол-
щине стенки. Траектории касательных
напряжений параллельны или близки к
параллельности средней линии профиля
(фиг. 8>.
Произведение q • т (а) 6 (а) назы
вается погонным касательным уса
лием Размерность его кГ1см.
При свободном кручении
М.
О — —5- — const.
। де <»( — удвоенная площадь, охватывае-
мая средней линией замкнутого профиля.
Максимальное касательное напряже-
ние соответствует точке профиля с ми-
нимальной толщиной стенки
Общая формула для относительного
угла закручивания при переменном по
дуге погонном касательном усилии
Я - Я («)
» — (|) t («) ds
Другой вид той же формулы:
„ 6,
Здесь ds' — ь j ds — приведенный
элемент дуги средней линии; 8Г — посто-
янная. имеющая размерность длины,
вводимая для удобства расчета. Обычно
8f—средняя толщина стенки профиля
При о — const, Bf — 8. ds' = ds.
При свободном кручении. когда
q = const,
к М.
где
«к
Здесь s' — (р ds' — приведенный пе-
риметр средней линии профиля. При
8» 8С- const берется просто пери-
метр S/f
Эпюра единичной депланации при
свободном кручении. Приращение де-
планации дад в точке В по отношению
к точке А (фиг 9)
___s
WB — «ГД — — Ош -----
Здесь ш — единиц-
ная депланация. I р _
вычисляемая по \
формуле
“ Фиг. Я.
ш — -----Г s',
где ш—удвоенная площадь сектора РАВ\
s' — приведенная длина дуги АВ, «, —
удвоенная площадь контура; sK — при-
веденный периметр.
Вычитание величины s' можно вы-
s<
полнить также графически (фиг. 10). На-
чиная от нулевой точки Н. вдоль гори-
зонтальной прямой чертится развертка
приведенного периметра. Откладываются
ординаты эпюры ш Вершина последней
ординаты ш соединяется прямой линией
с точкой Н. Ординаты ш отсчитывают-
ся от этой прямой. На фиг 10 дан при-
мер коробки с двумя осями симметрии,
полюс совмещен с центром тяжести,
начальная точка Н. Ординаты ш перене-
сены на профиль. При равенстве при-
веденных длин сторон
88f h,
»Л
имеем ш (s) = 0, такой прямоугольный
профиль не депланирует. В примере
174
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
на фиг. 10 взято b' > ft’; если бы было
б'<Л', то знаки ординат эпюры <* из-
менились бы на обратные.
К недепланирующим принадлежат
треугольные профили (при одинаковых
и различных толщинах стенок) и много-
угольные постоянной толщины со сред-
ней линией, описанной около окруж-
ности, и некоторые другие.
Изменение эпюры ы при изменении
полюса и нулевой точки также сводится
к добавлению линейной функции коор-
динат точки средней линии (см. преды-
дущий раздел)
Многосвязиые профили см. (5], [28].
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ |4|
Распределение напряжений ант
по сечению
Расчет тонкостенного стержня на рас-
тяжение (сжатие), изгиб и свободное
кручение делается по правилам, изло-
женным в гл. II, причем нормальные на-
пряжения зависят только от усилий N.
А1Х. Му. а касательные только от Qx,
Qy, Мк. Уточненный расчет тонкостен-
ных брусьев с депланирующим профи-
лем требует учета стесненности круче-
ния и дополнительных нормальных и
касательных напряжений стесненного
кручения. При этом крутящий момент
свободного кручения соответствующим
образом уменьшается.
Основная гипотеза: продольные пере-
мещения точек средней линии про-
филя пропорциональны единичным де-
планациям при свободном кручении,
ординатам так называемой главной
эпюры <л (открытый профиль) или »
(замкнутый профиль).
При отсутствии закручивания эта ги-
потеза и гипотеза плоских сечений рав-
нозначны.
Нормальное напряжение в сечении
открытого профиля, фиксируемом коор-
динатой z (ось г вдоль стержня), и
в точке средней линии профиля, фикси-
руемой дуговой координатой $. опреде-
ляется по четырехчленной фсрмуле
В. 3. Власова:
, . N (z) Mx(z) ...
о (г. «) - -у2---jr-1 У («) +
My(z) B(z}
+ Ц12х(а)--^-Ы($).
•'V '»
Значение отдельных сла-
гаемых. Первые три слагаемых со-
ответствуют гипотезе плоских сечений
и дают нормальные напряжения растя-
жения — сжатия с изгибом ♦, четвертое
слагаемое дает напряжения ои(л, s) от
изгибного (стесненного) кручения, свя-
занные с депланацией.
B{z)—усилие в сечении г, опреде-
ляющее величину напряжений »ш(т, 5)
и называемое изгиб но крутящим б и мо-
ментом или просто бимоментом. Раз-
мерность его — кгсм1. Бнмомепт пред-
ставляет собой статически уравновешен-
ное внутреннее усилие.
В случае двутавра (фнг. 11, а и б) он
равен произведению каждого из момен-
тов, изгибающих полки в противополож-
ные стороны в их плоскостях, на плечо,
равное расстоянию между средними
линиями полок, т.е. В — Mnh (фиг. 11. б),
<о (s) — ордината главной эпюры еди-
ничной депланации профиля, характе-
ризующей распределение ошпо профилю.
Эпюра ш строится для впереди лежа-
щего сечения (фиг. 11, а и б) при полюсе,
совпадающем с центром изгиба (см.
ниже), и при нулевой точке, выбранной
так, чтобы интеграл \ u>dF — О, В слу-
чае двутавра центр изгиба и нулевая
точка совпадают с центром тяжести,
эпюра и имеет вид четырех треуголь-
* При вычислении напрвжеиий в крайних во
воинах вместо у (т) и х 1.1) берете» утах_ згтм
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЛ
175
ников, каждый с максимальной ордина-
той ± (фиг. 11. а).
Бимомент считается положительным,
если при положительном <> напряжение
’« получается отрицательным (сжимаю-
щим). Правило знаков для всех усилий
Касательные напряжения изгиба а
стесненного кручения. Нормальным на-
пряжениям сопутствуют касательные, ко-
торые считаются распределенными равно-
мерно по толщине стенки 8 (s). Величина
q(z, s) — t(z, s) 8(s) называется погон-
ным касательным усилием в сечении z.
Фнг. 11.
дается на фиг. II, а и б. Наблюдатель
идет в положительном направлении оси
стержня г и смотрит на впереди лежа-
щее сечение. Для N, Мх. Мг Qx< Qy
используется правило, общепринятое в
сопротивлении материалов. Правило для
В. Мк и = вж выбрано с учетом анало-
гии между изгибом и стесненным кру-
чением. Величина
</в = j MF — J <a*(s) 8 (s) ds CM*.
J* — так называемый бимомент инер-
ции тонкостенного профиля (другое на-
звание — секториальный момент инер-
ции). интеграл, вычисляемый по прави-
лам перемножения эпюры ш(з) на эпюру
ш($) 8 (з), например, по правилу Вере-
щагина. В случае двутавра /и—,
где J„ — момент инерции полки относи-
тельно ее поперечной оси симметрии,
можно принять
Л *4"»
здесь Jy — Jmin — минимальный момент
инерции профиля двутавра.
Максимальные нормальные напряже-
ния от бимомента определяются по фор-
муле
В
max ,
4
где —------------бимомент сопротн-
“<пи
влення профиля.
точке профиля 3. Вектор q направлен по
касательной к средней линии в точ-
ке з.
Общая формула для q (г, s) получается
из условия равновесия отрезка стержня
аналогично формуле Журавского.
- Оу
Я (*. (*. 0)---jr~ Sx(s) +
Значение отдельных сла-
гаемых. q(z, 0) —усилие в сечении г
в начальной точке отсчета дуги з сред-
ней линии.
Для открытого профиля начало бе-
рется на краю, тогда q(z, 0) — 0, если
вдоль края не приложено внешнего
касательного (сдвигающего) усилия. Для
замкнутого профиля начало берется
в произвольной точке; q (z, 0) подлежит
определению.
Следующие два слагаемых дают каса-
тельное усилие от поперечных сил из-
гиба.
Последнее слагаемое—касательное
усилие от действия крутящего момента
стесненного кручения.
Этот момент равен производной от
бимомента:
Мк (ж) - в' (z).
176
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Здесь имеется аналогия с соотноше-
ниями между изгибающими моментами
и поперечными силами:
Qr(x) = Ai;(4
5Ш (s) — то же от эпюры м (s) В (s)*. Сна
чала строятся эпюры у, х, ». затем уВ,
хВ, иВ и, наконец, эпюры $х, Sy. Se,
ординаты которых равны площадям по-
Эпюры величии S. в первом случае сов-
падающих со статическими моментами
вышележащей части профиля, удобнее
всего строить как интегральные эпюры.
Эпюра Sx(s) строится как интеграль-
ная эпюра от эпюры у (з) В ($). Эпюра
Sy(s) — то же от х(з) В (s). Эпюра
зади лежащих частей эпюр хВ, уВ, иВ,
причем на краю величина S равна нулю
(фиг. 12—14у
--------- 3
Величина (л) — f <» (л) ds называется ста
ти чес к нм бимоментом иди секториалькым статиче-
ским моментом.
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ стержней
177
Стрелки потоков касательных усилий
направлены от края полки при поло-
жительной крайней ординате интегри-
руемой эпюры и к краю при отри-
цательной.
Замкнутый профиль [6]. Фор-
мулы для а (х, л) и 7 (г, я) остаются в силе
при условии замены главной эпюры ш (я)
главной эпюрой «• (л). Эпюры Sx (л),
Sy (л) и (л) строятся при дополни-
тельном условии S (л) ds' — 0, что
позволяет определить S (0) в произвольно
Здесь (z) — относительный угол
закручивания; Мк(г}— крутящий мо-
мент свободного кручения.
В случае замкнутого профиля к по-
гонному усилию 7 (z, л) добавляется
постоянное усилие свободного кручения
. . - • Л1, (л)
7 (ж) -GT<z-^------
лг
Для получения т полное погонное
усилие делится на толщину стенки 8 (л).
взятом продольном разрезе (нулевой
точке).
Эпюры для прямоугольного симме-
тричного профиля см. на фиг. 15. Несим-
метричные и многосвязные профили
см. [5]. [6]. [28].
Полная величина касатель-
ных напряжений. В случае откры-
того профиля с исчезающе малой же-
сткостью свободного кручения полная
величина касательных напряжений опре-
х , . 7 (я, л)
деляется формулой t (z, я) — •
Прн прокатных профилях добавляются
. напряжения свободного кручения, рас-
пределенные по закону двух треуголь-
ников (см. фнг. 4, стр. 171):
т (*, л) - а<г'к (г) 8 (л) - •
Порядок определения на-
пряжений. Расчет начинается с вы-
числения помимо обычных еще и спе-
циальных геометрических характеристик
тонкостенного профиля — его центра
изгиба, главной эпюры еди-
ничной депланацин и бнмо-
мента инерции, после чего опреде-
ляются изгибно-крутящие бимоменты в
отдельных сечениях.
Центр изгиба
Центр тяжести О фиксирует положение
оси стержня (ось z) и начало главных
центральных осей инерции поперечного
сечения (оси х, у). Проекция нагрузки,
приложенной по одну сторону от сече-
ння на ось z, дает продольную силу N,
а моменты относительно осей х, у дают
изгибающие моменты Мх, Мг Центр
12 Том з
178
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
изгиба D фиксирует положение осей,
параллельных осям г. х, у. Ось zq на-
зывается осью центров изгиба. Момент
нагрузки относительно оси гд дает кру-
тящий момент Мк (внешний). Проекции
нагрузки на оси xD, yD дают поперечные
силы Qx, Qr Если нагрузка пересекает
ось центров изгиба, крутящий момент
равен нулю.
Центр изгиба определяется, как
точка пересечения равнодей-
ствующих касательных уси-
лий, соответствующих двум
случаям поперечного изги-
ба — в главной плоскости уОг и в глав-
ной плоскости xOz.
Центр изгиба профиля-пучка совпа-
дает с центром пучка. Центр изгиба
симметричного профиля лежит на оси
симметрии. При наличии двух осей сим-
метрии центр изгиба совпадает с цен-
тром тяжести.
Ш веллер (см. фиг. 14). Если положить
Qy — — J*. то эпюра (л) совпадает
с эпюрой Sjt (s). Расстояние центра из-
гиба D от оси стенки равно моменту
пары усилий в полках, деленному на
равнодействующую всех усилий, т. е.
величину Jx:
1 * hbb»
, 2 °~Т~ htb4b
D~ Ъ " "W
При стесненном кручении ось закру-
чивания совпадает с осью центров из-
гиба.
Общие формулы для определения
координат центра изгиба:
, [“>' ($) у (5) 8 (s) ds
xv “" J ;
J х
, f «>'(s) x (s) 8 (S) ds
УО--J----------T.--------•
Формулы справедливы и для замкну-
того профиля при условии замены и>’ (s)
на «'(s) и D на К |6]. В этих формулах х',
у' — координатные осн, параллельные
главным центральным осям, но имеющие
произвольное начало О', в частом слу-
чае О' может совпадать с О (центром
тяжести); <»’ (л) — ординаты эпюры еди- '
ничной депланации, построенной при по-
люсе О' и произвольной нулевой точке;
« (s) и у (s) — координаты точек средней
линии в главных центральных осях.
Вычисление интегралов делается по
правилам перемножения эпюр (см. гл. 111).
Первый числитель: эпюра у (s) Б (s) умно-
жается на эпюру <>' ($). Второй числи-
тель: эпюра x(s)8(s) умножается на
эпюру ш' (д). Знаменатели: эпюра_y(s)b(a)
умножается на эпюру у (л), аналогично
эпюра x(s)6(s) умножается на эпю-
ру Jr(s).
Числитель формулы для x'D может
быть найден так же, как статический
момент относительно главной оси х
эпюры <i»'(s)8(s), ординаты которой по-
вернуты в свое истинное положение,
т. е. нормально к плоскости чертежа.
Аналогично определяется числитель
формулы для y'D.
Пример (фиг. 16). Полюс в точке О'.
Г , . . „ „ « / 37,5 + 10 _ _ , * 10-5,0 ,
J <u'yi!rfj — 2-0,2 I ——-----5-5,5 +-----------4,51-
- 306,5 см>;
15.0
5,0-5,!? + Чр(5,5» + 5,5-2^+ 2Д» +
+~г] "“9б’1 г**!
Главная эпюра единичной
депланации w(s) и бнмомент
инерции профиля 7Ш
Главная эпюра единичной
депланацни ш (s), дающая распре-
деление нормальных напряжений аш (5)
при стесненном кручении, строится при
полюсе, совпадающем с центром изгиба,
н при нулевой точке Н, обращающей в
нуль интеграл, равный площади эпюры <>«:
J шБ ds — 0.
Если имеется ось симметрии, то Н
совпадает с пересечением оси спмме-
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ 179
грии со средней линией. В противном,
случае строится эпюра w* (s) при про-
извольно выбранной нулевой точке
и от всех ординат отнимается величина
К = -L f 8 ($) ds,
Г I
где
F = j 8 (s) ds
есть площадь профиля.
Для замкнутых профилей |б|:
4-(£«*(«) 8 (в) ds.
Главные эпюры единичной деплана--
пин. бимоменты инерции, бимоменты со--
противления f IP — —— сжЛ н ко.
X “mix /
ординаты центра изгиба для двутавров
и швеллеров приведены в табл. 1.
Эти формулы справедливы и для зам-
кнутого профиля с заменой ш (s) на и (з).
При построении эпюр наблюдатель
смотрит на впереди лежащее сечение
или, что то же. на начальный (левый)
торец. Полюс берется в центре изгиба.
Радиус-вектор вращается против часо-
вой стрелки.
Бимомент инерции
" | v^dF •« Ju>t (s) 8(s) ds cm*
вычисляется путем перемножения эпю-
ры <» (s) 8 (s) на эпюру ы ($), соответ-
ственно «(s) 8 (з) на ш (s). Перемножае-
мые эпюры обычно строятся и для по-
лучения эпюры Sa(s) (см. фиг. 12—15).
Для профилей-пучков
•и (S) в 0, Jv - а
Данные для употребительных состав-
ных профилей см. на фиг. 17 (29|.
Приведение нагрузок к типам
усилий
В соответствии с семью типами уси
лий в сечении N, Qx, Qy, Mx, Afy. Af*. В
каждая нагрузка раскладывается на
компоненты этих типов. За основу бе-
рется сосредоточенная сила, приложен-
ная к стержню в точке с координата-
ми х, Sp. Прежде всего сила расклады-
вается на два компонента: Р в плоско-
сти сечения и Pt перпендикулярно
плоскости сечения (фиг. 18). Сила Р
переносится параллельно в центр из-
гиба D с добавлением сосредоточенного
крутящего момента Lt-Pd. Затем Р
раскладывается на компоненты Ру и Р„
параллельно главным центральным
осям у, х. Положительное направление
компонентов (фиг. 18) соответствует от-
12»
180
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
рицательным скачкам в эпюрах Мк, Qy,
Qy, Правило знаков для этих усилий
дано на фиг. 11. Сила Pt переносится
в центр тяжести О с добавлением двух
сосредоточенных изгибающих момен-
тов: /.j,. — — Руу (sp) и Ly = Ргх (Sp).
Кроме того, сила Рг порождает сосредо-
точенный бимомент С“ — Р^ш (Sp), здесь
<» (sp) — ордината главной эпюры <*> в
точке средней линии, где приложена
Фиг. 18.
сила Рг*. Сила может быть приложена
и к отростку стенки, и тогда эпюра ш
должна быть продолжена на отросток.
Сосредоточенные компоненты Pt, Lx,
Ly, С считаются положительными, когда
они соответствуют положительным скач-
кам в эпюрах однотипных с ними уси-
лий N, Л1^ Му, В.
Интенсивности компонентов распре-
деленной вдоль осн стержня z нагрузки,
приложенной в точке а сечения, опре-
деляются аналогично.
Сосредоточенная растягивающая си-
ла Рг, приложенная к свободному торцу
стержня, дает усилия на торце
N - Р,- Мя - - Р,у (Sp)-, Му - РуХ ($р)-,
В — — Рг* (Sp).
Погонная растягивающая нагруз-
ка pt (s), распределенная вдоль средней
линии свободного торца, дает усилия
N Ру (s)^(s)ds\
Мх - pt(s)y(s)b (s) ds;
Му — j Ру (s) х (s) 6 (s) ds;
В — — J Ру (s) « (s) Й (s) ds.
• При нескольких силах Ру, приложенных
в рилнчиых точках тонкостенного профиля, их
нельзя заменять одной равнолейстиующсй.
. В случае замкнутого профиля ш за-
меняется на ш.
Закручивание вызывают только на-
грузки LK и С или аналогичные распре-
деленные нагрузки.
Определение усилий
(построение эпюр) [4|
По компонентам нагрузок опреде-
ляют усилия и строят эпюры N (z).
Кроме этих эпюр, необходимы эпюры
бимоментов В (г) и ^эпюры крутящих
моментов свободного Мк (z) и стеснен-
ного (z) кручения, причем
My(t) + tiy(t)-My.
В ряде случаев эти эпюры получа-
ются элементарно. Если профиль неде-
планирующнй (пучок), то В = М = 0.
Если профиль открытый и депланирую-
щнй, то при QJK-»O все эпюры, связан-
ные с кручением, В (z). Мк (s).<fK («).
f 'K (г) как в статически определимых,
так и неопределимых случаях строятся на
основании аналогии между изгибом и
стесненным кручением (фиг. 19). Закру-
чиваемый стержень моделируется из-
Фиг. 19.
гибаемой балкой, причем опоре, препят-
ствующей вращению сечения, но не пре-
пятствующей депланацин, соответствует
шарнирная опора балки, а опоре, пре-
пятствующей только депланацин, — за-
делка, препятствующая только повороту.
Полной заделке на кручение соответ-
ствует полная заделка на изгиб. Нагрузив
балку силами Р — LK, моментами L — С,
распределенной нагрузкойр — тк, строят
эпюры поперечных сил Q, изгибающих
моментов М, прогибов v, углов пово-
рота f, которые формально совпадают
с эпюрами Му — Му, В, <рк; послед-
ние две — при условии, что Д — J ш |4|.
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
181
При QJK у= 0 (случай прокатного от-
крытого профиля) для построения эпюр
также можно воспользоваться аналогией
между стесненным кручением и изгибом,
но моделирующая балка получается рас-
тянуто-изогнутой [31], причем продоль-
ная сила равна QJr Эпюры В (z) и их
уравнения для ряда случаев даны на
фиг. 20 [29]
щадь эпюры относительных углов закру-
чивания:
j Мк (z) dz.
и
Построение эпюр при других нагруз-
ках и опорных закреплениях сводится к
KU
ИА
S/U" ****' с**2]
Зпюра
Би
С*?*а Стержня и
Балки
, вы . ..., rA Az
в^‘в[°}-УлАГ
|W
Фиг. 20.
»ы- £
интегрированию диф-
ференциального
уравнения стес-
ненного круче-
ния, даваемого в
двух формах:
S’(«)-*’£ (*)-
“ (z)
или
?,v(z) — (г)
тк (z)
“ EJ,. ’
где
EJ-
LsLl
г shi / 1
Пунктиро:
GJK-> 0. УГ
помощи
причем
>м показаны эпюры В (z) при
равнения эпюр выражены при
гиперболических функций,
Здесь тк — интен-
сивность
моментной нагрузки.
Общий
уравнения,
начальных параметров
виде уравнений двух эпюр, имеет вид:
ный по методу
в I
крутящей
интеграл
выражен-
GJK
EJ/
B(z) — В (0) ch kz +
+ ^<(0)4-shftz+lS(z)l:
Значения k приведены в табл. 1. Эпю-
ры Мк (z) получаются дифференцирова-
нием:.
Л?* (z) — В’ (z),
а эпюры Мк (z) — вычитанием:
Мк (z) — Мк (z) — М„ (z).
Относительный угол закручивания
Абсолютный угол закручивания полу-
чается интегрированием или как пло-
(z) — Л1Ж (0) ch kz +
+ В (0) k sh kz + | .И, (z)].
Сюда следует присоединить выражения
для М„ (z), f (z), (z) (см. выше).
Члены в квадратных скобках дают
влияние нагрузок, расположенных ме-
жду начальным сечением 0 и исследуе-
мым z. Так, в случае сосредоточенного
крутящего момента LK в сечении и имеем
[B(z)| Z.Ksh*(z- и);
[Af (z)] -L<ch*(z-uX
182
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
В случае равномерно распределенной
крутящей моментной нагрузки интенсив-
ностью т„ кгГм(см на участке от и = с
до и — d
|В (*)) — |ch k (z — d) — ch k (i — c)J;
ztf. (z) — (sh k (z — d) — sh k (I—c)].
Начальные параметры В (0). AL(0)
определяются из граничных условий.
Граничное условие (для горца) Математическое выражение
Отсутствие песне ння для деплана* инн Отсутствие стесие ння для поворота Полное стеснение деплананим . . . Полное стеснение попорота . . ь. а п ж" * К to 1) % 1 ° "| Й1° О а * о
Пример. Стальной сварной стержень швеллер-
ного профиля А = 20 см, b = 10 см. 4& =
= 1 гл длиной = 150 см защемлен лепим концом
и свободен на правом конце. На расстоянии о»
— 100 см От заделки стержень нагружен сосрело
точенным скручивающим моментом £*=5000*7 см.
Определить бнмомент в сечении заделки и
наибольшее нормальное напряжение стесненною
кручения.
Начало поместим на левом койне. Искомый
бимомент Я (0) определим из условия на правом
(свободном) конце В (7) = 0. Учитывая, что
М* (0) = 0 и, следовательно, М * (0) = £*, имеем
в (0) ch М + Lt -i- ah « -
откуда
я Ю1 _ Li. »h *< — »ь * (1 — и)
‘“ * сь а
Пользуясь данными на фиг. 14, определнем
расстояние центра изгиба от оси стенки
?+"зйоТ
Далее иаходнм бимомент ннерцин профиля
у.-*- |мл+ал* + 2«-^.*].
^JOMJP (мd + 2 а>75 ! + 2 £25*) _ 29400^.
Определяем момент ниерпин прн свободном
кручении
4-4S
- 4 (2.10.1*4- 20'1*) — 13ДЗ СМ*.
0
„ 0 3
Принимая — •= — ,
рнстику профиля:
определяем характа-
8_ J3>33 _0 013ogfJJ—1.
8 29400 и’и1ля‘-“
Находим безразмерные аргументы гиперболи-
ческих функций, входящие в формулу хля В(0):
U = 0.01306-150 — 1,95;
* (1 - и) = 0,01305-50 - 0,65.
По таблицам гиперболических функций (см.
т. 1, стр. 52) находи и:
ah 0,65 - 0,6975;
all 1,95 — -j <3,2632 + ЗД269) - 3.44755;
ch 1,96 — 4 <3,4177 + 3.7622) = 3,58995.
Подстановка в формулу для В (0) дает
5000 3,44755 -0,6975
' 0,0130? 3,5Й9У5 “
= -293003 кГсМ*.
По главной эпюре единичной депланации
(эпюре секториальных площадей) на фиг. 14
находим максимальную ординату эпюры:
“max“-“4'•“‘°- 4‘10-8,Я)“
= 62,5 см'.
Максимальное нормальное напряженке стеснен-
ного кручения:
, = * Д<0>%пах . 293000-62_
max 294»
- ± 623 кГ\сМ'.
Готовые решения си. flJ), [17J, 129].
В случае замкнутого профиля эффект
стеснения обычно не учитывают, полагая
В (z) =- 0. В случае вытянутого профиля
иногда приходится учитывать стеснение.
Дифференциальное уравнение стеснен-
ного кручения стержня с замкнутым про-
филем, подкрепленным диафрагмами,
обеспечивающими достаточную жест-
кость поперечного сечения:
В* (z) — ktB (z) - — |*m*;
QJK
Здесь |x — 1 — — коэффициент де-
Jc
планации; Jt — (s) 8 (s) ds — так на-
зываемый направленный полярный мо-
мент инерции профиля, отличающийся
от обычного полярного момента инер-
ции Jp тем, что вместо радиусов-векто-
ров р берутся плечи г (перпендикуляры)
из центра изгиба К к средним линиям сте-
нок. Значения Jc, JK, р для прямоуголь-
ной коробки выписаны на фиг. 15.
Уравнения эпюр В (z) и MK(z) совпа-
дают с приведенными выше для откры*
короткий тонкостенный стержень
183
того профиля с той разницей, что при
вычислении [В (z)| и [Af* (z)] нагрузки
следует брать умноженными на коэффи-
циент депланацин jx.
КОРОТКИЙ ТОНКОСТЕННЫЙ
СТЕРЖЕНЬ, ЗАЩЕМЛЕННЫЙ
ОДНИМ ИЛИ ДВУМЯ КОНЦАМИ
(22]. [24]
К этой схеме приводятся отдельные
тонкостенные отливки, а также участки
труб и оболочек в области значитель-
ных вырезов, работающие на сдвиг и
кручение. Предполагается, что попе-
речные сечения остаются плоскими. Ги-
потеза о пропорциональности нормаль-
ных напряжений депланациям здесь за-
меняется гипотезой о пропорциональ-
ности касательных напряжений сдвигам.
Нормальные напряжения в стенках
незначительны, но они концентрируются
в угловых точках, где желательно иметь
продольное усиление (стрингер); каса-
тельные напряжения, независимо от того,
является ли профиль открытым или зам-
кнутым. распределены по толщине рав-
номерно. Формулы даются в предполо-
жении, что оболочка усилена ребрами
вдоль образующих. Если площадь ре-
бра Fc. расстояние между ними а. то
Ь2 = составляет толщину воображае-
мой второй стенки, сопротивляющейся
сдвигу по направлению нормали к основ-
ной стенке, толщина которой 8( (фиг. 21).
О,
Касательное напряжение в стенке
Ч - ~rt + -^ sin 1 + ~ cos а.
Касательное напряжение в ребрах
М, Qx ,
'2 — -Т= rt + -J=r COS а — Sin а.
Je Fx
Следует задаться положительным на-
правлением обхода контура и совпадаю-
щим с ним направлением -f- Положи-
тельное направление т2 соответствует
вращению вектора т( на 90' против ча-
совой стрелки; а — угол между осью х
и положительным направлением средней
линии данной стенки; г, — длина перпен-
дикуляра из начала координат на стенку
(касательную в случае криволинейной
стенки); гг — длина' перпендикуляра на
нормаль к стенке в исследуемой точке;
Г| и гг считаются положительными, если
4-Tj и соответственно +т2 создают вра-
щение вокруг начала против часовой
стрелки или, что то же, положительный
момент Мк, вращающий против часовой
стрелки, создает -|-Т| и у
Л = jr?rfF(4 J^F,
есть направленный полярный момент
инерции;
dF, •» S.rfs; rfFs — bjrfs.
Fx — | cos* a dF, + | sin2 a dF2 =
— j 5] cos2 a ds + J sin2 a ds;
Fy — J sin2 a dF, + jcos’a dFt —
“ j *i sin2 a ds + j 82 cos2 a ds;
F( и Fy — так называемые направленные
площади.
Начало координат С называется цен-
тром сдвига (иначе, центром жесткости),
а оси х и у — главными осями сдвига.
Если профиль имеет две оси симметрии,
то центр сдвига совпадает с центром
тяжести. При одной оси симметрии
центр сдвига лежит на этой оси, но не
совпадает с центром тяжести.
Наклон главных осей х, у по отноше-
нию к произвольным х", у' определяется
по формуле
I sin 2a rfFj
i cos 2a aF2
где
dF3 - dF, - dFt - (6| — 8») ds.
При ij — 83 любые ортогональные оси
являются главными.
184
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Координаты центра сдвига в главных
осях
, Siy + Si,. , Slx Ц- Su
‘ Fy ’ У'“ Fx *
Здесь (см. фиг. 21)
Siy = J -*i dFi = 2 81s1Xi;
Su = J yj rfFj = 2 М1У11
sty - pt - 2 4 J-^2 rfs;
sir = J yidFj = 2 Ц jyids.
На протяжении прямолинейной стенки
каждый из факторов Qx. Qy, Мк дает
эпюру -tj или tj с постоянными ордина-
тами за исключением эпюры х2 от Мк,
следующей закону прямой линии, пере-
секающей ось стенки в точке 1 (встречи
Г1 И S).
Пример. Определить геометрические характе-
ристики и построить эпюры т, и it д.1 я корытного
Фиг. 22.
профила от дейстиия Л*к при Q — Q — 0; 4,»
— 0,8 «, — comt (фиг. 22):
Профиль, очерченный по дуге
круга с центральным углом 2у. Гео-
метрические характеристики приведены
на фнг. 23.
, smp___________
(. - 2б,г^,/)<р -2гц. sin $
Фиг. 23.
УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО
И ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТЫХ
СТЕРЖНЕЙ С ОТКРЫТЫМ
ПРОФИЛЕМ [4J
Критическая сила стержня с тонко-
стенным профилем чаще всего равна или
близка, но иногда значительно меньше
эйлеровой критической силы. Второй
случай имеет место при очень тонкой
стенке и широкололочном профиле. Для
прокатных профилей учета тонкостен-
ности, как правило, не требуется. Экс-
центриситет приложения сжимающей на-
грузки также снижает ее критическое
значение. Поверка устойчивости выпол-
няется по формуле
4>F < I’1
с той разницей, что аргументом таблич-
ного значения коэффициента уменьше-
ния допускаемого напряжения ? является
не максимальная гибкость Хт1х — ,
’mln
а значение — itj/ если
NKp м (эйлеровой критической силе),
то К' — К. Ниже даются формулы и спо-
собы определения критической сжима-
ющей силы симметричных и несимме-
тричных, центрально и внецентренно
сжатых профилей для’ основного слу-
чая— шарнирного закрепления концов,
создающего препятствия для линейных
2 (208,-1'4- 28,28,.0,707* + 28,24,-0,7071 + 108,-1«) - 68,26, + 48,24, — 106,88,;
Fy - 2 (28,28,-0,707* + 108,-1* 4- 208,-1* + 28,24,.0,707') = 48,28, + 68,28, - 102,78,;
, 2 [208,-30 4-28,28,-24,9 4-28,28. 4. |08,«]
-----1----------------tt,28| + 48.28,------L---------1 “ ТО - 30 - 23.1 _ 6.» см;
Jc-1 [208,•6,» 4-28,28,• 19,01'4-108,•40* 4--^8,4-(37.45*-9,2S*)-|-4-(23,1*-13,1*)-у] -
— М 5004, 4- 45 8448, - 91 3008, гж‘.
УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО И BHEUEHTPEHHO СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
185
перемещений торцов и их вращения от-
носительно продольной оси, но не пре-
пятствующего повороту при изгибе
(девиации), а также депланацин торца.
Учет других условий закрепления до-
стигается путем умножения фактической
длины стержня на коэффициент свобод-
ной длины ll. При полном защемлении
двух торцов ц — 0,5; при одном полностью
защемленном и другом свободном р —
-= 2,0; при одном защемленном и другом
шарнирно опертом р м 0,7. Более слож-
ные случаи сочетания граничных усло-
вий изгиба и кручения см. (16), (29].
Вопросы устойчивости стержней, закре-
пленных вдоль линии, параллельной оси
стержня, а также жестко связанных с
оболочкой, см. [15], (29]. Стержни с план-
ками см. (33].
Профиль с двумя осями симметрии.
Стержень, сжатый постоянным усилием
вдоль оси (в сечениях с двумя осями
симметрии ось бруса совпадает с осью
центров изгиба), имеет две изгиб-
ные и одну крутильную форму по-
тери устойчивости. Первые две формы
характеризуются поступательными пе-
ремещениями поперечных сечений,
третья—вращением сечений. При шар-
нирном опирании обоих кон-
цов, препятствующем поступательным
перемещениям и вращению, но не пре-
пятствующем поворотам (девиации) и
депланации торцов, критической силой
является наименьшая из трех сил:
,2
1р — -р- — —р--------квадрат поляр-
ного радиуса инерции поперечного се-
чения; N? лишь в редких случаях бывает
меньше Nx и А/у (для двутавра, прн
весьма широких полках).
Тот же профиль прн внецентренном
сжатии силой, приложенной с эксцен-
триситетом xN (у N — 0), имеет одну из-
гибную и две изгибно-крутильные формы
выпучивания:
W1 -
? / / ?
1 ( lP ~ *N) \ „ Г ‘p
Na> N't-
Критической является меньшая из
двух сил Nj и Nt.
Профиль с одной осью симме-
трии (х). Центральное сжатие:
Ne> Nt
Обозначения прежние: xD — абсцисса
центра изгиба относительно центра тя-
жести. Jm в формуле для Nv вычисляется
относительно полюса, совпадающего
с центром изгиба.
Другой вид формулы:
Nj--Wj-
-1/+
F . X 'р! /
Здесь для вычисления 17^ в прежней
формуле для N* построение эпюры и>
и подсчет делаются при полюсе, со-
впадающем с центром тяжести, и нуле-
вой точке на оси симметрии.
Несимметричный профиль при вне-
центренном сжатии силой вдоль оси
центров изгиба. Здесь могут быть две
нзгибные и одна крутильная форма по-
тери устойчивости:
Ni(lp + ХР -Ь Ур)
/р+ ~J?XD + 'jjJ’D—ЖР — у2[>
Здесь
Ux — j Р* у dF — j (Jfl + у1) ydF;
— J (Xе 4- у») xdF;
Nv вычисляется для значения 7И при по-
люсе эпюры ш в центре изгиба и главной
нулевой точке; х.
у —текущие ко-
ординаты точек
средней линии
профиля в глав-
ных централь-
186
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Таблица 3
Величины и г1 дли прокатных швеллеров (ОСТ 10017-39)
.4 профила иу и см1 о гж* м профиля из в Cjf Г* В СЛР № профиля и> В C3fi в слР
5 13,58 10,85 1 9П а 1628 81,6 1 ° 6 564 163,3
6.5 25,34 14,27 м ь 1903 76,0 30 { ь 7147 153,3
8 56.67 18.59 пл О 2301 94,5 1 е 7 869 145,9
10 122,8 25.75 22 ь 2661 90,8 [ а 8 767 190,0
12 234.6 34.59 а 2952 111,9 33 4 5 9 784 178,4
14 а 416.8 44.42 24 b 3376 104,4 1 с 10 720 169,5
и ъ 500.3 41.45 С 3756 96,6 1 4 13 610 226,6
16 а 694,8 54,91 а 4418 134,7 36 { ь 15 020 214,3
16 ь 826,5 50,90 27 Ь 4860 126,0 1 с 16 150 204,5
iq а 1116 67,14 С 5521 119,1 1 а 22 090 266.3
ь 1215 61.85 40 Ъ 24 100 253,8
1 С 25 737 243.6
ных осях инерции; xD, yD — координаты
центра изгиба. Интегралы Ux, Uy вычи-
сляются по правилам перемножения
эпюр, как интегралы по контуру, при-
чем dF = 8 (s) ds.
Несимметричный профиль прн
центральном сжатии. Критической си-
лой является наименьший корень куби-
ческого уравнения
Ло + ЛЛ + Aif<! + ЛаЛИ - 0.
Коэффициенты уравнения:
А - -
A-r»(NJVy+^ + ^);
Л--г’(Уг + Лу+ \) +
+ 4" ^уУс А " >р-
Здесь
“ + -*о + Уг>-
Прн вычислении N— полюс в центре
изгиба.
Приближенная формула:
NKp - ,
/ л] + ЗЛ’/Ц-ЗДЛЛ,
Общий случай—несимметричный
профиль, внецентренное сжатие (ко-
ординаты СИЛЫ Ж|у, Ун).
Коэффициенты кубического уравнения
вычисляются по формулам
A^--^NxNyN^
А-<*\(^ж + ^) +
4- (г-’ + 2х\хц + 2y'yjv)NxWy;
Аг - — — (г* + “2x'sxN +
+ 2у'ум —х'н ) W»—(г* + 2xjjtjv +
+ 2у1у№ Ул)
Я, - г! + + 2у'syN -х„ — y'^f.
Обозначения: х', у' — оси с началом
в центре изгиба, параллельные главным
центральным осям инерции; д* =
иу ' их
- 2^- — XD> Уз ~ 2JJ - у О - коорди-
наты центра так называемого круга
устойчивости; значения Ux, Uy. А—см.
выше.Хд,, yN — координаты точки при-
ложения силы в осях х', у". Критиче-
ская сила вычисляется по указанной
в конце предыдущего пункта прибли-
женной формуле.
Величины Uy и г* для прокатных
швеллеров (ОСТ 10017-39) приведены
в табл. 3 {Ux — 0).
ОБЩАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ БАЛОК
ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ |29|
При недостаточной поперечной жест-
кости балка может потерять устойчи-
вость путем закручивания. Согласно ТУ
проектирования стальных конструкций
общая устойчивость проверяется по фор-
муле
М хи
где
^-77
ОБЩАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ БАЛОК
187
Для расчета необходимо вычислить
акр для нагрузки того же типа, как и
действующая на балку. В первой графе
таблицы (на фнг. 24) даны схемы нагру-
зок и опорных закреплений балок. Во
второй графе приведены значения кри-
тической нагрузки в случае двух осей
симметрии профиля и приложения на-
грузки на уровне оси балки. В третьей
где
Ux = f (jfl + у») ydP.
Координаты х, у, как всегда, в главных
центральных осях.
Определив Ркр, находим соответствую-
щий данному случаю загружения наи-
больший изгибающий момент Мкр, а за-
и ОЛСр Гри/ничсс/гал ю грузя а при пр&рим С Му*Я няни еиннетриа Уравнение fan яршпичесжоа на- фуЗЯО СПТСрЯНЯ с одной ОСЯЮ симнстрии (у)
'jl1И111II? Р,-^ и/.иая^вю^о,)
Г Р,
5 - ^cJr(eseooou t <,ио Ра*) Р^ -(ХЩ. е ttuftp,, -pf-o
• лп. pv-^o
f £ |1Н1НЙ^ ^ри,((иоооиш*1ЮЮ1’ах) Р,‘ -(OOP^^J^fp^-P/.O
s i р £
Фиг. 24.
графе приведены квадратные (относи-,
тельно Ркр) уравнения, относящиеся
к балкам с одной осью симметрии (у),
при нагрузке, расположенной на у'р ниже
центра изгиба (если выше, то ур берется
с минусом). Положительный корень урав-
нения соответствует нагрузке, напра-
вленной сверху вниз, отрицательный —
нагрузке, направленной снизу вверх. Это
позволяет учесть влияние положения
нагрузки по высоте также и в случае
двух осей симметрии, когда у' — 0.
В этом случае повышение нагрузки
всегда уменьшает Ркр. Входящие в виде
свободных членов величины Р^, Р& ....
Р( вычисляются по формулам первой
графы, причем берется при полюсе,
совпадающем с центром изгиба;
Мкр „
тем и напряжение акр — . Далее
°кр
подсчитывается чб “ —» Для стали
®г
марки Ст. 3 величина а у — 2400 кг1см2;
о„ц — 2000 к г/см*. Если акр < <г„ч или.
что то же. <fo < 0,85, то <f>e является
окончательным и по нему делается рас-
чет, если же ^>0,85, то вместо чв
вводится <ч'6 — величина, меньшая еди-
ницы, определяемая по формуле
0,326
Обоснование последнего приема и
многочисленные практические данные
по расчету обшей устойчивости балок
см. [29], [30].
Пример. Рассчитать на устоЯчиаость подкра
новую балку пролетом I« 14 м, шарнирно опер-
188
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
тую по концам. Нагрузка сосредоточениая, прило-
жена посередине пролета на высоте 17 см нал
центром изгиба. Высота балкн Л = 100 см.
Геометрические характеристики сечения: 2 —
- 240 000 см*'. Jy — 2780 гас*; J* — 176.5 слР. —
- 1 560 000 слг*.
Оса у направлена вниз. Центр изгиба ив 35,1 см
выше центра тяжести. Ордината центра изгиба
Уд - - 35,1 ем-. ур = — 17 см.
Подсчетом найдено 1/^ = 2,542-10* слЛ
*> чао.io*
>а - 2^ - Уй + 35.1 - 40,5 саг.
Составляем квадратное уравнение (2-Я случай
твйлниы на фиг. 24):
— , , —. t ". л .Л л. 2,1-10*-2780 _
йкр - (59,7-(— 17) f 43,8-40,5|----------------Ркр —
— (2910-2,1-10"-1,56-10* - 296-1400*-0^-10*-176^) X
2,1-10*-2780
Х 1400* “
нлн
Р2 -1,63-10*/» - 73,9-10* — 0,
кр кр ”* •
откуда
Ркр - 810 + 8600 - 9410 кг. .
Второй корень (отрицательный) дает критиче-
ское значение силы Р, направленной вверх.
Максимальное напряжение при критической
нагрузке
°тах “
„ моо-1400 _
4-4000 '
Так как »mM < «лц, то полученное значение
Р является окончательным.
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
1. Власов В. 3., Новый метол расчета приз-
матических балок из тонкостенных профилей ив
совместное действие осевой силы, изгиба и кру-
чения, Сборник ВИА РККА, bi 20, 1936.
2. В л а с о в В. 3., .Проект и стандарт* М 8,
9 и 10 за 1936 г.
3. В л а с о в В. 3., Устойчивость открытых
профилей, .Строительная промышленность"
4. В л а с о в В. 3., Тонкостсииые упругие
стержни, Стройнздат. 1940.
Б. У ма некий А. А., Кручение и изгиб
тонкостенных авиаконструкций. Оборонгиз, 1939.
б. У м а и с к и й А. А., О нормальных ма пря-
жениях при кручении крыла самолета, .Техника
воздушного флота* М 12, 1940.
1. У м а и с к н й А. А.. Расчет тонкостен-
ных криволинейных балок. .Труды Научно-техни-
ческой конференции ВВИА имени Жуковского",
т. 2, вып. 2, 1944. См. также (29).
8. У м а и с к и й А. А., О расчете плоских
кривых тонкостенных стержней с конечной жест-
костью свободного кручения, .Труды Научно-тех-
нической конференции ВВИА имени Жуковского*,
т. 2, вып. 2, 1944.
9. Г о р б у и о в Б. Н.. Расчет пространствен-
ных рам из тонкостенных стержней, .Прикладная
мвтематика и механика*, вып. 1, 1943.
10. Г о р б у и о в Б. Н. и Стрельбищ
к а а А. И., Приближенные методы расчета вагон-
ных рвы, Машгнз, 1946.
11, Горбунов Б. Н. и Стрел ьбнц-
кая А. И., Теория рам из тонкостенных стерж-
ней, Гостехизлат, 1948.
12. Труды лабораторнн строительной механики
ЦНИИ ПС, Сборник статей под ред. В. 3. Вла-
сова, 1941.
13. Б е л я е в В. Н., Расчет свободно несу-
щих крыльев. .Труды ЦАГИ*, .4 166. 1935.
14. Знаменский П. М., Устойчивость от-
крытых профилей, .Техника воздушного флота*
М 12, 1934.
15. Ржаницыи А. Р-, Сложное сопро-
тивление тонкостенных профилей в пределах
и за пределами упругости, .Труды лаборатории
строительной механики ЦНИИПС*, 1941.
16. Г о л ь д е и в е й з е р А. Л., Устойчи-
вость тонкостенных стержней в зависимости от
граничных условий, .Труды лаборатории строи-
тельной механики ЦНИИПС*.
17. Б ы ч к о о Д. В. н М р о щ и нс к и й А. К.,
Кручеине металлических балок, Стройнздат, 194 4.
18. Б ы ч к о в Д. В., Расчет балочных и рам-
ных систем из тонкостенных элементов, Строй-
нздат, 1948.
19. Р е п м а в Ю. В„ Устойчивость плоско*
формы изгиба тонкостенных стержней, .Труды ла-
боратории строительной механики ЦНИИПС*.
20. Добулогло Н. Г., Опытное исследова-
ние устойчивости металлических строительных
профилей, .Труды лаборатории строительной ме-
ханики ЦНИИПС*. 1941.
21. А ф а и а с ь с в А. М., О расчете крыла
моноблок на стесненное кручение, .Труды Научно
технической конференции ВВИА имени Жуков-
ского*, т. 2. вып. 2, 1944.
22. М а р ь и н В. А., Приближенный расчет
коротких открытых цилиндрических оболЪчек,
сборник .Расчет пространственных конструкций*,
вып. I, Машстройиздат, 1930.
23. Джанелидзе Г. Ю. и Паиовко
Я. Г., Статика упругих тонкостенных стержней,
Гостехизлат, 1948.
24. А л а д у р о в Р. А., Определение каса-
тельных напряжений в тонкостенной конструкции
вблизи заделки, .Труды ЦАГИ* № 614, 1947.
25. К а и С. Н. и П а н о в к о Я. Г., Эле-
менты строительной механики тонкостенных кон-
струкций, Оборонгиз, 1952.
26. Цибуля Б., П., Изгиб и кручение кони-
ческих оболочек, сборник .Расчет пространствен-
ных конструкций*, вып. I, Машстройизлат,
1950.
27. Б а л а б у х Л. И., Расчет на прочн теть ко-
нических кессонов, .Труды ЦАГИ* .4 640,
1947.
28. Афанасьев А. М., Байков В. Т.,
Марьин В. А., ГеммерлингА. В. и др..
Сборник аалач по расчету тонкостенных конструк-
ций, под ред. А. А. Уманского, Оборонгиз, 1941.
29. Энциклопедический справочник .Машино-
строение*, т. 1, кн. 2, Машгиз, 1947, стр. 296—350,
.тонкостенные стержнн*.
30. Ч у в и к и и Г. М., Общая устойчивость
монорельсовых балок, сборник ВНЙИПТМАШ,
.Специальные расчеты монорельсовых балок*,
Машгнз, 1948.
31. Карякин И. И., .Вестник инженеров
и техников* J* 3, 1948.
32. Григорьев Ю. П„ К расчету кривых
тонкостенных брусьев, сборник .Расчет про-
странственных конструкций*, вып. I, Машстрой-
излат, 1950.
ОБЩАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ БАЛОК
189
33. Д л у г а ч М. И., О расчете тонкостенных
стержней, усиленных решеткой или планками,
сборник .Расчет пространственных конструкций*,
еып. 1. Машстройнзлат, 1950.
34. Р ж а « и ц ы н А. Р., Устойчивость тон-
костенных стержней за пределом упругости. Тру-
ды лаборатории строительной механики ЦНИИПС,
пол ред. В. 3. Власова, Стройиздат, 1949.
35. Милейковский И. Е-, Расчет состав-
ных стержней методами строительной механики
оболочек, сборник .Экспериментальные и теорети-
ческие исследования тонкостенных пространствен-
ных конструкций", Стройиздат, 1952.
36. Л у к а ш П. А., Применение теории
проф. В. 3. Власова к исследованию простран-
ственной устойчивости сжатых поясов открытых
балочных мостов, сборник .Экспериментальные и
теоретические исследования тонкостенных про
странственных конструкций". Стройиздат. 1952.
37. Уманский А. А., Пространственные
системы, Стройиздат, 1918.
38. Власов В. 3.. Строительная механика
тонкостенных пространственных систем, Стройиэ-
лат, 1919.
39. Стрельбнпкая А. И., Некоторые
зависимости между силовыми факторами в пре-
дельном состоянии тонкостенного профиля, Сбор-
ник трудов Института строительной механики
АН УССР, т. 10, 1949.
40. Стрельбицкая А. И., Предельное
состояние двутаврового профиля прн стесненном
кручении, Сборник трудов Института строительной
мехаиикн АН УССР, т. 14, 1950.
41. Фнлонеик о-Б ороднч М. М. и др..
Курс сопротивления материалов, ч. II, гл. XI,
изд. З-д, Гостехиздат. 1949.
42. Ь е л я е в Н. М., Сопротивление материа-
лов, гл. XXX. изд. 7-е, Гостехиздат, 1951.
43. Дарков А. В. и К у эн е по в В. И.,
Статика сооружений, гл. XII, Трансжеллориэдат,
1951.
44. Р ж а и и ц ы н А. Р., Расчет тонкостен-
ных стержней сгупснчато-перемсиного сечения,
сборник .Исследования по теории сооружений*,
вып. V, Стройиздат, 1911.
45. Яги 10. И., Изгибно-крутильные дефор-
мации тонкостенных стержней, Гостехиздат, 1952,
46. Ф е о ф а н о в А. Ф., Расчеты тонкостен-
ных конструкций. Оборонгиз, 1953.
47. О б р а з ц о в И. Ф.. К расчету тонкостен-
ных стержней на устойчивость при изгибе, Труды
МАИ. Оборонгиз, 1953.
<8. Бидерман В. Л., Расчет прямых том-
костенных профилей на прочность и на жесткость,
сборник .Прочность в машиностроении*. М а шт из,
1961.
49. Елеиевскнй Г. С.. Строительнав
механика крыла переменного сечення. Оборонгит.
1964.
50. У р б а и И. В., Теория расчета стержне-
вых тонкостенных конструкций, Трансжелдорнз-
тат, 1955.
ГЛАВА V
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Пластинкой называется тело приз-
матической или цилиндрической формы,
высота которого мала по сравнению
с размерами основания.
Плоскость, делящая пополам толщину
пластинки, называется срединной пло-
скостью: линия пересечения срединной
плоскости с боковой поверхностью ци-
линдра или призмы образует контур
пластинки.
Если толщина пластинки не превы-
шает Ча наименьшего размера основания,
пластинка называется тонкой.
Если толщина пластинки превышает
указанный предел, точные расчеты ве-
дутся иа основании теории толстых
плит.
Различают три класса тонких пла-
стинок, работающих на поперечную на-
грузку: жесткие, гибкие и абсолютно
гибкие пластинки.
Жесткими называют пластинки, про-
гиб которых составляет не более */«
толщины; при действии поперечной на-
грузки срединную поверхность можно
считать не испытывающей деформаций
растяжения или сжатия.
Гибкими называют пластинки, про-
гиб которых больше */<• "° менее 5 тол-
щин; деформация при закрепленных
краях связана с появлением значитель-
ных напряжений в срединной поверх-
ности.
Нормальные напряжения в каком-
либо сечении пластинки складываются
из цепных или мембранных напряжений,
равномерно распределенных по толщине
пластинки (равных напряжениям в сре-
динной поверхности), и напряжений из-
гиба.
Абсолютно гибкими пластинками,
или мембранами, называют пластинки,
прогиб которых превышает толщину
в 5 раз и более; при их расчете можно
пренебречь напряжениями изгиба, кото-
рые малы по сравнению с напряжениями
в срединной поверхности.
Если пластинка подвергается сжатию
или сдвигу под действием сил, располо-
женных в срединной плоскости, должен
быть произведен расчет на устойчи-
вость.
Нагрузка, при которой происходит по-
теря устойчивости пластинки, называется
критической.
Опертая по контуру пластинка спо-
собна после потерн устойчивости (вы-
пучивания) воспринимать возрастающую
нагрузку.
Система координат. Плоскость хОу
прямоугольной системы координат со-
впадает с горизонтальной срединной
Фнг. I.
плоскостью пластинки. Ось г напра-
вляют по вертикали вниз. В случае
прямоугольной пластинки ось х напра-
вляют по одной из длинных сторон пла-
стинки; начало координат — в одном из
углов (фиг. 1). В случае круглой пла-
стинки вводят цилиндрическую систему
координат; основная плоскость совпадает
со срединной плоскостью пластинки,
ось z проходит через центр.
Обозначения:
h — толщина пластинки;
{радиус круглой пластинки,
сторона прямоугольной пла-
стинки;
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК НА ИЗГИБ
191
Ь —
Р -
Р-
Мх. Му-
,0
'°,
Е-
и —
Ей»
W —
и
и
внутренний радиус кольце-
вой пластинки;
сторона прямоугольной пла-
стинки;
полная поперечная нагрузка,
сосредоточенная или рас-
пределенная;
интенсивность распределен-
ной нагрузки (сила, прихо-
дящаяся на единицу пло-
щади);
прогиб произвольной точки
срединной плоскости;
погонные моменты (момен-
ты. рассчитанные на единицу
длины);
нормальные на-
пряжения из-
гиба. наиболь-
шие по толщи-
не пластинки,
нормальные на-
пряжения в сре-
динной поверх-
ности;
модуль продольной упруго-
сти;
коэффициент Пуассона;
в сечени-
ях. нор-
мальных
к осям х
и У
D
(2(1—ц?) — Щ’линдрическая жест-
кость пластинки.
Для круглой пластинки индексы х и у
заменяются индексами г и I, соответ-
ствующими направлениям радиуса-век-
тора и перпендикуляра к нему (фиг, 2. а).
Фиг. 2.
На фнг. 2,6 показаны векторы напря-
жений изгиба ог и а,, наибольших по
толщине пластинки
Общую теорию пластинок см. [Н|
и 114].
Приведенным напряжением по теории
наибольших касательных напряжений
для пластинок прн однозначных главных
напряжениях является величина наиболь-
шего из них, а при разнозначных на-
пряжениях — сумма их абсолютных ве-
личин. Приведенное напряжение не
должно превышать допускаемого, вели-
чина которого определяется в зависи-
мости от свойств материала и характера
нагрузки (статическая, переменная). При
пластическом материале расчет допу-
скаемой нагрузки осуществляется по
нагрузке, соответствующей предельному
состоянию (см. гл. IX н XIV), или по
предельно допускаемой упруго пласти-
ческой деформации.
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК НА ИЗГИБ
Расчет тонких пластинок. Расчет-
ные формулы для жестких пласти-
нок. Таблицы и формулы составлены
для р — 0,3.
Прямоугольная пластинка шарнир-
но оперта по контуру, нагрузка
равномерно распределена по всей п.ю->
щади [5].
Прогиб в центре прн а > b
f С‘ Ей» ’
Напряжения в центре
Значения коэффициентов С\ — Сяданы
в табл. 1.
Таблица I
Значения коэффициентов С» — С,
а b с, ft ft
1.0 0,0443 0,2874 0,2874
1.1 0.0530 0,3318 0,2964
1.2 0,0616 0.3756 0,3006
1.3 0,0097 0,4158 0.3О24
13 0,0770 0,4518 0.3036
1.5 0,0843 0,4872 0.29414
1.6 0,0906 0,5172 0.2958
1.7 0.0904 0,5448 0,2916
1.8 0,1017 0,5688 0,2874
1,9 0,1064 0,5910 0,2826
2.0 0,1106 0,6102 0.278-1
3,0 0,1336 0,7134 0.2424
4,0 0,1400 0,7410 0,2304
5.0 0,1416 0,7476 0.2250
СО 0,1422 0,7500 0,2250
Прямоугольная пластинка защем-
лена по контуру, нагрузка равномерно
распределена по всей площади (а > Ь).
Прогиб в центре
' С| Ей» ‘
Напряжения в центре
- С3р (у) .
192
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК
Напряжения на контуре в середине
длинной стороны
«,-МтП
знак минус указывает на то. что растя-
нутыми являются верхние волокна.
Значения коэффициентов Cj..... С<
даны в табл. 2.
Таблица 3
Значения коэффициентов С, — С,
а ь с, С, С. с.
1,0 0,0138 0,1374 0,1374 0,3102
1.1 0.0165 0,1602 0,1404 0,3324
1.2 0,0191 0,1812 0.1386 0,3672
1.3 0.0210 0,1968 0,1344 0.4008
1,4 0,0227 0,2100 0,1290 0,4284
1.5 0,0241 0,2208 0,1224 0.4518
Прямоугольная пластинка шарнирно
оперта но контуру; нагрузка Р сосре-
доточена в центре (а>Ь).
Прогиб в центре равен
такое же, как в круглой пластинке ра-
диуса 0,646, нагруженной силой, сосре-
доточенной в центре (см. стр. 194).
Квадратная пластинка шарнирно
оперта по контуру; нагрузка Р равно-
мерно распределена по площади цен-
тральнойчастиа^Ьг
(фиг. 3).
Напряжения в цен-
тре
------ь-------4
Фиг. 3.
В табл. 4 даны величины коэффи-
циента Ср коэффициенты Сг находятся
перестановкой и ftp
Прямоугольная пластинка защемле-
на по всему контуру; нагрузка Р со-
средоточена в центре (а > Ь).
Прогиб в центре равен
РЬг
Eh* '
Напряжение в середине длинной сто-
роны равно
Значения коэффициента С даны
в табл. 3.
Распределение напряжений около
точки приложения нагрузки примерно
Значения коэффициентов Ci и Са даны
в табл. 5.
Таблица J
Значения коэффициента С
а 1.0 1.1 1.2 1.4 1,0 1.8 2.0 3.0 ОО
с 0,1286 0,1381 0,1478 0,1621 0,1714 0,1709 0.1803 0.1846 0,1849
Таблица в
Значения коэффициента С,
» Ь, Г 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0,7 0.8 0.9 1.0
0 со 1.926 1.506 1,254 1,080 0,948 0,846 0,780 0,672 0,612 0,552
0.1 2,268 1,704 1,392 1,182 1,020 0,900 0,804 0,720 0.6-18 0.588 0,528
0.2 1,848 1,624 1.284 1,104 0,966 0,852 0.762 0,684 0,618 О,5о8 0,504
0.3 1,572 1,350 1.170 1,008 0,906 0,804 0,720 0.648 0..588 0,528 0,480
0.4 1.39-2 1,218 1,074 0.948 0,846 0,756 0.678 0.612 0.552 0.501 0.456
0.5 1.248 1,110 0,964 0,876 0,786 0,696 0,636 0.576 0,522 0,474 0.426
0.6 1.128 1,006 0,900 0,810 0,726 0,654 0,594 0,540 0,486 0,444 0,402
0,7 1.030 0,918 0,822 0,744 0,672 0,606 0,546 0.498 0,456 0,414 0.372
0.8 0,930 0.840 0.766 0,684 0,618 0.664 0,510 0,462 0,420 0,378 0,342
0.9 0,846 0,762 0,691 0,624 0,564 0.516 0,468 0.420 0.384 0,348 0,318
1.0 0,762 0.690 0.630 0,570 0,516 0,468 0,426 0,384 0.348 0,318 0.288
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК НА ИЗГИБ
193
Таблица 5
Значениа коэффициентов С! н С.
а Ь 1.0 1.3 1.4 1.6 1.8 2,0
с» с, 0,0611 0,7542 0,0706 0,8940 0.0755 0,9624 0,0777 0.9906 0,0786 1,0002 0,0788 1,0044
Расчетное напряжение
3.06Р
* й» *
Прямоугольная пластинка шарнирно
оперта по контуру; верхняя поверх-
ность нагрета больше, чем нижняя,
на t градусов. По толщине температура
Прямоугольная пластинка оперта
шарнирно по двум сторонам Ь. третья
сторона а защемлена и четвертая —
свободна; нагрузка равномерно распре-
делена по всей площади [3].
Максимальный прогиб (в середине
свободной стороны) при а^Ь равен
t-c&.
меняется по ли-
нейному закону.
Коэффициент
линейного рас-
ширения а.
Напряжения
на краях
(в сечении, нор-
мальном к кон-
Максимальные напряжения в середине
свободной стороны
в середине защемленной стороны (а> Ь)
Коэффициенты Q —С» —по табл. 6.
При b > а в формулах для / и j, сле-
дует b заменить на а.
Фиг. 4.
ТУРУ)-
Прямоугольная пластинка, заще-
мленная по всему контуру; нагрев
верхней поверхности. По толщине
температура меняется по линейному
закону.
Напряжения на краях в сечении вдоль
контура
с at
’ = £ 2(1-и)
Круглая пластинка шарнирно оперта
по контуру; нагрузка равномерно рас-
' пределена по всей площади.
Прогиб в центре
1).7ра<
Eh* ‘
ГлЛ.тичл а
Значения коэффициентов С., С, и С,
ь а 0 1 а 1 Т 7 4 1 3 2 2 3 оо
С, С. 1.37 0 3.0 1.03 0,0468 2.568 0,635 0,176 1,914 0,366 0,335 1,362 0.123 0,683 0,714 0,154 0,738 0,744 0,750 0,166 0,798 0,750 0,166 0,798 0,750
Прямоугольная пластинка шарнир-
но оперта по двум сторонам, третья
сторона защемлена, а четвертая —
свободна. Нагрузка Р сосредоточена
в середине свободной стороны (фиг. 4)
(П1.
Прогиб под силой при а > b
. \»2РЪ*
Напряжения:
в центре
1,24р (у)’;
у контура
аг — 0. о( — 0,К2р •
Круглая пластинка заще-
13 Том з
млена по контуру; нагрузка
равномерно распределена по всей пло-
щади.
Прогиб в центре
/-W4&.
СП*
Напряжения:
в центре
«г - <>1
194
'РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК
у контура
о, — — 0.75р (y) 1' °' “ (д0'-
-2Ь-р2а
У контура нижние волокна сжаты.
Круглая пластинка шарнирно оперта
по контуру, нагрузка равномерно рас-
пределена в цент-
ральной части по
площади круга ра-
диуса b (фиг. 5).
Отношение — — 3.
а
Прогиб в центре
/ - (1.73- 1.03?» + 0,68?» In .
спл
—2а —
Фнг. 5.
Напряжения:
в центре
о, - С, - (1,5 - 0,262?»-1.95 In (А)*;
у контура
с,-0. в/ = 0„525(2-?»)р
Круглая пластинка защемлена по
контуру, нагрузка равномерно распре-
делена в центральной части по пло-
щади круга радиуса Ь. Отношение
Прогиб в центре
/ - (0.68- 0,51 •>« + 0,68?» In ?)
Напряжения:
в центре
в, - в, - 0.49 (₽«-4 in ?)р
у контура
е,--0.75(2-?»)р(Ау,
at — Н’г-
Круглая пластинка шарнирно оперта
по контуру, нагрузка Р сосредоточена
в центре.
Прогиб в центре /— 0,55-^-.
СП°
Максимальные растягивающие напря-
жения
’о “ (о,631п-^-4- 1,16^ .
Круглая пластинка защемлена по
контуру, нагрузка Р сосредоточена
в центре.
Прогиб в центре
/-0.218
Максимальные растягивающие напря-
жения
’m«--g-(o.63lnA + 0.68y
Круглая кольцевая пластинка заще-
млена по внутреннему контуру. По
внешнему конту ру
равномерно рас-
пределена мо-
ментная нагрузка
(фиг. 6); на едини-
цу длины прихо-
дится момент ,МП.
Прогиб при г= а
Фнг. 6.
/ - 5,46
2 In а I
а» а*
.И аг
ел» •
На внутреннем контуре
12
Л* ’
на внешнем контуре
_________ Мо
и+ -^- ht
6
Круглая пластинка защемлена по
нагружена в центре мо-
ментом L (фиг. 7).
Угол поворота цен-
тральной жесткой
части
контуру и
Фнг. 7.
L
Eh3 ’
На внутреннем контуре максимальное
напряжение
С •
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК НА ИЗГИБ
на наружном контуре
г L
Значения коэффициентов Cj, С* Св
даны в табл. 7.
Таблица 1
Значения коэффициентов Ci. С, и С,
ь а 0.5 0.6 . 0.7 оз
0,081 1,14 0,573 0,035 0.685 0,452 0,0128 0,465 0,325 0,0032 0,262 0,212
Круглая кольцевая пластинка нагру-
жена по контуру (фиг. 8, случаи 1—3)
Фиг. 8.
или равномерно по всей площади (фиг. 8,
случаи 4 —8). На фнг. 8 представлены
различные случаи закрепления пла-
стинки. Максимальный прогиб f и ма-
ксимальное напряжение огаш( равны
, г Р
' ” G1 > “та* = h»
(случаи 1—3).
, г ра* • л s- раг
(случаи 4 — 8).
Здесь Р — равнодействующая на-
грузки. распределенной по контуру,
р — нагрузка, приходящаяся на еди-
ницу площади, значения коэффициентов
С) и Cj даны в табл. 8.
Пример. Поршень, размеры которого даны на
фиг. 9, а, подвергается действию равномерно рас-
пределенной нагрузки р 6,5 кГ\слР. Определять
Фиг. 9.
прогиб кри поршня н максимальные напркже
ння [7].
Рассматриваем верхнее н нижнее днища как
кольцевые пластннхи, имеющие радиусы а —
= 30.3 см и b = 6,25 см. Считаем, что внутрен-
ний и наружный контуры каждой пластинки за-
щемлены, но могут смещаться друг относительно
друга в осевом направлении.
Таблица S
Значения коэффициентов С, и С,
а 0 " 1.25 13 2 3 4 5
Слумяи закреп- ления по фиг. R с. С, с, С. С, С, с, С, с, С. С| с.
1 3 4 5 6 1 в 0.841 0,00129 0,00510 0,202 0,00077 0,00231 0,00343 0,184 1,10 0,115 0,227 0,66 0,090 0,135 0,122 0,592 0,519 0,0064 0,0249 0.491 0,0062 0,0183 0,0813 0,414 1.26 0,220 0.428 1.19 0,273 0,410 0,336 0.976 0,672 0,0237 0,0877 0,902 0,0329 0.0938 0,1250 0,664 1,48 0,405 0,753 2,04 0,71 1,04 0,74 1,440 0,734 0,062 0,209 1,220 0,110 0,293 0,291 0,824 1,88 0,703 1,205 3,34 1,54 2,15 1.21 1.880 0,724 0.092 0,293 1,300 0,179 0,448 0,417 0,830 2.17 0.933 1.514 4,30 2,23 2.99 1,45 2.08 0,704 0,114 0,350 1,310 0,234 0.564 0,492 0,813 2,34 1,13 1,745 5,10 2,80 3,69 1,59 2,19
196
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК
На нижнюю пластинку перелаете* от верхней
нагрузка, равнодействующую которой обозначим
через Р (фнг. 9. а). Пластинка нагружена по схе-
ме случая 2 (фнг. 8). Отношение Д- равно 4.85.
Пользуясь табл. и, находим интерполированием
коэффициент С. « 0,11. Прогиб края пластинки
равен
*%-»•“ тйг-^-г-
На верхнюю пластинку действуют: 1) реактив-
ная сняв со стороны нижней пластинки ₽; 2) рав-
нодействующая Р, имения, приходящегося на
обол пластинки |фиг. 9, 0):
Р. = <69,5» - 60,81) 6,5 — 5829 кГ
и 3) распределенная нагрузка р.
Под действием первых двух сил край пластинки
сместится на величину
Для определения прогиба под действием рас-
пределенной нагрузки пользуемся схемой случая 5
(фиг. 8). Коэффициент С, равен 0,225, отсюда
»j’W5-^--i3Boo|
Приравниваем прогибы краев обеих пластинок:
7.3 -£ - 7,3 Р,~ Р + 13 809 .
отсюда Р — 9100 кГ. Прогиб края поршня при
Е = 2.104 кг/см1 равен
wh-“’.-7-3T^-°-033cj'-
По табл. 8 находим коэффициенты С,; для
случая 2, С, “ 1,1; для случая о, С» = 2,7. Макси-
мальные напряжения в нижней пластинке
в = 1,1 - 1740 кПсм',
а верхней пластиика
6.8.30.3» . , 9100 - 5920
•“V~2?---------1(1---5л»------
— 2190 кПсм*.
При таких напряжениях поршень должен быть
изготовлен из материала с пределом текучести ня
меньше 25—30 кГ мм1.
Другие случаи граничных условий и
характера нагружения для круглых пла-
стинок сы. [10], (12]. для пластинок пря-
моугольных и иного очертания [5].
Расчетные формулы для гибких
пластинок (применимы в тех случаях,
когда деформации являются упругими).
Круглая пластинка подвергается
действию нагрузки, равномерно рас-
пределенной по всей площади (15).
Стрела прогиба (в центре) опреде-
ляется из кубического уравнения
4n,+8U)-i(l)‘- <>
Коэффициенты А н В даны в табл. 9.
После определения стрелы прогиба
нормальные напряжения изгиба <гг, о/ и
напряжения в срединной поверхности
о®, з, находятся по формулам
' а9 ' 1 г а-' '
Полные напряжения равны
(»г)и - «г+«?; (®/)я - «< + ®".
Значения коэффициентов а..б даны
в табл. 9; знак минус относится к сжи-
мающим напряжениям.
Прямоугольная пластинка со сторо-
нами а и b шарнирно оперта по
контуру, контур не смещается: на-
грузка равномерно распределена по
всей площади |4| (а > Ъ).
/аблица 9
Значение коаффмцаеатов Л, В, в, ₽, у и 4
Граничные условие А В В центра У контура
1 а • 1 i
Шарнирное опирание по контуру Контур свободно скользит 0,876 1,436 1.778 0,295 0 0,755 0 -0,427
Контур не смещается 2,660 1,436 1,778 0,906 0 0.755 0,610 0,183
Затемнение по контуру Контур свободно скользит 0,857 6,862 2,860 0,500 4.400 1.320 0 -0.333
Kotnyp не смещается 2,762 5,862 2,860 0,976 4.400 1,320 0,476 0,145
РАСЧЕТ ТОЛСТЫХ ПЛИТ
197
Стрела прогиба (в центре) опреде-
ляется из кубического уравнения
Для центра пластинки
.. 4й/
о,-
nF 4hJ •
Полные напряжения равны
(о*)л-о^ + о°; (оу)я = а, 4- о®
Коэффициенты А. В. я, ..., г даны в
табл. 10.
Таблица 10
Значения коэффициентов А, Н, i, f, j «1
Л Н в 5 Т 8
1.0 1,82 1.33 1.645 1,645 0,616 0,615
1.1 1,63 1.11 1,415 1,567 0,518 0,600
1.2 1.34 0,96 1.242 1,544 0,448 0,592
1.3 1.21 0,84 1,107 1.510 0,392 0,684
1.4 1.11 0,76 i.ooo 1,484 0,351 0,581
1.5 1.06 0,70 0,913 1,462 0,315 0,574
1.6 1.00 0,65 0,843 1,444 0,288 0,571
1.7 0.96 0.60 0.784 1,429 0,263 0,568
1.8 0.93 0,57 0,736 1,417 0,246 0.667
1.9 0,90 0,54 0.693 1,407 0,230 0,866
2.0 0.88 0,52 0.658 1,398 0,217 0.666
Табл. 10 составлена для р — 0,25.
Абсолютно гибкая круглая пла-
стинка {мемб рана) с несмещающимся
контуром подвергается действию рае
номерно распределенной нагрузки.
Прогиб в центре
Уравнение (2) принимает вид
отсюда
Z-0.4S; /-1,34 мм.
п
Пользуюсь табл. Ю и полагая — • 1,5, нахо-
дим полные напряжения я центре:
2 10е t 34
’•А “ —(0,913-0,3 4-0,315.1,34) =
= 746 кием';
(оу)л “ a’l<^»1,3< «.«2-0,3 4- 0,574-1,34) -
— 1294 кием'.
РАСЧЕТ ТОЛСТЫХ ПЛИТ
Круглая плита закреплена по кон-
туру. нагрузка равномерно распреде-
лена по всей площади.
Стрела прогиба f равна |1 ]:
прн шарнирном опирании по контуру
при защемлении по контуру
r-/[l + a»(±)*]s
здесь /—стрела прогиба по соответ-
ствующей формуле теории тонких пла-
стинок.
Прямоугольная пластинка со сто-
ронами аУ.Ь шарнирно оперта по
контуру; нагрузка равномерно распре-
делена по всей площади (а > Ь)
Стрела прогиба f равна [1]
Максимальное напряжение в
Здесь /—стрела прогиба по соот-
центре ветствующей формуле теории тонких
пластинок; значения коэффициента а:
Иривер. Прямоугольная стальная
пластинка со сторонами 150X100 си
и толшнной Л — 0,3 см поавергается
действию равномерно распределенной
нагрузки р — 0,25 крем'. Определить
стрелу прогиба и максимальные на
пряжения.
Л 1.0 1.2 1.4 1.6 1.6 2.0 3,0 4.0 5,0 ©о
а 1.18 0.98 0.87 0,80 0.75 0,72 0.64 0.62 0,61 0,61
198
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК
Для определения нормальных напря-
жений при изгибе шарнирно опертых
толстых плит могут применяться фор-
мулы теории тонких пГастинок даже
в том случае, если отношение толщины
к наименьшему размеру основания дости-
гает 4-.
О
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК
НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Устойчивость пластинок в преде-
лах упругости.
Прямоугольная пластинка подвер-
гается сжатию усилиями, равномерно
распределенными по сторонам
х — 0 и х = а
(фиг. 1Q)
Критическое напряжение акр равно
. к» fh\*
°*" ” к W ” 12(1 - и’-) U ) ’ (3)
где к — коэффициент, зависящий от гра-
ничных условий и отношения сторон
пластинки, значение О см. стр. 191.
а) Значения к для случая, когда все
края пластинки оперты шарнирно:
б) Для других граничных условий
значения к даны в табл. 11 (.заш.* - за-
щемленный край, .шарн.* — шарнирно
опертый край. .своб.* — свободный
край).
Для случая упругого защемления края
ушОи шарнирного опирания осталь-
ных сторон (степень защемления харак-
Фиг. ю.
теризуется жесткостью на круче-
ние OJK ребра примыкающего к дан-
ному краю) значения к находятся из
табл. 12 [2].
Для случая упругого защемления края
х — Ои шарнирного опирания других
краев значения к определяются из
табл. 13.
Для случая одинакового упругого
защемления по краям у = 0 и у = Ь
а b 0.2 0,3^0.4 0,5 0,6 0,8 0.9 1.0 ... 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 От 2 ДО ОО
it 27 13.2 8,41 6,25 5,14 4,53 4,20 4.04 4,00 4,04 4,13 4,28 4.47 4,34 4.20 4. rib 4.06 4.01 4.00
Таблица И
Значения коэффициента К
Г раннчиые условия ллм к рве и Отношение а сторон пдястинки ~ р
X -0 л » а У - о у • в 0.6 0,8 1.0 1.1 и 1.6 1.8 2,0 я,о оо
Заш. Заш. Заш. Заш. 9.4 9.3 8.8 8.5 8,5 8,2 7.8 7.0
Шири. Шари. Заш. Заш. 7.06 7.29 7.69 7,15 7.04 7.20 7,05 7.00 7.13 7.0
Зоне Заш. Шари. Шари. 13.38 8,73 6,74 5.84 5.45 5,34 5,18 4,85 4.41 4.0
Шари. Шари. Заш. Сноб. —— 2,70 1,70 1.47 1,36 1.33 1,34 1,38 1.36 1.33
Шари. Шари. Шари. Сноб. 3,65 2,15 1,44 1.14 0.95 0.84 0,76 0,70 0.56 0.46
/иолица Ч
Значения коэффициента 1
ь 0.25 0.50 1.0 2.0 4.0 6,0 10,6 т 0.25 0,50 1.0 2.0 4.0 6.0 10.0
0,5 6,52 6.63 6,71 6.77 6,81 6.82 6.83 1 0,8 4.56 4.75 4.96 5,13 5,25 5,30 5.34
0.6 1,44 5.58 5.70 5.79 5.85 5,87 5.W 0,9 4.42 4.64 4.89 5,11 5.28 5.40 5.40
0.7 4.85 5.03 5.19 5.32 5.40 5,44 5.46 1.0 4.39 4,64 4,93 5,21 5.43 5,52 5.60
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК НА УСТОЙЧИВОСТЬ
199
Таблица 13
Прямоугольная пластинка, шар-
нирно опертая по краям, нагружена
усилиями, распределенными вдоль сто-
Значения коэффициента *
0.33
0.50
1.0
1.5
2,0
2.5
3,0
4.06
4,16
4.32
5,10
6.70
8,87
11,59
4,09
4,19
4,46
5,39
7,06
9.28
12.02
4.10
4,21
4,50
5,76
7,60
9.94
12,77
4.11
4.23
4,70
6,14
8,28
10.89
13,91
4.11
4,23
4.77
6.46
8,96
12,00
15,43
4.11
4.24
4,82
6,73
9.68
14.75
17.50
рон х = 0 и х = а (фиг. 12) по линей-
ному закону.
при шарнирном опирании остальных
краев, значения k определяются из
табл. 14.
Таблица 14
Критическое напряжение (Рм)Кр
определяется по формуле (3); значения k
даны в табл. 16 [3]
Таблица 1в
Значения коэффициента 4
»1а / 0.25 0.5 1.0 2.0 4.0 10.0
0,5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 6,84 5,80 5,24 4.96 4.84 4.79 7.09 6,12 5,64 5.42 5.36 5.39 7,31 6.43 6,06 5,97 5,99 6,14 7.47 6,68 6,42 6,44 6.62 6,92 7,57 6,85 6,67 6,80 7,12 7.57 7.64 6,96 6,86 7.08 7.52 7.64
Прямоугольная пластинка, шарнир-
но опертая по краям, подвергается
одновременно сжатию в двух направ-
н-----g - ( Ленине (фиг. 11);
Значения коэффициента 4
Вид нагрузки ° 0,4 0.6 0.8 1,0 1,5
Чистый изгиб 2 29.1 24,1 24,4 25.6 24.3
Изгиб и сжатие 1,333 1 0,8 0.667 18,7 15.1 13,3 10.8 12,9 9,7 8,3 7.1 11.2 8.1 6.9 6,0 11.0 7.8 6,6 5,8 П.5 8.4 7.1 6,1
Фнг, 11.
отношение сжима*
ющих усилий за-
дано:
Критическое на-
пряжение ах опре-
деляется по формуле (3); значения k
даны в табл. 15 |3|-
Таблица И
Значение коэффициента 4
‘ 1 а b 0,2 0,4 0,6 0.8 1.0 2.0
1 3.36 2,85 2.50 2,22 2,00 1,33
2 3,36 2,40 1,84 1,49 1.25 0.69
3 3,24 2.42 1.74 1,36 1,11 0,59
09 3,20 2,40 1,67 1,25 1,00 0,50
Для одинакового упругого защемле-
ния по краям у-Ои у — Ь, при шар-
нирном опирании остальных краев, ве-
личина k определяется из табл 17 [2].
Таблица !Т
Значения коэффициента 4
S / «1*> 0,25 0,50 1.0 2.0 4,0 10,0
0,5 0,6 17 0,7 В 0,8 0,9 1.0 12,83 11,00 10,22 9,60 9,41 9,40 13,37 11,69 10,86 10,50 10,42 10,52 13,86 12,34 11,72 11,55 11,68 11,99 14,23 12,87 12.44 12,53 12,94 13,54 14,46 13,23 12,96 13,26 13,93 14,46 14,62 13,48 13,35 13,83 14,74 14,62
0,4 'У 0,5 а 0.« 0,7 34.05 30,45 29,11 29,00 36,04 32,83 31,90 32,17 37,79 35,17 34.92 35,91 39.00 37,01 37,52 39,41 39,80 38,24 39,35 42,06 40.32 39.10 40,72 44,14
200
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК
П рямоугольная пластинка, шар-
нирно опертая по краям, подвергается
сжатию двумя сосредоточенными си-
лами. приложенными в серединах боль-
ших сторон (фиг 13):
Р -k^-
t*p~ *
_ . а
Значение к зависит от отношения -г-;
о
Il ... . 1,49 1.03 1,00 1,00
Прямоугольная пластинка (а > Ь)
подвергается действию равномерно рас-
пределенных по всем кромкам касатель-
ных усилий (фиг. 14).
Критическое напряжение хкр равно
. пЮ
12(Г-н») £(1) ’ (4)
Значение k зависит от граничных
условий и отношения сторон
b
а) Для случая, когда все четыре
края оперты шарнирно, значения k
находятся по приближенной формуле
k -5Д4 + 4^Ау.
б) Для других граничных условий
значения k даны в табл. 18.
Прямоугольная пластинка, шар-
нирно опертая по краям, подвергается
совместному действию усилий сжатия
(растяжения), равномерно распределен-
ных по сторонам х — 0 и х — а, и
вместе с тем усилий сдвига, равно черно
распределенных по всем краям (фнг. 15).
Пусть найдены критические напря-
жения сжатия сг0 и сдвига т0 для пла-
стинки заданных размеров при раз-
дельном действии усилий сжатия и
сдвига.
Критические напряжения чкр и чкр
при совместном действии сил удовле-
творяют приближенному соотношению
По уравнению (5) могут быть най-
дены критические напряжения, если за-
9кр
дано отношение -----или одна из этих
величин.
В случае растягивающих усилий пер-
вому члену в левой части уравнения (5)
должен быть придан знак минус.
Прямоугольная пластинка, шарнирно
опертая по краям, подвергается со-
вместному действию изгибающих уси-
лий по сторонам х = 0 и х = а и уси-
лий сдвига по всем сторонам (фиг. 16).
Пусть найдены критические напря-
жения изгиба <>0 и сдвига г0 для пла-
стинки заданных размеров при раздель-
ном действии изгиба и сдвига.
Значения коэффициента *
Таблица 19
Граничные условна ала красе Отношение сторон пластинки *>
л-0 ж а у-0 у- » 1.0 I 1.5 2,0 2.5 3,0 ОО
Заш. Шари. Заш. Заш. Шари. Заш. Заш. Заш. Шари. Заш. 3 »in. Шарн. 14 Л» 12,28 12,28 11,40 11.12 7.78 10.96 10.21 6,70 10.85 9,81 6,40 9JM 6.17 8.919 8,99 5,35
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК НА УСТОЙЧИВОСТЬ
20)
Критические напряжения акр и iKp
при совместном действии сил удовле-
творяют приближенному соотношению
Более подробно о расчете на комби-
нированную нагрузку см [13].
Фиг. 16.
Круглая пластинка подвергается дей-
ствию сжимающих радиальных уси-
лий, равномерно распределенных по
контуру.
Критическое напряжение равно
ЯКр
т.гр
ath
(7)
где а — радиус пластинки; коэффи-
циент А в случае шарнирного опирания
по контуру равен k =0.425; и случае
защемления k = 1,49.
Устойчивость пластинок за преде-
лами упругости. Прямоугольная пла-
станка, шарнирно опертая по краям,
подвергается сжатию в одном напра-
влении усилиями, равномерно распреде-
ленными по сторонам х — 0 и х — а
(см. фиг. 10); — > 1.
Приведенная на стр. 198 формула (3) .
справедлива при условии, что критиче-
ское напряжение акр не превышает пре-
дела пропорциональности материала
Для стали Ст. 3 формулы упругой
области применимы при условии у > 60
(принятоя^—2000 кГ /см^ау^ 2400кГ/смг),
b
В пределах — < 40 следует принимать
(в запас прочности) критическое напря-
жение равным яг; акр — 2400 кГ1смг-
В промежуточной области 40 < у < 60
применима формула
ькр - (3200 - 20 кГ/слА (8)
Для дуралюмина Д16Т формулы
Ь
упругой области применимы при ~ > 36
(принято яу — 2000 кГ/сМ*).
В области 16 С-^-<36 следует при-
п
ннмать
«кр- (4880 — 80 кГ/см*. (9)
Редукционные коэффициенты для
подкрепленных пластинок после
потери устойчивости. Прямоугольная
пластинка шарнирно оперта на ребра,
жесткие по отношению к изгибу, и
подвергается вместе с ребрами сжатию
в направлении стороны а(а^Ь). При
совместной с ребрами деформации пла-
стинка может нести после потерн устой-
чивости возрастающую нагрузку, вели-
чина которой превышает критиче-
скую.
Закон распределения напряжений в сре-
динной поверхности пластинки меняется
с увеличением нагрузки. Напряжения вр
в краевых полосах, прилегающих к про-
дольным ребрам, пропорциональны (в
пределах упругости) относительному
сближению нагруженных кромок е:
ар = Ее.
В то же время напряжения в цен-
тральной части мало отличаются от
критических. Вид
эпюры сжимающих
напряжений по ши-
рине пластинки по-
казан на фиг. 17.
Нагрузка, вос-
принимаемая пла-
стинкой после по-
тери устойчивости,
определяется по
формуле
Р - <fapbh, (10)
где f—так называемый редукционный
коэффициент.
Коэффициент ? следует принимать:
а) при проверке прочности перекры-
тий. состоящих из значительного числа
смежных панелей обшивки и заведомо
жестких на изгиб подкрепляющих ребер,
по формуле
(П)
202
РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК
6) при проверке прочности конструк-
ций. состоящих из обшивки и относи-
тельно небольшого числа подкрепляю-
щих ребер или изолированных панелей,
по формуле
? “ V (12)
р
В формулах (11) и (12) акр — крити-
ческое напряжение для пластинки задан-
ных размеров; ар — напряжение в под-
крепляющих ребрах. Несущая способ-
ность пластинки определяется, как
правило, из условий прочности и устой-
чивости подкрепляющих ребер.
Определение критической нагрузки
для случая общей потери устойчивости
пластинки вместе с ребрами см. [И].
[14].
Прямоугольная пластинка шар-
нирно оперта на ребра, жесткие по
отношению к изгибу, и подвергается
действию касательных усилий т
(фиг. 18).
В этом случае пластинка может так-
же нести после потери устойчивости
панели возраста ю-
Фиг. I».
щую нагрузку, ве-
личина которой во
много раз превы- •
шает критическую. I
При значнтель- |
ной деформации
длинной пластинки
(а > Ь) происходит
образование ясно выраженных наклон-
ных складок (диагонального поля растя-
жений). Главными напряжениями сжа-
тия о. можно при этом пренебречь; на-
пряжения растяжения sj определяются
по формуле
2т
’’ = sin 2«
где а — угол между направлением скла-
док и длинной стороной, близкий к 4СР.
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
I. Алексеев С. А.. Изгиб толстых плит,
.Труды ВВИЛ имени Жуковского*, выл. 273 и 312.
1949 и стеты а сборнике .Расчет пространствен-
ных конструкций*, вып. 1, Машсгройиздат. 1950.
2. Б р о у д е Б. М., Устойчивость пластинок
и влементах стальных конструкций, Машстрой-
излет, 1949.
3. Б у б н о в И. Г., Труды по теории пластин,
Гехтеоретизлат, 1963.
4. В а р в а к П. М.. Приближенный расчет
пластинок средней толщины, .Труды Киевского
строительного института*, вып. 3, 1936.
5. Г а л с р к к н Б. Г., Упругие тонкие плиты,
собр. соч., т. II, иад. АН СССР, 1953.
6. И л ь ю ш и и А. А., Устойчивость пластин
и оболочек за пределами упругости, .Прикладная
математика и механика*, вып. 5. 1944 н вып. 5—6,
1946; Пластичность, Техтеоретнзлат, 1948.
7. Канторович 3. Б., Основы расчета хи-
мических машин и аппаратов, Машгнз, 1952.
8. Лейбензон Л. С., Вариационные мето-
ды решения задач теории упругости, собр. трудов,
т. 1. изд. АН СССР. 1951.
9. Лехницкнй С. Г., Анизотропные пла-
стинки, Техтеоретизлат, 1947.
10. М а р т ю ш е в Л. В., Изгиб круглой пли-
ты. ОНТИ, 1935.
11. П а п к о в н ч П. Ф., Строительная меха-
ника корабля, ч. 2-я, Суларомгиз, 1941.
12. Переходцева Л. М., Расчет на изгиб
круглых кольцевых пластин, .Труды ЦАГИ*,
вып. 403, 1939.
13. С л е п о в Б. И., Устойчивость прямоуголь-
ных пластин, .Труды ЦНИИ нмеин Крылова*
N 13. 1946.
14. Т и м о hi е и к о С. П„ Пластинки и обо-
лочки, Техтеоретизлат, 1948; Устойчивость упру-
гих систем. Техтеоретизлат, 1946.
15. Ф е о л о с ь е в В. И., О больших проги-
бах н устойчивости круглых мембран, .Приклад-
ная математика и механика*, вып. 5, 1945 и вып. 2,
1946; Упругие элементы точного приборострое-
ния, Оборонгиз. 1949.
16. Ш и м а н с к и й Ю. А., Изгиб пластин
ОНТИ, 1934.
ГЛАВА V!
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
РАСЧЕТ СИММЕТРИЧНЫХ
ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
Напряжения и перемещения
в тонкостенных оболочках
Расчет тонкостенных оболочек осно-
ван на следующих допущениях:
а) нормальные напряжения на площад-
ках, параллельных срединной поверх-
ности, пренебрежимо малы по сравнению
с другими компонентами напряжений;
б) нормаль, проведенная к срединной
поверхности до деформации, остается
прямой и нормальной к деформирован-
ной срединной поверхности.
Во многих случаях оказывается до-
пустимым принять, что нормальные
напряжения в нормальных сечениях
оболочки распределяются равномерно
по ее толщине, т. е. пренебречь изги-
бающими моментами, действующими
в сечениях оболочки (безмоментная
теория). Так. например, в зонах оболочки,
достаточно удаленных от точек прило-
жения сосредоточенных сил и моментов,
от мест жесткого закрепления оболочки,
от ребер усиления и вообще от мест
приложения упругих и жестких связей,
напряжения могут быть в обычных слу-
чаях с большой точностью определены
по безмоментной теории.
Изгибные напряжения носят, как пра-
вило, характер местного возмущения
напряженного состояния н имеют суще-
ственно заметную величину лишь в
окрестности перечисленных выше осо-
бенностей закрепления и нагрузки.
Вследствие локальности изгибных на-
пряжений их во многих случаях можно
в расчет и не принимать, несмотря на то,
что они достигают иногда значительных
величин; их можно, например, не учи-
тывать, если появление пластических
деформаций и местное изменение формы
оболочки не снижают ее несущей способ-
ности; их безусловно следует учитывать.
если материал оболочки хрупкий или
если нагрузка циклическая.
Например, в случае нагружения, пока-
занном табл. 1. п. 4, частичная потеря
упругих свойств оболочки в зоне при-
ложения сосредоточенных сил снижает
несущую способность, и здесь местные
напряжения во всех случаях необходимо
учитывать.
В цилиндрической оболочке (табл. 1,
п. 5) появление пластических деформа-
ций в зоне жесткого кольца не снижает
несущей способности оболочки, и здесь,
если материал способен пластически
деформироваться, местные изгибные
напряжения могут в расчет и не прини-
маться. В этом случае достаточно
ограничиться только определением
общих напряжений по безмоментной
теории и установить по ним условие
прочности.
То же самое можно сказать и о тем-
пературных напряжениях. Эти напряже-
ження следует учитывать только в том
случае, если материал оболочки хрупкий;
если же материал обладает пластиче-
скими свойствами, учет влияния темпе-
ратуры производится только путем со-
ответствующего снижения механических
характеристик материала (предела теку-
чести и прочности) без учета темпе-
ратурных напряжений.
Для оболочки, имеющей форму тела
вращения, прн симметричном нагруже-
нии меридиональное напряжение может
быть найдено из условий равновесия
части оболочки, отсеченной нормальным
круговым сечением, а окружное напря-
жение — из уравнения Лапласа
°* , 9у Р
Rt + R3 “ h ’
гдер — внутреннее избыточное давление;
h — толщина оболочки; R\, Rt — глав-
ные радиусы кривизны; ах— нормальное
204
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
Таблица I
Формулы для определения напряжений и перемещений в тонкостенных оболочках |2|, |4), |13|
Обозначения: р — давление в х/сл’, в и о — меридиональное и окружное напряжения:
h — толщина оболочки; £ — модуль упругости в кПсМ1; J — коэффициент Пуассона; ш — радиальное
перемещение в см.
Il =
4/" 3 (1 — цЧ . . 1.29 г> Ек'
У ~RW~ : П₽” “ 12 0 - Р1)
Фирма оболочки и вне нагрузки
Расчетные формулы по безмоментной теории
I. Сфера. Постоянное внутреннее
вандейце р и кГ'оР
2. Цилиндр. Постоянное внутрен-
нее давление р в к Г см1
3. Тор. Постоянное внутреннее
давление р в хПсМ1
рР '2а + R tin о .
— 2й" а Ч- ₽ tin о ’
У 2Л
2а- R
a — R
Нагибные местные напряжения в симметричных оболочках
4. Цилиндр. Равномерно распреде-
ленная по кругу нагрузка и
а кГ 'см
У внутренней поверхности в произвольной точке с координа-
той ж
а — <—*» (соя Ал — tin *л) — шах о;
*• /Аг»’
Ew .
W = - »~*Ж (tin kx + С0> *Ж) .
В точке х ••0
_ * •
•дчда*
.-^[УЗО-И-Зр];
2£h •
v
Примечание. Формулы верим, если цилиндр будет достаточно тли иным (|-гт1д| > 3/ /?й)«
РАСЧЕТ СИММЕТРИЧНЫХ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
205
Продолжение табл. 1
Форма оболочки и вил нагрузим
Расчетные формулы по безмоментной теории
Ь. Цилиндр е подкрепляющим
кольцом, имеющим площадь
сечеиие Р. Постоянное внутрен-
нее давление р кПелд
внутренней поверхности при д «0
1
Эр/? Р
'" ТТН “ “
Эти формулы применимы, если соседние подкрепляющие кольца
находятся на расстоянии > —-. Если кольцо очень жесткое,
в формулах следует положить F—oo. См. примечание к при-
меру 4.
6. Цили нор. Равномерно распре-
деленная по контуру радиаль-
ная нагрузка « в кГ'см
У внутренней поверхности в произвольной точке с координа-
той х
о « —- sin kx Я м Д- ии •
»—/“** СО* *х. На контуре max w — ; оу — Ц52 .
Угол поворота
max о>' «
В точке а «-тт-: о, " max а — 1,91 -X;.
См. примечание к примеру 4.
1. Цилиндр. Равномерно распре
деленный- по контуру момент
М в кГсм/см
V внутренней поверхности в произвольной точке с ьоордииа
той х
6Л1 _*г , , t . Ееи ,
аг=--у-р х—*Jr(sln»x4-cos »т): еу = + |м>х;
“ “ i&D е~*Л <со’ *-г ~ ,,П *х|'
На контуре
6А1
», = max а — -гг- ; о„
-* />’ 7
м
"•ж ” - мш =
См. примечание к примеру 4.
шах а/
8. Сферикеекая оболочка. Рав-
номерно распределенный момент
.М в кГсмсн по контуру
У внутренней
той я
поиерхяости а произвольной точке с коордииа-
Радиальное перемещение
а'-2^»|п*е
206
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
Продолжение табл. I
Форма ободочки и вил нагрузки
Расчетные формулы по безмоыектной теории
У внутренней поверхности » пронзполькой точке с координатой *
— — >ft~ е-*' |Itn*jr ♦ /"Jdgejcoa ^*лг + "j)|.
ey — —*^П— »“** | sin Лаг + 2/?* сов *л].
Угол поворота по контуре
#-2ГС11п--
Радиальное перемещение ил контуре
о₽
w = -=т- sin «41 &R* sin «ч, — р cos «<>)
10. Цилиндр с плоским дном.
Постоянное внутреннее давле-
ние р в кГ'слд
pR4i}D, 2pR4i‘t!h,D,
-♦DjU + p) едф-£) [e», + 2/?D,*}(l-р) I
IRk'D,
2*. +--------------------------—-------------
D, (I + p) tft( + 20,*}/? <» ~ И)
2/?*;П, I pR^'D,
* + 0.U4-P)J" 4Д(14=|Ы •
Индекс I соответствует лнишу. а индекс 2 - цилиндру. Напри,
женив в цилиндре определяются при найденных Л1„ и <?„
гуммированием напряжений из примеров I, б и 7 настоящей
таблицы
Напряженно в пластине определяются также суммированием
напряжений от QP и М. н давления р (см. стр. VJ11
См. примечание к п. 4.
II. Цилиндр с полусферическим
дном. Постоянное внутреннее
давление р в кГ.си'
41 = РАА, (Г(2 - (П -<1 - р)| (I -с«>
“ ” 4 /3(1 - цЧ (1 - с»)’ — 2(1 + /с») (1 4- V3) :
Оо-2ЛЛ,^±р-.
е“ —
*. относится и лиу.
Напряжения в цилиндре определяются суммированием напрв
жений нз примеров 2, б и 7 настоящей таблицы. Напряжения
асферическом дни те-аналогично и» примеров 1,8 и 9 (см. (3)1.
12. Цилиндрическая оболочки на
гревается изнутри до темпера,
туры 7„ а снаружи - до 6.
Край свободен
m шах о w
t«(7, - 6).
2(1 - н.) •
я — коэффициент линейного расширения.
РАСЧЕТ СИММЕТРИЧНЫХ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
207
напряжение в круговом нормальном
сечении; ау — нормальное напряжение
в осевом сечении.
Для оболочек вращения одна из пло-
скостей главных кривизн проходит через
ось вращения, вторая — нормально к пер-
вой. причем в точке пересечения ее
с осью лежит центр кривизны .
К»
Если оболочка закреплена по одному
контуру, напряжение ах определяется
из условия равновесия части оболочки,
отсеченной круговым сечением. ву опре-
деляется при известном ох из уравнения
Лапласа.
Расчетные формулы для определения
напряжений и перемещений по безмо-
ментной теории для основных типов
оболочек даются в табл. 1.
Изгибные напряжения для оболочек
вращения в зоне контурных защемлений
или контурных нагрузок определяются
по методу Штаермана [7| * на основании
следующего дифференциального урав-
нения:
</48
где Rb Rit h имеют прежние значения;
8 — угол поворота элемента дуги мери-
диана вследствие деформации оболочки;
Фиг. I.
? — угол между нормалью к поверх-
ности оболочки и осью симметрии
(фиг 1).
Если величина
R4
•Л 2""
постоянна или может быть с достаточной
степенью точности принята постоянной.
• Этот метод был предложен И. Я. Штпсрмдиом
1924 г. (7|. Поэдиее «тот метол был ми и робот»
Геккелерл.
то решение уравнения будет следующим:
8 = e-hx (Л sin kx + В cos kx) +
-I- (Csln kx + D cos kx).
Если расстояние по дуге меридиана
от одного контура до другого достаточно
велико для того, чтобы краевые эффекты
этих контуров не влияли друг на друга,
можно считать, что при отсчете от
первого контура произвольные постоян-
ные С и D равны нулю. Постоянные А
и В определяются в зависимости от
контурных условий.
Внутренние силовые факторы в крае-
вой зоне выражаются через функцию 8
следующим образом:
«.-ям.;
п _ £Z|8
2 R, rfy ’ 12(1 - и2) ’
Напряжения:
а = £1 . ^1- в - Ь
г h ± hi ' > h ± hi ‘
К этим напряжениям алгебраически
должны быть добавлены соответствую-
щие напряжения ох и ау, полученные
по безмоментной теории.
Для цилиндрической оболочки в при-
веденных выше уравнениях следует
положить R-, — const, a R\d<f — dx.
где х— расстояние от контура по обра-
зующей (см. п. 4 табл. 1).
Расчетные формулы для определения
напряжений и перемещений некоторых
типов симметричных оболочек приве-
дены в табл. 1.
Расчет несимметричных оболочек из-
ложен в работах |1 ], |8], (9|.
Устойчивость тонкостенных
оболочек |б|
При некоторых условиях тонкостен-
ная оболочка может потерять устойчи-
вость. Ниже рассматриваются основные
случаи нагружения оболочки, при ко-
торых происходит потеря устойчивости.
Тонкостенная цилиндрическая обо-
лочка, подверженная осевому равно
мерному сжатию (фиг. 2).
208
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
Фиг. 2.
Цилиндрическая оболочка никогда не
может быть идеально однородной и
быть точно выполненной по форме.
Потеря устойчивости происходит при
большем или меньшем давлении в за-
висимости от того, сколь
сильно форма реальной
оболочки отличается от
цилиндрической. Эта за-
висимость в отличие от
других задач является
настолько резкой, что
прн совершенно незамет-
ных отклонениях формы
критическое давление в
несколько раз отличает-
ся от того, которое по-
идеальной цилиндриче-
лучается для
ской оболочки.
Верхнее значение напряжения, при
котором
оболочка
лет
идеальная цилиндрическая
становится неустойчивой, бу-
В реальных условиях потеря устойчи-
вости происходит при значительно мень-
шем напряжении.
Для оболочек, изготовленных обычны-
ми технологическими приемами без спе-
циальных требований к точности фор-
мы установлено экспериментально
Fh
(1)
При тщательном выполнении цилин-
дрической оболочки можно достичь
(0.16 ч-0,2)
Теории устойчивости оболочек со ста-
тистическим учетом погрешностей фор-
мы до настоящего времени не создано.
Поэтому при проведении практических
расчетов следует ориентироваться на
величину критического напряжения (1),
найденного экспериментально.
При достаточно большой длине I ци-
линдрическая оболочка может потерять
устойчивость как стержень, тогда кри-
тическая сила будет определяться по
формуле Эйлера
Р
” (|4)”
(2)
где J — */?sh; приведенная длина,
зависящая от способа концевых закре-
плений.
При ведении практических расчетов
Ркр следует определять по формулам
(1) и (2), а затем за расчетное крити-
ческое усилие принимать меньшее из
двух полученных.
Цилиндрическая тонкостенная обо-
лочка, находящаяся под действием
Эта формула точна Фиг. з.
в той мере, в какой
допустимо считать радиус R пренебре-
жимо малым по сравнению с длиной
трубы I.
Если длина цилиндра соизмерима
с радиусом R,
Eh 1
Ркр = Я(лЗ-1) ’ / _п2
V + ' R')
£ft3
+ 12(1-;л!)/?3
л» — I
, 2/»а—1 —н!
। . л*
1
; (3)
п — целое число, которое в каждом
I
конкретном случае при заданных
R л
и — должно быть выбрано из условия
наименьшего рКу
Значения л для некоторых отноше-
х / R , „
ний -гр н -j- даны в табл. 2.
Таблица 2
Тонкостенная цилиндрическая обо-
лочка на садится под совместным дей-
ствием внешнего равномерно распреде-
ленного давления р и осевого сжимаю-
РАСЧЕТ СИММЕТРИЧНЫХ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК
209
щего напряжения а. Критическое со-
стояние определяется по формуле Муш-
тари
акр Ркр
где акр и ркр определяются по фор-
мулам (1) и (3).
Цилиндрическая оболочка, нагру-
женная скручивающими моментами
(фиг. 4).
Фиг. 4.
Для длинной оболочки независимо от
условий закрепления на контурах
Мкр “ '
3(1—ц*) 4
Если величиной радиуса R нельзя
пренебречь по сравнению с длиной /,
критический момент будет:
а) края защемлены
б)
Мкр - 2г.
Мкр 2к
Тонкостенная цилиндрическая обо-
лочка, сжатая эксцентрично прило-
женной осевой нагрузкой (фиг. 5).
Если напряжение а может быть выра-
жено в функции ? как
а — з0 + 0j cos <р,
то критическое напряжение при шар-
нирно закрепленных краях может быть
приближенно определено по формуле
Fh
(•я + ^-0.12-^.
Цилиндрическая панель, сжатая
вдоль образующей равномерно распре-
деленными усилиями (фиг. 6).
14 том з
При малом угле а и шарнирно закре-
пленных краях
k’Di1 , Eafl
°Kp~ 3(1 — н1) (<*«)’ +
Если ширина панели соизмерима с вы-
сотой,
_ Eh
акр = М2 .
Е R*h*
1 - yfi' /»
края шарнирно закреплены
Е RW
1-Я«‘ /’
Сферическая оболочка, находящаяся
под воздействием внешнего давления р
в кГ1смг. •
Критическое напряжение в — опре-
деляется по экспериментально устано-
вленной формуле
. Eh
9-k~R'
где коэффициент k в зависимости от
точности изготовления сферы и условий
нагружения оболочки колеблется в пре-
делах от 0,09 до 0,16. Верхнее значение
берется при высокой точности изгото-
вления сферы и плавном ее нагружении.
210
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
Для обычных производственных условий
k « 0,12 •+• 0,14.
Сферическая панель, находящаяся под
воздействием внешнего давления р
в кГ(смг (фиг. 7) [5[:
а) при свободной опоре, допускающей
смещения в плоскости опорного кольца
I
Фиг. 7.
(распор отсутствует) (и. — 0,3): h\ = 1,41;
кг — 0,00202; = 1,08; - 0,250;
б) при опоре, не дающей защемления
и препятствующей смещению в плоскости
опорного кольца: Л| — 1,52; Aj — 0,00576;
А, - 0,407; - 2.07;
в) контур защемлен, но распор отсут-
ствует: Atj — 4,56; kt — 0,00505; Ад — 5.92;
*4 - 0,0835;
г) контур защемлен и не имеет ника-
ких перемещений: — 5,45; А2 — 0,0150;
Ла - 3,29; - 0,394.
РАСЧЕТ НА ЖЕСТКОСТЬ
ОБОЛОЧЕК БОЛЬШОЙ ГИБКОСТИ
Введение
Гибкие оболочки широко применя-
ются в качестве упругих элементов во
многих машинах и
приборах, где они
используются как
измерительные
пружины, гибкие
уплотнительные
устройства, темпе-
ратурные компен-
саторы, детали ди-
станционных пере-
дач и т. д.
Расчет на жест-
Фиг. а. кость для упругих
элементов имеет
первостепенное значение. Вопросы
Прочности гибких оболочек во многих
случаях еще не получили нужного за-
вершения.
Гибкие оболочки как упругие элемен-
ты машин и приборов выполняются в
виде плоских или гофрированных мем-
бран, сильфонов и трубчатых пружин.
Кривая, выражающая зависимость про-
3 гиба упругого элемента от
у нагрузки, называется ха-
_ iA . рактеристикой (фиг. 8).
) J’ Жесткость k упру-
гого элемента на линейном
участке характеристики определяется
как отношение нагрузки р к про-
гибу аг.
А — —
ш
На нелинейном участке характери-
стики жесткость при данной нагрузке
А-llm =
Нагрузка, при которой возникают пла-
стические деформации или происходит
потеря устойчивости элемента, является
для гибкого элемента предельной.
Тяговой или перестановочной силой
в данном направлении называется сосре-
доточенная сила, приложенная к упру-
гому элементу в заданном направлении
и вызывающая в этом направлении та-
кое же перемещение точки приложения
силы, как и в случае действия на упру-
гий элемент гидростатического давле-
ния.
Эффективная площадь равна
отношению перестановочной силы к дей-
ствующему давлению:
F»*-~p
где Р — перестановочная сила; р - да-
вление; РЯф — эффективная площадь.
В том случае, когда эффективная пло-
щадь меняется с прогибом упругого эле-
мента. она определяется, как
I. dP
v Др->о бр tip
Жесткость, эффективная площадь,
предельная нагрузка являются основ-
ными параметрами, характеризующими
упругий элемент.
Сведения о долговечности, гистере-
зисе. последействии упругих элементов
см. (5). [101.
РАСЧЕТ НА ЖЕСТКОСТЬ ОБОЛОЧЕК БОЛЬШОЙ ГИБКОСТИ
211
Плоские мембраны
Перемещение w0 центра плоской мем*
браны, жестко защемленной по контуру
и нагруженной гидростатическим давле-
нием р. определяется по графику фиг. 9
(Е — модуль упругости; R — рабочий
радиус мембраны; h — толщина).
Вертикальная составляющая w пере-
мещения произвольной точки мембраны
определяется, как
где г — текущий радиус; г —безразмер-
ная величина, определяемая по графику
фиг. 9.
Объем V между начальной плоскостью
и конечной упругой поверхностью мем-
браны равен
Устойчивость плоской мембраны
см. |5].
Определение тягового усилия
абсолютно гибкой мембраны с жестким
центром см. [5|.
Гофрированные мембраны
Гофрированные мембраны применя-
ются как одиночные (фиг. 10, а), так и
в виде мембранных коробок, которые
14*
получаются соединением двух мембран
по контуру (фнг. 10, ff); при необходи-
мости увеличения перемещения мем-
бранные коробки собираются в блоки
(фиг. 10, а).
Фиг. to.
Профилем мембраны называется
образующая серединной поверхности.
Основные виды профилей: трапецои-
дазъный (фиг. II, а), пильчатый
(фиг. 11, ff), синусоидальный (фиг. 11, в).
Мембраны, из которых изготовляются
мембранные коробки, имеют краевой
гофр, который бывает цилиндрическим
(фиг. 12. а) или тороидальным (фиг. 12, б).
Мембраны могут иметь линейную, за-
/ dw \
тухающую 1~ уменьшается 1 или воз-
Zrfw \
растающую увеличивается ) харак-
теристику. Вид характеристики зависит
от профиля мембраны.
Основные параметры мем-
браны (фнг. 13): R — рабочий радиус
мембраны; г — радиус плоского центра.
7
11111111 П 111111 III
Р 1-с»
Фиг. 13.
К плоскому центру обычно прикреп-
ляется жесткий центр; Н — глубина гоф-
рировки; 0о—максимальный угол на-
клона гофрировки; п — число волн; / —
длина волны гофрировки; h — толщина
материала.
212
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
Расчет па жесткость мембраны
без краевого гофра, жестко защемлен-
ной по контуру и находящейся под дей-
ствием гидростатического давления р,
производится по формуле
®о «'и “'о dR*
где и1®—перемещение центра мембраны;
Е—модуль упругости первого рода; С и
т(—коэффициенты (см. табл. 3), завися-
щие от геометрии мембраны.
Здесь р—коэффициент Пуассона.
Коэффициенты /ц и л» (см. табл. 4) для
мембран синусоидального и пильчатого
профилей зависят от числа волн п. для
мембран трапецеидального профиля —
от числа волн п и от ширины плоского
участка а (фиг. 11, а).
Пределы применимости фор-
мулы (6) ограничены для трапецеидаль-
ного профиля углом наклона < 15°, для
пильчатого профиля—углом наклона
О0<40“, для синусоидального профиля —
глубиной гофрировки Н <4- ((— длина
о
волны, см. фиг. 13).
Формула (6) не применима прн про-
гибах тс'0> (2-=-2,5) ft, где ft—толщина
материала.
Таблица 3
Выражения коэфф нииеигпя Сиг,
Профиль С ч
Синусоидальный Н 1,1 ~1Г 16 И’ 3(1 - р») + ’ л*
Пильчатый п, “ »1п й- л Ю сов* . К* »1п=6, 3 (1 — р’) ’’’ Л» со» йп
Трапецеидальный 16 . _ R' А 3 (1 - рп + ’ А« 0
Примечания: 1. В случае изменения направления действии давления на противоположное (см. фиг. 13) знак коэффициента С следует изменить иа обратный. 2. Формулы вывалены для мембраны без плоского центра с целым числом волн.
Таблица I
Значения п, и л,
1 Коаффи- ЦИ«1П Число волк п
Профиль 2 3 4 5
Синусоидальный л. 1,22 0.550 0,309 0,197
я, 2,28 2,09 2.04 2,02
fit 0,252 0,0755 0,0318 0,0162
ff/ 0,0945 0,0386 0,0212 0,0135
« 1 п, 0,215 0,0643 0,0271 0,0138
Г " ь Hi 0,0766 0,0296 0,0161 0,0101
Трапецеидальный а _ 1 fit 0,174 0,0619 0,0218 0,0112
1 а Я| 0,0528 0,0202 0,0109 0,00685
а 1 Л| 0,122 0,0363 0,0153 0,00782
1 “ 3 0,0274 0,0105 0,00565 0,00055
РАСЧЕТ НА ЖЕСТКОСТЬ ОБОЛОЧЕК БОЛЬШОЙ ГИБКОСТИ 213
выражения коэффициентов h , Л , Л,
Таблица i
Профилы * • и t
Трапецоклальиы А т f1 -~Г , ад , Л> L СО» «о < J + 1 20 '"Г . _2« СО» #» ' 1 Г. 2о • ** L СО»#» + 1 J 1 2а , , 2а СО»* % 1
Пильчатый № *• со»«ЛСМ’- 1 COS + _!_ Л* со» (U 1 cos1 &,
Синусоиллльиын (по- логий: в < 15°) .3. "1+1 2 И, 1 3 н» _ 1
Уточненный расчет и а ж е с т-
кость мембран периодического про-
филя без краевого гофра и плоского
центра с числом волн п >3 может быть
произведен по формуле |11|:
фон укорачивается или удлиняется.
В пределах упругих деформаций харак-
теристика сильфона мало отличается от
линейной.
О с но и и ы е параметры с и л ь
Eh
P~Rf
32fe, Г_!__ З-Р 1 з
ki - 9 [ 6 (Л — и) (Л + 3) | и +
4 (Мт + 3) h"-
—----TV®’
' (7)
Зкг
Здесь Л— Vккоэффициенты kt.
к,. зависят от формы профиля и
даются в табл. Л.
Формула (7) может быть применена
при прогибах ш0 < (20 -+• 30) й. Фор-
мула (7) не учитывает несимметрии
характеристики при изменении знака
давления (изменения характеристики
при изменении знака давления).
Расчет мембран синусоидаль-
ного профиля с плоским центром
««- 15).
Расчет сферических мембран
см. (5J.
Расчет мембран специального
профиля линейных по давлению
см [12]. |14|.
Потеря устойчивости мем-
бран см. (5|.
Сильфоны
Сильфон представляет собой тонко-
стенную трубку с кольцевыми гофрами
(фиг. 14). Под действием гидростати-
ческого давления или осевой силы силь-
фона (фиг. 14): R„ и Re — наружный
и внутренний радиусы сильфона, изме-
ренные по сред-
ней линии кон-
тура; г — ра-
диус закругле-
ния гофр (по
средней линии
контура); h0 —
толщина стенки
на внутреннем
диаметре (при-
нимается рав-
ной толщине
трубки-заготов-
ки при гидрав-
лическом выда-
вливании); а —
угол уплотнения; л—число рабочих гофр.
Расчет на жесткость сильфона.
изготовленного гидравлическим спосо-
бом. производится по формуле
л
сл0
ЛТ’(8>
Л — «Л| + я!А2 Ви
214
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
Здесь >. — осевое перемещение дна
сильфона; Р— осевая сила; Е — модуль
упругости первого рода; р — коэффи-
циент Пуассона; Д. Л1( А?, В9 — коэф-
фициенты, зависящие от отношений
т-S- — k и — т (см. графики фнг. 15)-
Ив
Эффективная площадь силь-
фона определяется выражением
Рзф --J- (/?« + /?,)»•
Примечание. При определении прогиба
сильфона, находящегося пол действием давленияр.
а формуле (8) осевую силу Р нужно аамеиить
черед
Изменение объема сильфо-
на находится по формуле
ДУ -
Напряжения в сильфоне см.
15].
Трубчатые манометрические
пружины
Основная разновидность трубчатых
пружин — пружина Бурдона, которая
представляет собой изогнутую по дуге
окружности полую трубку с вытянутым
поперечным сечением. Под действием
давления конец трубки перемещается.
Характеристика трубки Бурдона линейна
в пределах упругих деформаций
Основные' размеры трубки Бурдона
(фиг. 16) R — радиус кривизны цен-
тральной осн трубки (центральной осью
называется геометрическое место цен-
тров тяжести поперечных сечений);
у—центральный угол трубки; а и Ь —
большая и малая
полуоси сечения,
измеренные по
среднему контуру
сечения; h — тол-
щина стенки.
Формы сечений
трубок Бурдона по-
казаны на фиг. 17.
Из них наиболее
употребительные
эллиптическая (фиг. 17. а) и плоско-оваль-
ная гфнг. 17. б}.
Фиг. IT.
Расчет иа жесткость для тон-
костенных и толстостенных трубок раз-
личен. Трубка называется тонкостен-
ной. если 4- < 0.6 ч- 0.7, то летаете н-
О
ной, если Л >0,6 4-0,7.
о
Для тонкостенных трубок относи-
тельное изменение нейтрального угла
трубки Бурдона, находящейся под дей-
РАСЧЕТ НА ЖЕСТКОСТЬ ОБОЛОЧЕК БОЛЬШОЙ ГИБКОСТИ
21.S
станем внутреннего давления, опреде-
ляется по формуле
_ 1 — рг R2 / ._____Ь2 \ __jj_
7 "Р Е * bh \ а» / р 4- х» *
Здесь Е—модуль упругости первого
рода; р — коэффициент Пуассона; х —
главный параметр трубки;'
х - ; (9)
а*
а и ₽— коэффициенты, данные в табл. 6
в зависимости от формы поперечного
- а
сечения и отношения полуосей -у.
Для толстостенных трубок плоско-
овального сечения относительное изме-
нение угла равно
1 — и2e R2 I —х
7 - Р Е ' bh № , *
Коэффициент х определяется, как
I sh^ca 4-sln2ca
у .
са ch са sh са 4- cos са sin са
Величина са — у , где согласно
Ph
формуле (9) х——.
Коэффициент х можно определять
непосредственно из графика фиг. 18.
Перемещение конца трубки
по направлению касательной к осн
трубки
»/ - ~ R (I — sin 7).
Перемещение по радиусу трубки
у- R (1 — cos 7).
wr
Полное перемещение определится, как
w =
При 7 — 270° полное перемещение
w — 5,8/? —.
Т
Определение тяговой силы
Для тонкостенных трубок ^у<0,6-+-
-г-0,7) составляющая тяговой силы к
направлении касательной к оси трубки
о . /, \ 48$
X
З7 — 4 sin 7 4- sin 7 cos 7 *
в радиальном направлении
X
48$ 1 - cos 7
л с 4- х» ’ 7 — sin 7 cos 7 *
Таблица б
Значения коэффициентов «м3
Форма сечения а ь 1 1.8 2 3 4 8 6 8 10
Эллиптически « 0,750 0,636 0,566 0,493 0,452 0,430 0,416 0,400 0,390
9 0,083 0,062 0,053 0,045 0,044 0,043 0,042 0,042 0,042
Плоско-оаиьиаа в 0.637 0,594 0,548 0,480 0,437 0,408 0.388 0,380 0,343
9 0,096 0,110 0,115 0,121 0,121 0,12! 0,121 0,119 0,118
216
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
Таблица 7
Значения коэффициентов S, 5 и л
Форма сечения а b 1 1.S 2 3 4 5 6 8 го
Эллиптическая S 0.0982 0,0775 0,0662 0,0565 0,0515 0,0480 0,0465 0,0455 0,0445
с 0.833 0.602 0,581 0.499 0,459 0,439 0,429 0,416 0,404
П 0,197 0,149 0,142 0.121 0,111 0,106 0,102 0,098 0,095
Плоско-овальная S 0,0833 0,0848 0,0815 0,0743 0,0690 0,0652 0.0624 0.0585 0,0560
< 0,811 0,713 0,652 0,591 0.552 0,524 0,504 0.476 0.459
" 1 0,149 0,151 0,144 0,131 0,122 0,115 0,110 0,105 0.W1
Коэффициенты S, 5 даны в табл. 7.
Для толстостенных трубок >
> 0,6 0,7^| составляющая тяговой силы
в направлении касательной к оси трубки
Pt-tpabtA -1)Х
7 - sin у
v_________________________.
Зу — 4 sin у 4- sin 7 cos 7
в радиальном направлении
Р, - ЬраЬ (1 - у) |~с”1_ ,
' ГУ Т — sin ycos у
Коэффициент у дан на графике
(фш.Тв).
Изменение объема внутренней
полости тонкостенной трубки в зависи-
мости от давления определяется, как
4И « 12/, X
(Ю)
Значения коэффициента п даны в
в табл. 7.
Расчет спиральной и вин-
товой трубчатых пружин
см- [в]. (2J.
Напряжения в трубке Бур-
дона см. |5|.
Пример I. Определить изменение лавленна, иод-
лерживаемого сильфонным регулятором (фиг. 19),
при перемещении клапана us одного крайнего по-
ложения в другое. Полный ход клапднд X — 8 хи.
Размеры сильфона (см. Фнг. 14): 2₽ = 80 мм-
2А?в = 50 лит: г = 23 мм: Л, —0,2 ль«; л =9;
«=4“46'. Размеры винтовой цилиндрической пру-
жины, работающей совместно с сильфоном, сле-
дующие: средний диаметр
пружины D = 40 мм: диа-
метр проволоки б—5 мм:
число рабочих витков »'=К.
Материал сильфона-полу-
томпак: Е = I. 1(И кПмм-:
Р- — 0,?: материал пружи-
ны — пружинная сталь.
G = 7.86- .0* кГмМ*.
Решение, Переме-
щению клапана X соответ-
ствует изменение давления
на сильфон [см. примеча
ние к формуле (8)|
. **
»Ф
Г
Фиг. 19.
Здесь Г"ф — эффективная площадь сильфона:
Z »ф “ V (^ + ^я)’ “
- -у- (4.0 + 2Л)« - 33.2 СМ".
* — суммарная жесткость сильфона и пружины:
Жесткость сильфона Af согласно формуле (8)
раина
(ft2 \
A. = bA1+«»A,4-B0-^J.
49
По (рафикам фиг. IS при
г 2.5
и о> = —--=0.1 определяем коэффициенты
Л = 9-10-4; В. — 7; А, = 130-10-4; Д, = )Э00Х
Х10“4; угол уплотнения к — 4О46' =0,0834 ряд.,
тогда
*». “ Дж l9-10-4-«.«м-кю-'о-* +
+ (0,0634,<• >300- 1С-4ф-7 _ 0,286 кГ\мм.
РАСЧЕТ НА ЖЕСТКОСТЬ ОБОЛОЧЕК БОЛЬШОЙ ГИБКОСТИ
217
Жесткость пружины «л определяется, пак
0<7‘ 7,86-10*-5‘ , _
'» = W “ - Й.МА.8-- - кГ1ММ-
Суммарная жесткость
It . *с 4- »п = 0.286 4- 1,20 = |,49 дГ/ЛМС.
Следовательно. изменение давления Ар, соот-
ветствукниее полному ходу клапана, определится,
как
1 49-8
Др — -'зз 2- = 0.36 *Г(СЛЛ
При «ер 2. По заданному рабочему ходу ш*. —
= .’ ,h.h uetnpa мембраны мембранного компрес-
сора |фнг. 20) определить: I) необходимый перепад
давлений; 2) форму упругой поверхности мембраны
Пример .1. Определить ошибку намерения
манометра с пружиной Бурдона, если замеряемое
давление р среды передается маслу, заполняющему
пружину Бурдона, через разделительный сильфон
(фиг. 21). Размеры сильфо-
на и пружины Бурдона из-
вестны.
Размеры пружины Бур-
дона (см. фиг. 16): R =
= 40 мм; а — 10 мм; а —
2 мм; h — 0.4 мм;
у=270°: сечение — пло-
ско-овальное.
Фнг. 21.
Размеры сильфона (см. фнг. 14): 2RH — 38 зсз».
2/? — 26 ял; Г = 0,85 мм; й„-0,15 мм; а =-3’50';
п —Л.
Материал сильфона и пружины Бурдона —
бериллиевак бронза: I: = 1,3т- 10s k/'IC-U’; и = 0,3.
Решение, Ошибка измерения
с - !<»/„,
а крайнем положении; 3)объем, вытесняемый мем
браной при ее перемещении из нейтрального по
ложеииз а крайнее.
Материал мембраны — сталь; £— 2,\-VTкГ>ем'.
Решение. По графику фиг. 9 определили
по “ ТГ5 “ 5 величины — 4W И Д — 23;
• • *1, С Л
отсюда перепад заилений
,, _ _190-2-КГ <0,04И
' ft' (ЮР v' '
где р — даиление среды; pt — аавленне масла.
Так как жидкость несжимаема. то
LV сильф“^ ли Ь-
Изменение объема сильфона
41,гйзкФ “ ^аф.
Ход сильфона X под действием разности давле-
ний р — р, равен
Подставляя z а формулу <«>. получаем урин
ненне упругой поверхности мембраны при и1 =
•> 2 лиг:
Объем V определяем по формуле (б):
И-8,14.101.0,2
А
(1 И1) л
|дс жесткость силы|х>н* согласно формуле
определяется, как
По безразмерным параметрам *-/T-r3-‘-to
г 0,85
11 т “ 5" “ 15” ” ^-^664 находим коэффициенты
218
РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК
(фиг. 15) А, —3,5-10-4. Й.-П; А, «до.10“*
А, - 1250-10'—4; тогда
l10-4 (3>5 -0>0669 Ю +
+ 0,0609"-1250) + 17 — «Л20 «Лл*
Эффективная площадь
f>4> “ Т + ₽«)’“ Т<19 + - 304
гогда
кУси..ф-^-Р^ПГ-
•=<)»-₽.) 53ST ” *'25.10» (р - р,) [жл^,
стенная
если (р - р,) |дТ)лдГЧ.
Изменение объема пружины Бурдона подсчи-
тывается по формуле (10), так как пружина тонко
« ^-0,2<0,б).
г-1 _ « е
По отношению полуосей сечення — — — — 5
находим по табл. 7 л =0,1115; Р- 0,121, тогда
если р, («Г/лгл’].
Приравнивая W (ильф - W пр g. получим
1.25.10» (р-р,) = 44ООр„
отсюда давление масла
Р Р
Р' ” ' 4400 I + 0,00352 •
+ 1,25-10»
Ошибка измерения
Р
-(1-1+0'0^2) *“•'»« о.3®’*.-
ЛИТЕРАТУРА
I. В л а с о в В. 3., Общая теория оболочек,
Гостехиздат, 1949.
2. Пономарев С. А. и др.. Основы со
временных методов расчета на прочность в маши
построении, Маштиэ, 1950.
□.Канторович 3. Б., Основы расчета
химических машин и аппаратов, Машгиэ. 1946.
4. Тимошенко С. П., Пластинки и обо
дочки, Гостехиздат, 1948.
5. Феодосьев В. И., Упругие элементы
точного приборостроения, Оборонгиз, 1949.
в.Тимошевко С. П„ Устойчивость
упругих систем, Гостехиздат, 1946.
7. Ш т а е р м а и И. Я., .Известия Киевского
политехнического института', 1924.
8. Лурье А. И., Статика тонкостенных
упругих оГюлочек. Гостехиздат, 1947.
И ИСТОЧНИКИ
9. Новожилов В. В., Теория топких обо-
лочек, Судпромгиз, 1951.
10. П я и о в А. Ю., Упругий гистерезис и по-
следействие н учет их при исследовании упругих
элементов приборов, .Труды ВВИА'.вып. 218, 1945.
11. Андреева Л. Е., Расчет гофриро-
ванных мембран мк анизотропных пластинок, Ин-
женерный сборник Института механики АН СССР,
т. XXI, вып. Г. 1956.
12. А н д р е е в а Л. Е.. Расчет мембран, имею-
щих линейную характеристику по давлению, сб.
.Расчеты упругих элементов машин и приборов'
пол ряд. С. А. Пономарева, Машпи, 1952.
13. Roark, Formulas lor stress and strain.
1943.
и. Pie If er, A. . I lie Review ol sclentillq
Instruments', v. 18, M 19. sept. 1947.
ГЛАВА VII
РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ, НАХОДЯЩИХСЯ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКИ
ТОЛСТОСТЕННЫЙ ЦИЛИНДР
ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНУТРЕННЕГО
И НАРУЖНОГО ДАВЛЕНИЯ
На фиг. 1 изображено поперечное
сечение толстостенного полого цилиндра,
находящегося под действием внутрен-
него давления pt и наружного давления р»
Внутренний н наружный радиусы цилин-
дра обозначены соответственно и г*
Если давления равномерно распреде-
лены по длине, то в произвольной точке
сечения на расстоянии г от оси имеет
место напряженное состояние, компо-
ненты которого показаны на фнг. 2.
Главные нормальные напряжения а, и
с/ определяются по формулам Ляме
Напряжение в осевом направлении ог
зависит от величины продольной силы /V.
растягивающей или сжимающей цилиндр;
это напряжение постоянно по площади
поперечного сечения и равно
При наличии днищ осевая сила N воз-
никает за счет действия давлений на
торцевые поверхности; в этом случае
напряжение в осевом направлении опре-
деляется по формуле
Величина радиального перемещения
произвольной точки цилиндра по на-
правлению от центра может быть вычис-
лена по формуле
Р\Г\— Ptrj 1 — fl
w= (4-4) Е г+
(Р!-Рг>44 i+(1 ।
(4-4) ’ е 'г
рМг
“«•Й-4)’ |5)
где £ и р— модуль упругости и коэф-
фициент Пуассона материала цилиндра.
Если напряжения at, аг уже вычис-
лены. то для определения радиального
перемещения можно использовать более
простую формулу:
J <«»—Н’Д (6)
Все приведенные выше формулы со-
храняют свою силу также и в том слу-
чае, когда давления р1 и р? распреде-
лены по длине цилиндра по линейному
закону или слабо изменяются по произ-
вольному закону.
В случае действия одного только
внутреннего давления р\-= р (при про-
извольном осевом напряжении) формулы
для напряжений и радиального переме-
щения упрощаются и принимают вид
prf I 4 \
prf i 4 \
(8)
РГ1
х[<1-«г+<1 + |,)11 -Су.. (9)
220 РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ
Эпюры распределения напряжений п,
и а, по поперечному сечению при дей-
Фиг. I.
ствии внутреннего
давления предста-
влены на фнг. 3.
Фиг. 2.
нне ру — р,(рг = О), то условие возникно-
вения пластических деформаций запи-
сывается следующим образом:
(И)
При наличии дополнительной продоль-
ной силы А — ркгу. возникающей при
наличии днищ, формула (11) принимает
вид
КТ Го ' ...
—J—= (11а)
Наиболее напряженные точки полого
цилиндра при любых значениях давле-
ний ру и р* распо-
Фиг. X
В соответствии с энергетической тео-
рией прочности, условие наступления
пластических деформаций в этих точках
имеет следующий вил:
7l(°r—»г)г+ (»т—»i)* I+ (»»—3J2I —’п
где е, — Р\ — радиальное напряжение
во внутренних точках,
at ~----1---я---я---------окружное
ri~'l
напряжение в тех же точках; о.—
N
“ —7“5---------осевое напряжение;
ж(г2-'1)
ау— предел текучести материала.
Если на трубу, не имеющую днищ,
действует только одно внутреннее давле-
Формула (11) показывает, что при
сколь угодно большой толщине стенки,
т. е. при неш раииченно большом ра-
диусе гъ пластические деформации
будут иметь место, если р >
В трубопроводах с конечной толщи-
ной стенки возникновение пластической
деформации начнется при давлении за-
ведомо меньшем, чем -р^-. Следова-
тельно. при высоком внутреннем давле-
нии, превышающем указанную величину,
в трубопроводах всегда будут возникать
пластические деформации.
Такие трубопроводы надлежит рас-
считывать по предельной нагрузке
(см. стр. 279—280).
РАСЧЕТ
ПРЕССОВЫХ ПОСАДОК
ПРИ ОДИНАКОВОЙ ДЛИНЕ
СОПРЯГАЕМЫХ ДЕТАЛЕЙ [4| *
(10)
При соединении цилиндрических
деталей посредством горячен или
прессовой посадки на поверхности
прилегания возникает контакт-
ное давление рк, величина которого
зависит от натяга ft. Натягом на-
зывается разность диаметров поса-
дочной поверхности для охватывающей
и охватываемой деталей. Если длина
сопрягаемых деталей одинакова, то кон-
тактное давление распределяется равно-
I
* Впервые эта задача была решена А. В. Гадо
линии а 1861 г.
ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ЦИЛИНДРАХ
221
в эти случае Величина крутящего момента, при
котором начинается взаимное про вора -
----------------------------- чивание деталей, опреде-
ляется по формуле
Р* =
мерно; величина
равна
+ P2
(12)
2
Здесь dK — диаметр посадочной по-
. rfi . dK .
верхности; k, — -тЧ k2 — ------коэф-
“Ж “2
фнниенты толстостенности для внутрен-
него и наружного цилиндров (фиг. 4);
£'i и Ег— модули упругости; щ и pj —
коэффициенты Пуассона для внутрен-
него и наружного цилиндров.
При одинаковом материале сопрягае-
мых цилиндров-
1 + л; I 4- *5
1 - Л/ + 1-*£
Если же внутренняя деталь предста-
вляет собой сплошной цилиндр {Й| — 0).
то
ЕЪ (I - *5)
2Z
(126)
Приведенные формулы справедливы
только в пределах упругих деформаций.
Следует иметь в ви-
ду, что величина на-
тяга, определенная
по замерам деталей
до запрессовки, всег-
да несколько больше,
чем величина действи-
тельного натяга. Это
объясняется тем, что
на поверхности дета-
лей после обработки
остаются неровности
(гребешки), которые
обминаются при запрессовке. При шли-
фованных деталях разница между дей-
ствительным и измеренным натягом
составляет приблизительно 10—20 мк.
Усилие запрессовки можно найти по
формуле
Р “ Р
где /—длина поверхности запрессовки;
/’—коэффициент трения.
Прн большом натяге предел
пропорциональности в одной из сопря-
гаемых деталей или в обеих деталях
может быть превзойден, тогда величина
контактного давления будет меньше,
чем подсчитанная по формуле (12).
В этом случае расчет соединения может
быть произведен методами теории пла-
стичности (см гл. IX).
ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
В ТОЛСТОСТЕННЫХ
ЦИЛИНДРАХ (5)
Введем обозначение
тогда формулы (1) и (2) для напряжений
а, и at можно записать в следующем
виде:
а,= В — Аг; (И)
а, = В -f- Ах, (15)
где А и В—постоянные величины:
(Pi-Pi)^^
Pin-Ptr]
•
Формулы (14) и (15) представляют
собой уравнения прямых, отличающихся
друг от друга только знаком углового
коэффициента. Если взять системы ко-
ординат ха, и ха, н расположить их
таким образом, чтобы начало коорди-
нат и оси ординат были совмещены, а
оси абсцисс направлены в противопо-
ложные стороны, го прямые (14) н (15),
построенные на этих осях координат,
будут продолжением одна другой.
Поскольку область отрицательных
значений переменной х не имеет физи-
ческого смысла, то участок прямой,
222 РАСЧЕТ ОСЕСИММЕ1РИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ
расположенный левее начала координат,
будет относиться только к напряжению
а участок, расположенный правее —
к напряжению at.
Допустим, что нам заданы значения
давлений р\ и р3 и радиусов и rj
и требуется определить величину напря-
жений. Для этого отложим вправо и
влево от начала координат отрезки
(Zq = -X- и Охг — -X- (фиг. 5). В силу
rf г',
граничных условий радиальные напря-
жения для внутренних и наружных точек
соответственно равны давлениям:
ал, = —р} и art — —р»
Отложив от точек jrj и xj в коорди-
натной системе ха, по вертикали эти
давления и соединив полученные точки
прямой линией, получим эпюру напря-
жения а,. Для получения эпюры напря-
жения <st достаточно продолжить полу-
ченную прямую в область, расположен-
ную правее начала координат. Следует
заметить, что построенные эпюры на-
пряжений а, и а/ определяют изменения
этих напряжений по переменной х, а не
по радиусу, поэтому точки графика,
расположенные ближе к началу коорди-
нат, соответствуют наружным точкам
цилиндра, а точки, удаленные от начала
координат, — внутренним точкам ци-
линдра.
Для выяснения характера изменения
напряжений а, и at по радиусу целесо-
образно построить дополнительно зави-
симость -^-=х, как это сделано на
фиг. 5. Это облегчит использование
графически полученного решения.
В качестве второго примера на фнг. В
приведено построение эпюр напряже-
ний е, и а, для двух цилиндров, соеди-
ненных посредством натяга. В левой
отложено контактное давление рк и по-
лученная точка соединена с точками
и хч (р\ — 0. ₽2 = 0). Величина контакт-
ного давления может быть вначале взята
произвольной, а затем установлена в
соответствии с требованиями задачи.
Полученные наклонные прямые в левой
части графика дают значения напряже-
ний а их продолжение в правую
часть графика определяет напряжения а,
(в долях ря). После того как напряже-
ния а, и а, получены, можно подсчитать
радиальное перемещение произвольной
точки по формуле (6).
Величина натяга 6. необходимого для
получения нужного контактного давле-
ния р„, вычисляется по формуле (12).
Примеры графического решения более
сложных задач см. [5].
Следует заметить, что изложенное
выше графическое решение справедливо
только в пределах упругих деформаций.
При использовании как графического
решения, так и всех приведенных выше
формул необходимо все величины брать
с учетом их знаков, считая растягиваю-
щее напряжение положительным, а сжи-
мающее—отрицательным. Радиальное
перемещение следует считать положи-
тельным в том случае, когда оно на-
правлено от центра.
СКРЕПЛЕННЫЕ
И АВТОСКРЕПЛЕННЫЕ
ЦИЛИНДРЫ (4]. (8]
Если на толстостенный цилиндр дей-
ствует только одно внутреннее давле-
ние pi, то напряжения а, и at распреде-
СКРЕПЛЕННЫЕ и автоскрепленные цилинлры
223
лены по сечению так. как показано на
фиг. 7, а [см. также формулы (7) и (8)|,
Внутренние точки цилиндра напряжены
значительно сильнее, чем наружные.
Для того чтобы распределение напря-
жений сделать более равномерным и
таким образом заставить более активно
работать наружные слон цилиндра, при-
меняют так называемые скрепленные ци-
линдры, составленные из двух или более
Если принять гипотезу прочности наи-
больших касательных напряжений, то
для оптимального давления напрессовки
получается следующая формула:
Рк
1 — ^2
где А) = — и — — —коэффициенты
гк г г
Фнг. 7.
труб, надетых друг на друга с некоторым
натягом 1. Окружные напряжения, возни-
кающие за счет натяга во внутренней
трубе, являются сжимающими, а в на-
ружной трубе - растягивающими. Эпюры
распределения напряжений, возникаю-
щих после посадки, представлены на
фнг. 7, б. Величина этих напряжений
определяется формулами Ляме в зави-
симости от контактного давления, кото-
рое связано с натягом формулой (12).
Если скрепленный цилиндр подверг-
нуть действию внутреннего давления,
то напряжения за счет последнего нало-
жатся на напряжения за счет напрес-
совки. В результате окружные напряже-
ния во внутренних точках цилиндра
будут меньше, чем при действии одного
только внутреннего давления, в наруж-
ных же точках окружные напряжения,
наоборот, увеличатся. Эпюра распреде-
ления суммарных напряжений предста-
влена на фиг. 7, а. Оптимальное давление
напрессовки и соответствующая ему
величина натяга могут быть’определены
из условия равнопрочности внутренних
точек для внутренней и наружной трубы.
толстостснности для внутренней и на-
ружной трубы; р — внутреннее рабочее
давление.
Величина эквивалентного напряжения
в опасной точке внутренней или наруж-
ной трубы при этом будет равна
2
(,7>
Заметим, что наибольший эффект за
счет скрепления достигается в том слу-
чае, если радиус контактной поверхно-
сти выбран равным
(18>
При этом условии имеем:
коэффициенты толстостенностн вну-
тренней и наружной трубы
Aj-A2- /й (jk-yL); (19)
оптимальная величина контактного
давления
Рк 2(1+А)’
(20)
224 РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ
натяг, соответствующий этому да-
влению,
j = 4 0^(1 + *) _ Ъ>гк . (
£(1-А) Е ' ' '
эквивалентное напряжение в опасной
точке
’**• “ ~\—к *
Сравнивая величину внутреннего да-
вления, соответствующего началу пла-
стических деформаций для целого и
составного цилиндров, можно установить,
что за счет скрепления это давление
2
возрастает в отношении — . Метод
I -f- й
скрепления цилиндров является, однако,
не единственным методом повышения
несущей способности в пределах упру-
Ра'счет автоскрепленных ци-
линдров см. |8), а также стр. 288.
