Текст
ЗАДАЧИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
ФУНКЦИИ ГРИНА, ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА
С РЕШЕНИЯМИ
Л. С. Левитов и А. В. Шитов
2
Задачи по теоретической физике с решениями и методическими указания-
ми. Функции Грина. Диаграммная техника. Москва, 2000 — 360 с.
Темой книги является квантовая физика систем, состоящих из большого числа частиц.
Выбранная форма - сборник задач - позволяет рассмотреть основные теоретические
методы этого раздела физики и одновременно охватить большой круг конкретных
физических явлений.
Задачи первой, вводной части книги подобраны так, чтобы на примере известно-
го читателю материала по нерелятивистской квантовой механике проиллюстрировать
метод функций Грина. Все задачи решены и сопровождаются комментариями, пояс-
няющими мотивировку задач и их связь с разнообразными вопросами современной
теории конденсированного состояния. В начале каждой главы кратко излагается не-
обходимый материал по фейнмановской диаграммной технике. Вторая часть книги
построена по той же схеме, что и первая. В нее включены несколько разделов физики
конденсированного состояния, представляющих интерес на сегодняшний день. Это те-
ория ферми-жидкости, неупорядоченные системы, сверхпроводимость, и одномерные
сильно коррелированные системы. Помимо этого, во второй части рассматриваются
вопросы, связанные с измерением функций отклика и гриновских функций.
Книга предназначена для студентов старших курсов, специализирующихся в обла-
сти теоретической физики, физики твердого тела и низких температур, а также для
аспирантов-физиков и научных работников.
©Л. С. Левитов и А. В. Шитов, 1997, 2000
Оглавление
I Теория возмущений 9
1. Квазичастицы 11
1.1. Канонические преобразования................................ 11
1.2. Задачи 14-4................................................ 14
1.3. Решения.................................................... 15
1.4. От спиновых операторов — к фермиевским..................... 23
2. Функция Грина 27
2.1. Представление взаимодействия .............................. 27
2.2. Задачи 54-10............................................... 29
2.3. Решения.................................................... 31
3. Квантовая механика одной частицы 45
3.1. Теория возмущений и функция Грина.......................... 45
3.2. Задачи 114-15 ............................................. 47
3.3. Решения.................................................... 50
4. Взаимодействующие частицы 61
4.1. Правила построения диаграмм................................ 61
4.1.1. Блочное суммирование................................. 64
4.2. Полюса функции Грина — спектр квазичастиц.................. 66
4.2.1. Двухчастичная функция Грина ......................... 67
4.3. Задачи 164-21 ............................................. 69
4.4. Решения.................................................... 73
5. Идеальный ферми-газ. 87
5.1. Электроны на ферми-поверхности............................. 87
5.1.1. Формула Кубо......................................... 88
5.2. Задачи 224-27 ............................................. 90
5.3. Решения.................................................... 93
6. Электроны и фононы 109
6.1. Электрон-фононное взаимодействие.......................... 109
6.2. Задачи 284-33 ............................................ 113
6.3. Решения................................................... 115
3
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
6.4. Эффект Пайерлса — теория среднего поля ...................... 127
7. Диаграммная техника при конечных температурах 135
7.1. Мацубаровское время.......................................... 135
7.2. Дискретные частоты........................................... 137
7.2.1. Метод аналитического продолжения....................... 139
7.3. Задачи 34-5-42 .............................................. 142
7.4. Решения...................................................... 146
II Методы теории многих тел 173
8. Теория ферми-жидкости 175
8.1. Квазичастицы................................................. 176
8.2. Кинетическое уравнение. Коллективные моды.................... 177
8.3. Приближение случайных фаз.................................... 180
8.4. Задачи 43-5-49 .............................................. 185
8.5. Решения...................................................... 191
8.6. Вигнеровский кристалл........................................ 208
8.7. Микроскопическое обоснование теории ферми-жидкости............210
9. Электроны в случайном потенциале 215
9.1. Усреднение функций Грина по беспорядку....................... 215
9.2. Усреднение функций отклика .................................. 219
9.3. Задачи 50-5-54 .............................................. 222
9.4. Решения...................................................... 227
9.5. Диаграммы без самопересечений ............................... 245
9.5.1. Самосогласованное борновское приближение .............. 248
9.6. Слабая локализация........................................... 251
9.6.1. Квантовое магнитосопротивление......................... 251
9.6.2. Эффект Ааронова-Бома .................................. 256
10. Сверхпроводимость 263
10.1. Микроскопическая теория сверхпроводимости .................. 263
10.1.1. Образование куперовских пар........................... 263
10.1.2. Квазичастицы в сверхпроводнике........................ 267
10.2. Диаграммная техника для теории БКШ.......................... 269
10.2.1. Рассеяние в куперовском канале........................ 269
10.2.2. Функции Грина в сверхпроводнике....................... 272
10.3. Задачи 55-5-61 ............................................. 276
10.4. Трудные задачи 62-5-64 ..................................... 281
10.5. Решения..................................................... 282
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
11. Измерение функций Грина 311
11.1. Туннелирование........................................... 311
11.2. Неупругое рассеяние ..................................... 317
11.3. Задачи 654-71 ........................................... 320
11.4. Решения.................................................. 324
12. Б озонизация 347
12.1. Гидродинамика одномерного ферми-газа..................... 347
12.2. Коммутаторы операторов плотности......................... 349
12.3. Модель Томонаги.......................................... 351
12.4. От бозонов к фермионам................................... 353
12.5. Задачи 724-79 ........................................... 357
12.6. Решения.................................................. 360
Предисловие
Метод функций Грина, впервые предложенный Р. Фейнманом в квантовой электро-
динамике, уже давно стал универсальным языком всей теоретической физики. Знание
диаграммной техники и умение использовать функции Грина является неотъемлемой
частью образования физика-теоретика, независимо от конкретной области его интере-
сов. При этом студенту, желающему изучить эти методы, обычно приходится вначале
знакомиться с ними в рамках курса квантовой теории поля, поскольку по историческим
причинам в учебной литературе основное внимание уделялось именно этой области.
В теорию конденсированного состояния, изучающую квантовые свойства твердых
тел и других многочастичных систем, диаграммная техника прочно вошла еще в се-
редине 50-х годов. Как нетрудно проследить, практически все основные достижения
в этой области теоретической физики были так или иначе связаны с развитием диа-
граммной техники. Применение функций Грина в теории твердого тела хорошо освеще-
но в обширной литературе, центральное место в которой занимает хорошо известная
монография А. А. Абрикосова, Л. П. Горькова и И. Е. Дзялошинского, «Методы кванто-
вой теории поля в статистической физике» [1]. Эта замечательная книга, к сожалению,
не может считаться учебником в полном смысле слова, поскольку в ней отсутствуют
задачи, а кроме того предполагается, что читатель отчасти знаком с методами кван-
товой теории поля.
В настоящее время, однако, студенты часто изучают методы функций Грина, ис-
пользуя книгу [1] или другие аналогичные пособия, не после квантовой теории поля, а
одновременно или даже несколько раньше. Это связано с тем, что современная физика
твердого тела достаточно богата идеями и содержательными результатами, а теория
конденсированного состояния имеет много связей с квантовой теорией поля. Поэтому
нам казалось весьма полезным изложить необходимый для освоения диаграммной тех-
ники материал таким образом, чтобы он был доступен студенту, знакомому лишь с
основами квантовой механики.
Предлагаемая читателю книга возникла как попытка устранить указанный пробел
в учебной литературе. Основу книги составили материалы занятий по теории твердого
тела со студентами МФТИ в 1992-94 гг, в которых в качестве учебника использова-
лась книга [1]. По собственному опыту авторам известно, что читателю «вечнозеленой
книги о функциях Грина» приходится, как всегда при изучении трудного материала,
самому придумывать себе примеры и простые задачи. Исходной идеей было — си-
стематизировать этот опыт и снабдить читателя [1] достаточно интересными, но не
слишком трудными задачами.
В процессе написания книги мы, следуя советам коллег, постарались сделать нашу
книгу по возможности независимой от других учебных пособий. Для этого в начале всех
главы помещены вступительные разделы, в которых напоминается нобходимый теоре-
тический материал, сравниваются различные подходы, кратко суммируются основные
теоретические положения, и т.п. После этого идут разделы с задачами1 и их подроб-
ными решениями. Иногда, если в этом имеется необходимость, приведено несколько
различных решений одной и той же задачи. Помимо этого, воспользовавшись преиму-
1 Трудные задачи помечены знаком *. При первом чтении их можно пропустить.
6
ществами избранной формы задачника, более свободной, чем учебник или монография,
мы включили в книгу разнообразные отступления и «вставные новеллы», объясняющие
мотивировку тех или иных задач, или поясняющие связь с вопросами теории, предста-
вляющими интерес в настоящее время и недостаточно освещенными в учебниках. Эти
отступления помещены в конце некоторых глав.
Книга состоит из двух частей, что соответствует разделению материала по двум
различным уровням трудности. Часть I имеет вводный характер. Её основная идея
— на примере фактов, известных читателю из курса квантовой механики, проиллю-
стрировать основные положения метода функций Грина и, так сказать, пересказать
квантовую механику одной частицы на графическом языке диаграммной техники. Кро-
ме того, в первой части вводится аппарат функций Грина, отдельно при нулевой и при
конечной температуре. При этом от читателя не требуется предварительного знаком-
ства с физикой твердого тела, поскольку практически все используемые примеры име-
ют общефизический характер, а необходимый фактический материал изложен по ходу
дела.
В часть II входят основные разделы современной теории твердого тела, такие как
теория ферми-жидкости, теория неупорядоченных систем, включая возникшую за по-
следние 20 лет теорию слабой локализации и квантовых эффектов в проводимости, а
также теория сверхпроводимости, и теория одномерных сильно-коррелированных си-
стем. Кроме того, в часть II включена глава «Измерение функций Грина», цель которой
— установить связь между развиваемой теорией, опирающейся на функции Грина, и
экспериментальными методами физики твердого тела. Кроме того, в этой главе сооб-
щаются некоторые сведения из физики твердого тела, не всегда знакомые студентам-
теоретикам.
Следует сказать, что отбор материала, легшего в основу части II, в сильной сте-
пени определяется вкусами и научными интересами авторов. При составлении задач
мы стремились рассмотреть вопросы теории, представляющие интерес в настоящее
время. При этом, однако, мы постарались избежать превращения книги в обзор со-
временного состояния науки. Затронутые вопросы были отобраны в основном с точки
зрения их общефизического интереса, а также исходя из того, насколько хорошо они
иллюстрируют общий метод функций Грина.
В заключении нам хотелось бы поблагодарить наших коллег, без участия которых
эта книга не появилась бы: Д.А. Иванова, М.А. Скворцова, Д.Е. Фельдмана и В.П. Руба-
на, любезно предоставивших свои решения задач, которые впоследствии были перера-
ботаны и включены в книгу. Мы признательны также М.Ю. Рейзеру за ценные советы
и указание на некоторые дефекты в ротапринтном издании части I (МФТИ, 1997). Ра-
зумеется вся ответственность за (неизбежные) ошибки, имеющиеся в настоящей книге,
лежит на авторах. Мы будем крайне благодарны всем, кто пожелает указать на ошиб-
ки, опечатки, или просто обсудить какой-либо связанный с книгой вопрос. Связаться
с авторами проще всего по электронной почте: levitov@mit.edu, shytov@itp.ac.ru (см.
также http://web.mit.edu/levitov/book).
7
Насть I
Теория возмущений
9
Глава 1.
Квазичастицы
1.1. Вторичное квантование. Канонические пре-
образования.
Системы, состоящие из большого числа тождественных частиц, удобно изучать, поль-
зуясь методом вторичного квантования. Напомним основную идею этого метода, не
уточняя пока вид частиц. (В задачах физики твердого тела это могут быть, скажем,
электроны, фононы, фотоны, экситоны и т. д.)
Для определенности, пусть речь идет о системе бозе-частиц, из которых каждая
может находиться в одном из состояний (а?) , г = 1, 2,... Многочастичная волновая
функция задается в представлении чисел заполнения, указывающем сколько частиц
занимают каждое из состояний ДДа?) . В обозначениях Дирака такие состояния могут
быть записаны как |..., Ni-i, Ni, M+i,...} , где числа заполнения Ni принимают про-
извольные целые неотрицательные значения, Ni = 0,1,... . Канонические операторы
рождения и уничтожения af и щ вводятся следующим образом:
щ|..., Ni, Ni+i,...) = y^Ni\..., Ni — 1, Ni+i,..
at\...,Ni,Ni+1,...} = y/Ni + l\...,Ni + l,Ni+1,...) . (1.1)
Нетрудно проверить, что выполняются коммутационные соотношения:
Далее, вводятся 'ф -операторы:
$(.х) =
(гз)
i
Функции ДДа?) обычно образуют полную ортонормированную систему. При этом Д -
операторы коммутируют так:
[Д(х),-0+(х')] = 8(х — х1) ,
11
12
ГЛАВА 1. КВАЗИЧАСТИЦЫ
[ф(х'),'ф(х'')] = [-0+(х), 'ф+(х1')] = 0 .
(1-4)
Удобство 'ф -операторов заключается в том, что с их помощью легко проследить связь
между одно- и многочастичной задачами. Например, нетрудно проверить, что гамиль-
тониан системы невзаимодействующих бозе- или ферми-частиц, имеющих массу т и
движущихся в потенциале У (г) , записывается так:
(1-5)
А если частицы взаимодействуют по закону СДщ — г2) , то гамильтониан нужно просто
дополнить членом
7/int = I / / '0+(ri)'0+(r2)V(r1 - r2)-0(r2)-0(r1)d3nd3r2 . (1.6)
Вторично квантованный оператор плотности частиц р(г) = '0+(г)'0(г) является мно-
гочастичным эквивалентом одночастичного выражения |-0(г)|2 для плотности вероят-
ности. Интеграл от р(г) , взятый по всему пространству, есть оператор полного числа
частиц в системе
TV = f -0+(г) -0(г) d3r . (1.7)
В случае ферми-статистики представление чисел заполнения, операторы рождения и
уничтожения, коммутационные соотношения и -0 -операторы вводятся сходным обра-
зом. Остановимся на отличиях бозевского и фермиевского вторичного квантования.
Во-первых, в силу принципа Паули, числа заполнения Ni принимают всего два значе-
ния: Ni = 0,1 . Поэтому канонические операторы щ и af действуют так:
щ |..., Nj, TVj-i-1,...)
I > 0, Ni+i,...), Ni — 1;
0, Ni = 0 ;
a+\...,Ni,Ni+l,...}
0, Ni = 1 ;
|...,1,M+1,...), м = о.
(1-8)
Во-вторых, антисимметрия многочастичного состояния по отношению к перестановке
частиц приводит к антикоммутативности о, и :
\a>i , Uj ] _|_ — Ui Uj -|- Uj Oi — &ij,
[ai,aj]+ = [at,a+]+= 0 . (1.9)
Для -операторов (1.3) соотношения антикоммутативности выглядят так:
[-0(х),-0+(х')] +
[^(х),-0(х')] +
д(х — х1) ,
[</’+(1),У(х')]+ = о.
(1.10)
Связь одночастичных и многочастичных операторов для фермионов точно такая же,
как и для бозонов.
Остановимся теперь на канонических преобразованиях в представлении вторично-
го квантования. Напомним, что в классической механике канонические преобразования
1.1. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
13
фазового пространства (p,q) —> (p',q') вводятся с помощью скобок Пуассона {...}, и
их роль заключается в том, что они сохраняют гамильтонову форму уравнений дви-
жения: р = {р, Н} , q = {q, Н} .
В квантовой механике роль скобок Пуассона переходит к коммутаторам. (Напри-
мер, в представлении Гейзенберга уравнения движения имеют вид ihdfA = [А, И] .)
Поэтому каноническими называют преобразования физических величин, сохраняющие
коммутационные соотношения операторов. Как и в классической механике, канониче-
ские преобразования важны, поскольку они сохраняют форму уравнений движения.
Подобрав каноническое преобразование, часто возможно перейти от взаимодей-
ствующих частиц к невзаимодействующим квазичастицам. Для операторов рождения
и уничтожения (бозонов или фермионов) обычно рассматривают линейные преобразо-
вания
cij — ) (UijCbj Н- VijUj ,
j
а^ — ) (Vijaj -|- Uijttj , (1.11)
1
известные как преобразования Боголюбова. Нетрудно проверить, что произвольный
гамильтониан, квадратичный по операторам рождения и уничтожения, может быть
приведен к диагональной форме с помощью соответствующим образом подобранного
преобразования (1.11):
Н = У) + h.c. = У) вщ'+а' + const . (1.12)
ij i
Энергии Si дают спектр квазичастиц.
Какие ограничения накладывают на матрицы U и V в (1.11) условия канониче-
ского преобразования
[щ, aj]± — 0, [cij, Oj ]j- — ? (1.13)
В общем случае они имеют такой вид:
UkiVkj ± VkiUkj = 0 , U*kiUkj ± Vk}Vkj = , (1.14)
где знак « +» соответствует случаю ферми-статистики, а знак « — » — случаю бозе-
статистики.
Структура преобразований видна уже в простейшем случае, когда состояние все-
го одно, то есть U и V — не матрицы, а числа. Для одного бозона имеются два
простейших однородных канонических преобразования:
(U _ ZchA shAA (U V\_(e^ О А ( .
\К й) ~ \shA chA/ ’ й) ~ \ 0 е~^) ’
Здесь А и ф — вещественные параметры. Более общие преобразования могут быть
получены взятием композиции преобразований (1.15). Интересно, что первая из матриц
(1.15) есть не что иное, как преобразование Лоренца с быстротой А в двумерном
пространстве-времени.
14
ГЛАВА 1. КВАЗИЧАСТИЦЫ
В случае же ферми-статистики, линейные канонические преобразования задаются
сходным образом, с тем единственным отличием, что вместо преобразований Лоренца
возникают матрицы вращения евклидова пространства (см. решение задачи 2).
Возможные канонические преобразования не исчерпываются однородными линей-
ными преобразованиями Боголюбова. Иногда бывают полезны неоднородные линейные
преобразования (как в задаче 6) или даже нелинейные преобразования (см. задачу 3, а
также раздел 1.4).
Часто встречающаяся разновидность линейных канонических преобразований —
фурье-преобразование -0 -операторов:
(1-16)
(1-17)
заданы
случай,
внутри
^(r)=p-p4.g_.
Принято выбирать нормировку операторов йр и а+ так, чтобы
[йР1,й+]± = (2тг)3й(3)(р1 -р2) .
Такой выбор согласуется с определениями (1.4) и (1.10).
Имеется важный для теории твердого тела круг задач, когда величины
на решетке. Фурье-преобразование (1-16) нетрудно распространить на этот
заметив, что если г пробегает узлы некоторой решетки, то р изменяется
периода обратной решетки (или, иначе говоря, внутри зоны Бриллюэна). Скажем, в
одном измерении гп = ап , а —тг/а < р < тг/а . Используйте такое преобразование в
задачах 1, 2 и 4.
Литература: Понятие квазичастиц обсуждается в [1], гл. 1; канонические преобразо-
вания Боголюбова рассматриваются в [1], гл. 1 §4 (для бозе-частиц)
ДОДЕЛАТЬ [6], §§25, 39; [3], гл. 6
1.2. Задачи 14-4
Задача 1. (Классическая цепочка осцилляторов1) Рассмотрим цепочку атомов массы
mi , соединенных одинаковыми пружинками жесткости К :
mi = т , если г четно, тщ = М, если г нечетно. Определите нормальные моды для
этой системы. Покажите, что их две: акустическая и оптическая.
Чему равна скорость звука с ? Получится ли такой же ответ, если вычислять с по
формуле Лапласа с = yJdP/dp , где Р — давление, а р — плотность?
'С рассмотрения этой простейшей модели колебаний решетки начинаются почти все курсы физики
твердого тела.
1.3. РЕШЕНИЯ
15
Чему равна ширина щели между оптической и акустической ветвями? Покажите,
что при М т дисперсия оптической моды практически отсутствует. Как можно
объяснить это качественно?
Задача 2. (Фермионная цепочка) Найдите преобразование Боголюбова, диагона-
лизующее фермионный гамильтониан
СЮ
Н. — ®г+1 “Ь J1 “Ь ^2 ^г^г+1 “Ь Д2 ^^ЧХ^г 24? (Lj (ц') (1-19)
г=—оо
Такой гамильтониан возникает при рассмотрении одномерной модели квантового маг-
нетика, так называемой «ХУ-модели»(см. раздел 1.4).
Определите спектр квазичастиц е(к) гамильтониана (1.19). Обратите внимание,
что при В = 0 и J] = -Е дисперсия пропадает. Можно ли понять это без вычислений?
Задача 3. (Нелинейные канонические преобразования) Рассмотрим фермиевские
операторы а и а+ , действующие в пространстве состояний одного фермиона, который
может заполнять или не заполнять ровно одно состояние. В этом случае пространство
многочастичных состояний двумерно и каноническим базисом в нем служат состояния
|0) и |1) .
Найдите все канонические преобразования операторов а и а+ , сохраняющие со-
отношения а2 = (а+)2 = 0 и а+а + аа+ = 1 .
Рассмотрите представление фермиевских операторов спиновыми матрицами Паули:
ах = а + а+ , ау = i(a — а+) , az = 2а+а — 1 . (1.20)
Покажите, что канонические преобразования а и а+ соответствуют вращениям в
спиновом пространстве.
Связь между фермиевскими операторами и операторами спина 1/2 более подробно
рассмотрена в разделе 1.4.
Задача 4. (Квантовая цепочка осцилляторов) Пусть теперь гамильтониан (1.18)
определяет квантовую задачу, то есть pi = —ihd/dxi . Перейдите к бозонным опера-
торам рождения и уничтожения:
Ч = = . (1.21)
V miWi у2 v г\/2
Для случая М = т найдите каноническое преобразование, приводящее гамильтони-
ан к диагональному виду. Определите спектр фононов и вычислите энергию нулевых
колебаний.
1.3. Решения
Решение 1. Гамильтониан (1.18) приводит к уравнениям движения:
m£i = К (yi + yi-r - 2xi)
Му\ = К (xi + xi+1 - 2у{)
(1-22)
16
ГЛАВА 1. КВАЗИЧАСТИЦЫ
( Xi — смещение атома массы т в i -й элементарной ячейке, yi — смещение атома
массы М ). Будем искать решение в виде плоских волн:
_ i{qn-wt) _ i(q(n+±)-wt)
— с ^д > Уп — с Уд
Отсюда
mu2xq = 2Kxq + 2Kcos(q/2')yq
Mu2yq = 2Kyq + 2Kcos(q/2')xq.
(Здесь q — волновой вектор в первой зоне Бриллюэна: —я < q < тг .)
Нормальные моды имеют закон дисперсии, определяемый из условия
2К — тш2 — 2Xcos(q/2) \ _
-2Xcos(q/2) 2К - Мш2 / ° ’
(1-23)
(1-24)
(1.25)
что дает w4 — (2К/ Ц)ш2 + ЦК2/mM')sva2q/2 = 0 , где ц = Мт/(М + т) . Получаем
2, 5 К
= —
г
4/z2
тМ
2?
sin -
2
(1-26)
Здесь « + » соответствует оптической, а « — » — акустической моде. Дисперсия нор-
мальных мод (1-26) выглядит так:
Рис. 1.1
При малых q разлагаем закон дисперсии акустической моды:
(1-27)
и получаем скорость звука:
с =
q^O
1 / 2К
2 V М + т
(1.28)
1.3. РЕШЕНИЯ
17
При выводе предполагалось, что период системы имеет единичную длину. Чтобы
получить выражение, имеющее размерность скорости, надо умножить результат на
2а , где а — расстояние между атомами Мит. При этом получается скорость
с = ayj2K/(М + т) .
Теперь выразим скорость звука через сжимаемость по формуле Лапласа: с2 =
дР/др . Для цепочки длины х , содержащей N атомов каждого типа, сила пропор-
циональна удлинению, dP = — (K/2N)dx (в одном измерении сила и давление — это
одно и то же), а изменение плотности есть
d ((M + m)N\ . (M + m)N
dp = — --------- dx =-------—---dx .
dx \ x x1
(1-29)
(Во втором равенстве x = 2Na .) Отсюда имеем с2 = 2Ka2/(M + m) , как и следовало.
Верхний край акустической ветви спектра
max[w2 (q)] = ш2 (я) = — | 1 — \ 1-j
L л ’ р V тМJ
К / М — т\ 2Кт 2К
р \ М + т) р(М + т) М
Аналогично, нижний край оптической ветви
2К
min[w2 (q)] = w2 (я) =-
т
Ширина щели Aw =\J2K/т —yJlK/M .
При М т частота оптической ветви
«+(«) =\Л - ' + 21/ COs2 + °((’”/'Л'/)2))
(1.30)
(1-31)
(1-32)
практически не зависит от q , что соответствует колебаниям легких атомов между
почти неподвижными тяжелыми. Физическая причина отсутствия дисперсии — вза-
имная независимость колебаний соседних атомов массы т . Колеблются соседи в фазе
или в противофазе — неважно, поскольку через тяжелые стенки (т. е. атомы массы
М ) влияние не передается.
Первое решение 2. Сделаем преобразование Фурье ат = ^fce2fcmafc , где Y.k ... =
f ... . При этом
— 77
атат+1
т
'У )
т
'У ) “Ь
т
^а^акегк ,
к
^ака_ке~гк ,
к
У 2 cos какак
к
(1.33)
18
ГЛАВА 1. КВАЗИЧАСТИЦЫ
Пользуясь антикоммутативностью ак и а-к , перепишем
атат+1 =-i^aka_k sin к , (1.34)
т к
после чего гамильтониан принимает вид
И = У) (2( Л cos к — В) акак — iJ2sink ака,-к + iJ2sink atkOk') (1.35)
к
«Повернем» ак , ак = C^bk , ofc = е~г^Ьк , чтобы гамильтониан стал вещественным:
TL = У ((Л cos к — В) bkbk + J2sink ЬкЬ_к + h.c. ) (1.36)
к
Будем искать фермионное преобразование Боголюбова в виде
Ьк = икск + vkctk , У = икс+ + vkc_k ,
btk = ~vkck + ukctk, b_k = -vkc% + ukc_k (1.37)
с вещественными uk и vk , причем uk + vk = 1 . Имеем
В = У (Л cos к - В) (и2кс^ск + ukvk($ctk + c_fccfc) + v2kc_kctk)
к
+J2 sin k(u2kckc_k + ukvk(ctkc-k - сксЩ - v2kctkc^ + h.c. (1.38)
Занулим коэффициент при c-kck :
2ukvk(Ji cos к — В) + (—u2k + У) J2 sin A; = 0 , (1.39)
то есть
vk В — Jk cos к ± У (Л cos к — В)2 + -7| sin2 к
uk J2 sin к
Решив это уравнение совместно с ик + vk = 1 , найдем ик , vk и подставим в
И = const + У (2(.7| cos/с — В) ('а|— ?;)() + 4.72 sin/.;1ц/-сА.)У q
к
= const + Уекскск . (1.41)
к
Спектр возбуждений, таким образом, есть ек = 2у (J\ cos к — В)2 + -7| sin2 к .
Отсутствие дисперсии при J\ = J2 и В = 0 означает, что возбуждения локали-
зованы на одном или нескольких соседних узлах. Это можно понять с точки зрения
преобразования Иордана-Вигнера (см. раздел 1.4), которое в данном случае приводит
к изинговской спиновой цепочке
СЮ
Н = £ . (1.42)
I— — сю
1.3. РЕШЕНИЯ
19
В такой цепочке каждый спин характеризуется определенной проекцией на ось у . По-
этому элементарное возбуждение в этой системе — просто переворот спина на любом
из узлов, никак не затрагивающий остальные узлы.
Таким образом, полная локализация возбуждения на одном узле эквивалентна от-
сутствию дисперсии. Обратим внимание на аналогию с задачей 1 в случае М т ,
когда оптическая мода колебаний становится почти бездисперсионной из-за того, что
колебания соседних легких атомов почти полностью развязаны.
Другое решение 2. Приведенное решение иллюстрирует стандартный подход к
преобразованию Боголюбова. Дадим другое решение, в котором физический смысл
вычислений яснее, и сами они — элегантнее. Вернемся к гамильтониану (1.35) и рас-
смотрим его коммутатор с фермиевскими операторами: [Н, аД . Пользуясь соотноше-
ниями
[а+а, а] = а+аа — аа+а = —а , [аа+, а+] = — а+ , (1.43)
вычислим коммутатор
[Н, аД = 2(Л cos к — В) ак + 2J2i sin к atk . (1-44)
(Напомним, что физический смысл коммутатора некоторой величины с гамильтониа-
ном — скорость изменения этой величины: гЬА = [А, И] .) Теперь рассмотрим канони-
ческое преобразование:
ак = ukbk + vkbtk , atk = ukbtk - vkbk , (1.45)
и предположим, что параметры ик и vk выбраны так, что гамильтониан принял диа-
гональную форму
H = E0 + ^ekbtbk . (1.46)
к
Возьмем коммутаторы
[kl,bk] = —£kbk , = £kbk , (1-47)
и с их помощью перепишем коммутатор (1.44):
—ukekbk + vkekbtk = 2(Jr cos к - В) (ukbk + vkbtk)
+2J2ismk(ukbtk + vkbk) , (1.48)
откуда получаем два уравнения для ек , ик и vk :
Г —икек = 2(Jy cos к - В) ик + 2 J2i sin к vk ,
I vkek = 2(Ji cos к — В) vk + 2J2ismk ик ' \ - )
Так как уравнения однородны по ик и vk , выражаем vk через ик :
vk(ek — 2(7i cos А; — В)) = 2J2isinkuk , (1.50)
и исключаем vk из первого уравнения:
Ufc(2(7i cos к — В) + ек) = — 2J2i sin кик . (1-51)
20
ГЛАВА 1. КВАЗИЧАСТИЦЫ
Получаем:
е2к — 4(Jx cos к)2 = 4J2 sin2 к , (1-52)
откуда находим ек :
ек = 2\J(Jx cos к — В)2 + J2 sih2 к . (1.53)
(Знак перед корнем выбираем, заметив, что энергия возбуждений над основным состо-
янием всегда положительна.) Параметры преобразования находим, объединив условие
нормировки |ufc|2 + |vfc|2 = 1 , вытекающее из антикоммутатора [а, а+]+ = 1 , с найден-
ной связью
2^sin& /.
Vk =-----377-----1---B\Uk t1-54)
ек — 2(Л cos к — В)
Получаем \vk| (1 + 4Jf sin2 к/(ек — 2(Л cos к — В))2) = 1 , откуда
. ек - 2(JicosA; - В)
= г . = . (1.55)
у 2ек — 4sfc(J1 cos к — В)
Решение 3. Будем искать каноническое преобразование таком виде:
а' = иа + va+ + wa+a + q (1.56)
а'+ = йа++ va + wa+a + q . (1.57)
Это наиболее общая форма, к которой может быть приведено любое полиномиальное
по а и а+ выражение. Убедиться в этом можно следующим образом. Во-первых, с
помощью коммутационных соотношений любое выражение может быть приведено к
нормальной форме, в которой в каждом слагаемом оператор а+ (если он есть) стоит
слева от а . Во-вторых, поскольку а2 = (а+)2 = 0 , выражение (1.56) представляет
собой нормальную форму наиболее общего вида.
Рассмотрим выражение а'2 . Приведем квадрат правой части выражения (1.56) для
а' к нормальной форме и потребуем, чтобы все коэффициенты обратились в ноль. Это
дает два условия:
w + 2q = 0 , uv + q2 = 0 . (1.58)
Аналогично, условие а'а'+ + а'+а' = 1 приводит к соотношению
Н2 + |г|2 + 2|q|2 = 1 . (1.59)
Из полученных соотношений следует, что
|м| + |v| = 1 . (1.60)
Таким образом, наиболее общее каноническое преобразование задается двумя ком-
плексными параметрами и и v , удовлетворяющими условию (1.60). Коэффициенты q
и w определяются таким образом: q = ±iy/uv , w = —2q .
Нетрудно видеть, что в общем случае каноническое преобразование нелинейное,
поскольку коэффициент w не обращается в ноль.
1.3. РЕШЕНИЯ
21
Решим теперь задачу другим способом, воспользовавшись представлением (1.20)
фермиевских операторов через матрицы Паули. Обратим соотношения (1.20):
1
2
я+=1
2
(1-61)
Нетрудно проверить, что условия а2 = (<
ношениям антикоммутативности для <7$:
= 2^- .
а+а + аа+ = 1 эквивалентны соот-
(1-62)
Преобразования, сохраняющие соотношения (1-62), можно записать в виде
и J ’
О’,-
(1.63)
где Rij — вещественная ортогональная матрица 3x3. Поэтому канонические пре-
образования в данном случае образуют группу SO(3).
Первое решение 4. Выразим Н через щ и of по формулам (1.21), не определяя
пока частоту w0 '
Н ~ (гт + 2 Ж'+1)2) “
Выполним преобразование Фурье бозе-операторов:
„ _ / „ ikm _ ikm _ -ikm
2% к
При этом
щ - ai+1 -> (1 - егк)ак , a? - af+1 -> (1 - е~гк)а^ .
Подставляя эти выражения в (1.64), получаем:
R = 52 (р(^) atak + q(k) ЯкЯ-к + h.c.) ,
к
где
2^-^’
= ^-cosk)- "т-
(1.64)
(1.65)
(1.66)
(1-67)
(1.68)
22
ГЛАВА 1. КВАЗИЧАСТИЦЫ
Рассмотрим каноническое преобразование:
ак = ukbk + vkbtk
atk = vkbk + ukbtk, (1.69)
где ик = chAfc , vk = shA^ . Нетрудно проверить, что при преобразовании (1.69) га-
мильтониан сохраняет свой вид, причем р(к} р'{к~) = ch2Afcp(A;) q'(к) = sh2Afcp(£) и q(k} меняются так:
+ sh2Afc q(k} , + ch2Afc q(A:) . (1-70)
Подберем Хк так, чтобы q'(K) обратилось в ноль:
th2Afc = — g(fe) P(^) ’ (1-71)
При этом р'(к) = \Jp2(k) — q2(k) = TzyX/msin |£/2| . Обратим внимание на то, что
частота шо , значение которой может быть произвольным, выпадает из выражения
для р'(к) (но не из выражения для Хк !).
Диагонализованный гамильтониан имеет вид:
% = 52 (p'(.k)bkbk + h.c.) = ^ш(к) (ь£Ък + I') , (1.72)
к к V
где = 2р'(£) = Th^K/msva. \к/2\ .
Выражение (1-72) позволяет найти энергию нулевых колебаний, приходящуюся на
одну частицу:
(1.73)
— 7Г
Другое решение 4. К ответу можно прийти заметно быстрее, если не фиксиро-
вать внимание на операторах рождения и уничтожения. Чтобы получить каноническое
преобразование, достаточно проверить сохранение коммутационных соотношений для
любой полной системы операторов. В этой задаче наиболее естественный выбор — ко-
ординаты и импульсы частиц.
Сделаем преобразование Фурье
гт = 1г, e,mt р- , рт= 1 Р, , (1.74)
./ 27Г ./ 27Г
— 7Г —7Г
и проверим, что коммутационные соотношения не нарушаются:
Переписывая гамильтониан, 7Г — 7Г [zg,pg'] = - q') . (1.75) имеем K~PqP-q + у (2-2cosq)7q7_J . (1.76) Ziiil Zi ) Z/TT
1.4. ОТ СПИНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ — К ФЕРМИЕВСКИМ
23
То есть каждой фурье-гармонике соответствует осциллятор с частотой
cv(g) = \ — (2 — 2cosq) = 2а/— sin ?/2 . (1-77) V т V т
Положив хя-\1 (\ /^ ’ pq-^hmu(q) q , (1.78) у ma){q) у/2 v ?у2
снова приходим к гамильтониану (1-72): H=1 M«) 0-Л + I) • (1-79) J \ 4 щ — 7Г
и к выражению (1-73) для энергии нулевых колебаний.
Из хода решения очевидно, что и для неравных масс т ф М спектр квантовой це-
почки будет связан с частотами колебаний классической цепочки точно так же: каждой
классической нормальной моде соответствует квантовый осциллятор.
1.4. От спиновых операторов — к фермиевским
Интересное применение канонического преобразования операторов, рассмотренного
в задаче 3, представляет переход от спиновых операторов к фермиевским в теории
одномерных магнетиков, известный как преобразование Иордана-Вигнера. Рассмотрим
гамильтониан одномерной квантовой модели Гейзенберга со спином 1/2 :
00
Я= L (1-80)
i=—оо
Здесь <т“ — матрицы Паули, Jx , Jy , Jz — обменные константы, В — внешнее
магнитное поле, приложенное вдоль оси z . В обычной изотропной модели Гейзенберга
константы Jx , Jy и Jz одинаковы, но бывает полезно рассматривать и более общий
анизотропный случай.
Преобразование Иордана-Вигнера выражает спиновые операторы а± = l/2(of ±
zof) через операторы фермионов а* , ai по следующему правилу:
ст/ = 2фЧ-1, (Ji=ai Цстр а+ = а^Ца*, (1.81)
j<i j<i
то есть каждый спин заменяется на фермион и «струну», идущую влево до бесконеч-
ности (струной принято называть бесконечное произведение, фигурирующее в этих
формулах). Цель введения струны состоит в том, чтобы перейти к операторам с фер-
миевским правилом коммутации. Для этого необходимо «подправить» коммутационные
соотношения спиновых операторов на разных узлах. На одном узле, согласно задаче 3,
коммутационные соотношения и так фермиевские ( а+ —> а+ , а~ —> а ). На разных
же узлах спиновые операторы коммутируют, но после умножения на оператор струны
Цкг aj становятся антикоммутирующими.
24
ГЛАВА 1. КВАЗИЧАСТИЦЫ
Нетрудно написать обратное преобразование, выражающее фермиевские операторы
через спины:
ai = П > at = П ai (Г82)
j<i j<i
Найдем как спиновый гамильтониан (1.80) выражается через йордан-вигнеровские
фермионы. С помощью преобразования (1-81) гамильтониан (1.80) превращается в
эквивалентный фермионный гамильтониан
СЮ
TL = 52 [(Ла+щ+1 + ЛаЩг+1 + h.c.) + ЧЦ2тц - l)(2ni+1 - 1) - В(2щ - 1)] , (1.83)
г=—оо
где rii = — 1 , J\ = — Jx — Jy , J2 = Jx — Jy . Нетрудно видеть, что при Jz = 0
гамильтониан (1.83) с точностью до константы совпадает с гамильтонианом (1.19),
рассмотренным в задаче 2. Метод задачи 2 позволяет диагонализовать гамильтони-
ан (1.80) при Jz = 0 . С помощью канонического преобразования ферми-операторов
гамильтониан (1.83) можно привести к виду
__ г ль ,----------------------
Н = у е(к) акак — , е(к) = ±2у (Л cos к — В)2 + .7/ sin2 к . (1.84)
— 7Г
Можно сделать вывод, что и в присутствии магнитного поля элементарные возбужде-
ния в спиновой цепочке с Jz = 0 подчиняются ферми-статистике. Оказывается, это
верно и при произвольном Jz , хотя решить задачу в этом случае уже не так просто.
Появление ферми-статистики может показаться парадоксальным, поскольку маг-
ноны (спиновые возбуждения в магнетиках) обычно являются бозонами. Однако здесь
следует иметь в виду, что речь в данном случае идет о сильно взаимодействующей
системе. В магнетике со спином на узле 1/2 между магнонами возникает большое
эффективное отталкивание, поскольку никакие два магнона не могут одновременно
оказаться на одном и том же узле. Именно это отталкивание и «моделирует» ферми-
статистика. Таким образом, рассматриваемая система представляет пример того, как
отталкивание между бозонами приводит к появлению квазичастиц, являющихся невза-
имодействующими фермионами2.
С помощью фермионного представления одномерного магнетика можно решить раз-
нообразные задачи. Например, найдем как намагниченность системы и магнитная вос-
приимчивость зависят от приложенного поля. Для простоты ограничимся симметрич-
ным случаем: Jx = Jy = J > 0 , Jz = 0 . Эквивалентный фермионный гамильтониан в
этом случае принимает вид:
__ г ль
Н = / 2(Jcosk — В) акак — (1.85)
J 2тг
— 7Г
2 Оказывается, что низкая размерность системы усиливает эффекты взаимодействия и, как прави-
ло, способствует превращению различных типов статистики друг в друга. Как мы увидим в гл. 12, в
одномерной системе взаимодействующих фермионов квазичастицы подчиняются бозе-статистике.
1.4. ОТ СПИНОВЫХ ОПЕРАТОРОВ — К ФЕРМИЕВСКИМ
25
Магнитный момент направлен вдоль оси z . Намагниченность, приходящаяся на узел,
есть г / \ dk Е = = J (2(a^afc) - 1) — . (1.86) — 7Г
С учетом (1.85) находим
( (2/я) arcsinB/J при \В\ < J
[signВ/J при \В\ > J
(1-87)
При \В\ = J происходит полное намагничивание системы. Нетрудно найти восприим-
чивость: = ( (2А)(-/2 - В2) 1/2 при В < J z . Х дБ [0 при В > J 1 }
Знак восприимчивости парамагнитный.
Глава 2.
Функция Грина
2.1. Представление взаимодействия. Хронологиче-
ское упорядочение.
В теории возмущений гамильтониан записывают в виде Н = Т/о + 7/int , где 7/0 — «не-
возмущенная» часть, a 7/jnt — возмущение. Наиболее удобно работать в представлении
взаимодействия, которое есть просто представление Гейзенберга невозмущенной зада-
чи, то есть зависящий от времени базис состояний
, (2.1)
где (0) — собственные состояния гамильтониана Но , а Еа — их энергии. Урав-
нение Шредингера, записанное в этом базисе, принимает вид
, (2.2)
С/ и
где Hint(i) = e^HotHinte~^Hot , а обозначение -0 указывает, что ф берется в предста-
влении взаимодействия. Формальное решение записывается через S-матрицу, -0(i) =
S(i),0(O) , которая дается так называемой хронологической экспонентой
ад
(2.3)
Т ехр
Q ft_____
п Jo
• • • ^int (j'n) dti dtn
где 0 < tn < ... < ti < t. Преобразования (2.1)—(2.3) имеют общий квантово-
механический смысл: они применимы и к одночастичной и к многочастичной задачам.
В многочастичном случае, представляющем основной интерес, необходимо перейти к
-0 -операторам, после чего члены ряда (2.3) становятся полиномами по операторам ро-
ждения и уничтожения. Анализ операторной структуры этих выражений приводит к
простым правилам вычисления средних (теорема Вика) и к диаграммной технике, да-
ющей удобное графическое представление для разложения S-матрицы в ряд по взаи-
модействию.
27
28
ГЛАВА 2. ФУНКЦИЯ ГРИНА
Введем хронологическое произведение операторов, которое часто называют также
Т-упорядоченным произведением операторов, или просто Т-произведением. Для бозе-
операторов
ТА(х)В(х') =
А(х)В(х')
В(х')А(х)
если t
если t
> t'
< t'
(2-4)
в то время как для ферми-операторов
ТА(х)В(а/) =
Л(х)В(х')
—В(х')А(х)
если t
если t
t'
t'
(2-5)
Иначе говоря, при Т-упорядочении операторов их переставляют так, чтобы моменты
времени, в которые взяты операторы, возрастали справа налево. При этом знак пере-
становки соответствует их коммутационным соотношениям: « + » для бозонов, « — » для
фермионов.
С помощью Т-произведения операторов можно записать выражение (2.3) для хро-
нологической экспоненты в более привычном виде:
(t \ п
/ HUt'W
I /
(2-6)
Основным объектом диаграммной техники является функция Грина. Она определя-
ется через -0 -операторы, взятые в представлении взаимодействия:
Фа (х)
Mot$a(r) е iHot ,
-^°i^+(r) ,
(2-7)
где под х понимается совокупность четырех переменных — координат г и времени
t; а — спиновый индекс (для фермионов).
Так называемая причинная функция Грина есть среднее от хронологического про-
изведения "0-операторов, взятых в представлении взаимодействия1:
(2-8)
где скобки (...) означают матричный элемент (So) х(0| ... |0) , взятый по основ-
ному состоянию системы с гамильтонианом Но . (Фазовый множитель (So) =
(О |е—|0)*—юо принято вводить для нормировки.) Таким образом, функции Грина бо-
зонов и фермионов определяются одинаково, но операция Т-упорядочения имеет раз-
ный смысл.
В выражении (2.7) и всюду далее там, где это не приводит к недоразумениям, мы
используем систему единиц, в которой h = 1 , [t] = [Е1]-1 Кроме того, мы также часто
будем писать ф вместо ф , ибо основную роль в диаграммной технике играет именно
1 Верхний индекс у Gca^ (первую букву слова «causal») используют для того, чтобы отличать при-
чинную функцию Грина от других полезных функций Грина, таких как запаздывающая и опережаю-
щая функции G*A) (см. (5.6)).
2.2. ЗАДАЧИ 5+10
29
операторы -0 в представлении взаимодействия, а операторы -0 в шредингеровском
представлении практически не встречаются.
В однородной системе (скажем, в газе или в жидкости) функция Грина (2.8), очевид-
но, зависит только от разности координат г —г' и времен t — t' . В этом случае удобно
сделать преобразование Фурье и перейти в импульсно-частотное представление:
G^(x - У) = / / р) е-М<-<')+<р(г-г') . (2.9)
В этом представлении обычно и строится диаграммная техника. Функцию Gay(e, р)
для идеального газа нетрудно найти, пользуясь определением (2.8). Например, для иде-
ального ферми-газа она имеет вид:
G^’р) = £-«р) + юХ(|р|-л) ’ (2,10)
где £(р) = р2/2т — Ер — закон дисперсии, а ро = Д2тЕр — импульс Ферми,
являющийся границей распределения ферми-частиц по импульсам.
Функцию Грина, если она известна, можно использовать для вычисления различных
физических величин. Нетрудно проверить, что
±i ^lim^ Gay(x, х') (2-11)
есть одночастичная матрица плотности рау(г, г', i) . (Знак соответствует статистике:
« + » для бозонов, « — » для фермионов.) Зная матрицу плотности, нетрудно найти сред-
нее любой величины. Например, плотность частиц выражается через функцию Грина
как
п(х) = ±г Hm Tr Gay(x,x') , (2.12)
г' —>г
а плотность тока как
j(a?) = ±-^- lim (Vr - Vr') Tr G^z,/) , (2.13)
2m t'^t+o
r/ —>r
где Tr обозначает взятие следа по спиновым индексам а , /3 . Брать предел по t' > t
в соотношениях (2.11) - (2.13) необходимо из-за неоднозначности определения функции
Грина при t = t' .
Представление взаимодействия и функция Грина — важные инструменты. Задачи,
собранные в этой главе, иллюстрируют их использование на простых примерах.
Литература: [1], гл. 2, [4], гл. 5, [6], гл. 2.
2.2. Задачи 54-10
Задача 5. (Спин во вращающемся поле) Частица со спином s = 1/2 и магнитным
моментом ц находится в постоянном вертикальном и вращающемся горизонтальном
о
магнитном полях
В = (Г?! cosut, Br sinwi, Bo) . (2-14)
2Такая ситуация возникает, например, в эксперименте по ядерному магнитному резонансу (ЯМР).
30
ГЛАВА 2. ФУНКЦИЯ ГРИНА
Запишите уравнение Шредингера в представлении взаимодействия, считая переменную
часть поля «возмущением». Решите уравнение и найдите S-матрицу.
Пусть при t = 0 частица находится в состоянии «спин вверх». Какова вероятность
найти ее в состоянии «спин вниз» в момент t > 0 ? Рассмотрите отдельно случай
резонанса ш = 2рВ0 .
Задача 6. Заряженная частица массы т движется по прямой в параболическом
потенциале U(x) = тш2х2/2 . На короткое время т включают слабое электрическое
поле Е , а затем выключают. Какова вероятность перевести частицу в состояние |п) ,
если до включения поля она была в основном состоянии?
а) Решите задачу в представлении взаимодействия. Обратите внимание на то, что
матричные элементы возмущения отличны от нуля только между соседними уровня-
ми. Следовательно, при малом Е вероятность перехода в n-е состояние дается п-ым
порядком теории возмущений. При каком соотношении между Е , ш и т теория воз-
мущений работает?
б)* Для произвольных Е и т найдите точную S-матрицу и вероятность перехода из
основного в n-е состояние.
Задача 7. (Обход полюса) Выразите плотность п ферми-газа через функцию Гри-
на G(e,p) , воспользовавшись соотношением (2.12). Вычислите интеграл и получите
формулу pg = Зтг2п для импульса Ферми р0 .
Задача 8. а) Для невзаимодействующих ферми-частиц на прямой найдите функ-
цию Грина Gay(e, х, х') .
б) То же для ферми-частиц на полупрямой х > 0 с граничным условием '0|а.=о = 0
(непроницаемая твердая стенка).
в) (Осцилляции Фриделя) В случае б) покажите, что плотность ферми-газа, как
функция расстояния до стенки, осциллирует. Чему равен период осцилляций?
Задача 9. (Возврат назад при случайном блуждании) Функции Грина оказываются
полезными и при изучении вопросов, не имеющих отношения к квантовой механике. В
этой и следующей задачах мы приведем два таких примера. Первый из них — задача
о случайном блуждании.
Рассмотрим частицу, совершающую случайное блуждание по п -мерной кубической
решетке. Движение начинается при t = 0 из начала координат. Попав на очередном
шаге в какой-то из узлов решетки, частица на следующем шаге с одинаковой вероят-
ностью переходит в любой из 2п соседних узлов. Пусть p(t, х) — вероятность того,
что частица через t шагов оказалась в узле х = (a?i,... ,хп) решетки. (В этой задаче
время t целое.) В теории вероятностей рассматривают производящую функцию
GM = 52^eiqxp(i,x) , (t > 0, \z\ < 1) . (2.15)
x,t
Свойства G(z, q) во многом аналогичны свойствам функции Грина. Покажите, что
1 - zW(q) ’
VP(q) = - (cos щ + ... + cos qn) .
(2-16)
Рассмотрим производящую функцию G(z, q) для блужданий, начинающихся из нача-
ла координат, но ни разу не возвращающихся туда на последующих шагах. Величина
2.3. РЕШЕНИЯ
31
G(z, q) по своим свойствам похожа на функцию Грина частицы в поле отталкиваю-
щего центра (см. задачи 11, 12 и 13). В частности, для нее можно написать такое же
интегральное уравнение (напоминающее уравнение Дайсона). Выразите G(z, q) через
G(z, q) . Найдите вероятность Р того, что частица никогда не возвращается в начало
координат. Покажите, что
р-' = /с(1>ч)т|Х- (2-17)
J (27Г)П
Здесь интеграл берется по зоне Бриллюэна, т. е. по периоду обратной решетки.
Вероятность возврата (2.17) имеет нетривиальную зависимость от размерности ре-
шетки п . Покажите, что
а) Р = 0 при п С 2 ;
б) 0 < Р < 1 при п > 2 ;
в) Р —> 1 при п 2 .
Поскольку перечисленные свойства чувствительны только к поведению (7(1, q) при малых q,
т. е. на больших масштабах, они имеют место для произвольного диффузионного движения, а не только
для блуждания по решетке. Типичная диффузионная траектория имеет бесконечно много возвратов
при п 2 , и конечное число при п > 2 .
Задача 10. Второй пример использования функций Грина — из электродинами-
ки. Рассмотрим модель проводящей среды, представляющую собой n-мерную сетку из
одинаковых сопротивлений. Сетка образует n-мерную кубическую решетку, сопроти-
вление каждого ребра которой равно R . Обозначим через Дх полное сопротивление
решетки между узлами 0 и х . Покажите, что
где G(z, q) — функция Грина, введенная в задаче 9. Исследуйте поведение /?х при
|х| 1 в зависимости от размерности п .
2.3. Решения
Решение 5. Представим гамильтониан в виде Н = Но +7/int(^) , где
%=(iB0^ = Р?1 °), (2.19)
\ и — Ц£>0 /
%int(£) = /iB^axCOSijjt + cr^sinwi) = (0 0) (2.20)
В представлении взаимодействия i/ф = 7/int(^)'0 , где
__________ .ру / piP’Bot н \ / р ip,Bot н \
п/. _ pMotru. p-iHot _ е U 1 Ч/. I 6 I
ггтЦ<7 — е H-intB — I Q e-ip,Bot I rtint I Q eip,Bot I
= цВ1 Q J > (2-21)
где Q = cv/2 — /j,B0 Отсюда получаем уравнения
I 1 }
32
ГЛАВА 2. ФУНКЦИЯ ГРИНА
Введем новые переменные:
n П = е .
(2.23)
Уравнения для <^Q(i) не содержат явной зависимости от времени:
+ = или гф=(~2
= /лВ^ \ГВ1 Q /
Общее решение этих уравнений имеет вид
М-С ( (1 + Л)1/2 V + c р-ЛИе-^
ГР) - с+ _ Л)1/2 J е + с- + д)1/2 J е
(2.24)
(2.25)
где Ф = ^/С2 + (цВх)2 , А = Q/Ф,а коэффициенты с± зависят от начальных условий.
Полная S-матрица определяется из = S(t)^i(O) . Сравнивая с (2.25), получаем
е-гш о \ / (1 + A)i/2e^t (1-А)1/2е“^\
О eiQt) \-(1 - А)|/2ег^ (1 + Xy/2e~iMJ
S(i)
2\(1 —А)1/2 (1-1-А)1/2 )-
( W(t)e~iM -г(1 - A2)e-ffltsinc5i
I -г(1 - A2)efflt sinСЯ W*
(2.26)
где ГЕ(£) = cos a)t + iX sin wt.
Рассмотрим теперь вероятность переворота спина. Ее можно найти с помощью S-
матрицы, а можно и прямо из (2.25). Воспользуемся вторым способом. Поскольку при
i = 0 (р = , то коэффициенты с± в выражении (2.25) есть с+ = (1 + А)1//2/2 ,
с_ = (1 — А)1//2/2 . Отсюда
n(t) = |v/l^A2(e-^ - eiM) = sinwi . (2.27)
Вероятность обнаружения состояния | ф) при t > 0 равна
Р1(*) = InWI2 = Q2 +^ВХ)2 Sin2^ (2-28)
Если выполнено условие резонанса ш = 2цВо , то Q = 0 , Ф = цВ± и выражение
для S-матрицы упрощается:
§(А = (
v \ —г sin цВЦ
—i sin цВЦ А
cos цВЦ )
(2.29)
Соответственно, в этом случае вероятность переворота спина есть рЦЦ = sin2 рВЦ .
Решение 6 а) В представлении взаимодействия Hini = —eEeMotxe~Mot, откуда
= -еЕе^т~п^(т\х\п} . (2.30)
2.3. РЕШЕНИЯ
33
Воспользуемся известными матричными элементами оператора координаты:
= d(m\a + а+ |n) = d(Sm,n+1 у/т + у/п) (2.31)
где d = yJti/2
тш — размер основного состояния осциллятора. Получаем
(i)|n> = -edE(6m,n+1 y/m e гш*) . (2.32)
Теперь рассмотрим зависимость вектора состояния от времени. Из уравнения Шредин-
гера в представлении взаимодействия, гТг-0 = НплФ , получаем
-0(i) = -0(0) - У Hint(t')i))(t')dt' .
о
Из такой записи видно, что проекция (n|-0(i)) отлична от нуля только начиная с п -го
порядка теории возмущений. Поэтому
W"’«)
о
\/n У e'^' {n - l^^Xt'^dt' ,
о
(2.34)
где индекс (n) состояния ^n\t) означает порядок теории возмущений. Вводя функ-
ции un(t) = (n|-0^n\i)) , получаем рекуррентные уравнения:
«п(0 = Vn У un-t(t')dt' ,
о
(2.35)
причем Uo(i) = 1 Решив их, находим
Un(t) =
edE
Пш
(2.36)
Искомая вероятность Ио->п в приближении теории возмущений равна
К(О12 =
е2^2 \n 1 / . шт\2п
------I — I 2 sin — 1
2тш3Ь I nl \ 2 )
1 е2Е2(1 — coswr)
n! maPh
(2.37)
Теория возмущений работает, если выражение в квадратных скобках много меньше
единицы.
Первое решение 6 б) Запишем гамильтониан Н = Но + 7/int через бозе-
операторы:
Но = hw ( а+а +
1\
2/
Hint = —еЕх = —eEd(a + а+) ,
(2.38)
34
ГЛАВА 2. ФУНКЦИЯ ГРИНА
где d = yJh/2
та
Найдем a(t) и a+(t)
в случае, когда 7/jnt = 0 :
£ __
а = — [7/0> °] = гш[а+а, а] = — iota ,
d+ =iaa+ .
(2.39)
Отсюда имеем
a(i) = ае~гиЛ , a+(t) = a+elwt . (2.40)
Теперь пусть 7/jnt 0 . Запишем уравнения движения для а в представлении взаимо-
действия:
а = а] = ieEde~iut . (2.41)
Решаем:
а(т) = а(0) — iEd e~liVtdt = а(0) + /л , (2.42)
о
где а(0) — канонический бозевский оператор уничтожения, а
// =---(е“^т-1). (2.43)
(л)
Отсюда получаем зависимость п -го состояния от времени:
I у \ («+(О) + Д)”|М v ,пллх
\пЦ = т}=У \ЪЦ = т}=У P)\0,t = r) . (2.44)
уп! Цп!
Теперь разлагаем состояние |0,i = 0) по состояниям |n,i = r):
(п, t = т|0, t = 0) = (0, t = т|-^—t = 0)
Vn!
= Жо,£ = т|О,£ = О) . (2.45)
Vni
Здесь мы воспользовались тем, что а(0)|0) = 0 .
Из (2.45) находим связь между вероятностями переходов:
W^n = ^-И^о , (2.46)
n!
причем условие нормировки 52 Womn = 1 дает Ио->о = е Получается распределе-
ние Пуассона п W0^n = Ц-е~^2 (2.47) п!
с параметром |д|2 = e2E2/mf/a3 (1 — coswr) . При малых р, ответ совпадает с резуль-
татом, полученным по теории возмущений, как и должно быть.
2.3. РЕШЕНИЯ
35
Другое решение 6 б) Приведем решение, показывающее связь задачи с когерент-
ными состояниями осциллятора, определяемыми как собственные состояния оператора
уничтожения а.
Исторически, когерентные состояния впервые появились в задаче о минимизации бхбр для со-
стояний осциллятора, рассмотренной Шредингером (1926). Позже оказалось, что они полезны и во
многих других случаях. Специфическая координатно-временная структура когерентных состояний
исследована в задаче 3 к §23 [2].
Представим гамильтониан в виде
Я = Ьш
(2.48)
где А = —eEd/hoj . Введем новые операторы
Ъ — о, 4- А , Ь+ — а+ + А .
(2.49)
Поскольку [b, b+] = 1 , переход от а и а+ к b и Ь+ определяет каноническое пре-
образование. При этом гамильтониан становится чисто осцилляторным:
Я = ha) (b+b + - — А2
\ "
(2.50)
Введем собственные состояния оператора уничтожения b :
(2.51)
Здесь ц может быть любым комплексным числом. Нетрудно проверить, что
\d)
(2.52)
где \п} — состояния гамильтониана (2.50), отвечающие энергии Еп = 7кц(п+1/2 —А2) .
Возьмем состояние осциллятора до включения поля: а|0а) = 0 . Используя связь а и
b , находим
Ь\0а} = А|оа> , (2.53)
а значит,
(2.54)
Разложение по состояниям \пъ) позволяет сразу написать зависимость от времени:
|0a)(i) = |0а) = ег(л2 1/2Ие д2/2 £ \™ь}, (2.55)
\ П / п=0 Vnl
то есть
&|Оа)(7)=Ае-^|Оа)(7) , (2.56)
откуда
«|0„)(г) = А(е *“* - 1)|0„)(«) .
(2-57)
36
ГЛАВА 2. ФУНКЦИЯ ГРИНА
Обозначив ц = Л(е — 1) , получаем
00 п
п=0 У™
(2.58)
Отсюда находим столбец S-матрицы: (n|S(i)|0) = е /2рп/-\/п! . Искомые вероятно-
сти переходов есть
_|м|2 |ц|2п 1 /е2Е2(1 — coswi)\n / е2Е2(1 — coswi)
''О— । I о л. ) ехр .
п! п! \ тш5П / \ гш5П
(2.59)
Остальные матричные элементы можно получить из соотношений для зависящих от
времени операторов:
Отсюда
Sb+ = b+Se VjJt дает
Sa+ = a+Se~ilJJt + .
(2.60)
(n|S| к} = (п | Sa+1 к — 1) =
v к
и получается рекуррентная формула:
-j=(n\a+Se~iiVt + pS\k — 1)
у к
(2.61)
л /77
(n|S|£) = ^е~гш\п - l\S\k - 1)
v к
(2.62)
Применяя (2.62) достаточно много раз, выражаем
получаем общую формулу:
(n|S|A;) через (0|S|0)
e-l^l2/2 п\т\
Цт\п\ к\(п — к)\(г
п+т—2к — iwkt
Uj о
(2.63)
е
-Ы’/2 И
Решение 7. Используем причинную функцию Грина
Gap = -г(Т 'фЦг, i) (г', £')) = SapG ,
введенную в (2.8). Плотность частиц с проекцией спина а есть
nQ(r,i) = = —iGaa(r' = r,t' = i + 0)
(2.64)
(2.65)
(при t' = t — 0 из-за перестановки -0 и -0+ получилось бы па — 1 , по определению
функции Грина). В нашем случае система однородна, и G зависит только от разности
г — г' и t — t'. Поэтому переходим в фурье-представление:
. г 4яр2 dp г de е~г£Т
т->-о Jq (2я)3 J 2я е — Цр) + id sign(p — р0) ’
(2.66)
2.3. РЕШЕНИЯ
37
где т = t — t', £(р) = p2/2m — EF
Контур интегрирования по £ замыкаем в верхней полуплоскости, поскольку т < 0 .
При этом при р > р0 полюс не захвачен:
e~i£T
2тг £ — £(р) + id ’
(2.67)
а при р < р0 захвачен:
e~i£T
(2.68)
Знак мнимой части id
спиновой двойки
J 2тг £ — £(р) — id
определяет, заполнено ли состояние с данным р . С учетом
РО . 9 7
(2.69)
откуда находим = Зтг2п .
Решение 8 а) Найдем
Сар(£,х,х') = —i ег£т(Т-0Q(x)-0^(x')) dr (2.70)
где т = t — t' . В импульсном представлении
Ga?(£,p) =------ , .---
s — £(р) + гд sign £
2
ей = = - • (2-71)
Поэтому
J 2%
/* pip(x—x )
= -2mdaJ-----------------------
J \р - Pi)(P - Р2) 2я
(2.72)
Полюса подинтегрального выражения
Pi,2 = ±« , (2.73)
где к = y2m(s + EF) + id signs . Если £ > 0 , то pi лежит в верхней полуплоскости, а
Р2 — в нижней, а если £ < 0 , то наоборот.
При х > х' замыкаем контур интегрирования сверху:
2тп pip' % 1TY1
Gap(£,x,x') = -2mdaf}-----------= -dafj—eip^-x ) , (2.74)
2тг 2p+ p+
где p+ = к signs — тот из полюсов pi, p2 , который находится в верхней по-
луплоскости. Повторять вычисление при х < х' не нужно, поскольку Gap(e, х, х') =
Gap(£,x',х) . (Это следует из четности Ga/g(£,p) по р .) Окончательно имеем
Ga/3(£,x,x') =-----.
Р+
(2-75)
38
ГЛАВА 2. ФУНКЦИЯ ГРИНА
Решение 8 б) В присутствии стенки функцию Грина находим с помощью
метода изображений:
G^p Ц, х,х') = Gap (е, X, X1) - Gap (е, х, -X1) , (2.76)
где G дается (2.75). Обосновать такой ответ можно так же, как и при использовании
метода изображений в электростатике. В самом деле, G&p удовлетворяет уравнению
(s - РС]С^рЦ,х,х'') = б(х- х') 6ар
(2.77)
и граничному условию СгаДе, 0, х') = 0 , а переход к изображениям обычным образом
заменяет граничное условие условием антисимметрии.
Решение 8 в) Выразим плотность через функцию Грина, найденную в части б):
п(х) = —г lim Тг
v ' тч-0
I Gap^,x,x)e 1£Т<^ ,
(2.78)
где Тг означает взятие следа. Суммируя по спинам, получаем
Г dpde е г£т(1 — е 2грх)
т J (2тг)2 е - Цр) + id sign £(р)
(2.79)
При интегрировании по г , поскольку т < 0 , замыкаем контур в верхней полуплоско-
сти. Полюс захватывается при Цр) < 0 , т. е. при р2/2т < Ер . Находим
^2 dp (1 - e~2ipx) .
(2.80)
р2<2тЕр
Интегрируем по р :
РО , РО
2 [ ^(1 - еГ2грх) = -(2р0 - [ e~2ipx}
J 2тг 7Г \ J /
—ро -РО
1 / sin2p0a?\ / sin2p0a?\
- 2р0--------------= п0 1---------------- ,
7Г \ X / \ 2р0х /
(2.81)
где По — плотность вдали от стенки. (Коэффициент в (2.81) можно проверить, под-
считав плотность частиц квазиклассически: n$L = 2(2p0L)/2тг7г.)
Плотность п(х) обращается в ноль на стенке, а вдали осциллирует с периодом
2.3. РЕШЕНИЯ
39
Ао = тг/г/ро :
Рис. 2.1
Сравним среднее расстояние между электронами d = = тг7г/2ро с периодом ос-
цилляций Ао — они отличаются в два раза. Это отличие связано со спином электронов.
Фермиевские корреляции, приводящие к осцилляциям, имеются только для электронов
с одинаковой проекцией спина. Плотность таких электронов есть по/2 = Ад 1 , что как
раз соответствует периоду осцилляций.
Решение 9. Рассмотрим вероятность p(t, х) блуждающей частицы оказаться в
узле х на шаге t. Вероятности на шаге t и t + 1 связаны простым соотношением:
р(£ + 1,х) = ^- 52 р(£,х') (2.82)
-П |х'-х|=1
(сумма берется по 2п соседям узла х). Перейдем к фурье-образу p(t, q) =
А2 e2qxp(i, х) . Соотношение (2.82) дает
X
p(t + l,q) = V7(q)p(i,q) , V7(q) = -(cosщ + ... + cosqn) . (2.83)
Находим производящую функцию
Gfeq) = g^.q)=1_z11y(q) (2.84)
Вероятности p(t, x) выражаются через G(z, q) так:
где интеграл no dnq берется по области —я < < тг (г = 1,... , п), а интеграл по z
— по любому контуру, охватывающему точку z = 0 .
40
ГЛАВА 2. ФУНКЦИЯ ГРИНА
Теперь, чтобы найти вероятность блужданий без возврата в начало координат, не-
много модифицируем правила игры. Предположим, что частица блуждает случайно,
как и раньше, но, как только она попадает в начало координат, ее «удаляют с поля». В
этом случае связь между p(t + 1,х) и p(i, х) будет такая:
P(t + 1,х) =
' 1
< 2п
.0,
52 Жх')>
|х'-х| = 1
(2.86)
х / 0
х = 0
Переходя к фурье-образу p(t, q) , получаем
p(t + 1, q) = W(q) p(t, q) - [ W(q) p(i, q) .
J 2я n
(2.87)
Производящая функция G(z, q) = S ztp(t, q) получается умножением (2.86) на zt+1 и
t^o
суммированием no i > 0 . Находим
f ~ dnk
G(z, q) (1 - zW(q)) = l-z W(q) G(z, k) —— (2.88)
J (27ГЩ
Это уравнение можно записать в таком виде:
г ~ dn к
G(z, q) = G(z, q) + G(z, q) / Z(z, k) G(z, k) —— , (2.89)
J (27ГЩ
где E(z,k) = С-1(г,к) — 1 . (Заметим, что по форме уравнение (2.89) напоминает
уравнение Дайсона (4.9).)
Ищем решение (2.89) в виде
G(z, q) = A(z) G(z, q) , (2.90)
где X(z) — некоторая функция z . Подставляя (2.90) в (2.89), находим
А(г) = 1-А(г)/(С(г,ч)-1)^Т, (2.91)
откуда
А-!(г) =/0(2,4)-^. (2.92)
J (27Г)П
Рассмотрим вероятность Pt того, что частица за t шагов ни разу не вернулась в
начало координат. Производящая функция F(z) = 52 ztPt, очевидно, есть
t^o
Г(г) = <7(г, q = 0) = (2.93)
1 Z
Находим вероятность
р = 1 I dz
* 2-7П J zt+1 1 — z ’
P|=r
2.3. РЕШЕНИЯ
41
где X(z) дается (2.92), а радиус контура интегрирования г < 1 .
Для нахождения вероятности того, что частица никогда не вернется в начало коор-
динат, необходимо перейти в (2.94) к пределу t —> сю . Это удобно сделать, рассмотрев
Fa,t = A(Fo + aFi + ... + at-1Ft-i) = ^1 / (1 “^^dz, (2.95)
2-7П J (1 — z)(z — a)
p|=r
где a — вспомогательный параметр, принимающий значения 0 < а < г , a At =
(1 + a + ... + at-1)-1 = (1 — a)/(l — a*) . Переходя в (2.95) к пределу t —> сю , получаем
1 — a г X(z) dz
2т J (1 — z) (z — а) ’
p|=r
(2.96)
Рассмотрим контурный интеграл (2.96). Функция Л(г) аналитична внутри единичного
круга, поэтому внутри контура \z\ = г подинтегральное выражение в (2.96) имеет
один простой полюс z = а . Вычет в точке z = а есть Х(а) , и поэтому F* = Х(а) .
Искомая вероятность невозвращения, согласно (2.95), есть limF* . Следовательно,
а—> I
F = A(a)o^i =
(2.97)
При п<:2 интеграл в (2.97) расходится на малых q , поэтому вероятность невозвра-
щения F = 0 .
В другом пределе, при п —> сю , величина суммы косинусов в W(q) порядка у/п ,
согласно закону больших чисел. (Это справедливо не для всех q , а только для «типич-
ных », но для оценки интеграла в (2.97) этого достаточно.) Заменяя в (7(1, q) величину
1 — W(q) на 1 , находим, что при больших п вероятность невозвращения F —> 1 .
Решение 10. Для того, чтобы найти сопротивление сетки между двумя произ-
вольными узлами, сначала рассмотрим более простую ситуацию. Допустим, что ток I
втекает в узел х = 0 и растекается на бесконечность. Найдем распределение потен-
циала </»(х) на узлах. Условие сохранения тока (закон Кирхгофа) гласит:
52 ИХ) - <^(Х'))/Д = { г’ А
1/11 L и
|х' — х|=1
(2.98)
где сумма, как и в задаче 9, берется по ближайшим соседям х' узла х . Обратим
внимание, что выражение (2.98), по существу, определяет функцию Грина оператора
Лапласа на решетке.
При переходе к фурье-образу уравнение (2.98) принимает вид:
</>(q) [2п - 2(соэщ + ... + cosgn)] /R = I , (2.99)
или, что то же самое,
ГЕ>
<Ж) = —G(l,q).
Zl 11
(2.100)
42
ГЛАВА 2. ФУНКЦИЯ ГРИНА
То, что функция Грина уравнения Лапласа оказалась связана со случайными блуждани-
ями, совершенно неудивительно, поскольку распределение вероятности для блужданий
подчиняется уравнению диффузии, записывающемуся через п-мерный оператор Лапла-
са (в данном случае решеточный).
Теперь рассмотрим более сложное распределение токов и потенциалов, которое воз-
никает, когда ток I втекает в узел 0 , и такой же ток вытекает через узел а . По-
тенциал в этом случае можно выразить через </»(х) , пользуясь линейностью закона
Кирхгофа (т. е. принципом суперпозиции). Находим
</»'(х) = </»(х) — </>(х — а) . (2.101)
Для определения сопротивления между узлами Опа найдем разность потенциалов
между этими узлами:
А® = ф'(0) — </»'(а) = 20(0) — ф(а) — ф(—а) . (2.102)
Искомое сопротивление есть А.ф/1. С помощью обратного преобразования Фурье вы-
ражаем ф(0) и ф(±а) через фурье-образ (2.100), и получаем
*‘= (2-103)
где интеграл, как и в задаче 9, берется по зоне Бриллюэна —я < % < я , i = 1, ...,п .
Методом задачи 9 можно показать, что сопротивление между узлами решетки имеет простую
вероятностную интерпретацию. А именно, Ra есть , деленное на вероятность того, что при слу-
чайном блуждании, начинающемся в точке 0 , частица попадает в точку а до того, как возвращается
в точку 0 .
Рассмотрим сопротивление между двумя удаленными точками. В интеграле (2.103)
при |а| 1 вклад быстро осциллирующей экспоненты е?ча мал. Пренебрегая им,
получаем такое же выражение, как для вероятности (2.97) в задаче 9, и находим соот-
ношение между Ra^^ и Р :
Ra^ = ^, (п > 2) . (2.104)
11>±
Этот результат справедлив только при п > 2 , поскольку при п 2 вероятность
Р обращается в ноль (интеграл в (2.97) расходится). Обратим внимание, что в этой
задаче «критическая размерность» пс = 2 оказывается такой же, как в задаче 9 о
случайных блужданиях. Это не случайно, поскольку, как уже отмечалось, и в том и в
другом случае речь идет о функции Грина п-мерного уравнения Лапласа.
При п = 2 интеграл (2.103) для определяется малыми q. Разлагая cosqi =
1 — 1/2q? + ... , находим с логарифмической точностью
Да»1 = ф-1пЫ, (п = 2). (2.105)
27Г
К такому же ответу приводит рассмотрение в приближении непрерывной среды, спра-
ведливом при |а| 1 , в котором (2.105) есть просто решение двумерного уравнения
Лапласа.
2.3. РЕШЕНИЯ
43
Для двумерной сетки интересно найти сопротивления между близкими узлами. Это
нетрудно сделать, вычисляя интеграл (2.103). Так, например,
тт
R г г i-eMei+02) delde2 _ R г 1 - e2ime+
2 J J 1 — |(cos$i + cos02) (2-7f)2 2tf J sin0+
R r1 u2m - 1 2/1 1 \
— / —du — - R 11 + - + ... + - - I .
я J-i u~ — 1 7Г \ 3 2m — 1/
(2.106)
(2.107)
При вычислении интеграла (2.106) была сделана замена переменных 6± = ± и
2тг
использован известный интеграл f (а + bcos w)~1dw = 2тг(а2 — &2)-1/2 .
о
Приведем также ответы и для некоторых других узлов3:
1 2 / 4\ Rio — R > Ru — ~ R > R20 — 12 — 1 R 2 7Г \ 7Г/
— f--------'j R , R30 — --------------R (2.108)
\7Г 2/ \ 2 7Г /
Обратим внимание на то, что все приведенные в (2.108) значения сопротивления равны
а + Ь/л, где а и b — рациональные числа. Нетрудно показать, это верно и для других
узлов двумерной решетки.
3Ответ для .Ею может быть также получен элементарным способом, с помощью принципа супер-
позиции.
Глава 3.
Квантовая механика одной частицы
3.1. Теория возмущений и функция Грина
В этой главе мы рассмотрим задачи одночастичной нерелятивистской квантовой ме-
ханики, решаемые методом теории возмущений. Наша цель — продемонстрировать
связь квантовомеханической теории возмущений с функциями Грина и диаграммной
техникой.
Динамика нерелятивистской частицы во внешнем поле описывается с помощью вол-
новой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера:
=-^-V2-0(r,i) + V(r)^(r,i) . (3.1)
В квантовой механике рассматривают два основных типа задач: отыскание спектра
энергий системы и вычисление вероятностей переходов, вызванных рассеянием или
зависящим от времени внешним полем.
Решение первой задачи требует отыскания собственных значений энергии для ста-
ционарного уравнения Шредингера:
Дискретный спектр соответствует связанным состояниям, а непрерывный — свобод-
ным. В задачах второго типа (для определенности будем говорить о рассеянии) требу-
ется найти решение уравнения (3.2), описывающее падающую и рассеянную волны, и
определить амплитуду рассеяния в данное конечное состояние.
Напомним, что процессу рассеяния плоской волны егкг на потенциале Г(г) отве-
чает волновая функция
Ыг) = егкг + %к(г), (3.3)
причем Хк(г) имеет асимптотически вид расходящейся сферической волны:
ъ | г |
Xk(r) = /(k, кп) , |rI оо , (3.4)
45
46
ГЛАВА 3. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
где п = г/|г| . Функция /(к, к') называется амплитудой рассеяния.
Существует несколько методов решения задачи о рассеянии (и других подобных
ей задач). Мы воспользуемся методом теории возмущений, поскольку в нем связь с
диаграммной техникой проявляется лучше всего. Запишем волновую функцию ^(г) ,
являющуюся решением (3.2), в виде ряда по степеням потенциала Ф(г) :
-0(г) = ?//0)(г) + ^^(г) + ?//2)(г) + ... . (3.5)
Нетрудно убедиться, что члены ряда (3.5) удовлетворяют уравнениям
7)2 \
£ + й—) ^(0)(г)
2т J
7?^ \
£ + й—) ^(г)
2т J
7?^ \
£ + о—V2) ?//2)(г)
0;
Ф(г)^(о)(г) ;
ф(г)^(1)(г) ;
(3-6)
Решение свободного уравнения Шредингера обычно берется в виде плоской волны,
т/)(°)(г) = ехр(гкг) . Если потенциал Ф(г) слабый, достаточно ограничиться нескольки-
ми первыми членами ряда (3.5). Скажем, амплитуда рассеяния в борновском прибли-
жении определяется функцией ^^(г) .
С формальной точки зрения, ряд (3.5) можно рассматривать даже в случае сильного
потенциала, если выполнить аналитическое продолжение по £ из области больших
энергий |е| V> |Ф(г)| , в которой ряд (3.5) сходится. Вообще говоря, таким способом
можно найти амплитуду рассеяния при произвольной энергии, даже если потенциал не
мал. Отметим, что обычно оказывается более удобным не выписывать члены ряда по-
отдельности, а перейти от (3.5) к интегральному уравнению на амплитуду рассеяния
(см. задачу 11, а также [2], гл. XVII, §130).
Чтобы установить связь с диаграммной техникой, рассмотрим функцию Грина
уравнения Шредингера:
( д к2 \
V2 - V(r) G(r, t, г', i') = S(t - t') 5(r - r') . (3.7)
\ (Jv Zi lib j
При V(r) =0 движение свободное:
G„(« - r - r') = [ [ G„(£, p) IL. , (3.8)
J J 2т: ДтгЦ
Go(s,p) =------777—т (3.9)
£ — p2/2m + го
Знак мнимой части +г6 выбран так, чтобы функция Go(s,p) была регулярна в верх-
ней полуплоскости комплексной £ . Это условие обеспечивает соблюдение причинности:
G0(i — t') = 0 при t < t'.
3.2. ЗАДАЧИ 11 + 15
47
В общем случае функцию Грина можно записать как оператор:
. д
'at ~ ₽/2m
\ -1
V(r) = (Go-1 - С)’1 = (1 - VGo)-1^ .
При малом V выражение (3.10) можно разложить в ряд:
G — Go + G0VGq + G0VGoVGo + ... ,
(3.10)
(3.11)
причем произведения Go и V следует понимать в операторном смысле, то есть, как
свертку.
Для нас существенно, что между рядом (3.11) для функции Грина и рядом те-
ории возмущений (3.5) имеется почленное взаимнооднозначное соответствие. Поль-
зуясь этим соответствием, можно связать амплитуду рассеяния с функцией Грина
(3.7). При этом оказывается, что интегральное уравнение Дайсона для собственно-
энергетической части гриновской функции, с помощью которого обычно суммируют
ряды типа (3.11), в точности соответствует интегральному уравнению для амплитуды
рассеяния (см. задачу 11, а также гл. 4).
Функцию Грина можно использовать также и для отыскания спектра квантово-
механической системы. Известно, что амплитуда рассеяния, как функция энергии е ,
имеет полюса во всех точках спектра ([2], гл. XVII, §§128, 129). Таким же свойством
обладает и функция Грина (3.7), непосредственно связанная с амплитудой рассеяния.
Поэтому с помощью функции Грина, могут быть решены одновременно обе задачи — и
о связанных состояниях, и о рассеянии (см. задачи 12 и 13).
Литература: [1], гл. 1, 2; [2], гл. VI, IX, XVII
3.2. Задачи 114-15
Задача 11. (Диаграммный ряд и интегральное уравнение для амплитуды рассеяния)
Покажите, что рассеяние частицы в статическом внешнем поле V(г) описывается сум-
мой графиков:
Рис. 3.1
Какие выражения надо сопоставлять графическим элементам? (Используйте импульс-
ное представление.)
Свяжите диаграммы на рис. 3.1 с амплитудой рассеяния /(ki,k2) , определенной
в (3.3)-(3.4). Получите соотношение
/(ki,k2)
=---TF(ki,k2) ,
2rf ' ’ '
(3.12)
48
ГЛАВА 3. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
где F(k1;k2) удовлетворяет уравнению
Г(к,,к2) = V(k2 - к1) + / , (3.13)
J £ — П q-/2т + го (2-к)
е = Й2к'(/2т = Й2к|/2т .
Определенную так амплитуду F(k1;k2) называют амплитудой рассеяния в энерге-
тической нормировке. Пользоваться ею часто бывает удобнее, чем обычной амплиту-
дой рассеяния. Именно такая амплитуда рассеяния естественно возникает в диаграмм-
ной технике (см. другие задачи этой главы, а также глав 9, 10 и 11). По сравнению с
обычной квантовомеханической амплитудой рассеяния /(ki, k2) , она менее произволь-
на, поскольку никак не зависит от выбора нормировки плоских волн.
Задача 12. (Слабо связанное состояние в мелкой яме) Рассмотрим мелкую яму в
пространстве произвольной размерности D , и выясним, в каких случаях в ней может
образоваться связанное состояние.
Мелкой называется яма, глубина которой Uq <С Т?/2та2 , где а —радиус ямы. Размер связанного
состояния в такой яме много больше ее радиуса, а энергия связи — много меньше глубины ямы Uq .
Решите эту задачу, используя связь амплитуды рассеяния (3.13) со связанными со-
стояниями: энергия каждого связанного состояния соответствует полюсу амплитуды
F(k1;k2) как функции энергии е . Покажите, что связанное состояние в мелкой яме
есть только при D^2 .
Воспользуйтесь тем, что в пространстве размерности D амплитуда F(ki,k2) удо-
влетворяет уравнению, получающемуся из (3.13) заменой d3q/(2F)3 —> dDq/(2-K)D . В
уравнении (3.13) замените потенциал ямы на S -функцию — при этом все интегриро-
вания по импульсам станут независимыми. Сравните результаты, получающиеся при
D = 1, 2 , с известными квантово-механическим выражениями (см. задачи к §45 [2]).
Задача 13. (Двумерное рассеяние: логарифм и ренормгруппа) Рассмотрим подроб-
нее рассеяние в размерности два на короткодействующем потенциале. Это может быть
яма, причем не обязательно мелкая, или потенциал положительного знака. Определим
зависимость амплитуды рассеяния F от энергии в низкоэнергетической области.
Нас интересует область энергий много меньших £а = h2/2та2 , где а — радиус
ямы. Ясно, что зависимость от энергии е возникает, как и в задаче 12, от интегриро-
вания по \q\ а-1 . Для правильного описания низкоэнергетической физики, как и при
отыскании связанного состояния (задача 12), кажется достаточным заменить потенци-
ал на S -функцию. При этом интегралы по q начинают логарифмически расходиться
при q —> оо , и их придется «обрезать руками» при q ~ а-1 . Такой «ремесленный» под-
ход, хотя и приводит к качественно правильному ответу, является слишком грубым,
т. к. полностью игнорирует, например, глубокие уровни в потенциале, если таковые
есть.
Более рафинированный метод заключается в следующем. Вычислим производную
дГ(ё)/дЕ . Дифференцируя диаграммы рис. 3.1 по е и собирая члены, получим урав-
нение1
справедливое при |Д Еа . Решив это уравнение, можно связать обрезку логарифма и
3.2. ЗАДАЧИ 11 + 15
49
амплитуду F при большой энергии.
Задача 14. (Поляризуемость связанного состояния) Заряженная частица находит-
ся в мелкой двумерной яме в основном состоянии. Определим поляризуемость системы
в слабом внешнем поле 1 2.
а) Используя результат задачи 13, запишите функцию Грина в импульсном представле-
нии. Сформулируйте правило обхода полюсов, выражающее, что связанное состояние
занято, а состояния непрерывного спектра свободны.
б) Выразите дипольный момент системы через точную функцию Грина в импульсном
представлении (см. [1], стр.75 и далее).
в) Рассмотрите поправку к функции Грина, линейную по электрическому полю. Нари-
суйте графики, определяющие поляризуемость. Какие из них обращаются в ноль при
интегрировании по энергии или импульсам?
Задача 15. (Теорема унитарности для амплитуды рассеяния3) Амплитуда рассе-
яния /(к, к') частицы во внешнем поле удовлетворяет теореме унитарности:
/(к,к') -Г(к',к) = ^р(к,к”)Г(к',к") *>" ,
(3.15)
(см. [2], §125). Мы видели, что F(k, к') = —ТлТ^/т /(к, к') дается простой суммой
графиков (задача 11). Поэтому полезно уметь получать (3.15) на графическом языке.
Как это сделать? Рассмотрите диаграммы вида:
Рис. 3.2
Здесь
ся<л)Р) =--------А , .. (3.16)
£ — р2/2т±гд
— запаздывающая и опережающая функции Грина. Получите левую и правую части
(3.15), просуммировав эти графики двумя разными способами.
Аналогично получите соотношение унитарности в двумерном случае. Какова связь
двумерной амплитуды рассеяния /(к, к') с F(k, к')? Убедитесь, что амплитуда F,
найденная в задаче 13, обладает свойством унитарности.
Эта задача весьма важна для дальнейшего, поскольку в ней на простейшем примере показан при-
ем, обобщающийся на более сложные случаи. Для любого процесса рассеяния, распада, перехода и т. д.
имеется связь между его вероятностью и мнимой частью амплитуды. Эта связь описывается теоремой
унитарности. В графическом представлении, мнимая часть какой либо амплитуды может быть най-
дена путем разбиения соответствующих диаграмм каким-либо сечением, и заменой функций Грина
1 Уравнение такого типа называется в теории поля и статистической физике уравнением ренорм-
группы.
23адачи 11 - 13 можно решить и без диаграмм. А задачу 14? Попытайтесь...
50
ГЛАВА 3. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
по одну сторону сечения на комплексно сопряженные функции. При этом следует просуммировать по
всем возможным способам выбора сечения диаграммы. Состояния в сечении имеют смысл конечных
состояний распада, рассеяния, и т. и.
3.3. Решения
Решение 11. Мы будем обращаться с функцией Грина несколько более вольно, чем это
принято в учебниках по квантовой механике. Перед тем, как читать решение, полезно
вспомнить стандартный вывод интегрального уравнения для амплитуды рассеяния,
использующий уравнение Шредингера в импульсном представлении (см. [2], §130).
Чтобы найти состояние рассеяния (3.3)—(3.4), запишем уравнение Шредингера для
движения в потенциале V(г) через функцию Грина:
G_1,0k(r) = 0 или (Gq 1 — V)-0k(r) = 0 . (3-17)
Будем искать решение в виде (3.3). На массовой поверхности, при е = к2/2т , получаем
уравнение для Xk(r) :
(Сё1 - V) Л(г) = V|k) . (3.18)
Записываем решение через функцию Грина, Xk(r) = (г|GV|k) , и разлагаем G в ряд
по V :
Xk(r) = (r|G0V + G0VG0V + ... |k) . (3.19)
Удобно переписать это выражение, введя оператор
F = V + VG0V + VG0VG0V + ... (3.20)
Имеем:
Xk(r) = (r|G„F|k) . (3.21)
Смысл этой записи в том, что F описывает многократное рассеяние падающей волны
на потенциале V(r) , a Go — движение после последнего рассеяния.
В координатном представлении Go имеет вид4:
г рф(г-г') (р'1) т г«|г—г'|
Go(s, Г, г') = I £ _ р2/2^ + iS = -27г/.2 |г_г,| , (3.22)
где Ьк = Д2тпе . На массовой поверхности к = к .
Слагаемое i6 в знаменателе (3.22) введено для того, чтобы выбрать запаздывающее решение. С
тем же успехом можно было бы выбрать знак — i6 , что привело бы к ряду для /*(к', к) . Комплексно
сопряженная амплитуда соответствует опережающему решению задачи о рассеянии.
3.3. РЕШЕНИЯ
51
Нас интересует асимптотика %(г) , поэтому запишем г = Rn и будем считать R
большим. Тогда |г — r'| = R— |r'| cos# + 0(1/R/ , где 9 — угол между п и г' :
Рис. 3.3
Подставляем Go в виде (3.22) в выражение (3.21) и разлагаем |г — г'| :
'»У') Л " -**- Л
x(r) = “ W 1Г / e’iK|r/|C0S*<r'lF|k>dV
(3.23)
Сравнивая этот ответ с определением амплитуды рассеяния, получаем требуемое со-
отношение:
/ЬЧ = --2<к2№) , (3.24)
где к2 = |A;i|n .
Перейдем к выводу интегрального уравнения. Ряд для F может быть представлен
графически, как показано на рис. 3.1. Запишем сумму
F = V + VG0V + VGqVGqV + ...
(3.25)
в импульсном представлении: F(ki,k2) = F^^(ki,k2) + F^(k1,k2) + ... ,
Fa\kbk2)
F(2)(kbk2)
FW(k1;k2)
V(k2 - kJ ,
f V(k2 - q) V(q- kJ (d3q)
7 q2 , .A
£“2S + "5
f f V(k2-qn J.. ,V(q1-kJ (d3Qn J ... (c/3qJ
(e- q»~1
\ 2m
.Д f q2
+ id ... s-------1- id
/ \ 2m
(3.26)
где (d3Qi) = (/3%/(2тг)3 , e = 7i2k2/2m .
52
ГЛАВА 3. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
Связь этих выражений с рядом на рис. 3.1 очевидна: волнистым линиям соответ-
ствуют матричные элементы потенциала, прямым линиям — функции Грина. По всем
внутренним импульсам надо проинтегрировать, а входящий и выходящий импульсы
взять на массовой поверхности.
Получаем интегральное уравнение для F :
V + VG0V + VG0VG0V + ... =
V + VG0(V + VG0V + ...) =
V + VG0F
(3.27)
Графически это можно изобразить так:
гш
Рис. ЗД
В импульсном представлении интегральное уравнение принимает вид
k i = vtk - к w — f ^-д)Жд) d3(i (о 9оа
F(k1;k2) V(k2 kj+^y k2_q2 + iS (27f)3 (3‘28)
Решая это уравнение последовательными приближениями, вновь получаем ряд для F .
Решение 12. Полюса функции Грина G(e) дают спектр системы. При этом, по-
скольку G и F связаны соотношением G = Go + GqFGo , каждому связанному состо-
янию отвечает полюс F(e) .
Начнем со случая D = 1 . Рассмотрим одномерную яму глубины Uo и ширины
а . Заменяя потенциал на 6 -функцию V(ic) = —Uoa6(x) , получаем фурье-компоненту
V(q) = — Uoa = const . При этом уравнение для F(k, к') принимает вид:
F(k,kr) =—Uoa + Uoa [---^’<?) • (3.29)
J £ — q1 /2т + го 2тг
Из (3.29) видно, что F(k, к') не зависит от к' . Поэтому
F(k) = -Uoa - -/—F(k) f 2 // , (3.30)
2% J — к2 — го
—оо
что дает F-1 + Uoa = im/k = iyJm/2£ , где £ = к2/2т . Получаем:
р(£) = . (3.31)
Ц2(£ + i5)/m — iUoa
Амплитуда рассеяния F(e) имеет полюс при £0 = —ти^а2/2ft2 , что совпадает с из-
вестным ответом для одномерной 6 -ямы.
3.3. РЕШЕНИЯ
53
Пусть теперь D = 2 . Снова считаем фурье-компоненту потенциала независящей
от к : V(k) = —Uoa2 . Уравнение для F имеет вид:
F(s) = -U0a2 + I F(e)
2tfq dq 1
q2 — к2 — id (2тг)2 ’
(3.32)
где F снова есть функция только е . Интеграл
dq2
q2 — к2 — id
(3.33)
логарифмически расходится на верхнем пределе. Но это не страшно: при q а-1
фурье-компонента V(k} начинает быстро осциллировать, и интеграл с V(k} сходит-
ся. Следовательно, можно пользоваться выражением (3.33), обрезав его «вручную» при
а-2
dq2 • , ,
---------- — 7Г7 -4- 1П
q2-k2-id a2(k2 + idY
(3.34)
Итак,
-U0a2
1 + (2та2Сго/47ГЙ2)1н(—к2а2)
-U0a2
1 + (тСго«2/27ГЙ2)1п(—ета2/И2)
(3.35)
Дискретный уровень
П2
---2ехР “
гпа-
2тг7г,2
ma2Uo
(3.36)
о
1
о
Обратим внимание, что из-за неизвестного множителя порядка единицы, появившегося
при обрезании в аргументе логарифма, уровень £q дается выражением (3.36) только
по порядку величины.
В размерности D > 2 интеграл
af qD ldq
J q2 — k2 — id
о
(3.37)
остается конечным при к —> 0 . Поэтому для слабого потенциала F(e) не имеет полю-
сов при \к\ а-1 , что означает отсутствие связанного состояния.
Решение 13. Производную dF/de можно связать с F в общем виде, так, что по-
лучится выражение справедливое при произвольном потенциале. Для этого надо про-
дифференцировать ряд на рис. 3.1 почленно:
54
ГЛАВА 3. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
Рис. 3.5
Линия с крестиком обозначает:
1
де ° (s — р2/2т + i5)2
(3.38)
Группируя члены графического ряда и пользуясь графическим представлением ампли-
туды F (см. рис. 3.1, 3.4), находим
dF
dE
Рис. 3.6
Отсюда:
дг(к f РДк^дДРДд,^ d2g
де £ 1’ 2 J (е — д2 / 2т + iti)2 (2я)2
Еще раз обратим внимание на то, что (3.39) — точный результат, а не приближенный.
Чтобы применить соотношение (3.39) в низкоэнергетической области, заметим, что
зависимость ЕДк^к?) от Ц и к? имеет характерный масштаб kip — а-1 . Поэтому
при малых энергиях |s| еа = ti2/гпхг интеграл по g в (3.39) сходится до того, как
зависимость F от g становится существенной. Вычисляя интеграл, получаем
де 2тгЬ2е
(3.40)
Решение этого уравнения есть:
F(e) =
2тг/г.2
mln((s + i5)/e0)
(3-41)
где So — неизвестная константа. Точка ветвления логарифма при е = 0 смещена в
нижнюю полуплоскость, поскольку вместо е стоит е + гб . Константа So вещественна
и отрицательна, поскольку при е < 0 амплитуда F вещественна. (Чтобы в этом
убедиться, можно записать члены ряда для F , показанные на рис. 3.1, в координатном
представлении, где функция Грина имеет вид СДг) = — (ш/2тгг) ехр(—к,г) , к2 = 2те .
Это выражение вещественно при е < 0 .)
Если So находится в низкоэнергетической области, |sq | £а , то полюс при е = So
имеет реальный смысл, и ему соответствует дискретный уровень. В противном случае
полюс находится вне области энергий, где применимо сделанное приближение, и по-
этому смысла не имеет. Такая ситуация возникает, например, для рассеяния на слабом
отталкивающем потенциале, когда So дается выражением (3.36) с отрицательным Uq
Решение 14 а) Согласно задаче 11, функция Грина есть G = Go + GqFGo , где
амплитуда F найдена в задаче 13. В импульсном представлении
G(s,p,p')
(2я)2
<Яр-р')
s — р2/2т + iS
3.3. РЕШЕНИЯ
55
(s — р2 /2т + id) (s — p'2/2т + id)
(3.42)
Положительный знак мнимой части +id означает, что состояния непрерывного спек-
тра пусты. При интегрировании по £ эти полюса надо обходить сверху. Осталось
выбрать обход полюса в F(s) при £ = £q . Это состояние заполнено, поэтому сдвигаем
полюс вверх: с0 —> £о + Получаем F(s) = 2тг/г2/(т ln(s/so)) , причем обход полюса
£ = со и точки ветвления £ = 0 такой:
О
Рис. 3.7
Решение 14 б) Выражаем дипольный момент через функцию Грина:
J J (2я)2 (2я)2 \J
х 3imn [ е~1^ G^’ Рь Р2) =
t^-o J 2m
d2Pi
(2я)2
d2p2V16(p1 - p2) V ResG'(w,p1,p2)
(л)
(3.43)
где сумма вычетов берется по всем полюсам ш функции G в верхней полуплоскости
£ , что соответствует заполненным уровням. Интегрируя по частям, получаем:
72 г
(^^рЕ^^’Р’Р')
(3.44)
Другую (эквивалентную) форму записи можно получить, если заменить Vp на Vp, и
изменить знак.
Решение 14 в) Взаимодействие с электрическим полем W = —еЕх меняет функцию
Грина:
Gw = G + GWG + GWGWG + ... , (3.45)
56
ГЛАВА 3. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
где G — точная функция Грина при Е = 0 . Графически:
Рис. 3.8
В импульсном представлении взаимодействию W , линейному по координатам, со-
ответствует производная 6 -функции:
ИДр) = - / eExe~iprd2r
= ie(27[)2E-^—d^(p)
Орх
(3.46)
Для вычисления поляризуемости нужен линейный по полю член ряда (3.45). С учетом
структуры G , согласно (3.42), имеем 4 слагаемых:
8G
Рис. 3.9
Первое из них есть GqWGo Оно не имеет особенностей над контуром интегрирования
по энергии и, поэтому, дает нулевой вклад. Вычислим остальные члены. Выражение
GqWGqFGq(p,p') , соответствующее второй диаграмме рис. 3.9, есть:
d2pi геЕд/дрх <^2\р — pi) — F(s)
(2%)2 (s — р2/2тп + id) Ц — р2/2т + id)(s — р'2/2т + id)
г d2pi д -ieEF(e)
J (2тг)2 Р* 1 Р dpix (е — р2/2т + id)
1
(е — р2/2т + id) (е — р'2/2т + id)
3.3. РЕШЕНИЯ
57
.
т (е — р2/2т + i8)3(s — р'2/2т + i8)
(3.47)
Третий член получается из второго комплексным сопряжением и перестановкой р и
Р1 :
G„FG0»'G„(p, р') = ---- . др- <3-48)
(Е — р2/2т + гд)\Е — р'2/2т + г8)3
Последний график G0FG0WGqFGq(p,p') равен нулю:
ieEF2(s) [[ —7^^G0(e, p)G0(s, Рг^о^, pjG'o^, р')^1Жй(р2 - pj
JJ (27Г)2
= -ieEF2(e)G„(£,p)G„(e,p') [ 33*----------m = 0 • (3-49)
J (2тг)2 (s — pi/2m + id)3
как интеграл от нечетной функции. Поэтому
^ResG(w,p,p') = ResF(s)J|E[p^Go(£o,p)G'o(£o,p/)
-pa,G'o(£O,p)G'o(£o,p')] (3.50)
Из-за отмеченной выше симметрии по отношению к перестановке р и р' оба слага-
емых дают одинаковый вклад в поляризуемость, поскольку и в выражение (3.44) для
d импульсы р и р' входят симметрично. Следовательно, достаточно взять только
первое слагаемое и удвоить ответ:
d = -2—Е [ ________р2
т2 J (2тг)2 (е0 — р2/2т + i<5)5
ResF(s)
го
(3.51)
К такому выражению можно прийти несколько быстрее, если заметить, что верши-
на взаимодействия с электрическим полем устроена точно так же, как и выражение
для дипольного момента (3.44). (В координатном представлении (3.50) есть свертка
производной 6 -функции с функцией Грина по ее аргументам.) Поэтому все вклады в
поляризуемость можно представить графически так:
Рис. 3.10
Здесь 8G дается суммой четырех слагаемых, показанных на рис. 3.9, а пунктир-
ная линия обозначает V5(p) в импульсном представлении, или г — в координатном.
Первый график на рис. 3.9 дает ноль при интегрировании по энергиям, а четвертый,
из-за нечетности г , — обращается в ноль при интегрировании по импульсам. Второй
и третий графики отличны от нуля и равны в силу симметрии.
58
ГЛАВА 3. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА ОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
Итак, поляризуемость
_ 2е2 f d2p рарр(2т)5
Ха3 т2 J (2тг)2 (р2 + к2)5 % ’
где к2 = 2m|s0| .
Вычислим Res F(e) . Положив £ = £q + z , разлагаем
£0
2тг 27Г£0 d 27Г£о
F г = —j-т——~, откуда Res =-----------------------
mln(l + z/so) mz £о т
Находим
_ Об„£ 2_2 +fp‘dp 1
Хав - 2 7г5а/3ет£0] ' (р2 + к2у
16е2т2£о +r° xdx е28ар
(2тП£о)3 J (% + I)5 6'/77cq
(3.52)
(3.53)
(3.54)
Восстанавливая h по размерности, получаем % = e2h2 / (бте2/) .
Решение 15. Суммируем диаграммы, изображенные на рис. 3.2. С одной стороны,
раскрывая по линейности и группируя члены, имеем F(k, k') — F*(k',k) , поскольку
все остальные члены, содержащие GR и GA одновременно, взаимно сокращаются. С
другой стороны,
qR __ qa ___ ______________ __ _____________
£ — p2/2m + i6 £ — p2/2m — i6
= —2тггд (e — p2/2m) .
(3.55)
И вдобавок, при собирании всех графиков, слева от GR — GA возникает выражение
F(k, к') , а справа — F*(k',k) :
-2т f F(k, q) F*(k', (s - q2/2m) =
J (27Г)а v '
= -2« /'F(k,q)F'(k',q)^</o^5(|q| - |k|)
J ( Z7T J (1
= -77^ [ F(k, q) F*(k', q) do . (3.56)
(27Г)2 J
Сравнивая, получаем теорему унитарности для амплитуды F :
F(k,k')-r’(k',k) = --^ [ F(k,q)F*(k',q)</o. (3.57)
Связь с квантовомеханической амплитудой рассеяния, F = — (2тг/г2/т) f , была найдена
в задаче 11. Выражая F через f , приходим к теореме унитарности (3.15).
3.3. РЕШЕНИЯ
59
Повторяя вывод в двумерном случае, получаем
F(k,k') - Щк',к) = ~ [F(k,q)F'(k',q)M .
27Г J
(3.58)
В размерности D = 2 связь F и квантовомеханической амплитуды f другая. Чтобы
ее получить, поступим как в задаче 11. Возьмем выражение (3.21) для расходящейся
волны, Xk(r) = (гiGr-^lk) , верное в любой размерности, и найдем асимптотическое
поведение функции Go :
г е‘р ар т
J £- Ггр2/2т + i6 (2тг)2 П2^2кк\г\
(3.59)
при &|г| —> оо (см. задачу 6 к §127 [2]). Поэтому при D = 2 амплитуда f =
— (т/К2\/2т[к) F .
Поэтому теорема унитарности при D = 2 гласит:
Дк,к') - Лк'.к) = 1\Н//(WW*. ,
(3.60)
Отметим, что в размерности D = 2 более удобно включать множитель ег7Г//4 в опре-
деление расходящейся волны, как это сделано выше, а не в амплитуду рассеяния, как в
[2]. При таком определении f , соотношение унитарности принимает наиболее простой
вид. Поскольку амплитуда f есть коэффициент при расходящейся волне, включать фа-
зовый множитель в определение f или в выражение для расходящейся волны — дело
вкуса.
