Введение в комбинаторные методы дискретной математики - Сачков В.Н.

Глава I. Основные понятия и элементарные методы
Глава II. Формулы обращения и метод включения—исключения
§3. Формулы обращения для частично упорядоченных множеств
Глава V. Общая комбинаторная схема и теория Пойа
§3. Коммутативный несимметричный/2-базис
§4. Некоммутативный несимметричный/2-базис
§6. Некоммутативный симметричный/2-базис
Глава VI. Вероятностные методы в комбинаторном анализе
§3. Неотрицательные целочисленные матрицы
Задачи
§5. Производящие функции и предельные теоремы
§3. Неразложимые и вполне неразложимые матрицы
Глава VIII. Системы инцидентности и блок-схемы
§3. Ортогональные латинские квадраты и конечные проективные плоскости
§2. Вероятностные свойства преобразований Уолша—Адамара
§3. Комбинаторно-вероятностные свойства дискретных функций
Автор: Сачков В.Н.
Теги: вычислительная математика численный анализ теория вероятностей математическая статистика комбинаторный анализ теория графов математика математический анализ математическая физика комбинаторика издательство мцнмо
ISBN: 5-94057-116-6
Год: 2004
Похожие
Дискретная математика. Учебник
Искусство программирования. Том 4, А. Часть 1. Комбинаторные алгоритмы
Введение в дискретную математику
Дискретная математика теория, задачи, приложения
Текст
                    В. Н. САЧКОВ
ВВЕДЕНИЕ
В КОМБИНАТОРНЫЕ
МЕТОДЫ ДИСКРЕТНОЙ
МАТЕМАТИКИ
Допущено Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по специальности 075100 Криптография
и 075200 Компьютерная безопасность
Москва
Издательство МЦНМО
2004

УДК 519.6
ББК 22.176
С22
Сачков В. Н.
С22 Введение в комбинаторные методы дискретной математики. —
2-е изд., испр. и доп.—М.: МЦНМО, 2004. —424 с: ил.
ISBN 5-94057-116-6
Книга содержит изложение ряда основных комбинаторных методов современной
дискретной математики в систематизированном виде. Предпочтение отдается тем
методам, которые носят перечислительный характер, наиболее отработаны теоретически
и имеют наибольшее число приложений.
Книга предназначена для студентов вузов, обучающихся по
специальностям «Прикладная математика», «Кибернетика», «Криптография», «Компьютерная
безопасность», а также для научных работников, работающих в области прикладной
математики, кибернетики, защиты информации и криптографии.
Во втором издании добавлена глава IX «Дискретные функции», добавлены
разделы к некоторым другим главам, расширен круг задач.
ББК 22.176
Владимир Николаевич Сачков
ВВЕДЕНИЕ В КОМБИНАТОРНЫЕ МЕТОДЫ
ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
Редактор Т. Коробкова
Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г. Подписано в печать 26.03.2004 г. Формат
60 х 90 */1б- Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 26,5. Тираж 1600 экз.
Заказ №9958.
Издательство Московского центра непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. 241-05-00.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография „Наука"».
119099, Москва, Шубинский пер., 6.
ISBN 5-94057-116-6
Э^вБЭ^БУНбг1
© Сачков В. Н., 2004
© МЦНМО, 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 5
Предисловие 7
Глава I. Основные понятия и элементарные методы 9
§ 1. Множества 9
§2. Отображения, соответствия, функции 16
§3. Отношения, операции, алгебры 25
§4. Числа, многочлены, операторы 37
§5. Преобразования 49
§ 6. Булевы функции 56
Задачи 61
Глава II. Формулы обращения и метод включения—исключения 63
§ 1. Метод включения—исключения 63
§2. Неравенства Бонферрони 68
§3. Формулы обращения для частично упорядоченных множеств 72
Задачи 83
Глава III. Производящие функции 85
§ 1. Формальные степенные ряды 85
§2. Производящие функции 102
§3. Метод дифференциальных уравнений 115
§4. Метод линейных функционалов 122
§5. Асимптотические разложения 136
§6. Числа Каталана 143
Задачи 150
Глава IV. Графы и преобразования 157
§ 1. Графы 157
§2. Деревья 168
§3. Циклы подстановок 178
§4. Графы преобразований 189
§5. Блоки 200
Задачи 207
Глава V. Общая комбинаторная схема и теория Пойа 208
§ 1. Группы и эквивалентность отображений 208
§2. Общая комбинаторная схема 215

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§3. Коммутативный несимметричный/2-базис 218
§4. Некоммутативный несимметричный/2-базис 227
§5. Коммутативный симметричный /2-базис 234
§6. Некоммутативный симметричный/2-базис 243
§ 7. Теорема Пойа 249
Задачи 258
Глава VI. Вероятностные методы в комбинаторном анализе 260
§ 1. Вероятностные распределения и случайные величины .... 260
§2. Моменты случайных величин 264
§3. Неотрицательные целочисленные матрицы 272
§4. Покрытия множеств 278
Задачи 290
§5. Производящие функции и предельные теоремы 290
§6. Разбиения конечных множеств 305
§7. Конечные топологии 314
§8. Разделяющие системы множеств 319
Задачи 329
Глава VII. Перманенты и трансверсали 331
§1. Свойства перманентов 331
§2. Перманенты и трансверсали 344
§3. Неразложимые и вполне неразложимые матрицы 353
§4. Оценки перманента 367
Задачи 374
Глава VIII. Системы инцидентности и блок-схемы 376
§ 1. Системы инцидентности 376
§2. Блок-схемы 378
§3. Ортогональные латинские квадраты и конечные
проективные плоскости 388
Задачи 394
Глава IX. Дискретные функции 395
§1. Преобразования булевых функций 395
§2. Вероятностные свойства преобразований Уолша—Адамара . 402
§3. Комбинаторно-вероятностные свойства дискретных функций 409
Задачи 414
Литература 415
Предметный указатель 418

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
По сравнению с первым изданием в большинство глав книги внесены
дополнения, связанные с новыми результатами в области развития
комбинаторных методов дискретной математики.
В § 1 главы I введен дополнительных пункт 7, в котором
рассматриваются вполне разделяющие семейства множеств и их приложения к
задачам тестирования. В §3 добавлен пункт 11, в котором изложены некоторые
сведения о полях Галуа. Сокращен раздел задач за счет сохранения только
тех из них, которые более тесно связаны с основным содержанием главы.
Раздел задач главы II дополнен двумя задачами, связанными с
использованием функции Мёбиуса.
В § 5 главы III добавлены два новых пункта. Пункт 7 посвящен задаче
перечисления разбиений натуральных чисел с ограничениями и
установлению ее связи с коэффициентами Гаусса. В пункте 8 с использованием
диаграмм Ферре определена биекция между разбиениями натуральных
чисел с ограничениями и бинарными последовательностями с заданным
числом инверсий. Практически полностью обновлен раздел задач главы III,
прежде всего за счет введения задач, развивающих основное содержание
главы.
В конце главы IV введен раздел задач, связанных с перечислениями
подстановок и графов.
В раздел задач §3 главы V добавлены две задачи, связанные с
определением числа расположений на окружности дуг, не имеющих общих точек.
В §5 главы V введен новый пункт 6, в котором приводится алгоритм
для установления биекции между подстановками степени п с данным
числом инверсий и /2-выборками в некоммутативном несимметричном п-ба-
зисе с определенными ограничениями на появление элементов я-базиса.
В §4 главы VI добавлены три новых пункта. В пункте 4
рассматриваются покрытия с повторениями, а в пункте 5 — минимальные покрытия
с повторениями. В пункте 6 устанавливается связь минимальных покрытий
с диагностическими системами. В конце § 4 введен раздел задач.
Для второго издания книги была написана глава IX «Дискретные
функции», в которой нашел отражение ряд опубликованных в последние
десятилетия результатов, связанных с изучением комбинаторно-вероятностных

6 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
свойств дискретных функций, задаваемых отображениями векторных
пространств над полями Галуа. В конце этой главы приводятся задачи.
Помимо введения нового материала, во втором издании устранены
замеченные погрешности и недочеты первого издания.
В связи с определенным расширением круга вопросов, изложенных во
втором издании книги, пополнен список литературы.
В целом же цель книги, круг читателей, к которым она обращена, стиль
изложения с учетом ее использования как учебного пособия остаются
такими же, как и в первом издании.
В. Н. Сачков

ПРЕДИСЛОВИЕ
Значительное место в современной дискретной математике
занимают комбинаторные методы, развитие которых за последние десятилетия
нашло отражение не только в многообразных научных публикациях, но
и в подготовке математиков и инженеров кибернетического
направления. Развитие этих методов обусловлено появлением разнообразных задач
дискретной математики, связанных с существованием, алгоритмами
построения и подсчета числа некоторых конфигураций из элементов
данного множества. Такие конфигурации строятся в соответствии с
определенными правилами и называются обычно комбинаторными. Круг
задач, в которых необходимо определять число комбинаторных
конфигураций данного класса или давать их классификацию, связанную с
перечислением, обычно называют перечислительными задачами комбинаторного
анализа.
Предлагаемое учебное пособие имеет целью систематически изложить
в первую очередь перечислительные методы комбинаторного анализа,
нашедшие незначительное отражение в учебной литературе по дискретной
математике. В главе I изложены элементарные комбинаторные методы
и приведен без доказательств ряд основных сведений из других
разделов математики, применяемых в последующем изложении. В основном эти
сведения даются студентам факультетов прикладной математики на первых
курсах их обучения. В качестве основного инструмента в решении
перечислительных задач используется метод производящих функций. Различным
аспектам данного метода, связанным с использованием как аналитических
функций, так и формальных степенных рядов, посвящена глава III.
Главную роль производящие функции играют в решении перечислительных
задач теории графов, излагаемых в главе IV.
Наряду с теорией групп метод производящих функций применяется
в теории перечисления Пойа и в построении общей комбинаторной
схемы, включающей в себя целый ряд конкретных комбинаторных схем. Эти
вопросы излагаются в главе V. Весьма эффективным в решении
комбинаторных задач, в особенности связанных с получением асимптотических
формул, является применение вероятностных методов, которым посвящена
глава VI. В этой области метод производящих функций, наряду с извест-

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
ными предельными теоремами, также предоставляет большие возможности
в решении достаточно сложных задач.
Другие методы перечисления связаны с использованием
перманентов в главе VII и формул обращения на частично упорядоченных
множествах, которым посвящена глава II. В главе VIII излагаются основы
теории блок-схем.
Основная цель учебного пособия состоит в изложении методов
решения комбинаторных задач. Решение конкретных задач служит прежде
всего для иллюстрации комбинаторных методов. Для наибольшей
наглядности задачи часто рассматриваются не в максимальной общности, причем
нередко для решения одной и той же задачи в различных главах
применяются различные методы. Сравнение сложности решения одной и той же
задачи различными методами в процессе обучения поможет выработать
умение правильно использовать арсенал комбинаторных методов в
конкретной ситуации.
Изложение в книге построено по принципу нарастающей сложности,
подавляющее большинство результатов приводится с подробными
доказательствами. В конце глав и некоторых параграфов содержатся задачи
и упражнения. Главы имеют определенную автономность, что при
необходимости обеспечивает их независимое изучение. Такое построение книги
позволяет на основе приведенного в ней материала строить
разнообразные учебные курсы и организовывать занятия семинаров в зависимости от
целей подготовки студентов.
По традиции, сложившейся при написании учебных пособий,
изложение, за редкими исключениями, не сопровождается точными ссылками на
источники приводимых результатов. С учетом целей книги она не
содержит в ряде случаев исчерпывающего изложения современного состояния
известных комбинаторных проблем. Для восполнения этих пробелов в
информации читателю следует обратиться к списку литературы,
приведенному в конце книги. Этот список содержит названия монографий и статей из
журналов, в которых указанные вопросы изложены с большей степенью
детализации и содержат сведения о первоисточниках.
В. Н. Сачков

ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
§ 1. Множества
1. Понятие множества. Множество есть совокупность
объединенных по некоторым признакам различных объектов, называемых
элементами множества. Если х является элементом множества X или, что то же
самое, х принадлежит множеству Ху то применяют запись хеХ;в
противном случае пишут х£Х. Два множества X и Y равны, т. е. X = У, если они
состоят из одних и тех же элементов. Если множества X и Y не равны, то
применяется запись X ф Y.
Для описания множества X, состоящего из элементов х\, х<±, ..., хп,
обычно применяется запись X = {х\, х<±, ..., хп}, где порядок элементов
в фигурных скобках несуществен и определяется соображениями
наглядности. Так, в записи множества первых п натуральных чисел Nn = {1, 2, ...
..., п) удобно располагать числа в возрастающем порядке, хотя при этом
надо иметь в виду, что, например, /V3 = {1, 2, 3} = {2, 1, 3} = {3, 1, 2}.
Другой способ задания множества состоит в описании свойств,
однозначно определяющих принадлежность элементов данному множеству.
Такому способу задания множества X отвечает запись следующего вида:
Х = {х: х обладает свойством Р(х)}.
Выражение в фигурных скобках читается следующим образом: множество
всех элементов х, которые обладают свойством Р(х). Например, множество
четных чисел М может быть задано следующим образом:
М = {/: / — целое число, делящееся на 2}.
Возможно также рекурсивное задание множества, при котором
осуществляется последовательное описание элементов через предыдущие.
Так, множество натуральных чисел N = {1,2, ...} может быть описано
следующим образом:
N = {/: если целое / е N, то / + 1 G N, / ^ 1}.
Во всех указанных случаях описания множества с помощью
некоторого свойства необходимо следить за тем, чтобы каждый элемент был четко

10 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
определен, во избежание трудностей типа парадокса Б. Рассела. Наглядно
такой парадокс можно проиллюстрировать в виде затруднения
парикмахера, определившего множество людей, которых он бреет, в виде
совокупности всех лиц некоторого населенного пункта, не бреющихся
самостоятельно. При таком определении остается неясным, принадлежит ли сам
парикмахер этому множеству.
Недостаточно четким является, например, и определение множества X
как множества слов русского языка, если нет ссылки на какой-нибудь
толковый словарь.
Множество, содержащее конечное число элементов, называется
конечным; в противном случае множество является бесконечным. Число
элементов конечного множества X обозначается через \Х\. Множество X,
содержащее п элементов, будем называть п-множеством. Ясно, что все
элементы я-множества X можно занумеровать числами 1, 2, ..., п и
записать в виде списка X = {х\у х<±, ..., хп}.
2. Операции над множествами. Если каждый элемент х множества У,
х е У, является элементом множества X, х е X, то У называется
подмножеством множества X. Для обозначения этого свойства используется
знак включения с и применяется запись У с X. Включение обладает
свойствами рефлексивности: X С X— и транзитивности: если X С У и У с Z, то
ICZ. Кроме того, из двух включений XCY и YC. X следует, что X = У.
Если У с X, У Ф X, то этому соответствует запись У с X и У называется
собственным подмножеством X. Очевидно, что если \Х\ = п и |У| =/л,
то из У С X следует т ^ я, а из У с X вытекает т < п. Множество, не
содержащее элементов, называется пустым множеством и
обозначается 0. Будем считать, что пустое множество является подмножеством
любого множества и |0| = 0.
Для каждой пары множеств X и У можно определить операцию
объединения двух множеств: Xl)Y= {х\ х еХ или х £ У}.
Пример. Х = {0, 1,3,5}, У = {0, 3, 4, 7, 9}, *иУ={0, 1,3,5,4,
7,9}.
Очевидно, что объединение обладает свойствами коммутативности:
X\JY =Y\JX — и ассоциативности: (X U У) U Z = X U (У U Z), что
позволяет записывать без скобок объединение любого количества множеств:
Х\ U X2 U ... U Xk = {х: х е Х\ или ... или х eXk}.
Операция пересечения множеств X и У определяется следующим
образом: XnY= {х\ хеХ и xeY}.
Пример. Х= {0, 2, 4, 8}, У = {0, 4, 3}, * П У = {0, 4}.
Если X и У не имеют общих элементов, то J П У = 0. Из определения
следует, что пересечение коммутативно: X (lY =Y Г\Х—и ассоциативно:
(X П У) П Z = J П (У П Z). Это позволяет записывать без скобок также
и пересечение множеств: Х\ П ^2 П ... П J& = {х: х е Х\ и ... и х е Xk}.

§1. МНОЖЕСТВА
11
Операции объединения и пересечения связаны законами
дистрибутивности: X П (У U Z) = (X П У) U (X П Z), X U (У П Z) = (X U У) П (X U Z).
Первый закон доказывается следующим образом. Если jc G Аг П (У U Z), то
jc G X и одновременно или jc G У, или jc G Z. Следовательно, либо х G X
и одновременно х G У, либо jc G Аг и одновременно jc G Z. Таким образом,
jc G (X П У) U (X П Z). Отсюда следует, что X П (У U Z) С (X П У) U (X П Z).
Пусть теперь jc G (А"П У) U (А"П Z). Тогда или х еХ и одновременно jc G У,
либо jc G X и одновременно jc G Z. Отсюда вытекает, что jc G X П (У U Z).
Значит, (А" П У) U (А" П Z) С А" П (У U Z), и первый закон дистрибутивности
доказан. Аналогично доказывается и второй закон.
Разность множеств А" и У определяется следующим образом: X \ У =
= {х: хеХ и x^Y}.
Пример. Х={1,2, 7}, У={2, 7, 8, 9}, Х\У={1}.
Из определения разности следует, что (X\Y)L) (XnY) = Х, так как для
любого х еХ справедливо, что либо jc G X, но jc ^ У, либо jc G X и jc G У.
Используя понятие разности множеств, при У С Аг определим дополнение
У для У в множестве А": У = А" \ У.
Пример. X = {1, 3, 5, 7, 8}, У = {1, 5, 7}, У = {3, 8}.
Используя операции объединения, пересечения и дополнения множеств,
сформулируем законы де Моргана: если А", У—подмножества некоторого
множества [/, то
(YrTT)=Iuy, (xUY)=l(nY. (1.1)
Докажем первое из этих равенств. Если jc G (А" П У), то jc ^ Аг П У. Следо-
вательно^или^г G X, или jc_G У. Таким_образом, (А" П У) С X U У. Обратно,
если jc G ArU У, тенили jc G Ar, или jc G У, и, значит, jc $£ Аг П У.
Следовательно, jc G (А" П У) и A" U У С (А" П У). Из двух включений следует первый закон
де Моргана. Второй закон доказывается аналогичным образом.
Семейство множеств {А'ь А^, ..., Xk} называется покрытием
множества X, если имеет место равенство X = Х\ U Хч U ... U А^. Множества
Х\, А^, ..., А^ называются блоками покрытия. Важным примером
покрытия является разбиение. Семейство множеств {А'ь А^, ..., Xk}
называется разбиением множества с блоками А^, А^, ..., А^, если X = Х\ U X2 U ...
...U**, |АГ,-|>0, XinXj = 0, хфи I </,/<*.
Пример. Множества {1, 2, 5} и {3, 2, 7} образуют покрытие
множества {1, 2, 3, 5, 7}. Множества {1,4, 7}, {2, 3, 9}, {5, 6, 8}
представляют собой блоки разбиения множества {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Из определения разбиения следует, что порядок записи блоков, в
силу коммутативности операции объединения множеств, может быть
произвольным. Например, два разбиения {1, 2} U {5, 7} = {5, 7} U {1, 2}
множества {1,2, 5, 7} считаются совпадающими. В некоторых случаях удобно
рассматривать разбиения, в которых порядок записи блоков фиксирован,

12 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
т. е. любая перестановка блоков дает новое разбиение. Такие разбиения
будем называть упорядоченными (поблочно).
3. Правило суммы. Для любого разбиения конечного множества X =
= Х\ U ... U Xk, Xi П Xj = 0, 1ф/', справедливо равенство
|Х| = |Х,| + ... + |Хл|, (1.2)
которое называется правилом суммы. При k = 2 это правило очевидно.
Предполагая, что оно выполнено для k — 1 блоков, и применяя
математическую индукцию, получаем равенство \Х\ = \Х\ U ... UXk-\\ + \Xk\, из
которого в силу предположения индукции следует выполнение правила суммы
для k блоков.
Для покрытия конечного множества X = Х\ U ... U Xk справедливо
неравенство
|Х|<|Х,| + ... + |Хл|, (1.3)
называемое обобщенным правилом суммы. Для k = 2 это правило
следует из правила суммы. Действительно, если X = Х\ U А^, то ^11^2 = ^10 W,
где W = X2\X{, Х{ DW = 0. Поскольку \W\ ^ |Jf2|, то |*| = l*i U*2| =
= |Xi| + | W\ ^ |Xi| + |Хг|. Теперь обобщенное правило суммы следует из
неравенства \Х\ ^ \Х\ U ... U A^-il + \Xk\ путем применения
математической индукции.
4. Число подмножеств. Фундаментальную роль правило суммы
играет при выводе рекуррентных соотношений, выражающих мощности
конечных множеств или классов, зависящих от некоторых параметров, через
соответствующие мощности при меньших значениях параметров. В качестве
примера, иллюстрирующего методику такого вывода, получим
рекуррентное соотношение для числа m-подмножеств я-множества. Обозначим это
число через гМ. Все m-подмножества я-множества X разделим на два
класса: С\ — класс m-подмножеств, каждое из которых содержит
фиксированный элемент х е Х\ С2 — класс m-подмножеств, не содержащих
этот элемент. Если С — класс всех m-подмножеств я-множества X, то
С = С\ U С2, С\ П С2 = 0. Каждое m-подмножество из С\ получается
присоединением фиксированного элемента х к определенному (т -
^-подмножеству (п- 1)-множества Х'=Х\{х},поэтому |Ci| = ( n~_ А. Класс С2
совпадает с классом m-подмножеств (п — 1)-множества Х'\
следовательно, |С2| = (п ~ ). Таким образом, при 1 ^ т ^ п справедливо
рекуррентное соотношение
O-CiVC-'i)- <14»
причем (!) = (Z) = 1. Полагая (q) = 1 и гч = 0 при т > я, можно
распространить это соотношение на все натуральные значения тип.

§1. МНОЖЕСТВА
13
Используя математическую индукцию по п и начальные значения для
величин \Л\, из рекуррентного соотношения можно получить формулу для
числа га-подмножеств я-множества:
Qj = <^ т\(п-т)\ (1.5)
[О, т> я,
где функция п\ определена для натуральных значений п равенством п\ =
= п(п — 1)... 2 ■ 1; 0! = 1. Действительно, при п = 1 формула верна, так как
(Л = (А = 1. Предположим, она верна для п = г — 1 и для всех целых
значений т. Тогда
са
(г-1)! + (г-1)! _ г!
m!(r-m-l)! ' (m-l)!(r-m)! m\(r-m)V
Из полученной формулы и комбинаторного смысла величин \"А следует
равенство
О = («--)• °<m<n- <16>
В комбинаторном анализе т-подмножество я-множества часто
называют т-сочетанием из п различных предметов. Таким образом, число
таких сочетаний равно ("Л.
5. Теорема Шпернера. Рассмотрим я-множество X и семейство А =
= (Лi, Лг, ..., Лш) его различных подмножеств Л/ С А", 1 ^ / ^ т.
Докажем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть семейство А = (Ль Л2, ..., Лш) различных
подмножеств п-множества X удовлетворяет условию
Ait A/, i*j, 0.7)
т.е. At не является собственным подмножеством Aj. Тогда имеет
место неравенство
т
Е'/(и,|)<1- <L8>
/=i
Для доказательства рассмотрим так называемую полную цепочку
подмножеств 0 = Со С С\ с...сС/С...сСл = 1 Такая цепочка
является неуплотняемой (или насыщенной), т.е. между ее элементами
нельзя вставить дополнительного множества и, кроме того, \Ck\ = k,
k = 1, 2, ..., п. Число полных цепочек в я-множестве X равно п\.
Рассмотрим теперь полную цепочку, «проходящую через»
подмножество Л/, 1 ^ / ^ га, при |Л/| = г; это будет цепочка вида Со С С\ с ...
... с Сг-\ с Ai с Сг+\ с.сСл. Число подцепочек Со с Ci с ... с Сг-\

14 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
равно |Л£-|! = г!, а число подцепочек Сг+\ с...сСл равно (п — |Л£-|)! =
= (п — г)\\ значит, общее число полных цепочек, проходящих через Л/,
равно |Л£|!(я — |Л£|)!. При / ф j полные цепочки, проходящие
соответственно через А[ и Лу-, различны. Действительно, если Л/, Лу-, / ф],
принадлежат одной полной цепочке, то найдутся такие ее элементы Ck и С/,
что At = Ck, Aj = С[. Полагая для определенности, что Ck С С/, имеем
Ai = Ck<Z C[ =Aj, что противоречит условию (1.7) теоремы.
Таким образом, общее число полных цепочек, проходящих через все
т
подмножества семейства Л, равно XI |А"|!(я _ |А'|)- Но эта величина не
'=■
превосходит общего числа полных цепочек, поэтому ^ И/l' (п ~ И/|)! ^ я!,
i=i
откуда следует неравенство (1.8).
В качестве следствия из теоремы 1 получим теорему, принадлежащую
Шпернеру.
Теорема 2. Пусть А = (А \, Лг, ..., Лш) — семейство не ело-
жженных друг в друга подмножеств п-множества X. Тогда число т
удовлетворяет неравенству
«<([я/2]). (1-9)
где [х] есть целая часть от х.
Неравенство (1.9) следует из неравенства (1.8) в силу оценки (см.
упражнение 5)
i\Ai\)^{[nn/2])-
В заключение отметим, что при заданном множестве X и семействе
его различных подмножеств А = (А\, А<±, ..., Лш) пару (А", Л) иногда
называют гиперграфом. При этом X — множество вершин, Л — множество
ребер. Если |Л£| = 2, 1 ^ / ^ га, то гиперграф называется просто графом.
6. Делимость чисел. Известно, что всякое целое положительное п
имеет единственное представление вида п = р^р*2 • • • Р*г, 1 < Р\ < • • • < Рг,
где pi, р2, • • •, Рг — простые числа, называемое каноническим
разложением п. Если d есть делитель я, то пишут d\n w d должно иметь
представление
d = p^p\\..plrr, pf-<af-, UK r.
Пусть каноническое разложение числа п имеет вид п = р\р2.. -Рг
и га— максимальное число делителей числа я, которые не делят друг друга.
Покажем, что
т<([г/2])' О-10)
Возьмем X = {1, 2, ..., г}. Каждому делителю вида р/, р/2... pls, 1 ^ /j < ...
... < /$ ^ /\ поставим в соответствие подмножество {i\, /2, • • -is} множе-

§1. МНОЖЕСТВА
15
ства X. Получим семейство подмножеств (А\, А2, ..., Ат). Так как
делители не делят друг друга, то Аь <£ Aj, i ф /', и, следовательно, (1.10) вытекает
из теоремы Шпернера.
Упражнения. 1. Доказать, что при 0 ^ k ^ п
о=(*+■>(,;,)+*» »ю=ч;:!)+(4.>
gdo-©g:j)+«»g:3+g;j=
©o-(*t*)Ci;*)+»(*j,)G:.)+G)o-
2. Вывести рекуррентные соотношения:
Ю="ЕС:{> (Э=ЕС^7')-
/=1 /=0
3. Для простого р доказать, что величина rj, 1 ^ п^ р — 1, делится на р.
4. Доказать неравенства:
(2о")<(2,")<-<(2;): (V)<(V)<-<(2;--,'). «>s-
5. Доказать, что: a) \V\ при фиксированном п и при k ^ [п/2] возрастает
с ростом k, а при k ^ [п/2] убывает; б) (?) при фиксированном k возрастает
с ростом п, 1 ^ k ^ п.
7. Вполне разделяющие семейства множеств и тестирование.
Пусть X = {х\, х2, ..., хп} — совокупность возможных неисправностей
некоторого технического устройства. Специалист по устранению
неисправностей имеет возможность выделять совокупности признаков допустимых
неисправностей Х\, Х2, ..•, Хг С X. Задача тестирования неисправностей
устройства состоит прежде всего в том, чтобы по заданным
совокупностям Х\, Х2, ..., Хг уметь разделять несовместимые неисправности. Таким
свойством обладают вполне разделяющие семейства множеств.
Семейство различных подмножеств Х\, Х2,..., Хг С X = {хх, х2,..., хп}
называется вполне разделяющим, если для любых xL ф Xj существуют
такие Xk и X/, кф /, что
xteXk, XjiXk\ Xi£Xu xjeXi. (1.11)
Рассмотрим матрицу А = (а//), / = 1, 2, ..., г; / = 1, 2, ..., п, такую, что
_/1, чеЪ,
a//'"l0, x^X,
Матрица А называется матрицей инцидентности семейства А^, Х2, ..., Хг.
Рассмотрим столбцы А\,А2,...,Ап матрицы А и множество чисел

16 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
У = {1, 2, ..., г}. Столбцу Aj = (a,\j, ay, ..., arj) ставится во взаимно
однозначное соответствие подмножество У) С У такое, что
Y, = {i\ xjeXi, 1 ^/^r}, /= 1,2, ..., п.
Для множества У/, 1 ^ / ^ п, рассмотрим вектор инцидентности
b(Yj) = (bf\ ...,&f>, ...,8f, ...,8jr))
такой, что
1 10, **У/.
В силу равенств (1.11) найдутся такие k ф /, что
Sf> = l, Sf>=0; &<°=0, 8f = l.
Эти равенства означают, что для любых / и / выполнено условие У/ £ У/,
т. е. семейство Y\, Y2, . •., Ул обладает шпернеровским свойством. Отсюда
следует, что
л^([г/2])-
Отметим, что указанная связь между семействами Х\, X<i, ..•, Хг
и Уь Уг, • • •, Уп позволяет по заданному семейству Уь Уг, • • •, У/ъ
обладающему шпернеровским свойством, строить вполне разделяющее семейство
Х\, А2, . . •, Хг.
Аналогичная задача возникает при медицинском диагностировании.
Если X = {х\, JC2,..., хп} — совокупность возможных болезней, а Х\, Л^,...
..., Хг С А" — семейство возможных заболеваний, отвечающих г
симптомам, то для разделяющего семейства возможно установить
несовместимость некоторых пар заболеваний у пациента.
Несколько иной подход к решению этих задач будет рассмотрен в §8
главы VI.
§ 2. Отображения, соответствия, функции
1. Отображения. Будем говорить, что задано отображение ф
множества X в множество У, если каждому элементу х е X поставлен в
соответствие единственный элемент у е У. При отображении ф соответствие
между х и у записывается равенством у = ф(х), а самому отображению
соответствует запись ф: X—> У. Множество X есть область определения
отображения, а У — область его значений. Два отображения ф: X —> У
и ф': X' —> У равны, если X = X', У = Y' и ф(х) = ф'(х) для всех х е X.
Отображение ф': X' —> У называется сужением или ограничением на Л7
отображения ф: X —> У, если Л7 С Л" и ф'(х) = ф(х) для всех jc £ X\

§2. ОТОБРАЖЕНИЯ, СООТВЕТСТВИЯ, ФУНКЦИИ
17
Множество у~х(у) = {х: у =cp(jc), x e X} называется полным
прообразом элемента у при отображении ср. Если Х= {х\, ..., хп}, то
отображение (р: X —> У может быть представлено в виде двустрочной записи:
_ / хх х2 ... хп \
?-V<P(*i) Ф(*2> ••• ф(*пУ'
где ф(л:/) еУ,/=1,...,я. Рассмотрим, например, отображение ср: А" —> У,
где X = (1, 2, 3, 4, 5}, У = (a, ft, с}, <р = (* 2 £ 4 5Y Выпишем пол-
1 J L J г \а а о с а/
ные прообразы: ф_1(а) = {1,2, 5}, (р_1(&) = {3}, ф-1^) = {4}. Если X' =
= {1, 3, 4, 5}, то сужение на X' отображения (р имеет вид ф' = ( ? ).
Совокупность образов элементов множества X' С.Х при отображении
ср: Л" —> У называется образом X' и обозначается ф(Аг/). Например, для
отображения ф = (^ ^2 ^ ^3) имеем ф({1, 3, 4}) = {уи у3}.
Отображение (р: Л"—>X множества X в себя называется преобразованием
множества X. Двустрочная запись некоторого преобразования (р множества
{1, 2, 3, 4, 5} выглядит следующим образом:
,г _ Л 2 3 4 5>|
*"V5 5 1 4 2)'
Рассмотрим некоторые свойства отображений. Отображение ф: X —> У
называется сюръективным, если любой элемент (/ЕУ имеет хотя бы один
прообраз при этом отображении. Иными словами, для любого у е У
существует х е X такой, что у = ф(х). В этом случае иногда говорят, что ф
отображает X на У. Если ф — сюръективное отображение, то ф(Л) = У и для
любого у е У справедливо условие ф_1(#) ф 0. Для конечных множеств X
и У сюръективность отображения ф: Л"—> У означает, что |Л] ^ |У|.
Например, отображение ф: {1,2, 3, 4} —> {у\, y<i, уъ) такое, чтоф(1) =
= ф(2) = у\, ф(3) = у2, ф(4) = (/з, сюръективно. Отображение ф' тех же
множеств с условиями ф'(1) = ф'(3) = у\, ф'(2) = ф'(4) = уъ не является
сюръективным.
Отображение ф: X—> У называется инъективным, если для
любого у е У его полный прообраз у~х(у) содержит не более одного
элемента. Иными словами, отображение ср: Л"—> У инъективно, если для любых
х ф xf, х, х' е X, ср(лг) т^ ф(лО. Если А" и У конечны, то инъективность
отображения ф: Х—> У означает, что \Х\ ^ |У|.
Например, для X = { 1, 2, 3}, У= {#i, y<i, Уъ, У а) отображение ф: Л"—> У
инъективно, если ф(1) = у\, ф(2) = #з, ф(3) =Уа-
Отображение (р: X —> У называется биективным, если оно
одновременно сюръективно и инъективно. Из сюръективности следует, что
|ф-1 (у)\ ^ 1 Для любого #£ У; из инъективности вытекает условие |ф-1 (у)\ ^
^ 1 для каждого у е У. Следовательно, биективность отображения ф

18 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
означает, что |ф_1(*/)| = 1 для любого у е У, т.е. условие у = ф(х) для
каждого у е У однозначно определяет единственное значение х е X. В этом
случае говорят, что биективное отображение ф устанавливает взаимно
однозначное соответствие между множествами А" и У. Когда А" и У конечны,
это означает равенство \Х\ = \Y\.
Например, отображение ф множества X = {1, 2, 3} в множество У =
= (#ь У2, Уз} биективно, если ф(1) = у3, ф(2) =уи ф(3) = у2.
2. Двудольные графы. Рассмотрим два конечных множества точек
на плоскости, помеченных элементами множества X и множества У
соответственно. Помеченные точки будем называть вершинами. Рассмотрим
отображение ф: X —> У. Из каждой точки х е X проведем стрелку в
точку у е У, если у = ф(х). Каждую стрелку мы будем ориентировать от х
к у и называть дугой, выходящей из вершины х и входящей в вершину у.
Совокупность вершин и инцидентных им дуг будем называть двудольным
графом отображения ф: X—> У.
Отметим некоторые свойства даудольных графов отображений. Из
каждой вершины множества X выходит одна и только одна дуга. В частности,
если отображение сюръективно, то в каждую вершину множества У
входит по крайней мере одна дуга. Если отображение инъективно, то в любую
вершину множества У входит не более одной дуги. При биективном
отображении в каждую вершину множества У входит одна и только одна дуга.
С помощью двудольных графов нетрудно показать, что при \Х\ = \ Y\ из
сюръективности отображения ф: X —> У следует инъективность, и обратно.
Действительно, из сюръективности отображения вытекает, что в каждую
вершину соответствующего двудольного графа входит по крайней мере
одна дуга. Но так как число дуг равно \Х\ = | У|, то в любую вершину У входит
единственная дуга, т. е. отображение инъективно. Аналогично
доказывается обратное утверждение. Таким образом, при \Х\ = |У| из сюръективности
отображения ф: X —> У следует его биективность.
3. Векторы. Возьмем множества X = {1, 2, ..., га}, У = {у\, у2, ...
..., уп} и рассмотрим двустрочную запись отображения ф: X —> У:
_ / 1 2 ... т \
(P-V<p(l) ф(2) ... ?(m)J'
где ф(/) е У, / = 1, 2, ..., т. Упорядоченная нижняя строка этой
записи (ф(1), ф(2), ..., ф(т)) называется т-мерным вектором над
множеством У или просто т-вектором, соответствующим отображению ф.
Величина ф(/) называется значением /-й координаты или просто /-й
координатой m-вектора. В отличие от элементов множества, значения координат
могут совпадать и порядок расположения различных значений координат
существен. Иногда m-векторы называют т-последовательностями, или
т-ками (эмками).

§2. ОТОБРАЖЕНИЯ, СООТВЕТСТВИЯ, ФУНКЦИИ
19
Из определения следует, что между отображениями (р: X —> У, \Х\ = га,
и га-мерными векторами над множеством У имеется взаимно однозначное
соответствие.
4. Декартово произведение. Понятие вектора позволяет ввести еще
одну операцию над множествами. Декартовым произведением множеств
Х\,Х%, ...,Хт будем называть множество всех га-векторов (х\, х2, ...
..., jcm), где Х[ е Xt, i = 1, ..., га. Иными словами, декартово произведение
Х\,Х2, ..., Хт представляет собой множество вида
Х\ х Х2 х ... х Хт = {(х\, х2, ..., хт): xt e Xi, i = 1, ..., га}.
Для декартова произведения X х ... х X с га сомножителями,
называемого га-и декартовой степенью множества X, введем обозначение Х^т).
Например, если Х\ = {а, Ь, с, d, e, f, g, h}, Х2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, то
декартово произведение Х\ х Х2 = {(а, 1), (а, 2), .. .(h, 8)} представляет
собой систему координат шахматной доски, которые используются для
записи позиций.
5. Соответствия и функции. Любое подмножество R С X х У
называется соответствием между множествами А" и У. Если (jc, у) е /?, то
говорят, что у соответствует х при соответствии /?, и записывают: xRy;
при этом у называется образом х, а х — прообразом у при этом
соответствии. Если для каждого такого jc, что (jc, у) е /?, имеется единственный
образ, то соответствие называется функциональным и определяет
некоторую функцию / на множестве X со значениями в множестве У.
Задание функции означает, что определено отображение /: X' —> У, где X' С X,
а для элементов множества Х\Х' отображение /, а значит, и
соответствующая функция не определены. Функцию, соответствующую этому
отображению, также обозначают /: Х—> У. Две функции равны, если равны
соответствующие им отображения. Ясно, что любая функция /: X ^ У
является сужением некоторого отображения на некоторое подмножество
X' С X. Отсюда следует, что на функцию переносятся все рассмотренные
свойства отображений. При этом считаем, что функция обладает
некоторым свойством, если этим свойством обладает соответствующее
отображение.
Соответствие R определяет биективное отображение (р: Х—> У, если
каждый элемент jc имеет единственный образ, а каждый элемент у —
единственный прообраз для всех jc G X и у е У. Такое соответствие, как уже
было упомянуто, называется взаимно однозначным. Установление
взаимно однозначного соответствия между множествами играет важную роль
в комбинаторном анализе. Так, определение числа элементов конечного
множества У, т.е. установление равенства |У| =п при некотором я,
фактически сводится к отысканию некоторого взаимно однозначного
соответствия между множествами N = {1, 2, ..., п} и У.

20 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
6. Правило произведения. Фундаментальную роль в решении
перечислительных задач комбинаторного анализа играет правило
произведения, которое утверждает, что для любых конечных множеств Х\, Х<±, ...
..., Хт имеет место равенство
|ATi х ЛГ2 х ... х ATm| = |ATi| - |АГ2|... |АГт|. (2.1)
Доказательство этого равенства проводится индукцией по т. При т = 1, 2
равенство очевидно. Используя равенство, очевидное соотношение Х\ х ...
... х Хт-\ х Хт = (Х\ х ... х A^-i) х Хти предположение индукции,
получаем
\ХХ x...x*m_, xXn\ = \Xi ж ... ж ЛГт_11 - |АГт| = |ATi |... |ЛГт_11 ■ |АГт|.
Из правила произведения в качестве следствия вытекает, что число всех
m-векторов с координатами из я-множества X, называемых иногда т-раз-
мещениями с повторениями из я-множества, равно
U(n,m)=nm. (2.2)
Действительно, U(n, т) = \Х^\ = \Х\т = пт.
Так как каждому отображению ф: X —> У, \Х\ = т, \Y\ = я,
ставится во взаимно однозначное соответствие m-вектор с координатами из
множества У, то число отображений m-множества в я-множество равно
(/(я, т)=пт.
Число m-векторов с различными координатами из я-множества,
называемых иногда т-размещениями из п элементов, равно (я)ш, где
Гя(л-1)...(л-т + 1), m^rt,
(П)т = < Л ^ (2.3)
^ 0, т> п.
Для доказательства применим математическую индукцию. При т = 1
имеем очевидное равенство (п)\ = п. Каждый m-вектор рассматриваемого
вида может быть получен из (т- 1)-вектора путем добавления m-й
координаты, являющейся элементом исходного я-множества и не
совпадающей с т - 1 предыдущими координатами. Стало быть, при т ^ п имеем
(я)т = (tt)m-i (n - т + 1) = п(п - 1)... (п - т + 2)(п - т + 1). Ясно, что
(п)т = 0 при т> п.
При т = п я-размещение из п различных элементов называется п-пе-
рестановкой. Число я-перестановок равно
(п)п = п\.
Заметим, что фиксированному т-подмножеству я-множества X
соответствуют т\ различных m-векторов с различными координатами из этого

§2. ОТОБРАЖЕНИЯ, СООТВЕТСТВИЯ, ФУНКЦИИ
21
m-подмножества. Эти m-векторы отличаются только перестановкой своих
координат. Отсюда следует формула
tt)-*Sr <2-4>
которая вытекает также из формул, дающих выражения для (J и (п)т.
7. Мультимножества. Рассмотрим я-множество Х= {хь ..., хп} и
я-вектор («ь «2, ..., ал) с целыми координатами, такими, что а\ + «2 + ...
... + ап = т, щ ^ 0, / = 1,2, ..., п. Совокупность из т элементов
множества X, в которой элемент х,- встречается а, раз, называется т-муль-
тимножеством первичной спецификации [х^'х^2.. **"], порожденным
множеством X, и записывается Х=(х\, ..., xi; X2, ..., Х2; ...; хп, .. •, хп),
где х,- повторяется а, раз, а при щ = 0 не встречается вовсе. Иногда
полезно использовать и другую запись: X = (ai(xi), 012(^2), •••> а„(хп)).
Числа а/, /= 1,...,я, называются показателями первичной
спецификации m-мультимножества Х. Если среди чисел ai,...,a„ имеется
Ро нулей, (8i единиц, ..., рт значений т, то символ [[(УМ**1 .. .mpm]],
lPi + 2P2 + ... + mpm = m, называется вторичной спецификацией
m-мультимножества X, а числа Ро, рь • • •, рт — ее показателями.
Иногда m-мультимножество, соответствующее я-множеству, называют т-со-
четанием с повторением из п элементов. Максимальное подмножество
X' множества X, элементы которого входят в соответствующее
мультимножество X, называется носителем этого мультимножества.
Очевидно, что носитель представляет собой совокупность таких элементов х,-
множества X, для которых соответствующие показатели первичной
спецификации а,- положительны. Например, пусть X = {х\, x<i, Х3, х*}-
Тогда мультимножество с первичной спецификацией [х^х^] имеет вид
X = (х\, х\\ хз; *4, *4, ха)- Вторичная спецификация этого
мультимножества выглядит следующим образом: [[О11^^1]]. Носителем X является
множество X' = {х\, хз, х±\.
Рассмотрим над множеством X = {х\, Х2, ..., хп} m-вектор (у\, г/2, ...
..., ут), в котором элемент х, используется щ раз в качестве
значения некоторых координат, / = 1, 2, ..., п, причем а\ + ... + ап = т.
Вектору (r/i, у2, ...,ут) можно поставить в соответствие единственное
т-мультимножество X первичной спецификации [х^'х*2.. х*"], ai + ...
... + <хп = т.
Рассмотрим обратную задачу определения количества m-векторов над
множеством Х= {х\, Х2, •., хп}, которые можно построить по т-муль-
тимножеству первичной спецификации [xf'x*2.. .х*"], ai + ... + a„ = т.
Один m-вектор можно построить, рассматривая в качестве его
координат элементы m-мультимножества в принятом порядке записи.
Остальные m-векторы получаются путем всевозможных перестановок элементов

22 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
m-мультимножества. Обозначим через Рт(ои\, ..., ая) число таких
перестановок, т. е. искомое число m-векторов. Ясно, что перестановка а,
элементов х/, xi, ..., xi не дает новых вариантов m-векторов. Если все эти
элементы сделать различными, например путем введения специальных
пометок: х- , х- , ..., х- , то число таких перестановок равно а;!. Таким
образом, если операция введения пометок будет проделана для всех / =
= 1, 2, ..., п, то общее число различных перестановок элементов т-муль-
тимножества становится равным а\! «2!... а„! Рт(а\, ..., ап). Так как в
результате введения пометок все элементы m-мультимножества будут
различны, то общее число перестановок равно т\. Отсюда следует формула
для числа m-векторов, отвечающих m-мультимножеству заданной
первичной спецификации [х*1 .. . х*"]:
т\
Рт(*и ...,*п)= „ ■ , ' ., «! + ... + «„= т. (2.5)
Суммируя по всевозможным значениям показателей первичной
спецификации правую часть этого равенства, получим общее число m-векторов над
я-множеством, т. е.
V
*-^ oti!ao!...a«!
m! :w. (2.6)
ai'o^! • • .ctn
Определим теперь V(n, m)— общее число m-мультимножеств,
порожденных заданным я-множеством. Так как каждое т-мультимножество,
порожденное множеством X = {х\, x<i, ..., хп}, однозначно
определяется своей первичной спецификацией [х*'х*2.. . х*"], «i + ... + a„ = m, то
V(n, т) равно числу решений уравнения щ + ... + ап = т в целых
неотрицательных числах, представляющих собой я-векторы (ab a2, ..., ап).
Положим для простоты X = {1, 2, ..., п} и заметим, что каждое /г-подмно-
жество множества X имеет вид {i\, /2, • • • *&}, где 1 ^ i\ < /2 < .. • < ik ^ я.
Любое m-мультимножество Х, порожденное X, можно записать в виде
(/Ь /2, • • ./т), гДе 1 ^ /1 ^ /2 ^ • • • ^/т ^ Я- ПрОИЗВОЛЬНОМу т-МуЛЬТИМНО-
жеству рассматриваемого вида (/i, /2, .. ./m) можно поставить в
соответствие совокупность элементов {/i, /2, • • •> *m}, где /i =/1, /2 =/2 + 1, • • •
• • •, *m = jm + ^ — 1. Очевидно, что 1 ^ i\ <i2<...<im^n + m— 1, и,
следовательно, {/j, /2, • • •> *m} представляет собой m-подмножество
множества X7 = {1,2, ...,/z + m— 1}. Так как число таких подмножеств
равно p*+m_ Ч то отсюда вытекает неравенство V(n, т) ^ (п + т- М
Возьмем теперь m-подмножество множества X7 вида {/i, /2, • • •, *'m},
1 ^ М < *2 < • • • < im ^ п + m — 1, и рассмотрим совокупность
элементов (/1, /2, ..., /т>, где /1 = /i, /2 = /2 - 1, • • •, jm = im- т + 1. Эта
совокупность удовлетворяет условию 1 ^ /i ^ /2 ^ ... ^ jm ^ n и образует

§2. ОТОБРАЖЕНИЯ, СООТВЕТСТВИЯ, ФУНКЦИИ
23
m-мультимножество, соответствующее множеству X = {1, 2, ..., п}.
Следовательно, V(n, m)^ (n J. Из двух полученных неравенств
вытекает формула
V(n,m) = (n + ™-1). (2.7)
8. Сюръективные мультимножества. Мультимножество X =
= (ai(*i), <*2(х2), ..., ап(хп)), «i + ... + ъп = т, ац ^ 1, /= 1, ..., /г, с
носителем X = {х\, Х2, ..., хп} и первичной спецификацией [х*1**2.. .х""]
называется сюръективным. Таким образом, для сюръективного
мультимножества все показатели первичной спецификации «i, «2, ..., ап —
положительные числа. Например, множеству X = {х\, х2, х%, х4}
соответствует сюръективное мультимножество вида Х\ = (х\\ х2, х2\ х%, х^\ х4),
для которого показатели первичной спецификации имеют вид щ = а4 = 1,
«2 = «з = 2. Мультимножество Х2 = (х\\ х2, х2\ х4) не является
сюръективным, так как а\ = а4 = 1, «2 = 2, «з = 0.
Определим W(n, m) — число сюръективных m-мультимножеств,
носителем которых является заданное я-множество. Ясно, что W(n, m) равно
числу решений (а\, «2, ..., ап) уравнения а\ + «2 + ... + ап = т в целых
положительных числах. Возьмем такое уравнение и сделаем замену
переменных а- = щ - 1, / = 1, 2, ..., /г. Получим уравнение а\ + а'2 + ... + а„ =
= т — п, число решений которого равно в целых неотрицательных
числах \\т-п) + п- j = Гт~ V Так как каждому решению уравнения
«1 + ... + ап = т, щ > 0, ставится в соответствие решение уравнения
а\ + ... + а'п = т - п, а- ^ 0, то W(n, т) ^ (т ~ Л. Беря уравнение
а7! + ... + а„ = т — п, а- ^ 0, и делая замену а/ = а- + 1, приходим к
уравнению «1 + ... + ап = т, щ > 0. Следовательно, W(n, т) ^ (т ~ . J. Из
двух полученных неравенств следует формула
Щп, го) = (£-;). (2.8)
Выше было отмечено, что каждому отображению ср: Л" —► У, |Л] = т,
|У| =п, можно поставить во взаимно однозначное соответствие т-вектор
(ф(1), ср(2), ..., (р(т)). Этому вектору соответствует некоторое т-мульти-
множество над У, которое сюръективно тогда и только тогда, когда сюръ-
ективно отображение ср.
Рассмотрим теперь совокупность сюръективных m-мультимножеств,
носителями которых являются k-подмножества заданного я-множества.
Число таких m-мультимножеств равно u)(TZi)- Суммируя по &,
получаем общее число m-мультимножеств, соответствующих заданному

24 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
я-множеству. Следовательно, имеет место тождество
(T)+6)("r,)+-+G)C?:.,)+-+CDCr.,)-("+:-1)-
Разбиение натурального числа п есть представление его в виде
неупорядоченной суммы натуральных чисел: п = п\ + ... + пг. Каждое такое
разбиение (п\, ..., пг) можно рассматривать как мультимножество с
носителем Nn = {1, 2, ..., п} и первичной спецификацией [1а,2*2... п*"\, где
а,- — число слагаемых, равных / в разбиении (/ц, ..., пг). Разбиение можно
представлять и как сюръективное мультимножество с носителем,
состоящим из тех чисел, которые фигурируют в этом разбиении, и первичной
спецификацией, указывающей число вхождений каждого элемента
носителя в это разбиение.
9. Булеан. Множество всех подмножеств множества X, включая
пустое множество 0 и само множество X, называется булеаном и
обозначается 2х. Например, булеан множества X = {О, 1} состоит из множеств 0,
{0},ОМ0,1}.
Описание элементов булеана конечного множества X удобно проводить
с использованием понятия индикатора подмножеств. Индикатором
подмножества X' множества X— {х\, x<i, ..., хп} называется такой я-вектор
&(*') = (*i.*2, ...,8Д что
xi e Г,
Ясно, что между элементами булеана я-множества X и я-мерными
индикаторами подмножеств имеется взаимно однозначное соответствие, при
котором 8(0) = (0, ..., 0), Ь(Х) = (1, ..., 1). Общее число таких
индикаторов равно 21*1. Отсюда следует формула
|2*| = 2|х|. (2.9)
Упражнения. 1. Методом разбиения на классы вывести рекуррентное
соотношение для V(n, га) —числа m-мультимножеств, порожденных п-множеством:
V(n, га) = V(n, m-\) + V(n- l, га).
С учетом начальных значений V(n, 1) = п, V(\, га) = 1 индукцией получить из этого
соотношения формулу
K(n,m)=("+^-1).
2. Вывести соотношения:
(«)* = Е С) <*)*-/<" - *)/; 2" = Е О;
2"-,=Е(2") = Е(2Л.);
Ч£

§3. ОТНОШЕНИЯ, ОПЕРАЦИИ, АЛГЕБРЫ 25
(*)г.
m! _ Ш\ш -ал /га - ои - ... - а„_Л .
ai!ot2!...a«! "~ \°И/ V а2 ) ' " \ ап /'
m
EC:a©=2mG)-
k=0
3. Индукцией по я доказать формулы:
Е. _ я(я+ 1). \^ к2 = п(п+ Wn+ ]).
2 ' ^ 6
л=1 л=1
4. Показать, что если /(т) —число т-векторов над множеством X = {0, 1},
у которых две соседние координаты не являются нулевыми, то
/(/л) = /(/л-1)+/(/л-2), /л>1, /(1)=2, /(2) = 3.
Числа /(т) называются числами Фибоначчи.
Вывести формулу
[</я+1)/2]
/(«)= £ С" "Г1)-
где [х] — целая часть числа х.
§3. Отношения, операции, алгебры
1. Отношения. Рассмотрим Х^ = X х ... х X— k-ю декартову
степень множества X. Подмножество RQX^ будем называть k-местным
отношением, заданным на множестве X. Будем считать, что упорядоченные
элементы х\, Х2,..., Xk € X находятся в отношении R, если (х\, Х2,..., Xk) €
eR. Одноместные отношения, называемые иногда унарными,
соответствуют подмножествам множества X. В дальнейшем особое внимание будет
уделено двуместным, или бинарным, отношениям, которые для краткости
называются просто отношениями. Если на множестве X задано
отношение R С Х^, то запись xRx' означает, что х и х' находятся в отношении R,
т. е. (х, xf) e R.
Простейшим примером бинарного отношения, заданного на
множестве натуральных чисел N, является отношение ^. Ясно, например, что
упорядоченные пары чисел (3, 7) и (5, 5) принадлежат этому
отношению, а пара (4, 1) не принадлежит. Другим примером отношения,
заданного на булеане 2х множества X, является включение С. Для множества
Х= {1, 3, 5, 7, 9} пары подмножеств ({1, 3}, {1, 3,9}) и ({5, 7, 9}, {5, 7,9})

26 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
принадлежат этому отношению, а пара подмножеств ({1, 5, 7}, {3, 5, 9})
не принадлежит.
Каждому бинарному отношению R на я-множестве Х= {х\, Х2, ..., хп}
можно поставить в соответствие 0,1 -матрицу А = (aij), /, / = 1, ..., п, где
( 1, если XiRxi,
ач = \ п
[0 в противном случае.
Матрица А называется матрицей инцидентности бинарного
отношения. Заметим, что бинарному отношению равенства, заданному на я-мно-
жестве, соответствует единичная матрица (8^), где (Ьц) — символ Кроне-
кера:
Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если xRx
для любого х е X. Матрица инцидентности рефлексивного отношения на
конечном множестве X имеет на главной диагонали только единичные
элементы. Например, отношение ^ на множестве N является рефлексивным.
Отношение R антирефлексивно, если xRx не выполняется ни для
какого х е X. В этом случае матрица инцидентности имеет нулевую главную
диагональ. Примером антирефлексивного отношения может служить
отношение <, заданное на множестве N.
Отношение R на множестве X называется симметричным, если из
xRx' следует, что x'Rx для любой пары (х, х') е Х^\ Допустим, что
элементы некоторой матрицы находятся в отношении R, если они принадлежат
одной и той же строке матрицы. Ясно, что в данном случае отношение R
симметрично. Матрица инцидентности Л = (а£у), /, /' = 1, ..., п,
симметричного отношения, заданного на я-множестве, обладает свойством
симметрии относительно главной диагонали, т.е. ац = а/,. Отношение R
называется антисимметричным, если из xRx! и x'Rx следует х' = х. Примером
антисимметричного отношения может служить отношение ^, так как из
х ^ х' и х' ^х следует, что х' = х.
Отношение R на множестве X называется транзитивным, если из
xRx' и x'Rx" следует, что xRx". Пример транзитивного отношения —
отношение включения С, заданное на булеане 2х множества X. Другой
пример— отношение ^, заданное на множестве натуральных чисел. Для
матрицы инцидентности А = (а/у), /, / = 1, ..., п, транзитивного отношения,
заданного на я-множестве, справедливо условие: из равенства atk = 0 для
всех / следует, что аца-^ = 0. Любому отношению R, заданному на
множестве X, можно поставить в соответствие отношение R, которое
определяется так: xRx' для х, х' Е X, если существуют такие х\, ..., xs Е X, что xRx\,

§3. ОТНОШЕНИЯ, ОПЕРАЦИИ, АЛГЕБРЫ
27
X\Rx2, ..., xsRxf. Отношение R называется транзитивным замыканием
отношения R. Если R транзитивно, то R = R.
Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на
множестве X называется отношением эквивалентности. Обычно это
отношение обозначается символом ~. Отношение эквивалентности на
множестве X индуцирует некоторое разбиение этого множества, блоки которого
называются классами эквивалентности. Любые два элемента из одного
класса связаны отношением эквивалентности, т. е. эквивалентны; любые
два элемента из разных классов не эквивалентны.
Построим разбиение множества X, соответствующее отношению
эквивалентности на этом множестве. Для х е X обозначим через К(х)
подмножество, состоящее из элементов, эквивалентных х, т.е. К(х) = {у: у ~х\
у е X}. Пусть х и х' не эквивалентны. Покажем, что К(х) П K{xf) = 0.
Допустим, что z е (К(х) П К{х')). Тогда z ~ х и z ~ х'. Отсюда,
используя симметричность и транзитивность, получаем, что х~х\ т.е. приходим
к противоречию.
Ясно, что и обратно каждому разбиению множества X соответствует
некоторое отношение эквивалентности. Каждый блок разбиения
представляет собой подмножество множества X, состоящее из элементов,
эквивалентных некоторому фиксированному элементу подмножества. Множество
всех классов эквивалентности называется фактормножеством по
данному отношению эквивалентности.
Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение
называется отношением частичного порядка. Если на множестве X задан
частичный порядок, то множество называется частично упорядоченным.
Очевидно, что отношение включения С, заданное на булеане 2х
множества X, определяет частичный порядок.
Отношение R на множестве X обладает свойством дихотомии, если
для любых х, х' е X либо xRx', либо x'Rx. Отношение частичного порядка,
удовлетворяющее свойству дихотомии, называется отношением линейного
порядка или просто отношением порядка. Отношение <, заданное на
множестве натуральных чисел, является отношением порядка.
Рассмотрим множество X, на котором задано отношение
порядка <. На декартовой степени Х^г) этого множества также можно
установить отношение порядка /?, при котором (х\, ..., xr)R(x\, ..., х'г) для
(xi, ..., хг), (х\, ..., xfr) e Х^г\ если для наименьшего индекса / со
свойством Х[ ф х\ имеет место отношение xt < х\. Такой порядок R называется
лексикографическим, так как используется для определения
расположения слов в словарях.
2. Операции и алгебры. Будем говорить, что на множестве X задана
п-местная операция ф, если задано отображение ф: Х^ —► X, которое
вектору (xi, ..., хп) € Х^ ставит в соответствие единственный элемент

28 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
х еХ. Этот факт записывается следующим образом: х = ф(хь •. •, хп).
Таких операций на множестве X можно задать несколько. Множество
операций, заданных на X, называется его сигнатурой и обозначается Ф =
= {ф1,ф2, •••}•
Множество X вместе с его сигнатурой Ф будем называть
алгеброй и обозначать А(Х; Ф). Множество X называется основным
множеством алгебры. Наиболее распространенными являются двухместные,
или бинарные, операции, которые в дальнейшем будем называть
просто операциями. Для записи бинарной операции вместо функциональной
употребляется запись, при которой пары элементов соединяются
специальным значком. Так, вместо ср(х, у) = z записывают х Т у = г.
Операция Т называется ассоциативной, если для любых х, у, z e X выполнено
условие
(хТ y)Tz = xT(yT z).
Операция Т коммутативна, если для любых х, у е X выполнено условие
х Т у = у Т х.
Операция Т дистрибутивна относительно операции _1_, если для любых
х, у, z e X справедливы равенства
х Т (у _L z) = (х Т у) _L (x T z),
(y±z)Tx = (yTx)±(zTx).
Элемент е является нейтральным, или единичным, относительно
операции Т, если для любого х е X
хТ е = еТ х = х.
Если такой элемент существует, то он единствен. Действительно, если бы
существовал нейтральный элемент е' ф е, то из равенств е' — е' Т е =
= е Т е' = е следовало бы противоречие.
Элемент х~х называется обратным к элементу х е X относительно
операции Т, если
хТx~l =x~x Tх = е.
Рассмотрим в качестве основного множества множество
действительных чисел R, на котором заданы хорошо известные операции умножения Т
и сложения _1_, обозначаемые обычно • и + соответственно. Обозначим
соответствующую алгебру через A(R, ■, +). В этой алгебре обе операции
ассоциативны и коммутативны и операция умножения дистрибутивна
относительно операции сложения. Нейтральными элементами при умножении
и сложении являются соответственно числа 1 и 0.

§3. ОТНОШЕНИЯ, ОПЕРАЦИИ, АЛГЕБРЫ
29
3. Гомоморфизм и изоморфизм. Рассмотрим алгебры А(Х\ (pi, ...
..., (pfc), B(Y\ фь • • • > Ф&)> У которых операции <р£- и ф£ являются одинаково
поместными, / = 1, ..., k. Отображение у • X —► У с условием
YM*/. , ..., х^)) = фДт(*/, )>•••> Y(*/„,))
для всех / = 1, ..., k и всех x-h Е X называется гомоморфизмом алгебры
А(Х\ (pi, ..., (pfc) в алгебру B(Y; фь ..., ф&). Взаимно однозначный
гомоморфизм называется изоморфизмом.
Возьмем алгебры A(Q\ +), В(<?'; +), где ф и <?'— соответственно
множества целых и четных чисел, а + означает обычное сложение чисел.
Отображение у- Q —► Qf такое, что у(п) = 2п, является изоморфизмом.
Множество Y С X называется замкнутым относительно я-местной
операции <р на X, если (р(У(/г)) С Y. Если Y QX замкнуто относительно всех
операций алгебры А(Х\ ерь ..., <р^), ему соответствует алгебра В(У; (pi,
..., (рД которая называется подалгеброй алгебры А(Х\ (pi, ..., (р^).
Гомоморфизм алгебры в некоторую подалгебру называется гомоморфизмом
в себя. Изоморфизм алгебры в себя называется автоморфизмом.
4. Группоиды, квазигруппы, полугруппы. Алгебра А(Х, Т) с
операцией Т называется группоидом. Группоид, в котором уравнения а Т х = b
и у Т а = b однозначно разрешимы относительно х и у для любых a, b e X,
называется квазигруппой. Это свойство эквивалентно условию, что в
соотношении аТ b = с любые два элемента однозначно определяют третий
для любых а, Ь, с е X.
Группоид, в котором операция Т ассоциативна, называется
полугруппой. Полугруппа, содержащая нейтральный элемент, иногда называется
моноидом. Если операция Т коммутативна, то полугруппа называется
абелевой.
В дальнейшем операции 1 и Т мы для удобства будем обозначать
знаками сложения + и умножения • соответственно.
В полугруппе с операцией ■ произведение х • х ■ ... • х с k
сомножителями называется k-й степенью х и обозначается xk. Полагаем х° = е,
где е — нейтральный элемент (если е существует). Полугруппа, состоящая
из степеней одного и того же элемента, называется циклической.
Циклическая полугруппа абелева. Совокупность всех целых чисел с обычной
операцией умножения образует абелеву полугруппу Множество матриц
данного порядка, замкнутое относительно операции матричного
умножения, также является полугруппой. Эта полугруппа, вообще говоря, не
абелева.
5. Группы. Полугруппа с нейтральным элементом е, в которой для
каждого элемента g существует обратный g~l такой, что gg~l =g~lg = e,
называется группой. Элемент е называется единицей группы.
Совокупность Н элементов группы G, замкнутая относительно операции в группе

30 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
и такая, что из g е Н следует g~x е Я, называется подгруппой. Группа,
в которой операция коммутативна, называется абелевой.
Например, множество всех рациональных чисел, не содержащее
нуля, с операцией обычного умножения образует абелеву группу
Множество всех матриц данного порядка с отличным от нуля определителем
и операцией матричного умножения образует группу Если группа G
конечна, то число ее элементов обозначается \G\ и называется порядком
группы.
Рассмотрим непустое подмножество М группы G. Совокупность всех
элементов G, представимых в виде gj'g^.-.g^, где £*,,..., g/t, G Af,
а t\,...,zv принимают всевозможные целые значения, образует
подгруппу группы G. Она называется подгруппой, порожденной
множеством Af, и обозначается (М). Множество М называется системой
образующих подгруппы (М). Если G= (Af), то М — система образующих
всей группы G.
Подгруппа группы G, порожденная элементом geG, называется
циклической и обозначается (g). Если для элемента g группы G
существует натуральное число р такое, что gp = е, то говорят, что g имеет
конечный порядок. Наименьшее число /?, удовлетворяющее этому свойству,
называется порядком g. Циклическая группа, порожденная элементом
g e G порядка /?, имеет вид (g) = {е, g4 ..., gp~1}. Действительно, для
любого натурального k имеем k = lp + г, 0 ^ г ^ /? — 1, используя
деление k на р с остатком. Поэтому для любого элемента из (g) получаем
ek = (gp)lgr=gr-
6. Смежные классы. Пусть Н—подгруппа группы G. Левым
смежным классом группы G по подгруппе Н называется множество gH
элементов вида gh, где h пробегает все элементы подгруппы Я, a h —
фиксированный элемент из G, называемый представителем смежного класса.
Аналогично определяется правый смежный класс Hg.
Рассмотрим покрытие группы G левыми смежными классами: G = Ни
\Jg\H\J... Покажем, что это покрытие является разбиением, т.е. giHn
П gjH = 0, / ф \. Допустим, что g e gtH П gjH. Тогда g = gih\ = gfa, и,
следовательно, gj =gih\hl^. Значит, любой элемент из класса gjH имеет
вид gih\h2Xh = gih', h! e H. Отсюда вытекает, что gjH С giH.
Аналогично доказывается, что giH C.g}H. Следовательно, giH = g}H. Таким
образом, блоки покрытия либо не пересекаются, либо совпадают, т. е. покрытие
является разбиением. Существует аналогичное разбиение группы G и на
правые смежные классы: G = Н U Hg\ U ... Множество левых смежных
классов группы G по подгруппе Н обозначим через G/H.
Если группа G конечна, то из ее разбиения на смежные классы следует
теорема Лагранжа, состоящая в том, что \G\ = \H\\G/H\. Отсюда следует,
что порядок конечной группы делится на порядок каждой ее подгруппы.

§3. ОТНОШЕНИЯ, ОПЕРАЦИИ, АЛГЕБРЫ
31
Таким образом, порядок любого элемента группы делит порядок группы.
Если порядок группы — простое число, то группа — циклическая.
Подгруппа Н группы G называется нормальным делителем, если
gH = hG, geG.
Рассмотрим гомоморфизм у: G —> G', где G и G' — некоторые группы.
Ядром гомоморфизма у называется множество
kery = {geG: y(g) = e'},
где е' — единица группы G'. Ясно, что # = kery является подгруппой G,
обладающей следующим свойством: gH = Hg, geG. Действительно, из
равенства y(ghg~l) = e', he H, ge G, следует, что gHg~{ с Н. Заменяя g
на g~\ получаем Я С gHg~x. Таким образом, gHg~{ = H, ge G, и
подгруппа Н является нормальным делителем в группе G.
Из совпадения соответствующих левых и правых смежных классов
группы G по нормальному делителю Н следует, что gH • g'H = gg'H.
Совокупность смежных классов образует группу, если операцию их умножения
определить с помощью этого равенства. Эта группа называется
факторгруппой группы G по нормальному делителю Н и обозначается G/H.
Нормализатором подгруппы G' в группе G называется множество
N(G') = {geG: gG'g-^G'}.
Если G' = Н, где Н— нормальный делитель группы G, то N(H) = G.
7. Кольца и поля. Множество с двумя операциями + и •
называется кольцом, если относительно операции + оно образует абелеву группу,
а операция ■ дистрибутивна относительно операции +. Нейтральные
элементы 0 — относительно операции + и 1 —относительно операции • (если
он существует) называют обычно нулем и единицей кольца. Если
операция • коммутативна, то кольцо называется коммутативным. Кольцо,
в котором операция • ассоциативна, называется ассоциативным. В
дальнейшем мы будем рассматривать только ассоциативные кольца, поэтому
под термином кольцо будем понимать именно ассоциативное кольцо.
Множество целых чисел Ъ относительно обычных операций сложения
и умножения образует коммутативное кольцо. Множество матриц
заданного порядка с числовыми элементами представляет собой пример кольца,
которое не является коммутативным. Сложение и умножение матриц
определены обычным способом.
Говорят, что целые числа а и b сравнимы по модулю т, если их
разность делится на т. В этом случае применяется следующая запись:
а = b(modm). На множестве целых чисел определим бинарное
отношение, полагая а~Ь, если a = b(modm). Это бинарное отношение
является отношением эквивалентности. Классы эквивалентности называются

32 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
классами вычетов по модулю т. Каждый из классов Ко, К\, ..., Кт-\
содержит в точности одно из чисел 0, 1, ..., т — 1, которые являются их
представителями и образуют полную систему наименьших
неотрицательных вычетов.
На множестве классов Ко, К\, ..., Кт-\ введем две операции,
которые будем обозначать + и ■ и называть сложением и умножением.
Будем полагать, что Ki + Kj = Ki, если / + / = /(modm), Ki • Kj = Ki, если
/•/ = /(modm). В результате получаем кольцо Zm, которое называется
кольцом классов вычетов по модулю т. Если в произвольном кольце
произведение двух отличных от нуля элементов а и b равно нулю, а • b = О,
а ф О, b ф О, то эти элементы называются делителями нуля. Кольцо без
делителей нуля называется областью целостности.
В кольце вычетов Zm делители нуля могут быть тогда и только тогда,
когда т не является простым числом. Действительно, если Ki • Kj = Ко, то
/ • / = 0 (mod m), что невозможно при т простом и / ф О, / ф 0.
Если в кольце с единицей и с операциями + и • совокупность отличных
от нуля элементов образует абелеву группу относительно операции •, то
кольцо называется полем.
Примером поля является множество всех действительных чисел, в
котором определены обычные операции сложения и умножения. Поле,
содержащее конечное число элементов, называется конечным. Если
р—простое число, то совокупность классов вычетов по модулю р образует
конечное поле из р элементов.
Возьмем фиксированный класс Ki ф Ко и покажем, что существует
единственный класс К~х такой, что KiK~x = К~хKi = K\. Рассмотрим
совокупность наименьших неотрицательных вычетов по модулю р,
соответствующих элементам /1, /2, ..., i(p — 1). Все эти элементы не сравнимы по
модулю р, так как из равенства i\i = /v (modp) следует, что \jl = v. Таким
образом, соответствующая система вычетов является полной и, в частности,
найдется единственный элемент 1 ^ / ^ р — 1 такой, что i • t = I (modp).
Поэтому KiKt =К\, и, значит, К~х = Kt-
8. Кольцо многочленов. Рассмотрим коммутативное кольцо К.
Многочленом степени п от переменной х с коэффициентами ао, а\, ..., ап 6 К
называется выражение вида
п
а(х) = ^2 a>k*k, ап ф 0.
k=\
Два многочлена а(х) и Ь(х) равны, а(х) = Ь(х), если их
соответствующие коэффициенты совпадают: а& = bk, k = 0, 1, ..., п. Степени равных
многочленов одинаковы.
Для многочленов одинаковой степени определим их сумму с(х) = а(х) +
+ Ь(х) как многочлен с коэффициентами Ck = ak + bk, k = 0, 1, ..., п. Если

§3. ОТНОШЕНИЯ, ОПЕРАЦИИ, АЛГЕБРЫ
33
степени многочленов различны, скажем тип, причем т<п, то, полагая
am+i = ... = ап = О, где 0 — нейтральный по сложению элемент из К,
сводим определение сложения многочленов к рассмотренному случаю.
Произведение многочленов а(х) и Ь(х) определяется как многочлен
р(х) = а(х) • Ь(х) с коэффициентами
Pk= ^2 aibh
i+j=k
где 0 ^ k ^ т + п; т, п — степени многочленов а(х) и Ь(х) соответственно.
Заметим, что это определение умножения многочленов совпадает с
обычным почленным их перемножением с последующим приведением подобных
членов.
Операции сложения и умножения многочленов с коэффициентами из
коммутативного кольца К коммутативны, ассоциативны и связаны
законом дистрибутивности. Следовательно, совокупность всех таких
многочленов образует коммутативное кольцо К[х], построенное над коммутативным
кольцом К.
Возьмем теперь в качестве исходного коммутативное кольцо К[х] и
построим над ним К[х, у] — кольцо многочленов от переменной у,
коэффициенты которого будут многочленами от переменной х. Элементы кольца
К[х, у] имеют вид
п т
f=0 /=0
и называются многочленами от двух переменных х и у над кольцом К.
Аналогичным образом можно построить кольцо многочленов от трех,
четырех и т.д. переменных. Многочлен от k переменных х\, ..., Xk
записывается следующим образом:
а(хи ...,xk) = X) a*i■••<**!'•••**'
(£|,...Л)
где (/ь ..., ik) пробегает некоторое конечное множество векторов с
целыми неотрицательными координатами. Величина i\ + .. .+4 называется
степенью члена a,ix...ikx?\ • • • х1£ многочлена а(х\, ..., Xk). Многочлен, все
члены которого имеют одну и ту же степень d, называется формой d-й
степени. При d= 1 форма называется линейной, а при d = 2 — квадратичной.
9. Векторное пространство. Множество R с двумя операциями:
сложения + и умножения • на элемент из поля Р— образует векторное
пространство над этим полем, если эти операции удовлетворяют следующим
условиям:
1) х + у = у + х, х, у eR;
2) (х + у) + z = х + (у + z), х, y,ze R;

34 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
3) «(р . х) = (ар) • х, а, р Е Я;
4) (а + р)х = ах+рх;
5) а(х + у) = ах + ои/;
6) существует такой элемент О' Е Я, что умножение нулевого элемента
из Я на любой элемент х Е R дает О'.
Элементы из R называются векторами. Векторы х, у, ..., z линейно
зависимы, если существуют такие числа а, р, ..., у Е Р, не равные все
нулю, что ах + ру + ... + yz = О'. В противном случае векторы х, у, ..., z
называются линейно независимыми.
Векторное пространство R имеет размерность п, или является я-мер-
ным, если в нем существует п линейно независимых векторов, а любые
п + 1 векторов линейно зависимы. Упорядоченная система из п линейно
независимых векторов е\, е\, ..., еп называется базисом я-мерного
пространства R. Любой вектор х Е R однозначно выражается через векторы
базиса:
х = ххе\ +х2е2 + ••• + хпеп\
элементы Х\, х2 ..., хп Е Р называются координатами вектора х в
базисе е\, e<i, ..., еп. Имеют место следующие формулы: если х, у Е R, а Е Р
wx = xxe\ +...+xnen, у=у\в\ + ...+упеп, то
х + у = (х{ +у\)е{ +... + (хп+уп)еп,
асх = асх\е\ +... + ctxnen.
Если совокупность векторов R' с R обладает свойствами: 1) х + у Е R'
для любых х, у е R'\ 2) vlx E R', x E R', а Е Я, то Я' называется
подпространством R.
Если Я' и Я" являются подпространствами пространства Я, причем
R' П Я" = 0' и для любого х Е Я имеет место представление х = х' + х",
х' Е Я', Jt" E Я", то говорят, что пространство R разлагается в прямую
сумму подпространств Р! и R", и записывают:
Если е'р ..., е'п, — базис R' и е'[, ..., е"п„ — базис R", то е\, ...
..., е'п,, е![, ..., е"п,, есть базис я-мерного пространства R и я = я' + /г".
10. Линейный оператор. Рассмотрим над одним и тем же полем два
векторных пространства Rh Q, имеющих базисы е\, е2, .. •, ет и q\, q2, ...
..., qn. Зададим матрицу А = (а£/), / = 1, ..., п\ j = 1, ..., т, ац Е Я,
и рассмотрим отображение Л: Я —> Q, при котором каждому вектору
х = Х\в\ + ... + хтет ставится в соответствие вектор у = A(x) = y\q\ +...
... + ynqn такой, что
У\ = Щ\Х\ + . . . + aimXm, / = 1, . . . , П.

§3. ОТНОШЕНИЯ, ОПЕРАЦИИ, АЛГЕБРЫ
35
Отображение А называется линейным оператором и обладает
следующим свойствами:
1) А(х + у) = Ах + Ау\
2) А(сис) = olAx.
Так как при фиксированных пространствах R и Q матрица А
однозначно определяет линейный оператор, то будем обозначать их одной и той
же буквой А. Заметим, что в матрице А, определяющей линейный
оператор А, k-й столбец состоит из последовательных координат вектора Aek,
k = 1, ..., m, в базисе qx, ..., qn\
Aek = a\kq\ +... + ал*<7л, k= 1, ..., т.
Сумма линейных операторов А и В есть линейный оператор
Сх = Ах + Вх, xeR;
этому оператору отвечает матрица С = А + В. Произведение линейных
операторов A. Q' —> Q и В: R —> Q' есть линейный оператор С: R —> Q
такой, что
Сх = А(Вх), xeR;
этому оператору отвечает матрица С = А В.
Если А — линейный оператор и А: R —> Q, то совокупность
векторов Лх, х G /?, образует подпространство пространства Q и
обозначается Л/?. Размерность подпространства AR называется рангом оператора А.
Размерность подпространства Q, образованного векторами,
удовлетворяющими условию Ах = О, называется дефектом оператора А. Ранг
линейного оператора совпадает с рангом определяющей его при фиксированных
пространствах матрицы А. Если г — ранг оператора, a d — его дефект, то
г + d = т, где т — размерность пространства R.
Линейный оператор Л, отображающий я-мерное векторное
пространство R в себя, называется линейным преобразованием. При
фиксированном базисе е\у е<±, ..., еп пространства R этому преобразованию
ставится во взаимно однозначное соответствие квадратная матрица А = (ац),
i, j = 1, ..., я, ац е Я, такая, что
п
Aek = У^ CLik^ii k = l, . . . , П.
i=\
Вектор х^О' называется собственным вектором линейного
преобразования А: /? —> /?, если
Ах = \х, X е Р.
Число X называется собственным значением преобразования А.
Все собственные значения являются корнями характеристического

36 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
уравнения
det(/l - Х/„) = О,
где А — матрица, соответствующая преобразованию, a In = (&;/) —
единичная матрица. Собственные векторы, соответствующие попарно различным
собственным значениям, линейно независимы.
11. Поля Галуа. Если р — простое число, то существует ровно р
классов вычетов по модулю р. В качестве представителей этих классов возьмем
числа, образующие множество Np = {О, 1, ..., р — 1}. Элементы
множества Np относительно операций сложения и умножения по модулю р
образуют поле Галуа GF(p) из р элементов.
Будем рассматривать многочлены над полем GF(p). Многочлен f(x)
степени п ^ 1 неприводим над полем GF(p), если не существует
многочленов g(x) и h(x) над полем GF(p) степени меньшей п, таких, что
f(x) = g(x)h(x). Пусть f(x) неприводим над GF(p) и имеет степень п. Если
для многочлена 1(х) над полем GF(P) имеем
l(x) = f(x)q(x) + r(x),
то будем записывать, что
l(x) = r(x) (mod/(*)),
где г(х) имеет степень не выше п — 1. Следовательно, по модулю f(x) в
качестве представителей классов вычетов можно рассматривать многочлены
вида
a0 + ai* + ... + a/1_i*,,~\ (3.1)
где коэффициенты ао, а\, ..., ап-\ могут принимать значения 0, 1, ...
..., р - 1. Значит, существует рп классов вычетов по модулю f(x). Эти
классы вычетов образуют поле Галуа GF(pn).
Полями Галуа фактически исчерпываются все конечные поля, так как
число элементов в конечном поле равно степени простого числа рп и для
всякой степени простого числа рп существует конечное поле GF(pn),
единственное с точностью до изоморфизма. Это поле GF(pn) можно
представить как множество всех классов вычетов по модулю произвольного
многочлена f(x) степени п, неприводимого над GF(p).
Все рп — 1 ненулевых элементов поля GF(pn) образуют циклическую
группу по умножению.
Произвольному элементу поля GF(pn) вида (3.1) можно поставить
в соответствие вектор (ао, а\, ..., ап-\), координаты которого являются
элементами поля GF(p). Совокупность таких векторов образует векторное
пространство Vn надполем GF(p) относительно операции покоординатного
сложения векторов по модулю р.

§4. ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ, ОПЕРАТОРЫ
37
Упражнения. 1. Показать, что булеан 2х конечного множества X образует
кольцо относительно операций объединения и пересечения множеств.
2. Пусть 6« есть совокупность преобразований «-множества X, на которой
задана операция •, определяемая равенством
а . </(х) = о'[о(х)], <? £ 6„,
для всех х е X. Показать, что при п^2 &п образует некоммутативную полугруппу.
3. Доказать, что для любых ненулевых целых чисел аиЬ имеет место равенство
г ил аЬ
[a'b] = ^r
где (а, Ь) — наибольший общий делитель, [а, Ь] — наименьшее общее кратное
чисел а и Ь.
4. Показать, что если d = (а, Ь), то существуют такие целые числа х и у, что
d = ах + by.
5. Пусть q — натуральное число и N = {О, 1, ..., q — 1}. Показать, что всякое
натуральное число т единственным образом представимо в виде
т = то + m\q + m^q + ... + mrq\
где mi £ N, 1 ^ / ^ r, mr Ф 0. Это представление называется q-ичным
разложением числа m.
6. Функция Эйлера <р(я) определяется как число элементов множества
{0, 1, ..., п — 1}, взаимно простых с п. Для случая п = /?*, где р — простое число,
показать, что
ф*) = р*-р*-].
§ 4. Числа, многочлены, операторы
В данном параграфе рассмотрим некоторые числа и многочлены,
которые играют важную роль в решении комбинаторных задач.
1. Биномиальная формула. Число VV\ ,0^k^m, равное количеству
^-подмножеств m-множества, называется биномиальным
коэффициентом. Основанием тому служит наличие этих чисел в качестве
коэффициентов в так называемой биномиальной формуле, или формуле бинома
Ньютона:
т
0+0т = £(£)'*. (4.1)
6=0
где /— переменная, принимающая любые действительные значения.
Для доказательства формулы (4.1) рассмотрим множество
отображений (р: X —> Y, \Х\=тч \Y\ = t + 1, где / — натуральное число. Не
ограничивая общности, положим Y = {уо, у\, ..., yt} и разобьем все множество
отображений на т + 1 классов. К &-му классу отнесем такие
отображения, в которых уо в точности т — k раз используется в качестве образа,

38 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
О ^ k ^ т. Число отображений в k-м классе равно Vv\ tk, О ^ k ^ т.
Суммируя по всем k эти числа, получаем общее число отображений, равное
(1 + t)m. Этим равенство (4.1) доказано для всех натуральных /. В левой
и правой частях равенства (4.1) стоят многочлены, совпадение которых для
всех натуральных значений / означает их равенство для всех
действительных значений /.
Формула (4.1) является источником целого ряда полезных тождеств.
Например, полагая соответственно / = 1 и / = — 1, получаем
£(?)=*". (4-2)
6=0
т
£(-1)т-*(™)=0, т>\. (4.3)
Равенство (4.2) означает, что общее число подмножеств т-множества,
включая пустое подмножество, равно 2т. Иными словами, число элементов
в булеане 2х множества X равно 21*1 , что следует также из формулы (2.9).
Вычисляя коэффициенты при tr в обеих частях равенства (1 + t)m =
= (1 + /)s(l + /)m_s, 0 ^ 5 ^ m, получаем тождество
г
k=0
(Й(ГД=С). <«)
Аналогично из равенства (1 + t)2m = (1 + t)m(\ + t)m следует тождество
т
п-\ j
Интегрируя обе части равенства Х)0 ~~ t)k — тО ~~ 0 ~~ 0"} и используя
k=o 1
биномиальную формулу, можно установить тождество
±<-i)ft-'G)=±7- (46)
k=\ /=1
2. Полиномиальная формула. Используя биномиальную формулу,
докажем справедливость следующей формулы:
(Н,+И2+ ... + И„)т= Y, ^.kX.-kn^'^ •••"""' (4J)
k\+...+kn=m
где суммирование осуществляется по всевозможным решениям уравнения
k\ + k<i +... + kn = m в целых неотрицательных числах. Под решением

§4. ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ, ОПЕРАТОРЫ
39
понимается вектор (k\, k<i, ..., kn) с целыми неотрицательными
координатами, удовлетворяющими равенству k\ + ... + kn = т. Обычно форму-
лу (4.7) называют полиномиальной, а выражения — —— полиноми-
k\\...kn\
альными коэффициентами.
При п = 2 полиномиальная формула верна, так как она совпадает с
биномиальной формулой. Применяя формулу бинома Ньютона, имеем
(i/i + ... + и„_1 + ип)т = J2 (J) ("1 + • • • + un_x)ku
ktlm—k
п
Используя предположение индукции о справедливости формулы (4.7) для
всех показателей степени k < m, получаем
{ux + ...+un_x+unr=Y.O?-k Е ^т^?1---*
*! „л. ,А-
л __, *л-1'
/г=0 Л|+...+Л„_,=Л " ""*
Полагая kn = т — k и переходя от повторного суммирования к
суммированию одновременно по всем индексам, приходим к формуле (4.7).
Полагая и\ = ... = ип = 1 в формуле (4.7), получаем тождество
«m= £ *^bw- (4'8)
fci+...+fc„=ra
Комбинаторный смысл этого тождества состоит в том, что величина
m\(k\\.. .kn\)~l согласно формуле (2.5) определяет число m-векторов
с координатами из ^-множества, у которых показатели первичной
спецификации равны k\, k,2, ..•, kn. Суммирование по всем таким показателям
дает общее число m-векторов, равное пт.
3. Биномиальные коэффициенты и формулы обращения.
Формулу для разложения бинома (1 + Vf можно обобщить на случай, когда
показатель степени а есть произвольное действительное число. Для этого
разложим функцию (1 + /)* в окрестности точки / = 0 в ряд Тейлора:
с»
(!+*)« = !+£ *(*-1)..^-т + 1)г, (4.9)
т=\
Биномиальный ряд, стоящий в правой части, сходится абсолютно и
равномерно для всех |/| ^ г < 1. Его коэффициенты при tm будем называть
также биномиальными коэффициентами и обозначать
/а\ = (орт = а(а - 1)... (а - m + 1) (. ](),

40 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
для всех т = 0, 1, ... При т < 0 полагаем f j = 0. Приравнивая
коэффициенты при tm в обеих частях равенства (1 +/)* = (1 +/)*-1 + /(1 + /)"-1,
получаем соотношение для биномиальных коэффициентов:
O-CiVCr-'.)- <*•">
аналогичное соотношению (1.4) для натуральных а. Так же приравнивая
коэффициенты при tm в обеих частях равенства (1 + /)*+Р = (1 + /)*(1 + /)**,
имеем
т
С^-ЕСЭСЛ)- «♦••*
6=0
Вычисление коэффициента при tm в обеих частях равенства
(1 + /)«!+•••+«* = (1 + /)0(| ... (1 + t)*k приводит к следующему тождеству:
С| + га+"')= £ C',)-C?J. (*'»»
где суммирование осуществляется по всем векторам (mi, ..., m&) таким,
что т\ + ... + rtik = m, mi ^ 0, 1 ^ / ^ п.
Биномиальный ряд (4.9) при / = 1 сходится тогда и только тогда, когда
а > — 1, и его сумма равна 2*. Отсюда следует тождество
оо
т=0
При / = -1 биномиальный ряд (4.9) сходится тогда и только тогда,
когда а ^ 0, и его сумма равна 1 при а = 0 и равна нулю при а > 0. Отсюда
следует тождество
оо
О 0, (4.15)
l)f, (4.16)
'). (4.17)
E<-ir©=<u
га=0
где Vo — символ Кронекера.
Если а > 0, то из равенства (4.9) имеем
га=0
так как
оо
+ т —
т
<1 + о- = £("
т=0
(-ir(-a) = C
т

§4. ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ, ОПЕРАТОРЫ 41
Приравнивая коэффициенты при tm в обеих частях равенства
(1 — t)~*(\ ~~ 0* = 1» получаем тождество
т
B-ir-4a+*-1)L-J=w (418)
6=0
Полученные соотношения для биномиальных коэффициентов служат
источником для получения простейших формул обращения. Пусть
элементы двух числовых последовательностей (ао, аь ..., а„, ...) и (fco, b\, ...
...,£„,...) связаны соотношением
п
а" = Е©6*' я = 0,1,-.- (4.19)
Тогда имеет место соотношение
п
bn = J2(-l)n~k(l)a^ л = 0, 1,... (4.20)
Формула (4.20) называется формулой обращения для формулы (4.19),
и обратно.
Допустим, что справедливо равенство (4.19). Подставляя выражение
для ап в равенство (4.20), получаем
/=0 k=0
Из равенства (4.3) следует, что данное равенство сводится к тождеству
Точно так же можно убедиться, что подстановка выражения для Ьп
вида (4.20) в формулу (4.19) приводит к тождеству.
Рассмотрим другой пример пары соотношений, которые являются
взаимно формулами обращения:
а" = Е(а + ^-1К-*' 1 = 0,1,.-., (4-21)
6=0
п
bn=J2(-l)k(t)an-^ /1 = 0, 1, ... (4.22)
Подставляя выражение ап из (4.21) в (4.22), получаем
/=0 k=0
Из (4.18) следует, что последнее равенство есть тождество. Аналогично
показывается, что из равенства (4.22) следует равенство (4.21).

42 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
Несколько более сложный пример формул обращения дает пара
соотношений
[я/2]
а" = £бК"2*' л = 0, 1, ..., (4.23)
6=0
[л/2]
^Е^^С^Ь"2*' л = 0,1,..., (4.24)
где и/2— целая часть от п/2. В обоих случаях суммирование проводится до
обращения в нуль слагаемых, при этом используется условие, что уЛ = 0
при п < й, где п и k — натуральные числа.
Рассмотрим многочлены вида
[п/2]
bn(x) = J2(-l)k7ih(n~kk)xn~2k (4-25)
2k ^n
с начальными значениями: Ьо(х) = 1, Ь\(х) = х, ^М = х2 - 2. Из
очевидного соотношения для биномиальных коэффициентов (п ~ k ] =
/ _Ь\ / _Ь_\\ n-k\ П /
= (п , ) + (п ._. J следует, что для п = 3, 4, ... имеет место
равенство
Ьп(х) = xbn-\(х) - Ьп-2(х). (4.26)
Из этого равенства для п = 2, 3, ... имеем
хЬп(х) = Ьп+{(х) + Ьп_{(х). (4.27)
Заметим также, что xb\(х) = b<i(х) + 2bo(x), xbo(x) = Ь\(х).
Рассмотрим теперь числа ank, 0 ^ й ^ [п/2], такие, что
[п/2]
xn = ^2ankbn-2k(x).
6=0
Из равенства (4.27) следует, что ап^ = ап_\^ + a„_i£_i, k < [п/2], а<щ,п —
= 2a2n-\/i-\j a2n+\,n = a2n,n+a2n,n-\' Из этих соотношений получаем ank =
= (А, и, следовательно,
[п/2]
^ = E(!)*n-2fcW. (4.28)
6=0
Из равенств (4.25) и (4.28) вытекает тождество для биномиальных
коэффициентов:
[п/2]
E(-')"^i("i^C-«?J-«M- <429>
6=0

§4. ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ, ОПЕРАТОРЫ
43
Это тождество позволяет убедиться, что из равенства (4.24) следует
равенство (4.23), и обратно.
4. Сюръективные отображения. Полиномиальные коэффициенты
позволяют получить выражение для D(ny m) — числа сюръективных
отображений m-множества в п-множество. Это число записывается в
следующем виде:
D(n,m)= J2 = 1аТ! «,. (43°)
«i+...+«„=m
«,>0
где суммирование производится по всем векторам (oq, «2, ..., ая) с целыми
положительными координатами, удовлетворяющими условию оц + «2 + • • •
... Н- ая = т. Действительно, каждому сюръективному отображению ф
m-множества X в п-множество У соответствует m-вектор (<p(*i), ...
..., (р(хт)), X = {х\, ..., хт}. Этому m-вектору отвечает сюръективное
m-мультимножество значений его координат из множества У.
Сюръективному m-мультимножеству У первичной спецификации [у\х у^ • • -*/""L
«1 + ... + oin = т, а/ > 0, / = 1, 2, ..., п, соответствует т\ (<х\\.. .а„!)-1
различных m-векторов. Каждый из этих m-векторов определяет
сюръективное отображение m-множества в п-множество, и все эти
отображения различны. Поэтому, суммируя полиномиальные коэффициенты по всем
(«1, ..., ая), oti + ... + 0Ln = tn, oii > 0, / = 1, ..., п, получаем общее число
сюръективных отображений, т.е. правую часть равенства (4.30).
Для величин D(n, m) можно получить рекуррентное соотношение. Для
этого все отображения m-множества Х в п-множество Y разобьем на
классы. Если отображению (р отвечает m-вектор, для которого носитель
соответствующего m-мультимножества является k-подмножеством У, то
отображение ф отнесем к й-му классу, 1 ^ k ^ п. Число отображений в k-м
классе равно (V\D(k, m); поэтому, полагая D(0, 0) = 1 и D(0, m) = 0,
m ^ 1, получаем
^2(1)0(к,т) = пт. (4.31)
6=0
Применяя формулы обращения (4.19) и (4.20), получаем выражение для
D(n, m):
п
D(n, m) = Y,(-l)n~k(nk)km, n, m = 0, 1,2, ... (4.32)
5. Разбиения множеств. Определим теперь число разбиений
m-множества X = Х\ U X2 U ... U Хп, Xi П X; = 0, / ^ /\ таких, что \Xt\ = ot/ > 0,
/=1, ..., п, «1+.. .+ап=т. Обозначим это число через Тт(оц, «2, • • •, »«)•
Ясно, что каждому разбиению рассматриваемого вида соответствуют п\

44 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
упорядоченных разбиений, получаемых всевозможными перестановками
блоков. Таким образом, число упорядоченных разбиений данного вида
равно f(«i, <Х2, ..., ая) = п\ Тт((Х\у <Х2, ..., ая). Для определения числа таких
упорядоченных разбиений выберем (а J способами элементы первого
блока, затем ( Ч способами — элементы второго блока и т.д. Элементы
последнего блока определяются однозначно. Таким образом,
Используя выражение величины (j вида (1.5) через факториалы и
проводя необходимые сокращения, приходим к формуле
1 га'
7-m(otl,ot2,...,otn) = -tti,a2,; апГ (4.33)
«1 + «2 + • • • + «п = /га, а/ > 0, / = 1, 2, ..., п.
Отсюда следует, что общее число разбиений m-множества на п блоков
равно
Ттп = \ У —^ - (4.34)
п\ *-^f ai!ao!...a/i! v '
a,>0
Из выражений для D(n, m) и Ттп следует, что
TnM = ±D(n,m) = ±£(-l)n-lQ)r, я =1,2, ...,/га. (4.35)
Общее число разбиений m-множества равно
т т п
7-m=£rmn = £i£Mr-'Qr, m = 0, l (4.36)
п=0 п=0 ' /=0
где полагаем 7Ь = 7Ьо = 1, Ттп = 0 при п> т.
6. Операторы. Рассмотрим функцию /(*) действительной
переменной х, определенную в точке х + 1, если она определена в точке х.
Оператор Д взятия конечной разности определим равенством
Д/(х)=/(х+1)-/(*), (4.37)
из которого следует, что оператор Д удовлетворяет свойствам линейности
A(cf(x)) = cAf(x), Д[/(х) + <р(х)]=Д/(*) + Дф(х), (4.38)
где с — постоянная.

§4. ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ, ОПЕРАТОРЫ 45
Индуктивно, с помощью равенства Anf(x) = Д(ДП~1/(*)), определим
оператор Дп, действие которого на f(x) заключается в п-кратном
применении оператора Д. Условимся считать Д°/(х) = f(x). Справедлива
формула
Anf(x) = J2(-l)k(l)f(x + n-k), /i = 0, 1,... (4.39)
6=0
При п = 1 формула (4.39) совпадает с формулой (4.37). Предполагая,
что она верна при п = г — 1, докажем ее при п = г. Запишем (4.39) при
п = г — 1 и к обеим частям полученного равенства применим оператор Д.
В результате получаем
г-\ г-\
A7w=E(-1)4^1)/(x+r-fe)-E(-1)/C71)/(x+r-/-1)-
k=0 /=0
Во второй сумме произведем замену переменной, положив k = j; + 1, и
объединим обе суммы, воспользовавшись рекуррентным соотношением для
биномиальных коэффициентов. В результате получим формулу (4.39) при
п = г.
Используя формулы обращения (4.19) и (4.20), из равенства (4.39)
находим
/(* + л)=£(2)Д*/М. (4.40)
6=0
Рассмотрим применения формул (4.39) и (4.40). Для степенной
функции f(x) = xm эти формулы принимают вид
AV"=£(-1)*(2)(jc + /i-*)w, (4.41)
k=0
п
(х + ri)m = Y, (I) A**w- (4.42)
Полагая в этих равенствах х = 0 и вводя обозначение Ап0т = Апхт
k=0
па л^лоиаиоиио \п(\т — \n vm\
Х=0>
получаем
A«0",=J>l)*(J)(n-*r, (4.43)
n
nm = J2(nk)Ak(yn- (4-44)
k=0

46 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
Числа Дп0т называются числами Моргана. Из формул (4.30) и (4.31)
следует комбинаторный смысл этих чисел, а именно, имеет место
равенство
D(/i, т) = ДП0Ш, (4.45)
где D(n, т) — число сюръективных отображений m-множества в п-мно-
жество. Так как D(n, т) = 0 при п > т, то отсюда следует, что и Д/г0т = 0
при п> т.
Возьмем убывающую факториальную функцию
(х)п = х(х - 1)... (х - п + 1).
Последовательное взятие конечной разности от этой функции приводит
к формуле
A*W„ = W*(4-ft, (4-46)
где полагаем (jc)o = 1 и (n)k = 0 при k > п.
Аналогично для возрастающей факториальной функции
[х]п=х(х+ 1)...(х + п- 1)
имеем
A*M„ = (n)fc^. (4.47)
Из формул (4.46) и (4.47) следует, что при k > n Ak(x)n = Ak[x]n = 0.
Рассмотрим теперь показательную функцию f(x) = е*х, где а —
некоторый параметр, не зависящий от х. Применяя п раз оператор Д, получаем
£пе«х = е«х(е«-\)п. (4.48)
Этот же результат следует и из общей формулы (4.39).
Наряду с оператором Д часто применяется также линейный оператор
сдвига £, определяемый равенством
Ef(x)=f(x+l). (4.49)
Применение k раз оператора Е дает результат Ekf(x) = f(x + k). Легко
установить связь между операторами Д и Е. Из определений следует
символическое равенство Д = Е - 1, которому соответствуют два
символических соотношения:
Д«=£(-1Г* (»)£*, £"=Е(ЙД*.
fc=0 fc=0
Применяя операторы, стоящие в обеих частях равенств, к функции /(*),
получаем уже доказанные соотношения (4.39) и (4.40).

§4. ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ, ОПЕРАТОРЫ 47
7. Числа Стирлинга. Равенства
п
(4 = £ф,*)Д (4.50)
6=0
п
хп =£>(/!, k)(x)k (4.51)
определяют числа Стирлинга s(n, k), ст(п, k) соответственно первого
и второго рода. Здесь 5(0, 0) = ст(0, 0) = 1 и полагаем s(n, k) = ст(п, k)=0
при п < к. Отметим, что числа s(n, k) и ст(п, к) равенствами (4.50) и (4.51)
определяются однозначно, так как системы функций 1, х, х2, ..., хп и
1, (*)i, (х)2, • •., (х)п линейно независимы.
Подставляя выражения xk из равенства (4.51) в равенство (4.50),
получаем соотношение ортогональности для чисел Стирлинга:
п
£>(/!,/)а(/, *) = *„*, (4.52)
j=k
где bnk — символ Кронекера. Из соотношения ортогональности вытекают
формулы обращения
п п
an=^2s(ny k)bk, bn = ^2o(ny k)ak> n = 0y 1,..., (4.53)
6=0 6=0
которые при любых последовательностях ао, а\, ... и b^b\, ... взаимно
обуславливают друг друга, т. е. из первой формулы следует вторая, и
наоборот.
8. Блоки разбиений множества. Из формул (4.34) и (4.35) следуют
выражения для Tmk — числа разбиений m-множества на k блоков.
Выведем теперь рекуррентное соотношение. Для этого все разбиения т-мно-
жества разделим на два класса в зависимости от того, образует
фиксированный элемент х е X единичный блок или не образует. Первый класс
содержит Тт-\£-\ разбиений, второй kTm-\^ Следовательно,
Tm,k = Tm-\,k-\ + кТт-\£\ 7Ь,о = 1. (4.54)
Введем многочлен
т
Tm(x)=J2T^(Xh- (4-55)
6=0
Умножая обе части соотношения (4.54) на (x)k и суммируя полученные
равенства по k от 0 до т, получаем
Тт(х) =хТт-\(х), т = 1, ...

48 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
Отсюда с учетом равенства Tq(x) = 1 находим
Тт(х)=хт, т = 0, 1, ... (4.56)
Сопоставляя (4.51) и (4.56), приходим к выводу, что
Tm,k=o(m, k). (4.57)
Это равенство определяет комбинаторный смысл чисел Стирлинга второго
рода. Из этого равенства, с учетом соотношения (4.54), следует
рекуррентное соотношение
а(л, k)=o(n - 1, k - 1) + ka(n - 1, *). (4.58)
Найдем теперь выражение для чисел Стирлинга второго рода в виде
формулы. От обеих частей равенства (4.51) возьмем r-ю конечную
разность. С учетом (4.46) имеем
п
Агхп = а(п, r)r\ + Y, °^ *) * (*М4-г.
k=r+\
Полагая в обеих частях этого равенства х = О, получаем
о(п, г) = 1д'0« = 1 £(- 1)*Q (r - k)\ (4.59)
' 6=0
Эта формула с учетом (4.57) следует также из (4.35).
Упростим теперь формулу (4.36). Из (4.41) вытекает, что
п
Д"0Ш =£(-1)л-/(у)Г = 0^ п > т.
/=о
Следовательно,
т оо я
Тт = ^о{т, r) = J2^(-ir-'Qr. (4.60)
г=0 я=0 /=0
1 оо /п* оо ^т
Из абсолютной сходимости рядов - = 53 J » S ТГ слеДУет воз_
в 6=0 *■ 6=0 к'
можность перестановки членов в их произведении, и, значит,
оо т оо я
iEV=EiiE(-1)-(;)r- (4.61)
ft=0 /1=0 /'=0
Из (4.60) и (4.61) следует формула Добинского:
7,«=iEir- (4-62)
6=0
определяющая число разбиений т-множества.

§5. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
49
Для чисел Тт справедливо также рекуррентное соотношение
т
rw+l=£(J)rw_*, 7b =1. (4.63)
В самом деле, разделим все Тт+\ разбиений множества X, \Х\ = т + 1,
на т классов в зависимости от величины блока, содержащего
фиксированный элемент х е X. Число таких блоков величиной k + 1 равно уР\,
а остальным т — k элементам соответствуют Tm-k разбиений. Отсюда
следует (4.63).
Упражнения. 1. Доказать тождества для целых положительных п и к\
£(-1)**(Э =0; !>(*- 1)(Э =/.(«- 1)2" 2;
k=\ k=2
(_1Г(-./2)=(2;)2-2П; tc^rx-ro-
2. Для любого действительного а и целых неотрицательных пи г показать, что
Ёс;*)=с:!)-е;Я: в-^сн-')-^1)-
/t=0 /t=0
3. Индукцией по п доказать, что
г\ пг = п,
k=o — т<п-
4. Вывести рекуррентное соотношение для чисел Моргана:
§ 5. Преобразования
1. Полугруппы преобразований. Рассмотрим множество
преобразований заданного множества X в себя. Для пары преобразований (о\, стг)
определим операцию умножения •, которая состоит в последовательном
применении этих преобразований, т. е. о\02(х) = 02(о\(х)) для всех х е X,
где знак •, как и всюду ниже, для простоты опускается. Эта операция
ассоциативна, так как
СП[СГ2СГЗ](*)= [<У\02]03(Х) =03[02[0\(Х)]]У ХвХ.
Роль нейтрального элемента играет преобразование еу при котором е(х)=х
для всех х Е X.