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В ТОЛСТОСТЕННОМ ЦИЛИНДРЕ [4]
При стационарном тепловом режиме,
когда температуры внутренней и наруж-
ной поверхности цилиндра постоянны
по длине и соответственно равны
и (2, температура в произвольной точке
на расстояний г от оси определяется
по формуле
/г1пу -Hiln
Напряжения в той же точке, возни-
кающие вследствие неравномерного на-
грева цилиндра, могут быть вычислены
по формулам
’/
«£(/,- (,)
а. — ------------
2(1 1П 77
(24)
а£(/1-6)
2(1-Р) (4 — ri) |п 77
ра»п-т- + т?1п 77-(<2-<1) + -Д1|п
(25)
«£ - tj)
2(1 — и) (''a-ri) |п —
[2r^ In -^ + 2rf In - (г] - г-) j ,
(26)
гнх деформаций. Такне же примерно
результаты достигаются, если цельный
толстостенный цилиндр подвергнуть
нагрузке высоким внутренним давлением
так, чтобы внутренние слои цилиндра
получили некоторую пластическую де-
формацию. После разгрузки в цилиндре
возникают остаточные напряжения, рас-
пределенные примерно так же, как и
напряжения, возникающие в составном
цилиндре в результате натяга. Остаточ-
ные напряжения у внутренней поверх-
ности цилиндра имеют знак, обратный
знаку напряжений, возникающих при
действии рабочего давления, поэтому
суммарное напряжение прн действии
рабочего давления снижается, а несущая
способность цилиндра в пределах упру-
гих деформаций увеличивается. Этот
метод увеличения прочности цилиндров
называется автоскреплсннсм.
где а—коэффициент Линейного расши-
рения; £ — модуль упругости; р — коэф-
фициент Пуассона для материала ци-
линдра.
Приведенные формулы справедливы
при условии, что рассматриваемое сече-
ние удалено от концов цилиндра на
расстояние большее, чем 1,5г2. Вблизи
концов цилиндра распределение напря-
жений не подчиняется формулам (24)—
(26) и зависит от условий на торцах.
В случае свободных торцов фактиче-
ские напряжения, как правило, меньше
вычисленных по формулам, при наличии
же днищ напряжения могут быть очень
большими и требуют специального иссле-
дования.
При значительном нагреве в форму-
лах (24) —(26) следует использовать
упругие постоянные материала, соответ-
ствующие действительной температуре
ТОЛСТОСТЕННЫЕ ЦИЛИНДРЫ
225
(средней). При очень больших перепа-
дах температуры (f2—tx) формулы (24)—
(26) неприменимы.
Расчет цилиндров с учетом изменения
механических свойств материала при
нагревании см. |6].
ТОЛСТОСТЕННЫЕ ЦИЛИНДРЫ
ПРИ ДЕЙСТВИИ ПЕРЕМЕННОЙ
ПО ДЛИНЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ
НАГРУЗКИ
При действии давлений, линейно из-
меняющихся по длине, напряжения и
перемещения вычисляются по формулам
Ляме (стр. 219). При более сложном
законе изменения давления, а также при
наличии разрывов или сосредоточен-
ных кольцевых сил формулы Ляме не-
применимы. В этом случае точное реше-
ние задачи о деформациях цилиндров
связано со значительными трудностями
и в большинстве случаев может быть
выполнено лишь численными методами.
Нагружение длинного цилиндра рав-
номерным давлением, приложенным на
небольшом участке боковой поверхности,
см. [9|.
Точное решение для некоторых других
случаев нагружения цилиндров см. [7|.
подобная по своему характеру гипотезе
плоских сечений, применяемой при рас-
чете бруса.
Введем безразмерные координаты
. z г
С — — и р — — и примем обозначе-
на Hj
ння: Е и р — модуль упругости и коэф-
фициент Пуассона материала цилиндра;
Hi, Гц и г — внутренний, наружный и
текущий радиусы ци-
линдра; к — ——
гг
коэффициент толсто-
стениости цилиндра.
Если давление, дей-
ствующее на вну-
треннюю или наруж-
ную поверхность ци-
линдра, распределено
по линейному или па-
раболическому зако-
11111111111
Фиг. 8.
ну и имеет в некото-
ром сечении разрыв (фиг. 8, а) или из-
лом (фиг. 8, б) или если к цилиндру
приложены сосредоточенные кольцевые
нагрузки, то напряжения в произволь-
ной точке и радиальное перемещение
этой точки вычисляются по форму-
лам
_ £(1—I*) г / !_+*» _
г Г,() +|х)(1-2р) I Ц 4 2 )
- В'
(•пр
к- In к
I -А»
(27)
Применение точного решения при рас-
смотрении практической инженерной
задачи см. [3].
Ввиду неизбежности громоздких вы-
числений при точном решении задачи,
заслуживают внимания более простые
приближенные решения, основанные на
введении некоторых допущений.
Такие решения, позволяющие полу-
чить результат с удовлетворительной
точностью, даны в [1| и |2].
Ниже приведены расчетные формулы
наиболее простого приближенного реше-
ния [2|. в котором условие совместности
деформации удовлетворяется точно, a
условие равновесия элемента объема —
приближенно. Последнее заменено усло-
вием минимума потенциальной энергии.
Кроме того, в этом решении принята
гипотеза отсутствия деформаций сдвига.
_e_.il.
1+н Р*Г
w = Ар 4- В —,
Р
(28)
(29)
где А и В — функции от С; Л' и В" —
их вторые производные.
Функции А и В определяются выра-
жениями
/I — е л (Ci sin аС + Cj cos «С) 4-
4- е*’ (С8 s)n «С 4- Ci cos e[) +
+ (C8 sin PC 4- C8 cos p<) +
4- e0' (CT sin pC + Ce cos pQ +
+ £(1 — A’) 1
(30)
’»-Г^в« +
В = —m k-4* (С, sin «С + Ct cos »C) 4- e* (C, sin «С 4- C< cos <)] 4- (31)
4-я k"* (C, sin pC4-Ce cos p<)+e« (C7 sin g-t-C, cos pC)l 4- 1'***
15 Tom 3
226 РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ
Величины a, (1, т и л в формулах (30)
и (31) зависят от коэффициента толсто-
стенное™ k и от коэффициента Пуас-
сона р. Значения их при р = 0,3 даны
на графиках фиг. 9 и 10. Постоянные
интегрирования Ct -г- Cg определяются
в каждом частном случае из условий
на торцах.
Если торец является свободным, то
напряжения о и т на нем равны нулю.
В этом случае прн значении t — Сд,
соответствующем этому торцу, 0;
В* , = 0; А~. = 0; Вс"_. = 0. Для за-
„ dw п
деланного торца w = 0 и — = 0; соот-
ветственно А — 0; В — 0; А' — 0; В' — 0.
Рассмотрим граничные условия для
бесконечно длинного
цилиндра, находя-
щегося под дей-
ствием постоянно-
го давления, кото-
рое изменяется в
некотором сечении
с положительного
на отрицательное
(фнг. 11). Начало
Фиг. и.
координат совместим с сечением, соот-
ветствующим скачку давления.
В силу обратной симметрии нагрузки
при С — 0 имеем w — 0; аг — 0. Следо-
вательно, прн С — 0 А^ — 0; Вс=0 0;
Лс_о — 0; В,_о — 0. Прн удалении от
начала координат напряжения и переме-
щения не могут неограниченно возра-
стать, иа этом основании постоянные
Су. С* Cq. С8 равны нулю.
Определив из приведенных выше усло-
вий оставшиеся постоянные Ct, Сг, Cg.
С’и можно по формулам (27) —(29) под-
считать напряжения зг, af и перемеще-
ние w. Радиальные напряжения ог во
внутренних или наружных точках ци-
линдра равны соответственно внутрен-
нему и наружному давлениям, поэтому
формулы для них не приводятся.
Имея решение задачи, представленной
на фиг. II, можно легко получить ре-
шение ряда других практически важных
задач. Так. например, если на некотором
участке длиной а действует постоянное
давление р, а на остальной части ци-
линдра давление отсутствует (фиг. 12).
то решение можно представить в виде
суммы решений двух задач, как пока-
зано на фиг. 13.
При действии на цилиндр сосредото-
ченной кольцевой нагрузки последнюю
можно рассматривать ‘ как нагрузку,
равномерно распределенную на участке
бесконечно малой длины.
Указанные приемы получения реше-
равномерно распре-
Фиг. 13.
ния для нагрузки.
sssssmwssss
Фнг. 12.
деленной на участке, или для сосредо-
точенной кольцевой нагрузки применимы
и могут быть использованы независимо
от того, каким методом, точным илн
приближенным, была решена исходная
задача, представленная на фиг. 11. Сле-
дует заметить, что приближенное реше-
ние, изложенное в [1]. дает несколько за-
ниженные значения напряжений, тогда как
решение, приведенное выше (формулы
(28)— (31), (2|), приводит к завышенным
напряжениям. Определив напряжения
тем и другим приближенными методами,
можно установить те пределы, в кото-
рых заключено действительное значение
напряжений.
При малой толщине стенки цилиндра
расчет при действии переменной по
длине осесимметричной нагрузки следует
производить, пользуясь теорией осесим-
метричной деформации тонкостенной
цилиндрической оболочки (см. |4]).
Если принять 5я/0-ную погрешность
практически допустимой, то теорией
тонкостенной цилиндрической оболочки
можно пользоваться прн k — 0.9с
толстостенный шар подвергнутый действию давлении
227
РАСЧЕТ ПРЕССОВЫХ ПОСАДОК
ПРИ РАЗЛИЧНОЙ ДЛИНЕ
СОПРЯГАЕМЫХ ДЕТАЛЕЙ (4)
При различной длине сопрягаемых
деталей контактное давление распреде-
ляется по посадочной поверхности не-
.________{ . равномерно. Вы-
—i--г ступающие концы
____L более длинной де-
>-—Y тали затрудняют
। 7Ц-—I ее деформации, по-
фиг н. этому контактное
давление вблизи
концов посадочной поверхности значи-
тельно возрастает. Решение задачи о рас-
пределении контактного давления по
длине посадочной поверхности нс полу-
чено. Приближенное значение среднего
контактного давления можно найти, если
ности внутреннего и наружного цилин-
дров.
Формула (32) отличается от приве-
денной "выше формулы (12) наличием в
знаменателе коэффициента х, учитываю-
щего влияние выступающих концов вну-
тренней детали (вала). Этот коэффициент
зависит от отношения длины посадочной
поверхности I к ее диаметру dK. Число-
вые значения коэффициента х при раз-
личной толстостенное™ внутренней де-
тали
Влияние выступающих концов длинной
детали становится особенно существен-
ным и должно учитываться прн малой
длине
_1_
-'J—') даны на графике фиг. 1&
посадочной поверхности 1^при
принять, что давление равномерно рас-
пределено по длине поверхности сопря-
жения. Прн этом величину среднего
арифметического радиального смещения
точек контактной поверхности длинной
детали следует определять с помощью
методов, указанных на стр. 225.
Для случая посадки короткой втулки
на длинный полый вал (фиг. 14) среднее
посадочное давление равно
а
где й| и — коэффициенты толстосген-
ТОЛСТОСТЕННЫЙ шар,
ПОДВЕРГНУТЫЙ ДЕЙСТВИЮ
ДАВЛЕНИЙ
В толстостенном шаре с постоянной
толщиной стенки, нагруженном равно-
мерно распределенными давлениями р,,
и рь (фиг. 16). плоскости осевых сечений
являются главными плоскостями (фиг. 17)
Напряжения в произвольной точке с ко-
ординатой г определяются формулами
Pifl' — Pbb* . (Ра-Рь'аЗЬ
аз — ДО я» — Ь*
РддЗ — pbbi (ра — рь) дЗЬЗ
~~ д» _ ьз аз — Ьз
_1_.
ГЗ •
1
15*
228 РАСЧЕТ ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ
Радиальное перемещение в той же
•/очке
™ 1 ~2(Х г
w Е ’ в»_ де
Условие прочности
мальных касательных
* Зе3
£(дЗ — ДЗ) 1 ^Р» ~Ра)\ £ °г-
по теории макси-
напряжений будет
Наиболее опасными являются точки,
расположенные у внутренней поверх-
ности шара.
Температурные напряжения в шаре
Прн установившемся температурном
режиме напряжения в произвольной
точке с координатой г определяются по
формулам
аЕ ab
а'~ 1 _ |1 Vo а» - д’ Х
Га« + ab + Д3 а’д*|.
аЕ . ab
°' — _ jx ‘bl д3 _ bi X
температура в той же точке
ata(r_ — Ь) 4- btb (а — г)
г (а — Ь}
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
1. Б и д е р м а и В. Л., Расчет цилиндров сред
ней тыщины на симметричную относительно осн
нагрузку, изменяющуюся по длине. .Труды
II научно-технической конференции МВТУ", изд.
МВТЗС 1946 (см. также [4L глава XV, § 4).
2. Бояршинов С. В., Расчет толстостенные
полых цилиндров, находящихся пол действием
произвольной осесимметричной нагрузки, сб. .Рас
четы на прочность, жесткость и ползучесть зле-
ментов машиностроительных конструкций", под
ред. С. Д. Поиомарспп, Машгиз, 11163.
3. Гераберг Е. Я., С т р е л я н о в а А. П.,
Применение решения задачи о напряженном со-
стоянии толстостенного цилиндра к определению
напряжений в ступице турбинного диска, сб.
.Прочность мементов паровых турбин", Машпи,
4. П о и о м а р е в С. Д., Б и л е р м а и В. Л..
Л и х а р е и К. К., М а к у ш и и В. М.. Мал и-
нин Н. Н„ Феодосьев В. И., Основы со
временных методов расчета на прочность а маши-
ностроении (расчеты при статической нагрузке),
Млшгиз, 1950.
5. П о н о м а р е а С. Д., Расчет толстостен-
ных труб на прочность графическим способом,
.Инженерный сборник", т. IX. АН СССР, 1951.
6. Поном» ре» С. Д.. Расчет цилиндров с
учетом изменения механических свойств материала
три нагревании, .Вестник инженеров и техников*
>1 I. 19,2.
7. П р о к о п о а В. К., Рышовесне упругого
осесимметрично иагружейного толстостенного ци-
линдра, .Прикладная математика и механика",
Т. XIII, вып. 2. 1949.
Н. С м и р н о в-А л я в в Г. А., Теория авто-
скрепления цилиндров, Оборонгиз, 1940.
9. Ill а и и р о Г. С., О сжатии бесконечного
полого кругового цилиндра давлением, приложен-
ным на участке боковой поверхности, .Прикладная
математика и механика", т. VII, № 6, 1X3.
ГЛЛВЛ VIII
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Рассматриваются напряжения и де-
формации, возникающие в элементах
конструкций в связи с их движением
при наличии ускорений.
Чтобы определить внутренние силы
взаимодействия частиц неравномерно
движущегося тела, необходимо к каждой
частичке тела приложить дополнитель-
ную силу инерции, равную произведе-
нию массы частички на ее ускорение,
взятое с обратным знаком. Рассматрнгая
тело находящимся в равновесии под
действием приложенных к телу внешних
сил и сил инерции, можно определить
напряженное состояние в любой точке
неравномерно движущегося тела обыч-
ными методами сопротивления материа-
лов или теории упругости.
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ СТЕРЖНЕЙ
Поступательное движение стержня
переменного поперечного сечения
Стержень переменного поперечного
сечения находится в вертикальном по-
ложении и движется вверх под действием
постоянной по времени
силы Р, приложенной к
верхнему торцу. К ниж-
нему торцу стержня
прикреплен груз Q
(фиг. 1). Собственный
вес стержня учитывает-
ся. Ускорение а стержня
определяется из уравне-
ния
Фиг, I.
где у — вес единицы объема материала
стержня; F—площадь поперечного се-
чения на расстоянии z от нижнего торца;
/ — длина стержня; g — ускорение от
силы тяжести.
Нормальное напряжение в поперечном
сечении на расстоянии z от нижнего
торца
Для стержня постоянного поперечного
сечения наибольшее напряжение имеет
место в верхнем сечении:
Вращающиеся стержневые системы
Расчет ведется на инерционную на-
грузку, направленную в сторону, про-
тивоположную ускорению, интенсив-
ностью
g *
где м — угловая скорость вращения;
г — расстояние от оси вращения.
О
Сосредоточенные массы — дают усн-
Q^r
ЛИЯ —----,
g
Примеры
I. Стержень переменною поперечною сече-
ния, несущий на одном конце груз Q, прощается
с постоянной угловой скоростью относительно
оси, перпендикулярной стержню (фиг. 2).
Нормальное напряжение н поперечном сечепни
плошааыо Л' на расстоянии а от оси вращения
размеры г, (, R показаны на фиг. 2.
Лае стержня постоянного поперечного сечеяия
наибольшее напряжение при t в г
’шаа--^ [<?« + !« + 4)] ♦
230
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
2. Ьрус постоянного поперечного сечения
площадью F, шарнирно закрепленный в точках
А и В, вращается с постоянной угловой ско-
ростью «ь относительно оси. параллельной оси
Фиг. 2.
бруса (фиг. 3). И|пеиси1июсть инерпиотшой на-
грузки постоянна. Эпюра изгибающих моментов
представлена на фиг. 3. Максимальный изгибаю
щнй момент
и yai'FRt'
‘"max'’ 8£ ’
размеры /? и I показаны на фиг. 3.
Наибольшее нормальное напряжение в опасном
сечении в середине бруса
_ л1шах,
“щах— ЦТ *
здесь н в дальнейшем W' — осевой момент сопро-
тивления сечення.
Наибольшим нзгибанминй момент для бруса СО
в сечении С
Тю’Лй’ sin 2«
л’шах — fig
Наибольшая нормальная (растягивающая) сила
для бруса CD в сечении С
tuPFflF sin’ а
"«>« --------5г------
Наибольшее нормальное напряжение в сечении
С бруса CD
V А<
_ шах । шах
’max ~ F, ' W ‘
где W — осевой момент сопротивления поперев
ного сечення бруса CD.
Наибольший изгибающий момент для бруса АВ
в сечении С
7<b’F,P’ sin 2« , уш’Лоб* sin «
л'шах “ 12г + 8£
Наибольшее нормальное напряжение на правой
стороне сечения С бруса АВ
•Ц|пак
max= UZ ’
где IF — осевой момент сопротивления попереч-
ного сечеиня бруса АВ.
Изгибающий момент на левой стороне сече-
ния С бруса АВ
Тш’Лб* sin 2а 7ft>’F,aP’ sin «
м--------ixF •
1. Тонкое кольцо радиуса R (фиь 5) вра-
щается с постоянной угловой скоростью о>
в своей плоскости относительно оси, прохо-
дящей через центр кольца.
При вращении кольца в поперечном сечеиии
возникает нормальная растягивающая сила
N W'FR1
К
Напряжение в поперечном сечении
Расчет стержней АС и BD см. пример 1.
3. Два жестко скрепленных под углом «
бруса CD и АВ вращаются с постоянной угло-
вой скоростью ® относительно оси бруса АВ
(фиг. 4). Плошали поперечных сечений брусьев
Фиг. 4.
CD и АВ соответственно и F,. Эпюры изгн
бающих моментов и нормальных сил представлены
иа фиг. 4.
N io’
F “ К “ К '
3. Тонкое кольцо радиуса R вращается е
постоянной угловой скоростью ш вокруг оси.
совпадающей с диаметром (фиг. б).
Наибольшая растягивающая сила и наибольший
изгибающий момент имеют место в сечениях А и в:
"шах ” к ' шах
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ СТЕРЖНЕЙ
231
1 Наибольшее нормальное напряжение и сечениях
_ 4 |!|ах . max
max р w
Напряжения в спарнике
Все точки спарника (фиг. 7) описы-
вают окружности радиуса г
Наиболее опасным положением спар-
ника является такое, при котором спар-
ник перпендикулярен кривошипу (а =•
= ±90-'). Для этого положения макси-
Фиг. 7.
мальный изгибающий момент в среднем
сечении спарника
t^FrF
m11-----.
где ш — угловая скорость сращения кри-
вошипа; F — площадь поперечного сече-
ния спарника.
Наибольшее нормальное напряжение,
возникающее в результате изгиба спар-
ника при движении.
„ _ М|ПЛХ
max = •
Напряжения в шатуне
Приближенный метод расчета напря-
жений от изгиба в шатунах основан на
предположении, что в опасном положе-
нии, когда кривошип перпендикулярен
шатуну, ускорения пропорциональны
расстоянию z от точки В 114] (см. фиг. 8)
Инерционная нагрузка вычисляется
в предположении, что масса шатуна рав-
номерно распределена по длине его осн.
Интенсивность нагрузки
где
А"'2
<»—угловая скорость вращения криво-
шипа; V— объем шатуна.
Эпюра интенсивности распределенной
нагрузки имеет вид треугольника (см.
фиг.’8). Наибольший изгибающий момент
имеет место в сечении на расстоянии
0,ЬП1 от точки В;
Л1тах = 0,061 TOZXL1.
Наибольшее нормальное напряжение,
возникшее в результате изгиба шатуна
при движении,
Мщах
Зтах = де- •
Уточненный метод расчета шатуна
см. |12].
Напряжения в маховике
Определяются напряжения, возникаю-
щие в ободе и спицах маховика при
его вращении с постоянной угловой
скоростью <п. Предполагается, что обод
маховика представляет собой кривой
брус малой кривизны, деформации сту-
пицы в расчет не принимаются (15], [12]
(фиг. 9).
Обозначения: R — средний ра-
диус обода; r2 « R — внутренний радиус
обода; Г1 — наружный радиус ступицы;
F — площадь поперечного сечения обо-
да; j —момент инерции поперечного
сечения обода; F^ — Г| (Г) — переменная
площадь поперечного сечення спицы;
2а—угол между осями двух соседних
спиц.
Нормальная растягивающая сила в по-
перечном сечении спицы у обода
232
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
где
r
Sr = I Firdr,
Г
f , 1 / sin 2i а \
/1(я)“?ж1—4— + т)’
/й(«)=/1(“) — -J7-
Значения функций fx (а) и /2 (я) для
различного числа спиц л — при-
ведены в табл. 1.
Таблица 1
Значения функций /, (а) и /, (я) для различного
числа спиц п I * » — I
п /,(«> /»(«) п /. («> /«<«>
2 0,393 0,0744 10 1,592 0,000351
3 0,493 0,01593 12 1,910 0,000202
4 0.643 0.0ОД.ТС 16 2.5S 0.0«Х»5
5 0.798 0,00297 20 3,18 0.0000434
6 0.957 0,00168 24 3.82 0,000025
8 1,274 0,000694
Для обода со спицами постоянного
поперечного сечения F\ или приближен-
но для обода со спицами переменного
сечения со средней площадью Ft
1
R-r, •
RF,
Нормальная растягивающая сила в по-
перечном сечении спицы на радиусе г
R
Nr — Nr + — f Fxrdr.
Для спицы постоянного сечения
Fi — const
Nr - Nr + (Rt - г*).
N, — максимальна при г — г\.
Нормальная растягивающая сила и
изгибающий момент в поперечном сече-
нии обода под углом у к биссектрисе
угла между спицами
«-VC
COS If I
sin a a
Наибольшая нормальная сила имеет
Место при f = а, а наибольший изги-
бающий момент при — 0.
Наибольшее нормальное напряжение
в поперечном сечении обода
У Af
’max “ f + ру •
Вращающийся слабоизогнутый
стержень
Обозначения (фнг. 10 и 11):
Ro — расстояние от оси вращения до
заделанного сечения; /?у расстояние
от оси вращения до свободного сечения;
Rep = —— расстояние от оси вра-
щения до среднего сечения; I = Rx —
—Ro — длина стержня; F и J—площадь
и момент инерции относительно ней-
тральной оси сечения на расстоянии г
от оси вращения; Fn и Fx— площади
поперечных сечений на расстояниях Ra
и Rx от оси вращения соответственно;
Е—модуль упругости материала стерж-
ня; и1р = u>Rcp — линейная скорость
F,
Фнг. 11.
на радиусе RCf>; q — интенсивность рас-
пределенной нагрузки, перпендикулярной
к оси стержня, в кГ/см.
Определение изгибающих моментом
произведено с учетом деформации
стержня.
Изгиб стержня в плоскости враще-
ния. Консольный слабоизогнутый стер-
жень (фиг. 10) переменного поперечного
сечения, нагруженный распределенными
силами, которые остаются нормальными
к оси стержня и после его искривления,
вращается с постоянной угловой ско-
ростью <» относительно оси, проходящей
через точку О перпендикулярно пло-
скости yt.
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ СТЕРЖНЕЙ
233
Нормальная сила в поперечном сече-
нии на расстоянии z от оси вращения
Я,
Наибольшая нормальная сила возни-
кает в заделанном сечении:
Я,
Prdz.
R.
Нормальные напряжения в заделанном
сечении, возникающие в результате рас-
тяжения стержня, определяются по фор-
Таблица 2
X а
Изменение площади по линейному закону Изменение площа- ди по показатель- ному закону
к 1 8 о £ 4* I 6-0.25 S i
3.5 0,589 0,726 0,863 0,410 0,506 0,698
4.0 0,594 о,п* 0,865 0,415 0,511 0,701
4.5 0,597 0,731 0,866 0,418 0,514 0,703
5,0 0.600 0,737 0.667 0,421 0,517 0,705
муле
7“со
а = 2а——
gx
где
1______
Изгибающий момент в сечении на рас-
стоянии z от оси вращения, найденный
без учета деформации стержня [8],
Для стержня постоянного поперечного
сечения « — 1.
Для стержня, площадь которого ме-
няется по линейному закону,
^-F0 + (Fi-F0)^5^;
где z и у — координаты оси стержня
в недеформированном его состоянии.
Изгибающий момент в сечении на
расстоянии z от оси вращения, найден-
ный с учетом деформации стержня [8],
где
М - эМ (1)
a-Lp-^l-H
где
Л.
1-----!-_« I f.vd.
J
есть коэффициент разгрузки.
В формуле (2)
Для стержня, площадь которого ме-
няется по показательному закону,
*-R,
R, Р,
+ qdt — j* Qidz < °
Рч Ri
а---Д—Г1-Ьу-х(1-у>| 2(J у)1.
Х>п f L !n J
изгибающий момент в заделанном сече-
нии, найденный без учета деформации
стержня;
Величины коэффициентов а для раз-
личных значений <р и / приведены
в табл. 2 [17].
234
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
прогиб в сечении на расстоянии z от
оси вращения, подсчитанный на основе
принципа сохранения начальных раз-
меров.
Для прямого стержня постоянного
поперечного сечення, нагруженного
равномерно распределенной силой,
д (4)
где
в = <6>
гибкость стержня.
Формулы (2) и (5) справедливы при
условии, что * > 0,7.
Наибольшее нормальное напряжение,
вызванное изгибом стержня, опреде-
ляется по формуле
где IF — осевой момент сопротивления
сечения.
Наибольшее нормальное напряжение
в поперечном сечении стержня полу-
чается сложением напряжений, вызван-
ных растяжением и изгибом.
Изгиб стержня из плоскости вра-
щения. Консольный слабоизогнутый
стержень (фнг. 11) переменного попе-
речного сечения, нагруженный распре-
деленными силами, которые остаются
нормальными к осн стержня и после его
искривления, вращается с постоянной
угловой скоростью ш относительно оси у.
Нормальная сила и нормальные напря-
жения определяются так же, как и
в предыдущем случае.
Изгибающий момент в сечении на рас-
стоянии г от оси вращения, найденный
без учета деформации стержня |8],
А1 — — у j Fzdz + J рУг<1г +
г г
R, К,
4 :у qdz — у qzdz.
j I
Изгибающий момент в сечении на рас-
стоянии z от оси вращения, найденный
с учетом деформации стержня, опреде-
ляется по формуле (1), в которой [8]
-----------V------- (7)
1 — ^Fvzdz
gM» J
коэффициент разгрузки.
В формуле (7)
?Й0 = — I Fyzdz +
8 £
R, R,
qdz— qzdz <0
ft.
изгибающий момент в заделанном сече-
нии. найденный без учета деформации
стержня, a v—прогиб в сечении на рас-
стоянии z от осн вращения, подсчитан-
ный на основе принципа сохранения на-
чальных размеров, определяемый по
формуле (3).
Для прямого стержня постоянного
поперечного сечения. нагруженного
равномерно распределенной силой, из-
гибающий момент в сечении на расстоя-
нии z от оси вращения, найденный без
учета деформации стержня, определяется
по формуле (4), а коэффициент разгрузки
Формулы (7) и (8) справедливы при
условии, что > 0,7.
Величина а определяется по форму-
ле (6).
Напряжения, вызванные изгибом, а
также полные напряжения находятся
так же. как в предыдущем случае.
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ
ВИНТОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ПРУЖИН
Обозначения: D — средний диаметр
пружины; I—число витков; С—жест-
кость проволоки при кручении; у—вес
единицы объема материала проволоки;
F — площадь поперечного сечення про-
волоки; т — — zDiF — масса проволоки;
g
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН
235
Н — длина пружины в деформированном
или недеформированном состоянии до
вращения.
Предполагается, что угол наклона вит-
ков пружины мал (а < 12°) и средний
диаметр пружины значительно меньше
ее длины. Это предположение позволяет
рассматривать пружину, как брус по-
стоянного сечения длиной Н, пло-
_ kD/F
щадыо FMI — — и жесткостью
4Г
Е^-^Н.
Ось пружины произвольно
. расположена в плоскости,
нормальной к оси вращения
(фиг. 12) (11]
Предполагается, что перемещения по
оси z невелики. Поперечная инерцион-
ная нагрузка не учитывается.
Фиг. 12.
Для пружины, шарнирно закреплен-
ной в точках А и В, продольные силы,
развивающиеся в сечениях, вблизи этих
точек в результате вращения,
mo>2 2-2 + Szjzl — Zj
Pa------H* 6~
m<^i 2z^ -I- 3Z|Zj—z|
Pfl” Hi ‘ 6
Частные случаи
а) Пружина расположена радиально
по одну сторону от центра:
Z!-ze: гг-~гА; zB-xA-H;
_ mui
Ра — —g— (2*а 4- тв);
б) Пружина расположена радиально
так, что один ее конец находится в центре:
«д — О’, «в “ н-,
Pfl-
н.
в) Пружина расположена радиально,
так. что ее середина находится в центре:
Ра = Рв -
Более точный расчет
для радиально расположенной
пружины (фиг. 13)
В расчете учитываются радиальные
(в направлении оси пружины) смещения
w сечений (II].
Это радиальное смещение связано с
величиной z зависимостью
w — С| cos 0z + Cg sin ?z — z,
где
«>D i/” nDim
2H V ~C~‘
Сила, развивающаяся в сечении на
расстоянии z от оси в результате вра-
щения пружины,
4СН dw
' “ т.ОЧ ’ dz *
Постоянные Ci и Cj определяются
из условий закрепления концов пру-
t жины.
Фнг. 13.
Для пружины, закрепленной в точ-
ках ЯиВ (при z — zA w — 0 и при т»
— zB w — 0), силы, развивающиеся в се-
чениях А и В в результате вращения
пружины,
Рв =
^(2за + !л).
236
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
_ 4С 9 \ 7.___1 Если торцы вала свободны, го
^в=~ nDV I \sIrvL 1 / 2л \ t₽4») *в\ ’ осевое напряжение аг равно
где _____
Положительный знак усилия соответ-
ствует растяжению пружины, отрица-
тельный—сжатию (РА>0. Pb<Z^)-
Если пружина закреплена в точках А
и В в деформированном состоянии (де-
формирована силой Ро), то полная сила
в сечениях А и В
Pa^po+Pa‘‘ Рв~ро + Рв-
Критическая угловая скорость
Критическая угловая скорость, при
которой рассмотренная форма деформи-
рованного состояния пружины стано-
вится неустойчивой.
На фиг. 14 представлены эпюры на-
пряжений для полого вала со свобод-
ными торцами.
Фиг. 14.
Практически при угловой скорости,
равной и>хр, витки пружины начнут ин-
тенсивно прижиматься к опоре В.
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНЫХ
И ПОЛЫХ ВРАЩАЮЩИХСЯ ВАЛАХ
Рассматриваются напряжения'в сече-
ниях, достаточно удаленных от концов
вала, где деформацию можно считать
плоской.
Полый вал
Полый вал внутреннего радиуса гь
наружного радиуса rt вращается отно-
сительно своей оси с постоянной угло-
вой скоростью «>.
Окружное az и радиальное а, напря-
жения определяются по формулам
3 - 2р. уш»
' I - Н Х
Сплошной вал
Сплошной вал радиуса гг вращается
с постоянной углояой скоростью о» от-
носительно своей оси.
Фиг. 15.
Окружное и радиальное напряжения
определяются по формулам
3—2|х у»* 7 1 1+2р \
S'~'8fb-3^
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
237
Если торцы вала свободны, то осевое
напряжение равно
".-7^7 £(4-2*).
На фиг. 15 представлены эпюры на-
пряжений для сплошного вала со сво-
бодными торцами.
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
Ниже излагаются расчеты дисков по-
стоянной толщины, равнопрочного, ко-
нического и гиперболического, а также
рассматриваются общие случаи расчета
диска переменной толщины, как при
равномерном, так и при неравномер-
ном нагреве.
Для дисков постоянной толщины,
равнопрочного, конического и гипербо-
лического приводятся точные решения.
Для общего случая диска переменной
толщины при равномерном нагреве из-
лагается метод С. А. Тумаркина, в кото-
ром профиль диска разбивается на
участки, близкие гиперболическим.
Расчет неравномерно нагретого диска
переменной толщины, когда необходимо
учитывать зависимость модуля упруго-
сти от температуры, проводится одним
из четырех изложенных методов:
М. И. Яновского, С. Д. Пономарева,
Н. Н. Малинина и Р С. Кинасошвили
В первых трех методах расчета профиль
диска заменяется ступенчатым профилем,
состоящим из участков постоянной тол-
щины, причем на каждом участке модуль
упругости и коэффициент Пуассона
принимаются постоянными. Метод
М. И. Яновского является аналитиче-
ским. а метод С. Д. Пономарева графи-
ческим. По обоим методам для удовлет-
ворения краевого условия расчет диска
производится дважды В методе Н. И. Ма-
линина необходимость выполнения вто-
рого расчета отпадает.
В методе Р. С. Кинасошвили расчет
основан на решении системы интеграль-
ных уравнений последовательными при-
ближениями. Достаточную степень точ-
ности лает второе приближение.
Все эти методы могут быть исполь-
зованы и для расчета равномерно
нагретого диска.
Диск постоянной толщины
Диск с отверстиями. Диск постоян-
ной толщины, внутреннего радиуса rIt на-
ружного радиуса г*, толщины й < ,
нагруженный на внутреннем контуре
равномерно распределенным давлением
/>! кГ/смг, а иа внешнем контуре равно-
мерно распределенной растягивающей
нагрузкой /4 кГ/см*. вращается с по-
стоянной угловой скоростью ш относи-
тельно оси диска (фиг. 16). Радиальное
Фиг. 16.
в точках иа
и окружное напряжения
расстоянии г от центра
по формулам
определяются
На фиг. 17 представлены эпюры на-
пряжений при pt — рз — О.
Диск без отверстия. Диск постоян-
ной толщины без отверстия наружного
23Я
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ
радиуса гг, толщиной й < . нагру-
женный на наружной поверхности рав-
номерно распределенной растягивающей
нагрузкой /г. кГ1смг, вращается с по-
стоянной угловой скоростью относи-
тельно осн (фиг. 18).
и А
2
Фнг. 18.
Фиг. 20.
*
1111
rife
й )
Радиальное и окружное напряжения
в точках на расстоянии г от центра
3 + р т<«2 / 2 1 + 3(* „
— ’-r^-T+vrrPt-
На фиг. 19 представлены эпюры на-
пряжений при р2 = 0.
Диск с ободом и втулкой. Диск
постоянной толщины с ободом н втул-
кой, нагруженный на внутреннем кон-
туре втулки равномерно распределенным
давлением Р\ кГсм*, а на внешнем кон-
туре обода равномерно распределенной
растягивающей нагрузкой pt кГ)смг
(фиг. 20), вращается с постоянной угло-
вой скоростью ш.
Обозначения: rt — внутренний
радиус втулки; гг—наружный радиус
втулки и внутренний радиус диска;
гл — наружный радиус диска и внутрен-
ний радиус обода; — наружный ра-
днус обода; й] — ширина втулки; й2 —
толщина диска; й3 — ширина обода;
b — толщина обода.
Изгиб обода и втулки не учитывается.
Обод рассматривается, как тонкостен-
ное кольцо со средним радиусом Ro =
Лдя расчета диска, обода и втулки
вначале определяются интенсивности
распределенной нагрузки р2 и в диске
на поверхности соприкасания его с обо-
дом и втулкой (фиг. 20) из следующих
двух уравнений:
V^Rq , Pir< _ р^г\ =
g b h2b
3 + м 7<о! / 2 , 1 2 \ ,
----4 Fv2+ 3+7 +
/'в(гз + 'э) “ ‘^Ргг2
+ — ---т—Ч---------Юз:
гз ~ гз
3 i И F* +
4 g 3
+------------------Ю.~
гз 'з
_2+i.Jir? +
4-4 “ ». •
После определения р2 и диск и
втулка могут быть рассчитаны по фор-
мулам (9), причем для подсчета напря-
жений во втулке в формулы (9) вместор^
подставляется величина £-2-. Окруж-
ное напряжение в ободе определяется
по формуле
t^R» . P<r< pib2r3
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ дисков
239
Равнопрочный диск (фнг. 21)
В случае равномерного нагрева рав-
нопрочным диском без отверстия с обо-
дом называется диск,
окружные н радиаль-
ные напряжения в ко-
тором во всех его
точках постоянны и
равны между собой:
Фиг. 21.
Толшнна равно-
прочного диска ме-
няется по закону
ft — 2^.
диска в центре, опре-
где Iiq — толщина
делаемая формулой
Подсчитанная по этой формуле тол-
щина Ло оказывается в ряде случаев
невыполнимо большой, что в значитель-
ной степени ограничивает возможность
применения дисков рассматриваемой
конструкции [17].
О равнопрочном равномерно нагретом
диске с отверстием как н пределах, так
и за пределами
Фнг. 22.
упругости см. [13].
Профилирование
равнопрочного нерав-
номерно нагретого
диска см. на стр. 254,
Конический диск
Конический диск
без обода и втулки.
Конический диск вну-
треннего радиуса rt и
наружного радиуса гг.
нагруженный на вну-
треннем контуре рав-
номерно распределен-
ным давлением
р, кГ/смг, а на внеш-
нем контуре равно-
мерно распределен-
ной растягивающей
нагрузкой pt кГ/см* (фиг. ‘22). вращается
с постоянной угловой скоростью ы.
Радиальное и окружное напряжения
определяются по формулам
л (г\ . о (г\ . Г®»/?» (Г
‘ - о.. TJ
аг
g
где /? — радиус вершины конуса (фиг. 22);
А и В — постоянные; fif-Ty). 'РаНт).
функции отношения текущего радиуса г
к радиусу R, приведенные в табл. 3 [5].
Таб.tuna 3
-1* ‘1* Ч* Ч* •г* • * 35
0,00 1.434 —со 0,1653 1 ли ео 0,1653
о. оз 1.492 -273,54 0,1709 1,474 294,28 0,11593
0,10 1,555 -66,62 0,1751 1,517 77,89 0,1724
0, ть 1.626 —28,65 0,1777 1,564 36,71 0,1747
0.20 1.706 -15.54 0.1790 1.В16 21,91 0,1762
0.25 1.795 -9,53 0,1787 1,673 14,88 0,1768
0.30 1,897 -6.31 0.1770 1,737 10,96 0,1765
0,35 2,014 -4.39 0,1739 1,809 8,53 0,1756
0,40 2.150 —3,159 0,1693 1.889 6.91 0.1737
0,45 2,309 —2,328 0,1632 1.982 5.78 0,1709
0,50 2,50(1 -1,743 0,1.557 2.069 4,94 0,1673
0,56 2,731 -1,31» 0,1467 2.216 4,31 0,1629
о.вс 3,019 -0.999 0,1362 2,368 3,816 0,1577
0,65 3,357 -0,756 0,1243 2.555 3,422 0,1516
0,7С 3,876 -0,567 0,1109 2,793 3.101 0,1446
0,75 4,56 -0,417 0,0961 3.109 2.836 0.1.368
0.80 .5,57 -0,2974 0.0795 3.557 2,614 0,1282
0,85 7,26 -0.2002 0,0620 4,26 2,425 0,1188
0,90 10,61 —0,1205 0,0428 5.55 2,263 0,1065
ОЛЮ 20,61 -0.0547 0.0221 9,09 2,123 0,0971
1.0 СО 0 0 оо 2,00 0,0853
Постоянные Л и В определяются из
уравнений
-Р\ - А? 1 ( 4>L') + Я?! ( тИ +
Конический диск с ободом и втул-
кой. Конический диск с ободом и втул-
кой, нагруженный на внутреннем кон-
туре втулки равномерно распределенным
давлением р\ кГ см* а на внешнем
контуре обода равномерно
распределенной растягиваю-
щей нагрузкой р4 кГ1с.иг
(10) (фиг. 23), вращается с по-
стоянной угловой скоро-
стью ш.
240
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ
Обозначения: И — внутренний
радиус втулки; Zj — наружный радиус
втулки и внутренний радиус диска;
rs — наружный радиус диска и внутрен-
ний радиус обода; г4 —наружный радиус
обода; hi — ширина втулки; ftj— тол-
щина диска на радиусе rs; h3 — толщина
Фиг. 23.
диска на радиусе га, /ц —ширина обода;
b — г4 — гя — толщина обода.
Изгиб обода и втулки не учитывается.
Обод рассматривается как тонкостенное
кольцо со средним радиусом Re —
r3 + r4
“ 2 '
Для расчета диска обода и втулки
вначале определяются интенсивности
распределенной нагрузки рг и р8 в диске
на поверхности соприкасания его с обо-
дом и втулкой и постоянные А и В из
следующих четырех уравнений:
+ яц-) + 1^,
З + р т«2 / J 1 - И л
-л*« (£)<
Л?! (-£) + **(£) +
После определения рг, р3, А и В на-
пряжения в диске определяются по фор-
мулам (10), напряжения ио втулке — по
формулам (9), причем
। ' вместо р^ в эти формулы
подставляется величина
Окружное напря-
"1
жение в ободе подсчи-
тывается по формуле
— +
, р3г4 p3h3r3
b bh4 *
Диск гиперболического профили
Диском гиперболического профиля
называется диск, толщина которого ме-
няется по закону
h — Вг~*.
Для диска гиперболического профиля
удобно напряжения выразить через
функции радиуса S — S (г) и D — D (г):
S—D
я. “--;
т — п
а, — D — пз„
где
Д /
— 7 + У -}- + Iм + 1 '•
(И)
(12)
п —
Функции S и D для радиуса свя-
заны со значениями этих функций для
радиуса г, следующими зависимостями:
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
241
где
\ (Н>
g
Напряжения а/,/4-1 на ра-
диусе r^j определяют следующим об-
разом: по напряжениям аг1 и otl нахо-
дят величины
5/ — таг, + ert;j
D, — ni„ + atl J
[см. формулы (11)]. Далее по форму-
лам (13) определяют значения функций
3 и D для радиуса г/+1, З^, Dl+i,
после чего по формулам (11) находят
напряжения аг z_|_| и я, f
Расчет равномерно нагретого
диска переменной толщины
по методу С. А. Тумаркина [16]
Профиль диска разбивается на участки,
близкие гиперболическим.
Для гиперболического диска зависи-
мость его толщины от радиуса в лога-
рифмических координатах линейная:
lg ft = 1g В — я 1g г.
поэтому для разбивки профиля диска
на участки в логарифмических коорди-
натах строится график зависимости тол-
щины от радиуса (см. пример). Полу-
ченная кривая приближенно заменяется
ломаной, отрезки которой соответствуют
гиперболическим участкам профиля.
Величина я для гиперболического участка
профиля находится по уравнению
1g ~ 1g hr-ц
lgO+l-lgr( ’
(16)
где h, и hi+1 —толщины диска на ра-
диусах rt и q+1 соответственно.
Для участков постоянной толщины
я — 0. и поэтому т — 1, п — — 1, а сле-
довательно,
“ ан + 9rf< О/ “ ~ агГ>
Л1-^-(1 +>);«—•
S—D S+D
Так как обычно известны радиальные
напряжения на наружном и внутреннем
радиусах диска аг1 = — />,. зд = рг,
а величина окружного напряжения на
внутреннем радиусе ап неизвестна, то
расчет ведут дважды.
Первый расчет. Для первого
расчета величину »я берут произволь-
ной и, зная я для каждого участка,
определяют, как изложено в расчете
гиперболического диска, радиальное и
окружное напряжения от участка
к участку по всему диску. Если тол-
щина диска меняется скачкообразно, то
напряжения аг и я, также получают
скачкообразные приращения &аг и Дзг:
<17)
Дт/ = 1иДт/.. (18)
Формула (17) получена из уравнения
равновесия элемента диска, а фор-
мула (18) —из условия равенства ради-
альных смещений.
Второй расчет. Прн втором рас-
чете диск рассматривается неподвиж-
ным: <» = 0 и, следовательно. M=N=0.
Формулы (13) принимают вид
(19)
Для участка постоянной толщины
S/4-1 “
°<4-1 - О/.
Радиальное напряжение на внутреннем
радиусе во втором расчете принимается
равным нулю, а окружное выбирается
произвольным. В остальном второй рас-
чет аналогичен первому.
Напряжения в диске определяются как
сумма напряжений, полученных из пер-
вого расчета (яД, (az)h н напряжений
из второго расчета (я,)ц и (оДц, умно-
женных на коэффициент к;
о, — (я,), + *(вг)ц; ]
(20)
®г - (’/)| + * (»Дц- )
16 Том 3
242
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ
Коэффициент k находится из условия
равенства радиального напряжения на
внешнем радиусе интенсивности распре-
деленной нагрузки р^.
Pl— (®rs).
« = —;—i------•
(°гз)ц
Давление на внутренней поверхности стулики
диска р,—О, интенсивность распределенной нагруз-
ки на внешней поверхности обола р, = 400 к Г [см'.
Коэффициент Пуассона материала лиска р*-0,3.
Толщина диска на различных радиусах задана
табл. 4.
По данным табл. 4 наносим точки на логариф-
мическую сетку (фиг. 2SX. Эти точки соединяются
Таблица 4
Толщина h диска на различных радиусах
г н см h и см Г IS СМ Л в см г П СМ Л в см
8 12 14 18 22.5 11 11 6,93 3.81 2,89 27.5 32.5 37,5 42.5 47.5 2,64 2,40 2,17 1,94 1.71 52,5 57,5 60 66 1.50 j.SU 2,8 2.8
ломаной из пяти звеньев. Как следует и» фиг. 25,
профиль диска можно принять состоящим из трех
гиперболических участков н двух участков по-
стоянной толщины. Радиусы границ участков запи-
сываем в 1-й трафе табл. 5. Толщину диска на этих
радиусах заносим во 2-ю графу. Коэффициент я
для каждого участка находим по формуле (16)
(3-я графа). Величины т и л для каждого участка
находим но формулам (12) (4-я и 5-я графы).
1 № участка КЗ в 4 1 гJ а о 1 • Е с 'Ж '1 7 Б 7 Ct £ Ж * ° V* ч т.
1 8 12 И II 0 1 -1 >.5 1 0,445 0,51 -0.1375 35 32,6 73,5 —8.8 -19.8
2 12 19,2 11 3,2 2.63 3,19 -0.56 1.6 2.8 0.48 -14.43 -0,0574 144 369 - 20в'> -5330 -8.26 -21.2
3 19,2 40 3,2 2.1 0.574 1,407 -0.833 2,08 1,347 0,26 0.841 -0,109 369 164.0 311 1348 -40,2 -174,3
4 40 60 2.1 1.24 1.3 1,995 -0,695 1.5 1.497 0.503 1.79 -0,084 1600 3600 2860 6440 -134,5 -302
5 60 66 2,8 2.8 0 1 —1 1.1 * 1 0,826 1,51 -0.1375 3600 4350 1837 2220 -495 -598
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
2В
Первый расчет. По условию eri = 0.
Принимаем 0^ = 1000 кГ/сМ'. Определяем и Dj:
= mafl 4- otJ = 1000;
.„-WOO.
Далее, no формулам (13) определяем 5 и D на
границе каждой ступени, для чего предварительно
'I 4-1 ( ',+ 1\т “1
подсчитываем величины ----!— ; I —-— 1 ;
; <И; N-, г*; Mr* н Nr,(6-B-13-a
графы). Величины /И н N определяются по фор-
мулам (14). Полученные величины S н D приве-
дены в 14-й и 15-й графах.
После определения S и D находим радиальное
и окружное напряжение по формулам (II) (16-я
и 17-а графы).
Отметим, что прн переходе от четвертого
участка к пятому необходимо учесть скачок
в толщине.
По формуле (17)
Дй
Да
' йфДЙ
2,8 — 1,24..- ... _
—------------348=-—194 кГ\слР,
и, следовательно,
(o,)t — ( 0,.)4 4- До^ = 343 - 194 — IS4 кПсм'.
Далее, по формуле (18)
До, — ?Лвг = —0,3-194 - -58,2 «Пси’;
(ez)b " ( в/)4 + - 6!7 - 88,2 - 859 аГ/см* .
Второй • расчет. Принимаем of| =0.
= 1000 кПсм*. Величины S н D определим по
формулам (19) (18-я и 19-я графы). Радиальные
и окружные напряжения находим по формулам (11)
(20-я и 21-я графы). Во втором расчете, так же
как и в первом, учитываем скачок в толщине при
переходе от четвертого участка к пятому.
После выполнения второго расчета ио форму
ле (21) определяем коэффициент:
400 4-96.6
и затем по формулам (20) находим истинные ра-
диальное и окружное напряжения » диске (25
и 26-я графы).
По данным табл. 5 на фнг. 24 построены эпюры
радиальных и окружных напряжений по радиусу
лиска.
Равномерно нагретый диск переменной толщины
может быть рассчитан также по методу
М. И. Яновского как частный случай неравномерно
нагретого диска (см. ниже).
Расчет неравномерно нагретого
диска переменной толщины
Неравномерно нагретый по радиусу
диск переменной толщины й, внутренний
радиус которого гх, а наружный гт.
вращается с постоянной угловой ско-
ростью ш. По внутреннему контуру диск
нагружен
давлением рх кПсмг, а по
контуру — равномерно
растягивающей
равномерно распределенным
наружному
распределенной
I нагрузкой интенсив-
ностью рт (фиг. 26, д). Температурное
поле диска является стационарным,
температура потолщине диска постоянна.
График изменения температуры по ра-
диусу диска представлен на фиг. 26, б.
В расчетах учитывается зависимость
модуля упругости Е, коэффициента Пуас-
сона ц и коэффициента линейного рас-
ширения а от температуры Я. Эти зави-
симости считаются известными. Прн
Таблица 5
<0 Q (ч $ «0 Q (•г)п в кПс* > (•Д| в KTICJfi с * • -Я и * • вг в кПел1 1 о
1000 100) 0 юоо 1000 1000 0 1000 0 475 0 1417
959.1 460,8 >49,2 710 юоо 445 278 723 132 343 381 1063
1508 570,2 249,2 710 1610 567 278 723 132 343 381 1053
3720 291,2 914 802 4810 272 ИЗО 904 537 429 1451 1231
2087 42 914 802 2491 37 ИЗО !КМ 537 429 1451 1231
1877 171.8 758 805,8 3380 9.61 1490 1250 709 591 1466 1400
2317 279,8 758 805,8 4220 215 1493 1253 704 5J4 1466 1400
1310 375 348 617 6310 108 2310 1713 1095 815 1443 1432
712,8 404,4 154 558.8 2346 306 1020 1326 485 630 639 1189
329.8 523,5 -96.6 427 2348 253 1046 1290 «7 616 4ОЭ 1043
1G*
211
РЛСЧЕ1 ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ
помощи их строятся графики изменения
величин 0 = о8, Е и р по радиусу
(фиг. 26, »—д). •
В первых трех изложенных ниже ме-
тодах расчета профиль диска заменяется
ступенчатым профилем, состоящим из
участков постоянной толщины, так.
чтобы толщины участков совпадали
с толщинами истинного профиля в се-
рединах участков (фиг. 26, а). Модуль
Фиг. 26.
ЛГ, = -! ~ k‘r‘
упругости и коэффициент Пуассона на
каждом участке приближенно прини-
маются постоянными и равными соответ-
ствующим величинам на средних радиу-
сах участков.
Метод М И Яновского (12). (17).
Обозначим
S •• О/ +- er; D » Of—(22)
гогда
°/-al
S + D, S—D
—2—; o, — —— . (23)
Функции S и D на г/+1-м радиусе
/-ro участка S/( J( Di,i+t (первый
индекс указывает номер участка, а вто-
рой — номер радиуса) связаны с соответ-
ствующими функциями на г,-м радиусе
/-го участка SltDt t соотношениями
•S.
f — Е, (9I+X — О,) —
-^ (++.-+);
.2
Dlt z-i-i * Dt f —j
ГЖ
(24)
'/+1-0/-/-
'7+1
1—р, ум» / 2
~ ~Т Г-
ж
|де £| и — модуль упругости и коэф-
{шциент Пуассона на /-м участке; 6, и
, — произведение коэффициента ли-
нейного расширения на температуру на
радиусах г, и ri+i соответственно. '
ДГ< •» I Orrfr.
ДГ/ определяется по фор-
) 9ж~8/
2
Функции S и D на среднем радиусе
/-го участка rlr — 5/е. Dlc связаны с ве-
личинами Slt и Dtl соотношениями
5/г — S/i —Е, [91е — Оп) —
1 Т1Ч Т»* /_2 • _2\.
2 g~ \ric~ri)>
г2
Die- Dtl-±- + 2Ef -Е,Х
rlc
( J
X 0/f - 9ц -Ц-
(25)
4 g
X
,2_____О
г1с ~!Г
г/с
где
AZ/f
fir dr—
2
Х(4~
Напряжения на l-м радиусе /—1-го и
/-го участков «///. с,//
(второй индекс указывает номер участка,
а третий номер радиуса) связаны со-
отношениями
й/—
— 9ri-U
(26)
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
215
£
O/M-F/’r//- ё—(er/-n-^-i°rt-u). С27)
^i—I
где Лу_] и ht — толщины диска на /—1-м
и /-м участках соответственно.
Формула (26) получена из уравнения
равнонссия элемента, вырезанного на
границе i—l-го и l-го участков, а фор-
мула (27) — из условия непрерывности
радиальных перемещений на этой же
границе. Функции S и D на /-м радиусе
i— 1-го и /-го участков 5._, t, Dl_l
S// и Du связаны соотношениями
S“ = yfh1 ~ “V-] S|-u +
(1 + W) -F-
D‘1=Ht1 ~,Х/-1 ) Ei~i_(1 -н) тг! s‘~u+
ложенни,
Так как обычно известны радиальные
напряжения на наружном и внутреннем
радиусах дисков о,„ = — и згт_,„, -
= рт, а величина окружного напряже-
ния на внутреннем радиусе а/П неиз-
вестна, то расчет ведут дважды.
Первый расчет. Для первого рас-
чета величину <тП| берут произвольной
и, зная а,1( — — pt. по формулам (22)
подсчитывают функции Sn и Оц.
Для случая диска без отверстия в
центральной точке при г— 0 а,ц » вд1,
и поэтому — 2зП1; Йц — 0.
Величиной аП1 — о,и, так же как и для
диска с отверстием, задаемся произ-
вольно.
Далее, по формулам (25) определяют
S/t *’ Й1Г, затем, используя соотноше-
ния (24), S12 и й|2, после чего ори по-
мощи выражений (28) находят и Dsa,
а затем по формулам (25) S!c и й2г
и т. д. Продвигаясь таким образом от
ступицы к ободу, последовательно под-
считывают величины S/f и Dlc на сред-
них радиусах всех участков, а также
величины S и D на наружном радиусе
5m-l m" Dm-1 яг
Если построение эпюры напряжений
ведется не по величинам напряжений на
средних радиусах участков, а по вели-
чинам напряжений на границах участ-
ков. го тогда величины Slc и D,c на
средних радиусах участков не опреде-
ляют и после нахождения Sn и Du под-
считывают Sjs и Du по формулам (24).
а затем, используя соотношения (23). —
напряжения в конце первого участка
’02 11 °П2-
Далее, по формулам (26) и (27) нахо
дят напряжения в начале второго участ
ка ч/к и о,-2г, после чего, использул
соотношения (22). вычисляют S-a и Й^
и т. д.
Таким образом подсчитывают напрп
женин на границах участков и напря-
ження на наружно i
радиусе
И °Гт—1иг В этом
случае для каждого
напряжения на гра-
нице участка полу-
(28) чают два значения.
За действительную
величину напряжения
принимается среднее
арифметическое этих
двух величин.
Второй расчет
выполняют в предпо-
что диск неподвижен <ш=0).
температурные слагаемые в приведенные
выше формулах отсутствуют (О = О; АТ =
— 0), а модуль упругости и коэффициент
Пуассона изменяются по радиусу так
же, как и в первом расчете.
Окружное напряжение на внутреннем
радиусе во втором расчете, так же как
и в первом, выбирается произвольным
а радиальное напряжение на внутреннем
радиусе для диска с отверстием всегда
принимается равным нулю.
В случае диска без отверстия в цен-
тральной точке при г — 0 е,ц — а/ц и
поэтому S(I - 2ал1; Йц — 0.
Величиной а,п< так же как 11
для диска с отверстием, задаемся про-
извольно. В остальном второй расчет
аналогичен первому.
Если эпюра напряжений строится по
величинам напряжений, подсчитанных
для средних радиусов участков, то тогда
напряжения определяют по формулам
(23), причем функции S и D находят
как сумму функций (S)| и (й)(, полу-
ченных из первого расчета, и функций
(5)ц и (О),,. найденных из второго рас-
чета, умноженных на коэффициент ft:
S-(S), +A(S)U; 1
й-(й), +А(Й)П. J
2-13
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Коэффициент к вычисляют из условия
равенства радиального напряжения на
внешнем контуре интенсивности распре-
деленной нагрузки:
. '^Рт ($m—1 m)l (^m—1m) [
(Sm-lmin-CDm-l.m),! ?
Если эпюра напряжений строится по
величинам напряжений, подсчитанных
на границах участков, то тогда напря-
жения определяют как сумму напряже-
ний (а/), и («г)|, полученных из первого
расчета, и ^напряжений лз второго рас-
чета (о,),, и (<хг)ц. умноженных на
коэффициент k:
at “ (°/)j + * (®г)|Г«
(’г)| + * (<b-)||-
Коэффициент k вычисляют по фор-
муле
Рт (arm—l mh
к = —7---------i----
*arm—1т)||
Пример. Произвести поверочный расчет иа
прочность неравномерно нагретого диска пере-
менной толщины без центрального отверстия
(фиг. 27, а), вращающегося с постоянным числом
обороюв п« 12 300 г минуту (ш — 1290 1/сек).
Интенсивность распределенной нагрузки, возник-
шей в результате вращения лопаток и замков, на
наружно* поверхности обола рт — 1400 кПсм'.
Нес единицы объема материала диска у —
— 0.0081 кГи/Р. График изменения температуры
по радиусу лиска представлен на фиг. 27, б (из-
ложенные выше условна примера заимствованы
из работы |3|). Зависимости модуля упругости и
коэффициента Пуассона от температуры изобра-
жены на фиг. 28.
Ввиду незначительного изменения п интервале
заданных температур коэффициент линейного рас-
ширения принят постоянным и равным 16Х
X 10 — ® см/см °C.
Профиль лиска заменен ступенчатым профилем,
состоящим из девяти участков постоянной толщи-
ны (фнг. 27).
Толщины профиля на различных участках
приведены в табл. 6.
Используя приведенную выше величину *, а
также графики изменения температуры по радиусу
лиска и зависимости модуля упругости и коэффи-
циента Пуассона от температуры, строим эпюры
изменения величин О, Е и ц по радиусу
(фнг. 27, в—й).
Эпюры изменения Е и р. по радиусу приблн-
жеино заменены эпюрами ступенчатого вида
(фиг. 27, t и 0). Величины S на различных радиу-
сах, а также Е и и на участках приведены л
табл. б.
В первом расчете принято = аги =
= 2С00 кГ1см' и по формулам (22) определены
величины 3,, я D,, в центральной точке. Затем по
формулам (25) и (24) подсчитаны значения функ-
ций $ и D иа среднем и конечном радиусах пер-
вого участка 3|г и и 3ц и О,., после чего
по формулам (28) вычислены величины функций 3
и D на начальном радиусе второго участкт 3>, и
О«т. Таким образом определены значения функций
S к D на средних радиу-
сах всех участки’ и на
наружном радиусе. Резуль-
таты подсчетов сведены в
табл. 6.
Во втором расчете так-
же принято Bf(i — e,u —
— 2000 кГ/см' и. так же
как в первом расчете,
определены величины функ-
ций 3 и D иа средних ра-
диусах всех участков и иа
наружном радиусе. Во вто-
ром расчете и формулах
(24) н (25) величины ы, О
и А 7 приняты равными
нулю.
После определения зна-
чений функций 3 и 1> иа
наружном радиусе в пер-
вом и втором расчетах по
формуле (30) подсчитан
коэффициент * — 1,10. Затем по формулам (29)
вычислены величины функций 3 и D в цен-
тральной точке, на средних радиусах участков и
на наружном радиусе, после чего по форму-
лам (23) подсчитаны напряжения в етих же точ-
ках.
Результаты подсчетов прицелены * табл б. По
данным табл, б на фиг. 29 построены эпюры ра
анальных и окружных напряжений но радиусу
диска.
В расчетах дисков радиальных турбо-
машин упрочнение диска за счет лопа-
ток и изгиб диска в случае односторон-
него входа пара или газа не учитыва-
Таблица в
ТА участка г в см Л к см 0-11Я Е-10-6 в кГ1с м* Я 110» АГ В СИ* >с (D); а кГ1сМ' (S)H в кГ)СМ> а 11(0) 5 в кГ1СМ> jmj* я а 1 OTltjM в 'и
1 0 2.6 5 6.7 2.40 2.40 2.64 1.87 0,371 0.048 0 7,75 32,0 4000 3940 3320 0 >63 -96,0 4000 4000 400U 0 0 0 8420 8360 0 163 4210 1260 4210 4100
2 6 в 7 6.4 2.64 2,80 3,06 1.83 0.375 0.206 15,1 34,3 3410 3020 2440 7^ 4110 4110 4110 -77.8 -59.6 -39.7 7550 -370 3590 3960
3 7 8 9 5.8 3.05 3,30 3.65 1.79 0,330 0,300 24.0 53,8 2650 2060 1270 -657 -831 -1140 4390 4390 4390 -190 -145 -115 6910 -990 2960 3950*
4 9 10 U 5.2 3,65 3.98 4.38 1,73 * 0,383 0.365 36,4 80,5 1490 737 -154 -1200 -1410 -1710 4720 4720 4720 -298 -242 —200 5940 -1680 2130 3810
3 11 12 13 4.6 4.38 4.80 5.27 1.65 0.397 0.445 53,0 116 51,5 -870 -1880 — 1710 -1970 —2310 5140 5140 5140 -431 -362 -309 4790 -2370 1210 3580
« 13 14 1S 4.0 5,27 5,80 6,43 1.55 0.409 0,580 75,2 164 -1700 -2840 -4040 -2190 -2530 -3020 5670 5670 5670 -598 -516 -449 3420 —3100 160 3260
7 15 15.5 15 3.6 6.43 6.70 7.00 1.47 0,419 0,570 50,1 104 -3950 -4600 -5090 -2820 -2940 -3150 6110 6110 6110 -686 -642 -603 2150 -3650 -749 2900
в 16 16.45 16.9 4.2 7.С0 7,30 7.62 1.41 0,426 0,689 52,3 108 —4750 -5410 —5910 1 1 1 ill 5390 5390 5390 1 1 1 530 -3630 -1550 2080
9 16.9 17.15 17.4 4.8 7.62 7.80 8,00 1.37 0.430 0.760 32,9 66.9 -5580 -6020 -6380 -3460 -3550 -3670 4860 4860 4860 -144 -140 -136 -660 -1020 -370С -3820 -2180 -2420 1520 1400
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
2-18
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
ются Расчет диска радиальной турбо-
машины (радиальной турбины, центро-
Фиг. 2».
бежного компрессора) (фиг. 30) произ-
водят по приведенному переменному по
радиусу весу единицы объема материала:
(3|)
где уб — вес единицы объема материа-
ла диска; у, — вес единицы объема ма-
териала лопаток; F —
площадь сечения ло-
патки на текущем ра-
диусе г, h — толщина
диска на текущем
радиусе; х - число
лопаток (в случае
турбомашин с двусто-
ронним входом пара
или газа — число ло-
паток с обеих сторон).
Для расчета лиска
по формуле (31)
строят эпюру приведенного веса еди-
ницы объема материала у*. Далее вели-
чины у* на каждом участке диска при-
ближенно принимают постоянными и
равными соответствующим величинам
на средних радиусах участков. Таким
образом, эпюру изменения у* заменяют
эпюрой ступенчатою вида. В остальном
расчет диска производят так. как было
изложено выше.
Метод С. Д. Пономарева [12). По-
верочный расчет диска. Расчет
производится графическим способом.
В любой точке каждой Z-й ступени
лиска, имеющей постоянную толщину
п упругие характеристики £/, р(, опре-
деляемые средней температурой ступени,
окружное ац и радиальное'аг1 напряже-
ния при использовании подстановки х =
1
« могут быть выражены следующим
образом [12]:
ati = Д/ + В(х — F/ (х);
яГ1 = Ai — Bi X— R, (х).
(32)
(33)
где
Г/ (дг) = £/в — EiXbTt +
। 1 + 3Нч 7 ш1 .
+ —§ W’
(34)
R. (х) = £(д-ДГ,+ , (3.5)
а
ДГ/~ j tr dr - ДГ/(х) (3(5)
[для дисков, нагретых равномерно, функ-
ции Ft (д) и /?, (д) являются уравнения-
ми равносторонних гипербол).
Вычисление ДГ/ с.м. стр. 244.
Aj и Bt—постоянные для / й ступени.
Прочие величины, входящие в зависи-
мости (32) — (36), пояснены выше.
Для графического представления за-
висимостей (32) и (33) используются
системы координат (х. at) и (х. а,).
Координаты х в рассматриваемом
случае всегда имеют только положи-
тельное значение.
Если совместить начала координат и
оси ординат (фиг. 31), а осн абсцисс х
направить в противоположные стороны,
то прямые
яц - А, В/х;
a’, -Ai- В,х
каждая в своей области существования
являются продолжением одна другой и
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
Ч1Ч
составляют так называемую замыкаю-
щую прямую.
В этом случае А/ представляет собой
отрезок, отсекаемый замыкающей пря-
мой на оси ординат (фиг. 31). В/ опре-
деляет наклон замыкающей прямой к
оси абсцисс.
Для расчета диска постоянной толщи-
ны проводятся следующие построения.
1. Диск постоянной толщины с цен-
тральным отверстием. Известны:
1) радиальное напряжение на внут-
реннем радиусе
- - Л.
где ру кГ/смг — давление от посадки с
натягом;
2) радиальное напряжение на внеш-
нем радиусе
’гЗ “ + Р2-
где рг «Г/с.*8 — удельная нагрузка, при-
ложенная к диску в связи с вращением
присоединенных масс (обод, лопатки
и т. д.).
Предварительно по формулам (34) и
(35) в избранном для напряжений мас-
штабе ₽ кГ/см2 на 1 мм в указанных
выше совмещенных системах координат
строятся функция В (х) (кривая ayat в
системе (*, а/)| н функция R (х) [кри-
вая b,bt в системе (х, яг)) (фиг. 32).
[Предполагается, что функция ДУ (х),
необходимая для составления уравнений
Г(х) и R (х), заранее установлена ана-
литически или графически в соответ-
ствии с законов распределения темпе-
ратуры по радиусу диска (см. стр. 244)].
Затем проводится замыкающая пря-
мая так, чтобы граничные условия
были удовлетворены (см. фиг. 32).
Отрезок bydy при Xj в масштабе ?
равен ру кГ;см2. Он откладывается ог
точки by вниз от кривой ЬуЬ2, поскольку
₽|<0
Отрезок b^di при хг в масштабе 3
равен pt кГ/смг. Он отложен от точки b >
вверх, поскольку Рг~>0-
Отрезки, заключенные между кривы-
ми ауаг и byb, и замыкающей прямой
(фиг. 32) в масштабе пред-
ставляют величины искомых напряжений
Of И 5Г.
[Эпюры напряжений ot и а, по абсцис-
сам х -» на фиг. 32 заштрихованы].
2. Диск постоянной толщины без
отверстия. Известно радиальное напря-
жение на внешнем радиусе гг
аЛ = +/’«
где pt кГ/см2— удельная нагрузка, при-
ложенная к диску в связи с вращением
присоединенных масс (обод, лопатки
и т. д.).
Дополнительно учитываем, что при
г = 0 o,j — ati.
Предварительно проводятся построе-
ния, аналогичные указанным для 1-го
случая.
Заметим лишь, что при х — эо(г = 0)
£0,
/7(~) = /?(~) = -^-;
91 = а»,.
где 81 — температура в центре диска;
а— коэффициент линейного расширения,
соответствующий этой температуре.
В рассматриваемом случае замыкаю-
щая прямая параллельна оси абсцисс и
проводится с таким расчетом, чтобы
отрезок Ьгйг при Хг в масштабе [I пред-
ставлял заданную удельную нагрузку
Pi кГ/см2.
Отрезки, заключенные между кривыми
aat и bbi и замыкающей, в масштабе р.
представляют величины искомых напря-
жений at и вг.
Напряжение в центре диска
«н •" ’П “
- (О/, мм) р ------------f
(фиг. 33).
Ступенчатые диски (а следовательно,
и диски произвольно-переменного про-
филя. приближенно представляемые как
ступенчатые) графически рассчитывают-
ся аналогичным образом.
Предварительно раздельно для каж-
дой /-й ступени строят функции F, (х) |>
250
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ
Rt (*) с учетом ее механических харак-
теристик Ei, р,.
Таким образом, диск мыслится как бы
состоящим из колец различного мате-
риала.
В связи с этим на границах ступеней
функции F (х) и /?(•*) получают неко-
торый разрыв.
Замыкающая прямая в рассматривае-
мом случае распадается на ряд сме-
щенных друг относительно друга отрез-
ков. каждый из которых относится лишь
к одной из ступеней диска.
Эти замыкающие должны быть по-
строены таким образом, чтобы на радиу-
сах сопряжения участков радиальные и
окружные напряжения удовлетворяли
уравнению равновесия и уравнению
неразрывности деформаций.
При абсциссах. соответствующих
внешнему и внутреннему радиусам (или
центру диска), напряжения должны
удовлетворять граничным условиям.
В этом случае вертикальные отрезки,
заключенные между кривыми, представ-
ляющими функции F (х) и R (х) и за-
мыкающими. в масштабе ? выражают
напряжения а/ и аг.
Обычно не удается удовлетворить
граничным условиям на внутреннем и
внешнем радиусах диска сразу.
Вначале проводится первый расчет
при строгом соблюдении граничного
условия на одном из краевых радиусов,
затем проводится второй расчет при
условии, что F (х) — R (х) — 0.
Во втором расчете значения характе-
ристик упругих свойств материала (£,,
Pi) по кольцам принимаются такими
же, как и ранее (т. е. попрежнему пред-
полагается, что диск как бы выполнен
из колец различного материала).
Объединяя тем же приемом, что и в
аналитических методах (см. выше), ре-
зультаты двух расчетов, можно удов-
летворить всем поставленным граничным
условиям и установить таким образом
(см. пример) величину напряжений в
диске. При построении эпюр напряже-
ний для заданного плавно очерченного
профиля целесообразно исходить из
напряжений, возникающих на средних
радиусах ступеней диска, избранных
для расчета.
Пример. Провести поверочный расчет лиске
(см. фиг. 27, а). исследованного ранее аналитиче-
ским способом (см. табл. 6).
Число оборотов л — 12 3U0 в минуту; т —
— 0,0061 кПс*.
Заданный плавао очерченный профиль ,
(фиг. 27, л) заменяется ступенчатым по принятой
ранее схеме (табл. 6).
Необходимые для расчета величины повторены
и табл. 7. Там же приведены дополнительно вы-
численные иа пограничных радиусах ступеней зна-
чения величин £0; S Т (по формуле трапеции);
14-Зр т w> 3 4-р т «•
ЕхдГ; —д---------—я-’ Т • 7 • * т*к’
о g X о g X
же значения функций F(x) и /Цх) по форму-
лам (34) и (35).
Используя эти значения, строим в масштабе
напряжений? в координатах (х, о,) функциюF(х)
(кривая аа,а, ... а,^ и и координатах (х, of)
функцию Я(х) (кривая 44,4, ... .
(Эти построения выполнены на фиг. 34 от х„ до
х, и иа фнг. 35 от х, до х„ в увеличенном по
осям х масштабе.)
Построение замыкающих отрезков начинаем
от центра лиска (х = оо). где Г(х) —7?(х) =
- 2245 «Г/см».
Замыкающая на участках х0 — х, параллельна
оси абсцисс.
Поскольку нам пока неизвестны значение
напряжений в центре лиска, предварительно
задаемся ими и принимаем равными «/, —ог —
— 2000 я Flex' (предварительные напряжения
будем помечать звездочкой).
Проводимый первый расчет является предва-
рительным потому, что из-за произвольного вы-
бора положения исходной замыкающей cc,d,d
граничные условия иа внешнем радиусе
— 1400 кЛсж>) в конечном счете ие будут удо-
влетворены.
Избранила замыкающая cc,d,d определяет пред-
варительные напряжения во всех точках первой
ступени толщиной h — 6,7 г-н на интервале радиу-
сов от г — 0 до г — 5 см (иа участках х, — х,).
В частности, при х, в,(5) — 1710 кГ/см9 (отрезок
»,<(,), а В| (5) — 1610 кГ|сж* (отрезок а,с,).
Используй формулы (26) и (27), находим иапря
жения иа том же радиусе г — 5 (при xj, но уже
для второй ступени толщиной 6,4 см-. яг(5)'—
- 1765 кГ/слО; »|(5)' - 1626 1СГ)см>.
Откладывая эти значения в масштабе иапря-
кПсм* * *
женнй —Е— от точки и а( соответ*
ственно. получаем точки d иг, которые опреле*
‘ 9 ‘ 9
ляют замыкающую прямую ? d для участков
<0 or 00 «1 M О» 0» СЛ U* A * <4 Ы to — о М по пор.
16.9 17.15 • 17.4 16 16.45 16.9 01СЛСЛ Cn cnkb C4 Ю*- *-O« <00-4 -401СЛ ю сл< о О* г в сМ
в st .a ©V* 38 37 35.1 6£ Г» S'H SH IS 6S SS8 СЛ *4 S8B бвё 01 §§8 г-10* a IICJ4
A Vo w 01 © A 01 5" •o p 00 4ь h в см
сечм 88Й *4 «4*1 S88 8Sfe лелея fests ts’sa AC4C4 ask ж «ми ass ммю S** 0.10*
w M * ь » fe a a 8 S5 £.|0-б » кг\сле
© Jb 8 о 5 p ж 5 О 1 0,397 о О £ 0.875 0,871 й
10 430 10 696 10 960 9870 10 290 10750 068 01 092 6 0916 8180 8 990 9960 7240 7 920 8 700 063 2 068 9 0189 0И9 0169 0619 0699 SZI9 04-81 4490 4490 4940 £5 в кГ1СМ'
§§g gas 317 392 481 120 157 201 888 <4 (A 32,0 47.1 66,3 0 7.75 32,0 Д7 в саР
3330 3380 3430 BBS S§« 3150 32W 3350 2900 3096 3320 2740 2810 3080 2570 2710 2880 iii Щ ЕлЬТ • кПслР
1115 1150 1185 iii S3§ Ш MIS Э5э ООО !е= -и 8 g a kT/c.iC
1675 1725 1780 1500 1580 1670 1313 1400 1490 985 1040 1310 883 091* £й° 3_±t.la.V> 8 К я кПс*
8215 8460 8715 7653 8020 • 8435 7170 7417 7928 5925 6641 7499 Ш 3209 3624 4176 2591 2856 3288 ш F W а лГЦлС
5005 5105 5210 4715 4900 5095 Ш lai 3444 3616 4060 3040 3290 3580 2701 2890 3128 2485 2608 2763 . 2215 • 2356 2539 R(X] в <Лс*
I t>bnrgt>±
к-z
8ОМЭИГ BDXKTnOIVTnVdH E4h3Vd
2 >2
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
253
7'аблацо и
ПО лор. г в см h в см * •/ * •г •ч •» ву=»/+*’? «,-•*4 ’эка
ж В КГ)СЛС
0 0 6,7 2W0 2000 2000 2000 4200 4200 4200
1 5 1610 1710 >000 2000
1 5 1625 1785 2015 2095
6 6.4 1350 1660 203’1 2080 3585 3950 • 3770
2 7 940 1500 2040 2070
2 7 995 1655 2100 2290
8 5,8 615 1455 2120 2270 2955 3945 3550
3 9 65 1200 2140 2250
3 9 145 1345 2215 2500
10 5.2 —34) 1080 2240 2475 2120 3800 ззю
4 11 —93) 780 2255 2460
4 11 - 830 880 2345 2780
12 4.6 -1410 550 2380 2745 1210 3580 312)
5 13 -2100 22) 2410 2715
5 13 -1915 280 '2530 3120
14 4,0 -2670 -130 2570 ЗО8П 160 3250 3180
6 15 -3530 -510 2600 3050
б 15 -3385 -565 2700 3390
15.5 3.6 -3750 -81» 2730 3360 -750 2900 3300
7 16 —4120 -970 2750 3340
7 16 —3920 - НЗЭ 2510 2860
16.45 4.2 -4310 -1080 2515 2855 -1550 2080 3160
8 16,9 —4700 -1210 2520 2850
8 16.9 -4520 —1060 2340 2500
17.15 4.8 —4730 -1230 2310 2500 -2180 1520 3210
9 17.4 -.5000 -1350 2340 2500 -2420 1400 3760
• — 1350 4- к-2800 - 1400 кГ«дР; к - 1.1.
На радиусе г — 7 (при л,) эта замыкающая оп-
ределяет о, (7) —1500 хГ\сМ' (отрелок 6,<7,1:
•
»t (7) » 940 кПем1 (отрезок OiC,).
Повторяя аналогичные построения, можно
определить прелпарительные напряжения но всех
точках лиска.
Эти построения выполнены в верхней части
фиг. 34 н 35.
Напряжения первого расчета в масштабе 1
представлены отрезками, заключенными между
кривыми аа,а, ... а, и M>,t> и замыкаю-
* » 1
IUHMH се, с, ..с, и dd,d ... <7, соответственно.
Значения напряжений ня границах ступеней
и на нх средних радиусах приведены о табл. В.
Как и следовало ожидать, иа внешнем радиусе
при первом расчете зад анное граничное условие ока
залось невыполненным (при г, « —1354) кГсм'
вместо 4-1409 гГ|слг*).
Для устранения этой неувязки необходимо
провести второй расчет, полагая F (ж) — R (ж) «0
|соответствуюшие ему напряжения будем оботиа
чать индексом 0 (о*. =>/>}.
Графические построения, выпилпснные и ниж
ией части фнг. 34 и 3.5, опять проводягеи. начиная
от центра диска.
Исходная замыкающая на участках я» — я,
параллельна оси абсцисс и проводится на прои>
вольно выбранном расстоянии (а примере принято,
что « зд — 2000 к Г ic.M').
Все последующие построения и расчеты произ-
водится в том же порядке и по тем же формулам,
что и я первом расчете.
Результаты второго расчета представлены и
масштабе напряжений 3 отрезками, заключенными
между осью абсцисс и смыкающими qq.q, .,.
н w,v, ... v*
Значения напряжений иа границах ступеней и
иа их средних радиусах приведены в табл. 8.
На внешнем радиусе лиска (при г») о° —
в 4-2800 кГ/сМ'.
Значения истинных напряжений можно полу-
чить путем сложения напряжений, вычисленных
при первом расчете, с напряженнями второю рас-
чета. умиожеииымн на некоторый коэффициент
приведения а.
254
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Последний подбираете* так, чтобы п резуль-
тате этого сложения граничные условна на внеш-
нем радиусе оказались точно выполненными, т. е.
чтобы
* . О
•г 4- М«г — о
или
-1350 *2500 =» 1400 кПе-И1,
откуда к —1,1.
Полученные таким путем истинные напряже-
ния, а также эквивалентные напряженка по энер-
гетической теории прочности на средних радиу-
сах ступеней лиска приведены в табл. 8.
Результаты в пределах точности технических
расчетов совпадают с данными табл. 6, получен-
ными при поверочном расчете диска аналитиче-
ским способом.
Графический способ про-
филирования равнопрочных
дисков. За исходные данные прини-
маем число оборотов диска, материал
диска, внешний радиус диска, размеры
обода, удельную нагрузку по внешнему
радиусу обода />ОЙО(у кГ/смг и допускае-
мое напряжение [о], меняющееся от
сечения к сечению в зависимости от тем-
пературы диска.
Рассмотрим порядок профилирования
диска без центрального отверстия.
Профиль складывается из 8—10 равно-
прочных ступеней, протяженность кото-
рых по радиусу предварительно выби-
рается. Затем в сопряженных системах
координат (х. я/) и (х, я,) строятся
функции F (х) и R (х).
В основу расчета кладется энергети-
ческая теория прочности.
Принимая в центре диска напряжение,
равное допускаемому, проводим замы-
кающую для центрального участка or
х0 до Ху (см. фиг. 34) параллельно абс-
циссе. что определяет напряжение б/ и
я, прн Ху для центральной ступени тол-
щиной й.
На сопряжении со следующей сту-
пенью. имеющей толщину h'. должны
соблюдаться уравнение неразрывности
деформаций
» f Ег
’г ~ " у («г — И’г) “ а кГ1смЧ37)
и условие прочности
os)
откуда
а(1-2и±/4(1-|аЧн',)М»-з<,т
---------2(1- *' + *-) 091
И
’/я + (40)
Решение возможно, если [а] ^а. При
этом корни для а'г [см. формулу (39)|
имеют разные знаки
По смыслу задачи напряжение я'г
должно иметь тот же знак, что и аг
Из условия равновесия [см. формулу
(26)]
Й' я,
Т = 7—’ь-
(41)
Следовательно, для обеспечения раз-
непрочности ступеней, граничащих на
радиусе Гу (при Ху), толщина централь-
ной ступени должна быть изменена в
т|1 раз.
Значения аг и at определяют поло-
жение замыкающей для второго участка.
Повторяя аналогичные построения,
можно установить соотношения т) тол-
щин всех ступеней вплоть до обода
(см пример).
Располагая размерами обода и зная
радиальную нагрузку по его внешнему
радиусу ролО), можно из условия нераз-
рывности (37) (см. пример) определить
толщину ступени диска, примыкающей
к ободу, по которой с помощью коэф-
фициентов перехода ц можно последо-
вательно определить толщины всех сту-
пеней диска.
Окончательный профиль равнопроч-
ного диска получается путем вписыва-
ния плавных кривых в ломаное очерта-
ние построенного ступенчатого профиля.
Аналогично профилируются ' диски,
имеющие центральное отверстие.
В этом случае при профилировании
исходят из необходимого контактного
давления р{ кГ)см* на внутреннем ра-
диусе Г1
на этом
скаемым напряжением [о|.
и из окружного напряжения
радиусе, определяемого допу-
Пример. Проведем профилирование равно-
прочного диска без центрального отверстия, ис-
ходи из данных, приведенных в табл. 9.
Цифры заимствованы из табл. 7, где приве-
дены также механические характеристики мате-
риала диска, необходимые для расчета.
Пределы текучести используемой стали соот-
ветствуют температурному полю диска. Наружный
радиус обода г «а 17,4 еж. Его протяженность по
радиусу 0,6 см. толщина 4,8 см. Число оборотов
диска л —12 300 в минуту. Удельная нагрузка на
внешнем радиусе обода РовоЛ — 1400 кГ)см\
Поставлена аахача спрофилировать равнопроч-
ный диск для условий, в точности соответствую-
щих режиму работы диска, рассмотренному выше
прн поверочном расчете.
Все построения проведены в верхней части
фиг. 34 и 35 пунктиром.
Результаты расчета сведены в табл. 9.
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
255
Допускаемое напряжение в центре диска (о] = По формуле (40)
— 4200 кГ с** определяет первую замыкающую.
На радиусе - 5 см (при х —-г.) о (&) = •1 = 2310 + 0,375-4315 = 3930 кГ1см‘.
— 3810 кПслР (отрезок а,* J, а ог (5)=3920 КГ)СМ> По Формуле (39)
(отрезок оэха (5) — 3880 жГ[сж*. тогда как (см. тайл. 7) [о] = 4150 к/Усл/'. Следовательно, %<в ” Я50
можно уменьшить толщину лиска на этом радиусе. По формуле (37) Коэффициент перехода ив радиусе по формуле (41) г — 5 см
£' °“"F <’/ - рвр 1,83-104 “ 1.87 10» Х 1 - 39Г20 7Ш- -°’908-
• t t
X (3310 - 0,371-3920) - 2310 кГ<см'. Откладывая от точки » (фиг. 34) отрезок b 1 t
По формуле (39) представляющий в масштабе напряжений 8 знаке-
* 2310 (1 - 2-0,375) + У4 (t - 0,375 0,375’)415Й’ - Э-23101 МИ« а^а * 1 JT точки t t
•г “ 2(1 - 0,375 + 0,375’) а< отрезок а^ ,
• Таблица 9
> пор. ч F(x) /?(х) вТ («) •t В- Коэф- фициент h
е %» перехода В мм
я к в кГ1см* ч
0 0 2245 2245 7150 4200 4200 4200 4200 61
1 5 2635 2539 7050 4150 3810 3920 3880 0.906
1 5 2591 2485 3930 4315 4150 53,3
2 7 3288 2763 6950 4100 3300 3950 3680 0,878
2 7 32(9 2704 3490 4500 4100 48,5
3 9 4176 3128 6850 4030 2620 3970 зда 0,864
3 9 4040 3040 2900 4600 4030 41,8
4 И 5158 3580 6650 3920 1900 3940 3403 0,872
4 11 4954 3444 2150 4510 3920 36,5
5 13 6254 4060 6400 3770 9 1000 3760 338) 0,886
S 13 5925 3885 1275 4240 3770 32.4
6 15 7493 4630 6200 3650 -160 3370 3460 1.0
6 15 7170 4465 -50 3370 3400 32,4
7 16 тт 4840 6070 3550 -800 2980 3450 I п
7 16 7653 4715 -695 2530 3380 32,4
8 16,9 8435 5095 7910 3480 — 1450 2520 3480 1.485
н 16,9 8215 5005 -173U 1700 2980 48
.9 17,4 8715 5210 5800 3420 -2450 1400 3380 —
256
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
представляющий напряжение if, строим замыкаю-
щую для участков х, — ж1 н т. д.
Заметим, что для участков ж, — х, и х. — X,
попытка уменьшения толщины (см. на фиг. 35 точ-
* я » »
ки lg — l-j и ftg-йу н т.д.)оказалась недопустимой,
так как на »тнх участках резко возрастает величина
эквивалентного напряжения за счет возникнове-
ния сжимающих окружных напряжений, прн сни-
женных допускаемых напряжениях, в связи с отно-
сительно высокой температурой диска у обода.
Поэтому, начиная с г» 15 СМ (от х0) до обода
(до радиуса г = 16,9 см), толщина лиска принята
постоянной.
Прн г = 16,9 см для диска — —1450 к Г (см?
и »г = 2520 кГ(см‘
а = J^L1^-(_145O - 0,426*2520)=—2440 кГ\сМ>.
На внешнем радиусе обода при г — 17,1 см
задано ог(17.4)= 1400 кГ(сМ< и (о) = 3420 кГ(см'.
Отложим величину а = —2440 кГ)см* в мае.
штабе напряжений (отрезок а 0 вниз от точки а ,
представляющей значение функции Г(Х> для
обода на радиусе г = 16,9 см.
Соединим построенную точку t с точкой о
г ®
(точка Ь представляет величину функции /?(.г)
для обола на радиусе г = 16.9 слт).
Разделим отрезок b I внешним образом точ-
wt
кой w н отношении ц так, чтобы = р.
Замыкающая прямая Л I для обода должна
проходить через точку » и 4. так как при этом
будет выдержано заданное граничное условие
и удовлетворено уравнение неразрывности иа
радиусе г = 16,9 см сопряжения обода с диском.
Замыкающая прямая wk,l,lt определяет радиаль-
ное напряжение обода на радиусе г — 16,9 с.к
(отрезок »•(•)
.°'5od (16,9) - 1703 кГ>см>,
откуда
.^(16,9)
%ск(,в’’>-Л^ -o^k(I69) “
Теперь, располагая значением толщины ступени
лиска в интервале радиусов г = 13 +• 16,9 см,
можно с помощью коэффициентов перехода з]
последовательно подсчитать толщины всех других
ступеней, которые н приведены в последней
графе табл. 9.
Рассчитанный ступенчатый профиль построен
на фиг. 35.
Вписанные кривые определяют профиль спроек-
тированного равнопрочного лиска.
Пунктиром на фиг. 35 представлен профиль
диска, для которого ранее проводился поверочный
расчет.
Метод Н. Н. Малинина [6], [71.
Поверочный расчет диска. В
этом метоле необходимость выполнения
второго расчета отпадает.
Окружное и радиальное напряжения
на радиусе г Z-го участка подсчитывают
по формулам
‘-Pip 2
+ ^-'^)л + (!^ +
-П+ЗалЦ^ Е-’г>+(1-н)х
xLLbr + l+wN;_
_ ! р* л/м1 2г! "J — ед
° г = п ( 1+НГ 1 -tfp 1 +н< ,• 2 (42)
-(3+н> eg,1*1 • rt~О-нЭХ
xLT|lir + L+e!N; +
+ Lz±*wM| •
+ 2г» ’
«где
Г- P-±2*flrrfr-
J । + Н
*-1
Х«н— гк) +-у х
v /л -3)1 4-1 4-нГ «1 —у
х рк+1 “ GJJ.т г+т; I 2 х
Х(П-^) + ^-(^-^)]. (43)
Для подсчета напряжений вначале
определяют постоянные для каждого
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ дисков
257
участка величины L, М, N по формулам
Li = 1 4- Р/ — (I -V Hi—1) ’ll ~
---Y (1+Н|—U+Hi-i) ’ill ^т-1 ~
L**
— 4-11 -hi-(। - hi—i) ’.ii -;
z ri
m, — 11—hi—(i— Hi—,) ’ll! —j*
ri
— (I +H|—(l + Hl-0 ’UlA*!-! —
; 1 C
—у (i-Hi-d-Hi-iJ’iil-p-;
Л, = (ЗН-Н|-(3-НН|-1)’1||Х
I - Hi TM3 ,
. * ȣ, g
+ |1 — Hl — (I—Hi-i)’lil X
x ‘-^fi—Г11 +(Л'“
— (I + Hl—l) 111 i—i —
I . . Cl
— 2" 11— HI— (I — Hi-i)’lll ~yr‘
В формулах (44)
(44)
После определения Lt. Mt и Nt no
формулам (47) находят L*. L**. Л4*. Af“_
N* и N”.
Далее определяют постоянные А и В.
Для диска с отверстием уравнения для
определения постоянных А н В имеют
вил
(I +н)Л -Цн!в«(3 + н) X
г\
[ I + 1*и-1 — - +-£и,~' —
£Гт J
Г * — Hm-1 • 4- Нт-1
Л 2 ~
' т
~ —Г-' С-! j*-(3+Hm-l) X
*“ Pi *FU>^ О
х • — гт 4- (• — Нт-1) X
XL+hi т _ 1 4- Нт-i м«
А 9 I m J IV т-| —
' т
(48)
(45)
Ci" Cl - L Lkr}->
A=l A=J
l-l 1—1
Ч-l “ 2><: ЛО-
A—I 4-2
С -2Ж-. C - SM
*-2 A—I
(47)
Для диска без отверстия В = 0. а по-
стоянную А определяют из уравнения
(1 + Нт-,--!^=1
~~~ .Л""1 £т-1р"(34-Нт-1)Х
х-!^ ^г.+(1-н.-,)'-±Лlr„-
- —г“л-'+
1 — н1—।
+ ~Ё ~Рт- (49)
А-т—1
17 [ом 3
25Я
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ
Для равномерно нагретого диска при-
веденные выше формулы упрощаются.
Окружные и радиальные напряжения
на радиусе г /-го участка подсчиты-
ваются по формулам
/ > . J + e 5;_
а
«/-!
s
о,=
2
С,—
s s«;s:
(53)
*=2
1 - Е
2г’
-Ц—Rt'-
— Rt ) С>
1 + е е 1 -
_ 3 4- р ум’
8 ’ К
2г’
1-Е
(.50)
Затем по формулам (53) находят R*>
R**. S*. S*‘. U*. U?. Далее определяют
постоянные Ci и Сг-
Для диска с отверстием уравнения
для определения постоянных Ct и Ct
имеют вид
г Сг 3 + р Т"? _2 _.
С’ 2 = 8 ’ » > Pl'
g
-г “ о’ _
2 к<п-1
1 + Е о'
2 5
(54)
Для подсчета напряжений вначале
определяют постоянные для каждого
участка величины R, S п U по форму-
лам
1 ~Е 5
гл
g I
г 3 + И
C.J------у—
2 ит-1 —
R
1 ~ Е
I
. 4
1 41,_!
1—«7
I - и
Vr'2
ГП
+ Рт
|де
(51)
Для диска без отверстия Cj — 0, а по-
стоянную С| определяют из уравнении
/. 1 4" Р п* _ J ~ Е п”
I I----~ Кт-1 — ч «т-1
ir т
.1 1 + 1* Ц*
т 2 Um~I
—2 "m-l
3 + E Т<»!/
5 g (
Ci
Е
+ Риг (55)
(52)
Пример. Произвести поосрочиый расчет на
прочность лиска, рассчитанного ранее метолом
М. И. Яновского. Ток же как и раньше, щтофиль
лиска разбит на девять участков (фиг. 27, я). Тол
шины участков, величины 0, а также величины
модуля упругости н ковффиииента Пувссона по
средин» радиусах участков, принятые постоянным»
дли участков, приведены и табл. 10. Далее по
формуле (461 подсчитаны Г, а затем по формулам
(44) — (47) величины !♦. t”, N* и N*-’.
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
259
ГаЛлпца М
ЛХ/» в 0S6E 096S 01» 01» •3810 3580 3280 ОИК 006J 1520 1400
«жлу* 8 09» 01» 1 § 8 F» о Г-. м s О1 7 i 7 11
OP»* N 1 S 7 4 7 «0 8 1 ЯГ й 1 в 7 «А Я 1 я 7 я 1
Ok. V 1 я в 7 3 7 5 7 -0,831 $ 7 8 7 * 7 Кб'0-
iO\‘N 1 ! 7 8 7* й 7 —0,380 —0,565 § 7 0,548 0W0
м 7 1 — т ю о 1 оо 1 и> 1 a i я । Я 7 04
.7 1 -0,0860 3 7 . 5 7 -0,786 я 7 4 7 8 7 8 7
7 1 в 7 ИГО- -0,225 еое’о- —0,121 g 7’ д о Д о
1 в еч <п ь- ОС 2 4 о в
й© Q~-eO еоео
<0fJ °’'Я ats 888 §5я го ш
«0t-Y S о д о 0,300 0,355 я о 0.580 0,570 В § Q
М s о 0,375 0,380 % О !- 0,409 3 о 0.426 0.430
Jt-Jljfi я 9-01 •? ч й 4 4 4 в 9 5 н
>01 •« ses 388 с’сечм 8Яв М ММ ®жя мм’* S8h Ц89 *ом»ч> 9В8 «ОСОГ^ 8Я8 р»е»г«Г 6Я8 ьГгчГао
лг J 8 |/ I fw «г М еч м <© * о *г <0 04 V оо «г
WJ Я 1 •О СЧ1Л ЮЮг* г^вОО» а»О — u 12 13 2X2 15 15,5 16 6 91 59*91 91 941 Sl'il 6'91
' MUIlO 1 - еч со * uo О Гш я> О
17
260
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ
После этого из уравнении (49) найден* постои»-
кая интегрировании А = 2,17-Ю-\ а затеи по
формулам (42) определены напряжения иа средни!
радиуса! участков.
Результаты подсчетов приведены г тайл. Ю.
Сопоставление последних двух граф табл. 6 и 10
показыт-ает, что величины напряжений, полечи
тайные двумя различными методами, одни и те же.
Расчет диска, посаженного
на вал с натягом, и определе-
ние освобождающего числа
оборотов. Равномерно нагретый диск
переменной толщины h, внутренний ра-
диус которого rt, а наружный г„,. поса-
жен на вал с натягом по диаметру б.
Интенсивность равномерно распределен-
ной по наружной поверхности нагрузки
при рабочей угловой скорости ш„ равна
р кГ'см4-.
Так же как и раньше, профиль диска
разбивается на участки постоянной тол-
щины, а затем по формулам (51) и (53)
определяются величины R*,, R. , S*., $?
lfi и U**
Контактное давление на поверхности
соприкосновения диска с валом Р\ при
заданной угловой скорости ы находит
путем исключения из приведенных ниже
уравнений величин С> и С? и определе-
ния величины р(:
В уравнениях (56) — — — отноше-
ннс внутреннего радиуса вала г„ к на-
ружному <ь г,; х — коэффициент, за-
висящий от отношения толщины диска й,
на радиусе г( к наружному диаметру
вала 2г, is 2г, и величины k,.
На фиг. 36 приведены графики зави-
симости коэффициента х от величин
Й| ,
п - И й|.
2г
«I
Для определения освобождающего чи-
давление обращается в нуль, необходимо
в уравнениях (56) принять р} = 0 и, ис-
ключив С| и Сг, найти освобождающую
угловую скорость шосв. По этой угловой
скорости вычисляют освобождающее
ЧИСЛО оборотов Поев-
Для определения напряжений при
рабочем числе оборотов необходимо
в уравнениях (56) принять <>» и ре-
шить полученную систему относительно
Pi. С| и Су. После этого напряжения
определяют по формулам (50).
Пример. Определить освобождающее число
обороток .и иппряжеция при рабочем числе обо
ротон пр —3000 в минуту яле равномерно нагре-
того диска переменной толщины (фнг. 37), поса
же иного на сплошной вал с натягом 4 — 0,01157 см.
Модуль упругости, коэффициент Пуассона и вес
сити цы объема материала лиска 4«Г,1-1»
«Г/слП, р — 0,3. г - 0,0078 кГрм'.
Модуль упругости, коэффициент Пуассона
н вес единицы объема материала вала те же, что
и соответствующие величины для материала диск»
Профиль диска разбиваем иа 12 участков
(фиг. 37). Толщины участков приведены в табл. II.
Далее по формулам (51) и (56) подсчитываем Ц,
S. U и PJ, Яр, «р. UJ н Uf*. Результаты
подсчетов сведены в табл. 11, По графику и»
фиг. 36 для 4, — 0 и -S — — 0,836 находим
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
261
-
ГаЯлица II
» 1 9 9 <- К 2 а •с от • «0 ЛР»$ 1 И • 1 а •/ кПем* 1 4
1 8 10 12 13,4 — 15-30 1210 -102 174
2 12 14 18 7,52 -0.779 -0,779 0.779 -112 -5,41 -5,41 -0,779 -112 -на —16,2 1040 616
3 16 18 20 3.87 -0.943 -1,57 -2,34 -513 -8.01 -13.4 -2.83 -331 -443 -101 1160 1210
4 20 22,5 25 2,91 -0,330 -0,961 -3,33 -905 -4,52 -17,9 -4.64 -256 -699 -203 1290 1500
5 2S 27.5 30 2, «9. -0,0940 -0,345 -3.67 -ИЗО -1,49 -19,4 -5,57 ’ -112 - 8t2 -т 1340 1500
6 30 32,5 35 2,42 -0.0992 -0,379 -4,06 -1460 -1,58 -21,0 -6,99 -152 -961 -410 1370 1500
7 35 37,5 40 2,18 -0,110 -0,446 —4,50 -2010 -1,81 -22,8 —9,21 -217 -1180 -676 1390 1500
8 40 42.5 45 1,96 -0,118 -0,514 -5.01 -2830 -2,06 -24,9 -12,5 -297 -1480 -1150 1410 is»
9 45 47,5 50 1,72 -0,134 -0,635 -5,64 -4120 -2.52 —27,4 -17,6 -426 -1900 -2010 1420 1500
10 50 52,5 55 1,50 -0,147 -0,769 -6,41 -6040 -3,00 -30,4 -25.2 -590 -2490 -3490 1430 1500
11 55 57,5 60 1,30 -0,154 -0,902 -7,32 -8770 -3.54 -34,0 -35.9 -т -3270 -5830 1440 1500
12 60 63 66 2,80 0,536 3.54 -3,78 -3970 13.8 —20.1 14,0 3370 102 6300 1110 1040 525 400
262
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЯ
Фиг. 38.
>— 0,92. После атого из уравнений (86) получаем
ijeode + 0.163С, - 1,29- 10~ ®л’ + 6,15р - 12 700;
М,ос,- С»—6л’ +
+ 64р,-О. 0 _
S.HC, - 0.0J22C, - ”
- 18,1.10“ 6л’ -0.
„ где
Путем исключения из
трех полученных уравне-
ний постоянных имтегрн К, —
рования С) и С» угтаиапли-
наем эапмсимость контакт*
•юго давления от числа
оборотов а мема1
^,-610-56,5 (л-10- ’)’•
(1 +м)С
Г 1+в
Н« Фиг. 38 представлен график этой вависи
мости. Из этого графика следует, что контактное
давление и неподвижном диске (л—0) р, —
— 610 кПем', величина контактного давление при
рабочем числе оборотов (Лр—3000 об,мин) р,—
— 102 кПсм', освобождающее число оборотов
noct — 3290 в минуту.
После определенна контактного леплении ллв
рабочего число оборотов из полученным выше трех
уравнений находим соответствующие атому числу
оборотов постоянные интегрирования С, —
«Л? кГ1см\ С, — 51 ПХг кГ и зятем по форму-
лам (60) подсчитываем напрвжения на серединах
участков. Результаты подсчетов приведены в
табл. 5.
На фиг. 37 изображены эпюры напряжений при
рабочем числе оборотов.
Метод Р. С. Кинасошвнлн *. а) По-
верочный расчет диска |3|
Обозначения: р — плотность ма-
териала диска в кГ•секшем*; Е—модуль
упругости материала в кГ/см?; я—коэф-
фициент линейного расширения мате-
риала; р— коэффициент Пуассона; ы —
угловая скорость вращения диска в
рад/сек; г. R— независимые переменные,
означающие радиальное расстояние, в см;
Ь—наружный радиус диска в см;
а—радиус центрального отверстия в см;
Л—толщина диска на радиус г в см;
Т—температура диска на радиус г в °C;
о,—радиальное напряжение в кГ)см*;
а,—окружное напряжение ькГ!см-; <згЬ—
радиальное напряжение на радиусе,
вызванное силами инерции лопаток и
замков, в кГ/см*; о.к—эквивалентное на-
пряжение в к Г/см*.
Напряжения определяются для не-
скольких расчетных точек радиуса (5—6
точек). Для сплошного диска прини-
мается приближенное равенство ага—а1а
на небольшом радиусе г — а— —
— Коэффициент Пуассона очень
Д)/
мало влияет на величину напряжений,
поэтому в приведенных ниже уравне-
ниях он принят постоянным.
Первое приближение радиального на-
пряжения определяется по уравнению
— ЕчТ + а'+*апТа- (58)
а Значения интегралов находятся путем
численного интегрирования.
Если диск сплошной, то постоянная В,
входящая в уравнение (57), равна нулю;
радиальное напряжение на небольшом
радиусе а определяется из условия на
внешнем контуре:
а г»
- J у- Kdr + ('«’Jгй
«,а------------------т----------(59)
--------------йа
* Раздел написан Р. С. Кннасошвкли.
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
263
Если диск имеет центральное отверстие и напряжение ага на внутреннем кон-
туре задано, то постоянная В определяется по уравнению
/)-
(60)
Найдя значения постоянных, вычисляют по уравнению (57) напряжения вг),
затем определяются значения второго приближения радиальных напряжений по
уравнению
R
ап
рм2
dr -f-
(61)
Если диск сплошной, то постоянная
а'-Н*
• А^~Р—(>—
ся •
Напряжение ага определяется по уравнению*
» а ь I
(62)
•re
h £(1 — p*)(* ММ,. . .
- -1——d-rfr-d-i*)»,, dr
тп— dr
(63)
Если диск имеет нейтральное отверстие, то постоянная А определяется но
уравнению
Ь О Ь Ь а
Jy Kdr + P"’J rhdr- J у * Jdr—(I—p) a,! dr- п^,а
A -----°---------2-----2----------2--------------. (64)
Третье приближение всегда хорошо совпадает со вторым, поэтому можно
остановиться на втором приближении ari. Окружные напряжения определяются по
уравнению
+ (65)
u
a
264
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ
Эквивалентные напряжения, вычисленные по уравнению
- К ЯГ +
(66)
не должны превосходить допускаемых напряжений.
61 Расчет диска с учетом пластической деформации см. гл. IX. стр. 282.
в) Профилирование сплошного диска по эквивалентным до-
пускаемым напряжениям. Допускаемые эквивалентные напряжения (а,д)
по радиусу диска выбираются исходя из величин пределов текучести или пре-
делов длительной прочности материала, соответствующих температурам диска.
Радиальные напряжения определяются по уравнению (67) метолом последо-
вательных приближений:
к - $ r^Tctr ~ ЕаТ + аН^ота
а
Постоянная А для всех приближений остается одной и той же:
,,‘+>
д — ~р— (1 — и) яГи — —р— (I — р) .
*-fl со
Полагая в правой части уравнения (67) о, — ом, определяют первое
приближение о,(. Второе приближение определяется по o,t. Третье приближе-
ние мало отличается от второго, поэтому можно ограничиваться вычислением а,2.
Окружное напряжение определяется во уравнению
(1 — п*)£ Г г**е, ах+* Е
J dr +-g— (68)
а
«
Толщина диска в расчетных точках радиуса определяется по уравнению
с
Г
J ----—------dr + Ш «„ - in
II. hfe • (69)
где c—расстояние от центра диска до обода; hr — толщина диска под ободом.
Величина he определяется по уравнению
мо,<•—»tr + [тТё ~ е] + lc,(| -Н) + *ЖГ» + Н)1 4-
Л, — Ла J г^2 . с» I •
- [&=»+•]
где йд—толщина обода, определяющаяся из условия прочности обода в местах
крепления лопаток.
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ОБОЛОЧЕК
255
Величина т, входящая в уравнение (70),
определяется из условия, что темпера-
тура по толщине обода изменяется по
закону прямой:
Т — п + тг.
Проверка прочности обода произво-
дится по эквивалентным напряжениям,
которые не должны превосходить до-
пускаемые.
Радиальное напряжение о,й. вызы-
ваемое весом лопаток и замков, опре-
деляется обычно. Радиальное напряже-
ние на внутреннем контуре обода, считая
его распределенным равномерно по
всей ширине обода, определяется по
уравнению
,7,)
Окружные напряжения на внутреннем
и внешнем контурах обода определяются
соответственно по уравнениям
Earn ( 2Ьг
а,е ~ 3 [ * + с
х с»(1 -р) + &(3 + (1) +
2&« <
+ а'0 ьг — с» Ь* — с’ J * 72
Earn Г (Ь—е)(2с + ЬЙ ,
°"’------Г I-----ГГс-------] +
+ р(3 + и) + &?(1—и) +
Ьг + сг , 2с2 1
+ ’rt> 1)2 — ct °ГС 62 —^2 I ‘
Если эквивалентные напряжения выше
допускаемых, то вносятся изменения в
размеры обода или в первоначальные
условия.
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ
ОБОЛОЧЕК
Тонкостенная цилиндрическая обо-
лочка среднего радиуса R со свободными
концами вращается относительно сво-
ей оси с постоянной угловой скоростью ш
(фиг. 39). Окружное напряжение, воз-
никающее в оболочке.
9‘" g '
Тонкостенная цилиндрическая обо-
лочка среднего радиуса R толщиной h,
длиной I с закрепленными краями вра-
щается относительно своей оси с по-
стоянной угловой скоростью «>.
Расчет
оболочек
Фиг. ТО.
производится так же, как для
с внутренним давлением, рав-
<jRh
ным р = •( ———. и соответствующими
краевыми условиями (см. стр. 204, 205).
Коническая оболочка с толщиной,
изменяющейся по линейному закону,
вращается вокруг своей оси и нахо-
дится под воздействием контурных
радиальных сил и изгибающих момен-
тов (4) ♦. На едини-
цу длины окружности
внутреннего контура
приходится сила Рх и
момент А4|, а на еди-
ницу длины окружно-
сти наружного кон-
тура — соответственно
сила Рг и момент Мг
(фиг. 40).
Оболочка прини-
мается тонкой с соот-
ношением — 10-=-
т-20. Угол наклона
образующей оболоч-
ки к оси в пределах
от 78 до 90°.
В мери-
диональном
сечении та-
кой оболоч-
ки возника-
ют нормаль-
ные напря-
жения рас-
тяжения в) н
сечении, перпендикулярном
изгиба в(. В
к меридиану, возникают нормальные на-
пряжения растяжения a'f и изгиба ог.
Напряжения изгиба в дальнейшем рас-
сматриваются для точек, находящихся
на внутренней поверхности оболочки.
Для определения напряжений изгиба на
* Раздел написан А. Д. Коваленко.
266
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Коэффициенты дли расчета ара
1 4. cig « — 0,5
•о •» •, «. о «9
0 0,13245 0,064103 0,13706 — °? 4-00 0,070672 0,064100
0.1 0,14487 0,060290 0,14849 -2,0137 7,4589 0,687550 0,032383
0,2 0,15159 0,065605 0,16221 -0,27163 1,8553 0,099108 -0,0064025
0,3 0,15259 0,049851 0,17913 -0,083533 0,78683 0,10534 —0,055954
0.4 0,14790 0,041182 0,20072 0,019697 0,40667 0,10626 —0,12136
0,5 0.13750 0.О29842 0,22964 0,029842 0,22964 0,10185 —0,20762
0,5 0,12140 0,013065 0,27110 0,027455 0,13381 0,092125 -0.33303
0.7 0,099503 -0.014370 0,33720 0,021151 0,076770 0,077073 -0.53107
0,8 0,072105 -0,067905 0.46381 0,0138765 0,040554 0,066705 -0,90183
0.0 0,038903 -0,22374 0,82876 0,0066989 0,016499 0,031013 -1,9310
1.0 0 — оо 4-00 0 0 0 — оо
fc 3, В. 6, 8. 8. 3.
0 0,13246 0,064108 0.13706 4-00 — оо o.w.w 0,064103
0.1 0,14833 0,049344 0,14446 8,2196 -8,1419 0,10204 -0,005961
0,0 0,161Ю 0,030854 0,15193 0,7704 —2,4203 0,13213 -0,092245
0,3 0,17156 0,007129 0.15917 0,28224 -1,2793 0,16393 -0,19989
0,4 0,17912 -0,024275 0.16559 0,098720 -0,84692 0,18843 -0,33650
0.1 0,18377 -0,067660 0,16991 0,007976 -0,62918 0,21166 -0,51408
0,6 0,18561 —0,13138 0,16914 -0,044360 -0,50013 0,23961 -0,76275
0,7 0,18465 -0,23434 0,15528 —0,077630 -0,41507 0,26326 -1,0901
0.8 0,18088 -0,43112 0,10125 -0,10024 -0,35469 0,28564 -1,6073
0,0 0,17430 -0,98217 -0,14567 -0.11633 -0,30945 0,30673 -2,5319
1.0 0,16492 — оо — оо 0 0 0,32653 4-00
т. Ti 1» 1. Ъ Т 1-
0 0,21885 — 0,35714 0 4-00 4-00 0,30259 —0,71430
0.1 0,21484 - 0,42730 - 0.037832 6,8159 6,8324 0,30571 -0.84701
0,2 0,20687 - 0,52118 - 0,092911 1.1139 1,6301 0,30142 -1,0043
0,3 0,19492 - 0,65210 - 0,17623 0,41938 0,68412 0,28970 -1,1936
0.4 0,17900 — 0,81462 - 0,30887 0,19992 0,35556 0,27057 -1,4252
0,5 0.16910 — 1,1489 - 0,53537 0,10720 0,20371 0,24401 -1,7137
0,6 0.13523 — 1,6817 — 0,96349 0,000713 0,12108 0,21005 -2,0765
0.7 0,10738 - 2,7748 - 1.Л06 0,034459 0,071074 0,16866 -2,5155
0.8 0,075561 — 5,7327 — 4,6752 0,018266 0,038486 0,11965 -2,8397
0.9 0,039767 -30,799 —19,904 0,0076408 0.016069 0,063636 0,21318
1,0 1 0 — оо — on 0 0 0 + оо
РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ОБОЛОЧЕК
267
Таблица /2
шаюшихся конических оболочек
A ng»-1 '•v — ctg« = 2 Ли
•l «, в, «1 * «а
0,29575 0,31927 0,34466 0,37227 0.40252 6.4Э60Я 0,47406 0,61843 0,57445 0,66505 4-оо — оо -17,379 - 3,6074 — 1,2392 - 0,49953 - 0,20762 - 0,060238 - 0.023980 - 0,0016232 0,0036204 0 4-00 5.9854 2.2979 1,2097 0,71107 0,43608 0,26835 0,15954 0,066165 0,035474 0 -0,0050145 0,014390 0,029594 0,040596 0,047396 0,050000 0.048403 0,042603 0,032602 0,018401 17 0,064103 -0.077841 -0,25059 —0,46107 -0,71857 —1,0360 -1,4324 -1,9384 -2,6124 -3.6245 0,60182 0,64029 0,65790 0,64291 0.57618 0.42432 0,12348 -0,46693 -1.7406 —5,5165 — оо — оо -32,620 -10.450 - 4,5229 - 2,1485 — 1.0360 - 0,47905 - 0,19760 - 0,06265 - 0,008649 0 — оо —49,648 - 6,9624 — 1,0895 0,18522 0,42432 0.384125 0.27553 0,16448 0,071144 0
0. 8, 3. К 8. 5. h К
0,29575 0,30821 0,31138 0,29924 0.26128 0,17766 0,0071825 -0,34807 -1,1970 -4,0827 — оо 4-оо 21,842 6,1165 2,8603 1,5853 0,92930 0,53710 0,27961 0,10036 -0,090243 0 — оо -2.5678 -1,6754 —1,3788 -1,1923 -1,0496 -0.93215 -0,83103 -0,74220 -0,66295 0 -0,0060145 0.040CS4 0,088401 0,13901 0,19460 0,25250 0,31360 0,37790 0.44530 0.51608 0.58996 0,064103 —0,22554 -0,56855 -0,96006 -1,3792 —1,7661 -1,9518 -1,4498 1.4864 16,811 + оо 0,60182 0,59871 0.50090 0.25700 — 0.21592 — 1.0587 — 2,5293 - 5,1537 -10,214 —22,131 — оо + оо 19,434 11,576 7,9110 5,5327 3,8372 2,5768 1,6187 0,88180 0,31203 0 + <» 77,296 18,916 6,7101 2,2207 0,21006 -0,74440 -1,1754 -1,3233 -1,3102 0
It 7. It 7. It Т« Ъ Т<
0 - 0,16306 - 0.39871 - 0,75036 - 1.2993 - 9,2137 - 3,8'103 - 7,4707 -17.508 -70,308 — 00 — оо —5.9001 —1,5317 —0,58595 -0,24112 —0,093655 -0,022044 0,0067720 0,014629 0,010585 0 + “ 22,438 5.6700 2,5231 1,3772 0,81*71 0,50115 0,30006 0,16458 0,069196 0 0,23452 0,26377 0,28131 0,28713 0,28126 0,26364 0,23434 0,19332 0,14069 0,076152 0 —1,4286 -1,6335 -1,7087 -1,5200 -0,81840 0,94716 5,1154 15,622 48,408 231,74 + “> 0 — 0,66004 - 1,5800 - 2,8891 - 4.7486 — 7,4731 -11,650 -18,662 -31.722 -66.730 — оо — оо -93,207 -24,714 -10,354 - 4.9448 - 2,4211 - 1,1362 — 0,47110 - 0,14516 - 0,014717 0 — оо -5,5473 3,2396 8,7862 3,1679 2,3877 1.6875 1,1136 0,64518 0,27918 0
268
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКПИИ
< с A ctjr. = оз Ли 4 '<-1
8. «. 8, а. «» 1,
0 0,21485 -0,35714 (1 — оо — ©о 0.30259 -0,71430
0.1 0.'309 ю —0.39261 -0,025061 -8.1585 -6,1852 0.29556 -0,78104
0.2 0.19719 -0,43799 -0,068352 -2,2523 -1.2161 0.28336 -0.85553
0.3 0.18222 -0.49827 -0,10440 -1,0283 -0.39575 0.26600 -0,93962
0.4 0.16418 -0,58263 -0,17154 -0,56239 —0,14868 0.24349 -1,0354
0.S 0.14398 —0,70925 -0.27670 —0.33242 -0.054972 0.21580 -1.1456
0.6 0.12071 -0,919-13 -0.45926 -0.20128 -0.016256 0,18296 -1,2494
0.7 0.094680 -1,3271 -0.83074 -0,11937 —0,00076060 0.14496 -1,4059
0.8 0.065835 -2,3664 -1,8288 -0,064929 0,0089261 0.10180 -1,4639
0.9 0,034315 —7,3236 -6,8852 -0,027121 0,0032970 0,053480 -0,33403
1.0 0 — оо — оо 0 0 0 4-ео
«V <1 «, «. <0
0 0 0 0 -1- оо 4-00 0 0
0.1 0,0016 -0,0022 -0,0001 0.74Q0 0,3057 0,0022 -0.0056
0,2 0,0065 -0,0125 -0,0003 0,5767 0,1821 0,0093 -0.0248
о.з 8z°iS? —0,0321 -0,0037 0,4645 0,1162 0.0217 -0,0630
0.4 0,0279 -0,0664 -0,0108 0,3743 0.0742 0.0401 -0,1275
0.5 0,0448 -0,1236 -0,0269 0,3066 0,0460 0,0652 -0.2298
0,6 0,0665 -0.2196 -0,0621 0.2274 0.0267 0,0974 -0.3878
0,7 0,0900 —0,3900 -0.1422 0.1644 0,0138 0,1373 -0.6325
0.8 0.1249 -0,7369 -0.3491 0,1060 0,0057 0,1856 -1,031
0,8 0,1123 -1.734 -1,118 0,0614 0,0013 0,2428 -1.639
1.0 0.3056 *- ©с — оо 0 0 0,3096 + оо
внешней поверхности оболочки следует
взять полученные значения с обратным
знаком.
В направлениях внешней нормали
к срединной поверхности оболочки имеют
место перемещения w.
Указанные напряжения и перемеще-
ния вычисляются по формулам
w — («о<>о + *|C| + «jCs 4 «iCj +
+ чСй •pc- + Сь
СЛО
“ аоао + atCi + «jCj -f- ojC'j +
+
°( “ ₽e’o + p.c, ;t-+ Р»Сз +
„ +
— 7o«o + 11^1 + 'ttC2 + TuG +
» + 7<C<:
“ 4ao + *1^1 + SjCj + tjCj +
+ №
(74)
В этих формулах o0 — u»!/’ sin* a.
а. /в, /| и It, ho. hi н h2 — геометриче-
ские величины, указанные на фиг. 4<>.
Значения аж> рж, а* (К“0, 1,
2, 3. 4) для разных значений г и пара-
*о
метра сtg а приведены в табл 12. где
"а
Р - 0.3.
Постоянные Ск(к—1, 2,3,4) нахо-
1 Г РАСЧЕТ ВРАЩАЮЩИХСЯ ОБОЛОЧЕК 269 Лроюлжгпне табл. 12
^ctg«=2
4. 8> 4. 4, 1, 4,
и - 0.1М04 - 0,25073 - 0,44575 - 0,72503 - 1,1520 - 1.К71Ж _ 3,2802 - 6.9098 -24.443 — оо -f-oo -5,3527 -2,9074 —1,6954 -1,0457 -0,65870 -0,41186 —0,24720 -0,13421 -0.055375 0 — оо -23,427 - 4,9284 - 1.6675 - 0.64238 - 0,24197 - 0,073144 - 0,0045482 0,016593 0,014189 0 0,23152 0,24773 0,25279 0,24971 0,23847 0,21909 0,19137 0,13589 0,11208 0,060114 0 -1,4286 -1,5320 -1,5491 -1,4316 -1,0664 -0,23171 1,5824 5,7930 17,840 79,218 4-ео 0 - 0,43796 - 1,0027 - 1,7368 - 2.7061 - 4,0183 - 5,869» - 8,6714 -13.504 -24.709 4-00 4-00 59,318 .5,8532 -0,52469 -1,4117 -1,2422 -0,88811 -0,55945 -0,30281 -0,11979 0 4-00 -46,570 —14.978 - 6.1045 - 2.6121 - 1,0571 - 0,34304 — 0.Q38829 0,061841 0,057093 0
•» а. *, •о « *» «• а,
0 -0,0004 -0.0039 -0.016» -0,(462 -0,1141 -0.2610 —0,5874 -1,405 -4,294 — оо — оо 1.060 0,9535 0.8260 0,6956 0.5674 0,4434 0,3244 0,2108 0,1027 0 4-00 1,212 0,7474 0,4852 0,3138 0,1960 0,1145 0,0604 0,0245 0,0058 0 н 0,0018 0,0078 0,0189 0,0361 0,0603 0,0925 0,1334 0,1811 0,2456 0.3186 0 -0,0110 -0,048t —0,1158 —0,2134 —0,3241 -0,3844 -0,1750 1,145 8,548 • + оо 0 -0,0017 —0,0158 -0,0631 -0,1808 -0,4341 -0,9479 -1,981 -4,163 -9,568 4-00 — оо -0,6939 0.4699 0.8823 0,9663 0.9337 0,7969 0,6153 0,4127 0,2044 0 — оо 3.319 2,421 1,715 1 169 0.7560 0,4517 0,2378 0,0992 0.0231 0
дятся из условий для напряжений на ння на закрепленном крае оболочки, контурах; Так как угол образующей оболочки с при / — /( осью вращения близок к прямому, то , р „ 6Afi приближенно осевые перемещения равны 0,1 *“ ~й sing ’ a'i “ —2 • перемещениям по нормали к поверхно- п* sin сти оболочки w. поэтому условие для . • определения С5 таково: w — 0 при 1 — /(. при — т Для вращающейся оболочки с неболь- о'г2 — - ; о',,— шим отверстием (/> <О,2/о), свободной rtTsin а на внутреннем и наружном контуре or внешней нагрузки, наибольшее суммар- где и п, — меридиональная коорди- ное напряжение от растяжения и из- ната и толщина на внутреннем контуре оболочки; It и Л2—меридиональная гиба получается при ~• ctga < 2 на вну- координата и толщина на наружном "о контуре оболочки. треннем, а прн ctga>2 на наружном Постоянная С» определяется из уело- 1 Ло “ 17 вия равенства нулю осевого перемете- контуре.
270
РАСЧЕТ ДВИЖУЩИХСЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Пример. Определить суммарное напряжение
на внутреннем контуре, а также прогиб на наруж-
ном контуре во вращающейся конической обо
дочке из алюминиевого сплава (т = 2.5 а/слт»; Е — '
= 0,7.10' кгкжЧ, если Р, = М, «= Р, — Af, — ».
а п = 10 000 об/мнн.
Размеры оболочки I. = 10fu; I, = 0,21.; lt =
=Ч9(„. 1.= 20 см; « = 84°17'.
Вычисляем ~ etg « = 10 etg 84®I7' sa 1;
я*
2«10000
60
— 1045 1/сек;
Or- ^gi^o»-’045*-201 ‘In’ M‘17' - 1107 “ЧС1Р.
L
Принимая для — etg т = 1 из табл. 12 коэффи-
циенты «ж я (» — 0, I, 2, 3, 4) и приравнивая
меридиональные напряжения на внутреннем и на-
ружном контурах оболочки нулю, получаем систе-
му уравнений для определения неизвестных по-
стоянных Cj___4:
0,099108-1107 - O.OU64925C, +
+ ОД4466С. — 3.6074С, + 2.2979С, - 0;
0,081013-1107 - 1.93I0C, +0,56505С, ф
4 ОДД62МС, + 0.035474С, = 0;
0.30142-1107 - 1.0043С, - О.39671С, -
- 1,53174; + 5.67DOC, - 0;
0,063636-1107 + 0,21348С, - ТО.ЭОвС, +
4 0Д10585С, + 0Д69198С, =0.
Решая ату систему уравнений, получим сле-
дующие значения постоянных.
С, — 17.05 KtiCJP; С, - 0,99 «а/сж»;
С, = —6,09 кг/сдИ; С, — —57,40 кг/ся'.
По полученным значениям постоянных С>_д
и данным табл. 12 можно определить напряжения
и перемещения в любой точке оболочки. В данном
случае, ввиду того что - etg я = 1 <2, иаиболь
Яч.
шие напряжения будут иметь место иа внутреннем
контуре оболочки.
Используя табл. 12, находим на гнутреиием
контуре U = 0,2/„) по формулам (74)
о( —я' +»* — 204 + 599 = 803 кг!ся".
ш, — —0,0111+ С,
и на наружном (I — 1,)
V, - 0,0673 + С„
Полагая на внутреннем контуре хв. — 0, опре-
деляем С, — 0,0111 и w = 0,0784 см.
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
1. Беляев Н. М., Сопротивление материа-
лов, ОГИЗ, ГИТТЛ, 1953.
2. Жнрицкий Г. С., Конструкция и рас-
чет на прочность деталей паровых турбин, Гос-
чнергоиздат. 19 >5.
3. К и н а с о ш в и л и Р. С-, Расчет иа проч-
ность дисков турбомашин, Оборонгиз, 1964.
4. Коваленко А. Д.. Теория расчета ив
прочность колес турбомашин, АН УССР, 1950.
5. Левин А. В., Рабочие лопатки и диски
паровых турбии, Госянергоиздат, 1953.
6. Малинин Н. Н., Расчет вращающегося
неравномерно нагретого диска переменной тол-
щины. .Инженерный сборник,* т. XVII, изд.
АН СССР, 1953.
7. Малинин И. Н„ Расчет вращающегося
диска, посаженного на нал с натягом, МВТУ имени
Баумана. Расчеты на прочность, жесткость и
ползучесть в машиностроении, Сборник 26. Маш-
гнз, 1953.
8. Малинин Н. Н„ Изгиб турбиииых ло-
паток, .Известия Академии наук СССР, Отд. техи.
паук*, М 4. 1954.
9. Малкин Я. Ф., Профилирование тур-
биииых дисков в связи с расчетом на прочность
и вибрацию, ОНТИ НКТП СССР. 1937.
10. М о и с е е в А. А., Конструктивные расчеты
корабельных турбоагрегатов. Суапромгиз, 1948.
II. Пономарев С. Д.. Расчет и конструк-
ция витых пружин, ОНТИ НКТП, 1938.
12. Пономареп С. Д„ БндермаиВ. Л„
Лихарев К. К.. М а к у ш и и В. М., М а-
линии Н. Н.. Ф е о л о с ь с в В. И., Основы
современных методой расчета на прочность в ма
шиностроении (Расчеты при динамической на-
грузке. Устойчивость. Ползучесть). Машпи, 1952.
13. Р а 6 о т и о в Ю. Н.. О лиске ровного
сопротивления, .Прикладная математика и меха-
ника*. изд. АН СССР, т. XII. вып. 4. 1948.
14. Тихомиров Е. Н., Курс сопротивления
материалов. ОНТИ ГТТИ, 1934.
1о. Тумаркин С. А., Напряжения и ободе
ео спинами и лопастями, .Трупа ЦАГИ*, вып. 271,
1936.
16. Тумаркин С. А., Методы расчета на
пражский во вращающихся дисках. .Труды
ЦАГИ*, вып. 262, 1936.
17. Яновский М. И., Конструирование и
расчет на прочность деталей паровых турбин,
АН СССР, 1947.
18. Энциклопедический справочник .Машино-
строение*. т. 1, кн. 2-я. и т. 2, Машгиз, 1941 и 1948.
ГЛАВА IX
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
РАСЧЕТЫ ДЕТАЛЕЙ С УЧЕТОМ
ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
Брус
Изгиб
Ниже приводятся формулы для рас-
четов за пределами упругости изогну-
того бруса с поперечным сечением,
имеющим (если не будет специально
оговорено) две оси симметрии (фиг. I.а),
одна из которых лежит в плоскости дей-
ствия изгибающего момента |3|. |20|,
(211. (34]. Диаграммы растяжения н сжа-
тия материала бруса одинаковы. В слу-
чае поперечного изгиба используется
гипотеза плоских сечений, и касатель-
ные напряжения я поперечном сечении
в расчете не учитываются.
Построение диаграммы изгиба по
диаграмме растяжения и определе-
ние напряжений. Зависимость между
напряжениями о и деформациями t опре-
деляется диаграммой растяжения мате-
риала (кривая ON на фиг. 1, б), полу-
ченной экспериментально.
Зависимость изгибающего момента М
1 .
от кривизны — (р — радиус кривизны
изогнутой оси бруса) устанавливается
следующими выражениями:
М — -Л— ( abtiii.
2е *
* им <
। 2«т1ж
f> h
(I)
(2)
где а — нормальное напряжение; с — со-
ответствующая ему линейная деформа-
ция в некоторой точке поперечного се-
чения, «тах — линейная деформация
в точках поперечного сечення. наиболее
удаленных от оси г; Л — высота попе-
речного сечения, b — Ь (у) — ширина по-
перечного сечения.
Для построения графика зависимости
изгибающего момента М от кривизны —
(диаграмма изгиба) необходимо, задав-
шись определенным значением *гоах. пе-
рестроить диаграмму растяжения, умно-
жая величины напряжений о иа соответ-
ствующую ширину поперечного сечения б
(например. ас умножается на Ьс) (фиг. 1).
Таким образом строится кривая ОК
Статический момент полученной пло-
щади OKL относительно оси а равен
интегралу в правой части формулы (1).
После этого по формуле (I) определяет-
ся изгибающий момент Л1. а по. фор-
муле (2) — кривизна —.
_ • *
Задаваясь различными значениями
можно построить диаграмму изгиба
(фнг. 2).
Если брус выполнен нз ограниченно
пластичного материала, имеющего срав-
нительно небольшую величину дефор-
мации при разрушении «де*». то для
определения разрушающего момента
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
272
необходимо в формуле (1) положить
£тах = *разр-
изгибающего момента от кривизны при
М > М j- имеет вид:
для бруса прямоугольного попереч-
ного сечення
Для бруса прямоугольного попереч-
ного сечения формула (I) принимает
следующий пил*.
для бруса круглого сечения
М
Мт
-I
Зг. (
3 — arc sin — +
Р fr
<♦>
Фяг. 2. муле (3) предста-
вляет собой стати-
ческий момент площади ONL (фиг. 1, ff)
относительно осн а.
В случае схематизированной диаграм-
мы растяжения с линейным упрочнением
зависимость изгибающего момента от
кривизны может быть выражена в явной
форме.
Величина изгибающего момента, при
котором начинают возникать пластиче-
ские деформации,
В формулах через ру обозначен ра-
диус кривизны бруса, при котором
начинается образование пластических
деформаций:
1 = 2«7 _ Мг
fr h '
(5)
Mj -syU^
где оу —предел текучести материала
бруса в kI'icmV, — момент сопроти-
вления изгибу в см3. Тогда при М < Мг
В случае изгибающего момента
Л1 > Mj поперечное сечение разделяется
на две области — упругую (в которой
нормальное напряжение а < ау) и пла-
стическую (0>0у).
Высота упругой области
1 М
Р £*Лг ’
*>7 h
ауЛ
£Stn«X
где Е — модуль продольной упругости
материала бруса в кПсм*. Jx — момент
инерции поперечного сечення относи-
тельно оси х в см*.
Прн M>Mf.
для бруса прямоугольного сечения
где >у — —7 — деформация, соответ-
ствующая пределу текучести материала.
Графическое построение эпюры на-
пряжений представлено на фиг. 1, в.
Определение прогибов. Прогибы
балки определяются по формуле
I, Р TV
для бруса круглого сечения
Л1 2
/
*1 d:
₽
(6)
лге sin — + arc cos
РГ £
• де Ду—модуль упрочнения материала
бруса в кГ/см* (см. стр. 18).
В случае схематизированной диаграм-
мы растяжения материала, не обладаю-
щего упрочнением (£у — 0). зависимость
I
где-----кривизна балки от за-
данной нагрузки; Л1,— изгибаю-
щий момент в текущем сечении от
единичной силы, приложенной в
направлении искомого перемеще-
ния в той точке, перемещение
которой определяется; интеграл
берется по длине бруса.
Кривизна балки у находится при по-
мощи эпюры изгибающих моментов от
заданной нагрузки и диаграммы изгиба
(фиг. 2). Интеграл (6) может быть вы-
РАСЧЕТЫ ДЕТАЛЕЙ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
273
числен графо-аналнтнческнм методом
А. Н. Верещагина (см. стр. 152).
Угловое перемещение определяется
также по формуле (6), в которой —
изгибающий момент от пары с момен-
том, равным единице, приложенной в
сечении, угол поворота которого опре-
деляется.
Прюир. Определить наибольший прогиб двух-
опорной балки прямоугольного сечения, нагру-
женной силой Р •» Рр приложенной по се-
редине пролета (фиг. 3). Через Ру обозначена
величина силы, при которой в балке начинают
Фиг. 3.
возникать пластические деформации. Материал
балки не обладает упрочнением.
Изгибающий момент п текущем сечении балки
на расстоянии г от опоры
М--у-; (7)
максимальный изгибающий момент имеет место
I
в среднем сечении прн i у
И Р‘
'"max “ л
Приравнивая ату величину Мр получаем
Границу пластической области по крайним
волокнам балки гг находим, приравнивая вели-
чину изгибающего момента п текущем сечении
величине Atp откуда, учитывая выражение (8),
получим
*Т I РТ 2
I “ 2 ’ Р “ 5 •
(9)
(10)
На фиг. 3 пластическая область в балке при
Р — -у Р заштрихована.
На упругом участке балки
I М Рг
Т~Z77~52Г
На упруго-пластическом участке согласно фор-
мулам (4), (5) и (7)
а момент от единичной силы о любом сечении
Ж, - -J-. • (12)
формула (б) с использованием выражений
(10) — (12) принимает вил
Это выражение после прсобразовзннЛ с уче-
том формул (8) и (9) приводится к виду
Anax = 7 г
где /у — наибольший прогиб балки
при Р«
, - —I -
,7‘- 48£Уж ‘
На фиг 4—15 представлены графики
зависимости отношения наибольшего из-
гибающего момента в опасном сечении
балки Л4шах к величине изгибающего мо-
мента, при котором начинают возникать
пластические деформации /Иу = вуй^лот
отношения прогиба /ти в сечении, где
он достигает наибольшего значения,
к величине прогиба в том же сечении,
при котором образуются пластические
деформации /у [27].
Графики приведены для различных
форм поперечных сечений (прямоуголь-
ного, круглого, трубчатого) и различных
отношений модуля упрочнения к модулю
упругости, указанных на чертежах, прн
различных схемах нагружения балки,
приведенных в табл. 1
В табл. 1 даны также величины проги-
бов при которых в балках начинают
возникать пластические деформации.
Прн помощи приведенных на фиг. 4—15
графиков можно определить величину
момента, соответствующего допустимому
для балки прогибу, после чего, устано-
вив зависимость момента от нагрузки,
найти величину допускаемой нагрузки.
Несущая способность балок. Если
материал балки не обладает упрочне-
нием, то в предельном состоянии пла-
стическая область заполняет все сечение.
Изгибающий момент, соответствующий
этому состоянию, называется предель-
ным моментом МЯрвд-
18 Гои з
274
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
РАСЧЕТЫ ДЕТАЛЕЙ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯ
275
Таблица 1
Прогибы дли различных случае*
нагружения балок
Схема балки и нагрузки
Прогиб /у
I. Консоль. Момент прило-
жен на конце (чистый
изгиб)
Фиг. В.
2. Балка на дзух опорах.
Дне равные силы прило-
жены на расстоянии
0,25 м от опор
3. Балка на двух опорах.
Сплошная равномерная
натрузка
it»’
пинит»»;
t__,—f
4. Балка на двух опорах.
Сила приложена » сере
лине пролета
б. Консоль. Сила прнло
жена иа копне
б. Консоль. Сплошная
рапном •риаа нагрузка
7. Консоль. Сплошная на-
грузка по треугольнику
мгр
~ЗЁГ
мт1>
~вЕГ
мгк
~№J
276
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
Величина предельного изгибающего
момента
МПрей — 2arSx,
где Sx—статический момент половины
сечения.
Если поперечное сечение имеет одну
ось симметрии, лежащую в плоскости
действия изгибающею момента, то
где S? и — абсолютные значения
статических моментов растянутой и сжа-
той частей сечения относительно ней-
тральной линии у, делящей площадь по-
перечного сечения на две равные части.
В табл. 2 приведены величины +
+ SJ* или 2SX для различных попереч-
ных сечений.
Когда изгибающий момент в некото-
ром сечении балки достигает предель-
ного значения, в этом сечении возникает
Фиг. 16.
пластический шарнир. Эпюра напряже-
ний в предельном состоянии предста-
влена на фиг 16.
Статически определимые балки теряют
несущую способность в случае возник-
новения одного пластического шарнира.
При расчете статически определимых
балок по методу предельного равнове-
сия находится величина нагрузки Рпр«>.
при которой в наиболее опасном сече-
нии балки возникает пластический шар-
нир.
Для статически неопределимых балок
появление одного пластического шар-
нира может еще не привести к исчер-
панию грузоподъемности балки.
Пример. Определять величину предельной
нагрузки для двухпролетной балки, изображен-
ной на фиг. 17. Материал балки ие обладает
упрочнением.
Рассматриваемая балка один раз статически не-
определима. Эпюра изгибающих моментов при
условии, что во всех точках балки деформации
упругие, представлена иа фиг. 17. Прн некотором
значении силы Р п наиболее напряженном сече-
нии В возникает пластический шарнир (фнг. 16, а).
При дальнейшем возрастании нагрузки изгибаю-
щнй момент г сечении В остается постоянным.
Таблица It
Статические моменты для некоторых еечений
РАСЧЕТЫ ДЕТАЛЕЙ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИИ
277
н равным Mnptg, изгибающие моменты на
участке АВ также остаются постоянными, а на-
гибающие моменты на участке BCD постепенно
возрастают.
Возникновение одного пластического шарнира а
рассматриваемом случае превращает один раз ста-
тически неопределимую балку в балку статически
определимую. Несущая способность балки со-
гласно методу предельного равновесия исчерпы-
вается я том случае, когда в сечении С нзгибаю-
1ШЙ момент достигает предельного значения
(когда в атом сечении возникает пластический
шариир). Величина предельной нагрузки надо-
дится из уравнений равновесия и условий равен-
ства изгибающие моментов и сечениях пластиче-
ского шарнира предельному моменту.
Составим эти условия (фиг. IB, б):
RA ~ “ мпргд “ мпред.
откуда
-мпрвд мпред
НА° I ' rD'= I '
Запишем условия равенства нулю суммы мо-
ментов всех сил относительно точки А и суммы
проекций всех сил на вертикальную ось:
Rnped ~2 ~ P^l+/fpV = 0;
RA+RC ~ Rnped ~ rd “°'
Из полученных уравнений находим
О _ - МпргО
RnptO “ 8---f~ •
Кручение
Построение диаграммы кручения
по диаграмме сдвига и определение
напряжений для бруса круглого попе-
речного сечення. Зависимость между
касательным напряжением т и угловой
деформацией t определяется диаграммой
сдвига (фнг. 19). Построение диаграммы
сдвига по диаграмме растяжения см.
стр. 19.
Уравнения, при помощи которых по
диаграмме сдвига может быть построена
диаграмма кручения (график зависимо-
сти крутящего момента Л1 от относи-
тельного угла закручивания ft; —
где dip —угол закручивания элемента
бруса длиной dz). имеют вид [21]
«О’
Л1 — --к---
^7щад
(13)
Тшах ” ® ~2~ (14)
где t—касательное напряжение; к—соот-
ему угловая деформация
ветствующая
Фиг. 19.
в некоторой точке по-
перечного сечення;
7шдд — угловая дефор-
мация в точках, наи-
более удаленных от
{центра поперечною
Фиг. 20.
сечения; D — диаметр поперечного се-
чения.
Интеграл в формуле (13) представляет
собой момент инерции площади ОАВС
относительно оси ординат (фиг. 19).
Задаваясь различными значениями ymu.
по формуле (13) определяют Л4, а по
формуле (14) 9, после чего строится
диаграмма кручения (фиг. 20).
Если брус выполнен из материала,
разрушающегося прн сравнительно нс
большой величине угловой деформации,
то для определения разрушающего кру-
тящего момента нужно и формуле (13)
положить тт„ - чразр.
В случае схематизированной диаграм-
мы сдвига с линейным упрочнением без
площадки текучести зависимость крутя-
278
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
щего момента от относительного угла
закручивания значительно упрощается.
Обозначим величину крутящего мо-
мента, при котором начинают возникать
пластические деформации, через Мт'
Мт - тгГр,
где ту—предел текучести при сдвиге
в кГ/см2; ——полярный момент
сопротивления поперечного сечення
бруса в см2, тогда прн М < Мт
е
м
QJp*
где О — модуль сдвига в кПсм2; J „ =
irD4 _ Р
= ---полярный момент инерции по-
перечного сечепия бруса в см*.
При М > Мт
где Gy—модуль упрочнения при сдвиге
материала бруса в кГ/см2 (см. стр. 19).
