STUDIES IN LOGIC
AND
THE FOUNDATIONS OF MATHEMATICS
Volume 81
PROOF THEORY
GAISI TAKEUTI
Professor of Mathematics
The University of Illinois
Urbana, Illinois, U. S. A.
1975
NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY - AMSTERDAM-LONDON
AMERICAN ELSEVIER PUBLISHING COMPANY, INC.-NEW YORK
Г. ТАКЕУТИ
ТЕОРИЯ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
Перевод с английского
С. К. СОБОЛЕВА
под редакцией
С. И. АДЯНА
0
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1978
УДК 517.11,517.12
Книга посвящена одному из основных разделов математиче-
ской логики — теории доказательств. Кроме традиционных резуль-
татов по системам первого порядка, таких, как устранимость се-
чений и полнота интуиционистского и классического исчислений
предикатов, неполнота и непротиворечивость арифметики, в книге
приводятся недавние достижения в этой области, включая дока-
зательства устранимости сечений в простой теории типов и не-
противоречивости ограниченной части математическою анализа.
Большое место уделено инфинитарной логике — логике с беско-
нечно длинными формулами. Многие из приведенных результатов
принадлежат самому автору, известному специалисту по теории
доказательств.
Книга будет полезна специалистам по математической логике,
студентам, аспирантам и всем тем, кто интересуется вопросами
оснований математики и математической логикой.
Редакция литературы по математическим наукам
20203-009
041(01)—78
© North-Holland Publishing Company—1975
© Перевод на русский язык, «Мир», 1978
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Книга профессора Иллинойского университета Г. Такеути
«Теория доказательств» наряду с классическими результатами
теории доказательств для исчисления предикатов и арифметики
первого порядка (часть I) содержит изложение соответствую-
щих вопросов для исчислений предикатов высших порядков
и для систем, основанных на инфинитарных языках (части II
и III). В части III излагается основанное на принадлежащей
самому автору теории ординальных диаграмм доказательство
непротиворечивости некоторых вариантов арифметики второго
порядка. Читателю будут интересны также содержащиеся почти
во всех главах высказывания общего характера, отражающие
точку зрения автора по вопросам оснований математики.
В течение многих столетий математики доказывали теоремы,
не испытывая при этом нужды в теории доказательств. Потреб-
ность в теории доказательств по-настоящему возникает лишь
тогда, когда требуется убедиться, что в рамках рассматривае-
мой математической теории невозможно доказать то или иное
предложение. Для обоснования таких отрицательных утверж-
дений уже нужно иметь точное определение понятия доказа-
тельства в рассматриваемой теории, чтобы исследовать те или
иные общие свойства таких доказательств и их структуру. Та-
кого рода вопросы особенно остро встали в начале нашего сто-
летия в связи с трудностями, которые выявились тогда в вопро-
сах оснований математики. Предложенный Гильбертом аксио-
матический метод сулил радужные перспективы на пути
доказательства непротиворечивости математики и во всяком
случае указывал некоторый путь уточнения понятия доказатель-
ства. За этим последовало бурное развитие математической ло-
гики, и особенно тех ее вопросов, которые относятся к теории
доказательств.
В тридцатых годах стало ясно, что программу Гильберта
обоснования математики реализовать в полной мере невозмож-
6
Предисловие редактора перевода
но, но к этому времени уже сформировались основные идеи тео-
рии доказательств и были намечены пути частичной реализации
этой программы. Логическим следствием исследований того
времени по теории доказательств явилась, в частности, выработка
точного определения понятия алгоритма, что позволило в даль-
нейшем установить неразрешимость многих алгоритмических
проблем в различных традиционных разделах математики. Тем
самым теория доказательств внесла весьма существенный вклад
в развитие самой математики. В настоящее время идеи теории
доказательств не только влияют на развитие математики, но
и глубоко проникают в различные ее разделы. Например, изве-
стная лемма П. С. Новикова об исключении вставок правильных
проходных букв в выводах равенств в групповых исчислениях
(см. Труды Математического института им. В. А. Стеклова,
т. 44, 1955 г.) является аналогом доказываемой в настоящей
книге теоремы Г. Генцена об устранении сечений в логическом
выводе. Многие другие конкретные исследования, связанные
с доказательством невозможности вывода тех или иных соот-
ношений в алгебраических системах, задаваемых с помощью
тождественных или определяющих соотношений, также можно
рассматривать как фрагменты теории доказательств, развитой
для алгебраических систем данного класса. Нет сомнений
в том, что влияние идей теории доказательств на математику
в будущем будет расширяться. Возможно, это и имеет в виду
автор, отмечающий в конце введения, что «нам еще предстоит
увидеть, какое влияние на математику окажет теория доказа-
тельств».
Автор любезно предоставил нам список замеченных опечаток
и неточностей. Соответствующие изменения были внесены в текст
без примечаний. Кроме того, мы позволили себе привести терми-
нологию в соответствие с принятой в советской литературе.
Книгу*Г. Такеути можно рекомендовать студентам, аспиран-
там и научным работникам, специализирующимся по математи-
ческой логике, а также всем, кто проявляет серьезный интерес
к вопросам оснований математики. Она может служить осно-
вой для специальных курсов в университетах и пединститутах.
С. И. Адян
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга написана на основе лекций, прочитанных мной
летом 1968 г. на симпозиуме по интуиционизму и теории дока-
зательств в г. Буффало. В подготовке текста лекций, распро-
странявшегося на этом симпозиуме, мне помогали профессор
Джон Майхилл и Акико Кино. Марико Ясуги помог расширить
и переработать первоначальный вариант. Эта работа была за-
вершена летом 1971 г. Тогда же Джеффери Цукер прочитал
первые три главы и внес в них ряд улучшений, особенно в гл. 2,
а мой коллега Уилсон Заринг помог при редактировании окон-
чательного варианта гл. 4—6.
Я выражаю глубокую признательность всем, кто внес свой
вклад в работу над этой книгой, включая сотрудников нашего
отдела, которые перепечатывали различные варианты рукописи
для моих слушателей.
Гаиси Такеути
Урбана, март 1975
ВВЕДЕНИЕ
Математика представляет собой совокупность доказательств.
Это верно независимо от того, какой точки зрения на матема-
тику мы придерживаемся — платонизма, антиплатонизма, ин-
туиционизма, формализма, номинализма и т. д. Поэтому
формализация математических доказательств и изучение их
структуры являются плодотворным методом исследования мате-
матики. Именно этим и занимается теория доказательств.
Начало теории доказательств положил Д. Гильберт, когда
пытался доказать непротиворечивость математики. Его подход
был позднее развит в блестящих работах Г. Генцена. Данная
книга посвящена изложению теории доказательств в стиле этих
последних.
В части I книги излагается теория доказательств для фор-
мальных систем первого порядка. В гл. 1 рассматривается ис-
числение предикатов первого порядка; центральное место здесь
занимает теорема Генцена об устранении сечений. Эта теорема
имеет многочисленные следствия, например различные интер-
поляционные теоремы. В этой же главе мы доказываем с по-
мощью редукционных деревьев (следуя Шютте) полноту клас-
сического исчисления цредикатов, а затем, приспосабливая этот
метод для семантики Крипке, устанавливаем полноту интуицио-
нистского исчисления предикатов.
В гл. 5 изучается теория натуральных чисел; главными ре-
зультатами здесь являются теорема Гёделя о неполноте и ген-
ценовское доказательство непротиворечивости арифметики. По-
скольку автор полагает, что подлинное значение генценовского
доказательства непротиворечивости до сих пор не понято до
конца, он включил в гл. 2 некоторые философские рассуждения
на эту тему. Автор считает, что финитарный подход Гильберта —
Генцена с «мысленными экспериментами» (Gedankenexperimen-
ten), включающими в себя конечные (и конкретные) операции
Введение
9
над конкретно заданными фигурами (и последовательностями
таких фигур), является наиболее важным в вопросах оснований
математики.
Часть II посвящена исчислениям предикатов высших порядков
и инфинитарным языкам. В гл. 3 рассматривается семантика
систем конечного порядка и доказывается теорема об устране-
нии сечений для них (по Тэйту, Такахаси и Правитцу). Так как
исчисления конечных типов не полны и в них может быть форма-
лизована большая часть традиционной математики, то нам очень
хотелось бы увидеть продвижение в исследовании значения тео-
ремы об устранении сечений в таких системах.
Значение систем, основанных на инфинитарных языках, ко-
торым посвящена гл. 4, состоит в том, что для таких систем
с однородными кванторами справедлива теорема об устранении
сечений, они полны и являются при этом системами суще-
ственно второго порядка. Однако для систем с неоднородными
кванторами ситуация остается довольно неопределенной. Мы
предлагаем здесь некоторую базисную систему неоднородных
кванторов, которая представляется разумной и для которой
справедливо свойство так называемой слабой полноты. Однако
наша система, по-видимому, не полна. Небольшая модификация
этой системы приводит к системе, которая тесно связана с ак-
сиомой детерминированности (AD). Поэтому задача о расши-
рении нашей системы с целью получить (корректную и) полную
систему связана с этой аксиомой AD.
Пусть М — некоторая транзитивная модель системы ZF+DC,
содержащая Р(со) (DC — аксиома зависимого выбора). Пока-
зывается, что следующие два утверждения эквивалентны:
1) в М выполняется AD и 2) для всякой М-определимой детер-
минированной логики справедлива теорема об устранении сече-
ний. Этот факт приводит к интересному направлению в изучении
инфинитарных языков.
Часть III книги посвящена доказательствам непротиворечи-
вости для систем, которыми занимался автор.
Мы старались избежать повторения материала других книг.
Так, например, мы не привели результаты, содержащиеся
в книге Шютте (К. Schutte, Beweistheorie, Springer-Verlag,
I960), хотя значительная ее часть представляет собой теорию
доказательств в стиле Генцена. Тем, кого интересуют другие
подходы к теории доказательств, мы советуем обратиться к ра-
боте Крайзеля (G. Kreisel, Survey of Proof Theory, I and II.
Journal of Symbolic Logic (1968)) и к сборнику Proceedings of
the Second Scandinavian Logic Symposium, ed. J. E. Fenstad,
North-Holland, Amsterdam, 1971. Мы особенно старались ясно
изложить нашу позицию в области оснований математики. По
Нашему мнению, при исследовании оснований математики (если
10	Введение
не ограничиваться проблемами непротиворечивости) с фило-
софской точки зрения важно изучать и прояснять структуру ма-
тематических доказательств.
Касаясь вопроса о влиянии исследований по основаниям
математики на саму математику, отметим, что в то время, как,
например, теория множеств уже внесла существенный вклад
в развитие современной математики, нам еще предстоит уви-
деть, какое влияние на математику окажет теория дока-
зательств.
Мы не пытались дать исчерпывающие ссылки на литературу,
хотя с некоторыми теоремами связали определенные имена.
Кроме того, в тексте книги дано несколько ссылок на литера-
туру в дополнение к приведенным выше.
ЧАСТЬ 1
СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ГЛАВА 1
ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В этой главе мы опишем удобную для наших целей генце-
новскую формализацию исчисления предикатов первого по-
рядка LK, а также формализацию интуиционистской логики —
исчисление LJ. Затем мы изложим доказательства теорем об
устранении сечений для систем LK и LJ и приложения этих
теорем.
§ 1.	Формализация суждений
При формализации логики в качестве первого шага необхо*
димо точно описать формальный язык.
Определение 1.1. Формальный язык первого порядка состоит
из следующих символов.
1)	Константы:
1.1)	Индивидные константы: kQ, kit ..., kj, ... (/ = 0, 1,2, ...).
1.2)	Функциональные константы (/-местные): fj, ..., fj,...
(/ = 1, 2, ...; j = 0, 1,2,...).
1.3)	Предикатные константы (/-местные): /?о, R\, ..., Rp ...
(z = 0, 1, 2, . . .; J = 0, 1, 2, ...).
2)	Переменные:
2.1)	Свободные переменные: а0, at, ..., at, ... (/=0, 1, 2, ...).
2.2)	Связанные переменные: х0,*1, ..., Xj, ... (/ = 0, 1,2,...).
3)	Логические символы:
~| (не), Д (и), V (или), гэ (влечет), V (для всех) и 3 (суще-
ствует). Первые четыре символа называются пропозицио-
нальными связками, а последние два — кванторами.
4)	Вспомогательные символы:
левая скобка (, правая скобка) и запятая,.
Мы говорим, что задан некоторый язык первого порядка L,
если заданы все его константы. В дальнейшем в наших рас-
суждениях язык L будет фиксирован, и поэтому мы не будем
каждый раз его указывать.
12
?л. 1. Исчисление предикатов первого порядка
У нас нет оснований ограничивать мощность множеств раз-
личных видов символов числом Ко. Но обычно изложение эле-
ментарной логики начинают с рассмотрения языков, имеющих
счетное число символов, которые упорядочены по типу <о.
Поэтому на некоторое время мы предположим, что язык состоит
из указанных выше символов, хотя позже рассмотрим различ-
ные другие типы языков. В любом случае существенно, что
каждое множество переменных бесконечно и что существует по
крайней мере одна предикатная константа. Другие множества
констант могут иметь произвольную мощность и, в частности,
могут быть пустыми.
Мы примем некоторые соглашения относительно обозначений.
Например, верхние индексы в символах из 1.2) и 1.3) мы обычно
будем опускать, а символы из 1) и 2) будем употреблять и как
метасимволы, и как формальные символы. Буквы g, h, . . . мы
будем использовать в качестве символов для функциональных
констант, буквы а, Ь, с, ...—для свободных переменных,
а буквы х, у, z, ... — для связанных переменных.
Всякая конечная последовательность символов (из языка L)
называется выражением (этого языка).
Определение 1.2. Термы определяются индуктивно (рекур-
сивно) следующим образом:
1)	всякая индивидная константа есть терм;
2)	всякая свободная переменная есть терм;
3)	если fl есть г-местная функциональная константа и
..., It — термы, то f1 (/ь ..., it) также есть терм;
4)	термами являются только те выражения, которые полу-
чены согласно пп. 1) — 3).
Термы часто обозначаются буквами t, s, В, ... .
Поскольку в теории доказательств часто встречаются такие
индуктивные (рекурсивные) определения, как определение 1.2,
мы не будем каждый раз явно указывать на их индуктивный
характер. Мы будем также опускать последний пункт, который
утверждает, что это определение задает только те объекты,
которые получены согласно предыдущим пунктам.
Определение 1.3. Если R1 есть z-местная предикатная кон-
станта и th ..., tt — термы, то выражение R‘ (tj..tt) назы-
вается атомарной формулой. Формулы и их внешние логические
символы определяются индуктивно следующим образом:
1)	всякая атомарная формула есть формула. Она не имеет
внешних логических символов;
2)	если А и В — формулы, то (~1 Л), (Л А В), (Л V В) . и
(Л В) — формулы. Их внешними логическими символами
являются Й, Л, V и zd соответственно;
£ 1. Формализация суждений
13
3)	если А — формула, а —свободная переменная и х — связан-
ная переменная, не входящая в А, то формулами будут УхА'
и ЗхА', где А' — выражение, полученное из А подстановкой х
вместо переменной а в каждом ее вхождении в А. Их внеш-
ними логическими символами являются V и 3 соответственно;
4)	формулами являются только те выражения, которые полу-
чены согласно пп. 1) —3).
Впредь буквы А, В, С.......F, G, . .. будут метаперемен-
ными, обозначающими формулы. Формула без свободных пере-
менных называется замкнутой формулой или предложением.
формула, при определении которой не используется п. 3), назы-
вается бескванторной. Выражение А' в п. 3) называется областью
действия кванторов Vx и Эх соответственно. В тех случаях,
когда нужно подчеркнуть, о каком языке идет речь, терм или
формулу языка L можно называть соответственно L-термом
или ^-формулой.
Замечание. Применение различных алфавитов для свободных
и связанных переменных не существенно и делается для техни-
ческих удобств. Однако оно оказывается чрезвычайно полезным
и в значительной степени упрощает рассуждения. Поэтому
в дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем все-таки
использовать различные алфавиты.
Следует также отметить, что в п. 3) определения 1.3 пере-
менная х не должна входить в А. Это устраняет выражения
типа Vx (С (х) Д ЗхВ (х)). Такое ограничение не сужает суще-
ственно класс формул, поскольку, например, выражение
Vx (С (х) Л ЗхВ (х)) может быть заменено формулой Уу(С(у)/\
ЛЭхВ(х)), имеющей тот же смысл. Как мы увидим позже, это
ограничение оказывается полезным при описании формальных
систем.
В дальнейшем мы будем опускать скобки всякий раз, когда
смысл ясен и без них. В частности, всегда будут опускаться
внешние скобки. Мы будем соблюдать следующее соглашение
о приоритете связок: связка имеет преимущество перед каждой
из связок Д и V, а последние имеют преимущество перед
связкой щ>. Таким образом, “МДВ есть сокращение для (~]Л)ЛВ,
a A/\Bzz>CVD — сокращение для (.4 Л В)з(С V D). Скобки
опускаются также и в случае двойного отрицания; например,
П ~1 А есть сокращение для “] (И Л). Через А^В будем обо-
значать формулу (4 эй) /\ (В Д) Л).
Определение 1.4. Пусть Л —некоторое выражение, ть ..., т„ —
различные исходные символы, и пусть <Jj........ оп — любые
выражения. Через
/	•   > А
V Ф.......ап)
14
Гл. 1. Исчисление предикатов первого Порядка
мы обозначим выражение, полученное из А заменой всех вхо-
ждений каждого из символов ть т„ на	оп соответ-
ственно (причем все эти символы заменяются одновременно).
Такая операция называется (одновременным) замещением сим-
волов ть т„ выражениями аь ..., <тп в А. Не требуется,
чтобы символы т1( ..., т„ действительно входили в А.
Предложение 1.5. (1) Если ни один из символов ть ..., тл
не входит в А, то выражение
Г * • ’ ’
\ О], . . ., Оп /
совпадает с Л.
(2)	Если . . ., зп — различные исходные символы, то выраже-
ние
совпадает с выражением
Определение 1.6. (1) Пусть Л—некоторая формула и tx.tn—
термы. Если существует формула В и п различных свободных
переменных Ь\.....Ьп, таких, что А совпадает с
то для всякого i (l^z^n) вхождение терма 1(, полученное
в результате этого замещения, называется отмеченным в Л, и
этот факт можно также выразить (менее точно), записав фор-
мулу как B(blt ..., bn), а формулу А — как B(t\.........tn).
Конечно, А может содержать и другие вхождения терма
Это происходит, когда формула В содержит этот терм.
(2)	Мы говорим, что терм t полностью отмечен в формуле А
(или всякое вхождение t в А отмечено), если каждое вхожде-
ние t в А получено таким замещением (из некоторой формулы В
при п— 1 и t = t\)-
Следует заметить, что формула В и свободные переменные,
по которым формула А может быть получена с помощью
замещения, определяются неоднозначно; отмеченные вхождения
термов в А задаются относительно конкретной формулы и кон-
кретных ее свободных переменных.
Предложение 1.7. Если А (а) — формула (в которой а отме-
чено не обязательно полностью) и х — связанная переменная, не
входящая в Л (я), то VxX (х) и ЗхЛ (х)— также формулы.
$ 2. Формальные доказательства и относящиеся к ним понятия
15
Доказательство. Индукция по числу логических сим-
волов в А (а).
В дальнейшем пусть заглавные греческие буквы Г, А, П, Л,
Го, Гь ... обозначают конечные (возможно, пустые) последо-
вательности формул, разделенных запятыми. Чтобы описать
исчисление секвенций, мы должны сначала ввести вспомогатель-
ный символ ->.
Определение 1.8. Выражение вида Г-*А, где Г и А — произ-
вольные конечные последовательности формул, называется сек-
венцией. При этом Г и А называются соответственно антеце-
дентом и сукцедентом этой секвенции, а каждая формула в по-
следовательности Г или А — секвенциальной формулой.
Интуитивно секвенция Ah ..., Am-+Bh Вп (где т,
1) означает следующее: если А, Д ... Д Ат, то Bt V ... V Вп.
При tn 1 секвенция Ль . .., Ат означает, что Aj Д ... Д Ат
приводит к противоречию. При п 1 секвенция -> Вь ..., Вп
означает, что имеет место В] V ... V Вп. Пустая секвенция -*
означает, что в рассматриваемой системе имеется противоре-
чие. Секвенции будут обозначаться буквой S (с нижними ин-
дексами или без них).
§ 2. Формальные доказательства
и относящиеся к ним понятия
Определение 2.1. Всякую фигуру вида
где Sb $2 и S — секвенции, будем называть непосредственным
выводом. Секвенции Sj и S2 называются верхними секвенциями,
aS — нижней секвенцией этого непосредственного вывода.
Интуитивно это означает, что если утверждается секвен-
ция S1 (утверждаются секвенции S| и S2), то из нее (соответ-
ственно из них) можно вывести секвенцию S. Мы ограничимся
рассмотрением непосредственных выводов, получаемых приме-
нением одного из следующих правил вывода, где А, В, С, D,
F (а.) обозначают формулы.
1)	Структурные правила;
1.1)	Ослабление
Г—>А	Г—>А
слева: в,г->а; справа: 1^0'
16
Гл. I. Исчисление предикатов первого порядка
При этом D называется ослабляющей формулой.
1.2) Сокращение
D, D, Г ->А	Г->Л, D, D
слева: —- г^д; справа:	- 
1.3)	Перестановка
Г, С, D, П->А	Г->А, С, D, А
слева: г, D, п д ’♦	справа: г_^д с д-
Эти три правила вывода мы будем называть слабыми прави-
лами, а все остальные — сильными правилами.
1.4)	Сечение:
Г—>А, D	D, П-*А
Г, П-*А, А
Формула D называется высекаемой формулой этого
правила.
2)	Логические правила:
Г—>Д, D	D, Г->А
2.1)	П-слева: Q г>д—; П-справа: —г_^д
Формулы D и И D называются соответственно бо-
ковой формулой и главной формулой этого правила
вывода.
ООА	л	С> Г^А	D- Г^А
2.2)	Д-слева. ChDY_+i\ И СДО, Г-*А’
Г->А, С	Г—>А, D
А-справа:	г^л г л п
Формулы С и D называются боковыми формулами,
а формула С Л D — главной формулой этого пра-
вила.
оох	w	С, Г->А D, Г—>А
2.3)	V-слева: -----------с v D< Г^А------.
,,	Г->А, С	Г->А, D
V-справа: р^дсур и Г->А, CVD'
2.4)
Формулы С и D называются боковыми формулами,
а формула С V D — главной формулой этого пра-
вила.
Г->А, С D, П->Л
=)-слева: с дэ D, Г, Г1-> А, Л ’
С, Г-^А, D
=”спРава: - г^аГсЪ/)-
Формулы С и D называются боковыми, а формула
С D — главной.
$ 2. Формальные доказательства и относящиеся к ним понятия
17
Правила вывода 2.1) — 2.4) называются пропозициональными.
2.6)	V-слева: yxF^ р^д-
w	Г->Д, F (а)
V’CnpaBa: Г^Д, VxFlx)’
где t — произвольный терм и а не входит в ниж-
нюю секвенцию. Формулы F (/) и F (а) называются
боковыми, а VxF (х) — главной формулами. Пере-
менная а в правиле V-справа называется собствен-
ной переменной этого правила.
Отметим, что в правиле V-справа все вхождения переменной а
в F (а) являются отмеченными. В правиле V-слева F (/) и F (х)
суть
(Г (а) и (г (а)
2.6)
соответственно (для некоторой свободной переменной а), поэтому
не всякий терм t в F (/) обязательно отмечен.
F (а), Г-^Д
з-слевя. г? / \ тч д >
3xF(x), Г->А
_	Г -> Д, F (О
3-справа. г_>д> 3xF (ху
где а не входит в нижнюю секвенцию и t — произ-
вольный терм.
Формулы F (а) и F (t) называются боковыми,
а формула 3xF (х) — главной. Переменная а в пра-
виле 3-слева называется собственной переменной
этого правила.
Отметим, что в правиле 3-слева переменная а полностью отме-
чена, тогда как в правиле 3-справа не всякое t обязательно
является отмеченным. (И снова F (/) есть (f (а) у) для неко-
торого а.)
Правила вывода 2.5) и 2.6) называются кванторными. Усло-
вие, что собственная переменная не должна входить в нижнюю
секвенцию в правилах V-справа и 3-слева, будем называть
ограничением на собственную переменную для этих правил.
Всякая секвенция вида А —> А называется начальной секвен-
цией или аксиомой.
Теперь мы введем понятие вывода, т. е. формального дока-
зательства, в LK.
18
Г л. 1. Исчисление предикатов первого порядка
Определение 2.2. Выводом Р (в LK) или LK-выводом назы-
вается дерево секвенций, удовлетворяющее следующим усло-
виям:
1) самые верхние секвенции в Р являются начальными сек-
венциями;
2) каждая секвенция в Р, кроме самой нижней, является
верхней секвенцией некоторого непосредственного вывода, ниж-
няя секвенция которого тоже принадлежит Р.
При рассмотрении выводов в LK будут использоваться сле-
дующие ниже понятия и соглашения.
Определение 2.3. Из определения 2.2 следует, что каждый
вывод Р имеет единственную секвенцию, расположенную ниже
всех остальных секвенций. Она будет называться заключитель-
ной секвенцией вывода Р. Вывод с заключительной секвенцией S
называется также выводом, оканчивающимся секвенцией S, или
выводом секвенции S. Секвенция S называется выводимой в LK
или LK-выводимой, если существует ее LK-вывод. Формула А
называется LK-выводимой (или теоремой в LK), если секвен-
ция—>А является LK-выводимой. Приставка ,,LK-“ в выраже-
ниях ,ЛК-вывод“ и ,ЛК-выводима“ будет часто опускаться.
Вывод, не содержащий применений правила сечения, назы-
вается выводом без сечений.
Символом \:/ всегда будем обозначать часть вывода. На-
пример, фигуры
^1 52
41/ и ••..!/
S	S
обозначают соответственно некоторый вывод секвенции S и
какой-то^ вывод секвенции S из секвенций S| и S2. Выводы
обычно обозначаются буквами Р, Q, ... . Запись типа Р (а)
означает, что все вхождения переменной а в Р отмечены. (Ко-
нечно, такое обозначение полезно только в том случае, когда
предполагается заменить эти вхождения переменной а некото-
рым другим термом.) В таком случае Р (t) есть результат за-
мены всех вхождений а в Р (а) термом t.
Рассмотрим некоторые слегка видоизмененные правила вы-
вода. Схема
Г-*А, А П->Л, В
Г, П^Л, Л, А АВ
не является правилом вывода системы LK. Тем не менее из
двух верхних секвенций мы можем вывести в LK нижнюю сек-
венцию, используя несколько структурных правил и правило
$ 2. Формальные доказательства и относящиеся к ним понятия 19
д-справа:
(*)
Д-справа:
Г->А, А	П—>л, В
несколько ослаблений • несколько ослаблений	
и перестановок	и перестановок
Г, П-»Л, Л, А	Г, П-*А, Л, В
Г, П-*А, Л,	А КВ.
Обратно, из секвенций Г -> А, А я Г -> А, В можно вывести сек-
венцию Г-*А, А Л В, используя несколько структурных правил
и некоторый пример схемы J:
т	Г-»А, А Г-*А, В
J _______________Г, Г->А, А, Л Д В
несколько сокращений и перестановок
Г-*А, А КВ.
Таким образом, мы можем рассматривать J как сокращение
для (*). В таком случае мы будем использовать обозначение
Г->А, А П->Л, В
Г, П->Д, А, А кВ.
В дальнейшем двойной чертой, как и в этом примере, мы часто
будем указывать на сокращение некоторого числа шагов.
Другое замечание, которое мы хотим здесь сделать, состоит
в том, что ограничение на употребление связанных переменных
(в п. 3 определения формул) мешает появлению таких нежела-
тельных выводов, как, например,
А {а), В(Ь)-*А(а) Д В (Ь)
А (а), В (6)-» Эх (А (х) Д В(6))
А (а), В (Ь) —» ЗхЗх (Л (х) Д В (х))
ЗхА (х), ЗхВ (х) -> ЗхЗх (Л (х) Л В (х)).
В нашей системе этого никогда не произойдет, поскольку вы-
ражение ЗхЗх (Л (х) Л В (х)) не является формулой.
Бескванторный фрагмент системы LK, т. е. ее подсистема,
не содержащая кванторов, называется исчислением высказы-
ваний.
Пример 2.4. Следующие фигуры являются LK-выводами.
1)
А-+А
->А, ДА
^>А, АУДА
-»А V ДА, А
А V Д А, А V ДА
А V А А. '
Д-справа
V-справа
перестановка справа
V-справа
сокращение справа
20
Г л. 1. Исчисление предикатов первого порядка
2) Пусть свободная переменная а полностью отмечена в F(a).
Э-справа
~)-справа
V-справа
П-слева
=>-справа
F(a)->F(a)
F (а) -> BxF (х)
-»3xF(x), nF (а)
->3xF(x), Vг/ ~| F(t/)
~1 Vt/~| F(i/)-» 3xF (х)
и у ~] F (у) ZD SxF (х).
Следует заметить, что нижняя секвенция применения правила
V-справа не содержит собственной переменной а.
Упражнение 2.5. Вывести в LK следующие формулы:
1)	AV В=П(~1А Д ПВ);
2)	А о В = П А V В;
3)	3xF(x)^nVf/nF(r/);
4)	~1 VyF(y) = 3x~] F(x);
5)	П (А А В) = 1А V ~| В.
Упражнение 2.6. Вывести в LK следующие формулы и сек-
венции:
1)	Зх (А щ> В (х)) = А =эЗхВ(х);
2)	Зх (А (х) щ> В) = VxA (х) щ> В;
3)	Зх (А (х) гэ В (х)) VxB (х) зэ ЗхВ (х);
4)	ПАдэВ->ПВ=эА;
5)	ПАоПВ-^BzdA;
Упражнение 2.7. Построить вывод без сечений секвенции
VxB (х) щ> В-> Зх(А (х) щ> В), где А (а) и В —различные атомар-
ные формулы.
Определение 2.8. (1) Формулой, термом или логическим сим- .
волом в данном выводе (в секвенции или в формуле) называется
формула, терм или логический символ, рассматриваемый вместе
с местом, которое он занимает в этом выводе (соответственно
в секвенции или в формуле).
(2)	Последовательность секвенций в выводе Р называется
нитью (вывода Р), если выполняются следующие условия:
2.1)	Последовательность начинается с начальной сек-
венции и заканчивается заключительной секвенцией.
2.2)	Всякая секвенция в этой последовательности, кроме
последней, является верхней секвенцией некоторого
непосредственного вывода, и за ней непосредственно
следует нижняя секвенция этого непосредственного
вывода.
(3)	Пусть St, S2 и S3 — секвенции в выводе Р. Мы говорим,
что Sj расположена выше S2 или что 32 расположена ниже Sj
$ 2 Формальные доказательства и относящиеся к ним понятия
21
(в Р), если существует нить, содержащая как Sj, так и S2, и
в этой нити S] появляется раньше, чем S2. Если Si располо-
жена выше S2 и S2 расположена выше 53,.то мы говорим, что S2
расположена между Si и S3.
(4)	Говорят, что некоторый непосредственный вывод в Р
расположен ниже секвенции S (в Р), если его нижняя секвенция
расположена ниже S.
(5)	Пусть Р — некоторый вывод. Всякая часть Р, которая
сама является выводом, называется подвыводом вывода Р. Это
понятие можно определить также следующим образом. Если
S — произвольная секвенции в выводе Р, то часть этого вывода,
которая состоит из секвенции 5 и всех секвенций в Р, распо-
ложенных выше S, называется подвыводом вывода Р (с заклю-
чительной секвенцией S).
(6)	Пусть Ро — некоторый вывод, имеющий вид
где (*) обозначает часть вывода Ро, расположенную под Г—>0.
Если Q есть некоторый вывод, оканчивающийся секвенцией
Г, D—>0, то копией вывода Ро относительно Q назовем вывод Р
вида
Q{ Г, D^Q
(**) {	\1Л
где (**) отличается от (*) только тем, что всякой секвенции в (*)
вида П-> Л в (**) соответствует секвенция вида П, £)->Л.
Другими словами, Р получается из Ро заменой подвывода,
оканчивающегося секвенцией Г->0, на Q и добавлением фор-
мулы D к антецеденту каждой секвенции из (*). Подобным
образом можно определить и копию с дополнительной форму-
лой в сукцеденте. Мы можем распространить это определение
также и на случай нескольких дополнительных формул.
Точно копию вывода Ро относительно Q можно определить
индукцией по числу применений правил вывода в (*). Но мы
не будем этого делать, поскольку данное понятие является
интуитивно ясным и простым.
(7)	Пусть S(a) (или Г(а)->Л(а)) обозначает секвенцию вида
А (а), .. ., Am (а) -> Bi (а), ..., Вп (а). Тогда S (/) (или Г (0 -> А (/))
обозначает секвенцию Л] (0, ..., Am(t) -> В[(1), .... Bn(t).
По аналогии с определением 1.6 мы можем определить такое
понятие: терм t полностью отмечен в S (/) (или в Г(/)~>Д(/)).
Для того чтобы доказать основное свойство выводимости,
а именно тот факт, что выводимость сохраняется при подстановке
22	Г л. 1. Исчисление предикатов первого порядка
термов вместо свободных переменных, мы приведем сначала
несколько лемм, которые также выражают некоторые важные
свойства выводов. Но сначала введем одно важное понятие.
Определение 2.9. Вывод в LK называется регулярным, если,
во-первых, в нем все собственные переменные отличны друг
от друга и, во-вторых, любая свободная переменная, входящая
в некоторую секвенцию S этого вывода в качестве собственной,
входит, кроме нее, только в те секвенции, которые располо-
жены выше S.
Лемма 2.10. (1) Пусть Г(а)—*Д(а)— некоторая выводимая
{в LK) секвенция, в которой переменная а полностью отмечена,
и пусть Р (а) — вывод секвенции Г(а)-»Д(а). Пусть b — свобод-
ная переменная, не входящая в Р (а). Тогда дерево, полученное
из Р (а) замещением каждого вхождения а в Р(а) на Ь, является
выводом с заключительной секвенцией Г(/>)-*Д(&).
(2) Для произвольного Ъ¥,-вывода существует регулярный
вывод с той же заключительной секвенцией. Более того, требуе-
мый вывод получается из первоначального простым переимено-
ванием (в подходящих местах) свободных переменных.
Доказательство. (1) Индукция по числу непосредствен-
ных выводов в Р(а). Если Р (а) состоит только из начальной
секвенции А (а) —> А (а), то Р (Ь) состоит из секвенции А (Ь) —> А (Ь),
которая тоже является начальной. Допустим, что наше утвер-
ждение верно для выводов, содержащих не более п непосред-
ственных выводов, и предположим, что Р (а) содержит п + 1
непосредственный вывод. Мы рассмотрим только случай, когда
последний непосредственный вывод, скажем J, представляет
собой применение правила V-справа (остальные случаи разби-
раются к аналогично). Допустим, что собственной переменной
этого применения является а и Р (а) имеет вид
Q (а) { г X’ А (а)
J Г -> Л, УхЛ (х) ’
где Q (а) — подвывод вывода Р(а), оканчивающийся секвен-
цией Г—>Л, Л (а). Напомним, что а не входит ни в Г, ни в Л,
ни в Л (х). По предположению индукции результат замещения
всех а в Q(a) на b — вывод, заключительная секвенция кото-
рого есть Г Л, Л (Ь). Ни Г, ни Л не содержат Ь. Следова-
тельно, мы можем к этой секвенции применить правило
V-справа, используя переменную b в качестве собственной:
Q(&){r-> A, A(b)
Г—>Л, УхЛ (х) ’
§ 2. Формальные доказательства и относящиеся к ним понятия
23
и, значит, Р (Ь) есть вывод, оканчивающийся секвенцией Г—>
—>Л, Vx4 (л). Если же а не является собственной переменной при-
менения 7, то Р (а) имеет вид
Q { Г (а) -» Л (а), А (а, с)
Г (а) —> Л (а), VxX (а, х)'
По предположению индукции результат замещения всех а
в Q (а) на b является выводом с заключительной секвенцией
Г (&) -> Л (&), А (Ь, с).
Так как по условию b не входит в Р(а), то с не совпадает
с Ь, и, следовательно, мы можем к этой секвенции применить
правило V-справа, используя переменную с в качестве собствен-
ной, и получить вывод Р (Ь) с заключительной секвенцией
Г(&)->Л(У), УхА (Ь, х).
(2) Индукция по числу I применений правил V-справа и
Э-слева в данном выводе Р. Если 7 = 0, то возьмем само Р.
В противном случае Р можно представить в виде
где Pt — подвывод вывода Р, имеющий вид
у И. -Ч	р‘{
Л Гг^Д;, Vy^G/i) и II ^ytFdyt), Гг-^Д/
и Z,— самое нижнее применение правил У-справа и Э-слева
в P(i = 1, . . k) (т. е. в той части вывода Р, которая обо-
значена через (*), нет применений правил V-справа и Э-слева).
Разберем лишь случай, когда 7,- является применением пра-
вила V-справа. Тогда вывод содержит меньшее количество
применений правил V-справа или 3-слева, чем Р, и поэтому
по предположению индукции существует регулярный вывод Р\
секвенции	Е,(&г). Заметим, что ни одна свободная
переменная в Г;—>Дг, Ft(bi) (включая и bt) не использовалась
в P't в качестве собственной переменной. Пусть cit ь ..., сг-, т.—
все собственные переменные вывода Р\, i=l, .... k. Пусть
dij(i= 1, .... k\ j = 0, 1, ..., mJ — попарно различные свобод-
ные переменные, не входящие ни в один из выводов Р, Р[, ...
•••> Р'к. Заменим в Р' переменные bt, Сщ, ..., щ, m. на d(Q,
di,l> •••, di.tn соответственно (z'=l, ..., k). Мы получим,
24
Гл. I. Исчисление предикатов первого порядка
таким образом, регулярные выводы Р".......P'h. Наконец, вы-
вод Р' определим так:
Р"
р'!	________£1-------- р"
где (*) — такой же вывод, как и в Р. Лемма доказана.
В дальнейшем всякий раз, когда это удобно, мы будем
считать, что имеем дело с регулярными выводами, не огова-
ривая этого особо.
Таким же методом, что и в лемме 2.10, мы можем дока-
зать следующее.
Лемма 2.11. Пусть ( — произвольный терм. Далее, пусть
Г(а)—>А(а)— некоторая выводимая (в LK) секвенция, в которой
переменная а полностью отмечена, и пусть Р (а) — вывод, окан-
чивающийся секвенцией Г (а) —> А (а), в котором всякая собствен-
ная переменная отлична от а и не содержится в (. Тогда Р (()
(результат замещения всех а в Р(а) термом () является выводом
с заключительной секвенцией Г(/)—>Д(/).
Лемма 2.12. Пусть ( — произвольный терм, Г (а) -» Д (а) — вы-
водимая (в LK) секвенция, в которой а полностью отмечена, и
Р (а) — вывод секвенции Г (а)-> А (а). Пусть Р' (а) — вывод, полу-
ченный из Р (а) некоторым переименованием собственных пере-
менных (причем различные переменные заменяются не обяза-
тельно различными), таким, что в Р' (а) всякая собственная
переменная отлична от а и не содержится в (. Тогда Р' (() яв-
ляется выводом секвенции Г(/)^->Д(/).
Доказательство. Индукция по числу собственных пе-
ременных в Р (а), которые совпадают с а или содержатся в /,
с использованием лемм 2.10 и 2.11.
Перепишем часть утверждения леммы 2.11 следующим об-
разом:
Предложение 2.13. Пусть ( — произвольный терм и S(a) —
выводимая (в LK) секвенция, в которой а полностью отмечена,
Тогда секвенция S (() тоже выводима.
§ 3. Интуиционистское исчисление предикатов
25
Мы приведем один простой, но полезный факт о формаль-
ных выводах в нашей системе, который будет нами использо-
ваться неоднократно.
Предложение 2.14. Если некоторая секвенция выводима, то
она имеет такой вывод, в котором все начальные секвенции
состоят из атомарных формул. Кроме того, если некоторая сек-
венция выводима без сечений, то она имеет вывод указанного
вида без сечений.
Доказательство. Достаточно показать, что для произ-
вольной формулы А секвенция А-+А выводима без сечений
из начальных секвенций, состоящих из атомарных формул,
а это можно легко доказать индукцией по сложности фор-
мулы А.
Определение 2.15. Мы говорим, что формулы Ан В являются
алфавитными вариантами (друг друга), если для некоторых
Хь ..., хп, у 1, . .., уп формула
совпадает с формулой
(в У^’ Уг
k Z1, ..., zn)’
где Zi, ..., zn — различные связанные переменные, не входящие
ни в Л, ни в В, т. е. если А и В различаются только тем, что
у них разный набор связанных переменных. В таком случае
мы будем писать А~В.
Можно легко доказать, что отношение Л~В является отно-
шением эквивалентности. Интуитивно ясно, что замена связан-
ных переменных в формуле не изменяет ее смысла. Индукцией
по числу логических символов в А можно доказать, что если
Л~В, то формула A В выводима без сечений (на самом
деле она выводима без сечений даже в системе LJ, которая
будет описана в следующем параграфе). Таким образом, мы
часто будем отождествлять два алфавитных варианта без спе-
циальных оговорок.
§ 3. Интуиционистское исчисление предикатов
Определение 3.1. Интуиционистское исчисление предикатов
мы можем формализовать в виде некоторой подсистемы си-
стемы LK, которую, следуя Генцену, обозначим через LJ
(буква J обозначает „интуиционистский'1). Система LJ
26
Гл. I. Исчисление предикатов первого порядка
получается из LK следующей модификацией (ср. определения 2.1
и 2.2 для LK):
1) Секвенции системы LJ имеют вид Г->А, где А состоит
не более чем из одной формулы.
2) Правила вывода системы LJ получаются из соответствую-
щих правил вывода системы LK добавлением следующего огра-
ничения: сукцеденты нижней и каждой из верхних секвенций
состоят не более чем из одной формулы; таким образом,
в системе LJ нет аналогов правил сокращения справа и пере-
становки справа.
Понятия вывода, выводимости и другие для системы LJ
аналогичны соответствующим понятиям для системы LK.
Всякий вывод в LJ, очевидно, является выводом в LK, но
не наоборот. Следовательно, справедливо
Предложение 3.2. Если некоторая секвенция системы LJ
выводима в LJ, то она выводима также в LK-
Для системы LJ справедливы аналоги лемм 2.10 — 2.12 и
предложений 2.13 и 2.14, в которых вместо „выводима" или
„выводима (в LK)“ следует читать „LJ-выводима". Мы будем
ссылаться на эти результаты (для LJ) как на леммы 3.3 — 3.5
и предложения 3.6 и 3.7 соответственно. (Формулировки этих
утверждений мы опускаем.)
Пример 3.8. Следующие фигуры являются LJ-выводами.
Д-слева
П-слева
Д-слева
сокращение слева
Д-справа
А->А
А /\~]А->А
~1 Л, А /\~] А
4 А ПЛ Л А П
Л А ~1
(4 А 1 Л)
2) Пусть переменная а полностью отмечена в F (а).
3-справа
Д-слева
перестановка слева
П-справа
V-справа
F(a)-+F(a)
F (а) —> BxF (х)
~]3xF(x), F(a)->
F (a), ~|3xF(x)->
3xF (x)F(a)
-] BxF (x) -> Vy -] F (y)
§ 3. Интуиционистское исчисление предикатов
27
Упражнение 3.9. Вывести в LJ следующие секвенции и фор-
мулы:
1)	П Л V В--> Л о В;
2)	ЗхА (х) —> Д	Д В (z/);
3)	А A В-+А;
4)	Л-> А V В;
5)	ПЛ V И В-+~] (Л Д В);
6)	Д (Л V В) = Д А Л И В-,
7)	(Л V С) А (В V С) ^(Л А В) V С;
8)	Зх Д В(х)-^Д VxF(x);
9)	Vx (F (х) A G (x)) s VxF (x) A VxG (x);
10)	Лд~В-->Вз Д Л;
11)	Зх (Л ZD В (x)) -* Л ZD ЗхВ (x);
12)	Зх (A (x) zd B) -> VxA (x) zd B;
13)	Зх (Л (x) zd В (x)) —> УхЛ (x) zd SxB (x).
Упражнение 3.10. Вывести в LJ следующие секвенции:
1) ДД(Л=>В), Л-^Д Д В;
2) Д Д В zd В, Д Д (Л zd В) -> Л о В;
3)->ДДДЛ = ДЛ.
Упражнение 3.11. Определим LJ' как систему, которая по-
лучается из системы LJ добавлением к ней в качестве началь-
ных всех секвенций вида ~] Д R -* В, где R — атомарная фор-
мула. Пусть А — формула, не содержащая символов V и 3.
Показать, что тогда формула Д Д Л —> Л выводима в LJ'. [Ука-
зание: применить индукцию по числу логических символов в фор-
муле Л; см. также упражнение 3.10.]
Задача 3.12. Для всякой формулы Л следующим образом
определим формулу Л*:
1)	если Л — атомарная формула, то А* есть Д И Л;
2)	если Л имеет вид Д В, В А С, В V С или В-zd С, то Л*
есть "1 В*, В* А С*, Д (Д В* Д Д С*) или В* zd С* соответственно;
3)	если Л имеет вид VxB(x) или ЗхВ (х), то Л* есть VxB*(x)
или Д Vx Д F* (х) соответственно.
(Таким образом, формула Л* не содержит символов V и 3.)
Доказать, что всякая формула Л выводима в LK тогда и только
тогда, когда в LJ выводима формула Л*. [Указание: последо-
вательно доказать следующие четыре утверждения: -
1. Для любой формулы Л в системе LK выводима формула
Л^Л*.	'
2.	Пусть S — некоторая секвенция вида Ль ..., Am—>Bi, ..., Вп.
Пусть S' обозн ачает секвенцию
л;,.... л;, -\в\,.... дв;->.
28
Гл. 1. И счисление предикатов первого порядка
Тогда S выводима в LK в том и только том случае, когда в LK
выводима S'.
3.	В системе LJ выводима формула Л* “] “] А* (применить
упражнение 3.11).
4.	Если секвенция S выводима в LK, то секвенция S' вы-
водима в LJ. (Воспользоваться индукцией по числу применений
правил в выводе секвенции S.)
Утверждение, которое нужно доказать, есть частный случай
утверждения 4.]
§ 4.	Системы аксиом
Определение 4.1. 1) Произвольное (конечное или бесконеч-
ное) множество st предложений называется системой аксиом,
а каждое из этих предложений называется аксиомой системы st.
Системы аксиом иногда называют также теориями. (Разумеется,
это определение имеет смысл только в том или ином контексте.)
2)	Любая конечная (возможно, пустая) последовательность
формул, состоящая только из аксиом теории •>/, называется
последовательностью аксиом теории st.
3)	Мы говорим, что секвенция Г -> А выводима (в LK) из st-,
и записываем это в виде st, Г -* А, если существует после-
довательность аксиом Го теории st, такая, что секвенция Го,
Г А выводима в LK.
4)	Система аксиом st называется несовместимой (с LK) или
противоречивой (относительно LK), если пустая секвенция —> вы-
водима (в LK) из st. В противном случае система st- называется
совместимой (с LK) или непротиворечивой (относительно LK).
5)	Если все функциональные и предикатные константы фор-
мулы А встречаются в аксиомах системы •>/, то формула А
называется зависимой от системы st.
6)	Предложение А называется противоречивым {непроти-
воречивым), если противоречива (непротиворечива) система
аксиом {Д}.
7)	Через LK-г обозначим систему, получаемую из LK доба-
влением в качестве начальных секвенций всех секвенций вида
—► А, где А ее st.
8)	Система ЬКл называется противоречивой, если в ней вы-
водима пустая секвенция в противном случае система 1,Кл
называется непротиворечивой.
Следующие ниже легко доказываемые предложения будут
довольно часто использоваться в дальнейшем.
Предложение 4.2. Пусть st — некоторая система аксиом. Тогда
эквивалентны следующие утверждения'.
§ 5. Теорема об устранении сечений
29
(а	) система st противоречива (относительно LK);
(Ь)	каждая формула (рассматриваемого языка) выводима в LK
из st',
(с)	для некоторой формулы А в LK из st выводимы и А, и ~1 Д.
Предложение 4.3. Пусть st — некоторая система аксиом.
Тогда секвенция Г—>А выводима в системе ЬКл в том и только
том случае, когда эта секвенция выводима из st- в LK.
Следствие 4.4. Система аксиом st непротиворечива (относи-
тельно LK) тогда и только тогда, когда непротиворечива си-
стема LK.-?.
Все эти определения и предложения переносятся также на
систему LJ.
§ 5.	Теорема об устранении сечений
Очень важным свойством системы LK является теорема
об устранении сечений, известная также как „основная теорема
Генцена".
Теорема 5.1 (теорема Генцена об устранении сечений). Если
какая-то секвенция выводима (в LK), то она выводима (в LK) и
без сечений.
Это значит, что всякую теорему исчисления предикатов
можно вывести, так сказать, прямым путем. Мы вернемся
к этому вопросу позднее. Цель настоящего параграфа—дока-
зать сформулированную выше теорему. Мы будем следовать
доказательству Генцена.
Введем сначала новое правило вывода и покажем, что оно
эквивалентно правилу сечения. Пусть А — некоторая формула.
Смешением (относительно Д) назовем непосредственный вывод
следующего вида:
П->Л
Г, П*->А*, Л 1 h
где и А и П содержат формулу А, а А* и П* получаются из А
и II соответственно удалением из них всех вхождений фор-
мулы А. Формула А называется смешивающей формулой и
обычно указывается в скобках (как это сделано выше).
Через LK* обозначим систему, полученную из LK заменой
правила сечения на правило смешения. Легко доказывается
следующая лемма.
Лемма 5.2. Системы LK и LK* эквивалентны, т. е. произ-
вольная секвенция выводима в LK тогда и только тогда, когда
°на выводима в LK*.
30
Гл. 1. Исчисление предикатов первого порядка
В силу этой леммы для доказательства теоремы 5.1 доста-
точно показать, что правило смешения устранимо в системе LK*,
поскольку всякий вывод в LK* без смешений является в то же
время и выводом в LK без сечений.
Теорема 5.3 (ср. с теоремой 5.1). Если какая-то секвенция
выводима в LK*, то она выводима в LK* без смешений.
Эта теорема доказывается индукцией по числу смешений,
входящих в некоторый вывод данной секвенции с помощью
следующей леммы.
Лемма 5.4. Если какая-то секвенция S имеет в LK* некото-
рый вывод, который содержит {только) одно смешение, располо-
женное в самом низу этого вывода, то секвенция S выводима
и без смешений.
Оставшаяся часть этого параграфа посвящена доказатель-
ству леммы 5.4. Сначала введем две меры сложности выводов.
Степенью формулы А (она обозначается через §(Л)) называется
число логических символов в А. Степенью смешения называется
степень его смешивающей формулы. Если вывод Р оканчивается
смешением и не содержит других смешений, то степенью вы-
вода Р (она обозначается через g (Р)) называется степень этого
смешения.
Пусть вывод Р содержит только одно смешение J, которое
расположено в самом низу этого вывода:
Обозначим левую и правую верхние секвенции этого смешения
через S] и S2 соответственно, а нижнюю секвенцию — через S.
Нить в выводе Р называется левой {правой), если она содержит
левую ^правую) верхнюю секвенцию смешения J. Ранг нити 3~
в выводе Р, rank OF; Р), определяется следующим образом:
если ЕГ — левая (правая) нить, то rank OF; Р) равняется числу
последовательных секвенций в этой нити, содержащих смеши-
вающую формулу в сукцеденте (антецеденте), если считать
снизу вверх, начиная с левой (правой) верхней секвенции сме-
шения J. Так как каждая из верхних секвенций смешения J
обязательно содержит смешивающую формулу, то rank OF, Р)
не меньше 1. Далее, положим
rank/ {Р) = max (rank 3~; Р)),
&
где EF пробегает все левые нити в Р, и
rankr {Р) = max (rank {3~; Р)),
§ 5. Теорема об устранении сечений
31
где У пробегает все правые нити в Р. Ранг вывода Р, rank (Р),
определяется так:
rank (Р) = rank/ (Р) + rankr (Р).
Заметим, что rank(P) всегда больше или равен 2.
Доказательство леммы 5.4. Мы докажем эту лемму
двойной индукцией: по степени g и по рангу г вывода Р (т. е.
трансфинитной индукцией по <о • g + г). Доказательство распа-
дается на два главных случая, а именно г = 2 и г >2 (неза-
висимо от величины g).
Случай 1. г = 2, т. е. rank/ (Р) = rankt (Р) = 1.
Разберем несколько случаев в зависимости от того, какой
вид имеют выводы верхних секвенций смешения.
1.1)	Левая верхняя секвенция S( является начальной, т. е.
вывод Р имеет вид
А->А П->А
J А, П*->Л.
Тогда нижнюю секвенцию мы можем получить и без сме-
шений:
П->Л__________
несколько перестановок
А, .. .', А, П*-»Л
несколько сокращений
А, ГГ->Л.
1.2)	Случай, когда правая верхняя секвенция S2 смешения J
является начальной, рассматривается аналогично.
1.3)	Ни Sb ни S2 не являются начальными секвенциями, и
S] получена применением некоторого структурного правила Д.
Поскольку rank, (Р) — 1, формула А не может входить в верх-
нюю секвенцию правила Д, т. е. Ц есть ослабление справа, для
которого А является ослабляющей формулой:
где Aj не содержит А. Мы можем устранить смешение следую-
щим образом:
_________г->д, -
несколько ослаблений
П*, Г-»Л,, Л
несколько перестановок
Г, 1Г-*ДЬ Л.
32
Гл. /. Исчисление предикатов первого порядка
1.4)	Случай, когда обе секвенции и S2 не являются на-
чальными, причем S2 получена применением некоторого струк-
турного правила, рассматривается аналогично.
1.5)	Обе секвенции S1 и S2 получены применением каких-то
логических правил. Тогда, поскольку rank; (Р) = rankr (Р) — 1,
формула А должна быть главной в каждом из этих правил.
Далее применяем индукцию по степени вывода Р с разбором
случаев, соответствующих виду внешнего логического символа
формулы Л. Мы рассмотрим здесь только два случая, разбор
остальных предоставляется читателю.
(1) Формула А имеет вид В Д С. Тогда Sj и S2 должны
быть получены применением правил Д-справа и Д-слева соот-
ветственно:
г->Ль в	г->дь С В, п,->л
Г—>ЛЬ В Д С В Д С, II,-» л
где по условию ни один из выводов, оканчивающихся одной
из секвенций Г—> Ль В, Г-*Л1я Сили В, IK-* Л, не содержит
смешений. Рассмотрим следующий вывод:
Г ->Дь В	В, П1->Л
Г, П?->Д?=, Л
(В),
где последовательности П* и Д* получаются из П1 и Д| соот-
ветственно удалением всех вхождений формулы В. Этот вывод
оканчивается смешением и не содержит других смешений. Кроме
того, степень формулы В меньше, чем g(A) (=g(B Д С)). Сле-
довательно, по предположению индукции существует некоторый
не содержащий смешений вывод секвенции Г, П* -> Л*, Л, из
которого мы затем можем построить вывод, оканчивающийся
секвенцией Г, П1-*Дь Л и не содержащий смешений.
(ii) Формула А имеет вид Vx/7 (х). Тогда нижняя часть вы-
вода Р выглядит так:
Г->ДЬ F (a)	F (f), П,->Л
Г-*ДЬ VxF(x)	VxF(x), П,->Л
Г, П^Дь Л	( ’’
причем переменная а полностью отмечена в F (а). Согласно
ограничению на собственную переменную, а не входит ни в Г,
ни в Дь ни в F (х). Поскольку по нашему допущению вывод сек-
венции Г->ДЬ F (а) не содержит смешений, мы можем полу-
чить из него по лемме 2.12 не содержащий смешений вывод
§ 5. Теорема об устранении сечений
секвенции Г—>АЬ F (/). Рассмотрим теперь следующий вывод:
где последовательности 11* и А* получаются из П[ и Ai соот-
ветственно удалением всех вхождений формулы F (/). Этот вывод
имеет только одно смешение, расположенное в самом низу, и
степень его смешивающей формулы меньше, чем g(A). Следо-
вательно, по предположению индукции мы можем устранить
это смешение и получить некоторый не содержащий смешений
вывод секвенции Г, П*-> А*, Л, из которого затем можно по-
строить вывод, оканчивающийся секвенцией Г, Пд—>АЬ Л и
также не содержащий смешений.
Случай 2. г > 2, т. е. rank;(P)> 1 или rankr(P)> 1. Пред-
положение индукции теперь состоит в том, что во всяком вы-
воде Q, который оканчивается смешением и не содержит других
смешений и для которого либо g(Q)<g(P), либо g(Q) = g(P)
и r(Q)<r(P), мы можем устранить это смешение.
2.1)	rankr(P) > 1.
2.1.1)	Антецедент Г секвенции S, содержит формулу А.
Тогда построим вывод следующим образом:
П^>Л
несколько перестановок
и сокращений
А, 1Г->Л
несколько ослаблений
и перестановок
Г, П*—>А*, Л.
2.1.2)	Секвенция S2 получена применением некоторого пра-
вила /2, не являющегося логическим правилом с главной фор-
мулой А. Тогда нижняя часть вывода Р выглядит следующим
образом:
____2 п->л
Г, П*->А*, Л 1 ’’
где выводы секвенций Г—>А и Ф—> Тг не содержат смешений
и Ф содержит по крайней мере одну формулу А. Рассмотрим
теперь следующий вывод Р':
гХа ф^т /лч
смешение	И).
2 Г, Такеутк
34
Г л. 1. Исчисление предикатов первого порядка
В выводе Р' степень этого смешения равна g(P), ranki(P') —
= rank;(P), rankr (Р') — rankr (Р) — 1. Следовательно, по пред-
положению индукции секвенция Г, Ф*—► Д’, ф выводима без
смешений. Тогда мы строим следующий вывод:
г, ф*Хд*, у
несколько перестановок
Ф\ Г->Д\
у2 п*( л.
2.1.3)	Формула А не входит в антецедент Г секвенции S,’
а секвенция S2 получается применением некоторого логического
правила с главной формулой А. Возможно несколько случаев
в зависимости от внешнего логического символа формулы А.
Мы разберем только два из них, а остальные предоставим
читателю.
(i)	Формула А имеет вид ВэС. Тогда нижняя часть вы-
вода Р имеет вид
П,—>Л,, В	С, 112->Л2
, Г^А 2 в=>с, п,, п2->л,, л2
г, п;, п;^д*, лр л2
Допустим, что формула В zd С входит и в П,, и в П2. Рас-
смотрим тогда следующие выводы Р, и Р2:
В, \=/	"Д/
Г->Д U, —»Л1, В
Г,	Л,, В
Р2 \=/	\=/
г->д с, п2->л2
г, с, п;->Д', л2
(В ZD С),
(В=эС).
Заметим, что g (В,) = g (В2) = g (В), rank, (Р,) = rank, (Р2) =
= rank, (В) и rankr (Р,) = rankr (Р2) = rankr (Р) — 1. Если же фор-
мула В zd С не входит в П, для некоторого i е {1, 2}, то
П* совпадает с П( и вывод Р( определяется так:
В,	М/
в
несколько ослаблений
и перестановок
г, п;->д*, Л,, В,
С, п2^Хл2
несколько ослаблений
и перестановок
Г, С, П*->Д‘, Л2.
По предположению индукции для заключительных секвенций
выводов Р, и Р2 существуют некоторые не содержащие смеше-
§ 5. Теорема об устранении сечений	35
ний выводы Р\ и Р'2 соответственно. Рассмотрим теперь сле-
дующий вывод Р':	р'
р{	г, с, п;Хд*, д2
\:Z	несколько перестановок
г, п;^д*, л,, в с, г, н;->д*, д2
г->д в=>с, г, п* г, п;-*д*, л,, д‘, л9
7 г, г, п; г, п*->Д’, д*, лр д*, л2	(в^с).
Тогда g (Р') g (Р), rank; (Р') = rank/(Р), гапкг(Р') = П по-
скольку формула В о С не входит в Г, и потому rank(P')<
< rank.(P). Следовательно, по предположению индукции за-
ключительная секвенция вывода Р' выводима без смешений,
а значит, выводима без смешений и заключительная секвенция
вывода Р.
(И) Формула А имеет вид 3xF (х). Тогда нижняя часть вы-
вода Р выглядит так:
F (а), П1--»Л
7 Г^Аг, п^д*?’л1~>Л
Пусть b — некоторая свободная переменная, не встречающаяся
в выводе Р. Тогда результат замещения а на b во всем выводе
секвенции F (а), П(-> Д является по лемме 2.11 выводом без
смешений, оканчивающимся секвенцией F (Ь), П,—>Л, поскольку
в силу ограничения на собственную переменную переменная а
не входит ни в Пь ни в Л.
Рассмотрим следующий вывод:
у —П/ -> Л Qxp / и
Г, F (Ь), 1Г[->Д’, Л 121
По предположению индукции для заключительной секвенции
этого вывода найдется некоторый вывод Р' без смешений. Рас-
смотрим теперь вывод
Р'
Г, F (Ь), П*->Д*, Л
несколько перестановок
....;F(b), г, п;->д*, Л
Г->Д 3xF (х), Г, П*->Д\ Л
7 Г, Г, 11?->Д*. Д*, Л	(ЗхР(х)),
2*
36
Гл 1. Исчисление предикатов первого порядка
где b не входит ни в одну из формул последовательности
3xF (х), Г, Пь А, Л. Применяя опять предположение индукции,
получаем, что это смешение также может быть устранено.
2.2) гапкг(Р) = 1 (и rank; (Р) > 1). Этот случай рассматри-
вается аналогично рассмотренному выше случаю 2.1).
Тем самым доказана лемма 5.4, а с нею и теорема об устра-
нении сечений.
Следует подчеркнуть, что приведенное доказательство явля-
ется конструктивным, т. е. новый вывод строится эффективно
по данному выводу как в лемме 5.2, так и в лемме 5.4, а сле-
довательно, и в теореме 5.1.
Теорема об устранении сечений верна также для системы
LJ. В самом деле, приведенное выше доказательство построено
так, что оно проходит для системы LJ без каких-либо сущест-
венных изменений — надо лишь все время помнить, что в каждом
сукцеденте может находиться не более одной формулы. Детали
предоставляются читателю, а мы только сформулируем эту
теорему.
Теорема 5.5. Для системы LJ справедлива теорема об устра-
нении сечений.
§ 6.	Некоторые следствия теоремы об устранении сечений
Теорема об устранении сечений имеет многочисленные при-
ложения; некоторые из них мы изложим в этом параграфе
в виде теорем, другие приведем в упражнениях. Чтобы облег-
чить изложение этих важных результатов, введем некоторые
понятия, которые будут часто использоваться в дальнейшем.
Определение 6.1. (1) ПоддЬормулой формулы А называется
всякая фЬрмула, появляющаяся в процессе построения А. Более
точно, множество всех подформул некоторой формулы опреде-
ляется индукцией по числу логических символов в этой фор-
муле следующим образом. У атомарной формулы имеется ровно
одна подформула, а именно сама эта формула. Подформулами
формулы А являются все подформулы формулы А и сама
формула А. Подформулами формулы А Д В, А V В или А о В
являются сама эта формула, все подформулы формулы А и все
подформулы формулы В. Подформулами формулы Vx4 (х) или
НхЛ (х) являются сама эта формула и все подформулы каждой
формулы вида А (/), где / — произвольный терм.
(2)	Говорят, что две формулы А и В эквивалентны в LK,
если формула А=В выводима в LK.
(3)	Мы будем говорить, что в формуле А некоторое вхож-
дение логического символа, скажем ф, находится в области
$ 6. Некоторые следствия теоремы об устранении сечений
37
действия другого вхождения логического символа, скажем tj,
если при построении А (из атомарных формул) этап, когда
символ # был внешним, предшествовал этапу, на котором
символ /у стал внешним (см. определение 1.3). Далее, мы го-
ворим, что символ * находится в левой области действия
связки ю, если вхождение тэ имеет вид В о С и символ *
входит в В.
(4)	Формула А называется предваренной (или имеет предва-
ренную форму), если ни один квантор в Л не находится в об-
ласти действия никакой пропозициональной связки.
Легко видеть, что всякая формула эквивалентна (в LK)
некоторой предваренной формуле, т. е. для всякой формулы А
существует предваренная формула В, такая, что формула А^В
выводима в LK.
Легко видеть, что во всяком правиле вывода, кроме сечения,
нижняя секвенция имеет не меньшую сложность, чем каждая
из верхних; более точно, каждая формула, входящая в какую-
нибудь из верхних секвенций, является подформулой некоторой
формулы, входящей в нижнюю секвенцию (но, вообще говоря,
не наоборот). Следовательно, всякий вывод без сечений состоит
только из подформул формул, входящих в его заключительную
секвенцию (свойство подформульности). Таким образом, теорема
об устранении сечений утверждает, что если какая-то формула
выводима в LK (или в LJ), то для нее найдется вывод, состо-
ящий только из подформул этой формулы. (Именно это мы
имели в виду, когда говорили, что всякая теорема исчисления
предикатов может быть выведена „прямым путем".)
Это замечание позволяет нам убедиться в том, что пустая
секвенция —> не выводима в LK (и в LJ), а это, в свою очередь,
дает нам доказательство непротиворечивости систем LK и LJ.
Теорема 6.2 (о непротиворечивости). Системы LK и LJ не-
противоречивы.
Доказательство. Предположим, что секвенция—> выво-
дима в LK (или в LJ). Тогда по теореме об устранении сечений
эту секвенцию можно вывести в LK (или LJ) без сечений. Но
это невозможно по свойству подформульности выводов без
сечений.
Анализ доказательства этой теоремы (включая теорему
об устранении сечений) показывает, что непротиворечивость
системы LK (и LJ) доказана бескванторной индукцией по ор-
диналу со2. Однако на этом этапе мы не будем детально вда-
ваться в проблему непротиворечивости.
Для удобства ссылок свойство подформульности выводов
без сечений мы сформулируем в виде следующей теоремы.
38
Г л. I. Исчисление предикатов первого порядка
Теорема 6.3. Все формулы, входящие в произвольный не содер-
жащий сечений вывод в системе LK (или LJ) являются подформу-
лами формул, входящих в заключительную секвенцию этого вывода.
Доказательство проводится индукцией по числу применений
правил в данном не содержащем сечений выводе.
В оставшейся части этого параграфа мы приведем неко-
торые типичные следствия теоремы об устранении сечений.
Хотя часть этих результатов будет сформулирована не только
для системы LK, но и для LJ, доказательства будут даны
лишь для LK; доказательства для L J предоставляются читателю.
Теорема 6.4 (1) (теорема Генцена о средней секвенции для
системы LK). Пусть S — некоторая выводимая в LK секвенция,,
состоящая только из предваренных формул. Тогда для этой сек-
венции существует вывод без сечений, который содержит сек-
венцию S' (называемую средней секвенцией), удовлетворяющую’
следующим условиям-.
1)	все формулы в секвенции S' являются бескванторными-,
2)	выше секвенции S' расположены только применения струк-
турных и пропозициональных правил-,
3)	ниже секвенции S' расположены только применения струк-
турных и кванторных правил.
Таким образом, средняя секвенция разбивает этот вывод
на верхнюю часть, содержащую применения пропозициональных
правил, и нижнюю, содержащую применения кванторных правил.
(2) (теорема о средней секвенции для системы LJ без пра-
вила V-слева). Сформулированное в (1) утверждение справед-
ливо также, если всюду вместо „система LK“ читать „система LJ
без правила V-слева".
Доказательство (набросок). Из предложения 2.14
и теоремы об устранении сечений следует, что секвенция S
имеет некоторый вывод без сечений Р, в котором все начальные
секвенции состоят только из атомарных формул. Пусть/ — ка-
кое-нибудь применение кванторного правила в выводе Р. Число
применений пропозициональных правил, расположенных ниже
применения /, назовем его порядком. Сумму порядков всех
применений кванторных правил в Р назовем порядком вывода Р
(термин „порядок1* в таком смысле используется здесь временно).
Доказательство теоремы проводится индукцией по порядку вы-
вода Р.
Случай 1. Порядок вывода Р равен 0. Если Р содержит
применения пропозициональных правил, то возьмем самое ниж-
нее из этих применений и через So обозначим его нижнюю
секвенцию. Выше этой секвенции нет применений кванторных
правил. Поэтому, если в секвенции So или выше нее встреча-
J 6. Некоторые следствия теоремы об устранении сечений
39
ется какой-нибудь квантор, то он вводится ослаблением. По-
скольку наш вывод не содержит сечений, ослабляющая формула
является подформулой одной из формул заключительной сек-
венции. Следовательно, к этой формуле не применялось никакое
пропозициональное правило. Таким образом, в выводе сек-
венции So мы можем удалить все такие ослабления и получить
вывод некоторой секвенции S', не содержащей кванторов и со-
ответствующей секвенции So. Добавляя (если необходимо)
к этому выводу несколько ослаблений, мы получим вывод
секвенции So, а с ним и вывод самой секвенции S; в качестве
средней секвенции возьмем секвенцию S'.
Если вывод Р не содержит применений пропозициональных
правил, то рассмотрим самое верхнее применение кванторного
правила. Верхнюю секвенцию этого применения и возьмем
в качестве средней.
Случай 2. Порядок вывода Р не равен 0. Тогда найдется
по крайней мере одно применение пропозиционального правила,
находящееся ниже некоторого применения кванторного правила.
Более того, существует применение кванторного правила I
со следующим свойством: самым верхним среди применений
логических правил, расположенных под I, является применение
пропозиционального правила. Обозначим его через Тогда
можно уменьшить порядок вывода Р, переставив в нем местами
применения I и Г. Мы рассмотрим здесь только один случай,
а именно когда I есть применение правила V-справа. Тогда
вывод Р имеет вид
г‘Хо, F (а)
Г->0, Vxf(x)
(*) U ——sir——
где часть (*) вывода Р содержит только применения струк-
турных правил и VxF(x) входит в Л в качестве секвенциальной
формулы. Преобразуем Р в следующий вывод Р':
Г -+ Q, F (а)_____
структурные правил а
Г—»/7 (а), 0, VxF?xj
1 Л
1	А->Л, УхТ(х)
40
Гл. I. Исчисление предикатов первого порядка
Очевидно, что порядок вывода Р' меньше, чем порядок вы-
вода Р.
Прежде чем перейти к следующей те'ореме (интерполяцион-
ной теореме Крэйга ’), мы сформулируем и докажем
некоторую лемму, которая сама по себе может рассматриваться
как сильная форма интерполяционной теоремы для выводимых
секвенций и из которой немедленно вытекает обычная форма
интерполяционной теоремы. Мы проведем доказательство лишь,
для системы LK, хотя оно проходит и для системы LJ.
По техническим причинам введем новый нульместный пре-
дикатный символ т и добавим к аксиомам системы LK сек-
венцию ->Т- Полученную таким образом систему обозначим
через LK#.
Лемма 6.5. Пусть секвенция Г—>Д выводима в LK, и пусть
(Гь Г2) и (Д1; Д2) — произвольные разбиения последовательностей Г
и Д соответственно (возможно, что некоторые из Гь Г2, Ди Д2.
пусты). Эту пару разбиений мы обозначим через [{Гр, Д]}, {Г2; Д2}|
и будем называть разбиением секвенции Г-»Д. Тогда существует
некоторая формула С языка системы LK # (называемая интер-
полянтом разбиения [{Г^ AJ, {Г2; Д2}]), такая, что-.
(i) секвенции Г1->Д1, С и С, Г2—>Д2 выводимы в LK#;
(И) все свободные переменные, индивидные и предикатные
константы формулы С (кроме т) входят как в ТММь так и
в Г2 U Да-
Мы сначала докажем с помощью этой леммы интерполя-
ционную теорему, а затем докажем и ?аму лемму.
Теорема 6.6 (интерполяционная теорема Крэйга). (1) Пусть
даны формулы А и В, такие, что форму ча Алл В выводима
в LK- Если А и В имеют по крайней мере одну общую преди-
катную константу, то существует формула С, называемая ин-
терполянтом формулы Лэ В, такая, что в LK выводимы фор-
мулы А о С и С о В, причем С содержит только те свободные
переменные, индивидные и предикатные константы, которые вхо-
дят и в А, и в В. Если же А и В не имеют общих предикатных
констант, то в LK выводима хотя бы одна из секвенций Д->
или -> В.
(2) Утверждение (1) справедливо для системы LJ.
Доказательство. Допустим, что формула А В и,
следовательно, секвенция А-+В выводимы в LK и что фор-
') Общая теория интерполяционных теорем построена в работе Moto-
hasi N„ Interpolation theorem and characterization theorem, Ann. Japan Assoc.
Philos. Set., 4 (1972), 15—80.
§ 6. Некоторые следствия теоремы об устранении сечений 4]
мулы А и В имеют хотя бы одну общую предикатную кон-
станту, скажем R. Тогда по лемме 6.5, взяв формулу А в ка-
честве ?! и формулу В в качестве А] (а Г2 и А2 положив
пустыми), получим некоторую формулу С расширенного языка,
удовлетворяющую условиям (i) и (ii) этой леммы. Поэтому
секвенции А -> С и С-+В выводимы в LK#- Допустим, что
константа R является /г-местной. Через R' обозначим формулу
Vyi ... УуkR (z/i, .. ., yk), где ух, ..., yk — некоторые новые свя-
занные переменные. Заменив в формуле С всякое вхождение
константы т на R' о R', мы получим формулу С' исходного
языка, такую, что секвенции А —> С' и С'-+В выводимы в LK-
Формула С' и является искомым интерполянтом формулы A zd В.
Если в описанном в лемме 6.5 разбиении нет общих для
Г111А1 и r2UA2 предикатных символов, то, согласно этой лемме,
существует формула С, состоящая только из константы Т
и логических символов, такая, что секвенции Г1->А1, С и
С, Г2—>А2 выводимы в LK#. Тогда индукцией по слож-
ности формулы С легко можно показать, что либо секвенция
—>С, либо секвенция С —> является выводимой. Следовательно,
выводима хотя бы одна из секвенций Г1~> Ai или Г2—>А2.
В частности, все это показывает, что выводима секвенция А->В,
если в качестве Г[ взять формулу Л, а в качестве А2 — фор-
мулу В.
Это доказательство принадлежит Маехаре; особенностью его
является то, что интерполянт формулы А гэ В строится конст-
руктивно по данному выводу этой формулы. Отметим также,
что интерполяционную теорему можно сформулировать сле-
дующим образом: если формула Azo В выводима, а фор-
мулы ~] А и В не выводимы, то для Azz> В существует интер-
полянт.
Доказательство леммы 6.5. Доказательство прово-
дится индукцией по числу k непосредственных выводов в некотором
не содержащем сечений выводе секвенции Г—>А. На каждом
этапе надо рассмотреть несколько случаев; мы разберем лишь
некоторые из них.
1)	k = 0. Тогда секвенция Г—>А имеет вид D->D. Воз-
можны четыре варианта разбиения Г->А: (1) [{D; D}, { ; }],
(2) [{ ; }, {О; О}], (3) [{£>; }, { ; £>}] и (4) [{ ; D}, {£>; }]. В слу-
чае (1) в качестве С следует взять Т> в случае (2) — ~]Т,
в случае (3) — D и в случае (4) — ~]Д-
2)	/г > 0 и вывод завершается применением правила А -справа:
Г-» А, А Г-*А, В
Г—>А, А Д В.
42
Гл 1. Исчисление предикатов первого порядка
Пусть разбиение имеет вид [{Гр Аь А Д В}, {Г2; АД]. Рас-
смотрим индуцированные разбиения верхних секвенций, а именно-
[{Гр, Аь А}, {Г2; АД] и [{Гр, Аь В}, {Г2; АД] соответственно.
Применяя предположение индукции к подвыводам этих верх-
них.секвенций, получаем, что существуют интерполянты С1 и С2,
такие, что в системе LK4]= выводимы секвенции Г[—>А1, А, Ср
С], Г2-*А2; Г] —* Ап В, С2 и С2, Г2->А2. А из этих секвенций
можно вывести секвенции Г( —> А,, А Д В, V С2 и С! V С2,
Г2—> А2. Таким образом, искомым интерполянтом является фор-
мула С] V б?2.
3)	k > 0 и вывод завершается применением правила V-слева:
F(s), Г -> А
\fxF (х), Г —> А.
Пусть Ь\, . . ., Ьп — все свободные переменные, входящие в терм s
(возможно, что таких нет). Допустим, что разбиение имеет вид
[{VxF (х), Гр, АД, {Г2; АД]. Рассмотрим индуцированное разбиение
верхней секвенции и применим предположение индукции. Тогда
существует некоторый интерполянт С (by, ..., bn), такой, что-
секвенции
F(s), Г)—>АЬ C(ft„ ..., Ьп) и C(&i, ..., Ьп), Г2->Л2
выводимы в ЬКф. Пусть bi}, ..., bi— все те переменные ид
..., Ьп, которые не входят в {F (х), Гр, АД. Тогда формула
Vyi ... У/утС (&], ..., У\, ..., ут, ..., ^и)>
где ..., btm замещены соответствующими связанными пере-
менными, является искомым интерполянтом.
4)	k > 0 и вывод завершается применением правила V-справа:.
ГF(a)
4	Г—>А, VxF (х),
где переменная а не входит в нижнюю секвенцию.
Пусть разбиение имеет вид [{Гр Аь yxF(x)}, {Г2; АД]. По
предположению индукции существует интерполянт С, такой, что
выводимы секвенции 1Д—>А(, F (а), С и С, Г2—>А2. Поскольку а,
не входит в С, мы можем вывести отсюда секвенцию
Г!->А|, yxF(x), С;
следовательно, формула С является интерполянтом и для дан-
ного разбиения.
Все остальные случаи рассматриваются аналогично.
Упражнение 6.7. Пусть А и В — предваренные формулы,,
не содержащие никаких логических символов, кроме у и Д.
£ 6. Некоторые следствия теоремы об устранении сечений
43
Предположим, кроме того, что А и В имеют хотя бы одну
общую предикатную константу. Допустим, что формула А => В
выводима.
Показать, что существует формула С, такая, что
1)	выводимы формулы А => С и С zd В;
2)	формула С является предваренной;
3)	С не содержит никаких логических символов, кроме V
и Л;
4)	все входящие в С предикатные константы являются
общими для А и В.
{Указание: применить теорему об устранении сечений и теорему
о средней секвенции.]
Определение 6.8 (1) Полутермами мы будем называть выра-
жения, построенные так же, как термы, с тем отличием, что
в процессе их построения разрешается употреблять связанные
переменные (точное определение предоставляется читателю).
Пусть t — некоторый терм их — полутерм. Мы будем называть
х подполутермом терма t, если выполнены условия:
(i)	в х входит некоторая связанная переменная (т. е. х не
является термом);
(И) х не является просто связанной переменной;
(iii) некоторый подтерм терма t получается из х заменой
в нем всех связанных переменных на подходящие термы.
(2)	Полуформулами будем называть выражения, построенные
так же, как формулы, с тем отличием, что разрешаются сво-
бодные вхождения (т. е. вне области действия каких-либо кван-
торов) в них связанных переменных.
Теорема 6.9. Пусть t — некоторый терм и S — выводимая
секвенция, удовлетворяющая условию
(*) в S не входит никакой подполутерм терма t.
Тогда секвенция, полученная из S замещением в ней всех вхож-
дений t произвольной свободной переменной, также выводима.
Доказательство (набросок). Пусть Р — некоторый регу-
лярный не содержащий сечений вывод секвенции S. Заметим,
что если условие (*) справедливо для нижней секвенции какого-
нибудь непосредственного вывода в Р, то оно справедливо и
для каждой из его верхних секвенций. Поэтому теорема легко
доказывается индукцией по числу непосредственных выводов
в Р.
Определение 6.10. Пусть Rlt ..., Rm — некоторые предикат-
ные константы, R и R' — различные /г-местные предикатные
константы (/г^О). Пусть A (R, Rj, ..., Rm) — некоторое предло-
жение, в котором все вхождения R, Rit ..., Rm отмечены.
44
Гл. I. Исчисление предикатов первого порядка
Через В обозначим предложение V-4 ••• V-Чг (R (Ч,	х&) =
= R' (хь хк)), причем строка кванторов при k = 0 пуста,
а через С — предложение A(R, Rit ..Rm) Л A (R', R{, .. Rm).
Мы говорим, что предложение A (R, Rx, .... Rm) неявно опре-
деляет R (в LK) через РЛ, ..., Rm, если предложение С => В
выводимо в LK- Будем говорить, что предложение A (R, /?ь ...
..., Rm) явно определяет R (в LK) через Rx, ..., Rm
и индивидные константы, входящие в A (R, /?,, ..., Rm),
если существует формула F (а1( . .., ak), не содержащая никаких
предикатных констант, отличных от Rlt ..., Rm, и никаких
индивидных констант, кроме тех, что входят в A (R,
/?!, ..., Rm), такая, что в LK выводима секвенция
A (R, Ri, .. ., Rm) -> V-Ч • • • Xfxk (R (xt, ..., xft) = F (xt, .. ., xfc)).
Предложение 6.11 (теорема Бета об определимости для
системы LK). Если предикатная константа R неявно определяется
предложением A(R, Rx, ..., Rm) через Rx, ..., Rm, то R может
быть явно определена через Rx, . .., Rm и индивидные константы,
входящие в A (R, Rx, ..., R^.
Доказательство (набросок). Пусть сх, ..., сп — свобод-
ные переменные, не входящие в А. Тогда в LK выводима
секвенция
A(R,	Rm), A(R', Rx,
Rm)-
* R (ci> • • • >	— R (ci, ..., cn),
а следовательно, и секвенция
A(R, Rx,
Rm)AR(cb ..., c„)->
-> A (Rf, Rx, ..., Rm) zd R' (cb ..., cn).
Применим теперь к последней секвенции интерполяционную
теорему Крэйга (т. е. утверждение (1) теоремы 6.6).
Теперь мы приведем один из вариантов теоремы Робинсона
(для системы LK)-
Предложение 6.12 (Робинсон). Пусть .Дх и слД— две непро-
тиворечивые системы аксиом в языке, не содержащем функ-
циональных констант. Допустим далее, что ни для какого зави-
сящего от s4-x и <$^2 предложения А невозможно, чтобы в LK
были выводимы	и si-2->~\A (или ^Х->~]А и ^2->Д).
$ 6. Некоторые следствия теоремы об устранении сечений
45
Тогда система аксиом U «$$2 непротиворечива. {Определение
см. в п. 4.1.)
Доказательство (набросок). Допустим, что система
аксиом U <$$2 противоречива. Тогда найдутся последователь-
ности аксиом Г1 и Г2 из г?/, и соответственно, такие, что
в LK выводима секвенция Гь Г2->. Поскольку каждая из
систем и непротиворечива, тоГ|И Г2 непусты. Применим
теперь лемму 6.5 к разбиению [{Гь }, {Г2; }].
Пусть LIC и LJ' обозначают бескванторные фрагменты
систем LK и LJ соответственно, т. е. секвенциальные варианты
классического и интуиционистского исчислений высказываний
соответственно.
Теорема 6.13. Для систем LKZ и LJ' существуют разре-
шающие процедуры.
Доказательство (набросок). Приводимая ниже разре-
шающая процедура была предложена Генценом. Секвенцию S
назовем редуцированной, если никакая формула не повторяется
более трех раз ни в сукцеденте, ни в антецеденте этой секвен-
ции. Секвенция S' называется редуктом секвенции S, если S'
редуцированна и получена из S удалением „лишних11 вхожде-
ний некоторых формул. Пусть 5—некоторая секвенция и S'—
какой-нибудь ее редукт. Сначала отметим следующие факты.
1) Секвенция S выводима тогда и только тогда, когда секвен-
ция S' имеет вывод, состоящий лишь из редуцированных сек-
венций.
2) Число всех редуцированных секвенций, составленных
только из подформул формул секвенции S, конечно.
Рассмотрим конечную совокупность всех секвенций, указан-
ных в п. 2). Обозначим ее через Д. Выделим в этой совокуп-
ности все начальные секвенции и обозначим полученное мно-
жество через S?o. Затем проверим, содержатся ли в множестве
S? — 5% какие-нибудь секвенции, которые можно получить при-
менением того или иного правила вывода к секвенциям из ^о.
Обозначим через множество всех секвенций, удовлетво-
ряющих этому условию. Теперь посмотрим, содержатся ли во
множестве {Д—S^o) — Д\ какие-нибудь секвенции, которые можно
получить применением одного из правил вывода к секвенциям
из Д — Дй. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока он не
стабилизируется, т. е. пока мы не перестанем получать новые
выводимые секвенции. Если секвенция S' попала в одно из
построенных множеств Дь то эта секвенция, а с нею и S вы-
водима. В противном случае секвенция S не выводима.
(Заметим, что это доказательство целиком является финит-
ным.)
46
Гл. 1. Исчисление предикатов первого порядка
Теорема 6.14 (Харроп). (1) Если Г — некоторая конечная
последовательность формул, удовлетворяющих условию
(*) всякое вхождение символа V или В находится либо в об-
ласти действия какого-нибудь вхождения П, либо в левой
области действия какого-нибудь вхождения еэ (см. опре-
деление 6.1, п.З)),
то верны следующие два утверждения-.
1) секвенция Г -» А V В выводима в LJ тогда и только тогда,
когда в LJ выводима секвенция Г -> А или секвенция Г —> В;
2) секвенция Г -» 3xF (х) выводима в L J тогда и только тогда,
когда для некоторого терма s в LJ выводима секвенция Г -> F ($).
(2) Следующие (выводимые в LK) секвенции, вообще говоря,
не выводимы в LJ:
~| (~| А Л ~]В) -> A\J В-,	1 \/х ~| F (х) 3xF (х);
A zd В -> "1А V В; “I yxF (х) -> Зх ~] F (х);
-| (А Л В) -> “1 А V А В.
Доказательство. Докажем пункт 1) утверждения (1).
Часть „тогда" этого утверждения тривиальна. Для доказатель-
ства второй части рассмотрим какой-нибудь не содержащий
сечений вывод секвенции Г->А\/В и применим индукцию по
числу применений правил вывода в данном выводе. Если послед-
ним применяется правило V-справа, то доказывать нечего.
Заметим, что последними не могли применяться правила
Д-справа, =>-справа, УспРава> V-слева, а также правила
Д-справа, ~)-слева, Э-справа и Э-слева.
Случай 1: последним применяется правило Д-слева:
С, Г - > А V В
<	С /\ D, А V В.
Очевидно, что формула С удовлетворяет условию (*). Тогда
к верхней секвенции применимо предположение индукции; сле-
довательно, в LJ выводима секвенция С, Г—>А или секвенция
С, Г-+В. В каждом из этих случаев в LJ можно вывести со-
ответствующую заключительную секвенцию.
Случай 2: последним применяется правило о-слева:
Г->С О, n->AVB
С => D, Г, П-> А V В.
Очевидно, что формула D удовлетворяет условию (*); тогда,
применяя к правой верхней секвенции предположение индукции,
получаем, что в LJ выводима секвенция D, П—>Л или секвен-
ция D, П—>В. В каждом из этих случаев можно вывести со-
ответствующую заключительную секвенцию.
$ 7 Исчисление предикатов с равенством
.47
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Доказательства п. 2) утверждения (1) и утверждения (2)
предоставляются читателю.
§ 7. Исчисление предикатов с равенством
Определение 7.1. Исчисление предикатов с равенством (обо-
значаемое через LKe) получается из исчисления LK выделе-
нием некоторой двуместной предикатной константы = (читается
„равно") и добавлением следующих секвенций в качестве на-
чальных (= (а, Ь) обозначается через а~Ь):
->s — s;
S] = /[, . . ., Sn = tn > f (<S|, . . . , S„) = f (ti, . . ., t,-.)
для всякой «-местной функциональной константы f при п =
= 1, 2, ...;
Si = 6, •••, sn = tn, R(st, ..., $„)->Я(/ь ..., /„)
для всякой «-местной предикатной константы R (включая и =)
при п — 1, 2, ...; здесь s, sI; ..., sn, tt, ..., tn — произвольные
термы.
Каждая такая секвенция называется аксиомой равенства
системы LKe-
Предложение 7.2. Пусть A (ait ..., ап) — произвольная фор-
мула. Тогда секвенция
Si == t\, . .., sn = tп, A (Sj, ...» sn) > A (t[, ..., t п}
выводима в LKe для любых термов st, /Д1 s^z'cOi). Кроме того,
в LKe выводимы секвенции s = t—>t = s и s1=s2, s2 = s3 —> Sj=s3.
Определение 7.3. Пусть Ге — система аксиом, состоящая из
следующих предложений:
ух (х = х);
У Х[ ... У хпу у\ ... У у п [Х[ = у\ /\ ... А хп	у п zd f (х|, ..., хп)
= f (yi, • • Уп)]
для всякой «-местной функциональной константы f при п —
= 1,2, ...;
Vxi ... ухпуух ... Ууп[хх = У1А ... Ахп==г/„Д/?(Х1, ..., х„) =>
^/?(у1; .... !/„)]
Для всякой «-местной предикатной константы R при «==
==1,2, .... Каждое из этих предложений называется аксиомой
равенства.
48
Г л. 1. Исчисление предикатов первого порядка
Предложение 7.4. Секвенция Г—>Д выводима в LKe тогда
и только тогда, когда эта секвенция выводима в LK из Ге-
Доказательство. Необходимость: легко видеть, что все
начальные секвенции системы LKe выводимы из Ге; поэтому
предложение доказывается индукцией по числу применений
правил в некотором выводе секвенции Г -> А.
Достаточность: все формулы системы Ге выводимы в LKe-
Определение 7.5. Применение правила сечения называется
несущественным, если его высекаемая формула имеет вид s = t.
В противном случае оно называется существенным.
Теорема 7.6 (теорема об устранении сечений для исчисле-
ния предикатов с равенством LKe). Если какая-то секвенция
системы LKe выводима в LKe, то она имеет в LKe вывод, не
содержащий существенных сечений.
Доказательство. Будем устранять существенные сече-
ния (на самом деле существенные смешения), следуя методу,
использованному в доказательстве теоремы 5.1.
Если ранг вывода равен 2, секвенция S2 представляет собой
аксиому равенства и высекаемая формула не есть формула
вида s = i, то она имеет вид P(th ..., tn). Если секвенция
Si — тоже аксиома равенства, то она имеет вид
Sj t\, ..., sn tn, P (si, .. ., sn) > P {t\, .. ., /Д.
Из нее и из секвенции S2, имеющей вид
G = ri, Е = Гп, Р (/ь ..., /„)->Р(гь .... гп),
мы получаем с помощью смешения секвенцию
S] Б, • • • , Sn tn, /j Г\, , . . , tn	tп, Р (si, • . . , S„) >
к	->Р(щ, ..., Гп).
Заменим эту часть вывода следующим выводом:
Si = tt, ti = ri-> sl = ri (z=l, ..., n);
................sn = rn, P(st, ..., sn)-+P(ri, ..., rn)
и затем применим к этим секвенциям несколько раз правило
сечения с высекаемой формулой $г = г/, пока не получим ту же
заключительную секвенцию. Все примененные здесь сечения
(или смешения) являются несущественными.
Если P(ti, ..., tn) в секвенции S2 является ослабляющей
формулой, то смешение имеет вид
81=/Ь   .,Sn = tn,P(Si,  . ,,Sn)-^P(ti, ...,tn) P(ti, ..., tn), П-»Л
Sj /j, ..., sn E, P (Si, .. ., srt), П > Л.
$ 7. И счисление предикатов с равенством
49
Преобразуем его следующим образом:
П->Л
заключительная секвенция.
Остальная часть доказательства проводится так же, как и
в теореме 5.1.
Задача 7.7. Секвенцию вида
Sj = tb . .., sn = tn —> s = t (n = 0, 1, 2, ...)
назовем простой, если она может быть получена применением
правил перестановки, сокращения, сечения и ослабления слева
из секвенций следующих четырех видов:
1)	>s = s;
2)	s = t -> t = s;
3)	Si = s2, s2 = s3->si = s3;
4)	Si /[, . . •, sm > f (sj, ..., sm)	f (/j, ...,
Доказать, что если секвенция s1 = s1, ..., sm = sm~>s = t
проста, то s = t имеет вид s = s. В частности, если секвенция
—>s = t проста, то она имеет вид —>s = s.
Обозначим через LK' систему, получающуюся из LK доба-
влением следующих секвенций в качестве начальных:
а)	все простые секвенции;
б)	все секвенции вида
Si = /i,..., sm=/m, y?(s;..<)->/?с;, •••> Q,
где для всякого i (z=l, ..., н) секвенция Si = tl, ..., sm =
= t -> s' = t't является простой.
Доказать сначала, что класс всех начальных секвенций
системы LK' замкнут относительно сечений и что если секвенция
7?(sb .. ., «„)->№. .., /„)
является начальной в системе LK' (где /? не имеет вида =),
то эта секвенция имеет вид £)—>£). Затем доказать, что для
системы LK' справедлива теорема об устранении сечений (всех,
в том числе и несущественных).
Задача 7.8. Показать, что если некоторая секвенция, не
содержащая символа =, выводима в LKe, то она выводима
и в LK.
Задача 7.9. Доказать, что для системы LKe справедливы
теоремы 6.2—6.4, 6.6 и 6.14, предложения 6.11 и 6.12 и упражне-
ние 6.7, если их формулировки видоизменить следующим обра-
зом: всюду вместо LK (или LJ) подставить LKe и, кроме того,
50
г'л. I. Исчисление предикатов первого порядка
если требуется, чтобы та или иная формула содержала только,
некоторые константы, то константу = следует добавить к ним.
как исключение.
Общая идея доказательства такова. Всякое условие о выво-
димости в LKe той или иной секвенции Г—>А следует заменить
на условие выводимости в LK секвенции П, Г-»А, где II — не-
которая последовательность аксиом равенства. Таким образом,,
задача сводится к аналогичной задаче для системы LK-
§ 8. Теорема о полноте
Хотя мы не собираемся развивать в настоящей книге теорию,
моделей, наметим в общих чертах доказательство теоремы
о полноте для системы LK- Впервые теорему о полноте для
исчисления предикатов первого порядка доказал Гёдель. Здесь
мы следуем методу Шютте; этот метод имеет тесную связь
с теоремой об устранении сечений. На самом деле теорема об
устранении сечений является следствием теоремы о полноте
в том виде, как она сформулирована ниже. (Значение приве-
денного в § 5 доказательства теоремы об устранении сечений
состоит в том, что оно имеет конструктивный характер.)
Определение 8.1. (1) Пусть L — некоторый язык в смысле § 1.
Под структурой для языка L (L-структурой) мы понимаем
пару (D, ф), где D — некоторое непустое множество и ф — неко-
торое отображение, определенное на множестве констант языка L
и удовлетворяющее условиям:
(i)	если k — индивидная константа, то ф1г— элемент мно-
жества D;
(ii)	если f — какая-либо «-местная функциональная кон-
станта, то ф[ — отображение из Dn в О;
(iii)	если R — какая-либо «-местная предикатная константа,
то фИ — некоторое подмножество множества Dn.
(2)	Интерпретацией 3 языка L называется структура {D, ф}
вместе с отображением ф0 множества всех переменных языка L
в D, 3~((D, ф), ф0). Отображение ф0 называется оценкой на D.
(3)	Мы говорим, что интерпретация 3 — (Ф, ф), фо) выпол-
няет формулу А, если это вытекает из следующего индуктив-
ного определения. В действительности мы определим это поня-
тие для полуформул А (см. определение 6.8).
0) Определим сначала для всякого полутерма t значение фС
Положим фа — фоа и фх = фох для всех свободных переменных а
я связанных переменных х. Затем, если f — некоторая «-местная
функциональная константа и /1; . . ., tn— полутермы, для которых
значения ф1, уже определены (/ = !,...,«), то определим
ф}(А, ..., /„) как (фГХфЦ, ..., ф(п).
$ 8. Теорема о полноте
51
1)	Если В—некоторая «-местная предикатная константа и
?!....4 — полутермы, то интерпретация 3 выполняет/?(/ь	/„),
если	ф1п) <= ФВ.
2)	Интерпретация 3 выполняет А, если она не выполняет А;
интерпретация 3 выполняет А Д В, если она выполняет А и В;
интерпретация 3 выполняет А V В, если она выполняет А или В;
интерпретация 3 выполняет А до В, если она не выполняет А
или выполняет В.
3)	Интерпретация 3 = ({D, ф), ф0) выполняет VxB, если для
всякой оценки ф'о, совпадающей с ф0 на всех переменных, кроме,
быть может, х, интерпретация ((D, ф), выполняет Д; интер-
претация 3 выполняет ЗхВ, если для некоторой оценки ф'о,
совпадающей с фа на всех переменных, кроме, быть может, х,
интерпретация (Д), ф}, </>') выполняет В.
Если интерпретация 3 = ((^> Ф}> Фо) выполняет формулу А,
то мы говорим, что формула А выполняется в структуре (D, ф)
при оценке ф0 или просто что А выполняется в 3-
(4	) Формула называется истинной в структуре (D, ф}, если
для всякой оценки фо интерпретация ((О, ф), ф0) выполняет эту
формулу. Формула называется общезначимой, если она истинна
в каждой структуре.
(5	) Секвенция Г—>А выполняется в структуре (D, ф) при
оценке ф0 (или интерпретация 3 — ((£>, ф), фо) выполняет секвен-
цию Г —> А), если некоторая формула из Г не выполняется в 3
или некоторая формула из А выполняется в 3- Секвенция назы-
вается общезначимой, если она выполняется в каждой интер-
претации.
(6	) Структуры можно обозначать следующим образом:
<£); ф!г0, фкь ..., ф}0, Ф1Ь ..., фЯ0, фВъ •••)
Структура называется моделью системы аксиом Г, если всякое
предложение из Г истинно в ней. Структура называется контр-
моделью для Г, если найдется предложение из Г, которое в ней
не истинно.
Теорема 8.2 (полнота и корректность). Для того чтобы фор-
мула была выводима в LK, необходимо и достаточно, чтобы она
была общезначима.
Замечание. (1) Достаточность этого условия представляет
собой утверждение о полноте системы LK- Вообще система
называется полной, если всякая общезначимая формула выво-
дима в этой системе (свойство полноты зависит от того, как
определяется общезначимость).
52
Гл. 1. Исчисление предикатов первого порядка
Корректность системы означает, что все выводимые в ней
секвенции являются общезначимыми (т. е. это утверждение
о необходимости приведенного в теореме условия). Коррект-
ность системы гарантирует ее непротиворечивость.
(2) Данная теорема осуществляет связь теории доказательств
с семантикой, где под семантикой, грубо говоря, понимается
изучение интерпретаций формул в структурах (языка) и, следо-
вательно, изучение их истинности или ложности.
Доказательство теоремы 8.2. Корректность легко
доказывается индукцией по сложности вывода данной формулы.
Полноту мы докажем в следующей обобщенной форме:
Лемма 8.3. Пусть S — некоторая секвенция. Тогда либо суще-
ствует не содержащий сечений вывод этой секвенции, либо суще-
ствует интерпретация, которая не выполняет секвенцию S («, таким
образом, секвенция S не общезначима).
Доказательство. Для каждой секвенции S мы опреде-
лим некоторое (возможно, бесконечное) дерево, называемое
редукционным деревом для S. Из такого дерева мы сможем
получить либо вывод без сечений секвенции S, либо интерпре-
тацию, в которой секвенция S не выполняется. (Эта идея при-
надлежит Шютте.) В каждом узле этого дерева находится
некоторая секвенция. Строится оно следующим образом.
Этап 0. Запишем секвенцию S в корне дерева.
Этап k (k > 0). Возможны два случая.
Случай I. В каждом из верхних узлов дерева антецедент
и сукцедент расположенной там секвенции имеют некоторую
общую формулу. Тогда процесс построения на этом заканчи-
вается.
Случай II. Случай I не имеет места. Тогда дальнейшие
построения на этом этапе зависят от того, какое из следующих
13 сравнений имеет место:
k = Q, /г = 1, ...,& = 11, /г 12 (mod 13).
Случаи k = 0 и /г 1 относятся к связке И; k = 2 и k = 3 —
к связке А; ^ — 4 и k = 5 — к связке V; /г = 6 и k = 7—
к связке дэ; /г =8 и /г = 9— к квантору V, и, наконец, случаи
k = 10 и k = 11 относятся к квантору В.
Поскольку применение редукционных деревьев является
общепринятым методом и они неоднократно будут использо-
ваться в настоящей книге, мы детально опишем указанные выше
этапы так называемого редукционного процесса. Для простоты
рассуждений предположим, что язык не содержит индивидных
и функциональных констант.
$> 8. Теорема о полноте
53
Все свободные переменные, которые входят в какие-нибудь
секвенции, полученные на этапе k или ранее, мы будем назы-
вать доступными на этапе k. Если же на каком-то этапе таких
переменных нет, возьмем любую свободную переменную и
обьявим ее доступной.
0) 6 = 0. Пусть' П—> Л — произвольная секвенция, распо-
ложенная в одном из верхних узлов дерева, построенного на
этапе k — 1. Пусть П А}, ..., ПЛ —все формулы из П, имею-
щие вид А, к которым на предыдущих этапах не применялась
ни одна из редукций. Тогда над П—>Л напишем секвенцию
П —>Л, Д1, ..., Ап.
Мы будем говорить, что к формулам П Л[, •••, П Ап приме-
нена редукция П-слева.
1)	k=\. Пусть ПЛ, •••, П Ап — все формулы из Л, имею-
щие вид ПЛ к которым до сих пор не применялась ни одна
из редукций. Тогда над П—>Л напишем секвенцию
А,....Ап, П->Л.
Мы будем говорить, что к формулам ПЛ, ~1Ап применена
редукция П-справа.
2)	k = 2. Пусть ЛАЛ..... Л„ДВ„ —все формулы из П,
имеющие вид А Д В, к которым еще не применялись редукции.
Тогда над П->Л напишем секвенцию
Ль В], Л, В2, ..., Ап, Вп, П—>Л.
Мы будем говорить, что к формулам
Л А В[, .. ., Ап Л Вп
применена редукция Л-слева.
3)	/г = 3. Пусть Ai Л В... Ап Л Вп — все формулы из Л,
имеющие вид А Л В, к которым еще не применялись редукции.
Тогда над П->Л напишем все секвенции вида
П->Л, Ci, .. ., Сп,
где Ci есть либо Ait либо В,. Таким образом, непосредственно
над П—>Л находятся 2" секвенций, соответствующих всем ком-
бинациям формул Ci. Мы будем говорить, что к формулам
Ai Д Bi, .... Ап Л Вп применена редукция Д-справа.
4)	k = 4. Редукция V-слева определяется симметрично ре-
дукции Д-справа в 3).
5)	k = 5. Редукция V-справа определяется симметрично ре-
дукции Д-слева в 2).
6)	/г = 6. Пусть AiTZiBi, ..., Л„=>Вге —все формулы из П,
имеющие вид Лой, к которым еще не применялись редукции.
54
Гл. 1. Исчисление предикатов первого порядка
Тогда над П—> Л напишем все секвенции вида
Bit, .... В1;, П->Л, А/,, .... Aik,
где (tb z;, /1, Д) — произвольная перестановка множе-
ства (1, .... п). Мы будем говорить, что к формулам Л, =>
=> Bi, Ап => Вп применена редукция =>-слева.
7)	k = l. Пусть Л1=>В1,	Л„=>В„—все формулы из А,
имеющие вид А=>В, к которым еще не применялись редукции.
Тогда над П->А напишем секвенцию
Л....., Л„, П->Л, Вь .... В„.
Мы будем говорить, что к формулам
Л, =эВь .... Л„=эВ„
применена редукция zo-справа.
8)	й = 8. Пусть Vx^i (xj), ..., Vx„A„ (х„) — все формулы
из 11, начинающиеся с квантора V. Пусть а,- — первая доступная
на этом этапе свободная переменная, которая не использова-
лась в редукциях формул Vx/ЛДх/), где l^z^zz. Тогда над
П —> А напишем секвенцию
Л1 (nJ, .. Ап(ап), II-> А.
Мы будем говорить, что к формулам
VxjAj (xj)...VxnA„(xn)
применена редукция V-слева.
9)	/г = 9. Пусть VxiAi(xt), Vx„An(x„)— все формулы
из А, начинающиеся с квантора V, к которым до сих пор не
применялись редукции. Пусть at, ..., ап— первые п свободных
переменных (в фиксированном списке переменных), которые не
доступны на этом этапе. Тогда над II—>А запишем секвенцию
4	П->А, Ai (ai), ..., Ап(ап).
Мы будем говорить, что к формулам VxiA](xi)......Vx„Aa (х„)
применена редукция V-справа. Отметим, что ait . . ., ап — новые
доступные свободные переменные.
10)	k = 10. Редукция В-слева определяется симметрично
редукции V-справа в 9).
11)	/г ==11. Редукция В-справа определяется симметрично
редукции V-слева в 8).
12)	Если II и А имеют общую формулу, то над секвенцией
И —> А мы ничего не пишем (и поэтому эта секвенция остается
в верхнем узле дерева). Если же II и А не имеют общих фор-
мул, то над II—> А напишем саму эту секвенцию.
Совокупность всех тех секвенций, которые получаются опи-
санным выше редукционным процессом вместе с частичным
$ 8. Теорема о полноте
55
порядком, возникающим в ходе этого процесса, называется
редукционным деревом (для секвенции S). Это дерево обозна-
чается через Т (S). Мы будем строить „редукционные деревья",
подобные этому, и в дальнейшем. Назовем ветвью произвольную
(конечную или бесконечную) последовательность So, Si, S2, ...
секвенций дерева T(S), удовлетворяющую следующим условиям:
(i) S0 = S; (ii) секвенция Si+1 расположена в Т (S) непосред-
ственно над St-; (iii) если эта последовательность конечна,
скажем Sb ..., Sn, то секвенция Sn имеет вид П—>Л, где II
и Л содержат некоторую общую формулу.
Пусть теперь дана секвенция S и Т Т (S) — ее редукционное
дерево. Если всякая ветвь дерева Т заканчивается секвенцией,
антецедент и сукцедент которой содержат некоторую общую
для них формулу, то, подходящим образом видоизменяя Т,
в принципе нетрудно выписать вывод без сечений, оканчиваю-
щийся секвенцией S.
В противном случае существует некоторая бесконечная
ветвь. Рассмотрим какую-нибудь бесконечную ветвь, состоящую
из секвенций S = S0, Sb .. ., Sn, .... Пусть секвенция S; имеет
вид Гу —>Дг. Через (JГ обозначим множество всех формул,
встречающихся хотя бы в одном антецеденте Гг при некото-
ром !, а через (JS — множество всех формул, входящих хотя бы
в один сукцедент Ду при некотором /. Мы построим интерпре-
тацию, в которой выполняется всякая формула из (JT и не
выполняется ни одна формула из (JA, а потому не выполняется
и секвенция S.
Сначала заметим, что из способа выбора этой ветви сле-
дует, что множества иг и ил не имеют общих атомарных
формул. Пусть D — множество всех свободных переменных.
Рассмотрим интерпретацию 3 = ((£>, ^), <М> гДе и </>0 опреде-
ляются следующим образом: ф0(а) = а для всякой свободной
переменной а, для всякой связанной переменной х </>0(х) опре-
деляется произвольным образом. Для всякой n-местной преди-
катной константы /? значением <f>R является любое подмно-
жество Dn, такое, что если R (аь ..., ап) е (J Г, то (аь..., an)e<j>R,
и если R(ab ..., aJeiJS, то (ai,  an)^tR-
Мы утверждаем, что эта интерпретация 3 обладает тре-
буемыми свойствами: в ней выполняется всякая формула из UГ,
но не выполняется ни одна формула из (_)Д. Докажем это
индукцией по числу логических символов в формуле А. Мы
рассмотрим здесь шаг индукции лишь для случая, когда фор-
мула А имеет вид VxF(x).
Подслучай 1: формула А принадлежит (JT. Пусть i — наи-
меньший такой номер, что А находится в ГД Тогда А принад-
лежит Гу для всякого / > I. Надо показать, что все формулы
вида F (а) для aeD выполняются в интерпретации 3, а Для
56
Гл. f. Исчисление предикатов первого порядка
этого в силу предположения индукции достаточно показать,
что все они принадлежат (JF. Но это, очевидно, вытекает из
способа построения редукционного дерева.
Подслучай 2: формула А принадлежит (JA- Рассмотрим
тот этап, на котором в формуле А применялась редукция
V-справа. Он выглядит так:
г<+1-*д;.+1,т д|+1
Гг -^Л', А, Д2
Тогда по предположению индукции в интерпретации 3 не вы-
полняется формула F (а); следовательно, в ней не выполняется
и формула А. Теорема доказана.
Задача 8.4 (Скотт). Рассмотрим язык, содержащий только
конечное число предикатных констант /?1; . . ., Rk и не содер-
жащий ни индивидных, ни функциональных констант. Обо-
значим его через L(Pb ..., Rk)- Если /^{1, ..., k}, то [-фор-
мулой назовем всякую формулу, содержащую предикатные
константы лишь с индексами из I. Пусть F — некоторое множе-
ство подмножеств множества {1, . . ., /г) и F =И= 0. Под F-фор-
мулой понимается всякая пропозициональная комбинация
/-формул для / из F, т. е. формула, составленная из /-формул
для всевозможных / из F с помощью связок V и Д. Если
91 = (Л, Rh ..., Rk) — некоторая структура для нашего языка
и / = {7Ь ..., im}, то через 91; обозначим структуру, полученную
из 91 ограничением ее предикатными константами с индексами
из /, т. е. 917 есть (Д, Рц, ..., Rin^- Структуры 91 и -В языка
L (/?i, ..., Rm) называются F-изоморфными, если для всякого /
из F структуры 91/ и 93/ изоморфны.
Доказать следующую интерполяционную теорему, касаю-
щуюся F-изоморфных моделей.
Пусть У — некоторая теория (система аксиом) в языке
L (/?ь ..., Rk), а Д и В — два предложения этого языка. До-
пустим, что всякий раз, когда 91 и 93 — какие-то две F-изо-
морфные модели теории У и в 91 выполняется Д, то в 93 вы-
полняется В. Тогда найдется некоторое F-предложение С,
такое, что в LK выводимы У, А —> С и У, С -> В.
[Указание: (1) Сначала для всякого i—1, . .., k добавим
к языку новую предикатную константу Sit имеющую такое же
число аргументов, что и Р(-. Если А — какое-то выражение
языка L (Рь ..., Rk), то пусть А* обозначает выражение, по-
лучающееся из А заменой в нем всех вхождений Рг на 5г для
всех i = 1, . . ., k.
(2)	Для всякого / из F добавим к языку новые функцио-
нальные константы f/ и gt. Константа fI будет представлять
£ 8. Теорема о полноте
57
некоторый изоморфизм между 51/ и 33z, если ?1 и ’В — две
F-изоморфные структуры, a gj— обратный к f, изоморфизм.
(3)	Рассмотрим язык L'=L (7?ь Rk, Si,.... Sk, ft, gz|/=F),
в котором понятие „F-изоморфизма между двумя структурами*4
выразимо синтаксически. Пусть = г— предложение, выражаю-
щее F-изоморфизм.
(4)	При наличии понятия F-изоморфизма, выраженного
синтаксически, решение задачи сводится к доказательству сле-
дующей леммы.]
Лемма 8.5. Пусть Фь 4fi — некоторые конечные (возможно,
пустые) последовательности формул языка L(Ri, ..., Rk, f]t
gJ/eF), в которых никакая функциональная константа не со-
держит связанных переменных.
Аналогично, пусть Фг, — некоторые конечные (возможно,
пустые) последовательности формул языка L (Sb ..., Sk, fIt
gz|/eF), в которых никакая функциональная константа не со-
держит связанных переменных.
Пусть далее Ф3 — некоторая конечная (возможно, пустая)
последовательность подформул формулы &р. Предположим, что
выводима секвенция Ф]; Фг, Фз~>Чг1, Ч'г-
Тогда найдутся некоторая ^-формула S языка L (Ri, . .., Rk,
fh gI\Ie'F) и некоторая ^-формула S* языка L(S1; ..., Sk, fJt
gi\!^¥), такие, что выводимы секвенции Ф[-»-4ri, S и
2‘, Ф2 -> Фг и, кроме того,
1)	никакая функциональная константа ни в S, ни в S* не
содержит связанных переменных-,
2)	всякая свободная переменная формулы S или S* должна
встречаться среди свободных переменных каждой из формул
Ф1, Фг, ЧИ1 и 4f2,'
3)	формула S* получается из формулы S заменой всякой
предикатной константы Ri на St и всякого терма t на t*, где
либо
(а)	терм Г есть fj(t) и Г есть аргумент некоторого преди-
ката Sk при k е I,
либо
(Ь)	терм t есть gj(t*) и t есть аргумент некоторого преди-
ката Rk при /? е/
Доказательство проводится индукцией по числу при-
менений правил вывода в некотором не содержащем сечений
выводе данной секвенции. В большинстве случаев построение
формулы S не вызывает принципиальных трудностей; в случае
применения правила дэ-слева или правила, вводящего квантор,
нам нужен следующий результат.
58
Гл. t. И счисление предикатов первого порядка
Подлемма 8.6. Пусть и Si—некоторые F-формулы, удов-
летворяющие условиям 1) и 3) леммы 8.5 и такие, что (в LK)
выводимы секвенции Ф] -> Ч^, Si и Si, Ф2 -> Ч^- Предположим,
что единственным термом, содержащим свободную перемен-
ную а и входящим хотя бы в одну из последовательностей Фь
Ф2, 4fi или 4fi, является сама переменная а. Тогда существуют
F-формулы S и S*, для которых также выполняются условия
1) и 3) леммы 8.5, выводимы секвенции Ф, —> S, Ч^ и
. S*, Ф2 -> Чг2, переменная а не входит ни в S, ни в S*, а все
свободные переменные этих формул содержатся среди перемен-
ных формул Si и S‘.
Искомая формула S (соответственно S*) может быть по-
строена из S] (соответственно S*) уменьшением шаг за шагом
числа вхождений переменной а. Чтобы сделать это, отметим
следующие факты:
(i)	Мы можем предположить, что если некоторый терм t
(соответственно /*) входит в формулу S.t (соответственно S*),
причем это вхождение имеет вид (Ь) (соответственно (а))
части 3) леммы 8.5 и содержит переменную а, то терм t (со-
ответственно f) не имеет вида gi(fi(t')) (fi(gi(t')Y)-
tn п
(ii)	Формула Sj может быть записана в виде Д V Ац, гДе все
i=i/=i
Aij — некоторые //-формулы. Для любого фиксированного /
всякий терм /, имеющий вхождения переменной а и не входя-
щий в другие термы, входит в формулу Дг/, причем это вхож-
дение имеет либо вид (а) для всех i, либо вид (Ь) для всех i.