50 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
Например, для X = {1, 2, 3}, применяя двустрочную запись преобразо-
ваний с, = (| f l),a2 = Q 2 3), Стз = (* | ?), имеем а,с2 = Q * *),
<*2<*з = (2 1 J- Отсюда следует, что
(1 2 S\
2 2 1/
Совокупность преобразований множества Ху замкнутая относительно
операции умножения, называется полугруппой преобразований,
действующих на множестве X. Множество элементов полугруппы, замкнутое
относительно операции умножения, называется подполугруппой.
Если X есть п-множество, то полугруппа всех его преобразований
называется симметрической полугруппой степени п и обозначается &п.
Любая полугруппа преобразований п-множества является
подполугруппой &п. Полугруппы преобразований играют особую роль при изучении
полугрупп в силу следующей теоремы.
Теорема 1. Любая полугруппа, содержащая нейтральный
элемент, изоморфна некоторой полугруппе преобразований.
Рассмотрим полугруппу, элементы которой образуют множество X =
= {е, Х\, Х2, ...}. Каждому элементу хь е X поставим в соответствие
преобразование (fi(x) = XX[. При этом произведению Х[Х] соответствует
преобразование (р/(ру, так как для любого х е X имеем ф/фДя) = фДфД*)) =
= (fi(x)Xj = x(XiXj). Ясно, что если xt ^ xt, то ф/ ^ фу, поскольку из
равенства ф;(х) = ф/(я) для всех х еХ в силу наличия нейтрального элемента
следует, что xt =Xj. Совокупность всех преобразований ф/ обозначим
через Ф. Указанное соответствие определяет отображение у: X —> Ф, которое
является изоморфизмом.
Следствие. Любая конечная полугруппа с нейтральным
элементом изоморфна некоторой подполугруппе симметрической
полугруппы.
2. Группы подстановок. Рассмотрим множество всех биективных
преобразований п-множества X в себя. Эти преобразования, называемые
подстановками степени п, образуют группу относительно операции
последовательного осуществления преобразований. Эта группа называется
симметрической группой степени п и обозначается Sn.
Каждой подстановке s e Sn соответствует единственная
подстановка s~{ E Sn такая, что s-ls(x) = ss-1(x) = е(х), х Е X, где е —
единичная подстановка, т. е. е(х) = х для всех х Е X. Положим ss... s = sk,
s~ls~l ...s~l =s~k, где произведения содержат k сомножителей, и
заметим, что sks~k =s~ksk = е. Будем полагать 5° = е. Множество
подстановок степени п, замкнутое относительно операции умножения и взятия
обратного для 5 элемента s~\ называется группой подстановок. Лю-

§5. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
51
бая группа подстановок степени п является подгруппой симметрической
группы Sn.
Теорема 2. Любая конечная группа изоморфна группе
подстановок, действующей на множестве ее элементов.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1
и предоставляется читателю.
Если Х= {1, 2, 3}, то группа 5з состоит из подстановок
-С!!)- *-G?D- —Gift <5I>
*-(!1Э- *-GI!)- --G?3- м
Используя правило умножения подстановок, имеем, например:
Л 2 3U1 2 3\ Л 2 3\ с
П 2 3W1 2 3\ Л 2 3\ с
5l55 = V2 1 зДз 1 2J = Vl 3 2)=^
S~[l=S\, 5^"1=52, 5^!=5з, S^l=S$.
3. Орбиты и циклы подстановок. Пусть подстановка 5 действует на
я-множестве X. Определим на множестве X бинарное отношение. Будем
считать, что х~х* для х, х' е X, если существует такое /, что х' = s7(jt). Это
бинарное отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е.
является отношением эквивалентности. Действительно, х ~ х, поскольку х =
= s°(x) = е(х)\ из х ~ х' следует х' ~ х, так как из равенства х' = s^(x)
вытекает, что х = s~i(x'). Наконец, из х ~ х', х' ~ s" следует х ~ х", ибо
равенства х' = sl(x), х" = &(х') означают, что х" = si(sl(x)) = sl+i(x).
Рассмотрим разбиение X = Х\ U ... U Х^, Х[ П Х}-, = 0, 1ф /,
соответствующее данному отношению эквивалентности. Блоки Х\, ..., Xk этого
разбиения будем называть орбитами или классами транзитивности
подстановки 5 £ Sn. Очевидно, что s(X\) = Х\, ..., s(Xk) = Xk и сужения
подстановки 5 на орбиты Х\, .. .Xk являются снова подстановками.
Сужение si, 1 ^ / ^ k, подстановки 5 на орбиту Xt называется циклом этой
подстановки. Он является подстановкой степени |Л/|, действующей на
множестве Xi. Ее можно записать в виде цикла длины // = \Xi[. (x, Si(x), sf(x), ...
..., sl-~\x)) с учетом того, что sl-(x) = х, 1 ^ / ^ k. Это позволяет всю
подстановку 5 разложить на циклы:
s=(xu si(*i), ..., slj~l(xi))...(xk, sk(xk), ..., sl*~\xk))
Если подстановки s\, ..., Sk доопределить до подстановок степени п,
полагая si(x) = х, xeX\Xi,ro эту запись можно рассматривать как
разложение подстановки 5 в виде произведения независимых циклов: s = s\S2---Sk.

52 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
Поскольку орбиты Х\, ..., Xk не имеют общих элементов, то это
произведение не зависит от порядка сомножителей. Отметим также, что запись
цикла si = (jc, 5/(jc), ..., sl/~l(x)) однозначна с точностью до циклического
сдвига, т. е.
si = (*?(*), s*+1 (jc), ..., s?-1 (*)), O^v^li-l.
Например, разложение следующей подстановки степени 7 имеет вид:
(! з 7 5 б S гН1)*237)*564)-
Пусть подстановка s eSn имеет порядок /?, т. е. sp = е, и пусть р—
наименьшее из чисел, обладающих этим свойством. Тогда р равно
наименьшему общему кратному длин циклов, входящих в разложение 5.
Действительно, если это разложение имеет вид 5 = s\S2 • • -Sk, то sp = s^s^ • • • spk.
Поскольку sl[ = e, i = 1, ..., k, то р совпадает с наименьшим общим
кратным чисел l\, l<i, •. •, Ik-
Цикл длины 2 называется транспозицией и обозначается т(х, у). Это
есть подстановка, оставляющая на месте все символы, кроме х и у.
Каждый цикл можно представить в виде произведения транспозиций, например,
следующим образом:
(Х\,Х2, ...,Х[) = (Х\, Х2)(Х\, Хз)...(Х\, Х[-\)(Х\,Х[).
Отсюда следует, что каждая подстановка может быть представлена в виде
произведения транспозиций. Иными словами, для группы Sn, действующей
на множестве X = {х\, х2, • • •, хп}, множество всех транспозиций является
системой образующих, т. е.
Sn = ((X\, Х2), • .., (Хи Хп), (Х2, *з), ..., (Хп-и *п)).
Будем говорить, что подстановка s e Sn принадлежит цикловому
классу {Iй12й2.. .я*"}, если она содержит а,- циклов длины /, 1 ^ / ^ п,
1«1 + 2«2 + ... + поип = п. Обозначим через C(«i, vl2, .. •, ая) число
подстановок в цикловом классе {Iй1 ...п*п}, l«i + ... + пап = п.
Покажем, что
С(°"' а2' •••' а")=1«12«*...п4!а2!...«пГ (5-3)
Рассмотрим разложение подстановки s e Sn из циклового класса
{1в,2*2.. .rfn} в виде произведения независимых циклов:
5 = (х\)(х2)... (хщ){у\, z\)(y2, г2)... (уъ, г«2)...
Путем всевозможных п\ перестановок элементов при сохранении скобок
можно получить любую другую подстановку из этого класса.
Перестановки, осуществляющие циклические сдвиги элементов внутри скобок, и
перестановки, переводящие полностью элементы из одной скобки в скобки,

§5. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
53
содержащие такое же число элементов, очевидно, не дают новых
подстановок. Число таких перестановок равно l*^*2...лга"ai! а2!. • -oin\.
Умножая эту величину на число различных подстановок в цикловом классе
{1*12в2.. .я""}, получаем число всех перестановок. Таким образом,
C(«i, а2, ..., ая)1«'2«* ... /!«-«,! а2!...«„! = п\,
т. е. верна формула (5.3). Из нее вытекает тождество
^ l«i2«2...n««ot1!a2!...art! = ' * ' '
l«Xl+...+rt«X„=rt
где суммирование осуществляется по всем решениям уравнения lai + ...
... + пап = п, представляющим собой векторы («i, a2, • • •, ««)•
Обозначим через С(я, й) число подстановок степени п, имеющих k
циклов. Из формулы (5.3) следует выражение этих чисел в виде суммы:
C(n'k) = £ 1«.2*...л«"1,!«2!. ..«„!• (5-5)
1«,+...+Я«„=Я
«, + ...+«„=£
Из комбинаторных соображений получим для чисел C(az, k) рекуррентное
соотношение
C(n,k) = C(n-\,k- 1) + (л- 1)С(л-1,*), /г = 1,2, ...,л. (5.6)
Положим С(0, 0) = 1, С(а2, 0) = 0, п > 0, и С(я, й) = 0 при й > п или при
А2 или k отрицательных. Тогда это соотношение можно распространить на
все целочисленные значения k и п. Для доказательства (5.6) множество
подстановок с k циклами, действующих на я-множестве X, разобьем на
два класса: к первому отнесем подстановки, оставляющие фиксированный
элемент х на месте, т. е. s(x) = х, а ко второму — все остальные
подстановки с k циклами. Первый класс содержит С(п - 1, k - 1) подстановок,
второй (п — \)С(п — 1, k). Тем самым соотношение (5.6) доказано.
Рассмотрим многочлен
п
Сп(х) = Y, C(n, k)xk, /i=l,2,... (5.7)
k=\
Умножив обе части соотношения (5.6) на хк и просуммировав их по k от 0
ДО А2, ПОЛУЧИМ
Сп(х) = (п + х- l)C„_i(x), n= 1, 2, ...
Применяя это соотношение многократно с учетом того, что Со(х) = 1,
имеем
Сп(х) = х(х + 1)... (х + п - 1). (5.8)

54 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
Обратимся теперь к формуле (4.50); заменим в ней х на — х и умножим
обе части равенства на (—1)". В результате для чисел Стирлинга первого
рода получаем равенство
п
x(x+l)...(x + n-l) = Y^(-l)n+ks(n, k)xk. (5.9)
Теперь из (5.7)—(5.9) имеем
С(а2, k) = (-\)n+ks(n, k). (5.10)
Отсюда, помимо комбинаторного смысла для чисел Стирлинга первого
рода, с учетом равенства (5.6) следует также рекуррентное соотношение для
этих чисел:
s(n, k) = s(n-l,k-l)-(n- l)s(n - 1, k). (5.11)
4. Циклический индекс. Пусть G — группа подстановок степени п
и aii(g) — число циклов длины / в подстановке g e G. Многочлен
Z(tu...tn;G) = ]}rY,i[l?{g) (5-12)
называется циклическим индексом группы подстановок.
Для симметрической группы Sn степени п он имеет вид
Z(/,,.../„;S„) = i J2 С(а,,..., «„)/-'.../J», (5.13)
1«,+...+я«„=я
где C(«i, .. .ап) — число элементов в цикловом классе {Iй1 .. .rfn},
определяемое формулой (5.3). Суммирование проводится по всем решениям
(«1, ..., ап) уравнения laj + ... + пап = п.
Рассмотрим теперь циклическую группу Сп подстановок степени п, все
элементы которой являются степенями одной и той же подстановки С,
являющейся циклическим сдвигом: С = (1, 2, ..., п). Эта группа имеет вид
С0, С, С2, ..., Сп~1. Ясно, что подстановка О имеет (п, /) циклов
длины п/(п, /), где (а2, /) — общий наибольший делитель п и /. Циклический
индекс группы Сп имеет вид
Z(/if...f/„;C„) = i£/5JJ).
/=0
Заметим, что при фиксированном k число целых /, 0 ^ / ^ п — 1,
удовлетворяющих равенству (п, j)k = п, равно <р(£), где (р(й) — функция Эйлера,

§5. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
55
равная числу элементов из совокупности 0, 1, ..., k — 1, взаимно простых
с k. Таким образом,
2(/ь...,/„;Ся) = ^<Р(*)/2/Л- <5Л4)
k\n
Для циклического индекса произвольной группы подстановок G
справедливо равенство Z(l, ..., 1; G) = 1. Из этого равенства и из
формулы (5.14) следует известное соотношение для функции Эйлера:
2<Р(*)=л.
к\п
Упражнения. 1. Показать, что множество подстановок {(1) (2) (3) (4),
(1 2) (34), (1 3) (24), (1 4) (23)} образует коммутативную группу, называемую
группой Клейна.
2. Доказать, что симметрическая группа степени п порождается
транспозициями (1 2), (13), ..., (1л), т.е.
S„ = ((12), (13),..., (l/i)>.
3. Доказать, что цикловой класс {1Я,2Я2... яя"}, loti + ... + пап = п,
содержащий наибольшее число подстановок, удовлетворяет условию
ci] =<*п-\ = 1; <*/=0, 1ф\лп—\.
4. Декрементом подстановки s назовем число п — k(s), где k(s) —число
циклов в разложении s. Подстановка s называется четной (нечетной), если п — k(s)
четно (нечетно). Показать, что если (/, /) — транспозиция, то подстановка 5 и (/, j)s
имеют разную четность.
5. Показать, что совокупность четных подстановок степени п образует группу,
называемую знакопеременной группой Ап.
6. Доказать, что любая подстановка 5 степени л, имеющая k(s) циклов, может
быть представлена в виде произведениям — k(s) транспозиций, причем подстановка
не может быть представлена в виде произведения меньшего числа транспозиций.
7. Пусть d(n, k) —число подстановок степени nek циклами, ни один из
которых не является единичным. Вывести рекуррентное соотношение
d(n+ 1, k) = nd(n, k) + nd(n - 1,6- 1).
8. Используя равенство Cn+\(t) = (n + t)Cn(t) для Cn(t) = t(t+ 1)... (t + n— 1),
индукцией по т доказать, что
(t) = C„(t)Cm(t) (mod я).
9. Для чисел Стирлинга первого рода доказать равенство
£<-ir*As<n,*)=££
k=\ k=\

56 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
§ 6. Булевы функции
1. Определения. Рассмотрим множество В из двух элементов,
которые будем обозначать 0, 1, т. е. В = {0, 1}. Элемент (х\, х% ..., хп) £ BSn\
В(") = В х ... х В, называется булевым вектором. Функция /: B(rt) —> В
называется булевой функцией от я переменных jtj, ..., хп, х-ь G В, и
обозначается f(x) = f(x\, Х2, ..., хп). Если f(x) = 1, то булев вектор х
называется единичным относительно функции /; если f(x) = 0, то х называется
нулевым относительно функции /. Так как булева функция от я переменных
вполне определена заданием единичных и нулевых булевых я-векторов, то
число таких функций равно 22".
Для булевой функции f(x\, ..., хп) переменная хь, 1 ^ / ^ п,
называется несущественной, если выполнено равенство
f(X\, ..., Xi-u 1, *i+h •••, Xn) = f(X\, ..., Xi-u 0, Xi+u .-., Хп)
для всех значений переменных х\, ..., jc£- i, Jt;+i, ..., хп. В этом случае
функция f(x\, ..., jc„) фактически не зависит от переменной хь и можно
рассмотреть функцию, зависящую от п — 1 переменных, которая совпадает
с исходной. Поэтому, по определению, считаем, что две функции f\ и /2
равны между собой, если /2 может быть получена из f\ добавлением или
удалением несущественных переменных. Функция f(x\, ..., хп) называется
симметрической, если
f{X\, ..., Xn)=f(xi[, ...,*£„)»
где (i\, ..., in) — произвольная перестановка чисел 1, 2, ..., п. Ясно, что
симметрическая функция определяется своими значениями на различных
я-мультимножествах, соответствующих я-векторам из В^пК Согласно
формуле (2.7) число таких я-мультимножеств равно п + 1. Отсюда следует, что
число симметрических функций от п переменных равно 2"+1.
2. Простейшие функции и формулы. Рассмотрим сначала четыре
булевы функции от одной переменной. Зададим их в виде таблицы
X
0
1
91
0
0
92
1
1
93
0
1
94
1
0
где под символом ф; стоят значения функций ф/, когда х принимает
значения 0 или 1.
Для функций (pi и ф2 х является несущественной переменной. Эти
функции называются константами, соответственно 0 и 1. Функцию фз
называют тождественной, а функцию щ — отрицанием х, и
записывают фз(*) = X, ф4(*) = X.

§6. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
57
Перейдем теперь к рассмотрению 16 функций от двух переменных.
Запишем их также в виде таблицы
Х\ Х2
0 0
0 1
1 0
1 1
*1
0
0
0
0
ф2
1
1
1
1
*з
0
0
0
1
*4
0
1
1
1
*5
0
1
1
0
*6
0
0
1
0
ф7
0
0
1
1
*8
0
1
0
0
*9
0
1
0
1
*10
1
0
0
0
*п
1
0
0
1
*12
1
0
1
0
*13
1
0
1
1
*14
1
1
0
0
«15
1
1
0
1
Фн>
1
1
1
0
Функции \&i и Ф2 являются константами, соответственно 0 и 1.
Функцию Фз называют конъюнкцией х\ и Х2 и обозначают Фз(*ь %2) = х\ • Х2,
где точку между х\ и x<i обычно опускают. Функция Ф4 называется
дизъюнкцией х\ и x<i и обозначается Ъ\(х\л xi) — х\ V x<i. Функцию
Фб(*1, *2) = х\ Э *2 называют сложением х\ и x<i по модулю 2.
Некоторые из остальных функций также имеют специфические
названия. Например, Ф15 называется импликацией и обозначается Ф15(хь х2) =
= х\ —> х2. Функции, означающие отрицание, а также конъюнкцию и
дизъюнкцию, определяют на множестве В = {0, 1} унарную и соответственно
бинарные операции, которые называются также, как и соответствующие
функции. Эти операции обладают следующими свойствами.
1) Идемпотентность:
х =х, х • х = х, х V х =х.
2) Свойства констант:
х-1=х, х • 0 = 0; XV 1 = 1, х V 0 = х;
0=1, 1=0; хх = 0, xVx=l.
3) Ассоциативность:
Х\ (*2*з) = (Х\Х2)Х$; (Х\ V Х2) V Хъ = Х\ V (Х2 V Хз).
4) Коммутативность:
Х\ • Х2 = Х2 • Х\, Х\ V Х2 = Х2 V JCj.
5) Дистрибутивность:
Jtl(jt2 VX3) =Х\Х2 VXjX3, JCi V(X2^3) = (JC1 VJC2)(JCi V JC3).
6) Законы де Моргана:
~Х\Х2 — Х\М Х2, Х\ VХ2 = Х\ • Х2-
Функция / называется суперпозицией булевых функций /i, ..., Д,
если она получается некоторой подстановкой этих булевых функций друг
в друга. Выражение, описывающее результат этой подстановки,
называется формулой, задающей функцию /. Например, функция ф4(Фз(*ь х$)

58 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
задается формулой х\ • Х2, а функции \^4(^з(*ь х2), ^б(х\, х2))
соответствует формула х\ • Х2 V (х\ 0 Х2). О формуле, задающей некоторую булеву
функцию, говорят, что она реализует эту функцию.
3. Совершенная д. н. ф. Всякую булеву функцию f(x\, ..., хп) можно
разложить по переменной Х[\
/(*!, ...,*/,...,*„) =Xif(X\, .-., 1, ...,Xn)VXif(Xu ..., О, ..., Хп).
Справедливость этого равенства устанавливают непосредственной
проверкой, полагая Х[ =0, 1. Проводя разложение по переменным х\, х2, ..., хт
можно получить при т ^ п
1\Х\, . . . , Хт, Хт+\, . . . , Хп) =
= \J х"х ...x^m/(ai, ..., aw, xm+\, ..., хп), (6.1)
«i,...,am
где полагаем а/ = 0, 1 и Jt? = jc/, jtj =jc/, и дизъюнкция берется по всем 2т
булевым т-векторам.
Для доказательства формулы (6.1) вычислим значения обеих частей
отвечающего ей равенства для произвольного, но фиксированного вектора
(pi, • • •, Рт» рт+ь • • •, Рл) значений аргументов. Заметим, что выражение
х? равно 1 только при Х[ = а/. Поэтому среди 2W конъюнкций х*1 ... х<%
в правой части равенства (6.1) имеется только одна не обращающаяся
в нуль при «1 = Pi, ..., am = pm. Поэтому
/(Pi..... Р») = tf' • • • Р5Г/(Р1 Pm, pm+1 P„).
Так как p^1 ... {З^Г = 1, to формула (6.1) справедлива.
Из формулы (6.1) при т — п имеем разложение
/(Л, ...,*„)= V *?•••*""> (6-2)
А«, а„)=1
где суммирование ведется по всем булевым векторам («i, ..., а„), для
которых /(«1, ..., ап) = 1. Это разложение называется совершенной
дизъюнктивной нормальной формой булевой функции f(x\, ..., хп). Ввиду
коммутативности конъюнкций и дизъюнкций для всякой булевой функции,
кроме константы 0, соответствующая дизъюнктивная нормальная форма
однозначно определяет саму функцию. Отсюда следует, что всякая булева
функция может быть получена суперпозицией конъюнкции, дизъюнкции
и отрицания.
4. Сокращенные, тупиковые и минимальные д. н. ф. Формула К =
= К(хи • • •, хп) = х^х^ .. .*"", где ik в {1, 2, ..., п}, aiik = 0, 1; 1 ^ k ^
^ г, называется элементарной конъюнкцией ранга г от переменных
х\, Х2, • • •, хп, если ik ф U при k ф /. Формула К\ V /(г V ... V /G, где

§6. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
59
Ki ф Kj, 1ф'и называется дизъюнктивной нормальной формой (д. н. ф).
Любая булева функция реализуется некоторой д. н. ф. При этом
элементарные конъюнкции /Ci, • •., Ks называются импликантами
соответствующей функции. В качестве такой д. н. ф. можно, например, взять
соответствующую ей совершенную д. н. ф. Множество векторов В^ = {(а\, «2, ...
..., ип)}, а/ =0, 1; 1 ^ / ^ п, называется булевым кубом, а векторы
(«1, «2, ..., ая) — его вершинами. Множество Bf' = {(«i ,...,«„): а/, =
= Р/,, ..., оцк =|3/4, 1 ^ i\ < ... < ik ^ п, («1, ..., ая) G Вп}, где {3/, = 0, 1;
1 ^ / ^ й, называется (п - Щ-мерной гранью куба В^пК
Каждой булевой функции f(x\, ..., хп) в булевом кубе B(rt) можно
поставить в соответствие множество его вершин
yV/ = {(«i, ..., ая): /(ai, ..., ая) = 1},
которое однозначно определяет эту функцию. Если функция реализуется
элементарной конъюнкцией К(х\, ..., хп) = xt'1 ... **", то
соответствующее множество NK называется интервалом r-го ранга. Ясно, что NK
является (п - г)-мерной гранью. Очевидно, что если
f(X\, . . . , Хп) = <?(Х\, . . . , Хп) V ф(АГ1, . . ., Хп),
то Nf = Ny U Щ. Следовательно, для функции /, реализуемой д. н. ф. К\ V...
... V Ks, справедливо равенство
Nf = NKl\J...uNKt. (6.3)
Это означает, что множество Nf покрыто интервалами Л^,, ..., Nks
соответствующими элементарным конъюнкциям К\, • • •, Ks- Если г/ — ранг Ki,
S
то число r = Y^ri называется рангом покрытия.
Импликанта Ki, 1 ^ / ^ s, функции /, заданной д. н. ф. К\ V ... V /Cs,
называется простой, если после отбрасывания любого из входящих в нее
сомножителей получается элементарная конъюнкция, не являющаяся им-
пликантой функции /. Если все импликанты К\, ..., Ks простые, то
соответствующая д. н. ф. К\ У ...У Ks называется сокращенной д. н. ф
функции /. Интервал N^n соответствующий простой импликанте Ki, является
максимальным в том смысле, что не существует интервала N^ такого,
что Nf(. с Nf(f с Nf. Покрытие множества Nf максимальными интервалами
Л^,, ..., Nks называется неприводимым, если при выбрасывании любого
из этих интервалов оно перестает быть покрытием. Д. н.ф.,
соответствующая неприводимому покрытию множества Nf, называется тупиковой.
В качестве примера рассмотрим функцию f(x\, X2, х$), для которой
Nf = {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}. (6.4)

60 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
Совершенная д. н. ф., реализующая эту функцию, выглядит следующим
образом:
/(*!, *2, *з) = Х\Х2Хз V Х\Х2Х$ V *1*2*3 V*i*2*3 V *1*2*3 V *1*2*3- (6.5)
Используя свойства операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания,
д. н. ф., реализующую f(x\, *2, *з), можно представить в следующем виде:
f(X\, X2, Х3) —Х\Хз V*2*3 VX2X3 V*l*3-
(6.6)
Очевидно, что входящие в д. н. ф. (6.6) импликанты являются простыми,
т. е. сама д. н. ф. является сокращенной. Более того, д. н. ф. (6.6) является
и тупиковой, так как покрытие
N, = Nx,Xz U Л^3 U Nx.2h U NXxh
(6.7)
(0,1,1)
(0,0,1)
(1,1,1)
(1,1,0)
является неприводимым. Отметим, однако, что д. н. ф. (6.6) не является
самой «экономной» ни с точки зрения числа используемых букв,
обозначающих переменные, ни с точки зрения количества импликант.
Д. н. ф., реализующая функцию / и обладающая наименьшим числом
букв, обозначающих переменные, с учетом их повторения, называется
минимальной. Д. н. ф., реализующая функцию / и содержащая наименьшее
число импликант, называется
кратчайшей.
Для отыскания минимальных и
кратчайших д. н. ф. удобно использовать
геометрических подход. Рассмотрим булев
куб В(3) (рис. 1). Для рассматриваемой
в примере функции / множество Nj
изображается вершинами В(3), которые
отмечены точками. Интервалы NxA, A^lJC3,
Mt,jt3, NX2X3 представляют собой
ребра куба, покрывающие вершины
множества Nf. Можно указать два других
покрытия множества Nf ребрами куба В(3\ содержащие меньшее число
ребер. Одно из таких покрытий содержит ребра Nx^x,2, jV*,^, NX2X3, Другое
состоит из ребер NX.2X3, NX{X2, NX{X3. Этим покрытиям отвечают две
минимальные и кратчайшие д. н. ф., реализующие функцию /:
/(*!, Х2, Хз) = Х\Х2 V Х\Х$ VX2-*3,
f(X\, JC2, Xs) = X2Xs V X\X2 V Х\Х$.
Упражнения. 1. На множестве В{п) булевых «-мерных векторов зададим
отношение порядка, полагая х =^ у, х = (х\, х<±, ..., хп), у = (уи у2, ..., уп), если
xi ^ #,, / = 1, 2, ..., п.
У
г
(1,0,1)
(0,1,0)
(0,0,0)
(1.0,0)
Рис. 1.

§6. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
61
Булева функция f(x) называется монотонной, если из условия х =^ у следует,
что f(x) < f(y). Показать, что суперпозиция двух монотонных функций дает снова
монотонную функцию.
2. Булева функция f(x\, х2, ..., хп) называется самодвойственной, если
f(X], Х2, • • • , Хп) = }{Х\, Х2, • • • , Хп).
Показать, что суперпозиция двух самодвойственных функций приводит к
самодвойственной функции.
3. Показать, что число булевых функций f(x\, х2, ..., хп), таких, что для любых
(Л, ...,Хп)еВп
f(X\, . . . , Х[, . . . , Xj, . . . , Хп) = f(X\, . . . , Xj, . . . , Xi, ..., Xn),
... ло 9/1-2
где i ф], равно Т
4. Показать, что число функций, для которых фиксированная элементарная
конъюнкция ранга г является импликантой, равно 22"-2" '.
ЗАДАЧИ
1. Доказать следующие тождества:
«•Божье:;);
.. » 1 (п\ 2"+' - 1
б\?0*тти> = ^тг;
v ^ (~l)fe+1 fn\ _ п .
В,^1^ТГЫ-^ТТ'
r)E(-.)-(2,-S)C) = (-.)'C):
д)л!= £(-!)« *0*я-
/г=0
2. Вывести следующие формулы для л-й конечной разности функций
х+\
и lnx:
а) Ап( l L) = (-l)nn\f[ , ! ',
' \x + k) v ' iS(x + k+j)'
i=o(x + k+i)
6)А»\пх=Г (-\f-\n-\)\dt
; J (x + t)(x + t+\)...(x + t+n-\)'
3. Доказать, что если е — первообразный корень степени к из единицы, то для
О < h < k имеет место равенство
£(x*%HX>-s*<1+£S>"-
Х=0 s=0

62 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
4. Вывести из равенства задачи 3 при п —> оо соотношение
. [^]
2^ Z^ U& + /J "^ 1'
5. Доказать, что величина hn = n\ Y* -—— делится на п — 1.
6. Доказать следующее равенство:
п- =у"(-1)яИ—!—•
(x + r)(x+r+\)...(x+r + n) j^ ' \sJ(x + r+s)
7. Доказать, что п прямых разбивают плоскость на 1 + п + \V\ частей, если
никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке.
8. Доказать, что п плоскостей разбивают трехмерное пространство на 1 + п +
+ Гп) + (з) частеи» если никакие четыре из них не проходят через одну точку,
никакие три не пересекаются по одной прямой и никакие две не параллельны.

ГЛАВА II
ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ
И МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ—ИСКЛЮЧЕНИЯ
§ 1. Метод включения—исключения
1. Классическая формула. Для любых конечных множеств X, У,
применяя правило суммы, получаем следующие равенства:
\X\=\XnY\+\X\(XnY)\, \Y\=\XnY\ + \Y\(XnY)\,
\X\J Y\ = \Xn Y\ + \X\ (ХП Y)\ + \Y\(XnY)\.
Из этих равенств следует, что
|ХиУ| = |Х|+|У|-|*ПУ|. (1.1)
Если заданы произвольные множества Х\, Х2, ...,ХПу то, полагая X =
= Х\ U .. .иХл_1, Y = Xn, из (1.1) получаем
\X,UX2U .. .UXn\ = \X,U .. .UXn.,\^\Xn\-\(X,U.. .UXn.,)nXnl (1.2)
Используя это равенство, докажем следующую общую формулу:
п
\xlux2u...uxa\ = Y/\x,\- Y, \Xi,r\Xb\ + ...
... + (-i)*-' J2 \Xi,nxkn...nxlt\ + ...
K/i<...</*^/i
... + (-1)п-1\ХхП...ПХп\. (1.3)
Эта формула является классической формулой метода
включения—исключения. Докажем ее индукцией по п. При п = 2 она совпадает с
формулой (1.1), если положить X = Х\, У = Х2. Допустим, что она верна и для
п — 1 множеств. Тогда
п
\xlu...ux„.l\ + \x„\ = Yf\xl\- 53 \х,,пх1г\ + ...
• •• + (-1)*-' J2 \xhnxkn...nxik\ + ...
... + (-l)n-2\Xln...nXn_i\. (1.4)

64 ГЛ. II. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ И МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ—ИСКЛЮЧЕНИЯ
Аналогично,
\(Xx\J...UXn-X)nXn\ = \(XxnXn)\J...U(Xn-XriXn)\ =
п-\
= £\XinXn\ - £ \xit nxhnxn\ +...
••• + (-!)*"' Y, \Xhn...nXihnXn\ + ...
\^i\<...<ik^n-\
... + (-1Г2№П...П1„|. (1.5)
Вычитая из (1.4) равенство (1.5), с учетом (1.2) и равенства
£ \xiln...nxlk\+ J2 \xi,n...nxh_,nxn\ =
= J2 \Xi,n...nxk\
\^ii<...<ik^n
убеждаемся в справедливости формулы (1.3). Заметим, что если Xi DXj = 0,
1ф\, то формула (1.3) совпадает с правилом суммы.
2. Неподвижные элементы. Рассмотрим совокупность U
всевозможных преобразований я-множества X. Будем говорить, что элемент х е X
является неподвижным для преобразования ср е £/, если cp(jt) =x.
Обозначим через Нп число преобразований я-множества, не содержащих
неподвижных элементов. Для определения Нп применим метод
включения—исключения.
Положим X = {xi, JC2, ..•, хп} и рассмотрим множества U(xx),
Ufa), ..., U(xn), где U(xi) — совокупность преобразований ср множества X
таких, что Xi является неподвижным элементом, т. е. ср(лг£-) = JC/.
Очевидно, что
\U(xil)n...nU(xik)\=nn-k, l^k^n.
Теперь, применяя формулу (1.3), получим выражения для числа
преобразований я-множества, имеющих каждое хотя бы один неподвижный элемент:
п
|f/(x,) U ... U f/(x„)| = ^(-l^"1 (2)n—^ = п« - (az - 1Г.
k=\
Так как Нп = пп — \U(xx) U ... U U(xn)\, то окончательно имеем
Hn=j^{-\)k($nn-k = {n-\T (1.6)
Рассмотрим совокупность биективных преобразований, т.е.
подстановок я-множества. Определим hn — число подстановок степени п без

§ 1. МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ—ИСКЛЮЧЕНИЯ 65
неподвижных элементов множества X = {х\, *2, . •., хп}. Обозначим через
V(xi), i = 1, ..., я, совокупность подстановок X, для которых х\ является
неподвижным элементом. Очевидно, что
\V(Xil)n...nV(xik)\ = (n-k)\,
так как эта величина, равная количеству подстановок с неподвижными
элементами jc/,, jc/2, ..., x-lk, совпадает с числом подстановок (п —
/^-множества. Таким образом, согласно формуле (1.3) число подстановок, имеющих
хотя бы один неподвижный элемент, равно
\V(xl)\J...UV(x„)\=Yf(-l)k-lQ(n-k)\,
k=\
а поскольку hn = n\ — \V(x\) U ... U V(*/i)l» то находим
JU i-\\k
3. Сюръективные отображения. Пользуясь методом включения—
исключения, дадим другой вывод формулы (4.32) гл. I для D(n, га) —
числа сюръективных отображений га-множества X в я-множество У =
= {у\, У2, • • -,Уп}- Обозначим через W(yk) совокупность отображений
ср: X ^> У, для которых у^ k = 1, ..., я, не используется в качестве
образа. Тогда
\W(yix) П ... П W(yik)\ =(n- k)m, 1 < /,<...< /л < п.
Следовательно, согласно формуле (1.3)
\W{yx) U ... U W(yn)\ = £(-1)*-' (£)(/! - *Г.
£=1
Отсюда следует требуемая формула
п
D(n,m)=J2(-l)k{nk)(n-k)m. (1.8)
4. Общие формулы. Получим теперь общие формулы метода
включения—исключения, из которых классическая формула следует в качестве
частного случая. Рассмотрим N элементов а\, a<i, ..., a/v, которым
соответственно приписаны веса o>(ai), <д>(я2), ..., Ца/v), являющиеся
элементами некоторого коммутативного кольца К. Каждый из заданных элементов
может обладать или не обладать некоторыми свойствами А\, A<i, ..., Ап.
Обозначим через М(г) суммарный вес элементов, обладающих точно г

66 ГЛ. II. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ И МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ—ИСКЛЮЧЕНИЯ
свойствами, а через Мг — суммарный вес элементов, обладающих не менее
чем г свойствами. Покажем, что
п
М(') = £(-1)*"г (*)5ь г = 0, 1,...,л, (1.9)
k=r
п
Mr = Y,(-])k~r(krl\)S^ г = °. 1 п, (1.10)
к=г
где
5Ь = 2«(а/), 5,= £ М(Л,Д2--А)- А= 1,2, ...fn,
M(Ai{Ai2... Л/л) — суммарный вес элементов, обладающих
фиксированными свойствами Д-,, Д-2, ..., Д-л.
Формулы (1.9), (1.10) называются общими формулами метода
включения—исключения. Для доказательства этих формул покажем, что в
правую часть равенства (1.9) входят все веса элементов, обладающих г
свойствами, и только они.
Веса элементов, обладающих точно г свойствами, учитываются ровно
один раз в сумме 5Г и не входят в остальные суммы 5r+i, ..., S„. Веса
элементов, обладающих \а> г свойствами, в сумме S&, k > г, учитываются
г А раз. Поэтому в правых частях равенств (1.9) вес таких элементов
входит с коэффициентом, равным
£н)'-'С)(Э = е)»-<7'Н-
k=r /=0
Веса элементов, обладающих [i< r свойствами, не входят в правые части
равенств (1.9). Этим формулы (1.9) доказаны.
Переходим к доказательству формул (1.10). Имеем
Afr=EAf(/-)=E5*E(-1)*"y0- (111)
j=r k=r j=r
Заметим, что сумма
E(-i)*-'0=E(-iy©
есть коэффициент при xk~r в выражении (1 — xk)(\ — х)~1. С другой
стороны, этот коэффициент равен (—\)k~r(~ J. Поэтому из равенств (1.11)
следуют формулы (1.10).

§ 1. МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ—ИСКЛЮЧЕНИЯ
67
Если co(aj) = ... = co(a/v) = 1, то М(г) представляет собой число
элементов, обладающих ровно г свойствами из числа заданных А\, А2, ..., Ап.
Если 21/ — множество элементов, обладающих свойством Л/, / = 1, ..., п,
то число элементов, одновременно обладающих свойствами AinAi2, ...
..., Aik, равно M(AixAk .. ,Aik) = \Щ П 21/2 П ... П 21/J. Кроме того, число
элементов, обладающих хотя бы одним из свойств A\,A2, ..., Ап,
равно М\ = |2li U 2l2 U ... U 21&|, и, таким образом, из формул (1.10) следует
классическая формула включения—исключения.
5. Расстояние Хэмминга. Рассмотрим множество U, элементами
которого являются все га-векторы с координатами из я-множества X. На
множестве £/(2) = U x U зададим функцию со значениями из множества
N = {0, 1, ..., га}. Для любой пары (и, v) е £/(2) положим
т
Р(«,У)=£(1-&;,,Й),
где и = (х\, ..., хт), v = (у\, ..., ут), Xi, yi е X; Ьц — символ Кронеке-
ра. Таким образом, р(и, v) равно числу несовпадающих координат
векторов и, v. Это число называется расстоянием Хэмминга между
векторами и и v.
Покажем, что функция р(и, v) является метрикой, т. е. удовлетворяет
условиям:
1) р(и, у)^0и р(и, v) = 0 тогда и только тогда, когда и = v;
2) р(и, v) = p(v, и) для всех и, v e U;
3) р(и, v) ^ р(и, ш) + р(ш, у) для всех и, v, w eU (неравенство
треугольника).
Условия 1) и 2) очевидны, поэтому докажем только неравенство
треугольника. Для фиксированных векторов и = (х\, ..., хт), v=(y\, ..., ут),
w = (z\, ..., zm) рассмотрим множества А_= {/: хь = */;}, В = {i: xt = Z[},
C = {i: yi = Zi}, A = NX\A, В = N\\B, С = N\\C,N\= {1,2, ...,т}.
Если Х[ = Z[ и yi = Z[, то отсюда следует, что xt = yt. Значит В П С С А.
Взяв от обеих частей включения дополнение и тем самым заменив
включение на обратное, получим А С В П С. Наконец, применяя первый закон
де Моргана, имеем Л С В и С. Отсюда \А\ ^ |В| + \С\. Наконец, заметим,
что р(и, v) = \А\, р(и, w) = \В\, р(ш, v) = \С\.
Зафиксируем некоторый га-вектор и = (х\, ..., хт), и е U. Множество
га-векторов v e U с координатами из я-множества таких, что р(и, v)=m — r,
будем называть сферой радиуса га — г с центром в точке и. Множество
векторов, принадлежащих сфере, обозначим через Sr(u). Так как число
га-векторов, принадлежащих Sr(u), совпадает с числом способов выбора
га — г координат некоторого га-вектора v, не совпадающих с
соответствующими координатами га-вектора и, то это число равно ( )(п — \)т~г.

68 ГЛ. II. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ И МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ—ИСКЛЮЧЕНИЯ
При т^п рассмотрим теперь подмножество U' множества (/,
состоящее из векторов с различными координатами, принимающими значения
из я-множества X. Сужение на V метрики р, определенной на £/,
представляет собой также метрику, которую будем обозначать также р.
Определим hmr(ri) — число /л-векторов v е V таких, что p(w, v) = т —
— г, где и е U' — фиксированный /л-вектор. Положим и = (х\, ..., хт),
v = (У\, • • •, Ут) и будем считать, что вектор v обладает свойством Д,
если yi = Xi. Тогда hmr(n) равно числу /л-векторов из £/', обладающих
ровно г свойствами из заданной совокупности А\, Л2, ..., Ат. Число /л-век-
торов из U*', обладающих свойствами Д,, Д-2, ..., Aik, 1 ^ i\ < ... < ik ^ /л,
равно M(AixAi2.. .Aik) = (n - k)m-k- Теперь, применяя формулу (1.9)
метода включения—исключения, имеем
т
л«,(и)=Е(-1)*-г(;)(Д("-*)«-*-
k=r
Осуществляя очевидные преобразования, окончательно получаем
Для случая т = п рассмотрим сужение метрики р на множестве V"
перестановок степени /л; тогда и hmr = hmr(m) равно числу перестановок v
степени /л, таких, что p(w, v) = т — г, где и — фиксированная
перестановка. Очевидно, что
^ = 7rEV"' r = 0,l,...,m.
k=0
Отсюда следует, что для любого г = 0, 1, ...
Нп1 b!SL = le-\
m-юс т\ Г\
§ 2. Неравенства Бонферрони
1. Основные неравенства. Обратимся к общим формулам метода
включения—исключения. При этом будем предполагать, что элементы
коммутативного кольца /С, определяющего веса элементов а\, a<i, ..., a/v,
являются неотрицательными числами. В этом предположении выведем
неравенства, которые в ряде случаев упрощают применение метода
включения—исключения, так как в пределах допустимой точности позволяют
ограничиться подсчетом в знакопеременной сумме (1.9) нескольких членов.

§2. НЕРАВЕНСТВА БОНФЕРРОНИ 69
Из формулы (1.9) имеем для г + 1 ^ d ^ п
d-\
M(r)-Ys(-l)k-l{k^Sk = (-l)d-rU(d, r), (2.1)
k=r
где
п
U(d,r) = J2(-l)k-d(k^Sk. (2.2)
k=d
Сначала найдем обращение формулы (1.9), выразив величины S&, k =
= О, 1, ..., я, через величины Af(r), г = 0, 1, ..., п. Умножая обе части
равенства (1.9) на (А и суммируя полученные выражения по г от k до я,
имеем
E(>m=I>B-'>'-'QC)- <2-3>
r=k l=k r=k
Выражая биномиальные коэффициенты через факториалы, легко получаем
1, l = k,
, -, - > k.
r=k ч
Используя это равенство, из равенства (2.3) получаем формулу обращения
п
5* = Е(ЭМ(Г)' *=0, 1,..., п. (2.4)
r=k
Выражение 5^ из формулы (2.4) подставим в формулу (2.2). Меняя
порядок суммирования, имеем
U(d,r) = ±M(j)±(-\)*-«(b)(ik).
j=d k=d
Заметим, что
k=d 1=0
Так как
ЕМГ'-'С'ТО =coef„-,(l +x)-l(l +xrr = (i-r_-d *).
1=0
то окончательно получаем
E(-o'-'G)C)=U /■
"<*'>=£ 0 u^il)*^-
i=d

70 ГЛ. II. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ И МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ—ИСКЛЮЧЕНИЯ
С учетом этого неравенства из соотношения (2.1) имеем
r+2v-1
M(r)- Y^ (-l)^"r(J)5^ = (-l)2vf/(r + 2v, r)^0,
k=r
r+2v
M(r)-Y,(-l)k~r(k)sk = (-l)2v+1£/(r + 2v+l, r)^0.
Из этих двух соотношений вытекают так называемые неравенства
Бонферрони:
Е (-l)*"r(J)Sik < Af(r) < X)(-l)*-r(J)Sik- (2-5)
k=r k=r
где 0 ^ v ^ (n — r)/2. Они эквивалентны неравенствам
r+2v
Af(r>- £ (-i)ft-rC)5^c+2v)5r+2v.
k=r
Из этих неравенств следует, что, отбрасывая в сумме (1.9), выражающей
величину Af(r), слагаемые, начиная с некоторого, мы получаем
погрешность, знак которой совпадает со знаком первого из отброшенных членов,
а абсолютная величина погрешности не превосходит абсолютной величины
первого из отброшенных членов.
2. Существенные переменные булевых функций. Обозначим через
Мп(г) число булевых функций f(x\, ..., хп), которые имеют г
несущественных переменных, т. е. существенно зависят только от п — г переменных,
0 ^ г ^ п — 1. Для определения Мп(г) применим метод
включения—исключения. Обозначим через А свойство булевой функции f(x\, ...,xn),
состоящее в том, что для нее переменная хь является несущественной. Тогда
Мп(г) равно числу булевых функций f(x\, ..., хп), которые обладают
ровно г свойствами из совокупности А\, А<±, ..., Ап. Нетрудно заметить, что
число функций, обладающих заданным набором свойств Д,, Д-2, ..., Д-л,
равно
M(Ail...Aik)=2T~\ (2.7)
Поэтому согласно формуле (1.9) имеем
M„(r) = (;)g(-l)ft("r)22"^ ' = 0,1,...,п-1. (2.8)
k=0

§2. НЕРАВЕНСТВА БОНФЕРРОНИ
71
Из этой формулы, используя неравенства Бонферрони, получаем
следующие оценки для числа булевых функций, существенно зависящих от
всех п переменных:
1 - az/22""' ^ Mn(0)/2r ^ 1. (2.9)
Отсюда следует, что относительная доля булевых функций f(x\, ..., хп),
у которых хотя бы одна переменная является несущественной, не
превосходит величины п/22" , а также что
lim Mn(0)/22" = \. (2.10)
п—►оо
3. Двойственные функции. Булева функция f\(x\, ..., хп)
называется двойственной к функции /2(^1, ..., хп), если f\(x\, ..., хп) =
= h(*\* • • •» *п)' Функция f(x\, ..., хп) называется самодвойственной,
если f(x\, ..., хп) = f(x\, ..., хп). Найдем выражение для Nn — числа
самодвойственных булевых функций f(x\, ..., хп), существенно зависящих
от всех п переменных.
Два булевых вектора (х\, ..., хп) и (х\, ..., хп) будем называть
противоположными. Если самодвойственная функция на векторе
(х\,...,хп) принимает значение 0, то на противоположном векторе
(х\,...,хп) она принимает значение 1. Следовательно, такая
функция определяется своими значениями на 2п~1 булевых векторах и
общее число самодвойственных функций равно 22" . Обозначим через Л/
свойство самодвойственной функции, состоящее в том, что она не
зависит от переменной хь, 1 ^ / ^ п. Число самодвойственных функций
f(x\, ..., хп), обладающих свойствами Л/,, ..., Aik, 1 ^ i\ < ... < ik ^ п,
равно N(Aix, ..., Aik) = 22" . Применяя формулу (1.9) метода
включения—исключения, получаем
Л^В-^О22""*"'. л=1'2'- <2-П)
6=0
Применяя неравенства Бонферрони так же, как и при доказательстве
равенства (2.9), имеем
l-Az/22""2^^/2^"4l.
Отсюда следует, что
lim Nn/2r~' = 1.
п—►оо

72 ГЛ. II. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ И МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ—ИСКЛЮЧЕНИЯ
§ 3. Формулы обращения для частично упорядоченных множеств
1. Функции. Рассмотрим множество X, на котором задано
бинарное отношение, обозначаемое символом ^ и удовлетворяющее следующим
свойствам.
1) Рефлексивность. Для любого х € X имеем х ^х.
2) Антисимметричность. Для любых х, уеХизх^уиу^х
следует х = у.
3) Транзитивность. Для любых х, у, zeXmx^yuy^z следует
x^z.
Такое бинарное отношение называется отношением частичного
порядка, а множество X называется частично упорядоченным. Будем
полагать, что у ^ х, если х ^ у. Кроме того, считаем, что х < у, если х ^ у
и х Ф у. Если для х и у не имеет место отношение х ^ г/, то будем
записывать JC ^ Г/.
Если существуют элементы, обозначаемые А и Я, такие, что h ^ х
и jc ^ И для всех jc G X, то эти элементы называются соответственно
наименьшим и наибольшим элементами множества X. Для х, у еХ
множество элементов
[х, y]={z\ x^z^y, zeX}
называется интервалом. Если для любых х, у € X интервал [х, у] есть
конечное множество, то частично упорядоченное множество X называется
локально конечным. Если X — множество натуральных чисел, в котором
отношение порядка х ^ у, х, у еХ, означает, что х меньше или равно г/,
то это множество локально конечно. Возьмем в качестве X снова
множество натуральных чисел и отношение порядка х ^ у, х, у € X, означающее,
что х делит у. Это также локально конечное множество.
Рассмотрим множество функций f(x, у), определенных на X х X, где
X—локально конечное частично упорядоченное множество, принимающих
действительные или комплексные значения и таких, что /(jc, у) = О при
*£у.
Определим композицию двух функций f(x, у) и g(x, у), обозначаемую
символом *, с помощью равенства
/ * g(x, y) = (f* g)(x, у)= Y, f^ z)^z> У)> <3- 0
где суммирование проводится по всем элементам конечного интервала
[jc, у]. Композиция функций представляет собой ассоциативную
операцию, т. е.
(f*g)*h=f*(g*h).

§3. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ 73
Действительно, с одной стороны
[(/ * g) * h](x, У)= Y, h& У} Y, К*' и^^ z"> =
x^u^z^y
To же самое выражение получаем и вычисляя [/* (g* h)](xy у).
Единичным элементом для операции композиции в множестве функций
является дельта-функция Кронекера
&(*.*) = {о
(3.2)
х = у,
хфу.
Действительно,
[f*b](x,y)= Y, f(x,z)b(z,y)=f(x,y).
x^z^y
Аналогично,
[Ъ*П(х,У)= £ b(x,z)f(z,y)=f(x,y).
x^z^y
Для функции /(jc, у) можно определить левый обратный элемент
/_1(jc, у) такой, что (/_1 * /)(jc, у) =Ъ(х, у). Если левый обратный элемент
существует, то он вычисляется по следующим формулам:
Г\х, у) = -j±j Y, Г1(х, z)f(z, у), х<у, (3.4)
x^z<y
что легко проверяется непосредственно.
Кроме того, полагаем
Г1(х,у)=0, х£у.
Известно, что если элемент / в множестве с ассоциативной операцией
обладает левым обратным /_1, то он является также и правым обратным.
Отметим, что если множество функций удовлетворяет условию f(x, x) ф О,
то это множество образует группу G по отношению к операции *.
2. Дзета-функция и функция Мёбиуса. Функцию £(*, у),
определенную на локально конечном частично упорядоченном множестве X
равенствами
Г 1, х ^ и.
г^,у) = \: у (3.5)
10, х£у.

74 ГЛ. II. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ И МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ—ИСКЛЮЧЕНИЯ
назовем дзета-функцией. Из определения следует, что обратной для
функции £(лг, у) является функция \i(x, у) такая, что
И(*,*)=1. (36)
*^<</ (3.7)
у(лг, г/) = 0, х^у.
Эту функцию будем называть функцией Мёбиуса. Функция Мёбиуса
играет важную роль при получении формул обращения в рассматриваемом
множестве функций.
Теорема обращения. Пусть функции f(x) и g(x) заданы на
локально конечном частично упорядоченном множестве X с
наименьшим элементом heX, причем
/(*) = £ && (3.8)
h^z^x
для всех х € X. Тогда имеет место формула обращения
g(x)= £ feMz,x). (3.9)
h^z^x
Используя определение дзета-функции £(*, у), имеем
h(x) = S ( Y,S(UK(U^ z) W. *).
h<z<x\u>h /
где й — наименьший элемент X
Меняя порядок суммирования, получаем
Отсюда следует, что
АМ = J2^b^ *) = S(x)-
Этим теорема доказана.
Если X — множество натуральных упорядоченных по величине чисел,
то согласно равенствам (3.6) и (3.7) функция Мёбиуса имеет вид
1, х = у,
О в остальных случаях.

§3. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ 75
Отсюда следует, что для формулы
имеет место обращение
g(n) = f(n)-f(n-\).
3. Функция Мёбиуса в теории чисел. Обратимся к тому
специальному случаю, когда X — множество всех натуральных чисел,
упорядоченных по делимости, т. е. для d, п€Х полагаем d^n, если d делит п. В этом
частично упорядоченном множестве наименьший элемент существует и
равен 1. Рассмотрим функцию Мёбиуса для этого X. Из формул (3.6) и (3.7)
следует, что
\i(d, d) = L \i(d,n) = - Y, И(4*) (3-Ю)
jc: d\x,x\n
хфп
и (jt(d, az) = 0, d\n. Здесь приняты обозначения: d\n (d делит az), d \ n
(d не делит п). Из формул (3.10) вытекает, что для простого числа р
И(</, dp) = -\, [i(d,dp2) = 0. (3.11)
Из последнего равенства для любого натурального г ^ 2 индукцией можно
получить равенство
yi(d,dpr) = 0. (3.12)
Из равенств (3.10) и (3.11) следует, что для любых различных простых
чисел р и q
\jt(d,dpq) = (-\)2 = \. (3.13)
Индукцией по k ^ 1 с использованием равенств (3.10) и (3.13) получаем
следующую формулу
[i(d,dPlp2...pk) = (-\)k, (3.14)
где pi, /?2, • • •, Pk — различные простые числа, k ^ 1.
Установим теперь окончательный вид функции Мёбиуса:
{1, n = d,
(-1)*, n = dp\p2...pk, (3.15)
0 в остальных случаях,
где pi, /?2, • • •, Pk — различные простые числа. Действительно, из
формул (3.10), (3.12) и (3.14) следует, что
H(rf, Ф>?...р?) = -[1 + (*)(-1)' + 0)(-1)2+ ... + (-!)*(*)]=0,

76 ГЛ. II. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ И МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ—ИСКЛЮЧЕНИЯ
если хотя бы одно а£- > 1, 1 ^ / ^ k. С использованием функции
Мёбиуса (3.15) для равенства
f(n)=J2eW (3-16)
d\n
из теоремы обращения получаем следующую формулу обращения:
g{n)=Y,V{d,n)f{d). (3.17)
d\n
В теории чисел используется функция Мёбиуса \i(ri) от одного
натурального переменного п = р"'/^2 .. .pakk, задаваемая равенствами
{1, л=1,
(-1)*, n = plP2...pk, (3.18)
О в остальных случаях,
где р\, /?2, • • •, Pk — различные простые числа.
Из равенств (3.15) и (3.18) следует, что
H(d,n) = n(J). (3.19)
Следовательно, формула обращения (3.17) принимает вид
g{n) = Y,v(*i)№- (3-2°)
d\n
4. Циклические последовательности. На множестве отображений
(р: {1,2, ..., т} —> {а\, а<±, ..., ап} зададим отношение эквивалентности,
полагая ф ~ ф', если ф'(/) = ф(/ + d), 1 ^ d ^ m, / = 1, 2, ..., т, и
сложение ведется по модулю т. Ясно, что векторы (ф(1), ..., у(т)) и (ц'(\), ...
..., у'(т)), отвечающие эквивалентным отображениям, отличаются
некоторым циклическим сдвигом. Поэтому совокупность векторов,
отвечающих классу эквивалентности отображений, будем называть циклической
последовательностью. Определим число циклических
последовательностей Мтп.
Число d является периодом вектора (ф(1), ..., ф(^)), если ф(/ + d) =
= ф(/), / = 1, 2, ..., т. Все векторы (ф(1), ..., у(т)) отображений ф,
принадлежащих одному классу эквивалентности, имеют один и тот же
наименьший период. Обозначим через М(d) число классов эквивалентности ф,
для которых векторы (ф(1), ..., у(т)) имеют наименьший период d.
Число элементов в каждом из таких классов равно d. Следовательно, общее
число отображений ф, у которых векторы (ф(1), ..., ф(#г)) имеют
наименьший периоде, равно dM(d). Суммируя по всем d, являющимся делителями

§3. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ 77
числа т, получаем общее число отображений. Таким образом,
nm = ^dM{d). (3.21)
d\n
Применяя к равенству (3.21) формулу обращения (3.20), получаем
mw^E^K- (322)
d\m
Все наименьшие периоды являются делителями т. Следовательно,
Mnm = Y,M(d). (3.23)
d\m
Из формул (3.22) и (3.23) окончательно получаем
d\m b\d
5. Метод включения—исключения. Пусть X—конечное множество.
На булеане 2х определим частичный порядок ^, полагая Z ^Y, если Z С У,
Z,Ye 2х. Покажем, что в этом случае функция Мёбиуса имеет вид
[jt(Z, K) = (-l)|y|-|z|. (3.25)
Действительно, из равенств (3.6) и (3.7) следует, что
!i(Z, Z) = 1, !i(Z, У) = - £ и(2, £/). (3.26)
ZCL'CV
Для любого у £Z из равенств (3.26) имеем
H(Z,Zu{*/}) = -1. (3.27)
Индукцией по k покажем, что для любых различных у\, г/2, ..., tjk £ Z
[i(Z,Zu{yl,y2,...,yk}) = (-\)k. (3.28)
При k = 1 равенство (3.28) сводится к формуле (3.27). Для произвольного
натурального k из формулы (3.26) имеем
[i(Z, ZU {уи У2, •••,#*}) =
H(Z,Z) + £>(Z,ZU {*/,}) + ...
i=\

78 ГЛ. II. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ И МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ—ИСКЛЮЧЕНИЯ
Используя предположение индукции, получаем
H(z, zv{yi,y2,..., Ук}) = -(1 - 1)* + (- i)k.
Отсюда следует формула (3.28).
Пусть теперь на булеане 2х конечного множества X заданы функции /
и g такие, что
/О0 = £*(2). (3-29)
ZCY
Тогда из теоремы обращения следует, что
г(У)=£/(2)и(£У). (3.30)
ZCY
Из равенств (3.25) и (3.30) вытекает, что
£(П = £(-1)|УН2|/(2). (3.31)
ZCY
Полагая \Y\ = п и суммируя отдельно в правой части равенства (3.31)
слагаемые с \Z\ = п, п - 1, ..., 1, 0, получаем
g(Y) = f(Y)- £ f(Z)+ Y, №)-■■
ZCY ZCY
\Z\=n-\ \Z\=n-2
... + (-1)* J2 /(*)+ ... + (-1)л £/<*)■ (3.32)
ZCY ZCY
\Z\=n-k \Z\=Q
Из формулы (3.32) могут быть получены различные варианты формул
метода включения—исключения. Эти варианты используют понятие меры
конечного множества. На конечном частично упорядоченном множестве X
зададим функцию а(лг), х е X, принимающую значения из некоторого
коммутативного кольца К. Используя функцию а(лг), можно определить
функцию на булеане 2*, которую будем также обозначать через а. Для любого
Y € 2х положим
'0, У = 0,
xeY
Эту функцию а будем называть мерой. Пусть К — кольцо
действительных чисел. Если ol(x) = 1 для всех х е X, то а(У) = |У|, Y е 2х, т. е.
мера совпадает с мощностью множества. Если для каждого х е X имеем
0 ^ я(х) ^1 и J] я(х) = 1, то мера называется вероятностным распре-
хех
делением. В этом случае элементы булеана 2х называются событиями.

§3. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ 79
Из равенства (3.33) следует, что
а(У) + а(У) =«(*), (3.34)
где Y = X\Y, Ye2x.
Используя законы де Моргана, получаем
a(7UZ) = ol(Y П Z), (3.35)
a(Y?TZ)=a(yuZ). (3.36)
Пусть теперь задано множество X = {х\, x<i, .. •, *yv}, элементы
которого могут обладать или не обладать каждым из свойств А\, A<i, ..., Ап.
На булеане 2х задана некоторая мера а(У), У G 2х. Будем считать, что
элемент х\ G X обладает ^-свойством, если он обладает свойствами,
индексы которых принадлежат множеству Q С Rn, Rn = {1, 2, ..., п}. Пусть
Q U Q = Rn, QnQ = 0 и g((?) есть мера множества элементов из X,
обладающих Q-свойством, а /(^) — мера множества элементов из X,
обладающих ^-свойством и, может быть, другими свойствами, номера которых
принадлежат Q. Тогда очевидно следующее равенство:
/(<?) = £ 2(2). (3-37)
Применяя формулы обращения (3.31) и (3.32), получаем при Q = Rn:
^n)=E(-1)WHZ|/(2)=«w- £ /(z) + ---
zc/?„ zc/?„
|Z|=n-l
... + (-1)* £ /(Z) + ... + (-l)"£/(Z). (3.38)
zc/?„ zcft,
\Z\=n-k |Z|=0
Отметим, что g(/?n) есть мера множества элементов X, не обладающих
ни одним из свойств А\, A<i, ..., Ап, f(Z) — мера множества элементов,
обладающих свойствами с номерами из Rn \ Z и, возможно, некоторыми
свойствами с номерами из Z; f(Rn) = ol(X).
Множество элементов Х, обладающих свойством А-и удобно
обозначить той же буквой А-и i = 1, ..., п. Тогда можно записать
g(Rn) = *(r\Ai\
\i€R„ J
fct(A), Z = Rn,
[ \ieR„\Z )

80 ГЛ. II. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ И МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ—ИСКЛЮЧЕНИЯ
Из равенства (3.38) или используя индукцию по п, имеем
<n^=^(-l)n4ZI< п *\
\i€R„ ) ZCRn \ieRn\Z J
Отсюда следует, что
«fn^-Et-o'Vn^V (3-39)
\i€Rn ) ZCRn \ieZ J
Полагая M(0) = ql( f| АЛ и
\iGRn J
S0 = ol(X), (3.40)
Sk= Y, *(Г\Л1\ * = 1>2> •••> «. (3-41)
ZCRn \i€Z
\Z\=k
из формулы (3.39) получаем формулу Сильвестра:
п
M(0) = J2(-l)kSk, (3.42)
6=0
являющуюся одной из формул метода включения—исключения.
Мера множества элементов X, обладающих хотя бы одним из свойств
А\, Л2, ..., Л„, в принятых обозначениях записывается следующим
образом:
Mv\=*({jAi\
\i£Rn J
В силу очевидного равенства М\\]= <х(Х) - М(0) из формул (3.39) и (3.42)
получаем
МЦ] =£(-1)*-'5ь (3.43)
k=\
\ieRn J zcr„ \iez J
Z^0
Применяя к последнему соотношению формулу обращения (3.31), находим
«(пм-Е^'-чич (3-45)
\i€Rn ) ZCRa \ieZ J
Z^0
Используя обозначения
%= £aflM\ k=l,2,...,n, (3.46)
ZCRn \ i€Z
\Z\=k

§3. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ 81
из формулы (3.45) получаем
*(r\A*)=1b(-iy>k~lsm- <3-47)
\i€Rn ) k=\
Обозначим теперь через М(г) меру множества элементов из X,
обладающих в точности г свойствами из совокупности А \, Лг, ..., Ап.
Используя обозначение Л,- как множества элементов, обладающих свойством Л/,
можно записать:
м(г) = ^2а(Г\А^Г\^\ г = 0' L ■■■.". <3-48)
\У\=г
гдеУ = Яя\У.
Полагая Х= f] Л/, из формулы (3.39) получаем
«fn>»'n^=E(-o|zi«m^n>»/V
\/€У /€? / ZCY \i€Y j€Z J
Отсюда следует, что
(3.49)
toy
Из формул (3.48) и (3.49) имеем
A*w = £ Т,(-1)т~г«(Г\А>)- (3-5°)
YCRnUCRn \i€U J
\Y\=r UDY
Поменяем порядок суммирования в правой части последнего равенства.
Получим
Ai(r)= ^(-о^^П^ЛЕ1-
Отсюда следует, что
UCRn \i€U J YCXJ
\Ufer \Y\=r
ад=Е(-о|М|^|)<П^У
UCRn \i£U
Полагая \U\ = k и используя обозначения (3.41), окончательно получаем
п
Af(r) = £(-l)*-r(*)sft, г = 0, 1,...,л. (3.51)
k=r

82 ГЛ. II. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ И МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ—ИСКЛЮЧЕНИЯ
6. Функция Эйлера. Функция Эйлера ф(я) определяется как число
вычетов по модулю п в системе чисел 0, 1, ..., я, взаимно простых с п.
Если каноническое разложение п имеет вид п = р*1/^2 • • -Р*г, то
ф(л) = „(,-!) (,-!)... (,-1). (3.52)
Получим эту формулу методом включения—исключения. В качестве
элементов возьмем числа 0, 1, ..., п — 1. Элемент обладает свойством Л/,
если он делится на число р/, 1 ^ / ^ г. Очевидно, что ф(я) равно числу
элементов, не обладающих ни одним из свойств А\, А% ..., Аг. Число
элементов, обладающих заданными свойствами A-j{, A-h, ..., A-jk, 1 ^ jx < ...
• • • < jk ^ r, равно
M(AhAh...Ajk) =
Применяя формулу (3.42), получаем
Ф(Л)=л + £(-1)* £ ТГ—Г' (3-53)
Эта формула эквивалентна формуле (3.52).
Из формулы (3.52) следует мультипликативность функции ф(я), а
именно: если тип взаимно просты, т. е. (т, п) = 1, то
ф(т, я) = ф(т)ф(я).
Обозначим через ф</(я) число элементов среди вычетов 0, 1, ..., п — 1,
имеющих с п наибольший общий делитель, равный d. Тогда очевидно, что
ф!(л) = ф(л).
Все интересующие нас вычеты имеют вид dd', причем (dd', n) = d, т. е.
(d!, n/d) = 1, 0 ^ d' ^ n/d - 1. Отсюда следует, что
(?d(n) = <?\(n/d) = <p(n/d).
Пусть d\, d2, ..., dk — все делители числа п, a d\, d'2, ..., d!k — их
дополнительные делители, т. е. d\ ■ dt = n, i = 1, ..., k. Тогда
y(d'i) = y(n/di) = ydi(n).
Очевидно следующее равенство:
k k
^ фЮ=^ 94 (") = "•
i=\ i=\

§3. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ
83
Отсюда следует формула Гаусса:
£>(</) = л. (3.54)
d\n
Применяя формулу обращения (3.20), из равенства (3.54) получаем
9(rt)=^>(d)J, (3.55)
d\n
где \i(d) — теоретико-числовая функция Мёбиуса, определенная
равенствами (3.18).
Используя равенство (3.55), формулу (3.24) для задачи о циклических
последовательностях можно записать в виде
м-^ЕфКХ- <з-56>
1
d\m
Действительно, меняя порядок суммирования в правой части
равенства (3.24) и умножая и деля на т, имеем
Ь\т d\(m/b)
Отсюда в силу формулы (3.55) следует равенство (3.56).
ЗАДАЧИ
1. Подстановка 5 степени п противоречива с подстановкой s' степени л,
если s(i) Ф s'(/), / = 1, 2, ..., я, где X = {1, 2, ..., п} — множество, на котором
действуют подстановки. Показать, что число систем подстановок (si, S2, ..., sm),
противоречивых с заданной подстановкой s', равно
Дл(0!Г =£(- !)*©((«-А)!)"
k=0
2. Элементы множества X = {1, 2, ..., п} расположены на прямой в порядке
возрастания. Пара элементов / и / + 1, / = 1, 2, ..., п — 1, называется
соседними. Показать, что /(л, k) — число ^-подмножеств множества X, не содержащих
соседних элементов, —удовлетворяет рекуррентному соотношению
f(n,k) = f(n-\%k)+f(n-2%k-\)%
/(/z, l) = /i, /(l,/z) = 0, n>\.
Вывести отсюда формулу

84 ГЛ. II. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ И МЕТОД ВКЛЮЧЕНИЯ—ИСКЛЮЧЕНИЯ
3. Для элементов множества X = {1, 2, ..., л}, расположенных на
окружности, соседними являются пары элементов: 1, 2; 2, 3; ...; л — 1, л; л, 1. Показать,
что если g(n, k) — число ^-подмножеств множества X, не содержащих соседних
элементов, то g(n, k)=f(n — \, &) + /(л — 3, k — \), где /(л, k) определено в задаче 2.
Вывести отсюда, что
4. С использованием результатов задачи 3 и метода включения—исключения
показать, что число подстановок степени л, противоречивых с подстановками ewe,
где е— единичная подстановка, а с = (1, 2, ..., л), равно
^ = E(-»*d^(2Y>-*)!, л=1'2'-
5. Система (si, S2, ..., sm) из га попарно противоречивых подстановок
степени л называется латинским прямоугольником размера т х л. При т = п
латинский прямоугольник называется латинским квадратом. Показать, что число
латинских прямоугольников размера 2 х л равно
Ц2,п) = (п!)2£<=^.
6. Для функции Мёбиуса \i(d) доказать равенство
d\n
где Ъп\ — символ Кронекера.
7. КОД /С, СОСТОЯЩИЙ ИЗ НеКОТОрОЙ СОВОКУПНОСТИ ВеКТОрОВ (*1,*2, • • • , *m),
*/ Е X, Х= {1, 2, ..., л}, называется кодом без запятой, если из условия
(*1, *2, • • • , Хт), (х\, Х2,' ...,х'п)еК
следует, что
(*2, . . . , Хщ, Х\), (*з, . . . , Хщ, Х\, Х2), . . . , (хт, Х\, . . . , Xm_i) ^ /С.
Показать, что если W^ — максимально возможное число векторов в коде /С, то
d\m

ГЛАВА III
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Формальные степенные ряды
1. Последовательности. Пусть No = (0, 1, 2, ...) есть натуральный
ряд с нулем и К — числовое кольцо с единицей, элементами которого
являются все действительные или все комплексные числа. Отметим
сразу, что некоторые из формулируемых ниже утверждений остаются
верными и для произвольного кольца с единицей, не имеющего
делителей нуля. Отображение (р: No —> К определяет бесконечномерный
вектор а = (яо, а\, ..., ап, ...), ап € К, п = 0, 1, ..., который называется
последовательностью. Последовательность а совпадает с
последовательностью р = фо, Ь\, ..., Ьп, ...) тогда и только тогда, когда ап = Ьп,
п = 0, 1, ... На множестве последовательностей зададим операции
сложения и умножения, обозначаемые соответственно + и ■, определяемые
равенствами
а + Р=(ао + &о, «1 +Ъ\Ч ..., cin + bn, ...). (1.1)
а-|3= (а0Ь0, а0Ь\ + а\Ь0, ..., ^2,akbn-k, •••)• (1.2)
Легко проверяется, что обе операции коммутативны, ассоциативны и
связаны законом дистрибутивности. Нейтральные элементы по сложению и
умножению, играющие роль нуля и единицы, имеют соответственно вид
z = (0,0, ...,0, ...), и = (1,0, ...,0, ...), (1.3)
где 0 и 1 является нулем и единицей кольца К. Для
последовательности а = (яо, 01, • •, Я/ъ • • •) обратным по сложению элементом является
—а = (— яо, —яь • • •, — Я/ъ • • •), так как а + (—а) = г. Таким образом,
множество последовательностей с элементами из кольца К и двумя
операциями + и ■ образуют коммутативное кольцо К. Рассмотрим некоторые
свойства кольца К.
Свойство 1. Кольцо К является областью целостности.

86
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Действительно, пусть а • р = z и а ф г, р т^2- Допустим, что / и / —
наименьшие индексы, такие, что щ Ф О, Ь} ф 0. Тогда
и-/
£=0
и, следовательно, (/ + /' + 1)-й элемент последовательности а • р отличен
от нуля, что противоречит условию а • р = 2.
Элемент а-1 будем называть обратным элементу а, если а • а-1 =
= а~1 • ol = u.
Свойство 2. £с/ш а = (ао, а\, ..., ап, ...), то а-1 существует
тогда и только тогда, когда для ао существует обратный элемент
а^] в кольце К.
Действительно, из условия а • а-1 = и при а-1 = (со, с\, ..., сп, • • •)
следует система уравнений
а0с0 = 1,
ao^i + ajco = 0,
аосп + а\сп-\ +... + апсо = 0,
которая разрешима тогда и только тогда, когда существует элемент а0 .
Свойство 3. Пусть (3 = (1, b\, fe, • ■ •, 6/ь .. •). Тогда для
любого целого положительного т имеем рт = (1, с\, С2, ..., сп, ...), где
pm = J3 • р...J3 (т раз). Ярм этсш с\ = mb\, Ck = mbk + fm,k(b\, &2, • • •
..., 6*_i) (Зля всех k ^ 2, где /т^ есть некоторый многочлен от
b\, b<i, ..., 6aj-i-
Это свойство легко доказывается индукцией по т.
Свойство 4. Пусть a = (1, а\, ..., ап, ...) и пусть т — целое
положительное число. Тогда существует единственное р = (1, Ь\, ...
..., Ьп, ...) такое, что рт = а; яри этол* будем обозначать р = а1/"1.
Действительно, из свойства 3 следует, что элементы
последовательности р определяются последовательно из уравнений
mb\=a\, тЬ2+[тдФ\) = а2, •••, mbk + /m,*(&i, • • •, bk-\) = ak, ...
Легко доказывается следующее свойство.
Свойство 5. Пусть a = (1, а\, ..., ап, ...) и пусть т — целое
положительное число. Тогда (a_1)m = (am)_1 и по определению
считаем, что оГт = (am)~\ ot° = и.
Из свойств 4 и 5 вытекает следующее свойство.

§ 1. ФОРМАЛЬНЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
87
Свойство 6. Если т, s > О — целые числа, то для любого а =
= (1, яь ..., ап, ...) существует единственное р = (1, Ь\, ..., Ьп, ...)
такое, что ат = р5, т е. р = ат/5.
2. Формальные степенные ряды. Рассмотрим элемент х = (0, 1,0,...
..., 0,...) £ К. Нетрудно проверить, что
xk = (0, 0, ..., 1,0, ...), 6=1,2,..., (1.4)
где единственная единица стоит на (k+ 1)-м месте. Кроме того, по
определению считаем, что х° = и. Любая последовательность а = (яо, аь ...
..., ап, ...) может быть записана в виде
оо
« = £я^. (1.5)
/=0
Эту запись будем называть формальным степенным рядом,
соответствующим последовательности а. В этом равенстве я7- е К можно
понимать как (aj, 0, ..., 0, ...)£/(, и тем самым формальный степенной ряд
является удобным представлением любого элемента a e К. Отметим, что
в этих условиях вместо z и и в дальнейшем можно писать 0 и 1.
Два формальных степенных ряда, соответствующих последовательно-
оо
стям а и р = Y^ bjX*, равны (а = (3) тогда и только тогда, когда я7- = bj,
} = 0, 1, ... Операции сложения и умножения для формальных степенных
рядов определяются следующим образом:
оо
«+р = Е(°*+ **)**• (1.6)
«■p=E(EaA-/V- (1J)
k=0 \/=0 /
Относительно этих операций формальные степенные ряды образуют
кольцо, изоморфное кольцу К.
Каждой последовательности а = (яо, а\, ..., ап, ...) можно поставить
в соответствие последовательность а = (яо, а\/\\, ..., ап/п\, ...).
Формальный степенной ряд
оо
/г=0
будем называть экспоненциальным формальным степенным рядом
последовательности а. Если для таких рядов ввести операции сложения и

88
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
умножения по правилам
/г=0
а-Р=Е(£йЬ*--*)§' (110)
/г=0 \k=0 /
то относительно этих операций множество экспоненциальных формальных
степенных рядов образует кольцо К. ^
Для формального степенного ряда a = ^ ayjc^ определим операцию
дифференцирования D(a) равенством /=°
оо
D(a) = ^(/i + l)fl/l+1^. (1.11)
/г=0
Ясно, что эта операция не выводит из кольца К.
Далее, определим п-ю производную равенством Dn(<x) = D(Dn~{(<x))
и положим D°(a) = а. Для последовательности a = (ao, яь ..., яя, ...)
положим
S(a) = a0. (1.12)
Используя это обозначение, запишем равенство
00 п
« = £S(D»(«))^, (1.13)
/г=0
которое можно рассматривать как разложение Маклорена для а.
Дифференцирование обладает следующими свойствами:
1) D(a + p) = D(a) + D(P), (1.14)
2) D(a-p) = aD(P)+pD(a), (1.15)
3) D(un) =naLn~{D(aL), где я— натуральное число, (116)
4) D(orl) = -or2D(a), (1.17)
5) D(oi-n) = -noi-n-{D(oi). (1.18)
В последних двух случаях предполагается, что a~l существует.
Свойство 1 очевидно. Для доказательства свойства 2 приравняем
коэффициенты при хп в обеих частях равенства. В результате получаем
/2+1 П П
(я + \)^akbn_k+{ =^(k+ l)ak+{bn_k + ^2(n- k + l)akbn_k+{.
k=0 k=0 k=0

§ 1. ФОРМАЛЬНЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 89
В первой сумме в правой части равенства делаем замену индексов / = k + 1
и полученный результат объединяем со второй суммой. В итоге получаем
сумму, стоящую в левой части равенства.
Свойство 3 доказывается индукцией по п. Дифференцируя обе части
равенства а • а-1 = 1, убеждаемся в справедливости свойства 4. Наконец,
из цепочки равенств
D(0L-n) = D((0L-{)n) = n(0L-{)n-{D(0L-{) = -n0L-n-{D(0L)
вытекает свойство 5, из которого следует, что для любого
рационального 5 = т/п и для любой последовательности а Е К такой, что S(<x) = 1,
справедлива формула
D(as) = sois-{D(oi). (1.19)
Действительно, D((as)n) = n(as)n~{D(*s), D((as)n) = D(am) = m<xm-{ D(<x),
откуда и следует формула (1.19).
Для операции дифференцирования D можно рассмотреть обратную ей
операцию интегрирования D* —такую, что если S(a) = 0, то D*D(a) =
= DD*(<x) =a. Из определения операции D следует, что
оо
Д» = £^Г*"- (1-20)
/1 = 1
Кроме того, при S(a) = S(P) = 0
D> +p) = D» + D*(J3), (121)
D> ■ D(S)) = a ■ p - D*(D(ol) • p). (1.22)
Докажем теперь формулу бинома Ньютона для последовательностей.
Пусть г — рациональное число и k G К. Тогда
оо
(i+**)r=£ (;)(**)", (1.23)
/г=0
где
(r)„ = r(r-l)...(r-/i + l), (r)o = l, 0=^- (1.24)
Прежде всего заметим, что
D(\ + kx)r = r(\ + kx)r-{D(\ + kx) = rk{\ + kx)r~x.
Отсюда, используя индукцию по п, получаем
Dn{\ + kx)r = r(r - 1)... (г - п + 1 )kn(\ + kx)r~\
а так как S(\ + kx)r~n = 1, то 5(Ол(1 + /гл:)г) = (r)nkn. Теперь, используя
формулу разложения Маклорена для a = (1 + kx)r, убеждаемся в
справедливости формулы (1.23).

90
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
3. Число неассоциативных систем. На примере решения одной
комбинаторной задачи проиллюстрируем применение формальных степенных
рядов.
Пусть qn есть число способов образования произведений из п
сомножителей в неассоциативной системе. Если обозначить сомножители через
У\, У2, • • •, Уп, то qn равно числу способов расстановки скобок таким
образом, чтобы при последовательном вычислении произведения обеспечить
на каждом шаге отыскание произведения двух элементов системы. Ясно,
что ^2 = 1- При п = 3 имеем следующие варианты расстановок скобок:
У\{У2Уъ) и {У\У2)Уь т.е. ?з = 2. Для п = 4 имеем у{(у2(ут)), У\{{У2Уъ)Уа),
(У\У2)(УзУ4), (У\(У2Уз))У4, ((У\У2)Уз)У4, т.е. ?4 = 5.
В общем случае при п^2 имеет место рекуррентное соотношение
п-\
Qn = ^qjqn-j. (1.25)
/=i
Докажем (1.25): разобьем все возможные расстановки скобок на п — 1
классов в зависимости от положения двух пар внешних скобок. Если
первая из этих скобок содержит / элементов, то после расстановки двух пар
внешних скобок имеем (у\, y<i, ..., yj)(yj+\, ..., уп)- Если фиксированы
внешние скобки, остальные скобки можно расставить qjqn-j способами.
Просуммировав эти величины по /', получаем общее число расстановок
скобок, равное qn.
Рассмотрим формальный степенной ряд
оо
<7 = £>*", (1.26)
/1=1
где (в соответствии с (1.25)) полагаем q\ = \.
Для всех я ^ 2 правая часть равенства (1.25) есть коэффициент при хп
в формальном степенном ряде q2. Отсюда следует, что, умножая обе части
равенства (1.25) на хп и суммируя по п от 1 до оо, получаем соотношение
для степенных рядов q — х = q2. Таким образом, имеем квадратное
уравнение
f-q + x = 0, (1.27)
для разрешения которого потребуется следующая лемма.
Лемма. Пусть а, р — формальные степенные ряды с
действительными коэффициентами. Тогда из равенства <хп = рп, где п —
натуральное число, следует, что а = (3 при п нечетном, а = ±р
при п четном.
Если а = 0, то <хп = 0, и из равенства <хп = f/1 следует, что f/1 = 0,
т. е. р = 0, и, значит а =р. Аналогично рассматривается случай J3 = 0.

§ 1. ФОРМАЛЬНЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
91
Будем предполагать теперь, что а ф О, (3 ф 0. Введем обозначение <*> =
= е2ш/п для корня Az-й степени из единицы. Тогда можно записать
п
OLn-pn=Y[(oL-p.J)=0.
/=1
Если (J не является действительным числом, то а — 13 • (J Ф 0, так как а
и J3 имеют действительные элементы и а ф 0, j3 ^ 0.
Если дг нечетно, то аУ является действительным числом тогда и только
тогда, когда / = п. Отсюда следует, что а - (Зып = 0. Так как ып = 1, то
«=р.
Если п четно, то сУ является действительным числом в двух случаях:
при / = п/2 и при / = п. Так как и"/2 = -1 при четном п, то имеем либо
a =j3, либо ot = -j3.
Обратимся теперь к квадратному уравнению (1.27); имеем (1 - 2q)2 =
= ((1 — 4*)1/2)2. Отсюда согласно лемме получаем
q=l-[l-(l-4x)1/2). (1.28)
Перед круглой скобкой выбран знак минус, так как S(q) = 0. Применяя
формулу бинома Ньютона (1.23), получаем
<=4E('f)<-<*>".
/2=1
Используя равенство
(1/2\(_л\п-\ = 1-3-5...(2/1-3) 2„_2 (2м - 2)!
V л ^ ' л! 2л! (л- 1)!'
окончательно получаем
*«4(2г.2)' "=1-2'- (L29)
4. Линейные рекуррентные уравнения. Последовательность
щ, и\, ..., ип, ... удовлетворяет линейному рекуррентному уравнению
(соотношению) порядка г, если существуют действительные числа
а\, <22, .. •, аг, называемые коэффициентами уравнения, такие, что
ип+г + a\un+r-\ +a2Un+r-2 + ... + arun=0y az = 0, 1, ... (1.30)
Величины щ, и\, ..., t/r_i называются начальными значениями.
Формальный степенной ряд, соответствующий последовательности
(1, а\, а2, ..., аг), есть многочлен степени г:
г
a = y^aflxk, ао = 1. (1.31)
6=0

92 ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Перемножая его с формальным степенным рядом
оо
u = J2»nX\ (1.32)
л=0
получаем
а-и = с, (1.33)
где
г-\
c = Y,ckxk, (1.34)
6=0
так как все коэффициенты при хп+г, п ^ 0, в произведении а • и согласно
уравнению (1.30) равны нулю. В свою очередь со, с\, ..., сг-\ выражаются
через коэффициенты уравнения (1.30) ао = 1, а\, ..., аг и через начальные
значения щ, и\, ..., иг-\ следующим образом:
k
ck = y^a,uk_h k = 0, 1, ..., г- 1. (1.35)
/=0
Рассмотрим теперь многочлен переменной х следующего вида:
f(x) = J2ajXr-L (1.36)
j=0
Разложим этот многочлен на линейные множители:
f{x) = (х- X,)" ... (х - Хл)г*, г, + ... + rk = г, (1.37)
где Xj, ..., Xfc — корни многочлена f(x) из поля комплексных чисел. Так как
г
^а;х' = (\-\ххГ...(\-\кхУ\
j=0
то
г-\
u = J2c-jxj(\ - Xiх)"1 ... (1 - \кх)~Гк. (1.38)
/=0
Применяя формулу бинома Ньютона и вычисляя коэффициент при хп
в обеих частях равенства, получаем
min(rt,r— 1) k
»«= £ с, Е ПСТ1)* ^
j=0 5,+...+5А=Я-/' £=1
5/^0

§ 1. ФОРМАЛЬНЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 93
где второе суммирование проводится по всем решениям (sb S2, •••» sk)
уравнения S\ + ... + s^ = п — j, s£- ^ 0.
Можно получить другую формулу для ип, если рассмотреть правую
часть (1.38) как дробно-рациональную функцию и разложить ее в сумму
простых дробей. Тогда
г-\ k k n
j2ciXjY[(i-kx)-r> =££>/<i -мч
/=0 i=l i=l /=1
где у// — некоторые постоянные. Отсюда следует равенство
i=\ j=\
в правой части которого внутренняя сумма представляет собой многочлен
gi(ri) степени, не превосходящей г£- — 1. Поэтому можно записать
k
Ил=1>(л)Х?. (1-41)
Если среди корней Хь Х2, ..., Х^, имеется единственный максимальный по
модулю корень Хт, то из этой формулы получаем асимптотическое
представление
ия=*т(л)Х«(1+Д„), (1-42)
где Ап —> 0 при я —> оо.
5. Суммируемые последовательности. Рассмотрим
последовательность (аь <*2, • • •, ад, .. •)> гДе afc £ ^ причем
ал = ^ауЛА/, £=1,2, ... (1.43)
/=0
Последовательность (otj, «2, ..., 0^, ...) будем называть суммируемой,
если для любого целого числа г ^ О существует целое число /V = W(r)
такое, что для всех п ^ N имеем aort = a u = • • • = сггп = 0. Если
последовательность суммируема, то определена сумма
оо оо
£>*=£>*', (1.44)
k=\ r=0
так как при любом г ^ О вычисление sr как коэффициента при хг
достаточно проводить для суммы «1 + «2 + .. • + a/v, т. е.
Sr = (*r\ + #r2 + • • • + Я/W.

94
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
При этом sr есть коэффициент при хг в каждой конечной сумме ai + а2 +...
... + ап, п ^ N. Рассмотрим некоторые свойства суммируемых
последовательностей.
Свойство 1. Пусть (а\, <*2, ..., о^, ...) — суммируемая
последовательность и (рь р2, ..., pk, • • •) — последовательность, для
которой существует биективное отображение о: N —>N такое, что
(<*!, <*2, ..., ote, ...) = (P<r(i)» рСТ(2)? ..., |3<у(б), .. .)• Тогда
последовательность (рь р2, • • •, рь • • •) суммируема и
оо оо
k=\ k=\
Ясно, что существует такое N= N(r), что для всех п^ N коэффициент
оо
при хг в сумме ^ Рб равен коэффициенту при хг в сумме р^ + р^2) + • • •
k=\
• • • + po(/V) и равен коэффициенту при хГ в сумме а \ + а2 + ... + а#. Отсюда
следует свойство 1.
Рассмотрим последовательность (уь у2, ..., уь • • •) такую, что
оо
4k = ^cjkx1, k= 1,2, ...,
/=1
где S(yfc) = О, k = 1, 2, ... Для последовательности (1 + уь 1 + у2, ...
..., 1 + Уь • • •) определено умножение, если коэффициент при хг в про-
оо
изведении П (1 + У&) совпадает с коэффициентом при хг в произведении
N k=X
П (1 + уб) при некотором конечном N.
k=\
Свойство 2. Если последовательность (у i, у2, ..., уь .. .)> где
оо
Yk = Y^,cjkXj, k = 1, 2, ..., суммируема, то для последовательности
/=1
(1 + уь 1 + у2, ..., 1 + уь • • •) определено умножение.
Из суммируемости (уь У2, •••, Уь • • •) следует, что существует
такое N = N(r), что для всех k > N Cjk = О, 1 ^ / ^ г. Следовательно,
оо
П (1 + Yk) не дает вклада в коэффициент при хг, который определя-
k=N+\
N
ется вкладом ПО +Yfc)-
k=\
Свойство 3. Если (oti, <*2, ..., «ь ...) — суммируемая
последовательность и D — оператор дифференцирования, то
(оо \ оо
£«* =ED<e*)- (145)
k=\ J k=\

§ 1. ФОРМАЛЬНЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 95
Из суммируемости (аь а2, ..., о^, ...) следует существование
такого п, что вычисление коэффициента при хг в Dl Y ^k ), связанное с
дифференцированием, можно проводить в D ( Y ^k ) • Отсюда и следует свой-
\k=\ /
ство 3.
Свойство 4. Пусть р = (О, b\, b<i, ..., 6л, •. •)• Тогда
последовательность (р, р2, ..., pk, ...) суммируема.
оо сх>
Действительно, так как (3* = X) 6^*7', то коэффициент при /в^ (Зл
/=* Г /=1
совпадает с коэффициентом при хг в Ypk-
/=i
6. Логарифм. Пусть р = (0, 6ь 62, • • •, ^л, • • •) и а = 1 + р.
Логарифм L(ol) последовательности а = (1, 6i, &2» • • •» ^я, • • •) определим
равенством
Ца) = Ц1+р) = ^ЬУ_^.. (1.46)
k=\
Из свойства 4 следует, что L(ol) всегда определен. Рассмотрим теперь
некоторые свойства логарифма.
Свойство 1.
D(L(a)) = «-1D(a). (1.47)
Из свойства 3 суммируемых последовательностей вытекает, что
D(L(ol)) = D[J2 [ \ ' = D(P)£(-l)*p* = D^ ' «"'•
\*=1 / 6=0
Свойство 2. £а/ш 5(a) = 5(у) = 1, то
Ц«-т) = Ц«) + ЦТ). (1.48)
Действительно,
D(L(ay)) = (ауГ^ау) = oTlD(a) + y'Dfr) = D(L(a) + L(y));
а так как S(L(a)) = 0, S(L(a) + L(y)) = 0, то Цогу) = Ц°0 + Цу).
Свойство 3. Для любого рационального числа г справедливо
равенство
Цасг) = гЦас). (1.49)
Из определения следует, что L(l) = 0. Поэтому из равенства a • а-1 = 1
следует, что Ца-1) = — Ца). Для натурального я из свойства 2 имеем
/-(ал) = AzL(a). Теперь, если г = т/п, где га, я — целые числа, что raL(a) =
= L(am) = L((oir)n) = nL(ar). Отсюда и следует свойство 3.

96 ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Свойство 4. Если L(ol) = £(р), то а = (3.
Покажем сначала, что из условия L(a) = 0 следует, что а = 1. Из
равенства L(a) = 0 имеем D(L(ol)) = a_1D(a) = 0. Так как а-1 ^ 0, то
D(ol) = 0, и, значит, а = 1. Теперь из равенства L(a) = L(p) следует, что
ЦаГ{р)=0, т.е. аГ{р= 1, и ot = р.
Свойство 5. Если р = (0, b\, b<i, ..., bn, ...) и г — рациональное
число, то
оо
(l+py=i+Y^(rn)pn, (1.50)
/2=1
где Q = ^f, (г)„ = г(г - 1)... (г - п + 1), (г)0 = 1.
Введем обозначение
оо
л=1
Используя свойство суммируемости 3, имеем (1 + p)D(y) = ryD(P).
Отсюда следует, что y_1D(y) = r(l + p)_1D(l + (3). Так как из свойства 1
логарифмов следует, что D(L(y)) = y_1D(y), то получаем
D(L(Y)) = r(l+(3)-|D(l+p).
С другой стороны, непосредственно имеем D(L(\ + |3)г) = r(l + j3)_1 x
x D(l +P). Таким образом, D(L(y)) = D(L(1 + j3)r).
Из условия 5(L(y)) = 5(L(1 + p)r) = 0 следует, что L(y) = L((l + |3)r).
Отсюда в силу свойства 4 для логарифмов вытекает, что
Y = d +РГ-
7. Экспонента. Для последовательности $ = (0, 6i, 62, • ■ •, 6я, • • •)
экспоненту £(,8) определим равенством
оо w
£(.8)=£^ Р° = 1- 0-51)
л=0
Корректность определения вытекает из свойства 4 суммируемых
последовательностей. Рассмотрим свойства экспоненты.
Свойство 1.
D(£(p)) = D(p)£(p). (1.52)
Действительно, из свойства 3 суммируемых последовательностей имеем
D(£(P)) = D(S) £ JL^ = D(P)£(P).

§ 1. ФОРМАЛЬНЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 97
Свойство 2. Если £(р) = £(у), то р = у.
По условию имеем D(£(p)) = D(£(y)); тогда йф)Еф) = D(y)£(y). Так
как £(3) = £(у) ф О, то D((3) = D(y) и, следовательно, (3 = у, с учетом того,
что S(P) = 5(у) = 0.
Свойство 3. Если р = (0, Ь\, 62, • • •, Ьп, ...), mo L(£(p)) = р. £с-
ли а = (1, аь <22, ..., ая, ...)> ^^ £(Ц°0) = а.
Из свойства 1 логарифмов и свойства 1 экспоненты имеем
D(L(E(P))) = (E<p))-lD(E<p)) = (E<p))-lE<p)D<p) = D(p).
Так как 5(L(£(P))) = 5(Р) = 0, то ЦЕф)) = р. Положим теперь otj = £(£(«)),
где 5(a) = 1. Имеем L(at\) = L(£(L(a))). Отсюда, согласно доказанному,
L(oti) = L(a). Из этого равенства в силу свойства 4 логарифма вытекает,
что «1 = а, т. е. £(L(a)) = a.
Свойство 4. £а/ш (3= (0, Ь\, ..., 6П, ...), у = (0, уь ..., уп, ...),
то£(р + у) = £(р)£(у).
Из свойства 2 логарифма и свойства 3 экспоненты имеем
ЦЕ®)Е(У)) = ЦЩ) + ВДт)) = Р + Y-
Таким образом, £(L(£(p)£(y))) = £(р + у). Из свойства 3 экспоненты
вытекает, что £(L(£(p)£(y))) = £(p)£(y). Сравнивая два последних равенства,
убеждаемся в справедливости свойства 4.
8. Формальные тригонометрические функции. Из свойства 3
логарифмов и свойства 3 экспоненты следует, что Е(гЦа)) = <хг для любого
рационального г и a = (1, а\, a<i, .. .)• Будем предполагать, что равенство
Е(гЦа)) = аг выполнено для любого комплексного числа г. Тогда согласно
свойству 4 экспоненты ara5 = ar+5, где г и s — комплексные числа. Если
5(a) = 1, то для комплексного числа г имеем
D(acr) = D(E(rL(ai))) = E(rL(oL))D(rL(aL)) = </raTlD(ai) = rar-]D(a).
Аналогичным образом, используя свойство 3 экспоненты,
устанавливаем, что для комплексного г имеют место свойства логарифмов 3 и 5.
Указанные обобщения дают возможность определить формальные
тригонометрические функции. Для последовательности a = (0, а\, a<i, •. •
..., ап, •. •) формальные синус и косинус определим равенствами
оо
26+1
sina=^{£(ia)-£(-/«)} =X)(-l)*^Xn?' (L53)
1 °° 2k
cosa=i{£(/a)+ £(-/«)} =^(-l)^|-, (1.54)
k=0
где a0 = 1, / — мнимая единица: i2 = — 1.

98
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Используя эти определения, положим
sec ot = (cos а)~ \ (1.55)
tga = (sina)(cosa)_1. (1.56)
Из свойств экспоненты следует тождество
sin2 ot + cos2 a = 1. (1.57)
Отсюда вытекает тождество
sec^l+tg2^ (1.58)
Из определения sin a и cos a и свойств 3 и 4 суммируемых
последовательностей следуют равенства
D(sina) = cos a, D(cosa) = —sin a. (1.59)
Из этих равенств имеем
D(tgo<) = sec2o<, (1.60)
D(seca) = secatgot. (1.61)
Используя свойства экспоненты, можно вывести и другие соотношения
для тригонометрических функций.
9. Задача Андре. Пусть d\, d%, ..., dn есть некоторая перестановка
чисел 1, 2, ..., п. Перестановку d\, d<i, • ••, dn назовем Е-перестанов-
кой, если dj > dj-\ при / четном и dj < dj-\ при / нечетном.
Аналогично перестановку d\, d%, ..., dn будем называть О-перестановкой, если
dj > dj-\ при / нечетном и dj < dj-\ при / четном. Заметим, что каждой
£-перестановке d\, d%, ..., dn ставится во взаимно однозначное
соответствие О-перестановка п - d\ + 1, л — ^2 + 1, ..., п — dn + l. Обозначим
через Ьп число £-перестановок (О-перестановок) d\, d<i, ..., dn при п ^ 2
и положим bo = b\ = 1. Задача Андре состоит в вычислении Ьп.
Всю совокупность из 2Ьп £-перестановок и О-перестановок d\, d<i, ...
..., dn разобьем на п классов, полагая последовательно d\ = n, d<i = п, ...
..., dn = п. При d\ =п число О-перестановок равно Ьп-\\ ^-перестановок
при d\ = п не существует. Если d<i = n, то О-перестановок такого типа не
существует, а соответствующее число £-перестановок равно (п — l)bn-2,
так как в качестве d\ может быть выбрано любое из чисел 1, 2, ..., п — 1,
а число соответствующих перестановок d$, d\, ..., dn равно bn-2-
Вообще, если dj+\ = п, то число элементов, предшествующих я, выбирается
( ■ J способами, а количества вариантов для перестановок d\, ..., dj

§ 1. ФОРМАЛЬНЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 99
и dj+2, --,dn соответственно равны Ь} и bn_j_\. Следовательно, общее
число перестановок с dj+\ = п равно (п 7 )bjbn-j-\. Таким образом,
/2-1
2bn = Y.(n~jX)bib"-i-^ <L62)
j=0
Полагая сп = Ьп/п\, отсюда получаем
/2-1
2псп = ^2 CjCn-j-x. (1.63)
j=0
Рассмотрим формальный степенной ряд
оо
0L = Y^cnxn. (1.64)
/2=0
Из (1.63) следует, что а удовлетворяет дифференциальному уравнению
2D(a) = a2 + l. (1.65)
Из приведенных выше соотношений (1.58)—(1.61) для формальных
тригонометрических функций следует, что это дифференциальное уравнение
имеет решение а = tgx + secx. Заметим, что tgx и secx имеют ненулевые
коэффициенты соответственно при нечетных и четных степенях х. Поэтому
оо
tgX = Y,C2k-\X2k~\ (1-66)
k=\
оо
szcx = ^c2kx2k. (1.67)
6=0
В пунктах 10 и 11 будут получены явные формулы для чисел сп.
10. Числа Бернулли. Рассмотрим последовательность а = (1, 1/2,
1/3, ..., \/(п+1), ...) и соответствующий ей экспоненциальный
формальный степенной ряд
. f 1 /
^ п + 1 п\
/2=0
Для этого ряда существует обратный ему, поэтому
00 п
a~1=£**F- о-68)
/2=0

100
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Коэффициенты Вп, п = 0, 1, ..., будем называть числами Бернулли. Из
равенства а-1 • а = 1 следует соотношение
£(Э*ттв"-*=^ (L69)
6=0
где §п>о — символ Кронекера. Это соотношение будем называть
соотношением ортогональности для чисел Бернулли. При п ^ 2 из него
следует рекуррентное соотношение для чисел Бернулли:
п
Bn = J2(nk)Bn-k, л = 2,3, ... (1.70)
k=0
Рассмотрим формальный степенной ряд е(х), полученный из Е(х) — 1
путем уменьшения показателей степени при х на единицу. В смысле этого
определения будем понимать и запись е(х) = (Е(х) - \)/х. Ясно, что е~х (х)
существует и согласно равенству (1.68)
00 п
л=0
В силу очевидного равенства
е~х(-х) = х + е~х(х)
из равенства (1.71) получаем
оо п оо п
Y,(-lYBn?-=x + Y,Bn?-. (1.72)
rt=0 /2=0
Из равенства (1.72) вытекает, что
Bi=-l/2, B2k+\=0, й=1,2, ...
Таким образом, равенство (1.71) может быть записано в следующем
виде:
оо 2k
*-'(*)=i-f+EHb- (1J3)
k=\
Используя формулы (1.53), (1.54) и (1.56) и свойства Е(х), можно
получить следующее соотношение для формальных степенных рядов:
хtgx = e~](2ix) - е~х (4ix) - ix. (1.74)
Из равенств (1.73) и (1.74) следует, что
оо 2k—1
tg* = 5>l)*-'B2ft22*(22* - \)Х—-. (1.75)

§ 1. ФОРМАЛЬНЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 101
Возвращаясь к формальному степенному ряду (1.66), полученному при
решении задачи Андре, из равенства (1.75) получаем
b2k-\ = tl^22k~\22k - l)B2k, k = 1, 2, ... (1.76)
Числа Бернулли используются также в следующих формулах
обращения:
*. = ЕС);гтгй*ь (1J7)
п
Доказательство основано на формуле (1.69) и осуществляется прямой
подстановкой значений ап и Ьп из одного равенства в другое.
11. Числа Эйлера. Определим однопараметрические числа Эйлера Еп
как коэффициенты формального степенного ряда
tew -е**- <i79>
\k=0 У ' / «=0
Степенной ряд в левой части равенства остается неизменным при замене х
на —х. Отсюда следует, что в правой части равенства отличны от нуля
только коэффициенты при четных степенях х. Таким образом, £гл+1 = 0,
* = 0, 1, ..., и
Из (1.80) следует соотношение для чисел Эйлера:
оо
Е0*)£ак=^°' (L81)
6=0
где 8Л|о — символ Кронекера и суммирование ведется до обращения
слагаемых в нули. Соотношение (1.81) позволяет получить следующие формулы
обращения:
оо
fl«=EG!K-2*' (L82)
k=0
оо
*» = E(i)£2*a»-2*- (L83>
ft=0

102 ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Из равенств (1.54), (1.55) и (1.80) находим
оо 2/
sec^=^(_1)/£2/|_. (1.84)
Теперь, возвращаясь к задаче Андре, из равенств (1.67) и (1.84) получаем
b2k = (-l)kE2k, £ = 0,1,...
§ 2. Производящие функции
1. Определения. Пусть С — множество комплексных чисел, Со С С
и С^ С С х С х ... х С, где декартово произведение содержит k
сомножителей. Рассмотрим последовательность функций
<ро(0.ф1(0. ...,<Рл(/),..., (2.1)
заданных на множестве С0 и принимающих значения из С. Будем называть
эту последовательность базисной.
Рассмотрим последовательность функций от k переменных:
а0(*1, ...,**), а\(хи ..., **), ..., a„(^i, ..., **). ..., (2.2)
каждая из которых задана на &k) и принимает комплексные значения.
Функцию f(t\ х\, ..., Xk), имеющую единственное разложение в ряд
вида
оо
/(/; х\, ..., xk) = ^2 ап(х\, ..., xk)yn(t), (2.3)
/2=0
сходящийся для всех (х\, ..., Xk) G Ci, Ci С С(*\ будем называть
производящей функцией последовательности (2.2) относительно базисной
последовательности (2.1).
Если вместо последовательности (2.2) рассматривать
последовательность
а0, а{, ..., а„, ..., (2.4)
элементы которой суть комплексные числа, то производящая функция
последовательности (2.4) с базисной последовательностью (2.1) имеет вид
оо
/(/)=£>я<р„(/). (2.5)
л=0

§2. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
103
2. Степенные ряды. Наиболее часто в качестве базисной
рассматривается последовательность
1,/, t\ ...,Л ... (2.6)
Соответствующая ей производящая функция последовательности (2.4)
оо
/(0 = 5>я/" (2.7)
/2=0
называется производящей функцией. В комбинаторном анализе
используется также экспоненциальная производящая функция
/2=0
отвечающая базисной последовательности
Если элементы последовательности (2.1) и переменная t принимают
действительные значения, то производящие функции (2.7) и (2.8)
являются степенными рядами функций f(t) и F(t) соответственно. Известно,
что областью сходимости степенного ряда является интервал (-/?, R).
Число R > 0 называется радиусом сходимости. Для любого t e (-/?, R)
степенной ряд сходится абсолютно, а на отрезке [—г, г], г < /?, он
сходится также и равномерно. Следовательно, его сумма для всех значений
t е (—/?, /?) представляет собой непрерывную функцию от t. На
отрезке [0, t], где |/| < /?, его можно почленно интегрировать, причем радиус
сходимости проинтегрированного ряда совпадает с радиусом сходимости
исходного ряда. Внутри области сходимости степенной ряд можно
многократно почленно дифференцировать.
Если функция f(t) разлагается в степенной ряд вида (2.7), то этот ряд
является рядом Тейлора для функции f(t) в точке t0 = 0 и, следовательно,
an = ^f{n)(0), /i = 0,l,..., (2.10)
где /(/2)(0) — производная п-го порядка функции f(t) в точке to =0.
Для радиуса сходимости степенного ряда известно следующее
выражение через верхний предел соответствующей последовательности:
R=\/ Ш Ц/Щ. (2.11)
/ /2—>00
Из разложения
оо
(!+/)«=^«(«-1>--J«-"+1V, (2.12)
/2=0

104
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
где of — действительное число, следует, что при |/| < 1 функция (1 + t)*
является производящей функцией последовательности
'■ «)■ (5) О
где (£)=«(«- 1)...(а-л+1)/л!.
Функция $*, где J3 — действительное число, является
экспоненциальной производящей функцией последовательности 1, (3, р2, ..., (Зл, ... в
силу разложения
/2=0
справедливого для всех действительных значений t.
Из равенства (2.12) следует, что при |/| < 1
(l-t)-l=J2tn. (2.14)
/2=0
Почленным интегрированием этого ряда получаем выражение для
производящей функции
-\n(l-t) = J2-, (2-15)
/2=1
соответствующей последовательности 1, 1/2, 1/3, ..., 1/я, ...
Два степенных ряда, для которых наименьший из радиусов сходимости
равен /?, можно почленно складывать, вычитать и перемножать. В
результате получаются степенные ряды, сходящиеся при |/| < R. Если
суммируется бесконечное число степенных рядов и для соответствующего повторного
ряда
g(t)
оо ( оо Ч
£ £<w
m=0 I /2=0 J
при выбранном значении t сходится ряд, полученный из повторного
заменой всех его членов их абсолютными величинами, то
оо / оо
/2=0 \т=0 /
Если заданы две производящие функции: f(t) вида (2.7) с радиусом
сходимости ряда R и производящая функция
оо
4>(?) = EV (2-17)
л=0

§2. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 105
с радиусом сходимости ряда г, причем |ао| < г, то существует
производящая функция
оо
/2=0
полученная подстановкой ряда (2.7) в ряд (2.17). Ряд (2.18) имеет
положительный радиус сходимости.
3. Разбиения чисел. Используя возможность подстановки ряда в ряд,
докажем справедливость разложения
/k+\\
ос оо \ 2 )
F(x. 0= ПО +*т0 = 1+Е ^...о^/ (2.19)
га=1 k=\
при |/| < 1 и \х\ < 1/2. Бесконечное произведение в (2.19) при |/| < 1,
\х\ < 1 сходится и имеет положительное значение. Поэтому,
логарифмируя, получим
оо оо оо jm
\nF(x, f) = Y/Hl+xfat) = Y,Tf(-i)l-Xj-^-
т=\ га=1 /=1
Из формулы (2.16) следует, что
оо
/=i
при \х\ < 1/2, |/| < 1. Так как ряд, стоящий в правой части равенства (2.20),
сходится при \х\ < 1/2, |/| < 1, то существует разложение
оо
F(x, t)=e{nF^t)=^ak{x)tk. (2.21)
k=0
Из очевидного соотношения F(x, t) = (1 +xt)F(x, xt) следует, что
оо оо
^ak{x)tk = {\ +xt)^ak{x)xktk.
Приравнивая коэффициенты при tk в обеих частях последнего равенства,
приходим к соотношениям
xk
ak(x) = j^kak-\(x), k= 1,2, ...,
причем ао(х) = 1. Отсюда имеем
Л2)
fl^> = (l-.)(l-^)...(l-^)' * = 1'2—' <2'22>
что согласуется с равенством (2.19).
ln^O = Ei77rrwr// (220>

106
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Установим теперь комбинаторный смысл равенства (2.19). Рассмотрим
числа
vn,k= J2 1- <2-23)
16,+2б2+. ■■+«&„ =П
5,+&2+...+&„=£
где 8/ = 0, 1; / = 1, ..., п. Всякое представление натурального числа п
в виде
где &i, &2, ..., &„ — целые неотрицательные числа, Ъ\ + .. . + bn = k,
называется разбиением п на k слагаемых (Ь\ —число единиц, используемых
в качестве слагаемых, §2— число двоек и т.д.). Из формулы (2.23)
следует, что Vn%k равно числу разбиений п на k различных слагаемых.
Непосредственным перемножением сомножителей бесконечного произведения
в (2.19) нетрудно убедиться, что
оо оо оо
П(1+*т0 = 1+£ J2 Vnfitk*n- (2-24)
Отсюда следует, что для k ^ 1
оо \ 2 )
£ ^ = (l-x)(llx»). ..(!-,*)• ^
Обозначим через R[) число разбиений п на слагаемые, не
превосходящие k. Ясно, что
1 п | +2/22+• • • Л-krik =п
Из этого равенства следует, что для k ^ 1
1
оо
= YJR(n)*n- (2.26)
(1-JC)(1-*2)...(1-JC*)
/2=0
Теперь из равенств (2.25) и (2.26) вытекает равенство
^)=Vtv (227)
которое выражает содержание известной теоремы.
Теорема. Количество разбиений числа п + ( "£ J на k
различных слагаемых равно количеству разбиений п на слагаемые, не
превосходящие k.