В случае, если материал не обладает
упрочнением Gy = 0, при М > /Иу
М 1
Мт 3
В последних формулах через Оу обо-
значен относительныйугол закручивания,
прн котором начинается образование
пластических деформаций:
Диаграмма сдвига может быть по-
строена по экспериментально получен-
ной диаграмме кручения при помощи
следующей зависимости |21|:
о»)
Выражение, стоящее в скобках, в не-
котором масштабе равно трем отрез-
кам АВ плюс отрезок BD (фиг. 20). Ве-
личина у„,„ определяется формулой (14).
Задаваясь различными значениями М
и определяя по диаграмме кручения
соответствующее значение 6 по форму-
лам (15) и (14), находят т и у.
При М > Мг поперечное сечение раз-
деляется на две области — упругую
(т < ту), представляющую собой круг
диаметром £>т, и пластическую (т > ту)—
кольцо диаметрами £>т ч D (фиг. 19):
D7 = D.
7 max
где уг = — угловая деформация
соответствующая пределу текучести при
сдвиге.
Эпюра напряжений в поперечном се-
чении есть диаграмма сдвига, взятая до
величины утах.
Если на диаграмме сдвига нанести
поперечное сечение бруса так, чтобы
половина диаметра его ->- в масштабе
равнялась отрезку ОС (фнг 19), то тогда
часть диаграммы сдвига ОАВС
'/\31 \ и будет являться эпюрой каса-
(Г ) J 1 • тельных напряжений, возни-
кающих в поперечном се-
чении.
Несущая способность. Если мате-
риал бруса не обладает упрочнением, то
в предельном состоянии пластическая
область заполняет все сечение. Крутя-
щий момент, соответствующий этому
состоянию, называется предельным мо-
ментом М„ред-
Для бруса круглого поперечного се-
чення
яОз
"'пред “* •
Для
1201. 134| "
Mnptd
бруса прямоугольного сечения
М (3h-b)
6 •
где b < й — стороны.
Если b < h (поперечное сечение бруса,
тонкая полоса),
^прк) “ ~<2
Несущая способность брусьев
при совместном растяжении,
кручении и изгибе
Предел иные соотношения между на-
грузками, определяющие исчерпание
несущей способности, приведены для
РАСЧЕТЫ ДЕТАЛЕЙ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
279
брусьев, выполненных из материала, нс
обладающего упрочнением [28].
Совместный изгиб и растяжение
бруса прямоугольногосечения(фиг.21)
№
,-Ц + Л!
ЬЬг
— ’Г.
где Ь ий— стороны
прямоугольника; N и
Л! — нормальная сила
и изгибающий момент
(фиг. 21).
Совместное рас-
тяжение и кручение
круглого бруса
'Иг+-У-
ДГЭ
27^7 432-
где D — диаметр бруса; N — нормальная
сила; М — крутящий момент.
Совместное растяжение и кручение
бруса, поперечное сечение которого—
тонкая полоса
+ ф V V + 12 ’
крутящий момент.
где b < Л — стороны полосы; N — нор-
мальная сила; «И—
Величина ф опре-
деляется при за-
данном N из транс-
цендентного урав-
нения
ГЗ
-sbja".
Ghaj-
Совместный из-
гиб п кручение
бруса, поперечное
го — тонкая полоса
16Л<£ + 12Л4’
сечение которо-
(фиг. 22)
-Jrb<h\
где b < h — стороны полосы, Ма — из-
гибающий момент, Мк—крутящий
момент (фиг. 22).
Толстостенная труба, нагруженная
внутренним н внешним давлениями
Приводятся формулы, полученные
в предположении, что материал трубы
несжимаем не только прн пластических,
но и при упругих деформациях, а диа-
грамма растяжения материала имеет
линейное упрочнение |8), (21).
Обозначения: Г\ — внутренний радиус
трубы; гя —наружный радиус; гт — ра-
диус окружности, разделяющей упругую
и пластическую области; г—текущий
радиус; р\— внутреннее давление; рг—
наружное давление; N — осевая сила;
в/ — окружное напряжение; о, — ради-
альное напряжение; я{ — осевое напря-
Фиг. 23.
жение; и — радиальное смещение; е, —
осевая деформация.
Образование пластических деформаций
начинается с внутренней поверхности
трубы.
Если торцы трубы не могут смещаться
в осевом направлении или если осевая
сила возникает только за счет внутрен-
него и внешнего давлений на днища,
осевая деформация трубы равна нулю
(«/ - 0).
Приведенные ниже формулы полу-
чены в предположении, что — 0.
Решение задачи для случаи t. i 0 см.
|8|, [21].
Соотношение между давлениями, при
которых радиус границы упругой и пла-
стической областей равен заданной вели-
чине Гт (фиг. 23), находится из выра-
жения
4-Х + 2Xln-i ,
(16)
Er
где К — 1---— коэффициент раз-
упрочнения (см. стр. 18).
280
РАСЧЕТЫ ЧА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
Соотношение между давлениями, при
которых в трубе возникают пластические
деформации.
1—1
*2-
|А-Л1Г--^
Г **
(17)
Формулы для определения напряжений
имеют вид:
в упругой области
На фиг. 23 представлены эпюры ра-
диальных. окружных и осевых напря-
жений для трубы из материала, не обла-
дающего упрочнением, с — — 0,5. на-
^2
груженной только внутренним давлением
Pt — р, Pi — 0 при условии, что осевая
деформация трубы равна нулю и радиус
«г
~ Pi + s|gn (Pl — Pi) -y=
’т
г
4 .
”A + sign(pt —ft)-^ -4+4--^
£-1) + 2Х1п-^
1) _|_ 2К In —
/ ri
(18)
- A + sign (pi —рг) -¥= |-j
л • \
— 1) + 2Х 1п
X
в пластической области
аг
—p,-]-sign (ft — Pi)-£= (1—X)(—f
уз \rf
г2 г2 '
гт ГТ
4" 2Х In
'i-----P\ + sign (Pi —Pt) -y=- 2X + (1 — X)
.2
£) + 2Х|п
(19)
«,------Pi +
Х)-^ + 2Х1п
В формулах (18) и (19) через
sign (pt—р^ обозначена функция, обла-
дающая следующими свойствами:
sign (Pi — Рг) - + 1 при pt - рг > 0;
sign (pi — Pi) — — 1 при pi — pi < 0;
sign (pi—Pt) — 0 при pi — pi - 0.
Радиальное перемещение определяется
по формуле
}<3 4
« - ~2“ Rign (pi —Pt) — «г-
Если материал тру'.л не обладает
упрочнением, в приведенных выше фор-
мулах необходимо положить X — 1.
В этом случае несущая способность
трубы исчерпывается полностью при
следующем соотношении между давле-
ниями:
2<гт , гг
границы упругой и пластической обла-
стей гг —ОДгя.
Эпюры построены по формулам (18)
и (19) прн X — 1 с учетом, что
sign (pi —pt) - sign p - +1.
Решение задачи об упруго-пластиче-
ском состоянии трубы с учетом сжимае-
мости материала см. [32]. |34|.
Пластическое состояние круглой пла-
стинки с отверстием, нагруженной внут-
ренним и внешним давлениями, а также
упруго-пластическое состояние беско-
нечного тела с цилиндрической полостью,
нагруженного внутренним давлением,
см. (20).
Вращающийся диск
В расчетах дисков за пределами упру-
гости относительно характера напря-
женного состояния принимаются те же
допущения, что и в упругом расчете
диска (22). Ниже приведены формулы
РАСЧЕТЫ ДЕТАЛЕЙ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
281
для расчетов за пределами упругости
диска постоянной толщины, напряжения
в котором возникают только в резуль-
тате вращения диска.
Материал диска не обладает упрочне-
нием. Используется условие пластично-
сти по гипотезе наибольших касательных
напряжений (см. стр. 19).
Обозначения; rt — внутренний радиус
диска; гг — наружный радиус; г—теку-
щий радиус; у — вес единицы объема
материала; р — коэффициент Пуассона;
<а — угловая скорость вращения; а/ —
окружное напряжение; о,— радиальное
напряжение.
Сплошной диск
Определение напряжений. Угловая
скорость вращения, при которой радиус
ftal r2rT r2rT
Несущая способность диска. Пре-
дельная угловая скорость вращения, прн
которой пластическая область заполняет
весь диск и несущая способность диска
полностью исчерпывается.
Диск с отверстием
Определение напряжений. Угловая
скорость вращения, при которой радиус
границы упругой и пластической обла-
стей равен г г,
-I / 12gar__________________2zirr~~rl (г2 + гг)_______________
г 1 3(3-1-(i) rj — (1 4- Зр)(2г2— г’) г? — 4r^ +
границы упругой и пластической обла- Окружное напряжение в пластической
•стей равен гт, области (ri<r<rr) определяется по
.______________________________________________ формуле (20). ра-
/ Г ^2 диальное напря-
® — 1/ 24-^-.-------------г----------—=-=-----------—. жение по следу ю-
f 1 3(3 -f- р)г£ — 2(1 4- Зр) r2rj- + (1 + Зр) rj- щей формуле:
Напряжения в пластической области
на расстоянии г от центра диска
(0<r<rr)
— «г! (20)
or(21)
напряжения в упругой области диска
(гг<г <г»)
„ r I Ct 1 + Зр у®* m
+ -----§----grt> I22)
pa.
Напряжения в упругой области диска'
(гт < г < гг) определяются по формулам
(22) и (23). где
т<а2 . (4-^)/Г_ (ГГ-П)ГТ .
3^ Г?----rj Г2~гг '
Г. - 3~ЬН . Т“* Г2Г2 . Т"’ у
8 g 2 г + *
, У®1 гт гт
+ 3g‘ A—J ~'Т .2172 ’
S г2— Гт г2—гт
Несущая способность диска. Пре-
дельная угловая скорость вращения,
при которой пластическая область за-
282
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
полняет весь диск и несущая способность
диска исчерпывается полностью,
Решение задачи о пластическом и
упруго-пластическом состояниях вра-
щающегося диска постоянной толщины
иа основе условия пластичности по гипо-
тезе интенсивности напряжений, а также
о пластическом состоянии вращающегося
диска при степенном условии пластич-
ности с упрочнением см. [34].
Расчет вращающегося неравномерно
нагретого диска переменной толщины с
(’четом пластичности материала см. [12],
41].
Решение задачи об упруго-пластиче-
ском состоянии вращающихся цилиндров
см. [20].
Упругое и пластическое
состояние вращающегося
диска переменной толщины*.
В этом расчете приняты следующие
обозначения: р — плотность материала
диска в кГ-секЧсм*; Е—модуль упру-
гости материала в кГ1смг; а — коэффи-
циент линейного расширения материала;
р—коэффициент Пуассона, здесь при-
нято и — 0,5; ш — угловая скорость вра-
щения диска в рад/сек; г, R — незави-
симые переменные, означающие ради-
альное расстояние, в см; b — наружный
радиус диска в см; а— радиус централь-
ного отверстия в см; Л — толщина диска
на радиусе г в см; 7 — температура
диска на радиусе г в °C; а,— радиаль-
ное напряжение в кГ/смг; а( — окруж-
ное напряжение в кГ/см'-; ^ — ради-
альное напряжение на радиусе Ь, вы-
званное силами инерции лопаток и зам-
ков. в кГ/см-; ага — радиальное напря-
жение на радиусе а; з„р — приведенное
напряжение в кГ1см- (см. гл. XIV).
Напряжения с учетом пластических
деформаций определяются методом по-
следовательных приближений. Напряже-
ния л-го приближения определяются че-
рез напряжения л—1-го приближения по
уравнениям
• Расчет изложен Р. С. Кииосошакли.
где
г'^ТЛг-Е'аТ +
(26)
£,~ 1+Ф’
(27)
Модуль пластичности ф определяется
по диаграмме растяжения, полученной
при соответствующей температуре:
Eip
.. . - (28)
где tP— пластическая деформация, соот-
ветствующая напряжению »Лр ,•
Если в расчетной точке радиуса на-
пряжение ниже предела упругости, то
для этой точки ф = 0.
Практические указания. В качестве
исходного приближения принимаются
напряжения, вычисленные в предполо-
жении упругого состояния лиска. Если
для данной точки радиуса упругое при-
веденное напряжение а„р выше пре-
дела упругости материала оу при
данной температуре (фиг. 24). то отре-
зок CD будет нижней границей действи-
тельной пластической деформации
РАСЧЕТЫ ДЕТАЛЕЙ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИИ
283
а отрезок DB — нижней границей
действительного эквивалентного напря-
жения (оЛр щщ) в данной точке радиуса,
верхней границы
приведенного на-
пряжения опре-
деляются модули'
пластичности для
расчетных точек
по уравнению
F
ш1п
апр min
и значения Е' по
уравнению (27).
Затем определяют-
ся напряжения а, и а/ по уравнениям
(24) и (25). В правые части этих
уравнений подставляются значения
упругих напряжений. Постоянные, вхо-
дящие в эти уравнения, определяются
из граничных условий, как показано
в расчете упругого диска (стр. 262). По
полученным значениям а, и о/ опреде-
ляются приведенные напряжения
а»р шах- являющиеся верхними грани-
цами действительных напряжений для
расчетных точек радиуса. Затем опреде-
ляются средние напряжения:
Рпр max mln
гпр ср ~ ~>
По диаграммам растяжения опреде-
ляют новые значения <|>, соответст-
вующие а„р ср, а затем и напряжения
а, н «/, подставляя в уравнения (24)
и (25) напряжения предыдущего при-
ближения.
Новое приведенное напряжение мо-
жет лежать между otp н »тм. или между
оер И °тт И» наконец, ниже amin- В пер-
вом случае это напряжение будет новым
верхним пределом, а <гГр—новым ниж-
ним пределом. Во втором случае аср
станет новым верхним пределом, а полу-
ченное напряжение — новым нижним
пределом. В третьем случае верхним
пределом будет аср, а нижним останется
°min- По пластической деформации, со-
ответствующей новому среднему напря-
жению и напряжению, представляющему
новую верхнюю границу, определяем
следующее значение ф, а затем напря-
жение. Процесс этот повторяется до тех
пор. пока два последующих значения
напряжений не совпадут.
Концентрация напряжений ~
в условиях пластичности
Подробно о концентрации напряжений
прн наличии пластических деформаций
см. [13], [30], [36].
Растяжение бруса с круговой
выточкой
На фиг. 25 представлены эпюры осе-
вых (линия ABCD). радиальных (линия
KD) и окружных (линия КЕ) напряже-
ний в сечении 1—1
растянутого образца
с круговой выточкой
[36].’ В сечении 1—1
упругая область пред-
ставляет собой круг
радиуса /у и пласти-
ческая область —
кольцо радиусов /у и
г. Развитие пласти-
ческих деформаций
при всестороннем
неравномерном рас-
тяжении, создаваемом
в цилиндрическом
образце с выточкой,
вызывает значитель-
Фнг. 25.
ное повышение осе-
вых напряжений.
Растяжение пластинок
с боковыми вырезами
и отверстием
На фиг. 26 и 27 изображены эпюры
продольных <>! и поперечных <г2 напоя-
284
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСГИ
жений. возникающих и сечениях 1—1
пластинок с боковыми вырезами и с
отверстием при растяжении их за пре-
делами упругости [13]. В этих случаях
концентрация напряжений за пределами
упругости выражена менее резко, чем
в пределах упругих деформаций.
Степень концентрации напряжений
с ростом пластических деформаций
увеличивается в случае пластинки с
отверстием и остается примерно по-
стоянной в случае пластинки с боко-
выми вырезами [13].
Несущая способность пластннбк
и оболочек
В табл. 3 приведены формулы для
предельных нагрузок, при которых
исчерпывается несущая способность
пластинок и цилиндрических оболочек
постоянной толщины, материал которых
не обладает упрочнением [4], [5], [8],
[28]. [34].
Нагрузка пластинки
или оболочки
2. Пластинка аашемле-
иа по контуру. Нц-
грузка нитеисипио-
стью р к Г [см' равно-
мерно распределена
по всей пластинке (8)
Продолжение табл. 3
Расчетные формулы
3. Пластинка свободно
оперта по контуру и
нагружена сосредото-
ченной силой Р, при-
ложенной в центре [34]
Р — —
пред 2
Таблица 3
Формулы для определения предельных
нагрузок иа пластинки и оболочки
Круглые сплошные пластинка постоянной
толщины А, радиуса г
Нагрузка пластинки или оболочки Расчетные формулы
1. Пластинка свобод-
но оперта по конту-
ру. Нагрузка интен-
сивностью р кПслд
равномерно распре-
делена по площади
круга радиуса л, |8|
'’пред “ 2 *
(Зг-2г.) г2
о
Если нагрузка равно-
мерно распределе-
на по всей пластин-
ке (г. - г),
''пред’* Т X
Х-^
4. Пластинка свободно
оперта по контуру и
нагружена сосредото-
ченной силой Р на
расстоянии г, от пен-
тра |28|
Если г, < О,7О7г, то
Рпред
РАСЧЕТЫ ДЕТАЛЕЙ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ
285
Продолжение табл. 3
Продолжение табл. 3
/Гольцееыл пластинки постоянной толщи-
ны Л. внутреннего радиуса г„ наружного
радиуса г.
Нигрузка пластинки
или оболочки
б. Пластинка свободно
оперта по наруж-
ному контуру и на-
гружена (Явномерио
распределенной си-
лой интенсивностью
р кПсгР и силой
Р КГ, равномерно
распределенной по
внутреннему контуру
1®1
Расчетные формулы
Предельное соотноше-
ние между интен-
сивностью распре-
деленной нагрузки
р и силой Р
Нагрузка пластинки
или оболочки
8. Пластинка защемле-
на по внутреннему
контуру и нагруже-
на силой Р, равно-
мерно распределен-
ной по наружному
контуру |8|
Расчетные формулы
7. Пластинка защемле-
на по наружному и
внутреннему конту-
рам и нагружена си-
лой Р кГ, равномер-
но распределенной по
внутреннему контуру
‘‘пред^Т **7*‘
График зависимости
козффиииента Л от
отношения —- вред-
га
ставлен из чертеже
9. Пластинка защемле-
на по наружному кон-
туру и нагружена
равномерно распреде-
ленной силой интен-
сивностью р кГ\слр и
силой Р, равномерно
распределенной по
внутреннему контуру
Предельное соотно-
шение между ин-
тенсивностью рас-
пределенной нагруз-
ки р и силой Р
дается диаграммой
предельных нагру-
зок, состоящей из
двух прямых АВ и
ВС. Координаты
трех точек Л, fl и
С етой диаграммы
и зависимости от
отношения — при-
ведены на чертеже
286
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
Продолжение табл. 3
Продолжение табл. 3
Нагрузка пластинки
или оболочки
Расчетные формулы
Нагрузка пластинки
или оболочки
Расчетные формулы
Пластинки различные очертаний,
постоянной толщины h
10. Киалратиаа пластин-
ка со стороной а,
свободно опертая
по контуру. Нагруз-
ка интенсивностью
р кПслР равномерно
распределена по всей
пластинке |8)
13. Пластинка в форме
х равностороннего тре-
угольника свободно
оперта по контуру и
нагружена сосредото-
ченной силой Р, при-
ложенной в центре
тяжести треугольника
|28|
Р м
прев
З.бОарА'
II. Квадратная пластин-
ка со стороной а спо
болио оперта по ок-
ружности радиуса г,
центр которой совпа-
дает с центром пла-
стинки, и нагружена
сосредоточенной си-
лой Р кГ, приложен-
ной о центре |28)
12. Прямоугольная пла-
стинка состоронами а
и Ь свободно оперта
по контуру и нагру-
жена сосредоточен-
ной силой Р кГ. при-
ложенной в центре [28]
14. Пластинка произ-
вольной формы за-
щемлена по контуру
и нагружена сосредо-
точенной силой Р [28]
15. Оболочка нагру-
жена равномерно рас-
пределенной по по-
верхности оболочки
нагрузкой р к Пеле1
и равномерно распре-
деленными по торцам
оболочки моментами
нитеисивностью AI
кГелчелс (8|
Предельное соотно-
шение между интеи-
сивиостыо распре-
деленной нагрузки
р и интенсивностью
моментов М
РАСЧЕТЫ ДЕТАЛЕЙ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИИ 2«7
Продолжение табл. 3
Нагрузка пластинки
или оболочки
Расчетные формулы
16. Оболочка бесконеч-
ной длины нагруже-
на рааномерно рас-
пределеииой по ок-
ружности силой интен-
сивностью Т кГ\см |8|
Определение остаточных напряжений
и деформаций
В результате нагружения детали, при
котором появляются пластические де-
формации. и последующей разгрузки
в ней возникают остаточные напряжения
и деформации. Если напряженное состоя-
ние является однородным, возникают
только остаточные деформации.
Остаточные напряжения и деформации
определяются как разность напряжений
и деформаций, возникающих при нагру-
жении, и напряжений и деформаций
разгрузки.
Последние на основании эксперимен-
тально у станов ленного закона разгрузки
находятся по формулам, вытекающим
из закона Гука.
Например, если при чистом изгибе
бруса моментом М > Мт эпюра напря-
жений имеет вид, представленный на
фиг. 1, а, то эпюра остаточных напря-
жений (см. фиг. 1. д) получается вычи-
танием из эпюры напряжений, возник-
ших при нагружении (см. фнг. 1. а),
линейной эпюры разгрузки (см. фиг. 1. г),
построенной по формуле
Му
араз1 “ J* ' •
Остаточный радиус кривизны бруса
Рост определяется из выражения
1 _ 1 А!
Poem Г EJx *
где р — радиус кривизны бруса при на-
гружении.
Упруго-пластические деформации
деталей в связи с повышением их
несущей способности
Если после изготовления деталь под-
вергается нагружению, при котором
возникают пластические деформации, то
в таком случае несущая способность
детали в пределах упругости повышает-
ся. Это значит, что предварительно
пластически деформированная (накле-
панная) деталь может нагружаться в
пределах упругости в большей степени,
чем деталь, не прошедшая такой опе-
рации.
Например, если скручиваемый момен-
том М брус предварительно нагрузить
моментом Mt > Мт.
то момент Л4| будет
для него предельным,
и запас прочности
Для ненаклепанного
бруса предельным мо-
ментом является мо-
мент Мт < Aij- Для
бруса, предваритель-
но нагруженного мо-
ментом М । > Мт и
разгруженного прн
вторичном нагруже-
нии моментом
эпюра напряжений
(фиг. 28. а) склады-
вается из эпюры остаточных напряжений,
возникающих при предварительном на-
гружении (фнг. 28, о), и эпюры номи-
нальных напряжений (фиг. 28, б). под-
считываемых по формуле
М*г
}р
Из фиг. 28 следует, что за счет оста-
точных напряжений наиболее нагружен-
ные точки поперечного сечения разгру-
жаются.
Если Мг~ М\, эпюра напряжений при
вторичном нагружении такая же. как
и при нагружении моментом М,.
Если эпюру напряжений
в поперечном сечении можно получить,
не учитывая остаточных напряжений,
возникающих прн первом нагружении,
решая задачу заново, руководствуясь
моментом Mt.
288
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
В технологических процессах произ-
водства некоторых элементов конструк-
ций предусмотрены специальные опера-
ции, создающие пластические деформа-
ции и остаточные напряжения, которые
повышают несущую способность детали
(заневоливание пружин, автоскрепление
толстостенных труб, раскручивание
дисков).
Заневоливание пружин см. т.4,гл.Х V111.
Автоскрепление труб производится
обычно путем нагружения трубы вну-
тренним давлением либо в полуупругом
состоянии, когда в трубе имеются
и упругая и пластическая области, либо
в состоянии полной перегрузки, когда
упругая область исчезает и интенсив-
ность напряжений во всех точках трубы
выше предела текучести оу.
Существуют два способа автоскре-
плення — с продольным растяжением
и без продольного растяжения [6].
При расчете автоскрепления труб в
полуупругом состоянии задаются радиу-
сом границы упругой и пластической
областей г? и так. как изложено ранее
(см. стр. 279), определяют давление
автоскрспления р^ Величина гу выби-
рается на основе наблюдения за экс-
плуатацией автоскрепленных труб.
Запас прочности трубы
Р
где р — рабочее давление.
Изменение размеров трубы при авто-
скреплении определяется так. как было
изложено выше (см. стр. 280).
О расчете автоскрепления труб в со-
стоянии полной перегрузки см. |6|.
Пример. Определить остаточные напряжения,
воэникаюшне при аиюскрсплении, и истинные на-
пряжения при работе для трубы с ннутрениим диа-
метром 2г, — 67 леи, наружным диаметром 2r, —
— 167 мм. Рабочее давление рраб “ 4030 «ПслР.
Автосхреплсние производится с продольным рас-
тяжением о полуупругом состоянии —£—0,7. Дна-
Г|
раммд растяжений материала трубы может быть
схематизирована в виде диаграммы с линейным
упрочнением, без площадки текучести (см.
стр. 16).
Основные параметры диаграммы растя
жения: £ — 2-10* кПсм'; Е-. — ьв 600 кПгм'. вт —
аж т7би кПелР. '
В рассматриваемом случае коэффициент раз-
упрочнения
Ег
X - 1 - -2- - 0,966.
Используя заданную величину отношения
— 0,7 и учитывая, что р,= 0, по формуле (16)
находим давление автоскрепления:
p — 1,1ог = 5240 кГ)слР.
Отмстим, что по формуле (17) можно опреде-
лить величину давления, при котором в трубе
возникают пластические деформации:
рт — 0,500 вт = 2400 кГ\смР.
Таким образом, путем автоскрепления удалось
повысить предельное давление с рр = 2400 кГ]слР
до о = 5240 кГ)см'.
На фиг. 29 изображены эпюры радиальных,
окружных н осевых напряжений, возникающих
Фиг. 29.
прн автоскреплсиин, снимающихся при разгрузке,
остаточных, а также номинальных и истинных.
Эпюры напряжений, возникающих при пвто-
скреплеини, построены по формулам (16) и (19)
(р — 6240 кГ^ем’). Эпюры напряжений, снимаю-
щихся при разгрузке, построены по формулам,
выведенным в предположении справедливости
закона Гука (см. стр. 219, р —5240 кцем'). Эпюры
остаточных напряжений получены вычитанием
из напряжений, возникающих при антоскрсплеинн,
напряжений, снимающихся при разгрузке. Эпюры
номинальных напряжений построены по фор-
РАСЧЕТЫ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
289
мулам, вытекающим из закона Гука {рра^ —
» 4030 кГ|глТ). Эпюры истинных напряжений
получены сложением номинальных и остаточных
напряжений.
РАСЧЕТЫ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
Ползучесть прн одноосном
растяжении
Кривая ползучести
Кривой ползучести называется график
зависимости от времени полных или
пластических (возникших в результате
ползучести) деформаций при постоянных
напряжении и температуре. Характер
кривой ползучести для определенного
материала зависит от напряжения и
температуры. Для сравнительно неболь-
ших температур и напряжений (напри-
мер, для стали при температуре порядка
400—500° С и напряжении порядка 500—
1000 кГ/см2) график изображен на фиг. 30.
При нагружении нагретого образца
деформация весьма быстро возрастает
от нуля до некоторой величины, изо-
браженной на графике в масштабе от-
резком ОА
В дальнейшем, после прекращения
роста нагрузки, полная деформация на-
гретого образца будет постепенно уве-
личиваться во времени по закону, изо-
браженному линией ABCD. Ординаты
этой линии представляют собой вели-
чины деформаций с за определённый
промежуток времени, считая от начала
нагружения. Они складываются из де-
формации. возникшей при нагружении,
и деформации, образовавшейся в резуль-
тате ползучести (пластической дефор-
мации). Иногда на графике изображается
зависимость от времени только пласти-
ческой деформации, возникшей за счет
ползучести
1ЯЛ, тогда ось
абсцисс графи-
ка расположена
так, как пока-
зано на фнг. 30
пунктиром. Тан-
генс угла на-
клона касатель-
некоторой точке
с осью абсцисс в масштабе выражает
скорость деформации для определен-
ного значения времени:
; d*
dt “* dt ’
Фнг. 30.
ной к линин ABCD в
Размерность скорости деформации
1/сутки, 1/час, 1/мнн или 1/сек в зави-
симости от того, в каких единицах изме-
ряется время.
Процесс ползучести можно разделить
на три стадии (фиг. 30). В первой ста-
дии ползучести (ЯВ) скорость дефор-
мации постепенно уменьшается. Во вто-
рой стадии (ВС) процесс ползучести
протекает с постоянной во времени
скоростью, которая зависит от напря-
жения и температуры.
При определенной температуре
• = Q (»).
где Q (а) — некоторая функция напря-
жения.
Наиболее экспериментально проверен-
ными являются:
а) степенная зависимость скорости пла-
стической деформации от напряжения
t' = q (,) - * 3";
б) закон гиперболического синуса
»- Q(o) - esl> у •
В последних выражениях k ил, ан Ь—
постоянные для данного материала при,
определенной температуре.
Величины k, п для некоторых мате-
риалов при повышенных температурах
приведены в табл. 4.
В третьей стадии (CD) скорость де-
формации непрерывно нарастает, пока
не наступает разрушение образца
(точка D).
Гипотезы ползучести
Современные гипотезы ползучести
можно разбить на три группы: 1) гипо-
теза упрочнения; 2) гипотеза старения;
3) гипотеза течения.
Согласно гипотезе упрочнения предпо-
лагается существование постоянной за-
висимости между пластической дефор-
мацией »лл, скоростью пластической
деформации и напряжением »:
Ф (*лж «лл. ’) - °-
Использование гипотезы упрочнения
в расчетах элементов конструкций на
ползучесть см. [38].
19 том з
290
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
Таблица 4
Основные характеристики ползучести некоторых материалэв
Материм Химический состав в Термическая обработка Температу- ра испыта- ния в “С А /еж» \л 1 •‘Г) час n
Углеролистяя сталь 0,15 С; 0.50 Мп. 0,23 Si: 0,032 S; 0,025 Р Отжиг 844е С 427 —27 3.63-10 6,24
То же То же То же 538 I.30J0”14 3,01
* • 593 2,04-10“” 3,18
• * • 64'3 8,46.10“12 3,03
• 0.43 С; 0,68 Мп: 0,20 SI: 0,083 S; 0,035 Р • 427 1.77-I0-25 6,01
- То же • 538 3,63-10“17 4,07
• • • 649 _G 1.30.10 v 1,68
Молибденовая сталь 0,13 С; 0,49 Мп; 0,25 81; 0,010 S; ДОП Р. 0,52 Мо * 482 —23 3.27-10 5,28
То же То же • 538 2,82.1g-20 4,71
* а» 553 8.44-10“'® 8,77
• - • 64) 1.44.10“” 8,19
Хромомолибденовая стала 60XISM2A 0,60С; 0,29 Мп: 0,46SI; 0,013 S; 0,030 Р; 2,00 Мо; 164 Сг: 0,22 itl Закалка иа воздухе с температуры 1050"С, отпуск при темпера- туре 800—820° С 500 1.2410“” 1,82
То же То же То же 550 1,7510“” 2,12
• • 575 9.33-10“ ” 2,02
• 600 7.76-10" H 2,59
Хромомолибдене ванадиевая стала ЭИ 10 0,29 С; 0,58 Мп; 0,24 SI: 1,5' Сг: 0,38 Мо; 0,16 Va: 0,12 NI Закалка 900’С (масло), отпуск 660°С 450 9.8610“'® 2,99
То же То же То же 500 5,00-10“” 1,83
• • • 650 8.12-10“” 2.06,
РАСЧЕТЫ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
291
Продолжение табл. 4
Материал Химический состав в «1е Термическая обработка Темпера- тура испы- тания *С (g)* час п
Хромоникелевая cra.ii. 0,06 С; 0г50 Мп; 0,61 S1; 0.008 Р: I7.75C: 9,25 NI; Закалка 1083°С 53Я 1,87-10“70 4,42
То же То же То же 590 4.49-10”19 4,15
• • 649 З.Я4-1О-17 3,79
- 816 I.6910-16 4,30
Хромоимкелсмолибде- новая сталь 0,31 С; 0,54 Мп. 0,45 Мо; 0,83 Ст. 2.05 NI - 450 3.94-10_,в 2,45
Хромокнкелсвольфра- мовая сталь ХНВМ12 0,48 С; 0,47 Мп. 0.68 81; 0,012 Р; 13,6 Сг; 14Л NI; 2.24 W: 0,54 Мо Закалка 1100° С, охла ждаюшм среда-воздух 500 1,49-10“® 7,76
То ж« Го же То же 600 1,67-10-3® 10,32
- • 700 1,62.10“®° 5.21
Хромоникелевольфра мпвая сталь ХНВМ16 0,13 С; 0.60 Мп: 0,67 SI; 0,023 Р: 14,5 Ст; 14,0 NI; 2,40 W; 0.45 Мо Закалка 1000° С, охла- ждающая среда—воздух 500 1,49.10”® 7,76
То же То же То же 600 5,68- Ю-41 п,з
• • • 700 1,07.10“” 5,63
Хроионикелееольфра- мовая сталь ЭИот 0,52 С; 0.82 SI; 13.S1 Сг; 15,20 №; 2,01 W: 0,57 Мо Отжиг при 820* С 800 9.52-10-16 4,00
Хромоин келе вольфра мовая сталь ЭИ122 0,52 С; 0,77 Мп; 2,05 SI; 16,4 Сг; 13,9 Ы1;2Д5 W: 0,012 S: 0.01 Р; 0.88 Т1 - 550 1,20-10”15 2,63
То же То же - 650 5.86-10”17 3,63
X ромоки кел еэол ьфра- мовая сталь ЭИ 123 0,15 С; 0.82 Мп; 1,66 SI; 15.4 Сг; 13,2 NI; 2,28 W; 0,76 TI: 0,028 S; 0.018 Р — 550 —28 1,24*10 6,81
То же То же - 600 8,58-10“П 1,22
Хромонихелевольфра- мопая сталь ЭИ 126 0,50 С; 0,84 Мп; 0.7ISI; 13,8 Сг; 40,9 NI; 2,29 W; 0,005 S; 0.009 Р — 600 7,69-10“‘6 2.98
То ж* То же 660 4,12-Ю-13 2,23
19*
292
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
Сшласно гипотезе старения предпола-
гается существование постоянной зави-
симости между пластической деформа-
цией, напряжением и временем:
о. 0-0. (29)
Наиболее простая зависимость между
пластической деформацией, напряжением
и временем по гипотезе старения имеет
вид
£лх = а"С(Г). (30)
где п> ] — постоянная для данного ма-
териала при определенной температуре;
У (t) — функция времени, определяемая
при помощи кривых ползучести и соот-
ношения (30).
Решение задач расчета на ползучесть
при таком выборе гипотезы ползучести
эквивалентно решению соответствующих
пластических задач со степенным
упрочнением.
По измененной гипотезе ползучести
Н. М. Беляева (2], [18]. [22] зависимость
пластической деформации от напряже-
ния и времени имеет вид
t
еЯл = » р-* б(Г)Л.
где
Использование измененной гипотезы
ползучести Н. Б. Беляева в расчетах
элементов конструкций на ползучесть
см. [18]. [221.
Ю. Н. Работновым предложена изме-
ненная гипотеза старения [23], согласно
которой зависимость между напряже-
нием. деформацией и временем запи-
сывается в следующем виде:
»-/(«. 0.
где « — полная деформация.
Для расчетных целей кривые ползу-
чести перестраиваются в координаты «,
а для определенных значении времени.
В случае расчета детали на ползучесть
для определения напряжений и деформа-
ций при заданном значении времени
необходимо произвести расчет на проч-
ность и жесткость детали при помощи
известного графика зависимости напря-
жения от деформации Расчеты на пол-
зучесть по гипотезе старения Ю. Н. Ра-
ботнова эквивалентны расчетам на проч-
ность и жесткость прн нелинейных за-
висимостях между напряжениями и де-
формациями.
Согласно гипотезе течения предпола-
гается существование постоянной зави-
симости между скоростью пластической
деформации, напряжением и временем:
Фг(‘п4. ». f). (31)
•
Наиболее простая зависимость между
скоростью пластической деформации,
напряжением и временем по гипотезе
течения (31) имеет вид
елл-»/>Д(Г). (32)
Использование гипотезы течения на
основе вариационных принципов для
расчетов на ползучесть см. [II].
ГО. Н. Работновым создана новая
теория ползучести, являющаяся разви-
тием теории, описывающей деформацию
в данный момент в зависимости от всех
предыдущих условий деформирования
Экспериментальная проверка различ-
ных гипотез ползучести описана в рабо-
тах [7], [17]. [221:
Релаксация напряжений
Релаксацией напряжений называется
процесс изменения напряжений во вре-
мени, возникший в результате нараста-
ния пластической деформации.
Если полная деформация растянутого
стержня во времени не изменяется и
начальное напряжение не превосходит
предела пропорциональности материала,
то
9(0) а .
-£--£• + »ЛЛ - const.
где 9(0) — напряжение в начальный
момент времени.
За счет увеличения пластической де-
формации напряжения будут непрерывно
уменьшаться во времени.
График зависимости напряжения от
времени называется кривой релаксации
(фиг 31). Зависимость напряжения от
времени при постоянной деформации по
измененной гипотезе Н. М. Беляева
имеет вид [22]
ч-а+л*)" (зз)
а по гипотезе течения [11]
I
Ч-П+(л-1)»1 (34)
РАСЧЕТЫ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
293
где
'-£«Я-1(0) й(0- (35)
Фиг. 31.
Располагая графиком функции Q(t) при
помощи выражений (33) и (35) или (34)
и (35), можно
построить кри-
вую релаксации
в координатах
а — t (фиг. 31).
Построение
кривой релакса-
ции по серии
кривых ползу-
чести при раз-
личных напря-
жениях на основе гипотез упрочнения,
старения и течения см. [17]. [22].
Пример. Определить, с каким напряжением
дмжны быть затянуты шпильки фланцевого со
единения паропровода (фиг. 32) в начале эксплув
тации, для того чтобы плотность соединения была
Фиг. 32.
обеспечена в течеине I гола. Паропровод пролу
екает пар пол давлением р ш 100 ат и прн тем
нературе 6 — 500° С. Внутренний диаметр паро
провода Do— 150 мм, внутренний диаметр про
кладки D, —157 мм, число шпилек я —12
(резьба МЭО), материал шпилек — хромомолибле-
иоваиадиевая сталь ЭИ 10.
Так как фланцы являются достаточно жесткими,
пренебрежем деформацией их; не будем также
учитывать ползучесть прокладки по сравнению
с ползучестью шпилек. Эти предположения дают
возможность считать деформацию шпилек в про
иессе эксплуатации паропровода постоянной.
Примем далее, что температура шпилек такая
же, как и пара, т. е, 500° С. Это предположение
повышает надежность расчета.
Показатель степени п в уравнении (33) для
стали ЭИ 10 при температуре 500’ С л —1.83
(см. табл. 4), а график функции 9 (/) предста-
влен на фиг. 33 [22|. Модуль продольной упру
гости для этой стали при температуре 500° С с—
- 1Л01С кГ(с.«т.
Для обеспечения плотности соединения про
кладка при эксплуатации должна быть сжата ие
которой силой Рп_ Обозначим силу, разъединяю
шую фланцы, через Р, а силу затяжки шпи-
лек Рш.
Очевидно, чго
Рш « (37)
где а — напряжение в шпильке; А, — плота ль по-
перечного сечения шпильки по внутреннему дна
метру, 2 — число шпилек.
Из условия равновесия имеем
Напряжение в поперечном сечении шпильки
в течение времени уменьшается, и плотность
соединения снижается, поэтому через некоторое
время после начала эксплуатации паропровода
может возникнуть пропаривание фланцевого со
единения.
Будем предполагать, что пропаривание нач-
нется в тот момент, когда сила, сжимающая
прокладку, станет равной нулю, и, следовательно,
иа основании уравнения (38), когда сила затяжки
шпилек станет равной силе, разъединяющей
фланцы. В действительности пропаривание может
начаться несколько раньше. Поэтому полученное
и решении задачи напряжение, с которым должны
быть затянуты шпильки в начале эксплуатации,
следует несколько увеличить.
Приравнивая правые части выражений (35)
н (37), получаем величину напряжения в шпильке,
прн котором начинается пропаривание фланцев:
/жО/
4F.Z ’
Подставляя и эту формулу численные значения
входящих в нее величии, учитывая, что площадь
поперечного сечения шпильки по внутреннему
диаметру Л 4,96 см', имеем о — 368 к Г'см'.
Найдем теперь такую величину начального
напряжения в (0). прн котором за I год (8760 час.)
напряжение снизилось бы до величины о —
-»368 Kl'ICM'. Для этого всспользуемся завися
мостью напряжения от времени по измененной
гипотезе старения Н. М. Беляева [33|.
Из уравнения (33), учитывая соотношение (35),
легко получить
«я — ata~1 -1-1
или
т"-1 - ——. (39)
* — а
где
, _ 2-_ 1*2!; о —л£»',-19(Г). (40)
ч •
Для решения уравнения (39) необходимо знать
численное значение J и. следовательно, значение
функции В I/) при / — 8760 час.
График функции В (/) (фиг. 33) построен путем
обработки кривых простого последействия до
t — 800 час. Из графика функции V (Г) следует,
что при I > 200 час. зависимость 9 (/) от Г является
линейной. Учитывая, что при / — 200 час. 9 (Г) —
294
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
= 0,485-10 9 (cm'IkJ У* , а прн I = 700 час. 2 (/) =
= 0,735-10“9(сл’|кГ)я , имеем следующее урав-
нение функции при / > 200 час.:
2 (0-0,485-10"* +
0.735-10“*- 0.485-10“* „
----------------------(Г — ЗЮ)
500
или
2 «) — 0.488-10“* + 0,800-10“12 (Г — 200).
Полагая н данном уравнении / = 8780 час
(1 год), получаем 2 (/) = 4J7-10“* (слП|«Г)я.
Фиг. 33.
Располагая втпм значением. по второй фор-
муле (40) определяем а = 2.09. Уравнение (39)
решаем графически: строим иа миллиметровке
рафик функции «н—• (фиг. 34), а на кальке в
том же масштабе наносим график функции —
(равнобокая гипербола! (фиг. 35). Накладываем
кальку на миллиметровку, как кто показано на
фнг. пунктиром. Ось ординат на кальке должна
совпадать с вертикальной линией, уравнение ко
юрой в координатах фиг. 34 v = а. Корень урав-
нения (39) равен г выбранном масштабе абсциссе
точки пересечения наложеииык крипык. В рас-
сматриваемом случае < = 2,55, и, следовательно,
согласно net вой формуле (40) «(0) = 937 «Г/гаЛ
Таким образом, для обеспечения плотности
соединения я течение I года шпильки о начале
аксплуатацни паропровода должны быть затянуты
с напряжением о(0) = 937 к Г.см’.
Ползучесть прн неодноосном
напряженном состоянии
В случаях неодноосного напряженного
состояния обычно постулируется при-
менимость к задачам ползучести теории
малых упруго-пластических деформаций.
Учитывая, что при высоких темпера-
турах коэффициент Пуассона близок
к 0.5. можем считать материал несжи-
маемым. Зависимости компонентов на-
пряжения от компонентов деформации
приведены на стр. 17. Зависимость
интенсивности напряжения о, от интен-
сивности деформации е( получаем по
той или иной гипотезе ползучести
заменой о и » на «, и я, соответ-
ственно.
Большинство задач расчета на ползу-
честь решено исходя из состояния уста-
новившейся ползучести (т. е. в предпо-
ложении, что напряжения во времени
не изменяются).
Это предположение равносильно пре-
небрежению скоростью упругой дефор-
мацнн по сравнению со скоростью пла-
стической деформации. Расчеты на пол-
зучесть без этого допущения см. [11|,
Ц81. [22]. [23]. [38].
В случае задач статически опреде-
лимых. с точки зрения определения
напряжения при постоянных во времени
внешних силах, имеет место установив-
шаяся ползучесть.
При
установившейся ползучести гипо-
теза старения (30). измененная
гипотеза Н. М. Беляева н ги-
потеза течения (32) приводят
к одному результату. В этом
случае зависимость интенсив-
ности деформации от интенсив-
ности напряжения (см. стр 15)
в предположении, что в на-
чальный момент деформации
упруги, имеет вид
,|_^- + в»0(0.
где п — показатель степени о
уравнениях (30) или (32).
Решение любой задачи уста-
новившейся ползучести эквнва-
лентно решению чисто пласти-
ческой задачи с произвольным упроч-
нением. Поэтому многочисленные ре-
зультаты исследований отечественных
ученых по теории пластичности |8|. [9],
||0| [34] могут быть использованы и
для расчетов на ползучесть.
РАСЧЕТЫ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
2£5
Далее рассматриваются расчеты на
ползучесть равномерно нагретых дета-
лей. выполненные в предположении уста-
новившейся ползучести.
Установившаяся ползучесть бруса
Изгиб
Определение напряжений. Ниже
приводятся формулы для расчетов на
ползучесть изогнутого бруса с попереч-
ным сечением, имеющим две оси сим-
метрии, одна из которых лежит в пло-
скости действия изгибающего момента
ЦП. [22].
В случае поперечного изгиба исполь-
зуется гипотеза плоских сечений, а ка-
сательные напряжения в поперечном
сечении в расчете не учитываются.
Напряжения в поперечном сечении
на расстоянии у от нейтральной оси х
определяются по формуле
М —
а — sign у-7— |у I" •
где М— изгибающий момент; Jn!t —
обобщенный момент инерции попереч-
ного сечения относительно нейтральной
оси х, определяемый формулой
Лл-fl/l я^-
Максимальные нормальные напряже-
ния в точках,
нейтральной
формуле
наиболее удаленных от
осн, определяются по
М
где IF, г — обобщенный момент сопро-
тивления изгибу поперечного сечення.
Величины обобщенного момента инер-
ции и обобщенного момента сопротив-
ления изгибу для некоторых сечений
приведены в табл. 5.
На фиг. 36 представлены эпюры нор-
мальных напряжений в поперечном се-
чении прямоугольной балки при устано-
вившейся ползучести для различных
значений коэффициента п.
Определение прогибов. Кривизна
(? — РаДиус кривизны изогнутой
оси бруса), образовавшаяся в результате
ползучести материала за время I, опре-
деляется по формуле
(})„-(£)'«<’•
В случае поперечного изгиба балок
скорости изменения прогибов опреде-
ляются интегрированием дифференциаль-
ного уравнения
&-(£)'•<»
Скорости изменения прогибов могут
быть также определены по формуле
. (* / М \ я
v - \ {~ ) MiBiiydz,
у \Jn.r /
где Afj — изгибающий моменте текущем
сечении от единичной силы, приложен-
ной в направлении искомого переме-
щения в той точке, перемещение кото-
рой определяется; интеграл берется по
длине бруса.
Зависимость прогиба, образовавшегося
в результате ползучести материала, от
времени находится интегрированием по
времени скорости изменения прогиба.
Кручение
Наибольшее касательное напряжение
находится по формуле
М
тт*х " ту;— ।
w пк
гдеЛ1 — крутящий момент; IF,, — обоб-
щенный момент сопротивления кручению.
Относительный угол закручивания,
образовавшийся в результате ползуче-
сти материала за время /, определяется
по формуле
где — обобщенная жесткость бруса
при кручении.
Величины ]пк и IF„ для различных
сечеиий приведены в табл. 6.
296
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
Таблица 5
Формулы обобщенного момента инерции н обобщенного момента сопротивления изгибу
Форм* сечения
1. Прямоугольное
сечение со сторо-
нами b и А
Обобщенный момент ииерпии и обобщенный момент сопротивления изгибу
2л + 1 где коэффициент а, находится из приведенных ниже данных в зависимости от показателя степени п
л 1 1.5 2 3 4 5 6 7 В 9 10 11 12
•» о.овзз 0,118 0,141 0,170 0,187 0,198 0,206 0.211 0,216 0,219 0,222 0.22S 0,227
2. Круглое сплош-
ное сечение диа-
метра D
У
Зл-Ц 1
Jnx^^D П *
где коэффициент а, находится из приведенных ниже данных в зависимости
от показателя степени л
л
1
1.8
2 3
5
6
7
8
9
10
11
12
а, 0,0491 0,0723 0,0883 0,108
1,120
0,128 0,134
0,138 0,141
0,144
0.146
0,148 0,149
3. Круглое полое се-
чение с наружным
диаметром D и
внутренним диа-
метром d
4. Сечение и виде
тонкостенного
кольца со сред-
ины диаметром D
и толщиной стен-
ки 8
лл
/ Зл-н Зл-Ц
I „ л .л
в,\D — d
W
ЛХ
2Ла/Н 1-(4
Зл + Г
л
где коэффициент в, в аввнснмосгн от показателя степени л находится из при-
веденных выше данных для круглого сплошного сечения
1,8
0,530 0,618 0,722
0,393
2л 4-1 1
/яж_.Д> » 8; _2Яя.Р.8,
где коэффициент а, находится из прицеленных ниже ланних в зависимости
от показателя степени л
2
3
6
8
7
8
9
10
II
12
0,783
0,621 0,849 0,869
0,884
0,895 0,905 0,913
0,920
РАСЧЕТЫ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
297
Габлица 6
Формулы для обобщенной жесткости бруса при кручении и обобщенного момента
сопротивлении кручению
Форма сечении Обобщенна и жесткость бру св при кручении и обобщенный момент сопротивления кручению
1. Круглое сплошное се- чеиие диаметра D ЗлЦ j _ * . , я D п . & _ * , я л» ' Jnx “ д^.1 2л-Ц Зл-Н U • wПК - 4 ' и 3 2л . 2 л
2. Круглое полое сече- ние с наружным диа- метром О и внутрен- ним диаметром d 3*4-1 г / чЗл-|-1т " л-|-1 2л4-1 Зл4-1 ° I1 \ D / J' 3 2л . 2 п
3. Сечение а виде тонко- стенного кольца со средины диаметром D и толшниой стенки Ь xiz 2л 4-1 J"* ~ л-н »4-1 D *’ 1Г"* VP 2 ♦ 2 2л ,з 2л
4. Сечение в виде тонко- стенного замкнутого профиля л 4-1 л+1 “ л4-1 г 41 ‘ [ЯН’ где / — площадь, ограниченна* средней линией профила; 1 — текущая толщина стенки; &т|п — наименьшая толщина стенки
293
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
Продолжение табл, б
Форма сечения Обобщенная жесткость бруса прн кручении и обобщенный момент сопротивления кручению
Зл-|-1
5. Прямоугольное сече-
ние со сторонами b < Л
пас коэффициент 3 находится ил приведенных ниже данных в задней-
А
мости от показателя степени л и отношения —
Л
h 0 1 1.5 1.75 2 2,5 1 1 4
0 хая л — 1 0.0463 0,0961 0,122 0,148 0,199 0,250 0,349
3 . л-3 0,1 is 0.207 0,250 0,290 0,368 0.444 0.596
3 . л=5 0.134 0,228 0,269 0,309 0,388 0,467 0,623
И ь 5 6 7 8 9 10
з для л — 1 0,445 0,540 0.636 0,729 0,823 0,917
9 . л =3 0.746 0.885 1.05 >.19 1.34 1.49
3 • л = 5 0,779 0.935 1,09 1,25 1,40 1,56
6. Тонкая полоса со сто- ронами b < А 2л 4-1 '»*-зЛт " 1 w-«“2^rAt’ 3 2п
7. Тонкостенный неза- мкнутый профиль с постоянной толщиной стенки 4 и длиной сред- ней ЛИМИН 1 2Л4-1 '-«-Щй-'-ЛГ'1 " » 'r"«-2^“1 3 2л
8. Тонкостенный откры- тый профиль, состоя- щий на нескольких полос j-fcf | । Т ИДгкН До?- 1 | i f Ц | т 2л 4-1 * «+< У?'*' " 5 3 2Л Д т 2л4-1 ‘ “Т-J*'*' " ’ «" /—I ша> где лт — число полос в профиле; 4спЯ< — наибольшая толщина полосы
РАСЧЕТЫ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
299
Ползучесть тонкостенной трубки,
нагруженной внутренним давлением,
продольной силой
и крутящим моментом
Окружное, осевое и касательное на-
пряжения определяются по формулам
pD . N 2М
*' " 2« ’ °г “ kZA ’ ’ " кОП ’
где D — средний диаметр трубки; В —
толщина стенки; р — внутреннее давле-
ние; N — нормальная сила в поперечном
сечении трубки; М — крутящий момент.
Деформации трубки, образовавшиеся
в результате ползучести материала за
время t, определяются по формулам |22|
л—1
«/ял = («?—’Г®т + а, + Зт-’) 2 X
х (’/- -у)
п—t
«Т HJ - (°? — «/>» + + Зт1) 2 X
X 0(0*.
л-1
Уд., — 3 (в; — ata, + o’ + Зт») 1 тй (/).
Зная деформации, можно определить
перемещения, образовавшиеся в резуль-
тате ползучести материала за время /.
Удлинение трубы длиной I
^пл “* *« n.J-
Приращение среднего диаметра
^4 — «/ длЭ.
Угол закручивания трубки при усло-
вии, что крутящий момент не меняется
по длине.
нии или если осевая сила возникает
только за счет внутреннего и внешнего
давлений на днища, осевая деформация
трубы равна нулю (еж = 0).
В этом случае напряжения определя-
ются по формулам [22|
1 2
Р\г” - ргг"
°,------|----J----
2 2
(Pl—Pi)rlr2
/2 2\ 2 ’
I,л _»I_л
\гг ~ri )r
2 2
Pir" — PiT?
9‘------2-----2— +
-Л _ .n
r2 —
2 2
2 - n (Pl - Pt} r\r2
~’7T Тх~Т>
I -Л _ —Л I _rt
\r2 rl / r
2 2
Pi'i —
’* *“ 3 3
rn ,n
r2 ----rl
2 2
П - I (Pi “ '{’'2
n ’ / 2 2\ 2 ’
Радиальное смещение точки на радиу-
се г. образовавшееся в результате пол-
зучести материала за время I, опреде-
ляется по формуле
Установившаяся ползучесть
толстостенной трубы, нагруженной
внутренним и внешним давлениями
и осевой силой
Обозначения размеров трубы,
нагрузок, напряжений перемещении те
же. что на стр 279. Если горцы трубы
не могут смещаться в осевом направле-
л-р|
а а I
«Л4 “ ’'в" “ Р^) -^Г X
300
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
Установившаяся ползучесть
круглых н кольцевых симметрично
нагруженных пластинок
Обозначения: fj и — внутрен-
ний и наружный радиусы пластинки
соответственно; г — текущий радиус;
г . .
f, = ---безразмерный радиус; а -=
=» -^1 — отношение внутреннего радиуса
rt
к наружному; h — толщина пластинки;
z — расстояние от срединной плоскости
пластинки до текущей точки; Mt и М,
в кГсм)см — интенсивности моментов в
радиальном и окружном сечениях соот-
ветственно; а/ и аг — окружное и радиаль-
ное напряжения соответственно;^—угол
поворота нормали к срединной плоскости
пластинки, образовавшийся в результате
ползучести материала за время 1',Ьпл —
скорость изменения угла поворота;
шЛ4 — прогиб пластинки, образовавшийся
в результате ползучести материала за
время t.
В расчетах на ползучесть круглых
симметрично нагруженных пластин от-
носительно характера напряженного
состояния и деформации принимаются
те же допущения, что и в упругом
расчете пластин (см. стр. 190).
Окружное и радиальное напряжения
определяются по формулам [19]
а, - 2*+’ (т + 2) sign z ;
о, - 2M+l (m + 2) sign z ,
I
где m — —.
n
Наибольшие напряжения равны
ai mix — 2 (m + 1) ;
Величины интенсивностей окружного
и радиального моментов, угла поворота
нормали к срединной поверхности пла-
стины и прогиба определяются по фор-
мулам [19|
fa-'
л-Н
3 2 (2л +
л~Н
3 2 (2л + l)"rj+2
—х
Величины и J2< а также функции в(.
и w, для некоторых случаев круглых
симметрично нагруженных пластин при-
ведены в табл. 7 ||9|.
Установившаяся ползучесть
вращающегося диска переменной
толщины
Обозначения: ri и rj- внутрен-
ний и наружный радиусы диска; h —
толщина диска на радиусе г, Лд и hj —
толщины диска на внутреннем и наруж-
Фиг. 37.
ном радиусах; у — вес
единицы объема ма-
териала диска; «»—
угловая скорость вра-
щения диска; at —
окружное напряже-
ние; аг — радиальное
напряжение; pi —
равномерно распреде-
ленное давление по
внутреннему контуру
диска в кГ)см* рг—
интенсивность равно-
мерно распределен-
ной растягивающей
нагрузки по наруж-
ному контуру в кГ[см*
(фиг. 37).
В расчетах дисков на ползучесть от-
носительно характера напряженного
состояния принимаются те же допуще-
ния, что и в упругом расчете диска [22].
Задача решается методом последова-
тельных приближений [39].
РАСЧЕТЫ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
301
Диск сотверстием
В первом приближении напряжения
определяются по формулам
Т(*)2
РгггЬг 4- PiHh| + ——J
(45). (44) и (43), причем при подсчете
величины а используются напряжения,
найденные во втором приближении.
Аналогично могут быть построены
четвертое и последующие приближения.
Как показывают расчеты, изложенный
метод имеет достаточно быструю схо-
ап =
где
F (г) — j h dr; J (г) •= \ hr* dr
Г| г,
площадь и момент инерции части ради-
ального сечення диска AKLB (фиг. 37);
О г,
F = \ hdr; J = ( hr-dr
Г, г,
площадь и момент инерции всего ра-
диального сечения диска ACDB (фиг. 37).
Напряжения во втором приближении
определяются по формулам
+ pfih} + J
•/II-----------~ ~------И41)
димость и. как правило, можно огра-
ничиться тремя приближениями.
Радиальное перемещение, образовав-
шееся в результате ползучести мате-
риала диска за время t, в некоторой
точке диска на радиусе rt определяется
по формуле
я—1
"пл=- 4 (»?—аг’г+°?) 1 X
х (2»,-Or)г2(О. (46)
Порядок расчета диска. Диск
разбивается на несколько участков, ко-
личество которых зависит от конфигу-
рации диска. Для получения достаточ-
ной степени точности число участков
— PiMi +
где
С
(43)
не должно быть менее 10. После этого
определяются функции Р (г) и J (г), а
затем окружные и радиальные напря-
жения в первом приближении.
Используя полученные величины на-
пряжений, по формуле (45) подсчиты-
вают функцию а, а затем по формуле
« - -L1. (45)
1
Для получения величин напряжений
в третьем приближении необходимо
воспользоваться формулами (41) и (4'21.
В эти формулы подставляется функция
С, определенная прн помощи выражений
(44) функцию р. Далее производится
я
численное интегрирование функции —
Г dr
и подсчитывается функция I р — . no-
г.
еле чего по формуле (43) определяется
функция С-
302
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
Численное интегрирование выражении
г
АС позволяет определить фу нкцикД AC dr.
г,
Окружное и радиальное напряжения
во второй приближении определяются
по формулам (41) и (42). Для получе-
ния напряжений в третьем приближении
по формуле (45) вновь подсчитывается
функция а на основе полученных вели-
чин напряжений во втором приближении,
после чего расчет ведется по схеме,
изложенной для второго приближения.
Диск без отверстия
В круге малого радиуса rt окружное
и радиальное напряжения предполагают-
ся постоянными и равными между собой.
В расчетах принимается rt — O.irj.
В первом приближении:
для 0 < г < гг
W 1/11 + J
*'• F + г,Л, *•
ДЛЯ Г| С Г <Г2
rh I F +
|F(r) + r,A,| — J (r)
о
причем F(r,) — 0 и J(r,) = 0; для
Г < Г, а,, - ол.
Во втором приближении:
для 0 < г < г,
р2ггА2+-^-7 / 2
•г п “ °rll “ । л-1 7, /
2"r," Л, + JhCdr
для г, < г < rt
p2r2h2-|——- J
0/11 ” 1 2 г,
2"г1л А, + jACd,
Функция С определяется по формулам
(43)—(45). Порядок расчета такой же,
как и для диска с отверстием. Радиаль-
ные перемещения определяются по фор-
муле (46).
Пример. Определить величины напряжений
и зависимость радиального перемещения точек и»
наружном радиусе от времени для виска, изобрэ
жениого на фиг. 38. а. Диск равномерно нагрет
до температуры Л = 430° С и вращается с постояи
ным числом оборотов л = 12 000 и минуту. Давле-
ние иа внутренней поверхности равно нулю, а на
наружной поверхности диск нагружен равномерно
распределенной растягивающей нагрузкой интен-
сивностью р, — 914 кПси5. Материал диска —
хромоникельмо-тибдеиовая сталь, график функции
й (/) для которой при температуре 450е С пред;
ставлен на фиг. 39, показатель степени л = -,4.
(см. табл. 4), а модуль продольной упругости при
рассматриваемой температуре Е = 1,66-10“ кПсм'.
Вес единицы объема материала диска I“
— 0.008 кГ1см‘.
Расчет лиска произведен по схеме, изложение»
выше. Результаты сведены в табл. 8—10. Эпюры
окружных н радиальных напряжений в первом,
втором и третьем приближениях представлены
на фиг. 38. 6. Как следует из этих эпюр, при
подсчете напряжений можно ограничиться тремя
приближениями. Третье приближение уже незяа
чительпо отличается от второго.
Для определения зависимости радиального пе
ремешсиня, возникающего в результате ползу
чести лиска на наружном радиусе от времени,
находим из табл. 10 величины напряжений иа на
ружном контуре лиска в
третьем приближении. Они
равны о1г 16Ф* “Г)смг
»/., г — г, = А»'= 914 кПсдГ’.
Подставляя эти величины
в формулу (46), учитывая, что
г — г, «= 15,5 гм. получаем
л-2.45 и
“илт-г,-в’653 ‘а’“<«•
При помощи этого уравнения и графика функ-
ции О (/» можно подсчитать величину радиаль-
ного перемещения, развивающегося а результате
ползучести, на наружном контуре лиска дл»
любою значения времени Так, например, для
t — 36 000 час. из графика на фиг. 39 находим
Я(П-Я,4.10-|’<"*‘|«П"
и, следовательно,
иплг • см — 0,144 мм.
Расчет неравномерно нагретого вра-
щающегося диска переменной толщины
без использования предположения уста-
новившейся ползучести см. [14].
Расчет диска на ползучесть по мето-
ду Р. С. Кинасошвилн сводится к опи-
санному выше расчету диска с учетом
1
“ гЛ
+ —— J
1 л—1 7,
2лг1я л, + Jac «г
РАСЧЕТЫ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
303
Таблица 7
Формулы для расчета круглых и кольцевых симметрично нагруженных
пластинок иа ползучесть
Нагрузка пластинки
1. Круглая пластинка постоянной
толщины Л, радиуса г, свободно
оперта по контуру. Нагрузка интен
сивиостыо р кг)с.1Р равномерно
распределена по всей пластинке
Р
| 1 1 J 1 1 1 1 1 1 1 1 IIIII
L_
2. Круглая пластинка постоянной
толщины Л, радиуса г, защемлена
по контуру. Нагрузка интенсив
ностыо р кГ)слР равномерно рас
преаелена по всей пластинке
Р
ШТ 7 1» тг SSI
i ВВ
Расчетные формулы
5,-7р-Зр’; я, - ун^-ЗЗЗр’+Шр»: «. - 4 (И-144-ЗрЧ; Л - 4 рг,
п 1.00 1.25 1,67 2.6 5.0 СО
J, 30.0 19,5 12,8 8.36 5.51 3.65
•
»,-р-р»; я, - у 3-12р’+ IV; W. - 4Л- 4г
п 1,00 1.25 1,67 2,5 5.0 ОО
1, 0.667 0.631 0.600 0,574 0.562 0.534
— 1пр 4-3 In’ р;
2
-у р - ₽ tn р; я,
3. Круглая пластинка постоянной
толщины Л, радиуса г, свободно
оперта по контуру н нагружена
сосредоточенной силой Р кг, при-
ложенной в центре
7Р
с <1
л 1.00 1.25 1.67 2.5 5.0 ОО
/. 1.17 0.807 0.877 0,782 0,707 0,647
304
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
Продолжение табл. 1
Нагрузка пластинки
Расчетные формулы
8, — — р tn ?;
w, = — (1
4. Круглая пластинка постоянной
толщины Л, радиуса г, защемлена
по контуру и нагружена сосредо-
точенной силой Р кГ, приложен-
ной в пентре
Я 1.00 1,36 1,67 3,6 6,0 ОО
л 0,500 0,459 0,442 0,432 0.429 0.429
2
б«>
»1пР + -£- + -4-
1-
П-е’)’
'» • + т:
5. Кольиенан пластинка постоянной
толщины А, внутреннего радиуса г„
наружного радиуса rt свободно
оперта по внутреннему контуру
и нагружена силой Р кГ, рацио
мерно распределенной по наруж-
ному контуру
?*
п 1,00 1.35 1,67 2.6 6.0 ОО
/, для а — 0,2 1.78 1.47 1,24 1.06 0,910 0,796
Л . в-0,4 1.94 1.63 1,37 1,16 0,986 0,843
Л . в-0.6 1.63 1.37 1,16 0.960 0,831 0,705
/, . в — 0,Я 0,961 0,804 0,680 0,576 0,487 0,412
РАСЧЕТЫ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
305
Третье приближение
Фиг. зв.
пластических деформаций (стр. 282) с
той только разницей, что вместо моду-
ля пластичности ф в расчет вводится
легко могут быть получены перестрой-
кой обычных кривых ползучести
(фнг. 41).
О профилировании неравномерно на-
гретого вращающегося диска перемен-
ной толщины в условиях ползучести по
заданному закону изменения напряже-
ний или деформаций по радиусу см. [15].
модуль ползучести у. Модуль ползу-
чести определяется по кривым деформа-
ции в координатах я, t для соответ-
ствующих температур и заданного зна-
чения времени (фиг. 40). Эти кривые
Таблица S
Расчет диска (первое приближение)
Г в см h я см F(r) см1 / (Г) см* •/1 • Kt'ICM' 4,| В кГ\сМ<
1.90 3.80 0 0 1790 0
2.40 3.80 1,90 8.82 1790 359
2.90 3.80 3.80 22,2 1790 590
3.41 3.80 5,70 41.1 1790 746
3.80 3.80 7.22 60.8 1790 839
4.40 7.60 10.6 119 1790 522
5.00 7.00 15.2 220 1790 639
5.70 7.60 20.5 373 1790 735
6,40 4.80 24.9 530 1790 1220
7,00 4,60 27.7 657 1790 1270
8,00 4.20 32.1 904 1790 1360
9.00 3.80 36.1 1190 1790 1430
10.0 3.40 38.7 1520 1790 1510
П.О 3,00 42.9 1870 1790 1590
12.0 2.60 45.7 2240 1790 1690
13.0 2,20 48.1 2610 1790 1820
14.3 1.80 50.7 3100 1790 1970
14.9 3.30 52.2 3420 1790 999
15.6 3.30 64.2 3880 1790 914
20 том з
306
РАСЧЕТЫ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
Расчет диска (второе приближение)
Таблица 9
г в см В 8 н С 1 в см п Г j СМт 2л—1 и СМ п «/II в кПсМ2 •г II в кПсМ1 . .
1.90 0 -0,500 0 0,769 0 2510 0
2,40 0.201 -0.332 -0.100 0,738 1,43 2410 499
2.ОТ 0.330 -0.203 -0.153 0,704 2,80 2.300 803
3,40 0.418 -0,104 —0.178 0,674 4.11 2200 996
3,80 0.470 —0.0395 —0.186 0,652 5,12 2130 1100
4,40 0.292 -0.243 -0.206 0,573 7.17 1870 6.53
5,00 0.358 -0.173 -0.233 0,552 9,73 1800 761
5,70 0.412 -0,111 -0.251 0,528 12,6 1720 838
6,40 0,685 0,281 -0.242 0,541 14,9 1760 1360
7.00 0.713 0,330 -0.215 0,530 16.4 1730 1400
8.00 . 0,760 0.420 -0,165 0,516 18.7 1683 1470
9.00 0,803 0.507 -О.Ш 0.505 20.8 1650 1530
10.0 0,845 0,597 -0,0529 0.499 22.6 1620 1590
11.0 0,891 0.705 0.009ОТ 0.494 24.2 1610 1660
12.0 0,946 0,847 0.0763 0.493 25.6 1610 1750
13.0 1.02 1,07 0.153 0.497 26,7 1620 1870
14.3 1.10 1,34 0,267 0.505 28.0 1650 2000
14.9 0.560 0,0826 0.296 0.465 28,8 1520 1010
15.5 0.512 0,0161 0.298 0.453 29,7 1480 914
Таблица 10
Расчет диска (третье приближение)
Г в см а f-4 С 1 в см п Г f thdr •t III В КГ)СМ> •г III в кПсм'
в см 2л—1 п
1,90 0 -0.500 0 0.769 0 2370 0
2,40 0.207 -0.326 -0,0998 0.740 1 .43 22ЯО 471
2,90 0.350 —0,182 -0,150 0.711 ! ,81 21ОТ 759
8,40 0.454 -0.0601 -0,170 0,684 4 .14 2100 944
3,80 0.518 -0.0242 -0,172 0.665 5 .16 2040 1050
4,40 0.350 -0,182 -0,182 0,582 7 .27 1820 622
5.00 0,423 -0.0977 -0,200 0,571 9,92 1760 728
5.70 0,487 -0.0177 -о,2се 0,550 12,9 1690 805
6,40 0,772 0,443 -0.185 0,561 15,3 1730 1310
7.00 0,811 0.524 —0,142 0,553 16,9 1700 1350
8.00 0,675 0,665 -0,0630 0.545 19,3 1680 1420
9.00 0.929 0,801 0,0231 0.542 21,5 1670 1480
Ю.О 0,979 0,939 0,115 0.541 23,4 1660 1540
11,0 1,03 1.09 0,211 0,54.5 25,2 16»» 1610
12.0 1,09 1.28 0,314 0,553 26.7 1700 1710
13.0 1,16 1.56 0,4'27 0,565 28,0 17-40 1840
14.3 1,22 1,83 0,588 0,587 29,5 18ОЭ 19М
14.9 0,667 0,250 0,632 0,546 30,4 1680 10ОЭ
15.5 0,619 0,173 0.640 0,534 31 1640 914
РАСЧЕТЫ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ
307
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
1. Безухов Н. И.. Теория упругости и
пластичности, ГИТТЛ, 19БЗ.
2. Беляев Н. М., П рнменение теории пла-
стических деформаций к расчетам на ползучесть
деталей при высоких температурах. .Известия
АН СССР, ОТН* 74 7, 1943.
3. Беляев Н. М., Сопротивление материа-
лов, ГИТТЛ, 1953.
4. Гвоздев А. А.. Расчет несущей способ-
ности конструкций по методу предельного равно-
весия, Стройнздат, 1949.
Б. Г р и г о р ь е в А. С., О несущей способ-
ности кольцевых пластин, .Инженерный сборник*,
т. XVI. изд. АН СССР, 1953.
8. Дроздов Н. Ф.. Сопротивление артил-
лерийских орудий и их устройство, ч. III. Авто-
скрепленке. изд. Артиллерийской академии имени
Ф. 3. Дзержинского, 19-15.
7. Жуков А. М.. Работной Ю. Н.,
Чуриков Ф. С., Зксперичеитальная проверка
некоторых теорий ползучести. .Инженерный
сборник*, т. XVII, изд. АН СССР, 1953.
8. Ильюшин А. А.. Пластичность, ОГИЗ.
ГИТТЛ. 1948.
9. Ишлниский А. Ю.. Пластичность,
Механика в СССР за тридцать лет, ГИТТЛ,
1950.
10. Качанов Л. М.. Механика пластических
сред, ОГИЗ, ГИТТЛ. 1948.
11. Качанов Л. М., Некоторые вопросы
теории ползучести, ГИТТЛ. 1949.
12. К и я а с о ш в и л и Р. С., Растет на проч-
иость дисков турбомашин, Оборонгиз, 1954.
13. К о л а н е в А. И.. Концентрация напряже-
ний в пластической области, .Труды ВВИА*.
вып. 318, изд. ВВИА имени Жуковского. 1949.
14. Кос тюк А. Г.. Напряжения во вращаю-
щемся диске прн ползучести, .Инженерный сбор-
ник*. т. XV. изд. АН СССР. 1963.
15. К о с т ю к А. Г., Расчет профиля вращаю
щегося диска для условий ползучести. .Приклад-
ная математика и механика*, т. XVII, вып. 5,
изд. АН СССР. 1953.
16. Л у р ь е А. И., Обобщение теоремы Касти-
лиаио. .Труды Ленинградского политехнического
института имени М. И. Калинина* 74 1, 1946.
17. Малинин Н. Н., Основы расчетов на
ползучесть, Машгиз, 1948.
18. М а л н и и н Н. Н., Некоторые одномерные
задачи неустаноаяпшсйся ползучести, .Инженер-
ный сборник*, т. X. изд. АН СССР, 1961.
19, Маликин Н. Н., Установившаяся пол-
зучесть круглых симметрично нагруженных пла-
стин, .Расчеты на прочность, жесткость и пол-
зучесть влементоа машиностроительных конструк-
ций*, сб. ст. МВТУ имени Н. 3. Баумана, Машгиз,
1953.
20. Налай А., Пластичность и разрушение
твердых тел, изд-во иностранной литературы,
21. П о а о м а р е в С. Д.. Бидериц В. Л.,
Лихарев К. К., М а к у ш и и В. М., Мали-
и н и Н. Н„ Ф е о л о с ь в в В. И.. Основы со
ременных методов расчета на прочность и ма
шнностроеани (Прочность прн статической на
грузке). Машгиз, 1950.
22. Пономареве. Д.. Б и л е р м а и В. Л.,
ЛихаревК. К., МакушннВ. М.. Мали
нив Н. Н., Феодосиев В. И.. Основы совре
менных методов расче'та на прочность в машино-
строении (Расчеты при динамической нагрузке.
Устойчивость. Ползучесть), Машгиз, 1962.
23. Р а б о т и о в Ю. Н,, Расчет деталей ма
шин на ползучесть, .Известия АН СССР. ОТН*
М 6, 1948.
24. Р а б о т и о в IO. Н„ Некоторые вопросы
теории ползучести. .Вестник Московского уни
верситста* 74 10, 1948.
25. Работ нов Ю. Н., Сопротивление ма
терналов, изд. МГУ, 1950.
26. Р а л ц н г А. А.. Расчет турбинного диска
с учетом ползучести, .Прочность элементов па
ровых турбин*, сб. ст., Машгиз, 1951.
27. Раковшнк Ю. А., Определение несу
шей способности деталей при пластическом из
гнбе, .Вестник машиностроения* >4 2, 1961.
28. Р ж а и и ц ы и А. Р.. Расчет сооружений
с учетом пластических свойств материалов. Строй
нэдзт, 1964.
29. Р о э е в б л ю м В. И., Расчет ползучести
Я’рбинных диафрагм ступеней высокого введения,
кжеиераый сборник, т. XX, над. АН СССР.
1954.
30. Савнн Г. Н.. Концентрация напряжений
около отверстий. ГИТТЛ, 1961.
31. С е р е н с е н С. В., К о г а е в В. П..
Козлов Л. А., Шнейдеровнч Р. М„ Несу-
щая способность н расчет дс талей машин иа
прочность. Машгиз, 1954.
32. С м и р и о в-А л я е в Г. А.. Теория авто-
скреплеиия цилиндров, Оборонгиз. 1940.
S3. Смирно а-А ля е в Г. А.. Сопротивление
материалов пластическим деформациям, Машгиз.
1949.
34. Соколовский В. В.. Теория пластич-
ности. ГИТТЛ. 1950.
35. Теория пластичности, сб. ст. пол ред.
Ю. Н. Работиова, Государственное излательстао
иностранной литературы. М. 1948.
36. Ужик Г. В.. Сопротивление отрыву и
прочность металлов, нал. АН СССР, 1950.
37. ф и л о и е и к о-Б о р о л и ч М. М., Изю-
мов С. М., Олисов Б. А., Кудряв-
ое в И. Н„ М а л ь г и и о в Л. И., Курс сопро
тивлеиия материалов, ч. I и II, ГИТТЛ, 1949.
38. Ч у р и к о в Ф. С„ К вопросу о иаприже
ниях и Деформациях при высокой температуре.
.Вестник Московского университета* 74 2, 1949.
39. В a I I е у R. W., The Utilisation of Creep
Teat Data In Engineering Dealgn, The Inatltullon
of Mechanical Engineer*. Proceeding*. ». 131,
1935.
40. D a v I • E. A., Creep and Relaxation ol
Oxygtn-Fre* Copper. Journal ol Applied Mecha-
nic**. June, V. 10, 74 2, 1943.
41. T h 0 in p a о n A. S.. Streaaea In Routing
DHk» of High Temperature*. Journal of Applied
Mechanic**, March, v. 13. 74 1, 1946.
20*
ГЛАВА X
РАСЧЕТЫ НА СТАТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Повышение качества применяемых
материалов и уточнение методов расче-
та являются основой для создания лег-
ких и рациональных конструкций совре-
менного машиностроения. Для облег-
ченных конструкций характерно сниже-
ние запасов устойчивости, т. е. прибли-
жение их фактического напряженного
состояния к критическому. Поэтому
расчеты на устойчивость элементов со-
временных конструкций (стержней, пла-
стин и оболочек) приобретают весьма
существенное значение во всех отрас-
лях машиностроения.
Детально вопросы устойчивости на-
пряженного состояния элементов кон-
струкций рассмотрены в [51, [61. [71, 191.
[161. [12]. [151.
Изложение наиболее употребительных
методов расчета на устойчивость дано
в ряде курсов сопротивления материа-
лов [2], [И], [14].
Систематизированный справочный ма-
териал по расчетам на устойчивость
приведен в работах [4], [11].
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ
ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
(продольный изгиб)
Устойчивость или неустойчивость
прямолинейной формы оси сжатого
стержня существенно зависит от вели-
чины сжимающей силы. То значение на-
грузки на стержень, прн котором пря-
молинейная форма перестает быть фор-
мой устойчивого равновесия, носит
название критического значения. При
нагрузках, меньших критической, прямо-
линейная форма осн стержня устойчива.
Прн нагрузках, ббльших критической,
прямолинейная форма оси стержня ста-
новится неустойчивой, т. е. практиче-
ски исчезает, и стержень переходит к
новой, криволинейной форме равновесия.
Эта новая форма равновесия устойчива,
но ее особенностью является весьма
резкое нарастание прогибов при пре-
вышении нагрузкой критического зна-
чения. Так. для однопролетного стержня
постоянного сечения с шарнирно опер-
тыми концами (фнг. 1) наибольший про-
гиб имеет место по середине длины
стержня, и его величина в зависимости
от нагрузки [10]
где Ркр — и* -------критическое значе-
ние нагрузки; Р > Р*р — фактическое
значение нагрузки; EJ — наименьшая
жесткость изгиба стержня; I — его длина.
р
Если -и——1,001, т. е. нагрузка пре-
* кр
вышает критическую только на O.Tfo.
то j'max = 0.0282/, т. е. составляет при-
близительно 3% длины стержня. При
превышении критической нагрузки на
1°/о наибольший прогиб составляет уже
около 9°/0 длины /.
Переход к новой форме равновесия
вызывает весьма резкое возрастание
напряжений в стержне: к первоначаль-
ным напряжениям от сжатия добавляются
напряжения от изгиба, во много раз
превышающие первые.
Пример. Для стального стержня с шарнирно
опертыми концами (фиг. 1) .единой («3 м И
поперечным сечением и ииле прямоугольника
с размерами b » И см и h e 1 см наименьший
момент инерции сечения
'tnln “ "П" *я‘“1
и, следовательно, критическое значение нагрузки
рКр - * - 9'87 - 219 «а
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
309
величин* критического напряжения
«Р
= -ут- 18 кГслР.
При этом, конечно, предполагается, что стер-
жень изготовлен точно прямым, нагрузка прило-
жена строго по оси стержия и т. д. Представим
себе, что фактическая нагрузка на стержень до-
стигла р ж 221 <Г, т. •• превысила критиче-
скую примерно на 1%» тогда максимальный про-
гиб составляет
ТОО
max к
219
22j- са П ем,
изгибающий момент а соогостстоующеы сечении
стержия
М - ЯУтах - 221-27 « 8000 кГсм
я дополнительные напряжения от изгиба
Фиг. 1.
АТ 6М
” IT " № =
= 3000 кГ'слГ.
Таким образом, при
превышении нагрузкой
ее критического значе-
ния на 1% напряжения
возрастают больше чем
в 150 раз. Заметим, что
в действительности бла-
годаря неизбежному
аксиеитриситету прило-
жения нагрузки, нали-
чию малой начальной
кривизны стержня (по-
гибь стержня) и тому
подобным обстоятель-
ствам напряжения изги-
ба практически имеют
место и при нагрузках, меньших критической.
Эти первоначальиые напряжения изгиба зна-
чительно меньше напряжений, возникающих при
нагрузках, ббльших критической.
Исключительно интенсивное возраста-
ние напряжений при Р~>Ркр требует
рассмотрения критической силы как
предельной (разрушающей) нагрузки.
Как правило, в конструкциях и соору-
жениях допускаются нагрузки только
значительно меньшие критических. От-
ношение критического значения нагрузки
к ее фактической величине носит назва-
ние запаса устойчивости:
Рекомендуемые величины
тойчивости лу существенно
материала стержня:
Материал . . Сталь Дерево
ш . . . . , 1.8-3,0 2,8—3,5 4,8-5,5
(2)
запаса ус-
завнсят от
Чугун
На приведенные значения запаса ус-
тойчивости надо смотреть, как на ори-
ентировочные величины.
уве-
на-
(3)
Меньшие из указанных величин ис-
пользуются при более точных методах
расчета, при достаточном соответствии
между расчетной схемой и реальной
конструкцией и т. д.
Прн расчете отдельных конструкций
возможны значительные отклонения от
приведенных значений запаса устойчи-
вости (главным образом в сторону
лнчения).
Итак, допускаемая сжимающая
грузка из расчета на устойчивость
Р — — Р
"у
где лу — приведенные выше величины
запаса устойчивости.
Ряд числовых примеров расчета на
устойчивость дан ниже.
Основным метолом точного определе-
ния критического значения нагрузки
является непосредственное интегриро-
вание дифференциального уравнения
криволинейной формы равновесия. При
использовании этого метода вычисление
критической силы сводится к решению
путем подбора достаточно сложных
трансцендентных уравнений. Поэтому
прн практическом осуществлении рас-
четов на устойчивость большое значе-
ние приобретают таблицы корней этих
уравнений, т. е. заранее вычисленные
значения критических сил.
В общем случае сжатого монолитного
стержия критическое значение нагрузки
может быть выражено так:
D EJ ^EJ
РкР-Ъ [г - (|4)а ’
где Е— модуль упругости первого рода;
J = УШ|П — наименьший из главных цен-
тральных моментов инерции сечения
стержня; /—полная длина стержня; т; —
коэффициент критического значения на-
грузки или коэффициент устойчивости;
Р — коэффициент приведенной длины;
эти коэффициенты связаны между собой
очевидным соотношением
(4)
Ч =
(5)
Величины коэффициентов ц и р отра-
жают следующие три фактора:
1) характер крепления торцевых и
промежуточных сечений стержня (пол-
ное или частичное исключение линей-
ных н угловых перемещений в месте
крепления);
2) характер нагружения стержня про-
дольными силами (сосредоточенныесилы.
310
РАСЧЕТЫ НА СТАТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ
приложенные к торцевым или про-
межуточным сечениям, распределенные
силы);
3) характер изменения сечения стер-
жня по его длине (постоянное, ступен-
чатое, непрерывно переменное).
Соответствующие таблицы коэффици-
ентов т) и ц, вычисленные для наиболее
употребительных расчетных схем, при-
ведены ниже.
Существенно отметить, что основная
формула (4) для критического значения
нагрузки справедлива только в пределах
закона Гука. т. е. прн критических на-
пряжениях, не превышающих предела
пропорциональности материала стержня:
аяр — ~~р~ ^Зац- (°)
Однопролетные стойки постоянного
сечения
Стойки, нагруженные продольны-
ми сжимающими силами, приложен-
ными к их торцевым сечениям. Зна-
чения коэффициентов \ и н для различ-
ных однопролетных стоек даны в табл. 1;
у этих стоек:
1) абсолютно жесткие линейные и уг-
ловые связи наложены только на тор-
цевые сечення;
2) продольные силы приложены толь-
ко к торцевым сечениям;
3) поперечное сечение постоянно по
длине стойки.
Нижние концы стоек /, IV, V и VI!
заделаны, а стоек //. III и VI оперты
шарнирно.
Верхний конец стойки I свободен от
связей.
В стойках II и IV верхние концы по-
мещены в подвижную втулку, т. е. они
могут свободно перемещаться в наира-
вленин, перпендикулярном к оси стер-
жня, но поворачиваться не могут (абсо-
лютно жесткая угловая связь). В стойках
III и V на верхние концы наложена абсо-
лютно жесткая линейная связь (каток),
т.е.концы могут свободно поворачиваться,
но не могут перемещаться в направле-
нии, перпендикулярном к оси стержня.
Верхние концы стоек VI и VII поме-
щены в неподвижную втулку, т. е. они
не могут ни поворачиваться, ни пере-
мещаться в боковом направлении (ком-
бинированная угловая и линейная связь)
и могут лишь смещаться в продольном
направлении.
Весьма существенно, что в ряде прак-
тически встречающихся случаев креп-
ление концов стойки осуществляется
наложением не абсолютно жестких свя-
зей, а связей, способных деформиро-
ваться. Теоретическое исследование та-
ких стоек затрудняется некоторой не-
определенностью степени податливости
реальных связей. Имеющиеся рекомен-
дации основаны на результатах экспе-
риментального исследования конкретных
конструкций и отражают их специфи-
ческие особенности. Так. в станкострое-
нии [1] принято определять характер
опор ходовых винтов в зависимости от
отношения длины опоры /0 к ее внут-
реннему диаметру именно при
4- < 1,5 рекомендуется рассматривать
° /
опору как шарнирную, а при -£->3 —
ао
как совершенную (абсолютно жесткую)
заделку. Для опор с промежуточным
отношением длины к диаметру 1,5<4<3
“о
заделка считается несовер-
шенной и имеют место сле-
дующие рекомендации* если
один конец винта заделан
совершенно , а
другой несовершенно, то
коэффициент устойчивости
и коэффициент приведенной
длины соответственно при-
нимаются равными
т] = 2,8-яЗ — 27,6 и |* —
-Д=- - О'60!
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
311
Таблица 2
Значения коаффициеит* устойчивости д для консольных стояк, нагруженных силой Р
в торцевой сечении и силой Р„ приложенной в некоторой промежуточной сечении
(ем. фиг. 2 и формулу (8)]
ь 1 Р,:Р,
0 0.1 0,2 0,5 1.0 2,0 5.0 10 20 50 11»
0 2,467 2,714 2,961 3,701 4,935 7,402 11.80 27.14 51,82 125,8 249.2
од 2,467 2,714 2.960 3,698 4,930 7,377 11,63 26.66 49.86 111,6 176.3
0.2 2,467 2,710 2.953 3,679 4.8BJ 7,207 13,78 23,19 36,33 50.96 56,48
0,3 2.467 2,703 2,936 3,622 4,712 6,769 11.70 16,82 21,37 24,89 26,14
0,4 2,467 2,688 2,904 3,525 4,470 6,074 9.187 11,57 13,29 14.52 14,97
0,5 2,467 2,665 2,856 3.384 4,136 5,268 7,060 8,210 8.963 9,488 9,675
0.6 2,467 2,635 2,793 3.211 3,759 4,497 5.504 6,048 6.431 6.674 6,764
0,7 2,467 2,599 2,715 3,020 3,385 3,830 4.376 4.660 4.834 4,952 4,993
0,8 2,467 2,557 2,(36 2,821 3,040 3,280 3.551 3.685 3.765 3,818 3,836
0.9 2,467 2,513 2.551 2,641 2,734 2,832 2.936 2,дав 3,015 3.033 3 040
1,0 2,467 2,167 2,467 2,467 2,467 2,467 2.467 2.467 2.467 2,467 2,467
если оба конца заделаны несовершенно,
то
ч = 1.8к« - 17,8 и |Х---А— =, 0,75.
В результате экспериментов над вин-
тами с целью учета влияния витков на-
резки на жесткость винта получено сле-
дующее выражение для приведенного
момента инерции, используемого
вычислении критического значения
грузки:
при
на-
nd]
dl
0,375 4- 0,625 ,
rf.
(7)
где tfj и rf, — соответственно наружный
н внутренний диаметры резьбы.
Для нормальной трапецеидальной резь-
бы по ОСТ 2410 при номинальном диа-
метре от 12 до 125 .им отношение d,: d2
колеблется в пределах между 1,40 и
1,15; оно тем больше, чем меньше диа-
метр резьбы. Следовательно, поправоч-
ный коэффициент в Формуле (7) лежит
в границах между 1,25 и 1,10. Запас
устойчивости при расчете винтов при-
нимается порядка Пу — 3 -+- 4.
Меньшие значения nv рекомендуются
для расчета вертикальных винтов и боль-
шие — для винтов, расположенных гори-
зонтально
Стойки, нагруженные продольны-
ми силами, приложенными к про-
межуточным н торцевым сечениям.
Консольная стойка, нагруженная дву-
мя продольными силами: силой Д,
приложенной к торцевому
силой Р,, приложенной в
промежуточном сечении
(фиг. 2).
Критическое значение на-
грузки
(Л + Ы'р -1 (8)
сечению, и
некотором
Фнг. 2.
Коэффициенты устойчи-
вости г;, вычисленные для
л
ряда значений величин
Pi
и у , сведены в табл. 2 (10).
Краткая таблица коэффи-
циентов т; для стойки с шар-
нирно опертыми концами дана ниже (см.
.Однопролетные стойки переменного
сечения", стр. 316).
Примерами применения в машино-
строении сжатых стержней с осевыми
нагрузками, приложенными к промежу-
точным сечениям, могут служить ходо-
вые пииты токарно-винторезных стан-
ков, сквозные штоки поршневых ком-
прессоров и т. д.
Стойки, нагруженные продольны-
ми силами, распределенными по их
длине. В этом случае дифференциаль-
ное уравнение упругой линии предста-
вляет собой уравнение с переменными
коэффициентами. При продольных си-
лах, равномерно распределенных по
длине, и для целого ряда других слу-
чтев его общий интеграл может быть
312
РАСЧЕТЫ НА СТАТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ
выражен через функции Бесселя дроб-
ных порядков.
Примером нагружения вертикальных
стоек распределенными продольными
силами может служить действие соб-
ственного веса.
Наиболее полное исследование рас-
чета на устойчивость стоек, нагружен-
ных распределенными продольными си-
лами, дано в ряде работ А. Н. Дннника;
результаты этих работ изложены в его
монографиях [5], [6], [7].
В табл. 1 (нижняя строка) приведены
значения коэффициента tj* в выражении
для критического значения сжимающей
распределенной нагрузки:
EJ
Мкр-т,* %, (0)
где q — интенсивность продольных сил,
равномерно распределенных по длине
стойки (например, погонный вес стойки,
т. е. вес единицы длины).
Стойки, одновременно нагружен-
ные сосредоточенными и распреде-
ленными продольными силами. При
одновременном действии сосредоточен-
ных сил Р и равномерно распределен-
ной сжимающей нагрузки q критическое
значение сосредоточенной силы
Рцр ” 'Ч ~р" • (1®)
естественно, зависит от величины рас-
пределенной нагрузки.
В табл. 3 [5], [о] приведены значения
коэффициента т| для стоек /, 111 и IV
(см. табл. 1) в зависимости от величины
отношения веса стойки ql к Эйлерову
значению сосредоточенной силы Р. Это
значение следующее:
* для стойки 1 (нижний конец заделан,
верхний свободен)
Р — — • & м 2 467
и для стоек IV (нижний конец заделан,
верхний может перемещаться, но не мо-
жет поворачиваться) и 111 (оба конца
оперты)
' FJ FJ
P.-ifl -±±-9,870-^-.
* р Р
Существенно отметить, что при до-
статочно большой величине собствен-
ного веса стойки потеря устойчивости
происходит даже при растягивающем
действии силы Р (отрицательные зна-
чения коэффициента ц в табл. 3).
Таблица 3
Таблица значений коэффициента
устойчивости г( при одновременном действии
сосредоточенных и распределенных
нагрузок
ql р. Стойка 1 Стойка III Стойка IV
0 2.47 9,87 9,87
0,25 2,28 8.64 8.70
0,60 2,08 7.40 7,85
0.75 6,17 6.09
1.00 1,72 4.94 4-4.75
1,92 — — 0
2,00 0.98 0 -0,81
3,00 +0.15 -4.94 —5,91
3,18 0 -9.87 ««
4,00 -0.69 -14.80 -11,50
6,00 -1.50 — -17,37
Примечание, и IV см. тайл. 1. Схемы стоек 1, 111
Стойки постоянного сечення
с промежуточными опорами
Наличие промежуточных опор весьма
существенно отражается на величине
критического значения нагрузки. Неза-
висимо от количества промежуточных
опор и характера крепления торцевых
Фнг. 3.
сечений критическое значение нагрузки
может быть выражено формулой (4),
где / — длина всей стойки.
1. В табл. 4 [10) приведены значения-
коэффициента устойчивости т| и коэф-
фициента приведенной длины р для че-
тырех стоек /, 2, 3 и 4 (фиг. 3) с про-
устойчивость сжатых прямолинейных стержней
313
Таблица 4
• Зпачекия коэффициенте» ц н р. дли стоек с промежуточное опорой
и нижним шарнирно опертым концом
№ стойки (по фиг. 3) ъ 1 0 0.1 0.2 0.3 0,4 0.5 0.5 0,7 0.1 0,9 1.0
1 ч 2,467 2,832 3.283 3,845 4.551 5,438 6.511 7,726 8,874 9,637 9.870
н 2,00 1,87 1.73 1.60 1.47 1.35 1.23 1.13 1,06 1,01 1.00
2 ч 9,870 11,33 13,11 15.26 17.72 20,19 21.88 22,14 21,40 20,55 20.19
И 1,00 0,903 0,868 0.804 0,746 0.699 0.672 0.668 0.679 0.693 0.699
3 ч 20,19 23,23 27,06 31.75 36,80 39,48 36,80 31,75 27.06 23,23 20.19
и 0,699 0.652 0,601 0.558 0.518 0.500 0,518 о. 558 0,604 0,652 0,699
4 ч 39,48 45,27 51,97 58.92 58,81 51,12 41.68 33,96 28,09 23,63 20,19
1» о.яю 0,467 0,436 0,412 0.410 0,439 0,487 0,539 0.593 0.646 0,699
межуточной опорой и нижним шарнирно
опертым концом в зависимости от поло-
жения промежуточной опоры.
2. Табл. 5 [16] дает значения т] и р для
стоек 5, б, 7 и 8 (фиг. 4) с промежуточ-
ной опорой и нижним заделанным концом.
гД” кодим .1
Фнг. 4.
В стойках / и 5 верхний конец сво-
боден (консольные стойки). На верхний
конец стоек 2 и б наложена угловая
связь, т. е. концы помешены в подвиж-
ную втулку, обеспечивающую отсут-
ствие поворота торцевою сечення, но
не запрещающую перемещение, перпен-
дикулярное к оси стойки.
Фиг. 5.
В стойках 3 и 7 на их верхний конец
наложена линейная связь (каток), обес-
печивающая отсутствие смещения конца
в боковом направлении. На верхний ко-
нец стоек 4 и 8 одновре-
менно наложены угловая и
линейная связи, т. е. концы
помещены в неподвижную
втулку.
Необходимо отметить, что
в стойках 1, 2, 3 и 4 прн
6 — 0 имеет место заделка
нижнего конца (две распо-
ложенные рядом шарнирные
опоры обеспечивают отсут-
ствие углового перемеще-
ния).
3. В табл. 6 [10] приведе-
ны значения коэффициента
устойчивости г для трех-
пролетной стойки с шар-
нирно опертыми концами
(фиг. 5). Коэффициенты ч
даны в зависимости от по-
ложения промежуточных опор,
большее значение критической
имеет место при равенстве длин
трех пролетов:
Нан-
силы
всех
PJ FJ
314
РАСЧЕТЫ НА СТАТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ
Таблица 3
Значения коэффициентов 1) и р. для стоек с промежуточно! опорой
и нижним заделанным концом
J* стойки (по фиг. 4) ъ ~Г 0 0.1 0,2 0.3 0.4 0.8 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0
а ч 2,467 2,883 3,414 4.106 6,021 6.260 7,990 10.39 13,52 17,24 20,19
р 2.00 1,85 1.70 1.55 1.40 1.28 1.11 (1,975 0.852 0,757 0,699
б ч 9.870 11,83 13,65 18,37 19,90 24,42 29.82 35,10 38,41 39.40 39,48
р 1,00 0,925 0,850 0.776 0,704 0.636 0.575 0,530 0.507 0.501 0,500
т ч 20.19 23.63 28,09 33.96 41,68 51,12 58,84 58.92 51,97 45,27 39,48
Iх 0,6Ь9 0,646 0,593 0.539 0,487 0,439 0,410 0.412 0,436 0,467 0,500
3 ч 39,48 46.13 54.48 64.56 75.22 80,76 75,22 64.56 54.45 46.13 39,48
р 0,800 0,463 0,426 0,391 0,362 0.350 0,362 0,391 0,426 0,463 0,500
Таблица б
Значения коэффициента устойчивости ч для трехпролетиой стойки
с шарнирно опертыми концами (фиг. 5)
т « /
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0.6 0,7 0.8 0,9 1.0
0 20,19 23,63 28,09 33,95 41,68 51,12 58,83 58,16 51,97 45.28 39,48
0,1 23,63 24.92 29,46 35.61 43,98 54,91 65.92 67,77 60,68 52,41 45,28
0,2 28,09 29.46 31,54 37,91 46,89 59,23 73.51 78.75 70,90 60,68 51,97
0,3 33,95 35,61 37,91 41,20 50,75 64,42 81,27 87.51 78,75 67,77 58.16
0,4 41,68 43,98 46,89 50,75 56,07 71,15 85.60 81.27 73,51 65,92 58,83
0,5 51,12 54,91 59,23 64,42 Л,15 80,75 71,15 64.42 59,23 54,91 51,12
0,6 58,83 65,92 73.51 81,27 85,60 71,15 амг 50,75 46,89 43,96 41,68
0,7 58,16 67,77 78,75 87,51 81,27 64,42 50,75 41.20 37,91 35,61 33,95
0,8 51,97 60,68 70,90 78,75 73,51 59,23 46,89 37,91 31,54 29,46 28,09
0,9 45,28 52.41 60,68 67,77 65,92 54,91 43,98 35.61 29,46 24,92 23,63
1.0 39,48 45,28 51,97 58,16 58,83 51.12 41.68 33.95 28,09 23,63 20,19
При составлении табл. 4—6 предпо-
лагалось. что все связи, наложенные на
стойку, абсолютно жесткие.
В действительности крепления концов
стержня и его опертых промежуточных
сечений под действием реактивных сил
и моментов в той или иной степени спо-
собны деформироваться. При достаточ-
но большой величине податливости свя-
зей это обстоятельство существенным
образом снижает величину критическо-
го значения нагрузки [5], [6], (9].
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
315
Примером расчета на устойчивость
сжатых стержней с промежуточными
опорами может служить расчет конден-
саторных трубок в условиях меняюще-
гося теплового режима конденсатора (10].
чеиие нагрузки Р для двух вариантов: 1) А = 0.5
и 2) у = 0,6.
Величины главных центральных моментов инер
ции:
для сечения АА
Однопролетные стойки переменного
сечения
2с4.
Стойки со ступенчатым изменением
поперечного сечения
1. Для консольной двухступенчатой
стойки (фиг. 6) с моментом инерции J2
на длине а и моментом инерции J2 на
длине Ь критическое значение силы Р,
для сечения ББ
х“ 11 * и 7у U 6^
Фиг. б.
приложенной к верхнему тор-
цу стойки, может быть пред-
ставлено в виде
Сечение пом
Сечение по 66
НМ
Фиг. 7.
(11)
Значения коэф-
фициента устойчи-
вости т| сведены в
табл. 7 [10]. Здесь,
как и ниже, оба
момента инерции
Ji н J2 берутся
относительно осей,
перпендикулярных
к плоскости изги-
Таким образом, в сечении А А момент инерции
наименьший ала осн у, а в сечении ББ для оси X.
Поэтому при расчете иа устойчивость необходимо
исследование изгиба стойки как в плоскости хх.
так н в плоскости ух (ось х совпадает с осью
стойки).
U
Первый парнаят; — = 0.5.
Упругая линия стойки расположена в плоско-
сти ух (изгиб относительно оси X):
У,— 7* = 4,6с*. J,-Jx = 9c'.
Аргумент табл. 7
-i-(Л-УО-1.00,
и, с-тедовательно, коэффициент устойчивости
11 Критическая сила в плоскости ух
Рх - 2.068 — 18,6
ба с тойки.
Пример применения табл. 7.
Ступенчатая стойка иостоамюй толщины (раз.
мер Зе) имеет на клике b ширину 4с и иа длине а
ширину 2с (фиг. 7). Определить критическое ана-
Упругая линия стойки расположена в плоско-
сти хх (изгиб относительно оси у):
У.-У^.Зс4; /,-У>-1вс4;
-^(Уа-Л)-7.
Таблица 7
Значения коэффициента устойчивости ч в формуле (II) для двухступенчатой
консольной стойки по фиг. 6
ь Т (У,-У.): У.
0 0,1 а2 0,5 1,0 2,0 5,0 10 20 во 100
0 2,467 2,243 2,056 1,645 1,234 0,8225 0,4111 0,2243 0,1175 0,04837 0,02465
0,1 2,467 2,285 2,126 1,761 1,367 0,9440 0,4894 0,2714 0,1436 0,05947 0,03010
0,2 2.467 2,325 2,197 1,881 1,520 1,093 0,6919 0,3350 0,1793 0,07486 0,03798
ОЛ 2,467 2.363 2,262 2,013 1,692 1.277 0,7293 0,4237 0,2302 0,09709 0,04944
0,4 2,467 2,396 2,327 2,141 1,879 1.499 0,9174 0,5498 0,3064 0,1309 0,06697
as 2.467 2,423 2,379 2,256 2,068 1,766 1,178 0,7462 0,4268 0.I860 0,09580
0.6 2,467 2,444 2,420 2,350 2,235 2.025 1.531 1,052 0,6330 0,2848 0,1482
0,1 2.467 2,457 2,446 2,415 2,356 2,256 1,950 1.530 1,016 0,4880 0,2588
as 2,467 2,464 2,461 2,453 2.440 2.402 2,297 2,106 1,730 0,9991 0,5592
0,9 2,467 2,467 2,466 2,465 2,466 2,459 2,446 2,424 2,374 2,189 1,746
1.0 2,467 2,467 2,467 2,467 2,467 2,467 2.467 2,467 2,467 2,467 2,467
316
РАСЧЕТЫ НА СТАТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ
Интерполируя по данным табл. 7, имеем
2
г, = 1,178 - (1,178-0,7462) 4- = 1,005,
5
критическая сила в плоскости xz
Сравнение найденных критических сил показы-
вает, что в рассматриваемом случае
следовательно, практический интерес представляет
критическая сила
в
Второй варианта—- — 0,6.
При иэгибе относительно осн х коэффициент
устойчивости т| — 2,235 и критическая сила
Р — 2,235 -nir- “ 20,1 .
При нэгнбе относительно оси у коэффициент
устойчивости
1)-. 1,531 -(1.531-1.052) у-1.339
и критическая сила
Ру-1,ЗЭ9^ = 21.4^.
Таким образом, во втором варианте примера
Рх < Ру и фактической критической силой будет
= Р, = 20,1
*Р * Р
Существенно отметить, что полученные резуль-
таты справедливы прн критических напряже-
ниях —----------
иалытостн
стойки (так, например,
для стали Ст. 3 пре-
дел пропорциональност и
« - ’«»
2. Для двухсту-
пенчатой стойки
с шарнирно опер-
тыми концами
(фиг. 8), нагружен-
ной продольными
силами Р\ и Ръ
критическое значе-
ние нагрузки
(Pi + ?г)кр “
,.п>
। '. не превышающих предела пропорцио-
— материала
Фиг. 8.
Значения коэф-
фициента устойчи-
вости и сведены
в табл. 8.
Фиг. 9.
3. Для симметричной трехступенчатой
стойки с шарнирно опертыми концами
(фиг. 9) критическое значение нагрузки
определяется формулой (11) и значения
коэффициента устойчивости т( сведены
в табл. 9.
Таблица 3
Значения коэффициента устойчивости л
в формуле (12) для двухступенчатой стойки
с шарнирно опертыии концами по фаг. 8
Л л Р. + Р, А
1,00 1.25 1.50 1,75 2,00
1,00 9,87 10,9 М.9 1г« 13,0
1.25 8,79 9,77 10,5 И.2 11,8
1.50 7,87 8.79 9.49 10.1 10,7
1,75 7,09 8.01 8,62 9,13 9.77
2,00 6.42 7,33 7,87 8,46 8,40
Таблица 9
Значения коэффициента устойчивости •)
в формуле (11) для симметричной
трехступеичатой стойки с шарнирно
опертыми компами по фиг. 9
J, 77 а 1
0,2 0,4 0,6 0.8
0,01 0,153 0,270 0,598 2,257
0,10 1,467 2,401 4,498 8,590
0,20 2,796 4,222 6,694 9,330
0,40 5,<Ж9 6,680 8,512 9.675
0.60 6,978 8,187 9,240 9.780
0.80 8.550 9,177 9,632 9,843
Стойки С непрерывным изменением
поперечного сечения. Здесь диффе-
ренциальное уравнение упругой линии
представляет собой уравнение с пере-
менными коэффициентами. Только в от-
дельных случаях, например для кониче-
ских стоек, эти уравнения интегрируются
в элементарных функциях. Систематиче-
ское исследование устойчивости разно-
образных стоек с непрерывным измене-
нием сечения принадлежит А. Н. Дин-
ннку [5] -17).
Критическая сила для симметричной
трехступенчатой стойки (фиг. 10) с шар-
нирно опертыми концами может быть
выражена формулой (11). Средняя часть
стойки длиной а имеет постоянное се-
чение, а крайние участки — переменное
сечение так, что момент инерции J из-
меняется по длине крайних участков
по степенному закону (фнг. II. л):
„3,
Значения коэффициента т, для случаев
л — 1, 2, 3 и 4 сведены в табл. 10
15)-(7).
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
317
Показатели я — 1 и л — 3 соответ-
ствуют тем случаям, когда крайние
участки стойки имеют прямоугольное
Фиг.
Фиг. 10.
по
и.
линейному
закону
не превышает ши-
меняющуюся
< — (фиг. 11,6).
Если толщина Л
рины с— наименьшего сечення (z =
= zj, то для всех сечений .минимальным
моментом инерции является момент
инерции относительно оси х
J т\п “ J к
Л»
ch1 г . г
“ПТ ' “ г гг 1
показатель п — 1 и критическая сила *
Е ch3
Pup-P"-^'^- (К)
Если же толщина стойки h больше ши-
рины с наибольшего сечения (z — Zj),
то для всех сечений минимальным мо-
ментом инерции является момент инер-
ции относительно осн у
показатель я — 3 и критическая сила
. Таблица 10
Значения коэффициента устойчивости ц
формуле (11) для четырех случаев
симметричной трехступемчатой стойки
с непрерывным изменением сечения
крайних участков и шарнирно опертыми
концами (фиг. 10)
Л п Величина отношения
0 0,2 0.4 0,6 0,8
1 6,4В 7,58 8.63 9,46 9.82
0.1 2 5,40 6,67 8.06 9,25 9.79
3 5,01 6.32 7.84 9.14 9.77
4 4.81 6,11 7.68 9.06 9.77
1 7.01 7.99 8.91 9,63 9,82
0.2 2 6,37 7.49 5,51 9.14 9.81
3 6.И 7.31 8.49 9.39 9,81
4 6.02 7.20 8.42 9.38 9.80
1 7.87 8.59 9,19 9.70 9.84
0,4 2 7.61 8.42 9,15 9.63 9.84
3 7,52 8,38 9,12 9.62 9,84
4 7.48 5,33 9.10 9.62 9.84
1 8,61 9.12 9.55 9,76 9.85
0,6 2 8,51 9.04 9,48 9.74 9.85
3 8.50 9.02 9,46 9.74 9.85
4 8,47 9.01 9,45 9.74 9.85
1 9.27 9,54 9.69 9.83 9.86
03 2 9.24 9.50 9.69 9.82 9.86
3 9,23 9.50 9.69 9.81 9.86
4 9,23 9.49 9,69 9,81 9.86
Для промежуточного случая, когда
толщина h заключена в интервале
необходимо вычисление двух критиче-
ских сил: Рх (я — I) и Ру (л — 3). Прак-
тический интерес представляет меньшая
из двух найденных сил.
Показатель л — 2 с некоторым при-
ближением имеет место в том случае,
когда крайние участки представляют
собой пирамидальные решетчатые стой-
ки, напоминающие по форме укосину
подъемного крана. Пусть средняя часть
стойки,, имеющая постоянное сечение,
выполнена из четырех уголков, соеди-
ненных достаточно прочной решеткой,
а обе крайние части пирамидальной
формы состоят из тех же уголков, тогда
площадь поперечного сечення стойки
остается постоянной, момент инерции
318
РАСЧЕТЫ НА СТАТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ
приблизительно пропорционален ква-
драту расстояния центров тяжести угол-
ков от осей симметрии поперечного се-
чения н изменяется по длине крайних
участков по формуле (13) при п — 2.
Существенно отметить, что в случае
решетчатых стоек деформация решеток
несколько снижает критическое значе-
ние нагрузки по сравнению с результа-
тами, даваемыми формулой (И) и табл. 10
(см. раздел .Составные решетчатые
стойки*).
Показательл—4 соответствует случаю,
когда крайние участки стойки являются
коническими или пирамидальными
сплошного сечения.
Пример |6]. Опре.1е.1ить запас устойчивости
шатуна тихоходной паровой машины. Диаметр
цилиндра D •» 107 см; давление пара р = 7 атм:
длина шатуна I — 554 см; к обоим концам шатун
суживается по конусу — наименьший диаметр
d, •• 18 см и наибольший <7,=22 см. Соответствую-
щие моменты инерции J, =.',130 см' и J^=lt 500 см1,
т. е. их отношение у- — 0.45.
Интерполируя данные табл. 10 (для п = 4 и
-y—Oj, находим соответствующее значение
коэффициента устойчивости т)~7,75 и. следо-
вательно, критическое значение нагрузки
Ркр = ,1 4г"с,5Кг т-
Фактическая нагрузка ва шатун
Р — Р —г- «г 65 т
4
и запас устойчивости
"у Та-
та 6,5,
Критическое напряжение в самом узком месте
шатуна равно
Ркр
•кр - - 2280 кГ1сМ>
и, таким образом, не превышает предела пропор-
циональности конструкционной стали.
Составные решетчатые стойки
Решетчатые стойки образованы из
двух ветвей (поясов), соединенных между
собой решеткой из диагоналей и распо-
рок (фиг. 12). Некоторые варианты по-
перечных сечений изображены на фнг. 13.
Для таких стоек величина критической
силы, соответствующая потере устойчи-
вости в плоскости соединительной ре-
шетки. зависит не только от момента
инерции поперечного сечения стержня,
ио также от размеров и системы ре-
шетки. Существенно, что эта критиче-
ская сила меньше, чем вычисленная по
формуле Эйлера. Если длина о.-дельной
I
панели а = — достаточно мала по срав-
нению с длиной стойки I (число пане-
лей п не менее 4—5), то rf случае шар-
Фнг. 12.
Фиг. 15
нирного крепления концов стойки кри-
тическое значение нагрузки
«*£J.
Р"-Р,~Ъ—^' (16)
где коэффициент ф < 1 и определяется
из выражения
1
Ф “
Г 1
it*Jv
Vх
FjSln « COS* а Fjtga]
Здесь Jy—момент инерции поперечного
сечения стойки (четыре уголка или два
швеллера) относительно оси у, перпен-
дикулярной к плоскости решетки; F>
и гj — соответственно площадь попе-
речного сечения одной диагонали и од-
ной распорки (фиг. 13, а) или двух диаго-
налей и двух распорок (фиг. 13. б и в);
а —угол между распоркой и диагональю
(фиг. 12).
Прн двойной системе диагоналей
(фиг. 14) Fj — соответственно площадь
сечения двух (фиг. 13, а) или четырех
(фнг. 13,0 и в) диагоналей.
При отсутствии распорок и зигзаго-
образном расположении диагоналей
(фиг. 15)
+ ____________!_____.
v /* Fj sin а СОЗ* а
(18)
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
310
Величина критической силы соответ-
ствующей потери устойчивости в пло-
скости, перпендикулярной к плоскости
соединительной решетки, определяется
обычным образом:
(19)
где Jx — момент инерциии поперечного
сечения стойки (фиг. 13) относительно
оси х.
Эмпирические формулы
для определения критической силы
за пределами пропорциональности
материала стоек
Примем следующие обозначения:
/J
~Р — радиус инерции сечення
стойки; yj—приведенная длина стойки;
- yJ л -
X — -Ц— гибкость стойки.
Критическое напряжение по Эйлеру
РКр п*Е
“ Р - и
(20)
Обозначим через Xj гибкость стоек,
для которых критическое напряжение <зкр
равно пределу пропорциональности
(21)
' °пц
Для стоек, у которых гибкость Х>Х1(
критическое напряжение акр<апа н экс-
периментально найденные критические
силы хорошо совпадают с вычисленными
по формуле Эйлера.
Для стоек, у которых гибкость X < X],
критическое напряжение акр > аяц и экс-
перименты дают для критической силы
значения значительно меньшие, чем фор-
мула Эйлера.
Обработка опытных данных показы-
вает, что для стали и ряда других мате-
риалов критическая сила за пределами
пропорциональности линейно зависит
от гибкости:
PKp~F(a-b\), (22)
где а и b — числовые коэффициенты,
имеющие размерность напряжения; F —
площадь сечения стойки.
Обозначим через Х2 гибкость стоек,
для которых критическое напряжение якр
равно пределу текучести of.
г*/
Xj = (а — аг).
Эмпирическая формула (22) исполь-
зуется для определения критической
силы в случае стоек, гибкость которых
заключена в интервале от Xj до Х2.
Значения коэффициентов а, Ь и зна-
чения гибкостей Х|, Х3 для некоторых
материалов даны в табл. 11.
Для конструкционных и легированных
сталей при отсутствии непосредствен-
ных данных о величине коэффициен-
тов а и Ь можно рекомендовать вычи-
сление этих коэффициентов по формулам
8г^1 — апц*г _ 9т — °лч
— Х2 "* * Xj — Х2 *
(23)
При этом гибкость Xj определяется
по формуле (21). а гибкость Х2 для ка-
чественных сталей назначается порядка
15-25.
Для стальных стоек, у которых гиб-
кость X <Х2, предельное (критическое)
напряжение принимают постоянным
и равным пределу текучести аг. Другими
словами, для достаточно коротких и тол-
стых стоек расчет на устойчивость за-
меняется расчетом на прочность.
Габлаца II
Значения ковффициаитов, входящих в вмпирическую формулу (22),
для критической силы и пределы применимости втой формулы
Материал а а А, А,
Углеродистая столь (tl); > 3800; i. — 2400 (сталь Ст. 3) ............ а к» 11.4 105 61.4
Углеродистое сталь [11]; > 4800; в^.— 3120. . . . 4990 28,175 100 60
Кремнистая сталь [11]; — 5200; — 3600 5 890 38.175 100 60
Хромомолибденовой сталь [8] 10 000 М 55 —
Дуралюмин |8) 38» 21.85 50 ——
Дерево (сосна) [8] 400 2.03 59 —
320
РАСЧЕТЫ НА СТАТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ
Обработка опытных данных для чу-
гуна, в отличне от стали, даст квадра-
тичную зависимость критической силы
от гибкости
Ркр “ F (7760 - 120k + 0.53Х«). (24)
и значение верхней предельной гиб-
кости Xj — 80. Нижний предел примени-
мости формулы (24), т. е. значение
гибкости Ъ-ь определяется пределом
прочности чугуна на сжатие.
Эмпирические формулы типа (22)
и (24) были предложены Ф. С. Ясинским,
Для расчета стержней на устойчивость
наряду с формулами Эйлера и Ясинского
используются также графики зависи-
мости критического напряжения от гиб-
кости (см., например, (16J).
Все сказанное относительно опреде-
ления критического значения нагрузки
за пределами пропорциональности отно-
сится к стойкам постоянного сечения,
нагруженным торцевыми сжимающими
силами. Для вычисления гибкости X-
— ~~, входящей в формулы Ясинского,
можно использовать данные выше та-
блицы значений коэффициента приве-
денной длины fx или коэффициента
устойчивости !;=[ — ) .
.Расчет на устойчивость
по коэффициенту понижения ?
допускаемого напряжения
на сжатие [а]еж
В строительной практике при проек-
тировании металлических и деревянных
сооружений узаконен расчет на устой-
чивость по коэффициенту понижения f
допускаемого напряжения на сжа-
тие [о)сж- Здесь условие устойчивости
сжатого стержня, по аналогии с усло-
вием прочности, представляется в виде
(25)
где допускаемое напряжение при рас-
чете на устойчивость
1’1 уст -Желе- (26)
Коэффициент понижения ? зависит
от материала и гибкости стойки. Эта
зависимость задается в табличной форме
(см. табл. 12) н охватывает для сталей
интервал О < X < 200. Значения коэф-
фициентов у время от времени пересма-
триваются и подвергаются изменениям.
Таблица 12
Значения коэффициента у эависнмости
от гибкости X для различных материалов
Гиб- кость X Сталь марок Ст. 2, Ст. 3, Ст. 4 Сталь Ст. 5 СПК • Чугун Дерево
0 1.00 1,00 1.00 1,00 1.00
10 0.99 0,98 0.97 0.97 0.99
20 0.96 0.95 0,95 0,91 0,97
30 0.94 0.92 0,91 0.81 0.93
40 0.92 0,89 0,87 0.69 0.87
60 0.88 0.86 0,83 0,57 0.80
60 0,86 0,82 0,79 0.44 0,71
70 0.81 0.76 0.72 0,34 0.60
80 0,75 0.70 0,65 0.26 •0.48
90 0,69 0.62 0,55 0.20 0.38
100 0,60 0.51 0,43 0,16 0.31
110 0,62 0.43 0.35 — 0.25
120 0.45 0,36 0.30 0,22
130 0,40 0,33 0,26 — 0.18
140 0.36 0.29 0,23 0.16
150 0,32 0.26 0,21 —— 0.14
160 0.29 0.24 0,19 —— 0.12
170 0.26 0.21 0,17 — 0.11
180 0,23 0.19 0,15 0.10
190 0,21 0.17 0,14 0.09
200 0,19 0.16 0,13 0.06
♦ Сталь повышенного качество с пределом текучести 0у “ 3200.
Примеры расчетов аа устойчивость
сжатых стоек
Пример 1. Для изображенных на фнг. 1В двух
стоек требуется:
1) определить запас устойчивости;
2) произвести поперечный расчет иа устойчи-
вость по коэффициенту понижения * основного
допускаемого напряжения
иа сжатие.
Нагрузка Р-40 т. Се-
чение стойки круглое, диа-
метром d — 10 см. Длина
1 -• 3 м. Материал сталь
Ст. 3.
Основное допускаемое
напряжение на сжатие
|е)еж. — 1400 кГ!СМ>.
Решение.
I [лошадь поперечного
сечения
Момент инерции сечения
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
321
Радиус инерции сечения
'-/тТ-Т"* «*
I. Определение запаса
устойчивости
Стойка 1 — шарнирное крепление концов.
Гибкость стойки
1Ю>105.
• 4*0
Следовательно, прямолинейная форма равно-
весия становится неустойчивой при напряжении,
меньшем предела пропорциональности, и для
определения критической силы справедлива тео-
ретическая формула Эйлера
х’Е/ 937-2,1-1Ф-491
(ИЛ« = ЭОО»
кр
Запас устойчивости для стойки
р
*Р 113
п~ Р W
= 113 т.
= 2,8,
т. е. укладывается в рекомендуемый интервал
1.5 < Лу < 3,0 для стальных стоек.
Стойка П — нижний конец заделан, верхний
шарнирно оперт.
Гибкость стойки
. id 0,7-300
Х---------_»М<1(Ь.
Следовательно, прямолинейная форма равно
весна становится неустойчивой при напряжении,
большем предела пропорциональности, и опреде-
ление критической силы производится по вмпири-
ческой формуле Ясинского
₽ = Р (3100—11,4Х)=78,5 (3100—11,4-84) —168 т.
КР
Запас устойчивости
16s
4,2
т. е, несколько превышает рекомендуемые зиа
чения для стальных стоек.
Заметим, что в случае неправильного приме-
нения формулы Эйлера, когда гибкость стойки
превышает 105 (для стали Ст. 3), получаемая
величина критической силы всегда больше лей
ствительмого ее значения. Так, в нашем случае
K>EJ 9,87.2,1.КХ.491
(цП> “ 210»
163 т.
2. Поверочный расчет
иа устойчивость
по коэффициенту у
В отличие от предыдущего, здесь при
В отличие от предыдущего, здесь при любых
значениях гибкости схема расчета остается одной
и той же.
Стойка 7 — гибкость л — 120.
По габл. 12 для стали Ст. 3 при гибкости
X — 120 коэффициент понижения у — 0,45.
Допускаемое напряжение при расчете иа устой-
чивость
|elycm “ * ,а|сж “ °’45,1400 “ 630
Величииа фактического напряжения
Р 40 000 „„
78,5 ~510<5Э0>
т. е. устойчивость стойки обеспечена.
21 Том 3
Стойка П — гибкость Д — 84.
Интерполируя по данным табл. 12, находим,
что прн гибкости X — 84 коэффициент понижения
У = 0,75 — (0.75—0.69) —
— 0,75 - 0,4-0,06 = 0,726.
Допускаемое напряженке при расчете на устой-
чивость
(«]„„„ =0,726-1403 - 1020 кГтР.
ус т
Фактическое напряжение
о — 510 < 1020,
т. е. устойчивость стойки обеспечена.
Из результатов расчета по табл. 12 следует,
что нагрузка на рассматриваемые стойки может
быть повышена до следующих допускаемых зна-
чений:
для стойки I
Р,-Р («1уст = 78,5-630 = 49,5 т.
для стойки П
Р, - р (<э| угт - 78,5-1020 - 80.1 т.
Таким образом, в рассматриваемом случае
расчет по у исходит из следующих допускаемых
запасов устойчивости:
для стойки I
”у~ Р, -49Т-2,0в-
для стойки И
ркр 168
Яр,— — 8УД —2,1(1
Пример 2. Для стойки с одним заделанным и
другим свободным концами (консольная стойка)
требуется подобрать, используя таблицу коаффи-
цнеитов у, номер двутаврового сечения и опреде-
лить запас устойчивости.
Нагрузка на стойку Р —50 т. Длина стойки
1-2 Л. Допускаемое напряжение на сжатие для
материала стойки (сталь Ст. 3) |°1ГЖ- “ 1400 кПаР.
Решение
1. В начале расчета произвольно задаемся
величиной коэффициента у. Заметим, что этот
произвол и выборе начального значения у не
отражается иа окончательном результате расчета,
а только увеличивает или уменьшает количество
необходимых вычислений. Пусть у — 0,5, тогда
допускаемое напряжение при расчете на устой-
чивость
l»L,_ “ * “ °’8,1400 “ 700
у< ТП • ж
и необходимая площадь сечения стойки
Р-
50 000
700
- 71,4 чР.
По ОСТ 10016-39 берем двутавр ,4 30с, имеющий
площадь р—73,4 саг1 и наименьший радиус инер-
ции относительно центральной оси параллельной
стенки двутавра / — 2,46 саг, тогда гибкость
стойки будет
322
РАСЧЕТЫ НА СТАТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ
По табл. 12 для стали Ст. 3 при X = 160
Ф = 0,29 и при X — 170 ф = 0.26- Интерполируя.
имеем, что при гибкости X — 163 коэффициент
пониженна
’ = °-29 - (0.29—0.2в> = 0,281,
I /и— 1W
и, следовательно, допускаемое напряжение для
стойки из лвутаира М Зое
(e)JF(.(n = 0,281-1400 = 393 кПсле.
Фактическое напряжение
« - -5- = - 681 > 393 кГ/с-ж»,
Г 73,4
т. е. необходим перерасчет.
2. В основу перерасчета кладем следующее
значение коэффициента понижения:
Ф = у 1°>5 + 0'а|1
и, следовательно,
(oLfm = S47 кПсле н Л = 91.4 слР.
По ОСТ 10016-39 берем двутавр М 40b
с F = 94,1 еле и 1^=2,71 сж, тогда гибкость стойки
т. е. меньше допускаемого напряжения на 5%.
Это расхождение приемлемо, и стойка может
быть выполнена из двутавра 61 45 а.
4. Определение запаса устойчивости. Гибкость
стойки
X = 138 > 105.
Критическая сила
_ ^EJy 9.87.2.1-10Я.855
% = -7i^" =------------w----------1,1 m
н запас устойчивости
lit
50
-2,22.
Пример 3. Расчет на устойчивость паровозного
спарника. Паровозный спарник прямоугольного
сечения (А = 8 см. b = 3,8 см} расположен боль-
шей стороной сечения вертикально и сжимается
осевой силой Р — 20 т. Длина между центрами
колее (длина спарника) I = 2,6 м. Материал спар-
ника — сталь Ст. 5.
Решение. Крепление спарника таково, что
при изгибе в вертикальной плоскости (плоскость
движения) его концы можно рассматривать опер-
тыми шарнирно, а прн изгибе в горизонтальной
плоскости — защемленными.
Главные центральные моменты инерции попе-
речного сечення спарника
<т“ПГ-,62^: 'у
я fr1
12
= 36,6 е.«*
Интерполируя по табл. 12, находим, что для
гибкости X — 148 коэффициент понижения
148—140
Ф = 0,36 - ,еЛ_* , (0,36—0,32) - 0.328,
13U— 140
и соответствующие радиусы инерции
I, - — = 2,31 см; = -£= = 1,10 см.
ж V12 у /12
и. следовательно, допускаемое напряжение для
стойки из двутавра .4 40b
“ °’328'1400 = 459
Фактическое напряжение
50 000
я - - 531 >459,
т. е. необходим вторичный перерасчет.
3. Берем коэффициент пониженна
ф - X (о,Э91 + 0,328) - оде>,
и, следовательно,
“ 504 кПсле kF — 99,4 см'.
По ОСТ 10016-39 берем двутавр М 45а
с F — 102 еле > «.2,89 ем. Гибкость стойки
Х“^8Г ,ЗН'
интерполируя по табл. 12, имеем
Ф - 0,40 - СМО-О-Зб) - 0,368
Гибкости спарника:
при изгибе а вертикальной плоскости (р. — I)
id
'ж
1-250
2.31
108;
при изгибе в горизонтальной плоскости (р — 0,6)
Id 0,5-260
—цГ",п
Обе гибкости превышают значение X = 100 (см.
табл. 11), и, следовательно, определение крити-
ческих сил производится по формуле Эйлера.
Критические значения нагрузки:
потеря устойчивости в вертикальной плоскости
рх~
u'EJ
w
9,87-2.1-10"-162
(1-250)'
- 53 900 кГ;
потеря устойчивости в горизонтальной плоскости
«,g^y 9,87-2,1 -10*-36,6
Яу“ (р0> “ (0,5-250)*
= 48 400 кГ.
и допускаемое напряжение
|e)wm - 0,368-1400 = 815 К Пеле.
Фактическое напряжение
Сравнение найденных критических енл показы-
вает, что более опасной (Ру < Рх) валяется по-
теря устойчивости спарника в горизонтальной пло-
скости.
Соответствующее критическое напряжение
= 1590 кПсле
'мр“—'~ Тад 1590 кГ1с*'
50 000
•-~ioiT
— 490 кПеле,
как н следовало ожидать (*у> 100), меньше пре*
дела пропорциональности для стали Ст. 5.
УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАВИТЫХ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
323
Запас устойчнпости спарника а горизонтальной
плоскости
«М
= 20 “
2,42,
т. е. укладываете» и рекомендуемые пределы (дли
гтвли от 1,5 по 3,0).
УСТОЙЧИВОСТЬ
ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ
ЕСТЕСТВЕННО ЗАВИТЫХ
СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ |10)
Естественно завитым называется стер*
жень, образованный движением пло-
ской фигуры (поперечное сечение стер-
жня), вращающейся с некоторой угло-
вой скоростью, по мере того как центр
тяжести этой фигуры движется вдоль
оси стержня. При нагружении таких
прямолинейных стержней осевыми сжи-
мающими силами, что имеет место,
например, в спиральных сверлах, воз-
никает необходимость их расчета на
устойчивость.
Естественная завитость стержня зна-
чительно повышает критическое значе-
ние сжимающей силы. Действительно,
при наличии естественной завитости
упругая линия стержня после потерн
устойчивости представляет собой про-
странственную кривую и критическая
сила определяется двумя главными
центральными моментами инерции сече-
ния стержня.
Существенно отметить, что критиче-
ская сила резко возрастает при изме-
нении полного угла естественной заня-
тости стержня только в интервале от
О до 2л и остается примерно постоян-
ной прн дальнейшем увеличении угла
завитости.
Наиболее просто критическая сила
выражается для стержня с шарнирно
опертыми концами в предельном случае
весьма большого значения полного угла
завитости (практически при угле зави-
тости, большем 2к):
Ркр ” П» ' 1 Г Л 11 “
где Jy — наименьший и Jx— наиболь-
ший из главных центральных моментов
инерции сечения стержня.
21*
Пример. Расчет па устойчивость спиральных
сверл. Спиральное сверло представляет собой есте-
ственно запитой стержень значнтелдной длины по
сравнению с размерами его поперечного сечения.
Так, для цилиндрических спиральных сверл
(ГОСТ К88-41) отношение длины рабочей част»
к их диаметру изменяется от 8,5 хо 26. Чем меньше
диаметр сверла, тем относительно длиннее выпол-
няется его рабочая часть. Поэтому расчет н»
устойчивость наиболее интересен для сверл малого
диаметра.
Сеченне сверла изображено на фнг. 17. Сверло
малого диаметра, как правило, имеют усиленное
Фиг. 17.
сечение (фиг. 18). Оба сечение несколько схема-
тизированы для облегчения вычислении их момен-
тов инерции.
Направим центральную ось х параллельно глав-
ной режущей кромке сверла. Главные центральные
оси усиленного сечении повернуты относительно
осей х и у по чпсовой стрелке на у юл 31’40'.
Величины главных центральных моментов инерции:
^ад-0'®580' н/п)|п-0,<»62у..
Площадь усиленного сечення F — 0,40Dt.
Для обыкновенных (не усиленных) сверл глав-
ные центральные моменты инерции поперечного
сечения и его площадь следующие: J =0,03380’;
Уго!п =0,008»D<; F-038D'.
Затруднительность оценки степени защемле-
ния сверла в шпинделе делает здесь наиболее
естественным использование, схемы стержня с
324
РАСЧЕТЫ НА СТАТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ
шарнирно опертыми концами. Такны образом, для
усиленных сверл
2 к’Е7 т.’£7.„
р z _________mln . .< _______lain
up , 0,0062 ' P ' F
‘ + 0,0358
n для обыкновенны! (не усиленных) сверл
2 ’t,£7mln
7>да—p---------1179 ~—
Таким обрезом, найденное значение критической
силы ала сверла значительно превышает крити-
ческую силу, вычисляемую по формуле Эйлера
для незавитого стержня. Заметим, что применение
полученных выражений предполагает, что крити-
ческое напряженно не превышает предела пропор-
циональности материала сверла.
УСТОЙЧИВОСТЬ
СЖАТО-СКРУЧЕННЫХ
СТЕРЖНЕЙ (10)
В машиностроении в ряде случаев
достаточно длинные и тонкие стержни
наряду с продольными' сжимающими
силами нагружаются также и скручи-
вающими моментами. Примерами здесь
могут служить гребные валы различных
судов, борштанги глубокого сверления
и тому подобные детали. Существенно,
что наличие скручивающих моментов
уменьшает критическое значение про-
дольных сил.
Для стержня с шарнирно опертыми
концами и одинаковыми главными мо-
ментами инерции J сечения (круг, ква-
драт н тому подобные сечения) крити-
ческая совокупность крутящего момен-
та М и продольной силы Р определяет-
ся следующим выражением:
(«)*+£-*• <28)
\А1о/ л*©
п
где ------критическое значение
силы Р при М -• 0; Л1о — — кри-
тическое значение момента Л4 при Р » 0.
Пусть, например, Р — Ро, т. е. фак-
тически приложенная осевая сила состав-
ляет 8/т эйлеровой силы, тогда стержень
достигает критического состояния при
крутящем моменте М — ~ Мо. Таким
3 I
образом, Р — — Ро и Л4 — Мо при
нх совместном .действии представляют
собой критическую совокупность сжи-
мающей осевой силы и крутящего мо-
мента.
Выражение (28) справедливо только
в пределах пропорциональности мате-
риала стержня. Поэтому после опреде-
ления критической совокупности силы
Р и момента М необходимо вычислить
наибольшую величину эквивалентного
напряжения по той или иной из гипотез
прочности и сравнить ее с пределом
пропорциональности.
Примером применения теории может
служить расчет устойчивости бор-
штанги, т. е. длинного стержня труб-
чатого сечення, используемого для
удлинения сверла при сверлении глу-
боких отверстий. Практическая необхо-
димость исследования обусловлена тем,
что потеря устойчивости прямолиней-
ной формы борштанги может служить
одной из причин увода сверла от гео-
метрической оси изделия
УСТОЙЧИВОСТЬ
КРУГОВЫХ КОЛЕЦ*
Обозначим радиус оси кольца через
г и интенсивность
диальных сил через
Ограничимся рас-
смотрением слу-
чая, когда одна из
главных централь-
ных осей (ось х)
поперечного сече-
ния расположена
в плоскости кри-
визны кольца. Дру-
гая главная ось
(ось у) перпенди-
кулярна плоскости
распределенных ра-
q кГ/см (фиг. 19).
Фнг. 19
кольца.
Различают две формы потери устой-
чивости кругового кольца: переход осн
кольца в некоторую плоскую кривую и
переход в пространственную кривую.
Величина критического значения на-
грузки существенно зависит от ее по-
ведения прн искривлении кольца.
Выражения для критических значений
интенсивности qgp равномерно распре-
деленных радиальных сил при различ-
ных вариантах изменения направления
нагрузки сведены в табл. 13. Для рас-
* Круговые кольца, нагруженные равномерно
распределенными радиальными силами, направлен-
ними к центру кольца (10|,
устойчивость плоской формы изгиба балок
325
Таблица 13
Критические значения интенсивности q кГ)си равномерно распределение* радиальной
нагрузки на кольцо в зависимости от изменения направления нагрузки
а процессе потерн устойчивости круговой формы кольца
Форма потери устойчивости Поведение нагрузки при искривлении кольца
Нагрузка нормальна к неискрипленпой осн кольцо Нагрузка нормальна к искривленной оси кольпа Нагрузка направлена к центру кольца
Плоская форма «4? 3.0 —Г г «у 4.5
П ростра нетленная форма 9 йл В, 3.0 ~ 12 Вт в, 4 + -^- '
Примечание. Вх = ВЗ* — жесткость нагиба в плоскости, перпендикулярной к пло- скости кольца; В •= Е1? — жесткость изгиба в плоскости кольца: С — 01 к — жесткость круче- ния кольца, где г* — геометрический фактор жесткости кручения.
чета на устойчивость используется
меньшее из приведенных двух значений
qKp (прн данном повелении нагрузки в
процессе потери устойчивости).
Существенно отметить, что все при-
веденные в табл. 13 формулы справед-
ливы толь'ко в пределах 'закона Гука,
т. е. при критических напряжениях, не
превышающих предела пропорциональ-
ности материала кольца:
(29)
где Р — площадь поперечного сечения
кольца
Пример. Определить критическое значение ин-
тенсивности нагрузки на стильное кольцо круглого
сечения при условии, что в процессе потери устой-
чивости направление нагрузки остается без изме-
нения (нагрузка нормальна к иенскривлеиной оси
кольца).
Для круглого сечения геометрический фактор 1 к
жесткости кручения С совпадает с полярным мо-
ментом инерции 1р. Таким образом, для круглого
сечении диаметра <1 жесткость кручения
С — 01 — чп—_________ —>
Р 2(1 + и) IF’
жесткости изгиба
в-в -в
и отношение
о
-j- — I 4. р — 1,28
Саля стали).
По табл. 13 критическое значение нагрузки:
.тля пространственной формы потерн устойчи-
%
вост и
о В ' В
- • -Л. в 1,723 -±- = 0.0845В \
Вх г* г» •
Т’
или плоской формы потерн устойчивости
Яу Ld*
- -=0.19М
Итак, если прн нскривленпн осн кольца круг-
лого сечения нагрузка остается нормальной к не
искриплсппой оси кольца, то ее критическое аиа-
чеиие, соответствующее пространственной форме
потери устойчивости, значительно меньше на-
грузки, прн которой возникает плоская форма
потери устойчивости. Таким образом, в рассма
триваемом случае практический интерес предста-
вляет именно пространственная форма потери
устойчивости.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ
ИЗГИБА ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ
И КРИВОЛИНЕЙНЫХ БАЛОК
110]. |12]
При изгибе балки в одной из глав-
ных плоскостей в случае перемещений
(прогибов) достаточно большой величи-
ны плоская форма изгиба перестает
быть едннстяенной формой равновесия,
и может возникнуть новая изгибно-кру-
тильная форма равновесия. Это явление
перехода плоской формы изгиба в про-
странственную носит название опроки-
дывания. После опрокидывания балка,
помимо первоначального изгиба в одной
главной плоскости, скручивается н из-
гибается в другой главной плоскости.
326
РАСЧЕТЫ НА СТАТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ
В результате опрокидывания прочность
балки резко снижается (аналогия с про-
дольным изгибом).
Изучение опрокидывания практически
наиболее интересно для сечений с рез-
ко различными главными моментами
инерции (вытянутый прямоугольник,
двутавр и’т. п.), когда плоская форма
изгиба соответствует плоскости наи-
большей жесткости. С точки зрения
прочности и жесткости подобного рода
сечения для балок наиболее рациональ-
ны. Однако в этих случаях опрокиды-
вание может возникнуть даже при
весьма малых прогибах.
Детальное исследование основных
случаев опрокидывания полос (балки
вытянутого прямоугольного сечения) и
двутавровых балок произведено в ра-
ботах А. П Коробова, А. Н. Динника
и С. П. Тимошенко.
Общая теория опрокидывания прямо-
линейных балок из тонкостенных от-
крытых профилей дана в книге
В. 3. Власова [3]. Опрокидывание кри-
волинейных тонкостенных профилей
рассмотрено В. 3. Власовым в работе
Опрокидывание полос при чистом
изгибе
Критическое значение момента М,
при котором происходит опрокидывание
полосы, следующее:
Мкр-Т1^^-. (30)
О 0 > с Аб’
где Вх — Ljx — £ — наименьшая
жесткость изгиба; С — QJK — Gkhb* —
жесткость кручения полосы.
Коэффициент k. входящий в выраже.
ние для геометрического фактора J„
жесткости кручения, зависит от отно-
шения большего размера сечения h к
меньшему размеру Ь (см. раздел .Рас-
четы на кручение*). В предельном слу-
чае полосы весьма вытянутого сечения
А - V,-
Коэффициент критического значении
момента т; зависит от характера кре-
пления концов полосы.
Если концы полосы закреплены та-
ким образом, что оба торцевых сечения
могут свободно поворачиваться около
своих главных центральных осей х ну,
но не могут поворачиваться вокруг
продольной оси z полосы (цилиндри-
ческие шарнирные опоры по фиг. 20),
то коэффициент устойчивости т; — к.
Критическое значение момента М,
изгибающего консольную полосу
Фиг. 20.
(фиг. 21), существенно зависит от по-
ведения нагрузки в процессе опроки-
дывания. т. е. от изменения положения
момента при переходе полосы от одной
формы к другой. Так, если прн опро-
кидывании полосы вектор момента М
Фпг. 21.
поворачивается вместе с торцевым се-
чением полосы вокруг неподвижной
оси г и остается параллельным плоско-
сти XV (следящее поведение момента),
то коэффициент устойчивостиг; — -у я
Таким образом, консольная полоса при
следящем поведении момента М со-
вершенно аналогична половине полосы
с цилиндрическими шарнирными опо-
рами. Формула (30) для критического
значения момента справедлива только
при критическом напряжении, не пре-
восходящем предела пропорционально-
сти материала полосы:
Мкв fiM^p
9«Р “ W 131)
Пример. Полоса нагружена япумя момен-
тами ЛТ, приложенными * ториевым сечениям н
изгибающими полосу в плоскости наибольшей
жесткости (фнг. 20). По копнам полосы располо-
жены цилиндрические шарнирные опоры.
Размеры полосы: I “ 2 м; Л — 10 ем; b — I см.
Материал — сталь Ст. Б. Допускаемое напряжение
прн расчете полосы на прочность было примято
о| — 1200 сПсм'.
устойчивость плоской формы изгиба балок
327
Определить запас устойчивости полосы протии
опрокидывания.
Главные центральные моменты инерции сечения
полосы:
0.8» ем'.
12 12 * 1
bh’ _ 1-ихю
УУ= 12 = 12
= 83,3 СМ>.
Наименьшая и наибольшая жесткости изгиба:
Вх = EJX = 2,1-10»-0ЛЗЗ = 1,75-10» кГси»:
Ву = EJy = 2,1-10»-83Л = 1.75-10» кГслЛ.