Воспользуемся случаем, чтобы еще раз отметить существенную разницу между ам-
плитудой обычной f и амплитудой рассеяния в энергетической нормировке F («ужир-
ненной вершиной»). Определение амплитуды F не допускает никакого произвола, по-
скольку не зависит от выбора выражения для расходящейся волны.
Глава 4
Взаимодействующие частицы
4.1. Правила построения диаграмм
Функции Грина дают полную информацию об основном состоянии системы и спектре
её возбуждений. Кроме того, важнейшим свойством причинных функций Грина (2.8)
является то, что с их помощью можно построить теорию возмущений, согласующую-
ся с интуитивными представлениями. Функция Грина G(x?,xi) = — г(Т'ф(х2)'ф+(х1)}
в координатном представлении есть амплитуда вероятности перехода из точки Xi
пространства-времени в точку х? . Естественно сопоставить ей линию со стрелкой,
ведущую из 1 в 2:
2
Рис. 4.1
Др) = 0sign(£(p)) = {
Для невзаимодействующих ферми-частиц функция Грина в импульсном представлении
дается простой формулой:
. (4.1)
г-£(р) +Rp)
Здесь £(р) = р2/2т — EF — закон дисперсии частиц, а знак мнимой части зависит от
заполнения состояния с импульсом р :
+0 , если состояние не заполнено; ( .
—0 , если состояние заполнено. '
Ряд теории возмущений для функции Грина допускает удобное графическое пред-
ставление в виде диаграмм. Вывод правил диаграммной техники читатель может найти
в гл. 2 [1]. Мы же приведем здесь лишь краткую их сводку для случая двухчастичного
взаимодействия
U(x — х) = U(г — г',t — t') . (4.3)
(Вообще говоря, взаимодействие может быть запаздывающим).
61
62
ГЛАВА 4. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
1) Все диаграммы строятся из двух элементов: простых линий, описывающих рас-
пространение частиц, и волнистых, описывающих взаимодействие между ними.
2) Две простые линии и одна волнистая соединяются в вершинах.
3) п -му порядку теории возмущений соответствуют диаграммы с 2п вершинами.
Если речь идет о вычислении функции Грина, то диаграмма должна иметь ровно
два внешних конца.
4) Все диаграммы должны быть связными, т. е. не должны распадаться на отдельные
части, не соединённые между собой ни одной линией.
5) Каждой простой линии соответствует множитель Go (х — х') где х — началь-
ная точка, х' — конечная. Каждой волнистой линии сопоставляется множитель
U(x — х') .
6) Выражение, соответствующее данной диаграмме, следует проинтегрировать по
координатам её вершин.
7) После этого ответ следует умножить на гп (—1)F , где п — число волнистых
линий, a F — число замкнутых петель, отвечающих ферми-частицам.
Рис. 4-2
Примеры диаграмм показаны на рис. 4.2. Этим диаграммам соответствуют такие вы-
ражения:
8G& = i d4xi d4x2 G(xi — x) G(x2 — ^i) G(x' — x2) U(x2 — rci) ,
4.1. ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ДИАГРАММ
63
6Gb = —i J d^xid^XiG^xi — х) G(0) G(x'— xi)U(x2 — xi) ,
6GC = У d4rci d4rc2 d^xs d^x^G(x% — хД G(x± — X3)
xG(x2 — a?i) G(x' — X2) G(xi — x) и(хз — #1) (7(rc4 — X2) ,
6Gd = — У t/4^i d‘iX2 d^xz d^x^G(x3 — X2) G(x± — X3) ,
xG(x2 — a?i) G(x' — X4) G(xi — x) U(x4 — #1) и(хз — X2)
Довольно часто удобным оказывается не координатное представление, а импульс-
ное. Правила диаграммной техники в импульсном представлении оказываются почти
такими же, как в координатном. Вместо функций Грина и потенциалов взаимодей-
ствия надо использовать их фурье-образы. При этом каждой вершине сопоставляет-
ся множитель (2тг)4(Др1 + к — Р2) , определяющий связь между 4-импульсами pi и р2
функций Грина частиц, и 4-импульсом к линии взаимодействия. По всем независимым
4-импульсам производится интегрирование.
Различные диаграммы удобно представлять себе как вклады в амплитуду перехода
частиц между точками тит'. Например, переход, при котором не происходит взаи-
модействия с другими частицами системы, изображается свободной функцией Грина,
а переходам с рассеянием на других частицах соответствуют диаграммы, подобные Ь)
и с на рис. 4.2. Диаграммная техника позволяет думать о многочастичных задачах на
«одночастичном языке».
Два основных вида взаимодействия между электронами, имеющих значение в физи-
ке твердого тела, — это кулоновское взаимодействие и взаимодействие за счет обмена
фононами. Кулоновское взаимодействие в среде выражается через диэлектрическую
проницаемость е(а>) . В импульсном представлении
4яе2
ф)|к|2
|к| »сэ/с .
Частотная дисперсия е(ш) делает взаимодействие запаздывающим:
U(r — г', t — t') =
|r-r'|
(4.4)
(4.5)
е(ш)2тг
Это «квазистатическое» выражение справедливо при |г — r'| c\t — t'\ . Запаздывание
взаимодействия приводит к таким физическим эффектам, как перенормировка массы
связанного состояния (см. задачу 19).
Взаимодействие, возникающее вследствие испускания и поглощения фононов, зави-
сит от типа фононов, а также от характера электрон-фононного взаимодействия в
системе (подробнее см. гл. 6). В качестве простейшей, но в то же время реалистич-
ной модели мы рассмотрим акустические фононы, взаимодействующие с электронами
посредством деформационного потенциала. В этом случае взаимодействие принимает
вид
t/(w,k) = j2C(w,k) ,
(4.6)
64
ГЛАВА 4. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
где д — константа электрон-фононного взаимодействия, а
D(u, к) =
^о2(к)
ш2 — о?о(к) + гО
(4.7)
— функция Грина фононов. Для акустических фононов шо (к) = с|к| ,где с — скорость
звука.
Акустические фононы принято описывать с помощью так называемой модели Дебая, в которой
волновой вектор фонона пробегает сферическую область |к| < кр , объем которой равен числу коле-
бательных степеней свободы, приходящихся на единицу объема: = (2тг)3/vq , где vq — объем
элементарной ячейки кристалла.
4.1.1. Блочное суммирование
В диаграммной технике можно не только выписывать вклад данного порядка теории
возмущений, но и суммировать некоторые последовательности членов ряда. При этом
оказывается достаточным вычислить относительно небольшое количество диаграмм
(блоков), после чего можно суммировать образованные из них последовательности,
подставлять их в другие диаграммы и т. д.
Техника блочного суммирования опирается на классификацию диаграмм на приво-
димые и неприводимые. Неприводимой называется собственно-энергетическая часть,
которая не распадается при перерезании ни одной из линий частиц. В противном слу-
чае диаграмма называется приводимой.
Блочное суммирование для одночастичной функции Грина выполняется так. Рас-
смотрим произвольную диаграмму для функции Грина G(s, р) . Она либо приводима,
либо нет. Если она приводима, то разделим её на две части, соединенные одной лини-
ей. Каждая из этих частей либо приводима, либо нет. Будем дробить таким способом
приводимые диаграммы до тех пор, пока процесс не закончится. Любая диаграмма
для функции Грина может быть схематически представлена как одна из диаграмм на
рис. 4.3:
Рис. 4.3
Кружки на рис. 4.3 могут изображать любые неприводимые диаграммы, показан-
ные на рис. 4.4. Сумма последовательности всех неприводимых диаграмм называется
4.1. ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ДИАГРАММ
65
собственно-энергетической частью и обозначается1 У(е,р) .
Рис. 4.4
Теперь просуммируем все диаграммы для функции Грина. Содержимое каждого круж-
ка при этом превращается в Е(е, р) . В результате ряд для G(s, р) запишется так:
G — Gq + GqTGo + GoTGoTGq + ...
Как нетрудно видеть, сумма этого ряда удовлетворяет уравнению
G = Go + G0EG ,
называемому уравнением Дайсона. Его решение выглядит так:
G *(е,р) = <?о‘(г,р) - S(e,p) •
(4.8)
(4.9)
(4.Ю)
Уравнение Дайсона дает точную связь между G(s, р) и Е(е, р) , то есть между сум-
мами всех приводимых и всех неприводимых диаграмм.
Конечно, найти Е(е, р) в явном виде, как правило, не удается. Однако, вычислив,
скажем, первую из диаграмм на рис. 4.4, мы можем сразу просуммировать целую по-
следовательность диаграмм для G(s, р) :
Gf7=
Рис. 4-5
Далее можно подставлять полученное выражение для G(s, р) в другие диаграммы вме-
сто Go(s, р) . Графически это изображают, рисуя вместо простой линии ужирненную.
'В теории поля S(e,p) иногда называется массовым оператором.
66
ГЛАВА 4. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
Может возникнуть вопрос, зачем вообще суммировать последовательность диаграмм из разных
порядков теории возмущений. Дело в том, что функция Грина G(e,p) обычно представляет интерес
вблизи своего полюса (см. (4.12)). А вблизи полюса различные диаграммы на рис. 4.5 на самом деле
оказываются одного порядка. А собственно-энергетическая часть, в отличие от функции Грина, име-
ет как правило не очень сингулярное поведение. Поэтому ее можно изучать с помощью одного или
нескольких первых членов ряда теории возмущений
4.2. Полюса функции Грина — спектр квазичастиц
Мы описали формализм диаграммной техники, не уточняя, о какой задаче идет речь
— одночастичной или многочастичной. Функции Грина позволяют легко переходить от
одной задачи к другой. Разница между этими двумя случаями заключается в структуре
затравочной функции Грина (4.1). Для ферми-газа мнимая часть
гй(р) = гОsign(|p| — ро) , (4.11)
где ро — импульс Ферми (этим выражается то, что все состояния с |р| < ро заполне-
ны, а остальные пусты). Такая функция Грина учитывает то обстоятельство, что при
|р| > ро возбуждениями являются частицы, а при |р| < р0 — дырки.
Если же речь идет об одночастичной задаче, то следует считать <5(р) > 0 для
всех р , поскольку все состояния пусты. В этом случае диаграммный ряд сильно упро-
щается. Дело в том, что в этом случае все диаграммы с замкнутыми электронными
петлями оказываются равны нулю. Формально это происходит потому, что интеграл
по частоте в любой петле обращается в ноль, поскольку полюса всех функций Грина
находятся в одной и той же полуплоскости комплексной частоты. Физическую причину
обращения петель в ноль можно пояснить, заметив, что в ферми-газе замкнутые петли
описывают рождение электрон-дырочных пар. В одночастичной же системе рождение
пар невозможно.
Функция Грина (4.10) имеет полюс, если s и р удовлетворяют уравнению
СдЧ^р) = Жр) (4-12)
В одночастичной задаче полюса функции Грина определяют весь спектр системы.
В многочастичной же задаче оказывается, что полюса G(s, р) определяют не весь
спектр, а только так называемые одночастичные возбуждения.
В точной функции Грина
G(e, р) = —г I {тЩг, t)^+(0,0)}ei£t~iprd3rdt, (4.13)
вычисленной с учетом взаимодействия, обычно выделяют вклад элементарных возбу-
ждений или квазичастиц — полюса в комплексной плоскости е , расположенные неда-
леко от вещественной оси:
= £_e(p) + i7(p) + ^reg^p) (4.14)
(в выражении (4.14) выделен вклад Greg(s, р) , регулярный вблизи е = £(р) — гДр) ).
4.2. ПОЛЮСА ФУНКЦИИ ГРИНА — СПЕКТР КВАЗИЧАСТИЦ
67
Спектр квазичастицы, соответствующей полюсу в (4.14), дается функцией £(р) ,
а затухание 7(р) можно записать как , где тр — время жизни квазичасти-
цы. Вычет а называют амплитудой квазичастичной функции Грина. Дисперсионное
соотношение s = £(р) определяет в 4-мерном пространстве (е, р) так называемую
массовую поверхность квазичастицы ([1], §7, п.З; М, гл.5, п.1).
Вообще говоря, понятие квазичастицы имеет смысл только если время жизни ве-
лико: 7(р) £(р) . Если оно мало, говорят о «затухающем возбуждении». В ядерной
физике терминология несколько иная: вместо «квазичастицы» говорят о «резонансе».
Остановимся на физическом смысле собственно-энергетической части Е(е, р) . Из
дисперсионного уравнения (4.10) видно, что именно собственно энергетическая часть
определяет спектр квазичастиц. Рассматривая по отдельности вещественную и мнимую
части (4.10) и сравнивая с (4.14), находим:
£(р) = Ыр)+Re S(£(P), Р) , ?(Р) = ImS(f(p), р) . (4.15)
Как видно из (4.15), вещественная часть Е(е, р) характеризует перенормировку закона
дисперсии квазичастиц. В частности, Е(е, р) описывает такой эффект, как изменение
массы частицы, возникающее в результате взаимодействия. Причина изменения массы
в том, что частица во взаимодействующей системе окружает себя «поляризационным
облаком», движущимся вместе с частицей. Инерция такой «одетой» частицы описыва-
ется так называемой эффективной массой. Пример, демонстрирующий возникновение
эффективной массы в случае электрон-фононного взаимодействия, будет рассмотрен
в задаче 16 (см. также задачи 19, 21 и 33).
Что касается мнимой части Е(е, р) , то она характеризует затухание квазичастиц.
Величина тр = |7-1(р) есть время жизни частицы в состоянии с данным импуль-
сом р . Например, электрон, взаимодействующий с фононами, если он движется до-
статочно быстро, может излучать фононы. В результате движение такого электрона
замедлится, что формально проявится в появлении конечной мнимой части у Е(е, р)
(см. задачу 17). Разумеется, конечное затухание 7 = ImE(s, р) не означает, что сам
электрон распадается. Правильная интерпретация затухания заключается в том, что
с вероятностью P(t) = |(,0(i)|'0(O))|2 = ехр(—2yt) состояние электрона за время t не
изменяется.
Интересно, что в силу причинности Re Е и Im Е связаны между собой соотноше-
ниями, аналогичными соотношениям Крамерса-Кронига. Таким образом, зная Re Е ,
можно найти Im Е , и наоборот.
4.2.1. Двухчастичная функция Грина
Из функции Грина G(e, р) , описывающей распространение одной частицы, невозможно
получить информацию о связанных состояниях частиц. Поэтому вводится так называ-
емая двухчастичная функция Грина
КаЬ(хъх2,х3,хЦ = ± (Т фЦхг) ^b(x2) ф^х3) ф^хЦ) . (4.16)
Знак « + » соответствует бозонам, а знак « — » — фермионам. Индексы а и b нумеруют
частицы (предполагается, что они различимы).
68
ГЛАВА 4. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
В невзаимодействующей системе функция КаЬ(х4, ...,х4) распадается на произве-
дение одночастичных функций Грина частиц а и b :
Kab(xi,X2, ХзЛЙ = Ga(x! - т3) Gb(x2 - х4)
Ц17)
(если частицы тождественны, то нужно в зависимости от типа статистики прибавить
или вычесть произведение функций Грина с переставленными аргументами).
Теория возмущений для функции КаЬ строится точно так же, как для одночастич-
ной функции Грина. Первые диаграммы таковы:
Рис. 4-6
Предполагается, что функции Грина в этих диаграммах — точные (т. е. все линии
частиц — ужирненные).
Принято исключать из КаЬ(х4, х2, х3, ж4) тривиальные слагаемые, вводя вершинную
часть ГаЦх.1, х2\хз, х4) :
Каь(Х1,Х2,Хз, %Й = Ga(xi - т3) Gb(x2 - Х.Ц +
i У сЙх^ <Йх'2 сЙх'3 дЙх'4 Ga{xi — т'Д Ga(x'3 — т3) Gb(x2 — х2) х
X СЬ(т4 - Т4) ГаЬ(т4, х'2,Т3, х'4) .
(4-18)
Величина Г,,(, описывает взаимодействие частиц и иногда называется также двухча-
стичной амплитудой рассеяния.
В импульсном представлении величина Г^ имеет вид
^аь(р1,Р2,Рз,РЙ = У ГаЬ(т1,т2;т3,т4) е l(piX1+-+ipiX^ (Йх4...(Йх4 , (4.19)
где Pi — 4-импульсы. Диаграммы для Г^ выглядят так:
Рис. 4Л
4.3. ЗАДАЧИ 16+21 69
Сумма 4-импульсов pt сохраняется: pi + р2 = Рз + Р4 Графическим элементам соот-
ветствуют обычные аналитические выражения: функции Грина G(p) , линии взаимо-
действия U(p) , интегрирование по каждому внутреннему импульсу.
Для двухчастичных функций Грина, как и для одночастичных, оказывается возмож-
ным суммирование бесконечных последовательностей диаграмм. Назовем диаграмму
двухчастично-неприводимой, если она не распадается при разрезании любой пары ли-
ний G(p) . Сумма всех двухчастично-неприводимых диаграмм определяет так назы-
ваемую неприводимую вершинную часть Г° :
Рис. 4.8
Пользуясь этим определением, представим любую диаграмму для Го{, как последова-
тельность неприводимых частей, соединенных двумя линиями G(p) . Классифицируя
диаграммы по количеству двухчастичных сечений, можно убедиться, что амплитуда
Гаь(Рг) удовлетворяет уравнению Бете-Солпитера:
Рк
го„(и) = Ц6(и) + i ] Го„(р'') , (4.20)
где Pi = {Р1,Р2,РЗ,Р4} , Pi = {Р1,Р2,Р1+,Р2-} , Pi = {Р1+,Р2-,РЗ,Р4} , a Pi± = Pi±k.
Имея в виду такое графическое представление, неприводимую вершинную часть r°(pj
в (4.20) часто называют также «неразрезаемый кирпич».
Как и одночастичные функции Грина, двухчастичная амплитуда рассеяния может
иметь полюса. Эти полюса соответствуют связанным состояниям пары частиц (см. за-
дачи 18, 19, а также гл. 3).
Литература: [6], §§15,16; [1] §10, п.2
4.3. Задачи 164-21
Задача 16. (Полярон в приближении слабой связи) Электроны в зоне проводимости
70
ГЛАВА 4. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
полупроводника образуют весьма разреженный газ. При малой концентрации электро-
нов их взаимодействием друг с другом можно пренебречь. В то же время, каждый
отдельный электрон, двигаясь в кристаллической решетке, поляризует среду вокруг
себя и вызывает сопутствующую ему деформацию. Такой окруженный фононами элек-
трон называется поляроном.
Закон дисперсии полярона s(p) — не такой, как у электрона. При скорости движе-
ния, малой по сравнению со скоростью звука, полярон характеризуется энергией связи
So и эффективной массой т* : s(p) = so + р2/2т* .
Найдите собственно-энергетическую часть £(s,p) в низшем порядке по
электрон-фононному взаимодействию (4.6),(4.7). Соответствующий график изображен
на рис. 4.10.
Рис. 4.10
Электронная функция Грина на рис. 4.10 имеет вид
G(e,p) =------------ . (4.21)
v е-р2/2т+ iS v
Положительный знак мнимой части 6 говорит об отсутствии электронов в зоне проводимости полу-
проводника.
Рассмотрите S(s, р) вблизи массовой поверхности е = р2/2т и при малых |р|
тс. Получите разложение:
/ Р2 \ р2
S(s, р) = s0 - од S - — - «2 (4.22)
\ 2m / 2т
Покажите, что величина а2 определяет перенормировку массы т , величина од — пе-
ренормировку амплитуды Z функции Грина (4.14), a So дает энергию связи. Найдите
эффективную массу полярона.
Задача 17. (Черенковекое излучение звука) Величина £(s,p) , найденная в задаче
16, имеет отличную от нуля мнимую часть при v = р/т > с , поскольку сверхзвуковой
электрон может испускать фононы.
а) Запишите Im Г как f W(0)d0 , где 0 —угол между направлением вылета фонона
и импульсом р . Найдите угловое распределение излучаемого звука.
б) Эту же задачу решите с помощью теории возмущений. Найдите вероятность излу-
чения фонона в единицу времени под углом 0 , используя «золотое правило» для веро-
ятности перехода в непрерывный спектр:
dW^f = f |<f|?/int|i)|2 d(Ef - Е;) dvf
(cm. §43, формула (43.1) [2]; гл.8 [3]).
(4.23)
4.3. ЗАДАЧИ 16+21
71
Сравните результаты. Обратите внимание, что при записи вероятности излучения
как Im X , не нужно заботиться о нормировке состояний и о правильной размерности
— все уже предусмотрено определением функций Грина.
Задача 18. (Связанное состояние двух частиц) Пусть две частицы с массами mi
и т2 взаимодействуют по закону U(ri — r2,i4 — t2) , т. е. взаимодействие запазды-
вающее. Предположим, что запаздывание мало. Ситуации, в которых взаимодействие
оказывается слабо запаздывающим, могут быть самыми различными. Например, экс-
итон в полупроводнике — водородоподобное связанное состояние электрона и дырки.
Или, скажем, дейтрон — слабо связанное состояние протона и нейтрона, взаимодей-
ствующих посредством ядерных сил.
Общая задача о связанном состоянии двух взаимодействующих частиц решается с
помощью уравнения Бете-Солпитера для двухчастичной амплитуды рассеяния (4.20).
Рассмотрим, какие упрощения возникают, если запаздывание взаимодействия отсут-
ствует, или если оно невелико.
а) (Мгновенное взаимодействие: задача сводится к одночастичной) Пусть запаз-
дывания нет: Ui2 = U(ri — r2) S(ti — t2) . Покажите, что в этом случае все диаграммы
с пересекающимися линиями дают ноль при интегрировании по частотам, а следова-
тельно r°ijP2jPi+QjP2_Q = U(q) .
Выполнив интегрирование в уравнении Бете-Солпитера (4.20), перейдите к импуль-
сам относительно центра масс,
Р = Pi + Р2 = Рз + Р4 , (4.24)
k = m2Pi ~ WP2 к, = га2р3 ~ m-iPi ,4 25'
mi + т2 ’ mi + т2 ’
и приведите (4.20) к виду
ГР(к, к') = U(к - к') + . (4.26)
к к ’ J ^o-q2/2qi + iO (2л)3 к ’
Здесь приведенная масса ц = mim2l(mi + m2) , частота Qo = Q — F2/2М , где полная
масса М = mi + т2 и Q = сщ + ш2 = сэ3 + сэ4 . Обратите внимание, что на массовой
поверхности относительного движения, где Qo = к2/2уь = к'2/2уь, уравнение (4.26)
совпадает с уравнением для амплитуды рассеяния F (3.13) с точностью до замены
массы на приведенную, (см. [1], §25, пн. 3, 4).
б) (Слабое запаздывание) Пусть взаимодействие запаздывающее:
F12 = F(ri-r2) , (4.27)
2т
но т много меньше всех других характерных времен. Тогда диаграммы, входящие
в неприводимую часть Г° , будут тем меньше по параметру т , чем больше в них
пересекающихся линий.
Покажите, что степень т , которой пропорциональна каждая диаграмма, определя-
ется только числом линий взаимодействия. Верно ли это для диаграмм, дающих полную
амплитуду Г ?
72
ГЛАВА 4. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
Задача 19*. (Эффективная масса связанного состояния) Из задачи 18 а) следует,
что, если составная частица массы М является связанным состоянием двух частиц
массы т , взаимодействующих без запаздывания, то М = 2m . (Почему?)
Пусть теперь взаимодействие обладает небольшим запаздыванием, и дается выра-
жением (4.27) задачи 18 б). Покажите, что масса составной частицы в этом случае
есть:
2т2 f
М = 2т--------/ -02(r) V2t?(r) d3r , (4.28)
3 J
где фо(г) —основное состояние частицы массы т/2 , движущейся в потенциале U(r) .
Можно ли понять качественно, почему поправка отрицательна?
Для решения задачи перейдите в систему центра масс, движущуюся со скоростью
v = Р/2т. Покажите, что взаимодействие в этой системе имеет вид:
Г12(q, w) = ,-------------rj (4.29)
1 + г2(сэ — v • q)2
В области шт 1 можно положить ш = 0 , т. е. считать взаимодействие мгновенным,
и воспользоваться результатом задачи 18 а).
Примером реальной системы, к которой применим изложенный метод, является экс-
итон в полупроводнике, диэлектрическая проницаемость которого обладает частотной
дисперсией е(сэ) . Из-за частотной дисперсии кулоновское взаимодействие (4.4), (4.5)
между образующими экситон электроном и дыркой становится запаздывающим, что
приводит к уменьшению эффективной массы экситона.
Формула (4.29) подразумевает, что переносящие взаимодействие частицы — нерелятивистские,
т. е. подчиняются преобразованию Галилея, а не Лоренца. В релятивистской динамике инертная масса,
определяемая с помощью р = Mv , тождественна массе покоя М = 2т — АЕ/<? , где АЕ — энергия
связи.
Интересно отметить, что знак перенормировки массы связанного состояния, даваемой нашим не-
релятивистским вычислением, согласуется с ответом для релятивистского взаимодействия. (Скажем,
масса дейтрона m,j = тр + тп — АД с2 , где Ад — энергия связи дейтрона.) Но, конечно же, рас-
сматриваемый нами эффект не имеет никакого отношения к теории относительности. В частности,
изменение массы за счет запаздывания взаимодействия как правило оказывается заметно больше, чем
релятивистский дефект массы АЕ/с2 .
Задача 20. (Функции Грина для фермионной цепочки) Спектр квазичастиц е(р) да-
ется полюсами функции Грина G(s,p) . Используя этот факт, решим задачу 2 другим
способом. Представим гамильтониан (1.19) в виде суммы «невозмущенного гамильто-
ниана» и «возмущения», Н = Но + Hint , где
СЮ
Н^о — ' (Jrr 2Ва^ а^ , (4.30)
г=—оо
оо
Hint — (4.31)
г=—оо
Найдите функцию Грина Go(s,p) для задачи, описываемой гамильтонианом Но На-
рисуйте графики, сумма которых даёт точную функцию Грина. Обратите внимание,
что только четные порядки теории возмущений по Hint дают вклад. Вычислите ка-
ждую из диаграмм, как функцию £ и р , и просуммируйте ряд.
4.4. РЕШЕНИЯ
73
Задача 21*. (Тяжелая частица в ферми-газе) Рассмотрим атом массы М , дви-
жущийся в ферми-газе и взаимодействующий с ферми-частицами. В условиях, когда
масса атома М много больше массы фермионов т , рассеяние легких фермионов на
тяжелой частице квазиупругое, поскольку при максимально возможном переданном при
столкновении импульсе Др = 2р0 величина переданной энергии Ем = Ар2/2М Ер
В отсутствие рассеяния функция Грина частицы дается обычным выражением:
1
G(s, р) =--------2------
2ЛГ '
(4.32)
Чтобы выяснить, как взаимодействие с фермионами влияет на динамику частицы,
найдем функцию Грина частицы в присутствие слабого контактного взаимодействия
U(r - г') = Х5(г - г') .
а) Поскольку фермионы движутся намного быстрее частицы, естественно воспользо-
ваться «адиабатическим» приближением, в котором динамика фермионов исключена и
заменена эффективным запаздывающим взаимодействием частицы самой с собой. По-
кажите, что эффективное взаимодействие возникает во втором порядке по взаимодей-
ствию с фермионами Л и представляет собой не что иное, как коррелятор плотность-
плотность ферми-газа.
б) Найдите собственно-энергетическую часть частицы в первом порядке по эффектив-
ному взаимодействию. Изучите результат при энергии частицы е Ем и е Д> Ем
Покажите, что при не слишком малом Л и е — Ем перенормировка функции Грина
может быть логарифмически велика. Пользуясь теорией возмущений, просуммируйте
все логарифмически большие вклады и покажите, что в области энергий Ем <С г <С Ер
функция Грина имеет степенной вид
G(s,p) =
(4.33)
где показатель степени а зависит от силы взаимодействия Л .
4.4. Решения
Решение 16. Вычисляем собственно-энергетическую часть
S(s, р) = гд1 / G0(s - w, р - k) D0(u, к)
d3k dtv
(2я)3 2тг
где
1 с2 к2
(г, р) =----275——тf , М)(^, к) = —--- .
е — р /2т + го ш2 — с2к2 + го
Интеграл по ш берем, замыкая контур в нижней полуплоскости:
(4.34)
(4.35)
(4.36)
—сю
1 с2к2 du г ск
е — ш + г0 и2 — с2к2 + г0 2тг 2 ск — s — г0 ’
74
ГЛАВА 4. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
где ё = £ — (р — к)2/2т, к = |к| . Получаем:
д2 [ d3k ск
= . (р-к)
£ — ск — 2----
2т
(4.37)
Часть интегрирования по d3k можно выполнить точно, если воспользоваться извест-
ной заменой переменных ([1], §21, п.З) и перейти к интегрированию по |к| и q = |р—к| .
Обозначим через х косинус угла между векторами к и р , тогда d3k = 2тгА;2 dkdx , а
q2 = |р — к|2 = р2 + к2 — 2ркх , и потому qdq = — рк dx . Получаем:
//(|к|,|р-к1)(4А = Д^ДкЛ I ММ'
\р-к\
Это дает
„ ко р+к
Е = / [ kdk [ qdq----Г-------
2<2*М Л £-Т-ск+м
2т
Интегрируем по х = q2 :
(4.38)
(4.39)
9 ко
9 тс г 2
8тг2р J к 1
о
9 ко
. д тс г
J
О (р—к)2
£ — (р — к)2/2т — ск
£ — (р + к)2/2т — ск
(p+fc)2
/ dx 5 (х — 2тЦ — ск)) .
(4.40)
При р < тс собственно-энергетическая часть S вещественна, т. е. полярон стабилен.
Эффекты, связанные с распадом полярона при р > тс, мы рассмотрим в следующей
задаче.
Нас интересует S вблизи массовой поверхности £ = р2/2т и при малых р. При
малом р тс вычисляем S , раскладывая по малым параметрам Д = £ — р2/2т и
v = р/т :
к2,/2т + (с — v)k — Д
к2/2т + (с + v)k — Д
4ДгА;
2(ск + к2/2т)2
(4-41)
2v3k3 \
Дек + к2/2т)3 +"') '
Три члена в скобках дают искомое разложение Е = со — сцД — а2р2/2т, причем
интегралы по к легко считаются, так как с кЩт , и поэтому ск в знаменателях
пренебрежимо мало по сравнению с к2/2т почти во всей области интегрирования.
Получаем
2 ;
4тг2 7 ск + к2/2т
g2ck2Dm
4тг2
(4.42)
4.4. РЕШЕНИЯ
75
и, с логарифмической точностью,
_ д2т2скг к3 dk _ д2т2с kD
ai ~ я2 / (к2 + 2тск)2 я2 П тс ’
2д2т3с 2 kf к5 dk 4д2т2с kD 4
“2 = Зя2 т J (к2 + 2тск)3 = Зя2 П 7//с = З^1 ’
Дисперсионное соотношение дается уравнением Gq 1 — X = 0 . Получаем перенорми-
ровку массы
— = 1 + а2 > 1 . (4.45)
т
Обратим внимание на то, что электрон действительно «одевается», а не «раздевается»
— поправка к массе положительна.
Первое решение 17 а) Рассмотрим мнимую часть ImE — второе слагаемое в
(4.40). Аргумент S -функции попадает в область интегрирования, если
( \
(р — к)2, < 2т----------ск\ < (р + А;)2 ,
\ 2т /
к,р > 0 .
(4.46)
Это эквивалентно 0 < к < 2(р — тс) , и поэтому мнимая часть отлична от нуля при
v = р/т > с . Полная вероятность излучения фонона в единицу времени есть
2 2т(«-с) 2 3
27 = -21mL = 2^ к’ dk = £ („ _ с)з . (4.47)
8яр J Зя v '
Из ответа (4.47) видно, что излучение фонона происходит при v > с. Вероятность
излучения уменьшается при v —> с и оказывается равной нулю при v < с .
Теперь найдем распределение по углам. Рассмотрим выражение (4.47) и, вместо
того, чтобы брать интеграл по к , выразим к через угол вылета фонона 0 . Конечный
импульс электрона q = р — к , а значит q2 = к2 +р2 — 2рк cos в . Исключим q , пользуясь
законом сохранения энергии q2/2m + ск = р2/2т . Находим
п к + 2тс ,,
cos 0 = —------ . (4.48)
Перейдем от интегрирования по к к интегрированию по в :
2т(«—с) 0кр
ImS = у kidk = ^-^- У [2pcos(9 - 2тс]2 d\ cos(9|
р о о
„ , ©кр
= g(roc) V-C0Se-l\SinDdD, (4.49)
Я J \с )
о
где 0кр = arccos(c/r) — предельное значение угла вылета фонона. Выражение в ин-
теграле (4.49) дает угловое распределение интенсивности излучаемого звука внутри
конуса с углом раствора 0кр .
76
ГЛАВА 4. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
Другое решение 17 а) Воспользуемся случаем, чтобы проиллюстрировать один
весьма общий метод, следующий из теоремы унитарности. Он позволяет достаточно
быстро находить мнимую часть любого заданного графика. В нашем случае распреде-
ление фононов по углам можно получить с помощью этого метода вообще без единого
интегрирования.
Физический смысл Im Е — обратное время распада на электрон и фонон. Продук-
ты распада — реальные частицы, энергия и импульс каждой из них связаны дисперси-
онным соотношением. Поэтому для нахождения ImE , достаточно в выражении (4.10)
выделить вклад от массовой поверхности промежуточных частиц. Это достигается
заменой:
<7о(е,р) —> ImG'o(c,р) = —гтг— р2/2т) : (4.50)
D0(w,k) —> Im£>0(w,k) = -z^wo(k) (5(w - w0(k)) + <5(w + w0(k))) . (4.51)
Иначе говоря, распаду соответствует ситуация, когда промежуточные частицы не вир-
туальные, а реальные. Поэтому сразу пишем:
jlmS = ig2 [ ImG0(s - сщр - k) Im E»0(w, k)-^-^-^ . (4.52)
J [27Г)а Z7T
Слагаемое <5(сэ-|-сэо(к)) в 1тД опускаем, поскольку оно отвечает поглощению фонона,
а не испусканию. Получаем:
. я2 9 Г ,,,Д (р — к)2\ . d3k dev , л .
-г-д 6(ш_шо(к))___. (4.53)
Одна 6 -функция устраняет интеграл по ш :
(4.54)
Берем £ на массовой поверхности:
ImS = -Ge [ 6(T + c_Lcost)}^sint)M. (4.55)
4У J \2тп т J (2тг)2 v 7
Вторая 6 -функция устраняет интеграл по к , и мы вновь приходим к распределению
(4.49).
Решение 17 б) Чтобы найти матричный элемент перехода, рассмотрим гамильто-
ниан взаимодействия электрона с акустическими фононами:
^int = д £ [6kei(kr-Mk)t) + 6+e-i(kr-a,o(k)6] (4.56)
(см. (6.6) в гл. 6). Здесь сэ0(к) = с|к| , г — координата электрона, V — объем систе-
мы, а сумма по к , в соответствии с моделью Дебая, ограничена |к| < кр . Находим
вероятность распада, пользуясь «золотым правилом»:
dW^f = |<fjT/int|i>|2 6(Ef - ЕД dvf . (4.57)
4.4. РЕШЕНИЯ
77
В начальном состоянии импульс электрона р , в конечном имеются электрон и фонон
с импульсами дик, соответственно. Находим матричный элемент
<Wint|i> = У|^(3)(р-д-к) . (4.58)
Возводя его в квадрат, учтем что, согласно известному правилу, квадрат 6 -функции
записывается так:
[<^3) (р — q — к)] = (2тг)3Т<5^3^ (р — q — к) . (4.59)
Вероятность перехода есть:
2 1
(2я)3У <5(3)(к + q - р) 2тг 6 (ск + q2/2т - р2/2т) (2^3 (2^3 (4.60)
Интегрируем по q и переходим к новым переменным, длине вектора к и углу 0 :
т-й (ск + (р — к)2/2т — р2/2т\ d3k
_ тд^ ск $ _ 2m^v cos д _ с)) (/(cos 0) dk . (4.61)
Интегрируем по к :
с/И^-ц = — g2m3(v cos0 — с)2 sinfld# . (4.62)
7Г
Это выражение отличается от (4.49) множителем 2 , что в точности соответствует
связи времени жизни т с затуханием 7 : т-1 = 27 .
Решение 18. Диаграммы для запаздывающего взаимодействия двух частиц не-
трудно получить из S-матрицы:
Т1Т2ехр[-^УУ d4xi d4x2 ,0+(a;i) ^(^1) U(xi - т2) ^+(x2) ^(^2)] , (4.63)
где x = (i, г) . Хронологическое упорядочение мы обозначили TiT2 , чтобы лишний
раз подчеркнуть, что частицы различны. В импульсном представлении взаимодействие
имеет вид:
(2я)4у 'ф^1'фря'ф^'фР4и(к)5(р1-р3 + к)5(р2-р4-к^4к . (4.64)
Вершину Г определяем, как обычно, через двухчастичную функцию Грина:
X12i34 = (2фР1,р^,РМ1ЧР1^Чр2) (4.65)
+ G<q\pi')G<q\p2')G<q\p3')G<q\p4) гГр1>Р2>р3>р4(27г)4(5р1+р2>рз+р4 .
Разлагая S-матрицу в ряд, получаем графики для Г , показанные на рис. 4.7. Пере-
ставляем члены ряда, выделяя сумму графиков, дающую неприводимую вершинную
78
ГЛАВА 4. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
часть Г° . Затем действуем точно так же, как при выводе интегрального уравнения
для амплитуды рассеяния F в задаче 11. Получаем уравнение Бете-Солпитера:
Г1,2,3,4 — Г?>2,3,4 + ч rJj2jl+j2_Go(pi+) G0(p2-)Г1+;2-,3,4
(4.66)
а) Если нет запаздывания, линия взаимодействия не зависит от переданной часто-
ты: = t/(k) . Рассмотрим поправки к Г второго порядка:
Рис. 4.11
В первом графике интеграл по частотам дает ноль:
G*0 — — Д) du = [ ;------г = 0 , (4.67)
J — СЩДСЭ — ^2)
поскольку оба полюса подинтегрального выражения:
= Si - р[+/2т1 + id , ш2 = £2 - P2-/2m2 + id , (4.68)
лежат в верхней полуплоскости. Нетрудно видеть, что по этой же причине обращается
в ноль любой график более высокого порядка с пересекающимися линиями взаимодей-
ствия.
Отсутствие вклада графиков с пересекающимися линиями взаимодействия стано-
вится еще более очевидным во временном представлении, поскольку Go(t, г) = 0 при
t < 0 в силу причинности. Например, первому графику рис. 4.9 соответствует выра-
жение:
У У - й,г42)С'о2\й - *2,r3i) dt2d3r4 , (4.69)
тождественно равное нулю при всех Ц , t2 (обозначение: rab = га — гь).
Второй график отличен от нуля, поскольку входящие в него функции Грина имеют
полюса по разные стороны от вещественной оси. Однако этот график не входит в Г° ,
поскольку он приводим: вертикальной линией его можно разрезать на два графика
первого порядка.
Итак,
ги.в,= Г(ч) <4-ТО)
Подставив это выражение в уравнение Бете-Солпитера, замечаем, что если Г° не за-
висит от переданной частоты, то и Г обладает тем же свойством. Следовательно, вся
4.4. РЕШЕНИЯ
79
зависимость от частоты определяется функциями Грина промежуточных состояний
и G^> , а поэтому интегрирование по частоте точно такое же, как для второго
графика на рис. 4.9:
ш')в(0\е2 + ^')27! e1 + s2-^+/2mI-^_/2m2 + iO ’
(4.71)
где Pi± = Pi ± к . Преобразуем знаменатель, разделив кинетическую энергию на энер-
гию центра масс и энергию относительного движения:
Р2 , Р'2 = Р2 , Р-.н p = n.n' п = ^2Р ~ " Р
2m-i 2т2 2М 2ц ’ ’ °™ т± + т2
Для р = Р1+ = Pi + q , р' = Р2- = Р2 — Q эти тождества дают:
р?+ pL=Zi + s!
2mi 2т2 2М 2ц ’
(4.72)
(4.73)
и мы получаем ядро интегрального уравнения (4.26).
б) Порядок графика по т проще всего найти во временном представлении. Рассмо-
трим вклад в Г° , содержащий N пересекающихся линий взаимодействия. Интегри-
рование по временам производится по (2N — 1) -мерной области в координатах
Ti=t2-ti, T2=t3-ti, ..., T2N-i = t2N-ti . (4.74)
По последней ( (27V — 1) -ой) временной координате нет необходимости интегрировать
в силу трансляционной симметрии во времени. При этом величина области интегриро-
вания по каждому из (27V — 1) времен порядка т .
Следовательно, степень т можно оценить как т(2ЛГ-1)+(-ЛГ) = TN~i Первое слага-
емое в степени возникает от (27V — 1) -кратного интегрирования, а второе — из-за
нормировки потенциала. Получается, что степень по т вклада TV-го порядка в Г°
определяется только количеством линий взаимодействия и не зависит от того, как
именно они пересекаются.
Подчеркнем, что данная оценка эффективной величины области интегрирования по
времени верна только в случае, когда никаким сечением график нельзя разбить на два
вклада в Г° более низкого порядка. Поэтому оценка rN~v для величины вклада N -го
порядка в Г° подразумевает неприводимость диаграммы.
Распространим полученный результат на графики, дающие полную амплитуду рас-
сеяния Г . Степень т для таких графиков зависит не только от числа линий взаимо-
действия N , но и от количества двухчастичных сечений М . Модифицируя оценки,
приведенные выше, находим: ^-м~^ .
Решение 19. Найдем закон преобразования фурье-компоненты взаимодействия
при переходе в движущуюся систему отсчета. Будем считать, что частицы, переда-
ющие взаимодействие, — нерелятивистские, и значит, можно пользоваться преобра-
зованием Галилея г' = г — vi, t' = t. Переходя в систему отсчета, движущуюся со
скоростью v вдоль оси х , получаем:
(/„(q, сэ) = У е~гс1г+ш1и(г — vi, i) d3r dt = J7(q, ш — vqx) . (4-75)
80
ГЛАВА 4. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
Для взаимодействия U(r, t) = (t/(r)/2r) е находим
и- («• ----12 <4'76)
1 + т2(ш - vqx)2
При рассмотрении сдвига энергии, вызванного движением, порядок действий будет
следующим. Сначала мы перейдем в систему центра масс, движущуюся со скоростью
v = Р/М , а затем положим ш = 0 , что соответствует пределу взаимодействия без
запаздывания. Преобразование (4.75) даст поправку к потенциалу, возникающую из-за
движения. Зная её, можно найти сдвиг энергии основного состояния для относитель-
ного движения. А этот сдвиг, в свою очередь, и определяет поправку к массе. Как мы
увидим, такой метод является корректным, если т Ti/eq , где со — энергия связи.
Может показаться, что пренебрегать в (4.76) зависимостью от ш , сохраняя при
этом зависимость от v , не вполне правильно, поскольку и та и другая зависимости
имеют одинаковую малость по т . На самом деле наши действия оправданы, и проще
всего в этом убедиться можно следующим способом. Запишем формально скорость как
v = Х/т , и будем считать параметром разложения Л , а не v . При этом в выражении
(4.76) уже можно перейти к пределу т = 0 , не нарушив при этом зависимости от Л :
Щч,^) = 14А(С1). „ » г(ч) - А2<ЙГ(ч) + О(А4) • (4.77)
1 + (™ - Xqx)z
Пренебрежение шт оправдано, поскольку частота ш в уравнении Бете-
Солпитера (4.20) оказывается порядка энергии связи с0 , а с другой стороны,
наше т h/so .
Полученное в результате приближения (4.77) взаимодействие не зависит от часто-
ты, и, согласно задаче 18 а), уравнение на вершинную часть принимает вид
ГР = U + UG0Tp . (4.78)
Здесь Гр , U и Gq — операторы, действующие на состояние частицы массы т/2 в
поле U , а функция Грина Go = 1 / (Qo — q2/m + i0) . Полная функция Грина, записанная
в операторном виде, есть
G = Go + СфГpGo =-------\------------ (4.79)
Но ~ I —I- Uv | + ?0
\m )
Взяв основное состояние |0„) уравнения Шредингера с потенциалом Uv (4.77) и массой
т/2 , находим закон дисперсии:
По = <0„|- + (Ш) . (4.80)
ТП/
Для первой поправки к уровню энергии достаточно взять матричный элемент по невоз-
мущенному состоянию |О„)?;=о . Подставляя Но = Q — Р2/4т , а вместо Uv — фурье-
образ выражения (4.77), получаем:
р2
fi = s0 + —-tV(0|^[/(q)|0). (4.81)
4.4. РЕШЕНИЯ
81
Для центрально-симметричного взаимодействия (7(q) = L/(|q|) основное состояние
тоже симметрично, и можно усреднить q* по направлениям:
(</3 = | е • (4-82)
о
Заменяем v на Р/2т и q2 на — V2 :
Г 1 т2 1
Q = е0 + Р2< -— + — (0| V2P |0>0 (4.83)
14m 12m2 J
Таким образом, эффективная масса есть
Г 1 т2 )-1 2т2
М = — + —<°| V2P |0>0 ~ 2m - —(O|V2P|O)o (4.84)
[ 2m 6m2 J 3
То, что запаздывание приводит к уменьшению эффективной массы, можно понять так.
В движущейся системе взаимодействие «отстает» от частиц, и эффективно уменьшает-
ся. Потенциальная яма становится более мелкой и уровень выталкивается вверх. Поэто-
му оба эффекта, возникающих вследствие движения, — кинетическая энергия центра
масс и выталкивание уровня из-за ослабления потенциала, имеют одинаковый знак.
В действительности, задачу можно решить вообще без диаграмм. Из-за запаздыва-
ния частица «видит» вторую частицу не в точке г , а в точке г' = г — vi . Поэтому
эффективный потенциал, действующий на нее, несколько отличается от Р(г) . Поправ-
ку к потенциалу, малую при vr го , где го — размер волновой функции связанного
состояния, нетрудно найти, разлагая P(|r — vi|) в ряд по малому t. При этом вклад
от члена разложения первого порядка сокращается при интегрировании по углам, и
необходимо рассмотреть второй член разложения:
1 d2U
= ~^-vav?t2 . (4.85)
2дгадг/з
Усредняя это выражение по t (по распределению (2т)-1 ехр(—|£|/т) ) и по г (по рас-
пределению |-0(г)|2 ), снова получаем (4.83).
Интересно сравнить результат (4.83) с массой полярона, которая всегда больше мас-
сы электрона. В обоих случаях изменение массы происходит благодаря запаздыванию
взаимодействия. Разные знаки поправки к массе отвечают разной физике. В случае
полярона, состояние, о массе которого идет речь, существует и без взаимодействия.
Связанное же состояние двух частиц само возникает благодаря тому самому взаимо-
действию, которое перенормирует массу.
Решение 20. Перейдем в фурье-представление и, согласно (1.35), запишем гамиль-
тониан в виде Н = Но + "Hint , где
7Г 7Г
Но = ^1п1= / iJ2sinq(a_qaq + atqa+) , (4.86)
— 7Г
— 7Г
82
ГЛАВА 4. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
где £q = 2(Jicosg — В) . Функция Грина «невозмущенной» задачи:
Go(e,q) — ------- -А -----
г — вд + го sign г
(4.87)
В соответствии со структурой 7/jnt , в диаграммной технике есть две вершины «взаи-
модействия», сопряженные друг другу:
Рис. 4.12
Этим двум вершинам соответствуют выражения 2 г-Ц sing и — 2г.72 sing, соответ-
ственно. Поправки к функции Грина, вычисленные по теории возмущений, имеют вид
+ О
Е,р
Е,р -Е, -р Е,р
+ —^-О ~ О - <—+...
Е,р -Е, -р Е,р -Е, -р Е,р
Рис. 4-13
Обратим внимание на то, что знаки £ чередуются. Так получается потому, что по
правилу сохранения 4-импульса в вершине, сумма Еа всех входящих линий равна сумме
Eai выходящих линий, если они есть, или нулю, если выходящих линий нет. То же самое
справедливо для импульсов.
Из-за чередования знаков отличны от нуля только поправки четного порядка, при-
чем в каждом порядке 2п имеется всего один график. Этому графику соответствует
выражение
(-4.7= sin2 <?rGf+1(^,<z)G£(-^ -</) • (4.88)
Сумма по п представляет собой геометрическую прогрессию. Получаем
G( ч ______________Go(s,g)______________________s + 2(J1cosg-B)_________
1 + 4.72 sin2gGo(s,g)G'o(—Е,—g) £2 — 4((Л cosg — В)2 + J% sin2 g) + i5
(4.89)
Спектр определяется полюсами: £ = ±2-у/(Ji cos g — В)2 + -72 sin2 Q Знак мнимой части
гб в (4.89) указывает, что верхняя ветвь соответствует пустым состояниям, а нижняя
— заполненным.
4.4. РЕШЕНИЯ
83
Решение 21 а) Эффективное взаимодействие может быть выражено через двух-
частичную функцию Грина фермионов:
П(сщг) = 2гУG'(s+,r)G'(s_,r)g- , е±=е±ш/2. (4.90)
Функция Грина в координатно-частотном представлении,
G(s, = -2^ei8iSn£K(£)|r| ’ = + 2ш£)1/2 (4.91)
была найдена в решении задачи 22 (см. (5.25)), а множитель 2 в (4.90) возникает из-за
спинового вырождения.
Выражение (4.90) есть не что иное как поляризационный оператор ферми-газа
П(о/,к) в координатно-частотном представлении. Поляризационный оператор П(сщк)
будет найден в задаче 24 а) при малых ш Ер и малых |к| ро (см. выраже-
ние (5.39)). Однако, хотя характерная энергия отдачи при рассеянии тяжелой частицы
на фермионах оказывается много меньше Ер , при этом характерный переданный им-
пульс может оказаться порядка ро . Поэтому нам потребуется более общее выражение
для П(сэ,к) , справедливое при малых ш Ер и произвольных к. В принципе для
отыскания П(сщг) можно было бы воспользоваться точным выражением (8.53) для
П(сщк) , которое будет получено в задаче 44, однако оказывается более удобным пе-
рейти к пределу ш Ер непосредственно в выражении (4.90).
Чтобы установить связь между эффективным взаимодействием Фщг(сс, г) и поля-
ризационным оператором, обратим внимание на роль частотной дисперсии (сэ, г) .
Как было выяснено в задаче 18, в отсутствие частотной дисперсии (т.е. для мгновен-
ного взаимодейстия) все диаграммы с замкнутыми петлями обращаются в ноль в силу
аналитических свойств функции Грина частицы, выражающих принцип причинности.
Поэтому в отсутствие частотной дисперсии все поправки к функции Грина частицы
тождественно равны нулю. Принимая во внимание это обстоятельство, а также то,
что нас интересуют малые переданные частоты ш Ер , оказывается удобным яв-
но выделить зависящую от ш часть поляризационного оператора (4.90). В результате
эффективное взаимодействие может быть записано следующим образом:
Veff (cv, г) = Л2 (П(сщ г) - П(о> = 0, г)) (4.92)
Величина к(е) в интересующей нас области |е| Ер практически постоянна, по-
этому заменим к(е) в (4.91) на к(е = 0) = ро . После этого интеграл по е в (4.90)
вычисляется элементарно и мы получаем
Kff(^,r)
F(r)
2^2 / ^^2г2 sin2Ро|г| (signs+ signs. - 1) ft = -i|w|F(r) , (4.93)
X2m2
2я3г2
(4.94)
Обратим внимание на то, что найденное выражение для Kff (w, к) есть произведение
функций ш и г. Такая факторизация справедлива лишь в пределе |сэ| Ер и не
имеет места для точного поляризационного оператора (8.53).
84
ГЛАВА 4. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
Перейдем в импульсное представление:
Kff(w,k) = -i\w\I F(r)e-ikrd3r = -z|w|F(k) (4.95)
Интеграл по d3r нетрудно вычислить2 в полярных координатах:
P(k) = l^/Sin2tar)Sin(|k|r)^ = ^W{ok| !k!>2po <4-96)
Отсечка при |к| = 2р0 в полученном выражении (4.96) означает, что при рассеянии с
малой передачей энергии переданный импульс не может быть больше диаметра ферми-
сферы 2р0
Решение 21 б) Рассмотрим собственно-энергетическую часть функции Грина тя-
желой частицы:
Ж р) = г [ G0(e - ш, р - k) Kff(w, к) , (4.98)
J ДттЦ 2тг
где
^о^р) = £ - р2/2М + 16 ’ yeff(w,k) = -z|w|F(k) . (4.99)
Поскольку I4ff(cv,k) ос |сэ| , интеграл по ш в (4.98) формально расходится. Эта расхо-
димость есть следствие приближенного характера нашего выражения (4.95) для Kff ,
справедливого лишь при |сэ| Ер Регуляризуем интеграл по ш , улучшив его схо-
димость за пределами области —сэ0 < ш , где сэо — Ер . Такая регуляризация
требует некоторой осторожности, поскольку взаимодействие Kff (<^> к) должно удовле-
творять общим требованиям аналитичности по ш . Так при аналитическом продожении
с полуоси ш > 0 должно получаться запаздывающее взаимодействие (аналитичное в
верхней полуплоскости Im ш > 0), а при продолжении с полуоси ш < 0 должно полу-
чаться опережающее взаимодействие (аналитичное в нижней полуплоскости 1тсэ < 0 ).
Требуемым условиям аналитичности можно удовлетворить, например, регуляризовав
выражение для к) следующим образом:
(\ п
. Т , Г(к), (4.100)
WJq + |СЭ| у
где п — достаточно большое положительное число.
Теперь проинтегрируем выражение (4.98) по ш . Заметим, что если бы функция
Kff(^,k) была аналитична в полуплоскости 1тсэ < 0 , то интеграл был бы равен нулю
2При интегрировании по г = |г| в (4.96) использован интеграл
У sin2(cur) sin(/3r) — = (2 sign(3 — sign(/3 + 2а) - sign(/3 - 2а)) (4.97)
о
4.4. РЕШЕНИЯ
85
по теореме Коши. Поэтому удобно вычесть из интеграла (4.98) такое же выражение,
в котором функция Kff(^,k) при ш > 0 заменена на результат аналитического про-
должения с полуоси ш < 0 . Действуя таким образом, получаем
f ~
S(s, р) = у р - k)F(k)
(4.101)
где
4(е,р) = -
(jjdijj
Т£,р + ш
р ( шо + Те р
= —— In ——-----—
тг \ Т£<р
W'o
5
7Г
р2
Г«.р = ^7-£-й- (4.Ю2)
(При интегрировании по ш > 0 мы обрезали интеграл на ш = wq , воспользовавшись
быстрым убыванием подинтегрального выражения в (4.100) при ш wq .) Заметим,
что вторым слагаемым —wo/я в выражении (4.102) для А(е, р) можно пренебречь,
поскольку его вклад в Е(е, р) сводится к константе, дающей поправку к химпотенци-
алу частицы из-за взаимодействия с ферми-газом. Кроме того, под знаком логарифма
в (4.102) можно пренебречь Т£,р по сравнению с wq .
Интеграл по d3k в выражении (4.101) можно вычислить следующим образом. Пе-
рейдем к переменным к = |к| и q = |р — к| по формуле (4.38):
оо р+к .
Е(е’р) = № / Ык р{к) / * “Г1п (
v ’ о |p-fc| 4
(4.103)
Интеграл по области \р — к\ < q < р + к дает
В£ = 7-т2 (1 + 2 In f—
7 7 47Г \ \х))
х+
х±
(р ± к)2
2М
— £ — id
(4.104)
С учетом (4.96) получается следующее выражение:
S(s,p) =
^^/b£>p(A;)F(A;)WA; =
X2m2 Pr°
7г(27г)2р /
(4.105)
Интегрирование в (4.105) элементарно. Однако получающееся выражение весьма гро-
моздко и мы не будем его выписывать.
Рассмотрим собственно-энергетическую часть Е(е, р) отдельно при энергиях ча-
стицы £ больших и малых по сравнению с £м = . Для нахождения асимптотик
явное выражение (4.105) оказывается не очень удобным. Более простой путь — вер-
нуться к выражениям (4.101), (4.102) и выполнить разложение:
Д(е,р - к) = -Т£;Р
7Г
In (2Mwo/k2) + 1
ln(wo/Te,p) ,
IpI < lkl;
IpI »lkl,
(4.106)
86
ГЛАВА 4. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ
где во всех случаях подразумевается, что £ ~ р2/2М , поскольку нас интересует
окрестность массовой поверхности частицы. В разложении (4.106) мы опустили не-
зависящие от £ и р члены, поскольку они дают лишь несущественный сдвиг химпо-
тенциала частицы, а также члены пропорциональные рк , поскольку они обращаются
в ноль при интегрировании в (4.101).
Нас интересует область не слишком больших энергий £ ~ Ер . В этой
области логарифм в выражении (4.106) оказывается большим, и поэтому собственно-
энергетическую часть (4.101) достаточно вычислить с логарифмической точностью:
S(s, р) = аТ£>р
1п(ш0/£М) ,
ln(wo/T£iP) ,
=;F'=°=(4-107>
£ £м ;
£м <£ < Wq ,
Поскольку T£tP = —G 1(е,р) , перенормированная функция Грина
= s-p2/2M-S(s,p) (4’108)
имеет полюс при £ = р2/2М . Получается, что взаимодействие с ферми-газом никак не
влияет на закон дисперсии тяжелой частицы. Иными словами, найденная собственно-
энергетическая часть дает только перенормировку вычета а в разложении G(s, р) =
а/(е — р2/2М + iS) вблизи полюса.
Обсудим перенормировку вычета а более подробно. Как следует из (4.107), поправ-
ка к вычету имеет порядок величины orln (сэо/^м) А поскольку £М сэ0 , то даже
при малом а эта перенормировка может быть весьма большой. Представляет интерес
рассмотреть задачу при
а 1, odn (—'j » 1 . (4.109)
\£м/
В этой области, с одной стороны, все еще можно пользоваться теорией возмущений по
малому а , а с другой стороны — перенормировка функции Грина оказывается весьма
сильной.
Чтобы найти функцию Грина, воспользуемся приемом, носящим название метода
ренормгруппы (см. задачу 13). Рассмотрим как функция Грина G(e, р) зависит от
параметра ультрафиолетовой обрезки сэо Зная эту зависимость, можно восстановить
зависимость G от £ и р , поскольку вся зависимость от может быть выражена
через безразмерный параметр сэо/Т£>р . Чтобы получить зависимость от полезно
рассмотреть производную dG/дшо и вычислить ее, дифференцируя по отдельности
члены диаграммного ряда для G . (Ход рассуждений при этом напоминает решение
задачи 13.) В низшем порядке по константе связи А уравнение ренормгруппы имеет
следующий вид:
= = TG(e!p) (4.1Ю)
дшо дшо шо
В уравнении (4.110) мы использовали выражение (4.107) в области £м <^о Ре-
шая уравнение д/дш^ InG = a/ojQ , получаем степенную зависимость G ос Wq . Отсюда
получаем, что зависимость функции Грина от £ и р имеет степенную форму (4.33),
причем коффициент «о в (4.33) есть Wq .
Глава 5.
Идеальный ферми-газ.
5.1. Электроны на ферми-поверхности.
В этой главе собраны некоторые задачи, касающиеся свойств идеального ферми-газа.
Строго говоря, все они могли бы быть решены без применения диаграмм. (Идеаль-
ный газ — вещь простая!) Однако, поскольку ферми-газ нас интересует, в основном,
как возможность опробовать диаграммную технику, мы не будем использовать другие
методы расчета.
Помимо этого, следует сказать, что в задачах с взаимодействием, которые будут
рассмотрены в следующих главах, вычисления во многом опираются на более простые
вычисления для идеального газа. Оказывается, что в диаграммах с взаимодействием
можно выделить так называемые элементарные блоки. Выражения, соответствующие
этим блокам, по своему виду такие же, как для идеального газа. Например, поляри-
зационный оператор, возникающий в теории электрон-фононного взаимодействия и в
теории ферми-жидкости, по своим свойствам оказывается близок к восприимчивости
идеального газа (см. задачи 24, 31, 44, 45, 46).
Остановимся на важном свойстве симметрии ферми-газа. Речь идет о так назы-
ваемой электр он-дыр очной симметрии на ферми-поверхности, имеющей место при
энергии электрон-дырочных возбуждений малой по сравнению с энергией Ферми.
Как правило, интересные длинноволновые и низкочастотные эффекты в ферми-газе
и ферми-жидкости связаны с возбуждениями вблизи уровня Ферми. Поэтому логично
при вычислении таких величин выделять этот вклад заранее. Для этого пользуются
следующим техническим приемом. Во всех диаграммах пренебрегают зависимостью
плотности состояний z/(s) вблизи уровня Ферми от энергии £ = £(р) , и полагают
z/(s) = i/0 = рогп/2тг2К3 . При этом интегралы по импульсам преобразуются следующим
образом:
/'&-£//.................
V 7 -оо |п| = 1
где п = р/|р| — единичный вектор. На жаргоне это называется «переход от инте-
грирования по р к интегрированию по £». Метод интегрирования по £ обязан своей
популярностью обеспечиваемой им точной симметрии между частицами и дырками с
87
88
ГЛАВА 5. ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ.
произвольной энергией, а не при £ = £р (см. задачу 25), и помимо этого тому обстоя-
тельству, что интегрировать по £ обычно легче (см. задачи 23, 24).
Следует отметить, что электрон-дырочная симметрия является приближенной. Од-
нако, поправки, нарушающие эту симметрию, оказываются важны только если в задаче
существенны состояния, далекие от уровня Ферми. Возможность перейти при рассмо-
трении какого-либо графика к интегрированию по £ означает, что изучаемый эффект
«сидит на ферми-поверхности». В задачах этого и следующих разделов интегрирование
по £ окажется весьма полезным.
5.1.1. Формула Кубо
В этом разделе мы рассмотрим задачу о нахождении динамической восприимчивости,
описывающей какой-либо линейный отклик системы на переменное внешнее поле. С
практической точки зрения, вопрос о восприимчивости представляет существенный
интерес, поскольку большинство величин, измеряемых экспериментально, имеют ха-
рактер линейных откликов (см. раздел 11). Стандартный метод работы с восприимчи-
востью использует запаздывающие и опережающие гриновские функции (см. форму-
лу (5.10) ниже), а также, в более сложных случаях, — мацубаровскую температурную
технику и аналитическое продолжение с мнимых дискретных частот на действитель-
ные вещественные (см. формулу (7.28) в разделе 7). Но если система невзаимодейству-
ющая, можно поступить проще.
Восприимчивость величины А по отношению к величине В , дается так называе-
мой формулой Кубо
. сю
хН = Д (5.2)
о
вывод которой приведен, например, в §126 [5]. Чтобы найти среднее коммутатора в (5.2)
по основному состоянию системы невзаимодействующих частиц, запишем операторы
Л и В в представлении вторичного квантования:
A(t) = £ Атк^ке~^~Е^ , B(t) = £ Втк^ке~^~Е^ (5.3)
тк тк
Теперь подставим эти выражения в коммутатор ([A(i), В(0)]) , и раскроем среднее по
теореме Вика. Результат выглядит так1:
/ \ _ V-' Л о ^(-Е'т) — ^(-E'fc) /г. /М
%(w) — / , АткВкт — — — . (5-4)
тк Ы: Ш
выражение (5.4) справедливо и для ферми-, и для бозе-статистики. В этом разделе мы будем
считать температуру равной нулю. Отметим, однако, что вычисление по формуле Кубо всегда легко
распространить на конечные температуры. При Т > 0 усреднение в (5.2) берется по равновесному
термодинамическому состоянию, и при взятии среднего по теореме Вика возникают зависящие от
температуры числа заполнения состояний частиц. Например, для фермионов в (5.4) следует положить
п(Е) = 1/(еЕ/т + 1) .
5.1. ЭЛЕКТРОНЫ НА ФЕРМИ-ПОВЕРХНОСТИ.
89
Если собственные функции и матричные элементы Атк , Втк известны, выраже-
ние (5.4) позволяет найти восприимчивость2. В случаях же, когда собственные функ-
ции неизвестны, формула (5.4) не особенно полезна.
Для таких таких более сложных случаев полезно иметь выражение восприимчивости
непосредственно через функции Грина. Как известно, причинные функции Грина
Gc(x,x') = -г(Т-0а(т)-0Дт')) , (5.5)
введенные в (2.8), полностью описывают основное состояние системы и дают все ста-
тические свойства3. Однако, оказывается, что изучать динамику с помощью этих
функций нельзя (см. решение задачи 24 б)). Чтобы преобразовать выражение 5.4 к
форме, содержащей содержащей гриновские функции, нужно использовать запаздыва-
ющие и опережающие функции Грина.
Напомним определение запаздывающей и опережающей функций GR(t,t') и
GA(t,t') Эти функции связаны с причинной функцией Грина так:
г,с(+ $ G > I (5 б')
t<t'- (S-6)
В частотном представлении GR(s) и GA(s) имеют простой смысл: они дают разло-
жение Gc на функции частоты, регулярные, соответственно, в верхней или в нижней
полуплоскости. Например, в случае фермионов
GK|^,p) = e_;(p)±tf (М
соответствуют вкладам частиц и дырок в причинную функцию Грина:
Gc(e,p) = (1 - п(р))Ся(е,р)+n(p)GA(s,p) = (5.8)
1 ~ гс(р) п(р)
£ ~ £(р) + гд £ - £(р) - id ’
где п(р) = | J’ [р[ > р° — фермиевская функция распределения.
Чтобы выразить восприимчивость через Ся(е) и GA(s) , представим энергетиче-
ский знаменатель в (5.4) в виде интеграла по вспомогательной переменной:
1
Ek Ет (х id
If de
2тп J (e+a) — Ek—id')(e—Em+id')
/ G ! + w)Gm(£) & '
(5.9)
2Например, для идеального ферми-газа собственные функции — плоские волны, а матричные эле-
менты операторов — просто их фурье-компоненты, так что нахождение любого линейного отклика с
помощью (5.4) — по существу, тривиально (см. задачи 24, 25).
3Например, распределение плотности, спина, статическую поляризуемость (задачи 7, 8, 14, 23)
90
ГЛАВА 5. ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ.
где G^(e + cv) и — запаздывающая и опережающая функции, взятые в диаго-
нальном представлении. Подставляя это выражение в (5.4), получаем выражение для
восприимчивости:
хМ = ( [вЛ(е + ш)В, Ся(е)а] р) de .
(5.10)
Здесь р — матрица плотности системы (в диагональном представлении ртк =
n(Em)Smk ). Выражение в квадратных скобках в (5.10) представляет собой коммута-
тор операторов GA(e + u)B и GR(e)A .
Основное преимущество выражения (5.10) по сравнению с (5.4) в том, что оно вер-
но в произвольном базисе и, значит, может быть использовано даже если собственные
функции неизвестны. Наиболее важный пример такой ситуации представляют задачи
о проводимости и диффузии фермионов в случайном потенциале, которые мы рассмо-
трим в главе 9. В случайном потенциале собственные функции меняются от одной реа-
лизации потенциала к другой, поэтому интерес представляют величины, усредненные
по случайному потенциалу. Мы увидим, что усреднять функции Грина и их произве-
дения оказывается гораздо удобнее, чем действовать «в лоб», используя (5.4).
Литература: [1], гл. 1, 2, 3, 4; [6], гл. 1, 2.
5.2. Задачи 224-27
Задача 22. (Функция Грина в координатном представлении) Найдите функцию Грина
G(e, Гх — г2) при |ri — r2 |ро » 1 ДВУМЯ способами: сначала интегрируя по £ от — оо
до +оо , а затем точно, интегрируя по d3p . Сравните результаты.
Задача 23. (Эффект Рудермана-Киттеля) В ферми-газе находится локализован-
ный спин S , взаимодействующий с локальной спиновой плотностью электронов:
= JSlal(r = 0) ,
(5.11)
где 9‘jr) = Й(г)<7^д(г).
Найдите распределение поляризации спина электронов <7г(г) = (сГ(г)) на больших
расстояниях от спина S : |г|ро » 1 Покажите, что поляризация осциллирует, как
функция координат, и определите период осцилляции4. Считайте взаимодействие J
малым.
Задача 24. а) Коррелятор плотность-плотность ферми-газа (Tn(r, t)n(r', t')} да-
ется следующей диаграммой:
4Эту задачу удобно решать, используя координатное представление для гриновских функций
(см. задачу 22).
5.2. ЗАДАЧИ 22р27
91
Рис. 5.1
Найдите этот коррелятор в частотно-импульсном представлении при малых ш Ер ,
|к| <р0 .
б) (Динамическая спиновая восприимчивость) Найдите парамагнитный вклад в маг-
нитную восприимчивость х(ш, к) электронного газа при Т = 0 , т. е. отклик спино-
вой поляризации в ответ на приложенное переменное магнитное поле. Считайте, что
|сэ| Ер , \к\ ро Проверьте, что в пределе ш/к —>0, к —>0 получается воспри-
имчивость Паули х = , где 7Уо = рот/2тг2К3 — плотность состояний на уровне
Ферми.
Задача 25. (Отклик плотность-плотность при D=l) Рассмотрим одномерный
ферми-газ во внешнем переменном поле,
^int(^) = — У ф(х,Р) n(x,t) dx . (5-12)
Рассмотрим линейный отклик плотности n(x,t) на поле ф(хД) . Его можно записать
так:
(n(x,t)) = У У Q(x — x'jt — t'^fa'jt^dx'dt' , (5.13)
t'<t
или, в Фурье-представлении, (гДД = Q(k,a>) фк,ш Функцию отклика Q(k,a>) мож-
но определить, пользуясь формулой Кубо, как в задаче 24 б), с заменой операторов
плотности спина на операторы плотности числа частиц.
Найдите Q(k,a>) при малых к и ш , \к\ р0, |сД Ер . Сравните с функцией
Грина фононов (4.7).
Задача 26. (Флуктуации числа фермионов на прямой) Для газа бесспиновых
ферми-частиц на прямой запишите оператор АД числа частиц внутри интервала
0 < х < L (см. [5], §117). Для больших L рД получите формулу
И5 = №)-{Nl}2= llnp„£. (5.14)
7Г2
Любопытно, что флуктуации (5.14) неэкстенсивны (неаддитивны по длине интервала),
в отличие от того, что можно было бы ожидать по аналогии с классическими термо-
динамическими флуктуациями. Неэкстенсивность есть проявление квантовых корре-
ляций. При конечной температуре экстенсивность восстанавливается на масштабах,
превосходящих тепловую длину: L LT = hvp/Т .
Более трудным оказывается вопрос о нахождении полной статистики распределения числа частиц
в конечном интервале. С помощью метода бозонизации, изложенного в главе 12, можно показать, что
распределение вероятностей нормальное:
Р(п) ~ ехр(—(п — а)2/2Ь^ , (5.15)
где а = (Nl) , Ъ = ((АД)} Элементарное решение этой задачи авторам неизвестно.
Задача 27*. (Катастрофа ортогональности) В идеальный ферми-газ вносят при-
месь, на потенциале U(r) которой частицы могут упруго рассеиваться. Оказывает-
ся, основное состояние системы при этом полностью изменяется, даже если потенциал
92
ГЛАВА 5. ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ.
U(г) произвольно мал. В случае, когда рассеяние происходит только в s-канале, можно
V К
получить следующую оценку для интеграла перекрытия состоянии :
Л2
(0'|0) — (ро-0-а , 0=4, (5.16)
7Г2
где |0) и |0'> — основные состояния ферми-системы до и после внесения примеси, 50
— фаза рассеяния в s-канале при £ = EF , a L — размер системы5 6.
Этот удивительный и важный результат был вначале получен элементарными сред-
ствами, путем явного выписывания слэтеровского детерминанта и оценки интеграла
перекрытия7. Попытаемся перевести задачу о перекрытии основных состояний на язык
диаграммной техники. Будем включать потенциал примеси плавно от t = —оо до
i = 0: г
^intW=e7t j t/(r)-0+(r)-0(r)d3r. (5.17)
Рассмотрим среднее S-матрицы по основному состоянию ферми-газа при U(r) = 0 ,
Ку = ( Т exp ( — i / . (5.18)
При 7 —> 0 величина Ку стремится к (0|(У) . (Почему?) Покажите, что
ОО |
lnX7=£-Fn, (5.19)
п=1 П
где
Fn = (~i)n I db ... I dtn «Т HintiE)... , (5.20)
причем ((...)) означает, что учитываются только связные графики (см. теорему о
разложении по связным диаграммам в §15 [1]).
Изобразите графически Fi, F2, F3 . Сколько графиков соответствует каждому Fn ?
Какие выражения сопоставляются графическим элементам? Катастрофе ортогональ-
ности отвечает 7Ц->о —> 0 , то есть
Re In Ку —> — оо при 7 —> 0 . (5-21)
Покажите, что Fi дает чисто мнимый вклад, имеющий смысл перенормировки энер-
гии основного состояния. А вот уже Re F2 ~ In 7 . Считая U(г) слабым и используя
приближение 5 -функции U(г) = оА^ (г) , найдите Re F2 и оцените Ку , отбросив
вклады Fn более высокого порядка.
Каким образом, зная Ку , можно оценить перекрытие основных состояний (0|0') ?
Покажите, что для этого следует положить 7 порядка обратного расстояния между
уровнями в системе, соответствующими состояниям с угловым моментом I = 0 .
В приложениях часто возникает вопрос о катастрофе ортогональности для произ-
вольного потенциала, не обязательно слабого. Как будет показано в гл. 12 (задача 75),
и в этом случае можно выразить перекрытие старого и нового основных состояний
через фазы рассеяния. Причем если имеется только s -рассеяние, формула (5.16) оста-
ется справедливой.
5Для бесспиновых фермионов показатель степени в (5.16) есть а = |Aq/tt2 .
6 L ~ 2тгЛ/’1/3/ро , где N — полное число частиц.
7Р. W. Anderson, Phys. Rev. Lett., v. 18, p. 1049 (1967)
5.3. РЕШЕНИЯ
93
5.3. Решения
Решение 22. Найдем функцию Грина, интегрируя по £ . Начнем с интегрирования по
углам:
G(s,r)
г f р2 dp sin вdd егрг cos в
J J (2тт)2 e — £(p) + id sign e
1 T psinpr dp
2я2г 7 s — £(p) + id signs ’
(5.22)
где £(p) = p2/2m — EF Выражаем p через £ и интегрируем по £ вычетами, пред-
ставив синус как разность экспонент:
G(s,r)
1 7° d£ sin(p0 + £/vF)r
ЯЯГ / Р°------------е , -х •----
2я2г J vF е — £ + гд sign е
— сю
т eir(signsp0 + |s|/«F)
2яг
(5.23)
Найденная функция Грина осциллирует с периодом равным фермиевской длине волны
Ло = 2тг/г/ро . Из-за эффектов ферми-статистики фаза осцилляций меняет знак на
уровне Ферми (при е = 0 ).
Теперь выполним точное интегрирование по р . Выражение (5.22) есть четная функ-
ция р , поэтому можно распространить интеграл по р на всю вещественную ось и
разделить результат пополам:
1 г psmpr dp
4тг2г J е — р2/2т + Ef + id signs
Разлагаем это выражение на простейшие дроби и интегрируем:
т г ( 1 1 \ . , т isieneKr
—— /--------------------sinpr dp =----------е g
4я2г J \к — р к + pl 2тгг
—сю 4 7
(5.24)
(5.25)
где к = y/2m(EF + s + id signs) . Видим, что интегрирование по £ дает хорошую точ-
ность при энергии s много меньше фермиевской, |s| <С EF .
Решение 23. Запишем спиновую поляризацию стг(г) = (^+(г)<7^/3^/з(г)) через точ-
ную функцию Грина:
<7г(г) = Дто -zcr^G/3a(r,i;r',i') , (5.26)
где подразумевается суммирование по спиновым индексам а , /3 .
Функция Грина G выражается через функцию Go ферми-газа в виде ряда, анало-
гичного ряду (3.11) для амплитуды рассеяния, рассмотренному в гл. 3. Причем опера-
тор
%* = jIS4(s)(r)V>J(r)<jV>o(r) Er
(5.27)
94
ГЛАВА 5. ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ.
играет роль потенциала возмущения.
Интересующий нас эффект возникает в первом порядке по J :
Ga/fer,r') = o(s,r)Go(s, -г') .
Подставляем в (5.26):
У(г) = -2iJS' [ С?§(е, г) .
J Гк
Воспользуемся результатом (5.23) задачи 22 для Go(s,r) при por 1 :
Г r\ = f т f (еИг(Ро+фр) e-2ir(Por-£/vF) \
J 2тг ’ \2тгг/ J \ ) 2тг
о
. тр0 cos2p0r
(2я)3 г3
Получаем затухающие осцилляции с периодом тг/ро :
г/ Ч mpo cos2p0r
= JS
(5.28)
(5.29)
(5.30)
(5.31)
</(r) = JS1
S1H X
г4
(5.32)
Точное выражение для плотности спина можно получить, взяв точную функцию Грина
(5.25) и проинтегрировав ее квадрат в (5.29) по е :
COST
х3
где х = 2рог . Видим, что в асимптотике, т. е. на больших расстояниях, результат
все более приближается к (5.31), что согласуется с «идеологией» интегрирования по
£ . Кроме того, отметим, что сингулярность точного выражения (5.32) при малых г
имеет характер г-1 . Таким образом, при взятии интеграла по d3r расходимости для
полной поляризации не возникает. Выражение (5.31) более сингулярно, но при малых
г по самому своему происхождению оно неприменимо, поскольку интегрирование по
£ гарантирует правильность ответа только на больших расстояниях.
Решение 24 а) Запишем выражение, соответствующее диаграмме на рис. 5.1:
П(сщ к) = -2г [ [ т|4^||с'о(г+, q+M-, q_) , (5.
J J (27Г2я
где s± = г ± cv/2, q± = q ± k/2 , а множитель 2 возникает при суммировании по спи-
нам. В интеграле (5.33) существенными оказываются q± вблизи Ферми-поверхности,
поэтому при |к| р0 удобно разложить |q±| так: |q±| = q±(&/2) cos# , где в —угол
между векторами q и к . Тогда функция
q±) =-----< 2 л ’ (5-34)
+z£sign£±
5.3. РЕШЕНИЯ
95
где £±(?) = £(<1±) = £(?) ± (vFk/2) cos в . Интегрируем (5.33) по e , замыкая контур
в верхней полуплоскости ш и раскладывая произведение Go на простейшие дроби.
Интеграл отличен от нуля, если полюса функций G(l лежат в разных полуплоскостях:
г de
J (в + ш/2 - + iS sign (е + ш/2- £_ + i6 sign£_)
=_________2^ [n(e_) - n(e+)]________ z5 35)
a) — vFk cos 0 + id (sign £+ — sign £_)
где n(£) — фермиевская функция заполнения. Поскольку к мало, разность п(£_) —
п(£+) отлична от нуля в тонком слое вблизи поверхности Ферми. Следовательно, можно
проинтегрировать по £ . В зависимости знака cos 0 возможны два случая:
(I) cos# > 0: Выражение (5.35) отлично от нуля при |£| < (урк/2') cos# , причем
п(£-) - n(£+) = -1;
(И) cos# < 0 : Выражение (5.35) отлично от нуля при |£| < — (vFk/2) cos# , причем
- 4£+) = 1 •
Итак, остается интеграл по углам:
П(сэ, к) = z/0 [-----cos# ----------sin###, (5.36)
J ш — vFk cos # + г8 sign ш
где z/0 = пгро/2тг2К3 — плотность состояний. Обозначим х = cos# и вычислим
/ --------у;—'.---= А + гВ (5.37)
J х0 — х + го sign т0
А = -2 + т0 In
То - 1
0,
-7ГТ0,
|т0| > 1
0 < т0 < 1
— 1 < т0 < 0
(5.38)
„ 7T^Cq ,
Получаем:
П(сэ, к) = — 2v0
2kvF
kvF + oj
kvF — ш
_ м
2 kvF \ kvF
(5.39)
Первое решение 24 б) Диаграмма для спинового коррелятора отличается от диа-
граммы на рис. 5.1 лишь незначительно — наличием спиновых операторов в вершинах.
Соответствующее аналитическое выражение отличается от (5.33) спиновым множите-
лем ТгФтт7 = 26ij . Поэтому, на первый взгляд, для отыскания спиновой восприимчи-
вости можно просто воспользоваться результатом части а).
В том, что это неверно, легче всего убедиться, заметив, что выражение (5.39) для
П(сэ, к) как функции частоты ш не обладает аналитическими свойствами восприимчи-
вости, поскольку имеет особенности в полуплоскости Imcj > 0 . Последнее видно уже
из выражения (5.35), устроенного так, что в зависимости от знаков и полюс по
ш может оказаться в верхней полуплоскости, в нижней, или на вещественой оси. Это
автоматически приводит к нарушению причинности и в окончательном ответе (5.39).
96
ГЛАВА 5. ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ.
С формальной точки зрения проблема в том, что в петле на рис. 5.1 были взя-
ты причинные функции Грина. Поэтому по своим аналитическим свойствам петля из
причинных гриновских функций соответствует поляризационному оператору, а не вос-
приимчивости, и аналитические свойства оказываются следующими: П(—ш) = П(сэ) , а
не х(—сэ*) = х*(сэ) . В результате особенности на плоскости комплексного ш оказы-
ваются расположенными симметрично относительно ш = 0 .
Отметим, что на самом деле восприимчивость и поляризационный оператор можно
связать друг с другом с помощью мацубаровской техники, используя мнимые частоты
и метод аналитического продолжения (см. задачу 37, гл. 7). При этом выясняется, что
надо взять выражение (5.39) для петли на рис. 5.1 при ш > 0 и продолжить в верхнюю
полуплоскость комплексного ш , а с нее — на ш < 0 . (Так что приведенное выше
соображение не совсем уж и неправильное!).
Однако, пока мы не будем этим пользоваться, а проделаем прямое вычисление по
формуле Кубо. Возьмем в качестве A(t) и B(t) в (5.2) оператор плотности намагни-
ченности:
зДг,£) = [^(r,i)^t(r,i) - ^(r,£)^(r,£)] . (5.40)
Раскроем среднее коммутатора в (5.2) по теореме Вика как сумму всевозможных пар-
ных средних операторов г/г и Е+ , и оставим только связные графики:
= 2^2в/1 dtd3re^t+ikr [(^(r,i)^t(0,0))(^t(r,i)^(0,0))
- <^t (°’0М(г>ФШ0>°)^т (г’^] (5-41)
(двойка учитывает спин). Средние вычисляем непосредственно по определению опера-
торов вторичного квантования* 8:
^t+(r,«)^(r',(')) = . (5.42)
р
(<Мг, «)<Д+(г', ('))=£ е-е1р,1‘'-‘)+,р,г,-г) [1 - <(р))] , (5.43)
р
где п(£) — фермиевская функция распределения. Делая преобразование Фурье, полу-
чаем для Хш.к такое выражение:
2г/4 [ [ , q+) GA(e-, Q-) - GA(e-, q+) GR(e+, q_)l , (5.44)
J J I Z7T )
|q+l>po
|q— I <po
где запаздывающая и опережающая гриновские функции есть
1) = • <5-45>
Интегрирование по г дает:
f G'7J(s+,q+)GA(s_,q_)d£ = --------, (5.46)
J ш — vFk cos в + го
8Применяя теорему Вика, следует иметь в виду, что среднее в формуле Кубо не Т-упорядоченное.
5.3. РЕШЕНИЯ
97
где в — угол между к и q. Вместо (5.35) получаем:
—
1 1
ш — vFk cos 0 + i5 ш + vFk cos 0 + i5
Iq+I>po
Iq-I<po
(5.47)
Это выражение имеет ясный смысл: переменное внешнее поле возбуждает электрон-
дырочную пару. Электрон имеет импульс q+ , а дырка — q_ . Принцип Паули на-
кладывает ограничение на фазовый объем: |q+| > р0 , |q_| < р0 , откуда следует, что
cos# > 0 . Энергия пары есть £(q+) — £(q_) = vFkcosd , и поскольку нас интересует
предел малых к , энергии электрона и дырки малы. Из приведенного выражения для
энергии пары следует, что и электронное, и дырочное состояние отстоят от уровня
Ферми не более чем на kvF . Нас интересуют малые к , поэтому в интеграле по q2dq
можно перейти к интегрированию по £ :
СЮ
I (1 - п(£+))
—сю
vFk cos в , при cos в > О
О , при cos# < О
(5.48)
Остается интеграл по углам 0 < # < я/2 . Обратим внимание на то, что замена ш +
iS —> — ш — iS эквивалентна замене # —> тг/2 — # . Поэтому:
9 f vFk cos# . л ,л
Xu,k=EB^o---------j---т-—sin###. (5.49)
./ (jj — vFk cos # + го
о
Сделаем обычную подстановку х = cos # и вычислим
1 , /
г х ах , / Tn + io + 1
/ ---------; = —2 + т0 1п —---------
J т0 — т + го \х0 + го — 1
(5.50)
Полагая т0 = ш/kvF , находим9
Хи, к = % Ев "о
-^-1н
2kvp
kvF + ш
kvF — ш
2 kvF \ kvF
(5.51)
1 -
Соответственно, в статическом пределе w/kvF —> 0, к —> 0, получаем равновесную
паулиевскую восприимчивость: урага = ^Евио
Другое решение 24 б) Можно действовать иначе: сначала найти мнимую часть
Хи,к , а затем восстановить по ней вещественную, пользуясь аналитическими свойства-
ми восприимчивости. Физически мнимая часть у описывает диссипацию, т. е. воз-
буждение переменным полем электрон-дырочных пар. Поэтому, как и в задаче 17, в
петле на рис. 5.1 виртуальные состояния электрона и дырки надо брать на массовой
поверхности s = £(<?) . Формально это соответствует замене
G^’^q) ±Z7F# (s - £(q)) (5.52)
9Отметим, что выражение (5.39) для причинного коррелятора при х > 0 совпадает с выражением
(5.51) для запаздывающего коррелятора, а при х < 0 отличается комплексным сопряжением.
98
ГЛАВА 5. ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ.
в выражении (5.33):
Im хш,к = 2 Мв тг2 f [ |^(s+-£(q+)) 5(s_-f(q_)) . (5.53)
J 2?Г Г J 27Г
|q+1 >po
|q- l<₽o
Смысл данного выражения в том, что в результате поглощения кванта Нш переменного
внешнего поля электрон с энергией под уровнем Ферми возбуждается в состояние
с энергией £+ над уровнем Ферми. Это выражение дает Im\ только при ш > 0 ,
а при ш < 0 оно равно 0, как и должно быть для вероятности распада. Получив
Im х при положительных ш , мы распространим его на отрицательные ш по свойству
восприимчивости х(—сэ) = х*(сэ) .
Интеграл по е в (5.53) устраняет одну 6 -функцию:
1тХи,к=Ев [ +£(Ч-)) (5-54)
J (2тгг
|q+1 >po
|q- I<po
Как и в предыдущем решении, поскольку нас интересует длинноволновый предел к
Ро1 , переходим от интеграла по q2dq к интегралу по £ , который дает kvp cos в при
cos 0 > 0 , и 0 в противном случае. Остается интеграл по углам:
тг/2
[ vFk cos в 5(ш — vFk cos в) sin в dO = ( ПрИ < < kvF . (5.55)
J [0, при ш > kvF
о
Теперь, поскольку х(—сэ) = х*(сэ) , берем нечетную функцию
Tm v , - /,2 / ^’’ПрИ 1^1 < kVF 15 501
ImW -Мв^о {о,при |cv| > kvF ’ (5’56)
и восстанавливаем х(сэ) по аналитичности:
IrhnxMd/
я J ш' — ш — гО
Это приводит к точно такому же интегралу, что и в предыдущем решении.
Заметим, что в более сложных ситуациях нахождение восприимчивости в два этапа
(сначала мнимая часть, а затем вещественная) может оказаться удобнее прямого вы-
числения. Мнимая часть всегда связана с определенными процессами распада, поэтому
она обычно имеет более прозрачную структуру, чем вещественная часть.
Решение 25. Нас интересует динамический отклик плотность-плотность. Вычи-
слим его по формуле Кубо (5.2). Для бесспиновых электронов оператор плотности числа
частиц есть
п(т,£) = ^+(т, 1\ф(х, t) , (5.58)
поэтому
. сю
Q(w,k) = ^j {[nkft),nk(0)]} dt . (5.59)
о
5.3. РЕШЕНИЯ
99
Раскрываем среднее коммутатора по теореме Вика, как и в предыдущей задаче, и после
интегрирования по е , получаем выражение аналогичное (5.47):
<2(w, к)
1«+1 >Р0
1«- 1<Р0
1 1 dq
(jj — qk/m + id —(jj — qk/m — id 2тг
(5.60)
Ограничения, накладываемые принципом Паули, означают, что q меняется в пределах
Ро - &/2 < q < Ро + к/2
~Ро ~ N/2 < q < -р0 + |&|/2
при к
при к
>0,
< о.
(5.61)
Следовательно, при малых к р$1 в подинтегральном выражении (5.60) можно про-
сто положить q = ро при к > 0 , и q = — р0 при к < 0 . При этом мы пренебрегаем
зависимостью скорости q/m от энергии в малой окрестности уровня Ферми. Иначе
говоря, мы линеаризуем закон дисперсии:
£(р) =p2/2m - £(р) = rF(|p|-ро) (5.62)
(что эквивалентно переходу к интегрированию по £ ). Получаем
Q(u,k) = 2Л 1 1 ш — vf\к + гб ш + vf\к + гб , (5.63)
ИЛИ
<2(w, к) Vpk2 U1D ш2 — Vpk2 + id signш (5.64)
где = I/ttvf — плотность состояний при D = 1 без учета спинового вырождения.
Учет спина увеличивает вдвое.
Решение 26. Оператор числа частиц в интервале 0 < х < L есть
L
NL = У n(x)dx , п(т) =^+(т)^(т) , (5.65)
о
_ L L
a = f f п(х)п(х') dx dx'. Плотность (п) = Ро/к, следовательно,
о о
L
{Nl} = У (п(х)} dx = —L .
о
(5.66)
Нас интересует
о о
(5.67)
где {{}} обозначает неприводимый коррелятор, получаемый «связным» усреднением.
100
ГЛАВА 5. ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ.
Переходим к импульсному представлению: ^(х) = ^,арегрх . Тогда
р
L L
(Nl) = £ [ [ dx dx'(apiaP2ap3aPi)eix<'P2~P1>>+ix'<'P4~P3>> (5.68)
P1,P2,P3,P4q q
Раскроем среднее по теореме Вика:
(Ор1аР2аРзаР4^ = ^apiaP2) (арзарЙ + аР4 }(аР2 °рз } (5.69)
Нас интересует только второе слагаемое, поскольку первое есть {Nl}2 и не дает вклада
в неприводимый коррелятор. Получаем
((п(я;)п(а/)))
(5.70)
Интегрируя это выражение, находим
{6ND = Ы - i I/ dx dx’. (5.71)
/ I /1 «/ «/ I U.' w j
0 0 v 7
Перейдем к новым координатам: и = х — х', v = х + х' :
г г sin рДх -X)
/ / —;— dx dx
J J (x- x' 2
0 0 v 7
tjdu^^jdv
0 U
L . о
7Г 1 , r
-Lp0 - xlnLpo
О Л1 \S111 P°U z7 9
2 J (L — u)-------— du ~ 2
Итак, находим
(6N2l) = —L - —L + In LPo = lnp0L , (5.72)
7Г 7Г 7FZ 7FZ
что и требовалось.
Первое решение 27. Будем считать электроны бесспиновыми и восстановим за-
висимость от спина в конце. Возьмем среднее S-матрицы по основному состоянию газа
с t/(r) = 0 ,
Х7 = (Т ехр(-г [° Hini(t)dt)) , (5.73)
' 7—ОС '
5.3. РЕШЕНИЯ
101
и разложим экспоненту в ряд:
QQ 0 ^1 ^П~1
£ I dt11 dt2 ... I dtn(5.74)
n = ® — OO — oo — oo
Выделим из суммы часть с п > 0 :
К\ = 1 + Л . (5.75)
Можно обычным образом разложить 1п Ку в ряд по Л :
In Л'7 = Л - -Л2 + -Л3 - ... (5.76)
2 3
Подставим сюда выражение для Л в виде суммы средних от членов разложения Т-
экспоненты в ряд и раскроем скобки. Изучив несколько низших порядков теории воз-
мущений убедимся, что при раскрывании средних по теореме Вика сократятся все сред-
ние, за исключением связных графиков. Это наблюдение можно обобщить на графики
произвольного порядка, и доказать так называемую теорему о связных графиках.
Теорема утверждает, что логарифм среднего S-матрицы можно представить в виде
ряда:
ОО -|
1нХ7 = -£-Тп, (5.77)
п=1 П
где каждое Еп даётся единственным графиком:
Рис. 5.2
Доказательство теоремы о связных графиках нетрудно получить, заметив, что сокра-
щение несвязных графиков есть факт чисто комбинаторного происхождения. Он опира-
ется на свойства комбинаторных множителей, возникающих при раскрывании среднего
(5.74) по теореме Вика, а также на свойства биномиальных коэффициентов, появляю-
щихся из членов Лп в (5.76). Множители 1/п в (5.77) возникают потому, что способов
«связного» усреднения ((?/int(^i) ’Hint(^n))) всего (п — 1)! , а способов упорядочения
времён в графике — п! .
Теорема (5.77) напоминает известную теорему о связных графиках для термодина-
мического потенциала Q (см. [1], гл. 3, § 15). Нетрудно заметить, что различие между
102
ГЛАВА 5. ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ.
усредняемыми величинами, ln(S) в одном случае, и Q — в другом, сводится просто
к замене реального времени на мацубаровское. (Напомним, что еп/т есть среднее от
S-матрицы во мнимом времени — см. главу 7.) Ход доказательства в обоих случаях
один и тот же.
Перейдем к рассмотрению членов ряда (5.77). Первые три графика ряда выглядят
так:
Рис. 5.3
Вычисление удобно провести во временном представлении. Вклад Fi имеет следу-
ющий вид:
о о
F± = -г У dt = -i У ^y"(^+(r)^(r)t7(r)) d3r) eft dt
—oo —oo
= —i—[u(r)d3r, (5.78)
7 J
где n — плотность ферми-газа. Физически этот вклад связан со сдвигом энергии
основного состояния, вычисленным в первом порядке теории возмущений. Поэтому он
не имеет отношения к вопросу об ортогональности состояний. В самом деле, допустим,
что в результате введения возмущения энергия основного состояния изменилась на бе ,
а само состояние осталось в точности тем же. Тогда
о
In/О, = — г У See^dt = —г 8е/7 . (5.79)
—оо
Вклад второго порядка Т2 есть
/ -\2 0 0 0 t
F2= 2 / / F?Zint(i')?/int(i)))didi' = - У у {{H^H^t'^dtdt' (5.80)
—оо—оо —оо—оо
Выполняя усреднение в ((7/int(^)^int(^))) п0 теореме Вика, получаем
e7te7t' у у и (r)[7(r') (Д+(г, Йф(г', £')) (гДгД)гД~(г' й'У) d3rd3r' . (5.81)
Теперь заменим потенциал рассеяния на 5 -функцию, U(r) = сф(3\г) , и вычислим
парные средние в (5.81) следующим образом:
(V+(r,i)^(r,i'))p=o = , (5.82)
Р 0 + 1(1 1 )
(V(r,«)V-+(r,i'))p=o = - ».(р)) = (5.83)
Р 0 + 1(1 1 )
5.3. РЕШЕНИЯ
103
Параметр 8 ~ Ер1 введен в (5.82), (5.83), чтобы регуляризовать интеграл по р . Для
вычисления этого интеграла мы воспользовались приближением постоянной плотности
состояний в окрестности Ер и заменили интеграл по р интегралом по £ . Такое
приближение оправдано тем, что нас интересует инфракрасно расходящийся вклад в
F} , который определяется динамикой частиц с энергиями близкими к Ер .
Подставляя (5.82) и (5.83) в выражение (5.81), а последнее, в свою очередь, — в
(5.80), получаем
о t
= (5.84)
— (X) —(X)
Этот интеграл нетрудно вычислить, если перейти к новым переменным t+ = — (t + t1) ,
t_ = t — t', и учесть, что dt dt' = ^dt+ dt_ . Интегрирование выполняется так:
^2 = -x(^oa)2 / dt+e~^+ [ . = --(z/0a)2 / / , -r^+ (5-85)
2 J J (d + zi_)2 2 J t+ + id
0 t+ v ’ 0
В пределе 7 —> 0 , что соответствует медленному включению рассеивающего потенци-
ала U(r) , интеграл по t+ есть — 1н(гйу) ~ 1н(£7/г/г-у) . В результате получаем
ReF2 =—(z/0a)2 In [ —- ) (5.86)
2 \ 7 /
Мы отбросили мнимую часть F2 , поскольку она дает вклад только в неинтересующую
нас фазу интеграла перекрытия Ку .
Для слабого потенциала U(г) величины Fn быстро убывают с ростом п , посколь-
ку величина Fn пропорциональна п -ой степени потенциала. Поэтому для оценки |Х7|
достаточно учесть только Re F2 , отбросив вклады с п > 2 . Итак, мы получаем сле-
дующее выражение для интеграла перекрытия:
/ у \ НоЛ2
|Х7| = ( —) , 80 = тга/у (5.87)
\i^F /
Нетрудно убедиться в том, что 6q есть в точности фаза рассеяния в s-канале на корот-
кодействующем потенциале U(r) = сйЙ3)(г) , взятая в первом борновском приближении.
Напомним, что при вычислении F2 мы считали фермионы бесспиновыми. Учет
двукратного спинового вырождения приводит к дополнительному множителю 2 в вы-
ражении (5.84) и далее. В результате множитель | в показателе степени в выражении
(5.87) сокращается, и окончательный ответ выглядит так:
/ \ а Х2
|/г’| = (ё>) ’ “ = ^- (5'88)
Теперь, зная Ку , оценим перекрытие основных состояний (0|0') . Для этого полезно
подумать о пределах применимости нашего вычисления. Со стороны малых 7 имеется
ограничение, связанное с конечностью размера системы. Мы считали плотность состо-
яний непрерывной, как и полагается в теории ферми-газа. Однако в конечной системе
уровни дискретны.
104
ГЛАВА 5. ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ.
Оценим расстояние Д между уровнями в сферическом объеме радиуса L . Если го-
ворить о всех уровнях вместе, то, разумеется, Д = (^L3^)-1 . В нашей задаче, однако,
важны только состояния с угловым моментом, равным нулю, которых гораздо мень-
ше. Действительно, допустим, что потенциал расположен точно в центре сферы. Тогда
угловой момент будет хорошим квантовым числом и, поскольку наш 6 -потенциал рас-
сеивает только s-волны, состояния с I > 0 «выходят из игры». Уровни же с I = 0 ,
принимающие участие в рассеянии, расположены на расстоянии порядкау До = hvp/L
друг от друга. (Данная оценка справедлива в окрестности Ер .)
Теперь заметим, что при достаточно малом 7 < До мы имеем дело со случаем
адиабатически медленного включения возмущения. При этом как во время, так и после
действия возмущения состояние системы остается экспоненциально близким к основ-
ному, и, следовательно,
1П«д0 = |(0|0')| + 0(е_Ло7 . (5.89)
В принципе, пользоваться обычной теорией возмущений для вычисления К,, можно
только для у У- До • Однако по порядку величины правильный результат получится,
если приравнять 7ф=д0 и (0|0') . Поэтому полагаем
7 ~ До = , (5.90)
1J
что дает требуемую оценку перекрытия основных состояний:
й2
<0|0'> ~ (p0L)-“ , о = (5.91)
7Г
где 60 = 7FCKZ/0 .
Выражение (5.91) получено для слабого потенциала возмущения. Более точная оцен-
ка интеграла перекрытия (0|0') , не использующая предположение о слабом возмуще-
нии, потребовала бы суммирования всего ряда (5.19), поскольку в каждом порядке
имеется логарифмическая расходимость, подобная найденной выше для F2 . Эта более
сложная задача может быть решена при помощи метода бозонизации (см. задачу 75,
гл. 12).
Другое решение 27. Вычислим F2 , используя технику причинных функций Гри-
на. Для этого рассмотрим первое из выражений (5.80) и раскроем среднее ((Т...)) обыч-
ным образом как произведение причинных гриновских функций. Как и выше, заменяем
потенциал U(г) на 6 -функцию сйЙ3) (г) . В частотном представлении гамильтониан
возмущения 7/jnt = ae7t^+(r, £)?Дг, £)|г=0 принимает следующий вид:
__ Q
^int(w) = ------— 52араР' (5-92)
Подставляя это выражение в (5.80) и переходя к интегралам по £(р) и £(р') , получаем:
р 1 2 f £1) ot G(w2,^2)a d(jjid(jj2d^id^2
2 2 0 / 7 - z(w2 - сщ) 7 - г(сщ - w2) (2я)2
5.3. РЕШЕНИЯ
105
= -|«2г/о // Д£1,6М1^2
Мы ввели обозначение
т(с с\ — f / 6.) ^(w2, £2) dw2
(W1_W2)2 + 72 (27г)2
(5.93)
(5.94)
где G(u),£) = l/(cv — £ + zdsign£) . Как и выше, нам будет удобно считать фермионы
бесспиновыми и восстановить зависимость от спина в конце.
Вычислим интеграл (5.94) по а/цг , используя теорему Коши и теорию вычетов.
Рассмотрим сначала случай £1 > 0 . Интегрируем по :
Рис. 54
Находим
1 г с1ш2/2тг
2у J (w2 - 6 + п)(^2 - б + ^6)
(5.95)
Интеграл отличен от 0 только при £2 < 0 :
Рис. 5.5
106
ГЛАВА 5. ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ.
Получаем
J _ t 0К1)0(-&)
2? 6 - ?i + Ь
Теперь пусть < 0 . Интегрируем по :
(5.96)
Рис. 5.6
Находим
_ 1 Г склЗъ / Ъ-к
2у J (w2 - б - п)(^2 - б + ^6)
Теперь интеграл отличен от 0 только при £2 > 0 :
(5.97)
Рис. 5.7
Получаем
7 _ г 0(-б)
Ъ б - б + П
Собирая эти результаты в одно выражение,
(5.98)
(5.99)
6?2<о
получаем
d^i d^2
16 - 61 - П '
5.3. РЕШЕНИЯ
107
Как уже отмечалось, мнимая часть In/С, не имеет отношения к вопросу об ортого-
нальности. Поэтому оставляем только вещественную часть:
ReF2
Да
Ki - &)2 + 72
1 <2, 2
--W2 in7
4 y2
Интеграл обрезается сверху при £max ~ EF = р^/2т у , поэтому окончательно имеем
d2 Е
ReF2 = In — , 60 = 7raz/0 .
2тг2 7
(5.100)
Учет двукратного спинового вырождения дает дополнительный множитель 2 в выра-
жении (5.93) и всех последующих выражениях. В результате множитель | в (5.100)
сокращается и мы приходим к выражению (5.88).
Глава 6.
Электроны и фононы
6.1. Гамильтониан фононов. Диаграммная техника.
В этой главе мы рассмотрим взаимодействие электронов с фононами. Напомним, что
фононы — это кванты колебаний кристаллической решетки. Различают два основных
типа фононов — акустические и оптические. Отличие между ними заключается в
том, что частота акустических фононов обращается в ноль при к = 0 , а частота
оптических фононов положительна при всех к . Акустические фононы существуют
во всех кристаллах, поскольку звук может распространяться в любой упругой среде.
Оптические же фононы имеются только в кристаллах, содержащих более одного атома
в элементарной ячейке. (Пример системы, в которой имеются как акустические, так и
оптические фононы рассмотрен в задаче 1).