§2. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 107
4. Аппелевы множества многочленов. Последовательности ао, а\,
..., ап, ... поставим в соответствие совокупность многочленов
п
Ап(х) = J2 (2) ***""*' " = 0, 1, ... (2.28)
Если А'п(х) — производная многочлена Ап(х) по х, то из (2.28) следует, что
А'п(х) = пАп-\(х), п = 1, 2, ... (2.29)
Рассмотрим производящую функцию
/2=0
и будем предполагать, что ряд в правой части имеет радиус сходимости
R > 0. Для производящей функции
/2=0
F(x,t)=Y,Mx)jt (2.31)
из (2.28) имеем
F(x, t) = extF(t). (2.32)
Из (2.29) вытекает, что F(x, f) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
^F(x, t) = tF(x, 0,
интегрирование которого также позволяет получить выражение (2.32) для
F(x, t). Множество многочленов, для которых производящая функция
имеет вид (2.32), называется аппелевым.
Последовательность чисел Бернулли Во, В\, ..., Вп, ... можно
задать производящей функцией
/2=0
где t — действительная переменная. Многочлены Бернулли
Bn(x) = J2(£)Bkxn-k (2.34)
образуют аппелево множество, так как
fJx °° m
?b=Efl-w^ (2-35)
/2=0

108 ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Из (2.33) и (2.35) следует, что для п > 1
Вп(0) = Вп(1)=Вп.
Отсюда, используя (2.34), получаем рекуррентное соотношение для чисел
Бернулли:
п
Bn = J2C£)Bn_k, л = 2,3, ..., (2.36)
совпадающее с соотношением (1.70).
Числа Бернулли можно выразить через числа Моргана. Заметим, что
_^=щ^щ=£ы>^_,)4 (237)
для всех |/| < In 2. Далее, имеем
к оо п
(«,-1)'=В-')'-'(*)Е/"й-
/=0 /2=0
Отсюда следует, что
00 т
(е1-\)к=^^^-г (2.38)
n=k
Подставляя это выражение в ряд (2.37) и меняя порядок суммирования,
что возможно при достаточно малом /, получаем
Е*й-ЕяВ-'>*ггр
/2=0 /2=0 £=0
Отсюда следует формула
*«=£(" 0*#А- ^ = 0,1,... (2.39)
k=0
Поскольку для чисел Стирлинга второго рода имеет место выражение
то из равенства (2.38) следует формула
1(е*-1)* = £а(л,/0^. (2.40)
/2=£

§2. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 109
Выражение соответствующей производящей функции для чисел
Стерлинга первого рода имеет вид
i[in(i + o]"=E5^fe)^ <2-41)
n=k
где |/| < 1. Действительно, умножая обе части равенства (2.41) на xk и
суммируя по k от 0 до оо, получаем
оо п п
(1+/)*=х;е^л'*)^- <2-42)
Отсюда следует, что числа s(n, k) удовлетворяют соотношению
п
(х)„ = 5>(Аг,/г)**, (2.43)
определяющему числа Стирлинга первого рода.
5. Инволюции. Подстановка степени п называется инволюцией, если
она принадлежит цикловому классу {1а|2*2... п*п}, где аз = ... = ап = О,
т. е. может содержать только циклы длины 1 и 2. Обозначим через 1п число
инволюций степени п, через Jn — число инволюций без единичных циклов,
причем полагаем Jn = О, если п — нечетное число. Очевидно, что
п
/« = Еб)/ь Л> = /<> = 1. (2.44)
Имеет место рекуррентное соотношение
Jn = (n- 1)/я_2, л = 2,3, ... (2.45)
Рассмотрим производящую функцию
/2=0
Умножая обе части равенства (2.45) на ^~1/(п — 1)! и суммируя по п от 2
до оо, получаем дифференциальное уравнение F'(f) = tF(f). Интегрируя его
при начальном условии F(0) = 1, получаем
F(t) = ef/2. (2.46)
Рассмотрим многочлен Аппеля
An(x) = J2{nk)hxn-k.
k=0

110 ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
В силу (2.44) имеем 1п=Ап(1). Кроме того, из (2.31), (2.32) и (2.46)
следует, что
F(x,t)=J2An(x)t- = ext+t2/2, (2.47)
/2=0
откуда
/2=0
Из формулы (2.46) получаем
п — четное,
Jn = l 2п/Цп/2)Г " ™' (2.49)
[О, п — нечетное.
Подставляя (2.49) в (2.44), приходим к формуле для числа инволюций
степени п\
[/2/2]
/« = Eff- <2-50>
6. Регулярные функции. Функция f(z) комплексного переменного z
называется регулярной в области Д являющейся связным открытым
множеством, если она определена в этой области и в окрестности каждой точки
этой области разлагается в сходящийся степенной ряд. Он представляет
собой ряд Тейлора функции f(z) и для zoe D имеет вид
f{z) = J2cn(z - zof = £/(n)(z0)^^-, (2.51)
/2=0 /2=0
где /(/2)(zo) — п-я производная f(z) в точке Zq. Ряд (2.51) сходится к f(z)
в любом круге \z — zq\ < /?, лежащем в области D; радиус сходимости R
определяется из формулы Адамара: R= 1/lim л/W- Например, ряды
' /2—>00
Тейлора
оо
(1+гГ=Е(„У (2-52)
/2=0
1п(1+г)=^(-1Г1^- (2.53)
/2=1
сходятся в круге \z\ < 1, а ряд
/2=0
сходится во всей комплексной плоскости.
^=Е^ (2-54)

§2. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
111
Если функция f(z) регулярна в круговом кольце г < \z — zq\ < R, r ^ 0,
то для нее справедливо разложение в ряд Лорана
оо
f(z)= £ cn(z-z0)n, (2.55)
п=—оо
сходящийся в этом кольце. Члены этого ряда с положительными
показателями степени образуют ряд, сходящийся в круге \z - zo\ < R, а члены
с отрицательными показателями — ряд, сходящийся при \z- zo| > т. Для
коэффициентов ряда (2.55) справедлива формула Коши:
C» = hjv^< » = 0. ±1. ±2 (2.56)
С
где С — простой замкнутый контур, целиком лежащий внутри кольца и
охватывающий точку z$. Обход контура осуществляется против часовой
стрелки. Коэффициент
c-x = ^tj>f{z)dz (2.57)
с
разложения f(z) в ряд Лорана в кольце r<\z-zo\<R называется
вычетом этой функции и обозначается С-\ = выч /(г), если го — изолированная
особая точка однозначного характера. z~z°
Пусть функция f(z) регулярна в области, ограниченной простой
замкнутой кривой С, за исключением конечного числа изолированных
особых точек zi, Z2, ..., zr, и с_р с[_\, ..., с_{ — вычеты f(z) относительно
этих особых точек. Тогда справедливо равенство
/
с
f(z)dz = 2raJ2c-\- (2-58)
k=\
Например, функция f(z) = -. — z- = -z г имеет следующее
разложение в ряд Лорана: для 0 < \z\ < 1
л=0
для 1 < \z\ < 2
/<*) = -Е^-Е^;
п=-\ п=0
для 2 < \z\ < оо
/<*> - Е (air - !>"•
л=-1

112 ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Многочлены Лежандра определяются равенством
Используя интегральную формулу Коши, можно записать
d / ч ! I О -z2)n а
\z-x\=R
Умножим обе части последнего равенства на tn и просуммируем от 0 до оо.
При достаточно малом / и фиксированном R можно поменять порядок
суммирования и интегрирования. В результате получаем
F(x,0=f>„(*)/" = ^ /
л «/
2dz
.... ^ 2(z-x)-(\-z*)f
п=0 \z-x\=R
Ясно, что подынтегральная функция имеет два полюса в точках
г1 = 1(лД2 + 2^+1- i)? Z2 = _x_^p + 2tx+\ + \).
При достаточно малом / имеем zj = jc + //2 - ..., z% = - (2/t + x + //2) +...,
т. е. первый полюс лежит внутри контура интегрирования, а второй — вне
контура при соответствующем выборе R. Таким образом,
2
F(x, t) = выч — 277.
z=z\ 2(Z-X) - (1 - Zz)t
Известно, что если а — простой полюс функции f(z) = (р(г)/ф(г), (р(а) ^ О,
ф(а)=0,ф'(я)^0,то
выч/(г) = *.
z=a v ' ф'(а)
Применяя эту формулу, получаем F(x, t) = 1/(1 + z\t). Подставляя
значение z\, приходим к выражению для производящей функции:
F(x,t) = (t2+2xt+\)-{/2. (2.59)
7. Ряд Бюрмана—Лагранжа. Рассмотрим заданную при помощи
ряда функцию
оо
<p(z)=J>*z*. (2.60)
k=\
Если с 1 т^ 0, то существует достаточно малая окрестность точки z = 0,
в которой (р(г) принимает каждое свое значение один раз. На множестве
этих значений существует функция z(w) такая, что ap(z(w)) = w\ ее
называют обратной к функции tp(z). Если обратная функция z(w) удовлетворяет
условию z(0) =0 и функция f(z) регулярна в окрестности точки z = 0, то

§2. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
113
для функции f(z(w)) в некоторой окрестности точки w = О существует
разложение в степенной ряд
оо
/(*(«;)) =/(0)+Х>л«Л (2.61)
коэффициенты которого определяются формулами
Ряд (2.61) называется рядом Бюрмана—Лагранжа.
В качестве примера рассмотрим задачу отыскания ряда Бюрмана—
Лагранжа, когда
<p(z) = ze~az, (2.63)
f(z)=ebz, (2.64)
где a, b — постоянные, а ф 0. Так как
^Ш"=Ье(ап+Ь)г>
то, как легко видеть,
Применяя формулы (2.61) и (2.62), получаем
ebz(w) =bJ^ {an + b)n-x w„ (2 65)
л=0
Радиус сходимости этого ряда равен
■*оо
R= lim ?/"" + ^Ч _ 1
|ф'
8. Графы и деревья. Графом Г = Т(Х, W) называется пара множеств:
X—множество, элементы которого называются вершинами,
W—множество неупорядоченных пар вершин, называемых ребрами. Если х, у е X,
w = (х, у) е W, то говорят, что ребро w соединяет вершины х и у, или w
инцидентно х и у. Чередующаяся последовательность вершин и ребер
X\,w\, *2, W2, ..., xi-\, ш/_ь xi\ wi ф Wj, i ф j, где xt e X, wt e W и иц
инцидентно xt и Jt;+i, 1 ^ / ^ / — 1, называется цепью, соединяющей
вершины х\ и xi. Замкнутая цепь, в которой х\ = Х{, называется циклом.
Граф Г называется связным, если любая пара его вершин соединена
цепью. Связный граф, не содержащий циклов, называется деревом, или,
точнее, деревом с помеченными вершинами. Дерево, в котором одна из

114
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
помеченных вершин, называемая корнем, выделена, называют корневым.
Пусть X — множество вершин, \Х\ = п и гп — число корневых деревьев
с этими вершинами. Если rn(k) — число таких корневых деревьев с k
ребрами в корне, то
rn(k) = £l £ /l!/2L../.!^Г''2 *' * "'*' (2-66)
где суммирование проводится по всем векторам (/i, /2, ..., Д), // > 0, / =
= 1, ..., /г, таким, что j\ + ... + jk = n - 1. Действительно, n\/(j\!.. .Д!) —
число способов выбора корня и распределений п - 1 остальных вершин
по k деревьям с числами вершин /i,/2, . ..,/'*, составляющих исходное
дерево. Общее число таких деревьев равно r-hr-h.. .rh. Перемножая эти
величины, деля на k\ и суммируя по всем /i, ..., Д, получаем требуемую
формулу Деление на k\ исключает многократный учет комбинаций из k
деревьев, отличаюшлхся их перестановкой.
Рассмотрим производящие функции
п=\
00 п
r(x;k)= £ rn(k)^. (2.68)
n=k+\
Каждому корневому дереву с фиксированным корнем можно поставить
в соответствие некоторое преобразование (р: X —> X, \Х\ = п. Для этого все
вершины разобьем на слои Хо, Х\, ..., Xh. В слое Хо находится корневая
вершина, в слое Х\ находятся вершины, имеющие общее ребро с
корнем. К /-му слою относятся вершины, имеющие общие ребра с
вершинами (/— 1)-го слоя. Вершины последнего, А-го слоя являются
концевыми. Теперь отображение (р определяется следующим образом: для х Е Xt
ф(к) = х\ где х' е Xt_\, a x и х' имеют общее ребро. Отсюда следует, что
rn(k) ^rn^nn. Теперь из неравенства
г«-\
^ \хе\п
следует, что ряды (2.67) и (2.68) сходятся при х < \/е. Непосредственной
проверкой можно убедиться, что
00 п ,
*>-*«= Е^т Е ьггйъ-п, (2.69)
n=k+\ j\+...+jk=n-\
Из равенств (2.66), (2.68) и (2.69) следует, что
r{x-k) = j/{x), * = 1,2, ... (2.70)

§3. МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 115
Из равенств (2.68) и (2.70) с учетом равенств
п-\
rn=J2r«^ " = 2,3,...,
n=ri(0)=l, r(x;0) = x
находим
°° 1
r(x) = xJ2-^rk(x).
Иными словами, г(х) удовлетворяет функциональному уравнению
г(х)=хег{х).
Положим w = х, z = г(х), ф(г) = ze~z, f(z) = z. Тогда из формулы (2.62)
следует, что
1 dn~{ I nn~{
°n~n\dzn-\(e JL=o" п\ '
Следовательно, из формулы (2.61) с учетом равенства г(0) =0 находим
п=\
Таким образом, число корневых деревьев с п помеченными вершинами
дается формулой
rn = nn-\ at =1,2, ...
Дерево с помеченными вершинами, ни одна из которых не выделена,
называется свободным. Число свободных деревьев с п помеченными
вершинами равно
гп=пп-\
так как каждому свободному дереву с п вершинами отвечает ровно п
корневых деревьев, определяемых выбором корневой вершины.
§ 3. Метод дифференциальных уравнений
При решении комбинаторных задач перечислительного характера
часто используется следующая схема. Для отыскания числа Ап^ некоторых
конфигураций из п объектов с k свойствами из непосредственных
комбинаторных соображений составляется рекуррентное соотношение Ап^ =
= ф(А),о, ^1,0 • • •, Ап-\л)- Для двойной производящей функции F(x, у) =
— J2An,kXkyn c использованием рекуррентного соотношения выводится
дифференциальное уравнение—обыкновенное или в частных производных.

116
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Решение этого дифференциального уравнения при некоторых начальных
условиях позволяет определить функцию F(x, у). Разложение F(x, у) в
степенной ряд позволяет найти искомые величины Ап^.
Проиллюстрируем применение этой схемы в конкретном случае при
определении числа перестановок степени п с данным числом возрастаний.
1. Возрастания. Пусть а\, а,2, ..., ап — перестановка степени п
элементов 1, 2, ..., п, и пусть для / = 1, 2, ..., п — 1
fl, al4_i>a/,
а/ = \ Л (3.1)
t 0, а/+1 < а/.
Пара элементов а/ и щ+х образует возрастание, если щ = 1. Число
возрастаний й этой перестановки определяется равенством
А=Х>- (3.2)
/=i
Обозначим через Ап^ число перестановок степени nek
возрастаниями. В перестановках п, п - 1, ..., 1 и 1, 2, ..., п число возрастаний равно
соответственно 0 и я - 1. Так как только эти перестановки обладают
данными свойствами, то
Ап,0=Ап,п^ = \. (3.3)
Для величин Ап^ имеет место рекуррентное соотношение
Апл = (k + l)An-x,k + (n- /j)/1„_u_i . (3.4)
Действительно, любая перестановка степени nek возрастаниями
получается из некоторой фиксированной перестановки степени п — 1 из элементов
1, 2, ..., п — 1 путем расположения элемента п на одно из п мест в
начале, между элементами перестановки степени п - 1, или в конце. При этом
имеются следующие четыре случая.
1) Элемент п располагается в начале; перестановка степени п - 1
имеет k возрастаний.
2) Элемент п располагается между элементами щ и щ+\ такими, что
щ > a.i+\\ перестановка степени п - 1 имеет k - 1 возрастаний.
3) Элемент п располагается между элементами щ и щ+\ такими, что
щ < a.i+\\ перестановка степени п - 1 имеет k возрастаний.
4) Элемент п располагается в конце; перестановка степени п — 1 имеет
k — 1 возрастаний.
Определение числа перестановок, отвечающих каждому из этих
четырех случаев, приводит к равенству
Antk = An-\fi + (n-k- 1)ЛЛ_1^_1 +kAn-\fi +An-\fi-\,
которое совпадает с соотношением (3.4).

§3. МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 117
Рассмотрим производящую функцию
п-\
С использованием рекуррентного соотношения (3.4) можно вывести
следующее дифференциально-разностное уравнение:
nfn{x) = (1 - x)-^[xfn-\(x)] + tixfn-\(x). (3.6)
Действительно, умножая обе части равенства (3.4) на xk/n\ и суммируя
по k от 1 до п — 1, после несложных преобразований получаем
nfn(x) = fn-\(x) +X—fn-\(x) -X2fafn-\(x) + (П - \)xfn_\{x).
Производя необходимое свертывание выражений, получаем уравнение (3.6).
Рассмотрим теперь двойную производящую функцию
оо оо п—\ £ п
F(x, z) =5>(*)z" = ££^^. (3.7)
п=\ п=\ k=0
Из начальных условий (3.3) вытекает, что
F(jc,0) = 0, F(0,z) = e*- 1. (3.8)
Кроме того, заметим, что ряд по степеням jc, стоящий в правой части
равенства (3.7), сходится вместе с рядом из производных по х равномерно
по крайней мере для \х\ ^ г < 1, \z\ ^ г < 1. Поэтому, умножая обе части
равенства (3.6) на zn~{ и суммируя по п от 2 до оо, получаем
оо / оо \ со
J2nfn(x)z"-1 =(1 -*)£*£/„_, (х)*""' +xzY,nfn-i(x)z»-2.
п=2 \ п=2 / п=2
Отсюда следует равенство
^(F(x, z)-z) = (\- x)£x(xF(x, z))+x£(zF(x, z)). (3.9)
Проводя несложные преобразования и полагая
F=F(x,z), F'z=§-zF(x,z), F'x = -^F(x,z), (3.10)
получаем следующее уравнение в частных производных:
(xz - \)FZ + х{\ - x)Fx + F+ 1 = 0. (3.11)
Произведем в этом уравнении замену переменных с помощью равенств
и = Inx + z(x- 1), v = \nx- z(x - 1); (3.12)

118 ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
полагая F'u = -~-F(x, z), F'v = -~-F(x, z) и применяя правила
дифференцирования сложных функций, имеем
F'x=(z + ±)F'u-(z-±)F'v, F'z = (x-l)F'u-(x-l)F'v. (3.13)
Подставляя это выражение в равенство (3.11), получаем
2(1-*)/*+F+1 =0. (3.14)
8F
Введем в рассмотрение частный дифференциал duF = — du и из (3.12)
выразим х через и и v: х = в("+и)//2. Теперь из равенства (3.14) получаем
уравнение с разделяющимися переменными
duF du ,~ . г.
F+\~ 2(1-е("+^)/2)' { '
Рассмотрим неопределенный интеграл
/ = /2(1-^)/2)- (ЗЛ6)
После замены w = e(w+u)//2 интеграл приводится к виду
l=[-fo[dwrfo (3.17)
J w(\ — w) J w J \—w
Интегрируя дифференциальное уравнение (3.15), с учетом формул
(3.16) и (3.17) получаем
F+ 1 = (1 - бГ("+г;)/2)С(и), (3.18)
где C(v) — некоторая функция, зависящая только от v. Определим эту
функцию, используя начальные условия (3.8). В равенстве (3.18) вернемся
снова к переменным х и г. Имеем
F(x, г) + 1 = (l - l)C(v(x, z)). (3.19)
Полагая z = 0, с учетом первого из равенств (3.8) получаем
l = (l-i)c(o(x,0)). (3.20)
Из (3.12) следует, что v(x, 0) = \пх. Поэтому С(\пх) = х/(х - 1). Таким
образом, C(v) = ev/(ev - 1). Используя это выражение и равенства (3.12),
из формулы (3.18) получаем
П -x)ez{{~x)
F{X'Z)= \-7е*-*) -1' (321)

§3. МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 119
Для |я| ^ г < 1, \z\ ^ г < 1 имеем |jcez(1_;:)| ^ \х\е2г. Поэтому, применяя
формулу разложения бинома Ньютона для а = — 1 для всех \х\ < е~х^2г\
из равенства (3.21) получаем
оо
1 + F(x, z) = (\- x) J2 JcV(1-^'+1).
/=0
Экспоненту под знаком суммы также разложим в ряд при \z\ ^ г < 1,
|*| < е-1/(2г). В результате имеем
оо оо „
1 + F(x, z) = ][>/ £(/ + 1)"(1 - *)n+l ~v
/=0 /z=0
Отсюда следует, что
F& z)=J2b{l~ х)^ Е(/ + OV. (3.22)
п=\ ' /=0
С учетом (3.7) получаем
/«<*)= „, £(/ + OV. (3.23)
/=0
Из равенств (3.5) и (3.23), вычисляя коэффициент при xk, получаем
формулу для числа перестановок степени nek возрастаниями:
k
Л,а = £(-1У(л + 1)(А-/+1)л, А = 0, 1 я- 1. (3.24)
/=0
Убедимся, что эта формула согласуется с начальными условиями (3.3).
Очевидным образом из формулы (3.24) следует, что Ап$ = 1. Далее, из этой
формулы следует, что
Ап,_{=£(-\у(п + 1)(п-;Г.
Разлагая (п — j)n по формуле бинома Ньютона и меняя порядок
суммирования, получаем
д.л-1-Е(-1)'(*)я,,-*Е(-1У(',}1У-
k=0 /=0
Внутренняя сумма равна Дл+10* + (—\)п(п+ \)k. Так как Дл+10л = 0 для
1 ^ k ^ я, то
^,„-1=Е(-1)л-*(Э(«+i)V-*=1.
ft=0

120
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
2. Возрастания и убывания. Для перестановки а\, Я2> •••> ап
элементов 1, 2, ..., п пара элементов щ и а1+\ образует убывание, если щ >
> я/+1. Если перестановка а\, аг» • • •» Ял образует й возрастаний и /
убываний, то очевидно, что
k + l = n- 1. (3.25)
Обозначим через Л(й, /) число перестановок степени я, имеюшлх
k возрастаний и / убываний, причем k и / удовлетворяют условию (3.25).
Так как имеет место очевидное равенство
Л(й, n-k- \)=АпЛ, (3.26)
то из соотношения (3.4) вытекает, что
A(k, /) = (*+ 1)Л(*. /-!) + (/+ 1)Л(* -1,0, (3-27)
k + l = n- 1, Й, /= 1, ..., AZ- 1.
Из этого равенства следует, что
Л(й,/)=^(/, й). (3.28)
Равенство (3.28) можно получить и непосредственно. Действительно,
перестановке ai, яг, ..., ал поставим во взаимно однозначное
соответствие перестановку Ь\, &2, • • • ,Ьп такую, что bL = п - щ + 1, / = 1, 2, ..., п.
Каждому возрастанию в первой перестановке соответствует убывание во
второй перестановке, и обратно. Отсюда и следует равенство (3.28).
Выведем теперь другое рекуррентное соотношение для чисел Л(й, /).
Каждая перестановка элементов 1, 2, ..., k + /, k + / + 1 может быть
получена из перестановки элементов 1, 2, ..., k + / путем помещения
элемента k + / + 1 на одно из k + / + 1 мест. Число перестановок степени
k + /, дающих перестановку степени k + / + 1 с k возрастаниями и /
убываниями при помещении элемента k + / + 1 на первое и последнее места,
соответственно равно A(k, / — 1) и A(k — 1, /). Пусть элемент k + / + 1
располагается так, что элементы, стоящие слева, образуют г возрастаний
и 5 убываний, а элементы, стоящие справа, образуют k — г — 1 возрастаний
и / — 5 — 1 убываний; О^г^й— 1, 0 ^ s ^ / — 1. Соответствующая
перестановка степени k + / + 1 имеет k возрастаний и / убываний. Элементы
для перестановки степени г + s + 1, стоящей слева от элемента k + / + 1,
можно выбрать ( + А способами, а число способов образования
перестановок слева и справа от элемента k + / + 1 равно соответственно
Л(г, 5) и A(k — г — 1, / — 5 — 1). Заметим, наконец, что в соответствии
с равенством (3.26) можно положить Л(0, 0) = 1. Из этих соображений

§3. МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
121
следует рекуррентное соотношение
A(k, t)=A(k, l-l) + A(k-l, [) +
k-\ /-1
+EEC+?+i)y'(r's)y'(*"r"1'/"s"1)' *>/=1>2>-- <3-29)
r=0 5=0
Рассмотрим производящую функцию
ф(*. „, z) = ££*<*• o;/+2/+ ,■ (3.30)
Aj=0 /=0
Двойной ряд сходится абсолютно и равномерно для всех \х\ ^ г < 1, |r/| ^
^г< 1, |z|< 1/г. Он сходится также при |х|^г< 1, |z|^r< 1 и \у\ < 1/г, т. е.,
в частности, он сходится при у =1. Умножим обе части равенства (3.29)
на xkylzk+l/(k + /)! и просуммируем по k и / от k = 1 до оо и от / = 1 до оо.
В результате получим
Ф'ж(х, у, z) - (eyz - 1) - (exz - 1) - 1 = уФ(х, z, у) - (eyz - 1) +
+ хФ(х, г/, z) - (exz - 1) + хуФ2(х, у, z), (3.31)
где Ф'2{х, у, z) есть частная производная Ф(х, у, z) no z. Полагая Ф =
= Ф(х, у, z), Ф'г = Ф'2{х, у, z), из равенства (3.31) получаем
дифференциальное уравнение
Ф^ = хуФ2 + (х + у)Ф + 1. (3.32)
Используя частный дифференциал й2Ф = №zdz, перепишем
уравнение (3.32) в виде
dz$
(Ф+1/*)(Ф+1/у) Хуй2'
Разложив левую часть последнего равенства на простейшие дроби,
получим
х- \\ф + \/Х Ф+\/у) ~
Интегрируя это дифференциальное уравнение, находим
|±ig = C(x,^-^, (3.33)
где С(х, у) — некоторая функция, зависящая только от х и у. Из этого
равенства, используя начальное условие Ф(х, у, 0) = 0, получаем выражение
для С(х, у): С(х, у) = у/х. Подставляя это выражение в равенство (3.33)
и проводя несложные преобразования, окончательно получаем
ф<*'*г> = ;£^- (3-34)

122
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
В равенстве (3.7) поменяем порядок суммирования и сделаем замену
переменной п на / с помощью равенства п = k + / + 1. Тогда с учетом
равенства (3.26) получим
^г)^^1)"(+|)|. (3-35)
Aj=0 /=0
Теперь из равенств (3.30), (3.34) и (3.35) следует, что
что согласуется с формулой (3.21).
§ 4. Метод линейных функционалов
1. Коэффициенты Гаусса и числа Галуа. Пусть Vn есть гс-мерное
векторное пространство над конечным полем GF(q), содержащим q = рг
элементов, где р— простое число. Поле GF(q) называется полем Галуа.
Лемма 1. Число систем из k линейно независимых векторов
в пространстве Vn равно
wnM = {qn-\){cT-q)...{qn-qk-1). (4.1)
В частности, число базисов пространства Vn равно
wn={qn-\){qn-q)...{qn-qn-1). (4.2)
Пусть v 1, V2, • • • yVk — система k линейно независимых векторов в
пространстве Vn. Вектор v\ т^О выбирается qn - 1 способами. Вектор i>2 т^О
линейно не выражается через v\, т.е. может быть выбран qn — q
способами, и т.д. Наконец, вектор Vk линейно не выражается через векторы
v\, ..., Vk-\ и, следовательно, может быть выбран qn - qk~{ способами.
Перемножая эти величины, получаем (4.1). Формула (4.2) вытекает из
очевидного равенства wn = wn,n-
Лемма 2. Число подпространств размерности 1 ^ k ^ n в
пространстве Vn равно
{qn_X){qn-X_{) {qn-k+X_X)
\q (4*-1)^-1-1)... (4-1) • \->
Числа I^I называются коэффициентами Гаусса. Примем, что и\ =
= 1. Согласно формуле (4.2) число систем из k линейно независимых
векторов в фиксированном й-мерном подпространстве пространства Vn
равно (qk — 1)... (qk — qh~{). Так как число й-мерных подпространств равно
L , то число систем из k линейно независимых векторов в
пространстве Vn равно wnk = [£] (qk - 1)... (qk - qk~{).
kL~"

§4. МЕТОД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 123
Из формулы (4.1) следует равенство
iff - \){qn -q)...{cf- qk~{) = [J] у - W - <7) • • • fa* - qk~{),
из которого после сокращений вытекает формула (4.3).
Коэффициенты Гаусса удовлетворяют соотношению
Ba.-L.-j,- <">
которое следует из формулы (4.3), так как
гл] =(^-l)...(^-fe+1-l)(^-fe-l)...^-l) = r п 1
Шд (qk- \)...(q- \){qn~k- \)...{q-\) \n-k\q'
Равенство (4.4) означает, что число й-мерных подпространств в
пространстве Vn равно числу (п — й)-мерных подпространств. Непосредственно из
леммы 2 вытекает следующая лемма.
Лемма 3. Общее число подпространств пространства Vn
равно
Оя = 0,,М = £[2] (4.5)
Лг=0
Числа Gn называются числами Галуа.
Лемма 4. Коэффициенты Гаусса удовлетворяют
соотношению
п—\
х" =1+£ [3 (* - w* - $ • • •(* - ^■*'1)- (4-6>
k=o q
Пусть X — векторное пространство над полем GF(q), содержащее
х элементов. Рассмотрим линейный оператор А: Vn —> X,
осуществляющий линейное отображение пространства Vn в пространство X. Если
£>ь V2, • • •, Vn — базис пространства Vn, то оператор А единственным
образом определяется заданием векторов Av\, ..., Avn, являющихся образами
базиса v\, ..., vn и принадлежащих пространству X. Так как систему
векторов Аии • ••, Avn можно задать хп способами, то число операторов А
равно хп.
Определим число операторов А другим способом. Выберем в
пространстве Vn подпространство Wk размерности k, 1 ^ k ^ п. Вычислим
количество операторов А, для которых Wk является ядром, т. е.
совокупностью векторов, отображающихся оператором А в нулевой вектор
пространства X. Не ограничивая общности, считаем, что векторы v\, ..., Vk
составляют базис Wk и, следовательно, Av\ = О, ..., Avk = 0, где 0 есть
нулевой вектор в X.
В качестве вектора Avk+\ можно взять любой ненулевой вектор
пространства X, и, следовательно, число вариантов выбора этого вектора
равно х — 1. Для выбора вектора Avk+2 имеется х — q вариантов, причем

124
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
каждый из векторов не является нулевым и линейно не выражается
через вектор Avk+\, и т.д. Наконец, в качестве вектора Avn можно взять
любой ненулевой вектор, не принадлежащий произвольной плоскости,
построенной на векторах Avk+\, • •-, Avn-\. Число способов выбора равно
х — qn~k~{. Таким образом, число линейных операторов, у которых ядром
является фиксированное подпространство Wk, равно
y(Wk) = i(X~l){X~q)'"{X~qn~k~{l 1<*<Я"1'
\ 1, k = n.
Умножая эту величину на число способов выбора Wk, равное ш , и
суммируя по всем й, получаем правую часть равенства (4.6), доказав его тем
самым для натуральных значений х.
Для всех действительных значений х формула (4.6) следует из
известного факта совпадения двух полиномов, если они совпадают при всех
натуральных значениях х.
2. Линейный функционал. Рассмотрим бесконечномерное векторное
пространство Р, элементами которого являются все полиномы с
рациональными коэффициентами. Базисами являются следующие
последовательности полиномов:
1, х, х2, ..., х\ ..., (4.7)
1, Р\(х), Р2(х), ..., Рп(х), ... (4.8)
где
рп(х) =(х- l)(x -q)...(x- qn~x\ n = 1, 2, ..., (4.9)
q — целое положительное число. Под линейным функционалом L будем
понимать линейное отображение L: Р—>D, где D — множество
действительных чисел. Из линейности функционала следует, что он полностью
определен своими значениями на элементах базиса Р.
Возьмем базис вида (4.8) и рассмотрим линейный функционал,
заданный системой неравенство
ЦРп(х))=1, л=0, 1,..., (4.10)
где Ро(х) = 1. Вычисляя значения функционала L от обеих частей
равенства (4.6), находим
k=0
Из равенства (4.5) следует выражение для чисел Галуа:
Оп = Цхп). (4.12)
Воспользуемся этим равенством для доказательства следующей теоремы.

§4. МЕТОД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 125
Теорема 1. Для чисел Галуа имеет место рекуррентное
соотношение
Gn+{ = 2Gn + (qn - l)G„_i, n = 0, 1, ... (4.13)
Для доказательства формулы (4.13), согласно равенству (4.12),
достаточно показать, что
L{xn+{) = 2Цхп) + (qn - \)L{xn~{). (4.14)
Введем линейный оператор Dq:
DqP(x)=l-(P(qx)-P(x)), P(x)€P.
Очевидно, что Dqxn = (qn — \)хп~{. С использованием оператора Dq
формула (4.14) может быть переписана в виде
Цххп) = 2Цхп) + L{Dqxn). (4.15)
Так как последовательность (4.7) является базисом и оператор Dq —
линейный, то из равенства (4.15) следует, что для произвольного полинома
Р(х) € Р можно записать
ЦхР(х)) = 2ЦР(х)) + L(DqP(x)). (4.16)
Положим Р(х) = Рп(х), где Рп(х) определяется равенством (4.9). В
результате получим
ЦхРп(х)) = 2ЦРп(х)) + L(Dq(Pn(x)). (4.17)
Так как последовательность (4.8) является базисом, то из (4.17)
вытекает (4.16), а следовательно, и (4.15). Таким образом, для доказательства
теоремы достаточно убедиться в справедливости равенства (4.17).
Из (4.9) следует, что Рп+\(х) = (х - qn)Pn(x), n = 0, 1, ... Отсюда
следует равенство хРп(х) =Рп+\(х) +qnPn(x). Применяя оператор L к обеим
частям последнего равенства, с учетом формул (4.10) получаем
L{xPn{x)) = \+qn. (4.18)
С другой стороны, так как DqPn(x) = (qn - \)Рп-\(х), то
2ЦРп (х)) + L(DqPn(x)) = \+qn. (4.19)
Из (4.18) и (4.19) следует (4.17). Теорема доказана.
Для чисел Галуа рассмотрим производящую функцию, заданную
формальным степенным рядом
^ п tn
°м-Е(,_<и,_Я..е-.-)- (4-20)
Производящие функции этого типа иногда называют производящими
функциями Эйлера.

126 ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Теорема 2. Производящая функция Эйлера (4.20) для чисел
Галуа имеет вид
G(') = ri(rrW' (421)
Лг=0 V Ч '
где бесконечное произведение понимается как формальный
степенной ряд после соответствующих перемножений.
В равенстве (4.16) заменим Р(х) на DqP(x). В результате получим
L(xDqP(x)) = 2L(DqP(x)) + L(D2P(x)). (4.22)
Полагая Р(х) = хп, из равенства (4.22) имеем
(qn - \)Цхп) = 2{qn - \)L{xn^) + (qn - \)(qn-] - \)L{xn~2).
Отсюда, используя формулу (4.12), получаем
qnGn = Gn- 2(1 - ^)G„_, + (1 - qn){\ - qn-{)Gn-2,
n = 0, 1,...
Умножая обе части этого равенства на tn/[(\ — q)(\ —q2)...(\— qn)] и
суммируя по п от 0 до оо, получаем функциональное соотношение для G(t):
G(qt) = G(t) — 2tG(t) + t2G(t). Отсюда следует равенство
G(t) = j^G(qt). (4.23)
Применяя соотношение (4.23) многократно, приходим к формуле (4.21).
3. Свойства коэффициентов Гаусса. На пространстве полиномов Р
с базисом (4.8) определим последовательность линейных функционалов
Lo,L,,...,L*, ..., (4.24)
которые заданы равенствами
[О, яфп.
Вычисляя значение функционала L& от обеих частей равенства (4.6),
получаем формулу
Lk{xn) = [^. (4.26)
Лемма 5. Для произвольного полинома Р(х) € Р имеет место
соотношение
Lk(xP(x)) = qkLk{P{x)) + L*_, (P(x)), k = 1, 2, ... (4.27)
Достаточно убедиться в справедливости равенства (4.27) для
полиномов базиса (4.8) Рп(х), п = 0, 1, ... Вычислим значение функционала L&

§4. МЕТОД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
127
от обеих частей очевидного равенства хРп(х) = Рп+\{х) +qnPn(x). Имеем
1, k = n+U (4.28)
О, k^n,n+\.
С другой стороны,
(qn, k = n,
1, k = n + U (4.29)
О, k^n,n+\.
Из (4.28) и (4.29) следует соотношение (4.27), справедливое для любого
полинома Р(х) € Р.
Теорема 3. Для коэффициентов Гаусса справедливы
соотношения
iaf-i*=!WM.- «*>
Н.-$5тВ::1, *-'•> »■ <«■>
В равенстве (4.27) положим Р(х) = хп~{. В результате имеем Lk(xn) =
= qkLk(xn~{) + Lk-\(xn~{). Отсюда в силу равенства (4.26) получаем
соотношение (4.30).
Для многочленов Pk(x) базиса (4.8) из формулы (4.25) в силу
очевидного неравенства (qn — \)bkn = (qk — \)bkn имеем
Lk-X{DqPn{x)) = {qn- 1)L*_,(P„_,(x))=(qk- l)Lk(Pn(x)), az = 0, 1, ...
Отсюда следует, что для произвольного полинома Р(х) € Р
(qk-\)Lk(P(x))=Lk.{(DqP(x)).
Полагая Р(х) =хп, имеем (qk - \)Lk{xn) = (qn - \)Lk-\(xn-{). Отсюда,
с учетом формулы (4.26), следует соотношение (4.31).
Путем многократного применения соотношения (4.31) получаем
формулу (4.3), дающую явное выражение для коэффициентов Гаусса.
Соотношение (4.30) может быть также получено путем
рассмотрения некоторых подпространств пространства 14 над полем GF(q). Пусть
V\, ..., vn — базис пространства Vn и Vn_\ — его подпространство,
натянутое на векторы V\, ..., vn_\. Рассмотрим й-мерное подпространство Vk
пространства Vn. Имеют место два случая.
Случай 1. Подпространство 14 содержит прямую, натянутую на
вектор vn. В этом случае 14 П 14-1 есть подпространство пространства
14-1 размерности k — 1. Число таких подпространств, согласно
формуле (4.3), равно [^ ~ |] .

128
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Случай 2. Подпространство Vk не содержит прямой, натянутой на
вектор vn. В этом случае проекция Vk на Vn_\ вдоль прямой vn есть
подпространство Wk размерности k пространства Vn-\. В этом случае 14
можно получить, выбирая базисные векторы w\, ..., Wk, определяющие Wk,
а затем к каждому вектору ш£-, / = 1, ..., й, добавляя вектор, кратный vn.
Пространство Wk можно выбрать г ~ 1 способами, а кратные
векторы добавить qk способами. Таким образом, й-мерные подпространства Vn
можно построить |2~ J + */*Г Г 1 способами. Отсюда и следует
соотношение (4.30).
4. Биномиальные коэффициенты. В этом параграфе мы всюду
предполагаем, что q ^ 2. Однако полученные формулы сохраняют смысл и при
q —> 1. С учетом очевидного равенства
qk - 1 = (q - i)(^-i + qk~2 + ... + q + 1)
из формулы (4.3) получаем
g]| = ^-l)-^-*+l) = C), (4.32)
т. е. коэффициенты Гаусса при ^ —> 1 совпадают с обычными
биномиальными коэффициентами. Далее, из формулы (4.5) следует выражение при
q —> 1 для чисел Галуа:
G„(l)=2". (4.33)
Эта формула следует также и из (4.13). Соотношение (4.6) сводится к
очевидному равенству
О"-1»-
:yy*W_ IV»-*
Aj=0
Наконец, соотношения (4.30) и (4.31) при q —> 1 сводятся к известным
соотношениям для биномиальных коэффициентов:
Ю-С: !)+(";')• <«4>
O-jG:!)- *='-2 « <4-35>
5. (/-биномиальная формула. Имеет место следующая теорема.
Теорема 4. Пусть
Pk(x, У) = (х- l)(x -qy)...(x- qk~]y). (4.36)
Тогда справедлива формула
п
Рп(х, z)=J2 [3 Pk(x, y)Pn-k(y, г). (4.37)
k=0 Ч

§4. МЕТОД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
129
Формула (4.37) называется q-биномиальной. При q = 1 в
соответствии с (4.32) она сводится к биномиальной формуле, представленной
в виде
(*- Z)" = £(J) (*-</)*(</-г)""*.
Для доказательства теоремы 4 рассмотрим векторные пространства Vnj
X, У, Z над полем GF(q), такие, что Z <zY с X и X, У, Z имеют
соответственно х, у, z векторов. Будем предполагать, что если dim W есть
размерность пространства W, то выполнены условия п = dim Vn < dim Z.
Покажем, что как левая, так и правая части равенства (4.37)
определяют число взаимно однозначных линейных операторов /: Vn^>X таких,
что /(Vn) П Z = 0, или, что то же самое, f~{{Z) = О, где 0 — нулевой вектор
пространства Vn.
Действительно, пусть v\, щ, ..., vn есть базис пространства Vn.
Определим число способов отображения базиса в множество из п линейно
независимых векторов пространства X, для которых линейная оболочка
пересекается с Z только по нулевому вектору. Вектор базиса v\ может быть
х - z способами отображен в множество X\Z. Вектор базиса V2 может
быть отображен х — qz способами в те векторы пространства X, которые
не лежат в пространстве, натянутом на Z и f(v\), и т.д. Наконец, вектор
базиса vn может быть (х - qn~{z) способами отображен в векторы
пространства X, которые не лежат в подпространстве, натянутом на векторы Z
и f(v\), ..., f(vn-\). Таким образом, число взаимно однозначных
операторов /: Vn^X таких, что /_1 (z) = О, равно
Рп(х, z) = (х - z)(x - qz)... (х - qn~x z).
Определим число указанных взаимно однозначных операторов,
принимая во внимание расположение образа /(и), v € Vn, относительно
пространства У. Ясно, что f(Vn) П У является подпространством У. Если
dim(/(V„) П У) = й, то f(Vn) П У является образом некоторого й-мерного
подпространства пространства Vn. Выберем й-мерное подпространство U
пространства Vn и отобразим U в У так, чтобы образами не были
элементы из Z \ {0}. Остальные элементы, принадлежащие Vn \ U, отобразим
в X \ У. Не ограничивая общности, считаем, что V\, ..., vk, 1 ^ k ^ я, есть
базис подпространства £/, где иь ..., vn — базис всего пространства Vn.
Определим теперь количество всех взаимно однозначных линейных
операторов рассматриваемого вида. Число линейных операторов,
отображающих U в У \ Z, по доказанному выше равно
Pk(y, г) = (у- z)(y -qz)...(y- qk~xz).
Подпространство пространства Vn, натянутое на базисные векторы
Ufc+i, ..., vn, взаимно однозначно отображается в X \ У. По доказанному

130
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
число таких отображений равно Pn_k(x, у). Таким образом, имеется
Pk(y, z)Pn-k(x* У) взаимно однозначных линейных операторов,
отображающих фиксированное й-мерное подпространство пространства Vn в X
с условием, что образ U совпадает с f(Vn) П Y и /(Vn) П Z = 0. Так как
число способов выбора й-мерного подпространства в гс-мерном пространстве
над полем GF(q) равно уЛ , то общее число линейных операторов равно
п
Рп(х,г)=^2[1\ Рк(У, г)Рп-к(х, у).
k=o q
Отсюда, с учетом равенства (4.4), следует соотношение (4.37).
Следствие 1. При 2 = 0 и у= 1 из соотношения (4.37)
следует равенство (4.6).
Следствие 2. При z = 1 и у = 0 из соотношения (4.37)
вытекает равенство
(jc - 1)(jc _ flr)... (jc - fl^"1) = ^(_1)Л Ц] q^xn-k. (4.38)
k=o q
6. Разбиения множеств. Пусть X и U—конечные непустые
множества, содержащие соответственно пни элементов. Рассмотрим
множество IIх однозначных отображений вида /: X —> U. Каждому отображению /
поставим в соответствие разбиение тг множества X, полагая, что хих'
принадлежат одному блоку разбиения, если f(x) = f(x'). Разбиение тг,
соответствующее отображению /, называется ядром этого отображения.
Определим число отображений / с данным ядром тт. Так как f(x) ф /(*'), если
хих' принадлежат различным блокам, то число отображений с данным
ядром -л равно (н)л/(п) = и(и — 1)... (и — N(il) + 1), где N(iz) — число блоков
в разбиении тт. Каждому отображению / соответствует единственное ядро,
а общее число отображений равно \UX\ =un, поэтому
£>)*<■,)= «Л (4.39)
где суммирование проводится по всем разбиениям тг множества X.
Рассмотрим векторное пространство V над полем действительных
чисел, элементами которого являются многочлены с действительными
коэффициентами от одной переменной и. В качестве базиса пространства
возьмем последовательность многочленов (и)о = 1, (и)\, (и)2, ... Рассмотрим
линейный функционал L, заданный единственным образом системой
равенств
ЦШ=1, *=0, 1,... (4.40)
Вычисляя значения функционала L от обеих частей равенства (4.39),
получаем
£Ц(«)л,(п)) = Ц«"). (4.41)

§4. МЕТОД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 131
Левая часть равенства представляет собой сумму единиц, каждая из
которых соответствует единственному разбиению я-множества X. Поэтому из
равенства (4.41) имеем
Тп = Цип), (4.42)
где Тп — число Белла, равное количеству разбиений я-множества на блоки.
Формула (4.42) позволяет простыми способом установить некоторые
свойства чисел Белла. Так, из очевидного равенства и(и - 1)п = (и)п+\
имеем
Ци(и - 1)п) = Ц(и)п+х) = 1, п = 0, 1, ... (4.43)
Так как равенства (4.43) выполняются для базисных элементов
пространства 1/, то в силу линейности функционала L они справедливы для любого
многочлена Р(и) е V:
ЦиР(и- 1)) = ЦР(и)). (4.44)
Полагая Р(и) = (и + 1)л, из равенства (4.44) получаем
п
Цип+Х) = Ц(и + 1)л) = J2 (3*V)- (4-45)
Отсюда, с учетом равенства (4.42), следует известное соотношение для
чисел Белла:
п
ГЛ+1=Е0Г*' л = 0,1,... (4.46)
Заметим, что равенство (4.44) вместе с условием L(l) = 1
однозначно определяет функционал L, заданный равенством (4.42), так как
выполнение соотношения (4.44) для любого многочлена Р(и) означает
выполнение его для многочленов, задающих базисную последовательность
и° = 1, и, и2, ..., ип, ... Разложим функцию ее _1 в ряд Тейлора в
окрестности точки / = 0:
/2=0
Рассмотрим линейный функционал М на пространстве V такой, что
M(un) = fn, /i = 0, 1,... (4.48)
Ясно, что этот функционал единственный. Покажем, что М = L. Из
линейности М следует, что
00 п
М(е'и)=^2м(иП)*- = ee'~X- (4-49)
л=0

132 ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Дифференцируя левую и правую части по / и снова используя линейность
оператора УИ, получаем
е1ее'-{=М(иеш), (4.50)
Умножая на е1 обе части равенства (4.49), имеем
eV/-1=M(^(w+1)). (4.51)
Из равенств (4.50) и (4.51) следует, что
M{et{u+X))=M{uetu). (4.52)
Разлагая функции е'("+1) и etu в ряд Тейлора в окрестности точки / =0
и вычисляя коэффициенты в обеих частях равенства при tn/n\, получаем
М{{и+\)п) = М{ип+х), /7 = 0, 1, ... (4.53)
Так как и0 = 1, и, и2, ..., ип, ... есть базисная последовательность
пространства 1/, то равенства (4.45) и (4.53) однозначно определяют
операторы L и М соответственно. В силу одинакового вида этих равенств М = L.
Теперь из (4.42) и (4.48) следует Тп = Тп, и, значит
/2=0
Принимая во внимание равенство (k)n = 0 при k < n, рассмотрим
очевидное тождество
Для функционала L, заданного системой равенств (4.40), имеем
ДШ^Е^К я = 0,1,-.- (4.56)
Поскольку (и)о = 1, (и)\, ..., (и)п, ... есть базисная последовательность,
то из (4.56) следует аналогичное соотношение для произвольного полинома
Р(и) е V:
оо
^(")) = i£^T- (4-57)
Полагая Р(и) = ип и используя (4.42), из соотношения (4.57) получаем
формулу Добинского для чисел Белла:
оо „
T* = ^W " = 0.1,... (4.58)
k=0

§4. МЕТОД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 133
7. Разбиения натуральных чисел с ограничениями. Будем
рассматривать разбиения натуральных чисел с ограничениями на число слагаемых
и их величину. Покажем, что производящая функция для числа таких
разбиений выражается через коэффициенты Гаусса.
Пусть R(n\ а, р) — число разбиений натурального числа п на не более
чем а слагаемых, величины которых не превосходят р. Из определения
величин R(n; а, р) вытекают следующие их свойства.
Г. /?<л; о, р) = Я' " = ^: <4-59)
[ 0, п > «р.
в остальных случаях.
Имеют место следующие рекуррентные соотношения:
2°. /?(/i; О, Р) = /?(/!;«, 0) = |J'
(4.60)
( #(л-а;а, р- 1), л ^ а,
/tyz;a,p)-/tyz;a-l,p) = V > ' (4.61)
^ U, /2 <ч. а.
Действительно, левая часть равенства (4.61) при л ^ а представляет собой
количество разбиений п точно на а слагаемых, величины которых не
превосходят р. Между числом таких разбиений п и числом разбиений п - а на
не более чем а слагаемых, величины которых не превосходят р - 1,
очевидным образом устанавливается биекция. Отсюда следует, что при п ^ а
левая часть равенства (4.61) равна R(n — а; а, р — 1).
При п < а ограничение на число слагаемых выполнено тривиальным
образом, поэтому левая часть равенства (4.61) в этом случае равна нулю.
Рассмотрим производящую функцию от q для величин R(n; а, р).
/(^;a,p) = ^/?(Az;a,p)^. (4.62)
п=0
Умножим на qn обе части равенства (4.61) и просуммируем по всем
допустимым значениям п. После очевидных преобразований получаем
равенство
сф («-1)0 «0-1)
j^Rin; a, p)qn = £ R(n; a - 1, ?>)qn+q« £ R(n\ a, p - l)qn. (4.63)
Из равенств (4.62) и (4.63) следует, что
/(</; а, р) = /((/; « - 1, р) + </«/(</; «, Р - 1), (4.64)
/(</;0,р)=/(?;а,0) = 1. (4.65)

134 ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Покажем, что f(q; а, р) следующим образом выражается через
коэффициент Гаусса:
/(?;с,р)=[а + ^. (4.66)
Действительно, подставляя выражение f(q; a, J3) из формулы (4.66) в обе
части равенства (4.64), получаем известное соотношение для
коэффициентов Гаусса
причем начальные значения f(q\ a, ,3) совпадают с начальными значениями
коэффициентов Гаусса
/(</;0,p)=[j^ = l, /(</;«,0)=[Л9 = 1.
Отметим, что из равенств (4.62) и (4.66) следует равенство
R(n; a, р) = R(n; р, а),
выражающее симметрию чисел R(n; a, (3) относительно а и р.
8. Разбиения с ограничениями и инверсии в бинарных
последовательностях. Для описания совокупности разбиений натуральных чисел
п ^ ар с числом слагаемых, не превосходящих а, и величинами
слагаемых, не превосходящими р, используем прямоугольник Ферре.
Рассмотрим прямоугольник, содержащий ар квадратов одинакового размера, так
что в каждом столбце содержатся а квадратов, а в каждой строке—р
квадратов. Диаграмма Ферре, соответствующая разбиению
п = d\ + d<i + ... + dk, d\ ^ d<i ^ • • • ^ dk,
где k ^ a, di ^ p, 1 < / < k, строится следующим образом. В первой
строке заштриховываются первые d\ квадратов, во второй строке —
первые d<i квадратов и т.д., наконец, в k-и строке — первые dk
квадратов. Заштрихованная ступенчатая фигура называется диаграммой Ферре
и соответствует указанному разбиению числа п. Аналогичным способом
в заданном прямоугольнике а х р может быть построена диаграмма
Ферре разбиения любого числа п ^ ар с описанными свойствами. Между
построенными указанным способом диаграммами Ферре и разбиениями чисел
п ^ ар с не более чем а слагаемыми, величины которых не превосходят р,
существует биекция.
Например, для а = 7, р = 11 заштрихованная ступенчатая фигура на
рис. 2 определяет диаграмму Ферре, соответствующую разбиению п = 22 =
= 8 + 6 + 6+1 + 1.
Разбиению п, имеющему данную диаграмму Ферре в
прямоугольнике а х р, поставим во взаимно однозначное соответствие
последовательность, элементами которой являются только 0 и 1. Такую последователь-

§4. МЕТОД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
135
ность будем называть бинарной.
Для этого из правой верхней
вершины прямоугольника
построим траекторию, которую назовем
огибающей диаграммы Ферре,
соответствующей разбиению п.
Траектория проходит по верхней
стороне прямоугольника,
достигает диаграммы Ферре и затем
движется по ломаной линии, ограни- Рис. 2.
чивающей снизу диаграмму
Ферре, пока не достигнет нижней стороны прямоугольника. Каждой
траектории, однозначно описывающей разбиение п, поставим в соответствие
бинарную последовательность длины а + р по числу сторон квадратов,
которых она касается. На каждом шаге, если траектория касается
горизонтальной стороны квадрата, то в последовательности ставим элемент О,
если вертикальной стороны квадрата — элемент 1. Ясно, что
последовательность содержит а единиц и р нулей.
Число нулей правее единицы будем называть числом инверсий,
образуемых данной единицей в последовательности. Так как /-я единица
соответствует /-му слагаемому при их упорядочении по невозрастанию, то
величина /-го слагаемого равна числу инверсий, образованных /-й единицей.
Отсюда следует, что общее число инверсий в бинарной
последовательности, равное сумме инверсий, образованных всеми единицами, равно сумме
всех слагаемых, т. е. равно п.
Таким образом, между разбиениями п с числом слагаемых, не
превосходящим а, с условием, что каждое слагаемое не превосходит р, и
последовательностью длины а + р, состоящей из а единиц и р нулей и имеющей
п инверсий, установлена биекция. Например, разбиению с заштрихованной
ступенчатой фигурой на рис. 2 соответствует последовательность
0001001 1000001 101 1.
Из установленной биекции следует, что если J(n\ а, р) — число бинарных
последовательностей с а единицами, (3 нулями и п инверсиями, то
J(n;oL,p)=R(n;oL,p)
и, следовательно,
Х>;»,й<,»=["+е]
/2=0 Ч
Из последнего равенства следует, что
/(л;а, Р)=/(л;р,а).
УУУ
77Z
1
5^5
Ш
Ff¥f¥P
Шшж
w<
1
zzz
у/Л

136
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
§ 5. Асимптотические разложения
1. Асимптотические формулы. При решении перечислительных
задач комбинаторного анализа часто приходится сталкиваться со
сложными формулами, по которым вычисления при больших значениях
входящих в них параметров становятся затруднительными. В этих случаях
используются некоторые более простые приближенные формулы, по
которым погрешность вычисления тем меньше, чем ближе значения параметров
к некоторым предельным величинам, в частности к бесконечности. Такие
приближенные формулы и полученные с их помощью оценки вычисляемых
величин называют асимптотическими. Для более точной формулировки
понятия асимптотических формул, или асимптотик, дадим предварительно
ряд определений.
Пусть функции f(x) и ф(лг) определены на множестве X и хо —
предельная точка этого множества, U — некоторая окрестность точки хо, с —
постоянная. Тогда формулы, расположенные ниже в одной и той же строке,
эквивалентны между собой:
1)/м~ф<*), *->«,; ;™оЩ = 1;
2)/(х) = о(<р(х)), х^х0- Нт^ = 0;
3) f(x) = 0(ф(х)), х —> х0; \f(x)\ ^ с\у(х)\ для x e U\
4)/(х) = 0(ф(х)), |/(х)|<ф(х)|, хеХ.
Выражения, содержащие символы ~, о, О, называются
асимптотическими формулами или асимптотическими оценками, а иногда —
просто асимптотиками.
Примеры асимптотических оценок:
1) (x)k ~ xk при х —> оо, k = 1, 2, ...;
2) \пх = о(х) при х —> оо;
3)ех = 0(1) прих^О.
Выведем некоторые асимптотические формулы для сумм значений
функций, используя их связь с интегралами. Пусть функция f(x)
непрерывна, положительна и монотонно убывает на отрезке [а, Ь]. Разобьем [а, Ь]
на отрезки [х$, Х\], [х\, Х2], ..., [хп-\, хп], Xq =a, xn =b, и обозначим
через Ak длину отрезка [х&_ь х^], 1 ^ k ^ п. Тогда из очевидных неравенств
Xk
f(xk)Ak^ / f(x)dx^f(xk-{)Ak
Xk-\

§5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 137
следует, что
ь
п л п
£/(A:ft)Aft < / f(x)dx < £/(х*_,)Д*. (5.1)
Если Ak = (b — a)/n, Л = 1, 2, ..., n, то
b-,
В частности, если а и & — целые числа и Ak = 1, k = 1, 2, ..., я, то
-^до) < ^г £ /(**) - / /<*) ^ < Чгт- (5-2)
f(b) < £ /(х*) - [ f(x) dx < /(a). (5.3)
Для монотонно возрастающей функции f(x) формулы типа (5.2) и (5.3)
принимают соответственно вид
b-^f(a) ^ ^ £ Я**) " / /W ^ < ^№0. (5.4)
/(a) < Е /<**) " / /W rfjc < /(*)• <5'5)
Оценку суммы значений произвольной положительной функции
следует проводить путем разбиения ее на участке монотонности. В качестве
примера рассмотрим функцию f(x) = 1/х и возьмем а = 1, b = п. Тогда из
формулы (5.3) имеем
п
1 . v^ 1 I dx
п *-^f к I х
Отсюда следует асимптотическая оценка
1
£i = ln/i + 0(l), п^оо. (5.6)
Аналогично для функции f(x) =ха, a > — 1, из (5.5) имеем
асимптотическую формулу
2>=£к1+°Ш)- "—• <5j>

138 ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Используя неравенства (5.5), можно получить асимптотику вида
п
In п\ = У^ \nk = п\пп — п + 0(1п п), п —> оо,
а при помощи более детальных рассуждений — формулу
In п\ = (п + 1/2) In п - п + In у/2к + 6/(12л),
О<0<1, л^оо, (5.8)
эквивалентную известной формуле Стирлинга:
п\ = у/2кпп+х'2е-п+^х2п\ 0 < 0 < 1. (5.9)
2. Степенные асимптотические ряды. Рассмотрим функцию f(x)
действительного переменного х. Ее представление
/(*)-$>**-*, *->оо, (5.10)
означающее, что при любом N ^ О
yv
f(x)-Y,*kX-k = o(x-\
где а&, ft = О, 1, ..., —постоянные коэффициенты, называется
степенным асимптотическим рядом. Нетрудно показать, что для каждой
функции f(x) представление вида (5.10) единственно. Заметим, что
обратное неверно: различные функции могут иметь один и тот же степенной
асимптотический ряд. Если f(x) задана формулой (5.10) и <р(лг) « J^ bkx~k,
то имеют место следующие свойства степенных асимптотических рядов.
Г. Для постоянных аир
оо
«/(*) + РфМ ~ £(«а* + pbk)x~k. (5.11)
fc=0
k
2°. Для ck = Л ajbk4
/=о
оо
/(дОфф «£<**-*. (5.12)
fc=0
3°. При&от^О

§5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 139
4°. При&0=0
/(*(*)) «£>*"*. (5-14)
Коэффициенты dk и е& имеют такие же выражения через а* и bk,
k = 0, 1, ..., как и в случае сходящихся при х —> оо рядов.
Доказательства свойств вытекают непосредственно из определений.
Например, свойство 2° доказывается следующим образом:
f(x)<f(x)=(^akx-k + o(x-N)\ (^б/ГЧсИ!, (5.15)
но
N N N / k \
J2 akx-k J2 bix-1=J2 *~k E a<&*-< + °(x~N)* <5-16)
k=0 1=0 k=0 \/=0 /
и соотношение (5.12) следует из равенств (5.15) и (5.16).
Примером асимптотического разложения является формула
суммирования Эйлера—Маклорена. Пусть функция действительного переменного
f(x) непрерывна на отрезке [п, га] вместе со своими производными f^(x)
для v= 1, 2, ..., k. Тогда
£/(/) = jf(x)dx + J2 ^{^_|)(") - /(V-'V)} -
i=m m v=l
-ii/ECH^E^"-^1)^ (517)
' 0 v=0 j=m
где Bv, v = 0, 1, ..., — числа Бернулли. Гамма-функция от
действительного переменного х обычно определяется эйлеровым интегралом второго
рода:
T(x) = jyx-le-vdy, (5.18)
о
сходящимся при х > 0 и расходящимся при х ^ 0. Для гамма-функции
имеет место рекуррентное соотношение
Г(х+1) = хГ(х), Г(1)=1. (5.19)
Если х = п, где п — натуральное число, то
Г(/1+1) = л!. (5.20)

140
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Используя формулу (5.17), можно записать для гамма-функции
асимптотическое разложение, называемое рядом Стирлинга:
1пГ(л: + l) = ln\/27i+ (*+о) ln*-* +
Отсюда при х = n вытекает формула (5.8).
3. Последовательно сюръективные преобразования.
Преобразование (р: X —> X, X = {1, 2, ..., л}, называется последовательно сюръ-
ективным, если существует такое k, 1 ^ k ^ п, что это преобразование
совпадает с сюръективным отображением ф: X —> У, где У = {1, 2, ..., &}.
Отметим, что преобразование if. X^Х является последовательно
сюръективным тогда и только тогда, когда из условия, что ф принимает
значение k, следует, что ф принимает все значения, не превосходящие k.
Так как число сюръективных отображений ф: X ^> У, |А] = я, |У| = k,
равно числу Моргана Д^О", 1 ^ k ^ п, то число последовательно
сюръективных отображений равно
п
<*>n=j2Ak°n' (5-22)
Разобьем все последовательно сюръективные преобразования на
п классов в зависимости от значения числа /', 1 ^ j; < л, равного
количеству прообразов элемента 1. При фиксированном / эти прообразы
могут быть выбраны (А способами. Остальные п- j элементов X сюръ-
ективно отображаются в элементы множества {2, 3, ..., k} при
некотором k, 0 ^ k ^ п — /. Таким образом, число отображений в /-м классе
равно (:1ФЛ_7-, 1 <у; < я, где Фо = 1. Суммируя по всем классам, получаем
соотношение
Ф» = Е(/)Ф»-'. я = 1,2,... (5.23)
Рассмотрим производящую функцию
Fw=£<%?■ (524)
/2=0
Из очевидной оценки Д^О" ^ &" следует, что Фп ^ ппе/(е — 1). Отсюда
вытекает, что ряд в правой части (5.24) при / < 1/е абсолютно
сходится. Добавляя к обеим частям равенства (5.23) Фп, умножая на tn/n\ обе
части полученного равенства, суммируя по п = 1, 2, ... и меняя порядок

§5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
141
суммирования, получаем
ОО ,; ОО
2ЁФ«^=Ё)!ЁФ«-/^Г7)!-1-
п=\ /=0 n=j
Отсюда следует, что при |/| < \/е
Проводя сначала разложение правой части по формуле геометрической
прогрессии, а затем раскладывая в ряд функцию е*, получаем при |/| < 1/е
ОО ОО п
k=0 п=0
Пользуясь абсолютной сходимостью полученного двойного ряда, меняем
порядок суммирования и вычисляем коэффициент при tn/n\ в полученном
ряде. В результате получаем
*» = Е£т- (5'26)
k=\
Перейдем теперь к получению асимптотический формулы для Фп при
п —> оо. Рассмотрим многочлен от действительного переменного х:
п
fn(X)=j2Ak°nx^ (5-27)
который будем называть многочленом Моргана, и производящую
функцию
F(*,0 = £M£r (5-28)
п=0
Используя выражение для производящей функции чисел Моргана
(e<-l)* = £A*0»L (5.29)
n=k
вытекающее из формулы (2.40), находим
J_
1 -x(et- l)'
Из (5.28) и (5.30), используя интегральную формулу Коши, имеем
ш = ш f ii-x(/-i)i^' (5-31)
F(X> 0 = , „,„,, n- (5-3°)
и=«

142
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
где в качестве контура интегрирования берется окружность с центром в
начале координат и радиусом /?<-1пП + -К 1-8<х<1+8, 0<8<
<(е2_2)/(е2-1).
Подынтегральная функция в интеграле (5.31) при фиксированном х
имеет изолированные особые точки при 2 = 0, z = 1п(1 + 1/х) + 2тг&/, k =
= 0, 1, ... Используя этот факт, можем записать
* yn(z)dz= Ф yn(z)dz- Ф yn(z)dz,
(5.32)
|z|=2
\z-\n{\ + \/x)\=R
1
гдеФ^)=[1_^_1)]2Л+1
является простым полюсом. Поэтому, пользуясь теоремой о вычетах,
получаем
-. Точка z = 1п(1 + 1/х) для функции (pn(z)
f (р'
(z) dz =
2izi
\z-\n{\+\/x)\=R
Отсюда следует, что
z^fz[\-x{eZ-\)\
z=ln(l + l/x)
/ *
(z) dz = -
2ш
(1 +x)[ln(l + l/x)]"+i"
|z-ln(l + l/jt)|=tf
Для всех jc, 1 - Ь < х < 1 + 8, имеем равномерную оценку
4*
Ф фл(г)
dz
\z\=2
€
[2-&-(1+&)е2]2"+1'
(5.33)
(5.34)
Теперь из формул (5.31)—(5.34) находим
ш =
(l+x)[ln(l + -)]
К-1Л+1
1 + 0
'К1 + тз*)Г
(5.35)
где остаточный член при п —> оо стремится к нулю равномерно для всех jc,
1 - Ь < х < 1 + 8.
Полагая в (5.35) х= 1, с учетом очевидного равенства Фп = /«(1)
получаем при п —> оо асимптотическую формулу для числа последовательно
сюръективных преобразований п-множества:
Фл =
2(1п2)<
.л+1
'+"((¥)")]
(5.36)
причем оценку остаточного члена проводим заново, пользуясь
неравенством (5.34).

§ 6. ЧИСЛА КАТАЛАНА 143
§ 6. Числа Каталана
1. Комбинаторные задачи. Рассмотрим множество векторов
(ei, z<i, . •., £2w), е; = ±1, / = 1, ..., 2/г, таких, что
k 2n
J^ei^O, Л = 1, 2 2/1—1, ^ei = 0. (6.1)
Обозначим через С„ число 2/г-мерных векторов рассматриваемого типа.
Очевидно, что
С, = 1, С2=2. (6.2)
Докажем рекуррентное соотношение
п-\
cn = 22^k^n-k-u Co = i. (6-3)
л=о
Обозначим через Сп число векторов (еь ..., г2П) рассматриваемого вида,
для которых
к 2п
5^е,->0, 6 = 1,2, ...2/1-1, S^ = a (64)
i=i i=i
Рассмотрим вектор (ej, ..., £2л) типа (6.1), для которого
2s-1 2s
£е*>0, £е,-=0, l<s</i, (6.5)
i=l i=\
где 5 — наименьшее число, удовлетворяющее этому свойству. Число таких
векторов при s = n равно С„, а для 1 ^ 5 ^ п - 1 равно CsCn-s. Суммируя
по всем 5, получаем
п-\
cn = Cn + J2CsC«-s- <6-6)
5 = 1
Рассмотрим вектор (еь ..., £2л) с условием (6.4). Очевидно, что для
всех векторов этого типа z\ = 1, z<in = — 1- Отбрасывая первую и
последнюю координаты у каждого из этих векторов, находим, что для полученного
вектора (е2, ..., г2п-\)
k 2л-1
5^С|^0, /г = 2, 3, ...,2/i-2, 5^е,- = 0, (6.7)
i=2 i=2
так как все последовательные суммы координат векторов вида (6.4)
уменьшены на единицу. Отсюда следует, что векторы (6.7) относятся к типу (6.1),
т.е.
Сп = Сп-\, (6.8)

144
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
причем
С{ = С0 = 1. (6.9)
Теперь из равенств (6.6), (6.8), (6.9) следует соотношение (6.3).
Рассмотрим производящую функцию
оо
C(t)=^Cntn. (6.10)
п=0
Так как Сп < 22", то ряд (6.10) сходится при |/| < 1/4. Умножим обе части
равенства (6.3) на tn и просуммируем по п от 1 до оо. Имеем
оо оо п—\
п=\ п=\ k=0
Осуществляя замену п' =п — 1 индекса суммирования в правой части
последнего равенства, получаем соотношение
/С2(/)-С(/)+1=0. (6.11)
Отсюда, решая квадратное уравнение, находим, что при |/| < 1/4
С(/) = 1[1-(1-4/)'/2], (6.12)
что отвечает условию С(0) = 1. Из (6.12) следует, что
оо
C(t) = ^(-ir(X2i)4n+itn-
п=0
Таким образом, Сп = {-\)nQ^22n+x. Отсюда, проводя необходимые
преобразования, окончательно получаем
с" = ^тт(2п")- » = о.1.... (6.13)
Числа Сп называют числами Каталана. Эти числа встречаются при
рассмотрении ряда других комбинаторных задач.
Рассмотрим неассоциативную систему из п элементов: х\, Х2, ..., хп.
Обозначим через qn число способов расстановки п - 1 пар скобок в этой
системе для выполнения бинарной операции над каждой из пар полученных
выражений. Очевидно, что
<72 = 1, <7з = 2. (6.14)
Ясно, что внешняя пара скобок объединяет два выражения, каждое из
которых заключено в скобки и содержит k и п - k элементов соответственно.
Отсюда следует рекуррентное соотношение
п-\
Яп = ^ЯкЯп-к, п = 2,3, ... (6.15)
В соответствии с этим соотношением и равенствами (6.14) полагаем q\ = 1.

§6. ЧИСЛА КАТАЛАНА
145
Нетрудно проверить, что рекуррентному соотношению (6.15) и
начальным условиям (6.14) удовлетворяет значение (см. также формулу (1.29)
9л = Сл-1 = ^(^Г12), /1=1,2,... (6.16)
Числа Каталана встречаются также и при решении задачи Эйлера
о числе разбиений на треугольники выпуклого (п + 2)-угольника с
помеченными вершинами, диагоналями, не пересекающимися внутри этого
многоугольника. Обозначим соответствующее число через Qn. Тогда
очевидно, что
<?i = l, <?2 = 2. (6.17)
Выведем рекуррентное соотношение для чисел Qn. Занумеруем вершины
(п + 2)-угольника числами 1, 2, ..., я, п + 1, п + 2, а ребро, смежное с /-й
и (/ + 1)-й вершинами, обозначим (/, / + 1).
Пусть при некотором разбиении 5 есть номер вершины треугольника,
противолежащей стороне (п + 2, 1). Если 5 = 2 или 5 = п + 1, то
число соответствующих разбиений равно Qn-\. Для 3 ^ 5 ^ п число
разбиений равно произведению числа разбиений 5-угольника на число разбиений
(п — s + 3)-угольника, т. е. Qs-2Qn-s+\- Таким образом, полагая Qq = 1,
получаем
п-\
Qn=Y,QsQn-s-\^ (6.18)
5=0
Рекуррентное соотношение (6.18) совпадает с рекуррентным
соотношением (6.3), а начальные условия (6.17) — с начальными условиями (6.2).
Отсюда следует, что согласно формуле (6.13)
<?« = С« = ^ТТ(2Л' " = 0.1,... (6.19)
При п —> оо, применяя формулу Стирлинга (5.9), получаем
асимптотическое представление для чисел Каталана:
Cn = -^g(l+o(l)). (6.20)
2. Проверочные процедуры. Числа Каталана используются также
при определении количества так называемых групповых проверочных
процедур, применяемых для классификации элементов конечного
множества [62].
Рассмотрим множество элементов /V, \N\ = n, каждый из которых
обладает или не обладает заданным свойством 21. Для выяснения, какие
элементы множества N обладают свойствами 21, а какие не обладают, можно
применить простую процедуру перебора каждого из п элементов
отдельно. Однако в некоторых ситуациях более эффективным оказывается
применять групповые процедуры, при которых на каждой стадии проверки

146
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
рассматриваются сразу подмножества множества N. Одна из таких
групповых процедур может быть охарактеризована следующими правилами.
1. На каждом шаге проверки рассматривается подмножество X С N
и устанавливается один из возможных фактов: все элементы X обладают
свойством 21 или имеется по крайней мере один элемент х еХ, который не
обладает свойством 21.
2. На каждом шаге проверки проверяемое подмножество X выбирается
из последнего из рассмотренных на предшествующем шаге подмножеств У,
X С У, при условии, что | У| ^ 2 и У содержит по крайней мере один элемент,
не обладающий свойством 21.
3. Если последнее из рассмотренных на предшествующем шаге
множество У содержит только элементы, обладающие свойством 21 или |У| = 1,
то множество X выбирается из совокупности элементов множества /V,
которые еще не прошли классификацию.
4. Процедура заканчивается, когда будут расклассифицированы все
элементы множества N.
Проверочная процедура может быть изображена некоторым
ориентированным деревом. Вершина дерева (k, га) соответствует тому шагу
проверки, когда рассматривается подмножество X из k элементов, среди
которых по крайней мере один не обладает свойством 21, и число
элементов, не прошедших классификацию, равно га. Наряду с пометкой (k, га) не
концевой вершине приписывается еще число d, равное количеству
элементов в множестве, выбираемом для следующего шага проверки. Из каждой
вершины выходят две стрелки, идущие в две вершины. Одна вершина
отвечает выбору подмножества X с элементами, обладающими свойством 21,
а другая — с элементами, из которых по крайней мере один не обладает
свойством 21.
(0,2)
/
(0,0)
..(1,2)=(0,1)
\
(1.1)=(0.0)
Рис. 3.
(0,2)
/\
\(2,2)
(1.1) = (0.0) /
/
(0,0)
^(1.2) = (0.1)
\
(1,1) = (0,0)
(0,0) (1,1)=(0,0) (0,0)
В качестве примера для п = 2 приведем вид деревьев, отвечающих двум
процедурам классификации (рис. 3).

§6. ЧИСЛА КАТАЛАНА
147
Дадим краткие пояснения к первой процедуре. Если выбран элемент,
обладающий свойством 21, то по стрелке переходим в левую вершину. Если
второй элемент также обладает свойством 21, то далее по стрелке идем
влево, если не обладает—вправо. В обоих случаях классификация на этом
заканчивается. Вернемся теперь к исходной вершине (0, 2) и
предположим, что выбран элемент, не обладающий свойством 21. В этом случае
переходим вправо по стрелке в вершину (1, 2). Так как для последующей
классификации остался один элемент, то ясно, что (1, 2) = (0, 1). Далее
рассуждения такие же, как для левой ветви дерева.
На множестве проверочных процедур определим отношение
эквивалентности. Две процедуры будем считать эквивалентными, если на каждом
шаге проверки рассматриваются подмножества с одинаковым числом
элементов. Заметим, что рассмотрение совокупности процедур, являющихся
представителями этих классов эквивалентности, отвечает ситуации, когда
рассматриваются процедуры для множества /V, элементы которого не
помечены, а следовательно, различимость процедур не зависит от порядка
выбора этих элементов. Обозначим через F(n) число групповых процедур
рассматриваемого вида, необходимых для классификации множества /V,
\N\ = n, элементы которого не помечены. Это число совпадает с
указанным выше числом классов эквивалентности для случая, когда элементы
множества N помечены.
Пусть О^&^га^пи f(k, га) — число групповых процедур
указанного вида, необходимых для классификации га элементов, при условии, что
заданное подмножество из k элементов содержит по крайней мере один
объект, не обладающий свойством 21. Заметим, что
F(n) = f(0, n). (6.21)
При & = 0, га ^ 1 можно выбрать подмножество из / элементов, 1 ^ / ^
^ га, и продолжить процедуру проверки. Если все / элементов
обладают свойством 21, то остальные га - i элементов можно
расклассифицировать /(О, га - i) способами. Если установлено, что по крайней мере один
из / элементов не обладает свойством 21, то имеется /(/, га) способов их
классификации. Отсюда следует, что для га ^ 1
т
/(О, га) = J2 /(0, т - /)/(/, т). (6.22)
;=i
Если k = 1, то ясно, что для классификации остаются т - 1
элементов и
/(l,m)=/(0, m- 1), т>\. (6.23)
Отсюда следует, что можно положить
/(0,0) = 1. (6.24)

148
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Если 2 ^ k ^ га, то необходимо продолжать классификацию
собственного подмножества из k элементов, про которое известно, что оно
содержит по крайней мере один элемент, не обладающий свойством 21. Выберем
/ элементов из этого подмножества, 1 ^ / ^ k — 1. Если все эти /
элементов обладают свойством 21, то процедура проверки остальных га — /
элементов может быть продолжена f(k — /, га — /) способами. Если же по
крайней мере один из / элементов не обладает свойством 21, то процедуру
можно продолжить /(/, га) способами, так как нет никакой информации об
остальных га - / элементах. Таким образом,
k-\
/(£, га) = J2 № -Um- /)/(/, га). (6.25)
Теорема 1. Если 1 ^ k^n, то
/(£, п) = С,_!/(0, п - 1)/(0, п - 2).. ./(О, п - k), (6.26)
где Ck — числа Каталана, определяемые формулой (6.13).
Для k = 1 соотношение (6.26) имеет вид /(1, п) = Со/(0, п - 1) и
сводится к равенству (6.23), так как Со = 1. Предположим, что
соотношение (6.26) верно для всех 1 ^ k ^ t - 1, где 2 ^ t ^ п. Тогда из
соотношения (6.25), используя предположение индукции, имеем
/-1
/(/, п) = ^2 /('\ п) /(/ - /, п - i) =
i=\
t-\
= J2 С,_1Сш/(0, п - 1).. ./(О, /1 - /)/(0, п - i - 1).. ./(0, /1 - t).
1=1
Отсюда, учитывая (6.3), приходим к равенству (6.26).
Теорема 2. £с/ш я ^ 2, то
/(0, я) = С„/(0, п - 1)/(0, я - 2)... /(0, 1). (6.27)
При п = 2 соотношение (6.27) имеет вид /(0, 2) = С2ДО, 1) = 2, что
легко проверить непосредственно.
Допустим, что равенство (6.27) выполнено для всех 2 ^ п ^ / — 1, / ^ 3.
Тогда, используя предположение индукции, из соотношений (6.22) и (6.26)
имеем
/<о,/) = 1>''/)/(о./-0 =
i=l
= ^с(_1су_,7(0,/-1)...до,/-одо)/-/-1)...до, 1).

§ 6. ЧИСЛА КАТАЛ АН А 149
Отсюда с учетом равенства (6.3) получаем /(О, /) = С77(0, / — 1).. ./(О, 1).
Из равенства (6.21) в качестве следствия из теоремы 2 получаем
соотношения
F(n) = ^F2(n - 1) = 2J^F2(n - 1). (6.28)
Ln_\ П+ 1
Многократно применяя первое из них, получаем для п ^ 2
F(n) = C„Cn_,CS_2Cj_3 • • • Cf "2. (6.29)
Из (6.28) следует, что
Fin)=4{l~wn))ffi(n~l)- 01- ^-^
Выписывая равенства вида (6.30) для п — 1, п — 2, ..., возводя их в
степени 2, 22, ... и затем перемножая, после сокращений получаем
/^)=4*"-'П{1-2(7ТТ)} • <6-31>
Отсюда следует, что
ОО <у-\
Шп, [F(n)r = 4ll{l-2(JTT)} • (6-32)
Непосредственным вычислением можно получить
а = 4П{1-2«ТТ)} = 1>526753-- <6-33)
Используя эту величину а, получим асимптотическую формулу для F(n)
при п —> оо. Из (6.31) имеем
F(n) = ^/?„, (6.34)
00 / 3 \-2""'
где Rn = П ( 1 — ——— 1 . Производя в выражении для Rn замену
/=/1+Л Ц1 + 1);
индексов вида / = / - п и логарифмируя, получаем
■п^=-Е^п(1-2(7т1тт))-
Используя формулу Тейлора для разложения логарифма, находим
о °°
■"«•-sEseTbo+K;)- «"*>
/=1

150
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Разобьем сумму в правой части на две:
ОО
Z^2/7/+>2 + n = 2-^ 2/П + Г/ + U/n) + ^
2/(/ + /i + l) ^2/(1+(/+1)/л) ^ 2/(/ + л + 1)"
/=1 /=1 /=л/л+1
Первая сумма при п —> оо стремится к 1, а вторая имеет порядок 0(1/2^").
Таким образом, согласно (6.35) Rn = ^3/(2«)+o(i/«) снова применяя
формулу Тейлора, получаем Rn = 1 + 3/(2п) + о(\/п). Теперь из формулы (6.34)
окончательно получаем
^)-х0+ = +<))•
Функция F(ri) с ростом п очень быстро возрастает. Из формулы (6.31)
можно получить следующую таблицу начальных значений F(n):
п
F(n)
1
1
2
2
3
10
4
280
5
235200
6
173859840000
ЗАДАЧИ
1. Пусть К[[х]] —кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из
поля комплексных чисел. Доказать, что
оо оо
а) если а(х)= ^ апхп £/([[*]], то обратный элемент а (х)= ^ а)г 'хп €К[[х]]
я=0 п=0
такой, что а~] (х)а(х) = 1, существует тогда и только тогда, когда а0 Ф 0;
оо оо
б) подстановка ряда а(х) = J^ anxtl e К[[х]\ в ряд b(x) = J^ bnxn вида с(х) =
= Ь(а(х)) есть элемент /([[*]], если а0 = 0;
в) обратный элемент для а(х) 6 К[[х]] имеет вид
а-,(х)=а0-,^(1-а(х)а0-1)";
я=0
г) коэффициенты обратного ряда а (х) = ^ а(п }хп выражаются через
коэффициенты ряда а(х) = ^2 апхп по следующим формулам
я=0
J-]).
.(-о.
^(-1)*
k=\ 0 n\+...+nk=n
0<П\ ^Я2 * * * ^nk '
2. Подстановка 5 степени я, действующая на множестве Nn = {1, 2, ..., я},
называется k-разделимой, если & — минимальное число такое, что s(Nk) = Nk,
1 ^k ^п. При & = я подстановка 5 называется неразделимой.

§6. ЧИСЛА КАТАЛАНА
151
Обозначим через Rn число неразделимых подстановок степени п. Показать, что
а) имеет место рекуррентное соотношение
п
n\ = Y,Rk(n-k)\-
k=\
б) для формальных степенных рядов
оо оо
/1=0 п=0
имеет место соотношение
R(x) = \ -ъ~](х);
в) число неразделимых подстановок Rn определяется формулой
п
Я« = Ц<-1)* ' J2 m!n2!.../i»!;
k=] nl+n.2 + ...+nk=n
г) число Rn удовлетворяет следующим неравенствам:
п п\ п
3. Пусть hn — число подстановок степени п без единичных циклов.
Показать, что
а) имеет место соотношение
б) из соотношения пункта а) следует формула
,.V«=*
/г=0
4. Для последовательности ао, щ, ..., ап, ..., элементы которой принадлежат
полю действительных чисел R, формальный ряд Дирихле определяется равенством
«=)
причем, если
я=1 я=1
ТО
1) D(x) = D) (х) + D2(x) тогда и только тогда, когда ап = Ьп +сп,п=0, 1, ...;
2) D(x) = D](x)D2(x) тогда и только тогда, когда
CLn = /^bdCn/d,
d\n
где суммирование осуществляется по всем делителям d числа п.

152
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
а) Показать, что совокупность формальных рядов Дирихле относительно
операций сложения и умножения образует кольцо.
б) Установить условие существования обратного элемента относительно
умножения для формального ряда Дирихле.
5. Формальный ряд Дирихле
п=\
будем называть формальной дзета-функцией Римана. Показать, что ее
обратный по умножению ряд Дирихле имеет вид
п=\
где \к(п) — функция Мёбиуса.
6. Используя формальную дзета-функцию Римана, показать, что обращением
Мёбиуса для формулы
an = ^bd, n = 1, 2, ...
d\n
является формула
bn=^2[i(d)an/d.
d\n
7. Показать, что если
/м = -£^1п<1-^), м<1.
п=\
где \i(n) — функция Мёбиуса, то f(x) = x, и вывести тождество
e' = f[(l-x")
V(n)/n
8. Обозначим через Jn число неприводимых многочленов f(x)=xn+ а\хп~* +...
... + ап-\х + ап с коэффициентами щ е GF(q), 1 ^ / ^ п, где GF(q) — поле Галуа
из q элементов.
а) Показать, что qn = J2 dJj.
d\n
б) Используя обращение Мёбиуса из пункта а), вывести формулу
1
d\n
в) Установить неравенства
jn=lnj2^)<r/d-
q"-q% + [^nJn^q".

§6. ЧИСЛА КАТАЛАНА
153
9. Показать, что если элементы последовательности (а„), п = 0, 1, ...,
удовлетворяют соотношению
п j
^2(n-j + 1)а/а„_/+1 =ая + ^,
/=о
оо
то производящая функция/(х) = J2 апхп удовлетворяет дифференциальному урав-
я=0
нению
10. Показать, что если
F(t; а, Ь, с) = f>*** = tb(l - ^"'"'[(l - tf - tc~T\
a, b<c, \t\ < 1, то
[fell
/=0
11. Пусть элементы последовательностей (a„) и (fr„), п = 0, 1, ..., связаны
соотношением
л-1
(/7-1)! ^ /г! '
oo
причем ao = 1, fro = 1, #i = &i. Показать, что производящие функции f(x) = J2 an
OO ytl
и <р(х) = ^2 bn— связаны равенством
n=\ n
f(x)=e*{x).
12. Показать, что если
.- i ' ; i '
/1=1 /=1
TO
№ = <? |(i-e-')f.
0
13. Пусть е и e2 — кубические комплексные корни из единицы, т.е.
1 +х+х2 = (1 _ЕХ)(1_Е2Х).
Используя представления
1 1 е
\+х+х2 (1 — е)(1 — ед:) (1 - е)(1 - е2х)'
_1
1
-jL-=Y:(-iY<t+*Y.
г=0

154 ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
показать, что
[f] П, л=3т,
^2(-\)k(n~k) =1-1 л=Зт+1, т=1,2, ...
л=0 [о, я=Зт + 2,
14. Из рекуррентного соотношения для чисел Стирлинга второго рода
о(л, /г) = о(л - 1, k - 1) + ko(n - 1, /г)
для производящих функций
оо
п=0
вывести соотношение
Ш = T^kxfk lW' л=1.2.---
Получить из этого соотношения формулу
1
Ш
(1 -х)(\ -2х)...(\ -kx)'
15. Для чисел Лаха Lnk, определяемых соотношением
п
(-Х)п =^ик(х)к,
k=0
Lqo = 1, Lnk = О, k > я, показать, что
n
где hntm — символ Кронекера;
k=m
б) каждое из уравнений
п п
ап = 2^ Lnkbk, Ьп = 2^ UikUk
k=0 k=0
следует из другого;
п
в) Lnk = J2(— 1)75(л, /)<?(/, k), где s(n, /'), (?(/, k) — числа Стирлинга первого
i=k
и второго рода, соответственно;
г) для производящей функции
n=k
получить выражение
n=k
из которого вывести формулу
^=<-'>Hfi:i):

§6. ЧИСЛА КАТАЛАНА
155
Д) ЁМ-0** = ехр(-^-).
16. Пусть Рп —число разбиений натурального числа п на слагаемые и о(п) =
= J2d — сумма делителей п. Показать, что при \х\ < 1
d\n
a) F(x) = 1 + £ P„x" = П 0 - **) '.
п=\ k=\
17. При заданных на множестве yV = {0, 1, ...} функциях р\(х), ..., Рк(х),
Рк(х) ф 0, линейное рекуррентное уравнение относительно неизвестной функции
f(x) вида
f(x + k)+Pl (x)f(x + k-l)+...+ pk(x)f(x) = q(x)
называется неоднородным уравнением, а уравнение
f(x + k)+pi (x)f(x + k-l) + ...+ pk(x)f(x) = 0
(1)
(2)
— однородным уравнением, соответствующим данному неоднородному.
Доказать, что
а) каждое решение f(x) уравнения (2) определяется заданием начальных
условий
/(0), /(1), ..., /(*-1); (3)
б) если /,(*), f2(x), ..
стоянные, то функция
fk(x) — решения уравнения (2) и С\, с2, ..., ck — по-
k
(4)
также есть решение уравнения (2);
в) если /i (jc), fi(x), ..., fk(x) — решения уравнения (2) и определитель
D =
/.(0) /.(1)
/2(0) /2(1)
Л(*-0
/*(0) Л0)
/*(*-!)
отличен от нуля, то функция (4) дает общее решение уравнения (2), содержащее
все частные решения, отличающиеся начальными условиями.
18. Доказать, что общее решение уравнения (1) представляется в виде суммы
его частного решения, удовлетворяющего некоторым начальным условиям, и
общего решения уравнения (2).
19. Показать, что если функция
f(x) = l\ Х^О,
(5)
является решением однородного рекуррентного уравнения с постоянными
коэффициентами 01,02, • • • , CLk
f(x + k) + a\f(x + k - 1) + ... + akf(x) = 0,
(6)

156
ГЛ. III. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
то X является корнем характеристического уравнения
\k+ai\k-l+...+ak=0. (7)
20. Доказать, что если корни уравнения (7) Xi, X2, ..., X* простые, то f(x) =
= cjX| + C2XJ + ... + c*Xj[ является общим решением уравнения (6), где с\, Сч,
..., Ск — произвольные постоянные.
21. Показать, что если X/ — корень кратности 5 уравнения (7), то функция
(с\ + С2Х + ... + cs-\xs~l)7* является решением уравнения (6).
22. Показать, что решение уравнения
/(* +2) = /(х+1)+ /(*),
удовлетворяющее начальным условиям /(0) =0, /(1) = 1, имеет вид
>«=мт'-и^)'
(8)
23. Показать, что
'м = ^(Ц^)*о+*м>.
где R(x) —► 0 при х —► оо.
24. Показать, что коэффициент Гаусса пъ является многочленом от q степени
к{п - к). Ш"
25. Для коэффициентов Гаусса доказать соотношение ортогональности:
где Ъц — символ Кронекера.
26. Для последовательностей (ип) и (vn), п = 0, 1, ..., показать, что
соотношение
■ЕИ.
выполнено тогда и только тогда, когда имеет место соотношение
»«=£н)*[ЭУ2)и«-*-
k=0
27. Для чисел Галуа Gn= J2 \ь\ вывести соотношение
k=o lRA(i
k=0

ГЛАВА IV
ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Графы
1. Основные определения. Рассмотрим множество X = {х\, х<±, ...
• • •, хп, }, п ^ 2, и множество Х^ = {(х\, Х2), (х\, *з), ..., (хп-\, хп)},
элементами которого являются 2-подмножества множества X. Напомним,
что пара r = r(J, W), WCX^2\ называется графом с множеством
вершин X и множеством ребер W. При этом говорят, что ребро (jq, xj)
соединяет вершины Х[ и Xj, или ребро (xi, Xj) и вершины xt, Xj инцидентны.
Граф Г(Х, W) на множестве вершин X называется полным, если W = Х@\
и пустым, если W = 0. Каждому графу (J, W) можно поставить во
взаимно однозначное соответствие симметричное антирефлексивное бинарное
отношение W на множестве X по правилу: xiWxj <=$ (xi, Xj) e W.
Матрица этого бинарного отношения называется матрицей смежности
графа Г(*, W).
Граф Г(Х, W) может быть изображен геометрически. Для этого
некоторые п точек трехмерного пространства помечаются элементами
множества вершин X и вершины xt и Xj соединяются линией, если (xi, xj) G
G W. Если при этом линии не пересекаются нигде, кроме вершин, то
полученный геометрический образ называется топологической
реализацией графа. Точки, помеченные элементами множества X,
расположим на одной прямой L и каждому ребру (xi, Xj) поставим в
соответствие плоскость, проходящую через L и не совпадающую с
плоскостями, соответствующими другим ребрам. Проводя линии, соответствующие
ребрам в отвечающих им плоскостях, убеждаемся, что любой граф
имеет топологическую реализацию в трехмерном пространстве. Граф
называется плоским, если он имеет топологическую реализацию на
плоскости.
Число ребер, инцидентных вершине х-и называется ее степенью и
обозначается d(xj), 1 ^ / ^ п. Если d(xi) = d, i = 1, ..., п, то граф Г
называется однородным (регулярным) степени d. Рассмотрим функцию
^"^-U (Xi,x,)iW.

158
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Имеем d(xi) = Y^d(Xi, xj). Так как каждое ребро (x-t, xj) дважды учитыва-
ется при вычислении суммы степеней всех вершин, то
п
YJd{xi) = 2\W\.
i=\
Отсюда вытекает, что в графе число вершин нечетной степени четно.
Вершина Xi eX графа Г(Х, W) называется концевой, если d(xi) = 1, и
изолированной, если d(xi) = 0.
Как уже отмечалось в гл. III, чередующаяся последовательность ребер
(*,-,, xh), (xk, xk), ..., (Xit_2, *,-,_,), (*/,_,, Ц), в которой соседние ребра
инцидентны одной и той же вершине, называется цепью, причем хц —
начало цепи, Х[{ — ее конец, а / — длина этой цепи. Цепь называется
простой, если все принадлежащие ей вершины различны. В этом случае /
называется расстоянием между вершинами хь и Xj (по этой цепи). Если
Xh =Xin то цепь называется циклом. Цикл, в котором все вершины
различны, называется простым.
Граф Г(Х, W) называется связным, если любые две вершины x-t, Xj e X
соединены цепью с началом в x-t и концом в Xj. Из симметрии следует, что
в этом случае и вершина Xj соединена цепью с вершиной xt. По
определению будем считать, что любая вершина соединена сама с собой цепью
нулевой длины.
Граф Г(Х', W) называется подграфом графа Г(Х, W), если X' С X,
W с W. Граф Г(Х, W), W с W, называется частичным графом графа
Г(Х, W). Будем говорить, что граф Г(Х, W) представляет собой сумму
графов Т{ХХ, U^i) T(Xk, Wk) и записывать Г(Х, W) = Г(Хи Wx) U ...
... U T(Xk, Wk), если Х = Х{ U ... UX*, W= W{\J...uWk. Эта сумма
называется прямой, если дополнительно выполнены условия Xi CiXj = 0,1ф].
На множестве вершин графа Г(Х, W) определим отношение
эквивалентности, полагая x-t ~ xj, где x-t, xj e X, если вершины x-t и xj соединены
цепью. Это отношение эквивалентности индуцирует разбиение множества
вершин:
Х = Х{ U ... UXk, XiHXj = 0, ьф1
Обозначим через Wt с W множество ребер графа Г(Х, W),
инцидентных вершинам из X-t, X^i^k. Подграфы Т(Х\, W\), ..., T(Xk, Wk) графа
Г(Х, W) называются его компонентами связности. Ясно, что всякий
граф представляет собой прямую сумму своих компонент связности.
Теорема 1. Граф Г(Х, W), \X\ =n,ck компонентами связности
имеет максимальное число ребер тогда и только тогда, когда он
состоит из k — 1 изолированных вершин и компоненты связности,
представляющей собой полный граф с п — k + 1 вершинами.