Аналогичное утверждение справедливо для терма /*.
(iii)	Возьмем терм t, содержащий переменную а, не содер-
жащийся в других термах и являющийся самым сложным
среди таких термов. Если формула А,/ содержит терм /, т. е.
ее можно записать в виде Ац(Т), то мы заменим эту формулу
в Si на VxA(-/ (х). Подобным же образом мы делаем замену в
формуле х*.
Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не удалим все
вхождения переменной а.
Опираясь на подлемму 8.6, легко избавиться от „лишних"
свободных переменных при построении интерполянта на ос-
нове предположения индукции (в случаях, относящихся к =>,
V и 3).
Задача 8.7 (Феферман). Пусть J — некоторое непустое мно-
жество. Каждый элемент из J мы будем называть сортом.
Многосортный язык L(/), соответствующий множеству сор-
тов J, содержит следующие символы.
§ 8. Теорема о полноте
59
1)	Индивидные константы: k0,	. .., /г,-, причем каж-
дой константе k. приписан определенный сорт.
2)	Предикатные константы: Ro, Rh Rit причем
каждой константе Ri приписаны целое число га^О (число ар-
гументов) и сорта /ь jn. Мы будем говорить, что преди-
катная константа R{ имеет тип (га; Ц./„).
3)	Функциональные константы: /0, /у,..., fit причем
каждой константе приписаны некоторое число га/гаД^О)
(число аргументов) и сорта R,	j. Мы будем говорить,,
что функциональная константа ft имеет тип (га;	jn, j).
4)	Свободные переменные сорта / для каждого / из J:
а’й, а{, ..., а{, . ..
5)	Связанные переменные сорта / для каждого / из 7:
хо> • • •, xt, • • • •
6)	Логические символы: Д, Д, V, =>, V, 3.
Термы сорта / для всякого j определяются следующим об-
разом. Индивидные константы и свободные переменные сорта /
являются термами сорта /; если f— функциональная константа
типа (га; /1; . .., jn, j) и /ь ..., /„ — термы сортов /ь .... jn со-
ответственно, то f (/), ..., /„) — терм сорта /.
Если R — предикатная константа типа (га;	и
/ь ..., /„— термы сортов /ь ..., /„ соответственно, то-
/?(/b ...,/„)—атомарная формула. Если F (а’) — формула и
х1 не входит в F (а*), то \fxlF(x>) и 3x,F{xl)— тоже формулы;
остальные шаги в построении формул языка L (7) проводятся,
как обычно. Секвенции языка L (7) определяются также обыч-
ным образом.
Правила вывода такие же, как и для системы LK, за ис-
ключением правил, относящихся к кванторам V и 3: термы
и свободные переменные должны теперь замещаться связан-
ными переменными тех же сортов.
Доказать следующие утверждения.
(1) Для только что описанной системы верна теорема об
устранении сечений.
Далее, для всякой формулы А следующим образом опре-
делим множества Sort(/1), Ех(Д), Пп(Д), Ег(Д), Сп(Д}
и Рг(Д).
Sort (Д) — это множество всех / из 7, таких, что формула А
содержит некоторый символ сорта j.
Ex (Д) (соответственно Пп(Д)) — это множества сортов свя-
занных переменных, которые входят в некоторые существенно
экзистенциальные (соответственно универсальные) кванторы
формулы А. (Существенно экзистенциальное и существенно
универсальное вхождение # квантора 3 определяется сле-
дующим образом. Подсчитываем число вхождений связок
60	Гл. /. Исчисление предикатов первого порядка
П и □ в формуле А, таких, как вхождение 4г находится либо
в области действия либо в левой области действия до.
Если это число четно, то вхождение * называется суще-
ственно экзистенциальным, а если нечетно, то существенно
универсальным. Двойственным образом определяются суще-
ственно экзистенциальные и существенно универсальные вхо-
ждения квантора V.)
Fr (А) — это множество всех свободных переменных в фор-
муле А.
Сп(А)— множество всех индивидных констант в А.
Рг(А) — множество всех предикатных констант в А.
(2) Допустим, что формула А о В выводима в описанной
выше системе и что по крайней мере одно из множеств
Sort (А) П Ех (В) и Sort (5) П Un (А) непусто. Тогда существует
формула С, такая, что Un (С) S Un (А), Ех(С)еЕх(В) и <т(С)^
S a (A) Qo (В), где а обозначает любое из множеств Fr, Сп,
Рг или Sort. [Указание: переформулировать это утверждение
для секвенций и применить утверждение (1), т. е. теорему об
устранении сечений.]
Задача 8.8 (Феферман: обобщение теоремы Лося—Тарс-
кого). Структура для многосортного языка (см. задачу 8.7)
определяется следующим образом. Пусть L (7) — некоторый
многосортный язык. Структурой для языка L (7) называется
пара {D, ф), где D — некоторое семейство непустых мно-
жеств {Dj \j е 7} и ф— отображение, ставящее в соответствие
константам языка L (7) соответствующие объекты. Множе-
ство Dj называется областью сорта j данной структуры. Пере-
числение свойств, которым должно удовлетворять отображе-
ние ф, мы предоставляем читателю; следует все время
помнить, что индивидные константы сорта j принадлежат обла-
сти D/. Пусть Л = {р, ф) и Jt' = {D', ф'} — две структуры для
языка L (7), и пусть 70 S 7. Мы будем говорить, что струк-
тура Л' является 10-расишрением структуры Л, и использо-
вать запись Л S 1„Л’, если выполнены условия:
(i)	Dj s Dj для всякого j из 7;
(ii)	Dj = Dj для всякого j из 70;
(iii)	ф'1г = ф!г для всякой индивидной константы /г;
(iv)	для всякой предикатной константы R типа (ге; /1; ..., /„)
(v)	для всякой функциональной константы f типа (ге;
Л> • •	/), если (dp . . ., d„) «= Dh X-  -X Din, то
(О<Л>	4) = (#Ж,  , dn).
$ 8. Теорема о полноте
61
Формулу А назовем J^-экзистенциальной, если Un(A) = 70.
Пусть даны Zos / и некоторая формула А языка L (У),
свободными переменными которой являются (только) , Ьп,
имеющие сорта /ь /п соответственно. Показать, что сле-
дующие два утверждения эквивалентны.
(1) Для произвольных структур Л и Л', таких, что
Л S 1аЛ', и для произвольных оценок <£0 и </>о, ставящих в со-
ответствие переменным элементы областей (соответствующих
сортов) структур Л и Л' и совпадающих на Ьх, ..., Ьп, если
формула А выполняется в интерпретации (Л, <£0), то она
выполняется и в интерпретации (Л', <£о),
(2) Существует некоторая 70-экзистенциальная формула В,
такая, что выводимо А=В и Fr (В) s Fr (А).
[Указание (Феферман). Пусть справедливо (2). Индукцией по
сложности формулы В легко показывается, что для нее спра-
ведливо утверждение (1), откуда следует справедливость этого
утверждения и для формулы А.
Чтобы доказать обратное, поступим следующим образом.
Допустим (для простоты), что язык не содержит индивидных
и функциональных констант. Главная задача — записать ут-
верждение (1) синтаксически в каком-нибудь расширенном
языке, в котором мы смогли бы выразить отношение 70-рас-
ширения между двумя структурами.
Пусть Л и Л' — две структуры вида
причем множества 7 и J' не пересекаются и находятся во вза-
имно однозначном соответствии. Мы будем обозначать через
/ и j' соответствующие друг другу элементы множеств J и
Через /+ обозначим J (J Тогда (7+, I,	будет опреде-
лять „тип“ структур. Пусть L+ — язык, соответствующий мно-
жеству сортов J+. Этот язык включает в себя исходный язык L.
Пусть и — произвольная связанная переменная, скажем п-я
связанная переменная сорта /; обозначим через и' соответ-
ствующую п-ю связанную переменную сорта Если С — фор-
мула языка L, то через С' обозначим результат замещения
в С всякой связанной переменной и на таким образом,
Fr (С) = Fr (С')- В этих обозначениях пусть множество Ext со-
стоит из предложений вида Vu'3u(u' = u) для каждого сорта
переменной и из J и из предложений вида У/иЗи' (и —и') для
каждого сорта переменной и из 70.
Тогда из Ext и всех формул 3«'(и'. = b.) при i=l, ..., п
выводима секвенция А' -> А. Поэтому существует конечное
62
Гл. I. И счисление предикатов первого порядка
подмножество Ext] множества Ext и некоторый вывод без
сечений секвенции
(*)	Ext],	А'-+А.
Применим теперь интерполяционную теорему (2) задачи 8.7,
Можно выбрать такой интерполянт В, чтобы выполнялись ус-
ловия
(i)	Fr(B)sFrU) = {ft],..., М;
(ii)	Рг(£) = Рг(Л);
(iii)	сорт каждой связанной переменной в В принадлежит J',
(iv) Un (В) S Jo-
Следовательно, В представляет собой некоторую 70-экзистен-
циальную формулу языка L. Поскольку выводимы секвенции ,
Ext], {Зн,(и' = б;)}" ], Л'В и В->А,
мы получаем, что выводима формула /1 = В.]
Пусть Л*=(р, фоу и Л' = (D,	— две структуры для
одного и того же языка. Структура Л' называется расширением
структуры Л, если D s D', ф,ф = для всякой индивидной
константы k и ф0) совпадает с ограничением ф'ф на D для вся-
кой функциональной или предикатной константы f.
Следствие 8.9 (Лось — Тарский). Пусть А — некоторая фор*
мула обычного (т. е. односортногд) языка L. Тогда эквивалентны
следующие утверждения.
(i) Пусть Л — произвольная структура (для языка L) и
Л'—любое ее расширение, </ и ф'—произвольные оценки на струк*
турах Л и Л' соответственно, совпадающие на всех переменных
формулы Л; тогда, если в- интерпретации (Л, ф) выполняется
формула А, то она выполняется и в интерпретации (Л', ф').
(ii) Существует (существенно) экзистенциальная формула В,
такая, что в LK выводимо А = В и все свободные переменные
формулы В находятся среди свободных переменных формулы А.
Доказательство. Это следует из задачи 8.8 при J, со-
стоящем из одного сорта, и пустом 70.
Задача 8.10. Пусть Л — некоторая система аксиом в языке L,
VxBz/Л (х, z/) — предложение языка L, выводимое из^(, не-
функциональная константа, не входящая в L. Показать, что
тогда всякая L-формула, которая выводима из Л U {УхЛ (х, f (х))},
выводима также из Л в L (т. е. введение таким способом сим-
вола / не расширяет существенно эту систему). [Указание
(метод Маехары): данное утверждение является следствием
леммы 8.11.]
J 8. Теорема о полноте
63
Лемма 8.11. Пусть \хЗуА(х,у)— некоторое предложение
языка L, f — функциональный символ, не входящий в L, а Г —
и 0 — конечные последовательности L-формул. Если секвенция
УхЛ (х, f (х)), Г —> 0 выводима, то секвенция УхЗуА (х, у), Г->0
выводима в L.
Доказательство. Пусть Р — некоторый не содержащий
сечений регулярный вывод секвенции VxA (х, f (х)), Г->0. Пусть
Ц, ..., tn— все термы (именно термы, а не полутермы), входя-
щие в Р и начинающиеся с символа f. Пусть эти термы рас-
положены в таком порядке, что терм не является подтермом
терма при z < j. Допустим, что имеет вид f (sj для i =
= 1, ..., п. Вывод Р преобразуется в три шага.
Шаг (1). Пусть alt .... ап — попарно различные свободные
переменные, не входящие в Р. Преобразуем вывод Р, заменив
в нем всякое вхождение /] на ah t2 на а2 и т. д. Получившаяся
фигура Р' имеет ту же заключительную секвенцию, что и Р,
но не является, вообще говоря, выводом (как мы увидим ниже)
и поэтому должна подвергнуться дальнейшему преобразованию.
Шаг (2). Поскольку вывод Р не содержит сечений и f не
входит ни в Г ни в 0, легко видеть, что f может входить в Р'
только в антецеденты секвенций и только в виде VxA (х, f (х)),
причем соответствующие вхождения УхЛ (х, f (х)) в Р вводятся
(в Р) либо правилом ослабления слева, либо некоторым .пра-
вилом вида
/	Н^)), П-»Л
VxA (х, f (х)), П -> Л-
(для некоторого i, 1 «С i п). Допустим, что верхняя секвенция
применения I преобразуется в Р' в секвенцию
Л (s', аг), П'->Л'.
(То есть на шаге (1) 1 не переходит в правильный непосред-
ственный вывод в Р'.) Теперь заменим все вхождения формулы
УхЛ (х, f (х)) в Р' на последовательность формул
Л(5;, а,), ..., A(s'n, ап),
где s' получается заменой всех /у в s(- на Пу. Тогда нижняя
секвенция (преобразованного) применения I может быть выве-
дена из верхней секвенции с помощью нескольких ослаблений.
В результате (после добавления некоторых сокращений и
перестановок) получится фигура Р" с заключительной секвен-
цией
Л(5;, а,), ..., Л(5;, ап), Г->0.
64
Гл. I. Исчисление предикатов первого порядка
Однако эта фигура все еще может не быть выводом, как мы
сейчас покажем, и должна подвергнуться дальнейшему пре-
образованию.
Шаг (3). Рассмотрим какое-нибудь применение правила
3-слева в Р:
B(b), А->Ф
3zB(z), А->Ф
и предположим, что оно преобразовалось (после шагов (1) и (2)) в
В' (b), А' Т'
J 3zB'(z), А'->Ф''
Может так случиться, что для некоторого i собственная пере-
менная Ь применения J входит в s; (а также в s') и, кроме
того, формула Д (s(, ос) входит в А' или Ф'; таким образом»
для J' не выполнено теперь ограничение на собственную пере-
менную.
Тогда мы преобразуем все J' в фигуре Р" (получающиеся
из применений J правила В-слева) следующим образом:
ЗгВ' (z) -> 3zB' (z) В' (Ь), А' -> Ф'
=>-слева 3zB, в, 3zB, д/
и пронесем дополнительную формулу 3zB'(z) => В' (b) вниз вплоть
до заключительной секвенции.
По той же причине для всякого применения правила V-справа
в Р вида
А -> Ф, В (Ь)
J А—>Ч7, VzB(z)
мы заменим соответствующую ему фигуру в Р"
А'->Ф', В'(Ь)
J A' -»W',VzB' (z)
на
А'->Ф', В'(Ь)
X VzB' (z), 3z П В' (z) П В' (Ь), А' -> Ф'
о-слева 3z q q д, ^zB,
(и пронесем дополнительную формулу вниз до конца).
В результате (после очевидных корректировок с помощью
структурных правил) получится некоторый вывод, не содержа-
щий применений правил В-слева и V-справа, заключительная
секвенция которого имеет вид
Sp. 3zB' (z) =5 В' (d), ..., A (s', а;), Г 0.
J 3. Теорема о полноте
65
Применим теперь к этой секвенции в подходящем порядке (см.
ниже) правила Э-слева и V-слева (плюс сокращения и т. п.)
с тем, чтобы вывести секвенцию
S2: F, ЧхЗуА (х, у), Г->0,
где F — замыкание формулы Зи (3zB' (z) => В' (и)) кванторами
всеобщности по всем ее свободным переменным.
Наконец, применив сечения к S2 и к секвенциям —>F, ...,
мы получим требуемый вывод секвенции
У/хЗуА (х, у), Г —> 0.
Нам надо еще проверить, что на самом деле существует
подходящая последовательность применений кванторных правил
в указанном выше переходе от Si и S2, таких, что все они
удовлетворяют ограничению на собственную переменную. Далее
в доказательстве этой леммы мы будем пользоваться следую-
щими (временными) обозначениями. Для всяких термов s, t и
формулы В запись s( t означает, что s — (собственный) под-
терм терма /; s С t означает, что s — либо подтерм терма I,
либо сам терм /, a s ( В означает, что s содержится в В.
Заметим теперь, что для любой из рассмотренных выше
боковых формул В (В) вывода Р с собственной переменной b
п для всякого z, 1 i п, выполняется следующее условие:
(С) если b С ti то неверно, что С В (Ь).
В самом деле, допустим, что b С В и что терм который мы за-
пишем как f (s; (&)), входит в В (&). Тогда в нижней секвенции при-
менения 7 с боковой формулой В (Ь) символ f должен входить
в главную формулу 3zB(z) (или VzB (z)) как полутерм f (sz (z));
поэтому, поскольку вывод Р не содержит сечений, символ f дол-
жен также входить (аналогичным образом) во все секвенции выво-
да Р, расположенные ниже этой, а следовательно, в Г или 0.
Пусть Д, .. ., Jm — все применения правил Э-слева и V-справа
в выводе Р, и пусть blr bm — соответствующие собственные
переменные, a Д (Ь[), ..., Bm (bm) — соответствующие боковые
формулы. Рассмотрим частичный порядок на {ait ..., ап, bt,bm},
который порождается отношением -<, задаваемым следующими
условиями:
(1а) если tj С В, то
(1b) если bj С то az <( bf,
(2а) если ф С В; (6;), то bL <(as;
(2b) если bj С Bi (bp) (j ¥= i), to bt -< bj.
Мы докажем ниже, что это отношение <( на самом деле
порождает некоторый частичный порядок, т. е. оно не образует
циклов. Допустим, что это уже доказано. Тогда, начиная
3 Г, Такеути
66
Г л. 1. Исчисление предикатов первого порядка
с секвенции St, применим в любом -^-возрастающем порядка
кванторные правила
А (X. ai)>   •
Э-слева и V-слева
УхЭуА (х, у), ...
и
BzBf(z, ah . .., bk, ...)^Bj(bs, at, ..., bk, ...), ...
Э-слева и V-слева
Vx . . . V у . . . Эн (3zB; (z, X, . . . , у, ... )=> Вj(u, X.у, ...)), ...
так, чтобы получить секвенцию S2. Из определения отноше-
ния вытекает, что для каждого из этих применений выпол-
нено ограничение на собственную переменную (так как верны
импликации а, С s(=>Z, С /„ b, С С а, С В', (Ь1. С
С Bi (bi) и bi c Bi (bi)^bi c Bi (bi)).
Нам остается показать, что отношение < действительно
порождает некоторый частичный порядок. Это следует из такой
леммы:
Лемма 8.12 (обозначения такие же, как и в лемме 8.11).
(а) Для всякой -^-возрастающей последовательности bi< ... < bt
применение расположено в Р выше, чем Jt (и поэтому i j).
(b) Для всякой ^-возрастающей последовательности ...
... <C,aj не имеет места С // (и, в частности, i #= /).
Доказательство утверждения (а) проводится индукцией по
длине данной последовательности.
(i)	Если эта длина равна 2, т. е. последовательность имеет
вид bi bj, то наше утверждение следует из п. (2Ь) опреде-
ления отношения <( и из ограничения на собственную пере-
менную в Р.
(ii)	В случае bt ak < bs имеем tk С Bi(bt) (согласно (2а)) и
bj С Д (согласно (1Ь)). Следовательно, bj С В, (Ь^. Из условия (С)
следует, что i =?= j. Поэтому снова bL bj (в силу (2Ь)) и Д рас-
положено выше Jj.
(iii)	В случае, когда последовательность имеет вид bi<^ak<^...
• • • ai bj (между bi и bj расположены только какие-то аг),
заметим, что С Д (согласно (1а)). Далее рассуждаем, как в (ii).
(iv)	В оставшемся случае, т. е. когда последовательность
имеет вид Д-...	••• bj, воспользуемся пред-
положением индукции.
Доказательство утверждения (Ь) также проводится индук-
цией по длине данной последовательности.
£ 3. Теорема о полноте
67
(i)	Если последовательность имеет длину 2, т. е. имеет вид
утверждение следует из и. (1а) определения. • '
(ii)	В случае аг •< bk -< as имеем bk С tt и tj (_ Bk (bk). По-
этому, если бы tt Q_ th то отсюда вытекало бы, что С Bk(bk),
а это противоречит условию (С).
(iii)	В случае когда последовательность имеет вид ai<bk<...
• •• <bi<a.j (между bk и bt может быть любая буква), имеем
bk С t{, tj С Bi (bt) и Jk расположено выше Jt (согласно утвер-
ждению (а) данной леммы). Поэтому, если бы tj С t}, то было бы
bk С Bi (bi), что противоречит ограничению на собственную пе-
ременную в Р.
В оставшихся двух случаях
(iv)	at < ak < ... < а,;
(V) Я/	&k
воспользуемся пунктом (1а) определения <( и предположением
индукции. Тем самым доказана лемма 8.12, а следовательно,
и лемма 8.11.
Задача 8.13. Доказать следующее усиление интерполяцион-
ной теоремы для системы LK (Маехара — Такеути).
Пусть А и В — формулы, имеющие хотя бы одну общую
предикатную константу, и пусть а и Ь — две конечные последо-
вательности свободных переменных одинаковой длины, такие,
что все переменные в последовательности а отличны друг от
друга (в то время как некоторые переменные в последователь-
ности Ь могут повторяться). Через	и	обозначим
формулы, полученные соответственно из А и В заменой в них
каждой переменной из а на соответствующую переменную из Ь.
Допустим, что в LK выводима формула	Тогда
существует формула С, такая, что все ее свободные переменные
(кроме тех, что входят в а), индивидные и предикатные кон-
станты входят и в Я, и в В, и такая, что в LK выводимы
формулы	и С => В. [Указание: Сформулировать
и доказать эту теорему для секвенций. Метод доказательства
такой же, как для теоремы 6.6.]
Следующее утверждение по своей природе не является
теоретико-доказательным в строгом смысле, но оно нам пона-
добится в дальнейшем (а именно в доказательстве предложе-
ния 8.16). Приведем сначала некоторые определения.
Пусть В — некоторое множество, и допустим, что каждому
р^Р поставлено в соответствие некоторое множество 1ЕР.
з*
68
Гл. t. Исчисление предикатов первого порядка
Если s Я и f е Ц Wp, то f называется частичной функцией
(на R) с областью определения Y)om(f) = Ri. Если Dom(f) = /?,
то f называется всюду определенной (на R) функцией. Если f
и g — некоторые частичные функции, Dom (f) = Do^ Dom (g)
и f (x) — g (x) для всякого x e Do, то будем называть g продол-
жением функции f и писать при этом f <( g или f = g } Do.
Предложение 8.14 (обобщенная лемма Кёнига). Пусть R —
некоторое множество. Допустим, что каждому р е R поставлено
в соответствие некоторое конечное множество W р. Пусть Р — не-
которое свойство частичных функций f на R, удовлетворяющее
следующим условиям-.
1) Р (f) справедливо тогда и только тогда, когда существует
конечное подмножество N ^R, для которого справедливо P(f f jV);
2) Р (f) справедливо для всякой всюду определенной функ-
ции f.
Тогда найдется конечное подмножество N0^R, такое, что Р (f)
справедливо для всякой частичной функции f, для которой
No S Dom (f).
Заметим, что множество R может иметь произвольную мощ-
ность. В случае когда R есть множество натуральных чисел,
мы получаем первоначальную лемму Кёнига.
Доказательство. Положим X = Ц Wp и наделим каж-
дое множество Wp дискретной топологией, а множество X —
топологией произведения. Поскольку каждое Wp компактно, то
и X компактно (теорема Тихонова).
Для каждой частичной функции g, область определения
Dom (g) которой конечна, положим
Ng = {f\f всюду определена и
Далее положим
С = {Ng | справедливо Р (g) и область Dom(g) конечна}.
Тогда С является открытым покрытием компакта X. Следова-
тельно, из него можно выбрать конечное подпокрытие, скажем
Ngl,...,Ngk.
Пусть jVo = Dom(g1)U ... (J Dom(gfe). Покажем, что множе-
ство jV0 удовлетворяет условию теоремы. Если No Dom (g), то
пусть g<{f, где f — всюду определенная функция. Тогда спра-
ведливо P(f) и f е Ng (J ... (J Ngk. Пусть, например, f^Ngi.
Тогда gi<{f, справедливо P(gi) и gt < g. Поэтому справедливо
и P (g). Предложение 8.14 доказано.
$ 8. Теорема о полноте
69
Что произойдет, если мы захотим применить к системе LJ
метод, который использовался в доказательстве полноты для LK?
Это естественным образом приведет цас к изучению моделей
Крипке для системы LJ, относительно которых можно доказать
полноту этой системы. Чтобы упростить рассуждения, мы снова
предположим, что наш язык не содержит индивидных и функ-
циональных констант. Доказательство существенно не услож-
нится, если мы включим в рассмотрение индивидные и функ-
циональные константы.
По техническим причинам мы будем работать с некоторой
эквивалентной модификацией системы LJ. Эту модификацию,
которую ввел Маехара, мы обозначим через LJ'. Система LJ'
определяется как следующее ограничение системы LK (а не
системы LJ): каждое из правил вывода П-справа, =>-справа
и у-справа разрешается применять только тогда, когда главная
формула является единственной формулой в сукцеденте нижней
секвенции (эти правила мы назовем «критическими» для си-
стемы LJ'). Тогда правило “("Справа, например, будет иметь вид
D, Г-»
Из определения очевидным образом следует, что секвенции
у системы LJ' те же, что и у системы LK (поэтому ограничение
на секвенции системы LJ, согласно которому сукцеденты этих
секвенций должны содержать не более одной формулы, здесь
снимается). Следует отметить, что все остальные правила вы-
вода в точности такие же, как и для системы LK- В частности,
позволяется применять правило V-справа
Г->А, А
Г->А, Л V В,
даже если А непусто.
Если всякую секвенцию системы LJ', скажем Г—> В\, ..., Вп,
интерпретировать как Г—> Вх V ... V Вп, то нетрудно доказать,
что системы LJ' и LJ эквивалентны. Для системы LJ' также
•справедлива теорема об устранении сечений (надо скомбини-
ровать доказательства устранимости сечений для LK и LJ).
Теперь возникает вопрос: имеет ли произвольная секвенция
Г—>А системы LJ' вывод без сечений в этой системе?
Мы можем применить к секвенции Г->А редукционный
процесс, который был определен для классического случая
(см. лемму 8.3), опустив этапы 1) (редукция ~]-справа), 7) (ре-
дукция ^-справа) и 9) (редукция у-справа); другими словами,
все редукции для LJ' будут такие же, как и в классическом
случае, кроме редукций, относящихся к критическим правилам
системы LJ', который мы просто опускаем. Мы вернемся к рас-
смотрению этого вопроса позднее.
70
Гл. I. Исчисление предикатов первого порядка
В качестве примера, когда редукционный процесс не закан-
чивается, можно рассмотреть секвенцию вида
XfxByA(x, у)->,
где А — предикатная константа.
Дерево, полученное в результате проведения описанного
выше редукционного процесса, (снова) будем называть редук-
ционным деревом для секвенции Г->А.
Подготавливая определение семантики Крипке для интуицио-
нистских систем и доказательство теоремы о полноте для LJ,
мы обобщим описанный выше редукционный процесс на случай,
когда Г и (или) А могут быть бесконечными, т. е. определим
редукционные деревья для бесконечных секвенций.
Определение 8.15. Пусть Г и А — некоторые вполне упоря-
доченные (возможно, бесконечные) последовательности формул.
Мы скажем, что Г -»А выводимо (выводимо без сечений) в LJ,
если существуют конечные подпоследовательности, скажем Г
и А, последовательностей Г и А соответственно, такие, что сек-
венция Г —> А выводима (выводима без сечений) в LJ'.
(В силу теоремы об устранении сечений из § 5, относящейся
к LJ', ясно, что секвенция Г—>А выводима (в LJ') тогда
и только тогда, когда она выводима без сечений, даже если Г
и (или) А бесконечны.)
Только что описанный редукционный процесс немедленно-
обобщается на случай бесконечных секвенций. Мы только ука-
жем на небольшие модификации в определении редукций на
некоторых этапах. Заметим, что при проведении редукционного
процесса мы предполагаем, что язык пополнен несчетным мно-
жеством свободных и связанных переменных (заданных в виде
некоторой вполне упорядоченной последовательности).
8) Пусть Чх\Ау(х\), ..., \]х„Ла (ха), ... — все формулы
в П, начинающиеся с квантора V- Пусть аь ....	... — все
свободные переменные, доступные на этом этапе. Тогда над
П —> А запишем секвенцию
Д1(«1)....Л(ар), 	Ах(а1), •••> ^а(а₽)> •••> П-*А.
10) k = 10. Пусть HxiA (xj), ..., ВхаЛа(ха), ...—все фор-
мулы из П, начинающиеся с квантора В. Возьмем новые сво-
бодные переменные Е, Ь2, ..., Ьа, ... и запишем над П—>А
секвенцию
Xj (&j), ..., Aa(ba), П->А.
Предложение 8.16. (а) Если секвенция Г —> А выводима
(в LJ'), то всякая секвенция редукционного дерева для Г -> А
также выводима.
§ 8. Теорема о полноте
71
(Ь) Если секвенция Г—>Д не выводима, то найдется некоторая
ветвь (в редукционном дереве для Г -> Д), в которой никакая
.секвенция не выводима.
Доказательство. Утверждение (а) очевидно. Для того
чтобы доказать (Ь), докажем сначала следующее утверждение.
Пусть II —> Л — какая-нибудь секвенция в редукционном де-
реве, и пусть Д—>Л?, Х=1,2, ..., а, .. ., — все секвенции,
расположенные в этом дереве непосредственно над П->Л.
Если каждая из этих секвенций Пх—>ЛХ выводима, то и сек-
венция П —> Л выводима. Другими словами, если для всякого Л,
Л=1,2, ..., а, ..., существуют конечные подпоследователь-
ности, скажем Ш, и Л1, последовательностей Щ и Л>. соответ-
ственно, такие, что выводима секвенция Пл,—>Л£, то существуют
также конечные подпоследовательности, скажем IT и Л', после-
довательностей П и Л соответственно, такие, что выводима
секвенция И' —> Д'.
Мы рассмотрим лишь несколько случаев.
1) К секвенции П->Л применена редукция Э-слева. Тогда
верхняя секвенция этой редукции имеет вид
Л(Д), ..., AM, ..., П->Л,
где ЗхаАа (ха) входит в П для всякого а и blt . .., ba, ... —
вновь введенные свободные переменные. По условию сущест-
вуют конечные подпоследовательности последовательностей
Д1(&1), ..., Аа(Ьа), ... (скажем, Д ДО.. Вп (с„)), П (ска-
жем, П') и Л (скажем, Д'), такие, что выводима секвенция
Д(сД ..., ДЖ), П'—>Л',
причем можно считать, что в П' входят ВХ1Д (хД .. ., ЗхпВп(хп).
Применив несколько правил В-слева, а затем несколько слабых
правил, мы получим подсеквенцию II'—> Л' секвенции П—>Л.
Заметим, что, поскольку секвенция Д (сД .... Вп (сп), П'->Л'
имеет конечный вывод, мы можем рассматривать с1; ..., сп как
свободные переменные нашего исходного языка.
2) К секвенции II-*Д применена редукция Л-справа. Тогда
верхние секвенции этой редукции имеют вид
П->Л, Сь .. ., Са...
где Ai Д В[, ..., Аа Д Ва, ... — все формулы из Д, имеющие
вид А Д В, и Са есть Аа или Ва. Мы будем различать эти
случаи, обозначая Са через Со, а, если Са есть Аа, и через CLa,
если Са есть Ва. Тогда верхними секвенциями являются все
секвенции вида
П—>Л, СД, 1, ..., С/а, а, ...,
72
Гл. I. Исчисление предикатов первого порядка
где ia = 0 или 1, для всевозможных комбинаций индексов
г)....1а, .... Пусть f обозначает произвольную последователь-
ность (/], ..., га, ...). По условию у каждой из таких секвен-
ций существует некоторая конечная подсеквенция, скажем
nf—>Af, Ci, ..., С„., которая выводима, где Ci, ..., С^. — не-
которые из формул C^i, ..., Cia, a, •...
Для того чтобы теперь воспользоваться обобщенной леммой
Кёнига (предложение 8.14), возьмем в качестве R любое мно-
жество, упорядоченное по тому же типу, что и последователь-
ность С), С2, Са (скажем, /? = {1, 2, ..., а, ...}). Положим
1Ка = {0, 1). Для всякого подмножества /?[ s R и любого.
/ е П назовем конечную последовательность формул
ос/?-
(СП“1)- «!>•••> Cf («„) «„)>
где аь . . ., ап е /?ь избранной для f, если в П и Л можно ука-
зать некоторые конечные подпоследовательности П' и А' соот-
ветственно, такие, что выводима секвенция
П'->Л', Cf(ai), а[, ..., £?(«„),«„
Йз сделанного выше замечания следует, что всякая всюду
определенная функция имеет такую избранную подпоследова-
тельность. Теперь для любого /?i s R и произвольной функции
(е Д 1Ка определим
Р (f) <=>dt З^Зсц ... 3«А ({аь . .., a*} s Dom (/) и
последовательность (Cf (а,), 01, . . ., Cf(aft), ak)
является избранной для f), где k пробегает
множество натуральных чисел.
Тогда выполняются условия (1) и (2) обобщенной леммы Кё-
нига; следовательно, по этой лемме существует некоторое ко-
нечное подмножество No s R, скажем ^Vo = {у;, ..., уД, такое,,
что если jV0 s Dom (f), то справедливо P(f).
Положим
F = {/1 Dom (Л = А0} = П%.
Множество F конечно, и для всякого f из F справедливо Р (/%
т. е. среди уь ..., у; можно выбрать аь ..., ak так, что по-
следовательность (CffaJ, ар • ••, Cf^), будет избранной
для f, а это в свою очередь означает, что в П и Л можно
выбрать конечные подпоследовательности П' и А' соответст-
венно, такие, что выводима секвенция
ГГ-^Л', Cf(H1), ар • ••> Cf (afe). ak-
J 8. Теорема о полноте
73
Поэтому для любой возможной комбинации индексов i =
it) в П и Л можно указать конечные подпоследова-
тельности П' и Л‘ соответственно, такие, что выводима сек-
венция
П‘->Л‘, G„Vl, ...» с,г. Yr
Следовательно, применив к этим секвенциям несколько раз
правила ослабления и Д-справа, мы получим секвенцию
П —> Л ,	/\	..., Ау^ /\
где последовательность П' состоит из всех последовательно-
стей ЕГ, соответствующих элементам f из F, а Л' определяется
диалогично.
Теперь из только что завершенных рассуждений получаем,
что если секвенция Г—>Д не выводима, то найдется ветвь,
в которой не выводима ни одна секвенция.
После всех этих приготовлений мы переходим к определе-
нию (интуиционистских) структур Крипке для языка L.
Определение 8.17. (1) Частично упорядоченная структура
Р = (О, состоит из множества О и некоторого бинарного
отношения на нем, удовлетворяющих следующим условиям:
а)	Р < р;
Ь)	если p^q и q то p~q‘,
с)	если р q и q г, то р ct г,
где р, q, г — любые элементы множества О.
(2) Структурой Крипке для языка L называется упорядочен-
ная тройка (Р, U, ф), такая, что
1)	Р = (О,	— частично упорядоченная структура.
2)	U — отображение, которое каждому элементу р из О
ставит в соответствие некоторое непустое множество U р так,
что если р q, то Uр = Vq (где Е обозначает теоретико-мно-
жественное включение).
3)	</> — некоторая бинарная функция ф(Р, р), где R пробе-
гает множество предикатных констант языка L, а р — множе-
ство О. Кроме того, выполняются следующие условия:
3.1)	Пусть R—некоторая 0-местная предикатная константа.
Тогда </>(/?, р) = Т или F, и если ф(Р, р) = Т и p^q, то
«Ж q) = T.
3.2)	Пусть R — какой-либо «-местный предикат («^1).
Тогда </>(/?, р) — некоторое подмножество множества
UnP = UPX ...хир
п раз
а p^q влечет ф(Р, р) S ф (R, q).
74
Г л. I. И счисление предикатов первого порядка
Положим U = (J Uв. Множество U можно мыслить себе-
реО
как универсум модели или структуры, а элементы множества
О — как этапы (см. ниже).
Допустим, что задана какая-то оценка всех свободных пере-
менных объектами из U, т. е. каждой свободной переменной а(-
поставлен в соответствие некоторый объект с{ из U. Пусть
F (аь ..., ап)— формула, все свободные переменные которой
содержатся-среди аь ..., ап. Индукцией по числу логических
символов в формуле F (сц, ..., а„) определим интерпретацию-
этой формулы на (этапе) р (при этой оценке) [эту интерпрета-
цию мы обозначим через ^(F(ci, ..., с„), р); значениями такой
интерпретации могут быть только Т или F]:
a)	^(/?(ci, ..., с„), р) = Т, если <сь ..., с„> е <НЯ, р) (при
п > 0);
Ь)	ф (Л Л В, р) = Т, если ф (А, р) — Т и ф (В, р) = Т;
с)	ф(А V В, р) = Т, если ф(А, р) = Т или ф (В, р) = Т;
d)	ф(А zzB, р) = Т, если для всех q, таких, что р q,.
ф(А, q) = F или ф(В, <?) = Т.
е)	ф(~]А, р) = Т, если ф(А, p) = F для всех q, таких, что
р<р.
f)	ф (Эх А (сь .... сп, х), р) = Т, если найдется с из Uр, та-
кое, что ф(А(с1, ..., сп, с), р) = Т.
g)	ф (Ух А (С1, . .., сп, х), р) = Т, если для всех q, таких, что-
р^<7, и для всякого с из Uq ф(А(сь сп, с), q) — T.
Только что приведенное определение интерпретации мы
можем распространить и на секвенции (конечные или бесконеч-
ные). Пусть Г—>А— произвольная секвенция. Тогда полагаем
ф(Г—>А, р) = Т, если для всех q, таких, что р^р, ф (Л, р) = F
для некоторой формулы Л из Г или ф(В, р) = Т для некото-
рой формулы В из А. Секвенция Г->А называется истинной
в структуре Крипке (Р, U, ф} (где Р = (О, <()), если </>(Г->Д,
р) = Т для'всех р из О.
Утверждение 8.18. Допустим, что секвенция Г-*А выводима
в системе LJ' и {Р, U, ф} — произвольная структура Крипке.
Тогда секвенция Г—>А истинна в структуре (Р, U, ф}.
Доказательство проводится обычным путем — индук-
цией по числу применений правил в некотором выводе секвен-
ции Г—>А (или некоторой ее подсеквенции).
Теперь, чтобы завершить доказательство полноты системы LJ,
возьмем произвольную невыводимую секвенцию Г—>А и по-
строим для нее контрмодель в смысле Крипке. Эта модель
будет строиться из редукционного дерева для Г-*А. Обозна-
чим это дерево через Т. (Напомним, что при построении де-
рева Т не применялись редукции “(-справа, =>-справа и
§ 8. Теорема о полноте
75
V-справа.) Эту ситуацию, т. е. когда имеется именно это де-
рево, назовем этапом 0. Из предложения 8.16 следует, что
найдется некоторая ветвь Во дерева Т, в которой все секвен-
ции не выводимы. Если ветвь Во конечна, то пусть Го—>А0—
секвенция, расположенная в ее верхнем узле. Если же ветвь Во
бесконечна, то пусть Го и Ао обозначают объединения всех
формул (вполне упорядоченные некоторым образом) в антеце-
дентах и сукцедентах секвенций ветви Во соответственно; рас-
смотрим (возможно, бесконечную) секвенцию Го—>Д0. Выберем
среди формул в До все те, внешними логическими символами
которых являются ~|, => или V (если таких формул нет, то
останавливаемся). Пусть р пробегает множество всех таких
формул. Мы будем считать, что каждое такое р непосред-
ственно следует за 0 (и 0 непосредственно предшествует всем
таким р).
Случай 1. р есть формула вида ПЛ. Тогда через Гр->Ар
обозначим секвенцию А, Го->.
Случай 2. р имеет вид В дэ С. Тогда через Гр->Др обозна-
чим секвенцию В, Г0->С.
Случай 3. р имеет вид VxT'(x). Возьмем какую-нибудь сво-
бодную переменную а, не входящую в Во (это всегда можно
сделать, введя, если необходимо, новый символ). Тогда через
Гр->Др обозначим секвенцию Г0->Е(а).
Легко показывается, что (в каждом из этих случаев) сек-
венция Гр —> Др не выводима, поскольку в противном случае
была бы выводима секвенция Г0->А0. Пусть Тр — редукцион-
ное дерево для секвенции Гр—>Ар.
Как и ранее, пусть Вр — ветвь дерева Тр, состоящая из не-
выводимых секвенций, и пусть Гр->Др — либо секвенция, рас-
положенная в верхнем узле ветви Вр, либо (если ветвь Вр бес-
конечна) «объединение» всех секвенций этой ветви, как и ранее.
Затем следуем той же процедуре, что и на предыдущем этапе..
А именно пусть q пробегает множество всех формул из Ар,
внешними символами которых являются “|. или V (если
таких формул нет, то останавливаемся). И снова считаем, что
каждое такое q непосредственно следует за р, а р — непосред-
ственно предшествует всем таким q. Затем, как и ранее, опре-
деляем дерево Tq и ветвь Bq.
Повторим эту процедуру со раз. Пусть О — множество всех
выбранных при этом формул (/?, <?,...), и пусть есть
транзитивное рефлексивное отношение на О, порожденное опре-
деленным выше отношением непосредственного следования.
Множество О частично упорядочено отношением Определим
теперь Up как множество всех свободных переменных, ветре-
76
Гл. I. И счисление предикатов первого порядка
чающихся в ветви Вр (для всякого р е О), и положим U =
— U Uр. Отметим следующее:
реО
1) если p^q, то lJp^Uq\
2) если q непосредственно следует за р, то все формулы
из Гр входят в антецеденты всех секвенций дерева Tq (и, следо-
вательно, ветви Bq).
Оценку ф определим следующим образом. Для всякого
n-местного предикатного символа R (п > 0) и всякого р^.0
положим
<KR, =	ап^ир и
/?(«!, ап) входит в Гр)
а в случае га = 0 положим
№ Р) = Т, если и только если Д входит в Гр.
Итак, мы определили структуру Крипке (Р, U, <R). Рассмот-
рим интерпретацию формул в этой структуре при (естественной)
оценке, ставящей в соответствие каждой переменной ее саму.
Предложение 8.19 (все обозначения имеют указанный выше
смысл). Пусть А — произвольная формула в ветви Вр. Если А вхо-
дит в антецедент некоторой секвенции этой ветви, то ф(А, р) = Т,
а если А входит в сукцедент, то (A, p) = F.
Доказательство проводится индукцией по числу логических
символов в А. Прежде всего следует заметить, что если
какая-то формула входит в антецедент некоторой секвенции
ветви Вр, то она не входит в сукцедент никакой секвенции этой
ветви. То же самое будет, если переставить местами слова
«сукцедент» и «антецедент». Кроме того, стоит какой-то фор-
муле появиться с одной из сторон некоторой секвенции, то она
будет оставаться с той же стороны во всех расположенных выше-
секвенциях ветви Вр, а следовательно, и в секвенции Гр—>Др.
1)	Формула А является атомарной формулой вида Р(щ, .... ап)..
Если А входит в какой-то антецедент и, следовательно, в Гр,
то по определению (аь ..., ап) е ф (R, р), откуда, опять же по
определению, следует, что ф(А, р) = Т. Если же А входит
в какой-то сукцедент, то (аь .... ап) 0 </> (Р, р), и потому
Ф(А, p) = F.
2)	А имеет вид ~| В. Допустим, что А входит в антецедент.
Тогда А входит и в Гр. Отсюда следует, что для всякой фор-
мулы q, такой, что p^q, А входит в антецеденты всех секвен-
ций ветви следовательно, по предположению индукции
j 8. Теорема о полноте
77
ф (В, g) = F. Поэтому $(В, q) = F для всех q, таких, что p^q.
Это и означает, что ф(А, р) = Т.
Предположим теперь, что А входит в сукцедент некоторой
секвенции ветви Вр. Тогда за р непосредственно следует неко-
торый этап q, на котором строится редукционное дерево для
секвенции В, Гр —>. По предположению индукции ф(В, <у) = Т.
Это означает, что существует q, такое, что р q и <j> (В, q) = Т.
Тогда по определению ф(А, p) = F.
3)	А имеет вид В Д С или В V С. Эти случаи легкие и потому
предоставляются читателю.
4)	А имеет вид VxF(x). Допустим, что А входит в антеце-
дент секвенции ветви Вр, и допустим, что р q. Тогда А вхо-
дит в антецедент некоторой секвенции в ветви Bq. Пусть
а — произвольный элемент области U q. Тогда F(а) входит
в антецедент некоторой секвенции ветви Bq. Следовательно, по
предположению индукции ф (F (a), q) — Т. Итак, для всех q,
таких, что p^q, и для любого а из Uq ф(Р(а), q) — Т, а это
означает, что ф (А, р) = Т.
Предположим теперь, что А входит в сукцедент некоторой
секвенции ветви Вр. Тогда на некотором следующем за р этапе q
строится редукционное дерево для секвенции Гр -> F (а), где
а — некоторая (новая) переменная из Uq. По предположению
индукции <l>(F(a), q) = F. Итак, существуют некоторое q, такое,
что p^q, и некоторый элемент а из Uq, для которых ф (F (a), q) = F.
Это значит, что ^(VxF(x), p) = F.
5)	А имеет вид 3xF (х). Этот случай предлагается в качестве
упражнения.
6)	А имеет вид В о С. Предположим, что А входит в анте-
цедент некоторой секвенции в Вр. Тогда С входит в Гр или В
входит в Др. Пусть р q. Тогда С входит в сукцедент или В
входит в антецедент некоторой секвенции ветви Bq. Поэтому
для всех <7, таких, что р q, имеем </> (С, q) = Т или ф (В, q) = F.
Тогда ф(В^С, р) = Т.
Предположим теперь, что А входит в сукцедент некоторой
секвенции в Вр. Тогда на следующем этапе q строится редук-
ционное дерево для В, Гр -> С. Поэтому найдется q, такое, что
Ф(В, <7) = Т и ф(С, q) = F, а следовательно, <{>(В^>С, p) = F.
Таким образом, мы можем заключить, что если секвенция
Г—>Л не выводима, то можно построить некоторую структуру
Крипке (Р, U, $}, в которой (при подходящей оценке свободных
переменных) всякая формула из Г принимает значение Т,
а всякая формула из Д — значение F; другими словами, суще-
ствует модель Крипке, опровергающая секвенцию Г-*Л. Пол-
нота системы LJ' доказана. Таким образом, нами получена
78
Гл. 1. Исчисление предикатов первого порядка
Теорема 8.20 (полнота интуиционистского исчисления пре-
дикатов в сильной форме, обобщенный вариант; ср. с теоре-
мой 8.2). Пусть Г —> А — произвольная секвенция {конечная или
бесконечная). Если эта секвенция истинна во всех структурах
Крипке, то она выводима в системе LJ. В частности, система LJ
является полной.
(Напомним, что корректность системы LJ была установлена
в предложении 8.18.) Заметим, что описанный здесь метод
доказательства полноты для LJ пригоден и в случае, когда
язык несчетен, в то время как соответствующий метод для LK
годится только для счетных языков. Хотя на самом деле можно
было бы применить для LK метод, аналогичный тому, который
мы применили для LJ', мы не будем этого делать, поскольку
простой метод Генкина достаточен для этой цели.
Упражнение 8.21. Построить контрмодели Крипке для каждой
из следующих секвенций:
1)	—> Р \/ ~\ Р, где Р — некоторый предикатный символ;
2)	Vx (Р (х) V Q) -> VxP (х) V Q, где Р и Q — предикатные сим-
волы с заданным числом аргументов;
3)	-> Зх(ЭуР (у) Р (х)), где Р — одноместный предикатный
символ.
[Указание для 1). На этапе 0 имеем
-+Р V ПР, Р, ~]Р
-+Р V ~\Р.
Пусть р есть П Р. Тогда на этапе р имеем
Р->
Поэтому определим О = {0, р}, О^р, U0 = Up = {а}, ф (Р, 0) = F.
Легко доказывается, что </ (Р V “| Р, 0) = F.]
ГЛАВА 2
АРИФМЕТИКА ПЕАНО
В этой главе мы опишем формальную систему первого
порядка арифметики Пеано, докажем теорему Гёделя о непол-
ноте, изложим конструктивную теорию ординалов вплоть до
первого е-числа е0, а затем приведем принадлежащее Генцену
доказательство непротиворечивости этой системы.
§ 9. Формальная система арифметики Пеана
Определение 9.1. Язык Ln арифметики Пеано содержит
конечное число констант (см. также определение 1.1):
индивидную константу 0;
функциональные константы +, • ;
предикатную константу =;
где ' —одноместная константа, а остальные — двуместные.
Подразумеваемая интерпретация приведенных выше констант
очевидна. Мы будем писать s = t, s +1, s • t и s' вместо == (s, t),
+ (s, 0 и т. д.
Нумералом называется всякое выражение вида О'-', т. е. 0
с некоторым конечным числом штрихов; Осп штрихами будет
служить формальным выражением для натурального числа п
и обозначаться через п. Далее, если s — замкнутый терм
языка Ln, обозначающий некоторое число т (при естественной
интерпретации), то через s обозначим нумерал т (например,
если s есть 2 Д-З, то s обозначает 5).
Введем две системы аксиом арифметики Пеано — СА и VJ.
Определение 9.2. Через СА обозначим систему, состоящую
из следующих аксиом:
Al. VxVy (х' = у' zd х = у);
А2. \fx (Д х' = б);
АЗ. VxVyVz (х = у => (х — z о у = z));
А4. VxVг/ (х = у zd х' = у')-,
А5. Vx(x + 0 = x);
А6. VxVу (х + у' = (х + г/)');
А7. Vx(x-0 = 0);
А8. Vx\fy (х • у’ = х • у + х).
80
Гл. 2. Арифметика Пеано
Через VJ обозначим систему аксиом, состоящую из всех
предложений вида
... Vz„Vx (F (0, z) /\ Vy (F (у, z) => F (y', z)) ed F (x, z)),
где z обозначает последовательность переменных zb ..., zn и
все переменные, входящие в F (х, г) свободно, содержатся
среди х, г.
Базисной логической системой арифметики Пеано является LK-
Тогда CAUVJ — система аксиом, в которой = есть выделенная
предикатная константа (в смысле § 7). Кроме того, в этой
системе для каждой формулы F (а) языка Ln выводимо
VxVy (х = у => (F (х) =s F(y))) (см. предложение 7.2).
Отметим, что в системе CAUVJ может быть развита теория
примитивно рекурсивных функций. Этот факт мы будем пред-
полагать известным и не будем обсуждать его далее.
Определение 9.3. Система РА (арифметика Пеано) полу-
чается из системы LK (в языке Ln) добавлением новых началь-
ных секвенций (называемых математическими начальными сек-
венциями) и нового правила вывода — правила индукции.
1)	Математические начальные секвенции:
s' — t’ —> s —t;
s' — 0 —> ;
s — t, s = r 1 = r;
s = t->s' = t';
-	>s + 0 ==s;
—	> s -j- C = (s + ()';
-	>s • 0 = 0;
—	> S • /' = S • + s,
где s, t, r —< произвольные термы языка Ln.
2)	Индукция:
F(a), Г—>A, F(a')
F (0), Г -> A, F (s),
где а не входит ни в F (0), ни в Г, ни в A, s — произвольный
терм (который может содержать a), a F (а) — произвольная фор-
мула языка Ln.
Формула F (а) называется индукционной формулой, а а — соб-
ственной переменной этого правила. Далее, мы назовем F (а)
и F (а') соответственно левой и правой боковыми формулами,
a F (0) и F (s) — соответственно левой и правой главными фор-
мулами этого правила.
Начальные секвенции вида D -> D называются логическими
(в отличие от математических начальных секвенций, определен-
ных выше).
J 9. Формальная система арифметики Пеано
81
Суммируем: система РА имеет два вида начальных секвен-
ций — логические и математические — и три вида правил
вывода — структурные, логические и правило индукции (см.
определение 2.1). Наконец, слабые правила вывода — это все
структурные правила, кроме правила сечения.
Все определенные в гл. 1 понятия, относящиеся к выводам’
с некоторыми модификациями переносятся на систему РА;
в каждом определении теперь надо принимать во внимание
новое правило индукции.
В качестве простого следствия только что приведенных
определений сформулируем
Предложение 9.4. Некоторая секвенция выводима из СА (J VJ
(в LK) тогда и только тогда, когда она выводима в РА. Следо-
вательно, система аксиом СА (J VJ непротиворечива тогда и
только тогда, когда секвенция -> не выводима в РА.
Таким образом, мы можем сосредоточить свое внимание на
изучении системы РА. Формализация арифметики первого по-
рядка в виде системы РА — замечательное достижение Ген-
цена. Всюду далее в этой главе „выводимость" означает „вы-
водимость в РА“.
Следующее ниже предложение, которое можно доказать
аналогично лемме 2.11, мы будем использовать, не ссылаясь
на него.
Предложение 9.5. Пусть Р — некоторый вывод в системе РА
секвенции S (а), причем все вхождения переменной а в S (а)
отмечены. Пусть t — произвольный терм. Тогда мы можем по-
строить для секвенции S (/) некоторый Рh-вывод Р', который
является регулярным (ср. с утверждением (2) леммы 2.10) и
отличается от вывода Р только тем, что по сравнению с по-
следним в нем некоторые свободные переменные замещены дру-
гими, а некоторые вхождения переменной а — термом t.
Следующая лемма нам будет нужна в дальнейшем.
Лемма 9.6. (1) Для всякого замкнутого терма s найдется
единственный нумерал п, такой, что секвенция —>s = n имеет
вывод, не содержащий применений правила индукции и суще-
ственных сечений (см. определение 7.5).
(2)	Пусть s и t — замкнутые термы. Тогда либо секвенция
s~t, либо секвенция s — t—> выводима в РА без существен-
ных сечений и применений правила индукции.
(3)	Пусть s и t — замкнутые термы, такие, что секвенция
—>s~t выводима без существенных сечений и применений пра-
вила индукции, и пусть q (а) и г (а) — термы, имеющие некоторые
вхождения переменной а (возможно, этих вхождений и нет).
8'2
Гл. 2. Арифметика Пеано
Тогда секвенция q (s) — г (s)-» q (/) = г (t) выводима без суще-
ственных сечений и применений правила индукции.
(4)	Пусть s и t — такие же термы, как и в п. (3) Тогда для
произвольной формулы F (а) секвенция s — t, F (s) -» F (/) выво-
дима без существенных сечений и применений правила индукции.
Доказательство утверждения (1) проводится индукцией по
сложности терма s.
В § 2 мы определили некоторые понятия, относящиеся
к формальным выводам. Однако для того, чтобы изложить
доказательство непротиворечивости системы РА, нам понадо-
бятся некоторые новые понятия. Мы приведем их все здесь.
Определение 9.7. Под формулой в выводе (в секвенции) и
логическим символом в формуле мы понимаем соответственно
формулу и логический символ, рассматриваемые вместе с ме-
стом, которые они занимают в этом выводе (в секвенции) и
в этой формуле соответственно. Формулу в секвенции мы на-
зываем также секвенциальной формулой.
(1)	Преемник. Если формула Е находится в верхней сек-
венции некоторого применения правила вывода си-
стемы РА, то ее преемник определяется следующим
образом:
(1.1)	Если Е — высекаемая формула, то она не имеет
преемника.
(1.2)	Если Е — боковая формула применения какого-
нибудь правила, кроме правил сечения, индукции
и перестановки, то ее преемником является главная
формула этого применения.
(1.3)	Если Е есть формула F (а) (соответственно F (а'))
в применении правила индукции, то ее преемником
< является формула F (0) (соответственно F (s)).
(1.4)	Если Е — формула, обозначенная через С (соот-
ветственно через D), в верхней секвенции приме-
нения правила перестановки (см. определение 2.1),
то ее преемником является формула С (соответ-
ственно D) в нижней секвенции этого применения.
(1.5)	Если Е есть k-я формула последовательности Г,
А, П или Л в верхней секвенции (см. определе-
ние 2.1), то ее преемником является k-я формула
последовательности Г, А, П или Л в нижней сек-
венции.
(2)	Нить. Определение нити как последовательности секвен-
ций в выводе было дано в определении 2.8.
(3)	Определения секвенции, расположенной выше или ниже
другой секвенции, и секвенции, расположенной между
§ 9. Формальная система арифметики Пеано
83
двумя секвенциями, были даны в определении 2.8;
там же было определено понятие применения правила
вывода, расположенного ниже некоторой секвенции.
(4)	Секвенциальная формула называется начальной (заклю-
чительной), если она входит в начальную (соответственно
в заключительную) секвенцию.
(5)	Пучок. Последовательность формул в выводе называется
пучком, если выполняются следующие условия:
(5.1)	Последовательность начинается с начальной или
ослабляющей формулы.
(5.2)	Последовательность оканчивается заключительной
или высекаемой формулой.
(5.3)	За каждой формулой в этой последовательности,
кроме последней, непосредственно следует ее
преемник.
(6)	Предок и потомок. Мы говорим, что формула А является
предком формулы В, а В — потомком формулы А, если
существует пучок, содержащий и Л, и В и в котором А
появляется раньше В.
(7)	Предшественник. Пусть А и В —формулы. Если А —
преемник формулы В, то В называется предшественником
формулы А.
Некоторые главные формулы, например в применении пра-
вила Д-справа, имеют двух предшественников. В таких слу-
чаях мы называем предшественник первым или вторым в за-
висимости от того, входит он в левую или правую верхнюю
секвенцию.
(8)	Понятия явного и неявного:
(8.1)	Пучок называется явным, если он оканчивается
заключительной формулой.
(8.2)	Пучок называется неявным, если он оканчивается
высекаемой формулой.
Формула в выводе называется явной или неявной в зави-
симости от того, является явным или неявным пучок, содер-
жащий эту формулу.
Секвенция в выводе называется неявной или явной в зави-
симости от того, содержит эта секвенция неявную формулу
или нет.
Применение логического правила в выводе называется
явным или неявным в зависимости от того, какой является
главная формула этого применения — явной или неявной.
(9)	Заключительная часть вывода определяется следующим
образом:
(9.1)	Заключительная секвенция вывода содержится
в его заключительной части.
84
Гл. 2. Арифметика Пеано
(9.2)	Верхняя секвенция какого-нибудь непосредствен-
ного вывода, не являющегося неявным примене-
нием логического правила, содержится в заклю-
чительной части данного вывода, если в ней
содержится нижняя секвенция этого непосред-
ственного вывода.
(9.3)	Никакая верхняя секвенция неявного применения
логического правила не содержится в заключи-
тельной части вывода.
Это определение мы можем переформулировать следующим
образом: данная секвенция в рассматриваемом выводе содер-
жится в его заключительной части, если ниже этой секвенции
в этом выводе нет неявных применений логических правил.
(10)	Мы говорим, что применение правила находится в за-
ключительной части вывода, если нижняя секвенция
этого применения находится в заключительной части.
(11)	Граница. Пусть J— некоторое применение правила
в данном выводе. Мы скажем, что J принадлежит
границе (или что J — граничное применение правила'),.
если нижняя секвенция применения J находится в за-
ключительной части вывода, а верхняя — нет. Следует
заметить, что если 1 принадлежит границе, то оно
есть неявное применение логического правила.
(12)	Подходящее сечение. Применение правила сечения,
расположенное в заключительной части, называется
подходящим, если у высекаемой формулы этого при-
менения имеется предок, являющийся главной фор-
мулой некоторого граничного применения правила.
(13)	Существенные и несущественные сечения. Применение
правила сечения называется несущественным, если вы-
секаемая формула этого применения не содержит ло-
гических символов; в противном случае это применение
называется существенным.
В системе РА высекаемые формулы несущественных сечений
имеют вид s — t.
(14)	Вывод С называется регулярным, если: (i) собственные
переменные любых двух различных применений правил
(V-справа, В-слева или индукции) в Р отличаются
друг от друга и (ii) всякая свободная переменная,
входящая в секвенцию <S вывода Р в качестве, соб-
ственной, входит, кроме того, лишь в те секвенции,
которые расположены выше S.
Предложение 9.8. Для произвольного вывода в системе РА
найдется регулярный вывод, имеющий ту же заключительную»
§ 10 Теорема о неполноте
85
секвенцию и получающийся из исходного вывода лишь переиме-
нованием некоторых свободных переменных.
Доказательство. Это предложение.доказывается так же,
как и утверждение (2) леммы 2.10.
§ 10. Теорема о неполноте
В этом параграфе мы докажем неполноту системы РА. Это
знаменитый результат Гёделя. На самом деле мы докажем
неполноту произвольной аксиоматизируемой системы, содер-
жащей РА в качестве подсистемы.
Определение 10.1. Система аксиом Л (см. § 4) называется
аксиоматизируемой, если найдется конечное множество схем
аксиом, таких, что состоит из всех примеров этих схем.
Формальная система S называется аксиоматизируемой, если
существует аксиоматизируемая система аксиом такая, что
S эквивалентна системе LK« (см. § 4). (Две системы назы-
ваются эквивалентными, если они имеют в точности одни и
те же теоремы.)
Система S называется расширением системы РА, если
всякая теорема системы РА выводима в S. Всюду в этом па-
раграфе мы имеем дело с аксиоматизируемыми системами,
которые являются расширениями системы РА. Они будут обо-
значаться буквой S. Такая система S является произвольной,
но фиксированной; таков же и язык L системы S (который
всегда является расширением языка Ln).
Определение 10.2. Класс примитивно рекурсивных функций —
это наименьший класс функций, порождаемых следующими
схемами (эти схемы можно мыслить как пункты индуктивного
определения или как определяющие равенства для этих функций):
(i)	f(x) = x',	где '— функция	прибавления Г,
(ii)	f(xb ...,	xn) — k, где п	1 и	k — натуральное	число;
(iii)	f(xt, ...,	хп) = х/, где 1 <	г
(iv)	f (X|, . . .,	x„) = g (hi (xb . ..,	x„),	..., hm (xb	. . .,	x„)),	где
g, h\, ..., hm — примитивно рекурсивные функции;
(v)	f (O) = k, f (x') = g(x, f(x)), где ^ — некоторое натураль-
ное число и g — примитивно рекурсивная функция;
(vi)	/ (0, х2, .... хп) = g (х2, .... х„), f (х', х2, . . ., х„) =
= /г(х, f (х, х2, ..., хп), х2, .... хп), где g и Л —прими-
тивно рекурсивные функции.
Это определение принадлежит Клини.
Содержательное «-местное отношение R (па натуральных
числах) называется примитивно рекурсивным, если существует
примитивно рекурсивная функция [, которая принимает только
86
Гл. 2. Арифметика Пеано
значения 0 и 1 и такая, что R(a{, ..., ап) верно тогда и только
тогда, когда f (щ, .... an) — Q.
Упражнение 10.3. Операции + и • определяются следую-
щим образом:
п + 0 = а,	а • 0 = 0,
а + Ь' = (а + ЬУ, а • Ь' = а • b + а.
Вывести в РА из этих равенств следующие:
(1)	а + b — b + а;
(2)	а • b — b • а-,
(3)	а • (Ь + с) = а • b + а • с.
Упражнение 10.4. Доказать, что отношения = и < на мно-
жестве натуральных чисел являются примитивно рекурсивными.
Мы сформулируем без доказательства основную метамате-
матическую лемму, которая нам будет нужна в дальнейшем.
Лемма 10.5. Непротиворечивость системы S (т. е. невыводи-
мость в ней секвенции —>) эквивалентна невыводимости в S ра-
венства 0=1. Другими словами, 0=1 выводимо в S тогда и
только тогда, когда всякая формула языка L выводима в S.
(Ср. с предложением 4.2.)
Предложение 10.6 (Гёдель). (1) Графики всех примитивно
рекурсивных функций можно выразить в языке Ln так, что
переводы их определяющих равенств будут выводимы в си-
стеме РА.
Таким образом, теорию примитивно рекурсивных функций
можно развить внутри нашей формальной системы арифметики.
Мы можем поэтому считать, что система РА (или любое ее
расширение} в действительности содержит функциональные сим-
волы для всех примитивно рекурсивных функций и их опреде-
ляющие равенства, а также предикатные символы для всех
примитивно рекурсивных отношений.
Мы должны различать неформальные объекты и соответ-
ствующие им формальные выражения (хотя это ведет к услож-
нению обозначений). Например, формальное выражение (функ-
циональный символ) для примитивно рекурсивной функции f
будет обозначаться через f; если R — содержательный предикат
(на натуральных числах), выразимый в нашем формальном
языке, то соответствующее ему формальное выражение будет
обозначаться через R. Добавим, что, согласно определению 9.1,
для всякого замкнутого терма t выражение t есть нумерал
§ 10. Теорема о неполноте
87
числа, обозначаемого этим термом. Хотя в следующих пара-
графах мы не всегда будем строго различать формальные и
неформальные выражения, в настоящем параграфе это разли-
чение является существенным.
(2) Пусть R — примитивно рекурсивное п-местное отношение.
Оно может быть представлено в РА некоторой формулой
R(at, ..., ап), а именно f (ah . .., а„) — 0, где f — характеристи-
ческая функция отношения R. Тогда для всякой п-ки чисел
(mi, • ••> если R (mi,..., mn) истинно, то формула R(tfii,.mn)
выводима в РА.
Доказательство. Утверждение (1) доказывается индук-
цией по определению примитивно рекурсивных функций (т. е.
индукцией по их построению).
Доказательство утверждения (2) проводится следующим об-
разом. Мы показываем, что для всякой примитивно рекурсивной
функции f (от п аргументов) и для любых чисел пц,..., шп, р, если
f (nii, • • •> mn)=P> то формула f (nit, • • . fUn) = P выводима в PA.
Доказательство проводится индукцией по построению функции f
(согласно ее определяющим равенствам). Отсюда получаем,
что если f — примитивно рекурсивная функция, являющаяся
характеристической функцией отношения R, то для всех
mi, . . ., тп, если R (тх, . . ., т„) истинно, то формула
f (nii, •••, т-п) — 0 выводима в РА.
Поскольку в дальнейших рассуждениях это предложение
применяется часто, мы будем пользоваться им, не ссылаясь
на него всякий раз.
Заметим, что обратное утверждение (т. е. тот факт, что
если R примитивно рекурсивно и в РА выводимо R(mlt .. ., пгп),
то истинно R (mi, .... тп)) следует из непротиворечивости си-
стемы РА.
Определение 10.7 (гёделева нумерация). Мы определим вза-
имно однозначное отображение формальных выражений языка
L — исходных символов, термов, формул, секвенций и выво-
дов — в множество натуральных чисел. (Далее приводится лишь
один пример подходящего отображения.) Если X — выражение,
то через ГХ”1 мы обозначим соответствующее ему число, которое
назовем гёделевым номером этого выражения.
(1)	Сначала припишем различные нечетные числа всем сим-
волам языка L (в число символов языка мы включаем здесь
также знаки —> и — ).
(2)	Пусть X — формальное выражение Х0Х[ . .. Хп, где ка-
ждое Хг при 0<г</г— некоторый символ языка L. Тогда
88
Гл. 2. Арифметика Пеано
гхп гхп
ГХ~‘ определяется как число 2 °3 1
л-е простое число.
(3)	Если Р — вывод, имеющий вид
Гх"1
рп ", где рп есть
Q Qi Q2
5	5,
Г_П ГсП	ГлЛ ГпП Г_1 ГсП
то ГР~> равняется 2	3	5 или 2 1 3 2 5	7 со-
ответственно.
Если какая-то операция (или отношение), определенная на
некотором классе формальных объектов (например, формул,
выводов и т. д.), мыслится как соответствующая теоретико-
числовая операция (или отношение) на гёделевых номерах этих
объектов, то мы говорим, что эта операция (или отношение)
арифметизована. Точнее, пусть ф — некоторая операция, опре-
деленная на /г-ках формальных объектов из некоторого класса,
и f — теоретико-числовая функция от п аргументов, такая, что
если для всех формальных объектов Xi, Хп, X (рассмат-
риваемого класса) результатом применения ф к Хь ..., Хп
является X, то f (ГХ?, . .., гХп) = гА'-1. Тогда функция f на-
зывается арифметизацией операции ф. Аналогично определяется
арифметизация отношения.
Лемма 10.8. (1) Операция подстановки может быть прими-
тивно рекурсивно арифметизована, т. е. существует примитивно
рекурсивная функция sb от двух аргументов, такая, что если
X (а0) — выражение языка L (причем все вхождения переменной
аов X отмечены), aY — другое выражение, то sb (ГХ (по)”1, ГУ-1) =
= ГХ (У)”1, где X (У) — результат подстановки У вместо а0 в X.
(2)	Существует примитивно рекурсивная функция v, такая,
что v (т) равняется гёделеву номеру m-го нумерала, т. е. в наших
обозначениях v(m) = rm~l.
(3)	Отношение „Р есть вывод (в системе S) формулы А (или
секвенции S)“ может быть примитивно рекурсивно арифметизо-
вано, т. е. существует примитивно рекурсивное отношение
Prov (р, а), такое, что Prov (р, а) истинно тогда и только тогда,
когда существуют вывод Р и формула А (или секвенция S),
такие, что p=rP~l, a = rA~i (или a — rS~^) и Р — вывод фор-
мулы А (или секвенции S).
(4)	Вместо Prov будем писать Provs, если надо подчеркнуть,
что имеется в виду выводимость в системе S.
(5)	Согласно принятому выше соглашению, формальное выра-
жение,^соответствующее отношению Prov, будет обозначаться
через Prov.
§ 10. Теорема о неполноте
89
Мы не будем доказывать эту лемму. Важно отметить, что
в доказательстве утверждения (3) используется аксиоматизи-
руемость системы S; утверждение (3) будет решающим в после-
дующих рассуждениях. Нам также понадобится следующий
факт, касающийся гёделевой нумерации: мы можем эффективно
переходить от формальных объектов к их гёделевым номерам,
и обратно (т. е. эффективно распознавать, является ли данное
натуральное число гёделевым номером некоторого формального
объекта, а если да, то какого).
Выражение Эх Prov (х, ГД“|) часто будем сокращенно запи-
сывать как Рг(гД”1) или как (- ГА~1.
Предложение 10.9. (1) Если формула А выводима в си-
стеме S, то в ней выводима и формула Н Г‘А”1.
(2) Если формула А^В выводима в системе S, то в ней
выводима и формула Рг СА"1) = Рг (ГВ~1), т. е. Н ГА~1 = НГВ“1.
(3) Формула НгД”’гэ(|—г н ГД”1”1) выводима в S.
Доказательство. (I) Пусть формула А выводима и
Р — некоторый ее вывод. Тогда, согласно утверждению (3)
леммы 10.5, истинно Prov(rB'1, ГД"'), откуда, согласно утвер-
ждению (2) предложения 10.6, следует, что формула
Эх Prov (х, ГД~|), т. е. НГД_|, выводима в S.
(2) Пусть Р — некоторый вывод формулы А = В и Q — вы-
вод формулы А. Существует предписание для построения вы-
вода формулы В по выводам Р и Q, не зависящее от Р и Q,
которое может быть арифметизовано некоторой примитивно
рекурсивной функцией f. Тогда из Prov(g, ГД’1) следует
Prov (f (р, q), ГВ"1), где р = гР’1 и 9 = rQ“l, откуда в силу
утверждения (2) предложения 10.6 вытекает, что выводима фор-
мула Н ГД~| то нг"В"1. Аналогичные рассуждения проводятся
для формулы f- ГВ~1 тэ I- ГА~'.
(3) Если В — некоторый вывод формулы А, то, согласно (1),
мы можем построить некоторый вывод Q формулы I— Г"А’1,
причем существует единое предписание для получения вывода Q
по выводу Р. Следовательно, истинна импликация
Prov(р, г/Г)=>Ргоу(Ш- гРгГА^)п)
для некоторой примитивно рекурсивной функции f, откуда
следует, что выводима формула Н ГА”’ то нг Н
Теперь мы рассмотрим вопрос об определении истинности и
относящуюся к нему теорему Тарского.
Определение 10.10. Формула Т (а0) языка L, содержащая
одну свободную переменную а0, называется определением.
90
Гл. 2. Арифметика Пеано
истинности для системы S, если для всякого предложения А
языка L в S выводима формула
7’(гдп) = А.
Теорема 10.11 (Тарский). Если система S непротиворечива,
то для нее не существует определения истинности.
Доказательство. Допустим противное. Тогда сущест-
вует некоторая формула Т (а0) языка L, такая, что для всякого
предложения А этого языка в S выводима формула Т (ГД-|) = Д.
Пусть F (ай) обозначает следующую формулу с единственной
-свободной переменной я0: ДГ (sb (а0, v(a0)))- Положим р — rF (я0)п,
и пусть Ат обозначает предложение F (р). Тогда по опре-
делению Ат имеем
(1)	Аг = -1Г(ГЬ(рД(р))).
Кроме того, поскольку гЛр = sb (р, v (р)), мы можем вывести
в S эквивалентности'
<2)	Ат Т ('"A?) s Г (sb (р, v (р))).
Тогда (1) и (2), вместе взятые, противоречат предположению
о непротиворечивости системы S.
Теорема 10,11 имеет интересное следствие. Отметим сна-
чала, что в ее доказательстве мы не предполагали, что сис-
тема S аксиоматизируема (см. определение 10.1). Поэтому
в качестве аксиом системы S мы можем взять множество всех
предложений языка Ln, истинных в естественной интерпрета-
ции (или стандартной модели) ЭИ системы РА (используя обычное
семантическое или теоретико-модельное определение истинности
в ЭИ). Тогда мы получим, что не существует формулы Г (я0)
языка Ln, такой, что для всякого предложения А этого языка
А истинно о Т (ГА3) истинно
(подразумевается истинность в ЭИ). Это следствие теоремы 10.1
мы можем сформулировать в таком виде: свойство арифмети-
ческой истинности не является арифметическим (т. е. не может
быть выражено никакой формулой языка Ln). Часто теоремой
Тарского называют именно это утверждение.
Определение 10.12. Система S называется неполной, если
для некоторого предложения А в S не выводимы ни А, ни А.
Теперь мы покажем один прием („гёделев трюк“), который
будет использоваться в доказательстве теоремы 10.16.
Определение 10.13. Рассмотрим некоторую формулу F (а),
содержащую метапеременную а (т. е. новую 0-местную преди-
§ iO. Теорема о неполноте
91
каткую переменную а, не входящую в язык L; мы вводим ее
временно для удобства обозначений), причем а рассматривается
в F (а) как атомарная формула, а формула F (а) считается
замкнутой. Тогда F(H sb (а0, v (о0))) — формула с-единственной
свободной переменной п0.-Положим р = rF (f- sb (а0, v (ао)))"1,
и пусть АР обозначает F (f— sb (р, v (р))). Заметим, что Ар — пред-
ложение языка L.
Лемма 10.14. В S выводима формула AF s F (1- гЛ/П).
Доказательство. Так как по определению гЛ/Л =
= sb (р, v (р)), то в S выводима формула
ГЛ? — sb (р, v (р)).
Следовательно, в S выводима и формула
Начиная с этого места, мы будем кратко писать |— А вместо
Определение 10.15. Система S называется <й-непротиворе-
чивой, если выполняется следующее условие: если для неко-
торой формулы Л(о0) при каждом n = 0, 1, 2, ... в S выводима
формула ПЛ (и), то в S не выводима формула ВхЛ(х). За-
метим, что «-непротиворечивость системы S влечет ее непро-
тиворечивость.
Теорема 10.16 (первая теорема Гёделя о неполноте). Если
система S ^-непротиворечива, то она неполна.
Доказательство. Существует предложение Аа языка L
такое, что в S выводимо Ао = П Н Ао (всякое такое предло-
жение Ао мы будем называть гёделевым предложением для S).
Это следует из леммы 10.14, если в качестве F (а) в опреде-
лении 10.13 взять Пусть в S выводимо Лй^“|1-Лй.
Покажем сначала, что в S не выводимо Аа, предполагая лишь
непротиворечивость системы S (без предположения о ее «-не-
противоречивости). Допустим, что Ао выводимо в S. Тогда,
согласно утверждению (1) предложения 10.9, в S выводимо
и Н Аа. По определению гёделева предложения в S выводимо
также П AG, что противоречит предположению о непротиворе-
чивости S.
Покажем теперь, что в системе S не выводимо И Ло, в пред-
положении, что S «-непротиворечива. Поскольку мы уже до-
казали, что Ag не выводимо в S, для каждого « = 0, 1, 2, ...
в S выводимо nProv(F, ГЛ^). Ввиду «-непротиворечивости
системы S в ней не выводимо 3xProv(x, ГЛ^). Так как в S
92
Г л. 2. Арифметика Пеано
выводимо До == н Аа, то предложение Ао не выво-
димо в S.
Замечание. Хотя предложение Ао и не выводимо, оно (ин-
туитивно) истинно, поскольку утверждает свою собственную
невыводимость.
Определение 10.17. Через Consiss обозначим предложение
~] |—0=1 (таким образом, Consiss утверждает, что система S
непротиворечива).
Теорема 10.18 (вторая теорема Гёделя о неполноте). Если
система S непротиворечива, то в ней не выводимо Consiss.
Доказательство. Пусть Аа — гёделево предложение.
В доказательстве теоремы 10.16 мы показали, что Аа не вы-
водимо, предполагая лишь непротиворечивость системы S. Мы
теперь докажем более силнное утверждение, а именно что в S
выводимо Ао = Consiss.
(1) Покажем, что в S выводима секвенция Аа—> Consiss.
По лемме 10.5 выводимо предложение ~]Consiss = V ГГ(|-А)
(где V ГЛ“1 означает „для всех гёделевых номеров формул А“).
Следовательно, в S. выводимы Л0-»П нЛ0->ПУ гур(н А)_^
-> Consiss-
(2) Покажем, что в S выводима секвенция Consiss-* Лщ
Опять-таки по лемме 10.5 в S выводимы Consiss, I—Ло-*
-> П Н~]Л0—>“] Н Н Аа, поскольку Аа = J- Ло. Но в S вы-
водима Н Ло-> (- Ь- Ло в силу предложения 10.9. Поэтому в S
выводима секвенция Consiss, Н Л-»-] Н Н Аа Д 1- НЛ0, т. е.
Consiss —> П 1- Аа, откуда следует выводимость Consiss ->Л0.
Упражнение 10.19. Пусть QA— бескванторный фрагмент
системы РА. Показать, что в QA выводимы следующие фор-
мулы (а, Ь, с — свободные переменные):
(1)	а = а;
(2)	а = b zd Ь = а-,
(3)	а + b -- b + а-,
(4)	а • b = b • а-,
(о) а  (Ь с) = а • b + а • с.
Упражнение 10.20. В описании „гёделева трюка“ (см. опре-
деление 10.13) формулу sb (о0, v (д0)) можно заменить на
ё (sb (д0, v (д0))) Для некоторой примитивно рекурсивной функ-
ции е, удовлетворяющей такому условию: если Л — какая-то
формула, то еСЛ-1) — гёделев номер формулы, получаемой
из Л применением некоторых дополнительных этапов построе-
§ 11. Обсуждение ординалов с финитной точки зрения
93
ния формул (согласно определению 1.3}; например, е(гЛ"1) =
= 1 ) А~*. Показать, что если р = rF (Ь- ё (sb (аа, v (яо))))-1,
е(гА“1) = г~| А-1 и Вр обозначает формулу F(H <?(sb(p,
v(p)))), то rBF"1 = sb(p, v (р)), т. е. Вр совпадает с F([-^]Bp).
Задача 10.21 (Лёб). Показать, что если для какого-либо
предложения А в системе РА выводимо (|-Л)-»Л, то в ней
выводимо и само А. [Указание. Применив „гёделев трюк", мы
получим некоторое предложение В, такое, что в РА выводимо
В = (>Вэ.4). Если такое В выводимо, то выводимо |— В
(см. предложение 10.9(1)) и выводимо (НВ)-»Л; таким обра-
зом, выводимо А. В этой процедуре вывод предложения А
отроится единообразно по выводу В; следовательно, формализуя
этот процесс, мы получаем, что в РА выводимо ()—В) —»(Н А).
Отсюда и из предположения, что выводимо (Н А)—>А, следует
выводимость секвенции (НВ)->А. Но по определению В это
означает, что выводимо само предложение В и, следовательно,
I-В (предложение 10.9). Поэтому, так как выводимы I—В и
(НВ)-*Л, то выводимо и А.]
Задача 10.22 (Россер). Пусть е — примитивно рекурсивная
функция, удовлетворяющая условию е(гА~’) = гП А-1 (см. упраж-
нение 10.20). Пусть F (я0)— формула
V*! (Prov (xi, sb (я0, v(fl0)))^
=> Зх2 (хг < A Prov (х2, ё (sb (я0, v (я0)))))).
Положим p = rF (яо)-1, и пусть AR обозначает предложение F (р).
Доказать, что если система S непротиворечива, то в ней не
выводимы ни Ar, ни И Ar.
Замечание. Это утверждение усиливает первую теорему
Гёделя о неполноте. А именно предположение об <о-непротиво-
речивости в теореме 10.16 ослаблено до предположения о не-
противоречивости.
§ И. Обсуждение ординалов с финитной точки зрения
При рассмотрении доказательств непротиворечивости перво-
степенной задачей является их философская интерпретация.
Нет никаких сомнений, что идеальной точкой зрения на дока-
зательства непротиворечивости является „финитная точка зре-
ния" Гильберта, которая рассматривает только конечное число
конкретно заданных символов и конкретные рассуждения о ко-
нечных последовательностях этих символов (называемых выра-
жениями). Согласно этой точке зрения, выражения определяются
следующим образом (как мы на самом деле уже делали) .
94
Гл. 2. Арифметика Пеано
(0) Прежде всего мы задаем конечное множество символов,
называемое алфавитом.
(1)	Затем задаем конечное множество конечных последова-
тельностей этих символов, называемых начальными выраже-
ниями.
(2)	Далее задаем конечное множество конкретных операций
для построения (или порождения) новых выражений из уже
полученных.
(3)	Наконец, мы ограничиваемся рассмотрением только тех
выражений, которые получаются, если, начав с шага (1), повто-
рять шаг (2) конечное число раз. В частном случае такое
определение имеет следующий вид. Допустим, что мы задали
некоторые символы щ, . . ., ап и конкретные операции fb . . ., ff
для порождения новых выражений из уже имеющихся, и пусть
3 — совокупность всех выражений, получаемых таким образом.
Тогда определение класса 3 происходит таким образом:
(0) алфавит состоит из символов ах, ..., ап;
(1)	выражения alt ..., ап (рассматриваемые как последова-
тельности длины 1) принадлежат классу 3;
(2)	если хь ..., xk принадлежат 3, то Л(хь ..., xfe.) при-
надлежит 3 (г=1, .... /);
(3)	класс 3 состоит только из тех объектов (выражений),
которые получены согласно (1) и (2).
Такое определение называется рекурсивным или индуктивным
определением класса 3. В соответствии с этим индуктивным
определением мы имеем принцип доказательства индукцией по
(элементам класса) 3. А именно пусть А — некоторое свойство
(выражений), и допустим, что мы можем сделать следующее:
(1°) Доказать, что справедливы А (щ), ..., А (ап).
(2°) Из предположения, что справедливы A (xi), ..., A(xh)
для хь ..., xfe из 3, вывести, что справедливы и
'А(Л(хь .... xft])), ..., A(fl(xh ..., xft/)).
Тогда мы заключаем, что свойство А (х) справедливо для
всех х из 3. Это следует из того, что для всякого конкретно
заданного объекта х из 3 можно показать справедливость А (х),
следуя этапам построения этого х и применяя на каждом
этапе (1°) или (2°). Согласно этой точке зрения, мы можем
рассматривать индукцию просто как общее утверждение о не-
котором конкретном методе доказательства, применимом для
любого данного выражения х, а не как аксиому, которая при-
нимается априори.
Хотя никто не отрицает, что приведенный выше способ рас-
суждения приемлем с гильбертовской точки зрения, существуют
разные мнения относительно того, где следует установить
$ 11. Обсуждение ординалов с финитной точки зрения
95
предел для нее. Например, если допустить трансфинитную
индукцию до каждого из ординалов и, со • 2, со • 3, .... то сле-
дует ли тогда допустить и трансфинитную индукцию до со2?
Или если допустить трансфинитную индукцию до каждого из
ординалов со, со®, со'{Ш, то допускать ли тогда трансфинит-
ную индукцию до первого е-числа (обозначаемого через е0)?
Если мы рассматриваем любое конкретно заданное выражение
(в данном случае ординал, меньший, чем е0), то оно должно
быть меньше некоторого со„, и, значит, его следует допускать,
но следует ли? Здесь со„ обозначает ординал
со
п раз.
Если смотреть на все это скептически, то возникает вопрос:
как далеко можно допускать индукцию? Может даже появиться
сомнение, не выходит ли уже индукция до со за рамки гиль-
бертовской точки зрения.
Однако если интерпретировать точку зрения Гильберта
совсем строгим и узким образом и, в частности, исключить
трансфинитную индукцию и все абстрактные понятия вроде
гёделевых примитивно рекурсивных функционалов конечных
типов, то станет ясно в силу теоремы Гёделя о неполноте, что
непротиворечивость системы РА нельзя показать, придерживаясь
этой точки зрения, так как такие строго финитные методы
(по-видимому) можно формализовать в РА (и даже в „при-
митивно рекурсивной арифметике", определяемой ниже).
Поэтому при рассмотрении некоторого доказательства не-
противоречивости всегда интересно знать, что именно в нем ис-
пользуется выходящего за пределы гильбертовского подхода и
как это можно обосновать.
В настоящее время в доказательствах непротиворечивости
применяются, во-первых, методы, использующие трансфинитную
индукцию (по Генцену), и, во-вторых, методы, использующие
функционалы высших типов (по Гёделю).
Мы изложим метод Генцена. Сначала, чтобы обосновать
нашу точку зрения, рассмотрим индуктивное определение нату-
ральных чисел, максимально близкое к приведенной выше
схеме:
Nl. 1 — натуральное число.
N2. Если а — натуральное число, то и al—натуральное
число.
N3. Натуральными числами являются только те объекты,
которые получены согласно N1 и N2.
96
Гл. 2. Арифметика Пеано
Определения такого рода мы обычно считаем очевидными;
это происходит, наверное, потому, что многое уже бессозна-
тельно предполагается известным. Чтобы прояснить нашу „бес-
сознательно достигнутую" позицию, рассмотрим вопросы, кото-
рые может задать нам субъект Е, не понимающий определе-
ние N1 — N3.
Во-первых, Е может сказать, что он не понял пп. N2 и N3.
Субъект Е не может понять N2, используя понятие натураль-
ного числа, если он не понимает, что такое „натуральное
число" (порочный круг). Более того, Е не может понять в N3,
что значит „те объекты, которые получены согласно N1 и N2".
Существует много возможных ответов на эти вопросы. Наи-
более естественным с дидактической точки зрения будет сле-
дующий: 1 есть натуральное число, согласно N1. Теперь, когда
мы знаем, что 1 — натуральное число, 11.— тоже натуральное
число, согласно N2; поскольку мы знаем, что 11 — натуральное
число, 111—тоже натуральное число, согласно N2. Все, что
получается таким способом, если, начав с N1, повторять N2,
является натуральным числом. Условие N3 говорит, с другой
стороны, что натуральными числами являются только те
объекты, которые получены таким способом. Конечно, Е может
задать новые вопросы, относящиеся к этим объяснениям: „что
вы имеете в виду под повторением операции N2?“ или „что вы
подразумеваете, говоря „все, что получается таким способом"?
и т. д., и такого рода дискуссия может продолжаться бес-
конечно. Я надеюсь, что в конце концов Е поймет смысл опре-
деления N1 —N3. Здесь важно вот что: для того чтобы понять
определение Nl —N3 натуральных чисел, нужно заранее при-
нять общую концепцию (потенциально) бесконечного процесса
порождения новых объектов повторением конечное число раз
конкретной операции, а целью этого определения является вы-
явление (с помощью такой процедуры) процесса построения
натуральных чисел.
Если внимательно проанализировать эту долгую дискуссию
с субъектом Е, то станет ясно, что мы должны в качестве
основного понятия в какой-то степени допустить понятие конеч-
ной последовательности (или повторения конечное число раз
некоторой операции). Это не означает, что мы должны пред-
полагать большое количество знаний о понятиях „последова-
тельность" и „конечное" в отдельности. Нам надо принять лишь
то, что является абсолютно необходимым для понимания еди-
ного понятия „конечная последовательность".
Чтобы дальше прояснить нашу точку зрения, рассмотрим
индуктивное определение конечных (непустых) последователь-
ностей натуральных чисел.
§11. Обсуждение ординалов с финитной точки зрения	97
S1.	Если п — натуральное число, то оно само является ко-
нечной последовательностью натуральных чисел.
S2.	Если m — натуральное число и s — конечная последова-
тельность натуральных чисел, то s*m— конечная по-
следовательность натуральных чисел.
S3.	Только те объекты, которые получены согласно S1 и S2,
являются конечными последовательностями натуральных
чисел.
Следует осознать, что такого рода определения считаются
основными и понятными независимо от того, с какой точки
зрения они рассматриваются.
Мы приведем еще несколько примеров таких индуктивно
определяемых классов конкретных объектов и их свойств.
Например, длина конечной последовательности натуральных
чисел определяется индуктивно следующим образом:
L1. Если s — последовательность, состоящая лишь из нату-
рального числа п, то ее длина равна 1.
L2. Если s — последовательность натуральных чисел, имею-
щая вид s0 * п, и длина последовательности sa равна I,
то длина последовательности s равна I + I.
Конечно, можно привести и другое определение: если дана
какая-то последовательность натуральных чисел, скажем $, то
просматриваем s и подсчитываем число символов * в ней. Если
это число равно I, то длина s равна /+1. (Каждое из этих
определений указывает некоторую операцию, которая при-
меняется к конкретно заданным фигурам в общем виде.)
Эти финитные рассуждения часто имеют поразительные ана-
логии с рассуждениями в следующем формализме, который мы
назовем примитивно рекурсивной арифметикой.
(1)	Исходная логическая система-—исчисление высказываний.
(2)	Определяющие равенства для примитивно рекурсивных
функций берутся в качестве аксиом.
(3)	Кванторы не рассматриваются.
(4)	Допускается правило математической индукции (для бес-
кванторных формул)
А (а), Г->Д, Л (а')
Л(0), Г->Л, Л (/),
где а не входит ни в А (0), ни в Г, ни в Л, а I — произволь-
ный терм.
После приведенной выше дискуссии кажется довольно разум-
ным охарактеризовать финитную точку зрения Гильберта как
точку зрения, допускающую только те методы, которые можно
формализовать в примитивно рекурсивной арифметике. Эта
точка зрения будет называться чисто финитной. Поэтому вы-
яснение того, в каком месте доказательство непротиворечивости
4 Г, Такеути
98
Гл. 2. Арифметика Пеано
выходит за рамки этого формализма, т. е. становится недопу-
стимым с чисто финитной точки зрения, имеет первостепенную
важность. (Таким образом, в дальнейшем мы не будем бес-
покоиться о правомерности рассуждений, которые могут быть
проведены в рамках описанного выше формализма.) Следуя
этому подходу, мы приведем рекурсивное определение ордина-
лов до в0 (первого 8-числа); временно под ординалом мы будем
понимать «ординал, меньший, чем е0».
О1. О есть ординал.
02. Пусть Hi, ..., цп и р. — ординалы. Тогда ц, + ... +
и — ординалы.
03. Ординалами являются только те объекты, которые полу-
чены согласно 01 и 02.
Ординал <о° будем обозначать через 1. Рассматривая 1 как
натуральное число 1, 1 + 1 — как 2 и т. д., можно считать, что
натуральные числа содержатся среди ординалов. (Мы можем
считать и 0 натуральным числом, если захотим.)
Далее можно определить на ординалах отношения = и <
так, чтобы они совпадали с равенством и естественным поряд-
ком на ординалах, которые нам известны из теории множеств,
и развить теорию ординалов с этими отношениями в рамках
чисто финитного подхода. Действительно,, мы можем одновре-
менной индукцией определить отношения =, < и операции
+, • так, чтобы они удовлетворяли следующим условиям.
(1)	Отношение < является линейным порядком и 0 — наи-
меньший элемент (в смысле этого порядка).
(2)	«ч < cov тогда и только тогда, когда ц < v.
(3)	Пусть ц — ординал, содержащий некоторые вхождения
символа 0, но не совпадающий с самим 0, и пусть ц' — ординал,
полученный из ц удалением из него всех вхождений 0, а затем
лишних вхождений символа +. Тогда ц = ц/.
С помощью (3) легко показать следующее.
(4)	Всякий ординал, не совпадающий с 0, может быть запи-
сан в виде
(оц 1 + <+2 + ... +
где каждый из ординалов щ, ц2, •••> Нп, не совпадающий с О,
обладает тем же свойством. (Каждое слагаемое сои‘ называется
мономиалом этого ординала.)
(5)	Пусть ординалы ц и v имеют вид
<+' + <+2 + ... + ИЦ/г И (+' + С1Л2 + ... +
соответственно. Тогда ординал ц + v определяется как
(0U| + ИИ2 + ... +	+ (0V‘ + (+2 + ... + £0V/.
jJ //. Обсуждение ординалов с финитной точки зрения
(6)	Пусть р —ординал, записанный в виде (4) и содержащий
два последовательных члена «4' и ии/+1 при Ру < Ру+1, т. е.
р имеет вид
... +	+ ии/+' + .
и пусть р' — ординал, полученный из р удалением «и1' +»,
так что р' имеет вид
... +<ои/+Ч- ... .
Тогда р = р'.
Как следствие свойства (6) можно показать следующее.
(7)	Для всякого ординала р (не совпадающего с 0) суще-
ствует ординал вида
C0U| + (о1*2 4- ... + иЧ
такой, что Ц! ^ . . . ^ и„ и р = ии‘ + ... + где р Ч v озна-
чает, что v < р или v = р. Последняя запись называется нор-
мальной. формой ординала р. (Такая нормальная форма для
ординала р единственна, поскольку то же самое справедливо
для всякого ординала, использующегося в построении р, со-
гласно 02.)
(8)	Пусть ординал р имеет нормальную форму
сои 1	со1*2 4“ • • •
и v > 0. Тогда р • <i)v = соц +л’.
(9)	Пусть ординалы р и v имеют такой же вид, как з (5).
Тогда
р • v = р • <oV1 + р • а/2 + ... + р • (д’1-
(10)	Степень (<оц)л определяется как • ии • ... • <ои (п раз)
для любого натурального числа п. Тогда (<оа)п = со11 А
Из наших определений легко вытекает, что для произволь-
ного ординала р можно построить ординал вида соп, такой,
что р < <0„.
Очевидно, для всякого данного натурального числа п длина
строго убывающей последовательности ординалов, начинаю-
щейся с п, не больше «4-1; другими словами, не существует
строго убывающей последовательности ординалов, начинаю-
щейся спи имеющей длину «4-2. Этот факт говорит о том,
что понятие произвольной строго убывающей последователь-
ности ординалов, начинающейся с числа «, является достаточно
четким понятием.
100	Гл. 2. Арифметика Пеано
В связи с этим ка <утся не очень серьезными возражения,
основанные на том, что если мы запишем утверждение «всякая
строго убывающая последовательность обрывается» в виде фор-
мального выражения, то окажется, что оно принадлежит
классу П' в иерархии Клини. Важно не то, какому классу
иерархии оно принадлежит, а то, насколько оно очевидно. Мы
вернемся к этому вопросу позднее.
В следующем параграфе будет изложено доказательство
непротиворечивости (для РА), проходящее по следующей схеме.
(Для того чтобы подчеркнуть конкретный или «графический»
характер формальных доказательств, мы будем говорить «фигура
вывода» вместо «вывод».)
1)	Мы указываем единообразный метод, такой, что если кон-
кретно задана какая-то фигура вывода Р, то этот метод поз-
воляет нам построить другую конкретно заданную фигуру
вывода Р'; при этом фигура Р' имеет ту же заключительную
секвенцию, что и Р, если заключительная секвенция фигуры Р
не содержит кванторов. Этот процесс построения фигуры вы-
вода Р' по Р называется «редукцией» (фигуры вывода Р) и
будет обозначаться буквой г. Таким образом, Р' = г(Р).
2)	Существует единообразный метод, позволяющий каждой
фигуре вывода ставить в соответствие некоторый ординал < е0.
Ординал, поставленный в соответствие фигуре вывода Р (орди-
нал фигуры вывода Р), мы обозначим через о(Р).
3)	Операции о и г удовлетворяют такому условию: всякий
раз, когда фигура вывода Р содержит применение правила
индукции или сечения, то о (Р) > со и о (г (Р)) < о (Р), а если Р
не содержит таких применений, то о(Р)<со.
Предположим, что мы эффективно доказали, что всякая
строго убывающая последовательность натуральных чисел ко-
нечна и что если задан эффективный метод построения строго
убывающих последовательностей ординалов < е0, то можно
установить, что любая убывающая последовательность, по-
строенная по этому методу, является конечной (т. е. что такая
последовательность обрывается). (Под «убывающей последова-
тельностью» мы всегда будем понимать строго убывающую
последовательность ординалов.) Тогда в силу 1) — 3) мы можем
заключить, что существует эффективный метод преобразования
произвольной фигуры вывода Р, заключительная секвенция
которой не содержит кванторов, в фигуру вывода с той же
заключительной секвенцией, не содержащую применений пра-
вил сечения и индукции. С другой стороны, легко видеть, что
никакая фигура вывода, не содержащая применения этих пра-
вил, не может быть фигурой вывода пустой секвенции. Таким
образом, мы можем утверждать, что непротиворечивость нашей
системы доказана.
§11. Обсуждение ординалов с финитной точки зрения
101
Решающим моментом в приведенных выше рассуждениях
является доказательство следующего утверждения:
^*) Если задан эффективный метод построения убывающих по-
следовательностей ординалов, то всякая полученная этим
методом последовательность должна быть конечной.
Мы собираемся привести одно из возможных доказательств
этого утверждения, которое, как кажется автору, лучше других
освещает доказательство непротиворечивости.
Пусть а0 > «1 > ... — некоторая конкретно заданная убы-
вающая последовательность.
(I) Допустим, что а0 < со, т. е. а0 — натуральное число.
Рассмотрим какую-нибудь убывающую последовательность,
начинающуюся с некоторого конкретно заданного натурального
числа. Коль скоро записан первый член п этой последователь-
ности, можно заключить, что ее длина не превосходит /г+1.
Поэтому мы можем считать, что ординал а0 не является на-
туральным числом.
Для того чтобы работать со всеми ординалами < е0, мы
определим понятия a-последовательности и а-элиминатора для
всех ординалов а < е0. Мы начнем, однако, с одного простого
примера, а не с общего определения.
(II) Допустим, что каждый ординал и(- в последовательности
a0>.ai> ... записан в нормальной форме; пусть а( имеет вид
(0И‘+иИ2+';. .. +<OU^ + fe;,
где ц‘- >0 и k[ — натуральное число (в частности, возможно,
что слагаемое + в действительности отсутствует). Последо-
вательность, в которой у каждого ординала отсутствует сла-
гаемое kit мы будем называть {-последовательностью. Сумму
<о 1 + со 2 + ... + со в а, мы назовем {-главной частью орди-
нала щ. Мы опишем эффективный метод Мь позволяющий
делать следующее: по данной убывающей последовательности
ай > щ > . . ., где каждый член щ записан в нормальной форме,
Mi выдает некоторую (убывающую) 1-последовательность bQ >
> b{ > ... так, чтобы выполнялось условие
(Ci) ординал Ьо является 1-главной частью ординала ай, и мы
можем эффективно доказать, что если последовательность
Ьй > Ь[ > ... конечна, то конечна и последовательность
102
Г л. 2. Арифметика Пеано
Этот метод Mi (\-элиминатор) определяется следующим об-
разом. Пусть at = a' + k{, где а' есть 1-главная часть орди-
нала а,-. Тогда последовательность aQ > at > ... может быть-
записана в виде а'о + k0 > а' +	> ....
Положим Ьо = а'. Допустим, что последовательность Ьц >
> Ь1 > ... > bm построена так, что bm есть а' при некотором /.
Тогда либо ау==Яу+1= ... = а'+р для некоторого р и aj+p —
последний член нашей последовательности, либо с^ = а'+1 = ...
... = a'j+p>a'j+p+r Это так, поскольку а' = а'+1 = ... = а'1+р=- , •
влечет kj > k!+i > ... > kl+p > ..., но такая последовательность,
(натуральных чисел) должна оборваться (см. (I)). Следовательно,
либо, как и утверждалось, исходная последовательность обры-
вается, либо a'j+p > a'j+p+x Для некоторого р. Если имеет место
первый случай, то останавливаемся, если же второй, то положим
~ ai+p+V
Из определения очевидно, что Ьо > Ь{ > ... > bm > ....
Допустим, что эта последовательность конечна, т. е.- имеет вид.
Ьо > Ь\ > ... > bm. Тогда, согласно предписанию для по-
строения ординала 6m+I, исходная последовательность также:
конечна. Таким образом, последовательность Ьа > Ьу > ... удо-
влетворяет условию (С|), и определение метода Afi закончено.
(III)	Допустим, дана некоторая убывающая последователь-
ность а0 > й1 > .. ., в которой а0 < со2. Применив к этой после-
довательности 1-элим.инатор Мь мы можем построить 1-после-
довательность b0>bi> ..., где Ь0^а0. Тогда последовательность.
bQ > b[ > ... может быть записана в виде и • k0 > и • ki > .. .,
откуда следует, что kQ > ki > .... В силу (I) последователь-
ность k0 > kt > ... должна быть конечной, откуда вытекает,
что последовательность Ьо > Ь{ > .... а значит, и а0 > п1 > ...
являются конечными.
(IV)	Теперь мы определим понятие «га-последовательности»-
следующим образом. Пусть а0 > щ > ... — некоторая убываю-
щая последовательность, записанная в виде а'	с0 > а' + Cj> . ..
где если at = a't + с{, то в ординале а' каждый мономиал
а в ординале ct каждый мономиал < со" (а' мы будем назы-
вать п-главной частью ординала az). Такая последовательность,
называется п-последовательностью, если каждый пуст.
Допустим теперь (в качестве предположения индукции), что-
всякая убывающая последовательность d0 > di > ..., где d0 < со",
является конечной. Определим теперь эффективный метод Мп
(п-элиминатор), который по данной убывающей последователь-
ности ап > Щ > • • • эффективным образом выдает некоторую-
$ 11. Обсуждение ординалов с финитной точки зрения
103
«-последовательность b0 > bt > .... удовлетворяющую условию
(С„) ординал Ьо является «-главной частью ординала ай, и если
последовательность Ьо > Ь, > ... конечна, то мы можем
эффективным образом показать, что последовательность
«о > «1 > ... также конечна.
Предписание для Мп следующее. Запишем каждый из at
как а\ + с;, где а\ является «-главной частью ординала аг
Далее определение происходит способом, очень напоминающим
соответствующее определение для 1-последовательностей в (II).
А именно положим Ьо = а'о. Допустим, что уже построена по-
следовательность 60 >	> ... > bm и bm — a'j. Если a'j = a'i+i—  •.
. .. =a'j+p и a'j+p — последний член данной последовательности,
то останавливаемся. В противном случае a'j = a'j+I= ...
... — a'j+p > a'j+p+l для некоторого р, поскольку а' = a'j+i — ...
... = а'1+р влечет с. > с/+1 > ... > cj+p, а эта последователь-
ность по предположению индукции конечна; следовательно, для
некоторого р имеем cj+p+l с/+р, откуда вытекает, что а'/+р >
> a'i+P+i- Положим теперь bm+}=a'J+p+v Тогда последователь-
ность Ьо >	> ... удовлетворяет условию (СД, и поэтому
определение метода Мп завершено.
(V)	С помощью «-элиминатора Мп мы докажем, что всякая
убывающая последовательность а0 >	> ..., где а0<<ьп+1,
должна быть конечной. Применяя к такой последовательности
метод Мп, мы можем эффективно построить некоторую п-по-
-следовательность Ьо > Ь{ > . . ., где Ь0^а0. Более того, каждый
ординал bt может быть записан в виде соп • kt, где ki — некото-
рое натуральное число. Поэтому со" • k0 > о" • k\ > ..., откуда
вытекает, что kQ> k\~> , и эта последовательность конечна
в силу (I), следовательно, последовательность Ьо > Ь[ > ... ко-
нечна, откуда в свою очередь вытекает, что последовательность
•а-о > «1 > • • • тоже конечна.
(VI)	Из (III) и (IV) мы можем заключить следующее: по
всякому (конкретно) заданному натуральному числу « мы можем
эффективно показать, что любая убывающая последовательность
О) > «I > . . ., у которой «о < и", является конечной.
(VII)	Всякая убывающая последовательность а0 > щ > ...
является конечной, если а0 < и®, так как последнее означает,
что а0 < и" для некоторого «, и, таким образом, применимо (VI).
(VIII)	Теперь будем развивать общую теорию а-последова-
дельностей и (а, «)-элиминаторов, где а пробегает все орди-
налы < е0, а «-—все натуральные числа >0. Убывающая по-
следовательность d0> dj> . . . называетсяа-последователъностъю,
если в каждом все мономиалы	Если а = а' + с,
104
Гл. 2. Арифметика Пеано
причем в ординале а' каждый мономиал а в ординале с
каждый мономиал < то мы скажем, что а' является а-глав-
ной частью ординала а. Метод Ма (а-элиминатор) обладает тем
свойством, что по всякой данной конкретной убывающей после-
довательности а0 >	> ... он эффективно выдает некоторую»
a-последовательность bQ > b\ > . . ., такую, что
(i) ординал Ьй является a-главной частью ординала а0;
(ii) если последовательность Ьо >	> ... конечна, то мы
можем эффективно показать, что последовательность а0> > ...
тоже конечна.
(Ясно, что a0^Z?0.)
Мы отложим определение а-элиминаторов. В предположе-
нии, что для всякого а уже определен а-элиминатор, мы можем
показать, что всякая убывающая последовательность является
конечной. В самом деле, рассмотрим последовательность
а0 > щ > .... Существует а, такой, что а0 < и“+1. Тогда а-эли-
минатор эффективно выдает некоторую «-последовательность
b0 > bi > ..., удовлетворяющую указанным выше условиям (i)
и (ii). Поскольку Ь0^ай, каждый из ординалов bi можно за-
писать в виде и“ • kp, таким образом, о)“  k0 >
откуда вытекает, что k0 >	> .... В силу (I) это означает,
что последовательность k0 > k{ > ... конечна, следовательно^
конечна и последовательность Ь0>Ь[> ...; поэтому последо-
вательность aQ> ai> ... тоже конечна. Тем самым утвержде-
ние (*) доказано. Следовательно, теперь нам осталось опреде-
лить (построить) а-элиминаторы для всех а < е0.
(IX)	Переименуем а-элиминаторы в (а, \)-элиминаторы.
Предположим, что (а, п)-элими.наторы уже определены. Тогда
(Р, п + \)-элиминатор представляет собой эффективный метод
построения (а • со13, п)-элиминатора по любому данному (а, «)-
элиминатору. Будем следовать такой процедуре:
(X)	Пуст^> {цт}т<(0 — некоторая возрастающая последова-
тельность ординалов, предел которой равен ц (причем суще-
ствует эффективный метод получения по каждому т), и
пусть gm есть цот-элиминатор. Определим тогда р-элиминатор.£
следующим образом. Допустим, что а0 > щ > ... — некоторая
конкретно заданная последовательность. Если а0 записан в виде
а'о + с0, где а' является р.-главной частью ординала а0, то суще-
ствует некоторое пт, такое, что с0 < поэтому можно счи-
тать, что каждый из а. записан в виде (Г + ср где а'. является
цт-главной частью ординала at. Тогда к последовательности
а0 > а, > ... можно применить метод gm и эффективным обра-
зом получить некоторую ^„.-последовательность
(1)
Ь10 > ^11 > bi2 > • •.,
§11. Обсуждение ординалов с финитной точки зрения
105
-удовлетворяющую указанным выше условиям (i) и (ii) (где роль а
играет цт), причем bw = а'о, так что на самом деле Ь10 является
^.-главной частью ординала а0. Положим bQ = blQ.
Рассмотрим теперь последовательность Ьп > bi2 > .... Пред-
положим, что	Повторим описанную выше процедуру
для последовательности (1), т. е. запишем 6]0 =	+ Оо’ гдс
ординал b'iQ является ц-главной частью ординала 610. Тогда
существует некоторое mlt такое, что cw < юи,га’. Применив теперь
процедуру gm к последовательности йн>612>613> .... мы
получим некоторую [^-последовательность
^21 > ^22 > ^23 > • • • >
удовлетворяющую условиям (i) и (ii) (где роль а уже играет ),
причем &2i является ц-главной частью ординала Положим
61 = 621- Допустим, что &22^wU- Тогда повторим эту процедуру
для последовательности Ь22 > й2з > •••, в результате чего по-
лучим последовательность
632 > 633 > &34 > ...
и положим b2=b32. Продолжая таким образом, мы получим
некоторую ^-последовательность
Ьо > Ь{ > Ь2 > ....
Если эта последовательность конечна и, скажем, обрывается
на bi = bi+ii 1, то отсюда следует, что в последовательности
’(2)	bi+iii > bl+\, ;+i > bi+i, l+2 > ...
должно быть bi+lf z+i < сои. Поэтому bt+^ ;+1 < для неко-
торого m'. Применим к последовательности (2) метод gm,; мы
получим тогда конечную -последовательность, состоящую
лишь из двух членов, причем второй член равен 0. Значит,
последовательность (2) является конечной (по определению
рт,-элиминатора); следовательно, конечной является и последо-
вательность bt< i-i> blt[> ..., и так далее (возвращаясь назад),
пока не получим, что исходная последовательность а0 > сц > .. .
также является конечной.
(XI)	Пусть	— некоторая возрастающая последова-
тельность ординалов, предел которой равен ц, и пусть для
каждого пг конкретно задан (рот, п + 1)-элиминатор. Тогда мы
можем определить (щ п + 1)-элиминатор следующим образом.
Определение проводится индукцией по п. Для п = 0 (т. е. при
п + I = 1) применяем (X). Предположим, что (XI) справедливо
для /г; тогда существует операция kn, такая, что для всякой
106
Гл 2. Арифметика Пеано
последовательности {Ym}m<w, предел которой равен у. и для
всякого (ут, /г)-элиминатора g'm применение операции kn к g'm
эффективно выдает (у, /г)-элиминатор. Теперь, чтобы дока-
зать (XI) для 1, предположим, что последовательность
имеет предел Р и что задан (а, п)-элиминатор р. Поскольку gm
есть (Рт, п + 1)-элиминатор, он по р эффективно выдает
(а • и8"1, /г)-элиминатор, который мы обозначим через gm(p).
Тогда, взяв а • в качестве ym, gm (р)— в качестве g'm и
а • т1’ — в качестве у, мы можем применить предположение-
индукции; таким образом, применение операции kn к последо-
вательности {g'm} дает (а • а>0, п)-элиминатор q. Эта процедура
получения q по р является эффективной и, таким образом,
выдает нам (р, ra-f- 1)-элиминатор.
(XII)	Пусть g есть (ц, п + 1)-элиминатор. Построим (ц • со,.
п + 1)-элиминатор. В силу (XI) достаточно показать, что мы
можем (по g) эффективно построить (ц • т, п + 1)-элиминатор-
для всякого т < и. Предположим, что задан (а, /г)-элиминатор f-
Заметим, что
а • аР‘т = а • и*1 •	... со11.
т
Поскольку g есть (ц, п + 1)-элиминатор, он по f эффективно*
строит (а • п)-элиминатор g (/). Применив теперь g к этому
элиминатору, мы получим (а • со11 • со^, /г)-элиминатор g(g(f))_
Повторив этот процесс т раз, мы получим (а • <ви'"г, п)-элими-
натор g(g(. .. g (?) .. .)).
(XIII)	Мы можем теперь для всякого	построить-
(1, т + 1)-элиминатор. Построение проходит индукцией по т.
В качестве (1, 1)-элиминатора возьмем Л1,. При т>0 предпо-
ложим, что J есть (а, ш)-элиминатор. Тогда, согласно (XII) (где-
»+ 1 —т), мы можем по f эффективно построить (а • <о, т)-эли-
минатор. Следовательно, у нас есть (1, т-\- 1)-элиминатор.
(XIV)	Заключение: для всякого а вида т. е. вида
мы можем построить (а, /г)-элиминатор. Это построение прово-
дится индукцией по т. Если т = 0, то а есть 1 = со0. Тогда
(а, га)-элиминатор уже определен в (XIII) для любого п. Допу-
стим, что f есть (1, /г)-элиминатор, a g есть (а, п + 1)-элимина-
тор, который по предположению индукции уже определен. Тогда
применяем элиминатор g к f, в результате чего получаем искомый.
§11. Обсуждение ординалов с финитной точки зрения
107
(1 -<Ba, «) = (и“, /г)-элиминатор. Утверждение (*) полностью до-
казано.
Наша точка зрения, изложенная выше, подобна гильбер-
товской точке зрения в том смысле, что обе они включают
в себя «мысленные эксперименты» только с четко определен-
ными операциями, применяемыми к некоторым конкретно задан-
ным фигурам, и с некоторыми ясно определенными действиями
над этими операциями. Например, а-элиминатор есть эффек-
тивная операция, которая оперирует с конкретно заданными
фигурами. Далее, (0, 2)-элиминатор есть эффективный метод,
позволяющий осуществить некоторый мысленный эксперимент
с тем, чтобы построить а • и6-элиминатор по произвольному,
конкретно заданному а-элиминатору. Поэтому, если дан какой-то
ординал, например ak, у нас есть метод, позволяющий эффек-
тивно построить и^-элиминатор. Мы полагаем, что на доказа-
тельство непротиворечивости системы РА, которое будет изло-
жено в § 12, наибольший свет проливает рассмотрение его
в терминах элиминаторов. (На самом деле нетрудно обобщить
это понятие так, чтобы оно включало в себя, скажем, понятие
(а, <в)-элиминатора и т. д.; однако для доказательства непроти-
воречивости системы РА это не нужно.)
Идеи, которые мы сейчас изложили, обычно формулируются
в терминах достижимости. По-видимому, будет полезно пере-
формулировать наши идеи в терминах этого понятия, которое
(как мы полагаем) является грубым, но удобным способом
выражения идеи элиминатора.
Мы говорим, что ординал р достижим, если доказано, что
всякая строго убывающая последовательность, начинающаяся
с р, является конечной. Более точно, мы употребляем термин
«достижимость», только когда мы па самом деле убедились
или доказали конструктивно, что данный ординал достижим.
Следовательно, мы вообще не рассматриваем общее понятие
достижимости и потому не определяем «отрицание достижи-
мости» как таковое. Если мы говорим о «недостижимости», то
это значит, что мы конкретно указали некоторую бесконечную
строго убывающую последовательность.