Для описания закона дисперсии акустических фононов w(k) часто пользуются
так называемой моделью Дебая. В этой модели закон дисперсии принимается равным
о>о(к) = с|к| при всех |к| < кр , где величина кр выбирается так, чтобы объем шара
радиуса кр давал правильное число состояний: ^к^ = (2тг)3г-1 , где v — объем эле-
ментарной ячейки кристалла. Аналогично, оптические фононы описываются моделью
Эйнштейна, в которой частота фононов полагается не зависящей от волнового векто-
ра: wo (k) = Qo = const , причем |к| < кр . (Как мы видели в задаче 1, такой закон
дисперсии реализуется в системе, содержащей сильно отличающиеся по массе атомы.)
Для квантовомеханического описания фононов вводятся операторы смещения ре-
шетки u(r, t) и плотности импульса решетки p(r, t) . (Для определенности мы будем
говорить об акустических фононах.) Операторы u(r,t) и p(r, t) могут быть стандарт-
ным образом записаны через канонические бозе-операторы рождения и уничтожения
фононов b£ и &к :
u(r,t) = ekQ = J&kaeto-^o,a(k)t + b+^e-»kr+^o,a(k)tl , (6-Q
k,a y2Vpw0,a(k) 1
p(r,t) = {^е-’кг+^’^ (6.2)
к,а *
где р — плотность кристалла, V — объем, а еко — вектор поляризации фонона. Ин-
декс а нумерует нормальные моды кристалла1. Операторы рождения и уничтожения
109
по
ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОНЫ И ФОНОНЫ
с противоположными к равны: &_kQ = Ь^а . (Это следует из вещественности й(г, t) и
р(г,£) .)
Введенные операторы подчиняются следующим коммутационным соотношениям.
Коммутаторы бозе-операторов Ьк и канонические: [Ька, = (2тг)3К йааф(3)(к —
к') . Нормировочные множители в определениях (6.1) и (6.2) выбраны так, что комму-
тационные соотношения для операторов u(r, t) и p(r, t) , следующие из (6.1) и (6.2),
имеют вид
[wa(r,^),^(r',i')] = МАГ - г') (6.3)
Это в точности соответствует скобкам Пуассона соответствующих классических ве-
личин в теории упругости сплошной среды.
Гамильтониан фононов имеет следующий вид:
Н = / f-^p2 + |/>с2й2>) d3r = 52^0,a(k) (b£bk + (6.4)
J \ЛР - / ka \ 2/
Нетрудно видеть, что гамильтониан (6.4) приводит к динамике операторов u(r, i) и
p(r,i) , заданной соотношениями (6.1) и (6.2).
Взаимодействие фононов и электронов является электрическим по своей природе.
Колебания решетки приводят к отклонению электрического поля ионов, действующего
на электроны, от своего среднего значения. Потенциал возникающего добавочного поля
принято называть деформационным потенциалом. В отсутствие экранировки кулонов-
ские силы являются дальнодействующими и взаимодействие электронов с фононами
оказывается существенно нелокальным. Такая ситуация имеет место для взаимодей-
ствия электронов с оптическими фононами. Характер зависимости деформационного
потенциала от волновых векторов электронов и фононов определяется симметрией кри-
сталлической решетки.
В отличие от взаимодействия с оптическими фононами, деформационный потенци-
ал акустических фононов обычно является локальным. Дело в том, что при акустиче-
ских колебаниях решетки с малыми к смещения соседних атомов практически одина-
ковы (см. задачу 1). Вследствие этого, электрическая поляризация, возникающая при
акустических колебаниях, оказывается пропорциональной градиенту деформации ре-
шетки: Р(г) V divu(r) . Поэтому потенциал электрического поля поляризации Р(г)
оказывается пропорциональным деформации решетки: Гдеф(г) ~ divu(r) .
Взаимодействие электронов с акустическими фононами принято рассматривать с
помощью упрощенной модели, в которой пренебрегается взаимодействием с попереч-
ными акустическими модами, имеющими векторы поляризации ek -L к . Оказывается
удобным выразить деформационный потенциал через поле
£(г,£) = {z&k,||eikr“^o(k)t -zb+||e-ikr+^o(k)t} (6.5)
к V 2V
Для дебаевских фононов с законом дисперсии cv(k) = c|k| имеет место равенство
= c^/pdivu(r, £) . (Поэтому в атомных единицах ^(r) ~ divu(r) .) Деформа-
'В дальнейшем мы будем рассматривать главным образом продольные колебания, для которых
ека || к .
6.1. ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
111
ционный потенциал акустических фононов может быть записан как Сдеф(г) = дтЙ) i
где д — константа электрон-фононного взаимодействия.
В описанной модели гамильтониан взаимодействия электронов с фононами записы-
вается через операторы поля (6.5) следующим образом:
ftint = 9 / V>+(r) ^(r) £(r) (f'r
(6.6)
(так называемый гамильтониан Фрёлиха). Хотя из сделанных оценок следует, что
д ~ 1 в атомных единицах, надо иметь в виду что сила электрон-фононного взаи-
модействия может весьма сильно варьироваться от одной системы к другой.
Диаграммная техника строится с помощью функции Грина фононов, определенной
следующим образом:
D(x,x1') = — i{T(p(x) <^(т')) (6.7)
В отсутствие взаимодействия функция Грина 7?(cv, к) есть
Г>о(сщк)
^о(к)
Ф2 — о?о(к) + гО
(6-8)
Правила диаграммной техники для электронов и фононов почти такие же, как и для
случая двухчастичного взаимодействия:
1) Все диаграммы строятся из двух элементов: простых линий, описывающих рас-
пространение электронов, и волнистых, описывающих распространение фононов.
2) Две электронных и одна фононная линии соединяются в вершинах.
3) п -му порядку теории возмущений соответствуют диаграммы с 2п вершинами.
4) Каждой электронной линии соответствует множитель Gq(x — х') (х - начальная
точка, х' - конечная). Каждой фононной — множитель Dq(x — х') .
5) Выражение, соответствующее данной диаграмме, следует проинтегрировать по
координатам её вершин. Каждой вершине соответствует множитель д .
6) Получившийся ответ следует умножить на in (—1)F , где п — число волнистых
линий, a F — число замкнутых петель, отвечающих ферми-частицам.
Вычислив собственно-энергетическую часть функции Грина электронов, можно
определить спектр электронов с учетом электрон-фононного взаимодействия. Для то-
го, чтобы аналогичным образом найти спектр фононов, нужно рассмотреть полюса
фононной функции Грина Z?(cu, к) . Как и для функции Грина электронов G(e, р) , для
фононной функции Грина можно проделать анализ, описанный в разд. 4.1.1, выделить
собственно-энергетическую часть и провести суммирование диаграмм с помощью урав-
нения Дайсона. Собственно-энергетическая часть фононов обычно называется поляри-
112
ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОНЫ И ФОНОНЫ
зационным оператором и обозначается П(о?, к) . Поляризационный оператор П(сщк)
есть сумма следующих диаграмм:
Рис. 6.1
Уравнение Дайсона для фононной функции Грина выглядит аналогично уравнению
(4.9),
0 = Оо + ОоПО, (6.9)
и решается стандартным образом:
7?-1(с<;, к) = Dq1(lo, к) — П(си, к) . (6.10)
Поэтому спектр фононов определяется уравнением
л0-1Мк),к) = п(ш(к),к). (6.11)
Как всегда, вещественная часть cv(k) определяет спектр фононов, а мнимая — их
затухание из-за передачи энергии электронам.
При изучении эффектов электрон-фононного взаимодействия в металле оказыва-
ется удобным пользоваться безразмерной константой электрон-фононного взаимодей-
ствия С = g2i/o ( i/q = тро/2тг21г3 — плотность электронных состояний без учета спи-
нового вырождения). Оценка ( из первых принципов дает значение £ ~ 1 . Поэтому,
казалось бы, решение задачи в общем виде, эквивалентное суммированию диаграмм
произвольно высокого порядка, должно быть невозможным. Однако оказывается, что
в задаче присутствует другой малый параметр, позволяющий найти решение без пред-
положения о малости £ . Этот параметр есть = скр — дебаевская часто-
та), что порядку величины равно yJm/M , где т и М — массы электронов и ионов.
Условие Wd/sf 1 означает, что ионы, ввиду их большой массы, двигаются намного
медленнее, чем электроны. Поэтому электроны не могут раскачать решетку, вместо
этого они просто подстраиваются под её локальную конфигурацию. Другая интерпре-
тация условия W£>/tF<Cl — большое запаздывание фононов на временах порядка
h/eF .
Теория электрон-фононного взаимодействия в металле, использующая малый пара-
метр 1 , называется теорией Мигдала. Упрощенно говоря, эта теория по-
зволяет распространить идеи теории полярона (см. задачи 16,17,21,33) на случай элек-
тронной ферми-системы. Более формально, теория Мигдала представляет собой набор
6.2. ЗАДАЧИ 28+33
113
утверждений о свойствах гриновских функций, вытекающих из медленности динами-
ки фононов по сравнению с динамикой электронов. В этой теории показывается, что
перенормировки, хотя и велики, «не распространяются» из простых графиков в более
сложные. Это проявляется в том, что нет обратного влияния перенормировки электрон-
ного спектра на фононы, а также в малости поправок к вершине электрон-фононного
взаимодействия. Основные положения теории Мигдала сформулированы в задачах 29
- 31. Теория описывает влияние электрон-фононного взаимодействия в терминах пе-
ренормировки свойств квазичастиц (электронов и фононов). При этом не происходит
какого-либо разрушения ферми-поверхности — утверждается, что картина невзаимо-
действующих квазичастиц остается справедливой.
В заключение следует сказать, что электрон-фононное взаимодействие — не такая
простая вещь, как могло бы показаться из вышеизложенного. Как известно, это взаимо-
действие приводит к образованию куперовских пар и к сверхпроводимости (см. гл. 10).
Кроме того, в одномерном случае электрон-фононное взаимодействие приводит к обра-
зованию пайерлсовского диэлектрика (см. задачу 32). Как в случае сверхпроводящего,
так и в случае диэлектрического состояний происходит полное «разрушение» ферми-
поверхности, проявляющееся в исчезновении состояний с достаточно малыми энер-
гиями. Поэтому, строго говоря, в присутствие электрон-фононного взаимодействия
ферми-жидкость электронов никогда не является устойчивым состоянием, и при до-
статочно низкой температуре перестраивается, превращаясь либо в сверхпроводник,
либо в диэлектрик.
Литература: [1] §21; [6] §§64,65.
6.2. Задачи 284-33
Задача 28. {Время жизни квазичастиц) Рассмотрим вырожденный электронный газ
при Т = 0 , взаимодействующий с колебаниями решетки (см. задачи 16, 17). Найди-
те затухание квазичастицы с энергией , вычислив собственно-энергетическую
часть S(s,p) в низшем порядке по взаимодействию. Затухание дается мнимой частью
ImS(s,p) .
Задача 29. {Перенормировка спектра электронов) Изучите влияние электрон-
фононного взаимодействия на спектр электронов Найдите вещественную часть
ReX(s,p) и убедитесь в том, что она есть функция е и практически не зависит от
Р
Покажите, что ReX(s) может быть велика только в небольшой по сравнению с ер
области энергий (мы отсчитываем энергию квазичастиц е от уровня Ферми).
Выразите плотность состояний через S(s) и покажите, что вблизи уровня Ферми
электроны «утяжеляются», а плотность состояний — возрастает.
Задача 30. {Теорема Мигдала — нет перенормировки вершины) Оцените поправку
114
ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОНЫ И ФОНОНЫ
к вершине электрон-фононного взаимодействия:
Рис. 6.2
Покажите, что ее относительная величина порядка Щр/ьр .
Для того, чтобы прояснить роль параметра щр/ьр теории Мигдала, вычислите вер-
шинную часть в смешанном «импульсно-временном» представлении, в котором функция
Грина зависит от импульса и от времени.
Задача 31. (Фононы в металле) Рассмотрим собственно-энергетическую часть
П(си, к) фононной функции Грина:
П((А,к) =
Рис. 6.3
а) Получите формулу для перенормированной скорости звука:
с2 = с<|(1 - 2<) ,
(6-12)
где ( = g2vo — безразмерная константа электрон-фононного взаимодействия. (В ме-
таллах обычно параметр ( не мал, но 2£ < 1 .)
б) Рассматривая 1шП(шД) при малых ш и к , определите длину затухания звука в
металле. Как она зависит от частоты? Сравните с затуханием звука в газе.
Задача 32*. (Пайерлсовская неустойчивость) Найдите П(си, к) (рис. 6.3) в одно-
мерном случае. Получите логарифмическую особенность П(си, к) при к = 2ро . Вблизи
этого волнового вектора частота фононов становится мнимой, что означает неустой-
чивость системы по отношению к какой-то перестройке. Что именно при этом проис-
ходит? В какое состояние переходит система?
Задача 33. (Автолокализация полярона сильной связи) Рассмотрим электрон, вза-
имодействующий с упругой изотропной средой:
(6.13)
Здесь u(r) — поле смещений среды, a w(r) = Vu(r) — деформация среды. Мы исполь-
зуем классическое выражение |рй2 для кинетической энергии, поскольку нас будет
интересовать случай сильного взаимодействия, когда смещение u(r) достаточно ве-
лико. В этой ситуации поля u(r) и w(r) можно считать классическими. Более того, в
духе адиабатического приближения можно считать, что деформация решетки следует
6.3. РЕШЕНИЯ
115
за движением электрона, не имея какой-либо собственной динамики.2
а) Рассмотрим ситуацию, когда электрон вместе с вызванной им деформацией сре-
ды w(r) покоится (в этом случае й = 0 ), и найдем w(r) , минимизирующую энергию
(6.13): w(r) = — (Л/К)|-0(г)|2 . Это выражение означает, что электрон деформирует ре-
шетку вокруг себя, причем деформация такова, что энергия электрона в его собствен-
ном поле w(r) понижается. Если выигрыш энергии достаточно велик, то электрон «сам
себе копает яму» и образует в ней связанное состояние.
Запишите уравнение Шредингера для волновой функции электрона ^(г) , выразив
потенциал через ^(г) • Решение этого нелинейного уравнения легче всего получить в
случае одного пространственного измерения. Найдите ^(г) в этом случае и определите
выигрыш энергии за счет автолокализации. Обсудите, как размер локализованного
состояния, энергия связи, и условие его существования зависят от величины константы
связи А и от размерности пространства.
б) Определим эффективную массу автолокализованного состояния полярона.3 В при-
ближении классической деформации (6.13) найдите энергию состояния, движущегося с
постоянной скоростью v , как функцию v и константы связи А . Из найденной зави-
симости получите выражение для эффективной массы полярона. При какой величине
взаимодействия А справедливо использованное приближение сильной связи (т. е. клас-
сической деформации)?
6.3. Решения
Решение 28. Собственно-энергетическая часть дается диаграммой на рис. 4.10, в
которой используется причинная функция Грина электрона в ферми-газе Gq(e, р) =
(в — £р + г0 sign £р)-1 . В задаче 16 эта же диаграмма рассматривалась для одного элек-
трона, взаимодействующего с фононами. При этом была использована функция Грина
электрона в пустом пространстве (см. (4.34)). Однако в задаче о ферми-газе эта функ-
ция не годится, поскольку она не учитывает, что электрон не может переходить в
занятые состояния. Таким образом,
, . _ ig2 г dwd3k с2/.;2 (6 141
Р (2я)4 J е — ш — £p-k + i 0 sign £р_к ш2 — с2к2 + г0
Основное отличие этого выражения от (4.34) заключается в способе обхода полюсов.
Они находятся в точках сщ = е — £р_к + г 0 sign£p_k и с<72,з = ±(с& — г 0) .
Замыкая контур интегрирования по ш так, чтобы внутрь него попал только один
полюс из трех, получаем:
Г /------0Щ±)------ +------0^)-------- \ kd,k
16-7Г3 J \Е — ск — £р_к + г0 е + ск — £р_к — г0 /
|k|<fcg v р р 7
2 Адиабатическое приближение для полярона сильной связи и теория автолокализации были впервые
предложены в работе: S.I. Pekar, J. Phys. (U.S.S.R.) 10, 341 (1946); см. также: С.И. Пекар, Исследования
по электронной теории кристаллов, Гостехиздат, 1951
3 Л. Д. Ландау, С. И. Пекар, ЖЭТФ, 18, 419 (1948)
116
ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОНЫ И ФОНОНЫ
Теперь воспользуемся стандартной заменой переменной в интеграле по d3k , исполь-
зованной в решении задачи 16. Перейдем к интегрированию по |к| и pi = |р — к|
по формуле (4.38) (см. также [1], §21, п.З). В этих переменных выражение (6.15) для
S(s,p) можно переписать так:
0/1 jJ </ </ O-rv э/?1 I & I Огъ э/?1 /
Область интегрирования по pi в (6.16) имеет вид:
\р — к\ < pi < р + к (6-17)
Теперь удобно перейти от переменной интегрирования pi к переменной £ = р\/2т —
eF . Получаем
д2стксс( 0(£) 0(-£) \ 2
—---------------т--;—I-----;--;---— dtkdk, 6.18
8я2р 7 J \е — ск — £ + гО е + ск — £ — гОу
причем интеграл по £ в (6.18) берется по области
(р — к)2/2т — eF < £ < (р + к)2/2т — eF . (6.19)
Вещественная часть S(s,p) будет вычислена в следующей задаче, здесь же ограни-
чимся мнимой частью. Применяя известную формулу
Im7T7n = -7МИ , (6-20)
JL -Г w
получаем
2
ImS(s,p) = / [ (0(—£,)6(e + ck — £/) — 0(£)6(e — ck — £))d£k2dk. (6.21)
8тгр J J
Второе слагаемое (оно отлично от нуля при е > 0 ) дает время жизни электронных
состояний, а первое (отличное от нуля при е < 0 ) — дырочных.
До настоящего момента все преобразования были точными. Теперь обратим вни-
мание на то, что при |s| <С ер вероятность распада можно вычислять, интегрируя
в (6.21) не по области (6.19), а просто по всем £ . Дело в том, что сохранение энергии
при распаде частицы с энергией е на частицу с энергией £ и фонона с энергией ск
гарантирует соблюдение неравенств (6.19). (Поскольку с <С vp и е ~ £р .)
В силу сказанного интеграл по £ в (6.21) берем по —оо < £ < оо . Находим:
2
ImS(s,p) = [ (0(—е — ск) — 0(е — ск)) к2 dk .
8ttvf J
о
(6.22)
(При переходе от (6.21) к (6.22) мы заменили в коэффициенте р на ро .)
6.3. РЕШЕНИЯ
117
Интегрируя по к в выражении (6.22), получаем
ImS(s,p) = —9 ° signs [ к2 dk = — signе & С^£ , к£ = min[A;p, |s|/c] (6.23)
Stti'f J 24тпу'
о
Найденная ImS(s,p) при |s| <С £f является функцией одного только г , и не зависит
от р .
Переходя к безразмерной константе ( электрон-фононного взаимодействия, д2 =
CJvq , получаем
Im Sisi —____siens / Iе! ’ ПРИ Iе! < a>D ’ (6 24)
” 12p§c2 g при |£| > wc. ,Ь24,
To обстоятельство, что ImS(s) оказалась нечетной функцией s , является следствием
электрон-дырочной симметрии, имеющей место при |s| <С £f
Обратим внимание на то, что при малых энергиях
ImS(s) <С s , (6.25)
то есть время жизни квазичастицы с энергией вблизи уровня Ферми очень велико по
сравнению с Тг/s , и растет при уменьшении энергии быстрее, чем s-1 . Это означает,
что электрон-фононное взаимодействие не разрушает ферми-жидкостную картину.
Зависимость ImS(s < cvp) ~ s3 можно объяснить качественно. Вероятность ис-
пускания электроном фонона с заданным волновым вектором к пропорциональна к ,
поскольку оператор электрон-фононного взаимодействия пропорционален градиенту
смещения решетки (иными словами, фонон с к = 0 не должен испускаться вообще
— это просто трансляция кристалла, как целого). При этом, однако, если s < , то
электрон не может испускать фононы с произвольно большими к . Дело в том, что испу-
стив фонон с большой энергией, электрон перешел бы в состояние с энергией, меньшей
Sf Но такие состояния заняты, и перейти в них нельзя. По этой причине электрон
будет испускать только фононы с волновыми векторами к s/c. При этом число
конечных состояний — порядка площади поверхности сферы радиуса к . (Именно пло-
щади, а не объема — из-за законов сохранения!) Перемножая вероятность испускания
фонона и число конечных состояний, получаем для вероятности распада у s3 .
Таким образом, в ферми-системе вероятности процессов рассеяния при малых энер-
гиях сильно уменьшаются. Это означает, что вблизи ферми-поверхности можно го-
ворить о хорошо определенных квазичастицах. Большие времена жизни квазичастиц
— ключевое свойство для обоснования теории ферми-жидкости.
Результат (6.24) в случае s > также можно понять с помощью качественных
соображений. При s > электрон способен испускать фононы с импульсами вплоть
до кг» , оставаясь снаружи ферми-сферы. Поэтому вероятность распада определяется
фононами с к kjj и не зависит от s . Конечные состояния электрона лежат в тонком
сферическом слое, имеющем толщину порядка wD <С Sp .
Нетрудно видеть, что даже при электрон-фононном взаимодействии £ ~ 1 вероят-
ность распада у сравнивается с s только при е ~ .
118
ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОНЫ И ФОНОНЫ
Решение 29. В задаче 28 было получено выражение (6.18) для S(s,p) и вычислена
его мнимая часть. Рассмотрим теперь вещественную часть ReT(s,p) и найдем пере-
нормировку спектра квазичастиц. Запишем вещественную часть выражения (6.18) в
виде
ReS(s,p) = ^2 Г, j/" 1(к) к2 dk , (6.26)
% IPI 0
где интеграл
= + (6.27)
v 7 J \е-ск-^ e + ck-^J v 7
Cmin
понимается в смысле главного значения, а область интегрирования по £ дается усло-
вием (6.19).
Интегрирование по £ дает
I(k) = In
£ — ск + In £ Т ск £min
£ ск £тах £ + ск
(6.28)
Это выражение нам будет удобно представить в таком виде:
I(k) = In
е — ск
е + ск
+ In
о ~г ьп smin
ск фи ах
(6.29)
Первое слагаемое в (6.29) после интегрирования по к < кр дает вклад в S(s, р) ,
существенно зависящий от г в области |s| о/р . Зависимость же этого вклада от
р , возникающая благодаря коэффициенту |р|_ 1 в (6.26), — довольно слабая (величина
(6.26) чувствительна только к большим изменениям р порядка ро )•
В то же время второе слагаемое в выражении (6.29) дает «регулярный» вклад в
S(s,p) , слабо меняющийся как функция £ и р при изменениях |fe| £р , |йр|
Ро • Чтобы В ЭТОМ убедиться, заметим, ЧТО ск <С |£тт|,£тах, и поэтому во втором
логарифме в (6.29) можно пренебречь ск по сравнению с £mjn , £max .
Имея это в виду, представим собственно-энергетическую часть в виде Soco6(s)-|-Sper
и, имея в виду малые |s| <С £р и |р| близкие к ро , включим Sper в перенормировку
затравочных химпотенциала р = Ер и скорости vp = ро/тп .
Таким образом, получаем
ReT(s) — ReToco6(s)
д^с
8tt2vf
е — ск
£ + ск
k2dk .
(6.30)
Обратим внимание на характерное свойство электрон-фононной собственно-
энергетической части — независимость от импульса р электрона. Физическая при-
чина этого — медленность фононов, приводящая к тому, что испущенный электроном
фонон мгновенно отстает. В результате поглощение и испускание фонона становятся
локальными процессами.
6.3. РЕШЕНИЯ
119
Интеграл в выражении (6.30) нетрудно вычислить. Однако, поскольку получающее-
ся выражение достаточно громоздко, нам будет более удобно рассмотреть предельные
случаи е <С Щр и е^> a)D .
А. При е <С (jJd можно разложить логарифм в (6.30), считая £ <С ск :
О 2 2/2
Re /к л = ЧЫг/ = -Ье • ь = <6'31)
о
Б. При е ijjD , напротив, имеем е ск , и снова разлагаем логарифм в (6.30):
. д2с2 к[ к3 dk д2с2к„ bw2D
КеЭД = -8^/ —= =
о
Экстраполируя полученные выражения в область г ~ , можно заключить, что в этой
области возрастание ReX(s) сменяется убыванием, т. е. ReX(s) имеет там экстремум.
Выпишем теперь перенормированную функцию Грина. При £ <С Щр она имеет
следующий вид:
G(e,p) = —--------------- , (6.33)
V ’ (1 + b)e - ер + г?(е) V 7
где у(е) дается выражением (6.24). При интересующих нас затухание у(е) <С
£ .
Сравним полученное выражение (6.33) с определением (4.14) квазичастичной функ-
ции Грина. Видим, что амплитуда функции Грина (6.33), даваемая величиной вычета
в полюсе, есть Z = 1/(1 + &) . Закон же дисперсии квазичастиц, согласно (6.33), имеет
вид
s = (6.34)
Отсюда находим перенормировку эффективной массы:
т* = (1 + Ь)т .
(6.35)
Видно, что электрон действительно «утяжеляется» (ибо он вынужден тащить за собой
фононное «облако»). Следовательно, плотность состояний, пропорциональная эффек-
тивной массе, увеличивается. Обратим внимание на то, что при электрон-фононном
взаимодействии £ ~ 1 величина b, определяющая величину перенормировки, оказы-
вается порядка единицы.
Перенормировка плотности состояний вблизи поверхности Ферми имеет простое
качественное объяснение. Чем выше энергия электрона по сравнению с уровнем Фер-
ми, тем более активно этот электрон испускает фононы (как видно из решения пре-
дыдущей задачи). В результате энергия электрона уменьшается, и он «прижимается»
к поверхности Ферми. (Эти рассуждения немного неточны, поскольку при £ <С Щр
вклад в S(s) дают, главным образом, не реальные, а виртуальные процессы. Поэтому
следовало бы говорить об испускании и поглощении виртуальных фононов.)
120
ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОНЫ И ФОНОНЫ
Решение 30. Запишем выражение для поправки к вершинной части электрон-
фононного взаимодействия, соответствующее диаграмме на рис. 6.2:
Г(1) = ~да [ G'(s1,p1)G'(s1 + w,pi + k)£>(s - s1;p - (6.36)
Мы не будем вычислять точно, а попытаемся ее оценить по порядку величины.
Вначале рассмотрим интеграл по Si . Полагая характерную передачу импульса порядка
кр ~ р0 , и учитывая, что D(e — Si) квадратично спадает при |s —Si| » Що , получаем,
что основной вклад в интеграл дает область |s — £i| ~ шр> . Оценив таким образом
интеграл по Si , находим
Г<1> ~ [_________________93^pd3Pi__________________ (6 37)
j (£1 - fpi + «о sign fl) (si - w - £P1+k + г0 sign &)
Теперь рассмотрим интеграл по импульсу pi . Характерная передача импульса — по-
рядка кр> ~ Ро • Поэтому мы можем оценить знаменатели как ер , причем d?‘pi ~ .
Собирая все вместе, имеем:
3 Ро £F 3 Ро QQ\
К } ~ д wD----2 ~ 9 -----UD (6.38)
v ер veF
Относительная величина этой поправки:
Г(1) 2 РО л
---~ д ------~ С\ (6.39)
д vFeF V М
Здесь использована известная оценка шр/ер ~ yJm/M , где т и М —соответствен-
но масса электрона и иона. Электроны намного легче ионов, поэтому рассмотренная
поправка к вершинной части пренебрежимо мала.
Приведенное рассуждение не является вполне строгим: оно оказывается ошибочным
при ш ~ kvp , w <С Що . В этом случае полюса функций Грина сближаются, и инте-
грал надо анализировать более аккуратно. Однако в большинстве задач эта область не
важна, поскольку скорость звука с много меньше vF .
Чтобы прояснить физический смысл полученного неравенства <С д , вычислим
вершинную часть в смешанном «импульсно-временном представлении». Это позволит
нам лучше проследить за ролью различных характерных времен. Нам потребуются
функции Грина фонона и электрона. Сначала найдем
D(k,t) = [ = E^e~ick\t\ . (6.40)
J 2тг 2
Аналогично можно вычислить и электронную функцию Грина:
G(P^) = -^‘{^p) ,<о • <6-41’
Обратим внимание на то, что D(k, t) — более медленно меняющаяся функция времени,
чем G(p,t) (при импульсе р , не слишком близком к ферми-поверхности).
6.3. РЕШЕНИЯ
121
На диаграмме, дающей поправку к вершине взаимодействия , расставим им-
пульсы и времена, как показано на рис. 6.4.
Рис. 6.4
Получаем следующее выражение:
Г(1) = dt е lljXt - И) G(pi + k, i2 - t) £>(p - pb tY - t2) .
J (27Г)°
(6.42)
При pi ~ ро электронные функции Грина меняются за времена порядка . По этой
причине |^1 — t\ ~ |i2 ~ t\ ~ \ti — £г| ~ tp1 • Это означает, что фононный пропагатор
берется при ~ t2 Поэтому он оказывается пропорционален с|р — pi| ~ u>d , и, таким
образом, возникает малый параметр щр/ьр .
Иными словами, электроны быстро (за время порядка ) поглощают фонон, под-
страиваясь под деформацию решетки. При этом они не успевают за счет своего движе-
ния снова «раскачать» решетку — на это требуется время порядка . Это есть про-
явление адиабатичности движения ионов. В силу своей большой массы ионы движутся
медленно и электроны всегда успевают подстроиться под их локальную конфигурацию.
Утверждение о малости вершинных поправок (теорема Мигдала) ценно тем, что позволяет оста-
вить в диаграммном ряде наиболее существенные вклады и просуммировать их, не предполагая ма-
лости электрон-фононного взаимодействия. Однако не следует думать, что все фононные перенорми-
ровки малы и потому несущественны. Иногда они приводят к важным эффектам, один из которых
— сверхпроводимость.
Решение 31. Запишем выражение для поляризационного оператора фононов, соответ-
ствующее диаграмме на рис. 6.3:
П = 2^2 [_____________________cl£ (]3р________________ (6 43)
(2я)4 J (t - £р + гО sign £р) (t + ш - £р+к + гО sign £р+к)
(множитель 2 возникает из-за суммирования по спину). Заметим, что именно такое
выражение было рассмотрено в задаче 24 а). Поэтому мы можем просто воспользовать-
ся ответом (5.39), справедливым при к <С ро , w :
П(сщ к) = -2/z/0 < 1 - In
I 2kvp
ш — kvp
(jJ + kvp
2kvp
(6.44)
а) Функция Грина фононов определяется из уравнения Дайсона:
D 1(сщ к) = Do 1(w, к) — П(о?, к) ,
(6.45)
122
ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОНЫ И ФОНОНЫ
а спектр фононов — из уравнения 7?-1(w, к) = 0 . Поскольку скорость звука много
меньше скорости Ферми, то нас итересует ш <С kvp . В таком пределе поляризацион-
ный оператор есть просто
П(си, к) ~ — с2д2у0 = —2£ . (6.46)
Поэтому функция Грина акустических фононов есть
2 2 е2
L>-1(w, к) = Dq1^, к) - П(сщ к) 2 С2° + К , , (6.47)
Со л
где со — затравочная скорость звука. Получаем закон дисперсии фононов ш = ск ,
где
с2 = с§(1 - 2С) . (6.48)
Уменьшение частоты фонона вследствие взаимодействия с электронами можно объ-
яснить тем, что электроны, быстро подстраиваясь под деформационный потенциал,
скапливаются в его минимумах и тем самым понижают энергию системы.
б) Чтобы найти затухание фононов, рассмотрим мнимую часть поляризационного опе-
ратора:
1тП(о>,А:) = — (6.49)
kvp
Подставляя в уравнение Дайсона (6.45) ш = ск + гу , получаем
Хотя затухание и оказывается пропорциональным частоте, оно все же мало по сравне-
нию с ш по параметру c/vp ~ yJm/M .
Сравним найденный результат (6.50) с затуханием звука в классической гидроди-
намике. В обычных жидкостях и газах затухание звука по порядку величины равно
о
Т]Ш
7 ~ ,
рс‘
(6.51)
где ц — вязкость среды, а р — ее плотность. Поэтому можно сказать, что «эффек-
тивная вязкость» электронного газа растет с уменьшением частоты:
цэлН - ш
(6.52)
Физически, большая эффективная вязкость электронного газа связана с высокой плот-
ностью электрон-дырочных возбуждений с энергией ш < с|к| . Именно такие пары
возбуждаются звуковой волной.
Решение 32. В размерности D = 1 поляризационный оператор, соответствующий
рис. 6.3, равен
П(сщк) = ~‘2ig2 f G(p,e)G(p + k,e + w)^^ (6.53)
6.3. РЕШЕНИЯ
123
(множитель 2 учитывает спин). Вычисляя интеграл по е , получим
П(о>Л) = -^ 7 , eM=signfp+t-Signy . (6.54)
7Г ш - ^р+к + Qp + г1№р>к
Интеграл (6.54) дается суммой вкладов двух областей, в которых разность п(£р) —
n(^p+fc) отлична от нуля:
А. > 0 , Ср+к < 0 у
Б: < 0 , > О
Рассмотрим к > 0 . В этом случае области А и Б есть
А: -р0 - к < р < -р0 ;
Б: ро - к < ро < ро .
Поэтому можно переписать (6.54) следующим образом:
(6.55)
Интеграл по р легко вычисляется и равен
П(сщ к)
Рассмотрим поведение этого выражения при к = 2р0 + х , ш = 0 :
о
тд- ро
— 1пО
7гр0 R
(6.56)
(6.57)
Это выражение логарифмически расходится при к = 2р0 •
Рассмотрим, как найденная логарифмическая особенность П(сщА:) проявляется в
спектре фононов. Запишем дисперсионное уравнение
D 1(w, к) = Do 1(w, к) — П(си, к) .
(6.58)
Нас интересуют значения к вблизи к = 2ро и малые ш . В этой области дисперсионное
уравнение принимает такой вид:
2 2 2
ш ~ш2Р0 , тд\ ро
-------— 4------ш---------
^2ро \к~ 2ро|
(6.59)
(Строго говоря, следовало бы использовать П(си, к = 2р0) при ш ф 0 . Это, однако, не
меняет качественных выводов.) Получаем закон дисперсии
2 2
Ш = Ш2р0
. тпд2 ро
1------1П —------7
irpo л-2р0
(6.60)
124
ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОНЫ И ФОНОНЫ
При к достаточно близком к 2р0 второй член в правой части (6.60) превосходит
первый, и потому частота фононов становится мнимой. Это означает, что в систе-
ме возникает неустойчивость вблизи волнового вектора к = 2р0 — кристаллическая
решетка стремится деформироваться. На первый взгляд это кажется несколько стран-
ным — ведь деформация решетки требует энергии. Однако, оказывается, что из-за
взаимодействия с электронами деформация становится энергетически выгодной! Не-
устойчивость одномерного металла по отношению к образованию модуляции плотности
с периодом 7г/ро приводит к так называемому переходу Пайерлса. Равновесная ампли-
туда возникающей модуляции определяется балансом электронной и упругой энергии
(см. разд. 6.4).
Чтобы разобраться в происхождении пайерлсовской деформации и выяснить, чем
выделен волновой вектор 2р0 , предположим, что каким-то образом возникла спонтан-
ная модуляция решетки с волновым вектором Q . Что происходит при этом с элек-
тронами? На них действует деформационный потенциал, период которого есть 2тг/Q .
Как известно, в периодическом потенциале электронный спектр приобретает зонную
структуру, и в нем открываются щели. Их появление связано с вырождением элек-
тронного спектра: состояния с импульсами р и — р в отсутствие потенциала имеют
одинаковую энергию. Если внешний потенциал их перемешивает, то это вырождение
снимается, и уровни расщепляются. Потенциал с периодом 2tf/Q в низшем порядке
теории возмущений смешивает состояние с импульсом р с состояниями с импульса-
ми р ± Q . Вырождение происходит при р = ±Q/2 . Именно при этих значениях р в
спектре и отбывается самая большая шель Гем. dhc. 6.5Й
Рис. 6.5
При образовании щели состояния над ней выталкиваются вверх по шкале энергий, а
под ней — вниз. Как при этом изменяется полная энергия электронов, зависит от поло-
жения уровня Ферми ер по отношению к щели. Если ер лежит существенно ниже, чем
щель, то энергии состояний под ним почти никак не изменяются. А если ер лежит вы-
ше, чем щель, то, хотя энергии некоторых электронов изменятся сильно, но, поскольку
6.3. РЕШЕНИЯ
125
состояния выталкиваются из щели вверх и вниз симметрично, суммарная энергия ме-
няется незначительно. Однако, ситуация станет совершенно иной, если уровень Ферми
находится в точности там, где открывается щель. Тогда все занятые состояния вы-
талкиваются из щели вниз, и энергия электронного газа понижается. Это происходит,
если выполнено условие р$ = Q/2 .
Таким образом, модуляция решетки с волновым вектором Q = 2р0 может привести
к существенному понижению энергии системы. Наше вычисление, предсказывающее
неустойчивость, означает, что выигрыш в энергии решетки за счет взаимодействия с
электронами превосходит энергию упругой деформации, что и приводит к неустойчи-
вости. В результате образуется состояние, в котором смещение решетки и плотность
электронов модулированы с периодом 7г/р0 • Такое состояние называется волной заря-
довой плотности.
Пайерлсовскую неустойчивость можно также назвать «кооперативным эффектом
Яна-Теллера». Напомним, что эффект Яна-Теллера в молекулах состоит в том, что
симметричные конфигурации молекул оказываются неустойчивыми. Деформация мо-
лекулы, разрушающая симметрию, снимает вырождение электронных уровней, и если
при этом вырожденный уровень был не полностью заполнен, то это приводит к пони-
жению энергии молекулы. В эффекте Пайерлса трансляционно-инвариантная конфи-
гурация решетки неустойчива по аналогичным причинам.
Решение 33 а) Рассмотрим случай одного измерения, D = 1 . Мы предполагаем, что
система покоится, т. е. й = 0 . Минимизируя в этом случае энергию (6.13) по отноше-
нию к деформации w(x) , находим связь w(x) с плотностью: w(rr) = — (А/Х) |^(х)|2 •
Подставив это выражение в деформационный потенциал, действующий на электрон,
приходим к нелинейному уравнению Шредингера:
1 А2
-~w" - —. (6-61)
2 К
Ищем солитонное решение в виде
V’(z) = —. (6.62)
спВх
Находим В2 = Х2А2/К, Е = —В2/2 . Недостающую связь А и В получаем из условия
нормировки:
— ОО
Это дает энергию связи Eq = — |(А2/Х)2 и размер локализованного состояния В 1 =
2К/Х2 .
Найдем энергию деформации
Кг X2 г К
Еупр. = — w2(x)dx = ^\x)dx = . (6.64)
2 J 2К J 12KZ
Полная энергия отрицательна:
/ 1 1\ А4 А4
^полн. = Ео + Еущ>, = J ~ 2^2 < 0 (6.65)
126
ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОНЫ И ФОНОНЫ
и поэтому образование локализованного состояния выгодно при сколь угодно малом
А.
При D > 1 все несколько сложнее. Решить задачу точно уже нельзя, но качествен-
ное поведение можно получить из «соображений размерности». Рассмотрим локализо-
ванное состояние электрона, сосредоточенное в области порядка а :
V’(r) - a D/2f(r/d) ,
(6.66)
где /(г) — функция типа колокола размера порядка единицы. Эту функцию можно по-
лучить вариационным или каким-либо еще численным методом. Точный вид /(г) нам
не потребуется, но можно иметь в виду, например, /(г) = е~г . Найдем зависимость
кинетической и упругой энергии от а :
Яин. = ^> Еупр. = (6.67)
где Ci,2 — положительные константы порядка единицы. Для ответа на вопрос о лока-
лизации следует найти а , минимизирующее полную энергию
ci с2Л2
«2 ” KaD
имея в виду, что это выражение применимо только при а , большем постоянной ре-
шетки по . Видим, что имеется критическое значение Ас ~ Ка^~2 , такое, что при
А < Ас локализованное состояние невыгодно, а при А > Ас оно образуется, причем
сразу сжимается до размера порядка постоянной решетки.
Решение 33 б) Чтобы определить эффективную массу полярона, найдем энергию
полярона, движущегося с постоянной скоростью v . Движение полярона удобно рас-
смотреть в сопутствующей системе отсчета. Для волновой функции электрона пре-
образование Галилея дает:
^(гД) = ?Дг'Д) ехр
• / 2 '
г I . mv
- mvr -|--— t
Гь \ £
(6.69)
где г' = г — vt — координата в движущейся системе отсчета (см. задачу к §17 [2]).
Поскольку преобразование меняет только фазу ^(r,i) , но не [ф\ , взаимодействие с
решеткой Aw(r)|?^(r)|2 в сопутствующей системе отсчета сохраняет свой вид, а из
кинетической энергии электрона вычитается ±nrv .
Влияние движения на энергию решетки оказывается более существенным. Посколь-
ку при переходе в движущуюся систему отсчета временная производная оказывается
связанной с пространственной производной ( dt = d# +vVr, ), скорость смещения среды
в сопутствующей системе отсчета есть й = (vV)u. Следовательно, плотность кине-
тической энергии системы равна ^p((vV)u)2 . Упругая же энергия зависит от дефор-
мации w = Vu , и поэтому не меняется при движении. Физическая причина отличия
кинетической энергии от нуля — в том, что локализованная деформация, движущаяся
с постоянной скоростью, раскачивает атомы решетки.
6.4. ЭФФЕКТ ПАЙЕРЛСА — ТЕОРИЯ СРЕДНЕГО ПОЛЯ
127
В размерности один получается плотность кинетической энергии ^(pv2)w2 , совпа-
дающая по форме с плотностью упругой энергии ^Kw2 . Поэтому в данном случае
уравнение для 'ф будет иметь вид (6.61) с точностью до замены: Е —> Е — |mv2 и
К —у К + pv2 . Используя результат (6.65) для энергии связи неподвижного полярона,
получаем изменение энергии вследствие движения:
mir2 \4 \4
. „ / ч //ГУ АЛ
Л = + 24Х2 ” 24(X + pv2)2 ' (6’7°)
Раскладывая выражение (6.70) при малом v , получаем массу полярона:
д4
m*=m+67p- (6’71)
Как видно из зависимости (6.70), приближение эффективной массы (6.71) применимо
при скорости движения полярона много меньшей скорости звука, v <С с.
В размерности D > 1 , как уже отмечалось, задача об отыскании минимума энергии
(6.13) и волновой функции автолокализованного состояния может быть решена только
численно. Изменение энергии полярона в результате его движения рассматривается
при D > 1 аналогично одномерному случаю. Для массы полярона при этом получается
формула вида (6.71), в которой коэффициент | заменяется на другое число, зависящее
от размерности D и деталей взаимодействия на малых расстояниях.
Отметим, что масса полярона (6.71) может намного превосходить массу электро-
на. Например в случае, когда электрон-фононное взаимодействие не имеет никакой
специфической малости, в атомных единицах А ~ 1 , JC ~ 1 , а р М/т , где М
— характерная масса иона решетки. При этом т* ~ М . Разумеется в реальных по-
лупроводниках масса полярона обычно не достигает массы иона, поскольку константа
связи А как правило не превосходит нескольких долей единицы, а поправка к массе в
(6.71) пропорциональна А4 .
Сравним перенормировку массы полярона сильной связи (6.71) с результатом
т,,/т = 1 + ^д2т2с \Дкв/тс) для полярона слабой связи, полученным в задаче 16
(см. выражение (4.45)). Прежде всего отметим, что константа связи А в гамильтони-
ане сильной связи (6.13) связана с константой связи д в гамильтониане Фрёлиха (6.6)
следующим образом: А = дК1/2 . Поэтому результат (6.71) можно записать в атомных
единицах как rnjrn = 1 + ^(д2/с)2 . Сравнивая эти два выражения для эффективной
массы, видим, что переход из режима слабой связи в режим сильной связи происходит
при относительно малой величине константы д <С 1 .
6.4. Эффект Пайерлса — теория среднего поля
Электрон-фононное взаимодействие в металле может приводить к двум различным, хо-
тя в чем-то и родственным, неустойчивостям: пайерлсовской, переводящей металл в ди-
электрическое состояние, и куперовской, делающей металл сверхпроводником (см. гла-
ву 10). Эффектом Пайерлса (см. задачу 32) называется неустойчивость одномерной
128
ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОНЫ И ФОНОНЫ
электрон-фононной системы, приводящая к образованию модуляции смещения решет-
ки с волновым вектором к = 2р0 (это соответствует периоду в пространстве равному
среднему расстоянию между электронами с одной проекцией спина). Из-за рассеяния
электронов на периодическом деформационном потенциале с к = 2р0 в окрестности
уровня Ферми в спектре электронов открывается щель, величина которой пропорци-
ональна амплитуде модуляции. Энергия заполненных состояний, находящихся под ще-
лью, понижается на величину большую, чем затраченная системой при возникновении
модуляции упругая энергия. Такой баланс энергии делает пайерлсовское состояние бо-
лее выгодным по сравнению с исходным металлическим состоянием. Пайерлсовское со-
стояние является диэлектриком, поскольку в нем отсутствуют электронные возбужде-
ния с энергиями меньшими величины щели в спектре. Пайерлсовская неустойчивость
наиболее ярко выражена в одномерной системе, но встречается также и в реальных
трехмерных системах, структура которых в том или ином смысле «квазиодномерна».
Цель этого раздела — изложить простую теорию, позволяющую обосновать опи-
санную картину и выяснить некоторые интересные детали устройства пайерлсовского
состояния. Мы ограничимся здесь случаем нулевой температуры (некоторые вопросы
термодинамики перехода Пайерлса рассмотрены в задаче 39). По характеру приме-
няемого приближения использованный ниже метод является так вызываемой теорией
среднего поля, поскольку модуляция решетки, на фоне которой двигаются электроны
и фононы, рассматривается в этой теории как статическая. При этом предполагает-
ся, что действующий на электроны деформационный потенциал флуктуирует относи-
тельно слабо. Такое приближение позволяет найти гриновские функции электронов и
фононов и определить, как их закон дисперсии меняется при переходе в пайерлсовское
состояние.
Начнем с того, что явно выделим область импульсов вблизи поверхности Ферми.
Запишем для этого -оператор в виде суммы вкладов частиц с энергиями вблизи Ер ,
движущихся направо и налево:
^(х) = ?ф(х) eip°x + V>2(z) e~ip°x , (6.72)
где ^j(rr) , i = 1,2 , предполагаются медленными функциями х . После этого гамиль-
тониан свободных электронов принимает вид:
(6.73)
Предположим теперь, что в системе возникла статическая модуляция смещения ре-
шетки и(х) = uq cos(2po^ + р) При этом на электроны действует деформационный
потенциал U(x) = дди/дх . Соответствующий вклад в гамильтониан есть
7/int = / U(x) 1р+(х)'ф(х') dx ~ Д / (х')'ф2(х') + h.c.) dx , (6.74)
где Д = диороё1^ . Нам будет удобно воспользоваться матричной формой записи. Бу-
дем считать ф двухкомпонентным вектором (его компоненты — и ^2 )• Тогда
гамильтониан можно представить с помощью матрицы, действующей на этот вектор:
vpk
д
(6.75)
6.4. ЭФФЕКТ ПАЙЕРЛСА — ТЕОРИЯ СРЕДНЕГО ПОЛЯ
129
Здесь к = —гд/дх . Перейдя к импульсному представлению, нетрудно найти собствен-
ные значения и собственные векторы оператора (6.75):
еДЕ) = ±\]v2Fk2 + Д2 , |±, Е) =
(6.76)
где
2—1
U± ~ 2
vFk
\Jv2Fk2 + Д2
vFk
\Jv2Fk2 + Д2
(6.77)
Таким образом, наш вывод о том, что в спектре возбуждений открывается щель, ока-
зывается справедливым, причем величина щели есть 2|Д| .
Используя найденные собственные состояния и их энергии (6.76), найдем измене-
ние полной энергии электронов, вызванное «внешним» деформационным потенциалом
(7(х) . Все электронные состояния (6.76) с г > 0 при Т = 0 будут пустыми, а состоя-
ния с е < 0 — занятыми. Поэтому энергия системы равна
Еэл = -2 £ у/ДрЕ2 + | Д|2
к
(6.78)
(множитель 2 учитывает спиновое вырождение). Эта сумма расходится степенным
образом при к —> ±оо , благодаря электронным состояниям, расположенным глубоко
под уровнем Ферми. Однако, поскольку энергия этих состояний почти не меняется при
включении потенциала U(x) , они дают относительно небольшой вклад в изменение
энергии
Жл = Ж(Д) - Ж(д = 0) = -2 £ Uv2Fk2 + \k\2 - vF\k\\ . (6.79)
к ' 2
Это выражение все еще расходится при больших к , но уже лишь логарифмически.
Обрезая эту расходимость при к ~ ±ро , получаем
£|Д|2 7 2е* 1\
----- ш --------
\ |А| V
(6.80)
где е* = vFpo , a L — размер системы. Наше вычисиление 6ЕЭЛ корректно, поскольку
|Д|
Чтобы определить оптимальную величину энергетической щели Д , найдем изме-
нение энергии решетки при возникновении модуляции:
^реш = [ (ди/дх)2 dx = pc2p2Qu2QL =
Z J g
(6.81)
Видно, что при самых малых |Д| отрицательное изменение энергии электронов (6.80)
преобладает. Величина Д определяется из условия минимизации полной энергии
8ЕЭЛ + .Ереш как функции Д , что дает
л ( ttvf
До = ехр----------—
\ 92
(6.82)
130
ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОНЫ И ФОНОНЫ
Величина До определяет характерный масштаб энергий, при которых имеет место
эффект Пайерлса. Как видно из (6.76), именно при энергиях е ~ До происходят изме-
нения в спектре электронов. Величина До также определяет температуру Тс ж До ,
при которой происходит фазовый переход в пайерлсовское состояние (см. задачу 39).
В реальных материалах температура Тс может составлять от нескольких единиц до
сотен градусов.
Рассмотрим теперь функции Грина электронов и фононов. Благодаря наличию пра-
вых и левых состояний, для описания электронов, рассеивающихся на модуляции с
к = 2ро , необходимо использовать четыре функции:
G'n(x, х')
G12(x,x')
-г(Т^1(х)^(х')) ; G22(x,x') = -г (Т^2(х)^(х')) ;
-i (Т?ф(х)^+(х')) 5 G21 (х,х') = —i (Т^2(т)#(х')) .
Функции Gij(x,x') можно вычислить, обратив матрицу е — Н :
/ Стц Gi2 \ _ 1 / £ + Vpk Д
^2! G22 ~ £2 _ ^2 _ |Д|2 + Ю Д+ £-VFk
(6.83)
Полюса электронных функций Грина (6.83) дают закон дисперсии квазичастиц е(к) =
± (k2Vp + Д2)1//2 , в точности совпадающий с (6.76). Наличие щели в спектре подтвер-
ждает наш вывод о диэлектрическом характере основного сотояния.
Перед тем, как исследовать функцию Грина фононов, отметим некоторые каче-
ственные черты пайерлсовского состояния. При возникновении волны зарядовой плот-
ности в системе спонтанно нарушается трансляционная симметрия движения электро-
нов относительно решетки (возникающая модуляция решетки понижает симметрию
основного состояния). При этом, однако, исходный микроскопический гамильтониан
своей симметрии не теряет. Поэтому в системе должна появиться мягкая ветвь спектра
элементарных возбуждений подобная акустическим фононам4, частота которой обра-
щается в ноль при к = 0 . В данном случае механизм возникновения мягкой моды
следующий. Энергия системы никак не зависит от фазы волны зарядовой плотности
ср , если последняя постоянна. Если же ср медленно изменяется в пространстве, то это
эквивалентно тому, что волновой вектор к(х) отклоняется от 2р0 на дср/дх . Мо-
дуляция с волновым вектором, отклоняющимся от оптимального значения к = 2р0 ,
приводит к некоторому увеличению энергии системы. Из этих рассуждений видно,
что только изменение фазы модуляции cp(x,t) в пространстве (или во времени) мо-
жет привести к состоянию с большей энергией. Таким образом, фаза cp(x,t) и есть
переменная, описывающая в данном случае мягкую моду, часто поэтому называемую
«фазонной модой». Как мы увидим ниже, из-за взаимодействия с электронами фазон-
ная мода приобретает скорость vp с . Кроме фазонной моды, в системе есть также
другая мода, связанная с отклонением |Д| от До (так называемый «амплитудой»).
Поскольку энергия системы явно зависит от |Д| , мода колебаний амплитуды Д не
4Читатель, знакомый с теоремой Голдстоуна, знает, что в этом проявляется общий принцип, тре-
бующий появления мягкой голдстоуновской моды при нарушении непрерывной симметрии в основном
состоянии системы.
6.4. ЭФФЕКТ ПАЙЕРЛСА — ТЕОРИЯ СРЕДНЕГО ПОЛЯ
131
является мягкой: спектр соответствующих возбуждений отделен от энергии основного
состояния щелью конечной величины.
Имея в виду вышесказанное, рассмотрим функцию Грина фононов D(w, к) . Урав-
нение Дайсона в этом случае имеет вид
Р-ДшД) = D^t^k) - д2П(ш,к) , ИДш, к) = г , (6.84)
— шДк)
где а>Дк) = с\к\ . При интересующих нас к ~ 2р0 поляризационный оператор П(си, А;)
имеет нетривиальную зависимость от 6к = к — 2р0 • В этой области он выражается
через матричные функции Грина (6.83) следующим образом:
n^,k) = -i f f Тг (<7жС(в+,5+)<7жС(£_,5_)) , (6.85)
J J (ДтД
где s± = е ± , q± = q ± Д>к , а матрица Паули ах и след Тг... определены в дву-
мерном пространстве правых и левых состояний электронов, в соответствии с (6.83).
Используя выражения (6.83) для матричных функций Грина, получаем
П(и>, ч = -Д/ 71------, (6.86)
v 7 J J Д+ — v2FqF — Д2 + zO)(sl — r^Q2 — Д2 + гО) (2тг)2 v 7
Рассмотрим сначала случай ш = 0 , 6к = 0 (т. е. к = 2р0 )• Выражение (6.86) при этом
дает
По = П(^ = 0,fe = 2р0) = -^П12 £2~ , (6.87)
vF J J Д2 — q2 — А.2 + гО)2 (2тг)2
где q = vFq . Вычислить интеграл в (6.87) можно следующим образом. Перейдем от
вещественной частоты к мнимой по формуле е —У is . При таком преобразовании, как
нетрудно видеть, направления обхода полюсов в выражении (6.87) остаются прежними.
В результате получаем интеграл от функции, обладающей круговой симметрией:
Пп = — [[ -g2-g2 + A2 dedq = 1 Г -г2 + Д2 rdr =____________/6 88х
vF J J (е2 + q2 + Д2 + гО)2 (2тг)2 2тгщ? / (г2 + Д2)2 2тгщ? еД ’
где г = (е2 + д2)1/2 , а значение энергии £q , на которой обрезан логарифмически
расходящийся интеграл, выбрано порядка EF .
Частота фононов с к = 2р0 , согласно рассуждениям о мягкой моде, должна быть
равна нулю. Нетрудно видеть, что именно так и получается, если записать закон дис-
персии 7?-1(w, k)k=2p0 = 0 с помощью уравнения Дайсона (6.84):
/ ,,2 \
“ 1 = °- (6-89)
\ШДК) / к=2р0
Условие того, что данное уравнение на ш имеет решение ш = 0 , есть 1+д2По = 0 , что,
согласно результату (6.88), эквивалентно соотношению (6.82) теории среднего поля,
определяющему величину щели Д .
132
ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОНЫ И ФОНОНЫ
С помощью изложенного метода можно найти поляризационный оператор П(си, к)
при произвольных ш и к . Для этого перейдем к мнимым частотам t —у ге , ш —У ш
непосредственно в выражении (6.86). При этом получаем
. Iff —z+z_ + Д2 dzdz , . .
П W, W) = —-- / / 7------------------TV . , z± = z ± , 6.90
v ! 2wF J J (z+z+ + Д2)(г_г_ + Д2) (2тг)2 ’ 2 ’ v ’
где z = vFq + ie , w = vF6k + iw . В силу круговой симметрии интегрируемой функции,
выражение (6.90) зависит только от абсолютной величины комплексного w , причем
П(гс = 0) = По . При малых w выражение (6.90) принимает вид
9 -
п WW
П(ад, w) = По + а-—— , |ад|<Д, (6.91)
vF Д
где а > 0 — константа порядка единицы. Интеграл в (6.90) нетрудно вычислить
точно, если сначала проинтегрировать по углу arg(z) , а затем — по \z\ . Однако для
анализа закона дисперсии при к ~ 2ро нам будет вполне достаточно разложения (6.91).
Закон дисперсии 7?-1(w, к) = 0 , с учетом уравнения Дайсона (6.84), в котором мы
используем поляризационный оператор в форме (6.91), дает
2 2 -
~Л(Г\-------= 0 (6-92)
шо(к)к=2ро vF Д2
(мы учли, что 1 + д2По = 0 ). Переходя в выражении (6.92) от мнимой частоты обратно
к вещественной, ш —У ш/г, получаем линейный закон дисперсии вблизи к ~ 2ро :
/ \ ^2
„-------1- а— ш2 = a—Vp6k2 (6.93)
\uo(k)k=2po vfJ vf
При малой константе электрон-фононного взаимодействия д величина Д экспоненци-
ально мала, и поэтому фазовая скорость v* = dtz/dk близка к vF . Качественный вид
закона дисперсии фононов, получающегося в изложенной теории среднего поля, изо-
бражен на рис. 6.6. Исходный линейный фононный спектр и линеаризованный закон
дисперсии (6.92) в окрестности к = 2ро показаны пунктиром.
6.4. ЭФФЕКТ ПАЙЕРЛСА — ТЕОРИЯ СРЕДНЕГО ПОЛЯ
133
Рис. 6.6
Развитый выше аппарат во многом аналогичен теории сверхпроводимости
(см. разд. 10.2.2). Основное формальное отличие состоит в том, что в теории сверх-
проводимости рассматриваются процессы рассеяния электронов с противоположными
импульсами, а нашей задаче — процессы переброса электронов с одной стороны ферми-
поверхности на другую (или, что то же самое, рассеяние электрона и дырки с противо-
положными импульсами). Поэтому, как иногда говорят, в пайерлсовском диэлектрике
имеет место спаривание электронов и дырок с противоположными импульсами.
Важное отличие от сверхпроводимости заключается однако в том, насколько теория
среднего поля, пренебрегающая флуктуациями Д , соответствует реальному положе-
нию вещей. Оказывается, что в сверхпроводниках флуктуациями можно пренебречь
из-за малости температуры фазового перехода по сравнению с Ер (эта малость связа-
на с тем, что температура сверхпроводящего перехода пропорциональна щр ). В случае
же с эффектом Пайерлса все не столь просто. Во-первых, температура перехода Пай-
ерлса, как правило, выше, чем в сверхпроводниках, и поэтому флуктуации сильнее. Во-
вторых, дополнительное усиление флуктуаций происходит из-за квазиодномерности.
Конечно реальные кристаллы все-таки трехмерны, и поэтому флуктуации не разруша-
ют дальний порядок полностью, как это должно было бы случиться в чисто одномерном
случае. Соответствующие эффекты трехмерности обычно малы, однако совсем прене-
бречь ими нельзя — они отвечают за поддержание дальнего порядка. Вследствие всего
этого интервал температур вблизи Т = Тс , в котором эффекты флуктуаций суще-
ственны, обычно оказывается довольно большим.
Отметим также, что одномерность играет в эффекте Пайерлса существенную роль.
Можно проверить, что в размерностях больше единицы сингулярность поляризацион-
ного оператора при к = 2р0 (так называемая коновская особенность) оказывается
более слабой и не приводит к неустойчивости.
Несмотря на одномерность, эффект Пайерлса — часто встречающееся явление. Су-
ществуют кристаллы, в которых молекулы упорядочены в одномерные цепочки, вдоль
которых распространяются электроны. В таких квазиодномерных сруктурах эффект
Пайерлса приводит к фазовому переходу, при котором изменяется период решетки.
Физика возникающих в таких системах состояний весьма разнообразна и интересна,
поскольку помимо электрон-фононного взаимодействия часто оказывается существен-
ным также и электрон-электроннное взаимодействие. В результате в таких системах
могут возникать не только волны зарядовой плотности, рассмотренные выше, но и
волны спиновой плотности, а также сверхпроводимость. Кроме того, иногда эффект
Пайерлса может проявляться в «недоразвитом» виде и в трехмерных кристаллах (на-
пример, в висмуте, ферми-поверхность которого имеет плоские области, и выглядит
скорее как гладко обструганный брусок, а не как сфера).
Подробнее с физикой волн зарядовой плотности можно ознакомиться по обзорам:
Л.П. Булаевский, УФН, т.115, с.261 (1975); G. Gruner, Rev. Mod. Phys. 60(4), с.1129-
1181 (1988); и книге: Charge density waves in solids, eds. L.P. Gorkov, G. Gruner (North
Holland, 1989); см. также оригинальные работы: P.A. Lee, T.M. Rice, P.W. Anderson,
Solid State Comm. 14, 703 (1974); C.A. Бразовский, И.Е. Дзялошинский, ЖЭТФ, т.71,
ГЛАВА 6. ЭЛЕКТРОНЫ И ФОНОНЫ
134
с.2338 (1976).
Диаграммная техника при
конечных температурах
7.1. Мацубаровское время.
В этой главе мы рассмотрим диаграммную технику для систем при конечной темпера-
туре. Обобщение нуль-температурной техники на конечные температуры оказывается
удивительно простым и красивым. Оно называется диаграммной техникой Мацубары.
Основная задача, решаемая в статистической физике равновесных систем, состоит
в усреднении различных величин по распределению Гиббса. При этом рассматриваются
средние вида
= ^wn^n|O. ..В|п^ , (7.1)
п
где индекс «т» указывает на то, что среднее берется по распределению вероятностей
различных состояний при конечной температуре Т :
wn = exp (—(ЗЕп) , Z = ^2ехр(-(ЗЕп) , (7.2)
z п
где |п) — собственное состояние системы с энергией Еп , wn — вероятность пребы-
вания в этом состоянии, /3 = 1/Т — обратная температура, a Z — статистическая
сумма. Выражение (7.1) можно записать так:
Теория возмущений, позволяющая находить подобные средние, строится следующим
образом. Представим гамильтониан в виде 77 = Но + Т/int , где 7/jnt — возмущение.
В основе мацубаровской техники лежит аналогия между операторной экспонентой га-
мильтониана
Цз = ехр (—/3 (770 + TZint)) (7.4)
и квантовомеханическим оператором эволюции
U(t) = exp (—it (н0 + %int)) (7.5)
135
136 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Переход от U(t) к Цз осуществляется простой заменой t = —г/З .
Оказывается, что эта аналогия имеет далеко идущие последствия. А именно, можно
рассмотреть эволюцию системы во мнимом времени t = —ir (т называют иногда
мацубаровским временем). Введем гейзенберговские операторы
Ам(т)=етйАе~тй . (7.6)
Эволюция этих операторов во мнимом времени дается уравнением
АД1 = [Й, Ам(т)] . (7.7)
ат L J
Далее можно ввести мацубаровское представление взаимодействия:
А(т) = етН° Ае~тН° (7.8)
и мацубаровскую S-матрицу:
§(т) =е~тйетйо . (7.9)
Нетрудно проверить, что эта S-матрица удовлетворяет уравнению
^7 = -Й1м(г)5(г) , (7.10)
ат
где _ ~ ~
ftint(r) = ет^Н-1гАе~т^ (7.11)
— оператор возмущения, записанный в представлении взаимодействия. Решение урав-
нения (7.10) имеет вид:
§(т) = Тт ехр ( - у 7/intCr) бт ) . (7.12)
\ о /
Символ Тт обозначает хронологическое упорядочение операторов по мацубаровскому
времени т . Эта процедура аналогична обычному Т-упорядочению (ср. с выражением
(2.3), гл. 2).
В мацубаровском представлении взаимодействия средние (7.3) принимают следую-
щии вид: _ .. Тг(Д Д ...В Д S Д е’^0) (а...в\ = у (7.1з) Х /т Тг(5(Д)е-^о)
(Для вывода этого соотношения надо воспользоваться тем, что операторы под знаком
следа можно переставлять циклически.) Таким образом,
(Л(/3)...в(/3)ЭД)то
(7.14)
7.2. ДИСКРЕТНЫЕ ЧАСТОТЫ.
137
где усреднение (.. Дт,о обозначает Тг(. ..е ^°)/Тг(е /3'Но) — среднее по распределе-
нию Гиббса с невозмущенным гамильтонианом Но .
Таким образом, возникающие формулы отличаются от случая Т = 0 в основном
заменой времени t = —ir . Другое отличие заключается в следующем. Усредняя по
основному состоянию при Т = 0 , мы полагали, что возмущение при t = — ею отсут-
ствует, а затем медленно включается. Поэтому во всех выражениях возникали величи-
ны S(t,— сю) , 5(сю,£) и 5(сю,—сю) . При конечной же температуре во все формулы
входит <S(r) только при 0 < т < Д . Поэтому в мацубаровской технике нас интересует
эволюция системы во мнимом времени в интервале от 0 до ф
Кроме того в выражение (7.14) входит след, то есть сумма вида • • • |п) Это
означает, что на квантовомеханическую задачу накладывается дополнительное огра-
ничение: через время Д система обязана вернуться в исходное состояние. Поэтому
оказывается удобным считать, что мацубаровское время — это переменная, принима-
ющая значения на окружности, а Д — длина этой окружности.
Таким образом, мы приходим к важному выводу: вычисление средних по распреде-
лению Гиббса сводится к квантовомеханической задаче во мнимом времени 0 < т < Д
с периодическими по времени граничными условиями.
Теперь можно развить теорию возмущений для вычисления термодинамических ве-
личин. Для этого вводится так называемая мацубаровская функция Грина:
G(r, г', т, т') = -(Ттф(г,т)ф+(г'г'))т . (7.15)
(Для ферми- и бозе-статистики знак один и тот же.)
Поскольку в нашей задаче всегда 0 < т < Д , то — Д < т — т' < Д . Поэтому функция
Грина (7.15) определена на отрезке [—Д, Д] . Кроме того, можно показать (см. [1], §11),
что
ед = ±ед + д) (7.16)
(верхний знак относится к бозевским частицам, а нижний — к фермиевским).
С помощью функции Грина можно вычислять т -упорядоченные средние. Оказыва-
ется, что и в температурной технике верна теорема Вика, поэтому т -упорядоченное
произведение ф -операторов всегда можно выразить через парные средние. Это, в свою
очередь, означает, что можно построить диаграммную технику для вычисления таких
средних. В координатном пространстве правила практически совпадают с правилами
диаграммной техники при Т = 0 , за тем исключением, что область интегрирования по
мацубаровскому времени т есть отрезок [О, Д] . Кроме того, коэффициент перед мацу-
баровской диаграммой есть (—l)n+F ( п — порядок теории возмущений, F — число
фермионных петель), а не in{—1)F , как в обычной технике.
7.2. Дискретные частоты.
Вычисления в мацубаровской технике почти всегда проще производить не во времен-
ном, а в частотном представлении. Опишем, как выглядит соответствующий форма-
лизм. Поскольку функции Грина определены на отрезке [—Д, Д] , их можно разложить
138 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
в ряд Фурье:
G(r, г, г') = Т £ е~г— G(iun, г, г') , (7.17)
где шп = ттТ, а множитель Т введен для удобства. Условие (анти)периодичности
(7.16) означает, что G(iwn) ф 0 для а)п = 2ттТ в случае бозе-частиц, и шп = (2п+1)тгТ
в случае фермионов. Поэтому в мацубаровской технике частота принимает дискретные
значения — четные для бозонов и нечетные для фермионов. Роль дискретной частоты
шп в мацубаровской технике — такая же, как у энергии в обычной технике. Поэтому
основное отличие диаграммной техники в частотном представлении состоит в замене
интегралов по энергиям в функциях Грина на суммы по дискретным частотам. При
этом сумма частот в вершине обязательно равна нулю («закон сохранения энергии»).
Приведем также выражения для электронной и фононной функций Грина в импульс-
ном представлении:
G(ien, р) = ---, еп = (2п + 1)тгТ ; (7.18)
ь(р)
D(iun, к) =----, шп = 2ттТ . (7.19)
^п + ^о(к)
Заметим, что эти выражения можно получить из причинных функций Грина заменой
е, ш —> ien, icjn . Приведем также полную сводку правил диаграммной техники в
импульсном представлении для случая двухчастичного взаимодействия (ср. Гл. 4):
1) На каждой диаграмме нужно расставить импульсы р и мацубаровские часто-
ты шп так, чтобы в каждой вершине выполнялись законы сохранения энергии
и импульса. При этом линии бозе-частиц должны переносить четные частоты
( шп = 2ттТ ), а линии ферми-частиц — нечетные ( шп = (2п + 1)тгТ ).
2) Полученное выражение интегрируется по всем внутренним импульсам и сумми-
руется по всем внутренним частотам.
3) Наконец, ответ следует умножить на
ТП
(7.20)
где п — порядок теории возмущений, a F — число фермионных петель.
Итак, рецепт учета конечной температуры выглядит заманчиво просто. Нужно за-
менить энергии на ien , интегралы по энергиям f ...de/2'к на Т^£п ... и просуммиро-
вать по дискретным частотам еп . Хотя на первый взгляд кажется, что выражения,
полученные в мацубаровской технике при конечной температуре, должны быть как-то
тривиально связаны с нуль-температурными выражениями, в действительности это не
совсем так (см. задачи 40, 41).
7.2. ДИСКРЕТНЫЕ ЧАСТОТЫ.
139
7.2.1. Метод аналитического продолжения.
Мацубаровская техника позволяет легко вычислять одновременные средние любых ве-
личин. На первый взгляд, при рассмотрении динамики в реальном времени мацубаров-
ская техника бесполезна. Ведь разновременные средние, которые эта техника использу-
ет, имеют вид (А(т) В(0)} , где т — это мацубаровское время, а не настоящее! Однако
оказывается, что при помощи специального приема, рассмотренного ниже, мацубаров-
ская техника может быть использована для вычисления определенных разновременных
средних.
Существуют весьма общие соотношения между мацубаровскими функциями, опре-
деленными во мнимом времени, и функциями Грина в реальном времени, такими как
запаздывающие и опережающие гриновские функции. Эти соотношения следуют толь-
ко из аналитических свойств функций Грина, и никак не используют конкретного ви-
да этих функций в той или иной системе. Поэтому они имеют столь же общий харак-
тер, как, скажем, флуктуационно-диссипационная теорема или соотношения Крамерса-
Кронига для восприимчивости.
Рассмотрим запаздывающую и опережающую функции Грина, определенные1 при
конечной температуре следующим образом:
GR(e,r1,r2)
Сл(е,г1,г2)
ОС
-i У e^12(V’(r1,G) ^+(г2Д2) ± ^+(Г2,^)^(Г1,Н))Т^12 ,
о
О
i у ^+(г2,^) ± ^+(г2,^2) ^(Г1,^1))т^12 ,
— ОС
(7.21)
(7.22)
где ti2 = ti —t2 , причем знак « + » соответствует фермионам, а знак « — » — бозонам.
Оказывается, что мацубаровская функция Грина См(кП1гьг2) , аналитически про-
долженная с дискретных значений частоты еп > 0 на верхней мнимой полуоси дает
CrK(s, Г1,г2) , в то время как при продолжении с нижней полуоси, еп < 0 , получается
GA(s, Г1, г2) . Принимая во внимание аналитичность щ, г2) и GA(s,ri,r2) соот-
ветственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексного г , соотношение между
GR , GA и Gm можно записать так:
G^f(ig'n, Г1? Г2)
Г GR(ien,r1,r2)
( GA(ien,r1,r2)
0 >
< 0 ,
(7.23)
где мацубаровские частоты еп — четные для бозонов и нечетные для фермионов.
Доказательство результата (7.23) приведено в задаче 40 а).
Из соотношений (7.23) между запаздывающими, опережающими и мацубаровскими
функциями следует весьма полезное интегральное представление:
G(ien,гъг2)
KaGR(e,rr,r2)
CvG-
(7.24)
хсм. [1] §17, формулы (17.15) и (17.16).
140 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
где интеграл по de берется по всей вещественной оси. Действительно, при еп > 0
это соотношение есть следствие аналитических свойств запаздывающей функции Гри-
на в верхней полуплоскости. Чтобы получить G(ien) при еп < 0 , следует заменить
запаздывающую функцию Грина на опережающую функцию GA(e) и изменить знак в
(7.24). Но поскольку на вещественной оси 1т<7к(е) = — ImGA(s) , соотношение (7.24)
оказывается справедливым и при шп < 0 .
Важным применением соотношений (7.23) является задача об отыскании линейного
отклика системы, возмущаемой внешним полем. Согласно формуле Кубо, функция от-
клика выражается через среднее от коммутатора двух операторов в разные моменты
времени:
. ОО
ЫвИ = | {[A(i), В(0)])т dt . (7.25)
о
Имеется очевидное сходство между выражением (7.25) и запаздывающей бозонной
функцией Грина (7.21), означающее, что эти две функции имеют сходные аналити-
ческие свойства. Чтобы получить для функции отклика (7.25) соотношения подобные
(7.23), вводится мацубаровская восприимчивость
1 /з
AiW = ~ / (т Л(г) В(0)) е”- <1т . (7.26)
-/3
Справедлива2 так называемая теорема об аналитическом продолжении: Мацубаров-
ская восприимчивость Хав^п) , продолженная с дискретного множества точек на
положительной мнимой полуоси ш = iwn , (п > 0 ), на вещественную ось Imw = 0 ,
дает восприимчивость Кубо Хав(ш)
Эта теорема, доказательство которой приведено в задаче 37, позволяет находить
восприимчивость (7.25) с помощью функции х^ав^шп) , которую, в свою очередь, мож-
но вычислить с помощью мацубаровской диаграммной техники.
В отсутствие взаимодействия мацубаровская восприимчивость дается всего одной
диаграммой — петлей с операторами Л и В в вершинах. Мацубаровская воспри-
имчивость имеет такие же аналитические свойства, как поляризационный оператор.
Напомним (см. задачу 24), что аналитические свойства восприимчивости Кубо и по-
ляризационного оператора в нуль-температурной технике оказываются различными.
А в мацубаровской технике между восприимчивостью и поляризационным оператором
имеется простая связь. Согласно приведенной выше теореме, для получения восприим-
чивости достаточно вычислить петлю с мацубаровскими функциями Грина, и затем
определенным образом продолжить ее на вещественные частоты.
Отметим, что иногда и случай Т = 0 бывает удобнее рассматривать в мацубаров-
ской технике. Для этого нужно вернуться от суммирования к интегрированию, посколь-
ку при Т = 0 точки шп сливаются в мнимую ось в плоскости комплексной переменной
ш . При этом Т ••• переходит просто в f ...дш/Тк . При таком методе вычисления не
Ып
возникает сложностей с обходом полюсов гриновских функций, поскольку направление
обхода оказывается правильным автоматически.
2см. [1], §17, §37, п.2, [6], §91
7.2. ДИСКРЕТНЫЕ ЧАСТОТЫ.
141
Для иллюстрации использования мацубаровских функций при нулевой температуре,
докажем теорему об аналитическом продолжении для невзаимодействующей системы.
В этом случае восприимчивость дается формулой (5.4), полученной из (7.25) по тео-
реме Вика. Рассмотрим выражение (5.4) и заменим ш —> ш . Теперь запишем дробь в
формуле (5.4) как интеграл по вспомогательной мнимой частоте:
п(Ет) - п(Ек) _ _ 1 г_______________de___________
Ек- Ет- ш 2тг / (ie + ш - Ек)(ге - Ет)
= - [ G^(ie + uv)G™(ie)de , (7.27)
27г J
Подставляя это выражение в (5.4), получаем:
Хав(^) = — ~ У Tr (GM(ie + ia>)BGM(ie)A^ de . (7.28)
Возвращаясь к вещественной частоте, видим, что физическая восприимчивость (7.25)
действительно получается из восприимчивости (7.28) на мнимой частоте аналитиче-
ским продолжением по ш с положительной мнимой полуоси на вещественную ось. Вы-
ражение (7.28) не зависит явно от выбора базиса. Поэтому оно оказывается весьма
удобным в случаях, когда собственные функции неизвестны, как например в задаче о
ферми-газе в случайном потенциале (см. гл. 9).
Подведем итог. Хотя мацубаровская техника и использует динамику во мнимом
времени, иногда имеющую не вполне ясный физический смысл, она оказывается полез-
ной при описании динамики в реальном времени как при конечной, так и при нулевой
температуре. Переход от мнимого времени к физическому времени достигается ана-
литическим продолжением с мнимых дискретных частот на вещественные. Отметим
еще раз, что мацубаровская техника позволяет изучать неравновесные явления лишь
на уровне линейного отклика. Более сложные кинетические задачи, в которых внеш-
нее поле может возбуждать систему так сильно, что она не успевает возвращаться в
равновесное состояние, таким способом решать нельзя.
Дело в том, что в подобных случаях приходится иметь дело со средними, взятыми не по распре-
делению Гиббса, а по неравновесному распределению. Такого рода средние можно изучать с помощью
техники Келдыша ([7], §§ 92-95). Эта техника, однако, довольно сложна и ее рассмотрение выходит за
рамки этой книги.
Как мы видели в разделе 5.1.1, для невзаимодействующей системы выражение (7.25) для восприим-
чивости Кубо может быть преобразовано к виду (5.10), содержащему запаздывающую и опережающую
функции Грина. Для взаимодействующих систем, однако, результат (5.10) не имеет места.
В случае взаимодействия формулу (5.10) можно обобщить с помощью так называемой диаграмм-
ной техники Келдыша, позволяющей изучать произвольные неравновесные системы (см. [7], §§ 92-95).
Техника Келдыша использует запаздывающие и опережающие функции Грина, а также матрицу плот-
ности, и описывает динамику с помощью квантового аналога кинетического уравнения. В рамках этой
техники можно изучать любые отклики, линейные и нелинейные, как в равновесных системах, так и
в системах выведенных из равновесия.
Однако, из-за своей большой общности техника Келдыша оказывается довольно громоздкой. По-
этому применять ее в такой простой задаче, как вычисление линейного отклика в термодинамически
равновесном состоянии системы, оказывается не очень удобным. Вместо этого обычно пользуются
описанным в этом разделе приемом, основанном на аналитическом продолжении мацубаровских вели-
чин.
Литература: [1] гл. 3; [6] гл. IV
142 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
7.3. Задачи 34-М2
Задача 34. (Затухание осцилляции) При конечной температуре распределение ферми-
частиц по энергиям размывается на величину порядка Т , что соответстует неопреде-
ленности радиуса ферми-сферы 6р0 ~ Т/vF . Пространственные осцилляции с к = 2р0 ,
имеющие место для неоднородной ферми-системы в основном состоянии соответствен-
но видоизменяются.
Рассмотрите осцилляции3 а) Фриделя (см. задачу 8) и б) Рудермана-Киттеля (см.
задачу 22), и получите для них выражения верные при конечной температуре Т <С
Ер . Покажите, что осцилляции сохраняются на расстояниях меньше тепловой длины
h = hvF/Т и экспоненциально затухают при r'^lp .
Задача 35. (Термодинамический потенциал и функции Грина) Рассмотрим взаи-
модействующую ферми-систему, в которой существенными являются диаграммы типа
«собственно-энергетическая часть», а более сложные диаграммы, такие например, как
поправка к вершине взаимодействия, — несущественны. (Подобная ситуация имеет ме-
сто для электрон-фононного взаимодействия в металле.) Для нахождения термодина-
мического потенциала С в этом случае необходимо рассмотреть диаграммы, показан-
ные на рис. 7.1. Сумма этого диаграммного ряда дает изменение термодинамического
потенциала Q — Qq в результате взаимодействия.
Рис. 7.1
а) Покажите, что термодинамический потенциал Q выражается через функцию Грина
С>(р) SQ,(ztn,p)
где а — спиновый индекс, следующим образом:
Q = T ^2 eJ£nTlnGa(ztn,p) ,
(7.29)
(7.30)
т —> +0 .
n,p,Q
б) (Энтропия и теплоемкость) Чтобы использовать формулу (7.30) для вычисления
термодинамических функций, полезно привести ее к виду, содержащему вместо суммы
по мацубаровским частотам интеграл по вещественным частотам. Воспользуйтесь для
этого правилом
Т S Ж) = Т- Й ‘h А Ш (7.31)
__________________________£и=7гТ(2п+1) 4717 J
3Н а больших расстояниях г рД удобно использовать функцию Грина в координатном предста-
влении — см. задачу 22 и начало §38 [1].
7.3. ЗАДАЧИ 34+42
143
и перейдите к интегрированию по контуру, обходящему мнимую ось, на которой рас-
положены полюса функции th(e/2T) .
Найдите линейный по Т член в теплоемкости4 * металла при низких температурах
Т <С Шо с учетом эффектов электрон-фононного взаимодействия. Как известно, в этом
случае собственно-энергетическая часть Е(е,р) не зависит от р и при малых энер-
гиях |г| <С ши с хорошей точностью дается выражением Е(е) = — be (см. задачу 29
и [1], §21 п.З).
Задача 36. (Термодинамический потенциал фермионной цепочки) Рассмотрим
фермионную цепочку (1.19)
ОО
7~L — 5 ' ai+i З- З- З- I3a.f ? (7.32)
i=—оо
обсуждавшуюся в задачах 2 и 20. Функция Грина для этой системы была найдена в
задаче 20. Используя функцию Грина, найдите термодинамический потенциал Q .
Задача 37. (Мацубаровская восприимчивость)
а) Докажите теорему об аналитическом продолжении, сформулированную в разде-
ле 7.2.1. Запишите мацубаровскую восприимчивость и восприимчивость Кубо при ко-
нечной температуре в базисе точных собственных состояний невозмущенной системы
и покажите, что второе выражение получается из первого аналитическим продолже-
нием частоты ш с дискретных значений 2тпТп на верхней мнимой полуоси ( п > 0 )
на вещественную ось (см. [1] §17, §37 п.2, [6] §91).
б) Используя теорему об аналитическом продолжении, решите снова задачу 24 б), в ко-
торой требуется найти динамическую спиновую восприимчивость идеального ферми-
газа.
в) («Парадокс») Рассмотрим свободный спин s = 1/2 при температуре Т и найдем
его восприимчивость у по отношению к слабому внешнему полю двумя различны-
ми способами: по формуле Кубо и методом аналитического продолжения. Поскольку
в отсутствие внешних полей гамильтониан Но = 0 , в данном случае оператор спи-
на не зависит от времени. Поэтому коммутатор в формуле Кубо обращается в ноль,
[sQ(i), sQ(i')] = 0 и, на первый взгляд, у = 0 . Покажите, что мацубаровская воспри-
имчивость в данном случае дает закон Кюри: у = Дц2 , где // — магнитный момент.
Разрешите возникающий парадокс.
Задача 38. (Флуктуации смещений решетки) Флуктуации смещений (6.1) атомов
кристаллической решетки, возникающие вследствие нулевых колебаний и теплового
движения, описываются корреляционной функцией (uQ,(r)uig(r'))T . Выразите корреля-
тор продольных компонент смещений
Ст(г) = <иц(г)иц(0))т , иц(г) = 52 |^(kuk)Ckr ’ (7-33)
через температурную функцию Грина фононов D(iun,k) (см. (7.15), (7.19)), и полу-
чите для Ст (г) общую формулу, справедливую при произвольном законе дисперсии
фононов.
4Электрон-фононное взаимодействие дает также нелинейный по температуре вклад в теплоемкость
металла: 6С ~ (T/cjd)2^(cjd/T) — см. [1] §21, п.4.
144 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Найдите коррелятор смещений Ст (г) для однородной изотропной упругой среды
в размерностях D = 1,2,3 , считая закон дисперсии фононов линейным. Рассмотрите
Ст (г) при и Т = 0 , выделяя ДСт(г) = Ст (г) — Со (г) . Найдите по порядку
величины зависимость Со (г) и ДСт(г) от Т и г при Т —> 0 , г —> сю . Определите
способ обрезания интегралов, расходящихся инфракрасно (на больших расстояниях) и
ультрафиолетово (на малых расстояниях).
Задача 39. (Переход Пайерлса: критическая температура и флуктуации) Вернем-
ся к задаче 32, где изучалась пайерлсовская неустойчивость одномерного ферми-газа,
возникающая вследствие электрон-фононного взаимодействия. Рассмотрим темпера-
турную функцию Грина фононов D(iwn,k) с учетом электрон-фононного взаимодей-
ствия.
а) Найдите поляризационный оператор П(шп,к) при \к\ ~ 2ро и Т<^Ер . Рассмо-
трите корреляционную функцию фурье-компонент смещений:
СДк) = (uk(t) u_k(t)}T (7.34)
при к близких к ±2ро • Найдите температуру Тс , при которой СДк) —> сю .
б) Вблизи температуры перехода Т = Тс спектр фононов «смягчается». Из-за этого
возрастают тепловые флуктуации гармоник поля смещений u(r, t) с \к\ ~ 2р0 • Инте-
ресующую нас часть поля с к вблизи ±2ро можно записать в виде:
u(r, t) = Re (<2(r, t) e2ipor) (7.35)
где Q(r, t) — плавно зависящая от координат функция. Покажите, что при Т немного
выше Тс спектр флуктуаций Q(r, t) имеет лоренцев вид
(Qk(t)Q-k(t)} = А , т = Т Тс < 1 , \к\ < Tc/vF . (7.36)
ак^ + т 1С
Найдите пространственную зависимость коррелятора смещений Ст (г) , определенного
выражением (7.33). Обратите внимание, что при выделении в выражении для Ст(г)
сильно флуктуирующей части, из всей суммы по соп = 2тгпТ остается только член с
п = 0 . Это соответствует переходу к классической термодинамике.
Выражение (7.36) называют законом Орнштейна-Цернике. Оно описывает корреляционную функ-
цию параметра порядка вблизи Тс в теории среднего поля для любого фазового перехода.
Задача 40. (Связь между запаздывающими, опережающими и мацубаровскими
функциями)
а) Докажите соотношения (7.23), связывающие мацубаровскую функцию на верхней
(нижней) мнимой полуоси с аналитическим продолжением запаздывающей (опережаю-
щей) функции Грина с вещественной оси в соответствующую полуплоскость комплекс-
ной частоты.
б) Существует весьма полезный метод вычисления мацубаровских диаграмм, опираю-
щийся на аналитические свойства функций Грина5. С помощью этого метода можно
«автоматизировать» процедуру аналитического продолжения, необходимую для пере-
хода от мацубаровских к запаздывающим и опережающим функциям. Кроме того, он
7.3. ЗАДАЧИ 34+42
145
позволяет выполнить в явном виде суммирование по мацубаровским частотам в любой
диаграмме.
В качестве примера рассмотрим собственно-энергетическую часть Е(геп,р) мацу-
баровской функции Грина электрона, взаимодействующего с фононами:
р) = —д2Т ^2 [ G(ie'm, Vi)D(ien - ie'm, р - pj
(7.37)
Соответствующая диаграмма изображена на рис. 4.10.
Выполните суммирование в (7.37) в общем виде, пользуясь аналитическими свой-
ствами гриновских функций (7.23), (7.24). Получите формулу5 6
_ 92 f d3pr 7 du 7 d ,ImGfi(s',pi) 1т7?д(сэ,р — рх)
2-7Г2 J (2я)3 J Ш J £ е — А — ш + i0
—со — со
th — + cth —
2Т 2Т
(7.38)
где интеграл берется по вещественным г' и си . Выражение (7.38) по своей структуре
напоминает полученные в задаче 24 б) формулы (5.57), (5.53), дающие восприимчивость
при Т = 0 и явно учитывающие аналитические свойства, следующие из принципа
причинности.
Задача 41. (Динамика вблизи перехода) Рассмотрим динамику электронов и фоно-
нов в одномерной системе при температуре вблизи перехода Пайерлса. Будем считать,
что Т несколько выше Тс . При этом, как мы выяснили в задаче 39, в системе имеются
сильные флуктуации поля смещений решетки с к вблизи ±2ро • Естественно ожидать,
что динамика фононов с такими к является медленной.
а) Найдите запаздывающую функцию Грина фононов, используя выражение для мацу-
баровской функции Грина, найденное в задаче 39.
б) Найдите запаздывающую функцию Грина электронов, описывающую эффект рассея-
ния электронов на флуктуациях поля смещений вблизи Тс . Считайте рассеяние слабым
и найдите собственно-энергетическую часть (7.38) во втором порядке по взаимодей-
ствию с «мягкими» фононами, функция Грина которых получена в части а).
Задача 42*. (Взаимодействие ван-дер-Ваалъса при Т > 0 ) Рассмотрим два атома
на расстоянии г друг от друга. При г много большем размера атомов а в = /г2 /те2
обменное взаимодействие, обязанное своим существованием туннелированию электро-
нов, становится экспоненциально малым, и основным является ван-дер-ваальсово вза-
имодействие, возникающее благодаря флуктуациям электромагнитного поля. Потен-
циал этого взаимодействия, как при нулевой, так и при конечной тампературе, можно
выразить через поляризуемости атомов.
Предположим, что область пространства, в которой находятся два атома, заполне-
на равновесным излучением с температурой Т . На каждый из атомов со всех сторон
падает свет и, рассеиваясь, оказывает давление. Для одного атома силы давления ком-
пенсируются, поскольку распределение излучения по углам изотропно. Если же имеется
5см. работу: Г.М. Элиашберг, ЖЭТФ 39, 1437 (1960), а также [1] §21, п.З, [6] §96.
6В (7.38) используется стандартное определение мнимой части функций Грина. В частности, для
свободных частиц Im(s — £ + «О)-1 = —7г5(е — б)
146 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
второй атом, то он экранирует часть излучения, падающего на первый атом, и появля-
7
ется результирующая сила притяжения.
Выразите эту силу через поляризуемости атомов, считая их основные состоя-
ния изотропными, т. е. характеризующимися орбитальным угловым моментом L =
0. Используйте температурные гриновские функции фотонов Dap(ri, г 2, Л — л) =
— (ТгАа(г1,т1)А/д(г2,Т2))т в кулоновской калибровке Ло = Ф = 0 . В мацубаровском
фурье-представлении они имеют вид:
,. . 4тг7г
= ~ш2п/с2^к2
S- , С2как0
доф Н----—
“п J
(7.39)
(см. [1] §28, формула (28.27.6); [6] §79)
Ван-дер-ваальсово взаимодействие есть частный случай так называемой корреляционной энергии
системы, состоящей из двух или большего числа взаимодействующих подсистем. Корреляционная энер-
гия, найденная в низшем неисчезающем порядке по взаимодействию, всегда отрицательна, поскольку
она представляет собой поправку к энергии основного состояния второго порядка по взаимодействию.
Другой пример системы, в которой корреляционная энергия играет важную роль — электронная
ферми-жидкость (см. задачи 48 б) и 49).
7.4. Решения
Решение 34 а) Будем решать эту задачу по аналогии с задачей 8. Рассмотрим мацу-
баровскую функцию Грина
G(t, х, х') = — (Тт тДх, 0) i/>+(x', т))т (7.40)
и выразим плотность частиц п(т) через нее:
п(х) = — 2 lim G(r, х,х) (7-41)
т—>—0
(как всегда, множитель 2 учитывает спин). Как и в задаче 8, функция Грина при
наличии стенки получается методом изображений:
G(r, х, х1) = Gq(t, х, х1) — Gq(t, х, — х1) , (7.42)
где Gq(t,х,х') — гриновская функция ферми-газа на прямой — сю < х < сю . Отсюда
получается выражение для плотности частиц через функцию Грина идеального ферми-
газа:
п(т) = —2 [С7о(т = —0, х = 0) — Gq(t = —0, 2т)] . (7.43)
Чтобы найти Gq(t, т) , вспомним, что ее фурье-образ есть просто
G0(iwn, р) = -——— . (7.44)
7Если бы вместо атомов в пространстве, заполненном излучением, находились два одинаковых
макроскопических поглощающих шара, то сила притяжения между ними спадала бы как 1/г2. (Это
справедливо при диаметре шаров а таком, что а г Та2/ch.) В XVIII веке подобный механизм
предлагался для объяснения закона тяготения.
7.4. РЕШЕНИЯ
147
Поэтому
i^TiT
2тг гшп £,р
Перейдем в (7.45) к интегрированию по £ , выделяя области импульсов р ж ±р0 :
(7.45)
— Е
27fvf “Т-
(г pi^x/vpJt: г p-iix/vFJt
eipox / 7______2_ I g-гро® / _________2.
J шп — £ J шп — £
(7.46)
Рассмотрим следующее выражение:
ус-,^г [ %
7^ J 2тг шп-^
(7.47)
Вычислим I(т, т) при х > 0 . Замыкая контур интегрирования по
луплоскости, получаем
£ в верхней по-
у e-C0n(x+ivFr)/vF _
(7.48)
Нетрудно показать, что полученная формула справедлива и при х
О . В результате
откуда
J1 / eipox
Go(t, т) = —i-— -------т-----------
2^f \ sh (тгТ(— + ir
\ \ 'Vf
e~ipQX
sh (тгТ(—— ir)}
\ yVp ' )
T sinpo^
vF sh —
r VF
Теперь, пользуясь (7.43), можно найти плотность частиц:
2Т fvFp0 sin2p0(c \ Л лТ sin2p0(c
vF \ тгТ sh (2ifTx/vF) J П° \ vFpo sh (2ttTx/vf')
(7.49)
(7.50)
(7.51)
—i
где no = 2ро/тг — плотность газа вдали от стенки. При Т —> 0 это выражение, очевид-
но, воспроизводит ответ задачи 8. Заметим также, что при х vf/2t^T осцилляции
экспоненциально затухают. Характерное число осцилляций N ~ 2povF/2^T велико
при температурах, много меньших энергии Ферми.
Решение 34 б) Эффект Рудермана-Киттеля рассмотрим по аналогии с задачей 23.
В первую очередь нам понадобится мацубаровская функция Грина в координатно-
энергетическом представлении. Вычислим ее, как в задаче 22:
G(iun, г) =
г d3p егрг vq г sin (ро + £/цр)г
J (2тт)3 шп — pr J шп —
Z/o Г еФо+?/Мг _ е-г(Ро+?/«г)г
:
2грг J гшп —
m ir(po+iwn/vF)sif!pwn
2-nr
(7.52)
148 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Точно так же, как и в задаче 23, выразим плотность спина через функцию Грина. Все
выкладки отличаются лишь заменой —i на —1 в определениях функций Грина и в
операторе возмущения. Поэтому
а\г) = 2ТЗгТ^О^шп,г) ,
(7.53)
что приводит к
(7.54)
Выполняя суммирование по шп , получаем:
m2T cos 2рог
2я2г2 sh2^Tr/vF
(7.55)
При Т 0 это выражение переходит в полученное ранее. Длина, на которой затухают
осцилляции, оказывается равной vF/2TfT , как и для фриделевских осцилляций (7.51).
Решение 35 а) Как известно, суммирование ряда для термодинамического потенциа-
ла осложняется тем, что по сравнению с рядом для функции Грина каждая из диаграмм
содержит дополнительный множитель 1/п , где п — порядок диаграммы по взаимо-
действию. Канонический способ преодоления этой трудности — дифференцирование
диаграмм по константе связи, устраняющее множители 1/п . В случае же диаграмм,
изображенных на рис. 7.1, в использовании подобного приема нет необходимости, по-
скольку имеющийся ряд легко суммируется. Действительно, п -й член ряда предста-
вляет собой замкнутую петлю из п функций Go,a(ien,p) и п функций Еа(г£п,р) .
Его вклад в термодинамический потенциал есть
6£1п = -Т 52 (Go,a(i£m,p)Sa(i£m,p))n (7.56)
П т,р,а
Сумма этих вкладов есть не что иное как
Q_Q0 = -T 52 Ml “ Go,a(i£m,p)Ea(i£m,p)) = Т 52 ln
Ga(iem,p)
Сда(ЙГО) P)
(7-57)
С другой стороны, можно проверить, что для свободных фермионов
52 e'"mT In (Go,a(i£m,p)) , т —>+0
m,p,a
Чтобы доказать соотношение (7.58), рассмотрим выражение
F(n) = — Т 52 ег£тТ In (iem — a) (em = тгТ(2т + 1) , т —> +0).
т=—ос
Дифференцируя это выражение по а , получаем
(7.58)
(7.59)
F'(a) = -T V
а — iem ева + 1
(7.60)
7.4. РЕШЕНИЯ
149
В справедливости последнего равенства в (7.60) можно убедиться заметив, что полюса
выражения 1/(е^а + 1) и вычеты в них совпадают с полюсами и вычетами выражения
под знаком суммы в (7.60). Это условие определяет зависимость F'(a) от а с точно-
стью до неизвестной целой функции а . Чтобы найти эту целую функцию (и убедиться
в том, что она равна нулю) можно рассмотреть выражение (7.60) при больших а . В
пределе |а| Т сумму в (7.60) можно заменить интегралом
1 7 eZT 1 Л’
—— / ------------clz = < „
2%?. J z — а I и,
—ioo
Re а < 0
Re а > 0
(7.61)
Получающаяся зависимость от а совпадает с асимптотикой выражения — (е^“ + 1) 1
Зная F'(a) , нетрудно найти F(a) прямым интегрированием:
F(£) = - J^a+ 1)~Ча = Т I (1 + е-^-Че-^ = -Т1н(1 + е"^)
е е-^
(7.62)
Данное выражение есть не что иное, как термодинамический потенциал одного фер-
миона с энергией £ . Отсюда требуемое соотношение (7.58) получается суммированием
по состояниям всех фермионов системы.
Решение 35 б) Рассмотрим общее выражение (7.30) для термодинамического потен-
циала и, не конкретизируя пока вид функции Грина, преобразуем это выражение к
форме, удобной для вычисления термодинамических функций. Предствавим сумму по
ет = лТ(2т + 1) в виде контурного интеграла:
th Л 1нСа(г,р)е
4%?. 21
(7.63)
где контуры Ci и Сг охватывают верхнюю и нижнюю мнимые полуоси Im г > 0 и
Im г < 0 , как показано на рис. 7.2.
Рис. 7.2
Найдем энтропию S = — дЕ./дТ , дифференцируя интеграл (7.63) по параметру Т :
(7.64)
150 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
где Ga(z, р) есть аналитическое продолжение мацубаровской функции Грина с поло-
жительной и отрицательной мнимой полуоси соответственно в области Im,г > 0 и
Im z < 0 .
Выражение (7.64) весьма удобно для вычислений, поскольку функция 1/ch2(z/2T)
эспоненциально быстро убывает при удалении z от мнимой оси. Это обстоятельство
позволяет развернуть контуры, направив их вдоль вещественной оси, как показано на
рис. 7.2. В получившемся выражении можно пренебречь множителем eZT , поскольку
функция l/ch2(z/2T) обеспечивает сходимость интеграла по z.
Заметим теперь, что аналитическое продолжение мацубаровской функции в области
Imz > 0 дает запаздывающую функцию GR(z, р) , а в области Imz < 0 — опережа-
ющую функцию GA(z, р) (см. задачу 40). Поэтому интеграл по контурам СД и С'2
можно представить в виде интеграла по вещественным z от выражения, содержащего
разность InGR(z, р) — lnGA(z, р) . Это дает следующую полезную формулу:
°° <7
S = / 4М 2T2ch2^ Ь P)/G“' (7'65)
р,~ос
Отметим, что при вещественном г величины GR(e, р) и GA(e,p) комплексно сопря-
жены, и значит выражение в скобках в (7.65) есть не что иное, как 2i argG^(e, р) .
Поэтому выражение (7.65) можно переписать так:
°° <7
S = T.J 2?2Т^аГ8С“(£’Р)- (Z66)
Рассмотрим теперь функцию Грина электронов, в которую включена собственно-
энергетическая часть, описывающая взаимодействие с фононами. Как было выяснено
в задаче 29, в данном случае собственно-энергетическая часть практически не зависит
от импульса, являясь функцией одной лишь энергии. Запаздывающая функция Грина
в этом случае есть Ся(£,р) = (г — £(г) — £(р) + гО)-1 . Считая для простоты £(г)
вещественным, получаем
ятр OR(р ni = / 7i"’ (7 дуА
argG (г,р) Ц £(р)<е-ВД ^7'6^
Просуммируем теперь (7.67) по ипульсам и проекциям спина. Поскольку нас интере-
сует вклад от состояний с энергиями вблизи Ер , перейдем к интегрированию по £ в
конечных пределах —£о < £ < £о , где £о — Ер . Вычисляем интеграл:
Со
£2 arg (^(г, р) =-2717/0 [ 0 (£ - г + Е(г)) = 2тгг/0 (г - Е(г) - £0) (7.68)
р’“ -Со
(Множитель 2 возникает в результате суммирования по спинам.) Подставим это вы-
ражение в (7.66) и заметим, что слагаемое —27fz/q£o приводит к интегралу по е от
7.4. РЕШЕНИЯ
151
нечетной функции, равному нулю. В результате получаем независящее от параметра
обрезки £о окончательное выражение:
СЮ
5 = ,0/
—сю
g(g~s(g))
2Т2 ch2
(7.69)
Подставляя в (7.69) собственно-энергетическую часть в виде S(s) = — be , находим
сю 2
8 = (1 + = К(2) (1 + Ь^Т ,
J Za Ю11 г\
— сю 2
(7.70)
где £(2) = . Отсюда теплоемкость С = TdS/dT = (1 + &)Со(Т) , где Со = |тг2г/0Т
— теплоемкость идеального ферми-газа.
Приведенное вычисление нетрудно обобщить на случай ферми-системы с произволь-
ным взаимодействием, не разрушающим ферми-жидкостную картину. В этом случае
при малых е и £ собственно-энергетическая часть имеет вид £(г, £) = а£ — be . Как
нетрудно видеть, при этом формула (7.66) приводит к линейной по Т энтропии и рав-
ной ей теплоемкости С(Т) = у^С'о(Т) . Отметим, что та же самая константа дает
перенормировку эффективной массы: m*/m = (1 + &)/(1 + а) .
Решение 36. Как и в задаче 20, будем использовать представление гамильтониана
фермионной цепочки (1.19) в виде суммы Но и 7/jnt , где Но содержит все члены,
сохраняющие число фермионов, a 7/jnt — все члены, меняющие число ферминов на
±2 . Графическое представление функций Грина, получающихся в этом представлении,
было найдено в задаче 20. Соответствующая последовательность диаграмм для термо-
динамического потенциала показана на рис. 7.3.
Рис. 7.3
Выражение, соответствующее п -му члену последовательности есть
1
6£ln = -T^ I ((2?:j2sinQ)2G'o(^m,p)G'o(-2£m,
£m о
Ц71)
Суммируя по п = 1,2,..., получаем изменение потенциала вследствие присутствия
«взаимодействия» H-mt :
Q-Qo
£m о
1 - (2iJ2srnq)2Go(iem,p)Go(-iem,
(7.72)
152 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
г I (e2m + 4(Л cosp — В)2 + 4Jf sin2p\ dp
./ П \ + 4(Ji cosp — В)2 J 2тг
Пользуясь соотношениями (7.58) и (7.62), полученными в задаче 35, находим
ch/?/p7cosp — В)2 + sin2p\ dp
ch Д(Л cosp — В) j 2тг
(7.73)
(7.74)
Отделяя вклад Qq , получаем искомое выражение для термодинамического потенциала:
Q = -
У In ^2 ch /?У(Л cosp — В)2 + J22 sin2p^ dp
о
(7-75)
Решение 37 а) Докажем, что аналитическое продолжение мацубаровской восприим-
чивости (7.26) дает восприимчивость Кубо (7.25). Запишем формальные выражения
для обеих восприимчивостей базисе точных собственных состояний |п) рассматрива-
емой системы: Н\п) = Вп|п) . Во избежание недоразумений заметим, что речь идет о
многочастичных, а не об одночастичных состояниях.