§1. ГРАФЫ
159
Действительно, граф Г(Х, W) имеет максимальное число ребер,
если его компоненты связности Т(Х\, W\), ..., T(Xk, Wk) суть полные
графы. Тогда общее число ребер равно £) Со\ где Щ = \X-t\, 1 ^ / ^ k. Эта
сумма достигает максимума тогда и только тогда, когда существует такое
1 ^ / ^ k, что щ = п — k + 1, rij■ = 1, / ф i, 1 ^ / ^ k.
Таким образом, максимальное число ребер в графе с k компонентами
связности равно (п~^\ Отсюда вытекает, что максимальное число
ребер в графе с двумя компонентами связности равно (п~ V так что
граф, имеющий больше чем (п ~ ) ребер, обязательно связен.
Пара Г = Г(Х, W), состоящая из конечного множества X, элементы
которого называются вершинами, и множества W упорядоченных пар
элементов X, называемых дугами, представляет собой ориентированный
граф, или орграф. Орграфу Г(Х, W) можно поставить в соответствие
бинарное отношение R, при котором xRx', если дуга (х, х') € W.
Пометим множество из \Х\ точек на плоскости различными
элементами множества X. Две точки х и х' соединим стрелкой, направленной
из точки х в точку х', если в графе Г(Х, W) имеется дуга (х, х').
Проводя все стрелки, соответствующие дугам орграфа Г(Х, W), получаем его
геометрический образ на плоскости. При этом точки пересечения дуг, не
совпадающие с вершинами орграфа, не учитываются. Орграф Т\Х', W)
называется подорграфом орграфа Г(Х, W), если X' CI, FC W.
Будем говорить, что дуга (х, х') инцидентна вершинам х и х',
причем эта дуга выходит из х и заходит в х'. Чередующаяся
последовательность вершин и инцидентных им дуг орграфа Х\, (хх, хъ), х<±, {x<i, х$), ...
..., jc/_i, (xi-\, х{), х/, где Х[ е X, i = 1, ..., /, (jq, x;+i) e W, i = 1, 2, ...
..., / - 1, называется путем, соединяющим х\ с xi, если х-ь ф x-t, i ф].
Если в указанной чередующейся последовательности вершин и дуг х\ = xi,
а все остальные вершины различны, то эта последовательность
называется контуром. Орграф Г называется сильно связным, если для любых
его вершин х w х' существуют пути, соединяющие х с х' и х' с х.
Компонентой сильной связности орграфа Г называется максимальный сильно
связный подорграф Г\ орграфа Г.
Если в орграфе Г не учитывать ориентацию дуг, то этот орграф
превращается в соответствующий граф Г. Компоненты связности этого
графа Г будем называть компонентами связности орграфа Г. Ясно, что
каждая компонента сильной связности орграфа Г принадлежит некоторой его
компоненте связности.
В геометрических изображениях графов можно удалить из вершин
элементы множества X, которыми они помечены. В результате
получается некоторый геометрический образ, который также называют графом

160
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
с непомеченными или незанумерованными вершинами. В
противоположность этому определенные выше графы называются графами с
помеченными или занумерованными вершинами. Только такие графы мы и
будем рассматривать в этой главе.
Из приведенных выше определений графов следует, что в их
геометрическом изображении не допускаются петли, т. е. ребра, инцидентные
только одной вершине, а также отсутствуют кратные, или
параллельные, ребра, соединяющие одни и те же пары вершин. Если в графе
допускаются параллельные ребра, то он иногда называется мультиграфом.
В дальнейшем мы не будем придерживаться этой терминологии, а будем
говорить только о графах, оговаривая наличие или отсутствие петель и
параллельных ребер. Аналогичное замечание относится также и к орграфам.
2. Л-графы первого рода. Будем рассматривать графы с п
вершинами. Так как общее число ребер равно \^\, а с учетом петель (nt \
то число графов без петель с п вершинами есть 2^2'; при наличии петель
/л+1\
это число равно 2^ 2 '. Соответственно, общее число ориентированных
графов с п вершинами без петель равно 2"(л_1), а при наличии петель это
число есть 2п .
Рассмотрим теперь графы с п вершинами и т ребрами. Такие графы
будем называть (п, т)-графами. Число таких графов без петель равно
( V2/ ); при наличии петель это число равно 1\ 2 / )• Если же
допускаются параллельные ребра, то вместо m-сочетаний ребер следует
рассматривать m-сочетание с неограниченными повторениями и соответствующие
числа графов равны \2J+m"M и П 2 J+m~M.
Таким образом, мы рассмотрели два способа задания классов графов,
при одном из которых число ребер не является постоянным, а при другом
равно фиксированной величине. Класс графов с п вершинами, у которых
число ребер не является постоянной величиной, а может меняться в
некоторых границах, зависящих только от п, будем называть классом графов
первого рода. Класс графов с п вершинами, у которых число ребер т
фиксировано, будем называть классом графов второго рода. Очевидно,
что если, например, рассматривать объединение классов графов без петель
второго рода с п вершинами и т ребрами для т = 0, 1, ..., \Т}, получаем
некоторый класс графов первого рода с п вершинами.
Описание классов графов первого и второго рода можно осуществлять
различными способами. Обычно для такого описания задается некоторый
комплекс ограничений Л на способ построения графов, который
позволяет выделять данный класс в виде подкласса некоторого более широкого

§1. ГРАФЫ
161
класса графов. Весьма часто встречается случай, когда комплекс
ограничений Л формулируется одинаково при любом числе вершин графа п. Так,
свойство Л, состоящее в том, что в любом графе рассматриваемого класса
степень всех вершин равна одному и тому же числу d, является примером
комплекса ограничения, не зависящего от числа вершин графа п.
Определим теперь один класс графов, задаваемых комплексом
условий Л, не зависящим от числа вершин графа п. Этот класс определяется
некоторыми свойствами, связанными со способом перечисления всех
графов, принадлежащих данному классу.
Класс графов с п вершинами, определяемый комплексом условий Л,
называется классом А-графов первого рода, если выполнены следующие
два условия:
1) Однородность. Число компонент связности С&(Л), 1 ^ k ^ я,
которые можно построить на любых k из п вершин при переборе графов
данного класса, зависит только от k.
2) Независимость. При заданной компоненте связности с k
вершинами число способов построения на п — k вершинах оставшихся частей
графов данного класса совпадает с Dn_k(A) — числом Л-графов первого
рода, построенных на п — k вершинах.
Зафиксируем некоторый класс Л-графов первого рода и для общего
числа графов Dn = Dn(A) и числа связных графов Сп = Сп(А) с п
вершинами установим рекуррентное соотношение
п
J2(nkZ\)CbDn-k=Dn, л =1,2,..., Д>=1. (1.1)
k=\
Разобьем весь класс Л-графов с k вершинами на п подклассов в
зависимости от числа вершин в компоненте связности, содержащей
фиксированную вершину хеХ, \Х\ = п. Из свойства однородности Л-графов следует,
что число способов построения такой компоненты с k вершинами равно
С! ~ . )Ck, 1 ^ k ^ п. Оставшуюся часть Л-графа на п — k вершинах,
согласно свойству независимости, можно достроить Dn-k способами.
Умножая обе полученные величины и суммируя результаты для k = 1, 2, ..., я,
получаем общее число Л-графов с п вершинами, т. е. приходим к
соотношению (1.1)
Обозначим через Dnj = Dnj(A) число Л-графов первого рода с п
вершинами и / компонентами связности 1 ^ / ^ п. Положим Doo = Со = 1,
Dnk = 0 при п < k и Dnk = 0, если nk = 0, но либо м, либо k отличны
от нуля. Будем предполагать, что класс Л-графов первого рода
обладает усиленной независимостью. Это свойство состоит в том, что в
подклассе класса Л-графов с / компонентами при фиксированной
компоненте на k вершинах остальные / — 1 компонент можно построить Dn-kyj-\

162
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
способами, где Dnj — число Л-графов с п вершинами и / компонентами.
Ясно, что из усиленной независимости следует обычная независимость,
указанная в определении Л-графов первого рода. При выполнении
усиленной независимости имеет место рекуррентное соотношение
J2 (I I \)CkDn-kj-i = Dnh j = 1, 2, ..., /i, /i= 1,2 (1.2)
k=\
вывод которого аналогичен выводу соотношения (1.1).
Рассмотрим производящие функции
F(x) = J2Dn^r (1.3)
л=0
оо п
/г=1
представляющие собой формальные степенные ряды.
Умножая обе части равенства (1.1) на хп/п\ и суммируя по м, после
замены индексов приходим к соотношению
оо п п оо п
л=0 ^=0 /г=0
Соотношение (1.5) означает, что формальные степенные ряды (1.3) и (1.4)
удовлетворяют следующему дифференциальному уравнению:
F'(x) = F(x)&(x), (1.6)
где штрих означает производную по х.
Если рассматривать еу как формальный степенной ряд, отвечающий
разложению этой функции в ряд Маклорена, то нетрудно убедиться, что
F(x) = e*W. (1.7)
Это есть основное соотношение, выражающее производящую функцию
Л-графов через соответствующую производящую функцию связных графов.
Рассмотрим производящие функции
п
№ = Y,Dnjz}, (1.8)
F{x,z) = Y,fn(z)^. (1.9)
/2=0

§1. ГРАФЫ
163
Умножим теперь на &хп~1/(п— 1)! обе части равенства (1.2) и
просуммируем по всем допустимым значениям / и п. После замены индексов
получаем
оо п оо п п
п=0 п=0 k=0
Отсюда следует дифференциальное уравнение для формальных степенных
рядов:
F'{x,z)=zF{x,z)&{x), (1.10)
где штрих означает производную по х. Снова рассматривая еу как
формальный степенной ряд, отвечающий разложению этой функции в ряд
Маклорена, находим, что
F(x,z) = ez*{x). (1.11)
Это есть соотношение для Л-графов с усиленной независимостью. При
z= 1 соотношение (1.11) совпадаете соотношением (1.7).
В заключение отметим еще одно соотношение
]**<*) = £ А.*£' (112)
n=k
которое вытекает из формул (1.9) и (1.11).
Рассмотрим теперь некоторые примеры Л-графов. Примерами
Л-графов могут служить классы графов с п вершинами, отвечающие случаям
отсутствия или наличия петель. При перечислении этих классов
выполнены условия однородности и независимости, поэтому из равенства (1.1)
следуют соотношения
EGilW1^"2 )=2^, (1.13)
6=1
п , lv n /n-k+\\ (п+\\
Е(1:!)С?2< 2 >=2<*>, (1.14)
k=\
где Сп и Сп — числа связных графов с п вершинами соответственно при
отсутствии и наличии петель.
Другой пример Л-графов связан с рассмотрением четных графов. Граф
без петель называется четным, если каждой вершине инцидентно четное
число ребер. Покажем, что для числа четных графов Den с п вершинами
имеет место формула
(П-\\
Den = 2K 2 К (1.15)

164
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Действительно, в произвольном графе с п — 1 помеченными вершинами
имеется четное число вершин нечетной степени. Добавим к такому графу
новую вершину, помеченную элементом м, и соединим ее ребрами с
вершинами нечетной степени. В результате получим четный граф с п вершинами.
Обратно, если в четном графе с п вершинами удалить одну вершину
вместе с инцидентными ей ребрами, то будет получен некоторый граф с п — 1
вершинами. Так как это соответствие взаимно однозначно, то отсюда
следует формула (1.15). Связный четный граф называется эйлеровым графом.
Так как четные графы образуют класс Л-графов, то для числа эйлеровых
графов с п вершинами Сеп в силу равенства (1.1) имеет место соотношение
П , 1ч (n-k-\\ (П-\\
EG:!)C*2( 2 -2(2 • о-"*)
6=1
Исследуем теперь некоторые асимптотические свойства Л-графов
первого рода. Главное из этих свойств состоит в том, что с ростом числа
вершин отношение числа связных Л-графов к общем числу графов в классе
стремится к единице.
Теорема 2. Для А-графов первого рода равенство
lim^ = l (1.17)
справедливо тогда и только тогда, когда
[«/2]
}™LwXODkD«-k=0- (118)
Введем обозначения
Сп = ^ dn = %-< " = 1,2, ... (1.19)
В этих обозначениях соотношение (1.1) переписывается в следующем виде:
(1.20)
Полагая
9„ = <j 2^7' »--с'""с' (1.21)
из равенства (1.20) находим
[п/2]
1 - сп = j-n J2 К1 - £)с"-* + knC^dn-k ~ ЪпСп/2- (1-22)
-^djlkckdkd-
k=\
{ 1 4/2
{ 2 dn '
U
n —
n —
-k = \.
- четное,
- нечетное,

§1. ГРАФЫ
165
Так как с^ ^ 1, k = 1, 2, ..., я, то из соотношения (1.22) вытекает
неравенство
[«/2]
1 > сп > 1 - -J- V <Мл-а, О 1. (1.23)
6=1
Из условия (1.18) следует, что при п —> оо
(л/2]
^-У44-^0. (1.24)
Таким образом, из неравенств (1.23) при выполнении условия (1.24) имеем
при п —> оо
с„->1. (1.25)
Этим доказана достаточность условий теоремы.
Допустим теперь, что условие (1.25), эквивалентное условию (1.17),
выполнено. Тогда для всех k = 1, 2, ..., [я/2] имеем при п —> оо
(l-|)c„_ft + |Cjt-l. (1.26)
В силу равенства (1.22) отсюда следует, что
[«/2]
1-с„ = -|-УЧ</я_*(1+о(1)). (1.27)
Это означает в силу условия (1.25), что условие (1.24) выполнено.
В качестве следствия из доказанной теоремы можно утверждать, что
при неограниченном увеличении числа вершин отношение числа четных
графов к числу эйлеровых графов близко к единице.
Действительно, в этом случае
И
1 V (п\^ 2 )+1 2 )<_^ + _! >п
2^ 2 > k=\
при м —> оо, т. е. условие (1.18) выполнено.
3. Л-графы второго рода. Будем рассматривать классы графов с п
вершинами и т ребрами. Класс графов с п вершинами и т ребрами,
определяемый комплексом условий Л, называется классом А-графов второго
рода, если выполнены следующие два условия.
1) Однородность. Число компонент связности С^-(Л), 1 ^ k ^ м,
О ^ / ^ т, которые можно построить на любых k из п вершин с использо-

166
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ванием / ребер в процессе перебора графов данного класса, зависит только
от k и /.
2) Независимость. При заданной компоненте связности с k
вершинами и / ребрами число способов построения на п — k вершинах
оставшихся частей графов совпадает с Dn-k,m-i{A) — числом Л-графов
второго рода, построенных на п — k вершинах с использованием т — i
ребер.
Используя свойства однородности и независимости Л-графов второго
рода, можно вывести соотношение
п т
D„+1,m(A) = ЕЕ (/) Cw^A)D„_-.m-y(A), (1.28)
где Dn/n(A) и Спт(А) — общее число и число связных Л-графов второго
рода с п вершинами и т ребрами. Вывод соотношения (1.28) по существу
совпадает с выводом соотношения (1.1).
Обозначим через DJ^(A) — число Л-графов второго рода с п
вершинами, т ребрами и k компонентами связности. Положим Dqq (Л) = Дю(Л) = 1,
£>ят(Л) = 0, если т • п • k = 0 и хотя бы один из индексов т, я, k отличен
от нуля; D^miA) = 0 при k > п.
Для класса Л-графов второго рода определим понятие усиленной
независимости. Оно состоит в том, что в классе Л-графов с k
компонентами при фиксированной компоненте с / вершинами и / ребрами остальные
k — 1 компонент можно построить D^^_:(Л) способами. Для Л-графов
очевидно, что из усиленной независимости следует обычная независимость,
указанная в определении Л-графов второго рода, обладающих этим
свойством. Имеет место соотношение
п т
DZI.JV =Е£ ©Сн.ДЛ^ГДЛ). (1.29)
/=0 1=0
Вывод этого соотношения аналогичен выводу соотношения (1.2).
Рассмотрим производящие функции
оо оо л п
F{x, </,г;Л) = ^^^D^(A)x-ymzk, (1.30)
n=0m=0k=0
оо оо п
Ф(^;Л) = ^^иА)^, (1.31)
/г=0 т=0
являющиеся формальными степенными рядами. Для Л-графов
второго рода, обладающих свойством усиленной независимости, установим

§1. ГРАФЫ
167
следующее соотношение:
F(x, #, z\ Л) = ехр{гФ(х, у\ Л)}, (1.32)
где под ехр{(/} понимается формальный степенной ряд, отвечающий
разложению этой функции в ряд Маклорена. Положим
оо
Ы</; л) = £d<*,> (Л)<л (1.33)
т=0
оо
((>„(</; л) = J2 сптЩут. (1.34)
т=0
Умножая обе части равенства (1.29) на ут и суммируя по допустимым
значениям т, получаем
п
/„+,,*(</; A) = J2Gh^(y; Mn-ut-iUr, Л). (1.35)
i=0
Рассмотрим еще одну производящую функцию
/г
/^,г;Л) = £Ы</;Л)г*. (1.36)
Умножим обе части равенства (1.35) на zk и просуммируем по всем
значениям k в пределах от 1 до п. Так как fn+\${y\ Л) = 0 при п = 0, 1,
то с учетом равенства (1.36) в результате получаем
п
/я+1(0, г; Л) =zJ2 0)<Pi+i(# А)/„-/(», г; Л). (1.37)
i=0
Умножим обе части равенства (1.37) на хп/п\ и просуммируем по всем
допустимым значениям п. Принимая во внимание равенства
00 п °° п
F(x, у, г; Л) = ^fn(y, г; Л)^, Ф(х, (/; Л) = £<рл(у; Л)^,
/г=0 ' /г=0
в результате получаем дифференциальное уравнение
F'(jt, */, г; Л) = z • F(x, у, г; Л)Ф'(х, (/; Л), (1.38)
где штрих означает производную по х. Интегрируя это дифференциальное
уравнение в множестве формальных степенных рядов, приходим к
соотношению (1.32).

168
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Отметим, что примерами классов Л-графов второго рода являются:
класс всех I \2) ) графов без петель с п вершинами и т ребрами, класс
всех ( V 2 / ) графов, допускающих петли, с п вершинами и т ребрами.
В заключение приведем без доказательства теорему, аналогичную
теореме 2.
Пусть Dnm — общее число графов без петель с п вершинами и т
ребрами, а Спт — число связных графов рассматриваемого вида.
Теорема 3. Если п, т —> оо и выполнено условие т/п - In у/п —>
—>оо, то
Спт *
Dnm
Таким образом, если при неограниченном увеличении числа вершин п
число ребер т имеет порядок роста, больший -м(1пм + оуп), где <йп —> оо,
то отношение числа связных графов к общему числу графов стремится
к единице.
§ 2. Деревья
1. Определение. В главе III было дано определение дерева как
связного графа, не содержащего циклов. Теперь можно несколько уточнить это
определение в соответствии с расширением класса рассматриваемых
графов. Связный граф, не содержащий циклов и петель, называется деревом.
Ясно, что любые две вершины дерева соединены единственной цепью, так
как в противном случае имелся бы цикл, проходящий через эти
вершины. Отсюда следует, что удаление любого ребра приводит к несвязному
графу. Выделим в дереве некоторую вершину xL и назовем ее корнем.
Совокупность вершин дерева, находящихся от xt на расстоянии v, назовем
v-м слоем дерева. При фиксированном корне число непустых слоев
дерева называется его высотой. Вершины последнего слоя являются
концевыми, так как вершина каждого слоя соединяется единственной цепью
с корнем.
Каждой вершине дерева поставим во взаимно однозначное
соответствие единственное ребро, соединяющее эту вершину с некоторой
вершиной предыдущего слоя. В этих условиях только корню не соответствует
никакого ребра. Отсюда вытекает, что если Г(Х, W) — дерево и \Х\ =п, то
\W\ = n- 1.
Будем теперь последовательно строить связный граф (не обязательно
дерево) путем добавления одного ребра и не более одной вершины.
Начнем со случая, когда \Х\\ =2, \W\\ = 1. На следующем шаге либо добавим
одну новую вершину и одно ребро, соединяющее эту вершину с уже имею-

§2. ДЕРЕВЬЯ
169
щимися, либо новое ребро, соединяющее уже имеющиеся вершины. Далее
этот процесс повторяется многократно.
Рассмотрим величину х(Г;) = \Wi\ — \Xi\ + 1, отвечающую графу Г/ =
= T(Xi, Wi) на /-м шаге построения. Очевидно, что x(ri) = 0. На
следующем, (/ + 1)-м шаге \Wi\ увеличивается на единицу, a \Xi\ либо
увеличивается на единицу, либо остается постоянным. Отсюда следует, что х(Г;) ^ 0,
/=1,2... Пусть теперь Т(Х, W) — произвольный связный граф. Тогда
величина
x(T) = \W\-\X\ + \ (2.1)
называется цикломатическим числом связного графа. В соответствии
с проведенными выше рассуждениями х(Г) ^ 0, причем х(Г) = 0 тогда
и только тогда, когда граф Г является деревом. Если граф Г состоит
из k компонент связности Гь Г2, ..., Г&, то цикломатическим числом
графа назовем выражение
k
х(Г)=^х(Г/).
i=i
Отсюда следует, что
x{T) = \W\-\X\+k. (2.2)
Граф, все связные компоненты которого являются деревьями,
называется лесом. Для леса, как и для дерева, цикломатическое число равно
нулю.
Рассмотрим теперь связный граф Г(Х, W). Будем последовательно
удалять из него ребра так, чтобы граф оставался связным. В результате
получим дерево, содержащее \Х\ - 1 ребер. Каждое такое дерево
называется остовным деревом графа Г(Х, W). Ясно, что число удаленных ребер
до получения остовного дерева равно | W\ - \Х\ + 1, т. е. цикломатическому
числу графа Г(Х, W).
Некоторые [i циклов графа будем называть независимыми, если
каждый из них содержит ребро, не принадлежащее остальным yt - 1 циклам.
Проведем теперь процесс образования основного дерева Г(Х, W) в
обратном порядке, последовательно добавляя к остовному дереву
удаленные ранее ребра, вплоть до получения исходного графа ЦХ, W). На
каждом шаге добавление ребра приводит к образованию по крайней мере
одного нового цикла. При этом каждому из \W\ — \Х\ + 1 шагов
можно поставить в соответствие такой цикл, что полученная совокупность из
|№| — |Л] + 1 циклов будет независимой. Таким образом, число
независимых циклов в графе ЦХ, W) не меньше цикломатического числа х(Г).
Можно показать, что цикломатическое число равно числу независимых
циклов графа.

170
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
2. Алгоритм Прюфера. Напомним, что если дерево имеет одну
выделенную вершину—корень, то оно называется корневым. Дерево, не
являющееся корневым, называется свободным. Если d(xi) — степень вершины
графа xi, то величину х(х{) = d(xi) — 1 будем называть кратностью этой
вершины. Символ [л^'л^2... ;#'], где х; = х(*;), / = 1, 2, ..., м, будем
называть первичной спецификацией графа.
Теорема 1. Каждому дереву, вершины которого помечены
элементами множества Х={х\, ...,хп} и которое имеет первичную
спецификацию [х^*х%2.. .**"], можно поставить во взаимно
однозначное соответствие заполнение п различных ячеек п - 2 различными
предметами, в котором i-я ячейка содержит х; элементов, l^i^n.
Для доказательства приведем описание алгоритма Прюфера, с
помощью которого устанавливается это соответствие. Пусть имеются п - 2
различных предметов и п различных ячеек. Рассмотрим свободное дерево с п
помеченными вершинами. Будем последовательно удалять ребра и
вершины графа, проводя одновременно заполнение ячеек предметами.
На первом шаге удаляем концевую вершину дерева, имеющую
наименьший номер, и инцидентное ей ребро. Если другой конец удаляемого
ребра инцидентен вершине с номером i\, то первых предмет помещаем
в ячейку с номером i\. На втором и последующих шагах процесс
повторяется. Процесс останавливается в тот момент, когда останется одно ребро.
Это соответствует заполнению п — 2 предметов в п ячейках, причем в /-й
ячейке имеется х; предметов. Ячейки, номера которых совпадают с
номерами концевых вершин дерева, оказываются пустыми.
С другой стороны, если задано заполнение п различных ячеек п - 2
различными предметами, то по этому заполнению можно построить
дерево с п вершинами. Пусть /i, /2, • • •, /<>, 1 ^ /i < h < • • • < Is ^ я, — номера
пустых ячеек. Если первый предмет находится в ячейке с номером i\, то
в дереве имеется ребро (/i,/i). Удаляем ячейку с номером j\ и первый
предмет, в результате получаем заполнение п — 1 ячеек п — 3 предметами.
Применяя индукцию, можно предположить, что этому заполнению
соответствует дерево с/1-1 вершинами. Так как j\ не принадлежит к множеству
вершин этого дерева, то добавление к нему ребра (i\, j\) снова дает дерево.
Этим доказательство теоремы завершено.
Обозначим через г(х\, Х2, •. •, хп) число помеченных свободных
деревьев с п вершинами, у которых кратность вершины / равна х/. Справедлива
формула
r(x,, X2, ..., хп) = ,("72)! ., (2.3)
v ' Х\\Х2\...Хп\
так как это число совпадает с числом (п — 2)-векторов с координатами из
м-множества, имеющих первичную спецификацию [х*'х£2 .. .*£"] (см.
формулу (2.5) гл. I).

§2. ДЕРЕВЬЯ
171
Из формулы (2.3) следует, что общее число свободных деревьев гп
равно
f = у- (п-2)!
Х|+...+*„ =Л-2
Таким образом, согласно формуле (2.6) гл. I,
гп = пп~2, п^2. (2.4)
Так как каждому свободному дереву с п вершинами соответствуют
п различных корневых деревьев, полученных при выборе каждой из
вершин в качестве корня, то число гп корневых деревьев с п вершинами равно
гп = пп-\ О 2. (2.5)
При заполнении п различных ячеек п-2 различными предметами
число заполнений, для которых фиксированная ячейка содержит к = k - 1
предметов, равно
м*)=й:?)(л-1)я-*-1. (2.6)
Это число совпадает с числом свободных деревьев с п вершинами, у
которых кратность фиксированной вершины равна и = k — 1. Соответствующая
величина для корневых деревьев вычисляется по формуле
rn(k) = n(nkZ2l)(n-\)n-k-1. (2.7)
Число свободных деревьев с п вершинами, из которых k концевых,
равно
f(n,k)=(l)An-k(r-\
так как это число совпадает с числом заполнений п различных ячеек п-2
предметами, когда имеется k пустых ячеек.
3. Леса. В соответствии с данным выше определением граф Г(Х, W),
компоненты связности которого являются деревьями, называется лесом.
Число лесов с вершинами, помеченными Х\, Х2, ..., хп, состоящих из
k свободных деревьев, у которых k фиксированных вершин Х\, х%, ..., Xk
принадлежат различным деревьям, равно
rnk = knn-k-1. (2.8)
Рассмотрим множество D деревьев с п + 1 вершинами хо, х\, ..., хп,
у которых вершине Хо инцидентны k ребер. Число таких деревьев, согласно
формуле (2.6), равно
|о|=Й: !)«"-*• (2.9)

172
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Для К Я: {1, 2, ..., п} такого, что \К\ = k, обозначим через D(K)
множество деревьев из D, в которых для любого / е К вершина хь соединена с х0.
Ясно, что |D(K)| = rnk. Таким образом,
\D\=J2\D(K)\ = (nk)rnk.
Отсюда, с учетом (2.9), следует формула (2.8).
Для дальнейшего важную роль будет играть следующее тождество:
где суммирование ведется по всем векторам (j\, ..., jk) с целочисленными
координатами, такими, что /1 + ... + jk = n, ji ^ 1, / = 1, ..., k.
Число корневых деревьев с п вершинами, с кратностью корня и = k — 1,
равно
'«•<*> = £ Е J^^-ru- (2-И)
/|+...+/'*=Я-1
/i^l
Действительно, -г-\(п ~ l)!/(/i' • • -/*0 — это число разбиений п - 1
некорневых вершин по деревьям леса, r-h г/2... rJk — число лесов при
фиксированных вершинах деревьев и п — число вариантов выбора корня.
С другой стороны, для rn(k) имеется другое выражение, даваемое
формулой (2.7). Поэтому с учетом формулы (2.5) имеем
/1+...+/А=Я-1
\&\
Отсюда после упрощений получаем тождество (2.10).
Пусть теперь г"п' — число лесов с п вершинами, состоящих из k
корневых деревьев. Тогда
#-h £ mis*" -А"'- <2Л2>
/1 + ..-+/А=Я
/i^l
Эта формула получается рассуждением, близким к тому, с помощью
которого получена формула (2.11).
Используя тождество (2.10), из (2.12) получаем
rn] = {nkZ !)"""*' *=l,2,...,/i. (2.13)

§2. ДЕРЕВЬЯ 173
Общее число лесов с п вершинами, состоящих из корневых деревьев,
равно Ln = J3 rn • Используя формулу для rn \ находим
k=\
Ln = {n+\)n-x.
Для любого фиксированного k — 1, 2, ... имеем
r(k) e~x
lim r" e
П-
■оо(/! + 1)"-1 (k- 1)!'
Это равенство следует непосредственно из формулы (2.13).
4. Производящие функции. Рассмотрим производящие функции для
корневых и свободных деревьев:
п=\
П = 1,
п = 1.
(2.14)
(2.15)
Прежде всего покажем, что г(х) удовлетворяет функциональному
уравнению
г(х)=хег{х). (2.16)
Рассмотрим производящую функцию
r(x;k)= J2 rnW-v (2.17)
n=k+\
где rn(k) — число корневых деревьев с п вершинами, с кратностью корня
х = k - 1. Нетрудно убедиться, что
л=/Н-1 /|+...+/'А=л-1
Из (2.17) и (2.18) с учетом формулы (2.11) следует, что
r(x;k) = %rk(x). (2.19)
Из определения rn(k) следует, что
п-\
rn=^2rn(k), n = 2, 3, ...

174 ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Кроме того, так как т\ (0) = т\ = 1, то г(х, 0) = х. Суммируя обе части
равенства (2.19), имеем
оо п п—\ оо
п=\ k=0 k=0
Отсюда следует равенство (2.16).
Полагая в равенстве (2.16) у = у(х) = г(х) и возводя обе его части
в k-ю степень, получаем yk = xkeky. Дифференцируя по х обе части этого
равенства, находим
Интегрируя обе части этого равенства, получаем
X
yk=^\yk-i-kS^-r}-dL <2-20>
о
Непосредственно из вида (2.14) и (2.15) производящих функций г(х) и г(х)
следует, что
х
r(x)= fr-f-dt. (2.21)
о
Поэтому, полагая в равенстве (2.20) k = 2 и у = г(х), с учетом
равенства (2.21) находим
r(x) = r(x) - irV). (2-22)
Обозначим через Fn число лесов с п вершинами, состоящих из k
свободных деревьев. Распределяя п вершин n\(k\j\\.. .j^)~x способами
по k свободным деревьям и строя эти деревья /J1-2.. ./£~2 способами,
после суммирования по всем j\, ..., Д таким, что j\ + ...+/* = я, /£- ^ 1,
получаем, что
г<*) = 1 V п[ ;у'~2 У'*-2
/i+~-+/k=n
Нетрудно проверить, что
1 °° П
£(?(*))*=£^- (2-23)
n=k
Используя снова обозначение у = г(х), из (2.22) имеем

§2. ДЕРЕВЬЯ 175
Заметим, что
n=k /i+ ...+/* =я
Отсюда в соответствии с формулой (2.12) получаем производящую
функцию для г[ ) — числа лесов с п вершинами, состоящих из k корневых
деревьев:
1 °° П
!,*(*) = £г*^, (2-25)
n=k
откуда в силу тождества (2.10) следует, что
оо п
уь = ^кпп-к-\п)кХ-. (2.26)
Вычисляя выражение yk+l из формулы (2.26) и подставляя его в
равенство (2.24), с учетом формулы (2.23) получаем
^ = F £ (/) Н)'<* + /)("W/""-*-/-'- (2-27)
/=0
Представим Гп в следующем виде:
2k
г« = £>«/1я-/, (2.28)
k .
«*/=]уЕ(/)("2)(А + Л5(А+/'А+/"-/+1)' (2>29)
' /=о
где s(jjt, v) — число Стирлинга первого рода. Так как s([i, у)= 1, s([i, [i-1) =
= -g),TO
■"-HE0(-i)<*+*
/=0
«■-^E0*)(-i)'('.+0<*+/>-
Заметим, что
«*1
/=0
Л Г Л 1\* 1 Л 1\*_1
= Ш1-1) -2(l-i)l=°- <2-30>

176
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Кроме того, <xk2 =pk\ +P*2 + Рлз. гДе
h-ftO(-i)W«-*
15и = -(»ЗТ)!Е(*)(-2)''<*+'»=2«-'(*-|)!'
/=0
Отсюда получаем
ай2=2*-'(1-1)!- (2'31)
Теперь из (2.28) и формул (2.30) и (2.31) следует, что
•im -^ = ^г-Г77—ттт, k=\,2,... (2.32)
п-.ооя"-2 2*-'(А-1)!
Если L„ — число лесов с п вершинами, состоящих из свободных
деревьев, то Ln — Y2 Л *• Можно показать, что
k=\ -
lim 4^ = e'/2-
5. Образующие симметрической группы. Пусть Srt —
симметрическая группа подстановок степени п, действующих на множестве X =
= {1, 2, ..., п}. Постановка т е Sn называется транспозицией, если она
содержит единственный цикл т длины 2, а остальные циклы — единичные.
Если цикл длины 2 содержит элементы / и /, то транспозицию т записывают
в следующем виде: т = (/, /).
Обозначим через Тп множество всех транспозиций степени п.
Очевидно, что 17^1 = (Т). Цикл (/i, /2, ..., //) следующим образом может быть
представлен в виде произведения транспозиций:
(М, *2. .-..'/)= (М, Шь 'з) • • • (М. '/)•
Отсюда следует, что любая постановка s eSn может быть представлена
в виде произведения транспозиций. В этом смысле говорят, что
множество Тп является системой образующих группы Sn, или множество Тп
порождает группу Sn (см. также п. 3 §5 гл. I).
Однако существуют множества транспозиций, порождающие группу Sn
и являющиеся собственными подмножествами Тп. Примером может
служить множество Т'п = {(1, 2), (1, 3), ..., (1, ах)}, так как любая
транспозиция (/, /) может быть записана в виде (/, /') = (1, /)(1, /)(1, /).

§2. ДЕРЕВЬЯ
177
Выясним, при каких условиях множество транспозиций R^ = {t\, Т2,...
• ••,тг} с Тп является системой образующих группы Sn. Множеству R$
поставим в соответствие граф T(RJp) с множеством вершин X. Каждой
транспозиции т& = (/, /) £ Rn\ 1 ^ k ^ г, в графе Г(/?^) ставится в
соответствие одно и только одно ребро, соединяющее вершины / и /'. Граф
T(Rn) называется графом Пойа множества транспозиций Rnr\
Лемма. Множество транспозиций R$ = {ц, тг, ..., тг} при г ^
^ п — 1 тогда и только тогда порождает симметрическую
группу Sn, когда соответствующий граф Пойа T(Rn ) — связный.
Пусть граф T(Rn) — связный и вершина / е X может быть соединена
с вершиной /' 6 X путем, составленным из ребер, отвечающих
транспозициям т;,, т/2, ..., т/, £ Rn • Тогда справедливо равенство
(*»/) = T/iT/2 • • •*//-! ~//~//-i • • *T/2T/i •
Отсюда следует, что произвольная транспозиция (/, /) £ Тп может быть
записана в виде произведения транспозиций из R%\ Так как Тп порождает
группу Sn, то и Rn порождает Sn.
Допустим теперь, что множество Rnr^ порождает Sn, но граф Г(/?„г))
содержит компоненты связности Гь Г2, ..., Г&, k > 1, т. е. не является
связным. Произвольная подстановка s eSn может быть записана в виде
«_т0> т(1)т<2> т(2) (ft) (ft)
* — м • • • W, м • • • iv2 • • • м • • • ч >
где Ту — транспозиция, соответствующая ребру графа, принадлежащего
компоненте связности Г/, 1 ^ / ^ k. Так как компоненты связности не имеют
общих вершин, то 5 представляет собой произведение k независимых циклов.
В силу условия k > 1 произведения транспозиций из Rnr) не могут
порождать полноцикловых подстановок, и, следовательно, Rn не порождает Sn.
Теорема 2. Множество из п - 1 транспозиций Rnn~l) тогда
и только тогда порождает симметрическую группу Sn, когда
соответствующий граф Пойа Г(/?^~ *) является свободным деревом
с п помеченными вершинами.
Действительно, согласно лемме, множество Rn тогда и только тогда
порождает группу Sn, когда граф T(Rnn~ '), имеющий п - 1 ребер, является
связным. Такой граф может быть только свободным деревом с п
вершинами.
Между множествами /?„"" \ порождающими симметрическую группу,
и свободными деревьями с п занумерованными вершинами можно
установить взаимно однозначное соответствие. Из этого факта вытекает
следствие.
Следствие. Число систем образующих симметрической
группы Sn, состоящих из п — 1 транспозиций, равно пп~2.

178
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 3. Циклы подстановок
1. Цикловые классы. Пусть Sn — симметрическая группа
подстановок степени п на X. Как отмечалось в п. 3 § 5 гл. I, для любой подстановки
s eSn на X можно определить отношение эквивалентности, полагая, что
х ~ х', если существует такое число /, что х' = si(x), x, x' e X. Этому
отношению эквивалентности отвечает разбиение X = Х\ U ... U Х^, Xi П Xj ф 0,
ьф], блоки которого называются орбитами подстановки 5. Сужение
подстановки 5 на орбиту Xi называется циклом подстановки 5 и
обозначается 5/, 1 ^ / ^ k. Полагая Si(x) = х, х е X \ Xi, можно доопределить s£- до
подстановки степени п, которую будем также обозначать 5/, 1 ^ / ^ k. Так
как циклы si, Sj, 1 ^ /, / ^ k, не имеют общих действительно
перемещаемых символов, то умножение соответствующих им подстановок степени п
коммутативно: S;Sy = syS;. Кроме того, подстановка 5 представима в виде
произведения соответствующих ее циклам подстановок:
s = s{s2...sk. (3.1)
Циклу Si можно поставить в соответствие запись (х, Si(x), ..., slj~\x)),
li = \Xi\, содержащую в определенном порядке те и только те элементы,
которые содержатся в орбите X-t. Эту запись также называют циклом
подстановки 5 длины Ц или 1гциклом. Так как в качестве х может быть выбран
любой элемент орбиты Xi, то данная запись цикла 5/ определена с
точностью до циклического сдвига элементов. Отсюда следует, что каждая
компонента связности соответствующего подстановке 5 орграфа Г(Х, s)
имеет в качестве компонент сильной связности контуры, отвечающие
циклам этой подстановки. Совокупность вершин каждой из компонент сильной
связности представляет собой орбиту, соответствующую некоторому циклу
подстановки.
Отметим, что если s~lSi = S/s"1 = е, где е—единичная подстановка, то
s-1 = 5]"1 .. .s^1 в силу коммутативности умножения циклов подстановки.
В дальнейшем всюду полагаем, что s^ = е, 1 ^ / ^ k.
Подстановка s e Sn принадлежит цикловому классу {1С<12С(2... п*"},
1а 1 +2«2 + .. . + поип = п, если она содержит^ циклов длины / = 1, 2, ..., п.
Обозначим через С(оа\, «2, ..., ая) число подстановок, содержащихся
в цикловом классе {1С<12С(2... п*п}. Выведем несколько иным способом
формулу (5.3) гл. I вида
1«1 +2«2 + ... + Пап = П.
Действительно, элементы в записи любой подстановки 5 из циклового
класса {1С<12С(2 .. .п*п} можно переставить п\ способами. Из этих переста-

§3. ЦИКЛЫ ПОДСТАНОВОК
179
новок С(аь а2, ..., ая) дадут различные подстановки из циклового класса
{1<Х|2С(2.. .я*"}, а Iе*12е*2... м0*"»!!.. .а„! вариантов перестановок будут
давать эквивалентные подстановки, так как циклическая перестановка
элементов каждого цикла и перестановка совокупностей элементов,
принадлежащих циклам одинаковой длины, не дают новых записей подстановок
из заданного циклового класса.
Ясно, что число различных цикловых классов в симметрической группе
подстановок Sn равно числу разбиений числа п, т. е. представлений п в виде
суммы п = l«i + 2а2 + ... + пъп.
2. Число циклов подстановок. Производящая функция для чисел
C(«i, а2, ...,«„):
Сп(хх ,х2,...,хп)= Y, С^. «2, • • •, «„)**' •. • 4", (3.3)
lot|+2ot2+...+rtot„=rt
называется цикловым индикатором совокупности всех подстановок
степени п. Очевидно, ЧТО С п (1, 1, ..., 1) = л!. Кроме того, если С^ — число
подстановок степени п, у которых имеется k /-циклов, a Cnk — число
подстановок степени п, у которых общее число циклов равно k, то
C(nk= E С(«,,«2,...,«„), (3.4)
1 а 1 +2«2+• • -+ла п —п
Cnk = ^2 С(0И, «2, • • • , OLn). (3.5)
lai+2a2+. ..+nctn=n
ot, +...+<*„ =k
Полагая в (3.3) сначала xi = х, хь = 1 для / ф /, а затем х\ = ... = хп = х,
соответственно получаем
с«м = ся(1,..., *,..., 1)=Y, с{У> <3-6)
п
Cn(x) = Cn(x,...,x) = J2CnkXk, (3.7)
где полагаем Сдо = Соо = 1, С^ = Спо = О при п ^ 1.
Рассмотрим производящую функцию для циклового индикатора:
F(t\ х\, х2, ...) = 22Сп(хих2ч ..., хп) —, (3.8)
где слагаемое при ах = 0 полагаем равным единице. Используя
формулы (3.2) и (3.3), найдем явное выражение для производящей функции (3.8)

180 ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
и одновременно обоснуем возможность использования в данной ситуации
производящей функции от бесконечного числа переменных. Из равенств
e*p{E^Un£(f)"i
Kj=\ ) j=\0Li=0 '
оо
следует, что
П=0 \0L\+...+n0Ln=n
(ОО Л \
E^-f- (3-9)
Кроме того, при вычислении коэффициента при tn/n\ в правой части
равенства (3.9) фактически можно использовать производящую функцию
( оо x.fj Л
ехР^ X) ~^~ \ от п+ I переменных. Полагая в (3.9) Х[ = х, хь = 1 при / ф /,
а затем х\ = ... =хп = х, с учетом формул (3.6), (3.7) и (3.8) находим
оо п
п=0
оо
tn
Ес^ = о -')■*, и<1- (з.п)
Из формулы (3.10) следует, что
[я//1/ п/
/=0
Из равенств (3.6) и (3.12) получаем формулу
[n/l\-k j
С'пЬ = Ш £ Т^Г' * = <U,-,[*//]. (3.13)
/=0
Разлагая правую часть равенства (3.11) по формуле бинома с
отрицательным показателем, получаем
Сп(х) = х(х + 1)...(х + п-1), я = 0, 1, ..., (3.14)
причем Со(х) = 1.
В равенстве
п
Х(Х- 1)...(х — П+1) =^5(А2, k)xk,
k=0

§3. ЦИКЛЫ ПОДСТАНОВОК 181
определяющем числа Стирлинга первого рода, заменим х на — х и умножим
обе части полученного равенства на (—1)". В результате получим
п
Jt(jt+l)...(jt + A7- 1) = £(-1)л+Л5(/1, k)Xk. (3.15)
k=0
Из (3.14) и (3.15) имеем (см. также (5.10) гл. I):
Cnk = (-l)n+ks(n,k). (3.16)
Положим Lr = (/ь /2, ..., //•), Кг = (k\, &2, • • -, &г) и обозначим через
Cn(Lr, Кг) число подстановок степени п, у которых имеется точно kt циклов
длины //,/=1,2,..., г. Тогда
C„(Lr, /Сг) = ^ C(ot,,ot2, ...,«л). (3.17)
l«i+...+««„ =л
0t/f =Л|, ...,<Xir=kr
Полагая в цикловом индикаторе xix=x\, ..., Х{г = хг и jc/ = 1, / ф 1\, ..., /г,
согласно формуле (3.17) получаем
Сл(*1, ..., хг, Lr, /Cr) = С„ (1, ..., х\, ..., хп ..., 1) =
= ^Cn(Lr,/Cr)jct'...^. (3.18)
С учетом (3.8) полагаем в обеих частях равенства (3.9) хц =х\, ...
..., xir = хг и Х[ = 1, / ф /i, ..., /г; получаем
£СЛ(*1, ..., хг, U Кг)- = у^ехрК*! - 1)/'' + ... + (хг - l)t*'}.
п=0
(3.19)
Из этого равенства имеем
Cn(xu...,xr,Lr,Kr)=n\ J2 ^^•••^7=ГГ- (320)
0<ft, ft^n
Из (3.18) и (3.20) получаем
Cn(Lr,Kr) = n\]l^- J2 ,/, ;., ... (З-21)
где индексы суммирования /i, ..., jr удовлетворяют условию Y^(ki + //)// ^
^п. При г = 1 формула (3.21) совпадает с формулой (3.13).

182 ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
3. Л-подстановки. В целом ряде комбинаторных задач
рассматриваются подстановки из цикловых классов {l*^*2...я*"}, для которых
каждый из показателей цикловых классов oti, ot2, ..., ал является элементом
некоторой последовательности. Для решения перечислительных задач
производящую функцию F(t\ x\, JC2, ...) вида (3.8) оказывается возможным
видоизменить в соответствии с заданными последовательностями.
Пусть Л/, / = 1, 2, ... — подпоследовательность последовательности
No = (О, 1, ...) и Л = (Ль Лг, .. .)• Производящую функцию от
бесконечного числа переменных
/^ь*2,...;Л) = П£(^)^ (3-22)
будем называть нумератором цикловых классов подстановок, когда
показатели цикловых классов определяются последовательностью Л =
= (Ль Лг, • • •)• Это означает, что если {1*12*2.. .rfn} — рассматриваемый
цикловой класс, то oty € Л/, т. е. oty принимает значения из
последовательности Л/, / = 1,2,...
Нумератор (3.22) запишем в виде
F(t; хь jc2, ...; Л)=У" *- Y ^Ц :Х«> .. .х%. (3.23)
п=0 1 а |+...+««„ =/г
tn
Из этой записи видно, что коэффициент при —х*х ...х*п в разложении
F(t\ jc 1, JC2, . •.; Л) равен С(аь «2, • • •, <*„), гдеа/-€Л/-,/=1, 2, ..., т. е. этот
нумератор перечисляет цикловые классы подстановок, у которых
показатели циклового класса аь «2, • • • определяются Л. Подстановки,
принадлежащие цикловым классам {l*^*2... я*"}, lotj + 2<*2 + ... + пап =
= п, п = 1, 2, ..., для которых oty G Лу, где Л = (Ль Л2, ...), называются
А-подстановками. Нумератор F(t; х\, х%, ...; Л) перечисляет цикловые
классы Л-подстановок.
Рассмотрим цикловой индикатор Л-подстановок степени п:
Сп(хих2,...,хп;А)= Y, С(«ь а2, ...,«/.)*!' ...<"• (3.24)
1«|+2«2 + ...+Л«„=Л
Из (3.22) и (3.23) следует, что
оо п оо ,/
Есп(,ь...,хп;Л)^ = ПЕ(^Гф- (3-25)
При Л7 = No = (О, 1, ...) равенство (3.25) соответствует равенствам (3.8)
и (3.9). Оно является источником получения разнообразных производящих
функций при различных заданиях Л.

§3. ЦИКЛЫ ПОДСТАНОВОК 183
Обозначим через СЛ^(Л) число Л-подстановок с k циклами, через
Cn(Lry Kr\ Л) — число Л-подстановок с kt циклами длины //,/=1,2,..., г,
где Lr = (l\, /г, ..., //•), Kr = (k\y k>2, ..., kr)y и через Сп(А) — общее число
Л-подстановок степени п.
По аналогии с формулами (3.7) и (3.18) имеем
оо
Сп(х; Л) = £ Cnk(A)xk = Сп(х, х, ..., х; Л), (3.26)
Сп(х{, ..., xr- Ln Kr\ Л) = J2 cn(Ln Kr\ A)xf■ ... xk/ =
Кг
= С„(1 jci jcr 1;Л), (3.27)
где последнее выражение получается из Сп(х\, ..., хп\ Л) заменой хц = х\,
..., xir = хг, Х[ = 1, / ф 1\, . . . , /г, причем kj е Л/., / = 1, 2, ..., г. Очевидно,
что, полагая Л7- = /Vo, /=1,2,..., из формул (3.26) и (3.27) получаем
соответственно формулы (3.7) и (3.18). Наконец, из (3.24) следует, что
Сл(Л) = Сл(1, 1,..., 1;Л). (3.28)
Из равенства (3.25) и формул (3.27) и (3.28) имеем
£«■<**)£-ПЕ(уГз- (3'29)
^2Сп(х\, ...,xr; Lr,Kr\ &)—\ =
п=0
-ПЕ (£)";£■* П Еф"'^ **»
/¥/ lr
Из формулы (3.28) и равенства (3.25) вытекает, что
л=0 /=1 otyGAy '
В качестве примера рассмотрим случай, когда Л7 = (q, 2q, 3q, ...), / =
= 1,2, ... Заметим, что
00 ql i 4
/=о уч h ч k=\
где / = >/—Г- Полагая у = i) 1\, из равенства (3.31) получаем выражение для
производящей функции чисел qCn, определяющих количество подстановок

184
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
степени я, у которых циклы каждой из длин могут встречаться lq раз,
/ = 0, 1,2, ...:
ОС п ОО / Q : \
Е^ = П(^Е«р{7^'})- <3-33>
Из этого равенства при q = 2 следует производящая функция для числа
подстановок 2СЛ, у которых циклы каждой из длин либо не встречаются,
либо встречаются четное число раз:
ОО п ОО :
£2^=ПК), (3.34)
л=0 /=1
rjxechy = (ey + e-y)/2.
4. Л-подстановки. Подстановки, у которых длины циклов являются
элементами последовательности А С N, называются А-подстановками.
Очевидно, что нумераторы Л-подстановок (3.29)—(3.31) могут быть
использованы для перечисления А -подстановок, если положить
л = / yv°' ] е л'
1 1(0), ЦА,
где /V0 = {0, 1, 2, ...}. Положим
ч(о=Ет <3-35)
W
и обозначим через C„k число А -подстановок с k циклами, а через С% —
общее число Л-подстановок. Тогда из формул (3.29) и (3.31) имеем
£С^=Л (3.36)
£с^=**«>, <3-37>
где
п
САп{х) = ^САпк{х)х\ (3.38)
£=0
причем Cq0 = Cq = 1.
Обозначая через C^(Lr, Кг), Lr = (/1, /2, . •., /г), Кг = (k\, k2, . •., &r),
число Л-подстановок, имеющих ki циклов длины /;, // е Л, / = 1, 2, ..., г,

§3. ЦИКЛЫ ПОДСТАНОВОК
185
и полагая
САп(хи х2 xr; U Кг) = J2 Сп^ *г)*?'*£ • • -*N (3.39)
Л,/,+...+Лг/г^Л
из равенства (3.30) получаем
£с^(хь *2, ..., *г; L„ /Cr)^ =expi a(f) + j>/ - 1)^ L (3.40)
n=0 ' { j=\ j )
5. Примеры Л-подстановок. Подстановка 5 степени я,
удовлетворяющая уравнению
s2 = e, (3.41)
где е — единичная подстановка, является инволюцией (см. §2 гл. III).
Инволюция содержит только циклы длины 1 и 2 и, следовательно, является
Л-подстановкой при А = {1, 2}. Если Ink — число инволюций с k циклами,
а 1п — общее число инволюций степени я, то из формул (3.36) и (3.37)
с учетом формул (3.35) и (3.38) имеем
£/п^=е<+<2/2, (3.42)
п=0
ЕЕ'**^^'72'- <3-43)
л=0 k=0
где /0 = /оо = 1 •
Если In'k и Ink — числа инволюций степени п с k соответственно
единичными и двоичными циклами, то из формулы (3.40) с учетом (3.39) при
г= 1 имеем
EE^ = **WV2- (3-44)
п=0k=0
оо [п/2]
ЕЕ'^ = *'+"72- (3.45)
л=0 £=0
В общем случае решениями уравнения
sd = ey (3.46)
где d — натуральное число, а е — единичная подстановка, являются такие
подстановки s, у которых длины циклов представляют собой делители
числа d. Ясно, что 5 есть Л-подстановка, где А = {/: / | d} (j\d означает, что
/ делит d).

186 ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Пусть Qn(d) — число подстановок 5 степени я, которые являются
решениями уравнения (3.46), a Qnk(d) — число таких подстановок, которые
дополнительно имеют k циклов. Тогда из (3.36) и (3.37) имеем
E^S^pJEy}' (347)
л=0 I j\d )
Х>(*;^=ехрг£т1' (348)
п=0 { j\d )
где
п
Qn(x;d) = J2Qnk(d)xk. (3.49)
Дифференцируя обе части равенства (3.48) по / и вычисляя коэффициент
при tn/n\, приходим к соотношению
<?„+1 (x; d)=x5>)7_i <?„_,+! (х; d), (п)о = 1. (3.50)
Полагая х = 1, получаем
<?„+1 (d) = ^(A2)y-1 Qn-j+l (d), (П)0 = 1 • (3.51)
i\d
Если d = p, где р — простое число, то (3.50) и (3.51) принимают вид
<?„+! (х; р) = x(Qn(x; р) + (п)р-{ Qn-P+\(*; р)),
Qn+\(p) = Qn(p) + (n)p-iQn-p+i(p).
Из формул (3.47) и (3.48) следует, что производящие функции при d = р
имеют вид
Т,0п(р)^ = е^, (3.52)
п=0
J2Qn(x;p)^ = ^'p/"\ (3.53)
Вычисляя коэффициент при tn/n\, находим
[л/2]
Qn(^P) = nlj:^r^- (3-54)
xn-(p-\)k
k=0

§3. ЦИКЛЫ ПОДСТАНОВОК 187
Полагая х = 1, получаем формулу
Qn(P) = J2^z^.- (3-55)
6. Подстановки с конгруэнтными циклами. Подстановку 5
степени п будем называть подстановкой с конгруэнтными циклами, если
существуют такие числа аир, 1 ^ (3 ^ а, что длины циклов 5 сравнимы
с р по модулю а. Обозначим через S„(a, p) множество таких
подстановок. Очевидно, что если 5 е S„(a, P), то 5 является Л-подстановкой при
А = (р, а + р, 2а + р, ...). Роль функции а(/) вида (3.35) играет функция
а<*а'Р>=£;Ьв- (3-56)
/=0
С помощью корней степени а из единицы можно записать
1
' *=1
а(/; а, р) = -- ^e-a*«/« in(l - te2^<>), (3.57)
где имеется в виду главное значение логарифма. Из формулы (3.57), в
частности, следует, что при р = а
а(/;а, а) = -^1п(1 - f). (3.58)
Далее, если а — четное, то при р = а/2
a{t\ а, а/2) = - 1п((1 + /°*/2)/(1 - Г/2)). (3.59)
Обозначим через Сл^(а, р) число подстановок 5 £ 5л(а, р), имеющих
/г циклов, а через Сл(а, р) — общее число подстановок в Srt(a, р) и
положим
п
Сп(х- а, р) = J2С„а(«, P)xk. (3.60)
Тогда из формулы (3.36) с учетом (3.56), (3.58), (3.59) имеем
^2Сп(х;*,*У- = (1-П-х/«, (3.61)
п=0
оо п
J2Сп(х; «, */2)*- = ((1 + /«/2)/(1 - ГР))х/\ (3.62)
л=0

188
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Из равенств (3.61) и (3.62) находим
Сп(х; а, а) = { V л/а У' ' (3.63)
U, otf л,
2л/«
£,(*;«, «/2) = -( •^W«-/n / У' 2' ' (364)
О, ft«;
отсюда с учетом равенства Сл(а, р) = Сл(1; а, (3) при jc = 1 получаем
выражения для Сп(<х, а) и Сл(а, а/2).
7. Четные и нечетные подстановки. Декрементом цикла длины /
подстановки 5 назовем число 1-Х. Декремент подстановки
полагается равным сумме декрементов циклов, на которые она разлагается. Таким
образом, декремент подстановки 5 степени я, имеющей k циклов, равен
п - k. Подстановка 5 называется четной, если ее декремент — четное
число, и нечетной — в противном случае. Так как определение
декремента зависит от степени подстановки, то ясно, что четные и нечетные
подстановки не являются Л-подстановками.
Найдем выражение для Сп(х\, х%, ..., хп) и С°п(х\, х%, ..., хп) —
цикловых индикаторов соответственно четных и нечетных подстановок.
Заметим, что подстановка 5 из циклового класса {1в|2*2.. .п*п} четна тогда
и только тогда, когда имеет место равенство (—1)«2+«4+... = \ т е КОгда
циклы четной длины в совокупности встречаются четное число раз. Отсюда
следует, что
Сп(х\,х2, ...,хп) =
= \ Е 0 + (-ir2+ct4+-)C(a,, a2, ..., «„)*«'дс* ■. ■**,
l0t|+...+rt0t„=rt
Сп(Х\, Х2у • • • , Хп) =
= 2- £ о - (-ir+<u+-)c(«1, «2,..., «nwq ■ ■ х--
l«|+...+rt«„=rt
Из этих равенств получаем следующие формулы:
2Сп(Х\, Х2, ...,Хп) = Сп(Х\,Х2, -.., Хп) + Сп(Х\, -Х2, Хз, -*4, •■•). (3.65)
2С°п(Х\,Х2, -.., Хп) = Сп(Х\,Х2, ••-, Хп)-Сп(Х\, ~Х2, Хз, -*4, • • •)• (3.66)
Обозначим через Cnk и С°^ число четных и нечетных
подстановок степени nek циклами соответственно. Полагая в (3.65) и (3.66)

§4. ГРАФЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
189
х\ = х2 = • • • = хп = х, получаем
п
2^Cnkxk = х(х + 1)... (х + п - 1) + х(х- 1)... (х- п + 1),
п
2^C°nkxk = х(х + 1)...(х + п - 1) - х(х - 1)... (х - п + 1).
Из этих равенств, согласно (3.15) и (3.16), получаем формулы
Cnk = ±(|ф, k)\ + s(n, k)), C°nk = 1(|ф, k)\ - s(n, k)),
где s(ny k) — числа Стирлинга первого рода.
§ 4. Графы преобразований
1. Строение графа преобразования. Рассмотрим симметрическую
полугруппу &п преобразований я-множества X. Для каждого а € &п на
множестве X определим отношение эквивалентности, полагая х~ х', если
существуют такие целые неотрицательные числа / и /, что al(x) = <j/(jc'),
jc, x' e X. Соответствующие классы эквивалентности будем называть
компонентами преобразования а.
Рассмотрим ориентированный граф Г(Х, а), вершины которого
помечены элементами множества X. Две вершины х и х' соединены дугой (jc, jc'),
если jc' = a(jc). Этот ориентированный граф называется графом
преобразования о. В силу однозначности преобразования а из каждой вершины jc
графа Г(Х, a) выходит ровно одна дуга. Это свойство позволяет
полностью описать строение графа Г(Х, о). Пусть Х\ — компонента
преобразования а и <п — сужение преобразования а на компоненту Х\, Х\ С X.
Граф Г(Х\, <п) будем называть компонентой связности графа Т(Х, о).
Так как граф Т(Х, о) разбивается на компоненты связности, то достаточно
дать описание каждой из этих компонент.
Предварительно напомним некоторые определения.
Последовательность дуг графа Г(Х, а), в которой конец предыдущей дуги является
началом следующей, называется путем. Путь называется элементарным,
если все его вершины различны. Элементарный путь, у которого начальная
вершина совпадает с конечной, называется элементарным контуром.
Элементарный контур, содержащий одну вершину, называется петлей.
Элемент jc £ X называется циклическим относительно преобразования
a £ &п, если существует такое целое число р > О, что ор(х) = х.
Соответствующую вершину jc графа Г(Х, о) будем также называть
циклической. Наименьшее целое число h ^ О называется высотой элемента jc £ X
относительно преобразования a £ 6Л, если существует такое натуральное

190
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
число р, что ah+p(x) = oh(x). Элемент высоты h = 0 является
циклическим. Перейдем теперь к описанию компоненты связности Т(Х\У о\) графа
Т(Х, а).
Лемма 1. Все циклические вершины компоненты связности
Г(Х\, о\) графа Г(Х, о) связаны единственным элементарным
контуром.
Действительно, пусть х — циклический элемент и р > 0 есть
наименьшее число такое, что х = ор(х). Тогда все элементы
последовательности jc, <j(jc), ..., ор~х(х) различны и в силу условия х = ор(х) в графе
Т(Х\, о\) связаны элементарным контуром. Допустим, что в Х\
существует циклический элемент х', не принадлежащий указанной
последовательности и такой, что х' = aq(xr). Так как х и х' принадлежат одной
компоненте, то существуют такие / и /, что &(х) = aj(xr). Следовательно,
а/'(<7-1)+'(я) = ач(х'} = х'. Отсюда следует, что х' принадлежит
рассматриваемой последовательности, что противоречит выбору х'.
Из леммы вытекает, что сужение а преобразования а на
циклические элементы представляет собой подстановку, степень которой
совпадает с числом циклических элементов а, а число циклов — с числом
компонент а. Эта подстановка а называется остовом а.
Пусть х е Х\ — циклическая вершина Г(Х, о) и ГХ(Х\, о\) — подграф
компоненты связности Г(Х\, <п), имеющий своими вершинами, помимо jc,
нециклические элементы х1, принадлежащие Х\ и такие, что d(x') =x при
некотором / = 1,2,... Из однозначности преобразования о следует, что
каждая вершина этого подграфа jc', имеющая высоту h, связана с
вершиной jc единственным элементарными путем jc', cf(jc'), ..., ah(x'), gf^jc') = jc.
Ориентация всех этих путей направлена от нециклических вершин большей
высоты к нециклическим вершинам меньшей высоты. Без учета
ориентации подграф Г*^!, <п) является корневым деревом с корнем в точке jc.
Отсюда вытекает лемма.
Лемма 2. Подграф ГХ(Х\, о\) является корневым деревом, все
ребра которого обладают ориентацией, направленной к корневой
вершине х.
Из лемм 1 и 2 вытекает теорема.
Теорема 1. Граф Г(Х, а) состоит из одной или нескольких
компонент связности. Каждая компонента связности состоит из
единственного элементарного контура и корневых деревьев,
корнями которых являются циклические вершины этого контура.
2. Л-преобразования. Пусть А = (а\, а<±, . •.) есть некоторая
подпоследовательность из N. Обозначим через &п(А) множество всех
преобразований о е&п множества X, для которых размеры контуров графа Г(АГ, а)
являются элементами последовательности Л. Элементы &п будем называть
А-преобразованиями. Ясно, что взаимно однозначное Л-преобразование

§4. ГРАФЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 191
является Л-подстановкой. Если А = (1), то &п(А) состоит из совокупности
преобразований о е&п таких, что граф Т(Х, о) является корневым лесом,
причем у каждого корня имеется дополнительно петля.
Обозначим через [/(£, /; п\, п<±, ..., яь А) число Л-преобразований
о G &п(А)У имеющих/ компонент и k циклических элементов, являющихся
одновременно корнями k деревьев графа Т(Х, а), которые при
фиксированном порядке обхода имеют соответственно п\, п<±, ..., rik вершин.
Лемма 3. Если Су — число А-подстановок степени k с j
циклами, то
U(kJ;nun2,...,nk;A) = ^ *2 , ~'п? С* (4.1)
v J l l n ' k\ nx\n2\...nk\ kl v ;
П\ +П2 + ... + tlk =П.
Действительно, число способов образования остова о G &п(А) равно
\и)С^г число корневых деревьев с фиксированным номером корня и т
вершинами равно mm_2, количество способов распределения п - k некор-
невых вершин для образования деревьев есть ттгт-1—тгг—; ттт-
{Щ - 1)! («2- !)!••• (nk- 1)!
Перемножая полученные величины и проводя необходимые упрощения,
убеждаемся в справедливости леммы 3.
Обозначим через Un(k, /; А) число преобразований с k
циклическими элементами и / компонентами. Через Un(k, /'; А) очевидными образом
выражаются числа преобразований Un(k\ А) и Unj(A) соответственно с k
циклическими элементами и/ компонентами, а также Un(A) — общее число
Л-преобразований a G &п(А):
k
Un(k;A)=Y,Un(kJ;A), (4.2)
/=i
Unj(A)=J2Un(kJ;A), (4.3)
k=j
n k
^)=EE^^)- <4-4)
k=\ /=i
Для удобства в дальнейшем будем полагать, что
[/о(0, 0; А) = f/0(0; A) = U00(A) = U0(A) = 1. (4.5)
Кроме того, будем считать, что Un(k, /; А) = 0, если нарушено хотя бы
одно из неравенств j ^k^n. Найдем явное выражение для Un(k, /; А).
Лемма 4. Если Cd — число А-подстановок степени k с j
циклами, то
Un(k,j-A) = (nkZ\)nn-kCAkj, Л = 0,1,...; / = 0,1,... (4.6)

192
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Действительно, согласно лемме 3
П\+...+Пк=П
/1,^1
П\\щ\. . .П/г\
Применяя тождество (2.10), получаем
п\ knn~k-{
Отсюда после очевидных преобразований получаем формулу (4.6).
В качестве следствия из леммы 4 и формулы (4.2) находим
Un(k;A) = (nkZ\)nn-kCt 6 = 0, 1, ..., (4.7)
где С£ — число Л-подстановок степени k. Аналогично из леммы 4 и
формул (4.3) и (4.4) получаем
^/И)=ЁЙ:!У~*с*г /=o,i,..., (4.8)
ад)=ЕЙ:!У"*с*' «=о,1,... (4.9)
Рассмотрим теперь совокупность преобразований о е&п без
ограничений на контуры соответствующих графов. Обозначим через Un(k, j)
число преобразований о £ &п с k циклическими элементами и/ компонентами.
Полагая А = N, из (4.6) получаем
ад,/) = Й:[)лп-*и*,у)1. (4.Ю)
где s(ky j) — числа Стирлинга первого рода.
Аналогичным образом из формул (4.7) и (4.8) находим выражения для
Un(k) и Unj — чисел отображений с k циклическими элементами и /
компонентами соответственно:
Un(k) = k(n)knn-k-\ * = 0, 1,..., (4.11)
Uni = J2(nkZ\)nn-k\s(kJ)l / = 0,1,... (4.12)
k=j
При j = k\\3 формулы (4.10), в силу равенства s(k, k) = \, получаем
выражение для числа лесов с п вершинами, состоящих из k корневых деревьев:
rw = un(k,k) = (nkz\)nn~k' (4ЛЗ)

§4. ГРАФЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 193
Эта формула совпадает с (2.13). При k = 1 из (4.13) следует выражение
для числа корневых деревьев с п вершинами:
гл = [/л(1, \) = пп-х. (4.14)
Из формулы (4.9) при А = N получаем тождество
п
nn=Y,(nkz\)nn~kk]~ (415)
Так как \s(k, 1)| — число полноцикловых подстановок степени й, то
\s(k, l)\=(k— 1)!. Поэтому из (4.12) получаем следующее выражение для
числа преобразований а е &п с одной компонентой:
п-\ k
Unl=(n-l)\J2^- (4-16)
3. Производящие функции Д-преобразований. Рассмотрим
производящую функцию от бесконечного числа переменных:
Q(t,x, z,yu у2, ...; А) =
=EEE---E^/^b...^b^vy;'---f;y, (4.17)
k=0j=0ni=0 nk=0
где f/(0, 0, 0, ..., 0; А) = 1 и U(k, /'; п\% ..., rik\ A) = 0, если часть
переменных равна нулю, а часть отлична от нуля.
Найдем выражение производящей функции (4.17) через производящую
функцию числа корневых деревьев
оо п
л=0
Умножим обе части (4.1) на xkzi(y\t)ni ... {ykt)nk/{n\ + ... + rik)\ и
просуммируем по всем значениям индексов. В результате получим
Q(t, х, z,yi,y2,...;A) = ££ CAkj^z>r(yit)... r{ykt). (4.19)
k=0 /=0
Полагая у{=у2 =.. , = \ и меняя порядок суммирования, из (4.17)
получаем
оо п k
Q(t,x, z, 1, 1, ...; A) = YlY,Y,U«(k*b АЧхЧ' (420)
л=0 k=0 /=0
С другой стороны, полагая у\ = у2 = • • • = 1, из (4.19) находим
Q(t,x,z, 1,1,...;A) = 1£YfCAN^.2f. (4.21)
k=0 /=0

194 ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Рассмотрим теперь производящую функцию
оо п k
Q(U *, z; Л) = £££ад,/; A)l-xkzK (4.22)
л=0 k=0/=0
Используя обозначение
и формулу (3.36), из (4.20) и (4.21) получаем следующую теорему.
Теорема 2. Производящая функция Q(t, x, z\ А) следующим
образом выражается через производящую функцию r(t) для числа
корневых деревьев:
Q(t, х, z\ A) = exp{za[xr(t)]}. (4.23)
Из теоремы 2, полагая соответственно z = 1 и х = 1, получаем
выражения для производящих функций Л-преобразований по числу циклических
точек:
~ JL tn
ехр{фг(*)]} = Y,J2U^ А)^> <4'24)
и по числу компонент:
ехр{га[г(0]} = Т.Т.и^У' <4-25)
л=0/=0
Полагая г = х = 1, из формулы (4.23) получаем производящую функцию
для общего числа Л-преобразований:
exp{a[r(t)]}=J2Un(A)^. (4.26)
Рассмотрим теперь производящую функцию
п k
qn(x, z;A)=J2J2 U^ '- А^' <4'27)
k=0 /=0
Из (4.22) следует, что
Д 4П
Q(t,x,z;A)=J2qn(x,z;Ay-. (4.28)
л=0

§4. ГРАФЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 195
С другой стороны, умножая обе части равенства (4.6) на xkzl и суммируя
по / и по й, получаем согласно (4.27)
п
qn(x, z;A) = J2(lZ \)nn~kCk(z\ A)xk, (4.29)
k=\
где
k
Ck{z-A)=Y,CAkjzi. (4.30)
/=o
Из (4.29) с учетом формулы (2.13) имеем
п
qn(x, z- Л) =£/f >C*(z; A)xk, (4.31)
k=\
где г$ — число лесов с п вершинами, состоящих из k корневых деревьев.
Умножая обе части равенства (4.31) на tn/n\ и суммируя по всем значениям
/2 = 0, 1, ..., с учетом (4.28) имеем
оо оо
<Ж х, г; А) = £сЛ(г; Л)**£г<?>^, (4.32)
k=0 n=k
где полагаем г^ = 1. Принимая во внимание формулу (2.25), получаем
оо k
Q(t, х, г; Л) = £ С,(г; Л)г*(0^, (4.33)
/г=0
откуда с учетом формулы (3.36) находим выражение для Q(t, x, г; А)
вида (4.23).
Вычисляя коэффициент при xkzj в обеих частях равенства (4.31),
получаем формулу
Un(kJ;A) = CAkjr%\ 6 = 0,1,...; / = 0,1,...; /г = 0, 1, ... (4.34)
Впрочем, эта формула непосредственно вытекает из формул (2.13) и (4.6).
Содержание равенства (4.34) может быть сформулировано в виде
следующей теоремы.
Теорема 3. Число А-преобразований п-множества с k
циклическими элементами и j компонентами равно произведению числа
А-подстановок степени k с j циклами на число лесов с п вершинами
и k корневыми деревьями.
Доказательство теоремы сразу следует из того, что граф
Л-преобразования /2-множества получается из корневого леса с п вершинами путем
взаимно однозначного отображения его корней. Ясно, что это соображение
может быть использовано при выводе равенства (4.34).

196 ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
4. Производящие функции АБ-преобразований. Пусть задана
некоторая совокупность свойств В, которыми может обладать некоторое
дерево. В качестве примера совокупности В можно рассматривать
свойства, связанные с ограничениями на степени вершин дерева, на длину путей
в дереве и т. п. Обозначим через гп(В) число корневых деревьев с п
вершинами, обладающих совокупностью свойств В, а через гу(В) — число лесов
с п вершинами, состоящих из k корневых деревьев рассматриваемого вида.
Л-преобразование я-множества называется АВ-преобразованием, если
корневые деревья, являющиеся подграфами графа Л-преобразования,
удовлетворяют совокупности свойств В.
Имеет место следующее обобщение теоремы 3.
Теорема 4. Число АВ-преобразований с k циклическими
элементами и j компонентами Un(k, /; АВ) равно произведению числа
А-подстановок степени k с j циклами CAkj на г^(В) — число лесов
с п вершинами, состоящих из k корневых деревьев, обладающих
совокупностью свойств В, т. е.
Un(k,j;AB) = CAkjrW(B). (4.35)
Доказательство ничем не отличается от доказательства теоремы 3.
Рассмотрим производящую функцию числа деревьев, обладающих
совокупностью свойств В:
00 п
r(x;B)=Y,rn(B)^. (4.36)
П = \
Аналогично формуле (2.12) имеем следующее выражение для числа лесов
рассматриваемого вида:
г^(В) = 1 J2 }^П'(В)---г<ЛВ). (4.37)
/I +...+/*=«
Из (4.36) и (4.37) получаем следующее обобщение формулы (2.25):
1 °° П
ir*(*;B)=][><f>(B)^. (4.38)
n=k
Умножим обе части равенства (4.35) на xkzHn/n\ и просуммируем по всем
допустимым значениям индексов й, /*, п. Получаем следующее обобщение
формулы (4.23):
оо п k £ j п
ЕЕЕ^*- I- AB)^=exp{za[xr(t; В)}}. (4.39)
л=0 k=0 /=0

§4. ГРАФЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 197
5. Частные случаи. 1. Рассмотрим всевозможные преобразования
/2-множества без каких-либо ограничений на контуры и деревья
соответствующего графа. Этому случаю соответствуют Л-преобразования при
А = N. Введем следующие обозначения:
Un{k, j) = Un{k, /; N), Un(k) = Un(k; N),
Unj = t/„/(N), Un = ип(Щ Ckj = CNkj.
Из формул (4.22) и (4.23) в данном случае следует, что
оо п к п
п=0 k=0 /=0
Левую часть равенства (4.40) при \х\ < l/\t\, \t\ < l/е разложим по
формуле бинома. Имеем
оо оо п п
£(2 + *-y^)=£^][>(z+l).Mz + *-l)^. (4-41)
Из равенств (4.40) и (4.41), вычисляя коэффициенты при xktn/n\ и
применяя затем формулу (2.13), получаем
k
J2 Vn(k, j)zj = (j " \)nn~kz(z + 1)...(z + k - 1). (4.42)
/=0
Вычисляя коэффициент при zl в обеих частях этого равенства, получаем
формулу для числа преобразований п-множества с k циклическими
элементами и / компонентами:
Un(kJ) = (n)knn-k-ilj^, k = l,2,...,n, (4.43)
где s(k, j) — числа Стирлинга первого рода. Ясно, что формула (4.43)
совпадает с полученной ранее формулой (4.10).
2. Рассмотрим теперь случай, когда контуры графов Л-преобразова-
ния могут быть только петлями. Это соответствует выбору Л = (1). Ясно,
что в этом случае графы преобразований представляют собой леса,
состоящие из корневых деревьев с петлями в корне. Так как a(f) = t, то из
формулы (4.24) в данном случае получаем
оо л
exp{xr(0}=X)Ef?)^- <4-44>
Вычисляя в обеих частях этого равенства коэффициент при хк, получаем
выведенную ранее формулу (2.25).

198
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Аналогичным образом из формулы (4.26) в рассматриваемом случае
получаем выражение для производящей функции для Ln — числа лесов с п
вершинами, состоящих из корневых деревьев:
^ tn
er{t) = J2L"7r <4-45)
С учетом формулы (2.16) из равенства (4.45) получаем
r(t) = Y,nL"-4r <4'46)
/1=1
Вычисляя коэффициент при tn/n\ в обеих частях равенства (4.46),
приходим к формуле (2.13).
3. Пусть xi, Х2, ..., Ил — кратности вершин дерева и свойство В
состоит в том, что Xi ^ 1, / = 1, 2, ..., п. Обозначим через Rn число свободных
деревьев с п вершинами, обладающих этим свойством, а через Rn —
соответствующее число корневых деревьев. Из алгоритма Прюфера следует,
что каждому такому свободному дереву ставится в соответствие
заполнение п различных ячеек п - 2 различными предметами, причем каждая
ячейка содержит не более одного предмета. Отсюда следует, что
1, п\/2, п ^ 2,
R- = {nn</2, n>2. <448)
Производящие функции для этих величин при |/| < 1 имеют вид
E^ = K, + rh)' (4-49)
п=\
Е^ = Ю + (Г^)- (4-50)
Согласно формуле (4.38) производящие функции для — числа
свободных лесов — и Rffi — числа корневых лесов — имеют соответственно вид
Х^а-иК' + гЬ)'- <«')
fl=k
1Х'£=4(|+о^)'- <452>
л=/г

§4. ГРАФЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 199
Вычисляя коэффициенты при tn/n\, получаем следующие формулы:
1, n = k,
«•-^Еое-г-ч-'). »>*• <453)
" v=l
1, n = k,
*iM^E(t)("-l+_2r')- «>*■ <4'54)
v=l
Положим А = N и обозначим через Vn(k, j) число ЛВ-преобразова-
ний /2-множества с k циклическими элементам и / компонентами, причем
В— указанное выше свойство деревьев. Из формулы (4.35) следует, что
\s(k,j)\, n = k,
Vn(k,j) = \ n\\s(k,j)\Yfk\fn-k + 2*-\\ „^h (4-55)
v=l
■Eoe-^-2;-1)- •>*•
Из формулы (4.55) суммированием по / получаем формулу для Vn(k) —
числа ЛВ-преобразований я-множества рассматриваемого вида с k
циклическими элементами:
k\,
2*
±®(-
- k + 2v -
2v-l
■■)•
n = k,
п > k.
Vn{k)={ n\^fk\tn-k + *-\\ ... , (456)
V=l
Отсюда суммированием по k получаем общее число ЛВ-преобразований
рассматриваемого вида:
^•i+EiSEGK"-*.*-*-')- <457»
k=\ v=l
Наконец, формула (4.39) в данном случае имеет следующий вид:
[l-T(l + wh?)Y =EEE^/)^- (4.58)
v ; л=0 k=0 /=0
4. Рассмотрим теперь деревья с п вершинами, у которых кратности
вершин хь иг, . •., Ил таковы, что имеется единственное значение / такое,
что Xi = 2, а для всех / ф i имеем х} ^ 1. Такое свойство деревьев
обозначим через В\. Снова используя алгоритм Прюфера, убеждаемся, что числа

200
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
свободных и корневых деревьев с п вершинами, обладающих свойством В\,
соответственно равны
*n(fii) = -j£(/i-2)2, (4.59)
Rn(Bi) = ^n(n-2)2. (4.60)
Используя формулы (4.59) и (4.60) при |/| < 1, находим выражения для
соответствующих производящих функций:
Е^КГбоЬр (4-61)
?><*>£=1^- <4-б2>
С помощью формулы (4.38) из равенств (4.61) и (4.62) получаем
формулы для чисел лесов с п вершинами, состоящих из k соответственно
свободных и корневых деревьев:
«•w-raCi-V)- <463»
«'<во = ^ £<-<)("«'-", У"'- <464>
* /=0
С помощью формулы (4.35) из равенства (4.64) получаем выражение для
числа отображений я-множества, для которых деревья соответствующих
графов обладают свойством В\\
^(вО-ЕрВ-^б)^*-"!1)4^ «=1.2. - (4-65)
k=\ /=0
§ 5. Блоки
В графе Т(Х, W) вершина х еХ называется точкой сочленения,
если удаление этой вершины вместе с инцидентными ей ребрами увеличивает
число компонент связности графа Г(Х, W). Связный граф, не имеющий
точек сочленения, называется блоком. Если п — число вершин графа, то при
п = 1 понятие блока не определено. При п = 2 граф, имеющий
единственное ребро, является блоком, причем обе вершины не являются точками
сочленения. При п > 2 любое дерево с п вершинами не является блоком
и все вершины, за исключением концевых, являются точками сочленения.
С другой стороны, при /2^2 любой полный граф с п вершинами является
блоком и ни одна из вершин не является точкой сочленения. Блоком
связного графа Т(Х, W) называется его максимальный связный нетривиальный

§5. БЛОКИ 201
подграф, не имеющий точек сочленения. Если этот подграф совпадает со
всем графом, то сам граф Г^, W) является блоком. Примером блока
графа является цикл, содержащий п ^ 2 вершин.
Ниже будем рассматривать класс графов с п вершинами, у которых
совокупность ребер представляет собой произвольное /^-сочетание из
всевозможных (Л ребер, 0 ^ k ^ (Л.
Обозначим через Сп число связных графов в рассматриваемом классе,
а через Вп — соответствующее число блоков с п вершинами. Рассмотрим
производящие функции
С(х)~-
В(х)-.
^ УП
-Ec-ir-
/1=1
/г=2
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Производящие функции (5.1),
ношением
С'(х) = ехр{В'[хС'(х)]}у
(5.2)
связаны
(5.1)
(5.2)
соот-
(5.3)
где штрих означает производную по х.
Прежде чем приступить к доказательству теоремы, введем некоторые
обозначения. Граф называется корневым, если у него одна вершина,
называемая корнем, выделена среди других вершин. Обозначим через С„'
число корневых связных графов с п вершинами, у которых корень
принадлежит k блокам, а через Cn(k) — число таких же графов, но у которых
корень не является помеченным, или, что то же самое, имеет
фиксированную метку. Ясно, что
С^=пС^\ 6 = 0, 1, ...,м- 1, (5.4)
где полагаем С\ = 1, Сп = 0, п > 1.
Обозначим через Сп число корневых связных графов с п вершинами,
а через Сп — число таких графов, но с непомеченным корнем.
Очевидно, что
Сп=пСп, Сп = пСп, я = 1,2, ... (5.5)
Отсюда следует, что
Сп = Сп, /1 = 1,2,... (5.6)
Кроме того,
£.=£<#>. Cn=J2cM. (5.7)
k=0 k=0

202
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Рассмотрим производящие функции
С*(*)=£СЙ,£, (5.8)
n=k
00 п
Ck(x)= £ Сп]Ь> k=\,2,... (5.9)
/I=fc+1
Из равенства (5.4) следует, что эти производящие функции связаны
соотношением
Ck(x) = -Ck(x), k= 1,2, ... (5.10)
Суммируя обе части равенства (5.8) и обе части равенства (5.9) по k от 0
до оо и применяя равенства (5.7), убеждаемся, что
оо п оо
/г=1 ' k=0
оо w оо
C(*) = ££»+i^=£C*W- (5.12)
/г=0 * &=0
Отсюда, с учетом равенства (5.10), следует, что
С(х) = -С(х) = С'(х). (5.13)
Лемма 1. Число связных корневых графов с п+ \ вершинами,
у которых корень принадлежит k блокам и не является помеченным,
вычисляется по следующей формуле:
Mk) _\_ v- n\ g(i) ^(i) ь-о 1 п (Ь\*\
/|+...+/А=Я
Рассмотрим & корневых графов с j\ + 1, ..., jk + 1, /i + ... + jk = n,
вершинами соответственно, причем в каждом из этих графов корень не
помечен и принадлежит единственному блоку. Склеивая корни этих графов
в один корень, получаем граф с п + 1 вершинами, у которого корень не
помечен и принадлежит k блокам. Обратная операция переводит граф с п + 1
вершинами и непомеченным корнем, принадлежащим k блокам, в k графов,
у каждого из которых непомеченный корень принадлежит единственному
блоку.
В формуле (5.14) коэффициент п\ (k\j\\.. ./V)-1 дает число вариантов
распределения меток по графам с j\ + 1, ..., jk + 1 вершинами
соответственно, у которых непомеченные корни принадлежат каждый
единственному блоку. Число способов построения таких графов равно Cl+i • • • ^+i.
Этим лемма доказана.

§5. БЛОКИ 203
Равенство (5.14) эквивалентно следующему соотношению для
производящих функций:
Ck(x) = ±(Ci(x))k, k=0, l,... (5.15)
Суммируя по всем k обе части равенства (5.15) и принимая во внимание
формулу (5.12), находим
C(jc) = /,(x). (5.16)
Лемма 2. Пусть СЦ — число помеченных связных корневых
графов с п вершинами, у которых корень принадлежит
единственному блоку с q вершинами. Тогда
С$=пВп, (5.17)
C"<7=S<7(^—% J2 /iL../Ji!6/,,+i'"^-, + i' (5Л8)
/i+...+/,-1=я-<7 Я
где Вп — число блоков с п вершинами.
Прежде всего, если корень принадлежит блоку с п вершинами, то сам
корневой граф является блоком и, следовательно, равенство (5.17)
справедливо. Сумма в равенстве (5.18) представляет собой число способов
образования q - 1 связных корневых графов с п - q вершинами, у
которых корни не помечены. К q — 1 непомеченным корням добавляем еще
один непомеченный корень. Затем (Л способами выбираем ^-сочетание
для пометок этих корней и qBq способами строим из них корневой блок.
Умножая (AqBq на упомянутую сумму, получаем число корневых связных
графов, у которых корень принадлежит единственному блоку с q
вершинами. Этим формула (5.18) доказана.
Рассмотрим производящую функцию
Cw=E^J[- (519)
n=q
Из (5.18) следует, что
C^(x) = Bqj^-^(C(x))"-\ (5.20)
где производящая функция С(х) определена равенством (5.12). Из (5.13)
и (5.20) следует, что
C^H^r^CWr'. (5.21)

204
ГЛ. IV. ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Очевидно следующее равенство:
C^=Y,C% (5.22)
<7=2
выражающее тот факт, что размер единственного блока, которому
принадлежит корень, принимает значения q = 2, 3, ..., п.
Из (5.9) и (5.22) следует, что
оо
CiM =£<#>(*). (5.23)
q=2
Теперь из формул (5.21) и (5.23) вытекает, что
«««£*№. <524)
Далее, из равенств (5.10) и (5.13) с учетом формулы (5.24) получаем
Cl(,) = £W£<* (5.25,
Таким образом, согласно равенствам (5.2) и (5.25)
С{{х) = В'{хС{х)). (5.26)
Подставляя это выражение для С\(х) в формулу (5.16) с учетом
равенства (5.13), приходим к соотношению (5.3). Этим теорема доказана.
Выведем теперь некоторых дополнительные соотношения,
являющиеся следствиями соотношений для производящих функций. Дифференцируя
обе части равенства (5.16), получаем
С'(х) = С\(х)С(х). (5.27)
Вычисляя коэффициенты при хп/п\ в обеих частях равенства (5.27), с
учетом равенств (5.8) и (5.12) имеем
С/1+2 = 22 {jjCj^Cn-j+u
/=о
что эквивалентно равенству
п
Cn+i=Y,{njZl)c(*lA-i+i- (5-28)

§5. БЛОКИ 205
Используя (5.4) и (5.6), из соотношения (5.28) получаем
c»+i = Е ттт С : О с8«c«-'+l • (5-29)
7=1
Из равенства (5.29) можно получить соотношение, связывающее
величины Сп и Вп, п=0, 1, ... Просуммируем по q обе части равенства (5.18)
с учетом формулы (5.17). Принимая во внимание формулу (5.6), в
результате получим
Вп V- П\
q=2 j\+...+jq-\=n-q ч
Из формул (5.29) и (5.30) получаем соотношение
сп+\=Вп+\+2^\я-\)вя 2^ yv.../v x
q=2 /-1+...+^_1=/1_<7+i
xC/l+i...C,f.I+i. (5.31)
Данное соотношение хотя и громоздко, но может быть использовано для
табулирования величин Вп при известных значениях С&, k = 0, 1, ..., м,
а также при асимптотическом анализе В„, когда п —> оо.
Теорема 2. £Ъш Вл — часло блоков с п помеченными
вершинами, то имеет место следующее равенство'.
lim 2"^fl„ = l. (5.32)
/г—к»
Иными словами, для больших п почти все графы являются блоками.
Из соотношения (5.29) с учетом формул (5.17) и (5.22) находим
Вп = Сп- Rnl - Rn2, (5.33)
где
«".=£7Т70^С!+.С"-л (5-34)
7=1
*"2 = ^ЁС#- (5-35)
q=2
(П)
Из очевидных оценок С^/п ^ Сл ^ 2^2' следует, что
^^E0:i2)2(/t')+(V)- (5.36)

206 ГЛ. IV ГРАФЫ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Очевидно, что величина
<7=2
равна числу корневых связных графов с п помеченными вершинами,
причем корень принадлежит единственному блоку величины q, 2 ^ q ^ п — 1.
Поэтому
^<EQ^ <л-^>2 2 •
(7=2
так как корневой блок с q вершинами можно построить не более чем
/q\
(q)q2^2' способами, а остальная часть графа, содержащая точку сочле-
(п~д)
нения, достраивается (п - q)2K 2 ' способами. Таким образом,
/b,2<(n-i)E(;:f)2(S)+(V)- <5-37)
(7=2
Из оценок (5.36) и (5.37) получаем
7=1
Отсюда следует, что
7=1
Используя очевидную оценку
g(«:f)2^-')<|±|.
7=1
находим
Rn\ + А/г2 ^ ^Z2 •
Отсюда следует, что
lim 2~^(Rnl+Rn2)=0. (5.38)
п—>оо
Теперь разделим обе части равенства (5.33) на 2К2> и заметим, что
lim 2~^СЯ=1. (5.39)
/г—>оо
В силу равенства (5.38) приходим к тому, что равенство (5.32) справедливо.

§5. БЛОКИ
207
ЗАДАЧИ
1. Показать, что при п > 2 цикловой класс подстановок степени п вида
{1\2°, .... (л-2)°, (п- \)\п0}
является максимальным, т. е. содержит наибольшее число подстановок по
сравнению с другими цикловыми классами. Цикловой класс {\'\ 2°, ..., п0} является
минимальным.
2. Дерево с р + q вершинами называется дихроматическим, если р его
вершин окрашены в белый цвет, a q — в черный и вершины, соединенные ребром,
имеют различные цвета. Доказать, что если Rpq и Tpq — числа бихроматических
соответственно корневых и некорневых деревьев, то
Tpq = p"-'cf-\ RPq=p<-'qp-X(p + q).
3. Рассматриваются обычные и ориентированные графы с п помеченными
вершинам и т ребрами (дугами), допускающие петли и параллельные ребра (дуги).
Показать, что число различных графов (орграфов) равно
г -(Ф)+&(т)-1\
1пт~К щ )'
где а(п) и |3(т) определяются равенствами
[ (2) для °бычного графа без петель,
(л 9 ) Для обычного графа, допускающего петли,
п(п — 1) для орграфа без петель,
п2 для орграфа, допускающего петли,
1, если нет кратных ребер (дуг),
. т, если кратные ребра (дуги) допускаются.
*(п) = {

ГЛАВА V
ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
§ 1. Группы и эквивалентность отображений
1. Gff-эквивалентность. Рассмотрим множества ^={1,2, ..., га},
У = {у\, у2, ..., Уп} и обозначим через Yx совокупность всех отображений
a. X^>Y. Каждому такому отображению поставим во взаимно
однозначное соответствие вектор о = (<т(1), <т(2), ..., а(га)), где o(i) — образ / е X
при отображении о: X —> У. Множество всех векторов а, соответствующих
отображениям из Yx, обозначим через ?х. Пусть G — группа
подстановок степени га, действующая на множестве X, а Н — группа подстановок
степени п, действующая на множестве У. Если g e G и h e Я, то можно
определить операцию действия элементами g и h на отображение о
соответственно слева и справа, приводящую к получению нового отображения
а'\ X —> У. Будем считать, что a' = goa*/i, если для векторов а и а',
соответствующих этим отображениям, имеет место равенство
(a'(l), оЧ2), .... а'(т)) = (/г(а(£(1))), й(о(£(2))), ..., h(a(g(m)))), (1.1)
где g(/), /z(#) — образы при действии подстановок g и h на элементы / е А",
i/ЕУ соответственно.
Определим теперь отношение эквивалентности на множестве Yx.
Будем считать, что а и а' связаны бинарным отношением, и записывать
о~о', если существуют такие элементы geG и heH, что а' = go о * h. Это
бинарное отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно и,
следовательно, является отношением эквивалентности. Будем называть его GH-эк-
вивалентностью. Очевидно, что отношение ОЯ-эквивалентности,
заданное на множестве Yx, является по существу отношением эквивалентности
на множестве ?х. Это дает возможность удобного описания классов GH-
эквивалентности путем разбиения на такие классы векторов множества 7х.
В качестве примера рассмотрим случай, когда X = {1, 2, 3}, У = {a, Ь}
и, следовательно, Yx = {(a, a, a), (6, a, a), (a, 6, a), (a, a, 6), (6, 6, a),
(6, a, 6), (a, 6, 6), (b, b, b)}. Пусть G — знакопеременная группа
степени 3, а Я— симметрическая группа степени 2, т. е.
°-{(!IS)-GiD-e?l)}- "-{СЙ-СЭ}-

§ 1. ГРУППЫ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЙ 209
В этом случае на множестве Vх имеются два класса ОЯ-эквивалентности,
представителями которых могут быть векторы (а, а, а) и (а, а, Ь).
2. Лемма Бернсайда. Обозначим через G группу подстановок,
действующую на множестве X. На множестве X определим бинарное
отношение, полагая х ~ у для jc, у е X, если существует такая подстановка s eG,
что у = s(x). Нетрудно проверить, что это бинарное отношение
рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением эквивалентности
на множестве X и, следовательно, определяет разбиение этого множества.
Блоки разбиения будем называть орбитами группы G или ее областями
транзитивности. Введенное выше понятие орбиты подстановки 5
совпадает с понятием орбиты циклической группы, состоящей из всех степеней
этой подстановки.
Стабилизатор элемента х е X относительно группы G обозначим
через G(x) и определим с помощью равенства G(x) = {s: s(x) = х, s e G}.
Иными словами, G(x) — это совокупность подстановок группы G,
которые отображают элемент х в себя, или, как иногда говорят,
оставляют его на месте. Ясно, что G(x) образует подгруппу группы G, так как
ss'(x) = s'(s(x)) = s'(x) = х, если s, s' e G(x). Если у = a(jt), a e G, то
стабилизаторы G(x) и G(y) сопряжены в группе G, а именно: G(y) = ol~1G(x)ol.
Действительно,
G(y) = {s: s(y)=y, s eG} = {ol~{sol: s(x) = x, s e G} = a~{G(x)a.
Лемма Бернсайда. Число орбит N(G) группы
подстановок G, действующей на множестве X, равно среднему числу циклов
единичной длины в подстановках группы G:
sGG
где <*i (s) — число циклов единичной длины в подстановке s.
Разложим группу G на правые смежные классы по подгруппе G(x):
G = G(x) U G(x)s\ U ... U G(x)si-\. Положим х-ь = Si(x), i = 1, 2, ..., / - 1,
и покажем, что множество {х, х\, х<±, ..., */-i} образует орбиту У = Y(x)
группы G, представителем которой является элемент хеХ. Ясно, что все
элементы х\, ..., */_i принадлежат У. Допустим, что существует элемент
х е У, х ^ х, х ^ Х[, i = 1, ..., / - 1. Из условия х е У следует, что
существует такая подстановка s e G, что х = s(x). Ясно, что 5
принадлежит одному из смежных классов, например G(x)si. Тогда существует такое
5 е G(x), что 5 = ssi. Отсюда вытекает, что х = s(x) = ssi(x) = si(x) = xt.
Получили противоречие. Таким образом, / = |У(лс)|, и, следовательно,
\Y(x)\\G(x)\ = \G\.
Пусть Х\,Х2, .-., Xn(G) — орбиты группы G на множестве X и х,■€ Xi,
i = l, ...,N(G).

210 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
Имеем
N(G) N(G)
£ i°wi = £ £ i°wi=£ №)p«i=n(g)\g\.
хех i=\ xex, i=\
С другой стороны,
Eigwi=EE 1=£ £ !=£«•<*>•
jcGX x€*s€G(x) 5GGjc: s(x)=x sGG
Приравнивая выражения для одной и той же величины, убеждаемся в
справедливости леммы.
3. Степенная группа. По заданным группам подстановок G и Я,
действующим соответственно на множествах X и У, построим группу
подстановок #G, которая действует на множестве Yx. Действие элемента (g; h) e
е И° на элемент oeYx определим следующим образом. Будем считать, что
(g\h)(o) = a' (1.3)
тогда и только тогда, когда goa* h = a' для а, о7 eYx.
На множестве Н° определим операцию умножения <g>, полагая
(g-h)®(g\ti)={g-g'-h-ti).
Эта операция ассоциативна в силу ассоциативности соответствующих
операций в группах G и Н. Обратным по отношению к элементу (g\ h)
является элемент (g~{\ А-1), а единичный элемент в И° имеет вид (е\ е'),
где е и е! — единичные элементы в группах G и И соответственно. Таким
образом, множество И° образует группу подстановок, называемую обычно
степенной группой. Степень группы Я°, очевидно, равна |У|М. Порядок
группы Я°, т.е. число ее элементов, равен \G\ • \Н\.
Используя лемму Бернсайда, определим теперь число классов GH-эк-
вивалентности. Для циклового класса подстановки 5 степени d используем
обозначение {s} = {1М5)2/2(5).. .яИ5)}, где /;(s) — число циклов длины /
в подстановке s.
Теорема 1. Число классов GH-эквивалентности на
множестве Yx равно
\х\ / \Ш)
g£Gh£Hk=\ \r\k /
где внутреннее суммирование ведется по всем делителям k.
Из определения следует, что ОЯ-эквивалентность совпадает с
эквивалентностью, определяемой степенной группой И° на множестве Yx.
Поэтому, применяя лемму Бернсайда, имеем
^•^jgjmEE £ *• (L5)
g€G hGfi о: goa*h=a

§ 1. ГРУППЫ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЙ 211
где о £ Yx. Достаточно вычислить внутреннюю сумму, т. е. определить
число отображений а, удовлетворяющих условию g о а * h = о.
Пусть область транзитивности подстановки g e G, содержащая
элемент х е X, состоит из элементов х, g(x), ..., gk~{ (x). Тогда отображением
о £ Yx, удовлетворяющим условию go а * h = а, эти элементы
переводятся в элементы а(х), /г_1(а(х)), ..., h~k+{(o(x)). Отсюда следует, что если
г—величина области транзитивности, содержащей элемент а(х), для
подстановки h £ Н, то г является делителем числа k. При отображении а,
удовлетворяющем условию go а * h = а, число способов выбора образа
элемента х, который принадлежит области транзитивности размера k для
подстановки geG, равно J2 rh(h). Это следует из того, что отображение а
r\k
в данном случае однозначно определяется указанием в качестве образа х
одного из г элементов области транзитивности цикла длины г
подстановки h £ Н. Поскольку выбор значений образов различных элементов х £ X
осуществляется независимо, то
\Х\ / \Jkig)
с: goa*h=a k=\ \ r\k /
где полагаем (J2rh(h)\J = 1, если jk(g) =0.
\r\k J
Применим теорему для определения числа классов ОЯ-эквивалентно-
сти в рассмотренном выше примере. Имеем
/V(G, H) = - у^2/1(^)+/2^)+/з(^.
geG
Следовательно, /V(G, Н) = ^[23 + 2 ■ 2] = 2. Выше это было установлено
непосредственной классификацией.
4. С-эквивалентность и Я-эквивалентность. Если группа Н —
единичная, т.е. Н = {е'}, то отношение GH-эквивалентности будем называть
G-эквивалентностью. В этом случае а и а' принадлежат одному классу
эквивалентности тогда и только тогда, когда существует такая
подстановка g £ G, что go<j = o'. Это равенство означает, что (а'(1), ..., о'(т)) =
= (a(g(\)), • • •, a(g(m)), т. е. векторы ?х принадлежат одному классу G-эк-
вивалентности, если они отличаются перестановкой координат, отвечающей
подстановке g £ G. В качестве следствия из теоремы 1 при Н = {е'}
вытекает следующая теорема.
Теорема 2. Число классов G-эквивалентности равно
"о = щТ,п^\ (1.7)
1 geG
где п = | Y\ и k(g) — число циклов в подстановке geG.

212 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
Рассмотрим производящую функцию
га
Cm(t',G) = J2Cmk(G)tk, (1.8)
k=\
где Cmk(G) — число подстановок группы G, имеющих k циклов. Из (1.7)
и (1.8) вытекает формула
Но = щСт(п;0). (1.9)
Если G = {е}, то из (1.7) вытекает очевидное равенство
N{e} = nm. (1.10)
Для случая, когда G = 5т, где 5т — симметрическая группа степени т,
имеем
Cw(/;G) = /(/+l)...(/ + m-1). (1.11)
Поэтому из (1.9) и (1.11) следует, что
»s„ = {n + ™-1). (1.12)
В циклической группе подстановок С(т) степени т имеется (р(й)
подстановок, содержащих m/k циклов длины й, где (р(й) — функция Эйлера и k
является делителем т. Поэтому производящая функция (1.8) имеет вид
Cm(/;CW) = ^9(ft)K*. (1.13)
k\m
Отсюда следует формула
k\m
Рассмотрим теперь случай, когда группа G — единичная, т.е. G = {е}.
В этом случае отношение вЯ-эквивалентности будем называть Н-экви-
валентностью. Элементы a, a' G Yx принадлежат одному классу
эквивалентности тогда и только тогда, когда существует такая подстановка h e H,
что о* h = o'. Это означает, что (o^l), ..., а'(т)) = (А(а(1)), ..., /г(а(т))),
т. е. два вектора из Yx принадлежат одному классу Я-эквивалентности,
если они могут быть получены один из другого с помощью подстановки
множества У, определяющего значения координат.
При G = {е} из теоремы 1 получаем следующую теорему.
Теорема 3. Число классов Н-эквивалентности равно
^4еш 0-15)
1 ' h€H
где т = \Х\, j\(h) — число единичных циклов в подстановке heH.

§ 1. ГРУППЫ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОТОБРАЖЕНИЙ 213
В частности, если Н— единичная группа, Н = {ef}, то
N{e,} = nm. (1.16)
Если Н = Sn, где Sn — симметрическая группа степени n,whn — число
подстановок степени п, не имеющих единичных циклов, то из формулы (1.15)
имеем
В циклической группе подстановок С(/г) имеется единственная единичная
подстановка, содержащая единичные циклы. Поэтому из формулы (1.15)
имеем
NC(n) = nm-x. (1.18)
5. Классы эквивалентности. Совокупность элементов (g; h) G HG
таких, что (g; h)(o) = а, называется стабилизатором элемента a G Yx и
обозначается #£. Иными словами,
H°={(g;h): (g-h)(o)=o, geG,heH}. (1.19)
Ясно, что стабилизатор Н% является подгруппой степенной группы Н°.
Разложим группу Н° на смежные классы по подгруппе HG:
HG = H° U Н°(£,; h,) U ... U #£(£/_,; й,_,).
Нетрудно убедиться, что a, (g\\ h\)(o), ..., (gi-\\ /z/_i)(a) G Yx
исчерпывают класс эквивалентности, или орбиту, содержащую элемент a G Yx.
Ясно, что все эти элементы принадлежат орбите. Допустим, что имеется
элемент а, содержащийся в орбите, такой, что a^fe; Л/)(а), / = 0, 1, ..., /- 1,
go = e, ho = е'. Но это противоречит тому, что а принадлежит некоторому,
скажем у'-му, классу смежности, т. е.
о = (g; h){gf, hj)(o) = (gj; hj)(goo * h) = (gy; A7)(a),
rjxe(g;h)eH^
Отсюда вытекает справедливость следующей теоремы.
Теорема 4. Число элементов из Yx, принадлежащих орбите
группы HG, содержащей элемент о е Yx, равно индексу
стабилизатора в группе HG, т. е.
к°{н°)=]Ш\- (12о)
Это число совпадает с размером класса GH-эквивалентности,
содержащего элемент о G Yx.

214 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
Из формулы (1.20) следует, что размеры классов G-эквивалентности
и Я-эквивалентности, содержащих о £ Yx, даются соответственно
формулами
/UG) = |G|/|G0|, (1.21)
К*(Н)=\Н\/\На\, (1.22)
где
G„ = {g: goo = o; g€G}, (1.23)
H0 = {h: a*h=<r, heH}. (1.24)
Теорема 5. Пусть G = Sm, где Sm — симметрическая группа
степени т. В этом случае а и о7 (а, & € Yx) G-эквивалентны
тогда и только тогда, когда их первичные спецификации совпадают:
[о] = [&].
Действительно, если а7 ~ а, то существует такая подстановка g е 5т,
что
(о'(1), • •., о'(т)) = (a(g(l)), ..., a(g(m))), (1.25)
т.е. [а'] = [а].
Обратно, если [а7] = [а], то найдется такая подстановка g e 5m, что
справедливо равенство (1.25). Отсюда следует, что а7 ~<т. Если G —
произвольная группа подстановок, то из условия а~а' следует, что [о] = [а7].
Обратное, вообще говоря, неверно.
Из теоремы 5 следует, что если [а] = [*/*'*/*2 • • -*/*"L <*i + ot2 + .. .ая =
= т, то
Ka(Sm)= f „,■ (1 26)
Теорема 6. Пусть G = 5т, Н = Sn, где Sk — симметрическая
группа степени k. В этом случае о и о' (а, а7 е Yx) GH-эквивалентны
тогда и только тогда, когда их вторичные спецификации совпада-
ют: [[о]] = [[&]].
Прежде всего заметим, что для любого A £ Н
\\o\] = \\o*h\]. (1.27)
Далее, из равенства о7 = go а * A, g£ Sm, A £ Sn, следует, что [а7] = [а * А],
т.е. [[а7]] = [[а * А]]. Отсюда, в силу равенства (1.27), следует, что
[И] = [[а]].
Обратно, равенство [[а7]] = [[а]] означает, что существует
подстановка A £ 5л такая, что [а7] = [а * А]. Отсюда следует, что а7 = go а * А, где
geSm.