Во-первых, предположим, что мы арифметизовали построе-
ние ординалов (меньших, чем е0) согласно определению 01—03.
Другими словами, предположим, что задана некоторая гёделева
нумерация этих (выражений для) ординалов, которая обладает
определенными «хорошими» свойствами, а именно индуцирован-
ные теоретико-числовые отношения и функции, соответствующие
ординальным отношениям =, < и функциям +, • и экспо-
ненте с основанием и (которые мы часто будем по-преж-
нему обозначать теми же символами), являются примитивно
108
Гл. 2. Арифметика Пеано
рекурсивными; мы можем также примитивно рекурсивно привести
всякий ординал (его гёделев номер) к нормальной форме и,
следовательно, примитивно рекурсивным образом распознать,
представляет он собой предельный или непредельный ординал
и т. д. Порядок на натуральных числах, соответствующий
отношению < (на ординалах), называется «стандартным вполне-
упорядочением по типу е0» или просто «стандартным упорядо-
чением по 6о».
Наш метод доказательства достижимости ординалов состоит
в следующем (мы работаем в рамках нашего стандартного
вполне-упорядочения по типу е0):
(1)	Если известно, что щ < р2 < Рз • • • —(т. е. v является
пределом возрастающей последовательности {pj) и каждый щ
достижим, то v также достижим.
(2)	Дается метод, с помощью которого из достижимости
некоторой подсистемы ординалов можно вывести достижимость
большей системы.
(3)	Повторяя (1) и (2), мы показываем, что каждый началь-
ный отрезок нашего упорядочения достижим, а следовательно,,
достижимо и все упорядочение.
Тот факт, что всякая убывающая последовательность, начи-
нающаяся с натурального числа, конечна, можно доказать
таким же способом, как и выше в (I).
Перейдем теперь к следующему этапу — рассмотрим убы-
вающие последовательности ординалов, меньших, чем со + со.
Здесь мы опять можем убедиться, что всякая убывающая после-
довательность обрывается. Это достигается следующим образом.
Рассмотрим первый член и0 этой последовательности. Мы можем
эффективно распознать, имеет ординал ц0 вид п или со + п, где
п — натуральное число. Если он имеет вид «, то достаточно'
повторить приведенное выше рассуждение для натуральных
чисел. Если же он имеет вид и + п, рассмотрим первые п + 2
члена этой последовательности
Ро > Pi > Иг > •  • > И/г-ь 1-
Легко видеть, что ординал у.„+1 не может иметь вид соЦ-от
ни для какого натурального /п, и потому он должен быть нату-
ральным числом, так что теперь повторяем доказательство для
натуральных чисел. Этот метод можно распространить на слу-
чаи убывающих последовательностей ординалов, меньших, чем:
со • п; меньших, чем со2; меньших, чем со®, и т. д.
Теперь изложим более математическую разработку этой идеи.
Лемма 11.1. Если ординалы ц и v достижимы, то достижима,
и их сумма р. + v.
§11. Обсуждение ординалов с финитной точки зрения
109
Доказательство. Мы только обобщаем доказательство
того, что ординал со + со достижим, и пользуемся следующим
легко доказываемым фактом: по данным ординалам ц, £, v,
таким, что p^g<p-]-v, можно эффективно найти ординал v0>
такой, что v0 < v и £, = ц + v0.
Лемма 11.2. Если, ординал ц достижим, то и ординал ц • со
достижим.
Доказательство. Мы пользуемся следующим легко>
доказываемым фактом: если v < ц • со, то можно найти такое п,
что v < и • п.
С помощью этих лемм мы теперь докажем, что все орди-
налы, меньшие, чем 80, являются достижимыми. Введем сперва
индукцией по п вспомогательное понятие «ц-достижимый».
Определение 11.3. Ординал ц называется [-достижимым,
если он достижим. Ординал ц называется (п+ [)-достижимым,
если для всякого п-достижимого ординала v ординал v • со^ тоже
/г-достижим.
Следует подчеркнуть, что понятие «ординал v является
п-достижимым» является ясным только тогда, когда эффективно
доказано, что v является га-достиЖимым.
Лемма 11.4. Если ординал ц п-достижим uv<Zp.,To орди-
нал v также п-достижим.
Лемма 11.5. Пусть {цт} — некоторая возрастающая последо-
вательность ординалов, предел которой равен ц. Если каждый р,п
п-достижим, то п-достижим и ц.
Лемма 11.6. Если ординал v (п + \)-достижим, то и орди-
нал v • со (п + Г)-достижим.
Доказательство. Нам надо показать, что если ц есть
н-достижимый ординал, то ординал р • cov'® также /г-достижим.
Для этого достаточно показать, что ординал ц • cov'm является
н-достижимым при всяком пг (см. лемму 11.5). Однако это оче-
видно, поскольку
Ц • (Dv"n = ц • (cov)m = р • cov • ... • cov
и ординал v (п + 1)-достижим.
Предложение 11.7. Ординал 1 является (п + [^-достижимым.
Доказательство. Допустим, что ц /г-достижим. Тогда
по леммам 11.2 и 11.6 ц-со = ц-со1 тоже /г-достижим, а это
означает по определению, что 1 является (п + 1)-достижимым
ординалом.
по
Гл. 2. Арифметика Пеано
Определение 11.8. w0 = 1; wrt+1 = ©'"л.
Предложение 11.9. Ординал является (п— к)-достижимым
для любого п> k.
Доказательство. Индукция по к. Если k = 0, то wfe = 1,
и поэтому Wo /г-достижим для всех п (см. предложение 11.7).
Пусть W* (п— &)-достижим. Поскольку ординал 1 является
[« — (& + 1)]-Достижимым, 1 • wWfe также [п — (/г + 1)]-достижим,
согласно определению 11.3, т. е. ординал <oft+1 является [п —
— (k + 1)]-достижимым.
Частным случаем предложения 11.9 является
Предложение 11.10. Для всякого k ординал (лк достижим-
Если дана убывающая последовательность ординалов (мень-
ших, чем е0), то найдется такой, что все ординалы в этой
последовательности меньше, чем wfe. Следовательно, согласно
предложению 11.10, эта последовательность должна быть конеч-
ной. Таким образом, мы можем заключить:
Предложение 11.11 Ординал е0 достижим.
Важно отметить следующее обстоятельство. Доказательство
достижимости ординала е0 (с помощью элиминаторов, согласно
(I)-(XIV), или с помощью предложения 11.11) существенно зави-
сит от того факта, что мы используем некоторое стандартное
вполне-упорядочение по типу е0, для которого последовательные
шаги в доказательстве очевидны. Разумеется, это не верно для
произвольного вполне-упорядочения по типу е0 и тем более для
произвольного вполне-упорядочения или ординала.
Чтобы лучше понять нашу точку зрения, сравним ее с дру-
гими. Рассмотрим сначала теорию множеств. При нашем под-
ходе не предполагается существования абсолютного мира (как
это делается в теории множеств), который можно было бы
считать основанным на «бесконечном разуме». Напротив, мы
пытаемся по возможности избежать обращения к абсолютному
миру «бесконечного разума». Хотя при рассмотрении теории
чисел без включения в нее понятия множества абсолютный мир
чисел 0, 1, 2, . . . не является столь уж сложным понятием,
а для бесконечного разума он был бы даже совсем ясным и
прозрачным, но, поскольку наш разум конечен, для нас, в конце
концов, это воображаемый мир, каким бы ясным и прозрачным
он ни казался. Следовательно, нам надо так или иначе убе-
диться в существовании такого мира.
Рассмотрим теперь интуиционизм. Хотя наша точка зрения
и точка зрения интуиционизма имеют много общего, между
ними существует разница, которую можно выразить следующим
образом.
$ 12. Доказательство непротиворечивости системы РА	Ш
Наш подход избегает, насколько возможно, абстрактных
понятий, кроме тех, которые в конечном счете сводятся к кон-
кретным операциям или к мысленным экспериментам над
конкретно заданными последовательностями. Конечно, нам также
придется иметь дело с операциями над операциями и т. д.
Однако такие операции тоже можно представлять себе как
мысленные эксперименты над (конкретными) операциями.
Интуиционизм, напротив, намеренно имеет дело с абстракт-
ными понятиями. Это видно из того, что основное его понятие
«конструкции» (или «доказательства») абсолютно абстрактно, и
эта абстрактность, по-видимому, также необходима для непре-
дикативного интуиционистского понятия «импликация». Целью
интуиционизма не является сведение этих абстрактных понятий
к конкретным, как это делаем мы.
Мы считаем, что наша точка зрения есть естественное рас-
ширение финитной точки зрения Гильберта и подобна точке
зрения Генцена; поэтому мы называем ее точкой зрения Гиль-
берта — Генцена.
Итак, доказательство непротиворечивости в стиле Генцена
проводится следующим образом:
(1)	Строим подходящее стандартное упорядочение, придер-
живаясь строго финитной точки зрения.
(2)	Убеждаемся, придерживаясь точки зрения Гильберта —
Генцена, что это в самом деле вполне-упорядочение.
(3)	В остальной части доказательства пользуемся только
строго финитными средствами.
Перейдем теперь к доказательству непротиворечивости си-
стемы РА.
§ 12, Доказательство непротиворечивости системы РА
Впредь будем считать, что система РА формализована
в некотором языке, содержащем константу f для каждой при-
митивно рекурсивной функции f. Обозначим этот язык через L.
В качестве начальных секвенций системы РА возьмем также
определяющие равенства для всех примитивно рекурсивных
функций, все секвенции вида —► s = t, где s, t — замкнутые термы,
обозначающие одно и то же число, и все секвенции вида
s — t —>, где s, t — замкнутые термы, обозначающие разные
числа.
Мы будем следовать второму варианту генценовского дока-
зательства непротиворечивости арифметики первого порядка.
В этом доказательстве используется «метод редукций». По-
скольку этот метод будет часто применяться в дальнейшем,
мы вкратце изложим его здесь (предполагаем, что ординалы,
меньшие, чем е0, представлены своими обозначениями и вполне
112
Гл. 2. Арифметика Пеано
упорядочены некоторым фиксированным стандартным образом,
как указано в § 11).
Во-первых, допустим, что выводам эффективно поставлены
в соответствие некоторые ординалы, меньшие, чем е0. Далее,
пусть R — некоторое свойство выводов, такое, что:
(*)	Для всякого вывода Р, удовлетворяющего условию R, мы
можем (эффективно по Р) найти вывод Р', удовлетворяю-
щий условию R, такой, что его ординал меньше, чем ординал
вывода Р.
Тогда из (*) и из достижимости ординала 80 следует утвер-
ждение:
(**	) Никакой вывод не обладает свойством R.
Процедура нахождения (или построения) вывода Р' по вы-
воду Р в (*) называется редукцией вывода Р к Р' (для свой-
ства R).
Нас будет интересовать свойство R выводов оканчиваться
пустой секвенцией ->.
Указав некоторую единообразную процедуру для этого свой-
ства (лемма 12.8), мы тем самым докажем (в силу (**)), что
никакой вывод в системе РА не оканчивается секвенцией -> ;
другими словами, верна
Теорема 12.1. Система РА непротиворечива.
Разумеется, значение этой теоремы состоит в методе ее до-
казательства, который, за исключением допущения о достижи-
мости ординала е0, является строго финитным. (Никто не сом-
невается в том, что арифметика Пеано непротиворечива!)
Теорема 12.1, как мы уже сказали, следует из леммы, 12.8.
Введем сначала еще одно понятие.
Определение 12.2. Вывод в системе РА называется простым,
если в нем нет свободных переменных и он содержит только
математические начальные секвенции, применения слабых пра-
вил и несущественные применения правила сечения.
(Напомним, что слабыми правилами являются все структур-
ные правила, кроме сечения. Определения остальных понятий
см. в § 9.)
Лемма 12.3. Не существует простого вывода секвенции -> .
Доказательство. Пусть Р — произвольный простой вы-
вод. Все формулы в Р имеют вид s = t, где s и t — замкнутые
термы. Заметим, что, интерпретируя константы естественным
образом, мы можем (за конечное число шагов) определить,
является равенство s = t истинным или ложным (поскольку для
§ 12. Доказательство непротиворечивости системы РА	113
этого надо лишь вычислить значения определенных примитивно
рекурсивных функций). Секвенция в Р принимает значение Т,
если хотя бы одна формула в ее антецеденте ложна или хотя
бы одна формула в сукцеденте истинна; в противном случае
эта секвенция принимает значение F. Легко видеть, что мате-
матические начальные секвенции принимают значение Т и что
при применениях слабых правил и при несущественных при-
менениях правила сечения значение Т передается от верхних
секвенций к нижним. Поэтому все секвенции вывода Р при-
нимают значение Т. Но секвенция —> имеет значение F.
Определение 12.4. (1) Степенью формулы, называется (как и
в § 5) число содержащихся в ней логических символов. Степенью
сечения называется степень его высекаемой формулы; степенью
применения правила индукции называется степень его индукци-
онной формулы.
(2) Высотой секвенции S в выводе Р (обозначается через
h(S, Р) или, короче, h (S)) называется максимум степеней при-
менений правил сечения и индукции, входящих в вывод Р ниже
секвенции S.
Предложение 12.5. (1) Высота заключительной секвенции
в любом выводе равна 0.
(2) Если секвенция <$! расположена в выводе над секвенцией S2,
то h(St)^h(S2); если St и S2 — верхние секвенции некоторого
применения правила вывода, то h (3j) = h (S2).
Перед тем как поставить в соответствие выводам ординалы,
мы введем следующее обозначение. Для всякого ординала а
и натурального числа п индукцией по п определим (а): со0(а) =
— а, со„+1 (а) = <£рп *а). Таким образом,
со“
<в„ (а) = и
п
Определение 12.6. Сопоставление ординалов (меньших, чем
I ®0) выводам в системе РА. Сначала мы поставим в соответствие
ординалы секвенциям в выводе. Ординал, поставленный в со-
ответствие секвенции «S в выводе Р, будет обозначаться через
o(S, Р) или o(S). Пусть теперь дан некоторый вывод Р. Опре-
; делим для всех секвенций S в Р ординал о (S) = о (<S, Р).
Далее будем предполагать, что ординалы записаны в нор-
мальной форме (см. § 11). Если ц и т — ординалы вида со^1 + . ..
... +<оц,г и cov‘ + ... + соответственно (так что Ц|^ц2^...
... рт и Т! ^т2^> ...	v„), то	определяется как
114
Гл. 2. Арифметика Пеано
ординал соЛ| + со212 + ... +их т+'", где {Ль Л2, ..., Лт+„} {ць
Ц2> .. ., v,, т2, • • и М	ординал p#v на-
зывается натуральной суммой ординалов ц и v.
(1)	Начальным секвенциям (в Р) ставится в соответствие
ординал 1.
(2)	Нижним секвенциям применений слабых правил ставятся
в соответствие те же ординалы, что и верхним секвенциям
этих применений.
(3)	Если 5 — нижняя секвенция некоторого применения пра-
вила Д-слева, V-справа, гэ-справа, ~]-слева, V-справа или
кванторного правила и верхней секвенции этого применения
поставлен в соответствие ординал ц, то o(S) = p+l.
(4)	Если S—нижняя секвенция некоторого применения пра-
вила Д-справа, V-слева или гэ-слева и верхним секвенциям
этого применения поставлены в соответствие ординалы ц и v,
то o(<S) =
(5)	Если S — нижняя секвенция некоторого сечения и его
верхним секвенциям поставлены в соответствие ординалы ц и
v, то о (S) равняется cofe_; (рфт), т. е.
(0u *v’
* k — I,
СО
где k — высота верхних секвенций, а I — высота секвенции S.
(6)	Если S — нижняя секвенция некоторого применения пра-
вила индукции и его верхней секвенции сопоставлен ординал ц».
то o(S) равняется coft_/+1 (щ + 1), т. е.
соЦ1+1'
’ (k — 1)	1,
со	J
где ц имеет нормальную форму <ои' + сЛ	со11" (причем
Hi На	Н«). a k и I — высоты верхней секвенции и сек-
венции 5 соответственно.
(7)	Ординал о(Р) вывода Р равняется ординалу его заклю-
чительной секвенции.
Мы используем следующую запись:
для обозначения вывода Р секвенции Г-»А, такого, что-
о(Г—>Д, Р) = о(Р) = ц.
Лемма 12.7. Пусть Р — некоторый вывод, содержащий сек-
венцию S[, ниже которой в Р нет применений правила индукции,.
J
§ 12. Доказательство непротиворечивости системы РА	115
Р\ — подвывод вывода Р, оканчивающийся секвенцией S\, Р{ —
какой-то другой вывод этой секвенции и Р' — вывод, полученный
из Р заменой в нем Р{ на Р':
Р-. Pi{ S’i , Р'-. sj .
•	IIредположим также, что o(Sp, Р') < o(S,; Р). Тогда о(Р') < о(Р).
Доказательство. Рассмотрим какую-нибудь нить вы-
| вода Р, проходящую через Sb Мы покажем, что для любой
юеквенции S этой нити, расположенной ниже секвенции S! или
•совпадающей с ней, выполняется следующее: если S' — секвен-
ция в выводе Р', «соответствующая» секвенции S, то
(*)	о (S'; P')<o(S; Р).
Это верно для S = S, по условию, а свойство (*), как можно
проверить, сохраняется при переходе от верхних секвенций
к нижним при всех правилах вывода. (Мы пользуемся тем
-фактом, что натуральная сумма строго монотонна по каждому
аргументу, т. е. а<р=>(а=фу<₽=Й=У и У # а < У # ₽)•) Нако-
нец, взяв в качестве S заключительную секвенцию вывода Р,
мы приходим к нужному заключению.
Эта лемма используется неоднократно в нашем доказатель-
стве непротиворечивости.
Пусть теперь R — свойство вывода Р оканчиваться секвен-
цией , т. е. для вывода Р справедливо R (Р) тогда и только
тогда, когда Р есть вывод секвенции -> .
Отметим сначала, что если Р — вывод секвенции —> , то
всякое применение логического правила в Р является неявным
(см. определение 9.7), поскольку в противном случае пучок,
I	содержащий главную формулу такого применения, должен
был бы оканчиваться некоторой формулой, входящей в заклю-
1	чительную секвенцию.
Поэтому определение заключительной части таких выводов
можно сформулировать следующим образом.
Заключительная часть вывода секвенции -> состоит из всех
£ секвенций, встречающихся при движении вверх вдоль любой
нити от заключительной секвенции до первого (считая снизу)
применения логического правила. (Тогда верхняя секвенция
этого применения уже не принадлежит заключительной части,
а нижняя секвенция и все секвенции, расположенные ниже ее,
•принадлежат.) Данное применение является граничным.
116
Гл. 2. Арифметика Пеано
Лемма 12.8. Если Р — вывод секвенции —> , то существует
другой вывод Р' секвенции , такой, что о(Р')<.о(Р).
Доказательство. Пусть Р — вывод секвенции —► .
В силу предложения 9.8 можно считать, что вывод Р регулярен.
Опишем „редукцию" вывода Р к искомому выводу Р'. Эта
редукция состоит из некоторого числа шагов, определяемых
ниже. Каждый шаг выполняется конечное число раз, и на каж-
дом шаге мы предполагаем, что предыдущие шаги уже выпол-
нены (столько раз, сколько это возможно).
На каждом шаге ординал получающегося вывода не увели-
чивается и по крайней мере на одном шаге он уменьшается.
Шаг 1. Допустим, что заключительная часть вывода Р со-
держит некоторую свободную переменную, скажем а, которая
не используется в Р как собственная. Заменим тогда а на кон-
станту 0. Мы получим вывод секвенции -> (в силу аналога
леммы 2.10 для системы РА), имеющий тот же ординал.
Шаг 1 повторяется до тех пор, пока в заключительной части
не останется свободных переменных, не используемых в ка-
честве собственных.
Шаг 2. Допустим, что заключительная часть вывода Р со-
держит применения правила индукции. Пусть / — самое ниж-
нее такое применение. Предположим, что / имеет следующий
вид:
?о(а) {f(o), Г Л A, F (а')
1	F(0), Г-у* A, F(s)
где Л) (а) — подвывод, оканчивающийся секвенцией F (а), Г->Д,
F (а'), и пусть Ink — высоты верхней секвенции (обозначим ее
через Д') и нижней секвенции (обозначим ее через <S0) примене-
ния / соответственно. Тогда
° ($о) = ®/-A+i (Hi + 1)>
где ц = o(S) = с/1 + coU2+ ... +®и,г и	...
Так как ниже I нет вхождений свободных переменных, то
терм s замкнут, и поэтому существует натуральное число in,
такое, что секвенция ->s = m имеет в РА вывод, не содержа-
щий применений правила индукции и существенных сечений
(в силу леммы 9.6); следовательно, для секвенции F(m)->F(s)
найдется некоторый вывод Q, также не содержащий применений
правила индукции и существенных сечений (согласно лемме 9.6).
Пусть Р0(п)— вывод, полученный из Ро заменой в нем всюду а
$ 12. Доказательство непротиворечивости системы РА
117
на п. Рассмотрим следующий вывод Р':
Ро(О)	Р0(Т)
-JZ	\=/	Ро(2)
St F (0), Г-» A, F (О') F (О'), Г-> A, F (О")	\=/
S2	F (0), Г -> A, F (0")	F (О"), Г- > A, F (O'")
S3	F(0), Г—>A, F (O'")
Q.
Sm F (0), Г->А, F(m) F(m)^F(s)
So	F(0), Г—>A, F (s)
где Si, S2, ... ,Sm, So обозначают секвенции, расположенные справа
от них, и все секвенции Sb ..., Sm имеют высоту I, так как
все формулы вида F (п), п = 0, пг, имеют одинаковую сте-
пень. Следовательно,
о (F (я), Г —> A, F («'); Р') = ц для п — 0, 1, ..., т — 1.
Поскольку вывод Q не содержит существенных сечений и при-
менений правила индукции, то о (F (m) —> F (s); Р') = q < и,
о (S2) = ц ф ц; о (S3) =	ц;	• • •, и вообще, если положить
ц*/г = ц=|фнф ... фц (п раз), то о (Sn) = ц * п для п=\,
2, .... т. Таким образом,
о (So) = (ц * т + q)
и ц * т + q < (о^ +1, так как q < и. Следовательно,
о (So; Р') = и;_й (ц * т + q) < coz_ft+i (Ц1 + 1) = о (So; Р).
Таким образом, о (So; Р') < o(S0, Р), и поэтому в силу леммы 12.7
о (Р') < о (Р).
Итак, если вывод Р содержит применение правила индукции
в своей заключительной части, мы редуцируем Р к некоторому
выводу Р' секвенции , для которого о(Р')<о(Р). В про-
тивном случае, т. е. если вывод Р не содержит применений
правила индукции в своей заключительной части, мы перехо-
дим к шагу 3.
Шаг 3. Допустим, что заключительная часть вывода Р со-
держит логическую начальную секвенцию D->D. Поскольку
заключительная секвенция пуста, обе эти формулы D (или,
более точно, их потомки) должны исчезнуть в результате при-
менений правила сечения. Предположим, что некоторый потомок
формулы D, входящей в антецедент, становится высекаемой
формулой раньше, чем потомок формулы D, входящей в сукцедент
118
Гл. 2. Арифметика Пеано
{т. е. в следующей фигуре потомок формулы D из сукцедента
секвенции D—>0 входит в Е). Вывод Р имеет вид
D—> D
Г^А, D D, П^Е
S Г, 11->А, Е
Редуцируем его к следующему выводу Р':
_________гХд, Д________
ослабления и перестановки
S	Г, П—>А, Е
Тогда о (S, P')<o(S; Р). (Этого и следовало ожидать, по-
скольку ординал вывода является мерой его сложности, и под-
вывод секвенции S в Р', очевидно, проще, чем подвывод сек-
венции S в Р. Однако доказывается это нетривиально,
поскольку высоты секвенции Г—>А, D и секвенций, расположен-
ных выше нее, могут уменьшиться, если степень формулы D
больше, чем h(S; Р). Доказательство опирается на неравен-
ство	*13 для а, р 0.) Следовательно, в силу
леммы 12.2 о(Р')<о(Р).
Случай, когда какой-нибудь потомок формулы D, входящей
в сукцедент, оказывается высекаемой формулой раньше, чем
потомок формулы D, входящей в антецедент, рассматривается
аналогично.
Итак, ефпи заключительная часть вывода Р содержит логи-
ческую начальную секвенцию, мы получаем искомый вывод Р'.
В противном случае, т. е. если заключительная часть вывода Р
не содержит логических начальных секвенций, переходим
к шагу 4.
Шаг 4. Предположим, что заключительная часть вывода Р
содержит некоторые ослабления. Тогда мы определим „устра-
нение ослаблений". Нам удобно определить это „устранение
ослаблений" для выводов, которые удовлетворяют заключениям
шагов 1—3 (т. е. их заключительные части не содержат ни-
каких свободных переменных, кроме собственных, и не содер-
жат применений правила индукции и логических начальных
секвенций), но заключительная секвенция которых может быть
непустой. Пусть Р — такой вывод. Определим другой такой
вывод Р*, удовлетворяющий, кроме того, следующим условиям:
£ 12. Доказательство непротиворечивости системы РА	119'
его заключительная часть не содержит ослаблений, его заклю-
чительная секвенция получается из заключительной секвенции
вывода Р удалением из нее некоторых формул (включая слу-
чай, когда ни одна формула не удаляется) и о (Р*) <о (Р).
В частности, если Р — вывод секвенции , то и Р*—вывод
секвенции —> .
Вывод Р‘ получается устранением в заключительной части
вывода Р всех ослаблений. Определение Р* проводится индук-
цией по числу применений правил вывода в заключительной
части вывода Р.
(1)	Если заключительная часть вывода Р не содержит ослаб-
лений, то Р* совпадает с Р.
Предположим, что заключительная часть Р содержит осла-
бления. Пусть I есть применение правила вывода, завершаю-
щее вывод Р. Вывод Р* определим в зависимости от того,
каким является это применение.
Ниже мы пользуемся следующими обозначениями. Через
Г*, А* и т. д. будем обозначать последовательности формул,
получаемые соответственно из Г, А и т. д. удалением из них
некоторых формул (возможно, ни одна формула не удаляется).
(2)	I есть ослабление слева,
Пусть Р'— подвывод вывода Р, оканчивающийся верхней сек-
венцией применения I. По предположению индукции вывод Р'*
уже определен. Тогда в качестве Р* возьмем Р'*.
Если I есть ослабление справа, то Р* определяется анало-
гично.
(3)	I есть сечение. Пусть Р имеет вид
{гХа, D	П^Л
Г, А, Л.
По предположению индукции Р* и PJ уже определены.
(3.1)	Заключительная секвенция вывода Р\ имеет вид Г*-» А*.
Тогда Р* есть Р*.
(3.2)	Если случай (3.1) не имеет места и заключительная
секвенция вывода Рг имеет вид П*—>Л*, то Р* есть Pi).
(3.3)	Если заключительная секвенция вывода Р* имеет вид
Г*->А*, D, а заключительная секвенция вывода Р%
имеет вид D, П*—>Л*, то в качестве Р* возьмем
р’{г’Хл*, D Мо,
Г*, 11*->Л’, л*.
120
Гл. 2. Арифметика Пеано
(4)	I есть сокращение слева, т. е. Р имеет вид
Ро {о, D, Г->А
D, Г->А.
По предположению индукции вывод Р* уже определен.
(4.1)	Заключительная секвенция вывода Р* имеет вид D,
Г*—>А* или Г*-*А*. Тогда Р* есть Р*.
(4.2)	Заключительная секвенция вывода Р* имеет вид D, D,
Г*—>А*. Тогда вывод Р* определяется как
Ро{р>, D, гХл*
D, Г*->А*.
Если I — сокращение справа, то действуем аналогично.
(5)	I есть перестановка слева. Пусть Р имеет вид
Р°{г1; С, D, Г2Ха
Гь D, С, Г2->А.
По предположению индукции вывод Р* уже определен.
(5.1)	Заключительная секвенция вывода Р’ имеет вид Г*,
Г*—>А*, или г;, С, r;-+A*, или г;, D, Г2*->А*. Опре-
делим тогда Р* как Р*.
(5.2)	Заключительная секвенция вывода Р* имеет вид Г,,
С, D, Г’—>А*. Вывод Р* определяется как
ро{г;, с, d, г; Ха*
Т*, d, с, г;->а*.
Аналогично действуем в случае, когда I есть перестановка
справа.
Определение вывода Р* закончено. Легко видеть, что о(Р*)^
<о(Р). Поэтому далее (возвращаясь к случаю, когда Р есть
вывод секвенции —») мы будем предполагать, что заключитель-
ная часть вывода Р не содержит ослаблений (после замены Р
на Р*).
Шаг 5. Мы можем теперь предположить, что вывод Р не
совпадает со своей заключительной частью, поскольку в про-
тивном случае он был бы, как легко видеть, простым (см. оп-
ределение 12.2), а следовательно, по лемме 12.3 не мог бы
оканчиваться секвенцией
<$ 12. Доказательство непротиворечивости системы РА
121
В этих предположениях мы докажем, что заключительная
часть вывода Р содержит некоторое подходящее сечение (см.
определение 9.7). На самом деле мы докажем следующий бо-
лее сильный результат, который в дальнейшем нам понадо-
бится еще раз (для задачи 12.11):
Подлемма 12.9. Допустим, что вывод Р в системе РА удов-
летворяет следующим условиям:
(1)	Р не совпадает со своей заключительной частью.
(2)	Заключительная часть вывода Р не содержит применений
логических правил, правил индукции и ослабления.
(3)	Если какая-то начальная секвенция принадлежит заклю-
чительной части вывода Р, то она не содержит логиче-
ских символов.
Тогда заключительная часть вывода Р содержит некоторое под-
ходящее сечение.
(Заметим, что мы здесь не предполагаем, что вывод Р окан-
чивается секвенцией —>.)
Доказательство. Применяем индукцию по числу суще-
ственных сечений в заключительной части вывода Р. Заключи-
тельная часть вывода Р содержит хотя бы одно существенное
сечение, поскольку она не совпадает со всем выводом Р.
Возьмем самое нижнее из таких сечений и обозначим его
через 1. Если / — подходящее сечение, то подлемма доказана.
В противном случае пусть Р имеет вид
{rXд, d pAd, пХд
1	Г, П->Д, А
Так как сечение I не является подходящим, одна из двух вы-
секаемых формул в I не является потомком главной формулы
никакого граничного применения ни одного из правил вывода.
(i)	Подвывод ?! содержит некоторое граничное для Р при-
менение какого-либо правила вывода.
Допустим противное. Тогда формула D в секвенции Г —> A, D
является потомком формулы D в некоторой начальной секвен-
ции, входящей в заключительную часть вывода Р (в силу усло-
вия (2)). Но это в силу (3) противоречит предположению, что
сечение I является существенным.
(ii)	Если какое-то применение правила в выводе Р\ является
граничным для вывода Р, то оно является граничным и для
вывода Др
122
Г л. 2. Арифметика Пеано
Это легко вытекает из того факта, что / — самое нижнее
существенное сечение в выводе Р и формула D не является
потомком главной формулы никакого граничного применения
правила.
(iii)	Вывод Р) не совпадает со своей заключительной частью,
причем последняя представляет собой пересечение вывода Р{
с заключительной частью вывода Р.
Это утверждение непосредственно следует из (i), (ii) и (1).
По предположению индукции заключительная часть вы-
вода Р\ содержит некоторое подходящее сечение. Это сечение
является подходящим сечением вывода Р и расположено в его
заключительной части.
Вернемся к нашему выводу Р секвенции —удовлетворяю-
щему заключениям шагов 1 — 4. В качестве непосредственного
следствия подлеммы 12.9 получаем, что заключительная часть
вывода Р содержит некоторое подходящее сечение. Определим
теперь существенную редукцию вывода Р.
Возьмем какое-нибудь из самых нижних подходящих сече-
ний в заключительной части вывода Р и обозначим его через I.
Случай 1. Высекаемая формула сечения / имеет вид А/\В.
Допустим, что Р имеет вид
г'Хе', а г'Х©', в	а, п'Хл'
7|	Г'->0', АДВ 72 А Д В, П'->Л'
Г Л 0, А Д В	А Д В, П Л (/)
Г, П->0, Л
Y
<	Д^З (/г)
где [х = о(Г- >0, А Д В), v = o(AaB, II—> Л), Z = o(A—>8)
а А—>3 обозначает самую верхнюю секвенцию, которая распо-
ложена ниже I и высота которой меньше, чем высота верхних
секвенций применения I. Пусть I — высота каждой из верхних
секвенций применения I, a k — высота секвенции А—>8. Тогда
k < /. Заметим, что А—>8 может быть нижней секвенцией при-
менения I или заключительной секвенцией. Существование, такой
секвенции следует из предложения 12.5.
Секвенция А—>8 должна быть нижней секвенцией некото-
рого сечения J, так как ниже I нет применений правила индук-
$ /2 Доказательство непротиворечивости системы РА
123
ции. Рассмотрим следующие выводы:
Г'Хе', А
г ->д, 0'	.	.	.
А  0/ л- л в (ослабление справа)
Г А, 0, А Л В А л В, II
Г, П-> А, 0, Л

А _
ГтзГд (т)>
А, П'->Л'
П', Д->Л'
А Л В, П', А -> А'
Г ~>0, А Л В ДА В, П, А -> Л
Г, П, Д—>0, Л
(О
(ослабление слева)
(О
(где I и m обозначают высоты указанных секвенций, но не в Pt
или в Р2, а в выводе Р', который определяется ниже и со-
держит эти выводы в качестве подвыводов).
Определим теперь вывод Р':
Л1.-	Л2.-
, А-^»В, А (tri) А, А-->3 (ш)
/ --------------------------- (сечение)
А, Л—>3,3 (fe)
А^З
Итак, т — высота каждой из верхних секвенций сечения
Отметим, что высота нижней секвенции сечения Г равна k.
Очевидно, что т = k, если k больше степени формулы Д,
и что т равняется степени формулы А в противном случае.
В обоих случаях	Имеем
h (Г -> Д, 0, А Л В; Р') = h (Д Д В, П -> Л; Р') = /,
124
Гл. 2. Арифметика Пеано
поскольку все высекаемые формулы сечений, расположенных
в Р ниже I, входят в вывод Р' ниже Jb все высекаемые фор-
мулы сечений, расположенных в Р' ниже кроме формулы А,
входят в вывод Р ниже / и степень формулы А меньше сте-
пени формулы А Л В, которая в свою очередь не больше I.
Аналогично получаем
Л(Г—>0, А Д В; P') — h(A Л В, П, А->Л; Р') = 1.
Положим
Р[ = о (Г -> А, 0, А Л В; Р'), Vi = о (А Д В, П -> Л; Р'),
ц2 = о (Г -> 0, А Л В; Р'), v2 = о (А Д В, П, А —> Л; Р'),
Л1 = о(А->А, 8; Р'), Z2 = о (А, А —>3; Р'),
Z0 = o(A, А->8, 8; Р').
Тогда щ < ц, V] = V, ц2 = р и v2 = v.
Пусть теперь
s? s2 Ш
S' (fe2)
есть произвольный непосредственный вывод, расположенный
между сечением и секвенцией А—>А, S, и пусть
s1 s2
S
— соответствующий непосредственный вывод, расположенный
между I и А-»3. Положим
a' = o(S';P'), a' = o(S';P'), a' = o(S';P'),
a1 = o(SI;P), a2 = o(S2;P), a = o(S;P),
= h (S(; Р') = h (S'; P'), k2 = h (S'; P').
Тогда а = а14£: a2, если S' не совпадает с A—>A, 3, и a =
=	(a! * a2)> если S' совпадает c A —> A, 3. С другой стороны,
a' = coftl_fe2 (a^a,).
Опираясь на Pi < р и V! = v, индукцией по числу непосред-
ственных выводов между Д и S легко показываем, что
(1)	a'<®z_fo(a),
§ 12. Доказательство непротиворечивости системы РА
125
если S' не совпадает с А->А, Е. Положим Z —coz_fe(a). Тогда
из (1) следует, что Zz < coz_m(a). Аналогично Z2<oz_m(a). Сле-
довательно,
(Zz # Z2) < <s>i_k(a),
так как I — k = (l — m) + (m — k). Поэтому Zo < Z. Наконец, из
Zo < Z вытекает, что о (Р') < о (Р).
Случай 2. Высекаемая формула в / имеет вид VxF (х).
Тогда вывод Р имеет вид
Г'Х©', F (a)	F(s), П'Хд'
11 Г'->0', VxF (х)	12 VxF (х), П' -> А'
Г Хо, VxF(x)	VxF(x), пХд
Г, П->0, Л
дХе
Секвенция Л—>Е определяется так же, как и в случае 1.
Вывод Р' теперь определяется с помощью двух своих подвы-
водов Р{ и Р2:
Р1:	Г-»0', F(s) ‘
Г' -> F (s), 0'
r'->F (s), 0', VxF(x)
Г -» F (s), 0, VxF (х) VxF (х), П —> А
Г, n^>.F(s), 0, А
aXf(s), в
А->Е, F(s),
Р,:	\1/
F(s), 1Г-»Л'
П', F(s)->A'
VxF(x), П', F(s)-> А'
Г X 0, VxF (х) VxF (х), П, F (s)X Л
Г, II, F (s) ->0, А
A, F(s)-»B
F(s), АХВ.
126
Г л. 2 Арифметика Пеано
Вывод Р' определим следующим образом:
Р,	Р2
aXs, f(s) f(s), а->з
д, а—»з, а
А^Тн
Заметим, что о(Г'->0', F (s); Р') = о (Г'—>0', F (а); Р). Рас-
суждения с ординалами проводятся так же, как л в случае 1,
В остальных случаях доказательство проходит аналогично.
Итак, нами доказана лемма 12.8, а с нею и непротиворечи-
вость системы РА (теорема 12.1).
Замечание 12.10. Нам хотелось бы отметить следующее.
Часто говорят, что непротиворечивость системы РА доказы-
вается трансфинитной индукцией по ординалам выводов, как
будто мы использовали общий принцип трансфинитной индукции
для доказательства непротиворечивости математической индук-
ции. Однако такое мнение ошибочно. Дело в том, что в дока-
зательстве непротиворечивости используется достижимость орди-
нала е0, как объяснялось в § 11, а в остальных отношениях:
оно является строго финитным. Сформулируем это более точно.
Принцип трансфинитной индукции для некоторого (определи-
мого) вполне-упорядочения натуральных чисел можно выра-
зить (в формальных системах первого порядка) следующей:
схемой:
TI«, F (а)): Ух [У у (у < х => F (у)) F (x)J -> VxF (х)
для произвольных формул F (а) рассматриваемой системы.
Тогда венценовское доказательство непротиворечивости
системы РА может быть формализовано в системе примитивно
рекурсивной арифметики, пополненной аксиомой TI «, F (а)),
где — стандартное вполне-упорядочение по типу е0 и F (а) —
некоторая бескванторная формула.
Задача 12.11. Описанный в доказательстве леммы 12.8:
редукционный процесс мы можем распространить на следующую
ситуацию.
Будем говорить, что секвенция S (языка L) обладает свой-
ством если
(1)	все секвенциальные формулы в S замкнуты;
(2)	каждая секвенциальная формула в сукцеденте S либо
является бескванторной, либо имеет вид 3у\ ... 3ymR (ylt ym),
где R(y\, ym) — некоторая бескванторная формула;
<J 12. Доказательство непротиворечивости системы РА
127
(3)	каждая секвенциальная формула в антецеденте S либо
является бескванторной, либо имеет вид ... VymR(yi, ..., ym),
где R(yi, .... ym) — некоторая бескванторная формула.
Показать, что если какая-то секвенция, удовлетворяющая
условию ZP, выводима в РА, то она имеет в РА вывод без
сечений и применений правила индукции.
[Указание. Можно считать, что в заключительной части
вывода такой секвенции нет свободных переменных, которые
не использовались бы в качестве собственных.
Если заключительная часть этого вывода содержит явные
применения логических правил, то возьмем самое нижнее такое
применение и обозначим его через /. Без потери общности
можно считать, что вывод имеет следующий вид:
у Г *	^У2  • * '^UmR (^> Уъ • ’ • > Ут)
Г ->А, Зу, ... 3ymR(yh у2, ..., ут)
Го * Ад, 3^1 . . . 3ymR (/Zb • • •» Ут)> ^b
где Го—>А0, Вг/1 ... 3ymR (yi, ..., ут)> Aj — заключительная
секвенция вывода. Мы можем устранить применение /, заменив
этот вывод некоторым другим, заключительная секвенция кото-
рого имеет либо вид
Г0->А0, Вг/2	у2. Ут), дь
либо вид
Го —* ^0>	. 3ymR (//ь • . •, Ут)’ ^Ь ^У2 • • • ^ymR Уъ • • • Ут)’1
Задача 12.12. Интуиционистскую арифметику можно фор-
мализовать в виде подсистемы классической системы РА, опре-
деляемой условием, что в сукцеденте каждой секвенции должно
быть не более одной секвенциальной формулы, содержащей
кванторы. Эту систему мы обозначим через НА (арифметика
Рейтинга). Метод редукций, определенный для системы РА,
применим с небольшими изменениями и к системе НА: грубо
говоря, в случае существенной редукции, когда высекаемая
формула рассматриваемого подходящего сечения содержит
кванторы, ослабление справа применять не надо.
Описать точно редукционный процесс для системы НА и
тем самым доказать непротиворечивость этой системы непосред-
ственно (а не как подсистемы системы РА).
Задача 12.13. Пусть (*) — то свойство формул, о котором
говорится в условии теоремы 6.14, т. е. формула удовлетворяет
условию (*), если каждое вхождение в нее символа V или 3
128
Гл. 2. Арифметика Пеано
находится в области действия связки ~| или в левой области
действия связки еэ. Показать, что если всякая формула в Г
удовлетворяет условию (*) и все формулы в Г, а также фор-
мулы А, В и ЗхВ (%) замкнуты, то в системе НА (см. задачу 12.12)
(1) секвенция Г—>Д V В выводима тогда и только тогда,
когда выводима секвенция Г-> А или секвенция Г -» В;
(2) секвенция Г->ЭхГ(х) выводима тогда и только тогда,
когда для некоторого замкнутого терма s выводима секвенция
r->F(s).
{Указание (Скарпеллини). Применить трансфинитную индук-
цию по ординалу вывода секвенции Г —> А V В (для утвержде-
ния (1)) или секвенции Г -> Эх/7 (х) (для утверждения (2)), следуя
методу редукций для доказательства непротиворечигости си-
стемы РА. Начать с явных применений логических правил
в заключительной части этого вывода.]
Замечание 12.14. Генценовский метод редукций имеет сле-
дующее приложение.
Непротиворечивость ограниченной арифметики, в которой
индукционные формулы, содержат не более k кванторов, можно
доказать трансфинитной индукцией по ординалу
Доказательство проходит по следующей схеме. Допустим,
что в этой системе существует вывод секвенции Проведем
редукцию такого вывода.
(1)	Предполагаем, что индукционные формулы имеют пре-
дваренную нормальную форму.
(2)	Формулу А в некотором выводе (в рассматриваемой
системе) временно назовем свободной, если либо она не имеет
предков, являющихся индукционными формулами, либо у нее
имеются такие предки, но между каждым из них и самой
формулой А в некотором ее предке вводится логический сим-
вол. Сечение в выводе назовем свободным, если обе его высе-
каемые формулы свободны. Заметим, что если формула А не
свободна, то она находится в предваренной форме, содержащей
не более k кванторов. Теперь мы можем доказать следующую
теорему о частичном устранении сечений.
Если какая-то секвенция выводима в нашей системе, то она
имеет вывод без свободных сечений.
(Надо приспособить доказательство устранимости сечений
для системы LK-)
Таким образом, мы получили вывод секвенции —в котором
нет свободных сечений, и поэтому все высекаемые формулы,
а также все индукционные формулы находятся в предваренной
форме, содержащей не более k кванторов. Считаем, что /г^1.
(3)	Далее мы предположим, что правила вывода видоизме-
нены таким образом, что все формулы в выводе находятся
§ 12. Доказательство непротиворечивости системы РА
129
в предваренной форме, содержащей не более k кванторов.
Обозначим эту систему через PAfe.
Нам надо слегка изменить определения некоторых понятий.
Степень формулы А определяется теперь как число кванторов
в А минус 1; степень сечения или применения правила индук-
ции — это степень высекаемой формулы или индукционной
формулы соответственно. Высота секвенции в выводе опреде-
ляется так же, как и раньше, но с учетом нового определения
степени. Ординалы ставятся в соответствие выводам так же, как
и раньше, за тем исключением, что начальным секвенциям
теперь приписывается ординал 0, а применения пропозицио-
нальных правил и бескванторные сечения рассматриваются
таким же образом, как и применения слабых правил, т. е. они
не меняют ординала секвенции. (В случае двух верхних секвен-
ций берем максимум ординалов этих секвенций.) Легко видеть,
что ординал вывода (рассматриваемого вида) меньше, чем <£>*(/)
для некоторого натурального числа I.
Граничное применение правила определяется как применение
кванторного правила, являющееся граничным в старом смысле.
Подходящее сечение — это сечение, высекаемая формула
которого содержит кванторы и которое является подходящим
в старом смысле. При устранении начальных секвенций из
заключительной части вывода устраняют только те из них,
которые содержат кванторы. Существование подходящих сече-
ний (при определенных условиях) можно доказать в точности
так же, как и раньше.
(4)	В случае существенной редукции, если степень подходя-
щего сечения > 0, то мы действуем, как раньше (шаг 5 в дока-
зательстве леммы 12.8). Если же степень равняется 0, то высе-
каемая формула имеет вид Vx/7 (х) или Эх/7 (х), где F — бес-
кванторная формула. В качестве примера разберем первый
случай. Пусть F ($) — боковая формула граничного применения
некоторого правила, являющаяся предком высекаемой фор-
мулы VxF (х). Терм s замкнут, и потому либо —>F(s), либо
F(s)-> есть математическая начальная секвенция (с ордина-
лом 0). Допустим, что —> F (s)— математическая начальная
секвенция. Рассмотрим вывод
->F(s)	F(s), П'Х-Д'
П' -> А'
VxF (х) II' -> Л'
Г X 0, VxF (х) VxF (х), IIX Л
Г, IIЛ
5 Г. Такеути
130
Гл. 2. Арифметика Пеано
(взяв секвенцию Г, II—» 0, Л в качестве секвенции А-> 2, ука-
занной на шаге 5 в доказательстве леммы 12.8). Легко видеть,
что в результате этой редукции ординал снова уменьшается.
Замечание 12.15. Мы вводим здесь обобщения понятия при-
митивно рекурсивной функции. Пусть <• есть некоторое при-
митивно рекурсивное вполне-упорядочение натуральных чисел.
Класс <.-примитивно рекурсивных функций определяется как
класс функций f, порождаемых следующими схемами:
(i)	f (а) = а+ 1;
(ii)	f (ab ..., a„) = 0;
(iii)	f(alt ..., an) = ai (l<z<n);
(iv)	f (ab ..., a„) = g (Aj (ab ..., an), ..., hm(ab .... a„)),
где функции g и h,	являются примитивно
рекурсивными;
(v)	f (0, a2, .... an) = g(a2.an),
f (a + 1, a2, ..an) — h(a, f (a, a2, an), a2, an),
где функции g и h <--примитивно рекурсивны,
(vi)	(определение с помощью <-рекурсии)
f («ь
h (f (т (ab ..., ап), а2, ап), аь .... а„),
если т (аь ..., а„)<-аь
g (аь ..., ап) в противном случае,
где функции g, h и т являются <--примитивно рекур-
сивными.
Смысл пункта (vi) заключается в том, что значение
f (а, а2, ..., ап) определяется либо непосредственно, либо через
f (b, а2, ..., ап) для некоторого b <• а.
Доказательство непротиворечивости системы РА/,, которое
было только что приведено, имеет следующее приложение.
Следствие 12.16. Пусть R— некоторый примитивно рекурсив-
ный предикат, и пусть секвенция —> 3xR (а, х) имеет в РА/, вывод
с ординалом < <»>г (/) для некоторых k и I (в смысле определе-
ния 12.6). Тогда теоретико-числовая функция f, определяемая так:
f (m) — наименьшее п, такое, что R (in, п),
является <.-примитивно рекурсивной, где < есть упорядоченный
по типу <о*(/) начальный отрезок стандартного вполне-упорядо-
чения по типу е0.
Д ок а з а т е л ь с т в о. Разобьем доказательство на несколько
шагов.
(!) Пусть Р (а) — некоторый вывод в системе PAfe секвен-
ции -> 3xR (а, х) (где все вхождения переменной а отмечены).
Тогда для любого m Р (пг) есть вывод в PAft секвенции
§ 12. Доказательство непротиворечивости системы РА
131
—>3xR(m, х), имеющий тот же ординал, что и Р(а), и гёделев
номер этого вывода вычисляется примитивно рекурсивно по т.
Заметим также, что секвенция —>3xR(tn, х) обладает свой-
ством & из задачи 12.11.
(ii)	Назовем (временно) вывод редуцируемым, если он явля-
ется выводом в системе РА* с ординалом <«>*(/), содержит
существенное сечение или применение правила индукции и окан-
чивается секвенцией, обладающей свойством 5s. Если вывод Р
редуцируем, то применив к нему несколько раз редукционную
процедуру, описанную в доказательстве леммы 12.8 (и моди-
фицированную для системы РА* согласно замечанию 12.14),
мы получим некоторый вывод в РА* той же секвенции, не
содержащий существенных сечений и применений правила ин-
дукции. Пусть г — такая функция, что если р — гёделев номер
некоторого редуцируемого вывода, то г(р) — гёделев номер вы-
вода, полученного из данного однократным применением этой
редукционной процедуры; в противном случае г(р) = р. Ясно,
что функция г примитивно рекурсивна.
Пусть О — функция, такая, что если р — гёделев номер не-
которого вывода в РА* с ординалом < ®*(/), то О (р) — гёделев
номер ординала этого вывода (и, например, О(р) = 0 в про-
тивном случае). Ясно, что функция О примитивно рекурсивна.
Заметим также, что для всех р
О (г (р)) < О (р) <=> р — гёделев номер
некоторого редуцируемого вывода.
(iii)	Теперь, если дан вывод Р секвенции —>3xR(m, х),
не содержащий существенных сечений и применений правила
индукции, мы можем эффективно найти по Р натуральное
число п, такое, что выполняется R (т, п) (на самом деле наи-
меньшее такое п). Это делается следующим образом.
Во-первых, мы можем предположить, что вывод Р не со-
держит свободных переменных. Поэтому, если Г—>А — некоторая
секвенция в Р, то всякая формула в Г является замкнутой
атомарной формулой, а всякая формула в А либо имеет вид
3xR(fn, х), либо тоже является замкнутой атомарной формулой.
Рассмотрим теперь следующее свойство С? секвенций: всякая
атомарная формула в антецеденте истинна, а всякая атомар-
ная формула в сукцеденте ложна.
Заметим, что заключительная секвенция вывода Р удов-
летворяет условию £? и что если нижняя секвенция некоторого
сечения в Р удовлетворяет условию б?, то ему удовлетворяет
хотя бы одна из верхних секвенций этого сечения (поскольку
высекаемая формула является замкнутой и атомарной). Теперь
начинаем строить нить секвенций в Р, удовлетворяющих усло-
вию Q, двигаясь снизу вверх: заключительная секвенция вывода .
5*
132
Г л. 2. Арифметика Пеано
Р принадлежит этой нити и, если нижняя секвенция какого-то
применения правила принадлежит этой нити, то возьмем ту из
верхних секвенций, которая обладает свойством <2- Поскольку
никакая из начальных секвенций в Р не обладает свойством Q,
эта процедура должна закончиться раньше, чем мы достигнем
какой-нибудь начальной секвенции. Это может произойти только
в следующем случае:
Г —» A, P(m, k)
Г —> A, 3xR(m, х),
где R (т, k) истинно. Наконец, берем наименьшее n^.k, для
которого выполняется R (т, п). Ясно, что существует примитивно
рекурсивная функция h, такая, что если Р — вывод секвенции
->3х7?(т, х), не содержащий существенных сечений и приме-
нений правила индукции, то /г(гР'1) равняется найденному таким
образом числу п.
(iv)	Теперь мы можем определить Опримитивно рекурсив-
ную функцию g, такую, что если Р — вывод секвенции
->3xR (т, х) в системе РА^ и ординал этого вывода < rofc (/),
то g(,rP~*) равняется наименьшему такому п, что выполняется
R(m, п):
Г g(r (р)), если О (г (р)) < О (р),
8 Р ( h(p) в противном случае.
Легко видеть, что функция g является <-примитивно ре-
курсивной.
(v)	Наконец, пусть Р (а) — вывод в PAfe секвенции —>3xR (х, а)
и ординал этого вывода <«ife(Z). Тогда функцию f определяем
так:
f(m)==g(rP(m)’1).
Как частный случай следствия 12.16 мы получаем такое
утверждение: если секвенция -»3%P(x, а) выводима в системе
с правилом индукции, в котором индукционные формулы со-
держат не более одного квантора, то функция f (определенная
выше) является примитивно рекурсивной (в силу теоремы
Р. Петер, согласно которой «/-примитивная рекурсивность вле-
чет примитивную рекурсивность для любого конечного /).
§ 13. Доказуемые вполне-упорядочения
Отношение порядка, задаваемое стандартным упорядочением
по типу е0 мы будем обозначать в этом параграфе через <
для того, чтобы отличать его от обычного порядка на нату-
ральных числах.
§ 13. Доказуемые вполне-упорядочения
133
Под частичной функцией мы понимаем теоретико-числовую
•функцию, которая определена, возможно, не для всех значений
аргументов.
Определение 13.1. (1) Класс частично рекурсивных функций —
это класс частичных функций, задаваемых схемами (i) — (vi)
для примитивно рекурсивных функций (см. определение 10.2),
а также следующей схемой:
(vii) f (хь . .., xn)~py[g (xi, . .., x„, y) = 0], где g — частично
рекурсивная функция; выражение, стоящее справа от
обозначает наименьшее у, такое, что для любого z < у
значение g(X\, ...,xn,z) определено и отлично от 0,
a g (xi, ..., хп, у) — 0, если такое у существует, и не
определено в противном случае; символ ~ означает,
что стоящее слева выражение определено тогда и только
тогда, когда определено выражение слева, и в этом
случае значения этих выражений равны.
(2)	Общерекурсивной или рекурсивной функцией называется
частично рекурсивная функция, являющаяся всюду определенной.
(3)	Отношение R на натуральных числах называется рекур-
сивным, если существует рекурсивная функция f, принимающая
только значения 0 и 1, такая, что /?(хь ...,хп) выполняется
тогда и только тогда, когда f (хь ..., хп) — 0.
(4)	SJ-формулы языка L — это формулы вида
3^(f(xb	х„, y) = G),
где f — символ для некоторой примитивно рекурсивной функ-
ции f. Симметрично Прформулы имеют вид Vy (f (хь . .., хп, у) —
= 0), где f — примитивно рекурсивная функция.
Можно показать, что всякое рекурсивное отношение R пред-
ставимо в РА некоторой Х°-формулой, т. е. существует ^-фор-
мула R(xi, ..., х„) языка L, такая, что для всех mt, ...,mn
выполняется R (mt, . .., т„)ов РА выводимо R (nit,. .. ,mn).
Всякое рекурсивное отношение представимо в РА также не-
которой П^-формулой.
Определение 13.2. Пусть е — новая одноместная преди-
катная константа. Через L (е) обозначим язык, получаемый из
языка L (см. § 12) добавлением к нему константы е; таким
образом, для всякого терма t выражение е(1) является ато-
марной формулой языка L (е).
Через РА (е) обозначим систему РА в языке L (е); более
точно, мы расширяем систему РА, добавляя к ней сек-
134
Г л. 2. Арифметика Пеано
венции s = t, e(sj->e(Z) для любых термов s, / в качестве ма-
тематических начальных секвенций и распространяя правиле
индукции на все формулы языка L (е).
Определение 13.3. Пусть <• — некоторое рекурсивное (беско-
нечное) линейное упорядочение натуральных чисел, являющееся
в действительности вполне-упорядочением. (Без потери общности
мы можем считать, что областью определения отношения <
является множество всех натуральных чисел и что наименьшим
элементом в смысле порядка <• является 0.) Тот же символ <•
мы будем использовать для обозначения ^-формулы, представ-
ляющей в РА упорядочение <•.
Рассмотрим секвенцию
TI(<):	Vx(Vy<x(e(y):z>e(x)))->e(a)
(ср. с формулой 77 «, Т7 (а)) в замечании 12.10). Если секвен-
ция 77 (<•) выводима в системе РА (е), то мы будем говорить,
что <• есть доказуемое вполне-упорядочение относительно РА.
Настоящий параграф посвящен доказательству следующей
теоремы.
Теорема 13.4 (Генцен). Если <• — доказуемое вполне-упоря-
дочение относительно РА, то существует рекурсивная функция,
переводящая отношение <• в отношение <( и являющаяся отоб-
ражением в некоторый начальный отрезок ординала е0. То есть
найдется рекурсивная функция f, такая, что а<-Ь тогда и только
тогда, когда f (a)	(b), и существует некоторый ординал ц ( < е0),
такой, что для всякого a f(a) (где р, — гёделев номер орди-
нала р).
Эта теорема получается на основе анализа и арифметиза-
ции генценовского доказательства того факта, что указанное
в начале этого параграфа отношение -< не является доказу-
емым вполне-упорядочением.
Пусть теперь <— некоторое фиксированное доказуемое
вполне-упорядочение относительно РА.
13.1)	Сначала мы определим понятие Л S-вывода, где TJ
обозначает „трансфинитная индукция". Т S-выводы определяются
аналогично РА (е)-выводам с некоторыми изменениями:
(1)	Начальными секвенциями TJ-выводов являются все на-
чальные секвенции системы РА (е) и следующие секвенции,,
называемые S-начальными:
Vx(x<-t => е, (х)) -> е (/)
для всевозможных термов t.
§ 13. Доказуемые вполне-упорядочения
135
(2)	Заключительные секвенции TJ-выводов должны иметь вид
где т]( тп — некоторые нумералы.
Пусть |т|,-—тот ординал, который обозначен числом т
-относительно <•, т. е. порядковый тип начального отрезка
упорядочения <•, задаваемого числом т. Тогда минимум из
ординалов | Ш] !<... I mn |<. называется заключительным чис-
лом. TJ-вывода.
13.2)	Поскольку <• есть доказуемое вполне-упорядочение
относительно РА, секвенция Т/(<-) (см. определение 13.3) вы-
водима в РА (е), и поэтому в системе, полученной из РА (е)
добавлением TJ-начальных секвенций, существует некоторый
вывод Р (а) секвенции --> е (а) (для некоторой свободной пере-
менной а). Заметим, что для всякого натурального m Р (tn)
является TJ-выводом секвенции —>е(т).
13.3)	TJ-вывод называется некритическим, если к нему при-
меним один из редукционных шагов, определенных для си-
стемы РА (в доказательстве леммы 12.8) и уменьшающих ор-
динал вывода (т. е. 2, 3 или 5). В противном случае TJ-вывод
называется критическим.
13.4)	Мы поставим в соответствие TJ-выводам некоторые
ординалы (меньшие, чем е0) и определим редукцию для TJ-
выводов, следуя редукционному методу для РА, который был
приведен в доказательстве леммы 12.8: если TJ-вывод яв-
ляется критическим, то необходимо произвести еще некоторые
действия. Редукция определяется таким образом, что TJ-вы-
вод Р, заключительное число которого > 0, редуцируется
в другой вывод с тем же заключительным числом, если вы-
вод Р некритический, и с произвольным заключительным чис-
лом, меньшим первоначального, если вывод Р критический.
Одновременно уменьшается ординал вывода.
13.5)	Если мы сумеем поставить в соответствие выводам
ординалы и определить редукционный метод так, чтобы вы-
полнялись условия, о которых говорится в 13.4), то мы смо-
жем доказать следующее.
Лемма 13.5 (основная лемма). Заключительное число лю-
бого ТJ-вывода не больше его ординала.
Доказательство. Применяем трансфинитную индук
цию по ординалу вывода. Пусть Р — некоторый TJ-вывод
с ординалом ц и заключительным числом о. Допустим в ка-
честве предположения индукции, что лемма верна для всех
TJ-выводов, у которых ординал меньше, чем ц, и покажем,
что о^р. Если Р — некритический вывод, то он редуцируется
136
Гл. 2. Арифметика Пеано
в некоторый TJ-вывод Р' с тем же заключительным числом о
и с ординалом v < щ По предположению индукции
и поэтому а р.. Предположим теперь, что Р — критический
вывод. Если бы ст было больше, чем ц, то мы смогли бы ре-
дуцировать Р в некоторый TJ-вывод, заключительное число
которого было бы равно ц и ординал которого был бы меньше,
чем р, что противоречит индуктивному предположению.
Перейдем теперь к описанию редукционного метода для
TJ-выводов.
13.6)	Ординалы ставятся в соответствие секвенциям TJ-
выводов так же, как в § 12; ординал TJ-начальной секвенции
равен 7, т. е. ы° + • • • + ®° (7 раз). Для удобства формулу
в сукцеденте TJ-начальной секвенции будем рассматривать
как главную формулу.
13.7)	Мы можем следовать редукционному процессу, опре-
деленному для доказательства непротиворечивости РА, вплоть
до шага 4 (в доказательстве леммы 12.8), т. е. до тех пор,
пока не получим некоторый TJ-вывод Р, удовлетворяющий
следующим условиям:
pl. Заключительная часть вывода Р не содержит свобод-
ных переменных.
р2. Заключительная часть вывода Р не содержит приме-
нений правила индукции.
рЗ. Заключительная часть вывода Р не содержит логиче-
ских начальных секвенций.
р4. Если заключительная часть вывода Р содержит неко-
торое ослабление /, то все применения правил, рас-
положенные в Р ниже /, также являются ослаблениями.
Замечание. Поскольку заключительная часть всякого TJ-вы-
Вода непуст^, заключительная секвенция S' вывода, получае-
мого из Р удалением ослаблений из его заключительной части
(на шаге 4), может отличаться от заключительной секвенции
Вывода Р. В этом случае мы добавляем несколько ослаблений
ниже S' с тем, чтобы заключительная секвенция стала та-
кой же, как и заключительная секвенция вывода Р.
13.8)	Мы можем легко показать следующее. Пусть Р — не-
который TJ-вывод, удовлетворяющий условиям pl—р4. Тогда Р
содержит хотя бы одно применение логического правила (ко-
торое должно быть неявным) или хотя бы одну TJ-начальную
секвенцию. Следовательно, заключительная часть вывода Р
содержит некоторую главную формулу либо на границе, либо
в какой-то TJ-начальной секвенции.
13.9)	Пусть Р — некоторый TJ-вывод, удовлетворяющий
условиям pl— р4. Тогда в силу 13.8) его заключительная часть.
§ 13. Доказуемые вполне-упорядочения
137
содержит некоторую главную формулу либо на границе, либо
в какой-то TJ -начальной секвенции. Формулу А в заключи-
тельной части вывода Р мы назовем главным потомком или
главным 1Л-потомком в зависимости от того, является А по-
томком главной формулы некоторого граничного применения
правила или потомком главной формулы некоторой TJ-на-
чальной секвенции в заключительной части Р.
Заметим, что главный TJ-потомок в заключительной части
вывода Р всегда входит в сукцедент соответствующей секвен-
ции и имеет вид е(0.
13.10)	Пусть Р — некоторый TJ-вывод, удовлетворяющий
условиям pl—р4, a S — секвенция в его заключительной части.
Если S содержит некоторую неатомарную формулу В, то най-
дется формула А, входящая в секвенцию 5 или в некоторую
секвенцию, расположенную выше 5, такая, что А является
.главным потомком или главным TJ-потомком.
Доказательство. Допустим, что секвенция S содер-
жит некоторую неатомарную формулу. Тогда S расположена
выше самого верхнего ослабления в заключительной части.
Свойство секвенций содержать некоторую неатомарную фор-
мулу сохраняется при переходе от нижней секвенции к одной
из верхних в каждом применении правила в заключительной
части (кроме, быть может, граничного применения). Поэтому,
двигаясь таким образом от секвенции S вверх, мы достигнем
границы или некоторой TJ-начальной секвенции и получим
нужную главную формулу. Заметим, что В не обязательно
совпадает с А, так как В может быть потомком некоторой
формулы, которая „пассивна11 в граничном применении пра-
вила.
13.11)	Пусть Р — некоторый TJ-вывод, удовлетворяющий
условиям pl—р4 и не содержащий подходящих сечений. Тогда
в его заключительную часть входит некоторый главный TJ-
потомок.
Доказательство. Поскольку заключительная секвен-
ция вывода Р не содержит логических символов, достаточно
показать, что в эту секвенцию входит некоторый главный по-
томок или главный TJ-потомок. Допустим, что это не так.
Согласно 13.8), в заключительную часть вывода Р входит не-
которая формула, являющаяся главным потомком или глав-
ным TJ-потомком. Рассмотрим следующее свойство & сечений
в заключительной части вывода Р: сечение, расположенное
в заключительной части вывода Р, обладает свойством
если по крайней мере одна из его верхних секвенций содер-
жит такую формулу, а нижняя секвенция — не содержит. Так
138
Г л. 2. Арифметика Пеано
как заключительная часть такую формулу содержит, а заклю-
чительная секвенция — нет (по допущению), то должно суще-
ствовать сечение, обладающее свойством 3*. Пусть I — самое
верхнее сечение со свойством 3>, расположенное в заключи-
тельной части вывода Р,
Г->Л, D D, П->Л
7 Г, П->Д, Л.
Через S, и S2 обозначим соответственно левую и правую
верхние секвенции сечения /. По нашему допущению одна из
высекаемых формул является главным потомком или главным
TJ-потомком. Допустим сначала, что этим свойством обла-
дает формула D в S,. Если формула D неатомарная, то она
является главным потомком. Тогда S2 также содержит неко-
торую неатомарную формулу (а именно D). Следовательно,,
в силу 13.10) в секвенции S2 или выше нее найдется фор-
мула А, являющаяся главным потомком или главным TJ-no-
томком. Если в S2 такой формулы нет, то тогда выше / дол-
жно быть некоторое сечение, обладающее свойством в про-
тиворечие с выбором I. Если же такая формула А находится
в S2, то она должна совпадать с D, что противоречит нашему
допущению о том, что вывод Р не содержит подходящих се-
чений. Таким образом, формула D должна иметь вид е(/).
Предположим теперь, что секвенция S2 содержит некото-
рый логический символ. Тогда либо в секвенции S2, либо
выше нее найдется некоторая формула, являющаяся главным
потомком или главным TJ-потомком. Если эта формула при-
надлежит S2, то она не совпадает с D (поскольку формула О
имеет вид е (/) и расположена в левой части секвенции, она
не может быть главным TJ-потомком) и потому должна также
входить в нижнюю секвенцию сечения I в противоречие с на-
шим допущением, что I обладает свойством 3. Это значит,,
что такая формула входит в некоторую секвенцию, располо-
женную выше S, но не входит в S, что противоречит нашему
допущению о том, что I — самое верхнее сечение, обладаю-
щее свойством 3. Таким образом, S2 не содержит формул
с логическими символами.
Так как I — самое верхнее сечение, обладающее свой-
ством 3, то над секвенцией S2 нет граничных применений ло-
гических правил и TJ-начальных секвенций, расположенных
в заключительной части. Следовательно, подвывод секвен-
ции S2 целиком содержится в заключительной части, в него-
не входит никакая логическая начальная секвенция или TJ-
начальная секвенция и секвенция 32 не содержит формул
вида е(/); поэтому и формула D не имеет вид е(/). Итак, мы
$ 13. Доказуемые вполне-упорядочения
139
доказали, что формула D в Si не может быть главным потом-
ком или главным TJ-потомком.
Теперь предположим, что формула D в S2 является глав-
ным потомком или TJ-потомком. Как мы уже. показали, эта
формула не может быть главным TJ-потомком: в D должен
входить некоторый логический символ. Следовательно, либо
в секвенции Sb либо в некоторой секвенции, расположенной
выше Si, найдется формула, являющаяся главным потомком
или главным TJ-потомком. Если в S, такой формулы нет, то
выше S] существует сечение, обладающее свойством 3, что
противоречит нашему допущению относительно I. Поэтому та-
кой формулой должна быть формула D в Sb поскольку ниж-
няя секвенция сечения / не может содержать такой формулы.
Но это опять противоречит нашему допущению, что вывод Р
не содержит подходящих сечений.
13.12)	Пусть теперь Р — некоторый критический TJ-вывод,
к которому уже применена вплоть до шага 4 редукция из
леммы 12.8. Тогда вывод Р обладает свойствами pl—р4 и не
содержит подходящих сечений (поскольку он критический).
Определим понятие критической редукции. В силу 13.11) в за-
ключительную секвенцию вывода Р входит некоторый главный
TJ-потомок, скажем е(/п,), т. е. потомок какой-то главной
формулы е(г) (где г — замкнутый терм, обозначающий число mi).
Пусть т— любое число, такое, что ординал |т|<. меньше за-
ключительного числа вывода Р. Тогда m<-r является истин-
ным Si-предложением системы РА, и потому секвен-
цию —>th<-r можно вывести в РА из некоторой математи-
ческой начальной секвенции (скажем, —> F) с помощью одного
применения правила 3-справа. Тогда заменим TJ-начальную
секвенцию
\/х (х <• г о е (х)) -> е (г)
в выводе Р обычным выводом в РА (е):
—>m<-r	e(m)—>е(т)
т < г => е (th) —> е (т)
Ух (х < г о е (х)) -» е (th)_
ух (х <• г до е (х)) -> е (т), е (г).
Ординал этого вывода равен 6 и меньше ординала соответст-
вующей TJ-начальной секвенции (который равен 7). С помощью
этой замены и некоторых очевидных изменений вывод Р преоб-
разуется в некоторый TJ-вывод Р', заключительная секвенция
которого имеет вид
->e(m), e(mi), в(тп),
140
Г л. 2. Арифметика Пеано
где —>e(m1), . ..,е(т„)— заключительная секвенция вывода Р,
и ординал которого меньше ординала вывода Р, а заключи-
тельное число равно | пг\<.. Мы будем говорить, что вывод Р'
получается из Р применением критической редукции по т.
Предположим теперь, что Р — произвольный TJ-вывод (не
обязательно критический) и ординал | т !<-. меньше заключитель-
ного числа вывода Р. Определим теперь, что понимается под.
выводом, получаемым из Р применением критической редукции
по т.
Если Р — критический вывод, то определение такое же, как
и выше. В противном случае проведем последовательность ре-
дукций (как в доказательстве леммы 12.8). При каждой редук-
ции ординал вывода уменьшается, и поэтому этот процесс дол-
жен закончиться через конечное число шагов на некотором кри-
тическом выводе, удовлетворяющем условиям pl—р4. Тогда
берем вывод, получающийся из этого указанным выше способом.
13.13)	Присоединяя к предыдущим редукциям редукцию,
описанную в 13.12), и применяя основную лемму 13.5, мы по-
лучаем теорему Генцена в ее первоначальной формулировке:
Теорема 13.6. Порядковый тип отношения < меньше, чем е0.
13.14)	Пусть Р (а) — некоторый вывод секвенции ->е(а), где
е(а) получено, как указано в 13.2). Для всякого натурального
числа k определим индукцией по k некоторый TJ-вывод Pk, за-
ключительное число которого равно | k !<.
(1)	Допустим, что Vn < k (n<-k). Тогда — это вывод Р (k),
получаемый из вывода Р(а) заменой в нем всюду переменной а.
нумералом k.
(2)	Допустим, что Зп < k (k<-n). Пусть
(**)	' п0 <• ... < nt_v (= k) < п1+1	nk
— упорядочение в смысле <• всех чисел k. Тогда Рк
определяется как вывод, получающийся из вывода Pnj+l
применением к нему критической редукции по k (см.
13.12)). Очевидно, что это определение рекурсивно.
13.15)	Определим теперь с помощью Pk отображение f, ко-
торое и будет искомым отображением теоремы 13.4. Значе-
ние f (k) определяется индукцией по k:
и f (/г) = f («/_])	для k > 0, где о(Р) — гёделев но-
мер ординала вывода Р, есть (примитивно рекурсивная функ-
ция, представляющая) сложение ординалов, оа— экспонента
(т. е. представляющая ее примитивно рекурсивная функция).
$ 13. Доказуемые вполне-упорядочения
141
с основанием со, а — натуральное число, имеющее тот же
смысл, что и в (**) (такое число всегда существует, если k > 0).
13.16)	Пусть т0 <-т1<- ... <• т, — упорядочение в смысле <•
натуральных чисел < i + 1. Тогда
f (ml+1) = f (т}) + co ° (Pmi+
где 0^ j < i. Это равенство доказывается индукцией по i. Для
/ = 0 оно тривиально. Допустим, что оно верно для/. Чтобы
доказать, что оно верно и дляг‘+1, достаточно показать, что
(1)	+ l) = f +
и
(2)	Hm^O^f^+D + co^S+i),
где числа т0, ..пц имеют указанный выше смысл и т7- <•/ +
-1-1 <• m1+i. Равенство (1) выполняется по определению функ-
ции f, а равенство (2) следует из (1), равенства f(m; + i) =
== f (mi) +	(Рт1+^ (верного по предположению индукции) и
из того, что о (Р<+1) о	(согласно определению P,+i).
1 Вторая часть теоремы 13.4 легко получается, если положить
ц =	+ 1. Теорема 13.4 доказана.
В заключение сформулируем другой результат Генцена, ко-
торый доказывается непосредственно.
Теорема 13.7. Пусть —стандартное вполне-упорядочение
по типу е0, ограниченное ординалом &п. Тогда — доказуе-
мое вполне-упорядочение относительно РА.
Г-предикат Клини (для функций одного аргумента) — это
। примитивно рекурсивное отношение Т, такое, что для произволь-
ной частично рекурсивной функции f (от одного аргумента)
существует натуральное число е, для которого
f (х) ~ U (руТ (е, х, у))
при всех х (U — некоторая фиксированная примитивно рекур-
сивная функция). Такое число е называется гёделевым номе-
ром функции f. Это определение можно распространить на
функции от нескольких аргументов.
Если е—гёделев номер некоторой частично рекурсивной
функции f одного аргумента, то, очевидно,
f (обще) рекурсивна тогда и только тогда, когда VxSyT (е, х, у).
142
Г л. 2. Арифметика Пеано
Далее, функция f называется доказуемо рекурсивной (в РА),
если она имеет гёделев номер е, такой, что в РА выводимо
УхЗуТ (ё, х, у). Определив гёделеву нумерацию рекурсивных
функций, мы можем теперь сформулировать следующую задачу,
которую по ее содержанию следовало бы поместить в § 12.
Задача 13.8. Пусть РА’ — система, получаемая из РА сле-
дующей модификацией. Язык системы РА’ — тот же, что и для
РА; начальные секвенции — те же, что и для РА; правилами вы-
вода являются все правила для РА, кроме правил сечения,
V-справа и индукции; в качестве нового правила добавляется опи-
сываемое ниже конструктивное о-правило:
Р, ...Р{ ...
Г->А, VxA(x)
О’ < «>),
где Pt — выводы, оканчивающиеся секвенциями Г-»А, А (г), и
существует рекурсивная функция f, такая, что f(i) — rP?.
Пусть е—гёделев номер функции f. Тогда выводу, оканчи-
вающемуся секвенцией Г->А, ухА(х), ставится в соответствие
номер
A, VxA(x)"1
Показать, что если секвенция 5 выводима в РА и не со-
держит свободных переменных, то она выводима и в РА*.
[Указание. Приспособить метод доказательства непротиворечи-
вости системы РА следующим образом. Пусть Р — некоторый
(регулярный) вывод в РА, ординал которого в смысле опреде-
ления 12.4 равен а. Тогда выводу Р следует приписать новый
ординал иа тТ т, где т — число свободных переменных в заклю-
чительной части вывода Р. Редукционный процесс, определен-
ный для доказательства непротиворечивости, проходит при этом
почти без изменений, за исключением того, что в случае,
когда Р содержит явные применения логических правил и са-
мым нижним таким применением является применение правила
V-справа, его следует заменить соответствующим применением
и-правил а в конце вывода.]
Задача 13.9. Пусть f — доказуемо рекурсивная функция
в РА. Тогда существует ординал ц (меньший, чем е0), такой,
что функция f является ^-примитивно рекурсивной, где —
стандартное упорядочение по типу е0, ограниченное ордина-
лом ц. [Указание. Пусть ^ — гёделев номер функции f, такой,
что в РА выводимо у/хЗуТ (ё, х, у). Тогда формула ЗуТ(ё, а, у)
имеет некоторый вывод Р (а) со свободной переменной а. Пусть
§ 14 Еще один вопрос
143
ц —ординал этого вывода, и пусть Рт обозначает Р (т) для
всякого натурального числа т. Методом, описанным в указа-
нии к задаче 13.8, вывод Рт может быть преобразован в неко-
торый не содержащий сечений вывод в системе РА* с той же
заключительной секвенцией. Легко показать, что получающийся
вывод не содержит применений ©-правила, поскольку Р (т) не
содержит явных применений правила у-справа. Это преобразо-
вание в действительности является -^-примитивно рекурсивным.
Таким образом, существует некоторая -^-примитивно рекур-
сивная функция т, такая, что т(гРот-1) есть гёделев номер
вывода без сечений секвенции ->ЭуТ(ё, пг, у). Анализируя
этот вывод, можно найти (примитивно рекурсивно по его номеру)
некоторое натуральное число п, удовлетворяющее Т (е, tn, п).
Тогда п вычисляется -^-примитивно рекурсивно по пг, и f (tri) =
= U (п). Таким образом, функция f является -^^-примитивно
рекурсивной.]
§ 14. Еще один вопрос
Мы здесь опять предполагаем, что язык L системы РА со-
держит символы для всех примитивно рекурсивных функций,
а их определяющие равенства включены в число начальных
секвенций.
Предложение 14.1. Пусть Фп — множество предложений
языка L, содержащих не более п логических символов. Тогда
для Фп в системе РА существует определение истинности, т. е.
найдется некоторая формула Тп(а) языка L, такая, что для вся-
кого предложения А из Фп в РА выводимо
Tnf^) = A.
Доказательство. Формула Тп определяется индукцией
по п. Мы приведем лишь переход от Тп к Тп+\.
Натуральное число х назовем кодовым, если его можно
разложить в произведение % = 2Х°-3Х|- ... • р^щ', где хг = 0
или Xi = 1 для всякого i. Пусть seq (х, п) — (примитивно рекур-
сивный) предикат, выражающий тот факт, что х — кодовое
число указанного выше вида. Мы будем называть п длиной
такого х. Число xit т. е. г-й показатель в разложении х, будем
обозначать через х(1). Пусть предикат stCA-1) выражает тот
факт, что А — предложение языка L, и пусть 1s (ГЛ"1) равняется
числу логических символов в А. Тогда предикат Тп+1 определим
144
Гл. 2. Арифметика Пеано
следующим образом:
^51(г/Г)а1з(гЛп)<и+ 1 Л
A3x[seq(%, г А"1) Л Vi (О iГА”1 =>
=з (vrBn [/ = г “I В'1 => (х (0 = 1 = х (ГВП) == О)] Л
Л VrB‘lVrCn [г = ГВ Л С’’1 гэ
^(х(0=1=х(гВ'1)=1Лх(гСп)=1)]А
Л ЧгЧуВ (г/)-1 [г = гууВ (г/)-1 =э
=>(х (.i) — \ =^уТп(г В /\
Л ЧгЭуВ (г/)-1 [г = Г3г/В (у)1
^(x(i) = 1^3!/UrWr))]))A
Лх(ГАп) = 1].
Легко видеть, что формула
Tn+l (rA(bl..bnf) A (bt, ..., Ьп)
выводима в РА для всякой формулы А из Фп, причем все сво-
бодные переменные формулы А содержатся среди Ьь .... bn.
Пусть S—секвенция, имеющая вид А], . .., Ат->ВЬ . . ., В/,
причем все Аь Ат и В[, ..., Bz принадлежат классу Ф„.
Тогда TnCs"1) определяется так:
31 (1< i < т Л ~1 тп (гAz"1)) V 31 (1 < i < I А Тп (ГВ,Л)).
Конечно, т и I здесь примитивно рекурсивно зависят от rS"1,
а формулы Д/ и В(- также примитивно рекурсивно определяются
г оП
по о иг.
Предложение 14.2. Система РА не может быть задана ко-
нечным числом аксиом-, другими словами, математическую ин-
дукцию нельзя выразить конечным числом формул.
Доказательство. Отметим сначала, что если в РА
формализовать теорему об устранении сечений для LK, то мы
получим
(1)	РА I—(|—rS~l-» 1—rS"1).
CF
Здесь I— означает выводимость в системе LK, а I-выводи-
сь
мость в LK без сечений.
§ 14. Еще один вопрос
145
Допустим, что Р — некоторый не содержащий сечений вы-
вод (в LK) секвенции 5 и все формулы в S принадлежат
классу Фп. Тогда каждая формула в Р также принадлежит Ф„.
Далее, если Р — вывод в языке L, то мы можем средствами РА
показать, что всякий нумерический пример секвенции S является
истинным; иными словами,
(2)	РА I— (I— (£>1, ..., bm)~*-+yxi ... xmTn(rS(xi.хтГ),
CF
причем все свободные переменные секвенции S содержатся
среди &i, ..., Ьт. Утверждение (2) доказывается индукцией по
числу секвенций в Р.
Пусть теперь Го — произвольное конечное множество (или,
точнее, последовательность) аксиом из CAJVJ (см. определе-
ние 9.2), и пусть п— максимальное число логических символов,
встречающихся в формулах последовательности Го. Взяв в ка-
честве S секвенцию Го->0= 1, мы получим в силу (2)
(3)	РАн(нгГо->О=Р->7’,г(гГо->О = Г).
CF
Далее, очевидно, имеем
РА 1—1 (гГ0 —>0 = Т"1)),
и поэтому из (1) и (3) следует
РА Н (~11—гГ0—>0 = Т"1).
Предложение ~"П-гГ0—> 0 = 1 выражает непротиворечивость
системы аксиом Го и, как мы видим, выводимо в РА. Отсюда
в силу второй теоремы Гёделя о неполноте (теорема 10.18)
получаем, что система аксиом Го не эквивалентна системе РА.
Упражнение 14.3. Показать, что ZF (теорию множеств
Цермело — Френкеля) нельзя задать конечным числом аксиом.
Иными словами, схему аксиом подстановки нельзя выразить
конечным числом формул.
ЧАСТЬ II
СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
И КОНЕЧНОГО ПОРЯДКА
Прежде чем перейти к строгому изложению содержания
части IJ, мы сначала объясним значение систем более высоких
(конечных) порядков и укажем трудности, встречающиеся при
их изучении.
Для начала встанем на позицию „бесконечного разума",
который, как мы предполагаем, может перебрать один за дру-
гим бесконечное число объектов. С такой точки зрения смысл
исчисления предикатов первого порядка вполне ясен. Иначе
говоря, вполне ясно и однозначно определен смысл кванторов
(\fx и Дх): для данной структуры Ф = ф, </>) квантор \/х озна-
чает „для всякого элемента х из О“, а Дх означает „суще-
ствует элемент х из £)“. Хотя может возникнуть вопрос,
является ли структура S) корректно определенной, исчисление
предикатов первого порядка сомнений не вызывает. Однако
ситуация полностью изменится, как только мы начнем рас-
сматривать произвольные подмножества множества D. Нам
придется тогда предположить, что бесконечный разум обладает
следующими возможностями в дополнение к упомянутой выше:
1)	Он может объединять элементы множества D в произ-
вольные подмножества этого множества.
2)	Он может перебирать все эти подмножества.
Пусть D — данное множество. Допустим, что мы рассматри-
ваем множество подмножеств D, множество подмножеств этого
множества подмножеств и т. д. Если мы- предположим, что бес-
конечный разум обладает двумя указанными выше возмож-
ностями, то станет очевидно, что для таких множеств спра-
ведлива аксиома выделения. Что касается аксиомы выбора, то,
хотя смысл ее не так ясен, как смысл аксиомы выделения, ее
также следует принять, коль скоро сделано допущение о су-
ществовании бесконечного разума.
По существу, именно с этой точки зрения многие матема-
тики представляют себе множества. Справедливости ради сле-
дует отметить, что в современной математике многие рас-
суждения, касающиеся множеств, проводятся на такой основе,
а исчисление предикатов высших (конечных) порядков является
Введение в ч. 11
147
формализацией такого подхода к множествам. Поэтому вполне
естественно, что исследование структуры исчисления предикатов
более высокого порядка (в частности, второго порядка) с точки
зрения теории доказательств должно привлечь наше внимание,
хотя исчисление предикатов конечного порядка формализует
только некоторую собственную часть общей теории множеств.
То обстоятельство, что мы ограничиваемся рассмотрением этой
части теории множеств, будет оправдано в дальнейшем, когда
мы заметим, что лишь для немногих теорем требуется полная
теория множеств. Кроме того, основные понятия теории мно-
жеств не кажутся нам вполне ясными по следующим при-
чинам.
(1) Мы не знаем, является совокупность всех ординалов,
а тем более совокупность всех множеств, завершенной или же
она находится в процессе развития: другими словами, не ясно,
является эта совокупность завершенным универсумом или, так
сказать, растущим. Если мы вообразим, что она представляет
собой растущий универсум, то смысл кванторов и Дх) бу-
дет неясным.
(2) Существуют определенные трудности при обосновании
аксиомы подстановки. Эта аксиома часто обосновывается сле-
дующим образом:
(2.1)	Ординалы порождаются неограниченно.
(2.2)	Предположим, что а — некоторый уже построенный
ординал и f — некоторая функция, определенная для
всех р < а. В силу (2.1) должен существовать некото-
рый ординал, который больше f (Р) для любого р < а.
Даже если мы примем допущения (2.1) и (2.2), смысл
аксиомы подстановки будет все еще не очень ясным. Трудность
состоит в том, что эта аксиома содержит формулы с кванто-
рами, и потому, если предполагается, что множества по-
рождаются неограниченно, не ясно, что означают эти кванторы.
Даже если мы попытаемся интерпретировать эти кванторы
подходящим образом, мы все равно встретимся с трудностями,
проистекающими из-за допущения (2.2).
Поясним более подробно, в чем состоят эти затруднения.
Предположим, что (при некоторой интерпретации) формула
А (х, у) выражает функцию у — f (х) и что на определенном этапе
не существует супремума значений функции f на ординале а
(это возможно, если мы предполагаем, что ординалы находятся
в процессе порождения). Допустим далее, что со временем
супремум функции f на а будет построен. Это значит, что
добавится некоторое новое множество и смысл кванторов
(вообще говоря) соответственно изменится. Таким образом,
формула А (х, у), возможно, уже не будет больше выражать
ту же функцию /.
148
Введение в ч. 11
Для того чтобы пояснить суть дела, рассмотрим подобную
ситуацию в теории натуральных чисел. Натуральные числа
строятся из 0 с помощью операции + 1. При попытке доказать
предложение \jx3y (у = х + 1), когда уже построены числа
О, 1, п, обнаруживается, что это предложение не выпол-
няется для х = тогда мы добавляем к множеству натураль-
ных чисел л-f- 1 и доказываем это предложение для п так же,,
как делали это для 0, 1, . . ., п— 1. Тем не менее это не зна-
чит, что на {0, 1, ..., п + 1} — множестве натуральных чисел,
построенных к настоящему времени, — это предложение выпол-
нено (поскольку смысл квантора \jx изменился). Данный пример
представляет собой аналогию с неполным универсумом мно-
жеств, хотя в случае натуральных чисел мы на самом деле
можем завершить процесс порождения натуральных чисел и
построить универсум натуральных чисел, а именно о. Это про-
исходит потому, что в этом случае + 1 является единственной
операцией для порождения новых объектов, и ее поведение
вполне ясно. В случае же теории множеств принципы порожде-
ния новых объектов являются более мощными и неточными.
Даже если мы будем управлять интерпретацией кванторов ло-
кально, т. е. на определенных этапах построения (что можно
сделать по аналогии с приведенным выше примером для нату-
ральных чисел), все равно будет неясно, существует ли уни-
версум, в котором выполняется аксиома подстановки. Это
наводит нас на сомнения относительно существования недости-
жимых кардиналов.
Предыдущие рассуждения оправдывают наш интерес к ис-
числению предикатов конечного порядка. А именно:
1.	Мир теории множеств более нестабилен, чем исчисление
предикатов конечного порядка (с аксиомой выделения и аксиомой
выбора).
2.	Большую часть обычной математики (по крайней мере,
классический анализ) можно формализовать в исчислении пре-
дикатов конечного порядка.
3.	Теория доказательств полной теории множеств все еще
слишком сложна для удовлетворительного ее исследования.
Поэтому мы должны изучать что-нибудь попроще, и это, надо
надеяться, укажет нам путь к изучению более сильных систем.
Указанные выше доводы в том виде, как они сформулиро-
ваны, представляются скорее негативными причинами для изу-
чения исчисления предикатов конечного порядка. Однако, развив
второй из указанных выше пунктов, мы сможем привести более
позитивную причину: дело в том, что погружение классического
анализа в теорию множеств не только является излишним, но
и, возможно, даже вводит в заблуждение! Исторически полная
теория множеств развивалась позже классического анализа, и
Введение в ч. II
149
фактически принципы теории множеств являются слишком мощ-
ными для изучения этой части математики. Для целей клас-
сического анализа больше подходит исчисление предикатов
конечного порядка, поскольку оно является формализацией
(большинства) принципов, фактически в нем содержащихся.
Подобным же образом примитивно рекурсивная арифметика,
видимо, больше подходит для формализации финитной мате-
матики, чем арифметика Пеано. (Точности ради следует отме-
тить, что некоторые разделы классического анализа могут по-
будить нас использовать (элементарную) теорию ординалов; по
сути дела, именно это обстоятельство привело Кантора к раз-
витию теории множеств.)
Изучение исчисления предикатов конечного порядка является
все еще делом будущего, поскольку пока не известно, в какой
степени для него справедливы красивые метатеоремы, относя-
щиеся к исчислению предикатов первого порядка. Известных
результатов совсем немного. Мы перечислим трудности, с кото-
рыми мы сталкиваемся при изучении исчисления предикатов
конечного порядка:
1. Хотя теорема об устранении сечений справедлива для
этой системы и является сама по себе изящным результатом,
она не обеспечивает нас информацией о структуре этой системы
(в отличие от случая системы первого порядка, в которой вы-
воды без сечений обладают свойством подформульности; см. §6).
2. В отличие от системы первого порядка эта система вме-
сте с аксиомой выделения и аксиомой выбора не полна отно-
сительно семантики стандартных структур, где под стандартной
моделью (или структурой) для языка конечного порядка пони-
мается такая модель, в которой кванторы второго порядка
пробегают множество всех подмножеств данной области, кван-
торы третьего порядка — множество всех подмножеств преды-
дущего множества и т. д.
Например, множество предложений
W Vx (Ф (0) л У У (Ф (у) => Ф (у')) => Ф (х)),
ухуууф (х = у/\ф(х)=»ф (у)),
VxV«/ (х' = у' => х = у),
Vx х' = 0,
Р(0), Р(1), Р(2)...
Зх И Р (х)
непротиворечиво, но не имеет стандартной модели. (Правда,
относительно семантики так называемых структур Генкина
исчисление предикатов конечного порядка является полным,
как мы увидим в § 21.) Хуже того, нами не обнаружено
150
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
никакого „хорошего" расширения исчисления предикатов конеч-
ного порядка, не говоря уже о полном расширении. Мы можем
перефразировать это следующим образом: нам не известно ни
одного естественного и значительного принципа для этого
исчисления, кроме аксиомы выделения и аксиомы выбора. Это
приводит к новому важному направлению в исследовании:
искать системы второго порядка с правилами вывода транс-
цендентного характера (например, бесконечными) с тем, чтобы
получать полные системы.
До сих пор мы обсуждали изучение исчисления предикатов
конечного порядка с точки зрения „бесконечного разума".
Несомненно, это исчисление столь же важно изучать и с точки
зрения, отрицающей абсолютный мир бесконечного разума.
Чтобы развить такую точку зрения, мы попытаемся проанали-
зировать эти системы и обосновать их. Вторая точка зрения,
возможно, не проявится в части II; она проявится в части III
в связи с приведенными там доказательствами непротиворечи-
вости. Стоит отметить, что, хотя в части II мы проводим рас-
суждения, опираясь на сильные средства, такие, как теория
множеств и „бесконечный разум", некоторые из результатов
этой части точно соответствуют строго финитной точке зрения.
Изучение бесконечных языков было предпринято в попытке
преодолеть затруднительное положение в системах второго
порядка. Бесконечный язык сильнее, чем обычный язык первого
порядка, тем не менее для него справедлива теорема о пол-
ноте (а поэтому он относительно слабый). Как можно было
ожидать, обобщенные кванторы Генкина выдвигают трудности
такого же сорта, как и те, что появляются в языке второго
.порядка. Их изучение — пока еще дело будущего.
ГЛАВА 3
СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
И ПРОСТАЯ ТЕОРИЯ ТИПОВ
§ 15. Исчисление предикатов второго порядка
Определение 15.1. Язык исчисления предикатов второго по-
рядка {язык второго порядка) получается из языка исчисления
предикатов первого порядка (см. определение 1.1) добавлением
следующих символов:
$ 15. Исчисление предикатов второго порядка
151
5)	Переменные второго порядка-.
5.1)	свободные /-местные переменные (z = 0, 1, 2, ...)
а‘, а*, ..а', ...	(/= 0, 1, 2, ...);
5.2)	связанные /-местные переменные (/= 0, 1, 2, ...)
<П>, фгР • • , Ф/, • •  (/ = 0, 1, 2, . . .).
Переменные из п. 2) определения 1.1 (а0, а,, ..., х0, хь ...)•
мы будем называть переменными первого порядка для того,
чтобы отличать их от переменных второго порядка.
Термы определяются так же, как и в определении 1.2.
Как и в предыдущих параграфах, для формальных пере-
менных и для метапеременных мы будем использовать одни
и те же символы, буквы а, 0, у, ... (с индексами и без них)
будут использоваться для обозначения свободных переменных
второго порядка, а буквы ф, ф, х> • • • — для обозначения свя-
занных переменных второго порядка. Верхний индекс / у пере-
менных а' и <pj мы обычно будем опускать.
Определение 15.2. Формулы языка второго порядка опреде-
ляются так же, как в определении 1.3, с учетом следующих
изменений:
Если R1 — некоторая /-местная предикатная константа или
свободная переменная второго порядка, а /ь ..., // — термы,
то Rl{t\, ..., /()—атомарная формула.
В п. 3) определения 1.3 вместо „а — свободная переменная*1
и „х — связанная переменная** следует читать соответственно 
„а — свободная переменная первого порядка** и „х— связанная
переменная первого порядка".
Кроме того, добавляется пункт
3') Если А — формула, a — свободная переменная второго
порядка и <р — связанная переменная второго порядка, не вхо-
дящая в А и имеющая то же число аргументов, что и а, то
УфА' и ЗфА' — тоже формулы; где А' есть выражение, полу-
ченное из А заменой а на ф в каждом вхождении а в А. Внеш-
ними логическими символами формул УфА' и ЗфА' являются
соответственно V и 3.
Бескванторные формулы и замкнутые формулы (т. е. пред-
ложения) определяются так же, как ранее.
Замещение символов и понятия отмеченных и полностью
отмеченных вхождений данных символов определяются так же,
как в 1.4 и 1.6 соответственно. Таким образом, из F (а) мы
получим F (/?), заменив отмеченное вхождение а на R. Поня-
тие алфавитного варианта определяется таким же образом,
как и в 2.15 (но теперь связанные переменные должны
152
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
замещаться другими связанными переменными того же порядка,
а для переменных второго порядка, кроме того, с тем же
числом аргументных мест).
Секвенция — это выражение вида Г —> А, где Г и А — конеч-
ные последовательности формул нашего языка.
В дальнейшем мы будем предполагать, что фиксирован
некоторый язык второго порядка, который мы обозначим че-
рез Ь2.
Сначала мы определим некоторую систему второго порядка,
не содержащую никаких „аксиом выделения" и являющуюся
просто системой LK с переменными второго порядка. Поскольку
эта система является основной среди систем второго порядка,
мы назовем ее базисным исчислением для систем второго по-
рядка и будем сокращенно обозначать ВС.
Определение 15.3. Формулы и секвенции системы ВС — это
соответственно формулы и секвенции языка Ь2. Правила вы-
вода для системы ВС определяются так же, как и для сис-
темы LK: к правилам вывода, приведенным в определении 2.1,
нужно лишь добавить следующие правила:
2.5') Правила второго порядка для у:
w	F(R), Г —> А
V-слева. уф/?(ф)> Г-»А,
где R—произвольная предикатная константа или свободная
переменная второго порядка и ср имеет такое же число аргу-
ментных мест, что и R.
w	Г^А, F (а)
V-справа. г>д уф^ (ф)>
где a — свободная переменная второго порядка, полностью
отмеченная в F(a) и не входящая в нижнюю секвенцию,
а ср — связанная переменная второго порядка, имеющая такое же
число аргументных мест, что и а (разумеется, не входящая
в /•’(a)). Переменная а называется собственной переменной этого
правила.
2.6') Правила второго порядка для 3:
F (а), Г -> А
3-слева:	г
Зфг (ср), Г —> А,
где a — свободная переменная второго порядка, полностью от-
меченная в F (а) и не входящая в нижнюю секвенцию, а ф —
связанная переменная второго порядка, имеющая такое же
число аргументных мест, что и а. Переменная а называется
собственной переменной этого правила.
Г->А, F(R)
3-справа: =---т—=—g , 
1	Г->А, Зф/7(ф),
§ 15. Исчисление предикатов второго порядка
153
где R — произвольная предикатная константа или свободная
переменная второго порядка, а <р имеет такое же число аргу-
ментных мест, что и R.
Боковые и главные формулы этих правил определяются так
же, как и в остальных случаях. Правила 2.5) и 2.6) в отли-
чие от правил 2.5') и 2.6') будем называть правилами первого
порядка для у и 3 соответственно.
Определение 15.4. Выводы в системе ВС и относящиеся
к ним понятия определяются, как в § 2 (см. определения 2.2,
2.3 и 2.8); таким образом, мы можем определить понятия
„вывод, оканчивающийся секвенцией S, или вывод секвенции S",
„секвенция S выводима", „нить секвенций", „секвенция, распо-
ложенная в выводе ниже или выше другой секвенции" и т. д.
Непротиворечивость этой системы определяется в точности так
же, как и раньше (см. определение 4.1).
Подобно лемме 2.10, мы можем доказать следующее
Предложение 15.5. (1) Пусть Р (R)— некоторый ВС-вывод
секвенции S(R), где R — произвольная предикатная константа
или свободная переменная второго порядка. Пусть R' — произ-
вольная предикатная константа или свободная переменная вто-
рого порядка, не входящая в Р (R). Предположим, что R и R'
имеют одинаковое число аргументных мест. Тогда P(R')— вывод
секвенции S (R').
(2) Вывод называется регулярным, если, во-первых, все соб-
ственные переменные в нем отличны друг от друга и, во-вторых,
всякая переменная второго порядка, входящая в некоторую сек-
венцию S этого вывода в качестве собственной, входит, кроме
того, только в секвенции, расположенные выше S. Тогда если
какая-то секвенция S выводима в ВС, то она имеет в ВС неко-
торый регулярный вывод.
В дальнейшем всякий раз, когда это нужно, мы будем
предполагать, что имеем дело с регулярными выводами.
Определение 15.6. Понятие „система аксиом" определяется
так же, как в определении 4.1: система аксиом si (в языке
Ь2) — это произвольное множество предложений (языка Ь2).
Пункты 2) — 6) определения 4.1 можно приспособить для сис-
тем второго порядка. Предложение 4.3 принимает здесь такую
формулировку:
Предложение 15.7. Пусть .Л — система аксиом, и пусть
ВС, система^ тюлуцссюit3 ВС	в к.сшвствб
начальных секвенций секвенции вида А для всех А из si.
Тогда секвенция Г-»А выводима в ВСл, если и только если для
154
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
некоторых предложений Дь ..Ат из si секвенция Ah . .., Ат
Г—•> Л выводима в ВС.
При рассмотрении систем второго порядка удобно работать
с полутермами и полуформулами.
Определение 15.8. (1) Полутермы определяются следующим
образом. Индивидные константы и переменные первого по-
рядка (свободные или связанные) являются полутермами; если
— полутермы и f — некоторая «-местная функциональ-
ная константа, то f (ti, tn) тоже полутерм.
(2) Полуформулы и свободные вхождения в них связанных
переменных определяются следующим образом.
Пусть R — некоторая /-местная предикатная константа или
переменная' второго порядка (свободная или связанная), и
пусть /1, ...,	—полутермы. Тогда R(tb ...,	— атомарная
полуформула, все связанные переменные полутермов tlt ..., tt
входят свободно в /?(/|, ..., /,), и если R — связанная перемен-
ная, то R входит свободно в RRt, ..., //). Если В и С — полу-
формулы, то В ДС тоже полуформула, и все связанные пере-
менные, входящие свободно в В или С, входят свободно и вВДС.
Для остальных пропозициональных связок определение прово-
дится аналогично. Если F (х)— полуформула, в которой все
вхождения связанной переменной первого порядка х являются
свободными и отмечеными, то yxF(x) тоже полуформула, при-
чем свободные вхождения связанных переменных в \xF (х) те
же, что и в F (х), кроме вхождений переменной х. Если F (ф) —
полуформула, в которой все вхождения связанной переменной
второго порядка <р являются свободными и отмечеными, то
УфЁ(ф) тоже полуформула, и свободные вхождения в y<pF (ф)
те же, что и в F (ф), кроме вхождений переменной ф. Для Э
определение аналогично.
Очевидно, что термы — это полутермы без связанных пере-
менных, а формулы — это полуформулы, не имеющие свобод-
ных вхождений связанных переменных.
Теперь мы определим два важных понятия: „абстракт" и
„подстановка".
Определение 15.9. Пусть Л(&ь ..., Ьт) — формула, в кото-
рой отмечены некоторые вхождения переменных Ь\, ..., Ьт
(возможно, что какие-то из переменных bt, ..., Ът не входят
в эту формулу совсем). Пусть у{, ут — связанные перемен-
ные первого порядка, не входящие в A(bh ..., bm). Тогда
метавыражение {yh ..., ут}Л(г/ь ..., ут) называется абстрак-
том формулы A (Ь1г ..., bm}.
§ 15. Исчисление предикатов второго порядка
155
Следует подчеркнуть, что абстракты являются метавыраже-
ниями, а не формальными выражениями языка. L2 и будут
использоваться только во вспомогательных целях.
Абстракт вида {уь ..., ут} А(уь ..., ут) называется т-
местным. Как правило, абстракты мы будем обозначать бук-
вами V, U, .... Абстракт вида {у{, .. ym} a (г/ь . . ., ym) будет
часто отождествляться с а. Если V обозначает абстракт {г/ь . ..
..., ym} A (yh . . ., ут} и /ь . . ., tm — полутермы, то V (/ь . .., tm)-
обозначает полуформулу A(/j, ..., tm).
Определение 15.10. Подстановка абстракта вместо свободной
переменной второго порядка в полуформулу определяется сле-
дующим образом. Пусть F (а) — полуформула, где некоторые
вхождения переменной а отмечены, и пусть V — абстракт,
имеющий такое же число аргументных мест, что и а. (В даль-
нейшем мы не будем оговаривать последнее условие, поскольку
подстановка определяется только для таких а и V, которые
имеют одинаковое число аргументных мест.) Определим под-
становку V вместо а в F (а), результат которой мы обозначим
/ а \
через FI у J или F (К). Для упрощения обозначений мы пред-
полагаем, что а и V являются одноместными. Итак, пусть V
(а \
У I определяется индукцией по
логической сложности формулы F (а).
1) (i) Если F (а) есть a(s) и это а отмечено в F(a), то
есть A (s); (ii) если F (а) есть a (s) и это а не отмечено, или же
F (а) есть Р (s) для некоторого р, отличного от а, то F (у)
совпадает с F (а).
В остальных случаях мы сначала заменим все связанные
переменные в F, входящие в V, на связанные переменные, не
входящие в V, таким образом, чтобы каждая переменная за-
менялась на другую переменную того же порядка, различные
переменные — на различные, а z-местные связанные переменные
второго порядка — на другие /-местные переменные. Таким об-
разом, мы можем предположить, что F не содержит связанных
переменных, входящих в V.
(2) F (а) — одна из формул ~~1В (а), В (а) Д С (а), В (а) V С (а)
или Д(а) дэ С (а). Тогда F^^J есть —у J, у J Д у J>
или	соответственно.
156
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
3) F (а) имеет вид VxG(x)(a), 3xG(x)(a), Vq>G(<p)(a) или
3<pG(<p)(a). Тогда	есть Vx^G(x)^y^, 3x^G(x)^lz^,
V<p (g (<p) ( у )) или 3<p (g (<р) ( у )) соответственно.
Очевидно, что	есть полуформула. Очевидно также,
/ а \
что если F (а) — формула, то и Fl v I—формула.
Имеющуюся в 2) и 3) неопределенность в выборе новых
связанных переменных можно устранить, если потребовать,
чтобы эти переменные были первыми в списке связанных пере-
менных первого и второго порядка, которые удовлетворяют
нужным условиям. Это ограничение не так существенно ввиду
того, что справедливо
Предложение 15.11. Пусть А и В — любые две формулы,
являющиеся алфавитными вариантами друг друга. Тогда в ВС
выводима формула Д = В.
Таким образом, в дальнейшем мы можем иметь дело с любым
алфавитным вариантом данной формулы.
Пример 15.12. (1) Пусть F (а) — формула VxVy(x = yzz
=> (a (х) =s а (г/))), где оба вхождения а отмечены, и пусть V —
абстракт {и} Эх (X + и = 5), где подразумевается, что 5 — инди-
видная константа, -----функциональная константа и = — пре-
дикатная константа языка Ь2. Поскольку переменная х из F (а)
входит в V, сначала заменим ее на другую связанную перемен-
ную, скажем z: \/zVy (z = у zd (a (z) = а(у))). Обозначим полу-
ченную формулу через F' (а). Проведем шаг за шагом подста-
новку абстракта V в F' (а) вместо а.
( а \
a (г) I у J: Эх (х + г = 5),
( а \
а V v / ^х(х + yz= 5)>
/ а \
(а (z) = а (у)) у J: Эх (х + z = 5) = Эх (х + у = 5),
(а \	(а \
v J, т. е. VzVy (z = y=)(a(z) = a (г/))) J:
VzVy (z = у зэ (Зх (х + z = 5) Эу (у + z = 5))).
J 15. Исчисление предикатов второго порядка
157
Такая формула нам знакома — это аксиома равенства. Если
бы мы предварительно не заменили х на z, то в результате
получили бы выражение
VxVy (х = у дэ (Зх (х + х — 5) =s Эх (х + у = 5))),
которое даже не является формулой.
Этот пример можно обобщить для произвольного абстракта
{и} В (и) (при условии что нет „коллизии" связанных перемен-
ных) и получить таким образом формулу Чх^у (х = у дэ (В (х) =
^В(у))), представляющую собой аксиому равенства. Таким
образом, из простой схемы
Vx Vy (х = у до (а (х) = а (у)))
с помощью подстановки получаются все аксиомы равенства.
(2) Пусть F (а) обозначает формулу а (0)Д Vx (а (х) до а (х'))
до Уха (х), где все вхождения переменной а в F (а) отмечены,
и пусть V есть абстракт {и} В (и). Предположим, что х не входит
/ а \
в V. Тогда J есть формула В(0) Д Ух (В (х) до В (х'))^э\/хВ (х),
представляющая собой аксиому индукции для арифметики
( в соответствующем языке).
(3) Пусть F (а) обозначает формулу
ЧхУуЧг (а (х, у) Д а (х, z) до у = z) до
=> Bv\/y (у v = Вх(х<^и Д а (х, у))),
где все вхождения а в F (а) отмечены, и пусть V обозначает
абстракт
{х1, у1} В(х‘, у’),
где В(х', у1)— полуформула языка теории множеств. Тогда
( а X
FI у I есть формула
УхУу Vz (В (х, у) Д В (х, z) у = z) до
дз ЗоУу (у е v = Зх (х <= и Д В (х, у))),
представляющая собой аксиому подстановки в теории множеств.
Заметим, что формула В (х, у) может содержать, кроме х и у,
и другие переменные, в том числе и, но не должна содержать v
(поскольку v — связанная переменная в F (а)).
Мы еще вернемся к этому примеру.
Индукцией по числу логических символов в формуле F (а)
легко доказывается следующее
158
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
Предложение 15.13. Для любой формулы F (а) и произвольных
абстрактов U и V в системе ВС выводима секвенция
\/х (U (х) = V (х)), F(U)->F(V)
(где предполагается, что связанные переменные должным образом
переименованы).
Определение 15.14. (1)Пусть АДц, ..., bm, сь ..., сп, Pi, ..., р*) —
формула, все свободные переменные которой содержатся среди
переменных Ьь . .., bm, с1; ..., сп, рн ..., р& (хотя не обяза-
тельно все они входят в А), причем все вхождения этих пере-
менных отмечены. Тогда всякое предложение вида
(*)	Vzi ... Vz„ViH ... VAh,3<pVyi . .. Vym (<р (уъ . . ., ут) sa
= А (У1, . . .,' ут, 21, .... 2„, Ф1, . . ., Фй))
называется аксиомой выделения.
Пусть V обозначает абстракт
{«/1, • • •» Ут} А }У\, • • • > Уту , Fi, Pi, . . ., Р/Л’
Тогда приведенную выше аксиому выделения можно записать
так:
(**	) V21 ... У.г„Уф1 ... V^3<pVyi ... Vym(cp(yi, ут)^
— U(yi, ..., Ут)),
где абстракт U получается из V замещением переменных с{
и ру переменными 2, и ф/ соответственно, i = 1, .. ., n; j = 1, .. . k.
(2) Пусть К — произвольное множество формул. (Буква К
используется в этом смысле временно.) Формулу, принадлежащую
множеству К, мы назовем ^-формулой, и если A (bt, ..., bm)
есть К-формула, то абстракт {у1} ..., ут} A (yt, .... ут) назовем
К-абстрактом. Если формула А в аксиоме выделения (см. (*))
является К-формулой, то предложение (*) называется аксиомой
К-выделения.
(3) Множество формул К называется замкнутым относительно
подстановок, если для всякой К-формулы А и для всякого
1<-абстракта V формула Л (У) тоже принадлежит К-
Определение. 15.15. Пусть К — некоторое множество формул.
1) К-система получается из системы ВС добавлением к ней
в качестве начальных секвенций всех аксиом К-выделения (т. е.
всех секвенций вида —> А, где А — аксиома К-выделения).
2) Система КС получается из системы ВС добавлением сле-
дующих правил вывода, где F (а) — произвольная формула,
V — произвольный К-абстракт, a F (V) и F (<р) получаются из
$ 16. Некоторые системы исчисления предикатов второго порядка 159
F (а) подстановкой V и <р соответственно вместо отмеченных
вхождений а:
w	F(V), Г—>А
правило V-слева второго порядка: у^р ( —Г~—> А ’
_	Г—>А, F(E)
правила 3-справа второго порядка:	д—(ф)'
Главные и боковые формулы этих правил вывода опреде-
ляются, как обычно.
Поскольку система КС представляет интерес, только когда
множество К замкнуто относительно подстановок, мы будем
далее предполагать, что К удовлетворяет этому условию.
Предложение 15.16. Для произвольного множества формул К
(замкнутого относительно подстановок) система КС эквивалентна
К-системе.
Доказательство. Легко можно показать, что аксиомы
К-выделения выводимы в КС, а, с другой стороны, нижние
секвенции правил второго порядка У‘слева и 3-справа выводимы
из соответствующих верхних секвенций в К-системе.
Определение 15.17. Если К — множество всех формул языка
второго порядка, то система КС называется исчислением пре-
дикатов второго порядка с полным выделением и обозначается
через G'LC.
Предложение 15.18. Если для системы G’LC верна теорема
об устранении сечений, то эта система непротиворечива.
Доказательство такое же, как для теоремы 6.2, и мы не
будем его повторять.
В действительности теорема об устранении сечений, как мы
увидим позже, верна для системы G'LC (см. § 21). Но мы
сформулировали предложение 15.18 в такой форме, поскольку
устранимость сечений для системы G'LC доказывается некон-
структивно, и, значит, с нашей финитной точки зрения, мы не
можем на основании этого доказательства утверждать, что
система G'LC непротиворечива.
§ 16. Некоторые системы исчисления предикатов
второго порядка
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые несуществен-
ные расширения исчисления предикатов первого порядка.
Определение 16.1. Пусть S, и S2 — две формальные системы,
содержащие систему LK. Система S2 называется несуществен-
160
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
ним расширением системы Sb если Sj является подсистемой
системы S2 и для всякой секвенции 5 в языке системы Sj вы-
водимость ее в системе S2 влечет ее выводимость в системе
Предложение 16.2. Для системы ВС справедлива теорема
об устранении сечений.
Доказательство проводится в точности так же, как и для
системы LK, и поэтому мы не повторяем рассуждения.
Как следствие этого предложения получаем, что система ВС
непротиворечива, для нее выполняется свойство подформуль-
ности, справедлива теорема о средней секвенции и т. д. При-
ведем еще одно
Следствие 16.3. Система ВС является несущественным рас-
ширением системы LK-
Доказательство. Если в некотором не содержащем
сечений выводе в системе ВС применяется кванторное правило
второго порядка, то соответствующий квантор должен входить
во все секвенции, расположенные ниже этого применения (что
легко доказывается индукцией по числу применений правил
в таком выводе).
Определение 16.4. (1) Формулой первого порядка называется
формула языка Ь2, которая не содержит кванторов второго
порядка (хотя может содержать переменные второго порядка).
Такая формула называется также арифметической в случае,
когда Ь2 есть язык арифметики второго порядка (т. е. си-
стемы РА с кванторами второго порядка).
Абстрактом первого порядка называется абстракт, получен-
ный из формулы первого порядка.
(2) Через Ki обозначим множество всех формул первого
порядка.
(3) Предикативными аксиомами выделения назовем такие
аксиомы выделения, у которых U (см. (**) в определении 15.14)
является абстрактом первого порядка; другими словами, это
аксиомы Кгвыделения.
Теорема 16.5 (теорема об устранении сечений для системы
с предикативными аксиомами выделения). Если какая-то сек-
венция S выводима в системе КдС (см. определение 15.15), то
она выводима в KiC без сечений.