Рассмотрим сначала восприимчивость Кубо:
ОО
ХавЫ) = i I е“^[Д(£)В(0)]М£ , (7.76)
о
где (.. .)т = Тг(е-/3^ .. .)/Тг — усреднение по распределению Гиббса, a X(f) =
e~itH егт — оператор в представлении Гейзенберга. Переходя к базису собственных
состояний гамильтониана Н , получаем:
[ dtelcut У) е~^Еп (е-гШпт*(п|Д|т)(т|В|п) — егШпт*(п|В|т)(т|Д|п)) , (7.77)
q т,п
где шпт = Еп — Ет — частота перехода, a Z = Тгехр(—/ЗН) — статистическая
сумма. Меняя индексы т и п во втором члене суммы местами и интегрируя по t,
находим:
___ р~&Еп _ p—ftEfn
= - (п\А\т}(т\В\п) (7.78)
m,n ^пт “г
(Мнимая часть /О возникает из-за множителя exp (—6t) , который надо добавить в
формально расходящийся интеграл по t для обеспечения его сходимости.)
Теперь проделаем аналогичное вычисление для мацубаровской корреляционной
функции
ХавЫ = | f еш-ДТТ Ам(т) ВМ(Д)}Т dr . (7.79)
J —/3
7.4. РЕШЕНИЯ
153
Здесь Xм(т) = е тН X етН — мацубаровский оператор. В базисе собственных состо-
яний получаем
= хт? /" еШпТ У2е~^Епе~ШптТ{n\A\m}{m\B\n} dr
Е m,n
1 r0
+ — / егШпТ V) е~^ЕпеШптТ(n\B\m)(m\A\n) dr .
2Z J~P
Снова переставляем индексы во второй сумме и вычисляем интеграл по т (при этом
полезно учесть, что шп(3 = 2яп ). При этом получается
Хав^п) = 52 —:-----z-------(n|A|m)(m|B|n) . (7.80)
m,n Шп ^nm
Доказательство интересующего нас утверждения получается из сравнения (7.78) и
(7.80). Вспомним, что восприимчивость Хав(<^) — аналитическая в верхней полуплос-
кости функция ш (это следует из того, что она есть преобразование Фурье функции,
отличной от 0 лишь при t > 0 ). Значит, ее можно продолжить с вещественной оси на
положительную мнимую полуось Imcj > 0 . При этом, согласно (7.78) и (7.80), в точках
гшп = 2тппТ , п > 0 , оба выражения совпадают.
Теперь предположим, что существует аналитическое продолжение Хав^п) с верх-
ней мнимой полуоси на всю верхнюю полуплоскость ш . Тогда это аналитическое про-
должение должно совпасть с Хав(^) , поскольку, согласно теореме теории функций
комплексного переменного, две функции, аналитические в некоторой области и совпа-
дающие на бесконечном множестве точек, имеющем предельную точку, совпадают во
всей области.
Решение 37 б) Найдем динамическую спиновую восприимчивость ферми-газа при
Т <С Ер . В задаче 24 б) эта величина была найдена непосредственным усреднением
операторов в формуле Кубо. Чтобы решить задачу с помощью мацубаровской техники
мы вычислим мацубаровскую восприимчивость. Поскольку х^(г<т>п, к) — хронологи-
чески упорядоченная величина (по отношению к мнимому времени), ее можно вычи-
слять как петлю, составленную из мацубаровских функций
Ха/з^п, к) = -2/j,2B6ap -^^G(iwm, р) G(iwm
Рассмотрим выражение
Грина:
+ шп, р + к) . (7-81)
V (7-82)
wm,p \к^т 4“ Sp+fc)
и выполним в нем суммирование по шт . Для этого представим произведение в виде
суммы:
а>т 4“ ^>р+к) (^т ^>р)
= И~-------1------ ---------
Е)п ^p+k 4“ ^р ^р
1
i(jJm + ивп £,p+k
(7.83)
154 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Заметим при этом, что поскольку шт = (2т + 1)тгТ и шп = 2ттТ , во втором члене
в скобках можно сделать сдвиг переменной суммирования m —> m — п , при котором
из него исчезает сип . В каждом из слагаемых в скобках вещественная часть суммы
сходится, а мнимая формально расходится. Однако она нечетна по m , и потому со-
кращается при приведении членов с противоположными m . Остается найти сумму
вида
(7'84)
Дп шт ' S
что нетрудно сделать с помощью известного соотношения
1 7Г , 7ГЙ .
(2п + Г)2 + а2 =
Поэтому интересующая нас сумма есть
Ж) = |th | т = | - МО ’ (7-86)
где — ферми-распределение. Возвращаясь к выражению (7.82), мы получаем
весьма полезное тождество
Т L Т.------;----------------т~ = , (7.87)
Wm (^m 4“ 1^п £,р+к) (l^m Qp) 1Ldn Qp+k 4“ sp
которое часто используется при вычислении поляризационных операторов и восприим-
чивостей ферми-газа.
Используя соотношение (7.87), запишем мацубаровскую восприимчивость так:
Xм (гш, к) = [ -Al М&НМЫ . (7.88)
7 (2%) 1Шп sp+k 4“ Sp
Поскольку нас интересуют достаточно малые Т <С Ер и |к| <С ро , перейдем к инте-
грированию по £ . Поскольку f(np(£) — nF(C 4- vk))d£ = vk , независимо от величины
Т , получаем
Д/Т /. .. 9 f kv р do , \
Хм(гшп, к) = 2p2Bv0 / х----г— ~т~ (7-89)
J гшп — kvp 4тг
Вычисляя интеграл по телесному углу так же, как в задаче 24 б), находим следующее
выражение:
Ха^п, к) = 2р?ви08ар fl + 1П Шп kvF\ . (7.90)
1 у 2kvp гшп + kvp j
Для того, чтобы аналитически продолжить (7.90) на вещественную ось, достаточно
сделать замену iun —> ш + гО . В результате получается
, ,. „ 9 (' ш , cj — kvp + iO\ .
y(w, к) = 2p2Bv0 1 + —— In — —— . (7.91)
у ZitvVp Ш Ч- kvp Ч- 2U J
7.4. РЕШЕНИЯ
155
Отделяя вещественную и мнимую части, находим
„ 2 Л CJ — kvF \
НеДсщ к) = 2цвг/0 1 + ——In ——— ;
у 2kvp uj + kvp j
Imx(w,fc) = 'KfJ2Bvo^-O{kvF-\ш\) .
kvp
Заметим, что выражения (7.92), полученные при произвольной температуре 0 < Т <С
Ер , в точности совпадают с вещественной и мнимой частями восприимчивости, най-
денной в задаче 24 б) при Т = 0 .
Решение 37 в) Сначала рассмотрим мацубаровскую восприимчивость (7.26) спина во
внешнем поле:
2
хМ = у I (Тт§;;(т)§;;(0))е'ш"т//т , (7.92)
где // — магнитный момент спина. Поскольку гамильтониан Но свободного спина в
отсутствие внешнего поля равен нулю, динамика отсутствует. Поэтому s^(r)s^(0) =
s2(r) = 1 и, следовательно,
xW = {^2’ Ш”7п = i т«Т» 1 • (793)
[О, шп ф 0 1 + Тоип
Мы записали результат в виде, позволяющем продолжить y(wn) с мнимых значений
частоты на вещественные. Аналитическое продолжение дает x(w) = /Зц2/(1 — гто^) .
Переходя к статическому пределу ш —> 0 , убеждаемся в том, что мацубаровская вос-
приимчивость дает закон Кюри.
Теперь найдем восприимчивость, используя динамику в реальном времени. Следуя
логике, обычно приводящей к формуле Кубо, рассмотрим среднее значение намагни-
ченности в какой-то момент времени:
= //Tr , Н = —p,szB№i , (7.94)
где р = Z-1 ехр (—[ЗН^ . Чтобы получить линейный отклик, надо разложить выраже-
ние (7.94) по Bext , выделив линейный вклад. В стандартном выводе формулы Кубо
по степеням Bext разлагаются операторы эволюции еч=г^(*—*о) , чт0 дает среднее от
коммутатора операторов спина в различные моменты времени. При этом зависимо-
стью матрицы плотности р от Bext пренебрегают на том основании, что в пределе
t — to сю зависимость от начальных условий в момент to отсутствует. Однако, это
справедливо только в том случае, когда эволюция системы характеризуется «потерей
памяти» о начальном состоянии, либо в силу эргодичности, либо из-за релаксационного
характера динамики. В нашем же случае, поскольку Но = 0 , эволюция невозмущенной
системы вообще отсутствует, в результате чего система бесконечно долго помнит на-
чальное состояние. Поэтому при нахождении линейного отклика следует разложить по
Bext не только операторы эволюции, но и матрицу плотности р начального состояния.
Как нетрудно видеть, это приводит к закону Кюри у = /3/л2 .
156 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Таким образом, формула Кубо в своей обычной форме дает правильный ответ для
восприимчивости только в том случае, когда при эволюции система «забывает» о на-
чальном состоянии. Если же это не так, следует либо поправлять формулу Кубо, вводя
в нее члены, зависящие от начального состояния, либо использовать мацубаровскую
восприимчивость.
Решение 38. Гриновская функция фононов определяется через поле деформации
<p(r, t) , дающееся выражением (6.5). Сравнивая выражение (6.5) с оператором (6.1) поля
смещений решетки u(r, t) , убеждаемся в том, что для дебаевских фононов с линейным
законом дисперсии ш (к) = с|к| поле деформации (р есть c^/pdivu. Следовательно,
функция Грина фононов
П(г, г)
- j(TT^(r,r)^(0,0))T
—Т У' ( -MnT+ikr
(27Г)^+Цк)2
(7.95)
представляет собой коррелятор div и , умноженный на рс2 . Поэтому коррелятор самих
смещений получается8 делением фононного пропагатора на рш%. :
Т г dDk Ckr
(7.96)
Выполним суммирование по мацубаровским частотам с помощью формулы:
Получаем
х If eikr , Цк) dDk
Ст (г) = — / ——- cth-------------—туг .
V ’ 2pJ w(k) 2T (2тг)п
(7.97)
(7.98)
Удобно разделить вклады тепловых и квантовых флуктуаций в выражении (7.98), вос-
пользовавшись представлением
1 , ш 1 1 1
- cth —- = —I—з = —|- гы ш ,
2 2Т 2 - 1 2 v 7 ’
(7.99)
где hb(cj) — функция распределения Бозе. Очевидно, что | есть вклад нулевых ко-
лебаний, а Пв(<т>) — это тепловые флуктуации. Формулу (7.98) в таких обозначениях
можно получить, не пользуясь мацубаровскими функциями Грина, а просто усредняя
вторично квантованные операторы смещений (6.1) по гиббсовской матрице плотности.
Используя (7.99), представим (7.98) в виде Ст (г) = С0(г) + ДСт(г) , где
1 г eikr dDk
2р J w(k) (27г)п
Л . If eikr . .. dDk
ДСт(г) = С ^к)”в(ш(к) w
(7.100)
8Строго говоря, это дает коррелятор продольных компонент смещений иц || к . Однако, поскольку
корреляторы всех компонент смещений одинаковы по порядку величины, мы ограничимся рассмотре-
нием лишь продольных компонент.
7.4. РЕШЕНИЯ
157
Коррелятор ДСт(г) будет интересовать нас при г с/Т . В этом случае важен вклад
лишь от достаточно малых к ~ 1/г , таких что w(k) <С Т . Соответственно, разлагая
бозевскую функцию распределения в (7.99) при малом си , получаем
dDk eikr
(7.101)
Отметим, что (7.101) есть прямое следствие теоремы о равнораспределении из класси-
ческой статистической физики.
После проведенной подготовки приступим к вычислению Со (г) и ДСт(г) в разных
размерностях. Вначале вычислим Со (г) .
А. 0 = 3:
sin кг k2dk
J кг
о
1
ск 4я2рсг2
(7.102)
Здесь использована формула
, sin а
,п = 4т-------
а
(7.103)
Б. D = 2:
В. D= 1 :
1
4ярс
оо
.ikrcoseЛк = JL i
4тгpc J
1
Я: per
(7.104)
т—е'
ikr
1 fdk
=------ / — cos кг =
2тгpc J к
In — .
(7.105)
1
2ярс2
При вычислении последнего интеграла, который формально расходится, необходимо
обрезать логарифмическую расходимость. Как обычно, обрежем интеграл сверху на
к ~ 1/г (при больших к осцилляции подинтегрального выражения гасятся), а снизу
— на к ~ 1/L , где L — размер системы (гармоник с меньшими к не существует).
Теперь рассмотрим тепловые флуктуации.
А. 0 = 3:
(7.106)
Б. D = 2:
Т fdk . ,
—=—- / — sin кг = л
2 я2 pcR J к 4т per
(7.107)
= Т f f ikr cos 0
°т ' } (2тг)2рс2 J J к
v 7 0 0
Этот расходящийся интеграл вычисляется так же, как и интеграл для СдХ\г) . Полу-
чаем
(7.108)
ДС^(г) = —In- .
т v ! 2тгрс2 г
(7.109)
Т
158 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Табл. 7.1. Вклад тепловых и квантовых флуктуаций в корреляционную функцию
D С'о(г) ДСт(г)
3 ~ 1/г2 ~ Т/г
2 ~ 1/г ~ Tln(L/r)
1 ~ ln(L/r) ~ TL
Б. D = 1 :
ЛСт)(Н = ^ 1 ^C°Skr = a^' (7’110)
/I ро J FV ро
В этом случае интеграл при малых к расходится не логарифмически, а степенным
образом. Поэтому определение коэффициента а в этом соотношении в общем виде
невозможно: в частности, величина а зависит от граничных условий, а также от рас-
положения точек, в которых измеряются смещения, по отношению к границе системы.
Полученные результаты позволяют исследовать вопрос о разрушении дальнего по-
рядка квантовыми и тепловыми флуктуациями. Для этого необходимо изучить поведе-
ние Ст (г) при г —> сю . Если при этом Ст (г) —> 0 , то дальний порядок флуктуациями
не разрушается — даже значительное отклонение и(г) от среднего значения не ока-
зывает сущуственного влияния на и(г') в далеких точках г'. А вот если Ст (г) —> сю ,
то это означает, что дальний порядок исчезает. Как видно из проделанных вычисле-
ний, такая ситуация имеет место для квантовых флуктуаций при D=l, а для тепловых
— при D=l, 2.
Изучая результаты, сведенные в Табл. 7.1, можно также сделать наблюдение, что с
понижением размерности системы D смещения и в далеких точках становятся более
скоррелированными. Объяснить это можно следующим образом. Представим себе одно-
мерный кристалл, в котором взаимодействуют лишь ближайшие соседи. Предположим,
что за счет флуктуаций один из атомов слегка сместился. Тогда соседние с ним атомы
начнут подстраиваться под это новое «неправильное» положение. Затем перестроятся
атомы, соседние с уже сместившимися, и так далее. Таким образом, смещение одного
атома вызывает перестройку всей цепочки. Поэтому нескольких локальных флуктуа-
ций оказывается достаточно, чтобы дальний порядок «забылся». Однако, с повышением
размерности роль флуктуаций уменьшается, потому что каждый атом «слышит под-
сказку» о том, какое положения он должен был бы занять в идеальной решетке, от все
большего числа соседей и более далеких атомов. Поэтому чем выше размерность, тем
труднее перестроить систему, смещая один атом.
Решение 39 а) Запишем выражение для мацубаровского поляризационного опера-
тора
П(^„, к) = £ [ ---- * ------у- (7.111)
2?Г а>т \^т “Ь шп Ср+к) \^т Ср)
7.4. РЕШЕНИЯ
159
и найдем сумму по шт с помощью тождества (7.87), полученного в задаче 37 б):
П(гш„, к) = -[ dp (7.112)
7Г J о,р+к 3“ Ьр
Нас интересуют значения к вблизи ±2ро . Пользуясь четностью П(шп,к) по к, рас-
смотрим к ~ 2ро и введем обозначения:
k = 2p0 + q, р = -р0 + х - q/2 , р + к = р0 + х + q/2 . (7.113)
При малых |т|, \q\ <С ро можно линеаризовать закон дисперсии. При этом
к = 2Ро + 9) = 1 7 Л r‘F Мх + 9/2)) - r‘F (-Vr(x - . (7.114)
я J гшп — 2vFx
—со
Удобно переписать это выражение следующим образом:
--- /th — ------------------ 3---------------т , (7.115)
2 J 2 \iajn — vFq — 2£ гшп + vFq — 2£ /
где £ = vFx , щр = 1/(тгщ?) . Интеграл по £ в (7.115) нетрудно вычислить, восполь-
зовавшись известным представлением
Получаем
ОО |
th z = ---------т- ,
- Щт + 2)
т* / -1 -1
у- / 1________|________1
2 | -j- w+ т + | 3- ш_
2 = /3{/2 .
|w„| ±ivFq
W± = -----—---
4тТ
(7.116)
(7.117)
Логарифмическая расходимость суммы по т должна быть обрезана так, чтобы мак-
симальная энергия Ео = 2лТ(2т* + 1) была порядка EF . (При энергиях Е > Eq
линеаризованный закон дисперсии перестает быть справедливым.) Преобразуем сум-
му (7.117), прибавляя и вычитая значение выражения (7.117) при w± = 0 :
т*
-^ID 52
т=0
1
т + |
V1D / 1 + 1____________2_
2 \т + | + w+ т+ | + ш_ т + |
//6 О \ X * х. /.
(7.118)
Удобство данного представления в том, что первая сумма не зависит от w± , а вто-
рая — сходится, и поэтому в ней можно распространить суммирование на произвольно
большие т . Вычисляя первую сумму с логарифмической точностью, получаем окон-
чательное выражение
П(г<т>п, к) = —U1D In
Eq
4tvT
(7.119)
160 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
где
1 \
к + 1) ’
(7.120)
7 = 0.5772157... — постоянная Эйлера.
Теперь найдем мацубаровскую функцию Грина фононов. Запишем для этого урав-
нение Дайсона:
, ,2 !
D-^iUn, к) = Пог(шп, к) - д2П(гшп, к) = —п 0-----£2П(га>п, к) . (7.121)
шо+)
Получаем
П(шп,к) =----------2--"----------- • (7.122)
1 ^2П(?'^'п’ к)
шДк)
Интересующая нас корреляционная функция смещений (uk(t)u-k(t)}T есть не что иное,
как
(ufc(^)u_fc(^))T — Т ^2 2/е\Е)(гш, к) — ^2 / 2 \ (7.123)
” Р о( ’ ” ЙЧ 1+ + +Л>ц,,1)
\ шоЧ) )
(см. решение задачи 38). При достаточно высокой температуре Т в сумме (7.123) при
всех п знаменатель дроби не обращается в ноль. Однако, поскольку при уменьшении
Т поляризационный оператор П(шп,к) становится все более и более отрицательным,
при достижении некоторого значения Т = Тс один из членов в сумме по п может
начать расходиться. Расходимость флуктуаций (иД1)и-Д1)Д свидетельствует о не-
устойчивости системы по отношению к возникновению модуляции с данным к .
Нетрудно показать, что чем меньше |а>п| , тем выше температура, при которой
знаменатель выражения (7.123) обращается в ноль. Аналогично, максимальное значение
температуры, при которой расходятся флуктуации, достигается при к = 2р0 • Поэтому
волновой вектор модуляции, возникающей вследствие неустойчивости, есть к = 2р0 •
Иными словами, температура фазового перехода определяется из условия обраще-
ния в ноль частоты фононов с к = 2р0 • Подставляя = 0 в (7.122), получаем условие
на температуру перехода: д2П0 + 1 = 0, где По = П(<т>п = 0, к = 2р0) • Решая уравнение
д2+п 1п(Е0/Тс) = 1 , находим
Тс ~ Еое“^ . (7.124)
Заметим, что температура перехода Тс по порядку величины совпадает с выражением
(6.82) для щели До при Т = 0 .
Решение 39 б) Нас интересует окрестность температуры перехода Тс, при которой
в сумме (7.123) расходится член с п = 0 . При этом существенно то, что поскольку по-
следовательность частот шп = 2+Тп дискретна, слагаемые с п^0 имеют регулярное
поведение в окрестности к = ±2р0 • Поэтому ими можно пренебречь по сравнению с
особым вкладом с п = 0 .
7.4. РЕШЕНИЯ
161
Поэтому рассмотрим поляризационный оператор П(гшп,к) при шп = 0 и к в
окрестности 2р0 • Разлагая выражение (7.119) при малом q = к — 2р0 , получаем
7 Еп \ v2 Е" (-
П(?) = n(wn = 0, к = 2р0 + q) = -vlD In —— -aq2) , a = —f 2
\ 47Г1 / (47Г1 )
причем, согласно (7.120), величина ^"(|) есть
Л|) = -2S 77-Tu = -2(23 - 1)<(3) = -14<(3)
2 k=o 2'
(7.125)
(7.126)
Подставим разложение П(д) в коррелятор смещений (7.123), оставляя только член
суммы с п = 0 , и примем во внимание, что при Т = Тс выполняется равенство
1 + д2П(д = 0) = 0 . Получается следующее выражение:
Т
{uk(t)U-k(t)}T = — — —г —- ^7
^2z71£>pwg(2po) (In + aq2)
(7.127)
При Т вблизи Тс разлагаем т = \п.Т/Тс = (Т — Тг.)/Тг . Получаем искомый лоренцев
спектр (7.36) флуктуаций (7.33) поля Q(r, t) :
(Qq(t)Q_q(t)}T = —, А = ------------\ . (7.128)
т + aq2 g2vYDp^2p0)
Чтобы получить коррелятор поля смещений u(x,t) , заметим, что зависимость (7.128)
имеет место как в окрестности к ~ 2р0 , так и в окрестности к ~ — 2р0 • Поэтому
Ст(г) = [ А 9 (е^+2ро)г + е^~2ро)г) — = 4-е-|г|/Ьт cos2p0r , (7.129)
./ т + aq2 v 7 2тг тот
где &т = \/а/т — так называемая корреляционная длина. Обратим внимание на то,
что корреляционная длина &т обращается в бесконечность при приближении к Тс и
корреляционная функция Ст (г) перестает экспоненциально убывать. Это типичное
для фазовых переходов второго рода проявление возникновения дальнего порядка в
системе.
Рассмотренная задача иллюстрирует общий метод исследования фазовых переходов
второго рода с помощью диаграммной техники. Вначале нужно исследовать флуктуа-
ции параметра порядка в квадратичном приближении. (В данном случае параметром
порядка является фурье-компонента смещения решетки с волновым вектором к = 2р0 •)
Если фазовый переход действительно имеет место, то должна существовать темпера-
тура, при которой система «размягчается» настолько, что корреляционная функция в
импульсном представлении обращается в бесконечность. Это и есть температура пе-
рехода, полученная в рамках теории среднего поля.
Следующим шагом (который мы здесь не сделали) должно быть изучение длинно-
волновых флуктуаций параметра порядка. Взаимодействие флуктуаций друг с другом
описывается диаграммой, показанной на рис. 7.4 (индексы ± обозначают электроны
162 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
с импульсами ±ро ), а также подобными ей более сложными диаграммами. Эффекты
взаимодействия флуктуаций важны для правильного понимания термодинамики систе-
мы в окрестности фазового перехода.
Рис. 7Д
Решение 40 а) Покажем, что аналитическое продолжение мацубаровской функции
Грина (7(?шп,р) с верхней (нижней) мнимой полуоси дает запаздывающую (опере-
жающую) функцию Грина GR<-A^ (ш, р) . Будем действовать по той же схеме, что и в
задаче 37. Мы рассмотрим лишь случай фермионов, ибо для случая бозе-частиц дока-
зательство получается аналогично.
Выразим запаздывающую и опережающую функции Грина (7.21), (7.22) через ма-
тричные элементы (n|?^|m) в базисе собственных состояний. Выражая средние в (7.21),
(7.22) через след и производя точно такие же преобразования, как в задаче 37, получим
GR(A)(u,r,r') = Z --------+б (n|^+(r,)|m)(m|^(r)|n) ,
ТДп Ш - Шпт ± «О
где сипт = сип — шт . Вычисление для мацубаровской функции Грина
1г.
С(?шп,г,г') =-- j еШпТ (Тт^м(г,т)^(г',0))тс/т
-/3
(7.130)
(7.131)
также совершенно аналогично тому, которое было проделано в задаче 37. Результат
таков:
___ р-рЕп I p—j3Em
G(iun,r,r') = :-Z-------(n|^+(r')|m)(m|^(r)|n) . (7.132)
m,n ^nm
Сравнивая это выражение с (7.130) и рассуждая так же, как в задаче 37, убеждаемся
в том, что аналитическое продолжение G(icjn, г, г') с верхней мнимой полуоси дает
GR(u, г, г') , а с нижней — GA(u, г, г') .
Первое решение 40 б) Перепишем мацубаровскую собственно-энергетическую часть
(7.37) и при помощи интегрального представления (7.24) выразим мацубаровские функ-
ции Грина электронов и фононов через соответствующие запаздывающие функции Гри-
на. Получим
S(^,P)“ ^^/(2^)3
dxdw Im GR(x, pj Im DR(tx, p — pi)
я2 x - ie'm ш - ien + ie'm
(7.133)
7.4. РЕШЕНИЯ
163
где оба интеграла по dx dcu берутся по всей вещественной оси. Мацубаровскую сумму
по е'т можно вычислить с помощью разложения на простые дроби:
х - ie' ш - ien + ie' ш + х - ien \х - ге'т ш - ien + ie'm I
ьт ьт 4 7
(7.134)
Исходная мацубаровская сумма сходится, но каждая из сумм в (7.134) расходится. По-
этому добавим в (7.134) множитель сходимости ехр(О(пт) , где г —> +0 . Тогда вели-
чину isn во втором слагаемом можно исключить, сдвинув переменную суммирования.
После этого сдвига суммирование будет происходить уже не по фермиевским, а по
бозевским частотам, так как обе мацубаровские частоты еп и е'т нечетны. Кро-
ме того, каждый из членов в (7.134) можно представить как значение мацубаровской
функции Грина в совпадающие моменты времени для системы с одним уровнем (в пер-
вом слагаемом энергия уровня равна (—ж) , а во втором — ш ). Поэтому сумма (7.134)
выражается через числа заполнения:
1 / х (V \
(пр(—х) + пв(си)) = —--------г I th--1- cth — I (7.135)
v v v ” 2(u + x-ien}\ 2T 27/ V ’
Продолжение полученного выражения на вещественную ось выполняется с помощью
замены ien -+ г + /0 . Таким образом, получаем требуемое выражение для запаздыва-
ющей функции
Т3р, dizdx Im G*(x, px) Im (cj, p - px) / x _w_\
7г(2тг)4 в — ш — x + iO \ 2T 2T )
Другое решение 40 б) Чтобы использовать аналитические свойства мацубаровских
функций, применим стандартный прием, позволяющий преобразовать сумму (7.37) в
контурный интеграл. Рассмотрим сумму
s = т С*(ч, Pi)T>(ff - £т, р - Pi) ,
£1
(7.137)
где суммирование происходит по гд = тгТ(2п + 1)г. Для определенности будем считать,
что г лежит в верхней полуплоскости. Одновременно рассмотрим функцию
f(z) = G(z, px) D(e - z, p - px) th ,
(7.138)
имеющую полюса при z = 7гТ(2п + 1)0 Вычислим интеграл
I = f /(+) dz ,
с
(7.139)
164 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
взятый по контуру С , изображенному на рис. 7.5.
Рис. 7.5
Заметим, что в каждой из трех областей Imz < 0 , 0 < Im,г < Ims , Ims < Imz
функция f(z) допускает аналитическое продолжение с дискретных точек на мнимой
оси во всю область. Это позволяет вычислить контурный интеграл с помощью теории
вычетов. Вычет f(z) в полюсе zn = тЕГгДп + 1) равен
Res f(z) = 2ТG(zn, pj D(e - zn,p - pi) . (7.140)
Z—Zn
Поэтому I = 4tt«*S' .
В то же время аналитичность f(z) позволяет деформировать контур интегриро-
вания, как показано на рис. 7.6.
Рис. 7.6
7.4. РЕШЕНИЯ
165
Таким образом интеграл по контуру С сводится к двум интегралам вперед и назад
по горизонтальным прямым z = х и z = £ + х , — сю < гс < сю , и мы приходим к
равенству:
(7.141)
Зависимость гриновских функций от импульсов, опущенная в (7.141) для краткости,
будет восстановлена ниже. Заметим, что поскольку £ = гтгТ(2п + 1) , в выражении
(7.141) можно заменить th(e + rc)/2T на —cthrc/2T.
Выразим теперь все стоящие здесь величины через мнимые части функций Грина.
Из (7.130) видно, что опережающая и запаздывающая функции Грина отличаются лишь
знаком перед if) , поэтому
GR(£, р) — GA(e, р) = 2i Im Gr(£, р) .
(7.142)
Кроме того, из аналитических свойств функций Грина следует, что они удовлетворяют
соотношениям типа Крамерса-Кронига:
ОО _ _, ту / \ 1
1 г Im G (ш, р) аш
— ОС
ОО ту / \ т
1 г Im G (ш, р) аш
7Г J ш — £ + i0
—ОС
(7.143)
Подставляя эти выражения в (7.141), получаем
ImGR(x)ImPR(w) x Im GR(ijj) Im DR(x)
2T~*~ ш — £ — x — iO
ш — £ + х — i0
X \
cth —- dxdw .
2T /
(7.144)
Воспользовавшись соотношением ImDR(—x) = — ImDR(x) , сделаем во втором слага-
емом замену х —> —х , после чего поменяем местами в этом слагаемом переменные х
и ш . Получаем окончательный результат:
2i Im GR(x) Im DR(u)
7Г J J Ш — £ + x — i0
— 00 —oo
dxdw .
(7.145)
Теперь, пользуясь соотношением I = 4тп5', находим S . Восстанавливая зависимость
от импульсов р и рх и интегрируя по <73pi , получаем искомое сотношение (7.38).
Как уже было отмечено, равенство (7.38) имеет совершенно общий характер и не
зависит от конкретного вида функций Грина GR(s,p) и _Z?R(cj,p) . Применение со-
отношения (7.38), однако, оказывается особенно удобным в случае свободных частиц,
поскольку при этом мнимые части затравочных функций GR(s,p) и _Z?R(cj,p) про-
порциональны 6 -функциям — см. задачу 41 б).
Решение 41 а) Запаздывающая функция Грина может быть получена из мацубаров-
ской функции (7.122) аналитическим продолжением с дискретных частот шп 0 .
166 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Выполняя замену iwn —> сс в поляризационном операторе (7.119) и разлагая по малым
ш и q = к — 2р0 , получаем9
к) = -г1£> fln^ - aq2 + ibaj\ , b = , a = • (7.146)
\ 47Г1 / 47Г1 (47Г2 У
Подставляя это разложение в (7.122) и учитывая, что при Т = ТС имеет место равен-
ство 1 + д2По = 0 , получаем выражение для запаздывающей функции Грина:
к = 2р0 + q) =---------—---------------------ч— • (7.147)
д viD I In — + aq - гЬш-----
\ 1с ' ^?0\Л/
При Т—гТ,. разлагаем КТ/Т,. = (Т — Тс)/Тс = т . Поскольку в этой области харак-
терные си малы, второе слагаемое в знаменателе выражения (7.147) несущественно, и
в результате функция Грина есть
D(u, к = 2р0 + q) = —2--—------— , 7(q) = (r + aq^/b . (7.148)
д piDb(ioJ - 7W))
Полюса этого выражения определяют закон дисперсии вблизи Тс . Как видно, частота
оказывается чисто мнимой: = —iy(q) Это соответствует релаксационной дина-
мике: возмущение с волновым вектором к = 2р0 + Q затухает по закону е-7^^ ,
Решение 41 б) Найдем собственно-энергетическую часть (7.38) функции Грина одно-
мерных фермионов. Для определенности будем говорить о движущихся направо части-
цах с линеаризованным законом дисперсии £ = Vpp . Рассеиваясь на мягких фононах с
передачей импульса близкого к —2р0 , правые «частицы» становятся «левыми» с зако-
ном дисперсии £ = —Vpp . Соответственно в выражении (7.38) мнимая часть функции
Грина электронов есть —тгй(г:1 + vppi) . Интегрируя 5 -функцию по , получаем:
VK/ ч 92 fdPi 7 . ImDR(u,p-p1) ( ш .,vFPi\
S (£, р) =----/---- / аш ---------------- cth —- — th —— (7.149)
2тг J 2тг J £ + vfPi — w + «0 \ 2T 2T /
— co
Мнимая часть функции Грина фононов, согласно (7.148), есть
\w + ry(<2) w-ry^)/ ^2r1£>(w2+ 72(q))
Поскольку 7(5 = 0) = т/b <С Т , основной вклад в интеграл (7.149) дает область
|и>| <С Т . Поэтому можно заменить cthw/2T на 2Т/сс , что физически соответствует
переходу от рассеяния на квантово-механических фононах к рассеянию на классиче-
ском поле. Получающийся в результате сделанного приближения интеграл по сс нахо-
дится с помощью метода вычетов:
(7.151)
ЬдлУ\т) 2т 1 2т £ + vpq + гДд) \гДд) 2Т J
9Согласно (7.120), ^(|) = Х(2) , ~ 14£(3) .
7.4. РЕШЕНИЯ
167
где ё = £ + vFp , q = Pi — р Интеграл по q в (7.151) определяется областью
\q\ < (т/а)1/2 <С Vp/T . Поэтому можно пренебречь слагаемым Н1(щ?((? + р)/2Т) по
сравнению с членом 2777(g) , а также — заменить 27(g) в знаменателе первого со-
множителя (7.151) на гО . В результате
. 4Т г dq 1 2Т . .
J 2тг (ё + vFq + гО)(т + aq2) аищХ^ё + ivFX)
где Л = (т/а)1/2 .
Представляет интерес мнимая часть выражения (7.152), описывающая забывание
электронами своего импульса из-за рассеяния на мягких фононах:
ImSK(e,p) = - —ч2 ч , (7.153)
(а(р + e/vFy + т)
Время жизни квазичастицы с малой энергией £ = vFp —> 0 , согласно (7.153), оказыва-
ется весьма коротким, порядка т/Т = (Т — Тг.)/Т2 .
Вообще, как следует из (7.153), рассеяние на мягких фононах существенно меняет
функцию Грина в области |г| Тс , |р| Tc/vF , поскольку при таких £ и р вели-
чина ER(£,p) оказывается больше характерной энергии квазичастиц. Поэтому наши
выводы о поведении GR(£,p) и ER(£,p) в этой области, основанные на использо-
вании в выражении (7.38) функции Грина свободных электронов, вообще говоря, не
имеют количественного смысла. Чтобы получить более надежные результаты, следует
использовать перенормированную функцию Грина, в которую включена собственно-
энергетическая часть. При этом соотношение (7.38) становится уравнением самосогла-
сования для ER(£,p) .
42. Нас интересует взаимодействие атомов, находящихся в равновесии с тепловым
распределением фотонов. Гамильтониан взаимодействия атомов с внешним электриче-
ским полем есть
V = -Ё(Г1) dW - Ё(г2) d(2) = £ Д(гО , (7.154)
i=l,2; a=x,y,z
где d^1,2) — операторы дипольного момента атомов, а Е(г) — оператор электриче-
ского поля в точке г .
Изменение термодинамического потенциала системы, вызванное взаимодействием
(7.154), можно записать так:
U = Q - Qo = -Т
п=1
(Тт V(tx) ... V (rn))T dii... drn ,
о о
(7.155)
причем усреднение происходит как по флуктуациям дипольных моментов, так и по
флуктуациям электрического поля. Нас интересует слагаемое в (7.155), отвечающее
взаимодействию двух атомов. Поскольку средний дипольный момент атома равен ну-
лю, очевидно, что интересующие нас члены должны содержать каждый из дипольных
168 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
моментов d^ и d^2) четное число раз. Поэтому наименьшим порядком теории воз-
мущений, дающим отличный от нуля вклад, оказывается четвертый:
и = -д1 / Ял)... V(T^}TdT1...dn .
о о
(7.156)
Для вклада в Q — Qo порядка п имеется (п —1)! комбинаторных возможностей для
образования неприводимого среднего. В нашем случае п = 4 , и комбинаторный мно-
житель равен 3! = 6 . Кроме того, чтобы исключить эффекты самодействия атомов,
мы должны выделить слагаемые, содержащее каждый из дипольных моментов d^1) и
d^2) по два раза. Это дает еще две возможности для каждого из учтенных неприво-
димых средних. В результате полное число вкладов интересующего нас вида равно
3! • 2 = 12 . Кроме того, усреднения по флуктуациям дипольных моментов различных
атомов статистически независимы, а усреднение по флуктуациям электрического поля
можно выполнить по теореме Вика. Таким образом,
Г12 = I /
о о
х (Тт ЁДгг, п) Ёу(г2, 7з))т (Тт л) Ё5(г2, Т4))тйт1... йт4 .
Введем обозначения для коррелятора дипольных моментов:
а^(т) = (Тг</У'(0)$’(г))т, j = l,2, (7.157)
и электрических полей:
D^(r, т) = (Тг Еа(0,0) E^(r, т))т . (7.158)
Для простоты будем считать, что атомы находятся в синглетном состоянии. Тогда
«ЭИ = aj(r)5a/3 , (7.159)
и взаимодействие U42 принимает следующий вид:
т Р Р
U12 = -— I I dn-.-du аДт! - т2) а2(т3 - т4) D^(r, т4 - т3) Г>^(г, т4 - т2) . (7.160)
о о
Перейдем к мацубаровскому частотному представлению:
ск(т) = Т '^е~ШпТ ДшД . (7.161)
Ып
Интегрирование по т делает все частоты в выражении (7.160) равными, и мы получаем
^12 = аДшД [п^(шп, г)]2 . (7.162)
7.4. РЕШЕНИЯ
169
(Здесь мы воспользовались четностью мацубаровских корреляционных функций по ча-
стоте.)
Функцию ПЕр(шп, г) можно легко связать с функцией Грина (7.39), приведенной
в условии. Поскольку в выбранной нами калибровке Ф = 0 , то Е = — А/с. Поэтому
CJ2
D%p(wn,r) = -^Dal3(iun, г) (7.163)
и выражение для энергии перепишется как
Т cj4
t/12 = а2(шп) [Da/3(i0)n, г12)]2 • (7.164)
Чтобы найти функцию Dap(iwn, г) , перейдем из импульсного представления в коор-
динатное, заменяя в выражении (7.39) компоненты вектора к на пространственные
производные по правилу: ка —У —гд/дха . Получаем:
£>а/3(шп,г) = —4тг
с2 д2
w2 дха Охр
d3k eikr
(2я)3 к2 + ш2/с2
(7.165)
Вычислим интеграл:
г d3k егкг 1 7 к2 dk sin кг 1 д °C cos кг
J (2я)3 к2 + а2 2я2 J к2 + а2 кг 2я2г dr J к2 + а2
v ’ о о
=------e~ar = . (7.166)
2я2г дг 2а 4тгг
Наконец, дифференцирование дает
Da/3(iun, г) = €—т (ба/3 (1 + кпг + /.;2г2) - па пр (з + Зкпг + Z^r2)) , (7.167)
где кп = \шп\/с. Получаем, что величина, входящая в выражение (7.164) для J712 есть
2е ^пГ / \
К(шп, г) = к* [Dal3(iun, г)] = ——— (3 + 6кпг + Ьк2пг2 + 2^г3 + /г4 г4) . (7.168)
Перед тем, как непосредственно приступить к вычислению U\2 , свяжем мацубаровские
функции а(1,2)(^п) с поляризуемостью атомов. Это возможно, поскольку определяемая
по формуле Кубо поляризуемость есть
ОО
ФщИ = г У е“^([сЦ7), d/3(0')])Tdt .
о
(7.169)
Выражение (7.169) при аналитическом продолжении на верхнюю мнимую полуось дает
как раз мацубаровскую функцию a(iwn) . Воспользовавшись этим, выразим a(iwn)
через a(cj) . При > 0 по формуле Крамерса-Кронига имеем
... If a"(cj) da)
а(гшп) = - / ----------;---
тг J ш — гшп
— 00
ОО // / \ 7
2 г ша (ш) аш
7Г J Ш2 + Ш2
О п
(7.170)
170 ГЛАВА 7. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
где о/'(о?) — мнимая часть поляризуемости (мы воспользовались здесь ее нечетно-
стью). Таким образом, получаем окончательный результат:
U12
<2Т s г г ^2(^2) dcji du)2
7[2 7Д J J (o)2 + O)2) (o)2 + CJ2)
CU72, Q Q \ /I J- / \ lb '
К (.Uni
(7.171)
Общее выражение (7.171) справедливо при произвольном расстоянии между атомами.
Это выражение упрощается в нескольких интересных предельных случаях. Определим
характерные длины
Ао = - , Аг = | , (7.172)
CJo J-
где wo — частота, определяемая частотной дисперсией поляризуемости (фактически,
в атомных единицах всегда с^о ~ 1 )• Поскольку Ао много больше радиуса атомов, а
Хт , в свою очередь, много больше Ао , имеется три различные области,
А: г < Ао ; Б: Ао < г < Хт ; В: Хт < г .
Рассмотрим по отдельности каждый из этих случаев.
А: В этом случае knr <С 1 , т. е. запаздывание электромагнитного взаимодействия
пренебрежимо мало. Согласно (7.168), при этом К(о)п, г) = 6/г6 .
Поскольку в этой области кпХт 1 , мацубаровскую сумму можно заменить на
интеграл по о) :
. . 1271 г г г а)1 CJ2 а"(сщ) a"(u>2) do)i dw2 do)
7Г3 Г6 J J J (о)2 + О)2) (о)2 + CJ2)
ООО v v 27
Интегрируя по о) , получаем:10
Ч-
z ч _ 67г г г а"(о)1) a"(w2) do)i do)2
тс2 г6 J J
о о
(7.173)
(7.174)
В области г <С Ао ван-дер-ваальсово взаимодействие можно вывести и без использо-
вания диаграммной техники. Чтобы получить выражение (7.174), надо найти сдвиг
энергии основного состояния двух атомов по квантово-механической теории возмуще-
ний:
ул (m|7/i2|0>|2
(7.175)
где
_ dxd2 - 3(3x11)(d2n)
ы-12 —------------------
— гамильтониан дипольного взаимодействия двух атомов в пренебрежении запазды-
ванием.
Б: В этом случае кпХц 1 и, значит, необходимо учитывать запаздывание элек-
тромагнитного взаимодействия. В то же время, поскольку кпХт 1 , температура
10Соотношения (7.174) и (7.179) были получены Лондоном (1930) и Польдером и Казимиром (1948)
— подробнее см. [1] гл. 6; [8] §85.
7.4. РЕШЕНИЯ
171
по-прежнему эффективно мала, и мацубаровскую сумму в (7.171) можно заменить на
интеграл. Этот интеграл определяется областью частот шп ~ с/г <С <^о (из-за экспо-
ненциального множителя в К (со, г) ), вследствие чего можно пренебречь ссп в знаме-
нателях (7.171). В результате интегрирование по даст «1,2(0) в силу соотношений
Крамерса-Кронига. Остающийся интеграл по ш в выражении для взаимодействия,
«1(0) «2(0) 7 л \
и(г) =------------ / dvK(u, г) ,
о
вычисляется с использованием формулы
7 т)
/ хт е~ах dx = —— .
J am+1
В результате получаем так называемое взаимодействие Казимира:
, ч _ 237гс «1(0) «2(0)
4-лт7
(7.177)
(7.178)
(7.179)
Отметим, что в области г Ао существенно запаздывание электромагнитного взаи-
модействия и квантово-механичность фотонов. Формально это проявляется в том, что
взаимодействие (7.179) явно зависит от скорости света и постоянной Планка. Физиче-
ски сила Казимира (7.179) возникает из-за квантовых флуктуаций электромагнинтого
излучения в вакууме при Т = 0 .
В: При г Хт все члены в выражении (7.168) с шп ^0 оказываются экспоненциально
малыми. Поэтому в мацубаровской сумме в (7.171) достаточно оставить лишь член с
п = 0 . Тогда интегрирования по сщ,2 дадут, как и раньше, статическую поляризуе-
мость, а в К(г)Шп=о достаточно удержать лишь первый член б/r6 . Получаем
ц( х _ 3 Г«1(0) «2(0)
' ~ гб
(7.180)
Выражение (7.180), соответствующее пределу «высокой» температуры Т с/г , по
существу элементарно. Его можно получить в рамках классической статистической
физики, рассматривая взаимодейстие классических диполей (7.175). Термодинамиче-
ское среднее выражения (7.175) равно нулю. Поэтому энергия взаимодействия дается
вторым порядком термодинамической теории возмущений:
г(г) = -Тю
(7.181)
Среднеквадратичные флуктуации дипольного момента можно найти с помощью
флуктуационно-диссипационной теоремы (или даже с помощью теоремы о равно-
распределении) :
Кфз)т = Т«(0)фщ . (7.182)
В результате получается классическое выражение (7.180).
Часть II
Методы теории многих тел
173
Глава 8.
Теория ферми-жидкости
Теория ферми-жидкости изучает систему, состоящую из макроскопически большого
числа взаимодействующих фермионов. Гамильтониан ферми-жидкости 77 = Но + Hint
есть сумма кинетической энергии фермионов и потенциальной энергии их взаимодей-
ствия. Выражения для Но и Hint , записанные в импульсном представлении через опе-
раторы вторичного квантования о+а и ар>(7 , имеют такой вид:
Но = 52 £(р)ар,ааР,<т , Hint = | 52IZkPkP-k , (8.1)
Р,С к
где £(р) = р2/2т — ц — спектр свободных частиц, Vk — фурье-образ потенциала
взаимодействия К(г — г') , a pk = Е ар+к аар,<т — фурье-гармоники оператора плотно-
го
сти фермионов. Как правило предполагается, что ферми-жидкость однородна и имеет
фиксированную плотность.
Главная задача теории ферми-жидкости — выяснить характер основного состояния
и возбуждений системы, описываемой гамильтонианом (8.1). Вообще говоря, характер
основного состояния весьма сильно зависит от свойств взаимодействия между ферми-
онами. В некоторых случаях может возникать сверхпроводящее или ферромагнитное
состояние, вигнеровский кристалл, волна зарядовой или спиновой плотности, и т. и.
Однако большинство взаимодействующих ферми-систем устроено относительно про-
сто — их свойства в основном подобны свойствам невзаимодействующего ферми-газа.
В таких случаях принято говорить о ферми-жидкостном состоянии. Элементарные
возбуждения ферми-жидкости — это электрон-дырочные пары в окрестности ферми-
поверхности. Эффекты взаимодействия проявляются лишь в перенормировке несколь-
ких констант, определяющих теплоемкость, сжимаемость и другие свойства. Кроме
того, в ферми-жидкости имеются специфические ветви коллективных возбуждений
(нуль-звук, плазмоны, спиновые волны).
Существует несколько подходов к проблеме ферми-жидкости, отличающихся сте-
пенью «квантовомеханичности». Во-первых, имеется квазиклассическая (или феноме-
нологическая) теория ферми-жидкости (см. разд. 8.1 и 8.2). Существует также более
микроскопическая теория, основанная на так называемом приближении случайных фаз
(см. разд. 8.3). И, наконец, наиболее строгая микроскопическая теория строится с по-
мощью функций Грина (см. разд. 8.7). Хотя результаты всех трех теорий, по существу,
175
176
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
одинаковы, каждая из них имеет свои методические достоинства. Поэтому в задачах
этой главы мы уделим равное внимание всем трем методам и постараемся продемон-
стрировать связи между ними.
Известно много разнообразных ферми-жидкостных систем. Классические примеры
— нуклоны в атомном ядре, а также жидкий 3Не . Но наиболее важные для нас приме-
нения теории ферми-жидкости относятся к электронам в металлах. Основное различие
между этими видами ферми-жидкости заключается в характере взаимодействия. Вза-
имодействие между нуклонами, а также между атомами 3Не , — короткодействующее,
в то время как электроны взаимодействуют по закону Кулона. В первом случае фурье-
образ взаимодействия Тф в (8-1) весьма слабо зависит от к , в то время как во втором
случае зависимость от к имеет сингулярный характер: = 4тге2/к2 .
Для математически корректного описания кулоновского взаимодействия в металле
обычно используется так называемая модель желе: электроны, движущиеся в потенци-
але равномерно размазанного статического положительного заряда, обеспечивающего
электронейтральность. При этом пренебрегают динамикой ионов и всеми эффектами,
связанными с фононами. Модель желе весьма неплохо описывает ферми-жидкостные
свойства электронов в металлах.
8.1. Квазичастицы
Наиболее простое обоснование теории ферми-жидкости можно получить, следуя ква-
зиклассической аргументации Ландау. Основная идея этого подхода та же, что и в
теории многоэлектронного атома Томаса-Ферми. Напомним, что в многоэлектронном
атоме распределение электронов по импульсам в каждой точке пространства описыва-
ется ферми-сферой, радиус которой ро(г) есть функция координат. Взаимодействие
учитывается заменой потенциала ядра, в поле которого движутся электроны, на эффек-
тивный потенциал, включающий среднее электрическое поле, создаваемое электрона-
ми. В свою очередь, кулоновский потенциал поля электронов находится по электронной
плотности р(г) = рд(г)/3тг2 и, таким образом, картина оказывается самосогласован-
ной. Теория Томаса-Ферми позволяет найти распределение заряда в многоэлектронном
атоме, энергию связи, и т. и.
Теория ферми-жидкости Ландау является своего рода обобщением теории Томаса-
Ферми, описывающим динамику частиц в бесконечной однородной системе взаимодей-
ствующих фермионов. Предполагается, что равновесное распределение по импульсам
есть ферми-сфера радиуса ро = (Зтг2п)1//3 , где п — плотность частиц. Теория утвер-
ждает, что динамику такой системы можно рассматривать при помощи квазичастиц,
описывающих локальные отклонения распределения по импульсам от ферми-сферы.
Слабо неравновесные состояния описываются распределением квазичастиц по импуль-
сам и координатам, близким к фермиевскому в каждой точке пространства.
Квазичастицы являются элементарными возбуждениями в ферми-жидкости. Они
образованы фермионами невзаимодействующего ферми-газа, «одетыми» взаимодей-
ствием с другими фермионами. Математическое описание «одевания» достигается вве-
дением в теорию эффективного поля, действующего на квазичастицы. Это поле опреде-
ленным образом зависит от распределения всех остальных квазичастиц. В результате
8.2. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. КОЛЛЕКТИВНЫЕ М0ДВ1
177
динамика и взаимодействие квазичастиц определяются самосогласованно.
Чтобы выяснить, какие эффекты взаимодействия в ферми-жидкости являются наи-
более существенными, рассмотрим ферми-газ, в котором одна из частиц имеет энергию
£ над уровнем Ферми, причем е <С Ер . Пусть частицы взаимодействуют друг с дру-
гом. Из-за взаимодействия возможны переходы одной частицы в состояния с меньшей
энергией е' < £ , сопровождающиеся рождением электрон-дырочной пары с энергией
6е = £ — s' . Плотность состояний пар с энергией 8е можно оценить как и2 8 s , и поэто-
му, согласно золотому правилу, вероятность распада на частицу с меньшей энергией
и электрон-дырочную пару есть у(е) = Хе2 , где Л ~ (е2/Кир)2 / Ер . Из сказанного
следует, что у(е) <С £ , т. е. время жизни частицы очень велико. Таким же образом
можно показать, что рассеяние частиц с малой энергией друг на друге происходит
очень редко, поскольку при малой энергии фазовый объем конечных состояний рассея-
ния оказывается очень мал. Обратим внимание, что эти выводы справедливы даже при
силе взаимодействия порядка единицы. Требуется лишь, чтобы энергия частицы была
близка к Ер .
Таким образом, единственным существенным эффектом в динамике частиц ферми-
жидкости оказывается рассеяние вперед (Ландау, 1956). При рассеянии частицы впе-
ред остальная ферми-система образует своего рода однородную преломляющую сре-
ду, взаимодействие с которой дает поправку Set к фазе волновой функции частицы
е-г(е(°>+М4 ; Где
= У /(р,р')йп(р',г)^^ (8.2)
— так называемый функционал Ландау. Рассеяние вперед не приводит к рождению
других частиц или дырок. Таким образом, возникает представление о «квазичастицах»,
каждая из которых движется в самосогласованном поле окружающих квазичастиц.
Энергия квазичастицы е в самосогласованном поле зависит от распределения по
импульсам всех остальных квазичастиц:
е(р, 8п) = е(0)(р) + [ /(р, р')Мр', (8-3)
Здесь р — импульс квазичастицы, £(0)(р) = vp(p — ро) — энергия квазичастицы, а
8п = п — пр — отклонение распределения квазичастиц от равновесного фермиевско-
го распределения. Функция /(р,рх) определяет зависимость энергии квазичастицы с
импульсом р от состояния квазичастицы с импульсом р' .
Теория ферми-жидкости дает связь между функцией /(р,рх) и наблюдаемыми
величинами, такими как теплоемкость, магнитная восприимчивость и т. и. (см. [1],
§§19, 22). При этом, как мы убедимся, функционал (8.3) полностью определяет дина-
мику квазичастиц.
8.2. Кинетическое уравнение. Коллективные моды
Выражение (8.3) представляет собой гамильтониан Н одной квазичастицы движущей-
ся в самосогласованном поле других квазичастиц. Динамика квазичастицы описывает-
ся уравнением Гамильтона dn/dt = {Н, п} , где {...} = — скобки Пуассона.
178
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
Вычисляя скобки Пуассона с гамильтонианом (8.3), получаем кинетическое уравнение
теории ферми-жидкости:
дп дп де дпде „
+ = О 8.4
dt dr др др дг
Рассмотрим колебания системы, отвечающие малым отклонениям от равновесия. Для
этого представим функцию распределения в виде п = по + 6п и линеаризуем уравне-
ние (8.4) по 8п . Получим
дбп дбп де^ дбе дп0
dt + dr др дг др '
где бе есть функционал Ландау (8.2).
Нас интересуют решения уравнения (8.5), зависящие от времени и координат как
e-iwt+ikr Нетрудно показать, что все решения 6п имеют 6 -функционную зависимость
от |р| и локализованы на ферми-поверхности |р| = ро . Поэтому, оказывается удобным
использовать в качестве независимой переменной функцию единичного вектора п на
ферми-поверхности:
u(n) = [ Йп(р)б?|р| , (8.6)
где интеграл берется вдоль луча р || п . Величина м(п) имеет смысл нормального
смещения ферми-поверхности в точке роп
Из (8.5) можно получить уравнение для м(п) , которое имеет следующий вид:
(ш — kv)u(n) = kv У F(n, n')u(n') ,
(8-7)
где v = vpn , а функция F связана с функцией / в функционале Ландау (8.2) следу-
ющим образом:
F(n, п') = г0/(р, р')|р|=|Р'|=Р0 > (8-8)
где Го — плотность состояний с одной проекцией спина.
Полученное соотношение (8.7) следует рассматривать, как уравнение на собствен-
ные значения w(k) . Оно имеет решения двух типов: квазичастичные и коллективные.
Для квазичастичных решений связь ш и к есть ш = kv , а соответствующая функ-
ция м(п) описывает частицу с определенным направлением скорости v . Из-за этого
функция м(п) на ферми-поверхности имеет сингулярный характер:
tt(n') = <5(2)(п' - n) + Wreg(n') ,
(8.9)
Кроме 6 -функции, локализованной в точке n = v/|v| ферми-поверхности, выражение
(8.9) содержит ureg(n) —более плавную функцию, обычно имеющую полюса при kv =
ш (см. задачу 43).
Решения другого типа описывают коллективные моды колебаний ферми-жидкости,
или так называемый нулевой звук. Рассмотрим простейший случай, когда взаимодей-
ствие локально и изотропно, т. е. функция F есть просто константа: F(n, n') = Fq .
(Примером системы с функцией Ландау подобного вида является жидкий 3Не .) В этом
8.2. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ. КОЛЛЕКТИВНЫЕ М0ДВ1
179
случае, ввиду симметрии задачи, функция м(п) зависит только от угла в между век-
торами пик. Поэтому уравнение (8.7) принимает вид
(s — cos#)«(#) = -^cos# У u(0')dd'
ш
гДе s = —— .
vF к
(8.10)
Решение уравнения (8.10) есть м(п) = Hcos#/(s — cos#) , где А — произвольная кон-
станта. Подставляя это решение в (8.10), находим
— In
2
s + 1\
s — 1/
(8.11)
При любом отталкивательном взаимодействии (т. е. при Fq > 0 ) это уравнение имеет
ровно одно вещественное решение s > 1 и, таким образом, определяет функцию s(Pb) .
Поэтому закон дисперсии нулевого звука оказывается линейным: п?о(к) = s(Fo)vf|k| .
Поскольку s(Pb) > 1 , частота cjo(k) при любом к лежит выше границы квази-
частичного спектра: n?o(k) > Цр|к| . Это означает, что распространение нуль-звука
и динамика отдельных квазичастиц «развязаны» , вследствие чего нуль-звуковая мода
оказывается незатухающей. Отметим, что более точное микроскопическое рассмотре-
ние показывает, что эти результаты справедливы лишь при не слишком больших к (см.
задачи 44 б), 47 б)). Обычно законы дисперсии коллективных мод в ферми-жидкости
имеют точку окончания ктя,: , в которой происходит слияние с квазичастичным спек-
тром — см. рис. 8.2, 8.9, а также задачу 70 б).
Коллективные моды в ферми-жидкости могут затрагивать не только распределение
плотности частиц, но и поляризацию спина. В этом случае говорят о спиновых волнах
(см. задачу 47).
Остановимся на том, как видоизменяются коллективные моды в металле, где взаи-
модействие между частицами кулоновское, т. е. дальнодействующее. В этом случае вме-
сто нулевого звука возникают так называемые плазменные колебания. Запишем урав-
нение (8.4) с учетом силы, возникающей благодаря электрическому полю Е = — \7Ф :
дп
— + (vVr)n + e(EVp)n = 0
Cz L
ф(г) = е [ /п(р,г')7^7 - По
(8-12)
с/3 г'
|r-r'| ’
где По — плотность фонового положительного заряда. Как и выше, линеаризуем урав-
нение и перейдем в импульсное представление.
Получающиеся уравнения оказываются точно такими же, как и в случае нулевого
звука, с точностью до замены Fq —4тге2г/к2 , где г = 2z/q — плотность состояний
с учетом спина. Это происходит потому, что уравнение (8.12), если выразить в нем
электрическое поле через плотность частиц, приобретает такую же форму, как кине-
тическое уравнение ферми-жидкости (8.7) с нелокальным функционалом Ландау:
Яе2йп(р, г') сРг'сРр
Ir-r'l (2Я)3
(8.13)
180
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
Как и в случае изотропного взаимодействия, энергия зависит только от полной плот-
ности частиц. Поэтому и угловая зависимость смещений ферми-поверхности, и диспе-
рсионное уравнение выглядят точно так же, как для нуль-звука. Получаем:
ш , (ш + vp Ikl
-------In ----------11
2vp | k| yw — vp | k|
k2
1 = ------—
4тге2г
(8-14)
Частота cu(k) , определяемая из уравнения (8.14), остается конечной при малых к :
cl>q = w(k —> 0) = (4тгпе2/т)1//2 , что совпадает с известным классическим результатом
для плазменной частоты. Подробнее закон дисперсии плазменных волн будет рассмо-
трен в задаче 44.
Подведем итог. Большая часть возбуждений в ферми-жидкости — квазичастицы
— имеет точно такой же спектр и динамику, как и в невзаимодействующей систе-
ме. Кроме того, благодаря взаимодействию могут появиться коллективные моды плаз-
менных или нуль-звуковых колебаний. Появление коллективных мод и есть основной
качественный эффект, к которому приводит взаимодействие.
8.3. Приближение случайных фаз
В этом разделе будет показано, как можно проквантовать динамику ферми-жидкости,
используя гамильтонов формализм. Для этого потребуется ввести операторы электрон-
дырочных пар, удовлетворяющие бозонным коммутационным соотношениям. Гамиль-
тониан ферми-жидкости (8.1), записанный через такие операторы, содержит квадра-
тичные члены, а также члены более высокого порядка, которыми можно пренебречь,
если энергия рассматриваемых возбуждений мала по сравнению с Ер . Динамику, опре-
деляемую этим квадратичным гамильтонианом, можно исследовать точно и установить
ее эквивалентность кинетическому уравнению ферми-жидкости. Возможность описать
систему взаимодействующих фермионов (8.1) с помощью эквивалентного бозонного
гамильтониана имеет разнообразные интересные применения. Одним из них является
так называемый метод бозонизации. который мы рассмотрим в гл. 12.
Перейдем к определению бозе-операторов. Предположим, что функция распределе-
ния по импульсам имеет такой же вид, как и для свободных частиц, т. е. что ферми-
поверхность не разрушается взаимодействием. Чтобы выяснить, как взаимодействие
меняет характер возбуждений, приведем гамильтониан системы (8.1) к виду, содер-
жащему операторы рождения и уничтожения электрон-дырочных пар. При этом, если
использовать так называемое приближение случайных фаз Бома и Пайнса, коммута-
ционные соотношения для операторов пар оказываются весьма простыми1.
С формальной точки зрения, рассматриваемый здесь метод является корректным в
пределе высокой плотности, когда взаимодействие можно считать слабым. Для просто-
хНаше изложение опирается на работы Савады, Венцеля и др., в которых был введен введен так
называемый «эффективный гамильтониан», описывающий взаимодействие электрон-дырочных пар.
Основой для этой теории послужило приближение случайных фаз, предложенное Бомом и Пайнсом в
1953 г. Более подробно с методом эффективного бозонного гамильтониана можно ознакомиться по
оригинальным работам: К. Sawada, Phys. Rev. 106, 372 (1957); К. Sawada, К. A. Brueckner, N. Fukuda,
and R. Brout, Phys. Rev. 108, 507 (1957); G. Wentzel, Phys. Rev. 108, 1593 (1957)
8.3. ПРИБЛИЖЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ФАЗ
181
ты изложения будем считать фермионы бесспиновыми. При необходимости, восстано-
вить спиновую зависимость в окончательных выражениях можно без особого труда.
Введем бозе-операторы рождения электрон-дырочных пар следующим образом:
Ср,к — Ор-|-к
где |р| < ро, |р + к > ро
(8.15)
Обратим внимание читателя на ограничение, наложенное на импульсы р и к. Оно
выбрано так, чтобы при действии оператором cPjk = a+cip+k на основное состояние
невзаимодействующей системы всегда рождалась ровно одна пара частица-дырка.
Условия |р| < ро и |р + к| > ро , при фиксированном к определяют подмножество
ферми-сферы, имеющее в сечении серповидную форму:
Рис. 8.1
Мы будем обозначать эту область Rk и записывать ограничение (8.15) на р и к в
виде р е Rk
Рассмотрим приближенное выражение для оператора плотности:
Рь ~ 52 (ср,к + с-р,-к) •
P&Rk
(8.16)
Заметим, что наложенное условие р 6 Rk не нарушает вещественности оператора
плотности рк = Р-к Смысл приближения (8.16) состоит в том, что из точного вы-
ражения рк = Е)рПрПр+к исключены матричные элементы, соответствующие «черес-
чур многочастичным» процессам. Говоря более точно, мы отбрасываем все слагаемые
ПрПр+к , дающие ноль при применении к любому состоянию с ровно одной электрон-
дырочной парой, а также к основному состоянию невзаимодействующей системы.
Подставим выражение (8.16) в гамильтониан (8.1). Получающийся при этом прибли-
женный гамильтониан совпадает с исходным гамильтонианом на состояниях, содержа-
щих небольшое количество пар. Отличие между приближенным и точным гамильтони-
анами появляется только для достаточно сильно возбужденных состояний.
182
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
Теперь рассмотрим коммутационные соотношения гамильтониана взаимодействия
Kint = ^^2VkPkP-k с операторами рождения пар cPjk . Коммутатор [т/mt, cPjk] описы-
вает динамику флуктуации плотности. Исключим из коммутатора все члены, увеличи-
вающие число пар. Получающееся приближенное выражение для коммутатора имеет
ВИД . .
[?/int,cPjk] = — VkPk , [%int, c+k] = VkPk • (8-17)
Физическим основанием для процедуры, примененной выше к оператору плотности и
к коммутаторам [ТДпьСр^] , является сделанное в разд. 8.1 наблюдение, заключающе-
еся в том, что время жизни пары с малой энергией становится очень большим при
уменьшении энергии. Поэтому при рассмотрении коммутаторов законно пренебречь
процессами, не сохраняющими число пар и приводящими к превращению одной пары
О
в несколько .
Рассмотрим теперь коммутаторы операторов cPjk и с?, к, . Используя определе-
ние (8.15), получаем:
[cp,k, Cp',k'] ^pp'^jj'-i-k'^P+k "Е ^р'+к',р+к®р ®р' , (8.18)
причем р Е Rk , pz Е Ry Применяя приближение случайных фаз, необходимо выде-
лить в правой части (8.18) члены, не создающие новых пар при действии на основное
состояние или на состояние с уже имеющимся небольшим количеством пар. Это до-
стигается заменой правой части (8.18) на среднее, взятое по основному состоянию. В
результате коммутатор [cp,k, ср,к,] оказывается с-числом:
[cp,k, Ср',к'] ~ йррФкк' , [Ср,к, Ср',к'] 0 • (8.19)
(Второй коммутатор в (8.19) получается аналогично.) Таким образом, мы установили,
что операторы рождения пар удовлетворяют бозевским коммутационным соотношени-
ям. Отметим, что найденные выше коммутаторы (8.17) могут быть получены непосред-
ственно из (8.19) и найденного выше выражения 7/jnt = ^"^VkPkP-k Таким образом,
к
приближение случайных фаз оказывается самосогласованным.
Займемся теперь оператором кинетической энергии 7/0 = Е)(р2/2т) арар . Его ком-
р
мутаторы с операторами рождения и уничтожения пар нетрудно вычислить точно:
[Т/о, Ср,к] ^р,кСр,к , [^0, Ср,к] ^р,кСр,к , (8.20)
где wPjk = (р + к)2/2т — р2/2т . Попытаемся представить оператор кинетической
энергии через операторы пар срк и ср>к таким образом, чтобы это представление
обеспечивало правильные коммутационные соотношения (8.20). Для этого достаточно
Исключаемые члены характерны тем, что в представлении взаимодействия их зависимость от вре-
мени описывается быстро осциллирующими фазовыми множителями, в то время как все оставляемые
члены не зависят от времени. Бом и Пайне показали, что эти быстро осциллирующие члены дают
малые поправки к уравнениям эволюции операторов (8.15), и поэтому их исключение законно. Этому
и обязан своим появлением термин «приближение случайных фаз» .
8.3. ПРИБЛИЖЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ФАЗ
183
просто взять сумму по р и к от Wp,kc+kCpjk . Заметим, что условие р е Rk обеспе-
чивает положительность сэр>к .
Вследствие всего сказанного выше, гамильтониан системы можно представить в
следующей эквивалентной форме:
^RPA — ' ^p,kCp kCpjk + ~Ук~РкР-k | (8.21)
k \peRfc /
Это выражение квадратично по бозе-операторам cPjk и ср k и поэтому его изучение
оказывается весьма простой задачей.
Удобно перейти к каноническим операторам координат и импульсов осцилляторов:
<^p,k = УР,_к = (2wPjk) (cPjk + с±р>_к)
^p.k = 7Г_р>_к = i (2^'p.k) (Cp,k — c-p,-k) (8.22)
В представлении осцилляторов оператор кинетической энергии есть сумма невзаимо-
v Q
действующих осцилляторов :
= У о (^рЛ^рЛ + шр,кФр,кФр,ь) (8.23)
k; pERk Z
Взаимодействие в этом представлении записывается так:
%,, = Ек ( Е ( L “ЙА* ) (8-24)
к \реЙА; ) \p'^Rk )
Теперь можно диагонализовать гамильтониан + Ны с помощью канонического
преобразования и найти нормальные моды колебаний системы.
Получающийся спектр частот нормальных колебаний состоит из двух компонент
3Мы опускаем константу
®о = У \ 2Wp,k) ’ (8.25)
к; рбЩ ' '
появляющуюся из-за некоммутативности операторов ср>к и ср к
184
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
(см. рис. 8.2).
Рис. 8.2
Первая из них — непрерывный спектр си = , совпадающий со спектром невзаимо-
действующей системы. Вторая компонента — коллективная мода с законом дисперсии
w(k) , определяемым из уравнения
1 = чЕ
p&Rk
2^'p,k
- MLk
(8.26)
Это выражение справедливо для бесспиновых частиц. В случае частиц со спином 1/2 ,
суммирование по спинам приводит к дополнительному множителю 2 в правой ча-
сти (8.26). В задаче 44 будет показано, что при малых |к| ро выражение (8.26)
тождественно дисперсионному соотношению для коллективных мод, полученному из
кинетического уравнения ферми-жидкости (8.7).
В случае кулоновского взаимодействия, Ис = 4тге2/к2 , коллективные возбуждения
представляют собой плазменные волны, имеющие конечную частоту ujq = (47re2n/m)1//2
при к —> 0 . Плазменные колебания существуют в конечном интервале 0 |к| < &тах ,
причем их частота выше верхней границы непрерывного спектра. При |к| &тах
(47re2z/)1/2 ветвь плазменных колебаний вливается в непрерывный спектр (см. зада-
чу 44). В этой области частота ш , определяемая из дисперсионного уравнения (8.26),
оказывается комплексной, т. е. колебания приобретают конечное затухание.
Коллективные возбуждения, полученные в приближении случайных фаз, оказыва-
ются такими же, как в теории ферми-жидкости Ландау. Некоторое отличие имеется
только в поведении, предсказываемом в области больших |к| > &тах , где теория ферми-
жидкости теряет применимость, поскольку 1 /ктя^ — это размер квазичастицы. Если
взаимодействие слабое, то приближение случайных фаз дает правильный ответ даже
при |к| > &тах .
8.4. ЗАДАЧИ 43+49
185
Однако, приближение случайных фаз, основывающееся на гамильтониане электрон-
дырочных пар, неприменимо в случае сильного взаимодействия. А теория ферми-
жидкости, полученная весьма общим феноменологическим образом, имеет смысл и при
сильном взаимодействии, и утверждает, что при |k| 4 &тах можно пользоваться ква-
дратичным гамильтонианом пар Hrpa с перенормированными константами, которые
определяются функцией Ландау. Таким образом, пертурбативное приближение случай-
ных фаз и феноменологическая теория ферми-жидкости прекрасно дополняют друг
ДРУга.
Литература: [1], §§ 2, 18-22; [6], §§ 15-20, 85
8.4. Задачи 434-49
Задача 43. [классификация возбуждений ферми-жидкости] Рассмотрим двумерную
ферми-жидкость с модельной функцией Ландау, отличной от нуля только в s -канале.
Взаимодействие квазичастиц в этом случае есть F(n — п') = Fq . Ферми-поверхность
представляет собой окружность, параметризуемую углом —я 4 в 4 тг . Отклонение
функции распределения квазичастиц от равновесия описывается функцией и(9) . Удоб-
но разложить ее по фурье-гармоникам и(0) = е'т(>ит и записать кинетическое
уравнение (8.7) в виде
_ 1, /~ . ~ ч ~ _ Г ит, при т 7^0; . .
- 2bF(um+1 + um_!), где ит - | ц + при т = 0 (8.27)
Полную систему решений этого уравнения можно построить, воспользовавшись мето-
дами теории рассеяния. Действительно, уравнение (8.27) трансляционно инвариантно
по отношению к сдвигам т —> т ± 1 всюду, за исключением т = 0 . Поэтому можно
искать решения в виде ит = Д±ешт отдельно при положительных и отрицательных
т , а затем сшить эти выражения при т = 0 .
Покажите, что при любом вещественном 0 < а < тг имеется два независимых
решения указанного вида, описывающие квазичастичные возбуждения с в = ±<т . По-
кажите, что кроме этого при Fq > 0 имеется одно решение ит с комплексным а ,
затухающее при т —> ±оо . Это решение описывает коллективную нуль-звуковую мо-
ду. Квазичастичные решения характеризуются частотами р| < kv? , а частота кол-
лективной моды лежит за пределами квазичастичного континуума: со (k) > kvp
Можно заметить аналогию с задачей о спектре оператора Шредингера для потенциала, убываю-
щего на бесконечности. В общем случае спектр этого оператора содержит непрерывную и дискретную
компоненты. Первая соответствует состояниям рассеяния, а вторая — локализованным состояниям.
Задача 44. [плазменные колебания] Рассмотрим диаграммы на рис. 8.3 при конеч-
ной передаваемой частоте ш и импульсе к . Говорят, что сумма диаграмм на рис. 8.3
описывает эффект динамической экранировки затравочного взаимодействия 14 , изо-
браженного волнистой линией. Закон дисперсии коллективных возбуждений сэ(к) опре-
186
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
деляется полюсами заэкранированного взаимодействия.
Рис. 8.3
а) Найдите поляризационный оператор П(сщк) при |к| ро , Ер . Считая за-
травочное взаимодействие кулоновским, 14 = 4яе2/к2 , просуммируйте ряд и получи-
те заэкранированное взаимодействие 14,к Покажите, что в этом приближении закон
дисперсии плазменных волн сэ(к) дается соотношением (8.14), полученным из кинети-
ческого уравнения ферми-жидкости. Определите поведение сэ(к) при малых и больших
к .
б) [точка окончания спектра] Оказывается, что закон дисперсии плазменных волн за-
канчивается при некотором &тах , вливаясь в континуум квазичастичных возбуждений.
Чтобы исследовать этот эффект с помощью диаграмм, показанных на рис. 8.3, необ-
ходимо найти поляризационный оператор более точно, чем это было сделано в части
а)‘
Найдите поляризационный оператор при произвольных шик. Решая уравнение
14П(сэ,к) = 1 , определите точку окончания спектра /стах , сэтах .
в) Убедитесь, что уравнение для частоты плазменных волн сэ(к) совпадает с соотноше-
нием (8.26), полученным в результате диагонализации гамильтониана Hrpa электрон-
дырочных пар.
Задача 45. [кулоновское экранирование]
а) Электроны в металле экранируют любой внешний электростатический потенциал.
Этот эффект можно изучить, рассмотрев диаграммный ряд, показанный на рис. 8.3.
Просуммируйте этот ряд в статическом пределе к ш/vp , считая также, что к ро
Получите формулу Дебая для экранированного кулоновского взаимодействия:
Ф(г)
где к2 = 4тге2г/ .
(8.28)
Разумеется, экранировка кулоновского взаимодействия в заряженной системе есть чисто класси-
ческий эффект, возникающий из-за дальнодействия потенциала 1/г . Для иллюстрации этого обсто-
ятельства, напомним, как решается задача об экранировании в классической плазме.
Внесем в плазму статический заряд ро(г) • Возникающий при этом потенциал удовлетворяет урав-
нению Пуассона Х72Ф(г) = —4тг(<ф(г) + р0(г)) , где <5р(г) — плотность экранирующего заряда, свя-
занная с потенциалом формулой Больцмана: др(г) = еп (е-еФй)/т _ 1) . Получившуюся систему урав-
нений Пуассона-Больцмана нетрудно линеаризовать:
Х72Ф(г) — к2Ф(г) = — 4тгро(г) , где № = Гпе2п/Т .
(8.29)
8.4. ЗАДАЧИ 43+49
187
Следовательно, экранированный потенциал точечного заряда дается таким же выражением (8.28), как
и при Т = 0 . Отличие состоит только в величине длины экранирования к-1 .
Другое явление, имеющее место не только в ферми-жидкости, но и в классической плазме, — это
плазменные колебания.
б) Поучительно решить эту задачу другим способом, используя гамильтониан для
электрон-дырочных возбуждений (8.21), выведенный в разделе 8.3. Рассмотрим внеш-
нее поле, взаимодействующее с электронной плотностью. Используя представле-
ние (8.16) для оператора плотности, запишем взаимодействие электронов с внешним
полем так:
Я». = £ ( И?1 £ (ер,к + е±р,_к)) (8.30)
к \ p^Rk /
Это выражение линейно по бозе-операторам ср>к , а гамильтониан (8.21) — квадра-
тичен. Поэтому можно найти отклик плотности на внешнее поле, спроектировав воз-
мущение (8.30) на нормальные моды системы осцилляторов, найдя отклик каждой из
этих мод, а затем просуммировав по всем модам. Найдите таким способом отклик
электронной плотности на кулоновский потенциал и покажите, что результирующий
заэкранированный потенциал совпадает с (8.29).
Задача 46. [парамагнитная восприимчивость] Рассмотрим ферми-жидкость со
спином 1/2 и контактным взаимодействием между частицами: V(r — г') = д6(г — г') .
К системе приложено однородное внешнее магнитное поле В . Будем считать, что
фермионы незаряжены, так что поле действует только на спин. В этом случае ферми-
жидкость описывается гамильтонианом (8.1), к которому добавлен член
р
(8.31)
где шр = /аВ — зеемановская энергия. Поскольку энергии состояний со спином вверх
и вниз отличаются на 2ujb , основное состояние системы описывается двумя ферми-
сферами, имеющими разные радиусы род и Po,t В отсутствии взаимодействия ради-
усы ферми-сфер даются соотношениями р%^/2т = Ер ±
а) [метод среднего поля] Найдите функции Грина G^(e, р) и р) . Для этого вы-
числите собственно-энергетическую часть в низшем порядке по взаимодействию g ,
рассмотрев два вклада, прямой и обменный, показанные на рис. 8.4.
Рис. 8Д
Определите плотности частиц n-j- и Пф . Рассмотрите поляризацию П4. — n-j- в слабом
188
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
поле цВ Ер и покажите, что парамагнитная восприимчивость есть
X = (8-32)
1 - 9^о
где уо = — восприимчивость идеального ферми-газа (см. задачу 24). Знамена-
тель 1 — gvQ в (8.32) описывает так называемое обменное усиление восприимчивости,
возникающее из-за взаимодействия.
б) [спиновая лестница] Поучительно получить восприимчивость (8.32) другим спосо-
бом, не рассматривая изменение основного состояния в статическом внешнем поле. Вме-
сто этого можно найти восприимчивость непосредственно, вычисляя линейный отклик
спиновой поляризации на слабое внешнее поле на фоне неполяризованного основного
состояния.
Рис. 8.5
Покажите, что при суммировании лестничных диаграмм, показанных на рис. 8.5, вос-
производится результат (8.32). Вычисление удобно проводить считая, что возмущаю-
щее поле направлено вдоль оси х и используя гриновские функции из части а), то
есть проквантовав г-проекцию спина4. Интерпретируйте расходимость восприимчи-
вости (8.32) при qvq —> 1 .
Задача 47. [спиновые волны] В ферми газе, находящемся во внешнем магнитном
поле (см. задачу 46) можно наблюдать парамагнитный резонанс. Для этого прикла-
дывают слабое переменное поле в плоскости перпендикулярной постоянному полю, и
выбирают частоту со переменного поля так, чтобы со равнялось зеемановской энергии
2шв , требуемой для переворота спина.
а) [теорема Лармора] Найдите поперечную восприимчивость Xj_(w, к) , суммируя лест-
ничный ряд, изображенный на рис. 8.5. Считайте переменное поле пространственно
однородным, т. е. передаваемый импульс к = 0 . Используйте функции Грина, най-
денные в задаче 46 а). Покажите, что поперечная восприимчивость имеет полюс при
ш = 2хв , независимо от величины взаимодействия д .
Покажите, что этот результат оказывается справедливым не только для точечного,
а для произвольного взаимодействия между частицами (8.1), независящего от спинов.
Общее утверждение об отсутствии сдвига частоты парамагнитного резонанса вслед-
ствие межэлектронного взаимодействия называется теоремой Лармора.
Аналогичное утверждение, известное под названием теоремы Кона, имеет место для циклотронно-
го резонанса. Независимо от величины взаимодействия в гамильтониане (8.1), частота циклотронного
4При ином выборе направления возмущающего поля относительно координатных осей необходимо
рассматривать диаграммы, в которых спиновый индекс может меняться от одной ступени лестницы
к следующей. Ответ при этом, разумеется, получается такой же.
8.4. ЗАДАЧИ 43+49
189
резонанса в однородном поле В есть сис = еВ/тс , где т — истинная (а не эффективная!) масса
электрона.
б) [закон дисперсии спиновых волн] Полюса двухчастичных функций Грина связаны
с коллективными модами. Полюс в поперечной восприимчивости yj_(^,k) соответ-
ствует спиновым волнам — специфической коллективной моде, возникающей в спин-
поляризованной ферми-жидкости.
Найдите закон дисперсии спиновых волн. Для этого просуммируйте диаграммный
ряд, показанный на рис. 8.5, при конечных шик. Рассмотрите полюс yj_(^,k) ,
даваемый ш = 2ш в при к = 0 .
Задача 48. [энергия взаимодействия электронов в металле\ При высокой элек-
тронной плотности металл является почти идеальным ферми-газом. Эффекты взаи-
модействия малы, и их можно вычислять, разлагая интересующие величины в ряд по
степеням е2/hvp .
а) [обменная энергия\ Поправки к энергии системы первого порядка по взаимодействию
даются двумя диаграммами, показанными на рис. 8.6.
Рис. 8.6
Первый вклад, называемый энергией Хартри, хотя формально и расходится, на самом
деле в данном случае полностью компенсируется взаимодействием с положительным
фоном и вклада не дает. Второй же вклад, называемый обменной энергией, или энер-
гией Фока, отличен от нуля. Вычислите его и покажите, что обменная энергия отри-
цательна и зависит от плотности электронов п , как —е2п4//3 .
б) [члены второго порядка\ Во втором порядке по взаимодействию есть два существен-
ных вклада:
Рис. 8.7
Остальные графики второго порядка сокращаются благодаря компенсирующему фону,
подобно первому графику на рис. 8.6.
Покажите, что сумма вкладов, изображенных на рис. 8.7, есть
q kER^k'ERg
Vq [2Vq - Vk-k']
£k + £k'+q — £k+q — £k'
(8.33)
190
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
где £р = р2/2т — Ер . Первое и второе слагаемое в квадратных скобках соответствует
диаграммам а) и Ь) на рис. 8.7.)
Покажите, что первый вклад расходится логарифмически на малых q, а второй
конечен. Интерпретируйте найденную расходимость.
Задача 49. а) [корреляционная энергия5] Как мы убедились в задаче 48, начиная со
второго порядка, формальный ряд теории возмущений по e2/hvp для энергии кулонов-
ского взаимодействия в металле содержит расходящиеся члены. Общий порядок дей-
ствий в подобных случаях — найти наиболее сильно расходящиеся графики в каждом
порядке теории возмущений и просуммировать их. Покажите, что в данном случае
последовательность наиболее сингулярных графиков имеет вид
Рис. 8.8
Вычислите сумму этих графиков. Покажите, что с логарифмической точностью по
е2/hvp ответ можно получить, просто ужирнив в графике а) на рис. 8.7 одну из линий
взаимодействия, т. е. заменив исходное кулоновское взаимодействие на заэкранирован-
ное взаимодействие 14,ш , рассмотренное в задаче 44 (см. рис. 8.3).
б) Эту задачу можно решить и другим способом, воспользовавшись гамильтонианом
электрон-дырочных пар (8.21), квадратичным по бозе-операторам cPjk . Как обсужда-
лось в разделе (8.3), этот гамильтониан с помощью канонического преобразования мо-
жет быть представлен в виде суммы невзаимодействующих осцилляторов. Интересу-
ющая нас часть энергии системы может быть представлена как суммарная энергия
нулевых колебаний всех осцилляторов.
Вклад взаимодействия в энергию системы может быть записан в виде
А~ h(x)a 1
« 2 к;рещ, 2
(8.34)
где сэр>к — частоты нормальных колебаний в невзаимодействующей системе, а —
частоты колебаний во взаимодействующей системе. Найдите энергию взаимодействия
электронов (8.34) и покажите, что результат совпадает с корреляционной энергией,
найденной в части а).
в) [корреляционная энергия классической плазмъ1\ Рассмотрим предел высокой темпе-
ратуры Т Ер . Вычислите корреляционную добавку к термодинамическому потен-
циалу £lKopp . Ответ легко получить из графиков рис. 8.8, оставив один член с сэп = 0
из всей мацубаровской суммы (см. [1], §22; [6], §85).
5 Кольцевые диаграммы для корреляционной энергии были впервые рассмотрены в работе: М.Gell-
Mann and К.A. Brueckner, Phys. Rev., 106, 364 (1957).
8.5. РЕШЕНИЯ
191
8.5. Решения
Решение 43. Уравнение (8.27) инвариантно относительно замены т —> — т , поэтому
решения можно искать в виде четных и нечетных функций:
т > О
т < О
т = О
= sin ат ,
even
ат
' cos(am + А)
< cos(am — А)
. и0
(8.35)
Подставляя выражения (8.35) в уравнения (8.27) при |m| > 1 , находим ш = kvF cos а .
При этом нечетное решение u°^d удовлетворяет (8.27) автоматически при всех т .
Четное же решение, если подставить его в (8.27) при т = 0,1 , дает
шио
wcos(a + А)
kvF cos(a + А);
—kvF((l + Fo)uo + cos(2a + A)) .
Решая эти уравнения совместно с соотношением ш = kvF cos а , находим
Fo cos А
tan A tan а =---— , «о =--------— .
1 + Fo 1 + Fo
Угловая зависимость ueven(ff) и uodd(ff) оказывается довольно интересной. Функция
uodd есть просто суперпозиция двух свободных одночастичных состояний:
uodd(9) = ^(5(0-а) -5(0 +а)) . (8.37)
£
Функция же ueven(F) выглядит более сложно. Она имеет при в = ±а как
6— функционные, так и полюсные особенности, в соответствии с (8.9).
Решение, описывающее коллективную моду, будем искать в виде
ат
ит = еат
(8.38)
«о
т > О
т < О
т = О
Уравнение (8.27) удовлетворяется при |m| > 1 , если ш = kvF ch а, а при т = 0,1
дает систему уравнений для а и ио Решая их, находим
и0 = , е2а = 1 + 2F0 . (8.39)
1 + го
Таким образом, скорость нуль-звуковой моды есть
s = ш/к = ((1 + 2F0)1/2 + (1 + 2F0)-1/2) (8.40)
£
Выпишем явно угловую зависимость нуль-звуковых колебаний:
Fo (сэ2 - fc2^)1/2
1 + Fo ш — kvF cos 9
(8.41)
192
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
Качественная картина такова. При Fq < 1 в нуль-звуковых колебаниях принима-
ет участие малая область ферми-поверхности с в ~ Fq . А при Fq 1 вся ферми-
поверхность колеблется как целое: и(9) ~ cos в .
Решение 44. Заэкранированное взаимодействие дается совокупностью диа-
грамм, показанных на рис. 8.3. Этот ряд суммируется, как геометрическая прогрессия:
Ч.к = Ч + Ч2П(Ш, к) + К3П2 (ш, к) + ... = * (8.42)
1 — К)
Поляризационный оператор есть
П(ш, к) = а / G(£_, P-)G(s+, P+)^f . (8.43)
где £± = £ ± ш/2 , р± = р±к/2,а множитель два возникает при суммировании по
спинам.
Интегрируя по частоте £ , находим6
ТТЛ, 1Л _ 9 f n(p-) - n(P+) d3P /о 44\
n(w’k) -2 J w-«p+) + f(p_) (W ’ (fU4)
где n(p) — распределение Ферми (ср. с выводом (7.87)).
Решение 44 а) Рассмотрим случай малых |к| ро Приближенно можно записать
п(р_) - п(р+) = к cos 05(|р| - Ро) ,
(8.45)
где в — угол между векторами р и к . Из-за 6— функции интеграл в (8.44) оказы-
вается ограничен на поверхность ферми-сферы:
г kvF cos 9 d cos 9
J ш — kvF cos 9
о
Интегрируя no 9 , находим
П(сэ, k) = 2z/0
(s s + 1
- In------
\2 s - 1
(8.46)
(8.47)
где s = £j/kvF . Мы убеждаемся, что уравнение УкП(сщк) = 1 , определяющее полюс
заэкранированного взаимодействия V^k , тождественно соотношению (8.14), выведен-
ному из кинетического уравнения ферми-жидкости.
Закон дисперсии плазмона при малых к можно получить, разложив выраже-
ние (8.47) по 1/s :
П(сэ, к) = 2z/0 f—+ 7-^ + ...') • (8.48)
__________________________________ \3sz 5s4 /
63десь и далее подразумевается, что частота в поляризационном операторе П(ц>, к) имеет бес-
конечно малую мнимую часть: а? + /0 signw . В этом случае П(са,к) имеет аналитические свойства
причинной двухчастичной функции Грина.
8.5. РЕШЕНИЯ
193
Тогда уравнение РкП(о?,к) = 1 принимает вид
шо Л 3 k2Vp
сэ2 \ 5 ш2
(8.49)
где сс2 = 4тте2/т ( п = рд/Зя2 — плотность частиц). Следовательно, закон дисперсии
при малых к есть
сэ2(к) = + |к2г>| + О ((Aw/^o)4} • (8.50)
Закон дисперсии при больших к можно определить, заметив, что выражение (8.47)
стремится к бесконечности при s —> 1 . Поэтому уравнение ТкП(§) = 1 имеет решение
при произвольно большом к , причем s —> 1 при к —> сю . Это означает, что сэ(к) при-
ближается к vpk при больших к , все время оставаясь выше границы квазичастичного
континуума ш(к) = vpk .
Решение 44 б) Как мы сейчас покажем, на самом деле закон дисперсии плазменных
волн имеет точку окончания при некотором ктз,х , где происходит слияние с квази-
частичным континуумом. Дело в том, что поляризационный оператор (8.44) на самом
деле остается конечным на границе континуума. Расходимость же n(s —> 1) —> сю ,
полученная в части а), есть следствие принятого приближения (8.45). Конечность по-
ляризационного оператора приводит к тому, что уравнение УкП(сэ,к) = 1 не имеет
решений за пределами квазичастичного континуума при достаточно больших |к| .
Найдем П(сэ,к) точно, не используя приближение (8.45). Для этого перепишем вы-
ражение (8.44) в виде
Пб , Ю = 2 И ______________) d P ч
J — k2/2m — kv ш + к2/2т — kvу (2тг7г)3
где v = р/т . В этом выражении удобно сначала проинтегрировать по компонентам
р перпендикулярным вектору к . Получается
Ро
П(сэ, к) = 2 У
-ро
- р1)
cj — к2/2т — крх/т
тг(Ро ~ Pl) \ dPx
ш + к2/2т — крх/т) (2тг/г)3
(8.52)
где рх есть компонента р вдоль к . Оставшееся интегрирование по рх выполняется
элементарно. Результат удобно записать в виде
П(сэ, к) = — (F(s — а) — F(s + а))
8а
к ш
® 9 > $ Т, 1
2р0 vpk
(8.53)
где
1
F(«) = /
-1
1 - х2 , о 2. 1 (и + 1
-------dx = 2и + (1 — и2) In (-------
и — х--\и — 1
(8.54)
Выражения (8.53), (8.54) определяют точный поляризационный оператор.
Проверим, что при к ро получается выражение (8.47), найденное выше. Дей-
ствительно, при а = к/2р0 —> 0 выражение (8.53) упрощается:
П(сэ,к) =-|f'(s) =-| ^4-2sln^|^|^ ,
(8.55)
194
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
что совпадает с (8.47).
Теперь воспользуемся выражениями (8.53), (8.54) и определим точку окончания
спектра плазмонов. Граница квазичастичного континуума есть cj = vpk + к2/2т . Это
условие можно записать как s — а = 1 . Поэтому точка окончания спектра, если таковая
имеется, должна удовлетворять уравнению
,, к2
-(F(l)-F(l + 2a)) = — .
8а 4тге2
(8.56)
Это уравнение нетрудно переписать в виде
(8.57)
где к,2 = 4тге2г/. Покажем, что в интервале 0 < а 1 у уравнения (8.57) всегда имеет-
ся ровно одно решение. Действительно, левая часть (8.57) при 0 < а < 0.5 монотонно
убывает от сю до значения порядка единицы, в то время как правая часть (8.57) мо-
нотонно возрастает от 0 до значения порядка р^/к2 . В то же время e2/hvp 1 ,
поскольку мы занимаемся теорией возмущений в пределе большой плотности. Поэтому
Ръ/п2 У- 1 , и значит у уравнения (8.57) имеется корень, причем ровно один.
Из сказанного также следует, что решение лежит в области « < 1 . Поэтому
уравнение (8.57) можно упростить, отбросив в левой части малые члены. Получаем
1н(2ро/е&) = 2к2/к,2 , где е = 2.71828... . С логарифмической точностью решение этого
уравнения есть
(8.58)
Находим частоту при к = ктзх :
(8.59)
При е2/hvp 1 частота в точке окончания спектра а?о сэтах £f
Подчеркнем еще раз, что ключевым обстоятельством является отсутствие расходи-
мости П(сэ,к) на границе квазичастичного спектра. Оценить величину поляризаци-
онного оператора можно и не вычисляя П(сэ = щ?|к|) точно. Достаточно заметить,
что ширина пояска, в котором сосредоточена функция п(р_) — п(р+) при малых к
порядка |к| . Поэтому 6— функция в (8.45) имеет ненулевую «ширину» порядка |к| .
В результате, при s = ш/vpk = 1 логарифмическая расходимость выражения (8.47)
обрезается на s — 1 ~ к/ро , и получается П(сэ = Щ?|к|) = i/oln(po/&) Нетрудно видеть,
что уравнение ГкП = 1 с логарифмической точностью совпадает с (8.57).
Решение 44 в) Рассмотрим теперь коллективные моды, пользуясь представлением
осцилляторов электрон-дырочных пар. Гамильтониан Hrpa , даваемый суммой (8.23)
и (8.24), квадратичен. Поэтому диагонализация производится так же, как в задаче о
многомерном классическом осцилляторе. Уравнения на собственные значения имеют
вид
^р,к — Шр,кФр,к + I ^р' ,кФр'
\p'ERk
(8.60)
8.5. РЕШЕНИЯ
195
Находим:
2-й
Фр,к = 2 р~ н
- -;,к
p'eRk
1/2 А.
^р'.к^р'.к
(8.61)
Умножая эти равенства на сэр'к и суммируя по к , р и спинам, получаем уравнение
самосогласования:
1 = 2Ук £
p&Rk
2<^р,к
ш2 ~ wp,k
(8.62)
(коэффициент 2 перед 14 — спиновое вырождение).
Итак, мы убедились в справедливости соотношения (8.26). Проверим теперь, что оно
совпадает с 1 = 14П(сэ, к) . Для этого в выражении (8.44) для поляризационного опера-
тора разделим область интегрирования по р на две под-области: п(р_) > п(р+) = 0 и
n(p_) < n(p_|_) = 1 . Простым сдвигом р —> р + к/2 в первом случае, и р —> р —к/2 —
во втором, получаем области R). и R-^ . Делая в интеграле по R-k замену к —> —к ,
р —> —р , не меняющую результата, приводим поляризационный оператор (8.44) к виду:
П(сщк) = 2 52 (----1-----------1---
pERk \ш ~ шР,к ш + wp,k
(8.63)
Таким образом, действительно, соотношение 1 = 14П(о?,к) , полученное суммировани-
ем диаграмм, есть не что иное, как (8.62).
В заключение отметим, что хотя точный поляризационный оператор (8.53), (8.54) и
может оказаться полезным в некоторых случаях, обычно бывает совершенно достаточ-
но пользоваться выражением (8.47), соответствующим приближению кинетического
уравнения ферми-жидкости.
Решение 45 а) Сумма ряда на рис. 8.3 в статическом пределе ш = 0 равна
К
Ф(к) = (8-64)
Поляризационный оператор (8.47) при сс = 0 есть n(s = 0) = — и , а 14 = 4тге2/к2 ,
поэтому
4тге2
Ф(к) = ’ (8‘65)
где а2 = 4тге2г/. Делая преобразование Фурье, получаем искомое выражение (8.28).
В справедливости последнего шага легче всего убедиться, не вычисляя фурье-образ
непосредственно, а проверяя, что (V2 — к2) Ф(г) = —4тгеМ3\г) .
Интересно отметить следующее. Вопреки ожиданиям, потенциал на большом рас-
стоянии от заряда в ферми-газе спадает вовсе не экспоненциально. Дело в том, что
вокруг внесенного заряда возникают фриделевские осцилляции плотности наведенного
заряда (см. задачи 8,23), амплитуда которых спадает степенным образом, как 1/г3 .
Формально это проявляется в том, что поляризационный оператор Пш=о(к) имеет
слабую особенность при |к| = 2р0 Чтобы ее найти, воспользуемся точным выражени-
ем (8.53), (8.54). Получаем
Пш=о(к) = — у-^2а — (1 — a2) In f , (8.66)
4а \ — а//
196
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
где а = |к|/2ро Особенность при а = 1 и дает главный вклад в потенциал при
больших г .
Оценим осциллирующую компоненту потенциала, возникающего при возмущении
электронной системы внешним потенциалом V^ext^ (г) . Заэкранированный потенциал в
этом случае дается выражением (8.64) с в числителе. Выделяя особенность при
|к| = 2р0 и делая фурье-преобразование, получаем
~ е2 v(ext) cos(2p0|r|)
4тг/гщ? 1к1=2ро |г|3
(8.67)
Отметим, что при к ро относительно медленно убывающий фриделевский
вклад (8.67) не противоречит экспоненциальной зависимости (8.28). Чтобы в этом убе-
диться, достаточно усреднить распределение потенциала (8.64) по большому числу ос-
цилляций. Усредненный потенциал спадает экспоненциально, в соответствии с (8.28).
Решение 45 б) Рассмотрим задачу об экранировке в ферми-жидкости, пользуясь
представлением осцилляторов (8.23), (8.24). Взаимодействие с внешним полем (8.30)
линейно по смещениям осцилляторов:
Kxt = |l2 Е vdr’(2o;p,k)1/2^p,k + Н.с.
k p^Rk
(8.68)
Нам понадобятся средние смещения осцилляторов, которые нетрудно найти из уравне-
<^pjk^p,k + (k^k)1/2^ 52 (^р'л)1^2^'^ = —(Зс^рДс)1/2!^6^ • (8.69)
p'&Rk
Пользуясь выражением (8.16), записываем гармоники плотности
№ = Е (2wPjk)1/2^pjk (8.70)
p&Rk
и, решая уравнения (8.69), находим
рк(1 - П(к)К) = П(к)Ук(еж4) , где П(к) = - Е — (8‘71)
рея*, wP>k
Согласно задаче 44 в), П(к) есть не что иное, как поляризационный оператор П(сэ,к)
при ш = 0 . Поэтому заэкранированный потенциал
yk(M = y(ext) + ykpk =
1 - скп(к)
(8.72)
совпадает с (8.64).
Решение 46 а) В первом порядке по взаимодействию имеется два вклада в собственно-
энергетическую часть, показанных на рис. 8.4. В случае короткодействия интегриро-
вание по внутренним частоте и импульсу дают просто плотность частиц, в первой
диаграмме n-j- + Пф , а во второй — n-j- или Пф , в зависимости от спинового индекса
8.5. РЕШЕНИЯ
197
поскольку во второй диаграмме на рис. 8.4 отсутствует фермионная петля.
внешней линии. При этом существенно, что знаки первого и второго вкладов противо-
положны,
Поэтому
Et = д(щ + - дщ = дщ
= ^(nt + nj -дп± = дщ
(8.73)
Е есть сдвиг химпотенциала в результате взаимодействия. То обстоятель-
Е для частиц с одной поляризацией спина зависит только от плотности
Величина
ство, что
частиц с противоположной поляризацией спина, имеет простой смысл. По принципу
Паули фермионы с одинаковым спином никогда не оказываются в одной и той же точ-
ке. Поэтому контактное взаимодействие между такими фермионами отсутствует.
Теперь записываем функции Грина:
1
1
Gt(£>P) =--7Г~\------’ G'lfc’P) = е/ ч , v
г-£(р)-Щв-Ет е - £(р) +шв - Еф
(8.74)
Эти выражения позволяют найти плотности частиц:
где
4?Фо,Т
“ 3(2тг7г)3 ’
4Мд
4 3(2тг7г)3 ’
(8.75)
2
= Ef — шв — Е| ,
2т
Из этих соотношений нетрудно найти, как меняются плотности n-j- и Пф при включе-
нии слабого поля шв «С Ер :
О
Pl _ р , f, у
-— — Ьр + Шв —
2т
(8.76)
6щ = 1/0(-шв - д6п±) , 6щ = v0(uB - .
(8.77)
Решая систему, находим
е е Гр^’В
ОЩ — —— ---------
1-^0
Намагниченность равна ц(ЙП| — йп^) . В результате получаем восприимчивость
(8.78)
2 ц2 г0
1 - gvo
(8.79)
что есть требуемый результат (8.32).
Решение 46 б) Лестничный ряд, показанный на рис. 8.5, суммируется как геометри-
ческая прогрессия:
/ , ч О 2 П(сщк)
у(сщк) = -2ц ——
1 + (/Ецсс?, kJ
Множитель 2 возникает из-за того, что направления поляризации спина в верхней и
нижней ноге лестницы можно выбрать двумя различными способами. (Более формаль-
но, 2 = Тгт| .)
(8.80)
198
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
Очень существенное отличие ряда (8.80) от ряда (8.42) для экранированного по-
тенциала, рассматривавшегося в задачах 44 и 45, заключается в знаке «+» в знаме-
нателе (8.80). Знак оказывается другим из-за того, что в ряде (8.42) для экранировки
п -ый член содержит п — 1 фермионную петлю, что дает множитель (—1)п-1 . В то же
время, каждая из диаграмм, изображенных на рис. 8.5, образована всего одной петлей,
поэтому дополнительного множителя (—1)” не возникает.
В статическом пределе к,ш —> 0 , к шfvp , поляризационный оператор П = —z/0 .
(В данном случае суммирования по спинам в П не производится, поэтому ответ дается
плотностью состояний Vo с одной проекцией спина.) Подставляя П = — Vo в (8.80),
получаем восприимчивость (8.32).
Расходимость восприимчивости при gvo —> 1 означает, что система становится
неустойчивой по отношению к спиновым флуктуациям. Эта неустойчивость связана с
переходом в ферромагнитное состояние.
Критерий ферромагнитного перехода vog > 1 называется соотношением Стонера.
Оно может быть получено элементарными средствами. Пусть и п; — плотности
электронов со спинами вверх и вниз соответственно. Тогда средняя плотность спина
равна т = щ , а полная плотность частиц по = щ . В основном состоянии
ферми-газа = 'гц = по/2 . Пусть в системе каким-то образом число электронов с
спинов вверх превышает число электронов со спином вниз. Энергия такого состояния
отличается от энергии основного состояния. Вычислив энергию идеального ферми-газа
как функцию его плотности и разложив до второго порядка по отклонению плотности
от равновесной, получим
SEfree = — (<Ц + 6п2) = — (8.81)
Теперь вычислим энергию взаимодействия электронов. Поскольку У(г —г') = д6(г — г') ,
то взаимодействуют лишь электроны с противоположно направленными спинами (ибо
два электрона с одинаковыми спинами не могут одновременно находиться в одной
точке). Поэтому энергия взаимодействия электронов есть дп^п±, откуда
6Eint = д6щ6щ =-^т2 . (8.82)
Таким образом, энергия системы зависит от магнитного момента следующим образом:
О
ТГь
^-Etotal = - (1 — gvo) (8.83)
4^0
Теперь видно, что при gvo < 1 появление ненулевого магнитного момента энергети-
чески невыгодно, а при gvo >1 — выгодно. В этом и состоит причина обнаруженной
нами неустойчивости.