§2. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА
215
Из теоремы 6 вытекает, что если [[сг]] = [[0^°1Р| .. .mPm]], l|3i +2j32 + - • •
... + пфт = т, Ро + pi + ... + рт = п, то
N(Sm,Sn) = Qm(n), (1.28)
где Qm(n) — число разбиений т не более чем на п слагаемых, т. е.
число векторов (ро, рь •••, рт) с целыми неотрицательными компонентами,
такими, что
Pi + 2р2 + ... + пфт = т, ро +pi + ... +рш = п. (1.29)
§ 2. Общая комбинаторная схема
Решение комбинаторной задачи перечислительного характера обычно
состоит из нескольких этапов. На первом этапе строится некоторая модель
совокупности перечисляемых реальных объектов. Эта модель называется
комбинаторной схемой. Примером комбинаторной схемы, часто
встречающейся при решении перечислительных задач, является урновая
схема. В этой схеме имеется т некоторых элементов, называемых предметами
или частицами, и п ячеек, или урн. Задача состоит в том, чтобы определить
количество различных размещений предметов по ячейкам при различных
ограничениях на емкости ячеек и характер заполнения. Различимость
размещений, естественно, зависит от того, считаем ли мы различимыми между
собой предметы и соответственно ячейки. В зависимости от различимости
исходных объектов — предметов и ячеек, можно рассматривать четыре
вида урновых схем.
Для придания точного смысла понятию различимости используем
интерпретацию размещения предметов в ячейки с помощью некоторого
отображения одного множества в другое. Ясно, что каждому размещению
т различных предметов в п различных ячейках соответствует
отображение а: X —> У, \Х\ = т, \Y\ = п. Для построения модели, в которой
ячейки различны, а предметы неразличимы (одинаковы), на множестве
отображений, соответствующих размещениям предметов в ячейках,
можно задать отношение эквивалентности. Два отображения будем считать
эквивалентными, если отвечающие им размещения отличаются только
нумерацией предметов. Например, при т = 7, п = 3 двум размещениям
отвечают эквивалентные отображения. Перенумерация предметов может
быть проведена в соответствии с подстановкой (с fi 9 о i л 7)'

216 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
Каждому различимому размещению т одинаковых предметов в п
различных ячейках соответствует один и только один класс эквивалентности,
заданный на множестве отображений. Таким образом, любая
перечислительная задача, касающаяся размещений одинаковых предметов в
различных ячейках, сводится к некоторой задаче, связанной с определением числа
классов эквивалентности на множестве соответствующих отображений.
Аналогичный подход может быть применен и к построению моделей,
в которых ячейки неразличимы, а предметы различны или и ячейки, и
предметы неразличимы. Так, в случае, когда предметы различны, а ячейки
неразличимы, при т = 7, п = 3 два заполнения
ф
ф ©\ф ф\
ф ф
У\
У2
Уз
принадлежат одному классу эквивалентности, так как перенумерация ячеек
первого заполнения в соответствии с подстановкой rj. * * \ переводит
его во второе заполнение. Именно так определяется отношение
эквивалентности в этом случае.
Фактически отношение эквивалентности на множестве отображений
о: X^>Y, \X\ =m, \Y\ =n, относящееся к случаю неразличимых
предметов и различных ячеек, является отношением G-эквивалентности, когда
G = 5т, где 5т — симметрическая группа степени т. Аналогично,
отношение эквивалентности для случая различных предметов и неразличимых
ячеек представляет собой отношение Я-эквивалентности на множестве
отображений а: X —> У, \Х\ = т, \Y\ = п, где Н = 5„, S„ —
симметрическая группа степени п. Случай размещения одинаковых предметов в
одинаковых ячейках связан с отношением эквивалентности, представляющем
собой ОЯ-эквивалентность на множестве отображений а: X—> У, \Х\ = т,
\Y\ = n, где G=5m, H = Sn.
Указанный подход к формализации понятия различимости для урно-
вых схем может быть применен и к другим конкретным комбинаторным
схемам. Целесообразность такой формализации связана не только с
уточнением понятия различимости в этих схемах, но и с необходимостью
решения вопроса об их идентификации с точки зрения определенного круга
перечислительных задач.
Ниже нас будут интересовать классы комбинаторных схем, которые
могут быть интерпретированы с помощью отображений а: X —> У, \Х\ = т,
\Y\ = n, причем различимость вариантов в этих схемах формулируется
через ОЯ-эквивалентность, где G и Я— группы подстановок степеней тип

§2. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА
217
соответственно. Иными словами, каждому варианту комбинаторной схемы
ставится во взаимно однозначное соответствие некоторых тип
GH-эквивалентности. В этих условиях решение перечислительной задачи сводится
к определению числа классов ОЯ-эквивалентности, или, что то же
самое, к определению числа элементов в фактормножестве по отношению
ОЯ-эквивалентности.
В каждом классе ОЯ-эквивалентности выберем произвольного
представителя. Совокупность таких представителей классов
ОЯ-эквивалентности будем называть системой представителей. Построение системы
представителей является первым и важным этапом формализации
комбинаторной задачи рассматриваемого типа. На этом этапе фактически строго
определяются те различимые объекты, которые подлежат перечислению на
следующих этапах.
Следующие этапы связаны с перечислением систем представителей
в соответствии с определенными характеристиками, в качестве которых
можно рассматривать, например, первичные и вторичные спецификации
соответствующих отображений. Решение перечислительной задачи для
этих случаев начинается с выписывания соответствующей производящей
функции, рассматриваемой или как формальный степенной ряд, или как
аналитическая функция от нескольких переменных. Затем
разнообразными методами находятся точные или асимптотические формулы для
коэффициентов этой производящей функции, чем и завершается решение
перечислительной задачи.
Методика построения производящих функций для произвольных
групп G и Я довольно сложна и не всегда приводит к обозримым
результатам. В то же время формализация значительной части конкретных
комбинаторных схем приводит к рассмотрению классов
ОЯ-эквивалентности, где либо G = {е}, либо G = 5т и либо Я = {е1}, либо Н = Sn. В
соответствии с этим имеются четыре случая, которые мы будем называть
частными случаями общей комбинаторной схемы.
Введем специальную терминологию, с помощью которой можно
определять частные случаи общей комбинаторной схемы. Множество У, \Y\ = п,
будем называть п-базисом. Представителя класса
ОЯ-эквивалентности будем называть т-выборкой. В соответствии с этим при G = {е},
Я = {ef} представитель класса ОЯ-эквивалентности называется
т-выборкой в некоммутативном несимметричном л-базисе, а сам
частный случай называется случаем некоммутативного несимметричного л-ба-
зиса.
Аналогично, случай G = Sm, Я'= {е'} называется случаем
коммутативного несимметричного л-базиса, а представители классов
ОЯ-эквивалентности называются т-выборками в коммутативном
несимметричном л-базисе. Случай G = {е}, Н = Sm называется случаем некоммута-

218 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
тивного симметричного л-базиса, а случай G = Sm, H = Sn — случаем
коммутативного симметричного л-базиса. Аналогично называются
и соответствующие т-выборки.
Для этих случаев общей комбинаторной схемы ниже будет дана
методика построения производящих функций для перечисления т-выборок
с заданными значениями показателей первичных или соответственно
вторичных спецификаций.
§ 3. Коммутативный несимметричный я-базис
1. Определения. Частный случай общей комбинаторной схемы, в
котором G=5m, H={ef}, называется случаем коммутативного
несимметричного л-базиса. В этом случае два отображения а: X—> Y и а': X—> У,
\Х\ = т, \Y\ = n, эквивалентны, а~ а', если существует такая
подстановка g e Sm, что g° о = о*'. Иными словами, (а'(1), а'(2), ..., а'(т)) =
= (o(g(\)), o(g(2)), ..., o(g(m))). Отсюда вытекает, что о~о' тогда и
только тогда, когда [о] = [а'], т.е. их первичные спецификации совпадают.
Отсюда следует, что первичная спецификация [а] = [у*1 .. .#*"], «i + ...
... + <хп = т, произвольного представителя класса эквивалентности о
однозначно определяет этот класс эквивалентности. Фактически каждый класс
эквивалентности однозначно определяется вектором (<х\, «2, •••, ал), где
oti, ot2, • • •, <*„ — целые неотрицательные числа, oti + «2 + ... + ot„ = т.
Элемент системы представителей классов G-эквивалентности в
рассматриваемом случае будем называть т-выборкой в коммутативном
несимметричном п-базисе. Каждой m-выборке в коммутативном
несимметричном л-базисе ставится в соответствие совокупность векторов
а(&0))» • • •» а(ё(т)))' гДе подстановка g пробегает всю группу Sm. Эта
совокупность векторов определяет т-сочетание из элементов л-множества.
Отсюда следует, что каждой m-выборке в коммутативном несимметричном
л-базисе ставится во взаимно однозначное соответствие m-сочетание из
элементов п-множества.
С другой стороны, так как каждое размещение m одинаковых
предметов в п различных ячейках однозначно определяется решением
уравнения <х\ + <*2 + ... + <хп = т в целых неотрицательных числах, то
каждой m-выборке в коммутативном несимметричном п-базисе ставится во
взаимно однозначное соответствие размещение m одинаковых предметов
в п различных ячейках.
Можно привести и другие примеры комбинаторных схем, которые
описываются данным частным случаем общей комбинаторной схемы. Так,
статистика Бозе—Эйнштейна определяется размещением неразличимых
предметов в различимых ячейках, и, следовательно, охватывается данным
частным случаем. Если в каждую ячейку при размещении попадает не бо-

§3. КОММУТАТИВНЫЙ НЕСИММЕТРИЧНЫЙ «-БАЗИС 219
лее одного предмета, то соответствующая схема связана со статистикой
Ферми—Дирака.
2. Нумератор. Рассмотрим вектор Л= (Ль Аг, ..., Л„), в котором
компонента Л7, 1 ^ / ^ п, является подпоследовательностью
последовательности No = (О, 1, 2, ...), т. е. Ау с TVo, / = 1, 2, ..., п. Нумератором
в коммутативном несимметричном л-базисе назовем производящую
функцию от п + 1 переменных:
п
Ф(/; *,, х2, ..., хп\ Л) = Ц Y, **'*?> (31)
где суммирование осуществляется по всем ot/, принимающим
последовательные значения из Л7, 1 ^ / ^ п. Осуществим перемножение п сумм
в правой части и представим нумератор в следующем виде:
оо
Ф(/;*,,*2,...,*п;Л) = £/т Y, х"'х? •••*«"• (32>
т=0 «i+a2+...+a„=m
«Х/бЛу
где второе суммирование осуществляется по всевозможным векторам
(«1, «2. •••, Яп) с целыми неотрицательными компонентами, такими, что
«1 + «2 + ... + ал = /л, а/ € Л/.
Из выражения для нумератора (3.2) следует, что каждому его
слагаемому вида tmx\' *22... х%* можно поставить во взаимно однозначное
соответствие m-выборку в коммутативном несимметричном я-базисе
первичной спецификации [у^у^2 • • -У*"] с условием, что показатель первичной
спецификации olj является элементом последовательности Л7, 1 ^ / ^ п.
В этом смысле можно говорить, что нумератор Ф(/; х\, *2, ..., хп\ Л)
перечисляет m-выборки в коммутативном несимметричном я-базисе с
показателями первичной спецификации, определяемыми вектором Л.
Выражение для нумератора позволяет найти выражение для
производящей функции величин Спт(А), где Спт(К) — число m-выборок в
коммутативном несимметричном я-базисе с первичными спецификациями
вида [*/*'*/*2... *#'], oti + а2 + . •. + а„ = /л, где а,- € Л,, 1 ^ / ^ п, Л =
= (Ль Л.2, ..., Ая). Формально можно записать следующее равенство:
Спт(К)= Y, !* <3'3)
«1+«2+---+«„=т
где сумма в правой части содержит столько единиц, сколько имеется
m-выборок рассматриваемого вида. Рассмотрим производящую функцию
оо
Ф„(/;Л) = £спт(Л)Г. (3.4)
т=0

220 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
Из выражений (3.1) и (3.2) для нумератора Ф(/; Х\, Х2, ..., хп\ А) и
равенств (3.3) и (3.4) следует, что
оо
Фя(/; А) = Ф(/; 1, 1, ..., 1, А)=Ц £ Р. (3.5)
Выражение (3.5) для производящей функции сря(/; Л) указывает простой
способ для получения нумератора при заданном векторе Л = (Ль Аг, ...
..., Ая). Для этого в произведении п одинаковых скобок вида
(1+/ + /2 + ...)(1+/ + /2 + ...)...(1+/ + /2 + ...) (3.6)
вычеркиваем в /-й скобке /\ если v ф Л/, v = 0, 1, ...
Рассмотрим некоторые частные случаи, считая всюду ниже, что /
принимает действительные значения и |/| < 1.
1°. Пусть Ai = Аг = ... = Ая = УУо, т. е. отсутствуют какие-либо
ограничения на значения показателей первичной спецификации. Полагая Спт =
= Cnm(No), из формулы (3.5) имеем
оо
<р„(/; No) = Y, Cnmtm = (1 - /)-"• (3.7)
m=0
Отсюда следует, что число m-выборок в коммутативном несимметричном
л-базисе равно
Спт=(П + т~1)' Ш = 0' 1""' Л=1'2--- (3'8)
Ясно, что величина Спт одновременно равна количеству т-сочетаний
с неограниченными повторениями из элементов л-множества, а также
числу размещений т одинаковых предметов в п различных ячейках и,
следовательно, числу решений уравнения ч\ + «2 + ... + ая = т в целых
неотрицательных числах oti, «2, • • •, <*„.
2°. Пусть Л/ = (<77, <7/ + 1, q\ + 2, ...), где ^7 — неотрицательное число,
1 ^ /' ^ п. Положим q = q\ + ... + qn и обозначим через С^т величину
Спт(А) — с учетом того, что в данном случае эта величина зависит не от
конкретных значений q\, q<i, ..., qn, а только от их суммы. Из (3.5) имеем
оо
<р„(/; q) = Y, С^т(П = P(l - t)~n. (3.9)
tn=q
Отсюда получаем формулу
cJU = (" + ;rf"1)- я = Я1+ъ + - + ч», (зло)

§3. КОММУТАТИВНЫЙ НЕСИММЕТРИЧНЫЙ «-БАЗИС 221
из которой следует выражение для числа m-выборок в коммутативном
несимметричном я-базисе с условием сюръективности:
C™ = («-l)' m,n=U2,... (3.11)
Если Кпт — число композиций m на п слагаемых, a Wnm— число
размещений т одинаковых предметов в п ячейках при условии, что нет пустых
ячеек, то
Knm=Wnm = C%l=(mnZ\). (3.12)
3°. Обозначим через C^(s) число m-выборок в коммутативном
несимметричном я-базисе, в которых k фиксированных элементов я-базиса
№,» yi2i •••> Uiki и только они, встречаются ровно 5 раз. Иными
словами, Cnm(s) равно числу m-выборок, имеющих первичные спецификации
[уТу? - --Упа]> таких, что а,-, = ... = ацк = s, а, ф s для / ф /ь /2, ..., /*.
Ясно, что в данном случае
/_ \yv0\5, }ф1х, ...,/ь
где No\s получается из последовательности No = (О, 1, 2, ...)
вычеркиванием элемента s.
Из формулы (3.5) получаем следующее выражение для производящей
функции:
ОО L
YJC^{s)r = &{J^-t-f) . (3.13)
m=ks
Отсюда получаем формулу
c«(s)=g(-iy(»7*)(n+m^t(i)^/)-1)- <314>
/=0
Эта формула определяет также число размещений m одинаковых
предметов в п различных ячейках с условием, что k фиксированных ячеек,
и только они, содержат по 5 предметов.
При 5 = 0 из формулы (3.13) следует, что
ОО
Y, С^(0)Г = tn~k{\ - t)-^n-k\ (3.15)
m=0
Отсюда получаем выражение для числа m-выборок в коммутативном
несимметричном я-базисе, в которых отсутствуют ровно k
фиксированных элементов я-базиса:
c-<°)=C-*"-i)- (ЗЛ6)

222 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
Эта формула дает также число размещений т одинаковых предметов в п
различных ячейках с условием, что k фиксированных ячеек, и только они,
пустые.
4°. Обозначим через Qnm{k\, &2, • • •, ks) число m-выборок в
коммутативном несимметричном я-базисе с первичной спецификацией
[уТУ*22 - • -Упп]у удовлетворяющей условию a,-, = k\y oq2 = k<i, ..., щ& = ks.
Величина Qnm{k\, &2, • • •, ks) равна также числу размещений m
одинаковых предметов в п различных ячейках с условием, что ячейки с номерами
*ь **2» • • • * h содержат соответственно k\, k2, ..., ks предметов. В данном
случае имеем
f(£v), / = /v, l^v^s,
/_ 1Mb /V'l. '2. ..., is-
Из формулы (3.5) получаем
£ Qnm(k)tm = tk{\ - /)-<»-*), (3.17)
m=k
где Qnm(k) = Qnm(k\, &2, •••, fe), k = k\ + k<i + . • . + ks, так как
Qnm(k\, &2, • • •, &s) зависит только от k. Из равенства (3.17) находим, что
Qnm(k)=(n + m-s_-k-i). (3.18)
5°. Рассмотрим векторы г = (п, Г2, ..., г„) и 5 = (s\, 52, .. •, sn) с
целыми неотрицательными координатами, такими, что г/ < 5/, 1 < / < я, и
обозначим через Cnm{r, s) число m-выборок в коммутативном
несимметричном я-базисе с первичной спецификацией [#*' у*2... #""], оц + «2 + ...
... + ап = т, удовлетворяющей условию г/ < а,- < S/, 1 < / < я. Ясно, что
СЛт(^ 5) равно числу способов размещения т одинаковых предметов в п
различных ячейках с условием, что емкость /-й ячейки ограничена снизу
числом г/, а сверху — числом s,, 1 < / < п. С другой стороны, Cnm(r, s)
равно числу решений (х\, *2, • • •, *л) уравнения xi + *2 + ... + хп = т в
целых неотрицательных числах с условием, что п < x-t <^su l ^i^n.
Возьмем А/ = (гу, г/ + 1, ..., s7), 1 </ < я. Тогда из формулы (3.5)
получаем
5
J2 Спт{г, *)Г = tR(l - td>) ... (1 - td»)(l - t)~\ (3.19)
m=l
где S = 5! + ... + sn, R = r{ + ... + r„, rf£- = si - n + 1, 1 < / < п. Из
равенства
(1-/4)...(1-/*)=1+^(-1)* ^ /d'i+-+rf'* (3.20)

§3. КОММУТАТИВНЫЙ НЕСИММЕТРИЧНЫЙ «-БАЗИС 223
и формулы (3.19) следует, что
+
Cnm{f,s)=(n + mn-J-X)
+ B-D* £ (п + m-R-d^-...-db-iy (3.21)
dh+...+dJk^m-R
Отсюда при п = г, 5/ = 5, 1 < / < я, г < s, получаем, что соответствующее
число m-выборок равно
Cnm(r,s)= Y, (-^©(--C-^-iy'^-')- (3.22)
Из формулы (3.22), в частности, следует выражение для числа композиций
т = х\ + Х2 + ... + хп, 1 < xi < s:
min(„ m—n\
mint n, s J
Knm(s)= £ (-V(l)(m~n-l~1)- ^
k=0
6°. Серии. Рассмотрим совокупность m-мерных векторов (yi, Y2, • • •
• •-, Ym), для которых у/ = 0, 1; 1 < / < т, и каждый вектор содержит
то нулей и т\ единиц. Общее число таких векторов равно (т J.
Максимальное число идущих подряд координат из нулей (единиц) называется
серией из нулей (единиц). Обозначим через N^(k) (Nxm(k)) число векторов
с k сериями из нулей (единиц). Все множество векторов с k сериями из
нулей разобьем на три класса в соответствии с тремя случаями:
а) Начальные координаты вектора образуют серию из нулей,
последние координаты также образуют серию из нулей. В этом случае имеется
k серий из нулей и k — 1 серий из единиц и число векторов
рассматриваемого вида равно числу решений системы уравнений х\ + ... + х& = то,
У\ + ••• + yk-\ =rn\ в натуральных числах, т. е. равно \у~л ) \^~о )■
б) Начальные координаты и последние координаты образуют серии из
единиц. В этому случае имеется k серий из нулей и k + 1 серий из единиц
и число векторов равно \у^\ JvjT )'
в) Начальные координаты образуют серию из нулей, а последние
координаты— серию из единиц, или наоборот. В этом случае имеется k серий из
нулей и k серий из единиц и общее число векторов равно 2(т^ ~ j P7?1 ~ j.
Суммируя величины, определяющие число векторов в классах,
определяемых случаями а), б) и в), получаем число векторов с k сериями из

224 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
нулей, равное
<(*) = (?_"/) ("V1)- <3-24>
Из соображений симметрии следует формула
NUk) = (mo +,)(7_-,1)- <3-25>
Обозначим через Мш(й) число векторов с /г сериями обоих видов.
Заметим, что если k = 29, где 9 — натуральное число, то все векторы,
содержащие k серий, имеют вид, определяемый случаем в); если же k = 29 + 1,
то векторы определяются случаями а) и б). Отсюда следует, что
=f2(?"i')C"ei"i1)' *=»•
""W UT-VXVM'VX'r,1). *=**+'
7°. Серии с ограничениями на длину Ясно, что изложенная методика
вывода формул для числа векторов с заданным количеством серий может
быть распространена на случай, когда на длину серии наложены
определенные ограничения. Обозначим через Nm(k\ [i, v) число векторов, у
которых имеются k серий, причем длина каждой серии из нулей не
превосходит [i, а длина каждой серии из единиц не превосходит v. Число векторов,
описываемых случаями а), б) и в), определяется соответственно числом
решений следующих систем уравнений:
при k = 29 + 1
а) х{ +... + х0+1 = т0, у\ +... + № = mi;
б) хх + ...+х0 = т0, у\ +...+№+1 =т\
при k = 29
в) х\ + ... + хо = т0, у\ + ... + уъ = т\.
Здесь 1 < Х[ < [i, 1 < у\ < v, 1 < / < я.
Используя формулу (3.23), при k = 2Q находим
ЛМ29; И, v) = 2 £(-!)<(*) («» "J*" ') £(-!)>(«)("" "_*>- ')•
i=0 /=0
(3.27)
Аналогично при k = 29 + 1 имеем
A/m(29+l;p,v) = f:(-iy(9+1)(mo-^-1)B-1)/(/9)(mie"-/."1) +
/=0 /=0
+E(-i)i'0Cn%-fr') E(-iy(°t ОС"1 "ovy" ')■ <3-28>
i=0 /=0

§3. КОММУТАТИВНЫЙ НЕСИММЕТРИЧНЫЙ «-БАЗИС 225
8°. Серии на окружности. Будем предполагать, что
координаты вектора (уь Y2> • ••> Yn), У; = О, 1; 1 < / < m, расположены
последовательно в равноотстоящих точках окружности. В этом случае число серий
является всегда четным числом. Обозначим через Mm(2k) число
векторов рассматриваемого вида, имеющих при расположении на окружности
2k серий. Очевидно, что любой вектор, имеющий 2k или 2k + 1 серий, при
расположении на окружности имеет 2k серий. С другой стороны,
разрезание в произвольном месте окружности, на которой расположен вектор
с 2k сериями, дает вектор, имеющий 2k или 2k + 1 серий. Отсюда следует
соотношение
Mm(2k) = Nm{2k) + Nm{2k + 1). (3.29)
Из формул (3.26) и (3.29) следует, что
M«w>=т(?--/) №--/)■ <3-30>
Формулу (3.30) можно вывести и другим способом, который позволяет
найти ее обобщение на случай серий с ограничениями на длины. При
фиксированном положении первой координаты число векторов (у i, У2, • • •, Ут)
у/ =0, 1; 1 < / < т, на окружности, имеющих 2k серий, равно количеству
решений системы уравнений в натуральных числах
х\ +X2 + ... + xk = m0, y\ +У2 + ... + Ук=ти (3.31)
т.е. равно \т^~л jf^^i )• Для расположения на окружности первой
координаты имеется т вариантов, деление на k исключает те варианты,
которые отвечают некоторому, одному и тому же, циклическому сдвигу
координат векторов (хи *2, ..., xk) и (г/ь г/2, • •., УкУ
Данный вывод сохраняется, если рассматриваются серии
ограниченной длины. Пусть Mm(2k; [i, v) — число векторов на окружности, имеющих
2k серий, причем длина серии из нулей не превосходит [i, а длина серий
из единиц не превосходит v. Тогда, используя формулу (3.23), получаем
Mm(2k; И, v) = 1 Y, ^y(1)(m°k-\~ ') Х
х Е <-,)/(*)(т|*"-/Г1)- <332>
j=0
Полагая yt = mo, получаем число векторов на окружности, у которых длина
серии из единиц ограничена v:
AU2*;m,.v) = £(7_-/)'" £ (-lyQC-V,-1).
/=0

226 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
Аналогично при v = rti\ из формулы (3.32) получаем число векторов на
окружности, у которых длина серии из нулей ограничена \i\
„,„(«.a=S)
ЛМ2* и.".)-£(?--,') £ <-')'(*)("•%-_%-')
i=0
Очевидно также, что
Mm{2k) = M{2k\ m0, mi).
Упражнения. 1. Показать, что если L(m, n) — число m-выборок в
коммутативном несимметричном м-базисе с условием сюръективности, то имеет место
соотношение
EG)^n-*) = ("+r')-
Вывести отсюда формулу
2. Имеются т предметов первичной спецификации [а™1 а™2.. -а™к], tri\ +
+ fti2 + ... + rrik = т. Показать, что число способов размещения их в п различных
ячейках равно
ПСПТ1)-
1=1
3. Имеются т предметов вторичной спецификации [[1^'2^2.. .m^m]], lPi +
+ 2^2 + ... + т$т = т. Показать, что число способов размещения их в п
различных ячейках равно
т
i=i
Если Упф],$2, ...,pm)—число способов размещения предметов заданной
вторичной спецификации [[1^2^2.. . m^m]] в п ячейках, среди которых нет пустых
ячеек, то
п
V«(P.,P2,...,M=E(-1)*(J)f/''-*<PbP2,...,P«)-
4. Для величин, указанных в упражнении 3, установить соотношения
3) [/Я(Р,,Р2, ...,13m)=M^l(13, - 1,(32, ...,pm), Pi ^ 1,
б) Упфи р2, . . . , $m)=n[Vn<P\ - 1, 02, • • -, Р«) + V„_i(Pi - 1, р2, • • • , Р«)].
5. Для Cnm(s) —числа размещений т одинаковых предметов в п различных
ячейках с условием, что каждая ячейка содержит не более 5 предметов, вывести
рекуррентные соотношения:
a)Clwl(s) = i:cll_I,m_4(5);
б) Cnm(s) = Cn,m-](S) + Cn-\,m(s) ~ Cn-),m-s-)(s).

§4. НЕКОММУТАТИВНЫЙ НЕСИММЕТРИЧНЫЙ «-БАЗИС 227
6. На окружности произвольного радиуса на одинаковых расстояниях
нанесены точки, помеченные элементами 1, 2, ..., L. Подряд идущие / точек называются
дугой длины /. Каждая дуга определяется точкой, которая называется начальной,
остальные точки дуги располагаются по часовой стрелке. Показать, что число
расположений не имеющих общих точек k дуг длин 1\, /2, ..., /*, 1\ + ... + h < L, на
окружности равно
Af(/,, /2, • • -, /*; Ц = L(k - 1)! (* + L ~ <^+ • j • + lk) ~ 1).
7. Пусть в задаче 6 начала дуг длин /), /2, ..., /* выбираются случайно,
независимо и равновероятно на окружности длины L и P(l\, li, ..., /*; L) —вероятность
того, что дуги не имеют общих точек. Показать, что
а)Р(/ь/2, ...,/*;/-) = JIZi(L -(/1+..- + /*) + k- \)k ,,
§ 4. Некоммутативный несимметричный /г-базис
Рассмотрим случай, когда группы G и Н — единичные, т.е. G = {е},
Н = {е'}у где е и е' — единичные подстановки степеней тип
соответственно. В этом случае каждый класс СЯ-эквивалентности содержит
единственное отображение о: X —> У, \Х\ = т, |У| = я, и система
представителей классов эквивалентности совпадает с множеством всех
отображений рассматриваемого вида. Каждый элемент этой системы представителей
называется т-выборкой в некоммутативном несимметричном я-базисе.
Каждому размещению т различных предметов в п различных
ячейках ставится во взаимно однозначное соответствие отображение о: X —> У,
\Х\ = т, |У| =я, где элементами множества X помечены предметы, а
элементами множества У — ячейки. Тем самым каждой m-выборке в
некоммутативном несимметричном я-базисе ставится во взаимно однозначное
соответствие размещений т различных предметов в п различных
ячейках. Напомним, что схема размещения различных предметов в различных
ячейках в физике тесно связана со статистикой Максвелла—Больцмана,
описывающей поведение элементарных частиц.
Каждому m-размещению с повторениями элементов я-множества
можно поставить во взаимно однозначное соответствие т-вектор
(а(1), а(2), ..., а(т)), где а: Х^ У, Х= {1, 2, ... m}, Y={yu y2%...% Уп},
и тем самым — m-выборку в некоммутативном несимметричном я-базисе.
Обозначим через Dnm(ai\, «2, ..., ал) число m-выборок в
некоммутативном несимметричном я-базисе, имеющих первичную спецификацию
[У*\ #22 • • •#""]> ai + а2 + • • • + <*п = т. Имеет место формула
т\
Aimfai, а2, ..., «я)= „ ■ . ' ., «i +а2+ ... + «„= т. (4.1)
а j! (Х2! . . . 0t/2!

228 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
Действительно, каждой m-выборке в некоммутативном несимметричном
я-базисе ставится во взаимно однозначное соответствие вектор
(а(1), а(2), ..., о(т)1 а: X-> У, X = {1, 2, ..., т}, У = {*/,, */2, ..., уп}.
Число отображений о указанного вида таких, что [о] = [#*' у^2... у*п ],
совпадает с правой частью равенства (4.1).
Пусть Л7 — некоторая подпоследовательность последовательности
No = (0, 1, 2, ...), 1 < / < я, и Л = (Ль Л2, ..., Ап). Нумератором в
некоммутативном несимметричном я-базисе называется производящая
функция от п + 1 переменных:
Ф(*; хи да, .... хп\ Л) = П Е **£• (4'2)
где суммирование производится по всем «у, пробегающим
последовательность Лу, 1 </ < п.
Представим нумератор (4.2) в виде
Ф(/; х\у Х2, ..., хп\ Л) =
оо m
= ИШ S ai!a2!.'..an!XlljC22---^"- <4'3)
m=0 «i+«2+-..+««=m
где второе суммирование проводится по всем векторам (oti,ot2, ...,«„)
с целыми неотрицательными координатами, такими, что <*\ + «2 +... + «„ =
= m, oty G Лу, 1 < /' < п.
Из формулы (4.1) следует, что если Dnm(A) — число т-выборок
в некоммутативном несимметричном я-базисе с первичной спецификацией
[У*\У*2 • -У""]' ai + а2 + ... + ал = m, ay G ЛЛ 1 < /' < я, то
°-<л> = E ^г^!- (4-4)
«i+...+«„=m
«у€Лу, 1^/^Л
Полагая xi = Х2 = ... =хп = 1, из равенств (4.3) и (4.4) получаем
Ф(/;1, l,...,l;A) = ^Dnm(A)^. (4.5)
m=0
Теперь из равенств (4.2) и (4.5) следует, что
ф(/;Л) = ^Опт(л4 = ПЕЬ- <4"6>
т=0 /=1 «/€ЛУ '
где суммирование справа проводится по всем ay, принимающим
последовательные значения из Лу, 1 </ < п. Из формулы (4.6) следует общий способ

§4. НЕКОММУТАТИВНЫЙ НЕСИММЕТРИЧНЫЙ «-БАЗИС 229
построения производящих функций для Dnm(A)y Л = (Ль Л2, ..., Л„), при
любом виде последовательностей Ль Л2, ..., Л„, определяющих значения
показателей первичной спецификации «i, «2, ..., a„ m-выборок. Возьмем
п одинаковых скобок вида
(l + i. + th-)(l + i. + ti. + --)-(l + i. + th--)- <4-7>
В /-й скобке вычеркиваем все члены вида tk/k\, если k <£ Л/, 1 < / < п.
Оставшееся после вычеркивания произведение скобок представляет собой
производящую функцию ф(/; Л).
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1°. Лу = No = (0, 1,2,...), 1 < /' < п. В этом случае какие-либо
ограничения на показатели первичных спецификаций m-выборок отсутствуют.
Полагая Dnm = Dnm(No), из равенства (4.6) имеем
m=0 у=1«у=0 '
Из этого равенства и формулы (4.4) следует, что общее число т-выборок
в некоммутативном несимметричном я-базисе равно
Dnm=nm= у, —г^ :. (4.9)
«1 + ...+«„ =т
Формула (4.9) дает число размещений m различных предметов в п
различных ячейках.
2°. Лу = N, 1 </ < п. В этом случае все показатели первичных
спецификаций m-выборок строго положительны. Полагая D°nm = Dnm(N), из
равенства (4.6) имеем
Е^=ПЕУ = (е'-1г. (4.Ю)
т=п у=1 «/ = 1 '
Из равенства (4.10) следует, что
Я^ = Д"<Г=£(-1)*(2)(/!-А)'". <4Л1)
6=0
С учетом формулы (4.4) из равенства (4.11) получаем следующее
тождество:
Д"0т= У" —;—? (4.12)
«i+«2+---+««=m

230 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
3°. Лу = (rh Гу + 1, . . ., 5у), Г} < 5у, 1 < / < /I, 5 = (5i, 52, . . ., 5„), Г =
= (гь г2, ..., г„). Обозначим через Qnm(^ s) число m-выборок в
некоммутативном несимметричном я-базисе с первичной спецификацией
[У*\ У*22 - • •#*"]' удовлетворяющей условию г} < «у < 5у, 1 < / < п. Из
равенства (4.6) следует, что
£д^^=П£Ь (4.13)
m=R /=1 k=r,
где R = г\ + г2 + ... + гл, S = 5i + 52 + ... + sn.
4°. Зафиксируем некоторые k элементов я-базиса. Не ограничивая
общности, будем считать, что это элементы у\, У2, ---, У/z- Обозначим
через Dnm[q\, <72, ••-, Qk] число m-выборок в некоммутативном
несимметричном я-базисе, в которых элементы у\, у 2, ..., yk встретились
соответственно Q\y Q2y • • -у Qk Раз- Очевидно, что
ОпЛЯи q* .... Qk] = £ «hJT' t- (4Л4)
ai!a2!...On!
Из равенства (4.6) следует, что
£ A.mfo., 92 <Ы^ = *<»-** J] Ь- <4Л5>
т=<? ' i=l
Таким образом,
Dnm[qu...4qk\ = ^(n-k)m'^4
/=1
где Q = q\ + 42 + • • • + qk- В частности, если q\ = ... = qk = q и MmM =
= Dnm[qy qy ...yq]y то
m=kq W";
Из равенства (4.16) следует, что
D^[g] = (^(n-kr-"k. (4.17)
5°. Обозначим через Dnm{p\, ..., pk\ q\, ..., <7/} число m-выборок
в некоммутативном несимметричном я-базисе с первичной спецификацией
[У*1У22 • • -У*"]* удовлетворяющей условиям
oa=pi, l^l^k; aij^q\,q2,---,qi, *+!</< я. (4.18)

§4. НЕКОММУТАТИВНЫЙ НЕСИММЕТРИЧНЫЙ «-БАЗИС 231
Из равенства (4.6) вытекает, что
Ё D„m{pi,...,Pk;qi ?'}^ = (П£)К-£§) •
m=Pl+...+pk \i=\ / \ /=1 1у /
(4.19)
Вводя обозначение D^(p, q) = Dnm{p, ..., р\ q}4 из равенства (4.19)
получаем
m—kp
Умножая обе части равенства (4.20) на (V)xk и суммируя по k, получаем
^ tm { t P tq\n
J2Dnm(x;p,q)^ = (e'+x^-^, (4.21)
где
n
k=0
Из равенства (4.20) следует формула
n-k
0»(р q) = _Ly-yи/(n-k^n-к-ir-"k-"'(m)pk+qi
(4.23)
При р = q = s из формулы (4.23) получаем выражение для числа
т-выборок в некоммутативном несимметричном я-базисе, в которых
фиксированные элементы я-базиса у\, у2, ..., ijk, и только они, встречаются
ровно 5 раз:
Da(*)=g(-.)f-y-t-Cr,'',)'w <«<>
/=0
Отсюда следует, что число m-выборок в некоммутативном
несимметричном я-базисе, в которых ровно k элементов я-базиса встречаются 5 раз,
равно
Du(s) = (J) Я« (s), k = 0,l,..., п. (4.25)
Из формулы (4.24) следует, что, в частности,
n-k
D« (0) = Д"-*(Г = £(-1 У С 7 *) <я " k ~ Л* <4'26)
/=0

232 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
и, следовательно, согласно формуле (4.25)
DU(0) = (£)Ап-к0тч k = О, 1, ..., п. (4.27)
Формула (4.27) определяет число размещений т различных предметов
в п различных ячейках с условием, что k ячеек пусты.
6°. Пусть а\, а,2, ..., ап — перестановка элементов 1,2, ..., п.
Элементы щ и a,j образуют инверсию, если щ > a,j и / < /. Обозначим через
/(aj, a2, ..., ап) число инверсий в перестановке а\, а2, ..., ап.
Рассмотрим совокупность я-выборок в некоммутативном
несимметричном /i-базисе следующего вида
Мп = {(Ьи §2, ...,&л): 0 <&/</!-/, 1</<я}.
Множество Мп можно представить в виде декартова произведения
Мп = {0ч 1, ..., я- 1}х{0, 1, ..., я-2}х...х{0, 1}х{0}.
Отсюда, в частности, следует, что Ьп =0.
Обозначим через Sn совокупность всех п\ перестановок элементов
1, 2, ..., п. Покажем, что между множествами Sn и Мп существует би-
екция, при которой перестановке а\, а2, ..., ап ставится в соответствие
/i-выборка (Si, §2, • • •, S/г) такая, что /(aj, a2, ..., an) =Ь\ +§2 + • • • + Sn.
Доказательство носит конструктивный характер, так как содержит
алгоритм для установления указанной биекции. Алгоритм состоит из двух
частей, приведенных ниже.
Алгоритм (первая часть). По заданной я-выборке (8Ь Ъ2, ..., §/г)
построим перестановку аь а2, ..., ап такую, что J(a\, а2, .. •, ап) = Sj +
+ S2 + ... + S/z.
На нулевом шаге алгоритма рассматриваем перестановку п, п— I, ...
..., 2, 1, которая будет преобразовываться на последующих шагах
алгоритма. На /-м шаге алгоритма, 1 ^ / ^ п - 1, элемент п - i передвигаем
влево так, чтобы слева от п - i в полученной перестановке было §„_,
элементов. Так как в исходной перестановке я, п - 1, ..., 2, 1 слева от п - i
расположены только элементы, большие п - /, и на предыдущих шагах
влево сдвигались только элементы, большие п - /, то на /-м шаге элемент
п — i образует bn-i инверсий. После п шагов алгоритма строится
перестановка а\, a2, ..., ап, обладающая указанным свойством. Таким образом,
имеет место включение Мп С Sn.
Алгоритм (вторая часть). По заданной перестановке а\ч а2, •. •, ап
построим /i-выборку (Si, §2, • • •, §п) такую, что /(aj, а2ч •.., ап) = Ъ\ +
+ Ъ2 + ... + Ъп.
С учетом того, что Ьп = О на /-м шаге построения я-выборки (Si, §2, • • •
..., Ьп) по заданной перестановке а\ч а2, . .., an, число bn-i определяется

§4. НЕКОММУТАТИВНЫЙ НЕСИММЕТРИЧНЫЙ «-БАЗИС 233
как число элементов, больших п — i и стоящих левее п — i, 1 ^ / ^ п — 1.
Таким образом, имеем Sn С Мп.
Из приведенных двух включений следует, что Sn = МПч и так как
перестановка а\ч a<i, ..., ап однозначно определяет я-выборку (Si, §2, • • •, §п)
со свойством ](а\, а2, ..., ап) = Si + §2 + • • • + §п, то между Sn и Мп имеет
место биекция.
Например, при /2 = 5, если (§i, §2, S3, §4, S5) = (3, 2, 1, 1, 0), то
перестановки, соответствующие шагам первой части алгоритма, выглядят
следующим образом:
54321-54321-53421-53241-532 14.
Обозначим через /(я, k) число перестановок, имеющих k инверсий. Из
приведенного алгоритма следует, что
/(я, k) = |{(S,, S2, • • •, S/z): Si + §2 + • • • + К = k}\.
Следовательно,
(2) n-\
£/(я,Л)** = П(1+* + ... + *')-
k=0 j=\
Из очевидного равенства
(2) n-\ (Л2 )
^/(я, £)/*=^ £ /(я-1, £)/'+*
6=0 /=0 k=0
следует рекуррентное соотношение
m\n(k,n— 1)
/(лг, ^) = ^ J(n-l,k-j).
j=0
Упражнения. 1. Зафиксируем некоторые d, 1 ^ d ^ /2, элементов
некоммутативного несимметричного/2-базиса и назовем их отмеченными. Показать, что
число m-выборок в некоммутативном несимметричном /2-базисе, не содержащих
k отмеченных элементов, 1 ^ k ^ d, равно
Qnm(d, k) = (f)Ad-k(n-d)m, k = 0, 1, ..., £/,
где Ad~k(n - d)m = Ad-kxm\x=n.d.
2. Доказать тождество
d
^2(dk)Ad-k(n-d)m = nm.
k=0

234 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
3. Пусть Dnm(k\, k<2, • • •, ks) — число размещений т различных предметов в п
различных ячейках с условием, что ячейки с номерами /'], /2, ..., js содержат
соответственно k\, hi, ..., ks предметов. Показать, что
(Х\ + Х2 + . . . + Xs + П - S)m = ^ Dnm{k\, k2, • • • , ks)x\'xk12 . . . Xk$s.
kxM2 ks>0
Получить отсюда формулу
Dnm(k\, &2, • • •, &s) = , , , , Г1-' ^1 + fa . . . ks = k.
tf]!tf2! . . . ks\
4. Для Dnm(s) — числа размещений т различных предметов в п различных
ячейках с условием, что каждая ячейка содержит не более s предметов, вывести
рекуррентные соотношения:
S
а) Dnm(s) =^(™)D„_i,m_*;
k=0
б) Dthm+](s)=nDn<m(s)-n^Dn lm s(s).
5. Для Епт — числа размещений т различных предметов в п различных ячейках
при условии, что каждая ячейка содержит не менее s предметов, вывести
рекуррентные соотношения:
а) Enm(s) = nEn^.^s) -\- n(^ ~ I^En_lm_s(s)\
б) Enm(s) = g(-D*G) ((s-l)!)C-s* + *)!£-'-*—*+l {S ~ l)-
§ 5. Коммутативный симметричный /i-базис
1. Определения. Пусть G = Sm и H = Sn—симметрические
группы подстановок степеней тип соответственно. Рассмотрим
фактормножество классов G//-эквивалентности отображений а: X —> У, \Х\ = т,
\Y\ = n, и соответствующую этому фактормножеству систему
представителей классов эквивалентности. Каждый элемент этой системы будем
называть т-выборкой в коммутативном симметричном я-базисе.
Из теоремы 6 § 1 следует, что каждый класс GH-эквивалентности,
G = Sm, H = Sn, однозначно определяется вторичной спецификацией [[а]]
входящих в него отображений а е Yx, где [[а]] = [[(УМ^1 .. . тРт]], lj3i + ...
... + ггфт = гп, ро + ... + Pm = п. Таким образом, каждому классу
эквивалентности ставится во взаимно однозначное соответствие разбиение
натурального числа т, т. е. представление его в виде суммы lpi + 2р2 + • • •
... + пфт = т, где^1 + р2 + • • • + рт ^ п h|3i, р2, ••-, рт —целые
неотрицательные числа. Величина pi + р2 + • • • +pm определяет число слагаемых
в разбиении.
Рассмотрим комбинаторную схему размещения т различных
предметов в п различных ячейках. Два размещения будем считать
эквивалентными, если они отличаются перенумерацией либо ячеек, либо предметов.

§5. КОММУТАТИВНЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ «-БАЗИС 235
Каждый класс эквивалентности будем называть размещением т
одинаковых предметов в п одинаковых ячейках. Ясно, что каждому такому
размещению ставится во взаимно однозначное соответствие m-выборка в
коммутативном симметричном п-базисе.
2. Нумератор. Рассмотрим последовательность Л = (Ль Лг, ...),
элементами которой являются последовательности А\, Лг, ... с элементами из
No = (О, 1, 2, ...), т. е. Лу С /Vo, / = 1,2,... Нумератор в коммутативном
симметричном я-базисе определим как производящую функцию
оо
*(*; хи *2, ; Л) = J] J2 (V)ft. (5Л)
где суммирование проводится по всем ру, пробегающим последовательно
значения из Лу, / = 1,2, ...
Нумератор (5.1) можно записать в виде
оо
Ф(*; хх, х2, ...; Л) = £ Г £ *?'**... д&, (5.2)
m=0 p,+2p2+...+mpm=m
где суммирование ведется по всем разбиениям числа т, в которых
слагаемое / встречается ру раз, причем ру— элемент последовательности Лу,
/=1,2,... Каждому слагаемому вида tm^x^2 ...x%? в нумераторе
можно поставить во взаимно однозначное соответствие разбиение т, в
котором слагаемое величиной / встречается fy раз, ру е Лу, / = 1, 2, ... В этом
смысле можно говорить, что нумератор Ф(/; *i, *2, ...; Л) перечисляет
разбиения с определенными Л-ограничениями на частоту, с которой
встречается каждое слагаемое.
Пусть Rmn(A) — число разбиений m на я слагаемых, частота, с которой
встречается каждой слагаемое, определяется Л, а Rm(A)— общее число
таких разбиений. Формально можно записать, что
RmnW= J2 *• <5'3)
P,+2p2+...+mpm=m
Pi+P2+...+Pm=n
Rm(A)= J2 L <5'4)
P,+2p2+...+mpm=m
Число m-выборок в коммутативном симметричном /i-базисе, в
которых показатели вторичных спецификаций суть Ру е Лу, / = 1, 2, ..., Л =
= (Ль Лг, •..), равно
п
Qm(";A) = £/U(A), (5.5)
где полагаем /?оо(Л) = Qm(0; Л) = /?о(Л) = 1, Rmk(A) = 0, k> т.

236 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
Из выражений для нумератора (5.1) и (5.2) и формул (5.3), (5.4)
следует, что
ос ос
Ф(*; 1, 1, ...; Л) = J2 Rm(A)r = ЦЛ '*• <56)
т=0 /= 1 РУ-€ЛУ
оо т ос
Ф(/; х, х, ...; Л) = J2 tm £ Rmni^x" = J] £ Wf'. (5.7)
m=0 /г=0 j=\fyeAj
Рассмотрим некоторые частные случаи задания последовательности Л.
1°. Пусть Лу=#0 = (0, 1,2, ...),/= 1,2, ..., HRmn=Rmn(N0),Rm =
= Rm(No). Из формул (5.6) и (5.7) следует, что
оо оо
/w)=£/?«r=no-*r'. (5-8)
т=0 /=1
оо т оо
ж/, х) = y, E ^«ГхП=ГО - xti)~x■ (5-9)
т=0п=0 /=1
Рассмотрим производящую функцию
оо
*„(0 = £W- (5.10)
т=/г
Нетрудно проверить, что
оо
R(Ux) = YJRn{t)xn. (5.11)
л=0
Из (5.9) вытекает функциональное соотношение
(l-xt)R(t,x) = R(t,xt) (5.12)
Подставляя сюда выражение для R(t4 x) из формулы (5.11) и вычисляя
коэффициенты при хп в обеих частях полученного равенства, находим
Rn(t) = r^piRn-\(t), м=1,2, ..., (5.13)
где Ro(t) = 1. Последовательно применяя соотношения (5.13), получаем
*"<'>= 0-0(1-£)..■(■-*")• (514)
Из формулы (5.5) следует, что Qm(n) = Qm(n\ No) есть число разбиений т
на не более чем п слагаемых, и это число совпадает с количеством т-вы-
борок в коммутативном симметричном я-базисе.

§5. КОММУТАТИВНЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ «-БАЗИС 237
Из формулы (5.5) вытекает равенство
ос п
Q(t, n) = Y, <?m(n)/m = Е Я*(0- (5-15)
m=0 k=0
Применяя метод математической индукции, из равенств (5.14) и (5.15)
получаем формулу
<X''">=(i-0(i-^-(i-*")- (5Л6)
2°. Обозначим через Rm,s) число разбиений т, содержащих слагаемые
величиной /', с условием, что г ^/ ^ 5. Для перечисления таких разбиений
следует взять
>s.
Из общего вида производящей функции (5.6) следует, что
*™<о=Е е^=(1_У)(1_Д,)...(1_<.)- (5.17)
т=0
В частности, если R$ — число разбиений т на слагаемые, не
превосходящие /2, то R$ = Rn'n) и из (5.17) имеем
*-<о=Е ^ = (1-0(1J).„(1-,n)- <518)
т=0
3°. Обозначим через Vmn число разбиений т на я различных
слагаемых, а через Vm — общее число разбиений т на различные
слагаемые. Положим 1/00 = 1/0 = 1 и Vmn = 0, /2 > т. Выбирая А7- = (0, 1) для
/' = 1, 2, ..., из формул (5.6) и (5.7) получаем
ос ос
V(t) = J2Vmtm = Y[(\+ti), (5.19)
т=0 /=1
ос т ос
vv- x) = 1lY, у™ГхП = П*1 + х(1у (5-2°)
т=0п=0 /=1
Рассмотрим производящую функцию
оо
Va(f) = Y,Vmnfn. (5.21)

238 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
Из (5.20) и (5.21) следует, что
оо
V(t,x) = Y,Vn(t)*r. (5.22)
/г=0
Имеет место функциональное соотношение
V(t,x) = (l+xt)V(t4xt)4 (5.23)
вытекающее из равенства (5.20).
Подставляя выражения для V(t, x) из формулы (5.22) в
соотношение (5.23) и вычисляя коэффициенты при хп в обеих частях полученного
равенства, находим
Va(f) = j£?:Va-l(f). (5.24)
Из соотношения (5.24) с учетом равенства V\(t) = t/(\ - t) окончательно
получаем
^> = (1 - 0(1 U-■■(!-*")• (5-25)
4°. Суммируем полученные выше результаты. Из равенств (5.14),
(5.16), (5.18) и (5.25) следует, что
оо оо оо оо .
т=п т=0 т=0 _ /п-\-\\
т=( 2 )
Отсюда находим
Rm+n,n = Qm(n) = /#> = Vm+^n+\y (5.26)
Равенства (5.26) заключают в себе содержание следующей теоремы.
Теорема 1. Число разбиений т + п на п слагаемых равно:
числу разбиений т не более чем на п слагаемых, числу разбиений т
на слагаемые, не превосходящие п, и числу разбиений т + (п^ J
на п различных слагаемых.
Рассмотрим простейший пример, полагая т = 5, п = 2. В этом случае
т + п = 7 и имеются три разбиения 7 на 2 слагаемых: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4.
Разбиения 5 на слагаемые, число которых не превосходит 2, выглядит
следующим образом: 5, 1 + 4, 2 + 3, а разбиения 5 на слагаемые, не
превосходящие 2, имеют вид: 1 + 1 + 1 + 1 + 1,1 + 1 + 1+2, 1+2 + 2. Наконец,
т + (п + J = 8, и разбиения 8 на два различных слагаемых имеют вид:
1 + 7,2 + 6,3 + 5.

§5. КОММУТАТИВНЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ «-БАЗИС 239
5°. Графом Ферре разбиения т = lpj + 2j32 + ... + tnpm, p\ + р2 + • • •
• • • + рт = п, называется точечный граф, содержащий п строк, каждая из
которых содержит число точек, равное величине соответствующего
слагаемого разбиения, причем максимальному слагаемому соответствует
первая строка. Например, граф Ферре разбиения 9=1+2+2 + 4 имеет вид
• • • •
Если строки графа Ферре сделать столбцами и наоборот, то
полученный граф будет соответствовать разбиению, называемому сопряженным
с исходным. Так разбиению 9=1+2 + 2 + 4 соответствует сопряженное
разбиение 9=1 + 1+3 + 4. Ясно, что разбиение, сопряженное
сопряженному, совпадает с исходным.
Обозначим через Wmn число разбиений т с максимальным по величине
слагаемым, равным п. Из строения графов Ферре исходного и
сопряженного разбиений следует, что это число совпадает с количеством разбиений т
на п слагаемых, т. е.
Wmn = Rmn. (5.27)
Аналогичным образом путем рассмотрения графов Ферре исходного и
сопряженного разбиений устанавливается полученное ранее равенство
/#> = <?«(«), (5.28)
означающее, что число разбиений т на слагаемые, не превосходящие я,
равно числу разбиений т на слагаемые, число которых не превосходит п.
Рассмотрим граф Ферре разбиения т, содержащего п слагаемых.
Добавим в первую строку графа п — 1 точек, в следующую строку — п — 2
точек и т.д.; наконец, в предпоследнюю строку — одну точку, последнюю
строку оставим неизменной. В результате получим граф разбиения т + (9)
на п различных слагаемых. К любому графу Ферре разбиения т + \w\
на п различных слагаемых можно применить обратное преобразование,
состоящее в удалении из предпоследней строки последней точки, из
следующей строки — последних двух точек и т.д.; наконец, из первой
строки — последних п — 1 точек. В результате получим граф Ферре
разбиения т на п слагаемых. Таким образом, доказано равенство
Rmn = Vm+{n)n, (5.29)
вытекающее из равенств (5.26).

240 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОИА
6°. Денумерант D(m\ аь а2, ..., ап) определяет число разбиений т
на слагаемые величин аь а2, ..., ал, т. е. число решений (х\, х2, ..., *л),
jc£- ^ 0, 1 ^ / ^ /2, уравнения
a i^i + а2х2 + ... + апхп = т. (5.30)
Из формулы (5.6) следует, что производящая функция денумеранта
имеет вид
°° 1
^D(m;a1,a2,...,a/I)r=(1_/fl|)(1_/fl2) (1_/а><). (5.31)
т=0
Это выражение позволяет получить рекуррентное соотношение
D(m\ aj, a2, ..., an) =
= D(m — an\ aj, a2, ..., an) + D(m\ aj, a2, ..., an_i) (5.32)
с начальным условием
1, a\ | m,
D(m;a,) = |J' "' \'2 (5.33)
Полагая a£- = /, / = 1, 2, ..., /i, получаем выражение для числа
разбиений т на слагаемые, не превосходящие п: Rm = D(m\ 1, 2, ..., п).
Соотношение (5.32) в этом случае принимает вид
^") = ^-.+С-|). л = 1,2,..., (5.34)
причем выполнены условия Р$ =Rm, n^m^X, Rm = 0, т ^ 1.
7°. Различные слагаемые. Обозначим через R^n число
разбиений т на п слагаемых, среди которых k различных, и рассмотрим
производящую функцию
ос т п
R(t, х, у) = Y, Е Е *£!Г*У, (5-35)
т=0 /г=0 k=0
где полагаем /^ = 1. Покажем, что
оо
*('.*. у)=П(1+ГУ)- (5-36)
Действительно, правая часть равенства представима в виде
П(1±Йг1)=п('+«В*"4

§5. КОММУТАТИВНЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ «-БАЗИС 241
Перемножая скобки в правой части, получаем
оо / оо \ оо
Щ1+у 1>/0р' 1 = Z r Z) jKP'+--H»-^.+--nr->
/=1 \ р;=1 / m=0 10,+.. .+mpm=m
где
1, Ру >0,
Y/
П, Ру>0,
Г/ \о, р, = о.
Заметим, что pi + ... + рт равно числу слагаемых, a yi + • • • + Ym —
числу различных слагаемых разбиения l(3i + ... + трт = т.
Следовательно,
оо оо т п . .
m=0 ip,+...+m$m=m m=0/1=0 6=0 I iPi+...+m{Jm=m
\ p,+...+pm=/i
Так как сумма в круглых скобках есть величина Р$п, то формула (5.36)
доказана.
Рассмотрим производящую функцию
оо п
Rn(t,y) = Y,Y,R(™tmyk- (5-37)
т=п 6=0
Из равенства (5.35) следует
оо
R{t,x,y)=Y,Rn{Uy)xn. (5.38)
/1=0
Формула (5.36) позволяет получить функциональное соотношение
(1 - xt)R(t, х, у) = (1+ хЦу - 1))/?(/, */, у). (5.39)
Подставляя выражение для /?(/, х, у) из формулы (5.38) в
соотношение (5.39), находим
ад. у) = ^т=1^я«-1 с у)- (5-4°)
Непосредственно устанавливается, что
ад#)=-пЬ- <5-41>
Применяя соотношение (5.40) многократно, с учетом равенства (5.41)
получаем
Hn{t'y) ~ (l-t)(\-fi)...(\-n • (bAZ)

242 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
С учетом формулы (5.14) из равенства (5.42) получаем
/i-i
Rn(t, У) = Rn(t) ГП1 + *(У ~ *)]' " = 1,2,... (5.43)
/=0
8°. Совершенные разбиения. Рассмотрим разбиения
числа 7 следующего вида:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1+4, 1+2+4, 1+2+2+2. (5.44)
Каждое из этих разбиений обладает тем свойством, что содержит одно
и только одно разбиение любого числа, меньшего т. При этом,
естественно, одинаковые слагаемые рассматриваются как неразличимые. Например,
для разбиения 1 + 1 + 1 + 4 имеем 1 = 1,2=1 + 1,3=1 + 1 + 1,4 = 4,
5 = 1+4, 6=1 + 1+4. Разбиение натурального числа т называется
совершенным, если оно содержит одно и только одно разбиение каждого
числа, меньшего т.
Теорема 2. Каждому совершенному разбиению натурального
числа т можно поставить во взаимно однозначное соответствие
упорядоченное разложение числа m + 1 на множители, большие
единицы.
Действительно, пусть в совершенном разбиении т имеется q\ — 1
единичных слагаемых, т ^ q\ > 1. Тогда каждому из натуральных чисел,
меньших q\, ставится в соответствие единственное разбиение с
единичными слагаемыми. Ясно, что число q\ должно быть следующим по
величине после единицы слагаемым совершенного разбиения т. Если число
слагаемых величины q\ равно q<i - 1, q<i > 1, то следующее по величине
слагаемое совершенного разбиения т равно q\q2, и т.д. Таким образом,
если величина максимального слагаемого в совершенном разбиении
равна q\q<2---qk-\ и оно встречается qk - 1 раз, ^ > 1, то имеет место
равенство m = (q\- l) + q\(q2 - 1) + • • • + Q\Q2 • • -qk-\(qk - 1), где щ > 1,
/ = 1, 2, ..., k. Отсюда следует, что
m + l=q\q2...qk, 9/> 1, l^i^k.
Теорема доказана.
Например, совершенным разбиениям вида (5.44) числа 7
соответствуют следующие упорядоченные разложения на множители числа 8: 8; 4 • 2;
2- 2- 2; 2 .4.
Упражнения. 1. Пусть d — общий наибольший делитель чисел щ, «2, • • •
..., йк. Показать, что денумерант D(m; а\, ..., а*) удовлетворяет соотношениям
D(m;a,,...,a,) = D(5;^,...,^), d\m,
D(dm + r; da]y ..., dak)=0, r = 0, 1, ..., d- 1.

§6. НЕКОММУТАТИВНЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ «-БАЗИС 243
2. Используя тождество 1/(1 — t) = (1 + t)(\ + t2)... (\ + t2n)..., доказать,
что каждое число имеет единственное представление в двоичной системе.
3. Пусть Rm (R%) — количество разбиений т с четным (нечетным) числом
слагаемых. Показать, что при т > 1 Rm = R°m.
4. Пусть Km,n(s) — число композиций теп слагаемыми, ни одно из которых
не превосходите. Вывести рекуррентные соотношения:
а) Ktn,n(s) = Km-],n(s) + Km-],n-](s) - Km-s-\,n-\(s)\
б) Km,n(s) = Z) (ь)Кт sk,n k(s - 1).
5. Показать, что если Km(s) —число композиций т со слагаемыми, ни одно
из которых не превосходит s, то
б) Km(s) -2Km-](s) + Km-s-](s) = Ъ\,т - &s+i.m, где &,7 — символ Кронекера.
6. Пусть Km(s) — число композиций т со слагаемыми, ни одно из которых не
превосходите, и имеется по крайней мере одно слагаемое, равное s. Показать, что
(\-2t + ts)(\-2t + ts+*)-^m[S)l •
7. Доказать тождество
т-\
mRm = ^2,o(m -k)Rk,
где Rm —число разбиений, а о(п) — сумма делителей п.
§ 6. Некоммутативный симметричный п-базис
1. Определения. Рассмотрим случай общей комбинаторной схемы,
в котором G = {е}, Н = Sn, где е — единичная подстановка степени т,
a Sn — симметрическая группа степени п. В этом случае два
отображения а и а', а, а' е Yx, \X\ = m, | Y\ = n, принадлежат одному классу GH-эк-
вивалентности, если существует подстановка h eSn такая, что (а'(1), ...
..., а'(т)) = (й(а(1)), ..., h(a(m))), т. е. векторы, отвечающие а и а',
могут быть переведены один в другой некоторой подстановкой множества Y.
Ясно, что такие векторы имеют одинаковые вторичные спецификации.
Элементы системы представителей классов бЯ-эквивалентности при
G = {е}, Н = Sm будем называть т-выборками в некоммутативном
симметричном я-базисе.
Если занумеровать т предметов элементами множества Х = {1, 2, ...
..., т}, и п ячеек— элементами множества У, \Y\ = n, то каждому
размещению т различных предметов в п различных ячейках, как было указано,
отвечает вектор (а(1), ..., а(т)), где а: X —> У. Ясно, что совокупность
векторов вида (й(а(1)), ..., й(а(га))), где h пробегает множество всех
подстановок степени п, отвечает единственному размещению т различных

244 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
предметов в п одинаковых ячейках. Отсюда следует, что каждой
т-выборке в некоммутативном симметричном я-базисе ставится во взаимно
однозначное соответствие размещение m различных предметов в п одинаковых
ячейках.
Если отображение о: X^>Y сюръективно, то вектору (а(1), ..., о(т))
ставится во взаимно однозначное соответствие размещение m различных
предметов в п различных ячейках с условием, что каждая ячейка
непустая. В этом случае совокупности векторов вида (й(а(1)), ..., й(а(т))),
h e Sn, ставится во взаимно однозначное соответствие m-выборка в
некоммутативном симметричном л-базисе, в которой каждый элемент л-бази-
са встречается по крайней мере один раз. В свою очередь каждой такой
m-выборке можно поставить во взаимно однозначное соответствие
некоторое разбиение
X = Xx\jX2\J...\JXn, XiC\Xj = 0, (6.1)
множества X на п блоков. Отсюда следует, что общее число т-выбо-
рок в некоммутативном симметричном л-базисе равно числу разбиений
m-множества с количеством блоков, не превосходящим п.
Обозначим через Тф\, р2, • • •, рт) число разбиений m-множества Х на
блоки, имеющих вторичную спецификацию [[ lPl 2^ ... rrfim ]], ipi + 2^2 + • • •
• • .+трт = т, т. е. содержащих р, блоков размера /, 1 ^ / ^ т. Имеет место
формула
Щи Р2, • • •, М = (1!)pl(2.)fc...(m!>.p1.fe....pm.' (6'2>
pi + 2р2 + ... + трт = m.
Действительно, расположим все блоки фиксированного разбиения
m-множества X вторичной спецификации [[lPl2P2.. .mPm]] на прямой
в некотором заданном порядке. Любое другое разбиение X такой же
вторичной спецификации получается перестановкой элементов на
прямой. Отсюда следует, что общее число таких разбиений равно
частному от деления т\ на число эквивалентных перестановок, не дающих
новых разбиений. Эквивалентные перестановки получаются при
перестановке элементов внутри блоков и при перестановке между собой блоков
одинакового объема. Отсюда следует, что число эквивалентных
перестановок равно (l!)P'(2!)P2...(m!)^pi!p2!...pm!. Этим формула (6.2)
доказана.
Рассмотрим последовательность А= (Ai, A2, .. •)* элементами
которой являются подпоследовательности из No = (0, 1,2,...), т. е. Л/ С No,
/' = 1,2, ... Обозначим через Ттп(А) число разбиений m-множества Х
на п блоков с условием, что для вторичных спецификаций разбиений
[[lPl2P2.. .mPm]] выполнено условие р/ G Л/, /=1,2,...; через 7^(A; k, I)

§6. НЕКОММУТАТИВНЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ «-БАЗИС 245
обозначим число разбиений m-множества с указанным условием,
содержащих k блоков размера /, через Тт (Л) обозначим общее число разбиений
m-множества с указанным условием. Можно записать, что
Тт(А)= J2 7ХРьр2,.-.,рт), (6.3)
P,+2p2+...+mpm=m
Ттп(А)= J2 Тфир2,...,Рт), (6.4)
Р,+2{J2+...+m0m=m
P,+p2+...+pm=/z
Гт(Л; ft,0= E Д8ь p2, • • •, Pm). (6.5)
ф,+2р2+...+трт=т
Из формулы (6.4) следует, что число m-выборок в некоммутативном
симметричном я-базисе со вторичными спецификациями [[lPl2P2.. . mPm]]
такими, что (3/ Е А/, / = 1, 2, ..., равно
f/w„(A) = Е Г(р!, рз, ..., pw). (6.6)
ip,+2p2+...+mpm=m
^,,/=1,...,™
В приведенных выше формулах полагаем 7Ь(Л) = 7оо(А) = f/oo(A) =
= 7Ь(Л,0,0)=1.
2. Нумератор. Рассмотрим производящую функцию вида
Ф(/;хьх2,...;Л) = ПЕ(^Г^ (6-7)
где суммирование проводится по всем (Зу, принимающим значения из
последовательности Л/, являющейся подпоследовательностью из Л/о = (О, 1,
2, ...), и А=(АЬ А2, ...).
Правая часть в равенстве (6.7) определяет производящую функцию
от /, так как вычисление коэффициента при tm сводится к вычислению
такого коэффициента в выражении
П Е &Ц-
Производящая функция (6.7) называется нумератором в
некоммутативном симметричном я-базисе.

246 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
Осуществляя перемножение в правой части равенства (6.7) и вычисляя
коэффициент при tm/m\, находим
Ф(*;*ь*2, ...; А) =
оо т
= V— V - /' *&• (6 8)
т=0 ip,+. ..+т$т=т
Нумератор (6.7) с учетом его записи в виде (6.8) позволяет находить
выражения для производящих функций чисел 7^(A), Tmn(N), Tm(K\ k, /).
Действительно, полагая в равенстве (6.8) х\ = Х2 = ... = 1, имеем
оо m
Ф(*; 1, 1, ...;Л) = 2^ 2^ (1!)Э|...(/л!)М1!...вт!"
m=0 l(J,+...+wpm=m V ' V / * 1
Отсюда с учетом равенств (6.3) и (6.7) находим
Еил)£=ПЕ©^- **>
т=0 /=1 Р/^Л, г/
Аналогично, полагая х\ = Х2 = ... = * и соответственно л:/ = 1, / Ф /,
xi =х, из равенств (6.7), (6.8) и формул (6.4), (6.5) получаем
EEwA)£y=nE(f)"e7. «е."»
т=0п=0 /=1 Р/^Л/ ''
£1><Л;/,*>^=Е(#ПЕ№ (б-")
Рассмотрим некоторые частные случаи задания Л.
Положим Л7- = /Vo = (0, 1,2, ...),/= 1, 2, ..., и обозначим Гт = Tm(No),
Ттп = Tmn(N0), Tm(k, I) = Tm(N0; К /)■ Из формул (6.9)—(6.11) следует, что
оо
г
J2Tmb = ee~\ (6.12)
m=0
ft
J2J2T^n=^'-\ (6.13)
m=0 /1=0
E E ^ ^b^=expr " и-^-Отг}. (6.14)
m=0 6=0
Числа Гт, m = 0, 1, ..., как указывалось ранее, представляют собой
^исла Белла. Число Тт определяет количество разбиений т-множества

§6. НЕКОММУТАТИВНЫЙ СИММЕТРИЧНЫЙ «-БАЗИС 247
на блоки. Дифференцируя обе части равенства (6.12) и вычисляя
коэффициенты при tm/m\, приходим к рекуррентному соотношению для чисел
Белла:
I т+\ =
k=0
Е(1)Г^. To = L <6-15)
Путем разложения в ряд правой части равенства (6.12) и вычисления
коэффициента при tm/m\ получаем формулу Добинского:
Из равенства (6.13) находим, что
^ tm 1
Отсюда следует, что для Ттп — числа разбиений m-множества на п
блоков— имеет место равенство (см. (4.57) гл. I)
Ттп=а(т,п), (6.18)
где а(т, п) — числа Стирлинга второго рода. Из равенства (6.18) следуют
формулы
т
7m = J>(m, £), (6.19)
п
t/w/I = £a(m,*), (6.20)
k=0
где Umn — число m-выборок в некоммутативном симметричном я-базисе.
3. Л-разбиения. Пусть А есть некоторая подпоследовательность
из N. Будем считать, что разбиение m-множества относится к классу
Л-разбиений, если размеры соответствующих блоков являются
элементами фиксированной последовательности А. Обозначим через Т% число
Л-разбиений m-множества, через Т^п — число Л-разбиений с п блоками
и через T^(ky I) — число Л-разбиений с k блоками размера /. Возьмем
(М), jeA,
'l(O), ЦАЧ /= 1. 2
и рассмотрим производящую функцию
а(0=£тг (6-21)
1€А '■

248 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
Тогда из выражений для производящих функций (6.9)—(6.11) находим
E^b=ee(/)- (6-22)
о
ос т
т=0
т
т=0 /1=0
00 [m/l] im ( il л
Е Е ^ l^k=ехр{(* - хп+аЩ- (6-24)
m=0 6=0
Например, если рассматриваются разбиения, в которых размеры
блоков ограничены снизу и сверху соответственно числами г и s, то
a(t) = Y^ ~7 и соответствующие производящие функции следуют из ра-
/=г 1-
венств (6.22)—(6.24).
Дифференцируя обе части равенства (6.22) и вычисляя коэффициенты
при /m/m!, получаем рекуррентное соотношение
Тт+\ = Е 0 - V ^-/"Ы '
Упражнения. 1. Показать, что число разбиений m-множества на блоки,
содержащие не более двух элементов, равно
[tn/2] }
<Эт = У" г, т=1,2, ...
2. Пусть 7^л и Т°тп — число разбиений m-множества на п блоков, содержащих
соответственно четное и нечетное число элементов. Показать, что
оо т т
а> ЕЕг»Ь*"=в*'"",)'
оо т
EEc^w-
m=0 я=0
б) r- = IS £(-D'(7y<^ -/•2").
где sh / и ch / — соответственно гиперболические синус и косинус.
(2л)!
/=о
г™ = ^£(-1>'(>-2/Г.
где а(т, л) —числа Стирлинга второго рода.

§7. ТЕОРЕМА ПОЙА
249
3. Обозначим через д(ш, к) число разбиений m-множества на к блоков, среди
которых нет единичных. Числа d(m, k) называются присоединенными числами
Стирлинга второго рода. Положим
т т
ат(х) = ^a(m, k)xk, bm(x) = ^d(m, k)xk,
k=0 k=0
где o(m, k) — числа Стирлинга второго рода. Вывести следующие соотношения:
т
а) ftm(x) = £(-l)*fi!)am_*(*)**;
т
б) ат(х) = ^(™)бш_*(*)х*;
в) bm+l (x) = xb'm(x) + mxbm , (*);
г) д(т + 1, &) = &d(m, &) + md(m — 1, Л — 1).
§ 7. Теорема Пойа
1. Основная теорема. Один из наиболее общих методов
перечисления классов эквивалентности отображений относительно групп
подстановок был разработан Пойа. Изложению основных идей этого метода и
посвящен данный параграф.
Пусть о: X —> Y — отображение m-множества Х в я-множество Y
и Yx — совокупность всех таких отображений. В соответствии с
терминологией Пойа элементы множества X называются местами,
элементы Y — фигурами и элементы Yx — конфигурациями.
Будем предполагать, что группа подстановок G действует на
множестве X и определяет отношение G-эквивалентности на множестве Yx,
причем o^o'tO, a' £ Y', если существует такая подстановка g£G, что а*(х) =
= o(g(x)) для всех х е X. Каждому элементу у eY поставим в соответствие
^-мерный вектор (s\, 52, ..., 5^), координаты которого принимают
значения из некоторого числового кольца К. Этот вектор будем называть
характеристикой у и записывать <й(у) = (s\, 52, ..., Sk). В результате
определено некоторое отображение (л>: Y —> KSk\ где К^ = К х К х ... х
К—декартово произведение с k сомножителями. Это отображение будем
называть весом фигур. Сумму весов двух фигур о>(у\) = (s\ \ 5g\ ..., s[^)
и <д>(*/2) = (sf\ sf\ ..., 5^2)) определим равенством о>(у\) + <*>(*/2) =
= (Sl" + sf),4,) + 42).---.41)+42))-
В соответствии с этим характеристику конфигурации о eYx определим
с помощью равенства
Ща) = 5>(а(х)). (7.1)
хех
Этим равенством определено отображение W: Yx —> /С(*\ которое будем
называть весом конфигураций.

250 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
Обозначим через a(s\, 52, ..., 5^) число фигур у G У, имеющих
характеристику (s\, 52, ..., Sk), и рассмотрим производящую функцию
F(zu z2,...,zk)= Y, а<5ь *2, • ■ •, sk)tf4*.. .zj*, (7.2)
(Sl,S2,...,Sft)
где суммирование проводится по всем значениям весовой функции фигур.
Функцию (7.2) будем называть производящей функцией весовой
спецификации фигур.
Из (7.1) следует, что если а~а', то W(a) = W(a'), т.е. различные
значения характеристик допускаются только для неэквивалентных
конфигураций. В соответствии с этим обозначим через bm(s\, 52, • •., Sk) число
неэквивалентных конфигураций о eYx с заданным значением
характеристики, равным (5ь 52, • • •, Sk), причем т = \Х\. Рассмотрим производящую
функцию
Фт(гх, z2,...,zk)= J2 M*i. *2, ..., sk)z\lzs22 .. .s%, (7.3)
где суммирование проводится по всем значениям весовой функции
конфигураций.
Функция (7.3) называется производящей функцией весовой
спецификации конфигураций, не эквивалентных относительно группы G.
Введем в рассмотрение циклический индекс группы G, представляющий собой
многочлен вида (см. (5.12) гл. I)
Z(tut2,...,tm\G) =
= щ £ С(/,,/2, ...,/m;G)/^..^, (7.4)
1/1+2/2+...+m/m=m
где C(j\, /2, • • •, \т\ G) — число элементов циклового класса [ I712/2... т]т ]
группы подстановок G и суммирование ведется по всем (/i, /2, ..., jm)
таким, что l/i + 2/2 + ... + mjm = т.
Теорема Пой а. Производящая функция весовой
спецификации конфигураций, не эквивалентных относительно группы
подстановок G, выражается через циклический индекс этой группы
и производящую функцию весовой спецификации фигур
соотношением
&m(z\, г2, ..., zk) =
= Z{F{zx, ..., zk\ F(zi ..., z\\ ..., F(zT, .. •, zmkY G). (7.5)
Определим группу подстановок G, действующую на множестве У* и
являющуюся гомоморфным образом группы G. Гомоморфизм у' G —> G
определим следующим образом. Считаем, что y(g) = g, g G G, g G G, если

§7. ТЕОРЕМА ПОЙА 251
g(o) = o(g(x)) для всех х е X. Группа G определяет на множестве Yx
отношение эквивалентности, при котором а ж а*, если g(o) = о7. Очевидно, что
если а~а' где ~ есть G-эквивалентность, то а ж а', причем верно и
обратное. Таким образом, отношения эквивалентности ~ и «, определяемые
соответственно группами G и G, совпадают.
Обозначим через bm(s\, 52, ..., 5^; g) число конфигураций с
характеристикой (5i, 52, ..., Sk), являющихся неподвижными точками
подстановки g е G. Согласно лемме Бернсайда
bm(S\, 52, . . ., Sk) = Т=Г У2 bm(s\ > 52, • • •, Sk\ g)- (7.6)
|G| KG
Если Н— ядро гомоморфизма у. G —> G, при котором g = y(g), то из
условия g(o) = о следует, что o(hg(x)) = а(х), где he H. Таким образом, если
А — произвольная система представителей правых смежных классов G по
подгруппе Я, то имеют место равенства
щ ^2 M5i. 52, • • •, sk; g) = щ ^2 ^2 bm(s\, 52, ..., sk; ha) =
1 ' geG ' ' «eAheH
Теперь из (7.6) следует, что
bm(S\, 52, • • •, Sk) = щ ^2 bm(S\, 52, • • •, Sk', g). (7.7)
geG
Рассмотрим производящую функцию
Фт(21, 22, • • • , Zk\ g) = Yl M$l, 52' * * * ' 5*; ^K'2? ■ ' "4*' (7'8)
(Si,S2,...,Sft)
где суммирование проводится по всем значениям характеристик
конфигураций, инвариантных относительно действия подстановки geG. Из (7.3)
и (7.7) имеем
Ф/я(21, 22, . . ., Zk) = щ ^ Ф"Лг1 'г2' • • •' г*; ^)" (7'9)
geG
Пусть o(g(x)) = а(х) для g e G и всех jt Е Л". Если Л) — орбита из /
элементов, на которой действует цикл g} подстановки g, то в силу равенств
<*(ё}(х)) — <j(gf(x)) — • • • — <*(&/(*)) — <*(*) Для х £ ^/ убеждаемся, что
конфигурация а постоянна на Х-}. Следовательно, множество конфигураций,
инвариантных при действии подстановки geG, может быть получено
путем независимого задания значений а на орбитах подстановки g. Отсюда

252 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
следует, что если g = g\g2- • -gd — разложение g в произведение
независимых циклов и b(sf, ..., s^, gj) — число конфигураций с характеристикой
(s^\ s^\ ..., sf), являющихся сужением на орбиту Xj всего множества
конфигураций, инвариантных при действии цикла g/, то
bm(s\, 52, ..., sk; g) =
J2 <\ 4'\ ..., 4'>; &)... b(sf\ s?.....s?; gd).
S\»+Sf>+...+S\«=S,
(7.10)
Для / = 1, 2, ..., d рассмотрим производящие функции вида
<p(Zi, 22, . • . , 2*; й) = ^ b(S\, 52, ... , 5^; gO^l'^2 • • .^*.
(*1.*2 Sk)
Из (7.8) и (7.10) следует, что
Фт(21, 22, ..., Zk\ g) =
= ф(2ь 22, ...,2^; gl)(p(2i, 22, ..., 2*; ft) • • • <p(Zl, 22, ..., 2fc; &/).
(7.11)
Пусть a(g(x)) = а(х) для g e G и всех x e X, и пусть */ — постоянное
значение, которое конфигурация а принимает на орбите Xj размера /,
соответствующей циклу gj подстановки g. Если <o(g) = (s\, 52, ..., 5^), то
характеристика сужения конфигурации а на орбиту Xj имеет вид (5j/, 52/, ...
..., 5fc/). Следовательно,
ф(2,, 22, . . ., Zk- gj) = J2 а(5Ь 52, ..., Sk)zS/zf . ..**'. (7.12)
(5l,52 Sk)
Это означает, что производящая функция y(z\, 22, ..., 2^; gy) зависит
только от величины / орбиты, соответствующей циклу gj подстановки
ge G. Из формул (7.2) и (7.12) следует, что
Ср(2Ь 22, ... , Zk\ g}) = F(z\, Zl2, . . ., 4)- (7-13)
Теперь из (7.9), (7.11) и (7.13) находим
&m(Z\, 22, . . ., Zk) = щ ^2 С{]\, /2, - - -, jm\ G) X
l/'i +2/2+. ..+mjm=m
X F'(2,, 22, . . ., 2*)F'2(2?, 4, . . . , Z\) . . ,F-(2f, 2^, . . . , zj1).
С учетом (7.4) данная формула эквивалентна формуле (7.5). Теорема
доказана.

§7. ТЕОРЕМА ПОЙА 253
2. Первичные спецификации. Рассмотрим совокупность
отображений а: Х^> У, где X={1, 2, ..., m}, Y={yu у2, ..., */«}• Группа G,
действующая на множестве X, определяет отношение G-эквивалентности на
множестве Yx. В качестве характеристики элемента yt возьмем п-мерный
вектор o)(yi) = (О, ..., 0, 1, 0, ..., 0), у которого единственная /-я
координата равна единице, 1 < / < я. Тогда производящая функция весовой
спецификации множества Y имеет вид
F(zu z2, ..., zn) = zx +z2 + ... + zn. (7.14)
Ясно, что конфигурация а тогда и только тогда имеет первичную
спецификацию [а] = [у**у22 • • • #*"Ь когда вес конфигурации равен ы(а) = (а\, «2,
..., ап). Поэтому, если Ст(а\, «2, .. •, а„; G) — число конфигураций
первичной спецификации [у**у22.. .*/*"], не эквивалентных относительно
группы G, то производящая функция
Ф/я(21, 22, -.., 2Л; G) =
^ Cm(a,, «2,-..,«„; 0)^'^,,,г2- (7.15)
«,+«2+...+«„=т
согласно теореме Пойа имеет следующее выражение:
Фт(г\, 22, ..., 2„; G) =
= Z(2,+...+2„,2? + ... + 22, ...,2f + ... + 2-;G), (7.16)
где Z(/!, /2, • • •, ^m; G) — циклический индекс группы G. Из формулы (7.16)
при Z\ = ... = zn = 1 следует формула для числа классов эквивалентности,
порождаемых группой G на множестве Yx\
Cnm(G) = Z(n,n,...,n;G). (7.17)
Г. Рассмотрим случай, когда G = 5т, где 5т — симметрическая группа
степени т. Так как Cm(«i, «2, • • •, ая; Sm) = 1, то из (7.15) следует, что
оо п
X>m(z,, z2, ..., г„; Sm)P = JJ(1 - г,*)"1. (7.18)
m=0 /=1
Правую часть равенства преобразуем следующим образом:
ПО -г//)-' = ехр{|>(1 -г/О"1! =exp{|Y|>A£}. (7.19)
Используя (7.16) и (7.19), из (7.18) получаем
оо / п п п \ ( оо / я \И
EWE^E^-.E^s-r=«p Ste^lT • (720)

254 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
Полагая в обеих частях последнего равенства z\ = ... = zn = 1, с учетом
равенства (7.17) находим
оо
J2 Cnm{Sm)tm = {\ -/)"".
m=0
Из этого равенства следует, что
г -г (S )- (п + т- х\
Этот результат хорошо известен, так как Спт есть число т-выборок
в коммутативном несимметричном я-базисе.
2°. Рассмотрим теперь случай, когда G = Ст, где Ст — циклическая
группа подстановок степени т, соответствующих всевозможным
циклическим сдвигам. В этом случае отображение а эквивалентно
отображению а', если векторы (а(1), ..., о(т)) и (а'(1), ..., о'(т)) отличаются
циклическим сдвигом. Если Dm(«i, «2, ..., ая; Ст)— число неэквивалентных
отображений первичной спецификации [у^у^2 ...*/*"], то для
производящей функции
Ф(2ь 22, • • -, Zn\ Сщ) = ^ Dm(<*\, «2, • • • , *n\ Cm)Z<\x Z% • • • Z%
oti+...+ot„=m
(7.21)
в силу теоремы Пойа имеем
Фт(гх, 22, ..., zn\ Cm) = I J2Ф№(^1 + 4 + • • • + 4)m/d, (7.22)
d\m
так как циклический индекс группы Ст имеет вид (см. (5.14) гл. I)
Z(tu h, ..., tm\ Cm) = ±Y,<t№td/d> (7-23)
где cp(d) — функция Эйлера и суммирование ведется по всем делителям
числа т. Из (7.21) и (7.22) вытекает следующая формула:
Dm(ei.«*,....*.;Cm) = l £ Ч*0(5^3ЬЗ)!' (7-24)
d|(<Xi,0t2 <*„)
где суммирование осуществляется по всем делителям («i, «2, ..., ая) —
наибольшего общего делителя чисел «i, «2, ..., ая.
Из формул (7.17) и (7.23) получаем выражение для общего числа
классов эквивалентности, т. е. решение задачи о числе циклических
последовательностей (см. (3.56) гл. II):
Nmn = ^Y,^d)nm/d. (7.25)
d\m

§7. ТЕОРЕМА ПОЙА
255
3°. Задача об ожерельях. Пусть имеется запас из п
шариков, содержащих 8/ шариков цвета ct,i= 1, 2, ..., k,n = b\ +82 + ... + &£.
Будем располагать т^п выбранных из запаса шариков в т
равноотстоящих точках окружности. Класс расположений шариков на окружности,
отличающихся циклическим сдвигом, будем называть ожерельем.
Если У—множество заданных некоторым образом меток п шариков
и X = {1, 2, ..., т}, то каждое расположение т шариков на
окружности определяется некоторым отображением a: Y —>Х Каждому ожерелью
ставится во взаимно однозначное соответствие класс эквивалентности на
множестве У*, индуцируемый циклической группой Ст.
Для числа ожерелий первичной спецификации цветов [с^с^2.. .£$[*],
где а/ — число шариков цвета с-ь в ожерелье, 1 < / < £, имеет место
формула
ли,,,*.....*)4 £ ^(,,/^Ui^-^' (7-2б)
</|(«1 <**)
где суммирование осуществляется по всем делителям («i, «2, .. •, а/0
наибольшего общего делителя чисел осi, «2, ..., а^. Вывод этой формулы
аналогичен выводу формулы (7.24).
Производящая функция весовой спецификации фигур в данном случае
имеет вид
Ф/я(21, 22, -.., 2fc; Cm)= ^ Nm(«i, a2, ...,аЛ)2^'252...22* =
<*,+...+ctft=m
= i £ ф(<0(»1*1 + М+ • • •+8*^)тА/- <7-27)
Формула (7.26) следует из равенства (7.27).
3. Деревья. Будем рассматривать множество У всевозможных
корневых деревьев, у которых все вершины, кроме корня, одинаковы. На
множестве У определим одномерную характеристику, считая, что вес дерева
у е У равен числу содержащихся в нем вершин. Тогда функция весовой
спецификации множества У имеет вид
оо
г(г) = ^г„г", (7.28)
я=1
где гп — число корневых деревьев с п вершинами.
Очевидно, что каждому дереву с т ребрами в корне можно
поставить во взаимно однозначное соответствие т корневых деревьев. Поэтому
каждому корневому дереву можно поставить во взаимно однозначное
соответствие класс эквивалентности на множестве Yx, Х= {1, 2, ..., т}, где
отношение эквивалентности определяется Sm — симметрической группой

256 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
степени т. Производящая функция весовой спецификации
неэквивалентных фигур имеет вид
оо
rm(z)= J2 r'""z"' <7-29)
п=т+\
где гпт — число деревьев с п вершинами и т ребрами, инцидентными
корню. Согласно теореме Пойа имеем
гт(г) = zZ(r(z\ r(z\ ..., r(zm); Sm), (7.30)
где множитель z в правой части учитывает необходимость добавления
корневой вершины к фигуре из т корневых деревьев для образования единого
корневого дерева.
Из выражения производящей функции для циклового индикатора
симметрической группы Sm следует, что производящая функция для
циклического индекса Sm имеет вид (см. (3.9) гл. IV)
ОО ( ОО и \
5^Z(mi, м2, ..., um\ Sm)tm = expl^Ukj у (7.31)
m=0 \k=\ )
Из равенства (7.31) следует, что
Y, z^{z\ r(£\ ..., г(г-); Sm)r = expl £ r(z*)^ У (7.32)
m=0 Kk=\ )
oo
Теперь из очевидного равенства r(z) = ^ rm(z), r0(z) = z, и из (7.30)
m=0
и (7.32) получаем известное соотношение Кэли—Пойа:
т
r(z)=zexp\Y:JT1}- (7-33)
Отсюда можно получить рекуррентное соотношение
1
п
rn+\ = -J2 rn~k+i Лdrd- <7-34)
k=\ d\k
Действительно, из равенства
ОО ОО jl
/1=1 k=\
следует, что
an = -Y\drd. (7.35)
d\n

§7. ТЕОРЕМА ПОЙА 257
Далее, из соотношения
оо ( оо Ч
J2 Апгп = explj2 a*zk \ • Ао = 1. (7-36)
л=0 U=l J
вытекает, что
An = ±J2kakAn-k. (7.37)
Из (7.33) и (7.36), согласно (7.37), следует, что
rn+\ = -^2kakrn-k+\' (7.38)
k=\
Подставляя в этом равенстве вместо а^ его выражение из формулы (7.35),
приходим к соотношению (7.34).
4. Связные графы. Рассмотрим в качестве множества Y совокупность
всех связных графов. Выбирая, как и выше, в качестве характеристики
элемента у eY число вершин, рассмотрим производящую функцию
весовой спецификации множества У:
оо
c(z) = J2cnzn, (7.39)
я=1
где сп — число связных графов с п вершинами. Каждому графу с т
компонентами связности можно поставить во взаимно однозначное соответствие
класс эквивалентности на множестве Yx, где X = {1, 2, ..., т}, а
отношение эквивалентности определяется симметрической группой Sm.
Производящая функция весовой спецификации неэквивалентных фигур
записывается следующим образом:
оо
gm(z)=^2gnmZn,
п=т
где gnm — число графов с п вершинами и т компонентами связности,
причем goo = 1 • Из теоремы Пойа следует, что
gm(z) = Z(c(z), ф2), . . . , C{zm)' Sm). (7.40)
Обозначим через gn общее число графов с п вершинами и положим go = 1.
п
Из очевидного равенства gn= Y^ gnm следует, что
m=0
оо оо
g(z) = J2§nZn = Y/g^)- (7-41)
п=0 т=0

258 ГЛ. V. ОБЩАЯ КОМБИНАТОРНАЯ СХЕМА И ТЕОРИЯ ПОЙА
Из (7.40) и (7.41) с учетом соотношения (7.32), верного для произвольной
производящей функции г(г), находим
-т
g(z)=exp{y^}. (7.42)
В силу формул (7.35) и (7.37) из (7.42) следует, что
gn = -y2kakgn-k, (7.43)
где
d\k
Из соотношений (7.43) и (7.44) можно получить формулы для
определения числа связных графов. Применяя формулу обращения к
равенству (7.44), получим
Cn = J2*fan/d, (7.45)
d\n
1 П~Х
an=gn- ~^2kdkgn-k- (7.46)
k=\
Эти формулы позволяют получить выражение сп для числа связных графов
с п вершинами через общее число графов gn.
ЗАДАЧИ
1. Пусть Z(Sn) = Z(t\, t2y ..., tn\ Sn) — циклический индекс Sn —
симметрической группы степени п. Вывести рекуррентное соотношение
Z(Sn)= JZZ(Sn-k)tk.
k=\
2. Показать, что циклический индекс знакопеременной группы Ап
степени п следующим образом выражается через циклический индекс симметрической
группы Sn:
Z(t\, f2, • • •, U\ Лп) = Z(t\, f2, ..., tn\ Sn) = Z(t\, -f2, *з, -U, • • •; Sn).
3. Пусть 6): X —► К — весовая функция, отображающая конечное множество X
в коммутативное кольцо К и постоянная на орбитах группы подстановок G,
действующей на множестве X. Значение иь(х) есть вес элемента х е X; под весом
орбиты Xi С X, обозначаемым сорС), понимаем вес сь(х) для х е Х[, 1 ^ / ^ N(G), где
N(G) —общее число орбит. Показать, что
N(G)
/=i seGg(x)=x

§7. ТЕОРЕМА ПОЙА
259
4. Пусть G | Y — сужение множества подстановок группы G на множество К,
где Y — объединение орбит группы G, действующей на множестве X. Показать,
что если /| (g | У) — число неподвижных точек сужения g e G на множество К, то
число орбит сужения группы G на Y равно
5. Прямое произведение групп G и //, действующих соответственно на
множествах X и К, X П К = 0, есть группа G х Н степени |X| + |К| и порядка \G\ • |//|,
действующая на множестве U = X U Y следующим образом: если g x h e G х //, то
g х h(u) = |
. Л(и), «€К.
Показать, что для циклических индексов групп G, И и G х И имеет место равенство
Z(/i, t2,..., *«; GxH) = Z(tu h, ..., *«; С)- Z(/i, f2,.-., U\ H).

ГЛАВА VI
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
§ 1. Вероятностные распределения и случайные величины
1. Вероятностное пространство. Рассмотрим некоторый
эксперимент, который допускает неограниченные повторения при фиксированном
комплексе условий и результаты которого случайны, т.е. не могут быть
предсказаны до его проведения. Такой эксперимент называется
случайным испытанием, а его результаты — исходами случайного испытания.
Множество ft, элементы которого можно интерпретировать как
исходы случайного испытания, будем называть пространством
элементарных событий, а его элементы — элементарными событиями. Система
подмножеств & пространства элементарных событий ft называется а-ал-
геброй, если выполнены следующие условия:
2) из условия А е & следует, что А е &\
3) если {Ап} — последовательность множеств из &, то
оо оо
i=\ i=\
Отметим достаточность наличия одного включения, так как другое по-
оо оо
лучается в качестве следствия в силу равенства: f] A-t = \J A-t. Если на
множестве ft задана некоторая а-алгебра его подмножеств ^\ то
пару (ft, &) называют измеримым пространством. Любое подмножество
А е & называется событием. Говорят, что событие А является частным
случаем события В, если А С В. Событие, состоящее из элементарных
событий, принадлежащих либо событию А е &, либо событию В е &, есть
сумма этих событий A U В. Произведение событий АП В состоит из
элементарных событий, принадлежащих одновременно А е & и В е &.
Разность событий А\В есть множество элементарных событий,
принадлежащих А е &, но не принадлежащих В е F. Событие А е ft \ А называется
отрицанием события А е JP. Все множество ft называется достовер-

§ 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 261
ным событием, а пустое множество 0 = ft— невозможным событием.
События А е & и В е & называются несовместными, если А П В = 0.
Например, эксперимент состоит в том, что наугад бросается кубик,
грани которого помечены числами от 1 до 6. Выпадение некоторой грани
в результате одного бросания является элементарным исходом. В качестве
событий можно рассматривать следующие: А — число на выпавшей грани
нечетное; В — число на выпавшей грани_простое; С — число на выпавшей
грани четное. Очевидно, что Ас В, С = Л, A U С = ft.
Вероятность Р есть числовая функция, заданная на а-алгебре &
измеримого пространства (ft, &) и удовлетворяющая следующим условиям:
1) Р(А) ^ 0 для любого А е &\
2) для всякой последовательности {Л;} попарно несовместных событий
/ оо \ оо
справедливо равенство Р[ U А' ) = S P{Ai)\
3)P(ft)=l.
Тройка (ft, &, P) называется вероятностным пространством.
Из определения вероятности вытекает ряд ее очевидных свойств.
1. Р(0) = О, так как 0Uft = ft._ _
2. Р(А) + Р(А) = 1, так как A U А = ft, А П А = 0. _
3. Если Л С В, то Р(А) ^ Р(В), так как Р(А) + Р(А ПВ) = Р(В).
Отсюда, в частности, следует, что Р(А) ^ 1.
4. Для любых событий А\, Лг, ..., Ап
\k=\ / k=\
где
5,= Y, P(A\Pi...nAik).
\^i\<...<ik^n
Эта формула является одним из вариантов метода
включения—исключения, когда в качестве весов элементов берутся вероятности (см.
формулу (1.9) гл. II).
5. Для любых событий Ль Лг, . •., Ап справедливо неравенство
\k=\ } k=\
которое следует из неравенств Бонферрони (см. неравенства (2.5) гл. II).
Если пространство элементарных событий ft дискретно, т. е. ft =
= (<*>1, <*)2, ...), где <*>1, <*)2, ... — элементарные события, то для
вероятности события Л справедливо равенство Р(А) = Y^ ?(<*), гДе суммирование
со ел
ведется по всем элементарным событиям, принадлежащим Л. Сумма ряда,

262 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
стоящего в правой части равенства, всегда определена, так как он
абсолютно сходится в силу условий Р(о>) ^ О, Y^ Р(°>) = 1 •
В частности, в указанном выше примере с бросаниями кубика
положим П = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, & = 2П, Р(1) = Р(2) = ... = Р(6) = 1/6. Тогда
Р(А) = Р(С) = 1/2, Р(В) = 2/3.
Для событий Л, В е & при Р(В) > О условная вероятность
события А при условии, что событие В произошло, определяется формулой
Для последовательности событий (В\, #2, • • •) такой, что В/ П Bj = 0,1ф\,
оо
Р(В[) > 0, / = 1, 2, ..., и события Л с [J В,- справедлива формула полной
вероятности
оо
/=1
Так, в приведенном выше примере условная вероятность выпадения
грани с четным номером при условии, что этот номер — простое число,
равна Р(С\В) = -^-рг = -. Аналогично, условная вероятность выпадения грани
1 1/2 3
с нечетным номером при условии его простоты равна Р(А\В) = ^ = -.
Если теперь D — событие, состоящее в том, что номер выпавшей грани
делится на 3, то согласно формуле полной вероятности
P(D) = P(A)P(D\A) + P(C)P(D |C) = i.I + i.I = i.
События A\, Л2, • • -, An взаимно независимы, если Р(А^ П.. .nAik) =
= Р(Ац)... P(Aik) для любых 1 ^ i\ < ... < ik ^ п. Ясно, что если
события А и В независимы, то Р(А \В) = Р(А).
В рассматриваемом примере события А и D (соответственно С и D)
независимы, так как P(D\A) = P(D\С) = Р(П) = 1/3.
2. Случайные величины. Случайной величиной £ на вероятностном
пространстве (Q, &, Р) называется функция £ = £(<*>), g> e ft,
отображающая О, в множество действительных чисел R, такая, что для любого х е R
множество (I < х) = {<о: £(о>) < х} принадлежит а-алгебре &. Функция
F$(x) = Р(£ < х) называется функцией распределения случайной
величины £. Функция Fi(x) определена на всей действительной оси, не убывает
и непрерывна слева. Кроме того,
lim Fz(x) = 0, lim Fl(x) = l.
X—► — ОО X—>OQ

§ 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 263
Если случайная величина £ дискретна, т. е. принимает с положительными
вероятностями только значения х\, Х2, ..., Х\ < Х2 < ..., то вероятности
P{l = xk) = Fz(xk + 0) - F^Xkl ^^ = jc*) = 1, * = 1, 2, ...,
ч
определяют распределение £.
Случайная величина 5 имеет распределение Пуассона с параметром
X > 0, если
Р£ = к) = У-е-\ * = 0, 1,...
Л!
Функция распределения в этом случае имеет вид
[о, х < о.
Случайная величина £ называется непрерывной, если для ее функции
распределения /^(х) существует такая функция f$(x) ^ 0, что
X ОО
Fi(x)= J k(y)dy, f k(y)dy=\.
—oo —oo
Функция /fc(jt) называется плотностью распределения £.
Примером непрерывной случайной величины может служить случайная
величина, имеющая нормальное распределение с параметрами (т, а),
определяемое функцией распределения вида
X
<7v2n J
—oo
где a > 0.
Для случайных величин 5ь 5г» • • •» 5л, определенных на вероятностном
пространстве (ft, ^\ Р), вектор (£ь 5г» • • •» 5л) называется n-мерной
случайной величиной, а функция /^jti, ..., хп) = P(5i < *i, •. •, 5л < хп) —
ее функцией распределения. Случайная величина (£ь $2, • • •, 5л)
непрерывна, если существует функция /(*/i, ..., уп) ^ 0, называемая
плотностью распределения, такая, что
Х\ Хп
F(xu ...,*„)= / ... / /(*/ь ...,yn)dy\...dyn,
—oo —oo
oo oo
/ ... / /(*/i, ..., yn)dy{...dyn = l.
—oo —oo

264 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Случайная величина (£ь £г, ..., £л) имеет невырожденное я-мерное
нормальное распределение, если плотность ее распределения имеет вид
п
где Q(x\, ..., хп) = Y^ aijXiXj — положительно определенная квадратич-
ная форма и |Л| — детерминант матрицы А = (а,/).
Случайные величины £ь • ■ •, ?л называются независимыми, если
F(x\, ..., хп) = /ч, (х\)... Fin(xn). Случайные величины бесконечной
последовательности (si,s2, • • •) независимы, если для них последнее
равенство выполнено при любых я. Если я-мерная случайная величина
(Si, ..., ln) непрерывна и £ь ..., £л независимы, то для плотностей
распределений справедливо равенство f(x\, ..., хп) = !^(х\).. .faX^n)- Для
дискретных независимых случайных величин £i, ..., £„ имеет место
формула
Р(Ъх=хх,...Лп = хп) = Р(Ъх=хх)...Р(Ъп = хп).
§ 2. Моменты случайных величин
1. Интеграл Стилтьеса. Определим интеграл Стилтьеса для
функции распределения F(x) и функции g(x), непрерывной на отрезке [а, Ь]
действительной прямой. Разобьем отрезок [а, Ь] на я отрезков [x;_i, X;],
1 < / < я, так, чтобы а = хо < х\ < ... < хл-1 < хп = Ь, и образуем суммы
п п
i=l i=l
где m/ и Af/ — соответственно нижняя и верхняя границы функции g(x) на
отрезке [x;_i, х{\. Из равномерной непрерывности g(x) на отрезке [a, ft]
следует, что для любого г > О существует такое 8 > 0, что Af,- - mt<z при
X/ - Х/_1 < S для всех 1 < / < я. Таким образом, S„ - sn < e[F(b) - F(a)],
и, следовательно,
ь
lim 5rt = lim sn =
П—► OO rt—►OO
Этот предел называется интегралом Стилтьеса от функции g(x) по
функции F(a:).
Если F(x) имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную F'(x),
то существует такая точка хи Х[-\ ^ xt ^ а:/, что F(xi) — F(xi-\) =
= (xi — Xi-\)F'(Xi). В этом случае интеграл Стилтьеса сводится к обычному
g(x)dF(x).
(2.1)

§2. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 265
интегралу Римана и
о о
J g{x)dF{x)= J g{x)F\x)dx.
Соответствующий интеграл Стилтьеса с бесконечными пределами
определяется равенством
оо и
J g(x) dF(x) = Jirn^ j g(x) dF(x).
b—►oo
В дальнейшем будем считать, что интеграл Стилтьеса от функции g(x) по
функции F(x) существует, если существует соответствующий интеграл от
функции \g(x)\.
2. Моменты. Пусть случайная величина £ задана на вероятностном
пространстве (ft, &, Р). Математическим ожиданием или средним
значением случайной величины $ называется число
оо
-J
М1= / xkP{l = xk) (2.2)
где F(x) — функция распределения £. Если £— дискретная случайная
величина такая, что Р($ = Xk) > 0, k = О, ±1, ±2, ..., то соответствующий
интеграл Стилтьеса сводится к сумме и математическое ожидание
имеет вид
оо
Ml= Y^ xf(x)dx. (2.3)
k=—оо
Для непрерывной случайной величины £ с плотностью распределения f(x)
математическое ожидание выражается интегралом Римана:
Ml-
оо
[ xf(x)dx. (2.4)
Из свойств интеграла Стилтьеса вытекают свойства математического
ожидания:
1) М(аЧ + b) = aMl + fc, где а и b — постоянные;
2) М(1\ + $2) = М^\ + М$2, если существуют Af£i и Afl^;
3) если ?i и ?2 — независимые случайные величины, то
Af(5i ■ 52) = Af5i ■ AfSa; (2.5)

266 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
4) если /г(£) — неотрицательная функция случайной величины £, то для
любого г > О
P(h(l) > г) < УУ&. (2.6)
Это неравенство вытекает из очевидной оценки
Af А(5) > f h(x) dF(x) ^ zP(h(l) > e).
Дисперсия случайной величины £ определяется равенством
Dl = M(l-Ml)2. (2.7)
Из определения вытекают следующие свойства дисперсии:
1) D(C£) = C2D£, где С — постоянная;
2) если $i и $2 — независимые случайные величины, то
D(5,+52) = D5,+D52. (2.8)
Из свойства 4 математического ожидания вытекает неравенство Че-
бышева:
Р(|5-А15|^е)<^. (2.9)
Если для случайной величины 5 существует величина Mk = М\к, то
она называется ее моментом k-vo порядка. Аналогично М\Цк и ^ =
= Af(£ — Af£)*, если они существуют, называются соответственно
абсолютным и центральным моментами k-vo порядка. Из свойств
математического ожидания следуют соотношения
М
Hik=E(-1)*"/C)A,/A,?"/"- <2Л1>
/=о
где iJo = Л^о = 1 и £ = О, 1, ...
Факториальные и биномиальные моменты определяются
равенствами
[M]k=M®k, (2.12)
S* = M©, £ = 0,1,..., (2.13)
где ©a=SG- 1)...($-*+1) и (l)=(l)k/kl й=1,2,..., ©0 = 1.
Используя s(k, j) и ст(£, У) — числа Стирлинга первого и второго рода,

§2. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
267
нетрудно установить равенства
[M]k=Bk-kl (2.14)
k
[M]k = J2s(kJ)Mh (2.15)
/=о
k
Mk=J2°(kJ)Wr (2-16)
/=o
В качестве примера вычислим некоторые моменты для нормального
распределения и распределения Пуассона. Центральный момент fe-ro
порядка для нормального распределения с параметрами (т, о) имеет вид
оо
^ = f(x- mf-^—e-^-^l^dx.
1 J ' oV2i
— ОО
Преобразованием z = (x - т)/а интеграла в правой части этого равенства
выражение для [ik приводим к виду
оо
*k=wJ 2ke~z2/2dz-
—оо
Отсюда следует, что \ik = О для k = 2г + 1, г = О, 1, ... Вычисление Ц2Г,
г= 1, 2, ..., проведем с использованием тождества
оо .
j е-^'2йх = ^Ц, t>0.
—оо
Так как интеграл сходится равномерно для / > О, то, дифференцируя его
г раз по /, получаем
оо
у/Ъ. J 2T!
—оо
Полагая в обеих частях этого равенства / = 1, окончательно получаем
M2r = f#a*. г =1,2,... (2.17)
Для закона Пуассона с параметром X > 0 имеем следующее выражение
для &-го биномиального момента:
ft-EO)^-

268 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Отсюда следует, что
Bk = >~¥r * = 0, 1,... (2.18)
3. Индикаторы. Рассмотрим случайные события А \, Лг, • • •, Ап.
Случайная величина £; называется индикатором события Д-, если
Г 1, А[ наступило при испытании,
\ О, А[ не наступило при испытании.
Если \ — случайная величина, равная числу наступивших при испытании
СОбЫТИЙ ИЗ СОВОКУПНОСТИ А\л у42, • • • , Ап, ТО £ = £l + £2 + . . . + saz-
Рассмотрим тождество
о- е а:)©-©-
где суммирование ведется по всем решениям уравнения &i + ... + kn = k
в целых неотрицательных числах. Возьмем математические ожидания от
обеих частей этого равенства. Находим выражение для k-vo
биномиального момента случайной величины £:
Bkn= Y, P(Zh = \,...,Zh = \)- (2.19)
1^/1<...</*^Я
Из формулы
S*"=EG)P("=/,)' ^ = 0,1,..., (2.20)
j=k
следует формула, дающая выражение распределения £ через
биномиальные моменты:
п
P(Z = r) = J2(-l)k-r(k,)Bkn, r = 0, 1,..., л. (2.21)
k=r
В справедливости этой формулы легко убедиться непосредственной
подстановкой в нее выражения для Bkn. Теперь, если Р(Л71, ..., Ajk) —
вероятность наступления событий Л/,, ..., A-]k и
Skn= J2 p{Ah...Ak\
то в силу того, что
P(Ah...Ait)=P(lh=\,...,lh = \), (2.22)
получаем равенство
Bkn=Skn, k = 0,l,...,n. (2.23)

§2. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
269
Если Рп(г) — вероятность наступления ровно г событий из
совокупности А\, ..., Ап, то из равенства Рп(г) = Р(£> = г) следует, что
п
Pn(r) = Y,(-\)k~r{k)Skn, r = 0, l,...,/i, (2.24)
k=r
т. е. мы пришли к формулам метода включения—исключения, когда
веса элементов задаются вероятностным распределением. Для
упрощения вычислений при оценке распределения случайной величины £ могут
быть использованы неравенства Бонферрони. Согласно второму из
неравенств (2.6) гл. II имеем
r+2v-l
£
k=r
O^Pn(r)- J2 (-l)"-r(f)^^(r + 2v)/?r+2v,„ (2.25)
(KV^^A r = 0,l,...,AZ.
Используя эти неравенства, при некоторых условиях найдем предельное
выражение для распределения (2.21), когда п —> оо.
4. Предельная теорема. Установим условия, при которых
распределение случайной величины £ при п —> оо будет стремиться к распределению
Пуассона.
Теорема 1. Если при любом k = О, 1, ... для биномиальных
моментов Bkn случайной величины £ справедливо равенство
Hm Bkn = % (2.26)
л—>оо я!
то
Hm Pn(r) = '^е-\ г = 0, 1, ... (2.27)
Хг__х
Иными словами, теорема утверждает, что из сходимости при п —► оо
биномиальных моментов распределения Е к биномиальным моментами
распределения Пуассона с параметром X следует сходимость и самого
распределения £ к распределению Пуассона с тем же параметром.
Для доказательства теоремы возьмем произвольное г > О и выберем
такое v, что при фиксированном г
>/+2* г
<£г- (2-28)
г! (2v)! 6^'
Рассмотрим неравенство
k(r)-^e-A|^/?i+/?2 + /?3, (2.29)
XV*I

270 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
где
R\ =
R2 =
Rz =
r+2v-l
Pn(r)- J2 (-1)*-г(*)Ва„
k=r
H-2v-l г ik-
k=r
k=r
Из неравенства /?з < е* и условия (2.28), определяющего выбор v,
следует, что
/?з < е/3. (2.30)
Из равенства (2.26) вытекает существование такого п\, что для всех п > п\
Br+2v,n
xr+2v
(r+2v)!
<
<'+Л
Из неравенства (2.28) следует, что для п > п\ и выбранного v
(г+ jBr+2v,n < о, а следовательно, согласно неравенству (2.25)
/?i <е/3. (2.31)
Наконец, из равенства (2.26) следует существование такого Я2, что для
всех п > П2
Е 01'
В*"-й!
r^Kr+2v-l
Это означает, что для всех п > щ
/?2 < е/3.
<£•
(2.32)
Выберем /1з = гпах(яь ni). Тогда для всех я > п% из неравенств (2.29)—
(2.32) следует, что
Pn(r) - f-xe
-о А
г!
<е.
Этим теорема доказана.
5. Формулы обращения. Формулу обращения типа (2.21), дающую
выражение вероятностного распределения через биномиальные моменты,
можно получить и в общем случае, когда дискретная случайная величина
не обязательно ограниченная. Имеет место следующая теорема.