Доказательство. Здесь почти проходит доказательство
для LK- Вместо двойной индукции (см. доказательство ле ммы
5.4) мы применяем здесь тройную индукцию. Пусть А — произ-
вольная формула языка второго порядка. Пусть с (Л) равняется
числу кванторов второго порядка в А. Легко видеть, что
с (F (а)) = с (F(V)}, если /—абстракт первого порядка. Поло-
£ 16. Некоторые системы исчисления предикатов второго порядка 161
жим с =df с (Р) =df с (D), где D — смешивающая формула в Р
(в предположении, что вывод Р содержит смешение разве
только в качестве самого нижнего своего непосредственного
вывода). Лемма 5.4 доказывается теперь трансфинитной индук-
цией по со2 • с + ® • g(P) + rank(P). Мы будем следовать дока-
зательству, приведенному в § 5, но теперь надо рассмотреть
еще несколько случаев. После случая 1.5) (i) добавляются слу-
чаи, когда формула D имеет вид V<pF (<р) или 3<pF (<р). Пусть,
например, вывод Р имеет вид
Г^Др, В (а)
Г-»А0, УфР(ф)
F(V), П0Хл
УфР(ф), П0-»Л
Г, По—>Д0, Л
(УфВ (<р)),
где V — абстракт первого порядка. В силу сделанного выше
замечания с (F (V)) = с (F (а)) = с (Уфр (<р)) — 1. Так как а не
входит в Г, До и Р(<р), то секвенция Г->Д, F (V) выводима
без смешений (см. случай 1.5) в доказательстве леммы 5.4).
Определим вывод Р' таким образом:
гХд0, F (V)	F(V), П0Хд
Г, п*->д* л
(В(Ю)-
Поскольку с (Р') = c(F (V)) < с (УфР (ф)) = с (Р), к выводу Р'
применимо предположение индукции. Поэтому мы можем по-
лучить некоторый не содержащий смешений вывод секвенции
Г, П*->Д*, Л и, следовательно, не содержащий смешений
вывод секвенции Г, По->До, Л.
Наконец, после случая 2.1.3 (ii) в доказательстве леммы 5.4
добавляются случаи, когда D имеет вид Уфр(ф) или ЗфР (ф).
Следствие 16.6. Система KiC является несущественным рас-
ширением системы LK- В частности, система KiC непротиворе-
чива.
Доказательство такое же, как и для системы ВС (см. след-
ствие 16.3).
Предложение 16.7. Через LK+ обозначим систему LK в языке,
содержащем свободные переменные второго порядка.
Пусть секвенция Г->0 состоит только из формул первого
порядка, и пусть Ft (pj — некоторая формула первого порядка,
содержащая свободную переменную |3/ второго порядка, /=1,
2, ..., т. Для того чтобы секвенция
(1)	Уф1Л (Ф1), .... V<PmFm (Ф т), Г -> 0
6 Г, Такеути
162
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
была выводима в KiC, необходимо и достаточно, чтобы выпол-
нялось следующее условие'.
(*) Для каждого г=1, m существуют абстракты первого
порядка Viti, Vi,it (/z^l), такие, что секвенция
(2) {*«,./,(К.........,,....Ж. АЛ...............^г-е
выводима в LK+.
Здесь через {А/};==1 г обозначена последовательность фор-
мул At,..., А[, через V— некоторая (возможно, пустая)
последовательность универсальных кванторов	... ^izk,
где k (зависящее от i и ]) есть число свободных переменных
первого порядка в абстракте Уц, и У' получается из абстракта V
заменой в нем свободных переменных первого порядка, не вхо-
дящих в (1), на 21..гк.
Доказательство. Достаточность. Допустим, что выпол-
няется условие (*). Сначала мы покажем, что для всякой фор-
мулы F (а) секвенция V<pF (<р)-> VzF (V') выводима в KiC, если
V — абстракт первого порядка:
F(V)-+F(V)
V<pF (<p)->F(V)
несколько правил V-справа
V<pF (<p)^V«F(F).
Таким образом, мы имеем секвенции V<p,Fz (<р;)-> Vz(/Fz (Vzy)
для j=l, .... li и 1=1, ..., пг. Отсюда и из (2), применяя
несколько сечений и сокращений, мы можем получить некото-
рый KiC-вывод секвенции (1).
Необходимость. Допустим, что секвенция (1) выводима в KiC.
Тогда эта ^секвенция имеет в KiC вывод без сечений. Поэтому
достаточно доказать следующее предложение.
Предложение 16.8. Пусть Р — вывод без сечений в системе
KiC некоторой секвенции указанного выше вида (1). Тогда для
заключительной секвенции вывода Р выполняется условие (*).
Заметим, что так как вывод Р не содержит сечений, то все
секвенции в Р также имеют вид (1). Значит, это предложение
можно доказать индукцией по числу непосредственных выво-
дов в Р.
Доказательство. 1) Если вывод Р состоит из началь-
ной секвенции D—*D, то формула D не содержит кванторов
второго порядка. Следовательно, секвенция £)->£) сама имеет
указанный выше вид (2).
$ 16. Н екоторые системы исчисления предикатов второго порядка 163
2) Шаги индукции проводятся в зависимости от правила
вывода I, применяемого в Р последним. Заметим, что из кван-
торных правил второго порядка в выводе Р может применяться
только правило второго порядка V-слева.
2.1) / есть правило второго порядка V-слева. Тогда вывод Р
имеет вид
F (V), П->А
V«pF (ф), П->А,
где V и F (<р) имеют первый порядок. По предположению ин-
дукции, взяв секвенцию F (V), П—>А в качестве (1), мы можем
получить подходящие абстракты, для которых в LK+ выводима
некоторая секвенция вида (2). Обозначим эту секвенцию через
Е(У), П*—>А. Добавим теперь абстракт V к множеству абстрак-
тов, полученных по предположению индукции. Если V не со-
держит свободных переменных первого порядка, не входящих
в УфЕ (ф), П—>А, то в качестве секвенции (2) возьмем саму
секвенцию F (V), IT—>А. Если же V содержит свободные пере-
менные &i, ..., bk, которые не входят в указанную секвенцию,
то заменим их на новые связанные переменные z\, ..., zk и
обозначим результат замещения через V'. Тогда секвенция
VzI ... VzfeF(7j, ГГ—>А является искомой.
2.2) / не является правилом второго порядка У-слева.
В таком случае доказательство тривиально в силу предполо-
жения индукции.
Наконец, заменим свободные переменные второго порядка
на 0 = 0.
Отметим, что именно правило сокращения слева приводит
к нескольким абстрактам первого порядка 7г>ь Уг,2, ..., соот-
ветствующим одной и той же формуле Ft (0J в (2).
Предложение 16.9. Если формула ЗфЕ(ф), где F (ср) не со-
держит кванторов второго порядка, выводима в К|С, то суще-
ствуют абстракты Vj, ..., Vn первого порядка, такие, что в LK+
выводима дизъюнкция )v ... v32/(v;).
Это предложение двойственно предложению 16.7 и доказы-
вается аналогичным образом.
Задача 16.10. Определим систему РА' — предикативное рас-
ширение (второго порядка) арифметики Пеано. Пусть VJ' и Eq'
обозначают соответственно предложения
VJ' Уф (ф(0) Д Ух (ф (х) до ф (х')) дэ Ухф (х);
Eq' УфУхУу (х = 1/ А ф(х) э<р(у)).
6*
164
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
VJ' представляет собой формализацию в языке второго по-
рядка принципа математической индукции, a Eq'— одна из
аксиом равенства в этом языке.
Система РА' получается из системы KiC (в языке системы РА,
пополненном переменными второго порядка) добавлением
в. качестве начальных секвенций всех аксиом из CAUVJ'llEq'
(система аксиом СА определена в 9.2).
Показать, что система РА' является несущественным рас-
ширением системы РА. [Указание. Пусть А — какая-то фор-
мула языка системы РА'. Она выводима в РА' тогда и только
тогда, когда в KiC выводима секвенция СА U VJ' U Eq' -> А.
Поскольку каждая из аксиом VJ' и Eq' начинается 'с кван-
тора V второго порядка, можно применить предложение 16.7.]
Задача 16.11. Рассмотрим систему аксиом ZF (теорию мно-
жеств Цермело — Френкеля). Ее язык состоит из двухместного
предикатного символа е, переменных первого порядка и логи-
ческих символов (а = b есть сокращение для Vx (ае А' = йе .ф).
Аксиомы объемности, пары, суммы, степени, регулярности и
бесконечности можно записать в виде отдельных предложений.
Однако аксиома подстановки в действительности является схе-
мой аксиом, которая выглядит так:
УхУуЧг {В (х, у} Л В (х, z)^ у = г)
гэ 3oVy {у е v = Эх (х е и Д В (х, у))
(см. пример 15.12, (3)). Исходной логической системой яв-
ляется LK-
С другой стороны, система аксиом BG (теория множеств
Геделя — Бернайса) формулируется в языке второго порядка.
Язык этой системы представляет собой язык системы ZF, по-
полненный переменными второго порядка. Аксиомы те же, что
и у ZF, плюс аксиома равенства
УфУхУу (х = у дэ <р (х) s <р (у)).
Аксиома подстановки выражается теперь одним предложением:
Уф ^x'Vy'Vz (ф (х, у) Л ф (х, z) у = г) дэ
ДЭ 3oVy (у E'Js3x(xEU Аф(х, у)))).
Исходной логической системой является KiC.
Показать, что система BG является несущественным рас-
ширением системы ZF. [Указание. Действовать так же, как и
в предыдущей задаче.]
Определение 16.12. Предположим, что логическими симво-
лами языка являются только ~|, Д и V. (Для удобства базис-
ное исчисление в этом языке также обозначим ВС.)
$ 16. Некоторые системы исчисления предикатов второго порядка 165
1) Формула называется позитивной, если всякое вхождение
в нее квантора второго порядка находится в области действия
четного числа связок ~]. Секвенция
Flt ...,	Нп
называется позитивной, если позитивной является формула
П(К1 Л ••• Л Fm) V Н\ V ... V Нп (где связка V выражена
через связки и Л). Так, например, формула П(ПVqs/7 (<р) А
ДУфЯ(ф)) не является позитивной, так как квантор Уф на-
ходится в области действия одной связки ~], а формула
~|(В А ПУфТ (ф)), где В и F не содержат кванторов второго
порядка, является позитивной.
2) И'-исчислением предикатов, или П’РС, называется си-
стема, получающаяся из системы ВС добавлением следующих
ограничений. (Ради простоты мы предполагаем, что язык не
содержит функциональных и предикатных констант.)
(1)	Начальные секвенции состоят только из формул первого
порядка.
(2)	Нет правила второго порядка У-слева.
(3)	Нет правила сечения.
Очевидно, что всякая секвенция, выводимая в П!РС, яв-
ляется позитивной.
Пусть а и Ь — конечные последовательности свободных пе-
ременных, такие, что все переменные в последовательности а
попарно различны, тогда как в последовательности b они мо-
гут повторяться; а и Ь имеют одинаковую длину. Кроме того,
если z-я переменная в а имеет первый (второй) порядок, то и
z-я переменная в b имеет первый (второй) порядок, и если z-я
переменная в а является /-местной переменной второго порядка,
то такой же является и z-я переменная в Ь. Пусть
обозначает формулу
(т. е. результат замещения в F последовательности а последо-
вательностью &; см. определение 1.4).
(Заметим, что удаление из языка предикатных констант
является несущественным ограничением, поскольку в качестве
таковых можно рассматривать свободные переменные второго
порядка, не использующиеся как собственные.)
Предложение 16.13 (Маехара — Такеути). Если формула
выводима в П'РС, то существует некоторая
формула С первого порядка, удовлетворяющая следующим усло-
виям.
1) Каждая переменная формулы С, не встречающаяся в а,
входит и в F, и в G.
166
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
2) в П'РС выводимы формулы	w С дэ G.
(Заметим, что выводимости формулы Fzr>G не предпола-
гается.)
Доказательство проводится почти так же, как и для тео-
ремы 6.6 (интерполяционная теорема Крэйга для системы LK).
А именно, формулируем это предложение для произвольных
разбиений выводимых секвенций, вводим секвенцию —»Т как
дополнительную начальную секвенцию (см. лемму 6.5) и дока-
зываем утверждение для этой системы. Условия (1) — (3) в оп-
ределении системы П'РС оказываются решающими.
Задача 16.14 (Чэн). Пусть х— последовательность связан-
ных переменных ..., Хп и Qx— последовательность кван-
торов QiX] ... OtnXn, где Ог обозначает V или 3, причем Ог
всегда есть V, если Xt — переменная второго порядка. Дока-
зать, что если формула Qx(F(х) G (х)) выводима в П'РС, то-
существует некоторая формула С (а) первого порядка, такая,
что в П'РС выводима формула
Qx ((F (х) о С (х)) Л (С (х) => G (х))).
[Указание (метод Маехары — Такеути). Это тривиальное след-
ствие предложения 16.16, которое, в свою очередь, является
следствием предложения 16.13.]
Определение 16.15. Пусть G (а) — некоторая формула, все
свободные переменные которой содержатся в а.
Для удобства временно введем метапеременную si третьего
порядка, новую атомарную формулу (а) и соответственно
расширим понятие формулы. (Однако ни эта переменная, ни
какая-либо формула, содержащая ее, не являются объектами
нашей формальной системы.) Пусть F — некоторая формула,,
содержащий Через
/ si \
F \ ZxG (х) 7
обозначим формулу, получаемую из F подстановкой G (&)
вместо (&). Если S — какая-либо секвенция вида Fb ...,
-> Д1, ..., Нп, то
( si \
SI I
k ZxG (х) 7
обозначает секвенцию
/ si \	Г si \	( ^ \	(	\
F1 UxG (х)7’ f,nUxG (x)7“*H1UxG (x)J’ Hn\XxG (x))~
$ 16. Некоторые системы исчисления предикатов второго порядка 167
Вхождения переменной лЛ- в формулу F разделяются на
положительные и отрицательные следующим образом. (Как уже
отмечалось выше, предполагается, что логическими символами
являются только —Л и V.)
1)	Вхождение в ^(6) является положительным.
2)	Если вхождение S& в F является положительным (отрица-
тельным), то это вхождение ^в^АбивСА^ также является
положительным (отрицательным). Вхождение в формулу ~\F
является положительным (отрицательным), если это вхождение^
в F является отрицательным (положительным).
3)	Вхождение £& в VxF (х) или в УфЕ (ф) является положи-
тельным (отрицательным), если это вхождение в F (а) или
F (а) является положительным (отрицательным).
Вх	ождение в секвенцию Е1э ..., Fm—>Gj, ..., Gn является
положительным или отрицательным в зависимости от того,
является это вхождение $& в формулу (FY Л • • • Л Fm) V
V G] V ... V Gn положительным или отрицательным (где
связка V определяется через ~1 и Л).
Предложение 16.16. Пусть G (а) — формула, все свободные
переменные которой содержатся в а, и пусть S — секвенция,
в которой все вхождения переменной S& являются положитель-
ными. Если секвенция
7	\
5 ( KxG (х) J
выводима в П'РС, то существует некоторая формула первого
порядка С (а), удовлетворяющая следующим условиям:
( ^ \
1)	секвенция SI „ , , I выводима в П'РС;
\ ЛхС (х) J
2)	все свободные переменные формулы С (а) содержатся в а;
3)	формула Ух (С (х) G (х)) выводима в П'РС.
Доказательство проводится индукцией по сложности вывода
•секвенции
Г &	\
SI	I
у ZxG (х) )'
В случае применения правила V-справа второго порядка надо
воспользоваться предложением 16.13.
Определение 16.17. Отношение „формула А второго порядка
•выполняется в данной структуре Зд = {D, </>)“ (см. § 8) опреде-
ляется следующим образом. Пусть <j>0 — функция (называемая
оценкой), определенная на множестве всех переменных (первого
и второго порядка), такая, что значениями ее на переменных
168
Г л. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
первого порядка являются элементы множества D, а на /-мест-
ных переменных второго порядка — подмножества множества
пх ... X£»(=£»').
1) Формула a(/i...... /г) (или <р(/ь	/г)) выполняется
в интерпретации {2D, ф0), если {</>oti, • ••> ФоЦ) принадлежит фаа
(соответственно </>оф).
2) Формула УфГ (ф) (или ЗфР (ф)) выполняется в интерпрета-
ции (£&', ^0), если для всякой оценки ф'о (соответственно для
некоторой оценки </>'), совпадающей с ф. на всех переменных,
кроме, быть может, <р, F (<р) выполняется в интерпретации {2D, ф'а"ф
В остальных случаях определение такое же, как в § 8.
Формула называется истинной в структуре 2D, если она
выполняется в интерпретации {2D, ф0) при любой оценке ф0.
Формула называется общезначимой, если она истинна во всех
структурах.
Предложение 16.18. Исчисление П'РС является полным для
позитивных формул {или секвенций), т. е. всякая общезначимая
позитивная формула выводима в П’РС. Отсюда следует, что пра-
вило сечения является допустимым в П'РС, т. е. если секвенции
Г —> Д, D и D, Г—>Д выводимы в П'РС, то и секвенция Г—>Д.
выводима в П'РС.
Доказательство. Это утверждение можно доказать, следуя
доказательству полноты системы LK (теорема 8.2), а именно
для данной позитивной секвенции строим редукционное дерево
и, если в нем содержится некоторая бесконечная ветвь, опре-
деляем структуру, в которой эта секвенция ложна. На каждом
этапе построения редукционного дерева появится новый случай,
соответствующий формулам, которые начинаются с квантора Уф.
Эти формулы могут входить только в сукцеденты секвенций,
так как все секвенции являются позитивными.
Итак, допустим, что (на некотором этапе) рассматривается
секвенция П—>Л, и пусть Уф1Г1 (ф1), ..., Уфп^п(фп) — все фор-
мулы в Л, начинающиеся с квантора У (второго порядка).
Запишем над рассматриваемой секвенцией секвенцию П->Л,
Fi (а^, ..., Гп(ап), где аь ..., ап — первые еще не использован-
ные п свободных переменных (второго порядка). Заметим, что
если F (а) ложна в какой-то структуре, то в ней ложна и фор-
мула УфГ(ф).
Задача 16.19. Пусть язык L содержит символы 0, ', =, <,
и пусть Го состоит из аксиом Пеано первого порядка в этом
языке без аксиомы математической индукции. Предположим
также, что каждая формула в Го находится в предваренной
нормальной форме и не содержит квантора В. Пусть N {а)
£ 16. Некоторые системы исчисления предикатов второго порядка 169
обозначает формулу
V<p (<р (0) Л Vx (q> (х) zd ф (х')) Л УхУу (х = у Л ф (х) =э ф (у)) о ф(а)).
Показать, что если секвенция Г0->Г({х} N(х)) выводима в П'РС,
то существует некоторая формула А (а) вида 0 = 0 или
a = hi\J ... У a — nk для некоторых нумералов nlt ..., hk,
такая, что в П'РС выводима секвенция Го —> Г ({х} А (х)).
Решение. Из предложения 16.16 вытекает существование
некоторой формулы первого порядка А (а) языка L, такой, что
1)	единственной свободной переменной в А (а) является а;
2)	секвенция Го, А (а)—> N (а) выводима в П'РС;
3)	секвенция Го-> Г ({х} А (х)) выводима в П'РС.
В силу хорошо известного разрешающего метода мы можем
считать, что А (а) имеет один из следующих видов:
а)	0 = 0;
Ь)	0= 1;
с)	а = п\ V а = и2 V ... V а = nk',
d)	ii < aV a —Hi У ... \/a = nk.
•Случай 1. А (а) есть 0=1.
Поскольку все вхождения N в F ({х} N (х)) являются положи-
тельными, из выводимости секвенции Го—> F ({х} (0 = 1)) следует
выводимость секвенции Го-> F ({х} (0 = 0)).
Случай 2. А (а) имеет вид п<аУ a — iii У ... У a — nk.
В этом случае в силу 2) выводима секвенция Го, п < а—> N (а).
Следовательно, выводима и секвенция
Го, ii <а, а (0), Vx(a(x) дэ а(х')), УхУу (х = у Л а(х) дэ а (у)) ->а(а).
Теперь введем новую индивидную константу ® и подставим
а < ® вместо a (а). Тогда мы получим некоторый вывод сек-
венции
Го, 0 < ®, Vx (х < ® дэ х' < ®) -*.
Рассмотрев обычную интерпретацию константы < на мно-
жестве {0, О', 0", ..., со, о', ®", ...}, мы приходим к противо-
речию.
Задача 16.20 (Крайзель). Рассмотрим систему РА' предикатив-
ной арифметики второго порядка, определенную в задаче 16.10.
Введем следующие обозначения: yfA(f) (соответственно 3f А (/))
является сокращением для Vф (ф есть функция дэА*(ф)) (соот-
ветственно для Вф (ф есть функция и А*(ф))), где предикат
„Ф есть функция" выражается формулой
Vx3z/Vz (ф (х, г) = у = г),
170
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
и Л‘(ф) получается из A(f) таким образом: все подформулы
формулы A (/) вида В (f (/)) (систематически) замещаются в А
на Зу(ф(и)ЛВ(»))-	(
Далее, ^-формулой (соответственно ^-формулой) назовем
всякую формулу вида УфА(ф) (соответственно ЗфА(ф)), где
А — арифметическая формула. Всякая П*-формула эквивалентна
(в РА') формуле, имеющей „п'-нормальную форму", т. е. фор-
муле вида Vf3yR(fy} для некоторого примитивно рекурсив-
ного предиката R (точнее, примитивно рекурсивного относительно
свободных переменных второго порядка, входящих в эту фор-
мулу), где fy обозначает гёделев номер последовательности
(/ (0), ..., f (у— 1)). Аналогично всякую Sj-формулу можно при-
вести к ^-нормальной форме, т. е. к формуле вида 3fVyR(fy}
для подходящего примитивно рекурсивного предиката R. Нако-
нец, П\-предикатом или и\-отношением (скажем, от k перемен-
ных) назовем такое отношение, которое можно выразить неко-
торой nJ-формулой, имеющей k свободных переменных первого
порядка (и не содержащей свободных переменных второго
порядка). Аналогично определяются ^-предикаты (^[-отношения).
Пусть теперь <— некоторое Sj-упорядочение, т. е. бинарное
S'-отношение, представляющее собой линейный порядок на
натуральных числах. Пусть формула 1Ге(<-) выражает тот
факт, что отношение < является вполне-упорядочением:
V/Эх ~1 (f (х + 1) <• f (х)). Допустим, что формула We(<-) выво-
дима в РА7, т. е. отношение <• является доказуемым вполне-
упорядочением относительно РА7.
Показать, что ординал упорядочения <• (т. е. его порядковый
тип) меньше, чем е0-
[Указание. Сначала привести формулу a<-b к Si-нормальной
форме 3f^yR(fy, а, Ь). Затем последовательно доказать сле-
дующие 7 утверждений.
1)	Пусть <„ некоторое перечисление примитивно рекурсив-
ных бинарных отношений (где ra = 0, 1, 2. ...), и пусть W7 (х)
обозначает формулу We(<.x). Тогда W (х) является (доказуемо)
полной nJ-формой, т. е. существует примитивно рекурсивная
функция S (г, х), такая, что для каждого nJ-предиката А (х)
существует число г0, такое, что в РА7 выводима формула
Vx(A(x)^IF(S(r0, х))).
2)	Для всякого Sj-предиката В (х) существует натуральное
число п, такое, что в РА7 выводимо В (п) = ~1 W (га). (Надо
формализовать те рассуждения в теории рекурсии, которые
показывают, что существует Si-предикат, не являющийся
nJ-полным.)
£ 17. Теория релятивизаций
171
3)	Пусть W'i(x) — формула, выражающая тот факт, что
существует вложение <х в <?, т. е. что существует сохраняю-
щая порядок функция, заданная на области определения отно-
шения <х и принимающая значения в области определения
отношения <• (откуда следует, что отношение <х является
вполне-упорядочением, ординал которого меньше или равен
ординалу упорядочения <•)• Тогда Wi(x) является ^{-формулой,
и поэтому существует формула НА (х), имеющая Si-нормальную
форму, такая, что в РА' выводимо Vx(ri(x) = rt (х)).
4)	Так как формула 1Ге(<-) выводима, то формула
Vx (X (х) дэ W (х)) также выводима.
5)	В силу 2) существует п, такое, что выводима формула
IT'j (га) == “W (п). Тогда в силу 4) выводимы W (п) и '_1НА(/г).
6)	Выводимость в РА' формулы W (п) означает, что прими-
тивно рекурсивное отношение <„ есть доказуемое вполне-упо-
рядочение относительно РА' и, следовательно, относительно РА.
Отсюда в силу результата Генцена, приведенного в предыдущей
главе, следует, что ординал отношения <„ меньше, чем е0.
7)	Формулы W (п) и —1ИА(ц) (см. 5)) означают, что <„ есть
примитивно рекурсивное вполне-упорядочение, не вложимое
в <•> и поэтому ординал упорядочения <• меньше ординала упо-
рядочения <„. Отсюда и из 6) следует, что порядковый тип
упорядочения <• меньше е0.]
§ 17. Теория релятивизаций
Определение 17.1. Системой релятивизации называется пара
формул 7?°(а) и R1 (а), каждая из которых содержит ровно по
одной переменной а и а соответственно. Одна или даже обе
формулы R°(a) и 7?1 (а) могут на самом деле отсутствовать.
Система релятивизации часто будет обозначаться буквой г.
Для произвольной полуформулы А (второго порядка) индук-
тивно определим Аг (релятивизацию А по г). (Здесь предпола-
гается, что г состоит из двух формул. Если одна или обе
формулы R° и R1 отсутствуют, то определение соответствующим
образом модифицируется.)
1)	Если А не содержит логических символов, то Аг совпа-
дает с А.
2)	Если А имеет вид В А С, В \/ С, В тэ С или ~~\В, то Аг
есть Вг Д Сг, В' V Сг, Вг С' или ~~\ВГ соответственно.
3)	Если А имеет вид VxF (х) или 3xF (х), то Аг есть
Vy(R° (у) Fr (у)) или Зу (R° (у) A Fr (у)) соответственно, где Fr (у)
есть (F (у))г, а у — переменная, не входящая ни в R° (а), ни
в Fr (а).
172
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
4)	Если А имеет вид V<pF (<р) или 3<pF (<р), то Аг есть
Vtp (/?* (ip)zDFr (ip)) или 3ip (/?’ (ip) A Fr (ф)) соответственно, где Fr(ty}
есть (F Сф))г, a i|> — переменная, не входящая в R1 (а) и Fr (а).
5)	Если А — абстракт вида {уг, .... г/„}В(г/ь ..., уп), то А'
есть {z/i, ..., уп} (В (z/i, ..., уп))г.
Лемма 17.2. (1) Если А не содержит кванторов, то А' совпа-
дает с А.
(2)	Произвольная свободная переменная входит в А тогда и
только тогда, когда она входит в Аг.
(3)	Произвольная связанная переменная свободно входит в А
тогда и только тогда, когда она свободно входит в Аг.
(4)	А является формулой тогда и только тогда, когда Аг
является формулой.
(5)	Пусть А(0 обозначает А(а)^а^\ тогда (A(f))r есть то же
самое, что и Ат (i), т. е. (А(а))г(^) („то же самое" означает
совпадение с точностью до обозначений связанных вхождений
связанных переменных).
(6)	Пусть A(V) обозначает А(а)(”); тогда (А(Е))'' есть
то же самое, что и Ar(V")> т- е- (А (а))г (	) (ы опять-таки
с точностью до обозначений связанных вхождений связанных
переменных).
Доказательство. Применяем индукцию по числу логи-
ческих символов в А. Доказательство утверждений (1) — (5)
предоставляется читателю.
(6)	Пусть абстракт V имеет вид {у} С (у) (для простоты мы
предполагаём, что это одноместный абстракт). Если А (а) имеет
вид а (0, то (А (У))г есть (С (t))r, а (А (а))г ( “г) есть (а (t))r ( “г ) >
т. е. Cr (t), что в силу (5) есть то же самое, что и (С (t))r.
Допустим, что А (а) имеет вид VxF(x, а). Тогда (Vxf (х, У))г
есть Vz/ (R° (у) => (F (у, Е))г). По предположению индукции это
то же самое, что и Vz/ (/?° (у) zd Fr (у, а)(уг))> т- е.
(VxF(x, а))'(;г).
Допустим, что А (а) имеет вид V<pF(<p, а). Тогда (V<pF (<р, Е))г
есть Vxp (R1 (1|>) zd (F (ф, V)/). По предположению индукции эта
то же самое, что и (ip) zd Fr($, а)), т. e. (V<pF(q), a))r (yr)-
Рассмотрение остальных случаев предоставляется читателю.
J 17. Теория релятивизаций
173
Определение 17.3. (1) Если Г — последовательность формул
Ль ..., Ат, то Гг обозначает последовательность Ai, ..., Агт-
Для простоты мы будем писать г и вместо /?°, и вместо R1.
Всегда будет ясно, что имеется в виду, поскольку г (а) обо-
значает /?° (а), а г (а) обозначает /?' (а).
(2) Допустим, что дана некоторая система релятивизации г.
Через Ф обозначим множество, состоящее из следующих
формул:
1)	г (с) для всех индивидных констант с (рассматриваемого
языка);
2)	Vr/i ... Vz/m (г (z/i) A • • • А г (Ут) =>r{f {ylt ym))) для
всякой функциональной константы f;
3)	Bxr(x);
4)	3<pr(<p).
Пример 17.4. Пусть язык содержит выделенную двухметную
предикатную константу =. Допустим, что г состоит лишь из
формулы R1, где (а) есть
VxVу (х == z/ Д а (х) => а (у)).
Пусть —следующая система аксиом:
Vx (х = х),
ЧхЧу (х = у=> у = х),
VxVyVz{х — у /\ y = z’=> x = z),
Vxj ... VxmVy\ ... Vz/m (xj z/i A • • • A xm ym td f (xj, ..., xm) -
= f (z/ь ..., ym)) для всякой функциональной константы /,
Vxi ... VxmVyi ... Vz/m (xi  - yi /\ ... A xm уm /\
Д P (xI; ..., xm)=>P (z/b • • • > Ут)) для всякой
предикатной константы Р.
Чтобы применить к этому примеру излагаемую ниже теорию,
нам нужно проверить, что для всякого Л из Ф в рассматри-
ваемой системе выводимо ^->Л. Поскольку формула R°
отсутствует, нам надо только рассмотреть 4). Нетрудно про-
верить, что это условие действительно выполнено. (Более того, г
и 3) удовлетворяют условию 5) леммы 17.5.)
Лемма 17.5. Пусть S — система КС, где К — произвольное
множество формул, замкнутое относительно подстановок {см. опре-
деления 15.14 и 15.15). Допустим, что система релятивизации г
удовлетворяет следующему условию: если V — произвольный
К-абстракт, то Vr тоже ^-абстракт {это выполняется, например,
когда К состоит из всех формул языка). Пусть $ — некоторая
174
Г л. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
система аксиом, такая, что для всякого А из Ф в S выводима
секвенция	и, кроме того,
5)	для всякого ^.-абстракта V в S выводима секвенция г (Ь), ...
..., г ф), ..., д$->г (Vr), где Ь, ... и р, ... — все свобод-
ные переменные, входящие в V (а следовательно, и в Vr;
см. утверждение (2) леммы 17.2).
Тогда для всякой выводимой в S секвенции Г—>0 в S выводима
секвенция
г (а), ..., г (а).<%, Гг—>0Г,
где а, ... и а, ... — все свободные переменные, входящие в Г, 0.
Сначала мы докажем следующую подлемму.
Подлемма 17.6. Если s — некоторый терм, то в S выводима
секвенция г(Ь), ..., SS—?r(s), где Ь, ...—все свободные пере-
менные первого порядка, входящие в s.
Это утверждение доказывается индукцией по числу функ-
циональных констант, входящих в $.
Доказательство леммы 17.5 проводится индукцией
по сложности вывода секвенции Г—>0.
1)	Вывод состоит лишь из начальной секвенции D—>D.
Тогда Dr —>Dr — тоже начальная секвенция. Поэтому в S,
очевидно, выводима секвенция -Ti, DT —> Dr и, следовательно,
секвенция г (а), ..., г (а), ..., д§, Dr->Dr.
2)	Последним применяется правило V-слева первого порядка
F(s), Г'^0
VxF (х), Г' -> 0.
По предположению индукции в S выводима секвенция
г(а), ..., г(а), ..., Fr(s), Г"-^0Г.
(см. утверждение (5) леммы 17.2), а также г (Ь), ..., &—>r(s)
в силу подлеммы 17.6 (где переменные Ь, ... находятся
среди а, ...). Поэтому в S выводима и секвенция
г (а), ..., г (а), ..., Vx (г (х) => Fr (х)), Гг->0'.
3)	Последним применяется правило V-справа первого по-
рядка
Г->0', F(d)
Г—>0Z, VxF(x).
По предположению индукции в S выводима секвенция
г (а), ..., г (а), ..., $, Гг —>&'r, Fr (d),
где d не входит в антецедент. Поэтому выводима и секвенция
г (а)..........г (а)....Я Г->0/г, Vx(r(x)3F'(x)).
17. Теория релятивизаций
175
4)	Последним применяется правило V-слева второго порядка
F (V), Г->0
Vq>F (<р), Г'^0,
где V — некоторый К-абстракт. По предположению индукции в S
выводима секвенция
г (а), г (а), Д, Fr (V), ГГ->0Г
(см. утверждение (6) леммы 17.2). Следовательно, секвенция
г (а), ..., г (а),	^->г(И
также выводима в S в силу условия 5) (поскольку среди а, ...
..., а, ... содержатся все свободные переменные, входящие в V).
Поэтому выводима и
г(а), ..., г (а), ..., Д, r(VT)-Fr (Vr), Г'Г->0Г.
Кроме того, в силу соглашения о множестве К Vr является
К-абстрактом, и потому в S из последней секвенции выводима
секвенция
г (а), г (а), ..., Si, Уф (г (ф) Fr (ф)), Г'г 0Г.
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Определение 17.7. (1) Под системой аксиом (в настоящем
параграфе) понимается произвольное множество формул, не
содержащих свободных переменных первого порядка.
(2) Пусть .^ — произвольная система аксиом, и пусть г —
система релятивизации. Через обозначим множество всех
формул вида Ат для А из
Теорема 17.8. Пусть S& и Si— некоторые системы, аксиом.
Допустим, что формальная система S и система аксиом S удо-
влетворяют условиям леммы 17.5 и, кроме того, следующим
условиям: для всякой формулы А из	в S выводимо
дЗ—>Аг: для всякой свободной переменной а второго порядка,
входящей в st- U S, в S выводимо Si-+r(a). Тогда
(1) если для некоторой формулы В s S выводимо .Д IJ В,
то выводимо и Д—>ВГ’,
(2) если система аксиом Si непротиворечива (относительно S),
то и система аксиом сЛ- U Si непротиворечива (относительно S).
Замечание. Утверждение (1) теоремы 17.8 можно выразить
следующим образом: система .>/U Ж интерпретируема в си-
стеме S1 (относительно S), или, точнее, г осуществляет интер-
претацию (или „внутреннюю модель") системы .>71).^ в си-
стеме S (относительно S).
176
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
Доказательство. (1) Допустим, что в S выводимо
В. Тогда существуют конечные последовательности
формул Г и А из -'-Г и соответственно, такие, что секвенция
Г, А—>В выводима (в S).
Поэтому в силу леммы 17.5 в S выводима секвенция
г (а)...................Г',	А'—>В'.
(Напомним, что Г и А не содержат переменных первого по-
рядка.) По условию для всякой фоРмУлы А и переменной вто-
рого порядка а, входящей в Г1М, в S выводимы ГЙАг и
>г(а). Следовательно, в S выводимо &-^>-Вг.
Утверждение (2) следует из (1), если в качестве В взять
формулу С Л —1 С (поскольку (С А П С)т совпадает с С Д “1 С').
Определение 17.9. В следующей ниже теореме L' обозначает
язык второго порядка, содержащий константы 0, ' и =, а —
множество, состоящее из следующих аксиом (для арифметики)
в этом языке:
Vx(~l х' = 0),
VxVy (х = у пэ х' = у'),
ЧхУу(х' — у' ПЭ х = у),
Ух (х — х),
УхУу (х = у^у = х),
УхУуУг(х — у /\y~zzDx~z).
Теорема 17.10 (относительная непротиворечивость классиче-
ского анализа). Рассмотрим классический анализ, формализо-
ванный в виде системы аксиом .s£oU{Eq', VJ'} на основе логи-
ческой системы G'LC в языке L'. (Аксиомы Eq' и VJ' были
определены 'в задаче 16.10.) Тогда справедливы следующие ут-
верждения:
(1) классический анализ интерпретируем в системе (отно-
сительно G'LC);
(2) классический анализ непротиворечив, если для G'LC верна
теорема об устранении сечений.
Доказательство. Интерпретация осуществляется в два
этапа.
(i) В силу теоремы Г7.8 система ^/0U{Eq'} интерпретируема
в п70 (относительно G'LC), где г состоит из одной формулы Л1 (а)
и R1 (а) есть УхУу (х = у Д а (х) пэ а (у)) (формула отсутствует).
В самом деле, взяв в качестве V абстракт {и} (и = 0), мы
можем в G'LC вывести ^/0-»-г(У), и, следовательно, Ло—»3фг (ф).
Далее, индукцией по логической сложности абстракта V легко
$ 18. Определение истинности для арифметики первого порядка 177
доказывается, что выполняется условие 5) леммы 17.5, кроме
того, в G'LC выводима формула (Eq')'.
(ii) Далее, опять-таки в силу теоремы 17.8 система .V0(J
U {Eq', VJ'} интерпретируема в .V0IJ {Eq'}; на этот раз г со-
стоит из одной формулы Д°(а), где 7?°(а) есть
Vqp (qp (0) Д Vz/ (ф (у) о ф (у')) о ф (а))
(формула R1 отсутствует). Тогда, как легко показать, в G’LC
выводимы г (0) и, следовательно, Зхг (х). Далее, для всякой
формулы А из .Vo IJ {Eq'} в G'LC выводимы .Vo, Eq'-^-A',
а потому и <V0, Eq'->VJ".
Таким образом, утверждение (1) доказано. На самом деле
эти два этапа можно было бы скомбинировать таким образом,
чтобы осуществить интерпретацию системы .V0U{Eq', VJ'} в .Vo
непосредственно, с помощью единственной системы релятиви-
зации. Определение такой системы релятивизации предоста-
вляется читателю.
Чтобы доказать утверждение (2), мы сначала показываем,
что если система непротиворечива (относительно G'LC),
то непротиворечива и система .V0U{Eq', VJ'}. Доказываем это
так же, как и утверждение (1), дважды применяя утвержде-
ние (2) теоремы 17.8.
Для завершения доказательства надо показать, что си-
стема До непротиворечива (относительно G'LC) в предположении,
что в G'LC устранимо правило сечения. Но это очевидно, так
как всякий вывод секвенции .Vo—> в G'LC без сечений должен
быть на самом деле выводом в LK. что невозможно.
§ 18. Определение истинности для арифметики первого
порядка
Определение 18.1. (1) Ранее мы только упоминали время от
времени арифметику второго порядка, теперь опишем ее более
систематично. Язык арифметики второго порядка — это язык
системы РА (см. § 9), пополненный переменными второго по-
рядка. Ее базисной логической системой является система ВС
(см. определение 15.3), а аксиомы (т. е. математические на-
чальные секвенции) у нее те же, что и у системы РА, плюс
обобщенные аксиомы равенства
з = I, А (з) —> А (!)
для произвольных термов s, t и произвольной формулы А.
Различные системы арифметики второго порядка классифи-
цируются по виду аксиом индукции и выделения (каждая из
этих аксиом на самом деле является правилом вывода). Если
обе эти аксиомы допускаются для всех формул и абстрактов,
178
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
мы получаем классический анализ. Чтобы упростить рассуж-
дения, мы предположим, что логическими символами являются
только ~1, Л и V, хотя иногда будут использоваться и другие
символы. Напомним, что правило индукции имеет следующий
вид:
F (а), Г->0, F(a')
F (0), Г->0, F(s),
где а не входит в Г, 0 и F (0), а $ — произвольный терм. Фор-
мула А называется индукционной формулой, а переменная
а — собственной переменной этого правила. Аксиома выделения,
или правило V-слева второго порядка, имеет такой вид:
F(V), Г->0
V<pF (<р), Г —> 0,
где V и ф имеют одинаковое число аргументных мест.
Как правило, мы будем иметь дело с системами, в которых
индукционные формулы принадлежат определенному классу
формул, замкнутому относительно подстановок (см. опреде-
ление 15.14, п. (3)), а абстракты для правила V-слева второго
порядка также принадлежат некоторому классу, замкнутому
относительно подстановок. Если индукционная формула или
абстракт для правила V-слева выбирается из некоторого мно-
жества К, то эти правила мы называем аксиомами ^-индукции
и ^-выделения соответственно.
(2) Формулы арифметики второго порядка, не содержащие
кванторов второго порядка, называются арифметическими.
Также арифметическими называются те абстракты, которые
получены из арифметических формул.
(3) Пусть IE. — класс формул вида Vф13ф2 ... фгЕ(фг ф2, ...
..., фг), где VфlЗф2 ... ф; обозначает строку, состоящую из I
чередующихся кванторов по связанным переменным второго-
порядка и начинающуюся с V, и F— арифметическая формула.
Замыкание класса II* относительно подстановок будем назы-
вать классом П* в широком смысле. Класс и класс
в широком смысле определяются аналогично (с Эф^ф2 . • • Ф;
вместо Vф13ф2 ... ф;). (При i — 1 эти классы, по существу,
совпадают с классами, определенными в задаче 16.20, где
вместо кванторов по предикатам использовались предикаты
по функциям, поскольку предикаты и множества можно пред-
ставить их характерис тическими функциями.)
Следующее ниже предложение непосредственно вытекает
из этого определения.
$ '3. Определение истинности для арифметики первого порядка 179
Предложение 18.2. (1) Аксиомы П,-выделения и (11J в широ-
ком смысле)-выделения эквивалентны (в ВС). То же самое
верно для аксиом 2.выделения.
(2) Аксиомы П’-выделения и ^[-выделения эквивалентны
(в ВС).
Это предложение позволяет нам отождествлять аксиомы Пг,
(п{ в широком смысле)-, и (s| в широком смысле)-выделе-
ния. Поэтому все эти аксиомы мы будем называть аксиомами
П'-выделения.
Определение 18.3. Предполагаем, что имеется некоторая
гёделева нумерация формальных объектов системы РА и ГЛ'“1
обозначает гёделев номер объекта X (см. § 9 и 10). Пере-
числим необходимые нам примитивно рекурсивные функции и
предикаты.
1s (а): число логических символов в формуле с номером а.
fl (а): а есть номер некоторой формулы системы РА.
st (а): а есть номер некоторого предложения (т. е. замкну-
той формулы) системы РА.
tm (а): а есть номер некоторого терма.
ct (а): а есть номер замкнутого терма.
sub (ГА"‘, rai~l, ГП): номер результата подстановки t вме-
сто at в А. Его можно обозначить также через ГА (tp.
v С"/-1): значение терма t (если он замкнут).
v (а): гёделев номер нумерала а.
Мы будем использовать следующие сокращения:
(... ГДП . ..) - для Vx (fl (х) до ... х),
VrA Д В"1 (... ГА А В'1 ...) — для Vx(fl(x)A „внешним
логическим символом фор-
мулы с номером х являет-
ся Д“ дэ ... х ...),
V1'/"1 (... ГП ...) — для Vx (tm (х)дэ ... х ...).
Кроме того, для всякого терма t (аг) и формулы A (aj мы
будем писать
rt(v (&))п вместо sub (г/(агР, гар, v (b)),
rA(v(b))~l вместо sub (гА (а;р, гйр, v(Z>)).
В данном параграфе S1 обозначает систему арифметики
второго порядка с арифметической аксиомой выделения и с пра-
вилом индукции для (П! в широком смысле)-формул.
Через РА' обозначим систему арифметики второго порядка
с арифметическим правилом индукции и арифметической аксио-
мой выделения. (Эта система, очевидно, эквивалентна системе
предикативной арифметики, которая была определена в за-
даче 16.10 и также была обозначена через РА'.)
180
Г л. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
Чтобы избежать большого количества скобок в обозначе-
ниях, мы используем точки хорошо известным способом, так,
например, A.td.B^zC обозначает Адэ(В = С).
Этот параграф посвящен определению истинности для си- 
стемы РА. Построение производится внутри системы S'.
Определение 18.4. Через F (а, п) обозначим следующую
формулу:
Vr/i'1Vr/2_| [Ct (ПР) л Ct (Пр)
(а (ГЛ = /2П) v Г/Р) = и (%->))] Д
д	[St(гл АВ“>) Als(rA АВ->]</г=э
zd (а (ГА А В-1) = а Г Д’1) А а (ГВ">))] Д
A V г И A"1 [st Г "I A-1) A 1s ('—I А-1) <
дэ(а(>-^А->) = -1а(гА->))] Д
A V rVxzA (xzp [st (rVx(- А (х,)3) A Is (rVxzA (xzp) < « zd
(a (rVxzA (xzP) =s Vxa (ГД (v (x))">))].
Формула F (a, ri) означает, что a является определением истин-
ности для предложений, имеющих сложность На самом
деле предикат Тп, удовлетворяющий условию F {{у} Тп (у), п),
был определен в § 14 для каждого п (отдельно). Однако теперь
мы можем пойти дальше и дать определение истинности для
всех предложений, а именно пусть Т {а) обозначает следующую
формулу:
st (a) А Зф (F (<р, Is (a)) А Ф {а)).
(Замечание. Предикат Т (а) не является „определением истин-
ности“ в смысле определения 10.10. Мы 'здесь обобщаем по-
нятие определения истинности. Смысл этого предиката прояс-
нится в теореме 18.13.)
Лемма 18.5. В системе РА7 выводимы следующие секвенции:
(1)	F(a, ri), F(₽, ri), st(rA"’), ls(rA'l)<n->a(r4-')sP(t'A’1)
{эта секвенция утверждает, что всякое а, для которого справед-
ливо F (a, п), определено однозначно, по крайней мере относи-
тельно предложений сложности ri^n);
(2)	F (а, п), m^n—> F (а, пг);
(3)	F(a, ri), В (а, [3, ri)—>F(P, п -j- 1), где Е{а, [J, ri) обозначает
следующую формулу:
Vx ф (х) = [st (х) A 1s (х) «С п А а (х)] V
V [st (х) A 1s (х) = п + 1 А
А {3 г Д’1 (х = г ПД’1 Д па (гА"1)) V
V 3 ГА“13 ГВП (х == ГА А В-1 А а(гА"*) А а(гВ-1)) V
V 3 г VxzA {Xip {х = ryXiA {Xlp A Vz/a (гA (v (у)р))}])
J 18. Определение истинности для арифметики первого порядка 18Т
(эта формула означает, что Р является продолжением а на пред-
ложения сложности ^п+1);
(4)	-> УпУфЗфЕ (<р, ф, п) (существование продолжения)',
(5)	G (а) —> F (а, 0), где G (а) обозначает формулу
Vx (а (х) == 3 г6'1 3 [ct Г/Р) Д ct (%->) Л
Л (х = rt, = Л v Г/р) = v )
(определение истинности для предложений сложности п~0).
Предложение 18.6. В S1 выводима формула Vn3<pF(<p, п).
Доказательство. Применяем правило индукции с индук-
ционной формулой 3<рГ(ф, а), которая принадлежит классу Si,
а потому и классу П* в широком смысле. Далее используем
утверждения (4), (2), (3) леммы 18.5.
Предложение 18.7. В S* выводима формула
Т (а) (st (а) А Vф (F (ф, 1s (а)) =з ф (а))).
Доказательство. Применяем утверждение(1) леммы 18.5
и предложение 18.6.
Следующее предложение утверждает, что предикат Т ком-
мутирует с логическими символами.
Предложение 18.8. В системе S1 выводимы следующие сек-
венции:
(1)	st(''A'1)->7(I'nA'1)^n7('-A'1);
(2)	st(rB“1) Д st(rC~1)—>T(rB Д С') = Т(гв~') КЦГС^.
(3)	st (^XiB (xtD -> T (<-yXiB (х;Г) = Vx7’ (rB (v (х))Д.
Это предложение вытекает из предложения 18.6 и утвер-
ждений (1) и (2) леммы 18.5. Следует отметить, что если мы
примем предложение 18.6, то рассуждения можно будет про-
вести в системе РА'.
Лемма 18.9. (1) В системе РА' выводима секвенция
ct ГЛ"1), Ct (%->) Т (ГЛ = V Г/Д) =± v Г/2->).
(2)	В системе РА выводимы равенства
a)	v (Гv (Ь)-1) — Ь;
b)	v (rt(v (b^, ..., v (Ьк))п) = t (bi, ..., bk), где t (ах, ..., не-
произвольный терм, все свободные переменные которого содер-
жатся среди а\, ..., а^, и Ь1г bk— произвольные свободные
переменные.
182
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
Предложение 18.10. Пусть Л(аь а/г)—некоторая фор-
мула системы РА, не содержащая никаких свободных’перемен-
ных, кроме at, а*. Тогда в S1 выводима формула
Т(ГА(у(Ь\),	bk).
Доказательство проводится индукцией по сложности фор-
мулы А с использованием утверждения (2) леммы 18.9 и пред-
ложения 18.8.
Теорема 18.11 (свойство определения истинности). Пусть А —
произвольное предложение системы РА. Тогда в S1 выводима
.формула
Т^А^) = А.
Эта теорема является частным случаем предложения 18.10.
После того как мы установили основное свойство пре-
диката Т, мы можем доказать в S1 непротиворечивость систе-
мы РА.
Определение 18.12. Напомним (см. § 10), что формула
ProvpA (р, а) выражает предикат „р есть вывод формулы а
в РА“ (нижний индекс „РА“ может быть опущен). Далее,
формулу BpProv(p, а) будем сокращенно обозначать через
Рг (а).
Лемма 18.13. (1) В РА выводима секвенция
НГ/р), ct(r/p), ct Г/(Op),
-^УГ/(/1)->) = 0(г/(/2)-1);
(2) в S1 выводима секвенция
ПГ/Д), ct(ftp), st (ГА (О)"1), 0(П1->) = 0 (%-•)_>
->7'ГЛ(/1Р) = Т(гЛ(/2)'>).
Доказательство утверждения (2). Применим индукцию
по п к следующей формуле:
V гЛ (afp [st (гЛ (О)-1) A 1s (ГЛ (О)-1) < п .=>
zo. V r/,-1 V Пр (ct (г/р) д ct (ЧР) Д v (Пр) = v Г/р)о
=57’(гЛ(/1)-1)^7'(гд(/2)-1))].
Эта формула принадлежит классу П{ в широком смысле. Ис-
пользуем утверждение (1) этой леммы и предложение 18.8.
Теорема 18.14. В системе S1 выводима секвенция st (а),
Рг (а) -> Т (а).
§ 19. Интерпретация арифметических систем второго порядка
18$
Доказательство. Применим правило индукции по п
к следующей формуле:
(*)	Ул(/(у)<пэГ(и(!/))),
где если у — гёделев номер некоторого вывода секвенции
Ah Am->Bh Вр, то i(y) равняется числу применений
правил в этом выводе, а и (у) обозначает „универсальное за-
мыкание" формулы (Д1 Л ... Л Дт) до (Bj V ... V Вр) (т. е.
предложение, полученное добавлением спереди необходимого
числа кванторов всеобщности). Функции I и и примитивно
рекурсивны. Формула (*) принадлежит классу II' в широком
смысле. Остается воспользоваться предложением 18.8 и лем-
мой 18.13.
Теорема 18.15. В S’ выводима формула Consis(PA).
Доказательство. Применяем теоремы 18.11 и 18.14
к формуле 0 = 0'.
Задача 18.16. Через ZF' обозначим систему аксиом ZF на
основе логической системы KiC (см. определения 15.15 и 16.4)
с правилом (конечной) индукции для П}-формул. Дать в ZF'
определение истинности для системы ZF и тем самым доказать
ее непротиворечивость в ZF' [Указание: следовать доказатель-
ству, изложенному в настоящем параграфе. Важно отметить,
что формула 7’(ГА'1), где А — некоторая аксиома подстановки,
снова есть аксиома подстановки.)
§19. Интерпретация арифметических систем второго
порядка
Определение 19.1. (1) Через S2 обозначим арифметику вто-
рого порядка с арифметической аксиомой выделения и аксио-
мой полной индукции, а через S3 — арифметику второго порядка
с аксиомой (ill в широком смы'сле)-выделения и аксиомой (п'
в широком смысле)-индукции. Заметим, что S2 и S3 — расши-
рения системы S1.
(2) Будем предполагать, что имеется некоторая стандартная
нумерация языка (арифметики) второго порядка. В частности,
га1'1, га2~1, ..., ГФ1~1,	’"Фг”1, ••• обозначают гёделевы но-
мера переменных второго порядка. В число формальных объек-
тов мы теперь включим и абстракты. Поэтому нам нужны
гёделевы номера для них: г{~1, г}~1, г{х} А (х)-1. (В действи-
тельности мы используем здесь только арифметические аб-
стракты.)
Заметим, однако, что, хотя мы для удобства и включили
абстракты в число формальных объектов, в действительности
184
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
они, как таковые, не входят в формулы системы S2 (как уже
объяснялось в § 15).
(3) Мы переносим сюда из § 18 все обозначения для при- ,
митивно рекурсивных функций и предикатов, относящиеся к
арифметике первого порядка (некоторые из них, такие, как 1s (а),
здесь естественным образом приспосабливаются для языка вто-
рого порядка).
Нам нужны также следующие примитивно рекурсивные
функции и предикаты:
f 12 (а): а есть формула первого или второго порядка (си-
стемы S2).
st2 (а): а есть предложение, т. е. fl 2 (а) и а замкнуто.
ab (а): а есть арифметический абстракт.
cab (a): ab (а) и а замкнуто.
sub (гД'1, га'1, ГУ'1): результат подстановки К вместо а в Л,
если А — формула, а — переменная второго порядку и У — ариф-
метический абстракт. Это можно обозначить также через
ГЛ (“р или гД(Ур.
q2 (а): число кванторов второго порядка в а, если fl 2 (а).
Мы будем использовать и другие сокращения из § 18;
предикат Т определяется так же, как в определении 18.4.
Определение 19.2. Через F' (а, и) обозначим следующую
формулу:
V ГЛ'1 [st2 (г Д'1) Л q2 (ГД')) = 0 .=>. а (г Д'*)	Т (*'Д'*)] Л
Д V ’'Д'1 [st2 (ГД">) Л 0 < q2 рпД^Хи.дэ
а (г~1Д-*)	Па(гД'*)] Л
A V ГД Л в-1 [st2 (ГД Л В"1) Л о < q2 (*"Д д В^Х п .дэ
' щ>.а(гД Д В'|) = а(гД"1) Д а(гВ"1)] Л
Д V гУх(Д (xzp [st2 (r-VxX (чР) Л 0 < q2 (гУх.-Д (х;рХ« .о
=>. а рУхгД (^р) = Уха р Д (у (х))"*)] Д
Д У гУ<ргД (ф(р [st2 (гУ<р;А (ф;р) Д о < q2 (гУфгД (фгР) п .о
=>. а (гУф;Д (ф.Р) sV*-p (cab (V) =э
=> а (ГД (У)->))].
Формула F' (а, п) означает, что а — интерпретация предложе-
ний системы S2, сложность (кванторов второго порядка) кото-
рых Теперь определим интерпретацию всех предложений
системы S2.
I (а): Зф (F' (ф, q2 (а)) Л ф (а)).
$ 19. Интерпретация арифметических, систем второго порядка
185
Мы можем дать для S2 некоторую разновидность определе-
ния истинности, интерпретируя переменные второго порядка
арифметическими предикатами или множествами (т. е. множе-
ствами или отношениями на натуральных числах, задаваемыми
замкнутыми арифметическими абстрактами). Имея в виду это,
часто говорят, что арифметические множества образуют модель
системы S2. Более того, это утверждение можно формализо-
вать и доказать в S3 (см. лемму 19.14).
Лемма 19.3. (1) В РА' выводима секвенция F' (а, п), st (ГА")) ->
а(г А-1) = Г (ГА'1). (На арифметических формулах а совпадает
с определением истинности Т.)
(2) В S1 выводима секвенция st2(rA“1), F' (а, п), В'(0, п),
q2 (г А^Х п -> а ГА"1) = 0 (г А"1).
(3) В РА' выводима секвенция F' (а, п), m ^.п->F' (а, пг).
Доказательство утверждения (2). Применяем двойную
индукцию по (q2(rA“1), ls(rA'1)) к указанной выше секвенции,
которая принадлежит классу П1 в широком смысле.
Определение 19.4. Формулу Е (а, 0, п, I) определим следую-
щим образом:
Угдп [st2 (гАД A q2 рД-'Х п .=>. 0 (г ДД == а рА-1)] Д
A Vr П A"1 [st2 (г ПАД A q2 f 1 А-1) = п' A 1s (г П А Д	I .=>
зэ^р-пАД^-фрАД] Д
Д VrA А B“1[st2(rA Д В-1] Д q2(rA Д В'1)=Р Д IspA Д ВД <Z.zd
=э. р(гА Д Bi) = 0(гДД Д 0(гВД] Д
Д rVx; A (Xip [st2 pVx,A (хг)Д A q2 (ryXiA (x,) Д = n' К
Л1йрУхгД(х/Р)^-=>
=э. 0 (гУхгА (XiP) Vx0 pA (v (x)P)l A
A VV<pM (q>zp [St2 PVqpM (<pzP) A q2 pV<M Ш Д = n' A
Д Is (r Vq;;A (<pP)X / .=>
zd. 0ГУфМ (Ф/р) = Vr yn (cab (V) zd 0 p A (У)Д)]_
Лемма 19.5. В PA' выводимы следующие секвенции:
(1)	В (а, 0, п, Z), st2(rA“1), Ч2рДД^ц-^0рДД ==арДД;
(2)	В (а, 0, п, I), Е(а, у, Щ k), st2(rA^), q2(f-A'1Xn'.
IspA^XminG, i)->0(rA'1)s у(гАп)
(единственность продолжения)’,
(3)	—» В (a, a, n, 0);
(4)	В (a, 0, n, 1)->E (a, {x} С (x), n, I'),
186 Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
где С (х) обозначает формулу
;£(st2(х).Л. q2 (х)	V (q2 (х) = п' Л 1s (х) < /')) Д £ (х)] V
V [st2 (х) Д q2 (х) = п' Д 1s (х) = /' Д
Д (3ГЛ^ (х = Д ПР(ГЛ'1)) V
V ЗгА Д В~> (х = ГЛ Д В-1 Д ₽ ГЛ-1) Д р (гВ->)) V
V IKVxH (хгГ (х = гухгЛ (хгр Д Vyp ГЛ (v (у)Р)) V
У Э1‘Уф/Л(<рг)"1(^=^ф1Л(<рг)-> дУгу^саЬГу-ЧорГЛ^Г))))].
(П родолжение р с (п, Z) до (п, Г).)
(5)	В S1 выводима формула V/ЗфВ (а, ф, п, I). (Существование
продолжения для а при фиксированном п и любом I.)
Доказательство утверждения (5). Применяв^индукцию
зло / к формуле ЗфВ (а, ф, п, I). Используем утверждения (3) и (4)
этой леммы и аксиому арифметического выделения.
Определение 19.6. Через G (а, п, х) или, короче, G (х) обо-
значим следующую формулу:
Эф (В (а, ф, п, 1s (х)) Д ф (х)).
Лемма 19.7. В РА' выводимы следующие секвенции-.
(1)	В'(а, га), st (ГЛ“1)G (ГЛ“1) = В (ГЛ“1);
(2)	£(а, Р, га,/), st2(rA->), q2 (гЛ’1)<га V (q2 (ГЛ-1) =
= га' Д 15(гЛ'1Х/)-*С(гЛ‘1)=Р(гЛ'1).
В S1 выводимы следующие секвенции:
(3)	st2(rA“1), В'(а, га), q2 (гпЛ^Хга' ->
-^ССпЛ-1)^ ПО(ГЛ‘1);
(4)	st2 (ГЛ Д В-1), В'(а, га), q2 (ГЛ Д В^^п' ->
-> G (г Л Д В-1) = G (ГЛ-1) Д G (ГВ“1);
(5)	st2 (гУх;Л (xj-1), В'(а, га), q2 (^XiA (х;р) <га' ->
-> G (гЧхсА (xtD = VxG (г Л (v (х))'1);
(6)	st2 (гуФ/Л (ф(р), В' (а, га), q2 ГУФ(Л (Ф/)Р) < га' ->
-> G (гУфгЛ (ф,Р) ;= Vr У-1 (cab (г У-1) до G (г Л (V))-1)).
Доказательство. Выводимость секвенции (1) следует из
утверждения (1) леммы 19.3 и утверждения (1) леммы 19.5.
В силу утверждения (2) леммы 19.5 выводима секвенция (2).
Отсюда и из леммы 19.5 вытекает выводимость секвенций
(3) — (6). Заметим, что в (6) из q2 (гУф,Л (ф/)-1) га' следует
<q2 (гЛ(УГХга.
$ 19. Интерпретация арифметических систем второго порядка
187
Лемма 19.8. (1) В S1 выводима секвенция F'(a,ri)-+
->F'({x}G(x), п').
(2) В РА' выводима секвенция —> F' ({х} Т (х), 0).
Доказательство. Эта лемма следует из определения
формулы F' и из леммы 19.7.
Предложение 19.9. В S3 выводима секвенция n3tyF' (ф, п).
Доказательство. Применим аксиому выделения
к абстрактам {х} G (х) и {х} Т (х) и аксиому индукции — к фор-
муле Эф/7' (ф, п), которые все принадлежат классу П{ в широ-
ком смысле, и воспользуемся леммой 19.8.
Лемма 19.10. В S1 выводима секвенция F' {а, п), st2(rA“1),
q2 (гЛ-1) < п -> а (г Д'1) = I (г Д'1).
Доказательство. Применяем утверждения (2) и (3)
леммы 19.3.
Предложение 19.11. В S3 выводима секвенция 512(ГД'1),
q2 (г дп) = 0 -> I (ГД“1) = Т (ГД~1).
Доказательство. Это вытекает из леммы 19.10, утвер-
ждения (1) леммы 19.3 и утверждения (2) леммы 19.8.
Следующее предложение утверждает, что I коммутирует с ло-
гическими символами. Оно доказывается с помощью леммы 19.10*
и предложения 19.9.
Предложение 19.12. В S3 выводимы следующие секвенции:
(1)	st2 (ГД“1)-> I (г —1Д"1) = -] 1(гД->);
(2)	st2 (г Д Д В-1) -> I (гД Д В-1) = I (г Д'1) Д I СВ-1);
(3)	st2 (гVx/Д (х,)"1) -> I CVx/Д (хгР) = Vxl (гA (v (х)р);
(4)	st2 (rV<p;Д (<р,Р) I (г V<pz Д (<ргР)
= Vr V"1 (cab (г V"1) zd I (гА (V)-1)).
Теперь мы перейдем к доказательству в S3 непротиворечи-
вости системы S2.
Определение 19.13. (1) Пусть i (р) равняется числу непосред-
ственных выводов в выводе (с гёделевым номером) р.
(2)	Пусть предикат i(b, а) выражает следующее: „Ь есть
замкнутый подстановочный пример формулы а“, т. е. i(b,a)
верно тогда и только тогда, когда а = гД(Р, ..., с, . .-Р и
Ь = гД(р..., v (n), ...Р для некоторых замкнутых арифмети-
ческих абстрактов V, ... и чисел п, ..где 0, ..., с, ... суть
все свободные переменные, входящие в Д.
(3)	Предикат j (b, р\ означает „если р — гёделев номер неко-
торого вывода в S2 секвенции Дь ..., Дш—>В1; ..., Вп, то
i{b, ГД1 А ... А Дт=> Bi V ... V ВР)“.
188
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типЬв
(4)	Мы будем писать Prov2 вместо Provs, и Рг2 (а) вместо
3xProv2(x, а).
Лемма 19.14. В S3 выводима секвенция
Рг2 (а) —> Vx (г (х, а) zo I (х)).
Доказательство. Пусть Н (т)— следующая формула:
VpVx [г (р) < m A j (х, р) => I (х)].
Доказательство проводится индукцией по m применительно
к формуле Н(т), которая принадлежит классу 11! в широком
смысле. Рассуждения проводятся в зависимости от того, какое
правило применяется в р последним. Случай, когда последним
применяется правило индукции, не вызывает затруднений, так
как на шаге индукции тогда можно применить индукцию\по k)
к некоторой формуле вида I(rA(v(&), V, ..., v (n), ...)“’), где
А (а, р, ..., с, ...) — индукционная формула этого правила с соб-
ственной переменной а.
Предложение 19.15. В S3 выводима секвенция
st2(f'A'1), Рг2 (ГА“1) -> I (г Д'1).
Это следует из леммы 19.14.
Теорема 19.16. В S3 выводима формула Consis(S2).
Доказательство. Эта теорема является следствием
предложений 19.11 и 19.15 и теоремы 18.11.
§ 20. Простая теория типов
В этом параграфе мы опишем исчисление предикатов выс-
шего (конечного) порядка. Мы зададим его в виде исчисления
секвенций. Это исчисление представляет собой упрощение си-
стемы GLC, введенной автором. Мы ограничимся здесь рас-
смотрением только предикатных переменных. Следуя общепри-
нятой терминологии, мы будем говорить „тип“ (переменной),
а не „порядок11 (переменной) (как это было в § 15), и отсчет
типов начнем с 0, а не с 1. Таким образом, индивидные объекты
имеют тип 0.
Определение 20.1. (1) Типы мы определяем индуктивно:
0 есть тип; если ть ..., xk — типы (fe^l), то [ть ..., т/г] тоже
тип; типами являются только те объекты, которые получаются
таким образом.
(2)	Символы нашего языка классифицируются следующим
образом.
§ 20. Простая теория типов
189
1)	Константы:
1.1)	индивидные константы: с0, clt
1.2)	функциональные консТанты (/-местные):	...
(/=1, 2, ...);
1.3)	предикатные константы типа т (т #= 0): Ro, R],	.
2)	Переменные:
2.1)	свободные переменные: aj, а[, ... для каждого типа т;
2.2)	связанные переменные: xj, Af, • • • для каждого типа т.
3)	Логические символы: ~1 (не), Д (и), V (или), (влечет),
V (для всех), В (существует).
4)	Вспомогательные символы: (,), {,}, [, ].
Язык высшего порядка (язык простой теории типов) задан,
когда заданы все его константы. Под предикатной переменной
понимается любая переменная (свободная или связанная) типа
т =/= 0. Символы языка мы будем использовать также в каче-
стве метапеременных. Верхние индексы, обозначающие типы,
иногда будут опускаться. Кроме того, тут остаются в силе все
принятые в § 1 соглашения относительно обозначений.
Интуитивно переменные типа 0 обозначают индивидные
объекты, а переменные типа [ть ..., xk] — предикаты, которым
мы сопоставляем подмножества множества TjX ... X Tk, где
71 — множество объектов типа тг.
Определение 20.2. Термы (данных типов), формулы и их
внешние логические символы определяются одновременной ин-
дукцией.
1)	Индивидные константы — термы типа 0.
2)	Свободные переменные типа т — термы типа т.
3)	Если f — некоторая /-местная функциональная константа
и /1, ..., /г- — термы типа 0, то / (/1; ...,//) —терм типа 0.
4)	Предикатные константы типа т — термы типа т.
5)	Если А — формула, ах°, ...,	—различные свободные
переменные указанных типов, хх°, ..., xxkk — различные не вхо-
дящие в А связанные переменные указанных типов и А'—ре-
зультат одновременной замены в А переменных а0, ..., ak на
х0, . . ., xk соответственно, то {х0, ..., xk} А' — терм (называемый
также абстрактом) типа [т0, . . ., тА].
6)	Если а — предикатная константа или свободная перемен-
ная типа [т], ..., и /],..., /ft — термы типов ть ..., тй соот-
ветственно, то а[/ь ..., /А] — формула, называемая атомарной.
Она не имеет внешнего логического символа.
7)	Если А и В —формулы, то (~IA), (А А В), (А\/В),
(А В) — формулы, и их внешними логическими символами
являются соответственно —1, А, V> Дэ.
190
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
8)	Если А — формула, ах — свободная переменная, Xх — не
входящая в А связанная переменная того же типа и А' полу-
чается из А заменой всех вхождений ах на Xх, то VxxA' и
Зх1/!' — формулы, и их внешними логическими символами
являются V и 3 соответственно.
Эти правила образования формул и термов могут привести
к чрезмерно большому количеству скобок. Поэтому некоторые
из скобок, как и раньше, мы будем опускать, если это не при-
водит к двусмысленности.
Заметим, что в отличие от предыдущих параграфов здесь
абстракты рассматриваются как формальные объекты. Понятие
алфавитного варианта определяется так же, как и раньше: вы-
ражение А называется алфавитным вариантом выражения В
(и наоборот), если А и В отличаются только наименованием
своих связанных переменных.	'
Определение 20.3. Высота типа определяется индуктивно сле-
дующим образом:
h (0) = 0; h ([Т]..Tft]) = max (h (tj), h (xk)) + 1.
Под высотой h(t) терма t мы понимаем высоту его типа.
Логическая сложность формулы или абстракта А опреде-
ляется как общее число логических символов и пар символов
абстракции {,}, входящих в А.
Подстановка в формулу (в абстракт) А терма t типа т вместо
свободной переменной а типа т определяется двойной индук-
цией: по высоте типа т и по сложности формулы (абстракта) А.
Результат такой подстановки мы обозначим через А ) .
1)	Базис: высота типа т равна 0, т. е. тип т есть 0.
Тогда А ( ) определяется просто как (д у) в соответствии
с определением 1.4 или как некоторый алфавитный вариант
этого выражения.
Пусть а и b — некоторые свободные переменные типа 0, и
пусть t, s — некоторые термы типа 0.
Мы можем легко доказать следующее.
(i)	Если А — формула (терм типа т), то д(^)— формула
(терм типа т).
(ii)	Если А — алфавитный вариант В, то Д^^— алфавит-
ный вариант В ) .
(iii)	А (at ) содержит только те свободные переменные, ко-
торые входят в А или в t.
§ 20. Простая теория типов
191
(iv)	Если s не содержит а, то
(а\(Ь\	(Ь\( а
А I II I совпадает с Л| I (Ь
\t J\S J	\sj\ t I
X \ s
2)	Шаг индукции: допустим, что /г(т) = п=/=0 и для всех
m < п уже определена подстановка терма t типа ст (такого, что
Л(ст) = т) вместо свободной переменной а типа ст так, что вы-
полняются условия:
(1)	Если Л — формула (терм типа ст), то А формула
(терм типа ст).
(2)	Если А — алфавитный вариант В, a s — алфавитный ва-
риант i, то А ) — алфавитный вариант
(3)	А ( “ ) содержит только те свободные переменные, кото-
рые входят в А или в t.
(4)	А[ .	1 г	,) есть алфавитный вариант Л.
\(Xi, ..., хД а |/1.Xk\2
(5)	{*!..Xk)a[xh ..., j) есть алфавитный вариант t.
(6)	Если s не содержит а и высота b меньше п, то
ОС)
есть алфавитный вариант
(7)	Если Л не содержит а, то л(^) есть алфавитный ва-
риант А.
Пусть а и t — соответственно свободная переменная и терм
типа т, такие, что /г(т) = п. Если t — свободная переменная или
предикатная константа, то л(^) снова определяется как
(некоторый алфавитный вариант) (Л у) . Допустим, что/ — не-
который абстракт. Определим Л ( at ) индукцией по сложности Л.
Пусть t есть {%[, ..., Xk} U (хь ..., xk), где х{ имеет тип тг-,
а имеет тип г = [ti....xk] и max {h (tJ, ..., h (т/г)) + 1 = n. От-
метим сперва, что для всякого терма s типа 0	опреде-
ляется как s.
192
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
2.1)	Если А имеет вид ..., tk], где b — некоторая пре-
дикатная константа или переменная, отличная от а, то
fax Г ( аА
\ / /эт0 V )’ tk
2.2)	Если А имеет вид а\1ъ ..., tk], то
Z \	(	bl
f аХ	I
А J — это U (bi, ..., bk) Г а
( а
tk 11
где Ь^, ..., Ьк отличны от всех свободных переменных в Л,\и
U(bi, ..., Ьк) есть \U (х;...хк) **’	•
Здесь ,h (bi) < п и каждый tt „проще", чем А, поэтому
/ bi \
ВI f а \ I
V‘A t )/
уже определено для произвольного В.
2.3)	Если А
А ( а. — это
имеет вид ~\В, В/\С, В\/С или В С, то
/ я
пв( t
соответственно.
2.4) Если А
fax ( a\ fax fa
4JACG> 4JACG
f a \ f a \
или
имеет вид VxF (х) или 3xF (х), то А (	— это
yG (у) или 3yG(y), где G(b) есть ^(&)(^)>
и не входит в А, а у не входит в G (Ь).
., хк}В(х{....хк), то
соответственно
b отлично от а
2.5) Если А имеет вид {xlt
А
где C ..., bk) есть B(bi.....bk) ( “ ) , все blf ..., bk отличны
от а и не входят в Л и ни одно из tji не входит в С (&ь ..Ьк).
$ 20. Простая теория типов
193
Тогда для h(a) — n мы можем доказать справедливость
свойств (1) — (7). (Доказательства этих свойств опускаются.)
Мы часто будем вместо А ( “ ) писать A (t).
Здесь и далее мы будем использовать буквы U, V, ...
с верхними индексами для типов пли без таких индексов в ка-
честве метапеременных для абстрактов. Кроме того, для обо-
значения свободных переменных часто будем использовать
буквы а, р, . . . вместо букв а, Ь, . .., а для обозначения свя-
занных переменных — буквы ф, ф, ... вместо х, у, . .. (как пра-
вило, в тех случаях когда мы имеем в виду переменные
типа =#0).
Пример 20.4. Пусть А есть формула УфЗх (а [а] == ф [х]),
где <р и а имеют тип [0], ахи а — тип 0. Пусть V — абстракт
{z} УфЗх(ф[х]ЛР[г]), где ф и Р имеют тип [0], ахи г — тип 0.
Тогда V — абстракт типа [0]. Найдем формулу А ( “ ) . Под-
становка выполняется поэтапно согласно определению 20.3.
Поскольку а имеет тип [0], мы начинаем с п. 2) этого опреде-
ления и неоднократно возвращаемся к п. 1). В силу 2.2) и 1)
есть V<p3x (ф (х) Д Р [а]). Используя это, а также 2.1)
и 2.3), получаем, что (а [а] у [6]) ( “ ) (для некоторых b и у,
отличных от а и а соответственно) есть УфЗх(ф[х] Л РИ)^у(^)-
Отсюда в силу 2.4) мы получаем, что А ( у ) есть
УфЗу (УфЗ* (ф И Л ₽ [а]) = Ф [*/])•
Упражнение 20.5 Пусть А — следующий абстракт:
{у} a2 [{z} (а1 [z]	[z/])],
и пусть V2 есть
{ф1} Уф’Зх (ф1 [а] es ф1 [х]),
где 1 = [0] и 2 = [1]. Найти А ( “2
Определение 20.6. Пусть V — некоторый абстракт вида
и пусть К],
Тогда У[У1,
М1.	•••- ХпП}>
., Vn — термы типов ту.......т„ соответственно.
., Vn] определяется как

7 Г. Такеути
Т94
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
где aj1, ...> апп — свободные переменные указанных типов,
не входящие в термы V, Уи ..., Vn, а	afy есть
X.1.
у П \
ЛП 1
а?, ....
Определение 20.7. Формальная система простой теории типов
определяется аналогично системе G'LC из § 15. Секвенции,
как обычно, имеют вид Г—>0, где Г и 0 состоят из конечного
числа формул. Правила вывода в ней такие же, как в системе
G'LC (см. определение 15.15), со следующим обобщением
(для высших типов). (Мы переносим сюда из предыдущих пара*
графов все нужные определения и обозначения.)
„ v	F (V), Г-0
Правило V-слева: у^ф)> г~
где V — произвольный терм (любого типа) и <р — связанная пере-
менная того же типа, что и V (если F (У) есть F (	, тоА(<р)
есть
Г—>0, F (а)
Правило V-справа:	уфу(ф).
где а не входит в нижнюю секвенцию и <р имеет тот же тип,
что и а. Переменная а называется собственной переменной для
этого правила. Правила 3-слева и 3-справа определяются сим-
метрично.
Всякое предложение вида
Vyi ... Vym3<pVxi ... Vx„(<p(xt...х„)^
= А(хь ..., хп, yh .... ут)),
где A(alt ..., a„, blt ..., bm) — произвольная формула (и пере-
менные at, .... ап, Ь\..Ьт имеют произвольный тип), назы-
вается аксиомой выделения (ср. с определением 15.14).
Аналогом предложения 15.16 является следующее
Предложение 20.8. Все аксиомы выделения (для произволь-
ных А) выводимы в простой теории типов. Обратно, рассмотрим
подсистему простой теории типов, в которой правила V-слева
и 3-справа разрешается применять, только когда V есть сво-
бодная переменная или предикатная константа. В этой под-
системе, пополненной аксиомами выделения для всех А, до-
пустимы общие правила V-слева и 3-справа. .
J 21. Теорема об устранении сечений для простой теории типов 195
Определение 20.9. (1) Полуформулами называются выраже-
ния, построенные так.же, как и формулы, и отличающиеся от
них лишь тем, что полуформулы могут содержать свободные
вхождения связанных переменных. Полутермы определяются
аналогично.
(2) Логическая сложность полуформул и полутермов опреде-
ляется так же, как и для формул и абстрактов (определе-
ние 20.3).
§21. Теорема об устранении сечений для простой теории типов
Около 25 лет назад автор высказал предположение, что для
простой теории типов, формализованной как в определении 20.7,
справедлива теорема об устранении сечений. Это предположе-
ние, известное как гипотеза Такеути, оставалось недоказанным
в течение многих лет. В 1966 г. Тэйтом была доказана теорема
об устранении сечений для логики второго порядка. Полностью
гипотезу доказали независимо Такахаси и Правитц. В этом
параграфе мы изложим доказательство теоремы об устранении
сечений для простой теории типов, следуя методу Такахаси
и Правитца. Нам хотелось бы отметить, что в 1971 г. Жирар
значительно улучшил несколько результатов, излагаемых в этом
параграфе, включая доказательство теоремы об устранении
сечений. (См. Proceedings of the Second Scandinavian Logic
Symposium, ed. J. E. Fenstad, North Holland Amsterdam, 1971.)
Основную идею Жирара использовали затем Мартин-Лёф и
Правитц, которые независимо получили другую, в некоторой
степени более элегантную форму теоремы об устранении сечений.
Всюду в этом параграфе для упрощения рассуждений мы
имеем дело только с одноместными переменными и абстрактами
и считаем, что логическими символами являются только ~1, А
и V. Таким образом, типами будут 0, [0], [[0]], ..., и мы обо-
значим их через 0, 1, 2, ... соответственно. Мы будем также
опускать константы. Все результаты легко можно обобщить на
общий случай.
Определение. 21.1 Аксиомой отождествления {или аксиомой
объемности) называется всякая формула вида
Vx (V\ (х) = 16 (х)) => Vqp (Ф [ VJ = Ф [О,
где V! и У2 — произвольные абстракты одинакового типа.
В простой теории типов эта схема аксиом эквивалентна сле-
дующему правилу вывода {правилу отождествления)-.
У, {а), Г->Д, У2{а)	У2{а), Г-^Д, У, (а)
а [VJ, Г->Д, а[У2],
где а не входит в нижнюю секвенцию.
7*
196
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
Предложение 21.2. В простой теории типов, пополненной пра-
вилом отождествления, допустимо следующее правило-.
VAa), Г->А, V2(a) V3 (а), Г->Д, V, (а)
A (V0, Г->Д, Д(У2)
еде Д(Ег) получается из {произвольной) формулы А (Р) подста-
новкой Vt вместо $ и а не входит в нижнюю секвенцию.
Доказательство. Применяем индукцию по сложности
формулы А. Мы разберем лишь случай, когда А (Р) имеет вид
V<pB (<р, р). Допустим, что выводимы секвенции ЁДа), Г->Д,
V2(a) и V2(a), Г->Д, Vi(a). По предположению индукции выво-
дима секвенция В (у, V\), Г—>Д, В (у, V2), где у — свободная
переменная подходящего типа, не входящая нигде больше в эту
секвенцию; следовательно, вводя с обеих сторон квантор Vqp, по-х
лучаем, что выводима секвенция V<pB(<p, VJ, Г->Д, VcpB (<p, V2).
Теорема 21.3 (теорема об устранении сечений для простой
теории типов с аксиомой отождествления; Такахаси). Пусть S —
простая теория типов, пополненная правилом отождествления.
Тогда для S верна теорема об устранении сечений.
Доказательство получается модификацией первоначального
метода Такахаси — Правитца. Мы изложим его поэтапно, вводя
по мере необходимости некоторые понятия и обозначения.
Определение 21.4. (1) Структурой {для простой теории типов)
называется со-последовательность множеств,. скажем 9> — {S0,
Bi, . .., S(-, ...), где
1.1) So—некоторое непустое множество;
1.2) Sz+1 — некоторое подмножество множества P{St), со-
стоящего из всех подмножеств множества S,-.
(2)	Оценкой ф (на ТР) называется отображение, определенное
на множестве всех (свободных и связанных) переменных так,
что всякой переменной типа I ф ставит в соответствие некото-
рый элемент из S;. Интерпретация 3 — это пара (S?, ф), со-
стоящая из структуры ТР и некоторой оценки ф на ТР.
(3)	Для данной интерпретации 3 = (^> ф} мы определим
интерпретацию полуформул и полутермов (относительно 3)-
Мы будем использовать ) для обозначения оценки, совпа-
дающей с ф на всех переменных, кроме х, на которой она
принимает значение S.
Если А — полуформула или полутерм, то ее интерпретация
(относительно 3) обозначается через ф{А). Она определяется
таким образом, что для всякой полуформулы А имеет место
в точности одно из равенств ф (А) = Т или ф{А) — F (где Т
обозначает „истина", a F — „ложь"). Если А — полутерм типа
$ 21. Теорема об устранении сечений для простой теории типов
197
i + 1, то ф(А) является подмножеством множества St. Опреде-
ление проводится индукцией по сложности А. (Если А — сво-
бодная или связанная переменная, то ф (Л) уже определено
и совпадает со значением ф на Л.)
ЗЛ) ^(а[Г]) = Т, если и только если ф (IT) е ф (а).
3.2)	ф(УхА(х)) = Т (где х — переменная любого типа), если
и только если для всякой оценки ф', совпадающей с ф
на всех переменных, кроме, быть может, х, ф' (Л (х))=Т.
3.3)	ф ({х} Л (х)) = { S | S е= S( и J ) (Л (х)) = Т } , где х
имеет тип i.
3.4)	ф (Л Л В) = Т, если и только если ф(А) = Т и ^>(В)==Т.
3.5)	ф (“|Л) = Т, если и только если ф(А) = р.
Пусть Г->Д — секвенция Ль ..., Am—^Bt, ..., Вп. Тогда
^(Г->Д) = ^(П(Л1А ... АЛт)7В1У ... VB„)
(где V определена через —1 и А).
(4)	Структура 9Р называется структурой Генкина, если для
всякой оценки ф на и для каждого абстракта U1 типа i
(для i—\, 2, ...)<ji(t7‘) является элементом множества S,.
Предложение 21.5. Пусть 9? — некоторая структура Генкина
и ф — оценка на 9Р. Если секвенция Г —> А выводима в системе S,
то </>(Г->Д) = Т.
Это предложение доказывается, как обычно, индукцией по
построению вывода секвенции.
Определение 21.6. Полуоценкой с отождествлением назы-
вается отображение v, ставящее в соответствие некоторым фор-
мулам одно из значений Т, F и удовлетворяющее следующим
условиям:
1)	Если v (—1Л) = Т, то v(A) = F; если v(n4) = F, то
V (Л) = Т.
2)	Если v (Л А В) — Т, то v (Л) = Т и о(В) = Т; если
o(4AB) = F, то к(Л) = Р или t>(B) = F.
3)	Если v (УхЛ (х)) — Т, то v (Л (/)) = Т для всякого терма t
того же типа, что и х; если о(УхЛ(х)) = р, то найдется сво-
бодная переменная а того же типа, что и х, такая, что
v (Л (а)) = F.
4)	Если Л — алфавитный вариант В, то v (Л) = v (В).
5)	Пусть а — некоторая свободная переменная типа г>1.
Если v (a [tA]) = T и o(a[[/2]) = F, то найдется свободная пере-
менная а типа i — 2, такая, что либо v (Ui [a]) = Т и v (U2 [a])=F,
либо o([71[a]) = F и o(B2[a]) = T.
198
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
Если v — полуоценка с отождествлением и S — секвенция;
Am->-Bl, ..., Вп,
то мы полагаем
t>(S)=dfv(~l(AA ... A4m)VBiV ... VB„),
при условии что правая часть определена.
Предложение 21.7. Если секвенция S не выводима без сече-
ний, то существует полуоценка v с отождествлением, такая, что,
v (S) = F.
Доказательство. Это предложение доказывается ана-
логично теореме о полноте, а именно с помощью редукцио^ч
кого дерева для S (см. § 8). Мы лишь наметим определение-'
„непосредственных последователей** (т. е. секвенций, записы-
ваемых непосредственно над рассматриваемой секвенцией)-
в случаях, касающихся правила отождествления и формул
вида V<pF(<p). В первом случае пусть Г—>Д— одна из самых:
верхних секвенций в дереве, построенном к настоящему времени.
Пусть
(ai [^1п], а1 [^112]), •••, (ai [^ifoii]> “1 [^1*12] X •••
. .., (am [t/mI 1], am[[7ml2]X ...,
суть все пары атомарных формул в Г, А, такие, что a(- [Д(/1];
входит в Г и а([1/(/2] входит в А для /=1, ..., kt. Пусть-
i’ll» • ••, Ьщ, ..., bmi, ..., bmkm — различные новые переменные
соответствующих типов. Запишем непосредственно над секвен-
цией Г—>Д все секвенции вида Ещ [£»//], Г—>А, U щ- [&,/] для
г—1, ..., т, /=1, ..., ki, 1=1 или 7 = 2, причем Г = 2 при
1=1 и /' = 1 при 1 = 2.
На этапах, когда рассматриваются кванторы высших типов,
мы поступаем следующим образом. Мы определяем понятие-
доступной свободной переменной (на данном этапе), как в § 8,
но таким образом, чтобы по крайней мере одна свободная пере-
менная каждого типа всегда была доступна. Теперь определим:
редукцию V-слева (высшего типа). Рассмотрим {VytFi (<Pi)J"Lj —
последовательность всех формул в антецеденте секвенции Г->А,
начинающихся с кванторов высших порядков. Допустим, что
данный этап имеет номер k. Для всех i,	пусть-
Vi..... Vk — первые k абстрактов в некотором заранее задан-
ном списке абстрактов того же типа, что и <рг. Тогда над сек-
венцией Г —> А запишем секвенцию
Л (И)......Л(Е1).......Ет(уТ\ .... МШ г->д.
§ 21. Теорема об устранении сечений для простой теории типов
199
Редукцию V-справа (высшего типа) определяем так же, как
и ранее (т. е. в случае II. 9) в доказательстве леммы 8.3),
заменяя связанные переменные на свободные переменные тех же
типов.
Таким образом, мы можем считать, что редукционное дерево
построено. Как и в лемме 8.3, если каждая ветвь этого дерева
конечна и (следовательно) завершается секвенцией, антецедент
и сукцедент которой имеют некоторую общую формулу, то это
дерево легко преобразовать в не содержащий сечений вывод
секвенции S в системе S. Поэтому, если секвенция S не выво-
дима без сечений, то существует некоторая бесконечная ветвь.
Возьмем одну такую бесконечную ветвь и определим полу-
оценку v следующим образом: о(А) = Т, если формула А входит
в антецедент какой-нибудь секвенции -из этой ветви, и v (А) = F,
если А входит в сукцедент. Ясно, что o(S) = F. Нетрудно
видеть, что v действительно является полуоценкой. Мы прове-
рим лишь, что v удовлетворяет условиям 5) и 3) определе-
ния 21.6.
Допустим, что v(a[t7i]) = T и v(a[t/2]) = F. Тогда a(U\)
входит в антецедент, а а[£72] — в сукцедент рассматриваемой
ветви. Из построения дерева следует, что раз формула a[t7i]
входит в антецедент некоторой секвенции, то она входит
в антецеденты всех секвенций, расположенных выше нее; ана-
логичное утверждение верно и для a[t72]- Таким образом, суще-
ствует секвенция, которая содержит а[Й,] в антецеденте и а[£Л]
в сукцеденте и к которой применялась редукция, соответствую-
щая правилу отождествления; тогда существует свободная
переменная а, такая, что секвенция, непосредственно следующая
за этой секвенцией, содержит [а] в антецеденте, а U2[a]
в сукцеденте (или наоборот). Таким образом, по определению и
получаем о(Й1[о]) = Т и o([72[a]) = F (или v (Ul [a]) — F и
v(U2 [a]) = T).
Допустим, что v (V<pF(<p)) = T. Это значит, что формула V<pF (<р)
входит в антецедент некоторой секвенции (и, следовательно,
в антецеденты всех секвенций, расположенных выше нее). Из
способа построения дерева вытекает, что для каждого абст-
ракта V того же типа, что и <р, формула F (V) входит в анте-
цедент некоторой секвенции. Поэтому o(F(V)) = T.
Определение 21.8. По данной полуоценке с отождествлением v
следующим образом определим структуру Генкина 9> = (S0, Si,...),
соответствующую полуоценке v. Множества So, Sb ... и отно-
шения Un+l < S для определяются совместной индукцией.
1) Sq есть множество всех термов типа 0 (в нашем упрощен-
ном случае So состоит лишь из свободных переменных). Для
всяких термов и t2 пусть Г < /2 означает, что t\ совпадает с /2.
200 Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
2) Предположим, что уже определены множества So....Sn
и отношение < для соответствующих типов. Допустим, что Un+l
есть абстракт типа п+1 и S = Sn. Тогда положим Un+l<S,
если и только если для каждого абстракта Uo типа п и ка-
ждого S", принадлежащего Sn, из Uo < Sn и v (Un+i [[7q] ) = T
вытекает, что Sn принадлежит S, а из Uo < S'1 и v (Un+l [[/"]) = F
вытекает, что Sn не принадлежит S. Множество S„+1 опреде-
ляется так:
S„+i =df {S IS S и существует абстракт Un+1,
такой, что Un+1 < S}.
Из определения легко следует, что S„+1sP(S„).
Отношение U < S можно понимать так: „U есть одно из-
возможных имен для S (при полуоценке о)“.
Для удобства свободные переменные типа 0 мы также будем
называть абстрактами. Тогда каждой свободной переменной а
мы поставим в соответствие некоторый абстракт, также обо-
значаемый через а, а именно {х}а[х], если а имеет тип > 0,
и саму переменную а, если она имеет тип 0.
Предложение 21.9. Пусть 9 — структура, описанная в опре-
делении 21.8. Тогда для всякой свободной переменной а типа п
найдется некоторый элемент S множества Sn, такой, что а < S
(здесь а обозначает уже абстракт в соответствии с нашей дого-
воренностью).
Доказательство проводится индукцией по п.
Базис: п = 0. Для всякой свободной переменной а типа 0 а
принадлежит So и а < а.
Шаг индукции: пусть п > 0 и допустим, что предложение
верно для 0, 1, ..., п—1. Множество S определим таким
образом:
S =dt	принадлежит Sn_i и существует абстракт
Un~\ такой, что Д'1-1 < Sn-1 и v (а[И"1]) = Т}.
Тогда, согласно определению, S s Sn_h Мы утверждаем, что
а < S. В самом деле, возьмем произвольные [7”-1 и Sn-1, такие,
что Un~l<Sn~l. Покажем следующее.
(1) Если 0(a[t/n~1]) = T, то S'1-1 принадлежит S.
(2) Если v (a ) = F, то S"-1 не принадлежит S.
Утверждение (1), очевидно, вытекает из определения S. Утвер-
ждение (2) доказывается следующим образом. Допустим, что (2)
не верно, т. е. что v (а [ип~’]) = F и S"-1 принадлежит S..
$ 21. Теорема об устранении сечений для простой теории типов
201
Тогда найдется абстракт Wn такой, что Wn 1 < Sn 1 и
Случай 1: п=1. Тогда Wn~l — Sn~l = Un~l, что приводит
•к противоречию.
Случай 2: п> 1. Поскольку v (a[Un~'])=F и v 1])=Т,
в силу условия 5)- определения 21.6 найдется переменная а,
такая, что либо v (Un~1 [a]) = F и v(Wn *[ц]) = Т, либо
о 1 [a]) = T и v (Wn~l [a]) = F. По предположению индукции
существует Sn~2, принадлежащее Sn_2> такое, что а < S” 2.
•Если v (Un~l [a]) = F и v (Wn~l [а] ) = Т, то (поскольку
v	[а] ) — F) Sn~2 не принадлежит Sn~l, так как ип~{ < Sn~l.
С другой стороны, из v (U?"1-1 [а]) = Т следует, что Sn~2 при-
надлежит S"-1, поскольку Wn~l < S'1-1. Таким образом, полу-
чаем противоречие.
Если v (Un~l [а]) = Т и v [а]) = F, то мы приходим
к противоречию аналогичным образом. Поэтому утверждение (2)
должно быть верным.
Из (1) и (2), согласно определению, следует, что a < S.
Определение 21.10. Отношение < мы продолжаем на фор-
мулы и истинностные значения следующим образом:
1) А < Т, если и только если v (А) =# F.
2) А < F, если и только если v (А) =/= Т.
Непосредственными следствиями этого определения являются
следующие утверждения:
(1) если А<* (где * обозначает F или Т) и о(А) = Т,
то * = Т;
(2) если А<* и r(A) = F, то * = F-
В самом деле, если v (А) = Т, то о (А) =£ F по определению о;
поэтому в силу 1) А < Т. Тогда * не может быть F, согласно 2).
Утверждение (2) доказывается аналогично.
Предложение 21.11. Пусть .У— структура, описанная в опре-
делении 21.8, и пусть </> — оценка на $Р. Тогда для любого
абстракта (или формулы) U (а1; .. ., ап), где все свободные пере-
менные в U находятся среди аь ..., а„, и для всяких абстрак-
тов U{, ..., Un (соответствующих типов), если и1<ф(щ) при
/=1, ..., п, то U(UX, ..., ип)<ф(и (щ, ..., а„)).
Доказательство. Индукция по сложности U (а(.......аге).
(1) U есть а(-. По условию Ut < ф (аг).
Проведем теперь шаги индукции.
(2) U есть a, [W (аь . . ., а„)]. Пусть аг имеет тип щ. По
условию и{ < ф (а;), откуда вытекает (согласно определению <),
202
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
ЧТО ДЛЯ ВСЯКОГО 1 И ВСЯКОГО S"* 1 ИЗ Sn _J выполняются
следующие условия:
1)	если U“‘~l < Sn‘~'
2)	если U^~l < Sni~‘
и ц(СТ[П"г ’]) = Т, то Sni ’<=</> (а.);
Возьмем теперь W (Uv U п) в качестве '* и <j>(W (ар oQ),
в качестве 5"г-1. По предположению индукции W (С/ь ..Un) <
< </> (IF (аь ..ап)), и поэтому первая посылка в 1) и 2) выпол-
нена. Если v (Ui [IF (t/b {/„)]) равно Т, то в силу 1>
^>(IF(ab «„)) е </> (а;), а если оно равно F, то в силу 2),
^(lF(ab ..а„))^^(аг). В первом случае Ui[W(Ux...Un)]<jA
согласно определению 21.10, и по определению 21.4, п. 3.1), имеем: \
^(af[IF(ab ..., a„)]) = T, откуда следует, что 67/ [IF (6Л.Un)] <
< </>(a; [IF (ab ..., a„)]). Аналогично во втором случае имеем-
Ut[W(Ui, ..., Un)]< F = </•(«; [IF (ab ..., a„)]). (Заметим, что
если v (67 (67j.Un)) не определено, то (тривиальным образом)
U(UX, ..., Uп) < <f> (U (ab ..., a„)), согласно определению 21.10.)
(3) U (ab ..., a„) имеет вид УфА(ф, ab ..., a„).
Случай 1. ц(УфА(ф, Ux, ..., Un)) = F. Тогда существует р„
такое, что ц(А(р, 6/ь ..., Un)) = F- Для этого р возьмем то S,.
которое было построено в предложении 21.9 так, что р < S.
Пусть <f>' есть	Тогда Р<</>'(Р) и t/,•<</>'(a(), Х'Х
По предположению индукции
А (р, С/„ .... ХХ/(А(р, аь ..., а„)),
и потому <f>' (А (Р, аь ..., а„)) — F в силу п. (2) определения 21.10,.
а это означает, что </>(УфА(ф, ab ..., a„)) = F, откуда следует
Ж, .... ип)<ф (t/(ab ..., <х„)).
Случай 2. v (УфА (ф, 6/ь ..., Un)) = Т. Пусть р — новая сво-
бодная переменная того же типа, что и ф. Возьмем произволь-
ное S из Sn и положим ф' = <f> ( | ) . Найдется абстракт V,
такой, что V < S, т. е. V < ф' (р). По предположению индукции
A(F, 6/ь ..., С/„)<^(А(р, ab ..., a„)).
Из нашего допущения следует, что ц(А(У, 6/ь ..., Un)) =
откуда получаем
/(А(р, <хь ..., а„))==Т.
Это верно для всякого S из Sn, т. е. для всякой оценки
совпадающей с </> на всех переменных, кроме р. Следовательно,
^>(УфА(ф, ab ..., a„))=T, и потому U(t/i.Un)) <^(t/(ab ..., a„)).
§ 21. Теорема об устранении сечений для простой теории типов 203
(4) U (аь а„) имеет вид {х} А (х, аь а„). Пусть
Р — новая свободная переменная и
Q = { S | </•'(4 (р, аь ..	<х„)) = Т, где </>' = </>( |) } =
= ^({х} А(х, а,,	а„)).
Для произвольных Uo и So подходящих типов, удовлетворяющих
условию Uo < So, рассмотрим формулу A (UQ, U[.... Un) и
оценку <f>' — <f> ( J У Тогда До < Ф' (Р)- По предположению индук-
ции A(U0, Ult ..., U п) < ф' (4 (Р, аь а„)). Допустим, что
f(.4(t/0, (Д, .. ., (/„)) = Т. Тогда
^'И(Р. а,, .... а„)) = Т
по определению 21.10, и поэтому S3sQ. Если же v (4 (Uo,
Uit ..., (/„)) = F, то
/(Л(Р, аь ..., a„)) = F,
и, значит, So ф Q. Следовательно, по определению отношения <
.имеем U(Ui, ..., Un) < Q.
Разбор других случаев предоставляется читателю.
Предложение 21.12. Структура (описанная в определе-
нии 21.8) является структурой Генкина.
Доказательство. Пусть ф — произвольная оценка на ГР.
Нам нужно только показать, что для каждого абстракта U
имеет место U' < ф (U) для некоторого абстракта U' того же
типа, что и U. Пусть все свободные переменные, входящие
в U, находятся среди ab ..., ап. Поскольку ф (а() принадлежит Sn.,
где nt — тип переменной а;, найдется абстракт Ui типа пг, такой,
что £/(<</>(«,). Следовательно, в силу предложения 21.11
U(Ui, ..., Un) < ф (U (аь ..., а„)). Поэтому в качестве Д' возь-
мем U(Ub ..., Un).
Предложение 21.13. Пусть — рассматриваемая структура,
и пусть фо — оценка на ГР, удовлетворяющая следующим усло-
виям-.
(i) </>0(а) = а, если а — свободная переменная типа 0;
(ii) </>0(а) есть множество S, определенное согласно предложе-
нию 21.9, если а — свободная переменная типа > 0 (и ф0 (х)
произвольно, если х — связанная переменная). .
Пусть А — любая формула. Тогда из и (4) = Т следует ф0 И) = Т,
а из v (4) — F следует фа И) = F.
Доказательство. Для такой оценки ф0 выполняется
а <фо(а) для каждой свободной переменной а. Таким образом,
204
Гл. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
в силу предложения 21.11 А<ф0{А) (в качестве Д,- надо-
взять at). Тогда доказываемое предложение вытекает из опре-
деления 21.10.
Предложение 21.14. Если секвенция S не выводима без сечений
(в системе S), то найдутся структура Генкина ГЕ и некоторая
оценка </>0 на ГЕ, такая, что </>0(S) = F.
Доказательство. В силу предложения 21.7 существует
некоторая полуоценка с отождествлением, скажем v, такая,
что u(S) = F. Пусть ГЕ— структура Генкина, соответствующая
полуоценке v (см. определение 21.8 и предложение 21.12). Пусть
фо — оценка на ГЕ, определенная в предложении 21.13. Тогда\
из v (S) — F опять-таки в силу предложения 21.13 следует, что \
MS) = F.
Доказательство теоремы 21.3. Согласно предложению
21.14, если секвенция 5 не выводима без сечений (в системе S), то
найдется структура Генкина ГЕ и оценка ф0 на ГЕ, такая, что
^o(S) = F. Но отсюда и из предложения 21.5 следует, что
секвенция S не выводима в системе S вообще. Другими сло-
вами, если секвенция S выводима в системе S, то она выво-
дима в ней и без сечений.
Замечание. В силу предложения 21.14 мы доказали не-
только устранимость сечений для системы S, но и полноту
системы S без правила сечения (относительно семантики струк- .
тур Генкина). {Корректность системы S доказана в предло-
жении 21.5.)
Теперь мы докажем аналогичную теорему для системы без
правила отождествления. Идея доказательства такая же, как
и в теореме^ 21.3.
Теорема 21.15 (теорема об устранении сечений для простой
теории типов без аксиомы отождествления; Такахаси — Пра-
витц). Пусть S- — система простой теории типов, приведенная
в § 20. Тогда для нее верна теорема об устранении сечений.
Доказательство. Следуем схеме, по которой прово-
дилось доказательство теоремы 21.3, указывая соответствующие
пункты из настоящего параграфа.
Определение 12.16 (ср. с определением 21.4). (1) Структурой
{для простой теории типов без аксиомы отождествления) назы-
вается и-последовательность множеств 5э = (Р0, Plt .. .,	. . .),
с отношением е, причем
1.1) Ро — некоторое непустое множество;
$ 21. Теорема об устранении сечений для простой теории типов 205
1.2) Р1+1 — некоторое множество пар вида (Ui+l, S), где
Ui+l — некоторый абстракт типа i 1, а 5 — подмно-
жество множества Д-. Пусть Pi+l = {Ui+i, S)— некото-
рый элемент из Р[+\, и пусть Р‘ — элемент из Д.
Тогда Р|еРж, если и только если Р‘ принадлежит S.
(2)	Оценкой на Ф называется всякое отображение <f>, кото-
рое каждой переменной типа i ставит в соответствие некото-
рый элемент из Pt. Интерпретация — это пара —
(3)	Для каждой полуформулы или полутерма А значение
ф(А) определяется так же, как и в определении 21.4, за ис-
ключением следующих случаев:
^(а[Я) = Т, если и только если </> (а) е (IF);
<Ь ({%"} А (хп, xi, ..., хт)) =
= ({%"} А (хп, U{, ..., Um), {Рп\Рп^
е рп д ф () и ел хт))=т}>,
где <f> (я,) = {UI, Si) и все связанные переменные, входящие
свободно в {х}Л(х), содержатся среди xt, ..., хт.
(4)	Структура 5s называется предструктурой Генкина, если
для всякой оценки <j> на ней и для всякого абстракта U типа i
ф(и) принадлежит Д.
Замечание. Причина, по которой в определении множе-
ства Р;+| мы должны брать пары (U, S) вместо одних S, со-
стоит в том, что является моделью для аксиом выделения,
в которой аксиома отождествления может не выполняться.
Таким образом, мы не можем всякий раз отождествлять два
объекта, имеющие одинаковое содержание. Для различения
объектов с одинаковым содержанием мы вводим в рассмот-
рение пары с тем, чтобы имена (этих объектов) были выра-
жены явно.
Предложение 21.17 (ср. с предложением 21.5). Пусть Ф—
некоторая предструктура Генкина и $ — оценка на &. Если
секвенция S выводима в системе S-, то </>(S) = T.
Определение 21.18 (ср. с определением 21.6). 'Полуоценки
определяются так же, как и в определении 21.6, за тем исклю-
чением, что опускается п. 5).
Предложение 21.19 (ср. с предложением 21.7). Если секвен-
ция S не выводима без сечений в системе S", то найдется неко-
торая полу оценка и, такая, что u(S) = F.
206
Гл, 3. Системы второго порядка и простая Теория типов
Определение 21.20 (ср. с определением 21.8). По данной
полуоценке v мы определяем структуру гР, соответствующую
этой полуоценке. Множества Ро, Рь ... и отношения Ul < S
и U1 < Р‘ (где U1 — абстракт, Pl^Pi и SsP‘) определяются
совместной индукцией по i.
1)	Ро есть множество всех свободных переменных типа 0;
/j < t2, если /| совпадает с t2.
2)	Допустим, что множества Ро, ..., Рг и отношения <
для этих множеств уже определены. Пусть S — некоторое под-
множество множества Рг. Тогда по определению Ui+l < S истинно,
если и только если для всякого Uo и всякого Р‘ из Р(-, такого, что
Uo<P‘, из v (U‘+l [По]) — Т следует, что P'sS, а из\
v (t/(+l [17о] ) = F следует, что Р‘ S.
3)	P(4i = df{<t/Z+1, S>|S = P; и Ui+l<S}.
4)	Пусть P‘+l = {Ul+l, S) — некоторый элемент Pi+i (и по-
этому Ui+l < S'). Тогда U <Pl+i, если и только если U совпа-
дает с U‘+l.
Предложение 21.21 (ср. с предложением 21.9). Для произ-
вольной переменной а типа п найдется элемент Р множества Рп,
такой, что а < Р.
Доказательство. Возможны два случая.
1) п = 0. Для всякого а из Ро по определению а < а.
2) п > 0. Определим Р так:
P = df(a, S>,
где
S = {Рп~11 Pn~l е Pn-i и существует абстракт Un~l, такой, что
Нам нужно лишь доказать, что а < S. Чтобы это доказать,
достаточно показать, что для любых Un~l и Р”-1, таких, что
Un~'1 < Р"-1, выполняются условия
(1) если о(а[[7п~1]) = Т, то Pn~l е 3;
(2) если o(a[t/"-1]) = F, то Рп~{ & S.
Условие- (2) в этом случае тривиально, поскольку Un~l < Рп~'
здесь означает, что Pn~l — {Un~l, S) для подходящего S.
Определение 21.22. Мы можем продолжить отношение <
на формулы так же, как в определении 21.10.
Предложение 21.23 (ср. с предложением 21.11). Пусть ГР—
определенная выше структура. По данной оценке ф следующим
$ 21. Теорема об устранении сечений для простой теории типов 207
образом определим отображение фр если </>(а) = Д7ь S), то
</>i(a) = t7b а для свободной переменной а типа 0 положим
ф[ (а) = ф(а) — а. Пусть U — формула или абстракт со свобод-
ными переменными а,, .... ага. Если
^1(«1) = ^1....фЛап) = ип,
то
U(U{, .... C7n)<</>(t7((xb .... а„)).
Доказательство. Индукция по сложности U (ср, . . ., ап).
Рассуждения в основном такие же, как и в доказательстве
предложения 21.11. Мы разберем лишь один случай шага
индукции. Допустим, что U имеет вид a([!F(ab ..., a„)].
Пусть at имеет тип nlt и пусть есть ({/,-, Sz) (это случай,
когда nt > 0, так как по условию ф} (az) = Up если бы было
п; = 0, то мы имели бы ф (a() = az = Uj. Поскольку Ut < Sh
то для всех и^~' и Pni~l из Рп__{ справедливо следующее:
1) если Unoi~l < РП{~' и v (Ut [Д"г-1]) = Т, то Рп<_1е$(;
2) если Unoi~' < Р"1~1 и ц([/.[(7^-1]) = Р, то Рп<~1 ф Sf.
Теперь в качестве ТУ"1'-1 возьмем W ([7Ь ..., Un), а в качестве Pni~l
возьмем </>(lF(ab ..., а„)). По предположению индукции
W (U\, .... Un) < ф (IF (ab .. ., а„)), и, следовательно, выпол-
няется первая посылка в 1) и 2). Если v (U{ [IF (Ut, ..., Т7„)]) = T,
то в силу 1) ф (IF (ab ..., aj) e ф (az) (так как ф (a;) = (Ut, S;) и
Ф(№(щ, ..., an)) принадлежит S(), и поэтому </>(a([lF(a......
• ••> aJD = T, откуда следует U{[W (Ui, .... Un)] < (04 [YF (ab ...
..., “«)])• Аналогично, если v (Ui [IF (T7b ..., t7J]) = F, to
в силу 2) <jf>(a,[!F(ab ..., a„)]) = F, и поэтому выполняется
требуемое отношение.
Предложение 21.24 (ср. с предложением 21.12). Структура cP
является предструктурой Генкина.
Доказательство. Пусть ф — произвольная оценка на cP.
Нам нужно только показать, что если ф(и) — (у, S), то V < 5.
Предположим, что все свободные переменные в U находятся
среди ab ..., ап. Пусть Т7г = </> (а;). Тогда U(U\, ..., Un) <
< ф (U (ab . .., aj), согласно предложению 21.23. Из определения
отображения ф следует, что U(Ult ..., Un) совпадает с F, от-
куда (по определению <) следует, что V < S.
Предложение 21.25 (ср. с предложением 21.13). Пусть 6Р —
рассматриваемая структура, и пусть ф — оценка на ZP, удовлет-
воряющая следующим условиям'.
(i) ф (а) = а, если а — свободная переменная типа 0;
208
Г л. 3. Системы второго порядка и простая теория типов
(ii) ф (а) есть множество Р, определенное согласно предло-
жению 21.21, если а —свободная переменная типа > 0 (и
произвольно, если х — связанная переменная).
Пусть А — любая форму ла. Тогда из v (Л) = Т следует ф (Л) = Т,
а из v (Л) = F следует ф (Л) = F.
Доказательство. Для отображения </>ь построенного
по оценке ф так же, как и в предложении 21.23, имеет место
« = >/>! (а) для всякой свободной переменной а. Таким образом,
в силу предложения 21.23 Л<</>(Л) (в качестве Ut надо
взять а;). Поэтому доказываемое предложение следует из опре-
деления 21.22.
\
Предложение 21.26. (ср. с предложением 21.14.) Если сек- \
венция S не выводима без сечений в системе S-, то найдутся
предструктура Генкина & и оценка ф на ней, такие, что ф (S) = F.
Доказательство проводится аналогично доказательству пред-
ложения 21.14.
Доказательство теоремы 21.15 получается из пред-
ложений 21.26 и 21.17 аналогично доказательству теоремы 21.3.
ГЛАВА 4
ИНФИНИТАРНАЯ ЛОГИКА
В этой главе мы изложим теорию доказательств инфини-
тарной логики. Одна из причин нашего интереса к инфини-
тарной логике состоит в том, что эта логика дает возможность
установить более тесную связь между теорией моделей и тео-
рией доказательств. Теория моделей и теория доказательств
связаны друг с другом во многих отношениях. Например, тео-
ремы Крэйга, Бета и Тарского, приведенные в гл. 1, можно
рассматривать как теоремы и теории моделей, и теории дока-
зательств. С другой стороны, теория доказательств в некоторой
степени уже, чем теория моделей, в том смысле, что теоретико-
модельный результат не всегда можно выразить на языке
теории доказательств, хотя обратное обычно возможно. На-
пример, в теории доказательств имеется несколько результатов,
-содержащих часть теоремы Лёвенгейма — Сколема, одной из
наиболее фундаментальных теорем в теории моделей. Однако
мы не располагаем теоретико-доказательной версией в обычной
(финитарной) теории доказательств всей этой теоремы. Если же
мы введем в рассмотрение инфинитарную логику с подходящим
понятием вывода, то теорему Лёвенгейма — Сколема полностью
можно будет сформулировать синтаксически (см. задачу 22.20).
Пусть а — некоторое ординальное число, f — отображение
из а в {V,3}, и пусть х< а обозначает последовательность {x^}g<a.
Тогда (У*<а — квантор арности а. Если все значения функ-
ции f представляют собой V или все значения f представляют
собой 3, то квантор Qfx<a называется однородным и обозна-
чается через Vx<a или Зх<а соответственно. В противном слу-
чае он называется неоднородным.
Неоднородные кванторы могут встречаться и в более общей
форме (Генкин). Пусть X н Y — непересекающиеся множества
связанных переменных, и пусть Т — функция, отображающая Y
на некоторое подмножество S множества Р(Х). Этим Т, X и Y
мы поставим в соответствие квантор Q (Т, X, У). Для простоты
пусть х и у — вполне упорядоченные последовательности, со-
ставленные из всех элементов X и У соответственно. Тогда для
формулы А (а, Ь) выражение 0(7", х, у)Л(х,у) (сокращенно
210
Г л. 4. Инфинитарная логика
(УГхуА(х, у)) есть формула, имеющая следующий смысл. По
любым заданным значениям переменных х найдутся значения
переменных у, такие, что
(1)	для всякого ординала т] значение переменной зави-
сит от значений тех переменных х$, которые входят в Т (z/n);
(2)	для всякого ординала т] значение переменной не за-
висит от тех переменных х%, которые не входят в Т (уп);
(3)	имеет место А(х, у). Другими словами, (УтхуА (х, у}
эквивалентна следующей формуле второго порядка:
(Э/о, • • •,	• • .)(Vx) А(х, /о(хоэ, Хон • • •)> • • •
• • •» f т) (х^о, Х^, . . . ), . . . ),
где хп0, хЛ1, ... — элементы множества Т(z/n). Например, если
X = {х, у}, Y = {и, о} и функция Т определена так:
7’(ц) = {х}, T(v) = {y},
то мы получим формулу Q(T, X, У)А(Х, У), которую обозна-
чим через
Vx 3u\
,, _ IА (х, у, и, v).
Xfy Зо J	'
Известно (Мостовский), что этот квантор нельзя выразить
через обычные кванторы V и 3. Другие примеры такого рода
будут приведены ниже.
Мы рассмотрим инфинитарные системы как с однородными,
так и с неоднородными кванторами. Системы с однородными
кванторами более или менее напоминают финитарные системы
первого порядка, природа которых вполне понятна. В случае
неоднородны^ кванторов ситуация более интересная. Одна из
наших задач будет состоять в выяснении, подобны ли логики
с неоднородными кванторами конечным логикам первого по-
рядка, или же они ближе к конечным логикам второго порядка.