Решение 47. Восприимчивость x_i_(o,k) дается в общем виде диаграммами лестнич-
ного ряда, изображенного на рис. 8.5. Сумма этого ряда есть
Х1 (ш, к) = -2М2 ,Ппп(Ц;к)к, (8-84)
1 +#Пп(сщк)
8.5. РЕШЕНИЯ
199
Это выражение получается точно так же, как (8.80), причем в данном случае поляри-
зационный оператор П^(сэ,к) нужно найти для состояния, поляризованного внешним
полем.
Интересующий нас поляризационный оператор есть
П„(ш,к) = г [Gt(£_,P-m+,P+)S| . (8-85)
J I ZiKГЬj
где £± = £ ± cj/2 , р± = р ± к/2 , а соответствующие функции Грина были найдены в
задаче 46 а).
Подставляя в (8.85) выражения (8.74) для Gf и G;, и интегрируя по частоте £ ,
находим
П (,,Ы= f nl(P-) ~ nt(P+) d3P /о
) J ш - kv - 2шв - St + (2тг7г)3 ’ (8’86)
где П|(р) и Пф(р) — распределения Ферми для двух поляризаций спина. Величины
и Еф даются выражениями (8.73), как и раньше.
Решение 47 а) Пусть к = 0 . В этом случае подинтегральное выражение в (8.86)
зависит от р только через П|(р) и пДр) . Поэтому интеграл по d3p дает
к) =---- n*~nt ------- , (8.87)
ш — — дп± + дщ
где и гц — плотности частиц со спином вверх и вниз.
Подставляя (8.87) в (8.84), получаем
______Щ - nt______
v Л Л _ О..2 ш-2шв-д(щ-щ) _ 2 4-W /0 007
Xi(w)k=o - 2М П1_П1---------- 2м (8.88)
у CJ - 2ссв - д(щ - nt)
Таким образом, при к = 0 поперечная восприимчивость совершенно не зависит от
взаимодействия. В частности, резонансная частота сс = 2ссв остается такой же, как в
невзаимодействующей системе.
Нетрудно убедиться в том, что утверждение теоремы Лармора об отсутствии
сдвига резонансной частоты справедливо для произвольного взаимодействия, не за-
висящего от спина. Гамильтониан фермионов в магнитном поле есть сумма (8.1)
и (8.31). При этом члены (8.1) коммутируют с оператором полного спина системы
s1 = f 'фа(г)<7га/3'ф/з(г)(13г , а зеемановский член (8.31) — нет. Поэтому
ds
dt
— i [T^totai, s] — i [Hb, s] — 2цВ X s
(8.89)
To обстоятельство, что свободная прецессия s происходит с частотой 2исв , как раз и
означает, что при возбуждении внешним переменным полем резонанс имеет место при
uj = 2шв •
Решение 47 б) Рассмотрим теперь д-х(х',к) при к^О. Мы хотим найти зависи-
мость положения полюса д-± ~ (сэ — сэ(к))-1 от к . Как станет ясно ниже, интерес
200
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
представляют относительно малые |к| ~ д(п± — n^)/vp . Поэтому в слабом магнитном
поле шв Ер , когда щ «total , в числителе (8.86) можно сделать замену:
ч(р-) - nt(P+)
Д«й(|р|/р0 - 1) •
(8.90)
где Д« = «ф — . Интеграл по поверхности ферми-сферы легко вычисляется:
„ . , . Д« ( sinOdO Дп , (ш + кшр\ „„х
Пп сщ к) = / --------------- = —— In —- , 8.91
ф 2 J ш — kvp cos в 2kvF \ш — kvF I
где ш = ш — 2шв — дДп .
Полюс x_L(w,k) определяется уравнением дП|Дсщк) = — 1 , решение которого в
данном случае нетрудно выписать в явной форме:
сэ(к) = 2шв + дДп — kvF cth и ,
kvF
дДп
(8.92)
Закон дисперсии спиновых волн (8.92) обладает следующими свойствами. При и 1
частота есть
к2г2
Цк) =2шв--^Е (8.93)
Зд/Хп
При и 1 выражение (8.92) стремится к 2шв + дДп — kvF . При этом частота сэ(к)
вещественна для всех и , т. е. затухание отсутствует.
Описанное поведение при больших и определяется сингулярностью выраже-
ния (8.91) при ш = —kvF . Как мы убедились в задаче 44 б), эта сингулярность есть
следствие принятого приближения (8.90), сводящего интегрирование в (8.86) по тон-
кому трехмерному слою к интегралу по двумерной ферми-поверхности. На самом же
деле, поляризационный оператор (8.86) на границе квазичастичного спектра, т. е. при
ш = ±kvF , принимает конечное значение. По тем же причинам, что и в задаче 44 б),
логарифмическую сингулярность в (8.91) следует обрезать при |сэ ± kvF\ ~ к2/2т .
8.5. РЕШЕНИЯ
201
Рис. 8.9
В результате уравнение дП|Дсэ,к) = —1, дающее закон дисперсии спиновых волн,
имеет решение только при к меньших некоторого &тах . Точка окончания закона дис-
персии /.;тах находится из уравнения
/ро
2kvp \к
(8.94)
С логарифмической точностью /.;тах = (дДп/2щ?) In (Ep/g£±ri) . При к > ктя.^ частота
спиновых волн оказывается внутри квазичастичного континуума |Д| < (см.
рис. 8.9). Спиновые волны с такими к характеризуются конечным временем затухания,
т. е. комплексной частотой сэ(к) .
Решение 48 а) Вычислим обменную энергию7, даваемую второй диаграммой на
рис. 8.6. Соответствующее выражение для плотности термодинамического потенциала
на единицу объема в мацубаровской технике равно
Ш0(м = -\т2 lim £ Р1)С(ге2, р2) VP1_P2 ег£1Т1+г£2Т2 , (8.95)
Z Т1,2->+0
?1, ^2
Р1,Р2
где G(ie,p) = 1/(ге — £р) — функция Грина электронов, а 14 = 4яе2/к2 — фурье-
компонента потенциала взаимодействия.
Отметим, что при выписывании выражения (8.95) имеется следующая тонкость.
Поскольку взаимодействие в (8.1) считается мгновенным, в аналитических выраже-
ниях для диаграмм на рис. 8.6 возникает функция Грина, взятая при совпадающих
временах. Но G(r,r) имеет скачок при т = 0 , и из-за этого выражения оказываются
формально неопределенными. Эта трудность обычно преодолевается следующим обра-
зом. Оператор взаимодействия (8.1) содержит нормально упорядоченное произведение
'ф -операторов, в котором ф всегда стоит правее т/Э , функцию Грина с совпадающими
временами следует заменять на
G(r, 0) —> lim G(r, —т) .
(8.96)
Д^обм —
Это соглашение и использовано в (8.95).
Суммирования по ед и с2 в (8.95) оказываются независимыми. Воспользовавшись
выражением
Г р)ег£1Т = М£р) (8.97)
(см. формулу (7.60) в решении задачи 35), получаем
^-^^nF(^P1)nF(^P2) СР1_Р2 (8.98)
7Нетрудно убедиться в том, что энергия Хартри, даваемая первой диаграммой на рис. 8.6, в модели
желе точно сокращается при учете взаимодействия с однородным компенсирующим положительным
фоновым зарядом. Мы не будем на этом останавливаться.
202
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
(множитель 1/2 исчез при суммировании по спину).
Теперь удобно перейти в координатное представление. Подставляя в (8.98) l'pi-p2 =
/ V(r)e2(pi-P2)rd3r , получаем
Д$гоби = - [AV(r) |/(г)|2 , где /(г) = [ TCnF((p)e'^ .
J J I I
(8.99)
Рассмотрим случай Т = 0 . Интеграл /(г) легко вычисляется:
f ipr $р Pf si*1 Pr 4тгр2 dp smpor — par cospor
J (2л)3 J pr (2я)3 2я2 г3
IpKpo о
(8.100)
Отсюда обменная энергия (8.99) есть:
е2 Т (sinpor - p0rcosp0r
Д^обм = “ТД / 4%Г dr ---------------7-------
4тг' J г‘
о
(8.101)
Путем трехкратного интегрирования по частям получаем
обм
е2Ро _ е2 (З7г2п)4//3
4тг3 4тг3
(8.102)
Мы видим, что из-за достаточно быстрого убывания функции /(г) обменная энер-
гия определяется |г| ~ р^1 , что порядка характерного расстояния между электрона-
ми. Это можно понять качественно, заметив, что только при сближении электронов
на расстояние рё1 их волновые функции начинают перекрываться, и эффекты не-
различимости частиц становятся важны. Таким образом, обменная энергия на один
О
электрон оказывается порядка е ро
Интересно отметить, что масштаб рц 1 , определяющий обменные эффекты, при
е2/Kvp «С 1 оказывается много меньше длины кулоновского экранирования к-1 , ко-
торая определяет корреляционную энергию (см. задачу 49). Поэтому говорят, что об-
менное взаимодействие локально.
Отрицательный знак тоже нетрудно понять. В силу принципа Паули, элек-
троны избегают друг друга на расстояниях pg 1 , в результате чего энергия куло-
новского отталкивания уменьшается.
Решение 48 б) Рассмотрим вклады второго порядка по e2/hvp , соответствующие
диаграммам на рис. 8.7. Им соответствуют такие выражения:
АС’рр = Т3 £ / gfe k) g(^' + ^. к + q)
х G(ie', к') G(ie' - ш, к' - q) Vq2 ; (8.103)
aq(&)
Л6корр
d3k d3k' d3q
(>)9
G(ie, к) G(ie + ш, к + q)
4ТЗ ? /
8.5. РЕШЕНИЯ
203
х G(is', к') G(zs' - ш, к' - q) Vq Vk_k,+q .
(8.104)
Принятые обозначения показаны на рис. 8.10. Знаки диаграмм а) и Ь) отличаются из-за
разного числа фермионных петель, а коэффициенты — из-за того, что в диаграмме а)
суммирование по спину происходит два раза, а в диаграмме Ь) — один раз.
Рис. 8.10
Импульсы на рис. 8.10 выбраны таким образом, чтобы было удобно объединить вкла-
ды а) и Ь). Суммирование по £ и s' выполняется с помощью тождества (7.87). В
результате приходим к такому выражению для :
aqW+M
6корр
т f d3kd3k' d3q nF^ - nF(£k+q)
2^/ (27ГГ
Пр(£к') — Пр^к'-д)
i(x) ^k' £k' —q
£к Т £k+q
2Vq2- VqI"k-k'+q
(8.105)
X
где первый член в скобках соответствует диаграмме а), а второй — диаграмме Ь).
Нас интересует случай нулевой температуры. Поэтому заменим суммирование по ш
интегрированием. При этом
_ <) - £(-£)
2тг(гсэ - £)(-ш> - £') £ + £'
(8.106)
Получаем
d3k d3k' d3q
(2^)9
(М&)
Пр (£k+q)} (тг(£к')
^F(^k'-q))
x #(£k' - £k'-q) ~ fl(£k+q ~ £k)
£k — £k+q + £k' — £k'-q
2 Vq2 - Vq Vk-k'+q
(8.107)
Проанализируем область интегрирования в (8.107). Одна из двух 0 -функций в этом
выражении должна быть равна 1 , а другая — 0 . Пусть от нуля отлична первая 0 -
функция. Тогда, поскольку в (8.107) входит также множитель Пр(£к’) — Tr(£k'-q) , то
|к'| > ро , а |к' — q| < ро Аналогично получаем |к| < ро , |к + q| > р0 . Если же от нуля
204
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
отлична другая в -функция, то ответ получается заменой к —> к' , q —> —q . Поскольку
выражение симметрично относительно этой замены, достаточно просто удвоить ответ.
Поэтому
д$г“>р+р“’ = / / / (2;г)’кк -&+,+&-&.,) 2V’ “ Vk-k'+“. ' (8'1081
к с Rq
к' - q Rq
Это выражение совпадает с (8.33).
Отметим, что формулу (8.33) можно получить и без диаграмм, вычисляя энергию
основного состояния ферми-системы по обычной квантовомеханической теории возму-
щений до членов второго порядка (см. [6], §6).
Теперь рассмотрим поведение подинтегрального выражения в (8.108) при q —> 0 .
Области интегрирования по к и к' представляют собой в этом случае слои толщины
порядка q на поверхности ферми-сферы (см. рис. 8.1). С другой стороны, знамена-
тель при этом оказывается порядка qvp . Поэтому первый член оказывается порядка
q~3 , а второй — порядка q~l . В результате оказывается, что при интегрировании по
q первый член дает логарифмическую расходимость на малых q , а второй остается
конечен.
Чтобы понять причину найденной расходимости, рассмотрим физический смысл
диаграмм на рис. 8.7. Поляризационные петли на диаграмме а) — это коррелятор
плотность-плотность. Поэтому эта диаграмма описывает вклад взаимодействия флук-
туаций плотности в энергию системы. Ее расходимость при q = 0 означает, что
основной вклад дают флуктуации плотности в далеких точках. Но подсчитывать вза-
имодействие флуктуаций в точках, расположенных на расстоянии, большем радиуса
экранирования, используя незаэкранированный потенциал 1/г (как это и происходит
в (8.108)), совершенно неправильно. Можно ожидать, что при правильном учете экра-
нирования логарифмическая расходимость обрежется на обратном радиусе экраниро-
вания, q ~ к.
Что же касается диаграммы б), она описывает обменный эффект второго порядка.
Как и все обменные эффекты, этот вклад в энергию определяется расстояниями по-
рядка фермиевской длины волны 1/ро , и потому в нем не возникает расходимости на
малых q .
Решение 49 а) Расходимость в диаграмме а) на рис. 8.7, найденная в задаче 48, — се-
рьезная неприятность. В рамках теории возмущений обрезать эту расходимость негде,
и поэтому возникает необходимость суммировать диаграммы высших порядков. С фи-
зической точки зрения, требуется всего лишь корректно учесть экранирование (см.
решение задачи 48 б)). Для этого следует «ужирнить» линию взаимодействия, наподо-
бие рис. 8.3. В результате получается последовательность диаграмм, показанных на
рис. 8.8.
Оценим эти диаграммы по порядку величины. Произведение п волнистых линий за-
______________________________________е)Г) V
висит от передаваемого импульса q как q и не зависит от передаваемой частоты ш
(q и си одинаковы для всех линий). Поляризационная петля П(гсэ, q) ~ у при cj qvp
и убывает при ш > qvp . Интегрирование по 0 < ш qvp дает qvp , и в результате
диаграмма п— го порядка расходится при малых q как JJ’0 q2dq/q2n~r . Чем выше п ,
8.5. РЕШЕНИЯ
205
тем сингулярней диаграмма. При п = 2 расходимость логарифмическая, в соответ-
ствии с решением задачи 48 б). Из сделанной оценки видно, что кольцевые диаграммы,
изображенные на рис. 8.8, обеспечивают максимальную расходимость в каждом поряд-
ке теории возмущений. Уже само по себе, без аппеляций к физике экранирования, это
дает достаточные основания для рассмотрения ряда на рис. 8.8.
Просуммируем последовательность кольцевых диаграмм. Для этого, как обычно,
продифференцируем термодинамический потенциал по константе связи е2 . Это устра-
няет множители 1/п перед диаграммами, после чего ряд суммируется, как геоме-
трическая прогрессия. Выражение, которое при этом получается, есть произведение
П(гсэ, q) и заэкранированного взаимодействия , из которого вычтено затравоч-
ное взаимодействие I'q (потому что ряд начинается с п = 2 ). Таким образом,
е2ЭЯ^, = _1 T^l g. П(гш,ч) Vq) . (8.109)
Согласно задаче 44, заэкранированное взаимодействие есть (8.42). Что касается по-
ляризационного оператора П(гсэ,д) , то аналитическое продолжение формулы (8.47)
дает
П(ш, q) = — v [ 1-— arctg —-| . (8.110)
\ qvp ш )
Заменяя при Т = 0 суммирование по ш интегрированием, и подставляя из (8.42),
приводим (8.109) к виду
2 9QKOpp 1 7 dw d q П (zcj, q) 1'^ ,
де2 2 J 2-7Г (2я)3 1 — П(гсэ, q) Vq
Удобно ввести s = ix/qvp и обозначить n(zw,q) = —vP(s) . Получаем
2<9QKopp °f qvp ds 4тг q2 dq (4яе2)2 z/2 F2(s) n4vp P2(s)
de2 J> 2тг (2л)3 q2(q2 + к2Р(зУ) 4тг3 / / q2 + k,2P(s) ’
(8.112)
где к2 = 4тге2г/. Интегрируем по q , обрезая интеграл сверху на ро :
2 агэ 4 °? 2 4 °?
в 9QKOpp Ро К VF ^Ро [ /О11ОЧ
v^~ = - J 1пp “ -1-гь- J Р «* (8-пз)
о ’ о
(последний шаг верен с логарифмической точностью, поскольку р2/к,2 = (тг/4)7гщ?/е2
1 ). Интеграл
J = I P2(s)ds (8.114)
о
удобно вычислить с помощью следующего представления F(s) , которое следует из
определения поляризационного оператора:
1 2 1
P(s) = [ -----о dx = 1 — s arctg- . (8.115)
J s2 + x2 s
0
206
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
Интегрируем:
ОО 1 1 9 9
[ I I / 2 , 2W 2 , 2А dxdyds = n f / dx dy
J J J (s2 + х2) (s2 + у2) J J x + y
0 0 0 v ' 0 0
7Г f , L т + 11 7г(1-1п2)
— x dx 1 — x In-------- =----------- .
2 J L x J 3
0
(8.116)
Учитывая соотношение к,2 = 4тге2г/ и интегрируя по е2 , получаем окончательный
ответ:
^корр = (8.117)
247Fz К
Таким образом, просуммировав кольцевые диаграммы, мы действительно получили
конечную корреляционную энергию. При этом логарифмическая расходимость, най-
денная во втором порядке теории возмущений, автоматически обрезалась на обратном
радиусе экранирования, q ~ к .
Решение 49 б) Найдем энергию взаимодействия, представив ее как энергию нулевых
колебаний осцилляторов электрон-дырочных пар. Воспользуемся формулой
In
сэ2 + сэ2
CJ2 + П?2
dx
4тг
Х\ П?2
~2 ~ ~2 ’
(8.118)
которую нетрудно проверить интегрированием по частям. Применим ее к операторам
= 52 wp,k^p,k^P,k , F = 2 52 К 52 шР,кФр,к 52 wJ',k^P,k
k; peRk к уреЩ; / ур'еЩ;
(8.119)
сумма которых есть удвоеннная «потенциальная энергия» осцилляторов, описываемых
гамильтонианом Но + %mt (см. (8.23) и (8.24). Получаем
ДЕ = Тг
/ х2 + А + В\
\ х2 + А )
dx
4тг
(8.120)
Разложим это выражение в ряд:
= 52 52 Тг (%2 +
(8.121)
Вычисляя след, находим
ДЕ
4cjpjk
^Rk Ш
(-УкП(сэ,к))
ш>0 к п=1
Я, / Тг л-г/ , г, dx d3k
1п(1-ЧП(^,к))-—
ш>0 п=1 к
I2.
р,к
(8.122)
8.5. РЕШЕНИЯ
207
Чтобы установить соответствие с вычислением обменной и корреляционной энергий
в задачах 48 и 49 а), заметим следующее. Первый член формального разложения ло-
гарифма в выражении (8.122) в ряд по степеням 14 дает не что иное, как обменную
энергию, вычисленную в задаче 48 а). В этот первый член 14 входит в первой сте-
пени, что дает сходящийся при малых к интеграл. Нетрудно убедиться, что если вы-
честь из (8.122) обменную энергию (в силу сходимости интеграла, такое вычитание
— корректная процедура), то получившееся выражение при дифференцировании по
е2 дает выражение (8.111), определяющее корреляционную энергию. Поэтому выраже-
ние (8.122) есть сумма обменной и корреляционной энергий.
Результат (8.122), выведенный при Т = 0 , нетрудно обобщить на случай конечной
температуры. Это делается по аналогии с задачей 35, где была получена связь между
термодинамическим потенциалом и функцией Грина ферми-частиц. В результате полу-
чается выражение, подобное (8.122), в котором интегрирование /...с4?/27г заменено
суммированием Т ... по = 2ттТ .
Решение 49 в) Рассмотрим корреляционную энергию невырожденной плазмы. Можно
воспользоваться формулой (8.109), оставляя в ней лишь член с ш = 0 :
2 д£1корр _ _Т г d3q Vg П (д)ц,=о
Зе2 2 / (2я)3 1 - УЧП«=О ' 1 }
Величина П(д)ш=0 при малом |q| р0 есть
п/ -Л m f 2d3p Пг^р) ~ nF^P+^ ~ f 2 d3P dnF^p) (о 194Ч
п q •>)-» = J ep_ep+q---------------J ( ’
(мы использовали (7.87). Поскольку нас интересуют большие температуры Т
Ер , можно заменить распределение Ферми распределением Больцмана, для которого
дпв(£)/д£ = -пв(£)/т. Поэтому Щ,=0(д 0) = —п/Т , где п — плотность частиц.
Отсюда
ы 4тг(=2
<8-125’
где к2 = 4тге2п/Т — классический дебаевский радиус экранирования. В результате
2 с^корр Т г d3q к4 Тк,3
де2 2 J (2я)3 q2 (q2 + к2) 8тг
Интегрируя по е2 , получаем
Тк3
^корр = -т^, (8.127)
127Г
что совпадает с результатом, известным для классической плазмы (см. [5] §78).
Обратим внимание на неаналитическую зависимость выражений (8.117) и (8.127)
от е2 . При Т = 0 корреляционная энергия пропорциональна е4 In е2 , а при Т Ер
выражение (8.127) дает QKOpp е3 . В результате формальное разложение QKOpp по це-
лым степеням е2 оказывается невозможным. Эта неаналитичность и есть формальная
причина того, что в ряду теории возмущений присутствуют расходящиеся члены.
208
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
8.6. Энергия взаимодействия в металле. Вигнеров-
ский кристалл
Рассмотрим энергию основного состояния электронов в металле, используя модель же-
ле. В пределе высокой плотности электронов п система будет почти идеальным ферми-
газом с ферми-жидкостными поправками, малыми по параметру e2/hvp 1 Наиболее
существенной энергией в этом случае будет кинетическая энергия, величина которой
порядка р^/2т на частицу. Это дает термодинамический потенциал на единицу пло-
щади QKHH ~ п5/3 .
Поправки первого порядка по межэлектронному взаимодействию были найдены в
задаче 48 а). Энергия Хартри в модели желе равна нулю из-за компенсации взаимо-
действия электронов с положительным фоном. Обменная же энергия QogM отлична
от нуля и отрицательна. Как нетрудно видеть, сумма кинетической и обменной энер-
гий QKHH + Qo6m есть просто среднее {Но + %int) от гамильтониана (8.1), взятое по
основному состоянию идеального ферми-газа, то есть по слэтеровскому детерминанту,
построенному из плоских волн с |р| < Ро .
Поправки второго порядка и выше по е2/hvp , рассмотренные в задачах 48 б) и 49,
учитывают изменение основного состояния благодаря взаимодействию. Эти поправ-
ки принимают во внимание изменение корреляций взаимного расположения электро-
нов по сравнению с идеальным ферми-газом. Поэтому соответствующий вклад в энер-
гию системы называют корреляционной энергией. Согласно задачам 48, 49, обменная
и корреляционная энергии отрицательны и зависят от заряда е и плотности п так:
^обм ~ -е2п4/3 , QKOpp ~ -е4п1н(п1/3/е2) .
Интересно, что корреляционная энергия имеет неаналитическую зависимость от
параметра теории возмущений е2/hvp Поэтому формальное разложение QKOpp по це-
лым степеням е2/Кир не имеет смысла. В этом и состоит причина того, что, как мы
убедились в задаче 48 б), в ряду теории возмущений появляются расходимости.
Здесь уместно отметить, что для отсутствия аналитичности термодинамического
потенциала С как функции константы связи е2 при малых е имеются весьма общие
основания. Действительно, если бы аналитичность имела место в некоторой окрестно-
сти е = 0 , то выражение для термодинамического потенциала, полученное при е2 > 0 ,
было бы применимо и к системе с е2 < 0 , то есть с притяжением между частицами.
А в ней, как известно, возникает куперовское спаривание и происходит перестройка
основного состояния. Отметим аналогию с квантовой электродинамикой, в которой с
помощью сходного рассуждения доказывается (Дайсон, 1952), что любая физическая
величина, как функция е2 , имеет особенность при е = 0 (см. [4], гл. 1, §3).
Рассмотрим теперь, как меняется состояние металлической системы при измене-
нии плотности. Зависимость кинетической и обменной энергии от плотности такова,
что при высокой плотности 120бм пренебрежимо мала по сравнению с QKHH Однако
при уменьшении плотности взаимодействие начинает давать основной вклад в энер-
гию. При этом, поскольку 120бм отрицательно, состояние с однородной плотностью
становится неустойчиво по отношению к возникновению неоднородностей, и жидкость
превращается в кристалл (Вигнер, 1934).
Сравним энергии кристалла и ферми-жидкости. Рассмотрим кристаллическое со-
8.6. ВИГНЕРОВСКИЙ КРИСТАЛЛ
209
стояние, в котором волновые функции электронов локализованы вблизи узлов неко-
торой решетки. Для конкретности будем говорить о кубической решетке с периодом
а = 1/3 . Убедимся в том, что кинетическая энергия, оцениваемая как энергия ну-
левых колебаний, будет выше, чем в однородной системе с той же плотностью, а по-
тенциальная — ниже. Поскольку при низкой плотности потенциальная энергия важнее
кинетической, кристалл оказывается более выгодным состоянием, чем жидкость.
Начнем с того, что оценим изменение кулоновской энергии. При образовании кри-
сталла она понижается, поскольку в жидкости системе электроны могут находиться
ближе друг к другу, чем в кристалле при той же плотности. Уменьшение потенциаль-
ной энергии на один электрон будет порядка энергии взаимодействия соседей:
р2
£>(КРИСТ) _ £>(ЖИДК) — _g2nl/3
пот пот а
(8.128)
Теперь займемся кинетической энергией электронного кристалла. Электрон соверша-
ет нулевые колебания около одного из узлов решетки. Причем когда электрон на-
ходится точно в узле, кулоновские силы, действующие на него со стороны других
электронов, в точности компенсируются. При отклонении же от узла на небольшое
расстояние, из-за нескомпенсированного кулоновского отталкивания от соседей по-
является возвращающая сила. При смещении х возвращающая сила будет порядка
е2/(а — т)2 — е2/(а + т)2 ~ е2х/а3 . Записав ее как mA , получим частоту колеба-
ний электрона и радиус локализации волновой функции:
(8.129)
где — скорость Ферми в идеальном ферми-газе данной плотности. Оценим энер-
гию нулевых колебаний на один электрон:
е2 V1/2 е2 ~
hv(p} J а ~
где /2та2 .
Сделанные оценки показывают, что в пределе низкой плотности, т. е. при e2/hv^
1 , имеют место такие неравенства:
(2 \ Ч*
А, Я<™>, (8.130)
hvy J
Е1(крист)
^КИН 2
(8.131)
Это означает, что образование кристалла энергетически выгодно. Отметим, что для
применимости сделанных оценок требуется, чтобы электронные состояния были хоро-
шо локализованы вблизи узлов. Но, как мы видели, г о а при е2/hvp^ 1 , что
подтверждает корректность наших рассуждений.
Итак, при переходе в состояние вигнеровского кристалла кинетическая энергия уве-
личивается, а потенциальная уменьшается. Поэтому при высокой плотности такое со-
стояние невыгодно, а при низкой — выгодно.
210
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
8.7. Микроскопическое обоснование теории ферми-
жидкости
Диаграммная техника позволяет обосновать теорию ферми-жидкости весьма общим
образом, а также установить границы ее применимости. Такой квантово-полевой под-
ход к проблеме ферми-жидкости весьма полезен, поскольку он дает возможность ис-
пользовать идеи и результаты этой теории в сильно взаимодействующей системе. В
этом состоит преимущество по сравнению, скажем, с рассмотренным в разделе 8.3 га-
мильтоновым методом, в котором предполагается, что взаимодействие слабое. Кроме
того, гамильтонов метод опирается на несколько эвристическое по своему характеру
приближение случайных фаз, в то время как квантово-полевой подход является совер-
шенно строгим.
Микроскопической теории ферми-жидкости уделено большое внимание в литерату-
ре (см. [1, 6, 4]), поэтому здесь мы ограничимся кратким перечислением основных
результатов. Предполагается, что особенности одночастичной функции Грина, как
функции энергии, качественно такие же, как для идеального ферми-газа. А именно,
<Жр) имеет простой полюс при г = £(р) , где закон дисперсии квазичастиц £(р)
определяется самосогласованно через уравнение Дайсона. Показывается, что вычет а
в полюсе
G(e,p)----—— ------;--- (8.132)
£ ~ £(р) + «0sign£
удовлетворяет условию 0 < а < 1 . Величина а имеет смысл спектрального веса квази-
частицы в одночастичной функции Грина (ср. с (4.14) в гл.4). Единственной величиной,
которая не перенормируется взаимодействием, оказывается импульс Ферми, выража-
ющийся через плотность: ро = (Зтг2п)1//3 .
Оказывается возможным выяснить, какие диаграммы описывают динамику ква-
зичастиц, и проследить связь с кинетическим уравнением ферми-жидкости. Для этого
следует рассмотреть двухчастичные функции Грина и выделить в них вклады, соответ-
ствующие электрон-дырочным парам вблизи уровня Ферми. Следуя традиции, будем
говорить о двухчастичной амплитуде рассеяния, имея при этом в виду, что другие
двухчастичные функции рассматриваются аналогично.
Амплитуда рассеяния Г есть, как обычно, сумма всех фейнмановских диаграмм
с четырьмя концами. Она зависит обычным образом от входящих и выходящих им-
пульсов, а также спинов. Выделим из диаграммного ряда все вклады с определенным
количеством двухчастичных сечений, и пересуммируем ряд, как при выводе уравнения
Бете-Солпитера 4.20. Для этого требуется использовать так называемую неприводи-
мую вершину Г^0^ , не содержащую двухчастичных сечений. Пересуммированный ряд
для амплитуды Г изображается графически, как показано на рис. 8.11, где неприво-
димая вершина Г^ обозначена заштрихованным кружком.
8.7. МИКРОСКОПИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ ФЕРМИ-ЖИДК0СТИ211
Рис. 8.11
Отметим, что при этом предполагается, что суммарные импульс к и частота ш в
двухчастичных сечениях малы по сравнению с ро и Ер , соответственно. Именно это
ограничение на к и ш позволяет ограничиться лестничными диаграммами, изобра-
женными на рис. 8.11.
Полученный ряд сводится к интегральному уравнению почти так же, как при вы-
воде уравнения Бете-Солпитера 4.20. Разница состоит только в том, что надо пользо-
ваться причинными функциями Грина, а не запаздывающими. В результате получается
уравнение вида
Г(Р1,р2; к) = Г{0\р!,р2; к} — i J k)r(q,p2; к) G(q) G(q +к) , (8.133)
где Рхд — импульсы входящих частиц, а, к — передача импульса. Мы для простоты
опустили все спиновые индексы и суммирование по ним.
Задача теперь состоит в том, чтобы выделить в (8.133) вклады полюсов функций
Грина G(q) и G(q + k) , поскольку именно полюсные вклады отвечают квазичастицам.
Для этого требуется выполнить еще одно пересуммирование ряда для Г , в результате
которого получается очень похожий ряд, с тем, однако, единственным отличием, что
двухчастичные сечения содержат только полюсные вклады.
Формально это происходит так. При малых ш и к в двухчастичных сечениях,
произведение функций Грина можно разложить на сингулярную и регулярную части:
kv
-zG(Q) G(q + к) = —------—5(e) 5(|q| - р0) + , (8.134)
vp ш — kv
где q = (г, q) , к = (w,k) , v = Vk£(k) . Поясним происхождение сингулярного вклада
в (8.134). Он возникает в тех случаях, когда полюса функций Грина G(q) и G(q +
к) зажимают контур интегрирования по е в уравнении (8.133). Зажимание контура
происходит, когда полюса выражения G(q)G(q + к) находятся по разные стороны от
вещественной оси. Это имеет место при |q| < ро и |q + k| > ро , или наоборот. Но
поскольку |к| ро , импульс q при этом оказывается на расстоянии А |к| от ферми-
поверхности. А значит, одновременно и е = £q оказывается почти на уровне Ферми.
Запишем соотношение (8.134) в виде —iGG = D + <р проведем пересуммирование
ряда на рис. 8.11, используя операторную запись:
Г = Г(о) - ir(0)GGT(0) + (-i)2r(0)GGr(0)GGT(0) + ...
= г(0) (i - (n + ^)r(0))_1
= г(0) (1 - ^г(0))-1 (1 - ПГ(0) (1 - ^г(0))-1^
= ГШ(1-ПГШ)-1 (8.135)
где введено обозначение Гш = Г^0) (1 — (рГ(°)) . Обратим внимание, что результат
этой цепочки преобразований имеет форму, соответствующую ряду на рис. 8.11. От-
личие этого представления от исходного в том, что теперь все несингулярные вклады
собраны единым образом в вершину Гш .
212
ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
Как всегда, элементарные возбуждения определяются полюсами соответствующей
функции Грина. В данном случае необходимо рассмотреть полюса амплитуды рассе-
яния Г , как функции сс и к . Из представления (8.135) следует, что полюсам соот-
ветствуют нулевые собственные значения оператора 1 — 7?ГШ . Пользуясь явной фор-
мой (8.134) для оператора D , уравнение на собственные значения можно записать в
виде
2тг(х^
(ш — kvWp) = kv------Гши(р) , (8.136)
vf
где м(р) — соответствующая собственная функция, а действие понимается в
операторном смысле. Получившееся уравнение совпадает с кинетическим уравнением
ферми-жидкости, причем функция Ландау F(n, п') оказывается связанной с ампли-
тудой , взятой на ферми-поверхности:
F(n, п') = —ГДр, p')|p|=|p,|=po (8.137)
Vf
Отметим, что амплитуда получается простым образом из полной амплитудой рас-
сеяния Г , если рассмотреть предел kv сс . При этом, согласно (8.134), величина
D —> 0 и, вследствие этого, = Г .
Заметим, что связь между оператором D и кинетикой квазичастиц становится
особенно наглядной, если перейти в координатно-временное представление. Чтобы из-
бежать неоднозначностей, связанных с обходом полюсов, рассмотрим запаздывающую
величину, заменив сс на сс + гО . Тогда
H7r kve-^+ikr dec d3k = [ vyr й(г-v*), t>0- , }
J ш - kv + /0 2т (2tf)3 I 0, t < 0. ^’138)
Это вычисление демонстрирует, что сингулярная часть произведения G(q)G(q + к)
описывает распространение электрона по прямой между моментами, когда происходит
взаимодействие с другими электронами. (Читатель, сталкивавшийся с задачей об опре-
делении кинетических коэффициентов из уравнения Больцмана, узнает в vk/(<z> — vk)
стандартное выражение, возникающее при подобных расчетах.)
Следует сказать, что связь между лестничными диаграммами с малым переданным
импульсом и кинетическим уравнением, продемонстрированная на примере амплитуды
рассеяния Г , имеет более общий характер. Аналогичные рассуждения применимы к
произвольной двухчастичной функции Грина. Примером тому могут служить лестнич-
ные диаграммы, рассмотренные в задачах 44 — 47.
Как мы убедились, теория ферми-жидкости на диаграммном языке соответствует
учету определенных диаграмм с малой передачей импульса в двухчастичных счениях.
Исчерпываются ли описанными выше лестничными диаграммами все возможности?
Чтобы в этом разобраться, рассмотрим диаграммы с ровно одним двухчастичным
8.7. МИКРОСКОПИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ213
сечением. Как видно из рис. 8.12, их всего три.
Р2 Pj+k
Рис. 8.12
Определим, при каких значениях внешних 4-импульсов pi , р% и к эти диаграммы
могут оказаться сингулярными. Как и выше, нас интересуют сингулярности, возника-
ющие из-за интегрирования произведения двух функций Грина. Полюса этого произве-
дения, как функция энергии £ в петле, даются полюсами каждой из двух гриновских
функций:
е = £q - zOsign^q , £ = cj + £q+k - zOsign£q+k . (8.139)
При этом, как всегда, отличный от нуля вклад в интеграл по £ возникает лишь если
полюса находятся по разные стороны от контура интегрирования (ср. с задачей 24).
При определенных значениях внешних импульсов полюса могут сблизиться и зажать
между собой контур интегрирования. Тогда этот контур будет невозможно увести из
окрестности полюсов и возникнет сингулярность.
Выясним, при каких условиях это происходит в диаграммах на рис. 8.12. Пренебре-
гая частотой си , передаваемой через двухчастичное сечение, получим:
а) |р+ + q| = |р+ - q| , где р+ = (рх + р2)/2 ;
ь) |р2 + q| = |q + Pi + kl;
с) |q| = |q- k| .
При этом следует учесть, что сингулярность может исчезнуть при интегрировании по
q , если условие выполняется в слишком малой области q . Поэтому условие возникно-
вения сингулярности выглядит теперь следующим образом:
a) Pi + р2 ~ 0 ;
Ь) р2 - Pi - к 0 ;
с) к а? О .
Итак, мы видим, что только диаграмма с) сингулярна при к = 0 . Именно она и опре-
деляет динамику возбуждений в ферми-жидкости.
Что же касается остальных диаграмм, то диаграмма Ь) бывает важна очень редко
из-за того, что в ней налагается условие pi ~ р2 . А вот диаграмма а) оказывается
214 ГЛАВА 8. ТЕОРИЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
важна в теории сверхпроводимости, и в гл. 10 мы ее подробно изучим. Степень важ-
ности диаграммы а) и подобных ей более сложных диаграмм оказывается зависящей
от знака взаимодействия. В случае притяжения ферми-жидкость исчезает, а взамен
образуется сверхпроводящее состояние. В случае же отталкивания все выводы терии
ферми-жидкости, полученные без учета диаграммы а), остаются в силе.
Глава 9.
Электроны в случайном потенциале
9.1. Усреднение функций Грина по беспорядку
В этом разделе мы рассмотрим еще один вид задач, решаемых с помощью диаграммной
техники — задачи о невзаимодействующих электронах, упруго рассеивающихся на при-
месях. Традиционно такие задачи описываются кинетическим уравнением Больцмана
для функции распределения вероятности в фазовом пространстве n(p, г, t) . Кинети-
ческое уравнение принимает наиболее простой вид в так называемом т -приближении,
предполагающем изотропное рассеяние на примесях:
(d t + vVr + FVP) n(p, r, t) = -- (n(p, r, t) - n(|p|, r, t)) . (9.1)
Здесь F = eE +-v x В —сила, действующая на электроны, n(|p|,r, t) —среднее от
функции распределения по направлениям импульса р , а 1 /т — частота столкновений
с примесями1.
Метод кинетического уравнения (9.1) является квазиклассическим, поскольку в нем
используется понятие эволюции функции распределения n(p,r,t) в классическом фа-
зовом пространстве. Кинетическое уравнение учитывает только те квантовые эффек-
ты, которые относятся к статистике частиц. Диаграммная техника позволяет выяс-
нить границы применимости кинетического уравнения, обосновать т -приближение, а
также предсказать интересные квантовые эффекты в кинетике металлов, которые не
описываются кинетическим уравнением.
Модель невзаимодействующих электронов представляют не только чисто методический интерес.
Как известно, при рассмотрении динамики квазичастиц в ферми-жидкости роль взаимодействия сво-
дится, главным образом, к переопределению различных констант ферми-газа (см. гл. 8). Поэтому в
теории электронного транспорта в металлах пренебрежение электрон-электронным взаимодействием,
в качестве первого приближения, вполне оправдано.
Рассмотрим, как формулируется диаграммная техника для задачи о рассеянии на
примесях. Введем потенциал примесей в гамильтониан электронного газа. В простей-
1 Обобщение интеграла столкновений в правой части (9.1) на случай более общего неизотропно-
го рассеяния достигается введением своего времени релаксации для каждой сферической гармоники
функции распределения.
215
216
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
шей модели потенциальное поле U(r) , в котором движутся электроны, создается рас-
сеивающими центрами, расположенными в точках :
^int = y't/(r)^+(r)^(r)d3r ,
U(r) = 52 u(r-rt) .
i
(9.2)
Положения примесей будем считать случайными, а их концентрацию п — малой
по сравнению с плотностью электронов nei = ^(ро/2я/г)3 (слабый беспорядок). Для
упрощения вычислений мы примем, что потенциал примесей короткодействующий,
u(r — гД = Uo5(3)(r — гД , — иными словами, пренебрежем зависимостью амплитуды
рассеяния от энергии и угла рассеяния. Помимо этого мы будем считать амплитуду
рассеивающего потенциала ио малой, что позволит рассмотреть рассеяние на одной
примеси борновской теории возмущений для амплитуды рассеяния.
Функция Грина электрона, движущегося в потенциале (9.2), дается суммой таких
диаграмм:
Рис. 9.1
Здесь волнистые линия обозначают потенциал примесей (7(г) (см. рис. 3.1, гл. 3).
Функция Грина в случайном внешнем поле (9.2), вообще говоря, не является трансля-
ционно инвариантной. Однако практический интерес обычно представляют величины,
усредненные по расположению примесей. Такие величины являются трансляционно ин-
вариантными.
Выполним усреднение функции Грина по беспорядку. Для этого заметим, что по-
тенциал (7(г) в (9.2) есть сумма потенциалов отдельных примесей. Поэтому каждой
вершине на рис. 9.1 может быть приписан номер примеси, по которому затем надо
просуммировать:
Вначале рассмотрим диаграммы, в которых все номера примесей разные. Это означа-
ет, что рассеяние на каждой примеси рассматривается в первом борновском прибли-
жении, и что все вершины в диаграмме статистически независимы. После усреднения
по положениям примесей мы получим, что все такие диаграммы приводят к сдвигу
химпотенциала на величину З/j, = пио Это естественно: средний потенциал примесей,
равномерно размазанных по объему, равен именно этой величине.
Существенно однако то, что при рассмотрении рассеяния на одной примеси мы не
можем ограничиться первым борновским приближением, ибо оно дает лишь тривиаль-
9.1. УСРЕДНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА ПО БЕСПОРЯДКУ
217
ный сдвиг химпотенциала, описанный выше. Нас интересует мнимая часть амплитуды
рассеяния Im f , которая появляется лишь во втором борновском приближении по ам-
плитуде рассеивающего потенциала ио Поскольку мнимая часть амплитуды рассеяния
Im f возникает во втором порядке теории возмущений по ио , она оказывается много
меньше вещественной части Re f . Однако, согласно теореме унитарности (см. зада-
чу 11, гл. 3), именно 1т/ определяет полное сечение рассеяния на потенциале примеси.
Поэтому нам необходимо изучить диаграммы, в которые одна и та же примесь вхо-
дит два раза. Чтобы отметить этот факт, соединим пунктиром вершины, отвечающие
совпадающим примесям:
» » ^ч + > \ \ + . . .
i i г г к
Рис. 9.3
Как и раньше, несвязанные пунктиром вершины, с точки зрения усреднения по поло-
жениям примесей, являются статистически независимыми. Вершины же, соединенные
пунктиром, соответствуют одной и той же примеси. Мы будем рассматривать такой
пунктир как новый элемент диаграммной техники. Усреднение по примесям дает для
него такое выражение:
52 МГ - Г;)м(г' - Г;)) = Пи^3\г - г')
i
(9.3)
Статический характер потенциала примесей U(г) выражается математически отсут-
ствием какой-либо зависимости выражения (9.3) от моментов времени t и t', в кото-
рые происходит первое и второе рассеяние.
Далее можно было бы учесть высшие порядки теории возмущений для рассеяния
на одной примеси. Однако оказывается, что это эквивалентно замене амплитуды и
сечения борновского рассеяния на соответствующие точные выражения (см. гл. 3), что,
очевидно, не приводит к качественно новым эффектам. Поэтому разумно пренебречь
такими поправками и принять, что рассеивающий потенциал слабый.
Подведем итог. На каждой примеси электрон рассеивается или один, или два раза.
Однократные рассеяния просто сдвигают химпотенциал и потому могут вообще не
учитываться. Вклад же двукратного рассеяния можно получить, вычисляя диаграммы
следующего вида:
/ X I ! / \ \ . //\\ .
» ' » Ч “Г » Ч 1 I Ч Ч 1 I . . .
Рис. 9.4
При этом пунктирной линии сопоставляется выражение — г') .
218
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
В результате получается диаграммная техника усреднения по беспорядку2. Фор-
мально она напоминает диаграммную технику для электрон-фононного взаимодей-
ствия (с заменой функции Грина фононов на примесный пунктир). Однако имеются
два существенных отличия:
1) Передача энергии по пунктиру равна нулю (упругое рассеяние).
2) Отсутствуют поляризационные петли, одевающие пунктир, подобные диаграм-
мам на рис. 6.1.
Правило 1 очевидно. В справедливости же правила 2 легко убедиться, взглянув на диа-
граммы, показанные на рис. 9.1. Еще до усреднения по беспорядку в этих диаграммах
отсутствуют замкнутые электронные петли.
Физически, замкнутые петли отсутствуют из-за того, что потенциал примесей, как
говорят, «вмороженный», т. е., статический. Дело в том, что динамические величины,
такие например как смещение атомов решетки, могут подстраиваться под заданную
электронную плотность (и именно этот эффект и описывается поляризационными пе-
тлями в диаграммах на рис. 6.1). Статический же потенциал примесей не меняет свою
реализацию с течением времени. Усреднение по нему происходит принципиально иным
образом, чем по динамическим степеням свободы.
Напомним как определяется усреднение в системе электронов, взаимодействующих
с фононами. В электрон-фононной диаграммной технике электронная функция Грина
есть
G(x, х') = —г (W+(^WRo , (9.4)
('S')o
где среднее (.. ,)о берется и по колебаниям решетки, и по основному состоянию ферми-
газа. Обратим внимание, что усреднение происходит по-отдельности в числителе и в
знаменателе.
Усреднение же по «вмороженному» беспорядку происходит иначе: вначале вычисля-
ется функция Грина при заданной реализации беспорядка, и только потом происходит
усреднение. Иными словами, по беспорядку усредняется сразу вся дробь (9.4):
disorder
(T^+(x)^(x')S}0\
(-S') о /
disorder
(9.5)
где среднее (.. .)0 берется по основному состоянию ферми-газа. Усреднение функции
Грина по беспорядку будет рассмотрено более подробно в задаче 50.
При оценке различных диаграмм, возникающих при усреднении по беспорядку, по-
лезно иметь в виду их интерпретацию в координатном представлении. Выражение
^(3)(г — г') в правой части (9.3) описывает возврат электрона на ту же примесь. Инте-
ресно, что в координатном представлении среднее от функции Грина принимает весьма
простой вид (см. задачу 50 б)):
(G(e,r)) = G„(e,r)e-Irl/2',
(9.6)
2По традиции ее также называют крестовой диаграммной техникой.
9.2. УСРЕДНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОТКЛИКА 219
где СДе, г) — неусредненная функция Грина, а I = vft — длина свободного пробега.
Экспоненциальный множитель е~^г^21 означает, что вероятность пролета электроном
пути |г| без столкновений с примесями равна е~ 1г1/г (вероятность есть квадрат ам-
плитуды, т. е. квадрат модуля функции Грина). Такая же вероятность получается из
кинетического уравнения (9.1).
В задачах, рассматриваемых в настоящей главе, электроны считаются невзаимодей-
ствующими, а рассеяние на примесях — упругим. Поэтому все обсуждаемые явления
— одночастичные. Это означает, что, в принципе, можно было бы изучать поведение
не ферми-системы, а одной частицы с заданной энергией Е , найти ее вклад в кине-
тические величины, а затем просуммировать результат по всем занятым состояниям.
Вместо этого мы будем пользоваться гриновскими функциями ферми-газа.
Естественно, при отсутствии взаимодействия эти два подхода, одночастичный и ис-
пользующий ферми-газ, приводят к тождественным результатам. При одночастичном
вычислении с последующим усреднением по фермиевскому распределению начальных
состояний, вклады всех состояний, расположенных глубоко под ферми-поверхностью
Е = Ер , сократятся, поскольку в этой области энергий все состояния заполнены («ди-
раковский вакуум»). Поэтому основной вклад всегда будет даваться только состояния-
ми с энергиями в относительно узком интервале вокруг Ер , определяемом температур-
ным размытием фермиевской ступеньки, частотой внешнего поля, и т. п. Сокращение
вкладов состояний с энегриями, далеко отстоящими от Ер , означает, что при рассмо-
трении динамики в ферми-системе мы эффективно все равно имеем дело лишь с одной
частицей на ферми-поверхности.
Кроме того (и это главное), использование функций Грина ферми-газа становится
полностью оправданным, когда речь идет о взаимодействующих электронах. Хотя си-
туации такого рода нам встретятся только в последующих главах (см. задачи 61, 62,
63, 64, 68), оказывается весьма полезным иметь некоторую преемственность.
Одночастичный характер рассматриваемых процессов упрощает физическую ин-
терпретацию выражений, поскольку любой график, хотя формально и состоит из функ-
ций Грина ферми-газа, на самом деле описывает динамику всего одной частицы. Имея
это в виду, можно считать электронную функцию Грина амплитудой перехода частицы
из одной точки в другую, а дырочную — комплексно сопряженной амплитудой той же
самой частицы.
9.2. Усреднение функций отклика
В задачах этой главы мы рассмотрим разнообразные функции отклика ферми-газа с
примесями. Вообще говоря, функции отклика в неупорядоченной системе зависят от
конкретной реализации беспорядка. Однако физический интерес в основном предста-
вляют функции отклика, усредненные по распределению всех возможных реализаций.
Ниже мы обсудим, как выполняется такое усреднение.
Рассмотрим, например, линейный отклик плотности частиц n(r,i) = ^+(r,^(r,f)
на слабое переменное внешнее поле V(r, t) , взаимодействующее с плотностью:
Hint = - [ n(r, t) V(r, t) d3r . (9.7)
220
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Функция отклика плотности после перехода в представление Фурье по времени опре-
деляется соотношением:
(п(п,ы)} = / Jf„„-«ve(w,ri,r2)V(r2,U>)<?r2 •
(9.8)
Ядро Knon_ave(uj, Г1, г2) проще всего вычислять по мацубаровской технике, рассма-
тривая отклик при дискретной мнимой частоте внешнего поля, который затем ана-
литически продолжается на вещественные частоты. Поскольку электрон-электронное
взаимодействие в рассматриваемой задаче отсутствует, мацубаровский коррелятор
плотность-плотность можно записать через точную функцию Грина электрона, дви-
жущегося в случайном потенциале:
^non—ave г1; г2) = т 52 GM(iek, r1,r2)GM(iek + п, г2) • (9.9)
В графическом представлении этот коррелятор выглядит так:
Жирные линии обозначают точные функции Грина, изображенные на рис. 9.1.
Коррелятор Knon_ave(iujn, г1; г2) зависит от расположения примесей и поэтому за-
висит от обеих координат щ и г2 , а не только от их разности. Однако система «в
среднем» трансляционно инвариантна, поэтому усредненный по беспорядку коррелятор
должен зависеть только от разности Гх — г2 :
К(ш, Г1 Г2) — (Knon_ave(ljJ, Гх, Г2))disorder .
(9.10)
Чтобы вычислить К(ш, г) , нужно усреднить произведение двух функций Грина в (9.9)
по беспорядку. Как и при усреднении одной функции Грина, нужно попарно связать
примеси пунктирными линиями. Пунктиры, начинающиеся и заканчивающиеся на од-
ной электронной линии, можно просуммировать, получив усредненную функцию Грина
(см. задачу 50). Пунктиры же, соединяющие разные электронные линии, описывают от-
личие среднего произведения функций Грина в (9.9) от произведения средних. Таким
образом, для вычисления среднего коррелятора в (9.10) надо просуммировать такую
9.2. УСРЕДНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОТКЛИКА
221
последовательность диаграмм:
Рис. 9.6
Оказывается, однако, что не все диаграммы в этом ряде одинаково важны. В соот-
ветствии с основным принципом техники усреднения по беспорядку (см. разд. 9.5),
основной вклад дается диаграммами, в которых примесные линии не пересекаются.
Такая последовательность диаграмм называется лестничным рядом'.
Рис. 9.7
При этом все функции Грина надо считать уже усредненными по беспорядку. Сумми-
рование этой последовательности диаграмм будет выполнено в задаче 52.
Вычисление функции отклика тока j(r, t) производится аналогично. В этом случае,
однако, надо учитывать следующее обстоятельство. Оператор тока
j(r, = t) W(r, t) + h.c.)-----A(r, t) V>+(r, t) (9.11)
2m v ' me
содержит векторный потенциал A(r, t) в явном виде. Поэтому при добавлении в га-
мильтониан системы внешнего поля
__ /* 1 / в \ 2
Akinetic = х—^+(r) (—zftV --A(r,i)l ^(r)d3r (9.
изменяется не только среднее значение оператора тока (как в случае с функцией откли-
ка плотности), но и само выражение для этого оператора. Этот эффект не учитыва-
ется формулой Кубо, поэтому в неё необходимо добавить соответствующий вклад. В
результате, в соответствие с (9.11), в токе имеется два вклада: градиентный и диа-
магнитный. Поэтому проводимость дается суммой выражений существенно разной
природы. Во-первых, среднее от диамагнитного тока по основному состоянию есть
(f1)) = —(ne2/mc)A , где п —электронная плотность. Во-вторых, находя мацубаров-
ский отклик градиентной части тока на переменное поле, мы получаем:
(Д2|(г)> = -j / , (9.13)
222
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
где П^Р(га?п,г — г') есть мацубаровский коррелятор ток-ток:
nS?(^n,r - г') = -- J (тт ]а(т,г)уЦ0,г')) еШпТ дт (9.14)
(здесь т — мацубаровское время, ja — компоненты градиентной части оператора
тока). Поэтому полная мацубаровская корреляционная функция токов дается суммой
двух слагаемых:
2
Kaf3 M} Й^п) = (шп, г - г') + ^- 5«/з5(3) (г - г') (9.15)
Отклик на вещественной частоте получается из (9.15) аналитическим продолжением
шп —>• сэ ( п > 0 ).
Хотя, на первый взгляд, два члена в (9.15) имеют совершенно различную природу, на
самом деле между ними имеется определенное соотношение. Действительно, в пределе
низкой частоты проводимость должна быть конечной. Иными словами, однородный в
пространстве и времени вектор-потенциал, не создающий электромагнитного поля, не
должен создавать и ток. Поэтому должно выполняться тождество:
ПщДи?, к) |к=0,ш—>0 — da/3 1 (9.16)
где Па/з(сэ,к) = f Па/з(сэ, г)е-гк1Д3г — поляризационный оператор (9.14) в частотно-
импульсном представлении. Соотношение (9.16) аналогично известному из теории поля
тождеству Уорда, гарантирующему калибровочную инвариантность поляризационно-
го оператора. Подобно тождеству Уорда, в нашем случае равенство П(0) = — пе2/т
обеспечивает калибровочную инвариантность проводимости.
В нормальном металле из-за калибровочной инвариантности запрещено соотношение между то-
ком и векторным потенциалом вида j = const А . Сокращение вкладов такого типа и обеспечивается
тождеством (9.16). А вот в сверхпроводниках, из-за того, что калибровочная инвариантность на-
рушена, соотношение указанного вида справедливо (оно называется «уравнением Лондонов» и будет
рассмотрено в задачах 60 и 62). В сверхпроводниках тождество (9.16) не имеет места.
Таким образом, хотя в токовой функции отклика (9.15) и появляется дополнитель-
ный диамагнитный член, «неправильно» ведущий себя на малых частотах, обычно он
сокращается аналогичным вкладом из градиентной части функции отклика (9.14). Са-
ма же градиентная часть вычисляется так же, как и функция отклика плотности.
Она точно также описывается суммой диаграмм на рис. 9.7, только теперь на кон-
цах диаграмм стоят токовые вершины. Основной принцип, разумеется, работает и в
этом случае, поэтому функция отклика тока тоже определяется лестничным рядом. В
простейшем случае суммирование этого ряда проведено в задаче 51.
Литература: [1] §39, п.2; [6] гл. IX, §78
9.3. Задачи 504-54
Задача 50. (Функция Грина, усредненная по беспорядку) Основной «принцип» тех-
ники усреднения по беспорядку заключается в том, что при усреднении какой-либо
9.3. ЗАДАЧИ 50+54
223
величины по беспорядку основной вклад дают графики, в которых примесные пункти-
ры не пересекаются. Параметр, по которому графики с пересекающимися пунктирами
оказываются малыми по сравнению с графиками, в которых пунктиры не пересекают-
ся, есть (роО-1 — отношение фермиевской длины волны к длине свободного пробега
I = vpT . Обоснование этого «принципа» мы обсудим ниже, в разделе 9.5.
а) Усредните функцию Грина по беспорядку, рассматривая только графики с непере-
секающимися пунктирами. Получите среднее функции Грина в импульсном предста-
влении:
<G<£-P)> = £_e(p)l_Lsigne' (9.17)
где uq = / u(r)d3r , a z/0 = тро/2тг27г3 — плотность состояний на уровне Ферми с
одной проекцией спина.
б) Найдите (G(s, г)) в координатном представлении при |г|ро»1 Выведите форму-
лу (9.6). Покажите, что в случае усреднения функции Грина по беспорядку аналог
квазиклассического выражения (5.23) принимает такой вид:
G(£,r) =-----T e(iposign£+i|£|/^-l/20|r| (9.18)
2я | г |
Это выражение справедливо при |г| вр и |г|р0 » 1
Задача 51. (Проводимость электронного газа3 ) Проводимость газа электронов,
рассеивающихся на примесях, дается хорошо известной формулой Друде:
<т(сэ) = -°— , сто = пе2т/т . (9.19)
1 — гшт
Здесь сто — статическая проводимость, п — концентрация электронов, т — время
свободного пробега. Нашей задачей будет получить соотношение (9.19) с помощью
техники усреднения по беспорядку. Такой вывод представляет большой методический
интерес, поскольку он позволяет проследить связь между диаграммной техникой и
теорией кинетического уравнения.
Разумеется, наиболее простой вывод (9.19) использует кинетическое уравнение (9.1). Напомним,
как это делается. В однородном электрическом поле е-гш4 Е функция распределения, возмущенная
полем, не имеет явной зависимости от координат. Поэтому кинетическое уравнение (9.1), разложенное
до членов линейных по полю Е , принимает вид:
—гш6п(р) + eEVpno(p) = — - <5п(р) . (9.20)
Здесь <5п(р) — поправка к равновесной функции распределения По(р) > линейная по полю Е . Решая
уравнение (9.20), получаем <5п(р) = (eEVpno(p))/(^v — г-1) и находим ток:
/е2пЕ
ev5n(p)rf3p/(27r)3 = _ (9.21)
1I ЬI I )
Напомним также, что в случае рассеяния более общего вида классическая проводимость определяется
транспортным временем щ , вообще говоря не совпадающим с временем свободного пробега т .
3 S.F. Edwards, Phyl.Mag., series 8, 3, 1020 (1958); А.А. Абрикосов, Л.П. Горьков, ЖЭТФ 35, 1158
(1958); ibid., 36, 319 (1959)
224
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Однако, для точечных примесей, рассеивающих изотропно, т. е. только в S— канале, эти два времени
равны: дг = т .
Для вычисления проводимости с помощью диаграмм необходимо воспользоваться
соотношением (9.15), связывающим функцию отклика с мацубаровским коррелятором
ток-ток. Упростите мацубаровский коррелятор (9.14), предварительно записав его в
форме
Па/3(шп) = Т 52 Tr (GM(iem + iujn)jaGM(iem)j^ , (9.22)
ет=(2т+1)тгТ
справедливой для невзаимодействующих частиц (см. раздел 7.2.1). Выполните усредне-
ние по беспорядку, рассматривая только диаграммы с непересекающимися пунктира-
ми. С помощью соотношения (9.15) найдите проводимость.
Задача 52. (Уравнение диффузии) Выведите уравнение диффузии, рассматривая
отклик плотности частиц на слабое переменное внешнее поле (9.7). Для этого просум-
мируйте лестничный ряд на рис. 9.7 (его в этой связи часто называют диффузионной
лестницей или диффузоном). Покажите, что при |q|Z 1 и сипт 1 усредненный
коррелятор плотность-плотность есть
JC(iun,q) = - , D = ~~vFl , (9.23)
Д'п | + Def 3
где v = 2v$ — плотность состояний на уровне Ферми для обеих проекций спина.
Рассмотрите графики, изображенные на рис. 9.7, в координатном представлении и
объясните, почему они соответствуют процессу диффузии.
Выражение (9.23), аналитически продолженное с шп на верхней мнимой полуоси, согласуется с
ответом, получающимся из классического уравнения диффузии. Действительно, уравнение диффузии
в присутствии внешней силы F = — W записывается так:
Дп = Dy2n — rf\7(Fn) , (9.24)
где у = vD/hq — подвижность. Поэтому, переходя к фурье-компонентам, имеем ZC(w,q) =
—vDcf /(—iw + -Dq2) .
Обратим внимание на то, что коэффициент диффузии D и проводимость, найденная в задаче 51,
удовлетворяют соотношению Эйнштейна,
ст = e2vD , (9.25)
как и должно быть.
Задача 53. (Интерференционное удвоение вероятности возврата) Рассмотрим ве-
роятность p(t) того, что электрон после рассеяния на примесях возвращается в момент
времени t в ту же точку, откуда он вышел при t = 0 . В предыдущей задаче мы вывели
уравнение диффузии, функция Грина которого, как известно, есть
V(r,t) = (2FDt)~^e~r2/2Dt , (9.26)
где п — размерность пространства. Для вероятности возврата это дает p(t) =
(2FDt)~% .
Оказывается, благодаря эффектам интерференции рассеяния на разных примесях,
которыми мы пренебрегли при выводе уравнения диффузии, вероятность возврата
9.3. ЗАДАЧИ 50+54
225
p(t) удваивается. Поясним физическое происхождение этого эффекта иллюстрацией из
оптики. Пусть внутри большого ящика со случайно расположенными рассеивателями
(примесями) находится монохроматический источник. Найдем интенсивность излуче-
ния, рассеянного точно обратно в источник. Интенсивность есть квадрат амплитуды,
а амплитуда есть сумма амплитуд всех процессов многократного рассеяния на при-
месях: Atotai = Аа . Если примеси точечные, то вклады многократного рассеяния
удобно характеризовать последовательностью примесей, пройденных излучением. Ска-
жем, рассеявшись сначала на примеси 1 , свет попадает на примесь 2 , которая затем
рассеивает его обратно в исходную точку. В общем случае
а — Щ)—>т++п—>п ++s—>0 •
(9.27)
Поскольку расположение примесей случайно, фазы амплитуд A^j , соответствующих
различным последовательностям прохождения примесей, не скоррелированны. Поэто-
му интерференцией почти всех вкладов можно пренебречь — за одним единственным
исключением, когда одна и та же (случайная!) последовательность примесей проходит-
ся один раз в прямом, а другой — в обратном порядке. Каждые две такие амплитуды
Аа и Ааг в точности равны друг другу и полностью интерферируют. Теперь заметим,
что если бы интерференции вообще не было, интенсивность подчинялась бы уравнению
диффузии, а из-за интерференции пар путей, проходящих по одной и той же траекто-
рии в противоположных направлениях, она оказывается в два раза больше:
| 52 ^«|2 — 52 На + ^а' |2 — 2 52 На|2 •
(9.28)
(В сумме, помеченной штрихом, суммирование идет по последовательностям приме-
сей без учета направления обхода.) Интерференционный вклад крайне чувствителен
к положению конечной точки: уже на расстоянии нескольких длин волн от источника
интенсивность рассеянного излучения уменьшается до «классического» значения, т. е.
падает в два раза. Происходит это потому, что, как легко убедиться, для несовпа-
дающих начальной и конечной точек одна и та же последовательность примесей при
прохождении в противоположных направлениях дает разные набеги фаз.
Рассмотрим интерференционную часть коррелятора плотность-плотность электро-
нов, соответствующую описанной картине. Покажите, что эта так называемая «кван-
товая поправка» дается веерными графиками вида4
ЛА
т!
Рис. 9.8
71
71
4Веерные графики для проводимости были впервые рассмотрены в работе: J. L. Langer, Т. Neal,
Phys. Rev. Lett. 16, 984 (1966). Интерпретация роли соответствующего вклада в динамику электронов
как интерференции при рассеянии назад принадлежит Д.Е. Хмельницкому.
226
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
а) (Рассеяние точно назад) Нарисуйте веерные графики в координатном представле-
нии. Пусть начальная и конечная точки совпадают. Покажите, что каждый вклад с
фиксированным числом пунктиров в веере на рис. 9.8 равен соответствующему вкладу
из диффузионной лестницы, рассмотренной в задаче 52 (см. рис. 9.7), и значит вероят-
ность возврата в два раза больше классического значения.
Обратим внимание на то, что почленное соответствие между веерным и лестничным рядами не-
полное, поскольку первым двум членам диффузионной лестницы в веерных графиках сопоставить
нечего. Однако, на больших временах t т , когда справедливо диффузионное приближение, ка-
ждое слагаемое диффузионной лестницы много меньше их суммы (см. решение задачи 52). Поэтому
поправка, возникающая из-за несоответствия первых двух членов диффузионного и веерного рядов,
оказывается малой и не влияет на удвоение вероятности возврата.
б) (Координатная зависимость) Теперь рассмотрим случай, когда начальная и конеч-
ная точки находятся на расстоянии г . Найдите зависимость квантовой поправки от
г . Вычисление удобно проводить в координатном представлении, пользуясь функцией
Грина, найденной в задаче 22. Покажите, что интерференционная поправка ослабляет-
ся при por ~ 1 и определите характер ее убывания при por 1 .
Задача 54. (Квантовая поправка к проводимости5) Рассмотрим статическую про-
водимость сто двумерного электронного газа. Хотя в задаче 51 речь формально шла о
трехмерной системе, все её результаты, как нетрудно видеть, переносятся без каких-
либо существенных изменений на случай произвольной размерности. Поэтому прово-
димость двумерной системы в главном порядке по параметру (рЦ)~1 дается формулой
Друде.
В этой задаче нас будет интересовать следующий член в формальном разложении
проводимости по степеням (pol)~l Для того, чтобы его найти, нужно рассмотреть
всевозможные способы усреднения петлевой диаграммы для коррелятора ток-ток (см.
рис. 9.12), при которых примесные линии пересекаются, но делают это «минимальным
образом».
Покажите, что при этом получаются веерные графики, подобные изображенным на
рис. 9.8, и что ими исчерпываются все минимально пересекающиеся диаграммы. Эти
графики определяют главную квантовую поправку в любой размерности, но наиболее
интересной оказывается двумерная ситуация.
Просуммируйте последовательность графиков на рис. 9.8 при D = 2 , перерисовав
их в виде, показанном на рис. 9.9, и обращаясь с получившейся лестницей так же, как
с диффузионной лестницей в задаче 51.
5Явление слабой локализации в двумерной системе, которое приводит к особенностям в квантовой
поправке к проводимости, было впервые рассмотрено в работе: Л.П. Горьков, А.И. Ларкин, Д.Е. Хмель-
ницкий, Письма в ЖЭТФ, 30, 248 (1979).
9.4. РЕШЕНИЯ
227
Получите поправку к проводимости
до(ш) =
1е*
7Г h
In —
шт
(9.29)
где ш — частота внешнего поля. Поправка расходится при ш—>0 . Формально это
означает, что теория кинетического уравнения неприменима на больших временах
ехр(ро0 , поскольку в этой области да сравнивается с <7о . Поправка отрицательна
и растет по абсолютной величине когда ш—>0 , что указывает на отсутствие проводи-
мости в двумерном электронном газе при Т = 0 (см. раздел 9.6).
9.4. Решения
Решение 50 а) Найдем функцию Грина, усредненную по беспорядку, используя им-
пульсное представление. Гамильтониан имеет вид Н = Но + %nt , где Но — кинети-
ческая энергия, a 7/jnt = Е) Hi — потенциал примесей:
г
Hi = /7 V>+(p)u(p - p')V’(p') ei(p p,)ri
J J I 27Г I
(9.30)
(Здесь u(p) = J u(r)e tprd3r — фурье-образ потенциала одной примеси.) Считая 7/jnt
возмущением, разложим функцию Грина в ряд по потенциалу
Рис. 9.10
и усредним почленно. Первое слагаемое от потенциала не зависит, и есть просто функ-
ция Грина свободной частицы:
G(0)(s,p,p') = (27f)3G0(£,р)5(р - р') .
(9.31)
Второе слагаемое имеет вид G\'! , где
GiW (г, р, р') = G0(e, р)м(р - р')ег(р p')riG0(s, р') (9.32)
Усреднение по положениям примесей можно выполнить с помощью формулы
(е”г) = 1 / e”r' = 1(2я)3ад . (9.33)
V J V
Получаем
(Gi(1)(£,p,p')) = [С0(р)]2(27г)3й(р - р')^ . (9.34)
Сумма по г дает
(G(1)(s,p,p')) = пи0(27г)3(5(р - p')[G0(p)]2 , (9.35)
228
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
где п = N/V — концентрация примесей.
Перейдем к третьему слагаемому, имеющему вид 52^ , где
С^2)(г,р,р') = G'o(p)Go(p/) Iи(р - РхМрх - p')Go(pi)
у г-ЙР-Р1)г»-ЙР1-р')Г1 d Pi
(27Г)3 •
Это выражение содержит вклады двух различных процессов: двукратного рассеяния
на одной примеси (i = j ), и однократного рассеяния на двух различных примесях
(г j ). При усреднении эти вклады надо разделять.
В случае г = j усредняем по формуле
= 1(2я)35(р - р') (9.36)
и получаем
(g£2)(£,p,p')) = ^(27г)3й(р-р')С^£,р) I ^^|M(p-p1)|2G'o(£,Pi) • (9.37)
Во втором случае (i j ) усреднение выглядит так:
^-Цр-р^-Црз-р')!^ = 1 (27Г)65(з)(р _ р1)5(р1 - р') . (9.38)
Таким образом, находим
(G'J2)(ff,p,p/)) = -^(2тг)3й(р - p')G3(£,p)^ (9.39)
J у z
После суммирования по всем примесям выражение (9.37) умножается на N , а выра-
жение (9.39) — на N2 . Получаются два вклада, пропорциональные первой и второй
степени концентрации примесей п = N/V , соответственно.
При усреднении следующих членов разложения функции Грина по потенциалу при-
месей, третьей и более высоких степеней, обозначенных точками на рис. 9.10, поступим
так. В каждом порядке выделим процессы рассеяния, когда на каждой примеси элек-
трон рассеивается либо один раз, либо два. Более высокими порядками будем пренебре-
гать, поскольку потенциал слабый. После усреднения и суммирования ряда, сводяще-
гося, как обычно, к геометрической прогрессии, вклады однократных и двукратных
процессов рассеяния выражаются как собственно-энергетическая часть усредненной
гриновской функции. Ее нетрудно найти, сравнивая выражения (9.35), (9.37), и (9.39)
с разложением
(G(s,p,p')) = (27г)3й(р - р') (СоЧ^р) - (Е)) 1 (9.40)
в ряд по Е .
Отметим еще раз, что пренебречь двукратным рассеянием по сравнению с однократными нельзя.
Согласно теореме унитарности (см. задачу 15), именно двукратные процессы рассеяния и определя-
ют борновское сечение рассеяния. Действительно, сечение рассеяния равно мнимой части амплитуды
рассеяния, в то время как борновская амплитуда первого порядка чисто вещественна.
9.4. РЕШЕНИЯ
229
Выражение (9.35) дает вклад в X , равный
Е^Л = — Uq = пи0
(9.41)
Выражение (9.39) поправок к X не дает. Оно представляет собой просто член вто-
рого порядка в разложении {G(£, р, р')) по . Вклад действителен и не
зависит от р . Поэтому его можно интерпретировать как перенормировку химического
потенциала
=ц-(Е(1)) . (9.42)
Гораздо больший интерес представляет вклад от двукратных процессов рассеяния. Вы-
ражение (9.37) дает
(9-43)
Как мы видели в гл. 3, с точки зрения теории рассеяния это выражение представляет
собой второй член борновского разложения амплитуды рассеяния вперед. Его мнимая
часть, с точностью до коэффициента, есть просто полное борновское сечение рассея-
ние, пропорциональное квадрату борновской амплитуды первого порядка, проинтегри-
рованной по углам.
Найдем Г/2) для 6 -функционных примесей (для краткости знак усреднения по
примесям здесь и далее будем опускать). Фурье-разложение потенциала и(г) = ио5^(г)
есть константа: u(q) = f и(г)е~щг d3r = uq . Поэтому
S(2)
Цр f d3p
(2л)3 J e — £ + гО sign £
4ttuq p20 f d{
(2л)3 Vo J £ — £ + i0 sign £
47FUo / л . i 2
——-тр0(-тгг) signs = uompo signs
27Г Г 27Г
(9.44)
Интегрирование по импульсу pi в приближении выделяет вклад, связанный с рез-
кой поверхность Ферми. Он мнимый, и его знак меняется на ферми-поверхности скач-
ком, как и должно быть согласно аналитическим свойствам причинной гриновской
функции. Более точное интегрирование, с учетом вкладов от импульсов далеких от
ферми-поверхности, могло бы дать вклад в вещественную часть Е^2^ , регулярную вбли-
зи ферми-поверхности. Рассматривать такие вклады, представляющие собой поправки
более высокого порядка к химическому потенциалу ц, мы не будем. Таким образом,
находим:
Е^ = —signs , (9.45)
где время рассеяния т дается выражением
1 троп
Т 7Г
(9.46)
230
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Окончательно получаем функцию Грина в виде
{G(s, р, р')> =---‘27Г)3’5(Р ~ Р?---- • (9.47)
£ — р2/2т + ц* + signs
К такому же результату можно прийти и другим, несколько менее тяжеловесным
способом, используя уравнение Дайсона. Снова представим точную функцию Грина
в виде ряда рис. 9.10 по потенциалу. Усредняя каждый член по положениям приме-
сей, будем пользоваться стандартными обозначениями: потенциал примеси обозначим
волнистой линией, причем в случаях, когда рассеяние на одной и той же примеси про-
исходит два раза6, будем вместо двух волнистых линий рисовать одну пунктирную,
соединяющую точки взаимодействия.
Далее, каждую диаграмму, дающую вклад в среднее гриновской функции, разобьем
на связные графики, причем, естественно, будем считать пунктиры составной частью
графиков. (Напомним, что связным называется график, который нельзя разбить на
части, удалив какую-нибудь одну гриновскую функцию.) Сумма всех таких связных
графиков есть собственно-энергетическая часть Г . С помощью уравнения Дайсона
функция Грина G может быть выражена через Г и затравочную гриновскую функ-
цию Gq (см. (4.9), гл. 4). Таким образом, получаем:
(G) = Go + G0S(G) , или (G)-1 = Gq 1 - S • (9.48)
Здесь затравочная функция Грина есть Go 1 = £ — £ + г0signs .
Собственно-энергетическая часть, взятая в борновском приближении, содержит
вклад от однократного взаимодействия с потенциалом примесей, которому сопоста-
вляется среднее от этого потенциала пио , а также вклад от двукратного рассеяния,
изображаемый на диаграммах пунктиром, которому сопоставляется борновская ампли-
туда второго порядка. При этом, следуя «основному принципу» техники усредненния
по беспорядку (см. раздел 9.5), мы пренебрегаем графиками с пересекающимися пунк-
тирами. Графически, уравнение Дайсона для собственно-энергетической части имеет
вид
© = '
Рис. 9.11
То есть,
S(s,p) = пио + п
Hp-pi)I2
d3Pi
£ - £Р1 - S(s,pi) + г0 signs (2я)3
(9.49)
6 В борновском приближении для слабого потенциала рассеяния достаточно ограничиться одно-
кратными и двукратными процессами рассеяния.
9.4. РЕШЕНИЯ
231
Чтобы решить это уравнение, заметим, что в случае 6 -функционных примесей фурье-
компонента м(р — pi) = uq выносится из-под интеграла (9.49). Это позволяет искать
решение в виде функции E(s) , зависящей только от г . Будем искать решение в такой
форме: E(s) = — (г/2т) signs . Подставив эту функцию в уравнение Дайсона (9.49),
убеждаемся, что решение дается суммой выражений (9.41) и (9.45). Итак, усредняя по
беспорядку, находим
1
£- + signs ’
Решение 50 б) Теперь нетрудно получить среднее гриновской функции в координат-
ном представлении. В фурье-образе функции Грина G(e,r) = / G(s, р)егрг^4^- перехо-
дим к интегралу по £ :
47Г Г Ро sin |г|р(£)
(2я)3 J г>о|г| s - £ + signs
(9.51)
где р(£) = ро + ^/vF . Выполнить интегрирование по £ можно точно таким же
способом, как в задаче 22 (см. формулы (5.23) и (5.25)). При этом сдвиг полюса
s —> s + г signs/2r приводит к дополнительному экспоненциальному множителю:
(G(s,r)) = Go(s,r) e-|r|/2Z
где G0(s,r) =--™ е^фо+ФД|г|
2тг|г I
(9.52)
a I = vpT — длина свободного пробега, вычисленная по борновскому сечению рассея-
ния. В результате получается квазиклассическое выражение (9.18).
Решение 51. Вычислим проводимость в однородном переменном электрическом поле,
используя теорию возмущений по малой концентрации примесей. Воспользуемся приве-
денным в условии задачи соотношением (9.15) между проводимостью и мацубаровским
коррелятором ток-ток Па/з(гсэп) .
Даже если нас интересует статическая проводимость, лучше сначала рассмотреть проводимость
на конечной частоте, а затем устремить частоту к нулю. Дело в том, проводимость «плохо себя ве-
дет» в пределе нулевой концентрации примесей. Действительно, статическая проводимость чистого
металла, то есть идеального ферми-газа, обращается в бесконечность, в то время как проводимость
на переменном токе конечна: cr(w) = ine2/ты . Поэтому, даже в присутствии рассеяния, правильно
сначала рассматривать ток в переменном поле, и уже потом переходить к статическому пределу.
Согласно (9.22), для невзаимодействующих частиц коррелятор ток-ток выражает-
ся через произведение двух гриновских функций. Графически выражение (9.22) для
ПаД^п) изображается петлевой диаграммой:
М
232
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Рис. 9.12
Волнистые линии в вершинах обозначают компоненты оператора тока ja =
Запишем среднее коррелятора Па/з(шп) по беспорядку:
(Па/3(шп)) = (Tr (GM(iek iujn)vaGM{iek)v^ ) , (9.53)
где ек = (2к + 1)тгТ, a va = ра/т — компоненты оператора скорости. Результат
усреднения можно представить как сумму графиков, имеющих вид петли из мацуба-
ровских функций Грина, показанной на рис. 9.12, всевозможными способами одетой
примесными пунктирами.
Главный вклад при усреднении по беспорядку в случае малой концентрации приме-
сей рЦ 1 дают графики с непересекающимися примесными линиями:
Рис. 9.13
Если рассматривать только графики такого типа, то усреднение сильно упрощается.
Заметим что, вообще говоря, среднее {GM(e)GM(е'}) по беспорядку не равно про-
изведению средних {GM(s)){GM(s')) В рассматриваемом приближении непересекаю-
щихся примесных линий в разность (GM(s)GM(s')) — (GM(г))(GM(s')) дают вклад диа-
граммы, содержащие примесные пунктиры, соединяющие GM(s) и GM(s') , подобные
второму и четвертому графикам на рис. 9.13. Иными словами, отличие (GM(e)GM(s'))
от (GM(e)){GM(s')) обусловлено примесями, входящими одновременно и в GM(s) , и в
GM(s') .
Однако, оказывается, что для точечных 6— примесей любые такие диаграммы с не-
пересекающимися примесными линиями оказываются равными нулю. Причина этого
заключается в том, что для точечных примесей пунктир не зависит от передаваемого
по нему импульса. Поэтому, соединив две функции Грина на рис. 9.12 пунктиром, мы
«развязываем» импульсы в вершинах диаграммы. В результате, поскольку токовая вер-
шина нечетна по импульсу, любая такая диаграмма обращается в ноль при интегриро-
вании по импульсам. Итак, в задаче о проводимости в приближении непересекающихся
пунктиров отличие (GM(e)GM(s')) от (GM(s))(GM(s')) можно не учитывать.
Заметим, что с точно такой же ситуацией мы уже встречались в задаче 14, где точечность рассе-
ивателя приводила к занулению диаграмм с разделенными токовыми вершинами при интегрировании
по импульсам.
При этом существенно, что рассеяние чисто изотропное, т. е. при рассеянии отсутствует какая-
либо корреляция между направлениями начальной и конечной скорости. Поэтому описанное упрощение
имеет место только для точечных примесей, рассеивающих в S— канале, когда щ = т . Для примесей,
рассеивающих не только в S— канале, эти два времени не равны. В этом случае приходится суммиро-
вать лестницу, напоминающую диффузионную (рис. 9.7), но с векторными вершинами, в результате
чего и происходит замена т на цг •
9.4. РЕШЕНИЯ
233
Учитывая это обстоятельство, мы видим, что усреднение двух функций Грина в
(9.53) расцепляется в произведение средних:
(Па/Дга>п)) = е2Т ^2 Тг ((GM(iek + iwn))i)a (GM{iek'))v^ . (9.54)
£к
Функция Грина, усредненная по беспорядку, согласно (9.17), имеет вид (G(ek,p)} =
l/(iek — £(р) + ^signefc) . Поэтому выражение (9.54) можно записать так:
/ГТ ( , u - /' <у3Р (pa/m)(p^/m)
\ПаДги>п)) — е Т у / \v~ с( ’ (9.55)
tT7 (2л)3 (гек -e(p))kfc -е(р))
где ё'к = ек + шп + ± sign(£fc + шп) , ёк = ек + sign ек .
Прежде чем приступить к вычислению выражения (9.55), проверим, что выполня-
ется тождество (Па/з(О)) = — Для этого воспользуемся соотношением
(GM(ie,р)}2 = Vp^GM(z£,p)^ , (9.56)
и представим выражение (9.55), взятое при е'к = ек , в таком виде:
(1Ы0)) = Y. [р^н (См(Кьр))ТУ (9.57)
m ек J G")
Интеграл по d3p возьмем по частям, перенеся действие VPa на ра . Получим:
<П^(0)> = (9.58)
m ек J G")
Имея в виду известное соотношение (2.12) между плотностью частиц и функцией Гри-
на, получаем требуемое тождество.
Перейдем теперь к вычислению выражения (9.55). С технической точки зрения,
наиболее просто было бы проинтегрировать вначале по d3p . Однако, формально этот
интеграл расходится на |р| » Ро Чтобы обойти эту трудность, рассмотрим разность
(Па/з(шп)) — (Па/з(О)) и представим ее в таком виде:
^2 Г 12 /РЯЕ + шп, р)} - (GM(iek, р)}] (GM(iek, р)}
(9.59)
В этом выражении интеграл по d3p сходится, и более того, как нетрудно видеть, его
величина определяется малой окрестностью ферми-поверхности: ~ тах[сэп,т-1] .
Поэтому в (9.59) можно перейти к интегрированию по £ , заменив среднее по углам от
РаР/з на |ро^а/з Интеграл по £ от двух слагаемых в (9.59) можно вычислять по отдель-
ности. (Отмеченная выше расходимость при больших р не имеет отношения к вкладу
малой окрестности ферми-поверхности, который мы получаем при интегрировании по
О
234
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Взяв интеграл по £ от первого слагаемого в (9.59), получаем:
P^0TSSi8n£rtign£t, (9.60)
'J Ek £k
где ё'к и ёк имеют тот же смысл, что и в (9.55). Нетрудно видеть, что интеграл по
£ от второго слагаемого в (9.59) обращается в ноль. Наконец, вычисляя тривиальную
сумму по гк , имеем:
(Мч,)) - (П„„(0)) = — . (9.61)
т шп + sign шп
Мы воспользовались здесь тем, что = п/т .
Чтобы найти проводимость, воспользуемся доказанным тождеством (9.16). По-
скольку векторный потенциал А и электрическое поле Е связаны соотношением
Е = — , то можно записать выражение для проводимости в таком виде:
<7а/з(ясэп) — [ПщД/Шц) Па/з(О)] . (9.62)
Подставляя в (9.62) найденный результат (9.61), получаем:
(гшп) = —q—. 9.63
HKI + у)
Для перехода к функциям вещественной частоты надо выполнить аналитическое про-
должение с верхней мнимой полуоси: шп —> ш . В результате получаем искомую фор-
мулу Друде (9.19).
Обратим внимание на то, что результат не зависит от температуры. Этого и сле-
довало ожидать, поскольку проводимость — одночастичный эффект. Поэтому, если
время рассеяния т не зависит от энергии, проводимость не должна зависеть от тепло-
вого размытия фермиевской ступеньки.
52. Нам необходимо усреднить коррелятор плотность-плотность (9.9) по беспоряд-
ку. На этот раз, в отличие от предыдущей задачи, уже нельзя игнорировать отличие
(GMGM) от (GM)(GM) . (Дело в том, что теперь мы имеем дело не с векторными
вершинами, как при вычислении коррелятора ток-ток, а со скалярными, соответству-
ющими плотности частиц.) В главном порядке по параметру (роО-1 интересующее нас
среднее дается последовательностью лестничных диаграмм, показанной на рис 9.7.
Чтобы просуммировать эти диаграммы, обратим внимание на то, что каждая лест-
ничная диаграмма разбивается на отдельные блоки («пузырьки»), окруженные с двух
сторон пунктирными линиями примесей («перекладинами»). При этом интегрирования
по импульсам в каждом блоке независимы, так как примесный пунктир не зависит от
переданного импульса. Заметим также, что из-за закона сохранения импульса разность
импульсов в каждом блоке постоянна и равна импульсу q , входящему в вершину. Кро-
ме того, поскольку рассеяние на примесях упругое, частоты во всех ступенях лестницы
попарно совпадают. Иными словами, независимо от числа перекладин, интегрирование
9.4. РЕШЕНИЯ
235
происходит всего по одной частоте. Рассмотрим сначала первый член суммы («пузырек
без перекладин»). Выражение для него выглядит так:
TjT [ (Ом(кк + !ш„,р+))(Ом(к1,р_))-^; , (9.64)
s*. J (27F)d
где £k = (2£ + 1)тгТ, шп = 2плТ , р± = р ± |q , а функции Грина, усредненные по
беспорядку, имеют стандартный вид:
(GM(i£,p)) = -----1 . -------- > (9-65)
гг-^(р) + signs
где, как обычно, £(р) = р2/2т — ц . При интегрировании по р , как нетрудно видеть,
выражение (9.64) дает существенно различные результаты, в зависимости от того,
находятся ли полюса двух гриновских функций по одну или по разные стороны от
вещественной оси.
Рассмотрим этот вопрос более подробно. Здесь и в дальнейшем нам будет удобно
воспользоваться связью мацубаровских функций с запаздывающими и опережающими
функциями Грина:
GM(i£k,p) = 9(ek)GR(iek,p) + 9(-£k)GA(i£k,p)
( GK(«t,p) при £t>0
( GA(i£k,p) при £k < 0 .
При вычислении выражения (9.64), в зависимости от относительного знака частот £к и
£к + сип , возникает два принципиально разных случая, которые следует рассматривать
по-отдельности.
Знак частоты определяет, будет ли соответствующая гриновская функция запазды-
вающей или опережающей. В случае, когда знаки £к и £к + шп одинаковы, возникают
средние вида (GrGr) и {GaGa) . Они дают так называемый статический вклад в
коррелятор, не обладающий дисперсией при шт ~ 1 и |q|Z ~ 1 . В случае же различ-
ных знаков частот £к и £к + шп , получаются средние вида (GrGa) и (GaGr) . Они
дают так называемый кинетический вклад в коррелятор, обладающий существенной
дисперсией при шт ~ 1 и |q|Z ~ 1 .
Обоснование утверждения о характере частотной дисперсии статического и кине-
тического корреляторов будет дано ниже. Здесь же приведем следующее простое со-
ображение, касающееся пространственной дисперсии. В координатном представлении
G|(r) = С%(г) - e2ipo|rHr|// . (9.67)
В то же время Са(г)Сд(г) ~ е~ 1г1/г , т. е. медленно затухает, но не осциллирует. По-
этому пространственная дисперсия статического коррелятора должна иметь место при
|q| ~ Pq1 , а динамического — при |q| ~ 1/Z.
Перейдем к вычислению.
1) Рассмотрим сначала ситуацию, когда signer = sign(sfc + шп) . В этом случае,
поскольку полюса выражения (9.64) находятся по одну сторону от вещественной
236
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
оси, контур интегрирования по £ можно деформировать так, чтобы он проходил
далеко от полюсов. Такой интеграл набирается, в основном, в области £ ~ Ер
По этой причине, поскольку нас интересуют |а?п| Ер и |q| р0 , а раздвиж-
ка полюсов в выражении (9.64) есть icjn — kv , этой раздвижкой можно вообще
пренебречь.
Поэтому достаточно рассмотреть выражение (9.64) при = О и q = 0.B
этом случае можно воспользоваться тождеством (G(is,р)}2 = — d(G(is, р)}/дц ,
где подразумевается, что при дифференцировании по ц можно пренебречь за-
висимостью т от ц . Это тождество позволяет представить выражение (9.64) в
виде:
Ko = -^TE/(G«(!EbP))gj. (9.68)
Заметим теперь, что сумма по Ek и интеграл по р дают среднюю плотность
частиц в системе. Поэтому выражение (9.68), с точностью до знака, есть просто
плотность состояний: /Со = —и = —дп/др. Такой результат можно было бы пред-
видеть, поскольку в статическом пределе сс = 0 коррелятор плотность-плотность
должен давать сжимаемость, т. е. термодинамическую плотность состояний.
2) Теперь рассмотрим случай signer = — sign(sfc + сэп) . При этом, поскольку полюса
подинтегрального выражения в (9.64) находятся по разные стороны вещественной
оси, интеграл (9.64) определяется малой окрестностью поверхности Ферми.
Например, пусть шп > 0 и — шп < Ek < 0 . Для дальнейшего полезно рассмотреть
выражение (9.64) без суммирования по Ek :
(9.69)
Вычислим интеграл по £ :
BRA(un,q)
z/0 Г Г dod£
8л2 J J (iEk + шп-£- ^qv + ^)(z£fc - £ + ^qv - ^)
i/0 f do
2 J 1 + + zqv
Аналогично, при cjn < 0 и 0 < Ek < —<лп выражение (9.68), непросуммированное
по Ek , принимает такой вид:
BAR(un,q)
z/0 Г do
2 J — шп — zqv
(9.70)
Выполняя суммирование по
£к , получаем ^B(wn,q) , где
B(wn,q)
BRA(cjn,q)
BAR(un,q)
при шп > 0 1 _ t'o f do
при шп < 0 J 2 J 1 + |u?n| + zqv signшп
(9-71)
9.4. РЕШЕНИЯ
237
Теперь мы готовы к тому, чтобы найти сумму всех диаграмм лестничного ряда,
изображенных на рис. 9.7. Примесная линия («перекладина лестницы») дается выраже-
нием HUq = 1/(27п/0т) .
Поскольку все ступени лестницы совершенно одинаковы, удобно рассмотреть всего
одну ступень, изображающуюся такой диаграммой:
Рис. 9.14
(Мы не включаем примесные линии в определение ступени.) Нетрудно видеть, что
получающееся выражение оказывается точно таким же, как рассмотренное выше вы-
ражение для первой ступени, непросуммированное по Ek Поэтому, как и выше, рас-
смотрим по-отдельности статический и кинетический случаи, когда знаки Ek + И
Ek совпадают, и когда они различны.
В первом случае, как нетрудно видеть, суммирование лестничного ряда дает несу-
щественную поправку к первому члену /Со = —у , полученному выше. Действительно,
если знаки Ek + И Я совпадают, то полюса всех гриновских функций находятся
по одну и ту же сторону вещественной оси. Поэтому, как и при рассмотрении первого
члена ряда, можно положить сип = 0 и q = 0 . Тогда весь ряд сворачивается в про-
изводную от функции Грина по химпотенциалу ц . (Сумма членов лестничного ряда,
начиная со второго, дает вклад, связанный с зависимостью амплитуды рассеяния на
примеси от энергии ц , которым мы пренебрегли выше.)
А вот во втором случае, когда знаки Ek + ^n и Я различны, все члены лестничного
ряда, включая произвольно далекие, оказываются одинаково важными. Чтобы понять,
почему так получается, рассмотрим сначала случай q = 0 , и покажем, что сумма
лестничного ряда в точности сокращает вклад — у , рассмотренный выше.
Действительно, при q = 0 одна ступень лестницы есть B(wn)q=o = 2тгг/о/(|^п| +
1/т) . Весь же ряд в целом дается суммой геометрической прогрессии:
q — 0)
2Ы Г в в2
2тг 27п/0т (27п/0т)2
| I В ____________
7Г 1 — В/2т[УйТ
У .
(9.72)
Сокращение К, = /Со + ZQ = 0 , получающееся при q = 0 , имеет простой физиче-
ский смысл. Коррелятор плотность-плотность при q = 0 и си 0 описывает отклик
электронной плотности на независящий от координат переменный внешний потенциал.
Очевидно, что поскольку полное число частиц сохраняется, а внешний потенциал один
и тот же во всех точках пространства, отклика плотности в ответ на такое возмущение
быть не должно. Поэтому указанное сокращение выражает сохранение числа частиц в
системе.
238
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Теперь повторим вычисление лестничного ряда при q^O . Выражение В(шп, q) ин-
тересует нас при |а>п|т, |q|Z 1 , и поэтому его можно разложить:
В(шп,д)
vqt f do
2 J 1 + рп|т + iqvr signup
У do 1 — |wn|r — zvqr signer
27fz/0t 1 - pnk - |w|q2t2 = 2л
2_2
(9.73)
где D = VpT/3 — коэффициент диффузии.
Как и выше, при q 0 вычисление ряда сводится к суммированию геометрической
прогрессии:
/Сх (ш, к)
2 МД
2тг(1 — В/27п/0т)
у\^п\
|wn| + Dq2 ’
(9.74)
Полный ответ для коррелятора плотность плотность дается суммой двух слагаемых:
q) — ^o(^n, q) + q) —
//Dq2
|wn| + Dq2 ’
(9.75)
что и требовалось.
Выражение для £?(wra,q) можно вычислить точно. Получается
7гг0 signer 1 + |<х>га|т + г |q| Z sign сищ
i|q|-cF 1 + |wn|r - i|q|Zsignwra
(9.76)
Точное значение £?(wra,q) оказывается полезным в режиме баллистической динамики: шт 1 или
|q|Z 1 . Обратим внимание, что при таких ш и q величина B/2tvqt не близка к единице, и
поэтому члены лестничного ряда достаточно быстро убывают. Из-за этого ряд оказывается быстро
сходящимся, и существенный вклад дает только первый член.
Остановимся на соответствии между диффузионной лестницей и классической кар-
тиной диффузии. Из проделанных вычислений ясно, что отдельная ступень лестни-
цы В(шп, q) соответствует траектории частицы, движущейся по прямой между двумя
примесями. Чтобы продемонстрировать это более явно, перейдем от мацубаровских
частот и времени к обычным. Выражение для B(w,q) может быть получено из (9.76)
аналитическим продолжением шп —> сэ ( п > 0 ):
B(w,q)
ТГГр
z|q|rF
(9.77)
, 1 — гшт + г q\1
Ш ----------.--
1 — гшт — г q\1
Теперь запишем величину В(ш,Ц) в координатно-временном представлении. Сделать
это можно, либо используя выражения (9.18) для гриновских функций в координатном
представлении, либо взяв фурье-образ точного выражения (9.77). Получается
5(lrl -М е |г|// .
Z |Г|
(9.78)
9.4. РЕШЕНИЯ
239
Нетрудно видеть, что это есть просто вероятность того, что частица пролетит время
t после столкновения с примесью, не столкнувшись с другими примесями. Величина
B(t,r) правильно нормирована:
B(t, г) d3r
2тп/0 е .
(9.79)
Поэтому величины т и I, введенные выше, есть в точности классические время и
длина свободного пробега.
Отметим любопытное формальное сходство между приведенным выше выводом ZC(w,q) и вычи-
слением распределения вероятностей для случайных блужданий в задаче 9. Геометрическая прогрес-
сия, которую приходится суммировать и в том, и в другом случае, соответствует сумме по случайным
путям с различным числом шагов. Каждому шагу ставится в соответствие «одношаговый формактор»:
В(си, q) — для диффузии, (|(со8<ц + ... + cos </„) — для блужданий по п— мерной решетке, причем
видно, что z имеет смысл егш . (Более точно, z = егшт° , где ть = 1 — время, за которое делается
один шаг.) Чтобы перейти к диффузионному пределу в задаче о блужданиях по решетке, рассмотрим
w 1 и qi <С 1 . При таких и и iq, можно просто разложить знаменатель в выражении (2.16) для
производящей функции:
G(z,q)
1 - (1/n) eiu (cos + ... + cos</ra)
1 _ 1
1 “ - |(^1 + • • • + О + 2Г «2
(9.80)
Таким образом, коэффициент диффузии для блужданий по п -мерной решетке равен (2п) 1 .
53. Сформулируем задачу о частице, которая при t < 0 находилась в начале коорди-
нат, а при t > 0 стала двигаться свободно, следующим образом. Рассмотрим потен-
циальную яму V(r) с центром в начале координат, существующую при — оо < t < 0 ,
а затем мгновенно исчезающую. Основное состояние ферми-системы характеризуется
избыточной плотностью, притянутой ямой («бугорком» ). После выключения потенци-
ала эта плотность начинает рассасываться, диффундируя в поле примесей.
Может показаться, что более естественно — рассмотреть эволюцию во времени состояния (г =
0,t = 0)|0) , получающегося добавлением к невозмущенному ферми-морю одной частицы в начале
координат в момент t = 0 . При этом, однако, энергия добавленной частицы имеет очень широкий
спектр и, вообще говоря, не близка к уровню Ферми. В результате, поскольку выбранный источник
имеет большую немонохроматичность, при такой постановке задачи интересующий нас эффект, хотя
и существует, оказывается весьма малым по величине.
Отклик ферми-системы на потенциал, зависящий от координат и времени, как мы
выяснили в задаче 52, дается сверткой коррелятора плотность-плотность с потенциа-
лом. В данном случае удобно воспользоваться координатно-частотным представлени-
ем, в котором возмущающий ферми-систему потенциал имеет вид — iV(г)/(сэ — г0) .
Нам потребуются выражения для запаздывающей и опережающей функций Грина:
GR(e,r)
GA(e,r)
„ipnr+ire/v—r/21
27Г г
^—ipm—ire/v—r/21
2яг
(9.81)
которые нетрудно получить из выражения (9.18) для усредненной причинной функции,
если вспомнить, что G(r, г > 0) = Gr(t, г) , и G(r, г < 0) = GA(r, г) .
240
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
При вычислении отклика, как и в задаче 52, следует различать статические и ки-
нетические вклады, соответствующие средним двух одинаковых функций (GrGr) и
{GaGa) или двух различных функций (GrGa) и (GaGr) . Нетрудно видеть, что ста-
тический вклад описывает часть плотности, существовавшую в то время, когда потен-
циал ямы был включен, но не описывает рассасывание плотности на временах t .
Динамический же вклад, наоборот, описывает только динамику на временах t
после выключения ямы.
Поэтому при усреднении коррелятора плотность-плотность по беспорядку нам бу-
дет достаточно учесть только динамический вклад. В главном порядке по (роО-1 —
это лестничные графики, рассмотренные в задаче 52 (см. рис. 9.7). В следующем же
порядке по (роО-1 возникает еще одна последовательность диаграмм — веерные гра-
фики, показанные на рис. 9.8. Рассмотрим их более подробно.
а) Пусть начальная и конечная точки совпадают. Тогда мы можем нарисовать лест-
ничный и веерный графики, проходящие через одни и те же примеси (с номерами от
1 до N 2 ) так:
Здесь буквы R и А обозначают запаздывающую и опережающую функции Грина со-
ответственно. Сравнивая, мы видим, что в обоих графиках берется произведение одних
и тех же величин. Единственное отличие состоит в порядке аргументов в СаЙ^ЛЙ
Но поскольку Ga зависит только от |rj — гj | , порядок г, и Tj несуществен, и значит
графики в точности равны. Поэтому, с точностью до отмеченного в условии задачи
несоответствия в первых двух членах ( N = 0,1), веерный и лестничный ряды совпа-
дают.
б) Теперь раздвинем начальную ( 0 ) и конечную ( г ) точки. Тогда графики перерису-
9.4. РЕШЕНИЯ
241
Рис. 9.16
В этом случае отличие веерного графика от лестничного заключается в том, что ар-
гументы функций Ga на концах другие. Заметим, что части графиков от 1 -й примеси
до N -й есть в точности диффузионная лестница. Следовательно, как лестничный гра-
фик, так и веерный можно представить в виде свертки диффузионного пропагатора,
взятого в точках щ и Гдг , с четырьмя функциями Грина. Поскольку диффузионный
пропагатор медленно меняется на расстояниях порядка длины свободного пробега, то
достаточно просто проинтегрировать произведение функций Грина. Поэтому получа-
ем, что вклады концов лестничного и веерного графиков соответственно равны7
WL(r) = / d3ri d3rN GR(ii) Ga(ti) Gr(tn - г) СД(гдг - r) ,
(9.82)
И>(г) = / d3n d3rN G^rx) GA(rN) GR(rN - г) бД(гх - г) , (9.83)
причем все запаздывающие функции Грина берутся при энергии £ + сэ/2 , а опережа-
ющие — при £ — ш/2.
Нас интересуют возвраты на больших временах t т , т. е. при сит 1 . Ди-
намика на таких временах имеет диффузионный характер. Это позволяет пренебречь
зависимостью функций Грина в (9.82) и (9.83) от ш . Дело в том, что, как будет видно
из дальнейших вычислений, все четыре расстояния
|гх|, |глД, |г - Гх|, |г — Глг|
(9.84)
оказываются порядка длины пробега I, которая при cjt 1 много меньше диффузи-
онной длины
Поэтому полагаем в (9.82) и (9.83) частоту ш = 0 и, пользуясь выражениями (9.81),
находим вклад концов лестничного графика:
7 Индексы L и F происходят от английских слов «ladder» и «fan».
(9.85)
242
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Веерные графики представляют интерес в области, когда расстояние между начальной
и конечной точкой порядка рй1 , т. е. при |г| I. Тогда, поскольку характерные
|Г1| , |гдт| определяются медленно убывающими множителями ехр(—|гдт|//) , ехр(— |г —
Г1|/7) , и т. п., имеет место соотношение |гх|, |гдт| |г| . Поэтому можно разложить
расстояния между рассматриваемыми точками по малому г :
|гх - r| = |гх | - ГПх , |гдг - г| = |гдг| - ГПдг ,
(9.86)
где ni = ri/|ri| , Пу = Гдг/|гдг| — единичные векторы. Таким образом, получаем
/ гг> \1 Г Г еФог(п1-пЛГ)-|г1|//-|гЛГ|//
«= У Я — (9-87)
Используя формулу
I doneian = 4я , (9.88)
интегрируем в (9.87) по направлениям:
л / • \ 2 оо оо
ИМг) = (4тг)26Й 11 d|r1|d|^|e“|ril//“|rjvl// (9-89)
\27Г/ \ Ро^ } J J
Вычисляя оставшиеся интегралы по |гх| и |гдг| и сравнивая результат с (9.85), находим
относительную величину веерного и лестничного вкладов:
WF(r) /sinX\2
, гдеХ=р0|г|.