Модуль упругости второго |И>да
Е 2 ЫО>
Геометрический фактор жесткости кручения
р>ри -^=10 коэффициент 9 = 0,291 j
JK - Ш* — 0,291 10-1 = 2,91 ел».
Жесткость кручения полосы
С = QJK - 0,820-100-2,91 = 2.39-10» кГслВ.
Критическое значение изгибающих моментов
.. _ К®? ,..У 1,75-239-10»
М*р “ "-------1------,Н--------209-------
— 3,21 -10» к Гем
и соответствующее наибольшее напряжение (кри-
тическое напряжение)
йМкр 6-3,21-10»
bh' 1-100 =
кр
1930 к! )см‘.
Для стали Ст. 5 по напряжение не превышает
предела пропорциональности и, сл алом тел ьно,
оправдано применение использованного выше вы
раження лля критического значения момента.
Запас устойчивости полосы против опрокиды*
вания
мкр 9кр 1930
%“ М “ |о| “|200“‘Л1‘
где Л1 — фактическое значение изгибающих мо-
ментов, определяемое из расчета на прочность по
величине допускаемого напряжения [о].
Рекомендуемые величины запасов устойчивости
по опрокидыванию в основном те же, что и при
расчетах иа продольный изгиб.
Опрокидывание полос
прн поперечном изгибе
Критическая сила может быть пред-
ставлена формулой
~^--» <»>
где коэффициент устойчивости т) зави-
сит от расположения сил и от способа
закрепления концов полосы; наимень-
шая жесткость изгиба Bf и жесткость
кручения С определяются так же, как
и в разделе .Опрокидывание полосы
при чистом изгибе*.
Консольная полоса. При нагруже-
нии консольной полосы сосредоточен-
ной силой Р, приложенной к центру
тяжести торцевого сечения и изгибаю-
щей полосу в плоскости наибольшей
жесткости ' (фиг. 22), коэффициент
устойчивости г, — 4,013.
Этот результат справедлив только а
случае полосы очень узкого прямо-
угольного поперечного сечення.
Фиг. 22.
В более общем случае коэффициент ц
не является постоянной величиной, а
Л
зависит от отношения ——:
о
4........... 10 5 3
ь
............ 1,085 4,324 5,(190
В дальнейшем ограничимся рассмо-
трением полосы весьма узкого прямо-
угольного сечения.
Перенесение точки приложения силы
Р выше или ниже центра гажести тор-
цевого сечения существенно отражает-
ся на величине коэффициента устой-
чивости «]. Приближенная формула для
величины л |11|
Л-4,013 [1----(33)
где а — расстояние по вертикали точки
приложения нагрузки над центром тя-
жести сечения (фиг. 23).
Величина а > 0 при смешении точки
приложения силы Р выше центра тя-
жести. Таким образом, приложение на-
328
РАСЧЕТЫ НА СТАТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ
грузки выше центра тяжести умень-
шает ее критическое значение, а при-
ложение нагрузки ниже центра тяжести
унеличнвает ее критическое значение.
При действии на консольную полосу
двух одинаковых сосредоточенных сил Р,
приложенных к оси на расстоянии с
и / от заделки (фиг. 24). их критиче-
ское значение
(2/%, = 4 f/C-- (34)
Значения коэффициента устойчиво
стит] при различных соотношениях между
величинами с и I следующие:
У............... О 0,25 0,50 0.75 1,00
1|.............. 8,026 7,889 6,776 5420 4,013.
При действии на консоль равномерно
распределенных сил интенсивностью
а «Псм, приложенных к оси балки,
критическое значение нагрузки
(35)
где коэффициент устойчивости т] — 12.85.
Таким образом, критическое значение
всей равномерно распределенной на-
грузки приблизительно в 3 раза боль-
ше. чем критическое значение сосредо-
точенной нагрузки, приложенной иа кон-
це консоли.
Полосы с опертыми или защемлен-
ными концами. Если концы полосы
узкого прямоугольного сечения закреп-
лены так, что оба торцевых сечения
могут свободно поворачиваться около
своих главных центральных осей хну,
но не могут поворачиваться вокруг
продольной осн z полосы и нагрузка Р
приложена в центре среднего попереч-
ного сечения, то коэффициент устой-
чивости т) — 16,93.
Если сила Р приложена несколько
выше (а>0) или ниже (п<0) цен-
тра среднего сечения полосы, то вели-
чина 1] приближенно определяется сле-
дующим выражением:
Ч = 16,94 р - 3,48 ] • Об)
где л—расстояние по вертикали от цен-
тра среднего сечения до точки прило-
жения силы Р\ /—длина полосы между
опорами.
Погрешность приближенных формул
(33) и (36) при = 0,1 составляет
0,1®/0; при меньшихточность уве-
личивается. Приложение нагрузки вы-
ше центра тяжести поперечного сечения
уменьшает ее критическое значение, а
приложение ее ниже центра производит
обратное действие.
Когда нагрузка Р приложена не в
середине пролета, а на расстоянии с от
одной из опор (фиг. 25), то коэффици-
ент устойчивости V) является функцией
отношения — Величины ч для ряда
_ с
значений -у следующие:
у.......... 0,50 0,40 0Д0 0.20 0.10
«) ...... . 16,93 17,82 21.01 29,11 66,01
Критическая нагрузка увеличивается,
когда точка ее приложения переме-
щается по направлению от середины
пролета к одной из опор. Пока нагруз-
ка остается в средней трети пролета,
это увеличение сравнительно мало.
Критическое значение нагрузки, при-
ложенной к оси полосы и равномерно
распределенной по длине пролета, опре-
деляется формулой (35), где ч — 28,3.
Защемление концов полосы увеличи-
вает критическое значение нагрузки.
Так, для полосы с защемленными кон-
цами, нагруженной сосредоточенной
силой Р, приложенной в центре средне-
го сечения, коэффициент устойчивости
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА БАЛОК
329
х = 26,6, т. е. значительно больше коэф-
фициента устойчивости для опертой
полосы.
Опрокидывание двутавровых
балок
При рассмотрении устойчивости пло-
ской формы изгиба открытых тонкостен-
ных профилей, в частности двутаврово-
го профиля, существенно, что их кру-
чение при опрокидывании связано с
искажением (депланацией) поперечных
сечений. Величина крутящего момента
и искажение сечений изменяются по
длине балки, и, следовательно, здесь
имеет место так называемое стесненное
кручение.
Двутавровая балка нагружена момен-
тами М. приложенными по торцам и дей-
ствующими в плоскости наибольшей
жесткости (чистый изгиб). Концы дву-
тавра закреплены так, что оба торце-
вых сечения не могут поворачиваться
вокруг продольной оси балки. Вместе с
тем оба торцевых сечения могут сво-
бодно поворачиваться около своих
главных центральных осей х (ось наи-
меньшего момента инерции) и у (ось
наибольшего момента инерции).
Критическое значение моментов /И,
вызывающее опрокидывание двутавра,
определяется формулой (30), где коэф-
фициент устойчивости
1 + (37)
Здесь С — QJjc — жесткость при чис-
том кручении; D — EJU— жесткость при
стесненном кручении.
Для тонкостенного двутаврового про-
филя геометрический фактор жесткости
прн чистом кручении
Л-4-(2М» + й/?)
н геометрический фактор жесткости при
стесненном кручении
где Ь и t — соответственно ширина и
средняя толщина полки двутавра; Л — вы-
сота балки (точнее, под величиной Л в
выражении для JK надо понимать высоту
стенки, а в выражении для рас-
стояние между средними линиями по-
лок); /j — толщина стенки.
В случае достаточно длинных балок
величина коэффициента устойчивости г)
по формуле (37) приближается к п,
т. е. влияние стесненного кручения на
критическую величину изгибающих мо-
ментов М становится сравнительно не-
значительным.
При поперечном изгибе двутавровых
балок критическое значение нагрузки
определяется формулой (32).
Для консольной балки двутаврового
сечения, нагруженной сосредоточенной
силой Р, приложенной в центре свобод-
ного конца, коэффициент устойчиво-
сти я определяется величиной отношения
С12 С12
(см. табл. 14). Для > 40 прибли-
женное значение ц дается формулой
Таблица И
Значения коэффициента устойчивости \
для консольной балки двутаароаого сечения,
нагруженной сосредоточенной силой Р,
приложенной и центре свободного
торца балки
СР D 0.1 1.0 2,0 3,0 4.0 6.0 8.0
1 44,3 16,7 12,2 10.70 9,76 8.69 8.03
СР 10 12 14 16 24 32 40
ч 7.58 7,20 6.яг 8,73 6.19 5.87 5.64
Примечание. С — жесткость при чистом кручении; D — жесткость прн стеснен- ном кручении; / — длина балки.
Двутавровая балка со свободно
опертыми концами. Оба торца балки
могут свободно вращаться относительно
своих осей симметрии, но не могут пово-
рачиваться вокруг продольной оси балки.
Нагрузка Р приложена в центре сред-
него поперечного сечения. Значения
коэффициента устойчивости ц в зави-
симости от величины —сведены в
табл 15.
330
РАСЧЕТЫ НА СТАТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ
Все приведенные выше выражения
для критических моментов и сил спра-
Габлица 15
Значения коэффициента устойчивости т(
для двухопорной балки двутаврового
сечения, нагруженной сосредоточенной
силой Р„ приложенной в центре среднего
поперечного сечения балки
сг D о,< 4.0 а.о 16 24 32 48
Л 86.4 31.9 25.6 21.8 20,3 19.6 18.8.
сг D о4 96 160 24П 320 400
16.3 IR.I 17.9 17,5 17.4 17.2 17.2
Примечание. С — жесткость при чистом кручении; D — жесткость при стеснен- ном Кручении; | — клина балки.
ведливы только при напряжениях, не
превышающих предела пропорциональ-
ности материала полосы или двутавро-
вой балки.
Опрокидывание криволинейных
полос
Полоса узкого прямоугольного сече-
ния с круговой осью радиуса г и цен-
тральным углом 8 изгибается момента-
ми в плоскости наибольшей жесткости
(плоскость оси полосы) (фиг. 26). Креп-
ления концов полосы таковы, что тор-
цевые сечения могут свободно вра-
щаться относительно своих главных
центральных осей, но не могут пово-
рачиваться относительно касательных
к оси полосы, проведенных через цен-
тры торцевых сечений.
Критическое значепие
моментов М определяется
изгибающих
следующим
выражением:
МКР
Вх+С
2г
t
±И \Лг) + ~тНпг) • <39>
где Вх — EJX — наименьшая
_ „ । жесткость
изгиба; С = GJK — жесткость кручения
полосы (см. .Опрокидывание полос прн
чистом изгибе' стр. 326).
В предельном случае выражение (39)
переходит в формулу для критического
значения моментов М, соответствующих
опрокидыванию прямолинейной полосы
с опертыми концами.
Действительно, подстановка г - со и
8r — I дает
/ В<С
= ±к ------
Очевидно, что независимо от направ-
ления момента его критическое значе-
ние для прямолинейной полосы одина-
ково.
Для криволинейной полосы критиче-
ское значение моментов зависит от их
направления. Знак плюс в формуле (39)
соответствует направлению моментов,
показанному на фнг. 26, а минус — об-
ратному направлению этих моментов.
Таким образом, критическое значение
моментов М, увеличивающих кривизну
полосы, больше, чем критическое зна-
чение моментов М. уменьшающих кри-
визну полосы.
При 8 — п одно из двух значений
момента, даваемых формулой (39), обра-
щается в нуль. Этот результат соответ-
ствует свободному вращению полукруг-
лой полосы вокруг диаметра, проходя-
щего через центры торцевых сечений.
УСТОЙЧИВОСТЬ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ВИТЫХ ПРУЖИН СЖАТИЯ |10|
В, большинстве практически встречаю-
щихся цилиндрических витых пружин
сжатия ось проволоки представляет собой
винтовую линию с малым углом подъема
(обычно менее 10°). Это обстоятельство
позволяет с достаточной степенью точно-
сти рассматривать пружину как совокуп-
ность плоских витков, т. е. витков про-
волоки в виде круговых колец, разре-
устойчивость цилиндрических пружин сжатия
331
данных в одном месте и расположен-
ных в плоскостях, перпендикулярных к
недеформированной оси пружины.
Под термином .ось пружины" пони-
мается геометрическое место центров
тяжести витков пружины. Пусть ось х —
центральная ось поперечного сечения
проволоки, перпендикулярная к оси
пружины, и ось у — центральная ось,
параллельная оси пружины. Ограничим-
ся рассмотрением случая, когда указан-
ные оси хну являются главными ося-
ми сечення проволоки пружины.
Критическое значение осадки пружи-
ны о. т. е. то значение, при котором
прямолинейная форма оси пружины
становится неустойчивой, определяется
следующим выражением:
Здесь D — диаметр витков пружины;
Но — высота пружины в свободном со-
стоянии (нагрузка Р = 0); коэффициент
устойчивости х) определяется условиями
крепления торцевых витков и может
быть взят из табл. 1; коэффициенты q
и определяются выражениями
2 ВУ
Ег------(41)
•+4
.т. е. зависят только от соотношений
между жесткостями изгиба Вл — EJt,
Ву — EJV и кручения С проволоки
пружины. Выражение для жесткости
кручения С зависит от формы сечения
(см. гл. II).
Формула (40) показывает, что для
возможности потерн устойчивости долж-
на существовать определенная зависи-
мость между размерами пружины. То
//fl _ . „
значение . при котором Ъкр из дей-
ствительной величины становится мни-
мой, называется предельным значением:
При пружина может по-
/У / Н \
терять устойчивость, а при “(j)
потеря устойчивости невозможна. Это
обстоятельство существенно отличает
поведение сжатой пружины от поведе-
ния сжатого стержня.
Все приведенные выше формулы и
соотношения справедливы для пружин
из проволоки произвольного сечения,
одна из главных центральных осей ко-
торого перпендикулярна оси пружины.
Для пружин из проволоки круглого
сечения
Вх-Вy = EJ и
у 1 + И
где р — коэффициент поперечной де-
формации или коэффициент Пуассона
материала проволоки.
Коэффициенты 5] и Ez принимают зна-
чения
1 + Iх и
1+2и
t । +2р
В дальнейшем примем ц — 0,30, и. сле-
довательно. 6j = 0,813 и 6г = 0,696.
Для пружин с подпертыми торцевы-
ми витками (например, с креплением в
виде прицепов) коэффициент устойчи-
вости — п2 — 9,87, и формула (40) при-
нимает вил
Таким образом, для пружин из круг-
лой проволоки при р — 0,30 предель-
ное значение
-^б^“2-62- <44>
т. е. потеря устойчивости возможна
только для пружин, высота которых в
недеформированном состоянии больше
чем в 2,62 раза превышает диаметр
витков.
При = 2,62 критическая осадка
равна Ъкр — 0,813/Уо-
Для пружин, у которых -уу > 2,62,
потеря устойчивости происходит при
332
РАСЧЕТЫ НА СТАТИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ
< О,813/?о, если же — < 2.62. то
потеря устойчивости невозможна.
При достаточно больших значениях
Но
отношения критическая осадка со-
ставляет только малую долю первона-
чальной высоты пружины. Так, прн
~ — 10, т. е. для пружин с первоначаль-
ной высотой в 10 раз большей диа-
метра витка, критическая осадка
составляет всего около 3»/0 первона-
чальной высоты пружины.
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
1. Ачеркан Н. С., Расчет и кокструирова-
вве металлорежущих ставков, Машгиз, 1952.
2. Бе л я е в Н. М.. Сопротивление материа-
лов. Гостехиздат, 1951.
3. В л а с о в В. 3„ Тонкостенные упругие
стержни (прочность, устойчивость, колебания),
Стройиздат, 1940.
4. Гольденблат И. И. и Сизов А. М..
Справочник по расчету строительных конструк
иий на устойчивость и колебания. Стройиздат,
1952.
5. Д и и в и к А. Н„ Устойчивость упругих си-
стем. ОНТИ. 1985.
6. Д и и н и к А. Н.- Продольный изгиб, 1939.
7. Д и и н и к А. Н„ Устойчивость упругих си-
стем, изд. АН СССР. 1950.
И. К а и С. Н. и С в ер д л о в И. А., Расчет
самолета на прочность, Оборонгиэ. 1940, глава 5.
Продольный изгиб стержней.
9. Попкович П. Ф., Строительная меха
вика корабля, ч. 2-я. Сложный изгиб и устойчи-
вость стержней. Изгиб и устойчивость пластин,
Судпромгиз, 1941.
10. П о н о м а р е в С. Д., Бидермаи В. Л.,
Лихарев К. К., Маку шин В. М.. Ма-
линин Н. Н„ Фео ДОСЬ еч В. И., Основы
современных методой расчета на прочность в ма-
шиностроении. т. 2. Расчеты прн динамический
нагрузке. Устойчивость. Ползучесть. Маш-
гиз, 1952.
11. Справочник по техиичесКой механике, пол
рсх. А. Н. Днниика, Гостехиздат, 1949.
12. Тимошенко С. П„ Устойчивость упру-
гих систем, под ред. и с добавлением статьи
В. 3. Власова, Гостехиздат, 1946.
13. Т и X о м и р о в Е. Н.. Курс сопротивления
материалов, Гостехиздат, 1914.
14. Ф и л о н е и к о-Б о р о л н ч М. М., Изю-
мов С. М., Олисов Б. А., К у л р я fl-
ue в И. Н-, М а .т ь г к н о в Л. И., Курс сопро-
тивлениз материалов, ч. 2-я. Гостехиздат, 1949.
15. Штаерман И. Я. и Пиковский
А. А., Основы теории устойчивости строительных
конструкций. Стройиздат. 1939.
16. Справочная книга по расчету самолета иа
прочность. Оборонена, 1954.
ГЛАВА XI
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И ЗАВИСИМОСТИ
Методы расчета механических коле-
баний позволяют определять опасные
для прочности машин колебания (вибра-
ции) и указывают способы их устра-
нения или ослабления.
Основной задачей расчета на колеба-
ния является устранение опасных коле-
бательных состояний—резонансов, т. е.
резкого увеличения амплитуды колеба-
ний при совпадении частоты собствен-
ных колебаний с частотой изменения
внешних сил. Расчет на колебания тре-
буется во всех тех случаях, когда на
машину или ее части действуют пери-
одические силы.
Кинематика колебательного
движения
Гармоническое движение описывается
следующим выражением для перемеще-
ния х:
х —> A sin (ш/ + ф). (I)
где А — амплитуда гармонического ко-
лебания в см для поступательных и в ра-
дианах для угловых перемещений; —
фазовый угол в радианах, определяе-
мый начальными условиями движения
или общим началом отсчета для ряда
сопоставляемых движений; «>—угловая
частота колебаний в 1/сек; t—время
в сек.
В графическом представлении (фиг, 1)
перемещение х соответствует проекции
вектора Л, вращающегося с угловой
скоростью ш, на вертикальную ось. На-
чалу движения (( = 0) соответствует
перемещение хо.
Частота колебаний выражается сле-
дующим образом:
(2)
здесь <> — угловая (круговая) частота
колебаний в 1/сек; /—частота в гц*,
т. е. число колебаний в секунду; Т—пе-
риод колебания в сек.; N — число коле-
баний в минуту.
Сложение гармонических колебаний
одинаковой частоты и одинакового на-
правления дает гармоническое колебание
Фнг. 1. Векторная ана-
грамма гармонического
колебания.
Фиг. 2. Сложение гар-
монических колебаний.
той же частоты. Амплитуда результирую-
щего колебания равна векторной сумме
амплитуд составляющих колебаний (при-
мер сложения двух составляющих А,
и А2 показан на фиг. 2).
При сложении гармонических колеба-
ний одного направления, но различных
частот <>] и о>; в векторной диаграмме
фиг. 2 следует положить, что векторы Ai
и А2 вращаются с различными угловыми
скоростями wj и «г- Если частоты «ц
и <о2 мало различаются_между собой, то
расхождение векторов А] и Л2 происхо-
дит весьма медленно, и результирующее
движение рассматривается как синусои-
дальное колебание с периодически из-
меняющейся амплитудой — биение (см.
фиг. 3 для случая At — Аг).
При сложении нескольких гармониче-
ских колебаний различных частот полу-
* Ниже выражение .частота* икона употреб-
ляется и для обозначения угловой частоты, а ш
н / распознаются по нх буквенным обозначе-
ниям.
334
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
чается негармоническое периодическое
движение, период которого является наи-
меньшим кратным периодов составляю-
щих гармонических колебаний.
Фиг. 3. Биение при сложении диух гар-
монических колебаний ранных амплитуд.
Порядком гармонической составляю-
щей (гармоники) называется отношение
ее частоты к частоте, принимаемой за
основную. Последней обычно служит
частота, соответствующая периодичности
исследуемого процесса или числу обо-
ротов установки.
Колебания упругих систем
с одной степенью свободы
Свободные колебания. Системой с
одной степенью свободы называется си-
стема. геометрическое положение кото-
рой определяется лишь одной величиной.
Схема простейшей колебатель-
ной системы приведена на
фиг. 4. Здесь предполагается,
что движение происходит толь-
ко по вертикальной оси.
Прн отклонении массы т
(фиг. 4) от положения равно-
fl t весия упругий элемент создает
восстанавливающую силу. В ли-
Фиг. 4. нейной системе масса т по-
стоянна, а восстанавливающая
сила Q пропорциональна деформации х
упругого элемента:
Q----Сх^-~х кГ, (3)
т. е. упругий элемент линейной системы
имеет постоянную жесткость С в кГ^см
и податливость е в см/кГ.
Движение массы т (фнг. 4) при от-
сутствии рассеяния энергии (затуха-
ния) предстанляет гармоническое коле-
бание:
On
X “ Хо COS Шд/ -4-2 sin <Og t —
“о
— a sin («0/ + f), (4)
где х0— начальное перемещение в см;
v0 — начальная скорость в см/сек, <оо —
угловая частота собственных колебаний,
прн отсутствии затухания равная
“’о
1/сек.
(5)
причем масса т — в к Г сек* {см,
амплитуда свободных колебаний
(6)
фазовый угол
y-arctg^-. (7)
«о
Запас энергии в системе IF равен
сумме потенциальной энергии V и кине-
тической энергии Т, т. е.
U7 = V 4 Г. (8)
Энергия при колебаниях переходит
из потенциальной в кинетическую и на-
оборот. При амплитудном отклонении
от положения равновесия скорость си-
стемы и ее кинетическая энергия равны
нулю. Запас потенциальной энергии со-
ставляет
Са*
V/raax = -5y-. (9а)
При прохождении положения равнове-
сия потенциальная энергия равна нулю,
скорость равна v — <»оа, запас кинетиче-
ской энергии составляет
тш’а»
' шах “ 2
(96)
При свободных колебаниях без рас-
сеяния энергии или подвода ее со
стороны
“ ^max “ max- (1®)
Подставив в формулу (10) УГОЛ)( из
формулы (9а) и 7niai из формулы (96),
получим выражение для «ф, совпадающее
с уравнением (5). В этом состоит основа
энергетического метода определения ча-
стот собственных колебаний (см. ниже
стр. 343).
Движение массы (фнг. 4) при наличии
рассеяния энергии (силы сопротивле-
ния, пропорциональной скорости) пред-
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАВИСИМОСТИ
33=>
ставляет собой затухающие колебания
(фиг. 5) и выражается формулой
х = e-e/cos <>,/ + Vo~^~v°a Sjn Шг(=
— аае"а/ sin (шг1 + ?а). (II)
Угловая частота собственных колеба-
ний с затуханием равна
“г = “о — °2 1/сек,
где
т/С 3
“о= Г т' а=2т’
здесь S — сила сопротивления, отнесен-
ная к единице скорости, в кГсекшем.
Фиг. 5. Затухающие колебания.
При очень большом затухании я > <ч0
движение теряет колебательный харак-
тер и становится апериодическим.
Декремент затухания У представляет
натуральный логарифм отношения ампли-
туд для двух следующих один за другим
периодов и выражается так:
в - In е'Т - аТ - 4 - 2« — -
/ шг
(12)
Прн малых декрементах О < 0,3 при-
нимается, ЧТО <1>гЯй <>(>.
Рассеяние энергии за одни период ко-
лебаний Д1Р, отнесенное к запасу энер-
гии в начале данного периода IF, соста-
вляет
(13)
При
малых значениях О
. Д1Г
#в”ж
(14)
Колебательные системы с вращатель-
ным перемещением (крутильные коле-
бания) и колебательные системы с по-
ступательным перемещением (продоль-
ные и поперечные колебания) имеют
сходные расчетные формулы. В табл. 1
показано взаимное соответствие величин.
При замене в формулах для одного вида
колебаний всех величии по табл. 1 соот-
ветствующими им величинами для дру-
гого вида колебаний получаются фор-
мулы для последнего *.
Таблица I
Соответствие величин в уравнениях
колебаний
Крутильные колебания Поперечные н про- дольные колебания
Угловое перемещение р в Радианах Момент силы At а кГСМ Момент инерции мас- сы В в «Гсмгек‘ Жесткость Сд в кГсм Податливость 1 *«=,'с7 • ч^см Сопротивление, отне- сенное к единичной угловой скорости, $д. в кГсмсек Угловая частота соб- ственных колебаний /” Ск 1/сек Линейное перемеще- ние х, у в см Сила Q в кГ Масса т в кГсекЧсм Жесткость Сд в кГ(см Податливость 1 . г е = в см'кГ Сопротивление, отне- сенное к единичной линейной скорости, 6' в кГсек1см Угловая частота соб- ственных колебаний ./ СТ «>—!/ —-been Г ™
Вынужденные колебания. Движение
массы т (фиг. 4) под действием внешней
силы, изменяющейся по периодическому
закону Q sin «г (гармонической силы),
выражается формулой
л — аае~*( sin (шД + '?)+
+ A sin М — ф). (15)
где значения «и, и а —те же, что и в
формуле (И).
Первый член выражения (15) пред-
ставляет затухающие свободные колеба-
ния. начальная амплитуда которых а0 II
фазовый угол <р определяются началь-
ными условиями движения.
Второй член выражения (15) предста-
вляет вынужденные колебания, имеющие
частоту внешней силы. Вынужденные
колебания продолжаются в течение
всего времени действия внешней силы,
тогда как свободные колебания вслед-
ствие наличия затухания (сопротивления)
• Ниже во нсех случаях, котла »то ясно, индекс
в обозначении жесткости опускается, т. е. вместо
Ск и.Сд пишется просто С (то же для сопроти-
вления S, амплитуды Ант. л.).
336
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
быстро исчезают. При рассмотрении
длительных колебаний принимается во
внимание лишь второй член.
Амплитуда вынужденных колебаний
определяется по формуле
_ . =ХА0.( 16)
Отношение -т- — X называется коэф-
фициентом динамичности или коэффи-
циентом динамического усиления, где
Ао — перемещение от статической силы,
равной амплитуде гармонической силы
Q, т. е. Ао — угловая частота
вынужденных колебаний; о>0—1/ —;
г т
у — коэффициент демпфирования (коэф-
фициент затухания или коэффициент
сопротивления).
На фиг. 6 представлены резонансные
кривые, т. е. зависимость X от — для
“о
различных значений у.
Фиг. б. Зависимость ко>ффиинент1 динамического
усиленна X от отношении частоты возбуждения
к собственной частоте.
Чем меньше у, тем сильнее прояв-
ляется резонанс, т. е. резкое возрастание
амплитуд вынужденных колебаний при
определенных частотах, которые близки
к частотам собственных колебаний.
Вблизи от резонанса величину ампли-
туды вынужденных колебаний ограни-
чивает лишь затухание системы. Вдали
от резонанса величина затухания почти
не оказывает влияния на амплитуду ко-
лебаний.
Для предельных случаев расчета:
1) вынужденных нерезонансных коле-
баний и при отсутствии затухания
А-------(17)
I — (—)
\ “о /
2) резонансных колебаний при данном
затухании, пропорциональном скорости,
Аг — — . (18)
7
Коэффициент демпфирования равен
При малых декрементах 9
“ 2п1Г'
(20)
Здесь W — запас энергии в системе
при резонансе [см. формулы (9) и (10),
где а заменяется резонансной амплиту-
дой Аг|;
СА* т^А}
1Г - —-------у-1
(21)
AIF — рассеяние энергии за один пе-
риод, равное работе внешней силы за
одни период:
Д1Г -к$ШоА?- *QAr (22)
Из экспериментально полученной ре-
зонансной кривой коэффициент демпфи-
рования определяется по формуле
Дш
7 — —
(23)
(обозначения см. фиг. 7). Здесь Аг —
амплитуда резонансных колебаний; А —
какая-либо избранная амплитуда вынуж-
денных колебаний; Дш —разность частот,
соответствующих равным амплитудам А
на обеих ветвях резонансной кривой.
Чем уже, острее резонансный пик, тем
меньше у.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАВИСИМОСТИ
337
Сдвш фаз между перемещением и
приложенной силой' при вынужденных
колебаниях
ф-arcfg —у1"1 (241
о»* —м2
При отсутствии затухания и частотах,
меньших резонансной, внешняя сила и
Фиг. 7. Определение
коэффициента демпфи-
рования их резонансной
крилей.
При этом перемещенпз (для начальных
условий ха = 0; v0 = 0; равно:
дг = cos (25)
т. е. при продолжительном воздействии
периодической внешней силы амплитуда
колебаний со временем будет неограни-
ченно возрастать, пока ход явления не
нарушится из-за привходящих обстоя-
тельств, вызывающих ограничение пере-
мещений. В системах с демпфированием
нарастание амплитуд при резонансе
также происходит не сразу. На фиг. 10
Фиг. 8. Зависимость
сдвига фаз от — при
различных у.
частотах.
сдвинуты на
ббльших
180°.
Фиг. 9. Векторная диа-
грамма.
резонансной, они
т. е. при резонансе
получается скачок
фазы.
Зависимость
сдвш а фаз ф от —
“о
при различных зна-
чениях у представ-
лена на фнг. 8.
На фиг. 9 приве-
дена векторная диа-
грамма, показыва-
ющая сдвиг фаз ме-
жду силами при ко-
леоаннях. Вектор
перемещения Д отложен на диаграмме
вертикально вверх. С ним совпадает
вектор силы инерции тш*А. Вектор уп-
ругой силы СА сдвинут на 180е, а силы
сопротивления (затухания) — на
90°. Уравновешивающая их внешняя си-
ла Q сдвинута по отношению к переме-
щению на фазовый угол ф.
При очень малом демпфировании со-
ставляющую свободных колебаний в
формуле (15) следует учитывать.
Если частота внешней силы <> близка
к частоте собственных колебаний «>0, в
этом случае получаются колебания ти-
па биения, а прн совпадении частот w
и о>о имеют место условия резонанса.
показан график нарастания амплитуд
вынужденных колебаний при различном
демпфировании. По оси абсцисс отло-
жено uft (где /— частота, t — время) —
число колебаний, прошедших от начала
движения, умноженное на я; по осн
А
ординат — отношение -г-.
/*о
Динамическая жесткость. Динами~
ческой жесткостью называется отно-
шение амплитуды гармонической силы
в точке (сечении) системы к амплитуде
динамического перемещения этой точки.
.Динамическая жесткость* устано-
влена по аналогии со статической
жесткостью и имеет ту же размерность,
а именно:
для линейной деформации
De --^k/icm, (26а)
л
для угловой деформации (вала)
(26б)
22 том з
338
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ
где Q — амплитуда гармонической (си-
нусоидально изменяющейся) силы, М —
момента; А — амплитуда динамического
(синусоидально изменяющегося) переме-
щения. Индекс п указывает на линей-
ные, а к — на угловые деформации. Ни-
же, в тех случаях, когда это очевидно,
индексы лик опущены.
Для упругого элемента — пружины,
стержня или участка вала (без учета их
массы) — динамическая жесткость D и
жесткость С совпадают:
D - С. (27)
Инерционные элементы (массы) также
представляются с помощью динамиче-
ской жесткости, являющейся как бы ха-
рактеристикой некоторой фиктивной
пружины.
Динамическая
жесткость колебаний
свободной массы (или
стойкость массы)
(фнг. 11) равна (ин-
декс л опущен)
Фнг. Н. Дннамнче*
смя жесткость эле-
мента массы.
d--4'
—Лл1<1>-
—
— mo>t. (28)
Динамические жесткости складыва-
ются по правилам соединения упругих
элементов для статики (фиг. 12). При
этом получается динамическая жест-
кость всей системы или какой-либо ее
части (называемая также стойкостью
системы).
Условию резонанса системы без зату-
хания (потерь) соответствует значение
ее динамической жесткости, равное ну-
лю, так как приложение конечной Силы
вызывает неограниченное возрастание
амплитуды колебаний.
Пример. Простейший
колеб.тельная систем!)
(фнг. 13. л) представлена
в mue параллельного со
слипгетгнд двух элементов
динамической жесткости
(фнг. 13, <5):
О. = С; •= -mw*.
с т
Суммарна, жесткость
О — £>, + — С — т»’.
с т
При резонансе
С
D — 0, т. е. ой —-.
’ т
Из формулы (16),
представленной в виде
С» «г»
ллле— °
il «)
Фиг. 13. Динамиче-
ская жесткость си
стемы с одной сте-
пенью свободы.
Фиг. 12. Соединение упругих алементов.
К(С — /по»2)2 + (5<о)2
___________2____________-2_, (29)
|/ (Dr + Dm)»+D? D
следует, что динамическая жесткость D„
характеризующая демпфирование, скла-
дывается с Dm и Dc геометрически.
Механическим импеданцем на-
зывается отношение амплитуды силы к
амплитуде скорости гармонического дви-
жения, т. е.
Простейшие колебательные систе-
мы Стержни (брусья). Частота
собственных колебаний стержней с со-
средоточенной массой определяется по
формуле (5), если распределенной мас-
сой стержня можно пренебречь по срав-
нению с сосредоточенной массой.
Для стержня, несущего одну массу
(фиг. 14), в формулу (5) входит/и—масса
в кГсеХЧсм, сосредоточенная в точке л(,
и С — жесткость в кПсм, которая на-
ходится как отношение силы, прило-
женной в точке jtj, к вызываемому
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАВИСИМОСТИ
33!»
ею в этой точке статическому переме-
щению.
Определение жесткости стержней при
различных условиях закрепления, а
также жесткости пружин и других уп-
ругих элементов дано ниже, на стр. 353.
в разделе .Определение расчетных па-
раметров".
Если жесткости стержня, работающе-
го на изгиб, не одинаковы в направле-
нии главных осей, то и частоты собствен-
ных колебаний в направлении этих осей
Фиг. 14. Ненсгомый стержень с сосре-
доточенной массой т в точке
различны. При свободных колебаниях
точки стержня участвуют в двух вза-
имно перпендикулярных колебаниях раз-
личных частот. При вынужденных ко-
лебаниях точки стержня участвуют во
взаимно перпендикулярных колебаниях,
происходящих с частотой внешней силы.
Амплитуды колебаний в направлении
главных осей равны -
A^QtKv (31)
где Qy и Q, — составляющие внешней
силы в направлении главных осей; Ху
и Лх— коэффициенты динамического уси-
ления [см. уравнение (16)| для колеба-
ний вдоль соответствующих осей.
Таким образом, если в стержне воз-
буждаются поперечные колебания косо-
го изгиба, то при постепенном повы-
шении частоты внешней силы явление
протекает следующим образом. Сна-
чала при определенной более низкой
частоте возбудятся резонансные коле-
бания в плоскости наименьшей жестко-
сти. При более высокой частоте возник-
нет резонанс в плоскости наибольшей
жесткости. Если главные жесткости
стержня значительно различаются меж-
ду собой, то при каждом из указанных
резонансов колебания вдоль другой из
главных осей будут незначительны.
Конструкции, приведенные
к одной степени свободы.
Формула (5) иногда применяется для
приближенного (прикндочного) расчета
частот собственных колебаний различ-
ных конструкций. Задача расчетчика
состоит в приведении реальной конструк-
22*
ции к системе с одной степенью сво-
боды, для чего требуется выделить основ-
ную массу, нагружающую конструкцию,
и определить расчетным или экспери-
ментальным путем жесткость конструк-
ции как статическую силу, вызывающую
единичное перемещение этой массы. При
этом удобнее определять статическую
деформацию конструкции, т. е. статиче-
ское перемещение массы конструкции
Йод действием ее веса.
Частота собственных колебаний систе-
мы с одной сосредоточенной массой
выражается через статическую дефор-
мацию от ее веса следующим образом:
“3
G
£ = Уст = g
т О Уст
g
(32)
где о — вес сосредоточенной массы т
в кГ; g — ускорение свободного паде-
ния; уст — статическое перемещение
в см точки расположения сосредоточен-
ной массы под действием ее веса.
Число собственных колебаний в ми-
нуту составляет
<33)
Я г Угя, f уст
Маятники. Для малых отклонений
математического маятника, т. е. сосре-
доточенной точечной ,
массы, подвешенной на *у
нерастяжимой и невесо- J
мой нити (фиг. 15), <7
о>0 - 1/сек, (34)
Фнг. 15. Маяг-
где «о — частота соб- ' вик'
ственных колебаний; g —
ускорение свободного падения в см/сек/*
I — длина маятника в см.
Для физического маятника, предста-
твердое тело, совершающее
вокруг оси подвеса, в фор-
подставляется приведенная
вляющего
колебания
мулу (34)
длина
(35)
где 0 — момент инерции массы маятни-
ка относительно оси подвеса; т — мас-
са тела; h — расстояние от центра тя-
жести до оси подвеса.
340
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Для рычажного маятника (фиг. 16)
(36)
Для маятника (фиг. 17), точка подвеса
которого А врашает-
Фиг. 16. Рычажный маятник.
Фнг. 17. Вра-
щающийся ма-
ятник.
а
*»"7
стью 2 вокруг оси О,
Г о
*“о=е у ~£~ 1/сек. (37)
Колебания упругих систем
со многими степенями свободы
Частота и форма колебаний. Упру-
гой системой с п степенями свободы на-
зывается система, геометрическое по-
ложение масс которой в каждый момент
времени определяется значениями п не-
зависимых координат. Число частот соб-
ственных колебаний такой системы
равно числу ее степеней свободы.
Каждая сосредоточенная масса — аб-
солютно твердое тело — в общем случае
может иметь шесть степеней свободы:
три поступательных перемещения в на-
правлении его главных осей и три враща-
тельных перемещения вокруг них. Упру-
гая система с конечным числом степе-
ней свободы представляется как сово-
купность сосредоточенных масс, связан-
ных между собой упругими элементами
(связями), лишенными массы.
Системы с распределенной массой
(стержни, пластинки и т. д.) обладают
бесконечно большим числом степеней
свободы и прн отсутствии затухания
имеют бесконечное число частот соб-
ственных колебаний.
Наименьшая из частот собственных
колебаний (но не равная нулю) назы-
вается низшей или основной. Другие
частоты собственных колебаний назы-
ваются высшими или обертонами. Ча-
стоты собственных колебаний распола-
гаются в порядке возрастания, и каждой
из них присваивается порядковый но-
мер {порядок частоты).
Каждой частоте собственных колеба-
ний соответствует определенная форма
колебаний, т. е. распределение откло-
нений масс от положения равновесия.
На фиг. 18, а показана одна из форм
продольных колебаний стержня с рас-
пределенной массой. Амплитуды про-
дольных колебаний а, совершаемых точ-
Фиг. 18. Форма нро-
хольимх нлн крутиль-
ных колебаний стер-
жня: и — перемеще-
ния: а, т— напряжения.
ками стержня вдоль оси х, отложены на
фиг. 18 для удобства изображения по
осн ординат. Ана-
логично изобража-
ются и формы кру-
тильных колеба-
ний. причем орди-
наты фиг. 18 пред-
ставляют углы за-
крутки отдельных
сечений стержня.
Точки стержня, не
отклоняющиеся
прн колебаниях от
положения равно-
весия, называются
узлами колебаний
(точки о, т, п на
фиг. 18). С по-
вышением поряд-
ка частоты колебаний на единицу в
форме колебаний прибавляется еще
один узел. Точки, отклоняющиеся от
положения равновесия, образуют пуч-
ности колебаний. В стержне на фнг. 18
участки, наиболее отклоняющиеся от
положения равновесия, имеют наимень-
шие деформации и напряжения, а узло-
вые участки являются наиболее напря-
женными. На фиг. 18 показано, что
прн продольных или крутильных коле-
баниях стержня узлу колебаний соответ-
ствует пучность напряжения (а, т), а
пучности колебаний — узел напряжения.
Одна из форм поперечных колебаний
стержия—его упругая линия — изобра-
жена на фиг. 19. По оси ординат здесь
отложены амплитуды прогибов. В отли-
чие от предыдущего случая продольных
колебаний узловые участки стержня мо-
гут иметь угловые перемещения.
В пластинках и дисках из узловых то-
чек образуются узловые линии. На
фнг. 20 показаны типичные формы ко-
лебаний консольной пластинки перемен-
ного сечення — турбинной лопатки.
Фиг. 20, а показывает расположение уз-
ловых линий на поверхности лопатки
прн одной из нзгибных форм колебаний.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАВИСИМОСТИ
341
а фиг. 20. б — при одной из крутильных
форм. Знаки плюс и минус показывают,
что отклонения в соседних пучностях
имеют различные направления. Форма
узловых линий при колебаниях диска
дана ниже, на фиг. 68.
Частоты собствен
ных колебаний си
Фиг. 19. Форма попе-
речных колебаний стер*
ж ня.
Фиг, 20. Типичные
формы колебаний
турбинной лопатки.
стемы со многими степенями свободы
определяются из уравнений частот, ко-
торые получаются прн решении диффе-
ренциальных уравнений колебаний си-
стемы, или приближенными методами
(энергетическим методом и методом по-
следовательных приближений).
Для системы с конечным числом сте-
пеней свободы (л) уравнения частот
представляют алгебраические уравнения
высокой степени (2л). имеющие столько
действительных и положительных кор-
ней для частоты, сколько степеней сво-
боды имеет система.
Обычно уравнения частот
представляются в виде
определителя, равного
нулю, — так называемо-
го векового уравнения.
Для систем с распре-
деленными массами уравнения частот
являются трансцендентными (содержа-
щими тригонометрические и гипербо-
лические функции).
Системы с сосредоточенными мае
сами. Общий метод определения частот
собственных колебаний упругих систем
с сосредоточенными массами (т. е. при
условии приведения распределенных
масс этих систем к сосредоточенным)
основан на использовании коэффициен-
тов влияния, полученных статическим
расчетом или экспериментально для
точек приложения сосредоточенных масс
8nmi“o— *
и величин сосредоточенных л л л
масс. Ниже используются 1 V V у
два основных метода строи- ®а “ з | Zj 2j Zj
телыюй механики метод сил /— i ;-i л—i
и метод деформа1шй (см.
гл. 111). и г и.
По методу сил для рассматриваемой
упругой системы составляется канони-
ческая система уравнений вида
8»^i4-8nAj4-. ..+&>Я.ХЯ—Ai—O;
+ £2i^2+- • •тг2л-^л—да=0;
(38)
йл +®л2^г+- • -+8Ял-Кя—
где Xf — силы, приложенные в точках
расположения сосредоточенных масс в
рассматриваемой упругой системе; —
коэффициенты (числа) влияния для сил,
т. е. перемещение в точке / от единич-
ной силы в точке k\ б, — перемещения
масс системы.
Прн свободных колебаниях перемеще-
ния масс происходят по закону
sin(a>o/+ <р), (39а)
и приложенными силами являются силы
инерции масс системы
X, = sin (<»or 4- f). (396)
При резонансных частотах ‘определи-
тель системы (38) равен нулю, так как
П) должны удовлетворять ненулевым
значениям.
Резонансные частоты определяются из
векового уравнения (40):
— • • • •
81Я*ЯЯ“0
- 0, (40)
8ял«п“о—1
где Ъц, — коэффициенты влияния; —
массы.
Уравнение (40) приводится к виду
I — 4- fcjM,} — 4-..>4-
4-( — I)" Аяи»0Л — 0, (41)
где »
(42а)
1—1 /—I
®/т 4/л
8л h/ ът
f‘kl hj
(42в)
342
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
По методу перемещений из коэффи-
циентов (чисел) влияния для перемеще-
ний Сщ составляется уравнение ча-
стот (43)
Коэффициент Сщ равен реакции в точ-
ке i прн единичном перемещении точки k
в направлении колебаний и условии, что
остальные л— I точки размещения масс
системы закреплены
Сц — <и^Л1| ...С|„
Си Сп — “2тт • • •
-0. (43)
G>i Слг... Сяя—
Решение уравнений частот—см. спо-
собы численного решения алгебраиче-
ских уравнений (т. I, стр. ПО).
Стержни с распределенной массой.
Уравнение свободных крутильных или
продольных колебаний стержня постоян-
ного сечения с равномерно распределен-
ной массой имеет вид
4(х, fl - К ("7*^ cos ut‘ (44)
где Л (х. 0 — перемещение точки стерж-
ня— угловое при крутильных и ли-
нейное прн продольных колебаниях;
К ("j") ~ Функция формы колебаний
стержня; I — длина стержня;х— коорди-
ната точки стержня (/> х > 0); « — кру-
говая частота собственных колебаний.
При крутильных колебаниях
(44а)
причем QJK—жесткость на кручение.
Ь — погонный момент инерции массы
стержня В случае круглого сечения
JK~Jp (см. гл. II).
При продольных колебаниях:
- - £ V" • <440>
причем EF — жесткость на растяжение,
р — погонная масса стержня.
Функция формы колебаний стержня:
- Лсоару + Bslnpy. (4.5)
А и В — постоянные, определяемые из
граничных условий. Значения р опреде-
ляются из уравнения частот, которое
составляют исключением постоянных из
(45).
Пример. Стержень с одним закрепленным и
другим свободным концом имеет следующие усло-
вии ид концах:
При подстановке в формулу (45) эти условия
дают
А=0:
-A sin Э + В сод 3—0,
откуда
В cos 0— О.
Условию существования ненулевых значений
для В соответствует уравнение частот
cos 0 — 0. .461
Корни уравнения (46), требующиеся ш опре-
деления частот собственных колебаний, из (Ila).
(446) равны
Формулы расчета частот для раз-
личных случаев приведены ниже, на
стр. 365.
Уравнение свободных поперечных ко-
лебаний стержня постоянного сечения
с равномерно распределенной массой
имеет вил
у(х. /) — Г f созшТ. (47)
где у (х, /) — прогиб стержня. I — длина
стержня; х — координата точки стержня
()>х _>()); ы — круговая частота соб-
ственных колебаний;
(46)
причем EJ — жесткость стержня на
изгиб; р — погонная масса стержня;
Г — функция формы изгнбных ко-
лебаний стержня:
г(т)-лЧ‘т)+вгН) +
+DV (Ху). (49)
причем А. В, С, D — постоянные,
определяемые из граничных условий.
ОСНОВНЫЕ понятия и ЗАВИСИМОСТИ
343
представляют гипертригонометрнческие
функции А Н. Крылова:
S(Л) — 2 (ch* + cosX). (49а)
7 (К) - (sh * + sin X); (496)
(/(X) — 2 (ch X — cosX); (49в)
У(Х) — у (sh Л — sin *). (49г)
Производные функций А. Н. Кры-
лова обладают свойством круговой пе-
рестановки:
f (X) F (К) F* (X) F'" (X)
6'(Х) И(Х) У(Х) 7 (X)
7 (X) S(X) V (X) £/(Х)
t'(X) 7(Х) S(X) V(X)
V (X) U (X) 7(Х) S (X)
F<IV’(X)
S (X)
7 (X)
U (X)
V (X)
(50)
Значения X определяются из уравне-
ний частот, которые составляют исклю-
чением постоянных А, В, С, D из
уравнений, выражающих граничные
условия.
Пример. Для стержия с вашемлеимыми кои
ними краевые условия гиражают отсутствие
перемещений и углов поворота:
ври А — 0 и при
При полстановке <4У) в условна (51*1 и учи-
тывая, что
6(0) —И 7(0)-0; Щ0)-0; V (0) - 0, (510)
I-случим
А—0;
й-0;
Ct/(X) +DV(X) -0;
СГ(Х»-|-О</(Х)-а.
(51в)
Для существования ненулевых решений тре-
буется обращение в нуль определителя системы
уравнений (51 в):
|О(Х> И(Х)|
| 1 (A) U (X) | “ ’
(51п
откуда получаем уравнение частот стержня с та
данными условиями на концах:
cbXcosX —1—Ц (51д)
Для различных случаев граничных
условий уравнения частот нзгибных ко-
лебаний стержня приведены ниже, на
стр. 368.
Приближенные методы определе-
ния частот собственных колебаний.
Приближенными методами являются
энергетический метод и метод последо-
вательных приближении Эти методы
рассмотрены ниже в применении к за-
дачам изгиба.
Энергетический метод. Энер-
гетический метод основан на том. что
запасы кинетической и потенциальной
энергии системы при колебаниях без за-
тухания равны между собой:
7 max max (52)
(см. стр. 334).
Задавшись. приближенно. формой
упругой линии у (.г) (кривой наибольших
прогибов), определяют запас кинетиче-
ской энергии.
Прн нзгибных колебаниях
I
7 max “ 7 ^К*)У4(*) +
/I
+ -у “'2
I
I
— 2 <>’ -Ь j Fy» (ж) dx +
и
fl
ч -2-«» S",,y’u<) “ “W‘ (М)
где р (ж) — —--погонная масса стержня
в кГчкЬсм*. у —удельный вес мате-
риала стержня; F — сечение; g—уско-
рение свободного падения; у (х,) — орди-
ната упругой линии для точек, в кото-
рых расположены сосредоточенные
массы mt.
344
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Величина наибольшей потенциальной
анергии изгиба составляет
i t
Vm„ = f = у Е [•'у'2 W (^а)
о о
где М — y"(x)£J — изгибающий момент
в сечении стержня; Е — модуль упруго-
сти материала; J — момент инерции" по-
перечного сечения; р — угол наклона ка-
сательной к кривой прогибов.
Значения у*(х) получают графически
или аналитически по заданной функ-
ции (х).
При использовании в качестве у (х)
кривой прогибов стержня под действием
распределешюй нагрузки р (х)
I
Vmax = у J Р(х) У W dx • (54б>
и
Форма упругой линии, прн которой
получается наименьшее значение основ-
ной частоты собственных колебаний,
ближе всего совпадает с действитель-
ной формой упругой линии при колеба-
ниях. Однако даже сравнительно большое
отклонение в форме упругой линии из
числа удовлетворяющих граничным усло-
виям дает значения основной частоты
собственных колебаний, мало отличаю-
щиеся от действительных.
Применение энергетического метода
показано ниже, на стр. 369.
Метод последовательных
приближений. Определение первой
частоты собственных колебаний произ-
водится следующим образом. Задают
исходную форму упругой ЛИПНИ У|0(Х)
и определяют упругую линию уц(х)
для инерционной нагрузки ₽ (х) у(0(х).
где р (х) — распределенная масса стержня
или вала (частота колебаний ы, — I).
Затем для нагрузки р (х) у, , (х) опреде-
ляют у(2(х) и т. д. до тех пор, пока
упругие линии у1л (х) и сов-
падут по форме, т е. будут отличаться
лишь постоянным множителем. Полу-
ченные таким образом упругие линии и
соответствуют первой форме собствен-
ных колебаний, причем
i У|Я <Xl)
I —Г
' У|(л + |)(^)
(55)
г« У। л <*/) " У| (л-1-i) ~ ординаты для
одной и той же точки /.
Процесс последовательных приближе-
ний является сходящимся.-Можно пред-
ставить, что первоначально заданная
форма упругой линии является резуль-
татом наложения на первую форму "соб-
ственных колебаний (х) составляю-
щих упругих линий высших форм, т. е.
У|о(*) = ri (») + гп (Д’) +
+ (*) + • • + ^л (•*)• (56)
В результате последовательных при-
ближений составляющие высших форм
постепенно уменьшаются по сравнению
с первой формой колебаний, так что
после л приближений
1 Г / <»| \ 2**
y,»(x)=^[r‘(Jf) + (59 х
X (X) +
(57)
где «| < и>ц < ищ. т. е. процесс после-
довательных приближений приводит к
уточнению упругой линии, соответствую-
щей первой форме собственных коле-
баний:
Лл^ я=’-4гГ|('г)-
Применение метода последовательных
приближений см. стр. 371.
При использовании метода последо-
вательных приближений для определения
второй частоты собственных колеба-
ний и>н в первоначально заданных упру-
гих ЛИНИЯХ Уц|,(Х), У|ц(Х),. . ,У|,„ (г)
необходимо исключить составляющую
первой формы колебаний. Тогда промесс
последовательных приближений, при ко-
тором все высшие формы уменьшаются
быстрее, чем вторая, приведет ко вто-
рой форме колебаний.
Исключение составляющей первой
формы колебаний из исходной кривой
Уцв (*)• заданной для определения вто-
рой формы, производится по формуле
Уно (-*) - Ущ,(х) —
I
/Упи (*) Г1 (-*) Р (*) dx
7--------------------- Г((х) (58)
f [ri (*)j*P («)**
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАВИСИМОСТИ
345
Затем исправленная кривая у*)0(х)
принимается для задания инерционной
нагрузки р (х) У|)о (х), для которой опре-
деляется. как и в предыдущем случае
расчета первой частоты собственных ко-
лебаний. упругая линия у(11 (х). Послед-
няя очищается от составляющей первой
формы колебаний:
Ун I <*) “ Ун I<х> —
1
fyiliU) ri (x)p(x)dx
- Ц-------------------- ГДх). (59)
j |T|(x)]2p(x)rfx
v
Кривая ущ принимается в качестве
нагрузочной и т. д. При такой последо-
вательности операций, называемой орто-
гонализацией, искомая упругая линия
поочередно освобождается от соста-
вляющих низших форм колебаний (по
формуле (59)] и от составляющих выс-
ших форм (при последующем приближе-
нии).
В общем случае при определении выс-
шей формы порядка k после приближе-
ния п низшие формы колебаний исклю-
чаются по формуле
У.п (*) = У* л W -
I
*- > Г У КП А X) р(х) dx
~ У 7------------------- Г/ U). (60)
(1г/(х)12₽(х)Лг
Частота колебаний порядка k соста-
вляет (см. формулу (55)|
а _ Укп ,xi>
(61)
Колебания нелинейных систем
и систем с переменными
параметрами
Колебания нелинейных систем
Псевдо гармонически ми называются ко-
лебания систем, у которых упругий эле-
мент имеет нелинейную зависимость
между восстанавливающей силой и пе-
ремещением.
Резонансные кривые псевдо!демони-
ческих колебаний изображены на фиг. 21.
Здесь кривые / соответствуют мягкой
характеристике упругого элемента, т. е.
уменьшению жесткости при увеличении
амплитуды, а кривые 2 — жесткой харак-
теристике, т. е. увеличению жесткости
при увеличении амплитуды. Кривые 3
соответствуют линейной характеристике,
т е. постоянной жесткости системы.
За пределами интервала, ограниченного
на фиг. 21 ординатами т и п. каждой
данной частоте соответствуют три раз-
личных значения амплитуды; среднее
из этих значений неустойчиво и совер-
шенно не проявляется, что касается
Фиг. 21. Резонансные кривые прн пссв-
догарыонических колебаниях.
относительной устойчивости двух дру-
гих значений амплитуды, то обычно
происходит срыв колебаний с больших
амплитуд на малые. При очень плавном
изменении частоты возбуждающей силы
может наблюдаться „затягивание* на
большие амплитуды.
Между формо'й нелинейных характе-
ристик упругого элемента и формой
резонансных кривых имеется определен-
ная связь. Для приближенного построе-
ния резонансной кривой псевдогармони-
ческих колебаний системы с одной
степенью свободы задаются значениями
амплитуды А и находят соответствую-
<11
тне нм значения — из выражения
(^)’_1+,м,±£. №>
где т4ос — деформация, соответствующая
статически приложенной амплитуде
внешней силы прн постоянной жестко-
сти С\ “>о — угловая частота резонанс-
ных колебаний при жесткости С, F(/l> —
функция амплитуды, определяющаяся
формой нелинейной характеристики.
Для линейной системы Л(Л)—0 по-
строение оезонансиой кривой по фор-
муле (62) представляется следую-
щим образом. Проводят вертикаль-
346
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ
кую «скелетную* ось, соответствующую
— 1, к для разных величин ам-
плитуды А откладывают по обе стороны
4 ц.
от этой «скелетной* осн значения -д-
из выражения (62). Для нелинейной си-
стемы порядок построения сохраняется,
но скелетная ось искривляется в соот-
ветствии с зависимостью
(Ю)
т. е. резонансная кривая линейной
системы с частотой собственных коле-
баний ш0 переносится параллельно осн
абсцисс и располагается относительно
искривленной скелетной оси (уравне-
ние (63)]. Построение достаточно точно,
если нелинейность мала
Для параболических характеристик
упругого элемента вида
/ (л) — С (дг -f ахг 4- bjfl 4- сх* 4- dxb 4-
4- ex* 4- fxi 4-...);
ной характеристики (фиг. 23). ая — пол-
ная деформация
участка (А>о0);
первого линейного
— ; m — масса си-
ги
стемы.
На фиг. 24 изображены резонансные
кривые колебаний массы при наличии
за ора между упругими ограничителями.
Фн|. 24. Резонансные кривые при наличии зазора
(А. И. Лурье н А. И. Чекмарев».
А(Л)-2[2 • 4
Xrf •-^•4-...].(64)
Для ломаных характеристик упругого
элемента (фиг. 22)
Фиг. 22. Ломаные ха- Фиг. 23. Резонансные
рактеристики упругих криоые прн ломаных
алемеитоа. характеристиках.
фнг. 23, причем уравнение скелетной
оси имеет вид
где С и С — жесткости участков лома-
Автоколебаниями называются колеба-
ния систем, происходящие при отсут-
ствии внешних периодических сил. Под-
держивающие автоколебания периоди-
ческие силы возникают в системе в про-
цессе самих колебаний Возникновение
автоколебаний упругой системы рас-
сматривается как процесс свободных
колебаний с отрицательным затуханием,
которое приводит к нарастанию ампли-
туды колебаний до установившейся
величины, определяющейся нелинейными
свойствами системы. Такне условия по-
лучаются, например, прн колебании
тела, увлекаемого в движение силами
трения, которые увеличиваются при
малых скоростях и уменьшаются при
больших.
Автоколебания тако» о рода проявляют-
ся в виде вибраций резца, в тормозных
устройствах и т. д.
Специальные случаи возникновения
автоколебаний связаны с наличием аэро-
динамических и гидродинамических сил
(флаттер и т. д. |18|).
Киазигармонические колебания
Кваяигармоническими называются коле-
бания систем, параметры которых —
масса или жесткость — являются перио-
дическими функциями времени.
К ним относятся, например, попереч-
ные колебания стержня под действием
периодической продольной силы, коле-
бания вращающихся валон иекруглого
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАВИСИМОСТИ
347
сечения и роторов переменной (в зави-
симости от угла поворота) жесткости,
а также крутильные колебания криво-
шипно-шатунных механизмов, имеющих
переменный по обороту момент инерции
массы.
В таких системах возникают условия
параметрического возбуждения колеба-
ний — параметрического резонанса при
определенных частотах изменения пара-
метра:
•к-2^-. (66)
где к — 1, 2, 3...; «о — средняя частота
собственных колебаний системы.
Для валов, у которых главные мо-
менты инерции поперечного сечения
различны,
“u“ щ •
_ ("mix + ^mtn
—-------2---- “ среднее значе-
ние изгнбной жесткости вала или
ротора в к/~1см; /я—масса ротора
в кГсекг1см.
Одному обороту вала соответствуют
два цикла изменения жесткости. Основ-
ное значение на практике имеют кри-
тические состояния, возникающие при
условии, что угловая скорость вала
равна его угловой частоте собственных
колебаний н вдвое меньше нее (для го-
ризонтальных валов)
Возбуждение и гашение
вынужденных колебаний
Действие полнгармонической силы.
На упругую систему могут воздейство-
вать периодические силы гармониче-
ские. т. е. изменяющиеся по синусоиде,
и полнгармоннческие, состоящие из ряда
гаомоннческнх составляющих.
Методы гармонического анализа при-
ведены в т. I. стр. 312.
Результаты гармонического анализа
некоторых периодических кривых даны
на фиг. 25.
Если на линейную систему действует
периодическая сила полнгармоннческого
состава, то общее перемещение полу-
чается в результате сложения переме-
щений от действия всех гармонических
составляющих данной силы, рассматри-
ваемых в отдельности. Гармонические
составляющие воспринимаются колеба-
тельной системой по-разному, так как
каждая имеет свой определенный, соот-
ветствующий ей коэффициент динамиче-
ского усиления (см. стр. 336). Величина
коэффициента усиления в системе с одной
степенью свободы для каждой из гармо-
нических составляющих определяется по
формуле (16) в зависимости от соотно-
Фиг. 25. Герметические составляющие некоторых
периодических функций.
шения — т. е частоты данной гармо-
нической составляющей и частоты соб-
ственных колебаний системы Основной
динамический эффект обычно дают те
гармонические составляющие периоди-
ческой силы, частоты которых близки к
резонансным, т. е. так называемы? око-
дорезонансные гармонические. если
только величина их не слишком мала
по сравнению с другими гармоническими
составляющими силы.
Таким образом, кривая динамического
перемещения во времени может значи-
тельно отличаться от кривой изменения
вызывающей его динамической силы.
Силы возбуждения. 1. Периодиче-
ское возбуждение создается под дей-
ствием сил инерции движущихся частей
механизмов, как. например, показано на
фиг. 26, а. где при вращении неуравно-
вешенной массы т4 реакция в точке
закрепления О периодически изменяет
свое направление и дает изменяющуюся
по синусоиде составляющую в напра-
влении колебаний.
Подобные условия возбуждения име-
ются прн наличии неуравновешенных
248
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ
вращающихся частей машин. Такое
возбуждение используется также в инер-
ционных вибраторах для искусственного
Фиг. 26. Способы при-
ложения периодических
возбуждающих сил.
возбуждения коле-
баний при испы-
таниях и в техноло-
гическом оборудо-
вании. Амплитуда
возбуждающей си-
лы изменяется про-
порционально ква-
драту частоты и
равна(обозначения
см. на фиг. 26, а)
Q = т</'о"2- (67)
причем ы — угло-
вая частота изме-
нения силы в 1/сек.
рапная угловой
скорости враще-
ния массы т^.
Периодические крутящие моменты от
сил инерции поступательно движущихся
масс кривошипного механизма
Mj - slnvQ/) кГсм. (68)
где Р, — гармонические коэффициенты
сил инерции; т— масса поступательно
движущихся частей в кГсек^/см, т. е.
поршня и части шатуна; т = тш, + т„
|см. формулу (121)]; R — радиус криво-
шипа в см; 2 — угловая скорость вра-
щения вала в 1/сек; *— порядок гармо-
_ / <Я
нической составляющей при-
чем ш — частота данной гармонической
составляющей).
Основной период крутящего момента
от сил инерции равен времени одного
оборота вала.
Значения гармонических коэффициен-
тов (v — I. 2, 3, 4) следующие:
р
Pi—0.25—; (69)
Pj - -0.50; (70)
Рв——0,75-у-. (71)
Р,-----0,25 (-у-)* (72)
(/—длина шатуна).
2. Периодическое возбуждение со-
здается' под действием давления газов
или паров (фнг 26. б), как это в соче-
тании с силами инерции имеет место
в поршневых двигателях и компрессо-
рах. где такое возбуждение является
причиной возникновения крутильных и
изгнбных колебаний валон двигателей.
В табл. 2 приведены примерные
данные гармонического анализа сил да-
вления газов различных типов двигате-
лей. Значения амплитуд гармонических
Таблица 2
Гармонические составляющие
сил давления газов в двигателях
Порядок гармонической состамляющей v Гармонические коэффициенты
Двигатели внутреннего сгорания Паровые машины
четырех- тактные двухтактные
простого 1СЙСТВИЯ двойного лей- сгвия
простого действия 1 1 , хвойного действия о шопоршне- пыс с противопо- ложными поршнями
0.6 1 1.8 2 2.5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 8 6.5 7 7.5 8 8,5 0 0.5 10 10,5 11 11.5 12 ю 40 40 35 30 25 20 15 10 8 6 4.5 3.5 3,0 2,5 2.0 1.5 1.0 о.а 0,7 0,6 0,5 0.4 0.3 65 6 55 70 40 10 25 30 15 7 У 9 5.2 2,0 3,7 4.0 2.2 1.0 1.2 1.4 0,0 0.5 0.6 0.6 83 70 50 30 16 9 4 2 ~.4 1.0 “0.6 1Ю 1Ю ихГ «Г аГ ti 17 Г ь м Ц2 Г 1 Г 1 « 1 « 1 »1 * 1 51 7 1 8 1 S 1 s 1 3 1 «О С OG 1 ю 1 » 1 - 1 о. 1 -Г 1 „ 1 “ 1 - 1 - ь. -
составляющих порядков v выражены
н виде гармонических коэффициен-
тов с* в процентах от среднего индика-
горного давления pt. Амплитуды крутя-
щих моментов
е, Pi
Л1, — -j-до- - -4— R кГсм. (73)
где D — диаметр поршня в см. R — ра-
диус кривошипа в см. В четырехтактных
двигателях основной период колебаний
ОСНОВНЫЕ понятия И ЗАВИСИМОСТИ
349
равен времени двух оборотов вала, так
что V— Чг, 1. 1Чг, 2, 24г и т. д.
3. Периодическое возбуждение может
быть вызвано электромагнитным воздей-
ствием (фиг. 26. в). При прохождении
переменного тока через обмотку элек-
тромагнита возникает сила, пропорцио-
нальная квадрату силы тока, имеющая
периодическую составляющую двойной
частоты по сравнению с частотой пере-
менного тока.
Если на магнитное поле переменного
тока наложено значительно более силь-
ное постоянное магнитное поле, созда-
ваемое дополнительной обмоткой по-
стоянного тока. т. е. создана поляри-
зация, то периодическое возбуждение
в этом случае приблизительно пропор-
ционально силе переменного тока и
имеет одинаковую с ним частоту.
4. Возбуждающая сила передается
через упругую связь (фиг. 26. г), т. е.
колебания возбуждаются путем перио-
дического принудительного перемеще-
ния закрепленного конца упругого эле-
мента системы.
Если перемещение конца упругого
элемента происходит по закону х —
— asinwt то получается такое абсо-
лютное перемещение массы т в про-
странстве. какое вызвала бы приложен-
ная к ней внешняя сила
Q = Coslno»z (74а)
при неподвижном закреплении конца
упругого элемента С.
Внешняя сила, создающая при непо-
движном закреплении такую же дина-
мическую деформацию упругого эле-
мента, какая имеет место’ в рассматри-
ваемой системе, равна
Q — та ш* sin ut. (7461
Возбуждение колебаний путем пере-
мещения закрепленного конца упругого
элемента практически имеет место для
сравнительно малых деталей, прикре-
пленных к вибрирующим объектам.
Такой вид возбуждения рассматривается
и прн определении условий вибронзоля-
ции машин и приборов от действия
внешних вибрации.
Диаграммы возбуждения колеба-
ний В тех случаях, когда частоты пе-
риодических сил или моментов, возбу-
ждающих колебания, связаны с числом
оборотов машины, для определения ре-
зонансных чисел оборотов пользуются
частотной диаграммой или диаграм-
мой возбуждения колебаний, изобра-
женной на фиг. 27. Здесь по оси абсцисс
отложено число оборотов (или угловая
скорость) машины, а по оси ординат —
числа (или круговые частоты) собствен-
ных колебаний исследуемой детали или
конструкции.
Если частоты собственных колебаний
исследуемой детали не изменяются с
числом оборотов машины, то каждой
собственной частоте и форме колебаний
Фиг. 27. Определение скоростей, опасных
вследствие резонансов турбололаток.
на диаграмме соответствует горизон-
тальная прямая линия. В некоторых
случаях вследствие действия центро-
бежных сил частоты собственных коле-
баний деталей (например, турбинных ло-
паток) с изменением числа оборотов
машины также изменяются, и на диа-
грамме фиг. 27 линии, соответствующие
определенным формам колебаний, при-
обретают вид кривых.
Частота каждой из гармонических со-
ставляющих сил возбуждения изменяется
пропорционально числу оборотов, при-
чем коэффициентом пропорциональности
является число ч, указывающее порядок
гармонической составляющей. Гармони-
ческие составляющие сил возбуждения
на диаграмме фиг. 27 представляются
семейством наклонных лучей. Пересече-
ние этих лучей, выходящих из начала
координат, с линиями, соответствую-
щими определенным формам колебаний,
дают на оси абсцисс резонансные числа
оборотов для этих форм.
Для устранения вибраций следует из-
бегать совпадения рабочих чисел обо-
ротов машины с резонансными. Вблизи
резонансных чисел оборотов создают
350
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ
.запретные зоны*, ширина которых за-
висит от интенсивности резонансных
колебаний и точности поддержания ре-
жима работы данной машины. Из фор-
мулы (16) видно, как. отойдя от резо-
нанса по числу оборотов, можно умень-
шить динамическую нагрузку.
Не все из полученных резонансных
чисел оборотов являются одинаково
опасными в отношении динамической
прочности. Для решения этого вопроса
требуется определение амплитуд коле-
баний и соответствующих напряжений
расчетным или экспериментальным пу-
тем.
Демпфирование (гашение) колеба-
ний. Вязкое трение жидкой и газооб-
разной среды является линейным, т. е.
пропорциональным скорости сопроти-
влением (см. стр. 334).
Сопротивление сухого трения, рас-
сеяние энергии в материале (.механи-
ческий гистерезис") и др. является не-
линейным сопротивлением.
Сила сухого трения приближенно
принимается постоянной по величине и
направленной всегда в сторону, противо-
положную движению.
Потеря энер) ни за один период равна
Д1Г - 4Foa. (75)
где а — амплитуда перемещения.
Рассеяние энергии в материале за
один период при переменном деформи-
ровании является функцией амплитуды
деформации а вила
Д1Г — рат кГсм (76)
где параметры р и т характеризуют ма-
териал при однородном деформировании
Декремент затухания
» * 41F “ 77 °т~г * consl ^77)
|см. формулы (9), (10), (14)).
Убывание амплитуды при свободных
колебаниях происходит пропорционально
т — I степени ее абсолютной величины:
&а — 9а — -£ <тя’-Л (78)
С»
Значение т для различных металлов
находится в пределах от 2 до 3,5. Для
упрощения математического анализа
обычно рассматриваются случаи т «2
и т — 3.
При однородном растяжении — сжатии
упругая энергия для единицы объема
составляет
где о — напряжение кГ!смг-, Е — модуль
упругости кГ1см2.
Потеря энергии на внутреннее трение
для единицы объема выражается как
Д1Гр - сят, (80)
где с — коэффициент, характеризующий
материал, откуда
»=сот-2£ (81)
при т = 3:
»-со£, (81а)
т. е. на опенку демпфирующих свойств
материала оказывает влияние модуль
упругости Е.
При неоднородном распределении де-
формаций. для рассматриваемой детали
в целом, потеря энергии Д1Г является
величиной, интегрально зависящей от
распределения напряжений в детали при
колебаниях, так же как и величина ее
общего запаса энергии, т. е.
Д1Г - j со” dv (82а)
для переменных нормальных напряже-
ний а или
Д[Г — (826)
V
для переменных касательных напряже-
ний х.
При лир. Определения рассеянна анергии а ма-
териале сплошного нала прн крутильных колеба-
ниях (радиус пала р, длина Г):
2ж от рт -(- 2
2 4- m pH — I
где О — модуль сдвига; о — амплитуда аакрутки
аала и радианах.
В табл. 3 для некоторых материалов
указаны приближенные значения —— ,
где bW'p — удельное рассеяние энергии
(в кГсм/см2) при напряжении окГ1см!
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАВИСИМОСТИ
351
Таблица 3
Рассеяние ввергни * различных
материалах при колебаниях
Наименоааиие мате- ри л л я Р а в кПсм'
Малоуглеродистая сталь (О,25“|. С) о.ыо—10 630-2 ЮО
Хромоникелевая сталь (*>|„ N1, 13% Сг) нор- мализованная .... 0.<Я510-10 550—3200
Монель.-металл (27>|.№. 30»|„ Си, 1,4% Ее. 1% Мп) 0,08-IO”10 600—3500
Магниевый сплав (6,5"). Al. 1«|„ Zti 0,2"|. Мп) ... 1.1 ю-10 150-63
Магний-марганцевый сплав (1Д“1, Мп) 2-10“10 130-300
Фанера 32-10-10 30-350
Пластмасса на основе б1келИТИ1ИрОВ8ННОА бумаги ... 130-IO-10 20-Й»
Пластмасса на основе акриловых смол 180.10-|Г 30-130
(растяжение — сжатие). В следующей
графе таблицы указаны пределы напря-
жений, для которых значения Д1Гр по-
лучены.
Для кручения данные табл. 3 следует
увеличить приблизительно в л = 6-нУ
раз, т. е.
Шкр _ nWр
хз □»
В табл. 4 даны основные формулы для
расчета колебаний системы с одной сте-
пенью свободы при наличии различных
видов сопротивления. Указанные фор-
мулы составлены в предположении, что
декременты затухания невелики (» <0Д).
Принятые здесь обозначения соответ-
ствуют формулам (75), (77) и (16).
Способы устранения или умень-
шения вибраций. Основное средство
уменьшения амплитуд колебаний состоит
в .частотной отстройке* системы. Ослаб-
ление вибраций достигается при этом
путем изменения масс, жесткостей и
условий возбуждения. Прн изменении
параметров системы, попавшей в резо-
нанс. изменяется ее частота собственных
колебаний, и система выводится из ре-
зонанса. Аналогичные результаты полу-
чаются при изменении частоты возбу-
ждения. например, путем изменения ра-
бочего числа оборотов, если частота
возбуждения с ним связана. Уменьшение
колебаний может быть также получено
352
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ
уменьшением или устранением возбу-
ждающих сил. Так. например, тщатель-
ная балансировка приводит к уменьше-
нию возбуждения, создаваемого вра-
щающимися неуравновешенными мас-
сами. Уменьшение амплитуд резонансных
колебаний достигается также введением
значительного демпфирования.
Устройствами, специально предназна-
ченными для уменьшения амплитуд ко-
лебаний, являются демпферы и анти-
вибраторы (гасители). Демпферы уста-
навливаются в точках системы, имеющих
наибольшие амплитуды колебаний, или в
точках, в которых помещение демпфера
изолирует систему от действия возбу-
ждающих сил.
Демпфер (гаситель) с трением основан
на введении сил трения в колебательную
систему.
В ряде конструкций гасителей исполь-
зуются сухое трение и рассеяние энергии
в материале (резиновые гасители). При-
меняются и гасители вязкого трения,
в которых при колебаниях жидкости
(масло) пролавливается из одной полости
в другую через отверстия.
Динамический антивибратор (гаситель)
представляет собой колебательную си-
стему малых размеров, имеющую частоту
собственных колебаний, равную частоте
возбуждающей силы и присоединяемую
к основной системе для устранения ви-
браций.
В качестве динамических гасителей
для крутильных (а также и поперечных)
колебаний вращающегося вала широкое
применение получили маятниковые гаси-
тели (антивибраторы).
Маятниковый гаситель обладает тем
свойством, что его частота собственных
колебаний изменяется прямо пропорцио-
нально изменению числа оборотов, и он,
таким образом, гасит заданную гармони-
ческую составляющую возбуждения во
всем диапазоне рабочих оборотов.
Частота собственных колебаний маятни-
кового гасителя раниа
/п /'
1/сек. (83)
где 2 —угловая скорость вращения вала
в 1/сек; /?»— расстояние от оси вала до
центра тяжести маятника в см; L — при-
веденная длина маятника в см.
Примером маятникового гасителя
является конструкция (фиг. 28), в кото-
рой использованы подвижные противо-
весы коленчатого вала. Вследствие двой-
ного (бифилярного) подвеса здесь удается
получить весьма малую приведенную
длину маятников. Порядок гармониче-
ской составляющей, на которую настроен
Фиг. 2Я. Магткикопый демпфер.
бифилярный маятниковый гаситель, т. е.
отношение круговой частоты его соб-
ственных колебаний к угловой скорости
вала, составляет
ш
о”
(84)
где R — расстояние от оси вала до центра
тяжести маятника; d, — диаметр отвер-
стий в противовесе; d2 — диаметр вали-
ков. Траектория противовеса предста-
вляет дугу окружности радиуса dt — d^.
В и б ро и зо л я ни я. Требования к
виброизоляции состоят в получении
весьма малой жесткости подвески какой-
либо установки или прибора при доста-
точной прочности этой подвески, так
как последняя должна выдержать стати-
ческую нагрузку виброизолируемого
объекта и возможные перегрузки. Для
этой цели применяются различные амор-
тизаторы, а именно: стальные пружины
в сочетании с демпфирующими устрой-
ствами или пластинчатые стальные рес-
соры, в которых энергия вибраций по-
глощается работой трения между пла-
стинами. Большое распространение
получили вибропрокладки из различных
органических материалов (резина, проб-
ка, прессованные прокладки), в том
числе блоки из резиновых прокладок,
соединенных в одно целое с металли-
ческими обкладками путем вулканиза-
ции.
Условие виброизоляцни заключается
в том, что частота собственных колеба-
ний изолируемого объекта на амортиза-
торах должна быть весьма мала по
РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ НА КОЛЕБАНИЯ
ззз
сравнению с частотой воздействующих
на него вибраций, т. е.
<85)
Практически желательно иметь Х< ifo
Коэффициент динамического усиле-
ния X характеризует здесь отношение
амплитуды перемещения виброизолируе-
мого тела к амплитуде вибраций воздей-
ствующей на него системы и называется
коэффициентом передачи перемещения
или степенью изоляции.
РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ
КОНСТРУКЦИЙ НА КОЛЕБАНИЯ
Определение расчетных параметров
Определение упругих коэффициен-
тов и приведение масс для продоль-
ных и поперечных колебаний. Для
продольных колебаний ниже указаны
значения жесткости элементов, опреде-
ленные как
Яй-ЙИИЙг
♦иг. 29.
Стержень
постоянного
сечения.
растяжении
отношение продольной силы,
приложенной к незакреп-
ленному концу элемента
^стержня, пружины), к де-
формации элемента.
Для поперечных колеба-
ний жесткость ниже дана
как отношение поперечной
силы, приложенной в точке,
в которой находится сосре-
доточенная масса, к вызы-
ваемому этой силой пере-
мещению указанной точки.
I. Жесткость стержня
постоянного сечения
и сжатии (фиг. 29)
ЕР
C-?f- кПсм.
при
(86)
где F — поперечное сечение в см*; I —
длина в см.
1. Жесткость стержней постоянного
сечения, работающих на изгиб при раз-
личных условиях закрепления, приведена
на фиг. 30; Е— модуль упругости; J —
момент инерции сечення.
Влияние расположения очень гибкого
стержня в поле земного тяготения на
расчетную жесткость показано на фиг. 31.
Здесь т — масса; g — ускорение сво-
бодного паления.
Призматический стержень может
«меть различную жесткость на изгиб
23 Том з
Фнг. 30. Формулы расчета поперечной жесткости
стержня с сосредоточенной массой.
в направлении главных осей. При за-
крутке стержня различие в жесткостях
уменьшается, а многократно закру-
ченный стержень имеет во всех на-
правлениях одина-
ковую изгибную
жесткость.
Предельная жест-
кость многократно
закрученного стер-
жня связана с из-
гнбными жестко-
стями в направле
нн>1 главных осей
сечення стержня
С, и Су следую-
щей зависимостью:
1 +
Сер 2 у С,
+ тИ (87)
Фиг. 31. Влияние полк
тяготения.
Если Ct <С Су. то Сер — 2Сг, т. е.
в пределе многократное закручивание
стержня повышает его жесткость (мини-
мальную) вдвое. Частоты собственных
колебаний |см. формулу (5)| изменяются
при этом, как корни квадратные из
жесткостей.
354
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ
Фиг. 32 в относительных величинах
показывает сближение частот колебаний
закрученного консольного стержня ука-
занного на фигуре сечения с массой
на конце. По оси абсцисс здесь отложены
углы закрутки стержня X в градусах [46].
При закрутке стержня низшая частота
его колебаний, таким образом, возра-
стает, что следует иметь в виду при
Фиг. 32. Частоты колебаний закрученной
консоли.
рассмотрении естественно закрученных
стержней, например лопастей центро-
бежных компрессоров.
3. Жесткость натянутой струны для
поперечных перемещений (фиг. 33)
С-Т^—кГ/ем, (88)
где Т — начальное натяжение струны
в кГ.
Фиг. 33. Струна.
4. Жесткость цилиндрической винто-
вой пружины (фиг. 34, а и б) (ниже рас-
смотрены лишь простейшие случаи. По-
дробнее см. т. 4, гл. XVIII):
а) с круглым поперечным сечением
прутка (проволоки)
„ Gd* „
С“ 6477?» кПсм- (89)
где G—модуль сдвига в кПсм* d —
диаметр прутка в см; R — радиус витка
в см; I - рабочее число витков; I —
= /<-в-|-0,5, где— число свободных
(т. е. не находящихся в соприкосновении
с опорными поверхностями) витков;
б) с прямоугольным поперечным се-
чением прутка
с~ 'StS кГ/см’ <Я)>
Зиачеииа ч
ц.........0,141 0,198 0,259 0.21Й
-4-........ 4 6 8 10 сю
О
.......0,281 0,299 0,307 0,312 ОДВ
Ь и h — размеры прутка; ft > b. Осталь-
ные обозначения см. формулу (89).
Фиг. 34. Цилиндри-
ческие пружины.
Фиг. 35. Конические
пружины.
5. Жеслость конической винтовой
пружины (фиг. 35. а и б);
а) с круглым сечением прутка (про-
волока)
С-—, , ----------кГ[см; (91)
16Z(«2 4-/??) (А?а +/?,)
б) с прямоугольным поперечным се-
чением (фиг. 35, б)
С - - л ---------------кПсм, (92)
где т) берется из предыдущей таблицы.
РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ НА КОЛЕБАНИЯ
355
6. Расчет общей жесткости при раз-
личных способах соединения упругих
элементов показан на фиг 12. Жест-
кость сложных элементов приходится
часто определять экспериментально (см.
ниже стр. 358).
7. Для системы пружин (фиг 36, а)
Сх — 2С/соэг<^; Су — SC;Sin!?/. (93)
Жесткость рычажной системы (фиг.
36,6) при абсолютно жестком рычаге
равна
п
с •----------кГ/см. (94)
8. Приведение распределенной массы
стержня постоянного сечения к сосредо-
точенной при определении основной ча-
стоты собственных колебаний дано на
фиг. 37.
Фиг. 37. Приведение распределенной
массы.
Здесь М — сосредоточенная масса;
т — масса стержня; М’ — общая приве-
денная масса.
9. Приведение распреде-
< | ленной массы пружин для
$ _ цилиндрической пружины
> I (фиг. 38) производится так
mm_L же, как и для призматиче-
ФшТза. ского стержня. М —М + tm,
где у. Коэффициент
приведенной массы конической пружи-
ны зависит от соотношения радиусов
пружины у места закрепления Rt и у
сосредоточенной массы
По Пономареву и Шершевскому
ЗЛЮ- юла+15Лг—8
15(й*—1) (*«—!)« » (95)
Фиг. 39. Прицеленная месса комической пружины.
Определение параметров системы
для крутильных колебаний.
Определение податливости эле-
ментов вала. При расчете крутильных
колебаний жесткость вала С в кГ]см
определяется из обратной величины —
податливости вала е в «Г—1 см—I;
С = е”1. (96)
Общая податливость вала находится
суммированием податливостей элемен-
тов, на которые разбивается данный
вал:
е-2^ (97)
1. Податливость участка вала
\)КГсм. (98)
где О — модуль упругости при сдвиге
в кГ.'сж1; /—длина участка вала в см;
d — диаметр участка вала в см; Kt —
коэффициент, имеющий следующие зна-
чения:
а) для сплошного цилиндрического
вала
Ке - 1; (99а)
б) для полого цилиндрического вала
где rft — диаметр сверления в см;
в) для сплошного конического вала
К‘"0 + 4У 4
1 £
(100)
23*
356
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
если в формулу (98) подставляется
больший диаметрконнческого участка, и
л"*" + юб) [т "7 х
х(> + -^4)]' <,°1’
если в формулу (98) подставляется
меньший диаметр конического участка;
здесь d— больший диаметр конического
участка в см; d}— меньший диаметр
конического участка в см; а— попра-
вочный коэффициент, учитывающий
Фиг. 40. Номограмма для определения поправоч
иого коэффициента а в % (по ленным С. Зима-
иеико и В. Житомирского).
Пример -4 — 0,8; -4 = 1.18; а = — G*«>.
в| Ы|
к I d
влияние отношений -г и — на подат-
d\ dt
ливость конического перехода; коэффи-
циент а определяется с помощью номо-
граммы (фнг. 40);
г) для конического полого вала (с ци-
линдрическим отверстием)
К.,, « КкКя, (102)
где Кх—коэффициент для сплошного
конического вала тех же размеров;
К„ — коэффициент для полого цилиндри-
ческого вала с наружным диаметром,
равным меньшему диаметру конического
вала (rfj),
д) для вала, ослабленного шпоночными
канавками,
К'“ ~ (t 68 1 _ 4лй ’ <1<Й’
k d ) d
где h — глубина шпоночной канавки
в см; п — коэффициент, зависящий от
числа и расположения шпонок и имеющий
следующие значения: для одной врезной
шпонки п — 0,5; для двух шпонок на
лыске, расположенных под углом 90°,
л —1,0; для двух шпонок на лыске,
расположенных под углом 180°, л—1,2;
для двух тангенциальных шпонок под
углом 120° п — 0.4.
2. Податливость фланцевого соедине-
ния принимается равной податливости
цилиндрического вала, длина которого
равна суммарной толщине фланцев,
а диаметр равен диаметру осевой окруж-
ности фланцевых болтов.
3. Податливость ступенчатого пере-
хода, т. е. дополнительная податливость
в месте изменения диаметра вала (на
которую должна быть увеличена сумма
податливостей обоих сопряженных
участков вала), определяется формулой
• - ~^q X МкГсм; (1<М)
X- )7_* 0,-3; (105)
И d*)
здесь di —меньший диаметр ucM_dt —
больший диаметр веж; X —фиктивное
приращение длины вала диаметром d, и
укорочение вала диаметром d2; 1$ — фик-
тивная длина вала диаметром dit экви-
валентная податливости перехода.
На фиг. 41 изображены найденные
опытным путем зависимости
f f d2\
di~J \ di)'
Фнг. 4). Кривые поддтлнвости ступепчпых пере-
ходов (по донным С. Зиманеяко и В. Житомир-
ского).
РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЯ НА КОЛЕБАНИЯ
357
Нижняя кривая относится к перехо-
дам с закруглениями, радиус которых
r^O.lrfj. Пунктирная кривая построена
по данным опытов при r<0,ldj.
Здесь
0.9 (4 + Ь)г(№ + R R
Я
Фиг. 42. Эскиз колеи» шла.
4/?3
Ь№Е
4. Податливость перехода от вала
к ступице определяется, как и в пре-
дыдущем случае. Значение отноше-
ния где d — диаметр вала, прини-
мается в пределах от 0,25 до 0,33
(меньшие значения соответствуют прес-
совой посадке).
5. Податливость колена вала.
По С. С. Знманенко
’/1+0.66-51 0.84+0.24 Dj
*1 . К
32
nG
D<-d<
hWG
16/*/? . Sr*-
ы#е
8/*
nG (D«-<)
7tG(/4 —3*E(D\ — d\)
16/*/?
6R*
nG (D| — bh»E
, 1.2 [ 2Z* /?1
+ О [к (О’-4) + bh
\UkR 6R*
2/*
r.O(D*-<) (110)
Обозначения те же, что и выше. Е —
модуль продольной упругости в кГ!см'1.
Если обозначить действительную по-
датливость через в, то е3<е<е£.
призматического
6. Податливость
стержня (фиг. 43)
I
е“ r)Ghb3
, 1
Dj-dl ф bhi
сж-1,<106)
где все линейные размеры в см указаны
на фиг. 42; G —модуль упругости при
сдвиге в кГ/слА; Ф
формы, учитывающий перекрытие шеек.
По Картеру
7. Податливость
на кручение цилин-
дрической винтовой
пружины с круглым
сечением прутка
128//?
Г-t см~\ (111)
где Л т) берет-
ся из таблицы к
формуле (90).
Фиг. в. Кручение приз-
матического стержня.
32 Г/| 4-0,86 0,75/,
по о«-< 01-4
R
Обозначения те же. что н выше.
По Тимошенко:
прн свободном поперечном перемеще-
нии шеек
Ed<
(112)
см • '* '' Обозначения см. фор-
------------ мулу (89).
8. Податливость ременной передачи
(фнг. 44). приведенная к валу Л (т. е.
выраженная как отношение угла закрутки
32 Г /, + 0.90 х + 0,90 , Зк £ /? I
Е bh* J ’
Di-dr-4
прн полном поперечном защемлении шеек
4+0.96 \/.
Dl-di )\
32 Г /, + 0,90
r.G [ tf — d*
£ b/i» А
(108)
X
кГ~1см~1.
(109)
358
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
к моменту на валу Л), составит
е - --------кГ-t см~\ (113)
2/^Ff
где Гл—радиус шкива А в см; F —
площадь сечения ремня в см2; I — дли-
на ведущей части
I _____В СМ> &— модуль
~~Гт1| \ упругости ремня
{ ?^4 —7 в к Г 1см2.
\ | 7 9. Податливость
— сложных элемен-
Фиг. 44. Ременная пе- тов определяется
редача. экспериментально.
Целью опыта яв-
ляется построение зависимости силы
от деформации Q = /(х) или момен-
та от угла закрутки М= / (<р) при
нагрузке и разгрузке детали ступенями.
Построение выполняется по нескольким
экспериментально полученным точкам,
так как даже при заведомо линейной
характеристике, но при наличии некото-
рого зазора единичный опыт дал бы
существенную ошибку. Податливость
находят, проводя среднюю линию между
кривыми прямого и обратного хода,
что исключает влияние трения.
Схема опыта определяется видом де-
тали и располагаемыми средствами.
Используются лабораторные машины
для испытания материалов и специаль
ныв стенды. При малой жесткости на-
грузку создают грузами. Для получения
момента к концам детали прикрепля-
ются рычаги. Замеры перемещений про-
изводят обычно индикаторами часового
или рычажного типа. Угловые измере-
ния производятся также с помощью
зеркал.
Определение моментов инерции
масс
1. Момент инерции массы цилиндри-
ческого участка вала
6 - -L. 21 - 2^. кГсмсекК (114)
где у —удельный вес в кГ/см2; g —
ускорение свободного падения в см/сек2;
I - длина участка вала в см; d — диа-
метр участка вала в см; т — масса вала
в кгсм~1сек2.
2. Моменты инерции некоторых пра-
вильных геометрических тел приведены
в т. I. стр. 394, табл. 8.
3. Моменты инерции неправильных тел
определяются графическими методами.
Пример. Определение момент» инерции теки
колена нала поршневого двигателя.
Ил центра вала проводят (фиг. 45, а и tf) ряд
цилиндрических сечений и подсчитывают их пло-
ш»ди. Полученные значения площадей откла-
дывают для соответствующих радиусов в виде
кривой I (фиг. 45, я). Затем производят графи
Фиг. 45. Графическое определение момента инер-
ции половины щеки коленчатого вала (41). Поря-
док построения показан стрелками для точки а.
ческое умножение ординат агой кривой / на квад-
рат отношения соответствующих нм радиусов
к какому-либо выбранному радиусу R и получают
кривую II. Порядок графического умножения
для точки а показан на фиг. 43, а стреяками.
Измерив площадь Л, ограниченную кривой II и
осью абсцисс, находят, с учетом масштаба чер-
тежа, значение момента инерции по формуле
(115)
4. Опытное определение моментов
инерции масс
а) Метод крутильных коле-
баний. Для определения момента инер-
ции 0д. относительно оси х, проходящей
через центр тяжести, тело подвешивают
при помощи тросов так, чтобы ось х
была вертикальна, сообщают ему малые
крутильные колебания вокруг этой оси
и определяют период колебаний Гр
затем к испытуемому телу симметрично
РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ НА КОЛЕБАНИЯ
359
прикрепляются две равные дополнитель-
ные массы, величина которых т и рас-
стояние до оси вращения R известны,
и определяют период колебаний Т*
Момент инерции массы подсчитывается
по формуле
= ——----д- кГсмсек2. (116)
т2~ Л
б) Метод качаний. Предвари-
тельно находится положение центра
тяжести тела, затем тело подвешивается
или опирается на призмы так, чтобы
оно могло свободно колебаться, как
физический маятник. При этом изме-
ряются расстояние I от оси качаний до
центра тяжести, пес тела G и период
колебаний Т.
Момент инерции определяется по фор-
муле
в = — — ft кГсмсек-. (117)
л 4т.2 g '
Если центр тяжести тела совпадает с
осью вращения, как, например, у роторон
электрических машин, на шейки вала
ротора надеваются подвески, снабжен-
ные опорными призмами, опорные грани
которых соответственно сдвинуты для
получения расстояния I относительно
оси вала (фиг. 46, в).
<п д')
Фиг. 46. а — вкспернмептальное определение
момента инерции ротора с помощью ножевых
опор: б — ьксперимеитальиое определение мо-
мента инерции с помощью двойного подвеса.
, в) Метод параллельного
подвешивания. Тело подвешивает-
ся на двух или трех тросах одинако-
вой длины, размещаемых симметрично
относительно вертикальной оси колеба-
ний, проходящей через центр тяжести
тела, положение которого предвари-
тельно определяется (фиг. 46, б). Период
крутильных колебаний такой системы
относительно вертикальной оси равен
Z-2rV ^3 сек- (,18а)
где / — длина троса; а —расстояние от
каждого из тросов до оси вращения;
g—ускорение свободного падения; К—
радиус инерции тела.
ех - К» кГсмсек2. (1186)
5. Среднее значение момента инерции
масс кривошипно-шатунного механизма
за один оборот составляет
® + У (тиЛ + тп) X
х(!+^)]*2- (1,9>
где — момент инерции колена в
кГCMcetft-, тШ1 — часть массы шатуна,
отнесенная к цапфе кривошипа, в
кГсекЦсм; тШ2 — часть массы шатуна,
отнесенная к центру пальца или крейц-
копфа; т„ — масса поршня; R — радиус
колена в с.«; I — длина шатуна (между
центрами цапф) в е.«:
«•«i-Tf-; а 20)
~ . (121)
где тш — масса шатуна; 0Ш — момент
инерции шатуна относительно центра
пальца поршня или крейцкопфа. При
Л = 0,35, mwl = 0,втш и тшг “ 0,4/лш;
s 1 2
при у-ОД/Иин-уОТа, И /Им!-у
где s— расстояние от центра тяжести
шатуна до цапфы кривошипа; I — длина
шатуна.
Так как №<4/*, то обычно
н. в*4-0.5№Х
к Гс мсек2, (122)
где G„ — вес поршня в кГ; — вес
шатуна в к Г; g—ускорение свободно-
го падения в см/сек2.
6. Момент инерции гребного винта
кГсмсек2. (123)
Формула (123) отличается от форму-
лы (1186) наличием поправочного коэф-
фициента k. учитывающего массу увле-
каемой винтом воды.
Значения k длл рамичиых винтов
(по В. К. Житомирскому)
Стальной четырехлопастный пиит..........1.35
Бронзовый . 1,30
Стальной трехлопистный ................1,4!»
Бронзовый . 1,40
зм
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
На фиг. 47 показаиы кривые значений
GK2 в тмг для гребных винтов в зави-
симости от диаметра винта в м.
7. Момент инерции распределенной
массы участка вала заменяется двумя
диаметра м (56): 1 — стальные «ишм; 2 — брон-
еовые винты; S— винты с бронзовыми лопастями
и стальными втулками.
ков валопровода
♦иг. 48. Расчетные
схемы систем с зуб-
чатыми передачами.
сосредоточенными моментами инерции
половинной величины, приложенными
на концах.
Приведение моментов инерции рас-
пределенных масс очень длинных участ-
(напрнмер. гребных
валов) приближенно
производится следую-
щим образом.
К сосредоточенным
массам, ограничиваю-
щим рассматривае-
мый участок, прибав-
ляется одна треть мо-
мента инерции части
его, расположенной
между данной массой
и узлом колебаний.
Расположение узла на
участке определяется
предварительно из
расчета упрощенной
схемы рассматривае-
мой системы. При
определении высших
частот собственных колебаний длин-
ного вала указанный способ приведе-
ния не всегда применим (см. формулу
8. Приведение систем с зубчатыми
передачами (фиг. 48, а и б):
1) системе по фиг. 48. а соответству-
ет эквивалентная схема фнг. 48, б, при-
веденная к валу с числом оборотов па,
в которой
01 - 0Д.
(124)
(125)
(126)
(127)
(128)
где 0, и С/ — моменты инерции и жест-
кости в соответствии с обозначениями
на чертеже; па и пь — числа оборотов
в минуту валов а и 6; прн 0; = 0 полу-
чается схема по фиг, 48, а, где
с»°-, ; (129)
2) системе по фиг. 49, а соответству-
ет схема по фиг. 49, б, приведенная к
валу а с числом оборотов п0, в которой
01-9в; (130)
в-в‘(Й)’; (1ад
04 = 0с(-^У; (133)
С, - Q; (134)
(135)
\ па '
с'-е< (.•£)' <136>
Фиг. 49. Рзсчет-
ыые схемы си-
стем с зубчаты»
мн передачами.
Определение частот собственных
колебаний
Крутильные колебания валов с
сосредоточенными массами. Прн
расчете реальная конструкция приво-
дится к динамической схеме, составлен-
ной из сосредото-
ченных масс, со-
единенных упруги-
ми связями.
На фнг. 50 по-
казаны динамиче-
ские схемы стерж-
ней (фиг. 50, а) и
валов (фиг. 50, б)
для продольных и
крутильных коле-
Фнг. 50. Динамические
схемы продольных и
крутильных колебаний.
РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ НА КОЛЕБАНИЯ
36Ь
динамической жесткости (см. стр. 337>
системы, данной на фиг. 53, а, произво-
дится путем последовательного и парал-
баннй. К таким схемам приводится,
например, вал поршневого двигателя
(фиг. 61).
Фиг. БЗ. Днваническм жесткости.
дельного соединения элементов схем»
(фиг. 53, б).
Фиг. 51. Эскиз и расчетная схема аала дизель-
генераторной установки: 1 — поршневая группа!
1 — компрессор; 3 — масса маховика и генератора-
В обозначениях фиг. 50, принятых
прн расчете крутильных колебаний,
уравнение частот (см. стр. 342) для вала
имеет вид
Последовательное сложение динами-
ческих жесткостей D\
Сц —
— С12
0
— Сц
Си + Си — “j®:
0
— С»
Сц +
0. (137)
и D-a дает
I
_L .
Da + D,
К полученной
жесткости па-
раллельно при-
бавляется D2:
—.(138>
На фиг. 52 указаны формулы для
определения частот собственных коле-
баний систем с двумя и тремя мас-
сами.
Соответствие величин для продоль-
ных и крутильных колебаний см
табл. 1.
Уравнение Терских. Уравнеине
Терских ниже получено методом ди-
намических жесткостей. Определение
Оя + -. 1 1 ♦ (139)
ОТ
Жесткость Тю формуле (139) склады-
вается последовательно с Dtf.
и т. д.
Ог. О,
362
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯ
В результате для всей системы полу-
чается "выражение динамической жест-
кости в виде цепной дроби
D-D6 f-j-----------—. (141)
1
1 1
Оы + О4 + ...
Если в формулу (141) подставить зна-
чения
D, = -©,<»*; (142)
П------“ fy-HH (43)
Hi-l-in
и для условий резонанса приравнять
нулю общую динамическую жесткость
D=0, получится уравнение частот,
предложенное В. П. Терских:
D = 0 = —Вв<о2 ц-
1
1
еа>+ -------j—
—+ —------
(144)
Определение частот собственных кру-
тильных колебаний из уравнений частот
Терских (144) производится пробными
подстановками значений «>. Расчеты упро-
щаются благодаря разработанным им таб-
лицам [41].
Выражение (144) для динамической
жесткости системы со многими степе-
нями свободы представляет функцию
частоты <*>, у которой значения 0 = 0 и
О — оо (нули и полюсы) чередуются, как
показано на фиг. 54 [получение D = / (и)
см. также стр. 364].
Динамическая жесткость выражается
также в виде
Для закрепленной системы Н = С,
где С — статическая жесткость на кру-
чение,
С=-^—------. (146)
-mi
Для свободной системы (вал)
Н=-Ув)Шг. (147)
Частоты <«/ (в числителе) являются
резонансными (D — 0), частоты ш* (в зна-
менателе)— антирезонамными(Г) = оо).
При антирезонансных частотах в точке,
лля которой была определена динами-
ческая жесткость, образуется узел коле-
баний. Антирезонансиые частоты равны
резонансным частотам рассматриваемой
системы, закрепленной в данной точке.
Пример. Определение динамической жест-
кости системы (фиг. 55) относительно точки /
и точки 2t
~ Di + -j—-—j- " + -]----—।—;
£>, С,,
Оц “ D«+ -j—-—р — — лцшЧ- -j—-—j—
Резонансные частоты:
D|—0; £>ц —0;
Антирезоиансиые ча-
стоты:
О, —оо; £11;
1 * mt
Dll-oo;
Фиг. 55.
Для систем со значительным числом
степеней свободы, в особенности если
система, частоты собственных колебаний
РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ НА КОЛЕБАНИЯ
363
которой требуется определить, состоит
из двух сопрягаемых вместе разнород-
ных частей (например, вала авиационного
двигателя и винта), причем параметры
только одной из частей варьируются
(например, винта), целесообразно вос-
пользоваться методом пересечения ха-
рактеристик', по атому метому строит-
ся кривая значений динамической жест-
кости D|=/(o>) одной части системы
(например, вала двигателя) и на том же
графике, но с обратными знаками нано-
сятся кривые динамической жесткости
другой части системы (винта D|t). Точки
пересечения этих кривых соответствуют
значению суммарной динамической жест-
кости:
Di+D11 = D = 0. (148)
т. е. резонансным частотам объединен-
ной системы (фиг. 56).
Метод остатка основан на том,
что при частотах собственных колеба-
ний системы остаточный момент за по-
следней массой равен нулю.
Расчет системы (фиг. 57, а) сведен
в табл. 5.
Фиг. S6. Определение частоты собственных коле-
баний системы вал — винт по кривым динами-
ческой жесткости вал» (сплошная) • н винта
(пунктир).
Таблица S
Расчет методой остатка
Л Параметры системы U-e приближение »• - 1,7-10* 1-е приближение ш» - 2,4*10» 2-е приближение Ш| = 2.ЫО*
1) 1 в кГемсек' а1 - О/е/Ш* а1 - а1 - <т Д~*
2) /(/+» 1 °1+! -£а(е(- - Еа^/и’ а(-н ~а1 “ /
С< W+D в ЦкГсм
С1 H + D c<U4-t) C<U+ О
1 2 3 4 8 в 7 8 9 1 1.2 2 3,3 8 8,4 4 4.5 5 15 5.10-6 10 3,03.10-8 2 4.10-6 2 440-6 2 t И g 8 Ж 8 о - - о’ С О О О N 1 1 I 1 1 1 1 1 —25.5.10* 4- -25.5-10* 4,68-10* -20*82-10* 3,08-10* -17*4-10* 5,50-10* —12, ^4-10* 7,18-10* Я—1,07-10* 1.0 —1,80 -0,80 -0,51 -0,31 -0,42 -1,73 -0,068 -1,818 -36,0-10* -36,0-10* 19,2.10* -18.8-10* 6.29-10* -10,51-10* 8,30.10* -2,21-10* 8,72-10* ,51.10* 1.0 -1,575 -0,575 -0,585 -1,163 -0,586 -1,749 -0,292 -2,041 /?-1 -3I.5-10* -31,5-10* 12,07-10* -19,43-10* 4.78-1O* -14,65.10* 7,34-10* -7,34.10* 8.57-10; .27-10*
Примечания: 1) — обозначения величии для нечетных строк таблицы; 2) — обозначения
величии для четных строк таблицы. Последовательность вычислений показана стрелками.
зт
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ
Здесь / — порядковый номер массы;
0, — моменты инерции масс системы
в кГсмсек* Ct — жесткости участков
в кГ1см; w — частота крутильных коле-
бании в 1/сек, которой необходимо пред-
варительно задаться; at — относительные
амплитуды углов закрутки; R — остаточ-
ный момент в кГсм.
Задавшись единичной амплитудой за-
крутки первой массы at = 1, определяют
Фиг. 57. а — расчетная схема системы иа пяти
масс; й — диаграмма остаточных моментов.
последовательно но ходу стрелок табл. 5
значения величин в строках, соответ-
ствующих первой массе и первому
участку вала, и получают относительную
амплитуду второй массы а* Исходя
из последней, находят значения п8
и т. д.
В конце расчета получают значение
R — остаточного момента сил инерции;
последнее при «, равном частоте соб-
ственных колебании, должно быть равно
нулю.
Значение R 0 означает, что в табл. 5
необходимо изменить величину <> и по-
вторить расчет. Расчет, таким образом,
повторяется для ряда пробных значений
частоты ш.
Для нахождения точных значений ча-
стот собственных колебаний производит-
‘ся интерполяция с помощью построения
диаграммы остаточных моментов, кото-
D
рая представляет зависимость -i — /(«*).
со®
Подобная диаграмма схематически
изображена на фнг. 57, б. Как видно из
чертежа, кривая имеет ряд пересечений
с осью абсцисс, соответствующих зна-
чениям частот собственных колебаний.
Для выяснения вида кривой вычисления
ведутся с помощью логарифмической
линейки, а вблизи значений искомых
частот более точно — на арифмометре.
При расчете по методу остатка в ка-
честве пробных значений ы нужно за-
даваться приближенными значениями
частоты собственных колебаний, для
чего используются решения упрощенных
схем (см. фиг. 52). Приближенное зна-
чение основной частоты собственных
колебаний системы (фиг. 57, а) получено
объединением элементов 0г, 0,, в, и 0j
в один 0О, приложенный в их общем
центре массы.
Для системы из двух масс
(Во + ji) _ ! 70.104
Последовательные приближения можно
получить и чисто аналитическим путем.
При этом последующее приближение
находится по формуле
л
2 Си-1У — а'-У )г
“о----------7------------• (149)
которую
расчета для
в
подставляются данные из
________..... предыдущего приближения.
Для приводимого примера (фиг. 57)
получается
“(П “ 6’S°‘ ” '2,38‘ ’°* я 2,4•10*!
~ 2-08-,0‘«2-1 •,0*;
W 37,42
J 7, 1 i • I О® Q ЛА | Л.
“13)----ЗМ^"2,02НН:
“(2) W “(ЗГ
Между остаточным моментом R и
динамической жесткостью для конца
системы Dn имеет место соотношение
оя - у-. (150)
"л
где а„ — амплитуда перемещения послед-
ней массы, так что значения R\, полу-
ченные при различных частотах, можно
использовать для построения зависимо-
стей D — f («•). требующихся при рас-
чете по методу пересечения характе-
ристик (см. фнг. 56).
РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ НА КОЛЕБАНИЯ
365
Расчет разветвленных си*
с т е м по методу остатка. Для
определения частоты собственных коле-
баний разветвленной системы (фиг. 58),
имеющей п ветвей, сопряженных вточке у,
расчет для каждой из ветвей системы (/).
(2), (У).(л) ведется в табличной форме,
причем необходимо задаться единичными
Для стержня (фиг. 59), заделанного
одним концом и несущего на другом
конце сосредоточенную массу,
fHg3=l (154)
а
Фиг. 58. Расчета*! схем* системы
с зубч*той передачей.
где а — отношение массы, сосредото-
ченной на конце стержня, к массе
стержня.
Решение уравнения (154)
производится графическим
путем.
Значения наименьшего
корня уравнения (154) — р1е
соответствующего основной
частоте колебаний системы,
даны в табл. 6.
Фиг. 59.
Таблица в
относительными амплитудами углов за-
крутки для крайних масс (В^^, B(2)i,
в0)1. .... 6(„)|):
в(1) 1“в(2)1и<1(!)1“',,“4(1)1='' t'5*)
Значения наименьшего корня ураяиення (154)
В результате для принятой расчетной
частоты w получаются значения относи-
тельных амплитуд в точке сопряжения
e<2)r в(3)г аО)у н значсния
остаточных моментов (/?(ij. Я(3)..
Я(Л}). Принятая частота ш будет равна
частоте собственных колебаний системы
в том случае, если выполнено условие
" о «
S-^-“SD(O-0- <’«)
“ “10 У
Продольные и крутильные колеба-
ния стержней постоянного сечення
с распределенной массой. Про-
дольные колебания. Уравнение
колебаний стержня постоянного сечення
было рассмотрено на стр. 342.
Частоты собственных продольных
колебаний призматического стержня оп-
ределяются по формуле
«к-1. (153)
где £—модуль продольной упругости
материала стержня в кГ/см1; g— уско-
рение свободного падения в см/сек*;
• у — удельный вес материала стержня в
кГ/см*, I — длина стержня в с.м; р —
корни уравнения частот.
0,01
0,06
0,10
0,20
0.30
0,40
0,50
0,10
0.22
0.32
0,43
0.52
0,59
0.65
0.60
0.70
0.80
0,90
1,00
1,50
0,70
0.75
0,79
0,82
0,86
0.98
2.0
3,0
4,0
5,0
6.0
7,0
1,11 8.0
1.20 9,0
1.27 10,0
1.32 15,0
1,37 20,0
1,39 оо
1.40
1.41
1.42
1.47
1,53
1,57
В общем случае стержня, несущего
на концах сосредоточенные массы т, и
/н2. частоты собственных продольных
колебаний определяются по формуле
(153), причем значения р находятся из
уравнения
tgp- ««j
а1а2Р*-I
где сц и aj — соответственно отношения
сосредоточенных масс и т2 к рас-
пределенной массе стержня.
Определение частот собственных про-
дольных колебаний призматического
стержня, без сосредоточенных масс,
производится в зависимости от условий
закрепления концов последующим фор-
мулам:
для стержня, имеющего оба конца
свободными или жестко закрепленными,
(156)
3G6
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
для стержня с одним свободным и дру-
гим закрепленным концом
*(2fe —1)
21 Гу*
где k—целое число, указывающее по-
рядок частоты собственных колебаний,
остальные обозначения те же, что и в
формуле (153).
Крутильные колебания. Оп-
ределение собственных частот крутиль-
ных колебаний длинного стержня или
вала при различных условиях закрепле-
ния его концов и различных соотноше-
ниях моментов инерции масс, сосредото-
ченных на его концах, производится ана-
логично определению частот собствен-
ных продольных колебаний по форму-
лам (153), (156) и (157). При этом форму-
ле (153) соответствует формула
сек-», (158)
где G—модуль упругости материала
вала при сдвиге в к1~1смг; I — длина
вала в см\ ₽—корень уравнения частот,
определяемый из уравнений (154), (155)
в зависимости от условий на концах
вала.
В этих уравнениях « для данного
случая — отношение моментов инерции
массы, сосредоточенной на конце вала,
к моменту инерции массы вала.
Поперечные колебания стержней
и критические скорости валов. Опре-
деление частот собственных поперечных
колебаний стержней и критических ско-
ростей валов производится по одинако-
вым формулам. Некоторое различие,
связанное с действием гироскопических
моментов, показано ниже, прн рассмо-
трении влияния различных факторов
(стр. 374).
Критическими называются скорости,
при которых движение вала стано-
вится неустойчивым и возникают боль-
шие поперечные отклонения от поло-
жения равновесия, как при резонансе.
Такие состояния получаются при совпа-
дении угловой скорости вала с угловыми
частотами его собственных поперечных
колебаний.
Критическая скорость вала с насажен-
ным на него неуравновешенным диском
определяется из условий равновесия
центробежной силы, под действием ко-
торой прогиб вала у будет увеличи-
(157)
ваться, и восстанавливающей силы
упругого вала, т. е.
m (у + е) 2г — Су, (159)
откуда е2» (159а)
<о2 — 22 ’ *Р
где « — эксцентриситет диска,
(160)
т. е. критическая скорость равна часто-
те собственных колебаний вала.
Движение оси вала на критических
скоростях можно представить как ре-
зультат сложения двух поперечных ко-
лебаний этого вала, взаимно перпенди-
кулярных в пространстве и сдвинутых
по фазе на 90°. При скоростях выше
критической движение вала становится
устойчивым, и при больших скоростях
гибкий вал с вращающимся ротором са-
моцентрируется. т. е. вращается вокруг
оси.проходящей через его центр тяжести.
Для устойчивой работы вала между
его рабочей угловой скоростью 2 й
критической скоростью шкр должны быть
выдержаны определенные соотношения,
а именно:
1) при работе в докритнческой зоне
-! > 132;
2) при работе в надкритической зоне
1,4»| < 2 < 0,7<вц.
В однодисковых роторах с гибким
самоцентрнрующимся валом принимает-
ся 2 — (5 ч- 7) о»,.
Работа вала при скоростях выше
критической требует обеспечения пере-
хода через критическую скорость, для
этого используются различные меры,
например увеличение скорости прохож-
дения зоны критических оборотов при
разгоне вала. Такой метод обычно при-
меним лишь к малым агрегатам с точно
отбалансированными роторами. Наиболее
общим методом является введение демп-
фирования в систему вала.
Основным источником демпфирования
валов являются подшипники, демпфиро-
вание в шарикоподшипниках значитель-
но меньше, чем в подшипниках сколь-
жения. где источником потерь энергии
является работа выдавливания масла.
Применение шарикоподшипников для
быстроходных валов требует более тща-
тельной балансировки или установки
РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ НА КОЛЕБАНИЯ
367
подшипника на упруго-фрикционной
опоре, поглощаю шей энергию при коле-
баниях вала.
Определение частот поперечных
колебаний стержней. Определение
частот собственных колебаний невесо-
мых стержней с одной сосредоточенной
массой производится по формулам (5),
(32) и (33). Значения жесткостей для
стержней постоянного сечения при раз-
личных условиях закрепления приведены
на фиг. 30.
Для невесомого стержня или вала,
несущего несколько сосредоточенных
масс, низшая угловая частота собствен-
ных колебании может быть приближен-
но найдена по формуле Дункерлея
Частоты собственных поперечных
колебаний для стержней постоянного
сечения с равномерно распределенной
массой определяются по формуле
X® /~~ЁТ
vсек-1* °fi4)
где £ — модуль продольной упругости
в кГ)смг; J — момент инерции попереч-
ного сечения стержня в см4; I—длина
стержня в см; ? — масса единицы длины
стержня в кГсекг1см*; Ах—постоянная
для собственных колебаний порядка k.
Значения постоянной А и уравнения
частот /(А) = 0 для разных случаев
закрепления приведены в табл. 7.
Для жестко защемленных консолей с
сосредоточенной массой т на конце и
с сосредоточенной массой посередине
т
где а =
где л*/ — угловые частоты собственных
колебаний стержня, несущего только
одну массу m((/= 1, 2, 3 ...), или
зависимости Ав—/(а),
'?----------.
(162)
где yCmt — статический прогиб в точке
нахождения массы mt под действием ее
веса для стержня, несущего только
одну указанную массу.
Применение формул (161) и (162) для
определения низшей частоты собствен-
ных колебаний стержня или вала с не-
сколькими сосредоточенными массами
приводит к правильным результатам
прн условии, что формы упругих линий
прн колебаниях для каждой из состав-
ляющих систем с одной массой близки
к форме упругой линии колебаний за-
данной системы.
Частоты собственных колебаний неве-
сомой двухопорной балки, нагруженной
равными массами на равных расстояни-
ях одна от другой, определяются по
формуле |47]
(163)
где п — количество масс; I — расстояние
между массами в см ; k—порядок часто-
ты колебаний; т— сосредоточенная
масса.
Уравнение поперечных колебаний
стержня постоянного сечення рассмо-
трено выше, на стр. 342.
приведены на
фиг. 60 для низ-
шей частоты
собственных ко-
лебаний. Там
же приведена
за в иси мость
*«-/(«) Для
двухопорной
балки с сосре-
доточенной
массой по сере-
дине пролета.
Кривые отмече- .
ны соответству-
ющими им схе-
матическими
изображениями
стержней.
Значения А]
для низшей ча-
стоты некото-
рых многоопор-
ных балок и ва-
лов постоянно-
го сечення мо-
гут быть полу-
чены из фиг. 61,
на которой изо-
бражены кривые
О f t SAfg
Фиг. 60. Зависимость X от я
для консоли с сосредото-
ченной массой на коние,
консоли с сосредоточенной
массой посередине и двух-
опорной балки с массой
посередине. Значения X от,
ложеиы по горизонтали,
а значения а отсчитываются
с помощью лучей.
значений Л, для раз-
личных соотношений размеров проле-
тов /j и /«. Здесь А] приведено к дли-
не />. т. е.
£
4
EJ
---- сек-1.
f
(165)
368
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ
Значения постоянно* 1 уравнения часто!
•X Й Г* соа X ch X — 1 — 0 •
*г 14,15
а « 1 10.996
сч § г-
•— 4,730
« 2 *о 16,49 i а 1 э £ sin X = 0 1
’Г 13,35 4 Л <5 В
Шарнир» со 10,21
е» 690'1
- В ГЗ
Скользящий U9 14,93 1g X + th X = 0 V о> |е» и -1" cos 1 —0 £ О 1 «ч а
«Г 11,79 4!
о> 8,64 V из [сч Л
сч В LO и со |еч л
- R сч И |n К
14,137 соз X ch 1+1-0 16,4» о 1 и а । -t э 14,93 1 г< а + «ч Я. t* cos X ch X—1«=0
емаешый СО 996'01 998*1 SE'El IZ'Ot R S 10,996 14,15
3 е « СЧ К8» 690'1 из 7,853
- 1,875 В ео s 4,730
/ — X ВИ -Ж<>9ХЭ П9И0Я ! А 1 *s At «А ? S * и< f
1 « и я — Коней стерж- ня с — 0 Свобояиый 1 Шарнирный Скользящий 1 1 11 V СП
РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ НА КОЛЕБАНИЯ
.469
Методы расчета частот собственных
колебаний стержневых систем приведе-
ны в работах (1], (5], [6], [10], [47]
и др.
2 2 / ? Л
♦иг. 61. Зависимость =<"./[ у/ от —j—
лла двухпролстных балок постоянного сечения.
Поперечные колебания стержней
н критические скорости валов пере-
менного сечення. Для определения
частот собственных колебаний стержней
и критических скоростей валов пере-
менного сечения применяется энергети-
ческий метод и методы последователь-
ных приближений.
Существо указанных методов рас-
смотрено выше. стр. 343.
Энергетический метод. В ка-
честве расчетной упругой линии задает-
ся упругая линия, полученная стати-
ческим нагружением рассматриваемой
системы.
Основная частота собственных коле-
баний стержней или валов переменного
сечення определяется по формуле
р (х) у (х) dx
Р (х)у«(х) dx
(166)
где у (х) — ординаты прогибов упругой
линии стержня в см под действием ста-
тически приложенной распределенной
24 Том з
нагрузки р (х) в кГ1см; f (х) — погонная
масса стержня в кГсекшем*.
Приближение по приведенной выше
формуле будет получаться тем боль-
шим. чем ближе совпадает форма при-
нятой статической упругой линии изги-
ба с формой упругой линии собствен-
ных колебаний. Хорошее совпадение
для определения основной частоты соб-
ственных колебаний дает упругая линия
от равномерно распределенной нагруз-
ки />(х) = const или от нагрузки соб-
ственного веса. Можно исходить также
из упругой линии изгиба от сосредото-
ченных сил. Точность расчета в этом
случае будет зависеть от выбора места
расположения сосредоточенных сил.
Если последние приложены в конце
консольных и в середине двухопорных
пролетов, ошибка в определении первой
частоты собственных колебаний нс пре-
вышает обычно 2—3°/о.
При определении исходной упругой
линии для многоопорных балок необхо-
димо в смежных пролетах изменять
знак распределенной нагрузки или
сосредоточенных сил.
Если, кроме распределенной массы,
имеется также ряд сосредоточенных
масс /п,, то в знаменателе формулы
(166) прибавляется под корнем член
п
2 У2 (х/) где У ~ ординаты уп-
।
ругой линии для точек, в которых рас-
положены соответствующие массы mt.
Пример. Расчетная формула дл» опреаелеини
нерпой частоты собственных колебаний консоли
при использовании упругой линии от сосредото
чинной силы иа конце имеет следующий вил:
f l (167)
л/ У ₽ (X) у* (X) dx
где Р (I) и у (/) — соответственно статическая сила
и прогиб на конце консоли.
Дли консоли с сосредоточенной массой т (I)
на конце
/ Р<ПУ(П ,1ЯД4
I ₽ (X) У* (X) dx 4- т (Л у (0
Пример. Определение осиопной частоты соб-
ственных колебаний консольного стержня пере-
менного сечения (например, турбинной лопатки)
по формулам (166). (|67).
Данные расчета стержня приведены в табл. 8,
1 (0)
причем j -------отношение момента инерции
сечения и месте заделки (X «• 0) к моменту ннер-
370
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ
Таблица 8
ь"
Близкий результат получается и в случае ис-
пользования для того же примера упругой липин
от равномерно распределенной нагрузки:
Я-
О'
Q
I?
0,0
0,1
0,2
0,3
0.4
0,5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1,000
0,950
0,895
0,841
0,790
0,785
0,683
0,630
0.578
0,525
0,473
1.000
1,115
1.250
1,412
1.606
1,847
2.143
2.616
2.995
3.626
4.477
0,000
0,005
0,020
0,045
0,080
0,124
0,178
0,241
0,310
0.386
0,465
0,00®
0,00®
0,0004
0,0017
0,0051
0,0113
0,0216
0,0366
0,0555
0,0782
0,1024
0,000
0,002
0,009
0.020
0.035
0,051
0,071
0,093
0,116
0,138
0,162
о.оосю
0,0000
0,0001
0.0003
0,0010
0,0019
0,0035
0,0055
0,0077
0,0100
0,0124
Р'‘‘ /Я
ЁЛ0),Вр
МО)
1Ар
£7(0)
₽(0)
(169г)
ции сечения х, I — длила консольного стержня;
р (х)
-r — отношение погонной массы стержня для
сечения х к погонной массе п месте заделки.
DP (Jf> “ *Р ***
статической упругой линии
силы; Dp{x)-^ypM,
иаты статической упругой линии от
равномерно распределенной нагрузки.
Определение интегралов в форму-
лах (167) и (166) произведено числен-
ным путем по формуле трапеций.
В данном примере при 10 участках
f 7$Г1>,(х,Лг“'Пг['Т® +
Ур <ж> — ординаты
от сосредоточенной
СЛС Ур (л) — ордн-
Другой вариант энергетического ме-
тода используется в тех случаях, когда
нет заранее определенной статической
упругой линии, а известна форма соб-
ственных колебаний для системы, ана-
логичной рассматриваемой по условиям
закрепления и сопряжений, но имеющей
стержень постоянного сечения и равно-
мерно распределенную массу.
При этом угловая частота Собствен-
ных колебаний определяется по фор-
муле
“1 <
j£J(x) у*г (х)
. (170)
п
р (х) V* (х) dx + Vm/y2 (х,)
О’(0,1)+*^ О» (0,2) +
1А; (169а)
где Е — модуль упругости в кГ/смг;
J (х) — момент инерции сечення в см*;
у (х) — ордината упругой линии колеба-
ний аналогичного стержня постоянного
сечения с равномерно распределенной
массой.
налоги «о
D (л) dx - 1В.
(1696)
Пример. Формы колебаний двухопорной балки
постоянного сечения с равномерно распределен-
ной массой представляют собой синусоиды
7* <х) “ утад ,|п *"
<1П>
Иа табл. 8сл«дует: М„-0,02616; 1В -0,0615;
1А - 0.00362. Р
В СЛУ'
точенной
где * — 1, 2, 3, ... , или, если принять Ути
ой линии от сосреао-
иа конце.
р(1)
1Л
Р (0)
УХ(Х)- sill *к
(П2>
При учете осевых центробежных сил
для колебаний вращающегося стержня
7 max = l^max + цс
Н
(173)
(169.)
где Н— см. формулу (53); см. фор-
мулу (54); 1ГЦ<, —работа центробежных
РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ НА КОЛЕБАНИЯ
371
сил при перемещении стержня
от среднего в крайнее положе-
ние;
I
(pWr^dx, (174)
ГаЛлица 4
р (х) — погонная масса стержня;
г—г0+ х — расстояние сечення
от оси вращения. — А —
~ у • » 4 — перемещение
точки приложения центробеж-
ной силы по ее направлению;
х
A--^fyz’dx. (175)
3 а Ъ 'а с с - . 1 3 • t а ж * кГ У« п см У
1 12 0.0122 201 1.42 1,73 0,ОС675 210,5
2 42 0,0429 322 2,14 9.2 0,0103 208
3 42 0,0429 322 2,35 10.1 0,0114 206
4 50 0,0510 322 2,52 12.65 0,0122 206.3
5 52 0,0530 322 2.61 13,9 0,0127 207
6 61 0,0612 322 2.65 17,П 0,0128 207
7 61 0,0612 322 2,60 15,9 0,0124 209,2
н 60 0,0612 322 2.47 15.1 0.0118 209.2
9 66 0,0662 322 2.27 15.1 0.0108 210
10 70 0,0714 322 2,00 14,3 0,1X1945 212
11 10 0,0102 201 1.35 1.4 0.0063 214
12 40 0,0408 87,6 -1,56 6.3 0,0072 215
Откло-
нение
В "/□ от
'₽
1,6
1,5
-1.2
1,2
О
О
о
1
2
2.5
Метод последов ат ел ь-
выт приближений (см. выше,
стр. 344). Расчет критической скорости
(или частоты собственных колебаний)
вала переменного сечения, несущего ряд
масс, производится следующий образом
Прежде всего строится статическая
упругая линия вала от действия сил
веса, для чего обычно пользуются гра-
фическим методом веревочного много-
угольника. Затем, задавшись какой-ни-
будь угловой скоростью вращения вала
(или частотой) Йо, определяют центро-
бежные силы (силы инерции) масс си-
стемы. исходя из прогибов от сил веса.
Для массы I центробежная сила будет
равна
F! — "ЧУ кГ> (176)
где т, — масса в кГсек21см; у — орди-
ната упругой линии изгиба от веса в см;
С —угловая скорость вала, задаваемая
обычно = 1 сек_1 или числом, крат-
ным 10.
После этого строят упругую линию
от центробежных сил с ордината-
ми уш. Если форма полученной таким
образом упругой линии близка к форме
упругой линии от сил веса, то первую
критическую скорость определяют по
формуле
(уг) ’ (177)
где |~) —среднее значение из близ-
''ср
кнх между собой отношений ординат
упругих линий у и у» для ряда точек
вала.
24*
Пример. Как видно из табл. 9, для примера
вала фиг. 62 среднее значение отношений "у- j
равно 209,5, причем отклонение от вето для от-
Фиг. 62. К примеру расчета первой критической
скорости лвухопорного вала: а — статическая
упругая линия; 6 — зпюра изгибающих моментов;
« — упругая линия от центробежных сил.
дельных точек не превышает В приведен-
ном примере принято в0« 10 сек-1. Таким обра-
зом, здесь
ш, = 10 /209,5 * 144,5 1/сек.
Если расхождение между заданной и
полученной упругими линиями полу-
чается значительным, то следует, приняв
полученную упругую линию в качестве
исходной, повторить расчет в описанной
372
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
выше последовательности. Уточненное
значение для частоты собственных коле-
баний или критической скорости по
данным предыдущего приближения дает
формула
%>< >_t)---------,----------(178)
где т, — массы системы в кГсекшем;
у(. (л 1) — ординаты упругой линии, ко-
торая предварительно задается для пер-
вого приближения или получается из
расчета предыдущего приближения, в
сж; yt |я) — ординаты упругой линии, по-
лученной от центробежных сил или сил
инерции при угловой частоте или угло-
вой скорости вращения вала
Определение высших частот попе-
речных колебания. Если положение
узлов колебаний, т. е. точек, неподвиж-
ных при данной форме колебаний, из-
вестно, например, в силу симметрично-
сти системы, задача сводится к опреде-
лению основной частоты или первой
критической скорости измененной си-
стемы, имеющей дополнительные опоры
в узловых точках.
При неизвестном заранее положении
узловых точек необходимо им задаться,
руководствуясь правилом, что если к си-
стеме присоединить п добавочных опор,
то основная частота такой видоизменен-
ной системы при изменении положения
опор будет максимальной прн совпадении
добавочных опор с узлами п-го оберто-
на. а этот максимум будет равен ча-
стоте л-го обертона первоначальной
системы.
При расположении иа валу постоян-
ного сечения (фиг. 63) дополнительной
Фиг. 63. Изменение частоты собствен-
ных колебаний вала постоянного сечения
я зависимости от положения дополнитель-
ной опоры.
опоры непосредственно у левой основной
опоры (/| — 0) первая частота собствен-
ных колебаний вала будет wt, а форма
колебаний будет иметь вид кривой (п).
При различных положениях дополни-
тельной опоры между основными опо-
рами первая частота собственных коле-
баний вала будет изменяться взаиисимо-
сти от отношения -j-, причем при уве-
личении этого отношения от нуля
частота собственных колебаний увеличи-
вается до некоторого максимума, после
чего начинает уменьшаться. Максималь-
ная величина частоты соответствует
первому обертону или'второй критиче-
ской скорости вала, а величина /|, при
которой она получается, соответствует
расположению узла колебаний. Как видно
из фиг. 63, небольшая ошибка в оценке
места расположения узла приводит лишь
к незначительной погрешности в опре-
делении частоты или критической ско-
рости. причем эта ошибка всегда будет
в сторону преуменьшения
Для того чтобы выбрать положение
дополнительной опоры возможно ближе
к узлу колебаний, следует руководство-
ваться тем соображением, что опорная
Е:акция в ней должна быть равна нулю,
ля простоты стержень или вал нагру-
жается равномерно распределенной на-
грузкой, претерпевающей разрыв н ме-
няющей направление в месте установки
дополнительной опоры.
Высшие частоты собственных колеба-
ний стержней переменного сечения при-
ближенно определяются по формуле
где X*. определяется для стержня посто-
янного сечения, аналогичного рассматри-
ваемому по условиям закрепления и
сопряжения (см. табл 7).
Влияние различных факторов на ча-
стоты поперечных колебаний стерж-
ней и критические скорости валов.
Влияние податливости опор
Выше принималось, что опоры являются
абсолютно жесткими. Податливость опор
приводит к понижению частот собствен-
ных колебаний.
Пример. Если для системы, изображенной
на фиг. 64, жесткости обеих опор в плоскости
колебаний не равны между собой и составляют
каждая С и , а жесткость стержня, опреле
РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ НА КОЛЕБАНИЯ
373
ленная в соответствии с фнг. 30, составляет Cj,
то общая жесткость системы равна
где
(180а)
х
S. с°
la + W
(1806)
Отношение частоты собственных колебаний
стержня, определенной с учетом податливости
Фиг. М. Схема к
примеру учета
жесткости опор.
Фнг. 65. Поправка иа
жесткость опор.
опор, к частоте собственных колебаний, опреде-
ленной без учета мой податливости, составляет
Зависимость (181) изображена на фнг. 65.
Влияние заделки. На величину
частоты собственных колебаний консоль-
ного стержня значительное влияние
оказывает неполная жесткость заделки.
Для очень коротких лопаток паровых
турбин снижение частоты собственных
колебаний из-за неполного защемления
достигает 40—50%.
В расчет обычно вводится дополни-
тельная фиктивная длина б/, учитываю-
щая заделку:
б/ - (0,15 -+ 0.4) Ь, (182)
где b — ширина лопатки.
На фиг. 66 показана экспериментально
полученная А. 3. Шемтовым для одного
из типов заделок турболопаток зависи-
мость — — / ( — Y Здесь — — отно-
“л \ Р / “р
шение частоты собственных колебаний,
полученной экспериментальным путем,
к расчетному значению для абсолютно
жесткой заделки; у — величина, харак-
теризующая гибкость стержня — отно-
шение свободной длины к радиусу инер-
ции его сечения.
Если турболопатки соединены в пакет
с помощью бандажа или связной прово-
локи, то жесткость заделки бандажа
(или проволока) повышает частоту ко-
Фиг. <56. Влияние жесткости заделки,
лебаний. а масса бандажа снижает ее.
Расчет пакета см. (23] и (49).
Влияние поперечных сил.
Учет влияния поперечных сил имеет
значение для коротких стержней, а для
стержней, у которых размеры попереч-
ного сечения малы по сравнению с дли-
ной, — только при определении частот
собственных колебаний высших поряд-
ков, когда между узловыми поперечными
сечениями заключаются сравнительно
небольшие участки.
Пример. Влияние поперечных сил для кругло-
го вала постоянного сечении показано на фиг. 67, а.
Здесь представлена алпнскмос<ь — » / — j прв
различных значениях где — — отношение ча-
стоты собственных колебаний/ определенной без
Фнг. 67. а — поправка иа влияние поперечных сия;
б — схема к примеру учета влияния поперечных
сил.
учета поперечных сил, к частоте, определенной
I
с учетом этих сил; — отношение длины к лиа-
а
метру нала; <р — -у — отношение размеров по
фиг. 67, в.
Влияние статически прило-
женной продольной силы. Для
374
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
низшей частоты собственных колебаний
•то влияние учитывается формулой
^ = <^1 (183)
где <лПр—частота собственных колеба-
ний при наличии про- —«
дольной силы; «о— ______* = / .
частота собственных ш /
колебаний при от- “ /
сутствии продольной I / ,
Р /
силы; Д'—‘-д----от- /
Икр « Г
ношение продольной г
силы к критической
силе для продольного изгиба в пло-
скости колебаний. При растягивающей
силе под корнем берется знак плюс,
при сжимающей — знак минус.
Для высших частот собственных ко-
лебаний влияние продольной силы умень-
шается:
(184)
где к — порядок частоты.
Частота собственных колебаний вра-
щающегося стержня (например, лопатки
турбины или компрессора) возрастает
вследствие растяжения от центробежных
сил. а именно:
<%, " “ + (185)
где — частота во вращающемся, а
ш—в неподвижном состоянии; Q—угловая
скорость вращения; В—коэффициент.
По Л. А. Шубенко, для основных ко-
лебаний лопаток постоянного сечения
Dtp
В-0.8-^ — 0.85, (186)
где Dcp — средний диаметр диска; Z —
длина рабочей части лопатки.
Влияние инерции поворота
масс. Момент от сил инерции поворота
какой-либо массы системы, возникающий
вследствие поворота сечений при попе-
речных колебаниях, равен
М,- (187)
где О/ — экваториальный момент инерции
массы I вокруг оси поворота в кГсмсек*
ш — угловая частота колебаний в 1/сек;
р — амплитуда угла поворота.
Момент от сил инерции поворота масс
увеличивает изгиб, т. е понижает ча-
стоту собственных колебаний.
Отношение частоты собственных ко-
лебаний с учетом инерции поворота
к частоте собственных колебаний, опре-
деленной без учета инерции поворота,
равно
___________!_________________ (188)
О (х) у'1 (х) dx + У 0(у'* (х/)
-___________1______________
I п
f Р (*) Уг (X)dx 4- У (xt)
5 i
где, кроме обозначений, приведенных на
стр. Зо9, 0/ — моменты инерции сосредо-
точенных масс относительно осн пово-
рота в кГсмсек*; в (х) — момент инерции
распределенной массы стержня относи-
тельно оси поворота на единицу длины
в кГсек’-', величина у'(х) для малых
колебаний принимается равной ампли-
туде угла поворота.
Так как в формулу (188) входят зна-
чения не только ординат упругой линии,
но и углов поворота, то для правильного
учета влияния инерции поворота необ-
ходимо. чтобы принятая упругая линия
хорошо совпадала с формой собствен-
ных колебаний.
Влияние гироскопических
моментов масс. Гироскопический
момент массы диска, вращающегося
вместе с валом, возникающий при откло-
нении осн вращения, равен
Mi — (0р/2 — #/«%) —
-6/(?(й-1)«ф|. (189)
где 0р/— полярный момент инерции
массы / вокруг оси вращения вхГсжсек*;
qt — -g-; <>( — угловая скорость пре-
цессии, т. е. вращения плоскости изо-
гнутой оси вала; Q — угловая скорость
вращения вала; h — [ср. с форму-
лой (187)).
Основное практическое значение имеет
положительная синхронная прецессия
h — 1, т. е. когда угловая скорость пло-
скости изогнутого вала равна по вели-
чине и совпадает по направлению с
угловой скоростью вала. Гироскопи-
ческий момент в этом случае уменьшает
изгиб вала, т. е. повышает критическую
скорость. При наличии возбуждающих
сил соответствующей частоты возможна
РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЯ НА КОЛЕБАНИЯ
375
также отрицательная синхронная пре-
цессия, т. е. вращение плоскости изо-
гнутого вала с угловой скоростью, рав-
ной по величине и противоположной по
направлению угловой скорости вала.
Прн этом гироскопический момент какой-
либо массы будет равен
М,-----+ D“s?. (190)
В этом случае гироскопический эффект
понижает критическую скорость вала.
В некоторых случаях проявляются и не-
синхронные прецессии й =#= 1, вызывае-
мые гидродинамическими силами, тре-
нием, а также внешними вибрациями.
Отношение критической скорости вала
с учетом гироскопического эффекта
к критической скорости, определенной
без его учета, равно:
при положительной синхронной пре-
цессии
Значения постоянной а для круглой
мембраны приведены в табл. 10, где л —
число узловых диаметров, а л — число
концентрических окружностей, которые
являются узловыми линиями при данной
форме колебаний (включая контур за-
делки).
Таблица 10
Значения а
Число узловых окруж- ностей 3 Число углов 4X диаметре» а
и 1 2 3
1 4,261 6,792 9.102 11,306
2 9,784 12,436 14,919 17,299
3 15,339 18.031 20,596 23,072
4 20,901 23.614 26.226 23.756
Обозначении в уравнениях (191) и (192)
те же, что и в (188), (189).
Колебания мембран, колец,
пластинок и быстро вращающихся
дисков
Мембраны. Частота собственных
колебаний мембраны (т. е. идеально гиб-
кой безмоментной пластинки, равномерно
натянутой по контуру) равна
ы - a j/A 1/сек. (193)
где р — натяжение на единицу пери-
метра в к Г/см; т — масса мембраны
в кГсекЧсм.
Для основной частоты собственных
колебаний мембран других конфигураций
значения а следующие:
Коофигуриций мембраны а
Квадрат.............................4,443
Квадрант (четверть круге).......... . 4,551
Сектор 60® 4,616
Равносторонний треугольник........4,774
Полукруг 4,в03
Прямоугольник с отношением сторон 3:2 4,624
То же 2:1....................... 4,867
. 3:1.........................5.73U
Пластинки. Частота собственных
колебаний пластинки при малых пере-
мещениях равна
1/сек. (194)
376
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
где — масса единицы площади в
кГсек^см^; D — цилиндрическая жест-
кость пластинки;
£ьз
P°i^(l-H!) кГсМ' <|95>
где Е — модуль упругости в кГ/с.и*; h —
толщина пластинки в см; р.—коэффи-
циент Пуассона (в табл. 11 и 12 принято
Н = 03).
Для круглой пластинки радиусом г см
Л = -^-. (196)
Для пластинки, жестко закрепленной
по контуру, значения « даны в табл. 11.
Таблица II
Значения о
Число узловых окруж- ностей S Число узловых диаметров п
0 1 2
1 10,21 21,22 34,84
2 39.78 — —
3 88.90 — • “»
Для свободной круглой пластинки зна-
чения а даны в табл. 12.
Значения и
Таблица 12
Число "зловых окруж- ностей 3 Число узловых диаметров л
и 1 2 3
1 5,251 12,23
2 9.076 20.62 35.24 52,91
3 38,52 69,86 — —
Для прямоугольной пластинки с опер-
тыми краями (по всему контуру)
л-*(тг+-£)‘ (,97>
где а и b — размеры пластинки в см;
i n /—целые числа, характеризующие
форму колебаний (для основной частоты
/-/- I).
Для основной частоты прямоугольной
пластинки [39] величина А имеет сле-
дующие значения, приведенные ниже.
Пластинка, защемленная по всему
контуру:
А - 22,373 if-L + -L + . (198)
г а4 о4 а* о-
Пластинка, защемленная по сторонам а
и опертая по сторонам Ь:
. ,1/ 1 5,138 , 2,566 ,1ОО.
у -5г + -^ + ^м- <’">
Пластинка, защемленная по двум
смежным сторонам (а и Ь) н опертая
по двум другим (а и б):
. К4«и чГ 1 , 2,441 1,115 /<jnn
Л = 15.42! у — + _ + —. (200)
Пластинка, защемленная по одной
стороне а и опертая по трем остальным:
<»)
Пластинка, защемленная по трем сто-
ронам и опертая по одной стороне а:
А - 22.373 1/-1- + + (202)
Для круглой невесомой пластинки, на-
груженной в центре массой т:
а) свободно опертой по контуру
Г16W (1+я)
V тг1 ‘ (3 + Р)
1/сек;
(203)
б) жестко закрепленной по контуру
(204)
где г—радиус пластинки.
Оболочки. Колебания пологой
оболочки, имеющей в плане контур пря-
моугольника со сторонами а и би опи-
рающейся на контур, рассмотрены
В. 3. Власовым [9|.
Для пологой оболочки, свободно под-
пертой по контуру и не испытывающей
начальных напряжений.
РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ НА КОЛЕБАНИЯ
377
где обозначения те же, что и в форму-
лах (194). (195). (197);
*1=4;5 кг = тгг' (206)
А] — кривизна поверхности для сечения,
параллельного стороне а. Аг—для се-
чения, параллельного Ь.
Для оболочки, очерченной по части
сферической поверхности,
*i-*»=4; (2О7)
2_______ДЛ“ v
‘J 12(|-р2)р,Л
(208)
Диски. Для диска постоянной тол-
щины, т. е. круглой пластинки, жестко
закрепленной в центре, если формы ко-
лебаний связаны с образованием узло-
вых диаметров, частоты собственных
колебаний определяются по формуле
(194), а величины а имеют такие же
значения, как и при соответствующих им
) формах колебаний свободной пластинки
табл. 12). Низшей форме колебаний
диска (без узловых диаметров - зонтич-
ной: s — 0; л — 0) соответствует « — 3,75.
Частота собственных колебаний вра-
щающегося диска v>„p возрастает вслед-
ствие действия центробежных сил:
<%„-= 1/сек. (209)
где а» — угловая частота собственных
колебании диска из формулы (194); 2 —
угловая скорость вращения диска в 1/сек;
значения В для диска постоянной тол-
щины:
л................I 2 3
Н .............. I 2,35 4,05
Наибольшее значение имеют формы
колебаний дисков с двумя, тремя, реже
с четырьмя-пятью узловыми диаметрами
(фиг. о8). Они возникают от действия
постоянной, сосредоточенной, неподвиж-
ной в пространстве силы давления струи
гада или пара, направленной перпендику-
лярно диску на переметающийся отно-
сительно нее диск, который вращается
с числом оборотов в минуту
30ш„„
N ------—.
г.П
(210)
где швр — частота собственных колебаний<
диска в сек-1; л — число узловых диа-
метров.
Частота собственных колебаний диска»
переменного сечения. определенна»
Фиг. 68. Колебания лиска.
энергетическим методом (см. стр. 343)г
равна
(211>
Потенциальная энергия деформации
(212>
где и — внутренний и наружный
радиусы диска;
F,{r) " 24(1 -р») 4л Х
X И2- 2(1 -р) (В — С)] г. (213>
где h - толщина диска; р— коэффициент
Пуассона.
dV(r) 1 df(r) ЯУ(Г).
drt + х dr г*
д (Pf(r) ( I d/(r) n’/(r)\ -
B ~dPr\7-~d7~
c_„,(1.4y2_^y. eie>
Прогиб w точки диска
w — / (л) sin nf,
/ (r) — прогиб no биссектрисе между"
смежными узловыми радиусами; л—число
узловых диаметров; г. у — полярные
координаты точек диска.
378
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯ
Кинетическая энергия
Л
Тш« - j FK (г) dr. (217)
(И-у J-J IT (г)]* Л (218)
^m»x “ ^max “ uiH.
Укажем кратко ход расчета. Опреде-
ление интегралов (212) и (217) нразво-
дится приближенным суммированием.
Кривая прогиба диска задается в виде
/(г) = агЛ (219)
при этом показателю степени з при-
даются разные значения, например з =
-= 2; s - 3; з - 4.
После определения частот собствен-
ных колебаний для различных значе-
ний з строится зависимость <и=/(з).
причем истинной частоте собственных
колебаний диска будет соответствовать
минимум частоты, а значение з для ми-
нимума частоты дает наилучшее прибли-
жение к истинной кривой прогиба при
колебаниях.
Если приближенно разбить профиль
диска на участки постоянной толщины,
то для определения потенциальной энер-
гии требуется найти величину
24(/йГП-4Ги). (220а)
где h,„ — толщина элемента диска т;
гат — внутренний радиус элемента т;
rtn. — внешний радиус элемента т.
При определении кинетической энер-
гии по кривой прогиба требуется пред-
варительно найти величину
2»-(4^-4^ (2206)
Нахождение указанных величии про-
изводится в табличной форме.
Учет эффекта центробежных сил мо-
жет быть и в данном случае прибли-
женно произведен по формуле (208).
Кольца. Частота изгнбных колеба-
ний однородного кольца в его плоско-
<сти равна
°* - Тгтэ У сек ,( °
где / — целое число, характеризующее
форму колебаний (основной частоте со-
ответствует i — 2); R — радиус кольца
е см; f — масса единицы длины кольца
в кГсекР/см*; EJ — жесткость на изгиб
в кГсм1.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ
Методы динамических
исследований
В современных условиях при конструи-
ровании машин расчет на колебания со-
четается с экспериментальным исследо-
ванием колебаний. Результаты расчета
и эксперимента взаимно дополняют друг
друга.
Ниже даются краткие сведения
о методах постановки эксперименталь-
ного исследования колебаний. Описа-
ние основных типов аппаратуры для
динамических измерений (электрических
тензометров, вибрографов и т. д.) дано
в главе XV.
Методы измерения частот коле-
баний. Технические методы измерения
частот колебаний в большинстве осно-
ваны на принципе механического резо-
нанса. Простейший тип частотомера (на
десятки и сотни герц) состоит из на-
бора консольных пружинных пластинок,
из которых каждая последующая на-
строена на частоту собственных колеба-
ний несколько большую, чем предыду-
щая. При установке частотомера на ви-
брирующей конструкции в наиболее
интенсивное движение приходят те пла-
стинки. которые попадают в резонанс.
По частоте колебаний резонирующих
пластинок определяется частота соб-
ственных колебаний испытываемой кон-
струкции. Другой тип частотомера пред-
ставляет пружинную консольную по-
лоску переменной длины. Изменением
свободной длины консоли полоска при-
водится в резонанс, причем резонансная
частота отсчитывается по нанесенной на
консоли шкале.
Для точного измерения частоты исполь-
зуется принцип подсчета числа циклов
за строго определенный интервал вре-
мени. Точные импульсные приборы
строятся на частоты от 0,01 до
1000 гц.
Частота колебаний определяется
также из записи процесса колебаний но
времени (см. также стр. 382). Запись
линейных перемещений называется ви-
брограммой, а крутильных колеба-
ний — торсиограммой. Для- определения
частоты запись колебаний должна сопро-
вождаться на той же ленте или пленке
параллельной записью масштаба време-
ни и отметки оборотов (если колебания
связаны с вращением).
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЯ
379
Для масштаба времени используется
запись колебаний известной и стабиль-
ной частоты (камертон, зуммер с камер-
тоном, ток стабилизированной частоты,
а иногда электрическая сеть 50 гц). От-
метки оборотов, дающие возможность
установить гармонические порядки коле-
баний. производятся замыканием вра-
щающегося контакта.
Механические колебания можно пре-
образовать в электрический сигнал и
применить для измерения частоты осцил-
лографическую запись колебаний, а так-
же различные типы электрических (элек-
тронных) частотомеров.
Часто пользуются также методом опре-
деления частот синусоидальных колеба-
ний по фигурам Лиссажу на экране ка-
тодного осциллографа. При этом на одну
пару отклоняющих пластин подается
переменное напряжение исследуемой ча-
стоты, на другую пару пластин — напря-
жение от отградуированного электронно-
лампового генератора, позволяющего
плавно изменять частоту колебаний в
широком диапазоне. При совпадении
исследуемой частоты и частоты генера-
тора на экране осциллографа получается
фигура в виде эллипса. Эта "частота
и отсчитывается по шкале генера-
тора.
В вибротехнике получили применение
электрические анализаторы частот, опре-
деляющие и записывающие в виде диа-
граммы весь спектр гармонических со-
ставляющих несинусоидального колеба-
ния.
Для определения частот механических
колебаний может быть использован
стробоскоп — прибор, дающий короткие
периодические вспышки света; тело, со-
вершающее быстрое периодическое ко-
лебательное или вращательное движение
« освещенное периодическими вспыш-
ками света, будет казаться медленно дви-
жущимся или неподвижным, если частота
вспышек совпадет с частотой колебаний.
По частоте вспышек, даюшнх неподвиж-
ное изображение, можно судить о частоте
колебаний системы. В электрических
стробоскопах применяются малоинер-
цнонные источники света типа газосвет-
ных ламп. В некоторых устройствах
используется свечение искрового разря-
да. Электрические стробоскопы приме-
няются при частотах порядка сотен, а
иногда и тысяч герц.
При низких частотах может быть при-
менен механический ручной стробоскоп,
при помощи которого колеблющаяся
система рассматривается в окуляр через
отверстия в перфорированном диске,
приводимом во вращение от часового
механизма или мотора, причем число
оборотов диска плапно регулируется.
Частота перекрытий окуляра, пропорцио-
нальная скорости диска и числу отвер-
стий в нем, отсчитывается по соответ-
ственно отградуированному указателю
числа оборотов." Диапазон частот коле-
баний, исследуемых таким образом, со-
ставляет от 5 до 200 гц.
Методы измерения динамических
перемещений и деформаций. Прн
пользовании механическими методами
измерения вибраций динамическое пере-
мещение передается указательной стрел-
ке, записывающему перу или штифту
с помощью рычажной системы. Такой
способ применим при частотах колеба-
ний до 200 гц. причем увеличение от-
счета по сравнению с измеряемой вели-
чиной обычно доводится до 20—30-крат-
ного. Запись вибраций чернилами на
бумажной лепте применяется лишь прн
весьма малых частотах и значительных
амплитудах. Более удобный способ ме-
ханической записи состоит в том, что
твердое острие прорезает тонкий слой
воска или специального лака, покры-
вающий ленту из цветной бумаги. При
этом запись, представляющая след
острия, получается в виде цветной линии
на светлом фоне. Для длительного хра-
нения записей вибраций на вощеной
бумаге их покрывают прозрачным ла-
ком.
Другой способ механической записи
заключается в том, что острый штш|т,
непосредственно связанный с вибрирую-
щим телом, продавливает канавку в мяг-
кой целлулоидной ленте, фиксируя па
ней диаграмму движения. Нанесенная
запись рассматривается в микроскоп.
При этом получается увеличение в не-
сколько десятков раз, величина кото-
рого ограничивается толщиной записи, а
также необходимостью расположить в
поле микроскопа полный цикл коле-
баний.
Прн оптических методах измерения
вибраций наблюдается или фотографи-
руется перемещение светового луча,
идущего от исследуемой точки системы.
Оптические методы применимы во
всем диапазоне частот механических
колебаний и дают увеличение отсче-
та. достигающее 10» раз (а в комби-
нации с механическим увеличением и
больше).
38!)
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ
Значительное увеличение дает зеркаль-
ный метод измерения вибраций, основан-
ный на том. что при вибрации изме-
няется угол поворота зеркальца, отра-
жающего световой луч на удаленный
экран.
При малых амплитудах вибрирующее
тело рассматривается’ в микроскоп. Если
на исследуемом объекте укреплен кусо-
чек наждачной бумаги, то ее зерна дают
в микроскопе при соответствующем
освещении яркие движущиеся точки.
Для наблюдений и регистрации вибра-
ций используется также световой блик,
образующийся на поверхности полиро-
ванного шарика при его освещении.
При стробоскопическом методе иссле-
дования. как уже указывалось, вибри-
рующая система рассматривается в стро-
боскопическом освещении с помощью
оптических приборов. Выбирая частоту
вспышек так. чтобы движение тела каза-
лось очень медленным, можно наблю-
дать форму упругой липни вибрирую-
щего тела.
На стробоскопическом эффекте осно-
вано также одно из простейших
устройств для измерения амплитуд ко-
лебаний, а именно мерный клин. Как
показано на фиг. 69, а, мерный клин
имеет графленое белое поле на черном
фоне. Он изготовляется из бумаги или
жести и помещается на вибрирующей
детали так, чтобы направление колеба-
ний совпадало с направлением АВ, ука-
занным на фиг. 69. б. При частоте бо-
лее 8—10 гц наблюдается появление
темного треугольника на светлом фоне.
Измерение высоты этого треугольника
и дает возможность определить ампли-
туду вибраций по формуле
а = (222>
обозначения приведены на фиг. 69, 6.
Электрические приборы для измерения
динамических перемещений основаны
на превращении в воспринимающих эле-
ментах приборов (так называемых дат-
чиках) механических величин в электри-
ческие, т. е. перемещения, скорости или
силы в напряжение или ток. Послед-
ние в конечном счете измеряются раз-
личными типами стрелочных электриче-
ских приборов или регистрируются
с помощью вибраторных (шлейфных>
Фиг. 70. Скелетная схема
эдеюрнческой аппаратуры.
и электронных (катодных) осциллогра-
фов общего назначения. При электриче-
ских методах динамических измерений
относительное увеличение, т. е. отноше-
ние перемещения указателя по шкале
прибора к измеряемому динамическому
перемещению, получается до 10® раз.
Электрические приборы для измерения
механических величин основаны на сле-
дующих принципах: 1) изменения пара-
метра электрической цепи (омического
сопротивления, индуктивности, емкости)
в процессе механических колебаний;
2) генерации электрических напряжений
и токов.
Электрическая аппаратура состоит из
следующих элементов, соответственно
обозначенных на схеме фиг. 70:
I) воспринимающего (чувствитель-
ного) элемента датчика, служащего для
превращения измеряемой неэлектриче-
ской величины в электрическую;
2) электрической (чаще всего элек-
тронно-ламповой) схемы для преобразо-
вания одних электрических величин
в другие, а именно сигнала от датчика
в напряжение или ток стрелочного элек-
троизмерительного прибора или осцил-
лографа;
3) электрического измерительного
прибора со стрелочным отсчетом по
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕЬАНИП
381
шкале для указания амплитудных значе-
ний измеряемых механических величин
или осциллографа для регистрации про-
цесса во времени;
4) устройств питания электрической
(электронно-ламповой) схемы;
5) коммутационной аппаратуры —мно-
готочечных переключателей, токосъем-
ников.
Датчик должен иметь достаточную
чувствительность при возможно мень-
ших размерах и весе, допускать надеж-
ное и быстрое крепление, не реагировать
на посторонние влияния, наконец, иметь
достаточную прочность.
Датчик' должен быть приспособлен
к конкретным условиям проводимого
измерения. Остальные элементы аппа-
ратуры могут иметь более общее при-
менение. В более простых случаях изме-
рений требуются не все из перечис-
ленных элементов аппаратуры, а как
минимум лишь датчик и электроизмери-
тельный прибор.
Наибольшее практическое применение
при исследовании колебаний получили
проволочные тензодатчики.
Приборы для измерения динамиче-
ских перемещений рассматриваются в
гл. XV.
Измерение динамических
перемещений производится путем
определения относительного перемеще-
ния двух частей прибора — виброметра
(вибрографа), одна из которых прикреп-
ляется к исследуемому элементу ко-
леблющегося тела, а другая—к телу,
неподвижному в пространстве. В каче-
стве последнего служит так называемая
сейсмическая масса.
Сейсмической массой называется
масса, упруго связанная с колеблющейся
системой так, что частота собственных
колебаний этой массы в несколько раз
меньше частоты измеряемых колебаний.
Как видно из формулы (85), если ча-
стота собственных колебаний системы
подвески сейсмической массы в 3—4 раза
ниже наименьшей измеряемой частоты,
то при этом сейсмическая масса практи-
чески не участвует в колебательном дви-
жении, т. е. не вносит существенной
ошибки в измерение колебаний.
Для того чтобы приблизить нижнюю
границу диапазона измеряемых частот
к частоте подвески сейсмической массы,
необходимо создать в вибрографе опти-
мальное демпфирование. Схема вибро-
метра с механическим индикатором для
измерения вертикальных колебаний по-
казана на фиг. 71. Здесь т — сейсмиче-
ская масса. Вместо механического инди-
катора в меньших габаритах может быть
помещен электрический датчик. Так как
пружины виброметров должны быть
весьма мягкими, при вертикальном рас-
положении виброметра сейсмическая
масса получает значительную статиче-
скую осадку под действием ее веса, что
учитывается в кон-
струкции виброметра.
Поэтому для измере-
ния горизонтальных и
вертикальных переме-
щений применяются
датчики виброметров
и вибрографов, отли-
чающиеся подвеской
сейсмической массы.
Для измерения кру-
тильных колебаний
вращающихся валов
Фиг. 71. Схема ви-
брометра.
применяются торсио-
графы, основанные также на исполь-
зовании сейсмической массы в виде
равномерно вращающегося маховичка,
увлекаемого валом.
Измерение динамических
деформаций производится путем
определения относительного перемеще-
ния двух точек на поверхности дефор-
мируемого тела. Расстояние между точ-
ками измерения называется базой при-
бора. В машиностроении производится
измерение динамических деформаций на
небольших базах от 2 до 20 мм, для
чею в настоящее время применяются
исключительно электрические (главным
образом проволочные) тензометры, рас-
сматриваемые в гл. XV.
Эксплуатационные и лаборатор-
ные испытания. Динамические испыта-
ния проводятся в рабочих условиях и
в условиях лабораторного исследования
узлов и деталей. Экспериментальные ис-
следования вибраций в рабочих условиях
служат для оценки прочности н надеж-
ности конструкции, являются средством
выяснения причин имевших место непо-
ладок и аварий и представляют наибо-
лее надежный метод определения дина-
мических характеристик.
Последнюю задачу ставят перед собой
и лабораторные испытания, имеющие
целью определение частот, форм соб-
ственных колебаний и характеристик
демпфирования.
Для проведения лабораторных дина-
мических испытаний требуется искус-
ственное возбуждение колебаний " и
382
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
измерение возникающих при этом пере-
мещений и деформаций.
В рабочих условиях измерения произ-
водятся для характерных режимов ра-
боты машины. Поддержание заданного
режима (например, числа оборотов ма-
шины или двигателя) должно произво-
диться по возможности точнее, особенно
для получения устойчивых резонансов
при наличии острых резонансных пиков.
Основными видами испытаний в ра-
бочих условиях являются вибрографи-
рование, торснографирование и тензо-
мегрированне. Тензометрирование обыч-
но проводится с помощью проволочных
датчиков.
Датчики вибрографов и торснографов
следует помещать в таких местах, где
амплитуды колебаний элементов кон-
струкции велики, т. е. подальше от узлов
колебаний. Если вибрографы установить
иа опоры вала, то по интенсивности
вибраций подшипников можно опреде-
лять критические скорости вращаю-
щихся валов. Датчики торснографов
обычно располагаются на концах вала
из условий удобства крепления и токо-
съема. При тензометрировапии датчики
тензометров следует наклеивать на наи-
более напряженных волокнах. Если до
производства испытаний были выявлены
случаи усталостных поломок исследуе-
мой детали, то датчик тензометра должен
быть расположен на ней в месте обра-
зования трещины, перпендикулярно
ее направлению.
Практически не всегда удается уста-
новить датчики в области наибольших
напряжений. Место установки датчика
приходится часто выбирать, сообразуясь
с температурными условиями, значени-
ями центробежных сил (для вращаю-
щихся деталей), возможностью располо-
жения подводящих проводов и т. д.
Кроме того, напряженные точки для
одной формы колебаний не являются
уже таковыми для другой формы. Однако
и в таких случаях датчики дают ценные
сведения о резонансах, источниках воз-
буждения, сравнительной эффективности
различных мероприятий. Если затем
в лабораторных условиях получить рас-
пределение напряжений для соответ-
ствующих форм колебаний исследуемой
детали, то, пересчитав показания датчи-
ков, можно получить данные о значе-
ниях напряжении и в наиболее опасных
точках.
Для каждого исследуемого режима
(числа оборотов машины) необходимо
получить для обработки достаточно
длинную запись вибраций, содержащую
несколько десятков периодов колеба-
ний.
Обработка записей колебаний (вибро-
грамм и торсиограмм) производите»
обмером двойных амплитуд (размахов>
колебаний по записи. Часто запись ви-
браций не получается ровной, располо-
женной вдоль прямой оси, а медленно
отклоняется по извилистой линии, что
происходит вследствие не которой не-
устойчивости чисел оборотов на иссле-
дуемых режимах и колебаний сейсми-
ческой массы. В таких случаях двойная
амплитуда вибраций измеряется как
расстояние между огибающими к за-
писи. проведенными на фиг. 72. Есл»
Фи». 72. Определение амплитуды вибраимп.
в самой записи вибраций появляются
две гармонические составляющие >> и
где V/ — порядок гармонической соста-
вляющей. то для их выявления тзкже-
проводятся огибающие, как показан»
на фиг. 73. Здесь 2at соответствует вы-
Фиг. 73. Разделение высоко-
частотной и иизвочастотиэА
составляющих вибрации.
сокочастотной гармонической соста-
вляющей записи (v — 4.5). a 2oj — сумме
низкочастотной составляющей вибрация
(ч — 1.5) и высокочастотной (•» •» 4,5).
Частота колебаний находится п»
виброграмме подсчетом числа перио-
дов за отрезок времени, определенный
по отметкам времени на записи коле-
баний.
Пусть, например, отметкой временя
служит запись напряжения промышлен-
ной частоты 50 гц. Если за время л пе-
риодов 50 гц укладывается т периодо»
исследуемых колебаний, то частота по-
следиих составляет / — 50 — гц.
л
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИИ
383-
По данным обмера амплитуд колебаний
прн различных числах оборотов уста-
новки строятся резонансные кривые,
показанные на фиг. 74. Стрелками отме-
чены резонансы соответствующих гар-
монических составляющих сил возбу-
ждения. С точностью проведения экспе-
Фмг. 74. Резонансные кривые крутильных колеба-
ний, полученные экспериментально.
получено число собственных колеба-
ний системы. В данном примере N т
« 5400 кол/мин.
Определение собственных частот,
форм колебаний и коэффициентов
демпфирования. Методы измерения
частоты колебаний изложены на стр. 378.
Ниже рассматриваются особенности
определения частот собственны г коле-
баний и коэффициентов демпфирования.
Первый способ заключается в том.
что к системе прикладывается гармони-
ческая возбуждающая сила, частота ко-
торой известна. Изменением частоты
возбуждающей силы добиваются уста-
новления резонансных состояний и из-
меряют соответствующие им частоты
собственных колебаний. По величине
резонансных амплитуд и форме резо-
нансных кривых [см формулы (16) и (23))
определяют коэффициенты усиления в
резонансе и обратные им коэффициенты
демпфирования. По распределению ам-
плитуд получают формы колебаний.
Для нахождения резонансных состоя-
ний чаще всего пользуются тензодатчи-
ками. Резонансные пики хорошо улавли-
ваются, если в качестве индикатора
используется при атом катодный осцил-
лограф.
Отметим также, что наступление резо-
нансов при изменении частоты возбуж-
дения можно довольно точно опреде-
лять и с помощью весьма простых
средств, которые дают возможность
также проследить узловые линии и уста-
новить формы колебаний.
Касаясь различных точек вибрирую-
щей детали легкой проволочкой с ша-
риком (диаметром 1—2 мм) на конце,
можно по интенсивности движения ша-
рика, звенящему звуку и ощущению рук»
легко заметить резонанс и проследить
расположение пучностей и узловых линий
при колебаниях. Последней цели служат
и так называемые песочные фигуры,
которые получаются при посыпании
вибрирующей детали мелким песком
или каким-либо другим порошком. Прн
вибрациях песок располагается вдоль
узловых линий (см. фиг. 20 и 68). Если
поверхность исследуемой детали изо-
гнута, то для получения песочных фигур-
необходимо с помощью специального-
приспособления поворачивать вибри-
рующую деталь так, чтобы различные
части ее поверхности ставились в гори-
зонтальное положение. Чтобы песок не
осыпался, полезно слегка смочить по-
верхность изогнутой летали керосином.
При слабых резонансах легкое нажатие
на вибрирующую деталь сильно умень-
шает ее колебания. Отсюда вытекает
метод определения узловых линий путем
торможения колебаний детали в различ-
ных точках с контролем амплитуды ко-
лебаний по катодному осциллографу или
другому индикатору. Если при нажатии
в определенной точке амплитуда колеба-
ний вибрирующей детали резко падает,
это означает, что в данной точке имеется
пучность, а если амплитуда не падает, то
данная точка находится на узловой линии.
Второй способ определения частот
собственных колебаний (обычно низшей
частоты) заключается в том, что в ис-
следуемой системе возбуждаются сво-
бодные колебания, по записи которых
устанавливаются нх частоты. Декремент
системы определяется по убыванию
амплитуды последующих циклов. Сво-
бодные колебания могут быть возбу-
ждены посредством удара или внезап-
ной разгрузки. Однако вследствие не-
достаточной определенности в задании
начальных условий прн ударе начальная
часть процесса затухания свободных
колебаний обычно искажается. Целесо-
образнее поэтому при измерении декре-
ментов возбуждать свободные колебания
следующим образом. Система вводится
в резонанс с помощью внешней гармо-
нической силы, а затем возбуждение
отключается Начальные условия прн
этом могут быть получены строго опре-
деленные. н запись свободных колебаний
легко поддается анализу.
3S4
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯ
Возбуждение колебаний
Возбудители колебаний — вибраторы
основаны на механических, пневматиче-
<кнх и электрических принципах. Область
применения первых двух типов вибра-
торов ограничивается главным образом
низкими частотами. Электрические вн-
•браторы дают возможность возбуждения
колебаний частотой порядка сотен и
тысяч герц.
Механические вибраторы. Простей-
шими механическими возбудителями
колебаний являются центробежные (экс-
центриковые) вибраторы, в которых
получение гар-
монических сил
или моментов
основано на ис-
пол ьзован и и
центробежных
сил неуравнове-
шенных враща-
ющихся масс.
Если неуравно-
вешенная мас-
са т. центр тя-
жести которой
расположен на
расстоянии г от
оси (фиг. 75).
вращается с
угловой ско-
ростью <», то
«Фиг. 75. Центробежный
вибратор.
проекция силы инерции на вертикальную
ось равна mru>* sin i»i. а на гориэонталь-
«ую ось wr«>2cosu>/. Конструкция, на
которой установлен подобный вибратор,
испытывает гармоническое возбужде-
ние одновременно в двух взаимно
перпендикулярных направлениях. Такой
вибратор называется ненаправленным.
На фиг. 76 изображены три способа
регулировки неуравновешенной массы
ненаправленного вибратора: фиг. 76, я —
•вибратор с эксцентриковой регулировкой
массы, фиг. 76, б — вибратор с регули-
ровкой неуравновешенной массы путем
удаления стержней, вставленных в
отверстия диска, и фиг. 76, а — вибратор
с регулировкой путем взаимного пово-
рота неуравновешенных масс та н ть.
Для создания возбуждающей силы,
действующей только в одном направле-
нии соединяются два одинаковых ви-
братора указанного выше типа, вра-
щающиеся в противоположные стороны
<с одинаковой скоростью к фазовым
углом). Такое соединение осущест-
вляется при помощи зубчатого зацепле-
ния. Совпадающие составляющие сум-
мируются и создают пульсирующую
силу двойной амплитуды, а противофаз-
ные составляющие уравновешиваются.
При сдвиге положений грузов, вращаю-
щихся в одну сторону, на 180° возбуди-
тель развивает внбромомент, не нагружая
Фиг. 76. Способы регулировки неуравновешенной
массы вибратора.
конструкцию поперечными силами. Пере-
дача вращения центробежным вибрато-
рам производится от электромотора при
помощи гибкого вала или ременной
передачи, податливость которых дол-
жна во много раз превосходить подат-
ливость элементов исследуемой системы.
Известны и другие типы механических
вибраторов. К ним относятся гипоци-
клические вибраторы, в которых обойма
с сателлитом вращается внутри непо-
движного зубчатого колеса двойного
диаметра, причем закрепленная на сател-
лите неуравновешенная масса прн равно-
мерном вращении обоймы совершает
гармоническое прямолинейное движение
по диаметру колеса.
В механических вибраторах создаются
значительные радиальные нагрузки под
шинников, что ограничивает область
применения таких вибраторов амплиту-
дами сил до 500 кГ и частотами обычно
не выше 400 гц.
Имеется механический метод возбу-
ждения резонансных колебаний сравни-
тельно высоких частот, прн котором
используются силы трения Система,
например лопасть или диск, приводится
в резонанс, подобно тому как с помощью
смычка вызывается звучание струн, а
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ
385
именно о край лопасти (диска) трется
вращающийся фибровый диск.
Пневматические вибраторы. Полу-
чение переменных давлений при пневма-
тическом возбуждении достигается тем.
что струю сжатого воздуха пересекает
вращающийся перфорированный диск.
При значительном числе отверстий и
большой скорости диска может быть
получена весьма высокая частота коле-
баний давления. Однако с увеличением
скорости сильно падает амплитуда пере-
менного давления.
Другой метод пневматического возбу-
ждения состоит в том, что колеблю-
щееся тело само регулирует подачу воз-
духа, воздействуя на "золотник или клапан
или изменяя проходные сечения воздухо-
провода при колебаниях. В простейшей
конструкции упругая пластинка, пере-
крывающая с "малым зазором отверстие
воздухопровода, приходит в резонансные
колебания, так как при ее перемещении
зазор изменяется и давление воздуха
пульсирует с частотой колебаний пла-
стинки.
Электрические вибраторы. Про-
стейшим электрическим вибратором
является электромагнит, якорь которого
прикреплен к исследуемой детали.
Деталь, выполненная из ферромагнит-
ного материала, может сама служить
якорем электромагнита.
Если электромагнит имеет лишь одну
обмотку переменного тока, механиче-
ская сила будет пропорциональна ква-
драту силы протекающего в ней тока,
т. е. периодическое возбуждение будет
иметь двойную частоту по сравнению
с частотой переменного тока.
Если на переменное магнитное поле
наложить сильное постоянное магнитное
поле при помощи дополнительной об-
мотки постоянного тока, т. е. создать
поляризацию, то возбуждающая сила
будет иметь частоту переменного тока.
Электромагнитное возбуждение колеба-
ний обычно применяется при более низких
частотах.
Для работы на более высоких частотах
большое распространение получили элек-
тродинамические вибраторы, которые
действуют по принципу одноименных
с ними электроакустических репродукто-
ров-динамиков. Схема такого вибратора
изображена иа фнг. 77. Здесь а — по-
движная тяговая (звуковая) катушка,
питаемая переменным током, б — обмот-
ка постоянного тока подмагничивания,
в — магнитопровод. Развиваемая сила,
25 том з
пропорциональная ампервиткам тяговой
катушки и индукции поля подмагничи-
вания. передается штоком г.
Обычно электродинамические вибра-
торы служат для получения переменных
.сил до 100 кГ в диапазоне частот до
нескольких тысяч герц.
Наиболее эффективные типы электро-
динамических вибраторов (для работы
при повышенных частотах) имеют по-
движную систему, выполненную в виде
короткозамкнутого витка, являющегося
вторичной обмоткой трансформатора,
первичная обмотка которого неподвижна.
Фиг. 77. Схема «лектродишми-
ческого вибратора.
В качестве источников питания раз-
личных электрических вибраторов ис-
пользуются электронно-ламповые гене-
раторы и электромашинные генераторы.
Изменение частоты электрического тока
дает возможность исследовать поведение
механической системы в широком диа-
пазоне частот. Для плавного изменения
частоты целесообразнее всего использо-
вать лабораторные электронно-ламповые
генераторы звуковой частоты, имеющие
отградуированную шкалу частот. Такие
генераторы присоединяются к вибрато-
рам через усилители мощности, которые
большей частью могут быть заимство-
ваны из стандартных звуковоспроизво-
дящих и трансляционных установок.
Укажем также на электромагнитный
способ возбуждения вынужденных коле-
баний изменяемой частоты, не требую-
щий электронной аппаратуры. Этот спо-
соб состоит в использовании вращаю-
щегося зубчатого железного диска, изо-
браженного на фнг. 78. Прохождение
зубцов диска между ярмом и якорем
электромагнита постоянного тока создает
пульсацию магнитного поля, приводящую
к появлению переменной составляющей
386
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
силы притяжения электромагнита, ча-
стота которой соответствует произве-
дению числа зубцов на число оборотов
Фнг. 78. Возбуждение колебаний с помощью
зубчатого лиска.
диска и может быть получена достаточно
высокой.
Учет массы вибратора при испы-
таниях. Частота собственных колебаний
возбуждаемой системы может несколько
измениться вследствие наличия дополни-
тельной массы вибратора. Для правиль-
ного экспериментального определения
частоты собственных колебаний в том
случае, если дополнительная масса ока-
зывается соизмеримой с массой системы,
можно воспользоваться методом Смрчека,
состоящим в следующем. Если к массе
системы mj прибавится масса вибра-
тора Mj* то Для сохранения частоты соб-
ственных колебаний системы ш — 1/^—
Г т,
(где Cj —жесткость системы) необхо-
димо параллельно к добавить допол-
нительную жесткость C’s так, чтобы
— - . т. еД _ Са (223)
г») ту 4- т2 ту т2
Практически подбор дополнительной
жесткости производится эксперимен-
тально методом последовательных при-
ближений. Укрепив массу вибратора т2
на упругом элементе С2. определяем
частоту такой системы <»0. Затем при-
крепляем массу вибратора т2 с пружи-
ной С2 к испытуемому объекту ту. если
частота такой системы также составила
бы ыв, то оиа и была бы истинной ча-
стотой системы. В общем случае полу-
чится некоторая другая частота ыр Из-
меняя жесткость С2, настраиваем систему
вибратора на частоту <щ. Если эту си-
стему снова присоединить к исследуемой,
получим частоту совместной системы ш2.
более близкую к истинной. Далее, система
вибратора изменением жесткости С2 или
массы тг настраивается на частоту
и снова присоединяется к основной си-
стеме и т. д„ пока частоты системы
вибратора и совместной системы не
совпадут.
Чем меньше размеры возбуждаемой
детали, тем большими могут оказаться
искажения от присоединенной массы
вибратора. Если малая деталь выполнена
из магнитного материала, то ее целесо-
образно использовать в качестве якоря
электромагнита, возбуждая в ней коле-
бания без присоединения дополнитель-
ных масс.
Возможность получения значительных
переменных сил с помощью электроди-
намических вибраторов открывает путь
исследования частот и форм коле-
баний малых деталей, заключающийся
в том, что динамическая сила вибра-
тора прикладывается к исследуемой
детали не в пучности колебаний, а не-
далеко от заделки (вблизи узловых
точек) или деталь получает возбуждение
вследствие перемещения ее заделки.
В последнем случае заделкой детали
служит массивный металлический блок
который приводится в колебания от ви-
братора. Здесь требуется приложение
сравнительно большой динамической
силы, зато имеется возможность опре-
деления частот и форм колебаний дета-
лей из немагнитных материалов без
искажений, привносимых вибратором. Ве-
личина возбуждающей силы может быть
уменьшена при увеличении чувствитель-
ности устройств, предназначенных для
измерения вибраций.
Исследование колебаний
на моделях
Расчет распределения усилий и дефор-
маций часто оказывается практически
невыполнимым или весьма трудоемким,
в особенности при необходимости сопо-
ставления многих вариантов. В таких
случаях применяется моделирование, прн
котором вычисления заменяются измере-
ниями в моделях. Различают: 1) модели,
геометрически подобные исходной кон-
струкции. и 2) модели, воспроизводящие
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЯ
387
расчетную схему конструкции, последние
могут быть механическими и электри-
ческими. Электрические модели приме-
няются для динамических задач в связи
с преимуществами использования элек-
трической аппаратуры для исследо-
вания процессов, протекающих во вре-
мени.
В моделях второго типа каждому эле-
менту конструкции соответствует опре-
деленный изображающий его эквивалент
В электрических моделях эти эквива-
ленты представляют собой цепи из ин-
дуктивностей и емкостей, величина
которых устанавливается в соответствии
с требуемыми значениями масс и жест-
костей [44]. [43]. [32].
Механические модели. Условия по-
добия стержневых систем см. в табл. 13.
Таблица 13
Условия статического подобна
Нанменовакнс величин Исходная система Модель
Изгибающий мо- мент М1 M't —
Продольная жест- кость (Е—модуль упругости, г(— плошаль: ч •i • ч
Идгабн» жест- кость (У—момент инерции сечения I ЯК а Л ч
Радиус инерции сечения '-/7 —
Масштаб геометрического подобия а
равен отношению размеров сходственных
влементов в модели и в натуре. Мас-
штаб силового подобия ? равен отноше-
нию величин сил в модели к величинам
сил в натуре. При соблюдении полного
подобия и применении для модели того
же материала, что и для натуры (Е' —
— Е), масштабы силового и гсометриче-
25*
ского подобия связаны зависимостью
Динамическое подобие. Ча-
стоты собственных колебаний модели
геометрически подобной исходной си-
стеме и выполненной из того же мате-
риала. относятся к частотам собственных
колебаний исходной системы обратно
пропорционально линейным размерам
модели l\ и исходной системы If
% /, 2.
“к ~ ’
(224)
Прн а < 1 (модель меньше натуры)
частоты собственных колебаний модели
получаются более высокими, чем в исход-
ной системе, что может оказаться невы-
годным для проведения измерений. Если
желательно в механической модели по-
лучить частоты, равные или меньшие,
чем в натуре, то приходится отказаться
от геометрического подобия.
При осуществлении модели динами-
ческой системы, воспроизводящей рас-
четную схему с конечным числом сте-
пеней свободы, необходимо обеспечить
одинаковые соотношения между соот-
ветственными массами и жесткостями,
а именно:
1) массы (или моменты инерции масс)
модели должны относиться между собой,
как соответствующие величины исход-
ной системы:
/«I :т2: т3... — т,: тг:т2:... (225)
т\ » amt;
2) коэффициенты влияния или жест-
кости элементов* модели должны отно-
ситься между собой, как соответствую-
щие им коэффициенты влияния или
жесткости исходной системы:
&t: : &з... — 6,; Ь2: i8:..
- ЬЪ, (226)
или
С|: Cj: С3: •. e Ci: Cj: С,: . (227)
Соотношение частот собственных ко-
лебаний модели и исходной системы
У ab
(228;
388
КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ
Таблица /4
Сопоставление механических и электрических величин
Механические величины Электрические величины
Первая система аналогий Вторая система аналогий
Перемещение дг Скорость V — at Сила Q Масса т Податливость е Электрический гарял q Напряжение и Инлую явность 1- Емкость С
Сопротивление потерь $ Омическое сопротивление R
Гармоническое колебание (х • Л sin Переменный ток:
i — I cos it;
и ~ U cos (ud +
Электрический импеланц
(полное или кажущееся со-
противление)
Магнитное потокосцепление ф
dii
Напряжение и =
Ток t
Емкость С
Индуктивность L
Омическая проводимость —
Переменный ток:
и — U COS urf;
i — I cos (®Z + «)
Электрический
(полила или
проводимость) У
алмнтапц
кажущаяся
L C
v = «»A cos ud = t> cos ut
Q ” cos + **
Механический импеланц
vm
Динамическая жесткость (стойкость
О
D = “2K = ^
Механическая система
QW
Электрические модели
К
им
и,У
du
at
U
При моделировании вынужденных ко-
лебаний необходимо, кроме того, соблю-
дение равенства коэффициентов усиле-
ния в резонансе для натуры и модели.
Электрические модели. Две системы
электромеханических анало-
ги й: первая — энергия магнитного поля
соответствует кинетической энергии, а
энергия электрического поля — потен-
циальной; вторая — энергия магнитного
поля соответствует потенциальной энер-
гии, а энергия электрического поля —
кинетической. Сопоставление механиче-
ских и электрических величин приведено
в табл. 14.
Для обеспечения подобия всех форм
колебаний механической и электрической
систем необходимо задать одинаковые
соотношения между соответственными
элементами в динамической схеме меха-
нической системы и электрической мо-
дели, а при моделировании выну-
жденных колебаний также одинаковые
коэффициенты усиления в резонансе.
Если при первой системе аналогий
принять определенный механический
масштаб электрических напряжений,
соответствующих внешним возбуждаю-
щим силам, то в этом же масштабе по-
лучаются значения динамических сил в
элементах системы. Подобные же зави-
симости для токов имеют место при вто-
рой системе аналогий.
Теория электрического моделирования
нзгибных и крутильных колебаний, а
также описание электрических модели-
рующих устройств для исследования
колебаний систем со многими степенями
свободы при полигармоннческом воз-
буждении см. [43]. |44].
ЛИТЕРАТУРА И ИСТОЧНИКИ
1. Ананьев И. В.. Справочник по расчету 3. А и дронов А. А. и X в А к ни С. Х-,
собственных колебаний упругих систем, ОГИ3.1946 Теория колебаний, ч. 1-я, ГТТИ, 1937.
2. А и а и ь е в И. В. и Беляев М. М., 4. Б а р к а и Д. Д„ Динамика оснований и
Техника измерения колебаний, БИТ, М. 1947.. фундаментов, Стройаоеимориадат, 1948.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ
389
5. Безухов II. И.. Динамика сооружений
примерах и задачах, Стройиздат, 1947.
6. .Бернштейн С. А., Основы динамики
сооружений, Стройиздат, 1941.
7. Б и ц е н о К. Б. н Г р а м м е л ь Р.. Тех-
ническая динамика, т. II, ГТТИ, 1952.
8. Булгаков Б. В.. Колебания, т. I, ГТТИ,
1949.
9. В л в с о в В. 3., Общая теория оболочек и
ее приложение в технике, ГТТИ, М. — Л. 1949.
10. ГогенемзерК. и Прагер В., Дина-
мика сооружений, ОНТИ, 1936.
11. Г о n п Ю. А., Демпферы крутильных ко-
лебаний коленчатых валоа быстроходных двигате-
лей. ГНТИ. 1938.
12. Г о р е л и к Г. С„ Колебания и волны.
ГТТИ. 1950.
IX Гроссман Е. П., П а е о в к о Я. Г.,
У^угие колебания частей самолета, изд. ЛКВВИА,
14. Д е и-Г а р т о г Дж. П„ Теория колебаний,
Гостехиздат, 1942.
15. Ж и т о м и р с к и й В. Км Крутильные
колебания авиационных двигателей. Оборонгиз,
1962.
16. И о р и ш Ю. И., Защита самолетного обо-
рудования от вибрации, Обороигиз, 1949.
17. К а р м а и Т. и Б и о М., Математические
методы п инженерном деле, Гостехиздат, 1946.
18. Не .и и ш М. В., Гроссман Е. П. и
Марин И. И., Вибрации на самолете, 1942.
19. КрыловА. И., Дифференциальные урав-
нения математической физики, Гостехтеоретизлат,
1934.
20. К р ы л о в А. Н., Об определении крити-
ческих скоростей вращающегося вала, 1932.
21. К р ы л о в А. II., Вибрация сулое, ОНТИ,
1936.
22. Крылов Н. М. и Боголюбов Н. Н.,
Новые методы нелинейной механики, ОНТИ. 1934.
23. Л е о и и А. В. и Р и в о ш У. Е., Рабочие
лопатки паровых турбин, ГЭИ. 1941.
24. Л о й ц я н с к и й Л. Г. и Л у р ь е А. И.,
Теоретическая механика, т. Ш, Л. 1934.
25. Л у и ц Е. Б., О поперечных колебаниях
калов. 1935.
26. Л у р ь с А. И., Операционное исчисление,
ГТТИ, 1950.
27. Л у р ь е А. И., Методы динамического
расчета сооружений. Справочник инженера-проек-
тировщика, т. II, Промстройпроект, 1933.
28. Л у р ь е И. А., Крутильные колебания
а дизельных установках, 1ТТИ, 1940.
29. М э и л н Р.. Анализ и обработка записей
колебаний, Машгиз, 1948.
30. Н е й м а и И. 111., Динамика авиационных
ламгателей, Оборонгиз, 1940.
31. Николаи Е. Л., Теорий гироскопов,
ГТТИ, 1948.
32. О л ь с о а Т.. Динамические аналогии,
ГИИЛ, М. 1947.
33. П о м о м в р е в С. Д., Расчет и конструк-
ция витых пружин, ОНТИ, 1938.
34. П о и о м а р с в С. Л., Б и л е р и а и В. Л.
и др.. Основы современных методов расчета на
прочность в машиностроении, т. II, Машгиз, 1952.
35. Рабинович И. М., Основы динамиче-
ского расчета сооружений на действие мгновен
ных или кратковременных сил, Стройиздат, 1945.
36. Р е л е й Дж. В., Теория звука, Гостех-
нздат, т. 1, 1940, т. II. 1944.
37. С е р е б р е и н и к о в М. Г„ Гармониче-
ский анализ, Гостехиздат, 1948.
38. С е р е и с е в С. В.. Т с т е а ь б а у м И. М.
и Прнгоровскнй 11. И., Динамическая проч-
ность а машиностроении, Машгиз, 1945.
39. Сорокин Е. С„ Динамика междуэтаж-
ных перекрытий, Стройиздат, 1941.
40. С т р е я к о в С. П„ Введение в теорию
колебаний. ГТТИ, 1950.
41. Терских В. П., Расчеты крутильных
колебаний силовых установок (Справочное посо-
бие), Машгиз, т. I, 1953, т. II, 1954.
42. Тетельбаум И. М., Механические
колебания. Энциклопедический справочник
.Машиностроение", т. I, кн. 2-я, Машгиз, 1946.
43. Тетельбаум И. М., Исследование кру-
тильных колебаний валов поршневых двигателей
путем электрического моделирования. БИТ МАП.
М. 1948.
44. Тетельбаум И. М., Электрическое
моделирование изгибных колебаний н метод дина-
мических жесткостей, Оборонгиз, М. 1949.
45. Т и м о ш е н к о С. П., Теория колебаний
в инженерном деле, Гостехтеоретизлат, 19.34.
46. Т у м а р к и и С. А-, Равновесие и колеба-
ния закрученных стержней, ГТТИ, 1937.
47. Ф и л н п п о в А. П., Методы расчета со-
оружений на колебания, Стройиздат, 1941.
48. Шиманский Ю. А., Динамический
расчет судовых конструкций. Судпромгиз. 1948.
49. Я " о в с к и й М. И., Конструирование и
расчет иа прочность деталей паровых турбин,
изд. АН СССР, 1947.
50. Авиационные поршневые двигатели. Кине-
матика, динамика и расчет на прочность. Пособие
лла инженеров, Обороигиз, М. I960.
'1 . АН СССР, Институт машиноведения, Дина-
мика и .прочность коленчатых палов (сборники
статей), нзл. АН СССР. М., сб. 1, 1948. сб. 11.
1950.
52. АН СССР. Институт машиноведения. По-
вышение прочности деталей машин, нзл. АН СССР,
1949.
53. АН СССР, Институт машиноведения, Попе-
речные колебания и критические скорости, изд.
АН СССР. сб. I. 1951, сб. II. 1952.
54. Промстройпроект, Справочник проектиров-
щика промышленных сооружений, т. IV, ч. Ill,
разд. V — XII (фундаменты под машины), 1934.
55. Hot ба Т., Bercchnungsverfahren xur
Bestlmrnung der Krltlachen Drehxahlen von gera-
den Wellen. Berlin 1930.
56. К e r W I I я о n W., Practical solution ot
torsional vibration problems. London, v. I, 1940,
v. Il, 1941.
ГЛАВА XU
РАСЧЕТ НА УДАРНЫЕ НАГРУЗКИ
ВВЕДЕНИЕ
При ударе в упругих системах возни-
кают колебания, причем напряжения и
деформации могут достигнуть опасных
для прочности значений.
Расчет максимальных перемещений
точек системы при ударе, а также соот-
ветствующих деформаций и напряжений
выполняется с помощью аппарата теории
колебаний.
Задача осложняется, однако, тем, что
силы, воздействующие на упругую си-
стему в процессе удара, заранее неиз-
вестны.
Эти силы могут быть найдены лишь
из совместного решения уравнений дви-
жения упругой системы и ударяющего
груза.
Такое решение является, как правило,
чрезвычайно сложным и лишь в про-
стейших случаях может быть доведено
до расчетных формул. Поэтому в боль-
шинстве случаев практики пользуются
приближенными методами расчета, по-
зволяющими лишь грубо оценить поря-
док возникающих при ударе напряжений
и деформаций.
Основным методом приближенного
расчета удара является так называемый
метод приведения массы, который дает
возможность расчет сложной упругой си-
стемы свести к расчету системы с одной
степенью свободы.
Механические характери-
стики материала при больших
скоростях деформации, имею-
щих место при ударе, недостаточно изу-
чены. Установлено, что для металлов
упругие характеристики (модуль упру-
гости, коэффициент Пуассона) не зависят
от скорости нагружения. Предел теку-
чести увеличивается с увеличением ско-
рости нагружения, приближаясь к пре-
делу прочности. Предел прочности мало
изменяется в зависимости от скорости
нагружения.
На фиг. 1 представлено отношение ди-
намического предела текучести ятоа» к
статическому для сталей с различными
значениями оупри статической нагрузке.
Данные получены при возрастании на-
фиг. 1. Динамический предел текучести для стали
в зависимости от статического предела текучести
(время возрастание нагрузки 9-10-® сек.).
грузки от нуля до максимума в течение.
около 9-10-3 сек. При больших скоро-
стях возрастания нагрузки (время дости-
жения максимума порядка 10"5 сек.)
отмечалось двукратное повышение пре-
дела текучести мягкой стали.
СОУДАРЕНИЕ МАССИВНЫХ ТЕЛ
Прн расчете соударения массивных
тел (например, шаров), общими дефор-
мациями которых можно пренебречь по
сравнению с местными их деформациями
вблизи зоны контакта, полагают, что
между контактной силой Р и сближе-
нием центров инерции соударяющихся
тел я имеется такая же зависимость, как
и при статическом сжатии тел. При пря-
мом ударе в случае, если начальный
контакт тел осуществляется в точке,
причем расстояние между телами вблизи
этой точки может быть представлено
УДАР ЖЕСТКОГО ГРУЗА ПО УПРУГОЙ СИСТЕМЕ
391 ‘
уравнением второго порядка [8], эта
зависимость имеет вид
3_
P-ka2,
где k — коэффициент, зависящий от кри-
визны поверхностей тел в точке кон-
такта и от упругих свойств материала.
При соударении двух тел, имеющих
вблизи точки первоначального касания
выпуклые сферические поверхности с ра-
диусами кривизны /?) и /?2, коэффи-
циент k определяется по формуле
. 4 / RtRt
31) V R^Rt'
где
1-М? , 1-м?
£, + £, ’
Mi рч и — коэффициенты Пуассона
и модули упругости для материалов со-
ударяющихся тел.
Если поверхность одного из тел вогну-
тая, соответствующий радиус кривизны
вносится в формулу со знаком минус.
При плоской поверхности одного из тел
(Ri — <») коэффициент k равен
При более сложной геометрии соуда-
ряющихся деталей значения коэффи-
циента k могут быть получены из фор-
мул табл. 6 гл. XIII.
Уравнение движения тел в процессе
удара имеет внд
где обозначено
Щ\тг
т ™ .
«1 + тг
(т, и тг — массы соударяющихся тел).
Решение этого уравнения при подста-
новке зависимости Р(а) позволяет найти
максимальное сближение тел
mvj Г11
яш» “
4
Ч
максимальную контактную силу
а
'max ” ^amax “
_5 ««0
4 ’ *
и время соударения
Т -219432 (т?Г^т-
где о0 —скорость сближения тел до со-
ударения.
Приведенные формулы справедливы,
если в процессе удара не возникают
пластические деформации.
Вычисление напряжений в соударяю-
щихся телах, обусловленных контактной
силой Ргоах. см. гл. XIII, а также |1).
УДАР ЖЕСТКОГО ГРУТА
ПО УПРУГОЙ СИСТЕМЕ
С ВЕСЬМА МАЛОЙ
СОБСТВЕННОЙ МАССОЙ
При горизонтальном ударе (фиг. 2)
после соприкосновения груза с упругой
системой он совершает в контакте с ней
Фиг. 2. Уххр по системе с малой
собственной массой.
половину
времени
полного колебания в течение
Vm8,
t
где т — масса груза; 8 — податливость
системы, т. е. перемещение точки удара,
вызываемое силой в 1 кг.
Максимальный динамический прогиб
упругой системы равен
/max - /
где и0— начальная скорость удара; IFO—
кинетическая энергия груза.
Формулу для максимального динами-
ческого прогиба можно также предста-
вить в виде
W fem “ ~ статический прогиб под
действием силы веса груза, если эта сила
действует в направлении удара;g —уско-
рение силы тяжести.
РАСЧЕТ НА УДАРНЫЕ НАГРУЗКИ
392
Максимальная сила взаимодействия
между грузом и упругой системой равна
соударениями ударивший груз движется
по инерции, а масса буфера совершает
свободные колебания на пружине.
Если местные деформации груза и
буфера прн соударениях не предста-
вляют существенного интереса, то эти
где Q = mg — вес груза.
При вертикальном ударе, если в мо-
мент соприкосновения с упругой систе-
мой груз имеет скорость t»0, максималь-
ный прогиб системы равен
//////////////////////////////////л
+ f2cn+2WJ>.
или
Фиг. 3. Удар по буферу.
Соответствующее максимальное уси-
лие составляет
Pm« = Zr-Q + |/Ql + Q^.
Если скорость v0 груза в момент со-
ударения с упругой системой обусло-
влена его свободным падением с вы-
соты Л, то
о0= К2^Л,
соударения можно рассматривать как
мгновенные, характеризуемые опреде-
ленным коэффициентом т; восстановления
скорости. При соударении стальных де-
талей т] — 0,5 ч- 0,8 (в зависимости от
типа стали, геометрии мест соударения,
скорости удара).
Скорости груза и буфера после со-
ударения определяются’ формулами
v“ = v’
1 — Tjp.
1 + н
+ V|V
1 1.
1+н’
сг
«I
+ V
11 +н.’
(а)
и формулы для максимального прогиба и
максимальной силы удара приводятся
к виду
ftntx
'“fem + у/” f'im + 2Л/Гт;
Q+l/Q’ + aAQ.
Как видно из сопоставления приведен-
ных формул, при вертикальном ударе
максимальный прогиб и ударное усилие
больше, чем при горизонтальном (при
одинаковой скорости соударения). Это
объясняется тем. что при вертикальном
ударе сила тяжести совершает дополни-
тельную работу при деформации системы.
где v' и V] — скорости ударяющего груза
и буфера до соударения: о" и vf — их
скорости после соударения; |д — отно-
шение массы буфера к массе т груза.
С помощью формул (а) и используя
графический метод построения зависи-
мости пути грузов т и от времени,
можно проанализировать весь процесс
удара.
Рассмотрим пример такого анализа для случая
р — — — 1 н т) ~ 0,8. При ятих значениях фор.
tn
мулы (а) принимают аил
УДАР ПО БУФЕРУ
В случае удара жесткого груза по
буферу, т. е. по другому грузу, подпер-
тому пружиной, собственная масса ко-
торой незначительна (фиг. 3), процесс
сводится к ряду коротких соударений
между грузами. В промежутках между
Vм - 0,25о* 4- O,75o J ;
v'l — 0,76»' 4-0,280] .
(в)
После первого соударении груз т. двигав-
шийся до удара со скоростью получает ско-
рость, равную 0,25о_, а буфер получает скорость,
равную 0,7аеъ.
Поскольку скорость буфера больше, чем ско-
рость груза, они далее движутся независимо один
от другого: груз движется по инерции равномерно
со скоростью 0,280» а буфер иа пружине совершает
свободное колебание с начальной скоростью 0,780»
УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
393
* График» движения груза и буфера изобража-
ются в безразмерных координатах * pt, и где
/~~г
Г —время; р = т/ —г — круговая частота коле-
г ffljO
баний буфера; S — податливость пружины; и —
смещения груза и буфера относительно положения.
Так как соударение считается мгновенным, то
смещения при нем не изменяются н точка на
фазовой диаграмме, изображающая движение, пе-
редвинется по горизонтали в точку В", соответ-
ствующую скорости 0.<Х>5т>о.
Далее движение изображается прямой ВС и
дугой синусоиды ВС, которой на фазовой диа-
грамме соответствует дуга круга В" С’. В точке С
при котором вмело место первоначальное их ка-
сание.
В этих координатах движение груза изобра-
зится прямой линией (и — 0,25о0Г или и —
\ *'•
— 0,25р/ j , а движение буфера синусоидой (н=
— s|n pt или и .Е-ш. 0,75 sin pt
Р v*
Для построения синусоиды удобно воспользо-
ваться круговой фазовой диаграммой, показанной
на фнг. 4 слева. В «той диаграмме по вертикали
Up
«складывается геличниа , а по горизонтали
I du
величина — • .
т-о dt
Масштаб диаграммы такой же, как и верти-
кальный масштаб основного графика. Свободное
колебание буфера изображается в втих коорди-
натах дугой окружности, причем точка, изображаю-
щая смещение и скорость буфера, движется по луге
с угловой скоростью р, так что проходимый ею за
время t центральный угол (в радианах) равен pt.
Построив прямую АВ (график движения
груза т) н синусоиду АВ (график движения
буфера), которой на фазовой диаграмме соответ-
ствует дуга окружности А'В', обнаруживаем, что
в точке В (pt = 2,28) имеет место повторное со
ударение груза с буфером. К этому моменту груз
сохраняет скорость 0,25т'а, а скорость буфера
может быть непосредственно отсчитана по фазовой
диаграмме, как абсцисса точки В'. Оиа равна
-О, «И'».
Скорости груза и буфера после второго соуда-
рения находятся из уравнений (б). Скорость груза
равна — О.ЗО&По, скорость буфера 0,065«\>.
* Применение безразмерных координат вместо
обычных Гии (время, смешение) позволяет сделать
результаты решения универсальными, справедли-
. т>
выми для данных значений -^j- и п, независимо от
величины масс, скорости и податливости пру-
жины 4.
происходит новое соударение груза с буфером,
причем их скорости к этому моменту равны соот-
ветственно —О.ЗОбок н —1),54и> (последняя цифра
берется с фазовой диаграммы).
В результате соударения скорость груза стано-
вится равной—0,482о„, а скорость буфера —0,3741-0
|по уравнениям (б)|. Построение соответствующей
прямой и синусоиды показывает, что »то третье
соударение между грузом н буфером является по-
следним: груз отскакивает со скоростью о,482о„
а буфер совершает гармонические колебания с
амплитудой п,з9 -Г*. ( соответствующей радиусу
окружности, проходящей через точку С", иа фа-
зовой диаграмме.
Максимальный прогиб пружины буфера в
процессе удара соответствует точке F. Он равен
0,75-2!..
Р
УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ СИСТЕМЫ
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
В ряде случаев система, испытываю-
щая ударные нагрузки, может быть све-
дена к системе с двумн степенями сво-
боды. схема которой приведена на фиг. 5.
I I
/////////////////////////////////А
7/777%7/Я7/У/ММ/^^7»7Г//
Фиг. 6. Улар но системе с двумя степе-
нями свободы.
Здесь груз /П] ударяет по пружине /;
эта пружина связана с грузом тг, кото-
рый, в свою очередь, опирается на пру-
жину II.
394
РАСЧЕТ НА УДАРНЫЕ НАГРУЗКИ
К такой схеме приводится, например,
удар о буфер подвижных частей орудия,
закрепленного на упругом лафете, удар
болванки о форштосс прокатного стана,
удар в ковочном молоте и др.
Расчет в этом случае проводится с
помощью аппарата теории колебаний
для системы с двумя степенями свободы
(см. гл. XI). В момент t = 0, когда груз пц
касается пружины /, смещения обоих
грузов равны нулю, скорость груза
равна начальной скорости удара t^, а
скорость груза т, — нулю. Решение
дифференциальных уравнений движения
системы, состоящей из двух грузов и
двух пружин, при этих начальных усло-
виях позволяет определить перемещения
грузов и усилия в пружинах. Это реше-
ние справедливо только до тех пор, пока
груз т, находится в контакте с пру-
жиной 1. Как только груз лц отрывается
от пружины, он продолжает движение
по инерции, а груз т2 совершает сво-
бодные колебания на пружине //. Вслед
за этим может иметь место новое каса-
ние груза «1 с пружиной I, после чего
система снова движется совместно, как
система с двумя степенями свободы.
Движение ее в этом периоде рассчиты-
вается по тем же общим формулам,
причем в качестве начальных условий
принимаются те скорости и смещения
грузов, которые имеют место к моменту
контакта.
Таким же образом производится расчет
и дальше, если в процессе удара имеют
место еще отрывы груза от пру-
жины 1.
В качестве примера на фиг. 6 приво-
дится график движения грузов при оди-
наковых грузах и одинаковых пружинах.
По горизонтали отложена величина pot\
где рл — — — частота колебаний
V'n.f,
груза на одной пружине, а по вертикали —
смещения грузов, отнесенные к вели-
о0
чине —S-, где о0—начальная скорость
Ро
удара.
Как видно из графика, груз тг начи-
нает двигаться нс сразу, а с некоторым
запозданием, и смещения его достигают
максимума тогда, когда груз т, уже
движется в обратном направлении.
На участке АВ груз Ш| не касается пру-
жины 1 и движется по инерции.
В точке В происходит новое касание
груза о пружину, а в точке С — окон-
чательный отрыв его.
Рассмотренный пример позволяет уста-
новить основные особенности удара по
упругой системе с несколькими степе-
Фиг. 6. Зависимость от времени смещений
грузов в системе с двумя степенями свободы
(т, = т,; 8, = р, = ‘ .
V У mi )
иями свободы: неодновременность дви-
жения различных частей системы и на-
личие повторных соударений.
ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР
ПО СТЕРЖНЯМ
С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ МАССОЙ
Явление продольного удара по стерж-
ням носит волновой характер, причем
деформации растяжения — сжатия рас-
пространяются вдоль стержней со ско-
ростью
а —
где Е — модуль упругости материала;
р — его плотность.
Для стали а « 5000 м/сек.
Движение сечений стержня можно
рассматривать как результат наложения
двух волн, движущихся по стержню
слева направо и справа налево, причем
форма каждой волны, определяемая на-
чальными и граничными условиями,
остается неизменной в процессе ее рас-
пространения.
Соответствующее выражение для осе-
вого смещения и произвольного сечення
стержня, начальное положение кото.
продольный удар по стержням с распределенной МАССОП
395
рого определяется абсциссой х, имеет
вил
и (х, t) — f (at — х) + f (0/4- х).
где f(at — г) представляет собой волну
деформации, движущуюся в положи-
тельном направлении оси х; (at + х) —
волну, движущуюся в направлении,
обратном оси х.
как уже указывалось выше, вид функ-
ций / и <? зависит от начальных и гра-
ничных условий.
Относительное удлинение t и скорость
движения V произвольного сечения
стержня определяются уравнениями
е - — = (at - х) + у’ (а/4-х);
v - - a\f (at — х) + ?' (at 4 х)).
конца стержня, еще не дошла до него,
т. е. при х<а/<2/ —х,
о = 0; ----«L.
а
После того как до сечения доходит и
отраженная волна, т. е. при at > 2/ — х,
v — и0; е — 0.
Таким образом, в результате удара
стержень отскакивает от опоры со ско-
ростью, равной начальной скорости
удара.
Максимальная деформация, испыты-
ваемая стержнем, равна отношению ско-
рости удара к скорости распространения
волн. Изменение деформации в сечениях
х = О и х — ~ представлено на фиг. 8.
где штрихами обозначены производные
функции / и <р по аргументу.
Ниже приводятся выражения ено
для двух частных задач •.
I. Удар стержня постоянного сечения
о неподвижную преграду (фиг. 7). Мест-
Фиг, 7. Удар стержня о неподвижную
преграду.
Фнг. 8. Изменение деформаций в сечениях стержня
х — 0 и х — при ударе о неподвижную пре-
граду.
ные деформации не учитываются. В мо-
мент соприкосновения стержня с опорой
принимается / — 0.
Пока ударная волна, распространяю-
щаяся от точки контакта, не достигла
еще рассматриваемого сечения, т. е. при
at < х.
v — — о0; « — о
(знак минус при v0 объясняется тем, что
начальная скорость направлена против
оси х).
Когда ударная волна, распространяю-
щаяся от’точки удара, достигла сечения,
но волна, отраженная от свободного
• В общем случае продольного улара для оп-
ределения деформаций и скоростей с успехом
может быть использован графический метол харак-
теристик. изложенный и работе (I).
2. Удар жесткого груза массы т по
стержню с заделайным концом (фиг. 9).
Фиг. 9. Удар жесткого груза по стержню.
В втом случае скорость и деформация
в произвольном сечении определяются
выражениями
v - а [/' (at - х) —(д/4-х — 2/)];
‘ — — If' (at — x) 4- Г (at + x—2/)].
396
РАСЧЕТ НА УДАРНЫЕ НАГРУЗКИ
Функция /'(г)для различных значений
аргумента г задана следующими фор-
мулами:
«<0
0<z<2/
а
Ц<г<Ы
/*(«)--у «”Хт +
Z—2/
X [,-2jLT^x
x(2_xT-i)p^.
В приведенных формулах v0 — началь-
ная скорость удара; у — отношение соб-
ственной массы стержня к массе груза.
Графики функции /' (г) для значений
J- 1» ’/г! */<; */* представлены на
иг. 10, а соответствующие графики для
деформаций стержня в точке удара
(х — 0)— на фиг. 11.
Деформация стержня в заделке (х — /)
равна
*---I/' (at -l)+f‘ (at + 1-21)]-
- -2/(at-I).
Деформации в заделке определяются
удвоенным значением функции При
различных значениях у максимальные
деформации в заделке равны соответ-
ственно
X............ I V. V. 7.
’•«ах'ТГ ’ * 8'?‘ Э’“
При малых значениях у (отношение
собственной массы стержня к массе
груза у < 0,2) максимальная испытывае-
мая стержнем деформация определяете»
приближенной формулой
т+»)'
Элементарный расчет, не учитываю-
щий вовсе влияния собственной массы-
стержня (см. стр. 391), дает относитель-
ную ошибку в величине максимальной
деформации порядка Ку
1»олн — *прибл
*прибл
где /Я| — собственная масса стержня;.
т — масса груза.
Эта ошибка очень велика, если масса
стержня того же порядка, что и масса
груза.
При больших отношениях -^-ошибка-
И|
элементарного расчета убывает значи-
тельно быстрее, чем это следует из
приведенной формулы, так как в дей-
ствительности вследствие затухания к
местных деформаций величины пиков-
напряжений при каждом следующем
отражении волн убывают. Поэтому при
отношении массы груза к массе стерж-
ня > 10 собственную массу стержня
WJj
можно не учитывать.
Рассмотренные примеры позволяют
выявить основные особенности волно-
вых процессов при продольном ударе:
распространение волн деформации со-
скоростью, зависящей от модуля упру-
гости и плотности материала, разрыв-
ной характер изменения деформаций »
скоростей в сечениях стержня, наличие
определенного соотношения между ско-
ростью удара и деформацией, возникаю-
щей в первый момент удара.
Деформация <0, возникающая в пер-
вый момент удара жестким грузом,
движущимся со скоростью v0. равна
а соответствующее напряжение
«о “ f «о —
Для стали получаем ов — 400 где
во — в к Г/см*, и0 — в м/сек.
продольный удар по стержням с распределенной массой
397
Фиг. 1L Изменение деформаций стержня » точке удара при различных отношениях х массы
стержня к массе груза.
УПРОЩЕННЫЕ МЕТ
ЫЕ НАГРУЗКИ
формациям пики ударных волн смягча-
ется, максимальные напряжения сми-
наются, а время удара несколько увели-
тивается.
Если условия соударения являются
юстаточно определенными (например.
:ферический конец стержня), учет мест-
ных деформаций не вызывает сущест-
венных затруднений. Методы такого
(чета рассмотрены в работах |1| и [3].
В качестве примера, позволяющею оце-
нить роль местных деформаций при
яродольном ударе, на фиг. 12, б пред-
ъявлен график изменения контактной
силы прн ударе груза т весом 1 кГ,
цвижущимся со скоростью 1,5 Mlcexr
то стержню, размеры которого дань»
за фиг. 12, а. Сплошной линией пока-
зано изменение усилия с учетом мест-
ных деформаций, пунктиром — без их
учета.
Проведенные эксперименты свиде-
тельствуют о большой точности волно-
вого расчета, учитывающего местные
цеформаиин.
ВОЛНОВОЙ МЕТОД РАСЧЕТА
УСИЛИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ
УДАРЕ ПО ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ
ВИНТОВЫМ ПРУЖИНАМ
Прн ударе по пружинам в них воз-
тикают волны деформации, аналогичные
золнам продольной деформации в стерж-
нях.
Метод расчета, основанный на замене
пружины эквивалентным стержнем, дает
достаточно надежные результаты.
Эквивалентный стержень принимаете»
имеющим длину, равную высоте пру-
кины в недеформированном состоянии.
Основные характеристики эквивалент-
юго стержня рассчитываются по фор-
яулам, приведенным ниже.
Формула Размерность
кГ
— о -жОР- кГсекЧсм'
СМКГЛ
сек.
В приведенных формулах обозначен
С — uJK — крутильная жесткость сеч
ния проволоки (значения JK для ра
личных форм сечения см. табл. 4 гл. II
л — шаг пружины; D— средний диамет
витка; F— площадь сечения витка; /•
число рабочих витков; р — плотност
материала в кГсекшем'.
Расчет процесса удара груза по пр,’
жине выполняется точно так же, как
для удара по стержню (см. стр. 394). Пр
этом под у понимается отношение со*
ственной массы пружины к массе груз
Усилие Р, сжимающее пружину, связ;
ио с деформацией ее • выражением
Р = • (f Р)»к»
а напряжения в витках пружин иах<
дятся через усилие по обычным форм’
лам статического расчета пружин (ci
т. 4, гл. XVIII).
При заданном законе движения конг
пружины (например, клапанные npj
жины) расчет удобно выполняется гр;
фическим методом (I].
В качестве примера приведем резул;
тат расчета клапанной пружины тяже
лого дизеля, имеющей следующи
параметры: диаметр проволоки it •
•• 9.5 мм; средний диаметр пружин
D — 82 лим; число рабочих витке
I — 9.5; предварительное поджатие /0 •
в 40,5 мм; усилие предварительног
поджатия Pt — 63 кГ; свободная длин
Но = 210 мм; шаг навивки s — 19,2 мл
модуль сдвига материала G) •
= 8-10® кГ^см-; плотность материал
р = 7,9-10—* кГсекг1см4.
Один конец пружины оперт, друге
связан с клапаном, приводимым (
параболического кулачка. Закон двнж<
ния клапана (график скорости) пре;
ставлен на фнг. 1л На фнг. 14 привс
Фиг. 13. График изменения скорости клапана.
день* полученные в результате расчет
графики изменения усилий в перво
УПРОЩЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НА УДАР
39»
В приведенных формулах обозначено:
С — GJK— крутильная жесткость сече-
ния проволоки (значения JK для раз-
личных форм сечения см. табл. 4 гл. II);
s — шаг пружины; D — средний диаметр
витка; F — площадь сечения витка; i —
число рабочих витков; р — плотность
материала в кГсек^/см*.
Расчет процесса удара груза по пру-
жине выполняется точно так же, как и
для удара по стержню (см. стр. 394). При
атом под х понимается отношение соб-
ственной массы пружины к массе груза.
Усилие Р. сжимающее пружину, связа-
но с деформацией ее * выражением
Р - . (EF)3Kt.
(х — 0) и последнем (х — /) витках пру-
жины. Пунктиром нанесены значение
усилий, полученных из статического рас-
чета. Максимальное динамическое уси-
лие, возникающее на неподвижном конце
Фиг. И. Изменение усилий н вит
ках клапанной пружины при дви-
жении ее конца по закону, пред-
ставленному на фиг. 13.
а напряжения в витках пружин нахо-
дятся через усилие по обычным форму-
лам статического расчета пружин (см.
т. 4, гл. XVIII).
Прн заданном законе движения конца
пружины (например, клапанные пру-
жины) расчет удобно выполняется гра-
фическим методом [1].
В качестве примера приведем резуль-
тат расчета клапанной пружины тяже-
лого дизеля, имеющей следующие
параметры: диаметр проволоки d =
“ 9Д мм; средний диаметр пружины
D = 82 мм; число рабочих витков
i = 9,5; предварительное поджатие /0 =
— 40,5 мм; усилие предварительного
поджатия Ро = 63 кГ; свободная длина
Ht — 210 мм; шаг навивки s — 19,2 мм;
модуль сдвига материала Ot —
= 8-10» кГ/см2; плотность материала
р — 7,9-10~* кГсекг1см*.
Один конец пружины оперт, другой
связан с клапаном, приводимым от
параболического кулачка. Закон движе-
ния клапана (график скорости) пред-
ставлен на фиг. IJ. На фиг. 14 приве-
дены полученные в результате расчета
графики изменения усилий в первом
пружины через 37,5-10_з сек. после на-
чала движения, равно 80 кГ. Полное
усилие с учетом предварительной за-
тяжки составит в этот момент Ртлх
— 63 + 80 = 143 кГ. Оно на 17®/0 выше,
чем усилие, найденное статическим рас-
четом.
УПРОЩЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
НА УДАР
Пренебрежение собствен-
ной массой упругой системы
по сравнению с массой ударяющего
груза — наиболее простой прием, позво-
ляющий использовать для расчета про-
стые уравнения удара по системе с одной
степенью свободы (см. стр. 391).
Этот прием дает удовлетворительные
результаты в том случае, если масса
груза превышает собственную массу
системы более чем в 5—10 раз. В про-
тивном случае ошибка может быть очень
значительной.
Вследствие пренебрежения собствен-
ной массой системы величины макси-
мальных динамических перемещений
системы получаются завышенными.
Ошибка в величине динамических напря-
жений может быть как в сторону ил
завышения, так и в сторону нх зани-
жения.
Метод приведения массы
является наиболее распространенным
приближенным методом расчета на удар-
ную нагрузку. Этот метод позволяет
более точно, чем при полном пренебре-
жении собственной массой системы,
оценить динамические перемещения.
Для напряжений существенного уточне-
ния не получается Прн точном расчете
4Л0
РАСЧЕТ НА УДАРНЫЕ НАГРУЗКИ
по данным начальным условиям опре-
деляется движение системы в процессе
удара.
При использовании метода приведе-
ния массы закон движения системы
задается на основе тех или иных сооб-
ражений и вычисляется лишь величина
максимальных динамических перемеще-
ний и напряжений. При этом прибли-
женный расчет дает лишь ориентиро-
вочные значения динамических напряже-
ний и усилий и относительно точные
значения динамических перемещений.
Для расчета упругая система с рас-
пределенной и сосредоточенными в
различных точках ее массами заменяет-
ся невесомой системой с одной сосре-
доточенной в точке удара массой (при-
веденной).
Величина приведенной массы опре-
деляется по формуле
где т/ — сосредоточенные массы систе-
мы; dm — элементы распределенной
Ui и
массы; —--------отношения переме-
«в «о
щений соответственно /-й сосредоточен-
ной массы mt и элемента dm распреде-
ленной массы к перемещению и0 точки
удара при заданном законе движения
системы.
Суммирование в приведенной форму-
ле выполняется по всем сосредоточенным,
а интегрирование—по всем распреде-
ленным массам системы.
При вычислении величины приведен-
ной массы принимают обычно, что
соотношения между перемещениями
точек системы при ударе таковы же,
как и прн собственных ее колебаниях
основного тона или (чаще) прн дефор-
мации системы статической нагрузкой,
приложенной в точке удара. Коэффициен-
том кпр приведения массы называется
отношение приведенной массы системы
тпр к полной ее массе:
ь тп»
*я'“ т *
Предположим, что перемещения вдоль оси
стержня изменяются так же, как и при стати-
ческом сжатии его по треугольнику (фнг. 15,6):
Находим пр наеденную массу:
Эта масса составляет полной массы стержия
ql. и таким образом коэффициент приведения в
данном случае равен >(г
Фнг. 15. К определению приведенной массы
стержня при продольном ударе.
2. Приведенная масса консольной балки по-
стоянного сечения при ударе по ее концу (фиг. 16)
33 ,
тпр “ 140 4 '
33
Коэффициент приведения массы knp = yyg-.
3. Приведенная масса ляухопориой балки по-
стоянного сечения длины I при ударе в ирона-
вольной точке иа расстоянии а от опоры (фиг. 17).
Фнг. 16. К определению приведен-
ной массы консольной оалки.
Фиг. 17. К определению приведен-
ной массы двухопорной балки.
Ниже даются некоторые примеры
определения приведенной массы.
I. Приведенная масса стержня постоянного се-
чения прн продольном ударе по его концу
(фнг. 15, ау
Проше всего получить результат, предположив,
что упругая линия балки — синусоида:
. , г._г
и-/, aln -у.
упрощенный расчет удара упругого тела о преграду
401
Прогиб в точке удара равен тогда
а. =/11п-у-
и привезенная масса
Коэффициент приведения
Если приняв для расчета упругую линию, со
тветствующую нагружению балки сосредоточен-
ной силой в точке удара, для коэффициента прнве
леиия получается формула
*»Р = 42о^ 115 <“’ + "*> + “ + *»* +
4 ЗБб’ (I + а)’ - 42й‘ (« + »)- 42Р' (/ + о)].
Прн уларе в средней точке балки обе формулы
дают почти одинаковые результаты It = _!_
I пр 2
17 \ г,
н А = -g- I. При расположении точки удара
ближе к опорам значения Ап^ по второй формуле
несколько меньше, чем по первой. Так, например,
при расположении точки удара на одной четверти
длины балки первая формула дает А " I, в
731 Р
нторв. *яр-_-(V75.
Расчет улара по системе с сосредоточенной
и точке улара приведенной массой выполняется
и предположении неупругого улара.
Максимальный динамический прогиб опреде-
ляется по формулам:
для горизонтального улара
для вертикального удара
где IF, — кинетическая анергия груза и монет
удара; т — его масса; I — податливость упругой
системы (т. е. прогиб под действием единичной
силы, приложенной п точке удара); ! - стати
ческнй прогиб системы пол действием веса груза.
Динамическая нагрузка на систему опреде
ляется по формуле
26 Том 3
УПРОЩЕННЫЙ РАСЧЕТ УДАРА
УПРУГОГО ТЕЛА О НЕПОДВИЖНУЮ
ПРЕГРАДУ ИЛИ СОУДАРЕНИЯ
ДВУХ УПРУГИХ ТЕЛ
Для расчета обычно задают распреде-
ление инерционных усилий в частях
системы и затем определяют величину
максимальных усилий, приравнивая по-
тенциальную энергию деформации вели-
чине кинетической энергии, потерянной
при соударении. Точность результата
зависит, понятно, от того, насколько
удачно будет задано распределение
усилий.
Ниже рассматриваются примеры таких
расчетов.
Пример I. Определить контактную силу и
напряжения в собачке драпового механизма
(фиг. 18. а) при соскоке ее е зуба храпопнка.
Фиг. 18. К расчету усилия удара собачки.
Кинетическая анергия собачки в момент удара
IF, ранка работе пружины, прижимающей со
бачку, и работе силы тяжести собачки на пути,
соответствующем свободному движению собачки
от момента срыва ее с зуба до контакта со сле-
дующим зубом (пунктир на фнг. 18, а).
Предполагается, что »та анергия полностью
превращается в потенциальную анергию деформа
ции собачки (местные деформации не учигыяа
ются). Упругая линия собачки, которая может
рассматриваться как балка постоянного сечення,
принимается такой же, как при воздействии иа
нее нагрузки, распределенной по треугольнику
(фиг. 18, tf), г. е в соответствии с распределением
инерционных сил прн движении собачки как жест
кого геля
Изгибающий момент, вызываемый згой на-
грузкой а сечении на расстоянии л от шарнира,
равен
г,>
Потенциальная анергий деформации опреде-
ляется интегралом
i
Приравнивая вту величину кинетической энер-
гии удара находим экниналенгную интенсив-
ность нагрузки!
402
расчет на ударные нагрузки
Динамическая контактная сила при уларе
собача» о зуб храповика составит
Максимальный изгибающий момент в сечении
. I
собачки х = —— равен
Уз
Л1 -
111Л х
Пример 2. Определить усилие при ударе де-
тали А (фиг. 19,а), движущейся поступательно со
скоростью t'«, о деталь В, закрепленную на оси С
и подпертую мягкой пружиной.
Поскольку детали Л и В являются жесткими
по сравнению с пружиной, влиянием последней
иа соударение можно пренебречь.
В момент наибольшего сжатия летали А и В
движутся совместно — деталь А со скоростью п„
р.
а деталь В с угловой скоростью «о = -г1- .
п
Величину скорости о, можно определить из
условия постоянства момента количества движе-
ния деталей А и В относительно оси С:
mvh = mo,Л •+ J ~ ,
Л
где т — масса летали А: У—момент
массы детали В относительно точки С.
Отсюда
инерции
Для детали А ускорения всех точек одинаковы,
для летали В — распределены по треугольнику.
В простейшем случае, когда обе детали пред-
ставляют собой стержни постоянною сечения, это
приводит к распределению нагрузок на них, по-
казанному на фиг. 19, б.
Фиг. 19. К расчету процесса удара н сложной
системе.
Соответствующая этим нагрузкам потей пиал ь-
иая энергия деформации равна:
для летали А
п "АР .
А “ f £F ~ «££ ’
Найдем разницу W, между начальной кинет»
ческой энергией летали А и кинетической впер-
шей системы в момент наибольшего сжатия:
Именно ата часть анергии превращается а по-
тенциальную анергию деформации деталей А и В,
Для того чтобы определить деформации деталей,
нужно задать схему распределения сил в ина.
Предположим, что контактная сила Р иа стыке
между детелями уравновешивается приложенными
к деталям массовыми силами, пропорциональными
ускорениям соответствующих точек при движении
деталей как жестких тел.
ЛИТЕРАТУРА
I. П о и о м а р е о С. Д„ Б и л е р м а и В. Л.
и др.. Основы современных методов расчета иа
< рочиость в машиностроении. Расчеты при дина-
мической нагрузке, устойчивость, ползучесть,
М. УШ, Машгиз, 1962.
2. Доброгурский С. О., К вопросу о
иапрвжеиивх и усилиях при ударе, сб. .Вопросы
расчета и конструирования деталей машин*, изд.
АН СССР, 1942.
3. Кильченский Н. А„ Теория соудя-
реиия упругих тел. ГТТИ, 1949.
1. Шапиро Г. С„ Продольные колебаниа
стержней, .Прикладная математика и механика*,
1. X. ы,.п. 6—6. 1946.
для детали В (см. пример 1)
„ *ВЛ* PW
В “ 9«£7 “ 1йб£/ *
Приравнивая суммарную анергию деформации
найденной выше потере кинетической энергии
определим контактную силу Р из равенства
Вслед за этим определяются динамические на-
пряжения а деталях.
И ИСТОЧНИКИ
5. Ильюшин А. А„ Пластичность, гл. VII
ГТТИ. 1948.
б. Рахматуллин X. А„ О распрострлие-
IIIи воли разгрузки, .Прикладная математика и
механика*, Т. IX, вып. I, 1946.
7. Соколовский В. В., Распространение
упруго-вязко-пластических волн в стержнвх, ПММ,
т. XII, вып. 3, 1948.
8. Штверман И. Я-, Контактная задача
теории упругости. Гостехиздат, 1949.
9. Петврссон С., Исследование волн на-
пряжения в цилиндрических стальных стержнях
с помощью проволочных датчиков, .Transaction»
ol the Royal Inatltute of Technology*, M 62, 1963,
nepen. в сб. .Механика* .4 3, Иноизлат, 1964.
ГЛАВА XIII
МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
Концентрацией напряжений назы-
вается местное увеличение напряжений,
вызнанное резким изменением очертания
детали, как-то: наличием надреза, отвер-
стия, резьбы, сопряжения детали. От этих
мест могут развиваться трещины уста-
лости. а также статические поломки
деталей из хрупкого материала.
Величина наибольшего напряжения
в зоне концентрации (пик напряжения)
выражается как произведение номиналь-
ного напряжения ан или xN на коэффи-
циент концентрации я, или ят:
“яма“ “Ль 0)
Коэффициентом концентрации назы-
вается отношение наибольшего напря-
жения в зоне концентрации к номиналь-
ному напряжению:
ят = -тЕН. (2)
Номинальное напряжение <гм или тя
определяется по формулам сопротивле-
ния материалов, не учитывающим кон-
центрации напряжений (см. гл. II и III).
Для прямого бруса:
при центральном растяжении или
сжатии
Р
“ F ' (За)
при поперечном изгибе
» (3б>
при кручении вала круглого сечения
Здесь Р. А1. Мк — продольная сила,
изгибающий и скручивающий моменты;
26*
F. IF и VTP — площадь и моменты сопро-
тивления, обычно по сечению нетто.
Концентрацию напряжений в пластин-
ках и оболочках можно определять
при помощи соответствующих дан-
ных по концентрации напряжений в
брусе; определение номинальных на-
пряжений для пластин и оболочек
см. гл. V и VI.
Влияние концентрации напряжений на
усталостную прочность характеризуется
эффективными коэффициентами концен-
трации и А,; величины йв и Л, меньше
или приближаются к величинам ав и а,
в зависимости от характера распреде-
ления напряжений, материала и абсо-
лютных размеров детали (см. гл. XIV).
В деталях из пластичного материала
благодаря перераспределению напряже-
ний концентрация напряжений обычно
не снижает прочности при статической
нагрузке.
Градиент напряжения находится как
отношение приращения величины напря-
жения в двух соседних точках к рас-
стоянию между этими точками. Напри-
мер, градиент напряжений ах в попереч-
ном сечении растягиваемой полосы
с отверстием (см. фиг. 2) равен тангенсу
угла между касательной к кривой sx и
осью у; наибольший градиент напряже-
ний ах для указанного случая, как видно
из эпюры, получается на контуре отвер-
стия. При данных конфигурации детали
и нагрузке с увеличением размеров де-
тали градиент напряжения падает, а
с уменьшением — увеличивается.
Для распределения напряжений в зонах
концентрации характерно следующее:
1) резкое повышение напряжений в зоне
концентрации сопровождается уменьше-
нием напряжений вблизи зоны концен-
трации; 2) появление дополнительной
компоненты напряжения; 3) коэффициент
концентрации напряжений для выточки
(или надреза) при данных глубине ее и
«и
МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
размерах детали зависит главным обра-
зом от кривизны поверхности по дну
выточки.
В местах концентрации нормальных
напряжений имеет место также концен-
трация касательных напряжений; на рас-
пределении касательных напряжений
сказывается объемность напряженного
состояния в зоне концентрации.
Коэффициенты концентрации напря-
жении при упруго-пластическом дефор-
мировании см. гл. IX.
Эффективные коэффициенты концен-
трации см. гл. XIV.
Величины коэффициентов концентра-
ции а9 и а,, приведенные в этой главе,
даны для деформаций в пределах упру-
гости и получены по методам теории
упругости или экспериментально на
упругих моделях (поляризационно-опти-
ческим методом, тензометрированием,
по методу аналогий — см. гл. XV).
Формулы для подсчета
гоэффициентов концентрации
Пластинка с круглым отверстием
растягиваемая в одном направлении
(фиг. 1, а); ширина пластинки более чем
в 5 раз превосходит диаметр отверстия.
Наибольшие растягивающие и сжи-
мающие напряжения
’ш» - «д - Зо; ав - — в. (4)
По контуру отверстия
«4 = (1 —2 cos 20) а. (5)
В точке С пластинки
•»,-1(1-рг) + (1-4р’+Зр<) соэ20]|;
“ |(1 + р*)— П + Зр<) cos 201 -j-;
(6)
М- [(I +2р»~Зр«) sin 2в| 4,
а
где р - — .
Для точек р К 0,2 напряжения можно
рассчитывать как в пластинке, не имею-
щей отверстия.
Пластинка с эллиптическим отвер-
стием растягивается в направлении
оси b эллипса (фиг. 1, б); ширина пла-
стинки более чем в 5 раз превосходит
наибольший размер отверстия.
Наибольшие растягивающие и сжи-
мающие напряжения
’mu - 9л — (1 + 2 -у) я;
°4
О в — — ».
По контуру отверстия
sin«0-b 2 у sin’O— (у
sini9 + (|y
cos2!)
cos^O
в. 8)
Полоса ограниченной ширины с цен-
тральным круговым отверстием, рас-
тягиваемая по оси (фиг. 2, а).
Величина напряжений ав по контуру
отверстия и аг — по поперечному сече-
нию через центр отверстия опреде-
ляется по формуле
в, — кз и вж — (9)
где а — -гп ; b — толщина полосы; к —
ип
по табл. 1 (контур) в зависимости от в;
Л1 — по табл. 2 в зависимости от
, . tt г
(поперечное сечение); X — и ц- .
Эпюры напряжений при X — 0,5 даны
для основных точек на фнг. 2, б. При
X < 0,2 напряжения не отличаются бо-
лее чем на 0% от напряжений в беско-
нечно широкой пластинке.
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
405
Таблица I
Значения А для определения напряжения
на контуре отверстия в растягиваемой
Полосе
-1.44
-1.12
-0,30
+0.91
4-2.25
+3.32
+3.74
Наибольшее напряжение, получаемое
в точке А (фиг. 2).
стта* = ао®н>
Таблица 2
Значения It, для определения напряжений
по поперечнону сечению в растягиваемой
полосе с отверстием
75% А -0,1 X -0,2 А =0.3 А =0,4 А =0,5
0.1 3,03
0.2 1.23 3.14 — =
0.3 1,08 1.57 3.36 —
0.4 1,04 1.26 1,93 3,74 —
0.5 1.03 1.16 1,47 2.30 4.32
0.6 1.02 1.11 1.28 1.75 2,75 1
0.7 1.01 1.07 1.17 1.48 2,01
0.8 1.01 1.05 1.07 1,28 1.61
0.9 1,00 1.01 0.96 1.08 1.22
1.0 Н.99 0,97 0,89 0.81 0,73
Фнг. 2.
где приближенно
".“ГТ! при
Г. л. Р
График для «9 при ан — Yfj ~ см-
фиг. У.
Балка прямоугольного сечения при
чистом изгибе, имеющая круглое от-
tepcmue с центром на оси (фиг. 3).
При -тг> 0Л наибольшее напряжение
П
вгоах на контуре отверстия (точка Л)
’max “ а0°я>
2d . 6МН ....
где ь(Нз--.(\0)
При осевом растяжении си-
лой Р при
1.01 <5 и 0,05 <-^- <50
п •
1 + [2,6(1.26 —1)'~] • (||)
406
МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
ГАС
(6-11+0,51/
, П F Г
6 - — ; Л — ----7=— »
h .ft
’ (a-D+J/y
(при г < t);
М>-1+(%-1)Х
(при г > f), где ав — коэффициент кон-
центрации при параллельных боковых
р
°«= bh
При чистом изгибе моментом
М при 1,05 <-^-<5 и 0,05 <—<7
• п г
“о - 1 +
Г 6 — 1 h ]0Л5в
[8(1.076— 1)' г ] ’
6Л1
аи~ bh2 *
(12)
Графики дли ав см. фиг. 16—18.
Брус прямоугольного сечения сту-
пенчатый с круговой галтелью
(фиг. 4. <Г) [12].
Прн осевом растяжении си-
лой Р
Фиг. 5.
, . Г 6-1 h 1 о.»
1 + [4(1.46-1) ’ г J ’
где
(13)
гранях. поЛучаемый по формулам
(11) —(14) или графикам фиг. 16—22.
Вал круглого сечения ступенчатый
с круговой галтелью радиуса г.
При кручении моментом М,
Л н р
О) 6/
Фиг. 4.
, (16)
При чистом изгибе момен-
том М
При 6 <1,2 следует применять
формулу
*,-1 + . ' , •
з(1+в£)
, , Г 6 — 1 hl 0,85
1 + [9.6(1,126-1)' г ] * (14)
Графики для аа см. фиг. 20—22.
Брус прямоугольного сечения с дву-
сторонними вырезами и ступенчатый
с круговой галтелью (фиг. 4) при на-
клоне боковых граней на угол j»
(фиг. 5, а. б, в) [12].
Коэффициент концентрации
График для аа см. фиг. 32.
Вал круглого сечения диаметром d
с кольцевой канавкой глубиной t и ра-
диусом г по дну.
Зависимость между коэффициентом
концентрации а, на изгиб и на кру-
чение
1 + 21Лу
«, — «ц-----•.— - (17)
(формула Грифитса); величина а, или
в, может находиться по соответствую-
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ
407
щему графику, приведенному ниже.
При неглубокой выточке
%= 1 +2]/^; а, - I + (18)
Более точные значения ав и at могут
быть найдены по графикам коэффициен-
тов концентрации для гиперболической
формы надреза — см. стр. 414.
Продольное круглое или эллиптиче-
ское отверстие малого размера в скру-
чиваемом стержне (фиг. 6, а).
Фиг, 6.
Коэффициент концентрации
= 1 + ~Ь ’ ’* * 0Д4* < 9
Входящий угол тонкостенного про-
филя, воспринимающего момент кру-
чения Мх (фиг. 6, б).
Коэффициент концентрации
а, — 1,74
(20)
(формула Треффца). Уточнения фор-
мулы (20) см. [6].
Наибольшее напряжение
тт»ж “ ажт« >
где тм—наибольшее напряжение в уда-
ленной от угла точке более толстой
стенки, определяемое по формуле для
данного профиля (см. гл. II).
Отверстие радиусаа в стенке кругово-
го тонкостенного цилиндра радиуса R.
При тт I/ ту коэффициент кон-
центрацпи
«.-3 + 13^ (21)
(прн равномерном растяжении стенки
цилиндра по образующей);
а*
% -3 + 6.9^ (21а)
ПК
(прн внутреннем давлении в цилиндре);
здесь Л*—толщина стенки цилиндра.
Графики для определения
коэффициентов концентрации
В приведенных на фиг. 7—35 графи-
ках даны величины коэффициентов кон-
центрации а, И at в зависимости от фор-
мы. соотношения размеров и способа
нагружения детали; формулы для под-
счета номинальных напряжений яп и гн
даны на графиках; наибольшее на-
пряжение или тти-
=
На фиг. 7—35 даны графики коэффи-
циентов концентрации для следующих
случаев:
а) растягиваемая пластина с одним или
несколькими отверстиями — фиг. 7 и 8;
б) изгибаемая полоса с отверстием —
фиг. 10, 11;
в) растягиваемый брус круглого,
квадратного и прямоугольного сечений
с поперечным отверстием — фиг. 12;
г) нал круглого сечения с попереч-
ным отверстием — фиг. 13;
д) растягиваемая и изгибаемая полоса
(брус) с симметричными выступами и
надрезами — фиг. 14—19;
е) растягиваемая и изгибаемая полоса
(брус) со ступенчатым изменением вы-
соты сечения — фиг. 23—24;
ж) сопряжение полос под прямым
углом и угольник с нагрузками по пол-
кам — фиг. 25—26;
з) хвостовое крепление растягивае-
мой полосы —фиг. 27;
и) нарезка на растягиваемом и изги-
баемом стержне круглого сечения —
фиг. 28;
к) изгибаемый вал с напрессовкой —
фиг. 29;
л) вал круглого сечения со шпоноч-
ным вырезом, работающий на круче-
ине — фиг. 30,
м) ступенчатый вал круглого сече-
ния— фиг. 31—33.
Графики фиг. 34 и 35 построены на
основании теоретического решения Нейг
бера (5] для гиперболической формы
надреза и эллиптической формы отвер-
стия.
408
МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Фнг. 7. Пластина неограниченных размеров в обоих
направлениях с круговым отверстием, подкреплен-
ным кольцевым утолшенисы.
Фнг. 10, Брус прямоугольного сечення, изгибаемый
в плоскости поперечного отверстия.
Фиг. 11. Брус прямоугольного сечении, изгибае-
мый в плоскосгп, перпендикулярной к отверстию.
Фнг. 8. Растягиваемая пластина ограниченной ши-
рины Н с центральным круговым отверстием (/)
и боковыми вырезами по полуокружностям (2) и
полоса или цилиндрическая растягиваемая по оси
труба с равномерно расположенными отвер-
стиями (3).
Фиг. 12. Растягиваемые по оси брус
круглого (/) * квадратного (2) сечения
и полоса (3) с центральным круглым
отверстием.
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЯ
409
Фнг. 13. Вал с поперечным отверстием;
и-ав-Члав
нт 4 ‘
(зж-16А)о.
—________—_____•
нт м •
ж — 12а — 9 »1п 2а — sin 4а
WP (нт) = IQ
D*.
Фиг. 14. Растериваемая полоса с двусторонним
надрезом.
Фиг. 16. Изгибаемая полоса с двусторонним
надрезом.
Фиг. 17. Брус прямоугольного сечения, изгибае-
мый в плоскости, параллельной двустороннему
надрезу.
410
МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Фиг. 19. Нэ1Ибаеи1я полоса с аяусторонкими пмегупаыи прн — —3,0; 2,0; 1,25.
*1
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
411
Фиг. 20. Растягиваем» полоса с двусторонними
выступами.
Фиг. 22. Изгибаемая полоса с двусторонними вы-
ступами. Графики построены для прямого выступа
(верхний фигура); прн наклонной грани ступени —
см. формулы Ц5).
Фиг. 21. Растягиваемая полоса с двусторонними
г
выступами при малом — .
Фиг. 24. Короткий нагибаемый брус
с двусторонними выступами.
412
МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Фнг. 25. Сопряжение полос поя прямым
углом при чистом изгибе. 0— отношение
напряжения иа криволинейном участке кон-
тура к номинальному напряжению.
Фиг. 25. Нарезка на растягиваемом или изгибае-
мом стержне круглого сечення. Номинальные на-
4Р
пряжения прн растяжении ак = и при изгибе
М
.где «/—внутренний лиаметр по иа-
резке болта.
Фиг. 26. Угольник с нагрузкой, лаюшей
растяжение И иггиб.
Фиг. 29. Изгибаемый вал с напрессовкой с давле
иием р; (</ - D,) — иатяг (по данным, получен-
ным на плоских моделях |12]).
Фиг, 27. Хвостовое креплеиие растягивае-
мой полосы.
Фиг. 30. Скручиваемый вал
со шпоночным вырезом.
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ
413
Следует отметить, что теоретическое
решение, полученное методами теории
упругости для мелких и глубоких над-
резов н выточек, распространяется на
надрезы и выточки средней глубины с
Фиг 31. Ступенчатый вал прн растяжении.
помощью приближенной интерполяци-
онной формулы
____!----_-----1____л. ____!--- (29)
(«—!)» («'-!)» + («*—!)* ' '
здесь а, а' на’ — величины коэффициен-
тов концентрации соответственно для
средней, мелкой и глубокой выточки
или надреза. Приводимые ниже графи-
ки фиг. 34 и 35 построены с использо-
ванием этой зависимости.
Для определения коэффициентов кон-
центрации прн круговой форме надреза
приближенно при использовании графи-
ков фиг. 34 и 35 круговая форма заме-
няется гиперболической с тем же радиу-
сом по дну надреза.
При пользовании графиками фиг. 34
и 35 по левой графе табл. 3 выбирается
заданный тип надреза и по второй гра-
фе берется по заданному усилию фор-
мула для подсчета номинального напря-
жения. В правой графе табл. 3 буква
указывает шкалу величин — в ле-
вой части фиг. 34. которой надо поль-
зоваться в рассматриваемой задаче; пер-
вая цифра дает номер кривой в правой
части .фнг. 34 и вторая цифра — номер
кривой на фиг. 35. Как пояснено в при-
веденных ниже примерах 2 и 3. коэф-
фициенты концентрации для типов над-
резов, указанных в табл. 3 под номе-
рами 1—4, 7 и 8, находятся по графику
фиг. 34; для типов надрезов, указан-
ных в табл. 3 под номерами 5 но (валы
с осевым отверстием), применяются оба
графика фиг. 34 и 35.
В приведенных выше графиках даны
теоретические коэффициенты концентра-
ции, полученные исходя из допущений
теории упругости. Допущение о бес-
Фиг. 32. Ступенчатый пал прн кручении.
конечно малых размерах частиц мате-
риала, из которого выполнена деталь,
приводит к ошибкам в случае малой
абсолютной величины радиуса закруг-
ления по дну концентратора (острый
надрез), соизмеримой с размерами
частиц реального материала. Поэто-
му прн малой абсолютной вели-
чине радиуса по дну концентратора
(при коэффициентах концентрации,
больших 3—4) необходимо учиты-
вать: а) структуру материала, опре-
деляющую чувствительность мате-
риала к концентрации напряже-
ний, б) наличие значительной отно-
сительной деформации в зоне кон-
центрации.
414
МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Фиг. 35. Графики коэффициентов и коииситрлции для гиперболической формы надрезай эллип-
тической формы иырем (по Нейберу).
В соответствии с этим прн малом
радиусе р по дну надреза приближенно
расчетный коэффициент концентрации
может (5) оцениваться введением по-
правки с помощью формулы
где о — теоретический коэффициент кон-
центрации. определяемый по приведен-
ным выше графикам и формулам; р' —
характеристика материала, выраженная
в виде линейного размера, которая мо-
жет для стали приниматься приближенно
равной р' я» 0.5 мм, ш — величина угла
в радианах, на который прн переходе
через концентратор, находящийся на
контуре, отклоняется направление каса-
тельной к контуру (фиг. 36). Величины
эффективных коэффициентов концен-
трации. определяемые испытанием на
усталость образцов и деталей, см. гл. XIV
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ
415
Таблица 3
Типы надрезов, формулы ДЛЯ номинальных напряжений и шкалы и кривые по фнг. 34
и ЗД для определения коэффициентов коицентрации
Шкала
Тип надреза
ЗЛ1
2so*
N
sa
6М
да*
Формула для
номинальных
напряжений
1S5
N
кри-
вой •
3MI
Тип надреза
4 Шкала для
Я— 1 1 А
Ч И
р-0,3
та
J--I
м. м
Формула для номинальных напряжений Шкала и М кри- вой ♦
N п(г* — (*) ь 5; 1
4Мг * (г* - с‘) ь 5; 2
(1,23г* 4- 2,77с*) <? а 10; з
к (г* - с*)
10; 4
N
к (Z>« - г*)
4Л(г
п(t>‘ - f)
(2,77 Ь* 4- l,23r>) Q
5; 5
5; 6
10; 7
10; 8
•2s
к(»• - г1)
N па’ 6 7 ** jTF Q паг И 10
4М «а* ь 7 мк 2паг- а 10
1,23 Q па’ а в В QS « 1aJ а 10
«IS: rd
• Мк а 01
па’ Ъ О' — <-5 = г laF
__________ ___ ________(мелкий надрез) обозначена буквой; кривые а графиках обозначены со-
ответственно первой (для фиг. 34) и второй (для фиг. 35) цифрами в зтой графе.
$ — статический момент верхней части сечения по отношению к нейтральной линии; J —
момент ннериин всего поперечного сечення по отношению к нейтральной лниин.
*—Л—площадь, ограниченная средней линией стенки, обозначенной пунктиром,
Примеры определения коэффициентов
концентраций
Пример I. Определить коаффициент юниектро-
цин для скручиваемого ступенчатого вала (ф>н . 37)
Фиг. 37.
Фнг. 36. Случаи отклонения касательной к кон-
туру при переходе через концентратор: а — угол
. ш — 0; а — угол ш — к.
с сопряжением по круговой галтели. Диаметры
участков D •• 96 мм, а — 90 мм и радиус галтели
г — 4 к.к.
416
МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
и 'hi г
По криво* фмг. 32 дли — = jg — 1,2 и — =
4
= ОЛ “ °’05 и**оли“ я- = IЛ4.
W
Наибольшее напряжение при зефпрмюши в пре-
делах упругости
Л1
- — j 54 _____*
max *’ 0,2 (8.и)1 '
где Мк— момент кручения в кГсм.
Пример 2. Плоский брус (фиг. 38) с симметрия
ным надрезом при чистом нага бе. Надрез рассма-
тривается как очерченный по гиперболе (табл. 3,
тип 1). Размеры: а =95 мм, 2 — 15 мм, р —
6,16.
= 2,5 ми. Отсюда
Надрезу этого типа и заданному случаю на-
грузки (чистый изгиб) г------- --------- -
Фнг. 38.
соответствует шкала Ь н
кривая 2 номограммы
фиг. 34. Па этой номо-
грамме от значения 6,16
проводится вертикаль-
ная линия до пересече-
ния с кривой 2 и, да-
лее. горизонталь до
пересечения ее с осью
ординат. От этой точки
пересечения проводится
прямая через
= 2,45 на шкале в левой
частниоыогрзммы (ниж-
няя шкала б). Расстояние от начала координат до
этой прямой (в данном примере до точки, обозна-
ченной кружком), отложенное по вертикальной
оси, дает искомый коэффициент концентрации
ао - 4,3.
Учитывая реальные свойства материала (сталь),
величину полученного коэффициента концентра
пин следует считать преувеличенной. Коэффи-
писэт концентрации с учетом неоднородности ма-
териала может быть приближенно определен по
формуле (23). Принимая р = 2,5 мм и р' = 0,5 мм.
получаем в = 2,6.
Пример 3. Определить коэффициент копией
грации для полого вала (фиг. 39) круглого попе-
речного сечения прн чистом изгибе, имеющего
Фиг. 39.
выточку по форме типа 5, указанной в табл. X
Размеры: г = 26 мм, а = 13 мм, I = 36 ял, р —
— 1.80;
Указанным форме надреза и случаю нагрузки
(чистый изгиб) соответствуют шкала Ь и кривая 4
номограммы фиг. 34. На номограмме фиг. 34
делаются те же построения, что и в предыдущем
примере, для —1,80 и р/ — = 3.00.
Радиус окружности с центром О, касательной к
наклонной прямой, дает величину вспомогатель-
ного коэффициента в = 3,6, соответствующего г =
— а (плоская деталь). В номограмме фиг. 35
шкала этих коэффициентов нанесена по оси абс-
цисс влево. По ней от точки — = 2,50 про
водится вертикаль до пересечения с кривой 2 и
от точки пересечения проводится горизонталь до
пересечения с осью ординат. Последняя точка
пересечения соединяется прямой с точкой
"а (г—m89 левой части оси абсцисс. Радиус
окружности, касательной к этой наклонной пря-
мой, дает величину искомого коэффициента =
= 2,1.
Качественное представление о кон-
центрации напряжений составляется на
основании гидродинамической аналогии
Контур детали рассматривается как край
плоского сосуда, по которому протекает
жидкость; линия тока жидкости у края
сосуда совпадает с траекториями напря-
жений. Более плавный переход с боль-
шим радиусом дает уменьшение скоро-
сти движения жидкости у края сосуда и
соответственно с этим уменьшает кон-
центрацию напряжений у контура детали.
Действие разгружающих выточек в де-
тали аналогично уменьшению скорости
движения жидкости возле врезающего-
ся в поток выступа, показанного на
фиг. 40, а, которое достигается с помо-
а)
«)
Фиг. 40.
щью устройства нескольких уменьшаю-
щихся выступов (фиг. 40, б).
Форма сопряжения для ступенчатого
вала и для плоской пластинки, обеспе-
чивающая получение по всей длине
контура напряжений, равных номиналь-
ным (обтекаемая галтель), дана в
табл. 4.
Для упрощения обтекаемая галтель
может быть выполнена в виде эллиптиче-
ской или по двум радиусам.
Данные по концентрации напряже-
ний для зуба шестерни, шлицевых со-
единений и других <1еталей см. т. IV.
Методы экспериментального опреде-
ления коэффициентов концентра-
ции и распределения напряжений см.
гл. XV.
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
417
Таблица 4
Размеры сопряжения для ступенчатого вала»
позволяющие получить на контуре напряже-
ния, близкие к номи-
нальным (обтекаемая
галтель)
растяжении и изгибе летали круглого
сечения с тем же продольным контуром
(фиг. 41):
растяжение или сжа-
тие:
изгиб:
Ш — кручение (12|.
(24а)
°О (UM. пл)
“.(рлсм.их)-----, + (2цб)
“в (рост. круг)
%(рает.пл)_ (24в)
“в (их/, круг)
В приведенных формулах коэффици-
ент е. зависящий от формы надреза.
2а
е = (ао (роет, пл) ____2а *
0
0,005
0,01
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,15
0,31»
0,2X7
0,232
0,183
0,276 0,163
----- 0,138
0,110
0,091
0,078
0,067
0,048
0,258
0,231
0,210
0,192
0,177
0,Н5
0,206
0,157
0,130
0,115
0,100
0,088
И.077
0,069
0,052)
0,20
0.30
0.40
0,50
0,60
0.70
0,80
0,90
1,00
0,120
0,063
0,067
им
0,025
0,015
0,«Ж
0,003
о
0,036
0,021
0,012
0,006
0,006
11.004
0.OU2
0,001
о
0,038
0,018
0,010
о,о<»
0,004
0,003
0,002
0,001
о
Прн ограниченных размерах для галтели
величины х и у должны быть ироиорцно-
D .л
иально уменьшены;
зуется соответствующая часть галтели. Для
полого ваза вместо d принимается толщина
стенки.
Величины Л, /ь /в и _ берутся
по графику фиг. 42 в зависимости от
отношения радиуса выточки к радиусу
р
ослабленного сечения а = —.
Для определения а>(яру/) по ав(яя) при-
меняется также приближенная формула:
“о (круг) “ (ях) + 0>25. (25)
Приближенные методы расчета
коэффициентов концентрации
1. Метод Н. Н. Афанасьева [1].
Предполагается гиперболический за-
кон распределения нормальных напря-
жений но поперечному сечению детали
в зоне концентрации. По соотношениям
размеров и коэффициенту концентрации
ао(раст.лд| лля плоск°й растягиваемой
детали (находится с помощью фиг. 14,
15, 20 и 21) метод позволяет при-
ближенно подсчитать коэффициенты
концентрации a, ял). я, [poein_ кру1)
II »о (из;, хруд при изгибе плоской и при
27 том з
Пример. Изгиб валя круглого сечення с им-
ТОЧКОЙ: в — — « 0,10 и ф — — « оо. Коэффициент
концентрации л-’я растягиваемой плоской мо-
дели с тем же конгу-
3.9 ,, Фиг. 42.
“ I 4-0,87-0,85 ‘
(по графику фнг. 34 имеем хв *»2Л).
2. Метод А. В. Верховского |4].
Приближенно принимается линейный за-
кон распределения абсолютных продоль-
ных деформаций для отрезков волокон,
418
МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
заключенных между находящимися
на бесконечно малом расстоянии двумя
сечениями, нормальными к
контуру (гипотеза ломаных ав =--
сечений). Это допущение _з
приводит к гиперболическо-
му закону распределения
напряжений. Метод позволяет произво-
дить расчет напряжений в брусе, огра-
ниченном криволинейным контуром.
Изгиб балки постоянной ши-
рины Непрямой осью. Нормаль-
Фиг. 43.
бающий момент для
щего через точку D;
ные напряжения на
контуре в точке 4
ломаного сечения
ADA, (фиг.43).дей-
ствующие вдоль
контура.
«»)
Здесь М — изги-
сечсння. проходя-
1
q? — т
Я
- ±
П —
СОЗ% *
т
а — —
Я
у
cos ч> ± у
cosl<p
(26а)
Г—угол с осью ж, касательной в А к
контуру; р — радиус искривления конту-
ра в точке А (плюс для вогнутого кон-
тура и минус для выпуклого);
и
для точки А; у —/(х)—уравнение кон-
тура балки
Коэффициент концентрации для надре-
за а, при номинальном напряжении а„ —
М
— для поперечного сечения по месту
концентрации.
Коэффициент концентрации
В
формуле для % величина с —
р—радиус в основании; h—размер се-
чения по ослаблению.
Для от 0.1 до 0.5 формула (27) лает
Л
при надрезе, симметричном относитель-
но оси балок, ошибку в пределах 2—3%.
Формулы (26) и (27) неприменимы в
следующих случаях: а) для выпуклой
части контура, когда центр кривизны
контура лежит по одну сторону от оси
балки с самим контуром; б) нормаль
к контуру сечения в' рассматриваемой
точке не пересекается с осью бруса;
в) ломаные сечення на рассматривае-
мом участке балки между собой пере-
секаются.
1.2.
Пример. Для балки фиг. 43 Р — 1000 кГ, х =
= 9,3 см, у — 2 ем, р «а 2 см, у — 20°, b = 5 ем.
Плечо рилы Р лля ломаного сечения ADA, равно
л у tg у — 10 ем; М = 10 0П0 кГсм. По приве-
аскной выше формуле находим В — 1,62. Отсюда
п точке А
МП 10 000.1,62 ... „
б У* 5.2»
Номииплыюе напряжение а = (ВО
Л.Л. 810
коэффициент концентрации '"'gOb
Гипотеза ломаных сечений применима
к балкам с кривой осью и к прямому
брусу с несимметричными относительно
осн ослаблениями. Для вала переменно! о
сечения гипотеза ломаных сечений пе-
реходит в гипотезу конических сечений.
Применение гипотезы ломаных сечений
к другим случаям расчета см |4).
3. Метод Ю. А. Шиманского дает
расчет концентрации напряжений в ме-
стах выступов на контуре детали и воз-
ле отверстий в растягиваемой пли изги-
баемой полосе в зависимости от формы
и радиусов закруглений вырезов и от
размеров подкрепляющих утолщений) 10].
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Приводимые ниже для контакта дета-
лей зависимости получены прн следую-
щих допущениях: а) материал соприка-
сающихся деталей в зонах контакта сле-
дует закону Гука, однороден и изотропен;
б) линейные размеры площадки контакта
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
419
малы по сраннеиию с радиусами кри-
визны и размерами соприкасающихся
поверхностей (допущения, принятые в
теории Герца—Беляева).
При принятии указанных допущений
площадка контакта под нагрузкой имеет
форму эллипса (о частности, круга) в
случае первоначального касания в точке
нли прямоугольника в случае первона-
чального касания по прямой; распреде-
ление и величины давлений по площадке
контакта см, табл. 5 и 6
Размеры площадки контакта, величины
наибольшего давления и перемещения
в различных случаях контакта, а также
напряжения при приложении нагрузки к
поверхности детали приведены в табл. 6.
Напряжения в зоне контакта прн нор-
мальном давлении определяются по фор-
мулам, приведенным в табл. 8, или с
помощью коэффициентов табл. 7 и 9
после определения по формулам табл. 6
размеров площадки контакта и наиболь-
шего давления q0 на площадке контакта.
Значения нормальных напряжений на
линии давления для различных точек по
глубине при контакте цилиндров даны
на графике фиг. 44 (для р. — 0.25; 0.30;
0,35) и. соответственно, касательных на-
пряжений на графике фиг. 45.
Фиг. 41.
Характер изменения напряжений аг.
о, и а,, относительных деформаций е,
и </( перемещений и вдоль радиуса и
w по нормали к поверхности для точек
круговой площадки контакта показан
на графиках фиг. 46.
Таблица $
Распределение давлений по площадке контакта двух деталей а зависимости от формы
поверхностей контакта
Первоначальное касание
п точке в точке по линии
Общий случал поперхносгей дяоякой кривизны. когда одна нли обе поверхности иесфернческне Поверхности с обшей осью сим- метрии •. Поверхности, не име- ющие осн симметрии при че- стных соотношениях радиусов кривизны ♦♦ Цилиндры или каткн с парал- лельными осями. Плоскость и тор. Первоначальное касание по линии
Площадка контакта
Круг радиуса с
» U. У)
(ординаты поверхности поло-
вины эллиптического цилиндра)
(ординаты поверхности поло-
вины «ллипсоида вращения)
Эллипс с полуосями а и о
У1 —
плоскость, лпе сферические поиерхиое ги.
перпендикуляриымн осями.
Линии пыСтачхыьноео
касояиг
* Например, сферическая поверхность н
* Например, цилиндры одного радиуса с
Полоска шириной 1с и длиной,
рапной ллние линии первоио
чальног о касания
«(Ж. У) - |/ 1- иг*
е /
(ординаты поверхности
«овикы эллипсоида)
|2П
МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Таблица в
Формулы для наибольших напряжений и перемещений прн контакте деталей
или при приложении нагрузки к поверхности детали (13)
Обозначения: Р — полное давление в «Г; р — нагрузка на единицу мины цилиндра или едини-
цу длины пластинки а иПем; q — среднее давление на единицу плошали контакта в кПслР; q» — наи-
большее давление по площадке контакта, равное наибольшему сжимающему напряжению, п кПслР',
пах т — наибольшее касательное напряжение; max о, — наибольшее растягивающее напряжение; с —
радиус площадки конга кто по кругу или половина ширины прямоугольной площадки контакта; а я Ь—
наибольшая и наименьшая полуоси яллиптической площадки контакта; w — величина сближения по
линии давления точек обеих деталей, удаленных от зоны контакта, из-за деформации в зове контакта
(или величина перемещения и направлении, параллельном давлению по отношению к неподвижной
удаленной точке); Е — модуль продольной упругости; р — коэффициент Пуассона; I и 2—индексы,
соответствующие первой и второй деталям.
Случай контакта
или нагрузки
1. Цнлнилр н деталь,
ограниченная пло-
скостью. Площадка
контакта — прямо
угольник
2. Цилиндры с парал-
лельными осями.
Площадка контак-
та— прямоугольник
Формулы для размеров площадки
контакта, напряжений и перемещений
Если Е, — Et — В и р, - р, — ОД то с — 2,18у и ф^=О,59|
на глубине от поверхности контакта, равной 0,393с, наибольшее напряже-
ние -:max -250 (при Е —2.10» кГтслИ и р«=0,25).
Уменьшение размера диаметра цилиндра между двумя сжимающими его
гранями (с учетом контактных и обшнх деформаций цилиндра):
ДЦ —
п
Если Е, - Е, - Е н р, - р, - ОД то с - 2,16)/
Сближение центров с учетом контактных и обшнх деформаций цнлннлрое
к Цилиндр и деталь
с пнлинарнческой
канавкой. Плошал
кд контакта—прямо-
угольник
q, - 0,591)/ р£Рр^-*
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
421
Продолжение г»Лл. 6
Случай контакта или нагрузки Формулы для размеров площадки контакта, напряжений и перемещений
4. Цилиндры, Пересе- а г . , ,,
кающиеся под пря- 1 / „ D,D, ( ' - •*, , 1 ~ _ ... 1,3-Р .
шадка контакта — в"“р' D. + D, V Е, 1 Е, Г ,и’* «•" к-ав
. ’ / Р' D.4-D,. ^_Ar+_AZy' & ’
«, Р и X зависят от отношения и даны о таблице:
-2- 1 1,5 а 3 4 6 10
« 0,908 1.045 1.15В 1,350 1.505 1,767 2,175
р 1 0.765 0,632 0.482 0,400 0,306 0,221
1 2,060 2.060 2.025 1.950 1.875 1,7711 1,613
DJ),
Если Е, - Е, 2'117 uTtciP, р, =» р, — 0,25, то а — 0ДО97ау Р fa ± р 1
для »тих течений В и р при от 1 до 8
3180 3 Г~В"
“’“-ТЁГйШГ |/ -4-
Я. _с
S. Деталь, ограничен 3 / / • •?
ная сферической 1 / / 1 “ и. 1 " **. 1 з / ~Б
таль, ограниченная
плоскостью. Ило
щалка контакта — \ Ё, В, /
круг Если В, — В, — Е < р « р -ОД то
р 1 */~ PD л/~ PlS
с - 0,881 у < -0,61бр/ ,Ч/—F7” i
у /7 max о, » О,133-^о; а» — 1,55 у ; max t » —
ничеиы выпуклыми а/ DD.11-* ‘-*1 з/ (-Л-Т
сферическими по аеркностямн. Пло с- 0,7211/ Pd,4z>. \~?Г +-Ег): Я*~ 0’918 1 / р —ГТ
шадка контакта — у
круг Г \ Е, +ТГ/
р 1 1 3 Р \ ।
О 2*4 т
( ) «Г Если В, » Е, — В и р, » р, — ОД то
L р 1 *"*' V Т "о.ТЪ, : л-М1в)/ РВ» (;
1 /л D + Di mai т — -j- ф>; max е — 0,133^; ш « 1,55|/
422
МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Продолжение табл S
Случай контакта
или нагрузки
Формулы для размеров площадки
контакта, напряжений и перемещений
1. Деталь, ограничен-
ная выпуклой сфе.
рической поверх-
ностью, и деталь,
имеющая сфериче-
ское углубление.
Площадка контак-
та — круг
8. Общий случай кон-
такта двух деталей.
Площадка контак-
та — эллипс
Еет.2 йг
Леи/
V яг
0,918
Если Е, = — Е и pi = |м = 0,3, то
Л = 0,616
1>,О,
0,721
с = 0,881
Р|,ГгГ*Г ' ,п”! 1 = т <7«: “« ° = ОЛЗЗф»;
Р D.D
1,55
Р> I), - D,
Р О?Й.
В точке контакта наибольшие и наименьшие радиусы кривизны /?, и /?
н детали 1 и /?, и ft' — в детали 2. Плоскость
кривизны -д- с плоскостью
кривизны
3/ Р5
то»
не
и
— образует угол ». Тогда
П1
н. 1-5Р
0»--------
4'4
значения а, ,4, у даны о таблице, где
1- aiccoa -i 8 X
Г1 [*"xj 3>|_ 1 -’-1- »* | сое 2»
1> 0“ 10’ 20" 30" 36» 40» 45» 60" 55" 60» ТО’ 75" 80" 86» 901»
в оо 6,612 3,778 2,731 2,397 2,136 1,926 1.7М 1,611 1,486 1,378 1,284 1,202 1,128 1,061 1,00
₽ 0 0,319 0,408 0,493 0,530 0,667 0,604 0,641 0,678 0,717 0,759 0,802 0.8-16 0.893 0,944 цао
X — 0,851 1,220 1,453 1,560 1,637 1,700 1,772 1,828 1,875 1,912 1,944 1,967 1.986 1,996 2.00
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
423
Продолжение табл. 6
Случая контакта
или нагрузки
9. Равномерное ло-
вле» не р и кПсМ1
по плошали круга
радиуса R. деталь,
ограниченная пло
скостью (упругое
полупространство)
10. Равномерное да-
вление р в кГ)сМ'
по квадратной пло-
щадке. деталь, ог-
раниченная пло-
скостью (упругое
полупростракство)
II. Жесткий цилинд-
рический штамп ра-
диуса /?, передаю-
щий нагрузку Р, и
деталь, ограничен-
ная плоскостью(уп-
ругое полупро-
странство)
IX Сосредоточенная
сила Р. деталь, ог-
раниченная плос-
костью (упругое
полупространство)
Формулы для размеров площадки
контакта, напряжений и перемещений
Величина перемещения точек плоскости, ограничивающей полупростраи
ство. в направлении давления
пих w — <” иснтре):
w — Р5*- (у край).
ПС
Наибольшее касательное напряжение biitmOAV (в точке упругой
летали пол центром плошали контакта на глубине, ранной 0,638/?)
Величина перемещения точек плоскости, ограничивающей полупростраи
ство, в направлении давления
шах те » ~~ (В центре):
„,2а»»-ja(. угл„)
с
Величина перемещения штампа в направлении давлении
/>(1 - У)
х/?Я •
В точке С ил поверхности контакта
Р
би “ .
2к/?К R> - г*
р
mix (jo — оо (у края); mln ft — ък/? ,в ие,,тРс*
В точках е координатами г, ♦, z (за исключением области вблизи точки
приложения силы)
, _ Р П1 -»)(₽-<) to*!. .
' 2« [ И R /?•]' * * IP
Р .. „ . Г l R -11 , . Р XV
Расстояние R » У /' -|- д«; у — угол в плоскости, перпендикулярной
к оси >.
Перемещение относительно точки, весьма удаленной от места приложе
ним силы Р\
ПО ОСН I
Р [2(1-1») . Г].
w та I—/^+-/?| •
00 оси г
424
МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Продолжение табл. 6
Случай контакта или нагрузки Формулы для размеров площадки контакта, напряжений н перемещений
13. Нагрузка, прило- женная по линии, нормальной к пло- скости пластинки АЯиг Х1 > 3 В любой точке С (исключая точки контакта) л — брахиальное на- пряжение). Точки, лежащие ня одной окружности диаметра d (круг Буссинеска), касательной в точке контакта к прямой ss, имеют одно и то же радиальное сжимающее напряжение 2р 1 О, = —— — = const ж а
14а Равноме вленне пластинки ке длиной £2 рым да- но краю на учасг- 1 кд Напряжения в точке С: я = 0,318р (а 4- Bln а) (сжатие).’ т = 0,318р sin а. Величины перемещения: точки О, к£ р+*'»,П / + х, г.Е : точки О. » = [<' - •»«) ln jj*д. +А 1" у| +₽' ‘ ~Е~ 7*Д, 1 е AT J JTf 1 w — вертикальное перемешеиие точки О, или О, по отношению к удален- ной точке Л
Га4.««ца 7
Главные напряжении о^, оу и af для точен центральной оси I прн эллиптической
площадке контакта
Отношение полуосей эллипса -2- . Коэффициент Пуассона |i = 0,3
1 а »Х _ "У -V» “ •г -«• -ф> вУ -я> et -»• *Ж -«« °х -«а "с —л •у - 7> •г ~я>
0 0.800 1,000 0,772 0.828 1,000 0,733 0.857 дои 0,680 0,920 1.000
0,1 0.614 0,990 0,574 0,591 0,986 0,627 0,532 0,976 0,419 0.355 0.923
0,2 0,462 0,962 0,427 0,410 0,948 0,370 0.31IJ 0.911 0.258 0,123 0.766
0.3 0,342 0,917 0.310 0,247 0,889 0,257 0,173 0.822 0,163 0,036 0,613
0.4 0.250 0.862 0,221 0.189 0,819 0.176 0.10U 0,725 0.105 0.006 0,492
0,6 0,180 0,800 0.166 0,119 0,744 0,120 0.047 0,633 0,069 -0,007 0,400
0,6 0,129 0,738 0.109 0,077 0,670 0.062 0,021 0.549 0.045 -0.010 0,330
0,7 0,091 0.671 0,076 0,047 0,599 0,065 0,007 0,476 0,029 -0,012 0,275
0.8 0,063 0,610 0.052 0,028 0,534 0,037 -0.001 0,414 0,020 -0,012 0,233
0.» 0,043 0,552 0.036 0.015 0,476 0,025 -0.006 0,361 0,013 -0.010 0,199
1.0 0.029 0,500 0,023 0,006 0,424 0.016 -0,007 0,316 0.009 —0,009 0,171
-2- - 1,00 (круг) — — 0,75 42 —-0,50 а — -0,25 а
Главные аоряалвные и наибольшие касательные лапряжемка в точках левы контакта пр в нормальном давлении
ф» (кГ<ел^ — наибольшее давление в середине площадки коитакта; ц — коэффициент Пуассона материал» летали, в которой определяются напряжения
Форма площадки контакт» В точке наибольших сжимающих напряжений В точке наибольших растягивающих напряжений В точке наибольших касательных напряжений
Эллипс, а и Ь — большая и мл- лая полуоси, е = V1 — — эксцентриситет эллипса: Центр плошадки контакта: — — ф» (по нормали к плоскости контакта); -"-[*-0 » Др]фа (в направлении большей оси эллип- са): •« “ [2Р - О *» в + р ] ’’ На конце большой полуоси эллипса в точках площадки контакта: •| — <1 — 2р) -у-р j-arctge| ф, (по касательной к эллипсу); я, -0 |по нормали к плоскости контакта':: »,— —01 (по оси эллипса) В точке центральной оси на глуби- не г» 'шах = с<>° (В плоскости малой оси эллипса). Значения с и положение точки в р зависимости от ₽ = : ₽ — 0,25; 0,50; 0,75; 1,00 с = 0,322; 0,325; 0,317; 0,310 — = 0,18; 0,31; 0,41; 0,48
Т—АопаС t у~+А. тм<£3г„ LMy~e, (в направлении меньшей осн эллип- са) Наибольшее напряжение ’тах з точ- ках плошадки контакт» — на кон- це большой полуоси (прн е < 0,89) или в центре плошадки контакта (при е > 0,89) и нс превосходит величины 0,2 q„ •
Круг:с - радиус Центр площадки контакта: —9* (по нормали к площадке контакта); 1 + » . •1 — «г = — j— Фо В точках контура о, - * 9» (по радиусу к контуру): 4,-0 (по нормали н площади контакта); о. — -о, (по касательной к контуру) В точке центральной осн г иа глубине То — 0,48 е ’шах-0-310’* Главные напражения для этой точки: а» = «г » —ОД» q,; 0, = о, = —0,18 q0
Полоска ширимой 1с. Первоначальное касание по линии ' | U - /Ирслоппв 1 CUfwmpua Средняя линия контакта: О» = 01 — —ф» (ПО нормали к площади контакта и в направлении, перпендикуляр- ном к средней линии): о, — —А» ф> (в направлении средней линии) % — 1 В точках оси { (в плоскости снимет рни) иа глубине До = 0,79 с ’шах’0-600”
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ 42‘>
426
МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
При перекатывании цилиндра по де-
тали с цилиндрической или плоской по-
верхностью происходит изменение на-
пряжений.
На фиг. 47. в и 47, б даны в зависимо-
сти от у изменения напряжений <гг, а*.
аг и соответственно получаемых в
точке, имеющей наибольшие касатель-
ные напряжения (для г — 0,786с) при
расположении цилиндра над этой точкой.
Здесь у — горизонтальное расстояние
рассма! риваемой точки до плоскости дей-
ствия нагрузки, передаваемой от катка.
Эти графики могут рассматриваться как
линии влияния для напряжений в ука-
занной точке z = 0.786е при распределе-
нии давления по ширине полоски кон-
такта по закону эллипса.
Фкг. 47.
Для сжатия двух цилиндров, сумма
кривизны которых весьма мала (напри-
мер. в случае передачи давления от
цапфы на подшипник), все приведенные
выше формулы неприменимы; решение
этой задачи см. (11).
Таблица 9
Напряжения о^, Лу. яг п точках плоскости
симметрии при плошали контакта в виде
полосы шириной 2с
Наибольшее моление в середине полосы
контакта к/'Ч'-Ч’. Коэффициент Пуассона
_________________Р-ОЛ__________________
1 с •1f •г -<Ь
0 о.боо 1,000 1,000
0.1 0,543 0,815 0,995
0,2 0,492 0,659 0,981
0.3 0,446 0,530 0,968
0.4 0,406 0,426 0.928
0.5 0,371 0,342 0,894
0.6 0,340 0,275 0.8S7
0.7 0,312 0,222 0,819
0.8 0.288 0,180 0,781
0.9 0,267 0.147 0,743
1.0 0,249 0,121 0,707
1.1 0,232 0,101 0,673
1.2 0,217 0,084 0.640
1.3 0,201 0,071 0,610
1.4 0,192 0.060 0.581
1.5 0.182 0,051 0,555
1.6 0.172 0,014 0,530
1.7 0,163 0,038 0,507
1.8 0.155 0,033 0,486
1.9 0,147 0,028 0,466
2.0 0,142 0.02S 0,447
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
427
Напряжения в зоне контакта, вызы-
ваемые действием касательной нагрузки,
распределенной по линии нли по пло-
щадке касания, подробнее см. [8].
В случае посадок и напрессовок дета-
лей при определении напряжений н де-
формаций необходим учет конструкции
деталей, условий натяга, состояния по-
верхности н пр. Решение ряда задач
ЛИТЕРАТУРА
I. А ф аиасьеи Н. II., Статистическая теория
усталостной прочности металлов, изд. АН УССР,
2. Беляев Н. М., Местные напряжения при
сжатии упругих тел. сб. .Инженерные сооруже-
ния н строительная механика-, изд. .Путь*, 1924.
3. Вайнберг Д. И., Напряженное состояние
составных диенов и пластин, нзл. АН УССР,
1952.
4. В е р х о г с к и й А. В., Новый способ опре-
деленна напряжений в двигателях сложной фор-
мы, .Труды Горьковского политехнического ин-
ститута", т. XI, нып. I, 1951.
5. II е й 6 е р Г., Концентрация напряжений,
Гостехиздат, 1917.
6. Л о и о в о к Б. И., Применение разност-
ного метола для расчета прокатного уголка на
кручение, Труды Московского авиационного ин-
ститута, М> 17, 1952.
см. (3|. Напряжении и деформации при
напрессовке см. фиг. 29. а также гл. VII
и т. IV. Экспериментальные методы опре-
деления контактных напряжений см.
гл. XV.
Данные о допускаемых напряжениях
при расчете на контактную прочность
см. гл. XIV, а также |8|.
источники
7. П о и о м а р е и С. Д., Билерман В. Л.,
Л и х а р е в К. К., М в к у ш и н В. М., М а л и-
н н и Н. II., Ф ео дос ь ев П. И., Основы совре-
менных методов расчета иа прочность в машино-
строении, т. I, Машгиз, 1950,
9. Северин М. М., Контактная прочность
материала в условиях одновременного действия
нормальных и касательных нагрузок, Машгиз, 1946
9. С а в и и Г. Н., Концентра пня напряжений
около отверстий. Гостехиздат, 1951.
10. Шиманский Ю. А., Проектирование
прерывистых связей судового корпуса, Судпром
гнз, 1949.
11, ШтаерманИ. М., Контактная задача
теории упругости, Гостехиздат, 1949.
12. Не у w о о d R., Design by Photoelastlclty,
N.-Y. 1963.
13. Roark R., Formulae lor stresa and alraln.
N.-Y. 1943.
ГЛАВА XIV
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И ХАРАКТЕРИСТИКИ
Прочностью детали называется ее спо-
собность сопротивляться действию на-
грузок. т. е. сопротивляться разрушению
или возникновению недопустимых дефор-
маций и перемещений. Сопротивление
деформациям характеризует жесткость
деталей.
Прочность детали зависит от механи-
ческих свойств материала, типа напря-
женного состоянии, его изменения во
времени и других конструктивных и
технологических факторов.
В зависимости от свойств материала
и типа напряженного состояния (линей-
ное плоское, объемное), его неоднород-
ности и изменения во времени условия
прочности могут определяться либо со-
противлением статическому или уста-
лостному разрушению, либо сопроти-
влением пластическим деформациям.
Характер напряженного состояния зави-
сит, в свою очередь, от действующих на
деталь нагрузок и ее очертаний.
Типы нагрузок
Действующие на деталь нагрузки раз-
личаются по условиям приложения и
характеру изменения во времени.
По условиям приложения нагрузками
могут быть:
а) объемные силы, распределенные
равномерно или неравномерно по всему
объему детали, их интенсивность изме-
ряется в кГ1смв, они возникают в связи
с влиянием веса, инерции масс, магнит-
ными воздействиями;
б) поверхностные силы, распределен-
ные по поверхности: давление жидкости,
газа, сыпучих тел на стенки сосудов,
труб, на поверхность обтекаемых узлов,
контактные давления от посадки детали
на деталь с натягом и т, д.; интенсив-
ность этих сил измеряется в кГ/см^. для
удлиненных деталей эти силы могут
приниматься распределенными вдоль
детали, интенсивность их измеряется
в кГ1см.
в) нагрузки, распределенные по весьма
малым площадкам на поверхности де-
тали или на малом участке длины де-
тали, могут быть представлены в расчете
как сосредоточенные в одной точке; эти
силы измеряются в кГ.
По характеру изменения во времени
различают нагрузки статические, по-
вторные и малой продолжительности
Статические нагрузки нарастают по-
степенно и в ряде случаев длительно
действуют на деталь или конструкцию;
таковы, например, действие сил веса,
центробежных сил при равномерном
вращении, сил упругости, вызванных
начальной затяжкой, и т. п. Статические
силы могут быть постоянными (вес) н
временно приложенными.
Повторные нагрузки установившихся
режимов изменяются по последовательно
повторяющимся циклам. В пределах
каждого цикла нагрузка изменяется по
определенной кривой во времени. Она
характеризуется обычно наибольшими и
наименьшими значениями Ртм и Ртщ.
Число полных циклов изменения на-
грузки за единицу времени является ее
частотой
Повторные нагрузки неустановившихся
режимов многократно повторяются, при-
чем амплитуда, период и фаза цикла
меняются с течением времени, подчи-
няясь во многих случаях статистическим
закономерностям
Нагрузки малой продолжительности^
обычно называемые ударными, за корот-
кий промежуток времени проходят весь
цикл изменения, носящий характер бы-
стро протекающего импульса.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
•I29
Прочность материала (11, |4], [81
Ц8). )19). Ц |ЭД|. |33). |38|. 139]
При действии статических
напряжений сопротивление мате-
риала малым пластическим деформациям
характеризуется пределами текучести
при растяжении «у и сдвиге ту, а также
соответствующими диаграммами дефор-
мирования (см. гл. I), полученными при
однородном напряженном состоянии (рас-
Фиг. I. Схематизиро-
ванная диаграмма де-
фО(1МИ|И>МНИЯ.
тяжение. кручение
тонкостенной тру-
бы). Для большин-
ства материалов
начальный участок
диаграммы дефор-
мирования схема-
тизируется (фиг. 1)
в виде двух пря-
мых. Ордината точ-
ки перелома ди-
аграммы является
пределом текуче-
сти оу, величина
которого для большинства конструк-
ционных сталей (кроме сталей высо-
кой прочности с ояр>80 лУ/лсм’) соответ-
ствует пределу текучести. определяемому
оо допуску пластической деформации
(0,2% остаточной деформации при рас-
тяжении) Величина напряжения а,, соот-
ветствующая деформации «. по схемати-
зированной
равна
диаграмме, отнесенная к ят,
где — полная относительная деформа-
ция, соответствующая пределу текучести;
Еу—модуль упрочнения, равный тан-
генсу угла наклона правого линейного
участка диаграммы к оси е.
Левый линейный участок диаграммы
для < < еу соответствует упругим де-
формациям, правый для а > «у— упруго-
пластическим.
Схематизированная диаграмма для це-
лей расчета за пределами упругости со-
ставляется до »3 + 4; в втой обла-
сти Еу отличается от модуля упрочне-
ния £j в области больших деформаций
(правая ветвь истинной кривой дефор-
мирования):
где sK — истинное сопротивление раз-
рыву; вж—•истинное относительное удли-
нение при разрыве.
о
Значения ву и для ряда конструк-
ционных сталей и легких сплавов даны
в табл. 1.
Таблица Т
Ч~
Пределы текучести и отношение
для некоторым сталей и легких сп.таное
Материал Термическая обработка 0^ II К/ 1М.Ы1 £Т
Сталь 20 24 0
• 43 ж 36 0
. Ж2 Закалка 1050* С,
отпуск 650° С . 64 о.1
37XH3A Закалка 830° С,
отпуск 4-41- a50'f С 82 0,25
ЭОХГСА Закалка 890° С,
отпуск 51v° С 90 0.1
JU \«5 о = 42, закалка
5 S 500° С 22 0.1
Д16 * 1 а — 55, закалка
© 500° С . . . . 40 0.1
А/1-8 о. “ 30, закалка 430* С . 15 0.1
/с *
Сопротивление материала большим
пластическим деформациям и разруше-
нию характеризуется пределами проч-
ности (временным сопротивлением)
Таблица 2
Характеристики механической прочности
углеродистой стал»
Марка стали 3 § m 0 Ч ч 5 03 СЧ О V ,/nrfJV я о iTnrlJX Я 1“1 Ч *5 Я 7 о
10 32-42 18 16-22 8-12 12-15
20 40-50 24 17-22 10-13 12-16
30 48-60 28 20—27 11-14 17-21
35 52-65 30 22-30 13-18 17-22
40 57—70 32 23—32 14-19 18—24
45 60-75 31 25-34 15-20 19-И
60 63—80 35 27-35 16-21 20—26
60 65-90 37 31-38 18-22 22-28
ЭОГ 56-70 29 22—32 —— а—
50Г 65—85 37 29-36 «в
45Г2 70-90 41 31—40 18-22 о»
Примечание. Данные прицелены
для сталей в иормалнаованном состоянии,
получены на образцах а — Ь-е 12 мл с поли-
рованной поверхностью. База испытаний
/V — НС циклов, «качения пределов текучести
соответствуют нижнему пределу.
Стали - по ГОСТ 105052; прн исполь
лопании сталей по ГОСТ 380-50 необходимо
иметь в виду следующее соответствие марок:
Сталь Ст. 3 соответствует стали 20, сталь
Ст. 5 — стали 35, сталь Ст. 6 - стали 45.
430
РАСЧЕТ НА ПРОЧНООЬ
при растяжении авр, при сжатии ав сж,
при изгибе (дли малопластичных и хруи-
ких материалов) ав а и
при срезе та.
Величины пределов те-
кучести <г02 и пределов
прочности <гв для конст-
рукционных материалов
приведены в табл. 2—7.
Прн действии пе-
ременных напря-
жений сопротивление
материала усталостному
разрушению характери-
зуется кривой устало-
сти (фиг. 2), получае*
мой при различных напряженных со-
стояниях с симметричным циклом (не-
Фиг. 2. Кривые усталости по результатам испытаний образцов.