Особый интерес представляет инфинитарная логика с неод-
нородными кванторами Qfx<a, такими, что f(p) = V, если р
четно, и f(p) = 3, если р нечетно. Эта логика связана с аксио-
мой детерминированности, которая имеет много интересных
следствий в теории множеств. Аксиома детерминированности
утверждает, что для всякого квантора и для любой фор-
мулы ф истинна в точности одна из двух формул:
Qfx<a Ф (х<а, а<в)
или
Qfx<a "1ф(х<и, а<е),
Инфинитарная логика
211
где f — функция, двойственная функции f, т. е. f(y) = V, если
Ду) = 3, и f(y) = 3, если f(v) = V.
С помощью аксиомы детерминированности мы можем уста-
новить связь между теорией доказательств и теорией множеств.
Например, одно из важных свойств правил вывода состоит
в том, что они образуют симметричные пары. Это свойство
было существенным при доказательстве теоремы об устране-
нии сечений для LK, но оно, очевидно, уже не сохраняется
при введении неоднородных кванторов. Поэтому кажется без-
надежным ожидать, что для инфинитарной логики с неоднород-
ными кванторами когда-нибудь будет доказана теорема об
устранении сечений. Однако в детерминированной логике (она
будет определена в § 23; грубо говоря, это инфинитарная ло-
гика. в которой выполняется аксиома детерминированности)
правила вывода симметричны. Это позволяет надеяться, что
для такой логики имеет место теорема об устранении сечений.
Известно, однако, что эта теорема не верна для детермини-
рованной логики, в которой символы дизъюнкции и конъюнк-
ции имеют арность 2**°, т. е. оперируют с последователь-
ностями длины 2So. Так ли это в случае детерминированной
логики, в которой символы дизъюнкции и конъюнкции имеют
лишь арность со?
Существуют два подхода к изучению детерминированной
логики: один из них предполагает аксиому выбора, а дру-
гой — нет. Без аксиомы выбора некоторые доказательства пре-
вращаются в очень тонкие рассуждения. Тем не менее мы
можем доказать следующее утверждение, не применяя эту
аксиому.
Пусть М — транзитивная модель теории ZF 4- DC, т. е. тео-
рии множеств Цермело — Френкеля, пополненной аксиомой
зависимого выбора, и пусть М содержит множество всех под-
множеств множества со. Тогда аксиома детерминированности
(AD) выполняется в М тогда и только тогда, когда для всякой
детерминированной Al-определимой логики справедлива теорема
об устранении сечений.
Из этой теоремы следует, что между теоремой об устране-
нии сечений и аксиомой детерминированности имеется тесная
связь. Кроме того, в LK существует некоторая естественная
редукция, дающая основу для доказательства теоремы об
устранении сечений. Это наводит на мысль, что, распространив
понятие редукции на инфинитарные языки, мы, возможно,
сумеем доказать теорему об устранении сечений и вследствие
этого больше узнаем об аксиоме детерминированности. По-
этому мы обобщим правило сечения так, чтобы для инфини-
тарных языков существовала естественная редукция.
212
Гл. 4. Инфинитарная логика
Простейшими примерами инфинитарной логики являются
системы с пропозициональными связками счетной арности
и с кванторами конечной арности. Хотя эти логики представ-
ляют большой интерес, мы приведем лишь один результат,,
относящийся к таким системам (см. задачу 22.21; Лопес-Эско-
бар). Дополнительную информацию читатель сможет получить
в следующей работе: Barwise J., Infinitary logic and admissable
sets, Journal of Symbolic Logic, 34 (1969).
Инфинитарную логику можно рассматривать как подсистему
логики второго порядка, так как определение истинности для
любой сколько-нибудь значительной инфинитарной системы
можно выразить в подходящей системе второго порядка. Соот-
ветствующий пример приводится в задаче 22.27.
При определении инфинитарного языка основной задачей
является описание множества переменных, множества констант
и правил образования формул. Существуют различные способы
определения формул в таком языке.
а)	Берутся все формулы, которые определяются индуктивно,,
исходя из констант и переменных.
Ь)	В качестве „допустимых" формул берется некоторое
подмножество множества всех формул, определенных
согласно а), причем требуется, чтобы множество допусти-
мых формул было замкнуто относительно подформул.
Всякий раз, когда не оговорено противное, в системах,
которые мы будем изучать, формулы определяются согласно
а). Обычно принято устанавливать верхние границы для мощ-
ности различных множеств символов языка, но мы не всегда
будем делать это.
Под инфинитарным языком мы понимаем следующее:
1)	некоторое множество связанных переменных;
2)	некоторое множество свободных переменных;
3)	некоторое множество предикатных констант, каждая из-
которых имеет свою арность, т. е. „число" аргументных
мест;
4)	некоторое множество индивидных констант;
5)	некоторое множество логических символов.
Множество логических символов состоит из обычного одно-
местного знака отрицания ~1, обычного двухместного знака
импликации дэ и некоторой совокупности знаков дизъюнкций,
конъюнкций, кванторов всеобщности и существования, каж-
дый из которых имеет свою арность. Однако мы не будем
употреблять различные символы для обозначения знаков раз-
ной арности. Мы будем использовать только один символ V
ДЛЯ ДИЗЪЮНКЦИИ, ОДИН СИМВОЛ Д— для конъюнкции, один сим-
вол V — для квантора всеобщности и один символ 3 — для
квантора существования. Из контекста всегда будет ясно, ка-
$ 22. Инфинитарная логика с однородными кванторами
213
кие символы являются „различными". Например, два кван-
тора V, за которыми следуют последовательности связанных
переменных, являются различными символами, если длины
этих последовательностей различны, т. е. символы V в выра-
жениях Vx<a и Vx<p различны, если а=/=р.
То же самое справедливо и для символов 3, V и Д. На-
пример, символы д в формулах AV<<MV и ЛусеА различны,
если a =/= р.
В случае, когда формулы определяются согласно Ь), логи-
ческие символы языка определяются допустимыми формулами.
Например, символ А является символом языка, если он вхо-
дит в некоторую допустимую формулу.
§ 22. Инфинитарная логика с однородными кванторами
В этом параграфе мы опишем инфинитарную логику с од-
нородными кванторами в виде некоторого исчисления генце-
новского типа. Хотя рассмотрение языков, содержащих функ-
циональные константы, не вызывает особых затруднений, мы
будем для простоты изучать только языки без функциональ-
ных констант.
Определение 22.1. (1) Язык L состоит из следующих символов:
1)	Логические символы-.
“1 (не),
А (конъюнкции арности а для некоторых а),
V (дизъюнкции арности а для некоторых а),
V (кванторы всеобщности арности а для некоторых а),
3 (кванторы существования арности а для некото-
рых а).
Мы будем иногда писать Ар 11 Vp вместо Лр<а и V[3<a,
если смысл этих выражений ясен из контекста (и особенно
в случае, когда а = со).
2)	Вспомогательные символы-, левая скобка (, правая скобка)
и запятая , .
3)	Константы-.
3.1)	Индивидные константы: с0, cv ..., с^....£ < ц для
некоторого ц.
3.2)	Предикатные константы арности a: pj, р“, ..., р^, .. .,
£< у для некоторого у и некоторых а.
4.	Переменные-.
4.1)	Связанные переменные: х0, X;...хп......г] </Q.
4.2)	Свободные переменные: а0, av ..., а^, .... I < К2.
Здесь Ki и К2 — ординалы, но они выбираются не произ-
вольным образом. Нам нужно иметь достаточно большой запас
связанных и свободных переменных.
214
Г л. 4. Инфинитарная логика
Мы поступаем следующим образом. Сначала фиксируем
определенное число констант и логических символов. Потом
добавляем „достаточно большое" количество связанных пере-
менных. Затем нам нужна „очень большая" совокупность сво-
бодных переменных. На самом деле мощность множества сво-
бодных переменных должна быть такой же, как и мощность
множества всех формул.
Конечно, число формул зависит от числа переменных, ко-
торые мы имеем. Во всяком случае в теории множеств можно
показать, что если фиксировать численность всех символов
языка, кроме свободных переменных, то для достаточно боль-
шой совокупности свободных переменных количество формул
будет совпадать с количеством свободных переменных.
(2) Терм — это либо свободная переменная, либо индивид-
ная константа.
(3) Формулы и их внешние логические символы определяются
следующим образом:
(3.1)	Если р — предикатная константа арности а и V₽}B<a —
последовательность термов, то p(t0...... ..) — атомарная
формила. Атомарная формула не имеет внешнего логического
символа.
(3.2)	Если А — формула, то —1Л — формула и —I — ее внешний
логический символ.
(3.3)	Если символ Д (V) арности а принадлежит нашему
языку и	— последовательность формул, то Д5<аА£
(V^<aA^) — формула и ее внешним логическим символом яв-
ляется Л (V).
(3.4)	Пусть квантор V (В) арности (3 принадлежит нашему
языку, А — некоторая формула, а — последовательность сво-
бодных переменных длины Р, а х — последовательность свя-
занных переменных длины р, ни одна из которых не входит
в А. Тогда VxA(x) (ЗхА(х))— формула, внешним логическим
символом которой является V (3), и А (х)— выражение, полу-
ченное из А заменой переменных а на соответствующие х во
всех вхождениях этих а в А.
Подформулы определяются так же, как и для конечных
языков первого порядка: если А = дв<аАй— формула языка L
(L-формула), то каждая формула является подформулой
формулы А; если А = VxA (х) — некоторая L-формула, то A (®)
для произвольной последовательности термов®—ее подформула.
Разумеется, язык L должен быть определен так, чтобы
каждая подформула любой L-формулы являлась L-формулой.
Поскольку формулы определяются индуктивно, свойства фор-
мул обычно доказываются трансфинитной индукцией по их
построению.
i? 22. Инфинитарная логика с однородными кванторами
215
(4) Для	того чтобы ввести понятия вывода, мы, как и ра-
нее, используем вспомогательные символы -> и —. Ниже
через Г, Л, П, Л, Го, Гь ... обозначены последовательности
формул длины < К+, где К—мощность множества всех фор-
мул языка L.
Выражение вида Г->А называется секвенцией. Последова-
тельности формул Г и А называются соответственно антецеден-
том и сукцедентом этой секвенции.
(4.1)	(Слабое) структурное правило вывода:
) Г -> А
Г->А',
где каждая входящая в Г формула входит и в Г', а каждая
входящая в А формула входит в А'.
(4.2)	Логические правила вывода:
г-	
1 С «/I V В cl • f ___ л ч	Т-, г-	->А
для некоторого у<К+.
~1-справа:	Ж<г Г—>А	
	Г->А,	{^Ак}к<у
для некоторого у<К+.	{^х. ц}ц<р^, X<V’	Г—>А
Д-слева:	{Дн<₽ЛА. ц}А<	, Г->А
для некоторого у < К+, где символ Лц<8х принадлежит языку L
при любом Л < у.
Г—>А, {Л>(4}	для всех {pJx<Y, 1Н<Рх U < у)
Л-справа:	-г-.-т---------—------------------------
1 {Лн<В;Л,Л<у
для некоторого у < К+, где символ Дц<ех принадлежит языку L
при любом Л < у.
{Л, иЛ > Г—>А для всех {pj
V-слева:	г----------------------------
{Vu<e^-^<v’ |>Л
для некоторого у < Дт, где символ Vu<6x принадлежит языку L
при любом Л<у.
Г—>А,	л<7
у-отрава:
216
Гл. 4. Инфинитарная логика
ДЛЯ
при
некоторого у < К+, где символ Vp.<sx принадлежит языку L
любом А < у.
w	МЖ<Г 1'->л
{VMa*Jh<v.
некоторого у < К+, где все t суть последовательности
ДЛЯ
произвольных термов подходящей длины.
Г-»Д,
V-справа. г_^д> {Vx^(xJ}
для некоторого у < /<+, где все а суть последовательности раз-
личных свободных переменных подходящей длины. Всякая
переменная, входящая в эти последовательности, называется
собственной переменной этого правила. Если переменная а та-
кого правила входит в последовательность ак, то формула
(*х) называется главной формулой для переменной а,
а формула Л^(дк)— боковой формулой для этой переменной и
для главной формулы. Переменной порядка р относительно
главной формулы УхкАк(хк) называется p-я переменная aKii
в последовательности ак.
{AJaJ}x<v, Г->Д
d-слева:	—j—1-------------г
{з*дА I
для некоторого у <	, где все а суть последовательности раз-
личных свободных переменных подходящей длины. Всякая пе-
ременная, входящая в эти последовательности, называется соб-
ственной переменной этого правила. Если собственная пере-
менная а такого правила входит в то формула
называется главной формулой для этой собственной перемен-
ной, а формула Ак(ак)— боковой формулой для переменной а
и для главной формулы. Переменной порядка р относительно
главной формулы	называется p-я переменная ах>(1
в последовательности ак.
Э-справа:
для некоторого у < К+,
произвольных термов подходящей длины.
(4.3)	Правило сечения:
Г —> А, Л,; Г—>Д, Л2; . .	Г->Д, Лх; ... (А<у); {AJX<V, П->А
Г, П->Д, Л
Г->А, {ЛОк<7
Г->Д, {ЗхдЛд(хд)}
где все t суть г
для некоторого у < /(+.
§ 22. Инфинитарная логика с однородными кванторами
217
Полувыводом Р называется конечное или бесконечное де-
рево секвенций, определяемое следующим образом. Самые
верхние, т. е. начальные, секвенции имеют вид D->D. Всякая
секвенция в Р, кроме одной, является верхней секвенцией не-
которого применения того или иного правила, и за этой сек-
венцией следует нижняя секвенция этого применения. Секвен-
ция, расположенная в корне дерева Р, называется заключи-
тельной секвенцией. Более точно определение полувывода
проводится индуктивно следующим образом:
1)	Фигура, состоящая из единственной секвенции £)—>£),
есть полувывод.
2)	Если каждое Ра является полувыводом с заключительной
секвенцией Га-*Ла и
• • •', 1'а Ад~>  • •
Г->А
есть непосредственный вывод по одному из правил вывода, то
фигура
г->а
есть полувывод.
3)	Всякий полувывод получается согласно 1) и 2).
Поскольку полувыводы определяются индуктивно, секвен-
циям в полувыводе можно поставить в соответствие ординалы
так, чтобы ординал, поставленный в соответствие секвенции
был меньше, чем ординал, поставленный в соответствие сек-
венции S2, если S; — предок секвенции 32. Поэтому важно от-
метить, что, хотя полувывод может быть бесконечной фигурой,
т. е. дерево может содержать бесконечно много ветвей, всякая
последовательность секвенций в этом дереве, идущая вверх от
заключительной секвенции или вниз от начальной секвенции,
имеет конечную длину.
Полувывод Р называется выводом, если он удовлетворяет
следующим ограничениям на собственные переменные.
(I)	Если какая-то переменная два или большее число раз
входит в Р в качестве собственной переменной, то главные
формулы для этих собственных переменных должны совпадать
и порядок этой собственной переменной относительно каждой
главной формулы одинаков в каждом непосредственном вы-
воде в Р.
(II)	Всякой свободной переменной а в Р можно поставить
в соответствие некоторое ординальное число h (а), называемое
ее высотой, так, чтобы высота свободной переменной, входя-
щей в Р в качестве собственной, была больше всех высот
218
Г л. 4. Инфинитарная логика
свободных переменных, содержащихся в главной формуле для
этой собственной переменной.
(III)	Никакая переменная, входящая в Р в качестве соб-
ственной переменной, не должна входить в заключительную
секвенцию.
Замечание. Ниже приводится другая форма ограничений
на собственные переменные при наличии правила сечения.
Если / — непосредственный вывод вида
г-+д, 0Щ)}£<а
г -> Л, {Vx^/Ц (*5)}6<а
или
{3*А(*б)П<а’ Г-*Л’
то в дополнение к (I) должны выполняться следующие усло-
вия:
(i)	ни один член последовательности не входит ниже J
в боковые формулы в качестве собственной переменной, а также
в главные формулы применений правил V-справа или 3-слева;
(ii)	для всякой пары £, т], такой, что т] < никакой член
последовательности не входит в (oQ;
(iii)	никакой член последовательности не входит ни
в УжД(ж6), ни в 3х^(*0;
(iv)	никакая переменная, входящая в вывод в качестве
собственной переменной, не входит в заключительную сек-
венцию;
(v)	если какая-то собственная переменная входит в
то она используется в качестве собственной в / или ниже.
Очевидно, если условия (i) — (v) выполнены, то можно
определить „высоту" так, чтобы после переименования некото-
рых переменных выполнялось условие (II), и поэтому будут
выполняться ограничения на собственные переменные. Обрат-
ное можно доказать методом, аналогичным тому, который
используется в последней части доказательства предложе-
ния 22.25.
Пример 22.2. (1) Ниже приводится не содержащий сечений
вывод аксиомы зависимого выбора в инфинитарной логике
22. Инфинитарная логика с однородными кванторами
219'
с однородными кванторами:
(^п, О'ПА-1)	>F(an, an+x)	
{F(am, am+i)}m<m-	» F (an, an+<,) для всякого n <	C <0
	>Л„<ш/7(а„, а„+1)	
{/7К- ат+.)}т<и-	* ^x<4>hn<a)F n	
{F(am’ am+i)}m<ffl~	^Vx03x<fflA„<aF(x„, xn+l)	
{Bz/F (а //)} l ‘	\ Fti	^X^X<^n<aF (Xn’ xn+l)	
{Vx3yF (x, y)}m<№-	^X^X<^n<№F(/n’ xn+i)	
(х, у) -> Ух0Зх<иЛп<(/ (х„, х„+1).
Здесь Fo есть F (а0, xj, Fi+1 есть F(xi+I, х/+2) для всякого i <®
и х — (х\, х.->, ...). Высоты определяются таким образом: h(am) =
= m, tn < со.
(2)	Выведем секвенцию
Vx0..I Дх„+1 ехД Ух(Уу е= хА (у) => Л(х))->Л(а0),
где Vy е хА (у) — сокращение для У у (у е х => А (у)). Для этого
докажем выводимость следующих секвенций.
1) Ух(Уу е хА (у) => А (х))-> А(а0), ai<^a0.
Вывод:
(Iq	6Zq
-»а, g а0, а, еа0 э .4 (а,)
__________А (а0) —> А (яр)	—> а, g а0, Vy g ааА (у)
У У <= а0А (у) => А (а0) -» А (а0), а, <= а0_____
Ух (Уу е хА (у) zd А (х)) -> А (а0), «i е До-
2)	Ух (Уу е= хА (у) zo А (х)) -> А (а„), an+i е= а„.
Эта секвенция выводится аналогично секвенции 1).
3)	Ух (Уу ехЛ(у)=эД(х))->Л(а„_й), я„+1еа„ для /г = 0г
1, ..., п.
Индукцией по k построим фигуру, оканчивающуюся сек-
венцией 3). Поскольку секвенция 2) представляет собой слу-
чай k = 0, нам нужно только показать, как перейти от k
к k -J- 1:
Ух(Ууех4(у)=>Д(х))-»Д(ап_й), о„+1ео„
Я(о„_№+1)) -» Д («„-(fe+1)) v* ^хА(у)^А (х)НУуеа„_№+1) А (у), ап+ tea t_
Ууед„_(^+1)Д(у)=>Д (а„_(А + 1)), Ух(УуехД(у)^Д (х))-» A (an_(k+l)), an+l s ап
Vx(VysxA (у)=>А (х))->Д (an_(ft+1)), ап+1 е а„.
4)	Ух (Уу е= хА (у) => А (х)) А (а0), №„+1
•220
Гл. 4. Инфинитарная логика
Из секвенции 3) при k — n мы получаем
Ух (Уу s хА (у) о А (х)) -» А (а0), ап+, €= ап
Ух (У у е хА (у) zd А (х)) -> А (а0), Да„+1 6= ап.
п
Наконец, из секвенции 4) мы получаем
5)	Ух0...(-] Дх„+1 е= хпу Ух(Уу е хА (у) зэ А (х)) -> А (а0).
В выводе этой секвенции переменные at, а2, .. ., ап, ... являются
собственными и h (ап) = п.
(3) Пример Малитца. Малитц нашел контрпример к интер-
поляционной теореме для однородных инфинитарных языков.
Пусть А н В — два вполне упорядоченных множества одного
порядкового типа, и пусть F — предикат, определяющий взаимно
однозначное сохраняющее порядок отображение множества А
на множество В. Легко доказать, что такое отображение
единственно. Если бы имела место интерполяционная теорема,
то это сохраняющее порядок отображение можно. было бы
определить в однородном инфинитарном языке без использова-
ния предиката F. Однако это невозможно, поскольку длина
определяющей формулы устанавливала бы верхнюю границу
на порядковый тип множества А, тогда как этот порядковый
тип ничем не ограничен. Пусть Ln(=, <) — формула, выра-
жающая, что отношение < вместе с = является линейным
порядком.
Пусть Г — такая последовательность формул:
11	2	2
Ln(=, <), Ln(=, <),
1	2
УхУуУиУи (х = у /\u = v zd (F (х, u) = F (у, о))),
k	1	2
УхУуУиУи (х — у /\u = v zd (G (х, и) = G (у, ц))),
12	1	2
УхУуУиУъ (F (х, u)\F (у, v) zd (х <. у^и < о)Д(х=у = и — у)),
12	12
УхУуУиУи (G (х, и) /\G (у, v) (х <у = и <о) Д(х = у = и — и)).
Следует отметить, что все кванторы в Г являются кванто-
рами всеобщности и расположены в начале формул. Легко
доказывается, что верна следующая секвенция:
Г, УхЗуР (х, у), УхЗуО (х, у),
УхЗуР (у, х), УхЗуО (у, х), F (а, Ь),
1
Vxoxi... ~1Д(хп+1 <xrt)-»G(a, b).
$ 22. Инфинитарная логика с однородными кванторами
221
Мы хотим построить вывод этой секвенции без сечений-
Пусть Т — множество всех конечных последовательностей из
символов 1 и 2. Подразумевается, что пустая последователь-
ность тоже принадлежит Т. Буквой т будем обозначать эле-
менты множества Т. Множество D свободных переменных опре-
деляется следующим образом:
1)	aefl (а есть а1, где т — пустая последовательность).
2)	Если ах <= D, то 6Т = D и bx2 <= D.
3)	Если bx eD, то axl е D и а2 е D.
4)	Все элементы множества D получаются согласно 1), 2)
и 3).
Множество D состоит из переменных а, Ь1, Ь2, а11, а12, а21, а22,
bliI, а112, .... Пусть Г'— последовательность всех формул,
получающихся из формул в Г удалением всех кванторов все-
общности и заменой связанных переменных на переменные мно-
жества D. (Из одной формулы получится бесконечно много
формул. Конечно, в каждом подстановочном примере вместо
одинаковых связанных переменных в данной формуле следует
подставлять одинаковые элементы множества D.) Через А' обо-
значим последовательность всех формул вида
Е(цх, bxi\ F (axl, bx), G(ax, bx2\ G(ax2, bx\ т е= Т.
В следующих ниже леммах мы приведем несколько секвенций,
которые выводимы в обычном исчислении предикатов первого
порядка и, следовательно, выводимы без сечений в генценов-
ской системе LK-
Мы будем говорить, что „секвенция Г , А ->&х11=йх выво-
дима", если для некоторых конечных подпоследовательностей
Г* и А* последовательностей Г' и А' соответственно выводима
секвенция Г , А ~>Ь ' — b .
Лемма 22.3. Следующие, секвенции выводимы в LK:
1)	Г , А ->Ьх>> = Ьх, где bxl = bx2 является сокращением для
. т1 2 ,т2 Т1 т2	л Т1 1 т2
b — b и а = а является сокращением для а — а ;
2)	Г',	->ЬХ22 = ЬХ\
3)	Г', Д'->ах1' =ах\
4)	Г', ь'-*ах22 = ах.
Доказательство. Очевидно, выводима секвенция
Г', F (ах1, £х11), F(axl, //) —»• Ьх1> = Ьх. Отсюда легко следует !)•
Выводимость секвенций 2), 3) и 4) доказывается аналогично.
222
Г л. 4. Инфинитарная логика
Лемма 22.4. Следующие секвенции выводимы в LK:
Пг' х' «Л /,112	11 т2
1 , Д , 6 — b —> а —а ;
г/ *z t Т12 гТ1 <Т2
2) Г Д , а = а -> о —Ь .
Доказательство. 1) Из формул G(ax2, 6х), G(axl, 6х12),
последней формулы в Г с переменными ах2, ах|, 6х, 6х12 вместо
х, уу Uy v соответственно и изо = b следует, что а —а •
Лемма 22.5. Следующие секвенции выводимы в LK:
1) Г', д', 6xil =6xf2->цх1 =ах2(<== 1,2);
2) Г', Д', axn ==axi2->6xl =6х2(/= 1, 2).
Доказательство. При гипотезах Г' и Д' имеет место
6х11 = 6х12 —> 6х = 6х12 —> ах1 = а12 (в силу лемм 22.3 и 22.4).
В остальных случаях доказательство аналогично.
Лемма 22.6. Следующая секвенция выводима в LK: .
Г', Д', bxl = 6х2->б‘ = 62.
Доказательство. Применяем индукцию по длине т и
используем лемму 22.5.
Лемма 22.7. Следующие секвенции выводимы в LK:
1)	Г', Д', 6’ = 62—»G(a, 61);
2)	Г', Д , 61 < 62->а12 < а, где ЬхХ < 6х2 и а1 < а2 — сокра-
2	1
-I »Т1	. 1 т2	Т1	12
щения для b <о и а < а соответственно;
3)	Г', Д', Ь2 <6‘-»а21 < а.
Доказательство. Убеждаемся, что выводимы следую-
щие секвенции:
1)	Г', G (a, 62), 6‘ = 62->G(a, 61);
2)	Г', 6[<62, G(a,b2), G (a12, 6')->a12<a;
3)	Г', b2<b\ F(a2l,b2), F (a, b1) ail < a.
Лемма 22.8. Следующие секвенции выводимы в LK:
1)	г', Д', 6х1 = 6х2 —> G (a, 61);
2)	Г', Д', bxl <bx2-*ax12 <ах;
3)	Г', Д', 6х2 < 6X1-> ах21 <ах.
Доказательство. Выводимость секвенции 1) следует из
леммы 22.6 и из п. 1) леммы 22.7. Доказательство пп. 2) и 3)
проводится аналогично доказательству леммы 22.7.
$ 22. Инфинитарная логика с однородными кванторами
223
Определение 22.9. (1)(т) означает, что bx' — Ьх2\
(ii) /?' (т) означает, что bxl < bx2\
(ill) R2 (т) означает, что &х2<61С';
(iv) 7'о={те7’|т имеет четную длину}.
Лемма 22. Ю. Для всякого отображения I; То —» {О, 1, 2} выво-
дима без сечений следующая секвенция-.
(Я1'г'- л <„,<<„ 0(а,
где 1п — некоторый элемент множества D с индексом длины 2 .
Доказательство. Это следует из леммы 22.8.
Лемма 22.11. Следующая секвенция выводима без сечений:
Г, A', V¥i • • • “1 А (х„+1 < хп) -+G (а, Ь>).
Доказательство. Это следует из леммы 22.10, поскольку
2	2	2
в Г содержится формула VxVz/ (х < уУх — уУу < х).
Теорема 22.12. Следующая секвенция выводима без сечений-.
Г, A, Vxox,.. .-1Д(х„+1 <хп), F (a, b)->G(a, Ь),
п
где А состоит из формул УхЗуР (х, у), УхЗуР {у, х), УхЗув (х, у)
и УхЗув (у, х).
Доказательство. Возьмем переменную Ь1 вместо b и
определим высоты Л(аг) и h(bx) как длины последователь-
ностей тит' соответственно. Далее применим лемму 22.11.
Теперь мы введем новое правило сечения, которое больше
подходит для инфинитарных языков, чем прежнее. Как мы
покажем, новое правило является обобщением прежнего.
Определение 22.13 (правило обобщенного сечения). Пусть
Г—>А — секвенция и ST — некоторое множество формул. Пусть
1, SF2) обозначает разбиение множества	(т. е. ST\ U SF 2 =
и	пусто). Допустим, что для произвольного разбиения
(^"ь ^"2) множества ЗГ существует пара множеств	и
TsiT2, таких, что секвенция Ф, Г—>А, Чг имеет полувывод. Тогда
правило обобщенного сечения (о. с.) позволяет нам вывести сек-
венцию Г-»А. Это правило можно выразить следующим образом:
Ф, Г->А, 4^ для всех разбиений (£ГЬ ^F2)
°‘ с-	Г-*А
224
Гл. 4. Инфшштарная логика
Предложение 22.14. (1) Обычное правило сечения является част-
ным случаем правила о. с.
(2)	Допустимым является следующее правило вывода:
1'->А
Г->А,
где Г и А получаются из Г и А соответственно заменой некоторых
формул их алфавитными вариантами.
(3)	Допустим, что некоторые (возможно, все) верхние секвенции
некоторого обобщенного сечения получены опять же применением
правила о. с. Тогда мы можем видоизменить вывод так, чтобы
нижняя секвенция получалась в результате одного применения
правила о. с.
(4)	В системах с однородными кванторами правило о. с.
является допустимым правилом вывода.
(5)	Правило о. с. эквивалентным образом можно выразить
в такой форме:
Ф, Г'->А', Ч^ для всех разбиений
__
где Г's Г «А'еА зависят от разбиения (&" ь &"2), а Ф и Ч; имеют
такой же смысл, как и раньше.
Доказательство. (1) Рассмотрим какое-нибудь сечение
Г —> А, £)и для всех ц < Л; {ОД <Jt, П -> Л
Г, П—>А, Л.
Сначала мы из верхних секвенций применением слабого правила
получим секвенции Г, П—>А, Л, D,:l и {ОДЦ<А, Г, П—>А, Л. Пусть
есть {Оц|и<х, и пусть (&~i,	2) — некоторое разбиение
Случай 1. Множество ST2 непусто. Тогда возьмем в качестве
Ф пустое множество, а в качестве Чг — множество {ОД, где
Ои — первая формула в 2Г2-
Случай 2. Множество пусто. Тогда в качестве Ф возьмем
ST\, которое совпадает с ST, а в качестве Чг — пустое множество.
Для любой из таких пар (Ф, Чг) секвенция Ф, Г—>А, ЧГ
является верхней секвенцией в рассматриваемом сечении. По
правилу о. с. получаем
Ф, Г—>Д, Чг для всех определенных выше пар (ф, 40
Г->А
(2)	Покажем, что, если секвенция Г—>А выводима, можно
вывести и секвенцию Г—»А, где Г и А получаются из Г и А
соответственно простым переименованием некоторых связанных
$ 22. Инфинитарная логика с однородными кванторами
225
переменных. Если А — алфавитный вариант произвольной фор-
мулы А, то легко выводится формула А = А. Если секвенция
Г —> Л выводима, то выводима и секвенция {Ал, s ^4л.<и, Г—>Л
для некоторых Ад, и Ак. Отсюда и из секвенций -> Ax s Ал, для
всех Л, < ц мы получаем по правилу о. с. секвенцию Г -> Д,
(3)	Пусть I — рассматриваемое обобщенное сечение
Ф, Г -> Д, Ф для всех подходящих пар (Ф, Ч')
Г->Д	’
Доказательство проводится трансфинитной индукцией по слож-
ности подвывода, оканчивающегося секвенцией Г—>Д. Допустим,
в качестве предположения индукции, что выше I вдоль любой
нити секвенций существует не более одного сечения. Пусть
{(Фц, Чти)}и<Цо — перечисление всех пар (Ф, W) в I, и пусть РГ —
множество всех высекаемых формул. Пусть Зц обозначает
секвенцию Фи, Г -> Д, Ч'ц. Пусть {/^}1<у —перечисление всех
сечений, расположенных выше секвенции и пусть для каждой
пары (ц, i) 3~t есть множество высекаемых формул сечения Pt-
Пусть {(Фу1, Ч"?	— перечисление пар множеств формул,
соответствующих сечению It, а nt1-* * At* — нижняя секвенция
этого сечения.
Для каждого сечения It и для всякого у < 6? применим
к секвенции Фу1, П?-*Л^, Wy1 слабое структурное правило:
Ф^1, ПГ->ЛГ, Ч^л
П?, Ф^'1-*^1, АГ-
Затем для каждой комбинации ординалов у, т. е. (у0, у1, .. .
. .., у1, у1 <6^, копируем (см. определение 2.8(6)) часть
первоначального вывода от секвенции Fit*-> At1 до секвенции Зц,
начиная с полученной выше секвенции П^, Фу[1->Фу[1, Л^1 вместо
nJ1-* At1. Мы получим секвенцию
(*)	%, г. WK	>д>чгц
7	u 1 Y Jc<v.. < Y h<v„ И
и	и
для любых ц и комбинаций (у0, у1, ..., у1, ...). Обозначим
такую секвенцию через 3(1({yl}t<v ).
Теперь рассмотрим множество формул ^0 = ^’U U 3"t и
ил
произвольное его разбиение, скажем на РГj и РГ2. Найдутся
И < Но и {yl}i<Vu, такие, что Ф^ S 3\ А &, S ^"2 А , Фу;1 S
8 Г, Такеути
226	Г л. 4. Инфинитарная логика
— П и Ч^;1 П так как и &"2 задают разбиения
множеств $Г и $Г\. Положим
Ф = Фии U Ф£Л ЧГ=ЧГ I) U Ч^1.
1<VH	1<^ц
Очевидно, что Ф s ST и Т = и что Ф, Г -» А, Ч> есть секвенция
вида (*). Выше нее нет сечений. Поскольку это верно для
каждого разбиения множества 2Г мы получаем
Ф, Г—>Д, Ч> для всех подходящих пар (Ф, Чг)
°’ с‘	Г->Д.
(4)	Это утверждение легко следует из теоремы о полноте
однородной системы (которая будет доказана в теореме 22.17)
и того факта, что при применении правила о.с. мы из истинных
секвенций получаем истинные.
Утверждение (5) очевидно.
Определение 22.15. Пусть L — инфинитарный язык. Струк-
тура (D, ф) для языка L, интерпретация 3 = ((О, </>), ^>0) и отноше-
ния „формула А языка L выполняется в интерпретации 3“,
„формула А истинна в структуре {D, ф)и, и аналогичные отноше-
ния для секвенций определяются так же, как в определении 8.1.
Предложение 22.16 (непротиворечивость; Маехара — Таке-
ути). Пусть А — произвольная структура для языка L. Тогда
всякая выводимая секвенция истинна в st.
Доказательство. Для каждой формулы вида Эх А (х, а),
в которой х имеет длину а и а — в точности все свободные
переменные в А, и для всякого у < а мы введем функцию Ско-
лема g\ (а) и следующим образом определим ее интерпретацию
в st-.
Если формула ЭхА (х, а) выполняется в гУ при оценке <f>0,
то значения этих g% должны быть такими, чтобы выполнялась
формула
A(gAa(a), а),
где gA:a(a) обозначает последовательность g°A (а), ... , g%(a), ...
(у < а). Пусть 0—некоторый элемент области структуры st.
Если формула ЭхА (х, а) не выполняется при оценке ф0 в st,
то все g\ (а) интерпретируются элементом 0.
Пусть Р — некоторый вывод. Все его собственные переменные
мы располагаем в виде вполне упорядоченной последователь-
ности а0, аь • • •, йр, • • • таким образом, чтобы h (ар) h (а?), если
Р < у. Термы определяем трансфинитной индукцией по р.
Предполагая, что t <р уже определено, мы определяем
$ 22. Инфинитарная логика с однородными кванторами 227
следующим образом, Пусть VxA (ж, &) (или ЭхА (х, Ь)) и
A (d, 6) — соответственно главная и боковая формулы для пере'
менной йр, и пусть порядок др относительно этой главной
формулы равен у, т. е. пусть а& совпадает с dy. Для каждой
переменной bv через sv обозначим уже определенное /у, для
которого bv совпадает с ау, если bv — собственная переменная;
в противном случае пусть это будет сама bv. Тогда t& опреде'
ляется как §х1Л(з)(или gv(s)). В силу ограничения (I) на соб-
ственные переменные это определение не зависит от выбора
А (а, Ь).
Пусть Р' — результат подстановки в Р терма вместо
для всех ₽. Нижняя секвенция в Р' совпадает с заключитель-
ной секвенцией вывода Р, так как она не содержит собствен-
ных переменных.
Для произвольной оценки на D всякая секвенция S фигуры Р'
выполняется в структуре где все g\ интерпретируются так,
как указано выше. Это можно доказать трансфинитной инду-
кцией по сложности фигуры, расположенной в Р над S. Как
следствие получаем, что это верно и для заключительной
секвенции в Р, так как она не содержит собственных переменных.
Мы разберем только случаи, когда последним в Р применяется,
правило В-слева или правило V-справа (остальные случаи
очевидны).
1)	Правило 3-слева. Соответствующая часть фигуры Р'
имеет вид
.. ., A (u, s), ..., Г —> А
..., ЭхА (х, s)..Г —> А,
где uv есть gyA(s). Достаточно показать, что секвенция
ЭхА (х, s)-*A (и, s)
выполняется в .$/, но это.следует из определения интерпре-
тации функций gyA.
2)	Правило V-справа. Соответствующая часть Р' имеет вид
Г->А, ...,A(v, s), ...
Г—>А, ..., VxA (ж,в), ...,
где Vy есть ($). Поэтому достаточно показать, что секвенция
A (v, s)->VxA (х, s)
выполняется в si. Это следует из того, что выполняется
секвенция
Зж ~| А (ж, s)~> ~] A (v, s),
что в свою очередь вытекает из определения функций
8*
228
Гл. 4 Инфинитарная логика
Теперь мы докажем теорему о полноте вместе с теоремой
об устранении сечений для произвольной логики с однородными
кванторами. Метод доказательства в основном такой же, как
в доказательстве теоремы о полноте в гл. I.
В качестве следствия теоремы о полноте (теорема 22.17)
и предложения 22.16 мы получаем теорему об устранении
сечений: всякая выводимая секвенция имеет вывод без сечений.
Теорема 22.17 (Маехара—Такеути). Каждая секвенция, истин-
ная во всякой непустой области, выводима без правила сечения.
Доказательство. Пусть S—произвольная секвенция,
и пусть Do—произвольное непустое множество, содержащее
все свободные переменные и индивидные константы секвен-
ции S. Пусть D — замыкание множества Do функциональными
символами gA и gA для всех формул А, т. е. пусть D полу-
чается из £)0 с помощью всех gyA и gyA- Здесь gyA обозна-
чает ^л.
Дерево Т(S) мы определяем поэтапно.
Этап 0. Записываем секвенцию S.
Этап п + 1 разобьем на 5 случаев.
(1)	п 4- 1 = 1 (mod 5). Если секвенция П->Л содержит неко-
торую формулу, внешним логическим символом которой
является И, мы запишем над П—>Л секвенцию
Ши<6, n'->A',{CUx<Y,
где {“] Cx}z<Y и {“| ОДЦ<6 — последовательности всех формул
в II и Л соответственно, внешний логический символ которых
есть а П' и Л' получаются соответственно из П и Л уда-
лением из них всех формул ~) Ск и -|Оц.
(2)	n + 1 ^2 (mod 5). Если секвенция П -> Л содержит неко-
торую формулу, внешний логический символ которой есть д,
мы запишем над П—»Л секвенции
{СнлК<уц,u<y> П —, |^01Ро]0<й
для всех последовательностей {ра}ст<б, таких, что р.7 < v0,
где {A^<vnCu.4a<Y и {AP<voDa.P}o<6-последовательности всех
формул из П и Л соответственно, внешним логическим символом
которых является д, а П' и А' получаются из П и Л соответ-
ственно удалением всех формул Дл<у Сц,х и Др<у0 Оор.
(3)	п + 1 = 3 (mod 5). Если секвенция П->Л содержит
некоторую формулу, внешний логический символ которой
есть V, мы запишем над II—> Л секвенции
§ 22. Инфинитарная логика с однородными кванторами
229
для всех последовательностей {^u}p<v, таких, что < ур, где
(Vx<v Cu d и fVo<v„0<T,ol . — последовательности всех
I. *ji **» ^|л<7 v ’ о ’ >о<д
формул из П и Л соответственно, внешним логическим симво-
। лом которых является V, а П' и А' получаются из П и А
соответственно удалением всех формул	и Vo<6000, с-
(4)	и+ 1 == 4 (mod 5). Если секвенция П—»А содержит неко-
торую формулу, внешний логический символ которой есть V,
мы запишем над П—>А секвенцию
Их('х.,)}«„. {вр.•
где {V«,A и {VirpBp(»pпоследовательности всех
формул из П и Л соответственно, внешним логическим символом
которых является V, а II' и Л' получаются из П и Л соответ-
ственно удалением всех формул	и VypBplyp}. Кроме
того, пробегает все последовательности, составленные из
элементов множества D, которые имеют ту же длину, что и хк.
Если «р>(Т есть последовательность wp,o, о, «р,0,ь • • •, МР, о, i, • • ••
£ < v, причем v — длина последовательности ур, то up,a,i
। обозначает £др (цр), где £ < v и vp — последовательность свобод-
ных переменных в Вр (ур).
।	(5) п + 1 = 0 (mod 5). Если секвенция П->А содержит неко-
торую формулу, внешний логический символ которой есть 3,
мы запишем над П->Л секвенцию
{Ак (t\' n)}Y<x р, П —> Л', {Во («р, о)}р <• 6 0,
где {3*A(*x)}x<v и {ЗУРЯР(ОР<6 -последовательности всех
формул из П и Л соответственно, внешним логическим сим-
волом которых является 3, а П' и Л' получаются из П и Л
соответственно удалением формул ЗхЛАх(хЛ) и ЗурАр(у0).
! Здесь ир,0 пробегает все последовательности той же длины,
•	что и ур, а если есть /х>и>0, ь •••>
	где ц — длина последовательности хк, то 4,	обозначает
ё\к («а.) для £,<т], где sk — последовательность свободных
переменных в Ах(хх).
Пусть и S? — некоторые секвенции в Т (S). Секвенция S2
называется непосредственным предком секвенции S], если S2 —
( одна из секвенций, записываемых над Si в результате при-
< менения к Si одного из пп. (1) —(5). Ветвью дерева Т (S) назы-
вается произвольная последовательность секвенций S = Sq,
Sb ... (возможно, бесконечная), такая, что S„+1 — непосред-
ственный предок секвенции Sn при всех п.
230
Г л. 4. Инфинитарная логика
Для всякой секвенции Г->А возможен один из следующих
двух случаев:
Случай 1. В каждой ветви дерева Т(Г-*А) существует по
крайней мере одна секвенция вида
Гь D, Г2->Д1; D, Д2.
В этом случае, видоизменяя подходящим образом дерево Т (S)
и рассматривая элементы множества D — Do как свободные
переменные, мы можем построить некоторый не содержащий
сечений вывод секвенции Г->Д. (Доказательство предостав-
ляется читателю.)
Случай 2. Найдется некоторая ветвь В дерева ТДГ—>А),
не содержащая секвенций вида
Гь D, Г2-*Аь D, Л2.
В этом случае мы утверждаем, что существует интерпретация,
в которой истинна всякая формула, входящая в Г, а всякая
формула, входящая в А, ложна. В оставшейся части доказа-
тельства мы фиксируем такую ветвь В и рассматриваем только
формулы и секвенции, входящие в В, так что „секвенция**
означает уже „секвенция в В“.
Сначала заметим, что имеет место следующая
Лемма 22.18. (1) Если формула ~1 А входит в антецедент
(сукцедент) некоторой секвенции, то формула А входит в сукце-
дент (антецедент) некоторой секвенции.
(2)	Если формула ЛК<&АК входит в антецедент (сукцедент)
некоторой секвенции, то для всякого (некоторого) А < р фор-
мула Ак входит в антецедент (сукцедент) некоторой секвенции.
(3)	Если формула VK<pXx входит в антецедент (сукцедент)
некоторой секвенции, то для некоторого (всякого) А, < Р формула
Ак входит в антецедент (сукцедент) некоторой секвенции.
(4)	Если формула \/хД(х) входит в антецедент некоторой
секвенции, то для всякой последовательности t элементов мно-
жества D, имеющей ту же длину, что и х, формула A (t) входит
в антецедент некоторой секвенции. Если же формула \]хА(х)
входит в сукцедент некоторой секвенции, то формула A (t) входит
в сукцедент некоторой секвенции, где t есть g\ (s), as — после-
довательность свободных переменных в А (х).
(5)	Если формула ЗжД (х) входит в антецедент некоторой
секвенции, то формула A (t) входит в антецедент некоторой сек-
венции, где t есть (s), as — последовательность свободных
переменных в А (х). Если же формула ЗхА (х) входит в сукце-
дент некоторой секвенции, то для произвольной последователь-^
$ 22. Инфинитарная логика с однородными кванторами
231
ности t элементов множества D, имеющей ту же длину, что и х,
формула A (t) входит в сукцедент некоторой секвенции.
(6)	Если какая-то формула входит в антецедент некоторой
секвенции, то она не входит в сукцедент никакой секвенции.
Док аз ат е льст во. Утверждения (1) — (5) легко следуют
из определения дерева Т (5). Утверждение (6) можно доказать
с помощью (1) — (5) трансфинитной индукцией по сложности
данной формулы.
Теперь ясно, как следует определить отображение ф для
каждого терма t^D положим <f>t = t. Для всякой предикатной
константы R формула R (/) выполняется в {D, ф, если и только
если она входит в антецедент некоторой секвенции. Теорема 22.17
доказана.
Заметим, что в доказательстве теоремы о полноте нам
нужна последовательность новых свободных переменных а для
каждой подформулы вида ЭхА (х) заключительной секвенции.
Более того, для всякой такой последовательности а нам нужна
другая свободная переменная — своя для каждого примера А (а).
Поэтому понятно, почему нам нужно иметь в наличии такой
большой запас доступных свободных переменных или же иметь
возможность переименовать имеющиеся свободные переменные.
Вкратце рассмотрим системы с равенством.
Определение 22.19. Инфинитарную логику с однородными
кванторами и с равенством мы определяем следующим обра-
зом: выделяем некоторую двухместную предикатную константу =
и добавляем следующие правила вывода к уже имеющимся:
1) Первое правило для равенства. Пусть Г(а> обозначает
последовательность формул Г, в которой отмечены некоторые
вхождения а. Первое правило для равенства имеет вид
р(а)_д(а)	р(а)_д(<*)
а = Ь, Г(6)—>А<6),	& = а, Г(6)->А(6)."
Здесь а = b обозначает последовательность {ак = Ьк}к<у, а Г(6) ->
-> А(6) обозначает результат замены в Г(а) —>А(а| отмеченных
вхождений ак на Ьк для всех А < у.
2) Второе правило для равенства. Пусть 2 — произвольное
множество свободных переменных, и пусть 2 — множество всех
атомарных формул а = Ь, таких, что а и b принадлежат 2.
Пусть (Ф, 'Б) — произвольное разбиение множества 2, т. е.
Ф U ’Р — 2 и Ф П Т = 0. Второе правило для равенства имеет вид
Ф, Г->А, Т для всех разбиений (Ф, Ф) множества 2
Г-»А.
232
Гл. 4. Инфинитарная логика
Для рассматриваемой системы справедливы аналоги пред-
ложений 22.16 и 22.17. Доказательства можно получить как
частные случаи доказательств соответствующих теорем, приве-
денных в следующем параграфе.
Задача 22.20. Рассмотрим некоторый конечный язык L пер-
вого порядка, имеющий /< индивидных констант, где /С — не-
который кардинал. Теорема Лёвенгейма — Сколема формули-
руется следующим образом: пусть — некоторое множество
L-формул; если ST имеет модель, то SF имеет модель мощно-
сти /(. Пусть L' — инфинитарный однородный язык, являющийся
расширением языка L (и потому L' имеет по крайней мере
К индивидных констант). Легко видеть, что теорему Лёвен-
гейма — Сколема можно синтаксически сформулировать следу-
ющим образом. Пусть Г->А— некоторая секвенция языка L,
где длины последовательностей Г и А меньше, чем К+. Если,
в однородной системе выводима секвенция
3хо3х, ... Зх^ •. . Vу (V,<Ky	>
то в ней выводима и секвенция Г->А.
Доказать теорему Лёвенгейма — Сколема в синтаксической
форме.
[Указание. 1) Введем новые константы {жа)а<%> и пусть Lo =
= L U {®а}а<к- Рассмотрим замкнутые Ь0-формулы вида 3xF (х).
Можно определить некоторую такую нумерацию (с повторе-
ниями) этих формул {ЭхЕа (х)}а<к, что
(i	) в Еа(х) не входит ни одна константа wy при у а.
2)	Пусть L = L' U {®а}а<х> и пусть R (а) обозначает Va<K (а =
— wa). Релятивизация формул (языка L.) по R (релятивизация
формулы 4<по R обозначается 4^) была определена в § 17:
например, (3jM(y))* есть Зу(Av<6#(//у)АЛ/г(у)), где у обозна-
чает у<6.
3)	Очевидно, что R (wy) выводимо из всякого у < К; следо-
вательно, выводимо (BxVy (Vp<Ky = Таким же методом,,
что и в теории релятивизации, которая была изложена в § 17
мы можем доказать следующее утверждение:
Пусть П-»Л — какая-то секвенция языка L'. Пусть —
последовательность всех свободных переменных в П—>Л. Если
секвенция II -> Л выводима в однородной системе (в языке L')a
то секвенция
п*-* л*
§ 22. Инфинитарная логика с однородными кванторами
233
выводима в однородной системе с языком L, где получается
из П заменой всякой формулы А в П на 4^; аналогично полу-
чается Л«.
4)	Полувывод, удовлетворяющий ограничению (I) (см.
стр. 217) на собственные переменные, назовем квазивыводом
(в однородной системе).
Мы можем теперь потребовать, чтобы нумерация формул
3xFa(x), кроме указанного в 1) условия (1), удовлетворяла
условию
(ii)	Существует некоторое упорядоченное по типу со подмно-
жество множества fw ), скажем 2 = (да„, да,,, ...), такое, что
если Г* состоит из всех формул вида 3xFa (х) до Fa (wa), где wa
не принадлежит S, то для каждой замкнутой формулы А
языка Lo найдется некоторый квазивывод, оканчивающийся
секвенцией
Г*_>л = ЛЛ.
5)	Предположим теперь, что секвенция
3xV#(Va<^ = Xa)- Г~>Л
выводима (в однородной системе). Тогда в силу 3) выводима
секвенция
{R(bt)}l<tl, Г«->АЛ,
где {(’(}г<ц — последовательность свободных переменных в Г и А.
Поэтому ц^сй. Отождествив bt с wv в S, мы можем считать,
что выводима секвенция
где Гл{и\,}.<(а и Д^да,^ получаются из Г* и Лк соответ-
ственно заменой Ь. на да,,.
6)	Наконец, из 3), 4) и 5) следует, что секвенция
Г, Г {да } -> А {да } или Г, Г—>А
имеет квазивывод. Вспомним, что если 3xF (х) => F (да) принад-
лежит Г*, то w не принадлежит S. Рассматривая эти да как
свободные переменные, мы получим секвенцию
{3y(3xF(x)=>F (//))}, Г-*Д,
причем формула Зу (Зх/7 (х) => F (у)) выводима для всякого F.
Следовательно, применяя правило сечения, мы получаем Г—>Д.
Если свободные переменные выбирались тщательно, то можно
234
Гл. 4. Инфинитарная логика
утверждать, что выполнены ограничения (I) и (III) на собствен-
ные переменные. В квазивыводе секвенции {Зу (3xF (х) zo F (у))},
Г —> А переменной w поставим в соответствие высоту г, где
3xF (х) гэ F (ш) есть r-я формула в Г*; каждой собственной
переменной в квазивыводе из (ii) в 4) поставим в соответствие
высоту К, а каждой собственной переменной в выводе, окан-
чивающемся секвенцией {/? (Ь;)},	поставим в соответ-
ствие высоту Д+.]
Если нас интересует инфинитарная логика, стоящая ближе
к логике первого порядка, можно ограничиться рассмотрением
кванторов, которые действуют так же, как в конечном случае.
Лопес-Эскобар описал такую систему, обозначив ее через ,
и доказал для нее теорему о полноте и интерполяционную-
теорему. Формулировка этих теорем для L не отличается
от соответствующих формулировок для системы LK. Мы при-
ведем эти результаты в виде задачи.
Задача 22.21 (Лопес-Эскобар). Язык L представляет собой
расширение языка системы LK и определяется следующим
образом. Число констант произвольно, но арность каждой
предикатной и каждой функциональной константы конечна.
Число переменных счетно. Для простоты в качестве логических
символов возьмем только д и V. Формулы определяются,
как обычно: например, если Л£ (i < со) — последовательность
формул, то Л(<(0Л(. — формула. Заметим, что квантор V
ведет себя так же, как в конечном случае. Секвенции состоят
не более чем из счетного числа формул. Начальные секвенции
и правила вывода те же, что и у системы LK, кроме слабого
правила и правил для д, которые теперь выглядят следующим
образом:
„	Г->А
слабое правило: — д ,
где каждая формула из Г входит в П, а каждая формула
из Л входит в А;
А,, Г —> А для некоторого i
правило Д-слева: —----------3------г-5----;
Л/<ИД,
Г —> А, А, для всех i
правило д-справа: ----ц---г—-----j---.
1 Л,«Л
(1)	Доказать полноту этой системы.
(2)	Доказать для этой системы интерполяционную теорему;
а именно если формула А гэ В выводима и Л и В имеют по
J 22. Инфинитарная логика с однородными кванторами
235
крайней мере один общий предикатный символ, то найдется
формула С языка Lm и, все предикатные символы которой вхо-
дят и в Л и в В, такая, что выводимы /1 пС и С => В.
(3)	Показать, что допустимо следующее правило вывода:
Г-»Л
Г->А,
где Г получается из Г заменой каждой формулы на один из ее
алфавитных вариантов (возможно, на саму эту формулу);
аналогично получается А.
[Указание к (1). Непротиворечивость очевидна. Чтобы доказать
собственно полноту, можно поступить следующим образом.
1)	Если дана некоторая секвенция языка L(. и, скажем S,
то существует счетное число термов, получающихся из констант,
входящих в S, и всех свободных переменных.
2)	Пусть дана некоторая секвенция S. Определим S-под-
формулы так же, как и обычные подформулы формул из S,
за исключением следующего случая: если XfxA (х) — некоторая
S-подформула, то для всякого терма s, о котором говорится
в 1), A (s)— тоже S-подформула.
3)	Существует счетное число S-подформул.
4)	По данной секвенции S строим редукционное дерево Т (S).
Можно считать, что существует счетное число свободных пере-
менных, не входящих в S. Это вместе с построением дерева Т (S)
гарантирует нам, что на каждом шаге будет оставаться счет-
ное число неиспользованных свободных переменных. В силу 3)
можно считать, что все S-подформулы пронумерованы индек-
сами из со. Дерево Т (S) определяем поэтапно (оно будет состо-
ять из S-подформул).
Этап 0. Записываем секвенцию S.
Этап и+1. Пусть Г -> А — некоторая верхняя секвенция.
Случай 1. п + 1 == 1 (mod 5). Пусть	и {“1 ВД/-1 —
все формулы в Г и А соответственно, внешний логический
символ которых есть “I и индексы которых в фиксированной
нумерации S-подформул	Тогда запишем над Г->А
секвенцию {Bj}ljai, Г'-»А', {4г}Г=ь где Г' получается из Г
удалением {п At}T=i, а А' получается из А удалением {“I B;}/=i.
Случай 2. п + 1 = 2 (mod 5). Пусть	— вее фор-
мулы в Г, внешний логический символ которых есть Д и
индексы которых ^«+1. Тогда запишем над Г->А секвенцию
.... иги, Г-»А.
Случай 3. п + 1 =3 (mod 5). Пусть {Л/<ШЛ{}7=1 — все фор-
236
Гл. 4. Инфшштарная логика
мулы в А, внешний логический символ которых есть Д и
индексы которых ^«+1. Тогда запишем над Г->А секвенции,
Г-Л'. И!,)”1.,
для всех комбинаций индексов ........im}.
Случай 4. п 4- 1 =4 (mod 5). Пусть {УхР4г (x;)}"L| — все фор-
мулы в Г, внешний логический символ которых есть V и
индексы которых ^и+1. Пусть 4г(х]), Лг(s?+l) — первые
и 4-1 формул в нашей нумерации, являющиеся З-подформу-
лами формулы Ух,Лг-(хг). Запишем над Г-»А секвенцию
г-д.
Случай 5. и 4~ 1 = 0 (mod 5). Пусть {Vx, Д-(х,)}?^ — все фор-
мулы в А, внешний логический символ которых есть V и
индексы которых ^«4-1- Пусть а.........а, —первые tn сво-
Ч	‘ ГП
бодных переменных, которые не использовались до сих пор.
Запишем над Г—>А секвенцию
Г->А', {А^а^.
На любом этапе, если какая-то формула входит и в анте-
цедент, и в сукцедент рассматриваемой секвенции, то остана-
вливаемся.
5)	Пусть T(S) — дерево, определенное в п. 4).
Случай 1. Все ветви конечны. Тогда секвенция 3 выводима,
без правила сечения.
Случай 2. Существует некоторая бесконечная ветвь,, ска-
жем В. Пусть D — множество всех термов, удовлетворяющих
условию, указанному в п. 1). Структуру с областью D и интер-
претацию формул определяем обычным образом. Тогда фор-
мулы, входящие в антецедент ветви В, будут истинны, а фор-
мулы, входящие в сукцедент, ложны. Этим завершается
доказательство утверждения (1).
Указание к (2). Из приведенного выше доказательства утвер-
ждения (1) следует, что всякая выводимая секвенция выводима
и без сечений. Сформулировать интерполяционную теорему
для секвенций. Рассматривать только не содержащие сечений
выводы и доказать требуемый результат индукции по сложно-
сти выводов. Процедура доказательства в точности такая же,
как для соответствующей теоремы, относящейся к системе LK.
Утверждение (3), очевидно, следует из полноты.]
Задача 22.22 (следствие теоремы Лопес-Эскобара). До-
пустим, что Г-»А — некоторая выводимая секвенция языка
Ьм,,и. а Г и А — конечные последовательности. Тогда существу-
ет некоторый не содержащий сечений вывод секвенции Г-*А„
§ 22. Инфинитарная логика с однородными кванторами
237
в котором всякая секвенция состоит из конечного числа фор-
мул (хотя сам вывод может быть бесконечным).
Задача 22.23. Рассмотрим язык, состоящий из следующих
символов:
Предикатная константа: е.
Переменные: х0, хь ..., хи, ..., цеОп.
Логические символы: ~|, А> V.
Формулы определяются, как обычно. Атомарные формулы
имеют вид х е у. Если А — формула, то ПА — формула. Если
Ait i < Л, — последовательность формул, где Л. — ординал, то
Дг<хА(.— формула. Если А (у) — формула, где у — последова-
тельность переменных, ни одна из которых не находится
в области действия никакого квантора, то >jyA (у) — формула.
Показать, что определение истинности для этого языка
можно провести в некоторой системе теории множеств второго
порядка, т. е. в теории ZF, пополненной кванторами второго
порядка и некоторыми аксиомами выделения.
[Указание. Определение истинности строится так же, как и для
РА в системе второго порядка. Сначала формальным объектам
языка ставятся в соответствие некоторые множества. Мно-
жество, поставленное в соответствие формальному символу,
назовем гёделизацией этого символа. Если А — формальное вы-
ражение, то его гёделизацию обозначим через ГА~\ Например,
геп=(0, 0), rx?=(l,f), г~р = <3,0), глп=(5,0), ГУП =
= (7,0), гх~'= (11, х), где гхп- имя множества х, гх е уп =
= <г^Лх"’, РР), глг<мР=(глп,(гАор .... га7, ...)),
УуА (уР = РуРругГ'Рр,	ГЛ (урУ Мы можем затем
формально определить понятия „А есть замкнутая формула"
(cf(rA Э) и „сложность формулы А“ (сш^А )—некоторый
ординал). Пусть а — свободная переменная второго порядка, и
пусть р. — переменная, пробегающая ординалы. Так же как
в случае РА мы строили формулу F (а, п) (см., определение 18.4),
построим формулу Е(а, ц), утверждающую, что « — определе-
ние истинности для формул сложности у. Относящаяся
к УхА (х) часть искомой формулы будет выглядеть так:
VryxA (xp[cf (гухА (хр)лст(гухА (х)”1) ц дэ
дэ (а (гухА (хр) Ух ((х есть последовательность
(х0, Х[, ...), упорядоченная по типу Л.) дэ
дэ а(гА (х0, Xi, . . .)П)))]-
238
Г л. 4. Инфинитарная логика
Затем определяем Т (a)<=^dfcf (а)ДЗ</> (F (ф, ст(а))Л^ (а)).
Теперь надо доказать, что	для всякой замкнутой
формулы' Л.]
Замечание. Задачу 22.23 можно обобщить на случай, когда
имеются предикатные константы р0,	. и когда кванторы
не однородны.
Далее мы покажем, что для любой однородной системы
найдется эквивалентная ей однородная система, для которой
ограничения на собственные переменные имеют „обычный" вид,
т. е. эти ограничения накладываются на правила вывода,
а не на выводы. Для упрощения рассуждений мы возьмем
только логические символы V> 3, а остальные логические
символы будем рассматривать как их комбинации.
Определение 22.24. УЗ-исчисление определяется как одно-
родная система со следующим изменением: правило 3-слева
заменяется на
правило V3:
6к)}х<а, Г->Д
{У*Й)Л (**,. Ук)}к<а, Г -> А ’
где ни одна из свободных переменных, содержащихся в не
должна входить в нижнюю секвенцию.
Каждая переменная в Ь, называется собственной перемен-
ной. Все переменные в Ь} должны быть различны, и ни одна
из них не должна входить в Ак,(ак,, при V < Л.
Других ограничений на собственные переменные не нала-
гается.
Заметим, что квантор \/хк может быть пустым.
Предложение 22.25 (Маехара — Такеути). V3-исчисление экви-
валентно однородной системе (в том же языке).
Доказательство. Пусть Р — некоторый вывод в V3-
исчислении. Каждой свободной переменной мы можем по-
ставить в соответствие некоторую высоту; если b есть ц-я
переменная последовательности Ьк некоторого применения пра-
вила V3, то ее высота равняется supa (высота а) + (1 + ц), где
а пробегает все свободные переменные в Ак, не входящие в
&?, а под sup мы понимаем строгий супремум. Если перемен-
ная b не используется как собственная, то ее высота равня-
ется 0. Преобразуем вывод Р следующим образом. Если име-
ется применение правила V3, то заменим его на следующую
$ 22. Инфинитарная логика с однородными кванторами
239
фигуру:
Ш<а, Г->А
{ЗулАл(«л> Ул)к<<г г~» А
Г-»Л,{~|ЭухАл(Дл, Ул)к<а
Г -» А, {Зхх ЗуИк (*к, У Ок < а
{~1 Нхх П ЗудА	У к)} X < а’ г “* л-
Легко видеть, что полученная фигура является выводом в
однородной системе с теми же высотами, что и в Р.
Обратно, пусть Р — некоторый вывод в однородной системе,
оканчивающийся секвенцией Г-»А. Пусть {Зх?.А?(аъ xJk<a —
перечисление всех главных формул применений правил 3-слева
в Р, где ак — последовательность всех свободных переменных
в Ак. Тогда всякое применение правила Э-слева устраняется
следующим образом (для простоты мы продемонстрируем слу-
чай, когда имеется только одна боковая формула):
А (а, Ь), П -» А
Эх А (а, х), П —> Л
заменяется на
__________А (а, Ь), П-»Л
А (а, &), ЭхА (а, х), П -> Л	~~| Зх А (а, х), Эх А (а, х), П -> Л
П ЗхА (a, х) V А (а, Ь), ЗхА (а, х), П -> Л.
Поскольку при этом не используются новые собственные пере-
менные, в результате мы получим некоторую фигуру, явля-
ющуюся выводом как в однородной системе, так и в VS-исчис-
лении. Из этого вывода, оканчивающегося секвенцией
{П ЗххАл («м *0 V Ах (ах, 6к)}Л<а, Г -> А,
применив правило V3, мы получаем секвенцию
{Vyx3zjn ЗхкАх(ух, xJV АЛ(ух, «J]}Ar<a, Г—»А.
С другой стороны, секвенция
-* Vy^3xx [ ~1 ЗхЛАЛ (уЛ, xj V А (уА, 2Л)]
выводима с помощью правила V3. Следовательно, секвенция
Г—>А выводима в VS-исчислении.
Задача 22.26. Компактность системы LK (исчисления пре-
дикатов первого порядка) синтаксически можно выразить
следующим образом. Пусть Г—>А — некоторая секвенция,
состоящая из формул системы LK и имеющая мощность
где К — мощность множества всех формул системы LK (в данном
240
Гл. 4. Инфинитарная логика
языке). Для всякой такой секвенции, выводимой в одно-
родной системе (в соответствующем языке), найдутся конеч-
ные подпоследовательности Го и Ао последовательностей Г и Л
соответственно, для которых секвенция Г0~>Л0 выводима в LK-
Доказать компактность исчисления предикатов первого'
порядка в синтаксической форме.
[Указание. Пусть Г —> А — секвенция указанного вида, и
пусть Р — некоторый вывод без сечений этой секвенции.
(*) Для каждой секвенции в Р, скажем П—>Л, мы можем
выбрать некоторую конечную подсеквенцию По—*Л0 (т. е. й0£11,
Ло S Л и По и Ло конечны). Если П-> Л — нижняя секвенция
какого-нибудь непосредственного вывода, мы можем выбрать
конечное число верхних секвенций, соответствующих ей, таким
образом, чтобы та часть вывода Р, которая состоит из всех
выбранных секвенций, соответствующих секвенции П0->Л0,
представляла собой квазивывод этой секвенции. В частности,
П -> Л может совпадать с Г—> А; следовательно, найдется
конечная подсеквенция Г0->А0, которая выводима.
Теперь, применив предложение 22.25, мы можем построить
некоторый LK-вывод секвенции Г0->А0. Утверждение (*) дока-
зывается трансфинитной индукцией по построению подвывода
вывода Р, оканчивающегося секвенцией П->Л. В случаях,
относящихся к правилам Д-справа и У’слева, используется
обобщенная лемма Кёнига (предложение 8.16).]
Задача 22.27. Сначала мы определим некоторый формаль-
ный инфинитарный язык в теоретико-множественных терминах.
Базисный язык представляет собой упорядоченную тройку
{С, Р, S), где С — некоторое множество индивидных констант,
Р — некоторое множество предикатных констант, aS — некото-
рое множество логических символов. Каждый элемент множе-
ства Р представляет собой упорядоченную пару (А, а), где а —
ординал, называемый арностью предиката {А, а). Всякий эле-
мент множества S либо есть П, либо имеет вид (Д, а), (у, а),
{V, а) или (Э, а), где а — ординал,, называемый арностью сим-
вола (Д, а), (V, а), (V, а) или (3, а) соответственно. Базисный
язык {С, Р, S), кроме того, удовлетворяет следующим условиям:
1) Множества С, Р и S попарно не пересекаются.
2) Символы ~1 Д, V, V и 3 различны.
Язык L — это упорядоченное множество (С, Р, S, В, F), где
{С, Р, S) — базисный язык, В и F — некоторые множества связан-
ных и свободных переменных соответственно, причем множе-
ства С, Р, S, В и F попарно не пересекаются.
Термы, формулы и другие формальные объекты языка L
определяются, как обычно. Однако теперь мы сделаем следую-
щее отклонение от предыдущих установок. Мы назовем Г —» А
$ 22. Инфинитарная логика с однородными кванторами
241
секвенцией языка L, если Г и А — множества формул языка L.
Это изменение полезно в том случае, когда мы хотим по воз-
можности избежать применений аксиомы выбора.
Деревом называется упорядоченная пара (Т, <), удовле-
творяющая следующим условиям:
1-	Т У= 0.
2.	Отношение < частично упорядочивает множество Т.
Запись Sj < s2 мы будем читать так: „Sj расположена ниже
з2“ или ,,s2 расположена выше s^11. Существует единственная
самая нижняя точка s0 в Т, т. е. существует единственная
точка s0 в Т, такая, что
Vs е Т («о < s V s0 — s).
Эта самая нижняя точка s0 называется заключительной точкой
дерева. Каждая точка, кроме заключительной, имеет единст-
венную точку, расположенную непосредственно ниже нее, т. е.
Vs е Т (s s0 дз 3! t е Т Vи (и < s = (и = t\/и < /))).
Если Si < s2 и Д 3s (Sj < s As <s2), то говорят, что s2 располо-
жена непосредственно выше Sp Если Si < s, то найдется един-
ственная точка s2, такая, что S! <s2^Cs и s2 расположена не-
посредственно выше Sp Самые верхние точки называются
начальными точками.
3.	Любое линейно упорядоченное (относительно <) под-
множество множества Т конечно.
Полувывод Р в языке L — это функция f, определенная на
некотором дереве, значениями которой являются секвенции
языка L, удовлетворяющая следующим условиям:
1) Если s — начальная точка и f (s) имеет вид Г—>А, то
Г П А =# 0.
Заметим, что начальные секвенции здесь не обязательно
должны иметь вид D->D. Это изменение дает нам возмож-
ность доказать теорему о полноте с минимальным использова-
нием аксиомы выбора.
2) Пусть ..., sa, ...—совокупность всех точек, располо-
женных непосредственно выше s. Тогда фигура
 , f (sa),   
Ms)
является непосредственным выводом в L.
Выводом в L называется упорядоченная пара (Ро, <О,
где Ро—полувывод в L, а — некоторый фундированный1)
') Отношение А называется фундированным, если не существует беско-
нечной последовательности такой, что + при всех I.— Прим,
перев.
242
Г л. 4. Инфинитарная логика
частичный порядок на множестве всех свободных переменных
в Ро, удовлетворяющий ограничениям на собственные пере-
менные.
Структуры для языка L определяются обычным способом.
Пусть М — некоторое транзитивное множество, в котором
не обязательно выполняется аксиома выбора. Пусть S — неко-
торая структура для L в М, и пусть А — некоторое предложе-
ние языка L. Тогда отношение „S выполняет А в М“, обозна-
чаемое через S |=м А, определяется, как обычно, за исключением
случаев, относящихся к В и V. Поскольку .V определяется
как П3”1, мы приводим определение только для 3.
S|=M3x0X| ... А (х0, %1, ...)
означает, что
3f е= М (S М A (f (0), f(l), ...)).
Предложение F называется М-общезначимым, если для всякой
структуры S в М справедливо
Теорема А. Пусть L — базисный язык, и предположим, что-
V а е/И (а“ е/И) для каждой арности а в L. Если некоторый
L-вывод Р является элементом множества М, то заключительная,
секвенция вывода Р является М-общезначимой.
[Указание. Следовать доказательству теоремы о корректно-
сти со следующими изменениями. С помощью аксиомы выбора
ввести функции Сколема. Эти функции могут и не принадле-
жать М, но последовательности термов, построенных с помо-
щью функций Сколема, по условию теоремы являются элемен-
тами множества М в предположении, что их длины представляют-
собой арности языка L. Поэтому доказательство может быть,
проведено так же, как и ранее.]
Теорема кВ. Пусть L — базисный язык, и пусть Л — первый
регулярный кардинал, превосходящий все арности в L. Считаем,
что А, > со. Пусть S — некоторая L-секвенция. Если в М выпол-
няются сформулированные ниже 4 условия, то либо S имеет
некоторый не содержащий сечений вывод в М, либо S имеет
в М контрмодель.
1)	Le,M, S <= М и
2)	Va, b е М ({a, b} е М) uVae М (U (а) е /И), где U (а) обо-
значает объединение элементов множества а.
3)	В М выполняется аксиома подстановки.
4)	Va е Л/Vct еШ'е М).
В случае, когда язык L содержит —, добавляется условие, что
Р (D X D) е М, где Р (D X D) — множество подмножеств мно-
жества D\D, a D — некоторое достаточное множество свобод-
ных переменных, причем условие D^M вытекает из 1)—4).
$ 22. Инфинитарная логика с однородными кванторами
243
[Указание. Следовать доказательству теоремы о полноте сле-
дующим образом.
1)	Ввести Л, экземпляров связанных переменных в М.
2)	Построить в М все атомарные полуформулы.
3)	Построить в М все полуформулы без свободных перемен-
ных. Здесь мы пользуемся определением по трансфинитной
индукции до X. Это можно сделать в М, поскольку в М вы-
полняется аксиома подстановки.
4)	Ввести в М буквы для всех функций Сколема, соответ-
ствующих каждой полуформуле без свободных переменных.
5)	Построить в М множество D всех свободных переменных
как множество всех возможных (функциональных) комбинаций
букв для функций Сколема. Здесь мы снова пользуемся опре-
делением по трансфинитной индукции до X.
6)	Построить в М редукционное дерево. Это дерево мы
определяем в М вплоть до этапа п математической индукцией.
Легко показать тогда, что все редукционное дерево принад-
лежит М.
7)	Построить в М контрмодель или не содержащий сечений
вывод. Это можно сделать обычным образом.
8)	Если L содержит =, нам нужно условие Р (D X D) е М,
поскольку в аксиоме равенства рассматриваются все возмож-
ные разбиения множества свободных переменных.]
В языке, не содержащем символа е, мы можем выразить
аксиому выбора в такой форме:
ЧхЗуА(х, y)->3fVxA(x, f (х)).
Так как сюда входит Bf, эта форма имеет второй порядок.
Поскольку некоторые понятия второго порядка можно выразить
в инфинитарном языке, естественно задаться вопросом, можно
ли в этом языке выразить аксиому выбора. Действительно,
некоторая слабая форма этой аксиомы элегантно выражается
в инфинитарном языке, а именно аксиома зависимого выбора:
ЧхЗуА (х, у) -+ Vxo3xix2 ... Д A (xh xl+I).
i<a>
Следствие. Аксиома выбора не выразима ни в каком инфи-
нитарном языке.
[Указание. Допустим, что аксиому выбора можно выразить
в некотором инфинитарном языке L. Тогда, поскольку аксиома
выбора истинна, должен существовать некоторый вывод Р этой
аксиомы. Пусть а — достаточно большой ординал, такой, что
£е/?(«),	и Л < а, где Я (a) = {а | rank (а) < а}. Полу-
чается противоречие, так как очень легко доказать существо-
вание транзитивного множества М со следующими свойствами:
1)	аксиома выбора не верна в М\
244
Гл 4. Инфинитарная логика
2)	М удовлетворяет условиям теоремы А. (Например, в ка-
честве М можно взять наименьшее транзитивное множество,,
удовлетворяющее условиям теоремы А и такое, что R (а) е/И.)]
§ 23. Детерминированная логика
В этом параграфе мы изучим детерминированную логику
с равенством (=) как частный случай инфинитарной логики
с неоднородными кванторами. Для упрощения рассуждений мы
будем рассматривать только языки, которые не содержат инди-
видных констант.
Определение 23.1. (1) Под неоднородным квантором арности а,
мы понимаем символ CV, где f — некоторое отображение из а
в {V, 3}. Для каждого такого отображения f отображение f,
называемое двойственным к f, определяется следующим об-
разом:
(i)	область определения отображения f та же, что и у f~
(ii)	f (₽) = V или f (Р) — В в зависимости от того, имеет
место f (Р) = 3 или f (Р) = V.
Если отображения f и g двойственны друг другу, то Qf и Qs
называются двойственными кванторами.
(2)	Под языком LB мы понимаем язык, получающийся из
описанного в § 22 языка заменой в нем кванторов V и 3 арно-
сти а на неоднородные кванторы (У той же арности.
(3)	Пусть j/ — некоторая структура для языка Lo. Выпол-
ненность и истинность формул (секвенций) в структуре j/ опре-
деляются так же, как и в определении 22.15. Структура j/
называется детерминированной, если для каждой формулы А
языка в ..'4 истинна в точности одна из двух формул
'	Qfx<aA (х).
СЕх<а ~1Д(х).
(4)	Логическая система S в языке Lfl называется детерми-
нированной логикой, если для любой замкнутой формулы А
языка LB выводимость формулы А в S эквивалентна истин-
ности А во всякой детерминированной структуре.
В этом параграфе мы определим логическую систему DL
и докажем, что (i) DL — детерминированная логика; (ii) если
формула А выводима в DL, причем неоднородный квантор
вводится только один раз — в конце вывода, то А общезна-
чима, и (iii) для системы DL справедливы некоторые варианты
теорем о полноте и об устранении сечений, а также интерполя-
ционной теоремы.
$ 23. Детерминированная логика
245
Язык нашей формальной системы DL представляет собой
язык Lfl с равенством. Следовательно, мы будем изучать де-
терминированную логику с равенством. Сначала изменим поня-
тие вывода, определенное в § 22.
Определение 23.2. (1) Правила вывода для = такие же,
как в определении 22.19.
(2) Правила вывода для V и В, указанные в определе-
нии 22.1, заменяются на следующие.
п _	{АМ}к<у, Г->Д
Правило (Д.-слева: —-.------т---1------
г->д,
где ак обозначает последовательность ах,о, • • •, <4.. а>   • (« < Нх)
для некоторого pv При этом р-ю переменную aKtll этой после-
довательнности мы называем переменной порядка р для а,.
Если /\(р.) = В, то переменная аХ1(г называется собственной пе-
ременой этого правила.
Правило (У-справа:
Г->А, {ДН«х)}л<у
г->д, {аЧЛ(*Л<7.
Если Л,(р) = V, то переменная ак, и называется собственной
переменной этого правила.
Если — собственная переменная любого из этих правил,
то	называется главной формулой для этой пере-
менной, а также для этого правила. Кроме того, ЛА(ал) назы-
вается боковой формулой для формулы QfxxxXx(xJ, для соб-
ственной переменной аХ1(Х и для этого правила.
Если две различные переменные а а b имеют одинаковую
главную формулу, то говорят, что переменная а предшествует
переменной Ь относительно этой главной формулы, если поря-
док а меньше порядка Ь.
(3) Каждый вывод должен удовлетворять следующим огра-
ничениям на собственные переменные:
1)	Если какая-то свободная переменная входит два или
большее число раз в качестве собственной, то каждое вхож-
дение этой переменной должно иметь одну и ту же главную
формулу и все они должны иметь одинаковый порядок. Более
того, если а входит в две различные боковые формулы А
и А (а2) как собственная переменная порядка р, то переменные
aliV и a2iV должны совпадать при всех v < р.
2)	Каждой свободной переменной а можно подставить в со-
ответствие некоторое ординальное число Л (а), называемое вы-
сотой этой переменной, таким образом, что выполняются сле-
дующие свойства:
•246
Г л. 4. Инфинитарная логика
2.1)	Высота h (а) собственной переменой а больше высоты
Л(Ь) любой свободной переменной Ь в главной формуле для
•собственной переменной а.
2.2)	Высота собственной переменной а больше высоты пере-
менной Ь, если b предшествует переменной а относительно
главной формулы для а.
3)	Ни одна из переменных, входящих в вывод в качестве
собственной переменной, не должна входить в заключительную
секвенцию.
Замечание. Следующая ниже ослабленная модификация огра-
ничений 1) — 3) на собственные переменные достаточна для
того, чтобы логика была детерминированной.
Заменим вторую часть условия 1) следующим: если А(а)—
боковая формула для главной формулы QfxA (х), a av и —
•собственные переменные для Q^xA(x), причем v=£p, то av и
a.fl отличны друг от друга. Если а входит в две различные
боковые формулы A (aj и А (а2) в качестве собственной пере-
менной главной формулы QfxA(x), то и а2, v совпадают
для всякой несобственной переменной aljV формулы QfxA(x)
при любом v, меньшем, чем порядок а.
Условие 2.2) заменим следующим. Если а — собственная
переменная с главной формулой QfxA (х), то высота а больше
высоты Ь, если b предшествует а относительно главной фор-
мулы QfxA(x) и b не является собственной переменной этой
главной формулы.
Мы будем пользоваться условием 2.2) как в первоначаль-
ной форме, так и в новом варианте, выбирая ту форму, кото-
рая больше подходит для наших целей.
Пример v23.3. Вывод аксиомы детерминированности. Пусть
а обозначает а, а b обозначает Ь„^л. Имеем
А (а, &) -» А (а, Ь)____
->-А(а, Ь), ~1А(а, Ь)_______
—»QfxA(x, &), (Ух~1А(х, Ь)
-> QfxA (х, b)VQfx~|А(х, 6).
В этом выводе h (ак) = 1 + Л и h (b^) = 0.
Теорема 23.4 (корректность относительно детерминированных
•структур) Пусть st — некоторая детерминированная структура и
секвенция Г —> А выводима в детерминированной логике DL. Тогда
секвенция Г —> А истинна в st.
J 23. Детерминированная логика
247"
Доказательство. Возьмем произвольную формулу, на-
чинающуюся с некоторого квантора, скажем
QfxA(x, «),
где а — последовательность всех свободных переменных в этой
формуле и длина х равна а. Для каждого у < а введем функ-
цию Сколема
•••’ v •••>«)или ёлЧЧ’ •••’ ч.........а)
в зависимости от того, что имеет место: f(y) = 3 или /(y) = Vr
где go, • • •> ?ц, ... — все ординалы < у, для которых f (g) = V,
а т]о, •••>	• • • — все ординалы < у, для которых /(т]) = 3.
Определим следующую интерпретацию функций	Ж
1)	Если формула О^хА(х, а) выполняется в зФ, то в зФ вы-
полняется и формула Vx^x^ ... Л(х0, ..., а), где ху есть ху,
если /(y) = V, и ху есть	.... а), если /(у) = Э.
Пусть D — универсум структуры з& и 0 — некоторый эле-
мент D. Здесь под а понимается некоторая последовательность
элементов D. Если формула QfxX (х, а) не выполняется в зФ,
то все gfj7 интерпретируются в зФ функцией-константой 0.
2)	Если формула СЕх~1Д (х, а) выполняется в зФ, то в з4- вы-
полняется и формула Vx^Xj . .. А (х0, ..., а), где ху есть
если f(y) = 3, и g^v(xJo, ..., а), если /(y) = V.
Если формула СУх~1Л(х, а) не выполняется в з£, то все
gfj 7 интерпретируются в з£ функцией-константой 0.
Пусть теперь Р — некоторый вывод в нашей системе. Пусть
а0, ai, • • •, а&, ...
есть список (без повторений) всех свободных переменных в Рг
причем Л(а₽)^Л(ау), если Р < у, где h — функция высоты.
Трансфинитной индукцией по Р мы определим термы /0,	...
...,	.... соответствующие приведенному выше списку пере-
менных. Считая, что все #<8 уже определены, определим сле-
дующим образом.
Допустим, что QfxX(x, Ь) — главная формула для перемен-
ной Ср и б — порядок этой переменной. Пусть d — некоторая
свободная переменная, предшествующая переменной относи-
тельно этой главной формулы. Переменной d мы поставим
в соответствие некоторый терм и следующим образом. Если
d — не собственная переменная, то и совпадает с d. В против-
ном случае, поскольку A(d) </г(а8) в силу наших ограничений
на собственные переменные, d содержится в указанном выше
списке собственных переменных как ау для некоторого у < fk
248
Гл. 4. Инфинитарная логика
По предположению индукции ty уже определено. Тогда и, кото-
рое ставится в соответствие переменной d, и есть это ty.
Пусть b — некоторая свободная переменная последователь-
ности Ь. Терм s, который ставится в соответствие этому Ь,
определяется таким же способом, что и терм и, сопоставляе-
мый d; напомним, что h (b) < h (ар). Следует заметить, что эти
d и b одни и те же у всех боковых формул для переменной
в силу ограничений на собственные переменные. Тогда /р
можно определить как g^8(«P s), если порядок переменной ст,
равен б и f (б) есть 3, где «1 — последовательность, составлен-
ная из термов и, соответствующих подходящим переменным d.
Аналогично определяется как £^б(«2> ®)> если порядок
переменной равен б и f (б) есть V, где «2 имеет тот же смысл,
что И «[.
Подставим теперь /0, /1( . . .,	. в Р вместо а0, аь .. .
..., ftp, ... соответственно. Пусть Р' — полученная таким обра-
зом из Р фигура. Р и Р' имеют одинаковые заключительные
секвенции, потому что заключительная секвенция вывода Р не
содержит собственных переменных. Покажем, что каждая сек-
венция фигуры Р' выполнена в отсюда будет следовать,
что заключительная секвенция в Р выполнена в j/. Нам нужно
только показать, что если верхние секвенции какого-нибудь
непосредственного вывода в Р' выполнены в то нижняя
секвенция этого непосредственного вывода также выполнена
в Мы рассмотрим только применения кванторных правил,
поскольку остальные случаи очевидны.
Введение квантора Q-слева в Р' имеет следующий вид:
3)	  ., А («, s), , , ., Г^Д
. . ., QfxA(x, s), . . ., Г^А,
где имеет вид g^Y(и^,	$), если —
Введение квантора Q-справа в Р' имеет следующий вид:
4)	Г-»А, . . ., А (и', $),...
Г —> Д, ..., QfxA (х, s), ...,
где п' имеет вид g^Y(«'s, . .., s), если f(y) = V.
Для 3) мы должны показать, что выполняется секвенция
5)	QfxA (х, $) —> А (и, $).
Но это немедленно следует из 1). Для 4) нам нужно показать
6)	А («', s) -» QfxA (х, s).
$ 23. Детерминированная логика
24<>
Допустим, что	s) истинно в Поскольку —
детерминированная структура, в ней истинно Qfx~1Л(х, s).
Следовательно, мы должны показать, что в j/ выполняется
CVx-1А (х, s) -> ~]А(и', s).
Но это следует из 2). Тем самым теорема 23.4 доказана.
Поскольку в этом доказательстве детерминированность струк-
туры использовалось только для доказательства п. 6) и так
как аксиома детерминированности справедлива для однородных
кванторов, получаем
Предложение 23.5. Пусть Р — некоторый вывод в нашей де-
терминированной логике, причем каждый квантор, вводимый
в каком-нибудь сукцеденте этого вывода, является однородным.
Тогда заключительная секвенция вывода Р общезначима.
Далее мы докажем два варианта теоремы о полноте.
Теорема 23.6. Пусть Г -> А — некоторая секвенция. Тогда либо
найдется некоторый не содержащий сечений вывод секвенции Г -> А
в нашей детерминированной логике, либо в противном случае
найдется некоторая структура S& (возможно, не детерминирован-
ная), такая, что каждая формула из Г истинна в £&, а каждая
формула из в ,:Т ложна.
Доказательство. Пусть Do — произвольное непустое
множество, содержащее все свободные переменные, входящие
в Г и А. Пусть D — замыкание множества Do относительно
функций gfjv и g^ для всех формул А нашего языка, т. е. D
порождается из Йо с помощью всех и (в действитель-
ности достаточно, чтобы D было замкнуто относительно
всех функций и g}^v для всех подформул А формул из Г
и А). В данном доказательстве элементы множества D — Da
рассматриваются как свободные переменные, а элементы Do —
как индивидные константы. Пусть Е—множество всех формул
вида s = t, где s и / — элементы D. Пусть (Ф, Чг) — произволь-
ное разбиение множества Е, и рассмотрим следующую сек-
венцию:
0) Ф, Г—>А, Ч'.
Если все секвенции вида 0) выводимы без правила сечения,
то секвенция Г->А также выводима без правила сечения.
Пусть S— секвенция Г->А. Дерево Т (S) определим, рас-
сматривая следующие восемь случаев:
1)	Самой нижней секвенцией является S.
2)	Непосредственными предками секвенции S являются все
секвенции вида 0).
250
Гл. 4. Инфинитарная логика
3)	Если секвенция П—>Л имеет вид
nc?.}A<v> П'^Л'({-1РЦ}И<6>
где П' и Л' не содержат формул, внешний логический символ
которых есть “1, и построена с помощью п. 2) или п. 8) (по-
следний еще будет определен), то ее непосредственным предком
является секвенция
4)	Если секвенция IIЛ имеет вид
г v си,а
где П' и Л' не содержат формул, внешний логический символ
которых есть V- и построена с помощью п. 3), то ее непосред-
ственными предками являются секвенции
{СИ-Ч}У<(Х’	{D°’ Pb<(3a, о<6
для всех последовательностей {^ц)(Х<у, таких, что < ац.
5) Если секвенция 11->Л имеет вид
где П' и Л' не содержат формул, внешним логическим сим-
волом которых является Д, и построена с помощью п. 4), то
ее непосредственными предками являются секвенции
{Сц, х)х<а(г, ц<7> п -> Л , {Dp° а}а<6
для всех последовательностей {ра}а>в, таких, что ро < 0а.
6) Если секвенция П-> Л имеет вид
(хЛ, sj}x<6, П' -> Л,
где П' не содержит формул, внешним логическим символом
которых является Q, и построена с помощью 5), то ее непо-
средственным предком является секвенция
•5х)}ц, Л<6> П —>Л
для всех , удовлетворяющих следующим условиям:
Д, ц еСТЬ {Д, ц, 0> • • • > Д, ц, v’ • • • IvCV
где у — длина последовательности хк; если &>,	...— все ор-
диналы < у, такие, что fx.(^)==V, а Ло. Ль •••—все ординалы
< у, такие, что Д (л) —В, то tK 5о, 1к, ц, gp .— произвольная
$ 23. Детерминированная 'логика
25Т
последовательность элементов из D и .
.....
для каждого т]=т]о, Л1....
. .7) Если, секвенция П—>Л. имеет, вид
n->A',	«Л<в>
где Л' не содержит формул, внешним логическим символом
которых является Q, и построена с помощью 6), то ее непо-
средственным предком является секвенция
{Ад.С^.и, вх)}ц, х<в
для всех ц> удовлетворяющих следующим условиям:
р еСТЬ {/^ ц, о, • • • > ц, v> • • • }v<v’
где у — длина последовательности хх; если £0, £ь • • • — все °Р"
диналы < у, такие, что /\(£) = V, а р0, Ль ••• — все ординалы
< у, такие, что /х(п) = Э, то /х, р., n>, tk, р., щ, •••— произволь-
ная последовательность элементов из D и
tk,u,l=:SA. Ч1к.и, V •••’ О-
л	и	t
8) Если секвенция П—>Л имеет вид
{sx = ^х)х<р, П'—>Л,
где 1Г не содержит формул вида s = t, и построена с помо-
щью п.’ 7), то ее непосредственным предком является секвен-
ция ГТ—>Л*, где П* и Л* — последовательности всех формул,
получаемых из формул, содержащихся в П и Л соответственно,
произвольной перестановкой s-h и tK (Л < 0). (Поэтому П* и Л*,,
очевидно, включают в себя П и Л соответственно.)
Описание дерева Т (S) закончено.
Ветвь дерева Т (S) — это бесконечная последовательность
секвенций S = S0, Si, S2, ..., такая, что секвенция Sn+1 — не-
посредственный предок секвенции Sn для всех п. Возможны
два случая.
Случай 1. В каждой ветви дерева Т (S) найдется по край-
ней мере одна секвенция вида
Г1, D, Г2-»АЬ D, А2 или Г->А1, s = s, А2.
Случай 2. Найдется по крайней мере одна ветвь дерева,,
в которой нет секвенций вида
Гь D, Г2—> АЬ D, А2 или Г->АЬ s==s, А2.
252
Г л. 4. Инфинитарная логика
В случае 1 секвенция 3 выводима без правила сечения.
Для того чтобы доказать это, определим высоту свободных
переменных следующим образом:
(1)	если а принадлежит Do, то /г(а) = 0;
(2)	если а есть gfp(b0......) или ^v(&0........b^, ...),
до й(сг) равняется супремуму всех Л(6|)+ 1.
Легко показывается, что дерево Т (3) удовлетворяет усло-
виям 1) и 3), указанным в п. (3) определения 23.2.
В оставшейся части этого доказательства фигуру Р мы бу-
будем называть полувыводом, если она удовлетворяет всем
условиям определения вывода 23.2, кроме условия (3). Фигура Р
называется квазивыводом, если она удовлетворяет всем усло-
виям определения вывода, кроме условия 3) п. (3) определе-
ния 23.2.
Рассмотрим теперь следующие условия:
(3)	Р является полувыводом без сечений.
(4)	Всякая свободная переменная вывода Р входит в Т (3)
и всякий непосредственный вывод в Р, вводящий квантор Q,
входит в Т (S).
(5)	Заключительной секвенцией вывода Р является S.
Если Р удовлетворяет условиям (3), (4) и (5), то он, оче-
видно, удовлетворяет и условиям 1) и 2) из п. (3) определения
23.2 и потому является квазивыводом без сечений. Рассмотрим
теперь условие С на секвенцию S', состоящее в том, что S'
имеет некоторый квазивывод Р, удовлетворяющий условиям
(3), (4) и (5). Пусть S' — некоторая секвенция в Т (S). Легко
видеть, что если каждый предок S' удовлетворяет условию С,
то S' тоже удовлетворяет этому условию. Допустим, что сек-
венция 3 не выводима без правила сечения. Тогда 3 не удо-
влетворяет условию С. (Вспомним, что высота уже опреде-
лена.) Тогда некоторый предок 3, скажем 31( не удовлетво-
ряет этому условию. Повторяя эти рассуждения, мы получим
последовательность 3, 3^ 32, ..., где 3„+1 является предком
секвенции Sn и Зп не удовлетворяет условию С при каждом п.
А это противоречит исходному допущению случая 1.
В случае 2 мы покажем, что найдется структура в ко-
торой каждая формула из Г истинна, а каждая формула из А
ложна. В оставшейся части этого доказательства мы фикси-
руем ветвь, которая существует согласно допущению случая 2,
и рассматриваем только формулы и секвенции, входящие в эту
ветвь, т. е. во всех рассуждениях под секвенцией всегда пони-
мается секвенция из этой ветви. Нам нужно только опреде-
лить и нтерпретацию на области D, в которой все секвенции
этой ве тви были бы ложны.
§ 23. Детерминированная логика
253
Лемма 23.7. (1) Если формула ~|Л входит в антецедент (сук-
цедент) некоторой секвенции, то формула А входит в сукцедент
(антецедент) некоторой секвенции.
(2)	Если формула УжеЛл. входит в антецедент (сукцедент)
некоторой секвенции, то формула Ак для некоторого (для вся-
кого) X < Р входит в антецедент (сукцедент) некоторой секвенции.
(3)	Если формула Дх<(зЛ>. входит в антецедент (сукцедент)
некоторой секвенции, то формула Ак для всякого (для некото-
рого) А < Р входит в антецедент (сукцедент) некоторой секвенции.
(4)	Если QjxA (х, s) входит в антецедент некоторой секвен-
ции и £о, Вь •••—все ординалы, такие, что f(Q = V, а ц0)
q,, ... —все ординалы, такие, что /(ri) = 3, то для произволь-
ной последовательности t^,	... элементов множества D фор-
мула A (t) входит в антецедент некоторой секвенции, где Д =
— g\ n(^,’ • • • ’ s) для всякого Ц = Цо- Ль • • • •
(5)	Если (УхЛ (х, s) входит в сукцедент некоторой секвенции
и £0, g|, ... —все ординалы, такие, что f(g) = V, а q0, Ль —
все ординалы, такие, что /'(л) — 3, то для произвольной после-
довательности /Ло, ... элементов множества D формула A (t)
входит в сукцедент некоторой секвенции, где —• ••, s)
для всякого 1 = 1о> £ь • • • •
Доказательство очевидно.
Лемма 23.8. Если какая-либо формула входит в антецедент
некоторой секвенции, то она не входит в сукцедент никакой сек-
венции.
Доказательство проводится трансфинитной индукцией по
сложности формул с использованием леммы 23.7.
Лемма 23.9. (1) Для всякого элемента t множества D фор-
мула t = t входит в антецедент некоторой секвенции.
(2)	Пусть s и t — некоторые элементы из D. Если s = t вхо-
дит в антецедент некоторой секвенции, то и t = s входит в анте-
цедент некоторой секвенции.
(3)	Пусть ti, t2 и — некоторые элементы D. Если ti = t2 и
Д = /3 входят в антецеденты некоторых секвенций, то формула
Д = /3 также входит в антецедент некоторой секвенции.
(4)	Пусть sK, Д(А,<Р) — элементы множества D. Если фор-
мулы A (s0, ..., sK, ...) и {sx = ^K<Ei входят в антецеденты не-
которых секвенций, то для всякой последовательности и0, ...
. . ., ик, ..., такой, что ик есть sK или tK, А (и0, . .., ик, . . .) вхо-
дит в антецедент некоторой секвенции.
Доказательство. (1) Формула t — t должна содержаться
в Ф или 'Г из п. 2) построения дерева Т (S). Поскольку фор-
254
Г л. 4. Инфинитарная логика
мула t == I не может содержаться в ЧИ по условию случая 2
(см. стр. 251), она должна входить в Ф.
(2) Пусть s — t входит в антецедент некоторой секвенции,
a t = s входит в сукцедент некоторой секвенции; тогда най-
дется секвенция, содержащая s — ts своем антецеденте и / = s
в сукцеденте. Согласно и. 8) построения дерева Т (S), должна
существовать секвенция вида Г1—» s = s, Д2- Противоречие.
Утверждения (3) и (4) доказываются аналогично.
Согласно лемме 23.9, множество D можно разбить на классы
эквивалентности по = . Пусть D_ — множество полученных
таким образом классов эквивалентности; далее классы из
мы будем обозначать их представителями. Определим над £)_.
некоторую структуру следующим образом. Пусть s - неко-
торая переменная из D. Тогда значение s в структуре Л опре-
деляется как класс, представляемый этим $. Если Р — преди-
катная константа, то формула Р (t0, ..tK, ...) по определению
истинна в зФ, если эта формула входит в антецедент некото-
рой секвенции, и ложна в зФ в противном случае. Трансфи-
нитной индукцией по сложности формулы А мы докажем, что
А истинна в л/, если она входит в антецедент некоторой сек-
венции, и что А ложна в если она входит в сукцедент не-
которой секвенции. Мы рассмотрим только случай, когда А
имеет вид QfxA(x, s) (остальные случаи проверяются легко).
Случай 1. Формула CVx4(x, s) входит в антецедент неко-
торой секвенции. В этом случае из предположения индукции
и из п. 6) построения дерева Т (S) следует, что A ft, s) истинна
в для всякого t, удовлетворяющего следующему условию.
Если go, g], ... —все ординалы, такие, что f(g) = V, а ц0,
г)!, ... —все ординалы, такие, что f (ц) = В, то п(^11, •,«)
для всякого т). Отсюда следует, что формула QfxX (х, s)
истинна в зФ.
Случай 2. Формула QfxA(x, s) входит в сукцедент некото-
рой секвенции. В этом случае из предположения индукции и
из п. 7) построения дерева Т (S) следует, что Aft, s) ложна
в зФ для всякого t, удовлетворяющего следующему условию.
Если g0, gi, ...—все ординалы, такие, что f(£) = V, а т]0,
t)j, ... — все ординалы, такие, что f(Tl) = 3, то/^ = gfj ...
.... s). Отсюда следует, что формула “1Л(С s) истинна в зФ
для каждого такого t. Поэтому формула CVx—|Л(х, s) истинна
в зР Поскольку секвенция CVx—|Л(х, $)—> ~lQfxX (х, s) выпол-
нена во всех структурах, формула QfxX(x, s) ложна в з&.
Этим завершается доказательство первого варианта тео-
ремы о полноте.
§ 23. Детерминированная логика
255
Прежде чем перейти ко второму варианту теоремы о пол-
ноте, мы докажем
Предложение 23.10. Пусть D и Do такие же множества, как
в теореме 23.6. Далее, пусть Го — последовательность всех фор-
мул вида
QfxA (х, s) V Qfx“|Д (х, s),
где А (х, s') — произвольная формула нашего языка us — произ-
вольная последовательность элементов из D. Без потери общности
можно считать, что никакой элемент из Do не используется
в качестве собственной переменной ни в каком квазивыводе.
Пусть теперь Г—>А— некоторая секвенция исходного языка, и
пусть Г есть Го, Г. Тогда либо существует некоторый не содер-
жащий сечений квазивывод с заключительной секвенцией Г —> А,
либо в противном случае найдется некоторая детерминированная
структура st, такая, что всякая формула из Г выполняется в st
и ни одна формула из А. не выполняется в st.
Доказательство. Это предложение доказывается ана-
логично теореме 23.6, но с заменой „вывод" и „Г“ соответ-
ственно на „квазивывод" и „Г“. Так как Г включает в себя Го,
легко показывается, что st — детерминированная структура.
Теорема 23.11. Пусть Г—>А — некоторая секвенция. Тогда
либо секвенция Г —> А выводима в нашей детерминированной
логике, либо найдется детерминированная структура st, такая, что
каждая формула из Г выполняется в st и ни одна-формула
из А не выполняется в st.
Доказательство. Поскольку каждая формула из Го
выводима в нашей детерминированной логике (см. пример 23.3),
секвенция Г^ А получается из Г —> А с помощью правила сече-
ния следующим образом:
^Во, ...	->Вр, ... Во, Вр, .... Г—>А
Г->А,
где {Во, ..., Вр, ...} есть Го. Таким образом, если секвенция Г -> А
имеет некоторый квазивывод, то из этого квазивывода мы можем
получить вывод секвенции Г—>А, поскольку Г—>А — секвенция
исходного языка. В противном случае предложение 23.10 гаран-
тирует нам, что найдется детерминированная структура st,
в которой выполняется каждая формула из Г, следовательно
каждая формула из Г, тогда как ни одна формула из А в ней
не выполняется.
256
Гл. 4. Инфинитарная логика
Замечание. Мы не можем усилить теорему 23.11, заменив
в ней „выводима" на „выводима без правила сечения". Это
ясно из следующего примера Гэйла и Стюарта. Пусть а0 — мощ-
ность множества 2“ (множества всех функций из w в {0, 1})
и /е2“. Пусть ф (f) по определению есть Л («* = 4), где ik = О
fe<(0
или 1 в зависимости от того, что имеет место, f(fe) = 0 или 1.
Формула ф(/) неявно определяет функцию f. Если A s 2“, то
множество А неявно определяется формулой Vfe=^(f), где Vf<=A
определяется через Va„. Можно показать, что найдется мно-
жество A s 2“, такое, что аксиома детерминированности не
выполняется для игры, задаваемой множеством А (доказатель-
ство приводится ниже). Если некоторая формула ф неявно
определяет множество А, то секвенция
Vx(x = 0 V х = 1)->0=1,
“^(Vxo^XiVx! ... ф (х0, М, • • •) V 3x0VxiBx2 • • • —1ф (хо, М, . • •))
выводима в нашей детерминированной логике, где ф строится
из символов 0, 1, =, дао и Vao. Это значит, что секвенция
\/х (х — О V х = 1) -> 0 = 1 выводима в нашей детерминирован-
ной логике, если язык содержит символ Vao, поскольку отрица-
ние последней формулы представляет собой некоторый пример
аксиомы детерминированности. Однако эта секвенция не выво-
дима без правила сечения, даже если наш язык содержит Va<>.
Доказательство существования множества А проводится
следующим образом. Мы покажем, что найдется некоторое
подмножество А множества 2“, для которого не существует
выигрышной стратегии.
Определение 23.12. (1) Для всякого подмножества А мно-
жества 2“ игра G (Л) определяется следующим образом. Игрок I
и игрок II по очереди выбирают 0 или 1; таким образом,
Е Х0, Х2’ Х4> • • • , Х21> •  
II:	х1; х3, х5, ..., х2/+1, ...
для i < w.
(2)	Последовательность (х0, хь х2, . . .), порожденная таким
способом и называемая развитием игры, определяет победителя,
а именно: если (х0, хь х2, ...)еЛ, то выигрывает I, в про-
тивном случае выигрывает II.
(3)	Последовательность (х0, f2, ft, .... /2/, •••) называется
стратегией для игрока I, если х0 е {0, 1} и — функция, опре-
деленная на множестве всех кортежей длины I из 0 и 1 и при-
нимающая значения в {0, 1}.
$ 23. Детерминированная логика
257
(4)	Пусть ст = (х0, /г, Л, •••) — некоторая стратегия для I, и
пусть х = (хь х3, .. x2l+i) — функция, отображающая нечетные
числа в (0, 1}. Тогда <т(х) определяется так:
ст(х) = <х0, хь f2(M), *з> h(*i> *з),
(5)	Стратегия ст для I называется выигрышной стратегией
для I, если
Vx е2(2г+1|г<й,}<т(х) <= А.
(6)	Последовательность f3, .... f2»+i> • • •) называется стра-
тегией для игрока II, если f2»+i— функция, определенная на
множестве всех кортежей длины I из 0 и 1 для всякого i < со.
(7)	Пусть т = (/ь /3, ...)—некоторая стратегия для II, и
пусть х = (х0, х2, •  , x2i, . . •) — функция, отображающая четные
числа в {0, 1). Тогда т(х) определяется так:
т(х) = (х0, fi(x0), х2, [3(х0, х2),
(8)	Стратегия т для II называется выигрышной стратегией
для II, если
Ухе2₽'н<и,тц)^Л.
Теорема 23.13 (Гэйл — Стюарт). В ZF можно показать, что
если множество 2“ вполне упорядочено, то найдется некоторое
подмножество 2“, скажем А, для которого ни I, ни II не имеют
выигрышной стратегии в игре G (Д).
Доказательство. Легко видеть, что верны утверждения
1. Мощность множества всех стратегий для I равна а0.
2.	Мощность множества всех стратегий для II равна а0.
3.	Если ст — некоторая стратегия для I, то мощность мно-
жества {(ст, т)|т— стратегия для II} равна а0.
4.	Если т— некоторая стратегия для II, то мощность мно-
жества {(ст, т) j ст— стратегия для 1} равна а0.
Пусть <т0, (Гь . . ., <та, . . ., а < а0 и т0, ть . . ., та, . . ., а < а0 —
перечисление всех стратегий для I и II соответственно. Транс-
финитной индукцией по а определим развития
х“ = (х“, х“, ..., х“, ...) и уа = (у%, уа{, • •., УЧ, • • •),
где х?, уЧ = 0 или 1.
(1)	х° = (<т0, т0).
(2)	у° = (ст0, Тр), где
(<*0, Тф) #= Х°.
(3)	Sa = {x4₽<a) и
(4)	хи = (стр, Тр), где
(<Тр, та) ф Sa (J Та.
Р — наименьший
Ta={z/MP<«}.
Р — наименьший
ординал, такой, что
ординал, такой, что
9 Г. Такеути
258
Гл. 4. Инфинитарная логика
(5)	у'1 = (ст„, тр), где р —наименьший ординал, такой, что
(оа, Тр) ф. Sa U Та и (ст0, Тр) =# ха.
Очевидно, что если а < а0, то П Та = 0, Sa < а0 и Та < а0.
Положим
Л = U 5а.
а<ао
Мы утверждаем, что для этого множества А ни I, ни II не
имеют выигрышной стратегии. Допустим, что I имеет некоторую
выигрышную стратегию, скажем cra. Пусть р — наименьший
ординал, такой, что
(^а, Тр) Ф Sa U Та /\ (<Та, Тр) #= X*.
Тогда (cra, Тр) = уа ф А, а это и значит, что II имеет выигрыш-
ную стратегию. Противоречие.
Для того чтобы доказать интерполяционную теорему, нам
нужны следующие понятия.
Определение 23.14. Пусть Р — некоторый полувывод без
сечений, и пусть I — применение некоторого правила вывода в Р.
Пусть А — некоторая формула в одной из верхних секвенций /,
и пусть В — некоторая формула в нижней секвенции I. Фор-
мулу В назовем преемником формулы А в следующих пяти
случаях:
Случай 1. Если I — применение структурного правила
Г -> А
п-> л,
Л — формула из Г (А), а В — первая формула в П(Л), совпа-
дающая с А.
Случай 2. Если / — применение логического правила
П, Г—>А, Л
v	П,,Г—>А, Д',
где I применяется к формулам из П и Л, А находится в Г (Л),
а В — соответствующая формула в Г (Л).
Случай 3. Если I — применение логического правила, А — его
боковая формула, В — соответствующая главная формула.
Случай 4. Если / — применение первого правила для равен-
ства (см. определение 22.19) и формула А входит в Г<а) (Л<а,)>
а В — соответствующая формула в Г<&) (А(&)).
Случай 5. Если I — применение второго правила для равен-
ства (см. определение 22.19) и формула А входит в Г (А),
а В — соответствующая формула в Г (А).
Интерполяционную теорему мы формулируем здесь следую-
щим образом.
$ 23. Детерминированная логика
259
Теорема 23.15 (интерполяционная теорема для однородных
языков). Если секвенция Гь Г2 —>-А|, Да общезначима и не со-
держит неоднородных кванторов, то найдется формула С, такая,
что обе секвенции
Г1->Л1, С и С, Г2->Д2
обозначимся и каждая входящая в С свободная переменная или
предикатная константа, отличная от = , входит как в Гь Дь
так и в Г2, Да- {Формула С может содержать неоднородные кван-
торы, а также логические связки и кванторы, арность которых
больше, чем арности соответствующих логических символов
в исходном языке.)
Доказательство состоит из нескольких частей.
1.	Сначала мы введем две вспомогательные системы.
Определение 23.16. Будем говорить, что вывод Р в нашей
детерминированной логике удовлетворяет условию (Q), если
всякое применение правила Q-справа либо является однород-
ным, либо имеет вид
(Q)
Г->Д, Qfx4(x)>
где никакая собственная переменная, встречающаяся в Р выше
секвенции Г —> Д, QfxX (х), не входит в эту секвенцию.
Предложение 23.17. Если секвенция S имеет вывод, удовле-
творяющий условию (Q), то секвенция S общезначима.
Доказательство. Определим функции v и gfj v так же,
как и в доказательстве теоремы 23.4, за исключением того,
что функции g^ 7 определяются теперь только для однородных f.
Определим затем подстановку так же, как и в теореме 23.4,
за исключением того, что все собственные переменные приме-
нений правил вида (Q) остаются незамещенными. Тогда вывод Р
преобразуется в Р'. Нам нужно показать, что каждая секвен-
ция S' в Р' выполняется в st. Это доказывается трансфинитной
индукцией по сложности полувывода секвенции S. Мы можем
повторить все рассуждения из доказательства теоремы 23.4, за
исключением следующего случая. Пусть секвенция S получается
в результате применения кванторного правила /:
Г-»А, A(d, b)
Г—>A, QfxA(x, b),
где Qf — неоднородный квантор. Чтобы проиллюстрировать
доказательство, допустим, что Qfx имеет вид Vxo3xiVx23x3 ...
9*
260
Г л. 4. Инфинитарная логика
и d есть d0, dlt d2   •  Так как / удовлетворяет условию (Q)
и h (d0) < h (dj) < h. (d2) < то секвенция (Г—>A, A(d, b))'
имеет вид
(*)	Г'-» A', A (do, t\(dQ, s), d2, t2(d0, d2, s), ..., s).
Из предположения индукции вытекает, что секвенция (*)
выполняется в st- для всякой последовательности d0, d2, d4, ...
элементов из st. Следовательно, секвенция Г'—>А', QfxX (х, s)
также выполняется в st.
Теперь мы рассмотрим другую логическую систему — огра-
ниченную однородную систему RHS.
Определение 23.18. Фигура Р называется выводом в си-
стеме RHS, если Р удовлетворяет следующим условиям:
1)	Все кванторы в Р имеют вид В.
2)	Р удовлетворяет всем условиям определения вывода
в детерминированной логике, кроме условия (3) определения 23.2.
3)	Всякое применение правила в Р, вводящего квантор Q
в антецеденте, имеет следующий вид:
{A(«x)h<y, Г—>А
{Вл:Их(*х)к<у, Г—>А,
где никакая переменная из ак не входит в нижнюю секвенцию.
Тогда мы имеем следующее
Предложение 23.19. Если секвенция Г—>А выводима в RHS
и для всех переменных в Г -> А определена высота (см. опреде-
ление 23.2), то существует вывод Р' в RHS, оканчивающийся
секвенцией Г—>А, для которого высоты определены таким
образом, что каждая свободная переменная секвенции Г -»А
имеет в нем ту же высоту, что и в исходном выводе.
Доказательство. Мы можем считать, что одна и та
же собственная переменная нигде не используется дважды
(в противном случае можно переименовать некоторые соб-
ственные переменные). Тогда легко, начиная снизу, определить
высоты свободных переменных.
2.	Далее мы докажем следующую лемму.
Лемма 23.20. Пусть Р — вывод без сечений секвенции
Гь Г2->А1, А2 в однородной системе (см. определение 22.1), удо-
влетворяющий следующим условиям:
(1) Каждый квантор в Р имеет вид В.
(2) Всякое применение кванторного правила в Р является
введением квантора 3 в сукцеденте.
§ 23. Детерминированная логика
261
Тогда найдутся не содержащие сечений выводы Pt и Р2
в системе RHS и формула С, удовлетворяющие следующим
условиям-.
(2.1)	Вывод Pi оканчивается секвенцией С, Г1!—>ЛЬ а вывод
Р2— секвенцией Г2—>А2, С.
(2.2)	Каждая свободная переменная или предикатная кон-
станта в С, кроме = , входит и в Гь Аь и в Г2, Д2.
Доказательство проводится трансфинитной индукцией по
сложности вывода Р.
Случай 1. Р состоит из одной начальной секвенции. Тогда
лемма очевидна.
Случай 2. Последний непосредственный вывод в Р имеет
вид
г„ г,-д;,	У,.
г,, гг-д;,	МВД(»»)}.<».
где Л, есть Лр {ЭМДМкв " есть Л“ PsA<X)}„<t,'
По предположению индукции существует формула С'(а, Ь),
для которой в RHS выводимы секвенции
С'(а, Ь),	{4(«л)}х<₽1
и
Г2->А',
Кроме того, каждая свободная переменная и предикатная
константа в С'(а, Ь) либо совпадает с = , либо содержится
и в Г,, а;, {Л(О\<Р1, и в Г2, Д', {Ви(&Д<р!. Здесь fl-
последовательность всех свободных переменных в С'(а, Ь), не
входящих в Гь Аь а b — последовательность всех свободных
переменных в С' (а, Ь), не входящих в Г2, Л2. Тогда искомой
формулой С является ЭхЧуС' (х, у), где V рассматривается
как сокращение для “13п.
Случай 3. Последний непосредственный вывод в Р имеет
вид
_______________Г?а), Г^-^дГ, Д(2а)
а2 = ь2, Г?&), Г2(&)-> Ai&), Д^>,
где Г] есть «, = &!, Г^(6) и Г2 есть а2 — Ь2, Г2&). Это применение
можно разбить на два: сначала подставить Ъ\ вместо alt затем
подставить Ь2 вместо а2. Поэтому мы можем считать, что по-
следовательность формул — Ь\ пустая, т. е. совершается
только подстановка Ь2 вместо а2. По предположению индукции
найдется формула С'(а, Ь), для которой показываемая лемма
справедлива применительно к секвенции Г1(а), Г2(а) —> A<iai, A2a),
262
Г л. 4. Инфинитарная логика
где а — последовательность, состоящая из всех переменных
формулы С (а, Ь), не входящих в Гь Дь а Ъ — последователь-
ность всех переменных этой формулы, не входящих в Г2, Д2.