(9.90)
Характерный масштаб, на котором интерференционная поправка оказывается важна,
равен h/po , в полном соответствии с изложенными в условии качественными рассужде-
ниями. Отметим сходство между полученным ответом и формулой для распределения
интенсивности света при фраунгоферовской дифракции на щели. Это сходство лишний
раз подчеркивает интерференционную природу рассматриваемого явления.
54. Как мы видели в предыдущей задаче, суммы веерных и лестничных диаграмм от-
личаются несущественно, а именно, только первыми двумя членами. Поэтому в даль-
нейшем всегда подразумевается, что веерные графики преобразованы (развернуты)
так, что получается лестничный ряд. Рассмотрим сумму соответствующих лестнич-
ных диаграмм C(w,q) , так называемый куперон8:
8Величину С(ш, q) называют купероном, потому что точно такая же величина описывает куперов-
ские пары в сверхпроводнике в присутствии примесей (см. гл. 10). Аналогия между купероном в теории
локализации и амплитудой куперовских пар оказывается весьма содержательной, поскольку в физи-
ческих свойствах этих величин имеется немало общего. Эта общность проявляется в разнообразных
физических эффектах, таких как, например, влияние магнитного поля, разница между магнитными
и немагнитными примесями, температурная зависимость, и т. и.
9.4. РЕШЕНИЯ
243
Рис. 9.17
Эта лестница напоминает диффузионную лестницу из задачи 52, и, как мы увидим,
дается похожим выражением (9.96). Это не случайно: как функции координат, купе-
ровская и диффузионная лестницы совпадают, если система обладает инвариантностью
по отношению к обращению времени. В самом деле, если мы обратим одну из электрон-
ных линий на рис. 9.17, то мы получим диффузионную лестницу9 (рис. 9.7). Обратим
внимание на то, что в купероне закон сохранения импульса приводит к постоянству
суммы импульсов в каждом блоке диаграммы, и куперон оказывается функцией суммы
импульсов q и внешней частоты ш . Из дальнейшего будет видно, что главный вклад
в C(cv,q) происходит от малых импульсов |q|Z 1 .
Куперонную лестницу нетрудно связать с поправкой к проводимости. Для этого
воспользуемся формулой (9.62) из решения задачи 51, связывающей проводимость с
коррелятором n(zwn) . Как мы выяснили в задаче 51, проводимость определяется ки-
нетическим вкладом в n(zwn) , продолженным с дискретных мнимых частот шп О
(см. также задачу 52). Поэтому запишем кинетический вклад как среднее от произ-
ведения запаздывающей и опережающей функций Грина и усредним по беспорядку,
выделяя куперонный вклад (т.е. веерные графики). В результате получим
= 4 Т Г (оч) х
тгРш 1 2тг./ (2я)2 (2я)2
—ш/2
Gr(e+, р) GR(e+, q - р) GA(e_, р) GA(e_, q - р)
Интегрируем по р , считая q малым:
_ 2v2De2v2F г d2q Т de г d£ C(w,q)
Sa - J (Щ5 7 J (£ _ е + t/2Tf (£ _ е _ t/2Tf (9'91)
—си/2
(здесь v2F) = т/2тг — плотность состояний в двумерии с одной проекцией спина).
Вычисляя интеграл по £ и е , находим
4z/2De2r3^ Г d2a
=-------------J 4^2 ' (9'92)
Теперь вычислим C(cv,q) . Для этого вначале найдем, чему равна ступень куперон-
ной лестницы:
В = [ JlZ_____________1___________________1___________ (9 93)
с J (27г)2 е + cv/2 - £р + г/2т е - cv/2 - £q_p - i/2r 1 ’
Считая q малым и заменяя поэтому £q_p ~ £Р — Qv i точно так же, как и в задаче 52,
получим
Bc(w, q) = 2тп/2£>т(1 + t(wj - Dq2)) , (9.94)
9Это замечание не относится к спиновой зависимости — у куперона она другая.
244
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
где на этот раз D = v2ft/2 - коэффициент диффузии в двумерии. Как и в случае
диффузионной лестницы, наиболее существенной оказывается область шт <С 1 , |q|/
1 , вне ее слаболокализационные поправки несущественны. Сама же лестница равна10
1 ( В2 \
q) = —-------- I Вс + -— -1---I . (9.95)
(27П/2£>т)2 \ 27П/2£>Т /
Таким образом,
C(cv,q) =------о. . (9.96)
2тп/2£>т2(—гш + -Dq2)
Осталось лишь подставить это выражение в (9.92):
De2 г d2q .
Фт =------ / ——,---- . (9.97)
2я3 J Dq2 — гш
Этот интеграл логарифмически расходится. Снизу он обрезается на обратной диффу-
зионной длине qmin = D , а сверху — на qmax ~ 1/1, ибо при |q|Z » 1 лестничный
ряд мал. В результате получаем квантовую поправку к проводимости:
е2 1
foM=-2A'V (9'98)
Интересно отметить, что логарифмическая сингулярность квантовой поправки на
малой частоте ш не размывается при конечной температуре. Формально это проявля-
ется в том, что в приведенном выше вычислении, выполненном при конечной темпера-
туре, в конце концов температура полностью выпадает. (Точно так же, как при выводе
классической формулы Друде в задаче 51.) Физическая причина этого та же, что и в
задаче 51 — одночастичный характер проводимости в случае упругого рассеяния. При
упругом рассеянии состояния с различными энергиями не перемешиваются и, поэто-
му, степень размытия фермиевской ступеньки несущественна. Однако, если в системе
имеется какое-либо неупругое рассеяние, скажем, из-за взаимодействия с электрона-
ми или фононами, сингулярность квантовой поправки на малой частоте размывается
(см. раздел 9.6).
Другое любопытное свойство квантовой поправки — ее локальный характер в про-
странстве. Если рассмотреть проводимость на конечном волновом векторе, то про-
странственная дисперсия квантовой поправки будет иметь место при |q| ~ ро , в то
время как для классической проводимости Друде дисперсия гораздо сильнее: |q| ~ 1/Z.
Причина этого в том, что, как мы видели в задаче 53, интерференционный вклад в
вероятность рассеяния назад спадает на очень малых масштабах ~ р^1 . Поскольку
рассеяние назад — это и есть механизм возникновения квантовой поправки, она тоже
должна иметь масштаб локальности порядка р^1 . В то же время классическая прово-
димость определяется рассеянием на (большой) длине свободного пробега и поэтому
её пространственная дисперсия намного сильнее.
10Можно проверить, что независимо от размерности пространства d примесный пунктир всегда
равен 1 / (2тгц/т) , поскольку он представляет собой сечение рассеяния на примеси, взятое в энергети-
ческой нормировке (см. задачу 11 в гл. 3).
9.5. ДИАГРАММЫ БЕЗ САМОПЕРЕСЕЧЕНИЙ
9.5. Диаграммы без самопересечений
245
Остановимся на вопросе о связи между разложением по параметру (роО-1 и классифи-
кацией диаграмм, возникающих при усреднении по беспорядку. Диаграммы для рассе-
яния электронов на случайном потенциале содержат два элемента: электронные линии
(функции Грина) и примесные пунктиры, которые, вообще говоря, могут пересекать-
ся произвольным образом. Основной результат, на котором основаны все применения
этой техники, состоит в том, что вклады наинизшего порядка по (роО-1 даются одни-
ми лишь непересекающимися графиками. Такие графики определяют так называемое
«приближение кинетического уравнения». Условие ро^ У- 1 в точности соответствует
больцмановскому параметру, используемому при выводе классического кинетического
уравнения, т. е. большой величине длины свободного пробега по сравнению с радиу-
сом взаимодействия. Оказывается, что результаты, получающиеся при отбрасывании
всех графиков с пересекающимися примесными пунктирами, в точности совпадают с
результатами, выведенными из кинетического уравнения.
Попробуем понять, почему графики с непересекающимися примесными линиями
оказываются выделенными, используя координатное представление. Рассмотрим для
этого два графика, дающие поправки к собственно-энергетической части Г :
» / \ \ . //\\
Г I__г > » 1 I Z » 1 '
Рис. 9.18
Эти графики дают поправки второго порядка к «однопунктирной» собственно-
энергетической части Г = —фи — signs, найденной в задаче 50. Как мы увидим,
вклад первого графика много больше вклада второго графика.
Перерисуем диаграммы, показанные на рис. 9.18, в координатном представлении:
Все гриновские функции, за исключением первой и последней, прикрепляются обоими
своими концами к примесям. В координатном представлении усреднение по взаимному
246
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
расположению примесей производится интегрированием по радиус-вектору г = гд—Г2 .
Зависимость функций Грина от координат дается выражением (9.18).
Найдем вклады графиков, показанных на рис. 9.18 и 9.19, в мнимую часть Im Г .
Заметим, что Im Г — это мнимая часть амплитуды рассеяния на двух примесях. Вос-
пользуемся теоремой унитарности, связывающей мнимую часть амплитуды рассеяния
с сечением рассеяния. Напомним графическое представление этой теоремы, найденное
в задаче 15. В каждой диаграмме надо пометить одну из функций Грина G и заме-
нить ее на GG* , где G* — комплексно сопряженная функция. Одновременно с этим,
все функции, идущие после помеченной функции Грина, надо заменить на комплекс-
но сопряженные. При этом, с одной стороны, суммирование по различным графикам
и по всем способам пометить одну из функций данного графика дает мнимую часть
амплитуды рассеяния. С другой стороны, независимое суммирование по различным
частям графиков, встречающимся до и после помеченного места, дает произведение
амплитуды рассеяния на комплексно сопряженную амплитуду с коэффициентом, рав-
ным плотности состояний.
Следуя этому рецепту, представим мнимую часть графиков, показанных на
рис. 9.19, в виде суммы по помеченным графикам. Обратим внимание на то, что в
зависимости от количества функций G и G* осциллирующие фазовые множители
G(s,r) ~ g2Polrlsigne , G*(e,r) ~ е~гРо1г1818П£ могут сократиться, а могут и не сократить-
ся. Например, если на первом графике на рис. 9.19 помечена функция, выходящая из
примеси 2 и возвращающаяся в нее же, то фазовые множители функций, идущих из
примеси 1 в примесь 2 , и обратно, сокращают друг друга. В то же время, на вто-
ром графике рис. 9.19 никакой способ пометки не приводит к сокращению фазовых
множителей.
При усреднении по расположению примесей вклады с сокращающимися и с несокра-
щающимися фазовыми множителями е=*=г/>°1г1 ведут себя по-разному. Осциллирующий
как функция расстояния между примесями |г| множитель обрезает интеграл по Ф3г
на |г| ~ Ро 1 . Если же происходит сокращение e2p°lrl и е~zp°lr , то обрезка интеграла
по d3r определяется медленно убывающим множителем е-1г1//2г в выражении (9.18).
Соответствующий масштаб есть |r| ~ Z, что много больше ро 1 . Поэтому главный по
Pol вклад в Im Е дается графиками, которые можно пометить так, чтобы все фазовые
множители e±4>°lrl сократили друг друга.
Вследствие этого, вклад первого графика на рис. 9.19 будет порядка г-1 , а второго
— порядка т-2 . Сделанное наблюдение нетрудно обобщить на более сложные графи-
ки, в которые входит произвольно большое число примесей. Действительно, условие
непересечения пунктиров означает просто, что функции Грина проходят одну и ту
же (случайную) последовательность примесей, сначала в прямом порядке, а потом в
обратном. Пример графика такого рода приведен на рис. 9.20. При этом всегда мож-
но добиться сокращения фазовых множителей, если пометить любую из гриновских
функций с совпадающими концами. Следовательно, произвольный график с N непе-
ресекающимися пунктирами по порядку величины равен T-NTN~l = Т~1 , где первый
сомножитель есть вклад N пунктиров, а второй — есть результат N — 1 интегриро-
вания по взаимному расположению примесей.
Обратим внимание на то, что вклады всех графиков с непересекающимися пунктирами оказыва-
9.5. ДИАГРАММЫ БЕЗ САМОПЕРЕСЕЧЕНИЙ
247
ются того же порядка, что и ImS = — ^ signe , найденное в нулевом приближении (см. задачу 50).
Вообще говоря, это означает, что при вычислении S ограничиваться нулевым приближением не-
корректно. Однако, как мы увидим в разделе 9.5.1, при суммировании всех графиков порядка г-1
получается ответ, совпадающий с нулевым приближением.
Итак, если в каком-то графике пунктиры пересекаются, то становятся важны корре-
ляции в расположении примесей на расстояниях порядка р^1 . (Это происходит из-за
несокращения фазовых множителей, приводящего к интерференции волн, рассеянных
на различных примесях.) Если же пунктиры не пересекаются, то такой корреляции нет,
поскольку фазы волн, идущих в прямом и обратном направлении, компенсируются. В
результате, когда пунктиры не пересекаются, интегрирования по положениям разных
примесей оказываются независимыми. В противном случае интегрирования оказыва-
ются зависимыми. Каждое зависимое интегрирование дает лишний множитель (роО-1
по сравнению с независимыми интегрированиями.
При таком рассмотрении становится ясно, что пренебрежение пересекающимися
пунктирами эквивалентно пренебрежению корреляциями между последовательными
столкновениями с примесями. Это в точности то же самое приближение, как и то,
что используется в теории кинетического уравнения. Поэтому параметр (роО-1 —
это обычный больцмановский малый параметр кинетической теории.
Следовательно, любые кинетические коэффициенты, такие как проводимость или
коэффициент диффузии, найденные с помощью диаграммной техники в главном по-
рядке по (ро/)-1 1 должны совпадать с результатами, полученными с помощью клас-
сического кинетического уравнения. В том, что это действительно так, мы убедились
в задачах 51 и 52. Разумеется, с помощью диаграммной техники можно не только
обосновать кинетическое уравнение квантовомеханически, но и рассмотреть эффекты
следующего порядка по (роО-1 > не описываемые классической кинетической теорией.
Оказывается, что в этом порядке возникают принципиально квантовые физические
эффекты, требующие учета интерференции электронных волн (см. задачи 53 и 54).
С несколько более формальной теоретико-полевой точки зрения, ситуция при p0Z »
1 аналогична 1/7V — разложению в теориях поля с большим изоспином. Напомним, что
1 /N -разложение вводится для теории, содержащей N 1 свободных полей <^(я:м) ,
248
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
взаимодействие между которыми изотропно по изоспину:
(9.99)
Оказывается, что в главном порядке по 1/N важны только диаграммы, в которых
линии, соответствующие полю , не пересекаются. В теории поля такие диаграммы
обычно называют планарными, поскольку, с топологической точки зрения, их всегда
можно уложить на плоскость без самопересечений. Кроме того, для диаграмм произ-
вольного вида в теории поля доказывается, что порядок диаграммы по 1/N опреде-
ляется минимальным родом поверхности (т. е. числом ручек), при котором диаграмму
можно изобразить на этой поверхности без самопересечений.11
В задаче об упругом рассеянии на случайно расположенных примесях состояния
частицы характеризуются импульсом, принимающим значения на ферми-поверхности.
Из-за конечной длины свободного пробега, имеется неопределенность в импульсе по-
рядка 6р = 1~1 . Поэтому количество различных состояний частицы оказывается по-
рядка
М) = (ро/М2 = ЫЛ1 , (9.100)
где d — размерность системы. Для объяснения роли непересекающихся диаграмм в [1]
приводится рассуждение, использующее ограничение фазового объема при интегриро-
вании по импульсам в диаграммах с пересекающимися примесными линиями. Нетрудно
видеть, что эта аргументация точно такая же, как для теории взаимодействующего
N -компонентного поля с N = Nq .
9.5.1. Самосогласованное борновское приближение
В разделе 9.5 мы рассмотрели ряд теории возмущений для собственно-энергетической
части и показали, что главный вклад дается графиками с непересекающимися пункти-
рами. При этом оказалось, что вклады графиков с произвольно большим количеством
пунктиров одинаковы и равны по порядку величины т-1 . Поэтому, вообще говоря,
необходимо выполнить суммирование всех таких графиков. Это нетрудно сделать с
помощью метода блочного суммирования.
Чтобы не загромождать формулы выражениями, зависящими от знака е , рассмо-
трим запаздывающую функцию Грина, полагая ц = 0 . Невозмущенная функция Грина
есть Gr\s,p) = (s —р2/2т + г0)-1 . Введем собственно-энергетическую часть S(s, р) ,
определив ее обычным образом, как сумму всех неприводимых диаграмм. Из графи-
ческого представления S(s, р) (см. рис. 9.21) ясно, что любой вклад в S(s, р) можно
представить в виде вклада в усредненную функцию Грина с концами, замкнутыми
пунктиром.
© = ! + + /z-'х + ...
I l-J_____LJ______1—1
псм. оригинальную работу: G. t’Hooft, Nucl. Phys, В72, 461 (1974), или книгу [9]
9.5. ДИАГРАММЫ БЕЗ САМОПЕРЕСЕЧЕНИЙ
249
Рис. 9.21
Поэтому уравнение Дайсона в данном случае выглядит весьма просто,
_ nun [ d3p'
S(s,p) = пи0 + ——- / ---------------------—-------- ,
(2тг)3 J £ — p'2/2т — S(s, p')
(9.101)
и его нетрудно решить. Выражение в правой части не зависит от р , поскольку примеси
точечные. Поэтому E(s, р) является функцией одного лишь г .
В главном порядке по пи^ решение получается, если заменить E(s, р') в правой
части (9.101) на —г0 . В случае, когда величина ImS(s) отлична от нуля, но мала по
сравнению с г , значение выражения в правой части (9.101) останется таким же, как
и в нулевом приближении (с точностью до членов более высокого порядка малости по
(роО-1 )• Поэтому собственно-энергетическая часть E(s,р) , найденная в задаче 50 в
низшем порядке по (роО-1 i в действительности является самосогласованным решением
уравнения Дайсона (9.101) при условии р0/ 1 .
Поучительно решить уравнение (9.101) явно, не предполагая малости S(s) по срав-
нению с £ . Чтобы вычислить интеграл в правой части (9.101) надо регуляризовать
расходимость при больших |р| . Для этого обрежем интегрирование на а-1 , где а
— радиус примеси. (Напомним, что примеси можно считать точечными при энергиях
(2me)1//2a <С 1 •) Перепишем уравнение (9.101) таким образом:
= -о - 9 f
J р2 + А2(в)
A(s) = y2m(S(s) — s) , д = пи^т/к2 . (9.102)
Интеграл в правой части (9.102) есть а-1 — яА/2 . Используя связь А и Е, получаем
уравнение на А :
ядА — А2/т = 2в , (9.103)
где £ = £ — пио + д/а . Решение этого уравнения имеет вид:
Дтд + yj2m{£o — ё) при ё < во
ё/тд + г^ЪтДё — во) при ё > во ,
где во = л2тд2/8 . Отсюда находим:
7Г
Ч(в) = —<?А(в) - пи0 + д/а
£
(9.104)
(9.105)
При больших положительных в пи§ , разлагая квадратный корень в (9.104), получа-
ем:
Е(в) = 2во — пио + д/а — гтти^гДД , (9.106)
где г/(в) = m(2me)1//2/2я2 — плотность состояний в отсутствие примесей. Нетрудно
видеть, что вещественная часть S просто сдвигает дно электронной зоны (т. е. меняет
химпотенциал) и поэтому несущественна. Мнимая же часть определяет время жизни
250
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
электрона в данном состоянии и при больших е совпадает с результатом, найденным
в задаче 50.
Полученное решение (9.104) уравнения Дайсона (9.101) часто используют не только
при больших, но и при произвольных энергиях. Разумеется, формально это некоррект-
но, поскольку (9.101) было выведено в предположении pol 1 . Тем не менее, такое
самосогласованное борновское приближение часто приводит к качественно правиль-
ным результатам.
Например, рассмотрим одночастичную плотность состояний. Воспользуемся извест-
ным соотношением между плотностью состояний и функцией Грина: = - ImTr G .
Нас интересует плотность состояний, усредненная по беспорядку. Поэтому, используя
найденное выражение для усредненной функции Грина, получаем:
1 г d3p т °f p2dp
= 7г(27г)3 lmJ е - 2^р2 - ад = " m Jo р2 + Л2(е) =
= ^у/2т(8 - еД , в* = пи0 - д/а + £0 , (9.107)
где A(s) дается выражением (9.104). Получаем, что самосогласованное борновское при-
ближение дает плотность состояний (9.107), отличающуюся от плотности состояний
чистой системы лишь сдвигом энергии на определенную величину. Выражение (9.107)
имеет качественно правильное поведение: ниже порога 8 = 8* плотность состояний
z/(s) обращается в ноль, а при больших е переходит в z/(s) чистой системы.
Следует отметить, что самосогласованное борновское приближение несправедливо
непосредственно вблизи порога г = 8* . В этой области выражение (9.107) сильно упро-
щает истинную картину. Дело в том, что состояния в нижней части спектра в случай-
ном потенциале всегда локализованы12 и поэтому приближение слабого рассеяния в
этом случае не имеет смысла. Для изучения локализованных состояний требуются со-
вершенно иные методы, выходящие за рамки теории возмущений.
Локализация приводит к качественным изменениям в поведении плотности состоя-
ний системы. Рассмотрим, например, случай отталкивательного потенциала примесей,
ио > 0 . Согласно формуле (9.107), пороговая энергия 8* , выше которой плотность
состояний отлична от нуля, положительна (поскольку д/а <С пи$ для точечных при-
месей). Однако в реальной системе имеются состояния с любыми неотрицательными
энергиями. Причина этого в том, что из-за случайного расположения примесей с какой-
то вероятностью произвольно большая область пространства может оказаться свобод-
ной от примесей. Состояния с энергиями 0 < г < 8* образуют так называемый хвост
локализованных состояний. Эта часть плотности состояний не может быть получена
по теории возмущений, поскольку при энергиях 8^8* формально рЦ <С 1 .
При самых низких энергиях 0 < е <С 8* плотность состояний допускает простую
оценку.13 Вероятность найти состояние с энергией е определяется тем, что найдет-
ся достаточно большая область объема V£ , свободная от примесей, в которой име-
ется состояние с требуемой энергией. Поскольку вероятность найти такую область
12Понятие локализации было впервые введено в работе: P.W. Anderson, Phys. Rev. v.109, p.1492-1505
(1958)
13И.М. Лифшиц, ЖЭТФ, т. 53, с. 743 (1967)
9.6. СЛАБАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ
251
экспоненциально мала по V£ , возникает задача о выборе оптимальной области как
можно меньшего объема, так называемой оптимальной флуктуации случайного по-
тенциала. Можно показать, что такая область должна быть сферической. Условие то-
го, что сферическая полость содержит состояние с энергией е , есть \/2meR = -п/2,
где R — радиус полости. Поэтому V£min = 4тг/?3/3 = (тг4/6) (2ms)-3/2 . Вероят-
ность того, что имеется такая свободная от примесей сферическая область, есть
F(s) = exp (—nVemm) . В результате плотность состояний при самых малых энерги-
ях ведет себя как exp (—const (s*/s)3/2) .
Вопрос о плотности состояний вблизи «самосогласованного порога» е = е* также
может быть решен.14 При этом, как и в предыдущем случае, ответ дается вероятностью
оптимальной флуктуации. Однако, задача об отыскании такой флуктуации оказыва-
ется менее простой.
9.6. Слабая локализация
9.6.1. Квантовое магнитосопротивление
Квантовая поправка, рассмотренная в задачах 53 и 54, возникает из-за интерференции
амплитуд для геометрически тождественных путей, пройденных частицей в проти-
воположных направлениях. Существенно квантово-механический характер этого вкла-
да в проводимость делает его особым во многих отношениях. Квантовая поправка
к проводимости и связанная с ней физика лежит в основе целого ряда ярких эффек-
тов, которые будут кратко рассмотрны в настоящем разделе. Возникновение совешенно
нового круга явлений, связанных с квантовой когерентностью омической проводимо-
сти, обязано тому, что длина и пространственный масштаб наиболее существенных
интерферирующих траекторий оказываются велики, много больше длины свободного
пробега. Причина этого в том, что характерные времена, определяющие квантовую
поправку, порядка времени диффузии внутри области, в которой имеет место фазовая
когерентность. Обычно эти времена намного больше, чем время релаксации импуль-
са, определяющее физику классической проводимости. Наличие большого временного
масштаба приводит к весьма сильной чувстительности квантовой поправки к внешним
полям и другим факторам, влияющим на когерентность распространения электронных
волн.
Один из наиболее ярких эффектов такого рода — так называемое отрицатель-
ное магнитосопротивление, обязанное аномально сильной зависимости квантовой по-
правки от внешнего магнитного поля. Качественно зависимость от магнитного поля
можно понять следующим образом. В присутствии магнитного поля интерференции
амплитуд прохождения электроном одного и того же (случайного) пути в противопо-
ложных направлениях ослабляется. Причина этого в том, что магнитное поле меняет
фазу волновой функции, делая ее зависящей от направления прохождения траектории,
что полностью или частично разрушает интерференцию. Величина эффекта определя-
14см. работы: B.I. Halperin, М.А. Lax, Phys. Rev., 148, 722 (1966), ibid., 153, 802 (1967); J. Zittartz,
J.S. Langer, Phys. Rev., 148 , 741 (1966)
252
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
ется тем, насколько велик вклад в проводимость от траекторий большого размера L .
Магнитное поле В эффективно исключает вклады траекторий, охватывающих больше
одного кванта потока Фо = hc/e, для которых поток В С2 Фо . Время диффузии,
соответствующее размеру15 L , есть t = L2/D . Поэтому в магнитном поле В «рабо-
тают» только траектории, время движения по которым меньше 1в = Фо/BD .
С другой стороны, в отсутствие магнитного поля существенны траектории, вре-
мя движения по которым не превосходит некоторого характерного времени сбоя фазы
Тф . Возникающий в теории слабой локализации масштаб времени Тф не имеет анало-
га в классической кинетике. Время Тф характеризует скорость потери фазовой коге-
рентности из-за неупругих процессов. Величина Тф зависит от характера взаимодей-
ствия в системе и от температуры. (В отсутствие электрон-электронного и электрон-
фононного взаимодействий динамика была бы чисто упругой и сбоя фазы не было бы.)
При низких температурах Тф обычно имеет степенную температурную зависимость,
Тф ~ Т~а , где величина а положительна и зависит от вида доминирующего взаимо-
действия16.
Итак, если имеет место сбой фазы, в квантовую поправку к проводимости вклад
дают траектории, время движения по которым не превосходит Тф . Поэтому, для пода-
вления квантовой поправки достаточно приложить такое поле, чтобы tB стало меньше
Тф . Этот критерий определяет характерное поле Вс = Фо/Втф , величина которого до-
статочна, чтобы подавить квантовую поправку.
Для сравнения оценим величину магнитного поля, подавляющего классическую про-
водимость Друде-Лоренца
9
пе т
Л Тл i 9
т(1 + оЦтЦ
где шв = еВ/тпс — циклотронная частота, т — время свободного пробега. Соглас-
но (9.108), подавление начинается с полей В*, при которых шв ~ 1/т. Сравнивая
с характерным полем Вс , подавляющим квантовую поправку, видим, что В* и Вс
отличаются примерно в ЕрТф/ti 1 раз. Поэтому квантовая поправка подавляется
полностью уже в классически слабых полях. Кроме того, классический и квантовый
эффекты имеют противоположные знаки. Подавление магнитным полем квантовой по-
правки, отрицательной по знаку, приводит к отрицательному магнитосопротивлению,
наблюдаемому в области весьма слабых полей. Классическое же магнитосопротивление
положительно.
Найдем зависимость квантовой поправки от магнитного поля в трехмерном случае.
Это можно сделать с помощью соотношения (9.92), которое в координатном предста-
v 17
влении принимает следующий вид.
6а = —4e2v0T2D г = г') . (9.109)
15Напомним, что случайная диффузионная траектория размера L имеет длину порядка vpt =
vpL2/D , где D = ^vpl — коэффициент диффузии.
16 Вопрос о температурной зависимости времени сбоя фазы и о влиянии неупругих процессов на сла-
болокализационные поправки рассматривался в работах: B.L. Altshuler, A.G. Aronov and D.E. Khmelnit-
skii, Solid State Comm. 39, 619 (1981), ibid., J. Phys. C 15, 7367 (1982); см. также обзоры: B.L. Altshuler,
A.G. Aronov, in: Electron-Electron Interactions in Disordered Systems, North-Holland, Amsterdam, 1985;
P. A. Lee, T. V. Ramakrishnan, Rev. Mod. Phys., 57, 287 (1985).
9.6. СЛАБАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ
253
Выражение для куперона С(ш,г, г') в присутствии магнитного поля можно получить
следующим образом. Калибровочная инвариантность требует, чтобы при включении
магнитного поля производные по координатам в уравнениии для куперона изменялись
по такому закону:
2е
—zV —> —zV--------А (9.110)
с
Обратим внимание на то, что в калибровочно инвариантном выражении (9.110) по-
является удвоенный заряд электрона. Это связано с тем, что куперон описывает ин-
терференцию двух электронных волн, распространяющихся по одному и тому же пути
в прямом и в обратном направлении.
Теперь, чтобы получить уравнение для куперона, воспользуемся соотношением
(9.96), помножив обе его части на —zw+Hq2 . В координатном представлении, согласно
(9.110), следует заменить q на —zV — 2е/сА . Потерю фазовой когерентности можно
ввести в уравнение для куперона феноменологически, сдвинув частоту —ш на вели-
чину Тф1 , так чтобы однородное решение этого уравнения затухало как ехр(—t/тф) .
Таким образом, мы приходим к следующему уравнению:
/ 2е \2 1 1 1
—iw + D\- iV------A(r) ) Ч---С(а>, г, г') = ----й(г — г') (9.111)
\ С / Тф 2tVqTz
В конечной системе уравнение (9.111) должно быть дополнено граничными условиями.
В случае непроницаемой границы поток частиц через границу должен отсутствовать.
Соответствующее граничное условие записывается так:
3 2ze д \
— Ч----n-А Сш,г,г =0
дп с I
(9.112)
где п — единичный вектор нормали к границе. Обратим внимание на то, что век-
торный потенциал входит не только в уравнение для куперона, но и в выражение для
потока.
В качестве простейшего применения уравнения (9.111) рассмотрим квантовую по-
правку к проводимости бесконечного трехмерного металла в однородном магнитном
поле В . В этом случае выражение (9.111) имеет вид уравнения на функцию Грина для
частицы с зарядом е* = 2е и массой m;f = Й2/2D , находящейся в поле В . Собствен-
ные значения и собственные функции этой задачи хорошо известны (например, см. [2]
§112). Поэтому можно сразу записать решение в таком виде:
C(w,r,r') =
1 у- УМГМ,п(Г')
2л/70т2 -гш + Dq2z + Щп + |) + А
(9.113)
где Q* = tie*B/m*c = 4eDB/hc есть «циклотронная частота», а ^^(г) — собствен-
ные функции, соответствующие уровням Ландау ( а — квантовое число, различающее *
17Если выразить квадрат фермиевской скорости в (9.92) через коэффициент диффузии D =
(мы пользуемся двумерным выражением), то зависящие от размерности множители сокращаются, и
формула (9.109) оказывается справедливой в произвольной размерности.
254
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
состояния на одном уровне Ландау, например, импульс). Из-за функций 'фа,п сумма в
(9.113) выглядит весьма устрашающе. Но нас, как следует из18 (9.109), на самом деле
интересует куперон в совпадающих точках. При г = г' куперон не должен зависеть от
абсолютного расположения точек гиг'. Поэтому, усредняя по положению г в объ-
еме проводника V и используя условие ортонормированности собственных функций,
получаем
v/C(W,r Г'^3г 27п/от2П^-г^ + П?2 + ПДп+|) + ^ ‘ (9’П4)
Суммирование по а (то есть суммирование в пределах одного уровня Ландау) можно
легко выполнить, использовав выражение для числа состояний на уровне Ландау (см.
И):
dN = dqz (9.115)
(2тг)2йс
Таким образом, получаем выражение для куперона в совпадающих точках:
Г = Г') = 47г2г/^ст2 / Е + Dq2 + + 1) + X (9-П6)
С учетом этого поправка к проводимости (9.109) равна
_ De^B f dqz __________________1__________ , .
тг2Ьс J 2я „ — iw + Dq2 + fl*(n + |) +
В дальнейших выкладках мы для простоты опустим частоту внешнего поля ш . Вычи-
слим интеграл по qz :
8а =------------= У' . = , х = —— = ———— . (9.118)
27r2Zzcv/n; V у/п+1+х $1*ТФ 4еВРтф
Полученная сумма расходится на верхнем пределе. Очевидно, это в точности та же
расходимость, что и в задаче 54 при вычислении интеграла по q , и поэтому её следу-
ет обрезать на |q| порядка обратной длины свободного пробега. Для этого оборвем
сумму (9.118) на некотором птах , определяемом соотношением
max
(9.119)
( £1*птах есть собственное значение оператора в (9.113), которое не должно превышать
D/12 ). Тогда сумма равна 2у1рДД, и поправка даётся выражением
Р2 I рВ р2
2v^ --4- .
4тг2 V пс 4тг2п1
(9.120)
Это выражение не зависит ни от Тф , ни от магнитного поля, поскольку оно определяет-
ся малыми масштабами порядка I . Интересные эффекты (зависимость от магнитного
18Интегрирование по q в (9.113) эквивалентно условию г = г' .
9.6. СЛАБАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ
255
поля и т. и.) определяются большими масштабами и представляют собой поправки к
(9.120).
Обрезание суммы после интегрирования по qz может показаться внимательному читателю не-
корректным, поскольку при этом допускаются как угодно большие qz , но только конечные п . Но
q2 и п есть разные части квадрата волнового вектора q2 . Можно более корректно обрезать сумму
«вращательно-инвариантным образом», ограничивая как максимальные п , так и максимальные qz .
Это сделать, например, вводя в (9.117) множитель сходимости ехр(—+ Q*(n + 1/2))) , где //.
— малое число порядка I2/D . Тем не менее, оказывается, что простая процедура обрезания по п
приводит к тем же ответам.
Вычитая из 8а независящую от магнитного поля часть й<т(0) , получаем
е2 /еВ
мв)_мо)=_—(9.121)
где
Щ)= Е , , =-2^77) . (9.122)
N^°° \п=о у/п + 1/2 + х J
Сумму в (9.122) можно найти в пределе сильных и слабых магнитных полей. Наиболее
интересен случай сильного поля (х <С 1 ), который мы и рассмотрим. При малых х
функция /(ж) стремится к постоянному пределу, выражающемуся через < -функцию
Римана:
f(x 0) = -(а/2 - 1)<(1/2) ъ 0.6049 (9.123)
Таким образом,
А/2 - 1 /р R
8аЦЦ - 8а(Ц) = <(1/2) е-/— . (9.124)
2я2 п V пс
Итак, слаболокализационная поправка в трехмерном случае пропорциональна корню
из магнитного поля. Выход на этот режим происходит при С1*Тф ~ 1 в согласии с
приведенными выше качественными рассуждениями.
Аналогично можно рассмотреть поведение слаболокализационной поправки в дву-
мерном случае. Он отличается от трехмерного случая только отсутствием интегриро-
вания по qz , и поэтому
р2 Птах 1
= -2^ 2 • <9'126)
Эту сумму можно выразить через дигамма-функцию -г/(ж) = Г'(ж)/Г (ж) следующим
образом:
е2
= -2Л
(?/(п
max + 1/2 +ж) -7/(1/2 + ж))
(9.126)
При х 1 дигамма-функция растет логарифмически, ^(хЦ^ ~ Inrc , и поэтому в
слабых полях
е2
fc2D(0) = -77s
In
Птах
е2 Бтф
----ш-----—
2тг2П I2
(9.127)
X
256
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
то есть слаболокализационная поправка определяется Тф и в первом приближении не
зависит от магнитного поля. В сильных же полях можно положить х = 0 :
м«=-йЫ-*(1/т (9-128)
Как видно из этой формулы, в больших магнитных полях проводимость не зависит от
Тф . Это происходит потому, что магнитное поле подавляет вклад длинных траекторий,
и механизмы сбоя фазы просто не успевают сработать на оставшихся траекториях. Вы-
читая из (9.128) проводимость в нулевом поле (9.127), получим магнитосопротивление:
е2 / TDtacB \
da2D(B)-da2p(0) = —(1н—-------V41/2)) (9.129)
2лРп, \ пс /
Таким образом, как в двумерном, так и в трехмерном случае квантовая поправка
к проводимости приводит к весьма необычному поведению магнитосопротивления в
классически слабых полях, что позволяет выделять эффекты слабой локализации на
фоне классического магнитосопротивления. При этом речь идет об изменении прово-
димости на величину порядка е2/й в довольно слабых полях порядка Вс , так что
эффект оказывается вполне измеримым. Вдобавок квантовое магнитосопротивление,
в отличие от классического, в трехмерном случае не зависит от угла между током и по-
лем и отлично от нуля даже если ток параллелен полю. Измеряя магнитосопротивление,
можно найти время сбоя фазы Тф , которое определяется взаимодействием электронов.
Поэтому данные по аномальному магнитосопротивлению — важный источник инфор-
мации о квантовых эффектах в металлах.
Помимо этого, квантовая поправка оказывается чувствительна к любым эффек-
там, нарушающим симметрию по отношению к обращению времени. Например, сильное
спин-орбитальное взаимодействие приводит к изменению знака квантовой поправки.
Подробное изложение многочисленных эффектов слабой локализации не входит в зада-
чу этой книги. Интересующийся читатель может обратиться к обзорам, посвященным
этой теме (см. примечание на с. 252).
9.6.2. Эффект Ааронова-Бома
В предыдущем разделе мы показали, что магнитное поле приводит к подавлению сла-
болокализационной поправки, что проявляется в аномальном магнитосопротивлении.
Но этот эффект накладывается на классическое магнитосопротивление. Нельзя ли сде-
лать так, чтобы эффект классического магнитосопротивления исключался автоматиче-
ски? Оказывается, можно. Для этого необходимо сделать так, чтобы магнитное поле в
образце вообще отсутствовало, но вектор-потенциал был бы отличен от нуля. Посколь-
ку в уравнение для куперона (9.111) входит именно вектор-потенциал А(г) , то С(г, г')
будет «чувствовать» такое поле. Конечно, поскольку проводимость калибровочно ин-
вариантна, интересующий нас вектор-потенциал А (г) не должен сводиться к чистой
калибровке.
Учитывая эти соображения, рассмотрим неодносвязный образец, например, метал-
лический цилиндр, через который пропущен магнитный поток Ф . Представим себе,
9.6. СЛАБАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ
257
что магнитное поле отлично от нуля только в полости цилиндра. Тогда на поверхности
цилиндра имеется отличный от нуля вектор-потенциал А (г) , такой, что
Adr = Ф ,
(9.130)
где интеграл берется по любому контуру, охватывающему полость. Такой вектор-
потенциал меняет фазы волновых функций электронов и влияет на интерференционные
явления (это влияние называется эффектом Ааронова-Бома). Ниже мы рассмотрим,
как эффект Ааронова-Бома проявляет себя в проводимости.
Итак, пусть имеется тонкая металлическая пленка, свернутая в цилиндр радиуса
R, через который пропущен магнитный поток. Будем рассматривать задачу в цилин-
дрических координатах, выбрав ось z вдоль оси цилиндра. Вектор-потенциал внутри
пленки выберем в виде
Л = -^, Ar = Az = 0. (9.131)
27Г7г
Положим частоту внешнего поля ш = 0 . Тогда уравнение (9.111) перепишется так:
д2 1 / д . еФ
dz2 R2 7г/гс
<ЖГ') = 9 _2 d(r~r')
27П/оТ2
(9.132)
Оно легко решается переходом в представление Фурье:
C(z,p,z',p') = £ СтЛг .
Подставив (9.133) в (9.132), получим:
с 1_____________________1__________
2i^t2R 1 D / 2Ф\2
---1- Dk2 + —z m - —
Тф R2 у Фо /
(9.133)
(9.134)
где Фо = hc/e — одноэлектронный квант магнитного потока. Выражая слаболокали-
зационную поправку через С (г = г') , получаем:
Фт(Ф) =
(9.135)
Это выражение периодически зависит от магнитного потока Ф , поскольку изменение
Ф на целое кратное Фо/2 можно компенсировать сдвигом т . Имеет смысл преобра-
зовать это выражение так, чтобы периодическая зависимость стала явной. Для этого
воспользуемся формулой суммирования Пуассона:
сю оо у"
Е f(m)= Е / f<A)e2”ikxdx .
т=—оо к=—оо
(9.136)
258
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Применив эту формулу, сдвинув переменную интегрирования и вычислив интеграл по
kz , имеем:
е2 оо °? е2тггА:(я:+2Ф/Фо)
у/х2 + ИЦИтф
Теперь видно, что к -й член этой суммы представляет собой к -ю гармонику &т(Ф) .
Вычислим интеграл по х , используя формулу
cos tx dt
(t2 + 1)"
x\v Г(1/2)
2/ r(z/ + l/2)
(9.138)
где Kv(x) — функция Макдональда. Окончательно имеем:
9<=2 00 /9-ttI-R
йа(Ф) = -^- V е4-^оХо
™ к=-оо \ ЬФ
(9.139)
где Ьф = ЦЭтф — длина сбоя фазы. В этом выражении член с к = 0 сингулярен.
Соответствующий интеграл в (9.137) расходится при больших х . Это та же самая
расходимость, что и в (9.97), поскольку величина x/R играет роль я:-компоненты
волнового вектора. Поэтому расходимость следует обрезать при х ~ R/1.
Имеется и другой, более удобный способ избавиться от расходимости — вычесть
из й<т(Ф) её усредненное по варияциям потока значение:
X /х \ 4е У ( ^kR\
Иф - (&т)Ф - — У Ао —т—
\L<P
( 4тгА:Ф
cos ——
\ Фо
(9.140)
Таким образом, сопротивление цилиндра периодически зависит от пропущенного че-
рез него магнитного потока19. Период осцилляций оказывается равен Фо/2 . Так про-
исходит потому, что слаболокализационная поправка связана с интерференцией двух
обращенных по времени замкнутых траекторий. Если такие траектории «наматыва-
ются» на цилиндр, то вдоль одной из них электрон набирает дополнительную фазу
5ф = 2тгФ/Ф0 , а вдоль другой — 5ф . Разность фаз равна 2тг , если Ф = Фо/2 . Таким
образом, величина интерференционных эффектов одна и та же при Ф = 0 и Ф = Фо/2.
Выражение (9.140) допускает простую интерпретацию. Амплитуда осцилляций
КЦ2ткР/Тф) есть вероятность того, что случайная траектория успеет уйти от на-
чальной точки на расстояние 2ткИ (т. е. обмотаться вокруг цилиндра к раз) за время
Тф , в течение которого сохраняется фазовая когерентность. При ТткИ Гф функция
Макдональда экспоненциально затухает. Это значит, что наиболее существенны гар-
моники с к < Тф/2тИ. Поэтому для того, чтобы эффект был наблюдаемым, нужно,
чтобы цилиндр был маленьким: 2tR <С Тф . Поскольку Тф растет с понижением тем-
пературы, то этому условию можно удовлетворить лишь при низких температурах или
в достаточно маленьких образцах.
19На самом деле в реальный металлический цилиндр магнитное поле все-таки слегка проникает, и
поэтому строгая периодичность разрушается.
9.6. СЛАБАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ
259
Вернемся к вопросу о периоде осцилляций. Найденное значение периода Фо/2 вы-
глядит несколько подозрительно, поскольку энергия и волновая функция электрона
периодичны по магнитному потоку с периодом Фо . В качестве примера можно рас-
смотреть электрон, двигающийся по кольцу без примесей. Его уровни энергии есть
Ет = h2/2meR2(m — Ф/Ф0)2 , где те — масса электрона, ат — его магнитное кван-
товое число. При Ф = Фо/2 система явно не похожа на систему с нулевым потоком.
Электрон, обходя цилиндр, меняет при Ф = Фо/2 знак волновой функции, то есть
эффект магнитного потока оказывается наиболее сильным. Каким же образом период
осцилляций проводимости оказывается равным Фо/2 ?
Ответ состоит в том, что, вычисляя слаболокализационную поправку, мы учиты-
ваем только интерференцию двух траекторий, возвращающихся в исходную точку.
Иными словами, мы вычисляем интерференционный вклад в вероятность «застрева-
ния» электрона в какой-то точке образца. Однако имеется также интерференционный
вклад в вероятность перемещения электрона из одной точки в другую, и он устроен
иначе. Этот вклад определяется траекториями, соединяющими две различные точки
А и В и обходящими полость цилиндра с разных сторон. Разность фаз между такими
траекториями равна 2яФ/Фо . Таким образом, интерференция между ними приводит
к осцилляциям с периодом Фо . Однако вклад таких траекторий также содержит боль-
шую фазу порядка 0 = p^L , где L — длина траектории. Эта фаза зависит от формы
траектории, то есть от реализации беспорядка . Если мы теперь усредним проводи-
мость по беспорядку, то этот вклад исчезнет из-за усреднения по фазе в . Если же по
беспорядку не усреднять, а рассматривать образец с конкретной реализацией беспо-
рядка, то его проводимость должна иметь период Фо .
Чтобы проверить справедливость этой качественной картины, нужно вычислить
величину, в которой вклад с периодом Фо не выпадает при усреднении по беспорядку.
Чтобы изучить, как проводимость образца с данной реализацией беспорядка зависит
от магнитного потока, рассмотрим произведение проводимостей при разных значениях
потока и усредним его:
Кф,ф' — {®af} (Ф)фц// (Ф ))disorder {®af} (Ф)^1зоМег(фи1'(Ф ))disorder (9.141)
Каждая из проводимостей в этом выражении дается до усреднения по беспорядку диа-
граммой на рис. 9.5, в которой жирная линия обозначает точную функцию Грина, изо-
браженную на рис. 9.1. При усреднении по беспорядку нас интересуют перекрестные
члены, поэтому мы должны связать примесными пунктирами функции Грина в разных
петлях. Из-за усреднения по направлениям импульсов примесную лестницу в каждую
из петель вставлять не надо. При этом мы должны постараться сделать так, чтобы
примесные линии не пересекались.
260
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
Рис. 9.22
Получаются диаграммы, показанные на рис. 9.22. В данном случае имеется два вкла-
да: от куперона и от диффузона. При этом на электрон во внешней петле диаграммы
действует магнитное поле, пропорциональное Ф , а во внутренней — пропорциональ-
ное Ф'. В этом случае уравнения для куперона и для диффузона можно получить тем
же способом, что и выше. Нужно только учесть, что, поскольку куперон пропорциона-
лен {ЙФ} , то в нем векторные потенциалы внутренней и внешней петель на диграммах
рис. 9.22 складываются, в то время как диффузон пропорционален ффф+} > и поэтому в
нем векторные потенциалы вычитаются. (Тогда при Ф = Ф' получаем, что магнитное
поле не меняет уравнение диффузии, как и должно быть.) Это означает, что в куперон-
ных диаграммах эффективный магнитный поток есть (Ф + Ф')/2 , а в диффузонных
— (Ф — Ф')/2 . В остальном же куперонный и диффузонный вклады совпадают.
Строго говоря, это не совсем правильно. Куперонный вклад, в отличие от диффузонного, экспо-
ненциально затухает на временах t > Тф . (А диффузионный полюс при к = 0 всегда есть ш = 0
из-за сохранения числа частиц.) Тем не менее, фазочувствительная часть диффузонного вклада, отве-
чающая за зависимость проводимости от Ф , также исчезает при t > Тф . Поэтому мы для простоты
игнорируем это различие между диффузоном и купероном.
Как мы увидим ниже, в ответ дают вклад только большие масштабы, поэтому ха-
рактерный суммарный импульс в купероне и разность импульсов в диффузоне оказы-
ваются порядка R~l . Это означает, что импульсы, бегущие по разные стороны ка-
ждой примесной лестницы, отличаются мало. Поэтому произведение токовых вершин
и функций Грина на концах дает множитель
xj2 xj2 f
Аа^ = е4 I vav^v'vG2R{p) G2A(p) G2R{p') G2A(p')-^^ (9-142)
(при выводе этой формулы несущественная зависимость функций Грина от энергии
была опущена). Интегралы легко вычисляются переходом к интегрированию по £ ,
что дает
Aafl^ = -урФчЭ/Зм(47гг0т3)2 = 16тг21УоТ4Е28а1Л6^ . (9.143)
Интегрирование по энергиям дает, как обычно, сц/2тг, причем ш сокращается после
подстановки функции отклика в определение проводимости. Поэтому коррелятор про-
водимостей (9.141) есть20
Хф.ф, =2е47г2г/2т4ПХ^У d2r (|С(г, Ф, Ф')|2 + |П2(г, Ф, Ф')|2) . (9.144)
Квадрат куперонной амплитуды можно найти по теореме Парсеваля:
1с = <f г = f |Cra,t.|2 . (9.145)
-оо % гп=-оо
20Интеграл по сРг в (9.144) возникает потому, что начальная и конечная точки на диаграммах
рис. 9.22 различаются.
9.6. СЛАБАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ
261
Это выражение можно преобразовать, как и ранее, проинтегрировав по kz и применив
формулу суммирования Пуассона (9.136). Получим:
1 ОО °? / е2тпк(х+(Ф+Ф')/Ф0) dx
167F2Z/02T4I?2 \ (ж2 + Я2/Ь2ф)3/2
Интеграл по х , согласно (9.139), выражается через функцию Макдональда:
_ ________1______ у' АккБф 12тгкЯ\ 2тггА:(Ф+Ф')/Фо
167r2z^T4£)2 R \ Бф }
(9.146)
(9.147)
Аналогичное выражение для диффузонного вклада отличается заменой Ф + Ф' на Ф —
Ф'. Подставив (9.147) в (9.144) и приведя подобные члены, получим:
ТСфф/
“ rfb2
( ББ 2тгкЯ т (2irkR\ (2тгкФ\ к2тгкФ'\\
х 1 + 2 > —— Кг —— cos —— cos —-—
\ к=1 Бф у Бф J \ Фо / \ Фо / /
(9.148)
(в члене с к = 0 нужно взять предел малых к и использовать асимптотику функции
Макдональда КЦх <С 1) 1/х).
Результат (9.148) подтверждает описанную выше качественную картину. Основная
гармоника имеет период Фо , а не Фо/2 . (Это видно из того, что зависящая от маг-
нитного потока часть пропорциональна произведению двух косинусов с периодом Фо ).
Однако при усреднении проводимости по беспорядку этот вклад исчезает, поэтому он
проявляется лишь в корреляции проводимостей одного и того же образца.
Обратим внимание на интересную немонотонную зависимость результата от пара-
метра 2яД/Бф . При 2яД Бф функции Макдональда, определяющие зависимость от
магнитного потока, экспоненциально малы. В этом пределе электроны не могут обойти
цилиндр, не потеряв при этом фазовую когерентность, так что исчезновение эффекта
в этом пределе вполне естественно. Более интересно, что в противоположном пределе
( 2ttR <С Бф ) эффект тоже мал как R2/L/y . Это происходит потому, что в этих усло-
виях вклад дает большое число траекторий, проходящих в разных местах поверхности
цилиндра, что эффективно приводит к усреднению по беспорядку. Но при 2ttR ~ Бф
электроны, дающие вклад в интерференционную поправку, обходят цилиндр по тра-
екториям, не слишком далеко отстоящим от наикратчайшей, поэтому усреднения по
беспорядку не происходит.
Заметим, что отличие проводимости конкретного образца от средней может быть
довольно заметным. При Бф ~ 2ttR (необходимое условие наблюдения эффекта
Ааронова-Бома) коррелятор проводимостей оказывается порядка е4/й2 . Таким обра-
зом, при изменении беспорядка проводимость может измениться на величину порядка
одного кванта, хотя образец при этом остается макроскопическим и содержит большое
количество примесей ( R I). Это означает, что интерференционная часть проводи-
мости является макроскопически измеримой несамоусредняющейся величиной. Этот
262
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРОНЫ В СЛУЧАЙНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ
неожиданный эффект есть проявление фазовой когерентности электронов при низких
температурах.
Подведем итог. При достаточно низкой температуре, транспортные свойства образ-
цов с размерами R много больше атомных оказываются существенно квантовыми. Для
этого требуется лишь, чтобы выполнялось условие R Тф . Раздел физики твердого
тела, изучающий свойства таких систем, называется мезоскопикой, поскольку размеры
системы должны быть достаточно велики, чтобы их можно было описывать макроско-
пически (и проводить измерения!) но одновременно достаточно малы, чтобы можно
было наблюдать квантовые эффекты21.
21Читатель, желающий узнать побольше об этой активно развивающейся области, может обратиться
к популярной статье: B.L. Altshuler, Р.А. Lee, Physics Today 41(12), 37 (1988)
Глава 10.
Сверхпроводимость
10.1. Микроскопическая теория сверхпроводимости
10.1.1. Образование куперовских пар
Сверхпроводимость в металлах возникает из-за электрон-фононного взаимодействия,
приводящего к притяжению между электронами. Качественно это можно понять так.
Двигаясь в металле, электрон притягивает ионы. За счет этого, кристаллическая ре-
шетка слегка деформируется. Поэтому в области, через которую прошел электрон, на
некоторое время остается нескомпенсированный положительный заряд ионов, который,
в свою очередь, притягивает другие электроны.
На первый взгляд, электрон-фононное взаимодействие не должно существенно влиять на физику
электронной системы. Ведь ядра решетки тяжелые, и электронам трудно сдвинуть их с места. Как мы
выяснили в главе 6, где обсуждалась теория Мигдала, принимающая во внимание большую разницу
масс электронов и ионов, это в каком-то смысле справедливо. Действительно, даже при величине
электрон-фононного взаимодействия порядка единицы, поправки к различным физическим величинам
оказываются либо малыми, либо сосредоточенными в интервале энергий порядка дебаевской, т. е.
много меньше энергии Ферми.
Однако оказывается, что электрон-фононное притяжение весьма эффективно, если
импульсы взаимодействующих электронов направлены в противоположные стороны.
Один электрон, двигаясь сквозь кристалл, встряхивает решетку вдоль линии своего
движения. Колебания решетки — это медленный процесс, поэтому электрон оставляет
за собой сравнительно долгоживущий след. Характерная частота колебаний решетки
порядка дебаевской частоты шр ~ ^т/Мер , где т/М - отношение массы элек-
трона к массе иона. Поэтому время рассасывания возмущения решетки оказывается
примерно в yjМ/т раз больше, чем время, за которое электрон проходит расстояние
между соседними ионами. Это означает, что возмущение решетки, созданное движу-
щимся электроном, образует след, вытянутый вдоль траектории электрона примерно
на yjМ/т межатомных расстояний. Второй электрон, если он движется точно на-
встречу первому, проходит через те же самые точки пространства, но в обратном
порядке. Все то время, пока рассасывается возмущение, этот электрон находится вну-
три следа, оставленного первым электроном. Поэтому притяжение между электронами
с противоположными импульсами оказывается гораздо сильнее, чем между электрона-
263
264
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
ми, движущимися под углом.
Более формально электрон-электронное притяжение получается так. Взаимодей-
ствие между электронами за счет обмена виртуальным фононом описывается такой
диаграммой:
Рис. 10.1
Мы будем рассматривать этот процесс, как эффективное взаимодействие двух элек-
тронов с передачей импульса к . По правилам диаграммной техники, описанным в гл. 4
и 6, линии взаимодействия соответствует такое выражение:
„2 , .2
= (10.1)
Интерес для нас представляют процессы, в которых переданный импульс к поряд-
ка фермиевского, а переданная энергия мала: ш <С Щр . Поскольку , вы-
ражение (Ю.1) оказывается равным просто —gl_ph . Отрицательный знак амплитуды
рассеяния на рис. 10.1 означает, что эффективное взаимодействие является притяже-
нием. Заметим, что передача импульса порядка ро возможна лишь если суммарный
импульс мал. В противном случае, поскольку все состояния под ферми-поверхностью
заняты, а суммарный импульс сохраняется, передача импульса от одной частицы к дру-
гой при взаимодействии оказывается малой. (Это наиболее очевидно, если суммарный
импульс близок к 2ро , то есть взаимодействующие электроны находятся в близких
точках ферми-поверхности. В этом случае возможная величина переданного импульса
много меньше ро •) Таким образом, взаимодействие (10.1) наиболее эффективно для
электронов с противоположными импульсами.
Оказывается, что эффективное притяжение приводит к образованию связанного
состояния. Электроны группируются в так называемые куперовские пары с противо-
положно направленными импульсами. Спины электронов в паре оказываются при этом
направленными в разные стороны, так чтобы спиновая часть волновой функции пары
была нечетной, а координатная — четной. При этом выигрыш в энергии пары из-
за электрон-фононного взаимодействия максимален. Таким образом, куперовская пара
представляет собой спиновый синглет, а ее орбитальный момент равен нулю.
Такое спаривание называется S— спариванием. Существуют и другие виды сверхпроводящего
спаривания более общего вида, характеризующиеся отличным от нуля орбитальным моментом па-
ры или спином пары равным единице. Такое спаривание реализуется, например, в 3Не , а также в
некоторых сверхпроводящих материалах, относящихся к классам так называемых «купратных» и «тя-
желофермионных» сверхпроводников.
Наконец, остановимся на связи эффекта спаривания с явлением сверхпроводимости.
Заметим, что куперовские пары подчиняются бозе-статистике, и поэтому при низкой
температуре они формируют бозе-конденсат. В такой бозе-жидкости из куперовских
пар все механизмы рассеяния электронов становятся неэффективными, потому что
при рассеянии одного из спаренных электронов пара разрушилась бы. Но разрушение
10.1. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
265
пары требует затраты энергии порядка энергии связи электронов в паре. Поэтому при
температуре меньше энергии связи пары рассеяние отдельных электронов оказывается
энергетически невыгодным. Вследствие этого при низких температурах электрический
ток может течь без диссипации.
Остановимся на влиянии кулоновского взаимодействия на сверхпроводимость. Мож-
но было бы ожидать, что сверхпроводимость должна подавляться прямым электрон-
электронным взаимодействием. Действительно, эффекты кулоновского взаимодей-
ствия обычно порядка единицы. При этом фононное притяжение между электронами
короткодействующее, а кулоновское отталкивание — дальнодействующее. Поэтому,
казалось бы, отталкивание должно перевесить. Однако все не так просто. Дело в том,
что кулоновское взаимодействие запаздывает на время порядка обратной плазменной
частоты, а электрон-фононное — на время порядка • Иными словами, электрон
оставляет вдоль своей траектории фононный след, который не рассасывается отно-
сительно долго (см. задачу 61). Поэтому взаимодействие между электронами за счет
обмена фононами происходит гораздо дольше, чем кулоновское отталкивание. След-
ствием этого является относительная малость эффект кулоновского взаимодействия
(см. задачу 58). В результате электрон-фононное взаимодействие оказывается более
существенным для сверхпроводимости, чем кулоновское.
Чтобы лучше понять механизм образования пар, мы упростим задачу и, следуя пер-
воначальной идее Купера, рассмотрим всего два взаимодействующих электрона, дви-
жущихся на фоне ферми-моря. При этом мы будем пренебрегать эффектом рождения
электрон-дырочных пар, и учтем влияние остальных электронов только в том смысле,
что импульсы выбранных нами двух электронов будут обязаны лежать вовне ферми-
сферы.
В импульсном представлении состояния пары электронов описываются волновой
функцией Фа/з(р,р/) , где р и р' —импульсы, а а и /3 —спиновые индексы. Взаи-
модействие между электронами сохраняет спин, поэтому будем рассматривать только
синглетные состояния Фа1д(р,р') = Ф(р,р')(| 1Ф) — | 4Ф)) • Орбитальная часть волновой
функции Ф(р,р') удовлетворяет уравнению Шредингера в импульсном пространстве:
ЕФ(р,р') = (Ер + Е»Ф(р,р') + £ КРР'од'Ф(д,п') (10.2)
p+p'=q+q'
Здесь Ер = р2/2т — ц — одночастичная энергия, а Vpp/qq/ — эффективное взаимо-
действие между электронами. Как указано выше, мы предполагаем, что импульсы р
и р' находятся снаружи ферми-сферы: |р| > р0 , |р'| > р0 .
Следует заметить, что характерная энергия, переданная при электрон-фононном
взаимодействии, не может быть больше дебаевской частоты щр . Поэтому будем счи-
тать, что взаимодействие Vppzqqz отлично от нуля только в узком интервале энергий
порядка cjd :
lppzqqz = ( ПРИ < (Ю.З)
10 в противном случае
Здесь мы ввели обозначение для эффективной константы взаимодействия: Л =
Рассмотрим вначале случай нулевого суммарного импульса пары Р = р + р' = 0 .
266
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
При этом уравнение (10.2) принимает вид:
(Е-2Ер)Ф(р,-р) =-A Е Ф(П,-П)
Q<.Eq<.aif)
(Ю.4)
Поскольку правая часть этого уравнения не зависит от р в области \ЕР\ < , реше-
ние уравнения есть
Ф(р,-р)
а
Е — 2ЕР
(10.5)
Такое решение существует, если
-а Е
Q<.Eq<.aif)
1
2Eq - Е
(10.6)
1.
Напомним, что условие 0 < Eq в (10.6) возникает, поскольку в задаче присутствует
фермиевское море, из-за чего рассматриваемые два электрона не могут переходить в
состояния под ферми-поверхностью. Условие же Eq < Щр в (10.6) отражает тот факт,
что электроны обмениваются фононами, и поэтому переданная при взаимодействии
энергия не может быть больше cjp .
Нас интересует связанное состояние электронов пары, поэтому энергия Е должна
быть отрицательной. Переходя в (10.6) к интегрированию по £ , имеем
1 — \ 1 \ 1 А , 2^D\
1 “ A"0 J 2{Ti^ “ 2A"0 Ы 0 + W ’
(Ю.7)
где i/q = mPo/2тг27г3 — одночастичная плотность состояний на уровне Ферми. Решая
уравнение (10.7), получаем энергию связи пары:
2щл . .
Е =------9/Х . Ю.8
е2/Ам0 _|_ 1 v 7
При малой константе связи А/у0 1 выражение (10.8) превращается в Е =
—2cj£>e-2'/Al'° . Итак, связанное состояние двух электронов действительно существует.
Обратим внимание на существенную роль ферми-статистики. Электроны не могут пе-
рейти в занятые состояния под ферми-поверхностью, поэтому в импульсном простран-
стве они всегда находятся в тонком двумерном сферическом слое между |р| = Ро и
|р| ~ р0 + ujd/vf Аналогично можно рассмотреть образование пары с суммарным
импульсом к отличным от нуля. Нетрудно показать, что в этом случае минимальная
энергия связи достигается при к = 0 .
Отметим интересную аналогию между рассмотренной задачей об одной куперовской паре и зада-
чами 12 и 13, в которых обсуждается образование связанного состояния при движении частицы в поле
мелкой ямы. Связанное состояние имеется только в пространстве размерности D 2 , причем при
D = 2 ситуация логарифмическая, как в (10.6), и энергия связи оказывается экспоненциально малой
по глубине ямы. Особая роль размерности D = 2 связана с тем, что плотность состояний z/(e) при
D < 2 расходится при энергии ; ч 0 , в то время как при D = 2 плотность состояний z/(e) остается
конечной при сколь угодно малом е . В то же время при D > 2 плотность состояний обращается в
ноль при е —> 0 , чем и объясняется отсутствие связанных состояний в мелкой яме. Нетрудно видеть,
10.1. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ
267
что при D = 2 задача о мелкой яме формально эквивалентна задаче о куперовской паре. Поэтому
иногда говорят, что динамика куперовской пары эффективно двумерна.
Интересно оценить размер куперовской пары. Это можно сделать, например, из
соотношения неопределенности. Энергия каждого из электронов в паре имеет неопре-
деленность порядка А (потому что фиксирована лишь суммарная энергия). Соответ-
ствующая неопределенность импульса есть 6р ~ X/vF и, следовательно, положение
каждого из электронов определено с точностью до
h hvF
Sp Д
(10.9)
Это и есть размер пары. Поскольку при слабом взаимодействии А/у0 1 энергия связи
Д экспоненциально мала, расстояние между электронами в паре оказывается гораздо
больше, чем среднее расстояние между электронами. Это означает, что пренебрежение
взаимодействием электронов пары с электронами ферми-моря, вообще говоря, некор-
ректно. Поэтому рассмотренная нами задача об одной куперовской паре представляет
собой лишь наводящее соображение. Тем не менее, как будет показано ниже, получен-
ная оценка энергии связи (10.8) не очень далека от значения, предсказываемого точной
теорией. Кроме того, представление о куперовских парах оказывается весьма полезным
при качественных рассуждениях.
'р
считать, что
pp'qq' —
2 / ; Vpp'qq' apaap'/3aq/3aq'a
p+p'=q+q'
взаимодействие отлично от
при
(max < j
(10.10)
нуля только вблизи
(10.11)
р
10.1.2. Квазичастицы в сверхпроводнике
Перейдем к более формальному анализу задачи о сверхпроводящем спаривании. Запи-
шем гамильтониан системы с притяжением:
Нбкш
Как и раньше, будем
ферми-поверхности:
I. V при с, max
где £тах = тах{|£р|, |€р'I? |&|, |£?'|} • Выражение (10.10) называется гамильтонианом те-
ории Бардина-Купера-Шриффера (БКШ).
При слабом взаимодействии между электронами, константу А можно выразить че-
рез безразмерную константу £ электрон-фононного взаимодействия: А = fi’e-ph = С/^о
(см. с. 112). Следует отметить, что в реальных системах (т. е. при £ ~ 1) связь между
А и ( не такая простая. В этом случае из-за сильной перенормировки электронного
спектра теория сверхпроводимости должна самосогласованно учитывать все эффекты
электрон-фононного взаимодействия, обсуждавшиеся в гл. 6. Тем не менее, гамильто-
ниан БКШ с А fl’e-ph оказывается вполне разумным приближением даже при £ ~ 1 .
Упростим гамильтониан БКШ, оставив в нем лишь члены, отвечающие за взаимо-
действие с противоположными импульсами:
^.рар ар — — apaotpl3aqpa-qa (10.12)
р 2 pi
268
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Но и этот гамильтониан все еще довольно сложен. Поэтому для его анализа мы вос-
пользуемся теорией среднего поля.
В задаче о сверхпроводящем спаривании теория среднего поля оказывается весь-
ма нетривиальной. Введем операторы Ва/з = ^2 араа-р/з > описывающие рождение
р
куперовской пары с конфигурацией спинов |аД) . Взаимодействие в гамильтониане
(10.12) можно представить в виде —(Л/2) В^Ва^ . Далее, нетрудно показать, что
Вц = Вц, = 0 , а В^ = — Btf . (Для этого надо рассмотреть тождества = 0
и (г), V’t (г)}+ = 0 , и перейти в фурье-представление.) Поэтому взаимодействие в
(10.12) можно представить в виде — ХВ^В^ .
При бозе-конденсации пар все они оказываются в одном и том же квантовом состоя-
нии, поэтому мы предполагаем, что в сверхпроводящем состоянии среднее от операто-
ра рождения пары отлично от нуля: (В) ф 0 . Такое предположение может показаться
противоречивым, ведь оператор В не сохраняет число частиц, а состояния с различ-
ным числом частиц должны быть ортогональны. Дело, однако, заключается в том, что
мы рассматриваем систему с очень большим числом частиц 7V , и изменение 7V на ве-
личину порядка единицы есть в некотором смысле «малая поправка». Поэтому можно
считать, что основные состояния с 7V и с 7V + 2 частицами практически тождествен-
ны. Более подробно смысл так называемых «аномальных средних» мы обсудим ниже
(см. разделы 10.2.1 и 10.2.2), а пока просто заменим в гамильтониане (10.12) опера-
торы вп = ? dpfCitpl и Вп = 52 арД-pt на их средние. При этом получается так
р р
называемый гамильтониан Боголюбова:
7/ — ) (^р^Ар-Др! З- ®pt®pl) З- pt З- Xdp^ci—pt^ i (10.13)
р
где
А = А, А = A
(В выражении (10.13) мы пренебрегли несущественной константой —Л|Д|2 .) Гамиль-
тониан (10.13) квадратичен по операторам ара , ар/3 , и поэтому его можно легко диа-
гонализовать с помощью канонического преобразования. Введем для этого новые фер-
мионные операторы:
Cpt — WpClpt + VpQ_p^
Cpt — ГрОр^ 3“ UpQ—p^ , (10.15)
Постараемся подобрать ир и vp так, чтобы гамильтониан (10.10) перешел в гамиль-
тониан свободных частиц
И = Ео +Удрс+ср (10.16)
р
Это можно сделать любым из методов, рассмотренных в задачах гл. 1. Получаем
“М(1 + г)' <1О-Г)
\ ‘-'Р / \ Ар /
10.2. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ТЕОРИИ БКШ
269
где £р = + |Д|2 (см., например, задачу 2).
Таким образом, мы нашли квазичастицы гамильтониана БКШ, упрощенного ме-
тодом Боголюбова. Как видно из соотношений (10.15) и (10.17), квазичастицы очень
сильно отличаются от исходных электронов в интервале энергий Д вблизи ферми-
поверхности, а за пределами этого интервала отличие невелико. На поверхности Ферми
= 0 , и поэтому энергия квазичастицы есть Д , а энергия квазидырки равна — Д .
Таким образом, в спектре квазичастиц открывается щель ширины 2Д .
Чтобы определить величину Д , нужно учесть условие самосогласования (10.14).
Вычисляя среднее с помощью преобразования (10.15), получаем:
А = А У —, А (10.18)
Т 2^ + А2
В этом выражении можно перейти к интегрированию по £ :
Д=2ДЧ (10-19)
При Д <С Щр интеграл в правой части (10.19), с логарифмической точностью, есть
1п(2що/Д) . Поэтому уравнение (10.19) принимает вид Д = АД 1п (2що/Д) и соответ-
ственно имеет нетривиальное решение
Д = 2wpe“1/Al,° . (10.20)
Итак, с помощью канонического преобразования мы диагонализовали гамильтониан
БКШ и показали, что в спектре квазичастиц открывается щель. При этом были учтены
все эффекты взаимодействия, как над, так и под ферми-поверхностью. Интересно, что
при таком более строгом рассмотрении ответ для ширины щели в спектре системы не
слишком сильно отличается от результата (10.8) задачи об одной паре.
Отметим интересную аналогию между теорией БКШ и теорией пайерлсовского диэлектрика в
одномерной системе электронов, взаимодействующих с фононами (см. раздел 6.4). Можно проследить
сходство между гамильтонианами, процедурой их диагонализации, спектрами получающихся квазича-
стиц, и уравнениями самосогласование для щели в спектре. Несмотря на формальное сходство, физика
возникающего из-за взаимодействия основного состояния в этих системах совершенно разная. В те-
ории БКШ спариваются электроны на противоположных участках ферми поверхности, а в теории
Пайерлса спариваются электроны и дырки. В первом случае получается сверхпроводник, а во втором
— диэлектрик. Сверхпроводящее состояние пространственно однородно, а в пайерлсовском состоянии
имеется волна плотности (из-за чего это состояние возникает только в квазиодномерных системах).
10.2. Диаграммная техника для теории Бардина—
Купера-Шриффера
10.2.1. Рассеяние в куперовском канале
Образование пар — явление существенно квантовое. Поэтому в задаче о сверхпроводи-
мости формализм функций Грина оказывается весьма подходящим средством. С помо-
щью соответствующим образом введенных гриновских функций теорию сверхпроводи-
мости можно развить весьма далеко и рассмотреть такие вопросы, как термодинамика
270
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
сверхпроводников, роль кулоновского взаимодействия в спаривании, отклик сверхпро-
водников на внешнее электромагнитное поле, и т. д. Кроме того, большое значение
имеет обобщение теории БКШ на случай так называемых «грязных» сверхпроводни-
ков, т. е. металлов с примесями. В последнем случае, как мы увидим, преимущества
функций Грина особенно значительны.
В предыдущих главах мы рассматривали либо невзаимодействующие, либо слабо взаимодействую-
щие системы, в которых квантовые эффекты, в основном, возникали из-за квантовой статистики (как,
например, в ферми-газе). По этой причине многие из результатов предыдущих глав можно получить,
используя вместо функций Грина какой-нибудь обходной прием. (Например, отклик ферми-газа на
внешнее поле можно найти либо с помощью кинетического уравнения, либо выписывая явно второй
порядок теории возмущений.) Теория же сверхпроводимости имеет дело с сильно взаимодействую-
щей системой, в которой взаимодействие приводит к качественной перестройке основного состояния.
Поэтому функции Грина оказываются не только наиболее естественным, но и во многих случаях един-
ственно возможным инструментом.
Перейдем к переводу задачи о сверхпроводящем спаривании на язык диаграммной
техники. Сначала разберемся, как на языке диаграмм выглядит утверждение об обра-
зовании связанного состояния для пары электронов с противоположными импульсами.
Как известно, связанному состоянию соответствует полюс в амплитуде рассеяния (см.
задачи 12, 13 в гл. 3), поэтому естественно рассмотреть вершинную часть, описыва-
ющую рассеяние электронов с противоположными импульсами друг на друге. Вклады
первого и второго порядка по взаимодействию имеют вид
Рис. 10.2
Первой диаграмме соответствует
ю
а а' /3 /3'
X (йаа'й/3/3' — йцЗ'^/За') .
£
(10.21)
Вторая диаграмма на рис. 10.2, представляющая собой поправку второго порядка те-
ории возмущений, логарифмически расходится:
Лз/0 1п(2що/цз) .
(10.22)
Здесь си — суммарная энергия взаимодействующих электронов. Соответствующая
диаграмма будет вычислена в задаче 55 (см. также [1] § 33).
Диаграммы более высоких порядков, наиболее сингулярные при си —> 0 , образуют
такой ряд:
10.2. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ТЕОРИИ БКШ
271
Рис. 10.3
В этом ряде диаграмма п -го порядка по Л имеет п — 1 «опасных» сечений, им-
пульсы частиц в которых попарно противоположны. Каждое такое сечение приво-
дит к логарифмической расходимости, поэтому п— й член ряда (10.3) ведет себя как
( - Az/0 ln(2cjp/w))n . Суммируя геометрическую прогрессию, получаем:
^аа'/31 л I Q / 1/3/3, . (10.23)
1 — AVo In
Амплитуда рассеяния электронов с противоположными импульсами, даваемая суммой
ряда (10.3), называется амплитудой рассеяния в куперовском канале. Полюс в выра-
жении (10.23) следует интерпретировать, как неустойчивость ферми-газа, связанную
с образованием куперовских пар.
Оказывается, неустойчивость возникает только при достаточно низкой температу-
ре. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим ферми-газ с притяжением (10.10) и найдем
«куперовскую восприимчивость». Введем в гамильтониан (10.10) возмущение
Hpert = I {# (Г)#(Г)Д(Г) + ^(ГМ(Г)Д*(Г)} ^'Г ,
(10.24)
и определим линейный отклик
ад
(10.25)
по отношению к возмущению (10.24). Среднее (?/’|(г)^(г)) представляет собой, как
обсуждалось выше, амплитуду куперовских пар, а Д играет роль вспомогательного
внешнего поля.
Операторы ^(r)V’j.(r) и (г) выглядят несколько непривычно, поскольку они не сохра-
няют число частиц. Среднее от такого оператора, взятое по состоянию с фиксированным числом
частиц, обращается в ноль. Тем не менее, подчеркнем, что куперовская восприимчивость есть кор-
ректно определенная величина: в присутствии возмущения (10.24), не сохраняющего число частиц,
среднее (^(r)V’j.(r)) отлично от нуля.
Перед тем, как вычислять восприимчивость хс , отметим, что она отличается от
отклика на воздействие какого-либо реального поля тем, что поле Д нельзя прило-
жить. Однако, нас интересует на самом деле лишь, устойчива ли система по отношению
к такому возмущению. Неустойчивость, если она имеется, означает, что система сама
перестраивается так, чтобы появился конденсат куперовских пар (Ду(г)(г)) Д 0 (а
вместе с ним и отличная от нуля Д ).
Покажем, что куперовская восприимчивость хс конечна при Т > Тс и обращается
в бесконечность при Т = Тс, где Тс ~ Д — температура перехода в сверхпроводящее
состояние. Интересующая нас восприимчивость есть термодинамическая величина, по-
этому ее следует вычислять с помощью мацубаровских функций Грина. Соответствую-
щая последовательность диаграммы образует так называемую куперовскую лестницу.
272
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Рис. 10.4
Нетрудно видеть, что эти диаграммы получаются из диаграмм для амплитуды рас-
сеяния замыканием внешних концов. Поэтому восприимчивость хс равна
Хс(шп) — ПСЫ + АП^(го?п) + ... — --------- ,.—г
1 — АПсцгалИ
где одна ступень куперовской лестницы есть
d?‘p
“1“ Е)п £р)(
(10.26)
Пс(гшп)=Т^ /
т J
(10.27)
Нас интересует термодинамическая восприимчивость, поэтому положим шп = 0 . Сум-
мируя по т с помощью формулы (7.87) (см. также (7.85)) и переходя к интегрирова-
нию по £ , получаем
ПС(0) = / th(5/2T)-i
£ J с
—WD
(10.28)
что с логарифмической точностью есть z/0 Inшр/Т (см. задачу 55, а также [1] § 33).
Итак, условие АПс(О) = 1 , определяющее температуру, при которой куперовская
восприимчивость (10.26) расходится, принимает вид
Az/q In (^) = 1 . (10.29)
Решение этого уравнения дает температуру перехода в сверхпроводящее состояние:
Тс = -Ajd e“1/Al/° . (10.30)
7Г
Здесь у = ес , где С = 0.577... — постоянная Эйлера. Коэффициент 27/7Г в этой
формуле получается в результате более аккуратного вычисления (см. задачу 55). Как
и следовало ожидать, температура Тс оказывается порядка величины энергетической
щели (10.20), отделяющей основное состояние конденсата куперовских пар от возбу-
жденных состояний, а также порядка частоты, при которой куперовская амплитуда
рассеяния (10.23) имеет полюс.
10.2.2. Функции Грина в сверхпроводнике.
С формальной точки зрения, последовательность диаграмм на рис. 10.3 сильно напо-
минает ряд, соответствующий уравнению Бете-Солпитера (4.20) для двухчастичной
амплитуды рассеяния (см. главу 4). Важное отличие, однако, состоит в том, что те-
перь задача многочастичная, а не двухчастичная. (Функции Грина на рис. 10.2,10.3
учитывают эффекты ферми-статистики.) Многочастичность задачи означает, что в
действительности спаривание есть не двухчастичное, а коллективное явление. Поэто-
му для его описания было бы недостаточно просто заменить затравочную амплитуду
10.2. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ТЕОРИИ БКШ
273
рассеяния на полную, как мы поступали в одно- и двухчастичных задачах в главах 3
и 4.
Куперовская неустойчивость означает, что при включении взаимодействия основ-
ное состояние ферми-газа перестраивается нетривиальным образом. Эта перестрой-
ка и есть образование бозе-конденсата куперовских пар. Оказывается, что функции
Грина, необходимые для описания этого явления, совершенно отличаются от обычных
функций Грина ферми-системы.
Чтобы правильно ввести гриновские функции, приведем такое наводящее сообра-
жение. При ш вблизи полюса выражения (10.23) куперовская лестница, показанная
на рис. 10.3, становится «бесконечно длинной». (Имеется в виду, что знаменатель гео-
метрической прогрессии (10.23) близок к единице, поэтому все члены ряда одинаково
важны.) Поэтому для вычисления функций Грина нужно суметь просуммировать такие
Мы намеренно не изобразили на этом рисунке концы лестниц, поскольку их длина
оказывается ничем не ограниченной.
Чтобы суммировать последовательности диаграмм, показанные на рис. 10.5, удобно
ввести две функции Грина:
Gay(x,x') = -г(Тфа(х) ^(ж'))
Fa/3(x,x') = -г(Т^а(ж)^(ж')) (10.31)
Функцию F часто называют аномальной функцией Грина, потому что в нормальном
металле она равна нулю. Выражение (ТфДх) фу(х')} выглядит несколько загадочно,
поскольку обычно средние от операторов, не сохраняющих число частиц, обращаются
в ноль. Однако в сверхпроводнике это не так. Можно считать, что F — это про-
сто удобное обозначение, введенное для того, чтобы облегчить суммирование рядов,
подобных изображенным на рис. 10.5.
Роль функции F можно понять, сравнив переход в сверхпроводящее состояние с
переходом в магнетике из парамагнитной фазы в ферромагнитную. При таком перехо-
де возникает спонтанная намагниченность М , причем ориентацию вектора М нельзя
определить из гамильтониана ферромагнетика, обладающего вращательной симметри-
ей. Ниже температуры магнитного перехода симметричное парамагнитное состояние
неустойчиво, и произвольно малое внешнее поле h ориентирует спины s(r) по полю,
274
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
т. е. приводит к М = (s(r)) Д 0 . Формально это выражается в том, что магнитная
восприимчивость х = <ЭМ/<ЭЬ. обращается в бесконечность в точке перехода. Ситуа-
ция в сверхпроводнике в значительной мере сходная: роль магнитной восприимчивости
играет куперовская восприимчивость хс , обсуждавшаяся в разделе 10.2.1. Мы виде-
ли, что Хс(Г) расходится при Т = Тс (см. (10.30)). Поэтому при Т <ТС как угодно
малое возмущение может создать конечное аномальное среднее F(x,x') .
Какая же симметрия нарушается при этом переходе? В ферромагнетике нарушенная
симметрия — это Т -инвариантность, а также симметрия по отношению к повороту
спинов, а в сверхпроводнике — калибровочная инвариантность. При калибровочном
преобразовании ф —> функция F преобразуется так: F —> Fe2^ . Поэтому она
калибровочно неинвариантна и появление F Д 0 означает нарушение калибровочной
инвариантности. Как и в случае магнетика, гамильтониан которого обладает полным
набором симметрий, исчезновение калибровочной инвариантности в сверхпроводнике
не означает неинвариантность гамильтониана относительно калибровочных преобра-
зований. Калибровочно неинвариантным оказывается лишь основное состояние сверх-
проводника. Вместо калибровочной инвариантности мы имеем теперь калибровочную
ковариантность. Если при калибровочном преобразовании изменять основное состо-
яние так, что F и Д будут тоже преобразовываться, то все физические величины
останутся неизменными.
Вернемся к гриновским функциям G и F . На рис. 10.5 показаны не все диаграммы,
дающие вклад в G и F , а только простейшие. Более сложные диаграммы, которые
также надо учесть, получаются вставкой полубесконечных куперовских лестниц в гри-
новские функции, входящие в куперовские лестницы, показанные на рис. 10.5. Говоря
иначе, все гриновские функции в лестницах на рис. 10.5, следует ужирнитъ. Формально
это выполняется введением в графики нового элемента, внешнего поля Да/з :
Рис. 10.6
причем Да/з удовлетворяет уравнению самосогласования:
Рис. 10.7
Величина Дар имеет смысл амплитуды куперовских пар.
Графики на рис. 10.6, 10.7 означают, что функции Грина сверхпроводника Gap и
10.2. ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ТЕОРИИ БКШ
275
Fa/3 связаны с гриновской функцией G°a^ (е, р) идеального ферми-газа и полем Да/з
такими уравнениями:
р) = G^(s, р) +С°Л(е, р) Д*д^(г, р) (10.32)
Fafj(e, р) = G°A(-s, р) р) (10.33)
(подразумевается суммирование по спиновым индексам Лиц).
Прежде чем решать уравнения (10.32), сделаем замечание о спиновой структуре
функций G и F . Зависимость G от спина такая же, как в нормальном металле:
Gap = 8apG . А вот функция F устроена иначе. Поскольку куперовская пара есть спи-
новый синглет, амплитуда До.;з = Д(—г)<7^ . Нетрудно видеть, что уравнения (10.32)
совместны только если спиновые структуры Да/з и Fa/i одинаковы. Поэтому:
( °i “о1 ) А , Fa^e, р) = ( J ) F(s’ Р) ' (10-34)
С учетом спиновой структуры (10.34) уравнения (10.32) нетрудно решить:
Gafte, р) = s _^2~fP|A|2 s<4> (10.35)
= £1 ДГ?|д|2 (Ю.36)
Из выражений (10.35), (10.36) следует закон дисперсии квазичастиц
£р = Fi + д2 • (10-37)
Наконец, с помощью (10.36) можно определить щель из уравнения самосогласования,
Д<Д = Л У Faf3(s, р) (10.38)
часто также называемого уравнением Горькова, (см. рис. 10.7), и таким образом за-
мкнуть теорию.
Для изучения термодинамики сверхпроводников нам потребуются мацубаровские
функции Gap(iwn, р) и Fap(iwn, р) . Они получаются из нуль-температурных функ-
ций (10.35), (10.36) аналитическим продолжением на дискретные частоты, т. е. просто
заменой е —> шп . При этом уравнение (10.38) принимает вид:
л = лт?/д7^(’ш”’р) = лт?/(^^з:А+д2 ’ <10'39)
Описанный формализм оказывается весьма эффективным в широком круге задач тео-
рии сверхпроводимости.
В заключении отметим, что вычисления гриновских функций сверхпроводника мож-
но «автоматизировать», если работать не с функциями G и F по отдельности, а с так
276
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
называемыми матрицами Горькова-Намбу, составленными из них (см. (34.32) [1]). При-
ведем канонический способ записи этих матриц в температурной технике. Определим
функции Грина,
Gn(r1,r2,T1,T2') = -(Тт^т(п,Т1)^ (г2,т2)) , (10.40)
Gu(ri,r2, Ti, т2) = -(ТтгД(г1,Т1)^(г2,т2)}, (10.41)
и, аналогично, F^, . Составим из них матричную функцию Грина:
^(п,г2) = [f11 (10.42)
L СтИ -I
Матрица G удовлетворяет уравнению
(kj - тДр) - |(A(n)T++ A*(n)r_)) <Х(г1,г2) = й(г!-г2), (10.43)
£
где tz и т± = тхЫту -матрицы Паули (мы обозначили их так для того, чтобы отли-
чать от спиновых операторов). Матричное уравнение (10.43) есть сокращенная форма
записи уравнений (10.32).
Основное удобство представления Горькова-Намбу заключается в том, что при ра-
боте с матричными величинами относительные знаки различных диаграмм, содержа-
щих функции F и G автоматически получаются правильными. Кроме того, матрич-
ная запись весьма компактна (см. задачи 56, 60, 61).
В частности, матричный формализм весьма удобен при расчете отклика сверхпро-
водника на внешнее электромагнитное поле (см. задачи 60, 62). Магнитное поле включа-
ется в матричную запись заменой р—>р — |туА и соответственно оператор тока есть
JW = с-Т- G-1 [А(г)] (10.44)
0А1Г]
(ср. с формулой j = —с8Н/8А.).
В теории сверхпроводимости имеется много интересных и красивых явлений. Од-
нако подробное их изложение увело бы нас слишком далеко. В задачах этого раздела
мы постарались отразить наиболее важные с нашей точки зрения факты микроскопи-
ческой теории сверхпроводимости. Физика сверхпроводимости подробно освещается в
учебной литературе, к которой мы и отсылаем заинтересованного читателя.1
Литература: [1], гл. 7, [6], гл. 5
10.3. Задачи 554-61
Задача 55. (Куперовская неустойчивость) В разделе 10.2.1 при вычислении тем-
пературы перехода мы использовали приближение (10.11) для того, чтобы ограничить
1 В.В. Шмидт, «Введение в физику сверхпроводимости» (М., Наука, 1982); А.А. Абрикосов, «Основы
теории металлов» (М., Наука, 1987); П. де Жен «Сверхпроводимость металлов и сплавов» (М., 1968);
М. Тинкхам, ...
10.3. ЗАДАЧИ 55+61
277
сверху область интегрирования по энергии £(р) (см. также (10.3)). На самом деле,
поскольку сверхпроводимость возникает из-за обмена фононами с относительно боль-
шим временем запаздывания, более корректно рассматривать нелокальное во времени
взаимодействие, которое обрезало бы не интегралы по импульсам, а интегралы по ча-
стотам.
Рассмотрим мацубаровскую амплитуду рассеяния в куперовском канале Гс(ге,ге')
(энергии сталкивающихся частиц равны ±s , а разлетающихся — ±е'). Она дается
суммой графиков:
Рис. 10.8
Пусть каждой волнистой линии соответствует множитель Г°(гв,г£/) . Будем считать
взаимодействие точечным и соответственно пренебрежем зависимостью Г6 и Г° от
импульсов.
а) Суммируя куперовскую лестницу, выведите интегральное уравнение, определяю-
щее rc(ie,i£r)
б) Рассмотрите модель, в которой Г°(ге,ге') факторизуется:
Г°(ге, is') = Xv(ie)v(ie') , (10.45)
где Л — константа взаимодействия, а функция v(ie) — формфактор, опреде-
ляющий масштаб энергий (спиновая структура опущена). Найдите температуру,
при которой Г6 обращается в бесконечность.
в) В случае, когда
(10.46)
найдите связь между Тс и cjp .
Модель (10.45) нефизична, поскольку настоящее электрон-фононное взаимодействие приводит к
затравочной вершине Г° , зависящей от переданной энергии е—е' . Тем не менее, поскольку эта модель
учитывает запаздывание притяжения между электронами на временах ~ , она дает качественно
правильные предсказания.
Задача 56. (Температурная зависимость щели Д(Т) ) Определите температурную
зависимость Д(Т) для запаздывающего взаимодействия (10.45), (10.46) из задачи 55.
Примите во внимание, что из-за запаздывания щель Д становится функцией энергии
е спаривающихся частиц.
а) Соответственно рассмотрите величину Д(е) и, модифицируя уравнения (10.38),
(10.39), получите для Д(е) уравнение самосогласования.
278
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
б) В найденном уравнении вычислите интеграл по £ . Изобразите качественное по-
ведение решения уравнения Д(Т) на графике. Как Д(Т) ведет себя при Т —> О
и при Т —> ТСД
в) Найдите сверхпроводящую щель Д(Т) в пределе низких температур, Т —> 0 , и
вблизи точки перехода, Т —> Тс .
Задача 57. (Теплоемкость при Т < Тс ) Покажите, что вклад электронов в тер-
модинамический потенциал Q сверхпроводящего металла дается диграммным рядом,
показанным на рис. 10.9.
Рис. 10.9
Какие выражения сопоставляются различным диаграммам?
Выразите сумму графиков рис. 10.9 через функцию Д(Т) , считая ее известной.
Найдите температурную зависимость теплоемкости сверхпроводника:
а) при Т < Тс ;
б) при Т —> Тс . В этом случае достаточно взять первый график, показанный на
рис. 10.9, поскольку вблизи Тс Д мала. Сравните ответ с теплоемкостью нор-
мального металла (см. [1], §36).
Вычисляя мацубаровскую сумму при низких температурах, удобно пользоваться формулой сум-
мирования Пуассона
£ /(«)= £ 7f(x)eMkxdX, (10.47)
n=-oo fe=-oo -Д
оставляя в сумме по к лишь члены с к = 0, ±1 . Напомним, что применять формулу Пуассона следует
с осторожностью, поскольку она справедлива лишь для функций, аналитических на всей вещественной
оси.
Задача 58. (Влияние кулоновского взаимодействия2 на сверхпроводимость) Как
уже обсуждалось в разд. 10.1.1 влияние кулоновского взаимодействия на сверхпрово-
димость невелико благодаря сильному запаздыванию фононов (см. с. 265). Рассмотрим
вопрос об относительной важности электрон-электронного и электрон-фононного вза-
имодействий более количественным образом.
Оказывается удобным ввести упрощенную модель взаимодействия, в которой меж-
ду электронами имеется мгновенное отталкивание и запаздывающее притяжение, при-
чем как отталкивание, так и притяжение считаются точечными. При этом затравочная
2Н.Н. Боголюбов, В.В. Толмачев, Д.В. Ширков, «Новый метод в теории сверхпроводимости», Изд-во
АН СССР, М. 1958, §6.3, с. 84-88; Р. Morel, P.W. Anderson, Phys. Rev. 125,1263 (1962)
10.3. ЗАДАЧИ 55+61
279
амплитуда рассеяния в куперовском канале имеет вид
Г°(ге,ie') = Xv(ie)v(ie') — р ,
(10.48)
где параметр р характеризует величину отталкивания между электронами.
Найдите температуру, при которой амплитуда рассеяния в куперовском канале
обращается в бесконечность. Покажите, что эффект отталкивания сводится к заме-
не константы Л в выражении (10.30) для Тс на
(10.49)
Безразмерная величина кулоновского взаимодействия в металле есть vQp ~ е2/hvp в
пределе высокой электронной плотности и vQp ~ 1 при обычных значениях плотности.
Соответственно максимально возможная поправка к эффективной константе взаимо-
действия Л* , согласно (10.49), имеет относительную малость 1/1п(е>/щр) . Поэтому
кулоновское взаимодействие в нормальном металле не может превратить притяжение
в отталкивание и, следовательно, не подавляет сверхпроводимость.
Чтобы установить соответствие между моделью (10.48) и реальным кулоновским взаимодействием
V(q) в первом приближении достаточно подставить вместо р среднее значение V(q) в s -канале.
Для случая экранированного кулоновского взаимодействия
4тгр2
Б(q) = -----2 > r2 = 8тг1/0е2 (10.50)
q2 + к2
(см. задачу 45) получаем следующее выражение:
7ГС2 / 4п2 \
д = фс(р-р')) = ^1п 1 + ^ , (10.51)
Ро V к )
где усреднение производится по положениям импульсов р и р' на ферми-поверхности.
Задача 59. (Тождество Уорда в нормальном металле) При вычислении электро-
магнитного отклика сверхпроводника центральное место занимает рассмотренное в
гл. 9 тождество Уорда (9.16), следующее из калибровочной инвариантности. Оно при-
водит к сокращению градиентного и диамагнитного вкладов в электрический ток, с
которым мы уже сталкивались в задаче 51 при выводе формулы Друде. Прежде чем
заниматься электродинамикой сверхпроводников, изучим тождество (9.16) более по-
дробно в случае нормального металла.
а) Рассмотрим линейный отклик тока j в идеальном ферми-газе электронов на неодно-
родный статический векторный потенциал А . В импульсном представлении линейное
соотношение j и А записывается как jk = Q(k) Ak . Калибровочная инвариантность
требует, чтобы для ядра Q(k) выполнялось свойство Q(k = 0) = 0 . Согласно то-
ждеству Уорда, это равенство обеспечивается сокращением градиентной (vGvG) и
диамагнитной частей тока j = — ^(-?/)+(r)?/)(r))A(r) (см. задачу 51).
Проверьте это сокращение еще раз в более общем виде, не предполагая спектр элек-
тронов £(р) квадратичным, а считая его произвольной функцией. Используйте соот-
ношение v (р) = Vp£(p) .
280
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
б) (Диамагнетизм Ландау) С помощью тождества Уорда можно найти орбиталь-
ную магнитную восприимчивость уо газа невзаимодействующих электронов. Соглас-
но результату части а), разложение Q(k) по к начинается с члена второй степени:
Q(k) = ак2 + О(к4) .
Разложите петлю, показанную на рис. 10.10, по к и определите константу а . Как а
связана с уо ? Проверьте, что уо = Анара. , где Анара. — парамагнитная восприим-
чивость, найденная в задаче 23 (см. [1] §37).
Если бы нас интересовало не сокращение <2(0) , а одно только вычисление До , можно бы-
ло бы действовать иначе. Рассмотрим оператор орбитального магнитного момента у = ДДгхр]
и найдем его среднее, используя функцию Грина в слабом магнитном поле: Gh(E, грГг) =
exP(fsb/A(r')dr' ) С?о(.Е, it, гг) . (Интеграл берется по прямому пути, соединяющему гт и Г2 .) Вос-
приимчивость уо получится, если выделить из Gh линейный по Н член (см. [1] §38, с. 416).
Задача 60. (Уравнение Лондонов) Найдите отклик тока в сверхпроводнике на ста-
тический векторный потенциал. Отличие от задачи 59 состоит в том, что теперь со-
кращения при q = 0 нет. Положив q = 0 в соотношении jq = Q(q) Aq , получим так
называемое уравнение Лондонов:
е2
j(r) =----nsA(r). (10.52)
тс
Величина ns называется сверхтекучей плотностью. Как связаны ns и Д при \Т —
тс\<дгс ?
Физическая причина отсутствия сокращения вкладов в <2(0) заключается в том, что калибро-
вочная инвариантность в сверхпроводнике спонтанно нарушена. В нормальном металле сокращение
Q(0) обеспечивается тождеством Уорда (9.16), следующим из калибровочной инвариантности. А в
сверхпроводнике калибровочная инвариантность отсутствует.
Определите глубину проникновения магнитного поля в сверхпроводник. Для этого
с помощью уравнения Лондонов решите задачу о проникновении магнитного поля в
объем сверхпроводника вблизи поверхности. Покажите, что магнитное поле затухает
в глубину по экспоненциальному закону: Н(х) = Н(0) ехр(—х/дД , х > 0 , и найдите
связь Ад с ns •
Покажите, что пренебрегать зависимостью ядра Q(q) от q законно, если лондо-
новская глубина проникновения Ад достаточно велика: ддУгДо = Tw/До (см. [1] §37,
и. 1).
10.4. ТРУДНЫЕ ЗАДА ЧИ 62+ 64
281
Задача 61. (Теорема Андерсона) Обычно говорят, что куперовские пары образо-
ваны электронами с противоположными импульсами и спинами. Оказывается, беспо-
рядок не разрушает куперовские пары, хоть импульс и становится плохим квантовым
числом. Качественно это можно пояснить так. В присутствии примесей электроны дви-
гаются по ломаным, от одной примеси к другой. За каждым электроном вдоль линии
его движения остается деформация решетки, представляющая собой шлейф из вирту-
альных фононов, рассасывающийся за время порядка cjp1 • Этот «пахучий след» при-
тягивает другие электроны, причем эффект притяжения максимален для электрона,
движущегося в точности по той же траектории, но в обратном направлении. Такие
состояния есть при любой степени беспорядка, поскольку увеличение концентрации
примесей лишь делает траектории более изломанными, но не выделяет определенного
направления движения на каждой из них (в отличие, скажем, от траекторий в маг-
нитном поле). Из этого рассуждения видно, что чисто потенциальное рассеяние на
примесях, оставляющее систему инвариантной по отношению к обращению времени,
не подавляет сверхпроводимость. А магнитное поле, например, — подавляет.
Рассмотрите куперовскую восприимчивость хс в присутствие примесей. Чтобы
получить хс усредните по беспорядку диаграммы куперовской лестницы, изображен-
ные на рис. 10.8. При этом каждый блок куперовской лестницы на рис. 10.8 превраща-
ется в диффузионную лестницу, подобную изображенной на рис. 9.7. Покажите, что
наличие примесей не меняет хс(к = 0) и, следовательно, не приводит к изменению
Т
-* с •
10.4. Трудные задачи 624-64
Физика сверхпроводимости охватывает большое количество различных интересных
явлений. При этом количественный анализ многих эффектов оказывается достаточно
трудным. В этот раздел вынесены некоторые относительно сложные задачи о сверх-
проводниках с примесями.
Задача 62*. (Лондоновская длина в сплаве3) Рассеяние на примесях уменьшает
сверхтекучую плотность ns в формуле Лондонов (10.52). Чтобы найти зависимость
ns от концентрации примесей, определим ядро Q(0) с учетом беспорядка. Процедура
усреднения по беспорядку аналогична рассмотренной в задачах 50 и 51, с той только
разницей, что вместо функций Грина свободных фермионов в сверхпроводнике надо
использовать нормальную и аномальную функции (10.35) и (10.36).
а) Усредните по примесям матричную функцию Грина G . Используйте введенную в
гл. 9 модель 8 -функционных примесей. Получите формулу
/ ш - Д \ -1
ЙМ) = (GoKp)"1 + 2т^2 + д^1/2 j • (Ю.53)
Не теряя общности, вычисления можно упростить, считая Д* = Д . При этом в ма-
тричной записи G'5’1(iw,p) = ш — тг£(р) — Атх .
Зсм. работы А.А. Абрикосова и Л.П. Горькова, процитированные на с. 223.
282
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
б) Усредните по беспорядку диграмму для Q(k) , изображенную на рис. 10.10. Вы-
числив Tx(jGjG) получите Q(k) , после чего по Q(k = 0) определите сверхтекучую
плотность (см. [1] формула (39.28) ).
Задача 63*. (Влияние магнитных примесей на сверхпроводимость4) Пусть кроме
обычных примесей имеются также и магнитные:
Hint = £ J^+(ra)dkSk^(ra) . (10.54)
Га
Здесь Sk — оператор спина а -й примеси. Спины примесей будем считать некоррели-
рованными. Такие примеси нарушают симметрию по отношению к обращению времени
и поэтому легко подавляют сверхпроводимость. Найдите Тс как функцию концентра-
ции примесей птад . Покажите, что сверхпроводимость подавляется при относительно
малой концентрации птад ~ Tc/vp(x , где а — сечение рассеяния на магнитной при-
меси.
Задача 64*. (Верхнее критическое поле Нс2 в грязном сверхпроводнике5)
Сверхпроводимость можно подавить магнитным полем, поскольку оно нарушает
симметрию по отношению к обращению времени. Как именно происходит это подавле-
ние, зависит от характеристик сверхпроводника. Рассмотрим грязный сверхпровод-
ник, в котором I <С £о , и, начиная с сильного поля Н , в котором сверхпроводимость
подавлена, будем постепенно уменьшать величину Н и определим пороговое значе-
ние Н , при котором сверхпроводимость восстанавливается. Оказывается, для этого
нужно изучить устойчивость системы по отношению к малым неоднородным флукту-
ациям Д(г) . Формально, для этого надо рассмотреть куперовскую лестницу в слабом
статическом поле А (г) , таком что rot А = Н . Записав для этого случая уравнение
самосогласования (10.38) в пределе Д —> 0 , надо найти, при каком поле существует
нетривиальное решение этого уравнения. Это поле называется верхним критическим
полем Нс2 .
10.5. Решения
Решение 55 а) Выведем уравнение на rc(ie,i£') , суммируя диаграммы на рис. 10.8.
Заметим, что в этих диаграммах сумма 4-импульсов s = pi + р2 одинакова в каждой
петле. Поэтому интегральное уравнение, соответствующее этим диаграммам, имеет
вид
г О4 к
Гс(р,р1-,з)=Г°(р,р1)+ / r0(p,k)G(k)G(s - k)rc(k,p'-,S) (10.55)
J (2яК
(конечно, по частотам следует брать не интеграл, а мацубаровскую сумму). Это урав-
нение отличается от аналогичного уравнения теории ферми-жидкости знаком перед
интегральным членом. (Отличие возникает из-за того, что ферми-жидкостные диа-
граммы содержат фермионные петли, а куперовские диаграммы — нет.) Полагая s = 0
4см. работу: А.А. Абрикосов, Л.П. Горьков, ЖЭТФ, т. 39, с. 1781 (1960)
5Л.П. Горьков, ЖЭТФ, т. 36, с. 1918 (1959); R. Helfand, N.R. Werthammer, Phys. Rev. Lett., 13, 686
(1964)
10.5. РЕШЕНИЯ
283
и пренебрегая зависимостью Г° и Г6 от пространственного импульса, перепишем
уравнение (10.55) так:
rc\is,is') = Г°(р,гУ) (10.56)
+ ТЕ [ 7^Г°(к,к")С(к",Р)С;(-к",-Р)Г0(к",к') .
£„ J J
Интеграл по импульсам вычисляется переходом к интегрированию по £ :
[ d3p 1 _ 7Г1/0 п п ,7ч
/ (2^)3 И ' ( ' ’
Поэтому уравнение на куперовскую амплитуду принимает вид:
г. /ч п/ /ч Г°(гг, is"YTc(is", is') . .