Таблица .7
Характеристики механической прочности легированной стали
Марка стали авр ° *' oq j в ттПлтлт’ о_| В к! I.V.W । к кГ>мм' »_\р п кГ\м>Р
20Х 40Х 45Х 40ХН 40ХНМА 40ХФ 50ХФ 12ХНЗА 20ХНЗА 37XH3A 18ХНВА 25ХНВА ЗОХГСА 72-85 73—105 85-105 100-145 100-170 90-125 115-140 95—140 95-145 115-160 115-140 ПО 110-170 40—60 65—90 70—95 80-133 85-160 80-95 90-120 7O-II0 85-110 100-140 85-120 95 85-150 31-38 32—48 40—50 46—60 50—70 38-49 55-63 42-64 43-65 52-70 54—62 50 48-70 S SS28 а . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 24—34 31—42
Примечание. Данные по механическим свойствам приведены по ГОСТ 4543-48 ДЛЯ сталей и улучшенном состоянии. Пределы выносливости получены иа полирооинных образцах диаметром 6-12 мм. База испытаний 5-10 + 10» циклов При отсутствии в таблице данных по пределам выносливости они могут приближенно on ре-
w 1 делиться на основании следующих соотношений: —— — и,4б -в~'Р -0.7 ч-0.». *-1 ► (.66; —— - °-1 0,5 ч- 0,65;
1аблица <
Характеристики механической прочности чугуна
Механические кармктсристики Марка
СЧ 2140 СЧ 22-44 СЧ 2848 СЧ 32-52 СЧ 35-Mi СЧ 38-60
Предел прочности к Г' м прн растяжении ? . сжатии о, гж . . . , изгибе и .... 21 24 28 32 35 38
95 к» 110 120 120 140
40 44 48 52 56 60
. кручении Т _ . . . . •28 30 35 39 40 16
Твердость по Бринелю Н 180-207 187—217 170-241 170-241 197-255 197-255
Предел выносливости о_] при изгибе на гладком образце в кГ[мм* ... 10 12 14 14 15 15
Хо же прн кручении т .. 8 10 II 11 11.5 11.5
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
43 к
Таблица 5
Характеристики механической прочности
алюминиевых сплавов
в термически обработанном состоании
Тип или марка сплава 1 V я> «Ч ев о £ м а еч ₽ о—1 в кГ\мм'\ N = (2 + о) КУ
IAI -1- S1) 13—25,5 7-15 4-8,5
Al j Mg) 14-33 В-18 6,5-11
[Al - - Си) 17-25 11-16 4,2-8
(At + tu + SI) 13-24 6-17 4.5-6
АД-1 15-31,5 12-25 5.6-11
AC-1 16—20 6—11 4,5—6
Д1 21-42 11-24 7,5-10,5
дзп 34 21 10
Д16 47 33 11.5
Д18 30 17 9.5
АКТ 42 28 10
Л КВ 49 38 11,5-13
ЛМЦ 10-19 3,5-17,6 4.9-7.0
А М2 • 18,6-27.4 9,8-25.3 11,»-14.5
Таблица 6
Характеристики механической прочности
магниевых сплавов в термически
обработанном состоании
Марка по ГОСТ 2856-45 И ч ‘З а 1ЮГ<JX « 5‘0о s и J’i
МлЗ 17—18 5.5 5.5
Мл1 19-26 9—12
Мл5 15-27 8-12 4-10
Млб 14—24 8-10 6—8
MAI 21-30 12—20 7,5
МА2 26-27 16-18 11
МАЗ 30-34 22 13-15
MAS 30-34 19 13
ременный изгиб, переменное растяже-
ние — сжатие, переменное кручение) н.
дающей зависимость между амплитудой
напряжения а и числом циклов его повто-
рения N. Прн нанесении в логарифми-
ческих координатах леван ветвь кривой
оказывается прямолинейной, наклоненной
к оси N, а правая обычно горизонтальна
и соответствующая ордината является
пределом выносливости при переменном
изгибе а_«, при переменном растяже-
нии при переменном круче-
нии Для левой ветви величины
амплитуд напряжений (а_ i)^. приводя-
щие к разрушению после повторения Л'
циклов, являются ограниченными преде-
лами выносливости. Между величи-
ной (а_|)Л, н N для этой ветви исполь-
зуется зависимость
где т — показатель степени уравнения
кривой усталости, зависящий от мате-
риала при данном напряженном состоя-
нии; А—коэффициент, зависящий от
материала.
Для ряда материалов и условий испы-
тания (коррозионная среда, повышенная
температура) кривая усталости может
и не иметь горизонтального участка, в
этом случае величина предела выносли-
вости сопровождается указанием числа
циклов (базы).
Величины пределов выносливости для
конструкционных материалов даны в
табл. 2—7.
При повышенных темпера-
турах и действии статиче-
ских напряжений, кроме харак-
теристик аг, <звр. з„. определяемых как
Таблица 7
Характеристики механической прочности неметаллических материалов
Материал Марка Удельный вес 1 й а а- «1 о в urrij* а я *е £ в kT'mjP jmjji я о «лгапу» в Ян I
Волокинт .... 1Д5-1.45 3—3,5 12 6 25
Гетииакс Б 1,3-1.4 10 16 13-15 1000-1800 260 25 2-4
Текстолит .... птк 1.3-1,4 8-10 15-25 14-16 600-1000 250 2
Дельта-древесина Вулканизирован ДСП 10 1,25-1,45 22-30 15-18 28 зооо 170 18-20 4-6
нах фибра . . . 15-12 30 8-13 —* «ж
Целлулоид.... — 6 6 —
Плексиглас ... 7.5 7-10 2-2.5
Стекло ..... 3-9 40-120 •• —• •
432
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
и при нормальных температурах испы-
танием на разрыв, сопротивление малым
пластическим деформациям ползучести,
ра шивающимся во времени, характе-
ризуется диаграммами ползучести.
Сопротивление длительному статиче-
скому разрушению характеризуется кри-
вой длительной прочности (фиг. 3), по-
лучаемой обычно при растяжении и даю-
щей зависимость между величиной на-
пряжения а и временем Т, необходимым
Фиг. 3. Кривая длительной прочности.
для разрушения. При нанесении в лога-
рифмических (lg о, lg Г) и полулогариф-
мических (a, lg Т) координатах кривая
приближается к прямой, могущей иметь
переломы, возникающие по истечении
некоторою времени, в связи с изме-
нениями состояния сплава, происхо-
дящими благодаря напряжениям и
повышенным температурам. Каждой
температуре соответствует своя кривая
длительной прочности. Пределом дли-
тельной статической прочности (здл)т
называется напряжение, которое вызы-
вает разрушение после Т час. непрерыв-
ного действия. В качестве примера на
фнг. 4 представлены кривые длительной
Фиг 4. Изменение предел! длительной прочно-
сти ио времени « здписимостн от температуры
для стали ЭИ69.
прочности стали ЭИ69. С увеличением
температуры длительная прочность для
одной и той же длительности действия
напряжения уменьшается.
Данные по изменению пределов те-
кучести и пределов прочности с тем-
пературой при испытании на растя-
жение сталей даны па фнг. 5 и 6
в виде отношения этих пределов при
Фиг. 6. Изменение предела текучести здвнен-
мости от температуры.
данной температуре (ду), и (aee)z к зна-
чениям этих пределов при нормальной
температуре (оу)^ с и (я‘Р^ю- с- Значе-
ния оу и а,р при нормальной температуре
для углеродистых сталей даны в табл. 2.
а для некоторых типов конструкционных
и жаропрочных сталей — в табл. 8.
Таблица 3
Механические характеристики сталей
при нормальной температуре
Марка стали °вр 20» С a кГ1мм* оу да» с в
ЭОХФ 70-90 63-78
35ХНМ 60-100 40-90
XI6H9 56—65 20-30
ЭИ69 60-С0 45-50
Данные по пределам ползучести для
углеродистых, конструкционных и жаро-
прочных сталей даны в табл. 9. Данные
по пределам длительной прочности для
некоторых жаропрочных сталей приве-
дены в табл. |0.
При повышенных температурах и дей-
ствии переменных напряжений сопроти-
вление усталости характеризуется кри-
выми усталости, которые в этом случае
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
433
Таблица V
Пределы ползучести в кГ1.им' по допустимой
скорости деформации
Скорость деформации 10—7 1/час
Марка стали - в о § 500’ С <ч> i и § 650’ С 700“ С 750’ С 1
10 7.7 4.7 2,7 1.3 —
30 — .5.4 2.2 >.з — —_ —
41 «.3 4.4 2.8 1.8 0.8 г— — —
30ХФ —_ Г>—6 3.4 1.0-1,2 — —
15М —— 6.1 2.8 —
дам 6.1 2.8 — —
ихм —— 6,5 3.5 в —
31 ХМ — 10,5 5.0 2,5 — — — .
35ХНМ 14,7 8.7 3.8 1.1 з.о —
Х13 — ж» 6.1 1,2 — —
Х18Н9 — — — 10,0 3.5 3.8 2.4 1,1
Скорость деформации 10—« Пчас
10 11.0 7.0 4,2 2.3 —
41 11.3 7.6 4.1 2.4 —
гпхф —— 8.0-8.4 2,7-3.3 1.2 —— —
35 ХМ 16 8.5 5.0 —
35ХНМ —. 28 15 7.4 2.0 — —
Х13 — — — 7.6 3.2 1.5 — —
Примечание. Пределы ползучести
соответствуют только установившейся сталии
ползучести.
Таблица 10
ТаАлицв пределов длительно* прочности *
Материал 1 в ’С 100 час. 500 час. 0001
( 600 29,0 23,0 24.0
Сталь ЭИ69 . { 650 22.0 19.0 17.0
' 700 17.0 12.0 8.0
( 550 34,0 28.0 26,0
, ЭИ257 1 603 28.0 23,0 21,0
1 650 19,0 17,5 16,0
1 700 9.0 7.5 6.4
, 18-8 1 815 4.5 3.2 2.8
Фнг. 6. Изменение предела прочности от темпе-
ратуры.
Фиг. 7. Изменение пределов усталости с темпе-
ратурой.
не имеют горизонтального участка, и
пределами выносливости (ограниченны*
ми), соответствующими определенному
числу циклов повторения напряжений.
Данные по величине этих пределов даны
на фиг. 7 в виде отношения предела
Таблица II
Пределы выносливости при нормальной температуре для сталей
(база испытания 140’)
Материал Мирка материала ’-1 20’ С п дЛми* Примечание
Сталь 0,48Р|0 С. 0,7»°|0 Мп . Сг-Мо . Cr-NI-.Mo .... . I2*L Ct Ж-1 Ж*2 Столь Cr-NI 50Г 35XH3M X13 (с 0.4’Ь Мо) Х13 2X13 36ХН4.М 35-40 50 54 44-48 30-32 40—42 В состоянии поставки Улучшенная Закалка 980’ С, восдух; отпуск 650" С. мззлух Закалки 104X1” С, воздух; отпуск 650" С. воздух Го же Закалка 850’ С о масло, отпуск 550" С в волу
2» Гои 3
434
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
выносливости при данной повышенной
температуре к пределу выносливости
(’—1)»*с ПРИ температуре 20° С. Вели-
чины пределов выносливости углероди-
стых сталей прн нормальной темпера-
туре приведены в табл. 2. для некоторых
конструкционных и жаропрочных ста-
лей — в табл. 11.
Несущая способность, допускаемые
напряжения и запасы прочности
(4], [6]. (10]. [28]. [33]. [35]. [44]
Прн предварительном расчете в ка-
честве характеристики прочности обычно
используются представления о допускае-
мых напряжениях. Допускаемыми на-
пряжениями [е] называются максималь-
ные значения расчетных напряжений,
которые могут быть допущены в опас-
ном сечении, при обеспечении необхо-
димой в условиях эксплуатации надеж-
ности работы детали. При этом условие
прочности выражается формулой
»пр < 1’1.
где а„р — приведенное к простому рас-
тяжению или сжатию расчетное напря-
жение по гипотезе прочности, соответ-
ствующей данному состоянию материала
(пластичному или хрупкому). Формулы
для приведенных напряжений см. табл. 12
и 13.
На последующих этапах расчета, в
процессе конструирования детали, обыч-
но производится определение запасов
прочности, которые вычисляются по
нагрузкам, соответствующим пределу
несущей способности.
Несущая способность характеризуется
нагрузками, соответствующими предель-
ным состояниям детали по прочности,
сопротивлению пластическим деформа-
циям, по жесткости и устойчивости. Эти
нагрузки Q могут быть силами Р. момен-
тами' М, давлениями q (н т. д.); они свя-
заны с усилиями, возникающими прн их
действии в отдельных сечениях детали.
Запасом прочности называется отно-
шение предельной нагрузки Qnprfr соот-
ветствующей предельному состоянию
детали, к действующей на деталь на-
грузке:
Qnped
Как предельная по несущей способ-
ности, так и действующая нагрузки мо-
гут либо вычисляться, либо опреде-
ляться экспериментально.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
435
Приведенные напражениа яри расчете на прочности (в хрупком состоаиии или прн ограниченной пластичности •)
28*
436
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
В ряде расчетных случаев (хрупкое
статическое состояние, усталость, сопро-
тивление начальной стадии пластической
деформации, потеря устойчивости в пре-
делах упругости) предельные нагрузки
пропорциональны напряжениям.
Если нагрузки пропорциональны на-
пряжениям, то запас прочности пред-
ставляет собой также отношение пре-
дельных напряжений оя/ма к действую-
щим максимальным приведенным напря-
жениям апр:
°прев
п —-----.
апр
Предельные нагрузки Qnp«j. выдержи-
ваемые деталью, т. е. ее несущая спо-
собность, определяются аналитически и
экспериментально в зависимости от ха-
рактера действующих сил и свойств ма-
териала. Несущая способность деталей
в связи с этим может определяться по
началу образования пластических дефор-
маций, по предельным усилиям, могу-
щим быть воспринятыми деталями в
условиях пластического деформирования,
по предельным разрушающим усилиям
статическим, переменным или ударным.
ПРОЧНОСТЬ ПРИ СТАТИЧЕСКИХ
НАПРЯЖЕНИЯХ (6). [11]. [17]. (21).
(25). [28]. (33). (34). (39). (40). (44)
Прочность материала в связи
с типом напряженного состояния
Приведенные в табл. 2—7 характе-
ристики статической прочности исполь-
зуются непосредственно при определе-
нии допускаемых напряжений и запасов
прочности для одноосного (линейного)
напряженного состояния (см. гл. II).
При плоском и объемном напряжен-
ном состоянии механические характе-
ристики сопоставляются с приведенны-
ми напряжениями, определяемыми на
основе гипотез пластичности и проч-
ности.
Прочность прн этом характеризуется
сопротивлением пластическим деформа-
циям или сопротивлением разрушению
Сопротивление пластиче-
ским деформациям определяется
либо началом текучести в том случае,
когда материал не обладает выражен-
ным упрочнением (мягкая сталь), либо
образованием пластических деформаций
определенной величины (допуска дефор-
мации), когда материал обладает выра-
женным упрочнением при переходе в
пластическую область.
При различных типах напряженных
состояний сопротивление образованию
пластических деформаций определяется
механическими свойствами и условиями
пластичности.
Для материалов с выраженной пла-
стичностью используется гипотеза наи-
больших касательных и гипотеза окта-
эдрических напряжений. По гипотезе
наибольших касательных напряжений
°1 —
где sj и в8—наибольшее и наименьшее
главные напряжения; oj— предел теку-
чести прн растяжении; ту—предел те-
кучести при сдвиге.
По гипотезе октаэдрических напря-
жений
(®1 — а2)г + (а2 — о8)г + (т8 — oj)1 — Зоу*
Для материалов с ограниченной пла-
стичностью условия пластичности могут
определяться согласно гипотезе Мора
по кривой, огибающей круги напряже-
ний для предельных напряженных состоя-
ний, соответствующих началу образова-
ния пластических деформации Характер
Фиг. 8. Огибают» предельных крутой
напряжений по солро-гннлению пластн
ческим деформациям.
такой кривой представлен на фнг. 8.
Замена огибающей в ее средней части
прямой линией приводит к условию
в] — о8 - 2тг - ^2 - l) (Oj + оц).
В соответствии с этими гипотезами
определяется величина приведенных
напряжений в формулах для расчета
на прочность (табл. 12).
Расчет на прочность по сопротивле-
нию пластическим деформациям произ-
водится согласно формуле
где л;—запас прочности (см. стр. 484)
ПРОЧНОСТЬ ПРИ СТАТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЯХ
43.
Сопротивление разрушению
при различных типах напряженных со-
стояний определяется механическими
свойствами и условиями прочности в
зависимости от возможного характера
разрушения. При этом "следует раз-
личать два основных вида разруше-
ния; 1) хрупкое, протекающее без зна-
чительных пластических деформаций,
и 2) вязкое, сопровождающееся пласти-
ческими деформациями. Один и тот же
материал в зависимости от типа напря-
женного состояния (степени его объем-
ности) и условий деформирования (тем-
пература. скорость нагружения, агрес-
сивная среда) может давать хрупкое
и вязкое разрушение (21). (40).
Сопротивление разрушению в хрупком
состоянии определяется: 1) гипотезой
наибольших нормальных напряжений, ко-
торая лучше соответствует весьма хруп-
ким материалам (например, стали инстру-
ментального типа, керамика), 2) соот-
ветствующими механическими характе-
ристиками.
По этой гипотезе
«I - »»
или
’« — гж.
Для ряда хрупких материалов условия
прочности лучше соответствуют гипо-
тезе наибольших удлинений (легирован-
ный чугун, высокопрочные стали после
низкого отпуска):
апр “ 0| —М (°2 + ’а) - «Г
Сопротивление разрушению в хрупком
состоянии для материалов с выражен-
ной разницей сопротивлений растяжению
и сжатию согласно гипотезе П. П. Ба-
ландина [40] характеризуется условием
I — V
—2— (в1 + + »э) +
нию условия прочности предложены
Ю. И. Ягн (46).
Сопротивление разрушению для ма-
териалов с разным сопротивлением
растяжению и сжатию определяется
также согласно гипотезе Мора по оги-
бающей кругов предельных по прочно-
сти напряженных состояний. Характер
такой кривой представлен на фнг. 9, ее
полагают состоящей из двух ветвей.
Фиг. 9. Огибающая предельных
кругов напряжений по сопротив-
лению разрушению.
Ветвь АВ огибает круги, характеризую-
щие разрушение от среза, при преиму-
щественном влиянии касательных на-
пряжений. Ветвь CD касается кругов,
характеризующих разрушение от отрыва,
при преимущественном влиянии нор-
мальных напряжений и приближенно
соответствует гипотезе наибольших нор-
мальных напряжений.
Для случая разрушения от среза при
замене огибающей АВ прямой условие
прочности выразится так:
а, — а8 = 2т, — — — 1 (а । + а»).
Сопротивление разрушению
в вязком состоянии определяетеi
приближенно гипотезой наибольших ка-
сательных напряжений и соответствую-
щими механическими свойствами.
По этим гипотезам определяются вели-
чины приведенных напряжений в форму-
лах для расчета на прочность (табл. 13).
При весьма неравномерном распреде-
лении напряжении в деталях в процессе
+ 4- jAl -’)*(•» + + *•)* + 4* («| + *’+’а — ’Л ~ ’1»! — ’Л) “ ’«
где ч —
а»0
яв еж '
Для напряженных состояний всесто-
роннего сжатия приведенные гипотезы
неприменимы.
В более общей форме через три ха-
рактеристики сопротивления разруше-
возрастания нагрузки происходит пере-
распределение напряжений, после кото-
рого наступает хрупкое или вязкое раз-
рушение [8], (39], [40].
Переход от вязкого к хрупкому раз-
рушению зависит от типа напряженного
состояния, свойств материала и усло-
вий его работы. Для качественной ха-
рактеристики типа разрушения исполь-
438
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
зуются: а) схема условий разрушения
по Н. Н. Давиденкову и диаграмма ме-
ханического состояния Я. Б. Фридмана,
б) характер огибающих предельных (по
прочности) кругов напряжений.
Тип разрушения в связи с диаграммой
деформирования дается схемой, предло-
женной Н. Н. Давиденковым (фиг 10) |8|.
На схеме нано-
Фиг. 10. Кривые де-
формирования и уело
вия раярушения.
сится семейство
истинных кривых
деформирова-
ния (см. гл. I).
для различных на-
пряженных состоя-
ний (ab. ас ad).
Концевые точки
кривых (соответст-
вующие разруше
нию) располагают-
ся на ветви CD
хрупких разруше-
ний и Ветви АВ низких разрушений.
Переход от вязкого к хрупкому раз-
рушению в связи с типом напряженного
Фиг. II. Диаграмма механического состояния.
состояния характеризуется диаграммой
механического состояния (фиг. 11) [40).
На диаграмме по оси абсцисс нано-
сится наибольшее нормальное напряже-
ние smax (или приведенное нормальное
напряжение по гипотезе наибольших
удлинений), по оси ординат наибольшее
касательное напряжение действую-
щие каждое по своей площадке.
На диаграмме наносятся механические
характеристики материала: истинное со-
противление разрушению при растяже-
нии $к, сопротивление срезу предел
текучести ог и истинный сдвиг gmM в
процентах.
Лучи, проведенные через начало ко-
ординат, соответствуют определенному
напряженному состоянию, например
равняется при растяжении Vj, при
sm»x
кручении I, при контактных напряже-
ниях— больше единицы.
В качестве примера на фиг. II при-
ведена диаграмма механического состоя-
ния для бронзы Бр.С20. Прн растяжении
этою материала наблюдается отрыв, при
сжатии — срез, при кручении — проме-
жуточное разрушение
Если луч данного напряженного со-
стояния пересекает раньше линию от-
рыва. то разрушение будет иметь хруп-
кий характер и для расчета должны
быть использованы гипотезы наиболь-
ших нормальных напряжений или наи-
больших удлинений.
Если луч данного напряженного со-
стояния пересекает сначала линию среза,
то разрушение будет иметь вязкий (в
некоторых случаях хрупкий) характер,
и для расчета должны быть использо-
ваны гипотезы наибольших касательных
напряжений.
На фиг. 12 представлены схемы оги-
бающих кругов предельных напряжен-
ных состояний и соответствующие типы
Фиг 12. Схема титрованные типы предельных
кривых и характер разрушений: а — пластичный
материал; б — материал пониженной пластичности:
« — хрупкий материал.
разрушений для основных случаев на-
грузки. Слабо наклоненные к осн ветви
огибающих соответствуют разрушению
от среза, вертикальные ветви соответ-
ствуют разрушению от отрыва. Если
предельный круг напряжений, соответ-
ствующий данному напряженному со-
стоянию. касается слабо наклоненной
ветви, то разрушение будет происходить
от среза, прн касании к вертикальной
ветви — от отрыва. •
ПРОЧНОСТЬ ПРИ СТАТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЯХ
439
Характеристики прочности и пластич-
ности зависят от изменений свойств
материала, связанных со структурными
процессами, происходящими при'дефор-
мировании. Это также отражается на
переходе от вязкого к хрупкому состоя-
нию и типах разрушения [26].
Несущая способность
при статических напряжениях [6],
|Ю]. [11]. |17], [21], [25], (28]. [33]. [34] *
Несущая способность деталей при
действии статических напряжений со-
ответствует тем значениям нагрузок,
при которых либо возникают переме-
щения, превышающие предельно допу-
стимые (несущая способность по пере-
мещениям), либо резко увеличиваются
относительные деформации линейные
нли угловые прн незначительном увели-
чении нагрузки (несущая способность по
деформации), либо возникает разруше-
ние детали (несущая способность по
разрушению).
Предельно допустимые значения пе-
ремещений детали связаны в основном
с условиями работы ее в узле. т. е. сов-
местно с другими деталями (например,
предельнее перемещение внешнего кон-
тура вращающегося диска ограничи-
вается предельной величиной зазора
между лопатками и корпусом, переме-
щение внутреннего контура — ослабле-
нием натяга посадки диска на валу;
жесткость валов привода может дикто-
ваться условиями работы связанных
с ними шестерен и подшипников, причем
предельные величины прогибов и углов
поворота вала определяются предельно
допустимыми углами перекоса в под-
шипниках, степенью неравномерности
распределения нагрузки по зубьям ше-
стерен). Предельно допустимые переме-
щения некоторых деталей могут опре-
деляться также требованиями техноло-
гических операций (например, точностью
получаемых на станке изделий, чисто-
той поверхности и т. д.).
Расчет деталей в условиях статиче-
ского нагружения сводится к опреде-
лению предельных нагрузок (по разру-
шению, по перемещениям нли по де-
формациям) и к вычислению запаса
прочности:
Уядгд
___________ " ’
• Раздел составлен при уместим Р. И. Шией-
деровича.
1 Дс Чпрев — предельная нагрузка; Q —
допустимая нагрузка.
Предельные нагрузки по деформациям,
соответствующие резкому возрастанию
деформации при малых изменениях на-
грузки, также определяются при нали-
чии зависимости между нагрузками
на деталь и ее деформациями, из кото-
рых можно установить область рез-
кого увеличения деформаций.
Для деталей из материалов весьма
пластичных (без упрочнения) несущая
способность детали определяется на-
грузкой, которая соответствует предель-
но возможному распространению зоны
пластических деформаций по наиболее
напряженным сечениям детали; эта на-
грузка и является предельной.
Предельные нагрузки по перемеще-
ниям. соответствующие достижению
в детали предельно допустимых пере-
мещений, определяются ' на основании
зависимости между нагрузками на деталь
и возникающими прн ее действии пере-
мещениями. Для выбранного предель-
ного перемещения по такой зависимости
устанавливается предельная нагрузка.
Предельные нагрузки по разрушению
детали определяются по зависимости
между напряжениями, при которых про-
исходит разрушение, и соответствую-
щими нагрузками с учетом возможного
перераспределения напряжений в детали
за счет пластического деформирова-
ния ее.
В зависимости от условий эксплуата-
ции деталей, механических свойств ма-
териала их и типа напряженного со-
стояния предельные нагрузки для них
по разрушению, перемещениям или де-
формациям могут иметь различную вели-
чину. Для определения запаса прочности
принимается наименьшая из нагрузок.
При работе детали в условиях высо-
кой температуры предельные нагрузки
определяются условиями перемещений
(ползучести) и условиями длительной
прочности детали. Предельные нагрузки
по перемещениям (из условий ползу-
чести детали) зависят от времени; при
большем времени деформирования для
образования заданной деформации или
перемещения требуется меньшая пре-
дельная нагрузка.
Предельные нагрузки по сопротивле-
нию длительному статическому разру-
шению изменяются во времени как за
счет перераспределения напряжений,
гак и за счет уменьшения сопротивле-
ния длительному статическому разру-
440
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
шению во времени. Таким образом, при
расчете деталей, работающих в условиях
высоких температур, следует соответ-
ственно определять два запаса прочно-
сти, каждый из которых зависит от
времени службы детали.
Несущая способность деталей из
материалов в пластичном состоянии.
Несущая способность деталей из пла-
стических материалов (конструкцион-
ные высокоотпушенные стали) с удли-
нением при разрыве не менее 15°/в.
обладающих способностью претерпевать
перед разрушением значительные пла-
стические деформации, как правило,
определяется предельными нагрузками
по перемещениям или. если величина
перемещений на работе детали суще-
ственно не сказывается, — предельными
нагрузками по деформациям. В соответ-
ствий с этим при обычных для деталей
машин напряженных состояниях и усло-
виях работы для деталей из пластиче-
ских материалов нет необходимости
определять запас прочности по разру-
шению.
Если несущая способность детали
ограничивается по перемещениям или
деформациям, запас прочности равен
Qb.q Qr h _
~оГ' Г'
В этом выражении Qy— нагрузка, со-
ответствующая достижению в наиболее
напряженных точках детали напряжения,
равного пределу текучести; Q — лей-
Qr
ствующая на деталь нагрузка; Л,“ -ц —
коэффициент сопротивления в пластиче-
ской области, характеризующий пре-
вышение предельной нагрузки над на-
грузкой. соответствующей началу обра-
зования пластической деформации; пу—
запас прочности по пределу текучести.
Запас прочности по пределу текуче-
сти характеризует запас по достижению
наибольшими напряжениями предела
текучести. Расчет ведется в пределах
упругости по формулам, изложенным
в гл. II. Благодаря пропорциональности
между нагрузками и напряжениями в
упругой области запас по пределу теку-
чести можно записать в виде выражения
„ Qt °т
’ ~ Q ~ Опр ’
где оу — предел текучести; япр — при-
веденные напряжения, соответствующие
действующим на деталь нагрузкам.
Предел текучести в связи с расчетом
определяется как ордината перелома
схематизированной диаграммы растяже-
ния или сдвига.
Схематизированная диаграмма соста-
вляется для начального участка истин-
ной кривой деформирования, соответ-
ствующей упругим и началу пластиче-
ских деформаций до — = 3 -ь 4.
«г
Первый линейный участок диаграммы
соответствует упругим деформациям
(е <еу), второй — упруго-пластическим.
При определении несушей способности
необходимо использовать значения яг
Еу л
и ~ , получаемые по истинной диа-
грамме заменой ее схематизированной,
состоящей из двух прямых, согласно
фиг. I. Значения ау и — для некото-
рых конструкционных сталей и легких
сплавов приведены в табл. I.
Коэффициент сопротивления в пла-
_ . . Qnp
стической области kt = характе-
ризует также влияние на несущую спо-
собность деталей при статической на-
грузке ограничений по жесткости, нала-
гаемых в "соответствии с условиями
эксплуатации конструкции. В случае,
когда'пластическая или остаточная де-
формация в детали не может быть до-
пущена, Qnp — Qr и *, = !• Если пре-
дельно допустимые значения деформа-
ций детали выше значений деформаций,
соответствующих достижению предела
текучести, то коэффициент сопротивле-
ния К, характеризует возрастание несу-
щей способности благодаря упруго-пла-
стическому перераспределению напряже-
ний в процессе деформирования. Это
возрастание может быть использовано
в соответствии с допустимыми переме-
' тениями, уже превышающими упругие.
Коэффициент k, зависит от распреде-
ления напряжений за пределами упру-
гости и параметров диаграммы дефор-
мирования. Определение предельных
нагрузок и по ним величин коэффи-
. М
циента сопротивления к. — -тт- рас-
• Му
смотрено подробно в гл. IX.
Формулы для определения предель-
ных усилий допускаемых напряжений и
запасов прочности приведены в табл. 11.
Предельная несущая способность для
Таблица Ы
Несущая способность по сопротивлению пластическим деформациям
В пределах упругости В упруго-пластическо • области
Вид нагрузки Усилие, соответствую- щее деформации а при линейном упрочнении
щее началу пластиче- ской деформации Запас прочности Допускаемые напря- жения Запас прочности Допускаемые наира ження
Растяжение p7=ftz т-£ "-% ’.-'г 4-5. +М*-тЙ р, п'=-р . р, 9 -рп,
Кручение тон . _Ж<Т М кт Н в кг 1 Ог «к.- Мк1 —• -& + м 11 ” 2Ftn,
профиля * тк1 Г 7 Мк 1 1 2FtnT + mkt(’~ “5") "• «к
Тонкостенная труба под давлением пт т Я i.i .+ II 4? <h п. =» Q >•’ = -757
Изгиб мт = VeT п -Мт т~ м лг W—Ц; М, h, Мт м, п, = ~лГ м, |в’ = тглТ
Кручение М*Т = VKtT м ‘и'г М ж k м Мк. Itl —
"г м к 11 1F п W кпТ *• т^Т Мк “\л«
Кручение с ^Т^у^^к'7 ГОТТ1 - Мкт пт~~^ Л><гГэр+1 1ГжРлг Мм = й, 3 II * 1$ II *1--° ^ле
растяжением •*
Толстостенная труба пол давлением »*» (р| - р-)т — 1 - а’ (р.-р^т пт~ 1Р.-Р.) (р, - Pt)r /Г |В|“ (!-.’) пт (Pl — Ро), “ (Pl - р»>, л* (Pl - р.) (Pi - Ally Vз
/Г ’г — *, (Р. - Р>)у (’>“*• я, (1-яЧ
• F — площадь. ограниченная средней линией стенки; t — толщина стенки. „ . т Al Р тле т = я-т. а = 51 , где Р, — внутренний; J?, — внешний радиус трубы.
прочность пт статических напряжениях
442
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
легален из материалов без упрочнения
« выражения для предельных нагрузок
е этом случае приведены в гл. IX."
Увеличение несущей способности
в процессе развития пластических де-
формаций зависит от двух причин: 1) за
счет перераспределения напряжений по
•сечению детали за пределами упругости;-
2) за счет упрочнения материала детали
«три пластическом деформировании.
Наиболее интенсивно процесс увели-
чения несущей способности протекает
в начальной стадии пластического де-
формирования, когда более интенсивно
лроисходнт перераспре-
деление напряжений по
сечению.
Чем более неравно-
мерно распределены на-
пряжения в упругой
области, тем больше эф-
фективность использо-
вания материала за счет
перераспределения на-
пряжений в пластиче-
ской области. Для случая
Ет а
= 0 несущая спо-
с
собность в пластической
области может повы-
шаться лишь за счет
перераспределении на-
пряжений при неодно-
родном напряженном со-
стоянии; соответствую-
«цие значения предель-
ных усилий для ряда рас-
четных случаев приве-
дены в гл. IX.
По мере роста пласти-
ческих деформаций^ на-
чиная со значения ——
*7
»2ч-з\ процесс пере
(распределения напряже-
ний ослабевает, несущая
способность повышается
значительно медленнее и
« основном засчетупроч-
пения материала.
Начиная с некоторых
величин деформаций, не-
сущая способность повы-
шается медленно, и в
этой области использо-
вание детали за преде-
лами упругости нецеле-
сообразно. Необходимо отметить, что
прн упрочнении, характеризуемом
-J- = 0,0-г-0.1, несущая способность де-
г.
тали оказывается практически исчерпан-
ной уже при величине остаточной де-
формации 8 — 02°/о обычно принятой
при определении предела текучести;
Ет
при увеличении упрочнения — 0,15-ь
ч-О.ЗО некоторое повышение несущей
способности дает увеличение остаточной
деформации до В — 0,3 4- 0,5®/». Пре-
Таблица 15
Несущая способность при хрупком состоянии
(по разрушающим нагрузкам)
Случай нагрузки Сечение Плоишь» момент сопротивлении Предельные усилия Запас прочности Допускае- мые на- пряжения
Растяже- ' И!!* Любое р 1 с >1- 1
*,= »'1и
X -4гН- 1 * MS i • С О(Ь 1 1 2 с 4*1’ II с а
’%-2г
uh ] •*
Кручение 1 ж 2 4*1’ "И
ft f~u II с 1 И
прочноеIЬ ПРИ СТАТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЯХ
443
дельные нагрузки с увеличением дефор-
мации могут существенно возрастать
в области, соответствующей указанным
величинам остаточных деформаций.
При расчете предельных усилий, за-
пасов прочности и допускаемых напря-
жений должно быть учтено влияние
абсолютных размеров деталей на меха-
нические свойства металла, которые
Фиг. 13. Уменьшение предела текучести е увели-
чением размеров сечения.
снижаются с ростом размеров. Это
уменьшение характеризуется для от
коэффициентом
г (от)ю ’
т. е. отношением предела текучести
металла (ат)а для детали размером се-
чения d к пределу текучести при сече-
нии размером 10 мм (пределы текучести
определяются на образцах одного сече-
ния. взятых из поковок деталей различ-
ных размеров). На фиг. 13 дан график сг
в зависимости от <г.
Несущая способность деталей из
материалов малопластичных и склон-
ных к хрупкому разрушению. Напря-
женное состояние для деталей из мате-
риалов, склонных к хрупкому разруше-
нию вплоть до разрушения, обычно
остается в пределах упругости. Если
модуль упругости при растяжении н
сжатии одинаков, то запас прочности
определяется по напряжениям
а.
л — — или л — — ,
а т
где о, и т(- пределы прочности.
При различных величинах модулей
упругости при растяжении Ер и сжа-
тии ЕСж наибольшие растягивающие о
и наибольшие сжимающие в„,|п напря-
жения определяются по формулам (при
изгибе)
MhpEp МксжЕсж
®<п«х “ IP > amln Тр >
Jt-пр Jcnp
где hp — расстояние от нейтральной ли-
нии до растянутого волокна; Е„р =
ЛЕрЕеж
= , >___=---- .« ; Л/--— то же для
сжатого волокна.
Для прямоугольного сечения
Сбчсппя и и1нишсппи -— р«11ЧС1 иа
прочность должен производиться либо
по наиболее растянутым, либо по наи-
более сжатым волокнам.
Для чугунов и некоторых легких
сплавов линейная зависимость между
напряжениями и деформациями не имеет
места. В этом случае для определения
напряженного состояния и разрушаю-
щего усилия необходимо использовать
экспериментально полученную зависи-
мость между напряжениями и деформа-
циями или получить из эксперимента
разрушающее усилие для данного напря-
женного состояния,
Прн использовании для расчета на
изгиб обычных формул сопротивления
материалов в них условно вводится пре-
дел прочности прн изгибе
Мроз
’«и - ~рГ • р •
Для серых чугунов при круглом сече-
нии [1 — 1, при прямоугольном Jt — О.ВЗ
при двутавровом > — 0,7.
Если несущая способность детали
ограничивается по разрушению, как это
имеет место для хрупкого материала,
запас прочности равен
л* “ “Q”»
здесь — разрушающее усилие опре-
делится по наиболее нагруженному се-
чению.
Для малопластичных материалов ха-
рактерно некоторое пластическое дефор-
мирование перед разрушением, в про*
441
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
цессе которого перемещения могут до-
стигать предельных значений. При этом
за счет пластического деформирования
в детали происходит перераспределение
напряжений, так что к моменту разру-
шения напряжения могут отличаться от
напряжений, соответствующих упругому
состоянию. В зависимости от условии
работы конструкции несущая способ-
ность деталей из малопластичных мате-
риалов может ограничиваться как по
перемещениям, так и по разрушению.
За счет перераспределения напряжений
в сечении, происходящего при пласти-
ческих деформациях материала детали,
может происходить некоторое увеличе-
ние несущей способности детали.
Если считать, что разрушение детали
вызывают напряжения, достигающие
в опасном, сечении предела прочности
ов (или истинного сопротивления раз-
рыва SK), то следует искать зависимость
предельных нагрузок от наибольших на-
пряжений. В этом случае вводится коэф-
фициент сопротивления разрушению
Кв = —. Коэффициент сопротивле-
ния разрушению Кв характеризует влия-
ние на несущую способность детали воз-
можного перераспределения напряжений
за счет пластических деформации, возни-
кающих в малопластичном материале пе-
ред разрушением. Он получается в за-
висимости от — или — .
ог аг
Коэффициент ka выражается через
коэффициент сопротивления в пластиче-
ской области ke
Для этого в выражении для kt вели-
чину е следует принять равной той,
которая соответствует разрушению:
Зпред &
Если несущая способность детали мо-
жет ограничиваться и по перемещениям,
и по разрушению, как это может иметь
место для' малопластичных материалов,
следует вычислять два запаса прочности
^по перемещениям п, ~ и по раз-
QpC3p\ .
рушению лв — —у—I и оба сравнивать
с соответствующим минимально допу-
стимым значением (см. стр. 484).
При определении предельных нагрузок,
запасов прочности и допускаемых на-
пряжений для хрупких материалов должно
быть принято во внимание влияние
абсолютных размеров и концентрации
напряжений на условия разрушения.
Фнг. И. Коэффициент уменьшения предел! проч-
ности при растяжении о запнсимосги от размеров
сечення: / — углеродистая и марганцовистая ста-
ли: 2 — легированная сталь: 3 — модииированный
чугун; 4 — серый чугун.
Зависимость предела прочности при рас-
тяжении от размеров сечения характе-
ризуется коэффициентом е, = »
значение которого представлено на
фиг. 14.
Влияние концентрации напряжений на
статическую прочность при растяжении
характеризуется величинами коэффи-
цнеитов ks = —г—. где (а„„)ж — пре-
\авр)к
дел прочности при растяжении при на-
личии концентрации в номинальных на-
пряжениях.
Влияние концентрации напряжений на
статическую прочность при изгибе ха-
рактеризуется полным коэффициентом
концентрации где ks —
_ , причем — предел проч-
ности для изгиба при налички концен-
трации в номинальных напряжениях;
р, — коэффициент, характеризующий
влияние радиуса закругления; ^ — коэф-
фициент. характеризующий влияние вы-
соты сечения.
На фиг. 15 даны величины (ks)n при
изгибе в зависимости от величины над-
резов для различных материалов. На
фиг. 16 дана диаграмма коэффициента
а на фиг. 17 —диаграмма —
Здесь ksfl — коэффициент ks при задан-
ном значении размера й; коэф-
фициент hs при /г — 38 мм.
ПРОЧНОСТЬ ПРИ СТАТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЯХ
445
Фиг. 15. Коэффициенты концентрации (Л$)о при
треугольном остром наарезе и плоском образце при
изгибе: / — алюминиевый сплав 7»;0 Си, 1,7“(0 Zn,
1.27с Ре, в4 “ 16 Л'Г)лм’; 2 — серый и никелевый
чугун; 3 — вольфрамовый чугун.
Фиг. 18. Коэффициент концентрации (Лр
для изгиба чугунного уголка.
графиком коэффициента 0, — при-
“$20
веденным на фиг. 19 для углеродистой
стали.
Фиг. 16, Коэффициент ?г, характеризующий влия-
ние кривизны надреза: I — алюминиевый сплав.
2 — чугун.
Фиг. 19. Коэффициент Э^, характеризующий повы-
шение эффективности концентрации с понижением
температуры (углеродистая сталь, 0 <?*|e С, а =
- 85 <Гым<«). Р
Фиг. 17. Коэффициент Эд. характеризующий влив
ние высоты сечение при изгибе: I — алюминие-
вый сплав; 2 — чугун.
На фнг. 18 приведены значения kt
для изгиба чугунного уголка.
Усиление влияния концентрации напря-
жений на статическую прочность наблю-
дается также со снижением темпера-
туры. Такое усиление характеризуется
При растяжении и кручении деталей
из материалов, пластичных или обла-
дающих ограниченной пластичностью.
Фиг. 20. Коэффициент для кольцевой выточки
при растяжении для сталей: / — сталь ЛОХ НМ А,
отпуск 200’С, о —НЮкЛаитча—стальЧОХНМА,
отпуск 500“ С, КГ1ММ'. 3— сталь ЗОХГСА,
отпуск 200° С, 0^-170 кГМ1Л>; 2-сталь ЗОХГСА,
отпуск 500’ С, 120 кГ\мм". для j <0,6 сталь
I8XH0A. отпуск 500° С, овр - 120 <Г/жаИ.
446
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
наблюдается увеличение сопротивления
разрушению при наличии концентрации
напряжений.
При весьма ограниченной способности
к пластическим деформациям (8 С 3%)
концентрация напряжений может вызвать
снижение прочности и хрупкое разру-
шение [8], |26). На фиг. 20—22 даны
Фиг. 21. Коэффициент иа кольцевых сыто
чек при растяжении иа литых легких сплавов:
/ — магниевый сплав: 6»|, А1, 0.2»/, Мп, 3»|, Zn,
ов — 28 кГ/лис*. ог — 10 «Г|лмР. 4 — 12»|,; 2 - ма-
гниевые сплавы: 9“Ь AI, 0,2°), Мп, 2»/, Zn, <>tp —
-28кГ'Лл|«, e.-tl-HS кГ/ЛлП, 8«=2-+
•+- 10“/,; о»;, А1, 0,4>/, Мп, 3»|, Zn. а — 28 кГ1ММ\
ч_ — 13.3 кГ/жм», 5 — 9»/»; 3 — алюминиевый
сплав: 7^,51. 0,3»/. Mg, а = 22.4 кГ\мМ>,
о г—15,4 кПжн», -4 = 4-/,: 4 —алюминие-
вый сплав: 4»/,Cu. А1 — остальное, ввр =
— 25 кГ/змИ, вг — 15 кПчМ', 4 — 5»/,; 5 — алюми-
ниевый сплав: 10»/, Mg. At — остиьнос, е -
— 31,5 кГ)М*, вт -17,5 кЛжл», 6 - 14»/%
Фнг. 22. Ковффинисит А для кольцевых выточек
при раствженин деформируемых легких сплавов:
/ —магниевые сплавы: 1.6% Мп, Mg — остальное,
о. — 24 хГ/лл*; 4 — 9 -+ 17»/* 6»/, AI, 0,2°|« Мп,
l»/u Zn, я. — 33 кГ/ллт». 4 — 9 + Ifr’fc; 2 — магние-
вый сплаг: 3»|, А1.03Ч, Мп, 1»/, Zn, <(р—Э0 кГ/мм1,
4-• 11+-21»),; алюминиевый сплав: 4,5»|, Си,
1,5'J, Mg, Al — остальное, 48 ьЛллг», ij —
— 19 кЛаит»; J—магниевый сплав: 8«5“|„ Al,
ОД»/, Мп, 0Л»|, Zn, ч - 36 «Ллм», 8 -й»|*
кривые значений^ при растяжении круг-
лого стержня с надрезом в зависимости
от величины концентрации для различ-
ных материалов.
Пример /. Рассчитать предельно допустимый
крутящий момеит иа торсиона редуктора кон-
вейерного привода, конструкции и основные раз-
меры которого представлены на фиг. 2.1. Торснон
служит ы« выравнивания распределении усилий
между одновременно зацепляющимися шестерням»
и передает только крутящий момеит.
Фнг. 23. Конструкция торсиона к редуктору.
Материал — улучшенная сталь ЗОХГСА, обла-
дающая следующими механическими свойствами:
тг — 54 кПмм'; О — 0.7-10* кГЦиГ.
Расчет производится исходя из предельной де-
формации — —1,4 по условиям жесткости. По
7Г
табл. 14 нахоаим допускаемое напряженке на
кручение; приняв запас прочности п, — 2,5 в связи
с ответственностью и значительными размерам»
конструкции, получки
Af . тт*е 54
1т1 — а. *' —____£_!_ = —Z-
11 • n,w Я, гл
Л1
мт
Коэффициент k.
отражающий
влияние
неоднородности напряженного состояния, опреде-
V Оч* Е<Г
лается для -L —1,4 и — 0,1 (см. табл.t>
по графику гл. IX н равен 1,22.
Допускаемое напряжение составит
|т| - 1.22 - 26,5 кПмМ>.
Допускаемы} момент составит
Мк, »|т| WK - 0.2-100»-26.5-10- 3 - 5300 кГч.
Пример 2. Рассчитать радиальную толщину /
поршневого кольца быстроходного авигатсля с диа-
метром цилиндра 155 лит исходя из условий проч-
ности н рабочем состоянии. Колыю изготовляется
из чугуна СЧ 38-60. имеющего предел прочности
на изгиб 60 ^ПиМ1 (см. табл. 4). Напря-
жения, возникающие в кольце в рабочем состоя-
нии. определяются а зависимости от зазора А
в замке в свободном состоянии.
Принимая А — 24.4 мм. определяем г из условий
прочности в рабочем состоянии, предполагая рав-
номерное по окружности распределение давлений.
Напряжение определяем по формуле ия рас-
чета поршневых колец:
А
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
447
Допускаемо* напряжение на изгиб для чугуна
СЧ 38-60 находим с учетом поправки для прямо-
Фиг. 24. Конструкция вала
паразитной шестерни.
угольного сечення (стр. 443). Приняв запас проч-
ности л — 3, получим
(о] = 0,83 - С,83 = 16Д кГ/мМ'.
Л <5
Модуль упругости принимаем Е — 10* кПмиР.
Усилие, соответствующее достижению предел,
текучести в наиболее напряженном сечении.
34-0.1 -45» _
75-0,5 “ 8250 *Г:
ПД
Угол поворота осн балки иа опоре, соответ-
ствующий достижению предела текучести,
Рг/.<» (2 — 1» 8250-7,5-7,5-13* пппъ.
7-“ 6HJ “ 6-2.10»-035-4,5‘"0,0°®
(7, и 1, см. фиг. 25).
Дл« ~а~ ~ тайн 1,78 по грвфи*у Фиг
построенному так же, как графики, приведенные
н гл. IX, находим 3 = 0.5 значение коэффи-
циента = В, = 1,6.
„ Т
Запас прочности
, - 8250 ч
л, = *, • пг - 1,6 - 1.76.
После подстановки числовых значений в при-
веденную выше формулу получим Г —4 мм.
Пример 3. Определить запас прочности для
вала паразитной шестерни, конструкция и основ-
ные размеры которого представлены на фиг. 24.
Нагрузка, действующая па пал, составляет Р ~
— 7600 кГ. предельная нагрузка соответствует
предельно допустимому углу поворота перекоса
вала в подшипнике (I — 0,006, пр» котором проис-
ходит защемление шариков.
Материал вала — сталь 45 нормализованная,
предел текучести «у «• 34 кГ/мм'. модуль упроч-
Е,
пенив —~ ав 0.
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ
НАПРЯЖЕНИЯХ
Прочность материала в связи
с типом напряженного состояние
|2). |19|. |2Ц. [30), (36), [40]. |44] •
Характер зависимости переменных
напряжений от времени может соответ-
ствовать одному из трех случаев, пред-
ставленных на фнг. 26 (при установив-
* Раздел свставлен при участии В. П. Когаева-
448
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
-шемся режиме изменения напряжений
во времени). Случай а — действия знако-
переменных напряжений при ашах =
“ — ’mini Цикл изменения напряжений
называется симметричным циклом пере-
45
V
Фиг. 26. Схема изменения напряжений «о времени:
м — симметричный цикл; о — пульсирующий цикл; в — асимметричный
ЦИКЛ.
менных напряжений. Случай б — при
'Omin =° чикл называется пульсирующим
.циклом. Случай в называется асимме-
тричным циклом. В атом общем случае
ят = 3max gglln (среднее напряжение
цикла), <га — -^П|Ц 1Л|П — амплитуда
напряжений цикла.
Для характеристики степени асимме-
трии цикла вводится коэффициент асим-
метрии цикла r — При симмет-
ричном цикле г — —Г прн пульсирую-
щем цикле г —0 (поэтому величинам,
соответствующим симметричному н
.пульсирующему циклам, приписываются
индексы —I и О, соответственно).
Для определения предела выносли-
вости металла, т. е. того наиболь-
шего значения максимальных знако-
переменных напряжений, превышение
•которого приводит к усталостному раз-
рушению, производится испытание на
5'сталость с наложением переменных на-
пряжений на статические, и кривая уста-
лости строится по максимальным напря-
жениям цикла или по амплитудным.
Прочность при асимметричном цикле
.изменения напряжений характеризуется
схематизированной диаграммой предель-
ных напряжений согласно фнг. 27, а для
•пластичных материалов н фиг. 27. б для
арупких.
На диаграмме обозначены: аголх — ма-
ксимальное напряжение цикла; о,я -соот-
ветствующее среднее напряжение цикла;
о_| — предел выносливости при симме-
тричном цикле; а0— предел выносливости
при пульсирующем цикле растяжения;
(°о)сж ~ предел выносливости при пуль-
сирующем цикле сжа-
тия; at — предел ьное
напряжение, соответ-
ствующее допустимой
деформации; ал— пре-
дел прочности.
Линия АВС ограни-
чивает максимальные
напряжения цикла,
соответствующие пре-
делам выносливости;
отрезки ординат меж-
ду этой линией и
прямой под углом 45’
являются амплитуда-
ми цикла.
Уравнение линии
предельных напря-
Фиг. 27. a — диаграмма предельных напряжений
при асимметричных циклах для пластичного ма-
териала: б — анаграмма предельных напряжений
прн асимметричных циклах для хрупкого мага
риала.
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
44»
женин при асимметричном цикле имеет
нид
’max -«_!+(!— Фв) ’ml
Tmax “ *—1 + ( * Фх) xm<
где
2»_!-a0 . 2т_,-г0
Ф. “---Z----. Фа ------Z---•
’о To
В области сжимающих напряжений ят
’min — — »_i — (1 — Фа) ’лг
Значение 4>„ и фг а также значения
пределов выносливости для сталей пред-
ставлены в табл. 16.
Таблица 16
Характеристики диаграммы предельных
налражсии* для сталей
32-42 40-50 12-15 12—16 16-22 17-22 8-12 10-13 0 0 0 0
48-60 60-75 17-21 19-25 ЙЙ 1 1 КЗ 11-14 15-20 0,05 —
70-85 85-105 — 31—38 40-45 17-23 21-26 0,10 0,05
105-125 125-145 - 45-50 50-60 25-30 28-35 0,15 0.30 0,10
Приведенные выражения для ятах
обычно используются в расчете до зна-
чения ama]t — с,, при больших значениях
напряжений цикла они также могут
быть использованы для определения за-
паса прочности по усталости, но при их
действии будет возникать деформация,
превышающая заданную а.
Прочность при линейном (одноосном)
напряженном состоянии с асимметрич-
ным циклом рассматривается в двух
областях:
а) для пластичного состояния при
’max < °,- ДЛЯ хрупкого состояния при
’max < ’» условие достижения макси-
мальными напряжениями цикла пре-
дельных значений при растягивающих
средних напряжениях выражается так:
9пах “ ’—I 'Ф (I Фе) °mi
при сжимающих средних напряжениях
’mm = —’_i — (1 — Ф^)
б) в остальной области для пластич-
ного состояния огои — о,; для хрупкого
состояния ’щах “ °»р для растяжения;
’mln = ’, и ’mln - °всж для сжатия.
При переменном кручении с асимме-
тричным циклом условия достижения
напряжениями предельных значений:
при -raiU( < т, или < та.
Сопротивление усталостному разру-
шению при плоском и объемном напря-
женном состоянии для пластичных мате-
риалов определяется главным образом
величиной переменных касательных на-
пряжений; условия достижения предель-
ного напряженного состояния для сим-
метричного цикла с соблюдением син-
хронности и синфазностн напряжений
формулируются по гипотезе наиболь-
ших касательных напряжений
(’i)a —(’з)о - ’-|
и гипотезе октаэдрических напряжений
К’а)а— (’a)al* + |(’з)а — (’i)el* +
+ К’Оа-(’l)aJ2 = 2’1,;
(’i)a. (’i)a- (e»)e — амплитудные значения
главных напряжении.
Для случая совместного действия рас-
тяжения и кручения или изгиба и кру-
чения с поправкой на соотношение
величин пределов выносливости при из-
гибе и кручении условия достижения
предельного напряженного состояния
выражаются так:
Для материалов малопластнчных и
хрупких на сопротивление усталостному
разрушению оказывают влияние не
только касательные, но также нормаль-
ные напряжения; условия достижения
предельного напряженного состояния
формулируются по наибольшим касатель-
ным напряжениям с отображением влия-
ния нормальных напряжений |30|:
(’l)a (’j)o “ °— I (2 — 1 j X
' ” I /
X 1(’1)в +
29 том т. з
450
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
При заданных амплитудах напряжений
плоского напряженного состояния (сЛ)а,
(яу)а- а также для случая одно-
временного действия кручения и растя-
жения или кручения и изгиба (аа, та)
выражения для приведенных напряже-
ний для симметричного цикла даны
в табл. 17.
Расчет на усталость при симметрич-
ном цикле производится по формуле
где п — запас прочности (см. стр. 483);
[а_1| — допускаемое напряжение при
симметричном цикле.
Для материалов в пластическом со-
стоянии должны использоваться гипо-
тезы наибольших касательных и окта-
эдрических напряжений, при наличии
более полных данных о пределах уста-
лости—гипотеза, вытекающая из эллип-
тической предельной кривой, и гипотеза
предельных напряженных состояний
(Мора), которая также используется для
материалов в хрупком состоянии.
Для напряженных состояний с асим-
метричными циклами переменных на-
пряжений условия прочности характе-
ризуются либо сопротивлением уста-
лости, либо сопротивлением пласти-
ческим деформациям или статическому
разрушению. Для выяснения того, какой
из критериев должен быть использован
в конкретном расчетном случае, сопо-
ставляются соответствующие запасы
прочности. Для определения запаса проч-
ности по сопротивлению усталости на-
пряжения асимметричного цикла при-
водятся к эквивалентным напряжениям
с симметричным циклом по формулам
«а + Мт!
Ьа), - Ч + Ф,тт.
Запас прочности определяется по
<1 ормуле
"<А
nJ 4- л’
где
а-|
’ "’“TO?’
Для определения запаса прочности по
сопротивлению пластическим деформа-
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
451
дням определяются эквивалентные ста-
тические напряжения:
(°т)* = 9а + 9и|> (хт)$ “ хо 4-
Запас прочности п определяется по
той же формуле, причем
х,
л = —т—> л, = —г—-
При расчете на сопротивление ста-
тическому разрушению вместо at и т,
подставляются соответствующие пределы
прочности ял и
Из полученных запасов по усталости
и статической прочности принимается
во внимание для расчета меньший (см.
также стр. 484).
Несущая способность
прн переменных напряжениях
И|-я Ш,,9Ь |2П
Несущая способность деталей прн
действии переменных напряжений соот-
ветствует тем наибольшим значениям
нагрузок, вызывающих переменные на-
пряжения, которые не приводят деталь
к усталостному разрушению после весь-
ма' значительного числа циклов повто-
рения напряжений.
Нагрузки и напряжения, соответствую-
щие несущей способности детали, 'за-
висят от сопротивления материала уста-
лости, а также от ряда факторов кон-
структивного. технологического и экс-
плуатационного характера. К этим фак-
торам прежде всего относится: а) нерав-
номерность распределения напряжений
(неоднородность напряженного состоя-
ния) и их концентрация; б) абсолютные
размеры сечений детали; в) свойства и
состояние поверхностного слоя детали.
При действии переменных напряжений
вплоть до начала образования усталост-
ной трещины напряженное состояние
остается обычно в пределах упругости,
и несущая способность определяется
из условий возникновения усталостного
разрушения в наиболее напряженных
объемах детали
Действительное снижение пределов
выносливости вследствие концентрации
напряжений характеризуется эффектив-
ными коэффициентами концентрации на-
пряжений
где и х_1 — пределы выносливости
при отсутствии концентрации; (<»_()« и
(х_|)« — при ее наличии.
Снижение пределов выносливости с
ростом абсолютных размеров сечения
характеризуется коэффициентами влия-
ния абсолютных размеров сечения
(q_ih
° 1)д0 ' * (x—l)<To
где и (т_|)4—пределы выносли-
вости образцов диаметром rf;
и (T—i)d0— то же для диаметров d0 =
= 7-5-10 мм без концентрации напря-
жений.
Влияние качества обработки поверх-
ности, состояния поверхностного слои
и эксплуатационных условий характери-
зуется
коэффициентом
£ ------, где
я-1
а_ । — предел выносливости при данном
состоянии поверхности; а_ । — то же для
тщательно полированного образца.
Сочетание влияний всех перечислен-
ных факторов отражается в расчете
коэффициентом (kg)D:
где (T_|)de~предел выносливости лабо
раторного полированного образца диа-
метром rf0 — 7 ч-10 мм, данные при-
ведены в табл. 2—7; (о_пре
дел выносливости детали натурных раз-
меров. выраженный в номинальных на-
пряжениях.
Предельное усилие по сечению детали,
соответствующее ее несущей способ-
ности. при симметричном цикле соста-
вляет:
при растяжении—сжатии
(*.)о ’
где/7—площадь поперечного сечения;
Qnped — амплитуда осевой силы;
при изгибе
Qnpet) “
452
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
где IFU — момент сопротивления при
изгибе; Qnped — амплитуда изгибающего
момента;
при кручении
Qnped
где Wk — момент сопротивления при
кручении; Qnped — амплитуда крутящего
момента.
Запас прочности при расчете на уста-
лость равен:
при симметричном цикле растяжения-
сжатия
Qnped (’—
п' Q (*JD Q '
где Q — амплитуда действующей силы;
при симметричном цикле изгиба
Qnped 9—l^u
Па ” “Q (WT
где Q — амплитуда действующего из-
гибающего момента;
при симметричном цикле кручения
Qnped Х_,1ГЖ
Q “ (ftJpQ
где Q—амплитуда действующего крутя-
щего момента.
Величины (A,)D и (hx)D отражают
влияние неравномерности распределения
напряжений, абсолютных размеров н
свойств поверхностного слоя при соот-
ветствующих напряженных состояниях
(см. стр. 454).
Допускаемые напряжения (амплитуд-
ные значения):
при растяжении—сжатии
. I _ (а~ •
1 а]р (kt)Dn, '
прн изгибе
при кручении
. ’-I
1ха) — /к . „
(*,)рЛ,
При одновременном действии пере-
менных и статических напряжений, а
также прн сложном напряженном со-
стоянии различается простое и сложное
нагружение.
При простом нагружении компоненты
напряженного состояния изменяются,
оставаясь по величине пропорциональ-
ными и в одной фазе.
Прн сложном нагружении компоненты
напряженного состояния изменяются
либо независимо друг от друга, либо
так. что соотношения между их вели-
чинами и фазы меняются.
Определение несущей способности для
простого нагружения при сложных на-
пряженных состояниях (асимметричный
цикл, плоское и объемное напряженное
состояние) осуществляется на основе
условий прочности и учета влияния
основных конструктивных и технологи-
ческих факторов.
При линейном (одноосном) напряжен-
ном состоянии с асимметричным циклом,
заданным амплитудой напряжений аа н
средним напряжением цикла о„„ запас
прочности определяется по формуле
л» = —г~ •
* <аа)з
где (яа), — (Л0)о°а + Фв°т — напряжения
симметричного цикла, эквивалентные за*
данному напряжению с асимметричным
циклом' и отражающие влияние кон-
структивных и технологических факто-
ров на сопротивление усталости.
При кручении с асимметричным циклом
где
(Та), - (k^)Dto + ф,тт.
В случае совместного действия нор-
мальных и касательных напряжений с
асимметричными циклами запас проч-
ности по усталости вычисляется по
формуле
л л
л — ,
К 4- л^
где
a-i
Пв~ ’
Прн определении запасов прочности
деталей с незначительной концентрацией
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
453
напряжений или деталей больших раз-
меров. особенно из хрупких материалов,
должны приниматься во внимание мак-
симальные величины статической соста-
вляющей напряжений.
Помимо удовлетворения условий проч-
ности по усталости необходимо обеспе-
чить, чтобы максимальные напряжения
цикла не превышали допустимых зна-
чений, вытекающих из условий стати-
ческой прочности. Поэтому наряду с
запасом прочности по усталости следует
во всех случаях действия асимметрич-
ных циклов вычислять также запас проч-
ности по условию статической несущей
способности по формуле
„=
V "I + Л?
где
' Стах /• amax
/ Qnoed \ х«
п. — ( -я-- =----------предельно до-
' Стах А тшах
пустимые по условиям статической проч-
ности напряжения.
Каждый из полученных запасов проч-
ности п сопоставляется с минимально
допустимыми значениями.
Если имеются опытные данные по ис-
пытанию детали в условиях одновремен-
ного нагружения, например кручением и
изгибом (или растяжением), которые изо-
бражаются графиком зависимости между
моментами изгибающими Mnpto и кру-
тящими (Л1Ч)пре<>- соответствующими пре-
делу выносливости, то в расчете следует
использовать эти данные. Подобный
график представлен на фиг. '28. Точка Л1
соответствует действующим в детали
нагрузкам М и Мк. Луч, проведенный
через начало координат, характеризует
условия простого нагружения (когда все
компоненты напряжений изменяются
пропорционально друг другу) и точка N
на кривой соответствует пределу проч-
ности детали. Запас прочности равен
"“Si
В зависимости от формы эксперимен-
тально устанавливаемой предельной кри-
вой предельных нагрузок запас проч-
ности выразится для эллиптической или
приближающейся к ней кривой ’
где
Мцред _ (^к^поед
Пи Л~: п* м; •
причем Л1врга—предельный момент при
испытании только на изгиб; Мк npt^ — то
же при испытании только на кручение
Фиг. 28. Прелельияя кривая усилий при комбини
рованном нагружении.
Для случая, когда предельное напря-
жение ограничивается прямой линией.
п
Пи 4*
Прн сложном нагружении для опре-
деления запасов должны быть исполь-
зованы экспериментальные предельные
кривые, полученные при соответствую-
щих условиях.
Запасы прочности для пло-
ского напряженного состоя-
ния (простое нагружение). Напря-
женное состояние характеризуется ком-
понентами номинальных напряжений:
*ах)тах “ (’х)т + (’x)a'i
(’z)max “ (’к)т +
(ЪгДшж “ Ary)т + (хху)а-
Запасы прочности по усталости выра-
жаются через эквивалентные напряже-
ния согласно стр. 450
’-1
л " =.
V 1(ал)а» Н (хлд)ах
где
(«х)а» - «ха + V-rn»;
(®y)a> " «уа + Фа’ут!
(тл>)а + Фх (хху)/п>
папк
К «и + п'}'
454
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
(по гипотезе наибольших касательных
напряжений к = 2).
Запасы прочности по сопротивлению
пластическим деформациям выражаются
через максимальные напряжения цикла
каждого из компонентов. Запас проч-
ности составит
__ °7
V^((®x)oiax (°y)maxl! *1"
где к =• —.
„ Ч
Определение несущей с п о-
собности для сложного нагру-
жения растяжением — сжатием, из-
гибом или кручением, т. е. при произ-
вольном возрастании статических к
переменных напряжений в детали. Запас
арочности определяется по статической
ат н переменной оа составляющим на-
пряжений цикла и по максимальному
напряжению ап1ах [5], [13]:
% ; Пт - ; п
°а ат
^Jniax^d
®max
W (om)d. (onlax)d—предельные
напряжения при заданных условиях воз-
растания напряженности.
Приближенно эти величины опреде-
ляются но диаграмме пределов прочности
при асимметричном цикле, как показано
на фиг. 29, на которую наносится кри-
вая OMN возрастания напряжений.
Фнг. 29. Схема сложного
нагружения.
жение (например, от возникновения
упругих колебаний), то прочность детали
характеризуется сочетанием значений па
и л. Когда основным фактором увели-
чения напряженности является постоян-
ное напряжение (например, от монтаж-
ных натягов), то прочность характери-
зуется сочетанием значений пт и п.
При кручении выражения для запасов
прочности имеют вид
_ (Ta)d . (Tm)d .
па“—------. »т —--------•
п — (Tm»x)d
'max
Следует иметь в виду, что в зависи-
мости от условий возрастания напря-
жений расположение кривых предельных
напряжений прн асимметричном цикле
изменяется. Использование таких кри-
вых, полученных при испытании с
неизменной амплитудой напряжений
(такие кривые и параметры для них
приведены выше), приводит к погреш-
ностям, которые могут быть устранены
использованием данных испытаний,
поставленных при сложном нагружении,
соответствующем условиям работы де-
тали.
О расчете при иеустановившихся ре-
жимах переменных напряжений см.
стр. 474.
Величины коэффициентов (ka)D и (Л,)о
характеризуют разницу несущей способ-
ности деталей определенной конструк-
ции и изготовленных по • определен-
ной технологии по сравнению с характе-
ристиками прочности при переменных
напряжениях, получаемых испытанием
гладких лабораторных образцов, т. е.
пределами выносливости (см. табл. 2—7).
Для определения (к„)о и (Л,)р исполь-
зуются экспериментальные данные по
отдельным величинам, входящим в этот
коэффициент:
k к
; (* ,)о - •
Точка Л1 соответствует действующим в
детали напряжениям, точка N—предель-
ному состоянию (при заданном возра-
стании напряжений), ее координаты
и (’max)d- («m)d+ <»a)d- Когда
основным фактором увеличения напря-
женности является переменное напря-
Эффективные коэффициенты
концентрации и влияние абсолютных
размеров (19], |21|, |32), [33], [441
Стальные детали. На фиг. 30 пред-
ставлен график для определения коэф
фнниентов влияния абсолютных размс*
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
455
ров сечения. Можно приближенно при-
нять, что ц “• еа.
Кривая 1 на фиг. 30 соответствует
мягким углеродистым сталям с пределом
прочности авр = 40 ч- 50 кГ/мм2, кривая
2— высокопрочным легированным ста-
лям авр — 120 4- 140 кГ)мм2. При про-
Фиг. 30. Коэффициенты влияния абсолютных раз-
меров сечения с,: I — углеродистая стала; 3 — ле-
гированная сталь.
Фиг. 32. Эффективные коэффициенты концентра-
инн для ступенчатых валов при кручении с onio-
межуточных значениях предела проч-
ности следует производить интерполя-
цию между указанными кривыми.
Значения эффективных коэффициентов
концентрации для ступенчатого вала
с галтелью представлены следующими
диаграммами: для изгиба — фиг. 31, для
Фнг. 33. Эффективные коэффициенты концентрации
для ступенчатых валов при растяжении — сжатии
с отношением •• 2 при d = 30 •+• 30 .ии.
Фиг. .41. Эффективные коэффициенты концентра-
ции для ступенчатых валов прн изгибе с отиоше
ииеи -5. — 2 прн d — 30 ч- SO мм.
Фиг. 34. Поправочный коэффициент иа отноше-
ние к фиг. 31 и 32: / — изгиб; 2 — кручение;
и
кручения — фиг. 32, для растяжения —
сжатия — фнг. 33. Диаграммы, показан-
ные на фиг. 31—33. относятся к случаю
2-2.
a
Для определения эффективных коэф-
фициентов концентрации для образцов
с отношением диаметров — <2 следует
воспользоваться поправочными коэффи-
циентами представленными на фиг. 34.
и определять k, для — <2 по фор-
муле
где (Ав)0 — эффективный коэффициент
456
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
концентрации, соответствующий отно-
шению — 2, т. е. по фиг. 31—33;
Е — поправочный коэффициент по фиг. 34
(аналогично для кручения).
Фиг.35.Эффективные коэффициенты «тиеитрацин
иле валов с кольцевой ниточкой при ивгибе; — —
_ I; а — зо +- so .«.и.
Кривые на фиг. 31 и 32 соответствуют
олр = 50 и 120 кГ^мм2 и на фиг. 33 =
— 40 кГ/мм2; кривые авр = 80 и а„р =
= 120 к[~1мм2 на фиг. 33 приведены
предположительно и являются ориенти-
ровочными. При значениях <тар, отличных
от указанных, следует производить ли-
нейную интерполяцию между соответ-
ствующими кривыми на фиг. 31—33.
Значения Ао для случая изгиба валов
с полукру(лыми канавками у — I пред-
ставлены на фнг. 35. Значения ka для
отношений у I вычисляются по фор-
муле
1+(|(*в)о- И.
где (Ло)о — эффективные коэффициенты
концентрации для — = Г, «—поправоч-
ный коэффициент, определяемый по
фнг. 36, учитывающий влияние отно-
t .
тения — на величину
На фиг. 35 представлены кривые для
°»р = -50 и авр — 120 кГ)мм2. Для других
значений atp следует производить линей-
ную интерполяцию.
Из-за отсутствия достаточного коли-
чества экспериментальных данных мож-
но принимать, что значении k9 для ва-
лов с кольцевой канавкой при растяже-
нии-сжатии равны значениям Лв прн
изгибе. Значения (при кручении) для
валов с кольцевой канавкой можно при-
ближенно определить по формуле
14-0.6
где ka — коэффициент концентрации при
изгибе.
Значения эффективных коэффициентов
концентрации для валов с поперечными
отверстиями представлены на фнг. 37
Фиг.37. Эффективные коэффициенты концентрации
лля валок с поперечным отверстием прн изгибе:
кривой /—2. ж 0,03 ч-0,1; кривая 2 — -2-ж
а а
ж 0,15 ♦ 0,25 при Л ж 30-»- 50 .им; о ж ,,, М.
*мтто
для изгиба и на фиг. 38 для кручения.
Для растяжения — сжатия можно, как и
выше, принять {кл)р — ka.
Коэффициенты,характеризующие влия-
ние концентрации и абсолютных размеров
/ *.\
I т. е. — 1 для валов с напрессованными
\ ® /
деталями при изгибе, представлены на
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
457
фиг. 39. Эти кривые соответствуют
«,,-50 кГ[ммг и давлению посадки
Фиг. 38. Эффективные коэффициенты концентра
ции для пллоп с поперечным отверстием прн
/в \ М.
кручен и; | _ о,06 -j- 0,25) tM _ _*L
при </ = 30-45Э мм.
20 30 «0 50 100 150 200 300 (1мм
Фиг. 39. Значение отношения коэффиииен
тов для талон с напрессованными деталями
прн изгибе00 кПлМ», Р>.3 кГ|жл»; / — че-
рез HaiipCCCOeZiHytO деталь перелается сида нли
момент; 2 — через напрессоеаниую деталь не
передастся усилий.
Фиг. 40. Поправочный коэффициент £' на предел
прочности к фиг. 39.
/>>3 кГ!ммг. При <ТдР>50 кГ1мм* и
/»>3 кГ\мм2 следует учитывать со-
ответствующие поправки г и 5'по фиг. 40
и 41 и определять значения —— по фор-
%
муле
/*» \
где (— | берется по фиг. 39 и со-
\ ’ /о
ответствует случаю авр = 50 «Г/мм2.
р>3 к//мм1', с — поправка, учитываю-
щая влияние предела прочности, опре-
деляемая по фиг. 40; Е" поправка,
учитывающая влияние давления посадки,
определяемая по фиг. 41.
Фиг. 41. Поправочный коэффициент В" на заиле-
ние напрессовки Р к фнг. 39.
Указанные величины коэффициентом
концентрации и влияния абсолютных
размеров для валов с напрессовкам»
соответствуют разрушающим напряже-
й
ниям в детали. Коэффициенты “ для
этого случая, соответствующие началу
образования трещин, будут в 1,54-2,5
паза выше приведенных на фиг. <39.
В расчет вводятся коэффициенты по
разрушающим напряжениям или по на-
пряжениям, соответствующим началу
образования трещины в зависимости от
ответственности и условий эксплуатации
деталей.
На фиг. 42 представлены значения k,
для входящего угла при изгибе. При
определении Аа в этом случае для авр >
>90 кГ/мм* интерполяцию следует
производить между линиями авр —
— 90 кГ/мм2 и линией а„, к которой
можно ориентировочно отнести случай
Он — 140-5-160 кГ/мм2.
На фиг. 43 представлены значения Л»
для прямоугольной полосы с поперечным
отверстием при растяжении — сжатии
или изгибе.
Для тех очертаний и форм деталей,
для которых нет соответствующих
4’>8
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
Фиг. 42. Значения коэффициентов «„ и ка для
входящего угла: / — «а; 2 — легированная сталь,
о. =93 *ТММЛ; 3 — углеродистая сталь; о =50 +
Р *70 '
Фиг. 43. »«иа при растяжении —сжатии и
нагибе прямоугольной пластины с отверстием
(кривые 1 и 2).
экспериментальных данных, значения
Ао и А, можно приближенно вычислять
<Ю формулам
Л, - 1 + ?(». - 1);
1).
где q — коэффициент чувствительности
металла к концентрации напряжений
(зависящий также от распределения на-
пряжений), значения которого предста-
влены на фиг. 44.
Фиг. 44. Значения ковффиииеига чувствительно-
сти металла к концентрации напряжений.
Коэффициенты концентрации для сво-
бодных шлицевых валов представлены
на фиг. 45.
Фиг. 45. Значения Лх и в, для шлицевых соедине-
ний: а*— сталь, оя = 80 кГ)мм', = 1,09; в —
сталь, о = 33 kI'imM’. = 1,92; в — «х = 2,5 *
* 3,2; г — ех “ 2,2 * 2,7; 0 — эвольвентный про-
филь, ох = 1,2 + 1Л.
Значения (йх)о для галтели у щеки
коленчатого вала при изгибе представ-
лены на фиг. 46. значения (А,)о тля
*а
Фиг. 46. Значение --- для случая изгиба
щеки коленчатого вала при d — 40 + 70 мм.
галтели коленчатого вала при кручении
шейки — на фнг. 47.
Обозначения размеров зуба шестерни
представлены на фиг. 48, на которой обо-
значено: а—инструментальная рейка; б—
зуб шестерни; А и В — точки касания па-
раболы равного сопротивления АСВ с
точками контура зуба шестерни; С —
точка пересечения линии действия силы с
осью симметрии зуба; $ — АВ — толщина
основания зуба в опасном сечении; / —
расстояние от точки С до линии АВ
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
459
ния шейки коленчатого вала при d — 40 и- 70 мм.
(плечо действия изгибающей силы);
rt — радиус закругления вершины зуба
инструмента; т — модуль зацепления;
г — число зубьев шестерни.
Значения рт для иекорригированных
стандартных шестерен эвольвентного
профиля с углом зацепления а —• 20°
при расчете по напряжениям на стороне
а)
Фиг. 18. Обозначения размеров
зуба шестерни.
растяжения и при приложении нагрузки
к вершине зуба можно вычислять по
формулам:
а) при обработке методом обкатыва-
ния — по формуле Цехновича
б) прн обработке методом копирова-
ния — по формуле Тимощенко
я - 14-0,15А
о -Г Г),
где rt — минимальный радиус кривизны
выкружки зуба, который можно принять
равным Г{.
На фиг. 41 представлены значения аа
для шестерен эвольвентного профиля
s
в зависимости от отношения для
rt Z
различных —- (по данным полярнза-
т
ционно-оптических измерений); указан-
ные коэффициенты относятся к на-
Фиг. 49. Значения ов при изгибе зуба шестерик:
а «ь 2U°, t = 20 + ft).
пряжениям на стороне растяжения,
вычислены с учетом напряжений сжатия
от радиальной составляющей силы и
соответствуют различным точкам при-
ложении силы по нысоте зуба (т. е.
s \
различным отношениям -у 1.
Эффективные коэффициенты концен-
трации ка подсчитываются пи коэффи-
циенту чувствительности металла к к<
центрации напряжений, значения ко; >•
рого для стали следует выбирать ио
фиг. 44.
Значения эффективных коэффициентов
концентрации для валов со шпоночными
пазами представлены в табл. 18 для
изгиба и в табл. 19 —для кручения. Прн
использовании значений ka и kt, при-
веденных в табл. 18 и 19. поминальные
напряжения следует вычислять по нетто-
сеченню. /Санные таблицы относятся
как к валам с одной шпонкой, так и
к валам с .шумя шпонками.
Прн наличии детали, напрессованной
на вал со шпонкой, следует вычислять
номинальные напряжения но нетто-се-
460
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
Таблица 13
Значения he для валов с двумя
нли одним шпоночным пазом
50 75 100
1 '• 1.5 1.75 2.0
Таблица 19
Значения для валов с двумя
или одним шпоночным пазом
• л-Г)л1лг во 70 80 90 100
Л. 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
чению, а за коэффициент концентрации
брать kg для напрессовки или для шпонки
в зависимости от того, какой коэффи-
циент больше.
В табл. 20 приведены значения коэф-
фициентов концентрации для болто-
вых соединений прн растяжении — сжа-
тии в зависимости от предела прочности.
Таблица 20
Значевня для болтояых соединенна
при растяжении — сжатии для d — 12 мм
«ар » Метрическая [»<• Ч»61 Дюймовая резьба
40 3.0 7.7
60 3.9 2.9
80 4.8 3,5
100 5,2 3.8
Чугунные детали Значения коэф-
фициентов, характеризующих влияние
абсолютных размеров при изгибе и кру-
чении для чугуна, представлены на
фиг. 50 и 51.
Эффективные коэффициенты концен-
трации напряжений для чугунных валов
с поперечным отверстием при знакопе-
ременном изгибе определяются по фиг. 52,
поправочный коэффициент в зависимости
от предела прочности дан на фиг. 53
и при знакопеременном кручении — по
фиг. 54. Эти значения отнесены к пре-
делам выносливости на гладких валах
соответствующего диаметра.
Значения ka при изгибе для валов
с кольцевой канавкой определяются по
фиг. 55, с учетом поправки на отно-
шение ~по фиг. 56 и для со-
пряжения стенок под углом — по фиг. 57.
Фиг. 50. Значения коэффициентов влияния абсо-
лютных размеров сечеиня •„ и i„K для чугунных
валов при изгибе: / — вал без концентрации на-
пряжений; 2 — вал с небольшой концентрацией
(4„< 1,2); 3—вал с резкой концентрацией (*„> 1,2).
Фиг. 51. Значения коэффициентов влияния абсо-
лютных размеров ссчсиия «- и для чугунных
валов при кручении: 1 — вал без концентрации
напряжений. 2 — вал с концентрацией напряжений.
Фиг. 52. Значение Л, лля чугунных налои с пояе-
Л1
речным отверстием при изгибе: о = -=-----;
* нетто
материал-серый чугун; кГ1мЛЧ— =0,1ч-
+ 0,15.
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
461
Фнг. 53. Поправочный коэффициент на прелеле
прочности к фиг. 52. Верхняя граница соответствует
высоколегированным чугунам, нижняя — малолеги-
ровакным чугунам.
М.
речным отверстием при крученин: =--=---:
w р нетто
серый чугун; — 22 кПмМ>; = 0.L
Фиг. 55. Значения А, для чугунных валов с коль-
D — d
иеной выточкой при нагибе: —g— — 0,33, а —
— 8 ЛШ, серый чугун, 0^ — 29 «riarar.
Значения эффективных коэффициен-
тов концентрации для некоторых кон-
структивных форм прн различных схе-
мах приложения переменной нагрузки
для чугуна представлены в табл. 21.
Таблица 21
Значения ka для деталей иа чугуна
Форма и размеры летали
Обработка
способом
обкатки
Схема
нагру-
жения
1.2
Изгиб
1.3
Изгиб
2—2,5*
Круче- ние 2-3»
Изгиб 1.15
1.25
4=* 12 жч
4 — 50 мм
Коленчатый
вал авто
мобильного
двигателя
Обработка
способом
копирова-
ния
Рас-
тяже-
ние —
сжатие
1.1-
* Меньшие значения Ад на указанных ин-
тервалов соответствуют серым чугунам, боль-
шие значения — легированным чугунам.
Фиг. 56. Поправочный коэффициент t на отноше-
ние к фиг. 55: л' — 1Аа; а' — коэф-
фициент концентрации при заданном отношении
Фиг. 57. Значения k, для входящего угла при
изгибе. Чугуи, авр — 29 «Г1ЛМ1*.
462
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
Детали из легких сплавов. Значе-
ния коэффициентов влияния абсолютных
размеров при изгибе и кручении для
легких сплавов представлены на фиг. 58.
Значения при отсутствии и при на-
личии концентрации можно полагать
одинаковыми. Значения эффективных
коэффициентов концентрации ka и ко-
эффициентов чувствительности q для
Фиг. Б8. Значения коэффнинентоп влияния абсолют-
ных размеров сечения при изгибе н кручении об-
разцов без концентрации напряжений «в, ц и при
ее наличии гяк, для легких сплавов.
легких сплавов прн знакопеременном из-
гибе и растяжении — сжатии для некото-
рых конструктивных форм приведены
в габл. 22.
Эффективные коэффициенты концен-
трации при растяжении — сжатии, при-
веденные в таблице, определялись путем
испытания образцов, работающих при
асимметричном растяжении (г > 0),
н вычислялись по отношению амплитуд
напряжения циклов с равными коэффи-
циентами асимметрии. В табл. 22 при-
няты следующие обозначения:
для нагрузок: ( — знакопеременный
изгиб; II — растяжение;
для материалов: А — магниевые литей-
ные сплавы: сплав типа МЛ4, а также
сплав с 9%А1, 0,1% Мп; л(/1«14-г
+ 27 кГ/мм* -^- — 0,32 4-0,42 (редко
авр
0,5) (указанное отношение определено
□ .
на базе 100 млн. циклов); —- — 0,2 4- 0,3
(редко 0,4 — база ЛОО млн.₽ циклов); Б —
магниевые деформируемые сплавы типа
МА2, МАЗ, МА5; о,р - 21 э- 35 кГ/жж»;
— 0,28 4- 0,48 — база Г00 млн. ци-
клов; В — алюминиевые литейные сплавы
типа АЛ5. АЛ7. АЛ8. АЛ9; а,„ - 14 +
~ 36 кГ/мм* ------0,17 4- 0.38 — база
я»р
100 млн. циклов; Г — алюминиевый литей-
ный сплав с 10% Си. 1,2% Fe. 0,2% Mg;
s«p= 19 кГ.'мм-', = 0,3 -5- 0,38 — база
100 млн. циклов; Д₽— алюминиевые де-
формируемые сплавы типа Д16, А1<2.
АК8; ав₽-214-48 кГ/мм* -
=0,2ч-0.4 — база 100—500 млн. циклов.
Меньшне значения коэффициентов
чувствительности и эффективных коэф-
фициентов концентрации ka из интер-
валов. представленных в табл. 22, соот-
ветствуют обычно меньшим значениям
’—1 >3
отношения —-. Исключение из этого
правила составляют 10—20% случаев.
Для случаев концентрации напряже-
ний. не представленных в табл. 22, зна-
чения (£o)rfo можно приближенно опре-
делить по формуле
(Мд. = '+?(%-!)•
где fft.)rf0 — эффективный коэффициент
концентрации для образца диаметром </а;
а9 — коэффициент концентрации прн
упругом напряженном состоянии (см.
гл. XIII); q — коэффициент чувствитель-
ности металла к концентрации напря-
жений.
При выборе величины q в этом случае
следует использовать значения, пред-
ставленные в табл. 22, выбирая из таб-
лицы случай, аналогичный заданному.
Основными условиями близости срав-
ниваемых случаев являются подобие
силовой схемы, конфигурации образца,
близость абсолютных размеров и коэф-
фициентов концентрации при упругом
напряженном состоянии.
Значения пределов выносливости де-
тали прн изгибе и кручении для легких
сплавов определяются по формулам
(’-Orf. (e-t)d„‘»« .
(т-1 )d„ (х-|)4,*«
*)D " ( *,)о (
Для примера определим эффективный
коэффициент концентрации напряже-
ний ( fee)0 у края отверстия во фланце
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
463
Таблица 22
Значения у и Ао для образцов из легких сплавов
Эскизы образцов
Размеры
образков
Тип
на-
грузки
Мате-
риал
Я
d = 8 мм
-5 = 1,25 4-1,5
а
2
Б
В
Г
Д
0.4-1
0,7-1
0-0,3
0,8-0.9
0,7-1
1.7-2
1-1.3
1.8-1.9
Б
0,4—0.8
0,7-1
1.7-2
d
11
2
в
д
0,3-0.8
0,6-0,8
♦ А^А
d = a мм
у =1,024-1,6
г — 0,06 мм
= 0.006 •
Б
В
Д
0.2-0,6 1.8-4.3
0.3-0.6 1,9-2,5
0-0.1 1-1.4
0,05-0.4 1.1-2.6
70 мм
Б
2,3-3
I лЛГд
Ч А«%
1,8 4- 5 мм
12 мм
0,5 ММ
ШшШ!
0.024-0,06 мм
40 мм
I и II
Б, Д
Б. Л
II
2,5-3
Б, Д
2
Б. Д
0-0,2
0,2—0.5
0.5-1
1.2
1.3-1,в
1.2-1.8
1.5-2
464
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
(точка Л), подверженном пульсирую-
щему изгибу (фиг. 59). Материал
фланца — сплав Ак2.
Аналогичный случай, соответствую-
щий типу нагрузки I см. табл. 22.
Для сплава АК2 среднее значение
отношения = 0,24. Считаем, что а =
’•/>
= 0,2 соответствует отношению — =0,2,
(У .
а q — 0,5 — отношению —- = 0,4.
Фиг. 59.
Интерполируя значение q для —— =
aet>
*= 0.24 в указанных пределах, находим
q = 0,26.
Теоретический коэффициент концен-
трации % для данного случая можно
определить по данным гл. XIII (стр. 407—
412) для 4 — 4-* “ 0.33 н 3;
о 4л Л 1В
имеем аа — 1.7.
Эффективный коэффициент концен-
трации (Ао)^ определяем по формуле
(*.)*->+«(•-«)-
- 1+0.20(1.7-1)- 1,18.
Для учета влияния абсолютных раз-
меров сечения можно воспользоваться
фиг. 58, полагая зависимость для пло-
ских образцов аналогичной зависимости
для круглых (из-за отсутствия иных
данных). По фиг. 58 для Л — 15 мм на-
ходим «в< — 0.66.
Эффективный коэффициент концен-
трации с учетом влияния абсолютных
размеров ( Лв)0 определяем для данного
случая по формуле
,b. (Md. MS
(Мо- —----адъ -|А
Примечание. Использовать представлен-
ные выше данные дли чугунов и легких сплавов
можно лишь в приближенных, предварительных
расчетах, так как эффективные коэффициенты
концентрации для чугунов и легких сплавов в
сильной степени зависят от большого количества
факторов, не учтенных приведенными графиками
и таблицами (химический состав, особенности
термической обработки, технологии изготовления,
однородность металла и т. д ).
Влияние состояния поверхности
и поверхностного слоя
на выносливость деталей
[15), [16], [19], [22|. [23], [32[, [33], [38].
[40]. [44]
Данные о влиянии состояния поверх-
ности и свойств поверхностного слоя
на предел выносливости выражены
коэффициентом 3. равным отношению
предела выносливости при наличии
каких-либо факторов, связанных с со-
стоянием слоя, к пределу выносливости
при нх отсутствии.
Предел выносливости с учетом ука-
занных факторов определяется по фор-
муле
(®-i)rf -
где (а_t)d — предел выносливости де-
тали. определенный с учетом абсолют-
ных размеров, состояния поверхности,
влияния коррозии и поверхностного
упрочнения; (а_1)ц — предел выносли-
вости детали, определенный с учетом
только абсолютных размеров; р—коэф-
фициент. учитывающий влияние состоя-
ния поверхности, коррозии и поверх-
ностного упрочнения деталей машин.
Прн определении величины коэффи-
циента р следует использовать данные
тех экспериментов, условия проведения
которых соответствуют заданному слу-
чаю. Прн этом особенно важными пара-
метрами являются абсолютные размеры
и конфигурация детали, уровень кон-
центрации напряжения, свойства мате-
риала. параметры технологии.
Приведенные данные могут быть ис-
пользованы лишь для предварительной
приближенной оценки возможного повы-
шения предела выносливости в случае
применения поверхностного упрочнения.
Для определения оптимальных пара-
метров технологии упрочнения и соот-
ветствующих характеристик выносли-
вости следует производить специальные
эксперименты, так как известны случаи,
когда неправильная технология вызывает
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
465
не повышение, а понижение прочности.
Например, выход незакаленной сердце-
вины на поверхность детали в зоне
повышенных напряжений при поверх-
ностной закалке или цементации, нали-
чие остаточного аустенита или цемен-
тнтной сетки в поверхностном слое после
цементации, дефекты шлифования после
цементации (ожоги, шлифовальные тре-
щины и т. п.) могут вызвать понижение
предела выносливости до 50% (т. е.
? - 0.5)
При использовании приведенных дан-
ных следует также учесть, что с ростом
абсолютных размеров деталей эффект
упрочнения понижается, поэтому как
наиболее надежные рекомендуется ис-
пользовать данные. полученные на образ-
цах большего размера нли на деталях
натуральной величины.
Влияние обработки поверхности
на предел выносливости металлов
Коэффициенты р. равные отношению
предела выносливости при данной обра-
ботке поверхности к пределу выносли-
вости при тщательном полировании для
гладких стальных образцов, предста-
влены (в зависимости от предела проч-
ности) на фнг. 60.
Фиг. 60. Влияние качеств» обработки поверхности
иа предел выносливости стальных образцов при
изгибе с вращением: / — зеркальное полирование;
2— грубое полирование или тонкое шлифование;
3 — тонкая обточка; 4 — грубое шлифование нли
грубая обточка: 5 — наличие окалины.
При наличии концентрации напряже-
ний, влияние которой на предел вынос-
ливости характеризуется эффективным
коэффициентом концентрации , сов-
местное влияние концентрации и каче-
ство обработки поверхности оценивается
по формуле
(*.)д - (*,)d+ (*«-!)- w Лл - j-;
(*,)D — эффективный коэффициент кон-
центрации. не учитывающий влияния ка-
чества поверхности.
30 Том з
Предел выносливости в связи с влия-
нием концентрации напряжений и каче-
ства поверхности составит
При обезуглероживании поверхности
стальных образцов в среднем р — 0.6
при »вр — 90 кПмм* и 3 — 0.3 прн а,п =
- 150 кГ1мм1 р
Для лабораторных образцов, выточен-
ных из дуралюмина. коэффициент р =
» 0,85-!-0.9; для образцов, выточенных из
магниевых сплавов. 0 = 0.7 ч- 0,8; для
деталей из легких сплавов, содержащих
на поверхности литейную корку, окалину
и другие дефекты от' прессования или
прокатки, [1 — 0,5 ч— 0,75; прн обдувке
песком или шабровке литейной или про-
катной корки р — 0,8 ч- 1; при травлении
корки после обдувки песком или ша-
бровки р — 0,85 ч- 1.
Некоторые виды маркировки резко
снижают выносливость деталей машин.
Например, маркировка клеймением об-
разцов толщиной 4 мм из дуралюмина
— 47 кГ/мм* или из электрона явр—
— 28 кГ/мм2 снижает их предел выно-
сливости на 30%.
При написании цифр электрокарапда-
шом коэффициент ₽ для стали, дуралю-
мина и электрона соответственно соста-
вит 0,88, 0.8 и 0,57. Вытравливание цифр
не снижает п| етела выносливости образ-
цов из указанных выше материалов.
Влияние коррозии на предел
выносливости металлов
Коэффициенты Р, характеризующие
понижение предела выносливости от
воздействия коррозии до испытании.
Фиг. 61. Влияния коррозии, имевшей место хо
испытания и> усталость, ня предел пынослипости
стальных образцов.
в зависимости от предела прочности явр
представлены па фиг. 61 для стали и на
фнг. 62 для алюминиевых сплавов.
466
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
Цифры на кривых показывают коли-
чество дней, в течение которых образец
подвергался воздействию коррозионной
среды до испытания на выносливость.
Кривые на фиг. 62 и 63 построены по
испытаниям при изгибе с вращением
Фиг. 62. Влияние коррозии, имевшей место до
спытхиия и а усталое? ь. на предел выиослииостм
образцов из алюминиевых сплавов.
Фнг. 63. Влияние коррозии в процессе испытания
на предел выносливости стальных образцов при
изгибе с вращением: 1 — пресная вода, наличие
конис|гграцнн напряжений; 2 — пресная вода, от-
сутствие аоиаешрапии, морская вода, наличие
концентрации; 3 - морская вода, отсутствие кои-
ueinpa ини.
Фиг. <И. Влияние коррозии в пресной воле, имею-
щей место во время испытаний, на предел вынос-
ливости чугунных образцов при изгибе и прн
кручении.
на базе 10 млн. циклов прн коррозии
в воде.
Коэффициенты р, характеризующие
понижение предела выносливости от
воздействия коррозионной среды в про-
цессе испытания, в зависимости от пре-
дела прочности представлены на фиг. 63
для стали и на фиг. 64 для чугуна.
Кривые на фиг. 61—64 построены по
результатам испытаний лабораторных
образцов малого диаметра (rf =
= 7-5-10 мм). С увеличением абсолют-
ных размеров сечений следует ожидать
еще большего снижения выносливости
вследствие коррозии.
При коррозии образцов малого диа-
метра из легких сплавов, происходящей
в процессе испытания на выносливость,
коэффициент р — 0.3 -г- 0,5 (база N
= 5-107 циклов, п «= 2000 -4- 3000 об/мин).
Влияние поверхностной обработки
на предел выносливости,
определяемый в условиях коррозии
Коэффициенты ₽, равные отношению
предела выносливости образца, подверг-
шегося поверхностной обработке и испы-
танного затем в коррозионной среде,
к пределу выносливости образца, не
подвергшегося поверхностной обработке
и испытанного при отсутствии воздей-
ствия коррозии, представлены в табл. 23
для различного рода электролитических
покрытий и для других способов по-
верхностной обработки (азотирование,
металлизация алюминием, обкатка роли-
ком и т. д.).
Влияние поверхностных покрытий
на предел выносливости,
определяемый на воздухе
Значения 3 для образцов, подвергну-
тых электролитическому покрытию ни-
келем и хромом, оксидированию, метал-
лизации алюминием и диффузионному
цинкованию, представлены в табл. 24.
Влияние упрочнения поверхностного
слоя на сопротивление усталости
Применение упрочнения поверхност-
ного слоя дает значительное повышение
сопротивления усталости.
Методы упрочнения:
а) наклеп поверхностного слоя путем
накатки роликом, обдувки дробью и т. в.;
б) химико-термические методы — азо-
тирование. цементация, цианирование;
в) термический — поверхностная за-
калка токами высокой частоты или га-
зовым пламенем.
Упрочняющее влияние указанных
обработок связано с увеличением проч
ностн поверхностного слоя и созданием
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
467
Влияние методов антикоррозионной защиты на предел выносливости,
определяемый в условия к коррозии *
Таблица 13
Материал Метол антикоррозионной защиты Бача испытания, число оборотов п минуту Коэффициент 3 Примечание
Углеродистые стали 03-0,5»/, С Гальваническое покры- N - 10*. п — 1500 об | мии 0,25—0,45 Толщина слоя 5—15 як
тис N - 1<У; л «• 1500 об/мнн 0,8—0.95 Толщина слоя 15-30 як
То же Металлизация лг-г-ю»; л — 2200 об(мнн 0,8 Толщина слоя 50 мк
• Обкатка роликом W-КУ; л — 1500 об|мин 1.0 *• —
Азотируемые стали CrNlMo. ов/) — 70 -► 20 кГ!мм' Азотирование N — КУ ч-10* 1,2—1,4 е* -
Гальваническое покры- тие + лак W-5-КУ; л — 2000 об/мнв 0,65—0,60 —
р Плакировка алюминием N — 5- 1<У; п = 2030 об(мин 0.55 Толщина слоя 75 мк
Дур8а1ЮМИН Анодное оксилнроваииет- 4-лвк из синтетической резины N - Б.1СР -. л — 2000 об1мин 1.0 -
Покрытие ланолином N -5-11У; л -= 2000 об/мии 0.5 —
* Данные, приведенные в таблице, получены на образцах диаметром 8—10 мя без кон цевтрацни напряжений, нагружаемых изгибом с вращением. * * Цифры соответствуют испытанию в пресной воде, цифры без звездочек — испытанию в Э’/сгном растворе NaCL 1
Таблица 24
Влияние поверхностных покрытий на предел выносливости•
Металл Тип покрытия Металл слоя покрытие Толщина слои и мм э
Углеродистые и малолегирован- ные конструкциомиые стали; «же. И" Гальваническое NI Сг 0,03-0,1 0,03-0,2 0,65-1 0,65-0,90
Магниевые деформируемые и ли- тейные сплавы в. - 12 -► 28 кГ1ям> 4Р • а — 0,6-0,75
Оксидирование — — 1
Среднеуглеродистая сталь Металлизация AI 0,051 1
Диффузионное насыщение 2п 0,013 0.9
• Данные, приведенные в таблице, соответствуют случаю изгиба с вращением, определялись ня гладких образцах с надрезом лини.-гром от 8 «о 18 мм. Величины 3
30»
463
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
в нем значительных остаточных напря-
жений сжатия.
Предельная амплитуда напряжений
при наличии средних напряжении сжатия,
как правило, выше предела выносливости
при симметричном цикле, что вытекает
из характера диаграмм предельных на-
пряжений при асимметричном цикле,
представленных на фиг. 65.
Фиг. 65. Диаграмма пределов выносливости при
растяжении—сжатии: Z—азотированиый слой;
2 — улучшенная хромоникелевая сталь: 3 — норма-
лилованиая сталь 25.
Повышение прочности поверхностного
слоя и влияние остаточных сжимающих
напряжений приводят к повышению
предельных амплитуд напряжений ме-
талла (соответствующих пределам вы-
носливости) в поверхностных слоях.
Это повышение следует рассматривать
в связи с распределением напряжений
и характеристики прочности в зонах
возможного разрушения [23]. [33].
Распределение предельных амплитуд
напряжений (пределов выносливости)
по сечению представлено на фиг. 66
Фиг. Сб. Схема, поясняющая понышемне
выносливости при поперхностиом у проч
нении.
кривой /, где (»—,)„ —предел выносли-
вости металла поверхностного слоя
(с учетом положительного влиянии оста-
точных сжимающих напряжений в нем);
(a_i)f — предел выносливости металла
сердцевины (с учетом ослабляющего
влияния остаточных, растягивающих на-
пряжений в сердцевине).
При отсутствии упрочнения зарожде-
ние усталостной трещины началось бы
у поверхности при максимальных напря-
жениях, равных (<r-i)e. Кривая 2 на
фиг. 66 представляет собой эпюру на-
пряжений от внешней нагрузки при
изгибе, соответствующую случаю отсут-
ствия упрочнения.
При наличии упрочнения зарождение
усталостной трещины произойдет в точ-
ке, в которой эпюра рабочих напряже-
ний (кривая 3) пересечется с пределом
выносливости (кривой /), т. е. у точки Л.
Максимальные напряжения на поверх-
ности при этом оказываются повышен-
ными по сравнению с пределом вынос-
ливости сердцевины на величину л®,
определяющую эффект упрочнения.
Фнг. 67. Схема, пояснении» мнение уриинм кон-
центрации и градиента напряжений иа эффект
поверхностного упрочнения.
В связи с тем, что зарождение уста-
лостной трещины может быть при этом
перенесено в подслойную область, вред-
ное влияние дефектов поверхности
может быть устранено.
Увеличение глубины упрочненного
слоя б приводит к повышению эффекта
упрочнения до того момента, когда ве-
личина Дз становится равной (в_|)я —
— (е_[)с. после чего разрушение вновь
переходит на поверхность.
При наличии концентрации напряже-
ний помимо глубины слои и абсолют-
ных размеров существенное влияние на
эффект упрочнения оказывает уровень
концентрации напряжений и градиент
напряжений у поверхности. На фиг. 67
дано сравнение эффекта упрочнения для
образцов с двумя уровнями концентра-
ции и градиентами напряжений. Крн-
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
469
вая I характеризует распределение пре-
дельных амплитуд напряжений (преде-
лов выносливости) по сечению; кривая 2
является эпюрой рабочих напряжений
для образца с меньшим коэффициентом
концентрации напряжений и меныинм
градиентом и кривая 3 — для образца
с ббльшим уровнем концентрации и
бблыпим градиентом.
При данном расположении кривых
зарождение усталостной трещины про-
исходит в подслойной области у точки б.
Из фиг. 67 видно, что эффект упрочне-
ния прн большем коэффициенте концен-
трации, определяемый величиной Ла",
оказывается более высоким, чем вели-
чина Дэ', соответствующая меньшему
уровню концентрации и градиенту на-
пряжений.
В приведенных далее графиках и
таблицах даны коэффициенты ft. равные
отношению предела выносливости упроч-
ненного образца к пределу выносливо-
сти неупрочненного, полированного или
тщательно шлифованного образца, имею-
щего те же размеры и ту же конфигу-
рацию. Прн использовании коэффициен-
тов упрочнения влияние состояния по-
верхности не учитывается, так как оно
учтено в коэффициенте упрочнения. В
табл. 25 представлены значения 3 для
образцов, подвергнутых поверхностной
закалке токами высокой частоты (испы-
тания при изгибе с вращением).
В табл. 26 представлены значения
коэффициентов 3 для азотированных,
цементованных и цианированных об-
разцов и деталей.
Таблица 25
Влияние поверхностной закалки токами высокой частоты на предел выносливости •
Материал Тип образцом Диаметр образна d в мм »
Углеродистые н легированные конструкционные стали Без концентрации напряжения 7-30 30-40 1.3-1,о 1.2-1.5
С концентрацией напряжений 7-20 30-40 1,6—2,8 1.5-2 Л
Чугун • Данные, приведенные в п закалешюго слоя 0,9—1Л зьи. Глаакне образцы с концентра- 1в । и иней напряжений | | * блице, соответствуют случаю нагиба с вращением. Толщина
Таблица 26
Влиание химико-термической обработки иа предел выносливости
Наименование процесса хвыико-термической обработки Ткп образца Диаметр образца d в мм
1 Азотирование прн глубине слоя 0,1—0,4 мм, твердость слоя Ня -730 +ЭТО Без концентрации напряжений 8-16 30-15 1,15-1,25 1,10—1,15
С концентрацией напряжений (поперечное отверстие, надрез) 8-15 30-40 1,9-3 1,3-2
Цементация при толщине слоя 0,2—0,6 мм Без концентрации напряжений 8-15 30-40 1.2-2,1 1.10-1,5
При наличии концентрации на* пряжений 8-15 30-40 1,5-2,5 1,2-2
Цианирование ври толщине слоя 0,2 мм Без концентрации напряжений 10 1.8
470
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
На фиг.68 представлены значения коэф-
фициентов ji для азотированных сталь-
ных образцов в зависимости от эффек-
тивного коэффициента концентрации
Фиг. 68. Влияние азотирования иа предел вынос-
лнвости ступенчатых образцов с галтелью при
изгибе: / — глубина азотированного слоя 0,35 мм,
а = 12,7 ММ, сталь химического состава 0,31»|0 С,
3,25*1» Сг, 0,5Б»|о Мо, ав/>=» ЮТ кПммг‘. 3 — глубина
азотированного слоя 0,4 -0,45 мм, диаметр образца
а — 40 мм, сталь ЭИ275, ogp -= 120 кПмм'.
На фиг. 70 представлены значения 3
для наклепанных дробью образцов со
ступенчатым изменением диаметра в за-
висимости от эффективного коэффици-
ента концентрации, соответствующего не-
наклепаниым образцам. В случае нагрева
Р
1,8
У.б
О 0,2 0,4 0,6 0,8 мм
Фиг. 69. Влияние глубины слоя на эффект упроч-
нения прн цементации (кривая I) и цианировании
(кривая 2).
На фиг. 69 представлены значения
коэффициентов fl для цементованных и
цианированных образцов в зависимости
от глубины упрочненного слоя.
Значения (1 для обкатанных н накле-
панных дробью валов представлены
в табл. 2/ (изгиб с вращением). Для
наклепанных дробью пружин из нержа-
веющей или специальной пружинной
стали (диаметр проволоки пружин d —
— 4 мм) коэффициент [1= 1.4 ч- 1,6.
Фиг. 70. Влияние облучки дробью на предел вы-
носливости ступенчатых образцов при изгибе с
вращением; сталь 45ХН; о «»155«Г(л<лЛ: /—рас-
ход дроби Q — 10 кПмим. число оборотов ротора
машины л — 3500 в минуту; 3 — Q — 20 ki/mum,
п — 2100 об)мин.
Таблица 31
Влияние поверхностного наклепа иа предел выносливости
Тип стели или легкого сплава Способ обработки Тип образца Диаметр образца d в мм
Углеродистые и легиро- ванные конструкцион- ные стали Обкатка роликом Без концентрации напря- жений 7-30 1.2-1,4
30—40 1,1-1.25
С концентрацией напря- жений 7-Х) 1.6-2,2
30-40 1,3-1,8
Обдувка дробью Без концентрации напря- жений 7-20 1.1-1.3
30-40 1.1-1,2
С концентрацией напря- жений 7-20 .4-2,5
30-40 1.1-1.5
Алюминиевые и магние- вые сплавы То же Без концентрации напря- жений 8 1.05-1,15
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
471
детали после наклепа дробью до 200—
250° С положительное влияние его почти
полностью исчезает.
Предел выносливости образцов, под-
вергнутых дробеструйному наклепу,
почти не зависит от предшествующей
механической обработки (полирование
или обточка). Поэтому в первом при-
ближении коэффициенты табл. 27, отно-
сящиеся к полированным образцам,
могут быть использованы и в том слу-
чае. когда наклеп дробью производится
сразу после тонкой обточки.
Обкатка роликом
Значения 3 для обкатанных роликом
гладких валов представлены на фиг. 71,
а для валов с обкатанной подступичной
частью, на которую напрессована де-
таль. — на фиг. 72.
Фиг. 71. Влияние накажи роликом иа предел
выносливости стальным образцов без концентрации
напряжений при изгибе с вращением: I — диаметр
образца <7 — 18 мм; 3 — d — 25 мм; 3— <7«»5О мм.
Фнг. 74 Влияние иакаткн роликом полступичиой
части иа предел выносливости образное с иапрес-
сопкой: / — сталь 40, d — 18 мм; 3 — сталь 45 и
сталь с 2,7»,в NI. — П кГ1мм>, d — 50 мм; 3 —
углеродистая сталь О,42*(аС, яв 52 кПмМ1,
<7-40 мм. Р
Значения указанные на фнг. 72,
определены по разрушающим напряже-
ниям. Значения й- определяемые по
пределам выносливости, соответствую-
щим началу образования трещины, могут
быть выше.
На фиг. 73 даны значения Д для сту-
пенчатого вала с напрессованным под-
шипником качения, галтель и подсту-
пичная часть которого обкатаны роли-
ком.
Фиг. 73. Влияние обкатки роликом галтели сту-
пенчатого образца с напрессованным подшипником
на предел выносливости: сталь химического со-
става 0,36“,оС; О.БбЧо Мп, 0Д2»)о51, 0,19°1о Сг:
а4р = б0 кг)мм’; р — давление на ролик при об-
катке галтели и цилиндрической части: случай
изгиба с вращением.
На фиг. 74 даны значения для стерж-
ня из магниевого сплаза (лопасть про-
пеллера) с напрессованной деталью с об-
катанной роликом подступичной частью.
Фиг. 74. Влияние обкатки роликом подступичной
части оси из магниевого сплава на ее предел
выносливости. Магниевый сплав, «_j“ 12 кГ1МлР.
Круглая ось d = 70 мм с напрессовкой, через
которую передаются сила н изгибающий момент:
/ — без прокладки: 2 — с фибровой прокладкой
толщиной 8 мм.
Фнг. 75. Влияние развальцовки отверстий на пре
дел выносливости полосы с отверстиями при рас-
тяжении — сжатии по пульсирующему циклу:
сталь, »4 — 70 кПмм>.
472
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
На фиг. 75 представлены значения
для плоской полосы с развальцованным
отверстием, подвергнутой пульсирую-
щему растяжению, в зависимости от
увеличения диаметра при развальцовке,
в процентах.
Фи:. 76. Влияние обжим* пуансоном краса отвер-
стия иа предел выносливости пала с отверстием;
1 — сталь, »55 кГ)мм', изгибе вращением;
2 — сталь, явр = 40 «Плит*. изгиб с вращением;
3 — сталь, — 40 кГ'мл', кручение.
На фиг. 76 представлены значения ₽
для круглого образца с отверстием,
обжатым плоским пуансоном.
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПОВТОРНЫХ
ПЕРЕНАПРЯЖЕНИЯХ
|24]. (27). [33]. (44)*
Повторные перенапряжения являются
следствием перегрузок, возникающих
в машине при работе. Примером таких
перегрузок являются, например, усилия,
возникающие при кратковременном, но
повторяющемся увеличении сопротивле-
ний движению машины (возрастание
усилий резания в металлообрабатываю-
щих станках, усилий при штамповке
в прессах, усилий на ходовую часть
автомашин и тракторов при преодоле-
нии препятствия), повторные повышен-
ные усилия, возникающие от упругих
колебаний благодаря прохождению резо-
нансов (при изменении числа оборотов
двигателей, скорости движения подвиж-
ного состава), усилия от повторных уда-
ров и в ряде других случаев.
Переменная напряженность, возникаю-
щая в связи с повторными перегруз-
ками. характеризуется изменяющейся
по времени амплитудой. Перегрузки,
вызванные случайными причинами, и
соответствующие им напряжения харак-
теризуются статистическими кривыми
• Разил составлен при участии Л. А. Козлова.
суммарной частоты. На этих кривых
(фиг. 77) по оси ординат откладывается
амплитуда или максимальное значение
напряжений цикла, по оси абсцисс —
количество повторений напряжений дан-
ной величины или больших ее. Типич-
ными кривыми перегрузочных папряже-
Фиг. 77. Суммарные статистические кривые
частоты.
ниЙ являются кривые, соответствующие
случаю действия больших перегрузок
при малых основных нагрузках (схема а)
и случаю незначительных перегрузок
при больших основных нагрузках (схе-
ма б). На форме кривых суммарной ча-
стоты сказывается повторяемость пере-
грузок: чем чаще они возникают, тем
положе спадание кривой в правой ее
части (кривая б на фнг. 77).
Условия прочности рассматриваются
применительно к четырем типичным
случаям (фиг. 78. а —г).
Фиг. 78. Случаи действия переменных напряжений:
I — кривев усталости: 2 — кринка опасных пере-
грузок.
а) Основные переменные напряже-
ния аа ниже предела выносливости о_(
повторные перенапряжения (o^)max не-
значительны (10— 20®/о). Если эти пере-
напряжения не превышают предела вы-
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПОВТОРНЫХ ПЕРЕНАПРЯЖЕНИЯХ
473
носливости детали, то они не снижают
прочности под основными напряжениями,
и определение запаса прочности произ-
водится по пределу выносливости п —
В некоторых случаях допустимы пере-
грузки. несколько превышающие предел
выносливости (на 10—2О°/о). если они
вызывают в материале наиболее напря-
женных мест детали эффект тренировки
(увеличение сопротивления усталости).
Это допущение должно основываться
на данных соответствующих лаборатор-
ных испытании при перегрузках. При
наличии концентрации напряжений рас-
чет производится с учетом ее влияния.
б) Основные переменные напряже-
ния од выше предела выносливости,
повторные перенапряжения, превышаю-
щие Зд, незначительны (10—20%). Если
эти перенапряжения действуют относи-
тельно редко, то расчет таких деталей
производится по ограниченному пределу
выносливости ед,, который соответствует
необходимой долговечности (числу цик-
лов N):
Влияние концентрации напряжений
учитывается так же. как в предыдущем
случае.
в) Основные переменные напряжения
ниже или выше предела выносливости,
повторные, часто повторяющиеся пере-
напряжения значительны и превышают
предел выносливости. Для расчета на
прочность определяется коэффициент
долговечности по Д. Н. Решетову [27]
где smax ~ максимальное значение на-
пряжения; %—число циклов, соответ-
ствующее перелому кривой усталости,
либо база испытаний (при отсутствии
перелома); о, — перегрузочное напряже-
ние больше предела выносливости; л, —
общее число циклов действия этого
перегрузочного напряжения; т— пока-
затель степени наклонной ветви кривой
усталости.
Значения т и % приведены в табл. 28
для изгиба.
При наличии экспериментальных дан-
ных для деталей или подобных им мо-
делей т следует определять непосред-
ственно по опытным кривым усталости.
По коэффициенту долговечности вы-
числяется напряжение с эквивалентной
постоянной амплитудой (ав), — К«тах.
По напряжению (ов)э делается расчет
на усталость, так же как и в случае ,а»:
г) Основные переменные напряжения
ниже или выше предела выносливости,
редко действующие повторные пере-
напряжения значительны и превышают
Таблица 23
Значения показателя т и абсциссы No при изгибе для конструкционных сталей
(jV0—число циклов. соответствующее перелому кривой усталости)
Характеристика условий испытания т N.
Образцы без концентрации напряжений, полированные 9-18 1-4-10»
Образцы с концентрацией напряжений, полированные в—10 1-4-10»
Вал нлн ось с иапрессовкой в—10 6-10-10»
При наличии поверхностного упрочнения 18-20 l-S-ny
Примечания: I. Поверхностное упрочнение летали (обдувка дробью, обкатка роли-
ками) увеличивает значение т.
2. Повышение концентрации напряжения снижает значение показателя т.
3. Прн отсутствии данных по значениям показателя т при кручении можно принимать
в случае кручения значении, приведенные для изгиба.
4. Для контактных напряжений при касании по линии т' = и прн касании в точке
При наличии экспериментальных данных для деталей или подобных им моделей величины т
и N,, следует определять непосредственно по экспериментально полученным кривым усталости.
474
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
предел выносливости. Расчет может
вестись по кривой повреждения, кото*
рая проходит левее кривой усталости
и определяется перегрузочными испы-
таниями деталей, моделей или материала.
Ординаты этой кривой, зависящие от
числа циклов, обозначены (алг)я. Сум-
марная кривая статистической частоты
действующих напряжений наносится на
график кривой повреждения (фиг. 79).
Вычисляется значение эквивалентного
перегрузочного напряжения для напря-
жении/ превышающих предел выносли-
вости e_j (заштрихованная область), по
формуле
г/ ’
” V . N, ’
действующее с числом циклов
N. -
Соответствующая точка А нанесена на
фиг. 79, ее координаты позволяют опре-
делить запас прочности:
л-^L.
где (ow,)«—ординаты кривой повреж-
дения, соответствующие числу циклов
повторения перенапряжений, превышаю-
щих предел выносливости.
В тех случаях, когда перегрузочные
напряжения характеризуются статисти-
ческими кривыми распределения их
вероятности Ф (в/), вычисление запаса
прочности производится по формуле
N *т.*'
0 «_|
где NcyM — общее число циклов измене-
ния перегрузочных напряжений; Ф’ (а,) —
функция плотности распределения ве-
роятности; т и — параметры кривой
усталости (см. выше).
д) В тех случаях, когда основные
переменные напряжения аа меньше
предела выносливости, но по величине
приближаются к его значению, а пере-
грузки выше предела выносливости,
следует учитывать в расчете снижение
предела выносливости от перегрузочных
напряжений. Схема изменения кривой
усталости в результате перегрузок
представлена на фиг. 80. Предел выно-
сливости снижается на величину Д«_]
в результате действия перегрузочных
напряжений.
По ряду экспериментальных данных
это снижение представлено на фиг. 81.
Предел выносливости материала, осла-
бленного перегрузками, составляет
«1, — e_j — Д«_г
Запас прочности по основным пере-
менным напряжениям с амплитудой аа
составит
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПОВТОРНЫХ ПЕРЕНАПРЯЖЕНИЯХ
475
Примеры расчета деталей машин
на усталость *
Пример 1. Расчет пристанного вала дизельной
установки.
На фиг. 82 дана схема приставного нала. На
него посажены маховик, ротор генератора и ротор
возбудителя.
Фнг. 82. Приставной вал дизельной установки.
Вес маховика Q, — 4530 кГ, вес ротора генера-
тора Qi = 3180 кг и вес ротора возбудителя Q, —
= 2Si кГ
Мощность дизеля 600 и. см угловая скорость
вращения приставного вала л = 300 об/мин. Вал
выполнен нз стали 45.
Определение реакиий опор, нагибающих н кру-
тящего моментов:
опорная реакция
А - + 3.80-115 - 250.45 =
изгибающие моменты под силой Q,
М, = 4630-71 — 330 000 кГем;
под силой Q,
Mt = 4650-433 - 4500-62 — 340 000 кГем\
Фиг. 83. Эпюра изгибающего и крутящего момен-
тов для приставного вала дизельной установки.
под опорой в
Л1, - 250*45 - I. 503 кГем.
крутящий момент
Лж-71 620 А - 71620 ^-143 200 кГем.
На фнг. 83, иа которой даны впюры нагибающих
н крутящего момеитов, видно, что опасным сече-
* В примерах эпюра изгибающих моментов от-
домене со стороны растянутого волокна (я отли-
чие от правила, принятого в гл. II).
пием является сечение 1 — 1, где существует кон-
центрация напряжений от напрессовки втулки
(влияние которой больше, чем влияние шпонки) и
значительный крутящий и изгибающий моменты.
Изгибающий момент
М — 4630-117 - 4500-16 - 338 000 кГем.
Номинальное напряжение (амплитуда) от изгиба
Л< 338000.32
% " “ 3,14*20* “ 430 КГМ-
32
Коэффициент концентрации от иапрессопки
(см. фиг. 39 и 40) при изгибе для диаметра 200 мм
при afp — 65 кГ/мм* составит (кривая 7)
(*в)0-3.5-1,17 = 4,1.
Крутящий момент (постояиный)даст напряжение
л'х 143200 _
’m=lFf=-i572--91 КГ‘СМ'-
При торсиографнроваиин вала было устано-
влено, что в опасном сечении от крутильных ко-
лебаний возникают касательные напряжения*^ =
— 230 кПсм1.
Коэффициент концентрации напряжений при-
нимаем по графикам стр. 453.
- 0j6 (*„)0 +• 0.4 = 0,6-4.1 -I- 0,4 = 2,86.
Определение запасов проч-
но с т и. Для стали 45 на табл. 2 е_ t — 28 кГ1мм';
из табл. 16 фв — 0,05; т_ । = 16 кГ1м.ч'.
По условию подобия циклов
«—1 _ 2800
"в" (*«)d “ *'6:
х—1 161)0
~ 2-86 250 ” ’
лаят М-2,24
/ _2 , А V 1,6» + 2,24»
у “j т ",
Пример 3. Расчет конца вала паровой турбины.
На фнг. 84 приведен схематический чертеж конца
вале паровой турбины. Этот конец вала не должен
воспринимать никаких нагрузок, оанако за счет
Фиг. 84. Конец аала пароаой турбины.
касания вала о баббитовую заливку пояска аозии-
кает сила Р, которая может привести к поломке
конца вала. Передний конец вала за счет терми-
ческой деформации корпуса подшипника и всплы-
вания вала в масляном клине деформируется при
касании о корпус подшипника. Поскольку силовые
476
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
факторы точно не определены, следует определить
допустимую деформацию вала из условий его
прочности, которая, в свою очередь, определит
предельную разницу между величиной зазора и
величиной смещения вала.
Определение прогиба конца вала производится
путем суммирования перемещений, возникающих
в результате деформации участков вала протяжен-
ности /, и /, с моментами инерции сечений со-
ответственно Д, J, и J,. Длины отрезков вала со-
ставляют I, — 125 мл. It — 265 мм, I, — 360 м и;
величины, обратные моментам инерции, составляют
Д- “ 0,0012; 4- —.0,000080; 4" “ 0,00062.
*i Л /•
При сведении обозначений
выражение для прогиба конца вала:
+ £ [4 + 3<‘ +*>> +
отсюда
*•«1
В результате подстановки численных значений
величии вычислено:
Л—0.0685.
Напряжение и опасном сечении а, определяется
в зависимости от прогиба / по формуле
М Р ((,+ <.+ 1,1 3£(/, + /. + U/
Г, .
Материал вала — сталь 45, оа = 80 к Г 1мм',
е_ ( = 25 КГ>ММ'.
Коэффициент концентрации в галтели при —
— 4 — 0,107; о. — 55 aTl.KM’; при ~ — 2 равен
140 “ а
(*о)о“ 1,52 (см. фиг. 311.
„ О <70 , „
В вашем случае — — — 1,22, следователь
ио, по фиг. 34 находим поправочный коэффициент
(— 0,82. С учетом поправки иа отношение —
коэффициент концентрации составит
(*a)d “ < + 032 (1,52 - II - 1.43.
По фиг. 30 учитываем масштабный фактор
(•o>d'&0,05' 11 o61u,lft коэффициент концентрации
составит
. (*°4, 1,43
Запас прочности принимаем п = 1.Я, Цикл на
пряжений следует полагать симметричным, тогда
допускаемое ни пряжение составит
®— I 2500
Этому напряжению соответствует допускаемый
прогиб
H-i.»’**,
4ол “ 3£(1 +«, + «,) =
6Э0.12.5*-0,()в35-275 пме.
" ЗП»-2 (1 + 1,72 +MS) “ 0,035 ем-
Пример 3. Расчет шатунного болта двигателя
СТЗ-НАТИ. Размеры болта указаны на фнг. 85.
Удлинение болта при затяжке Д1„ = 0,18 мм.
Фиг. 85. Эскиз болта.
Материал болта — сталь 40ХН е такими механи-
ческими характеристиками: а1р= ,(й кГ/мМ1;
75 кГ/мМ'; tT = 39 кГ/мМ1'. я_ ip = 29 кГ/м.к';
фв = 0.1.
Резьба M16XI.51 40 — 16 — наружный диаметр
резьбы; 4f/|—16,03 лги—средний диаметр резьбы;
4, — 13,92 мм — внутренний диаметр резьбы.
Номинальные напряжения в
опасных сечениях детали. По дей-
ствующим внешним нагрузкам (силы инерции
масс, поступательно движущихся и вращаю-
щихся) и удлинению при затяжке 4<0 опреде-
ляются Р—1020 кГ — максимальная инерционная
сила, действующая на болт; Т = 8500 кГ — сила
предварительной затяжки, определяемая по фор-
муле
Г = Д(аС3 = 0,018-0,38-10“ = 6600 кГ,
где л!„ — 0,018 ем — заданное удлинение болта
при затяжке; С„ — 0,36 : Ю кПем — жесткость
болта, определяемая по формуле
где С„ Ct, С, — жесткости участков болта:
С. - » ’.« 'О'
С, - - 2,1’7',g* - 0,588*10* кТ/сжЧ
TJ7"(sj3+5i»+l),O-e“
— 231-Ю-6 см!кГ’,
С,-0,36 -10» кПем.
Опасным сечением является сечеине. где имеет
место концентрация напряжений в резьбе н дей-
ствуют силы Р — 1020 <Г — максимальная инер-
ционная сила; Г — 650J кГ — сила предваритель-
ной затяжки; ,M(f — 490 кГсМ — постоянный кру-
тящий момент;
М
_ ojjboo+bm
к 2 2
где р — 0,1 — коэффициент трения в резьбе.
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПОВТОРНЫХ ПЕРЕНАПРЯЖЕНИЯХ
477
Номинальные напряжения никла:
нормальные напряжения
'+-С7
“mu ~ ~р в
6500 + 1020
—-----кТ|~з&-2»-4120 *Г!СЛК
4
при отсутствии опытных данных о жесткости со-
единяемых частей С рекомендуется принимать
’mln ” ~р~ — ж-1.Э92« 55 42,50
4
касательное напряжения (постоянное)
Л!400
t - ---------«= о й « 910 «Пс*.
wк нетто 0.21,<юг*
Средние напряжения и амплитуда цикла
’max + ’mln 4420 + 4250
’m“-----------5------------2----“
— 4335 кГ1см>.
,a _ ’mtx-’mm _ 4420 - 4250 _
r =e = 9l0 кГ1см>. т — 0.
т и
Эффективный коэффициент концентрации на-
пряжений по опытным данным при растяжении
(*»>£> — 5,0 -4- 5.2 (см. стр. 460).
Запас прочности при условии простого нагру-
жения
„ __________*~1р
+яат + (*«)о’а “
“0,1-,335 + 5,0-85 “
„ Т 7500
” •« + •„ *335 + 86 “
л0по сопротивлению пластическим деформациям
меньше, чем по сопротивлению усталости, по-
•тому принимается
Запас прочности
1>?>4ДВ
Припер 4. Расчет клапанной пружины трак-
торного двигателя СТЗ НАТИ. Основные данные
пружины: средний диаметр О — 36 мм, диаметр
прополок и а ™ 4,а им. число рабочих витков
/ = 9.25, рабочая ялика I — 75,5 мм. рабочая
осадка /^ = 12 ми. Пружина изготовлена из
кремиемаргаштевой стали.
Минимальное и максимальное напряжения в
пружине определяются по соответствующим уси-
лиям
—14,5 кГ
пип
(минимальное усилие предварительной затяжки);
у 0<Г
о — ’max
Pmax
(максимальное усилие при полком открытии кла-
оана).
По минимальному усилию определяется осадка
от претпарительной затяжки:
. P.nln8W
'minоа* "*
ц 14,5-В-36*-9,25
7,5-10*-4,5* ’
Значение модуля упругости при кручении ш
пружинной стали принято 7,5-10* kI'Imm'.
Максимальная осадка пружины
>max-/mm+>p-28’2
Значение максимального усилия
28.2-7.5-10М.5*
шах 8-36**9,75 * '
По значениям максимального и минимального
усилий определяются соответствующие напряже-
ния по формулам
, = JW- -”W - 25Д <Г|лиР;
max W 3,14-4,з* 1 ’
8Р-|П° t4 5-36-8
. - <я|п_____ — i, к кг1Млр
’mln” «2* 3,14-4,53
По значениям максимального и минимального
напряжений определяем средине напряжения и
амплитуду; аГммг*; 'а“М кГ)ММ'.
Поправочный ковффииисит учитывающий
влияние кривизны проволоки и перерезывающей
силы для С “ 8; *. = 1,185.
и
Для кремнем аргдяпево А стали предел! выносли
востн при пульсирующем цикле длн пружины.
На основания имеющихся ьквкмдентных данных
следует примять:
ч - 50 кГ/жж*; —- Е - 0,6; + - 0,2.
По подобию ЦИКЛОВ
«_1»о _ 0,6-5000
" “ h, -тв 4- <|>- Tm “ 1.18Б-В40 +0^.1990“а*’я-
Пример i. В примерах 1—4 расчет иа уста-
лость производился по подобному циклу, т. е,
в предположении пропорционального возрастания
переменкой и статической напряженности при
переходе к предельному по прочности состоянию
летали.
Если нагружение летали в процессе возраста-
нии нагрузки является сложным, то запас проч-
ности может определяться по переменным и ста-
тическим напряжениям (см. стр. 454) раздельно.
Для этой цели используются также представления
об »ф|фектиш1ЫХ нагрузках (13).
а) Допустим, что в валу примера 1 разруше-
ние может происходить за счет увеличения иапря-
478
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
жений от крутильных колебаний, т. с. закон из-
менения напряжений такой: оа> ami гт постоянны,
Tfl возрастает; запас прочности следует относить
к напряжениям
’ = 6000 Г75Г = 0,507-5000;
1,1К5
’-1 = 1 / 1(*я)О’а + *я’т1г+
’—1 ’mln
<»+♦') “
0,507-5000 - 0,18-1450
-------1 ™ 3,4?.
Используя выражения для запаса прочности,
приведенные в примере I, получаем Пример S. Расчет па долговечность прсдшпнн-
делыюго шлицевого налика стайка. На фиг. 88
У ’-1 “ 1(*я)о’al2
л --------------------------- 1.73.
4=}<*’)о’в
—।
Полученный запас должен сравниваться со
значениями запасов прочности для данного типе
машин, устанавливаемыми на основе статистиче-
ской обработки расчетов по данной схеме.
б) В болте примера 3 в процессе работы или
сборки могут непропорционально меняться как
статическая, так и переменная составляющие на-
пряжений. Поэтому в дачном случае расчет по
подобному циклу должен быть дополнен вычисле-
нием запасов прочности по переменным па н ма-
ксимальным напряжением л.
Из усталостных испытаний болтов известно,
что ливня предельных напряжений для болта в
координатах ’тах, »т может быть выражена
уравнением
В атом случае будем иметь [33|
Фиг. 86. Схема нагружения предшпнндельного
валика.
1900
5,0-85
« + 4150
4420 “,,,в’
Полученные значения следует сопоставлять со
статистическими данными о запасах прочности
(см. стр. 483—485).
в) Допустим, 'по в примере 4 при расчете по
аффективным нагрузкам тт|п — conaL
Полагаем, что в процессе работы клапанной
пружины затяжка ее остается постоянной, ме-
няется только амплитуда напряжения.
Запас прочности следует относить к амплитуде
т«“<1++’«in).
'птах — ,л’п + ’она!
.2=1- А. _Е х.
-1 к. т к, • -1 к, ’
Вращение предшпинлельного валика осуще-
ствляется через шестерню х — 80, что соответ-
ствует числу оборотов п —32; 40; 60; 61; 77; 101;
128; 160; 200; 2-16; 308 и 406 в минуту, или через
шестерню х —50, что соответствует числам оборо-
тов налика л — 610; 636. 800; 1000; 1270 и 1600
и минуту. Время работы на каждом режиме
Г, — 1<Ю час.
Фиг. 87. ПредшпиндельныЙ валик.
Максимальная мощность на шпинделе N —
— 8.66 л. е., половину времени шпиндель пере-
дает N .
Определение нагибающих и кру-
тящих моментов. Передача мощности мо-
жет происходить через шестерню г — 80 и ше-
стерню я —50. Усилия, действующие на вал. не
лежат в одной плоскости, и изгибающие моменты
определяются отдельно в вертикальной и гори-
зонтальной плоскостях, а затем определяются
суммарные монеты Л1до — И® -f- Ар.
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПОВТОРНЫХ ПЕРЕНАПРЯЖЕНИЯХ
479
Hl фиг. 68 и качестве примера приведены
авторы изгибавших моментов дли числа оборотов
я — 32. Опасным сечением являете» сечение под
шестерней х = 32, это же сечение является опас-
ным для всех других комбинаций передачи мощ-
ности.
Фиг. 88. Эпюры нагибающих моментов.
В опасном сечении действует также крутящий
момент Af„ 71 620 —.
Л п
Максимальные напряжения в опасном сечении
от изгиба
Мпр 16100.32
*о“ «Г “ 3,14.33*
от кручения
ЛС.
'т ~ ~W~
Р
- 2930 кТ/см»;
19400-16
3,14.3,8*"
= 1770 кГ(см».
Материал валика—сталь 40Х (см. табл. 3);
в =86 kP'mjP; аг «= «7 кПмм>; 38 кГ\мМ>;
Ч— за 40 КГ/ММ*.
Для максимальных значений напряжений опре-
деляем запас прочности:
"л
= 0,96;
Так как значение запаса прочности меньше
допустимого, производим уточненный расчет на
долговечность. Расчет ведется для напряжений,
превышающих предел выносливости (с учетом
необходимого запаса прочности п •> 1,4). В соот-
ветствии с этим расчет ведется для значений иа-
"а 0.81
пряжений 1 > “ — > — — 0Д8 при числе
циклов N, на соответствующем режиме N. =
В формуле для Кдол/ па стр. 473 число циклов
обозначено л., в данном расчете сто обозначение
заменено иа Nf Расчетные напряжения в опасном сечшни и
соответствующие нм числа циклов приведены
пмже:
л
в об|М1ш 32 40 80 61
•а1 2930 2340 1870 1530
1 °-8 0,64 0,523
°шах
' 1770 1430 гп 1150 905
N, 2-10» 2,4.10» 3-10» —
N.
0,02 0,024 0,03 —
Козффнцневт долговечности
где для случая изгиба принимаем m—9; N,—
база, составляет КУ; в, — максимальное иапряже-
•«-Св)т.д.
9
Хйола “ + 0,02т.0,8» -)-0,3.0,64» - 0,65.
Приведенное напряжение
•рр ~ ‘“’max КОор. - Я№-0-в5 “ 1900 ***
Запас прочности определяется н предположи
иин подобия циклов:
л = 1.15.
Пример 7. Расчет полуоси моста ведущих ко-
лес самоходного зернового комбайна С-4.
Полуось (фиг. 89) наготовлена кз стали 40Х со
следующими механическими характеристиками:
eg/J=80 k/'imm'; орд*- 78 *ТiMM1', 42 «Г/лтлТ».
г . — 21 кГ[мМ>\ фх —0.
Влияние концентрации напряжений н абсолют-
ных размеров выражается коэффициентами Kt ~
- 2,2 и ц — 0.26.
480
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
Средня* повторяемость перегрузочных напря-
жений по данным намерений (теиэометркрованке)
в ьксплуатационных условиях составляет 70 в ми-
нуту. Полагая, что комбайн работает 500 час. но
время одного уборочного сезона и принимав срок
его работы- 5 лет, определим общее число изме-
нений крутящего момента, действующего на по-
луось аа время работы комбайна:
n.uu -70-60-500-5 - 10.5-10*.
В результате статистической обработки данных
измерения перегрузочных напряжений устано-
влено, что последние изменяются по следующему
нормальному закону распределения:
ф- («) - ОД)!^-0-62-11’-8^ “ ЮК»* 1.
т. е. на среднее напряжение кручения т —
-»1060 кГ^сЛ1 накладывается переменное напря-
жение с амплитудой, изменяющейся по нормаль-
ному закону с мерой точности Л — 0,25 • 10 2.
На фиг. 90 приведено распределение касательных
напряжений, действующих в полуоси моста.
Разность абсцисс точек кривой распределения,
лежащих на одной ординате, представляет собой
размах п изменении величин напряжений. Понтону,
беря половины размахов, т. е. амплитуды, и
принимая во виимание, что повторяемость знако-
переменных напряжений в 2 раза меньше, чем
повторяемость экстремальных значений, получим
суммарное число перемен амплитуд
10,5-10*
2
— 5,25-10*.
г ля
, I» 2100.0,76 _
(’-Jo—Т5----------поклмо;
О а) пр -% +
параметры кривой усталости прн кручении прн-
ниты т в о; N, “ 3- 11Я; значение
1000 ., „ ,2
вычисляется приближенно по формуле Симпсона,
интегрирование осуществляется от величины пре-
дела выносливости до предельной величины, г “
= 1000 KilcM1. наблюдавшейся при измерениях.
Определяя запас прочности по максимальной
амплитуде касательных напряжений, получим
п=------0-1>Р----
Т (’«Umax
= ™,0,73
woo
и по среднему (постоянному) напряжению
'•0,2 »0,2 7500
П и-------— ——-----» — *=4,1.
Vp V *ср V а юбо
Величина запаса прочности существенно зави-
сит от метода расчета; расчет, отражающий ре-
жим действующих нагрузок в соответствии с дан-
ными измерений в эксплуатационных условиях
и основанный на статистических закономерностях,
позволяет судить о прочности детали более пра-
вильно.
Несущая способность при действии
нескольких нагрузок
Одновременное и пропорциональное
возрастание нагрузок в этом случае
называется простым нагружением; слу-
чай неодновременного или непропор-
ционального возрастания нагрузок [11]
называется сложным нагружением.
Несущая способность при простом
нагружении. Когда действуют две
одновременно возникающие и пропор-
ционально возрастающие нагрузки Ц(
и Qt, одна из которых вызывает в наи-
более опасных точках нормальные на-
пряжения (осевая сила, изгибающий
момент), а другая — касательные напря-
жения (крутящий момент, перерезываю-
щая сила), запас прочности может опре-
деляться в первом приближении нз
1 _ * -4-J-
«’ "«Г nQ. '
где
_ (Ql)npad, _ _ (Qa)np«a.
nQ.----u ’ *-----------О* ’
(Qi)np»a— предельная нагрузка
при действии только (Qi)npta —
предельная нагрузка при действии
только Q&
Если напряжения являются про-
порциональными усилиям, то вы-
числение запаса прочности осуще-
ствляется также через напряжения
где
1 -1_+ ’
л1 nJ nJ ’
апр»д . ’nptd
—---’ я. ” Z—
0ДЮ14
ПРОЧНОСТЬ ПРИ КОНТАКТНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
481
апред И 'пред — предельные напряже-
ния по сопротивлению, разрушению или
пластическим деформациям
Несущая способность при сложном
нагружении определяется по экспери-
ментальным данным о прочности, полу-
ченным в соответствующих условиях
нагружения (см. стр. 453).
ДОЛГОВЕЧНОСТЬ
В тех случаях, когда сопротивление
разрушению зависит от числа циклов
повторения напряжений (усталость) или
от времени (прочность прн повышенных
температурах), кроме представлений
о прочности, используются представле-
ния о долговечности. Запасом долго-
вечности называется отношение числа
циклов Nnpeg или времени Tnpeg до
разрушения к числу циклов N или вре-
мени Г, которое соответствует общему
ресурсу использования детали:
Nnped Г npeg
нли ла“~т—•
При действии меняющихся ио вели-
чине переменных напряжений вычисле-
ние прочности и долговечности сводится
к определению приведенных напряже-
ний os и чисел циклов N& по кото-
рым устанавливаются запасы прочности
и долговечности.
В связи со значительным рассеянием
величин чисел циклов N„ptg и времен
Гпр,д- необходимых для разрушения, при
данной нагруженности этим величинам
свойственна определенная вероятность.
Этой же вероятностью характеризуется
и величина запаса долговечности.
ПРОЧНОСТЬ ПРИ УДАРНОЙ
НАГРУЗКЕ [7). |Н|. |У], |21|
Действующие усилия и напряжения,
возникающие в детали при ударе, могут
быть определены умножением соответ-
ствующих усилий и напряжений при
статическом приложении нагрузки на
коэффициент динамичности пд, Этот
коэффициент в большинстве случаев
может быть определен лишь на осно-
вании эксперимента или опыта эксплуа-
тации. а в простейших случаях и рас-
четным путем (см. гл. XII).
При быстро протекающей от удара
деформации возникает вязкое или хруп-
кое разрушение. Для деталей из мате-
31 Том 1
риалов хладноломких и ограниченной
хладноломкости важнейшим фактором
возможности хрупкого разрушения,
особенно опасного в условиях эксплуа-
тации. является снижение температуры.
Критическая температура хрупко-
сти Ткр соответствует резкому умень-
шению ударной вязкости с понижением
температуры или некоторому условному
ее снижению (например, на 4О°/0).
Температурный запас вязкости опре-
деляется по формуле Н. Н. Давиден-
ко ва |9]
Го — Ткр
Пт“ Тл ’
где Го — температура условий службы.
Во избежание хрупкого разрушения
детали необходимо, чтобы температура
эксплуатации ее Т„р была выше Ткр,
в этом случае 0<л,„<1.
Если могут быть определены макси-
мальные напряжения при ударе, запас
прочности при вязком разрушении п •»
— в случае хрупкого разрушения
s.
запас прочности п — -у-,
Величины оу и sK принимаются в
первом приближении такими нее, как
и при статическом действии нагрузки
(с повышением скорости деформации ay
увеличивается (21)).
ПРОЧНОСТЬ ПРИ КОНТАКТНЫХ
НАПРЯЖЕНИЯХ |29|
При статическом контакте по линии
прижатых поверхностей приведенное на-
пряжение одноосного сжатия aap может
определяться из формулы
£-0.56 ИГ*
Ро
где />0—максимальное контактное дав-
ление на площадке соприкосновения;
при расчете на сопротивление пласти-
. «х <°г)р
ческим деформациям К — ;—г—• при
расчете на сопротивление разрушению
К
Допускаемое максимальное контактное
давление .на площадке соприкосновения
(Mtoa-----
0.56
482
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
В табл. 29 приведены значения (р0)аол
для некоторых материалов.
Таблица 29
Допускаемые контактные давления
прн статическое нагрузке
Марка металла в к! Твер- дость «15 Допускаемое максимальное давление на площадке соприкоснове- ния в кПсм*
Сталь
30 48-60 180 8 500-10 600
4) 57-70 200 10 000-13 500
50 63-83 230 1O5OO-I4OOD
50Г 65-85 2-Ю И 000-14 500
15Х 62-75 241) 10 500-13 000
зэх 70-85 210 12000-14 500
15ХФ 160-180 240 13 500-16 000
ШХ15 *веж 38 000
Чугун
СЧ 21-40 95 -1 НО—207 8000- 9000
СЧ 22-44 100 187-217 9 000-10 000
СЧ 23-48 ПО 170-241 10000-11 000
СЧ 32-52 120 170-241 11 000-12000
СЧ 35-56 133 197-255 12 000-13 000
СЧ 38-60 140 197-255 13 000-14 000
При перекатывании контактирующих
тел при наличии нормального х й каса-
тельных усилий (зубчатые и червячные
передачи, подшипники качения и т. д.)