§2. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
271
Теорема 2. Если биномиальные моменты В^ дискретной
случайной величины 5 существуют для всех k = О, 1, 2, ... и
p = limsupB^A<oo, (2.33)
то
ос
Р$> = '> = £ птЙет В-О'"'(• IДdk~'Bh (2.34)
k=r j=r
где d — неотрицательное число, большее р2 — 1.
Если р < 1, то можно выбрать d = О и формула (2.34) принимает вид
оо
P{l = r)=Y,(-\)k-r{k)Bk, г = О, 1, ... (2.35)
k=r
Например, для случайной величины 5, имеющей распределение Пуассона
с параметром X, в силу формулы (2.18) имеем р = lim В J = 0. Поэтому
k—юс
из формул (2.35) и (2.18) следует, что
P£ = r) = Y,(-Vk-r{% = 7e~^ '=0.1....
k=r
Фактически в теореме 2 сформулированы условия, при которых
дискретное распределение определяется однозначно своими биномиальными
моментами, и дано выражение распределения через эти моменты. Вопрос
об однозначности определения вероятностного распределения по его
моментам наиболее важное значение имеет при изучении сходимости
распределений при наличии сходимости соответствующих моментов.
Теорема 3. Пусть {Fn(x)} —последовательность функций
распределения, все моменты которых
оо
к
Mkn= / x«dFn(x), й=1,2, ...,
—оо
конечны, и пусть lim Mkn = ^k при каждом k^\. Тогда существует
п—юо
подпоследовательность {Fn.(x)} последовательности {Fn(x)},
сходящаяся в точках непрерывности к функции распределения F(x),
имеющей М\, M<i, ... своими моментами. Если эти моменты однозначно
определяют F(x), то последовательность {Fn(x)} сходится в точках
непрерывности к F(x).
Известно, что нормальное распределение и распределение
Пуассона однозначно определяются своими моментами. Общий признак
однозначности определения моментами [ij, j = 0, 1, ..., распределения состоит

272 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
В ТОМ, ЧТО
/=0 l2/
Например, для биномиального распределения P-t = (Ap'qn~', p + q = I,
j = О, 1, ..., n, факториальные моменты имеют вид
[M]kn = (n)kPk, £ = 0,1,...
Если при п —► оо выполнено условие пр —> X, то
lim [M]kn=Xk, k = 0, 1, ...
k—ЮО
Так как \k есть й-й факториальный момент для распределения
Пуассона с параметром X, то отсюда следует, что биномиальное распределение
при п —> оо, пр —> X сходится к распределению Пуассона с параметром X.
§ 3. Неотрицательные целочисленные матрицы
1. Число матриц. Пусть матрица А = (а,,), / = 1, ..., п, j = 1, ..., m,
п т
имеет в качестве элементов целые неотрицательные числа и X) X) ач = N-
Каждой такой матрице можно поставить во взаимно однозначное
соответствие УУ-мультимножество над nm-множеством. Следовательно, число
таких матриц равно (nm+*/ )■ Линией матрицы будем называть ее
строку или столбец. Таким образом, матрица п х т имеет п + т линий.
Линия называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.
Обозначим через Cr(N; п, т) число матриц п х т рассматриваемого
вида, имеющих г нулевых линий, г = О, 1, ..., п + т. Покажем, что
п+т k
crW„,m)=B-Dft-t)E(-)G-,)(('I-,')(/n-^0+w-1).
k=r /=0
r = 0, 1, ..., п + т. (3.1)
Занумеруем некоторым образом линии матрицы А и обозначим через А\
свойство, состоящее в том, что /-я линия является нулевой, а через
M(A-h .. .A-jk) — число матриц, обладающих свойствами Ah, ..., Ajk. Если
среди линий, занумерованных /i, ..., Д, имеется / строк и k — i
столбцов, то
M(Ah ... Ajk) = (<" " <Hm -k^i) + N-\y (3 2)

§3. НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ 273
Отсюда следует, что
£ M(Ah...Ak) =
=EG)G-i)(("-0('B-*/0+iV-1)- ^
Теперь, применяя формулу (1.9) гл. II метода включения—исключения,
приходим к равенству (3.1).
2. Асимптотические формулы. При больших значениях пит
вычисления по формуле (3.1) представляются достаточно сложными. Поэтому
естественно на основе этой точной формулы попытаться получить
асимптотическое представление для Cr(N; п, т) при N, п, т —► оо. Для
получения асимптотических формул удобно сформулировать соответствующую
вероятностную задачу. Будем считать, что на множестве целочисленных
неотрицательных п х m-матриц задано вероятностное распределение,
полагая, что каждая матрица при случайном испытании появляется с
вероятностью
(nm + N-lj .рассМотрим случайную величину *nm(N), равную
числу нулевых линий в случайно выбранной матрице А. Если Л7- — событие,
состоящее в том, что выбранная наугад матрица обладает свойством А-п
и £/ — индикатор события Л7, то из равенства
P{Ah . ..Ah)=M{Ah .. .Ah)(nm + "- ')"'
следует, что биномиальный момент \nm{N) имеет следующее выражение:
Bk(n, т) = (nm + N- 1) £ (J)(^,)(<» "0(« - * + О + N- 1), (3.4)
и, следовательно,
P<U(A0 = г) = ,CS;nN-\ = Е<-0A-rC)ft(/i, m), (3.5)
г = 0, 1, ..., п Л-т.
Теорема 1. Пусть п = am, 0 < а ^ 1 и при т —► оо существует
предел N/m — \пт —► у. Тогда случайная величина $лШ(Л/) в пределе
имеет распределение Пуассона с параметром X:
lim P{lnm{N) = r) = ^e~\ r = О, 1, ..., (3.6)
т—>оо Г!
где X = 2е~т при a = 1 wX = е~т яри 0 < a < 1.

274 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Для доказательства теоремы докажем две леммы.
Лемма 1. При выполнении условий теоремы имеет место
следующее равенство:
Em(k, i) = (<" - '")(« - k + i) + N- 1) (nm + N-iyi =
=exp{-4f+¥)+o^}- <37>
где o(l) —► 0 равномерно для всех 1 ^ / ^ /г, k ^ m1-6, 1/2 < 8 < 1.
Проводя элементарные преобразования, находим
пт~1 л/ —1
£т(М= П (1 + у) •
j=(n-i)(m-k+i)
При выполнении условий теоремы имеем
пт—\
\nEm(k,i) = -N J2 7+/?m'
j=(n-i)(m-k+i)
причем для достаточно больших т
пт—\
Rm<CN2 J2 Ъ
j=(n-k)(m-k) J
где С — абсолютная постоянная. Заменяя соответствующие суммы
интегралами, нетрудно убедиться, что
1 с <и \ \i\ пт-\ , ~/(lnm)2\
\nEm(k, i) = -ЛПп- — :—- + О -—зг- ).
mv ; (n-i)(m-k + i) \ тъ )
где остаточный член при т —► оо стремится к нулю равномерно для
всех / и й, 1 ^ / ^ k ^ m1-5.
Разлагая в ряд логарифм в правой части последнего равенства,
получаем
где остаточные члены стремятся к нулю при т —► оо равномерно для всех
1 ^ / ^ k ^ т1~ь. Этим лемма 1 доказана.
Лемма 2. При выполнении условий теоремы имеем
k I
Вк(п, т) = J2 О (ft™ t)Em(k, i) = 1 (,- + f^)*0 + o(l», (3.8)
где o(l) —► 0 яри m —► оо равномерно для всех 1 ^k^n + т.

§3. НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ 275
Используя очевидные равенства
ОК0+°ЬЫ> (Л«)-Й(,+0(э!=г))-
в которых остаточные члены при т —► оо равномерно стремятся к нулю
для всех 0 ^ / ^ k ^ m1-6, находим, что
Вк(п, т) = ^nm-N'm + Jnn-N'nj{\ +o(l)),
где о(1) —► 0 равномерно для всех k^ml~b. Из этого равенства вытекает
справедливость леммы 2.
Используя лемму 2, убеждаемся, что при а = 1
lim Bk(n,m) = ±-(2e-T)k, (3.9)
m—>oo к!
а при 0 < а < 1
= -U-n*
lim Bk(n, m) = -t,{e-i)\ (3.10)
m—юс /с!
для k = 0, 1, ... Отсюда справедливость теоремы вытекает на основе
предельной теоремы §2.
3. 0,1-матрицы. Рассмотрим класс 0,1-матриц п х т, имеющих
ровно N элементов, равных 1. Общее число матриц рассматриваемого вида
равно \]u\ Обозначим через C®(N; п, т) число таких матриц с г
нулевыми линиями. Покажем, что
п+т k
СЖ п. т) = £<- !)*-(;) £ (J) (,- ,) (<« - 0<« - * + 0), (3.11)
г = 0, 1, ..., п + т.
Вывод этой формулы проводится методом включения—исключения так же,
как вывод формулы (3.1). Единственное отличие состоит в том, что в
данном случае
M(A,,...Ah) = (C-0<«-* + 0).
На множестве 0,1-матриц п х т с N единицами зададим
равномерное вероятностное распределение, считая, что при случайном испытании
каждая матрица может появиться с вероятностью [ и ) Из тех же
соображений, что и в п. 2, следует, что й-й биномиальный момент случайной
величины Z%m(N), равной числу нулевых линий в случайной 0,1-матрице,
имеет вид
fi2(H.'»)=(T)",EOG-i)(<y,"i)(*"*+0)' k=0<1— <312>

276 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Пусть п = otra, О < а ^ 1 и при т —> оо
существует предел N/m — \пт —> у- Тогда случайная величина $jjm(^0 имеет
в пределе распределение Пуассона с параметром X, причем
Г2*ГТ, а=1,
U"T, 0<ос<1.
Таким образом, при одних и тех же условиях, когда N—число
распределяемых в ячейках матрицы п х т единиц—сравнительно мало и имеет
порядок т(\пт + у), асимптотические распределения случайных величин
vim (АО и l°nm(N) совпадают.
Заметим, что при выполнении условий теоремы 2
£2,<*. О = (<" " %~ k +1)) (7)-' = «р{-"(£ + ^) + о(1)},
т. е. EPm(k, i) имеет такое же асимптотическое представление, что и
величина Em(k, i) (см. формулу (3.7)). Отсюда следует, что биномиальные
моменты Bk(n, m) и В\(п, т) имеют одно и то же асимптотическое
представление (3.8), из которого следуют два предельных выражения для В\(п, т)
вида (3.9) и (3.10). Отсюда и следует справедливость теоремы 2.
Рассмотрим теперь множество 0,1-матриц п х га, у которых /-я строка
п /tn\
содержит гь единиц и 1 ^ / ^ п. Общее число таких матриц равно П \r.Y
Если Aj — свойство матрицы рассматриваемого вида, состоящее в том,
что ее /-й столбец нулевой, то число матриц, обладающих свойствами
Аи, ..., Ajk, 1 ^ /1 < ... < jk ^ га, равно
M(Ail...Ah) = fl(m-k).
Применяя формулы метода включения—исключения, с использованием
этого равенства получаем выражение для числа 0,1-матриц с г
нулевыми столбцами:
Dnm(r) = ±(-l)k-i^)f[(m-k), г = 0,1 т. (3.13)
k=r i=\
Если на множестве 0,1-матриц задать равномерное вероятностное
распределение, при котором любая из матриц появляется при случайном
испытании с вероятностью П (г)-1, то для РаспРеДеления случайной ве-
ЛИЧИНЫ s/im? равной числу нулевых столбцов в выбранной наугад матрице,

§3. НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ 277
получаем выражение
п
РЦпт = Г) = £(-1)*-'(*)В*(л, /Я), (3.14)
k=r
где Bk(n, т) — биномиальный момент \пт — вычисляется по формуле
Bk(n, m) = K—%—Y[(m - n)k, k = 0, 1, ..., л. (3.15)
Теорема 3. Если при т —► оо
i£ri_lnm->Y, (3.16)
/=i
— maxr,-->0, (3.17)
mo случайная величина \пт в пределе имеет распределение Пуассона
с параметром X = е~г.
Из формулы (3.15) имеем
п k-\
/=1 /=0
Для оценки сверху и снизу выражения, стоящего в правой части этого
равенства, используем неравенства е-/А1-/) < 1 — t < e~l, О < t < 1.
Применяя эти неравенства, получаем
Из условий теоремы при т —► оо следуют оценки
2l^ 2l^ m — / m ^-^ \ m J
i=\ /=0 /=1
ЕЕ—I^ = i& + 0(— maxA
t-^t-^m-fi-i m^ l \ m \^n 7
Применяя эти оценки и используя условия (3.16) и (3.17) теоремы, из
неравенства (3.18) при любом k имеем
Bk(n, т) - ту^_/пг = R(n, m),

278 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
где R(n, т) —► 0 при т —► оо. Это означает, что
lim Вk(n, m) = i(e"T)*, й = 0, 1, ...,
и справедливость теоремы вытекает из предельной теоремы § 2.
§ 4. Покрытия множеств
1. Покрытия. Пусть Х\, Х2, .. •, Xk — непустые различные
подмножества X, являющиеся элементами булеана 2х. Напомним, что подмножество
{Х\, Х2, .. .Х^ булеана 2х является покрытием множества X, если
X = X{UX2U...UXk. (4.1)
Подмножества Х\, Х2, ..., Xk множества X называются блоками
покрытия. Покрытие, содержащее k блоков, называется й-блочным.
Если Xi П Xj = 0, i ф /', то покрытие X является разбиением. Если X =
= {*ь *2, • • •, */i}, то покрытию (4.1) можно поставить в соответствие
матрицу инцидентности А = (а//), / = 1, • • •, k; j = 1, ..., п, где
У матрицы Л все k строк различны, не являются нулевыми и Л не
имеет нулевых столбцов. Ясно, что каждая матрица инцидентности с такими
свойствами однозначно определяет й-блочное покрытие n-множества.
Обратно, каждому й-блочному покрытию соответствуют k\ таких 0,1-матриц,
отличающихся перестановками строк.
Обозначим через Dnk число й-блочных покрытий я-множества, k =
= 1, 2, ..., 2п — 1. Покажем, что
°« = Ъ-1КЖГЧ,Г1У * = ».-.2"-1. (4.2)
/=о
где Dotk = 0 при k ^ 1.
Рассмотрим множество 0,1-матриц k x n с различными строками,
ни одна из которых не является нулевой. Будем считать, что
матрица Л, принадлежащая этому множеству, обладает свойством A-h если ее
/-й столбец является нулевым. Число матриц, одновременно
обладающих свойствами Лу,, ..., А-и, 1 ^ \\ < ... < /'/ ^ п, равно M(A-jx .. .Aj) =
= (2n-'L - \)(2п-'1 - 2)... (2п-{ -k) = (2n-1 - \)k. Применяя метод
включения—исключения, получаем число 0,1-матриц рассматриваемого вида

§4. ПОКРЫТИЯ МНОЖЕСТВ 279
без нулевых столбцов, равное k\Dnk'.
k\Dnk=J2(-iy(nj)vn-j-i)k.
Отсюда следует формула (4.2).
Если Dn — общее число покрытий n-множества, то
2"-1
k=\
Суммируя по k обе части равенства (4.2), с учетом соотношения (4.3)
получаем
^ = E(-1)/G)2^/-1, /1=0,1,... (4.4)
/=о
Эта формула может быть непосредственно получена методом включения—
исключения.
Рассмотрим 22"-1 — 1 непустых подмножеств булеана 2х множества
X = {х\, x<i, ..., хп}. Подмножество булеана 2х обладает свойством Л/,
если оно не покрывает элемент лгу, 1 ^/ ^п. Число непустых подмножеств
булеана, не покрывающих элементы xjx, x-h ..., x-jk, 1 ^ /i <...</'* ^ я,
равно
M{Ah...Ajk)=22"-h-'-\.
Ясно, что Dn равно числу непустых подмножеств булеана, не обладающих
ни одним из свойств А\, A<i, ..., Ап. Поэтому согласно методу
включения—исключения
Dn = ±(-\)k($(2*-k->-\). (4.5)
k=0
Проводя очевидные упрощения, из формулы (4.5) получаем формулу (4.4).
Применяя неравенства Бонферрони, получаем оценку
1 22"-1 ^ 22"-1
Отсюда следует, что
lim-f^ = l. (4.6)
Это означает, что относительная доля подмножеств булеана 2х я-множе-
ства X, которые не покрывают всех элементов X, не превосходит я/22"-1
и стремится к нулю при п —► оо.

280 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Формуле (4.4) можно придать более компактный вид, используя
выражение для п-й конечной разности функции 2^ (см. (4.39) гл. I):
ft=0
Полагая Д"22 =Ап2г\х=0, отсюда, с учетом формулы (4.4), получаем
Dn = \bn2*. (4.7)
Отметим также, что для числа покрытий Dn n-множества имеет место
соотношение
EQD/^-', А> = 1. (4-8)
Обозначим через 2х \ 0 булеан я-множества X без пустого
множества 0. Разобьем все непустые подмножества 2х \ 0 на п классов, относя
к /*-му классу все подмножества, которые одновременно являются
покрытиями всех /-подмножеств множества X, 1 ^ /' ^ п. Число таких покрытий
равно (:)Dj,j= 1, ..., п. Количество непустых подмножеств 2х \ 0 равно
22"-1 — 1. Отсюда и следует соотношение (4.8).
2. Минимальные покрытия. Покрытие (4.1) множества X
называется минимальным, если для любого /, 1 ^ / ^ й, существует такой элемент
х е X, что х е Xi, но х ^ Xj, j т^ /. Элемент х в этом случае называется
однократно покрытым. Ясно, что при удалении любого блока из минимального
покрытия оно перестает быть покрытием множества X.
Примером минимального покрытия множества X является его
разбиение. В этом случае каждый элемент множества X является однократно
покрытым. Очевидно, что верно и обратное: любое покрытие множества X,
в котором каждый элемент является однократно покрытым, представляет
собой разбиение этого множества.
Каждому блоку минимального покрытия соответствует по крайней мере
один однократно покрытый элемент. Поэтому, если / — число однократно
покрытых элементов минимального й-блочного покрытия, то k ^/ ^ п.
Каждому минимальному й-блочному покрытию X = Х\ U ... U Xk
множества X = {х\, ..., хп} с однократно покрытыми элементами
соответствует матрица инцидентности. Она представляет собой 0,1-матрицу k x n
с различными ненулевыми строками. Все столбцы матрицы ненулевые,
причем столбцы с номерами 1\, /2, ..., /у, 1 ^ 1\ < ... < l\ ^ п, содержат
по единственной единице. Это соответствует тому, что элементы л;/,, л;/2, ...
..., Х{} е X являются однократно покрытыми. Если ац5 = 1, 1 ^ s ^ /, то
это означает, что элемент xis однократно покрыт блоком Xi, 1 ^ / ^ k.

§4. ПОКРЫТИЯ МНОЖЕСТВ
281
Если минимальное ^-блочное покрытие является разбиением, то все
столбцы соответствующей матрицы инцидентности содержат ровно по
одной единице. Обозначим через (A)i и (A)j соответственно i-ю и /-ю строки
матрицы инцидентности А. Определим их скалярное произведение
п
((A)i1(A)i) = Y,cniali.
1=0
Ясно, что если минимальное ^-блочное покрытие X = Х\ U ... U Xk
является разбиением, то
т.т-{п- '-'i (4.9)
т. е. строки соответствующей матрицы инцидентности являются
ортогональными.
Обозначим через Ln(k, j) число минимальных fc-блочных покрытий
л-множества X, содержащих / однократно покрытых элементов. Для 2 ^
^k^j ^п все такие покрытия перечисляем следующим образом.
Выбираем ( •} способами / однократно покрытых элементов и а(/, k) способами
осуществляем их разбиение на k блоков, где а(/, k) — число Стирлинга
второго рода. Затем (2k — k — l)"-7 способами определяем блоки, к
которым относятся остальные п — j элементов, каждый из которых
принадлежит по крайней мере двум блоками. Таким образом, для 2 ^ k ^ / ^ п
имеем
U(k, j) = (у)а(/, fc)(2* - * - 1)пЧ. (4.10)
Так как Ln(l, п) = 1, п ^ 1, Ln(l, /) =0, 1 ^/ < п, то при условии 0° = 1
эта формула оказывается верной и для I ^k^j ^п.
Из формулы (4.10) следует выражение для Ln(k) — числа минимальных
fc-блочных покрытий л-множества:
uk)=J2 ОН *)(2* -k - о*-'- (4.1 о
j=k
Используя формулу для чисел а(/\ k) с учетом того, что а(/\ k) = 0, / < £,
из формулы (4.11) получаем окончательную формулу для чисел Ln(k):
L«w = if £(-ir (J)(2* -5 -l)n- (412)
' s=0
Вводя обозначение А/г(2/г - k - \)n = Akxn\x=2k-k-\, формулу (4.12)
можно записать в следующем виде:
Ln(k) = 1д*(2* - k - 1)". (4.13)

282 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Отсюда следует выражение для числа минимальных покрытий множества:
L«=J^A*(2*-*- О". Lo = l /i = 0, 1. ... (4.14)
Из (4.12) вытекает другая формула для чисел Ln:
^Е^Е^1-*-1)"- с4-15)
5=0 ' /=0
Из формулы (4.10) следует также выражение для L„ —числа
минимальных покрытий л-множества с / однократно покрытыми элементами:
tf-G)
^a(j,k)(2k-k- l)""'. (4.16)
k=\
Отсюда при j = п следует известная формула для числа разбиений л-мно-
жества:
k=\
Формулу (4.10) можно вывести путем определения числа различных
матриц инцидентности, каждая из которых отвечает fc-блочному покрытию
л-множества с / однократно покрытыми элементами. Число 0,1-матриц
к х /', каждая из которых соответствует fc-блочному разбиению
/-множества, равно а(/, k). Если к такой матрице добавить п — j столбцов,
содержащих более одной единицы, то в результате получим матрицу
инцидентности рассматриваемого вида. Число способов добавления таких п — j
столбцов равно (у)(2* -к- \)п~}'. Отсюда и следует формула (4.10).
С помощью перечисления соответствующих матриц инцидентности
можно вывести и формулу (4.12). Рассмотрим множество 0,1-матриц к х п
без нулевых столбцов. Матрица А обладает свойством Д, если в /-й
строке, 1 ^ / ^ к, не имеется единицы, удаление которой приводит к нулевому
столбцу в матрице А. Число матриц, обладающих свойствами Ац, ..., As,
1 ^ i\ < ... < is ^ к, равно М(Ац .. .A-h) = (2k — s — \)п. Применяя метод
включения—исключения, находим число матриц, не обладающих ни одним
из свойств А1, ^2, ..., Ak'.
Ln(k)=J2(-iy(y2k-s-ir.
5=0
Каждая из 0,1 -матриц к х л, не обладающих ни одним из свойств
Л], у42, ..., Ak, имеет к столбцов с номерами, скажем, l\, l<i, • •., 4,
содержащих по единственной единице. Такой матрице А можно поставить

§4. ПОКРЫТИЯ МНОЖЕСТВ
283
в соответствие минимальное £-членное покрытие л-множества. Для этого
возьмем в качестве однократно покрытых элементы jt/,, jt/2, ..., xik G X =
= {x\, ...,xn}, а матрицу А будем рассматривать как матрицу
инцидентности некоторого минимального покрытия X = Х\ U ... U Xk. Так
как имеется k\ соответствий между элементами а:/,, х/2, ..., xik и
блоками Х\, Х2, ...,Xk, то число покрытий рассматриваемого вида равно
Ln(k) = -r^Ln(k), что и приводит к формуле (4.12).
3. Предельные теоремы. Исследуем теперь асимптотическое
поведение при неограниченном возрастании пи k величины Ln(k) — числа
минимальных fe-членных покрытий л-множества. Так как величина Ln(k)
может быть получена методом включения—исключения, то, сформулировав
задачу в вероятностных терминах, можно было бы применить прием,
изложенный в § 2 и использующий неравенства Бонферрони. Однако возможен
и иной подход, без использования этих неравенств.
Будем изучать асимптотическое поведение Ln(k) при л, k —> оо в
зависимости от характера роста величины
Тп*=2ГГТ-1п*. <4-17>
Оказывается, что если величина ynk ограничена, то имеет место
асимптотическая формула
Ln{k) = ^ilV^l +o(l)), (4.18)
где о(1) —> 0 при az, k —> оо. Эта асимптотическая формула может быть
получена в качестве следствия из следующей теоремы.
Теорема 1. Если
lim Ynk = Y<oo, (4.19)
/2,Я—ЮО
то имеет место равенство
k\Ln(k) _ -е-
А^Ф'6" • («0)
Для доказательства теоремы выберем число S такое, что 1/6 < S < 1/2,
и рассмотрим неравенство
k\U(k) _ e-e-
(2k- \)n
<j/?1+/?2+/?3, (4.21)

284 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
где, согласно формуле (4.12),
R\ =
k\Ln(k)
[k^-b]-\
ln- £ (-^(йО-^т)"
R2 =
#з = \е-е
(2*-1)"
5=0
<'/2-*1-1
- в
5=0
(4.22)
(4.23)
(4.24)
[г] означает целую часть от г.
Оценим сначала величину R\. Прежде всего заметим, что при
выполнении условий теоремы для 1 ^ s ^ [£1//2_6] и п, k —> оо справедливы
следующие асимптотические оценки:
С) = ¥(1+6'(й))' s\nk + n\n(Kl-¥^-]) = -synk + Q2(k),
где 8i (k) ^ т^-, 62(6) ^ C2f -75-) > Ci, C2 — абсолютные постоянные. Из
этих оценок для всех 1 ^ s ^ [61/2-5] следует асимптотическая формула
1 _-*
©о
2*- 1
7 =Т
-sy„k
+ W,
(4.25)
/1пЛ\2
где 0з(&) ^ ^sl-Tg-) . С3 — абсолютная постоянная. Из формулы (4.12)
имеем
*■<
Е (-О0-ггт)"
ls=[*,/2_*]
Применяя очевидное неравенство
l-t<et, 0<t< l,
и переходя к сумме модулей, получаем
/г
(4.26)
*< Е j
1 _.
•STn*
5=[ft'/2-5]
Отсюда следует содержащая абсолютную постоянную С4 оценка
tfi <С4
exp{-rnfe[fe1/2-d]}
"[F72-
511
(4.27)
которая стремится к нулю при л, k —> оо. Значит, для любого е > 0
существует такое &i, что для всех k > k\ имеем R\ < г/3.

§4. ПОКРЫТИЯ МНОЖЕСТВ 285
Переходим к оценке /?2- Используя асимптотическую оценку (4.25),
имеем
*2 < С5р5^Щ + U [£l/2-5], ' <4-28)
где С5 и Сб — абсолютные постоянные. Так как при k —» оо правая часть
неравенства (4.28) стремится к нулю, то существует такое k<i, что для всех
k > £2 имеем /?2 < е/3, где е > 0 — выбранная ранее величина.
Наконец, из равенства (4.19) следует существование такого £3> что
для всех k > £3 имеем /?3 < г/3. Так как /?j + R2 + /?з < е для всех £ >
> max(fci, £2, £3), то из неравенства (4.21) следует справедливость
теоремы.
Заметим, что из доказательства теоремы следует также справедливость
асимптотической формулы (4.18). Действительно, из равенств (4.22), (4.23)
и оценок (4.27), (4.28) следует, что
k\Ln{k) -е"*пк
(In*)2 exp{-r„^/2-*}
^ и5АЗй_1/2 "+" U7
1(2*-1)" |^ ^£38-1/2 -г ~' [^1/2-5].
Так как правая часть неравенства стремится к нулю при k —»00, то
формула (4.18) доказана. Эта формула может быть записана также и в
следующем виде:
U(k) = ^^[exp{-ke-n/(2k - 1)} +о(1)], (4.29)
где о(1) —»0 при az, k —»00.
Рассмотрим теперь случай, когда абсолютная величина ул* не остается
ограниченной при л, k —»00.
Теорема 2. £Ьш lim ул* = °°> то имеет место равенство
n,k—»оо
lim *;М^ =1. (4.30)
Из формулы (4.12), применяя неравенство (4.26), имеем
I k\Ln(k) J Л^»*
|(2*-1)л | 2^ s\ '
k e-S4nk _т
Так как Y^ —j— < e~ynk+e "*, где правая часть неравенства стремится
к нулю при Y/2* —»оо, то равенство (4.30) справедливо.
Из равенства (4.30) следует асимптотическая формула
/.„(*) = ^р£[1+о(1)], (4.31)
справедливая в том случае, когда п/(2к — 1) — In k —»00 при л, k —> 00.

286 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Рассмотрим теперь случай, когда ynk —► —оо при л, k —> оо. Из
формулы (4.17) следует, что для выполнения этого условия необходимо, чтобы
n/(2k — 1) < \nk для достаточно больших п и k.
Теорема 3. Если
lim гт = -а, 0<а< 1, (4.32)
то имеет место равенство
k\ Ln(k)
^О-иУ-'- <«з>
Из равенства (4.32) для всех 1 ^ 5 ^ k имеем
где b(k) < C(k2\nk)/2k, С—абсолютная постоянная. Используя
оценку (4.34), из формулы (4.12) получаем
где 6(£) —> 0 при k —> оо. Отсюда и следует равенство (4.33).
4. Покрытия с повторениями. Семейство не обязательно
различных подмножествХ\, Х2, ..., ^ множества X = {xi , л:2, ..., хп} такое, что
X = Х\ U X2 U ... U Xk, называется покрытием с повторениями
множества X. Подмножества Х\, Х2, ..., Xk называются блоками, а
покрытие, содержащее k блоков—k-блочным покрытием. В общем случае
в качестве блоков могут рассматриваться и пустые множества. Элементы
х\, Х2, ...хп могут быть как различимыми, так и неразличимыми, а
семейство Х\, Х2, ..., Xk — как упорядоченным, так и неупорядоченным.
Для формального описания различных случаев будем рассматривать
группы подстановок G и Я, действующие на множествах {х\, х2, ..., хп}
и {Х\, Х2, ..., Xk} соответственно. Отношение G//-эквивалентности,
соответствующее этим группам, будем использовать для описания частных
случаев, связанных с различимостью элементов множества X и блоков
покрытия. Как и в общей комбинаторной схеме, будем предполагать, что
группа G совпадает либо с единичной {еп}, либо с симметрической
группой Sn. Аналогично, в качестве Н берутся либо единичная {ek}, либо
симметрическая Sk группы. В соответствии с этими предположениями
числа классов G//-эквивалентности обозначим через D(en, ek), D(Sn, ek),
D(en, Sk), D(Sn, Sk).

§4. ПОКРЫТИЯ МНОЖЕСТВ 287
Каждому элементу Xj £Х, 1 ^ / ^ л, и блокам покрытия Х\, Х2, ..., Xk
поставим в соответствие вектор-индикатор bj = (Ъ^\ S- \ ..., SJ *), где
Вектор-индикатор, определенный равенствами (4.35), может быть
любым из 2k — 1 ненулевых векторов. Следовательно, покрытие с
повторениями определяется отображением а: Х^> В, где В — множество всех
ненулевых 6-мерных бинарных векторов. Отсюда следует, что
D(en,ek) = (2k-l)n. (4.36)
На множестве отображений а определим отношение
Sn-эквивалентности, где Sn действует на множестве X. Очевидно, что D(Sn, e£) определяет
число л-выборок в (2k — 1)-базисе и, следовательно,
D(Sn,ek) = (2k+^-2). (4.37)
Для определения D(en, Sk) используем метод
включения—исключения. Обозначим через Aj свойство, состоящее в том, что х}■ ^ Х\ U ... U Xk,
1 ^ / ^ п. Число неупорядоченных семейств подмножеств таких, что
xh, Xj2, ..., x-h fi X\ U ... U Xk равно числу ^-выборок в коммутативном
несимметричном 2/2~*-базисе, т. е.
M(Ah... А,) = (2- + *-1).
Следовательно,
D(en,Sk) = ±(-iy(^n-v^-^. (4.38)
v=0
Если выполнено условие
(1 + e)\og2n^k^C2n/2,
где г > О— произвольное число и С — некоторая постоянная величина, то,
используя оценку
(2«->+k-\)k < 2-*^72"
-1
<2"+ *-!)*
и применяя неравенство Бонферрони, из формулы (4.38) при п —> оо
получаем, что
D(ea, Sk) = (2" + * ~ !)(1 +о(1». (4.39)

288 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Для определения величины D(Sn, Sk) рассмотрим группу подстановок
G = Snx S^ где Sn и Sk — симметрические группы, действующие на
множествах X = {1, 2, ..., п} и X' = {1, 2, ..., k} соответственно. Определим
действие элемента g = (g\, g2) G G, где g\ G Sn, g2 G Sk, на элементы
множества векторов
U={(XUX2, ...,Xk): XuX2,...,XkcX}
следующим образом. Полагаем, что g(X\, Х2, ..., Xk) = (Z\, Z2, ..., Zk),
где
z&<o = g\№) = {g\(x)\xeXil l < /<*.
Обозначим через U(n, k) число орбит группы G на множестве U.
Величина D(Sn, Sk) представляет собой число орбит на множестве [/, которые
k
состоят из векторов (Х\, Х2, ..., Xk) таких, что IJ Х[ =Х. Имеет место
равенство
D(Sn, Sk) = U(n, k)-U(n-l, k).
С использованием леммы Бернсайда можно получить формулу
"(«•*)- Е ПрЬПтоП***'-
1«,+...+л«л=л i=l /=1 ' ' ' (/,/')
10,+...+/#„=*
где (а,-, р/) — наибольший общий делитель ot/ и (3/ и последнее произведение
берется по всевозможным различным парам (/, /) таким, что 1 ^ / ^ п,
5. Минимальные покрытия с повторениями. Покрытие с
повторениями Х\, Х2, ..., Xk множества X = {х\, х2, ..., хп} называется
минимальным, если семейство Х\, Х2, ..., Xk не содержит подсемейства,
которое является покрытием множества X. Как и в случае покрытий без
повторений, рассмотрим четыре случая минимальных покрытий в соответствии
с парами групп {еп}, Sn и {ek}, Sk, определяющими отношение G/Z-экви-
валентности. Числа классов эквивалентности обозначим через М(еп, ek),
M(Sn, ek), M(en, Sk), M(Sn, Sk) соответственно.
В соответствии с формулой (4.12) имеем
k
М(еп, ек) = £(-1)5 (J)(2* - ^ - 1)". (4.40)
5=0
Если п ^ £, то имеет место равенство
М(Sn, ek) = D(Sn-k, ek).
(4.41)

§4. ПОКРЫТИЯ МНОЖЕСТВ
289
Действительно, если Х\, Х2, ..., Xk — минимальное покрытие X, то для
каждого Х[ существует элемент х е Х[ такой, что х е Xt и х £ Xj для всех
у' ^ i, 1 ^ / ^ k. Такой элемент х выше был назван однократно покрытым
для данного блока. Исключая однократно покрытые элементы по одному из
каждого блока, получаем ^-блочное покрытие с повторениями множества,
содержащего п — k элементов. В свою очередь, добавляя один элемент
к каждому блоку /^-блочного покрытия множества из п — k элементов,
получаем минимальное ^-блочное покрытие множества из п элементов.
Отсюда следует равенство (4.41). При п < k имеем M(Sn, ek) = 0. Таким
образом, из формул (4.37) и (4.41) получаем
M{Sn,ek)= (?"+»-£-2). (4.42)
В случае, когда отношение эквивалентности определяется группами
{еп} и Sk, все блоки минимального покрытия должны быть различными.
Следовательно,
М(еп, Sk) = ±М(еп, ek). (4.43)
Теперь из формул (4.40) и (4.43) следует, что
М(еа, Sk) = £г£(-1)5С)(2* -s-\f, (4.44)
' 5=0
что согласуется с формулой (4.12).
Теми же рассуждениями, что и при выводе формулы (4.41), можно
получить соотношение
M(Sn,Sk) = D(Sn_k,Sk). (4.45)
6. Диагностика и минимальные покрытия. Диагностическая
система, основанная на базе знаний, может быть моделирована бинарным
отношением £ С Я х О, где Н — множество гипотез, а О — множество
наблюдений, Н П О = 0. Бинарное отношение Е удовлетворяет
следующим условиям.
1) Для любого he H существует по крайней мере один элемент о еО
такой, что (А, о) е Е.
2) Для любого ое О существует по крайней мере один элемент heH
такой, что (А, о) G Е.
Множество наблюдений, связанных с гипотезой heH, называется
кластером, ассоциированным с А. Кластер есть множество вида
C(h) = {o: (А, о)е£}.
Пусть ХС-0 есть множество допустимых наблюдений. Тогда каждый
кластер ограничен своим пересечением с X. Диагностика множества X

290 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
определяется семейством гипотез Z таких, что объединение
соответствующих ассоциированных кластеров является минимальным покрытием X.
Это означает, что
(JC(A)=X,
hez
причем
U с%фх
hez\{h'}
для каждой гипотезы h! е Z.
Таким образом, описание всех минимальных покрытий множества
допустимых наблюдений X соответствует описанию всех диагностик этого
множества.
ЗАДАЧИ
1. Семейство подмножеств Х\, Х2у ..., Xk я-множества X имеет
спецификацию [l^12"2... п?"]} если Р/ есть число подмножеств семейства, имеющих размер /',
1 ^ / ^ п. Показать, что если Z)(Pi, Рг, . •., ри) — число покрытий я-множества
спецификации [ l^12^2 ... rfin ], то
D(P.,p»,...,ft.)=D-,)>(3II[ч П-
v=0 /=1 V П /
2. Показать, что при л-^оои выполнении условия
1 "_1
- 53/Р/-In я-^оо
/=1
имеет место асимптотическая оценка
D(pbp2, ...,Р«) = П У 10+^0».
/=1 \ р/ /
§ 5. Производящие функции и предельные теоремы
1. Производящие функции моментов. Пусть £ — случайная
величина с функцией распределения F(x) и для этой случайной величины
существуют все моменты
Mk = Щ
оо
k
= f xkdF(x), k = 0, 1,..., (5.1)
причем интегралы в равенстве (5.1) сходятся абсолютно. Производящую
функцию моментов случайной величины £ определим равенством
k=0

§5. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 291
если ряд в правой части равенства (5.2) абсолютно сходится для всех
|/| ^ S, S > 0. В этом случае можно записать
g(t)
оо
= / extdF{x), (5.3)
где интеграл сходится для всех |/| < S, S > 0.
Если случайная величина г) выражается через случайную величину £
соотношением г) = (£ — а)/Ь, где a, b — некоторые постоянные, то
соответствующие производящие функции моментов gTi(t) и g$(t) связаны
равенством
gr,(f)=e-ai/bgi{j). (5.4)
Например, если т\ имеет нормальное распределение с параметрами (0, 1), то
X
Fri(x)=P(rl<x) = -j=Je-S/4u
и, следовательно,
ft(0 = //2. (5-5)
Отсюда следует, что для нормально распределенной случайной величины £
с параметрами (т, а), где
X
F^x) = P(l <х) = -^= [ е-^-т?№Чи,
су/2к J
имеем
gl(t) = exp{mt + ^t2}. (5.6)
Производящая функция моментов g(t) тесным образом связана с
характеристической функцией (р(/) случайной величины £, где
оо
<р(/) = f eixtdF{x), i = y/^l,
и, следовательно, ср(/) =g(it).
Отметим, что существование производящей функции моментов в
некоторой окрестности точки / = 0 эквивалентно аналитичности
характеристической функции соответствующей случайной величины. Для нормального
распределения с параметрами (т, о)
ЦтА*) = exp j/m/ - 2<**t2y (5.7)

292 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Производящая функция моментов g(t), если она существует при |/| ^ S,
S > О, единственным образом определяет соответствующую функцию
распределения F(x).
Если £ — целочисленная неотрицательная случайная величина с
производящей функцией
оо
Я(*)=5>У, (5.8)
/=о
где pj = Я(£ = /), причем ряд в правой части сходится при некотором
х = хо > 1, то все моменты Mk, k = 0, 1, ..., этой случайной величины
существуют и для производящей функции моментов имеет место
равенство
ё{1) = ^Мк^=Р{е% (5.9)
где ряд сходится при |/| < lnxo- Для такой целочисленной случайной
величины существуют также и производящие функции факториальных и
биномиальных моментов:
Л(')=£М^, (5.10)
оо
B(t)=J2Bktk, (5.11)
где ряды сходятся при |/| < хо — 1 и
h(t)=B(t) = P(t+l). (5.12)
Например, для распределения Пуассона с параметром X > 0 имеем
Pj = e~x\!/j\, j = 0, 1, ..., и, следовательно,
Р(х) = еЦх-{). (5.13)
Отсюда следует, что
g(t) = еЧе'-х\ h(t) = B(t) = ext. (5.14)
Из равенств (5.14) следуют выражения для факториальных и
биномиальных моментов закона Пуассона с параметром X:
[M]k=\k, Bk = \, £ = 0,1,... (5.15)

§5. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 293
2. Теорема непрерывности. Рассмотрим последовательность (£я)
целочисленных неотрицательных случайных величин и последовательность
соответствующих им производящих функций Рп(х), /2=1,2,...
Распределение вероятностей pk, k = О, 1, ..., называется предельным при п —> оо
для распределения Р(^п = k), k = 0, 1, ..., случайной величины \п, если
lim P(ln = k) = pb k = 0, 1,...
п—>оо
Справедлива следующая теорема, называемая теоремой непрерывности
для производящих функций.
Теорема 1. Для выполнения равенств lim P(^n = k) = рь, k =
п—кх>
= 0, 1, ..., необходимо и достаточно, чтобы для любого х, 0 ^ х < 1,
lim Pn(x)=P(x),
п—юо
где Р(х) —производящая функция распределения pk, k = 0, 1, ...
Например, для случайной величины £„, имеющей биномиальное
распределение
Р(1п =/) = (/)pV_/, Р + <7= 1, / =0, 1, .... п, (5.16)
производящая функция выражается следующим образом:
Яя(*) = (р* + <0л. (5.17)
Если при /2 —> оо имеем яр —> X < оо, то lim Рп(х) = ек^х~1\ т. е. биноми-
п—>оо
альное распределение в качестве предельного имеет распределение
Пуассона с параметром X.
3. Предельные теоремы. Пусть F(x) = Я(£ < х) и Fn(x) = Р(^п <х) —
функции распределения случайных величин £ и £л, /2 = 1, 2, ... Говорят,
что /^(х) слабо сходится к /^(л:) при п —> оо, если lim /^(х) = /^х) в каж-
/г—»оо
дой точке непрерывности F(x). В дальнейшем часто будет использоваться
теорема, принадлежащая Куртиссу.
Теорема 2. Пусть Fn(x), gn(t) — соответственно функция
распределения и производящая функция моментов случайной
величины £„,/2=1,2,... Если gn(t) существует при \t\ < t\ для всех п> щ
и если существует функция g(t), определенная и ограниченная для
всех 1/1 ^ h < t\, h > 0, такая, что lim gn(t) = g(t) при \t\ < h, то
n—>oo
существует такая случайная величина £ с функцией
распределения F(x), что Fn(x) слабо сходится к Fix), причем сходимость
равномерна в каждом интервале непрерывности F(x). Производящая
функция моментов £ существует при \t\ ^ h и равна g(t) на этом
отрезке.

294 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Например, если случайная величина %п имеет биномиальное
распределение (5.16), то согласно равенству (5.17), производящая функция
моментов имеет вид
gn(t) = (pet+q)n. (5.18)
Рассмотрим случайную величину
*-^F- <5Л9>
Согласно формуле (5.4) для нее производящая функция моментов имеет
вид gn(t) = е-'^«р7ч(ре'/<У*Ря + qf.
Имеет место равенство
Wm gn{t) = ee'2. (5.20)
п—юо
В правой части, согласно формуле (5.5), стоит производящая функция
моментов нормального распределения с параметрами (0, 1). Согласно
теореме Куртисса отсюда следует, что случайная величина г\п в пределе имеет
нормальное распределение с параметрами (0, 1).
При решении вероятностных задач в комбинаторном анализе часто из
асимптотической оценки производящей функции соответствующей
целочисленной случайной величины уже можно получить информацию о
характере ее предельного распределения. В частности, имеет место следующая
предельная теорема.
Теорема 3. Пусть для последовательности случайных
величин £„,/2=1,2,..., каждая из которых имеет производящую
функцию моментов, при п —> оо производящие функции £„ обладают
асимптотическим представлением
Pn(x)=xv"eh"{x)(l +o(l)), (5.21)
где vn — числовая последовательность, hn(x) обладает тремя
первыми производными h'n(x), h"(x), h'"(x) в некоторой окрестности
1 — S ^ х ^ 1 + S, S > 0, h'"(x) непрерывна и о(\) —> 0 равномерно для
всех х, 1 -S ^х^ 1 +S.
Тогда, если при п —> оо
ед+/£(1)^00 (5.22)
и равномерно для всех х, 1 — 8 ^ х ^ 1 + 8, Ь > О,
(^(1) + ^'(1))3/2
О, (5.23)
то случайная величина г\п = ($« — vn — h'n(\))/у/h'n(\) + Л"(1) в пределе
имеет нормальное распределение с параметрами (О, 1).

§5. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 295
Действительно, разложим hn(x) про формуле Тейлора для 1 — S ^ х ^
^1+S:
hn(x) = МО + К(\)(х - 1) + К{\){^^- +
+ h™(l+Q(x- 1))^т^-, 0<6<1. (5.24)
Полагая а^ = h'n(\) + h'n'(\), из равенства (5.24) находим, что для -Ь' ^ / ^
^ Ъ', Ь' > О, имеет место равенство
о
hn(e>'°-) =К(\)±-а + [^(1) +01)]^| + о(1). (5-25)
Для производящей функции моментов случайной величины т{П имеем
следующее выражение:
gn(t) = е-{°я+Ът/о*Р„(е?/<,я). (5.26)
Из равенства (5.21) следует, что
gn(f) = e*p{-K(l)± +hn(e</°»)}(l +o(l)).
С учетом формулы (5.25) и условия (5.22) находим, что для всех |/| < S',
Ъ' > О, lim gn(t) = е1 /2. Отсюда, согласно теореме 2, следует, что rin при
п—►ос
п —> оо имеет асимптотически нормальное распределение с параметрами
(О, 1).
Для случайной величины £„ с биномиальным распределением (5.16)
согласно формуле (5.17) имеем Рп(х) = еп ,п^*+?), т. е. vn=0,hn=n \n(px + q),
и, следовательно,
h'n{\) = np, h'n(\) +h»(l)=npq, K'{x) = <-7^j2 •
Так как условия теоремы (5.22) и (5.23) выполнены, то случайная
величина т\п вида (5.19) асимптотически нормальна с параметрами (0, 1).
4. Центральная предельная теорема. Для характеристических
функций имеет место теорема, аналогичная теореме Куртисса.
Теорема 4. Пусть (£„) — последовательность случайных
величин и (ф/г(/)), (Fn(t)) — соответствующие последовательности
характеристических функций и функций распределения. Если
существует непрерывная в точке t = О функция (р(/) такая, что
lim yn(t) = (р(/) для любого t, то существует такая случайная вели-
п—>оо
чина £ с функцией распределения F(x), что Fn(x) слабо сходится при
п —> оо к F(x) равномерно в любом интервале непрерывности F(x).
Характеристическая функция £ равна ш(/), lim wn(t) = ф(0 и стрем-
п—юс
ление к пределу равномерно в каждом конечном интервале.

296 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
В качестве следствия из этой теоремы может быть получена
центральная предельная теорема, которую мы дадим в формулировке
А.М.Ляпунова.
Теорема 5. Пусть дана последовательность серий (£бД k =
= 1, 2, ..., п; п = 1, 2, ..., взаимно независимых случайных величин,
имеющих математические ожидания mkn = Щ>кп, дисперсии aj^ =
= D^kn и абсолютные моменты Ckn = M(\£kn — ^Л/г|2+&), S > 0, причем
п п
k=\ k=\
Тогда, если выполнено условие
lim ^=0, (5.27)
п—юо On
1 п
то при п —> оо случайная величина — Y^(&kn ~ mkn) асимптотически
нормальна с параметрами (0, 1), т. е.
lim Р(-У2&ьп - "**") <х | = 4= / e-"2/2du. (5.28)
При применении теоремы 5 удобно использовать ряд следствий.
Следствие 1. Если P(lkn = 1) = pk = pk(n), P(lkn = 0) = qk =
= qk(n), Pk + qk = 1, si/ъ s2n, • • •, ^nn взаимно независимы и
n
ai=^Pkqk^oQ, (5.29)
k=\
1 n
то при n —> оо случайная величина — Z)(^« _ Pfc) асимптотически
нормальна с параметрами (0, 1).
Действительно, выбирая 8=1, имеем т^ = M^kn = Pk, ъ\п = D^kn =
= pkqk, M(\lkn - Pk?) = Pkqk{p\ + Qk) ^ PkQk- Отсюда следует, что
условие (5.27) выполнено, так как
-1/6
->0. (5.30)
Следствие 2. Если существует такая последовательность
положительных чисел (sin), / = 1, 2, ..., я, что для взаимно
независимых случайных величин \\п, Ъ&п • • •, \пп выполнено условие |£ш| ^ £ш,

§5. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 297
1^/^/2, причем при п —> оо
o^^D^^oo, (5.31)
— max 5ш -> 0, (5.32)
On l^i^n
1 п
то случайная величина — 53 (£ш — Л^чш) асимптотически нормальна
с параметрами (О, 1).
Действительно, в этом случае при S > О
С2+ъ = У>(|ЬЯ - М&я|2+а) ^ (2 max s^Yo*.
Отсюда следует, что при /2 —► оо
с , 2 х у<2+»)
— ^ — max Sin —> 0.
<7/г VCF/г 1<^<£/г /
Следствие 3. Если взаимно независимые случайные величины
%\Пч ?2/г s/г/г равномерно ограничены подходящей постоянной С,
1 л
|5ш| ^ С, 1^/^/2, то случайная величина — ХЖш - М£т), <*л =
п °п 1=1
= Х)^5ш —> оо /2/ш /2 —> оо, асимптотически нормальна с парамет-
i=\
рами (0, 1).
Следствие 3 тривиальным образом вытекает из следствия 2.
5. Инверсии перестановок. На множестве п\ перестановок
множества X = {1, 2 п} зададим вероятностное распределение путем
приписывания любой перестановке вероятности \/п\. Будем говорить, что
элемент ik^X, 1 ^ k ^ /2, образует г инверсий в перестановке (/i, /2 *Д
если он расположен впереди г элементов, имеющих меньшие значения.
Так, в перестановке (21435) 2 образует одну инверсию, 1 — ни одной,
4 — одну инверсию и т.д. Обозначим через ^л, 1 ^k^n, число инверсий,
образованных k-м элементом, 1 ^ k ^ /2, в случайной подстановке
степени /2. Число перестановок, для которых элемент k образует одно и то же
число инверсий /, 0 ^ у;^ k - 1, равно (Т\ (k - 1)! (п - k)\. Отсюда
следует, что
P(Zkn=}) = \, / = 0,1 k-l.
Отметим, что число инверсий, образуемых элементом k в случайной
перестановке, не зависит от взаимного расположения элементов 1,2 k— 1,
т. е. от числа инверсий, образуемых этими элементами. Отсюда следует, что
Ikn не зависит от Z\n, l2n \k-\jn- Независимость lkn от £л+1,я Inn

298 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
следует из определения инверсии. Таким образом, случайные величины
si/i, ч2я> •••, s/m взаимно независимы. Для среднего значения и
дисперсии %kn, 1 ^k^n, имеют место формулы
k-l 9 k2 ~ 1
Ckn = M(\ikn-^\)<\Y,i
12
/=1
Таким образом, если о2п = £ <*L> ^l= Y^ Ckn, то C^/a^ = 0(1//21/6) —►
Л=1 k=\
—> 0 при /i —> oo . Следовательно, согласно теореме 5 случайная величина
— 53 Кля ;г~ ) ПРИ я ~~> °° асимптотически нормальна.
Случайная величина т\п = si/г + ч2я + • • • + \пп представляет собой
число инверсий в случайной перестановке степени п. Кроме того, при п —> оо
£^ = т<1+°<'»- «i-t(%1)-a<1+0<1»-
k=\ k=\
Поэтому окончательно можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 6. Если rin — число инверсий в случайной
равновероятной подстановке степени п, то случайная величина т(п = {П 3/2 .
асимптотически нормальна с параметрами (О, 1).
6. Циклы подстановок. Рассмотрим случайный процесс, состоящий
из п шагов. Шаг с номером k состоит в случайном равновероятном выборе
s(k) — образа элемента k, 1 ^ k ^ я, случайной подстановки 5 из
совокупности элементов, отличных от уже выбранных образов 5(1), ..., s(k — 1).
Так как в качестве образа s(k) может быть равновероятно выбран любой
из п — k + 1 элементов множества {1,2, ..., п} \ {5(1), ..., s(k — 1)}, то
в результате каждая подстановка степени п может быть получена с
вероятностью \/п\.
Шагу процесса с номером k поставим в соответствие случайную
величину ^kn, 1 ^ k ^ /2, которая равна 1, если на этом шаге выбран элемент,
замыкающий цикл подстановки, и 0 — в противном случае. Так как среди
п- k+ 1 образов s(k) имеется только единственный, замыкающий цикл,
то P(lkn = 1) = \/{п - k + 1), Р(щ = 0) = (п- k)/(n - k + 1). Случайные
величины £]„, ^2/г, • • •, s/г/г взаимно независимы и удовлетворяют условиям
следствия 1 из теоремы 5, причем условие (5.29) выполнено, так как при
п —> оо
Eo^Ti)*=ln'I+0(1)^oa

§5. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 299
Следовательно, при п —> оо случайная величина
п п
^E(^-^itt)- гдест2"=Е(п_7+1г
/t=i /t=i
асимптотически нормальна с параметрами (0, 1).
п
Ясно, что случайная величина *л = X) Zkn равна общему числу циклов
k=\
в случайной подстановке. Кроме того, при п —> оо
En_l+i=ln" + c+°(1). <5-33)
/t=i
k=\ v 7
где С =0,5772... есть постоянная Эйлера. Поэтому окончательно
получаем следующую теорему.
Теорема 7. Если £„ — число циклов случайно равновероятно
выбранной подстановки степени п, то случайная величина \'п =
= (£я — In гг)/л/1п п имеет в пределе нормальное распределение с
параметрами (0, 1).
Отметим, что эта теорема легко может быть получена также и с
использованием теоремы 2. Так как число подстановок степени я, имеющих
k циклов, равно \s(n, &)|, где s(n, k) — числа Стирлинга первого рода, то
распределение £„ — числа циклов в случайной подстановке — имеет вид
P(£n = k)= W"'*)!, k= 1,2, ..., п. (5.35)
Отсюда следует выражение для производящей функции £я:
Рп{х) = (х + п-1\ Jin+x)
пу ' \ п ) Г(х)Г(я + 1)' v '
где Г(л:) есть гамма-функция. Применяя формулу Стирлинга для оценки
гамма-функции при у —> оо:
Т(у + 1) = V*iyy+l/2e-y+*/{l2y\ 0 < 0 < 1,
находим следующее асимптотическое представление при п —> оо:
Рп(х) = ^щ(1+о(\)), (5.37)
где о(1) —> 0 равномерно для всех х, 1—&<*<1+&, 0<&<1.
Отсюда вытекает асимптотическое представление для производящей функции
моментов случайной величины \'п = (£я — Inлг)/\/1п лг:
g„(/) = exp{-M™ + (e/A^- 1)1п/г}(1+о(1))

300 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
для всех t, —Ъ1 < t <Ъ', Ъ' > 0. Отсюда следует, что lim gn(t) = et /2,
п—»оо
и справедливость теоремы 7 вытекает из теоремы 2.
7. Возрастания перестановок. Элементы щ и щ+\ перестановки
(а\, a<i, ..., ап) чисел 1, 2, ..., п образуют возрастание, если at < a£-+i,
1^/^/2—1. Будем предполагать, что элементу а\ предшествует
возрастание. Отметим, что в этом состоит отличие в определении возрастаний
в перестановках от определения, данного в §3 гл. III.
Обозначим через Ank число перестановок степени nek
возрастаниями. Очевидно, что Ап\ =Апп = 1 и Ank = An,n-k+\- Для удобства положим
Ло,о = 1. Если из перестановки (а\, a<i, ..., ап), имеющей k возрастаний,
удалим элемент /2, то в k случаях расположения этого элемента между
элементами, образующими возрастание, получим перестановки степени п - 1
с k возрастаниями; в остальных п - k + 1 случаях полученная
перестановка имеет k - 1 возрастаний. Отсюда следует рекуррентное соотношение
Ank = (n-k + 1)Ля_и_, + kAn_lk. (5.38)
Индукцией по п с использованием этого рекуррентного соотношения
нетрудно получить формулу
к
Ank = £(-1)''С } ')(* "/)"> А = 1, 2, ..., л. (5.39)
Пусть теперь т{п — случайная величина, равная числу возрастаний в
случайно равновероятно выбранной перестановке степени п. Тогда
к
P(r\n = k) = ±Y,(-XKYYk-i)n' A = 1,2,..., я. (5.40)
' /=о
Рассмотрим независимые непрерывные случайные величины si, $2, • • •, £я,
каждая из которых равномерно распределена на интервале (0, 1).
Найдем функцию распределения суммы этих случайных величин Fn(x) =
= P(l\ + s2 + • • • + чл < х). Очевидно, что
P(5i+b + . ■. + &.<*) = »«, (5.41)
где V(Qq) — объем /i-мерного симплекса fi0 = {(*ь • • •> хп): Х\ + ...
...+хп<х, 0 ^ Х[ ^ 1, 1 ^ / ^ п}. Будем считать, что точка (х\, ..., хп)
/i-мерного симплекса О, = {(х\, ..., хп): х\ + ... + хп < х, хь ^ 0, 1 ^ / ^
^ п} обладает свойством Л/, если xt > 1, 1^/^/2. Объем части ft, точки
которой обладают одновременно свойствами ЛУ1, ..., A-jk, вычисляется по
формуле
Г (х - k)n/n\, k^x,

§5. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 301
Применяя метод включения—исключения, находим
М
V(Sl0) = ^2(-l)kSk, (5.43)
где
S0 = V(n), Sk= J2 V(Ah...Ah), ft = 1,2,...; (5.44)
[x] — целая часть от х.
Из формул (5.42) и (5.43) получаем выражение для функции
распределения
1 И
Непосредственно из формул (5.40) и (5.45) следует, что Р(т{п = ft) =
= Fn(k) - Fn(k - 1), ft = 1, 2, ..., п, т.е. F„(x) при х= 1, 2, ..., п
совпадает с функцией распределения случайной величины т{п.
Случайные величины sin, ?2/ъ • • •, s/m равномерно ограничены, и
M^kn = 1/2, D\kn = 1/12. Поэтому согласно следствию 3 из теоремы 5
случайная величина I J^^kn — п/2 )/>/п/12 при н —► оо асимптотически
нормальна с параметрами (0, 1). Отсюда вытекает следующая теорема.
Теорема 8. Если т{п — число возрастаний в случайной
перестановке степени п, то при п —> оо случайная величина г/п =
= {т{П - п/2)/у/п/\2 в пределе имеет нормальное распределение с
параметрами (0, 1).
8. Производящие функции — многочлены. При рассмотрении
комбинаторных задач часто встречается ситуация, когда производящая
функция Рп(х) случайной величины £л имеет вид
Рп(х)=хт^у (5.46)
где для различных действительных чисел oti, ot2, ..., ot„_m < 0
Fn = (x + a, ){x + a2)... (x + a„_m), (5.47)
т.е. Fn(x) — многочлен с различными действительными отрицательными
корнями. Положим
п—т
Mn = m + YjT^., (5-48)
; 1 '
п—т
««-Етгйзг <м»
ti»+f

302 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Теорема 9. Если производящая функция Рп(х) случайной
величины \п задается равенствами (5.46) и (5.47) и при п —> оо выполнено
условие
п—т
ЕоТ^оо, (5-50)
то случайная величина (£л - Мп)/ап асимптотически нормальна
с параметрами (0, 1).
Представим производящую функцию Рп(х) в виде
PnW = W * * + ^)...( * х+г*"-т ). (5.51)
Из этого представления следует, что существует случайная величина т)л
такая, что т)л = т)1Л + 7)2,z + • • • + т}/г-тл + m, где т)1Л, т)2л, ..., 7)л_т,л взаимно
независимы и Я(т]т = 1) = 1/(1 + a£), Р(г#п = 0) = а£/(1 + а£), l^i^n — m.
Случайные величины 7)iw, 7)2Я - - -, т)л_т>я удовлетворяют условиям
следствия 1 из теоремы 5, поэтому случайная величина (т)л — Мп)/ап при н —► оо
распределена асимптотически нормально с параметрами (0, 1). Так как
Tj/i и \п имеют одну и ту же производящую функцию, то отсюда следует
асимптотическая нормальность \п с теми же параметрами.
В качестве следствия из теоремы 9 дадим другое доказательство
теоремы 7. Производящая функция случайной величины £л, равной числу циклов
в случайно и равновероятно выбранной подстановке, имеет вид
Рп(х) = -{х{х + 1)... (х + п - 1),
т. е. имеет представление вида (5.51) при m = 1, a£- = /, 1 ^ / ^ п - 1. Так
как при п —> оо
/г-1 /г-1
/=1 ' /=1
то условие (5.50) теоремы 9 выполнено. Следовательно, с учетом
равенств (5.33) и (5.34) случайная величина (£л - In п)/у/\п п при п —> оо
асимптотически нормальна с параметрами (0, 1).
Сформулируем еще одну теорему об асимптотической нормальности
случайной величины, производящая функция которой является
многочленом.
Теорема 10. Пусть случайная величина \п имеет
производящую функцию
п
Р(Х\ 51, 52, , Sn) = П (P0j + P\jX + . . . + PsjjX81), (5.52)
/=1
5у = 5у(п), ро/ + Pi/ + • • • + Pshj = 1, 1 ^/ ^ П,

§5. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ 303
и при н —► оо выполнены условия
Dln -> оо, (5.53)
1 > 0. (5.54)
VDin \^Kn
Тогда случайная величина (£„ - М1п)/л/Щп при п —> оо
асимптотически нормальна с параметрами (0, 1).
Рассмотрим взаимно независимые случайные величины £1л, £2я>
..., £лл, причем ljn имеет производящую функцию роу + Р\}х + • • • + PshjXs'-
Из равенства (5.52) следует, что распределения случайных величин 1\п +
+ ч2/г + • • • + Inn и In совпадают и теперь справедливость теоремы 10
вытекает из следствия 2 теоремы 5, так как условия (5.31) и (5.32)
эквивалентны условиям (5.53) и (5.54).
Для иллюстрации теоремы 10 дадим другое завершение
доказательства теоремы 6. В процессе доказательства теоремы 6 было установлено,
что число инверсий г\п в случайной равновероятной подстановке степени п
представляется в виде суммы независимых случайных величин 1\п, 12п, • • •
• • •, Inn, Ttn = l\n + s2/z + • • • + Inn, причем lkn имеет следующее
распределение:
P(Zkn=j) = {, j = 0, 1 Л— 1. и^л. (5.55)
Следовательно, производящая функция случайной величины rtn имеет вид
1 п~х
рп(х) = ъ1[(1+х + .-. + Л (5-56)
' k=o
Так как D\n = (2п3 + Зп2 - Ъп)П2 и max s; = n - 1, то условия теоре-
мы 10 выполнены, и этим завершено доказательство теоремы 6.
9. Локальная теорема. Говорят, что последовательность (£л) взаимно
независимых случайных величин удовлетворяет локальной теореме, если
при п —> оо
1 „J (т-Мп)2*
аяР р,=т --=ехр{-
sup
V2i^\ 2*2
►О, (5.57)
/=1 /=1
Сформулируем некоторые достаточные условия, при которых имеет
место локальная теорема.
Теорема 11. Пусть (£л) — последовательность целочисленных
взаимно независимых случайных величин, имеющих конечные
дисперсии, рп\ = Р(*п =/) и пусть выполнены следующие условия:
1) РпО ^ Р/гт для всех пит;

304 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
1 п
2) наибольший общий делитель таких /л, что -.— Y^ PjoPjm —> оо
при п —> оо, равен единице; /=1
3) нрм п —> оо мжееж а„^оом
/г
Х)А*|5/-А*5/|3 = 0(о2). (5.58)
/=1
7Ьгда
\2 .
sup
т
»^р-)-^р{-т}|=°Ш- «*»
В качестве примера приложения теоремы 11 найдем асимптотическую
формулу для Cnm(s) — числа m-выборок в коммутативном несимметричном
н-базисе, в которых у-й элемент н-базиса встречается не более чем Sj раз,
1 ^ у ^ п, 5 = (5i, 52, .. •, sn). Рассмотрим взаимно независимые
случайные величины £i, £2, ..., \п такие, что Я(£/ = т) = 1/(5/ + 1), т = 0, 1, ...
..., 5у, и положим т)л = si + s2 + • • • + sn- Имеем
Af„ = Af7}„ = ^ ^5/, <^ = Dr{n = j2 ^5/(5/ + 2).
/=1 /=i
Будем предполагать, что при п —> оо случайные величины 5/
равномерно ограничены, т.е. существует постоянная 5 такая, что 5/ ^ s, 1 ^у ^ п.
В этих условиях
/=1
ln/I ^ (S/ + I)2 ^ 521ПМ
когда п —> оо. Таким образом, все условия теоремы выполнены и имеет
место равенство (5.59).
С другой стороны, из вида производящей функции
2Мп N
J2 Спт(8)Г = J](l + / + /2 + . . . + fi)
m=0 j=\
- I n
следует, что P(r\n = m) = Cnm(s) Ц(1 + s7), m = 0, 1, ... Следовательно,
1 /=1
если при п —> оо величины 5/, 1 ^ у ^ п, и (т — Мп)/ап ограничены, то

§6. РАЗБИЕНИЯ КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 305
имеет место асимптотическая формула
с"*<*> = ^ Ч-4^} П» + «>(■ + о(±)). рм»)
Отметим, что формула (5.60) остается верной и при более слабом
ограничении, когда при п —> оо
/ П
max 5,- / У^ 5/(5,- + 2) —> 0.
§ 6. Разбиения конечных множеств
1. Производящие функции. Из предыдущего известно, что число
разбиений н-множества X на k блоков равно числу Стирлинга второго рода
ст(п, k), причем
п
хп=^а{п, k)(x)k, (6.1)
где ст(0, 0) = 1, ст(п, k) = 0, & > п. Умножая обе части равенства (6.1) на
tn/n и суммируя по п = 0, 1..., получаем
Е *$-=Е а Е<х«.'><*>- (6.2)
/г=0 /г=0 г=0
Рассматривая обе части этого равенства как формальные степенные ряды
по степеням tn/n\, возьмем от обеих его частей r-ю конечную разность
по х. Взятие конечной разности от формального степенного ряда
фактически сводится к сложению некоторых степенных рядов, поэтому результат
является снова степенным рядом. Из равенства (6.2) имеем
ЕЛ'*ж=Е^Е°<я' ')*(*)» (б.з)
/г=0 /1=0 г=0
Используя формулы
/г
0, &>н,
(6.4)
(r)k(x)r-k, k<r,
Ak(x)r=\ k\, k = r, (6.5)
0, k > r,

306 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
из равенства (6.3) получаем
k оо п оо п п
Е<- vty Е<* - /+х)^=Е Ь Е ст("' ^)(^)*Wr-*- (66)
/=0 /г=0 /г=/г r=k
Полагая в обеих частях равенства х = 0 и используя легко доказываемую
индукцией формулу для формального степенного ряда
оо
т
f_\ =y^ (mt)n
получаем
I { ~ f \k ~ / f ,«
\л=0 / /z=fc
Будем теперь рассматривать обе части равенства (6.7) как степенные
ряды от действительного переменного /. Используя оценку
Ф* *Ктт". £=°> 1. ■•-. (6-8)
вытекающую из равенства (6.1), и формулу Стерлинга для оценки
факториалов, нетрудно установить, что ряд в правой части равенства (6.7)
абсолютно сходится при 0 ^ / < 1/е. Поэтому для этих значений / имеем
1(е'-1)* = ]>>(я,*)^ (6-9)
n=k
Умножим обе части равенства (6.9) на хк и просуммируем по k = 0, 1, ...
Получим
оо оо
e^-^=J2xkJ2^^. (6.10)
k=0 n=k
Применяя оценку (6.8) и формулу Стерлинга для факториалов, можно
получить следующую оценку 0 ^ / < 1/е:
> ст(п, k)— ^ '— -. (6.11)
С помощью этого неравенства нетрудно установить, что двойной ряд в
правой части равенства (6.10) сходится абсолютно для 0 ^ х < оо, 0 ^ / < 1/е,
и поэтому допустима перестановка знаков суммирования, приводящая
к равенству
оо п
п=0 ' k=0

§6. РАЗБИЕНИЯ КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 307
Так как при любом действительном 0 ^ х < оо функция ех{<е _1) — целая,
то равенство (6.12) справедливо для всех /, |/| < оо.
Используя формулу для чисел Белла
п
7q = 1, Гп=^о(п,*), /1 = 1,2,..., (6.13)
k=0
определяющую общее число разбиений н-множества, приходим к
известному равенству:
/г=0
Рассмотрим многочлен
п
/„(*) = J>(/i,*)x*. (6.15)
k=0
Используя формулу для чисел <т(н, k)
k
<ф.*) = ££(-о/(5)(л-/г (еле)
и условие ст(п, k) = 0, & > п, можно записать
6=0 /=0
В правой части этого равенства можно поменять порядок суммирования,
так как по существу обе суммы являются конечными. Проводя далее
замену переменных суммирования, окончательно получаем
л Ji
knx>
fn{x)=e-xY,Lu~' « = 0,1,..., (6.18)
для всех \х\ < оо.
Отметим, что формула (6.18) может быть также найдена из равенства
e«e-l)=J2fn{x)Lr (6.19)
/г=0
являющегося следствием равенств (6.12) и (6.15).

308 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
2. Асимптотические формулы. Основное содержание данного пункта
состоит в доказательстве следующей теоремы.
Теорема 1. Если при любом действительном
фиксированном х, \ —Ъ < х <\ +Ъ, 0 < & < 1, /? = R(x) есть единственное при
достаточно больших п действительное решение уравнения
R\n*=n, (6.20)
п
то для fn(x) = Y^ <*(я, k)xk имеет место формула
Ш = ^5^(1+о(1)), (6.21)
y/n/R + 1
где о(\) —> 0 при п —> оо равномерно для всех х, 1 - S < х < 1 + S,
0<&<1.
Для доказательства теоремы воспользуемся формулой (6.18). Ряд
в правой части равенства (6.18) сходится при любом фиксированном н,
причем для всехх таких, что 1 — &<*<1+&, 0<&<1, сходимость
равномерная. Общий член ряда при фиксированном х достигает своего
максимального значения при k, близких к /?, где R = R(x) —действительное
решение уравнения (6.20). Представим ряд (6.18) в виде четырех сумм:
^knxk
£^=S,+S2+S3 + S4, (6'22)
k=\
в которых пределы суммирования удовлетворяют соответственно условиям
l^k^R-y/n-l, R-y/n^k^R + y/n,
j— о о (6.23)
R + у/п + 1 ^ * ^ п2, п2 + 1 ^ * ^ оо.
Заметим, что при 1— S < х < 1 + S, 0 < S < 1 и н —► оо из уравнения (6.20)
следует, что
/?=W(1+0(1))' (624)
поэтому при достаточно больших п все пределы (6.23) положительны.
Оценим сначала сумму S2. Для оценки k\ при k —> 00 применим
формулу Стирлинга
k\ = y/2ikk+x/2e-k+*^X2k\ 0 < 6, < 1.
В результате получаем
R+y/n
у/Ъ.
$2 = -^ £ (д^-'-^О+оО)), (6.25)
k=R-y/R

§6. РАЗБИЕНИЯ КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ
309
где о(1) —> 0 при п —> оо равномерно для всех х, 1 — S < х < 1 + S.
Используя асимптотическое представление
(^-,?^S-exp{-^#(S + 1)}(1 +0(1))- (6-26)
формулу (6.25) запишем следующим образом:
о С*)**-* у^ exDf (*-^V«+iUx
xV{?Zx1(1 + 0(1))' (627)
причем в (6.26) и (6.27) o(l) —> 0 при п —> оо равномерно для всех х,
1 — S < х < 1 + S. Введем обозначения
и воспользуемся формулой
^ е-^/2д^= / e-^dz (l+o(l)), (6.28)
где о(1) имеет порядок О(Аг^) и равномерно стремится к нулю при k —> оо
для всех 1 — S < х < 1 + S. Заменяя интеграл в равенстве (6.28) на интеграл
с бесконечными пределами и внося при этом погрешность
экспоненциального характера, равномерно стремящуюся к нулю при п —> оо, с учетом
формулы
оо
[ e-^^dz = у/Ъ. (6.29)
—оо
из равенства (6.27) получаем
дп R-n
S2 = ^_(l+o(l)), (6.30)
y/n/R + 1
где о(1) —> 0 при н —► оо равномерно для всех 1 — S < х < 1 + S.
Суммы Si и S3 оцениваются следующим образом. Так как общие
члены в этих суммах убывают: в Si —при убывании &, а в S3 — при
возрастании &, то, пользуясь их асимптотическими оценками при k = R— у/п

310 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
и k = R + sfh соответственно, имеем
S, <(xe)*/?n-/?+,/V<"/*>2/2(l +о(1)),
S3 < (xe)RRn-R-]/2n2e-ln/R?/20 +o(l)).
Отсюда при п —> оо следуют оценки, равномерные для всех *, 1 — 8 < х <
<\+Ь:
fL=o(l), |^=o(l). (6.31)
Наконец, для S4 при н —► оо имеем следующую равномерную для 1 — S <
< х < 1 + S оценку:
S4^(£il+»>)n2=0(l). (6.32)
Собирая оценки (6.30)—(6.32) и используя равенство (6.22),
убеждаемся, что S2 дает главный вклад в асимптотическую оценку ряда (6.22).
Теперь и справедливость равенства (6.21) следует из формулы (6.18) и
оценки (6.30).
Следствие. Для чисел Белла, определяемых равенством (6.13),
при н —► оо имеет место асимптотическая формула
Tn=^f~n~\(l+o(l)), (6.33)
V п/г + 1
где г — единственное при п —> оо решение уравнения
г\пг = п. (6.34)
Так как Тп =fn{\), то равенства (6.33) и (6.34) следуют соответственно
из равенств (6.21) и (6.20) при х= 1, причем г = /?(1).
3. Случайные разбиения. На множестве разбиений п-множества X
зададим равномерное вероятностное распределение, при котором каждое
разбиение имеет вероятность 1/Тп, где Тп — число Белла, равное общему
числу разбиений п-множества. Обозначим через \п случайную величину,
равную числу блоков в случайном разбиении. Точное распределение этой
случайной величины имеет вид
P(ln = k) = ^, k = 1, 2, ..., л, (6.35)
1 m
где ст(н, k) — число Стирлинга второго рода, равное количеству разбиений
п-множества на k блоков.
Производящая функция случайной величины \п имеет вид
Рп{х) = Ш' я = 1'2--"' <6-36)
где fn{x) определено равенством (6.15).

§6. РАЗБИЕНИЯ КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ 311
Найдем биномиальные моменты В^, k = 0, 1, ..., случайной
величины £/ь воспользовавшись формулой
Bkn = ±P{£\\), Л = 0, 1 (6.37)
где Р*п\х) — k-я производная Рп(х).
Для k-й производной fn \x) функции fn(x) их равенства (6.12) имеем
£/f(*)£ = (*<-i)V<<'-'>.
л=0
Из этого равенства следует, что
1 т
sr/?)o)=ECH*)7'n-/.
Отсюда с учетом равенств (6.36) и (6.37) получаем
Bb« = Tnit 0)а</\ *)^-/> * = 0, 1, . -. (6.38)
Используя эту формулу и связь между биномиальными и обычными
моментами, можно получить выражение для k-то обычного момента.
Однако обычные моменты имеют более простое выражение, если их получать
с помощью следующего приема. Рассмотрим рекуррентное соотношение
для чисел Стирлинга второго рода (см. (4.58) гл. I):
а(/г, /) = а(п - 1, / - 1) + /а(/г - 1, /), / = 1.2 гг. (6.39)
Суммируя обе части равенства (6.39) по /, получаем
п
Y^i<*(nJ) = Tn+\ -тп.
Отсюда следует формула для математического ожидания случайной
величины £я:
М1п = Ц±±-1. (6.40)
In
Далее, умножая на /' обе части равенства (6.39) и суммируя по /,
находим
п
^/2<т(л, /) = Тп+2 - 2Тп+\.
/=i
Таким образом,
Mil = ^ - 2^±L.
"•»«
Тп Тп

312 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Следовательно, дисперсия случайной величины £„ имеет следующее
выражение:
D5n = ^-(^i)2-l. (6.41)
Используя асимптотическую формулу (6.33) для чисел Белла, при п —►
—► оо из равенства (6.40) получаем М\п = г(\ + о(1)). При х = 1 применим
формулу (6.24), дающую асимптотическое выражение г через п. В
результате получаем окончательное выражение при п —► оо:
Af$„ = j^(l+o(l)). (6.42)
Можно показать, что при п —► оо имеет место также следующая
асимптотическая формула для дисперсии:
^" = о^(1+0(1))- (643)
Перейдем к доказательству следующей предельной теоремы.
Теорема 2. При /г—► оо случайная величина
^ = ^-(AZ + r)/(l+lnr)
,П у/п/\пП
в пределе имеет нормальное распределение с параметрами (0, \),те.
X
lim P(rin < х) = -}= [ e~u2/2du.
Для доказательства теоремы воспользуемся теоремой 2 §5. Из
равенств (6.21) и (6.33) следует, что производящая функция случайной
величины %п в теореме 2 имеет при п —> оо следующее асимптотическое
представление:
Pn(x) = efl*{x)(l+o(l)), (6.44)
где
M*) = *-r + nln£-* + l + i|n(i^)
и о(1) —► 0 при я —► оо равномерно для всех х, 1 — 8 < х < 1 + 8. При
я —► оо производные hn(x) имеют вид
А^) = |-1+о(1),
^ = -Щ1)+^
" W ~ xHn/R + l) ~ x*R{n/R+\? + °( h

§6. РАЗБИЕНИЯ КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ
313
Применяя формулу (6.24), находим
ft"(1) = h^(1+0(1))'
Л;(1)+Л£(1) = ^2(1+°(1)),
причем все оценки равномерны для 1 - 8 < х < 1 + 8. Таким образом, все
условия теоремы 2 §5 выполнены, и теорема 2 доказана.
Упражнения. 1. Используя производящую функцию для чисел Стирлинга
второго рода
n=k
вывести рекуррентное соотношение
n-k+\
o(n+\,k)= ^2 С)^"-/', *-О, £=1,2, ...,/!. (1)
/=0
2. Рекуррентное соотношение (1) вывести путем рассмотрения классов
разбиений п-множества в зависимости от размера блока, содержащего фиксированный
элемент.
3. Методом, применяемым в упражнении 2, вывести рекуррентное соотношение
о(п, k) =o(n-\, k-\) + ko(n - 1, k), к = 1, 2, ..., п. (2)
4. Соотношение (2) вывести из равенства
х? =j>2o(n, k)(x)h,
k=\
определяющего числа Стирлинга второго рода.
5. Из рекуррентного соотношение (1) получить соотношение для чисел Белла
Тп+\ = 22 и)7"-*' То = 1.
6. Индукцией по к показать, что для k-\\ производной функции R = R(x),
являющейся решением уравнения
/?ln-=/i, (3)
х
при ограниченном хип->оо имеет место асимптотическая формула
^>W=O^M(1+O(1))' *=0. 1,2,...

314 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
7. Показать, что для производных функции
где R = R(x) определяется уравнением (3), при ограниченном х и п —> оо имеют
место асимптотические представления
§ 7. Конечные топологии
1. Основные понятия. Пусть Л — конечное множество и 2А — буле-
ан, соответствующий этому множеству. Некоторое подмножество булеана
21С 2А называется конечной топологией на Л, если выполнены
следующие условия:
1) 0, А е 21, где 0 — пустое множество;
2) А\ иЛ2е21для любых Ль Л2, G21;
3) Ах Г)А2 G21 для любых Ль А2 G21.
Элементы конечной топологии 21 называются открытыми
множествами. Множество А называется носителем топологии 21, а пара
(Л, 21) — топологическим пространством. Топология, содержащая все
элементы булеана 2А множества Л, называется дискретной
топологией с носителем Л. Топология, носителем которой является пустое
множество 0, называется тривиальной.
Теорема 1. Конечная топология с носителем, являющимся
п-множеством, п > 1, содержащая больше чем 3 ■ 2п~2 открытых
множеств, совпадает с дискретной топологией с тем же
носителем.
Пусть Л = {а\, а2, ..., ап} — носитель топологии 21 и 0(ai) —
пересечение всех открытых множеств 21, содержащих щ, 1 ^ / ^ п. Обозначим
через k число различных множеств в семействе {0(а\), 0(а2), ..., 0(ап)}.
Если k = 1, то 0(а\) = ... = 0(а„) = Л и топология содержит всего два
элемента: множество Л и пустое множество 0. Поэтому данный случай
исключаем из рассмотрения. Будем считать, что k > 1. Заметим, что каждое
открытое множество может быть представлено в виде объединения
элементов семейства {0(а\), 0(а2), ..., 0(ап)}, т.е. это семейство является
базой топологии 21. Действительно, если А' = {ajx, aj2, ..., ajs}, 1 ^ /i < • • •
• • • <js ^ n, то ясно, что 0(0^) С Л', 1 ^ / ^ 5. С другой стороны, очевидно,
что А' С 0(а7-,) U ... U 0(a/s). Следовательно, А' = 0(ah) U ... U 0{ajs).
Покажем теперь, что любая топология 21, не совпадающая с
дискретной, содержит менее чем 3 • 2п~2 элементов. Рассмотрим три случая.
Случай 1. Пусть в семействе {0(а\), ..., 0(ап)} не существует
пары (0(ai), 0(aj)) такой, что 0(ai) с 0(aj), 0(ai) ^ 0(aj). Тогда все

§7. КОНЕЧНЫЕ ТОПОЛОГИИ
315
открытые множества топологии 21 получаются путем объединений по / =
= 1,2, ..., k элементов базы. Число полученных открытых множеств,
с учетом пустого множества, равно 1 + (Л + ... + (Л = 2к. Если k = п,
то топология дискретна; если же k ^ п - 1, то число открытых множеств
топологии /V(2l) удовлетворяет условию /V(2l) ^ 2п~1 < 3 • 2п~2.
Случай 2. В семействе {0(а\), ..., 0(ап)} существует ровно одна
пара (0(cii), 0(aj)) такая, что О(щ) с 0(dj), 0(щ) ^ 0(aj). В этом
случае из каждого объединения, содержащего / = 2, 3, ..., к элементов
семейства, надо удалить все объединения, содержащие одновременно 0(а{)
и 0(aj). Следовательно общее число открытых множеств топологии 21,
с учетом пустого множества, равно
Aw-i + ffl+ElO-C-S]-21-2"-
Отсюда следует, что при любом 2^k^n /V(2l) ^ 3 ■ 2п~2.
Случай 3. В семействе {0(а\), ..., 0(ап)} существует по крайней
мере одна пара (0(щ), 0(dj)) такая, что 0(щ) с 0{aj), 0(щ) ^ 0(aj). Ясно,
что число /V(2l) в данном случае не превосходит соответствующего числа
в случае 2, т. е. /V(2l) ^ 3 • 2п~2.
Таким образом, установлено, что число элементов топологии, не
являющейся дискретной, не превосходит величины 3 ■ 2п~2. Всякая топология,
содержащая число элементов, большее 3 • 2п~2, является дискретной.
2. Цепочечные топологии. Совокупность элементов 0, А\,..., Лг, A
булеана 2А я-множества Л, удовлетворяющая условию 0 с А\ с ... С Аг с
С Л, образует конечную топологию с носителем Л, которую будем называть
цепочечной, а число г — ее рангом. Обозначим через ТГ(п) число
цепочечных топологий ранга г, носителем которых является я-множество.
Каждой цепочечной топологии с открытыми множествами 0 с Л i с ... с Лг с Л
можно поставить во взаимно однозначное соответствие упорядоченное
разбиение я-множества сг+1 блоками:
А = А, U (Л2 \ А,) U (Л3 \ Л2) U ... U (А \ Аг).
Отсюда следует, что
Тг(п) = о(п, г+1)(г+1)! = Дг+1(У\ г = 0, 1, ...,л- 1. (7.1)
Если Т(п) — общее число цепочечных топологий, носителем которых
является я-множество, и Т(0) = 1, то
п
Цп) = J2 дг°"' л = 0, 1.... (7.2)
г=0

316 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Рассмотрим многочлен
п
Используя выражение для производящей функции чисел Моргана
(e'-l)* = J>*0«i_ (7.4)
n=k
для всех |/| < ln(l + 1/|jc|) имеем
Г 1
£/.«£гтт*7Гп- ^
Отсюда следует, что
Ф' - 1)
я=0
00 А"
/"« = £(Г7^т- ^
Ряд в правой части равенства (7.6) сходится абсолютно для всех х > 0.
В силу очевидного равенства Т(п) = /„(1), полагая в обеих частях
равенства (7.6) х = 1, получаем формулу
6=1
3. Асимптотические формулы. Докажем следующую теорему.
Теорема 2. /7р« я —> оо имеет место асимптотическая
формула
^>=(l+x)(ln(i"+lA))^<1+0<1))' (?-8)
где о(1) —> 0 равномерно для всех х, 1 —8<jc< 1+8, 0 < S < 1.
В формуле (7.6), дающей выражение fn(x), общий член ряда в
правой части равенства принимает максимальное значение при k = г, где г =
= ГТ\—Гм г №] — целая часть от у. Поэтому естественно ожидать, что
основной вклад в значение суммы ряда дают слагаемые, не слишком далеко
отстоящие от максимального слагаемого. В соответствии с этим
соображением представим fn(x) в виде четырех сумм:
/n(*) = Si+S2 + S3+S4, (7.9)
в которых пределы суммирования соответственно имеют вид 1 ^ k ^
^ г _ „1/2+е - \ч г- „1/2+е ^ k ^ f + „1/2+е^ f + „1/2+е + j ^ k ^ „2^
п2 + 1 ^ k < оо, где полагаем 0 < z < 1/2 и

§7. КОНЕЧНЫЕ ТОПОЛОГИИ 317
Начнем с оценки суммы 52- Имеем
*-(Т^г Е «рН(¥)}<'+°<'»- Р-">
V ' /=_Я1/2+«
где о(1) —> 0 при я —> оо равномерно для всех 1 - 8 < х < 1 + 8. Заменяя
сумму в (7.11) интегралом и подставляя вместо г его значение из (7.10),
получаем
яг1п(1 + 1Д)
s2 =
пп+\/2е-п
(l+jc)(ln(l + l/jc))"+'
-яЧп(1 + 1Д)
J eS/2dy (l+o(l)). (7.12)
Переходя в интеграле к бесконечным пределам и внося при этом
погрешность экспоненциального характера, получаем
у/Ътп+х/2е-п
^=(1+х^(1 + 1/х))^<1+°<1»- (7ЛЗ)
В (7.12) и (7.13) о(1) —> 0 при я—>оо равномерно для всех 1 - Ь<х < 1 +8.
Суммы Si и 5з оцениваются одинаковым способом. Имеем
-"1/2+с
хгг"
(1+хУ+1
Е Ш'(' + 0'- ™
1=-г
п2-г-\
/=П1/2+г+1
Общие члены сумм в равенствах (7.14) и (7.15) с ростом / убывают, а при
наименьших по абсолютной величине значениях/ имеют экспоненциальное
представление при п —> оо. Используя этот факт, находим
51<(ГТ^Ч-2^,П(1 + ^)) }(1+о(1))> (7Л6)
*<о^^Н(^К,+й)2}<,+ (7Л7)
Из неравенств (7.16) и (7.17) при п —> оо следуют равномерные для всех х,
1 - 8 < х < 1 + 8, оценки
| = о(1), | = о(1). (7.18)
Наконец, для S± имеем оценку
хл2+1/12/| e1//z
54 < (1 +JC)H2+2 l-^/n/O+jc)" (7Л9)

318 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Так как х/(\ + х) < 1 для любых х > О, то из неравенства (7.19) следует,
что при п —> оо 54 —> 0 равномерно для всех 1 — 8 < х < 1 + 8.
Теперь, собирая оценки (7.13), (7.16), (7.17) и (7.19), с учетом
равенства (7.9) и формулы Стирлинга приходим к формуле (7.8). Другой ее
вывод дан в §5 гл. III (см. (5.35)).
Следствие. При п —> оо справедлива следующая
асимптотическая формула для числа цепочечных топологий, носителями
которых являются п-множества:
^=2(Ь^Н(1+0(1))- (720)
Формула (7.20) получается из формулы (7.8) при х=1.
4. Случайные топологии. На множестве из Т(п) цепочечных
топологий, носителями которых являются я-множества, зададим равномерное
вероятностное распределение и рассмотрим случайную величину £„,
представляющую собой ранг случайно выбранной цепочечной топологии.
Вероятностное распределение %п имеет вид
P(ln = k) = ^-р *=0, 1 п- 1. (7.21)
Производящая функция случайной величины £„ имеет следующее
выражение:
Из теоремы 2 следует, что при п —> оо эта производящая функция имеет
асимптотическое представление (1 - 8 < х < 1 +8)
^) = ТТ7(йП1А))"+1(1+0(1))- (723)
Введем обозначения
1 _о 1 — 1п2 .„ п,ч
*=WV ^ = (2W (724)
Докажем следующую теорему.
Теорема 3. Прип^оо случайная величина rln = i^n — \in)/(а у/п)
имеет в пределе асимптотически нормальное распределение с
параметрами (0, 1), т.е.
л
lim P(rtn <x) = -j= [ e-dll2du.
л—оо у/2ъ J
Производящая функция моментов случайной величины т)я имеет
следующее выражение:
Mn(t) = e-Wfo^Pnie'H*^). (7.25)

§8. РАЗДЕЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
319
Заменой х = exp{t/(oy/n)} отобразим окрестность 1—8^х^1+8в
некоторую ненулевую окрестность точки t = 0. Из равенства (7.25), используя
асимптотическое представление (7.23), получаем
Мпу) = е-^/° %-ъ( 1П2/, ^ V+1(l +о(1)). (7.26)
Используем теперь при п —► оо асимптотическое разложение
[ln(l+exp{-//(<V^)})]"+1 Г ty/H 1-1п2 t2 /1 >П
0П2)"*1 " Р1 2о1п2 (21п2)22а2+ V^/Г 1 ' '
Тогда из (7.25) и (7.26) получаем
lim Mn(t) = ef
= /1^
Таким образом, в некоторой ненулевой окрестности точки t = О
производящая функция моментов случайной величины т{п при п —► оо сходится
к производящей функции моментов нормального распределения с
параметрами (О, 1). Согласно теореме Куртисса отсюда следует, что случайная
величина rtr в пределе имеет нормальное распределение с параметрами (О, 1).
Упражнения. 1. Показать, что топология 21 с носителем Л = {щ, Д2,
..., ап} и базой {а\}, ..., {ап-\}, {щ, ап} содержит 3- 2п
2. Показать, что производящая функция
1 ^ xkkn
удовлетворяет дифференциально-разностному уравнению
р'^-^Щгр^х)-ттхРп(х)- (1)
3. Используя дифференциально-разностное уравнение (1), вывести формулы
для среднего и дисперсии ранга случайной цепочечной топологии, носителем
которой является я-множество:
§ 8. Разделяющие системы множеств
1. Структуры и булевы алгебры. Множество 6 называется
структурой, если на нем определены бинарные операции умножения • и
сложения +, ставящие в соответствие каждой паре элементов a, b Е а их
произведение а • b и сумму а + ft, причем эти операции коммутативны
и ассоциативны, т. е. а • b = b • а, а + b = b + а, а • (b • с) = (а • b) • с,
а + (Ь + с) = (а + Ь) + с, и удовлетворяют условиям идемпотентности:
а • а = а, а + а = а и поглощения: из а • b = а следует, что а + b = b,

320 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
и обратно. Если сложение и умножение в структуре 6 связаны законом
дистрибутивности, т. е. для любых а, Ь, с е & (а + Ь) • с = а • с + b • с, то
структура 6 называется дистрибутивной.
Если в структуре 6 имеется такой элемент ао, что для всякого b e 6
имеет место равенство ао • b = ао, то ао называется нулем структуры 6.
Если в структуре 6 имеется элемент ai такой, что для любого элемента
b е 6 справедливо равенство ai • b = b, то элемент ai называется
единицей структуры 6. Структура 6, содержащая нуль ао и единицу а\,
называется структурой с дополнениями, если для любого элемента а е 6
существует такой элемент аеб, что а-а = а0, а + а = а\.
Дистрибутивная структура с дополнениями называется булевой алгеброй.
Примером булевой алгебры является структура подмножеств
конечного множества X, в которой в качестве сложения и умножения
используются операции объединения и пересечения множеств. Нулем в данном
случае является пустое множество 0, а единицей — само множество X.
Всякая конечная булева алгебра изоморфна некоторой булевой
алгебре, представляющей собой булеан 2х некоторого конечного множества X
с заданными на нем операциями объединения, пересечения и дополнения
множеств. Такую булеву алгебру будем обозначать 53 =*В(Х).
Если булева алгебра 53 совпадает с наименьшей булевой алгеброй,
содержащей систему множеств Е = {е\, e<i, ..., ет}, то говорят, что 53
порождается системой множеств £, и пишут 53 = (£}.
Множество Е называется системой образующих булевой алгебры 53.
Система множеств Е = {е\, e<i, ..., ет} конечного множества X
называется разделяющей для этого множества, если для любых различных
элементов х, х' е X можно указать такое множество ek, 1 ^ k ^ m, что xeek,
х' £ ek либо х £ ek, x' e ek.
Теорема 1. Система подмножеств Е= {е\, e<i, ..., ет}
конечного множества X тогда и только тогда является системой
образующих булевой алгебры 53 = 53(^0, когда система Е является
разделяющей для множества X.
Пусть Е — система образующих булевой алгебры 53. Покажем, что
она является разделяющей системой для множества X. Выражение вида
z = eh П ... П е1г П ё;г+| П ... П ё;,, где i\, ..., /г, ir+\,...,// — некоторое
/-сочетание из чисел 1, 2, ..., т, будем называть импликантой. Любой
элемент b Е 53 можно представить в виде
b=[Jzk,
где Zi, 22, ... — импликанты. Рассмотрим элементы х и х\ х ф х\
и положим b = {х}. Пусть {х} = IJ zk и найдется импликанта

§8. РАЗДЕЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
321
Zk = ец Г\ .. .Г\ е1т П ё;г+1 Г\ ... Dei, такая, что {х} С z^ и,
следовательно, х е Zfc. С другой стороны, так как {х} П {х'} = 0, то {х'} не может
принадлежать ни одной из импликант, включающих {*}, и,
следовательно, х' £ Zk. Отсюда следует существование либо такого р, 1 ^ р ^ г, что
х £ е1р, х' £ е1р, либо такого q, г + 1 ^ q ^ й, что х £ ё^, У ^ e-lq. В первом
случае е,р разделяет х и х'. Во втором случае ёц, а следовательно, и е^
разделяют х и У. Таким образом, Е—разделяющая система для
множества X.
Допустим теперь, что Е — разделяющая система для множества X.
Для любого b = {х\, х2, ..., xs} £ 95 можно записать b = {х\} U {х2} U...
... U {xs}. Поэтому достаточно показать, что любое одноэлементное
множество {х}, хеХ, входит в булеву алгебру 95i, порождаемую системой
множеств Е. Каждому х ф х', х, х' £ X, поставим в соответствие
множество е^ такое, что х £ е^, х' £ ем, причем либо е^ £ £, либо ём £ Е. Выбирая
^р е№ • • •> отвечающие всевозможным значениям х' £ X, рассмотрим
произведение
z = e[L]ne[L.2n... (8.1)
Это произведение представляет собой импликанту, и z = {x}. Теорема
доказана.
Положим X = {х\, Х2, ..., хп} и каждому элементу b £ 95 поставим
в соответствие вектор (е\ (Ь), ..., zn{b)), где zi(b) = 1, если хь £ Ь, и zi(b) = О,
если Xi£b.
Пусть Е = {е\, ..., ет} есть система элементов булевой алгебры 05.
Рассмотрим матрицу из т л-мерных вектор-строк, соответствующих этой
системе:
(г\(ех) г2(ех) ... гп{е\)\
г\(е2) г2(е2) ... гп{е2) ,ft 9,
\ъ\(ет) г2{ет) ••• гп(ет))
Теорема 2. Для того чтобы векторы
е(1"> = (*(*,), ф2), • • •, Фт))Т, / = 1, 2, ..., л, (8.3)
являющиеся вектор-столбцами матрицы е, отвечали системе
образующих Е= {е\, е2, ..., ет} булевой алгебры 05, построенной на буле-
ане п-множества X, необходимо и достаточно, чтобы эти векторы
были попарно различны.
Допустим, что Е = {е\, ..., ет} есть система образующих булевой
алгебры, но найдутся такие р и q, p ф q, что е^ = е^\ Это означает, что
хр и xq принадлежат одной и той же подсистеме системы Е. Приходим
к противоречию, так как хр ф xq и Е— разделяющая система.