Гс(ге, is ) = Г°(гг, is ) + тп/0Т ---ПЛ-------- (10.58)
е" l£ I
Решение 55 б) Уравнение (10.58) можно решить, если зависимость от s и У фак-
торизуется. Тогда уравнение становится вырожденным. Перепишем его, явно выделяя
зависимость от s':
Tc\is,is') = Xv(is) (v(is')+Ki^T^V^£ . (10.59)
k 1? И /
Таким образом, оба члена в уравнении пропорциональны v{is) , поэтому rc(is,is') ~
v(is) . Из соображений симметрии следует, что зависимость от s' такая же:
rc(is,is') = av(is)v(is') , (10.60)
где а —константа, которую можно определить, подставив (10.60) в (10.59). Получаем
А + лиоаХТ
е"
а = А I 1 — 7п/0АТ ^2
\ е"
а =
(10.61)
Таким образом,
(10.62)
Это выражение обращается в бесконечность, если
г>2(гУ') 1
|У'| Az/0
(10.63)
Условие (10.63) и определяет температуру перехода Тс.
Решение 55 в) В случае
v(is) =
ud
y/ul + e2
(10.64)
284
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
уравнение на температуру перехода (10.63) принимает такой вид:
1
£"о +7Г2Тс2(2п+ 1)2)(2п + 1) Az/0
(10.65)
Удобно вначале решить это уравнение с логарифмической точностью, а затем найти
Тс более точно. Множитель v2(ie) обрезает сумму в (10.63) при п ~ птах = шп/-пТс .
Если считать nmax 1 и пренебречь множителем г2(гг) , заменив верхний предел
суммы на птах , получим
Птах 1 1
12 , ч /о = innmax = , (10.66)
,ТД) П + V2 zy°A
откуда
Тс ~ — ехр • (10.67)
7Г \ Az/0 /
Значение коэффициента в этой формуле таким образом найти нельзя. Для этого надо
точнее вычислить сумму в (10.65).
Заметим, что в сумме (10.65) имеются два масштаба: Тс и cjp , причем, согласно
(10.67), Тс <С i^d . Поэтому вклады этих масштабов можно разделить, используя сле-
дующий стандартный прием. Разобьем сумму на две части: по п < щ и по п > щ ,
причем точку разбиения по выберем так, что no > 1 , и одновременно 2тгТ'спо <С шд •
Найдем сумму по каждой из областей, а затем сложим результаты. В области п < по
можно заменить функцию v(ie) на единицу, после чего эта часть суммы легко вычи-
сляется с помощью тождеств
=1п2, lim Ez-lnn =С> (В * 10-68)
к=1-----------------------------------------------------\к=1 /
где С = 0.577... — постоянная Эйлера. Складывая эти два тождества, получаем вклад
области п < по :
По 2
S(n < По) = Е 9 , 1 - 1п2п° • (10.69)
п=0 Zn+ 1
В высокочастотной области п > по можно пренебречь Тс по сравнению с cjp и
заменить сумму интегралом, который легко вычисляется:
СЮ
S(n > п0) = У
2тгТпо
de
— In
с2 А
е2 + uj2d J
СЮ
2тгТпо
(10.70)
е е2 + аД,
2
В пределе шр ~Г> 2ттоТс находим:
S(n > no) = In
(10.71)
Теперь, суммируя вклады от областей п < щ и щ < п , приводим уравнение (10.63)
к виду
У- = 1н^ + С. (10.72)
Az/0 тгТс
10.5. РЕШЕНИЯ
285
Решая его, находим уточненное выражение для температуры перехода Тс :
гр ______ l/Az-'o
_Z с — ,
7Г
(10.73)
где у = ес .
Решение 56 а) Диаграммы на рис. 10.6, 10.7 показывают, что щель Д возникает в
результате свёртки аномальной функции F(ie,p) и куперовской вершины Г°(гг, гг') .
Поэтому в общем случае щель зависит от энергии и, соответственно, мы будем исполь-
зовать обозначение Д(гг) . При этом уравнение самосогласования принимает следую-
щий вид:
Д(гг) = Т Г°(гг, ie')F(ie', г = г') , (10.74)
а величина F(ie, г = г') равна
F(ie, г = г'
<73 р Д(гг)
(10.75)
Таким образом, в общем случае щель следует определять из интегрального уравнения.
Оно несколько упрощается, если зависимость от энергии факторизуется.
Тогда легко видеть, что щель Д(гг) пропорциональна v(is) . Таким образом, сверх-
проводящие эффекты «выключаются» при |г| шр . Записывая Д(гг) в виде
Д(гг) = Д(Т)и(гг) ,
получим уравнение
г d?‘p г2(гг)Д(Т)
Т' J (2я)3 г2 + £р + г2(гг)Д2(Т)
Решение 56 б) Вычисляя интеграл по £ в соотношении (10.77), получаем:
, 1,2 w
Лг/0 V у£2 + Д2(Т)г2(гг)
(10.76)
(10.77)
(10.78)
Рассмотрим качественно, как ведет себя решение этого уравнения. При Т <С Д(Т)
сумму в правой части можно заменить интегралом. Таким образом, в этом пределе
зависимость от Т исчезает, и Д(Т) стремится к постоянному пределу. Зависимость
от Т должна быть очень слабой, поскольку для гладкой функции сумма очень хорошо
аппроксимирует значение интеграла.
Ясно также, что при увеличении температуры величина щели Д(Т) будет умень-
шаться. Формально это следует из того, что сумма в правой части (10.78) переоцени-
вает значение интеграла тем больше, чем больше расстояние между мацубаровскими
частотами. Поэтому для того, чтобы удержать правую часть постоянной, рост темпе-
ратуры следует компенсировать убыванием Д(Т) . Заметим, что при Д = 0 уравнение
(10.78) совпадает с уравнением для определения температуры перехода (10.63), рассмо-
тренным в предыдущей задаче. Это означает, что при Т = Тс щель Д(Т) обратится
286
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
в нуль. Вблизи этой точки правая часть (10.78) зависит линейно от Т — Тс и квадра-
тично от Д(Т) . Поэтому Д(Т) ~ ДТС — Т . Из этих рассуждений также следует, что
Д(0) ~ Тс . Полученная таким образом качественная зависимость Д(Т) согласуется с
результатом численного решения уравнения Горькова, изображенном на рис. 10.11.
Рис. 10.11
Решение 56 в) Теперь вычислим Д(Т) при Т —> 0 . Вначале мы просто заменим
сумму в (10.78) интегралом и получим, что До = Д(Т = 0) удовлетворяет уравнению
1 f v2(ie)de
У У'-2 + Д^г2(ге)
(10.79)
Найдем этот интеграл для нашей модельной функции v(ie) = Що/(е2 -f-cjp)1/2 . Вычи-
сление сильно упрощается, если заметить, что До ~ Тс <С cjp . Множитель г2(ге) в
подкоренном выражении важен лишь при г < До , но при таких энергиях v2(ie) ~ 1 .
С учетом этого обстоятельства уравнение на щель переписывается так:
1 f uj2d de
1Л,Х о (^2 +^Ь) У^2 + До
(10.80)
В этом интеграле имеется два существенно разных масштаба энергий: До и сир . По-
этому можно применить прием, использованный при решении предыдущей задачи: раз-
бить область интегрирования на две части: е < со и г > е0 , причем До <7 со <7
Тогда интеграл в правой части (10.80) равен
ео
de
е(е2 + w|>)
2с0 . ,
= In —------h In —
До 'X)
(10.81)
10.5. РЕШЕНИЯ
287
Промежуточная энергия со выпадает. Окончательно получаем:
1 , 2щр
-— = In ——
Az/q До
(10.82)
Сравнивая это соотношение с выражением (10.73) для температуры перехода Тс , по-
лучаем соотношение
До = - Тс . (10.83)
7Г
Заметим, что коэффициент в формуле (10.73) для Тс связан с конкретной формой
обрезания по энергии. Что же касается соотношения (10.83) между До и Тс , то при
Тс <С шд оно определяется только физикой низкоэнергетической области е <С шо и
поэтому не зависит от выбора обрезающей функции v(is) . Кроме того, точно такое
же соотношение между До и Тс получается и при обрезании по £ . Таким образом,
соотношение (10.83) носит универсальный характер.
Теперь найдем поведение Д(Т) при конечных, но малых температурах. Для этого
надо вычислить отличие суммы в правой части (10.78) от интеграла. Это можно бы-
ло бы сделать с помощью формулы суммирования Пуассона (10.47). Однако гораздо
проще получить ответ, заметив, что самым малым масштабом, на котором меняет-
ся правая часть (10.78), является До . Поэтому при расчете низкотемпературных по-
правок структурой правой части на масштабе cjd можно пренебречь. Тогда можно
переписать (10.77) как
1 00
(10-84>
—оо
Преобразуем правую часть, используя (7.85):
1 = 7 ГУ+Л7
Ац, 1 V? + А2 2Т
о
(10.85)
Этот интеграл логарифмически расходится, но его значение при Т = 0 мы уже на-
шли, и сейчас нас интересуют поправки, возникающие при Т 0 , которые, как мы
сейчас увидим, описываются сходящимися интегралами. Минимальное значение ар-
гумента гиперболического тангенса есть Д/2Т , поэтому можно заменить th я: на
signal — 2ехр(—|ж|)) . Таким образом,
1 = 1 2^г> _ 2 7 dC
Аг'о Д 7 + Д2
ехр
(10.86)
т
При интегрировании второго члена дают вклад лишь < Д , поэтому можно разло-
жить квадратные корни:
J_ = 1П _ 2е-д/г 7^е-е2/2Дт (х _ jO
z/0A Д J Д \ 2Д2 /
о v '
(10.87)
288
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
откуда
Д 2тгТ _щт / Т
До V д V 8Д
(10.88)
где До = ДГс/тг — щель при Т = 0 . Выписанная поправка к До понадобится нам при
вычислении термодинамического потенциала в задаче 57. (Точность выражения (10.88)
может показаться чрезмерной, но оказывается, что главный член в выражении (10.88)
не дает вклада в термодинамический потенциал, и нам придется учесть выписанную
поправку.) Окончательно получаем
Д(Т«ТС)=Д„
\ V
(10.89)
Теперь рассмотрим случай Т —> Тс . В этом пределе Д(Т) <С Т , поэтому правую
часть (10.78) можно разложить по Д :
Д2г4(гг)А
(10.90)
Как показано в задаче 55, первый член в правой части логарифмически зависит от Т
и сравнивается с левой частью при Т = Тс . Поэтому его можно объединить с левой
частью, получив 1пТс/Т . Что же касается второго члена, пропорционального Д2 , то
он определяется областью г ~ тгТ , и в нем можно заменить v4(ie) на единицу. Таким
образом,
(10.91)
Сумма по мацубаровским частотам легко выражается через £ -функцию:
(10.92)
Разлагая логарифм в левой части, получаем:
Т - Тс _ 7<(3) Д2
Тс ~
откуда
8л2
Акт. = адГ=(Тс - Г) . (10.94)
Таким образом, и в этом случае обрезка при cj ~ cjp оказалась несущественной для
вычисления щели.
Подводя итог, можно сказать, что конкретный вид обрезания важен в основном для
определения Тс . Все остальные физические величины сверхпроводника могут быть
выражены через Тс с помощью универсальных соотношений, не зависящих от вида
конкретной функции запаздывания v(ie) . Это происходит потому, что физика сверх-
проводника определяется масштабами энергий порядка Тс <С Щр . Это оправдывает
10.5. РЕШЕНИЯ
289
применение популярной модели, в которой запаздывание на временах порядка
учитывается с помощью обрезания интегралов по £ , а не по г , то есть запаздываю-
щее взаимодействие заменяется на взаимодействие нелокальное в пространстве.
Решение 57. Приступим теперь к расчету термодинамических величин сверхпровод-
ника6. Характерный масштаб энергий, дающих вклад в термодинамику, оказывается
порядка тах{До,Тс} , и следовательно эффектами запаздывания на временах порядка
cjp1 можно пренебречь, выражая все величины через Тс или До .
Рассмотрим диаграммное разложение термодинамического потенциала, показанное
на рис. 10.9. Как обычно, продифференцируем термодинамический потенциал по кон-
станте связи А для того, чтобы убрать множитель 1/п перед диаграммами. Как
нетрудно заметить, если в каждой из диаграмм на рис. 10.9 перерезать одну из элек-
тронных линий, то получается одна из диаграмм на рис. 10.6, причем соответствие
взаимнооднозначное. Поэтому
V ~дХ
(10.95)
Делая преобразование, мы воспользовались соотношениями (10.32) и (10.39).
Термодинамический потенциал получается интегрированием д£1/дХ по А от А =
0 до истинного значения. Чтобы проинтегрировать по А , выразим dX через ЙД с
помощью (10.39):
d?‘p
9-ттАЗ
2Д йД
Г~7 , Л 9\2 •
(10.96)
Шп
Поэтому
д
=-2/
о
Интегрируя по £ и Д , получим:
-С
d?‘p
Д3ЙД
I Тл”2 •
(10.97)
Шп
-С
._____ , ,2
^2+Д2+ Ч^_2К|
(10.98)
Снова рассмотрим предельные случаи.
а) Т —> 0 . При очень низкой температуре мацубаровская сумма Т • • • хорошо
Шп
аппроксимируется интегралом f... . Поправки нетрудно найти, перейдя от
суммы к интегралу по формуле Пуассона, и удержав в ней только первые три
члена:
У? /(n) = J" f(x)dx + у е2“гх f(x')dx + j" е~27ПХ f (x)dx + ... (10.99)
6Эту задачу можно решить, вычисляя термодинамический потенциал идеального газа квазичастиц
со спектром (10.37). Вместо этого мы воспользуемся диаграммами, чтобы проиллюстрировать неко-
торые общие положения.
290
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Здесь
f(x} = \/(ДкТх)2 + Д2 -|—. — 4-тгТЫ (10.100)
V ^(2кТх)2 + Д2
(Заметим, что неаналитичность |ж| не мешает использовать формулу Пуассо-
на, поскольку для последнего слагаемого сумму в формуле Пуассона можно вы-
числить явно, не делая никаких приближений.) После громоздких вычислений,
приведенных в конце решения, получим
V vq Д2 ( /2лТ \/т ( 15Т\\ . .
fi« =----1 + 2VT^e 1 + ТХ ' (1ОЛО1)
Подставляя сюда Д(Т) из (10.89), находим
С, = А + 4 /1Ц!е-ДоЙ (10,102)
2 \ V Ад /
Обратим внимание на происходящее здесь сокращение главного температурно-
зависящего члена. Из (10.102) найдем теплоемкость, дифференцируя энтропию
по Т :
С^Т9^ = -Т^ = . (10.103)
дТ дТ2 V Г3 v
б) Т —> Тс . В этом случае достаточно просто разложить (10.98) до четвертого
порядка по Д (член второго порядка обращается в нуль):
д4г?КГ (10Л04)
Сумма, как и в задаче 56, выражается через функцию:
^s-^п = 7С(3) УО Д4
V 16л2 Т2 ’
Подставляя сюда Д из (10.94), получим
4'7Г2
п,-ап = - — у»0(т-тс? .
Дифференцируя по температуре, находим теплоемкость:
Сs - Сп = v0TcV .
7£(3)
Напомним, что теплоемкость нормального металла есть
Cn=2-^vQVT ,
и
поэтому
Cs-Cn _ 12
Сп " 7ф) ’
(10.105)
(10.106)
(10.107)
(10.108)
(10.109)
10.5. РЕШЕНИЯ
291
Приложение. Вычислим сумму в (10.98) при Т->0 . Согласно формуле суммирования Пуассона,
V
= -7Г1/0
а/w2 + А2
2М
(10.110)
Заметим, что первые два члена — плавные функции щ , поэтому интегралы от них экспоненциально
малы. Поэтому нам достаточно удержать их лишь при к = 0, ±1 . Что же касается последнего члена,
то интеграл от него легко вычисляется и равен —4T2/fc2 . В результате выражение для термодина-
мического потенциала приводится к виду
v = -vo ( [ dev (a/w2 + A2 + , + (10.111)
V \ J \ w + A2 /
xo
f 1 ( / 9 Л~9 \ CU A
+ у .
Первый интеграл есть
[ dev Га/^2 + А2 + - 2w^ = , (10.112)
J \ уш2 + А2 / *
о
а сумма равна
оо - 2
= (1очз)
k=l
Оставшийся интеграл вычисляется так. Функция a/w2 + А2 имеет скачок на разрезе, идущем от
точки гА до бесконечности. В остальной же части верхней полуплоскости функция аналитична,
поэтому контур интегрирования можно деформировать так, чтобы он огибал этот разрез (см. рис.
10.12).
Рис. 10.12
Вводя переменную интегрирования и по формуле cj = гА + iu , приведем интеграл к виду
о
А2 + 2-»2 + 4иА е_д/т_и/т
а/2Ам + и2
(10.114)
292
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
В этот интеграл дают вклад и ~ Т , поэтому подынтегральное выражение можно разложить по и :
2Д2е-Д/т f е-и/т А 15 U \ = у^дзе-Д/т А +
J уАДФ \ 4 ДУ \ 8 Д/ v ’
О
В результате
Из - _ г0 А2 А /2тгТ _д/т А 15 Т\\ tPvqT2
V ~ 2 I + V Д 6 V 8 Д/Г 3
(10.116)
Заметим, что последний член в этой формуле есть не что иное, как взятый с обратным знаком тер-
модинамический потенциал нормального металла.
Решение 58. Рассмотрим уравнение (10.58) для куперовской амплитуды рассеяния,
полученное в решении задачи 55. Если куперовская амплитуда rc(ie,i£') имеет полюс
при Т —> Тс , то в уравнении (10.58) можно пренебречь свободным членом:
(10.117)
Зависимость от s' в этом уравнении «сокращается». Поэтому можно считать, что ре-
шение факторизуется:
ГС(А, is') = Ф(гг)Ф(гг') . (10.118)
(зависимость Г6 от s и s' должна быть одинаковой ввиду симметрии куперовской
лестницы.) Тогда функция Ф(г) удовлетворяет уравнению
ч _ v- Г°(А, А') Ф(А')
ФИ = ----|g,j
(10.119)
Для Г° из условия задачи это интегральное уравнение оказывается вырожденным и
легко решается. Видно, что функция Ф(г) содержит два члена: пропорциональный
v(is) и не зависящий от s . Ищем решение в виде
Ф(г) = av(is) + Ь .
(10.120)
Подставляя это выражение в (10.119) и приравнивая коэффициенты перед v(is) и перед
константой, получаем:
. av2(is') + bv(is')
а = лА/фТ X------------;
b = -тгцу0Т ----- .
(10.121)
(10.122)
На этот раз мы не будем заниматься точным вычислением сумм в этом выражении,
а найдем их с логарифмической точностью, поскольку основной интерес будут пред-
ставлять величины, стоящие перед логарифмами. Суммы, содержащие v(is) и v2(is)
следует обрезать сверху при s ~ cjd Сумму, не содержащую факторов запаздывания,
мы обрежем сверху при s ~ шр ~ Sp — на плазменной частоте, которая играет в
10.5. РЕШЕНИЯ
293
физике электрон-электронного взаимодействия роль, аналогичную cjp> для электрон-
фононного взаимодействия. Таким образом, получаем:
а = z/0A In (а + Ь) ; (10.123)
, ( 1 । к Л । 1 шр А А
b = -даа/0 a In — + & In — + In — .
\ 1 \ 1 Шр//
Перенося во втором уравнении член с In cjp/cjp в левую часть, можно переписать его
в таком виде, что оно становится похоже на первое:
b = -г/0М*1п^(а + &) ; Ц* = х t • (10.124)
Мы ввели здесь эффективную куперовскую амплитуду да* , которая отличается от да
из-за запаздывания фононов. Теперь, складывая первое из уравнений (10.123) с урав-
нением (10.124), приходим к условию совместности системы (10.123):
1 = (А-ц*)1п^ , (10.125)
из которого находим температуру перехода:
Тс ~ ojd e-1/A*"° , А* = А-ц*. (10.126)
Таким образом, кулоновское взаимодействие действительно понижает температуру
сверхпроводящего перехода, но не очень сильно. При иорЛпер/шр> » 1 относитель-
ная поправка к А мала как 1/ 1п(г>/що) .
Решение 59 а) Прежде чем вычислять Q(0) для произвольного электронного спек-
тра £(р) , уточним выражение для тока. Гамильтониан частиц со спектром £(р) во
внешнем магнитном поле А (г) есть
Н = / ^(г) е (р - -а) ^(г) . (10.127)
где р = —iVr . Ток, согласно общим принципам, получается варьированием гамильто-
ниана по А :
j = e?/>+(r) Vp£ (р - |а) ?Дг) . (10.128)
Выделим линейный по А член:
е2 г 1
j = e^+(r) Vp£ (р) V>(r) - — V>+(r) Vp[(AVp)f(p)] V>(r) . (10.129)
При £(p) = p2/2m — Ер это выражение для тока переходит в обычную квантовомеха-
ническую формулу.
Проще всего вычисляется вклад в Q(0) второго члена:
ГЙ2)ДИ е2/ +32^(р) \ е2 Г 2<Рр <Э2£(р)
<2cJ(k) =---\ я я ) =-------------/ 77Гп я я М£(р)) • (10.130)
р С \ драдрр / С J (2я)3 драдр/З
294
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Чтобы найти вклад первого члена, поступим стандартным образом. В линейном по А
приближении взаимодействие тока с полем есть
(10.131)
Находя, как обычно, поправку первого порядка к функции Грина и вычисляя с ее по-
мощью (j) , получаем, что этот вклад дается петлей:
k) = -7 Л+о
г Мр) Мр)________________eicUnT_________2<!?'р
J шп - £(p) iun + zQ - £(p + k) (2я)3
(10.132)
Мы ввели здесь множитель сходимости еШпТ (т —> +0), который отвечает за пра-
вильный порядок 'ф и ф+ (ср. с задачей 35).
При О = 0 и к = 0 это выражение сводится к такому:
2
С (°) = --
Мр)Мр) 2(13 р
' ршп - £(р))2 (2я)3
Учитывая, что v = Vp£(p) , перепишем (0) в виде:
С(0) = „.(₽) .
(10.133)
(10.134)
после чего проинтегрируем по частям:
QS(O) - + с I V^a(p) (10.135)
(суммирование по мацубаровским частотам производится так же, как в выражении
(7.60) в решении задачи 35). Итак, <2а/з(0) = 0 .
Решение 59 б) Чтобы найти диамагнитную восприимчивость ферми-газа хо , свяжем
ее с константой а в разложении Q(k) = ok2 + ... По определению Q(k) ,
j = QA = —oV2A .
С другой стороны, ток связан с намагниченностью:
j = с rot М = с rot хоВ = Хос rot rot А .
Поскольку div А = 0 , ток можно записать так:
j = -XocV2A .
(10.136)
(10.137)
(10.138)
Отсюда находим = а/с .
Теперь вычислим а . Предположим, что волновой вектор к направлен вдоль оси z ,
и найдем Qxx :
! f МР + к)Мр) 2<73р
--+0 с J (шп - ер+к) - £р) (2я)3
(10.139)
10.5. РЕШЕНИЯ
295
В отличие от спиновой восприимчивости, орбитальная восприимчивость определяется
не только окрестностью поверхности Ферми, но и всеми состояниями под ней, потому
что квантование Ландау затрагивает все состояния с Е < Ер , и конечная восприим-
чивость хо возникает из-за отличия суммы квантованных энергий от интеграла по
непрерывному спектру. Поэтому мы ограничимся случаем £(р) = р2/2т — Ер . Раз-
лагая Q(k) по kz = к , и имея в виду, что для квадратичного спектра иж(р + к) =
иж(р) = рх/т , запишем
XX
(10.140)
Проинтегрировав по частям, получим
(10.141)
Теперь усредним по углам ( (г2г2) = г4/15 ):
v = е2 т V f р" 2d3p
° 15c2m4 J - £p)4 (2я)3 ’
(10.142)
Интеграл по модулю импульса трехкратным интегрированием по частям приводится
к виду
cxj A j
г р> ар
J 7. 7V
° + Ер — -— I
\ 2т J
Ьт f ар
J шп + EF-f- ’
0 п • г 2т
(10.143)
после чего суммирование по шп дает, как обычно, распределение Ферми (см. формулу
(7.60) в решении задачи 35):
е2 с
12тг2?пс2 J
о
е2Ро
12тг2?пс2
(10.144)
Используя выражение для спиновой восприимчивости, найденное в задаче 24
9 е трп , , .
Хпара = , (10.145)
4m2 с2 я2
находим соотношение между орбитальной и спиновой восприимчивостью:
А.О g Хпара
(10.146)
Отметим, что это соотношение не универсально. Как видно из нашего вычисления,
вклад в хо дает весь спектр, а не только поверхность Ферми. Поэтому полученное
соотношение между хо и Хпара верно лишь для квадратичного спектра. При более
общем законе дисперсии £(р) восприимчивость хо по величине может оказаться даже
больше, чем Хпара В этом случае нормальный металл оказывается диамагнетиком.
1
296
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Решение 60. В этой задаче мы вычислим Q(0) для сверхпроводника. При этом основ-
ное отличие от вычисления для нормального металла, прделанного в задаче 59, возни-
кает из-за необходимости учесть как нормальные, так и аномальные средние.
Среднее от диамагнитного вклада в ток есть просто
q(2)(0) = -— . (10.147)
тс
Что же касается градиентного вклада к) , то он получается усреднением про-
изведения токов и дается следующим выражением
Q$(zQs,k) = -£ У e^dr fd3reikr х (10.148)
X (Тт<Ж т)ь^а(г, т)^+,(0, 0)^(0, 0))
( а , а' — спиновые индексы, a j = — i—Vr ).
Теперь необходимо спарить -операторы, учитывая как нормальные, так и ано-
мальные средние. При этом теорема Вика по-прежнему справедлива, поскольку опе-
раторы и г/А можно выразить линейным образом через операторы рождения и
уничтожения квазичастиц сверхпроводника, для которых аномальные средние равны
нулю. Таким образом,
(Тт (г, г) jQ^(r, г) ч[^ (0, 0) З/з'Фа' (0, 0)) = (10.149)
= -За Gaa' (г, г) 3/3 Ga,a (-Г, ~т) - За^а,(г, Т)3'Ц Fa, Д-Г, -Т) .
Тогда к) принимает вид:
-/3
X [23а G(r, г) З/з G(-r, -г) + 23а Г(г, г) З/з ^*(-г, -г)] .
Заметим, что знаки петель, содержащих функции G и F , оказываются одинаковыми.
Переписывая выражение (10.150) в импульсном представлении, получаем
1Ч Те2 г 2d3p ( к\ ( к\
Qae№,k) =--------— > 7 / 7—т Va Р- - V(3 Р+ ТГ X
Тогда при к = 0 и с а>п J \ Ч \ Ч Г / к \ к \ х < G 1 iu)n, р j G 1 шп + iQ, pH— 1 + (10.151) 1 \ 2 У \ 2 У / к \ Z к \ 1 + F шп, р - - F гшп + Д р + - > . \ " / \ " j 1 3m2c Е / (27г)3 р2 р) + \F^ р)|2) • (10.152)
10.5. РЕШЕНИЯ
297
Собирая вместе и и учитывая определение ns , получим
П — Пд
2Tv0p%
Зт
(10.153)
Обратим внимание на то, что при интегрировании по о выражение (10.153) обраща-
ется в нуль, в то время как при интегрировании по £ этого не происходит. Следова-
тельно, оно не вполне корректно определено. Дело в том, что эта величина не «сидит»
на поверхности Ферми, и для правильного учета состояний вдали от уровня Ферми
следовало бы брать плотность состояний, зависящую от энергии. Однако сверхтекучая
плотность, несомненно, определяется поверхностью Ферми, потому что только там и
происходит перестройка электронных состояний. В глубине же фермиевского моря (т.
е. при £ ~ Ер ) ничего не происходит. Поэтому можно поступить так: вычесть из этого
выражения аналогичное с Д = 0 , т. е. для нормального металла. Тогда вклад глубо-
ких состояний выпадет. При этом, как мы знаем, для нормального металла ns = 0 . В
результате
£2 - CJ2 + Д2
(£2 + ^ + Д2)2.
(10.154)
Получившееся выражение можно интегрировать в любом порядке. Лучше всего сначала
проинтегрировать по £ . При этом оказываются полезными следующие соотношения:
СЮ СЮ 9
f ах % f х ах %
J (х2 + а2)2 2а3 ’ J (х2 + а2)2 = •
—сю v 7 —сю v 7
После интегрирования получаем ответ:
= 2М Т v тгД2
3m (w2 + Д2)3/2 •
Рассмотрим различные предельные случаи.
а) Т —> 0 . Заменим сумму интегралом:
_ 2г/0рд 7гД2 7 do _ 2г/0р^ _ pl _
Us 3m 2тг J (cj2 _|_ Д2)3/2 3m Зя2 П
(10.155)
(10.156)
(10.157)
Видим, что при Т = 0 сверхтекучая плотность равна полной, как и должно быть
в трансляционно-инвариантной системе.
б) Т —> Тс . В этом случае достаточно пренебречь Д в знаменателе. Тогда сумма
выражается через функцию (см. задачу 56), что дает
Пд 7Д2 / Т\
— =-------= 21------
п 4тг2Т2 \ TJ
(10.158)
Таким образом, при Т —> Тс сверхтекучая плотность уменьшается до нуля.
298
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Теперь свяжем ns с глубиной проникновения. Запишем закон Ампера:
4тг . 4тгпве2
rot Н = —j =----------—А .
с тс2
(10.159)
Поскольку Н = rot А , имеем:
V2A = 47rns/ А . (10.160)
тс2
Пусть граница образца перпендикулярна оси х , а магнитное поле параллельно оси z .
Тогда
Ау(х) = Ay(0) е“ж/гл , (10.161)
где
9
г2 тС
йд — - X
4тт3е2
Отсюда получаем, что магнитное поле
— — А/(0) p — x/S\ _ rr (rpp-z/tfA
“ дх ~ -"44е
(10.162)
(10.163)
экспоненциально затухает вглубь сверхпроводника, причем глубина проникновения
равна йд .
В нашем расчете мы пренебрегали дисперсией Q(k) . Выясним, при каких услови-
ях это законно, или, иными словами, каков масштаб пространственной дисперсии в
сверхпроводнике. Чтобы определить этот масштаб, следует сравнить kv (это и есть
величина, которой мы пренебрегли) со всеми остальными величинами в знаменателях
функций G и F в (10.151). Сравнивая £ с Д , получаем характерный волновой вектор
ко ~ £-1(Г) ~ X(T)/hvF . Заметим, однако, что при Т —> Тс Д(Т) —> 0 и основную
роль в знаменателе играет шп=о = тгТс ~ До . Поэтому на самом деле характерный вол-
новой вектор при любых температурах есть ко ~ ~ Xo/hvp . Для того, чтобы наш
расчет был применим, должно быть йд » £о • В этом случае сверхпроводник называют
лондоновским. Противоположный предельный случай называется пиппардовским.
Оказывается, что в сверхпроводниках есть два пространственных масштаба. Один
из них, £(Т) , — это масштаб корреляций параметра порядка Д . Другой, £0 , — это
размер куперовской пары. При Т —> Тс различие между ними становится весьма ощу-
тимым, поскольку при приближении Т к Тс корреляционная длина £(Т) расходится,
в то время как размер пары £о (он же масштаб пространственной дисперсии) при этом
остается конечным.
В заключение покажем, как производить подобные расчеты с помощью матричной
функции Грина
(10.164)
Она удовлетворяет такому уравнению:
(ш - £(р)тг - Хгтх - Х2Ту) 0 = 1
(10.165)
10.5. РЕШЕНИЯ
299
( Д = Дх + гДг). Оператор тока равен
Сама G равна
~ SG-1
J = C^T
в
= ev(p) 1-----Arz .
тс
1 С шп + £ Д
^2+е2+д2 \ а* - с
(10.166)
(10.167)
Вычисляя
Тг (ja G(iwn, р) jp G(iwn, р)) =
е2па(р)^(р) / х
= ТГ-----Г---ГГ Тг+ CG + Атх) {гшп + Crz + Атх) =
Н + £2 + Д2) \ /
д2 I Й _ ,.2
= 2е2па(р)^(р) . Л2Г ’ (Ю.168)
Ы + £2 + А2)
получим то же выражение, что и ранее (см. (10.156)).
Решение 61. Для того, чтобы изучить влияние примесей на Тс , рассмотрим диаграм-
мы, образующие один блок куперовской лестницы, и усредним их по беспорядку:
Рис. 10.13
Они имеют ту же структуру, что и диаграммы на рис. 10.8. Отличие состоит в том,
что куперовская петля теперь содержит примесную лестницу, описывающую рассеяние
куперовской пары на примесях. Поэтому
Г6' =______-___
1 + АПС ’
(10.169)
где
Пс =
Рис. 10. Ц
— сумма лестничных диаграмм. По сути дела, такая сумма уже была вычислена нами в
задаче 54. Напомним, что усредненная по беспорядку функция Грина в грязном металле
равна
G(iun, р) =----------Ц--------- . (10.170)
гшп - СР + — signer
2т
300
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Каждая ступенька куперовской лестницы, состоящая из двух функций Грина, взятая
при Q = 0 , s = 0 , есть
Вс(1,шД
G(ia)n, р) G(-ia)n,
(10.171)
z/0 2тп/0т
, 1 V , <2 1 + 2трп| ’
wn + —signer +£
2.Т /
Суммировать Вс по шп не следует, поскольку столкновения с примесями — упругие.
Теперь вычислим всю примесную лестницу. При этом полезно вспомнить, что при-
месный пунктир равен пи^ = (2тп/от)-1 (см. гл. 9). Суммируя геометрическую про-
грессию, получаем
Цшп) = ВДшД + —^—В1(шп) + ...= (10.172)
2'7ГГ'оТ
_ вс(шп) _ 7Fi/0
1 |cjn|
2тп/0т
Как мы видим, т полностью исчезло из этой формулы. Отметим, что выпадение т
из ответа формально обязано тому же сокращению, которое обеспечивает сохранение
числа частиц при вычислении коррелятора плотность-плотность в ферми газе с при-
месями:
(п(ш, q)n(-w, -q))q=o = ^7 (10.173)
(см. задачу 52). Находим куперовскую петлю:
ПС = -Т£Т(^П) = -27П/ОТ £ -L = -z,oln^^ . (10.174)
Шп Шп>0 1^1 7Г 1
Поэтому
Тс = сщщ“1/Аг/° , (10.175)
7Г
как и в отсутствии примесей.
Решение 62 а) Начнем с усреднения функций Грина сверхпроводника по примесям.
Для этого мы вычислим матричную собственно-энергетическую часть
Рис. 10.15
При этом матричное выражение для примесного пунктира таково:
1 0
0 1 /
2тп/0т
(10.176)
10.5. РЕШЕНИЯ
301
(примеси одинаково хорошо рассеивают как электроны, бегущие вперед, так и назад,
и при этом не переводят одно из спаривающихся состояний в другое, поскольку у
них разный спин). Вычисляем собственно-энергетическую часть в первом порядке по
концентрации примесей, следуя методу задачи 50:
_ 1 f d3p ~ 1 Г d?,p iajnl + ^ptz - Атх
2тп/0т J (2я)3 2тп/0т J (2я)3 + Д2 + £2
(10.177)
Интегрируя по £ , получаем
1 шп 1 -|- Дтж
Тт + Д’
(10.178)
Таким образом,
G 1 = Go 1 - S = шп1 - Erz - Ктх ,
(10.179)
где
— Wn Н----/
\ 2т^2 + Д2
Д = д 11 + —,1
\ 2г^ +Д2;
Обратим внимание, что
X - X ’
(10.180)
Как мы убедимся в дальнейшем, это свойство очень важно.
При вычислении Е мы использовали затравочные функции Грина G и F . Что
произойдет, если теперь подставить исправленные функции Грина в выражение для
Е ? Оказывается, Е при этом не изменится. Это легко видеть прямо из (10.178), по-
скольку при изменении в этом выражении шп и Д в одно и то же число раз величина
Е не меняется. Поэтому полученный нами ответ автоматически оказался решением
интегрального уравнения для Е , точно так же, как и для нормального металла (см.
задачу 50).
В принципе, щель в грязном сверхпроводнике следует определять заново, решая
уравнение самосогласования (10.38), принимающее вид:
00 7>- Л
Д = АТ£ [ .
£г_£^2 + д2+е2
Интегрируя по £ , приходим к уравнению
Д = 7fAz/0T У) А ~ = 7fAz/0T У А ,
+ Д2 Шп \/Шп + Д2
(10.181)
(10.182)
302
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
не содержащему концентрации примесей. (Во втором равенстве мы использовали
(10.180).) Таким образом, примеси не влияют не только на Тс , но и на термодинамику
сверхпроводника вообще. Так происходит потому, что для термодинамических свойств
существенна лишь полная плотность состояний (или, грубо говоря, сколько длин волн
укладывается на каждой квазичастичной траектории) и совершенно не важно, как эти
состояния устроены (т. е. по каким конкретно траекториям движутся квазичастицы,
по прямым, или по ломаным, рассеиваясь на примесях).
Решение 62 б) Теперь рассмотрим отклик сверхтекучего тока на внешнее магнитное
поле. В отличие от Тс , эта величина гораздо более чувствительна к форме траекторий
и сильно изменяется даже при малых концентрациях примесей. (Достаточно, чтобы
длина свободного пробега стала меньше, чем размер куперовской пары Д .) Опреде-
лим сверхтекучую плотность. Как и в задаче 51, для вычисления отклика достаточно
провести вычисления с усредненными по примесям функциями Грина, потому что диа-
грамма с примесной линией, соединяющей разные функции Грина, равна нулю (из-за
того, что вершина взаимодействия с электромагнитным полем векторная). Усреднен-
ные же функции Грина отличаются от затравочных лишь заменой шп —> Оп , Д —> Д .
Поэтому можно сразу написать формулу для ns по аналогии с задачей 50:
ОО .л д ~ о
/ Г + А - <
» «Д еф + д + <ч)2
(10.183)
Как и ранее, вычтем из этого выражения его значение при Д = 0 , т = оо для того,
чтобы исключить вклад фермиевского моря. Интегрирование по £ дает:
Итак,
Hs „ х-- Д2
— = 7ГТ V --------------
п +
(10.184)
(10.185)
При малой концентрации примесей, когда тДо » 1 , это выражение воспроизводит ре-
зультат задачи 60, а в противоположном «грязном» пределе тДо 1 дает следующее:
^ = 27гтТ£
Д2 Л , А
-----« = ягД th —- .
+ Д2 2 2Т
(10.186)
Интересно, что в грязном сверхпроводнике даже при Т —> 0 сверхтекучая плотность
много меньше полной:
пДТ 0) = i . (10.187)
п
Это связано с нарушением трансляционной инвариантности и «торможением» электро-
нов примесями.
10.5. РЕШЕНИЯ
303
Подставляя ns в формулу для глубины проникновения д.\ , получаем
тс2
\ e2Arth —
N 2Т
(10.188)
Решение 63. Вначале найдем усредненную по парамагнитным примесям функцию
Грина. Для того, чтобы ее вычислить, мы используем модифицированную крестовую
технику. Введем четырехкомпонентные функции Грина
( (TTV£(r> ^M(0,0)> (Тт?/Цг, т)^(0,0)) \
\ <Тт<(г, т)^(0,0)) (Тт?/Цг, т)^(0,0)) )
(10.189)
( а и /3 - спиновые индексы). При этом функция Грина в отсутствие примесей равна
1 / (шп Т ^)й«/з А«/з
3~ £2 3~ А2 \ ~^а/3 ~
(10.190)
а Да/з = ( ага/3 - спиновые матрицы Паули). Как и в предыдущей задаче, найдем
собственно-энергетическую часть из диаграммы на рис. 10.16:
ад v
Рис. 10.16
В случае парамагнитных примесей пунктир имеет нетривиальную спиновую структу-
ру. Её можно найти, вычислив коррелятор флуктуаций примесного потенциала:
(у. J6(г - £ Л(г' - г6)<7^Л ) =
\ а Ъ /
= nra.sJ2i(r-r')(S-St)<s< =
= l Л(г - (10.191)
и
Стоящее здесь скалярное произведение матриц Паули можно преобразовать, используя
тождество Фирца (см. [8], §28):
<7^(7^ = 26a„6^ - 6а/36^ . (10.192)
Таким образом,
= _nmagJ2s(s + i) J (10193)
— ОО
304
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Подставим вначале в этот интеграл Go Интегрирование производится довольно про-
сто, и мы получим
/• \ 1 WJnl А ХарТх /1П1пл\
Sa/з (гшД = - —------------у ' \ , (10.194)
27FTs + Д2
где
Ts = iwonmagJ2S(S+T) (10’195)
— время релаксации спина на примесях. Поскольку = 0 , то мы получаем таким
образом, что G-1 = GqY ~ S отличается от Go заменой шп и А на
~ _ ( 1 \
— шп I 1 Т . I
\ 27-^2 +Д2;
А = А | 1---------. 1 | .
\ 2а^ +А2/
Однако заметим, что теперь, в отличие от задачи 61,
ш , ш .
д + Д <10'196)
Поэтому если мы теперь подставим G в (10.193), то получим другое значение X .
Попробуем решить задачу самосогласованно, подставляя в (10.193) G с неизвестными
Си и А . Тогда
Та/з(2<л?п) — — . = (10.197)
2'7Г7’« уО2 + А2
Уравнение Дайсона теперь приводит к условию самосогласования, определяющему О
и А :
ш — ш 4------. = (10.198)
2ts\J О2 + А2
~ л A z
А = А--------~ (10.199)
2rsy О2 + А2
Теперь запишем уравнение Горькова (10.38), определяющее щель:
Д = XT [ ^FO^.t^XTY. [ = (Ю-200)
».-4 «.-4 "5+д2+е2
A Д
= 7FAz/0T > j .
Un JШп2 + A2
10.5. РЕШЕНИЯ
305
Из-за того, что Ф/Д ф ш/Д., это уравнение отличается от уравнения для чистого
сверхпроводника.
Выведем отсюда уравнение, определяющее температуру перехода сверхпроводни-
ка с парамагнитными примесями Т* . Полагая Д —> 0 , решим уравнения (10.198),
(10.199):
ш = ш -|----signw ; (10.201)
2ts
Д (1 + —О = Д (10.202)
Тогда уравнение на Т* выглядит так:
1 = 2тгАг/0Т* Е = 2тгАг/0Т* £ ---------------Ц- = (10.203)
W>o W>O йп-\-----
2ts
= гтгл^т; £
Wn>o (л)п -|-
Ts
Остановимся на физическом смысле этой формулы. При рассеянии на парамагнитной
примеси спин электрона может перевернуться, и rs есть среднее время между двумя
переворотами спина, то есть время жизни куперовской пары. Знаменатель в (10.203)
описывает развал куперовских пар из-за рассеяния на магнитных примесях и умень-
шение эффективного времени взаимодействия.
Если ts велико по сравнению с h/T^ , то парамагнитные примеси лишь слегка
сдвигают Тс . Но при rs ~ h/T* сверхпроводимость полностью подавляется. Найдем
критическое т* , полагая Т* = 0 и заменяя сумму на интеграл:
откуда
1 , Sycjr) Т dw
Т— = In —— = / --------------Г = lnwDTs ,
Al4) КТС J . -L
и с О ш -|-----
т*
s
s кТс ’
(10.204)
(10.205)
Таким образом, парамагнитные примеси даже в малых концентрациях могут суще-
ственно повлиять на свойства сверхпроводника и даже полностью подавить сверхпро-
водимость. При этом оказывается, что в определенном интервале по концентрации при-
месей существует режим так называемой бесщелевой сверхпроводимости, в котором
сопротивление металла равно нулю, но энергетическая щель отсутствует. Так получа-
ется из-за того, что примеси меняют энергию связи электронов в паре по-разному в
разных частях образца. Читатель, интересующийся этим эффектом, может обратиться
к оригинальной работе7.
7А.А. Абрикосов, Л.П. Горьков, ЖЭТФ, т. 39, с. 178 (1960)
306
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Решение 64. Как и в задаче 61, мы вначале найдем куперовскую примесную лест-
ницу, а затем подставим её в уравнение самосогласования. Вычисление куперовской
лестницы во внешнем магнитном поле в общем случае довольно сложно. Однако, если
поле медленно меняется на длине свободного пробега, эта задача сильно упрощается.
Заметим, что две ступеньки примесной лестницы находятся друг от друга на рассто-
янии порядка I. Это позволяет пренебречь изменением поля на одной ступеньке и
рассмотреть ступеньку в постоянном поле. Изменение поля мы учтем, переходя к сум-
мированию ступенек, каждая из которых чувствует магнитное поле на своем отрезке
траектории.
Поскольку нас интересуют неоднородные решения уравнения самосогласования, мы
вначале вычислим примесную лестницу при ненулевом суммарном импульсе s в нуле-
вом магнитном поле. Это можно сделать так же, как и в задаче 54. Одна ступенька
лестницы вычисляется точно так же:
z/0^
4тг (. с . г . V • с , 1
I гш — £ + — signw I I — гш — £ + sv — — signw
d(A 2тп/0т 2тп/0т
4-7Г 1 + 2р|т + irsv 1 + 2р|т + tDs2
( D — коэффициент диффузии). Суммируя лестницу, получаем
Вс _ 2тгг/0
1 — Вс/2тп/0т 2р| + Ds2
(10.206)
(10.207)
(10.208)
Теперь попробуем учесть магнитное поле. Пусть сначала его векторный потенциал
А (г) постоянен. Тогда его учет сведется к сдвигу импульсов р—> р—еА/с в функциях
Грина. Поэтому в примесной лестнице s заменится на s — 2еА/с . Следовательно,
2тп/0
/ 2е
2Ы + D ( s------А
\ с
(10.209)
Удобно записать это выражение в координатном представлении. Будем считать
Сш(г, г') функцией начальной и конечной точек. Заменяя s —> — iXr , перепишем вы-
ражение для куперона в форме дифференциального уравнения:
2И+Г> -г|---А
\ дг с
<Х(г, г') = 2тп/0й(г - г') .
(10.210)
Что изменится, если А (г) — медленно меняющаяся функция? Если мы намерены
учитывать лишь первые два порядка по А в знаменателе (10.209), то легко понять,
что все возможные усложнения связаны с появлением членов, зависящих от div А ,
поскольку это единственная вращательно инвариантная комбинация из производных
А . (Иными словами, если А становится функцией г , возникает вопрос о порядке
операторов А(г) и V в купероне.) Но выбирая калибровку, в которой div А = 0 , мы
10.5. РЕШЕНИЯ
307
всегда можем добиться исчезновения подобных поправок. Поэтому для того, чтобы
вычислить примесную лестницу, достаточно решить уравнение
2|w| + D
<Х(г, г') = 27гг/0<^(г - г') .
(10.211)
Это уравнение можно вывести и напрямую. Для этого надо рассмотреть такие по-
правки к одной «ступеньке»:
Рис. 10.17
(Волнистые линии на этом рисунке изображают взаимодействие с внешним магнитным
полем.) После этого суммирование лестницы дает уравнение (10.211).
Теперь запишем уравнение самосогласования, полагая Д —> 0 . Вблизи НС2 состо-
яние неоднородно, поэтому Д зависит от г . Уравнение Горькова имеет вид
w, г,
г)
(10.212)
Аномальная гриновская функция F(cj, г, г) дается при Д —> 0 единственной диаграм-
мой:
Рис. 10.18
Сравнивая ее с диаграммой для примесной лестницы, имеем
F(w, г, г) = I d3r' Д(г')СД(г, г') .
Поэтому уравнение самосогласования записывается так:
О t 1 г
Д(г)=А ] j d^C^r, г')Д(г') .
(10.213)
(10.214)
308
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Чтобы найти его решения, удобно разложить Д(г) по нормированным собственным
функциям фп(г) оператора в левой части (10.211). Эти функции обладают такими
свойствами:
/ д 2е А2
D \ = (10.215)
( цп — п -е собственное значение);
У d3r</>n(r)</>^(r) =8пт . (10.216)
Запишем Д(г) в виде
Д(г) =£ Дп^(г) . (10.217)
п
Куперон можно выразить через </»п(г) :
СЦг, г') = 2яро Е . (Ю.218)
Это соотношение легко проверить, заметив, что эта функция в силу (10.215) удовле-
творяет уравнению при г ф г' , а при г —> г' левая часть уравнения совпадает с
6 -функцией, поскольку интеграл от нее по г равен 1 в силу (10.216).
Тогда уравнение (10.214) перепишется так:
div 2тп/0 А Д„
2я 2р| + !1п
Оно имеет нетривиальное решение при
1 _ 7 du
vqX J 2р| +
— сю
Интеграл следует обрезать при ш = шр , как и ранее. В результате
1 — In ~Шг)
z/0A цп
(10.219)
(10.220)
(10.221)
Найдем собственные значения . Для этого нужно решить уравнение (10.215).
Выберем калибровку Ау = —Нх . Тогда можно заметить, что уравнение (10.215) со-
впадает с уравнением Шредингера для частицы с массой т = (27?)-1 , зарядом q = 2е
и энергией в магнитном поле Н . Из квантовой механики известно, что в этом
случае
( 1\ П2к2
Еп — I п + о ) + ------
\ 2/ 2 т
qH
шн — —
тс
(10.222)
Это означает, что
Еп -
4DeH
с
1\
П+2)
+ Dk2 .
(10.223)
10.5. РЕШЕНИЯ
309
Поскольку собственные значения растут с ростом Н , критическое магнитное поле
определяется наименьшим собственным значением. Оно равно Цо = 2DeH/c. Таким
образом,
1 ,
-----------------------------------= ш-------- .
z/0A DeHc2
Выражая А через Тс с помощью (10.73), получим окончательно
Яс2 =
7Г ТсС
2у De
(10.225)
Заметим, что собственные функции, отвечающие минимальному собственному зна-
чению, локализованы:
K*,(w) = е“«»,
(10.226)
где
, / he ckv .
1н = \ . 10.227
у qH qH
Таким образом, сверхпроводимость возникает в «нитях»толщины 1н При понижении
поля концентрация нитей быстро возрастает, пока они не заполнят собой весь объем.
В каких случаях переход от сверхпроводимости к нормальному металлу в магнит-
ном поле устроен так, как описано в решении? Чтобы ответить на этот вопрос, надо
сравнить магнитные поля, соответствующие различным сценариям разрушения сверх-
проводимости. Мы вычислили магнитное поле, соответствующее разрушению сверх-
проводимости неоднородным образом. Оценим поле, соответствующее разрушению
сверхпроводимости сразу во всем объеме. Для этого надо сравнить энергию магнитно-
го поля в объеме сверхпроводника с энергией конденсации. Энергия магнитного поля
на единицу объема есть
Н^
Етад = — . (10.228)
Энергию конденсации легко оценить, считая, что частицы в интервале энергий Д за
счет конденсации понижают свою энергию на Д . Число таких частиц в единице объема
есть г0Д , поэтому энергия конденсации равна
Ес ~ г/0Д2 ~ z/0Tc2 .
(10.229)
Таким образом, магнитное поле, соответствующее однородному разрушению сверхпро-
водимости (термодинамическое критическое поле), есть
Яс ~ ТсЛ/Д( .
(10.230)
Сравним его с Нс2 :
Нс
Нс2
e2p3F I
rnic’h3 6\
(10.231)
310
ГЛАВА 10. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
где — лондоновская глубина проникновения в чистом сверхпроводнике, определен-
ная в (10.162). Таким образом, НС2 Нс при I <С йд • В этом случае НС2 действитель-
но определяет границу сверхпроводящей фазы. Если же НС2 <С Нс (то есть I),
то переход происходит однородно по всему объему при поле Нс . В этом случае при
Н = НС2 < Нс ничего особенного не происходит.
Глава 11.
Измерение функций Грина
Одночастичные и двухчастичные функции Грина представляют собой корреляционные
функции операторов i/i и Г+ (см. гл. 4). Физические характеристики, такие, как те-
плоемкость, проводимость, и др., в принципе всегда можно выразить через гриновские
функции. Однако эта связь довольно часто оказывается весьма сложной и «односто-
ронней», поскольку она вообще говоря не позволяет восстановить функции Грина по
экспериментальным данным. (Например, термодинамические величины даются инте-
гралами от выражений, содержащих функции Грина, — см. задачи 35, 36, 49, 57.)
Поэтому представляет особый интерес обсудить методы, позволяющие напрямую «из-
мерить» функции Грина и получить весьма ценную с точки зрения теории информацию
о свойствах систем взаимодействующих частиц.
11.1. Туннелирование
Рассмотрим сначала вопрос об измерении одночастичной функции Грина
G(x,x') =—i (Т'ф(х')'ф+(х'')^ . (11-1)
Для определенности будем говорить о гриновской функции электрона в металле. На
первый взгляд, эксперимент, в котором корреляционная функция G(x,x') определя-
лась бы напрямую, кажется невозможным. Ведь пропорциональное ф+ или i/i поле к
системе приложить невозможно (для этого нужно было бы создать электрон «из ниче-
го»), и поэтому корреляционная функция G(x,x') не может быть связана ни с какой
функцией отклика. Можно, однако, рассмотреть ситуацию, когда происходит пере-
нос электронов из одного металла (который мы будем называть пробником) в дру-
гой (исследуемый образец). Если перенос заряда происходит мгновенно, то его можно
описывать как уничтожение электрона в пробнике и рождение его в образце. Вероят-
ность этого процесса оказывается связанной с функциями Грина исследуемого образца
и пробника. Если свойства пробника известны и достаточно просты, то можно считать,
что в таком эксперименте «измеряется» функция Грина электрона в образце.
Для того, чтобы реализовать эту идею, нужно создать такую связь между проб-
ником и образцом, чтобы переносимый электрон в каждый момент времени был или
на пробнике, или на образце. (Иначе говоря, заряды пробника и образца должны быть
311
312
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
хорошими квантовыми числами.) Это означает, что связь пробника с образцом должна
быть слабой, и поэтому обычный омический контакт между двумя металлами не го-
дится. Слабую связь можно получить, используя туннельный эффект. Рассмотрим так
называемый туннельный контакт — два металла, разделенных потенциальным ба-
рьером, так что область между металлами оказывается классически запрещенной (см.
рис. 11.1). На практике в качестве потенциального барьера обычно используется тон-
кий слой диэлектрика, например, окисла, образующегося на поверхности металла. На
рис. 11.2 показан потенциал, действующий на электроны и заполнение энергетических
уровней по обе стороны контакта.
Рис. 11.2
Электроны могут туннелировать из одного металла в другой, причем вероятность
туннелирования в единицу времени, согласно формуле ВКБ, является экспоненциальной
функцией
W~e~\ А = (ц.2)
где Uq — высота потенциального барьера, ай — его толщина. Если вероятность
туннелирования W мала, то такой туннельный контакт обеспечивает слабую связь
между двумя металлами.
В равновесии вероятности туннелирования справа налево и слева направо долж-
ны быть равны, так что ток через контакт отсутствует. Однако, если к туннельному
контакту приложена разность потенциалов, то система выходит из равновесия. В ре-
зультате через контакт течет ток, измеряя который можно определить вероятность
туннелирования и, как следствие, функцию Грина.
Перейдем к количественному описанию туннелирования. Поскольку вероятность
туннелирования через высокий барьер экспоненциально мала, то можно вначале рас-
смотреть задачу, пренебрегая туннельными эффектами, а затем учесть их по теории
возмущений. Пусть 'фа(ь) (г) — оператор рождения электрона соответственно на проб-
нике или на образце в отсутствие туннелирования. Рассматривая туннелирование как
мгновенный перенос заряда, можно записать гамильтониан для туннелирования следу-
ющим образом:
НТ = У й3г У d3r'T(r,r') (r')V’b(r) + h.c. (11.3)
ж<0 ж'>0
Интегрирование по г в этой формуле производится по левому берегу, а интегриро-
вание по г' — по правому. Туннельный гамильтониан вида (11.3) можно вывести1 в
пределе бесконечно тонкого и очень высокого барьера. Однако выражение (11.3) обыч-
но используется и в более общем случае как наиболее простая формула, правильно
11.1. ТУННЕЛИРОВАНИЕ
313
отражающая физику в пределе малой амплитуды туннелирования Т(г, г') .
Перейдем в представление собственных состояний ^а>р , ^>pz :
<(г) = 52Кр(г)йр > ^ь(г) = 52^р'(г)^р' (п-5)
р р'
Собственные состояния в (11.5) вдали от барьера представляют собой линейные ком-
бинации двух плоских волн, падающей и отраженной, удовлетворяющие граничным
условиям на поверхности барьера. В представлении (11.5) туннельный гамильтониан
принимает вид
Нт = ^2 Трр/ а+&р/ + h.c. (11.6)
р,р'
Следует иметь в виду, что нередко отражением от барьера пренебрегают и заменяют
истинные собственные состояния в (11.5) на плоские волны. Хотя такое приближение
на первый взгляд кажется весьма грубым, оно оказывается вполне достаточным для
описания эффектов, в которых существенны только состояния с энергиями вблизи Ер
Более аккуратное рассмотрение приводит к более сложным выражениям, с которыми
труднее работать. Согласие же с экспериментом, и без того обычно неплохое, при этом
практически не улучшается.
Зависимость амплитуды туннелирования Трр/ от импульсов р , р' в общем слу-
чае может оказаться довольно сложной. Обычно рассматривают две основные модели,
соответствующие «шероховатому» и «гладкому» барьерам. В первом случае, посколь-
ку вероятность туннелирования (11.2) экспоненциально зависит от толщины барьера,
основной вклад в туннельный ток вносится тем местом, где барьер наиболее тонок
и где поэтому вероятность туннелирования наибольшая. Обычно можно считать, что
туннелирование происходит в какой-то определенной точке барьера. Амплитуда тунне-
лирования Трр/ в этом случае есть константа, не зависящая от р и р'. Другая ситуа-
ция возникает в случае достаточно гладкого барьера, имеющего постоянную толщину.
При туннелировании через такой барьер должна сохраняться компонента импульса
электрона вдоль барьера рц . Поэтому в этом случае амплитуда туннелирования имеет
вид Трр/ = Гр±р/±й(рц — р||) . В этой главе мы будем рассматривать более часто встре-
чающийся случай шероховатого барьера и соответственно считать амплитуду тунне-
лирования константой: Трр> = То .
Теперь найдем оператор туннельного тока. Полный гамильтониан системы есть
Н = Н1(а,а+) + Н2(Ь,Ь+) + Нт , (11.7)
где 771(2) — гамильтонианы соответственно пробника и образца. При этом Н± и Н2
сохраняют заряд каждого из берегов контакта, а Нт приводит к переносу заряда.
'В случае бесконечно высокого и тонкого барьера с резкими краями, находящегося в плоскости
х = 0 , граничные условия в отсутствие туннелирования имеют вид: ^a(x = +0) = 0 , — 0) = 0 .
При этом туннельный гамильтониан есть
Нт = - I d,dz T^z) (г)|__+о (M
я=0
где T(y,z) — прозрачность барьера, являющаяся в общем случае функцией координат.
314
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
Запишем скорость изменения заряда пробника, используя уравнения эволюции в пред-
ставлении Гейзенберга:
Qa = , Qa = е «р«Р > (П-8)
р
где вклад в коммутатор дает только Нт . Определяя оператор тока I как оператор
скорости изменения заряда и вычисляя коммутатор в (11.8), получаем
1 = Qa = ie^2Tpp:afipf + h.c. (11.9)
р,р'
Чтобы найти средний по времени туннельный ток, нужно вычислить среднее от опера-
тора (П-9) по состоянию, в котором химпотенциалы берегов различаются на eV , где
V — приложенное к контакту напряжение. Это состояние — неравновесное, поэтому
усреднение по нему нельзя выполнять с помощью обычной равновесной диаграммной
техники. Можно однако воспользоваться полезным стандартным приемом, позволяю-
щим перейти к эквивалентной задаче, в которой усреднение выполняется по равновес-
ному состоянию. Для этого рассмотрим калибровочное преобразование
йр арегеП , bp, bp, , (11.10)
сдвигающее энергии всех состояний справа на —eV и выравнивающее таким обра-
зом химпотенциалы. После этого преобразования туннельный гамильтониан принима-
ет вид:
Нт = XeieVt + X+e~ieVt , (H-П)
где
Х = ЕТрр'^р' (И-12)
р,р'
Туннельный ток в этом представлении равен
I = iXeieVt - iX+e~ieVt . (11.13)
Таким образом, после калибровочного преобразования (11.10) мы получили зависящее
от времени возмущение, действующее на равновесное состояние. Это означает, что с
формальной точки зрения задача о вычислении туннельного тока сводится к вычисле-
нию отклика зависящего от времени оператора туннельного тока (11.13) на «внешнее
поле», пропорциональное туннельному оператору (11.12), причем разность потенциалов
eV играет роль частоты «внешнего поля». Соответствующая диаграмма приведена на
рис. 11.3
11.1. ТУННЕЛИРОВАНИЕ
315
Рис. 11.3
Кружком обозначен оператор туннелирования X . Вычисление функции отклика (см.
задачу 65) приводит к такому выражению для туннельного тока:
7 de
/(V) = 4е^ |Трр,|2 у — 1тбд(р,г + еК) ImGf(p» [nF(e) - nF(e + eV)] , (11.14)
p>p' -OO
где nF(e) —фермиевская функция распределения, a G^^(p,s) —фурье-образ запаз-
дывающей функции Грина
СЮ
Ga(p,e) = ~г I([«pW,«p(O)])eJ£t dt . (11.15)
о
Для модели шероховатого барьера Тр>р/ = То , и результат (11.14) принимает вид
I(V) = 4тге|Т0|2 У deva(e + eV)z/b(A) (nF(e) - nF(e + eV)) , (11.16)
— сю
где
м>#) = -|Е1п1С5ь)(рЯ (п-17)
я р
— так называемая туннельная (или одночастичная) плотность состояний. Проис-
хождение этого названия становится яснее, если рассмотреть туннелирование между
двумя металлами, пренебрегая эффектами взаимодействия. Тогда скорость перехода
из пробника в образец можно найти по золотому правилу Ферми:
2тг
wa^b = у |7о|2г/ь(г), (11.18)
где t'b(e) — плотность состояний в образце. Суммируя по всем заполненным состоя-
ниям в пробнике, получаем ток, текущий из пробника в образец:
2•2яе 7
= —|То|2 у de i/a(e + eV)vb(e) nF(e)(l - nF(s + eV)) (11.19)
— сю
(коэффициент 2 учитывает спиновое вырождение, а множитель 1 — nF(e + eV) —
принцип Паули). Аналогично, ток из образца в пробник равен
2 • 2яе 7"
1ъ^а=——|Го|2 J de va(e + eV)i/b(ff) nF(e + eV)(l - nF(e)) . (11.20)
— СЮ
Вычисляя суммарный ток I = Ia_,b ~ Ib-ta i получаем соотношение (11.16). Итак, вы-
ражение туннельного тока через плотность состояний в отсутствие взаимодействия
316
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
оказывается точно таким же, как и во взаимодействующей системе, если плотность
состояний определена с помощью соотношения (11.17).
Заметим, что туннельная плотность состояний (11.17), вообще говоря, отличается
от термодинамической плотности состояний
дп
др
(И.21)
ц=е
которая определяет сжимаемость системы в равновесии. В отличие от туннельной плот-
ности состояний, термодинамическая плотность состояний учитывает равным образом
все состояния в системе, независимо от степени их одно- или многочастичности. Толь-
ко в невзаимодействующей системе туннельная и термодинамическая плотности со-
стояний совпадают, поскольку в этом случае многочастичные состояния есть простые
комбинации одночастичных (слэтеровские детерминанты). Во взаимодействующей же
системе это не так, и поэтому г/(г) ф Р(г) .
По одночастичной плотности состояний (11.17), найденной из туннельных измере-
ний, можно в принципе восстановить функцию Грина, используя соотношения типа
Крамерса-Кронига. Туннельные измерения, таким образом, предоставляют важную
информацию о системе взаимодействующих частиц, которую трудно получить други-
ми методами. Особенность процесса туннелирования, как уже отмечалось, заключается
в том, что при туннелировании из системы вырывается электрон, в то время как при
измерении таких величин, как проводимость, теплоемкость или сжимаемость, происхо-
дит лишь перераспределение квазичастиц внутри системы. Поскольку квазичастицы в
основном ведут себя подобно невзаимодействующим частицам, такие методы оказыва-
ются относительно менее чувствительны к эффектам взаимодействия. При туннелиро-
вании же отличие квазичастиц от реальных частиц оказывается весьма существенным.
Поэтому иногда говорят, что туннельное измерение показывает в какой мере квазича-
стицы во взаимодействующей системе отличаются от «голых» электронов.
Одночастичную функцию Грина можно определить не только из туннельных экс-
периментов, но и из некоторых других, например оптических. При поглощении опти-
ческого фотона в кристалле происходит практически мгновенный переход электрона
с одной ветви электронного спектра на другую. Этот процесс можно описать как ро-
ждение электрона в одной энергетической зоне и одновременное уничтожение в дру-
гой. Так, скажем, при оптическом переходе в собственном полупроводнике электрон
поглощает энергию большую энергии запрещенной зоны и при этом переходит из (за-
полненной) валентной зоны в (пустую) зону проводимости. При этом валентная зона
играет роль пробника, а зона проводимости — роль исследуемого образца. Вероят-
ность поглощения выражается через одночастичные функции Грина в каждой из двух
зон точно таким же образом, как это было проделано выше для вероятности туннелиро-
вания. При этом амплитуда туннелирования Тр>р/ заменяется на амплитуду перехода
в присутствии внешнего электромагнитного поля, а энергия eV — на энергию кван-
тов поля Кш . Единственное отличие — 6 -функционная зависимость амплитуды Тр>р/
от переданного импульса р' — р , отражающая сохранение импульса при поглощении
фотона. В общем случае Тр>р/ = ТРгР>д(р' — р — к) , где к —импульс фотона, а Tp,pi —
матричный элемент дипольного момента между начальным и конечным состояниями.
11.2. НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ
317
Исследование спектра поглощения, т. е. зависимости интенсивности поглощения от ча-
стоты фотонов, позволяет определить функцию Грина электрона в зоне проводимости
и дает полезную информацию о динамике электрона.
Отметим в заключение, что факторизация вероятности туннелирования в произ-
ведение туннельных плотностей состояний образца и пробника имеет место далеко не
всегда. Изложенная теория туннелирования, как нетрудно видеть, существенным обра-
зом опирается на предположение о независимости динамики в исследуемом образце и в
пробнике. В случае же когда в системе имеется взаимодействие с радиусом превыша-
ющим толщину барьера, это предположение, вообще говоря, несправедливо. Наиболее
опасным в этом смысле как правило является кулоновское взаимодействие, приводящее
к притяжению протуннелировавшего заряда и оставшейся на другом берегу дырки.
В результате этого динамика электрона и дырки становится скоррелированной, что
меняет вероятность туннелирования и усложняет интерпретацию результатов. Точно
такие же оговорки, причем еще даже в большей степени, относятся к оптическому
поглощению. В этом случае взаимодействие может привести к образованию экситона
— связанного водородоподобного состояния поглотившего фотон электрона и дырки
в исходной зоне. При этом спектр поглощения оказывается определенной комбинацией
вкладов свободных электронов и дырок, а также их связанных состояний. Эффекты
подобного рода имеют место не только в полупроводниках, но и в металлах. Напри-
мер, экситонные корреляции в конечном состоянии оказываются существенными при
анализе спектра рентгеновского поглощения в металле (см. задачу 76).
11.2. Неупругое рассеяние
Двухчастичная функция Грина в общем случае зависит от четырех аргументов:
K^Xi, Ж2,Ж3,^4) = (Т^(^1)^+(^з)^(^2)^+(^4)) (11.22)
Измерить такую функцию было бы непросто, однако это обычно и не требуется. До-
статочно интересную информацию можно извлечь из функции (11.22) в случае, когда
её аргументы попарно совпадают, х± = х% , х% = х± . Эта функция представляет собой
коррелятор плотности
/C(rci,rc2) = (Тp(rci)p(rc2)) , р(х) = ^+(хуф(х) . (11.23)
Непосредственно измеряемой величиной является связанная с (11.23) запаздывающая
корреляционная функция
K*(Xl, (11.24)
( I) ti < t2
Функцию (11.24) можно измерить, исследуя рассеяние на изучаемой системе пучка
каких-либо пробных частиц (обычно нейтронов или рентгеновских лучей). В этом раз-
деле мы изложим основные факты, относящиеся к теории рассеяния частиц в коденси-
рованных средах, а в задачах 69, 70 и 71 приведем соответствующие примеры.
318
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
Имеется два основных вида процессов рассеяния, представляющих интерес: упру-
гое и неупругое рассеяние. Упругое рассеяние широко используется для изучения кри-
сталлической структуры твердых тел, и поэтому этот вид рассеяния весьма важен
с прикладной точки зрения. Неупругое рассеяние обычно используется для исследова-
ния элементарных возбуждений в кристаллах, жидкостях и других системах, и поэтому
нас будет интересовать именно этот вид рассеяния. Вероятность неупругого рассеяния
пробной частицы на атомах какой-либо среды с передачей среде энергии со = Е — Е'
и импульса q = к — к' оказывается пропорциональной мнимой части фурье-образа
функции (11.24),
/CRHq) = I Кн(Х1,х2)е^-^<И12<13Г12 , (11.25)
где Й2 = ti - t2 , r12 = Щ - r2 .
Вид частиц, используемых в эксперименте, а также выбор их энергии Е определяется тем, в какой
области cj и q функция (11.25) представляет наибольший интерес. При этом следует иметь в виду,
что энергии Е и Е' частиц до и после рассеяния связаны с их импульсами кик' дисперсионным
соотношением. (Например для нейтронов Е = Е2/2тп , Е' = к'2/2тп , где тп — масса нейтрона,
а для рентгеновских лучей Е = с|к| , Е' = с|к'| , где с — скорость света.) Поэтому, вообще говоря,
при фиксированной энергии частиц Е можно исследовать только определенную область ш и q .
Теоретическое описание рассеяния частиц разного вида оказывается практически
одинаковым. Ниже мы будем для определенности говорить о рассеянии нейтронов.
Нейтроны удобно использовать в качестве пробных частиц при исследовании дина-
мики атомов или ядер, поскольку они взаимодействуют с ядрами контактно. Рассея-
ние нейтронов с не слишком большой энергией на ядрах происходит преимущественно
в s -канале, вследствие чего реальный довольно сложный потенциал взаимодействия
нейтрона с ядром можно заменить на так называемый «псевдопотенциал»
m ц 27г/г2а тпт /11О«ч
Vr-r =----------йг-г , ц =---------,--- , 11.26
ц т + тп
где а — длина рассеяния нейтрона на ядре, ц — приведенная масса, т и тп — мас-
сы ядра и нейтрона соответственно. Коэффициент в псевдопотенциале (11.26) подобран
так, что сечение рассеяния нейтрона на одном ядре равно 4тга2 , как и должно быть
при полностью изотропном s -рассеянии.
Взаимодействие нейтрона с атомами какой-либо среды, скажем жидкости, можно
выразить через оператор плотности частиц среды р(г, t) . Контактное взаимодействие
(11.26) означает, что оператор взаимодействия нейтрона с системой есть
2irah2
ftint =-----p(R,t) , (11-27)
м
где R — координата нейтрона2. Можно показать (см. задачу 69), что сечение не-
упругого рассеяния нейтронов с передачей среде энергии ш и импульса q выражается
через мнимую часть коррелятора плотности (11.25) следующим образом:
da(uo,q} Im/C^unq)
—-—-— = const------т—
dee do' 1 — e
(11.28)
2Мы рассматриваем среду, на которой происходит рассеяние, в гейзенберговском представлении,
а нейтрон — в шредингеровском. Такое смешанное представление удобно тем, что в нем нейтрон
рассеивается на зависящем от времени потенциале, создаваемом флуктуациями плотности системы.
11.2. НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ
319
где clo' — элемент телесного угла рассеяния. Величина
3(ш, q) = 2 Im/CR(cj, q)
(11.29)
называется структурным фактором неупругого рассеяния.
Наибольший интерес обычно представляют полюса двухчастичной функции Грина,
поскольку они определяют спектр коллективных возбуждений системы cj = u?o(q) —
ry(q) . При малой величине затухания y(q) ^'о (q) , полюсу двухчастичной функ-
ции Грина соответствует узкий пик в структурном факторе S(pj, q) при ш « u?o(q) ,
имеющий ширину порядка y(q) . Таким образом, положения пиков в S(cj,q) «прори-
совывают» ветви спектра коллективных возбуждений жидкости. Иллюстрирующие это
обстоятельство примеры будут рассмотрены в задачах 70 б) и 71.
При этом весьма существенно то, что максимальные значения импульсов q , для которых струк-
турный фактор дает информацию о коллективных возбуждениях, могут достигать обратного рассто-
яния между частицами. (При малых импульсах спектр можно также определить, изучая макроскопи-
ческие свойства.) Например, гипотеза о существовании ротонов в сверхтекучем гелии была проверена
именно с помощью измерений структурного фактора.
Рассмотрим пример реальных данных по неупругому рассеянию нейтронов. На
рис. 11.4 показаны линии уровня структурного фактора жидкого 3Не . Интересно срав-
нить эти данные со структурным фактором идеального ферми-газа (см. задачу 70)
с импульсом Ферми ро = 0.786 • 10-8сж-1 , что соответствует плотности 3Не при
Р = 1 атм , и массой равной атомной массе 3Не . Линии уровня структурного факто-
ра идеального ферми-газа показаны на рис. 11.5. Для удобства сравнения мы перенесли
на рис. 11.4 границу области S(pj, q) > 0 , «квазичастичный гребень» ш = vpk — k2/2т ,
а также параболу си = к2/2т — линию максимумов S(cj,q) при фиксированном |q| .
w(meV) 2
со, meV
Рис. 11.4
Рис. 11.5
Видно, что качественно элементарные возбуждения в 3Не такие же, как в ферми-газе:
граница области S^q) > 0 выглядит похоже и имеет правильный масштаб. Одна-
ко центральный максимум лежит на большом расстоянии от параболы си = к2/2т .
320
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
Причина этого расхождения состоит в отличии эффективной массы в жидком 3Не от
массы атома в пустоте: тг « Зт (это значение получено из данных по теплоемкости
при Т <С Ер , т. е. из низкоэнергетических измерений). Если учесть трехкратное раз-
личие масс, то положение центрального максимума оказывается примерно на месте. В
то же время было бы неправильно просто заменить т на тг в формуле для S^q)
идеального ферми-газа, поскольку при этом верхняя граница области S(cj,q) > 0,
дающаяся выражением ш = к2/2т + кро/т , оказалась бы значительно ниже, чем на
рис. 11.4.
Таким образом, в окрестности верхней границы спектра имеет смысл пользоваться
массой атома в пустоте, а вблизи максимума — эффективной массой. Причина состоит
в том, что на коротких временах, соответствующих большим энергиям, взаимодействие
между атомами жидкости не успевает проявиться, и они эффективно ведут себя как
свободные.
Обратим также внимание на максимум структурного фактора 3Не при q «
1.75 А , ш « 0.5 meV , отсутствующий в структурном факторе идеального ферми-
газа. Этот максимум есть следствие взаимодействия. Более сильное чем в идеальном
газе рассеяние при q порядка обратного расстояния между атомами 3Не можно объ-
яснить существованием в жидкости ближнего порядка, возникающего вследствие взаи-
модействия атомов и приводящего к кристаллизации при достаточно высоком давлении
или низкой температуре.
11.3. Задачи 654-71
Задача 65. а) Выведите формулу (11.14) для туннельного тока, используя мацуба-
ровскую технику. Для этого рассмотрите отклик туннельного тока (11.13) на поле,
пропорциональное туннельному оператору X , —см. (11.12). Используя аналитические
свойства мацубаровских функций Грина, перейдите от мнимых частот к вещественным
и тем самым свяжите функцию отклика с величинами в реальном времени.
б) Рассмотрите туннелирование между двумя идеальными ферми-газами с постоянной
плотностью состояний. Покажите, что при eV <С Ер вольт-амперная характеристика
линейна, т. е. выполняется закон Ома V = RI, причем сопротивление контакта R не
зависит от температуры и определяется соотношением
д-1 = 4тгеЧ^|Го|2 , (11-30)
где i/a и i/jj — плотности состояний берегов контакта.
в) Пусть в одном из ферми-газов имеется взаимодействие между частицами, так что
собственно-энергетическая часть оказывается равной
= а£ - be , (11.31)
где е — энергия частицы, а £ = щ?(р — Ро) , причем £,е <С Ер . Найдите туннельное
сопротивление.
Замечание: Для электрон-фононного взаимодействия собственно-энергетическая часть есть функ-
ция е , а от £ не зависит (см. гл. 6). Поэтому в этом случае а = 0 . Для электрон-электронного
11.3. ЗАДАЧИ 65+71
321
взаимодействия собственно-энергетическая часть зависит как от £ , так и от е , и поэтому а / 0 и
Ь^О.
Задача 66. (Туннельный ток в NS контакте) Рассмотрим туннельный контакт
между нормальным металлом и сверхпроводником, к которому приложено напряже-
ние V . Выразите туннельный ток при Т < Тс через сопротивление контакта R в
нормальном состоянии, то есть при Т > Тс . Покажите, что при нулевой температуре
зависимость туннельного тока от V имеет порог:
I = ьУу2 “ (Д/е)2 sign V , (11.32)
it
где Д — сверхпроводящая щель при Т = 0 . Найдите зависимость туннельного тока
от температуры при 0 < Т <ТС?
Задача 67. (Эффект Джозефсона) Туннельный ток через контакт, связывающий
два сверхпроводника, обладает весьма интересными свойствами. В этом случае поми-
мо одночастичного вклада в ток, рассмотренного в задачах 65 и 66, появляется до-
полнительный вклад, связанный с туннелированием куперовских пар. Формально этот
вклад можно описать, заменив нормальные функции Грина в диаграмме на рис. 11.3
на аномальные — см. рис. 11.6. Таким образом, туннельный эксперимент позволяет
«измерить» аномальную функцию Грина в сверхпроводнике.
Рис. 11.6
Покажите, что в равновесии, при V = 0 , двухчастичный ток отличен от нуля и равен
I = /0 sin(</>a - фь) , (11.33)
где фа(ъ) — значения фазы сверхпроводящего параметра порядка Да(ь) = |Д<г(ь) |ег<^°от
на разных берегах контакта. Туннельный контакт между двумя сверхпроводниками,
в котором имеет место эффект Джозефсона (11.33), называется соответственно джо-
зефсоновским контактом.
Рассмотрите случай, когда сверхпроводники по обе стороны контакта одинаковые,
т. е. Да(Ь) = Де^О) . Получите формулу для максимального тока в джозефсоновском
контакте:
1о =
где R — сопротивление контакта при
ооновским током /0 и сопротивлением
соотношением Амбегаокара-Баратов а
7гД Д
2ей th 2Т ’
Т > Тс . Связь между максимальным джозеф-
контакта в нормальном состоянии называется
(11.34)
322
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Задача 68. (Плотность состояний в грязном металле3) В неупорядоченном ме-
талле туннельная плотность состояний v(e) имеет особенность на уровне Ферми. Син-
гулярность v(e) при г —> Ер свидетельствует о том, что ферми-жидкостное состоя-
ние в металле в присутствие рассеяния на случайном потенциале весьма сильно моди-
фицируется. Чтобы найти поправку к туннельной плотности состояний, возникающую
из-за кулоновского взаимодействия, проделайте следующее.
а) Вычислите вершину взаимодействия электрона с электрическим полем с учетом
беспорядка, используя мацубаровскую технику. Просуммируйте для этого диаграммы
на рис. 11.7.
Рис. 11.7
Считайте, что переданный импульс q и переданная энергия исп удовлетворяют усло-
виям |q|Z <С 1 , шпт <С 1 , где т и I — время и длина свободного пробега. Покажите,
что вершинная часть равна
^ni q) — *
1
Т (Ы + Dq2)
1
при
при
<0 ;
>0 ,
(11.35)
где D —коэффициент диффузии. Диффузионный полюс выражения (11.35) описывает
эффект усиления взаимодействия с внешним полем вследствие диффузии.
Изменение величины взаимодействия можно качественно объяснить тем, что из-за
диффузионного замедления динамики электроны проводят больше времени в области
действия внешнего поля и поэтому взаимодействуют с ним более сильно. То, насколько
сильно диффузия замедляет динамику, зависит от размерности системы. Как мы знаем
из задачи 9, критической размерностью является D = 2 , поскольку при D 2 число
возвратов диффузионной траектории в исходную точку расходится, а при D > 2 —
сходится. Поэтому эффекты усиления взаимодействия в грязном металле оказываются
наиболее интересными в двумерном случае.
б) Найдите эффективное электрон-электронное взаимодействие V(шп, q) с учетом ди-
намической экранировки. Для этого вычислите сумму диаграмм на рис. 8.3 и покажите,
что заэкранированное взаимодействие есть
тг/ х т// \ |^п| + Dq2
У wn, q = Уо q ;—। , n 2 ,—n 2T/ / x , (11.36)
|wn| +Dq2 + z/Dq2y0(q)
где y(q) — затравочное взаимодействие. В качестве поляризационного оператора
используйте мацубаровский коррелятор плотность-плотность, найденный в задаче 52.
Зсм. работы: Б.Л. Альтшулер, А.Г. Аронов, ЖЭТФ 77, 2028 (1979); B.L. Altshuler, A.G. Aronov,
Р.А. Lee, Phys. Rev. Lett. 44, 1288 (1980)
11.3. ЗАДАЧИ 65+71
323
в) Найдите собственно-энергетическую поправку к функции Грина первого поряд-
ка по заэкранированному взаимодействию V(u>n,q) , соответствующую диаграмме на
рис. 11.8.
Рис. 11.8
Используя найденное выражение, найдите поправку йг/(г) к плотности состояний дву-
мерного металла в случае кулоновского взаимодействия Го(г) = е2/|г| . Покажите, что
в этом случае поправка к плотности состояний есть
8и(е) е2 1 т1?2(ге2)4
v 8тг27г<7 П |е|т П |г|
(11.37)
где ст — двумерная проводимость. Расходимость йг/(г) при е —> 0 означает, что ква-
зичастицы в двумерной неупорядоченной ферми-системе сильно отличаются от сво-
бодных фермионов. Усиление эффектов взаимодействия в плотности состояний (11.37)
при малых г свидетельствует о неприменимости теории возмущений в двумерном не-
упорядоченном металле при энергиях вблизи уровня Ферми.
Задача 69. (Рассеяние нейтронов) Покажите, что сечение неупругого рассея-
ния нейтронов выражается через мнимую часть двухчастичной гриновской функции
K.(q,ca) . Получите соотношение (11.28).
Задача 70. а) Найдите структурный фактор S(u, q) = 21п1/Сд(сщ q) идеального
ферми-газа при Т = 0 .
б) Рассмотрите структурный фактор S(cj, q) ферми-жидкости. Это можно сделать
либо с помощью кинетического уравнения ферми-жидкости ([1], (2.21)), либо вычи-
слив мнимую часть нуль-звуковой лестницы (см. рис. 8.3). Покажите, что вклад
нуль-звуковой моды в структурный фактор при |д| <С ро и Т = 0 имеет вид
So(q,aj) = А6(ш — vq) , где v — скорость нуль-звуковой моды. Считая взаимодействие
короткодействующим, определите константу А (см. [6], §§4, 91).
Задача 71. (Спектр фононов) Неупругое рассеяние нейтронов используют для
определения закона дисперсии фононов в твердых телах. Нейтроны рассеиваются на
ядрах, взаимодействуя с ними контактно, согласно (11.26) и (11.27). Рассмотрим фо-
ноны в рамках модели Дебая (см. с.109), считая, что ядерная плотность представляет
собой однородное желе. Тогда флуктуации плотности, на которых происходит рассе-
яние, записываются через поле смещений решетки (6.1) как 6p(r) = — podivu(r) , где
Ро — средняя плотность ядер.
а) Найдите вклад дебаевских фононов в структурный фактор S(u, q) неупругого
рассеяния нейтронов.
б) (Коновская аномалия) Спектр фононов в металле перенормируется из-за взаимодей-
ствия с электронами. Этот эффект для дебаевских фононов был рассмотрен в задаче 31
324
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА
в рамках теории Мигдала. Найдите соответствующий структурный фактор S(u), q) и
покажите, что перенормированный фононный спектр имеет особенность при q = 2ро
Эта особенность, называемая коновской аномалией, имеет то же самое происхождение, что и рас-
смотренное в задаче 32 смягчение спектра одномерных фононов вблизи q = 2рд , приводящее к эф-
фекту Пайерлса. В размерности больше единицы коновская аномалия является относительно слабой
и, в отличие от одномерного случая, не приводит к неустойчивости.
11.4. Решения
Решение 65 а) Согласно формуле Кубо, среднее от оператора туннельного тока
(11.13) в низшем порядке теории возмущений по туннельному гамильтониану (11.11)
равно
t
= i I {[HT(t^I(t)]} dt' . (11.38)
— сю
Благодаря фазовым множителям e±ieVt операторы H?(t) и I(t) явно зависят от вре-
мени. Чтобы свести задачу вычисления туннельного тока к стандартной задаче о на-
хождении функции отклика в равновесном состоянии, введем обобщенную восприим-
чивость х(ш) ,
СЮ
= г I {[x(t), 1(0)]) , (11.39)
о
описывающую отклик туннельного тока на поле X , определенное соотношением
(11.12). Нетрудно видеть, что туннельный ток как функция напряжения V на тун-
нельном контакте связан с y(w) следующим соотношением:
I(V) = 2Rey(w = eV) . (11.40)
Чтобы вычислить x(w) , найдем мацубаровскую восприимчивость
1 г
Хм^п) = - J {гтХ(т)1(0)}е^тс1т , (11.41)
а затем продолжим ее на вещественные частоты. Подставляя в (11.41) операторы I и
X из (П-9) и (11.12), получим
<ТтХ(г)1(0)) = £ Гр.р', (тта+(г)6р.(т) (^,^8+(0)6р;(0) - (11.42)
Р1,Р'1,Р2,Р'2
- r;2Piapl(0)6+(0))) .
В отсутствие сверхпроводящих корреляций в пробнике и образце средние вида (а+ а?,}
и (bpbpi} равны нулю. Поэтому только вклад второго члена в (11.42) оказывается
отличным от нуля. Спаривая операторы в (11.42), находим
(ТтХ(г)/(0)) = -ге£|Трр,|2Са(т, p)Gb(-r, р') , (11.43)
рр'
11.4. РЕШЕНИЯ
325
где Ga(r, р) = -(Ттар(г) а+(0)) и Gb(r, р) = — (Тт &р(т) &р(0)) — мацубаровские
функции Грина соответственно пробника и образца. Записав функции Грина в частот-
ном представлении и подставив в (11.41), получим
Хм^п) = -2геТ ££Tpp'|2G«( гшт + i£ln, р) Gb(ium, р') ,
Мт рр'
(11.44)
где множитель 2 учитывает суммирование по проекциям спина.
Теперь выполним аналитическое продолжение выражения (11.44). Используем для
этого интегральное представление (7.24), с помощью которого мацубаровские функ-
ции Грина выражаются через мнимые части запаздывающих функций. В результате
мацубаровская восприимчивость (11.44) принимает следующий вид:
СЮ
Хм(гГ»п) = -2геТ££ |ТРР,|2 У j
рр' -оо
de de' ImGR(e, р) р')
л2 (шт + zQ„ - г) (гшт - е')
(11.45)
Сумма по шт в (11.45) вычисляется с помощью тождества (7.87). Таким образом,
о * / \ /
Хм(Я) = —у 52 1Грр'|2 / / dede' GaGR(e. р) ImGf« р')-у^—’ (1Г46)
Ф ±7 J J е' — е + г\1п
РР — ое-оо
Аналитическое продолжение (11.46) на вещественные частоты достигается заменой
i£ln на си + гО . Вещественная часть полученного выражения дает туннельный ток
/(V) = ^ЕЯрр'!2/ I de de' 6(е' - е - eV) х
х ImGf (е, р) ImGf (s', р') (nF(e) - nF(e'))
(11.47)
Интегрирование по е уничтожает 6 -функцию и мы получаем искомое выражение для
туннельного тока:
. ОО
T(V) = — 52 |Грр'|2 [ de ImGf (e+eV, р) ImGf (е, р') (nF(e) - nF(e + eV)) . (11.48)
7Г , J
PP -oo
Формула (11.48) имеет совершенно общий характер, поскольку при её выводе не де-
лалось никаких предположений о спектре и характере взаимодействия в пробнике и
образце.
Решение 65 б) Применим результат (11.48) к задаче о туннельном контакте меж-
ду двумя нормальными металлами. Мнимая часть запаздывающей функции Грина
GR(e, р) = (г — £р + гО)-1 равна
ImG'R(c, р) = — 7гй(г: — £р) . (11.49)
Рассмотрим более простой случай шероховатого барьера, когда туннельный матрич-
ный элемент не зависит от импульсов: Трр/ = То • Величина То есть значение туннель-
ного матричного элемента при энергии вблизи EF . При этом каждая из двух функций
326
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА
d’p
(2тг)3
Грина в (11.48) интегрируется по импульсам отдельно и соответственно вклад каждой
из них есть
Im£f(b)(^p) = , (11.50)
где г/о(ь) — плотность состояний с одной проекцией спина.
Нетрудно проверить, что
п,р(е) — п,р(е + eV)) de = eV (11.51)
при произвольной температуре. Поэтому туннельный ток (11.48) можно записать в
виде
/(V) = ^, где Л= (47ге2|Т0|2 (11.52)
гъ 4 7
— сопротивление туннельного контакта. Таким образом, для контакта между нор-
мальными металлами справедлив закон Ома, причем сопротивление при Т <С Ер не
зависит от температуры.
Нетрудно убедиться в том, что закон Ома с независящим от температуры сопроти-
влением получается и при произвольной зависимости туннельного матричного элемен-
та Трр/ от импульсов р и р'. Интересно, что даже в случае туннелирования через
идеально гладкий барьер, при котором сохраняется параллельная барьеру компонен-
та импульса, закон Ома по-прежнему имеет место при Т <С Ер . Эффект сохранения
импульса при туннелировании существенно влияет на характер зависмости I(V) при
eV, Т <С Ер только в тех случаях, когда и образец, и пробник представляют собой
достаточно низкоразмерные системы.
Решение 65 в) Одночастичная функция Грина с собственно-энергетической частью
вида (11.31) равна
G^(e,v)-4yP) Ф + &)-ер(1 + а)+г0 ' V
Туннельная плотность состояний соответственно есть
"(Й = -- [ ImG(e,p) = [ 7|^й(е(1 + &) -£р(1 + а)) = , (11.54)
7Г J J 1 + а
где Го — плотность состояний без учета взаимодействия. Таким образом оказывается,
что туннельная плотность состояний не зависит от константы b .
Полезно сравнить этот ответ с перенормировкой спектра квазичастиц. Функция
Грина имеет полюс при
г = Мр) = -Ро) (11.55)
Таким образом, константа b дает вклад в перенормировку спектра, но не меняет тун-
нельный ток. Так происходит потому, что константа b определяет величину скачка в
распределении частиц по импульсам на ферми-поверхности, равную вычету функции
Грина в квазичастичном полюсе:
Z = —
(11.56)
11.4. РЕШЕНИЯ
327
Но поскольку перенормировка туннельной плотности состояний пропорциональна
вклады константы b в эффективную массу и в скачок Z сокращаются. Таким обра-
зом, туннельный ток зависит не только от перенормированного спектра квазичастиц
£ = £(р) , но и от их структуры, описываемой Z -фактором.
В случае электрон-фононного взаимодействия а = 0 , и поэтому туннельный ток
оказывается точно таким же, как и в отсутствие взаимодействия. Качественно это объ-
ясняется адиабатичностью фононов. Туннелирование электрона в металл происходит
мгновенно, поэтому при туннелировании решетку можно считать неподвижной. Таким
образом, вероятность туннелирования определяется свойствами свободных электро-
нов. Фононы же затем за время порядка подстраиваются под конечное состояние
электронов после туннелирования, каким бы оно ни было.
Заметим, что наш вывод об отсутствии влияния электрон-фононного взаимодей-
ствия на туннельный ток имеет весьма общий характер. Как нетрудно видеть, туннель-
ная плотность состояний (11.54) не меняется, если собственно-энергетическая часть
Е(г) зависит от энергии £ произвольным образом. Для полного сокращения эффек-
тов взаимодействия требуется лишь отсутствие зависимости Е от р , которое в случае
электрон-фононного взаимодействия обеспечивается адиабатичностью фононов.
Решение 66 Для нахождения туннельного тока между номальным металлом и
сверхпроводником можно воспользоваться общим соотношением (11.42). При этом в
сверхпроводнике аномальные средние вида (ар1 йр.,) отличны от нуля, и поэтому тре-
буется заново проанализировать вклад двух членов (11.42) в туннельный ток. Однако
оказывается, что поскольку в номальном металле средние (bpi &р/) равны нулю, пер-
вый член в (11.42) по-прежнему обращается в ноль при усреднении. Поэтому, как и в
задаче 65, можно перейти от (11.42) к выражению (11.48), в которое входят туннельные
плотности состояний пробника и образца.
Туннельная плотность состояний дается мнимой частью функции Грина. Аналити-
ческое продолжение функции Грина сверхпроводника (10.35) с положительных мацу-
баровских частот на вещественную ось дает
£2_^2_Д2+г0 Signe Следовательно туннельная плотность состояний есть г(е) = f ImG^e, р) = г0 7 й£(е + £)й(е2 7Г J (27ГГ J v —сю Вычисляя интеграл от 6 -функции, находим ( н |£|>д. = { |г| > ’ [о |£|<д. (11.58) £2 —Assigns. (11.59) (11.60)
328
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Обратим внимание на то, что этот результат может быть записан в виде киЦЩде , т. е. как плот-
ность состояний квазичастиц с законом дисперсии е2 = Д2 + £2 . Хотя такой подход игнорирует
различие между туннелирующими электронами и квазичастицами, в которые они превращаются в
сверхпроводнике, результат в данном случае оказывается верным. Причина состоит в том, что ква-
зичастицы теории БКШ состоят из двух электронов с одинаковой энергией. Их вклады в туннельную
плотность состояний равны w()|2 и \vp|2 , где ир и vp — коэффициенты преобразования Бого-
любова. Но поскольку Up + Vp = 1 , суммарный вклад двух компонент квазичастицы в туннельный
ток определяется только свойствами квазичастичного спектра. Так происходит потому, что эффек-
ты взаимодействия в теории БКШ учитываются только в рамках теории среднего поля, и поэтому
многочастичные эффекты оказываются относительно простыми.
Подставляя туннельную плотность состояний (11.60) в (11.48), находим туннельный
ток:
In-s(V) = 4тгеиаиь |Т0|2 [ (nF(m) - nF(m + eV)) . (11.61)
J ЦиР — Д2 v 7
М>д
Рассмотрим случай нулевой температуры. Пусть eV > 0 . Тогда интегрирование по
энергиям производится в интервале —eV < е < 0 . При eV < Д интеграл (11.61)
обращается в ноль, поскольку в этой области не выполнено условие |е| > Д . Для
eV > Д находим
= 7Л № ~ Д2
eR J Jp — Д2 ей
-eV
(11.62)
Таким образом, зависимость туннельного тока от напряжения имеет порог, равный
Д/е . Рассматривая аналогично случай eV < 0 , получаем искомую зависимость (11.32),
обладающую свойством антисимметрии: 7дг_5(—V) = —//y_s(V) .
Порог при eV = Д является резким только при нулевой температуре. При конечной
температуре в нормальном металле всегда имеются квазичастицы с энергией е > Д ,
которые могут туннелировать в сверхпроводник. Поэтому естественно ожидать, что
при Т > 0 корневая особенность размывается и туннельный ток оказывается отлич-
ным от нуля при всех напряжениях.
Чтобы убедиться в том, что это действительно так, найдем туннельный ток под по-
рогом при малых температурах Т <С А . Интеграл в (11.61) при таких Т определяется
окрестностями точек е = ±Д . Введем обозначение е = ±(Д + х) в каждой из обла-
стей. Как будет ясно из дальнейших вычислений, характерное значение х оказывается
порядка Т , поэтому можно разложить плотность состояний по х/А . Выражение для
туннельного тока соответственно принимает вид
/Ar_s(V,T) = 47rez/az/b|T0|2 (п^(Д + ж)+п^(-Д-я:)-
' у2Дж
— nF(& + eV + х) — nF(—Д — х + eV)) . (11.63)
Упростим полученное выражение, воспользовавшись тождеством nF(—е) = 1 — nF(s) ,
которому удовлетворяет фермиевская функция распределения. Получаем
IN_S(V,T) =
(пр(Д — eV + х) — nF(& + х + eV))
(11.64)
о
11.4. РЕШЕНИЯ
329
(мы выразили туннельный матричный элемент То через сопротивление контакта в
нормальном состоянии).
При больших положительных значениях энергии фермиевская функция распределе-
ния переходит в больцмановскую,
nF(e » Т)^ е~£/т , (11.65)
и поэтому выражение для туннельного тока принимает следующий вид:
ОО I-“
IN-s(V, Т) = е-Л/г sh f dx J— е~х/т . (11.66)
етъ 1 j v х
о
Вычисляя интеграл по х с помощью известного представление гамма-функции, нахо-
дим:
In-s(V, Г) = е-Ыт sh . (11.67)
e/i 1
Это выражение неприменимо в узкой окрестности порога при eV — Д ~ Т , посколь-
ку при таких напряжениях приближение (11.65) нельзя применять к первому члену в
(11.64).
Итак, при 0 < Т <С Д ток (11.61) при eV < Д экспоненциально мал. По мере роста
температуры ток под порогом eV < Д возрастает, и когда температура достигает
Тс , вольт-амперная характеристика становится омической, как для контакта между
двумя нормальными металлами.
Помимо термоактивационного вклада в ток, описываемого формулой (11.67), под
порогом eV = Д существует еще один весьма интересный вклад, не исчезающий при
Т —> 0 . Он связан с когерентным туннелированием пары электронов с противополож-
ными импульсами и спинами. Оказавшись в сверхпроводнике, такие два электрона мо-
гут образовать куперовскую пару. Туннелирование пары, в отличие от одночастичного
туннелирования, не требует затраты энергии Д на каждую частицу, и поэтому та-
кой вклад не «вымерзает» при низких температурах. Когерентное туннелирование пар
электронов часто называют андреевским отражением, поскольку описанный процесс
перехода двух электронов из нормального металла в сверхпроводник можно рассматри-
вать как превращение электрона в дырку при отражении от поверхности сверхпровод-
ника. Вероятность двухчастичного туннелирования пропорциональна |7о|4 , а не |Го|2 ,
как для одночастичного туннелирования. Поэтому при |7о| <С 1 и не слишком низкой
температуре двухчастичные процессы очень редки по сравнению с одночастичными.
Вследствие этого андреевское отражение вносит существенный вклад в туннельный
ток лишь при достаточно низких температурах.4
Решение 67 Поскольку теперь у нас с обеих сторон контакта находятся сверх-
проводники, первый член в выражении (11.42) оказывается не равным нулю. Поэтому
усреднение (11.42) необходимо выполнить заново. Как нетрудно видеть, усреднение
первого члена (11.42) выполняется так же, как и раньше, с единственной разницей,
4Андреевское отражение более подробно рассмотрено в литературе, процитированной на с. 276.
330
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА
состоящей в замене нормальных средних на аномальные. Соответствующий вклад в
восприимчивость хм выписывается по аналогии с задачей 65 и оказывается равным
Хм,8-s(jAlri) — ifiT 'У ) 'У ) |-^pp' I 3” Р) 7*Ь,г//*(^т? Р ) ,
рр'
(11.68)
где Fa(ien,p) и ЕЦгеп,р) —аномальные функции Грина берегов контакта, а ц и г
— спиновые индексы. Суммируя по ц и и с учетом спиновой структуры аномальных
функций Грина, получаем выражение по виду сходное с (11.45) с точностью до замены
нормальных функций Грина на аномальные:
Хм,з-з(г^п) = |Трк|2 F+(ittn + iwm, р) Fb(iwm, к) . (11.69)
Мт рк
Обратим внимание на то, что знаки выражений (11.45) и (11.69) совпадают. Это соответствует общему
наблюдению о совпадении знаков «нормальных» и «аномальных» петель, сделанному в решении задачи
60.
Поскольку, как мы увидим, джозефсоновский ток отличен от нуля в равновесии,
т. е. при V = 0 , нам будет достаточно5 вычислить Хм,з-з(^п) при = 0 . Ана-
литическое продолжение оказывается ненужным, и можно сразу записать выражение
для туннельного тока:
Is-s
л |rp |2 тТ„, V f f AaVad£b ^bl'bd^b
4e Га Г Im /II -----о-----~---о
iA_L<+e + iA«i <+s + iA‘i
4A|T0|4nTIm£ A“A/ .
Шт \^т+ l^bl Гт + l^bl
(11.70)
Полученное выражение отлично от нуля в случае, когда фаза параметра порядка по
разные стороны контакта не одна и та же. Пусть ДО;{, = |Да,ь| ег<^а’ь . Выражая туннель-
ный матричный элемент То через сопротивление контакта в нормальном состоянии,
получаем соотношение Джозефсона:
I = Io sin(</>6 - фа) ,
___________|цо| |ЦЬ|__
eR Р. + |АО|2^ + |Аь|2
— максимальный ток через контакт. Отметим еще раз, что, в отличие от других раз-
новидностей туннельного тока, джозефсоновский ток не связан с релаксацией к рав-
новесному состоянию. Эффект Джозефсона (11.33) имеет место в термодинамическом
равновесии, и соответственно ток (11.71) между двумя сверхпроводниками с различа-
ющимися фазами параметра порядка может течь неограниченно долго.
Формула (11.71) для 10 упрощается в случае, когда параметры порядка по обе
стороны контакта отличаются только фазой: | До| = |Д&| = Д . При этом
7Г Д2
Io = eRT'^-' со2 +Д2 ’ (П-72)
5По этой же причине мы не рассматриваем вклад в туннельный ток (11.42), содержащий нормаль-
ные средние. Как мы видели в задачах 65 и 66, такой вклад описывает некогерентное туннелирование
отдельных электронов и приводит к току, исчезающему при V = 0 .
11.4. РЕШЕНИЯ
331
после чего суммирование легко производится с помощью тождества (7.85). В этом слу-
чае мы получаем соотношение (11.34) для максимального джозефсоновского тока Я .
Что произойдет, если пропустить через контакт ток, больший чем Iq ? Детальный ответ на этот
вопрос зависит от свойств цепи, в которую включен контакт. Однако джозефсоновский контакт ис-
пользуемый в таком режиме обладает одним весьма общим свойством. При токе превосходящем Iq на
контакте появится конечное напряжение У (f) , в общем случае зависящее от времени. Это напряжение
приводит к изменению фазы ф = фь — фа согласно соотношению Джозефсона для фазы
7i^=2eV(f), (11.73)
которое следует из калибровочной инвариантности. Таким образом, фаза и ток оказываются зави-
сящими от времени. Зная свойства внешней цепи, можно самосогласованно связать напряжение на
контакте V(f) и туннельный ток I(t) , и таким образом определить динамику системы. Читатель,
интересующийся этим режимом работы джозефсоновского контакта, обычно называемым нестацио-
нарным эффектом Джозефсона, может найти обсуждение соответствующих вопросов в литературе,
процитированной на с. 276.
Решение 68 а) Рассмотрим вершинную часть взаимодействия электрона с внешним
полем. Затравочная вершинная часть (в отсутствие примесей) равна единице. Вычи-
слим вершинную часть, дающуюся диаграммами на рис. 11.7, используя усредненные по
беспорядку мацубаровские функции Грина — см. (9.17). Рассмотрим вначале поправку
к вершине, соответствующую изображенной на рис. 11.9 диаграмме с одной примесной
линией:
Е, рУ \е - Q, р - q
Рис. 11.9
Интересующее нас выражение
^ni q)
1 г d2p 1
2тггот J (2тг)2 (. с \
v 7 I - ?p + 5- sign em I
1
(11.74)
2 7
bp—q 7 sign(£m
2т
вычисляется таким же образом, как ступенька примесной лестницы в задаче 52. За-
меняя интеграл по <72р интегралом по £ и вычисляя его методом вычетов, нетрудно
показать, что выражение отлично от нуля только в том случае, когда знаки энергий гт
и ет — сип различаются. (В противном случае оба вычета интегрируемого выражения
попадают в одну и ту же полуплоскость комплексного £ .)