приведенные напряжения зависят от
соотношения указанных усилий, от
смазки и мнкрогеометрии поверхностей
и т. л.
Для контакта в точке величины (ро)оол
увеличиваются в 1,3—1.4 раза.
ВЕЛИЧИНЫ ЗАПАСОВ ПРОЧНОСТИ
И ДОПУСКАЕМЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
[4|. ЦО]. |20|, [27], (28). [33]. [35|, [44].
Величины запасов прочности я тесно
связаны с методикой расчета той или
иной детали. От этой методики зависит
степень соответствия расчетных предпо-
ложений о схеме действующих сил
и о распределении напряжений действи-
тельным условиям работы. Запасы проч-
ности также связаны с возможными
отклонениями механических свойств
материала и технологии обработки де-
талей от нормативных.
Современные методы расчета отражают
влияние динамичности нагрузок, формы и
жесткости деталей, типа напряженного
состояния, пластичности, усталости, пол-
31*
зучести и ряда других факторов на несу-
щую способность, поддающихся расчет-
ному или экспериментальному опреде-
лению. Ряд факторов не поддаётся таким
определениям, и их влияние должно
быть отражено в запасе прочности на
основании наблюдений за работой дета-
лей и узлов, статистического анализа
данных эксплуатации и испытания ма-
шин. Н. С. Стрелецким [35] и А. Р.
Ржаницыным [28| на основании стати-
стических кривых распределения возни-
кающих усилий и отклонений механи-
ческих свойств, а также анализа основ-
ных факторов отклонения между дей-
ствительными и расчетными усилиями,
обоснована каноническая структура за-
паса прочности л в виде произведения
минимального числа сомножителей
п =• Л1ЛгЛв, каждый из которых отражает
важнейшие факторы отклонения между
рассчитываемой и фактической несущей
способностью детали или конструк-
ции.
К одной группе факторов относятся:
а) разница в величине нагрузок, вводи-
мых в расчет, и нагрузок действитель-
ных (определение последних в ряде
случаев затруднительно, например, на-
грузки. развиваемые при горячей и хо-
лодной обработке металлов, нагрузки
на ходовую часть автомобилей, динами-
ческие усилия на лопатки турбин и т. д.),
разница в величине усилий, определяе-
мых при раскрытии статической неопре-
делимости расчетом и действительным
значением этих усилий, благодаря откло-
нениям расчетной схемы от фактической,
отклонениям в величинах монтажных
натягоэ, жесткостей и т. д.; б) разница
в величине рассчитываемых и действи-
тельных напряжений благодаря несоот-
ветствию напряжений, даваемых форму-
лами сопротивления материалов, факти-
ческому их распределению, недостаточ-
ное соответствие данных о концентра-
ции действительным очертаниям рас-
считываемых деталей, а также вслед-
ствие влияния остаточных напряжений,
напряжений от колебаний и ударов,
часто не учитываемых в расчете.
Эти отклонения в нагрузках, усилиях
и напряжениях характеризуются сомно-
жителем «j, величина которого при
использовании более достоверных мето-
дов определения усилий и напряжений
(теоретических и экспериментальных)
должна находиться в пределах 1.2—1,5,
при менее достоверных способах опреде-
ления напряженности, при повышенных
ВЕЛИЧИНЫ ЗАПАСОВ ПРОЧНОСТИ И ДОПУСКАЕМЫХ НАПРЯЖЕНИИ 483
требованиях к жесткости величина п>
может достигать значений 2—3 и более.
Лишь при повышенной точности опре-.
деления напряжения в отдельных слу-
чаях величина может быть уменьшена
до 1.0.
К другой группе факторов относятся:
а) отклонения механических характе-
ристик от нормативных благодаря нару-
шениям в условиях изготовления, ковки,
термической обработки; б) повышенная
чувствительность к недостаткам механи-
ческой обработки; в) неоднородность
свойств благодаря структурным особен-
ностям материалов, малой пластичности,
повышенной остаточной напряженности
И т. д.
Эти отклонения в данных о меха-
нической прочности характеризуются
сомножителем л* величина которого
при применении более высококаче-
ственных материалов и совершенной
технологии при расчете на сопро-
тивление пластическим деформациям
составляет 1,3—2,0 в зависимости от
степени пластичности; при расчете на
усталость лг составляет 1,5—1.7, увели-
чиваясь для менее однородных материа-
. лов (литье) и деталей больших разме-
ров и сложных форм (nt — 3 и более).
В отдельных случаях при весьма со-
вершенной технологии изготовления ве-
личина л> может быть уменьшена до
1.) - 1,2.
В зависимости от" ответственности
детали, обеспечения длительной ее
службы, необходимости иметь повышен-
ную надежность п условиях эксплуата-
ции может предусматриваться дополни-
тельное повышение запаса прочности
введением сомножителя па. величина
которого находится в пределах 1.0—1Д
Сомножители л(, пг, па отражают
возможные отклонения величин усилий,
напряжений, характеристик прочности
и других величин, от которых зависит
несущая способность деталей и кон-
струкций. При установлении прибли-
женных величин 'запаса прочности для
большой совокупности деталей различ-
ных конструкций, изготовляемых из раз-
личных материалов и работающих в раз-
личных условиях. эти отклонения харак-
теризуются статистически, подчиняясь
нероятностным закономерностям. Вели-
чинам общего коэффициента запаса п
также свойственно вероятностное рас-
пределение как результирующее рас-
пределение произведения сомножителей
л., п2. гц Величина п должна быть
меньше, чем произведение максималь-
ных значений nlt ng. nt. Благодаря от-
сутствию в большинстве случаев данных
о вероятностном распределении вели-
чин Лр пг. Из их значения намечаются
на основании опыта конструирования;
доводки и эксплуатации машин и узлов.
Более достоверные величины запасов-
прочности определяются по данным на-
турных испытаний деталей и измерения'
возникающих в них усилий и напряжений.'
прн работе машины.
И. А. Одингом предложена система со-
множителей, входящих в общий коэффи-
циент запаса прочности, число которых
доведено до 10. В эти сомножители вк.то-
чаются также коэффициенты, отражаю-
щие влияние концентрации напряжений
абсолютных размеров типа напряженного
состояния, которые в приведенных выше
данных учитываются расчетом (и не
входят в величину л). Кроме того, вво-
дятся коэффициенты, учитывающие от-
клонения в механических свойствах
материала благодаря: а) понижению
свойств против нормативных в связи
с условиями приемки материалов и из-
делий; б) понижению прочности из-за
качества поверхности; в) влиянию оста-
точных напряжений. Предусматривается:
также коэффициент, характеризующий
ответственность детали, для которой1
устанавливается запас прочности. Ряд*
данных по значениям коэффициентов
приведен в (20].
Величины запасов прочности при"
упрощенном расчете по пределу проч-
ности ав без учета типа напряженного
состояния, концентрации, абсолютных
размеров и т. д. по Н. М. Беляеву (4)
для статической нагрузки при пластичном
состоянии материала составляют 2,5-2,7;
то же при хрупком состоянии 3,0—9.0;
для ударной и внезапной нагрузки при-
пластичном состоянии 2,8—5.0; для пере-
менной нагрузки при пластичном состоя-
нии 5,0—15,0.
В ряде случаев размеры деталей, а в-
связи с этим запасы прочности н допу-
скаемые напряжения определяются из*
условий обеспечения необходимой же-
сткости деталей и узлов, из условий'
сопротивления вибрационным воздей-
ствиям. из соображений износостой-
кости, коррозионной стойкости и т. д.
Далее приводятся более подробные дан-
ные о коэффициентах пт, л*-, nt. соответ-
ствующих ng, связанных главным образом'
с особенностями механических свойств
и технологии изготовления деталей.
48-4
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
Прн расчете на сопротивление пла-
стическим деформациям обычно допу-
скают более низкие запасы прочности
в связи с тем. что образование остаточ-
ных деформаций еще не приводит кон-
струкцию к окончательному разрушению.
При расчете на сопротивление хруп-
кому статическому разрушению запасы
прочности должны быть повышены
в силу опасности таких разрушений
из-за возможного влияния высоких оста-
точных напряжений, неоднородности
материала и т. д. При расчете на уста-
лость запас прочности выбирается в за-
висимости от достоверности определе-
ния усилий и напряжений, уровня тех-
нологии изготовления деталей и т. д.
Величины запасов прочности п/ при
расчете на сопротивление пластическим
деформациям принимаются в зависи-
мости от степени пластичности мате-
риала, которая оценивается отноше-
9 г
ннем —:
2L 0.45-0 Д5 .0,55-0,7 0,7-0.9»
%
пт 1,2-1,5 1,4-1,8 1,7-2,2
Величину запасов прочности пк при
расчете по усилиям, соответствующим
пределу несущей способности, прини-
маются пх — 1,7ч-2.5; ббльшие значе-
ния пк соответствуют ббльшим значе-
9т
НИЯМ —.
««
Величины запасов прочности пв при
расчете на сопротивление статическому
разрушению принимаются в зависимости
от однородности материала детали, на-
груженностн остаточными напряжениями
н степени хрупкости (последнюю принято
оценивать по величине ударной вязкости
см. т. 6, гл. III). Величины запасов
прочности nt представлены в табл. 30.
Величины запасов прочности при пе-
ременных напряжениях могут выби-
раться следующим образом.
Для обычного уровня технологии
производства и ограниченной однород-
ности материала 1,5н-2,0.
Для пониженной однородности мате-
риала (особенно для литья) и деталей
больших размеров — 2,0-т-3,0.
При повышенной однородности мате-
риала и высоком качестве техноло-
гин изготовления в отдельных случаях
ni может быть снижено до |Д
* Бел учета абсолютные размеров.
1аОлица 30
Величины запасов прочности
для ыалоаластичных и хрупких материалов
Характер материалов
Запас
прочности
Малопластичные (высокопрочные
стали прн низком отпуске),
ан < 2 кГм/ллС ....
Хрупкие, ан < 0,5 кГmi мм’, само-
родные и умеренно нагружен-
ные остаточными напряжения
ми . . ....
Весьма хрупкие, неолнорохные
и остаточно перенапряженные
(керамики, пористое, хрупкое),
литье)
Величины допускаемых напряжений
Допускаемые напряжения определя-
ются исходя из характеристик механи-
ческой прочности материала ач. влияния
распределения напряжений (К) и абсо-
лютных размеров (е). а также принимая
во внимание необходимый запас проч-
ности л:
Допускаемые напряжения, так опре-
деленные. используются как приблизи-
тельные, когда не имеется более спе-
циализированных данных применительно
к типам рассматриваемых деталей.
Допускаемые напряжения прн ста-
тических нагрузках. Величины допу-
скаемых напряжений при растяжении Iп]д
и при кручении тонкостенныхсеченнй|т]к
для сталей определяются из формул
Величины допускаемых напряжений
при изгибе и кручении деталей со
сплошным сечением определяются по
значениям напряжений а, и т(, соответ-
ствующим определенным допускам пла-
стической деформации и приведенным
на стр. 274—275, в их зависимости от
формы сечения.
Величины допускаемых напряжений
для литья (чугун, легкие сплавы) при
растяжении, сжатии, изгибе и кручении
определяются по пределам прочности at
из формул
1»Ь-
И,»ави .
“--ЪГ'
ВЕЛИЧИНЫ ЗАПАСОВ ПРОЧНОСТИ И ДОПУСКАЕМЫХ НАПРЯЖЕНИЙ 485
В связи с влиянием формы сечения
эти величины должны умножаться на
поправочные коэффициенты, приведен-
ные на стр. -443, если расчет на прочность
ведется по обычным формулам сопро-
тивления материалов (без учета разни-
цы модулей упругости на растяжение
и сжатие).
Коэффициенты ks и е, находятся из
приведенных ранее графиков (стр. 445).
При наличии литейной корки на дета-
лях величины допускаемых напряжений
при изгибе и кручении должны быть
снижены на 15--25°/0.
Допускаемые напряжения при
расчете на выносливость Величины
допускаемых напряжений прн симме-
тричном цикле изменения напряжений
определяются с учетом влияния разме-
ров %, концентрации напряжений k«
и состояния поверхностного слоя 3 из
формул:
для растяжения — сжатия
(в-1)Л 3
I’-'1'’ ’ —^г31
где (a-i)p — предел выносливости при
растяжении — сжатии;
для изгиба
для кручения
Л,иЛ,— коэффициенты концентрации; я—
коэффициент, характеризующий влияние
абсолютных размеров; 3 — коэффициент,
характеризующий влияние состояния
поверхностного слоя и его упрочнения.
Допускаемые напряжения при
асимметричных циклах для случая
простого нагружения (подобие циклоп)
определяются путем линейной интерпо-
ляции в зависимости от я-^~ между зна-
чениями |о_)| и
I, i= 2|»-i|
I’ol 1 + <p *
где (я-)] — допускаемое напряжение
при симметричном цикле; (о0| — допу-
скаемое напряжение при пульсирующем
2в_| — 70
цикле; ф —----:---» — коэффициент,
характеризующий форму диаграммы
предельных' напряжении.
Значения представлены в табл. 16.
Запас прочности и допускаемые
напряжения при повышенных темпе-
ратурах. Запас прочности и допускае-
мые напряжения в зависимости от тем-
пературы и времени работы опреде-
ляются по характеристикам кратковре-
менных испытаний aj-, <тв и характери-
стикам в условиях длительной работы
1°пл' а—>)
При статическом длительном нагру-
жении допускаемые напряжения опре-
деляются из кривых длительной проч-
ности н полной деформации ползучести.
В зависимости от соотношения преде-
лов ползучести и пределов длительной
прочности для определения допускаемых
напряжений выбирается меньшая для
заданного времени работы величина.
При этом запас прочности по напряже-
ниям (для длительной прочности) при-
нимается л — 1.4 ч-1.6.
График допускаемых напряжений при
повышенных температурах составляется
работы детали и ее температуры на
основе кривых длительной Прочности
486
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
л кривых полной деформации ползу-
чести. Для этого ординаты кривой дли-
тельной прочности уменьшаются в со-
•ответствии с запасом прочности, а кри-
вые напряже-
ннй, соответ-
ствующих пол-
ным деформа-
циям а,, нано-
сятся в зависи-
мости от приня-
того допуска
полной дефор-
мации при пол-
зучести е — 0,1;
0,2; 0,5 и l.oe/p.
На фиг. 91
приведен в ка-
честве примера
график допу-
скаемых напря-
жений для ста-
ли ЭИ69 при
t — 600° С. Если
напряжения н
лопатке турби-
ны составляют
а = 19 кГ/ММ2,
а допускаемая
полная дефор-
мация 1%, то
по длительной
Л ИЮ 200 ХЮ сООчас
О too S.V ЮО too Чвс
<7 ЮО 200 ЮО С00 час
Фиг. 92. Кривые релаксации
1Л1 стали ЗИ69.
прочности ресурс работы ограни-
чивается 350 час. Если ограничить пол-
ную деформацию при ползучести
то ресурс уменьшится до 150 час.
Явление релаксации возникает в слу-
чае работы первоначально напряженной
детали, например затянутого болта, при
высокой температуре. Определение допу-
скаемых напряжений для таких деталей
основывается на кривых релаксации.
напряжение. Например,
соединения из стали Э
На фнг. 92 представлены кривые ре-
лаксации для стали ЭИ69 при различ-
ных температурах. По этим кривым прн
заданном напряжении после задан-
ного времени работы детали можно
определить допускаемое первоначальное
для болтового
'И69 при 60G°C
начальный натяг соединения 3000 кГ;СМ2
после 500 час. работы снижается до
а =- 1500 кГ1см2
При переменном нагружении с сим-
метричным циклом допускаемые напря-
жения определяются из кривых выно-
сливости в зависимости от числа циклов,
возникающих во время работы детали, по
соответствующему ограниченному пре-
делу выносливости (е_|)^; п —
®а
где а,, — амплитуда действующих напря-
жений.
Запас прочности для конструкции,
в которой длительно действуют стати-
ческие ат и переменные аа, напряжения
с амплитудой может определяться:
а) пределом длительной прочности
дЛ °т ’
б) предельной амплитудой при данной
асимметрии и числе циклов (oa)w
При расчете определяются оба запаса
и принимается во внимание меньший
из них.
В зависимости от времени работы
и соотношения ат и а„ величины запа-
сов прочности л могут приобретать раз-
личные значения, которые для суждения
о прочности следует сопоставить с ре-
комендуемыми.
ЛИТЕРАТУРА
1. Атгтомобильиые и конструкционные стали,
чпол рек. А. П. Гуляева и И. С. Козловского,
Машгиэ, 1961.
L Аф 11 iCkt • Н. К, Статистическая
теория усталостной прочности стали, АН УССР,
3. Баландин П. П., .Вестник нкжепероп
Ж текникон* .4 I, 1937.
I. Б е л я е » Н. М.. Сопротивление материа-
лов, ГТТИ, 1949.
5. Б и р г е р И. А.. .Вестник машкнострое-
«ина- М 6, 1948.
6. Гвоздев А- А., Расчет несущейспособ-
,пости конструкций по метолу предельного рааио-
тесна. Стройиздат, 1949.
7. В и т м а и Ф, Ф-, Сборник локладое по
динамической прочности деталей машин, АН
«СССР 1946.
8. Д а а и л е н к о а И. Н.. Динамические ис-
пытания металлов, ОНТИ, 1936.
9. Давидеиков Н. Н-, Проблема удара
а метаддовеленин. АН СССР, 1938.
10. Дымов И. А.. Строительная механика
машин, Техтеоретиэлат, 1933'.
И. И л ь ю ш и н А. А.. Пластичность. ОГИЗ,
ТИТТЛ. 1949.
12. К и и а с о ш в и л и Р. С., вып. М 56, Обо-
ронена, 1943.
13. К И м м е л ь м а и Д. Н„ Расчет деталейма-
шин прн переменных напряжениях, Машгиз,
I960.
14. Конструкционные стали, справ, под рел.
Н. Т. Гулцова. Металлургизлат, 1947.
15. 1< у л р а в и е в И. И., С а и е р и н М. М.,
Р я б ч е н к о в А. В.. Методы поверхностного
упрочнения деталей машин. Машгиэ. 1949.
ВЕЛИЧИНЫ ЗАПАСОВ ПРОЧНОСТИ И ДОПУСКАЕМЫХ НАПРЯЖЕНИЯ
487
16. Кудрявцев И. В., Внутренние напря-
жения кам резерв прочности в машиностроении,
Машгиз, 1951.
17. М а л и н и и Н. Н., Основы расчета на
ползучесть, Мацпнз, 1959.
18. М а р к о в е и М. П., Диаграммы истин-
ных напряжений и расчет иа прочность. Оборок-
19. Некоторые вопросы усталостной прочности
стали, сб., Машгиз, 1963.
20. О л и н г И. А., Основы прочности метал
лов паровых котлов, турбин н турбогенераторов.
Энергоиздат, 1949.
21. Основы современных методов расчета на
прочность » машиностроении, под pea. С. Д. По-
номарева, Машгиз, 1950 и 1952.
22. Повышение прочности деталей машин, сб.,
АН СССР. 1949.
23. Повышение усталостной прочности деталей
машин поверхностной обработкой, сб., Машгиз,
24. Прочность при неустановившнхся режимах
переменных напряжений, сб., АН СССР. 1954.
25. Работное Ю. И.. Сопротивление ма
териалов, ГТТИ, 1950.
26. Р а т и е р С. И.,. Пластичность и проч
ность металла, Оборонена, 1949.
27. Р е ш е г о в Д. Н„ Расчет деталей стан-
ков на прочность, сб., АН СССР. 1954.
28. Р ж а н и ц ы н А. Р., Расчет сооружений
с учетом пластических свойств металлов. Строй
военморнздат. 1948.
29. Савернн М. М., Контактная прочность,
Машгиз, 1946.
30. Сервисен С. В., .Известия Отделения
технических наук АН СССР' 26 7, 1938; .Инже-
нерный сборник", г, 1, 1941.
31. Сервисен С. В., .Вестник машино-
строения” 7* 6, 194Х
32. Сервисен С. В., Те те л ь б а у м
И. М. и Пригоровскнй Н. И., Динами-
ческая прочность в машиностроении. Машгиз,
33. Сервисен С. В., Когаев В. П.,
Козлов Л. А.. Шнейдерович Р. М..
Несущая способность и расчет деталей машин на
прочность, Машгиз. 1954.
34. Соколовский В. В., Теория пластич-
ности, АН СССР, 1946.
35. Стрелецкий Н. С., Курс металличе-
ских конструкций. Стройнздит, 194'1.
36. Т р а п е з н н И. И,. Прочность металлов
прн переменной нагрузке, Машгиз, 1948.
37. .Труды ИНИИТМАШ” Мб. Исследование
стали Э1159. Машгиз, 1947.
38. У ж и к Г. В.. Методы испытаний металлов
н деталей на выносливость, АН СССР, 1948.
39. Ужик Г. В., Сопротивление отрыву и
хрупкая прочность, АН СССР, i960.
40. Фридман Я. Б„ Механические свой
ства металлов, Оборонгиз, 1952.
41. Хрущев М. М., Усталость баббитов,
АН СССР, 1943.
42. Шапошников Н. К., Механические
испытания металлов, Машгиз, 1951.
43. ГЦ а и п в Н. П., Исследование металла
железнодорожных конструкций. Траисжелдориз
дат, 1947
44. Энциклопедический справочник .Машино-
строение”, т. 2. кн. 2-я, Машгиз, 1947.
45. Энциклопедический справочник .Машино-
строение”, т. 3 и 4, Машгиз, 1947.
46. Я г н Ю. И„ .Вестник инженеров н тех-
ников* 76 6, 1931.
ГЛАВА XV
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ,
НАПРЯЖЕНИЙ И УСИЛИЙ
Для определения напряжений и уси-
лий наряду с расчетом широко исполь-
зуются экспериментальные методы, осно-
ванные на различных способах измере-
ния деформаций. Экспериментальными
методами решаются следующие задачи:
1) о п р е д е л е и и е усилий, воз-
никающих в отдельных сечениях детали
и элементах конструкции под заданной
нагрузкой;
2) нахождение рас предел е-
и ня, в е л и ч и и и концентрации
напряжен и й. возникающих в деталях;
Применение основных »<
3) определение динамиче-
ских усилий и напряжений,
вызываемых колебаниями и ударами
в машинах;
4) определение жесткости
деталей и целых конструкций;
5) определение остаточных
напряжений в детали.
Определение напряжений н уси-
лий может производиться как на на-
турных деталях, так и на их моделях
(табл. I).
Таблица f
1ериментальных методов
Решаемая задача Метод решения Ссылки (страницы, главы, литература)
1. Определение действуюшик нагрузок и усилий (и пере* мешений) п связи с режи- мами работы машины Тсизоиетрироввине, регистрация давлений и ннбраиий (преимущественно электриче- скими методами). При натурных и стендо- вых испытаниях применительно к эксплу- атационным условиям работы машин Стр. 5п», 511, 512 табл. 9. Аппаратур стр. 492, 612; 4 1
2. Определение деформаций и напряжений в отдельных местах натурных деталей и конструкций; выявление на- грузок по деформациям Тензометрированне. измерение перемещений и применение метода лаковых покрытий. При натурных, стендовых и лабораторных испытаниях с динамическими н статическими нагрузками Стр. 499 . 511; табл.3 6, 9. 1''. Аппарату ра стр. 490, 492, 511. йда*
3. Изучение концентрации и распределения напряжений; выбор формы детали, даю- щей меньшие напряжения Тензометрнрованне на моделях и деталях (пре- имущественно малобазные тензометры); пр» менение лаковых покрытий и поляризапи онно-оптического метола. При лабораторных (и стендовых) испытаниях со статическими (и динамическими) нагрузками Стр. .9 7. 53»: та&л.З., 6, 16. Аппаратура стр. 490. 522. (В|. й ft isi-
4. Определение остаточных зональных напряжений (тех- нологических, монтажных) Тензометрированне. измерение перемещений и метол лаковых покрытий при снятии остаточных напряжений с применением раз- резки деталей; ренттеитензометрия без разрезки деталей. При лабораторных и стендовых испытаниях на натурных деталях и конструкциях Аппаратура стр. 490. 493. 511. 515; 1491. 1В0), (511
5. Определение жесткости деталей: выявление состоя- ния мошажд конструкций путем приложения нагрузок Тензометрированне и измерение перемеще- ний. При лабораторных и стендовых испы- таниях со статической и динамической на- грузками; и натурных условиях для оценки влияния условий сопряжения педалей Стр. 514; табл. 10. Аппаратура стр. 511; |55]
ТЕНЗОМЕТРИРОВАНИЕ
4Я9
ТЕНЗОМЕТРИРОВАНИЕ
Основные характеристики
тензометров
Тензометрирование — измерение де-
формаций. выполняемое с помощью
приборов (тензометров). В общем
случае тензометрическая аппаратура (и
аппаратура для измерения перемещений)
состоит из частей: 1) воспринимающей
деформации (датчик); 2) передающей и
преобразующей эффект ее действия
(усиление, интегрирование, дифферен-
цирование); 3) указателя для визуальных
отсчетов или регистратора; в электри-
ческой аппаратуре датчик, преобразу-
ющая и регистрирующая части соединя-
ются проводами (кабелем).
База тензометра — длина участка,
на котором производится измерение де-
формаций (расстояние между остриями
ножек или длина тензочувствительной
части наклеиваемого датчика). Сред-
няя (на длине базы) относительная
линейная деформация
Здесь (is) — удлинение (или укоро-
чение) базы тензометра; Л — приращение
отсчета по шкале или ордината записи
при регистрации; т — масштаб тензо-
метра, дающий отношение величины
отклонения стрелки по шкале или орди-
наты записи при регистрации к величине
деформации, вызвавшей это перемеще-
ние (влияние поперечной тензочувствн-
тельностн при наклеиваемых датчиках
см. табл. 6).
Классификация тензоизме-
рительной аппаратуры произ-
водится по следующим признакам: а) по
виду измеряемой деформации (измере-
ние линейных деформаций, сдвига, соче-
тания компонентов деформаций); б) в за-
висимости от длины базы (малобазные
до 4 мм. среднебазные до 25 мм.
с большой базой более 25 мм); в) по
положению измеряемого волокна (в по-
верхности детали, в фиктивном волокне
на некотором расстоянии от поверх-
ности детали); г) по характеру измене-
ния измеряемой величины во времени
(статическое, динамическое с различ-
ными диапазоном частот и продолжи-
тельностью); д) по способу отсчета или
регистрации (визуальный отсчет, запись
механическая или фотографическая);
е) по дистанционности измерений (отсчет
или регистрация на месте измерения —
весь измерительный прибор на детали;
дистанционные измерения — датчик на
объекте испытаний и регистрация на
стороне с применением проводной связи
или без проводов; ж) по условиям среды,
в котороц ведутся измерения (прн нор-
мальной, при пониженной, при повы-
шенной или при высокой температуре,
в условии влажности, в условии газовой
среды и пр.); з) по способу увеличения
и принципу действия аппаратуры (с мс-
Таб.гица 2
Ориентировочные характеристики типов влектраческих датчиков для измерения
динамических деформация
Метод Относитель- ная тенэочун- сгннтельносгь тензодатчиков Возможность исполь- зования без усилителей Лиана зон измеряемых частот в гц • при обычной конструкции датчиков Нан меяь- . 1ПИЙ 1 вес латчи- ! ка в г
Индуктивный (реактивная катушка с железным сердечником) Индуктивный, трансформаторный (трансформаторнаа снизь двух алск- трнческих цепей) Емкостный (с изменением расстшшна между пластинами) Реостатный (со сходившим коитак- 10 20 10 100 Без или с усилителем То же С усилителем Без усилителе 0-1 ООО 0-1 000 0-1 000 0-100 15 1 S Ju 20
С графитовыми столбиками, омиче скоро сопротивления Полупроводниковый (углеродистый), омического сопротивления, наклеи- 200 5 То же Обычно с усилителем 10-3C0 0-1 00) 100 0.1
Проиолочкый. омического сопротн- пленил, наклеиваемый Машитоупругий Электронный (ламповый) 1 30 н более 200 С усилителем нли без усилителя** С усилителем Без нли с усилителем 0-50033 0-100) 0-500 0.05 10 20
• При соответствующих характеристиках усилительной и регистрирующей аппаратуры. * * Мощные датчики нли обычно применяемые при использовании специализированного осциллографа,
490 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ. НАПРЯЖЕНИИ
панической передачей, оптико-механиче-
ские, электромеханические, электриче-
ские, оптические, пневмомеханические);
по электрическому принципу действия
параметрические: индуктивные, емкост-
ные, омического сопротивления; энер-
гетические, генераторные; пьезоэлектри-
ческие, магнитоэлектрические и др.);
см. табл. 2 и т. 1, стр. 416.
Условия измерения опреде-
ляют выбор типа и характеристик аппа-
ратуры.
Чувствительность и погрешность
тензометров. Чувствительностью при-
бора называется отношение перемеще-
ния указателя прибора к изменению
измеряемой величины, вызвавшему это
перемещение. Погрешностью назы-
вается средняя (при большом числе
измерений) величина разности между
измеренными и действительными значе-
ниями измеряемой величины; выражается
в процентах по отношению к диапазону
измерения (разности между верхним и
нижним пределами измерения). Основная
погрешность в процентах при нормаль-
ных условиях работы дает класс изме-
рительного прибора (по ГОСТ 1845-52
установлены 5 классов: 0,2; ОД 1,0; 1,5;
U
Приборы и аппаратура для
измерения деформаций
I, Определение концентрации и неравно-
мерности распределения напряжений
(прн статическом нагружении)
I. Зеркальный малобазиый тен-
зометр Лоренца (49). Датчик устапами-
мется и направлении базы; отсчеты-no рейке
через трубу. Увеличение 5000, база Б мм (тип Б):
увеличение 10 000, база 2,5 мм (тип В).
2. Аппаратура с индуктивными
малобаэнымн датчиками. Датчик
устанавливается иа детали в месте измерения.
С деформацией н датчике меняется воздушный
зазор в магнитной цепи датчика и происходит из-
менение инлукгявного сопротивления г измеритель-
ной цепи из-за изменения магнитного сопротивле-
ния. Особенности индуктивных малобазных датчи-
ков: а) малая база датчика; б) возможность много-
кратного использования одного и того же датчика
и непосредственной его тарировки; в) примени-
мость только для измерений при статическом
нагружении (прн отсутствии тряски).
Технические характеристики (33):база те изо
метра 2-4 лтлг; увеличение от 50 U00 до 300000;
цена деления шкалы 0,02—0,07 лтд; сила тока в
датчике 10—15 ма; напряжение на выходе гене
ратора Зан частота питания 500—1000 щ. Линей-
ная характеристика и диапазоне относительных
деформаций ±1,5-10”•. Погрешность 2—Э>Ь от
диапазона.
Габариты датчиков и зависимости от приме-
нения см. табл. 3. Комплект аппаратуры состоят
из: а) датчика с точечными (керновыми или
ножевыми) опорами, снабженного приспособле-
ниями для установки н крепления на детали;
6) измерительного устройства, включающего эле-
ктрическую схему с ламповым усилителем, ука-
зывающий прибор и блок питания.
Таблица 3
Основные типы малобазных индуктивных
датчиков и их назначение
Тип и габариты
в мм
Назначение
Исследование общей
। еравномериостн рас-
пределения напряже-
ний
ДСТ-13
ДСТ-16
Определение концен-
трации напряжений в
га.ттслях
Определение концен-
трации напряжений
иа фаске поперечно-
го отверстия
Способы крепления в зависнмостн от конфи-
гурации и размеров летали— струбцинками, упру-
гими стальными прутками или рамкой, с помощью
координатного устройства. Поверхность детали
высокой твердости перед установкой датчика
омедняется (слой 0,01—0,04 мм).
3. Маловодный фотовлектри че-
ткий тензометр И9|- Отсчет по микроам-
перметру. Не требуется применение усилители.
Бозы от 1,5 до о мм, увеличение — 30 (ХЮ, высоте
тензометре до 60 мм.
4. Пневматический тензометр
см. (38).
. 5. Малобазные проволочные г а н-
эометрыебааой 2,5—4 мм см. стр. <91.
11. Определения деформаций в деталях
машин и элементах конструкций
Статические деформации
I. Тензометр рычажный у н и нер-
еальный (типа Гугенбергера), с постоянной
или переменной белой. Увеличение механическое;
отсчеты - по шкале. С помощью струбцинок и
других приспособлений (зацепы, приклеиваемые
колодки, привариваемые таги, присоски, магниты)
тензометр прижимается в любом положении к по-
верхности летали нли образца I (фиг. I) через две
ножевые опоры. Предельная величина измеряемой
деформации— до 0,2 леи (с перестановкой стрелки
приспособлением2). Увеличение-^- “ 30° *
4-2000 (а зависимости от марки гектометра). База
ТЕ Н ЗОМЕТРИРО В А Н И Г
491
10 и 20 дс удлинитель позволяет получить вязы
100, 200 н 1С&> мм.
.2. Тензометр Аистова |4 j. Увеличе-
ние рычажное 5 ; I. Величина деформации опре
лелеется перемещением микрометрического винта
ло замыкания электрической цепи. Цена деления
шкалы 0,101 ил, число
делений на диске микро-
метра 100, число оборо-
тов лиска до 10. База
28 мм (может быть
уменьшена до 15 мм).
Габарит Wrt&XfiS мн;
еес (без креплений*
60 I.
3, Зеркальный
тензометр (типа
Мартенса) (15) для
определения предела
упругости иа образцах.
Увеличение оптико-ме-
ханическое. Призма с
зеркальцем прн помощи
пружинной скоби при-
жимается к образцу.
Отражение шкалы в
зеркальце наблюдается
через зрительную тру-
бу. Обеспечивается см-
сок, я точность измере-
ния. Увеличение при-
. L tg .'я
бора т — ; при
a »1п к
2£
та — (см. табл. 10).
А. Съемный тензометр для изме-
рения остаточных деформаций [4 ].
получаемых в результате длительных нагрузок
детали или ори усадке материала. Две ножки
тензометра имеют грани, которыми он прн изме-
рениях устанавливается вп базу, фиксированную
на поверхности исследуемой детали (шарики,
штифты); база от 20 ло ЗДГ мм.
5. Измерчтельиыймост постоян-
ного тока с гальванометром для
проволочных тензодатчиков со-
баемой винтом п обе стороны балочки; обычно
/?>=#,- При работе без компенсационного датчика
включаются сопротивления Ц,= Ц,-)-3 ом и #, =
— 20 ч- .5 ком (пере-
менное, проволочное).
Сопротнвленнем #,кз
2VU ком шунтируется
рабочий датчик при та-
рировке и при проверке
измерительной схемы;
сопротивление R,— для
предохранения гальва-
нометра от поврежде-
ний при грубой на-
стройке.
В схеме фнг. 2 со-
противлений#, и /?, мо-
жет не быть, так как
обычно измерения ве-
Фиг. 2.
лутся с компенсационными датчиками.
Питание от батареи U = 1Л ч- 9 а.
Требуемом чуветвательность гальвано-
метра
4У*“ -r7' —
I
2(2^+й + ‘)
(2)
где ₽г — сопротивление гальванометра: М —коэф-
фициент тепмтчувствнтсльностн датчика: ба — тре-
буемая по механическому напряжению чувстви-
тельность схемы.
Пример. Выбрать гальванометр при U = 5 а;
= 240 ом; * = 2,1. £ = 2.1-10* кГ/сМ' и
прн требуемой точности замера напряжений
да = ± 10 кПслд. Задаемся =1 ч- в; прнни-
/?. **
мая. например, -Tr- = t< получим по формуле
•\ 1
(2) &J, = 2,60- 10“в а. По каталогу подбирается
гальванометре теневой стрелкой с сопротивлением
254 ом. Так как «I, то уточнение в про-
веденном подсчете делать не надо.
противления. Способы измереиня: а) мула-
вой метод. 6) метод неяосреоетвенноео от-
ечете. Предназначен для измерении при малом
числе тензодатчиков (см. стр. 494). Требуемая
чувствительность гальванометра =а 10"8 а, напря-
жение питания моста - 1,5 ч-9 а.
Рабочий Р и компенсационный К датчики вклю-
чаются в соседние плечи моста, привезенного на
фиг. 2 |2Я). Сопрот налеяня рабочего и компенсацион-
ного датчиков RpfuR/f — #2 — сопротивления
а виде датчиков, наклеенных на двух сторонах из; и-
*Wb- дампеисе-
wd ииеннмй
Л)
/
J
$ в 1
в
Юмтемсо-
Ю цмняыи
б»
Фиг. X
о к 4
40?
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ, НАПРЯЖЕНИЙ
При большом числе тензодатчиков примем»
юте» мостовые схемы с нулевым методом изме-
рения или с непосредственным отсчетом: а) мяо
/оточенные мосты (фиг. 3, д); б) одноточеч-
ные мосты с ручным им автоматически ч
переключение ч датчиков (фиг. 3. б). в схеме
фиг. 3,4 сопротивления /?, и R, могут отсутст-
вовать при работе с компенсационными двтчиками
при малом разбросе сопротивлений датчиков.
6, Измерительный мост постоян-
ного токае чувствительным голь
нанометром катушечного типа, встраивав
мый в шлейфный осциллограф, допускает пооче
редкую запись показаний с большого числа про
толочных тензодатчиков прн применении ручного
или автоматического переключателя. Применяется
также для записи динамических деформаций и
усилий прн частотах до 100—200 гц (см. табл. 51.
7. Электронный измеритель ста
тичетких деформаций для проволоч-
ных тензодатчиков сопротивлением 50—200 он
(см. стр. 494). Общий диапазон измерений относи-
тельных линейных деформаций ± (0,3 +• 0,61 <%.
Одно деление лимба реохорда соответствует от-
носительной деформации 1-10— • или 1-10—*. На-
пряжение питания датчика 120 ом порядка За.
Длина измерительной линии до 50 м (и больше!.
Для поочередных измерений с большого числа
тензодатчиков применяются в комплекте ручные
или автоматические переключатели иа 10—2Ш1
датчиков. Питание измерителя от сети перемен
иого тока или от аккумулятора.
В электронном измерителе деформаций приме
нястся схема уравновешенного моста, питаемого от
генератора переменным напряжением -5—6 в. 800—
1200гц. нли от сети 50гц. Измерительный мост со
отделяется из рабочего датчика, устанавливаемого
на исследуемом объекте, и компенсационного, уста-
навливаемого на исследуемом объекте или на не-
напряженных образцах из того же материала, что
и исследуемый объект. Напряжение небаланса
прн деформации снимается трансформатором и
усиливается электронной схемой. Обеспечены пе
рсключепие диапазонов для расширения шкалы
измерений, регулировка чувствительности для
работы с датчиками различной теизочувствитель
пости (без внесения поправок*, проверка отсут-
ствия еггплзаним пуля в схеме и корректировка
его без разгрузки исследуемого объекта.
Электронный из иерителв статически е
деформаций ИД-i (19| питается постоянным
током от аккумулятора и от батареи. Цепа деле-
ния Ы0~ь; вес прибора 14 кГ.
Электронный измерителе Института ма-
шиноведения АН СССР с ценой деления 1-10—'
и 2-10—* относительной деформации — см. |54|;
питание от сети. См. также (43].
Расширение диапазона измерений электрон
иого измерителя для измерения пластических
деформаций достигается с
Е помощью подключения со
противлений Я,, R. по
схеме фиг. 4; /?, —
пуском в пределах ±0,4°(о);
Г__.___ _ _
— — сопротивление ра-
бочего и компенсационного
летчиков; т — требуемый ковффиииеит увеличе-
ния шкалы измерителя.
ч. Электронный автоматический
регистратор деформаций для прово-
лочных тензодатчиков сопротивления. Автомати-
ческая запись на бумагу с пробиванием точек
искрой или печатанием точек нли цифр пока-
заний от поочередно подключаемых тензодат-
чиков.
Применяется для намерений с большого числа
тензодатчиков в короткое время. Скорости изме-
рений— а 1 сек. один два датчика; погрешность
регистрации 0Л—2*1». См. (49| и (51).
9-Устройство для автоматиче-
ской записи диаграмм леформа
ц и й при испытании образцов и деталей машин.
Поворот барабана, на котором гедется запись,
производится непосредственно от тензометра,
и зависимости от деформации; перемещение пера
по образующей — от механического, электриче-
ского или гидравлического силоизмерителя.
Статические и динамические деформации.
Сравнительные характеристики электрических
тензодатчиков для измерения динамических де-
формаций — см. табл. 2.
(.Струнный м е т о д И. Н. Д а в и д е н-
к о в а (7]. Деформация определяется по измене-
нию частоты собственных колебаний струны, за-
крепляемой концами. Измерение частот произво-
дится с помощью электронного генератора-ча-
стотомера; регистрация — нз осциллограф.
Прн погрешности измерения частоты 1 гц и
при длине струны / = КД) м м погрешность изме-
рения относительной линейной деформации
- 0,3.10-5.
2. Царапающий тензометр. Запись
на пластинке острием динамических деформшнй
и натуральную величину и течение короткого
промежутка временя |49|. При деформации запи-
сывающий рычаг приводится и движение пру-
жиной.
Дешифровка записи — с помощью микроскопа.
Малая точность; запись по времеип - качествен
ноя. Величина записываемой деформации — от
<’,0025 до 1,25 лглг; база 50 ям; вес тензоме-
тра 2 г.
3. Аппаратура с индукционными
датчиками для измерения дефор-
маций о деталях машин. Преиму-
щества индуктивных тензометров для иэмсре
ния статических и динамических деформаций:
а) простота и надежность; б) отсутствие значи-
тельных деформаций и трений в частях датчика,
что обеспечивает возможность его использования
при неограниченном числе циклов деформаций;
в) возможность при достаточных габаритах дат-
чиков обойтись без усиления сигналов от датчм
ков; г) значительная величина мощности датчика
и в связи с этим меньшее влияние помех. Анализ
схем см. (17), (29).
Аппаратура Института машиноведения
АН СССР р-1| с индукционными датчиками имеет
шесть каналов для регистрации иа шлейфный
осциллограф деформаций, изменяющихся с часто-
той в пределах от U до 250 Датчики имеют
базу 20 мм и диапазоны измеряемых деформаций
±20; ±'0 (упругие деформации) н ±600 «к
(пластические деформации). Погрешность измере-
ния в пределах . ±2°|0 от диапазона измерений. Пи-
тание от батарей 44—48 я, 3,5 а. Аппаратура со-
стоит из: 1) датчиков; 2) лампового шсстпканаль-
ного генератора; 3) выпрямительио-компемсацнон-
иого устройства с измерительным прибором и
клеммами для подключения к шлейфному осцил-
лографу.
Способ крепления датчиков к детали — в зави-
симости от условий намерения (винты, сварка, при-
жатие остриями).
Одно из выполнений датчика — см. фнг. 5:
I — опорные призмы для крепления винтами или
скобками; 2 —сердечники на рамке 3; 4 — якорь
на рамке 4; 6 — листовые пружины, связывающие
рамки; 7 — клеммник. Датчик имеет двойную
реактивную катушку с жестко соединенными сер-
ТЕНЗОМЕТРИРОВАННЕ
493
лсчииками, еилючаемую по схеме моста. Вы пол
пение других типов индукционных датчиков дефор
«ними см. (11). (26], [38), [49], |50).
Аппаратуру для регистрации скручивающих
моментов см. (26), |28], (Т0|. [50], |45|.
30-80
Фнг. 5.
4. Реостатный г е и а о м е т р (26]. При
деформации и.»меш1ется положение скользящего
контакта. Используется как индикатор прогибов
упругого элемента и приборах при дистанцион-
ных измерениях (датчики давления. динамо-
метры). Перемещение скользящего контакта в
диапазоне измерения не менее 1—2 мм. Приме
ттяется схема без усиления.
5. Тензометр с графи т.овыми
столбиками (26), |28|, (47). Прн деформации
перемещается ножка датчика, и зтнм изменяется
сила сжатия одного или двух столбиков, связанных
с ножкой датчика и включенных в схему моста.
Отсчеты — по стрелочному гальванометру или
запись шлейфным осциллографом (без усиления).
Малая стабильность, особенно при статических
измерениях, и значительное усилие, необходимое
для перемещения ножек тензометра при дефор-
мации.
Характеристики датчиков ЦП И ИТ /ЛАШ.
база 30 и ИИ) мм; вес 130 и 460 г. предел изме-
ряемой деформации 3-|0~л и частота до 300 гц;
изменение сопротиплеиия при деформации до 5“|„;
рабочая нагрузки и столбике до 00 КГ, питание
моста от аккумулятора 25 в; ток о столбике
ТОО .нгт.
б. Аппаратура с емкостными и
и и д у к т и в и ы м и датчиками для нзме
(синя деформаций (усилий и давлений) типа
ЗНИМС |3|, |5]. Схема амплитудной модуляции.
Запись шлейфным осциллографом. Регистрируе-
мые перемещения от п.002 мм при индуктивном
датчике и от 0.001 им при емкостном датчике.
Частота регистрируемых деформаций от 0 до
104X1 Гц; несущая частота 5000 г<<; выходной ток
•Д) ма. Пшаиив от сети.
7. Аппаратура с полупроводнико-
выми наклеиваемыми датчиками
own веского сопро’инлення (графи!,
сернистый свинец) |26), |28]. С деформацией нзме-
< яетсн контактное сопротивление папироводинка.
Лич-ши । ялючаегся в схему моста. Тепзочупстви-
<ельпый слой в датчике нанесен на пластинку из
пластмассы, полоску фольги с изоляцией или
бумагу. Допускается переклейка датчика. Для
углеродистых датчиков кимрфиилент тензочув-
<тип>е.1Ы1ост1| 15—20, сопротивление 10—13 дон;
требуется зашита от влаги. Применяется для
намерении ня вращающихся деталях н связи
с получаемым малым влиянием изменения со-
противления в контактах токосъемника.
8. Аппаратура с магнитоупру-
гими (магнитострикционными)
тензодатчиками (18), (26]. Используется
изменение нмпеданца цепи, питаемой переменным
током 10—S0 кгц. о связи с изменением магнитной
проницаемости датчика при деформации.
Датчик из пермаллоевой пластинки толщи-
ной 0,1—0,2 мм, вырезанной в форме замкнутого
прямоугольника, приклеивается длинной стороной
пластинки к поверхности детали. Котффнцнент
тензочувствительностн от 100 до 200. Малая ста-
бильность; линейная характеристика и пределах
относительной деформации тЮ—3; погрешность
измерений до 1О/о (и выше).
9. Аппаратура с наклеиваемыми
проволочными тензодатчикам и
омического сопротивления. Основ-
ные преимущества: а) монолитное соединенна
датчика с поверхностью детали в месте измере-
ния; б) малые вес и толщина датчика, обеспечи-
вающие при соответствующих характеристиках
измерительной аппаратуры, применяемой с дат-
чиками, практическую безинерционность (ориен-
тировочно до 50000 гц) измерения деформаций;
в) малые габариты датчика; г) удобство крепле-
ния на поверхности исследуемой детали(наклейка);
д) возможность измерения а сложных условиях
испытания; е) универсальность применения.
Погрешность измерения 1—2<)0 и ииже.
Основные характеристики проволочных тензо-
датчиков: база от 2 до 100 мм н более; тензо-
чувствительиость датчика от 1,7 до 3,8; сопроти-
вление датчика от 50 до 5000 ом (обычно
70—200 ом): пригодны при малых (упругих) и боль-
ших (пластических) деформациях до ±6% и
при темпердтурдх нормальной, пониженной и по-
вышенной до 1000“ С (при соответствующем
устройстве датчика); допустимый ток в датчике
из проволоки 30 мк порялкя 25 ма прн длитель-
ной работе и S0 ма или больше при кратковре-
менном включении; сопротивление изоляции на-
клеенного датчика должно быть не меиее
ВО—200 мгом. Датчик может приклеиваться к
плоской или криволинейной поверхности детали
и измеряет среднюю на длине базы линейную
деформацию или сочетание компонентов деформа-
ции в зависимости от формы чувствительной
решетки (см. табл. б).
Для питания и измерения показаний датчиков
используются электронная генераторно-усилитель-
ная аппаратура, а также мостовые схемы с инди-
каторами и чувствительные гальванометры с пита-
нием датчиков постоянным током; регистрация —
шлейфным или катодным осциллографом.
Мощные проволочные датчики, применяемые
без усилителей. — см, (56|.
Новый тип тензодатчиков сопротивления из
фольги — см. (57).
Измерительная аппаратура раз-
асляется в зависимости от характера изменения
деформаций во времени на следующие типы: 1) для
измерения статических деформаций; 2) для изме-
рения статических и" динамических деформаций
частотой от 0 до 1000—ПИХ) гц; 3) для измерения
динамических деформаций частотой от 10 до
50 01)0 гц. Для обеспечения измерений с большого
числа тензометров и для быстрой регистрации
показаний применяются соответствующее число
каналов измерений и автоматические или ручные
переключатели датчиков.
Проволочные тензодатчики. Основным зле-
ыеигим датчика является текаочу ветвите явная
проволока (константан, нихром и др.) диаметром
15—50 мк, располагаемая в форме петель /
(фит. б, а И табл. 6) внутри слоя клея 3 (на бу-
маге или без нее). К концам проволоки подпаяны
(приварены) тонкие выводы з. Размеры а и б
494
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ, НАПРЯЖЕНИЙ
датчика зависят от базы з, числа и ширины петель;
толщина датчика 0,1—0,4 мм (без защиты); рас-
стояние от тензочувствитсльиой проволоки до
поверхности детали 40—150 мк. Величина
омического сопротивления датчика зависит от
базы, числа петель, диаметра проволоки теизо
чувствительной решетки и выбирается в соответ-
ствии с применяемой измерительной аппаратурой.
Допускаемый разброс по тенэочуэствительиости
в одной партии изготовленных датчиков ло ±0,5%
и по сопротивлению ло ±0,1% (ограничение,
необходимое при многоточечных измерениях
г одним измерительным устройством); теизочув
ствительиость проверяется выборочной тари
ровкоА.
Коэффициент тензочувствительноети дат-
чика (сохраняется при упругой н пластической
bR
и
деформациях) *ь=---; 4/? - изменение омиче
•в
ского сопротивления латчика при деформации н
«в — относительная линейная деформация в на-
правлении базы, определяемые прн тарировке
при линейном напряженном состоянии (на балке
или растягиваемом образце) (см. стр. 499). Изме-
нение сопротивления датчика связано с изменением
длины, плошали поперечного сечения и удельного
сопротивления материала проволоки при дефор-
мации.
Поперечная тенгочувствителвноств прово
.точного датчика «влияние на показания тензометра
прн линейном напряженном состоянии деформа-
ций п направлении, перпендикулярном к базе
латчика) не более 1%; при меньшей базе датчика
величина 4, при данном R меньше из-за умень
шеиня активной части длины теизочу;стнительной
проволоки (см. табл. 6). Подробнее см. |54|.
Влияние иэмеиеиия темпера-
туры иа показания прополочных тензодатчиков
связано со следующими его характеристиками,
определяемыми иа 1°С: а) температурным ко
яффициентом электрического сопротивления —
изменением сопротивления датчика прн изменении
его температуры; б) кажущимся напряжением.
соответствующим изменению сопротивления на-
клеенного иа деталь датчика при изменении тем-
пературы латчика и летали; в) термоялектро-
движущей силой, создаваемой в соединении кон-
цов двух проводов прн различной их температуре.
Методы температурной компен-
сации: в соседние плечи моста включаются
два одинаковых датчика — рабочий и компеисацн
отитыЙ (одновременно последний может быть и
рабочим), находящиеся в одинаковых температур-
иых условиях, или в некоторых случаях теизо
чувствительная часть датчика выполняется из двух
материалов с температурными коэффициентами
противоположных знаков (например, константан н
копель).
Выполнение датчиков ала изме-
рений упругих деформаций при
комнатной температуре. Примеияе-
мые для изготовления материалы; I) тензочув-
етвителвная проволока, калиброванная голая
(или эмалированная) из константана (цри темпе-
ратурах измерения до 400° С), нихрома (при тем-
пературе до 1000° С) диаметром от 15 ло S0 мк.
Проволока из константана (ГОСТ 492-41) отжи-
гается (лучшая стабильность свойств, улучшение
условий температурной компенсации, возмож-
ность измерений до удлинений 4—6%). Режим
отжига в вакууме для константановой проволоки
диаметром 25 мк; нагрев до 650“ С в течение
2 час., выдержка I час прн 650° С, охлаждение
с печью; 2) бумага плотная писчая толщиной
ло 0,1 лиг н папиросная толщиной около 0,015 лиг;
3) клеи, твердеющие при высыхании или при по
димеризации: иеллулонлно-ацетоновый (схватыва-
ние 15 мин., твердение ~9 час.); нитроцеллюлоз-
ный быстросохнущий (состав: колаксилина 6 ч.,
канифоли 2 я., этилового спирта 40 см*. серного
эфира 60 ear"); карбинольный клей БФ2 (приме-
няется при температурах ло 100—120°) и БФ+
(при температурах до 50“): бакелитовый, кремннй-
нитроглнфталевые клеи 7* 206 (пропитывание бу-
мажной основы), М 200 (крепление к ней прово-
лочной решетки), .4 212 (закрепление концов
выводов); 4) выводы от теиэочувствительной про-
оолоки(соедкпяются с помощью оловянного припоя
на канифоли или точечной сварки) медные луже-
ные диаметром 0,1—0,4 лиг или плоские 1 Х(0,04—
0,06) мм; 5) защита датчиков от повреждений и вли-
яния воздушного потока из слоя сукна или фетра.
Способы иамотки датчиков )1). PH, (54): 1) руч-
ная намотка иа гребенку илн на стальные штифты
диаметром 0,3 мм, база тензометра 10—2.5 мм;
2) перенос решетки. намотанной вручную
(10—50 мм) илн с помощью поворотного столика
(базы 2,5—50 мм); 3) намогка на цилиндр - дву-
слойный датчик (база 2,5—10 м.*К Ненакленпаемнй
проволочный тензодатчик (свободный датчик, за-
крепляемый по концам). — см. |Н| |2Я).
Выполнение латников для изме-
рения пластических деформаций
при комнатной температуре. На-
клеиваемый датчик отличается от обычного вы-
полнением: применяются отожженный константан,
папиросная бумага, иеприклееиные выводы. Дат-
чик с упругим элементом допускает неограни-
ченно повторные измерения; см. |24|. (47). Упру-
гий элемент П-обратной формы I с проволочным
тензодатчиком } (фиг. 6, о) выполняется из стали
д высоким пределом упругости или фосфори-
стой бронзы; кольцевой — из пластмассы, фос-
фористой бронзы илн стали. Необхоли-
. 2
мая толщина упругого элемент г —— <
(2 а! \ 4*
ул'( у1 (П-образный датчик) и Sm«V —
(кольцевой датчик), где з - база проволочного
тензодатчика: а. I и <г — высота и ширина П-об-
разного элемента и диаметр кольцеяого элемента;
# в--------требуемый коэффициент преобразо-
'пласт
паиия датчика; «аатч ~ наибольшая допуска-
емая деформация в месте наклейки датчика
и 'пласт ~ наибольшая величина измеряемой
пластической деформации; ««1,0+ 1.5.
Пример. Для П-юбразного латчика при
Н m2-10* к Пев' (сталь); а«1 см; ( m 2 где;
д — 2,4 см; «аатч = 3i*>J кГ/сМ’ и диапазоне нэме
рения ±3%, величина
3000
2.10» 1
‘ = ода “ к '
необходимая толщина упругого злемеита
(0,67-f-1Д) “ 0Д7 глг.
ТЕНЗОМЕТРИРОВАНИЕ
495
Датчики л л я измерения д е ф о р
маний при повышенных темпера
турах должны при пояышеииой температуре
обеспечивать: а) прочную связь тсюочувствитель-
ной проволоки с поверхностью исследуемой
летали; 0) сохранение необходимой изоляции
(несколько мегомов) проволоки от детали;
в) исключение влияния изменений температуры
на омическое сопротивление приволоки; г) защиту
проволоки от коррозии прн длительных испыта-
ниях. При температуре до 200“ С применяются
датчики с решеткой из отожженного константана,
выполненные на бакелите; для высокой темпера-
туры до 900“ С — из нихромовой проволоки. Концы
теизочувствительной проволоки привариваются к
выводам из нихрома диаметром 0,2—ОД мм или
(при длинной проводке) из внкеля.
Способы выполнения датчиков
для измерений при высоких температурах: 1) не-
защищенная тепэочувствнтелънэя решетка; 2) тен
эочувегвнтельная решетка в тонком жаропрочном
слое; 3) тснэочувствительная решетка, смонтиро
ванная на изолирующем слое, скрепленном с по
верхностьюдетали. Закрепление датчика иа поверх-
ности детали — термостойкой обмазкой или эмалью
(применяется смесь высокомодульного жидкого
стекла с тальком или окисью алюминия),
наносимыми послойно и высушиваемыми при
постепенном повышении температуры. В рабочий
датчик для статического тен.зометрнрования вклю-
чаются элементы, компенсирующие влияние из-
менения температуры, или регистрируется темпе-
ратура датчика для внесения поправок.
Наклейка тензометров на ле-
тали. Применяются клеи: при нормальной тем-
пературе - цедаулоидко-ацетоиовый (сохнущий
без прижатия к детали), карбинольный, БФ-1 (по-
лимеризующиеся, с прижатием); при температуре
до 250“ С — бакелитовый (полимеричуюи|иися.
с прижатием): при необходимости зашиты от вла-
ги — клей ГМН-100.
Принимаемое число компенсационных датчи-
ков зависит от величины разброса в сопротивле-
нии датчиков и от изменений температуры при
испытании. Число прово лов к измерн1елыюму
устройству от датчиков зависит от схемы питании
и числа компенсационных датчиков.
Способы выполнения проводки
между датчиками н измерительной аппаратурой:
а) прокладка медного провода диаметром
0,15— 1Л мм и изоляции хлорвиниловой, эмаль
с шелком, стекловолокно; б) многожильные
жгуты (иа 20—4) датчиков) с концами для под
пайки или с разъемами для соединения; в) дау
жильные прополз с ртутными контакторами;
г| прокладка высокочастотного и экранированного
провода (прн динамических измерениях при вы
сокой частоте питания и для помехоустойчивости).
Способы защиты датчиков и со-
единений от влаги: а) заливка слоем
10—20 м я прогретой при 150“ С в течение 20 мни.
смеси: 8*|0 воска, 32>Д парафина. 15°/0 техниче-
ского вазелина, ЗД“|0 канифоли, 10*,U машинного
масла (по несу); б) покрытие влагостойким лаком
или резиной 2 мм на клее Л) 8Й; в) запайка, за-
парка нли заклейка фольгой (датчика с выводами,
до его установки или после установки на детали).
Схемы аппаратуры дли измерения дина-
мических деформаций проволочными тензо-
датчиками. Применяются:
а) Потенциометрическая схема включения
датчика (фнг. 7, а) для измерения деформаций
частотой от 10 до 50 000 гц. Датчик / питается
постоянным током. На выходе широкополосного
усилителя 2 — шлейф J осциллографа или катод-
ный осциллограф (для регистрируемых частот бо-
лее 5000 гц). Схема не допускает применения ком-
пенсаииоииого датчика.
б) Схема с усилителем постоянного тока
(фиг. 7, б) для измерения статических и динами-
ческих деформаций. Датчик / входит в мост, пи-
таемый постоянным током; выход моста питает
усилитель 2 постоянного тока. На выходе усили-
теля — шлейф! J осциллографа. Недостаток — не-
стабильность, присущая усилителям постоянного
тока.
в) Схема на несущей частоте (фиг. 7, а)
для измерения статических и динамических де-
формаций. Напряжение несущей частоты, посту-
пающее от генератора, модулируется по ам-
плитуде при деформации датчика I и поступает
и узкополосный усилнгель 2 переменного тока.
После усиления несущая частота выпрямляется
выпрямителем J и через фильтр 4 питает шлейф б
осциллографа. Несущая частота должна быть в
5—10 раз больше частоты измеряемой деформа-
ции. Схема на несущей частоте является наиболее
простой и устойчивой дли измерения стато-дина-
мических деформаций.
г) Схема с модуляторов постоянного тока
(фиг. 7, а). Снимаемое с моста постоянного тока,
в который входит датчик /, напряжение преобра-
зуется с помощью вибрационного преобразова-
теля, питаемого пульсирующим током, или меха-
нического прерывателя с эксцентриком 2, приво-
димого в движение мотором. Усилитель—перемен-
ного тока. Частота вибропреобразователя должна
быть в 5—10 раз больше частоты измеряемой
деформации. На фиг. 7, г показана форма волны
сигнала, передаваемого в различных местах изме-
рительного устройства: выпрямление тока может
производиться тем же вибрационным преобразо-
вателем.
Описание электронных схем си.
RL [41. |П|, (14]. (24], р6|, |2Ш, (:»], (43], |43|, («>].
Образцы аппаратуры. Гр е х к а н а л ь мая
установка 11ЭТ-3-В (ЦНИИТМАШ) |47|
предназначена для измерения статических и ди-
намических дефирм о ии А с применением прово
лочных тензодатчиков.
496 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ. НАПРЯЖЕНИЯ
Основные характеристики: сопротивление
проволочных гензолотчкков 100—400 он: диапа-
зон измерения относительных деформаций от
i 0,С4 до £ 0,4%; несущая частота 7000 гц; диа-
пазон регистрируемых частот от 0 до 800 гц; ре-
гистрация осциллографом со шлейфом типа IT.
Питание от сети через стабилизированный выпря-
митель СТВ-.ЮО ЦНИИТМАШ и феррорезонанс-
ный стабилизатор.
Трехкаиальиая установка УД-3
(Институт машниоведення АН СССР) (М| пред-
назначена для многоточечной регистрации стати-
ческих и динамических деформаций в деталях
работающих машин, в частности в условиях маг-
нитных и влектрических полей. Выносной балан-
сировочный пульт позволяет подключать вруч-
ную или автоматически при регистрации пооче-
редно до семи датчиков на каждый какал и мас-
штабные импульсы.
Основные характеристики: сопротивление
проволочных тензодатчиков 50—200 ом. диа-
пазоны измерения относительных деформаций
£ 0JJ2; ± 0,06 и ±0,2°|„; диапазон регистрируе-
мых частот от 0 до 1500 гц; регистрация осцилло-
графом со шлейфом типа 1Т. Питание от сети
через стандартный выпрямитель с влектроннпй
стабилизацией типа ВУС-l. Отклонение амплитуд-
ной характеристики от прямой и неравномерность
частотной характеристики ±Э"(в в диапазоне изме-
рения. Схема входа позволяет включать элсктри
четкий фильтр для снижения влияния паразитных
наводок.
Питание датчиков и подача опорного на-
пряжения осуществляется с помощью катодных
повторителей, сетки которых получают напряже-
ние несущей частоты 12 000 гц от общего Генера-
тора.
Катодно-о с ц и л л о г а ф и ч е с к а я двух-
канальная установка для регистра-
ции динамических и ударных де-
формаций (Институт машннштелення АН
СССР) |.М]. Включение проволочного тензодатчика
по потсицнометрической схеме; усилитель перемен
ного тока. Регистрация ведется фото: рафнрова
ннем с «крана катодной трубки путем меха-
нической развертки иа пленку на вращающемся
барабане или электрической развертки на не-
подвижную пленку; пленка шириной 35 мм. чув-
ствительность — 6000. Синхронизация вклю-
чения частей аппаратуры с регистрируемым про
цессом осуществляется от одного каиала сигналом
от датчика деформаций нли внешним синхронизм
пующнм устройством с замыкающими контактами.
Установка состоит из: 1) катодио-оецнллш рафнче
ской части с генераторами и усилителями на два
канала, с катодной трубкой, ждущей разверткой и
фотопрнставкой с объективом и кассетой на 36 ка-
дров и приспособлением для визуального наблю-
дения; 2) устройства для питания со стабилиза-
тором и выпрямителем; 3) механической развертки
с вращающимся барабаном, отметчиком времени,
фотографической частью и синхронизатором. Ос
«опиые характеристики: сопротивление прово-
лочных тензодатчиков от 50 до 200 олт; плавное
изменение диапазонов измеряемых относительных
деформаций от ±0.06 до ±0.5%»; Диапазон реги-
стрируемых частот от IV до оОООО гц; скорости
ждущей развертки от 50 мксек до 0,1 мсек иа
120-.ИЖ якране катодной трубки; скорость вра
шепни барабана or I до 10 Mice к прн длине
пленки I лг; отклонение амплитудной характери-
стики от прямой и неравномерность частотной
характеристики не превосходят £ 3% в диапазоне
измерения; питание от сети.
Катодно-осциллографическая уста-
новка НИИ-58 для регистрации деформаций
при соударении деталей см. |49|.
Токосъемные устройства для измерений иа
вращающихся деталях должны обеспечивать по-
стоянство контактных сопротивлений и отсутствие
а. д. с., создаваемых контактом. Гнпы токосъем-
ных устройств — контактные (щетки и кольцо
или диск, контакт через ртуть) и бесконтактные
(через магнитную цепьк Допускаемая величина
изменения сопротивления переходных контактов
определяется: 1) величиной допускаемой погреш-
ности измерений. 2) типом датчиков, их сопроти-
влением н схемой соединения; 3) измерительной
схемой. Рекомендуется для уменьшения влияния
коитакта: а) иметь малую скорость скольжения
шаток по кольцам путем уменьшения диаметра
колец (токосъемное устройство на торце детали);
б) измерительный мост размещать полностью на
вращающейся летали; в) повышать общее сопро-
тивление лапиков. устанавливаемых иа вращаю-
щейся детали; при питании лапиков перемен-
ным током приме
некие помещаемых
на вращающейся ле-
тали понижающих
трансформаторов в
цепи питания дат-
чиков и повышаю-
щих — в цепи токов,
идущих от датчи-
ков (согласование
с сопротивлением
входа регистрирую-
щей части дости-
гается трансформа-
тором, устанавли-
ваемым после токо-
съемника); г) подключать балластное сопротивле-
ние последовательно с источником питания, на-
пряжение которого соответственно увеличивается.
Например, при сопротивлениях датчиков 120 ом.
образующих плечи моста (фиг. 8), при балластном
сопротивлении /? •• I5UO ом напряжение питания
7 а сохраняется прн U — 110 я, ио снижается на
85"|О величина помех, получаемых при отсутствии
балластного сопротивления.
Применяемые материалы для контактных пар:
1) кольца нз иержаяеющей стали или бронзы;
щетки серебряно-графитовые или в виде пакета
из лагунных полос (сетчатый контакт); 2) сереб-
ряные кольца с серебряно-графктовыми щетками
(доступен конец вала); 3) медные кольца и мелко-
графитовые щетки.
Регистрирующие (и показывающие) при-
боры при работе с электрической Кондра-
ту рой для измерения деформация и переме-
щений. Условия выбора показываю-
щих или регистрирующих при-
боров: 1) требуется регистрация или до-
статочно визуальное наблюдение; 2) частота из-
меряемого процесса; 3) потребляемая при реги-
страции или отсчетах ялектрнчсская энергия;
4) требуемая точность измерения и длительность
записи (табл. 4).
Типы гальванометров: а) бифилярный
с подвижной системой а виде металлической тон-
кой ленты и с зеркальцем (шлейф); 2) катушек-
ный с подвижным элементом в виде катушки ма
упругой подвеске и с зеркальцем; последний тип
отличается высокой чувствительностью при мень-
шей собственной частоте.
Выбор гальванометра пронзвоаится
исходя из наибольшей частоты регистрируемого
процесса (наибольшей частоты гармоники, слага-
ющей процесс), по частоте собственных колебаний
гальванометра п воздухе (в мезадемпфкрован-
иом состоянии) и степени его демпфирования.
Прн обычной величине коэффициента аемпфирова
ия я—О,5-»-О,7 амплитудные и фазовые искаже-
ния отсутствуют, если частота процесса (слагаю-
щей гармоники) на превосходит •(,—>|, собственной
частоты гальванометра (при отсутствии демпфи-
рования). Амплитудные искажения (отдельные
участки записи с разным наклоном регистрируются
в различном масштабе! характеризуются отиоше-
ТЕНЗОМЕТРИРОВАНИЕ
497
Таблица 4
Диапазоны измеряемых или регистрируемых частот различными типами электрических
прибором
(при измерении деформаций и перемещений)
Тип прибора Частота в гц Тип прибора Частота и гц
Стрелочный прибор для отсче- тов Потенциометр Пишущий чсрииламн прибор Осциллограф с непосредствен- ной записью чернилами: а) усилитель постоянного тока , . . б) усилитель переменно- го тока До 0,3 1,0 . 0,1->-0,8 . 0Д->-2 До 100 От 2 до 100 Магнито-электрический осцил- лограф: а) гальванометры кату- шечные ... б) гальванометры бифи- лирные (шлейфы) . . Катодный осциллограф: а) с усилителем постоян- ного напряжения б) с усилителем перемен- ного напряжения . . До 20-300 До 300-6000 Не ограничена От 2 и выше
Таблица S
Характеристики гальванометров
а) Шлейфы осциллографа МПО-2
Класс Собственная частота (не залемпфнро- вапного) Чувствительность в мм!ма Сопротивлв- ние 1» ом • Наибольшая допускаемая амплитуда в ма Наибольшее отклонение иа тиране в одну сторону м мм
на пленке на экране
1 5 (ИХ) 0,15 0.5 1.4 100 60
II 10 000 0,03 0,12 1.4 150 18
IV 3 000 0.88 3.5 6.0 10 70
V 2000 2.8 11.0 6.0 6 «6
б) Шлейфы осциллографа Симе и с-ХЭТИ
Класс Собственная часто га (не залсипфнро- ванного) Чувствитель- ность в мм)ма (оп- тический рычаг 100 си) Сопротивле- ние в ом Наибольший допускаемый ток в ма Размер зеркала в мм
1Т Б 503 0,66 1.4 100 1 Х0.5
п 10(00 0.18 1.0 200 0,8 X 0.05
зт 2 500 0.46 1,2 100 1 X *.5 (для пелей демпфн-
4Т 3 000 3.4 3,5 20 рования) 0.8 X 0,5
6Т 2 000 9.2 3.8 6 0.8 X 0.5
6Т 500 0.8 1.2 120 2,5 X 3 (для иелей демпфн
рования)
П 20 000 0.046 1.4 220 0,5 Х>
8Т 1 ооо 34 Ю 1«5 0,8 X 0,5
а) Кату щечные гальванометры з а в о д а .Г в о ф и а и к я*
Тип гальвано- метра Собственная частота гц Чувствительность по току в мм)ма Сопротивление в ом Внешнее критиче- ское сопротивление в ом
1 403 6-10-0 56 60
11 200 1-10-0 56 200
ш 130 5-10-7 56 330
IV 70 1-10-7 44.5 300
V 26 2-Ю-8 36 1000
32 Том 3
498
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ. НАПРЯЖЕНИЙ
нием чуоствнтельностей гальванометра прн пере-
менном и постоянном токе
:
У(1 - ,«)• + 4лЧ»
фазовые искажения (отдельные участки записи
с разным наклоном относительно сдвигаются по
оси времени) характеризуются углом сдвига фаз
> . 2лч
Здесь ® -----отношение частот регистрируя
мо* гармоники и собственных колебаний гальва-
нометра (незалемпфнрованного); л — коэффициент
демпфирования.
Характеристики гальванометров см. табл. б.
Применяемые шлейфовыеосиил-
л о г р а ф ы: I) at ПО-2 (завода 351), переносный,
8 шлейфов; 2) типа Сименс-ХЭТИ. стационар-
ный, 9 или б шлейфов; 3) типа Сименс, пере-
носный, 3 шлейфа; 4) завода .Геофизика', пере-
носный, 24 шлейфа, катушечного типа (может
быть использован для работы с проволочными
тензодатчиками без усилителей).
Характеристики стандартных катодных
осциллографов для лабораторных работ
см. |46].
Католно-осии.влограрическае установки для
регистрации деформаций с помощью проволоч-
ных тензодатчиков сопротивления см. стр. 496.
Способы определения относительной деформа-
ции ig на поверхности тарнровочной балки: а) по
нагрузке Р (через 1 или 5 жг),
«Ра .
EbJP <0,имб1“’
из-за погрешности в определении Е); б) замер
тарированным тензометром; в) по прогибу / на
Ьызй —
конце, /. Для наклеиваемого тензодат-
чика коэффициент тензочувствнтельности fe =
ДР
ы
= —— (Л/t — изменение сопротивления R тарируе-
мого датчика, определяемое с погрешностью
0,001 ом). Указанные на фиг. 9. а размеры дают
пример выполнения тарировочной балки.
2. Калибратор с микрометриче-
ским винтом для статической тарировки тен-
зометров с ножевыми опорами. В тензокал ибра-
.торе п. Н. Аистова цена деления 0,1 мк; в тен-
эокалибраторе В. С. Вольфсона (ЦАГИ) переме-
щения отсчитываются по головке оптиметра до
0.1 мк.
3. Динамический калибратор в
виде консольной балки (фиг. 9, б) для
динамической тарировки наклеиваемых тензоме-
тров. Профиль эксцентрика I подбирается таким,
чтобы обеспечить гармонический закон перемеще-
ния конца консоли 2 с датчиком 3. Отрыв балк»
от эксцентрика при числе оборотов л > 1440X
— 1, где f — прогиб при среднем
Тарировка и проверка
аппаратуры
1. Тарировочная балка, консоль-
ная или иа двух опорах равного сопро-
тивления или постоянного сечення для статической
тарировки тензометров с наклеиваемыми датчиками
и тензометров с ножевыми опорами при относи
тельной линейной деформации до 0Л*/«- Балха
(фиг. 9, л) выполняется из материала с высоким
пределом пропорциональности (хромаисиль, пру-
жинная сталь); отклонения по высоте Л до ±0,У/о.
положении эксцентрика; /о — амплитуда колеба-
ния; А — высота сечения белки. Прн а = 0,31 обес-
печивается гармонический закон изменения де-
формаций, регистрируемых с помощью тензодат-
чика
Vtp +/• "|П
4. Динамический калибратор с
механическим приводом (вибро-
ст о л) для динамической тарировки тензометров
с ножевыми опорами (и внбродатчикоа). Характе-
ристика калибратора и контроль получаю,ся фо
тооапнсью движения платформы нли измерения
амплитуды колебаиия с помощью микроскопа.
Предельная частота 200 гц; наименьшая ампли-
туда 2 мк. См. 151).
5. Динамический калибратор »
виде балки с магнитным возбуди
телем для тарировки наклеиваемых тенэоме
трои. Датчик закрепляется иа балке, вибрации
которой возбуждается симметрично одним (камер-
тон) или двумя (балка) электромагнитами. Частота
колебаний меняется с помощью масс (колебания
иа резонансе), амплитуда — количеством энергии,
подводимой к катушкам; частота до 1000 гц и пр»
пьезоэлектрическом возбудителе до 20 000 гц (при
малой амплитуде). См. (II) н |51|.
б. Проверка влектрнчесхого из-
мерительного устройства, когда дат-
чик установлен на объекте испытания. Воспроиз-
водится изменение параметра измерительной
схемы, соответствующее определенному значению
измеряемой механической величины. В схему яме
сто рабочего датчика или параллельно с ним вилку
чают эталонное сопротивление, емкость, индук-
тивность или отдельный датчик, установленный
на тарировочиом устройстве или с изменяемым
параметром.
ТЕНЗОМЕТРИРОВАНИЕ
499
Применение тензометрнрования
Определение напряжений и дефор-
маций в отдельных местах детали.
Датчики при измерении динамических
деформаций устанавливаются в зонах
наибольших напряжений или в соседних
с ними. Связь между показаниями тен-
зометра и величинами напряжений
может устанавливаться дополнительно
путем расчета или экспериментального
исследования распределения напряжений
при статической нагрузке. База тензо-
метра выбирается по направлению наи-
большей деформации, определяемому
из условия симметрии детали, по дан-
ным исследования распределения на-
пряжений прн статической нагрузке или
с помощью тензочувствительного покры-
тия (см. стр. 515).
Среднее на участке базы наибольшее
нормальное напряжение
Здесь «^"—деформация, замеренная
тензометром в направлении главной
деформации »f, Е и р — модуль про-
дольной упругости и коэффициент
Пуассона материала детали; —
отношение деформаций (средних на
длине базы тензометра) в направлениях
перпендикулярном и вдоль базы тензо-
метра. устанавливаемое приближенно
тензометрнровапием прн статической
нагрузке или другими методами. Если
на длине базы величина напряжений
различна, то наибольшее напряжение на
участке базы
_ _ „яксп а1 лп
__ я1, сред
0| л
где =—------отношение наибольшего
*1, сред
напряжения, получающегося в одной из
точек базы, к среднему на длине базы,
определяемое путем исследования рас-
пределения напряжений (напримео, по-
ляризационно-оптическим методом).
Определение напряжений во внутрен-
них слоях детали тензометрированием
с одной стороны наружной ее поверх-
ности (например, для закрытых сосудов)
может быть сделано, если известен
закон распределения деформаций по
толщине детали. При линейном законе
распределения деформаций по толщине
32*
удлинение Ду волокна АВ на глубине у
от поверхности (фиг. 10)
л (5)
' а '
где Д и Дл — увеличение расстояния
между точками / и 2 на поверхности
детали и на подставках высотой а.
Фиг. ю.
Изучение распределения напряже-
ния. Обычно применяется статическая
нагрузка, соответствующая типичным
условиям при работе машины и осуще-
ствляемая в лаборатории с помощью
нагрузочных приспособлений или испы-
тательных машин. Для измерения напря-
жений с помощью тензометров приме-
няются детали или их модели (при дефор-
мациях в пределах упругости). Модель
выполняется по форме детали с соблю-
дением масштаба подобия (см. табл. 15).
Материал модели — пластмасса или лег-
кие сплавы, обеспечивающие соблюдение
пропорциональности между нагрузкой н
деформацией. Наиболее удобно приме-
нение пластмасс (блочные оргстекло или
неолейкорит — для машинных деталей н
узлов, листовое оргстекло — для тонко-
стенных узлов и конструкций): а) бла-
годаря малой величине модуля продоль-
ной упругости нагрузки модели малы и
деформации значительны, что суще-
ственно облегчает эксперимент; б) облег-
чаются требования к изоляции датчиков
и проводки к ним.
Расположение и число дат-
чиков при изучении распределения
напряжений устанавливается в зависи-
мости от задачи: а) места детали, под-
лежащие исследованию, и направления
главных напряжений заранее известны
(ослабленное сечение, места поломок);
б) места установки тензометров и на-
правления главных напряжений неиз-
вестны. В последнем случае наиболее на-
пряженные зоны детали и направления
главных напряжений в них выявляются
500
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ. НАПРЯЖЕНИЙ
Таблица в
Типы наклеиваемых проволочных датчиков
Обозначения: а и •' — линейная относительная деформация вдоль базы и соответственно в на-
правлении, перпендикулярном к ней, г — база тензометра; Л — тенэочувстеительность проволоки датчика;
(£).
К = ---тензочувстаительпость датчика; *' = *„ ср. — продольная тенэочувствнтельность дат-
Ь - ДР
чика (прн «' -0); г— * — поперечная тевзочу ветвите л ьпость датчика (прн • — 0); — относ и-
н- "
тельное изменение сопротивления датчика; Е, О н р — для тарированного образна (для детали)
Тип и назначение датчика
• 1. Простой датчик, обычно применяе-
мый тии. Различаются по способу
намотки: а — круговые петли (обыч-
ный тяп); б — острые петли; в —
спиральная намотка, датчик в два
слоя (для малых баз)
2. Розетка из двух взаимно перпенди-
кулярных датчиковДля опреде-
ления плоского напряженного состоя-
ния при известных главных напра-
влениях
Зависимость показаний датчика от измеряемой величины *
ДО
-тт- - *'« (приближенно);
¥“*'(,+^ •')<точно)
(обычно -р- < 0,06 j .
Зависимости между б. Л' нс определзются расположением
проволоки в датчике:
I. Для о влемента (фиг. г)
—40+^) *•
2 Для Л мемеита (фиг. ф
3. Для датчика типа в с л прямыми участками и отноше-
ниями т], и ту, шага намотки и соответственно обшей дли-
ны тенэочувегвительных частей выводов к длине прямого
участка решетки
ьгв — О 'Лх ~4~ 4т), 4~ .
2* (Л—>> 3J, 4-.Ц 4- -ял
н(л-»ГЧ,
2к (л— 1)+ 4»л 4- 4л ’
4. Для датчика типа > с углом а между участками
*Г.2±«-1А;
Для КАЖДОГО ОТЛСДЬНОГО ДЯТЧХКЯ
др
7Г-*' а (приближенно),
мг
где — для датчика, и направлении базы которого опре-
деляется деформация а.
* Прн измерениях численная зависимость устанавливается путем тарировки. Составление при
водимых в п. I зависимостей — см. |М].
м Может быть составлена из простых датчиков, наклеиваемых рядом по тем же направлениям.
ТЕНЗОМЕТРИРОВД НИЕ
501
Продолжение табл, б
Тип и назначение датчика
Зависимость показаний датчика от измеряемой величины '*
3. Розетка из трек одинаковых датчи-
ков ** а — углы П 60, 120“ (равно-
угольная розетка), б — углы 0, 45,
90“ (прямоугольная розетка). Для
определения плоского напряженного
состояния, если главные направле-
ния неизвестны
Для каждого отдельного датчика
Д₽ ... .
— А’ а (приближенно),
где — — для датчика, в направлении базы которого опре-
деляется деформация.
С учетом поперечной теизочуоствнтельпостн (точно):
для равноугольной розетки
4. Розетка из четырех одинаковых
датчиков «• а — углы О, во, 90, 120“
Й1»-Оельта розетка)-, б—углы О, 45.
, 135’ (есерноя розетка). Для оп-
ределения плоскою напряженного
состояния, если главные направле-
нна неизвестны; четвертый датчик -
для проверки или повышения точ-
ности измерений
Для каждого отдельного датчика
др
— ц> а (приближенно).
др
где —для датчика, в направлении базы которого опре-
деляется деформация «.
С учетом поперечной теизочувстпительности (точно):
для тэ-дельта розетки
для веерной розетки
* При измерениях численная зависимость устанавливается путем тарировки.
** Может быть составлена из простых тензодатчиков, наклеиваемых рядом по геи же на-
правлениям.
502
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ, НАПРЯЖЕНИЙ
Тип и назначение латника
5. Датчик нормального напряжения.
Угол я в датчике типа а берется из
условия
Л 1 ~~ Р
СО» 2п — ,
I + И
где р — кояффициент Пуассона ма-
териала летали. Для измерений на
стальной детали а — 28“
6. Датчик касательного напряжения ти
(в направлении биссектрисы между
осями X и У) или датчик разности
(е, — «„). Оси X и Кв направлении
тензочувствитсль-
Продолжение табл, б
Зависимость показаний датчика от измеряемой величины *
Приращение показаний по тензометру лает величину нор-
мального напряжения я а направлении базы независимо
от соотношения компонентов напряжений и точке измере-
ния:
• 'сред 1 А/?
Е “ I -р _л7' ~R"<
*cptd — 1сФ°Рн|,иня в направлении прямых участков вит-
ков латинка типа а, соответствующая показанию прибора.
Выводы 2 и 3 соединяются; 1 н 4 — выводы датчика на-
пряжения
Выводами / и 2 датчик включается в одно плечо измери-
тельного моста и выводами 3 и 4 — в соседнее:
А/?
прямых участков
ной решетки
ву — разность нормальных напряжений в направле-
ниях X и У
7. Датчик суммы («^ + «у). Правило
построения: влементы теиэочувстви-
тельной решетки составляют (с их па-
раллельным переносом) две фигуры,
совпадающие при повороте одной
из них в плоскости датчика на 90°
* См. сноску на стр. 501
Концы 2 и 3 (см. фигуру для датчика типа 6) соединяются;
выводами датчика являются концы / и <:
А/?
с помощью лаковых покрытий или же
на поверхности исследуемой детали (или
ее модели) намечается достаточно густая
сетка и напряжения находятся по узлам
сетки; центр узла принимается за сере-
дину базы тензометра.
На ненагруженной поверхности дета-
ли в точке, в которой должны быть
определены напряжения, устанавли-
вается: а) один тензометр, если извест-
ны направления главных деформаций tj и
«2 (по краю детали, плоскость симметрии,
в направлении трещин в покрытии) и их
соотношение ( например, для линейного
' «я \
напряженного состояния —з-—-р.1;
б) два тензометра, если известно напра-
вление главныхдеформаций и неизвестны
их величины и соотношение; в) три тен-
зометра (розетка) — в общем случае
напряженного состояния в точке на
свободной поверхности детали. Дефор-
мация 1Лксп в направлении базы с тремя
неизвестными величинамиглавныхдефор-
маций I] и <2н углом'фо между направле-
ниями taKcn и tj связана зависимостью
гксп _ «1+Ч + ‘гр cos (6)
Подсчет главных деформа-
ций и их направлений незаве-
ренный линейным деформациям
в направлении баз тензометров — см.
табл. 7 (для случая, когда поперечная
тензочувствительность мала и не учиты-
вается).
ТЕНЗОМЕТРИРОВАНИЕ
503
Таблица 7
Определение главных деформаций t. и ц по замеренным относительным деформациям
вдоль базы тензометра
Тип напряженного состояния и расположение тек iOMeipOH Относитель- ные деформа- ции, измеряе- мые тензо- метром Определение at и главных направлений
Расчетные формулы Построение круга деформаций
Тензометры установлены по известным направлениям главных деформации
1. Линейное на пряженное со стояние (и иа правлении «,)
в 0 с J7
'4 о |" II । п £
«е С/ §аза
'тензо^с^ра -Mio
1. Линейное на- пряженное со- стояние (в на- пранлении »J Е'1 <j|l ‘1 Ез «о — — *" • 1 И * а, — «м <9 Vl \ ° г \ д
Г и 1
3. Линейное на пряженное со стояние (в иа правлении а,) ч 2 .К \ * , ^0 А
<г (1 — p) + (l -f-р)соа2р‘f «,= -ра, -г-Л <Z=E/ 1
1. Плоское напря- женное состоя- ние или плоская деформация 4- * а, «^(или »еп); •< = •*, (или = «J 9 С \2>
£о «
5. П Ж4 ИМ де лоское напря- жное состоя- е илн плоская формация икА *?• *Ф< + "аз , ’ф, ~ *Pi #Г 0 Г ' я
**« а 2 Х а СО« ф| *v£’’ 7
\
504
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ, НАПРЯЖЕНИИ
тжу ш2,« - (*+W;
Со-----
Продолжение табл. 7
Тип напряженного СОСТОЯНИЯ н Относитель- ные деформа- ции, измеряв мые тензо- метром Определение е„ а- и глапиых направлений
расположение тензометров Расчетные формулы Построение круга деформаций
Главные направления неизвестны
6. Плоское напря-
женное состоя-
ние или плоская
деформация. Уг-
лы между осью X
и осями тензо-
метров: 0, 45,
90" (прямоуголь-
ная розетка)
!
1. Плоское напря-
женное состоя-
ние или плоская
деформация. Уг-
лы между осьюХ
и осями тензо-
метров: 0, К),
12" (равноуголь-
ная розетка)
ЗУ
8. Плгское иапря-
жекное состоя-
ние ИЛИ НЛОСИЯЯ
деформация. Уг-
лы между осьюХ
к осями тензо-
метров: 0, + 9,
Л
tg 2яРи =
•1,2 =
± V4-(ч--««.)’=£±и;
К — радиус круга деформации
•1,2 - -51*+ «•+•«) t
*1.2
. -у ~ ?
1 5 tin 2р Bln 2*,
^2
— 2|0 СО! 2ф
2 (1 — сот Лв) ••
-4±Я.
Н - радиус круга деформации
Г~'«*
.-Л- (•» — •.»)
tg ’*
И
В С, г
ТЕНЗОМЕТРИРОВАНИЕ
505
Продолжение табл. 7
Тип напряженного
состояния и
расположения
тензометров
Опрелслснне а,, ч и главных направлений
Расчетные формулы
Построение круга
деформаций
9. Плоское напря-
женное состоя-
ние или плоская
деформация. Уг-
лы между осмо X
и осями тензо-
метров: ра, <ай,
’с
(ад - сов 2фг - (,а - .f) со, 4- (,f - а»)
(*а-*с)*1пЧ- + ('о-,й)*1па’»
•а »Ш *га + *а *Ш 4- ас ЧП 2pf
l’S “ alii Jpa + Bln 2р# + Bln 2pf *
, V2 1/ГСа-<»)РО-Са-г)со<|2%1+(,1)-г)|,1>-(,0-?)с°*а>»Н(,е-а)1*с-Сг-,0)со>-^)
а1п2»а + »1п -f-sln 2yff
Определение главных напряжений по главным удлинениям я, и •> (или аа) производится по фор-
мулам (7).
Пояснения к геометрическо му
решению, приведенному в табл. 7.
П. 1: 1) от начала О по оси • откладываются в вы-
бранном масштабе величины ч (точка А) и — нч
(точка В); 2) проводится окружность с центром
n С (середина отрезка АВ); н. 2: 1) от О по осн в
откладываются —и вав, 2) проводится окруж-
ность с центром в С (середина отрезка АВ); я. 3:
1) от О по оси • откладывается произвольный от-
резок L и отрезок — р.1; 2) проводится окруж-
ность с центром в С и радиус CD под углом 2д„;
величина определяет масштаб отрезка L; п. 4:
от О по оси а откладываются величины ч и аю;
2) проводится окружность с центром в С (середина
отрезка АВ); п. » 1) от О по оси откладываются
величины aVi и аф1 и находится точка С в сере-
дине отрезка D.Dp 2) о D, (нли dJ) восста-
вляется перпендикуляр до пересечения a D с ра-
диусом, проведенным пол углом 2у, к оси а;3) про-
водится через D окружность е центром в С; п. в:
от точки О по оси а откладываются величины L-
“ - ч *” и ч. • ПО оси J величина аа1 — L; 2) че-
рез точку D проводится окружность с центром
в С; о. Т. I) от точки О по осн а откладываются
величины L — ** **** , ч и (ч + «да — а,,,);
3
2) в точке Е проводится прямая пол углом 30е
к оси а до пересечения в D с перпендикуляром
к оси а в точке О,; 3) через D проводится окруж-
ность с центром а С; л. & 1) от точки О по осн в
•. 4- «Ф + «—у
откладываются величины а^ ---------~'*—f
и ч; 2) в Е, восставляется перпендикуляр к осн а
до пересечения в £ с прямой, проведенной пол
углом 30” к осн в! 3) из Е проводится прямая, па-
раллельная осн в, до пересечения в D с перпенди-
куляром в точке D, к оси в; 4> через D прово-
дится окружность с центром в С; п. 9: 1) проводятся
вертикали иа расстояниях ац. aft и от вертикаль-
ной линии, принимаемой за ось , и строится тре-
угольник с углами fa, и показанный пунк-
тиром (вершины с углами ра и лежат на одной
горизонтали и соответственно на вертикалях,
проведенных на расстояниях ад и а^); 2) из вер-
шины С восставляется перпендикуляр к сто-
роне С, А до пересечения с вертикалью, провезен-
ной на расстоянии >с от оси | .в в линии АС
проводятся прямые пол углом и уа (пересе-
кутся на вертикали aft); 3) через вершины полу-
ченного треугольника А8С проводится круг и
через его центр — ось в.
У чет поперечной тензочув-
ствительности проволочных дат-
чиков и специальные проволочные дат-
чики. дающие требуемое сочетание
компонентов деформаций, см. табл. 6.
Выравнивание случайных
ошибок при определении напряжений
путем установки дополнительного тензо-
метра в исследуемой течке см. табл. 8.
506
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ. НАПРЯЖЕНИИ
Таблица в
Вырапинаанме случайных ошибок
«ри определении напряженного состояния в рассматриваемой точке применением дополнительного
тензометра. Для исправленных значений главных деформаций а, и •> н главных направлений т>„ средние
ошибки обозначены т],,. и т,^.
Условия: 1) ошибки направления отсутствуют: 2) для разных направлений измерения относительных
деформаций получается одинаковая средняя ошибка т|; 3) минимум суммы квадратов поправок
оо Гауссу)
Рассматривае- мый случай Расположение тензометрии Опюскгыьные деформации, измеренные тензометрами Расчетные формулы для исправленных значений
Направления главных деформаций известны )С» * 6 3 “ 6 Ч — 5 *• + 3 *« + 6 *»>• Ч,, — Чэ, = °’91 Ч
о. Чо, «.». «-45 3 Ч + *U — «и + •—45 Яд- - , - •» + •« + 3 % + е_45 «.= < 1 Ча1 = Чв, = °*®,Ч
Направления главных леформаанй неизвестны • Ч Ч» ‘-«0 . . з/Г («-во - •»> 2 ’ 5я» - «_«)“ 4>-3а» ’ •1.2- 9 (Ч.4-_<юН lg (74+ 34J ± $|п ! Г и 2 К ч - ч у -jg- ± у <со» - с®«’ г*»» ; ’’л-ЗсДя.) гА+ “•«*’
Средине ошибки т|(| и переносятся на главные напряжения о, и о«: Е /~ 2 2 / 2 2 Ч “ Ч - у ч + иЧа, Х “ i _ у х + ^Ча,’ Е—модуль продольной упругости и |д—коэффициент Пуассона материала текэометряруемой детали.
Определение главных на-
пряжений <tj и ог по замерен-
ным главным деформациям я(
и аг при деформациях в пределах упру-
гости, однородном и изотропном мате-
риале производится одним из следующих
способов: а) подсчетом по формулам
£
’1 - J-Z7J3 <»1 + На);
Е
-(-^-{3(4+нч). (7)
где Е и р — модуль продольной упру-
гости и коэффициент Пуассона материала
детали, на которой ведется измерение;
б) по кругу деформаций одним из сле-
дующих способов (фиг. 11): 1) отклады-
Фиг. 11.
вается от точки С отрезок COi —
I-PX
X ** еслн для • и I 1 см чертежа
ТЕН ЮМЕТРИРОВ MIME
507
равен m (относительная деформация),
то для о н т 1 см чертежа равен
2 От кГ)смг (О — модуль сдвига); 2) вы-
черчивается концентрическая окруж-
- . I — |X S| — <2.
ность радиуса САг — -у -------------—*;
если для » и у 1 см чертежа равен т
(относительная деформация), то для а
I _1- «1
и т 1 см чертежа равен 20 кГ/см*.
Направления главных напряжений и
деформаций совпадают.
Главные напряжения на основании
формул (7) могут быть выражены непо-
средственно через приращения Л показа-
ний тензометров:
а = с • Л (7а)
(при линейном напряженном состоянии);
ci = с'Д) + с*Д2 и о2 = с'Д2 + с'Л] (76)
(при плоском напряженном состоянии).
Здесь с—постоянная тензометров,
определяемая тарировкой на образце
в виде балки из того же материала, что
и тензометрируемая деталь или модель
(см. стр. 498);
С |АС
с' — I----х и С* — — Л — ПО-
I — р' 1 — р2
стоянные тензометров; р — коэффициент
Пуассона материала тензометрируемой
детали или модели; Д, Д1 и Дг—при-
ращения тензометров, установленных
в направлениях определяемых напря-
жений а, 9] И о2.
Если главные напряжения о, и а2 по-
лучены для модели, то по ним напря-
жения для натурной детали подсчиты-
ваются с помощью формул подобия,
приведенных в табл. 15.
Изображение напряженного
состояния делается с помощью от-
резков, которыми в некотором масштабе
в узлах сетки
। изображаются
Фиг. 12.
лях или их моделях
главные напря-
жения в напра-
влении их дей-
ствия (фиг. 12).
Определение
напряжений в
зонах концен-
трации. Изме-
рения прово-
дятся на дета-
в наиболее на-
пряженных зонах. Выбор числа уста-
навливаемых тензометров в каждой
точке и определение напряжений по
замеренным деформациям производятся,
как при изучении распределения напря-
жений.
Напряжения в зонах концентра-
ции выражаются через номинальные на-
пряжения. В деталях машин, имеющих
резкое изменение напряжений на малой
длине (высокий градиент напряжений),
необходимо применение малобазных тен-
зометров. индуктивных, с базой 2—4 мм
или наклеиваемых проволочных с базой
от 2 мм н выше (в недоступных местах,
для измерений при динамической на-
грузке); см. стр. 490 и 495.
Требования к малобазному
тензометру в связи с условиями
его установки; а) возможность уста-
новки в малодоступных местах (отвер-
стия, проточки, шпоночные вырезы) и
на криволинейных участках детали
(галтели и другие резкие изменения
формы поверхности); б) удобство и точ-
ность установки датчика по месту и по
ориентировке.
Укрупненные модели для до-
стижения больших деформаций изгото-
вляются из материала с более низким
модулем упругости, например пластмас-
сы или алюминиевого сплава. Приме-
няются прн необходимости уменьшить
погрешность измерений, связанную с гра-
диентом напряжений (с увеличением
масштаба градиент падает) и с целью
увеличения размеров для возможности
установки тензометров.
При лер. Исслеюмния напряжений в зоне
концентрации — по кромке отверстия полого скру-
чиваемого вала (33). Необходимые координирован-
ная установка индуктивною датчика над отвер-
стием н упругое регулируемое его прижатис
Фиг. 13.
достигаются специальным поворотным приспособ-
лением. Места установки датчика по кромке
отверстия и размеры скручиваемого вала обозна-
чены на фиг. 13; номинальное напряжение вала
без учета ослабления т — 160 лТ/сдЛ
508
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ. НАПРЯЖЕНИИ
Определение усилий в поперечных
сечениях. Необходимо соответствую-
щее расположение тензодатчиков на по-
верхности детали; выбор базы датчика
определяется получением требуемой ве-
личины показания в зависимости от
измеряемого усилия. Зависимость между
показанием тензометра н усилием уста-
навливается путем тарировки детали
с укрепленными на ней датчиками, так
как расчет является приближенным (от-
клонения от применяемого в расчете
закона распределения напряжений по
сечению; влияние креплений тензо-
метра).
Для получения эпюры усилий по
длине ненагруженного стержня необ-
ходимо определить усилия по крайней
мере для двух сечений между узлами;
по усилиям, найденным для этих сече-
ний. подсчитываются усилим по концам
стержня.
В элементах, работающих на про-
дольное усилие, тензометры в се-
чении устанавливаются возможно ближе
к оси элемента. В элементах, работаю-
щих на изгиб, тензометры устанавли-
ваются на наиболее удаленных от оси
элемента волокнах, где деформация,
вызываемая рассматриваемым изгибаю-
щим моментом, имеет наибольшее зна-
чение.
Если в сечении действует
продольное усилие и изги-
бающий момент одновременно, то
для возможности определения каждого
из этих усилий отдельно устанавли-
ваются на противоположных сторонах и
равных расстояниях от осп элемента
два тензометра в одной с ней плоско-
сти.
Продольное усилие определяется по
сумме показаний тензометров, а из-
гибающий момент — по разности (с вве-
дением соответствующих поправок); см.
табл. 9. *
При действии осевого уси-
лия N и изгибающих мо-
ментов Мх и вдвух глав-
ных плоскостях в рассматривае-
мом поперечном сечении монолитного
не тонкостенного бруса (распределение
деформаций в сечении по закону пло-
скости) устанавливаются три тензо-
метра /. 2. 3 (фиг. 14) с базами вдоль
длины бруса. Места установки тензоме-
тров не должны располагаться на одной
лннии в сечении. В таком случае при
невозможности применения тарировки
Габлииа 9
Схема расположения и включения
проволочных тензодатчиков прн измерении
напряжений, усилий и нагрузки
Занисимосгь между показаниями прибора и
измеряемой величиной устанавливается путем та-
рироихи и приближенно путем расчета (см. табл.З).
К — сопротивление датчика, Е н — модуль про-
дольной упругости к коэффициент Пуассона мате-
риала детали: F и — площадь и момент сопро-
тивления поперечного сечення детали, а—дефор-
мация по тензодатчикам.
1. Нормальные напряжения е в направлении
X. /?. = I**?.
2. Касательные напряжения в направле-
ниях О* и Оу
тху = 27П7)<*«
’лу-2йТйР^-Сж + *у)1 <6>
3. Продольное осевое усилие, и стержне,
имеющем крайние волокна иа равном расстоя-
нии от осн; D„ D, и D„ D, — рабочие и
компенсационные датчики
N - EF-e
ТЕНЗОМЕТРИРОВАННЕ
509
Продолжение табл. 9
Продолжение табл. 9
4. Изгибающий момент М. Компенсационный
датчик является одновременно с атим ра-
бочим
М-ЕРс
5. Скручивающий момент М„ аала диаме-
тром *
6. Сила Р. Конфигурация кольца в зависи-
мости от магрузкн. Выступающие концы
с нарезкой для крепления жестки» стерж-
ней с шарнирами.
Для кольца по-
стоянного сечения:
(для сечения по
диаметру 1 нагруз-
ив);
p-Mi-^-a
(для сечения иод си-
лой);
толщина кольца в месте наклейки дат<аша.
Изменение диаметра:
р»р
4, « 0,149 -pj- (в направлении нагрузки);
о«р
4, — —0,!J7-gj-(в направлении нагрузки).
Основная частота собственных радиальных
колебаний
где g — ускорение силы тяжести.
7. Сила Р. Стержень круглого сечения (сплош-
ной при Р растягивающем и полый, если
Р может быть сжимающим). По концам
стержня шарниры
Р ив КРв
8. Сосредоточенное давление (вес) Р
9. Сила Р или прогиб /
Определение нагрузки:
р
ба
Определение про: иба / в точке, где обозна-
чена сила Р:
510
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЯ. НАПРЯЖЕНИЙ
на детали могут быть использованы за-
висимости
л'= x9yg) ’« +
+ (*ъУ 1 —J^l) sj +
+ (УрГ| — х^) ojl ;
Al r — |(xg — Xj) a1 +
+ (xj — xa) a? + (xj — Xj) oa];
л)»1 +
+ (Уз—-У») °i + Oi —J's) ’al-
Здесь
А - (Xg —Xj) У! + (X, — Xg) у, +
+ (х,—хОУа-^О;
Е .
<>г •=------д»;
mgsj
Е .
F. Jx, Jy — площадь и главные моменты
инерции сечения; /п1 и s1( тг и s». /па и
sB—соответственно масштабы и базы
тензометров 1, 2, 3; Е— модуль про-
дольной упругости материала бруса, на
котором проводятся измерения.
Фиг. и.
При действии в поперечном сечении
момента кручения Мк для исклю-
чения влияния изгибающих моментов и
продольного усилия устанавливаются по
крайней мере два тензометра по
схеме 5 табл. 9 или применяется один
тензометр, устанавливаемый под углом
45° к образующей скручиваемого вала,
с замером в этом же месте среднего на
длине базы нормального напряжения аер
вдоль вала. В последнем случае
'И*
С Г Е
1 т И I ms
1 -Р
2
(9>
Д —
Здесь С——!, где гер — средняя на
тср
длине базы величина касательного на-
пряжения при моменте кручения
Д — приращение показаний по тензо-
метру, установленному под углом 45°;
т и s — масштаб н база этого тензо-1
метра; Е н р. — модуль продольной упру-
гости и коэффициент Пуассона мате-
риала скручиваемого вала.
В общем случае действия в
сечении детали шести усилий
и Qg (поперечные силы), N. Мх, Му
и Мк или приложения к детали соот-
ветствующих им компонентов нагрузки
может быть подобрано расположение на
детали шести тензометров для опреде-
ления всех шести Величин усилий (ком-
понента s нагрузки). Предварительно
проводится тарировка детали или ее
модели на каждое из единичных усилий;
при этом расположение и базы тензо-
метров для повышения точнссти подби-
раются такими, чтобы приращения от-
счетов по каждому из тензометров
вызывались преимущественно одним со-
ответствующим усилием По данным та-
рировки и приращениям показаний тен-
зометров при испытаниях, используя
линейную зависимость (при нагрузках в
пределах пропорциональности), опреде-
ляют усилия (нагрузки), воспринимаемые
деталью.
Контроль результатов из-
мерения усилий в фермах и
рамах производится уравновешива-
нием при подсчете экспериментально
полученных усилий по сумме проекций
и по сумме моментов усилий, приходя-
щихся на каждый узел конструкции.
Ошибки измерений по продольным уси-
лиям N н по изгибающим моментам М
У. М
Контроль измерения по напряжениям
изгибающих моментов М при динами-
ческих нагрузках изгибаемых элементов
может производиться путем виброиз-
мерений. Порядок обработки экспери-
ментальных данных тензометрнрова-
ТЕ НЗОМ ЕТРИРОВ АННЕ
5И
ння для их сопоставления с данными
. я » М а
виброизмерений: а) находится
cJ СИ
где я — напряжение на расстоянии с от
нейтральной линии, замеренное тензоме-
_ М
тром; б) интегрируется дважды кривая
н получается динамическая упругая ли-
ния; в) полученные данные сопоста-
вляются с данными внбронзмерений
упругой линии.
Измерение нагрузок (сил) по де-
Формации пружинящего элемента,
инамометрический пружинящий эле-
мент (из материала с высоким пределом
упругости) выполняется в зависимости
от условий измерений и нагрузки в
виде кольца, стержня, столбика или
балки. Для сохранения постоянства на-
правления и точки приложения нагрузки
применяются шарнирные или призменные
опоры.
При дистанционных измерениях или
при необходимости регистрации обычно
принимается в пружинящем элементе
в качестве индикатора перемещения
(прогиба) индуктивный (илн реостат-
ный) датчик и в качестве индикатора
деформации — проволочные датчики со-
противления или индуктивные датчики
(на пружинящем элементе следует по
возможности иметь полный измеритель-
ный мост).
Зависимость между показаниями пру-
жинящего элемента и передаваемой им
нагрузкой устанавливается путем тари-
ровки. Схемы применяемых динамоме-
трических элементов — см. табл. 9.
Измерение отдельных сосредоточен-
ных сил и реакций, приложенных к балке
постоянного сечения (балка на двух
опорах, неразрезная балка, консоль) в
направлении, перпендикулярном к ее осн,
может быть произведено по деформации
изгиба с помощью четырех одинаковых
тензодатчиков, наклеенных по крайним
сжатым или растянутым волокнам
балки [3]: по обеим сторонам от изме-
ряемой силы устанавливаются по два
датчика на равных между собой рас-
стояниях. Датчики, расположенные со
стороны силы, включаются в одно плечо
измерительного моста, и два другие —
в соседнее плечо моста.
Получение линий влияния
усилий путем измерения деформаций
и перемещений на упрощенных меха-
нических моделях стержневых систем
(балки, рамы) — см. [27}, [49].
ИЗМЕРЕНИЕ УПРУГИХ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Основные характеристики приборов
для измерения перемещений
(линейных, угловых)
Измерение перемещений выполняется
с помощью приборов с визуальным от-
счетом — прн статических перемещениях
и внброизмернтельной аппаратуры с ви-
зуальным отсчетом или регистрацией —
прн динамических перемещениях.
Классификация приборов для
измерения перемещений та же, что и в
тензометрах (см. стр. 490). Кроме того,
приборы для измерения перемещений
различаются: а) по виду механических
величин, преобразуемых в пропорцио-
нальные им сигналы (с датчиком пере-
мещения, с датчиком скоростей, с дат-
чиком ускорений, с датчиком деформа-
ций); б) по способу обеспечения
неподвижной точки, по отношению к
которой измеряется перемещение (дат-
чик связан с неподвижной точкой; дат-
чик сейсмического типа, прн котором
записывается перемещение относительно
массы, подвешенной к корпусу прибора
на пружинах) (13J; в) по числу
компонент измеряемых перемещений;
г) по виду успокоения подвижной си-
стемы.
Приборы для измерения
перемещений
Статические и медленно нсняюнанеся пе-
ремещение: а) Линейка ила лвикрометр для
непосредственного замера не ре лишения, а так-
же запись карандашом иа неподвижном план
тете.
б) Рейка г делениями и нивелир .зля замер»
вертикальных перемещений) или теодолит (для
замера вертикальных и горизонтальных перемете
ний).
Погрешность измерения от 0.2 до I мм в
зависимости от расстояния реек ст нивелира или
теодолита; применяется для измерений па круп-
ных конструкциях.
в) Прогибомер с проволочной связью для
измерения иа крупных конструкциях (прогибомер
Максимова — погрешность 0,2 мм и прогмбомер
Емельянова — погрешность 0,02 мм) (12).
г) фотографирование с одной позиции для
измерения по фотографии линейных и угловых
перемещений и стереофотограммометрнроеание
для определения перемещений о п ростра и-
л) Контактный прогибомер (индикатор/
является основным прибором для определения ста-
тических перемещений. Диапазоны измерений от
1 до 10 мм и йена деления 0,001 и 0,01 мм в за-
висимости от типа индикатора (ГОСТ 577-41). До-
пускает измерение амплитуд стабильных вибраций
при частотах до 30—4) гц; допускаемая величина
намеряемых амплитуд прогибов в зависимости от
SI2
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ. НАПРЯЖЕНИЙ
Таблица 10
Схемы измерения угловых перемещений
с применением зеркал, рейки и отсчетной
трубы. Назначение, условия применения
и расчетные формулы
I. Одно зеркало в месте измеряемого пово-
рота. Рейка, зеркало и труба — в одно*
плоскости, перпендикулярной к оси измеряе-
мого поворота
Продолжение табл. 10
При двукратном отражении (точки С, и С<>
д
’ = в{1 + 1):
при однократком отражении
’-«(ГЛ)
3. Одно зеркало в месте измеряемого попо-
рота. Лучи между рейкой — зеркалом и
зеркалом - трубой образуют с нормалью
к зеркалу угол 3 в плоскости лучей
Л
“ 2L со» $'
При сочетании
случаев 2 и 3:
Д
* “ 21совесо*
б. Отведение измеряющих лучей в желатель-
ном направлении применением вспомога-
тельного неподвижного зеркала 2; несколь-
ко понижается точность измерения (см. п. 2)
6. Применение двух зеркал для измерения
относительного угла поворота двух мест ле-
тали, например взаимною утла поворота
двух сечений вала прн изгибе или кручении.
Зеркала смешены из плоскости поворота
для обеспечения возможности указанного
на схеме хода лучей
7. Измерение ваимиого угла поворот* (см.
п. 6) с повторными отражениями ал* по-
вышения точности измерения
4. Применение дополнительного неподвижно-
го зеркала 2 дли повышения точности изме-
рения
При двукратном отражении
ИЗМЕРЕНИЕ УПРУГИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
513
частоты — см. фиг. 15. За неподвижную точку
может быть примат груз, подвешенный к колеб-
лющейся конструкции; с частотой собственных ко-
лебаний а 4—5 рак меньшей измеряемых.
Фнг. 15.
е) Зеркало, рейка и отсчетная труба Оля
определения углов поворота. Зеркало крепится
п месте, где определяется угол поворота; рейка и
труба устанавливаются против зеркала иа расстоя-
нии от 1 до 20 м (см. табл. 10).
Динамические перемещения. В приборах,
имеющих датчик с сейсмической массой, обеспече-
ние регистрации без искажения требует соблюде-
ния следующих основных условий [4], (13):
для датчика перемещений -^>4 и I
для датчика ускорений — <0,6 и у - 1,2 -*
-+- 1,4. *Яя
Здесь «— круговая частота регистрируемой
/С
— — собственная круговая ча-
стота колебаний датчика (ш — сейсмическая
масса; С — жесткость подвески массы); у — коэф-
фициент демпфирования.
Для выполнения измерений применяются сле-
дующие виды аппаратуры:
а) Вибромарка [121.
б) Частотомеры (12J, J28J.
а) Виброщупы с пьезокварцевым датчиком
н др. [26]. |28|.
г) Ручные механические вибрографы-. 1) типа
РВ-1, позволяющий вести запись иа вощеной
бумаге перемещений от 0.02 до 1 мм при частотах
от 20 до 60 гц; 2) типа ЦНИЭЛ с оптической
записью при амплитудах от 0,01 до 0,5 мм и ча-
стотах от I до 100 гц.
д) Стационарные вибрографы (3|],|49|, устана-
вливаемые на неподвижном основании (например,
виброграф типа Гейгера).
е) Аппаратура Оля торсиографирования,
предназначаемая для регистрации крутильных ко-
лебаний (11), 126], (М). Аппаратура применяется
двух типов: 1) регистрация углов скручивания
и линейных деформаций иа некотором участке
вала (с применением индуктивных датчиков |Э0]
и проволочных тензодатчиков сопротивления; ам-
плитудомеры для записи угловых деформаций
деталей большой податливости); 2) регистрация
отклонений какого-либо сечения вала от среднего
положения (торсиографы Гейгера, ДФЛ, ЦНИИ
МСП конструкции Попова, електроторсиограф
АУ-41Д Шннрмапа и др.).
ж) Аппаратура для измерений перемещений
(а также ускорений и скоростей) с влектрическими
датчиками с записью на осциллограф или визуаль-
ным отсчетом |4|,(26), |28|,|31|. |43)|47|, |*0(. |М обе-
спечивает возможность измерений перемещений в
требуемом диапазоне амплитуд, частот и ала раз-
личных условий измерений, а также возможность
их одновременной регистрации на общую ос пил
лограмму с другими процессами. Сравнительные
характеристики аппаратуры различного принципа
дейст> ня для ре, нстраиии перемещений, ускоре-
ний и скоростей см. фнг. 16; характеристики укла-
дываются в координатной сетке внутри эаштрнхо-
33 Том 3
ванных фигур; регистрация перемещений с при-
менением консольной балки см. табл. 9, п. 9; часто-
та собственных колебаний балки должна не менее
чем в 3—4 раза превосходить частоты измеряеыых
перемещений.
з) Аппаратура для фотографической реги-
страции перем/ щений |10| предназначена для ре-
гистрации вызванных деформацией перемещений
деталей машин и узлов конструкций в широком
диапазоне амплитуд (от долей миллиметра до I м)
и частот (от нуля до тысяч герц); погрешность
измерений до Зе)а. Этой аппаратурой обеспечи-
вается также измерение перемещений путем фо-
тографирования при еспышкт длительностью
2-10—6 сек.
Применение методов измерения
перемещений
Определение усилий. Внутренние
усилия. возникающие в сечениях
стержня, определяются путем нэмеры/Ья
перемещений (прогибов, углов пово-
рота). Способ имеет по сравнению с
тензометрнрованнем то преимущество,
что удается избежать искажающею
514
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ. НАПРЯЖЕНИИ
влияния местных деформаций, однако
при этом требуются измерения для не-
скольких сечений стержня.
Изгибающий момент М в се-
чении стержня, работающего на
изгиб, на основании зависимости М —
«- EJ находится позамерам прогибов
dv
у его оси или углов поворота сече-
ний стержня; здесь- EJ—жесткость
стержня в рассматриваемом сечении.
Изгибающий момент Мх в сечении вы-
ражается через прогибы ух _ Дх, ух.
Ух_|_Дх, замеренные для близко распо-
ложенных сечений с координатами
х — Дх, х и х + Дх:
Мх =• EJ
дх-2ух + ух _ 4х
(М«
(10)
Достигаемая точность определения
изгибающего момента в сечении неве-
лика.
Изгибающие моменты Мл и
Мв в защемлениях А нВ стержня
находятся по замерам углов поворота
Тл и fs (положительные — по часовой
стрелке) и относительного поперечного
перемещения 8дз концов А и В стержня
(положительное, если линия соединяет
концы стержня, поворачивающегося по
часовой стрелке):
(11)
Здесь EJ — постоянная жесткость
стержня; Л1л и Мд—опорные моменты
балки в предположении ее жесткого
защемления по концам (положитель-
ные — по часовой стрелке).
Продольное усилие N в эле-
менте конструкции определяется вели-
чиной полного его удлинения или уко-
рочения Д/, если по длине в элементе
продольное усилие и жесткость EJ эле-
мента остаются постоянными:
Определение жесткости пронзво
дится путем измерения перемещений
при заданном нагружении.
Определение жесткости на
кручение может произво-
диться путем измерения углов ?
закручивания или деформации с по-
мощью индикаторов (при < 2°) или
зеркал:
а) в сечении детали 1 (фиг, 17.6)
с противоположных сторон укрепле-
ны индикаторы и в сечении на расстоя-
Фнг. 17. Измерение углов закручивание между
сечениями АА и ВВ прн статической нагрузке:
о — отсчеты по стрелке, 0 — отсчеты по имлика-
тору. « — отсчеты с помощью труб. I — скручи-
ваемая деталь; 3 — индикатор; 3 — кронштейн;
4 — отсчетная труба; о — шкала.
нин s — жесткие кронштейны, кон-
тактируюшнеся противоположными кон-
цами со штифтами индикаторов; угол
о 360Д
закручивания , где о —рас-
стояние между осями индикаторов и
. Д.4- Ду •
Д — ——%—- — среднее приращение от-
счетов по индикаторам;
б) угловые перемещения зеркал А
и В (фиг. 17, а), укрепленных по концам
базы, наблюдаются через зрительные
трубы 4 по масштабу А, нанесенному на
цилиндрическую поверхность; нормаль
к зеркалу перпендикулярна оси нссле-
дуемойлетэли (см. также табл. 10).
МЕТОД ПОКРЫТИЯ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
515
Пример /. На фнг. 18, а приведен пример опрс
деления продольного усилия и дополнительного
изгиба в плоскости 1—11 путем измерения общей
деформации в случае, когда тензометры непосред-
ственно иа стержне установить нельзя.
Пример 1. Определение нагрузки X для случая
фнг. 18,6
Здесь в — площадь ьпюрм -gj-, соответствую
шей сидя X I; р д м — замеряемые углы.
Аналогично по замеру угля закручивания может
быть найден скручивающий момент вала или
жесткость его на кручение.
МЕТОД ПОКРЫТИЯ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ
НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ
Покрытие наносится на исследуемую
поверхность детали. Возникающие в по-
крытии при нагружении детали тре-
щины, отслаивание покрытия от по-
верхности детали или деформации,
наблюдаемые с помощью покрытия,
определяют напряженное состояние или
деформации в точках поверхности иссле-
дуемой детали.
33*
Лаковые покрытия
Лаковые покрытия, твердеющие при
высыхании, предназначены для исследо-
вания упругих деформаций (покрытие
Института машиноведения АН СССР и
покрытие НИИ-58 [24], [49]).
Характеристики покрытия. По-
стоянной покрытия лра3р (или, при
упругих деформациях, яразр) называется
деформация (или напряжение для мате-
риала исследуемой детали), прн которой
возникает трещина в покрытии в усло-
вии линейного напряженного состояния;
величина epa3p (илн Яразр) определяется
тарировкой покрытия.
Задачи, решаемые методом
лаковых покрытий для точек по-
верхности детали: I) определение на-
правлений главных деформаций (напря-
жений); 2) выявление зон, имеющих
наибольшие деформации (напряжения);
3) оценка величин деформаций (напря-
жений) (при применении тарированного
покрытия). Уточнение напряженного со-
стояния далее производится с помощью
тензометров.
Условия применения и свой-
ства лаковых покрытий. Сушка
нанесенного на поверхность детали по-
крытия производится на воздухе в есте-
ственных условиях. Покрытие приме-
няется для исследования напряжений в
деталях, воспринимающих статическую
нагрузку, для быстро вращающихся де-
талей, при динамической и ударной на-
грузках как в лабораторных условиях,
так н в условиях эксплуатации, при
температурах порядка от ч 8 до±-35°С
Исследуемая деталь илн ее модель могут
быть из стали, чугуна, легкого сплава,
пластмассы и других материалов.
После нанесения покрытий допускается
не длительное (до 3 час.) действие воды
(масло портит покрытие). На трущихся
поверхностях покрытие не сохраняется.
Постоянная покрытия *ра3р имеет вели-
чину от 0,03 до 0.20% при применяемых
условиях испытания с величиной раз-
броса ±15% от величины *ра3р; вели-
чина ifKup меняется на 5—10% при из-
менении температуры на Iе С. Действи-
тельная величина ipaJp должна каждый
раз устанавливаться тарировкой. Вели-
чина «р.11р может быть понижена (до
величины 0,01%) быстрым охлаждением
(воздухом, водой). Поверхностное давле-
ние понижает *paip (давление 200 кГ^см*
вызывает трещины).
516
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ, НАПРЯЖЕНИЙ
Отслаивание покрытия происходит
при деформациях сжатия ~ 1%». растя-
жения ~й°/0 и при чистом сдвиге ~2Чв.
Составы покрытий для исследования
упругих деформаций. Для изготовления покры-
тий применяются очищенные н химически чистые
млтериалы. 1. Лак Оля покрытия Института
машиноведения АН СССР - раствор резината
бария в сероуглероде при соотношении по весу
2: X Для изготонления резината бария отвеши-
вается по количеству требуемого лака высоко-
сортная канифоль (температура размягчения не
ниже .68° С), расплавляется в фарфоровой чашке
на плитке (в вытяжном шкафу). Когда темпе-
ратура достигает 220 - 230° С, в канифоль малыми
порциями вводится гидрат окиси бария Ва (ОН),.
Фнг. 19.
Количество вводимого Ва (ОН), определяет полу
чаемую чувствительность покрытия: для получе-
ния покрытий № 1В, ЗВ, 6В, ВВ. ЮВ, 12В.
(фиг. 19,о) вводится соответственно 1, 3, в, 8 10.
Ця/о Ва (ОН), по весу резината. После введения
Ва (ОН), температура смеси доводится до 270° С
и подогрев выключается; смесь при 2С0° С выли-
вается а бумажные формы и затвердевает. Рас-
творение полученного резината в очищенном
сероуглероде производится при комнатной тем-
пературе. Хранение полученного лака — в гер-
метически закрываемых металлических байках
а прохладном месте; срок хранении до I гола
(и больше). Полученный лак летуч н огнеопа-
сен.
2. Подг.юйка для удобства наблюдения тре-
щин в покрытии—а виде У^-иого раствора нитро-
клетчатки в шилацетате с добавлением 0.4»|0
по весу »елкой алюминиевой пудры. Наносится
на предварительно очищенную от окалины и обез-
жиренную поверхность детали с помощью окра-
сочного пульверизатора (давление 2—3 атм).
3. Смывка для смятия нанесенного лака без
растворения полслойки — серный эфир, для сия
тия лака и полслойки — ацетон.
4. Травитель для лучшего выявления трещин
в покрытии- раствор каинфолн в спирте с добав-
лением кислотного апилоиого красителя.
Проведение исследований. Пере-
до л п юз едении иееледоианиО: а) Очистка по
верхиости (железной щеткой или наждачной бума
гой. обдувка с помощью пескоструйного аппарата,
промывка растворителем).
б) Нанесение полслойки, если поверхность
имеет царапины или темный фон; желательна мо-
дель из прозрачного материала.
в) Выбор м. рки покрытия в зависимости от
температуры и ьлажностн воздуха при сушке и
испытании (см. фиг. 19, а).
г) Наиееение покрытия иа поверхность иссле-
дуемой летали и на тарнровочиые образцы.
Д) Сушка в одинаковых условиях покрытия
исследуемой детали и тариропочных образцов.
е) Испытание тариропочных образцов (в усло-
виях испытания детали); при количественных из-
мерениях при испытании исследуемой детали про-
изводится зарисовка для каждой нагрузки зон
распространения к направлений трещин (обводка
тушью или мелом иа летали, фотографирование
или перечерчивание).
ж) Обработка данных акслернмента.
Выбормарки покрытия производится
с помощью графика фиг. 19, а в зависимости от
температуры и влажности воздуха во время
сушки и испытания, определяемых по темпера-
турам сухого и влажного термометра: «
оказывается в пределах 0,03—0,10°%. Если иеоб-
холимо меньшее в , то берут более высокий
разр
номер покрытия, но во избежание тре-
щин прн сушке ее ведут прн более
высокой температуре, чем испытание.
Менее чувствительное покрытие может
дать трещины, исчезающие после сня-
тия нагрузки.
Нанесение покрытия про-
изводится при температуре испытания
(нлинесколькобольшей) мягкой кистью
при малых размерах поверхности и
сложной форме детали или с помощью
пульверизатора при больших поверх-
ностях. Для того чтобы достичь требуе-
мой толщины покрытия 0,06—0,1 мм,
оцениваемой по цвету, при употреб-
лении кисти нужно нанести прибли ви-
тально 7—8 слоев, а при распылении
пульверизатором 8—10. Прн работе с
пульверизатором необходимо отдели
ное хорошо вентилируемое помеще-
ние.
Сушка покрытия производится иа воздухе и те-
чение 20—21 час. Для получения величины ‘p3Jp
сушка покрытия иа детали и тарировочиом образце
производится при одних и тех же температурах
и влажности. Колебания температуры допускаются
не более ±5°С и влажности не более ±5”|0. Опас-
ность появления трешни при сушке при примене-
нии лака повышенной чувствительности (лак бо-
лее высокого номера марки, чем требуется по
графику, фиг. 19,о) снижается искусственным повы-
шением температуры, которая должна мыть сдела-
на нормальной за 1—2 часа ло окончания сушки.
Тарировка покрытия производится
на изгибаемых в виде консоли образцах прямо-
угольного сечення ратмером порядка 5 <20X300 .«ж
из стали с высоким пределом упругости или из ма-
териала исследуемой летали или модели. Способы
определения т — дл" Растянутой зоны:
I-U ino/об - иосле нанесения на плоскость об-
разца покрытия н его просушки в условиях испы-
тания детали к концу консоли ступенями (через
0, 5 «гг| прикладывается нагрузка ло получения
верных трещин; постоянная покрытия а"
6 Ж _ Р Р
— -g- • - , где с — модуль упругости матери-
ала образца; b и Л — ширина и высота его сече-
ния; Рь - нагрузка, при которой на расстоянии I
от конца консоли получены первые трещит/.
2-в способ—на конце консоли создается определен-
ной величины прогиб (эксцентриком или винтом);
для двиного образца заранее находится величина
упругих деформаций иа поверхности и различных
местах по длине. Место, ао которого доходят тре-
щины, иа образце при тарировке покрытия опре
делает
пазр
Способы определения *ра3р
и прокетсиия
«•питания летали лля измерений в ежа-
той зоне: 1-й способ—покрытие наносится иа
МЕТОД ПОКРЫТИЯ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
517
сжатой стороне нагруженной детали н высушивает-
ся под нагрузкой, деталь разгружается. 2-й спа-
гой — покрытие наносится на нагруженную деталь,
высушивается н затем медленно нагружается до
максимальной нагрузки, выдерживается под на-
грузкой не менее 1 часа и затем разгружается;
величина • при сжатии находится так же,
как для растянутой зоны, но нагрузка отсчиты-
вается от начального деформированного состояния
образца. Если скорость деформации образца и
детали различная, то по графику фиг. 19, б вво-
дится поправка на ползучесть в зависимости от
длительности нагрузки (или разгрузки) испытуе-
мой детали.
Условия наблюдения трещин в
покрытии: а) плоскость, в которой располо-
жен источник освещения и глаз наблюдателя,
должна быть перпендикулярна плоскости трещи-
ны; б) глаз наблюдателя должен находиться аа
линии, отраженной от поверхности детали, в
месте расположения трещины (темная трещина),
или на линии лучей, падающих нв трещину (свет-
лая трещина). Источник света не должен нагре-
вать покрытие (лампа с питанием от бптарен).
Методы проведения измерений.
Для получения направления главных
деформаций (напряжений) и выявления
наиболее напряженных зон поверхности
детали нагрузка детали доводится до
получения трещин в покрытии в инте-
ресующих зонах (при нагрузке или раз-
грузке); величина нагрузки может не
определяться, покрытие" не тарируется.
Для оценки величин деформаций (на-
пряжений) в случае статического дей-
ствия нагрузки (и для быстро вращаю-
щихся деталей) применяется тарирован-
ное покрытие одной чувствительности и
ступенчатое изменение нагрузки (или
числа оборотов вращающейся детали);
в случае динамической нагрузки приме-
няются покрытия нескольких марок с
различными величинами враз,, (испыта-
ния проводятся повторно) или, если кон-
струкция симметричная, на участках на-
носятся покрытия различной чувстви-
тельности (проводится одно испытание);
приближенная оценка величин напряже-
ний делается по густоте трещин. Для
оценки концентрации напряжений необ-
ходимо более стабильное и чувствитель-
ное покрытие (покрытие того же соста-
ва при искусственной сушке в стабиль-
ных условиях); коэффициент концентра-
ции оценивается по отношению нагрузок
при образовании трещин в зоне концен-
трации и в месте номинальных напряже-
ний.
Основные зависимости, при-
меняемые прн обработке дан-
ных эксперимента: 1) трещины
в покрытии совпадают в каждой точке
с направлением главных деформаций;
2) напряжение на свободном контуре
плоской детали обратно пропорционально
расстоянию от контура до ближайшей
траектории; 3) прн деформации в пре-
делах пропорциональности и сохранении
условий подобия деформация е при рас-
четной нагрузке Р связана с йразр н на-
грузкой Р3*сп • ПРИ которой возникла
трещина в рассматриваемой точке, зави-
симостью
Р '
гоксп
(12)
4) трещины в покрытии зависят от
главных удлинений ^за исключением
мест, где оба главные напряжения сжи-
мающие или их отношение, прибли-
женно, ПРИ этом условии
главные напряжения могут оцениваться
по замеренным при нагрузке и разгрузке
детали с покрытием главным деформа-
циям и «2 с применением формул (7).
Пример 1. Для точек стальной летали, имею-
щей малую яеличипу гл а ап их напряжений »
направлении вдоль трещин, были получены тре-
щины в покрытии при следующих нагрузках
Р»ксп в кГ
№ точки: I 2 3 466
рпксп 250 100 190 230 290 390
Постоянная покрытия, полученная на тарнро-
ночной балке из материала детали, "разр^
=700 кГ1см\ Отсюда, например, для наиболее
напряженкой точки 2
р = 7,0 Р кПсм'.
Пример 2. Для исследования распределения
напряжений п рычаге направляющего аппарата
гидротурбины применена модель из оргстякла
(используется также неолейкорит) (фнг. 20). Перед
теизометрированием с помощью покрытий вывале-
им зоны наибольших напряжений н направленна
(.гавных напряжений: нагрузки Р мотели, при
518
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ, НАПРЯЖЕНИИ
которых получены трещины покрытиях, по эонам,
перенесены на чертеж (см. фиг. 20). При постоянной
примснеквого покрытия °ра3р “ 8 <Г|сл<’ (орг.
стекло) напряжения в модели при нагрузке Р
9разр а
оцениваются величинами •= —к---
аксп
Накатные сетки
Накатные сетки применяются для
изучения местных больших (в металлах)
и упругих (при таких материалах, как
[>езина) деформаций от 5% и выше [9],
40].
Метод заключается в нанесении на
поверхность детали или образца сетки
с базой от 0,25 до 5 мм и в замере по-
лучаемых деформаций с помощью ин-
струментального микроскопа(увеличение
до 60 раз) или по фотографии; путем
пересчетов находятся напряжение и ве-
личины главных деформаций и пластиче-
ского сдвига. Сетки применяются при
испытании деталей и узлов до разруше-
ния, при механических испытаниях об-
разцов, при испытаниях при темпера-
турах до 350° С и при пониженных тем-
пературах.
Основные характеристики
метода: а) стандартность методики
нанесения сеток; сетки в виде квадра-
тов или соприкасающихся окружностей
накатываются с матриц, представляющих
собой клише с оригинала сетки, вычер-
ченного в большом масштабе; б) сетка
накатывается типографской краской без
повреждения поверхности детали; высо-
кая пластичность сетки сохраняется в
течение нескольких месяцев; в) толщина
линий сетки до деформации от 0,02 до
0.08 мм (в зависимости от базы сетки).
Комплект оборудования со-
стоит из: 1) набора металлических мат-
риц с разными базами и типами сеток;
2) валиков из желатины — одного для на-
несения краски на матрицу и другого для
переноса сетки с матрицы на иссле-
дуемую деталь; 3) приспособления для
установки матрицы и испытуемых об-
разцов; 4) зеркального стекла для рас-
катывания краски; 5) материалов для
работы (печатные краски, бензин для
очистки и снятия краски, глицерин для
смягчения валиков).
Измерение производится инстру-
ментальным микроскопом непосредст-
венно на поверхности исследуемой де-
тали с перерывом ее нагружения или
на экране с фотонегатнва. Замеряются
(ФПГ. 21)
/. элементов сетки
сетки 0 (для сетки
с линиями, совпа-
дающими в исход-
ном положении
с направлениями
наибольших каса-
тельных напряже-
ний).
Точность из-
мерений связа-
на с погрешностя-
ми в размерах
сетки на оригина-
ле и при накатке
и зависит от базы
сетки и величины
измеряемой дефор-
мации.
конечные длина /( и ширина
и конечный угол
—
Фиг. 21.
них улливе-
ВИЙ
6,0
1,3
5,0
Средни погрешность в мх
База Величина
тг: жч *всолютпи
0,4 Ю 0,4
so а,о
2,0 10 6,0
50
Расчет местных пластиче-
ских деформаций прн совпадении
сторон сетки с направлениями главных
деформаций производится на основании
следующих формул: а) истинные отно-
сительные линейные деформации
tfj — ln-y- и ej—ln-y-; (13а)
‘в -и
б) третья главная деформация е3 нахо-
дится из закона постоянства объема при
пластической деформации
— (в1 + ej). (136)
в) истинный сдвиг g — ej—е2.
Расчет наибольшего истинного удли-
нения из условного сдвига см. [9], (40].
Расчет напряжений по замеренным пла-
стическим деформациям производится
на основании диаграммы деформация —
напряжение из опытов на кручение (при
плоской деформации; для металлов, под-
чиняющихся закону обобщенной..кривой
течения). При определении концентрации
напряжений в материалах, не подчиняю-
щихся закону обобщенной кривой, сни-
мается диаграмма деформация—напряже-
ние на плоском образце, имеющем близ-
кое к рассматриваемому деформирован-
ное состояние.
ПОЛЯРИЗАЦИОННО ОПТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 519
ПОЛЯРИЗАЦИОННО-ОПТИЧЕСКИЙ
МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
Метод основан на свойстве большин-
ства прозрачных материалов становиться
двоякопреломляющими под действием
нагрузки; получаемая оптическая ани-
зотропия, связанная с возникающими
деформациями (напряжениями), заме-
ряется с помощью поляризованного
света. Исследования ведутся на прозрач-
ных моделях той же формы, что и изу-
чаемая деталь; нагрузка модели, подоб-
ная нагрузке детали, прилагается к мо-
дели статически или динамически. Ме-
тод измерения разработан применительно
к определению напряжений в деталях
плоской и объемной формы, выполнен-
ных из однородного материала, прн
деформации в пределах пропорциональ-
ности.
Прозрачные материалы для исследо-
ваний при пластической деформации
см. [36].
будет темной; в точках, где линейные
разности хода А = 0,1 А, 2 А.... е.
« = 0,1.2.......... (Иа)
темные места экрана, и где
А 1 1 3 1 ® 1
Л-уА, у А, уА.........
т. е.
"«“у, у» у.......... (14о)
места наибольшей освещенности.
Порядок т интерференции связан с
разностью (в] — главных напряжений
и напряжением вдоль ненагруженного
контура чконт зависимостями
(<Ч — ’г) — 2тш„------— т (15)
(для любой точки модели);
оу.°>
аконт-----t—т (16)
Оптика напряжений
Плоские модели. Монохрома-
тический свет в поляриско-
пе. Свет создается источником 1
(фиг. 22). Волна длиной А поляризован-
ного света, идущая от поляризатора 2,
Фиг. 22.
проходит через плоскую нагруженную
модель 3 и анализатор 4 Н1], [49].
Изображение модели на экране 5 со-
провождается картиной интерференции
но всем точкам внутри контура модели.
Часть экрана, не занятая моделью, при
скрещенных поляризаторе и анализато-
ре (нх оптические оси перпендикулярны)
(на ненагруженном контуре).
Здесь t — толщина модели в • см;
4'-Q>—оптическая постоянная материала
модели для t = 1,0 см (табл. 11).
Прн деформациях модели в пределах
пропорциональности получаемый поря-
док т интерференции может быть также
отнесен к разности главных деформа-
ций:
еГ’
(•1— ч)-——ж; (15а)
здесь оптическая постоянная материала
модели
(16а)
При А, равном нескольким А (модель
из материала высокой оптической актив-
ности, <^20кг еж;/>3-»-5 жж),
на экране получаются светлые и темные
полосы различных порядков т (картина
полос). Точки, лежащие на одной и той
же полосе, соответствуют одинаковым т,
т. е. одинаковым величинам (в)—«>) —
— 2rinlU[ в плоской модели. Для получе-
ния картины полос применяется моно-
хроматический свет и круговая поляри-
зация (включаются пластинки .четверть
волны"). При т > 5ч-6 и белом свете
520
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ. НАПРЯЖЕНИЯ
Таблица П
Характеристика прозрачных материалов, применяемых для моделей в поляризационно-
оптическом методе
Материал Оптическая постоянная «Г в кГ(см (ДЛЯ А» =546,1 ммк) Предел прочности при растя- жении В Предел пропорции налыгости %/><““*• ннческий и оптический) в кПсм1 Модуль продольной упругости я в кГ)см' Коэффи- циент Пуассона И
При комнаткой температуре
Стекло 160-500 (0,5—0.7) 10> 0,25
Оргстекло (для оптически не актив-
ной части составных моделей; для
получения изоклин) 200 500 200 25 000- 2R000 0,35
Целлулоид 40-70 350-600 250-400 15000-30 000 0,33-0,33
ИМ-44, тип» висхомлкт (49) .... 12 1500 600 35 000 - 45 000 0.36
Глифталепая смола МИХМ-ИМАШ 13-16 800 700 35 000 0.35
Глнфталсвая смола BT6I-393 .... 12 700 400 40 000 0.36
Аллилопый эфир CR-39 14 500 200 • 18 000 аа
Этоксилсповаи пластмасса 10 — 28 000
Желатин (волы 65,|/м глицерина If/,) 0,03 — — 0,9 0.S
При температуре .i юмораживанин- Г.
Фенолформальдегидная пластмасса
ИМ-44, типа .висхоылит*; 7^=106“ С
[491 0,60 35 10 140 0,40
Стиролалкндвая смола МИХМ-ИМАШ
(материал М): Т, = 90“ С (25] 0.30-0,40 7 6 R0 0,5
Этокснленовая пластмасса; Г. = 90° С 0.25 20 — 130 —
окраска на экране бледная; поэтому для
замера разностей хода на моделях тол-
щиной t > 2ч-3 мм, выполненных из
материала с высокой оптической актив-
ностью, нельзя в полярископе пользо-
ваться белым светом.
Точки модели, имеющие одинаковое
направление главных напряжений, совпа-
дающее с плоскостью поляризации по-
ляризатора или скрещенного с ним ана-
лизатора (прн плоской поляризации и
белом свете), иа экране соединены тем-
ной изоклиной.
Точки в модели, в которых (о1 — е2) — О
(изотропные точки, изотропные линии
и зоны), соответствуют местам экрана,
которые остаются всегда темными при
любом положении скрещенных поляри-
затора и анализатора (прн снятых пла-
стинках .четверть волны"); при при-
менении в полярископе белого света
и круговой поляризации им соответ-
ствуют темные (неокрашенные) места
экрана.
Белый свет в поляризаторе.
Зависимости (15) и (16) остаются спра-
ведливыми, но должны быть применены
к каждой монохроматической составляю-
щей. В точках модели происходит пога-
сание соответствующих составляющих
белого света, что приводит к появлению
на экране дополнительных окрасок; по-
дробнее см. [44] и [49]. Места, имеющие
на экране одинаковую окраску, назы-
ваются изохромамй и соответствуют
полосам интерференции при монохрома-
тическом свете, т. е, точкам модели с
одинаковой величиной (т;—— 2ттаж.
Прн т > 5 -г- 6 окраска бледная.
Зависимости для объемных моде-
лей [41], {49]. При просвечивании по
оси z элемента объемной модели опти-
ческий эффект вызывается только раз-
ностью квазиглавных напряжений а(
и cj в плоскости, перпендикулярной к
направлению просвечивания:
«1,2 - -~ ± 4 —
(17)
Порядок полосы интерференции при
просвечивании элемента объемной мо-
дели толщиной /
«1 ~ «а,
Г
(18а)
ПОЛЯРИЗАЦИОННО-ОПТИЧЕСКИЯ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕНИИ 521
— при однородном
нии;
напряженном состоя-
(186)
— при неоднородном напряженном со-
стоянии, но не меняющемся направлении
квазиглавных напряжений;
/
т " -^5Г J ~ X
— при меняющихся от точки к точке углах
наклона квазиглавных напряжений; & =
— 2т. у — относительная разность фаз.
Поправкой, связанной с изменением ф,
практически можно пренебречь или она
может вводиться последовательным при-
ближением.
Материал для изготовления моделей
Т р е 6 о в а к ня к материалу: прозрач-
ность, достаточная для просвечивания модели
в полярископе; отсутствие начального оптического
аффекта; достаточная оптическая активность
материала; изотропность и однородность; линей-
ная зависимость между напряжениями и деформа-
циями и между напряжениями н порядковым
номером полос и отсутствие заметных механиче-
ской и оптической ползучестей (для исследова-
ний на упругих моделях); достаточная величина
модуля упругости материала при данной его опти-
ческой активности, обеспечивающая отсутствие
заметного искажения формы модели при нагрузке;
возможность механической обработки для изгото-
вления моделей из плиток или блоков; при иссле-
довании методом .замораживания' — способность
материала к .замораживанию* и достаточная ве-
личина показателя качества материала; при иссле-
довании метолом рассеянного света — оптимальные
свойства рассеивания.
Показатель качества материала для моде-
лей принимается равным К —ГаГ" или К —
- ьАг’ги Е< **" ^10) ~мояулк уп₽уг<"
сти, предел пропорциональности и оптическая
постоянная прн температуре .замораживания".