322 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Обратно, если все векторы е(1), е(2), ..., е(/г) различны, то система Е
является разделяющей, а следовательно, является системой образующих
булевой алгебры 95.
Следствие 1. Для того, чтобы система элементов Е =
= {е\, е2, ..., ет} была системой образующих булевой алгебры,
необходимо, чтобы было выполнено неравенство
т ^ log2 п. (8.4)
Действительно, при заданных тип число способов выбора
матриц г, удовлетворяющих условию, что все столбцы попарно различны,
равно 2m(2m - 1)... (2m - п + 1). Отсюда следует, что для существования
матрицы z необходимо выполнение условия 2т ^ п, из которого вытекает
требуемое неравенство.
Следствие 2. Минимальное число образующих булевой
алгебры 95, построенной на булеане п-множества X, удовлетворяет
равенству
то = {'og2 л}, (8.5)
где {w} — наименьшее целое, большее или равное w.
Действительно, возьмем X = {О, 1, ..., п - 1} и рассмотрим двоичные
записи чисел 0, 1, ..., п - 1. Число разрядов для записи в двоичной
системе числа, не превосходящего п - 1, равно {log2 n}. Рассмотрим систему
множеств £0 = И, е\, ..., е°{^п}}, где
х: х= J2 8<-2'_1> »* = 0. 1; ьф\\ &/=1>, (8.6)
т. е. е*} — множество чисел из X, таких, что в их двоичном разложении
/-й разряд равен 1. Ясно, что £Ь — разделяющая система. Действительно,
если х ф х', х, х' е X, то в двоичном разложении х и х' найдется такой
/-й разряд, что для х этот разряд равен 1, а для х' — нулю, или наоборот.
В первом случае х е е®, х' $. е^, а во втором х £ е^, х' е е^, т. е. е*} разделяет
элементы xwx'.
Систему образующих £о, содержащую минимальное число элементов,
будем называть минимальной.
2. Случайные образующие булевой алгебры. Пусть на 2п
элементах булевой алгебры 95 задано равномерно вероятностное распределение
и Е = {е\, в2, • • •, ет} — система случайно и независимо выбранных
элементов из 95. Обозначим через Впт событие, состоящее в том, что Е есть
система образующих булевой алгебры 95.
Теорема 3. Если Р(Втп)—вероятность того, что случайно
и независимо выбранная система Е= {е\, ..., ет} является систе-

§8. РАЗДЕЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ 323
мой образующих булевой алгебры 95, то имеет место формула
(2%
Р(Впт) =
2тп
Действительно, если элементы е\, e<i, ..., ет равновероятны, то строки
матрицы z являются равновероятными и для любых / и /
P(ei-(e/) = l) = P(Me/) = 0) = l/2. (8.7)
В силу независимости выбора е\, e<i, ..., ет векторы е(1), ..., е(л)
независимы и каждое из 2т значений принимается с вероятностью 1/2т.
Событие Впт состоит в том, что векторы е(1), е(2), ..., е(/г) различны.
Число способов выбора п различных т-мерных двоичных векторов равно
(2т)п = 2m(2m - 1)... (2m - п + 1). Общее число способов выбора таких
векторов равно 2тп. Деля первое число на второе, получаем требуемую
формулу:
Теорема 4. Пусть (га/), (л/), / = 1,2, ..., —
последовательности целых положительных чисел, такие, что предел
lim (га,- - 2 logo nj) = а (8.8)
/—оо
существует. Тогда
1, а = +оо,
Дт Р(ВП1Щ) = <] ехр{- ^ }, -оо < а < оо, (8.9)
О, а = —оо.
Запишем вероятность Р(Впт) в виде
ЖВ«») = П(1-*»).
Используя неравенство е_/А1_/) < 1 - / < е~1, 0 < / < 1, получаем
следующие оценки:
Отсюда следует, что если lim (т — 2 log2 я) = а, —оо < а < оо, то
п,т—>оо
lim Я(В„т) = ехр{--^Л. (8.10)
При а —> +оо и а —► —оо этот предел соответственно равен 1 и 0. Теорема
доказана.

324 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Из теоремы 4 следует, что для порождения с некоторой
положительной вероятностью булевой алгебры число элементов в случайно и
равновероятно выбранной системе образующих должно удовлетворять
асимптотическому равенству т^2log2n + а. Напомним, что минимальное число
образующих равно то = {log2 n}.
Теоремы 3 и 4 могут быть сформулированы в несколько ином виде.
Обозначим через 95(т) наименьшую булеву алгебру, порождаемую
случайно и равновероятно выбранными т образующими. Пусть \п — случайная
величина, представляющая собой наименьшее целое число, для которого
5$Ы _ J} jaK как p(Vn ^ m) = Р(Впт), то из теоремы 3 следует, что
РЫ^т)={^. (8.11)
Отсюда, с учетом теоремы 4, вытекает, что
lim P(v„ «S 2log2 n + a) = e~x/r+*. (8.12)
n—>oo
3. Схема выбора без возвращения. Будем предполагать, что
случайный выбор образующих элементов из булевой алгебры 95, построенной
на булеане я-множества X, происходит по схеме без возвращения. Это
означает, что после выбора / элементов следующий (/ + 1)-й элемент
выбирается независимо и с вероятностью 1/(2" — /). В этом случае вероятность
выбора т фиксированных элементов е\, е^, ..., ет е 95 равна l/(2")m.
Обозначим через Впт событие, состоящее в том, что при случайном
выборе без возвращения элементов е\, e<i, ..., ет е 95 в соответствующей
им матрице г все столбцы различны. Рассмотрим событие D„m,
состоящее в том, что при выборе с возвращением все элементы е\, e<i, ..., ет
оказались различными. Для вероятностей соответствующих событий имеет
место равенство
п/п* \ _ Рфпт П Dnm)
У пт) " Рфпт) '
Из очевидных неравенств Р(Впт) - P(Dnm) ^ Р(Впт П Dnm) ^ Р(Впт)
вытекают следующие оценки:
Р(Впт) - Рфпт) < p(R* v < Р(Впт)
\-Рфпт) " К Пт)^ \-Рфпт)'
Событие Dnm состоит в том, что среди случайно выбранных т
двоичных я-мерных векторов есть хотя бы одна пара совпадающих. Поэтому
справедлива оценка
Рф«п)<^). (8.13)
Очевидно, что если т = о(2"/2), то P(Dnm) = o(l). Поэтому из оценки для
Р(Впт) и теоремы 4 вытекает следующая теорема.

§8. РАЗДЕЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
325
Теорема 5. Если (га7), (я7), / = 1,2,..., — последовательности
целых положительных чисел, такие, что существует предел
lim (m-j - 2 log2 nj) = а, (8.14)
то
{1, ot = +oo,
ехр{-2^н}' -«><«<«>. (8Л5>
О, а = — оо.
4. Разделяющие системы функций. Понятие разделяющей
системы множеств можно естественным образом обобщить путем рассмотрения
разделяющих систем функций. Пусть X—заданное л-множество, п ^ 2, на
котором определены функции f\ (х), f2(x), • •, fm(x), ^ G X, со значениями
из й-множества У. Система функций F = (f\ (х), f2(x), • • •, /mW) является
разделяющей, если для любой пары элементов х, х' е X, хф х',
существует такая функция fs(x), что fs(x) ф fs(x'), 1 ^ s ^ га.
Разделяющие системы функций можно характеризовать и другими
способами. Множество Л с X будем называть уровневым множеством для
функции f(x), заданной на множестве X, если Л содержит все элементы
х е Этакие, что f(x) = у, пеу е Y фиксировано, Y—область значений f(x).
Пусть Y = {y\, ..., yk) и Ли, ..., A\k, А2\, ..., A2k, • •-, Ат\, ..., Amk —
совокупность уровневых множеств, отвечающих системе функций F.
Теорема 6. Система функций является разделяющей тогда
и только тогда, когда соответствующая совокупность уровневых
множеств является разделяющей.
Действительно, пусть х ф х', х, х' е X и существует такое 1 ^ 5 ^ т,
что fs(x) ф fs(x'), fs{x) = ур, fs(x') =yq, 1 ^ р, q ^ k. Тогда Asp —уровне-
вое множество функции fs(x) — удовлетворяет условиям х е Asp, х' £ Asp.
В силу произвольности выбора х, х' е X, х ф х', отсюда следует, что
совокупность уровневых множеств является разделяющей. Для доказательства
достаточности те же рассуждения следует провести в обратном порядке.
Рассмотрим теперь матрицу, отвечающую системе функций F =
= (f\ (х), ..., fm(x)), заданной на множестве X = {х\, ..., хп}:
(f\(X\) /l(*2) ••• f\(*n)\
f\(X\) f\(x2) ••• f2(*n)
\fm(X\) fm(x2) ... fm(Xn)J
(8.16)
Теорема 7. Система функций F является разделяющей тогда
и только тогда, когда все столбцы соответствующей матрицы F
являются попарно различными.

326 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
Справедливость теоремы вытекает непосредственно из определения
разделяющей системы функций.
Система функций F, определенных на я-множестве X, называется
минимальной разделяющей системой функций, если никакая ее собственная
подсистема F с F не является разделяющей.
Теорема 8. Если F = (f\ (х), ..., fm (x)) есть минимальная
разделяющая система функций, определенных на п-множестве X, то
m^/z-1, (8.17)
и эта оценка наилучшая.
Сформулированная теорема утверждает, что если разделяющая
система функций, определенных на я-множестве X, содержит не менее п
функций, то из них можно выбрать п - 1 функций, образующих разделяющую
систему. Ясно, что данное утверждение справедливо при п = 2, так как
в разделяющей системе F = (f\(x), /2W) при X = {х\, х2} либо функция
f\(x) удовлетворяет условию /i(*i) ф f\(x2), т.е. образует разделяющую
систему F = (f\(x)), либо f2(xx) Фf2(x2) и Р = (/И*)).
Будем доказывать теорему индукцией по п. Пусть F— разделяющая
система функций, определенных на множестве X = {х\, х2, ..., хп, хп+\}.
Ясно, что эта система является разделяющей и на множестве X' =
= {х\, X2, ..., хп}, и, следовательно, по предположению индукции
существует разделяющая система функции F' = (f\ (х), ..., fn_\ (x)),
рассматриваемых как определенные на множестве X'.
Матрица
( f\(x\) h(x2) ••• f\M\
/2(^l) /2(^2) ••• f2(Xn) ,ftlftv
\fn-\(*\) fn-\(X2) ••• fn-\(Xn)J
имеет различные столбцы. Рассмотрим вектор-столбец (f\(xn+\), ...
• •, fn-\ (xn+\))T- Если этот вектор отличается от любого из
вектор-столбцов указанной матрицы, то система функций F' является разделяющей на
множестве X, и теорема доказана.
Пусть теперь существует такое /, 1 ^ / ^ п, что fj(xn+\) = //(*;), j =
= 1, ..., п — 1, т. е. рассматриваемый столбец совпадает с некоторым,
естественно, единственным /-м столбцом матрицы. Тогда в системе функций F
должна существовать такая функция /, что f(xn+\) ф f{xi), так как в
противном случае элементы хь и хп+\ нельзя было бы разделить с
помощью системы F. Система функций F" = (f\(x), ..., fn-\(x), f(x))
является разделяющей на множестве X = {х\, х2, ..., хп, хп+\}, так как столбцы

§8. РАЗДЕЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
327
матрицы
/2(^1)
/1Ш
/2(^2)
f\ (ХП)
f\(xn+\) \
f2(xn+\)
fn-\(X\)
f(x\)
fn-\(X2)
f(X2)
fn-\(Xn)
f(Xn)
fn-\(Xn+\)
f(xn+i) )
(8.19)
все различны.
Рассмотрим систему функций F= (f\(x), /гС*), •••» /n-iW),
определенных на множестве Х = {х\, Х2, ..., *„}, такую, что
лм
_ Г 1, * = */,
\ 0, хфхи
для всех 1 ^ / ^ п - 1. Ясно, что F является разделяющей системой
функций и эта система содержит п - 1 функций. Теорема доказана.
5. Энтропия и оптимальные разделяющие системы функций. На
множестве Х= {х\, х%, ..., хп} зададим равномерное вероятностное
распределение, полагая, что каждый из элементов X имеет одну и ту же
вероятность \/п. Функцию /(х), определенную на множестве X, можно
рассматривать как случайную величину. Если Y = {у\, у2, ..., у к) есть область
значений функции f(x) и значение yj принимается f(x) при // значениях
аргумента, то
/• к
Энтропия вероятностного распределения (pi,
деляется формулой
7=1
г
Р2, ..., Рг), £р, = 1,опре-
7=1
Н(Р\, Р2, • • • , Рг) = - У"Р/ l0g2P/.
7=1
где полагаем 0 ■ log2 0 = 0.
Очевидно, что Н(р\, р2,
рг) ^ 0 и Н(ри р2,
рг) = 0 тогда
и только тогда, когда найдется такое /, 1 ^ / ^ г, что р/ = 1, р/ = 0, j] ф I.
Энтропия Н(р\, р2, ..., Рг) достигает своего максимального значения при
р\ = ... = рг = 1/г, причем
Н{ри Р2, • • •, Рг) ^ Я(1/Г, 1/г, . . . , 1/г) = l0g2 Г.
Это свойство следует из выпуклости функции ф(х) = -xlnx, 0 ^ х ^ 1,
и известного неравенства для выпуклых функций
фС^КЧЧ^Е*1"
i=\

328 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
При задании равномерного вероятностного распределения на
^-множестве X энтропия функции /(х), представляющей собой случайную
величину, определяется равенством
k
H\f(x)\ =-J2 РШ = yj) log2 P{f(x) = у,).
Энтропия системы функций F = (f\(x), /2W, • •, fm{x)), заданных на
л-множестве X, определяется равенством
= ~ J2 PVl(*) = v\ /mW = Vm)l0g2P(/i(^) = V, /m(*) = Vm),
V|,...,Vm
где V/ принимает всевозможные значения функции Д(х), 1 ^ / ^ га.
Непосредственно из определения следует, что
т
1=1
Если система функций F = (f\ (x), /2(*), • •, fm{x)) — разделяющая на
л-множестве X, то все векторы (f\(xi), ..., fm(xi)), 1 ^ / ^ п, различны и,
следовательно,
P(f\ № = f\ (Xi), • • • , fm(x) = fm(Xi)) = jp 1 ^ К /I.
Отсюда следует, что для разделяющей системы функций на я-множестве X
имеет место равенство
H[f\(x), ...,fm(x)]=log2n.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 9. Если F=(f\ (х), ..., fm(x)) есть разделяющая
система функций, определенных на п-множестве X, и H[fi(x)] —энтропия
функции fi(x), 1 ^ / ^ га, при задании равномерного распределения на
множестве X, то имеет место неравенство
т
i=l
Отметим, что равенство в данной оценки достигается тогда и только
тогда, когда функции /i(x), ..., fm(x), рассматриваемые как случайные
величины, являются независимыми. В этом случае разделяющую систему F
называют оптимальной разделяющей системой функций.

§8. РАЗДЕЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ
329
6. Задачи поиска. Рассмотрим следующую задачу, относящуюся к
области медицины. Имеется п болезней, которые мы обозначим элементами
множества X = {х\, Х2, ..., хп}. У каждой из болезней есть определенный
набор симптомов, характеризующих эту болезнь. Вместе с тем известно,
что один и тот же симптом может относиться не к одной, а к
нескольким болезням из множества X. Поэтому естественно каждому симптому
ставить в соответствие некоторое подмножество множества X тех
болезней, которые сопровождаются появлением этого симптома. Совокупность
всех т симптомов, сопровождающих болезни из множества X, обозначим
через е\, е2, ..., ет, где еь е 2х и еь — множество болезней, имеющих /-й
симптом.
Для того, чтобы отличить болезни хь и xj, ьф'и необходимо
существование такого симптома е*, что хь е еь Xj $. ek или Xj e e^ хь $. е^. Такие
разделяющие болезни симптомы существуют тогда и только тогда, когда
система множеств Е = (е\, е2, ..., ет) является разделяющей.
Другая задача относится к области отыскания неисправностей в
приборах. Пусть X = {х\, х2, ..., хп} — множество неисправностей
некоторого прибора. Для определения характера неисправностей прибор не
разбирается, а измеряются некоторые т величин, которые являются
значениями заданных функций /i(x),/2(х), ...,/т(х), определенных на
множестве X. Для того чтобы с помощью таких измерений отмечать
неисправности, необходимо и достаточно, чтобы система функций F =
= (/i (*)» h(x)* • • •» /mW) была разделяющей. В этом случае условие х° = хь
выполняется тогда и только тогда, когда (/i(x°), ..., /m(*0)) = (f\(xi)* • • •
• • •, fm(Xi)), l^i^n, где векторы (/, (*,-), ..., /m(x;)), i = 1, 2, ..., /г,
предполагаются заранее вычисленными.
Конечно, данную задачу можно просто решить с помощью одной
функции /, осуществляющей биекцию множества X в некоторое множество У,
\Y\ =n. Однако найти систему измерений работы реального прибора,
отвечающую такой функции, — задача, как правило, довольно сложная.
ЗАДАЧИ
1. Пусть X = {х\, Х<2, • • • , Хп } и Y С X. Множество Y разделяет элементы xi и xh
где X/, Xj е. X, если либо х, G К, Xj ^ У, либо Xj е. К, xt £ Y. Случайно и
равновероятно выбираются:
а) любое из 2п — 1 подмножеств «-множества Х\
б) любое из k-подмножеств «-множества X.
Показать, что математическое ожидание числа разделяемых пар элементов
«-множества равно:
")£' - © - f^v
«>*-(Э-(Э-

330 ГЛ. VI. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
2. Пусть из множества X = {х\, х2, ..., хп} случайно и равновероятно
выбираются г к -подмножеств по схеме без возвращения и \ — случайная величина,
равная числу подмножеств, разделяющих фиксированную пару элементов xi и х,.
Показать, что при «->оо и rti2/ri2 —> X случайная величина (Т) — % имеет в
пределе распределение Пуассона с параметром X, т. е.
3. Пусть система из п подмножеств {х,,, xh }, ..., {х,,(, xhl} множества X =
= {х\, ..., х,г} разделяет любую пару элементов этого множества и Л — матрица
инцидентности этой системы подмножеств и множества X. Показать, что
существуют противоречивые подстановки s и s' степени я, s(i) ф s'(/), 1 ^ / ^ я, такие,
что А = S + 5', где S и 5' — подстановочные матрицы, соответствующие s и s'.

ГЛАВА VII
ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
§ 1. Свойства перманентов
1. Определения. Обозначим через МПт(К) множество матриц пх т,
п ^ га, с элементами из некоммутативного кольца К. Перманент per Л
матрицы А = (ац е Мпт(К) определяется равенством
п
регЛ= Y, ПаМ0 О-1)
где суммирование проводится по всем инъективным отображениям а
множества X = {1, 2, ..., п} в множество У = {1, 2, ..., га}.
Если а(/) =/*£, 1 ^ / ^ я, то (/ь /2, . •., /л) есть n-размещение из
множества Y = {1, 2, ..., т} и перманент матрицы Л можно записать в
следующем виде:
регЛ= Y, а1/.а%---ал/я. (1-2)
(/. /«)
где суммирование проводится по всем n-размещениям (/ь ..., jn) из
множества {1,2, ..., га}.
Два элемента ац и аы матрицы А будем называть неколлинеарны-
ми, если / фк, ] ф /. Назовем я-вектор {a\h, a2/2, ..., anjn) диагональю
матрицы Л, если координаты этого вектора являются попарно неколли-
неарными элементами матрицы Л, а a\h .. .anln —диагональным
произведением. Согласно формуле (1.2) перманент матрицы А есть сумма всех
диагональных произведений этой матрицы. Число слагаемых в этой сумме
равно (т)п. Если т = п, то
п
peM = ^JJaf-iS(l> (1.3)
s€S„ /=1
где суммирование проводится по всем подстановкам s e Sn, где Sn —
симметрическая группа степени п.
Из формулы (1.3) следует, что при т = п перманент имеет
определенную связь с понятием определителя det/1 соответствующей матрицы А.
Уточним эту связь.

332
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
Рассмотрим Н — подгруппу симметрической группы Sn и Мп(К) —
множество матриц п х п с элементами из кольца К с единицей. Гомоморфное
отображение х- И —> К будем называть характером группы Н.
Рассмотрим функцию Шура d^: Мп(К) —> /С, определяемую с помощью формулы
где d^(A)— образ А е Мп(К) при отображении d^, s(i) — образ / при
подстановке 5 е Н и суммирование проводится по всей подгруппе Н. Заметим,
что если И = S„, x(s) = 1, то d^"(A) = per Л. Если И = Sn и
( 1, 5 четная,
1—1, 5 нечетная,
то d^'(A) = detЛ.
2. Перманенты и определители. Учитывая аналогию выражений для
перманента и определителя матрицы А е Мп(К), естественно попытаться
найти общую формулу, сводящую вычисление перманента к вычислению
определителя соответствующей матрицы. Один из подходов к решению
этой задачи состоит в отыскании линейного преобразования Т п2-мерного
векторного пространства Мп(К) такого, что
perT(A) = detA (1.5)
для всех А е Мп(К).
Ограничимся случаем, когда К — кольцо действительных чисел, и
положим Мп = Мп(К). Для этого случая Пойа рассматривал в качестве
линейного преобразования Т умножение на —1 одинаково расположенных
на фиксированных местах элементов всех матриц А е Мп. Ясно, что для
А е M<i такое преобразование Т существует и определяется равенством
j(o-\\ a\2\ _ (а\\ -а\2\
\а2\ Я22/ \а21 Я22/
Однако случай п = 2 представляет собой исключение, так как справедлива
следующая теорема.
Теорема. При п^З не существует линейного преобразования
Пойа, при котором perT(A) = detA.
Сначала докажем теорему при п = 3. Допустим, что такое линейное
преобразование Пойа Т существует. Тогда для каждой диагонали матрицы
А е УИз, соответствующей четной подстановке 5 е S3, на —1 умножается
четное число ее элементов. Все три диагонали, соответствующие четным
подстановкам, не имеют общих элементов, поэтому общее число
элементов матрицы Л, умножаемых на —1, является четным. С другой стороны,

§1. СВОЙСТВА ПЕРМАНЕНТОВ
333
число умножаемых на —1 элементов диагонали, отвечающих нечетной
подстановке 5 е S3, должно быть нечетным. Отсюда вытекает, что общее
число умножаемых на — 1 элементов матрицы А е Мз должно быть нечетным.
Получили противоречие.
При п > 3 достаточно построить класс матриц А е Мп, для которого
линейного преобразования Пойа не существует. В качестве такого класса
возьмем матрицы вида А = diag(y4', /л-з), где А' е М$, 1п-з — единичная
матрица порядка п — 3. В левом верхнем углу матрицы А стоит некоторая
матрица А' е УИ3, а в правом нижнем — матрица /„_3, остальные элементы
нулевые. Очевидно, что per Л = per Л' и det/l = det/l'; а так как при п = 3
теорема доказана, то отсюда следует, что она верна и для произвольного п.
В заключение отметим, что теорема верна и для произвольного
линейного преобразования, однако доказательство этого факта мы не будем
здесь приводить.
Отметим, что если А = (а/у), /, / = 1, ..., п, и все элементы ац
неотрицательны, то
п п
IdeMl^peM^JIJ^a/,-. (1.6)
i=\ j=\
Эти неравенства сразу следуют из формулы (1.2). Если элементы
матрицы А могут быть и отрицательными, то неравенства (1.6) могут не
выполняться, в чем легко убедиться, положив
*-& -О-
3. Свойства перманентов. Обозначим через Тгт множество векторов
о> = (о>1, ..., 6>Г) с целочисленными координатами, 1 ^ <о/ ^ га, / = 1, ..., г.
Положим
Grm = {(G>i, ..., <йг) eTrm\ 1 ^6>i ^...^6>r^m}, (1.7)
Qrm = {(^i, ..., ОеГгт: 1 ^6>i <... <6>r^m}. (1.8)
Рассмотрим множество Мпт = Мпт(К) матриц п х га с элементами из
кольца К\ положим Мп = Мпп. Для матрицы А = (aij) e Мпт и a =
= (oti, ..., dp) e Gpn, р = (pi, ..., pq) e Gqm обозначим через Л [a 113]
матрицу p x q, в которой в /-й строке и /-м столбце стоит элемент а«ьрг
В частности, если a e Qpn, р Е Qqm, то А[а | р] есть подматрица Л,
расположенная в пересечении строк и столбцов, номера которых определяются
соответственно а и р.
Через А(а | р) будем обозначать матрицу, полученную из матрицы А
вычеркиванием строк и столбцов, номера которых определяются
соответственно а и р. Матрица А(а | р) называется дополнением к матрице

334
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
A[ol | р]. Матрицы A(ol \ —) и А(— | (3) получаются соответственно
вычеркиванием только строк, номера которых определяются а, и только столбцов,
номера которых определяются р.
Сформулируем ряд свойств перманента.
1°. Если А е Мпт, AZ ^ т, П и IIi —подстановочные матрицы
порядков п и т, то
perIL4IIi = регЛ.
Обозначим через тг и тм подстановки, соответствующие подстановочным
матрицам П и Hi. Тогда
П=(811Ш) = (»!>-.(/)), /,/'=1, ...,/i,
^=(^(0^) = ^»^ /,/=1,...,т,
где bij — символ Кронекера. Если IL4IIi = (а£у), / = 1, ..., п, j = 1, ...
..., т, то
п т
k=0 1=0
т. е. матрица IL4IIi получается из матрицы А перестановками строк и
столбцов в соответствии с подстановками тг и тг]"1. Отсюда следует, что
регПЛП!= J2 а*Ш •••а*Шп*
где суммирование ведется по всевозможным инъективным
отображениям у- {^(1), • • •, ъ(п)} —*■ {^Г1^)' • • •' ^Г1^)} таким> чт0 YfaCO) =/«»*=
= 1, ...,л. Так как {тг(1), ..., ъ(п)} = {1, ...,я}, (VO). ..., rci~V)} =
= {1, ..., т}, то perIL4lIi = регА
2°. Если А = (а/у) еМ„и Лт — транспонированная матрица Л, то
регЛт = регЛ. (1.9)
Положим АТ = (ajj), где ajj = ауи /, / = 1, ..., п. Тогда
perАт = ^2 а*0)Л • • • а*(п),п,
ses„
где Sn — симметрическая группа. Осуществим взаимно однозначное
отображение диагоналей матрицы А\ у(а5(1),ь ..., а$(л),л) =^i,5-'(i) • • -an,s-\ny
В результате получаем
per Ат = Y^ а^-'о) • • • ^-'(я) = Per Л.
sesn

§1. СВОЙСТВА ПЕРМАНЕНТОВ
335
3°. Функция регЛ, А е Мпт, п ^ т, является полилинейной
функцией строк матрицы А. Обозначим через Ль А%л ..., Ап строки матрицы А.
Будем записывать матрицу А в следующем виде: А = (А\, А<±, ..., Ап)Т.
В соответствии с этим per Л = рег(Ль Лг, • •., Ап)т. В этих обозначениях
свойство полилинейности перманентной функции можно записать
следующим образом:
Per(^YiH*, •••> ^4nkAk I =
\k=\ k=\ /
n n
= J2'"J2 Yi* • • • Y*a рег(ЛЛ„ Ak2, ..., Akn)T, (1.10)
kx=\ ka = \
где у// G /С, и если Л* = (aku • • •, аь), то y^* = (yak\, • • •, Y^m) для
ye К.
Действительно,
(л л \ ~ п п
k=\ k=\ / (/, jn)ki=\ kn = \
где (/i, ..., /„) есть n-размещение из чисел 1, 2, ..., m. Меняя порядок
суммирования в правой части последнего равенства, приходим к
соотношению (1.10).
4°. Пусть Л = (ац) е Мппг, 2 ^ п ^ т. Для получения разнообразных
рекуррентных соотношений, используемых при вычислении перманентов,
полезно следующее соотношение:
per Л = per Л/7- + а/у per Л(/1/), (1.11)
где Ац получается из матрицы Л заменой элемента ац нулем, а Л(/1/) —
вычеркиванием i-й строки и/-го столбца. Соотношение (1.11)
называется разложением перманента матрицы А по элементу ац. Разобьем
все диагональные произведения перманента на два класса в соответствии
с тем, входит в них элемент ац в качестве произведения или нет.
Сумма диагональных произведений, не содержащих ац, равна регЛ/у, а сумма
содержащих ац произведений равна ац per Л (/1/). Отсюда следует
равенство (1.11).
Обобщим теперь равенство (1.11). В частности, покажем, что для
любой матрицы Л е Мпт, 2 ^ п ^ т, и любого а е Qrn справедливо
разложение
регЛ= Y, регЛ[а|р]регЛ(а|р), (1.12)
peQrm

336
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
называемое разложением Лапласа для перманентов. В частности, для
любого /, 1 ^ / ^ AZ, имеет место разложение
т
per Л = ^aij регЛ(/1 /), (1.13)
/=i
называемое разложением перманента матрицы Л по /-й строке.
Если А е Мп, то для любого р G Q™ справедливо равенство
per Л = ^2 регЛ[а | J3] регЛ(а | Р),
являющееся разложением Лапласа для перманентов. В частности, для
любого /, 1 ^ / ^ AZ,
п
per Л = ^а,7регЛ(/1/). (1.14)
/=1
Докажем справедливость разложения (1.12), из которого последующие
разложения получаются в качестве следствий. Каждое из (т)п
диагональных произведений матрицы Л, сумма которых равна per Л, разобьем на
два произведения, содержащие соответственно г w n — r элементов
диагонали. К первому произведению отнесем элементы, расположенные в
строках, определяемых а е Qm, a ко второму — элементы из остальных п — г
строк. Пусть элементы первого произведения принадлежат столбцам,
номера которых определяются р G Qrm> Тогда первое произведение является
диагональным произведением матрицы Л [а | р]. Элементы второго
произведения принадлежат столбцам, номера которых не входят в (3 G Qrm-
Следовательно, второе произведение является диагональным
произведением матрицы Л (а | р). Отсюда следует, что сумма диагональных
произведений матрицы Л, отвечающих фиксированным a G Qrn и р G <?rm, равна
per Л [а | [3] per Л (а | (3). Суммируя по всем р G <?rm, получаем сумму всех
диагональных произведений, т. е. перманент матрицы Л. Отсюда и следует
формула (1.12).
5°. Для равенства нулю перманента п х т матрицы Л достаточно
выполнения любого из следующих условий:
а) матрица Л имеет нулевую строку; при т = п достаточно наличия
и нулевого столбца;
б) матрица Л имеет т — п + 1 нулевых столбцов.
Справедливость условия а) следует из разложения вида (1.14)
перманента матрицы Л по нулевой строке. Достаточность условия б) вытекает
из разложения Лапласа для перманента матрицы Л вида (1.12), в котором
ol = {1, 2, ..., п}. Ясно, что регЛ[1, 2, ..., п | {3] =0 при любом ре Qnm,
так как п х п матрица Л[1, 2, ..., п | р] всегда содержит хотя бы один
нулевой столбец.

§ 1. СВОЙСТВА ПЕРМАНЕНТОВ 337
6°. Если Л, ВеМп, то
п
рег(Л + В) = ^ J2 регЛ[<х|р]-регА(<х|Р), (1.15)
где при г = 0 per Л [a, J3] = 1, регВ(а, (3) = perB, a при r = я per Л [а, {3] =
= регЛ, регВ(а, р) = 1.
Положим Л = (а//), В = (6;7), /, / = 1, ..., я. Имеем
рег(Л + В) = £ П<а'.*Ю + W- (1Л6>
5€S„ /=1
Рассмотрим тождество
п п г п
П(*«-+#)=Е Е П** П у* о-17)
/=1 г=0 «€<?,,„ /=1 /=г+1
где {«ь ..., аг, <+1, ..., а'л} = {1,2, ...,/г}.
Используя тождество (1.17), из (1.16) получаем
per(A + B) = J2 £ (ЕП^) ft b<M)j- (118)
г=0 «€(?,,„ \s€S„ /=1 /=г+1 /
Выражение в скобках в правой части равенства (1.18) представляет собой
перманент некоторой матрицы, у которой 1-я строка является а,-й
строкой матрицы Л, / = 1, ..., г, и а--й строкой матрицы В, / = г + 1, ..., п.
Применяя к этому перманенту формулу разложения Лапласа, получаем,
что выражение в скобках равно
J2 регЛ[а|р]регА(<х|р).
Теперь формула (1.15) следует из равенства (1.18).
7°. Прежде чем сформулировать очередное свойство перманента,
сформулируем и докажем некоторые вспомогательные утверждения.
Пусть о> = (о>1, ..., <лп) е Тпт и [о>] = [ 1а| 2а2... тат ] — первичная
спецификация о>, где а/ = а/(и) определяет число появлений / в качестве коор-
т
динаты б>. Обозначим \jl(g>) = П а;(о>)!. Теперь, если /(g>i, ..., g>„) — про-
извольная числовая функция от натуральных аргументов, то
где g> = (о>1, ..., б>„). Для доказательства равенства (1.19) множество Гпт
разобьем на классы эквивалентности. Будем считать, что ы ~ о/, если

338
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
[о>] = [о/]. Ясно, что каждый класс эквивалентности содержит
единственный элемент множества Gnm. Осуществляя всевозможные п\ перестановок
координат этого элемента, получим все векторы, принадлежащие
данному классу эквивалентности, причем каждый вектор повторится \jl(o>) раз.
Таким образом, суммирование значений функции / по всем о> е Тпт в
правой части равенства (1.19) осуществляется сначала по элементам одного
класса эквивалентности, а затем по всем таким классам.
Покажем теперь, что для любых матриц В е Мпт, С е Мтп, п ^ т,
справедливо равенство
рег(ВС)= J2 ^регВ[1,...,А2|б>]регС[б>|1,...,А2], (1.20)
которое называется формулой Вине—Коти для перманентов.
т
Обозначим через (ВС); i-ю строку матрицы ВС. Тогда (ВС)/ = ^ ^С^,
k=\
где Ck — k-я строка С, и, следовательно,
(т т \ *
^b\kCk, ..., ^bnkCk I .
k=\ k=\ J
Используя свойство полилинейности перманентной функции (1.10), отсюда
получаем
рег(ВС) = Е П *'.* Рег(С<" - • • • • С<*.)Т' 0 -21)
где ы = (о>1, ..., б>„). Используя (1.19), преобразуем правую часть:
per(BC) = Y, |ф) £ П *'.^о Рег(с^(1) • • • C«sJT-
w€G„m s€Sn i=\
Из свойства 1° перманента следует, что
per(C(0s(1), ..., Ct,sJT = рег(С«„ ..., С,,„)т =регС[о>| 1 п].
Таким образом,
per(BC)= J2 ^Ре«-С[«|1.--..я]ЕП^о-
Из этого равенства с учетом того, что
п
5€S„ /=1
получаем формулу (1.20).

§ 1. СВОЙСТВА ПЕРМАНЕНТОВ 339
4. Вычисление перманентов. Заметим, что перманенты не обладают
рядом свойств, аналогичных свойствам детерминанта, что создает
трудности при их вычислении. Так, свойство, аналогичное свойству детерминанта
det(AB) = det A det В, для перманента, вообще говоря, не имеет места:
per
. i . -1
1 1/V-1 1
^рег(| |)рег(_| J
Правда, в некоторых случаях аналог этого свойства имеет место и для
перманентов. Так, если А е Мп и А состоит из квадратных матриц Л(1), Л(2), ...
..., A^k\ расположенных вдоль главной диагонали, а все элементы А вне
полей Л(1), Л(2), ..., А^ равны нулю, т. е. А = diag(/l(1), ..., Л(^), то
per Л = регЛ(1) регЛ(2)... регЛ(*>. (1.22)
Это равенство сразу следует из формулы (1.12) разложения Лапласа для
перманентов.
Пусть s\ и 52 — некоторые подстановки степени п, a Hi и Пг—
соответствующие им подстановочные матрицы. Матрицу (alii + рЩ), где
а и р— действительные числа, назовем оболочкой, натянутой на
матрицы IIi и Щ. Покажем, что для перманента оболочки имеет место формула
k
рег(аП! + рП2) = Ц(*1> + р'О, (1.23)
/=1
где /ь /г, ..., Ik—длины циклов подстановки sj"1^-
Будем предполагать, что подстановка 5j"!52 записывается в виде
произведения независимых циклов:
s-ls2 = (ai, ..., сцх)фи •••, bi2)...(c\, ..., ah).
Рассмотрим подстановку
/a! ... a/, Ь\ ... bk ... с\ ... с/А
ь~\\ ... /, /,+ 1 ... /,+/2 ... n-lk + \ ... л Л
Легко проверить, что
5"1 ■5f152-5 = (l, ..., 1\){1\ +1, ..., /! +/2)...(А2-4 + 1, ..., AZ).
Если П — подстановочная матрица, соответствующая подстановке s,
П = П~! IIj-1 ЩП, /— единичная матрица, то per(alli + рЩ) = per(a/ + рЙ).
Заметим, что П = diag(IIi, П2, ..., Щ), где П/ — подстановочная матрица
порядка /;, отвечающая циклу (1\ + ... + //_i + 1, 1\ + ... + /;-i +2, ...
..., /1 +... + //_!+ //). Таким образом,
per(otIIi +pn2) = per/li регЛ2...регЛ^, (1.24)

340
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
где А[ есть матрица /, х /,-, 1 < / < k, вида
/а р
о\
о
Vp
а р
где вне двух диагоналей расположены нулевые элементы. Разложением
per/4, по элементу, стоящему в последней строке и первом столбце,
получаем формулу
регА=а''+р'\ i= 1,2, ...,*. (1.25)
Теперь формула (1.23) следует из (1.24) и (1.25).
При а = р = 1 из (1.23) получаем
рег(П( + П2) = 2*,
(1.26)
.-1,
где k — число циклов в подстановке s^'S2-
Рассмотрим 0,1-матрицу п х п, у которой (/, /)-й элемент равен
единице, если /' — / е {—1, 0, 1, ..., k - 2}, причем 3 ^ k ^ я/2 + 1, п ^ 4.
Матрицы такого типа называются теплицевыми. Обозначим через D(n, k)
перманент такой матрицы, так что
k-\
/1 1
1 1
D(n, k) = per
1 1
1 1 1
1 1
1
о
1 1
1 1
о
V
> k-\
1 1/J
Разложением этого перманента по первой строке можно убедиться, что
k-\
D{n,k)=^D{n-i,k).
i=i
Полагая F(п) = D(n, 3), из этого соотношения получаем
F(n)=F(n-l) + F(n-2), F(l) = l, F(2)=2.
(1.27)
(1.28)
Числа F(n) называются числами Фибоначчи.
Рассмотрим 0,1-матрицу п х п, являющуюся суммой
подстановочных матриц, соответствующих степеням полноцикловой подстановки

§1. СВОЙСТВА ПЕРМАНЕНТОВ
341
с = (1, 2, ..., п). Введем обозначение
k-\
Q(n, fc) = per^C',
£=0
где С — подстановочная матрица, отвечающая подстановке с. При k = 3
имеем
(1.29)
/1
Q(n, 3) = per
о\
о
1
Vi 1
1
1
1/
Путем разложения Q(n, 3) по трем единичным элементам, стоящим в
левом нижнем углу матрицы, при п ^ 5 получаем Q(n, 3) = D(n — 1,3) +
+ 2D(n — 2, 3) + 2, т. е. Q(n, 3) имеет следующее выражение через числа
Фибоначчи:
Q(n, 3) = F(n - 1) + 2F(n - 2) + 2. (1.30)
Используя рекуррентное соотношение для чисел Фибоначчи, при п ^ 5
можно получить соотношение:
Q(n, 3) = Q(n - 1, 3) + Q(az - 2, 3) - 2. (1.31)
Можно показать, что аналогичные соотношения имеют место и для k = 4:
Q(rc, 4) = Q(rc - 1, 4) + Q(n - 2, 4) + Q(n - 3, 4) - 4, n ^ 7. Аналогичные,
но более сложные линейные рекуррентные соотношения с постоянными
коэффициентами известны для некоторых других значений Q(n, k), k^5.
Отыскание значений перманентов из линейных рекуррентных
соотношений с постоянными коэффициентами приводит к необходимости
решения так называемых линейных рекуррентных уравнений с постоянными
коэффициентами (см. задачи 17—23 гл. III).
Однородным линейным рекуррентным уравнением с постоянными
коэффициентами а\Л ..., а^ будем называть уравнение
f(x + k) + axf(x + k - 1) + a2f(x + k - 2) + ... + akf(x) = 0. (1.32)
Его решение f(x) будем искать в виде
f{x)=W (1.33)
где X — неизвестное число, Х/0. Подставляя (1.33) в (1.32), получаем
уравнение для определения X:
\k + a\\k~{ + a2\k~2 + ... + ak = 0,
(1.34)

342
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
которое называется характеристическим уравнением для
рекуррентного уравнения (1.32). Если Хь Х2, ..., Х^ — корни уравнения (1.34), то
для любых постоянных с\ч c<i, ..., Ck функция
f(x) = qXf + с2Ц + ... + скЦ (1.35)
также является решением уравнения (1.32). Более того, если корни
уравнения (1.34) простые, то функция (1.35) является общим решением
уравнения (1.32), т. е. подходящим выбором постоянных с\, с2, ..., Ck из
выражения (1.35) может быть получено любое частное решение уравнения (1.32).
Если корень Х& имеет кратность /&, то в сумме (1.35) вместо слагаемого
с^хк ему соответствует выражение fe + qx + ...+ c\k~ xlk~l)Xxk.
Например, рассматривая рекуррентное соотношение для чисел
Фибоначчи (1.28) как рекуррентное уравнение с постоянными коэффициентами,
находим его общее решение F(n) = qXy + с2Х<>, где Xj и Х2 — корни
уравнения X2 — X — 1=0. Используя условия F(l) = 1, F(2) = 2, находим
2 — Хо 2 — At
h(h -Хг)' X2(Xj -X2)'
С учетом того, что Х12 = (1 ± л/5)/2, получаем
-,. ч 1 /1 + л/5\л+| 1 /1-^5\л+1
Отсюда, с учетом равенства (1.30), следует формула
Q(«,3)=(!^)" + (!^)n + 2. (1.36)
5. Формула Райзера. Для матрицы А = (а//), / = 1, ..., п\ j = 1, ..., т\
п^т, ац £ /(, имеет место следующая формула, принадлежащая Райзеру:
т-\
регЛ= J2 (-Vk~m+nL-n)Sk' (137)
k=m—n
где
п
Sk= ^2 П(ан +--- + Щт- а1]х - ... - aijk).
\^j\<...<jk<,mi=\
Для вывода формулы (1.37) применим метод включения—исключения.
В качестве элементов будем рассматривать тп отображений множества
{1,2, ...,я} в множество {1,2, ...,т}. Отображению (, ^ f)
припишем вес a\ixa,2i2 • • -dnin- Обозначим через Aj свойство отображения

§ 1. СВОЙСТВА ПЕРМАНЕНТОВ 343
(/ / Г)' С0СТ0ЯЩее в том' что среди чисел /i, /2, ..., ln
отсутствует число /, 1 ^у'^ т. По определению перманент матрицы А равен
суммарному весу таких отображений, для которых выполнены ровно т - п
свойств из совокупности А\, A<i, ..., Ат. Если M(A-hA-h ... Ajk) —
суммарный вес отображений, для которых одновременно выполнены
свойства Л/,, Л/2, ..., Ajk, то, применяя формулы метода
включения—исключения (1.9) гл. II, получаем
т
регЛ= J2 (-Vk~m+nL-n)Sk> (L38>
k=m— n
где
5,= Y, M(Ah...Au). (1.39)
l</i<...</A<m
Суммарный вес всех тп отображений, очевидно, равен
п
So = Y[(ai\ + ... + a£-m).
£=1
Для вычисления M(Ajx .. .Ajk) нужно в данном произведении элементы
вида alh, alh, ..., ацк, / = 1, ..., я, положить равными нулю. Следовательно,
п
Af(Л/, ... Ajk) = Y[(an + . -. + а«« - а,/, - ... - а«/4). (1.40)
£=1
Теперь формула (1.37) следует из формул (1.38)—(1.40).
При т = п формула (1.37) принимает вид
п—\ п
регЛ=^(-1)* J2 П<а^ +... + ai/2- a/7l - ... - a//J. (1.41)
Формулу (1.37) можно записать в несколько более компактном виде.
Для матрицы В = (bij) положим r;(B) = Y^ by и обозначим через Л^ сово-
/
купность п х (т- k) подматриц матрицы Л, таких, что
Ak = {A(-\p): peQk,m}, m-n^k^m. (1.42)
Тогда
п
Sk = ^2 Y[ r<(£)> m-n^k^m,
BeAk i=\
и формула (1.37) принимает вид
т—\ п
Рем= y, (-vk~m+nL-n) £ ГЫВ) (143)
k=m—n B^Ak i=\

344
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
При т = п эта формула имеет вид
п— 1 п
реп4 = £("!)*£ Цп(В), (1.44)
fc=0 /3€Afe £=1
где Ло = {Л}.
Используя неравенства Бонферрони, из формулы (1.43) получаем
следующие оценки для перманента матрицы с неотрицательными элементами:
п п п
£ Цп(В)-(т-п + \) £ Пг'(ВКРегЛ< Е ГЫ6)-
Я€Лт_„ £=1 в€Лт_„+1 £'=1 ДеЛт_„ £'=1
(1.45)
Аналогичным образом из формулы (1.44) следуют более наглядные
оценки:
П1>-ЕПЕа^реМ<П1>л о-46)
£=1 /=1 v=l £=1 /#V £=1 /=1
справедливые для я х п матрицы А с неотрицательными элементами.
§ 2. Перманенты и трансверсали
1. Норма вектора. На множестве В = {0, 1} определим операции
сложения + и умножения •, удовлетворяющие следующим условиям:
1) 1+0 = 0+1 = 1 + 1 = 1, 0 + 0 = 0;
2) 1.0 = 0-1=0-0 = 0, 1-1 = 1.
Помимо ассоциативности и коммутативности операций предполагаем,
что они связаны законом дистрибутивности. В этом случае говорят, что
множество В представляет собой булево кольцо из двух элементов.
Для двух m-векторов b = (b\, ..., bm) и V = (b\, ..., b'm), bi, b\ £ S,
определим операцию булева сложения:
b + b' = (bx+Vx,...,bm + b'm).
Эта операция коммутативна и ассоциативна, и, следовательно, с помощью
этой операции на множестве S(m) = В х ... х В определена полугруппа,
которую удобно обозначить также S(m).
Нормой m-вектора b £ S(m) назовем число его координат, равных
единице. Норму вектора b будем обозначать через ||6||. Норма т-вектора
b £ S(m) обладает следующими свойствами:
1) \\Ь\\ = 0 тогда и только тогда, когда b = (0, 0, ..., 0);
2) для любых 6, V £ S(m) справедливо неравенство
II*+ *'К Н&Н+ ||&% (2.1)

§2. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
345
Действительно, если D и D' — множества равных единице координат
m-векторов b и Ь\ то \\Ь\\ = |D|, \\b'\\ = |D'|, \\b + b'\\ = \DU D'\. Поэтому
неравенство (2.1) является следствием неравенства \D U D'\ ^ \D\ + \D'\.
2. Критерий для 0Т1-матрицы. Рассмотрим 0,1-матрицу размера
п х m, n ^ /л, и сформулируем необходимые и достаточные условия,
которым она должна удовлетворять для того, чтобы ее перманент был
положителен.
Теорема 1. Пусть 0, l-матрица А = (а£/), / = 1, ..., п\ j = 1, ...
..., /л, имеет строки А \, Л2, ..., Ап. Для того, чтобы
регЛ>0, (2.2)
необходимо и достаточно, чтобы
||A-,+A-2+... + A-J^* (2.3)
для всех 1 ^ i\ < ... < ik ^ пч I ^ k^n.
Эту теорему будем называть критерием положительности
перманента 0,1-матрицы.
Необходимость. Если per Л > 0, то существует такое
^-размещение /1, ..., jn из чисел 1, 2, ..., /77, что a\jxa>2j2 • • • anj„ = 1 • Отсюда
следует, что для всех 1 ^ i\ < ... < ik ^ /г, 1 ^ k ^ /г, имеем а/,,/,. а£-2,/,. ... a£ft,/,- =
= 1. Здесь a£-5t/-ls, 1 ^ s ^ &, является /£-5-й координатой /5-й
вектор-строки Л/5 матрицы Л, причем /£|1 //£v, ^ ф v, так как (/£,, /£-2, ..., /£fe) есть часть
размещения (/i, /2, ..., jn). Отсюда следует, что у вектора Д-, + Л£-2 + ...
... -b4£ft имеется по крайней мере k координат, равных единице, и значит,
выполнено условие (2.3).
Достаточность. Доказательство проведем индукцией по п. При
п = 1 матрица А состоит из одной строки. Неравенство (2.3) в этом случае
означает, что хотя бы один элемент этой строки равен единице. В этом
случае ясно, что неравенство (2.2) выполнено. Допустим, что из
неравенства (2.3) следует неравенство (2.2) для любой матрицы А', составленной
не более, чем из п — 1 строк матрицы А. Рассмотрим два случая.
Случай 1. Для всех 1 ^ k ^ п — 1, 1 ^ /1 < ... < /^ ^ /г, выполнены
усиленные неравенства
\\Au+Ak + ... + Ak\\>k + \. (2.4)
Разложим per Л по первой строке. Имеем
т
РегЛ = ^а1/регЛ(1 |/), (2.5)
/=1
где А(\ | /') — матрица, полученная из А вычеркиванием первой строки
и /-го столбца.

346
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
Из условия \\А\\\ ^ 1, вытекающего из неравенства (2.3), следует, что
среди элементов а,\ \, ..., а\т имеется по крайней мере один элемент a,\s =
= 1. Из (2.5) следует, что
per Л ^регЛ(1 \s). (2.6)
Из неравенства (2.4) следует, что для всех l^k^n-l, 2^i\<...
... < ik ^ л,
ЦЛ^+Л^ + .-. + Л^Ц^Л, (2.7)
где Л-5) — /-я строка матрицы Л без 5-й координаты. Из предположения
индукции следует, что
регЛ(1 |5)>0. (2.8)
Теперь из неравенств (2.6) и (2.8) следует справедливость теоремы для
рассматриваемого случая.
Случай 2. Этот случай характеризуется тем, что существуют
k строк, 1 ^ k ^ п — 1, для которых неравенство (2.3) превращается в
равенство. Перестановкой строк, не меняющей перманента, всегда можно
сделать так, чтобы таким свойством обладали первые k строк, т. е.
\\А{ + A2 + ...+Ak\\ = k, \^k^n-\. (2.9)
В силу предположения индукции для матрицы Л[1,...,&|-], 1 ^ & ^
^ п — 1, состоящей из первых k строк матрицы Л, имеем
регЛ[1,...,£|-]>0. (2.10)
Из разложения
регЛ[1,...,£|-]= J2 РегЛ[1,...,£|р]
peQkm
следует, что существует такое J3 £ Q^m, что регЛ[1, ..., k | р] > 0.
Перестановкой столбцов матрицы Л, не меняющей per Л, можно всегда сделать
так, чтобы таким свойством обладало J3 = {1, ..., &}, т. е.
регЛ[1, ..., k\ 1, ..., k]>0. (2.11)
Из разложения Лапласа
регЛ= J2 РегЛП. ...,£|(3]регЛ(1, ■■■,*!£)
следует, что
регЛ ^регЛ[1, ..., k\ 1, . ..&] per Л(а, ..., k | 1, ..., k). (2.12)
Покажем теперь, что
регЛ(1, ..., k\ 1, ..., k)>0. (2.13)

§2. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ 347
Обозначим через Д^+ь ..., Ап строки матрицы Л(1, ..., k | 1, ..., к).
Покажем, что эта матрица удовлетворяет условиям (2.3). Для всех 1 ^ / ^
^п — k, 1^vi<...<v/^az— k покажем, что
||4k+Vl+... + 4k+V/||^/. (2.14)
Обозначим через Л7, k + 1 ^ / ^ п, m-вектор, полученный из вектора Л7
добавлением k первых нулевых координат. Имеем
ЦЛл+v, + ... + Ak+v, || = ЦДл+v, +. •. 4- Ak+vt || + ||Л 1 + • • • 4- Ak || - k >
> \\А\ 4- ... 4- Ak + Ak+,x 4-... + Дл+vJI - *. (2.15)
Из условия (2.11) следует, что первые k координат вектора А\ + .._. + Ak
равны единице. Отсюда следует, что А\ 4- • • • 4- Ak 4- Л&+У1 + ... 4- Л^+У/ =
= А\ +... + Ak +Ak+^ + ...+/U+V/. В силу (2.3) имеем
\\А1 + ...+Ак + Ак+ч + ... + Ak+^\\ >k + l. (2.16)
Теперь условие (2.14) вытекает из соотношений (2.15) и (2.16). По
предположению индукции из (2.14) вытекает справедливость неравенства (2.13),
и теорема следует из неравенства (2.12) в силу (2.11) и (2.13).
3. Оценки перманента. Заметим, что условие (2.3) теоремы 1
оказываются достаточными не только для положительности перманента, но
позволяют также получить содержательную оценку снизу для величины
перманента 0,1-матрицы. Соответствующая теорема принадлежит Радо.
Теорема 2. Если для 0, l-матрицы А = (а,;), / = 1, ..., л; / = 1, ...
..., т, со строками А\, A<i, ..., Ап выполнены условие (2.3) и условие
\\А{\\^\\А2Н...^\\Ап1 (2.17)
то для перманента этой матрицы имеет место неравенство
min(/i,IH,||)
регЛ^ Ц (||Д||-/+1). (2.18)
£ = 1
Неравенство (2.18) докажем индукцией по п. При п = 1 оно сводится
к очевидному неравенству per Л = ||>4i|| и, значит, верно.
Будем предполагать, что неравенство (2.18) справедливо для любой
матрицы, содержащей п — 1 строк, если для нее выполнено условие (2.3).
Рассмотрим такие же два случая, как и при доказательстве теоремы 1.
Случай 1. Для матрицы А выполнено условие (2.4). Это
означает, что условие (2.3) справедливо для любой подматрицы, полученной из А

348
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
вычеркиванием произвольных строки и столбца. Разложим перманент
матрицы А по первой строке. Имеем
регЛ = J2 РегА<<1 I/)' (219)
где А(\ | /') — матрица, полученная из А вычеркиванием первой строки
и /-го столбца. Для этой матрицы выполнено условие (2.3). Обозначим
через А'2, А'ъ, ..., А'п строки матрицы А(\ | /') при некотором у, 1 ^ / ^ т.
Так как вектор А'^ получается из вектора Av, 2 ^ v ^ п, вычеркиванием /-й
координаты, то, не ограничивая общности, можно считать, что
1И2К1ИзК---^1КН- (2.20)
Это условие может оказаться невыполненным, если ||ЛМ|| = ||ЛУ||, \i ^ v,
а \\А^\\ = ||Л^|| + 1. В этом случае перестановкой строк, не меняющей per Л,
можно придать им должную нумерацию.
Используя условие (2.20), применим к оценке регЛ(1 | /')
предположение индукции. Имеем
тт(л-1,|И5||)
регЛ(1 |у) ^ J] (||^+1||-v+l). (2.21)
v=l
Так как ||Л^|| ^ ||ЛУ|| — 1, то, подставляя в правую часть неравенства (2.21)
А^ вместо А'^ и проводя замену индексов / = v + 1, получаем оценку, не
зависящую от /':
min(rt,||/42||)
регЛ(1 |/)^ J] (ЦД-Ц-/+1).
/=2
Усиливая это неравенство заменой в верхнем пределе ЦЛгЦ на \\А\\\ и
подставляя полученную оценку в (2.19), получаем
т1п(л,|И, ||)
peb4^i|l J] (ЦД-Ц-/+1).
/=2
Эта оценка совпадает с оценкой (2.18).
Случай 2. Не ограничивая общности, считаем, что для матрицы А
выполнено условие (2.9). Так как \\А\\\ ^ ЦЛгН ^ . •. ^ ||Л^|| и подматрица
Л', имеющая строки Ль Лг, ..., Л^, удовлетворяет условию (2.3), то
тт(Л,|И,||)
регЛ^регЛ'^ Ц (ЦЛ/Ц -/+1). (2.22)

§2. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
349
Так как \\А \ || ^ k ^ п — 1, то
тт(кЛ\А\\\) = \\Ах\\=тт(пч\\Ах\\У
С учетом этого равенства из неравенства (2.22) следует оценка (2.18).
Теорема доказана.
Следствие. Если для 0,1-матрицы А, имеющей строки Ль
Лг, ..., Ап и т столбцов, п ^т, выполнено условие (2.3) и
d=\\Al\\^\\A2\\^...^\\An\\, (2.23)
то
d\, d^n,
(d)n, d^n.
per^{^; :::' (2.24)
Применим неравенство (2.18). В первом случае имеем т\п(п, \\A\\\) =
= d ^п. Поэтому
perA^f[(d-i + l) = d\.
Во втором случае имеем гтп(я, \\А\ ||) = п ^ d = \\А\ ||. Поэтому получаем
п
per4^J](d-i + l) = (</)„.
£ = 1
4. Неотрицательные матрицы. Прямоугольную матрицу А(ац), i =
= 1, ..., п; j = 1, ..., т, элементы которой являются действительными
числами, будем называть неотрицательной и обозначать Л ^ О, если
ац^ 0, / = 1, ..., п; j = 1, ..., т. Матрица Л называется
положительной, что обозначается Л > 0, если ац > О, / = 1, ..., п; j = 1, ..., т.
Критерий положительности перманента 0,1-матрицы, составляющий
содержание теоремы 1, можно распространить на случай произвольной
неотрицательной матрицы с числовыми элементами. Рассмотрим неотрицательную
матрицу Л = (ац), / = 1, ..., п; j = 1, ..., т, ац ^ 0. Решеткой матрицы Л
назовем 0,1 -матрицу Л = (ац), i = 1, ..., п\ j = 1, ..., т, такую, что
ац > 0,
uii = {o,
ац = 0.
Очевидно, что per Л > 0 тогда и только тогда, когда per Л > 0, так как per Л
и per Л имеют положительные диагональные произведения, отмеченные
одними и теми же индексами. Отсюда следует
Теорема 3. Если А — 0, l-матрица размера пх т со строками
А\, ..., Ап, являющаяся решеткой неотрицательной матрицы Л, то
per Л > 0 тогда и только тогда, когда для всех 1 ^ k ^ п, 1 ^ i\ < ...
... < ik ^ m, выполнены условия
\\Ait+...+Ak\\>k. (2.25)

350
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
Эту теорему будем называть критерием положительности
перманента неотрицательной матрицы. Используя критерий положительности
перманента неотрицательной матрицы, можно получить критерий
равенства нулю перманента такой матрицы.
Теорема 4. Пусть А — неотрицательная п х т-матрица, п ^
^ т. Для того, чтобы перманент матрицы А был равен нулю,
необходимо и достаточно существование k х (т — k + \)-подматрицы
матрицы А, 1 ^ k ^ п, имеющей только нулевые элементы.
Сначала рассмотрим случай, когда т = п. Пусть матрица А = (ац),
/, j = 1, ..., п, ац ^ 0, имеет строки Ль ..., Ап. Из условия per Л = 0
следует существование таких 1 ^ i\ < ... < /^ ^ п, 1 ^ k ^ п, что для строк
А\, ..., Ап решетки
\\Ail+...+Aik\\<k. (2.26)
Это означает, что у вектора Л/, +.. .+Л;А имеются по крайней мере n — k+ 1
нулевых координат. Отсюда следует, что нулевыми являются те же п — k + 1
координат и у векторов Л,,, ..., ДА, т.е. матрица А имеет нулевую k х
х (п — k + 1)-подматрицу
Обратно, если имеется нулевая подматрица k х (п — k + 1),
расположенная в строках с номерами i\, ..., 4, то у вектора Л/, + • • • 4- Alk
имеются по крайней мере п — k + 1 нулевых координат, т. е. ||Л/, + ... + Л£-А || < k.
Для случая т = п теорема доказана.
Рассмотрим теперь случай п х m-матрицы Л, когда п < т.
Рассмотрим т х m-матрицу В = I I, где С есть (т- п) х m-матрица, все
элементы которой равны 1. Условие регВ = 0 выполняется тогда и только
тогда, когда матрица В, а следовательно, и матрица Л содержит нулевую
kx (m- k+ 1)-подматрицу Выбирая а = {п + 1, ..., т} и применяя
разложение Лапласа для per В, имеем
per В = (т-п)\ ^ perВ(п + 1, ..., т |р).
Заметим, что
Y^ регЯ(л + 1, ...,m|p)= ^ регЛ(-|Р) = регЛ.
т — п,т
Таким образом,
per В = (т-п)\ per Л. (2.27)
Отсюда следует, что per В = 0 тогда и только тогда, когда per Л = 0, и,
значит, теорема доказана и при п <т.

§2. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
351
5. Трансверсали. Пусть X—конечное множество и (Х\, Х<±, ..., Хп) —
семейство его непустых подмножеств, которое может содержать и
совпадающие подмножества. Иными словами, семейство — это я-вектор,
координаты которого принимают значения из булеана 2*, за исключением
пустого множества. Трансверсалью семейства (Х\, X<i, ..., Хп) будем
называть я-вектор (jci , JC2, •. •, хп) такой, что xt e Xi, i = 1, ..., я, хь Ф xj при
1ф\. Трансверсаль (х\, x<i, ..., хп) иногда называют системой
различных представителей семейства (Х\, X2, ..., Хп). Сформулируем
критерий существования трансверсали семейства подмножеств, принадлежащий
Ф. Холлу.
Теорема 5. Для существования трансверсали (х\, х<±, ..., хп)
семейства подмножеств (Х\, Х<±, ..., Хп) множества X необходимо
и достаточно, чтобы для всех 1 ^ i\ < i<i < ... < ik ^ n\ 1 ^ k ^ п,
выполнялись 2п - 1 неравенств
\Xil\JXi2\J...UXk\>k. (2.28)
Доказательство критерия Ф. Холла опирается на критерий
положительности перманента 0,1-матрицы, сформулированный в теореме 1.
Семейству (Х\, X<i, .. •, Хп) подмножеств множества X = {х\, х<±, ..., хт}
поставим в соответствие 0,1 -матрицу А = (ац), / = 1, ..., п, j = 1, ..., m, где
_/1, цеЪ,
^-\0, x,iXi.
Матрицу А будем называть матрицей инцидентности семейства
(Xi, Хг, ..., Хя). Если (xh, xh, ..., xJn) является трансверсалью
семейства (Х\, Х2, ..., Хп), то в матрице инцидентности существует диагональ
(01/м ^2/2» • • •» anjn) такая, что a\-hd2j2 • • -ащп = 1. Очевидно, верно и
обратное. Таким образом, каждой трансверсали семейства (Х\, X<i, ..., Хп)
в соответствующей матрице инцидентности ставится в соответствие
диагональ с положительным произведением. Значит, если R(X\, X2, ..., Хп) —
число трансверсалей семейства (Х\, X<i, ..., Хп), то
R(XuX2,...,Xn) = perA. (2.29)
Отсюда следует, что трансверсаль семейства (Х\, Х2, •. •, Хп) существует
тогда и только тогда, когда для соответствующей матрицы инцидентности
выполнено условие регЛ > 0. Согласно теореме 1 это условие имеет место
тогда и только тогда, когда для всех 1 ^ i\ < /2 < • • • < ik ^ я, 1 ^ й ^ я,
выполнены неравенства \\Ац + А-Ь1 + •. • 4- A-lk || ^ k. Ясно, что норма
вектора Л/, + Ai2 + ... 4- Aik равна \Хц U X,-2 U ... U Л^ |. Отсюда следует
теорема.

352
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
Из условия (2.29) и теоремы 2 вытекает формула для оценки снизу
числа трансверсалей семейства (Х\, Х2, .. •, Хп):
тт{п,\Х\)
R(XuX2,...,Xn)> J] (|*;|-/+1), (2.30)
/=1
в предположении, что подмножества семейства упорядочены в
соответствии с условием |Xi| ^ \Х2\ ^ ... ^ \Хп\. Если к этому условию
добавлено неравенство \Х\ | ^ of, то из следствия теоремы 2 получаем оценки
М. Холла:
Г of!, d^n,
R(XuX2,...,Xn)2{' " (2.31)
t (d)n, d^n.
6. Латинские прямоугольники и квадраты. Матрицу J%m = (1ц),
i = 1, ..., k\ j = 1, ..., m, будем называть латинским k x т-прямо-
угольником, если ее строки ^т\ • • •, ^k) представляют собой
перестановки элементов 1, 2, ..., т, а каждый из столбцов не содержит
повторяющихся элементов. Латинский т х m-прямоугольник называется
латинским квадратом порядка т и обозначается 5£т. Очевидно, что и
столбцы латинского квадрата 5£т представляют собой перестановки
элементов 1, 2, ..., т.
Сформулируем и докажем теорему М. Холла, которую будем называть
критерием существования латинского прямоугольника.
Теорема 6. Для любого латинского kxm-прямоугольника %?km
существует перестановка элементов 1,2, ..., т, присоединение ко-
mopoUK&km дает латинский (k + 1) х т-прямоугольник J£k+\,m-
Число способов присоединения не меньше (т — k)\.
Обозначим через Qj множество элементов, принадлежащих /-му
столбцу «iffcW, / = 1, ..., m, и положим Qj■> = {1, 2, ..., т} \ Qj, j = 1, ...
..., т. Покажем, что семейство (Q\, Q2, .. •, Qm) удовлетворяет
критерию существования трансверсали. Возьмем фиксированный элемент \i e
е {1, 2, ..., т). Из свойств %?km следует, что [i встречается ровно k раз
среди множеств Q\j_Q2j_. .., Qm^ а следовательно, ровно т - k раз
среди их дополнений Q\, Q2, ..., Qm. Отсюда следует, что элемент \i
среди множеств QVl, ..., QV/, 1 ^ vi < ... < v/ ^ m, 1 ^ / ^ m, встречается
не более т — k раз. Так как общее число элементов во всей
совокупности множеств QVl, ..., QV/ с учетом их повторений равно (т — k)l, то
число_различных_ элементов в <?V| U ... U Q^ не менее /. Отсюда следует,
что |QVl U ... U <?V/| ^ /, т. е. для семейства Q\, ..., Qm существует транс-
версаль (г\, г2, ..., гт), представляющая собой перестановку элементов
1,2, ...,т.

§3. НЕРАЗЛОЖИМЫЕ И ВПОЛНЕ НЕРАЗЛОЖИМЫЕ МАТРИЦЫ 353
Рассмотрим теперь к + 1 строк J2#\ ..., ^\ -£fjf+1), где -£fjf+1) =
= (П, Г2, ..., гт). Они образуют латинский (й + 1) х т-прямоугольник,
так как /)■ £ <?/, <?/ П <?/ = 0, / = 1, ..., т, и, следовательно, в его столбцах
нет повторяющихся элементов.
Из неравенства |Q7| = m — k ^ m следует, что для оценки снизу
числа трансверсалей R(Q\, ..., Qm) следует применять первое из
неравенств (2.31). Таким образом, число способов присоединения т-переста-
новки к латинскому прямоугольнику S^kjn Для получения латинского
прямоугольника J%+i,m, равное R(Q\, ..., Qm), оценивается следующим
образом: _ _
R(Qu...iQm)>{m-k)\. (2.32)
Следствие. Если L(k, т) — число латинских k x т-прямоуголь-
ников и L(m) — число латинских квадратов порядка т, то
k-\
L(k,m)^Y[(m-j)U й = 1,2, ...,m, (2.33)
т
L(m)^Y[kl (2.34)
k=\
Неравенство (2.33) доказывается индукцией по k. Очевидно, что
k-\
L(l, m) = т\. Допустим, что L(k, т) ^ П (т - /)!. Из теоремы 6 следует,
_ J=° _ _
что L(k + 1, т) = L(k, т) • R(Q\, ..., Qm). Оценивая снизу R(Q\, ..., Qm)
с помощью неравенства (2.32), убеждаемся в справедливости оценки (2.33).
Неравенство (2.34) получается из (2.33) при k = т.
§3. Неразложимые и вполне неразложимые матрицы
1. Неразложимые матрицы. Неотрицательная матрица А называется
разложимой, если существует такая подстановочная матрица П, что
плг' = (2 £). (3.1)
где В и D — квадратные матрицы, а 0 — матрица, состоящая из нулевых
элементов, называемая нулевой матрицей. Если матрица не является
разложимой, то она называется неразложимой.
Если А есть п х я-матрица, соответствующая некоторому
линейному преобразованию я-мерного пространства R с базисом е\,в2, • -, еп,
то матрица ПЛП-1 соответствует тому же линейному преобразованию, но
с переставленными базисными векторами еу,, е/2, ..., е1п.
Подпространство R' с R называется инвариантным относительно линейного преобра-

354
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
зования Л, если AR' С R'. Матрица А является разложимой тогда и только
тогда, когда соответствующее ей преобразование я-мерного векторного
пространства R имеет й-мерное инвариантное подпространство, причем
k < п. Рассмотрим k-ю степень неотрицательной п х я-матрицы А: Ак =
= (a\j ), /, j = 1, ..., п. Если матрица А ^ 0 неразложима, то для любой
пары индексов 1 ^ /, / ^ п существует такое целое число k, что а\}) > 0.
Характер собственных значений и собственных векторов
неразложимой матрицы описывается следующей теоремой Фробениуса.
Теорема 1. Неразложимая неотрицательная матрица А
всегда имеет положительное собственное значение Хо, являющееся
простым корнем характеристического уравнения этой матрицы.
Этому собственному значению соответствует положительный
собственный вектор х. Модули всех других собственных значений
не превосходят Хо.
Если имеется h— 1 собственных значений Xi, ...,\ь-\, таких, что
Хо = |Xi| = ... = |X/j_i|, то все они являются корнями уравнения \h = Xq.
При h > 1 существует такая подстановочная матрица П, что
\
ПЛП"1 =
(°
0
0
\Ah\
А\2
0
0
0
0 .
^23 •
0 .
0 .
0
0
• Ah_\h
0
(3.2)
где А12, ...,Ан\ —квадратные матрицы, а по главной диагонали стоят
квадратные нулевые матрицы.
Неразложимая матрица А ^ 0 называется примитивной, если
существует такое k ^ 1, что Ak > 0. Если Хо, Xi, ..., X^_i — собственные
значения матрицы А с максимальным модулем, то для примитивной матрицы
h = 1. В случае h > 1 неразложимая матрица А называется имприми-
тивной.
Теорема 2. Если неотрицательная п х п-матрица А
неразложима и I — единичная матрица, то матрица А + I примитивна,
причем
(Л + /)"-1 >0. (3.3)
Обозначим через Jo(x) число нулевых координат вектора х. Для
доказательства теоремы достаточно показать, что для любого вектор-столбца
х ^ 0 (х ф 0) справедливо равенство Jo((A + I)n~lx) = 0, что эквивалентно
неравенству (А + Г)п~хх > 0.
Для установления этого неравенства достаточно показать, что
Jo((A + I)x) < Jo(x). Допустим, что Jo((A + I)x) = Jo(x). Тогда из равенства
у = х + Ах следует, что векторы х и у имеют одни и те же нулевые коор-

§3. НЕРАЗЛОЖИМЫЕ И ВПОЛНЕ НЕРАЗЛОЖИМЫЕ МАТРИЦЫ 355
динаты. Перенумерацией координат вектор-столбцы х и у можно привести
к виду
-О- '-0- ">»• °>°-
где векторы и wv имеют одну и ту же размерность /. Запишем матрицу А
в виде А = I лп л12 ), где Ли есть / х /-матрица. Тогда из равенства
(о) + у*21 А22) \о) = (о)
следует, что А2\и = О, и > 0. Отсюда А2\ = (0), что противоречит
неразложимости матрицы А.
2. Вполне неразложимые матрицы. Неотрицательная матрица А
называется частично разложимой, если существуют такие подстановочные
матрицы П и Пь что
п^п' = (о о)- (34)
где В и D — квадратные матрицы, а 0 — нулевая матрица. Ясно, что
матрица А частично разложима тогда и только тогда, когда она содержит
нулевую s х (п - s)-подматрицу, 1 ^ 5 ^ п - 1. Если неотрицательная
матрица А не является частично разложимой, то она называется вполне
неразложимой. Рассмотрим некоторые свойства вполне неразложимых матриц.
Свойство 1. Неотрицательная матрица А вполне
неразложима тогда и только тогда, когда для любой ее нулевой
подматрицы рх q, I ^ p, q^n- I, имеет место неравенство
p + q <п. (3.5)
Действительно, наличие обратного неравенства p + q^n означает
наличие нулевой подматрицы р х (п - р), 1 ^ р ^ п - 1, что может быть
тогда и только тогда, когда матрица А частично разложима. Фактически
перефразировкой свойства 1 является следующее свойство.
Свойство 2. Неотрицательная матрица A = (aij), i, /'= 1, 2, ...
..., п, вполне неразложима тогда и только тогда, когда для любого
непустого множества X с N = {1, 2, ..., п} выполнены условия
(Jr.
i€X
>1*|,
teN
где Г[ = {/': ац > 0, 1 ^ / ^ п}, 1 ^ / ^ п.
Для произвольной неотрицательной матрицы А рассмотрим величину
р = Р(Л) = max(p + q), где максимум берется по всем р и q,
определяющим размеры нулевых подматриц р х q матрицы А, 1 ^ р, q ^ п — 1. Для

356
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
удобства положим
*»-{? *:Т
где (0) — нулевая матрица.
Из свойства 1 сразу вытекает следующее свойство.
Свойство 3. Неотрицательная матрица А вполне
неразложима тогда и только тогда, когда
Р(А) < п. (3.8)
Строки и столбцы некоторой матрицы будем называть в совокупности
линиями. Будем говорить, что заданное множество линий неотрицательной
матрицы А покрывает некоторые фиксированные положительные
элементы матрицы, если эти элементы принадлежат указанному множеству
линий. Совокупность линий образует покрытие неотрицательной
матрицы Л, если она покрывает все ее положительные элементы. Покрытие,
содержащее минимальное число линий, называется минимальным.
Покрытие, в которое входят как строки, так и столбцы, называется смешанным.
Если в неотрицательной матрице А максимальная нулевая подматрица,
определяющая значение р(А), имеет размер р х q,\ ^ p,q ^п- 1, то /т — р
строк и п - q столбцов, не пересекающих нулевую подматрицу, образуют
смешанное минимальное покрытие.
Итак, если г us — соответственно числа строк и столбцов в смешанном
минимальном покрытии и у = ч(А) = г + s, то
р(А) + у(А)=2п. (3.9)
Величину
а = а(Л) = у (А) - п (3.10)
назовем индексом смешанного минимального покрытия. Так как
а(Л) = п - р(Л), (3.11)
то в соответствии с (3.7) положим
х ' \п, А>0.
(3.12)
Свойство 4. Неотрицательная матрица А вполне
неразложима тогда и только тогда, когда
а(А)^ 1. (3.13)
Справедливость свойства следует из (3.11) и свойства 3.

§3. НЕРАЗЛОЖИМЫЕ И ВПОЛНЕ НЕРАЗЛОЖИМЫЕ МАТРИЦЫ 357
Свойство 5. Если I — единичная матрица и А —
неотрицательная матрица, то матрица А + I вполне неразложима тогда
и только тогда, когда матрица А неразложима.
Пусть п х я-матрица А неразложима. При п = \ Л + / > 0 и,
следовательно, ol(A + Г) = 1, т. е. матрица А + / вполне неразложима. Допустим
теперь, что при п > 1 матрица А + / частично разложима, т. е. а(Л + /) ^ 0.
Любое минимальное смешанное покрытие А + / является смешанным
минимальным покрытием для /; следовательно, из условий у(А + Г) ^ у(1),
у(1) = п и равенства (3.10) вытекает, что а(Л + Г) = 0, |3(Л + Г) = п.
Будем рассматривать минимальное смешанное покрытие А + /,
являющееся одновременно и минимальным смешанным покрытием для /. Пусть
в этом покрытии номера строк и столбцов представляют собой множества
X = {h, h, • • •, h}, У = {/1, /2, • ••,/$}' г + 5 = я. Тогда /? х ^-подматрица
матрицы А, р = п- r,q = n- s, стоящая на пересечении строк и столбцов
с номерами из N \ X и N \ У, N = {1, 2, ..., п}, является нулевой. В силу
минимальности покрытия имеем X CiY = 0, XL)Y = N. Рассмотрим
подстановку
д /1 2 ... г г+1 г + 2 ... п\ (ЗИ)
\1\ 12 ... lr J\ 12 --• Is) V '
Ясно, что матрица ЩА + /)П-1 имеет вид I I, где В и D —
квадратные неотрицательные матрицы, а 0— нулевая р х ^-матрица. Отсюда
следует, что 1Ь4П-1 = I ,I, где Bf и D' — квадратные, а 0 — нулевая
р х ^-матрица, т.е. матрица А разложима. Получили противоречие.
Пусть теперь A + I вполне неразложима, т. е. а(Л + /) ^ 1. Допустим,
что А — разложимая матрица. Тогда существует подстановочная
матрица П такая, что ПЛП-1 = I ), где В и D — квадратные матрицы,
а 0 — нулевая матрица. Отсюда
п-'(л + /)п=(б0' £),
где В' и ГУ — квадратные матрицы, а 0 — нулевая матрица. Таким образом,
(8(Л + /) = п, т. е. а(Л + /) = 0. Получили противоречие.
Свойство 6. Если неотрицательная матрица А вполне
неразложима, то матрица А + В также вполне неразложима для любой
неотрицательной матрицы В.
Справедливость свойства сразу следует из очевидных неравенств
а(Л +В)^а(Л) ^ 1.
(3.15)

358
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
Свойство 7. Если неотрицательные п х п-матрицы А и В
вполне неразложимы, то матрицы АВ и ВА также вполне
неразложимы.
Обозначим через А\, ..., Ап строки матрицы А, а через
столбцы матрицы В. Допустим, что матрица АВ частично разложима.
Тогда, не ограничивая общности, можно считать, что для скалярных
произведений (Л/, В^) векторов А[ и В® справедливы равенства
(Ai,B{j))=0, 5+1<£</1, U/45. (3.16)
Если столбцы В(1), ..., S(s) имеют п - k координат, равных
одновременно нулю, то в строках As+\, ...,An должно быть k координат,
одновременно равных нулю. Так как матрицы А и В вполне неразложимы,
то должны быть одновременно выполнены неравенства s + п - k < п,
п — s + k < п. Эти неравенства противоречивы. Следовательно,
матрица А В вполне неразложима. Вполне неразложимость В А доказывается
точно так же.
Свойство 8. Если неотрицательная матрица А вполне
неразложима, то она примитивна.
Действительно, если матрица А вполне неразложима, то она
неразложима, и, следовательно, существует матрица П такая, что 1Ъ4П-1
имеет вид (3.2). Если h > 1, то циклической перестановкой столбцов
матрицу (3.2) можно привести к виду diag(/l 12, Л23, • • •, А^\), что и противоречит
вполне неразложимости А. Следовательно, h = 1, и матрица А
примитивна. Заметим, что из свойства примитивности, вообще говоря, не следует ее
вполне неразложимость. Так, матрица
О 1 о\
рО?, /?>0, q>0, p + q=l,
Я 0 р)
примитивна, но не является вполне неразложимой.
Свойство 9. Неотрицательная п х п-матрица А вполне
неразложима тогда и только тогда, когда для всех i и j, 1 ^ /, / ^ п,
регЛ(*|/)>0. (3.17)
Действительно, условие регЛ(/1 /') = 0 может быть выполнено только
при наличии нулевой k х (п — k) -подматрицы, 1 ^ k ^ п — 1, что
эквивалентно частичной разложимости матрицы А.
Пусть элементы a\h, .. .an-ln матрицы А = (а,/), /, / = 1, ..., п,
образуют диагональ этой матрицы. Для матрицы А ^ 0 диагональ
называется положительной, если а1и > О, 1 ^ / ^ п. Свойство 9 состоит в том,

§3. НЕРАЗЛОЖИМЫЕ И ВПОЛНЕ НЕРАЗЛОЖИМЫЕ МАТРИЦЫ 359
(А]
U
S,
А2
0
в2
°1
Вг-\
Аг )
что любой положительный элемент вполне неразложимой
неотрицательной матрицы принадлежит положительной диагонали.
Свойство 10. Если неотрицательная матрица А вполне
неразложима, то
Ап~х >0. (3.18)
Так как per Л > 0, то существует такая подстановка s, что А = аП(В + /),
где В ^ 0 неразложима, П = (&5(/у), 0 < а < min а^ц). Для вектор-столбца
х ^ 0 из равенств Jo(Ax) = /о[ЩВ + I)x] = Jo[(B + Г)х] и доказательства
теоремы 2 следует, что Jo(Ax) < Jo(x), т. е. Jo(An~lx) = 0.
Свойство И. Если А[ — неотрицательные вполне
неразложимые матрицы щ х щ и Вь — неотрицательные ненулевые матрицы
(i = 1, 2, ..., г), то матрица
(3.19)
является вполне неразложимой.
Допустим, что матрица А частично разложима и A[i\, ..., is | /ь ...
..., jn-s] = 0 есть нулевая s х (п — s) подматрица, 1 ^ 5 ^ п — 1. Пусть
Sj строк с номерами из {i\, ..., is} и tj столбцов с номерами из {/i, ...
..., jn-s} пересекают подматрицу Л/, 1 ^ / ^ г. Тогда s\ + ... + sr = s^ l,
t\ + ... + tr = t ^ 1, t = n — s, и, следовательно, существуют по крайней
мере одно 5/^1 и одно tj ^ 1. Рассмотрим первый случай, когда Sj ^ 1
и tj ^ 1, т. е. вполне неразложимая матрица Aj содержит нулевую
подматрицу Sj х tj. В этом случае Sj + /у < щ и, следовательно,
г г
П = S + / = ^(Sfc + /*) < ^Пк = П.
k=\ k=\
Это противоречие исключает возможность использования данного
случая. Таким образом, для всех 1 ^ / ^ г либо Sj = 0, tj = щ, либо Sj = щ,
tj = 0. Следовательно, матрица Л7, 1 ^ / ^ г, не содержит нулевую
подматрицу, являющуюся частью A[i\, ..., is | /i, ..., jn-s]- Так как не все Sj
и не все tj, 1 ^/' ^ г, равны нулю, то существует такое k, что Sk = nk,
tk+\ =nk+\, где сложение в индексах ведется по модулю г. Таким
образом, матрица В#, лежащая на пересечении Sk строк из {i\,...,is}
и tk+\ столбцов из {/1, ...,/„_$}, является нулевой. Получено
противоречие.

360
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
Свойство 12. Если п х п-матрица А ^ 0 частично
разложима, то существуют такие подстановочные матрицы ПиЩ, что
(А\ В\\ В\2 ••• В\г\
А2 #23 *•• В2г
л3 ... в3г
ПЛП! =
о
(3.20)
где матрицы А\, А2, ..., Аг вполне неразложимы.
Доказательство следует из возможности разложения диагональных
блоков частично разложимой матрицы до тех пор, пока разложение не
будет доведено до вполне неразложимых блоков.
3. Стохастические матрицы. Неотрицательная матрица Р = (рц),
п
i, j = 1,2, ..., п, называется стохастической, если £р/7- = 1, / = 1, ...
..., п. Неотрицательная матрица является стохастической тогда и только
тогда, когда она имеет максимальное собственное значение Хо = 1 и ему
соответствует собственный вектор х = (1, 1, ..., 1). Стохастическая
матрица Р = (pij), i, j = 1,2, ..., п, называется дважды стохастической, если
п
X) Pij = 1, / = 1, • • •, п. Если дважды стохастическая матрица примитив-
i=\
на, т.е. имеет единственное максимальное собственное значение Хо = 1,
отвечающее собственному вектору х= (1, 1, ..., 1), то
lim Pk=Jn,
k—>оо
(3.21)
где Jn есть п х я-матрица, у которой все элементы равны 1/п. Множество
всех дважды стохастических п х я-матриц обозначим через VLn.
Рассмотрим некоторые свойства дважды стохастических матриц.
Будем говорить, что матрица А представима в виде прямой суммы
матриц А\, А2, ..., Аг, и записывать
А =АХ ®A2®...®Ar = (l\ag(Al, A2, ..., Аг), (3.22)
если
/л,
А =
о
\
о
(3.23)
ArJ
где вне матриц А \
Свойство
А2, ..., Аг стоят нулевые элементы.
1. Если А есть частично разложимая дважды
стохастическая п х п-матрица, то существуют такие подстановоч-

§3. НЕРАЗЛОЖИМЫЕ И ВПОЛНЕ НЕРАЗЛОЖИМЫЕ МАТРИЦЫ 361
ные матрицы П и Щ, «/то
ПЛП, =Л,еЛ2, (3.24)
где матрицы А\ и А2— дважды стохастические, порядков kx k
и (п- k) x (n- k) соответственно, 1 ^k^n- 1.
Из частичной разложимости А следует существование таких
подстановочных матриц ПиПь что
1Ш1, = (Л0' I), (3.25)
где А1 и А2 — квадратные матрицы kxkw(n — k)x(n — k)
соответственно, а О— нулевая матрица. Из условия дважды стохастичности А вытекает,
что если а(А) — сумма всех элементов матрицы А, то а(А) = a(IL4lIi) =
= а(А\) + а(А2) + о(С) =п. Так кака^) = k, а(А2) = п - k, то а(С) = 0.
Следовательно, С — нулевая матрица.
Свойство 2. Если А есть дважды стохастическая п х п-мат-
рица, то существуют такие подстановочные матрицы П и И\, что
плп! = A i е А2 е... е аг, (3.26)
где А[ есть вполне неразложимая щ х щ-матрица и п\ + п2 + ...
... + пг = п, г^ 1.
Свойство 2 является следствие свойства 12 частично разложимых
матриц и свойства 1 дважды стохастических матриц.
Разложение (3.26) для матрицы А будем называть каноническим,
а подматрицы А\, А2, ..., Аг в этом разложении — компонентами
канонического разложения. Если для двух п х я-матриц А и В существуют
подстановочные матрицы ПиПь такие, что В = ЛАЛ\, то будем
использовать следующее обозначение:
А=В.
Теперь каноническое разложение (3.26) матрицы А можно записать
следующим образом:
А = А\ фА2ф ...фАг. (3.27)
Каноническое разложение матрицы А оказывается единственным с
точностью до перестановки строк и столбцов этой матрицы.
Свойство 3. Если для дважды стохастической матрицы А =
= (ац) имеются два канонических разложения
А = А{еА2е...еАг,
A=B{eB2e...eBt,

362
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
где А[ и Bj являются вполне неразложимыми матрицами
соответственно mi х mi и tij х tij, 1 ^ / ^ г; 1 ^ / ^ t, то t = г и существует
такая подстановка s степени г, что щ = т8ц) и Bt = As^, 1 ^ / ^ г.
Обозначим через L; и Afy множества номеров строк соответственно
подматриц А[ и Bj в матрице А, 1 ^ / ^ г; 1 ^ / ^ t. Для
доказательства свойства 3 достаточно показать, что разбиения N = L\ U ... U Lr
и N = М\ U ... U Mt, N = {1, 2, ..., п}, совпадают. Для этого
достаточно установить, что если L; П Mj ф 0, то L/ = Afy, 1 ^ / ^ г, 1 ^ / ^ t.
Предположим, что L/ П Afy Ф 0 и рассмотрим подматрицы матрицы А
вида ,п
А^ = (а^), И G L„ v e Mj \ (Ц П Afy),
А® = Ы, veMiMUriMj), v€U
Л(3)=(а^), tiGLA^HAfy), vG%
Л(4) = (аЦу), [i е М1ч v G Ц \ (Li П Afy).
Так как матрицы A-t и Bk—дважды стохастические, то о(А^)=а(А^)=0 и
а(Л^) = а(5(4)) =0. Отсюда следует, что А{ = А^фА^, fly=Л<5> ОА<?\ где
А®=(а^), ii,v€Lf-\(L/nAfy),
4(6)=(a^v), ц, v € Lf-П Afy,
А^=(а^), [i,veMj\(LinMj).
Это противоречит вполне неразложимости компонент Д и By.
Свойство 4. Перманент дважды стохастической матрицы
положителен.
Пусть А — дважды стохастическая матрица. Допустим, что per Л = 0.
Тогда существует нулевая k х (п - k + 1)-подматрица, 1 ^ k ^ п - 1, и,
следовательно, матрица А частично разложима. Таким образом,
существуют такие подстановочные матрицы ПиПь что IL4lIi имеет вид (3.24), где
А\ и ^2 — соответственно k x k- и (п — k+ \) x (n — k + 1)-матрицы. Из
условия A eiln следует, что а(А\) = k, а(А2) = п - k + 1. Отсюда
вытекает, что п + 1 = о(А\) + а(А2) = о(А), что противоречит очевидному
равенству а(А) = п. Свойство 4 означает, что любая дважды стохастическая
матрица имеет положительную диагональ.
Будем говорить, что неотрицательная матрица А имеет дважды
стохастическую решетку, если решетка А матрицы А является
одновременно решеткой и некоторой дважды стохастической матрицей. Например,
первая из решеток
'1 1 1\ /11 Г
110, 110
\ 0 1/ \0 0 1,
является дважды стохастической, а вторая не является.

§3. НЕРАЗЛОЖИМЫЕ И ВПОЛНЕ НЕРАЗЛОЖИМЫЕ МАТРИЦЫ 363
Свойство 5. Неотрицательная вполне неразложимая
матрица А = (а/у), /, / = 1, 2, ..., п, имеет дважды стохастическую
решетку.
Действительно, в силу условия регЛ(/ | /) > 0 матрица Р = (рц), / =
= 1, 2, ..., п, где
w_S!=we, ,.,_,., „, <3.зо)
имеет ту же решетку, что и матрица А, и является два>вды стохастической.
4. Декомпозиция. Докажем теперь теорему декомпозиции дважды
стохастических матриц, принадлежащую Биркгофу.
Теорема 3. Если А = (ац), i, j = 1, 2, ..., п, есть дважды
стохастическая матрица, то существуют такие подстановочные
матрицы Пь П2, ..., П5, что
S
Л = £9уПу, (3.31)
где 6i, 6г, ..., 95 — неотрицательные числа, такие, что
Равенство (3.31) определяет декомпозицию дважды стохастической
матрицы.
Теорему докажем по числу р(А), равному количеству положительных
элементов матрицы А. Если р(А) = п, то А является подстановочной
матрицей, и, следовательно, теорема верна. Будем считать, что р(А) > п, и
предположим, что теорема верна для всех матриц из Qn, имеющих число
положительных элементов р' < р(А).
Согласно свойству 4 per Л > 0 и, значит, существует диагональ
(ai7l, a2y2, •. •, anjn) такая, что aiy, • a2y2... anjn > 0. Обозначим через 5
такую подстановку, что s(i) =//, / = 1, ..., п, и положим a = min an.. Бу-
дем считать, что минимум достигается при / = [i. Ясно, что 0 < a < 1, так
как условие a = 1 означало бы, что aiy, = ... = ап]п = 1, и, следовательно,
А — подстановочная матрица, т.е. р(А) = п, что противоречит
предположению.
Рассмотрим п х я-матрицу В = (Ьц) = -} (А — аИ\), где IIi = (z-y ) —
подстановочная матрица, соответствующая подстановке s. Покажем, что
матрица В — дважды стохастическая. Имеем
Е^:
1 -а
/=1
(1)
/=1 /=1
1, /=1,

364 ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
п
Аналогично показывается, что X) Ьц = 1, у; = 1, ..., п. Так как Ь^ы = О, то
матрица В имеет больше нулевых элементов, чем матрица Л, т.е. р(В) <
< р(А). Значит, к матрице В применимо предположение индукции и В =
= ЕТ/Пу, гдеуу^О, ЕТ/=1.
/=2 /=2
Таким образом,
А = (1 - а)В + аП! = ^(1 - а)у/-П/- + alii.
/=2
Если положить 8у; = (1 - а)у/, / = 2, ..., s, 0i = а, то из этого равенства
следует справедливость теоремы.
Обозначим через Ккп множество 0,1-матриц п х п, имеющих по k
единиц в каждой строке и в каждом столбце.
Теорема 4. Если А е Л*, то существуют такие
подстановочные матрицы Пь ..., Щ, что
k
A=J2^r (3-32)
При k = 1 матрица А — подстановочная, и теорема верна. Так как
-А е VLn, то регЛ > 0 и существует положительная диагональ,
соответствующая подстановочной матрице Щ. Следовательно, В = А — Щ е Л*-1,
и, по предположению индукции
* = £п,
/=1
Отсюда следует справедливость теоремы.
5. Оценка сложности декомпозиции. Отметим, что в процессе
доказательства теоремы Биркгофа фактически был указан алгоритм,
последовательное применение которого приводит к декомпозиции дважды
стохастической матрицы вида (3.31). Пусть А — дважды стохастическая
матрица порядка п. Обозначим через А^1\ / = О, 1, ..., v(y4), матрицу, которая
получается после /-кратного применения алгоритма декомпозиции Л, где
v(y4) — число шагов в этом алгоритме, т. е. А^Л^ = (0), где (0) — нулевая
матрица, и Л(0) = А. Через р(А^) обозначим число положительных
элементов в матрице А®, а через d^ — число вполне неразложимых компонент
А® при ее каноническом разложении вида (3.27), / = 0, 1, ..., v(>4),
причем положим d = d(0).
Теорема 5. Если р(А) — число положительных элементов
в дважды стохастической п х п-матрице A,d— число вполне нераз-

§3. НЕРАЗЛОЖИМЫЕ И ВПОЛНЕ НЕРАЗЛОЖИМЫЕ МАТРИЦЫ 365
ложимых компонент в ее каноническом разложении вида (3.27), 5 =
= s(A) — наименьшее число подстановочных матриц в
декомпозиции А вида (3.31), то
s(A)^p(A)-2n + d+ 1.
(3.33)
Пусть В^~{\ Вг>~1\ ..., fif~l\ / ^ 1, — вполне неразложимые
компоненты в каноническом разложении вида (3.27) дважды стохастической
матрицы Л('_1), 1 ^ / ^ v(y4) — 1, полученной из матрицы А на (/ — 1)-м шаге
алгоритма декомпозиции. Рассмотрим сначала случай, когда после /-го
шага алгоритма декомпозиции матрица В^~ \ 1 ^ [i ^ /, переходит в
прямую сумму некоторых вполне неразложимых компонент В^{, В^, ..., В^. ,
k^ ^ 2, канонического разложения матрицы Л(/). Тогда можно записать
ВГЦ =
/*3
V
в®
3<0
чи
где * обозначены элементы, часть из которых заменяется нулями на /-м
шаге алгоритма декомпозиции. Так как матрица В^~ * вполне
неразложима, то среди элементов * имеются по крайней мере k^ положительных.
Следовательно, по крайней мере k^ положительных элементов матрицы
В^~ * заменяются нулями на /-м шаге алгоритма декомпозиции. Отсюда
вытекает неравенство
рИе-'^р^ + Е^
И=1
(3.34)
Так как в рассматриваемом случае число вполне неразложимых
компонент А® больше числа вполне неразложимых компонент Л('-1) на величину
E(*,i-l).TO
И=1 /
(fi[> = d«-{)+J2k*-l- (3-35)
Из неравенства (3.34) и равенства (3.35) находим, что
(3.36)
Рассмотрим теперь случай k^ = 1, т. е. когда ка>вдая вполне
неразложимая компонента Л(/_1) на /-м шаге алгоритма декомпозиции
переходит в единственную вполне неразложимую компоненту А®. В этом случае

366
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
rf(0 = d^l~{\ и так как после /-го шага алгоритма декомпозиции по крайней
мере один положительный элемент Л('~1) заменяется нулем, то
р(Л(/-1)) - р(Л(/)) ^ 1 =d<f"> - d(/"l) + 1. (3.37)
В общем случае, если для некоторых t значений \i имеем k^ = 1, а для
остальных I — t значений \i выполнены неравенства k^ ^ 2, 0 ^ t ^ / — 1, то
р(^-1>) - р(Л<<>) ^ d<f"> - d«~{) + / - /. (3.38)
Из неравенств (3.36)—(3.38) следует, что во всех рассматриваемых
случаях имеют место неравенства
р(Л^-1>) - Р(ЛЮ) ^ d^ - <Р-Ъ + 1, /=1,2,..., v(4) - 1, (3.39)
где v(y4) — число шагов в алгоритме декомпозиции.
Из неравенств (3.39) получаем, что
р(А) - р(Л<у<л>-1)) ^ d(AA)-D _d + v(y4) _ ! (з.40)
Так как на (v(A) — 1)-м шаге алгоритма декомпозиции y4(v(>4)~l) = 9П, где
П — подстановочная матрица, 0 < 9 < 1, то
p(A^A)-^) = d^A)-{)=n. (3.41)
Из неравенства (3.40) и равенства (3.41) вытекает, что
v(4Kp(>4)-2/i + d+l. (3.42)
Так как s(A) ^ v(>4), то из неравенства (3.42) следует оценка (3.33).
Теорема доказана.
Для числа шагов v(A) в алгоритме декомпозиции дважды
стохастической матрицы А можно указать также и очевидную оценку снизу
v(/l) ^ max {n(A), с,(А)}, (3.43)
где Г/(Л) — число положительных элементов в /-й строке, а сДЛ) — число
положительных элементов в /-м столбце матрицы.
В заключение заметим, что если дважды стохастическая матрица А
вполне неразложима и г/(Л) = Cj(A) = 2, 1 ^ /,/ ^ я, то из неравенств (3.42)
и (3.43) следует, что v(A) = 2.

§4. ОЦЕНКИ ПЕРМАНЕНТА
367
§ 4. Оценки перманента
1. Оценки для 0,1-матрицы. Получим некоторые оценки снизу для
перманента 0,1-матрицы, зависящие только от нормы ка>вдой из ее строк,
т. е. от числа единиц в каждой строке.
Теорема 1. Пусть А есть О, Х-матрица пх п со строками А\,
п
A<i, ..., Ап, \\Ai\\ = Y^ ац = п, i = \, ..., п, и {z} = max(0, z). Тогда
п
perA^Y[{n-n + i}. (4.1)
i=i
Если ||ЛЛ|| =0, то неравенство (4.1) тривиально. Предположим, что
||ЛЛ|| > 0, и, не ограничивая общности, будем считать что anj > 0, у =
= 1,2,..., \\Ап\\. Разлагая перманент А по последней строке и применяя
предположение индукции к per Л (я |/), получаем
114.11 1И«Ил-1
per Л = Y, Р<*А(п \1)>Y, П{ИЛ'11 " ач - (я - О + О-
}=\ /=i i=i
/2-1
Так как ац ^ 1, то per Л ^ ||ЛЛ|| • П {||Л;|| - п + /}. Отсюда следует нера-
i=i
венство (4.1).
Для того, чтобы оценка (4.1) была содержательной, необходимо
выполнение неравенств ||А \ || ^ п, \\Л2|| ^ п - 1, ..., ||Ап || ^ 1. Поэтому
естественно перед применение неравенства (4.1) переставить строки матрицы А
так, чтобы было выполнено условие \\А{\\ ^ ||Л2|| ^ ... ^ ||ЛЛ||.
Приведем теперь оценку сверху перманента для класса 0,1-матриц
с заданными строчными суммами.
Теорема 2. Если А = (ац) есть 0,1-матрица п х п такая, что
п
И||| = £Я|/= /7, / = 1, ..., /г, то
п
регЛ^П^!)1А'- (4-2)
/=i
При доказательстве теоремы будут использоваться две леммы.
Лемма 1. Если v\, V2, • - •, vq — неотрицательные
действительные числа, то
(0'+^ + 0«)',+-"*Ч^..#, (4-3)
причем 0° = 1.

368
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
Действительно, из выпуклости функции х\пх следует, что
/Щ +... + Цу\ | (У\ + ... +Цу\ < У\ \ПУ[ + ...+Уд\ПУд
Взяв экспоненты от обеих частей этого неравенства, приходим к
неравенству (4.3).
Лемма 2. Пусть А = (ац) есть О, {-матрица п х п и S —
множество таких подстановок s степени п, что ai,S(i)a2,s(2) • • -cin,s{n) = 1
при s eS. Тогда
П г, = гГ \ (4-4)
ses
Y[perA(i\s(i))= Y[ (регЛ(/|/))РегЛ(/1'>. (4.5)
seS j: a,j=\
Очевидно, что \S\ = регЛ, так как \S\ равно числу всех
положительных диагоналей матрицы А. Следовательно, число сомножителей в левой
части равенства (4.4) равно per Л. Отсюда следует справедливость и
самого этого равенства. Далее заметим, что для фиксированных / и у при s eS
\{s: s(i) =/, ац = 1}| = регЛ(/1 /), так как \{s: s(i) = /, ац = 1}| равно
числу положительных диагоналей матрицы Л, определяемых подстановками s,
у которых s(i) =/. Поэтому для фиксированного / имеем
ПрегЛ(/|5(0)= П П Рег^('1/')= П (регЛ(/|/))Рет^'1Л.
seS /: щ, = \ s: s{i)=j j: atj=\
Этим доказано равенство (4.5).
Доказательство теоремы 2 проведем индукцией по п. При п = 1
утверждение теоремы очевидно. Положим Vk = atk per Л (/1 k) для всех /г, таких,
что atk = 1. Применяя лемму 1 при q = r£- к оценке правой части равенства
(ч Е_ регЛ(/|/)
£ регЛ(/|/)уа'/=1
/:а,У=1 /
получаем
(регЛ)РегЛ^г,регЛ J] (регЛ(/|/))РегЛ(Ч
/: а,,= \
Применяя лемму 2, получаем
(регАГгА^ЦпрегА(1\з(1)). (4.6)
s€S
Для оценки per Л (/1 s(i)) применим предположение индукции. Ясно, что
если ak,S(i) = 1, то k-я строчная сумма матрицы A(i \ s(i)) равна г* — 1; если

§4. ОЦЕНКИ ПЕРМАНЕНТА 369
же ak,s{i) = ^' то ^"я строчная сумма равна rk. С учетом этого
обстоятельства имеем оценку
реМ(/|5(/)К П ((Гк-1)\)1/{Гк-{) П (г*!)1/г*- (4-7)
кф1 , кф1 .
Возьмем произведение по / от 1 до п от обеих частей этого неравенства
и поменяем порядок взятия произведения по / и по k. Получаем
f[perA(i\s(i))^f[( J] ((r,-l)!)l/('*-D J] (гЛ!)^У
i=i к=\ \ 1фк i^k )
При фиксированных k и s e S определим число элементов / таких, что
ak,s{i) = 0- Это число равно количеству способов выбора нулевых
элементов в k-й строке матрицы A(k | s(k)), т.е. п — г^. Число таких /, что
ak,s(i) = U равно количеству единичных элементов в k-й строке матрицы
A(k | s(k)), т.е. rk - 1. Таким образом,
п п
J]perA(i | s(i)) ^ Ц(гкУп-'М*(гк - 1)!. (4.8)
i=l k=\
Взяв произведение по / от 1 до п от обеих частей неравенства (4.6) и
используя оценку (4.8), получаем
(регА)п^л ^ П( Пг ) (f[(^{n~rk)/rk(^ ~ 1)! ).
s€5 \i=l / \Л=1 /
Отсюда следует, что
(регЛ)"Рег^П П<Г*!)Л/Г' Ь <4'9)
ses\k=\ J
Так как |5| = регЛ, то из (4.9) следует неравенство
/ п ч л per Л
(регЛГРег^Щ^!)1АЧ
эквивалентное (4.2). Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть k — делитель числа п и Akn — класс
О, l-матриц п х я, у которых число единиц в каждой строке и
каждом столбце равно k. Тогда
max per Л = (*!)"/*. (4.10)
AeAkn

370
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
Следствие 2. Если А = (ац) есть 0,1-матрица п х п такая,
п
что X) ац = ri, i= \, ..., п, то
/=1
регЛ^П(^). (4.11)
Для фиксированного г£- рассмотрим числа 1, 2, ..., г£-. Известно, что
между их средним геометрическим и средним арифметическим имеет место
соотношение (1 • 2 ... r/)ly/r' ^ (1 + 2 + ... + п)/п, эквивалентное
неравенству (г;!)1/Г/ ^ (п + 1)/2. С учетом этого неравенства оценка (4.11) следует
из оценки (4.2).
2. Оценки для вполне неразложимых матриц. Начнем с оценок для
вполне неразложимых 0,1-матриц.
Теорема 3. Если А —вполне неразложимая 0,1-матрица пх п
со строками А\, Лг, ..., Л„, ||Л/|| = г£, / = 1, ..., п, то
per Л ^ max г£. (4.12)
Аналогичное неравенство имеется и для столбцов.
Неравенство (4.12) следует из разложения per Л по /-й строке
п п
регЛ = J2 ац регЛ(/1 /) ^ ^ а/у = ЦЛ/Ц,
/=1 /=1
в силу условия регЛ(/1 /') ^ 1 для вполне неразложимой 0,1-матрицы.
Обозначим через £;/ 0,1-матрицу п х я, у которой имеется
единственная единица на пересечении /-й строки и /-го столбца.
Теорема 4. Если А = (ац) — неотрицательная вполне
неразложимая п х п-матрица, то для любых i, j
Обозначим через Л|. матрицу, полученную из Л заменой элемента а£/-
на нуль. Разлагая рег(Л + сЕц) по элементу ац + с, имеем рег(Л + сЕц) =
= per Л-7 + (ац + с) регЛ(/1 у) = регЛ + с per Л(/1 /). Отсюда следуют
неравенства (4.13).
Следствие. Если А — неотрицательная вполне неразложимая
матрица, то
perM+^£lWvJ ^регЛ + й. (4.14)

§4. ОЦЕНКИ ПЕРМАНЕНТА
371
Действительно, из теоремы 4 следует, что per (Л + £«,,/,) > per Л + 1.
Кроме того, матрица А + £;,,/, вполне неразложима. Теперь для
доказательства достаточно применить индукцию.
Неотрицательная вполне неразложимая п х «-матрица А = (а^)
называется почти разложимой, если для любого ац > О матрица А — ацЕц
является частично разложимой. Имеет место следующая теорема.
Теорема 5. Если А — почти разложимая п х п-матрица, то
существуют подстановочные матрицы П, Щ и натуральное число
г> 1 такие, что
IL4IL
(Ах
\ЕГ
Е\
А2
Еч
О
Аг-
0
Ег-\
Аг
\
)
(4.15)
где А\, ..., Аг — почти разложимые матрицы и каждая из матриц
Е\, ..., Ег содержит точно по одному положительному элементу.
Каждой почти разложимой матрице Л, согласно свойству 5 п. 3 §3
можно поставить в соответствие дважды стохастическую матрицу 5 = (s;7-),
имеющую с А одинаковую решетку. Обозначим с = Shk = min sn, для
1 ^i,Kn
Sij > 0. Так как 5 почти разложима, то матрица 5 - ShkEhk является
частично разложимой, т. е. существуют подстановочные матрицы Щ, Щ
такие, что
П2(5-5^£^)П3 =
В С
0 D
где S, D — квадратные матрицы и 0
Отсюда следует, что
П25П3 =
нулевая 5 х /-матрица, s + t ■■
В С
F D
где F есть 5 х /-матрица с единственным ненулевым элементом, равным с.
Обозначим через а(Х) сумму элементов матрицы X. Так как матрица
П25Пз — дважды стохастическая, то
п = а(П25П3) = а(В) + а(С) + <j(F) + a(D) =
= (/ - с) + о(С) +c + (s-c) = n-c + o(C).
Отсюда следует, что а(С) = с. В силу минимальности с из этого равенства
вытекает, что матрица С содержит единственный положительный элемент,
равный с.
Если матрицы В и D почти разложимы, то теорема доказана, так как
П25Пз и П2ЛПз имеют одну и ту же решетку.