В случае, когда знаки энергий различны и исп > 0 , получаем выражение
^ni q)
1
1 + TCJn + rDq2
(11.75)
332
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА
подобное найденному в задаче 52.
Теперь просуммируем всю примесную лестницу, показанную на рис. 11.7. Как и в
задаче 52, интересующий нас лестничный ряд образует геометрическую прогрессию.
Поэтому
Г(£ш, шп, q) = « T(Wn + jDq2) ' (1176)
Рассматривая аналогично случай сип < 0 , можно убедиться в том, что сип в (11.76)
следует заменить на |о?п|
Если же знаки энергий £т и £т — шп в функциях Грина в (11.74) совпадают, то
зануляется не только первая поправка , но, как нетрудно видеть, и все остальные
члены диаграммного ряда на рис. 11.7. Это является следствием общего правила, отме-
ченного в гл. 9 — примесная лестница отлична от нуля только если энергии в функциях
Грина имеют разные знаки.
Решение 68 б) Эффективное взаимодействие с учетом динамической экранировки
вычисляется суммированием последовательности «пузырьковых» диаграмм (см. зада-
чу 45):
q) = 1 п/0(С1\т/х х , (П-77)
1 - n(wn, q) v0(q)
где n(wn, q) — поляризационный оператор, a Vo(q) — затравочное взаимодействие.
Подставляя поляризационный оператор П(о?п, q) = —vDq2+ 7?q2) из (9.23), по-
лучаем искомое выражение (11.36).
Для дальнейших вычислений нам понадобится двумерный фурье-образ кулоновско-
го потенциала взаимодействия. Его проще всего найти, проинтегрировав известный
фурье-образ трехмерного кулоновского потенциала по qz :
°° л
Vo2)(q) = v£3\qx,qy, z = 0) = I
— сю
dqz 4тге2
2% q2 + q2
2тге2
|q|
(11.78)
где q = (qx,qy) •
Решение 68 в) Поправка к туннельной плотности состояний г(е) получается из по-
правки к функции Грина интегрированием по импульсам, которое можно заменить
интегрированием по £:
^ = -1(11-79)
7Г J
Вычислим 8G(i£, р) при Т = 0 , заменяя суммы по мацубаровским частотам интегра-
лами. Будем для определенности считать, что £ > 0 . Выражение, соответствующее
диаграмме на рис. 11.8, есть
djZ dw г2 у G _
(2тг)2 27Г
(11.80)
Наибольший вклад в интеграл по энергии возникает от области ш > £ , так как в этой
области вершинная часть Г(г, ш, q) имеет диффузионный полюс и поэтому велика
11.4. РЕШЕНИЯ
333
— см. (11.35). Пренебрегая вкладом области ш < е , имеем
5G(ie, р) =
СЮ 9
1 г dw f d q 1
(гг - £Р + 2у)2 J Эл J (2тг)2 - £ - qvp -
_______________Vb(q)_____________
(cj + Dq2) (сс + Dq2 + rDq2V0(q))
(11.81)
Удобно сразу проинтегрировать это выражение по £ . При этом мы пренебрегаем чле-
нами ш и qv в знаменателе по сравнению с т-1 , поскольку нас интересует вклад
малых энергий и импульсов. Таким образом, получаем
00 гА Т Л / \
[ 5G(ie, CUC = 2 [dec [ 7----——-------(11.82)
J ' J J (2тг)2 (w + Dq2)(w + Dq2 + rDq2Vo(q))
Подставляя в это выражение фурье-образ затравочного взаимодействия (11.78), полу-
чаем
[ 6G(ie,£UC = —2е2 [ dec [ dq-.- .---—-------- . (11.83)
J v 4 J J 4 (ш + Dq2) (ш + Dq2 + 2тг»е2 Dq) v 7
Проинтегрируем найденное выражение по q . Наибольший вклад в интеграл вносит
область
ш l~G~
2itvDe2 - q-\D,
в которой можно пренебречь Dq2 по сравнению с ш , и ш — по сравнению с ve2Dq .
Обрезая логарифмически расходящийся интеграл на границах области (11.84), получа-
ем
Г.-,. 1 /' da), (ге2)
5GU,£UC=-a------п ~1п~Е— 11.85
J AttvD J cj Dec
£
Интеграл по частотам также логарифмически расходится на верхнем пределе. Что-
бы получить вклад диффузионной области обрежем интеграл по сс на ест ~ 1 , (При
больших значениях сс электроны движутся баллистически, поэтому эта область опи-
сывается теорией ферми-жидкости и не приводит к сингулярности в плотности со-
стояний.) Вычисляя интеграл по сс и удерживая при аналитическом продолжении с
мнимых частот на вещественные лишь главный дважды логарифмический член, полу-
чаем поправку к туннельной плотности состояний:
1 (ге2)4т£>2 1
—ш---------гч---in —
8tt2vD |е| |е|
Вклад (11.86) в плотность состояний имеет отрицательный знак и сингулярен на ма-
лых энергиях в —> 0 . С помощью соотношения Эйнштейна а = e2vD произведение
vD можно выразить через проводимость, что дает искомое выражение (11.37) для
плотности состояний двумерного металла.
334
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Остановимся на физическом смысле результата (11.86). Туннельная плотность со-
стояний описывает реакцию электронной жидкости на добавление в нее электрона.
Роль кулоновского взаимодействия в этом процессе состоит в следующем. Сразу после
того, как электрон протуннелировал в металл, его заряд незаэкранирован и создает ку-
лоновское поле. Под действием этого поля остальные электроны начинают двигаться
так, чтобы заэкранировать вновь прибывший электрон. Макроскопически этот процесс
приводит к максвелловской релаксации заряда. Таким образом, туннелирование одно-
го электрона сопровождается коллективным растеканием заряда многих других элек-
тронов, что приводит к уменьшению вероятности туннелирования. В чистом металле
максвелловская релаксация происходит почти мгновенно (за время порядка обратной
плазменной частоты). Соответственно в этом случае поправки к — из-за взаимо-
действия достаточно быстро затухают на больших временах, и сингулярности в G(e)
при г —> 0 не возникает. В то же время в неупорядоченной системе, характеризу-
ющейся омической проводимостью, максвелловская релаксация происходит более мед-
ленно. Поэтому в этом случае влияние индуцированного туннелирующим электроном
растекания заряда на амплитуду туннелирования оказывается существенным и соот-
ветствующая поправка к плотности состояний расходится на малых энергиях. Можно
сказать, что плохо проводящая система сильнее «сопротивляется» попыткам добавить
в нее электрон. Этот эффект и приводит к уменьшению одночастичной плотности со-
стояний.
Поправка (11.86) приводит к специфической температурной зависимости туннель-
ного тока, а также к его неомичности. Повторив проделанное выше вычисление йг/(г)
при конечной температуре, нетрудно убедиться в том, что результат (11.86) остается
в силе с точностью до замены г —> ет = тгТ(2т + 1) • Соответствующая зависимость
туннельного тока от Т и V оказывается следующей:
G = = Go ^1 4--’ £T,ev = max [Т, eV] . (11.87)
Как видно из этого выражения, при уменьшении температуры и напряжения имеет
место подавление туннельного тока, причем насыщения при eV, Т —> 0 не происхо-
дит. Сингулярное поведение туннельного сопротивления при малых температурах или
напряжениях, возникающее вследствие сингулярности г(е) при г —> Ер , называется
туннельной аномалией.
Первое решение 69 Найдем сечение рассеяния нейтрона при рассеянии на
флуктуациях плотности среды, пользуясь золотым правилом Ферми для квантово-
механической вероятности перехода. Общее выражение для вероятности перехода в
единицу времени имеет вид
Ор __ / \
wiM = Т2 K/,PWint|2,P>|2 s \Ef + ------Ei-T)— , (11.88)
h \ 2mn 2mnJ
где p и p' — начальный и конечный импульсы нейтрона, а |г) и |/) — исходное
и конечное состояния среды. Нормируем начальную волновую функцию нейтрона на
единичный поток, ЦаЦт) = егрг/y/v , где v = р/т . Функцию же, описывающую конеч-
ное состояние, нормируем на <5(р/2тг7г) , что дает ?^nj(r) = егр'г/\/V , где V — объем
11.4. РЕШЕНИЯ
335
системы. При этом выражение для вероятности перехода приобретает следующий вид:
dw^'= PvO |<;|/₽(г)е,,гЛ1Л|2 - М . (ч-89)
где
гр п'2
q = p-p', = ------— (11.90)
2т 2т
— импульс и энергия, переданные нейтроном среде. Записывая элемент объема в им-
пульсном пространстве как
,о , ,9 , , , , hp,2dwdo'
d3p' = p 2dp do = —------ , 11.91
v'
получим выражение для сечения рассеяния, дающего парциальную вероятность пере-
хода:
. (11.92)
Теперь усредним (11.92) по начальным состояниям системы и просуммируем по конеч-
ным:
/ /'(i|?(r)|/)(/|p(r')IOe,,<"VrA', (11.93)
(ХС/ (Хс4/ г if j J
где w(E’j) = Z~re~PEi — распределение Гиббса, и а = атп/р = а(1 + тп/т) . В си-
лу пространственной однородности системы выражение под знаком интеграла зависит
лишь от г — г', и поэтому один из интегралов по й3г <73г' сокращается с объемом си-
стемы V . Принимая это во внимание, получаем окончательное выражение для сечения
рассеяния:
= [ w(E.)1S(E'/-E.-M("|p(r)m(/l?(O)IOe,,,'<i3r- (11-94)
(ХС/ (XCv J
Чтобы связать полученное выражение со структурным фактором, определенным в
(11.29) через мнимую часть двухчастичной функции Грина, S(cj, q) = 21ш/С7г(сщ q) ,
рассмотрим выражение (11.24) для запаздывающей корреляционной функции плотно-
сти и перепишем его в базисе собственных состояний системы. Повторяя вычисления,
подобные проделанным в задаче 37, запишем фурье-образ 4Cr(uj, q) в следующем виде:
КЕ(Ш, q) = £ / eiqr А <^ГУ>дР(°)'о> ME,) - w(E,)) . (11.95)
Ш + E/i — E/f + zU
Рассмотрим мнимую часть выражения (11.95):
1ш/Сл(сщ q) = / eiqrd3r(z|p(r)|/)(/|p(0)|z) (w(Ei) - w(Ef\) 6(Ef - Ег - w) . (11.96)
336
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Заметим, что w(Ei) — w(Ef) = — е ^Ef ЕЦ = — e . Сравнивая
результаты (11.94) и (11.96), получаем
da а2р' ImK,R(cj, q)
dd duj тгр 1 — е_/3ш
a2p' S(u), q)
2 тгр 1 — е_/3ш ’
(11.97)
что и доказывает соотношение (11.28).
Другое решение 69. Выведем соотношение (11.28) между сечением рассеяния ней-
трона и функцией Грина КА(ш, q) , не используя золотого правила. Изложенный ниже
вывод опирается на полученный в задаче 40 общий результат (7.38), связывающий ма-
цубаровские и запаздывающие функции Грина.
Идея заключается в том, чтобы рассмотреть функцию Грина нейтрона, рассеива-
ющегося на флуктуациях плотности среды. Вероятность рассеяния в еденицу времени
может быть получена из соответствующей собственно-энергетической части по фор-
муле = — ImT(s,p) . Поскольку взаимодействие нейтрона с атомами системы мож-
но описать с помощью псевдопотенциала (11.26), нам будет достаточно рассмотреть
изображенную на рис. 11.10 диаграмму для собственно-энергетической части низшего
порядка:
Рис. 11.10
На этой диаграмме прямая линия обозначает гриновскую функцию нейтрона
е-р2/2тп + + i0 signs
а волнистая — пропагатор флуктуаций плотности К,(х,х') . Величина р.п есть хими-
ческий потенциал нейтронов, который следует устремить к —сю , поскольку в системе
отсутствуют равновесные нейтроны. Рассматривая среду при конечной температуре,
удобно воспользоваться мацубаровской техникой. Тогда собственно-энергетическая
часть нейтрона равна
/ _ с (ЙхГ
z(i£m, р) = ---- Т52 / 7ТТз Gn(i£m - гшп, р') р' - р) . (11.99)
\ М / J (2тг)3
Аналитическое продолжение мацубаровской собственно-энергетической части (11.99)
может быть выполнено методом, рассмотренным в задаче 40 б).
Чтобы установить соответствие с использованными в задаче 40 б) величинами, за-
метим, что корреляционная функция плотности 1С(шп, q) по своим аналитическим
свойствам аналогична фононному пропагатору, а функция Грина нейтрона — элек-
тронной функции Грина. Выражение (11.99) имеет тот же вид, что электрон-фононная
11.4. РЕШЕНИЯ
337
, Е , U
th — + cth —
2Т 2Т
собственно-энергетическая часть (7.37). Поэтому в результате аналитического продол-
жения получается следующее выражение:
. . /2тга\2 г d?‘p' duds' p') 1т/Сд(сщ P — pz)
E(e'p) = [—)l -------е-£,-ц+\о------------
(11.100)
Мнимая часть (11.100) есть обратное время рассеяния, = 1тЕ(г, р) , поэтому
1 /2тгсЛ2 г d3p'du ( , s' , и; \ т , .. г . ..
- = 27Г --- / и th — + cth — I 1т/Сл(и>,р — р )й (г — о; — г ) , (11.101)
т \ р J J \ Л 21 /
где s' = р'2/2тп — рп — энергия рассеянного нейтрона. Как уже было отмечено, пере-
ход к пределу одного нейтрона соответствует большим отрицательным р.п . В преде-
ле |цп| Т гиперболический тангенс thе'/2Т в (11.101) можно заменить единицей,
после чего выражение в скобках в (11.101) оказывается равным 2/(1 — е-/3ш) . Послед-
ним необходимым шагом является интегрирование по |р'| , устраняющее оставшуюся
8 -функцию. Получаем
1 °2 f । /I 1т/Сд(сщр — р') , ,,
- = —2 / шп р ------------—- dudo , (11.102)
т тг/.г J 1 — е^1
где |р'| определяется из закона сохранения энергии при рассеянии, р/2/2т„ =
р2/2тп — ш .
Сечение рассеяния связано с временем рассеяния по формуле т-1 = av , где
v = р/тп — скорость нейтрона (мы считаем нормировочный объем равным едини-
це). Получаем
а = М . (11.103)
тг/./2 J р 1 — е^'1
Представив полное сечение в виде
г da , , , .
а = / -—— du do (11.104)
J du do'
и сравнивая это выражение с (11.103), приходим к (11.97).
Решение 70 а) Вычислим структурный фактор S/c^q) идеального ферми-газа.
Рассмотрим для этого мацубаровский коррелятор плотность-плотность
1 ?
/См(^п, q) = - j (Ттр(г, т)р(0,0))е—~^d3rdr . (11.105)
-/?
Как обычно, спаривая -операторы, получим, что неприводимая часть среднего
(11.105) дается петлевой диаграммой и равна
2й3р /. q\ Л
7~ ГТ- Or I l£m, Р — I Ст I l£m 4"
(27ГГ \ 2/ \
q
2
(11.106)
338
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА
(приводимая часть (11.105) не зависит от т и потому не дает вклада в структурный
фактор при ненулевой частоте). Суммируя по ет с помощью тождества (7.87), полу-
чаем
1Г п\ _ [ 2^3Р пг(£Р-ч/2) ~пН£р+д/2) 1П7х
J (2тг) Шп £р—q/2 3" £p+q/2
Аналитическое продолжение этого выражения достигается простой заменой шп на
си + г0 . Вычисляя мнимую часть и связывая ее со структурным фактором согласно
S(u,q) = 2Im/C7J(w,q) , получаем общую формулу
q) = У (2-д-^з (ц^^р-ч/Й ~ пр(^р+ч/Й) <7 + £p-q/2 — ^p+q/2) (11.108)
Упростим интеграл по <73р в выражении (11.108). Пусть ось z направлена вдоль век-
тора q . Введем обозначение х = cos в , где в — угол между р и q . Тогда интеграл
(11.108) перепишется в таком виде:
оо 1 9
в(ш, q) = 2Л <ме-) - ме+)) ф - ^), (11.Ю9)
J J (2тгг \ т /
о-i v ’
где
2 2 2
= + (п.по)
2 m 8m 2m
Интегрирование по х сводится к замене х на xq = тш/pq . При этом следует учесть,
что интеграл равен нулю, если |rco| > 1 . Таким образом, структурный фактор есть
ОО
ТП Г
8(у,Й) = ~ / Pdp - nF(£+\) . (11.111)
7FQ J
m|w|/Q
До сих пор мы не делали никаких предположений о величине температуры. Интеграл
в (11.111) вычисляется элементарно при произвольной температуре. Мы, однако, най-
дем структурный фактор (11.111) только в пределе нулевой температуры. При Т = 0
фермиевская функция распределения принимает значения 0 и 1 . Поэтому выраже-
ние (11.111) можно записать в виде
S(u,q) = — У pdp (0(р2_ — р2) — 0{р2+ — р2)) , (11.112)
m\w\/q
где
а2
Р±=р1-^Етпш (11.113)
— корни уравнений = 0 . Рассмотрим для определенности случай си > 0 . Тогда
р_ > р+ . В зависимости от того, как нижний предел интегрирования muj/q соотно-
сится с р+ и р_ , возможны разные случаи:
11.4. РЕШЕНИЯ
339
а) Во-первых, при тш/q > р- интеграл (11.112) оказывается равным нулю. Это
происходит при
2 2
> ро + тш — . (11.114)
Выделяя полный квадрат, получаем уравнение границы области 3(ш, q) > 0 :
тш q
~Т~2
Эта граница состоит из двух несвязных частей:
о
/ ч , Poq . q
^1,2(9) — ±------н х—
т 2т
(11.115)
(11.116)
б) Во-вторых, при тш/q < р+ интегрирование в (11.112) производится от р_ до
р+ , что дает
5=^(Й-Р2_) = ^. (11.117)
2tFQ V 7 7FQ
Это выражение справедливо в области
/ \ 2 2
/тш\ q .
----I < ро — тш---(11.118)
\ q /
то есть при
(\ _ Poq , q2 /и
w < w3(q) —---1- -— . (11.119)
m 2m
в) Наконец, если p+ < тш/q < p_ , то интегрировать следует от точки тш/q до
р_ . Таким образом, в этом случае структурный фактор равен
(/ \ 2\
9 / тш \ \
Р- - --- 11.120
\ q J /
Удобно переписать это выражение, выделив полный квадрат:
(/ \ 2\
Ро -------5) (11.121)
\ q 2) /
Собирая результаты для различных предельных случаев вместе и вводя безразмер-
ные переданные энергию ш = тш/р^ и импульс q = q/po , приходим к следующему
окончательному ответу
при ш: > q + i!. 2О ’
при 0 < : ш < q ~
при 0 < ' ш < - q q~^2
при ш: > q - 2 ’
(11.122)
340
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА
На рис. 11.11 изображены линии уровня S(cu,q) и показаны границы области, где
S(u, q) ф 0 . Изображены также кривые ш = q2/2т и тш = poq — q2/2 .
Рис. 11.11
Граница области S^q) > 0 пересекает прямую со = 0 при q = 2р0 . В этой же
точке оканчивается граница области тш = poq — q2/2 . Таким образом, точка q = 2р0
оказывается особой точкой структурного фактора. Эту особенность можно интерпре-
тировать, рассматривая рассеяние нейтрона жидкостью как рождение пары частица-
дырка. При этом ш — это энергия пары, a q — ее импульс. Если q < 2ро , то энергия
пары может быть как угодно мала, потому что пару с таким импульсом можно со-
здать, переместив частицу вдоль ферми-поверхности в состояние с другим импульсом,
но с почти той же энергией. Если же q > 2ро , то частицу придется перевести в состо-
яние с другой энергией, поскольку на ферми-поверхности нет состояний с требуемым
импульсом. Именно этот эффект и создает особенность при q = 2ро .
Интересно отметить, что максимум структурного фактора S(cj,q) при фиксиро-
ванном |q| > ро достигается при ш = q2/2m , что соответствует закону дисперсии
частиц, — см. (11.121). Парабола cj = q2/2т изображена на рис. 11.11.
Решение 70 б) Рассмотрим структурный фактор ферми-жидкости. Естественно ожи-
дать, что он будет похож на структурный фактор ферми-газа, с тем лишь отличием,
что в нем должно быть слагаемое, отвечающее процессам рассеяния с испусканием
кванта нуль-звука.
Гамильтониан взаимодействующих фермионов имеет вид (8.1). Для простоты бу-
дем считать, что взаимодействие между частицами слабое и короткодействующее:
ГДг —г') = д6(г — г') . Мацубаровский коррелятор плотность-плотность К(ш, q) , через
который выражается структурный фактор, получается суммированием «пузырьковых»
11.4. РЕШЕНИЯ
341
диаграмм, изображенных на рис. 11.12.
Рис. 11.12
Соответствующая запаздывающая двухчастичная функция Грина есть
KR(u, q) = -П(сщ q) - #П2(сщ q) - #2П3(сщ q) - ..
П(сщ д)
1 - #П(сщ д) ’
(11.123)
где П(сщ q) — запаздывающий поляризационный оператор. Воспользуемся найденным
в задаче (44) точным выражением для П(сь’, q) идеального ферми-газа:
п(ш>к) = ^Н»-а)-^ + а)) , а = s = Ш + f, (11.124)
0(2 /pg VpK
где i
F(u) = [-——clx = 2м + (1 — и2) In fM + . (11.125)
Ju — x \u — 1/
-1
Чтобы получить запаздывающую функцию мы добавили гО к ш .
Структурный фактор S(cj, q) = 2 q) , соответствующий (11.123) и
(11.124), изображен на рис. 11.13 для ди = 3 .
Рис. 11.13
342
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Обратим внимание на резкий пик при частотах несколько выше границы непрерыв-
ного спектра, сответствующего рассмотренному в части а) вкладу квазичастиц. Этот
пик представляет собой вклад нуль-звуковой моды. Как видно из рис. 11.13, нуль-
звуковой пик характеризуется приблизительно линейной зависимостью ш от q. Он
существует только при достаточно малых q и вливается в непрерывный спектр при
q ~ О.8ро • Такое поведение иллюстрирует рассмотренное в задаче (44) свойство закона
дисперсии коллективных мод в ферми-жидкости — иметь точку окончания на границе
непрерывного спектра квазичастичных возбуждений.
Интересно рассмотреть область малых q <С ро , ш Ер , в которой выражение
для поляризационного оператора (11.124) упрощается:
(11.126)
Уравнение <?n(s) = 1 для полюса Kr(cj, q) в точности совпадает с полученным в гл. 8
уравнением (8.11), дающим закон дисперсии нулевого звука. Скорость нуль-звуковой
моды ш = sqVf|q| зависит от константы взаимодействия д , причем sq > 1 при любом
отталкивательном взаимодействии д > 0 .
С другой стороны, мнимая часть выражения (11.126) отлична от нуля только при
s < 1 , причем в этой области Imll(s) = ^rs . Поэтому структурный фактор (11.123)
можно записать в виде
77(s) = ^—+ 77reg(s) , (11.127)
где А —вычет K(s) в полюсе s = sq , a Xreg(s) —регулярная функция, равная нулю
при s > 1 .
Величину А нетрудно найти, вычисляя вычет выражения X(s) = — П(§)/(1 —
<?n(s)) . Получаем
П(зр) =_______________д 1_________
(fll(s) ди Г so +1 2so
—-— — In-----------------
as 2 so — 1 Sn — 1
s=sq L u и
(11.128)
Учитывая, что скорость нуль-звука so удовлетворяет соотношению <?n(s) = 1 , выра-
жение для А можно упростить:
А = h so(s°721> П1 (11Л29)
9 [1 - 9» («о - !)]
Итак, нуль-звуковой полюс в (11.127) приводит к 6 -функционной особенности в
структурном факторе. Пик оказывается резким, поскольку в линеаризованной теории
ферми-жидкости нуль-звук не затухает. В действительности же пик должен иметь не-
большую, но конечную ширину, пропорциональную max[w2,T2] и равную обратному
времени затухания.
Подчеркнем еще раз, что выражение (11.127) справедливо только при достаточ-
но малых q , а при больших q нуль-звуковой пик сливается с непрерывным вкладом
11.4. РЕШЕНИЯ
343
Xreg(s) и исчезает. Отметим, что с формальной точки зрения наши результаты огра-
ничены предположением о малости взаимодействия д , позволяющим отбросить все
диаграммы кроме пузырьковых. На самом же деле все сказанное о поведении струк-
турного фактора в области q <С ро , ш Ер справедливо для произвольно сильного
взаимодействия. Дело в том, что в этой области работает теория ферми-жидкости и
для нахождения корреляционной функции плотность-плотность можно воспользовать-
ся кинетическим уравнением (8.7), решение которого эквивалентно суммированию пу-
зырьковых диаграмм.
Решение 71 а) Сравним выражение (11.27) для рассмотренного в задачах (69) и (70)
взаимодействия нейтронов с плотностью ядер с взаимодействием в модели дебаевского
желе,
Т/int = - йр(ИД) , йр = —podivu, (11.130)
М
где R — координата нейтрона. Как нетрудно видеть, вклад фононов в структурный
фактор есть б'(сщд) = 2Im/CB(w,q) , где
2тгсФ2\ Г (йр(г, i)5p(0, 0) — йр(О, О)йр(гД)) , t>0
р, / 10, t < 0
(11.131)
Сравнивая это выражение с определением фононной функции Грина Рл(;г,а/) =
—i0(t — <p(rc')]) , где <р(х) = c^/podivu ( см. выражения (6.5) и (6.7)), полу-
чаем соотношение: 2
. _ ту, . ( 2tf6z7z \ л-, r / \ /
/Сд(гД) = ------- Рд(гД) . (11.
Запаздывающая функция Грина дебаевских фононов есть
VR(aj,k) =
^о(к)
cj2 — uJq (k) + iO sign ш
w0(k) = c|k| .
(11.133)
Отсюда 1шРй(ш, k) = (й(о? — ^o(k)) — + u?o(k))) , и поэтому
S(u, k)
= 7Г
w0(k) (<5(w - w0(k)) - + u>o(k)))
(11.134)
Отметим, что отрицательный знак второго слагаемого в (11.134) согласуется с требо-
ванием положительности вероятности рассеяния нейтронов. Это обеспечивается мно-
жителем 1/(1 — е-/3ш) в выражении (11.28) для сечения рассеяния.
Как следует из (11.134), вероятность рассеяния с передачей кристаллу энергии ш
и импульса к пропорциональна
(7¥в(и>о(к)) +1) <5(ш — о?о(к)) + Лщ(^о(к)) d(cj + ^'о(к)) ,
(11.135)
где 7Vg(w) — бозевская функция распределения. Таким образом, положение пика в
структурном факторе как функция ш и к позволяет определить спектр фононов.
344
ГЛАВА 11. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Решение 71 б) Функция Грина фонона в металле D0(u, q) = (q)/(cj2 — cjg(q)) пере-
нормируется за счет электрон-фононного взаимодействия. Согласно теории Мигдала
(см. задачу 31), все наиболее существенные эффекты можно учесть с помощью поля-
ризационного оператора, причем сам поляризационный оператор может быть найден
через перенормированные функции Грина без учета вершинных поправок. Соответ-
ственно
£>о(^,д)
1 - ^2n(w,q)r>0(w,q)
—------ 2П7-------------П ’ = Clql ’ (U-136)
u>2 — u>o(q)(l + <72П(и>, q))
где поляризационный оператор П(с<?,q) дается соотношениями (11.124) и (11.125). По-
скольку характерные ш и q , представляющие для нас интерес, есть ш ~ cq , безраз-
мерный параметр s = cj/vpq в данном случае много меньше единицы. Соответственно,
переходя в (11.124) к пределу s <С а = к/2р$ , мы получаем
П(а) = —— (2а + fl — а2) In
4а \ v >
(11.137)
1 — а
Плотность состояний и в (11.137) должна быть определена с учетом электрон-
фононной перенормировки, найденной в задаче 29. Полюс функции Грина (11.136) дает
перенормированный закон дисперсии фононов:
w = w0(q)(l + /n(|q|/2p0))
(11.138)
Выражение (11.137) имеет при |q| = 2р0 слабую особенность, приводящую к логариф-
мической расходимости перенормированной скорости звука с = dw/dq. Эта особен-
ность и есть коновская аномалия.
Вклад фононов в структурный фактор, согласно (11.132) и (11.136), есть
2тга/г2\2 cjg(q)
цс / (ш + гО)2 — u>o(q)(l + д2П(п? + гО, q))
(11.139)
На рис. 11.14 мы изобразили структурный фактор, получающийся при использовании
выражений (11.124) и (11.125) для П(сщ q) . Значение константы электрон-фононного
11.4. РЕШЕНИЯ
345
взаимодействия было выбрано равным g2v = 8/9 .
Рис. 11.14
Положение пика в плоскости (w,q) дает закон дисперсии фононов . При q 2ро
закон дисперсии приблизительно линейный с наклоном с\/1 — g2v , что соответствует
переномировке скорости акустических фононов — см. задачу 31. При q > 2р0 перенор-
мировка скорости постепенно исчезает. На рис. 11.14 хорошо видно резкое возраста-
ние наклона зависимости о?(д) в окрестности q = 2ро . Отметим также, что конечная
ширина пиков на рис. 11.14 связана с тем, что электрон-фононное взаимодействие при-
водит к затуханию фононов в металле — см. задачу 31 б).
Глава 12.
Бозонизация и латтинжеровская
жидкость
Взаимодействующие фермионы на прямой представляют собой особую интересную си-
стему. Оказывается, даже слабое взаимодействие полностью меняет характер одномер-
ной ферми-системы, приводит к перестройке спектра возбуждений и делает теорию
ферми-жидкости неприменимой. Одномерные фермионы могут быть успешно описа-
ны в рамках модели Томонаги-Латтинжера и ее обобщений, и по этой причине часто
используется название латтинжеровская жидкость.
Метод бозонизации, с помощью которого строится теория латтинжеровской жид-
кости, является своеобразным квантовомеханическим аналогом гидродинамики. Эле-
ментарные возбуждения системы вводятся с помощью фурье-компонент операторов
плотности и коммутационных соотношений между ними. Соответствующие квазича-
стицы подчиняются статистике Бозе. Исходные же фермионные операторы в таком
представлении выражаются через бозонные операторы весьма нетривиально.
Вообще говоря, представление возбуждений ферми-системы с помощью эквивалент-
ных бозонов имеет место для произвольной размерности системы. Так, в главе 8 мы
продемонстрировали, что теорию ферми-жидкости можно «проквантовать», используя
бозе-операторы электрон-дырочных пар (см. раздел 8.3 и задачи 44, 45, 49). Однако
только в одномерном случае метод бозонизации приводит к результатам, которые не-
возможно или же трудно получить более стандартными методами.
Помимо задачи о взаимодействующих фермионах на прямой, метод бозонизации на-
ходит применение также при изучении динамики невзаимодействующих фермионов в
произвольной размерности. В частности, этот метод оказывается весьма удобным при
описании встряски ферми-системы под действием возмущения, зависящего от време-
ни. Примерами такого рода являются «катастрофа ортогональности» и задача о крае
рентгеновского спектра поглощения в металле (см. задачи 75 и 76).
12.1. Гидродинамика одномерного ферми-газа
Гидродинамическое описание применимо, если характерные пространственный и вре-
менной масштабы велики по сравнению с микроскопическими длинами и временами.
347
348
ГЛАВА 12. БОЗОНИЗАЦИЯ
Соответствующие условия для ферми-газа записываются в виде: к <С ро , ш EF .
Некоторые факты гидродинамики одномерного ферми-газа нам уже известны из
задачи 24, в которой мы нашли флуктуации числа частиц одномерного ферми-газа
внутри фиксированного интервала большой длины L рй1 ,
«л® = (Nf) - {NLy = 11пр„£ , (12.1)
7Г2 * *
а также из задачи 25, в которой был найден коррелятор плотность-плотность
Q(a),k')=v —----- .---------- , k<^p0,uj<^EF, (12.2)
ш2 — v2k2 + го signw
где и — плотность состояний на уровне Ферми.
Интересно сопоставить эти результаты со свойствами одномерной упругой сре-
ды. Гриновская функция фононов в одномерной модели Дебая есть D(x — х',t — Д) =
—грс2 (Т dxu(x,t)dxu(x',t')} , где u(x,t) — оператор смещения среды1. В одномерном
случае оператор u(x,t) имеет вид:
u(x,t) = ~^= У S.lgnfc (ькГкх~^ + ь+е~Ыс^) , (12.3)
VL к ^2рс\к\ V 7
где L —длина системы, а Ък и 1Ц —канонические бозевские операторы фононов2 (ср.
с трехмерным выражением (6.1)). В Фурье-представлении:
2 7 2
D(u, = ~2------
ш2 — с2к2 + го signw
Обратим внимание на то, что это выражение совпадает с коррелятором плотности
(12.2), с точностью до множителя г и замены г —> с . Можно сделать еще одно наблю-
дение, сравнив флуктуации числа частиц (12.1) в интервале большой длины с корреля-
тором смещений (12.3). Пользуясь теоремой Вика, усредняем:
с elk О 1 Т.
(u(M«(?/)b = / = Жп|------------ . (12.5)
J 2тг 2рс\к\ 2ттрс |гс — х'\
Отсюда нетрудно получить, что
((и(х, t) — и(х', О)2 ) = -In ——— , (12.6)
ттрс а
где а — период решетки (см. также задачу 54, где коррелятор смещений (12.5) найден
при произвольной температуре).
1 Обычно гриновская функция фононов вводится несколько иначе, через операторы р(х,Р)
(см. (7.9)-(7.16) [1]). Однако в модели Дебая Vw и р отличаются множителем: </?(r, t) = сЦр Ги(г, t) .
Предполагается, что ^ ... = J ...^ и = 2тгЬ6(к — к') , где L — размер системы. Данные
к \
соглашения используются всюду в этой главе.
12.2. КОММУТАТОРЫ ОПЕРАТОРОВ ПЛОТНОСТИ
349
Совпадение корреляторов (12.6) и (12.1) подсказывает, что должно существовать
преобразование, переводящее одну задачу в другую. Сравнивая коэффициенты перед
логарифмами, определяем правило соответствия:
dxu(x,t) (тг/рс)1//2 п(ж, ^) = (тг/рс)1//2^+(я:, ^)^(ж, ^) . (12.7)
Нетрудно видеть, что если бы нашлось преобразование, обеспечивающее такую связь,
то при этом коррелятор плотность-плотность (12.2) в точности перешел бы в гринов-
скую функцию фононов.
Преобразование фермионной задачи в эквивалентную задачу динамики одномерной
упругой среды называется бозонизацией. Оно имеет много общего с преобразованием
Иордана-Вигнера, связывающим спиновые и фермиевские операторы в одномерной це-
почке (см. раздел 1.4). Причина сходства заключается в том, что спиновые операто-
ры на разных узлах коммутируют, а значит, они удовлетворяют таким же бозонным
коммутационным соотношениям, как и операторы фононов. Эту аналогию можно раз-
вить, построив из спиновых операторов, взятых на узлах, операторы спиновых волн в
импульсном представлении: и фононы, и спиновые волны представляют собой квази-
частицы, подчиняющиеся бозе-статистике. Однако, в отличие от точного преобразо-
вания Иордана-Вигнера, преобразование бозонизации — приближенное. Точность его
ограничена пределом длинных волн. Иначе говоря, оно законно только если речь идет
об эффектах в ферми-системе, связанных с электронами или дырками вблизи уровня
Ферми.
12.2. Коммутаторы операторов плотности
Преобразование бозонизации нетрудно построить явно. Начнем с того,3 что разобьем
фурье-компоненту оператора плотности бесспиновых фермионов на два слагаемых:
р(к) = '^2ар-к/2ар+к/2 = Р1(к) +р2(к) , (12-8)
р
где 1
A’l(^) = у 52 ар-к/2аР+к/2 , Р2.(к) = у 52 ар-к/2аР+к/2 (12’9)
Ь р>0 Пр<0
Как уже было отмечено, всегда подразумевается, что существенными окажутся только
состояния вблизи уровня Ферми, поэтому к мало, а р близко либо к р0 , либо к — р0 .
Такого рода соображения и служат основой для выбора представления (12.8) оператора
р(к) в виде суммы «правого» и «левого» операторов плотности (12.9), а также всех
нижеследующих манипуляций с pipik) .
Рассмотрим коммутационные соотношения для введенных операторов. Фурье-
компоненты полной плотности р(к) просто коммутируют:
im.Ptk")] = 0 (12.10)
3Мы следуем работе: S. Tomonaga, Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 5, p. 544 (1950)
350
ГЛАВА 12. БОЗОНИЗАЦИЯ
А вот коммутаторы pi(k) и р2(к) нетривиальны. Для примера найдем
1
[р^к^р^к'}} = - £ а+_к/2ар+к1+к/20 р + - + -
ь р>о L \ z z
+
т 2—t ap-qap+q
L р
al к
р- -
\
А/
~2
к . к'\ +
' I — ар-к’-к/2аР+к/‘2
к\ al к
- — 6 р — -
2 / \ 2
(12.П)
где q = l(fc + к') . Заметим, что разность в— функций ограничивает область измене-
ния р следующим образом: |р| < к/2 . В то же время, при интересующих нас малых
|А:| <С Ро практически все состояния, дающие вклад в сумму (12.11), находятся глубоко
под уровнем Ферми. Поэтому естественный шаг — заменить в (12.11) произведения
операторов а^аР2 на их средние значения (apiaP2} = 27rLn(pi)5(pi — р2) , где n(pi)
— фермиевское распределение. Сделав такую замену, получаем
[AW.A(-O=fe {^posignfc, \к\>1р0- <12'12>
Аналогично вычисляем остальные коммутаторы. Как уже отмечалось, нас интересуют
малые к, к' <С Ро • При этом условии находим:
|А(Ч.А(-к')] = ква, , [Дг(А),Дг(—*:')] = -к6№ , (12.13)
[AW,&(-*')] = 0- (12.14)
Из вывода ясно, что эти выражения есть результат приближения, пренебрегающего
изменением состояний частиц глубоко под уровнем Ферми.
Отметим, что в координатном представлении коммутационные соотношения (12.13)
- (12.14) принимают вид:
[pj(x), pi(x')] = ±^—5ji5'(x - х') , (8'(ж) = дх8(х\) , (12.15)
Z7i L
где положительный знак соответствует правым частицам, а отрицательный — левым.
Соотношение такого вида называют «аномальным коммутатором Швингера».
Замена операторов в правой части коммутационных соотношений на скаляры, по-
зволяющая перейти от (12.11) к (12.13), (12.14), является центральным пунктом теории
Томонаги. Хотя на первый взгляд такого рода приближение может показаться мало-
обоснованным, было выяснено, что приближение Томонаги в точности соответствует
переходу от микроскопического описания к гидродинамическому, и поэтому на мас-
штабах, много больших среднего расстояния между электронами, оно всегда является
4
ТОЧНЫМ .
Оказывается удобным выразить операторы плотности правых и левых частиц
Pi,2(ti) через бозевские операторы. Наиболее естественно выбрать Ьк и Ьк с к > 0
для правых частиц, и с к < 0 для левых частиц:
= £ 2т№’ + ь*е~'А’ ^х> = Г. -ГТ е~'А • <12-16)
___________к>0 _____________ к<0
4Подробное обсуждение этих вопросов можно найти в работе: F.D.M. Haldane, J. Phys. (714, 2585
(1981)
12.3. МОДЕЛЬ ТОМОН АГИ
351
где Afc = (2тг/1к|L)х/2 . Определение (12.16) согласовано с коммутационными соотно-
шениями (12.13), (12.14). Из (12.13), (12.14) следуют канонические коммутационные
соотношениям между операторами Ьк и Ь^, , причем нормировка в (12.16) такова, что
[Мй = 2яЬ6кк' .
12.3. Модель Томонаги
Рассмотрим задачу, для решения которой, собственно говоря, преобразование бозони-
зации и было впервые введено. Пусть имеется одномерная система бесспиновых фер-
мионов, взаимодействующих друг с другом:
= у У? Др)ар ар 4" уу? У? ^/Гр1-р2ар1аР2ар3аР4 1 (12.17)
Р Р1+РЗ=Р2+Р4
где Др) = (р2 — Ро)/2т. Здесь Vk = f V(r)e~tkrdr — формфактор потенциала взаи-
модействия. Рассмотрим случай, когда радиус взаимодействия Го много больше pfJ 1 .
При этом формфактор Vk как функция к быстро спадает при к ~ г^1 Ро • Как
всегда, нас интересуют только состояния вблизи уровня Ферми, то есть при pi ~ ±р0 .
Легко видеть, что при этих условиях все взаимодействия сводятся к двум суще-
ственно различным процессам рассеяния, при которых две частицы, рассеивающиеся
друг на друге, движутся в одну сторону или навстречу друг другу. Поэтому доста-
точно рассмотреть такие комбинации импульсов:
(i) Р1 ~ Ро , р2 ~ Ро , Рз ~ Ро , р4 ~ Ро ;
(и) Р1 ~ Ро , Р2 ~ Ро , р3 — ~Ро , Pi -Ро
(и, конечно, отличающиеся знаком всех импульсов и/или перестановкой частиц). Вве-
дем обозначения:
gi(k) = Vk , дДк) = V2po+k , (12.18)
причем будем считать, что к <С Ро • Амплитуда дДк) описывает процесс рассеяния
частиц, находящихся с одной и той же стороны поверхности Ферми (рассеяние впе-
ред), a д2(к) — переброс двух частиц с одной стороны поверхности Ферми на другую
навстречу друг другу (рассеяние назад).
Запишем гамильтониан, явно выделяя малые импульсы ki,k2,q '
Н = Но + Н1 + Н2 ; (12.19)
т У? Дро А к) уаро+к аро^к 3-а_ро_к a-p0-kj ,
А'Сро
= 2L? (aPo+k1+q/2aPo+k1-q/2apo+k2_q/2apo+k2+q/2 +
fcl к2 q
+ (Ро -Ро)) ,
^2 = уД У2 92(q) apo+kl+q/2apo+k1-q/2a-po+k2_q/2a-po+k2+q/2
ki к2 q
352
ГЛАВА 12. БОЗОНИЗАЦИЯ
Постараемся теперь выразить гамильтониан через операторы р1;2(^) • Для этого
заметим, что суммирование по и в Hi и Н2 сводится к суммированию по р
в (12.9). С учетом этого обстоятельства Hi и Н2 можно переписать так:
2 q V
^2 = 12^2(9) Pl (9)P2(-Q) •
q
(12.20)
В отличие от взаимодействия Hi + Н2 , гамильтониан Но невзаимодействующих ча-
стиц не удается столь же просто выразить через рц2(А:) , поскольку в нем присут-
ствует множитель £(ро + к) . Тем не менее, оказывается, что если заменить квадра-
тичный спектр фермионов £(р) = (р2 — pg)/2m на линейный £(р) = v(|р| — р0) , то
и гамильтониан Но можно представить в виде оператора квадратичного по pi,2(&) .
Модель одномерного ферми-газа, получающаяся таким образом, называется моделью
Томонаги-Латтинжера.
Чтобы угадать, как Но выражается через pi(fc) и р2(А:) , применим небольшую
хитрость. Предположим, что ответ записывается в виде
Яо = 52 (pi(k) Р1(~к) + р2<к) М-к)) (12.21)
к ' '
и найдем коммутатор [рД/Д, 7/0] • С одной стороны, согласно (12.13),
______________________ /-
[pi(fc), Но\ = ^ак> [р1(/Д, Pi(k')pi(-k')] = ~akpi(k) .
к1 7Г
Теперь найдем этот же коммутатор «по-честному»:
Дее
р>0 р'
(12.22)
рЦк), Но =
=Дее-
р>0 р’
''р-к/2 ар+к/2 > ар' ар’
‘р—к/2 ар+к/2 , dp' dpi
'‘р-к/2 1 ар' ар' ар+к/2
dp_к/2 ®Р' ^р+к/2—р' d^ Ор^к/2 Sp—k/2—p''^
v к к у
т
L р>0
'<p_k/2aP+k/2 =vkpi(k)
Сравнивая (12.22) и (12.23), находим ак = ttv и получаем
Но = ли 52 (P^k) Р1(~к) + Ык) Ы~к))
к
(12.23)
(12.24)
Итак, длинноволновая динамика ферми-газа допускает описание в терминах волн плот-
ности в газе фермионов. Отметим, что вместо величин рЦк) и р2(А:) иногда бывает
удобнее пользоваться их комбинациями р(к) = рЦк) + р2(А:) и j(k) = рЦк) — Р2Ц) ,
которые есть просто плотность и ток частиц.
12.4. ОТ БОЗОНОВ К ФЕРМИОНАМ
353
Теперь можно заняться задачей о спектре возбуждений одномерного ферми-газа с
взаимодействием. Все члены в преобразованном гамильтониане оказываются квадра-
тичными по Pi,z(k) Выражая pi(k) и р2(к) через операторы Ьк , Ьк по формулам
(12.16), находим
Н = \(^kv + kg^Vb^bk+ btkb_k} + kg2(k)(b^btk + bkb_k\\ . (12.25)
k>0
Переходим к квазичастицам, выполняя преобразование Боголюбова,
bk = ch 6к bk + sh 6к btk
btk = chekbtk + shekbk , (12.26)
и подбирая параметр преобразования 9к так, чтобы гамильтониан стал диагональным:
th2fl,= Т(к\
gi(k) + 2тгг>
Получаем гамильтониан и спектр возбуждений квазичастиц:
Н = bkbk , ш(к) = ((2^ + ^(А:))2 -^22(А:))1/2
(12.27)
(12.28)
Полученное решение показывает, что квазичастицами в модели Томонаги-Латтинжера
являются не фермионы, а бозоны со спектром (12.28). Перестройка спектра эле-
ментарных возбуждений происходит из-за того, что взаимодействие вблизи ферми-
поверхности сильное, и поэтому время жизни фермионов оказывается слишком малым.
Это означает, что в одном измерении теория ферми-жидкости неприменима.
Модель Томонаги-Латтинжера нетрудно обобщить на частицы со спином, что при-
водит к бозонизованной задаче, в которой имеются операторы как плотности заряда,
так и плотности спина, причем гамильтониан остается квадратичным. К сожалению,
детальное изложение всех связанных с этим вопросов увело бы нас слишком далеко.
Поэтому ограничимся ссылкой на книгу Many-Particle Physics, G. D. Mahan (Plenum
Press, 1990), Chap. 4, а также на оригинальные работы (см. A. Luther and V. J. Emery,
Phys. Rev. Lett. 33, 589 (1974), A. Luther and I. Peschel, Phys. Rev. В 9, 2911 (1974), и
цитированную в них литературу).
12.4. От бозонов к фермионам
Важную роль в теории латтинжеровской жидкости играет обратное преобразование
бозонизации, позволяющее выразить фермионные операторы через бозонные (!) и по-
лучить выражение для функции Грина взаимодействующей ферми-системы.
Представление фермионных операторов можно найти, рассматривая коммутаци-
онные соотношения. Поскольку гамильтониан записывается только через операторы
плотности (12.16), достаточно построить из них такие операторы ^j(x) , ^(х) , что-
бы выполнялись стандартные соотношения
Й#),^Ф')]+ = [^(^),й+(Х)]+= °,
354
ГЛАВА 12. БОЗОНИЗАЦИЯ
[^+(ж),^(ж')]+ = 6jt 6(х — х') , (12.29)
( j, I = 1, 2 ). Оказывается, соотношения (12.29) можно получить, выбрав представление
фермионных операторов следующим образом:
ф3(х) = А3е^х\ $+(х) = А3е-^(х\ (12.30)
(f>j(x) = 2,7V f pj(x')dx' , (12.31)
J—сю
где константы Aj , зависящие от ультрафиолетовой обрезки интеграла (12.31), будут
определены позже. Выражения (12.30) по форме напоминают струну, возникающую в
преобразовании Иордана-Вигнера.5 Хотя на первый взгляд выражения (12.30), (12.31)
выглядят несколько таинственно, можно убедиться прямым вычислением, что они при-
водят к антикоммутирующим фермиевским операторам.
Проверим коммутационные соотношения (12.29) между фф2(ж) и ^1,2(^9 • Восполь-
зуемся для этого известным тождеством Бейкера-Хаусдорфа,
егег = er+v+i[r,v] , (12 32)
верным, если [U, V] коммутирует как с U , так и с V . План вычисления заключается в
том, чтобы с помощью (12.32) преобразовать произведения фХ^ф^х'} и ^(я^/Дя/)
к такому виду, в котором сингулярность при х' = х выделена явным образом.
Запишем операторы фазы, стоящие в показателе экспонент (12.30), через бозонные
операторы:
М^) = 2л Г рфх'^х' = г Хк[Ъ+е~гкх - Ькегкх}е-а\к\/2 , (12.33)
к>о
ф2(х)=2тг Г p2(x'}dx' = -г^Хк[Ь^е~гкх-Ькегкх}е~а\к\1\ (12.34)
к<о
где, как и выше, Хк = (2л/А:£)1//2 . Величина а введена в (12.33), (12.34) для регуляри-
зации, причем подразумевается предельный переход а —> +0 .
Рассмотрим произведение операторов фф(яД^Дя/) и, воспользовавшись (12.32), за-
пишем его как
фф(х)ффх') = (12.35)
где
[ф(х), ф(хф] = £ X2kL (eik(x~x'^ - e-ik(x~x'^ е~а^. (12.36)
fc>0
Далее, приведем (12.35) к нормально-упорядоченному виду:
фф(х)ффх') = |Д1|2ев%-ве|([в+щ]+[^^)]), (12.37)
В = £ Xkbk (eikx - eikx') e-alfcl/2 . (12.38)
fc>0
5 move to intro
12.4. ОТ БОЗОНОВ К ФЕРМИОНАМ
355
Вычисляем коммутатор:
[в+, В] = £ ^kL (eik{x~x'} + e-ik{x~x'} - 2) e-a|fc| . (12.39)
fc>0
Прибавляя к (12.39) выражение (12.36), получаем6
| ([В+, В] + [ф(хф ф(х')]) = £ AfcL (eik(x-x'^ - 1) e-alfcl (12.40)
2 к>0
00 Jle
= [ — (eik(x~x^ - 1) e-alfcl = In---? (12.41)
J к v 7 a + i(x' — x)
Нормальное упорядочение произведения ффхффф(ж) выполняется совершенно анало-
гично (12.35) — (12.41). Единственное отличие заключается в том, что коммутатор
[«/•(я;), </»(я/)] входит в аналог (12.35) со знаком « — ». Вследствие этого, вместо (12.41)
имеем
1 rile
- ([£+, В] - [ф(хф ф(хг)]) = I — (eik^-x^ - 1) е~ак = In -—~ (12.42)
о ' '
Поэтому антикоммутатор
[ф^хфффх’УА = ф^(х)ффх') + ффхфф^х) (12.43)
оказывается равен
а\Аф2е~^+е^ (-----—-------- -I-----—• (12.44)
уа — г(х — х') а + г(х — х') /
Выражение (12.44) при а —> +0 дает:
[^(rc),^i(a/)]+ = 2тга|Л1|25(я: — х') , (12.45)
откуда находим, что при выполнении условия |Ах| = (2тга)-1/2 антикоммутатор
['^i’(rc),^i(rc')]+ имеет требуемый вид (12.29). Аналогично можно проверить антиком-
мутативность ффх) и ффхф , а также ф+фс) и фффр) .
Наконец, рассмотрим коммутационные соотношения между операторами правых и
левых частиц. В построенном выше представлении они коммутируют, а должны были
бы антикоммутировать. Вообще говоря, поскольку эти частицы соответствуют раз-
ным ветвям спектра, коммутационные соотношения между ними могут быть выбраны
произвольно, поскольку ни в каких наблюдаемых величинах они не проявляются7. Од-
нако, чтобы не было необходимости делать оговорки, принято вводить в определение
6В (12.41) использовано тождество /ф°(е~ах — e~bx)dx/x = lnb/a .
7Подобно тому, как в обычном вторичном квантовании имеется произвол, когда гамильтониан си-
стемы не содержит явной зависимости от спина частиц. В этом случае, при определении операторов
рождения и уничтожения частицы с определенной проекцией спина принципиально важна только ан-
тикоммутативность операторов с одинаковыми спинами, а операторы с различными спинами, вообще
говоря, могут быть выбраны коммутирующими — это дело вкуса.
356
ГЛАВА 12. БОЗОНИЗАЦИЯ
величин Aj дополнительные множители:
g|</>2(oo)
(2тга)1/2’ Л2 = (2тш)1/2 ’
</•1,2(00) = 2тг
(12.46)
Нетрудно проверить, что после этого все коммутационные соотношения принимают
канонический вид (12.29).
С помощью обратного преобразования бозонизации можно найти функцию Грина
латтинжеровской жидкости. Рассмотрим средние:
G^x,t) = . (12.47)
С функциями Грина, определенными таким (несколько нестандартным) образом8, ока-
зывается весьма удобным проводить вычисления в координатно-временном предста-
влении (см. задачи 76, 78).
Функции Грина (12.47) будут найдены в задаче 77. В случае, когда константы связи
щ и (?2 в (12.27) не зависят от к , результат принимает довольно простой вид:
1 / 2 \ gh2
Gi(x,t) = ------;-----------------^77----;--гт)
2тг х — v t + га \(х — v't + га)(х + v't — га)у
1 / 2 \ gh2
G2(x,t) = ------------ -----------J (12.48)
2гт х + v't — га у (х — v't + га) (х + v't — га) у
где th20 = + 2тгг) и v' = ш^/к = ((2тгг + gj2 — gfj /2т: — перенормирован-
ная скорость квазичастиц, определенная в (12.28). Нетрудно видеть, что в отсутствие
рассеяния назад ( д2 = 0 ) выражения (12.48) воспроизводят известные результаты для
свободных фермионов.
С помощью гриновских функций (12.48) можно рассмотреть разнообразные вопро-
сы. Так, интересно выяснить, как взаимодействие меняет распределение частиц по им-
пульсам в основном состоянии, п(р) ос 1шб!(г,р)£_).о • Оказывается, фермиевская сту-
пенька в п(р) , резкая в отсутствие взаимодействия, размывается и становится нерез-
кой при сколь угодно слабом взаимодействии. Размытие фермиевской сингулярности в
п(р) есть проявление того, что истинными квазичастицами в одномерном ферми-газе с
взаимодействием являются не фермионы, а бозоны со спектром (12.28). Причина в том,
что из-за взаимодействия время жизни ферми-жидкостных квазичастиц оказывается
слишком малым (см. задачу 79). Нетривиальное основное состояние взаимодействую-
щей системы обладает и другими интересными свойствами. Например, в задаче 78 мы
увидим, что взаимодействие в латтинжеровской жидкости приводит к появлению ано-
малии в туннельной плотности состояний. Эта аномалия проявляется в неомической
(степенной) вольт-амперной характеристике туннельного тока.
Литература: G.D. Mahan, Many-Particle Physics, ..., М. Stone, ...
8Напомним, что каноническая причинная функция Грина есть хронологически упорядоченное сред-
нее: Gc = — i{Tipj(x,t)G-~(x',t')) .
12.5. ЗАДАЧИ 72+79
357
12.5. Задачи 724-79
Задача 72. Найдите теплоемкость одномерного идеального ферми-газа, пользуясь бо-
зонным представлением. Сравните с результатом, полученным в каноническом пред-
ставлении.
Задача 73. Рассмотрим идеальный ферми-газ в конечной области 0 < х < L с
периодическими граничными условиями. Как одночастичный, так и многочастичный
спектры этой конечной системы являются дискретными. Попытаемся установить со-
ответствие между индивидуальными состояниями в каноническом и в бозонизованном
представлениях.
Линеаризуем закон дисперсии фермионов вблизи Ер Покажите, что дискретный
спектр многочастичных возбужденных состояний в обоих представлениях имеет вид
Ет = тД , где т = 1,2,3,..., а Д = 2kvp/L — расстояние между одночастичными
уровнями вблизи Ер . Обозначим через Nm кратность вырождения уровня £т . В
силу многочастичности задачи, кратность вырождения Nm является весьма быстро
возрастающей функцией т . Найдите Nm для нескольких первых уровней энергии в
каноническом и в бозонном представлениях и покажите, что результаты совпадают.
Задача 74. [алгебра операторов] Докажите, что операторы и гармоники
плотности (12.16) удовлетворяют следующим соотношениям
ег^^р^к)е~г^^ =Ш±^е~гкх^1 , (У = 1,2), (12.49)
где знак « +» соответствует правым частицам (j = I = 1 ), а знак « — » — левым
частицам (j = I = 2 ). Соотношение (12.49) в координатном представлении имеет вид
= ± _ х'} . (1.2.50)
При такой записи видно, что оператор «вставляет» в систему ц частиц, где
значение ц может быть как целым, так и дробным.
Докажите также, что бозонизованные фермиевские операторы 'гф(ж) = Aje1^^ ,
ф^х) = Aje~'lt^i^ , j = 1,2 , и гармоники плотности (12.16) подчиняются следующим
коммутационным соотношениям:
= ±е~грх;фэ(х)5ц , (j, I = 1, 2). (12.51)
Обратим внимание, что коммутаторы (12.51) совпадают с коммутаторами, найденны-
ми в каноническом представлении. Наряду с (12.49), соотношения (12.51) оказываются
полезными при решении задач.
Задача 75. [катастрофа ортогональности] Применим метод бозонизации к изу-
чению катастрофы ортогональности, рассмотренной в задаче 27. Напомним, что речь
идет о вычислении интеграла перекрытия К = (ОДО) основных состояний ферми-газа
в отсутствии и в присутствии локализованного рассеивающего потенциала. Верно ра-
венство
й2
IX I = e-“ln(£W7), а = 2 V (2/ + 1) Д- , (12.52)
, 7Г2
358
ГЛАВА 12. БОЗОНИЗАЦИЯ
где Si — фазы рассеяния в канале с угловым моментом I при Е = Ер , а у <С Ер
— скорость включения возмущения, определенная в задаче 27.
В случае сильного рассеяния суммирование ряда теории возмущений (5.19) оказы-
вается весьма трудоемким9. Вместо этого можно применить следующий весьма полез-
ный прием. Рассмотрим каждый канал рассеяния как систему одномерных киральных10
фермионов, движущихся слева направо со скоростью v = vp . При этом область х < О
соответствует падающим волнам, область х > 0 — рассеянным, а само рассеяние про-
исходит вблизи точки х = 0 . В такой постановке задачи встряхивание ферми-газа при
включении рассеяния на потенциале эквивалентно возбуждению одномерных фермио-
нов при пролете через окрестность х = 0 , в которой действует внешнее переменное
поле.
Запишите бозонизованный гамильтониан для фермионов в плавно меняющемся элек-
тромагнитном поле a(x,t) , локализованном вблизи х = 0 . Скачку фазы рассеяния
соответствует импульс поля. Определите соответствие между фазой рассеяния 6 и
амплитудой поля a(x,t)
Бозонизованный гамильтониан квадратичен, а член, описывающий взаимодействие
с полем а , линеен по операторам р(к) . Рассмотрите эволюцию основного состояния
при включении поля и определите перекрытие начального и конечного состояний. По-
лучите формулу (12.52).
Задача 76. [Край спектра рентгеновского поглощения в металле] При поглощении
мягких рентгеновских лучей в металле11, электрон, поглотив фотон, может перейти с
одной из внутренних оболочек атома решетки в свободные состояния в зоне прово-
димости. При этом на отдавшем электрон атоме остается дырка, обладающая поло-
жительным зарядом. Электроны в зоне проводимости, а также вылетевший электрон,
могут рассеиваться на возникшем при поглощении фотона статическом потенциале
дырки. Поскольку это рассеяние включается мгновенно, электроны проводимости ис-
пытывают встряску, приводящую к рождению электрон-дырочных пар. Оказывается,
что именно эта динамика ферми-системы определяет характер спектра поглощения,
когда энергия выбитого электрона близка к Ер .
Будем считать, что потенциал рассеяния на неподвижной дырке сферически сим-
метричен и характеризуется фазами рассеяния ф , где I = 1,2,3,... нумерует каналы с
различным угловым моментом. Предположим также, что электрон, поглощающий фо-
тон, переходит в состояние с угловым моментом I = j . (Если электрон вырывается из
S— состояния, то j = 1 по правилу отбора для дипольных переходов.) Покажите, что
9Отметим, что в данном случае оказывается возможным провести полное суммирование ряда те-
ории возмущений (5.19). Это связано с тем, что высшие члены ряда (5.19) не становятся более син-
гулярными — в каждом порядке расходимость логарифмическая по у . Однако, соответствующие
вычисление требует использования специальной техники (Р. Nozieres, С. Т. deDominicis, Phys.Rev.,
178, р. 1097 (1969)).
10Теорию поля и, в частности, латтинжеровскую жидкость, называют киральной, если в ней имеются
только правые или же только левые частицы.
пИменно при решении этой и родственной ей задачи о катастрофе ортогональности (см. задачи 27
и 75), были впервые введены соотношения (12.30) между бозонными и фермионными операторами
(К. D. Schotte и U. Schotte, Phys. Rev. 182, 479 (1969)).
12.5. ЗАДАЧИ 72+79
359
спектр поглощения фотонов вблизи нижней границы имеет степенное поведение:
ИДо?) ос (cj — cjo)^ , /3 = а — 2Д/тг , (12.53)
где величина а определена выражением (12.52), а порог поглощения ц?0 = Ер + Ео
есть сумма энергии образования дырки и энергии Ферми, отсчитанной от энергии
связи выбитого электрона.
Два слагаемых в выражении для /3 известны как андерсеновский и махановский
вклады. При этом а , согласно задаче 75, описывает встряхивание ферми-системы при
включении рассеяния, приводящее к сложным неупругим процессам, связанным с мно-
жественным рождением электрон-дырочных пар. Вклад же —2Д/тг описывает эффект
притяжения выбитого электрона неподвижной дыркой12. Интересно, что, благодаря
второму слагаемому, знак /3 может оказаться произвольным. При /3 > 0 низкоэнер-
гетическое поглощение подавляется по сравнению с идеальным ферми-газом, а при
/3 < 0 — наоборот, усиливается.
Задача 77. [функция Грина] Рассмотрите латтинжеровскую жидкость с взаимо-
действием (12.20), в котором величины <71,2(5) не зависят от q .
а) Получите выражения (12.48) для функции Грина (12.47) при Т = 0 .
б) Найдите функцию Грина при конечной температуре Т .
Задача 78. [туннельная плотность состояний] Рассмотрим две параллельные од-
номерные системы А и В с точечным туннельным контактом между ними. Обе
системы являются латтинжеровскимии жидкостями и описываются гамильтонианом
(12.20) с константами взаимодействия . Гамильтониан системы имеет вид Т/totai =
На + Нв + 7/tUnnei , причем
7/tunnel = W ^(ж)^а(ж)| + Н.с. , (12.54)
где w — амплитуда туннелирования. При записи (12.54) предполагается, что тунне-
лирование ПРОИСХОДИТ В малой ОКреСТНОСТИ ТОЧКИ Хд .
Покажите, что при Т = 0 туннельный ток является степенной функцией напряже-
ния на контакте:
/осУ^в-1, аАв = 2(l + sh2^ + sh20B) , (12.55)
где 9а,в связаны с константами взаимодействия д^ соотношением (12.27). Как ме-
няется вольт-амперная характеристика (12.55) при конечной температуре Т ?
Задача 79. Рассмотрим одномерные фермионы с взаимодействием (12.20). Найдите
функцию Грина, пользуясь теорией возмущений и уравнением Дайсона. Учитывайте
вклады в собственно-энергетическую часть Е(г,р) первого и второго порядка13 по
взаимодействию <71,2(5) • Покажите, что полученное выражение для Е(г,р) содержит
расходимость при малых г , указывающую на нефермижидкостное поведение.
12G.D. Mahan, Phys. Rev. 163, 612 (1967)
13Вычисление функции Грина одномерной системы, в котором учтены вклады всех порядков теории
возмущений, содержится в работе: И.Е. Дзялошинский, А.И. Ларкин, ЖЭТФ 65, 411 (1973). В этой
работе продемонстрировано совпадение результатов вычислений, проведенных по теории возмущений
и с помощью метода бозонизации.
360
ГЛАВА 12. БОЗОНИЗАЦИЯ
12.6. Решения
Решение 72. Термодинамический потенциал одномерной бозе-системы имеет вид
= Т [ In (1 - е~£^т) , (12.56)
J ri
где е(к) = vF|A:| . Переходим к интегрированию по е :
2Т2 7 / \ de
Пв =------ / In (1 - е-£) (12.57)
vp J v 7 2тгп
о
Разлагая логарифм в ряд и меняя порядок суммирования и интегрирования, получаем:
т2 oo -1 т2
S2b =-----Y.~ = “СР)--------» (12.58)
7ГЩ? П2 KVfTi
Отсюда находим теплоемкость С =
Найдем теперь термодинамический потенциал, пользуясь каноническим фермион-
ным представлением:
SlF = -Т [ In fl + eAk2/2m-^/T\ . (12,59)
J ' ' 2тгп
Нас интересует зависящая от температуры часть , которая определяется состоя-
ниями с энергией е ~ ±Т вблизи уровня Ферми. Поэтому можно линеаризовать закон
дисперсии в окрестности ферми-поверхности к = ±ро ' £(к) = ±гв(|А:| — ро) • Теперь
вычтем из выражения (12.59) его значение при Т —> 0 . Результат можно записать в
виде
4Т2 7 / d£
£1f =-----/lnfl + e-9^4 (12.60)
vF J v 7 2тгп
0
Как и выше, разлагаем логарифм в ряд и меняем порядок суммирования и интегриро-
вания:
97-2 оо / -1 \n—1 1 9Т2
Е (12.61)
tvvf п2 2 kvfii
Видим, что = Ct в . Значит, теплоемкости, найденные обоими способами, совпада-
ют.
Решение 73. Состояния ферми-газа с малыми энергиями, для которых справедливо
представление бозонизации, можно разделить на правые и левые, построенные, соот-
ветственно, из плоских волн с р ~ ро и р ~ — ро . Не теряя общности, ограничимся
рассмотрением правых состояний. После того, как соответствие между каноническим
и бозонным представлениями будет установлено для правых состояний, обобщений на
другие состояния будет очевидно. Для простоты будем рассматривать бесспиновые
частицы.
Одночастичные состояния фермионов на кольце длины L характеризуются дис-
кретными импульсами pj = 2ttj/L , j E Z . Основное состояние 2jmax + 1 частиц
12.6. РЕШЕНИЯ
361
есть слэтеровский детерминант |vaCf) , построенный из плоских волн с pj , такими
ЧТО \j\ < Jmax .
Линеаризуя спектр вблизи р = pj, находим закон дисперсии правых частиц:
= А(д - jmax) , где А = 2тгр7тах/т£ = 2tvvf/L — расстояние между уровнями
вблизи Ер . Ниже будет удобно нумеровать одночастичные уровни с помощью т =
j—jmax При этом ет = тД. , причем в основном состоянии заполнены уровни с m < 0 ,
а уровни с т > 0 пусты.
Перейдем теперь к рассмотрению многочастичных возбужденных состояний. Ка-
ждое возбужденное состояние характеризуется заполнением некоторого количества
одночастичных состояний с т > 0 одновременно с образованием точно такого же
количества дырок с т 0 . В простейшем случае, когда имеется всего одна пара
частица-дырка, состояния выглядят так: ipm\n = a+an|vacf) , где т > 0 , п 0 , а
энергия Ет\п = (т — п) А . При каждом значении энергии Е^ = кА , к = 1, 2, 3, 4,... ,
имеется ровно к таких состояний.
Можно построить также состояния с двумя, тремя и большим числом пар частица-
дырка. Нетрудно убедиться в том, что при энергиях Е = А, 2А, ЗА состояния с
более чем одной парой отсутствуют. При энергии же Е = 4А имеется ровно одно
такое состояние:
^2,i|o-1 = tt^«ttto«-i|vacf) . (12.62)
При Е = 5А имеется два состояния с двумя парами: '0з,1|о,—1 и ^2,1|о,-2 , где обозна-
чения соответствуют (12.62). А при Е = 6А имеется уже четыре состояния такого
вида: '04,1|о,—1 , ^ЗД|0,-2 , ^2Д|0,-3 , ^2Д|-1,-2 •
Добавляя состояния с одной парой, получаем кратности вырождения Nm первых
шести уровней Ет = mA :
м = 1, N2 = 2, А3 = 3, А4 = 5, А5 = 7, А6 = 11. (12.63)
Начиная с Е = 7А требуется учитывать состояния с тремя и большим числом пар.
Поэтому здесь мы ограничимся первыми шестью уровнями.
Теперь найдем многочастичные уровни и кратности их вырождения в бозонном
представлении. В этом представлении спектр квазичастиц есть о?(р) = щ?|р| , причем
в силу периодических граничных условий импульс р принимает дискретные значения
Pj = (2tt/L)j , j G Z . Правой ветви фермионов соответствуют правые бозоны с j > 0 .
Основное состояние |vacb) есть симметризованное произведение основных состояний
всех правых бозонов. На языке канонических бозе-операторов bj , bf состояние |vacb)
подчиняется соотношениям &j|vaCb) = 0 при всех j > 0 .
Возбужденные состояния получаются применением к |vacb) некоторого количества
операторов &+ . При этом собственные энергии, как нетрудно видеть, все оказываются
кратными А , то есть совпадают с энергиями, найденными в фермионном представле-
нии.
Найдем теперь кратности вырождения. При Е = А имеется всего одно состо-
яние 'фх = &+|vaCb) • При Е = 2А существует два состояния: ф>2 = Ь2 vacn) и
ф>12 = (&+)2|vaCb) • При Е = ЗА имеется три состояния:
Фз = ^|vacb), V’i3 = (&t)3!vacb), ^2,i = &^t|vacb) • (12.64)
362
ГЛАВА 12. БОЗОНИЗАЦИЯ
При Е = 4Д имеется всего пять состояний:
04, 03,1, 022, 02,12, 014 • (12.65)
При Е = 5Д состояния имеют вид
05, 04,1, 03,2, 03,12, 022,1, 02,13, Ф15 , (12.66)
итого семь состояний. При Е = 6Д находим
фб, Фб,1, 04,2, 04,12, 032, 03,2,1, 03,13, 023, 022,12, 02,14, 016, (12.67)
итого одиннадцать состояний.
Получается, что для нижних шести уровней кратности вырождения (12.63), найден-
ные в бозонном и фермионном представлениях, совпадают. Для более высоких уровней
кратности вырождения быстро растут, и получить их прямым перечислением состоя-
ний становится непросто. Чтобы убедиться в совпадении кратностей вырождения для
произвольно высоких уровней, удобно воспользоваться производящими функциями. В
бозонном представлении производящая функция для кратностей заполнений есть
= П тДз; (12-68)
т>0 т>0 1
Аналогично, производящая функция в фермионном представлении строится так:
Ff(Z) = £ = i Ц- (па + чЛ ПД + ч-Ь™-1)) (12.69)
т>0 /7П?7 \т>0 т>0 /
Здесь первое и второе произведения соответствуют вкладам частиц и дырок. Кон-
турный интеграл по ц выделяет вклады с одинаковым числом частиц и дырок. Это
ограничение необходимо, поскольку в фермионном представлении число частиц фик-
сировано.
Доказательство совпадения кратностей вырождения ГЦ = TV® при всех т экви-
валентно проверке того, что Fb(z) = Fp(z) . Это равенство можно переписать так:
/ #П(1-Л(1 + ^т)(1 + ^т-1) = 1 (12.70)
м=1 тг] т>°
Соотношение (12.70) следует из так называемого тройного тождества Якоби:
(1 - w2n+2)(l + 7/w2n+l)(l + T]~1w2n+1) = ^2 ?7nwn2 (12.71)
n=0 n=—oo
Доказательство этого тождества неэлементарно14.
14см. Г. Эндрюс, Теория разбиений, с. 35, М.: Наука, 1982
12.6. РЕШЕНИЯ
363
Решение 74. Рассмотрим оператор fjk(li) = pi(k)e как функцию па-
раметра ц. Вычислим производную
= (12.72)
Коммутатор [<ф(ж),pi(A:)] находим, пользуясь (12.16) и (12.33):
[ф^х), р^к)] = -i 52 2я (б(к - к')е~Мх8(к + к')е~Мх} = -ie~ikx (12.73)
к’>0
Интегрируя (12.72) по р,, находим fjk(p) = Pi(^) + е~гкх , что и требовалось. Рассмо-
трение других комбинаций j и I производится аналогично.
Для доказательства соотношения (12.51) умножим левую и правую части (12.49) на
\Aj\2etp'^^x') . Полагая р = 1 , приходим к (12.51).
Решение 75. Рассмотрим рассеяние на зависящем от времени точечном потенци-
але, воспользовавшись представлением киральных фермионов, отдельно для каждого
канала рассеяния. Гамильтониан, записанный через операторы pi(fc) гармоник плот-
ности правых частиц, имеет вид
Н = 2irvp 52 + we^pi^x = 0) (12.74)
к>0
Первый член (12.74) представляет собой кинетическую энергию (12.24), а второй —
потенциал рассеяния, включаемый со скоростью у .
Свяжем амплитуду возмущения w в (12.74) с фазой рассеяния ф . Рассмотрим для
этого одномерный идеальный ферми-газ в плавно меняющемся электромагнитном поле:
Hint = У ji(x)a(x,t)dx (12.75)
Поле приложено в небольшой окрестности х = 0 , причем его поток Ф(£) = f a(x,t)dx
плавно меняется как функция времени по закону e7t . Квазиклассический набег фазы,
возникающий благодаря a(x,t) , дается множителем ехр(2тпФ(£)/Ф0) , где Фо = hc/e .
Квантовомеханическая фаза рассеяния ф в канале с угловым моментом I опреде-
ляется с помощью асимптотики волновой функции: V’(r) ос sin(kr + ф + 717) . Из этого
выражения видно, что изменение относительной фазы рассеянной и падающей волн
при включении рассеяния есть 2ф . Сравнивая с фазой, возникающей в поле a(x,t) ,
находим
2тгФ(£) = Ф02фе7* (12.76)
Подставляя это соотношение в (12.75) и выражая ток через плотность по формуле
Д = evppi , получаем второй член гамильтониана (12.74). При этом w = —26ihvp .
Найдем интеграл перекрытия состояния в момент t = 0 с исходным состоянием
|0) , имевшимся при t = —сю . Перекрытие состояний, записанное в представлении
взаимодействия, есть
о
Ш = <0|Т ехр(-г / Hint(t) dt)\O} , (12.77)
—сю
364
ГЛАВА 12. БОЗОНИЗАЦИЯ
где
Hintit) = we^p^l^o (12.78)
где pi(x,t) = elHotpi{x)e~Mot Пользуясь соотношениями (12.16), выразим плотность
Pi(rc) через бозе-операторы Ьк и b£ , и перейдем в представление взаимодействия:
pr(x,t) = ^(AfcL)-1 {eikx~ivWtbk + е^кх+^к^) (12.79)
k>0
При этом гамильтониан взаимодействия (12.78) оказывается линейным по бозе-
операторам, что делает задачу усреднения экспоненты (12.77) весьма простой. От-
метим, что именно на этом шаге становится очевидным преимущество бозонизации по
сравнению с прямым вычислением.
Найдем среднее от экспоненты (12.77), пользуясь правилом гауссова усреднения и
теоремой Вика:
Ку = exp I — w2 / dt / dt'e^w \pi(x, t)pi(x, t'))x=o I . (12.80)
\ J — (X J — (X /
Согласно (12.16), интересующий нас коррелятор величин р1(гс,^)а;=о есть
р—t')—a|fc|
to(0,t)pi(0,4')) = Z------vrr---- (12.81)
J>0
Подставляя (12.81) в (12.80) и вычисляя интегралы по t' и t, находим
А* р
—W2 У2 7Г7-----I • (12.82)
^0 27r(7 + zbF)27y V }
При вычислении интеграла (12.82) оставляем только вещественную часть, поскольку
относительная фаза начального и конечного состояний нас не интересует. Результат
есть
/ ш2 ке~ак \ / 62 щЛ
Ку = ехр —— 3^ —------------ = exp — -—- In — . (12.83)
7 4я k2v2F + у2у \ 2тг2 yaj v !
Остается только заметить, что а ~ Vp/Ep , и что вклады в Ку от каналов рассеяния
с различными значениями спина и углового момента факторизуются. Произведение
независимых вкладов различных каналов дает формулу (12.52).15
Решение 76. Вероятность поглощения фотона, согласно «золотому правилу», запи-
сывается в виде
И%) = 2я^2 “ wo - Ej) , (12.84)
f р
где — оператор рождения электрона с импульсом р в зоне проводимости, b — опе-
ратор рождения дырки (уничтожения электрона) на внутренней оболочке атома, ир(ш)
15up to множитель 2 ?!
12.6. РЕШЕНИЯ
365
— дипольный матричный элемент, а>о — порог поглощения, равный сумме минималь-
ной энергии выбитого электрона Ер и энергии образования дырки Eq . Суммирование
в (12.84) происходит по импульсам р электрона, попадающего в зону проводимости,
а также по всем конечным состояниям |/) системы с добавленными электроном и
дыркой. Начальное состояние \i) представляет собой основное состояние идеального
ферми-газа.
Преобразуем выражение (12.84), воспользовавшись соотношением
2я 52 -ш0- Ef) I/) (f\ = 7 , (12,85)
f -оо
где Hsc — гамильтониан ферми-газа в присутствии рассеивающего центра, характе-
ризующегося фазами рассеяния ф . Пренебрегая зависимостью матричного элемента
ир(а)) от ш , запишем (12.84) в виде
lH(w) = aJ (ф+^ехсе-^с<+хс&|г)^(ш“шо)4^ (12.86)
—сю
где -^+с(г) = Л-1/2 ира+ е~грг — оператор рождения электрона в состоянии с угло-
вым моментом j , локализованным в окрестности точки г = 0 , где происходит погло-
щение фотона. (Здесь А = |up|2 — нормировочный множитель.)
Теперь удобно избавиться от состояний дырки, заменив Ь+Ь на 1 . Получаем:
lH(w) = I Tr ^°^exce-^sct4+xc^) e^-^dt (12.87)
—сю
При записи (12.87) мы воспользовались тем, что для гамильтониана Но системы в
отсутствие рассеяния ( ф = 0 ) исходное состояние \i) является собственным.
Теперь бозонизуем задачу так же, как это было сделано в задаче 75. При этом
гамильтониан есть сумма независимых вкладов каналов с различными I :
Hse = Y^l (12-88)
I
Гамильтониан Hi , описывающий рассеяние в канале с угловым моментом I , может
быть записан через гармоники плотности киральных фермионов р^(к) следующим
образом:
Hi = 27TVF 52 (р?(к)$\-к) - 6-± (р^\к) + $\-к))\ (12.89)
fc>o \
В выражении (12.89) учтена связь между фазой рассеяния и константой связи в бозо-
низованном представлении точечного рассеяния, найденная в задаче 75.
Оператор рождения электрона в бозонизованном представлении записывается сле-
дующим образом:
= (2™)~1/2е*'*>|1=^=о (12.90)
366
ГЛАВА 12. БОЗОНИЗАЦИИ
Обратим внимание на то, что оператор действует нетривиально только в канале
с I = j , а в остальных каналах он действует как единичный оператор.
Подинтегральное выражение (12.87) есть произведение вкладов каналов с различ-
ными I. Рассмотрим сначала I Ф j . В этом случае, применяя доказанное в задаче 74
тождество + /ле~гкх с р = — Si/tv и х = 0 , находим:
, _ /А А2 \
=Но + 2ttvf V -- ($\к) + р^\-к)] + 4 (12.91)
fc>o \ 71 V 7 71 /
Правая часть этого выражения, с точностью до несущественной константы16, есть Hi .
Сделанное наблюдение позволяет переписать вклад I— го канала в выражение (12.87)
следующим образом:
Тг
где р = —бЦтг, = фЦх,Цх=о . Чтобы вычислить среднее в (12.92), приведем
произведение операторов к нормально-упорядоченной форме. Это нетрудно сделать,
воспользовавшись тождеством Бейкера-Хаусдорфа:
eWi(i) g-Wi(O) _
= емв+е-мВе^([в+,в]+Й),?(0)]);
В = 52 Xkbk (e~ikVFt - 1) e-a|fc|/2 .
к>0
Вычисляя среднее, получаем
~ ~ 7 А2 / п \ \
/gWi(t)e-Wi(o)\ = I 4 In (----------) (12.93)
х к 42 \a + ivFt)) v !
При больших t это выражение ведет себя как Г2 .
Теперь рассмотрим динамику в канале с I = j . Пользуясь тем же методом, что и
выше, находим вклад этого канала:
Тг
где р = —dj/xv. В результате выполненного преобразования операторы е±/Ф1 удобно
комбинируются с . Дальнейшие вычисления ничем не отличаются от случая I ф
j , с точностью до замены р —> 1 + // = 1 — й?/71- В результате получаем
ехр ((1 - 1п (^тЫ) <12-95)
16Роль этой константы, величина которой есть Д/ = 2FvF /А2, , сводится к небольшому сдвигу
к>0
порога поглощения <z>o
= ^гцфрр ^гцфро)^ , (12.92)
iHot 1ф1 -iHit -1ф1 1 _ / iHot Х(1+р,)ф1 -iHot -Ц1+р,)ф1\
С- С- С- С- I \ С- С- С- С- /
(12.94)
12.6. РЕШЕНИЯ
367
Вычисляя произведение вкладов всех I, с учетом кратности 21 + 1 орбитального вы-
рождения и двукратного спинового вырождения, получаем следующее выражение:
X 1-2^/7Г+2£(2/+1)й2/7Г2
-------- > e^-^dt .
а + ivptj
(12.96)
Показатель степени есть не что иное как 1 + /3 . При вычислении интеграла по t
замыкаем контур в верхней или нижней полуплоскости комплексного t, в зависимости
от знака ш — cjq • В результате получаем искомое соотношение И^си) ос (w — ш0)Р при
Ш > (jJq И W(о>) = 0 при (л) < (л>0 .
Решение 77 а) Сначала найдем гриновскую функцию С°(гсД) в отсутствии вза-
имодействия для правых частиц: j = 1 . Ход вычисления напоминает преобразования,
проделанные выше при проверке коммутационных соотношений. Сначала преобразуем
произведение операторов в (12.47) с помощью тождества Бейкера-Хаусдорфа (12.32):
^Фз (x,t) e~i$j (0,0) _ егф, (x,t)-i$j (0,0) [fy (хф),фу (0,0)]
(12.97)
Теперь нормально упорядочиваем это выражение, еще раз применяя тождество (12.32),
и вычисляем коммутаторы, пользуясь (12.33):
ei</>j(s,t)e-i</>j(O,O)
В
е-в+еве^[в+,в]+[ф^хф),ф^о,о)])
е“^+е^ехр [2тг <^—(etk(-x~vt'1 -
\ к>о к
£ ХкЪк (егкх~к^ - 1)
к>0
(12.98)
(12.99)
Сумма в экспоненте, как было найдено в (12.41), есть 1п(а/(а — i(x — vt))) . Подста-
вляем результат в (12.47), усредняем по основному состоянию, и получаем
1
G®(x,t) = (2я) 1
а — i(x — vt)
(12.100)
Действуя аналогично, находим
С°(жД) = (2я) 1
1
а + i(x + vt)
(12.101)
а —> 0 .
Разумеется, точно такие же выражения можно получить прямым вычислением с помо-
щью вторично-квантованных фермиевских операторов.
Перейдем к вычислению функции Грина взаимодействующих фермионов. Времен-
ная зависимость оператора (f)j(x,t) может быть получена из (12.26), (12.27), (12.28).
Упростим задачу, считая константы связи д\ и д2 независящими от к величинами.
При этом угол в в преобразовании Боголюбова (12.26) есть константа.
Преобразуем операторы Ьк , Ьк в (12.33) с помощью соотношений (12.26). При этом
оператор фазы правых частиц (f>i(x,t) приобретает вид:
г £ Xke~ak (e~ikx(chd b%(t) -shd b_k(t)) - eikx(chd bk(t) - shfl btk(t))) , (12.102)
fc>0
368
ГЛАВА 12. БОЗОНИЗАЦИЯ
где bk(t) = е Wktbk , btk(t) = eWktbtk , а Шк дается (12.28). После перегруппировки
слагаемых это выражение можно компактно записать так:
ф1(х, t) = ch в ф1(х, t) — she ф1(х, t) . (12.103)
Аналогично, для левых частиц находим
ф2^х, t) = ch 0 ф1(х, Г) — shO ф1(х, t) , (12.104)
Как и выше в (12.26), (12.28), тильда в (12.103), (12.104) обозначает представление, в
котором гамильтониан диагоналей.
Чтобы найти функции Грина с помощью (12.103) и (12.104), заметим следующее.
В диагонализованном представлении операторы ф1(х,Г) и Ф1(х'Л') коммутируют, и
поэтому среднее в (12.47) распадается на произведение средних от экспонент левых и
правых величин. Каждое из этих средних практически совпадает с функцией Грина
свободных частиц, найденной выше, отличаясь лишь множителями ch 0 и sh 0 в пока-
зателях экспонент. Поэтому усреднение можно заново не проводить и сразу записать
ответ:
Gi(x,f) = (2%a)ch20+sh20-1 (G°(rc,£)} , (12.105)
G2(a;,i) = (2тго)сЬ2 61+8112 6,-1 (G^x,!)^ (G°(x,t)) (12.106)
Подставляя в (12.105) выражения (12.100) и (12.101) для G?(a;,i) и G°(rc,^) , получаем
(12.48).
Решение 77 б) Функция Грина при конечной температуре может быть найдена
тем же методом, что и функция Грина при Т = 0 . Сначала мы рассмотрим ситуа-
цию, когда взаимодействие отсутствует. После этого соотношения (12.103) и (12.104)
позволят связать взаимодействующий и невзаимодействующий случаи.
В отсутствие взаимодействия вычисление производится так. Преобразуем произве-
дение операторов в определении функции Грина (12.47) по формуле (12.97) и усредним
получившееся выражение по матрице плотности при конечной температуре. Это усред-
нение гауссово, поэтому имеем
. (12.107)
Рассмотрим правые частицы (j = 1). Вычисляем среднее в (12.107), пользуясь (12.33):
«Ш - 0))2) = АЩ-“‘(2пв(А) + 1) - 1|2 , (12.108)
к>0
где x(t) = x — vt, а пв(к) — бозевская функция распределения. Коммутатор в правой
части (12.107) есть
[^•(ж,^),^(0,0)] = xlLe~a4eikx^ -e~ikx(t^ . (12.109)
к>0
12.6. РЕШЕНИЯ
369
Поэтому выражение (12.107) можно переписать в виде еА , где
Л = 2% Е ^7“ + 1) - 1) + пв(к) {e~ikx^ - 1)) (12.110)
к>0 К
Чтобы найти величину А , разложим функцию распределения в ряд:
= vk/r = е~Ьк + е~2Ьк + е~ЗЬк + - > b = v/T . (12.111)
Подставляя (12.111) в (12.110), и интегрируя каждый член ряда (12.111) по отдельности,
получаем
А = У 1„ ( J + У In ( АЬ + а (12.112)
\mb + a-ix(t)J \mb + a + ix(t)J
Отсюда, переходя к пределу а —> 0 , находим:
ел = a тгх(Р)/Ь = та/Ь (12 113)
а — ix(t) sh(7rrc(t)/6) sh(7r(rc(t) + id)/b}
В результате приходим к следующему выражению для функции Грина:
GQAx,t} = , , г--------------гу , СуКМ =---------, , /эт/ г-------" (12.114)
26sh(^(rc — vt + го)) 26sh(^(rc + vt — го))
(Функция Грина левых частиц получается аналогично.)
Для нахождения функций Грина взаимодействующей системы применим прием, ис-
пользованный выше при рассмотрении случая Т = 0 . Заметим, что соотношения
(12.103), (12.104), дающие правило преобразования операторов фазы <ф;2((сД) при диа-
гонализации гамильтониана (12.19), верны и при Т > 0 . Выражая с помощью (12.103),
(12.104) операторы ^12((сД) через операторы фазы квазичастиц <ф;2(х,t) , подставля-
ем их в определение функции Грина (12.47). При этом вклады фг(х,{) и ф2(х',t'} в
(12.47) факторизуются. По этой причине, как и выше, каждый из вкладов есть не что
иное, как функция Грина свободных частиц, правых или левых, возведе
ch2 0 или sh2 0 , соответственно. В результате находим
( \ ch2 0 / _
тгТй \ ( VT ia
sh(7rT(^- — t + ia)) J \sh(7rT(—— t + ia))
УГш A ( УТ ia
sh(7rT(—— t + ia)) J У11(чТ(|7 — t + iaf)
= ^(2тгг + ^i)2 — ^2) /2тг , a = a/v' (12.117)
где, как и в (12.48), v' — скорость квазичастиц, перенормированная взаимодействием,
и th 20 = <?2/(<71 + 2тгг) .
Решение 78. Начнем с вывода общего выражения для туннельного тока. Напря-
жение eV , поданное на туннельный контакт между системами А и В , представля-
ет собой разность химпотенциалов: eV = Цв ~ Еа Удобно сделать калибровочное
ная в степень
sh2 0
, (12.115)
sh26>
, (12.116)
Gi(x, t)
G2(x,t)
370
ГЛАВА 12. БОЗОНИЗАЦИЯ
преобразование, приводящее гамильтониан к виду %total = 'На + Нв + T^tunnei(^) , где
гамильтониан туннелирования явно зависит от времени следующим образом:
7?tunnelW = W e~leVt^A\ _ + Н.С. , (12.118)
137—37 о
Оператор туннельного тока определяется как производная по времени от оператора
заряда:
I = ге[7Л<яа1,<2л] , Qa = j ^(x^A^dx (12.119)
—сю
Вычисляя коммутатор в (12.119), получаем:
I = ie (w e~teVti^pi^A — w eteVt^A^B) _ (12.120)
Поскольку мы будем искать туннельный ток с помощью теории возмущений по ампли-
туде туннелирования w , предполагающейся малой, перейдем в представление взаимо-
действия ПО ОТНОШеНИЮ К «ВОЗМущеНИЮ» TZtunnel(^) '
(t \
~i I ^tunnel(*W (12.121)
— сю /
Разлагая U(t) в ряд по степеням w , убеждаемся, что главный вклад дается членом
разложения первого порядка. Соответствующий оператор под знаком усреднения (...)0
в (12.121) есть
еМ= } (12.122)
— сю 4
- (12.123)
Два из четырех слагаемых, получающихся при расписывании коммутаторов в (12.122),
можно преобразовать, сделав замену t — t' —> t' — t. При этом (12.122) приобретает
форму, в которой области t' < t и t' > t оказываются равноправными. В результате
выражение для туннельного тока (12.121) приобретает весьма удобный вид:
(1ЦЦ = e\wI2 J (KBA(t ~ - KAB(t - dt' , (12.124)
— СЮ
где
KBA(t-t') = Ш(^^ЫФ(^а(£'Ж(Ф , (12.125)
KAB(t - t') = Ш(*9^(*)Жв(£'Ж(*)> (12.126)
Средние в (12.125) берутся по основным состояниям систем А или В соответствен-
но. Отметим, что полученное выражение (12.124) не зависит от конкретных деталей
физики туннелирования и имеет весьма общий характер.
12.6. РЕШЕНИЯ
371
Нас интересует ситуация, когда системы А и В представляют собой латтинже-
ровские жидкости. Выразим операторы рождения и уничтожения электрона в (12.124)
через операторы в бозонном представлении. Для определенности рассмотрим операто-
ры и рождения и уничтожения электрона в системе А . Наиболее общее
выражение для этих операторов, справедливое при сколь угодно сильном взаимодей-
ствии, имеет следующий вид:
^(ж) = , (12.127)
т—т' = 1
(12.128)
т—т'=1
Физический смысл этого выражения в том, что туннелирующий в систему А элек-
трон описывается суперпозицией нескольких возможных состояний. Электрон может
превратиться в правую или в левую частицу, а может — в две правых частицы и левую
дырку, и т.п. Ниже мы рассмотрим задачу, не учитывая вклады составных операто-
ров. Будем считать, что V’a(^) = (2яа)-1 /2ег?1О) , ipA(x) = (2тга)-1/2е_г^1^ . Как будет
видно из дальнейшего, решение без труда обобщается на более сложные случаи.
Корреляционные функции операторов при произвольной температуре были
найдены в задаче 77. Рассмотрим сначала более простой случай Т = 0 . Подставляя
выражение (12.48) для функций Грина в (12.125), находим
а
, KAB(t-t')=KBA(t' -t) , (12.129)
где a = a/vF и а = 2(1 + sh2 вА + sh2 вв) .
Выражение (12.125) удобно вычислить с помощью известного представления гамма-
функции:
кг-1
e(a+i^b(a + it)~zdt = , (12.130)
верного при Ь > 0 и z > 0 . Находим, что при V > 0 вклад в интеграл по времени в
(12.125) дает только первый член, а при V < 0 — только второй член. Соответственно,
туннельный ток есть
т I |2 J (еК)“-1,
-elWl 2тга2Г(а) (-(-eV)0’1
V > 0
V < о
(12.131)
Получаем, что туннельный ток при Т = 0 есть степенная функция I ос К“-1 , причем
показатель степени зависит от силы взаимодействия в системах А и В . Отметим
также, что в случае невзаимодействующих фермионов, когда вА = вв = 0 и а = 2 ,
для туннельного тока выполняется закон Ома I ос V , как и следовало.
При конечной температуре Т > 0 корреляционные функции операторов
даются выражениями (12.115). При этом
/ тгТш \ “
KBA(t — t'} = (2тга)-2 I —---------г------г- |
V V ’ \sh(7rT(f — t)+iTa)J
KAB(t-t'}=KBA(t' -t) (12.132)
372
ГЛАВА 12. БОЗОНИЗАЦИЯ
Интеграл по времени в первом слагаемом (12.125) удобно преобразовать, сдвинув кон-
тур интегрирования по t' в комплексную плоскость. Выберем новый контур так:
-кТЦ — t) = и + гл/2 , где и вещественно и — сю < и < сю . Сдвигая контур таким
образом, мы не задеваем особенностей интегрируемого выражения и, значит, значение
интеграла при этом не меняется. Переходя к интегрированию по и , получаем
7гТш
sh(7rT(£' — t) + ш)
e-i(eV/nT)Udu
(12.133)
Второе слагаемое в (12.125) имеет особенность по другую сторону от вещественной
оси. Поэтому в данном случае, чтобы не задеть особенностей интегрируемого выраже-
ния, надо сдвинуть контур в другую сторону: лТЦ' — t) = u — i-n/2 , где —сю < и < сю .
Как нетрудно видеть, это приводит к выражению, получающемуся из (12.133) заменой
V -V .
Интеграл по и в правой части (12.133) сводится к известному интегралу
(12.134)
Вычитая друг из друга найденные таким способом вклады первого и второго членов
(12.125), получаем окончательное выражение для туннельного тока:
е|w|2 (2тгТй)“ /еУ\ Г Q(a + г^)} Г Q(a - г^)}
(2яа)2 7гТ Sh \2т) ГЙ
(12.135)
Это выражение обобщает найденную выше зависимость I ос У“-1 , имеющую место
при Т = 0 , на случай произвольной температуры.
С помощью (12.135) нетрудно рассмотреть предельные случаи высокой и низкой (по
сравнению с eV ) температуры:
Г
/ос IVе*-1,
еУ«Т
еУ»Т
(12.136)
Таким образом, при конечной температуре и достаточно малом eV имеет место закон
Ома. Для наблюдения неомического поведения туннельного тока, характерного для
латтинжеровской жидкости, требуется, чтобы выполнялось соотношение eV атгТ .
Решение 79. Функции Грина в отсутствие взаимодействия имеют вид
01,2 (е,р) —
1
ie =F vFp
(12.137)
где знаки « — » и « + » соответствуют правым и левым частицам.
Будем считать взаимодействие слабым и применим теорию возмущений для отыска-
ния собственно-энергетической части ЕйДг^р) • Вклады первого порядка по взаимо-
действию сводятся к сдвигу химпотенциала и перенормировке скорости vF , и поэтому
интереса не представляют.
12.6. РЕШЕНИЯ
373
Рассмотрим вклады в собственно-энергетическую часть, возникающие во втором
порядке по взаимодействию. Для правых частиц имеются три различные вклада, даю-
щиеся диаграммами, изображенными на рис. 12.1
Рис. 12.1
Нетрудно видеть, что первый и второй графики, описывающие рассеяния правых
частиц друг на друге, отличаются лишь знаками и поэтому сокращаются. Остается
третий график, описывающий рассеяние правых частиц на левых. Соответствующее
выражение имеет вид
Si(s.p) = si // n2(w,fc)G?(w + e,k + ,
где
ЩЩ) = //02(4,4)02(61,0^,
f n(p'_) — n(p'+) dp' 1 к
J iw + vpk 2тг 2тг iw + vpk
(12.138)
(12.139)
(12.140)
— поляризационный оператор левых частиц ( = г' ± ш/2 , р'± = р ± к/2 ).
Подставляя выражение для П2(с^, к) в (12.138), вычисляем интеграл по ш и полу-
чаем
2 ^тах
E1(!S’P) = OP / (»O)-O + ₽))K_„F(2i; + j)) (12.141)
^тах
Мы ввели конечные пределы интегрирования —А:тах < к < А:тах в выражение (12.141),
чтобы иметь возможность регуляризовать расходящийся интеграл по к .
Рассмотрим по отдельности вклады в интеграл (12.141) от двух слагаемых в
интегрируемом выражении. Слагаемое с п(—к) приводит к интегралу по области
О < к < fcnia.v , а слагаемое с п(к + р) — по области —&тах < к < —р . После сдви-
га переменной к —> к — р во втором интеграле получаем
к,
к dk
is — vp(2k + р)
(к — р) dk
ie — vp(2k — р)
(12.142)
Теперь вычисляем оба интеграла и оставляем только сингулярные при г, р —> 0 члены.
(Несингулярные члены дают обычные ферми-жидкостные перенормировки и поэтому
374
ГЛАВА 12. БОЗОНИЗАЦИЯ
интереса не представляют.) Результат имеет вид
al /. ч Л / 2vFkmax А , /2'С/.'А'тах
-------[ie - vFp) In —---------------v + In —-----------
(47ГЩ?)2 у у — [IE — VFp) J \ZE + VFp
di ( ^VFkm^ \
—------(ts - VFp) In -r—-------2^
(4тгпр)2 + vFp2 J
(12.143)
(12.144)
Логарифмическая расходимость полученного выражения демонстрирует, что уже во
втором порядке теории возмущений ферми-жидкостное поведение функции Грина раз-
рушается.
Из приведенного вычисления видно, что логарифмическая расходимость во втором
порядке теории возмущений есть чисто одномерный эффект. В размерности D > 1
процессы рассеяния ферми-частиц друг на друге, подобные изображенным на рис. 12.1,
дают вклад в Е(г,р) аналогичный (12.138). Однако, сингулярность поляризационно-
го оператора П(си, к) при к —> 0 оказывается не такой сильной, как у выражения
(12.139). (Это видно, например, из трехмерного выражения (8.47), найденного в задаче
44 а).) По этой причине при D > 1 диаграммы, описывающие рассеяние частиц, не
приводят к расходимостям, и теория ферми-жидкости оказывается устойчивой кон-
струкцией.
Список обозначений
Ер — энергия Ферми;
Ро — фермиевский импульс;
vp — скорость Ферми;
£р = М1р| — Ро) — спектр электронов, линеаризованный вблизи уровня Ферми;
z/o = тро/2тг2Ь3 — плотность состояний трехмерного бесспинового ферми-газа;
z/2d = т/2тгЬ2 — плотность состояний двумерного бесспинового ферми-газа;
= •т/'пКръ — плотность состояний одномерного бесспинового ферми-газа;
Рв = eh/2mc — магнетон Бора;
с — скорость звука;
а)р> — дебаевская частота;
кр> — дебаевский волновой вектор;
д — константа электрон-фононного взаимодействия;
£ = д2и$ — безразмерная константа электрон-фононного взаимодействия
Постоянная Планка h полагается равной 1 .
375
При ссылках использованы
следующие сокращения:
[1] А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский, Методы квантовой теории
поля в статистической физике, ГИФМЛ, М. (1962);
переиздание: Добросвет, М. (1998)
[2] Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Квантовая Механика, Наука, М. (1974).
[3] Р. Фейнман, Статистическая Механика, Мир, М. (1978).
[4] А. Б. Мигдал, Качественные методы в квантовой теории, Наука, М. (1978).
[5] Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Статистическая Физика, Наука, М. (1976).
[6] Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Статистическая Физика, Наука, М. (1978).
[7] Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Физическая Кинетика, Наука, М. (1979).
[8] В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Квантовая электродина-
мика, Наука, М. (1989).
[9] А. М. Поляков, Калибровочные поля и струны, Черноголовка, 1995 (in English:
А. М. Polyakov, Gauge Fields and Strings, Harwood, 1987)
377
Предметный указатель
автолокализация полярона, 117
амплитуда рассеяния
в куперовском канале, 286
аналитичность
эффективного взаимодействия, 85
блуждание по решетке, 30
вероятность возврата, 31, 41
производящая функция, 31, 40
взаимодействие
ван-дер-Ваальса, 150
Казимира, 176
волна
зарядовой плотности, 138
спиновой плотности, 138
время
дискретное, 31, 39
мацубаровское, 140
мнимое, 140
время сбоя фазы, 265
гамильтониан
БКШ, 282
Боголюбова, 283
деформационный потенциал, 112
диаграммная техника
крестовая, 228
динамика вблизи перехода, 150
диффузон, 235
длина
корреляционная, 167
тепловая, 145
закон
Кюри, 147, 160, 161
Орнштейна-Цернике, 148
затухание звука в ферми-жидкости, 116
коррелятор
ток-ток мацубаровский, 232, 235
лестница
куперовская, 286
MclCCcl
автолокализованного состояния,
117, 130
эффективная, 67, 70-72, 81
мезоскопика, 276
модель
Дебая, 15, 111
Эйнштейна, 111
неустойчивость
пайерлсовская, 148
осцилляции
Рудермана-Киттеля, 145
Фриделя, 145
отражение
андреевское, 347
пара
куперовская, 278
перенормировка
спектра фононов, 116
поляризационный оператор, 114
ферми-газа, 84
фононов, D = 1 , 126
полярон
сильной связи, 117
слабой связи, 70, 75
преобразование
Боголюбова, 13, 15, 18, 19, 283
378
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
379
Галилея волновой функции, 130
Иордана-Вигнера, 19, 24
разложение
1/N , 261
регуляризация
эффективного взаимодействия, 85
ренормгруппа, 48, 87
РЯД
лестничный, 232
теории
среднего поля, 148
теория
Мигдала, 115
полярона, 115
среднего поля, 132
термодинамический потенциал
сверхпроводника, 293
тождество
Уорда, 233, 295
уравнение
Лондонов, 295
ренормгруппы, 49, 87
фононы, 15
акустические, 111
оптические, 111
функция Грина
мацубаровская, 141
фононов при D = 1 , 148
электронов, усредненная по беспо-
рядку, 229, 234
функция Грина фонона
DM, 123
функция Грина электрона
G(e, г), 83
С(рЛ), 123
энергия
корреляционная, 150
эффект
Яна-Теллера, 128