Если существует единственное z, такое, что а21(Х является z'-й
переменной в а, то д21(г мы определим как t-ю переменную в х.
В противном случае a2i и мы определим как а2>ц. Теперь
в качестве формулы С возьмем ЗхЧу .ц = Ь2,ц Л С'(х, у)).
Случай 4. Последний непосредственный вывод в Р имеет
ВИД
Ф, Гь Г2^ДЬ Д2, ¥	.	„ ,тн
--р—=-----т—т----- для всех разбиении (Ф, Ч1).
11, 1 2—> Aj, А2
По предположению индукции существуют формулы С(Ф, чщ та-
кие, что в RHS выводимы секвенции С<ф, чщ Г1->Д1 и Ф, Г2—>
—>Д2, Ч;, С(Ф, чо- Поэтому секвенции
V С(ф, Ж), Г] -> Д]
(Ф, Лг>
и
Г2-*Д2, V С(Ф . 'Г)
(ф, Т)
также выводимы в RHS. Пусть а — последовательность всех
свободных переменных в формуле V(®, чт)С(Ф, чщ не входящих
в Г2, Д2, и пусть b — последовательность тех же переменных,
но не входящих в Гь Д[. Формулу V(®, Ж)С(Ф. чр мы обозначим
через С'(а, &). Тогда в качестве С возьмем ЧхЗуС'(х, у).
В остальных случаях доказательство проводится аналогично.
Замечание. В лемме 23.20 условие (1) не является суще-
ственным ограничением на вывод Р, поскольку квантор V
можно выразить через п и В. Заметим также, что всякий
подвывод Р\ т. е. всякая часть Р, состоящая из всех секвен-
ций, расположенных выше данной секвенции, включая и ее,
является выводом в системе RHS, поскольку Р не содержит
собственных переменных.
3. Пусть Г[, Г2—>Ab Д2 — секвенция, о которой говорится
в условии доказываемой теоремы. Существует некоторый
вывод Р секвенции Г1; Г2—>ДЬ Д2 в однородной системе. Из
доказательства теоремы о полноте видно, что вывод Р можно
выбрать так, чтобы выполнялось следующее условие:
3.1.	Если некоторая переменная входит в две различные
боковые формулы в качестве собственной переменной, то эти
две формулы одинаковы.
Более того, без потери общности мы можем предположить,
что Р удовлетворяет также и следующим условиям:
$ 23. Детерминированная логика
263
3.2.	Каждый квантор в Р им зет вид В.
3.3.	Высота всякой свободной переменной в Гь Г2-»АЬ Л2
меньше высоты любой собственной переменной в Р.
3.4.	Высоты любых двух различных переменных в Р раз-
личны.
Пусть П->Л — некоторая секвенция в Р; через Ф(П, Л)
обозначим последовательность Ао, А/,	А^, ..., состоящую
из всех формул Ац, имеющих вид —13хА (х) V А (а), где
ЭхА (х)— главная формула некоторого применения правила
В-слева выше II—> Л и А (а) — соответствующая боковая фор-
мула. Заменив секвенцию П->Л на Ф(П, Л), П—>Л и вставив
несколько подходящих применений структурных правил, мы
получим новую фигуру Р', для которой выполняются следую-
щие условия:
1)	Р' удовлетворяет условиям (1) и (2) леммы 23.20.
2)	Заключительная секвенция фигуры Р' имеет вид (ср.
с доказательством предложения 22.25)
{~13xxAU*x, <\) V АЛ(аъ сх)}, Гь
{~1Н»иВц (»ийц) V Вц(&ц, Г2^Л1, А2.
3)	Высота любой переменной ск>а меньше, чем высота каж-
дой из аХ, р. Высота любой переменной меньше, чем высота
каждой из р.
4)	Всякая свободная переменная или предикатная кон-
станта, входящая в Bzx3xxAx(xx, zj и отличная от =, входит
и в Г15 Ль а каждая свободная переменная или предикатная
константаа, отличная от = и входящая в Bz^By^B^ (у^, ги),
входит и в Г2, А2.
5)	Переменные ак,а и р различны. (В противном случае
мы можем изменить фигуру Р' так, чтобы она удовлетворяла
этому условию, поскольку вывод Р удовлетворяет условию 3.1.)
Применив лемму 23.20, найдем формулу С (а), для которой
верны такие утверждения:
(а)	Секвенции
С (а), {-l3xxAx(xx, сх) V Ах(аь cj},
И
{^Зу^ (уц, V Вц (6Ц, Г2 -> А2, С (а)
выводимы в RHS. Пусть Q! и Q2—выводы этих секвенций
в RHS.
(Ь)	Каждая свободная переменная или предикатная кон-
станта, кроме = , входящая в С (а), входит также и в (Ах(а?_, сх)}>
Гь Д1( и в {Вц^ц, йц)}> Г2, А2.
264
Гл. 4. Инфинитарная логика
(с)	а — последовательность всех свободных переменных
в С (а), которые не входят ни в Гь Дь ни в Г2, Д2 и вполне
упорядочены согласно своим высотам.
4.	Рассмотрим следующую фигуру:
..Я1..
_______с(я). (пЗхуМхл, <\)У А(«ъ г,-^,
С(д), {Эхх(~~13хх.Ах(хх, <\) V Дх(хх, <\))}, Г,—»Л,
£(Д),	(XV гк) У	гл))}’
QfxC (х), {УххЭхЛ (пЗххДх (хЛ, zx) V Ак(хк, zx))}, Г1->Др
где f определено следующим образом:
(d)	Если аа совпадает с	v для некоторого у, то f (а) — 3.
(е)	Если аа совпадает с aKt v для некоторого у, то [ (а) — у.
(f)	Если аа содержится в Гь Дь но не содержится в Г2, Д2,
то f (а) == V.
(g)	Если аа содержится в Г2, Д2, но не содержится в Гь Л,,
то f (а) — 3.
(h)	Если не имеют место случаи (d)—(g), то f(a) = 3.
Высоты для свободных переменных в ак, с)и, С (а), Гь Д] опреде-
ляются так же, как в Р. Высоты всех остальных переменных
в Qj, согласно предложению 23.19, можно определить так, что
вся фигура станет выводом в детерминированной логике. Это
означает, что секвенция QfxC(x), Fj—>Д! общезначима. Сек-
венция Г2—>Д2, QfxC (х) также общезначима, что легко выте-
кает из существования следующего вывода, удовлетворяющего»
условию (Q) (см. определение 23.14):
0а_
{пЗурД, (уи, dp.) V О), Г2 —>Д2, С (а)
{ХСПЗ^ВД^, V Вр«, <Щ, Г2^Д2, С (а)
{Угизу;(-!ЗуЛ(у^ О V ВЖ’ Ш г2-д^
О v О)}’ г2-*д2> Qf*c(x).
Тем самым теорема 23.15 доказана.
Используя тот же метод, мы можем доказать следующую
теорему.
Теорема 23.21 (ср. с теоремой 23.15). Пусть каждый квантор
в секвенции Гь Г2->Д1; Д2 является однородным, причем эта
секвенция общезначима и не содержит — , и пусть Д( и Г2, Д^
имеют по крайней мере одну общую предикатную константу.
§ 23. Детерминированная логика
265
Тогда найдется формула С, такая, что обе секвенции С, Г] —> At
и Г2—>А2, С общезначимы и каждая свободная переменная или
предикатная константа, входящая в С, содержится и в Гь Аь
и в Г2, А2.
Замечание 23.22. В теоремах 23.15 и 23.21 мы можем до-
бавить условие, что формула С содержит только один неодно-
родный квантор вначале.
Замечание 23.23. Для примера Малитца (см. § 22) изомор-
1	2
физм между порядками < и < мы можем выразить следую-
щей формулой:
12	12
V%i3z/iVx23z/2 • • • (Л. Xi < а => Л Pi < b Л Л Л ((-А- < х, = yt < у,) Л
\ i	i	if
Л {xi^Xj=yl = yj}')) Л
2	1	12
AVi/13x1Vi/23x2 ...	Дхг <аД Л Л ((*/ < x,=yi < у,) А
Л (х,- = Xj = yi = у,))).
1 1
Порядковый тип элемента а в смысле (=, <) обозначим через
2	2
ja|i, а порядковый тип элемента b в смысле (—, <) — через
-ja|2. Тогда	эквивалентно формуле
12	12
{*) Чх1ЗуУх2Эу2 ... (Лх/<а=> Ау;<ЬЛ Л /\((xi<xl^yi<y/) Л
Л (хг = х, = yt = у,))).
Это легко доказывается трансфинитной индукцией по | a |t сле-
дующим образом.
Пусть А (а, Ь) обозначает формулу (*). Допустим, что для
1
каждого с<а и каждого d формула А(с, d) эквивалентна
I с |i | d |2. Допустим также, что выполняется А (а, Ь). Тогда
1
для всякого а, < а существует такой Ь\, что выполняется
1 1
А (а,, Ь^, так как A(^2 (хt < а^ влечет Л/>2 (х; < а)’ и ПОТОМУ
для х2, у2, ..., выбранных для пары (а{, Ь{) в А (а, Ь), мы
2
имеем Л/>2(У/< ^i)- Тогда, сделав в А (а, Ь) подходящие под-
становки, мы получим A(ait bt). Поскольку ai < а, то в силу
предположения индукции мы имеем | a, |i | b\ |2 < I b Ь. Следо-
вательно, ] а |1	| Ь |2.
266
Гл. 4. Инфинитарная логика
Обратное очевидно.
Аксиома детерминированности (AD) представляет собой
очень сильную аксиому, имеющую многочисленные интересные
и важные приложения. Еще больше интересных следствий
в математике имеет эта аксиома вместе с аксиомой зависимого
выбора
DC	Vx3//P(x, у) Vx03xi3x2 ...	x/+i).
i
В отличие от аксиомы выбора АС, которая также имеет
важные применения в математике, статус аксиомы AD еще
не установлен. Мы не знаем, совместима ли она с аксиомами
теории множеств. Мы также не знаем, совместимы ли аксиомы
AD и DC. Нам известно, что, хотя AD и влечет аксиому счет-
ного выбора, она не совместима с полной аксиомой выбора.
Если бы оказалось, что аксиома AD не совместима с теорией
множеств, мы бы, конечно, перестали интересоваться ею. Но
даже доказательства совместимости не было бы достаточно
для наших целей, поскольку, чтобы извлечь из AD пользу для
математики, нам нужно иметь транзитивную модель для
ZF + AD, содержащую в качестве своего элемента множество-
степень Р (w). На самом деле нам бы хотелось иметь транзи-
тивную модель для ZF + AD + DC, которая содержала бы Р (<о)
в качестве своего элемента.
Относительно существования таких моделей нам известно
следующее. Пусть (Р (ю)) — множество, полученное из Р (со)
путем 0-кратной трансфинитной итерации восьми гёделевских
основных операций, и пусть а — наименьшее 0, такое, что
Ер (Р («)) —модель для ZF. Тогда, как мы знаем, если суще-
ствует транзитивная модель для ZF + AD, содержащая Р(<о),
то La(P(w))— модель для AD. Но нам известно также, что
в La (Р (со)) выполняется аксиома DC.
Таким образом, имеются три возможности:
1)	Аксиома AD не совместима с теорией множеств.
2)	Аксиома AD совместима с теорией множеств, но не
существует транзитивной модели для ZF + AD, содержащей
Р(®).
3)	La(P(w)) является моделью для AD.
Если бы оказалось, что имеет место 1) или 2), то мы бы
больше не интересовались аксиомой AD. Все наши надежды
возлагаются на третью возможность, которая, как мы предпо-
лагаем, имеет место на самом деле. Однако мы не можем
пока доказать, что La(P(a>)) является нужной моделью. Более
того, в настоящее время, по-видимому, нет метода, который
позволил бы решить этот вопрос. Поскольку эта гипотеза имеет
важное значение, аксиома AD заслуживает тщательного изу-
£ 23. Детерминированная логика
267
чения. В качестве вклада в это изучение мы установим связь
между этой аксиомой и теоремой об устранении сечений.
Пусть М —. некоторая транзитивная модель для ZF + DC,
которая содержит Р(«). Модель М может быть множеством
или собственно классом. Хотя у нас нет оснований предпола-
гать, что в М выполняется аксиома АС, мы можем считать,
что она выполняется в универсуме V всех множеств. Исполь-
зуя АС в V, мы докажем, что AD выполняется в модели М
тогда и только тогда, когда для всякой М-определимой детер-
минированной логики справедлива теорема об устранении
сечений. Для доказательства нам понадобятся следующие опре-
деления.
Определение 23.24. Мы говорим, что множество А не более
чем континуально в М, если Ле М, А=А= 0 и в М существует
функция f, такая, что f отображает Р (со) на А.
Ясно, что если А и В — непустые множества из М и В^А,
то В не более чем континуально в М при условии, что А не
более чем континуально в М.
Поскольку М — модель, содержащая P(w), то для всякого
языка L, имеющего не более К । символов, мы можем каждому
символу и каждой формуле этого языка поставить в соответ-
ствие некоторую гёделизацию в М. Это дает нам возможность
отождествить совокупности символов и формул языка с соот-
ветствующими множествами в М. Зная, что такое отожде-
ствление можно осуществить, мы будем говорить о множествах
символов языка как о множествах в М. Помня об этом согла-
шении, мы введем понятие Л4-определимой детерминированной
логики.
Определение 23.25. Язык L для М-определимой детермини-
рованной логики состоит из следующих символов:
1)	Свободные переменные-, свободная переменная as для
каждого 5 из Р(ш).
2)	Связанные переменные-. Хо, ..., ха, ..., а<®1.
3)	Индивидные константы-, некоторое не более чем контину-
альное в М множество индивидных констант, содержа-
щее 0, 1,2.........
4)	Предикатные константы: некоторое не более чем конти-
нуальное в М множество индивидных констант. Арность
каждой предикатной константы не больше ы.
5)	Логические символы:
— (равенство),
П (не),
Д (конъюнкции арности а для а^<о),
V (дизъюнкции арности а для а^<о),
Qf (неоднородные кванторы арности а для
268
Гл. 4, Инфинитарная логика
Заметим, что множество свободных переменных не более
чем континуально в М. Кроме того, поскольку Р (ю) принад-
лежит М, W] — ©J1, т. е. ординал является Л4-абсолютным.
Формулы языка L мы определим следующим образом.
Пусть Р — некоторая предикатная константа или символ = ,
и пусть Р имеет арность а. Пусть {ti}l<a— произвольная по-
следовательность термов. Тогда P(to, 6, ...) — атомарная фор-
мула.
Пусть А — формула. Тогда ПЛ— формула.
Пусть {Лг}/<а — последовательность формул. Тогда дг<цЛг
И V;<aA — формулы.
Пусть Л (а) — формула, где а — последовательность свобод-
ных переменных (сц}1<а, причем a^w. Пусть х —последова-
тельность связанных переменных {X;}z<a, и пусть f отображает a
в {V, В}. Тогда QfxX(x)— формула, где А (х) получается из
А (а) заменой некоторых вхождений at на х, для всякого i.
Пусть Г и А — не более чем континуальные множества фор-
мул. Тогда выражение Г->А называется секвенцией.
Отметим, что мы не можем считать Г и А вполне упорядо-
ченными, так как не предполагается, что в М верна аксиома
выбора.
Следствие 23.26. (1) Если язык. L фиксирован, то множество
всех L-формул не более чем континуально.
(2) Для любой данной L-формулы число переменных, кон-
стант и логических символов, входящих в нее, не более чем
континуально.
Когда мы рассматриваем какие-то множества формул или
множества свободных переменных, нам следует помнить, что
они являются всего лишь множествами, т. е. они могут и не
быть вполне упорядоченными.
Лемма 23.27. (I) Рассмотрим какое-нибудь дерево высоты со,
у которого из каждого узла исходит <о ветвей. Это дерево можно
отождествить с множеством ®“, которое не более чем конти-
нуально.
(2) Пусть а — некоторый не более чем континуальный ординал.
Рассмотрим какое-нибудь дерево высоты ®, из каждого узла ко-
торого исходит а ветвей. Тогда это дерево можно отождествить
с множеством а", которое не более чем континуально.
Определение 23.28. Выводы и правила вывода для 7И-опре-
делимой детерминированной логики определяются следующим,
образом.
§ 23. Детерминированная логика
269
1)	Начальными секвенциями являются: логические начальные
секвенции; секвенции вида —>/ = Z, где t — произвольный терм;
секвенции вида 1 = где i А= j и i, / < со; секвенции вида
—>/ = 0, t — \, t — 2, ..., где t — произвольный терм.
2)	Правила вывода совпадают с правилами вывода для де-
терминированной логики, которые мы уже приводили. Следует
помнить, что формулы в секвенциях образуют множества, ко-
торые не обязательно вполне упорядочены. Например, правило
V-справа выглядит следующим образом:
г -А'
Г-А, {V,<еЛ,} ,
где	и Л пробегает некоторое не более чем континуальное
множество.
3)	Фигура Р называется выводом в М, если Р принадлежит М
и является выводом в обычном смысле, за исключением того,
что понятие высоты нужно заменить на отношение <, удо-
влетворяющее следующим условиям:
3.1)	Допустим, что а — собственная переменная в Р и b —
свободная переменная, входящая в главную формулу для а.
Тогда Ь<а.
3.2)	Допустим, что а — некоторая собственная переменная,
А (а) — ее боковая формула, CVxX(x) —ее главная формула,
и допустим, что а соответствует квантору f (г). Если пере-
менная b тоже входит в а п b соответствует квантору f (/),
где /<г, то Ь<а.
Ограничение на собственные переменные состоит просто
в том, что отношение -< должно быть фундированным. Если
Ь<а, то мы будем говорить, что а зависит от Ь.
Замечание. Формула, выражающая свойство „отношение
фундировано", является ЛГ-абсолютной, потому что всякое
счетное подмножество свободных переменных (в V) является
счетным подмножеством множества Р (со), а Р (со) принадлежит
модели М, и, следовательно, это множество свободных пере-
менных является счетным подмножеством в М.
Перед тем как перейти к дальнейшим рассуждениям, за-
метим, что в качестве индексов для свободных переменных,
скажем s в as, где seP(co), мы можем и будем использовать
подмножества четных чисел. Таким образом, мы сможем бес-
препятственно вводить новые свободные переменные.
Лемма 23.29. Рассмотрим какое-нибудь счетное множество
свободных переменных, скажем А = {а^, as,, ...}, где А принад-
лежит Ми ... aS2 aSl (в У). Определим отношение R (а, Ь)
270
Г л. 4. Инфинитарная логика
следующим образом:
R (a, b) <=>df а е АГ=> (Ь е А Л Ь -< а).
Тогда в М справедливо Vx0BxiX2 . .. hiR(Xi, xi+i).
Доказательство. Легко видеть, что в М имеет место
Vx3yR(x, у)', отсюда по аксиоме DC получается требуемая
формула.
Определение 23.30. Квантор Q в формуле А называется
существенно сукцедентным, если он находится в области дей-
ствия четного числа знаков ~]. Секвенция Г^А называется
сукцедентно-однородной, если каждый существенно сукцедентный
квантор любой формулы из А является однородным и каждый
не существенно сукцедентный квантор любой формулы из Г
также является однородным.
В следующем предложении мы предполагаем, что в языке L
нет индивидных констант, отличных от символов 0, 1, 2, ... .
Это упрощает рассуждения.
Предложение 23.31. (1) Если аксиома AD выполняется в М,
то все выводимые в М-определимой детерминированной логике
секвенции М-общезначимы, т. е. истинны в любой М-опреде-
лимой структуре.
(2) Если какая-то секвенция имеет вывод, в котором все
секвенции являются сукцедентно-однородными, то она М-обще-
значима.
Отметим, что в (2) мы не предполагаем, что в М выпол-
няется AD.
Доказательство. Допустим, что Р — некоторый вывод
секвенции Г—>А. Пусть <— фундурованное отношение между
свободными цеременными этого вывода. Этим свободным пере-
менным мы можем поставить в соответствие ординалы таким
образом, чтобы при а<^Ь ординал переменной а был меньше
ординала переменной Ь. Начнем с тех переменных, которые
не зависят ни от каких других переменных, и поставим им
в соответствие значение 0. Затем поставим в соответствие
ординал 1 тем переменным, которые зависят только от тех
переменных, ординал которых равен 0. Продолжая таким об-
разом, мы сможем поставить в соответствие ординалы всем
переменным из Р. В самом деле, допустим, что существуют
переменные в Р, которым в ходе этого процесса не были со-
поставлены ординалы. Пусть А — множество таких переменных.
Тогда по лемме 23.29
VxqBx^ ... Л (Xi <= Ъ (х,-+1 еЛ Л х/+1 < х(-)).
£ 23. Детерминированная логика
271
Поскольку А непусто, это означает, что существует беско-
нечная последовательность {аг)г элементов из А, такая, что
аг+1<Са;, а это противоречит фундированности отношения
Ординалы, поставленные в соответствие переменным вы-
вода Р указанным выше способом, будут называться высотами
(этих переменных). Легко видеть, что они удовлетворяют усло-
виям о высотах в первоначальном смысле.
Рассмотрим какую-нибудь Л4-определимую структуру
Заметим, что натуральные числа в не обязательно являются
натуральными числами в абсолютном смысле. Тем не менее
они находятся во взаимно однозначном соответствии с настоя-
щими натуральными числами. Поэтому мы можем предполо-
жить (без потери общности), что универсумом структуры зФ
является <о и что константы 0, 1, 2, ... нашего языка интер-
претируются естественным образом; таким образом, -Л =
= <а>, 0, 1,2,...).
Рассмотрим теперь все формулы и подформулы в Р и со-
ответствующие им функции Сколема gj;v и gjj v, определенные
так же, как и выше. Пусть QfxA (х, а) — некоторая формула,
и предположим, что в а входят все свободные переменные
этой формулы. Если gf; рассматривается как функция от х
или от некоторых переменных из х, тогда как а фиксируется,
то она принадлежит М. Если же g^v рассматривается как
функция от х и от некоторых переменных из а, то нет гарантии,
что эта функция принадлежит М. Несмотря на это, после-
дующие рассуждения мы можем полностью провести в М, по-
скольку как только переменным из а приписаны определенные
значения, функция становится элементом модели М и
символ v используется только в этом смысле. Мы построим
такие функции и подставим их значения на собственных пере-
менных вместо этих переменных. Полученная фигура Р' может
не быть элементом М, но каждая формула в Р' станет фор-
мулой модели М, как только будут вычислены значения этих
функций.
Процесс получения фигуры Р' и задание интерпретации
всех gfj v и gfjv проводятся для утверждения (1) параллельно
доказательству теоремы 23.4, а для утверждения (2) парал-
лельно доказательству предложения 23.5. Аналогичным спо-
собом мы можем показать, что для произвольной секвенции
вывода Р', скажем для Г->Д; либо в Г найдется формула,
которая в .Л ложна, либо в А найдется формула, которая
в Л истинна. Для п. 6) доказательства теоремы 23.4 нам
нужна была детерминированность структуры Л. Детерминиро-
ванность структуры Л является следствием того факта, что
272
Г л. 4. Инфинитарная логика
в М выполняется аксиома AD. Поскольку замена собственных
переменных не меняет заключительной секвенции, это означает,
что заключительная секвенция истинна в j/.
Определение 23.32. Обобщенное сечение называется несу-
щественным, если все его высекаемые формулы представляют
собой равенства, т. е. имеют вид tl = t2, в противном случае
обобщенное сечение называется существенным.
Всюду далее в оставшейся части этой главы под выводом
без сечений мы будем подразумевать вывод, имеющий лишь
несущественные обобщенные сечения.
Предложение 23.33. (1) Если аксиома AD выполняется в М,
то все М-общезначимые секвенции выводимы без сечений.
(2) Если секвенция Г —> А сукцедентно-однородна и общезна-
чима, то Г —► А выводима без сечений.
Доказательство. Мы следуем доказательству тео-
ремы 23.6. Как было указано ранее, можно считать, что
индексы свободных переменных представляют собой подмно-
жества четных чисел; таким образом, мы можем вводить, когда
это необходимо, новые свободные переменные. Пусть
r = rU{Vx(x = OVx=lV
и пусть QfxA (х, а) — произвольная формула в Г—>А. Для
каждой такой формулы введем функциональный символ
(интерпретируемый как функция Сколема) для каждого в х,
если формула QfxA(x, а) существенно антецедентна, и сим-
вол gfjV, если она существенно сукцедентна. Пусть D — мно-
жество термов, порождаемых из индивидных констант и сво-
бодных переменных этими функциями Сколема. По лемме 23.27
множество всех подформул указанных формул не более чем
континуально, и поэтому D не более чем континуально, по-
скольку индивидные константы и свободные переменные обра-
зуют некоторое множество Do, которое не более чем конти-
нуально, а каждый этап применения функций Сколема увели-
чивает это множество не более чем на континуум, и нам нужно
применить функции Сколема о, раз (точнее, а раз для всех
а < а>1).
Термы в D — Do мы рассматриваем как свободные пере-
менные и отождествляем их со свободными переменными, ко-
торые были сохранены (поэтому может случиться так, что одному
терму в D — Do соответствует больше одной такой переменной).
Между свободными переменными из D — Do можно определить
естественный порядок если s входит в t, то$<д. Легко
§ 23. Детерминированная логика
273
показать, что — фундированное отношение и что — эле-
мент модели М.
Итак, мы сделали все приготовления, нужные для доказа-
тельства полноты в теореме 23.6. В этом доказательстве в ре-
дукциях, касающихся кванторов, мы использовали подходящие
термы из D — Do.
Поскольку все термы в D принадлежат М, очевидно, что
полученные таким образом (при построении дерева) секвенции
являются элементами М и что они состоят не более чем из
континуума формул. Например, в п. 6) доказательства тео-
ремы 23.6 для термов имеется не более чем (20>)a> воз-
можностей, т. е. не более чем континуум.
Случай 1. Каждая ветвь дерева Т(Г-»А) содержит сек-
венцию вида
...D.или ... ->
Как и раньше, рассмотрим условие С. Для того чтобы пока-
зать, что секвенция Г—>А удовлетворяет условию С, сделаем
следующее. Пусть S', S", . .. обозначают секвенции в Т (Г -> А);
определим такое отношение R (S', S")\
Я (S', S") <=>df (S' e T (f -> A) A (S' не удовлетворяет условию C)=>
S" e T (T -> А) Д (S" не удовлетворяет условию С) Д
A (S" — непосредственный предок секвенции S').
Если мы предположим, что Г—>А не удовлетворяет усло-
вию С, то VS'BS"# (S', S") истинно в М, и потому по ак-
сиоме DC
VSqBSA ... ЛЯ (Si, Si+1).
i
Взяв в качестве So секвенцию Г-»А, заключаем, что суще-
ствует бесконечная ветвь, которая не удовлетворяет условию С
в противоречие с допущением случая 1.
Случай 2. Не имеет места случай 1. В этом случае мы
можем построить для Г —> А контрпример тем же способом,
что и раньше. Вспомним, что область D принадлежит М. Сле-
довательно, тот факт, что некоторая формула входит в анте-
цедент или сукцедент, можно выразить в М.
Для доказательства утверждения (1) нам нужно показать,
что секвенция 1Л(х, s)-»Qf(x, s) истинна во всякой
Af-структуре (см. случай 2 в конце доказательства теоремы
23.6). Это верно, поскольку в М выполняется AD. При дока-
зательстве утверждения (2) этот случай не возникает, так как
.данная секвенция является сукцедентно-бднородной.
274
Гл. 4. Инфинитарная логика
Итак, мы получили некоторый вывод без сечений секвен-
ции
Vx(x = 0 V х= 1 V ...),Г->Д.
Поскольку имеет место
—> а — 0, а = 1, ...
~^а = 0 V й=1 V .
—> Vx (х — О V х = 1 V .. •
мы получаем по правилу сечения секвенцию
Г—>Д.
Однако это последнее сечение можно легко устранить.
Теорема 23.34. Аксиома AD выполняется в модели М тогда
и только тогда, когда для М-определимой детерминированной
логики справедлива теорема об устранении сечений.
Доказательство. 1. Допустим, что для М-определимой
детерминированной логики справедлива теорема об устране-
нии сечений, но аксиома AD в М не выполняется, а именно
существует множество А в М, такое, что A s и AD не верна
для А. Будем рассматривать А как предикатный символ. Пусть
i0, i{, ... — индивидные константы, каждая из которых может
интерпретироваться любым из чисел 0, 1, ... . Рассмотрим те-
перь два множества атомарных предложений:
ro={AUo, h, ...)\A(i0, i....) истинно, где А и i0, iit ...
интерпретируются, как указано выше)
и
A0={A(i0, ii, ...)|А(г0, ц, . ..) ложно}.
Мы убедимся ниже, что обе секвенции
(1) Vx0B!/oVxi3z/i ... Л(х0, Уо, Xi, tp, ...), r0->A0
и
(2)	3x0Vy03xiVу 1 ... I А (х0, у0, х1; у ...), Го —> До
общезначимы. Тогда, поскольку обе эти секвенции сукцедентно-
однородны, из утверждения (2) предложения 23.33 следует, что
эти секвенции выводимы без сечений.
Случай 1. А интерпретируется множеством, отличным от
данного А. Тогда, поскольку ГоОДо исчерпывает все возмож-
ности для A (i0, ii, ...), существует по крайней мере одна по-
следовательность (Zo, it, ...), такая, что либо предложение
A (i0, ii, . . .) принадлежит Го и ложно, либо оно принадлежит Ао
$ 23. Детерминированная логика
275
и истинно. Следовательно, секвенция Г0->А0 истинна, откуда
вытекает, что обе эти секвенции истинны.
Случай 2. А интерпретируется данным множеством А. Тогда
формулы
... Л (х0, z/0, хь уу, ...)
и
BxoVf/oBxiV!/! ... ПЛ(х0, уй, xlt у{, ...)
ложны; поэтому обе эти секвенции истинны.
Из (1) и (2) мы получаем, что секвенция
^х0Эу0>/х1Зу1 ... А (х0, уо, Xi, уъ . . .) V
V axoVz/oBxjVz/! .. . ПЛ (х0, Уо, Хх, Ух, . ..), Го—>Д0
выводима в Al-определимой детерминированной логике. С дру-
гой стороны, в этой же системе выводима и секвенция
-> ЧхоЗуоЧххЗух ... А (х0, Уо, Хх, ух, ...) V
V 3x0\/x03x}Vyt ... “1 Л (х0, Уо, Хх, Ух, . . .).
Поэтому по правилу сечения выводима секвенция Го—>А0, но
это невозможно. Следовательно, аксиома AD должна выпол-
няться в М.
2. Если AD выполняется в А1, то в силу утверждения (1)
предложения 23.33 и утверждения (1) предложения 23.31 спра-
ведлива теорема об устранении сечений.
Теорема 23.34 доказана.
Теперь мы укажем некоторую связь между теоремой об
устранении сечений и инфинитарным пропозициональным исчи-
слением IPC — бескванторным фрагментом инфинитарной ло-
гики. Система IPC является одновременно как детерминиро-
ванной логикой, так и обычной инфинитарной логикой. Следо-
вательно, всякая выводимая в IPC секвенция общезначима.
Пусть Го — некоторое множество бескванторных предложе-
ний. Хорошо известно, что если Го непротиворечиво (относи-
тельно IPC), то Го имеет модель.
Предложение 23.35. Пусть М — указанная выше модель.
Тогда следующие два условия эквивалентны'.
(1)	Для М-определимой детерминированной логики справед-
лива теорема об устранении сечений.
(2)	Пусть Го — некоторое множество бескванторных предло-
жений, и допустим, что Го принадлежит А4. Если Го непротиво-
речиво относительно IPC, то Го непротиворечиво и относительно
М-определимой детерминированной логики.
276
Г л. 4. Инфинитарная логика
Доказательство. Очевидно, из (1) вытекает (2). Допу-
стим, что теорема об устранении сечений не верна. Тогда по
теореме 23.34 в М найдется некоторый контрпример для AD,
скажем A S В доказательстве этой теоремы множество
формул ToU-1А0, где —1А0 состоит из всех формул вида "ПВ
для В из Ао, непротиворечиво относительно IPC, так как мо-
делью может служить множество А. С другой стороны, сек-
венция Г0^А0 выводима в М-определимой детерминированной
логике, и поэтому Гои~|Ао противоречиво относительно детер-
минированной логики.
Задача 23.36. Снова примем АС и будем считать, что анте-
цеденты и сукцеденты секвенций вполне упорядочены. Рассмо->
трим следующий язык:
1.	Индивидные константы: 0, 1, 2....
2.	Связанные переменные: х0, хь ..., ха, ... (а < wj.
3.	Свободные переменные: а0, аь ..., аа, ... (а < 2^“).
4.	Предикатные константы: = и R2, R3, •••> где яв-
ляется z-местной константой.
5.	Логические символы: ~1, A, V, V, В, Ch, Q2.
Под термом мы понимаем индивидную константу или сво-
бодную переменную.
Формулы и их порядки определим одновременно следую-
щим образом. (Порядок формулы будет представлять собой
натуральное число.)
1.	Если ti — терм при любом i < п, то /0 = h и Rn (t0, ...
..., /п_1) — атомарная формула, и порядок атомарной фор-
мулы равен 0.
2.	Если А — формула, то и ~\А— формула. Порядок фор-
мулы ПА совпадает с порядком формулы А.
3.	Если А; — формула при любом i < w и существует мак-
симум порядков формул At (/<«), то Дг<тАг- и V(<a)Ai — фор-
мулы и порядок их совпадает с максимумом порядков формул
А; (t < и).
4.	Если А (а0, а,\, ..., а;, ...) (г < «) — формула и х0, хь ...
.. ., Х{, ... (/ < со) — различные связанные переменные, не вхо-
дящие в А (а0, ah ...), то
Vxoxi ... А (х0, хь ...) и Зх0Х[ ... А (х0, хь ...)
— формулы и порядок этих формул равен гг-f-l, где п — по-
рядок формулы А (а0, ah ...).
5.	Если А («о, аь ..., аг, ...) (i < <ь) — формула, не имею-
щая вхождений символов СЬ и СЬ, а х0, хь . .., х;, ...(/< <о)—
различные связанные переменные, не входящие в А (а0, аь ...),
то Chxox, . .. А(х0, хь .. .) (i= 1, 2) — формулы и порядок этих
формул равен n-j-l, где п — порядок формулы А (а0,	...).
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
277-
Выражения QPC0X1X2 . • • и О2х0Х1Х2 •  • также обозначаются
через Bx0VxiBx2 ... и Vx0Bx!Vx2 ... соответственно.
Всякая секвенция имеет вид
Ло> ^1> •••,	Bq, Blt ..., Z?g, ...,
где все Ла и — формулы, а а и 0 пробегают множество
ординалов, меньших, чем а0 и р0 соответственно, где а0 и 0О—
некоторые счетные ординалы.
Правила вывода такие же, как и в § 22, за исключением
того, что теперь требуется, чтобы длины секвенций были счет-
ными. Конечно, кванторы V, 3, Qb Q2 можно было бы выра-
зить через неоднородные кванторы подходящего вида.
Нелогические начальные секвенции имеют следующий вид:
1.	->t = t, где t — произвольный терм.
2.	i — j, где i и / — различные индивидные константы.
3.	—> t = 0, t = 1, t — 2, ..., где / — произвольный терм.
Доказать следующую теорему.
Теорема 23.37. Проективная детерминированность') имеет
место тогда и только тогда, когда каждая секвенция, выводимая
в описанной выше системе, выводима в ней без сечений
Доказательство проводится так же, как для теоремы 23.34.
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
Проблема полноты логических систем — интересная и важ-
ная проблема. Здесь многое уже известно, но имеются и откры-
тые вопросы. Мы знаем, например, что логика первого порядка
полна, тогда как логика второго порядка неполна. Относительно
инфинитарных языков нам известно, что однородные системы
являются полными, а полны ли неоднородные системы — откры-
тый вопрос.
Неполнота логической системы всегда является неисправи-
мым недостатком. В системах второго и высших порядков этот
недостаток мы могли частично компенсировать сильной зави-
симостью от аксиом выделения и аксиомы выбора. Однако
в инфинитарных языках у нас нет аксиом выделения, а в де-
терминированной логике имеет место даже отрицание аксиомы
выбора. Поэтому возникает естественный вопрос: существуют
ли в инфинитарных языках полезные аналоги аксиом выделе-
ния и аксиомы выбора? В этом параграфе мы изучим такие
аналоги. Для этого мы разовьем общую теорию неоднородных
*) Проективная детерминированность означает, что аксиома AD верна
для всех проективных множеств A S со®. — Прим, перев.
278
Гл. 4. Инфинитарная логика
кванторов, частный вид которых составляют кванторы O.f в де-
терминированной логике.
Система, которую мы опишем, представляется нам очень
полезной. Вопрос о том, как расширить эту систему до полной,
является открытым. Перед тем как приступить к определе-
ниям, нам бы хотелось сделать несколько замечаний относи-
тельно этой системы. Одно из них состоит в том, что в правилах
введения квантора справа и слева мы не имеем двойственности,
присущей конечным языкам и детерминированной логике. Мы
будем предполагать, что формальные объекты нашей системы
вполне упорядочены, но это допущение делается только для
удобства и не существенно для теории. Для дальнейшего упро-
щения мы всегда будем опускать индивидные и функциональные
константы, если не оговорено противное. Наконец, отметим, что
мы не будем оговаривать количество связанных и свободных
переменных. Понятно, что сначала мы образуем достаточный
запас связанных переменных. Зафиксировав число связанных
переменных, мы затем добавляем достаточный запас свобод-
ных переменных. Для объяснения того, что значит „достаточный
запас11, мы отсылаем читателя к рассуждениям, приведенным
после определения 22.1.
Определение 24.1. (1) Под языком L (/) с неоднородными
кванторами, где / — некоторое множество функций, отобража-
ющих р в Р (а) для некоторых аир, мы понимаем следующую
совокупность символов:
1)	Переменные:
1.1)	свободные переменные: а0, а.\,	... ;
1.2)	связанные переменные: х0, xt..xv, ... .
2)	Предикатные константы арности а для некоторых а:
Ро, Р“....Pf, ... .
3)	ЛогиЬеские символы:
П (отрицание),
тэ (импликация),
V (дизъюнкции арности а для некоторых а),
л (конъюнкции арности а для некоторых а),
V (кванторы всеобщности арности а для некоторых а),
3 (кванторы существования арности а для некоторых а),
4) Неоднородные кванторы: квантор Q7 для каждого Т из J.
^Вспомогательные символы: (,).
(2) Формулы языка L (/) определяются обычным образом,
но с некоторыми изменениями, а именно:
(2.	1) Если связка V (Д) арности а принадлежит L (/) и Ли,
у, < а, — последовательность формул, то V|i<aA(X(A(X<aАг) - фор-
мула.
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
279'
(2.	2) Пусть Т — некоторая функция из J. Тогда для некото-
рых а и Р Т отображает Р в Р (а). Пусть А (а, Ь) — формула,
где а и b — последовательности свободных переменных длин
а и Р соответственно. Предполагаем, что некоторые (возможно,
ни одно) вхождения переменных из а и b отмечены. Пусть х и
у — последовательности длины аир соответственно, состоящие
из связанных переменных, которые не входят в А (а, Ь). Тогда
Q7(х; у)А(х, у) — формула.
(3)	Как и раньше, мы предполагаем, что совокупность фор-
мул языка L (Z) замкнута относительно подстановок.
(4)	Пусть К — мощность множества формул языка. Сек-
венция Г —> Л определяется как обычно, причем длины после-
довательностей Г и А должны быть меньше, чем К+.
Пример 24.2. Рассмотрим язык L (Z), имеющий счетное число
свободных переменных (упорядоченных по типу и), логические
символы которого имеют конечную арность, а множество J про-
извольно. Это значит, что пропозициональные связки дейст-
вуют так же, как и для обычных, конечных языков, и имеется w•
свободных переменных. Мы будем считать, что имеется со свя-
занных переменных и единственная предикатная константа —.
Пусть Т — функция из {0, 1} в Р ({0, 1}), такая, что Т (0) =- {0}
и Т (1) = {1}. Тогда
(а0 = а^Ь0 = bi) /\Ьй^с
— формула этого языка, которую мы обозначим через А(а0,
аь b0, bi), причем предполагается, что все вхождения перемен-
ных а0, яь b0, bi отмечены. Поэтому
Qr(xo, Xj; у0, У1)Л(х0, хь у0, yi)
— также формула. Мы собираемся описать некоторую систему,
в которой эта формула означает, что для всякого Хо найдется
у0, зависящее только от х0, и для всякого Xi найдется yit за-
висящее только от Хь такие, что имеет место А (х0, хь у0, yt).
Такие кванторы, называемые зависимыми кванторами, были
впервые предложены Генкиным.
Определение 24.3. Правила вывода описываемой системы
те же, что и в определении 22.1, но с некоторыми изменени-
ями. Мы отметим только самые главные отличия.
1)	Правила Д-слева, Д-справа, V-слева и V-справа в п. (4.2)
определения 22.1 допускаются только для конъюнкций и дизъ-
юнкций, которые принадлежат языку L (Z), т. е. только для
значений арностей конъюнкций и дизъюнкций, которые при-
надлежат L (Z).
2)	Правила для кванторов здесь совсем другие.
280
Гл. 4. Инфинитарная логика
2.1)	Q-слева-.
_____	bj)x<v, Г^А
{агЧ*ь; Ул)Лх(хь	Г—>А,
где переменные из Ьк не входят в Лх(хь ул). Если ак и Ьк имеют
типы ак и Рх соответственно, то Тк — функция из 7, отобра-
жающая Р? в Р (ах).
Всякая переменная последовательности Ь?, скажем Ь, назы-
вается собственной переменной этого правила, Ак(ак, Ь?)— бо-
ковой формулой для переменной Ь, а Q?x (хх; ук) А (хк, у}) —
главной формулой для Ь.
2.2)	Q-cnpaea:
Г—>А, {Ак(ак, Ь)}к<у____________
Г->А, {агЧх%; Ух)Ак(хк, ук)}к<У!,
где если а, и Ь? имеют типы аЛ и рх соответственно, то 1\ — функ-
ция из J, отображающая в Р(ах).
Каждая переменная последовательности ак, скажем а, на-
зывается собственной переменной этого правила, Ак(ак, Ьд.)—
боковой формулой для переменной а и QT/- (хЛ; ук) (хЛ, у?) —
главной формулой для а.
3)	Правило сечения заменяется на правило обобщенного
сечения (о.с.).
Определение 24.4. Выводы в рассматриваемой системе опре-
деляются обычным образом, т. е. как деревья, состоящие из
секвенций, для которых должны выполняться следующие огра-
ничения на собственные переменные-.
1)	Если какая-то свободная переменная b используется в ка-
честве собственной более чем один раз, то главные формулы
для всех этих Ь должны быть одинаковыми.
2)	Допустим, что A(at, bj) и А (а2, Ь2) —главные формулы
некоторых применений правила Q-слева, в которых b — собст-
венная переменная.
2.1)	Если Ь является а-й переменной в Ьь то b является
а-переменной и в Ь2.
2.2)	Пусть а11Х и а2.х обозначают k-е переменные в ai и в
соответственно. Допустим, что b является a-й переменной и
в Ь{, и в Ь2. Тогда для всякого А из Т (а) переменные аьх и а2л
совпадают.
Пусть а — свободная переменная, представляющая собой aI>x
или а2,ь, где ).£?’(«). или же некоторую свободную перемен-
ную в главной формуле для переменной Ь. Тогда мы будем
говорить, что b зависит от а, и писать в этом случае а<Ь.
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
281
Замечание 24.5. Из указанных выше ограничений не выте-
кает, что последовательности Ь\ и &2, о которых говорится
в п. 2), идентичны. Не гарантируется также, что совпадают
и «2- Даже если окажется, что &i и &2 совпадают, то и а2
могут не совпадать. Например, возможно, что а1>х и а2 % разли-
чаются, если ни одна переменная в bi не зависит от ait^ и ни
одна переменная в &2 не зависит от a2i}..
3)	Все боковые формулы для любой собственной перемен-
ной применения правила Q-справа совпадают.
В этом случае зависимость определяется только между
собственными переменными и свободными переменными глав-
ной формулы. Пусть а — некоторая собственная переменная в а,
и пусть с — некоторая свободная переменная в А (х, у). Тогда
а зависит от с, т. е. с<а.
4)	Никакая собственная переменная не входит в заключи-
тельную секвенцию вывода.
5)	Мы будем писать а<Ь также в случае, если найдется
конечная последовательность свободных переменных а0, ..., ап,
такая, что а0 = а, ап — Ь и cii<^ai+\ для	1 в смысле
пп. 2) и 3). Тогда отношение -< является частичным вполне-
упорядочением, т. е. не существует циклов а1 < а2 < . .. < ах и
не существует бесконечной убывающей последовательности пе-
ременных
5)	Запись б/2 будет означать, что или	или и
а2 совпадают. Существует вполне-упорядочение всех боковых
формул применений правила Q-справа в выводе Р, скажем
{Л| (at, которое удовлетворяет следующим ниже условиям,
причем одна и та же формула bi) может входить в Р
в нескольких местах.
Пусть	A j (xg, у\) — главная формула для некото-
рой собственной переменной и А% (а%, Ь*) — соответствующая
боковая формула.
6.	0) Если 60,а является сг-й переменной в &0, то множество
{е\е<Ь0,а и е — собственная переменная некоторого
применения правила Q-справа)
является подмножеством множества
{а0, х,|а0. к есть ^"'я переменная из а0 и /. еГс(о'|},
и если с — свободная переменная формулы До, не входящая
ни в а0, ни в Ьо, то ни для какой собственной переменной е
при е<с в Р нет применений правила Q-справа.
'282
Гл. 4. Инфинитарная логика
6.	£) Если р является а-й переменной последовательности Ьь,
то множество
{е\е<Ь*<а и е — собственная переменная некоторого
применения правила Q-справа}
является подмножеством множества
U ап U {а6, JAeTVct)}.
Кроме того, если с — свободная переменная в /Ц, не входящая
в а* и в bt, то множество
{е | е < с и е — собственная переменная некоторого
применения правила Q-справа}
является подмножеством множества
Соглашение об обозначениях. Для относительно простых кван-
торов мы будем использовать интуитивно более наглядные
обозначения. Например, через
Vx Зи\
,, _. I А (х, у, и, w)
чу SwJ
будем обозначать формулу Qr(ху, uw)A(x, у, и, да), где Т (0) —
= {0} и Т (1 ) = {!}. Квантор Qr(xoXi ...; ) можно обозначать
обычным образом через Vxox1 ..., а квантор Qr( -.XqX]...) —
через 3xoxt ....
Пример 24.6. Примеры выводов с неоднородными кванто-
рами.
1)	Секвенция
((х = у = = да) А ->3z0Z| ... Д (z,#=zy)
является выводимой.
Доказательство. Выводимость секвенции
<1) {(ck+j = ck^ ck+i+i = ak) /\ch+j+i ¥=c0)fti/<w->	Cj)
очевидна. Из (1) по правилу Q-справа, не используя собствен-
ных переменных, получаем
(2)	{(ck+i = Ck = Q+/+i — ak) A Cfe+y+i =/= co}ft> /<e>_>
->3zozi ... Д (zzy=z/).
i ¥= !
Рассмотрим формулу (Q+/ = c& = cft+/+i = a&) Д ck+l+i #= c0, кото-
рую обозначим через A(ck+j, ck, ck+l+i, ak) (т. e. c0 в А не
/ Vx 3u
\ Vt/ Зда
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
283
отмечено). Положим Т (0) = {0} и Т(1) = {1}. Тогда (У (ху;
ци>) А (х, у, и, w) представляет собой
/ Vx Зи \
I •=!„, ) ((* = у и = Л и =/= Со)-
\ у у dw )
Это верно для всех пар (k, j)-, поэтому, применив ко всем
формулам в антецеденте секвенции (2) правило Q-слева, а за-
тем сокращение, мы получим
Qr (ху; uw) А (х, у, и, w) -> 3zozi ... Л (z, ¥= Zj).
i ¥= !
Заменив c0 на а, мы приходим к нужной секвенции. Чтобы
удостовериться, что мы действительно получили вывод, прове-
рим, что выполнены условия 1) — 6) из определения 24.4.
Так как имеется только одна главная формула, то условие 1)
очевидно. Также очевидно и 2.1), поскольку все с являются
первыми, а все а — вторыми собственными переменными во всех
боковых формулах. Для проверки 2.2) положим b = ck+!+l.
Тогда Т (0)1 = {0} и 0-я переменная в (ck+l, ck), т. е. ck+j, одно-
значно задается по Ь. Аналогично проводятся рассуждения
для ak. Поскольку в применении правила Q-справа нет соб-
ственных переменных, мы не беспокоимся об условии 3).
Так как собственными переменными являются лишь ck+j+\ и akt
а не с0, условие 4) очевидно. Что касается условия 5), то соот-
ношения cft+/<cft+/+1, cfe<afe, c0<cft+/+l, c0<nft исчерпывают
все отношения зависимости между свободными переменными
вывода. Легко видеть, что отношение есть частично вполне-
упорядочение. Ясно, что условие 6) выполняется.
2)	Секвенция
VxByA(x, у), VxVy(A(x, у) =5 у =/= с0),
VxVyVnVv (А (х, м) Л А (у, t>) => (х = у и = п))->
/ Vx Зи \
-> Vy вV J	= у = и = v) Л и с°)
выводима.
Доказательство. Очевидно, выводима секвенция
А (а, с), A (b, d), А (а, с) => с =Л с0,
А (а, с) Л A (b, d) (а = b^c = d.) —>
—> (а = b = с — d) Л с =Л с0.
Мы можем ввести в антецеденте кванторы V для всех пере-
менных, кроме с0. Пусть В (a, b, с, d) обозначает формулу
(а = b = с = d) Л q ф с0. Пусть Т (0) = {0} и Т(1) = {1}. Тогда
QT (ху; uv)B(x, у, и, v) — формула в сукцеденте.
284
Г л. 4. Инфинитарная логика
Кроме того, условие 5) о собственных переменных выпол-
нено очевидным образом. Поскольку имеется только одна боко-
вая формула во введении квантора Q справа, легко видеть,
что выполняется и 6).
Определение 24.7. Пусть зФ— некоторая структура для на-
шего языка. Пусть Ф —оценка на з4>. Отношение „формула А
выполнена в структуре «$$ при оценке Ф“ определяется, как
обычно. Мы говорим, что формула О.т (х; у) А(х, у) выполняется,
если справедливо следующее. Пусть х и у имеют длины а и 0
соответственно, и пусть а и 6 — новые свободные переменные,
соответствующие этим х и у. Существует последовательность
функций f, соответствующая последовательности переменных b
и такая, что для каждой последовательности d длины а, со-
ставленной из элементов структуры зФ, формула А (а, Ь) выпол-
няется в зФ при оценке Ф', где
(а Ь \
Ф kd
f(d) — последовательность, у-м членом которой является fv(d^,
^5,’	•••)> и ^(у)=={^о’	•’
Теорема 24.8 (корректность системы неоднородных кванто-
ров). Каждая теорема нашей системы неоднородных кванторов
общезначима.	;
Доказательство проводится аналогично доказательству тео-
ремы 23.4. Пусть даны некоторый вывод Р в этой системе,,
структура и оценка на зФ. Возьмем произвольную формулу
из антецедента какой-нибудь секвенции, начинающуюся с кван-
тора, скажем
Qr(x; у)А(х, у, с),
где с — последовательность всех свободных переменных в этой
формуле, а длины х и у равны аир соответственно. Для каж-
дого у < Р введем функцию Сколема
ёл’ЧЧ’ •••’ с)’
где х^, х^, ... — все переменные из х, такие, что g(. е Т (у).
Функция §ТА’У интерпретируется следующим образом относи-
тельно структуры з£. Если формула СУ (х; у) А (х, у, с) выпол-
няется в ,?/, то в выполняется и
(+)	VxX(x, у', с),
где у-м членом последовательности у' является gTp v
x5i, ..., с). Если же формула СУ(х; у) А (х, у) не выполняется*
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
285
в то все интерпретируются постоянными функциями,
принимающими некоторое выделенное значение из универсума
структуры «9/.
Вполне упорядочим все собственные переменные для при-
менений правила Q-справа в Р так, чтобы а предшествовала b
в этом упорядочении, если а<Ь (Ь зависит от а):
Ьо, bi, .. ., b&,	.
Трансфинитной индукцией по 6 определим термы /0,
/1, ..., /«, .... Считая, что все /<б уже определены, мы пока-
жем, как определить t&.
Допустим, что главной формулой для является Q7" (х;
у) А (х, у, с), и пусть d — переменная в боковой формуле для Ь6,
соответствующая некоторой переменной из х и такая, что
d<^b6. Если d не является собственной переменной никакого
применения правила Q-слева, то определим и, соответствующее
переменной d, как d; в противном случае d входит в указанный
выше список собственных переменных и поэтому представляет
собой Ь%, х < 6, поскольку d<b&. Следовательно, уже опре-
делен, и возьмем его в качестве и. Пусть с — некоторая сво-
бодная переменная из с. Терм s, соответствующий переменной с,
определяется как и, соответствующее переменной d; вспомним,
что, согласно ограничению на собственные переменные, с<Ь§.
Следует заметить, что эти d и с одни и те же для всех боко-
вых формул переменной в силу ограничения на собственные
переменные. Тогда /6 можно определить как gT& к (и, s'). Из опре-
деления вытекает, что для некоторой переменной в 16, скажем d,
выполняется d<^b&. Подставим теперь в Р вместо b0, Ьъ ...
.. ., &в, ... соответственно t0, р, ..., t6, .. . . Пусть Р' — фигура,
полученная таким образом из Р.
Пусть {/Ц	— вполне-упорядочение боковых фор-
мул применений правила Q-справа в Р, удовлетворяющее усло-
виям, указанным в п. 6) определения 24.4, где — последова-
тельность всех свободных переменных в А^, не входящих в
и h.
Подстановку термов вместо собственных переменных, соот-
ветствующих введениям квантора Q справа в Р', определим
следующим образом.
Допустим, что подстановка уже выполнена на £-м этапе
и привела к фигуре Р$.
Применив эту подстановку к	Ь._, ^)}t, мы получим
некоторые формулы в Р', которые обозначим через {/Ц
Здесь b't_ и с'^ — термы, которые могут содержать много
286
Гл. 4 Инфинитарная логика
свободных переменных. Согласно п. 6) из определения 24.4,
термы Ь'^ 0 и Cg а удовлетворяют следующему условию:
(*) Собственные переменные применений правила Q-справа,
содержащиеся в о, образуют подмножество множества
и и {аь v аь м, .. .},
где
{Ло,
и любая собственная переменная, соответствующая применению
Q-справа и содержащаяся в с' а, является собственной пере-
менной для при некотором р < £.
Трансфинитной индукцией по £ определим теперь подста-
новку элементов структуры з$- вместо а«.
Допустим, что мы уже определили подстановку для соб-
ственных переменных из av р < £. Рассмотрим этап Для
каждого у в определим соответствующее .
Случай 1. Qr»(x.; y^A^fx*, у^ истинна, где \ у^ полу-
чается из у.^ подстановками на этапах, предшествующих
этапу Пусть k0 — некоторый выделенный элемент данной
структуры зФ. Тогда у интерпретируем как kQ.
Случай 2. Qr«(X; у^А^(х^, у._) ложна. Далее мы будем
опускать нижний индекс когда он не нужен.
По предположению истинна формула _lQr(x; у) А (х, у),
т. е. истинна Зх~|А(х, /(х)), независимо от того, как интер-
претируется функция f, где f(x) обозначает последовательность
fo(*o),	....f0(x0),	(<т<0),
причем х„ есть х0о, хО1, . .., ха и Т (о) = {<т0, ср, ..., о», . . .}.
Формула А (а, Ь, с) превращается в А (а, а, v), где ио — терм,
который может содержать некоторые незамещенные а в ка-
честве свободных переменных. В силу (*)свободные переменные
в «а образуют некоторое подмножество множества а0 — {аОа,
aOl....аа., .. .}, где
{Фь <*1... • } =
Следовательно, мы можем положить fc,(a0) = «0. Поскольку
для этой интерпретации функций f0 формула 3x~lA(x, f (х))
истинна, найдутся некоторые значения для переменных из а
(обозначим их через а*), для которых имеет место пА(а*, /(а*)).
После того как выполнены эти подстановки, все собственные
переменные заменяются на соответствующие gA и а*. Получен-
ную фигуру мы обозначим через Р*.
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
287
Теперь мы можем показать, что каждая секвенция в Р*
истинна. Поскольку заключительная секвенция не содержит
собственных переменных, отсюда следует, что заключительная
секвенция вывода Р истинна.
Для доказательства того, что каждая секвенция из Р*
истинна в при данной оценке, мы разберем только три глав-
ных случая.
1)	Последним применено правило обобщенного сечения:
Ф, Г—>А, Чт для всех подходящих (Ф, Ф)
Г—>А
и ST есть множество высекаемых формул.
Пусть i — множество всех формул из которые истинны
а 2 — множество остальных формул. Если для некоторые
Ф = ^1 и 'F S ^2 секвенция Ф, Г—>А, Чг выводима, то по
предположению индукции она истинна, причем формулы из Ф
истинны, а из Т ложны. Следовательно, должна быть истинна
и секвенция Г —> А.
2)	Последним применено правило Q-слева:
________{А! (w, «)}, Г -» А
{СЕ(*; У)А'(х, у)}, Г—>Д.
Достаточно показать, что если Ог (х, у) А' (х, у) истинно, то
истинно и A' (w, и). А это очевидно, поскольку интерпретация
функций g^,Y была выбрана именно так (см. (+) в определе-
нии g£Y).
3)	Последним применено правило Q-справа:
Г-»А, {A(w, «)}________
Г->А, {Qr(x; у)А(х, у)}.
Достаточно показать, что если Qr (х; у) А (х, у) ложно, то
ложно и А (о>, и), но это тоже очевидно, поскольку так были
выбраны значения а*.
Так как однородная система является подсистемой системы,
удовлетворяющей условию (Q) (см. определение 23.16), из пред-
ложения 22.14 вытекает, что однородная система является под-
системой неоднородной системы.
Неоднородные кванторы, даже в конечном случае, сильнее,
чем однородные кванторы.
Предложение 24.9. Неоднородный квантор
У/х Зи \
Vt/ 3v)
288
Гл. 4. Инфинитарная логика
(см. пример 24.6) нельзя выразить через (конечные) кванторы
первого порядка.
Доказательство. Рассмотрим формулу вида
Vx Ви \
Vy Ви	= u = v) Д А (х, у, и, v)),
в которой
Vx 3u
Vy 3 v
является единственным квантором. В системе второго порядка
с функциональными кванторами и с аксиомой выбора фор-
мула (1) эквивалентна следующим:
BfBgVxVy ((х = у = /(x) = g(y)) Л А (х, у, f(x), g(y)));
3f3g (VxVy (x = y = f(x) = g (у)) Л VxVyA (x, у, f (x), g (y)));
3/VxVyX (x, y, f(x), f(y)).
Пусть A (x, y, f (x), f (у)) есть формула
у = x + 1 =) f (у) < f (x).
Тогда формула 3fVxVyA (x, у, f (x), f (у)) выражает свойство
„отношение < не является фундированным". Хотя множество
натуральных чисел и является фундированным относительно
обычного отношения <, оно не является таким относительно
двойственного к нему „нестандартного" порядка. Поскольку
в каждой из этих структур выполняются одни и те же предло-
жения первого порядка, мы заключаем, что формулу (1) нельзя
выразить через однородные кванторы первого порядка.
Предложение 24.9 объясняет нам, почему мы имеем разные
ограничения на собственные переменные в случае введения
квантора в антецеденте и в случае введения его в сукцеденте.
Если бы мы пользовались одинаковыми ограничениями на
собственные переменные в сукцеденте и в антецеденте, то
имели бы
/ % 3zz \	Z Зх Vu \
n(vy Вп)Л(х’ У’ uW(ay Уп)ПЛ(х’ У’ U’ V)-
С другой стороны,
Vu \
у |п4(х, у, и, v) «-> 3xByVuVt> |Л (х, у, и, v).
Зх
Зу
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
289
Vx Зи \
Уу Эо )
Поэтому мы бы имели
А(х, у, и, v) «-> УхУуЗнНоЛ (х, у, и, v),
что противоречит предложению 24.9.
Пример 24.10. Пусть S(ab bx, ..., ап, Ьп, ...) —некоторая
формула со свободными переменными alt b{, ..., ап, bn, ....
и пусть Sra(ai, blt ..., ап, Ьп) обозначает формулу
• • • > 5 ($1,	• • • > С1п> Ьп, Xn_^i, Уп+1> • • •)•
Тогда выводима секвенция
HuiVoi ...(ySn(iii, Di, ип,
... Эх„Ууп ... S(xb г/!.........................хп, уп, ...).
Прежде всего, поскольку легко выводится
^п— I (®Ь ^1...&п—1> Ьп— l) == ^Хп^уп5п , ..., bn_i, Хп, уп),
мы можем с помощью сечений отождествлять формулы
S„_I (®1> •••> & п— 1)	^хп VynSn (oi...bn_i, Хп, Уц)<
Для каждого п рассмотрим сначала фигуру Рп, оканчиваю-
щуюся секвенцией
Sn(ai, bi .... ап, bn)->S0.
В качестве примера приведем Р3:
S3(hi, bi, az, b2, ...)-+S3(ai, bi, a2, b2, a3, b3)_
S3(.. .)->3x3Vy3S3(ai, bl, a2, b2, x3, y3)
S3(...) -»3x2Vt/23x3Vt/3S3(at, b,,x2, y2, x3, y3)_
S3(.. .)->Bx1Vt/iBx2Vy2Bx3Vz/3S3(xI, yi, x2, y2, x3, y3).
Важно отметить, что секвенцию S3(...)—>S0 мы выводим
не за один шаг. Теперь имеем
______________Рп, п< а
______________Уп^п (^Ь bl, ..., оп, Ьп)S()
ВщУщ ... (V„S„(«i, о,, ..., ип, o„))->S0.
Легко видеть, что выполняются ограничения на собственные
переменные. Фигуры Рп построены таким образом, что все
боковые формулы для собственной переменной Ь( совпадают.
Кроме того, {S„(a[, blt ..., ап, bn)}n>0 является требуемой
нумерацией боковых формул, соответствующих введениям
квантора Q справа.
Ю Г. Такеути
290
Гл. 4. Инфинитарная логика
Пример 24.11. Чтобы привести следующий пример, нам нужны
некоторые вспомогательные определения. Рассмотрим квантор
СЕ(х; у), где х и у имеют длины а и Р соответственно. Допу-
стим, что каждое из а и р можно разбить на два множества:
аь а2 и рь р2 соответственно, т. е. а —ajjcii и Р = р, (J р2, где
aiPa2 = 0, Pi Л р2 = 0 и, кроме того,
(1) Г (у) S сц, если yefl;
(2) Т (у) s а2, если у е= р2.
Если мы вполне упорядочим каждое из множеств аь а2,
Pt, р2 и рассмотрим ограничения функции Т на Pt и р2 соот-
ветственно, то мы получим такие функции ТА и Т2, что
Ууер1(Г1(у) = 7’(у) = а1) и Vy е= р2(Г2 (у) = Т (у) s а2).
Допустим, что формулу А (х, у) можно представить в виде
A'(xh х2, ylt у2), где (хь х2) — разбиение последовательности х,
соответствующее разбиению (ab й2), а разбиение (yt, у2)— раз-
биение последовательности у, соответствующее разбиению
(Pi, Рг). Покажем теперь, что при этих условиях выводима
эквивалентность
Qr(x; у)А(х, у) <->Qr'(xt; t/i)Qr’(x>, у2) А' (хь х2, у\, у2).
Допустим, что формулу А (а, Ь) можно записать в виде
A'(ah а2, bt, b2) в соответствии с разбиением аь а2 и рь р2.
1) Имеем вывод
____________________A'(alt а2, Ь[, Ь2)->А(а, Ь)
____________________ОГг(х2; УгМ'(в1, х2, bl, у2)-+А(а, Ь)
Qr'(xt; у,) Qr?(x2; у2)Д' (х,, х2, у,, у2)^Л(а, Ь)__
СЕ1 (*Г, У1)СЕг(х2; У2)А' (Х1, х2, yi, у2) -> СЕ (х; у)Д(х, у).
Во введении квантора QTt переменные из Ь2 зависят от всех
переменных из а( и из bit а также от некоторых переменных
из а2 (это определяется функцией Т2).
2)	Д(с, d)->A'(cx, с2, di, d2)_______
' А{с, d)->Qr-(x2; y2)A'(ci, х2, dit у2)_____
________(.с, d)-^QT<(Xi; yi)Q4*2; y2)A'(Xi, х2, yb у2)
СГ(х; у)А(х, y)->Qr'(xi; У1)О.Тг(х2, у2) А' (хь х2, уь у2).
Из разбиения переменных, очевидно, следует, что перемен-
ные из d] не зависят от переменных из с2, и поэтому циклов
не возникает.
Легко видеть, что ограничение 6) на собственные перемен-
ные выполнено; остальные ограничения также очевидны.
£ 24. Общая теория неоднородных кванторов
291
Упражнение 24.12, Показать, что выводима следующая
секвенция:
ЗхЛСч), VxIVz/|3x2(Pl(x1)=>P2Ui, У1, х2)),
Vxi. . . Уп-\3хп (Р (X]) Л Р2 (Х1, У1, х2) л ... л Pn-t (хь У1, xn-t) о
—1 Рц (М> . . ., Уп—\1 Хп)), . . .,
Vx,z/i ... ^ДРп(Х1, .... x„)=>S(x1( у,, ...))->
-*3xdfyt3x2Vy2 ... S(xb У1, х2, у2, ...).
[Указание. Легко видеть, что выводима секвенция
Р1(а,), Рх(а^ Р2(аъ Ь.{, 02), ...,
APn(fli, .... bn_h an):=>S(ai, b{, . ..)->S(ah b.).
n.
Отсюда следует выводимость требуемой секвенции.]
Нашу систему неоднородных кванторов мы можем улучшить
следующим образом.
Определение 24.13 (ср. с определениями 24.3 и 24.4).
(1)	Добавим в п. 2) определения 24.4 следующее условие.
Если A (ад и А (а2) — боковые формулы для собственной пере-
менной а некоторого применения однородного правила Q-справа
и а является а-й переменной в аь то а является а-й перемен-
ной и в а2.
К определению отношения <( добавляется следующее усло-
вие. Если а — собственная переменная, соответствующая неко-
торому применению однородного правила Q-справа, и b — сво-
бодная переменная, входящая в главную формулу для а, то
b а, т. е. а зависит от Ъ.
(2)	Пункт 3) определения 24.4 следует читать так: «все
боковые формулы для любой собственной переменной при-
менения неоднородного правила Q-справа совпадают».
(3)	В п. 6) определения 24.4. следует читать «неоднородное
правило Q-справа» вместо «правило Q-справа».
(4)	Допустим, что квантор Qr(x; у) можно расщепить на
Qr’(*i; уд и Од<(х2, уд в смысле примера 24.11. Мы будем
сокращенно обозначать эти кванторы через Q, Qj и Q2.
Введем теперь новое правило вывода:
Г„ {Q?Q2aXg(xa, yK)}a, Г2-> A,, {Q^QaBeCt?, А2
Гь {Qa(*a; у“)л(ха, ZlLr^AbfQV; vp)b(«3, v0)}3, а2.
Полученная новая система имеет то преимущество, что
некоторые выводы значительно упрощаются, даже если они
не содержат сечений.
10*
292
Г л. 4. Инфинитарная логика
Пример 24.14. Игра называется открытой, если победитель
определяется после конечного числа шагов. Пусть Y (alt bx, а2,
Ь2, ...) обозначает игру, в которой игроки I и II по очереди
выбирают члены последовательностей аь а2, .. . и bit b2, .. .
и победитель определен. Тогда игра является открытой, если
(1)	Y(alt bh ...)->
->V(Vx„+1t/„+1 .. .)Y (ai, an, bn, •^n+b Уп+l, •  •) •
n
В нашей новой системе имеется простой вывод того факта,
что открытая игра является детерминированной, т. е. что из (1)
следует
Vxi3f/iVx23y2 • • • У Ui, th, ...) V 3xl\fyl3x2Vy2... ПУ (xb уь
Секвенция
(2)	Vxrt_p\Уп+1 ••• У («ь • • •, bn, , Уп+i, •  •) *
-> Vxi3yi ... Vx„3t/„ ... У (xi, yi, ...)
выводима для каждого п:
___________У(а1, ..., Ьп, ctn+\, bh+i, ...)-»У(а1, ..., bn, апп+\,...)
Vxn+if/„+i У(аь .... Ъп, хп+ъ уn+i, ...)->
________... У (fl],  • . > Ьп, Хп+\, Уп+\, • • •)
У%п+\Уп+1 • • • У (^1...Ьп, Xra_|_i, . . .) >
_________ Зуп (^fxn+	. . .) У (fl). ..., О-п, У п, Хп+1, *  *)
^^/1+1Уп+1 • • • У («Ь • •  > Ьп, Хп+1, • • •) *
________ * 3// „У Хя+ ^Уп+1	У (^Ь •••> &п, Уп, ^п+1, • • •)
Ч*п+\Уп+\ • • • У («1, , Ьп, Хп+ъ ...)->
________ > Vхп (3z/^VХп+\3уп+1 * .) У (Ц[,  ., Ьп—{, хп, Уп,  * *)
хп+\уп+\ ... У (С1\, . . . , Ьп, Хп+\, • • •) *
 >	... У (fl), ..., Ьп}, хп, Уп, • • •)
^^n+11/n+l	^(а1>	Ьп, -Хтг-Ю’ •••)“*
-> V.riSz/1 ... УхпЭуп ... у U1....хп, Уп, • • •)•
Заметим, что наше новое правило вывода применяется не-
сколько раз. Из (2) по правилу У'слева получаем
(3) V... У(й[, Ьп, хп+\, Уп++ • • •)"-*
VxjSt/i ... У (xb yh ...).
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
293
Поэтому имеем
У(аь 61; ...)^VVx„ + 1У/1 + 1 • • •	(а1> • • •, Ьп, Хп+1, Уп+1,
________-» VX13?/! ... У (л-1, у,, ...), ~~|У (аь Ьъ   )_
VtWi... (У (t>i, ®1, ...)=> V (Vx„+1yrt+i... У («ь йуь..., х„+ь уп+\, ..О))-’"
-> VxiHyj ... Y (х{, ylt ...) V 3xiVyi ... ПУ (хь у)( ...).
В этом выводе боковыми формулами, соответствующими
применениям неоднородных правил Q-справа, являются
У(Д.....bn, a*+v ~\Y(av ..., bn, an+v ...)
с собственными переменными а" р апп+2, ... и Ь{, Ь2, ... соот-
ветственно. Собственными переменными однородных квантифи-
каций являются ai, а2, .. . . Занумеруем боковые формулы при-
менений правила Q-справа в таком порядке:
ПУ (ар bv ..., ап, Ьп, ...), {У (ар	а«+р ... )}„.
Теперь можно проверить, что выполняются ограничения на
собственные переменные (см. определение 24.4). Мы проверим
лишь условие 6). Здесь Ло обозначает формулу ПУ (нь blt ...),
каждое удовлетворяет необходимому условию и в п. 6.0)
а{ используется в качестве собственной переменной в некото-
ром применении однородного кванторного правила.
Если е—собственная переменная неоднородного правила
Q-справа и	то е совпадает с одним из Ьх, ..., bi_x.
Обозначив zbjVyi ...	... через Qr°(y; ж), получим,
что ft, (1	— 1) является /-й собственной применения к А()
правила Q-справа и /еТо(О- Рассмотрим свойство 6. п), где
Пусть Ап обозначает У (нр ..., Ьп, а"+1, ...). Допустим,
что d — одна из переменных
ct\, Ь\, ..., ап, bn, bn+i, Ьп+2....
Если переменная d используется в качестве собственной пере-
менной в применении неоднородного правила Q-справа, то она
совпадает с одной из &|( ..., Ьп, ее боковой формулой яв-
ляется Ло и 0 < п. Поскольку Ь1) при j = п + 1, п + 2, .. . не
используется в качестве собственной переменной, отношение
е^Ь1} никогда не имеет места. Далее, пусть с — одна из пере-
менных ah b\, ...,-ап, Ьп. Если с представляет собой ah то
первой возможностью для собственной переменной е, соответ-
ствующей неоднородному правилу Q-справа и такой, чтое-^Н;,
является одна из переменных bi.......bt_\. Эти переменные
294
Гл. 4. Инфинитарная логика
являются собственными для Ло. Поскольку Ьь ..., b{_i не за'
висят ни от каких переменных, то этим завершается проверка
ограничений на собственные переменные.
Пример 24.15. Приведем другое доказательство детермини-
рованности открытой игры. Пусть открытая игра выражается
формулой	bi, ..., am, bm). Докажем, что эта игра
детерминированна. Пусть Yk (ab ..., bk) есть Yk {а\, ..., bm,
йт+ь №), если	Имеем вывод
Ym (ap ,. „ bm)-> Vfeffe (a,.bm, a^+l, ,, „ b%)
rm(aP '&m)">V'Vm+l3^n+l ••• VA(al' bm’ Xm+1’ • • •> У k)
Ym (al..bmY> 3Ут	~ V/fe (aP ' •	У m’ Xm+V ’ • ” Ук)
Uttr-'^U>3^ffi + l3Vl	’ Ут’ Sn + P •••
Ym (aP • • -	Vm(3^V-Vm+13ym+|-) VfeKfe(aP-’Xm’ Ут’ Хт + 1’-’Ук)
Ут{аХ’””Ьт)->^Хт3Ут^Хт + ^Ут + \ - У kY k(aV-’ X m> У m’X т+1 У k)
Zm(al...M~>Vx!3^l	W1.......Ук)
vXn(an •••’М~>**13У1	VkYk(xv Уу •••' У к)
... У*УДхр у,, ..., Ук), пУтУт(а1> ьу •••’ Ьт)
->УД3Д ... VkYm(xv yv..„ ут), aXjVy, ... nVmym(xp z/j.ym)
Боковые формулы применений неоднородных правил Q-справа
можно перечислить в следующем порядке:
~1\/Ym(ai, bi, ..., ат, bm),	•••> bm, ctm+\, •••> ОI
m	In	) m
с собственными переменными bh b2 для первой формулы и
ат + !’ ат+К ••• ДЛЯ V^(ai> •••’ Ьт’ «т + Р ’ ’ ’)’ ЧиТЭТвЛЮ
k
остается проверить, что выполняются ограничения на собствен-
ные переменные.
Пример 24.16.
A(ai, bh а2, b2, . А(аь bh а2, Ь2, )
3x2Vy2 • •• Ч («1, Ь\, х2, у2, ...)->3x[Vyt ... Л (xi, у[, ...)
-^ЗхУу1 ., . A (xi, у\, ...)-» ~lBx2Vj/2 . . . A(ai, b\, х2, у2, ,..)
~1Вх1Уг/1 ... Л(хь у{, ., .)~>'Эу1~]'Эх2\/у2 ... Л (ai, bi, х2, у2, ...)
~]ЭхУу1 ... Л(хь yi, .. .)^^Х\Зу1~\ЗхУу2 ... Л(хь у{, ...).
Замечание. Существуют секвенции, которые выводимы без
сечений в нашей новой системе, но требуют применения пра-
вила сечения в старой системе. Например, рассмотрим сек-
$ 24. Общая теория неоднородных кванторов
295
венцию
—> (УхЗу) А (х, у), (ЗхУу)~1А (х, у).
Здесь (УхЭу) и (ЗхУу) рассматриваются как неоднородные
кванторы, тогда как каждый из УхЗг/ и ЗхУу состоит из двух
однородных кванторов.
(1)	Эта секвенция выводима с помощью правила сечения
в старой системе:
А (а, Ь)-+А(а, Ь)	ПЛ (с, d) -» пЛ (с, d)
УхЗуЛ (х, #)-> (УхЗг/) Л (х, у) ЗхУг/~~1Л (х, г/)-»(ЗхУу)П.Л (х, у)
УхЗуЛ (х, у) V ЗхУупЛ (х, у)->
—>УхЗ#Л (х, г/)УЗхУг/~|Л (х, у) —>(УхЗр) Л (х, р), (ЗхУр) П Л (х, //)
(УхЗ//) Л (х, у), (ЭхУг/)~|Л (х, у).
(2)	Эту секвенцию нельзя вывести в старой системе без
правила сечения, поскольку, если мы предположим, что такой
вывод без сечений имеется, то секвенция
А (аа, Ьа), .... ~1Л (с3,
выводима для некоторых свободных переменных. Тогда для
некоторых а и Р переменная аа совпадает с ср, а Ьа — с dp.
Следовательно, в секвенции
—> ... А (а, Ь), ..., ПЛ (а, Ь)
обе переменные а и Ь являются собственными для некоторого
применения неоднородного правила Q-справа. Но отсюда вы-
текает, что формулы Л (а, Ь) и ПЛ (а, Ь) нельзя упорядочить.
(3)	Эта секвенция выводима в нашей новой системе без
правила сечения:
—» Л (а, Ь), ~~1Л (н, 6)______
->УхЗ#Л(х, у), ЭхУ//~|Л(х, у)
-»(УхЭу) Л (х, у), (ЗхУу)ПЛ (х, у).
Предложение 24.17. Всякий вывод в детерминированной ло-
гике, удовлетворяющей условию (Q) из определения 23.16,
является выводом и в (расширенной) неоднородной системе.
Доказательство. Допустим, что некоторый вывод Р
в данном языке L детерминированной логики удовлетворяет
условию (Q). Определим язык L (J): берем логические символы
в точности той же самой арности, что и в L, а / определяем
следующим образом. Пусть Qfz — некоторый квантор детерми-
нированной логики.
296
Гл. 4. Инфинитарная логика
Пусть х — последовательность всех переменных из г, для
которых / принимает значение V, и у — последовательность
всех переменных из г, для которых f принимает значение 3.
Пусть у есть P-я переменная из у и а <= Т (Р), если и только
если a-я переменная в х предшествует переменной у в г.
Такая функция Т принадлежит множеству J. Следовательно,
квантор Qfz мы можем выразить в виде QP (х; у). Таким об-
разом, формулы вывода Р можно рассматривать как формулы
языка L (/).
Переименовав (если необходимо) переменные в Р, мы в
силу (Q) можем считать, что выполняется следующее условие:
(*) Если
Г-^Д, А {а, Ь)
Г^Д, Qr(x; у)Д(х, у)
есть применение неоднородного правила Q-справа, то никакая
собственная переменная в Р, использовавшаяся выше секвен-
ции Г -* Д, Qr (х; у) А (х, у), не встречается ниже этой секвенции.
Для того чтобы убедиться, что Р является выводом в не-
однородной системе, достаточно проверить, выполняются ли
ограничения на собственные переменные в определениях 24.4
и 24.14. Сформулированные там условия 1), 2) и 4) предста-
вляют собой в точности условия, которым удовлетворяет Р.
В силу (Q) выполняется и услови.е 3). Допустим, что в Р имеет
место с а. Тогда высота переменной с меньше высоты пере-
менной а; поэтому условие 5) очевидно.
Нумерацию боковых формул в применениях неоднородного
правила Q-справа мы можем определить таким образом, что
она будет удовлетворять ограничению 6) на собственные пере-
менные. Пусть 7| и J2— два применения неоднородного пра-
вила Q-справа в Р, причем Ц расположено выше J2 и Д и /2
имеют соответственно вид
г Г1 А (а, Ь)___________
1	Г] -> Д1 QT1 (х, у) А (х, у)
и
, Г2-^Д2, В (с, d, е)__________
2	Г2->Д2, Q'A(x'; у')В(х', у', е),
где е — последовательность переменных, не входящих в с и
в d. Допустим, что d содержится в d (или в е), а' — некото-
рая собственная переменная в Р и a'<d (или а' -=^е). Так как
из (*) следует, что d (или е) не используется в качестве соб-
ственной переменной выше секвенции Г]—>Д1, QT| (х; у)А(х, у),
то переменная а' не может входить в а. Подходящая нумера-
ция боковых формул в Р получится, если их пронумеровать,
начиная снизу.
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
297
Теперь мы докажем интерполяционную теорему для некото-
рых подсистем неоднородных систем.
Определение 24.18. Пусть q — произвольный символ и А —
некоторая формула. Мы говорим, что вхождение q в А яв-
ляется положительным или отрицательным в зависимости от
того, четно или нечетно число символов ~, в области дей-
ствия которых находится это q. Под А => В понимается ~пЛ\/В-
Мы говорим, что символ q входит положительно в секвенцию
Г—>А, если он входит положительно в А или отрицательно
в Г, и что символ q входит отрицательно в Г—>А, если он
входит отрицательно в А или положительно в Г.
Секвенция Г—>А называется негативной, если все неодно-
родные кванторы в нее входят отрицательно.
Предложение 24.19. (1) В нашей старой системе каждая не-
гативная секвенция либо выводима без сечений, либо имеет
контрмодель.
(2) Для негативных секвенций справедлива интерполяционная
теорема. Допустим, что Г —> А — общезначимая негативная сек-
венция и [{Гу, Aj}, {Г2; А2}] — некоторое разбиение секвенции
Г->А, такое, что {Гь AJ и {Г2; А2} имеют по крайней мере
один общий предикатный символ. Тогда найдется формула С
(не обязательно негативная), такая, что секвенции Г1—>AI( С и
С, Г2—>А2 общезначимы и все предикатные символы и свобод-
ные переменные, содержащиеся в С, входят в {Гу, AJ и в
{Г2; А2}.
Доказательство. (1) Это утверждение можно доказать
аналогично другим теоремам о полноте, строя редукционное
дерево по данной секвенции. Заметим, что на этапе, относя-
щемся к неоднородным кванторам, редукция проводится только
в антецеденте.
(2) По техническим причинам будем считать, что все одно-
родные кванторы имеют вид Н. Это ограничение не суще-
ственно. Следуя определению 23.18, мы скажем, что фигура Р
является выводом в системе RHS', если Р удовлетворяет сле-
дующим условиям:
(i) Р удовлетворяет всем условиям определения вывода
в нашей системе, кроме ограничений на собственные пере-
менные.
(ii) Кванторы вводятся только с помощью правила 3-слева:
{Л(^)}л<у, Г—»А
{ЗжлА(жа)}а<7, Г->А,
где никакая переменная из ак не входит в нижнюю секвенцию.
298
Гл. 4. Инфинитарная логика
Заметим, что вывод Р может содержать неоднородные кван-
торы, но они должны вводиться либо начальными секвенциями,
либо ослаблениями. Тогда способом, аналогичным использо-
вавшемуся в доказательстве теоремы 23.19, мы можем дока-
зать следующее. Пусть Р — вывод в системе RHS', оканчиваю-
щийся секвенцией Г —> А, и допустим, что для свободных пере-
менных в Г-*А определено некоторое фундированное отноше-
ние <(о- Тогда можно продолжить до отношения зависимости
для собственных переменных вывода Р.
Лемма 24.20. Пусть Р — не содержащий сечений вывод
секвенции Г], Г2 —> А), А2, в котором каждый однородный кван-
тор имеет вид 3 и каждое применение правила, вводящего кван-
тор, является применением правила, вводящего В в сукцеденте.
Допустим также, что {Г^ AJ и {Г2; А2) имеют хотя бы один
общий предикатный символ. Тогда найдутся не содержащие
сечений выводы и Р2 в системе RHS' и формула С, такие,
что заключительной секвенцией вывода Р\ является
С, Г^Дь
заключительной секвенцией вывода Р2 является
Г2—>Д2, с
и все свободные переменные и предикатные символы в С являются
общими для {Tj; А,} и {Г2; А2}.
Доказательство проводится аналогично доказательству лем-
мы 23.20.
Вернемся теперь к доказательству предложения 24.19 (2),
которое му проведем тем же способом, что и в части 3 дока-
зательства теоремы 23.15.
Рассмотрим какой-нибудь не содержащий сечений вывод Р\
секвенции Г], Г2->АЬ А2. Ограничения на собственные перемен-
ные для такого вывода можно выразить в терминах некоторого
фундированного отношения <^. Фиксируем такое отношение <.
Можно считать, что каждый однородный квантор в Р имеет
вид 3, что неоднородные кванторы вводятся только в антеце-
денте и что входящие в Г], Г2 —> Дь Д2 свободные переменные
не зависят ни от каких переменных вывода Р. Пусть {Ог (х;
у) А (х, у, d)} — нумерация всех главных формул, соответствую-
щих введениям слева квантора Q (неоднородного квантора Q
или однородного квантора 3) в данном выводе, потомки кото-
рых содержатся в Г] или Аь Аналогично определяем нумерацию
{Qr (*; У) В (х, у, d')} для Г2 и Д2. Тогда мы можем построить
£ 24. Общая теория неоднородных кванторов
299
некоторый вывод Р' секвенции
{"_1Ог(ж; у)А(х, у, d) V А (с, a, d)},
{ТСГ(ж; у)В(х, у, d')V В(е, Ь, d')}, Гь Г2->ДЬ Д2,
такой, что (i) каждый однородный квантор в Р' имеет вид 3;
(ii) единственным правилом, вводящим квантор, является пра-
вило 3-справа; (iii) с, d<^n для любых а из а, с из с и d из d;
(iv) е, d'<^b для любых b из Ь, е из е и d' из d'; (v) каждая
свободная переменная из А (х, у, z) входит в Г] или A,; (vi)
каждая свободная переменная из В (х, у, г) входит в Г2 или Д2
и (vii) переменные, входящие в а и Ь, различны между собой.
(Мы пользовались не вполне корректными обозначениями, на-
пример использовали одинаковые буквы х и у в различных
кванторах. Тем не менее смысл указанных выше выражений
очевиден.)
Тогда по лемме 24.20 найдется формула С, такая, что сек-
венции
С, {”lQr (ж; у) А (ж, у, d) V А (с, a, d)}, Ti -> А]
и
{тОЧх; у) В (ж, у, d) V В (с, b, d)}, Г2->Л2, С
выводимы в RHS' и С удовлетворяет соответствующим усло-
виям. Пусть f — последовательность всех свободных переменных
в С, не входящих одновременно и в {Гр, AJ, и в {Г2; А2}.
Полагаем, что переменные в f упорядочены так, что если fi
предшествует f2, то не имеет места /2<^Л «— отношение,
определенное для исходного вывода Р). Пусть Р} и Р2 — выводы
в RHS' двух указанных выше секвенций, и пусть и <^2 — от-
ношения зависимости для свободных переменных в заключи-
тельных секвенциях выводов Pi и Р2 соответственно, индуциро-
ванные отношением (для Р). Тогда мы можем продолжить
эти отношения на множество всех переменных. Обозначим эти
продолженные отношения через <Р| и <^Рг:
Рассмотрим далее следующие квазивыводы Pi и Р2:
Р]
ч •
C(f), {VzQ4«; v)(-|Qr(x; У) А (ж, у, ж) V А(и, V, ж))), г/^Ai
и
Р,,
{VzQr(K; v)(nQr(x; У)В(х, у, ж) V В (и, V, ж))}, Г2Хд2, С (/).
Имеются три вида переменных, входящих в /: те, что входят
в а, те, что входят в Ь, и остальные. Первые переменные,
последовательность которых мы обозначим через являются
300
Гл. 4. Инфшштарная логика
собственными в Pi; вторые, последовательность которых обо-
значим через /2, являются собственными в Р', а последователь-
ность третьих мы обозначим через /3. Определим функцию Т',
ставящую в соответствие переменным из f2 некоторые подмно-
жества из fi, так, чтобы она удовлетворяла отношению зависи-
мости <. Заметим, что выводима формула
VzQr(ti; v)(~iQr(*; У)А(х, у, z) V А (и, v, z)).
Следовательно, мы получаем
Pf
VayQr(a>i; w2)C(wt, w2, w), Г^Дь
где re>i, w2 и w подставлены вместо fi, f2 и f3 соответственно.
Аналогично мы получаем
/I
Г2->Д2, VwQr (гав w2)C(wb а»2. гу)-
Поскольку мы можем считать, что собственные переменные
вывода формулы
VzQr(a; v)(_lQr(x; у)А(х, у, г) V А (и, v, г))
отличны от собственных переменных из Pi, мы естественным
образом продолжаем на весь вывод секвенции
VwQr(«,i; «^со^ь &2, ®у)> Г1->Дь
Легко показывается, что при этом получится отношение зави-
симости; на самом деле именно так была выбрана функция Т'.
Аналогичным образом мы продолжаем отношение <^Р!.
Даже имея в наличии новое правило вывода, едва ли можно
ожидать, что для всей системы справедлива теорема об устра-
нении сечений. Построение полной системы с неоднородными
кванторами — трудная проблема. Задача еще более усложнится,
если мы захотим построить полную систему без правила сече-
ния. Это ясно видно из следующего примера.
Пример 24.21. Рассмотрим секвенцию
/Va 3«\
{с/ #=	— b — u —	/\и =/= Cq).
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
301
Эта секвенция выводима в нашей системе. В самом деле,
легко выводится секвенция
{ci	= u = ci+x) /\^а^ CiZDu = d>j,
/\(b = Ci=>v = ci+}) A (A & =/= О => t> =
—> (a = b = и = v) A и c0.
Отсюда вытекает, что выводима секвенция
УаЗи (Д (а = ct => и = ci+i) Л(/\а^=
УЬЗс ^/\(b = CiZ=>v = Ci+i) Л (/\b =£Ci2Dv = by, {ct Ф с,}{ f ->
/ У а Зм\
\ V& Эи J ((« = ^ ^ « = "J) л u ¥= Со).
С другой стороны, секвенции
—>Va3zz(A (а = Ct zd u = ci+\) А (Л а =# ct =э и = а))
и
-> УЬЗс (Л (b = ci до v = сг+0 А (Л b =# Ci => v = 6))
также выводимы в нашей системе. Следовательно, по правилу
сечения выводима секвенция
(У а 3zz\
{с,- =# с,}; , -> V6 Зу ) ((а = b = и = v) Л и =# с0).
Если же мы к приведенному выше выводу, содержащему
сечение, применим редукцшо генценовского типа, определенную
ранее для конечных языков, мы получим похожую на вывод
фигуру
{О =# Cj}^ {(а —b =с/+1 = с/+1) Л с;+1 =/= с0}г
{(а = b = а = c/+i) Л а Ф с0}/,
{(й = Ь = С^_|_| = Ь) /\ С(ц_1 =7^= Со};,
(а~ Ь=а — Ь) Л а =# с0
(Уа Зи\
{сг =0= Cj}i у	J ((а = = zz = и) Л «	с0).
Очевидно, что в этой фигуре собственным переменным а и b
соответствует много боковых формул. Следовательно, она не
может быть выводом в нашем смысле.
Из этого примера мы видим, что вряд ли нашу систему
можно расширить так, чтобы эта фигура стала выводом в ней,
302
Г л. 4. Инфинитарная логика
и, следовательно, мало надежды на то, что будет построена
полная система без правила сечения.
Хотя наша система и не полна, можно доказать для нее
слабую полноту. Для доказательства мы используем еще более
общую формулировку правила обобщенного сечения, которую
мы назовем правилом сильно обобщенного сечения (с. о. с).
Пусть — непустое множество формул. Допустим, что для
произвольного его разбиения, скажем (.9*!, &"2), найдутся под-
множества множеств 3~j и ST 2, скажем Ф и Т соответственно,
и подмножества множеств Г и А, скажем Г' и Д' соответ-
ственно, такие, что выводимо Ф, Г'—>Д', ЧЛ Тогда отсюда
можно вывести Г—>Д. Мы также допускаем случай, когда
некоторые формулы из Г (или Д) входят в Г' (соответственно
в Д') несколько раз.
Очевидно, что правило с. о. с. является обобщением правила
о. с. и включает в себя два правила: собственно правило сече-
ния и правило ослабления.
Предложение 24.22. Рассмотрим язык, L с неоднородными
кванторами, который содержит индивидные константы с0, сь .. .
. .., са, ..., а < К, и логические символы Аа<д и Уа<к, где
К — некоторый ординал. Эта система, пополненная аксиомами
->1 = Cq, i = cx...t = са, ... (а < К)
для произвольных термов t, является полной. Если какая-то
секвенция выводима в этой системе, то она выводима и без
существенных сечений.
Доказательство. Пусть 6 — порядковый тип множества
J, и пусть т обозначает множество {с0, сх, ..., са, ...}. Рас-
смотрим прбизвольную формулу языка L вида Ог (х; у)А(х, у).
Пусть а — ординал, и допустим, что Т (а) имеет тип ра относи-
тельно обычного порядка на ординалах. Пусть fa — некоторая
функция, отображающая т6« (декартову степень множества т)
в т, и пусть т, п и т. д. — последовательности (подходящих ти-
пов) элементов из т. Допустим, что для каждого а < 0 задана
последовательность та — (тУа, тУ[, ...), где Т (а) = {у0, Vi, • • .}.
Тогда f(m) будет обозначать последовательность, составленную
из последовательностей f°(zn0), f1 (tn1), ..., fa(ma).Наконец,
пусть L' — расширенный язык, в котором имеются символы V/
и Дт, где f (в V/) пробегает все последовательности функций,
определенных, как указано выше, а т (в /\т) пробегает все
последовательности элементов т, определенные, как указано
выше. В случае когда в язык включены эти символы, «выво-
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
303
димость» будет означать «выводимость в системе с языком L's>.
Заметим, что L' представляет собой расширение языка L.
При этих условиях мы покажем сначала, что выводима
секвенция
(1)	Cf (х; у) А (х, у) v Л A (m, f (m)).
v	f m
Формулу Ap(«p = mp) сокращенно обозначим через а —tn. Пусть
g — произвольная, но фиксированная последовательность функ-
ций, определенная так же, как выше была определена после-
довательность f, и пусть т/ обозначает произвольную, но фикси-
рованную последовательность подходящей длины, составленную
из элементов множества т, которые выбраны для f. Пусть
(2)	.... А(п, g(n)), ... -> ..., A(mf, ...
— некоторая секвенция, где g фиксировано, п и f пробегают
все возможные значения, a mJ выбирается произвольно; если
f — g, то п = /п/. Тогда секвенция (2) выводима.
Допустим теперь, что язык L' имеет достаточное число сво-
бодных переменных, чтобы можно было провести последующие
рассуждения. Для каждого а < 0 и каждого п выберем неко-
торую свободную переменную аа, п языка L'. Тогда секвенция
(3)	► п == Cq, (la, п == Cj, ...
является аксиомой. Мы предполагаем, что можем выбрать раз-
личные переменные для различных пар (а, п). Для каждого с
существует последовательность g, такая, что ga (п“) = с. Поэтому
для произвольно выбранной последовательности констант (са„
са,, .. .) длины 0 из секвенции (2) с такой последовательностью
g следует секвенция
(4)	• • •, п = Са0, С11, п === £<?!, • • •, А (П, dn)y •*.
..., A(mf, ...,
где ап — последовательность а0, п, «1, «, ... • Тогда применив пра-
вило сильно обобщенного сечения к (3) и (4), мы получим
секвенцию
(5)	..., А (п, а„),	A (mf, f ...
для всевозможных комбинаций Ш/. Следовательно, из (5) по-
лучаем
..., А (п, ап),	Л А (т, f (m)), ...
tn
или
(6)	..., Д(п, ап), ..	/\А(т,
f
304
Г л. 4. Инфинитарная логика
Наконец, введя в (6) кванторы, мы получим секвенцию
Q7 (ж; у) А (ж, у) -> V Л A (m, f (m)),
f т
т. е. (1). Поскольку мы выбрали различные свободные перемен-
ные для различных пар (а, и), очевидно, что ограничения на
собственные переменные выполнены.
В выводе секвенции (1) правило сильно обобщенного сече-
ния применялось только к атомарным формулам.
Далее, мы хотим доказать обратную к (1) секвенцию в виде
(7)	УжЭ</Л(ж = п=>у = /(n)), V Л А (т, f (m))>
п	f т
-> аг (*; У) а (ж, у).
Во-первых, мы имеем для всяких fun
а = п, a = n^b = f(n), А(п, f(n))->A(a, Ь)
и
&а. Он ' И..............................
Следовательно, в силу правила сильно обобщенного сечения,
Д(а = п=>6 = / (n)), Л А (т> f (m)) А («, &).
п	т
Отсюда получаем
УжЭу-Д (ж = п гэ у — / (л)), Д A (tn, f (т)) А (а, Ь)
п	т
И
(8)	УжЭ</Д (ж==п=>у = /(и)), Л А (т, f (т)) -> О.Т (ж; у) А (ж, у),
п	т
Поскольку (8) имеет место для каждого f, отсюда следует
(9) УжЭуf\(x = n^y = f(nf), VЛА(т,
п	f т
->Ог(ж; у) А (ж, у),
т. е. секвенция (7).
С другой стороны, секвенция
(Ю)	VxBy /\(x-=n^y = f(n))
п
выводится для всякого f следующим образом. Для произволь-
ных пит выводима секвенция
а~п >a = mzDf(n) = f (т)
и, следовательно,
« = п->ЭуЛ(а = тдэу — f (т)).
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
305
Кроме того, имеем
->аа — с0, аа = с1; ... для всякого а.
Поэтому по правилу сильно обобщенного сечения получаем
->Эу /\(а = т=> y = f (m)).
т
Отсюда следует секвенция (10).
Ограничения на собственные переменные в выводах секвен-
ций (1) и (7) проверяются легко.
Примененный выше метод мы можем распространить дальше.
Пусть Л — формула вида Qr (х; у) А (х, у). Тогда множество
формул
|Vx3i/ \{x = nz2> y = f (n))J
в (7), соответствующее этой формуле А, мы обозначим через
Ф(Л). Заметим, что Ф(Л) в действительности зависит только
от длины последовательности х; следовательно, не имеет зна-
чения, какие переменные содержит формула А.
Лемма 24.23. Пусть Вх, В2, ... — все подформулы формулы А
указанного выше вида. Тогда существует бескванторная фор-
мула А (в расширенном языке), такая, что А содержит в точ-
ности те же свободные переменные, что и А, а секвенции
(11)	Ф(В{), Ф(В2), ..., А->А и Ф(В1), Ф(В2), ..., Л->Л
выводимы без существенных сечений.
Доказательство проводится трансфинитной индукцией по
сложности формулы А. Мы рассмотрим только случай, когда А
имеет вид Сг (х; у)А(х, у) (остальные случаи очевидны). Чтобы
вывести первую секвенцию, мы поступим следующим образом.
Рассмотрим формулу A (d, е), где d и е — новые свободные
переменные. Тогда по предположению индукции найдется бес-
кванторная формула A (d, е), такая, что секвенция
Ф (Bi), ..., A(d, e)-+A(d, е)
выводима без сечений. Следовательно, по тем же причинам,
что и для указанной выше секвенции (2), секвенция
Ф (В,), ..., А (п, g (и)), ... -> ..., A (inf, f (mf)), ...
выводима без сечений. Отсюда вытекает выводимость первой
из секвенций (11).
Чтобы вывести вторую секвенцию, начнем с секвенции
Ф (Bj), • • •> A(d, e)->A(d, е).
306
Г л. 4. И нфинитарная логика
Отсюда мы без сечений получаем
Ф(В1), а = п, а = Ь = f(n), А(п,	b).
Далее, следуя доказательству выводимости секвенции (7), мы
получим не содержащий сечений вывод секвенции
Ф(Д), Ф(В1),	А->А.
Пусть теперь дана произвольная общезначимая секвенция
языка L, скажем
До, Ah ..., —> Во, Bi, ... .
Попытаемся вывести ее. Поскольку наша система в языке L'
является непротиворечивой, из того, что данная секвенция и
секвенция (11) общезначимы, следует, что общезначима и сек-
венция
(12)	Ф, До, Л, ... ->В0, Вь ...,
где Ф состоит из формул вида
VxBy /\(х = у— f in}),
п
Поэтому секвенция (12) выводима (без существенных сечений)
в однородном фрагменте нашей расширенной системы.
С другой стороны, секвенции Ф, Да->Да и Ф,	вы-
водимы в нашей системе с языком L' без существенных сече-
ний. Теперь, применив правило сильно обобщенного сечения
с высекаемыми формулами
(13)	Ф, До, Л, ..., Во, Ви ...,
мы получим данную секвенцию.
Следовательно, осталось показать, что это существенное
сечение в построенном выводе данной секвенции можно устра-
нить (в языке L'). Если мы покажем это, то данная секвенция
языка L может быть выведена в исходной системе в языке L
без существенных сечений.
В доказательстве теоремы об устранении сечений мы вос-
пользуемся доказательством, изложенным выше.
Доказательство проводится с помощью обобщенных генце-
новских редукций. Для упрощения рассуждений мы предполо-
жим, что язык L не содержит функциональных символов. Будет
также предполагаться, что начальные секвенции состоят лишь
из атомарных формул. Теорему об устранении сечений мы
докажем в следующей форме.
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
307
(*) Пусть Р — некоторый вывод (в языке L'), такой, что
(i)	вдоль любой ветви, состоящей из секвенций, имеется
не более одного существенного о. с.;
(ii)	главные формулы применений кванторных правил, яв-
ляющиеся предками высекаемых формул, имеют вид
Зу/\(а = т=> y = f (т))
т
ИЛИ
\fx3y /\(x = m^y = f (m)),
т
а боковые формулы этих применений имеют вид
А (а = т Ь = (в антецеденте),
т
Д (а — т => f (п) = f (m)) (в сукцеденте),
т
ИЛИ
Эу Л (x = m=^y = f (m)),
т
соответственно (см. (13)).
Пусть S: Г —> Д есть нижняя секвенция применения с. о. с.
Перечислим некоторые особенности проводимой редукции.
(iii)	Секвенция S и все ее потомки не меняются.
(iv)	Либо устраняется с.о.с., по которому в Р получена
секвенция S, либо устраняются некоторые секвенции
вида ...£>... -> ... D ..., либо устраняются некото-
рые введения логических символов выше S, либо су-
щественное о.с. передвигается вверх на один шаг.
Пусть РГ — множество высекаемых формул в с.о.с. над S.
Редукция определяется в зависимости от номера этапа &(mod 10).
Z>==0(modl0). Среди верхних секвенций рассматриваемого
сечения ищем секвенцию вида
(*)	..., D,	D, ... или	а —а,	.
Допустим, что такая секвенция найдется. В последующих рас-
суждениях случаи с меньшими номерами разбираются прежде
случаев, имеющих больший номер.
Случай 1. Некоторая такая формула D из (*) входит и в Г,
и в Д. Заменим часть вывода, расположенную над S, выводом
D-+D
д (без сечений).
Случай 2. Равенство а = а из (*) входит в Д. Преобразуем
фигуру вывода над S в
—>а — а
а = а
308
Гл. 4. И нфинитарная логика
Случай 3. Никакая такая формула D не входит ни в Г,
ни в Д. Такой случай невозможен, поскольку тогда формула/)
должна принадлежать и ST ъ и 2 при некотором разбиении
ь ^F2) множества З7.
Случай 4. Формула D входит в Г, но не входит в Д. Тогда
формула D в сукцеденте является высекаемой, а эта же фор-
мула в актецеденте таковой не является. Удалим все верхние
секвенции, которые содержат D в сукцеденте. Если D входит
в антецедент одной из оставшихся секвенций (если такие сек-
венции существуют), то рассматриваем D как формулу в Г.
Сделаем то же самое для всех таких D.
Таким образом, множество высекаемых формул теперь бу-
дет равняться & — {все такие D}, и поэтому случай 4 можно
устранить.
Случай 5. Формула D входит в Д, но не входит в Г. Ре-
дукция определяется так же, как и для случая 4.
^=1 (mod 10). Среди верхних секвенций существует неко-
торая секвенция вида
... -» ..., t = с0, ...,/ = сь ..., t = с0, ... (а < К).
Если все эти формулы / = са входят в Д, то секвенцию Г->Д
можно получить так:
—> / == Cq, t === С],  . • , t . . .
г->д
и, следовательно, без сечений. В противном случае поступим
следующим образом. Пусть G — множество всех высекаемых
формул вида t = са, и пусть Н — множество остальных высе-
каемых формул. Пусть (3~3~2) — некоторое разбиение мно-
жества ST. Тогда найдутся некоторые множества Q^^iQG,
s ()/У, Ф2Е^Г2Г|С и Чг2 Е ^*2 П такие, что
фь Г->Д', Ф2, W2
— одна из верхних секвенций рассматриваемого сечения.
Рассмотрим все разбиения (3~3~2) с одними и теми же
множествами G1 = ^F1QG и G2 = 3~2С\С. Тогда для всякого
такого разбиения найдутся множества Ч) и Чг2, такие, что сек-
венция
GI; Чг1, Г->Д', G2, Ч2
выводима без сечений и без увеличения числа непосредствен-
ных выводов. Следовательно, применив к Н правило с.о.с.,
мы получим
Gb Г->Д, G2.
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
309
Это верно для всевозможных разбиений множества G; поэтому,
применив правило с.о.с. к G, мы получим Г—»Л. Последнее
применение правила с.о.с. здесь рассматривается как приме-
нение слабого правила. Таким образом, этот случай можно
устранить.
& = 2. Допустим, что существуют высекаемые формулы,
внешним логическим символом которых является П. (Если
таких формул нет, переходим к следующему этапу.) Возьмем
произвольную верхнюю секвенцию
So: .... П А, .... Г0->Д0...~\В,
где ”I А, ”I В, ...—высекаемые формулы, Го Е Г и До Е Д.
Пусть Qo — подвывод вывода Р, оканчивающийся секвенцией So.
Тогда, слегка видоизменив Qo, мы получим вывод секвенции
Bq' ..., В....Го—>До, ..., А....
не увеличивая сложность вывода. Вспомним, что Qo не содержит
существенных сечений. Заменим каждую формулу в с внеш-
ним логическим символом ~I, скажем —I А, на А и таким
образом получим множество РГ'. Тогда произвольное разбие-
ние множества РГ', скажем (iFf, РГ?}, естественным образом
индуцирует некоторое разбиение множества РГ, скажем (РГРГ<^.
Если секвенция So указанного выше вида является верхней
секвенцией, соответствующей разбиению (РГ\, РГ'ъ), то секвен-
ция Sq соответствует разбиению (3~РГ^)- Таким образом, вы-
водимы посылки правила с. о. с. применительно к множеству РГ'.
С помощью этого правила мы получаем секвенцию S. В этом
случае устраняются некоторые непосредственные выводы, вво-
дящие символ И.
& = 3. Рассмотрим все формулы из РГ, внешним логическим
символом которых является д. Пусть So — некоторая верхняя
секвенция рассматриваемого сечения,
So:	... Л Сь ..., Г0-»Д0, ..., ДЛу, ..., f\Bh, ...,
i	i	h
где Го Г и До S Д, а Д Ct и т. д. — лишь некоторые высе-
i
каемые формулы, внешним логическим символом которых
является Д.
Пусть Qo — подвывод, оканчивающийся секвенцией So. Тогда,
видоизменив очевидным образом Qo, мы можем построить ква-
зивывод секвенции
• ••> {Сг}ь •••, Го—>Д0, .... А;, Bh, ...
для каждой комбинации индексов (..., /, ..., h, ...). Пусть
РГ' — множество формул, получаемое из множества РГ заменой
310
Г л. 4. Инфинитарная логика
в нем всех формул вида Д С, на
i
{Со, С]....С;,...}.
Пусть (^i, g"'?) — разбиение множества , такое, что (i) Д(С£
принадлежит 3~2, если Д;С/ принадлежит 3~ и хотя бы одно
Ct принадлежит &~'2, (И) ДгС, принадлежит ь если все
Со, С], ..., С/, ... принадлежат (iii) все остальные фор-
мулы принадлежат ZT х (или 1F2), если и только если они при-
надлежат £Г\ (соответственно 1F2). Существует некоторая верх-
няя секвенция, соответствующая разбиению \,
N Ci, ..., Го—> До, ..., Д Aj, ..., Л ВЛ, ....
i	i	h
Тогда, как было показано выше, мы можем преобразовать ее в
• •• {С(-}г, ..., Го—>Д0, •••, Aj, ..., Bh, ...
для каждой комбинации индексов (...,	h, ...). Так как
Д;Сг принадлежит ZT 1 только тогда, когда все Сг принад-
лежат Л, то
• {CJ/.........и ..., Aj, ..., Bh, ... s ^2.
Это рассуждение справедливо для любого разбиения множе-
ства . Поэтому к ST' можно применить правило с. о. с.
k = 4. Редукция для V определяется аналогично.
k = 5. Рассмотрим все формулы в начинающиеся с кван-
торов. Если некоторая такая формула входит в антецедент
какой-нибудь секвенции, то боковая формула, соответствующая
введению этого квантора, имеет либо вид
1)	Л (о. = tn => b = f (m)),
m
либо вид ч
2)	3?/Д (a — mzDy = f(m)).
m
Если же такая формула входит в сукцедент, то соответствую-
щая боковая формула имеет либо вид
3)	Д (а = m дэ f (п) = f (m)),
m
либо вид
4)	ЭуД (а = m =» у = f (m)).
m
Если имеют место случаи 1) и 3), то вместо Ь подставим f(n),
где п произвольно; если же имеют место 2) и 4), то ничего
не меняем. В первом случае заменим первоначальную формулу
на 3), а во втором случае заменим ее на 2). Если имеются
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
311
другие формулы, содержащие Ь, то они также заменяются на
f(n). Очевидно, что по любому данному разбиению нового
множества высекаемых формул можно получить индуцирован-
ное разбиение первоначального множества.
£==6. Допустим, что Ф, Г0->Д0, 'Г— некоторая верхняя сек-
венция рассматриваемого сечения. Пусть ПЛ, ... суть все фор-
мулы в Го, внешним логическим символом которых является ~1,
и пусть Г—множество остальных формул в Го. Формулы “1 В, .. .
и множество Л определяются аналогично. Тогда мы можем по-
строить некоторый квазивывод секвенции
ф, г, в, ...->д, л,..., т,
сложность которого не больше сложности квазивывода секвен-
ции Ф, Го, -»'Ао, ЧЛ Применив правило с. о. с. к тем же высе-
каемым формулам, мы получим секвенцию Г'->Д', где Г' полу-
чается из Г заменой некоторых формул ~I А на В, и Д' опре-
деляется аналогично. Поэтому мы получаем
Г'-^Д'
Г->Д,
где - здесь обозначает применение двух правил: П-слева
и~1-справа. В этом случае устраняются некоторые применения
логического правила (вводящие символ ~I), расположенные
выше рассматриваемого с. о. с.
&==7. Пусть Ф, Го-^-До, W — некоторая верхняя секвенция.
Рассмотрим все формулы в До, внешним логическим символом
которых является Д, скажем ..., Дг Лг, .. Д; Bjt ..., и пусть
До обозначает множество остальных формул в До. Для всякой
комбинации индексов (..., i, j,..-) мы можем построить
квазивывод секвенции
Ф, Г0->Д0, ..., А(, ...,В„ ...,Т.
Следовательно, по правилу с. о. с. мы получаем секвенцию
Г~>Д, ..., Ah .... В„ ....
из которой мы можем затем вывести Г—>Д.
k^8. Рассматриваем формулы в Го, внешним логическим
символом которых является Д.
/г = 9. Пусть Ф, Го—>Д0, 47 — некоторая верхняя секвенция
рассматриваемого сечения. Пусть СГ(х; у) А(х,у), ... суть все
формулы в Го, внешний логический символ которых имеет вид
QT, и пусть Го состоит из остальных формул в Го. Пусть
312
Г л. 4. Инфинитарная логика
Qr (a; v) В (и, v), ... — все формулы в До, внешний логический
символ которых имеет вид Ог, и пусть А9 состоит из остальных
формул в Ао. Тогда мы можем построить некоторый квазивы-
вод секвенции
Ф,Г0,{Л(в,а)}^,	Ао>^
для некоторых a, s и г. Применяя правило с. о. с., получаем
Г, {A (S> a)}ai, ... -> {В (b{, ti)},, .... Д-
Вводя с обеих сторон кванторы, мы можем вывести секвенцию
Г —> А. Поскольку ограничения на собственные переменные
налагаются на весь вывод, очевидно, что те свойства, которыми
обладает вывод Р, выполняются и для новой фигуры.
Описание редукции окончено.
Возьмем произвольное применение правила, не являющегося
слабым, т. е. вводящего некоторый логический символ. Главные
формулы такого применения являются либо высекаемыми фор-
мулами, либо формулами секвенции Г->Д. Пусть 9?— некото-
рая нить секвенций, которой принадлежит нижняя секвенция
этого применения. Так как число непосредственных выводов
вдоль любой нити конечно и поскольку редукционный процесс
уменьшает число применений логических правил, расположен-
ных выше данного с. о. с., рассматриваемое применение в конце
концов либо будет устранено, либо окажется ниже с. о. с.
Поэтому через конечное число шагов вдоль любой нити секвен-
ций не окажется применений правила с. о. с. Следовательно,
мы получим некоторый не содержащий сечений вывод данной
секвенции.
Замечание. Для каждой функции f из т13 в т введем соответ-
ствующий фукциональный символ f. Пусть A (f) — множество
предложений вида f(n)~m, где f(n) = m. Из секвенций
A (f), а = п, А (п, f (п)) ->А(а, f (а)) для всех п,
->аа = с0, аа — с,, ... для всех аа из а
мы можем по правилу с. о. с. вывести секвенцию
A(f), ...,А(п, f (п))...-> А (а, Ш),
где п пробегает всевозможные последовательности констант.
Это верно для каждой последовательности функций f; поэтому
мы получаем секвенцию (7) в виде
..., A (f), ..., Д A (n,f (п)) -> О.т (х; у) А (х, у)
§ 24. Общая теория неоднородных кванторов
ИЛИ
• • •, А (/)........VA А (п, f (»)) -> Qr (х; у) А (х, у).
f п
Проведя такие же рассуждения, как и раньше, мы получим,
что если Г—>Д является общезначимой секвенцией исходного
языка, то секвенция
...,A(.f)......Г->Д
выводима без сечений. Такая формулировка для некоторых
целей может быть более удобной.
ЧАСТЬ III
ПРОБЛЕМЫ НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
Теперь мы перейдем к изучению доказательств непротиво-
речивости и их применений. Сначала рассмотрим теорию орди-
нальных диаграмм, которая, как мы увидим, будет играть
главную роль в нашем исследовании. Излагаемая здесь теория
ординальных диаграмм несколько отличается от первоначаль-
ного варианта этой теории, опубликованного в более ранних
статьях автора. Однако эти две формулировки, по существу,
эквивалентны как по своей силе, так и по своим наиболее
важным свойствам. Внесенные изменения облегчают наше
изучение этого вопроса.