372
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
Допустим, что матрицы В и D — частично разложимые. Тогда
существуют подстановочные матрицы П4 и П5 такие, что
/Ах
V
В\2 ■
А-1 ■
0
У\
■• В\р
• В2р
Ар_
АР+\
Вр+\,р+2
Ар+2
0
Y2
... Вр+\х
■ ■ ■ Bp+2j
Ar ,
где Аи i = 1, • • •, т\ — вполне неразложимые щ х я;-матрицы и
матрицы Y\ и Уг содержат точно по одному ненулевому элементу, равному с. Так
как матрица 5 является почти разложимой, то и матрицы А-ь, / = 1, ..., г,
являются почти разложимыми.
Положительный элемент матрицы Y\ должен располагаться в левом
нижнем углу на пересечении первых щ столбцов и последних пг строк.
Допустим, что это не так. Тогда первые п\ столбцов всей матрицы II4SII5
содержат нулевую (п — п\) х п\-подматрицу или последние пг строк
содержат нулевую пг х (п — пг) -подматрицу. Это означает, что матрица 5
частично разложима, что противоречит условию теоремы. Аналогично
доказывается, что положительный элемент матрицы Y<i должен лежать на
пересечении пр строк, общих с матрицей Ар, и пр+\ столбцов, общих с
матрицей Ар+\.
Из условия дважды стохастичности матрицы II4SII5 следует, что одна,
скажем /-я, столбцовая сумма матрицы А\ равна 1 — с, а остальные
равны 1. Аналогичным свойством обладают и строчные суммы. Допустим, что
это не так. Тогда существуют такие с\, c<i > 0, с\ + c<i = с, что /i-я и ^-я
п
координаты /-го столбца имеют вид alxJ - с\ и aUlJ - c<i, Y^ ац — 1- Тогда
i=\
сумма элементов /i-й и /2-й строк матрицы А\ равна 1 — С\ и 1 — с2 соот-
п п
ветственно и X) aWi — X) akj = 1- Это означает, что матрицы Bi2, ..., В\р
/=1 7=1
содержат два ненулевых элемента с\ и С2, меньшие с, что противоречит
минимальности с.
Таким образом, матрицы Bi2, ..., В\р содержат единственный
ненулевой элемент, равный с. Этот элемент принадлежит матрице В\2. Если
это не так, то матрица В\2 является нулевой и П2 столбцов, общих с
матрицей Лг, содержат нулевую (п — YI2) x ^-подматрицу, что противоречит
вполне неразложимости матрицы II4SII5.

§4. ОЦЕНКИ ПЕРМАНЕНТА
373
Аналогичным образом, используя наличие в В\2 единственного
ненулевого элемента, равного с, и минимальность с, доказывается, что в А2
имеются единственный столбец и единственная строка, сумма элементов
которых равна 1 — с. Остальные строчные и столбцовые суммы А2
равны 1. Отсюда вытекает, что S23 содержит единственный ненулевой
элемент, равный с, а матрицы В2±, • • •, В2р являются нулевыми. Продолжая
этот процесс, можем установить, что верхний ящик матрицы II4SII5 имеет
вид, указанный в теореме. Аналогичное утверждение для нижнего
ящика доказывается с использованием того факта, что матрица Y2 содержит
единственный положительный элемент, равный с.
Так как матрица II4SII5 имеет указанный в формулировке теоремы вид,
то такой же вид имеет и соответствующая ей матрица IL4IIi. Используя
теорему 5, получим оценку снизу для перманента вполне неразложимой
0,1-матрицы.
Теорема 6. Если А = (ац) — вполне неразложимая О,1 -матри-
п п
ца п х п и а(А) = X) X) аЦл то
регЛ^<т(Л)-2л+2. (4.17)
Сначала рассмотрим случай, когда матрица А почти разложима.
Доказательство будем вести индукцией по п. При п = 1 и п = 2
неравенство (4.17) превращается в равенство и является очевидным.
Предположим, что оно справедливо для всех почти разложимых k х fe-матриц, k < п.
Согласно теореме найдутся такие подстановочные матрицы П и Пь что
матрица IL4lIi имеет канонический вид (4.15), где г ^ 2 и гц х
^-матрицы А^ i = 1, ..., г, являются почти разложимыми. Осуществляя
разложение per(IL4lIi) по единственному ненулевому элементу, принадлежащему
матрице £г, и используя условие, что per(IL4lIi(/1 /')) > 0 для любых / и /',
г
имеем per Л = per(IL4IIi) ^ 1 + П РегА- Применяя предположение ин-
дукции к оценке per Л, получаем
г
per Л > 1 + Y[(a(Ai) - 2щ + 2). (4.18)
Заметим, что
Кроме того, для положительных целых чисел а\, ..., аг, г ^ 1, справедливо
неравенство
г г
J]a,>5>-(r-l), (4.20)
i=\ i=\

374
ГЛ. VII. ПЕРМАНЕНТЫ И ТРАНСВЕРСАЛИ
так как оно вытекает из очевидного неравенства (Ь\ +1)(62+1)... (6Г +1)^
^&1+62 + - • - + ЬГ+ 1, где&ь ..., Ьг — целые неотрицательные числа.
Применяя неравенство (4.20) при at = <т(Л,) — 2щ + 2, / = 1, ..., г, из
неравенства (4.18) получаем
г
per Л > £(а(Л/) - 2л,- + 2) - г + 2. (4.21)
Используя очевидные равенства
г г
<т(Л) = Y^ <*(Ai) + '. £ Ш = п>
из (4.21) окончательно получаем
per Л ^ а(А) -2п+2.
Рассмотрим теперь случай вполне неразложимой матрицы Л, которая
не является почти разложимой. Тогда существует такой элемент этой
матрицы a,ixjx = 1, что матрица А - Ei{j{ вполне неразложима. Если А - Ei{j{
не является почти разложимой, то существует такой элемент a£-2iy2 = 1
в матрице А - f^,, что матрица А - Eiujx - Ещ2 вполне неразложима.
т
Продолжая таким образом, придем к равенству А = В + Y^ ^Л' гДе мат"
рица В почти разложима. Согласно следствию теоремы 4 имеем
per Л ^регВ + га. (4.22)
Для почти разложимой матрицы В доказано, что
per Л ^ а(В) -2п+2. (4.23)
Заметим, что а(В) = а(А) — га. Поэтому из неравенств (4.22) и (4.23)
следует оценка (4.17). Теорема доказана.
ЗАДАЧИ
1. Пусть А есть вполне неразложимая 0,1-матрица п х п. Показать, что
матрицы АТА и ААТ также вполне неразложимы.
2. Матрица А размера п х п называется k-не разложимой, если регЛ(/ь ...
..., ik | /i, ..., jk) > 0 для любых ^-подмножеств {/], ..., /*} и {/i, ..., /*}
множества {1, 2, ..., п}. Показать, что если 0,1-матрица А вполне неразложима
(1-неразложима), то ААТ является 2-неразложимой.
3. Пусть Qn — множество дважды стохастических матриц п х п. Показать, что
если
per Л = min рег£, (1)
то матрица А вполне неразложима.

§4. ОЦЕНКИ ПЕРМАНЕНТА
375
4. Используя метод множителей Лагранжа, показать, что если матрица А = (ац)
определена равенством (1), ат > О, то
per А(г | s) = per A.
5. Пусть А — неотрицательная неразложимая матрица и X > 0 есть
максимальный корень ее характеристического уравнения. Показать, что
per Л ^>Л
6. Используя формулу Райзера для вычисления перманентов, вывести
тождества
"!=Е(-1)*0(п-*г,
«!Et = D-i>'0<«-/>,<"-'-1>""'-
7. Для любых положительных целых г\, г2, ..., п доказать неравенство
Используя это неравенство, показать, что если Л есть 0,1-матрица п х л, у которой
число единиц в строках равно г\, гг, ..., гя, то
регЖП^.
1=]
8. Пусть неотрицательная матрица А = (ац), i = 1, ...,«;/' = 1, ..., т\ п ^ т,
имеет строки Л], Л2, ..., Лп такие, что
m
ri = \\Ai\\ = ^2aih l </</i.
/=i
Поставим в соответствие m-вектору Л, = (а,-], а/2, . • •, а/т) Два т-вектора Л • =
= (а/|, а,-2, ..., afm) и Л* = (а,*, а,*2, ..., а*т), полученные из т-вектора Л/
перестановкой координат соответственно в невозрастающем и неубывающем порядке,
1^/^/2. Индукцией по л доказать неравенства
п i n i
1=] /•=] 1=] /■=]
9. Установить условия достижения равенства в оценке (4.12). Точнее, показать,
что для вполне неразложимой 0, 1-матрицы п х п со строками Л], Л2, ..., Ап,
удовлетворяющими условию: ||Л/|| = г/, 1 ^ / ^ п\ п ^ г2 ^ • • • ^ /л, если в
неравенстве
регЛ ^ max г,- = Г|
достигается равенство, то г2 = ... = гп = 2.

ГЛАВА VIII
СИСТЕМЫ ИНЦИДЕНТНОСТИ И БЛОК-СХЕМЫ
§ 1. Системы инцидентности
1. Определения. Рассмотрим множество X — {-^ь %2-> • • •» %v} и
положим Z = {1, 2, ..., Ь}. Будем говорить, что отображение <р: Z —> 2*, где
2х — булеан множества X, определяет систему инцидентности.
Очевидно, что каждой системе инцидентности можно поставить во взаимно
однозначное соответствие вектор (Х\, Х2, ..., Хь), компонентами которого
являются элементы булеана 2х. В дальнейшем мы не будем рассматривать
отображения ср, в которых пустое множество 0 не используется в качестве
образа. Следовательно, можем считать, что каждой системе инцидентности
ставится во взаимно однозначное соответствие семейство (Х\, Х2, ..., Хь)
непустых подмножеств множества X = {х\, х2, ..., xv}.
2. Матрицы инцидентности. Матрицей инцидентности системы
инцидентности (Х\, Х2, ..., Хь) будем называть 0,1-матрицу А = (а,у), / =
= 1, 2, ..., b\ j = 1, 2, ..., v, такую, что
а"~\о, xrfXi.
Пусть A\, А2, ..., Аь и Л(1), Л(2), ..., Л(и) — соответственно строки и
столбцы матрицы А. Норму ||*/|| вектора у = (у\,У2, • ••,#«) определим
равенством
1М1=1> О-1)
1=1
Скалярное произведение (у, z) векторов у = (у\, у2, ..., уп) и z —
= (z\, z2, ..., zn), как обычно, будем вычислять с помощью формулы
п
(y,z)=J2yiZi-
Нетрудно заметить, что
v
1И*П=1>// = №|. i=U2,...,b, (1.2)

§1. СИСТЕМЫ ИНЦИДЕНТНОСТИ
Ь
377
11^11 = 5>/ = 1{й: */£*«■■ /=1,2, ...,6}|. (1.3)
i=i
Аналогичным образом,
v
(Л,- , Ak) = Y^ahiahi = \h nxkl 1 < 'i. '2 < *. (1-4)
1=1
U/i,/2<o. (1-5)
Отметим также, что если
ЛЛТ = (оц,А), /,,12 = 1,2, .... b, (1.6)
ЛТЛ = (ру,Л), /,,/2 = 1,2, ..., v, (1.7)
где Лт — транспонированная матрица Л, то имеют место равенства
*hh = Е aWiah\ = (Ah' Ak)* 1 ^ ' 1, '2 ^ ft
(1.8)
/=i
P/../2 = !>/,«* = <л(/1)' A{h))> • </ь /2 ^ v. (1.9)
i=l
Система инцидентности с матрицей инцидентности А называется блок-
схемой, если для нее заданы числовые значения величин
HA-II, /=1,..., 6; \\А®\\, /=1, ...,у;
(А,, А2), 1 < 1Ь 12 < &; (Л^, Л<*>), U/1, /2 ^ V.
3. Квадратичная форма. Будем рассматривать элементы множества
X = {х\, Х2, ..., xv} как независимые переменные х\, x<i, ..., jcw,
принимающие действительные значения. Для матрицы инцидентности А системы
инцидентности можно записать
(\)\\ fx\\
х2
У2
\Уь/
= А
(1.10)
\XvJ
где yi = Y^ aijxj равно сумме элементов, содержащихся в Xt, i = 1, 2..., b.
Транспонируя обе части равенства (1.10) и перемножая левые и правые

378 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ ИНЦИДЕНТНОСТИ И БЛОК-СХЕМЫ
части равенства (1.10) и полученного равенства, находим
АЛ
Хо
(1.11)
W
Равенство (1.11) определяет квадратичную форму, соответствующую
системе инцидентности. Осуществляя перемножение в правой части
равенства (1.10), получаем
V
Из равенства (1.12) с учетом равенств (1.3), (1.9) и равенства j3y7- = ||Л^||
следует, что в квадратичной форме (1.11) коэффициент при xj равен \\А^ ||,
а коэффициент при х]хх-п равен 2(Л(/|), Л^).
§ 2. Блок-схемы
1. Определения и свойства. Семейство (Х\, X<i, ..., Хь) непустых
подмножеств множества X = {х\, Х2, ..., xv} называется
сбалансированной неполной блок-схемой с параметрами (6, v, r, k, X) или (6, v, r, k, X)-
конфигурацией с блоками Х\ЧХ2, .. •, ^, если оно обладает следующими
свойствами:
r.\Xi\ = k,i=l,2 6, причем k<v-l.
2°. Любой элемент x-h 1 ^/ ^ v, принадлежит точно г блокам.
3°. Любая пара элементов хи x-h 1 ^ /, / ^ v, i^'u принадлежит точно
X блокам, причем X > 0.
Ясно, что (6, v, r, k, Х)-конфигурация представляет собой
систему инцидентности. Если А = (а/7), / = 1, ..., Ь\ j = 1, ..., v, —
матрица инцидентности (6, v, r, k, Х)-конфигурации и Ль Лг, • • •, Аь — строки,
а Л(1), Л(2), ..., Л(и) — столбцы матрицы Л, то из равенств (1.2), (1.3), (1.5)
и определения (6, v, r, k, Х)-конфигурации следует, что
v
5>у = *, (2.1)
/=1
5>,- = г, (2.2)
«=1
^a,7la//2=X, /, ^/2. (2.3)

§2. БЛОК-СХЕМЫ
379
Условие (2.3) означает сбалансированность блок-схемы. Блок-схема
называется полной, если при выполнении равенства (2.1) она содержит
все ( V J fe-подмножеств множества X. В противном случае блок-схема
называется неполной.
Из равенств (1.7) и (1.9) с учетом формул (2.2) и (2.3) следует, что для
(6, у, r, k, X)-конфигурации выполнено
(г X
АТА =
х\
X
Vх
(2.4)
7
Обозначим через Jv и /^ соответственно v x ^-матрицу и Ь х у-матри-
цу, у которых все элементы равны 1. Тогда из формул (2.1), (2.2) и (2.4)
вытекают равенства
AJV = kJbv, (2.5)
НА = rJbv, (2.6)
ЛтЛ = Х/и + (г-Х)/и, (2.7)
где Д, — единичная матрица уху.
Из равенства (2.4) следует формула для определителя матрицы А1А:
det(ATA) = (r + \(v- \))(r-X)v-{. (2.8)
Действительно, если в матрице АтА вычтем первый столбец из всех
остальных столбцов, а затем к первой строке прибавим все остальные
строки, то в результате получим
/г + Х(и-1)
<М(ЛТЛ) = det
О
г-Х
\
V
X
о
(2.9)
V
Отсюда следует формула (2.8.)
Общее число единиц в матрице инцидентности А (6, у, г, k, Х)-конфи-
гурации можно вычислить двумя способами: суммируя единицы сначала
в каждой строке, а затем складывая полученные выражения либо
осуществляя аналогичную операцию с использованием столбцов. В результате
с учетом равенств (2.1) и (2.2) получаем соотношение
bk = vr. (2.10)
Соотношение (2.10) можно интерпретировать как результат
вычисления общего числа элементов в блоках (6, у, г, k, Х)-конфигурации с учетом
их повторения. Величина блока равна k, а число блоков равно 6, поэтому

380
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ ИНЦИДЕНТНОСТИ И БЛОК-СХЕМЫ
искомое число есть bk. С другой стороны, каждый элемент встречается
в г блоках, а число элементов есть v, поэтому общее число элементов,
с учетом их повторения, равно vr.
Вычислим теперь двумя способами общее число различных
неупорядоченных пар, содержащих фиксированный элемент Xj и принадлежащих
блокам (6, v, r, k, Х)-конфигурации. Это число с учетом формулы (2.3)
равно
v Ь
\\ф]
Меняя порядок суммирования в левой части равенства (2.11), имеем
ь v
£a,7£a,7l=r(£-l), (2.12)
i=\ /,=i
/\Ф/
так как
k - 1, Xj еХь
flvSfl'/i = {o,
/i = i
)\Ф\
XjtXi.
Из равенств (2.11) и (2.12) следует соотношение между параметрами
(6, v, r, k, Х)-конфигурации:
r(k- l)=X(i;-1). (2.13)
Фиксированный элемент х} е X встречается в г блоках и образует в
каждом из этих блоков k — 1 неупорядоченных пар. Таким образом, общее
число таких пар во всех блоках равно r(k - 1). С другой стороны, элемент
Xj e X образует с остальными элементами множества X число
неупорядоченных пар, равное v - 1. Каждая такая пара X раз повторяется в блоках
(6, v, r, k, Х)-конфигурации. Следовательно, общее число пар во всех
блоках равно \(v - 1). В этом состоит несколько иной подход к доказательству
равенства (2.13).
Из определения (6, v, r, k, X)-конфигурации следует, что k < v - 1.
Согласно равенству (2.13) это означает, что X < г. Теперь из формулы (2.8)
вытекает, что det(y4Ty4) > 0. Таким образом, для рангов матриц (ЛТЛ) и А
имеют место соотношения v = rang(y4Ty4) ^ rang Л ^ 6, т. е. справедливо
неравенство
b> v, (2.14)
называемое неравенством Фишера. Следствием этого неравенства и
соотношения (2.10) является неравенство
k^r. (2.15)

§2. БЛОК-СХЕМЫ 381
Квадратичная форма типа (1.12) для (b, v, г, k, X)-конфигурации в
силу формул (2.2) и (2.3) имеет вид
b v
Это равенство можно записать в более компактном виде:
£tf = <'-*>E*/+x(l>) • <2Л6)
i=\ /=1 \j=\ /
Полагая в обеих частях последнего равенства Х\ = ... = xv = 1,
получаем тождество bk2 = (г- \)v +\v2, справедливость которого доказывается
непосредственно с использованием равенств (2.10) и (2.13).
2. Системы троек. При k = 3 будем называть (fc, v, г, 3, Х)-конфигу-
рацию системой троек. Условия существования систем троек
устанавливаются следующей теоремой.
Теорема 1. Для существования (b, v, г, 3, ^-конфигурации
необходимо и достаточно, чтобы
\(v- 1) = 0 (mod 2), \v(v- 1) = 0 (mod 6). (2.17)
Ограничимся доказательством необходимости. Доказательство
достаточности можно найти, например, в [52]. Из равенств (2.10) и (2.13) имеем
3b = vr, 2r = \(v-l). (2.18)
Отсюда следуют равенства
r=fci)i fc = ^li). (2.19)
2 О
Так как г и b — целые числа, то сравнения (2.17) справедливы.
При X = 1 система троек называется системой троек Штейнера.
Теорема 2. Для существования системы троек Штейнера,
являющейся (b, v, г, 3, \)-конфигурацией, необходимо и достаточно,
чтобы
0=1,3 (mod 6). (2.20)
Ограничимся также только доказательством необходимости. Из
равенств (2.19) при Х= 1 имеем
6=^3^. (2.21)
Так как b — целое число, то из (2.21) вытекают две возможности:
а) г = 3jji, где \jl — целое число. В этом случае v = 6(л + 1 и,
следовательно, v= 1 (mod 6).
б) 2г + 1 = 3(2v + 1), где v — целое число. В данном случае v = 6v + 3
и, значит, v = 3 (mod 6).

382 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ ИНЦИДЕНТНОСТИ И БЛОК-СХЕМЫ
3. (г/, ky X)-конфигурации. Будем называть (b, v, г, k, Х)-конфигу-
рацию (v, k, ^-конфигурацией, если b = v. Иногда (v, k, Х)-конфигура-
ции называют симметричными сбалансированными неполными блок-
схемами.
Рассмотрим свойства (v, k, Х)-конфигураций, вытекающие из свойств
(b, v, r, k, Х)-конфигураций.
Свойство 1.
r = k. (2.22)
Следует из равенства (2.10).
Свойство 2.
k(k- \)=\(v- l). (2.23)
Следует из равенств (2.13) и (2.22).
Свойство 3.
АТА=ААТ. (2.24)
Матрица А, удовлетворяющая равенству (2.24), называется
нормальной. Из (2.7) и (2.22) следует, что
ATA=\Jv + (k-\)Iv. (2.25)
Из формул (2.5) и (2.6) и невырожденности А следует, что
AJV = kJv. Поэтому
ААТ = ААТАА~1 = \AJVA~X +(k- \)IV = Uv + (k- \)IV. (2.26)
Теперь равенство (2.24) следует из равенств (2.25) и (2.26).
Теорема 3. Если v четно, то для существования (v, k, Х)-кон-
фигурации необходимо, чтобы k — X представляло собой квадрат
натурального числа.
При b = v, r = k из равенства (2.8) имеем
(MA)2 = (k + \(v- l))(k-\)v-1. (2.27)
Из равенства (2.23) следует, что k + \(v - 1) = k2. В силу нечетности
v - 1 из этого равенства и равенства (2.27) следует, что k - X есть квадрат
натурального числа.
Приведем еще одно свойство (v, k, Х)-конфигурации, которое иногда
используется в качестве ее определения.
Свойство 4. Для того чтобы семейство k-подмножеств
(Х\, X<i,..., Xv) множества Х= {х\, x<i,..., xv} являлось (v, k,
^-конфигурацией, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
"*"*!-{£ 1~А (2-28>

§2. БЛОК-СХЕМЫ
383
причем параметры v, k, X удовлетворяют неравенствам 0 < X < k <
<v - 1.
Действительно, если семейство /г-множеств (Х\, X<i, ..., Xv) есть
(у, &, X)-конфигурация, то, согласно равенствам (2.4), (2.22) и (2.24), для
скалярных произведений строк А\, A<i, ..., Av матрицы инцидентности А
имеют место равенства
Эти равенства эквивалентны равенствам (2.28).
Докажем теперь достаточность условий (2.28). Условия (2.28)
эквивалентны условиям (2.29), из которых следует, что для матрицы
инцидентности А имеют место равенства AJV = kJv, ААТ =\JV + (k - \)IV. В силу
невырожденности матрицы А из этих равенств следует, что A~4V = -rJVi
AATJV = (k + \(v — l))Jv. Из этих равенств находим, что
ATJu = j[k + \(v-l)]Ju. (2.30)
Транспонируя обе части последнего равенства и умножая их на Jv, по-
v
лучаем JVAJV = -\k + \(v - \)]JV = kvJv. Отсюда получаем соотношение
между параметрами: k(k — 1) =X(v — 1). Транспонируя обе части
равенства (2.30) и используя последнее соотношение, находим, что JVA = kJv.
Используя это равенство, получаем
АТА = А~ХААТА =\A~4VA + (k - \)IV=XJV + (k - \)IV.
Таким образом, для скалярных произведений столбцов Л(1), Л(2), ..., А^
матрицы инцидентности А имеют место равенства
<ли, >*») = {*• lrJ:
Эти равенства означают, что любой элемент множества X
принадлежит k блокам Х\, Х2, ..., Xv, а любая пара элементов — X блокам, т. е.
(Х\, Х2, .. •, Xv) есть (у, k, X)-конфигурация.
4. Циклические (г/, к, X)-конфигурации. Будем называть
(у, k, X)-конфигурацию циклической, если ее матрица инцидентности А =
= (а/у), /, /' = 1, 2, ..., у, является циклической, т. е. ац = а^ при i — \л =
= j — v (mod у), 1 ^ /, /, ^t, v ^ v.
Множество D = {d\, d<i, ..., dk}, элементами которого являются
наименьшие неотрицательные вычеты по модулю у, называется (у, k,
^-разностным множеством, если для любого d ф 0 (mod ^существуют точно X

384
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ ИНЦИДЕНТНОСТИ И БЛОК-СХЕМЫ
упорядоченных пар (dt, dj), 1 ^ / < j ^ v, таких, что dt — dj = d(modv);
0<\<k<v- 1.
Теорема 4. Множество D = {d\, d<i, ..., dk}, состоящее из
вычетов no модулю v, есть (v, k, \)-разностное множество тогда
и только тогда, когда семейство множеств (D, D\, ..., Dy_i), где
D[ = {d\ + i, ..., dk + i}, Do = D, i = 0, 1, ..., v — 1, является
циклической (v, k, ^-конфигурацией.
Пусть D = {d\, d2, ..., dk} есть (v, k, Х)-разностное множество. Тогда
семейство (D, Db ..., Dv_\) удовлетворяет условиям
\Di\ = k, / = 0, 1 и- 1, D0 = D,
\DinDj\ = \{(dp,dq): dp-dq = {i-j) (т<хЬ)}|=Х, i+].
Следовательно, (Do, D\, ..., Dv-\) есть (v, k, Х)-конфигурация, имеющая
циклическую матрицу инцидентности.
Обратно, пусть (Do, D\, ..., Dv-\) есть циклическая (v, k, Х)-конфи-
гурация. Тогда Do = D = {d\, d<i, • • •, dk} в силу равенств (2.31) является
(v, k, X)-разностным множеством.
Нетрудно убедиться, что множество вычетов по модулю 7 D = {1, 2, 4}
является разностным множеством. Циклическая (7, 3, 1)-конфигурация,
соответствующая этому разностному множеству, имеет следующие блоки:
D0 = {1, 2, 4}, Dx = {2, 3, 5}, D2 = {3, 4, 6}, D3 = {4, 5, 0},
D4 = {5, 6, 1}, D5 = {6, 0, 2}, D6 = {0, 1, 3}. (2.32)
5. Матрицы Адамара. Матрица Я = (А/у), /, / = 1, 2, ..., п\ кц = ±1,
называется матрицей Адамара, если она удовлетворяет равенству
ННТ =nln, (2.33)
где 1п — единичная матрица п х п и Ят —транспонированная матрица Я.
Из равенства (2.33) следует, что
%'*А<-{I \"Л <234)
Следовательно, если Н\, #2, • • •, Я„ — строки матрицы Я, то эти строки
как векторы удовлетворяют условию ортогональности:
( п, i\ = /о,
'""•"'Но. ,,+ь. <2-35>
где (Я/,, Я/2) — скалярное произведение векторов Я/, и Я,2.
Из очевидных равенств dei(HHT) = (dei(H))2 = dei(nln) = пп следует
формула
det(fl) = nn/2, (2.36)

§2. БЛОК-СХЕМЫ
385
означающая, что матрица Я — невырожденная. Это позволяет записать
следующую серию равенств: НТН = Н~ХННТН = Я~! (nIn)H = nln = ННТ,
означающую, что матрица Я удовлетворяет условию нормальности, т. е.
НТН = ННТ. (2.37)
Лемма. Перестановка строк или столбцов матрицы
Адамара Я, а также умножение строк или столбцов на — 1 переводят Я
в матрицу Адамара Н\.
Матрицы Я и Н\ называются эквивалентными матрицами
Адамара. Действительно, перестановка строк матрицы Я в соответствии с
формулой (2.35) сохраняет все скалярные произведения строк, а перестановка
столбцов связана лишь с изменением порядка слагаемых в формуле (2.34).
Аналогичным образом не изменяются скалярные произведения строк и при
умножении строк или столбцов на — 1.
Теорема 5. Для существования матрицы Адамара порядка п
необходимо, чтобы либо п = 1, 2, либо
п = 0 (mod 4). (2.38)
При п ^ 4 с помощью эквивалентных преобразований приведем
матрицу Адамара Я к виду, в котором первая строка и первый столбец состоят
из элементов 1. Такой вид матрицы Адамара Я называется
нормализованным и обозначается Я. Ясно, что теорему достаточно доказать для
матрицы Я. Рассмотрим матрицу Я, образованную первыми тремя строками
матрицы Я. Столбцы Я могут принадлежать одному из 4 видов:
-1
ч
\\
1
(2.39)
ч
Обозначим через х, у, z, w число столбцов матрицы Я каждого из
4 видов соответственно. Тогда из условий ортогональности 1-й и 2-й, 1-й
и 3-й, 2-й и 3-й строк получаем систему уравнений
x + y + z + w=n,
х- у + z — w = О,
(2.40)
х + у - z-w =0,
х- у - z + w =0.
Очевидно, что эта система имеет единственное решение х = у = z = w =
= я/4. Таким образом, при п ^ 4 имеем п = 4|л, где [i — натуральное число,
и, значит, сравнение (2.38) доказано. Случай п = 3 исключается, так как

'2И-1' / = /' (2.42)
386 ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ ИНЦИДЕНТНОСТИ И БЛОК-СХЕМЫ
два вектора размерности 3 с координатами ± 1 не могут быть
ортогональными. При п = 1 и п = 2 имеем следующие матрицы Адамара:
Я,=(1), Я2=(| _[). (2.41)
Этим завершается доказательство теоремы 5.
Теорема 6. Нормализованной матрице Адамара порядка п =
= 4(л, \jl ^ 2, можно поставить в соответствие (v, k,
^-конфигурацию с параметрами v = 4\jl— 1, & = 2^t — 1, X = ^ — 1.
Пусть Я—нормализованная матрица Адамара порядка п =А\х ^ 8 со
строками #i, #2, • •, //я- Заменяя в матрице Я все элементы -1 на 0 и
отбрасывая первый столбец и первую строку, получим О, 1-матрицу А
порядка 4]л - 1. Покажем, что эта матрица является матрицей инцидентности
(у, &, X)-конфигурации с параметрами v = 4\i— I, & = 2ц - 1, X = ^ - 1.
Для этого согласно равенству (2.28) достаточно показать, что скалярные
произведения строк А\, А% ..., А^-\ матрицы А удовлетворяют
равенствам
(А-,Л7) = {2и~
Из ортогональности строк #ь Я2, ..., Нп следует, что в каждой
строке матрицы Я имеется 2\± элементов 1. Следовательно, в каждой
строке ЛьЛг, ...,Л4м-1 имеется по 2ijt — 1 единиц, т.е. ||Л/|| = 2\± - 1,
/ = 1, 2, ..., 4^1 — 1. В подматрице 2 х п, соответствующей каждой
паре строк Hi и Я7, 2 ^ / < j^ п, каждый из столбцов вида ( ], ( ],
( \ ( А встречается точно ^t раз, что следует из доказательства
теоремы 5. Соответственно для 2 х (п — 1)-подматрицы, соответствующей
паре строк Д, A-h 1 ^ / < / ^ п - 1, столбец вида (А встречается ^t - 1
раз, а столбцы ( V ( V ( ] встречаются ^ раз. Отсюда следует, что
(Л/, у47) = ^t - 1, 1 ^ / < / ^п- 1. Таким образом, равенства (2.42)
доказаны. Наконец, условие (2.29) вытекает из требования [1^2.
Остановимся теперь на способе построения матриц Адамара, исходя из
матриц Адамара меньшего порядка. Кронекеровым произведением А® В
матрицы А = (а£у), /, / = 1, 2, ..., т, на матрицу В = (Ьц), /, / = 1, 2, ..., п,
называется (тп х тя)-матрица вида
А ® В = (ауВ), i, j = 1, 2, ..., га. (2.43)
Имеют место следующие свойства кронекерова произведения матриц,
проверка которых осуществляется непосредственно, исходя из определения:
1) ol(A ® В) = (аЛ) ® В = А ® (аВ), а — скаляр;
2) (Л 1 +Л2)®В = Л1 ®В + Л2®В;

§2. БЛОК-СХЕМЫ
387
3) А®(ВХ +B2)=A®B\ +Л<8>В2;
4) (A®B)(C<S)D) = AC<S)BD;
5) (Л<8>Й)Т=ЛТ<8>ЙТ.
Здесь Л, Ль А2, С и В, В\, /?2, О — матрицы порядков тип
соответственно.
Теорема 7. Кронекерово произведение матриц Адамара
порядков тип есть матрица Адамара порядка тп.
Действительно, если Нт и //„ — матрицы Адамара порядков тип
соответственно, то для их кронекерова произведения Нт <g> Hn имеем
Нтп = (Нт ® Нп){Нт ® Нп)Т = (Нт ® Hn){Hl ® НТп) =
= НщН^ ® HnH~l = mlm ® nln = mnlmn,
где Ik — единичная матрица порядка k. Из равенства (2.33) следует, что
Нтп есть матрица Адамара порядка тп.
Следствие. Для любого n = 2d,d^ 1, матрица Адамара
существует
В самом деле, при п = 2d, d ^ 1, матрица
Нп = Н2® Н2® ...® Н2 (d раз),
где #2 — матрица вида (2.41), согласно теореме 7, есть матрица Адамара.
6. f-схемы. В заключение отметим, что рассмотренные выше
(&, у, г, k, Х)-конфигурации являются частным случаем систем
инцидентности, называемых t-схемами. Семейство блоков, являющихся &-подмно-
жествами у-множества X, называется t-схемой с параметрами (у, k, X*),
если любое /-подмножество множества X содержится ровно в X, блоках,
причем k ^ v - 1, X, > 0.
Обозначим через X/, 0 ^ / ^ /, число блоков /-схемы, содержащих
фиксированное /-подмножество элементов X. При / = 0 полагаем, что
фиксированное /-подмножество — пустое и Хо = Ь, где b — число блоков в
/-схеме. Соответственно при / = 1,2 полагаем Xi = г, Х2 = Х, где г и X —
соответственно число блоков, содержащих фиксированный элемент и пару
фиксированных элементов.
Вычислим двумя различными способами общее число /-подмножеств,
принадлежащих блокам и содержащих фиксированное /-подмножество.
В любом блоке, содержащем фиксированное /-подмножество, это
/-подмножество можно (f~*) способами дополнить до /-подмножества. Так
как фиксированное /-подмножество принадлежит X/ блокам, то искомое
число /-подмножеств равно Х£-(, ~ ?}.
С другой стороны, из определения /-схемы следует, что каждое
/-подмножество встречается в X/ блоках, а число способов образования /-под-

388
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ ИНЦИДЕНТНОСТИ И БЛОК-СХЕМЫ
множеств, содержащих фиксированное /-подмножество, равно (v. ~ !j.
Таким образом, число /-подмножеств, содержащих фиксированное
/-подмножество, в блоках /-схемы равно Х*(^ "•)•
Сравнивая результаты двух подсчетов, приходим к равенству
Ч?:;')=ЧП')- '=0.1,..../. (2.44)
из которого, в частности, следует, что X, не зависит от выбора /-множества.
Отметим также, что при заданных параметрах v,kw\t числа Хо, Xj,
..., Xf_i определяются однозначно из равенства (2.44). Запишем
систему (2.44) в следующем виде:
X0(*)/=X/(t/)/,
\t-\{k-t+\)x=h{v-t+\)x,
X,(£-/+l)o=X,(y-/+l)0.
Путем деления каждого предыдущего уравнения на последующее и
приведения полученных выражений к общему знаменателю приводим эту систему
к виду
Хо& =Xiu,
M*-i)=M"-i>. (245)
\t^(k-t + l)=\t(v-t+l).
Ясно, что если t = 2, то 2-схема представляет собой (b, v, r, k, Х)-конфи-
гурацию при Хо = ft, Xi = г, Х2 = X, k < v - 1 и система (2.45) сводится
к известным соотношениям для параметров:
bk = vr, r(k- l) = \(v-l).
§ 3. Ортогональные латинские квадраты и конечные
проективные плоскости
1. Ортогональные латинские квадраты. Каждому латинскому
квадрату с элементами 1, 2, ..., п поставим во взаимно однозначное
соответствие последовательность Ln = [s\, 52, .. •, sn], где sb 52, ..., sn —
попарно противоречивые подстановки степени п. Для упрощения терминологии
Ln будем называть также латинским квадратом. Пусть заданы два
латинских квадрата Ln = [s\, s2, ..., sn], L'n = [s\, s'2, ..., sj,], где s\, ..., sn,
s\, ..., s'n — подстановки степени я, удовлетворяющие условиям
Si(№sk(j), s'MjLs'M 1фк, / = 1,2,..., я. (3.1)

§3. ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ, ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОСКОСТИ 389
Латинские квадраты Ln и 1!п называются ортогональными, если для
любых упорядоченных различных пар (/, /) ф (k, l) выполнено условие
Ш, s'M Ф(s*(0. s'km I «SA A kj^n. (3.2)
Если Ln и L'n ортогональны, то этот факт записывается следующим
образом: Ln J_ L'n. Таблицу (s;(/)), i, j = 1, 2, ..., n, латинского квадрата Ln
будем обозначать той же буквой Ln. Обозначим через (Ln, L'n) таблицу,
полученную наложением таблицы 1!п на таблицу Ln, т. е. размещением в
положении с координатами (/, /) пар (s,(/), 5-(/)). Тогда условие (3.2) означает,
что все пары, входящие в (Ln, L'n), различны.
Определим операцию умножения латинского квадрата Ln = [s\, S2, ...
..., sn] слева на подстановку 5 с помощью равенства sLn = [ss\, SS2, ...
..., ssn]. Если Ln = [s\, s2, ..., sn], L'n= [s\, s'2, ..., s'n] и Ln J. L'n, то для
любых подстановок s и s имеем sLn _L sL'n. В самом деле, для любых пар
(/, /) Ф (k, /) выполнено условие
(ssi(j)yssm^(ssk(l),ssfk([}).
В противном случае из равенств ssi(j) = ssk(l), ss'i(j) = ss'k(l) следовало бы
Si(j) = Sk(l), 5-(/) = s'k(l), что противоречит условию (3.2). Полагая 5 = sj"\
5 = (sj)-1, из пары ортогональных латинских квадратов Ln и L'n
получаем пару ортогональных латинских квадратов Ln =s~^xLn и L'n =(s\)~lL'n,
таблицы которых имеют одинаковые первые строки вида 1, 2, ..., п. Такие
латинские квадраты называются полунормализованными.
Пусть [Ln \ Ln \ ..., L$\ — множество латинских квадратов таких, что
L®±L%\ гф'и l^ij^r. (3.3)
Покажем, что
г<л-1. (3.4)
Обозначим через 1$ полунормализованный латинский квадрат,
соответствующий Lnl\ 1 ^ / ^ г. Тогда V£ _L L?£\ i Ф\, 1 ^ /, / ^ г. Наложим
таблицы г полунормализованных латинских квадратов. Ячейка со входами (1, /)
содержит г элементов /. В ячейке со входами (2, /) все элементы различны.
Действительно, пусть в ячейке (2, /) два элемента равны /, 1 ^ / ^ п. Тогда
в ячейке (1, /) уже имеется пара элементов, равных /, принадлежащих паре
латинских квадратов; получаем противоречие с условием их
ортогональности. Ни один из различных элементов в ячейке (2, 1) не может совпадать
с элементами ячейки (1, 1). Отсюда следует неравенство (3.4).
Если г — п— 1, то множество попарно ортогональных латинских
квадратов Ln , Ln, ..., Ln называется полным.

390
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ ИНЦИДЕНТНОСТИ И БЛОК-СХЕМЫ
2. Метод построения. Укажем способ построения полных множеств
попарно ортогональных латинских квадратов порядка п = р*, где р —
простое, а — натуральное число, п ^ 3. Рассмотрим поле Галуа GF(pa) =
= {ао = 0, а\ =\,a<i, ..., ап-\}, где 0 и 1 — соответственно нуль и
единица этого поля. Покажем, что множество таблиц
LW = (4>), /=1,2 п-1, (3.5)
а\] = щщ + ah i, j = 0, 1, ..., п - 1, (3.6)
определяет полное множество попарно ортогональных латинских
квадратов. Равенства а-- = а-,\ / ф']' и а\) = ай, / ф/', в силу соотношения (3.6)
означают выполнение условий а7- = а7/, / ф /', и соответственно а,- = а,/,
/ ф /', что противоречиво. Отсюда следует, что 4f, 1 ^ / ^п- 1, есть
таблица латинского квадрата.
Покажем теперь, что L$ _L Ln\ k ф /, 1 ^ k, I ^ n - 1. Допустим, что
для (/, j) ф (/', /') выполнено равенство (а-*\ afj) = (а-?у,, a-fj,). Это в силу
условия (3.6) означает, что
щаь + a,j = Щ'й/г + ay/, atai + clj = a//a/ + ay/. (3.7)
Вычитая из первого равенства второе, получаем ai(ak — щ) = а^(ак — а/),
k ф /. Отсюда следует, что а, = а-, т. е. / = /'. Теперь из первого
равенства системы (3.7) находим, что а} = ау, т. е. / = /'. В результате получили
противоречие с предположением (/, /') ф (/', /').
Положим р = 3, a = 1. Тогда GF(S) = {0, 1, 2} и для /=1,2 имеем
а$ = 0/ + 0, а$ = 0/ + 1, а$ = 0/ + 2,
а(/> = 1/ + 0, а(/| = 1/ + 1, а{{]2 = 1/ + 2,
а$ = 2/ + О, 4*} = 2/ + 1, а$ = 2/ + 2.
Отсюда получаем полное множество из двух попарно ортогональных
латинских квадратов
4° = 1 2 о , 42) = 2 ° ч (3-8)
3. Матрица С. Рассмотрим матрицу
С = (aj), i = 1, 2, ..., я2, / = 1, 2, ..., г + 2, (3.9)
с элементами сц, которые могут принимать значения 1, 2, ..., п. Будем
говорить, что матрица С обладает латинским свойством, если
(cik, сц) ф (Cjk, Cji), i ф\, кф /. (3.10)

§3. ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ, ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОСКОСТИ 391
Выполнение латинского свойства (3.10) для матрицы С означает, что
строки каждой ее п2 х 2-подматрицы представляют собой п2 различных
упорядоченных пар, составленных из чисел 1, 2, ..., п. Так как латинское
свойство (3.10) определяется для пар элементов, принадлежащих одной
и той же строке, то оно сохраняется при перестановке строк матрицы С.
В результате перестановки строк матрицу С можно привести к
стандартному виду, в котором пары элементов в двух ее первых столбцах
располагаются в лексикографическом порядке при возрастании номеров строк:
(1, 1), (1, 2), ..., (1, л), (2, 1), (2, 2), ..., (2, л), ..., (л, 1), ..., (л, п).
Теорема 1. При п^З, г ^ 2 каждому множеству из г попарно
ортогональных латинских квадратов можно поставить в
соответствие матрицу С, обладающую латинским свойством, и обратно.
Пусть дано множество из г попарно ортогональных латинских
квадратов 4\ 4\ ..., L%\ таблицы которых состоят из элементов 1, 2, ..., п.
Этому множеству поставим в соответствие стандартную матрицу С = (с,у),
i = 1, 2, ..., я2, j = 1, 2, ..., г + 2, в которой два первых столбца
стандартные, а /-й столбец при / = 3, 4, ..., г + 2 представляет собой
выписанные последовательно сверху вниз по мере возрастания номеров п строк
латинского квадрата Zj/~ \ 3 ^ / ^ г + 2. Например, для п = 3, г = 2 и
пары ортогональных латинских квадратов
4° =|23
матрица С имеет вид
С =
(\
1
1
2
2
2
3
3
V3
г1 2 3>
42)=(3 1 2
,2 3 1
1\
2
3
3
1
2
2
3
(3.11)
(3.12)
Полученная в общем случае стандартная матрица С = (с,у), /=1,2,...
..., п2; j = 1, 2, ..., г + 2, удовлетворяет латинскому свойству (3.10).
Действительно, равенство
fob Ci2)=(Cj\, С/2), £^/\
противоречило бы свойству различия всех пар, принадлежащих двум
первым стандартным столбцам.

392
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ ИНЦИДЕНТНОСТИ И БЛОК-СХЕМЫ
Далее, равенства
(CiuCik) = (CjuCjk)i (Ci2,Cik) = (Cj2,Cjk), 1ф1 * = 3, 4, ...,Г + 2, (3.13)
противоречили бы условиям различия элементов в строках и
соответственно в столбцах латинского квадрата L,£~2\ 3 ^ k ^ г + 2. Наконец, наличие
равенства
(cik, си) = (ty, сц), 1ф'и кф1, 3 < £, / < г + 2, (3.14)
противоречило бы условию L^ ~ ) J_ L^~ *.
Обратно, пусть задана матрица С вида (3.9), обладающая латинским
свойством (3.10). Не ограничивая общности, предполагаем, что
матрица С имеет стандартный вид. В противном случае, перестановкой строк
ее всегда можно привести к стандартному виду с сохранением латинского
свойства. Поставим в соответствие (k + 2)-му столбцу матрицы С таблицу
п х я, в которой строки являются последовательными сверху вниз
отрезками длины п рассматриваемого (k + 2)-го столбца матрицы С, 1 ^ k ^ г.
Таким образом,
L<*> =
/ с 1,6+2 с2,6+2 ••• cn,k+2\
cn+\,k+2 cn+2,k+2 ••• c2n,k+2
^n
l^k^r. (3.15)
Vti2-/i+U+2 cn2-n+2,k+2 •'• Cn2,k+2/
При я = 3, г = 2 указанным способом из матрицы (3.12) получаются
таблицы L3 и Lg . Из условия невыполнения равенств (3.13) для любых / ф\
следует, что таблица L$ является латинским квадратом. Из условия
невыполнения равенств (3.14) при любых 1ф \, кф1 следует, что Dn ) _L L„ .
Теорема доказана.
4. Конечные проективные плоскости. Назовем (и, &, Х)-конфигура-
цию при n^2\\v = n2 + n + \,k = n+\,\=\ конечной проективной
плоскостью порядка п. Геометрическая терминология в данном случае
мотивируется следующим образом. Элементы множества Х= {х\, Х2, ...
..., хп2+п_\} назовем точками, а соответствующие блоки Aj,^, ...
..., Хп2+п_\ (п2 + п - 1, п + 1, 1)-конфигурации будем называть
прямыми. Тогда из общих свойств (и, k, Х)-конфигураций вытекают следующие
свойства конечной проективной плоскости:
1) Каждая прямая содержит п + 1 точек, т. е.
1^-1 = л + 1, «=1,2, ..., л2 + л- 1. (3.16)
2) Две прямые пересекаются только в одной точке, т. е.
№ПХУ| = 1, 1ф1 (3.17)
3) В каждой точек Xj пересекаются ровно п + 1 прямых, т. е.
\{Хг. */€*,■, 1 ^i^n2 + n- 1}|=/i+1. (3.18)

§3. ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ, ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОСКОСТИ 393
4) Через две различные точки проходит ровно одна прямая, т. е.
\{Хг. xtl, xh e Xh i\ ф «2, 1 < i < n2 + п - 1}| = 1. (3.19)
Отметим, что в силу равенств (2.28) блоки Aj, A^, • •., Хп2+п_у
определяют конечную проективную плоскость порядка я, если выполнены
равенства (3.16) и (3.17).
Теорема 2. При п^Ъ конечная проективная плоскость
порядка п существует тогда и только тогда, когда существует
полное множество из п- 1 попарно ортогональных латинских
квадратов порядка п.
Пусть Ji,^,..., Хп2+п+{ —прямые конечной проективной плоскости
порядка п, причем Х\ = {х\, х<±, ..., хп+\) и точки плоскости обозначены
через Х= {х\,Х2, ..., хп+\\ у\, У2, ..., УгА- Для прямых плоскости
выполнено условие
№п*/| = {"+1' \ф1 (3-2°)
Каждой прямой \уи *&], проходящей через точки уь и х^ 1 ^ / ^ п2; 1 ^ k ^
^ п + 1, припишем некоторое число с-&, представляющее собой одно из
чисел 1, 2, ..., п. В результате получим матрицу С = (с/^), /=1,2, ..., п2\
k = 1, 2, ..., п + 1, причем выбор чисел ctk должен быть таким, чтобы
матрица С обладала латинским свойством вида (3.10). Допустим противное,
т. е. при 1фи k^l имеем равенства
Cik=Cjk, сц = сц. (3.21)
Первое из равенств (3.21) означает, что прямым [*/,, xk] и [*/7, xk]
приписано одно и то же число, т. е. точки */;, yj и Xk лежат на одной прямой. Второе
равенство (3.21) аналогичным образом приводит к выводу, что точки */,, yj
и xi также лежат на одной прямой. Так как точки Xk и xi лежат на одной
прямой, то на этой прямой Х\ лежат и точки yt и г/у, что противоречиво.
Таким образом, матрица С обладает латинским свойством, и,
следовательно, ей можно, согласно теореме 1, поставить в соответствие полное
множество из п - 1 попарно ортогональных латинских квадратов.
Пусть теперь дано полное множество из п - 1 попарно
ортогональных латинских квадратов порядка я, определяющих стандартную матрицу
С = (с/у), / = 1, 2, ..., п2; j = 1, 2, ..., п + 1, сц = 1, 2, ..., я,
обладающую латинским свойством (3.10). Построим проективную плоскость
порядка я, отвечающую этой матрице С.
Рассмотрим прямую Х\ = {х\, х%, ..., хп+\} и через у\Л у%, ..., уп2
обозначим точки, не лежащие на этой прямой. Прямой (*/,, Xk)
приписывается число Cik. Так как в k-м столбце матрицы С имеются п одинаковых
элементов, то прямая, проходящая через Xk и отличная от Х\, содержит

394
ГЛ. VIII. СИСТЕМЫ ИНЦИДЕНТНОСТИ И БЛОК-СХЕМЫ
п + 1 точек. Далее, покажем, что любые две прямые пересекаются в одной
точке. Если две прямые пересекаются в точке х^, то элементы,
определяющие приписываемые этим прямым числа, берутся из одного столбца
матрицы С. Ясно, что в этом случае прямые могут пересекаться в
единственной точке Xk.
Возьмем теперь прямые, отличные от Х\ и проходящие через
точки Х[ и Xk, i ф k. Так как у /-го и k-vo столбцов в матрице С при
фиксированном / только один раз встречается пара (/, /), то соответствующие
прямые имеют единственную точку пересечения.
При п = 3 конечная проективная плоскость строится следующим
образом по таблице, соответствующей матрице С:
Х\
х2
хз
JC4
У\
1
1
1
1
У2
1
2
2
2
Уг
1
3
3
3
У*
2
1
2
3
Уь
2
2
3
1
Уб
2
3
1
2
У?
3
1
3
2
Уь
3
2
1
3
</9
3
3
2
1
*io = {*з, 0з, Уъ, Ут),
Х\\ ={*4, 01, УЪ, Ы»
Х\2 = {*4, #2, 06, Ут),
Х\Ъ = {*4, 03, 04, 08}•
По этой таблице находятся прямые, проходящие через точку jc/, 1 ^ / ^
^ 4. Для этого выбираются те значения 0/, которые расположены против
одинаковых элементов в /-й строке таблицы, 1 ^ / ^ 4. В результате
конечную проективную плоскость третьего порядка можно записать в
следующем виде:
Х\ = {Хи Х2, *3, *4}, *6 = {*2, 02, 05, 08>,
Х<1 = {Хи 01, 02, 03>, Х7 = {*2, 03, 06, 09}
*3 = {*1, У А, УЪ, 0б}, *8 = {*3, 01, 06, 08>,
Ха = {*1, 07, 08, 09>, *9 = {*з, 02, 04, 09>,
Хб = {Х2, 01, 04,07},
Конечная проективная плоскость 2-го порядка имеет вид:
{1,2,4}, {2,3,5}, {3,4,6}, {4,5,7}, {5,6,1}, {6,7,2}, {7,1,3}.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что если при определении (b, v, г, k, X)-конфигурации положить
k = v — 1, v > О, то отсюда следует, что Ъ = v, г = v — 1, \ = v — 2 и матрица
инцидентности Л имеет вид Л = Jv — П, где П — подстановочная матрица порядка v.
2. Показать, что если (и, г, X)-конфигурацию определить при X = k, то X = k = v
и матрица инцидентности есть Л = Jv.
3. Показать, что два латинских квадрата Ln = [s\, 52, ..., sn] и L'n = [s\, s'2y ...
..., s'n] ортогональны тогда и только тогда, когда подстановки sj"1^, sj1^» •••
..., s^]s'n образуют латинский квадрат.

ГЛАВА IX
ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
В § 1 главы с использованием матриц Сильвестра—Адамара
изучаются свойства преобразований Уолша—Адамара первого и второго рода
для булевых функций. С использованием факторизации матриц
Сильвестра—Адамара дается описание быстрых преобразований Уолша—Адамара.
В §2 для булевых функций рассматриваются вероятностные свойства
преобразований Уолша—Адамара. Определяются классы
корреляционно-иммунных функций и бент-функций. Устанавливается связь бент-функ-
ций с разностными множествами.
В §3 рассматриваются комбинаторно-вероятностные свойства
дискретных функций, определяемых отображениями степеней полей Галуа.
Находится вероятностное распределение случайной величины, равной
числу аффинных координат для случайной равновероятной сбалансированной
функции. Показано, что при неограниченном возрастании степени поля
Галуа, определяющей множество прообразов отображения, условная
вероятность координатной неаффинности и невырожденности функции, при
условии, что она сбалансирована, стремится к единице.
§ 1. Преобразования булевых функций
1. Матрицы Сильвестра—Адамара. Пусть Vm — векторное
пространство размерности т над полем из двух элементов С/г(2), векторы
которого упорядочены по возрастанию соответствующих им чисел
где vi отвечает двоичному представлению числа /, 0 ^ / ^ 2т - 1. Для
векторов Vu Vj € Vm, имеющих запись в виде строк
/ (1) (2) (т)ч , (1) (2) (т)ч
Vi = (V) \ V) \ . . ., V) '), Vj = (V) \ V) \ . . ., V) '),
определено скалярное произведение
(vh vj) = v{Pvf] e vf>vf> e... е v{^v)m\ (1.2)
где 0 — знак сложения в поле GF(2).

396 ГЛ. IX. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
Определенные в §2 главы VIII с использованием кронекеровского
произведения ® матрицы Адамара порядка п = 2т вида
Н2т = Н2 ® Н2т-\ = Н2 ® Н2 ® ... ® Я2 (га раз), (1.3)
где
/*=(! _!). (1.4)
называются обычно матрицами Сильвестра—Адамара. Непосредственно
из определения следует, что эти матрицы обладают свойством симметрии,
т. е. имеет место равенство
Hjm=H2mj (1.5)
где Т — знак транспонирования матрицы. Обратная матрица вычисляется
по следующей формуле
Н*=&Ъ- (1-6)
Оказывается, что матрица Сильвестра—Адамара порядка 2т может
быть выражена через скалярные произведения векторов векторного
пространства Vm.
Лемма 1. Матрица вида
((-1)<^'>), ;,/ = 0, l,...,2m-l, (1.7)
определяемая скалярными произведениями (и/, Vj) векторов
пространства Vm с указанным в (1.1) свойством, является матрицей
Сильвестра—Адамара порядка 2т.
Доказательство леммы проводится индукцией по величине т. При т =
= 2, вычисляя скалярные произведения векторов v0 = (0) и V\ = (1),
получаем матрицу Сильвестра—Адамара вида (1.4).
Будем предполагать, что лемма верна для матриц порядка 2т и
докажем ее для матриц порядка 2m+l. По предположению индукции имеет
место равенство
Н2т={{-\)^\ |\/=0, 1,...,2т-1.
Матрицу вида (1.7) порядка 2m+l можно представить в виде
/(_1)(^Ж(0)Л0)) (_1)(^^)+((0)д1))х _ /Я2ш Н2т
^(_1)(^Ж(1)Л0)) {_Х)^)+{{\)А\))) -\и2т _и2г
Доказанная лемма позволяет дать удобное представление для
рассматриваемых ниже преобразований булевых функций.
П2т

§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 397
2. Преобразования Уолша—Адамара булевых функций. Пусть
Vm — векторное пространство над полем GF(2) с указанным свойством
упорядочивания векторов (1.1).
Булева функция f от т переменных определяется отображением
/:Кт^{0,1}. (1.8)
Вектор размерности 2т, определяющий все значения функции
/=(/(0oW(»i),...,/(02--.)) (1.9)
называется таблицей истинности булевой функции /.
Преобразованием Уолша—Адамара первого рода булевой функции /
называется принимающая действительные значения функция Ф(и) = Ф/(м),
определяемая равенством
ф(«) = ^ £ /(")(-О^. « е Vm. (1.10)
veVm
Вектор с действительными координатами
ф = ф/ = (ф(1,0), фф,), ...,Ф(^-0) (1.11)
определяет все значения функции Ф(и).
Из равенств (1.7), (1.10) и (1.11) следует выражение вектора
значений преобразования Уолша—Адамара через вектор, определяющий
таблицу истинности булевой функции с использованием матрицы
Сильвестра—Адамара
Ф=^/-Я2т. (1.12)
С использование равенства (1.6) отсюда получаем, что
/=Ф-//2«. (1.13)
Из равенства (1.13) получаем обращение соотношения (1.10),
позволяющее выражать булеву функцию через значения преобразования Уолша—
Адамара первого рода
/(«0=£Ф(<0(-1)(М. ueVm. (1.14)
veVm
Вес W(f) булевой функции / определим равенством
W(f) = \{v. f(v) = l, veVm}\. (1.15)
Булева функция / называется сбалансированной, если имеет место
равенство
\{v: f(v)=l vzVm}\ = \{v: f(v) = 0, veVm}\.

398 ГЛ. IX. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
Из равенства (1.12) следует соотношение
которое эквивалентно равенству
Из равенств (1.15) и (1.16) вытекает формула
Щ/) = 2т^Ф2(и). (1.17)
Из равенства (1.16) следует, что булева функция / сбалансирована, если
Еф» = ^
vevm
Непосредственно из равенства (1.14) имеем
/(0) = £ Ф(о).
Рассмотрим вектор
/="= (/="(t;o), /=■(«!) /="(t;2—О) (1.18)
где
F(vi) = (-l)f{v,\ 0<«<2m-l.
Вектор (1.18) называется характеристикой булевой функции /.
Преобразованием Уолша—Адамара второго рода F(u) = Ff(u)
называется действительнозначная функция, определяемая равенством
А«0 = ^ £ ^)(-1)(М. " € Кт. (1.19)
vevm
Вектор
/>=(^o),^i),-.-,^2--i)) (1-20)
определяет все значения преобразования Уолша—Адамара второго рода.
Из равенств (1.18), (1.19) и (1.20) в соответствии с леммой п. 1 имеем
соотношение
^=2^-"2»., (1.21)

§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 399
из которого в соответствии с формулой (1.6) следует, что
F = F-H2m. (1.22)
Из соотношения (1.22) получаем обращение формулы (1.19)
F(u)=Y,m(-\){u'v\ ueVm. (1.23)
vevm
Из очевидного равенства
F(u) = l-2f(u), ueVm, (1.24)
и формулы (1.23) находим выражение значений булевой функции / через
значение преобразований Уолша—Адамара второго рода
f(u) = \ - 5 Y, ?Ш-\)М, и е Vm. (1.25)
vevm
Из равенства (1.24) следует соотношение
J2 F(v)(-l)M = J2 ("1)(М - 2 £ /ФИ"0(М.
vevm vevm vevm
из которого в соответствии с формулами (1.10) и (1.19) получаем равенства
Г -2Ф(и), м^О,
F(u) = \ , Л,\ л (1.26)
w \l -2Ф(и), и=0, v ;
которые устанавливают связь между преобразованиями Уолша—Адамара
первого и второго рода.
Из равенства (1.21) имеем соотношение
из которого следует, что
£/»=1. (1.27)
vevm
Соотношение (1.27) называется равенством Парсеваля. Это равенство
является частным случаем соотношения ортогональности для
преобразования Уолша—Адамара второго рода:
^-^ >, >, Г 1, и = 0,
При w = 0 равенство (1.28) совпадает с равенством (1.27).

400 ГЛ. IX. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
Для любого и € Vm имеем
22m J2 P{v)F{u®V) =J2 Л (-1){V'W)F(W) J2 %)(-1)("Ф"'г) =
vevm vevmwevm zeVm
= Y, (-\){u'z)F(w)F(z)Y,(-Ww(S>z) =
w,zevm vevm
{o2m и — 0
, W-U,
Имеет место следующее утверждение:
Лемма 2. Функция
F(v): Vm^R, (1.29)
где R — множество действительных чисел, является
преобразованием Уолта—Адамара второго рода для некоторой булевой
функции тогда и только тогда, когда имеют место условия
ортогональности (1.28).
Необходимость условий леммы установлена при доказательстве
равенств (1.28).
Пусть задана функция F(v) вида (1.29). Рассмотрим булеву функцию
/(и), характеристика F(u) которой задается равенством (1.23). Тогда
функция F(v) является преобразованием Уолша—Адамара второго рода для
булевой функции /(и), v € Vm.
3. Быстрые преобразования Уолша—Адамара. В соответствии с
равенствами (1.12) и (1.21) вычисление преобразований Уолша—Адамара
первого и второго рода требует 22т сложений и умножений пар чисел.
Рассмотрим способ вычисления таких преобразований, который требует
т2т операций сложения или вычитания пар чисел. Преобразования,
обладающие такой сложностью вычисления, обычно называются быстрыми
преобразованиями Уолша—Адамара. В основе таких преобразований
лежит факторизация матриц Сильвестра—Адамара.
Факторизация матрицы Сильвестра—Адамара Н^ представляет
собой выражение этой матрицы в виде произведения т матриц заданного
вида
Н2т = М$М$...М%\ (1.30)
где
Af£ = /a~
М$> = I*-, ® Н2,
-, ® Hi <S> /2,-i, 2 ^ / ^ m - 1,
Alj(? = //2®/2—■.
(1.31)
(1.32)
(1.33)

§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
401
4 — единичная матрица порядка k, H<i — матрица Сильвестра—Адамара
порядка 2и0 — знак кронекеровского произведения.
Из (1.31) и (1.32) следует, что
Л$+1=/2®м£, /=1,2...
В соответствии с равенством (1.33)
л4^1) = я2®/2„.
т.
(1.34)
(1.35)
Для доказательства равенства (1.30) применим математическую индукцию
по т. При т = 1 равенство (1.30) справедливо, так как М^ = #2-
Будем предполагать, что равенство (1.30) имеет место для матрицы
порядка 2т и докажем его справедливость для матрицы порядка 2m+l.
Из равенств (1.31), (1.32) и (1.33) с учетом соотношений (1.34) и (1.35)
имеем
М{{)
M{i) M{m) Af(m+l)
• • yK,2"i+i • • • ук,2"'+| 2Ш+'
#«
(mk
= (h ® М%) . . . (/2 ® М%) . . . (/2 ® М^')(Я2 ® /2-) =
:Я2®(М^)М22т)...М2:)):
: //2 0 //2т — Н2т+1 -
Таким образом, показано, что факторизация (1.30) имеет место.
Пример. Положим т = 2, п = 4. Тогда
я4 = М|)
м
(2)
<
: /2 0 //2 :
//2
о
Л!® = //2®/2=(£
о
//2
/2
-/2
/1
1
о
V0
/1
о
1
V0
1
-1
о
о
о
1
о
1
1
Н\ = H<i <8> И2 =
о
о
1
1
1
о
-1
о
1\
о\
о
1
-ч
о\
1
о
-ч
V
-1 1
1 -1
-1 -1
-1
-1
ч
Особенность каждой из матриц M^l, 1 ^ / ^ m, состоит в том, что
каждый столбец такой матрицы содержит ровно два ненулевых элемента,
равных либо 1, либо — 1. Это свойство позволяет сократить число операций
при умножении вектора-строки на такую матрицу

402
ГЛ. IX. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
В соответствии с равенствами (1.12) и (1.21) с использованием
факторизации (1.30) вычисление преобразований Уолша—Адамара сводится
к умножению векторов-строк на произведение т матриц специфического
вида
(Ф0, Фь • •., Ф2™-1) = (/о, /.,..., fa-x)M$M® . ..М%\
где
Ф/ = Ф(а,-), /i = /to), Л- = /fyi), Fi = F(vi), i=0, 1 2~- 1.
В общем случае умножение 2т-вектора на матрицу порядка 2т
требует 22т операций сложения и умножения. С учетом специфики строения
матриц jWgm, / = 1, 2, ..., m, умножение 2m-вектора-строки на столбец
любой из этих матриц требует одной операции сложения или
вычитания двух чисел. Таким образом, умножение 2т-вектора-строки на
любую из этих матриц требует точно 2т операций сложения или
вычитания двух чисел. Последовательное умножение 2т-вектор-строк на
матрицы М^т, Mf„, ..., Mffi требует т2т операций сложения или вычитания
двух чисел.
§ 2. Вероятностные свойства преобразований Уолша—Адамара
1. Вероятностные свойства преобразований Уолша—Адамара
первого рода. Пусть Х\,Х2, ..., Хт— взаимно независимые случайные
величины, принимающие значения в поле GF(2), и для булевой функции
f(x\, Х2, • • •, хт) определена случайная величина Z = f(X\, Х2, .. •, Хт).
Для заданного вектора и = (и\, 112, ..., ит), щ е GF(2), Ц/^/пи
случайного вектора X = (Х\, Х2, .. •, Хт) скалярное произведение
(и, X) =и{Х{ е...еитХт
представляет собой случайную величину, принимающую значения из
поля GF(2).
Лемма 1. Случайные величины Х\, Х2, ..., Хт, Z взаимно
независимы тогда и только тогда, когда вероятностное
преобразование Уолша—Адамара для булевой функции f удовлетворяет условию
Ф(и) = 0, ueVm. (2.1)
Действительно, если для 8 = 0, 1
N,(u,b) = \{v: f(v)=h (u,v) = b, veVm}\,
то из формулы (1.10) имеем
ф(") = 2^ Ши- °> " Ntu- l) }• ueV- <22)

§2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ УОЛША—АДАМАРА 403
С другой стороны, для условной вероятности имеем выражение
Nf(u, Ь)
~2"
p(z=i|(m,jo = *) = -£^. и^т. (2.3)
Следовательно, равенство условных вероятностей
P(Z = 11(и, X)=0) = P(Z=l\(u,X)=l), (2.4)
эквивалентное содержанию леммы 1, имеет место тогда и только тогда,
когда справедливо равенство (2.1).
Другая лемма, которая будет использована в дальнейшем, обычно
называется линейно-комбинационной леммой. Пусть Y{, У2, ..., Yk,Z —
случайные величины, принимающие значения в поле GF(2) и Y\, У2, ..., Yk
взаимно независимы.
Лемма 2. Случайные величины Y\, У2, ..., Yk, Z взаимно
независимы тогда и только тогда, когда Z не зависит от любой
линейной комбинации
x,yiex2y2e...ex*yb (2.5)
в которой Xi, Х2, ..., Xfc G GF(2) одновременно не равны нулю.
При k = 1 утверждение леммы очевидно. Рассмотрим случай k = 2
и предположим, что Y\, У2, Y\ + Y2 не зависят от Z .
Для всех z таких, что P(Z = z) > 0, выразим условное совместное
распределение Yx и Y2 через условные распределения Y{, Y2, Yx + Y2.
Имеем следующую систему уравнений для условного совместного
распределения Y\ и Y2\
Р(У1 = 1, Y2 = l\Z = z) + P(Y{ = l, Y2=0\Z = z) =
= P(Y{ = l\Z = z) = Pu
P(Y{ = 1, Y2 = l\Z = z) + P(Yl=0, Y2 = l\Z = z) =
= P(Y2 = l\Z = z) = P2,
Р(У1 = 1, y2 = 0|Z = z) + P(y, =0, Y2 = l\Z = z) =
= P(Yi + Y2 = l\Z = z) = Pl(l-P2) + (l-Pi)P2,
P(Y{ = U Y2=Q\Z = z) + P{Yx = 0, Y2=0\Z = z) =
= P(Y2=0\Z = z)=l-P2j
где полагаем
Р1=Р(У1 = 1), Р2 = Р(У2 = 1). (2.7)
(2.6)

404
ГЛ. IX. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
Эта система имеет единственное решение, которое записывается в
следующем виде:
Р(У1=0, Y2 = l\Z
P(Y{ = 1, Y2 = 0\Z
P(Y{=0, Y2 = 0\Z
Р(У1 = 1, Y2 = l\Z
Из независимости Y\ и Y2 и равенств (2.7), (2.8) следует, что Y\, Y2, Z
взаимно независимы.
Для доказательства достаточности применим метод математической
индукции по параметру k. Допустим, что достаточные условия
справедливы для k - 1 слагаемого в (2.5).
Пусть Z не зависит от Xi Y\ ф Х2У2 Ф • • • Ф Х*У* для всех Xi, Х2, ..., Х^,
одновременно не равных нулю. Положим Xi = X2 = 0 и используем
предположение индукции о том, что Уз, ^4, • • •, Yk, Z взаимно независимы. Далее,
выбирая Х2 = 0, отметим, что Y\ не зависит от Уз, ..., Yk, Z. Аналогично,
выбирая последовательно Xi = 0 и Xi =X2, отмечаем, что Y2 и Y\ + У2 не
зависят от Уз, ..., Yk, Z. Теперь для каждого выбора значений Уз, У^ ...
..., Yk, Z строим систему вида (2.6), в которой вероятности вида
P(Yi=yu Y2=y2\Z = z)
заменены на вероятности
P{Yx=yu Y2 = y2\Yz=yz, ..., Yk=yk, Z = z).
Из полученной системы следуют равенства вида (2.8), из которых вытекает,
что Y\ и У2 не зависят от Уз, У4, ..., Yk, Z и, стало быть, Y\, Y2, Уз, • • •
..., Yk, Z взаимно независимы.
Обратно, если Y{, У2, ..., Yk, Z взаимно независимы, то, снова
применяя индукцию по й, имеем
P(xlylex2y2e...ex^y^ = ^, z = o) =
«J
= P(Z = v)^P(X1y,®...®Xft_,n_1=/|Z = v)P(Xftn=H-i|Z = v) =
(=0
= P(X, У, e • • • Ф *.kYk = v)P{z = v),
т. e. Z и X] Y\ ф ... фХЛ взаимно независимы.
Введем теперь понятие корреляционной иммунности булевой функции
и сформулируем и докажем критерий корреляционной иммунности
данного порядка. При доказательстве этого критерия будут использованы две
приведенные выше леммы.
= z) = (l-/>,)/>2,
■■z)=Pi(l-P2),
= г) = (1-Р,)(1-Р2),
■z)=P{P2.
(2.8)

§2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ УОЛША—АДАМАРА 405
Булева функция f(x\, х<±, ..., хт) называется
корреляционно-иммунной k-го порядка, если для взаимно независимых случайных величин
X\,X<i, ..., Хт G GF(2) для любого /^-сочетания 1 ^ j\ < ... < jk ^ пг
случайная величина Z = f(X\, X<i, ..., Хт) не зависит от случайных величин
А),, Xj2, ... XJk. Иначе говоря, для любых 1 ^ j\ < ... < jk ^ т и любых
8, oil, ..., otfc E G/7^) для соответствующих вероятностей имеет место
равенство
P{Z = b) = P(Z = b\Xh =«!,.. .,Ау4=ал). (2.9)
Необходимые и достаточные условия корреляционной иммунности
формулируются в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Булева функция f(x\, Х2, •. •, хт) корреляционно-
иммунна k-го порядка тогда и только тогда, когда для всех и G Vm
таких, что вес Хэмминга W(u) удовлетворяет условию
1 ^W(u)^k, (2.10)
для преобразования Уолта—Адамара первого рода булевой
функции f имеет место равенство
Ф(и)=0. (2.11)
Действительно, при выполнении условий (2.10) и (2.11) для вектора
и = (и\, U2, • • •, ит) при любых 1 ^ /1 < ... < jk ^ m его координаты
вида uh, uh, ..., Ujk одновременно не равны нулю. Поэтому для взаимно
независимых случайных величин Х\, X<i, ..., Хт в соответствии с
равенством (2.4) имеем
P{z = b\uhxh е...е ujkxjk =о) = P(z = *\uhxh e...е ujkxjk = i),
raeZ = /(Jf,J2 U» = 0,l.
В соответствии с леммой 2 случайные величины X-J{, X-n, ...,XJk, Z
взаимно независимы для любых 1 ^ j\ < ... < jk ^ т, т. е. булева
функция f(x\, X2, ..., хт) — корреляционно-иммунная й-го порядка.
Необходимость условий (2.10) и (2.11) для корреляционной
иммунности f(x\, X2, ..., Хщ) доказывается путем проведения в обратном порядке
рассуждений, использованных при доказательстве достаточности.
2. Преобразования Уолша—Адамара второго рода. Пусть и —
фиксированный вектор, и G Vm, и v — случайно равновероятно выбранный
вектор из пространства Vm, (и, v) — случайная величина, представляющая
собой скалярное произведение этих векторов.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Для булевой функции f(v), v G Vm, имеющей
преобразование Уолша—Адамара второго рода F(u), и G Vm, при
фиксированном векторе a G Vm и случайном равновероятном выборе век-

406
ГЛ. IX. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
тора v, вероятности совпадения f(v) с (и, v) или с (и, v) ф 1
определяются следующими формулами
P{f(v) = (u,v)) = ^(\+F(u)), (2.12)
Р(/(У) = («,У)Ф1) = 1(1-£(«)), (2.13)
ие vm.
В силу очевидных равенств
v ' l-i, /(«) = («, о)ei,
из формулы (1.19) находим, что
^(») = 2ЖКУ: /(") = («.")• о€М|-^1{»: /(») = («, о)Ф1, »€Vm}l
Отсюда следует, что
Р(/(и) = (a, v)) - P(f(v) = (щи) ф 1) = /fy),
Р(/(У) = (И, и)) + Р(/(и) = (и, и) Ф 1) = 1.
Из этих равенств следуют равенства (2.12) и (2.13).
Для и = (ии и2, ..., Um), v = (v\, щ, ..., vm), 8 = 0, 1 функция
m
(и, и) + 8 = ^илил + 8 (2.14)
6=1
называется аффинной функцией от переменных ui, t^, •••> Vk. Замена
булевой функции f(v\, щ, ..., vm) аффинной функцией (и, v) ф§,
вероятности совпадения которых при случайном выборе v e Vm определяются
равенствами (2.12) и (2.13), называется аффинной аппроксимацией
булевой функции. Аффинная аппроксимация называется наилучшей, если
вероятности в (2.12) и (2.13) достигают максимального значения.
Максимальное значение вероятностей определяется величиной
a = max\F(u)\. (2.15)
ueVm
Если ио — значение и, при котором достигается максимум \F(u)\, то
наилучшая аппроксимация определяется заменой:
1) f(v) заменяется на (и, v), если P(uq) ^ 0;
2) f(v) заменяется на (и, v) Ф 1, если F(uo) < 0.
В обоих случаях вероятность совпадения f(v) с (и, v) Ф §, 8 = 0, 1, равна
P/(«o) = i(l+a). (2.16)

§2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ УОЛША—АДАМАРА 407
Оценку снизу для вероятности аппроксимации булевой функции можно
получить с использованием следующей леммы.
Лемма 3. Для любой булевой функции f(v), v G Vm, существует
такое и G Vm, что выполнено неравенство
\F(u)\^2-m/2, (2.17)
из которого следует, что для 8 = 0, 1
P(f(v) = (и, v)eb)> i(l +2"m/2). (2.18)
Действительно, если предположить существование неравенства
|%)|<2"т/2
для всех и G Vm, то
uevm
что противоречит равенству (1.27).
Булева функция /(и), v G Vm, называется бент-функцией, если для
всех ueVm выполнено условие
\F(u)\ = 2-m/2. (2.19)
Из равенств (2.12), (2.13) и (2.19) следует, что для бент-функции при
случайном равновероятном выборе v G Vm имеет место равенство
P(f(v) = (и, v) ф 8) = \(\ + 2-т'\ (2.20)
Из равенства (2.19) следует, что бент-функция существует только при
четных значениях т.
Характеризацию бент-функций можно дать с использованием понятия
автокорреляционной функции булевой функции.
Автокорреляционная функция Cj(w) булевой функции f(x), x G Vm,
определяется равенством
С/И = ^Е (-i)fw+f{x+w\ w е vm. (2.21)
xevm
Теорема 3. Булева функция f(x), xeVm является бент-функ-
цией тогда и только тогда, когда для f(x) выполнены следующие
2т равенств:
( I, w = 0,
с'<аИо, -*о. <222)

408 ГЛ. IX. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть f(x) есть бент-функция и, следовательно, для всех w Е Vm имеем
F(w) = ±2~m/2. Рассмотрим булеву функцию g(x), определяемую
равенством
F(w) = (-l)e{x)2-m/2. (2.23)
Из формулы (1.25) имеем
/(*) = ^-^£/»(-1)(*-ш)- (2.24)
wevm
Из равенств (2.23) и (2.24) находим, что
f(x) = \(\-2^2G(x)\ (2.25)
где б(х) — преобразование Уолша—Адамара второго рода, определяемое
равенством (1.19). Из равенства (2.25) следует, что
G(x) = 2"m/2(l - 2f(x)) = 2"m/2(-1)«*>.
Используя соотношение ортогональности (1.28) получаем, что
J2 G(x)G(x + v) = 2~т J2 (-iy{x)+f{x+v) = Cf(v) =
x€Vm x€Vm
Пусть теперь для функции f(x) выполнены равенства (2.22). Эти
равенства представляют собой условия ортогональности вида (1.28) для функции
2-™/2(-!)/(*). в соответствии с леммой 2 § 1 существует булева функция
g(x) такая, что 6(х) =2~т/2(-1)^ является для g(x) преобразованием
Уолша—Адамара второго рода. Используя предыдущие рассуждения,
устанавливаем, что для булевой функции f(x) преобразование
Уолша—Адамара второго рода определяется формулой (2.23). Следовательно, f(x) есть
бент-функция.
Следствие. Булева функция f(x), xeVm, является бент-функ-
цией тогда и только тогда, когда функция f(x) + f(x + w)
сбалансирована для всех ш^О.
Справедливость следствия вытекает непосредственно из равенств
(2.21) и (2.22).
3. Бент-функции и разностные множества. Для булевой функции
f(v), v Е Vm, веса W(f) = k обозначим через С = {с\, с<±, •. •, Ck}
характеристическое множество, т. е. множество таких векторов v пространства Vm,
для которых f(v) = 1. Для некоторого вектора a Е Vm обозначим Са =
= {с\ Ф а, С2 Ф а, ..., Ck Ф а}. Заметим, что Са является
характеристическим множеством функции f(v + а) и Vm \ Са есть множество, на котором
П, 0 = 0,
10, v^O.

§3. КОМБИНАТОРНО-ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА 409
f(v + а) принимает значение, равное нулю. Определим теперь
характеристическое множество функции f(v) +f(v + а). Это множество имеет вид
D = (Cn(Vm\Ca))U(Can(Vm\C)).
Поэтому мощность множества D имеет следующее выражение
|D|=2U7(fl-|CnCe|.
Из следствия из теоремы 3 § 2 вытекает, что если f(x) — бент-функция,
то это условие эквивалентно сбалансированности f(v) + f(v + а) для всех
а ф 0, т. е. в этом случае имеем равенство
2W(f)-\CnCa\=2m-{
для всех а ф 0, т. е.
W(f)=2m-2+l-\CnCa\. (2.26)
Из равенства (2.20) следует, что если f(v) есть бент-функция, то
W(f) = 2m-{ ±2m/2"1. (2.27)
Имеет место следующая теорема.
Теорема 4. Пусть /(и), v G Vm — булева функция веса W(f) =
= k с характеристическим множеством С = {с\, c<i, ..., ck}, Ca =
= {с\ + а, С2 + а, ..., Ck + а}, а е Vm. Тогда
а) при k = 2m_l + 2m/2_l f(v) есть бент-функция тогда и только
тогда, когда \С П Са\ = 2т~2 + 2m/2_l для каждого афО.
б) при k = 2m_l - 2m/2_l f(v) есть бент-функция тогда и только
тогда, когда \С П Са\ = 2т~2 - 2m/2_l для каждого афО.
Доказательство теоремы прямо следует из равенств (2.26) и (2.27).
Следствие. Булева функция /(jc), x€Vm, является бент-функ-
цией тогда и только тогда, когда ее характеристическое
множество является (v, k, \)-разностным множеством над множеством
вычетов {0, 1, ..., v — 1} по модулю v при
v = 2m, k = 2m~l ±2m/2"1, X = 2m-2±2m/2"1.
Из определения (v, k, X)-разностного множества следует, что
характеристическое множество бент-функции является (2т, 2т~1 ±2т/2-1,
2т~2 ± 2т/2_1)-разностным множеством.
§ 3. Комбинаторно-вероятностные свойства дискретных функций
Будем рассматривать дискретные функции, задаваемые
отображениями вида
/: [G/W-> [G/W. гп^п, (3.1)
где [GF(q)]n = GF(q) x ... х GF(q) (п раз), q =р*, р — простое, а —
натуральное числа.

410
ГЛ. IX. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
При q = 2, т = 1 к такому классу дискретных функций относятся
булевы функции, преобразования которых рассматривались в предыдущих
параграфах данной главы.
В данном параграфе будут рассмотрены три свойства дискретных
функций вида (3.1), такие как сбалансированность, координатная
неаффинность и невырожденность. Для случайных функций данного типа будут
оценены вероятности событий, состоящих в том, что функция обладает
одним или несколькими из этих свойств.
1. Сбалансированность. Функция /, заданная отображением вида
(3.1), называется сбалансированной, если для любого у G [GF(q)]m
1Г' (У)I = \U- f(x) = У, х 6 [GF(q)]"}\ = q"-m, (3.2)
т. е. мощность полного прообраза у равна qn~m.
Для числа сбалансированных функций вида (3.1) Dnm(q) имеет место
формула
Dnm{q) = ^qn-my]qm • (3'3)
Действительно, в силу условия (3.2) каждой сбалансированной
функции / ставится в соответствие разбиение ^-множества на qm блоков
величины qn~m. Отсюда следует формула (3.3).
При q = 2, т = 1 из формулы (3.3) следует выражение для числа
сбалансированных булевых функций
D„,(2) = (2„2:1). (3.4)
2. Координатная неаффинность. Пусть функция / задана
отображением (3.1), y = f(x),
х=(хи...,хп)е [GF(q)]\ y=(yu...,ym)e [GF(q)r.
Функция / называется координатно неаффинной, если для любого /,
1 ^ / ^ т, не существует такого вектора h = (h\, ..., hn) G [GF(q)]n и
такого элемента a G GF(q), что для каждого х G [GF(q)]n выполнено условие
у{ = (К х) + а, (3.5)
где (Л, х) — скалярное произведение Них. При а = 0 координатная
неаффинность означает координатную нелинейность.
На множестве сбалансированных функций вида (3.1) зададим
равномерное вероятностное распределение и рассмотрим случайную величину
\пт, равную числу координат #;, 1 ^ / ^ т, для которых сбалансированная
функция является неаффинной.

§3. КОМБИНАТОРНО-ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА 411
Лемма 1. Вероятностное распределение случайной
величины \пт имеет вид
т
P(5nm = r)=^(-ir-rQBv(n, m), г = 0, 1 т, (3.6)
где Bv(n, m) есть v-tf биномиальный момент %пт, определяемый
формулой
1*(пп-Л\\(пп-т\\\чт-<1т vv_1
Я (г, т\- (т\ gV~V>! К? )'Г "" П^« /А
flv(n,m)-(J ^ Ц(</ -</),
/= 1
v = 0, 1 m.
Сначала выведем формулу (3.7).
Пусть Ei — событие, состоящее в том, что для случайной
сбалансированной функции / вида (3.1) выход уи 1 ^ / ^ т, является аффинным.
Тогда в соответствии с формулой (2.19) главы VI имеем
Bv(az, т)= J2 Р^ п • • •п Е1*У <3'8)
l</i<...</v<m
Вычислим теперь вероятности P{Ei{ Г\ ... Г\ £/v), 1 ^ i\ < ... < /v ^ m,
v = 1, 2, ..., т. Рассмотрим функцию
r:[GF{q)]n^[GF{q)\\
являющуюся ограничением функции / на выходных значениях */;,, ..., */;v,
1 ^ /i < ... < /v ^ m, которые являются аффинными. Для
сбалансированности / отображение /* должно быть невырожденным. Отсюда следует, что
число таких функций /* равно
v-l
q" ■ l[(qn - ql). (3.9)
i=\
Каждым фиксированным выходным значениям */;,, ..., у^ функции /*
соответствуют qn~* выходных значений. Для того чтобы / была
сбалансирована, остальные т — v выходов должны принимать каждое из qm~*
возможных значений по qn~m раз каждое. Отсюда следует, что при заданном
отображении /* функцию / можно достроить числом способов, равным
W >• И \г\\
[(qn-my]q«-* ' ^ ^
Перемножая выражения (3.9) и (3.10) и деля полученный результат на
Dnm{q) с учетом формулы (3.3), получаем, что
/>(£,, п... П Б,) = 1« >!"' )'1 П^" - «*>• (3-11)
Теперь формула (3.7) следует из равенств (3.8) и (3.11).

412
ГЛ. IX. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
Выражение (3.6) для распределения \пт через биномиальные моменты
следует из формулы (2.21) главы VI.
Следствие. Среднее значение случайной величины \пт
определяется формулой
Щшп = mq{qn - \)^—hM-M , (3.12)
из которой следует, что для всех т^п при п —> оо выполнено
соотношение
М1пт^0. (3.13)
Равенство (3.12) следует из формулы (3.7) при v= 1.
Соотношение (3.13) вытекает из равенства (3.12) после применения к оценке его
правой части формулы Стирлинга.
На множестве всех функций / вида (3.1) зададим равномерное
вероятностное распределение и рассмотрим случайные события Апт и Впт,
состоящие в том, что случайно выбранная функция, соответственно,
сбалансирована и координатно неаффинна. Обозначим через Р(Впт \ Апт)
условную вероятность того, что случайно выбранная функция / координатно
неаффинна при условии, что она сбалансирована.
Лемма 2. Для любых т^п при я —> оо для условной
вероятности Р(Впт\Апт) выполнено соотношение
Р{Впт\Апт)^\. (3.14)
Соотношение (3.14) следует из соотношения
Р(Впт I Km) = P(lnm = 0) ^ 1 - М\пт (3.15)
и свойства (3.13).
3. Невырожденность. Пусть функция /, заданная отображением (3.1),
записана в виде
y = f(x), xe[GF(q)f
WX={X\, Х2 Хп), У = (У\, У2, -.., Ут)-
Функция yi = yi(x\, x<i, ..., хп) называется вырожденной по
переменной Xj, 1 </' ^ А2, если для любых а т^р, а, (3 £ GF(q), и любых
значениях переменных х\, ..., а:/ i, х-}+\, ..., хп имеет место равенство
yi(x\ Xj-u «, Xj+\ xn)=yi(x\ Xj-u p, Xj+\ xn),
1 < / < n.
Функция у\ называется невырожденной, если она не является
вырожденной по каждой из переменных х\, ЛГ2, • •, хп.
Функция / называется невырожденной, если она является
невырожденной для каждого у\, */2, • • •, Ут-

§3. КОМБИНАТОРНО-ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА 413
Для случайной равновероятной функции / обозначим через Спт
событие, состоящее в том, что функция / является невырожденной. Если
С„| — событие, состоящее в том, что *//, 1 < / < /п, является
невырожденной, то в силу симметрии
Р(С^) = />(С<2>) = ... = Р{(%?) = Р(Сп]).
Так как события Cj^, CJ^, ..., Cffl независимы, то для вероятности
невырожденности Р(Спт) функции / имеем выражение
Р(Спт) = [Р(Сп])]т. (3.16)
Для определения вероятности Р(Сп\) применим метод
включения—исключения так же, как в §2 гл. И. В результате находим, что
Р{СпХ) = ^{-\у{пуч-Г (3.17)
/=о
Применяя неравенство Бонферрони, из равенств (3.16) и (3.17) получаем
P(Cnm)>(l--^^)m. (3.18)
Используя неравенство Бернулли
(1 -z)m>\ -mz, 0<z< 1,
из неравенства (3.18) получаем
Полученные результаты позволяют доказать следующую теорему.
Теорема. Для случайной равновероятной функции, заданной
отображением (3.1), при я —> оо соотношение
Р(ВптПСпт\Апт)^1 (3.20)
имеет место при выполнении следующих условий:
а) для 1 ^ т ^ п — 3 при всех q^2,
б) для т = п - 2, п - 1 при всех q^?>,
в) для т = п при всех q^4.
Нетрудно убедиться, что справедливо следующее неравенство
Р(ВПт П Спт \Апт)> Р(Впт \Апт)- 1 ~^(СГ) • (3.21)
гуппт)
В силу соотношения (3.14) для доказательства (3.20) достаточно показать,
что при выполнении условий теоремы и п —> оо имеем
l~P(AnJ]^°- (3'22)

414
ГЛ. IX. ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
Из формулы (3.3) и неравенства (3.19), применяя формулу Стирлинга,
находим, что
l-P(Cnm) ^ тп ( ^ф^ \<Г
Р(Апт) %"/2 ^to-l)*-"-' ) ' (6'М)
если т ^ п и п достаточно большое. Тогда соотношение (3.22) имеет место
при п —> оо, если
V/2^z^<^-1^"m"'. (3.24)
Непосредственной проверкой из неравенства (3.24) следует достаточность
условий теоремы для выполнения соотношения (3.22) и, стало быть,
соотношения (3.20).
ЗАДАЧИ
1. Если на множестве функций / вида
f:[GF{q)Y^GF{q)
задано равномерное вероятностное распределение и Сп\ — событие, состоящее
в том, что случайно выбранная функция / невырождена, то для вероятности
такого события Р(Сп\) имеет место соотношение
EGK<"+^(c„,)=i.
2. Пусть Nnm — число функций / вида
/: [GF{2)]n^>[GF{2)]m,
удовлетворяющих одновременно требованиям невырожденности и координатной
неаффинности. Тогда
Nnm = {EnA -2)w,
где
3. Пусть Qn — число функций / вида
/: [GF{2)]n -> GF(2),
являющихся одновременно сбалансированными, невырожденными и координатно
неаффинными. Тогда
где
^ = (£,)-2"+,+2-

ЛИТЕРАТУРА
1. Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982.
2. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. М.: Наука, 1974.
3. Белов В. В., Воробьев Е. М., Шаталов В. Е. Теория графов. М.:
Высшая школа, 1976.
4. Б е р ж К. Теория графов и ее применения. М.: ИЛ, 1962.
5. Боровков А. А. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1972.
6. Б р е й н Н. Г. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961.
7. В и л е н к и н Н. Я. Комбинаторика. М.: Наука, 1969.
8. В и л е н к и н Н. Я. Популярная комбинаторика. М.: Наука, 1975.
9. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1969.
10. Гавр ил о в Г. П., Сапоженко А. А. Сборник задач по дискретной
математике. М.: Наука, 1977.
11. Ге л ь ф о н д А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.
12. Гончаров В. Л. Из области комбинаторики // Изв. АН СССР. Сер. матем.
1944. Т. 8, №>1. С. 3—48.
13. Гульден Я., Джексон Д. Перечислительная комбинаторика. М.:
Наука, 1990.
14. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики / Под ред.
С.В.Яблонского и О. Б.Лупанова. М.: Наука, 1974.
15. Е г о р ы ч е в Г. П. Интегральное представление и вычисление
комбинаторных сумм. Новосибирск: Наука, 1977.
16. Ежов И. И., Скороход А. В., Ядрен ко М. И. Элементы
комбинаторики. М.: Наука, 1977.
17. Избранные задачи из журнала «American Mathematical Monthly». M.: Мир,
1977.
18. К а л у ж н и н Л. А. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1973.
19. Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и
математическая статистика. М.: Высшая школа, 1973.
20. Ко л чин В. Ф., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Случайные
размещения. М.: Наука, 1976.
21. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения / Под ред. К. А. Рыбникова. М.:
Наука, 1982.
22. К о с т р и к и н А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
23. К о ф м а н А. Введение в прикладную комбинаторику. М.: Наука, 1975.
24. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т. 1,2. М.: Мир, 1988.

416
ЛИТЕРАТУРА
25. Мак-В иль ямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов,
исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979.
26. Маркус М., Мин к X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств.
М.: Наука, 1972.
27. Минк X. Перманенты. М.: Мир, 1982.
28. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1968.
29. Основы кибернетики. Математические основы кибернетики / Под ред.
К. А. Пупкова. М.: Высшая школа, 1974.
30. Перечислительные задачи комбинаторного анализа. М.: Мир, 1979.
31. Платонов М. Л. Комбинаторные числа класса отображений и их
приложения. М.: Наука, 1979.
32. Постников А. Г Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука,
1971.
33. Прикладная комбинаторная математика / Под ред. Э. Беккенбаха. М.: Мир,
1968.
34. Проблемы комбинаторного анализа. М.: Мир, 1980.
35. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. М.: Наука,
1973.
36. Р а й з е р Г Д ж. Комбинаторная математика. М.: Мир, 1966.
37. Р и о р д а н Д ж. Введение в комбинаторный анализ. М.: ИЛ, 1963.
38. Р и о р д а н Д ж. Комбинаторные тождества. М.: Наука, 1982.
39. Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. М.: Изд-во МГУ,
1972.
40. Савельев Л. Я. Комбинаторика и вероятность. Новосибирск: Наука,
1975.
41. Сачков В. Н. Вероятностные методы в комбинаторном анализе. М.: Наука,
1978.
42. Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной математики. М.: Наука,
1977.
43. Сачков В. Н., Тараканов В. Е. Комбинаторика неотрицательных
матриц. М.: ТВП, 2000.
44. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной
переменной. М.: Наука, 1967.
45. Севастьянов Б. А., Чистяков В. П., Зубков A.M. Сборник
задач по теории вероятностей. М.: Наука, 1980.
46. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990.
47. У и л с о н Р. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977.
48. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. I. M.:
Мир, 1967.
49. Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. Т. 1—3. М.: Наука, 1969.
50. X а р а р и Ф. Теория графов. М.: ИЛ, 1963.
51. Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. М.: Мир, 1977.
52. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.
53. Холл М . Комбинаторный анализ. М.: ИЛ, 1963.

ЛИТЕРАТУРА
417
54. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1978.
55. Эндрю с Г. Теория разбиений. М.: Наука, 1982.
56. Э р д ё ш П., Спенсер Д ж. Вероятностные методы в комбинаторике. М.:
Мир, 1976.
57. Яблонский СВ. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1979.
58. Barton D. Е., D a v i d F. N. Combinatorial chance. N. Y.: Hafner Publishing
Co., 1962.
59. Curtiss I. H. A note on the theory of moment generating functions // Ann.
Math. Statist. 1942. V. 13, №3. P. 430—433.
60. Goldman J. R., R о t a G. - C. On the foundations of combinatorial theory.
IV: Finite vector spaces and eulerial generating functions // Studies in Appl.
Math. 1970. V. 49. P. 239—258.
61. L о v a s z L. Combinatorial problems and exercises. Amsterdam—N. Y.: North-
Holland Publishing Co., 1979.
62. Moon J. W., S о b e 1 M. Enumerating a class of nested group testing
procedures // J. Combinatorial Theory. Ser. B. 1977. V. 23. P. 184—188.
63. N i s h i A. An elementary proof of Johnson—Dulmage—Mendelsohns
refinement of Birkhoffs theorem on doubly stochastic matrices // Canad. Math.
Bull. 1979. V. 22, № 1. P. 81—86.
64. Niven I. Formal power series // Amer. Math. Monthly. 1969. V. 76.
P. 871—889.
65. Prufer A. Neuer Beweis eines Satzes uber Permutationen // Archiv der
Mathem. und Physik. 1918. V. 27. P. 742—744.
66. R ё n у i A. On a problem in information theory // Magyar Tud. Akad. Mat.
Kutato Int. Kozl. 1961. V. 6. P. 505—516.
67. R ё n у i A. On a random generating elements of finite boolean algebra // Acta
Sci. Math. Szeged. 1961. V. 22. P. 75—81.
68. R enyi A. On the theory of random search // Bull. Amer. Math. Soc. 1965.
V. 71, №6. P. 809—828.
69. S а с h k о v V. N. Combinatorial methods in discrete mathematics. Cambridge:
Cambridge University Press, 1996. (Encyclopedia of Mathematics and its
Applications; V. 55).
70. S а с h k о v V. N. Probabilistic methods in combinatorial analysis. Cambridge:
Cambridge University Press, 1997. (Encyclopedia of Mathematics and its
Applications; V. 56).

предметный указатель
Алгоритм Прюфера 170
Аппелево множество 107
Асимптотический ряд степенной 138
Аффинная аппроксимация булевой
функции 406
Базисная последовательность 102
Бент-функция 407
Блок 200
— покрытия 11, 278
— связного графа 200
Блок-схема 377
— полная (неполная) 379
— сбалансированная 378
Булеан 24
Быстрое преобразование Уолша—
Ада мара 400
Вектор инцидентности 16
Вес конфигураций 249
— фигур 249
Весовая спецификация 250
Возрастание (убывание)
перестановки 116, 300
Вполне разделяющее семейство
подмножеств 15
Гиперграф 14
Граф 14, 113
— двудольный 18
— корневой 201
— однородный 157
— плоский 157
— Пойа 177
— полный 157
— преобразования 189
Граф с помеченными вершинами 160
— связный 113, 158
— Ферре 239
— частичный 158
— четный 163
Группа знакопеременная 55
— подстановок 50
— симметрическая 50
— степенная 210
Групповые проверочные процедуры
145
Декомпозиция матрицы 363
Декремент 55, 188
Денумерант 240
Дерево 113, 168
— корневое 114, 170
— остовное 169
— с помеченными вершинами 113
— свободное 115, 170
Дзета-функция 74
Диаграмма Ферре 134
Дискретная функция 409
Дихотомия 27
Дуга 18
Задача Андре 98
— о циклических
последовательностях 76
— об ожерельях 255
— поиска 329
Законы де Моргана 11
Инверсии бинарных
последовательностей 135
Инверсия 297

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
419
Инволюция 109, 185
Индекс покрытия 356
Индикатор 24
Инцидентные вершины 157
Класс графов 1-го (2-го) рода 160
— транзитивности 51
Кластер 289
Комбинаторная схема 215
Коммутативный несимметричный
я-базис217, 218
— симметричный я-базис 218
Компонента преобразования 189
— связности 158, 189
Конгруэнтные циклы 187
Конечная проективная плоскость
392
Контур 159, 189
Конфигурация 249
Координатно неаффинная булева
функция 410
Корреляционно-иммунная булева
функция 405
Коэффициент биномиальный 37, 39
— полиномиальный 39
Коэффициенты Гаусса 122
Кронекерово произведение 386
Латинский квадрат 84, 352, 388
— прямоугольник 84, 352
Латинское свойство матрицы 390
Лемма Бернсайда 209
Лес 169, 171
Линейно-комбинационная лемма 403
Линия 356
— матрицы 272
Матрица Адамара 384
— вполне неразложимая 355
— дважды стохастическая 360
— импримитивная 354
— инцидентности 26, 351, 376
— неотрицательная 349
— неразложимая 353
— /^-неразложимая 374
— нормальная 382
— положительная 349
Матрица почти разложимая 371
— примитивная 354
— разложимая 353
— Сильвестра—Ада мара 396
, факторизация 400
— смежности графа 157
— стохастическая 360
— тепли цева 340
— частично разложимая 355
Место 249
Метод включения—исключения 63
Многочлен Аппеля 109
— Бернулли 107
— Лежандра 112
— Моргана 141
Мультиграф 160
Мультимножество 21
Невырожденная дискретная функция
412
Некоммутативный несимметричный
я-базис 217
— симметричный я-базис 218
Неравенства Бонферрони 70
Неравенство Фишера 380
Нумератор 182, 219, 228, 235, 245
Область транзитивности 209
Ожерелье 255
Орбита группы 209
— подстановки 51, 178
Орграф 159
Период вектора 76
Перманент 331
Петля 189
Подграф 158
Подстановка 50
— противоречивая 83
— четная (нечетная) 188
Покрытие матрицы 356
— минимальное 280
— множества 11, 278
— с повторениями 286
минимальное 288
Поле Галуа 36
Правило произведения 20

420
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Правило суммы 12
Преобразование Уолша—Адамара
второго рода 398
первого рода 397
Производящая функция 102, 103
Дирихле 151
Эйлера 125
Путь 159, 189
Равенство Парсеваля 399
Разбиение множества 11, 130, 278
— случайное 310
— совершенное 242
— сопряженное 239
— упорядоченное 12
— числа 24, 106
Разбиения чисел с ограничениями
133
Разделяющая система множеств 320
функций 325
Разложение Лапласа 336
— перманента 335
Размещение 235
Расстояние Хэмминга 67
Рекуррентное уравнение 91, 341
Решетка матрицы 349
Сбалансированная булева функция
397
Серия 223
Сигнатура 28
Система инцидентности 376
— образующих 30, 176, 320, 322
— представителей 217
— троек 381
Штейнера 381
Слой дерева 114, 168
Спецификация первичная
(вторичная) 21, 170
Стабилизатор 209, 213
Схема без возвращения 324
Теорема Куртисса 293
— Пойа 250
— Фробениуса 354
— Шпернера 13
Тестирование 15
Точка сочленения 200
Трансверсаль 351
Транспозиция 52, 176
Урновая схема 215
Уровневое множество 325
Усиленная независимость 161, 166
Фигура 249
Формальные тригонометрические
функции 97
Формальный степенной ряд 87
Формула Бине—Коши 338
— биномиальная 37
— Гаусса 83
— Добинского 48, 132, 247
— обращения 41
— полиномиальная 39
— Сильвестра 80
— Стирлинга 138
Функция Мёбиуса 74
— Шура 332
— Эйлера 37, 82
Характеристика 249
Цепь 113, 158
— простая 158
Цикл 113, 158
— подстановки 51, 178
— простой 158
Циклическая вершина 189
— (и, &, Х)-конфигурация 383
Циклический индекс 54
— элемент 189
Цикловый индикатор 179
— класс 52
максимальный (минимальный)
207
Цикломатическое число 169
Числа Белла 131, 246
— Берну лл и 100, 107
— Галуа 123
— Катала на 144
— Лаха 154
— Моргана 46

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
421
Числа Стирлинга первого (второго)
рода) 47, 249
— Фибоначчи 25, 340
— Эйлера 101
Эйлеров граф 164
Энтропия 327
А-подстановка 184
Л-преобразование 190
/^-преобразование 196
/^-перестановка 98
G-эквивалентность 211
G//-эквивалентность 208
//-эквивалентность 212
О-перестановка 98
т-выборка 217, 227, 234, 243
т-ка 18
т-мультимножество 21
т-последовательность 18
т-размещение 20
— с повторениями 20
т-сочетание 13, 218
— с повторением 21
п-базис 217
п- множество 10
п-перестановка 20
(п, т)-граф 160
^-биномиальная формула 129
<7-ичное разложение 37
/-схема 387
(и, /е, X)-конфигурация 382
(и, /е, X)-разностное множество 383
Л-граф 161, 165
Л-подстановка 182
0,1-матрица 275