Показатель качества оценивает минимальное иска-
жение формы модели прн получении необходимого
оптического аффекта в метоле .замораживания*
при деформации в пределах пропорциональности.
Температура .замораживания* определяется как
наименьшая температура при нагреве, при кото-
рой прн приложении нагрузки полная соответ-
ствующая ей деформация достигается за время
приложения нагрузки.
Основные недостатки имею-
щихся материалов для решения упругих
задач: краевой аффект времени, трудность полу-
чения качественных блоков больших размеров,
значительные деформации при .замораживании*.
Для прямого решения упруго-пластических
задач оптический материал должен подчиняться
за пределом упругости тем же условиям дефор-
мирования. что и материал исследуемой летали
(сталь), а также давать за пределом упругости опти-
ческий аффект я зависимости от напряжений и
в зависимости от деформаций.
_ , Таблица If
Способы определения оптической постоянной в, материала
При нагрузке модели отсчитываются тл и тв (па краях балки) или тс (в центре диска). На-
грузка Р ис должна вызывать напряжений, больших предела пропорциональности (см. табл. 11)
^хема тарированною образца и рекомендуемые размеры Формулы для подсчета постоянной Проверка отсутствия краевого тффскта
1. Б ( о алка при чистом изгибе: — 10-8-15 CM.ht — 1,0 -в- = 2,5 -8- 3,5 см; 1 — 0,5 ч |/> g —f—с —- с —f—о — 1,5 см ; г- 0,8 см ,(') _ ,2Ра . •f"-К1 о ffl в — ffl о - * 2— 100 < 5»|. Т (тА + тв)
[ В л ] LE
- 1 •
1. с 0 жнмаемый диск; — 3 ч- 7 см; t — 0.4 IP г -оз см М - ± . 0 и б!тс 1 На контуре
у ч ГМЧ т — 0
522
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ, НАПРЯЖЕНИЙ
Ни один иа имеющихся материалов не ухов-
лстворяет в полной мере всем требованиям мето-
дд, в связи с чем необходимо применение не-
-скольких марок материал».
Основные применяемые мате-
риалы, их свойства и определение постоянной
см. табл. 10 и 11, см. также [25), 141], [491. [Й].
Начальный оптический эффект
наблюдается в полярископе в виде полос интер-
фереиции (изохром) при отсутствии внешней
нагрузки; может рассматриваться как результат
.замораживания* деформации прн изготовлении
материала. Устраняется до чистовой обработки
модели путем отжига [22), [41], [49].
Краевой эффект времени наблю-
дается в виде полос интерференции непосред-
ственно у края модели, которые образуются в
первые часы после вырезки модели и развиваются
со временем от края на глубину до толщины мо-
дели. Развитие краевого эффекта времени в мо-
дели предотвращается устранением влагообмена
между материалом по обработанной поверхности
модели и средой; предохранение — хранение мо-
дели в эксикаторе или заклейка обработанной
грани модели тонкой фольгой [24]. Краевой эффект
«ремени в стиролалкидной пластмассе и в глифта-
левой смоле незначителен.
Краевой эффект прн неправиль-
« о й обработке модели аналогичен крае-
вому эффекту времени [22].
Изготовление моделей см. [22], [41],
[49].
Основное оборудование
Типы поляризационно-оптических устано-
вок (полярископов). Полярископ предназна-
чается для определения в моделях направлений
главных напряжений и оптической разности хода,
соответствующей разности главных напряжений.
Полярископ состоит из источника света со све
тофнльтром или без него, поляризационного
устройства с поляроидом или поляризационной
призмой (поляризатор) и второго поляризашоп
кого устройства (анализатор). Исследуемая мо-
дель устанавливается между поляризатором и
анализатором неподвижно или иа координатном
Применяемые полярископы позволяют полу-
чать линейно поляризованный свет (плоский по-
лярископ) или, введением пластинок .четверть
волны*, поляризованный во кругу свет (крусояой
полярископ). В сдвоенном полярископе поляриза-
тор и анализатор расположены по одну сторону
от модели (табл. 13 и 14).
Основные применяемые полярископы и
устройств* к ним. Простейший поля-
рископ для качественных нсслехованнй состоит
из двух скрещенных поляроидных дисков. Свет —
от освещаемого матового стекла или дневной свет.
Проекционно-поляризационная
установка ЛГУ (ППУ-4) с поляроидами
используется для получения обшей картины рас-
пределения напряжений прн качественных и ко-
личественных исследованиях плоских моделей.
Допускает наблюдение, фотографирование и за-
рисовку изоклин н изохром прн белом свете и
картины полос при введении светофильтра. Прн
применении компднеатора осуществляется изме-
рение по точкам модели. Рабочее поле диаметром
70 или 120 лгзк.
Установка ИМАШ-КБ2 (БПУ) |49[ имеет
то же назначение, что и прибор ППУ-4. Состоит
нз полярнзаторной н наблюдательной частей, уни-
версального нагрузочного устройства на коордн-
натннке н устройства для фотографирования
(фиг. 23). Рабочее поле установки 139 мм. Источ-
ник света — ртутная точечная лампа и лампа на-
каливания. Обеспечивается предел разрешения 10
полос па 1 мм.
Компаратор ЛГУ с компенсатор-
ной трубой (15) применяется для количе-
ственных измерений по точкам в зонах модели
разности главных напряжений и их направлений.
Координатно-синхронный поля-
риметр ЛГУ (КСП-4) [15] применяется для из-
мерений компенсатором по точкам разностей глав-
ных напряжений и их направлений в зонах пло-
ской или срезах объемной модели. Состоит из
совместно вращаемых с помощью передами поля-
ризатора и анализатора, снабженных лимбом.
Насадка лая одностороннего
монтажа к компенсаторной трубе
ЛГУ [15], [49] применяется при необходимости
иметь все части установки по одну сторону мо-
дели (.односторонний монтаж*).
Фнг. 23. Схема поляризационной установки БПУ: I — источник света (ртутиаа лампа СВДШ-250 или
лампа накаливания с короткой нитью); 2 — коллектор 120)180; 3 — светофильтр X—546,1 ммк; < и
3 — поворотные поларонлы с лимбами, свободный и 130 мм; 5 и 1 — поворотные, откидные слюдя-
ные пластинки .четверть волны*, свободный 0 130 мм; в — модель в нагрузочном устройстве
иа коордииатиике; 9 — телецеитрическнй проекционный объектна / и 400, совместно с коллектором
изображающий источник света на ирисовой диафрагме 10 (перемещается вместе с объективом) с уве-
личением 2,2 и модель — иа фотопластинке 11 в масштабе or —1 до —1,5 или иа настенном экране в
масштабе от —I ао —5; 13 — устройство с поворотным зеркалом дла наблюдения со стороны модели.
устройстве. Кроме того, поларископ может иметь
систему линз, акрам и другие устройства для на-
блюдения и фотографирования и снабжается ком-
пенсатором для возможности замера долей по-
рядка полос интереферениии. Диаметр сечения
пучка параллельных лучей поляризованного света,
просвечивающего модель, определяет размер ра-
бочего поля полярископа.
Поляризационный микроскоп с
поворотным устройством исполь-
зуется для измерений на срезах, вырезанных из
.замороженной* модели; уаеличеиие от Ю до 49.
Компенсаторы для намеренна
малой разности хода (15), [41], (49) при-
меняются длв качественной оценки (каврцгаый
нлм слюдяной клим) илн точного измерения (ком-
ПОЛЯРИЗАЦИОННО оптический метод исследования НАПРЯЖЕНИЙ 523
Типы полярископов
Различие в типах Типы полярископов Оценка и применение
1. По способу получения по- ляризованного света 1. С поляризационными призмами. 2. С искусственными поляризаторами (поляроидами) Поляризационными призмами достигается наилучшая поляризация, но поляроиды позволяют с малым числом лнмз иди без них иметь большее рабочее поле уста- новки
2. По оптиче- ской системе 1. Полярископы с линзами. 2. Полярископы без линз с зеркалами. 3. Полярископы без линз с диффузором Полярископы без линз применяются для получения большого пабочего поля установки (0 300 мм и больше)
3. По ходу лучей в модели 1. Полярископы с прямым ходом лучей. 2. Полярископы с двойным ходом лучей В типе 2 удваивается наблюдаемая раз- ность хода — луч проходит модель дважды; применяется для односторон- него монтажа (исследование замкнутых оболочек и оптически активного стоя на непрозрачной модели)
4. По назна- чению 1. Для качественных исследований. 2. Для исследований плоских моделей (по метолу полос). 3. Для зональных исследований по точ- кам (иа малых участках плоской мо- дели нлн срезов объемной модели) 4. Для исследования объемных моделей. 5. Специального назначения (жЛя иссле- дований во вращающихся моаелях, при вибрациях, прн ударах и пр.) Типы 1 н 2 — обычно применяемые. Тип 3 — для исследования в зонах концен- трации напряжений и при малых т
Таблица 14
Применяемое ря.положение пастей полярископа и наблюдаемый оптический аффект
(прн монохроматическом стете)
Тип полярископа Расположение частей полярископа Поле вокруг модели Изоклины Порядки полос интерференции
Плоский, с пря мым ходом лу- чей, без пластн- X МОК. -у Поляризатор н анализатор скрещены (главные плоскости под углом 90'*) Поляризатор н анализатор парал- лельны Черное Светлое Темные Светлые Целые Половинные
Круговой, с пря мым ходом лу- чей, с пластин- X камн, — Поляризатор и анализатор скрещены (параллельны), оптические оси пла- стинок -| скрещены (параллельны) и под углом 45° к главной плоско- сти поляризатора Поляризатор и анализатор скрещены (параллельны), оптические оси пла- стинки y параллельны (скрещены) и под углом 45° к глааиой плоско- сти поляризатора Черное Светлое Ке видим Не видны Целые Половинные
Сдвоенный (с об- ратным ходом лучей от модели) Общий поляризатор и анализатор без пластинки д- Общий поляризатор и анализатор с одной пластинкой -у, имеющий оптическую ось под углом 45° Независимые поляризатор и анализа тор без пластинки -i- (или с ней) Светлое Темное Как при сое . тем рас в плоском полярмскс мым ходо Светлые Не видны пветствую- положении (круговом) >пе с пря- м лучей Целые и половин- ные Целые и полони- мые Как в поляриско- пе с прямым хо- дом лучей. UO с удвоением по- лезной толщи- ны модели
524
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЯ, НАПРЯЖЕНИЯ
пенса торы Бабине, Федорова, Бсрека, Красном)
разности главных напряжений в моделях из мало
оптически активных материалов (стекло, целлу-
лоид) или же в тонких пластинках (срезах) тол-
щиной менее 3 мм модели из материала высокой
оптической активности. Применение см. [49].
Устройства для измерения по-
перечных деформаций в плоской
модели и изменений толщин сре-
зе в к размеров частей объемной модели прн
.размораживании*: а) толщемеры; б) опти-
метры; в) окуляр-микрометры.
Установка для исследования по
методу рассеянного света (УРС) [24]
(Институт машиноведения АН СССР) обеспечи-
вает: создание интенсивного плоского пучка па-
раллельных лучей поляризованного монохромати-
ческого света; перемещения и повороты модели
относительно направлений просвечивания и на-
блюдения; фотографирование картины полос прн
строго определенном одном и том же для всех
точек просвечиваемого сечения направлении рас-
сеяния света; измерения на модели.
Нагрузочные устройства. При на-
гружении требуется постоянство нагрузки (на-
гружение грузами) или постоянство деформа-
ции (нагружение винтами и упорами). Нагрузоч-
ные устройства применяются универсальные (для
плоских моделей — нагрузочная рамка) и специа-
лизированные (по виду и устройству нагружаю-
щих элементов, по расположению нагрузки, для
осуществления вибраций, удара, быстрого враще-
ния модели). Нагружающие элементы должны
обеспечивать требуемую передачу нагрузки на
модель и отсутствие сил трения (см. (41], [49|1.
Ус т р о й с т па л л я .3 а м о р а ж и в а и и я*.
Модель нагружается внутри термостата, допу-
скающего приложение нагрузок, деформацию мо-
дели, подъем до 150" и регулирование темпера-
туры с отклонением -до ±3° С в течение суток
(см. [41J, [49]).
Проведение исследований
Выбор модели и переход от моде-
ли к натуре. При деформациях в пре-
делах упругости (прн однородном и
изотропном материале) и при статиче-
ской наптузке модели необходимо, чтобы
модель была по отношению к детали
выполнена с соблюдением масштабов
геометрического а и силового £ подобий:
Масштаб перехода от модели к на-
туре для всякой другой величины (на-
пряжения, деформации и пр.) опреде-
ляется исходя из ее размерности по
величинам а и и по соотношению мо-
дулей упругости. Из строгого условия
статического подобия
- „ + 88)б<ГЯ>
ап Е-мод 1 т___________У дет (^ЛДелз
Едет „ . (а2 4- J») мои (^ЬмоО
°1' мод----------------
Нжоа (20)
следует, что на распределение напряже-
ний не влияет соотношение модулей
упругости Еиод и Едет и что при про-
извольных значениях oJt а2> °з может
оказаться необходимым соблюдение
условия равенства коэффициентов Пуас-
сона Илгоа = Рлет- Для всех случаев
плоских моделей несоблюдение усло-
вия р-жо<, = у-дет или не лает ошибки при
моделировании напряжений и деформа-
ций (см. табл. 15) или (при неравенстве
нулю равнодействующей внешних сил.
приложенной к каждому контуру) ошибка
мала (до 5%) и может не учитываться.
В объемных моделях величина р отно-
сительно в меньшей степени сказывает-
ся на величине большего по абсолют-
ной величине главного напряжения
(до W'Vo) и в большей степени на вели-
чинах двух других главных напряжений.
В случае чистого кручения вала пере-
менного диаметра величина р не влияет
на распределение напряжений. С увели-
чением суммы второго и третьего глав-
ных напряжений по сравнению с первым,
за которое принимается наибольшее по
абсолютной величине (например, в кон-
тактной задаче), ошибка моделирования
из-за несовпадения риов и р^ет увели-
чивается.
Необходимые условия подобия и фор-
мулы перехода от модели к натуре см.
табл. 15.
Размеры модели выбираются из усло-
вий имеющегося материала, возможно-
сти выполнить модель с соблюдением
требуемого соотношения размеров и
обеспечения точности измерений. Тол-
щина плоской модели не влияет на полу-
чаемую оптическую картину при нормаль-
ном просвечивании, но лучше применять
минимальную по условию устойчиво-
сти толщину; это дает меньшую глу-
бину зоны краевого эффекта време-
ни и уменьшает эффект толщины моде-
ли (плохая четкость изображения кон-
тура, увеличивающаяся с толщиной);
в толстых плоских моделях под дей-
ствием возникающих поперечных нор-
мальных напряжений уменьшается попе-
речная деформация в зонах неравномер-
ности напряжений в плоскости модели.
Преимущества крупных
объемных моделей: а) благодаря
возможности иметь большей толщины
срезы (в .замороженных* моделях) илн
пучки просвечивающих лучей (при при-
менении рассеяния света) достигается
повышение точности измерения и умень-
шается эффект кривизны границ; б) при
том же количестве полос интерферен-
ции — меньшая деформация модели.
Величина прилагаемой к мо-
ПОЛЯРИЗЛЦИОННО ОПТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ ,7’5
Таблица О
Условия подобия детали и модели
Зависимости Hi напряжений и деформаций п детали и модели (в пределад пропорциональности) *.
Е - модуль продольной ynpvi-пгти; г тки:ям; 5 усилие в сечениях; и — линейное перемещение.
Условия подобия и аавнскмости Запись условий подобия и зависимостей при соблюдении подобия
1. Геометрическое подобие. Постоянство для всех участков модели масштаба «геометри- ческого подобия: см. формулу (19) Отношение длины отрезка на детали к длине соответствующего отрезка на модели, а = const. Углы на детали и модели равны
2. Силовое подобие. Постоянство для всех участков модели масштаба ₽ силового по- добия; см. формулу (19) Отношение равнодействующей нагрузки на дета* ли к равнодействующей нагрузки на соответ* ствующих участках модели. 0 = const
3. Условие подобия контакта деталей: длины соответствующих участков контакта в де- тали н модели сохраняют масштаб я 1 в м ^1 дет , £2 dem) \ dem / и модели, находящиеся тся подбором материала
£1 мод £2 мод, 2 — части летали контакте. Соблюдая оленей и выбором в
4. Зависимости между изгибающими момеи- тами МОет и напряжениями о#ет и Омо<) и перемещениями идет и (при соблюдении условий пп. 1, 2 и 3) «Оет ™мод' °дет“ а амод; ^од . Емод Udem“ <дет “мод (плоские деталь и модель); ? . _ ₽ ^мод ° дет “ а« амод; “дет^" “7 ' имод (объемные деталь и модель)
5. Зависимости при условии равенства вели- чин относительных деформаций в детали и модели; •= «жод * Если ковффнииситы Пуассоиа детали Мгла * Ижод различие в ковффнииентах Пуа II 1. ни. ссоиа Е-дет _ . £дет емод ‘ Р' "aem Емод вмод' sdem “ №мод- идет = ммод модели равны — V-мод илк СС4И ЛРН сказывается незначительно; см. стр. 524 и
дели нагрузки должна обеспечить
получение достаточного для измерений
оптического эффекта (10—20 полос на
толщину 1 см) и не давать напряжений
в модели, бдльших предела пропорцио-
нальности опр материала модели. При-
меняются следующие способы опреде-
ления величины прилагаемой к модели
нагрузки в зависимости от требуемой ве-
личины оптического эффекта и по апр
материала модели: I) приближенный рас-
чет величин (aj—»г) и нагрузки в мо-
дели; 2) для существующей или спроек-
тированной конструкции — по рабочим
нагрузкам с учетом масштаба подобия.
Основные погрешности, вы-
текающие из применения моделей (для
упругих деформаций): 1) невозможность
соблюдения условия (лхог, - цРет (для
объемной модели); 2) искажение формы
модели при нагружении по сравнению с
формой деформированной детали (при
методе .замораживания*). Величина по-
грешностей зависит от задачи и оцени-
вается: I) расчетом для задачи, близкой
к рассматриваемой, или 2) по результа-
там испытаний.
Изоклины и траектории напряже-
ний (изостаты) в плоских моделях.
Изоклина параметра н — геометриче-
ское место точек, в которых направление
главных напряжений о, (или ог) обра-
зует угол <f, (или 90° — <f,) с началь-
ным произвольно выбранным направле-
нием (например, осью х). Совокупность
изоклин последовательных параметров
(поле изоклин) определяет направление
главных напряжений во всех точках
модели и используется для вычерчива-
ния по нему изостат, а также при ком-
пенсации по точкам при измерениях
(«! — аг) внутри контура модели.
526
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ. НАПРЯЖЕНИЙ
Способы получения изоклин см. (15J.
[41], [49]; рекомендуется применение мо-
делей из оргстекла.
Траектории главны» напря-
жений (изостаты) представляют собой
две системы взаимно перпендикулярных
кривых, касательные к которым совпа-
дают с направлениями главных напря-
жений; к свободному контуру изостаты
выходят по нормали. Поле изостат по-
лучается по полю изоклин проведением
через точки изоклин прямых с накло-
ном, равным параметру изоклины; по-
строение может начинаться с любых
точек на изоклине. Построение изостат
по изоклинам см. [41], [49].
Изотропные точки (oj — аг) — О
наблюдаются как полосы (изохромы)
интерференции нулевого порядка т — 0.
Способы определения положений точек
т — 0 с помощью полярископа: а) при
белом свете и круговой поляризации
точки т — 0 — темные с оранжево-жел-
той каймой, все прочие—цветные;
б) через точки т = 0 проходят все
изоклины (проверяется при белом свете
и плоской поляризации); в) при нагру-
жении модели точки т — 0 не пере-
мешаются.
Различие случаев С] = е2уЬ0 или
а, «= а2 = 0: а) а( — о2 = 0, если попе-
речная деформация в изотропной точке
равна нулю (проверяется толшемером)
или если высверливание поперечного
отверстия малого диаметра в модели не
нарушает картины напряжений; б) Oj —
— а2уЬ0, если при наклонном просве-
чивании изотропная точка раздваивается.
Определение разностей главных
напряжений сводится по формуле (15)
к определению целого нли дробного по-
рядка т интерференции.
Методы замера m: 1) сопоста-
вление окрасок (белый свет в поляри-
скопе) для качественного определения
щ<4 [49]; 2) применение эталона; см.
[41], |49|; 3) компенсация по точкам прн
малой оптической активности материала
модели (стекло, целлулоид) или при
малой толщине модели (например, при
срезах .замороженной* модели толщи-
ной t а 1ч- 2 мм); см. [15], [41], [49|;
4) по методу полос при т > 3 ч- 4;
этот метод является основным для мо-
делей из материала с высокой оптиче-
ской активностью толщиной более 3—
4 мм — см. ниже; 5) применение ми-
крофотометра прн необходимости изме-
рять дробные значения т по негати-
вам [15].
Метод полос является наиболее
эффективным методом измерения т на
плоских прозрачных моделях и заклю-
чается в получении на экране поляри-
скопа при нагружении модели картины
интерференции в виде густо располо-
женных внутри контура модели полос
интерференции с последовательным по-
рядком т целым или половинным (см.
табл. 14). Необходимо применение мо-
делей из материала высокой оптической
активности; в полярископе—круговая
поляризация и монохроматический свет.
Для получения порядка полос, равного
mmu ПРИ наибольшем допускаемом в
модели напряжении требуемая
толщина модели (среза) при однократ-
ном просвечивании
(21)
‘ mmax-
CJnp
Пример. Для материала ИМ44 прн компятиой
температуре испытания (см. табл. 11), принимая
с = 0,5, получаем прн mmи — 10 наименьшую
толщину
Z “ 0,5-50(7 10 *“ 0,5 СМ'
Определение порядка т по-
лос производится: а) исходя из обычно
имеющихся точек т = 0 (выходящие
углы модели, нейтральные зоны) счетом
порядка полос, на экране или фотогра-
фии; способы определения на экране по-
лярископа точек т — 0 см. выше .изо-
тропные точки*; б) при отсутствии точек
т — 0 счетом полос в процессе нагру-
жения или с помощью компенсатора.
Порядковые номера соседних полос нли
равны, нли отличаются на 4-1 нли — 1.
Густота полос может быть удвоена, если
произвести два фотоснимка: при скре-
щенных поляризаторе и анализаторе
(темный фон; т —0,1,2,...) и при парал-
лельных (светлый фон; т = 1/ь Чг. Чг.-);
см. табл. 14.
Рекомендуемый способ оп-
ределения w,nax в зоне концентра-
ции напряжений: I) прилагается наиболь-
шая нагрузка к модели и отмечается
место тт„ J
нием лупы с 10- или .
лнчением (снабжается дйафрагмо!
небольшим отверстием) подсчитывается
в отмеченной точке величина тяи с
точностью до 0,1 полосы, начиная счете
нулевой полосы; 3) нагрузка уменьшает-
ся ступенями (через 1/10—*/2 наиболь-
шей нагрузки) и замеряются в той же
точке величины т; 4) по графику .т—
нагрузка’ определяется число полос иа
на контуре; 2) с примене -
। 20-кратным уве-
I диафрагмой с
ПОЛЯРИЗАЦИОННО-ОПТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 527
единицу нагрузки для места наиболь-
шего напряжения на контуре. Подсчет
т на фотографии обычно недостаточно
точен: а) на экране полярископа т
замеряется точнее, чем по фотографии;
б) не исключается влияние начальных
полос; в) не проверяется правильность
установки модели. Величина mmu на
контуре определяется с ошибкой не
более 2°/0 при условии качественного
материала н хорошего выполнения мо-
дели, принятии мер для видимости гра-
ниц и правильного нагружения модели
(см. (52]). Учет начального оптического
эффекта см. также табл. 16.
Способы определения зна-
ка напряжений на контуре
модели: а) приложение к модели до-
полнительной нагрузки (руками), даю-
щей на контуре известный знак напря-
жений; б) давление острым краем по
всей ширине модели; в случае растяже-
ния вдоль контура—при нажатии порядок
полос повышается (полосы сдвигаются
внутрь), и наоборот; в) применение
компенсатора или образчика материала
с краевым эффектом известного знака.
Основные случаи примене-
ния метода полос см. табл. 16.
Таблиц» 16
Основные случаи примепевия метода
полос при исследовании напряжений
иа плоских моделях
•оО'°) и о#(б — оптические постоянные матерные
для толщин модели 1Д см к t см; т — номера
полос на контуре
Основные случаи
1. Определение напряжений на непогру-
женном контуре
Случай 1. Могут быть вычислены напря’
женил <Ч)ет в какой-либо точке Л контура
летали (и модели).
Оптическая постоянная материала модели и
нагрузка модели могут не определяться.
Напряжения в любой точке В вдоль кои
тура детали
тВ
‘дет, В “ А
Продолжение табл. 16
Основные случаи
2. Определение напряжений на непогру-
женном контуре.
Случай 2. Напряжения не могут быть
подсчитаны ин в одной на точек детали
(и модели).
При вксперимеите должны быть определены
постоянная материала «,(*,0) н нагрузка мо-
дели
Напряжения в точке Я вдоль контура детали
1 fMod рдет л <п
в — масштаб геометрического подобия.
3. Определение усилий • селениях »ле мен-
тов плоских рам и ферм
В сечении CD;
продольное усилие
А' — th а.(Л «' t«* ;
изгибающий момент
.. lh* (Л т' ” т"
м - -в —5—:
поперечин сила
Q = - -±-N;
с — расстояние между нулевыми точками О'
и О' (см. фнг. ниже); К и г — высота и
ширина сечения. Определение положения
нулевых точек в модели используется для
разрешения статической неопределимости
рам.
Для плоских статически неопределимых рам
размеры сечения каждого стержня плоской
модели йМод (в плоскости, перпендикуляр-
ной к модели) и *1МО<) (в плоскости модели»
подбираются с соблюдением условия
^модб^мод ^дет _
---—------« ——— и при необходимости
учета деформаций от продольных сил
?дет
б мод б мод *“ JT"
.528
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ, НАПРЯЖЕНИИ
Продолжение табл. 16
Основные случен
4. Определены» коеффициентов концентра-
Пример 2. Картина полос, полученная для
модели по фиг. 25, а боковины детели переменной
толщины, соответствует случаю 2 табл. 16. Уси-
лие Рм0д ’определяется с помощью оптического
динамометра (фиг. 25, б). На основании учета
масштабов подобия в точках Л и С летали
о — 0,24 тР^щ, в точке В о — 0,25 тР^п; зиа
чення на контуре даны иа фиг. 25, а. Усилие P^tж,
приходящееся на боковину детали, определяется
Картина полос соответствует приваленному
основному случаю 1:
при изгибе
*С М *С .
’о т Me 1Г '
при продольном усилии
_ тс _лг [с_.
“ ш F '
и m; Mq и JU: Nq и N; IF^ и IF; Fq
h F — соответственно наибольшие поряд-
ковые номера полос, изгибающие моменты,
продольные усилия, моменты сопротивле-
ния и плошали для сечения, содержащего
точку С концентрации напряжения, и для
сечення, в котором определяется номиналь-
ное напряжение он . При значительном на-
чальном оптическом эффекте в приведенных
формулах
тс “ тс ± mq; т " т' ± т*.
а
где тс и т' — порядковые номера в нагру-
женной модели и тс и т ° — до нагрузки
5. Оцлкло формы детали. Рассматриваются
картины полос для основных случаев на-
грузки. Сопоставлением наибольших поряд-
ковых номеров полос на контуре опреде-
ляется соотношение напряжений п различ-
ных местах детали.
6. Выбор формы детали. Рассматриваются
картииы покос для основных случаев на-
грузки. Рассматривается картина полос для
существующей формы; после второ в месте
наибольших напряжений изменяется контур
нли размер для уменьшения mmax. Изме-
нение конфигурации делается повторно. От-
носительное уменьшение величины
характеризует степень улучшения формы
Примеры применения метола
полос
Пример I. Определение коэффициента кон-
центрации для двух форм сопряжений выступа
с горизонтальной частью (фиг. 24. на вклейке);
обе формы, правая и левая, выполнены в одной
модели и потому они нагружаются одина-
ковой силой. Коэффициент концентрации а »
“И4’1'01
Р
ине — —
" oh
1,4; номинальное иапряже-
Для формы сопряжения,
указанной справа, напряжения в 1,4 раза меньше,
чем для левой.
расчетом или динамическими измерениями при
работе машины. Если Р^ет неизвестно, то по
картине полос находятся лишь соотношения напря-
жений в различных точках детали.
Разделение главных напряжений
для плоских моделей. Внутри контура
модели полярископ прн нормальном про-
свечивании позволяет найти только
разность R — (0| — а2) главных напря-
жений и их направления. Для опреде-
ления отдельно величины каждого из
главных напряжений aj и (разделение
главных напряжений) применяются до-
полнительные экспериментальные или
вычислительные методы:
1) измерение поперечных деформа-
ций модели (см. |41), [49|);
2) наклонная установка модели (см.
1411. [49J;
Фиг, 21. Картина полос, получаемая прн сопоставлении двух форм выреза к определении
коэффициентов концентрации дли них.
«) б)
Фнг. 29. а — картина полос для рассеянного светя, полученная для модели скручиваемого вала по-
стоянного сечення с вырезом; б —линии целое (траектории касательных напряжений в сечении) и
эпюры касательных напряжений.^ для точек по вертикальному диаметру [J и rs- — по контуру.
Том 3
ПОЛЯРИЗАЦИОННО-ОПТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 529
3) метод аналогий (см. 161, (211, [411,
|49]. (51 J); i I i I. i J
4) интегрирование по изостатам (см.
(15J. [44(, fai);
о) метод приращения касательных
напряжений (см. [41]);
6) метод конечных разностей (метод
сеток) (см. [41]. [49]).
Определение напряжений на объ-
емных моделях. В общем случае
объемных моделей требуется более
сложная техника измерений, чем для
плоских моделей. Напряжения на поверх-
ности и по отдельным сечениям модели
при трехмерном напряженном состоянии
наиболее просто оптическим методом ре-
шаются с применением оптически актив-
ных слоев. В общем случае исследования
применяются независимо илн в сочета-
нии: а) метод .замораживания’;
б) метод рассеянного света. Для раз-
деления главных напряжений, кроме
того, применяются вычислительные ме-
тоды или (при •/= 0,5) измерение
линейных деформаций при .размора-
живании*. Объяснение явления .замора-
живания* см. (41], [49].
Пример применения поляризационно-
оптического метода к определению да-
влений по поверхности см. [32].
Метод иммерсии. Объемная
нагруженная модель погружается в им-
мерсионную ванну и просвечивается в
полярископе параллельными лучами по-
ляризованного света (см. [41] и [49]).
Получающаяся на экране картина дает
суммарный эффект прохождения каждого
луча через всю толщину модели. Истин-
ные напряжения по полученной картине
могут определяться с достаточной точ-
ностью, если они по толщине модели
меняются незначительно или если модель
осесимметричная.
1. Односторонний монтаж
полярископа (см.стр.523и[15],[49|j
позволяет проводить измерения в слож-
ных конструкциях, не допускающих пря-
мого просвечивания всей конструкции,
при определении продольных усилий в
пространственных оболочках нлн в от-
дельных элементах сложных конструкций.
2. Модели со слоями различ-
ной оптической активности
применяются для исследований напря-
жений в сечении объемной модели прн
прямом просвечивании без .заморажива-
ния*, а также для измерения динамиче-
ских напряжений внутри объемных моде-
лей. Модель изготовляется из оптически
неактивного (или с малой активностью)
34 Том з *
прозрачного материала (оргстекло, цел-
лулоид) со встроенным в нее монолитно
оптически активным слоем (пластмасса
с высокой оптической активностью с
тем же модулем упругости, что и для
неактивного материала) в месте, где
необходимо замерить напряжения.
Прн исследовании напряжений в
плитах модель выполняется из двух
слоев 1 и 2 (фиг. 26) различных про-
зрачных материалов, имеющих соответ-
ственно толщины h\ и Л2 и оптические
постоянные а},1]0) и (53). По норма-
ли к пластинке сохраняется постоянство
главных направлений во всех местах
и линейный закон изменения нормаль-
ных напряжений в сечении по толщине,
исключая зону возле опор и сосредо-
точенных нагрузок (тонкая пластинка).
При этих условиях: 1) при нормальном
просвечивании получаются изоклины, как
в плоской модели; построенные по ним
траектории главных напряжений опреде-
ляют также направления главных изги-
бающих моментов в пластинке; 2) при
одинаковых модулях продольной упру-
гости слоев / и 2 величина разности
главных напряжений (<»i — <тг)ГОЛх иа "°*
верхности плиты выражается через по-
рядок полосы, наблюдаемый при сквоз-
ном просвечивании составной модели:
«1 ।_________«1
При различных модулях упругости
Ег для слоев 1 и 2 в приведенной
Л_(Л1_Л1);
л*
(Г n/>u<
6
и
формуле вместо h\ вводится Л,
и вместо Л вводится йприя
момент сопротивления
при Л]
530
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ, НАПРЯЖЕНИИ
Для разделения главных напряжений
применяются вычислительные методы
3. Метод .замораживания*.
Объемная модель изготовляется из про-
зрачного материала, обладающего спо-
собностью к .замораживанию*. Нагру-
женная модель нагревается до темпера-
туры .замораживания*, выдерживается
при ней и затем в нагруженном состоянии
охлаждается до комнатной температуры.
В модели после снятия нагрузки сохра-
няются упругие деформации, получен-
ные при нагреве, как и в любом выре-
занном из нее срезе (пластинке). Про-
свечивание вырезанных срезов поляри-
зованным светом позволяет определить
разность квазиглавных напряжений и их
направления; при нагреве срезов или
частей модели их размеры возвращаются
к первоначальным (.размораживание*),
что используется для измерения линей-
ных деформаций. Нагрузочные устрой-
ства не мешают измерениям.Прн исследо-
вании напряжений быстровращающихся
деталей устраняется необходимость
измерений во время вращения.
Недостатки метода: необходимость
разрезки модели, значительные дефор-
мации. получаемые при нагреве модели,
которые могут дать искажение формы
детали; невозможность исследований
при приложении динамической нагрузки;
трудность учета при измерениях на сре-
зах начального оптического эффекта,
значительного для большинства мате-
риалов. Суммарная ошибка и определе-
нии напряжений 5— 15®/0 в зависимости
от задачи и условий эксперимента.
Изготовление моделей, .заморажива-
ние*. разрезка моделей измерения — см.
|22). [23|. |24|, [41]. (49[. |«|. !«)
Напряжение по порядковому номеру
полосы .замороженной* модели опреде-
ляется как: а) произведение номиналь-
ного напряжения на отношение порядко-
вого номера т полосы к порядковому
номеру, соответствующему номиналь-
ному напряжению (постоянная мате-
риала о^|,и) не входит); б) произведение
порядкового номера т на постоянную
материала, определенную по той же
модели или с помощью образца. Пере-
ход к напряжениям и деформациям в
натурной детали —см. табл. 15.
Способы определения и а-
п ряже и и й: 1) Непогруженная по-
верхнгмть модели-, о, >2.,^ О; значе-
ния з0 и т берутся на 1 с.и луча. По
срезу параллельно поверхности модели
просвечиванием по нормали определя-
ются в плоской модели направления
главных напряжений. В одном нз глав-
ных направлений (например, at) выре-
зается пластинка в плоскости, перпенди-
кулярной к поверхности; прн просвечива-
нии по нормали получается
т, — — . (23а)
’о ! :
Второе главное напряжение о2 опре-
деляется по просвечиванию под углом
я к первому в плоскости, касательной
к поверхности:
т = — («| cos2 а -|- о, sin2 a). (236)
°о
При ошибке в направлении выреза-
ния второй пластинки в 10° ошибка
в определении напряжения до ЗЯ)0.
2) Общий случай объемного напря-
женного состояния: aj >. a2 > о8 + 0.
Внутренняя точка С, для которой должны
быть определены все компоненты на-
пряжений, соединяется с выбранной
точкой О внешней поверхности прямой,
принимаемой за ось х. Используются
срезы в плоскостях ху и лг, просвечи-
ваемые по нормали, соответственно по
оси х и у (два отдельных среза в двух
моделях или, при больших размерах
модели, второй срез берется из первого;
возможно использование одной пла-
стинки с ее просвечиванием по несколь-
ким направлениям — см. |41], ]49|). При
этом с помощью оптических измерений
получаются эпюры 1Г>, и ~xz для точек,
лежащих от оси Ох на расстояниях
Дг й у
соответственно ± —у- и ± —j-:
= ту (г1 — °a)xv s'n
1 -
гм - j (’I — ®з)лт Sin 2<р0. (24а)
где (aj — о») н ifo — измеряемые на сре-
зах разности квазиглавных напряжений
и параметры изоклин соответственно
в плоскостях ху и хг.
Расстояние ОС разбивается точками
0, 1, 2. 3, .... С па равные интервалы
Дх, подсчитываются приращения каса-
тельных напряжений тгу и т„ в точках
на концах отрезков соответственно
Дг Ду
1у и t 2~* OTJIOM(e,,l,u* по перпен-
дикуляру к оси х в точках 0, I. 2.3.....
С. а также средние арифметические
ПОЛЯРИЗАППОННО ОПТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ' НАПРЯЖЕНИИ 531
и Д1жг этих приращений на каж-
дом интервале 0. 1, 2. 3,... При Л у =
— <lz = Д г
Юс = Юо - У, ^ху — S Ат"- <24б)
и и
Начальная величина (ох)о для точки
О на поверхности модели определяется
из граничных условий и порядка полос
на контуре. Далее для рассматриваемой
точки С находятся
(00с ™ («0с*” («1 °^ху.с cos
(00с - Юг - («I —°i)«.cCOS 2?о. (24в)
С применением просвечивания среза
ху в повернутом относительно оси у
по часовой стрелке на угол 6 положе-
нии находится
з0/и6 sin 2?0 — <тух)с51пв
=-----------cose----------• (24г)
Здесь — и ч»0 — соответствую-
щие разности квазнглавных напряже-
ний и нзоклииические углы для точки
С (см. |41], [49]).
Фиг. 27.
Пример I. Скручивание пала перс
м е и и о г о диаметра. В сечении по надрезу
(фиг. 27, а) неилвестноА для каждой точки
34*
является одна величина — касательное иапряже
ни» - ,*
так как t.j — 0. Здесь я — угол между нормалью
к среду и направлением просвечивания: т — поря-
док полосы интерференции при просвечивании а
о. — соотвстствукииая ей постоянная материала для
толщины, рваной длине пути луча в пластинке
Получен коэффициент концентрации
а, - 1,43
М*
при ’-"ОЗУ
Пример 2, И $ г и б вала с надрезом.
Компоненты глапмы! напряжений а точках семе-
мня по надрезу (фиг. 27, о) определяются по пла-
стинке, вырезанной в плоскости изгиба с нормаль-
ным н наклонным просвечиванием. Эксперимем
тал».мо полученный коэффициент концентрация
для точки по дну иалрезз аа = --—------— 2^
4Л1
(по теоретической формуле для гипероолическоге
надреза к, — 2,14).
Пример 3. Крыльчатка пол дей-
ствием центробежным сил при
вращении. При .«амиражипанин* модели
(фиг. 28, а), изготовленной из материала МИХМ-
ИМАШ. крашение осуществляется в термостате
с числом оборотов 1353 в минуту, подобранным
так, чтобы напряжение в модели не превосходило
<>,6ояр - 3 хПсм\
По замеру прогибов в .замороженной* модели
с помощью оптиметра предварительно выявлен
характер и знак деформаций отдельных элемен-
тов. Для определения напряжений выполнена раз-
ретка на меридиональные и тангенциальные пла-
стинки на всю толщину покрыплюшего лиска и
по лопаткаи (фиг. 28, о): а) пластники А, Б, В
для определения меридиональных напряжений по
внешней и внутренней сторонам покрывающего
лиска; замер гл при просвечивании в кольцевом
иаправленни в 16 точках (с обеих сторон в каждой
пластинке): б) пластинки I, ......7 — для пире
деления кольцевых напряжений для трех сечений,
как укатано на фиг. 28, 6 слева; замер т прока
водится в одной или двух точках прн про
спечнпаиин и меридиональных плоскостях: в) апо
лопатки (для контроля расположенные под
углом ‘0е), напряженное состояние в которых
рассматривается как плоское: г) ториевые ере тя
втулки с с.6.чех сторон крыльчатки для «пред,
ленна напряжений во втулке и концентрация
напряжении в месте сопряжения лопатки со втул-
кой. Напряжения и модели подсчитываются ио
формуле еж —-— in, некоторые ит полученных
эпюр приведены иа фиг. 28. а.
На основании построенных эпюр: а) пересчетом
по масштабам подобия получены напряжении для
натурной крыльчатки; б) найдено, что наиболь-
шие напряжения возникают и .шпхгках iu сере-
динах внутренних сторон)и в зоне концентрации —
в месте сопряжения лопа |ки с внутрен.п>м контуром
покрывающего диска (о, ». !.»); при гпм же ра
анусе сопряжения концентрация в месте сопра
женин лип.пин с телом втулки огеутствует; ощо-
шенне наибольших напряжений и .ц.плке н в ио-
врывающем диске m,..a. «т„, ... •= 3,0 : (1,4 х
X2,4) а. 0,9. -» roJ*d
532
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ, НАПРЯЖЕНИЙ
Фнг. 2Н. Исследование крыльчатки: а — модель; б — разрезка модели; а— примеры полученных эпюр
напряжений в модели. Меридиональные напряжения / — сечение Г, внутренняя сторона крыль-
чатки; //—сечение В, внутренняя сторона крыльчатки; ///—сечение В, внешняя сторона. Кольцевые
напряжения sj; IV — сечение Г по лопатке; V — еечекне В, внутренняя сторона; VI — сечение О,
наружная сторона; VII — сечение Г, внутренняя сторона крыльчатки.
4. Метод рассеянного света.
Параллельные лучи поляризованного
света в виде тонкой полосы пропуска-
ются через объемную модель и дают
в каждой точке на своем пути внутри
модели рассеянный свет, который на-
блюдается в направлении, перпендику-
лярном к лучу. Состояние поляризации
по линии каждого луча от точки к точке
меняется соответственно с напряжен-
ным состоянием в этих точках. Измере-
ния основаны на том, что интенсивность
света, рассеиваемого точкой, пропор-
циональна квадрату компоненты коле-
бания проходящего света, нормальной
к линии наблюдения; прохождение рас-
сеянного света через модель не сказы-
вается на измерениях, так как рассеян-
ный рвет наблюдается без анализатора.
При круговой поляризации в установке
(см. стр. 524) определяются разности
квазиглавных напряжений и при плоской
поляризации — направления главных на-
пряжений. Измерения ведутся на нагру-
женной при комнатной температуре
модели (материал ИМ-44, глнфтале'вая
смола) или модели после .заморажива-
ния' (материал МИХМ-ИМАШ). Просве-
чивание узкой полосой лучей плоско или
по кругу поляризованного света объем-
ных моделей производится в различных
плоскостях и плоской — в ее плоскости.
Исследования могут вестись при стати-
ческой илн динамической нагрузке.
Недостатки метода: разность квази-
главных напряжений определяется по
градиенту в направлении проходящих
лучей; перемещения и повороты нагру-
женной модели, необходимые для про-
свечивания по различным сечениям,
затруднены.
Оценка погрешности измерений (при
надлежащих размерах моделей и каче-
стве материала): для внутренних точек
модели 10®/0 и на контуре 6— 10% (при
одном просвечивании) и 15—20% (при
нескольких просвечиваниях); в области
высоких градиентов напряжений ошибка
в определении разности квазиглавных
напряжений уменьшается, но создается
дополнительная ошибка в определении
расположения точки, соответствующей
ПОЛЯРИЗАЦИОННООПТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ 533
найденной разности квазиглавных напря-
жений.
По одной фотографии картины полос
получается для всего просвечиваемого
сечения разность квазиглавных напря-
жений в плоскости, перпендикулярной
к направлению s просвечивания:
(°1 — °г)ср= "j' (25а)
(среднее на участке между полосами;
ds — расстояние между соседними поло-
сами в направлении з);
(25б)
(истинное значение).
Определение может производиться
микрофотометром (ширина щели микро-
фотометра не более 1—2 десятых от рас-
стояния между полосами). Прн измере-
ниях поворот квазиглавных направлений
по точкам луча можно практически не
учитывать (см. стр. 521). Точность изме-
рения у контура снижается нз-за боль-
ших градиентов показателей преломле-
ния (переходный слой), вызывающих
искривление лучей и искажение на-
блюдаемой картины.
Способы измерений в зави-
симости от типа напряжен-
ного со стояния см. [24|.
Пример I. Чистое кручение вела.
Производится просвечивание продольного или
поперечного сечение. При прогпечинаиии полсреч
ного сечеииа (фотографирование вдоль осн вала)
картина полос И1ггерфереицин рассеянного света
дает траектории касательных напряжений т и сече-
расстояния d между полоса
мипо перпендикуляру к ним
обратно пропорциональны
г
величинам х = — .
а
Пример 2. Сжатие
вала круглого се-
чения с кольцевой
выточкой. Достаточно
найти напряжения в одной
плоскости симметрии; про-
свечивание плоскости сим-
метрия в двух направле-
ниях: вдоль радиусов и под
углом 8 к ним (фиг. ЗЩ.
Ось поляризации просвечи-
вающих лучей и напра-
вление наблюдения состав;
углы 45“ с нор-
малью к просвечиваемой плоскости симметрии.
Разности квазиглаииых напряжений, соответ
ствующне этим просвечиваниям, определяются
по картинам полос:
(в, — °:)г яь дтг
ан гом д$г ’
(в. — «Зв «•
5%' ЗЗв
где г — радиус сечения; ан — номинальное напря-
жение, определяемое (для правых частей в при-
водимых формулах) по полосам для удаленных от
выточки сечений. Условия измерений: .заморо-
женная* модель на материала МИХМ-ИМАШ;
диаметр вала 70 лит, длина 230 мм н диаметр по
шейке 17 мм; 0 — 45“; 0 — 24“ (показатель пре
ломлепня материала модели лр =1^68): ширина
щели 0,5 мм. Приложенная нагрузка Рвксп “
— 28 «Г; найденная по картине полос Ррасч~
^25,'2кГ. Расхождение полученных теоретически
(по методу Нейбера) и по эксперименту ьозффн
ииентов концентрации - (Pi*.
ЛИТЕРАТУРА
1. Богуславский П. Е., Дунаев
А. И.. Методика испытаний крановых металлокон-
струкций, ВНИИПТМАШ, Машгиз, 1950.
2. Бонч-Бруевич А. М., Применение
влектроннык ламп в акснернментальпой физике,
ОГИЗ, 1963.
3. В а с и л ь е в А. В., .Вестник Машинострое-
ния- .4 5, 1955.
4. В о л ч о к Л. Я.. Электрические методы
измерений я двигателях внутреннего сгорания,
Машгиз, 1948.
5. Всесоюзная выставка отече-
ственного приборостроения, ката-
лог-справочник, вып. 18, 19, 22а и 226, 36; Маш
гиз, 1948 и 1949.
в. Г у т е и м а х е р Л. И.. Электрические мо-
дели. изд. АН СССР, 1949.
7. Д а в и л с н к о в Н. Н., Струпный метод
измерения деформации, ГТТИ, 1933.
8. Динамика и прочность авиадвигателей, т. 3,
сб. статей под рел.С.В.Ссренсека, Оборонгиз. 1949.
9. Знлова Т. К., Фридман Я. Б., Ме-
тодика изучения местных пластических деформа-
ций с помощью накатных делительных сеток, .За
водская лаборатория* N 3, 1951.
IV. И в а н о в М. Н., Фототеневой метол ре
гистраинн колебаний, сб., МВТУ .Машины н при-
боры*, Машгиз, 1953.
И ИСТОЧНИКИ
11. Измерения механических ве-
личин влектрическнмн методами,
сб. перев. с англ., Машгиз, 1952.
12- Красиков В. И., Испытания строитель-
ных конструкций, Стройнздат, 1952.
13. КрыловА. Н„ Вибрация судов, ОНТИ,
1938.
14. Ламповые усилители, т. I и 11.
изд ио .Советское радио*, 196).
15. Ленинградский государствен
ный университет, .Оптический метод изу-
чения напряжений о деталях машин*, ОНТИ, 193т
и .Экспериментальные методы изучения напря-
жений и деформаций*. ОНТИ, 1935, а также
.Труды конференции по оптическому методу*,
сб. НИИММ ЛГУ, ОНТИ, 1937.
16. Л е х н и ц к и й С. Г., О переходе от на-
пряжений в прозрачной модели к напряжениям в
действительной летали, сб. ЛГУ .Эксперимеиталь-
пые методы научения напряжений и деформаций*.
ОНТИ, 1935.
17. М и л ь ш т е й и В. Н., Основы электри
ческого расчета индуктивных измерителей малых
перемещений, журнал .Автоматика и телемеха-
ника* М 2, 1941.
18. Майоров ф. В., Магнитозлектрнче
ское измерение деформаций в машинах, .Элек-
тричество* М 4, 1919.
534
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕПЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ. НАПРЯЖЕНИЙ
19. МСП, Описание измерителя деформаций
ИД-2, 1949.
20. Нилеидер Ю. А., Испытание сооруже-
анй, Справочник цроекгнровщнка промсооруже-
анй, т. 2, Госстройиздат. 1Ь34.
21. П а п к о в н ч П. Ф., Теория упругости,
Оборонгиз, 1939.
22. П р е й с с А. К., Изготовление плоских
моделей поляризационно-оптического метода ис-
следования напряжений, .Заводская лаборатория*
М 9, 1950.
23. Прнгоровекнй Н.И., П р е й с с А.К.,
Исследование напряженного состояния на про-
арачных объемных моделях в пучке параллельных
лучей поляризованного света, .Известия ОТН АН
СССР*, в. 2, 1М8.
24. Пр игоровский Н. И., Р у д а ш е в-
скнй г. В., ьокштейн М. Ф. и.др.. Раз-
витие методики и аппаратуры для исследования
деформаций, напряжений и усилий в деталях
машин, сб. Института машиноведения АН СССР.
.Вопросы машиноведения*, 1950.
25. Прнгоровский Н. И., Прейсс
А. К., Р V т о в с к и й Б. Н., 111 е г о л е а с к а я
Н. А., Материал для моделей в методе .замора
кивания*. .Иза. ОТН АН СССР* М в, 1952.
25. Пгрлиер П„ Электрическое измерение
механических величин, Машгнз, 1948.
27. Р а б и и о в и ч И. М-, Механический рас
чет. Справочник проектировщика промсооруже
кий, т. 2. Госстройиздат, 1934.
28. Р а е в с к и й Н. П., Методы експернмен-
тальното исследования параметров машин, АН
СССР. 1962.
29. Р у л а ш е в с к и й Г. Е., Трансформатор-
ная к индукционная схемы в применении к изме-
рению малых деформаций. .Труты Сейсмологиче-
ского института АН СССР* № 84, 1938.
30. ф у а а ш е в с к и й Г. Е., Крутильный де-
рормометр, .Известия ОТН АН СССР* .4 11,
•.946 и № I. 1948.
31. С а в а п е и е к и й Е. Ф.. К и р и о с Д. П.,
Элементы сейсмологии и сейсмометрии, Гостех-
аздат, 1949.
32. Саверна М. М., Завари ева В. М.,
Использование оптического метода намерения на-
пряжений прн решении задач с упруго-пластнче
скин контактом, сб. ЦНИИТМАШ .Исследование
прочности стали*, ки. 40, 1951.
33. Сервисен С. В., Те тельб а у м
И. М., Лейкин А. С.. Макс им епк о в
И. В., Статические индукционные тензометры и
их применение, МАП, вып. 157, 1949.
34. Современные к а т од и ы е о с ц и л
а о г р а ф ы, т. I, II и 111. ИЛ. I95U-1954.
35. Стекольвнков И. С., Электронный
осциллограф, Энергоиздат. 1949.
36. С т е п а и о в А. В., Новый оптический ме-
тол изучения напряжений в поляризованном свете,
.Журнал технической физики*, т. XIX, гып. 2,
37. Т е м в и к о в Е. Ф., X а р ч е в к о Р. Р.,
Электрические измерения неэлектрических вели-
чин, Госэнергонзлат, 1948.
38. Т р а п е з и и ко в В. А., Городецкий-
И. Е., П е т р о в Б. Н., Ф е л ь л б а у м А. А,
Автоматический контроль линейных размеров.
Оборонгиз, 1947.
39. Т у р и ч и и А. М„ Электрические измере-
ния неэлектрических величин, Энсргоизлат. 194.
40. Ф р и л м а н Я. Б., Механические свойства
металлов. Оборонгиз, 1952.
41. Фр ох т М., Поляризационно-оптический
метод исследования напряжений, ч. I и II. Гостех-
издат, 1948 и I960.
42. ЦНИИТМАШ, Новые машины и приборы,
каталогсправочинк, Машгнз, 1950.
43. ЦНИИТМАШ. Вибро и теизоиямеритель-
ные приборы. ки. 68, Машгнз, 1954.
44. Ченцов Н. Г., Озеров Г. А.. Основ-
ные положения оптического метода исследования
напряжений, .Труды ЦАГИ*, вып. 270, 19Я6.
45. Ш а п о in и и к о и Н. А., Механические
испытания металлов, Машгнз, 1951.
46. Ш к у р и н Г. П., Справочник по электро-
измерительным и ралионзмерительным приборам.
Военно-морское изд-во, 195>.
47. Экспериментальные методы исследования
машин, сб. Института машиноведения АН СССР
пол ре л. акал. И. И. Артоболевского, 1954.
48. Электронно-лучевые трубки, т. I и 11. изд-во
.Советское радио*. 1949.
49. Энциклопедический справоч-
ник .Машиностроение*, т. I, ки. 2-я,
гл. И н IV и т. 3, гл. Ill, Машгнз, 1947. Справочник
машиностроителя, т. Ill, Мяшгиз, 1951.
50. Experimental stress analysis. Proc., m. I—XI.
1943__1953,
51. Hetenyl M., Handbook ol experimental
stress analysis, I960.
52. H e у w о о d R.. Designing by pbotoelastl-
city, 1963.
53. P 6 p p 1 L.. M e n с П E., Praktlsche Span-
nungs-optlk, 1950; Schwleger H-. Eln
Auswerteverlahren bel d. spannungsupt. Untera.
elast. Platten, Wlasenschnlt. ZclUchr. a. Martin-
Luther Unlvers., H. 2. I9M.
54. .Измерение напряжений в деталях машин*,
сб. под. pel. Н. И. Пригоровского, Машгнз, 1955.
65. Т е р с к н х В. П„ Расчет крутильных ко-
лебаний силовых установок, Судпромгкз, 1954,
56С е м е и о и К. В., Спиров В. В.,
журнал .Заводскаа лаборатория* М 3, 1953.
Я. Джексон П., Датчики сопротивления я»
фольги, сб. переводов .Прикл. механика и маши-
ностроение* М 6, 1954.
ПРЕДМЕТНЫЙ
АЛФАВИТНЫЙ
УКАЗА ТЕЛЬ
A
Автоколебания 346
Автоскрепление труб 288
— Напряжения остаточные — Пример
определения 288
Автоскрепленные цилиндры — см. Ци-
линдры автоскрепленные
Азотирование — Влияние на предел вы-
носливости 469, 470
Аистова тензометры 491
Алюминиевые сплавы — см. Сплавы
алюминиевые
Амортизаторы 352
Амплитуды вибрации — Определение
382
--- колебаний — Уменьшение 351
--- колебаний вынужденных — Нара-
стание при различном демпфиро-
вании 337
Анализаторы 522
Антивнбраторы 352
Антирезонансная частота 362
Аппаратура для измерения деформации
490, 492, 493, 495, 498
--- текзонзмерительная — Классифи-
кация 489
Арки трехшарнириые — Пример расчета
143
Асимметричный цикл переменных на-
пряжений 448
Афанасьева метод расчета коэффици-
ентов концентрации 417
Б
Базы тензометров 489
Бакелит — Коэффициент Пуассона 22
— Модуль продольной упругости. 22
— Модуль сдвига 22
Баландина гипотеза о сопротивлении
разрушению 435
Балки — Грузоподъемность 276
— Изгиб косой 104
— Изгиб продольно-поперечный 106
— Изгибающий момент при продольно-
поперечном изгибе 107
— Коэффициент концентрации — Опре-
деление 418
— Нагрузки допускаемые 91, 273
— Напряжения 86
— Напряжения главные 89, 90
— Несущая способность 273
— Перемещения — см. Перемещения в
балках
— Прогиб 105, 272
— Прогиб допустимый — Определение
273
— Прогиб при возникновении пласти-
ческих деформаций 273, 275
— Поочность при изгибе—Проверка
106
— Растяжение или сжатие с изгибом
105
— Расчет на жесткость 95
— Расчет на прочность 86
— Сечения — Размеры — Определение
90
— Сопротивление сложное 101
— Устойчивость плоской формы изгиба
325
— Устойчивость при поперечном изгибе
186
Балки бесконечно длинные—Расчет 75
--- бесконечные под действием на-
грузки — Расчет 76
---двутавровые — Геометрический
фактор жесткости 326; — Коэффи-
циент устойчивости при опроки-
дывании 329, 330; — Напряжения
касательные при изгибе 88; —
Статический момент 276; — Центр
изгиба 103; — Опрокидывание
329
---двутавровые прокатные — Геоме-
трические характеристики 171
--- двутавровые с полками постоянной
толщины — Напряжения и угол
закручивания при кручении 32
--- двухопорные с равномерно рас-
пределенной массой — Колеба-
ния— Формы 371
---двухиролетные — Нагрузка пре-
дельная — Пример определения
276
6.18
БАЛКИ МНОГОПРОЛЕТНЫЕ - БИМОА1ЕНТ
----из разнородных материалов 94,
---- клинообразные 92
---- конические 92
---- консольные — Опорные реакции
56—66; — Опорные реакции — Фор-
мулы 55, 56; — Прогиб — Пример
решения 124; —Усилия и пере-
мещения 56—66
---- консольные при ударе — Масса
приведенная — Пример определе-
ния 400
---- любой длины с нагрузкой — Рас-
чет 78
Балки ммогопролетные — Изгибающие
моменты 66; — Поперечные силы
66; — Уравнение трех моментов 67,
68
---- на жестких опорах 66; — Расчет
73
---- на сплошном упругом основа-
нии — Расчет 74
---- на упруго оседающих опорах —
Расчет 73
---- неразрезные — Расчет 68, 73
---- постоянного сечения — Уравнения
трех моментов 66
Балкн на двух опорах—Прогибы при
возникновении пластических дефор-
маций 275
---- на упругом основании при непо-
движной нагрузке — Изгибающие
моменты 66; — Поперечные силы
66
---- ограниченной длины, нагруженные
произвольно—Расчет 77
Балки однолролетиые —Влияние сме-
шения опор и изменения темпера-
туры — Расчетные формулы 64—66
— Изгибающий момент 50
— Опорные реакции 56—66
— Поперечные силы 50
— Усилия и перемещения 56—66
Балки однопролетные защемленные —
Опорные реакции — Формулы 55
Балкн 'переменного сечения 92; —
Расчетные формулы 56—59
---- подкрановые — Устойчивость —
Пример расчета 187
---- Пластмассовые — Расчет 95
---- полубесконечные— Расчет 75
---- постоянного сечения — Напряже-
ния касательные 87; — Напряже-
ния нормальные 86; — Расчет на
прочность 89
---- постоянного сечения с жесткой аа-
делкой — Расчетные формулы
60—63
---- постоянной жесткости — Прогиб —
Дополнительные влияния 97
---- прокатные — Сечения — Напряже-
ния и угол закручивания при кру-
чении 31
---- простые — Линии влияния для
расчета 79
---- прямоугольного сечения двух-
опорные — Прогиб — Пример опре-
деления 273
---- равного сопротивления изгибу 92
---- с двумя грузами 78
---- с защемленными концами — Ливия
влияния 80
---- с любым направлением сосредо-
точенных сил, перпендикулярных
к оси 53
---- с отверстием изгибаемые — Коэф-
фициент концентрации — Формулы
расчетные 405
---- с подвижной нагрузкой — Изгибаю-
щие моменты — Поперечные силы
78
---- со значительной высотой сечения
91
---- с сосредоточенными моментами 53
---- с сосредоточенными силами 52
---- со ступенчатым изменением сече-
ния 94
---- статически неопределимые—Ли-
нии влияния для расчета — По-
строение 80
---- статически определимые — По-
строение эпюр — Аналитический
метод 51; — Построение эпюр —
Графический метод 54; Построение
эпюр — Графо-аналитический ме-
тод 54; — Потеря несущей способ-
ности 276; — Расчетные формулы
56-59
---- тарировочные 498
---- фиктивные и действительные —
Схемы 99
Балочные конструкции — Перемеще-
ние— Определение 151
Беляева гипотеза ползучести 292
---- старения 293
Вернадского метод для расчета рам
165
Бетон — Коэффициент Пуассона 22
— Модуль продольной упругости 22
Биметаллические изгибаемые полосы
95
Бимомент 174, 175
---- инерции двутавров 171
---- инерции профиля тонкостенных
стержней 178, 179
---- инерции тонкостенных стержней
178
---- инерции швеллеров 172
---- сопротивления двутавров 171
---- сопротивления швеллеров 172
БОЛТОВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ - ВАЛЫ
539
Болтовые соединения — Коэффициент
концентрации 460
Болты шатунные — Усталость — При-
мер расчета 477
Бронза — Диаграммы механического
состояния 438
— Модуль продольной упругости 22
Брусья — см также Балки; Стержни
— Жесткость при кручении обобщения
297
— Изгиб — Расчет с учетом пластиче-
ских деформаций 271
— Изгиб, кручение и растяжение со-
вместный 279
— Коэффициент концентрации—Гра-
фики 408, 411
— Коэффициент концентрации — При-
мер определения 416
— Кручение при установившейся пол-
зучести 295
— Несущая способность при кручении
278
— Несущая способность при совмест-
ном растяжении, кручении и изгибе
278
— Ползучесть установившаяся 295
— Радиус кривизны остаточный 287
— Усилия в поперечных сечениях —
Определение тензометрированнем
— Частота собственных колебаний 338
Брусья винтовые — Внутренние силы
117; — Напряженное состояние
118;-Расчет 112
---- круглого поперечного сечения —
Напряжения 117
Брусья изогнутые — Напряжения при
установившейся ползучести 295
— Ползучесть материала — Радиус
кривизны 295
— Прогиб 295
— Расчет за пределами упругости 271
— Расчет на ползучесть 295
Брусья кривые — Внутренние силы 112
— Напряжения и деформации 112
— Напряжения наибольшие 113
— Напряжения при чистом изгибе 112
— Перемещения — Вычисление 115
— Расчет 112
— Сечения — Радиусы нейтральных
слоев 113
— Сечення сложные — Определение
нейтральной линии 114
— Энергия потенциальная 115
Брусья кривые круглого поперечного
сечения — Напряжения 116
---- плоские — Напряжения при изгибе
114; — Напряжения при нагрузке,
нормальной плоскости кривизны
115
---- прямоугольного сечения — Напря-
жения 116
Брусья круглого сечения — Напряжения
при кручении 277
---- круговые консольные — Переме-
щения и усилия 153, 154
---- наклепанные 287
---- постоянного поперечного сечения
вращающиеся — Пример расчета
230
Брусья прямые — Расчет 21 — 139
Брусья с вырезом — Коэффициент кон-
центрации — Формулы расчетные 405
---- с выточкой растянутые — Эпюры
напряжений 283
---- с круговыми выточками — Растя-
жения в условиях пластичности
283
---- ступенчатые с галтелью — Коэф-
фициент концентрации — Формулы
расчетные 406
Бурдона пружины 214
Бурдона трубки 214
В
Валики шлицевые — Долговечность —
Пример расчета 478
Валы — Г алтели — Предел выносливо-
сти 471
— Жесткость 28
— Коэффициент влияния абсолютных
размеров сечения 460, 461
— Коэффициент влияния концентрации
абсолютных размеров 456
— Коэффициент концентрации 460
----Графики 409. 412, 413
----Пример определения 416, 417
— Коэффициент концентрации эффек-
тивный 455—457
— Кручение чистое — Пример опреде-
ления 533
— Момент инерции массы 358
— Переходы — Податливость 356, 357
— Податливость 355
— Потенциальная энергия 28
— Скорости критические 366, 372
— Скручивание — Пример определения
531
— Точки поверхности — Напряжения
главные 28
— Угол закручивания 28
— Частота собственных колебаний
347;----Формула Дункерлея 367
— Шейка — Кручение — Коэффициент
концентрации 459
— Шека — Изгиб — Коэффициент кон-
центрации 458
Валы вращающиеся — Напряжения 236
540
ВЕРЕЩАГИНА - ГИПОТЕЗА
---- двухопорные — Пример расчета
критической скорости 371
----дизель-генера торных установок —
Крутильные колебания — Расчет-
ная схема 361
----дизельных установок — Уста-
лость— Пример расчета 476
---- длинные—Момент инерции 360
---- круглого поперечного сечения —
Напряжения кручения 27
---- круглые с кольцевой выточкой —
Сжатие — Пример определения
533
---- некругового поперечного сечения
28
---- паразитных шестерен — Конструк-
ция 447
---- паровых машин — Усталость —
Пример расчета 475
---- переменного сечения — Критические
скорости 369
---- постоянного сечепия — Частота
собственных колебаний — Измене-
ние 372
---- с кольцевой канавкой — Коэффи-
циент концентрации—Формулы
расчетные 406
----с лыской — Сечение—Напряжения
и угол закручивания при круче-
нии 29
---- с надрезом — Изгиб — Пример
определения 531
----с отверстием — Предел выносли-
вости— Влияние обжима краев
отверстия 472
---- с сосредоточенными массами —
Колебания крутильные 360
---- сплошные — Диаметр — Опреде-
ление ПО; — Пример определе-
ния рассеяния энергии при кру-
тильных колебаниях 350
----ступенчатые — Сопряжения —
Размеры 417
---- ступенчатые скручиваемые — Коэф-
фициент концентрации — Пример
определения 415
---- ступенчатые с галтелью — Коэф-
фициент концентрации — Формулы
расчетные 406
Верещагина метод 273
---- правило 152
Верховского метод расчета коэффици-
ентов концентрации 417
Вибраторы — Учет массы при испыта-
ниях 386
---- гипопиклические 384
---- механические 384
---- пневматические 385
---- центробежные 384
— электрические 385
---- электродинамические 385
Вибрации — см. Колебания
Виброграммы 378
Внбронзоляция 352
Виброметры — Схема 381
Внльо метод для определения переме-
щений ферменных конструкций 155
Винты — Запас устойчивости 311
---- Гребные — Момент инерции 359
Власова формула 174
Возбудители колебаний 384
---- вынужденные 347
---- периодические 348, 349
Волокнит — Прочность механическая —
Характеристика 431
Восьмиугольники правильные — Геоме-
трические характеристики 41
— Напряжения п угол закручивания
при кручении 31
Выносливость детален — Влияние каче-
ства поверхности 464
Вырезы — Коэффициенты концентра-
ции 414. 415
Выточки — Коэффициент концентрации
413
---- кольцевые—Растяжения — Коэф-
фициент концентрации 445. 446
Г
Галтели обтекаемые — Размеры 416.
417
Гальваническое покрытие — Влияние на
предел выносливости 466. 467
Гальванометры — Выбор, 496; — Ха-
рактеристики 497
---- для измерительных мостов—При-
мер выбора 491
Гармонические составляющие периоди-
ческих функций 347
----сил давления газов в двигателях
348
Гармоническое движение 333
Г асители 352
Гашение колебаний 350
---- вынужденных 347
Геометрический фактор жесткости для
двутавра 329
Гетинакс — Модуль продольной упру-
гости 22
— Модуль сдвига 22
— Прочность механическая — Характе-
ристика 431
Гибкость стоек 319
Гнпертригонометрические функции Кры-
лова 343
Гипотеза Баландина о сопротивлении
разрушению 435
----ломаных сечений 418
ГИСТЕРЕЗИС МЕХАНИЧЕСКИЙ - ДЕТАЛИ
541
----Мора определения условий пла-
стичности 435, 436
---- наибольших касательных напря-
жений 435
---- наибольших нормальных напряже-
ний об условиях прочности 435
----наибольших удлинений 435
----октаэдрических напряжений 435
ползучести 289
----старения 292, 293
---- течения 292
---- упрочнения 289
Гистерезис механический 350
ГОСТ 380-50 429
ГОСТ 1050-52 429
ГОСТ 2856-45 431
Градиент напряжения 403
Гранит — Модуль продольный упруго-
сти 22
Графики зависимости изгибающего мо-
мента от кривизны — Построение
271
М f
---- зависимости - № то 273,
274
---- коэффициентов концентрации для
деталей 408—413
Грнфнтса формула 406
Грузоподъемность балок 276
д
Давиденкова метод измерения дефор-
мации 492
Давнленкова формула о температурном
запасе вязкости 481
Давления контактные допускаемые 481
---- наибольшие при контакте деталей
машин — Формулы 419, 420
Датчики 380; — Включение — Схемы
495; — Место установки 382
---- для измерения деформаций 494,
495
---- малобазные индуктивные 490
---- проволочные — Тензочувствнтель-
ность — Учет 505
---- проволочные наклеиваемые—Типы
500—502
---- ЦНИИТМАШ — Характеристики
493
---- электрические — Типы —, Характе-
ристики 489
Двутавровые балкн — см. Балки дву-
тавровые
Девиатор напряжений 8
Декремент — Измерение 383
---- затухания 335
Дельта-древесина — Прочность механи-
ческая — Характеристики 431
Демпферы 352
--- маятниковые 352
Демпфирование колебаний 350
Депланация профиля 169
Депланацня тонкостенных стержней при
свободном кручении единичная — Эпюры
171
--- с замкнутым профилем при свобод-
ном кручении единичная—Эпюры
173
---с открытым профилем при сво-
бодном кручении единичная —
Эпюры 171
Депланируюшие профили тонкостенных
стержней 169
Дерево — Гибкость 319
— Запас устойчивости 309
— Коэффициент понижения допускае-
мого напряжения на сжатие 320
— Модуль поперечной упругости 22
— Модуль сдвига 22
Детали — Выбор формы 528
— Выносливость — Влияние качества
поверхности 464
— Оценка формы 528
— Подобие с моделями 525
Детали движущиеся — Удар о закре-
пленную деталь — Расчет — Пример
402
---из легких сплавов — Коэффициент
концентрации 462
--- из малопластнчных и хрупких ма-
териалов—Несущая способность 443
--- из материала в пластическом со-
стоян и и—Несу ша я способность 440
---из малопластичных материалов —
Запас прочности 443
Детали машин — Выносливость — Влия-
ние маркировки 465
— Давление наибольшее при контакте —
Формулы 419, 420
— Деформации — Определение экспери-
ментальное 490
— Напряжения при контакте 419, 420
— Несущая споеобность — Повышение
287
— Перемещение при контакте—Фор-
мулы 420
— Расчет в условиях статического на-
пряжения 439
—Расчет с учетом пластических де-
формаций 271
— Усталость — Примеры расчета 475
Детали машин пластически деформиро-
ванные (наклепанные) 287
--- работающих — Деформации стати-
ческие и динамические—Реги-
страция 496
Детали сопрягаемые — Посадки прессо-
вые — Расчет 220, 227
542
Деформации - диски вращающиеся
--- сферические — Контакт с деталями
различной формы 421, 422
---цилиндрические под действием осе-
симметричной нагрузки — Расчет
219—228
--- чугунные—Коэффициент концен-
трации 461
Деформации 11
— Измерение — Аппаратура 490
— Измерение — Методы 517
— Измерение накатными сетками 518
— Интенсивность 13
— Исследования — Выбор моделей 524
— Методы покрытий 515, 516
— Определение методом покрытия 515
— Определение экспериментальное
488-534
— Скорость — Зависимость от напря-
жения 289
— Типы 12
Деформации в пределах упругости —
Выражения через напряжения 14
--- в стержнях от изменения темпе-
ратуры — Определение 24
--- главные — Определение по отно-
сительным деформациям 503, 504
--- деталей машин — Определение
экспериментальное 499
—- деталей машин пластические —
Расчет 271
—— динамические — Измерение 381.
489; — Измерение — Аппаратур3
495
---и напряжения в пределах упруго-
сти — Зависимости (по закону
Гука) 14
---изгиба — Энергия 95
--- кпыльчатки — Пример определения
531
---остаточные — Измерение тензоме-
трами 491; — Определение 287
--- пластические — Выражение через
напряжения 17; — Зависимость от
напряжений и от времени 292; —
Использование для повышения не-
сущей способности 287,— Сопро-
тивление 434; — Стадии 17
--- пластические местные—Расчет 518
--- по разным направлениям в рас-
сматриваемой точке — Зависимо-
сти 12
--- при повышенных температурах —
Измерение датчиками 495
---пружин при ударе — Расчет —
Волновой метод 398
--- статические — Определение экспе-
риментальное 490
---статические и динамические в де-
талях работающих машин — Реги-
страция 496
----стержней — Изменения в точке-
удара 396; 397; — Потенциальная
энергия 23
---- тонкостенных стержней с замкну-
тым профилем при свободном кру-
чении 173
----тонкостенных стержней с откры-
тым профилем при свободном кру-
чении 170
---- тонкостенных трубок 299
---- угловые 12
---- упругие — Формулы для потенци-
альной энергии единицы объем»
16; — Энергия 13
Деформация активная 17
---- однородная 13
---- пассивная 17
---- сдвига 26
Деформирование — Диаграмма истин-
ная 17. 18
Диаграммы возбуждения колебаний 349
----гармонического колебания вектор-
ная 333
—— деформирования 429
---- деформирования истинные 17, 18
----изгиба — Построение по диаграмме
растяжения 271
----кручения — Построение по диа-
грамме сдвига 277
----Максвелла-Кремоны — Построение
144
---- механического состояния для
бронзы 438
-— напряжений круговые 9
----перемещений — Пример построе-
ния 156
----пределов выносливости при рас-
тяжении-сжатии 468
— - пределов прочности при асимме-
тричном цикле 451
----предельных напряжений при асим-
метричных циклах 448
---- сдвига 19; — Построение по диа-
грамме кручения 278
----сдвига фаз между силами при ко-
лебаниях 337
----упругих параметров 130-134
Динамическая жесткость — см Хлест-
кость динамическая
Динамические испытания 381
Динамические перемещения — Измере-
ние — Электроаппаратура 381
Диски вращающиеся — Графический
расчет 248
— Колебания собственные — Частота
377
— Напряжения за пределами упруго-
сти 281
— Несущая способность 281
— Ползучесть — Пример расчета 302
ДИСКИ ВРАЩАЮЩИЕСЯ-ЗАПАС ПРОЧНОСТИ
543
— Порядок расчета 301, 302
— Расчет за пределом упругости 280
— Расчет по методу Кинасошвили 262
— Расчет по методу Малинина 256
— Расчет по методу Тумаркина 24)
Диски вращающиеся гиперболического
профиля — Напряжения 240
--- конические — Напряжения 239
Диски вращающиеся переменной тол-
щины — Ползучесть установившая-
ся — Расчет 300; — Пример расчета
242;— Упругое и пластическое со-
стояние 282
--- без центрального отверстия не-
равномерно нагретые — Пример
расчета на прочность 246
---неравномерно нагретые — Напря-
жения 243; — Пример графиче-
ского расчета 250; — Пример
расчета по методу Малинина
258
--- равномерно нагретые—Расчет по
методу Тумаркина 241
--- равномерно нагретые, посаженные
на вал с натягом — Пример рас-
чета 260
Диски вращающиеся, посаженные на
вал с натягом — Расчет 260
--- постоянной толщины - Напряжения
237; - Расчет 249
---с ободом и втулкой — Напряжения
238
---сплошные—Профилирование по
эквивалентным допускаемым на-
пряжениям 264
Диски зубчатые—Применение для воз-
буждения колебаний 386
--- равнопрочные 239; — Профили-
рование графическим способом
254
--- равнопрочные без центрального
отверстия — Пример профилирова-
ния 254
---ргдпальных турбомашип — Расчет
248
Долго вечность 481
Допускаемое контактное давление — см.
Давления контактные допускаемые
Допускаемые напряжения — см Напря-
жении допускаемые
Дункерлея формула ЗС7
Дуралюмнн — Гибкость 319
— Плакировка алюминием — Влияние
на предел выносливости 466
— Покрытие ланолином — Влияние на
предел выносливости 466. 467
— Предел выносливости — Влияние
антикоррозионной защиты 466.
467
Ж
Железо волнистое — Сечение — Геоме-
трические характеристики 43
Железобетон — Модуль продольной
упругости 22
Жесткость—Определение 514
---- балок — Расчет 95
---- брусьев — Расчет 21
---- брусьев при кручении обобщенная
297
---- вала 28
---- динамическая 337, 338, 361, 362
---- мембран гофрированных — Расчет
211, 212
---- мембран плоских — Расчет 211
---- на изгиб 96
----оболочек большой гибкости —
Расчет 210
----опор — Влияние на частоту попе-
речных колебаний 373
----пружин 354
---- пружин трубчатых манометриче-
ских — Расчет 214
----сильфонов—Расчет 213, 216
---- систем рычажных 355
----стержней 23; — Формулы расчет-
ные 353
---- струн натянутых 354
----трубок толстостенных — Расчет
214, 215
---- элементов конструкции для про-
дольных колебаний 353
3
Запас долговечности 481
Запас прочности 482; — Определение
434; Формулы 441; — Расчетные фор-
мулы 474
----в условиях статического напряже-
ния 439
— для вала паоазитной шестерни —
Пример расчета 447
---- для малопластичных материалов
443
----д-я робкого напряженного состоя-
ния 453
----по деформациям — Расчетные фор-
мулы 440
---- по перемещениям 444
---- по пределу текучести — Расчетные
формулы 440
----по разрушающим нагрузкам для
сечений 442
---- по сопротивлению пластическим
деформациям 454
----по сопротивлению усталости 450
по статической несущей способно-
сти — Расчетные формулы 453
544
ЗАТЯЖКА ШПИЛЕК-КОЛЕБАНИЯ
---- по усталости 453
•--- при расчете на усталость 452
Затяжка шпилек фланцевого соединения
паропровода — Напряжения — При-
мер определения 293
И
Известняк — Модуль продольной упру-
гости 22
Изгиб — Энергия деформации 95
— балок 50
— балок косой 104
• балок продольно-поперечный 106,
107
•--- брусьев — Расчет с учетом пла-
стических деформаций 271
---- и кручение 107
---- кручение и растяжение брусьев
279
— стержней слабоизогнутых консоль-
ных в плоскости вращения — Рас-
чет 232
----стержней слабоизогнутых консоль-
ных из плоскости вращения — Рас-
чет 234
Изгибающие моменты в балках много-
пролетных 66
• на упругом основании при непо-
движной нагрузке 66
—— неразрезных постоянного сечения
с равными пролетами 69
•--- однопролетных 50
---- при подвижной нагрузке 78
--- при сложном сопротивлении 103
Изгибающие моменты в защемлении—•
Определение 514
•--- в сечении стержня — Определение
514
---для балок с двумя равными гру-
зами 78
---поперечного кругового сечения
суммарные НО
--- при продольно-поперечном изгибе
107
Изменяемость мгновенная 14)
Измерители деформаций статических
электронные 492
Измерительные устройства токосъемные
на вращающихся деталях 496
Изоклины и траектории напряжений я
плоских моделях 525
Изостаты 19
---- в плоских моделях 525
Изотропные точки 526
Импеданц механический 338
Инварианты напряженного состояния 9
Интеграл Мора 152
Интегралы 152
---- для швеллеров — Значения 186
Интенсивность деформации 13
--- напряжений 9; — Зависимость от
интенсивности деформаций 18
К
Калибраторы для тарировки тензоме-
тров 498
Каучук — Коэффициент Пуассона 22
— Модуль продольной упругости 22
Квадраты — Напряжения касательные
при изгибе 88
Квазигармоннческие колебания 346
Кииасошвилн метод расчета дисков 262,
302
Кинематика колебательного движения
333
Клеи для наклейки тензометров 495
Клеймение деталей машин — Влияние
на выносливость 465
Клин мерный 380
Колебания — Возбудители 384
— Возбуждение электромагнитное 385
— Гашение 350
— Демпфирование 350
— Измерение — Оптические методы 379
— Исследование на моделях 386
— Исследование экспериментальное 378
— Моделирование — Сопоставление ме-
ханических и электрических величин
388
— Силы возбуждения 347
— Устранение 351
— Частота — Измерение 378
Колебания балок двухопорных с равно-
мерно распределенной массой —
Формы 371
--- валов с сосредоточенными массами
крутильные 360
--- валов собственные — Частота —
Изменение 372
--- вращающихся валов крутильные —
Измерение 381
--- вращающихся дисков собствен-
ные — Частота 377
---вынужденные 335; — Возбуждение
347; — Сдвиг фаз 337
--- гармонические 333
--- затухающие 335
--- защемленной консоли собствен-
ные — Ч астота 367
--- квазигармоннческие 346 ,
--- колец изгибные—Частота 378
--- крутильные валов 335, 360, 381; —
Разонансные кривые эксперимен-
тальные 383
--- маятника собственные — Частота
339
—— мембран собственные — Частота
375
КОЛЕНО ВАЛА - КОЭФФИЦИЕНТ
.545
----оболочек собстненные— Частота
376
----пластинок — Частота 375
---- поперечные—Частота высшая —
Определение 372
---- продольные и поперечные 335
--- простых систем собственные —
Частота 361
---- псевдогармонические 345
---- разветвленных систем собствен-
ные — Расчет частот по методу
остатка 364
---- свободные 334
---- систем нелинейных 345
---- систем с одной степенью свободы
при различных видах сопротивле-
ния — Расчетные формулы 351
----систем с переменными параме-
трами 345
---- систем с сосредоточенными мас-
сами — Расчет — Метод сил 341
----систем со многими степенями сво-
боды — Формы 340
—— системы вал — винт собственные —
Частота 363
---- собственные — Частота — Опреде-
ление 334. 360
---- стержней переменного сечения по-
перечные 369
---- стержней поперечные 366; — Ча-
стота — Определение 367
----стержней постоянного сечения с
распределенной массой крутильные
----стержней постоянного сечения с
распределенной массой продольные
365
---- стержней собственные крутильные
— Частота 366
---- упругих систем с одной степенью
свободы 334
---- элементов конструкций — Расчет
353
---- элементов машиностроительных
конструкций 333—389
Колено вала — Податливость 357
Кольца — Колебания изгибные — Ча-
стота 378
— Расчет — Формулы 163
— Статический момент 276
— Части — Напряжения касательные
прн изгибе 88
Кольца круглые — Сечення — Геометри-
ческие характеристики 48
— круговые — Устойчивость 324
---- круговые незамкнутые — Напряже-
ния и угол закручивания при кру-
чении 29
---- поршневые — Радиальная толщи-
на — Пример расчета 446
35 том з
--- произвольной формы — Напряже-
ния и угол закручивания при кру-
чении 31
--- стальные—Пример определения
критических нагрузок 325
---тонкие — Геометрические характе-
ристики 42
--- тонкие вращающиеся — Пример
расчета 230
---тонкостенные—Напряжения каса-
тельные при изгибе 88
--- тонкостенные правильные — Напря-
жения и угол закручивания при
кручении 31
--- эллиптические — Напряжения н
угол закручивания при кручении
---эллиптические — Расчет 164
Компараторы 522
Компенсаторы для измерения малой
разности хода 522
Компоненты деформации 11
--- напряжений 5; — Правило знаков
6
Компрессоры мембранные — Пример
расчета на жесткость 217
Консоли — Прогибы при возникновении
пластических деформаций 275; —
Расчет 80; — Частота собственных
колебаний — Пример определения
— Расчетная формула 369
--- закрученные — Частота колебаний
354
--- защемленные — Частота собствен-
ных колебаний 367
---ломаные — Эпюры моментов, попе-
речных и продольных сил — По-
строение 150
Конструкции — Движущиеся элементы —
Расчет 229—270
— Расчет на устойчивость 320
Контакт двух деталей — Распределение
давлений 419
--- цилиндров — Напряжения 419, 420
Контактные напряжения 418
Концентрация напряжений 403; — Опре-
деление экспериментальное 490
--- в условиях пластичности 283
Коррозия — Влияние на предел вынос-
ливости деталей 465—467
Коэффициент асимметрии никла 448
--- влияния 341
--- влияния абсолютных размеров се-
чения 451
--- влияния абсолютных размеров се-
чения для валов 456. 460. 461
--- влияния абсолютных размеров се-
чения для легких сплавов 462
--- влияния абсолютных размеров для
стали 455
646
КОЭФФИЦИЕНТ КОНЦЕНТРАЦИИ - КРИВОШИПНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
----влияния качества обработки по-
верхности 451
---- гармонический 348
----'демпфирования 336; — Определе-
ние 383
----динамического усиления 336
---- динамичности 336
---- для расчета вращающихся кониче-
ских оболочек 266
---- долговечности 473
---- затухания 336
Коэффициент концентрации 403
— Определение 528; Графики 407
— Пример определения 415
— Расчет — Методы приближенные 417,
418
— Формулы расчетные 404
Коэффициент концентрации для алюми-
ниевых сплавов эффективный 462,
463
---- для балок с отверстием — Фор-
мулы расчетные 405
---- для болтовых соединений 460
----для брусьев — Графики 408.
411; —Пример определения 416
---- для брусьев с вырезом — Формулы
расчетные 405
---- для брусьев ступенчатых — Фор-
мулы расчетные 406
----для валов 460; — Графики 409,
412, 413; — Пример определения
416, — Формулы расчетные 406
--------для валов эффективный 455 -457
----для входящих углов 458, 461
----для вырезов 414, 415
---- для выточек 413
----для двух форм сопряжения вы-
ступа— Пример определения 528
----для деталей — Графики 408—413
---- для изгиба чугунного уголка 445
----для кольцевой выточки при рас-
тяжении 445, 446
----дпя легких сплавов эффективный
462. 463
----для магниевых сплавов эффектив-
ный 462, 463
---- для надрезов 413—415
---- для пластин с отверстием — Фор-
мулы расчетные 404
----для нолос—Графики 409—412
----для полос с отверстием — Фор-
мулы расчетные 404
----для прямоугольных пластин 458
----для стержней — Графики 412
----для стержней скручивания — Фор-
мулы расчетные 407
----для тонкостенных профилей — Фор-
мулы расчетные 407
----для тонкостенных цилиндров —
Формулы расчетные 407
----для угольников — Графики 412
---- для чугунных деталей 461
---- для шестерен 459
----для шлицевых соединений 458
---- для фланцев—Пример определе-
ния 462
---- общий 451
---- при изгибе щеки коленчатого вала
458
---- при кручении шейки коленчатого
вала 459
---- при надрезе 445
---- эффективный 451, 454
Коэффициент передачи перемещений
353
---- понижения допускаемого напряже-
ния на сжатие 320
---- приведенной длины 309. 313, 314
---- Пуассона 13
---- Пуассона для материалов 22
---- разупрочнения 18
---- редукционный для подкрепленных
пластинок после потери устойчи-
вости 201
---- сопротивления 336
---- сопротивления в пластической об-
ласти 444; — Расчетные формулы
440
---- сопротивления разрушению 444
---- тензочувствительности 494
---- уменьшения предела прочности 444
---- упрочнения 469
---- упругости для изотропного мате-
риала — Зависимости 13
---- усиления — Определение 383
---- устойчивости для двутавровых ба-
лок прн опрокидывании 329, 330
---- устойчивости для двуступенчатых
консольных стоек 315
---- устойчивости для пружин 331
---- устойчивости для консольных полос
прн поперечном изгибе 327
---- устойчивости стоек 309, 3)1—314
---- характеризующий влияние разме-
ров сечения 445, 446
---- чувствительности для легких спла-
вов 462, 463
---- чувствительности металла к кон-
центрации напряжений 458
Кривая огибающая круги напряжений
436, 438
---- ползучести 289
---- релаксации 292
---- усилий предельная при комбини-
рованном нагружении 453
Кривизна изогнутой оси бруса из-за
ползучести материала 295
Крнвошипио- шатунные механизмы — Мо-
мент инерции 359
Кривошипные механизмы — Крутящие
моменты периодические 348
КРИЧЫЕ - МЕМБРАНЫ
S17
Кривые деформирования и в условиях
разрушения 438
--- длительной прочности 432
---опасных перегрузок 472
--- податливости 356
--- резонансные 336, 345, 346
----- резонансные крутильных колебаний
экспериментальные 383
---резонансные при псевдогармониче-
ских колебаниях 345
----- релаксации для стали 486
--- упругие периодические 128. 129,
135
--- усталости 472
---усталости материалов 430
---частоты статические суммарные
472
Критическая сила сжимающая — Опре-
деление 184
Критические нагрузки для сжатых мо-
нолитных стержней 309
Критические силы в расчетах на устой-
чивость 309
----- за пределами упругости для стоек
319
Круг Мора 9
Круги — Напряжения касательные при
изгибе 88
— Статический момент 276
— Секторы — Центр изгиба 102
Круги для моментов инерции 39
--- неполные — Геометрические харак-
теристики 42
Крутильные колебания—см. Колебания
крутильные
Кручение 27
— Расчет на прочность 33
— Формулы для напряжений и угла
закручивания 29
Кручение брусьев — Жесткость обобщен-
ная 297
--- брусьев при установившейся пол-
зучести 295
Крылова гипертригонометрические функ-
ции 343
Крыльчатка — Исследования 531. 532
Л
Лаковые покрытия — см. Покрытия ла-
ковые
Латунь — Коэффициент Пуассона 22
— Модуль продольной упругости 22
— Модуль сдвига 22
Легкие сплавы — см. Сплавы легкие
Линин влияния — Построение 80
--- влияния для балочных ферм 145
' --- равных главных напряжений 20
Лиссажу фигуры 379
35»
Литейные сплавы — Предел выносливо-
сти — Влияние поверхностных по-
крытий 466. 467 ’X —
Лопатки турбинные — Резонансные
числа оборотов 349
— Формы колебаний типичные 341
— Частота собственных колебаний —
Пример определения 369
Лоренца тензометры малобазные 490
Ляме формулы 219
М
Магниевые сплавы — см. Сплавы ма-
гниевые
Максвелла-Кремоны диаграмма — По-
строение 144
Максвелла-Мора формула 151
Малинина метод 256
Манометры с пружиной Бурдона —
Пример расчета на Жесткость 217
Маркировка детален машин — Влияние
на выноешвость 465
Масса приведенная консольной балки —
Пример определения 400
---стержня — Пример ’ определения
400
Масса системы — Инерция поворота —
Влияние на частоту поперечных ко-
лебаний 374
— Момент гироскопический — Влияние
на частоту поперечных колебаний
374
Материалы — Коэффициент Пуассона 22
— Модуль продольной упругости 22
— Модуль сдвига 22
— Оптическая постоянная — Определе-
ние 521
— Ползучесть—Характеристики 290
— Прочность 429
— Сопротивление разрушению 435
Материалы для моделей прн исследова-
нии деформаций 520, 521
Машиностроительные конструкции —
Колебания 339—389
— Частота собственных колебаний —
Расчет 339
Маховики — Напряжения 231
— Расчет 231
Маятники — Частота собственных коле-
баний 339
Мгновенная изменяемость 141
Медь — Модуль продольной упругости
22
— Модуль сдвига 22
Мерный клин 380
Мембраны — Колебания собственные —
Частота 375
--- гофрированные — Расчет на жест-
кость 211, 212
548
МЕСТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ - МОРА ИНТЕГРАЛ
---- плоские — Расчет на жесткость
211
Местные напряжения 403—427
Металлы — Коэффициент чувствитель-
ности к коицентрации напряжений
458
— Предел выносливости 465
Метод Афанасьева расчета коэффициен-
тов концентрации 417
---- Вернадского для расчета рам 165
---- Верещагина 273.
---- Верховского расчета коэффициен-
тов концентрации 417
---- Бильо для определения перемеще-
ний ферменных конструкций 155
---- Давиденкова измерения деформа-
ции 492
---- Кинасошвили 262, 302
----Малинина 256
---- Пономарева 248
---- Смрчека 386
---- Тумаркина 241
---- Шиманского расчета коэффициен-
тов концентрации 418 *
---- Штаермана определения иэгибных
напряжений для оболочек враще-
ния 207
---- Яновского 244
—•— аналогии 33
---- аналогии для расчета плоских одно-
контурных рам 159
---- остатка для определения частот
собственных колебаний 363
----пересечения характеристик для
определения частот собственных
колебаний 363
----‘ последовательных приближений
расчета критической скорости (или
частоты собственных колебаний)
вала переменного сечения 371
----распределения узловых моментов
для расчета рам 165
---- сил для расчета статически не-
определимых систем 156
---- сквозных сечений при расчете пло-
ских ферм 143
----узловых сечений при расчете пло-
ских ферм 143
---- энергетический расчета собствен-
ных колебаний стержней и валов
переменного сечения 369
Микроскопы поляризационные 522
Многоугольники правильные — Геоме-
трические характеристики 41
Модели механические 387
---- объемные 520
---- плоские 519
---- электрические 388
Моделирование 386
---- колебаний—Сопоставление элек-
трических и механических величин
388
Модуль объемный 13
---- ползучести 305
---- продольной упругости 13, 22
---- сдвига 13, 22
---- упрочнения 18
---- упругости гетинакса 431
---- упругости дельта-древесины 431
Момент изгибающий предельный —
Определение 276
Момент инерции—Графическое опреде-
ление 44
---- валов — Определение 358
---- гребных винтов 359
----двутавров прн свободном круче-
нии ’ 171
----длинных валов 360
---- кривошипно-шатунных механизмов
359
---- масс — Определение 358
----•—павИльных тел — Определение
358
---- обобщенная — Формулы 295. 296
---- полярный направленный 182
----роторов — Определение 359
---- секториальный 175
---- сечений 40; — Вычисление 34
----сечений сложной формы—Вычи-
сление 35
—- систем с зубчатыми передачами
360
---- трапеций 37
----швеллеров при свободном кручении
172
— шекн колена вала — Пример опре-
деления 358
Момент крутящий допустимый для тор-
сиона редуктора — Пример расчета
446
---- предельный — Определение 278
---- при возникновении пластических
деформаций — Зависимость от
угла закручивания 278
Момент кручения в балках при слож-
ном сопротивления 103
---- приведенный для сечений — Фор-
мулы 111
---- сопротивления для сечений 442
---- сопротивления изгибу обобщен-
ный — Формулы 295, 296
---- сопротивления кручению обобщен-
ный — Формулы 295, 297
---- сопротивления сечений 40
---- статический для сечений 276
Монель-металл — Удельное рассеяние
энергии при колебаниях 351
Мора гипотеза определения условий
пластичности 435, 436
Мора интеграл 152
550
напряжения - несущая способность
-- во вращающихся валах 236
Напряжения во вращающихся дисках
237
--- гиперболического профиля 240
-— за пределом упругости 281
---конических 239
--- переменной толщины 241. 243, 282
--- постоянной толщины 249
---с ободом и втулкой 238
Напряжения главные 6
— Определение по главным дефор ма-
ниям 506
— Разности—Определение 526
— Траектория 19
— Формулы 6
Напряжения главные в плоских моде-
лях — Разделение 528
--- в точках поверхности вала круг-
лого сечення 28
--- равные — Линии 20
Напряжения допускаемые 482, 484,
485; — Определение 434, 442
--- по разрушающим нагрузкам для
сечений 442
--- при расчете на усталость 452
Напряжения и деформации в пределах
упругости—Зависимости (по закону
Гука) 14
---кривых брусьев JJ2
Напряжения касательные 5;—Зависи-
мость от угловой деформации 277;—
Свойство парности 6
--- максимальные при кручении бруса
при установившейся ползучести
295
--- наибольшие — Формулы 6
--- контактные 418
--- контактные допускаемые при ста-
тической нагрузке 482
--- кручения наибольшие при круглом
поперечном сечении вала 27
---местные 403—427
--- на ненагруженном контуре — Опре-
деление 527
--- наибольшие при растяжении и
сжатии 443
--- нормальные 5
--- октаэдрические — Формулы 8
---остаточные — Определение 287
--- переменные — Циклы 448
--- полные 5
--- по наклонным площадкам — Фор-
мулы 6
---при изгибе брусьев кривых пло-
ских 114
--- при контакте в виде полосы 426
--- прн контакте деталей машин 419,
420
--- при контакте цилиндров 419, 420
---- при пластической деформации —
Выражение через деформации 17
---- при приложении нагрузки к по-
верхности детали машин — Фор-
мулы 420
---- при установившейся ползучести
изогнутых брусьев 295
---- приведенные для сечений — Фор-
мулы 110, 111
---- приведенные при расчете на проч-
ность 437
----приведенные при расчете на сопро-
тивление пластическим деформа-
циям 436
---- приведенные при расчете на уста-
лость при симметричном цикле
450
Напряженное состояние — Изображение
507
— Определение — Метод покрытия 515
— Сложение 11
— Типы 8
— Формулы 6—8
Напряженное состояние в винтовых
брусьях 118
---- материала — Влияние на прочность
447
----сложное — Запас прочности по
усталости 452
Недепланирующие профили тонкостен-
ных стержней 169
Неметаллические материалы — Проч-
ность механическая — Характери-
стика 431
Несущая способность 434
---- балок 273
---- брусьев при кручении 278
---- брусьев при совместном растяже-
нии, кручении и изгибе 278
----вращающихся дисков 281
---- деталей из малопластичных и хруп-
ких материалов 443
----деталей из материалов в пласти-
ческом состоянии 440
----для сложного нагружения 454
---- оболочек 284
----пластинок 284
---- по сопротивлению пластическим
деформациям 441
---- ппн действии нескольких нагрузок
480
----при переменных напряжениях 451
---- при простом нагружении 480
---- пои сложных напряженных со-
стояниях 452
---- прн стогнческнх напряжениях 439
•--- при хрупком состоянии 442
----толстостенных труб под давлением
280
НИКЕЛЬ - ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В БАЛКАХ
.551
Никель — Коэффициент Пуассона 22
— Модуль продольной упругости 22
— Модуль сдвига 22
Нить гибкая 24
— Расчет 25
— Стрела провеса 25
О
Обдувка дробью — Влияние на предел
выносливости 470
Обертоны 340
Обкатка роликом — Влияние на предел
выносливости 470
Обобщенный момент сопротивления кру-
чению — см. Момент сопротивления
кручению обобщенный
Обозначения 1
Оболочки — Колебания собственные —
Частота 376
— Нагрузки продольные — Определе-
ние 284
— Несущая способность 284
— Расчет 203—218
Оболочки бесконечной длины под дей-
ствием равномерно распределенной
по окружности силы — Предельная
нагрузка 287
--- большой гибкости — Расчет на
жесткость 210
Оболочки вращающиеся — Расчет 265
---конические — Расчет — Коэффи-
циент 266
--- конические алюминиевые — При-
мер расчета 270
--- конические переменной толщины —
Расчет 265
---цилиндрические тонкостенные с за-
крепленными краями — Расчет 265
--- цилиндрические тонкостенные со
свободными концами — Расчет 265
Оболочки вращения — Определение из-
гибных напряжений 207
--- под действием равномерно распре-
деленной нагрузки по поверхности
н моментов по торцам — Предель-
ная нагрузка 286
— симметричные 203. 204
--- сферические под действием внеш-
него давления — Расчет на устой-
чивость 209
---сферические под действием на-
грузки — Напряжения и перемеще-
ния — Расчет на устойчивость 203
--- тонкостенные—Напряжения и пере-
мещения 203; — Расчет на устой-
чивость 207
Оболочки цилиндрические — Расчет на
устойчивость 206. 208, 209
Образцы алюминиевые — Предел вынос-
ливости — Влияние коррозии 466
--- стальные — Обкатка роликом —
Влияние на предел выносливости
471; — Предел выносливости 465—
467
Однотавры с полкой постоянной тол-
щины — Напряжения и угол за-
кручивания при кручении 32
Октаэдрический сдвиг 12
Опорные реакции 140
--- в консольных балках 56—66
--- в однопролетных балках 56—66
--- неразрезных балок — Расчет 69
Опоры 140
— Жесткость — Влияние на частоту
поперечных колебаний 373
— Податливость — Влияние на частоту
поперечных колебаний 372
Опрокидывание 325
--- балок двутавровых 329
--- полос криволинейных 339
--- полос при поперечном изгибе 327
--- полос при чистом изгибе 326
Оптика напряжений 519
Оргстекло — Коэффициент Пуассона 22
— Модуль продольной упругости 22
Осадка пружин критическая 331
Осн сечений главные 36
--- стержней большой гибкости изо-
гнутые — Построение 120, 124; —
Связь с периодической кривой
128; — Форма 126
ОСТ 10016-39 17)
ОСТ 10017-39 172 183
Остаточные деформации — см. Дефор-
мации остаточные
Остаточные напряжения — см. Напря-
жения остаточные
Осциллографы — Частота 497
--- шлейфовые 497, 498
П
Панели сферические под действием на-
грузок — Расчет на устойчивость
210
Параболы квадратные — Сегмент —
Центр изгиба 102
Параметры упругие — см. Упругие
параметры
Перегружатели — Пример расчета 141
Перемещения в балках 95
— Зависимость 96
— Определение — Методы 97
— Расчет графический 101
— Расчет графо-аналитический 99
— Расчет по методу начальных пара-
метров 98
552
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ - ПОЛЗУЧЕСТЬ
Перемещения в тонкостенных оболоч-
ках 203
--- динамические — Измерения 379,
512; — Измерения — Электро-
аппаратура 380
--- единичные упругие — Теорема
взаимности 157
--- и усилия консольных круговых
брусьев 153. 154
--- кривых брусьев — Вычисление 115
---при контакте деталей машин —
Формулы 420
--- стержневых систем 151, 155
--- угловые — Измерение — Схемы 512
--- упругие — Измерение 511
--- ферменных конструкций 155
Перенапряжения повторные — Проч-
ность 472
Песочные фигуры 383
Пик напряжения 403
Пластинки — Колебания собственные—
Частота 375
— Нагрузки предельные — Определе-
ние 284
— Напряжения — Формулы 300
— Несущая способность 284
— Ползучесть установившаяся 300
— Расчет 190—202
— Расчет иа изгиб 191
— Расчет на устойчивость в пределах
упругости 198
— Расчет на устойчивость за преде-
лами упругости 201
Пластинки гибкие — Расчет 196
--- жесткие — Расчет 191
--- аашемленные — Нагрузка пре-
дельная 284
--- квадратные — Расчет 192
--- квадратные опертые — Нагрузка
предельная 286
---кольцевые защемленные — На-
грузка предельная 285
---кольцевые опертые — Нагрузка
предельная 285
---кольцевые постоянной толщины —
Нагрузка — Расчетные формулы
285
---консольные переменного сечения —
Формы колебаний типичные 340
---круглые — Расчет 193—195; —
Расчет на устойчивость 201
--- опертые — Нагрузка предельная
284
--- подкрепленные после потери устой-
чивости — Коэффициент редук-
ционный 201
---произвольной формы защемленные
по контуру под действием сосредо-
точенной силы — Нагрузки пре-
дельные 286
---- прямоугольные — Нагрузки после
потери устойчивости 201, 202; —
Пример расчета 197; — Расчет
191—193; — Расчет на устойчи-
вость 198—201
---- с боковыми вырезами и отвер-
стием растянутые в условиях пла-
стичности — Эпюры напряжений
283
---- с отверстием — Коэффициент кон-
центрации — Графики 408
---- с отверстием растягиваемые —
Коэффициент концентрации — Фор-
мулы расчетные 404
---- сплошные постоянной толщины —
Нагрузка — Расчетные формулы
284
---- тонкие — Расчет 191
Пластины — Расчет на ползучесть 303,
304
---- прямоугольные — Коэффициент
концентрации 458
Пластическая деформация — см. Дефор-
мация пластическая
Пластичность 17
— Условия 19
Пластмассы — Удельное рассеянна
энергии прн колебаниях 351
Плексиглас — Прочность механиче-
ческая — Характеристики 431
Плиты круглые — Расчет 197
---- толстые — Расчет 197
Плошадн сечений 40
Площадки контакта — Размеры 419.
420
Погрешность тензометров 490
Податливость валов 355
---- опор — Влияние на чистоту попе-
речных колебаний 372
---- ременных передач 357
---- стержней призматических 357
---- фланцевых соединений 356
Подобие геометрическое — Масштаб
387
---- динамическое 387
----силовое — Масштаб 387
----статическое — Условия 387
Покрытия влагостойкие для датчиков
495
---- лаковые для исследования дефор-
маций — Характеристики 515
Поле изоклин 525
---- напряжений 19
Полигармоническне силы 347
Ползучесть — Гипотеза 289
— Кривая 289
— Модуль 305
— Теория Работнова 292
Ползучесть брусьев установившаяся
295
ПОЛОСЫ - ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ
5.53
—- вращающихся дисков — Расчет
300-302
---материалов —Характеристики 290
--- пластинок установившаяся 300
--- при неод/юосном напряженном со-
стоянии 294
--- при одноосном растяжении 289
--- стали — Характеристики 290
--- тонкостенных трубок 299
Полосы — Коэффициент Концентрации-
Графики 408—412
— Опрокидывание при поперечном из-
гибе 327
— Опрокидывание при чистом изгибе
326
— Предел выносливости — Влияние
развальцовки 472
Полосы изгибаемые — Пример расчета
на устойчивость против опрокидыва-
ния 326
--- изгибаемые биметаллические —
Расчет 95
---консольные при поперечном из-
гибе — Коэффициент устойчивости
327
--- криволинейные — Опрокидывание
330
---с опертыми или защемленными
концами — Расчет на опрокиды
вание 328
--- с отверстием растягиваемые —
Коэффициент концентрации — Фор-
мулы расчетные 404
--- тонкие — Жесткость обобщенная
298; — Момент сопротивления кру-
чению обобщенный 298
Полукруг — Геометрические характери-
стики 42
— Центр изгиба 102
Полуоси моста комбайна — Усталость —
Пример расчета 479
Поляризаторы 522
Поляризационные установки — Схема
522
Поляриметры координатно-синхронные
522
Полярископы 522
Пономарева метод 248
Поршни с равномерно распределенной
нагрузкой — Пример расчета 195
Посадки прессовые — Расчет 220, 227
Потенциометры — Частота 497
Правило Верещагина 152
Предел выносливости — Влияние абсо-
лютных размеров сечения 451
— Влияние азотирования 469, 470
— Влияние наклепа 470
— Влияние обдувки дробью 470
— Влияние обкатки роликами 470
— Влияние поверхностной обработки в
условиях коррозии 466, 467
— Влияние поверхностных покрытий
466
— Влияние химико-термической обра-
ботки 469
— Влияние цементации 469
— Влияние цианирования 469
Предел выносливости алюминиевых
сплавов 431
---- волокннта 431
---- гетинакса 431
----дельта-древесины 431
---- легких сплавов 462
---- магниевых сплавов 431
---- плексигласа 431
---- стали 429, 433, 449; — Влияние
закалки токами высокой частоты
469
---- текстолита 431
---- чугуна 430; — Влияние закалки
токами высокой частоты 469
Предел ползучести стали 433
Предел прочности алюминиевых спла-
вов 431
---- волокннта 431
---- гетинакса 431
---- дельта-древесины 431
---- магниевых сплавов 431
---- плексигласа 431
---- стали — Изменение с температу-
рой 433
---- стали жаропрочной 432. 433
—— стали конструкционной 432
---- стали легированной 430
---- стали углеродистой 429
---- статический длительный 432
---- стекла 431
---- текстолита 431
----фибры 431
---- целлулоида 431
— чугуна 430
Предел текучести легких сплавов 429
----стали 429; — Изменение от тем-
пературы 432
---- стали жаропрочной 432
---- стали конструкционной 432
---- стали легированной 430
Предел упругости 13
Предел усталости стали — Изменение
с температурой 433
Прецессия синхронная 374
Приборы для измерения деформаций
490
---- для измерения перемещений —
Характеристики 511
Приведенное напряжение — см. Напря-
жения приведенные
Примеры расчетов — см. соответствую-
щие названия предметов с полру-
554 ПРИНЦИП СЛОЖЕНИЯ ДЕЙСТВИЯ - ПСЕВДОГАРМОНИЧССКИЕ КОЛЕБАНИЯ
брнкой — Пример расчета — На-
пример, Диски вращающиеся —
Пример расчета
Принцип сложения действия сил 157
Проволочные тензодатчики 493, 508
Прогибы балок 69, 96, 97, 105, 124. 272,
275; — Определение 272
----консольных — -Пример решения
124
---- неразрезных — Расчет 69
---- при возникновении пластических
деформаций 273, 275
Прогибы брусьев изогнутых 295
---- упругой системы динамические 391
Проекционно-поляризационные уста-
новки 522
Профили внецентренно сжатые —
Силы критические — Определение
185
---- замкнутые тонкостенные — Мо-
мент сопротивления кручению обоб-
щенный — Формулы ~ 297
---- корытные — Пример определения
геометрических характеристик и
построения эпюр 184
---- несимметричные внецентренно сжа-
тые — Сила критическая — Опре-
- деление 186
---- несимметричные центрально сжа-
тые— Сила критическая — Опре-
деление 186
---- по дуге круга 184
----прокатные — Стесненное кручение
170
Профили тонкостенные — Жесткость
обобщенная 298; — Момент со-
противления кручению обобщенный
298; — Центр изгиба 102
---- под действием кручения — Коэф-
фициент концентрации — Формулы
для подсчета 407
Профили тонкостенных стержней 169
----депланнрующие 169
---- замкнутые 170
---- недепланируюшне 169
Профилирование равнопрочных ди-
сков— Графический способ 254
----сплошных дисков по эквивалент-
ным допускаемым напряжениям
264
Прочностной расчет 428—487
Прочность — Расчет 428—487
— Сопротивление, пластическим дефор-
мациям — Расчет 435
Прочность алюминиевых сплавов меха-
ническая — Характеристика 431
----балок — Расчет 86
---- балок постоянного сечения — Рас-
чет, 89
---- балок прн изгибе — Проверка 106,
107
---- орусьев — Расчет 21
—— дисков вращающихся переменной
толщины — Пример расчета 246,
258
----легированной стали механиче-
ская — Характеристика 430
----магниевых сплавов механиче-
ская — Характеристика 431
---- материалов 429; — Влияние на-
пряженного состояния 447
---- неметаллических материалов ме-
ханическая — Характеристика 431
----при контактных напряжениях 481
---- при кручении — Расчет 33
----при переменных напряжениях 44?
---- прн повторных перенапряжениях
472
---- при статических напряжениях 434
----при ударной нагрузке 481
---- стержней — Расчет 23
---- углеродистой стали механическая —
Характеристика 429
----чугуна механическая — Характе-
ристика 430
Пружины — Жесткость 354
— Коэффициент устойчивости 331
— Осадка критическая 331
— Приведение распределений массы
355
— Усилия и деформации при ударе —
Расчет 398
Пружины Бурдона 214
----винтовые цилиндрические вращаю-
щиеся — Расчет 234
---- клапанные — Пример расчета на
удар 399; — Пример расчета на
усталость 477
----радиально расположенные вращаю-
щиеся — Расчет 235
----с осью вращения произвольно
расположенного в плоскости нор-
мальной к оси вращения — Расчет
235
----сжатия цилиндрические витые —
Устойчивость 330
----трубчатые манометрические —
Расчет на жесткость 214, 216
Прямоугольники — Геометрические ха-
рактеристики 45
— Напряжения и угол закручивания
прн кручении 30. 31
— Напряжения касательные при изгибе
88
— Статический момент 276
Прямоугольники полые — Напряжения н
угол закручивания при кручении 31
Псевлогармонические колебания — см.
Колебания псевдогармонические
ПУАССОНА КОЭФФИЦИЕНТ-СЕЧЕНИЯ
555
Пуассона коэффициент 13
Пульсирующий цикл переменных на-
пряжений 448
Пучность колебаний 340
Р
Работнова гипотеза старения 292
Работнова теория ползучести 292
Радиус кривизны брусьев остаточный
287
---- инерции главный 39
---- инерции сечений 40
Разброс по тензочувствительности до-
пускаемый 494
Размерность напряжений 5
Рамные конструкции — Перемещения —
Определение 151
Рамы — Изгибающие моменты — Эпю-
ры — Построение — Пример 159.
167
---- однопролетные — Расчетные фор-
мулы 160
--- плоские одноконтурные — Расчет
159
---плоские с нагрузкой в своей пло-
скости 150
—— плоские с одной лишней неизвест-
ной — Расчет 159
---- плоские со многими лишними не-
известными — Число лишних не-
известных — Определение 165
---- статически неопределимые со мно-
гими лишними неизвестными —
Расчет практический 165
---- статически определимые — Расчет
149
Рассеяние энергии в материале прн ко-
лебаниях 350, 351
Растяжение балок с изгибом 105
---- центральное 21
Расчет за пределами упругости 271—
307
Расчет на прочность 428—487
Реакции опорные 140
Регистраторы деформации автоматиче-
ские электронные 492
Регуляторы сильфонные — Пример рас-
чета на жесткость 216
Резонанс 333, 336
Резонансная частота 362
Резонансные кривые — см. Кривые ре-
зонансные
Резонансные числа оборотов турболо-
паток 349
Релаксация 486
---- напряжений 292
Ременные передачи — Податливость 357
Роторы — Момент инерции — Определе-
ние 359
С
Сверла спиральные — Пример расчета
на устойчивость 323
Свинец — Коэффициент Пуассона 22
— Модуль продольной упругости 22
— Модуль сдвига 22
Сдвиг 26
— Деформация 26
— Диаграмма 19
— Расчет на прочность 26
Сдвиг абсолютный 26
--- октаэдрический 22
--- относительный 26, 28
--- фаз при вынужденных колебаниях
337
Сжатие 21
--- балок с изгибом 105
Сегмент квадратной параболы — Центр
изгиба 102
Сегменты — Геометрические характери-
стики 42
--- круговые — Геометрические ха-
рактеристики 43
Сейсмическая масса 381
Сектор кольца — Геометрические харак-
теристики 43
--- круга —Центр изгиба 102
--- круговой — Геометрические харак-
теристики 42
--- тонкого кругового трубчатого се-
чення — Центр изгиба 102
Секториальный момент инерции 175
Сетки накатные для измерения дефор-
маций 518
Сечення — Геометрические характери-
стики 33
— Главные оси 36
— Запас прочности по разрушающим
нагрузкам 442
— Момент инерции 40
---Вычисления 35
— Момент инерции обобщенный 296
— Моме>гг приведенный—Формулы III
— Момент сопротивления 40, 442
— Момент сопротивления изгибу обоб-
щенный 296
— Момент статический 276
— Напряжения допускаемые по разру-
шающим нагрузкам 442
— Напряжения касательные при изгибе
87
— Напряжения приведенные — Фор-
мулы DO. 111
— Площади 40
— Радиус инерции 40
— Усилия предельные по разрушаю-
щим нагрузкам 442
— Центр изгиба 101 —103
— Центр тяжести — Положения 40
556
СЕЧЕНИЯ - СОПРОТИВЛЕНИЕ
Сечения вала с лыской — Напряжения
и угол закручивания при круче-
нии 29
----волнистого железа — Геометриче-
ские характеристики 43
---- вытянутые любой формы — Напря-
жения и угол закручивания при
кручении 32
---- квадратные—Напряжения и угол
закручивания при кручении 30
---- клинообразные — Напряжения и
угол закручивания при кручении
---- кольцевые — Жесткость обобщен-
ная 297; — Момент сопротивления
кручению обобщенный 297
---- круглые—Геометрические харак-
теристики 46
---- круглые кольцевые—Геометриче-
ские характеристики 48
---- круглые полые—Геометрические
характеристики 42; — Жесткость
обобщенная 297; — Момент со-
противления кручению обобщен-
ный 297
---- круглые сплошные — Жесткость
обобщенная 297; — Момент со-
противления кручению обобщен-
ный 297
----круглых труб — Геометрические
характеристики 47
---- круговые — Напряжения и угол
закручивания при кручепии 29
---- круговые поперечные — Изгибаю-
щий момент суммарный 110
----ломаные — Гипотеза 418
---- неправильной формы ~ Напряже-
ния при кручении 32
---- поперечные — Усилия — Опреде-
ление 508
---- прокатных балок — Напряжения
и угол закручивания прн круче-
нии 31
---- прямоугольные — Геометрические
характеристики 45; — Жесткость
обобщенная 298; — Расчет ПО
----прямоугольные сплошные — На-
пряжения и угол закручивания
прн кручении 30
---- сложной формы — Момент инер-
ции — Вычисление 35
----сплошные компактные без входя-
щих углов — Напряжения и угол
закручивания прн кручении 32
---- элементов плоских рам и ферм —
Усилия — Определение 527
---- эллиптические — Напряжения и
угол закручивания при круче-
нии 30
Сила возбуждения колебаний 347
---- гармоническая 335
---- полигармоническая 347
----поперечная — Влияние на частоту
поперечных колебаний стержней
373
---- поперечная в балках при сложном
сопротивлении 103
---- продольная — Влияние на частоту
поперечных колебаний 373, 374
---- сжимающая критическая — Опре-
деление 184
Сильфоны — Расчет на жесткость 213,
216
Симметричный цикл — Усталость — Рас-
чет 450
----переменных напряжений 448
Системы нелинейные—Колебания 345
----рычажные — Жесткость 355
---- с зубчатыми передачами — Мо-
мент инерции 360
---- с одной сосредоточенной массой —
Частота собственных колебаний
339
---- с одной степенью свободы — Коле-
бания 334, 351
----с переменными параметрами —
Колебания 345
---- с сосредоточенными массами —
Частота резонансная 341; — Ча-
стота собственных колебаний 341
---- со многими степенями свободы —
Динамическая жесткость 362
---- со многими степенями свободы
упругие — Колебания 340
----статически неопределимые 156—
158
— стержневые — см. Стержневые си-
стемы
Скалывание 26
Скорость критическая валов 366, 369
---- угловая радиально расположенных
пружин критическая 236
Скрепленные цилиндры — см. Цилиндры
скрепленные
Смрчека метод 386
Собачки храповых механизмов — При-
мер расчета на удар 401
Соединения цилиндрических деталей
одинаковой длины — Контактное
давление — Расчет 220
---- различной длины — Контактно»
давление—Расчет 227
Сопротивление в балках сложное Г01
---- пластическим деформациям 434
---- разрушению материалов 435
----тонкостенных стержней сложно»
174
---- усталости — Влияние упрочнения
поверхностного слоя 466
СОПРЯЖЕНИЯ - СТЕРЖНИ
557
Сопряжения для ступенчатых валов —
Размеры 417
Соударение двух упругих тел — Упро-
щенный расчет 401
--- массивных тел 390
Спарники — Напряжения 231
--- паровозные — Устойчивость — При-
мер расчета 322
Сплавы алюминиевые — Коэффициент
концентрации эффективный 462,
463
— Коэффициент Пуассона 22
— Модуль продольной упругости 22
— Модуль сдвига 22
— Предел выносливости — Влияние
коррозии 466
Сплавы легкие — Коэффициент влияния
абсолютных размеров сечения 462
— Коэффициент концентрации эффек-
тивный 462, 463
— Коэффициент чувствительности 462,
463
— Предел вынос.1 ивости 462
— Предел текучести 429
Сплавы магниевые — Коэффициент кон-
центрации эффективный 462, 463
— Коэффициент Пуассона 22
— Модуль продольной упругости 22
— Модуль сдвига 22
— Оксидирование — Влияние на пре-
дел выносливости 466, 467
— Предел выносливости — Влияние по-
верхностных покрытий 466, 467
— Удельное рассеяние энергии прн ко-
лебаниях 351
Срез 26
Сталь — Азотирование — Влияние на
предел выносливости 466, 467
— Гибкость 319
— Допускаемое давление контактное
482
— Запас устойчивости 309
— Коэффициент влияния абсолютных
размеров 455
— Коэффициент понижения допускае-
мого напряжения на сжатие 320
— Коэффициент Пуассона 22
— Кривые релаксации 486
- Металлизация — Влияние на предел
выносливости 466, 467
— Модуль продольной упругости 22
— Модуль сдвига 22
— Напряжения допускаемые — График
485
— Насыщение диффузионное — Влияние
на предел выносливости 466, 467
— Обкатка роликом — Влияние на пре-
дел выносливости 466, 467
— Ползучесть—Характеристики 290
— Предел выносливости 449
---- Влияние антикоррозионной за-
щиты 466, 467
---- Влияние закалки токами высокой
частоты 469
----Влияние коррозии 465, 466
---- Влияние поверхностного наклона
470
----Влияние поверхностных покрытий
466, 467
— Предел прочности — Изменение с
температурой 433
— Предел текучести 429
----Изменение от температуры 432
— Предел текучести динамический 390
— Предел усталости — Изменение с
температурой 433
— Удельное рассеяние энергии при
колебаниях 351
Сталь жаропрочная — Предел длитель-
ной прочности 433;—Характери-
стики механические 432
---- конструкционная — Механические
характеристики 432
---- легированная — Прочность механи-
ческая— Характеристики 430
----углеродистая — Прочность механи-
ческая— Характеристики 429
Старение — Гипотеза 292, 293
Статически неопределимые системы —
Расчет 156—158
Стекло — Модуль продольной упруго-
сти 22
— Модуль сдвига 22
— Предел прочности 431
Стержневые системы — Расчет 140—168
— Угловые подобия 387
Стержневые системы вращающиеся —
Расчет 229
----основные — Выбор 156
---- плоские — Перемещения 151, 155
---- пространственные — Перемещения
155
----статически неопределимые 156—
158
Стержневые элементы конструкций —
Запас устойчивости 309
— Расчет на статическую устойчивость
308—332
Стержни — Деформации — Изменения
в точке удара 396, 397
— Динамические схемы колебаний 360
— Жесткость 23
— Заделка — Влияние на частоту по-
перечных колебаний 373
— Колебания поперечные 366
— Колебания собственные поперечные
372
— Кручение 27
— Коэффициент концентрации и гра-
фики 412
558
СТЕРЖНИ БОЛЬШОЙ гибкости - СТЕРЖНИ ТОНКОСТЕННЫЕ
— Напряжения и деформации от изме-
нения температуры — Определение
24
— Номинальное напряжение 22
— Потенциальная энергия деформации
24
— Расчет на прочность 23
— Силы поперечные — Влияние на ча-
стоту поперечных колебаний 373
— Силы продольные — Влияние на ча-
стоту поперечных колебаний 373,
374
— Удар продольный — Расчет 394, 398
— Учет собственного веса 23
— Форма колебаний 340, 341
— Частота поперечных колебаний —
Определение 367
— Частота собственных колебаний 338
Стержни большой гибкости — Геометри-
ческое подобие—Условия 126
— Ос и, изогнутые — Построение 124
— Построение графическое 120;-------
Форма 126
— Примеры расчетов 136
— Расчет — Выбор координат, правила
отсчета и знаков 125
— Расчет графический 120
— Расчет графо-аналитический по
Е. П. Попову 124
— Расчет на изгиб 119
— Расчет по методу упругих параме-
тров 124
Стержни движущиеся — Расчет 229
---длинные — Частота собственных
крутильных колебаний 366
--- естественно завитые 323
--- консольные переменного сечення —
Частота собственных колебаний —
Определение—Пример 369
--- монолитные сжатые — Критические
нагрузки 309
---невесомые — Частота собственных
колеба н ий — Определен не 367
----однопролетные с шарнирно опер-
тыми концами — Прогиб наи-
больший 308
---- переменного поперечного сечения
вращающиеся — Пример расчета
229
---- переменного поперечного сечения
поступательно движущиеся — Рас-
чет 229
---- переменного сечення — Колебания
поперечные 369
----постоянного сечения — Жесткость
353; — Приведение распределенной
массы к сосредоточенной 355
---- постоянного сечения с распреде-
ленной массой — Продольные и
крутильные колебания 365
----прн продольном ударе — Масса
поивед^нная — Пример определе-
ния 400
---- призматические — Податливость
357; — Частота собственных про-
дольных колебаний 365
---- прямолинейные сжатые — Устойчи-
вость 308
---- прямые постоянного сечения — На-
пряжения 21
---- равного сопротивления 24
---- с заземленными концами —При-
мер расчета на колебания 343
----с меняющимся сечением — Рас-
чет на прочность 23
---- с одним закрепленным концом и
другим свободным — Пример рас-
чета на колебания 342
---- с распределенной массой — Рас-
чет на колебания 342
---- с сосредоточенной массой — Жест-
кость поперечная — Расчет 353
----сварные швеллерного типа — При-
мер определения бимомента и
напряжений стесненного кручения
182
---- сжато-скрученные — Устойчивость
324
----сжатые — Расчет по коэффициенту
понижения допускаемого напряже-
ния 320
---- сжатые прямолинейные естественно
завитые — Устойчивость 323
---- скручиваемые с продольным отвер-
стием — Коэффициент концентра-
ции — Формулы 407
----слабонзогнутые вращающиеся —
Расчет 232
----- слабоизогнутые консольные —
Изгиб — Расчет 232, 234
---- слабоизогнутые консольные вра-
щающиеся — Напряжения 233
----- стальные с шарнирно опертыми
концами сжатые — Пример рас-
чета на устойчивость 308
----• ступенчатые 24
Стержни тонкостенные — Бимомент
инерции профиля при сложном со-
противлении 178
— Депланаиия при сложном сопроти-
влении — Главные эпюры 178
— Напряжения по сечению при слож-
ном сопротивлении 174
— Приведение нагрузок к типам уси-
лий при сложном сопротивлении 179
— Профили 169, 170
— Расчет 169—189
— Сопротивление сложное 174 •’
— Усилия при сложном сопротивле-
нии — Определение 180
СТЕРЖНИ ТОНКОСТЕННЫЕ - ТОРСИОГРЛММЫ
559
1— Эпюры — Построение при сложном
сопротивлении 180
— Характеристика качественная 169
— Центр изгиба 177
Стержни тонкостенные короткие 183
---- с замкнутым профилем — Дефор-
мации при свободном кручении
173; — Конструктивные рекомен-
дации 170; — Напряжения прн
свободном кручении 173; — На-
пряжения при сложном сопроти-
влении 177
с открытым профилем —Дефор-
мации прн свободном кручении
170; — Напряжения при свобод-
ном кручении 170; — Особенность
169;— Устойчивость 170, 184
Стой ка — Гибкость 319
— Критическая сила за пределами
упругости 319
— Нагрузки критические за преде-
лами пропорциональности 319, 320
— Напряжения критические за преде-
лами упругости 319
Стойки двуступенчатые консольные —
Коэффициент устойчивости 315
----переменного сечения — Нагрузки
критические 315—317; — Устойчи-
вость 315
----поперечного сечения с непрерыв-
ным изменением — Устойчивость
316
-— постоянного сечення — Коэффи-
циент проведенной длины 313,
314; — Коэффициент устойчивости
312—314; — Нагрузки критические
311; — Устойчивость 31&—312
---- постоянного сечения консольные —
Коэффициент устойчивости 311
---- постоянного сечения однопролет-
ные— Расчет на устойчивость 310
----сжатые — Пример расчета на
устойчивость 320, 321
----составные решетчатые — Нагрузки
критические 318; — Устойчивость
318
----ступенчатые — Устойчивость 315,
316
---- ступенчатые постоянной тол-
щины — Пример расчета на устой-
чивость 315
---- чугунные — Критическая сила 320
Стрела провеса гибкой нити 25
---- прогиба 96
Стрингер 183
Стробоскоп 379
Струны натянутые — Жесткость 354
Сферы под действием внутреннего да-
вления— Определение напряжений и
перемещений 204
Т
Тавр—Центр изгиба ЮЗ
Тарировка аппаратуры для измерения
деформаций 498
---- покрытий для исследования де-
формаций 516
Твердость волокннта 431
---- гетинакса 431
----дельта-древесины 431
---- текстолита 431
------ чугуна 430
Текстолит — Модуль продольной упру-
гости 22
— Модуль сдвига 22
— Прочность механическая — Характе-
ристика 431
— Твердость 431
Тела массивные — Соударение 390
— неправильной формы — Момент
инерции 358
----твердые — Прикрепление к земле
илн к другому телу 148
---- упругие — Соударение — Расчет
упрошенный 401; — Удар о непо-
движную преграду — Расчет упро-
щенный 401
Тензодатчики проволочные 493
— Расположение — Схема 508
Тензоизмерительная аппаратура — Клас-
сификация 489
Тензометрированне 489
— Применение 499
Тензометры—Тарировка 498
— Характеристики 489
— Чувствительность и погрешности
490
Тензометры Аистова 491
----для измерения остаточных дефор-
маций 491
---- зеркальные 491
---- индуктивные 492
----малобаэные Лоренца 490
---- реостатные 493
----рычажные универсальные 490
---- с графитовым столбиком 493
----царапающие 492
Тензор шаровой 8
Тензочу ветвите л ыюсть — Коэффициент
494
---- проволочных датчиков — Учет 505
Теорема взаимности единичных упругих
перемещений 157
Терских уравнение 36)
Течение — Г нпотеза 292
Тимошенко формула для расчета коэф-
фициента концентрации 459
Тонкостенные стержни — см. Стержни
тонкостенные
Торснограммы 378, 381
560
ТОРСИОНЫ К РЕДУКТОРАМ - УСИЛИЯ
Торсионы к редукторам — Крутящий
момент допустимый — Пример рас-
чета 446
Торы под действием внутреннего давле-
ния — Определение напряжений и
перемещений 204
Траектории главных напряжений 19
---- напряжений в плоских моделях
525. 526
Трапеции — Момент инерции 37; — Ста-
тический момент 276
----равнобочные — Напряжения и
угол закручивания прн кручении
31
Треугольники—Статический момент
276
---- прямоугольные — Центр изгиба
102
---- равнобедренные — Напряжения ка-
сательные при изгибе 88; — Центр
изгиба 102
Треффца формула 407
Трубки Бурдона 214
Трубки толстостенные — Расчет на
жесткость 215
Трубки тонкостенные—Деформации
299
— Напряжения 299
— Перемещения 299
— Ползучесть 299
— Расчет на жесткость 214
Трубопроводы—Деформация пласти-
ческая — Возникновение 220
Трубы — Автоскрепление 288; — Напря-
жения при автоскрепленни —
Определение 288
---- круглые—Сечения — Геометриче-
ские характеристики 47
----толстостенные — Напряжения 299;
— Несущая способность под давле-
нием 280; — Ползучесть устано-
вившаяся 299
----толстостенные под внутренним н
внешним давлениями 279
Тумаркина метод 241
У
Углы входящие — Коэффициент концен-
трации 458, 461
Угол закручивания между сечениями —
Измерение 514
---- вала 28
----тонкостенных стержней 171, 173
Угол сдвига 26
Уголки с неравными стенками — Гео-
метрические характеристики 43
---- чугунные—Изгиб — Коэффициент
концентрации 445
Угольники — Коэффициент концентра-
ции — Графики 412; — Центр
изгиба 102
---- с полкой постоянной толщины —
Напряжения и у юл закручивания
при кручении 32
Удар — Расчет — Упрощенные методы
399
----детали движущейся о деталь за-
крепленную — Пример расчета 402
----жесткого груза по упругой си-
стеме — Расчет 391
---- по буферу — Расчет 392
---- по пружинам — Расчет — Волновой
метод 398
---- по системе с двумя ступенями сво-
боды — Расчет 393
---- продольный по стержням — Рас-
чет 394, 398
---- упругого тела — Упрощенный рас-
чет 401
Ударные нагрузки — Расчет 390—402
Удельный вес неметаллических мате-
риалов 431
Узлы колебаний 340
Упрочнение — Влияние глубины моя
при цементации и цианировании
470; — Г ипотеза 289
---- поверхностное—Схемы 468
Упругая линия — Уравнение дифферен-
циальное 96
Упругие параметры 128
— Диаграммы 130—134
— Переход от периодических упругих
кривых 129
— Применение для решения задач 135
Упругость 13
Уравнение вековое 341Определение
резонансных частот 341
---- Терских 361
---- траекторий 20
---- эпюры бимоментов тонкостенных
стержней 181
Уравнения для перемещений в балках
дифференциальные 99, 100
----канонические для расчета стерж-
невых систем статически неопреде-
лимых 157
---- скелетных осей 346
----трех моментов для балок 66, 68
---- упругой линии дифференциальные
----частот для защемленных консолей
368
Усилия — Определение 513
— Определение тензодатчиками прово-
лочными 508
— Определение экспериментальное
488—534
УСИЛИЯ - ФОРМУЛА
561:
Усилия в сечениях плоских рам и
ферм — Определение 527
----и перемещения в консольных бал-
ках 56—66
---- и перемещения в однопролетных
балках 56—66
---- предельные — Определение —
Формулы 441
----предельные по несущей способно-
сти 451
---- предельные по разрушающим на-
грузкам для сечений 442
----продольные — Определение 514; —
Пример определения 515
---- пружин при ударе—Расчет —Вол-
новой метод 398
Условия пластичности 19
Усталость деталей машин — Пример
расчета 475
---- материалов—Кривые 430
Установки для исследования напряже-
ний по методу рассеянного света
524
Устойчивость балок подкрановых — При-
мер расчета 187
---- балок при поперечном изгибе 186
---- колец круговых 324
---- конструкций — Расчет 320
---- оболочек тонкостенных — Расчет
207
---- пластинок—Расчет 198—201
—— плоской формы изгиба балок 325
---- пружин сжатия цилиндрических
витых 330
---- решетчатых стоек составных 318
---- сверл спиральных — Пример рас-
чета 323
— спарников паровозных — Пример рас-
чета 322
---- стержневых элементов конструк-
ций — Расчет 308—332
Устойчивость стержней прямолинейных
естественно завитых 323
----сжато-скрученных 324
----сжатых естественно завитых 323
---- сжатых прямолинейных 308
---- сжатых тонкостенных с открытым
профилем 184
----тонкостенных с открытым профи-
лем 170
Устойчивость стоек — Расчет — Крити-
ческие силы 309
---- переменного сечения 315
---- постоянного сечения 310—312
---- при продольном изгибе — Нагрузке
сжимающая допускаемая 309
---- с непрерывным изменением попе-
речного сечения 316
36 Том з >509
----сжатых — Пример расчета 320,
321
----ступенчатых 315, 316
Устранение колебаний 351
Ф
Фанера — Модуль поперечной упруго-
сти 22
— Модуль сдвига 22
— Удельное рассеяние энергии при ко-
лебаниях 351
Ферменные конструкции — Перемеще-
ния— Определение 155
— Пример расчета 149
Фермы — Перемещение узлов — Диа-
граммы 156.—Типы 140
---- балочные — Линии влияния 145
---- плоские 140; — Образования
140; — Расчет 143
Фермы плоские с неподвижной на-
грузкой— Расчет усилий 141
— Реакции — Графическое определение
142
— Усилия в стержнях — Определение
143
----Определение графическое 144
— Расчет усилий 145
— Установка нагрузки в опасное поло-
жение 146
Фермы плоские спаренные—Расчет
148
---- преобразованные 141
---- пространственные 146; — Расчет
146. 147; — Усилия—Расчет 146
---- с тремя опорными стержнями —
Пример расчета 143
---- с цилиндрически неподвижной опо-
рой слева и цилиндрической по-
движной опорой справа — Пример
расчета 143
----статически определимые — Расчет
140
---- стропильные — Пример расчета
142
Фибра — Модуль продольной упруго-
сти 22
— Модуль сдвига 22
— Прочность механическая — Характе-
ристики 431
Фигуры Лиссажу 379
---- песочные 383
Фланцевые соединения — Податливость
356
Фланцы — Коэффициент концентра-
ции — Пример определения 463, 465
Формула Власова 174
---- Грифитса 406
----Давиденкова 481
---- Дункерлея 367
562
ФОРМУЛЫ - ЧУГУН
---- Максвелла-Мора 151
---- Тимошенко 459
---- Треффца 407
---- Цехновича 459
----Эйлера 208
Формулы Ляме 219
----для напряжений и угла закручи-
вания при кручении 29
---- для напряжений по наклонным
площадкам 6
---- для напряжений при кручении 29
----для определения предельных на-
грузок на пластинки и оболочки
284—286
---- для потенциальной энергии еди-
ницы объема ори упругой дефор-
мации 16
---- для расчета колебаний крутильных
335
---- для угла закручивания 29
----- под действием нагрузки — Напря-
жения и перемещения — Определе-
ние 204, 205
--- скрепленные 222
Цилиндры толстостенные — Напряже-
ния — Определение графическое
221; — Напряжения температурные
224; — Несущая способность — По-
вышение 223, 224
---под действием внутреннего и на-
ружного давления — Расчет 219
--- под действием переменной по
длине осесимметричной нагрузки
225
Цилиндры тонкостенные с отверстием —
Коэффициент концентрации—Фор-
мулы расчетные 407
Цинк — Коэффициент Пуассона 22
— Модуль продольной упругости 22
— Модуль сдвига 22
X
Химико-термическая обработка — Влия-
ние на предел выносливости 469
U
Целлулоид — Коэффициент Пуассона
22
— Модуль продольной упругости 22
— Модуль сдвига 22
— Прочность механическая — Характе-
ристики 431
Цементация — Влияние глубины слоя
на упрочнение 470
— Влияние на предел выносливости
469
Центр изгиба 27, 177
---- изгиба для тонкостенных профи-
лей 102
---- изгиба сечений 101—103
---- жесткости 183
---- сдвига 183
----тяжести сечений — Положение 40
Цепочка сил 148
Цехновича формула для расчета коэф-
фициента концентрации 459
Цианирование — Влияние глубины слоя
на упрочнение 470
— Влияние на предел выносливости
469
Циклы переменных напряжений — Коэф-
фициент асимметрии 448
Цилиндры — Контакт с деталями раз-
личной формы — Формулы 420
---- автоскрепленные 222
---- под действием внутреннего давле-
ния — Напряжения и перемеще-
ния — Определение 204
Частота антнрезонансная 362
----высшая поперечных колебаний —
Определение 372
•---нзгибных колебаний колец 378
----колебаний 333; — Измерение 378
---колебаний закрученной консоли
354
---- колебаний систем со многими сте-
пенями свободы 340
----поперечных колебаний стержней —
Определение 367
------ резонансная 362; — Определение
по вековому уравнению 341
---- резонансная систем с сосредото-
ченными массами 341
Частота собственных колебаний — Опре-
деление 343, 344, 360, 383
. ---- вращающихся дисков 377
---- консольных стержней переменного
сечения — Пример определения
369
---- мембран 375
---- оболочек 376
---- пластинок 375
----- призматических стержней 366
---- простых систем 361
---- разветвленных систем — Расчет по
методу остатка 364
---- систем вал — винт 363
---- систем с сосредоточенными мас-
сами 341
Частотная отстройка 351, 352
Частотные диаграммы — см. Диаграммы
возбуждения колебаний
Частотомеры 378
Чувствительность тензометров 490
Чугун — Гибкость 320
ШАРНИРЫ ПЛАСТИЧЕСКИЕ - ЯНОВСКОГО МЕТОД
.563
— Запас устойчивое309
— Коэффициент понижения допускае-
мого напряжения на сжатие 320
— Коэффициент Пуассона 22
— Модуль продольной упругости 22
— Модуль сдвига 22
— Предел выносливости — Влияние за-
калки токами высокой частоты 469
— — Влияние коррозии 466
— Прочность механическая — Характе-
ристика 430
. Ш
Шарниры пластические 276
Шары толстостенные под давлением —
Напряжения — Определение 227
— Напряжения температурные 228
Шатуны — Напряжения 231
---тихоходных паровых машин —
Запас устойчивости — Пример
определения 318
Швеллеры — Значения интегралов
186; — Центр изгиба 103, 176, 178
--- прокатные — Геометрические ха-
рактеристики 172
Шестерни — Коэффициент концентрации
459
Шестиугольники правильные—Геоме-
трические характеристики 41
— Напряжения и угол закручивания
при кручении 31
Шиманского метод расчета коэффици-
ентов концентрации 418
Шлейфы осциллографов 497
Шлицевые соединения — Коэффициент
концентрации 458
Шпильки фланисвого соединения паро-
провода — Напряжения затяжки —
Пример определения 293
Штасрмана метод определения нзгибных
напряжений для оболочек вращения
207
ш
Шека колена вала — Момент инерции —
Определение 358
Э
Эйлера формула 208
Электроприборы измерительные дина-
мических перемещений 380
Элементы конструкций — Расчет на ко-
лебания 353
----движущиеся — Расчет 229—270
Эллипсоид напряжений 9
Эллипсы — Напряжения касательные
при изгибе 88
---- инерции 39
---- полые—Геометрические характе-
ристики 43
---- сплошные—Геометрические ха-
рактеристики 42
Энергетический метод определения ча-
стот собственных колебаний 334
Энергия деформации изгиба 95
---- потенциальная вала 28
---- потенциальная кривых брусьев
115
---- упругих деформаций 13
Эпюры — Сложение 54
---- бимоментов тонкостенных стерж-
ней при сложном сопротивлении
181
---- изгибающих моментов в балках
51
---- моментов, продольных и попереч-
ных сил — Построение 150
---- наибольших изгибающих момен-
тов в простой балке 78, 79
---- напряжений 20
----напряжений при автоскреплеиин
труб 288
---- напряжений растянутых брусьев
283
---- напряжений растянутых пластинок
283
---- остаточных напряжений 287
---- поперечных сил в балках 51
Эффективный коэффициент концентра-
ции 403
Я
Яновского метод 244
36*