Мы считаем важным, чтобы проблемы непротиворечивости
формулировались на подходящей философской основе. Вопрос
о том, какая основа является подходящей, мы обсудим в сле-
дующей главе. В последние годы появилась тенденция изучать
основания математики в направлении, которое можно было бы
назвать „квазиоснованиями“. Мы полагаем, что это направле-
ние является неудачным. В гл. 5 мы объясним, что мы пони-
маем под квазиоснованиями и почему мы возражаем против
такого направления в изучении оснований математики. Чита-
тель может ознакомиться с разнообразными точками зрения
на проблемы'непротиворечивости в статьях по теории доказа-
тельств в сборнике: Intuitionism and proof theory, eds. Kino,
Myhill and Vesley (North-Holland, Amsterdam, 1970).
ГЛАВА 5
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
§ 25. Введение
Эта глава посвящена проблемам непротиворечивости систем
арифметики второго порядка. Перед тем как взяться за эти
проблемы, мы бы хотели привлечь внимание читателя к сле-
дующим двум обстоятельствам.
§ 25. Введение
315
1.	Математики обладают чрезвычайно хорошей интуицией
относительно мира натуральных чисел в том виде, как его
представляет себе бесконечный разум. Следовательно, вопрос
о непротиворечивости натуральных чисел не является особенно
важным вопросом. Напротив, мир множеств мы можем пред-
ставить себе лишь с помощью нашего воображения и только
через наш математический опыт. Поэтому проблема непротиво-
речивости аксиом выделения является серьезной и важной
для оснований математики.
2.	Термин „непротиворечивость" используется как одно из
ключевых слов в основаниях математики. Основной смысл
этого понятия состоит в том, что нельзя вывести противоречие.
Конечно, это самая большая гарантия существования нашего
воображаемого мира бесконечного разума. Но иногда нам
хотелось бы знать больше. Например, тот факт, что в рас-
сматриваемой теории противоречие не возникает, не объясняет
значение фразы типа „эта теорема доказывается с помощью
аксиомы выделения". Неконструктивные доказательства не про-
ливают свет на этот вопрос. С другой стороны, конструктивное
доказательство подкрепляет нашу интуицию и придает теореме
дополнительный смысл. В частности, конструктивное доказа-
тельство теоремы об устранении сечений усилило бы наше
доверие к аксиомам выделения и поэтому придало бы нам
большую уверенность относительно нашего воображаемого
мира множеств.
В этой главе мы будем интересоваться арифметикой второго
порядка. Аксиомы выделения для нее имеют следующий вид:
w	F (V), Г->А
правило v-слева: -ц ,
у<рг (<р), 1 —> А
Г-»А, F (V)
правило 3-справа: —------т——.-у. ... .
Г -> A, d<pF (<р)
В любом не содержащем сечений выводе наши аксиомы
выделения, грубо говоря, означают, что мы можем ввести
новую переменную чтобы обозначить данный абстракт V, и
затем использовать сокращения	или 3<}>F (</>) вместо
F Ш А • •  Л F (фп) или F(<j>i) V ... V F
Подробнее мы это обсудим позже. Укажем, что аналогич-
ная интерпретация справедлива в системах высшего порядка,
хотя ситуация там гораздо сложнее.
Наше изучение мы начнем с теории модуляций, которая
позволяет нам высказать главное наше возражение против
„практических" оснований. Для любой данной формулы А мы
определим ее левую и правую модуляции. Определение про-
316
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
водится индукцией по числу логических символов в А. Пред-
положим, что такими символами являются ~1, Д, V и V.
В каждом случае левая модуляция формулы А определяется
как некоторая формула вида А] Д ... Д Ат, где AL....Ат —
какие-то левые атомарные модуляции формулы А, а правая
модуляция формулы А — как некоторая формула вида Bi V ...
... \/Вп, где Blt ..., Вп — какие-то правые атомарные моду-
ляции формулы А. Требуется также, чтобы если А' является
модуляцией формулы А, то каждая свободная переменная в А'
входила в А.
Определение 25.1. (1) Если А — атомарная формула, то ее
левая и правая (атомарные) модуляции совпадают с А.
(2)	Если формула А имеет вид ~1 В, то ее левые атомарные
модуляции имеют вид —I В', где В' — любая правая модуляция
формулы В; правые атомарные модуляции формулы А имеют
вид —I В", где В" —любая левая модуляция формулы В.
(3)	Если формула А имеет вид В /\С, то ее левые атомар-
ные модуляции имеют вид В' Д С', где В' и С' — левые моду-
ляции формул В и С соответственно. Правые атомарные
модуляции формулы А имеют вид В" Д С", где В" и С" — пра-
вые модуляции формул В и С соответственно. Атомарные
модуляции формул вида В V С определяются аналогично.
(4)	Пусть формула А имеет вид ’VxF(x) и / — произвольный
терм, никакая свободная переменная которого не входит
в VxF(x). Тогда Vxi ... Vx„G— левая атомарная модуляция
формулы А, если G — левая модуляция формулы F (/), а кван-
торы Vxi • •. Vx„ связывают все свободные переменные терма t.
Правая атомарная модуляция формулы VxF(x) имеет вид
VxG(x), где а не входит в F (х) и G (а) — правая модуляция
формулы F (а).
(5)	Если формула А имеет вид V</>F(</>) и V — произвольный
абстракт, нцкакая свободная переменная которого не входит
в V^F (<£), то V^>! ... V^„Vx! ... VxmG — левая атомарная моду-
ляция формулы А, где G — некоторая левая модуляция фор-
мулы F (V), а кванторы V^i ... V^raVxi ... Vxm связывают все
свободные переменные, входящие в V. Более точно, пусть
V — E(cii, ..., ап, at.am), где все свободные переменные
отмечены, и пусть рь ..., рга, Ь{, ..., bm — свободные перемен-
ные, не содержащиеся в F (Е). Пусть G' (рь ..., р„, bi, . . ., bm) —
левая модуляция формулы F (V (Pi, ..., pn, blt ..., bm)), такая,
что G' (аь ..., а„, «1, . .., ат) совпадает с G. Тогда под V^i • • •
• • • V^V*i • •  VxmG мы понимаем формулу
.... V^VX] ... VxmG' (^1..фп, Xi....xm).
Правая атомарная модуляция формулы V^F(^>) имеет вид
V^F'(^), где а не входит в F (</>) и F'(a)— некоторая правая
модуляция формулы F (а).
£ 25. Введение
317
Предложение 25.2. Пусть а и р — либо некоторые свободные
переменные, либо некоторые константы. Если Л'(а) — модуляция
(левая или правая) формулы Л (а), то А' (0) — также модуляция
(соответственно левая или правая) формулы А (₽).
Предложение 25.3. Если А' — некоторая левая модуляция
формулы А, то выводима секвенция Л —>А'. Если А" — некото-
рая правая модуляция формулы А, то выводима секвенция
А"-> А.
Доказательство. Мы рассмотрим только первую часть
самого важного случая (5), т. е. когда Л имеет вид V</>F (ф)
(остальные случаи легкие). Тогда Л имеет вид Л1Д...Д Ап,
где каждое Л,- есть левая атомарная модуляция формулы Л.
Достаточно показать выводимость Л-»Л/ для всякого i.
Пусть Л' имеет вид . .Уф^Х'. . AixmG, где G — левая моду-
ляция формулы F (И). Допустим, что выводима секвенция
Е(У)-> 0. Тогда имеем
F(V)->G
УфР (ф) -> G
V^(^)->V^1...V^Vx1...VxmG.
Ограничения на собственные переменные выполнены.
Определение 25.4. (1) Секвенция А',..., Ап -> В\,. .., Вт
называется модуляцией секвенции Л],..., An-+Bi,..., Вт, если
А( — некоторая левая модуляция формулы Л(. для каждого i,
& В( — некоторая правая модуляция формулы Bj для каждого /.
(2) Пусть Р — некоторый вывод без сечений. Для каждой
секвенции П—>Л в Р индукцией по числу непосредственных
выводов, расположенных в Р над П->Л, мы определим неко-
торую модуляцию Пх —> Лх этой секвенции. Секвенция П'-^Л'
называется Р-модуляцией секвенции П—>Л и определяется так,
что если П —> Л имеет вид Ль..., Ат-> Blt. .Вп, то П'—>Л'
есть Л..... Ат-+ Bi,..Вп, где Л; — некоторая левая моду-
ляция формулы Ai, a Bj — некоторая правая модуляция фор-
мулы Bj.
Точное определение мы приведем только для некоторых
типичных случаев.
1)	Если П —> Л — начальная секвенция в Р, то П'—»Л' сов-
падает с П—>Л.
2)	Последним применяется правило перестановки слева:
Г, С, D, 3->Д
г, d, с, а->д,
318
Г л. 5. Доказательства непротиворечивости
Если секвенция Г', С', D', S'	является Р-модуляцией сек-
венции Г, С, D, 3->Д, то секвенция Г', D', С', S'—>Д' является
Р-модуляцией секвенции Г, D, С, 8—>Д.
3)	Последним применяется правило ослабления слева:
Г->Д
С, Г->Д.
Если секвенция Г'->Д' является Р-модуляцией секвенции Г—>Д,
то секвенция С', Г'—>Д' является Р-модуляцией секвенции
С, Г->Д.
4)	Последним применяется правило сокращения слева:
С, С, Г->Д
С, Г->Д.
Если секвенция С,, С2, Г'—>Д' является Р-модуляцией секвен-
ции С, С, Г —> Д, то секвенция Ci А С2, Г'-> Д' является Р-моду-
ляцией секвенции С, Г—>Д.
Последним применяется правило сокращения справа:
Г->Д, С, С
Г->Д, С.
Если секвенция Г'->Д', Сь С2 является Р-модуляцией секвен-
ции Г —> Д, С, С, то секвенция Г'->Д', Ci V С2 является Р-моду-
ляцией секвенции Г-»Д, С.
5)	Последним применяется правило второго порядка V-слева:
Р(Е), Г->Д
Г->Д.
Если секвенция G, Г'-* Д' является Р-модуляцией секвенции
F(E), Г—>Д, то секвенция
< W1 ... V^nVxi ... VxmG, Г->Д'
является Р-модуляцией секвенции	Г->Д, где кванторы
V^i • • • V^nV^i • • • V^m связывают все свободные переменные,
входящие в абстракт V.
6)	Последним применяется правило второго порядка
V-справа:
Г->Д, F (а)
Г->Д, V^W)-
Допустим, что Г' —> Д', F' (а) есть Р-модуляция верхней секвен-
ции. Тогда секвенция Г'->Д', \f<f>F' (</>) является Р-модуляцией
нижней секвенции.
Предложение 25.5. Пусть Р — некоторый не содержащий сече-
ний вывод секвенции Г—>Д, zz пусть секвенция Г'-»Д' является
$ 25. Введение
319
Р-модуляцией секвенции Г—*А. Тогда найдется некоторый не
содержащий сечений предикативный вывод секвенции Г' —> А'.
Доказательство. Это предложение непосредственно сле-
дует из определения 25.4. В самом деле, согласно определению
25.4, если S2—-нижняя секвенция для Si (и S), то секвенцию
S2, т. е. Р-модуляцию секвенции S2, можно вывести из S,
(и S') без применений сечений и непредикативных аксиом выде-
ления. Последнее, очевидно, вытекает из определения Р-моду-
ляции (случай 5) определения 25.4. Из п. 5) определения 25.1
следует, что во всяком применении правила у-справа выпол-
няется ограничение на собственную переменную.
Наша теория модуляций, в частности предложение 25.5,
выявляет одну важную причину нашего интереса к выводам
без сечений, а именно: вывод без сечений той или иной тео-
ремы дает нам возможность придать этой теореме интерпре-
тацию, исключающую расселовский порочный круг. Разумеется,
каждая теорема имеет столько интерпретаций, не содержащих
порочного круга, сколько она имеет Выводов без сечений, и
разные интерпретации отдельной теоремы определяют разные
интерпретации всей теории.
Если бы мы имели некоторый единообразный „метод",
который бы позволял преобразовывать каждый формальный
вывод в вывод без сечений, то этот „метод" определял бы
некоторую интерпретацию математики, не содержащую рас-
селовского порочного круга. Следовательно, создание такого
метода должно стать делом первостепенной важности.
Конечно, мы предпочли бы иметь интерпретацию, которая
была бы по возможности ближе к первоначальному (естествен-
ному) смыслу. Следовательно, теорему об устранении сечений
следует доказывать с помощью некоторой „устраняющей" про-
цедуры, которая сохраняет, насколько возможно, смысл перво-
начальных выводов.
Именно в этом вопросе мы не согласны с возникшей в недав-
нее время тенденцией изучения оснований математики в нап-
равлении, для которого мы выбрали название „квазиоснования".
Проиллюстрируем нашу точку зрения на примере.
Анализ можно рассматривать с различных точек зрения.
Одна из точек зрения состоит в том, что анализ является тео-
рией. Другая точка зрения состоит в том, что анализ пред-
ставляет собой не систему аксиом, а некоторую совокупность
результатов. Эта вторая точка зрения и поднимает проблему
квазиоснований.
Задача квазиоснований состоит в том, чтобы развивать
некоторого рода квазианализ, т. е. искать совокупность теорем,
аналогичную данной совокупности теорем анализа, но которая
320
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
на самом деле состоит из более слабых результатов, чем дан*
ные теоремы.
Нам хочется отметить два момента, объясняющих, почему
мы не считаем „квазиоснования" правильным направлением
в исследовании оснований математики. Во-первых, когда полу*
чают совокупность результатов, которая „аналогична" данному
множеству теорем анализа, не совсем ясно, какие метаматемати-
ческие заключения отсюда можно извлечь и какая теория
получилась. А во-вторых, и это гораздо важнее, наша теория
модуляций показывает, что задачи квазиоснований в принципе
решены: если мы хотим получить „квазиоснования" для опре-
деленной совокупности результатов, мы просто начинаем с пре-
дикативных аксиом выделения и развиваем модуляции этих
результатов. Конечно, результаты, которые мы получим, будут
не классическими теоремами, а всего лишь их модуляциями.
Однако, как мы уже показали, эти модуляции представляют
собой более сильные результаты, чем соответствующие теоремы
классической математики.
Поэтому предикативные аксиомы выделения мы можем рас-
сматривать как нечто действительно важное. Теоремы клас-
сической математики являются просто приближениями более
сильных теорем. Следовательно, пока нас интересуют „практи-
ческие" основания, нам не нужно доказывать теорему об устра-
нении сечений; нам надо лишь обосновать предикативные выде-
ления. После того как это сделано, задача состоит в построении
достаточных и подходящих для наших целей модуляций.
Мы, однако, защищаем другую точку зрения, согласно
которой конструктивное доказательство теоремы об устранении
сечений является делом первостепенной важности. Действи-
тельно, только через конструктивное доказательство устрани-
мости сечений теория модуляций может по настоящему стать
значительной теорией в мире предикативной математики. Дока-
зательство теоремы об устранении сечений, приведенное в гл. 3,
является теоретико-множественным и поэтому бесполезно для
нашей цели.
§ 26.	Ординальные диаграммы
В этом параграфе мы изложим теорию ординальных диа-
грамм, которая, как мы ранее указывали, будет играть основ-
ную роль в нашем изучении проблем непротиворечивости. Для
каждой пары непустых вполне упорядоченных множеств I и
А мы определим множество ординальных диаграмм, основанное
на I и А. Одновременно мы определим понятие связной орди-
нальной диаграммы.
§ 26. Ординальные диаграммы
321
Определение 26.1. Пусть 1 и А — некоторые непустые вполне
упорядоченные множества, причем 0 — наименьший элемент
в /. Систему ординальных диаграмм, основанную на I и А,
мы определяем индуктивно следующим образом:
1)	0 — связная ординальная диаграмма.
2)	Пусть i — некоторый элемент из I, а — элемент из А,
и пусть а — произвольная ординальная диаграмма. Тогда
(z, а, а) — связная ординальная диаграмма.
3)	Пусть п^2 и ai,..., а„ — связные ординальные диа-
граммы. Тогда О] ф а2 ф ... # а„— несвязная ординальная
диаграмма.
Для удобства в рассуждениях, касающихся ординальных
диаграмм, мы будем использовать буквы i, j, k и т. д. для
обозначения элементов множества I, буквы а, Ь, с и т. д. для
обозначения элементов множества А, а буквы а, ₽, у и т. д.
для обозначения ординальных диаграмм. Далее, под „ординаль-
ной диаграммой" понимается „ординальная диаграмма, осно-
ванная на / и А“.
Определение 26.1 описывает индуктивную процедуру построе-
ния ординальных диаграмм. Если ординальная диаграмма у
участвует в построении диаграммы а, мы назовем у ординаль-
ной поддиаграммой диаграммы а. Но из определения ясно, что
ординальная диаграмма у может участвовать в построении
диаграммы а на нескольких различных этапах этого построе-
ния. Иногда бывает важно различать такие вхождения одной
и той же диаграммы у. Для этой цели мы будем использовать
обозначение у, подразумевая под этим определенное вхож-
дение диаграммы у, а не только саму ординальную диа-
грамму у. Таким образом, запись у = р означает, что не только
у р, но и что у и Р обозначают одно и то же вхождение неко-
торой ординальной диаграммы.
Определение 26.1 (1) Каждая из связных ординальных диа-
грамм а1; ..., а„ является компонентой несвязной ординальной
диаграммы n-i ф • • • ф
(2) Каждая связная ординальная диаграмма а имеет только
одну компоненту, а именно саму себя.
Определение 26.3. Пусть I (а) — общее число пар скобок ( ) и
знаков ф в а. Тогда
/(а,₽....y) = df/(a) + /(p)+ ... Д/(у).
Определение 26.4. Равенство ординальных диаграмм мы
определяем индукцией по I (a, Р) следующим образом:
(1)	0 = 0.
(2)	Пусть а имеет вид (z, а, у). Тогда а = Р, если и только
если р имеет вид (z, а, б), где у = б.
11 Г. Такеути
322
Гл 5. Доказательства непротиворечивости
(3)	Пусть а имеет вид щ # • • • # um> и пусть р имеет вид
Pi =Н= • • • #Рп, где ан . .., а,п и ₽i, • • • > Рп — связные диаграммы.
Тогда а = р, если и только если m-п и существует некоторая
перестановка множества {1, 2,	т}, скажем {/1( jm},
такая, что
ai = ₽/P а2 = р/2, ат = р/т.
Легко можно доказать, что = является отношением эквива-
лентности. Отметим также, что а = 0 или 0 = а имеет место
тогда и только тогда, когда а совпадает с 0.
Определение 26.5. (1) Рассмотрим некоторое вхождение (/, а, у)
в а. Если р — вхождение диаграммы р в у, то говорят, что
вхождения элементов i и а в (/, а, у) связаны с Р в а. Мы также
будем говорить, что вхождение пары (/, а) в (/, а, у) свя-
зано с р.
(2)	Пусть р —некоторое вхождение диаграммы р в а, и пусть
j — некоторый элемент из /. Если для каждого входящего в а
и связанного с р элемента i из / мы имеем i j, то вхождение
Р называется фиктивным в а.
(3)	Связные /-активные вхождения ординальных поддиа-
грамм в диаграмму а называются фполуфрагментами диа-
граммы а. ________
(4)	Пусть (/, а, у) — некоторый j'-полуфрагмент диаграммы а
для некоторого j > /. Тогда вхождение у в (/, а, у) называется
i-фрагментом диаграммы а. Если в диаграмме а имеется неко-
торый /-фрагмент, то i будем называть индексом этой диа-
граммы.
Заметим, что связные /-фрагменты диаграммы а являются
частным случаем ее z-полуфрагментов. Если /-фрагменты диа-
граммы а являются вхождениями собственных ординальных
поддиаграмм в а, то z-полуфрагменты диаграммы а могут и
совпадать с а.
Для дальнейшего мы введем специальный символ оо, который
присоединим к / и будем рассматривать как максимальный
элемент расширенного множества.
Определение 26.6. (1) Положим 1 = 1{]{оо}. Порядок на I
такой же, как и на I, причем оо — максимальный элемент в /.
(2)	Если i'g I и j е /, то i называется верхним индексом
элемента /' относительно а, р, ..., у, если либо / есть оо, либо
i > j и / является индексом хотя бы Одного из а, р, .... у.
(3)	Через /о(/, а, Р, ..., у) обозначим наименьший верхний
индекс элемента j относительно а, р, ..., у.
$ 26. Ординальные диаграммы
823
(4)	Через i (j, а, р, ..у) обозначим число верхних индексов
j относительно а, р, ..., у в случае, когда / принадлежит /;
если же / есть оо, то это число полагается равным 0.
(5)	Внешним индексом ординальной диаграммы (/, а, а)
называется I.
(6)	Пара (/, а), где 1^1 и ае/1, называется значением.
Множество значений упорядочивается лексикографически.
(7)	Значение (/, а) называется внешним значением диа-
граммы (/, а, а).
Заметим, что значения не являются вхождениями.
Для каждого / из I мы сейчас определим порядок <г на
множестве ординальных диаграмм (основанных на I и А).
Определение проводится трансфинитной индукцией по (o-Z(a,P)-f-
+ i (/, а, ₽)•
Определение 26.7. (1) 0 < Д если Р #= 0.
(2)	Если а имеет вид cq # .. . # ат и р имеет вид Pi	Рп>
где т + п > 2, то а <г р, если выполняется одно из следующих
условий:
i)	Существует q, такое, что 1	и ар <гр? для всех р,
таких, что
ii)	m=l, п > 1 и а! = р9 для некоторого q, такого,
что 1 ^Q^Zl.
iii)	пг> 1, п > 1, и существуют q и р, такие, что
1 < р < п, aq = рр и 0Ц # ... # a9_i # <х9+1 # ... # am <
<z Pi 4^ • • • * Рр—1 * Pp+i 44 • • • 44Р«-
(3)	Если аир — связные диаграммы, / #= оо и j = /0 (/, a, Р)
(см. п. (3) определения 26.6), то а<гр, если выполняется одно
из следующих условий:
i)	Существует /-фрагмент а диаграммы Р, такой, что a^(a,
т. е. a<.t<y или a —а.
ii)	а < ;-р, и для каждого /-фрагмента б диаграммы а имеет
место 6</Р.
(4)	Пусть a = (/, а, у) и Р = (k, b, 6).
Тогда а<ооР, если
i)	/ < k (в /), либо
ii)	j = k и а<6(в А), либо
iii)	j = k, a — b и у </б.
Предложение 26.8. Для всякого I из I отношение < г опреде-
лено корректно и представляет собой линейный порядок на
множестве ординальных диаграмм, основанных на I и А.
Доказательство. Индукцией по и • I (а, р, у) + i (/, а, р, у)
и со • I (а, р) + i (/, а, р) соответственно мы можем одновременно
доказать, что
11*
324
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
I)	если а < гр и р < гу, то а < (у;
II)	если а = р и р < гу, то а < гу, а если а<;рир = у,
то а < гу;
III)	имеет место в точности одно из трех соотношений:
а < гр, а = Р или Р < га.
Если I (а, р, у) = 0 или I (а, р) = О соответственно, то а — р =
= у —0 и потому I), II) и III) тривиально выполняются. Для
1(а, р, у) > 0 и /(а, Р) > 0 мы приведем лишь доказательства
свойств I) и III) в некоторых типичных случаях. Будем счи-
тать, что а, р и у имеют вид (/, a, a'), (k, b, р') и (т, с, у')
соответственно.
(1) i (г, а, р, у) = i (г, а, р) = 0, и поэтому г = оо.
I) Пусть а < ОО Р
вытекает, что
Если j = т и а = с,
и р'С/у'. Тогда по
следует а<ооу.
и Р<ооу. Из определения отношения <м
и а с. Если j < т или а < с, то а <„ у.
то j = k = m и а = Ь — с\ поэтому а'С/Р'
предположению индукции а' </у', откуда
III) Пусть а #= р. Тогда (/, а) #= (/г, Ь) или (/, а) = (/г, Ь) и
а =# Р'. Если (/, а) #= (/г, Ь), то а <ооР или р <„а по определе-
нию отношения <оо. Если же (/,«) = (/г, &), то по предположе-
нию индукции а'</Р' или р/</а/, и поэтому или а<сор, или
Р <ма.
(2) i (г, а, р, у) > 0 и i (/, а, р) > 0 соответственно.
I) Рассмотрим только один случай: существует некоторый
/-фрагмент диаграммы р, скажем ст, такой, что а^ст и р<г-оу,
где /0 = /о (i, Р, у), и для всякого /-фрагмента ординала р, ска-
жем 5, имеет место 6<гу. Тогда а^-ст, ст<гу и Z (а, ст, у) <
< I (а, р, у). Следовательно, по предположению индукции а <г у.
III) Допустим, что а р, т. е. а =# р и не имеет место а <( р.
Тогда к
(*) для каждого /-фрагмента д диаграммы р имеет место а ст,
откуда по предположению индукции следует ст<га.
Пусть i0 = j0(i, а, р). Если р<(оа, то, согласно (*) и опреде-
лению 26.7, имеем р<(а. Если же р<ф;оа, то, поскольку
г (io, а, р) < i (г, а, р), из предположения индукции следует, что
«<iop. Если для каждого /-фрагмента 6 диаграммы а имеет
место 6 </Р, то а<гр. Но это противоречит нашему исход-
ному предположению. Следовательно, найдется /-фрагмент 6
диаграммы а, такой, что р^,6. Но тогда по определению 26.7
Р <za.
Предложение 26.9. Если ст -- некоторый i-фрагмент диа-
граммы а, то ст<(а.
§ 26. Ординальные диаграммы
325
Доказательство. Если а связно, то, согласно п. (3) i)
определения 26.7, применительно к ст и к той компоненте диа-
граммы а, в которой о является /-фрагментом, имеем сг<(а.
Если же а не связно, то для всякой компоненты 6 диаграммы ст
в силу (2) ii) определения 26.7 имеет место 6</сг, и поэтому,
согласно (3) i) того же определения, 6<га. Тогда из (2) i) сле-
дует, что a <i а.
Предложение 26.10. Пусть а — некоторая связная ординаль-
ная диаграмма, и пусть р — некоторый ее собственный i-полу-
фрагмент. Тогда Р<;а для каждого f^i.
Доказательство проводится индукцией по ®  I (а, р) + t(/, а, 0)
при каждом
1.	Если р = 0, то Р</а для всех /.
2.	Допустим, что a = (k, b, у) и р — некоторая компонента
диаграммы у. Тогда i k, и поскольку у входит в диаграмму
а как ее /г-фрагмент, то, согласно предложению 26.9, имеем
Р Y <s«- Следовательно, р <Да. Если j < k, то всякий /-фраг-
мент диаграммы Р является /-фрагментом диаграммы а. Но
отсюда вытекает, что для каждого /-фрагмента й диаграммы
Р имеет место о <;а, и, следовательно Р < ;а (это устанавли-
вается индукцией по i (/, а, Р)).
3.	Допустим, что а = (/г, Ь, у) и р не является компонентой
у. Тогда и найдется некоторая компонента диаграммы у,
скажем 6, такая, что р входит в у как z-полуфрагмент диа-
граммы 6. Тогда по индуктивному предположению р<;д для
всех /^z. Но, согласно определению, д^уу и у</адля
каждого j^k; тогда, согласно п. 2 и определению 26.7 (2),
имеем /<Д. Следовательно, если /«Cz, то р < fi.
Предложение 26.11. Если диаграмма р имеет некоторое i-актив-
ное вхождение в диаграмму а, являющееся ее собственной орди-
нальной поддиаграммой, то р < ;-а для каждого j z.
Доказательство. Применяем предложение 26.10 к
каждой компоненте такого вхождения диаграммы р.
Определение 26.12. Пусть а — некоторая ординальная диа-
грамма, и пусть z — некоторый элемент из I. Тогда запись
[а]г = [eq,. .., ат]{ будет означать, что диаграммы аь а2,..., ат
являются компонентами диаграммы а и
а1 Z®2
iam-
Определение 26.13. Через 0(1, А) будем обозначать струк-
туру, состоящую из множества ординальных диаграмм, осно-
ванных на I и А, и порядков < для всех z из I.
326
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
Как обычно, мы будем использовать О (/, Л) и для обозна-
чения универсума этой структуры, т. е. множества ординальных
диаграмм, основанных на / и А.
Следующая наша цель — дать неконструктивное доказатель-
ство достижимости для < (.
Теорема 26.14. Для каждого i из I отношение <t вполне
упорядочивает множество О (I, Л).
Доказательство. Эта теорема будет доказываться в виде
серии лемм с помощью понятия < г-достижимости ординальных
диаграмм.
Определение 26.15. Пусть а имеет вид О] * «2 Ф • • ат и
Р имеет вид Pi # Рг#- -Рп- Через ct 44= Р обозначим ординаль-
ную диаграмму
«1 # «2 # • • • # ат # Pi # Рг # • • • # Рп-
Определение 26.16. (1) Пусть В — некоторое подмножество
0(1, А), и пусть i — некоторый элемент из I. Ординальная
диаграмма а называется < t-достижимой в В, если а принад-
лежит В и не существует бесконечной (строго) убывающей
(относительно < {) последовательности элементов множества В,
начинающейся с а.
(2) Диаграмма а называется <t-достижимой если она явля-
ется <г-достижимой в О (I, Л).
Определение 26.17. Для каждого i из I мы определяем
некоторое подмножество Кг множества 0(1, А).
(1)	F0=O(/,A).
(2)	Fi+i — {а е Ft | для каждого /-фрагмента б диаграммы а
диаграмма б является <г-достижимой
ч	в Fi}>
где i + 1 обозначает следующий за / элемент в /.
(3)	К£=П/<;К/, если z — предельный элемент в I.
Из этого определения, очевидно, следует, что если а е
то a^Fj для всех /^/.
Лемма 26.18. Пусть В — некоторое множество ординальных
диаграмм, и пусть / — некоторый элемент из I. Если каждый
элемент из В является < t-достижимым, то В вполне упорядочено-
отношением <Д.
Лемма 26.18 гарантирует нам, что для таких множеств В
можно пользоваться трансфинитной индукцией по < г.
Лемма 26.19. Если каждая связная ординальная диаграмма
является < t-достижимой, то любая ординальная диаграмма < t~
достижима.
£ 26. Ординальные диаграммы
327
Доказательство. Достаточно доказать следующее:
(*) если существует бесконечная (строго) < /-убывающая
последовательность ординальных диаграмм, начинающаяся с а,
то существует бесконечная < /-убывающая последовательность
связных ординальных диаграмм, начинающихся с аь где [а]. =
= [аь ..., ат]г
Пусть С — множество всех связных ординальных диаграмм.
Утверждение (*) мы докажем трансфинитной индукцией по а,
относительно порядка < / в С с помощью леммы 26.18. Пусть
{р„} — некоторая </-убывающая последовательность, причем
Pi = а.
1)	Если все компоненты диаграммы а равны 0, то все ком-
поненты каждой из диаграмм рь р2, ... равны 0. Следовательно,
число компонент от члена к члену в бесконечной последова-
тельности {рга} должно уменьшаться. Поскольку это невозможно,
диаграмма а должна иметь ненулевую компоненту. Допустим,
что а/ > 0.
2)	Допустим, что т = 1. Тогда а, = а = р, >/ р2 >t  • • •
Если а1 — предельный элемент множества С (относительно
порядка < /, релятивизованного к С), то найдется связная
ординальная диаграмма 0, такая, что а/ >/ Р >/ ₽2 > / • • • • Тогда
по предположению индукции (примененному к р) мы можем
построить некоторую </-убывающую последовательность связ-
ных ординальных диаграмм, начинающуюся с р. Добавив к этой
последовательности в качестве первого члена аь мы получим
< /-убывающую последовательность связных ординальных диа-
грамм, начинающуюся с ар
3)	Допустим, что т = 1 и а! — следующий за р элемент в С
(в предположении, что такой случай возможен). Тогда <т — р ф
4ФР*...4|:Р>/Р2><... ир</и. Следовательно, по предпо-
ложению индукции мы можем построить некоторую бесконечную
< /-убывающую последовательность элементов С, начинаю-
щуюся с р. Добавив к этой последовательности в качестве
первого члена аь мы получим искомую последовательность.
4)	Допустим, что tn > 1 и найдется п, такое, что рга не
содержит а, в качестве своей компоненты. Пусть [р„]; = Цр?> ...
.... Р"]/- Тогда р?</«1. По предположению индукции суще-
ствует < /-убывающая последовательность связных ординальных
диаграмм, начинающаяся с Р?. К этой последовательности мы
добавляем aj в качестве первого члена и получаем искомую
последовательность.
5)	Допустим, что т > 1 и для каждого п Р„ содержит ct/
в качестве своей компоненты (а следовательно, в качестве мак-
симальной компоненты). Утверждение (*) для этого случая мы
328
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
докажем индукцией по числу вхождений диаграммы а, в а.
Пусть v (а) — это число вхождений. Для каждого п пусть р„
обозначает ординальную диаграмму, полученную из р,г удале-
нием всех вхождений диаграммы а(. Диаграмму а' определим
аналогично: а = а2 * . . - # ат- Если v(a)=l, то а' не имеет
вхождений диаграммы ab и потому по предположению индук-
ции существует < ^убывающая последовательность элементов
из С, начинающаяся с а2. Добавив щ к этой последовательности,
мы получим искомую последовательность. Если же v(a)>l,
то 0 < v (а') < v (а). Если существует п, такое, что v (рп) = О,
то к {p,J применяем 4). Полученная последовательность начи-
нается с 0ц. Если же такого п не существует, то по пред-
положению индукции мы можем применить 5) и построить
искомую последовательность, начинающуюся с a2(=a1). Лемма
доказана.
Следствие 26.20. Пусть [а]. — [аь а2, ..., а,п].. Тогда диа-
грамма а является < ^достижимой в том и только в том случае,
когда каждая из диаграмм аь а2.ат является < ^достижимой
в С.
Доказательство. Необходимость очевидна. Допустим,
что диаграмма а не является < /-достижимой. Тогда, согласно
(*) в доказательстве леммы 26.19, at не является < /-достижимой,
в С.
Лемма 26.19 означает следующее: чтобы показать, что от-
ношение < i вполне упорядочивает О (/, Л), достаточно показать,
что не существует бесконечной убывающей (относительно < ()
последовательности связных ординальных диаграмм.
Лемма 26.21. Ординальная диаграмма а принадлежит Ft
тогда и только тогда, когда каждая ее компонента принад-
лежит F{.
Доказательство проводится трансфинитной индукцией
по I. Если / = 0, то лемма очевидна. Допустим, что а е Fi+l,
ио некоторая компонента а, скажем р, не принадлежит Fi+\.
Если р^Ё/, то по предположению индукции aeF,. Но это
невозможно, так как из bgF;+ вытекает a е Fj. Следовательно,
Ре Ft и найдется некоторый z-фрагмент д диаграммы р, такой,
что диаграмма о не является < /-достижимой в F{. Но такой
i-фрагмент диаграммы Р является также и /-фрагментом диа-
граммы а. Поскольку отсюда вытекает, что a^Fi+i, получаем
противоречие.
Допустим, что все компоненты диаграммы а принадлежат
F/+i. Пусть о— некоторый /-фрагмент этой диаграммы. Тогда
§ 26. Ординалньые диаграммы
329
д является /-фрагментом одной из компонент диаграммы а и
диаграмма о <г-достижима в Ft. Следовательно, aeFi+1.
Для предельных элементов I утверждение леммы очевидным
образом следует из предположения индукции.
Лемма 26.22. Если существует бесконечная последовательность
{а„} связных диаграмм, которая строго убывает относительно
<о, то существует бесконечная последовательность {0„} связных
ординальных диаграмм, такая, что
1)	0„ е 7*1 для всех щ
2)	если аь а2, ..., afteFb то cti = Pi, а2 = р2..а/г = ₽л'>
3)	если 0Ц — 02, ..., ал = 0л и ал+1 #= Рл+1, то найдется
некоторое вхождение диаграммы 0й+1 в ah+l, т. е. 0й+1
является ординальной поддиаграммой диаграммы ak+y,
4)	последовательность {0„} строго убывает относительно <0
и < j.
Доказательство. Допустим, что аь ..., ah е F[ и ал+1 ф F\
где /г^О. Тогда пусть 01 = а1, ..., 0л = ал. Поскольку ал+1
найдется некоторый 0-фрагмент диаграммы ал+1, скажем
у, для которого диаграмма у не является <0-достижимой-
Тогда по следствию 26.20 диаграмма у имеет компоненту у0,
не являющуюся <0-достижимой. Если у е F\, то пусть 0Л+| есть у0.
Если же у0^Еь то существует некоторый 0-фрагмент диа-
граммы уо, скажем 6, для которого диаграмма 6 не является
<0-достижимой. За конечное число таких шагов мы можем
дойти до связной Ординальной поддиаграммы 0Л+1 диаграммы
aft+1, а тогда 0Л+1 <оаЛ+1, рЛ+1 е F{ и 0Л+1 не является <0-дости-
жимой. Из этого последнего свойства диаграммы 0Л+1 и след-
ствия 26.20 вытекает, что существует бесконечная убывающая
последовательность связных ординальных диаграмм, начинаю-
Г	г
щаяся с рй+i, скажем Рл+1>о ₽й+2 >о ₽л+з >о ... * Тогда после’
довательность Pi, р2, ..., Рл+i, ₽л+2, ••• удовлетворяет тем
же условиям, что и {а„}, а именно она является бесконечной
убывающей последовательностью связных ординальных диа-
грамм.
Применяя затем эту же процедуру к полученной последова-
тельности многократно, мы получим любой член искомой
последовательности рь . .., 0Л, 0Л+1, 0й+2, ....
Очевидно, условия 1) —3) выполнены. Ясно также, что {0„}
является строго убывающей последовательностью относительно
<0. Покажем теперь, что {₽„}— убывающая последовательность
относительно <ь Допустим, например, что 0j <102- Поскольку
диаграммы 0] и 02 являются связными, отсюда следует, что
если 02 <0 01, то найдется 0-фрагмент 6 диаграммы 01, такой,
что 02^о 6. Но так как 0i е Flt то диаграмма 6 является <0-дос-
330
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
тижимой, а р2— нет. Поскольку это невозможно, то из р2 <
<о Pi следует р2 <1 Pi-
Аналогичным образом мы можем показать, что для каждого
I из pz+i <о Pz следует p;+i <! ft-
Лемма 26.23. Если {ап} — бесконечная строго -^-убывающая
последовательность связных элементов множества Fiy то суще-
ствует последовательность {р„} связных ординальных диаграмм*
для которой • выполняются следующие условия-.
1)	P„eF,+| для всякого щ
2)	если аь ..., a4eFi+1, то щ = Р1; ..., ah = 0ft;
3)	если а, = рь . . ., ал = рл и аА+1=^рл+1, то рл+1 является
(связной) ординальной поддиаграммой диаграммы ал+1;
4)	последовательность {р„} строго убывает относительно <t
и <1+1.
Эта лемма доказывается аналогично лемме 26.22.
Лемма 26.24. Пусть {а„} — бесконечная последовательность
связных ординальных диаграмм, строго убывающая относи-
тельно <0. Тогда для каждого i мы можем построить последо-
вательность {а*}л связных ординальных диаграмм из Fit такую*
что
1)	а°=а„ для всех п;
2)	последовательность {«„}„ строго убывает относительно <г;
3)	если а‘ = а‘+1.....<4 = «1+1 и Ч+i алХ1> 70 аЦ!
является связной ординальной поддиаграммой диа-
граммы а£+1 и, следовательно, /(<*£+)) < Чал+1);
4)	если i — предельный элемент в I, то
УрЗ] е / [/ < г Л V/ [/ < I < I => [а' = а'] ] ].
Доказательство. Если а°п = ап для всех п, то условия I)1
и 2), очевидно, выполнены. Допустим, что мы уже построили
последовательность {а1п]п- Тогда по лемме 26.23 существует
последовательность	связных элементов множества Fi+l*
строго убывающая относительно <г и <г+ь если а*......a‘t е
е Fi+V то а(+1 — а{, ..., аД1 = a{h- если h + 1 есть первый номер,
такой, что а'+* а* р то а*+‘ является (связной) ординальной
поддиаграммой диаграммы а*+1.
Следовательно, нам нужно беспокоиться только в случае,
когда i — некоторый предельный элемент в I. Допустим, что
для всякого k < i последовательность {«^}„ уже определена
так, что выполняются нужные условия. Мы утверждаем, что
тогда
(*) У/гЗу I[j < i Д Vk[j^k < I о aA = aA]]-
§ 26. Ординальные диаграммы
331
Допустим, что это не так. Тогда
BAV/ е I[j < i до 3/г [/ < k < I л а* =4= а']].
Следовательно, существует наименьшее h с таким свойством.
Поэтому мы можем найти некоторую бесконечную последова-
тельность индексов /, скажем jlt ь2, ..., jp, ..., такую, что
ар = ct/₽+1 = ар
u,h uh — <j.h

Это возможно, потому что если мы положим / = jp, то наи-
меньшее k, такое, что j < k < i и а* =^= а{, не является пре-
дельным элементом (в силу утверждения 4) этой леммы, при-
мененного к предельным элементам, которые меньше i). Пусть
Jp+i + 1 и есть это наименьшее k. Тогда в силу 3)

Таким образом, мы получим бесконечную убывающую после-
довательность натуральных чисел. Но это невозможно; следо-
вательно, утверждение (*) должно быть верным.
Если мы определим последовательность {а^}Л, положив
•а' = a>h для подходящего jh, то будет верно 4). Кроме того,
для каждого k<i a'g= F k и a‘h = а' е П*<А = F v т. е.
•а£ е F{.
Теперь докажем, что последовательность	является
<;-убывающей. Для каждого h — 1, 2, 3, ... из построения {с^}Л
вытекает, что найдутся индексы jft и /Л+1, для которых а^ = а£
для всякого k, такого, что д k < i, и а^+1 = akh+ j для всякого k,
такого, что /Л+1^/г < i. Положим /0 = max(/ft, /ft+1). Тогда a‘h =
= akh и а‘г+1— а£+1 для каждого k, такого, что /0 k I.
Следовательно, по предположению индукции < ka‘k для
всех таких k. Допустим, что < za£+1. Тогда для всякого k,
такого, что	должно найтись k', такое, что k k' < I
и существует некоторый ^'-фрагмент диаграммы <Д, скажем у,
для которого a^+1^fe,y. Но, поскольку число индексов
диаграммы а‘ конечно, существует максимальный индекс
в а^, скажем /г0. Тогда, если k0 < k < i (такое k существует),
мы не можем получить a^+1 < fea^. Пришли к противоречию;
поэтому а‘+1 < ,а‘.
332
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
Определение 26.25. Пусть F^ = П/е / F р если порядковый
тип множества I представляет собой предельный ординал, и
Е0О = {ае77г| для каждого /-фрагмента 6 диаграммы a
диаграмма 6 является <г-достижимой
в Ft},
если i — наибольший элемент множества I.
Ясно, что если a е F^, то a е F; для всякого I.
Лемма 26.26. Допустим, что существует бесконечная после-
довательность связных ординальных диаграмм, строго убывающая:
относительно <0. Тогда существует последовательность связных
ординальных диаграмм из F^, строго убывающая относи-
тельно <оо.
Доказательство проводится аналогично доказательству
леммы 26.24 с °о вместо i. Если I имеет максимальный эле-
мент, то проходит первая половина этого доказательства,
а если I не имеет последнего элемента, то вторая.
Лемма 26.27. Если существует последовательность связных
ординальных диаграмм из Ff, строго убывающая относительно <j,
то найдется последовательность связных ординальных диаграмм
из F"» которая строго убывает относительно <т.
Доказательство проводится аналогично лемме 26.24,
но с Fj вместо Fo.
Лемма 26.28. Каждый элемент множества FM является
< ^-достижимым в F^.
Доказательство. Допустим, что это не так, т. е. суще-
ствует последовательность {an} элементов F^, которая строго
убывает относительно Можно считать, что диаграммы ап
являются связными (в силу леммы 26.19). Вспомним, что>
в определении отношения <те ординальные диаграммы сначала
сравниваются по их внешним значениям (/, а). Поскольку эти
значения вполне упорядочены (см. пп. (5) и (6) определения
26.6), всякая убывающая последовательность значений конечна.
Таким образом, начиная с некоторого п, внешние значения
диаграмм ап стабилизируются и становятся равными, ска-
жем, (/, а). Тогда диаграммы ап для всех больших п сравни-
ваются по их /-фрагментам. Если /—максимальный элемент
в I, то ап е F^ означает, что если 6 является /-фрагментом
диаграммы ап, то диаграмма 6 является <г-достижимой в F{.
Если / не есть максимальный элемент в I, то an^Fi+l, и,
следовательно, если 6 есть /-фрагмент диаграммы ап, то диа-
грамма 6 /-достижима в Следовательно, сравнение диа-
$ 26. Ординальные диаграммы
333
грамм ап относительно сводится к сравнению их /-фраг-
ментов, которые </-достижимы в Ft. Но поскольку не суще-
ствует бесконечной убывающей последовательности таких
/-фрагментов (см. лемму 26.18), последовательность {ап} не
может быть строго убывающей относительно <„0.
Теперь мы докажем, что для каждого i имеет место Ft =
= Fq = О (/, Л) и что всякая ординальная диаграмма ^-до-
стижима в Fit а следовательно, просто /-достижима.
Лемма 26.29. Ft = О (/, Л) и каждая ординальная диаграмма
< (-достижима для всех / из I.
Доказательство. По определению имеем F0 — O(I, А).
Допустим, что существует бесконечная последовательность
связных ординальных диаграмм, строго убывающая относи-
тельно <о. Тогда по лемме 26.26 существует бесконечная
последовательность связных элементов из Fx, убывающая
относительно <тс. Но это противоречит лемме 26.28. Значит,
такой последовательности не существует. Поэтому, согласно
лемме 26.19, все ординальные диаграммы <0-достижимы.
Допустим, что Fi = О (/, Л) и что <гдостижимость всех
ординальных диаграмм уже доказана. Тогда для всякого эле-
мента Ft каждый из его /-фрагментов <гдостижим, и потому
Fi+i = F( = О (/, Л). Используя леммы 26.27, 26.28 и 26.19,
аналогичным образом мы можем показать, что каждая орди-
нальная диаграмма <г+гдостижима в Fi+\ и, следовательно,
</+гД0стижима. Для предельных / имеем Fj = Г~1 с < / F{ = О (/, Л)
в силу предположения индукции. Тот факт, что каждая орди-
нальная диаграмма является <;-достижимой, можно доказать
так же, как и для i-|-l. Это доказательство верно также и
в случае, когда / + 1 или / равняется °о.
Обращая предыдущие рассуждения, мы получим принадле-
жащее Кино до некоторой степени конструктивное доказатель-
ство, которое мы вкратце изложим ниже. Но сначала приведем
несколько предварительных лемм.
Лемма 26.30. Если диаграммы аь а2, ..., а„ являются
<(-достижимыми в F(, то диаграмма dj =ЭД= а2 * • • • ап также
<(-достижима в Ft.
Доказательство. Релятивизуем доказательство леммы
26.19 к множеству F(.
Лемма 26.31. Пусть р — некоторый элемент множества Ft,
и пусть у — некоторый его i-полуфрагмент. Тогда y^F(.
Доказательство. (Применяем транфинитную индукцию
по /.) Для / = 0 утверждение очевидно. Если / — предельный
334
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
элемент, то утверждение следует из предположения индукции,
так как при j < i всякий /-полуфрагмент является /-полуфраг-
ментом. Если /==/+ 1, то в силу условия р е Д имеем ре/7;,
и для всякого /-фрагмента диаграммы р, скажем б, диаграмма 6
является </-достижимой в Fj, откуда вытекает, что be^F,.
Если у — некоторый /-полуфрагмент диаграммы р, то он является
и ее /-полуфрагментом, и потому у Fj. Пусть 6 — некоторый
/-фрагмент диаграммы у. Тогда 6 является и /-фрагментом
диаграммы р, а значит, диаграмма 6 <;-достижима в Fj.
Следовательно, согласно определению, имеем у е Ft.
Теперь мы приступим к доказательству достижимости.
Лемма 26.32. Если некоторая диаграмма а из Fi+i является
<.1+\-достижимой в Fi+l, то она будет ^-достижимой в F{.
Доказательство. Применяем трансфинитную индукцию
по </+1 для тех ординальных диаграмм, которые <г+1-дости-
жимы в Fi+l. (См. лемму 26.18.)
Рассмотрим произвольную диаграмму р в Fit для которой
Р<га. Мы докажем, что эта диаграмма <г-достижима в Fit
и, следовательно, диаграмма а является /-достижимой в Ft.
Отметим, что, согласно определению, а е Fz.
Пусть Г(= Гр) обозначает множество ординальных под-
диаграмм диаграммы р, определяемое индуктивно следующим
образом:
1)	Каждая компонента диаграммы Р принадлежит Г.
2)	Если у Г, то каждая компонента каждого /-фрагмента
диаграммы у принадлежит Г.
3)	Множеству Г принадлежат только те диаграммы, которые
удовлетворяют условиям 1) и 2).
Из этого определения и из леммы 26.31, очевидно, следует
что
(*)	Г s Ft.
Теперь мы хотим индукцией по /(у) доказать, что
(**	) каждая диаграмма у из Г является
<г-достижимой в Ft и принадлежит Г(-+1.
Допустим, что мы доказали (**). Тогда, в частности, каж-
дая компонента диаграммы р окажется < ;-достижимой в Fz.
Поэтому, согласно лемме 26.30, < ,-достижимой в F, окажется
диаграмм р. Тем самым лемма 26.32 будет доказана.
Теперь мы вернемся к доказательству утверждения (**).
Если диаграмма у е Г минимальна в том смысле, что
не имеет /-фрагментов, то из ysF, вытекает у е F i+l. В си-
лу (*) у е F{.
§ 26. Ординальные диаграммы
335
Случай 1. у <i+ia. Тогда диаграмма у является <г+1-до-
стижимой в Fl+\. Следовательно, в силу предположения ин-
дукции она <г-достижима в Ft.
Случай 2. а </+1у и у Р <(а. Тогда найдется /-фрагмента
диаграммы а, такой, что у сСо- Но, так как a е Fi+X, то
диаграмма о является <г-достижимой в Flt и потому <г-дости-
жимой будет и у.
Если диаграмма у е Г не минимальна, то пусть 6 — произ-
вольная компонента некоторого ее /-фрагмента. Тогда по пред-
положению индукции 6еГ; поэтому диаграмма 6 </-дости-
жима в Ft. Следовательно, в силу леммы 26.30, если т — не-
который /-фрагмент диаграммы у, то диаграмма т является
<гдостижимой в Ft. Но это означает, что уе^(+|. Рассма-
тривая снова указанные выше случаи 1 и 2, мы можем заклю-
чить, что диаграмма у является <г-достижимой в Ег.
Лемма 26.33. Пусть i — некоторый предельный, элемент. Тогда
У/j < 1У$[(диаграмма р является <j-достижимой в Fj)
zz>y/k < j (диаграмма $ является <^-достижимой в 7^)] о
zoV/г < iV (/.[(диаграмма а является Недостижимой в Ft) зэ
зэ (диаграмма а является Недостижимой в Е\)].
Док азательство. Применяем трансфинитную индукцию
по элементам множества Ft, которые <гдостижимы в
(См. лемму 26.18.)
Пусть/0 — наибольший индекс диаграммы а, который меньше i
(см. п. (4) определения 26.5) в предположении, что такой индекс
существует. Тогда достаточно показать, что если верна по-
сылка доказываемой леммы, то
(*)	для каждого k, такого, что /0 < k < /, всякая <(-ДО*
стижимая в Ft диаграмма а является <Д-достижимой
Если такого /0 не существует, то утверждение (*) мы дока-
зываем для всех k Н /. В самом деле, если утверждение (*)
справедливо и /г^/0, то существует /, такое, что k ^i0 < / < i
(поскольку / — предельный элемент) и диаграмма а является
</-достижимой в Fj. Поэтому, согласно посылке нашей леммы,
диаграмма а <Д-достижима в Fk. Утверждение (*) мы можем
доказать трансфинитной индукцией по таким а относительно
порядка Ht-
Мы можем считать, что такое /0 существует. Заметим, что
для всяких k и /, для которых /0 < k Н / и	если
Р<А,а, то р</а, потому что не существует /г-фрагмента диа-
граммы а при kH^kHi. Чтобы доказать утверждение (*) для
любого а, возьмем произвольный элемент р из Fk, такой, что
336
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
₽<fea. Достаточно показать, что всякая такая диаграмма р яв-
ляется <Д-достижимой в Fk. Мы докажем, что
(**	) если у является fe-полуфрагментом диаграммы р, то
диаграмма у принадлежит Fj и <;-достижима в Fj
для всех /, таких, что /г < I.
Как частный случай утверждения (**) получаем, что диа-
грамма р является С^-достижимой в Fk. Мы знаем также, что
для всякого у, для которого выполняется (**), у е Fk, потому
что р е Fk (см. лемму 26.31).
Пусть у — некоторый минимальный fe-полуфрагмент диа-
граммы р, т. е. у не содержит й-полуфрагментов; тогда уеТ7,-,
потому что у е F k и у не имеет /-полуфрагментов ни при каком j
между k и I.
Случай 1. у<;а. Тогда диаграмма у является ^-дости-
жимой в Fit поскольку <;-достижимой является а, и по предпо-
ложению индукции у будет <;-достижимой для всех j, таких,
что k j < i-
Случай 2. а<( у. Тогда а</у для каждого /, такого, что
z’o </ < z. В частности, a<fty. Но поскольку у является
й-полуфрагментом диаграммы р, то y^fep <&a. Так как налицо
противоречие, этот случай невозможен.
Пусть теперь у — некоторой й-полуфрагмент диаграммы р,
не являющийся минимальным. Тогда у е Fk. Пусть
и пусть 6 — некоторый /-фрагмент диаграммы у. Тогда 6 является
Л-полуфрагментом р, и поэтому по предположению индукции
диаграмма 6 (принадлежит Ёг- и) является </-достижимой
в Fj. Это верно для каждого такого /. Поэтому из у е Fk
вытекает у е F t. Снова рассматривая указанные выше случаи
1 и 2, мы можем доказать, что диаграмма у является ^-до-
стижимой в Fj для всех /, таких, что k j < i. Лемма доказана.
Лемма 26.34. Для каждого i из I и всякой диаграммы a
из < j-достижймости диаграммы а в Ft следует, что <Л [а яв-
ляется <j-достижимой в F/].
Доказательство. Применяем трансфинитную индукцию
по i. Допустим, что диаграмма а является <;-достижимой
в Fj. Если г = /г+1, то по лемме 26.32 она <й-достижима
в Fk. Поэтому, согласно предположению индукции, она <у-до-
стижима в Fj для всех / < k.
Допустим, что i — предельный элемент. Для каждого k < i
в силу индуктивного предположения лемма справедлива. Это
значит, что выполняется посылка леммы 26.33. Следовательно,
выполняется и заключение этой леммы. Но это и есть утвер-
ждение, которое нам нужно доказать.
Лемма 26.35 (см. лемму 26.28). Каждый элемент множе-
ства F^ является <^-достижимым в F^.
§ 26. Ординальные диаграммы
337
Лемма 26.36. Каждый элемент множества Fявляется
<_ i-достижимым для всякого i из I.
Доказательство. Каждая ординальная диаграмма из F^
является <00-достижимой согласно лемме 26.35. Поэтому в силу
леммы 26.34 она <гдостижима в Ft для каждого i из I.
Лемма 26.37. Каждая ординальная диаграмма из F/ явля-
ется </-достижимой в Fj для всякого j, и поэтому, в частности,
множество Fj вполне упорядочено отношением </.
Доказ а тел ьс та о. Пусть а — произвольный элемент из F{.
Случай 1. Множество / не имеет максимального элемента.
Пусть i — некоторый элемент из I, который больше всех эле-
ментов этого множества, входящих в а. Тогда (г, 0, 0) е и
a<j{i, 0, 0). По лемме 26.36 диаграмма (z, 0, 0) является
</-достижимой в Fj, и потому <;-достижимой является и а.
Случай 2. Множество I имеет максимальный элемент, а мно-
жество А — нет. Пусть i — наибольший элемент из /, входящий
в а, и пусть а — некоторый элемент А, который больше любого
элемента А, входящего в а. Тогда (i, a, Q)^Fxn a<j(i, а, 0).
По лемме 25.36 диаграмма (I, а, 0) является </-достижимой,
и, следовательно, <г-достижимой является и а.
Случай 3. Оба множества I и А имеют максимальные эле-
менты. Пусть /ин — наибольшие элементы соответственно
в / и в Л. Тогда найдется диаграмма р вида
(i, a, (i, а, ..., (z, а, 0) ...)),
такая, что а</р. Если мы сможем показать, что Р е Fx,
то из леммы 26.36 будет следовать, что диаграмма р является
< /-достижимой в Fj. В свою очередь отсюда следует, что
диаграмма а является <7-достижимой в F/, а это и требуется
доказать.
Если р — (г, а, 0), то очевидно, что р е Fx. Допустим, что
ро = (z, а, . . . (z, а, 0) . ..) е= Fx.
Тогда, согласно лемме 26.36, диаграмма р0 является ^-до-
стижимой в Ft. Следовательно, по определению p = (z, zz, PoJeF^.
Частным случаем леммы 26.37 является следующая
Теорема 26.38. Каждая ординальная диаграмма ^-дости-
жима.
Замечание. В качестве другого доказательства леммы 26.37
в случае 3 можно указать следующее. Пусть а0 — некоторый
новый символ. Определим А как множество A U {а0}, причем
А упорядочено так же, как и А, а а0 больше всех элементов А.
Определим систему о(/, Л) и порядок на ней для каждого i
338
Г л. 5. Доказательства непротиворечивости
из /. Тогда 0(1, Л) является подсистемой системы 0(1, А) и
порядок является продолжением порядка
Пусть i — наибольший элемент I, входящий в а. Тогда
«о^оО’, а0> 0) и диаграмма (i, ай, 0) является ^-достижимой
в О (I, А). Следовательно, диаграмма а является "<;-достижи-
мой в О (I, Л). Но отсюда вытекает, что а является и -^-до-
стижимой (в Fq==O(1, Д)).
Если применять такой метод, то леммы 26.36 и 26.37 нам
будут нужны лишь в следующей ослабленной формулировке.
Лемма 26.39 (ср. с леммой 26.36). Каждый элемент Fx яв-
ляется <0-достижимым.
Лемма 26.40 (ср. с леммой 26.37). Каждая ординальная
диаграмма <й-достижима.
Доказательство достижимости сильно зависит от множеств
Fit которые являются в высшей степени абстрактными поня-
тиями. Если надо как-то обосновать это доказательство, то
определение множества Ег следует интерпретировать таким
образом: аеЕг+1, если и только если можно конкретно убе-
диться, что а е F, и для каждого /-фрагмента 6 диаграммы а
диаграмма 6 является <;-достижимой в Ft. (Можно конкретно
убедиться, что диаграмма 6 является <г-достижимой в Д.)
Одна из трудностей в нашей системе ординальных диаграмм
состоит в том, что отношения порядка <(- определяются ин-
дукцией по со • I (а, Р) + i (/, а, Р), и поэтому структура этих
отношений не представляется ясно. Следовательно, задача, как
сделать доказательство достижимости более наглядным, имеет
очень важное значение, если мы собираемся утверждать, что
система ординальных диаграмм представляет хорошую основу
для изучения оснований математики.
Нам хотелось бы подчеркнуть, что ни первое, ни второе из
приведенных выше доказательств достижимости не является
по-настоящему конструктивным. Более конструктивное дока-
зательство мы приведем в статьях „Фундаментальные после-
довательности ординальных диаграмм*1 и „Доказательство до-
стижимости ординальных диаграмм**, которые скоро будут
опубликованы.
Чтобы объяснить эти затруднения, нам хотелось бы пере-
смотреть некоторые идеи в доказательстве достижимости орди-
налов до е0, которое было изложено в гл. 2. В этой главе ис-
пользовались некоторые полезные приемы. Например, каждому
ординалу а < е0 мы могли поставить в соответствие некоторое
натуральное число п так, что со„ а < co„+1. Это число п (так
сказать, высота ординала а) грубо указывает „размер** этого
ординала. Для двух ординалов а, р < е0 отношение а < р мы
$ 26. Ординальные диаграммы
339
определяем так: сначала сравниваем высоту ординала а с вы-
сотой ординала р, а затем, если аир имеют одинаковые вы-
соты и а —	. + и“п и Р = со0' ... + со6"1, где at а2
^ . .. ^а„ и Pi ^Рг^> • • • ^Рт> то сравниваем at с pb а2 с р2
и т. д.
Теория аппроксимаций, соответствующая этому подходу для
ординальных диаграмм, довольно запутанна, но мы изложим
ее в оставшейся части этого параграфа, хотя это не обяза-
тельно делать именно в конце.
Имеется и другая трудность. Последовательность ордина-
лов at < a2 < ... называется фундаментальной для а, если а
является пределом этой последовательности. В гл. 2 мы имели
простой единообразный метод построения фундаментальных
последовательностей для данного a < е0. Однако для ординаль-
ных диаграмм построение фундаментальных последовательно-
стей и доказательство их основных свойств весьма сложны.
Тем не менее все эти идеи необходимы для доказательства
достижимости в стиле гл. 2.
Главная проблема конструктивной математики заключается
в сложности выражений и описаний в рассуждениях. Это вы-
звано тем, что в конструктивной математике нам надо посто-
янно учитывать тонкие различия.
Сущность теории аппроксимаций состоит в следующем. По
данному элементу / из [ и данной связной ординальной диа-
грамме а мы определим (м, /г)-ю /-аппроксимацию диаграммы a
для п, fe = 0, 1, 2, ... и убедимся, что эти аппроксимации
дают хороший критерий, позволяющий сравнивать ординаль-
ные диаграммы относительно /'.
Теперь для каждого / е I и каждой связной ненулевой ор-
динальной диаграммы а определим /'-оценки и /-аппроксимации
этой диаграммы.
Определение 26.41. (1) Если (/, а) — внешнее значение неко-
торой связной ординальной диаграммы, то i называется ее
внешним индексом.
(2) Пусть у — некоторый /-полуфрагмент диаграммы а, где
внешний индекс диаграммы у меньше /. Тогда мы скажем,
что у является j-ядром диаграммы а. Вхождение 0 мы также
назовем /-ядром.
Определение 26.42. Пусть п0 (/, а) обозначает максимум
внешних значений ординальных диаграмм, соответствующих
/-фрагментам диаграммы а. Тогда о0(/, «) называется нулевой
j-оценкой диаграммы а.
Заметим, что каждая связная ординальная диаграмма а=А0
имеет нулевую /-оценку.
340
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
Предложение 26.43. Пусть р и а — некоторые ненулевые связ-
ные ординальные диаграммы. Если о0(/, р)<о0(/, а), то р<уа.
Доказательство. Пусть v0(j,	—	а). Для любоге
/-полуфрагмента 6 диаграммы а имеет место 6s^a (см. предло-
жение 26.10). Следовательно, достаточно показать, что р <у- (z, а, у)
для любого /-полуфрагмента диаграммы а, имеющего вид
(z, а, у) (т. е. если внешнее значение соответствующей орди-
нальной диаграммы равно (z, а)). На самом деле мы покажем»
что
(*)	4]<ra(z", а> V) для всех m ! и каждого /-полуфраг-
мента fj диаграммы р.
Тогда, в частности, мы будем иметь §<;(/, а, у).
Доказательство утверждения (*) проводится индукцией ПО'
/(т)). Заметим, что v0(j, r\)^.v0(j, р) < (z, а).
(1)	fj является /-ядром диаграммы р. Тогда г) либо есть 0,
либо имеет вид (/г, Ь, г/'), где k < ! Очевидно, что т) <т (г, а, у)
для каждого m j.
(2)	г/ имеет вид (й, b, 41'), где k fS- j. Так как (й, 6) < (z, a)»
4} <m(j, а, у) при tn > k. Пусть	и пусть 6 — некото-
рый m-фрагмент вхождения fj. Пусть 60— любая компонента
вхождения 6. Тогда 60 является полуфрагментом диаграммы р;
следовательно, по предположению индукции	а, у). От-
сюда вытекает, что 6<m(z, а, у), и поэтому индукцией по
i(m, 41) получаем ц <m(i, а, у) для всех т, для которых
Определение 26.44. (1) Пусть a—некоторая связная орди-
нальная диаграмма, и пусть (z, a) = t>o(/> «)• Рассмотрим любой
/-полуфрагмент диаграммы а, внешнее значение которого равно
(z, а), скажем \i, а, у). Пусть арг (0, /, а) обозначает наиболь-
шую (относительно порядка <() такую диаграмму (t, а, у).
Всякое /-активное вхождение диаграммы арг(0, /, а), скажем
арг (0, /, а), будем называть нулевой j-аппроксимацией диа-
граммы а.
Мы будем через а0 сокращенно обозначать арг (0, /, а). Ра-
зумеется, может быть много вхождений диаграммы а0, не
являющихся нулевыми /-аппроксимациями диаграммы а. Однако
мы не интересуемся такими вхождениями. Поэтому для удоб-
ства будем впредь использовать символы d0 и арг(0, /, а)
только для обозначения вхождений, являющихся нулевыми
/-аппроксимациями диаграммы а.
(2)	Если некоторый /-полуфрагмент диаграммы а, скажем rj,
не содержит а0, т. е. /-активных вхождений диаграммы
£ 26. Ординальные диаграммы
341
арг (О, I, а), и не содержится ни в каком d0, то мы говорим,
что г] j-пропускает а0. В тех случаях, когда известно, чему
равно j, мы будем говорить просто, что fj пропускает d0.
Лемма 26.45. (1) арг (0, /, а) является /-полуфрагментом диа-
граммы а.	________
(2)	Пусть а — (г, а, 6) — некоторый j-полуфрагмент диа-
граммы а, внешнее значение которого равно (I, а) и который
отличен от а0. Тогда а' <fa0, и поэтому 6 <г у (где а0 = (/, а, у)).
Отсюда вытекает, что а' <та0 для всех
(3)	Если л — некоторое j-ядро диаграммы а, не совпадающее
с а0, то т] <тао для всех m^j.
(4)	Если некоторый j-полуфрагмент fj диаграммы а /-про-
пускает а0, то л <та0 для всех m^j.
(5)	Пусть (i, a) — v0(j, а) и дь 62, .... дт суть все j-полу-
фрагменты диаграммы а. Тогда
ао = арг(О, /, а) = тах(д1, д2, . .., 6ОТ).
</+1
Доказательство. (3) Пусть л = (й, Ь, л') и k < /. Если
/^i, то очевидно, что л <,пао Для всех mj^i. Допустим, что
/> /. Тогда а = ай и нет других /-ядер, кроме а0.
(4) (i) fj является /-ядром диаграммы а. Тогда, согласно (3),
Л <та Для всех
(ii) Пусть л — (k, b, л')> где kj^j. Если (k,b} — (i, а), то
в силу (2) л<тао Для всех m^i. При j^i это ясно. Пусть
j <i. Пусть /^/n<i и 5 — произвольная компонента некото-
рого m-фрагмента диаграммы л- Тогда 6 является /-фрагмен-
том диаграммы а, который /-пропускает d0. Следовательно, по
предположению индукции 6<та0 для всех Индукцией
по i (т, п) мы можем затем доказать, что т\<_та0. Если
(k, b)<(i, а), то л <та Для всех т > k. Пусть j^jtn^.k, и
пусть 6 — некоторая компонента какого-либо m-фрагмента диа-
граммы Л- Тогда, согласно предположению индукции, д <таа.
Отсюда в свою очередь следует, что л <тао-
Предложение 26.46. Пусть а и ₽ — связные ординальные
диаграммы, где v0 (j, а) = о0 (/, ₽) — (г> а) и арг (0, /, р) <t арг (0, у, а).
Тогда Р <, а.
Доказательство. Поскольку d0 является /-полуфрагмен-
том диаграммы а, достаточно показать, что р<;а0, так как
тогда Р</а0^/а. Мы можем легко показать, что
(1)	Если л — некоторый /-полуфрагмент диаграммы р, то
»о(/. л)<(<. «)•
Кроме того, если vQ(j, л) = О, а)> то арг (О, /> Л) ао и
342
Г л. 5. Доказательства непротиворечивости
(2)	для любых двух ординальных диаграмм вида (/, а, д) и
(z, а, у) из (г, а, 6) <<(/, а, у) следует (г, а, 6) <m(i, а, у) для
всех tn Д? z.
Опираясь на (1) и (2), индукцией по /(ц) мы докажем ут-
верждение
(3)	для любого /-полуфрагмента ц диаграммы р имеет место
т| <та0 для всех rnjo>j.
Как частный случай утверждения (3) мы имеем р</а0.
1)	р является /-ядром диаграммы р. Тогда т] есть 0 или г]
имеет вид (fe, b, г}'), где k<j. При этом (k, b) (z, а). Если (fe, 6)<
< (z, а), то т| <т а0 для всех m > k и поэтому для всех m j.
Если (k, b) = (i, а), то Л^/Ро<£ао, и потому, согласно (2),
q <т а0 для всех т Д; z. Поскольку k — i и k < j, мы имеем / > г.
Значит, т\<та0 для всех tn^j.
2)	т] имеет вид (k, где k j и (/г, b) < (z, а). Очевидно,
если т > k, то ц <т а0. Пусть j т k, и пусть 6 — произволь-
ная компонента некоторого m-фрагмента диаграгмы ц. Тогда
по предположению индукции 5<та0 для всех m^j. Следо-
вательно, индукцией по t(m, р) получаем q <та0 для всех т,
таких, что j-^.tn^k.
3)	ц имеет вид (z, а, ц')- Поскольку т] р0 <, а0, из (2) сле-
дует, что г) <т а0 для всех пг I. Если / z, то все доказано. До-
пустим, что / < z. Рассмотрим любое т, такое, что j^/n<z,
и допустим, что 6 является компонентой некоторого т-фраг-
мента диаграммы тр Тогда по предположению индукции 6 <та0
для всех zn^j. Отсюда следует, что т] <ота0 для всех таких т.
Предложение 26.47. Пусть fj — некоторый j-фрагмент диаг-
раммы а, содержащий ар. Допустим, кроме того, что для всякого
вхождения d0 в р найдется некоторое вхождение какого-нибудь эле-
мента из I, меньшего, чем I, и связанного с do- Пусть
йд.Оц...а'" суть все такие вхождения диаграммы а0 в ц, и пусть
qk—наименьший такой элемент множества 1, связанный с вхожде-
нием dj. Положим q — q (ц) = max (q{, ..., qm). Тогда 1]<рао
для каждого р, такого, что q<p^i.
Доказательство. Сначала заметим, что q~^j. По-
скольку ц является /-полуфрагментом диаграммы а, легко можно
показать, что v0 (р, ц) v0 (j, а) (= (z, а)} для каждого p^zj и,
в частности, для всех р, таких, что q < р i. Кроме того,
Vq (р, а0) = (г, а) и арг (о, р, а0) = а0. Поэтому, если о0 (р, л) < (Л «),
то согласно предложению 26.43, ц <ра0. Допустим, что Vp (р, ц) =
= (z, а). Тогда арг (0, р, ц) <г- а0 = арг (0, р, а0), так как d° не
является p-активным в тДсм. утверждение (2) леммы 26 45). По-
этому ц <ра0.
§ 26. Ординальные диаграммы
343
Определение 26.48. Пусть у — некоторый /-полуфрагмент диа-
граммы а, для которого в у имеется некоторое вхождение а0,
являющееся j-полуфрагментом диаграммы у и такое, что i —
единственный элемент из I, который входит в у и является
связанным с d0-(А именно такое вхождение а0 является /-ак-
тивным в у.) Пусть apr(l, /, а) обозначает наибольшую (отно-
сительно <z) среди таких диаграмм у. Всякое такое вхождение
диаграммы (1, j, а) называется первой j-аппроксимацией диа-
граммы а.
Диаграмму арг(1, /', а) мы будем сокращенно обозначать че-
рез аь В дальнейшем через гц и арг(1, /’, а) мы будем обозна-
чать только вхождения, являющиеся первыми /-аппроксима-
циями диаграммы а.
Отметим, что, согласно определению, возможно равенство
00 = 0].
Лемма 26.49. Пусть v0(j, a) — {i, a), ao=apr(O, j, a) иа,=
= арг (1, /, а).
(1)	Если at строго содержит некоторое а0, то и а0 <кщ
для каждого k i.
(2)	Если (i, b, б) — некоторая ординальная поддиаграмма диа-
граммы аь такая, что б содержит вхождение а0, являющееся
i-активным, то b <а.
(3)	Если вхождение бц является „максимальным" в том смысле,
что (k, с, у) является j-полуфрагментом диаграммы а, где щ — не-
которая компонента вхождения у, то k < I.
Определение 26.50. Пусть ц — некоторый /-полуфрагмент диа-
граммы а. Если // не содержит аь не содержится в си и не со-
держится строго ни в каком а0, то говорят, что ц j-пропускает
ар В тех случаях, когда известно, чему равно /, мы будем го-
ворить просто, что fj пропускает dp
Предложение 26.51. Если некоторый j-полуфрагмент fj диа-
граммы а пропускает di, то т] <fe «j для всех k, таких, что
j Cf k «С i-
Доказательство. Применяем индукцию по /(ц).
1)	fj пропускает d0. Тогда ц <ka0 для всех kj^j в силу
утверждения (4) леммы 26.45. Если j k < i, то ao <к «1 (см.
утверждение (1) леммы 26.49), и поэтому ц<^а|.
2)	ц=а0<Да, если j k I.
3)	fj содержит а0 и i — единственный элемент из /, который
входит в г/ и является связанным с а0. Тогда r)<zai согласно
344
Г л. 5. Доказательства непротиворечивости
определению оц. Пусть	и пусть 6 — произвольная
компонента некоторого ^-фрагмента в ц. Если б пропускает а0
или содержит а0, то 6 пропускает си, откуда по предположе-
нию индукции 6 <(.«!; если же б содержится в d0, то 6 является
/г-фрагментом диаграммы аэ, и поэтому б<Л,а0<^а1. Итак,
б <kai во всех случаях, откуда индукцией по i(k, 13) получаем
П <k^i-
4)	f] содержит а0, и для каждого вхождения а0 найдется
элемент множества 7, некоторое вхождение которого в ц свя-
зано с d0 и который меньше, чем i. Согласно предложению
26.47, имеем ц<га0 <;«!. Если k удовлетворяет условию
j k < i, то отсылаем к случаю 3).
Предложение 26.52. Пусть а и р — связные ординальные диа-
граммы и v0(j, а) = ц0(/, р) = (7, а). Пусть а0 = арг(О, /, а) =
= apr(O, /, р) = Ро, а! = арг(1, /, а) и pt = apr (1, /, р). Если
Pi <1а1, то р <,а.
Доказательство. Для того чтобы при указанных допу-
щениях было pi <zab di должно строго содержать d0. Поэтому
Мы покажем, что для всякого /-полуфрагмента диа-
граммы р, скажем fi, который либо содержит р0, либо пропу-
скает Ро, верно
(*)	Л <feai для всех k, таких, что /
В частности, Р</а1^;а. Доказательство утверждения (*)
проводится индукцией по /(ц).
1) Л —Ро иЛи fj пропускает р0. Тогда ц Ро = а0 <k аь если
2) fj строго содержит Ро, и найдется р0, такое, что един-
ственным элементом множества 7, некоторое вхождение кото-
рого в fj связано с р0, является i. Тогда, согласно определе-
нию рь имеем тз =sTzPi <z cq. Пусть	и пусть 6 — произ-
вольная компонента некоторого fe-фрагмента в fj. Тогда б либо
пропускает р0 и в этом случае в силу 1) б <&аь либо б содер-
жит Ро, откуда по предположению индукции вытекает 6 <*аь
либо 6 является fe-полуфрагментом в р0 и, следовательно,
6 имеет ^-активное вхождение в dj, откуда б<Даь Во всех
случаях 6 Поэтому, применив индукцию по i(k, т]), можно
.доказать, что 'q<feaI.
§ 26. Ординальные диаграммы
345
Определение 26.53. Пусть v0(j, a) = (Z, а), apr(0, /, а) = а0
и apr(l, j, «) = «]. Для удобства обозначений положим
io — ii — i-
Допустим, что мы уже определили пары, состоящие из
j-полуфрагментов диаграммы а и элементов множества I, вхо-
дящих в а, скажем (а0, г0), (а1( гД, ..., (а„, i„), которые удовле-
творяют следующим условиям:
(*) i) Для каждого т при l^m<n имеет место /<лт+1 <
< I'm'
ii) Для каждого zm+i равняется максимальному k,
для которого найдется j'-полуфрагмент диаграммы а,
имеющий вид (/г, Ь, у), причем ат является компонен-
той в у.
(iii) Пусть т) обозначает любой /-полуфрагмент диаграммы а,
такой, что т) содержит ат и все элементы множества I,
входящие в г) и связанные с ат, не меньше, чем zOT+1.
Тогда am+i является максимальным (в смысле порядка
<;ш+1) среди этих n, a am+i обозначает такое вхо-
ждение диаграммы am+I.
Теперь следующим образом определим пару (a„+1, in+1) (при
условии что ап не совпадает с а). Элемент in+I определим как
zm+i в п. ii) условия (*), в котором вместо т следует взять п,
а an+i определим как am+1 в п. iii) условия (*), где опять
вместо т следует взять п.
При этом вхождение а„ мы будем называть /г-й j-аппрокси-
мацией диаграммы а и обозначать через арг(н, /, а), т. е.
а„ — арг (п, /, а). Положим vn(j, a) = in, п—1, 2, ....
Если а„ = а, то аппроксимацию a„+i определять не надо.
Однако мы будем употреблять запись &„+[(/> Р) < &n+i U, а) и
для выражения того факта, что t»„+i(j, а) определено, а
t»n+i (/> Р) — нет.
Следствие 26.54. (I) Пусть (р, е, g) — некоторый i-полуфраг-
мент диаграммы а, в котором ап является компонентой вхожде-
ния j. Тогда р < in.
(2) / C+i <С in.
(3) Найдется по крайней мере одно а„, которое входит
в (in+i, Ь, у) как компонента диаграммы, у и которое является
j-полуфрагментом диаграммы а при условии, что ап а.
Определение 26.55. Пусть т] — некоторый j-полуфрагмент
диаграммы а. Мы скажем, что т) j-пропускает ап, если fj не
346
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
содержится ни в каком ап, т] не содержит никакого а„ и т] не
содержится строго ни в одном из а0, dj......d„_i.
Предложение 26.56. I". Пусть fj — некоторый j-полуфрагмент
диаграммы а, содержащий ап. Допустим, что для каждого вхо-
ждения ап в ц найдется элемент множества I, некоторое вхо-
ждение которого в fj связано с ап и который меньше, чем in+\.
Пусть а!п, . .., а'" — все вхождения ап в fj, и пусть qk — наимень-
ший элемент из I, который входит в fj, причем это вхождение
связано с а'Г Пусть q = qn(i\) = max (qb ..., qm). Тогда для
каждого р, такого, что q<p^in, верно т\<рап. (Заметим, что
j q < 6i+i-)
1Г+ . Если fj j-пропускает ап+ь то T\<pan+i для всякого р,
такого, что j <1 р^Лп+1-
IIIn+1. Пусть а и р— некоторые связные ординальные диа-
граммы, и допустим, что apr (п, j, а), apr (п, j, Р) и арг (n + 1, j, а)
определены. Допустим также, что ап = apr (п, j, а) — apr (п, j, Р)=
= Р„ (и потому ао = Ро, а1=р1, ..., а„_1=р„_1).
(I) Если vn+l(j, &) = i'n+l <гп+1 = оп+1(/, а), то р <,а.
(2) Если
Уп+1 (/, ₽) = vn+i (j, а) = in+i
и
Pn+i = apr(n+ 1, j, Р) </n+1apr(n+ 1, j, а)=а„+1,
то р </ а.
Доказательство. (Применяем индукцию по п.) Заметим,
что справедливость утверждений 1°, II0, II1, III0 и III1 была
установлена ранее (см. предложение 26.47, лемму 26.45, пред-
ложения 26.51, 26.43 и 26.46). Сначала мы докажем утвержде-
ние I” в предположении, что доказано Шг для всех г, таких,
что	Затем мы докажем 1Г+1 с помощью Iя и Пп.
Наконец, мы докажем IIIn+1 с помощью II" и IIn+1.
I". Для всякого р, j^p^in, и всякого г,	имеет
место vr(p, an) = vr(j, an) — vr(j, а); кроме того, арг (г, р, а„) =
= арг(г, а„) = арг(г, /, а). Пусть теперь q<p^.in. Тогда
для некоторого г, О^г^м, имеет, место арг (0, р, ц) = арг(О,
о, а„), .... арг (г — 1, р, ц) = арг (г — 1, р, а„) и либо vr (р, ц)<
<vr(p, а„), либо vr(p, f\) = vr(p, a„)(=ir) и арг (г, р, п) <ir
$ 26. Ординальные диаграммы
347
<f арг (г, р, ап)(—аг). Отсюда, применив ПГ к р, получаем
т] <ра„ для всякого такого р.
И"+1. Применяем индукцию по
I)	fj совпадает с ап или /-пропускает а„. Тогда, согласна
1Г, т]<р ап<Ра«+ь если /<p<zn+i.
2)	fj собственно содержит а„ и существует вхождение ап
в т), такое, что все элементы множества I, вхождения которых
в fj связаны с й„, не меньше in+l. Тогда, согласно определению
диаграммы а„+1, т] <tn+ ага+1. Пусть /<р</„+1, и пусть 6—не-
которая компонента какого-нибудь р-фрагмента в тр Тогда 6
либо прояускает d„, либо является р-полуфрагментом в а„.
Следовательно, б <ра„ <ра„+1. Тогда, применив индукцию по-
i(p, т]), получаем т| <рага+1 для всех таких р.
3)	ц собственно содержит ап, и для всякого вхождения а„
в ц существует элемент I, который меньше, чем in+t, и имеет
вхождение в т], являющееся связанным с а„. Согласно 1п, имеем
т)<рап, если (р <)zn+i<p<zn. В частности, ц <in+1 а„ <f„+l а„+1.
Пусть J<P<*n+i, и пусть 6 — некоторая компонента какого-
нибудь р-фрагмента в т]. Тогда, применив индукцию по /(т]),.
как и в 2), получим 6<рап+1, откуда вытекает, что л <ра„+1
для всех таких р.
(1)	Пусть | = (t„+1, b, у) — любой /-полуфрагмент диа-
граммы а, внешний индекс которого равен in+l, и у содержит а„
в качестве компоненты. Мы покажем, что для каждого /-полу-
фрагмента fj диаграммы (5, который либо /-пропускает либо,
содержит имеет место т] <Р£ ПРИ	В частности,
МЫ ПОЛуЧИМ Р
1) fj совпадает с или ц пропускает Тогда, согласно II",
И Ср р„. Поэтому ц <р = а„ <р g.
2) fj собственно содержит р„. Вспомним, что р„ входит в ц
следующим образом. Существует некоторый /-полуфрагмент
в f), скажем (k, с, р), где р„ входит в р в качестве компоненты
и /=О«+1 <in+v
Мы можем показать, что
(*)	Найдется такое натуральное число г, что О^г^п,
apr (г — 1, f„+1, л) = аг_1(=арг(г — 1, z„-i, £))
и либо
vr{in+i, T\)<ir,
либо
or(i„+i, y}) = ir и apr (г, in+i, n) </r«r(= aPr (r, in+i, £))•
348
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
Применив (*) и ПГ к л, £ и in+i, мы получим, что л <;п+1£-
Пусть i р < in+i, и пусть 6 — некоторая компонента какого-
нибудь р-фрагмента в fj. Если 6 удовлетворяет тем же усло-
виям, что и л, то, согласно предположению индукции, 6 <pg.
Если же 6 является р-полуфрагментом в рг для некоторого г,
где 0<.г то 6 <р₽г<рРп = а„ <Д. Во всех случаях 6<Д,
откуда, применив индукцию по i (р, л)> получаем л <р£.
Утверждение (*) является частным случаем следующего
утверждения.
(**	) Пусть л— произвольный у'-полуфрагмент диаграммы р,
строго содержащий р„. Пусть пг — любой элемент из I,
такой, что m> i'+I (= vn+l(j, Р)). Тогда существует такое
натуральное число г, что	apr(r—1, т, л) =
— рг_ 1 (= аг_[) и либо vr(m, г]) < ir = vr(j, р), либо vr(m,
r\) = ir и арг (г, т, л) <z Рг(=аг). (Заметим, что т > i'n+l
включает случай, когда m = in+i.) В том случае, когда
г = 0, имеем vr(m, ц) < (/, a) = vr(m, Р) или vr(m, л)==
= (z, а) и арг (0, т, л)<;Ро-
Утверждение (**) мы докажем следующим образом. Так как
m^j, то v0(m, т))Оо(Ь Р) (= (Т а))- Если имеет место строгое
неравенство, то все доказано. Если же имеет место равенство,
то рассмотрим г = 1. Повторяя те же рассуждения, допустим,
что мы уже получили, что арг (п — 1, т, л) = Pn-i и vn (т, л) = in-
Тогда диаграмма (м, т, л) должна содержать pn_[. Отсюда
из того, что m>i' и из того, что л строго содержит р„,
вытекает, что арг (п, пг, л)=И=Рп- Поэтому, согласно определению
арг (и, /, л)(=₽п), имеем арг (п, т, л)<>Рп-
(2) Мы покажем, что
(***) для вёякого /-полуфрагмента л диаграммы р, который
либо пропускает р„+1, либо совпадает с pn+i, либо строго
содержит p„+i, имеет место л<Ра«+1 ПРИ любом р,
таком, что /’^p^zra+1.
Как частный случай утверждения (***) мы получим Р</
</an+i^/«- Утверждение (***) доказывается индукцией по / (л).
1) л совпадает с Р„+1 или пропускает P„+[. Тогда в силу
IIn+1 имеем л Р„,1 <, а Проводя рассуждения, ана-
ln+l '	п+1 п+1
логичные тем, что проводились раньше, мы можем индукцией
по с(р, л) доказать, что л <P«n+i при условии, что j«Cp< in+l.
2) л строго содержит р„+1, и существует вхождение р„ в л
такое, что каждый элемент множества I, который входит в л,
причем это вхождение связано с р„, не меньше г„+1. Тогда,
§ 26. Ординальные диаграммы
349
согласно определению рл+1, имеем
<'zn+i^"+1 <«п+1а"+1-
Тот факт, что при j < in+i имеет место 'П<ра«+ь можно
показать так же, как и раньше.
3) fj собственно содержит P„+i, и для каждого вхождения
в fj существует элемент из /, который входит в fj, причем
это вхождение связано с р„, и который меньше i„+1. Тогда,
согласно Р, выполняется т]<р(3„ при q<p^.in, где
<in+i- Следовательно, положив р — 1п+\, мы получим
<1‘п+А <*„+1^+1 <\+1а«+1>
Если	in+i, то, как и раньше, доказываем, что ц <рап+1.
Теперь мы усовершенствуем эти аппроксимации. Индукцией
по k определим a(n>fe) таким образом, что a(n>w будет г„+1-полу-
фрагментом в а„+1.
Определение 26.57. Пусть а(л 0) обозначает любое вхожде-
ние а„, являющееся /„^-активным в <xn+i-
Допустим, что а(лА) уже определено так, что a(n является
гп+ГполУФРагментом в “п+г Допустим, что a(n> a„+r Пусть
уь ..., ут суть все вхождения /„+1-полуфрагментов в an+i,
которые строго содержат некоторое вхождение a(n>fe). Положим
a(„,fe+i)= тах (Yp •••> Ym)-
<(n+l + 1
Тогда а(л fe+1) означает любое такое вхождение а(лА+1) в ал+1.
Заметим, что, хотя указанные выше вхождения уь ..., ут
определены относительно некоторого вхождения a„+i, диа-
граммы У(, ..., ут задаются однозначно по а„+1. То же самое
верно и для диаграммы a k+i).
Вхождение а{п называется (n, kj-й j-аппроксимацией диа-
граммы а и обозначается через арг((/г, k), j, a).
Предложение 26.58. Либо а(п совпадает с ал+1, либо а(л
входит в (in+i, с, 6) как некоторая компонента вхождения 6.
Доказательство. Допустим, что а(п k} входит в (р, с, 6)
в качестве некоторой компоненты вхождения б. Тогда, согласно
определению a„+i, имеем p^in+i- Если p>in+i> то	1,
и, следовательно, вхождение а(л fe) в б является (гл+1 + ^-полу-
фрагментом вхождения (р, с, д'). Поэтому a(n_ <{	( (р, с, д).
350
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
Кроме того, (р, с, 6) содержит некоторые вхождения диаграммы
а(л в качестве /га+1-полуфрагментов, и, следовательно, согласно
определению а(га k}, имеем (р, с, О) <f +1а(п, Получили про-
тиворечие. Следовательно, p = in+\.
Определение 26.59. Мы говорим, что некоторый /,^[-фраг-
мент в а„+1, скажем q, j-пропускает а(п fe), если он не содержит
никакого вхождения a(n ft), не содержится в ал+1 и не содер-
жится ни в каком вхождении d(nj р), где (tn, р) < (п, k).
Заметим, что при k — О возможно, что q /-пропускает а(л 0),
но не пропускает ап.
Предложение 26.60. Допустим, что q является 1п+1-полу-
фрагментом в йл+1, который j-пропускает й(л fe). Тогда q<z а(п fe).
Доказательство. Применим индукцию по k, а внутри
нее — индукцию по I (q).
k = Q. q пропускает й(„>0).
1) т/ пропускает ап- Тогда, согласно утверждению П” пред-
ложения 26.56, имеем q <, а (=а. т).
2) q содержит ап. Тогда для каждого /-активного вхожде-
ния й„ в q найдется элемент из I, который входит в q, причем
это вхождение связано с ап, и меньше in+l. Поэтому, согласно
утверждению I" предложения 26.56, имеем q <z + |а„=а(л0).
k > 0. q пропускает a,n ky
1)	q пропускает й(л Тогда, согласно предположению ин-
дукции, q <, a. . ... Ho a. . является i , ,-полуфрагмен-
v	1	| 1 '*”*	Я “* 1 f	il~t~ 1	k 4 .
том в й(п k) (по определению). Поэтому q <f a(„, й)-
2)	q совпадает c a{nk_iy Тогда q a(„ ky
3)	q строго содержит й(л 4_1Г Тогда, согласно определению
°(л *)» 'П a<n fer Пусть 6 — некоторая компонента какого-
нибудь /я+)-фрагмента в q. Так как 6 пропускает а(п к), то по
предположению индукции 6 <; а(п k.
Предложение 26.61. Допустим, что для а и р определены
аппроксимации
a„+i = арг (п + 1, j, а), Р„+[ = арг(/г+ 1, /, р),
a(„,k) = аРг ((«»	!• a)> k) = аРг <(«> S’ ₽)•
§ 26. Ординальные диаграммы
Если
0(„. fe-l)~ а(п. fe-1)’ vn + l (i’ 0) ~ vn+l “) Zn+1 “ 0(n. fe) <i„+1 + ia(n, fe)>
T0 fi , <. a ,,, а следовательно, и p<,a.
Hn+l l„ + 1 «+1	1
Доказательство. Во-первых, мы утверждаем, что
0) ₽<«.*) <i„+ia(n. fer
Но это утверждение является частным случаем следующего
утверждения.
(2) Для всякого гл+1-полуфрагмента у диаграммы ₽(л
который либо содержит ₽(л_ k_iy либо /-пропускает Р(л^п,
справедливо у <in+l а(П, ьу
Мы докажем (2) индукцией по /(у).
1)	у совпадает с р(л ft_ir Тогда у = а{п к_1} а(п
2)	у опускает р(л k_iy Тогда, согласно предложению 26.60,
У </п+1 ₽(„, fe_i) и потому Y<lra+I₽(n,fe_1) = a(„,fe_1)<in+Ia(„,fe).
3)	у строго содержит ₽(„ Й_1Г Пусть у имеет вид (р, с, у'),
где p^in+l- Тогда, согласно определению аппроксимации Р(л ft),
-v <Г ,6, «, и, значит, согласно условию доказываемого
предложения, имеем
V </п+1 0(n, к) </n+1+i%,fe)-
Пусть 6 — некоторая компо«ента какого-нибудь г„+гфрагмента
в у. Если б удовлетворяет тому же условию, что и у, то,
согласно предположению индукции, б</	«(п> 4)- Другая воз-
можность состоит в том, что 6 есть некоторое ₽(m р), где
(т, р)<(п, k-\). Поэтому 6 = p(m p) = a(m р) <za(n fe). Отсюда
следует, что У <in+la(n,ky
Чтобы завершить доказательство этого предложения, нам
нужно только показать, что
(3	) для любого 1„+гфрагмента ц вхождения рп+1, который
либо пропускает ₽(л ky либо содержит 0(л, fe), имеет место
11
Это утверждение докажем индукцией по I (ц).
1) ц совпадает с р(л fe). В силу (1) П <<л+1 a(n fe)-
2) ц пропускает P(n ky Согласно предложению 26.60,
11 <4+i^n’fe) <1n+i“(">*)•
3) fj строго содержит ₽(л ky Пусть ц имеет вид (р, с, т/),
352
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
где p>i„+I. По определению 0(n>ft) имеем л <г +1 ₽(„,*) и потому
1,1 <«„+1+* fe> <‘n+i+1 “(«•fe)'
Отсюда таким же образом, как и в п. 3) доказательства
утверждения (2), следует, что л а(п k}.
Па этом завершается наше изложение теории аппроксимаций.
Как мы уже убедились, эта теория дает критерий, позволяющий
сравнивать ординальные диаграммы.
§ 27.	Доказательство непротиворечивости арифметики
второго порядка с аксиомой nJ-выделения
Следующая лемма, касающаяся системы ординальных
диаграмм О (а>1, со3), существенна для доказательства не-
противоречивости, излагаемого в этом параграфе.
Лемма 27.1 (основная лемма). Пусть р — некоторое нату-
ральное число, и пусть у ц б — ординальные диаграммы, для
которых существуют две конечные последовательности ординаль-
ных диаграмм у0 = у, уь ..., уот и 60 = б, бь ..., бт, удовле-
творяющие следующим условиям:
(1)	Каждая диаграмма у,, i < m, имеет вид (k, 0, уг+1) для
некоторого натурального kj^p или (со, а 4~ 1, yi+1 41= л)-
(2)	Каждая диаграмма b,, i < пг, имеет вид (k, 0, бг+1) или
(со, а 4-1, б/+1 4Ф л) 6 зависимости от того, имеет yt вид (k, О,
у,ч1) или (со, а 4-1, yi+1#T])-
(3)	бт</Ут для всякого j, такого, что /?^/'^со.
(4)	Для всякого j, такого, что р<Д<со, и для каждого
j-фрагмента а диаграммы Ьт существует j-фрагмент р диа-
граммы ут, для которого а^ур.
Тогда для всякого j, такого, что р^/^со, верно 6<_jy,
а для всякого j, < со, и для каждого j-фрагмент а диа-
граммы б найдется j-фрагмент р диаграммы у, такой, что а<4'Р-
Доказательство. Применяем двойную индукцию по m
и по п = i (/, у, б).
1.	Если m = 0, то заключение легко следует из условий (3)
и (4).
2.	Допустим, что m > 0, y = (fe, 0, у4 и б = (й, О, 6J, где
k р.
2.1.	Тогда, согласно предположению индукции, 6i <k уь
так что 6 <те у.
2.2.	Если k </<со, то б <у у, поскольку у и 6 не имеют
<7-фрагментов при q j и так как, согласно 2.1, б<ооу.
§ 27. Арифметика второго порядка с аксиомой П [-выделения
353
2.3.	Если j = k, то из 2.2 вытекает, что если б( </у, то
6<]k. Так как 6i</Yi и из условия, что у1 является /-фраг-
ментом диаграммы у, следует Yi </у, то в силу предполо-
жения индукции по m мы имеем 6] </ у.
2.4.	Если p^.j<k, то б </t у, где Л = <.(/, у, б). Следова-
тельно, если для каждого /-фрагмента а диаграммы 6 имеет
место а <;-у, то б<уу. Допустим, что а является /-фрагмен-
том диаграммы 6. Тогда а является /-фрагментом и диа-
граммы бь и, согласно предположению индукции по т, суще-
ствует /-фрагмент (3 диаграммы уь такой, что а^/Р. Кроме
того, р является также /-фрагментом диаграммы у. Следова-
тельно а г^/Р <; у.
3.	Допустим, что т > 0, у = (со, с + 1, У1#л) и б = (со,
с+ 1, б] # ц).
3.1.	Так как, согласно предположению индукции по т,
имеем б| <ш уь то б<юу.
3.2.	Если / = ©, то достаточно показать, что б14#Л<<вУг
т. е. что 6t <шу и ц<йу. Так как yi =Ц= ц есть ©-фрагмент
диаграммы у и б! <ш уь то 6j <оу и n<wY-
3.3.	Если р^/<и, то, применив предположение индукции
по п, получаем б</гу, где h = у, б). Поэтому если для
каждого /-фрагмента а диаграммы б имеет место а <;- у, то
б</у. Пусть а — некоторый /-фрагмент диаграммы 6. Тогда а
является /-фрагментом либо диаграммы 6Ь либо диаграммы ц.
В первом случае, применив предположение индукции по т,
получаем, что существует /-фрагмент р диаграммы уь такой,
что а^/Р. Более того, (3 является /-фрагментом диаграммы у.
Следовательно, а</у. Если же а является /-фрагментом диа-
граммы ц, то а является /-фрагментом и диаграммы у и по-
тому а <у у.
Теперь мы приступим к доказательству непротиворечивости
некоторой системы арифметики второго порядка. Чтобы упро-
стить рассуждения, в качестве исходных логических символов
мы будем использовать только “1, Л и V. Остальные символы
будут употребляться как сокращения.
Определение 27.2. (1) Язык, формулы, абстракты, секвенции
и выводы в арифметике второго порядка такие же, как и
в определении 18.1.
(2)	Полуформулы и полуабстракты — это выражения, по-
строенные так же, как формулы и абстракты соответственно,
но в них могут свободно входить связанные переменные. Внеш-
12 Л Такеути
354
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
ний логический символ полуформулы или полуабстракта опре-
деляется, как обычно.
(3)	Пусть А — некоторая полуформула или полуабстракт,
пусть УфВ — некоторая полуформула в Л, и пусть 4)=— внеш-
ний квантор V в УфВ, т. е. квантор V, предшествующий ф.
Пусть G — произвольный символ в В. Тогда мы говорим,
что # связывает G (a G связывается этим 41=) в А. Если G
является квантором V по переменной второго порядка в В
и G связывает ф в В, то мы говорим, что * действует на G в А.
(4)	Пусть ф — некоторый квантор V по переменной второго
порядка в А. Мы говорим, что квантор 41= изолирован в А,
если выполняются следующие условия.
(4.1)	Никакой квантор V по переменной второго порядка
не действует на Щ=.
(4.2).	Квантор 4+: не действует ни на какой квантор V по
переменной второго порядка.
(5) Полуформула или полуабстракт А называется изолиро-
ванным, если каждый квантор V по переменной второго по-
рядка в А изолирован.
Легко доказывается следующее предложение.
Предложение 27.3. Класс изолированных формул {абстрактов)
является классом П* в широком смысле (см. п. (3) определения
18.1). Следовательно, если V — изолированный абстракт и F {а)
изолировано, то и В (V) изолировано.
Из предложения 27.3 видно, что, когда мы изучаем изо-
лированные формулы, то, по существу, имеем дело с Пгфор-
мулами.
Определение 27.4. Под изолированной системой натуральных
чисел (INN) мы понимаем систему арифметики второго порядка
(см. определение 18.1), у которой индукционные формулы
произвольны, т. е. система обладает полной индукцией, а аб-
стракты в применениях правила V-слева, обозначенные бук-
вой V в п. (1) определения 18.1, должны быть изолированными,
т. е. система имеет, так сказать, „изолированное выделение".
Настоящий параграф посвящен доказательству следующей
теоремы.
Теорема 17.5. Система INN непротиворечива.
Доказательство. Эту теорему мы докажем с помощью
системы ординальных диаграмм О (<в + 1, и3). Доказательство
будет излагаться поэтапно. Мы перенесем сюда многие по-
нятия, относящиеся к арифметике первого порядка, например
$ 27. Арифметика второго порядка с аксиомой П\-выделения 355
понятия явного и неявного пучка или формулы, заключитель-
ной части вывода, граничного применения правила и т. д.
Определение 27.6. Пусть А — некоторая формула. Через у (Л)
обозначим сложность формулы А, определяемую следующим
образом:
1)	у(Л) = 0, если А — изолированная формула.
В следующих пунктах предполагается, что формула А не яв-
ляется изолированной.
2)	Если	А	имеет	вид	~~\В, то	у (Л) = у (В) + 1.
3)	Если	А	имеет	вид	В Д С, то у (Л) = max (у (В), у (С)) + 1.
4)	Если	Л	имеет	вид	VxG(x),	то у (Л) = у (G (а)) 4- 1.
5)	Если	Л	имеет	вид	V<£E(<£),	то у (Л) = у (F (а)) 4- 1.
6)	Сложность абстракта {х1, ..., хп} И ...хп) опреде-
ляется как у (И (а); ..., «„)).
Предложение 27.7. Если V — изолированный абстракт, то
YUW^YU7 (<*))•
Доказательство. Если у(Е(а)) = 0, то предложение
очевидно (см. предложение 27.3). Если же у (F(а)) #= 0, то это
предложение мы докажем индукцией по числу логических сим-
волов в F (а). Мы рассмотрим только случай, когда В (а) имеет
вид V<£G(<£, а) (в других случаях рассуждения аналогичны).
По предположению индукции y(G(0, V)) = у (G (0, а)). Отсюда
вытекает, что
y(B(V)) = y(G(₽, V))+1=y(G(₽, a))+l=y(F(a)).
Предложение 27.8. Если V — изолированный абстракт и
у (В (V)) > 0, то у (V<£B (^)) = у (В (V)) + 1.
Доказательство. Пусть V — изолированный абстракт
и у(В(7))>0. Согласно предложению 27.7, имеем у(В(а))>0,
т. е. формула В (а) не изолирована. Следовательно, формула
УфЕ(ф) также не является изолированной. Тогда у (V<£B (<£)) =
= y(B(a))+ l = y(B(V))+ 1.
Определение 27.9. Пусть А — какое-то вхождение некоторой
формулы в вывод Р в системе INN. Ранг вхождения А отно-
сительно Р, обозначаемый г (Л; В) или просто г (А), определим
как и2 • у (Л) 4- и • mi + m0, где гп\ — число свободных перемен-
ных второго порядка, которые используются в качестве соб-
ственных переменных в применениях правила второго порядка
V-справа, расположенных ниже секвенции, содержащей Л,
а т0 — число логических символов в Л.
Чтобы доказать теорему 27.5, мы изменим понятие вывода
в INN, добавив следующее правило подстановки.
12*
356
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
Определение 27.10. Правило подстановки в INN задается
следующей схемой:
...........Дь •••, 71п—..., Вт__
о_______________________________оо.«-(;)•
где а — свободная переменная второго порядка и V — неко-
торый изолированный абстракт, имеющий то же число аргу-
ментных мест, что и а. Переменная а здесь называется соб-
ственной переменной подстановки. Эта схема, по существу,
является в системе INN излишней, но ее введение помогает
нам при проведении редукций выводов в INN.
Определение 27.11. Мы говорим, что применение / правила
подстановки или правила V-справа второго порядка нарушает
полуформулу А, если собственная переменная применения J
связывается некоторым квантором V второго порядка в А.
Определение 27.12. Пусть Р — некоторый вывод в INN. Мы
назовем Р выводом с уровнями, если выполняются следующие
условия:
1)	Каждая подстановка применяется в заключительной части,
и ниже подстановок нет применений правила индукции.
2)	Каждой полуформуле А (или подстановке /) в Р по-
ставлено в соответствие некоторое ординальное число ^со,
обозначаемое через d(A-, Р) (соответственно с/(/; Р)), назы-
ваемое уровнем полуформулы А (соответственно подста-
новки /) в выводе Р и удовлетворяющее условиям 2.1)—2.9).
Вместо d(A; Р) (или d(J; Р)) мы часто будем писать для крат-
кости d (Д) (соответственно d (/)).
2.1)	Если Л — явная полуформула, то <7(Д) = 0. Допустим,
что А — неявная полуформула.
2.2)	Если А не является изолированной, то d(A) = a. До-
пустим, что А изолирована.
2.3)	d(A) = 0, если А не содержит логических символов.
2.4)	d (Д) = d (В) -j- 1, если А имеет вид ~~\В.
2.5)	d (Д) = max (d (В), d(C)), если А имеет вид В /\ С.
2.6)	d(A) = d (В (х)) 4- 1, если А имеет вид VxB (х).
2.7)	d (Д) = шах/ (d (Р (<£)), d (/)) -ф 1, если А имеет вид У^Р(Ф),
где J пробегает множество всех подстановок в Р, которые
нарушают У'/’Р (/>).
2.8)	d (В) < d (J) для каждой неявной формулы В в верхней
секвенции применения J.
2.9)	0<d(7)<®.
$ 27. Арифметика второго порядка с аксиомой Щ-выделения
357
Определение 27.13. Пусть Р — некоторый вывод с уровнями,
и пусть S — некоторая секвенция в Р. Тогда i-резольвентой
секвенции S назовем верхнюю секвенцию самой верхней под-
становки, которая применяется ниже S и уровень которой не
больше, чем г, если такая существует; в противном случае
i-резольвентой секвенции S назовем заключительную секвенцию
вывода Р.
Определение 27.14. Рассмотрим систему ординальных диа-
грамм О (со + 1, со3). Каждой секвенции некоторого вывода
с уровнями мы поставим в соответствие некоторую ординаль-
ную диаграмму из О (co-f- 1, со3) следующим образом.
1)	Начальным секвенциям ставится в соответствие орди-
нальная диаграмма 0.
2)	Если St и S2 — соответственно верхняя и нижняя сек-
венции некоторого применения J слабого структурного правила,
то секвенции S2 ставится в соответствие та же ординальная
диаграмма, что и секвенции S].
3)	Если Si и S2 — соответственно верхняя и нижняя сек-
венции некоторого применения правила 1 (справа или слева),
Д-слева, V (справа или слева) первого порядка, V-справа вто-
рого порядка или явного применения правила V-слева второго
порядка, то секвенции S2 ставится в соответствие ординальная
диаграмма (со, 0, ст), где ст — ординальная диаграмма секвен-
ции S[.
4)	Если и S2 — верхние секвенции, a S— нижняя сек-
венция применения правила Д-справа, то секвенции S ставится
в соответствие ординальная диаграмма (со, 0, ст. ст2), где Ст[
и ст2 — ординальные диаграммы секвенций Si и S2 соответ-
ственно.
5)	Если Si и S2 — соответственно верхняя и нижняя сек-
венции неявного применения правила V-слева второго порядка,
имеющего вид
F (V), Г->Д
V<jf>E (<£), Г -> Д,
•то секвенции S2 ставится в соответствие ординальная диа-
грамма (со, г (F (V)) + 2, ст), где ст — ординальная диаграмма
секвенции S;.
6)	Если S! и S2— верхние секвенции, aS — нижняя секвенция
некоторого сечения, то секвенции S ставится в соответствие
ординальная диаграмма (со, нг-j-l, сп # о2), где m — ранг вы-
секаемой формулы относительно рассматриваемого вывода,
а Ст1 и ст2 — ординальные диаграммы секвенций Si и S2 соот-
ветственно.
358
Г л. 5. Доказательства непротиворечивости
7)	Если и S2 — соответственно верхняя и нижняя сек-
венции некоторой подстановки уровня i, то секвенции S2 ста-
вится в соответствие ординальная диаграмма (i, 0, о), где
о — ординальная диаграмма секвенции Sb
8)	Если Si и S2 — соответственно верхняя и нижняя секвенции
некоторого применения правила индукции, то секвенции S2
ставится в соответствие диаграмма (и, m + 2, о), где пг — ранг
индукционной формулы относительно рассматриваемого вывода
и о — ординальная диаграмма секвенции Sb
9)	Ординальная диаграмма, которая ставится в соответ-
ствие заключительной секвенции вывода Р с уровнями, назы-
вается ординальной диаграммой этого вывода.
Ординальная диаграмма секвенции S в выводе Р будет
обозначаться через О (S; Р) или просто О (S); ординальная
диаграмма вывода Р будет обозначаться через О (Р).
Определение 27.15. Определим понятие редукции вывода.
1)	Пусть Sb . .., Sm и S — некоторые секвенции. Секвенция S
редуцируема к Sb ..., Sm, если S выводима без сечений в пред-
положении, что Sb ..., Sm выводимы без сечений.
2)	Пусть Р[, ..., Рт и Р — некоторые выводы с уровнями.
Мы говорим, что вывод Р редуцируется к Рх.......Рт, если
выполняются следующие условия:
2.1)	Ординальная диаграмма каждого Р, меньше ординаль-
ной диаграммы вывода Р (в смысле порядка <0).
2.2)	Заключительная секвенция вывода Р редуцируема к за-
ключительным секвенциям выводов Рь ..., Рт.
(1)	Подготовка к редукции. Допустим, что секвенция
выводима в INN. Мы редуцируем вывод Р секвенции -> в не-
который другой вывод этой секвенции. Затем трансфинитной
индукцией по <0 мы можем доказать, что в INN существует
некоторый вывод секвенции —>, заключительная часть которого
совпадает с ний самим. Следуя методу доказательства непро-
тиворечивости системы РА, мы могли бы устранить сечения
из полученного таким образом вывода. Но это невозможно.
Без потери общности мы можем считать, что все свободные
переменные, использующиеся в выводе в качестве собственных,
отличны друг от друга и никакая из них не входит в секвенции,
расположенные ниже того применения правила, в котором она
является собственной.
Пусть Р — некоторый вывод секвенции —
1) Добавим следующие правила вывода, которые будем на-
зывать правилами замещения терма-
Гь F(s), Г2->Д
слева- Н, F (0, Г2->Д’
справа:
Г->ДЬ F(s), Д2
Г—>ДЬ F(0, Д2’
$>’ 27. Арифметика второго порядка с аксиомой П\-выделения 359
где s и t — термы, не содержащие никаких свободных пере-
менных и выражающие одно и то же число. (Эти правила
вывода излишни для исходной системы.)
Если Si и S2 — соответственно верхняя и нижняя секвенции
некоторого применения правила замещения терма, то секвен-
ции S2 ставится в соответствие такая же ординальная диа-
грамма, что и секвенции St.
3^ В выводе Р подставим 0 вместо каждой свободной пе-
ременной первого порядка, кроме тех переменных, которые
используются в качестве собственных. После этой подстановки
вывод остается правильно построенным выводом, и ни его за-
ключительная секвенция, ни его ординальная диаграмма не
изменяются.
(2)	Допустим, что вывод Р содержит в своей заключительной
части некоторое применение правила индукции. Так как в Р
проведена только что описанная в 3) подстановка, вывод Р
в своей заключительной части не содержит свободных пере-
менных первого порядка, кроме тех, которые используются
в качестве собственных. Пусть J — некоторое самое нижнее
применение правила индукции в заключительной части вы-
вода Р:
Q(a)
А (а), Г->Д, А (а')
Л (0), Г->Д, Л (/)
где t не содержит свободных переменных и Q (а) — вывод
верхней секвенции применения 7. Из вывода Р мы получим
некоторый новый вывод Р', заменив в нем J следующим об-
разом.
Случай 1. t — Q. Заменим ту часть вывода Р, которая рас-
положена над секвенцией Л(0), Г->Д, А (/) (включая и ее), на
Л(0)->Л(0)
несколько ослаблений и перестановок
Л(0), Г->Д, Л(0)
Л(0), Г->Д, А (Г).
Поскольку секвенции Л(0), Г->Д, АР) ставится в соответствие
ординальная диаграмма 0, очевидно, что О (Р') <о О (Р).
360
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
Случай 2. t=^Q. Тогда 1 = п для некоторого нумерала п..
Рассмотрим следующий вывод Р':
Q(o)	Q (ор
Л(0), Г->\ Л (О')	Л(0'),Г->\ Л(0")
Л(0), Г, Г—»А, А, Л(0")	Q (0'р
несколько перестановок и сокращений	’’•jf
А(0), Г-»А, Л (0")	Л(0"), Г->А, Л(0'">
Л(0), Г, Г->А, А, Л (О'")
несколько перестановок и сокращений
Л(0), Г—>А, Л (О'")
Л(0), Г Ха, Л(п)
Л(0), Г-*А, Л(/)
Каждой подстановке в Р' сопоставим тот же уровень, что и
соответствующей подстановке в Р. Легко видеть, что Р' является
выводом с уровнями и оканчивается секвенцией —
Тот факт, что О (Р') <0 О (Р), доказывается следующим
образом. Сначала сравним
Ро = О (Л (0), Г -> А, Л (0; Р) = (со, г (Л (а); Р) + 2, jx)
и
= О (Л (0), Г -> А, Л (0"); Р') = (со, г (Л (О'); Р) + 1, ц # ц)..
Так как г (Л (Q); Р) — г (Л (0); Р'), то Pi <„0 Но- Единственным
©-фрагментом диаграммы Ц; является Так как (1 является
©-фрагментом диаграммы ц0, то Р=й=И<шРо- Таким образом,
Pi <wHo- Над применением правила индукции нет подстановок,
поэтому имеем
О (Л (0), Г -> А, Л (/); Р') <t О (Л (0), Г -> А, Л (/); Р)
для всякого /, где j = со или	Пусть {у0, ут} и
{д0, ..., бт) — последовательности ординальных диаграмм, та-
кие, что
i)	ут = О(Л(0), Г->А, Л(0; Р);
ii)	= о (Л (0), г -> А, л (0; р');
iii)	Ym-i> •••, Yo суть ординальные диаграммы секвенций
из Р, расположенных ниже Л (0), Г->А, Л (/) в таком
порядке,
§ 27. Арифметика второго порядка с аксиомой [[[-выделения
361
iv)	6m_i,	60 суть ординальные диаграммы соответ-
ствующих секвенций в Р'.
Тогда эти последовательности ординальных диаграмм удовлет-
воряют условиям леммы 27.1. Таким образом, согласно этой
основной лемме, положив р равным 0, мы получаем 6о<оУа
или О (Р') <о О (Р).
(3)	Вследствие редукции, описанной в (2), мы можем теперь
«читать, что вывод не содержит в своей заключительной части
применений правила индукции и, следовательно, не содержит
свободных переменных. Допустим, что в заключительную часть
вывода Р входит некоторая начальная секвенция вида s = t,
Л(х)-»-Д(/). Выберем какую-нибудь такую секвенцию. Тогда
найдутся нумералы тип, равные соответственно хи/. Либо
•секвенция т = п—>, либо секвенция ~>т = п является матема-
тической начальной секвенцией.
Случай 1. Секвенция пг — п —> является аксиомой. Тогда
заменим выбранную нами начальную секвенцию на
_________щ = и—»________
ослабления и перестановка
т = п, А (т) —> А (п)
замещения термов
s = t, Л(х)-> A{t).
Это преобразование не изменяет ординальной диаграммы.
Случай 2. Секвенция т = п-> не является аксиомой. Тогда
заменим выбранную нами начальную секвенцию на
А (т) —> А (п)
замещения термов
Л(х)-»Л(/)
s — t, Л(х) —> А (/).
(4)	Согласно (3), мы можем предполагать, что в заключи-
тельной части вывода Р нет применений правила индукции,
а также аксиом равенства. Допустим, что заключительная
часть. вывода Р содержит логические начальные секвенции.
Допустим далее, что начальная секвенция D-+D расположена
в заключительной части вывода Р, который имеет следующий
вид:
D-+D
Г-^>Д, Ь Ь, П^»Л1,Р,Л2
Г, П-*Д, Ль D, Л2
362
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
где две формулы D в правой верхней секвенции сечения обо-
значают потомков формул D, входящих в явно выписанную-
начальную секвенцию.
Рассмотрим вывод Р' следующего вида:
____________г-»д, г>______________
несколько ослаблений и перестановок
Г, П->Д, Л,, Ь, Л2
где каждой подстановке в Р' сопоставляется тот же уровень,,
что и соответствующей подстановке в Р. Тогда
О (Г, П->Д, Ль Ь, Л2; Р) = ((о, r(D)+ 1, g#v).
С другой стороны,
О (Г, П—>Д, Ль D, Л2; Р') — ц </(«, r(E>)+ 1, р # v)
для всех /=С®, и если / < <о, то каждый /-фрагмент 0 диа-
граммы ц является также /-фрагментом диаграммы (<о, г(£>) + 1,
p^v). Таким образом, согласно лемме 27.1, имеем О(Р') <0О(Р)-
Если вывод Р имеет вид
D->Z)
Гь D, Г2Хд, Д О,пХд
'	гь Ь, г2, п-> д, л
то редукция проводится аналогично.
(5)	В дополнение к условию, указанному в (3), мы можем
считать, что заключительная часть вывода Р не содержит ло-
гических начальных секвенций. Пусть Q — некоторый вывод
с уровнями, который не обязательно оканчивается секвенцией
но который удовлетворяет тем же условиям, что и Р. Вы-
вод Q*, получающийся из Q устранением ослаблений в его
заключительной части, мы можем определить индукцией по
числу непосредственных выводов в заключительной части вы-
вода Q так же, как и для системы РА. Мы рассмотрим толька
случай, когда последним в Q применяется правило подстановки,.
§ 27. Арифметика второго порядка с аксиомой Т^-выделения
363
скажем
где Г и А означают последовательности А1( ..Ат и В{.......Вп
соответственно, и а(“) означают	....
и В1(“),	соответственно, и фигура Qo, где Qo —
вывод верхней секвенции, оканчивается секвенцией Г*—>А*.
Тогда Q* имеет вид
.91
г* Ха*
Если заключительная часть вывода Р содержит ослабления,
мы можем редуцировать вывод Р к выводу Р*, причем каждая
подстановка в Р* имеет тот же уровень, что и соответствую-
щая подстановка в Р.
(6)	В дальнейшем мы будем считать, что заключительная
часть вывода с уровнями не содержит применений логических
правил или правила индукции, ослаблений и аксиом, отличных
от математических. Более того, мы можем предполагать, что
вывод не совпадает со своей заключительной частью, поскольку,
если он совпадает со своей заключительной частью, то мы
можем из него устранить сечения, как упоминалось в начале
этапа (1).
Пусть Р — некоторый вывод с уровнями. Напомним опре-
деление подходящего сечения: сечение (точнее, применение пра-
вила сечения) в заключительной части вывода Р с уровнями
называется подходящим, если обе его высекаемые формулы
имеют предков, являющихся главными формулами граничных
применений некоторых правил (на самом деле логических).
В точности таким же образом, как и для системы РА, мы
можем показать, что при этих условиях в заключительной части
вывода Р имеется подходящее сечение.
Пусть теперь Р — некоторый вывод с уровнями, оканчиваю-
щийся секвенцией —и пусть J — некоторое подходящее сече-
ние в Р. Чтобы определить понятие существенной редукции,
нам нужно в отдельности рассмотреть несколько случаев (в за-
висимости от вида внешнего логического символа высекаемой
формулы сечения 7).
364
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
(7)	Сначала мы рассмотрим случай, когда внешним логиче-
ским символом высекаемой формулы в 7 является квантор V
второго порядка. Пусть вывод Р имеет следующий вид:
Si
52
$5
J
Г, Л,, Г, (a)	F2(V), П, Л,
(и, О, Л)	(о), п+2, ц)
Г1. Дь W (ф) s3 W2 (ф), П, -> Ai
Г \ А2,\/фР(ф) S4 W), П2 л2
(со» /п + 1, т # р)
Гз? Пз —> Ао
гДдз
где m = г (ЧфР (</>)), п — r (F2(V)) и секвенция S6: Г3—> Д3 является
i-резольвентой секвенции S5: Г2, П2->Д2, Л2, причем i —
= d (УфРх (</>)). Здесь нам следует отметить, что /-резольвента
Г3->А3 будет использоваться только в случае, когда формула
V^>F(^>) изолирована.
Случай 1. Формула	изолирована.
Пусть Sj, S2, S3, S4 обозначают следующие секвенции (в при-
веденной выше фигуре):
Si: ri->AbWjW, S2: Г2-*Д2,
S3: W2tf), П^Ль S4:	П2->Л2
Следует отметить, что формулы (ф) и УфР2(ф) совпадают
с самой формулой УфЕ (</>) с точностью до замещений термов,
т. е. к этим двум формулам не применяются никакие подста-
новки, поскольку, если бы существовала некоторая подста-
новка уровня k, применявшаяся к (^) между Si и S2, то
эта подстановка нарушила бы формулу V^Fi (Ф). Но тогда
отсюда вытекало бы, что k < i, в противоречии с п. 2.8) опре-
деления 27.12. Таким образом, формула ХЛ/1/7! (</>) совпадает
с \/<]>F (ф) с точностью до замещений термов. По той же при-
чине У/фР2(ф) совпадает с УфР(ф) с точностью до замещений
§ 27. Арифметика второго порядка с аксиомой п\-выделения
365
термов. В 70 имеем d (F\ (</>)) < i (—d (V<j>Fj (</>))). Пусть P'—сле-
дующая фигура:
V	ц
Г1->АЬ F,(a)_____________	F2(V), n!->At
Si Г}->/ч(а), Ai- Wtf)	S3 V^>F2W, П,-^
Si гД(а), Д2, VQ)	S4 V^Fffl, П2Дл2
",	(G>, m + 1, x' # p)
Ss Г2, П2	—>	F (a), A2, Л2
S6 . Г3 -» A3, F (a)	\: /
J1	(i. 0, 6)	,	p
S7 r3 -> A3, F (V) S3 F (V), П.-^Л,
(co, n + 1, (Z, 0, 0) # p)
Г3, П]______—»________A3, A]
S8	Пь Гз-^Аз, A!
S2 Г2Да2, V</>Fffl S9 П2, гДа3, Л2
(<o, m +1, x # p')
Г*21 n2, r3 -»A2, A3, Л2
•Sio г2, П2, Г3—>_A;j, A2, Л2
Г3, Г3—>A3, A3
A>u Гз-*А3
где 71 — подстановка с собственной переменной а и уровень
этой подстановки равен г. Каждой подстановке в этом выводе,
отличной от Jlt сопоставим такой же уровень, что и соответ-
ствующей подстановке в Р. Здесь нам следует отметить, что
в верхней секвенции подстановки потомком формулы Fx (a)
из секвенции Tj-^Aj, Fi (а) является F (а). Как было замечено,
ни одна подстановка не нарушает формулу F (а) между сек-
венциями Г[—>Ab F (а) и Г2, П2-^А2, Л2 в выводе Р. Если бы
между секвенциями Г2, П2—>А2, Л2 и Г3—>А3 имелась бы такая
подстановка уровня k, то она бы нарушила формулу V</>F (</>),
т. е. было бы k < i. Но это противоречит тому факту, что
секвенция Г3 —> А3 является i-резольвентой секвенции
Г2, П2—>А2, Л2.
366
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
Мы покажем, что фигура Р' является выводом с уровнями.
Для этого достаточно показать, что d (F\ (а); Р') < I. Если фор-
мула F[ (а) нарушается (в Р') каким-нибудь применением пра-
вила, отличным от Л, то соответствующее применение правила
в Р нарушает формулу Л (а). Подстановка Л не нарушает
формулу F (а), так как в противном случае внешний квантор V
в формуле (</>) действовал бы на какой-то другой кван-
тор V второго порядка в формуле V</>Ei (</>). Но это противо-
речит тому, что формула V^F]^») изолирована. Поэтому
d (Fi (а); Р') = d (Fi (а); Р) < i.
Чтобы доказать, что О (Р') <0 О (Р), или о' <0о, мы сна-
чала покажем, что v' <jV при /Осо и что для любого j при
0</<t и любого /-фрагмента ц диаграммы v' найдется
/-фрагмент | диаграммы v, такой, что цО/S- Это доказывается
ниже (см. (7.5)).
(7.1)	Для любого / <со имеет место х' <ут, где r = O(S2; Р)
и х' — О (S2; Р')- Если / < со и а — произвольный /-фрагмент
диаграммы х, то существует /-фрагмент 0 диаграммы х, такой,
что a О/ р.
Доказательство. Так как выше St нет подстановок,
то, согласно основной лемме при р = 0, достаточно показать,
что К' < j (со, О, Z) для всех /О®-
1)	Пусть / = со. Тогда А/ОоА по определению Р'. Очевидно,
что Л<и(со, О, Л). Следовательно, А/ <щ (со, О, А).
2)	Пусть / < со. Так как в К' нет /-фрагментов, то К' </(а>, О, Я,),
если А/<щ(со, О, Л). Но, согласно 1), К' <и(со, О, Л).
(7.2)	Для каждого j О со имеет место 0 <yV. Если / < со, то
для каждого /-фрагмента а диаграммы 0 найдется /-фрагмент Р
диаграммы такой, что аО/Р-
Доказательство. Согласно основной лемме при р = 0,
достаточно доказать следующее:
1) (со, m+1, т'фр) <;-(со,	1, тфр) для всех j О со и
2) для каждого / < со и для каждого /-фрагмента а диа-
граммы х' существует /-фрагмент р диаграммы т, такой, что
а</ р.
Но 2) представляет собой часть утверждения (7.1). Следо-
вательно, нам нужно доказать только 1). Мы это сделаем ин-
дукцией по общему числу индексов, больших, чем j (верхних
индексов для /), в диаграммах (со, m + 1, х' ф Р) и (со, m + 1,
тфр)-
1)	Поскольку х'<ах, из (7.1) следует, что
(со, m + 1, х' ф р) <00 (со, m + 1, х ф р).
§ 27. Арифметика второго порядка с аксиомой П( -выделения
367
ii)	Если / = со, то в силу (7.1) тфр <итфр. Поскольку
тф Р <и(о>, m+ 1, тфр), утверждение 1) следует из i).
iii)	Если j < и, то, по предположению индукции и согла-
сно i), имеем
(со, tn + 1, т' ф р) </, (<о, m + 1, т ф р),
где /1 = /о(/, (<о, m + 1, /фр), (со, т+1, тфр)). Пусть а—не-
который /-фрагмент диаграммы (со, т+1, тфр). Тогда а яв-
ляется также /-фрагментом диаграммы т'фр. Если а — неко-
торый /-фрагмент диаграммы т', то, согласно (7.1), а<;(со,
т + 1, тфр). Если же а является /-фрагментом диаграммы р,
то а является и /-фрагментом диаграммы (со, т+1, тфр),
и потому а</(со, т+1, тфр). Таким образом,
(со, m + 1, т'фрХДы, m + 1, т ф р).
(7.3)	О (S8; Р') </О (S3; Р) при i < j + со или /’ = оо.
Доказательство проводится индукцией по i (/, О (S3), О (38)).
Имеем O(S3) = (co, п + 2, ц) и 0(S8) = (co, п +1, (i, 0, v)#p).
1)	Так как п + 1 < п + 2, то О (Ss) <<*, О (S3).
2)	Если / = со, то, поскольку p<O00(S.j) и О (S8) <м О (S3),
достаточно доказать, что (Z, 0, 9)<coO(S3). Но, очевидно, это
имеет место, так как в (i, 0, 9) нет co-фрагментов и (с, 0, 9) <оо
<^0(5,).	, п m
3)	Если I < j < со, то О (S8) </ О (S3), потому что ни в (г, 9, 9),
ни в у, нет /-фрагментов, и, согласно 2), имеем О (S8) <щ О (S3).
(7.4)	Если i < / «С со, то р'<;р. Если i < j < со, то для ка-
ждого /-фрагмента а диаграммы р' существует /-фрагмент р
диаграммы р, такой, что а^/Р.
Доказательство. Положим в основной лемме величины
р, у и 6 равными соответственно 7+1, О (S4) (=р) и О (S9)
(=р'). Пусть уо (=0(<S4)), Yi, • ••, Ym(=O (S3)) — последова-
тельность различных ординальных диаграмм секвенций от 34
до S3 в Р, a 6o(=0(Sg)), 6], ....	(= О (S8)) — последователь-
ность различных ординальных диаграмм секвенций от S9 до S8
в Р'. Тогда доказываемое утверждение вытекает из основной
леммы и из (7.3). Здесь следует вспомнить, что в О (S8) нет
/-фрагментов при i < j < со.
(7.5)	v' <jV при j + и.
368
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
Доказательство. Сначала мы покажем, что v'<;-v при
любом /, i < Пусть р — произвольное натуральное число,
и пусть	Возьмем в качестве у, 6 и р
в основной лемме О (S6) (=v), О (S4) (=v') и 0 соответственно.
Пусть уо (= О (36)), .. ., ут (= О (35)) — последовательность раз-
личных ординальных диаграмм секвенций, расположенных от
36 до S5 в Р, и пусть
60(=O(Sn)).....М=О(310))
— последовательность различных ординальных диаграмм сек-
венций, расположенных от Sn до 310 в Р'. Тогда нам надо
только доказать, что для О (35) и О (Зю) выполнены условия
главной леммы. Мы докажем это индукцией по i (/, О (S5),
О(310)), где O(S5) = (®, т+ 1, т#р) и O(Si0) = (®, т+ 1, тфр').
1)	Согласно (7.4), р'<щр. Следовательно, О (310) <оо О (S5).
В следующих ниже пп. 2) и 3) мы предполагаем, что
О (Slo) <i О (35), где = /о (/, о (S5), О (S10)).
2)	Если ! = <&, то О (310) <и О (S5) при условии, что т#р'<0)
<ШО(35) и О (310) <х О (35). Но это следует из (7.4) и 1).
3)	Если р<^/<м, то О (Sjo) <j О (35) при условии, что для
каждого /-фрагмента а диаграммы О(310) выполняется а<
<УО(35). Пусть а — некоторый /-фрагмент диаграммы О (Зю),
т. е. тф|=р'. Если а является /-фрагментом диаграммы т, то
а является и /-фрагментом диаграммы О (35). Следовательно,
а <у О (35). Если же а является /-фрагментом диаграммы р',
то a <j О (35) в силу (7.4).
Установив, что v'<,-v при i < j м, рассмотрим теперь
какой-нибудь /-фрагмент диаграммы v'. Если этот фрагмент
не совпадает с 0, то он является и /-фрагментом диаграммы v.
Если же он совпадает с 0, то неравенство 0 <zv уже устано-
влено в (7.2). При / < / пусть а — некоторый /-фрагмент диа-
граммы v'. Легко можно показать, что существует некоторое
вхождение а в диаграмму v, являющееся /-фрагментом этой
диаграммы. Поэтому a </V. Таким образом, v'</v для любого
/^/. Тем самым полностью доказано, что v'</V для всех
/<м.
Далее вспомним, что секвенция Г3->Д3 либо является зак-
лючительной секвенцией, либо является верхней секвенцией
некоторой подстановки уровня k0 < /. Если имеет место первый
случай, то v' <ov означает, что а' <0о. Допустим, что имеет
место второй случай. Тогда а' <0о следует из (7.5) согласно
основной лемме; заметим, что при этом k0, как указано выше,
невозможно, чтобы 0 было /-фрагментом какой-нибудь диа-
граммы, заключенной между v' и а'.
$ 27. Арифметика второго порядка с аксиомой П\-выделения
369
Случай 2. Формула V^>F(^) не является изолированной.
Пусть Р" — вывод следующего вида:
гДд„ F,(V)__________________________
несколько перестановок и ослабление
Г,->Л(Ю. До УФЛ(Ф)
F2->F(V), Лг. УФНФ) V<W), П2Хд.г
Гг, П2->Д(У), Д2, Л2
_______________________Г2(У), п^'л,
несколько перестановок и ослабление
V0F2(0), П„ F2(V)^M
: •’	Ч : •*’
Г2-»Дг, УфР(Ф) УфГ(ф), П2,
Г2, П2, F (V) -> Д2, Л2
несколько перестановок	несколько перестановок
Г2, П2 -> Д2, Л2, F (V) '____________F(V), Г2, П2->Л2, Л2
Г2, П2, Г2, П2-> Д2, Л2, Л2, Л2
несколько перестановок и сокращений
Г2, 112->Д2, А2
где каждой подстановке сопоставляется тот же уровень, что и
соответствующей подстановке в Р, и вывод секвенции Г] —>• Дь
F\(V) в Р" получается из вывода секвенции Г1->Д1(а) в Р
подстановкой всюду V вместо а. Поскольку абстракт V изоли-
рованный, имеем, согласно предложению 27.7, y(G(V)) =
= y(G(a)). Поэтому ординальная диаграмма секвенции Г^Дь
Fi(V) не больше, чем Л, в смысле порядка </ для каждого j.
Ясно, что фигура Р" является выводом с уровнями. По-
скольку г (F(V)) < г (V</>F (<£)), легко видеть, что о" < 0<у.
(8)	Теперь мы рассмотрим случай, когда внешним логическим
символом высекаемой формулы в J является А- Пусть вывод Р
имеет следующий вид:
Г1~-»Д1, Л)	Г2—>Д2, В]
Гь Г2_>Д1, Дг, АД.В1
Г3 —> Д3, А /\ В
Л2, П| —>• Л]
А2 Л В2> Л]
А /\ В, П2—> Л2
Гз> П3
Дз> Д2
I
370
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
Ясно, что этот вывод можно редуцировать к выводу Р' сле-
дующего вида:
гД’д„ л,______________________
несколько перестановок и ослабление
Г„	Д|, Д2, Л[ Д
Г3 -> Л, А3, Л А А	АДВ П 2 -> Да
Л2, П i —* А i
несколько перестановок и ослабление
Лг А Вг, Щ, Аг -> А,
Г3 Д3, ЛАВ Л А В, П2, Л X’ Лг
Г3, П2-*Л, Дз, Аа	Г3, Па, Л —> Дз, Аа
несколько перестановок	несколько перестановок
Гз, П2 —* Дз, Дз, Л	А, Гз, Па-*-Аз, Дз
Гз, П2, Г3, Па-> Дз, Аг, Дз, Дг
несколько перестановок и сокращений
Гз, Па ~* Дз, Д2
Каждой подстановке в Р' сопоставляется тот же уровень, что
и соответствующей подстановке в Р. Таким образом, Р' — это
вывод с уровнями, ординальная диаграмма которого меньше,
чем у вывода Р.
(9)	Оставшиеся случаи, т. е. случай, когда внешним логиче-
ским символом высекаемой формулы в J является “1, и случай,
когда внешним логическим символом высекаемой формулы
является квантор V первого порядка, рассматриваются так же,
как и предыдущие случаи.
Тем самым теорема 27.5 доказана.
§ 28. Доказательство непротиворечивости системы
с индуктивными определениями
В этом параграфе мы докажем непротиворечивость системы,
полученной из системы INN добавлением к ней индуктивных
определений по П'-формулам. Эту систему мы назовем систе-
мой с изолированными индуктивными определениями и обозна-
чим через IID.
Определение 28.1. Система IID получается из системы INN
следующей модификацией:
1)	Язык системы IID содержит одноместный примитивно
рекурсивный предикат I и двухместный примитивно рекурсивный
предикат <*, причем <* вполне упорядочивает множество
{а 11 (а)}.
2)	Язык системы IID содержит трехместные предикатные
символы До, Ль ,,причем, если s и t — термы, а V — абстракт,
то An(s, t, V) при n = 0, 1, ... — атомарная формула.
3)	Если V</>B — некоторая полуформула системы IID, то мы
говорим, что внешний квантор V действует на Ап в В, если
$ 28. Система с индуктивными определениями
371
Ф содержится в аргументе предиката Ап, т. е. если А„ входит
в В в виде Ап (a, b, V) и ф входит в V.
4)	Полуформулу (или абстракт) А системы IID назовем
изолированной, если ни один квантор V второго порядка не
действует в А ни на какой другой квантор V второго порядка
и ни на один из символов Ао, Аь ....
5)	Начальными секвенциями системы I1D являются те же
секвенции, что и для INN (с учетом формул, содержащих сим-
волы А„), а также секвенции следующего вида:
/(s), A„(s, t, V)-*Gn(s, t, V, {x, y}(An(x, У, V)Ax<*<
I(s), Gn(s, t, V, {x, y}(An(x, у, V) A x <*«))->A„(s, t, V)
.для n = 0, 1, 2, ... . Каждое Gn(a, b, a, 0) здесь — произволь-
ная изолированная формула, не содержащая ни одного из сим-
волов А„, A„+i, ..., а V — произвольный абстракт, который
может содержать квантор V второго порядка и символы
Ап, ^П+1< • • • •
6)	Правила вывода для системы IID те же, что и для INN.
Цель настоящего параграфа — доказать непротиворечивость
системы IID.
Теорема 28.2. Система IID непротиворечива.
Доказательство. Эту теорему мы докажем с помощью
системы ординальных диаграмм
О -j- 1, <о/<» • <о • «/“),
где = (2 • 111 + 1), a |Z| обозначает порядковый тип множе-
ства / относительно <*. Эта теорема доказывается так же, как
и теорема 27.5, и поэтому мы приведем только новые аспекты
доказательства.
Предложение 28.3. Пусть F (а) и V — соответственно некото-
рая изолированная формула и некоторый изолированный абстракт.
Тогда F (V)— изолированная формула.
Доказательство проводится индукцией по числу п логиче-
ских символов, содержащихся в формуле F (а). Если и = 0, то
утверждение очевидно. Пусть п > 0. Рассмотрим несколько слу-
чаев в зависимости от вида внешнего логического символа в F(a).
Мы разберем только случай, когда F (а) имеет вид (а, ф)
(остальные случаи разбираются аналогично). По предположению
индукции формула G(V, 0), где 0—-свободная переменная вто-
рого порядка, не входящая в V, является изолированной. Нам
надо лишь показать, что внешний квантор V в формуле V^>G (V, ф)
не действует ни на один квантор V второго порядка и на
372
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
формулы До, А[, .... Но это очевидно, поскольку формулы
V</>G(a, <j>) и G(V, р) являются изолированными.
Определим теперь несколько вполне упорядоченных систем.
Определение 28.4. (1)^Пусть |/| — ординал вполне-упорядо-
чения <*. Далее, пусть I =	и пусть = I (JI. Тогда
множество /„ вполне упорядочено отношением <*, которое
определяется следующим образом:
(1.1)	если	Z	е/,	TO	i <	
(1-2)	если	i	<*!,	TO	i <	-J;
(1-3)	если	i	<*i,	TO	i <	C7;
(1-4)	если	i	<4,	TO	z «	
(1-5)	если	i	<4,	TO	z <	
Ординал порядка <„ равняется 2 • 111.
(2) Пусть п— натуральное число. Тогда положим 1п~
= {(z, п) |z <= /J [J а отношение <„, вполне упорядочиваю-
щее множество 1п, определим следующим образом:
(2.1)	если i <J, то (z, п) <n(j, п);
(2.2)	если z <= то (z, п) <n°°n-
(3) Пусть /oo=/0UAU •••> а отношение <„, вполне упо-
рядочивающее множество 1Х, определим следующим образом:
(3.1) если is/„, j^Im и п < т, то i<mj;
(3.2)	если i < j в 1п для некоторого п, то i <.х j.
Порядковый тип отношения <оо равен (2 • Д I + 1) • O’-
Определение 28.5. Пусть А — некоторая формула. Индекс
предикатного символа Ап в формуле Л, обозначаемый через
g(An:A), — это элемент множества 1Х, определяемый следую-
щим образом:
1)	Если формула An(s, t, V) A s <*i входит в А, где I (i)
выводимо и лцбо s — некоторая переменная, либо s — некото-
рый нумерал, для которого выводимо “11 (s) или	то
положим g (Ап : Л) = (z, п).
2)	Если An(j, t, V) входит в А, где /(/) выводимо и не имеет
места 1), то g(An: A) = (j, ri).
3)	Если Ап входит в Л и ни 1), ни 2) не применимо, то
g(An: Д) = оо„.
Предложение 28.6. Пусть В и С — две произвольные фор-
мулы, в которые входят Ат и Ап соответственно. Тогда
g(Am:B)<Kg(Ап : С), если m<n.
Определение 28.7. Сложность у (Л) формулы или абстракта
А — это некоторое ординальное число, меньшее, чем о/°°, и
определяемое следующим образом (здесь < обозначает порядок
на
£ 28. Система с индуктивными определениями
373
1)	Если А изолировано, то у(А) = 0.
В следующих ниже пп. 2) — 6) предполагается, что А не
изолировано.
2)	Если А имеет вид П В, то у(А) = у(В) = 1.
3)	Если А имеет вид An(s, t, V) Д s <*i, то у(А) = у(У) +
+ иб(Л«:Л)+!. Если А имеет вид В Д С, но не имеет только
что указанного вида, то у (А) = шах (у (В), у(С))+1.
4)	Если	А	имеет	вид	VxG(x), то	у (А) = у (G (а)) + 1-
5)	Если	А	имеет	вид	V</>?(</>), то	у (А) — у (F (а)) + 1.
6)	Если	А	имеет	вид	An(s, t, V),	то у (А) = у (V) + <og (Ап	:
7)	Если	А	имеет	вид {хь .... xn}B(xit ..., хп), то	у(А) =
= у (В (аь .... а„)).
Предложение 28.8. Пусть {хь ..., Н (хь ..., хп)— неко-
торый абстракт, и пусть Sj, .. ., sn — произвольные термы. Тогда
y{H(sx, ..., 8„)Ху({х!, ..., хп}Н{хх, ..., х„)).
Лемма 28.9. Пусть G((3, а) — некоторая изолированная фор-
мула (в которую, кроме отмеченных, могут входить и другие
свободные переменные второго порядка), не содержащая симво-
лов Ап, Ап+1, .... Далее, пусть s — некоторая константа, для
которой выводимо I (s), а V — произвольный абстракт не являю-
щийся изолированным. Тогда имеет место
k
у (G (V, а; (V))) < у (V) + £ <о8	: В;) + m
для некоторых h, ...,	некоторых формул Вь ..., Bk и
некоторого натурального числа т, где g(A;-z'. В^ < g(An : А) при
I k и Asn (V) является сокращением для {х, у} (Ап (х, у, V) Д
А х <’s).
Доказательство. Индукция по построению G.
Предложение 28.10. Пусть s — некоторая константа, для ко-
торой выводимо I (s), и V — абстракт, не являющийся изолиро-
ванным. Если Gn(a, b, а, 0) — такая же формула, как и в опре-
делении 28.1, то
y(Gn(s, t, V, А£ (У))) < у (A„ (s, t, У)).
Доказательство. Согласно лемме 28.9, имеем
У (G (У, Asn (У))) < у (У) + Z со8 :	+ пг,
.374
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
где : В/) < §(Д„ : Д) и m < и. С другой стороны,
у (А„ (s, I, У)) = у (У) + <ов : ЛД
Отсюда следует доказываемое предложение.
Добавим теперь к системе IID правило подстановки (см.
определение 27.10).
Определение 28.11. Будем говорить, что применение J пра-
вила подстановки или правила V-справа нарушает некоторую
полуформулу А, если собственная переменная применения /
содержится в области действия квантора V второго порядка
или в аргументе предиката Ап, входящего в А.
Вывод с уровнями мы определяем как вывод, удовлетворяю-
щий следующим условиям:
1)	Каждая подстановка расположена в заключительной части,
и правило индукции нигде не применяется ниже подстановки.
2)	Каждой полуформуле или абстракту А и каждой подста-
новке J в заключительной части мы можем сопоставить некото-
рый элемент множества а/°° Д- 1, называемый уровнем А или J
(обозначение: d(A) или d(J)), так, чтобы выполнялись следую-
щие условия:
2.1)	Если А — явная формула, то d(A) = 0.
2.2)	Если А — неявная и неизолированная формула, то
d (А) — g/°°.
2.3)	Пусть А — неявная изолированная формула.
2.3.1)	d(A) = 0, если А не содержит логических символов
и символов Ао, А[.....
2.3.2)	d (А) = d (В) -j- 1, если А имеет вид П В.
2.3.3)	d (A) = maxz(d (У), d (J)) 4- <og (Ап ’+ 1, если А имеет
вид A„(s, t, У) As<*i, где J пробегает множество всех под-
становок, нарушающих А.
d (А) = max (d (В), d (С)) + 1, если А имеет вид В/\С и не
имеет только что указанного вида.
2.3.4)	d (А) = d (В (х)) + 1, если А имеет вид VxB(x).
2.3.5)	d (A)=maxz(d(F(</>)), d(/))+!, если А имеет вид V</>F (</>),
где J пробегает множество всех подстановок, нарушающих
WW-
2.3.6)	d(A) --= max7 (d (У), d (/)) + (Afl: Afl\ если А имеет вид
An(s, t, У), где J пробегает множество всех подстановок, нару-
шающих А.
3)	d(A) = d(B), если А — абстракт вида {xj, ..., хп} В.
4)	Если / — некоторая подстановка, расположенная в заклю-
чительной части, то d(B) < d (J) для каждой формулы В в верх-
ней секвенции подстановки /.
5)	Если J — некоторая подстановка, то 0 < d(J) <
$ 28. Система с индуктивными определениями
375
Лемма 28.12. Пусть G(P, а) — изолированная формула, сво-
бодными переменными второго порядка которой являются
только (5 и а, и пусть она не содержит ни одного из символов
Ап, Ап+1, ... . Допустим также, что i—некоторая константа, для
которой выводимо / (i). Если V — изолированный абстракт, то
d(G(V, дию))<тах(сЦП, d (/)) + f ы <A'i Д- m
/	i=i
для некоторых fa...ik^n> некоторых формул Blt ..., Bk и не-
которого числа т<а, где g(Aj ‘.В?) <a>g(An\An) и J про-
бегает по всем подстановкам, влияющим на V.
Предложение 28.13. Допустим, что An(i, t, V) — изолирован-
ная формула, т. е. V — изолированный абстракт, и что i — не-
которая константа, для которой выводимо I (i). Если секвенция
Hi), An(i, t, V)->Gn(i, t, V, Aln{V))
или
Hi), Gn(i, t, V, А1п(У)}~+АН1, fa V)
является начальной секвенцией в некотором выводе с уровнями,
в котором формула Ап (i, t, 1/) является неявной, то
t, v, дА(К))) < t, Ю).
Доказательство. Это предложение является частным
случаем леммы 28.12.
Определение 28.14. Пусть А — некоторая полуформула или
абстракт. Норма п(А) полуформулы (абстракта) А —это неко-
торый элемент множества ®/те, определяемый следующим об-
разом:
1)	Если А не содержит логических символов и предикатов
До, Дь А2, ..., то п(А) = 0.
2)	Если А имеет вид ~| А, то п(А) = п(В) Д- 1.
3)	Если А имеет вид An{s, t,V) /\s<*i, то п(Д) = л(У)Д-
Д- аНАп:А) j Если А имеет вид В Д С и не имеет указанного
только что вида, то п(Д) = тах(и(В), и(С))Д-1.
4)	Если	А	имеет	вид	УхВ(х),	то п (Д) = п (В (а)) Д- 1.
5)	Если	А	имеет	вид	то п (Д) — п[Е (а)) Д-1.
6)	Если	А	имеет	вид	An(s, fa	V), то n{A) = n(V) Д-®g
7)	Если	А	имеет	вид	{хь ...,	xm} Н (хь ..., хт), то п(Д) =
= п(Я(а1.....ат)).
Лемма 28.15. Если G(p, а) не содержит предикатов Ат,
Am+i, I —некоторая константа, для которой выводимо I (г),
376
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
(и если V — произвольный абстракт, то
k
n(fi(y, Alm(V))) ^n(V) + Z	+ mo,
i=i
где /; < tn, g (A/t: Вг) < g (Лт : Am) и ma < <o).
Предложение 28.16. Если
I(i), Gm(i, t, V, Alm(V))-+Am(i, t, V)
гели
Hi), Am(i, t, V)-+Gm (/, t, V, A‘m(V))
является начальной секвенцией нашей системы и I — некоторая
константа, для которой выводимо I (г), то
n<Gm(i, t, V, Л^Ю)) <n(Am(i, t, V)).
Доказательство. Это предложение является частным
случаем леммы 28.15.
Определение 28.17. Пусть !У(/м) = о/“ХоХа” и <—лек-
сикографический порядок на Д7 (1^). Рангом формулы А в дан-
ном выводе (обозначаемым через г (Л)) назовем упорядоченную
тройку (у (Л), а, п (Л)), где а — число собственных переменных
в А, соответствующих применениям правила второго порядка
V-справа в этом выводе ниже Л; таким образом, г (Л) — элемент
множества N (7^).
Предложение 28.18. Если
7(7), An(i, I, V)->Gn(i, t, V, Л7(Ю)
или
Hi), Gn(i, t, V, Aln(V)}^An(i, t, V)
является начальной секвенцией в некотором выводе с уровнями
и i — некоторая константа, для которой выводимо 1 (7), то
r(Gn(i, t, V, Aln (V)))<r(An(i, t, V)).
Определение 28.19. Каждой секвенции некоторого вывода Р
с уровнями следующим образом поставим в соответствие не-
который элемент системы О (<в7°° + 1, <о7°° X® Х®7»). Через |
мы обозначим о7°°, т. е. максимальный элемент в о/°°4- 1,
1.1)	Начальным секвенциям вида
D—>D, s — t, A (s) —> A(t)
и математическим начальным секвенциям ставится в соответ-
ствие ординальная диаграмма (0, 0, 0).
1.2)	Начальным секвенциям вида
7(7), Л„(7, t, V)-*Gn(i, t, V, {х, у}(ЛДх, у, V) Л х <*7))
§ 28. Система с индуктивными определениями
377
И
/(г), G„(i, t, V, {х, у}(Ап(х, у, V)/\ х <* i))-> An(i, t, V)
ставится в соответствие ординальная диаграмма r{An(i, t, И)).
2)	Если S( и S2 — соответственно верхняя и нижняя сек-
венции некоторого применения слабого структурного правила,
то секвенции S2 ставится в соответствие та же ординальная
диаграмма, что и секвенции Si.
3)	Если S! и S2 — соответственно верхняя и нижняя сек-
венции некоторого применения одного из правил П-слева,
—1-справа, Д-слева, V-слева или V-справа первого порядка,
V-справа второго порядка или явного применения правила
V-слева второго порядка, то секвенции S2 ставится в соответ-
ствие ординальная диаграмма (g; (0, 0, 0), о), где о — ординаль-
ная диаграмма секвенции Sp
4)	Если Si и S2 — верхние секвенции, a S — нижняя сек-
венция некоторого применения правила Д-справа, то секвенции S
ставится в соответствие ординальная диаграмма (g, (0, 0, 0),
О'! Ф°2)> где О] и <т2— ординальные диаграммы секвенций S[ и
S2 соответственно.
5)	Если Si и S2 — соответственно верхняя и нижняя сек-
венции неявного применения правила V-слева второго порядка
вида
F(V), Г->А
V</>F (ф), Г->А,
то секвенция S2 ставится в соответствие ординальная диаграмма
(I,	/г, v # 0 # 0), о), где о — ординальная диаграмма сек-
венции S[ и (р, k, v) = r(F(V)).
6)	Если Si и S2 — верхние секвенции, a S — нижняя сек-
венция некоторого сечения, то секвенции S ставится в со-
ответствие ординальная диаграмма (|, (ц, k, v 0), сц 41=
где (ц, k, v) — ранг высекаемой формулы, а сц и о2 — орди-
нальные диаграммы секвенций S! и S2 соответственно.
7)	Если Si и S2 — соответственно верхняя и нижняя секвенции
некоторой подстановки J, то секвенции S2 ставится в соответ-
ствие ординальная диаграмма (d(F), (0, 0, 0), о), где ст — орди-
нальная диаграмма секвенции Sb
8)	Если Sj и S2 — соответственно верхняя и нижняя сек-
венции некоторого применения правила индукции, то секвенции
S2 ставится в соответствие ординальная диаграмма (В, <ц, k,
v # 0 ф 0), о), где (ц, k, v) — ранг индукционной формулы и
о — ординальная диаграмма секвенции Sb
9)	Ординальной диаграммой вывода Р называется орди-
нальная диаграмма, поставленная в соответствие заключи-
тельной секвенции вывода Р.
378
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
Допустим, что секвенция -> выводима в рассматриваемой
системе. Вывод Р секвенции —> мы редуцируем в другой вывод
этой секвенции. Эта редукция будет проводиться так же, как
и в § 27. Мы можем считать, что заключительная часть вывода Р
не содержит свободных переменных первого порядка, аксиом
ви да m = п, A (m) ->A(n)v.D->D, применений правила индукции
и ослаблений; мы также предполагаем, что правило замещения
терма уже введено. Допустим, что заключительная часть вы-
вода Р содержит некоторую начальную секвенцию вида 5) из
определения 28.1, скажем
<*) I (г), Ап (z, /, V) -> G„ (z, t, V, {х, у} (Ап (х, у, V) Ах <* I)),
причем без потери общности можно считать, что ivtt — нумералы.
Тогда либо 7 (/)->, либо —> I (Г) является начальной секвенцией.
Абстракт {х, у}(Ап(х, у, V)Ax<*z) мы сокращенно обозначим
через A‘n(V).
Случай 1. Секвенция / (/)—> является начальной. Заменим (♦)
следующим выводом:
__________Z(0->__________
ослабления и перестановка
7 (z), An(i, t, V)-+Gn (z, t, V, А‘п (V)).
Ординальная диаграмма у этого вывода меньше, чем у (*).
Поэтому вывод Р, очевидно, редуцируется к выводу, получен-
ному в результате этой замены.
Случай 2. Секвенция ->I(i) является начальной. Поскольку
каждая формула в Р является неявной, существует некоторое
сечение 7, высекаемая формула которого есть некоторый по-
томок формулы Ап (i, t, V) в (*)• Пусть Р имеет следующий вид:
An(i, t, V’)^„(z, t, V) I(i), An(i, t, V->Gn (i, t, V, AUH)
j Г—»A, An(i, t, V) An(i, t, V), П^-Л
г, пЛа, A
где An (i, t, V) An (z, t, V) не обязательно входит в Р. Сле-
дует заметить, что к формуле A„(z, /, V) не применяется никакая
подстановка. Действительно, если бы существовала такая под-
становка /о, то она бы нарушала формулу An(i, t, V), т. е. мы
имели бы d (70) < d(An(i, t, V)). Но это противоречит п. 4)
определения 28.11.
§ 28. Система с индуктивными определениями
379
Рассмотрим следующий вывод Р':
I(i), An(i,t, У)-^Оп(ц,У,А* 1 * * * * * * Вп(У))
Ап (i, t, У), I (i) -> Gn (z, t, У, Aln (V)) G„ (z, t, V, Aln (V)) -> Gn (i, t, V, Aln (V))
% : / \ ! •’
°I	°2
Г, /(z)->A,G„(z, t, V, Aln (V))	G„(z, t, V,A„(У)), П -> A
Г, I (z), 11-^ A, A
несколько перестановок
I (i) I (z), Г, П -» A, A
Г, П 4- A, A
Каждая подстановка в P' имеет тот же уровень, что и соот-
ветствующая подстановка в Р. Тогда в силу предложения 28.10
Р' — вывод с уровнями. Кроме того, имеем
о = (|, <Р, /, А # 0), О! ф о2)
и
о' = (I, <0, 0, 0 # 0), (0, 0, 0) # (g, <v, k, 6 # о>, о; Ф 6')),
где (р, J, X) = r(z4„(j, t, У)) и (у, k, = t, V, Л„(Е)))-
Из предложения 28.18 вытекает, что с' <t<s (при /^g), откуда
следует, что ординальная диаграмма вывода Р' меньше орди-
нальной диаграммы вывода Р. Таким образом,Р редуцируется
к Р'. (Относительно вычисления ординальных диаграмм см. §27.)
Допустим, что заключительная часть вывода Р не содержит
применений логических правил, правила индукции, ослаблений
и начальных секвенций, не являющихся математическими.
Если Р содержит какой-нибудь логический символ, мы можем
так же, как и в 26.16, найти в Р некоторое подходящее се-
чение и таким же образом, как и в § 27, определить сущест-
венную редукцию.
В дополнение к материалу этого параграфа, а также пре-
дыдущего мы изложим общую теорию сложности. Будем рас-
сматривать язык второго порядка.
Определение 28.20. Функция у, определенная на полуфор-
мулах и абстрактах, значениями которой являются ординалы,
называется монотонной, если она удовлетворяет следующим
условиям:
1) Y(-1 Л) > у (Л).
2) у (Л А В) > шах (у (Л), у (В)).
3) y(VxG(x)>y(,G(x)).
4) у({хь ..., хп) Н(Х1, .= (xlt ..., х„)).
380
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
5)	Y(WW)>Y(/W
6)	Если А — алфавитный вариант В, то у (Л) = у (В).
7)	Если у(Е) = 0 и у(УфР(ф)) >0, то у (уфР (ф)) > у (F (V)).
Мы скажем, что формула (абстракт) А у-проста, если у (Л) = 0.
Применение правила второго порядка у-слева, скажем
F(V), Г->А
УфР(ф), Г—>А,
назовем у-простым, если абстракт V является у-простым; это
применение назовем строго у-простым, если и абстракт V, и
формула УфР(ф) являются у-простыми.
Вывод Р в системе G'LC назовем (строго) у-простым, если
каждое неявное применение правила второго порядка у-слева
в Р является (строго) у-простым.
Предложение 28.21. Допустим, что у — некоторая монотонная
функция и что для каждого строго у-простого вывода справед-
лива теорема об устранении сечений. Тогда теорема об устра-
нении сечений справедлива и для каждого у-простого вывода.
Доказательство. Ранг формулы А в некотором выводе
определим как со2 • у (А) -|- со • m + /, где m — число собственных
переменных, соответствующих применениям правила у-справа
второго порядка, расположенным ниже А, и I — число логиче-
ских символов в А. Ранг формулы А мы будем обозначать
через г (А). Пусть Р — некоторый у-простой вывод и / — неко-
торое сечение в Р. Сечение J называется у-простым, если вы-
секаемая формула этого сечения является у-простой. Ранг г (J)
сечения J определяется как ранг высекаемой формулы в /.
Ранг г (Р) вывода Р определяется как 2дог(/), где J пробегает
по всем сечениям в Р, не являющимся у-простыми; мы будем
предполагать, что слагаемые <ог(7) в сумме расположены в по-
рядке убывания.
Если г(Р) = 0, то каждая неявная формула в Р является
у-простой; в частности, главная формула каждого неявного
применения правила у-слева является у-простой, а это озна-
чает, что вывод Р является строго у-простым. Следовательно,
по условию для Р справедлива теорема об устранении сечений.
Допустим теперь, что г (Р) > 0; тогда в Р найдется некоторое
сечение J, не являющееся у-простым и такое, что каждое се-
чение, расположенное выше J, является у-простым. Мы рас-
смотрим лишь случай, когда высекаемая формула имеет,
вид уфр(ф) (остальные случаи разбираются легко):
г ГA, y</>F (</>) y<ftF (</>), П —> А
Г, П->Д, Л
§ 28. Система с индуктивными определениями
381
Пусть Ро— вывод, оканчивающийся секвенцией Г, П->Д, Л.
Пусть А означает левую высекаемую формулу сечения J, а В —
правую высекаемую формулу этого сечения. Можно счи-
тать, что самый верхний предок формулы А (В), который
совпадает с А (В), является главной формулой некоторого при-
менения логического правила и F (а) — боковая формула этого
применения, относящегося к А. Заменив предок формулы А,
совпадающий с А, на формулу F (а), мы получим вывод Рь
оканчивающийся секвенцией Г—>Д, F (а).
Пусть	— произвольная секвенция, расположенная
выше правой верхней секвенции сечения J. Мы можем по-
строить некоторый вывод, оканчивающийся секвенцией вида
ПТ, Г—> Д, А1, где ПТ получается из П1 устранением всех предков
формулы В, идентичных ей самой. Это можно сделать индук-
цией по числу применений правил в выводе, оканчивающемся
секвенцией П.->Л1. Допустим, например, что П^Л! является
нижней секвенцией некоторого сечения
П2—>Л,, D D, П3—>Л3
П2, П3->Л2, Л3,
где П2, П3 есть Пь а Л2, Л3 есть Ль Искомый вывод строится
следующим образом:
Ш, гХд, л2, £> D, П3, гХд, Аз
Щ, Г, Пз, г->д, Л2, Д, Аз
П2, Ш, Г->Д, Л2, Л3.
Другой пример: пусть П,Л] — нижняя секвенция некоторого
применения правила V-слева второго порядка, главная фор-
мула которого является предком формулы В, идентичным В:
F(V), n2->At
W, П2—>ЛЬ
где V</>F (ф), П2 есть Пь Рассмотрим следующий вывод:
Г^Д, F (V)	F(V), Ш, гХд, Л,
Г, П2->Д, Д, Л
Ш, Г -> А, Л,
где вывод Г—>Д, F (V) получается из Р1 подстановкой всюду V
вместо а.
Взяв в качестве П!->Л| секвенцию V^>F(^>), П->Л, мы по-
лучим П, Г—>Д и, следовательно, Г, П->Л, Л. Ранг получен-
ного таким образом вывода Q меньше, чем г(Р0), поскольку
по условию имеем у (F (V)) < у (V</>F (</>)). Заменив теперь Ро
382
Гл. 5. Доказательства непротиворечивости
на Q в F, мы получим некоторый вывод с той же заключи-
тельной секвенцией, но ранг которого меньше, чем ранг вы-
вода Р. Тогда по предположению индукции в нем можно
устранить сечения.
Определение 28.22. Некоторое множество #~ полуформул
и абстрактов называется замкнутым, если выполняются сле-
дующие условия:
1)	Если Л — атомарная формула, то А принадлежит ST.
2)	Если ~| В принадлежит SF, то В принадлежит ST.
3)	Если В /\С принадлежит Д~, то В и С принадлежат .
4)	Если VxF (х) принадлежит , то F (s) принадлежит 3~
для каждого полутерма s.
5)	Если V<]>F (ф) принадлежит то F (а) принадлежит 3~
для каждой переменной а второго порядка.
6)	Если {хь . . ., Н (хь . . ., х„) принадлежит Д~, то
Я(аь ..., а„) принадлежит #" для всяких щ, ..., если
Щец, ..., ап) принадлежит для некоторых щ, ..., ап, то
{х<, ..., Хп} Н (х\, ..., х„) принадлежит .
7)	Если В и С — арифметические варианты друг друга, то В
принадлежит тогда и только тогда, когда С принадлежит Д~.
8)	Если F(а) и V принадлежат#-, то F(У) принадлежит#-.
По данному множеству #" мы определим некоторую функ-
цию у, которую назовем функцией, задаваемой множеством #".
(1)	у(Л) = 0, если А принадлежит #". Допустим, что А не
принадлежит #".
(2)	у (Л) = у (В) + 1, если А имеет вид В.
(3)	у (Л) = max (у (В), у (С)) + 1, если Л имеет вид В Л С.
(4)	у (Л) = у (F (х)) + 1, если А имеет вид'VxF (х).
(5)	у (Л) = у (F (<£)) 4- 1, если А имеет вид V^F(^).
(6)	у ({х„ .. ., хп}Н (хь ..., х„)) = у (Я (хь ..., Хп)).
Тем же способом, что и при доказательстве предложения 27.7,
мы легко мо'жем доказать следующее
Предложение 28.23. Допустим, что множество замкнуто
и у есть функция, задаваемая множеством ST. Если V принад-
лежит 3~, то у (F (а)) = у (F (V)).
Предложение 28.24. Допустим, что ST замкнуто и у есть
функция, задаваемая множеством ST. Тогда функция у моно-
тонна.
Доказательство. Это предложение немедленно следует
из определения функции у и из предложения 28.23.
ГЛАВА 6
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
§ 29. Доказуемые вполне-упорядочения
Мы рассмотрим здесь доказуемые вполне-упорядочения
относительно системы INN и покажем, что всякое такое упо-
рядочение имеет порядковый тип, меньший, чем порядковый
тип системы ординальных диаграмм О (со 4-1. и3) относительно
отношения <о. Мы заимствуем из § 13 значительную часть
рассуждений. Результаты, которые мы получим, с небольшими
модификациями можно распространить и на систему IID.
Определение 29.1. Пусть <—некоторый рекурсивный ли-
нейный порядок на натуральных числах, являющийся на самом
деле вполне-упорядочением. (Без потери общности можно
предположить, что отношение <• определено на всех натураль-
ных числах и наименьшим элементом относительно порядка <•
является 0.) Мы будем использовать символ <• также и для
обозначения формулы системы INN, выражающей отношение <•.
Пусть TI (<-) — формула, выражающая принцип трансфи-
нитной индукции по <•, а именно
(Vx (Vy (у < х => <f> (у)) => <1> (х)) => Ухф (х)),
причем А о В следует рассматривать как сокращение для
~1(А А ~1В). Если формула Т1(<-) выводима в INN, мы будем
говорить, что отношение <• является доказуемым вполне-упо-
рядочением относительно INN.
Предположим, что уже проведена арифметизация системы
ординальных диаграмм О (со + 1, со3). Мы будем одинаково
обозначать объект и его арифметизацию.
Теорема 29.2. Пусть <0 — вполне-упорядочение системы
ординальных диаграмм О (со + 1, со3) относительно 0. (Вспомним,
что непротиворечивость системы INN была доказана индукцией
по <0.) Если <— некоторое доказуемое вполне-упорядочение
относительно INN, то существует рекурсивная функция, ото-
бражающая множество натуральных чисел на некоторый на-
чальный отрезок упорядочения <0 и сохраняющая порядок. То
есть существует рекурсивная функция f, такая, что а<-Ь тогда
384	Г л. 6. Некоторые применения доказательств непротиворечивости
и только тогда, когда f(a)<of(b), и существует ординальная
диаграмма ц из О (<о + 1, о3), такая, что f (а) <0 ц для каждого а.
Доказательство. Будем следовать доказательству тео-
ремы 13.4; здесь мы только укажем, как надо видоизменить
это доказательство с тем, чтобы рассуждения годились для
системы INN.
(1)	Понятие TJ-вывода (для INN) определяется так же, как
и в 13.1); в частности, TJ-начальные секвенции имеют вид
Vx (х <• t => е (х)) -> е (/),
а заключительные секвенции имеют вид
->e(mi), ..е(т„).
(2)	Ординал Imlc-. и заключительное число TJ-вывода опре-
деляются так же, как и в 13.1).
(3)	В пп. 13.2) и 13.5) просто вместо РА нужно читать INN.
Однако основную лемму мы сформулируем заново.
Лемма 29.3 (основная лемма; ср. с леммой 13.5). Заклю-
чительное число всякого Т 1-вывода не больше, чем порядковый
тип его ординальной диаграммы (относительно <0).
(4)	Ординальные диаграммы ставятся в соответствие сек-
венциям TJ-выводов так же, как и для системы INN: TJ -на-
чальным секвенциям сопоставляется ординальная диаграмма
(®, 0, (со, 0, (м, 0, (со, 0, (со, 0, 0)))))
(см. п. 13.6)).
(5)	Доказательство утверждений с 13.7) по 13.11) проте-
кает, как и раньше.
(6)	В п. 13.12) ординальная диаграмма приведенного там
вывода теперь имеет вид
(м, 0, (м, 0, (м, 0, 0	(м, 0, 0)))).
Она меньше, чем ординальная диаграмма соответствующей
TJ-начальной секвенции. В силу этого после очевидных изме-
нений вывод Р становится TJ-выводом Р' с заключительной
секвенцией
->e(m), e(mi), ..., е(т„),
где -+е,(тх), •••> е(т«) — заключительная секвенция вывода Р.
Ординальная диаграмма вывода Р' меньше, чем у вывода Р, .
и заключительное число вывода Р' равно | m |<..
(7)	Как и в 13.13), мы получаем следующую теорему в стиле
Генцена.
<5 30. Аксиома П} -выделения и а-правило
385
Теорема 29.4 (ср. с теоремой 13.6). Порядковый тип отно-
шения <• меньше, чем порядковый тип системы О(ю-|-1, о3)
относительно <0.
(8)	Как и в 13.14), мы можем для всякого k определить
вывод Pk, заключительное число которого равно | k Тогда
функцию h мы определим так же, как и в 13.15), где + обо-
значает ординальную сумму.
(9)	Для того чтобы можно было утверждать, что функция h
рекурсивна и что справедливо утверждение 13.16), нам нужно
показать следующее:
1)	Ординальная сумма + ординальных диаграмм является
рекурсивной функцией.
2)	Если две ординальные диаграммы ц и v являются связ-
ными (т. е. последней операцией, использованной при образо-
вании р и v, не была =ф) и p<oV, то p.-|-v = v.
(10	) Из (9) мы заключаем, что функция h рекурсивна и
что справедливо утверждение 13.16). Отсюда вытекает, что
функция h сохраняет порядок.
§ 30. Аксиома nJ-выделения и «-правило
Для системы INN можно доказать результат, аналогичный
тому, что был сформулирован в задаче 13.9, т. е. доказать
устранимость сечений в некоторой системе с конструктивным
«-правилом. Напомним некоторые определения, которые были
приведены в гл. 2.
Определение 30.1. (1) Предположим, что имеется некоторая
стандартная гёделева нумерация аксиом и конечных правил
вывода. Бесконечное правило индукции или (^-правило задается
следующей схемой:
.. ?0.- ..
Г->Д, А(0)...........гХд, А(п) ...
Г -> А, МхА (х).
Здесь вывод Рп определен для каждого натурального числа п
и оканчивается секвенцией Г -> А, А (п). Выводу Рп ставится
в соответствие некоторый гёделев номер rPn~i. Если существует
рекурсивная функция f, такая, что f(n) = rPtl~l для каждого п,
то «-правило называется конструктивным, и всему выводу
ставится в соответствие число 3 • 5е, где е — гёделев номер
функции f, т. е. {е} (и) — гРп~1. Пусть S — произвольная логи-
ческая система. Всякий вывод в системе, получаемой из си-
стемы S добавлением к ней конструктивного «-правила, назы-
вается сп-выводом в S.
13 Г. Такеути
*
386 Гл. 6. Некоторые применения доказательств непротиворечивости
(2)	Пусть S(a) и а < b — некоторые примитивно рекурсивные
предикаты, такие, что отношение <• вполне упорядочивает j
множество {a|S(a)}; причем первым элементом в смысле <•
является 0. Теоретико-числовая функция W называется <.-ре-
курсивной, если она задается следующей схемой:
(i)	f (d) = a + 1;
(ii)	f(ab an) = 0-,
(iii)	f (ax, . . ., an) = at (l<z<n);
(iv)	f (aIt an) = g (X( (ab ..., an), ..., Km (ah .... an)), где
функции g и А/ (l^i^m) являются <-рекурсивными;
(v)	f (0, a2, an) = g(a2, an),
a2, ..., an) = A (a, f (a, a2, ..a„), a2, ..., a„),
где функции g и Л являются <-рекурсивными;
(vi)	f (0, a2, ., ., an) = g (a2, .. ., a„),
f (a + 1, a2, . . ., an) =	j
= A(a, f(x*(a, a2, an), a2, ..., a„), a2...an),
где функции g, Л и т являются <-рекурсивными и	|
т* (а, а2, ,. ., ап) —	j
( т(а, а2, ..., ап), если т (а, а2, ..., ап) <-а + 1,	|
(0	в противном случае.
Всякий вывод в системе INN, заключительная секвенция
которого не содержит свободных переменных, мы преобразуем
в некоторый вывод с той же заключительной секвенцией в си-
стеме с конструктивным со-правилом. При доказательстве не-
противоречивости системы INN в § 27 мы определили понятие
редукции вывода секвенции —>. Это понятие можно легко рас-
пространить на произвольный вывод, заключительная секвенция
которого не содержит свободных переменных.
Определение 30.2. (1) Через О (INN) обозначим систему
ординальных диаграмм О (<о + 1, со3), примененную для доказа-
тельства непротиворечивости системы INN, а через < — отно-
шение, вполне упорядочивающее ее (а именно <0).
(2) Для всякой ординальной диаграммы а и каждого нату-
рального числа i следующим образом определим диаграмму а<г):
а<0) = а и а(1 + 1) = а(‘)*а.
(3) Для всякой ординальной диаграммы ц. и каждого нату-
рального числа m положим (ц, m) = dt(0, 0, ц#0) •	j
Допуская некоторую вольность, мы будем для выводов,
ординальных диаграмм и отношения использовать те же |
обозначения, что и для их гёделевых номеров.
j? 30. Аксиома П' -выделения и ^-правило
387
Секвенциям в выводах мы поставим в соответствие те же
ординальные диаграммы, что и в § 27, и ординальной диа-
граммой вывода Р мы назовем пару (ц, пг), где ц — ординальная
диаграмма, поставленная в соответствие его заключительной
секвенции, а т — число свободных переменных первого порядка
в его заключительной части (обозначаемое ш(Р)). Если орди-
нальная диаграмма вывода Р меньше, чем ординальная диа-
грамма вывода Q, то мы будем писать ГР”1 < rQ”1 или просто
P<Q.
Замечание. Может так случиться, что при определении ре-
дукции нам нужно будет взять самое нижнее применение пра-
вила, удовлетворяющее некоторому условию. Такое применение
может определяться неоднозначно; однако мы можем считать,
что применения правил представлены своими гёделевыми но-
мерами, и затем выбрать требуемое применение с наименьшим
гёделевым номером.
Теорема 30.3. Существует -^-рекурсивная функция f, такая
что для каждого вывода Р в INN, заключительная секвенция
которого не содержит свободных переменных первого порядка,
f (ГРП) есть гёделев номер некоторого а-вывода, имеющего ту же
заключительную секвенцию, что и у вывода Р, и не содержащего
сечений, а также применений правила индукции и правила пер-
вого порядка 'i-cnpaea.
Доказательство. Пусть Р — некоторый вывод, не со-
держащий свободных переменных первого порядка. Трансфи-
нитной индукцией по ординальной диаграмме вывода Р опре-
делим редукции г (Р) и q (i, Р) для всякого i <ы, а также пре-
образование f (гР~1').
1) Заключительная часть вывода Р содержит некоторое при-
менение правила индукции или явное применение логического
правила.
1.1)	Заключительная часть вывода Р содержит некоторую
свободную переменную первого порядка, которая не исполь-
зуется в качестве собственной. Определим г (Р) как вывод,
получаемый из Р подстановкой 0 вместо каждой из таких пе-
ременных. Очевидно, что г(Р)«<Р. Значение f (Р) положим
равным f (г (Р)).
1.2)	Заключительная часть вывода Р не содержит свободных
переменных первого порядка, не используемых в качестве соб-
ственных. Пусть J — самое нижнее из применений правила
индукции или (явных) применений логических правил. Рас-
смотрим несколько случаев.
13*
388	Г л. 6. Некоторые применения доказательств непротиворечивости
1.2.1)	J есть применение правила индукции. Пусть г (Р) — 1
вывод, получаемый из Р применением к J редукции (2) из § 27, 1
и пусть f(P) равняется f(r(P)). Тогда г(Р)-<Р.	®
1.2.2)	J есть явное применение логического правила.	г
1.2.2.1)	J не является применением правила первого порядка	S
V-справа. Поскольку все случаи разбираются одинаково, мы |
рассмотрим лишь случай, когда J есть применение правила 5
Д-слева. Пусть Р имеет вид
А, Г-Х д
АКБ, Г->Д
гЛд°.	|
Тогда г(Р) определим как вывод	f
.. . .
________________А, Г^Д__________ I
несколько перестановок и ослабление	1
ддв, г, д->д	’
Го, Д^До-	|
Поскольку г(Р)<Р, значение f (г (Р)) уже определено, согласно
предположению индукции. Тогда f (Р) определим как следующий
вывод:
несколько перестановок
Д, Гр —> Др
___________А /\ В, Гр —» До_______
несколько перестановок и сокращение
Гр—> Др.
Эту фигуру мы обозначим через g(f(r(P))).
1.2.2.2) J представляет собой применение правила первого
порядка V-справа. Пусть Р имеет следующий вид:
Г -X Д, А (а)
Г->Д, УхА(х)
Гр—> Др.
$ 30. Аксиома н\-выделения и а>-правило
389
Для каждого i рассмотрим вывод (обозначаемый q (г, Р)):
,	_________Г—»Д, А (г)_______________
несколько перестановок и ослабление
Г —> Л (г), А, УхЛ (х)
Го—>Л (Z), До,
где вывод секвенции Г —> Д, Л (г) получается из вывода верхней
секвенции применения J подстановкой нумерала I вместо пере-
( менной а. Очевидно, что q(i, Р) Р для всякого нумерала I.
Таким образом, значение f (q (i, Р)) уже определено для
каждого I. В качестве f(P) возьмем вывод
f (<7 («, Р» { Го^А(г), До_______
1	несколько перестановок
(о-правило • • ‘ Г0->Д0, A(Z) ... для каждого i
____________________Го—>Д0, УхА (х)___________
несколько перестановок и сокращение
/	Го->До.
2) Заключительная часть вывода Р не содержит применений
правила индукции и явных применений логических правил,
но содержит некоторую явную логическую начальную секвен-
цию. Тогда из нее можно получить заключительную секвенцию
i	вывода Р с помощью нескольких ослаблений и перестановок.
I	Пусть f (Р) есть один из таких выводов.
(	3) Заключительная часть вывода Р не содержит примене-
ний правила индукции, логических правил и явных логических
начальных секвенций. Через г (Р) обозначим вывод, получаю-
щийся из Р применением редукций с (1) по (9) из § 27 с со-
хранением явных ослаблений. Тогда г(Р)-<Р. Поскольку редук-
ции не изменяют заключительной секвенции, то в качестве f (Р)
| возьмем f(r(P)).
	Многие понятия мы отождествили с их гёделевыми номерами,
• например „вывод Р“ иногда означает его гёделев номер. Таким
образом, функции г, q, g и f можно рассматривать как теоре-
тико-числовые. Очевидно, что функции г, q и g мы можем
взять примитивно рекурсивными. Пусть Р (а) — примитивно ре-
курсивный предикат, утверждающий, что а — некоторый вывод
в системе INN, заключительная секвенция которого не содержит
свободных переменных первого порядка.
Определим отношения Ро, Pit Р2, и Р3.
Ро (т) <=>dt Р (т) и выполняется одно из условий 1.1), 1.2.1)
или 2).
390 Гл. 6. Некоторые применения доказательств непротиворечивости
P\(ni) <=>d! Р(tn) и заключительная часть вывода m содержит
явное применение логического правила, отличного от правила
V-справа первого порядка, и к которому применяется редукция.
Р2 (m) <=>df Р (tn) и редукция применяется к некоторому при-
менению правила У'Справа, расположенному в заключительной
части вывода пг.
Р3 (m) <=>dt П (Ро (tn) V Pi (tn) V P2 (m)).
Очевидно, отношения Pa, Pit P2 и P3 являются примитивно
рекурсивными, причем в силу доказательства непротиворечи-
вости для них выполняются следующие свойства:
и Pi(x))‘,
Ро (пг) => г (tn) «< т;
Р\ (т) => г (пг) т;
Р2 (т) => \/п (q (п, т) «< пг).
С помощью теоремы о рекурсии мы покажем, что функция f
рекурсивна и даже «^-рекурсивна. Действительно, имеем
{е} (г (т)),	если	Ро (т),
g({e}(r (т))),	если	Р{(пг),
f0 (е, т)~\	2
3.5si (со’ е- тГ	если	Р2 (т),
т,	если	Р3(т),
где с0 — общерекурсивный номер функции Ли, е, т {е} (q (п, пг))
(т. е. номер функции {е} (q (п, т)) как функции от аргументов п,
е, т, см. С. Клини, Введение в математику, ИЛ, М., 1957,
стр. 306). Согласно теореме о рекурсии (см. § 66 упомянутой
книги), существует число с, такое, что )0(с, т) {с} (пг). Тогда
функцию f определим так: f(m)~{c}(m), т. е.
f (г (т)),
g(f (г (пг))),
3.5Л (СО. С, т)
пг
f (т) ~
если Р0(пг),
если Р] (т),
если Р2(т),
в противном случае.
Таким образом, функция f частично рекурсивна. Трансфи-
нитной индукцией по мы легко можем показать, что функ-
ция f всюду определена. Легко также видеть, что функция f
является «^-рекурсивной, вывод f (Р) имеет ту же заключитель-
ную секвенцию, что и вывод Р, и f (Р) не содержит сечений,
применений правила индукции, а также свободных переменных
первого порядка. Теорема доказана.
§ 30. Аксиома П{ -выделения и ^-правило
391
Определение 30.4. Теоретико-числовая функция f (сц, ..., an)
называется доказуемо рекурсивной в INN, если в INN выводима
следующая секвенция:
-> V*1 • • • 'УХяВ'/Лг (б, X], ..., х„, у),
где формула Тп выражает примитивно рекурсивный предикат
Клини Тп (ср. также с § 13; содержащееся в § 13 определение
мы можем легко распространить на случай нескольких пере-
менных х) и е есть гёделев номер функции f.
Как применение нашей техники мы можем дать другое
доказательство одной теоремы, первоначально доказанной Кино.
Эта теорема является аналогом утверждения задачи 13.8.
Теорема 30.5. Пусть ф— некоторая доказуемо рекурсивная
функция в INN. Тогда найдется ординальная диаграмма ц си-
стемы О (INN), такая, что функция ф является ^-рекурсивной,
где — ограничение отношения множеством диаграмм, кото-
рые -<( ц.
Доказательство. Без потери общности мы можем пред-
положить, что ф — функция одного аргумента. Пусть е — гёделев
номер функции ф, такой, что секвенция ->VхЭуТДе, х, у) выво-
дима в INN. Пусть Р — некоторый вывод секвенции —>	(е, а, у)
и ц— его ординальная диаграмма. Определим Рт как вывод,
получаемый из вывода Р подстановкой в него нумерала т
вместо а. Процедура получения Рт из Р является примитивно
рекурсивной. К каждому выводу Рт применим преобразование f
из предыдущей теоремы. Тогда f(Pm) —вывод без сечений.
Поскольку вывод Р не содержит никаких применений правила
у-справа первого порядка (которое является единственным
правилом, индуцирующим применение а-правила в преобра-
зованном выводе), трансфинитной индукцией легко доказы-
вается, что вывод f (Рт) не содержит применений а-правила.
Просматривая вывод f (Рт), мы можем примитивно рекурсивным
образом указать некоторый нумерал п, удовлетворяющий
Ti (е, т, п). Так как ф (m) = U (п) и функция f в силу теоремы 30.3
является -^-рекурсивной, то функция ф тоже -^-рекурсивна.
В защиту конструктивного бесконечного правила мы можем
привести следующие аргументы. Многие теоремы в теории
доказательств для систем первого порядка следуют из теоремы
об устранении сечений. Это верно также для тех систем высших
порядков, для которых теорема об устранении сечений дока-
зывается конструктивно. Однако если мы захотим рассмотреть
какое-нибудь расширение арифметики, то невозможно будет
устранить все сечения из-за того факта, что формальные выводы
392 Гл. 6. Некоторые применения доказательств непротиворечивости
содержат применения правила математической индукции. Шютте
ввел в рассмотрение ©-правило и доказал устранимость всех
применений правил сечения и индукции в арифметике первого
порядка. Это отличная идея, и результат этот можно рассмат-
ривать как некоторое усиление теоремы об устранении сечений
при наличии правила индукции. Однако, поскольку объектом
нашего исследования являются конечные выводы, было бы
лучше, если бы мы смогли так ограничить ©-правило, чтобы
рассматриваемые бесконечные выводы обладали некоторыми
важными свойствами конечных выводов. По этой причине мы
и рассматриваем конструктивное ©-правило.
Адекватность конструктивного ©-правила была доказана
Шёнфилдом для арифметики первого порядка и Такахаси для
арифметики второго порядка. Следовательно, конструктивное
©-правило достаточно сильно математически.
§ 31. Принципы рефлексии
Определение 31.1. (1) Пусть Р есть система РА, пополнен-
ная свободными переменными второго порядка, которые рас-
сматриваются как параметры.
(2)	Для удобства будем считать, что язык системы INN
содержит индивидные константы 0, 1; функциональные кон-
станты + , • ; предикатные константы =, <; в качестве логи-
ческих символов мы будем использовать знаки А, э и 3 на-
равне с А и V-
(3)	Формула первого порядка с параметрами второго по-
рядка аь ..., ат называется рудиментарной в аь ..., ат, если
каждый квантор (первого порядка) в ней является ограничен-
ным, т. е. все кванторы входят в нее в виде Vx(x<so .. .)
или зх(х<«А .. .), где s — некоторый терм. Такие кванторы
мы будем обозначать через Vx <«(...) и Вх <«(...) соответ-
ственно.
Предположим, что имеется некоторая стандартная гёделева
нумерация выражений системы INN и относящихся к ней поня-
тий. В силу п. (2) определения 31.1 мы можем считать, что
математические начальные секвенции здесь такие же, как в оп-
ределении 9.3. Целью этого параграфа является доказательство
принципа рефлексии в следующей форме.
Теорема 31.2 (Такеути и Ясуги). Пусть формула А? (а, а, Ь)
рудиментарна в а, и пусть Ind! (О (INN)) — формула, выражающая
трансфинитную индукцию по О (INN) для ^-формул (т. е. формул
вида ЗхА (х, а), где А рекурсивна и не содержит параметров
второго порядка). Тогда в системе Р выводима секвенция
Indi (О (INN)), Prov (Г Х/хЗуП (а, х, г/)П) -> Vx3yR (а, х, у),
f
-	§ 31. Принципы рефлексии	393
где ГЛП — гёделев номер формулы А и Prov(rX”1) означает
„формула А выводима в INN“.
Для того чтобы доказать эту теорему, заметим сначала,
что справедливо следующее предложение.
Предложение 31.3 Пусть R(a, а) — рудиментарная в а фор-
мула с одной свободной переменной а первого порядка, и пусть
формула 3x7? (х, а) выводима в INN. Тогда существует вывод
в INN этой формулы, не содержащий существенных сечений и
применения правила индукции. Более того, это можно доказать
1 с помощью системы ординальных диаграмм О (INN).
,,	Это предложение можно сформулировать и для нескольких
»	параметров аь ..., ат вместо одного а.
|	Пусть S означает секвенцию Л1; ..., Лщ->ВЬ ..., Вп си-
, стемы INN. Мы говорим, что секвенция S обладает свойством 3>,
если выполняются следующие условия:
j	pl. S не содержит свободных переменных первого порядка.
|	р2. Каждая формула А{ при	рудиментарна в а.
рЗ. Каждая формула Bj при 1	рудиментарна в а или
имеет вид Зх/?' (х, а), где формула R' (а, а) рудиментарна в а.
Предложение 31.3 мы докажем в следующей форме.
Предложение 31.4. С помощью системы ординальных диа-
5	грамм О (1NN) мы можем определить некоторую редукцию, такую,
i	что если секвенция S обладает свойством 53 и выводима в INN,
то ее вывод можно редуцировать в некоторый другой вывод, не
содержащий существенных сечений и применений правила индук-
ции.
•	Предложение 31.3 является частным случаем этого предло-
|	жения.
Доказательство. В большей своей части доказательство
1 протекает так же, как и в § 27. Введем новое правило вывода —
правило ограниченной квантификации, которое для краткости
будем называть правилом о. к.:
Г^Д, (0<feoS(0))A  A (fe — 1 < fe го S (fe — 1))
.	°- к- г -> Д, ух (х < k о S (х)),
где k — некоторый нумерал, формула S (а) рудиментарна, а фор-
мулы
(О < k о S (0)) А ••• A (k — 1 < k о S (k — 1)) и \/х (х < k о S (х))
называются соответственно боковой и главной формулами этого
правила вывода.
394
Гл. 6. Некоторые применения доказательств непротиворечивости
Правило о. к. мы будем рассматривать не как логическое
правило вывода, а как структурное правило. (Легко видеть,
что нижнюю секвенцию правила о. к. можно вывести из верхней
секвенции без существенных сечений и применений правила
индукции). Нижней секвенции правила о. к. ставится в соот-
ветствие та же ординальная диаграмма, что и верхней.
Вывод Р мы называем здесь выводом с уровнями, если все
применения правила о. к. в нем являются явными и располо-
жены в заключительной части и Р является выводом с уров-
нями в смысле § 27.
Определим редукцию вывода Р секвенции, обладающей
свойством ГР. Под редукционным шагом мы понимаем процедуру,
уменьшающую ординальную диаграмму вывода, вместе с одной
или несколькими предыдущими вспомогательными процедурами,
которые не изменяют ординальной диаграммы вывода. (См. до-
казательство теоремы 30.3.)
Случай 1. Вывод Р содержит в своей заключительной части
явное применение правила индукции или некоторого логи-
ческого правила. Рассмотрим несколько случаев, соответствую-
щих виду правила, применяемого в Р последним.
Подслучай 1. Это есть правило индукции. Поступаем так
же, как и в § 27.
Подслучай 2. Это есть явное применение логического пра-
вила, отличного от правила у-справа для переменной первого
порядка. Поскольку все относящиеся сюда случаи разбираются
более и менее одинаково, мы приведем лишь один пример.
Если Р имеет вид
гХд, Е(0
Г->_Д, ЗхЕ(х)
Го -> До,
то мы редуцируем его к выводу Р'’.
_________гХд, F(Q__________________
ослабление и несколько перестановок
Г->/(/), Д, jxF (х)
r0'^F(l), До.
Заключительная секвенция этого вывода, очевидно, обладает
свойством 53, и Р' имеет меньшую ординальную диаграмму,
чем Р; поэтому вывод Р' можно преобразовать в некоторый
вывод, не содержащий существенных сечений и применений
£ 31. Принципы рефлексии
395
правила индукции. Добавив затем несколько явных применений
подходящих правил, мы получим секвенцию Го-> До-
Подслучай 3. Вывод Р завершается явным применением
правила успРава для переменной первого порядка:
Г 4 A, b<tz=> R(b, а)
Г Д, ЧУ {у < t => R (у, а))
Го -> Д1, ЧУ (У < s 7=> R' (у, а)), А2,
где R(b, а) рудиментарно в а, терм t не содержит переменных,
a s и R' (у, а) получаются из t и R (у, а) соответственно с по-
мощью нескольких замещений термов (быть может ни одного).
Пусть 1 = п для некоторого нумерала п. Если и —0, то s = 0,
и тогда Р редуцируется .к выводу
С < S —»
Г0->Д!, Чу {у < s => R' (у, а)), А2.
Если п > 0, то пусть Pk для каждого k < п означает вывод
Г> A, k < nzp R(k, а)
Г -> k < n R (k, а), А, ЧУ (У < n P (y, a))
Го-> k < n zd R' (k, a), Аь ЧУ (У < s P' (У, «)), Д2,
где Г —> A, k < n о R (k, a) — заключительная секвенция вывода,
полученного из вывода секвенции Г->Д, b<t^>R(b, а) под-
становкой k вместо b. Кэждой подстановке в выводе Pk ста-
вится в соответствие тот же уровень, что и соответствующей
подстановке в Р. Тогда вывод Р редуцируется к выводам
Ро, Pi, ..., Pn-t, поскольку фигура
______________________Рр____Р1____•  _Рп-1_________________
0 к Го-»Д', (0<nzp/?' (О, a)) A (1<юР (1, а)) А ... А (я—1<я:э£' (я—1, а))
Го Д', Чу (у<п=> R' (у, а))
Го -> Дь Чу (у < s => R' (у, а)), Д2,
где А' означает Аь Чу (у < szdR' (у, а)), А2, является выводом
с той же заключительной секвенцией, что и вывод Р.
Случай 2. Вывод Р не содержит в своей заключительной
части явных применений логических правил и применений пра-
вила индукции, но содержит некоторую аксиому вида
s = t, A (s) —> A(Z). Проводим редукцию так же, как и в § 27.
396	Г л. 6. Некоторые применения доказательств непротиворечивости
Случай 3. Вывод Р не содержит в своей заключительной
части явных применений логических правил, применений пра-
вила индукции и аксиом вида s — t, Л(«)->Л(/), но содержит
либо явную логическую аксиому, либо неявную логическую
аксиому вида £>->£>, например
D~>D
Г^Д, О D, пХль D,
Г, II-> Д, Ль D, Л2
Го-* До.
где формулы Ь и D в правой верхней секвенции сечения
являются п томками вхождений формулы D соответственно
в антецедент и сукцедент секвенции D-+D. Если имеет месте
первый случай, то заключительная секвенция вывода Р полу-
чается из указанной аксиомы с помощью ослаблений, пере-
становок и применений правила о. к. Если же имеет место
второй случай и формулы D и D одинаковы с точностью до
замещений термов, то мы применяем соответствующую редук-
цию из § 27. В противном случае формулы D и D имеют
соответственно вид
(s0 <	5 (s0)) Л ... Л (Sn-1 < S -О S (s„_j)) и У/у (у < t => S' (у)),
где s — n и t = n для некоторого нумерала п, Si = i (i < ri)
и S' (у) либо совпадает с полуформулой S (у), либо получается
из нее некоторыми замещениями термов. Тогда вывод Р ре-
дуцируется к выводу
гХд, D________________________________________
Г -» Д, (0 < /2 Щ> У (0)) Л    Л (и — 1 < и S' (и — 1))
°’ К~ Г^А’ У^/(//<»^У(у))
Г, П->Д, Ль D, Л2
Го—>Дс.
Случай 4. Устранение ослаблений в заключительной части
вывода Р определяется, как обычно. Вывод, полученный из Р
в результате этого, обозначается через Р* (см. стр. 362). Если
в некотором выводе Q последним применяется правило о. к.
Qo {	(0<feoS(0))A  A(fe- 1 <feoS(fe- 1))
Q	Г—>Д, Vy<kS(y),
£ 31. Принципы рефлексии
397
то редукция определяется следующим образом.
Если Qq имеет вид Г*->Д*, то Q* совпадает с Q*. Если же QJ
имеет вид
Г*-^Д*, (0<k=>S(0))A ... Л (6-1 <6=>S(6-1)),
то Q* есть
Г->Д*. Уг/ < kS(y).
Случай 5. Теперь мы предположим, что заключительная
часть вывода не содержит никаких применений логических
правил, правила индукции, ослаблений, а также начальных
секвенций, кроме математических начальных секвенций, но
может содержать некоторые применения правила о. к. Мы
можем также предположить, что вывод отличается от своей
заключительной части, поскольку, если весь вывод совпадает
со своей заключительной частью, то заключительную секвенцию
можно вывести из математических начальных секвенций с по-
мощью правила о. к., перестановок, сокращений и несуще-
ственных сечений, и потому применения правила о. к. можно
устранить без привлечения существенных сечений и правила
индукции. Устранение существенных сечений и существенная
редукция проводятся, как обычно, поскольку все применения
правила о. к. являются явными.
Итак, предложение 31.4 доказано.
Рассмотрим некоторую арифметизацию системы INN в си-
стеме Р. Введем следующие обозначения:
Pf (ГР"1) означает, что „Р — некоторый вывод в системе INN“;
Prov (ГР-1, rS'1) означает „Р — некоторый вывод'секвенции S“;
ProvC'S”1) означает „секвенция S выводима";
Prov ГЛ-1) означает „Prov (г—> Д’1)";
pf*(rp-i) означает „Р — вывод без существенных сечений и
применений правила индукции";
Prov*(rPi, rS’1) означает „Р — вывод секвенции S, не со-
держащий существенных сечений и применений правила ин-
дукции";
. Prov* (rS-1) означает „секвенция S выводима без суще-
ственных сечений и применений правила индукции";
Prov*ГД-1) означает „Prov* (г-> Д’1)".
Следует отметить, что при предположениях, сделанных
в этом параграфе, система INN является аксиоматизируемой,
т. е. множество схем математических начальных секвенций
конечно.
398 Гл. 6. Некоторые применения доказательств непротиворечивости
Предложение 31.5. Пусть формула R(a, а) рудиментарна
в а. Тогда в системе Р выводима секвенция
Ind! (О (INN)), Prov (r3yR (у, aP)->Prov* (r3yR (у, a)"1).
Доказательство, Это предложение мы докажем путем
арифметизации доказательства предложения 31.3. Мы только
набросаем доказательство достаточности принципа Ind] (О (INN)).
Введем сначала некоторые обозначения. Пусть р —гёделев
номер некоторого вывода Р в 1NN. Тогда пусть
ends(p) — гёделев номер заключительной секвенции вывода Р;
Q(p) истинно, если и только если заключительная секвен-
ция вывода Р обладает свойством
С (р) истинно, если и только если Р — вывод, не содержа-
щий существенных сечений и применений правил индукции;
б (р) =df о (р) ф 0(р-1), где о (р) — ординальная диаграмма
вывода Р, а 0<р-1) определяется так же, как и в определении
30.2 (2). Отметим, что б (р) — ординальная диаграмма из си-
стемы О (INN) и что все эти функции и предикаты примитивно
рекурсивны.
Теперь, исходя из доказательства предложения 31.4, мы
построим некоторую примитивно рекурсивную функцию г сле-
дующим образом. Пусть р — гёделев номер некоторого вывода Р.
Если С (р) V ~IQ (р), то положим г (р) — р. Если же ~1С (р) Д Q (р),
то положим г(р) равным гёделеву номеру вывода, получаю-
щегося в результате редукции вывода Р. Тогда функция г
примитивно рекурсивна и удовлетворяет следующим условиям:
1) б(г(р))<б(р), если nC(p)AQ(p);
2) о (г (р)) = о (р), если С(р).
Определим функцию г (а, Ь) так:
к ?(0, р) = р; f(n+ 1, p) — r(r(n, р)).
Функция г (а, Ь) также примитивно рекурсивна. Наконец,
положим
p<-7<=>df6(p)<6(<7).
Тогда <• есть примитивно рекурсивное вполне-упорядочение
натуральных чисел. Кроме того, порядковый тип отношения <
равен порядковому типу системы О (INN). Поэтому к порядку <•
можно применить трансфинитную индукцию с индукционной
формулой Q (р) ЗпС (г (п, р)), которая эквивалентна SJ-фор-
муле Зп (Q (р) => С (г (п, р))).
Определение 31.6. (1) Мы говорим, что некоторая формула
системы INN обладает свойством (Q), если она не содержит
кванторов второго порядка и свободных переменных первого
порядка.
$ 31. Принципы рефлексии
399
Для каждой формулы А, обладающей свойством (Q), мы
определим понятие подформулы формулы А следующим обра-
зом: А является подформулой формулы Л;.если В Л С является
подформулой формулы А, то В н С также подформулы Л;
если ПС — подформула Л, то и С — подформула Л; если
VxB (х) — подформула Л, то формула В(п) является подфор-
мулой Л для каждого нумерала п. Очевидно, что каждая
подформула формулы Л обладает свойством (Q).
(2) Для подформул формулы А, а также для секвенций,
состоящих только из таких подформул, мы можем дать опре-
деление истинности ТА. Это определение истинности предста-
вляет собой арифметическую формулу с параметрами (т. е.
свободными переменными) второго порядка.
Предложение 31.7. Пусть А —некоторая формула, обладаю-
щая свойством (Q). Тогда в Р выводимы следующие формулы-.
(1)	ТЛ(ГПВ1)^ПТЛ(ГВ1) для каждой подформулы В фор-
мулы А.
(2)	ТЛ(ГВ\/ С"|) = ТЛ(ГВ’1)\/ТЛ(ГС’1) для каждой пары В,
С подформул формулы А.
(3)	Тл (гУх(В (хг)П) \/хТл (гВ (п (х)Р) для каждой подфор-
мулы ^Х(В (xf) формулы А; здесь п (а) обозначает а-й нумерал.
(4)	Тл ГВ (п (/>!), ..., п(Ьк)Г)^В(Ьь ..., bk), где В(0,...
. . ., 0) — произвольная подформула формулы А, такая, что для
некоторых связанных переменных у^, ..., yk B{yi, ..., yk) вхо-
дит в А.
(5)	Рл (а) A Prov* (а) Тл (а), где Рл (а) означает „а — гёделев
номер некоторой секвенции, состоящей из подформул формулы Л“.
Доказательство. Утверждения (1)—(4) можно дока-
зать тем же способом, что и аналогичные утверждения для
определения истинности в случае РА.
Для доказательства (5) предположим, что Рл(а) и Prov* (а),
и пусть Р — некоторый вывод, такой, что Prov* ГР-1, а). Ин-
дукцией по числу непосредственных выводов в Р, используя
(1)—(4), мы можем доказать, что в Р выводима секвенция
Тл(гГ(п(С1), ..., n(cft))->A(n(cj), ..., n{ck)yv),
где п(с) обозначает с-й нумерал, а Г—— заключительная
секвенция вывода Р.
Доказательство теоремы 31.2. Возьмем в предло-
жении 31.7 в качестве А формулу Vx3yP(x, у, а), и пусть Т(а)
обозначает Тл(а). Тогда в Р выводима секвенция
(1)	Prov (rVx3yP (х, у, а)р > VaProv (гЭуР (« («). у, а)"1).
40Э	Г л. 6. Некоторые применения доказательств непротиворечивости
Согласно предложению 31.5, для всякой свободной пере-
менной а в Р выводима секвенция
(2)	Indi (О (INN)), Prov (r3yR (п (а), у, ар)->
->Prov(r3(//?(n(a), у, а)">).
В силу предложения 31.7 в Р выводимы следующие сек-
венции:
(3)	Prov* (r3yR (п (а), у, ар) -> Т (r3yR (п (а), у, а)’1),
поскольку в Р выводимо РА (r3yR (п (а), у, ар);
(4)	VaT (r3yR (п (а), у, ар) -> Т (r\/x3yR (х, у, ар);
(5)	Т (rVx3#B (х, у, а)-1) -> Vx3yR (х, у, а).
Утверждение доказываемой теоремы следует из (1) — (5).
Несколько модифицируя доказательство этой теоремы, мы
можем доказать принцип равномерной рефлексии.
Теорема 31.8. В Р выводима секвенция
Ind! (О (INN))->
—> Vm(Prov (r^x3yR (х, у, a, n (m)p) о УхЗуВ (x, y, a, m)).
Доказательство. Сначала заметим, что в Р выводима
секвенция
Ind! (О (INN)), Prov (гЗхР' (х, a, n(mp)->
->Prov* (г3xR' (х, а, п(т)Уг),
которая получается из секвенции предложения 31.5 заменой
формулы 3yR(y, а) на 3xR' (х, a, n(m)). Взяв в предложении 31.7
в качестве А формулу VzVx3//B'(x, у, a, z), мы получим, что
выводимы секвенции (1) — (5), приведенные в доказательстве
теоремы 31.2, если вместо ^x3yR (х, у, а) в них подставить
Vx3yR' (х, у, a, n(m)). Из этого замечания легко следует дока-
зываемая теорема.
Пусть теперь В (а) — произвольная формула системы Р, имею-
щая вид
(*)	Зх^г/i ... 3x„Vz/„B0(a, Xi, уъ ..., х„, уп),
где Во(а, аь 1ц, ..., ап, Ьп) — бескванторная формула, свобод-
ными переменными которой являются только a, ait Ь1у ..., ап, Ьп.
Подформулы формулы В (а) определяются согласно опре-
делению 31.6.
Предложение 31.9. По данной формуле В (а) вида (*) мы
можем дать определение истинности Тв (а) в Р для подформул
формулы В (а) с помощью некоторой формулы с параметром а
£ 31. Принципы рефлексии
401
второго порядка. Очевидно, что предикат Тв <О) можно распро-
странить на секвенции, состоящие из подформул формулы В (а).
Определение 31.10. Пусть В (а) — формула вида (*). Усло-
вие Зф (а) определим следующим образом. Пусть rSn означает
гёделев номер секвенции S. Приводимые ниже предложения,
взятые в кавычки, означают, что на само^м деле имеется в виду
их арифметизация соответствующими формулами. Введем сле-
дующие обозначения:
(В (а); г5’1): „каждая формула секвенции S является под-
формулой формулы В(а)“.
(г5-1): „каждая формула в антецеденте секвенции В
является бескванторной".
^з(В(а); г3'1): ~Тв w (г^).
% (а) ГВ-i): ^(В(а); г3’1) Д ^’2(rS’1) А 5’з(В(а); rSi).
Всюду далее В (а) будет произвольной, но фиксированной
формулой вида (*). Для простоты вместо Тв (а) и З’в (а) мы
будем сокращенно писать Т и соответственно.
Предложение 31.11. Секвенция
Ind2 (О (INN)), Prov(р, ГВ(ар), П Т (ГВ (а)"1)-*
-> 3<?^ • р(РГ(?) А ЗР (ends (у)))
выводима в Р, где отношение <, вполне упорядочивающее
натуральные числа, было определено при доказательстве предло-
жения 31.5, a Ind2 (О (INN)) — схема, позволяющая применять
к ^п+\-формулам трансфинитную индукцию по <•.
Это предложение является непосредственным следствием
утверждения
(**) секвенция Ind2 (О (INN)), ‘7’(ГВ'1), Prov(p, гВ-1)->
р (РГ (7) Д ЗР (ends (7))) выводима в Р.
Поэтому мы докажем утверждение (**). Оно доказывается
применением принципа Ind2(O(INN)) к следующей формуле:
(1)	ЗР (ends (р)) Д Pf (р) С • р (РГ (<?) А ЗР (ends (7))).
Поскольку формулы Т и ЗР принадлежат классам и П2га
соответственно, индукционная формула является S°n+ i-форму-
лой с параметром а.
Для того чтобы доказать (1), очевидно, достаточно показать
(2) ЗР (ends (р)) A Pf (р) А 1 Pf* (р)
=> Bq (ЗР (ends (7)) Д Pf* (q) /\q<- р),
поскольку, если РГ(р), то мы можем взять в качестве q в (1)
само р.
402 Гл. 6. Некоторые применения доказательств непротиворечивости
Предположим, что (ends (у)) Л Pf (у) А ИРГ (у), и найдем q,
удовлетворяющее (2), Это делается тем же способом, что и
в доказательстве непротиворечивости системы INN, хотя, строго
говоря, все рассуждения теперь надо проводить в арифмети-
зованном языке.
Пусть Р — вывод с гёделевым номером р.
1)	Проводим такую же, как и в § 27, подготовку к редукции.
2)	Если в заключительной части вывода Р имеется явное
применение логического правила или применение правила ин-
дукции, то доказательство проводится в зависимости от вида
самого нижнего из применений таких правил в Р.
2.1)	Последним таким применением является применение
правила V-справа первого порядка. Пусть Р имеет вид
Г >	У i  • • ЗхпУ!упВ. (а, Zb $|, . • ., ti, yi, ..., хп, уп)_
Г .>3xzVyz ... ЗхпЧупВ0 (ct, Zb si, . .., xz, yz, ..., хп, уп)
П->Л1, Зх^у{ ... ЗхпЧупВ0(а, mh lh .. ., xh у{, ..., хп, уп), Л2.
Заметим, что tt — замкнутый терм, построенный из 0, 1, + и • .
Поэтому терм Zz можно вычислить, и он равен некоторому
нумералу mz. Вывод Р редуцируется к следующему выводу:
f1 A, Vyi • • • 3xnVynBp (a, t\, $i, ..., tj, yi, ..., хп, уп)_____
Г->У/У1 ... 3xnVynB0(a, Ц, sb ..., nit, yh ..., хп, уп), А,
3xzVyz ... 3xnV у пВо (ct, Zb sb .. ., xz, у .  •, x^, Уп)
П—>Vyz ... 3x„Vy„B0(a, mb /j ..., mt, yt, ..., xn, yn), Ab
3xzVyz ... 3x„Vy„B0 (a, mb lh ..., xz, yz, .... x„, y„), Л2.
Из
~lT(r3xzVyz ... 3x„VynB0(a, mb Zb ..., xz, yz, ..., x„, ynP)
вытекает
“>T(rVyz ... 3xnVy„B0 (a, mb Zb ..., mit t/i, ..., x„,
2.2)	Последним применением, удовлетворяющим указанному
выше условию, является применение правила первого порядка
V-справа. Пусть Р имеет вид
Г-»А, 3x,-+i ... 3xnVyrtB0(a, Zb sb a, xl+l, ..., хп, уП)
Г-^А, Vy(3xz+I ... 3xrtVynB0(a, Zb sb ..., yb xz+b ..., x„, yn)
П->ЛЬ Vy(3xz+1 ... ЗхЛу„В0(a, mb Zb ..., yb xz+b ..., хп, y„), Л2.
§ 31. Принципы рефлексии
403
Этот вывод редуцируется к такому выводу:
th)
Г-» А, Зх,-+1 ... Зх„уу„В0 (а, /ь sb .. lt, х,-+ь ...,хп, у„)
1 > 3'^'i-r 1 • * • 3'TiVУ(<Х> ^b ХЬ • • • , /Ь • • • , ХП1 Уп)> А,
VZBS^z+t • • • 3*«VУпВ0 (®> ^i> sb ..., yi, Х/^.ь .. •, хп, уп)
’% : /
П > 3^1 +1 • •  3*nVУп^О (ct, /711, /j, •  • > Ц > ^i-\- Ь • • • 1 % п* Уп$> -Ад,
VУ(3^14-1  • • 3xnVупВ() (ct, fTL[,	, У i, Xj_|_ j, . . . , Хп, уп), Ag,
где (/£) означает подстановку нумерала Ц в вывод вместо сво-
бодной переменной а, причем Ц выбран так, что справедливо
т (rvxl+1 •  • У-^З/А ~1 So (a, mb /ь ..., llt xi+1.хп, yj3)
в предположении, что верно
1 Т ( VУхЗ-^i + l * • * 3-^nVУ„В0 (а, Шь /Ь . . . , yt, Х/^_ь .,., хпу уп) )
или
ЗуТ(гух1+1 ... у%,1Зу„ПВ0(а1,ть/|, ...,п(у), xi+l, .. ., хп, yj"1),
где и (у) означает у-й нумерал.
2.3)	Во всех остальных случаях последнего применения ло-
гического правила доказательство проводится легко. В силу того
что (В (a), ends (у)) и (ends (у)) в заключительной части
нет применений правил первого порядка у-слева и 3-слева.
2.4)	Последним применением является применение правила
индукции. В этом случае доказательство проходит так же, как
и в § 27.
3)	Теперь мы можем предположить, что в заключительной
части вывода Р нет явных применений логических правил
и применений правила индукции. Далее мы можем в точности
следовать доказательству непротиворечивости, приведенному
в § 27. Таким образом, утверждение (**) можно считать до-
казанным.
Предложение 31.12. В Р выводима секвенция
Ind2(O(INN)), Prov (гВ (af1), И Т (ГВ (а)"1)->
где В (а) — произвольная формула вида (*).
Доказательство. Из определения предиката Т выте-
кает, что выводима секвенция Pf* (у)-> Т (ends (у)). Но это
противоречит (ends (у), В (а)). Поэтому доказываемое предло-
жение следует из предложения 31.11.
404
Г л. 6. Некоторые применения доказательств непротиворечивости
Теперь мы можем привести другую форму принципа реф-
лексии для INN.
Теорема 31.13. (Такеути и Ясуги). Для произвольного ариф-
метического предложения А (а) с параметром а второго порядка
в Р выводима секвенция
Ind2(O (INN)), Prov (ГД (а)"1) —> А (а),
где принцип Ind2(O (INN)) применяется к формулам системы Р,
т. е. к арифметическим формулам с параметрами второго по-
рядка.
Доказательство. Хорошо известно, что для некоторой
формулы В (а) вида (*) в Р выводима формула
(1)	А(а) = В(а).
Из предложений 31.12 и 31.7 следует выводимость в Р сек-
венций
(2)	Ind2 (О (INN)), Prov (г А (а)п) -> Тв (а) (гВ (а)-1)
и
(3)	тв (а)(гВ (ар)-^ В (а).
Известно также, что в Р выводима формула
(4)	Prov (ГА (а)"1) е= Prov (гВ (а)"1).
Тогда из (1) —(4) следует утверждение теоремы.
Здесь мы тоже можем доказать принцип равномерной реф-
лексии.
Теорема 31.14. В Р выводима секвенция
Ind2 (О (INN)) -> Vm(Prov (г А (а, п (/«))'*) о А (а, /п)),
где принцип Ind 2 (О (INN)) применяется к формулам системы Р
Доказательство. Эта теорема доказывается с помощью
некоторой модификации предыдущей теоремы, аналогично тому,
как была доказана теорема 31.8. Сначала применим приве-
денное в доказательстве предложения 31.11 утверждение (**)
к гА(а, n(m))"1 вместо гВ(а)'1. Затем в качестве В (а) возьмем
формулу \fzA (а, z) и рассмотрим определение истинности для
нее. После этих изменений оставшаяся часть доказательства
теоремы 31.13 проходит полностью.
Теперь мы приведем другую формулировку принципа реф-
лексии для формул вида V^> А (Д>), где А (а) — арифметическая
£ 31. Принципы рефлексии
405
в а формула. Мы сформулируем его в виде принципа равно-
мерной рефлексии.
Теорема 31.15. Пусть Л (а, а)— арифметическая в а формула,
и пусть А не содержит отличных от а и а свободных переменных.
Тогда в INN выводима секвенция
(1)	Ind'(О (INN)), Prov (rV<M (*/*> п(а))~1')-> УфА (ф, а),
где принцип Ind' применяется к ^-формулам с параметрами
второго порядка.
Доказательство. Сначала, слегка расширив язык си-
стемы, как указано в определении 31.1, получим, что суще-
ствует бескванторная формула Д(а, Ь, с, а), для которой
в INN выводима формула
(2)	ЧфА(ф, а)^УфЗх¥уК(ф, х, у, а).
Тогда из (2) вытекает, что в INN выводима формула
(3)	Prov С^фА (ф,n(a))r)t= Prov (ту фЗхУуП(ф, х, у, и (а))"1).
Наконец, (2) и (3) гарантируют нам, что для того, чтобы вы-
вести (1), нам надо только вывести в INN секвенцию
(4)	Ind'(О (INN)), Prov(r3xVz//?(a, х, у, «(а))"1)-*
-* ЗхУ/yR (а, х, у, а).
Но (4) следует из
(5)	Ind'(О (INN)), Prov (r3xVr/tf (а, х, у, п{а)У\
~\T(y3x>iyR(a, х, у, nfa))'')^-^
А выводимость секвенции (5) доказывается так же, как и пред-
ложение 31.11.
Заметим, что Т является определением истинности для фор-
мулы 3xVyR(a, х, у, а), так что мы можем считать, что Т
является ^-формулой с параметром а. Но отсюда вытекает,
что принцип Ind'(О (INN)) применяется к ^-формулам с пара-
метром а.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абстракт 155, 189
— изолированный 354, 371
— первого порядка 160
— у-простой 380
К-абстракт 158
Аксиома 17, 28
— выделения 158, 178
--- предикативная 160
— К-выделения 158, 178, 194
—	детерминированности 210
—	К-индукции 178
—	объемности 195
—	отождествления 195
—	равенства 47
Алфавитный вариант 25
Антецедент 15, 215
/-аппроксимация нулевая 340
—	первая 343
— п-я 345
— (п,к)-я 349
Арифметизация 88
Арифметика Пеано 80
Арность 209. 212
Ветвь 55
Внешнее значение диаграммы 323
Внешний логический символ форму-
лы 12, 189, 214
Вполне-упорядочение доказуемое 134
---по типу е0 стандартное 108
Вхождение диаграммы /-активное 322
--- связное 322
— отрицательное 167, 297
— положительное 167, 297
— связанной переменной свободное
154
— существенно универсальное 60
---экзистенциальное 60
—	терма отмеченное 14
Вывод 18, 217
—	без сечений 18
— в М 269
— непосредственный 15
— — расположенный ниже секвен-
ции S 21
— оканчивающийся секвенцией 3 18
— простой 112
Вывод у-простой 380
— регулярный 22, 84
— редуцируемый 131
— секвенции 18
— с уровнями 356, 374, 394
—	строго у-простой 380
TJ-вывод 134
—	критический 135
—	некритический 135
«-вывод
Выражение 12
Высота переменной 217, 245
—	секвенции 113
—	типа 190
Гёделев номер 87
—	трюк 90
Гёделево предложение 91
1-главная часть 101
«-главная часть 102
a-главная часть 104
Детерминированная логика 244
---М-определимая 267
Доказательство индукцией по D 94
Заключительная часть вывода 83
Заключительное число 135
Значение 323
—	диаграммы внешнее 323
Игра 256
—	открытая 292
Индекс ординальной диаграммы 322
—------верхний 322
-------внешний 323, 339
—	предикатного символа в формуле
372
Интерпретация 50, 196, 205
—	выполняющая формулу А 50
Интуиционистское исчисление преди-
катов 25
Исчисление базисное 152
— высказываний 19
Предметный указатель
407
Исчисление предикатов второго по-
рядка 150
— — первого порядка 11
^-исчисление предикатов 165
Квазивывод 252
Квантор 11
— двойственный 244
— действующий на некоторый сим-
вол 354, 370
—	зависимый 279
—	изолированный 354
— неоднородный 209, 244, 278
— однородный 209
— связывающий некоторый символ
354
— существенно сукцедентный 270
Класс П*
- 2/
—	П} в широком смысле 178
—	21} в широком смысле 178
Кодовое число 143
Компонента диаграммы 321
Константа 11, 189, 213
—	индивидная 11
—	предикатная 11
— функциональная 11
Контрмодель 51
Копия вывода 21
Логическая сложность формулы 190,
195
Логический символ 11
---формулы внешний 12, 189, 214
Множество замкнутое 382
— не более чем континуальное 267
-	Fi 326
Модель 51
Модуляция 317
—	левая 316
—	— атомарная 316
—	правая 316
--- атомарная 316
Р-модуляция 316
Мономиал 98
Натуральная сумма ординалов 114
^-непротиворечивость 91
Нить 20
—	левая 20
—	правая 20
Норма 375
Нормальная форма ординала 99
Нумерал 79
Область действия вхождения логиче-
ского символа 37
		квантора 13
—	- — левая 37
—	сорта j 60
Общезначимость 51
М-общезначимость 242
Ограничение на собственную перемен-
ную 17, 217, 245, 280
Одновременное замещение 14
Определение индуктивное 94, 370
—	истинности 89, 90
—	рекурсивное 94
Ординал достижимый 107
Ординальная диаграмма 321
-----<,-достижимая 326
—	— несвязная 321
—	— связная 321
Ослабление 15
Отношение арифметизованное 88
—	примитивно рекурсивное 85
—	рекурсивное 133
nJ -отношение 170
S-) -отношение 170
Оценка 50, 196, 205
/-оценка нулевая 339
Переменная 11, 189, 213
—	второго порядка 151
—	доступная на этапе k 53
— зависящая от другой переменной
269
— первого порядка 151
— порядка ц 216, 245
— предшествующая другой перемен-
ной 245
— свободная 11
— связанная 11
— собственная 17, 80, 152, 216, 245,
356
Перестановка 16
Подвывод 21
Поддиаграмма 321
Подполутерм 43
Подстановка 155, 190
Подформула 36, 214
Полувывод 217, 252
Полуоценка 205
— с отождествлением 197
Полутерм 43, 154, 195
408
П редметный указатель
Полуформула 43, 154, 195 /-полуфрагмент диаграммы 322 	/-пропускающий аппроксима- цию 341, 343, 345, 350 Последовательность аксиом 28 — формул избранная 72 [-последовательность 101 п-последовательность 102 «-последовательность 103	Принцип рефлексии 392 — трансфинитной индукции 126 Продолжение функции 68 Пропозициональная связка 11 Простая теория типов 194 Пучок 83 — неявный 83 — явный 83
Потомок 83 — главный 137 Правило вывода 15 	 кванторное	17 	 логическое	16 — — пропозициональное 17 	слабое 16, 81, 215 	структурное 15, 215 —	для равенства первое 231 	 второе 231 —	замещения терма 358 —	индукции 80 — обобщенного сечения 223 — ограниченной квантификации 393 — ослабления 15 — отождествления 195 — перестановки 16	Ранг нити 30 — вхождения формулы в вывод 355 —	вывода 31 Развитие игры 256 Расширение системы 85 	несущественное 159 —	структуры 62 /о-расширение 60 Редукт секвенции 45 Редукционное дерево 55 Редукция вывода 112, 358 	 критическая 140 	существенная 122 /-резольвента 357 Релятивизация формулы 171
— подстановки 356, 372 — сечения 16 — сильно обобщенного сечения 302 — Q-слева 245, 280 — Q-справа 245, 280 — смешения 29 — сокращения 16 со-правило 385 — конструктивное 385 Предикатная константа, определимая неявно 44 	 явно 44 Предложение 12 —	непротиворечивое 28 —	противоречивое 28 Предок 83 Предструктура Генкина 205 Предшественник 83 —	первый 83 —	второй 83 Преемник 82, 258 Применение логического правила не- явное 83 —	— — явное 83 —	правила граничное 84 	нарушающее формулу 356 	сечения несущественное 84 	подходящее 84 	— существенное 84 	V-слева у-простое 380 Принцип равномерной рефлексии 400	Свободное вхождение связанной пе- ременной 154 Свойство подформульности -37 Секвенция 15, 215 —	в выводе 20 —	верхняя 15 —	выводимая 18 — выполненная в структуре 51 — заключительная 18 — истинная в структуре Крипке 74 -- начальная 17 	 логическая 80 — — математическая 80 -	TJ-начальная 134 -	- негативная 297 —	неявная 83 —	нижняя 15 —	общезначимая 51 —	позитивная 165 — расположенная выше секвенции 5 20 	между секвенциями Si и S2 21 —	— ниже секвенции S 20 —	редуцированная 45 —	редуцируемая 358 — сукцедентно-однородная 270 — явная 83 Сечение 16 — несущественное 84, 272 — подходящее 84
Г! редметный указатель
409
Сечение свободное 128
— существенное 84, 272
Символ вспомогательный 11, 189
— логический 11, 213
Система аксиом 28, 175
--- аксиоматизируемая 85
—	— непротиворечивая 28
—	— несовместимая 28
—	— противоречивая 28
—	— совместимая 28
—	корректная 52
— натуральных чисел изолированная
354
— неполная 90
-- полная 51
— релятивизации 171
— с изолированными индуктивными
определениями 370
— формальная аксиоматизируемая 85
—	ВС 152
—	G‘LC 159
—	НА 127
-	IID 370
-	- 1ND 354
-	1РС 275
-	- КС 158
—	KiC 160
—	LK 18
—	LK* 29
-	LK + 40
—	LJ 25
-	РА 80
-	PAft 129
—	RHS 260
—	RHS' 297
—	S 85, 196
—	S- 204
—	S1 197
—	S2 183
— S3 183
— П’РС 165
К-система 158
Сложность абстракта 355
— формулы 355
— логическая 190, 195
Смешение 29
Сокращение 16
Сорт 58
Степень вывода 30
— применения правила индукции 113
—	сечения 113
—	смешения 30
—	формулы 30, ИЗ
Стратегия 256, 257
—	выигрышная 257
Структура 50, 60
—	Генкина 197
Структура детерминированная 244
— для простой теории типов 196
-------------без аксиомы отожде-
ствления 204
— Крипке 73
— частично упорядоченная 73
Сукцедент 15, 215
Теорема 18
Терм 12, 189, 214
— в формуле 20
•— полностью отмеченный 14, 21
L-терм 13
Тип 188
Точка зрения Гильберта — Генцена
111
--- чисто финитная 97
Трансфинитная индукция 126
Уровень абстракта 356
— формулы 356
Условие (Q) 259
Формальный язык первого порядка
Формула 12, 189, 214, 278
— арифметическая 160, 178
— атомарная 12, 189, 214
—	бескванторная 13
— боковая 16, 17, 216, 245, 280
--- левая 80
	правая 80
—	в секвенции 16
— выполненная в структуре 51
—	высекаемая 16
— главная 16, 17, 216, 245, 280
--- левая 80
--- правая 80
—	замкнутая 13
— изолированная 354, 371
—	индукционная 80
—	неявная 83
—	общезначимая 51
—	ослабляющая 16
—	первого порядка 160
—	позитивная 165
—	предваренная 37
—	у-простая 380
—	рудиментарная 392
— свободная 128
— секвенциальная 15, 82
---заключительная 83
--начальная 83
— смешивающая 29
410	Предметный указатель
Формула эквивалентная 36 — /о-экзистенциальная 61 — явная 83 — языка второго порядка 151 К-формула 158 /-формула 56 /•-формула 56 L-формула 13 П{ -формула 170 Sj-формула 170 Функция всюду определенная 68 — доказуемо рекурсивная 142, 391 — задаваемая множеством 382 — монотонная 379 — общерекурсивная 133 — примитивно рекурсивная 85 — <?-примитивно рекурсивная 130 — рекурсивная 133 — Сколема 226	Функция частичная 68 — частично рекурсивная 133 1-элиминатор 102 /г-элиминатор 102 а-элиминатор 104 (а, п) -элиминатор 104 j-ядро 339 Язык арифметики 79 — второго порядка 150 — многосортный 58 — инфинитарной логики с однород- ными кванторами 213 — — — с неоднородными квантора- ми 278 — первого порядка 11 — простой теории типов 189
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода .......................................................................... 5
Предисловие.............................................................................................. 7
Введение ................................................................................................ 9
Часть I. Системы первого порядка........................................................................ 11
Глава 1. Исчисление предикатов первого	порядка .......................................................... И
§	1.	Формализация суждений ...................................... 11
§	2.	Формальные доказательства и относящиеся к	ним понятия .	15
§	3.	Интуиционистское исчисление предикатов .................. 25
§	4.	Системы аксиом.................. 28
§	5.	Теорема об устранении сечений...................................... 29
§	6.	Некоторые следствия теоремы об устранении	сечений ...	36
§	7.	Исчисление предикатов с равенством.................. 47
§	8.	Теорема о полноте.............. 50
Глава 2. Арифметика Пеано............................................................................... 79
§ 9.	Формальная система арифметики Пеано............................................................ 79
§ 10.	Теорема о неполноте............................................................................ 85
§	11.	Обсуждение ординалов с финитной точки зрения................................................... 93
§	12.	Доказательство непротиворечивости системы	РА..... 111
§ 13.	Доказуемые вполне-упорядочения................................................................ 132
§ 14.	Еще один вопрос............................................................................... 143
Часть И. Системы второго порядка и конечного порядка................................................... 146
Глава 3. Системы второго порядка и простая теория типов ....	150
§ 15.	Исчисление предикатов второго порядка......................................................... 150
§ 16.	Некоторые системы исчисления предикатов второго порядка 	159
§ 17.	Теория релятивизаций ......................................................................... 171
§ 18.	Определение истинности для арифметики первого порядка •	177
§ 19.	Интерпретация арифметических систем второго порядка . .	183
§ 20.	Простая теория типов.......................................................................... 188
§ 21.	Теорема об устранении сечений для простой теории типов .	195
Глава 4. Инфинитарная логика........................................................................... 209
§ 22.	Инфинитарная логика с однородными кванторами ....	213
§ 23.	Детерминированная логика...................................................................... 244
§ 24.	Общая теория неоднородных кванторов........................................................... 277
412	Оглавление
t
Часть III. Проблемы непротиворечивости............................. 314
Глава 5. Доказательства непротиворечивости......................... 314
§ 25.	Введение.................................................. 314
§ 26.	Ординальные диаграммы..................................... 320
§ 27.	Доказательство непротиворечивости арифметики второго по-
рядка с аксиомой п{-выделения ................................... 352
§ 28.	Доказательство непротиворечивости системы с индуктивными
определениями.................................................... 370
Глава 6. Некоторые применения доказательств непротиворечивости .	383
§ 29.	Доказуемые вполне-упорядочения...........................  383
§ 30.	Аксиома П| -выделения	и	«(-правило....................... 385
§ 31.	Принципы рефлексии........................................ 392
Предметный указатель............................................... 406
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении,
качестве перевода и другие просим присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-Рижский пер., д. 2, изда-
тельство «Мир».
Г. ТАКЕУТИ
ТЕОРИЯ доказательств
Научный редактор Г. М. Цукерман
Младший научный редактор Э. Г. Иванова
Художник В. И. Шаповалов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Т. А. Максимова
Корректор М. А. Смирнов
ИБ № 1082
Сдано в набор 31.01.78. Подписано к печати 24.10.78. Формат
60X90’/i6. Бумага типографская № 1. Гарнитура латинская. Печать
высокая. Объем 13 бум. л. 26 усл. печ. л. Уч.-изд. л. 24,19.
Изд. № 1/9533. Зак. 1052. Тираж 14 000 экз. Цена 2 р. Юк.
Издательство «Мир»
195271, Москва, И-110, ГСП
1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
«Союзполиграфпрома» при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «МИР»
готовится к выпуску
Перечислительные задачи комбинаторного анализа: Сб. статей
1975—1977. Пер. с англ. Сост. С. В. Яблонский, 18 л., 1 р. 70 к.
План 1979 г., № 39.
Сборник статей по теории перечисления — одному из наиболее стройных
разделов комбинаторного анализа, методы и результаты которого широко
применяются не только в математике, но и в других областях науки — эко-
номике, физике, химии. По своей тематике сборник близок к известной совет-
скому читателю книге Ф. Харари, Э. Палмера «Перечисление графов» (М.,
Мир, 1976). В нем представлены классические работы по теории перечисле-
ний (Редфилда, Пойа, Оттера) и наиболее важные современные направления
и результаты (Де Брёйна, Рота, Бендера и др.).
Книга полезна всем специалистам по дискретной математике, а также
научным работникам, инженерам, аспирантам и студентам, использующим
методы комбинаторного анализа.
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Заблаговременно оформляйте заказы на интересующие Вас книги. За-
казы принимаются в магазинах, торгующих научно-технической литературой.